matemática básica módulo 2

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Prof. Jonnathan Silva 
APOSTILA – MATEMÁTICA (CONT... MÓDULO ll) WESLEY 
Uma equação exponencial é aquela que apresenta a 
incógnita no expoente de pelo menos uma potência. 
Um método usado para resolver equações exponenciais 
consiste em reduzir ambos os membros da equação a 
potência de mesma base a (0 0 e a ≠ 1. 
 
Gráfico da Função Exponencial 
 
 
 
 
 
 
 
F(x) = K0.a
x
p + C 
K0= Valor Inicial 
C= Constante 
QUESTÕES DE VESTIBULARES/ ENEM 
01.O número de bactérias de uma cultura, t horas após 
o início de certo experimento, é dado pela expressão 
N(t) = 1200 .20,4t. Nessas condições, quanto tempo após 
o início do experimento a cultura terá 38400 bactérias? 
a) 12 h 
b) 12 h 50 min 
c) 12 h 30 min 
d) 12 h 20 min 
e) 12 h 2 min 
02.O número de formigas de uma população cresce, 
seguindo a expressão N(t) = 2400 . 20,2t, com t medido 
em horas. Nessas condições, quanto tempo após o 
início da observação a população terá 4800 formigas? 
 
a) 12 h 
b) 2 h 50 min 
c) 5h 
d) 12 h 20 min 
e) 12 h 
03.(UNIRG) A torre de Hanói é um quebra-cabeça 
matemático inventado pelo francês Edouard Lucas em 
1883. A torre consiste em uma base, três hastes 
verticais e uma quantidade de discos com diâmetros 
diferentes furados no centro, para que os discos sejam 
inseridos nas hastes. A figura a seguir, ilustra a torre de 
Hanói: 
 
 
 
 
O objetivo do quebra-cabeça é deslocar os discos 
inseridos na primeira haste para a última haste com o 
auxílio da segunda haste, com o mínimo de 
movimentos possível, respeitando as seguintes regras: 
somente um disco pode ser movido de cada vez, e um 
disco maior nunca pode ser posto sobre um disco 
menor. Na tabela seguinte estão representados alguns 
exemplos relacionados ao número de discos com os 
seus movimentos mínimos. 
 
 
 
 
 
Fonte:http://www.mat.ibilce.unesp.br/laboratorio/pages
/artigos/Torre_de_Hanoi.pdf 
Para determinar a quantidade mínima de movimentos 
em relação ao número de discos, a fórmula pode ser 
representada por T(n) = 2n – 1, onde T(n) são os 
números de movimentos mínimos e n é o número de 
discos. Com base nas informações anteriores, a 
quantidade de discos para se obter 2.047 movimentos 
mínimos na torre de Hanói é 
a) 9. 
b) 10. 
c) 11. 
d) 12. 
e) 13 
04.(UNAMA) Psicólogos têm chegado à conclusão de 
que, em várias situações de aprendizado, a taxa com 
que uma pessoa aprende é rápida no início e depois 
decresce. A curva de aprendizado de um indivíduo, 
obtida empiricamente, é representada por f(t) = 90.(1 – 
3– 0,4t ), onde t é o tempo, em horas, destinado à 
memorização das palavras constantes de uma lista. O 
número máximo de palavras que esse indivíduo 
consegue memorizar é 90, mesmo quando lhe é 
permitido estudar por várias horas. Nestas condições, o 
tempo gasto por esse indivíduo para memorizar 60 
palavras é: 
a) 1h e 30min. 
b) 1h e 45min. 
c) 2h e 5min. 
d) 2h e 15 min 
e) 2h e 30min. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
05. (UCS) Um modelo matemático para determinar o 
número de bactérias em determinado objeto é a função 
definida por N( t) = 500.2t , em que t é o tempo, em 
horas, a partir da observação inicial. Segundo esse 
modelo, o tempo, em horas, para que a quantidade de 
bactérias no objeto atinja 7.000, é dado por um número 
pertencente ao intervalo 
a) [99, 100]. 
b) [13, 14]. 
c) [6, 7]. 
d) [3, 4]. 
e) [1, 2]. 
06.(UNEB) Cada elemento radioativo, seja natural ou 
obtido artificialmente, se desintegra a uma velocidade 
que lhe é característica. Meia-vida é o tempo necessário 
para que a sua atividade seja reduzida à metade da 
atividade inicial. O cobalto 60, cuja radiação é muito 
utilizada em equipamentos de radioterapia, tem meia-
vida de 5 anos. Nessas condições, o tempo necessário 
para que 800g de cobalto 60 sejam reduzidos, por 
desintegração, a 12,5g, em ano, é igual a 
a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 
 
07.(Enem) A duração do efeito de alguns fármacos está 
relacionada à sua meia-vida, tempo necessário para que 
a quantidade original do fármaco no organismo se 
reduza à metade. A cada intervalo de tempo 
correspondente a uma meia-vida, a quantidade de 
fármaco existente no organismo no final do intervalo é 
igual a 50% da quantidade no início desse intervalo. 
 
 
 
 
 
O gráfico acima representa, de forma genérica, o que 
acontece com a quantidade de fármaco no organismo 
humano ao longo do tempo. A meia-vida do antibiótico 
amoxicilina é de 1 hora. Assim, se uma dose desse 
antibiótico for injetada às 12 h em um paciente, o 
percentual dessa dose que restará em seu organismo às 
13 h 30 min será aproximadamente de 
a) 10%. 
b) 15%. 
c) 25%. 
d) 35%. 
e) 50%. 
08.(FUVEST-SP) O preço de certa mercadoria sofre 
anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que o 
preço atual seja R$ 100,00, daqui a três anos será: 
a) R$ 300,00 
b) R$ 400,00 
c) R$ 600,00 
d) R$ 800,00 
e) R$ 1.000,00 
09.O crescimento de uma cultura de bactérias obedece 
à função N(t) = 600 .3 kt, em que N é o número de 
bactérias no instante t, sendo t o tempo em horas. A 
produção tem início em t = 0. Decorridas 12 horas há 
um total de 1.800 bactérias. O valor de k e o número 
de bactérias, após 24 horas do início da produção, são, 
respectivamente, 
a) 1 /12 e 3.600 
b) −1/12 e −100 
c) −1/12 e 64 
d) 12 e 5.400 
e) 1/12 e 5.400 
10.(UERJ-2021) Diferentes defensivos agrícolas 
podem intoxicar trabalhadores do campo. Admita uma 
situação na qual, quando intoxicado, o corpo de um 
trabalhador elimine, de modo natural, a cada 6 dias, 
75% da quantidade total absorvida de um agrotóxico. 
Dessa forma, na absorção de 50 mg desse agrotóxico, a 
quantidade presente no corpo será dada por: 
𝑉(𝑡) = 50. (0,25)
𝑡
6 
Assim, o tempo t, em dias, necessário para que a 
quantidade total desse agrotóxico se reduza à 25 mg no 
corpo do trabalhador é igual a: 
a)2 b)3 c)4 d)5 e)6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
RESUMO (LOGARÍTMO) 
Dados os números reais positivos a e b, com b ≠ 1, 
chamamos de logaritmo de a, na base b, o número 
real x que deve ser expoente de b para que a potência 
seja igual ao número a, ou seja: 
bx = a ← → 𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐚 , com a > 0 , b > 0 e b ≠ 1. 
 
i) Logaritmo de base 10: 
 
𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝐚 𝒐𝒖 𝒍𝒐𝒈 𝒂 
 
ii) Logaritmo de base e (logaritmo neperiano 
ou natural 
𝐥𝐨𝐠𝐞 𝐚←→In a 
 
Constante e≈2,72 
 
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO 
 
I - 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐚 = 𝟏 II - 𝐥𝐨𝐠𝐚
𝟏
𝒂
= −𝟏 III - 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝟏 = 𝟎 
 
IV – 𝒃𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 = 𝐚 V- 𝐥𝐨𝐠𝐛𝒂 = 𝐥𝐨𝐠𝐛𝒄 → 𝒂 = 𝒄 
 
PROPRIEDADES DOS LOGARÍTMOS 
1ª Log do produto = logc(𝑎 x b) = logc𝑎 + logc𝑏 
 
2ª Log do quociente = logc (
𝑎
𝑏
) = logc𝑎 − logc𝑏 
 
3ª Log de uma potência = logc𝑎𝑛 = n. logc𝑎 
 
4ª Mudança de Base = logc𝑎 =
𝐥𝐨𝐠𝐛𝒂
𝐥𝐨𝐠𝐛𝒄
 ; logc𝑎 =
𝟏
𝒍𝒐𝒈𝒂𝒄
 
 
RESUMO 2 (Análise Gráfica) 
Uma função logarítmica será inversa de uma função 
exponencial quando suas bases forem iguais. E se isso 
acontece, logo, seus gráficos serão simétricos, com o 
eixo de simetria sendo um função identidade. 
Existem dois casos possíveis. 
 
 
 
 
 
 
1º Se a > 1 (Gráfico crescente) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º Se 0b) 220.000 carros 
c) 232.000 carros 
d) 250.000 carros 
e) 300.000 carros 
02.(Enem) A Escala e Magnitude de Momento 
(abreviada como MMS e denotada como MW), 
introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo 
Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a 
magnitude dos terremotos em termos de energia 
liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no 
entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de 
todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como 
a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. 
MW e M0 se relacionam pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a 
partir dos registros de movimento da superfície, 
através dos sismogramas), cuja unidade é o dina⋅cm. O 
terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 
1995, foi um dos terremotos que causaram maior 
impacto no Japão e na comunidade científica 
internacional. Teve magnitude MW = 7,3. 
 
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. 
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado). 
 
Mostrando que é possível determinar a medida por 
meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o 
momento sísmico M0 
a)10-5,10 
b)10-0,73 
c)1012,00 
d)1021,65 
e)1027,00 
03.(UEPA) Um produtor do interior do estado do Pará 
decidiu investir no plantio de uma nova 
variedade de banana, a BRS Conquista, em 
função das vantagens apresentadas, entre elas 
a resistência às doenças como o Mal-do- 
Panamá, Sigatoka Amarela e Negra. No 
primeiro ano do plantio, esse produtor plantou 
X mudas de bananas. Em seu planejamento, o 
produtor previu que seu plantio dobraria a cada 
ano. Após quanto tempo o número de mudas 
passará a ser 20 vezes a quantidade inicial? 
(log2=0,3) 
a) 4 anos e 1 mês 
b) 4 anos e 2 meses 
c) 4 anos e 3 meses 
d) 4 anos e 4 meses 
e) 4 anos e 8 meses 
04. Em quantos anos 500 g de uma substância 
radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao ano, 
se reduzirá a 100 g? Use 𝑄 = 𝑄𝑜. 𝑒−𝑟𝑡, em que Q é a 
massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos. 
(Adote ln 5 = 1,6094) 
a) t = 43,65 anos 
b) t = 53,65 anos 
c) t = 63,65 anos 
d) t = 73,65 anos 
e) t = 83,65 anos 
05. Sabemos que o número de bactérias numa cultura, 
depois de um tempo t, é dado por 𝑁 = 𝑁𝑜. 𝑒𝑟𝑡 , em que 
No é o número inicial (quando t = 0) e r é a taxa de 
crescimento. Em quanto tempo o número de bactérias 
ficará 8 vezes o valor inicial, se a taxa de crescimento 
se mantiver em 12% ao minuto? (Adote ln 2 = 0,7) 
 
a) 17,5 minutos 
b) 18,5 minutos 
c) 19,5 minutos 
d) 20,5 minutos 
e) 21,5 minutos 
06. Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior 
acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma 
amostra de césio-137, removida de um aparelho de 
radioterapia abandonado, foi manipulada 
inadvertidamente por parte da população. A meia-vida 
de um material radioativo é o tempo necessário para 
que a massa desse material se reduza à metade. A meia-
vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de 
massa de um material radioativo, após t anos, é 
calculada pela expressão M(t) = A · (2,7)kt, onde A é a 
massa inicial e k é uma constante negativa. 
 
Considere 0,3 como aproximação para log102. 
Qual o tempo necessário, em anos, para que uma 
quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da 
quantidade inicial? 
a)27 
b)36 
c)50 
d)54 
e)100 
07..(Enem-2021) A Lei de Zipf, batizada com o nome 
do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica 
que relaciona a frequência (f) de uma palavra em um 
dado texto com o seu ranking (r). Ela é dada por 𝑓 =
𝐴
𝑟𝐵 
O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as 
palavras por ordem de frequência. Ou seja, r = 1 para a 
palavra mais frequente, r = 2 para a segunda palavra 
mais frequente e assim sucessivamente. A e B são 
constantes positivas. 
Disponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 
(adaptado). 
Com base nos valores de X = log (r) e Y = log (f), 
é possível estimar valores para A e B. 
No caso hipotético em que a lei é verificada 
exatamente, a relação entre Y e X é 
a)𝑌 = log(𝐴) − 𝐵. 𝑋 
b)𝑌 =
log(𝐴)
𝑋+log (𝐵)
 
c)𝑌 =
log(𝐴)
𝐵
− 𝑋 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
d)𝑌 =
log(𝐴)
𝐵.𝑋
 
e)𝑌 =
log(𝐴)
𝑋𝐵 
08.Em um experimento, o número de bactérias 
presentes em certa cultura é dado pela função f(t) = I0 . 
105t, em que I0 é a quantidade inicial de bactérias e f(t) 
é o número de bactérias t horas após o início do 
experimento. Dessa forma, em quanto tempo, após o 
início do experimento, o número de bactérias será igual 
ao quíntuplo da quantidade inicial? (Utilize: log5 = 
0,7;). 
a)8 min 42 s. 
b)14 h. 
c)8 min 24 s. 
d)8 h 14 min. 
e)14 min 8 s. 
09.(USP) O modelo da cobertura que está sendo 
colocada no Estádio Beira-Rio está representado na 
figura abaixo. 
 
 
 
Colocada devidamente em um plano cartesiano, é 
possível afirmar que, na forma em que está, a linha em 
destaque pode ser considerada uma restrição da 
representação da função dada por 
 
a) y = log (x) 
b) y = x² 
c) y = │x│ 
d) y = √−𝑥 
e) y = 10x 
 
 
 
 
 
 
10.(UFPR) Considere o gráfico da função f(x) = log2 x 
e a reta r que passa pelos pontos A e B, como indicado 
na figura abaixo, sendo k a abscissa do ponto em que a 
reta r intersecta o eixo Ox. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual é o valor de k? 
 
a)
17
12
 b)
14
11
 c)
12
7
 d)
11
9
 e)
7
4
 
 
 
11. (UFJF) No gráfico a seguir representou-se a função 
definida por f(x)=log2 𝑥. Define-se ainda, conforme a 
figura, um triângulo retângulo MNP reto em N, com os 
vértices M e P pertencendo à curva definida por f(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área desse triângulo é 
a)18 b)21 c)24 d)27 e)30 
 
12.(UPF) Na figura, está representada parte do gráfico 
da função 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = log (𝑎𝑥+2) −1, com 𝑎 ≠ 
0 e o ponto 𝐴(1 ,−1) pertencente ao gráfico da função 𝑓. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor de a é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
a)1 b)2 c)-1 d)-2 e)8 
 
13.Uma indústria pode produzir, por dia, até 20 
unidades de um determinado produto. O custo C (em 
R$) de produção de p unidades desse produto é dado 
por: 
𝐶(𝑥) = {
5 + 𝑥(12 − 𝑥), 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 30
 
O gráfico que representa corretamente essa função é 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
15.(Enem) Uma empresa analisou mensalmente as 
vendas de um de seus produtos ao longo de 12 meses 
após seu lançamento. Concluiu que, a partir do 
lançamento, a venda mensal do produto teve um 
crescimento linear até o quinto mês. A partir daí houve 
uma redução nas vendas, também de forma linear, até 
que as vendas se estabilizaram nos dois últimos meses 
da análise. O gráfico que representa a relação entre o 
número de vendas e os meses após o lançamento do 
produto é 
a) b) 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
16.(Enem)Após realizar uma pesquisa de mercado, 
uma operadora de telefonia celular ofereceu aos 
clientes que utilizavam até 500 ligações ao mês o 
seguinte plano mensal: um valor fixo de R$12,00 para 
os clientes que fazem até 100 ligações ao mês. Caso o 
cliente faça mais de 100 ligações, será cobrado um 
valor adicional de R$ 0,10 por ligação, a partir da 101ª 
até a 300ª; e caso realize entre 300 e 500 ligações, será 
cobrado um valorfixo mensal de R$32,00. 
Com base nos elementos apresentados, o gráfico que 
melhor representa a relação entre o valor mensal pago 
nesse plano e o número de ligações feitas é: 
a) b) 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
17.Considere uma função real h definida a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
ℎ(𝑥) {
4 + 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −2 
2 , 𝑠𝑒 − 2 2 
c) é função constante se -2 -1 
e) é decrescente para x ≥ 0 
 
 
 
REGRA DE TRÊS 
A regra de três é um artifício matemático utilizado para 
determinar uma medida, comparar grandezas ou até mesmo 
conta-las. Essas grandezas podem ter ralçoes inversa ou 
diretamente proporcionais. Nestre tópicos iremos trabalhar 
com a Regra de Simples e Composta. 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Duas grandezas são trabalhadas podendo elas serem 
inversa ou diretamente proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo Resolvido 1:Um produtor rural tem uma produção 
anual de frangos de cerca de 18 toneladas. Em um bimestre 
este produtor irá produzir quantas toneladas de frango? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo Resolvido 2:Uma torneira enche um tanque em 6 
horas. Se forem utilizadas 3 torneiras, qual o tempo 
necessário para enche-lo? 
 
 
 
 
 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
mesmo raciocínio da regra de três simples, porém com mais 
de duas grandezas e sempre comparando com a aquela que 
possui a medida desconhecida. 
 
Exemplos Resolvido 3: Um grupo de 10 trabalhadores 
descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. Quantas 
horas 25 trabalhadores precisarão para descarregar 350 
caixas? 
 
 
 Estável 
 
 
𝑥 =
𝟑 . 𝟏𝟎 . 350
25 . 210
 
 𝑥 = 2 
PRATICANDO ITENS 
 
01.(Meckenzie) Um engrenagem de 36 dentes 
movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dará a 
maior, enquanto a menor gira 100 voltas ? 
a)133 b)86 c)75 d)65 e)50 
 
02.(Enem) Um tanque está com 100 litros de um 
líquido constituído de 80% de água e 20% de 
impurezas diversas e vai começar a receber um 
tratamento químico de despoluição. Após passar pelo 
processo de purificação, a água será armazenada em um 
reservatório à parte. 
Em dado momento, o volume de água purificada no 
reservatório indica que, no tanque, 50% do líquido 
restante é água. Isso indica que, no reservatório, o 
volume de água, em litros, é igual a 
a)90,0 b)80,0 c)60,0 d)50,0 e)12,5 
 
03.(Enem) Uma mãe recorreu à bula para verificar a 
dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. 
Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas 
para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. 
https://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTresExerciciosSimplesDireta.aspx#anchor_ex2
https://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTresExerciciosSimplesDireta.aspx#anchor_ex2
https://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTresExerciciosSimplesDireta.aspx#anchor_ex2
https://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTresExerciciosComposta.aspx#anchor_ex5
https://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTresExerciciosComposta.aspx#anchor_ex5
https://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTresExerciciosComposta.aspx#anchor_ex5
https://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTresExerciciosComposta.aspx#anchor_ex5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a 
seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é 
de 
a)12 kg b)16 kg. c)24 kg. d)36 kg. e)75 kg. 
 
04. Para esvaziar um compartimento com 700m³ de 
capacidade, 3 ralos levaram 7 horas para fazê-lo. Se o 
compartimento tivesse 500m³ de capacidade, ao 
utilizarmos 5 ralos quantas horas seriam necessárias 
para esvaziá-lo? 
a)8 b)6 c)5 d)3 e)2 
 
05.(IFAL)Para proporcionar uma festa de aniversário 
com 100 convidados, os organizadores previram um 
consumo de 6.000 salgados durante 3h de duração da 
festa. A cozinheira, por precaução, fez 2.000 salgados a 
mais, porém compareceram 20 pessoas a mais do 
previsto. Usando a proporcionalidade e considerando 
que a previsão esteja correta, por quanto tempo, 
aproximadamente, durarão os salgados? 
a)4h 48 min. b)4h 20 min. c)4h. d)3h 48 
min. 
e)3h 20 min. 
 
06.(Enem)Uma escola lançou uma campanha para seus 
alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não 
perecíveis para doar a uma comunidade carente da 
região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 
10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg 
de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 
novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a 
trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o 
término da campanha. 
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido 
constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao 
final do prazo estipulado seria de 
a)920 kg. b)800 kg. c)720 kg. d)600 kg. 
e)570 kg. 
 
07.(Enem-PPL) Em 20 de abril de 2010 ocorreu a 
explosão e afundamento de uma plataforma de petróleo 
semissubmergível, no Golfo do México. a acidente 
ocasionou um dos maiores desastres ecológicos 
mundiais,devido ao derrame de 780 000 m³ de óleo cru 
no mar, por um período de 87 dias, entre abril e julho 
de 2010. Finalizado o vazamento, parte do óleo vazado 
começou a ser queimado, diretamente, enquanto que 
outra parte foi removida por coleta, através de barcos 
filtradores. As duas técnicas juntas retiravam, 
aproximadamente, 480 m³ de óleo por dia. Durante 
todo o período de remoção foram retirados, no total, 
apenas 66 705 m³ de óleo. Por recomendação de 
ambientalistas, a retirada total de óleo não deveria 
ultrapassar 300 dias. 
Para que todo o óleo derramado no Golfo pudesse ter 
sido retirado dentro do prazo recomendado pelos 
ambientalistas, qual deveria ter sido a taxa mínima de 
remoção de óleo, em metro cúbico/dia? 
a)1625 b)2600 c)3508 d)5613 e)8966 
 
08.(Enem)Uma confecção possuía 36 funcionários, 
alcançando uma produtividade de 5 400 camisetas por 
dia, com uma jornada de trabalho diária dos 
funcionários de 6 horas. Entretanto, com o lançamento 
da nova coleção e de uma nova campanha de 
marketing, o número de encomendas cresceu de forma 
acentuada, aumentando a demanda diária para 21 600 
camisetas. Buscando atender essa nova demanda, a 
empresa aumentou o quadro de funcionários para 96. 
Ainda assim, a carga horária de trabalho necessita ser 
ajustada. 
 Qual deve ser a nova jornada de trabalho diária dos 
func
ioná
rios 
para 
que a empresa consiga atender a demanda? 
a)1 hora e 30 minutos. 
b)2 horas e 15 minutos. 
c)9 horas. 
d)16 horas. 
e)24 horas 
 
09.(Enem (Libras) 2017) Para a construção de um 
edifício, o engenheiro responsável decidiu utilizar um 
novo elevador de carga, com o objetivo de transportar 
as lajotas do solo até o andar superior com maior 
eficiência. Testaram-se dois modelos de elevadores: o 
primeiro carrega 40 peças de lajotas por vez e demora 
15 minutos para ir ao topo e retornar ao solo; o segundo 
carrega 60 peças de lajotas por vez e demora 21 
minutos para percorrer o mesmo trajeto. O engenheiro 
decide verificar quanto tempo o primeiro demora para 
carregar 280 lajotas até o topo e voltar. Em seguida, 
decide calcular a quantidade máxima de lajotas que o 
segundo elevador carregaria nesse mesmo tempo. 
Nessas condições, a quantidade máxima de lajotas que 
o segundo elevador pode carregar é 
a) 133. 
b) 261. 
GABARITO 
1-c 2-c 3-a 4-d 5-e 
6-a 7-b 8-c 9-c 10-b 
https://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTresExerciciosComposta.aspx#anchor_ex1
https://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTresExerciciosComposta.aspx#anchor_ex1
https://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTresExerciciosComposta.aspx#anchor_ex1https://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTresExerciciosComposta.aspx#anchor_ex1
https://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTresExerciciosComposta.aspx#anchor_ex1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
c) 300. 
d) 392. 
e) 588. 
10.Um texto ocupa 6 páginas com 45 linhas cada uma 
e, cada linha tem 80 letras (ou espaços). Para torná-lo 
mais legível, a fonte do texto foi alterada e, com isso, o 
número de linhas por página reduziu para 30 e o 
número de letras (ou espaços) em cada linha foi 
reduzido para 40. Após as mudanças, o texto passará a 
ocupar 
a) 24 páginas. 
b) 18 páginas. 
c) 16 páginas. 
d) 15 páginas. 
e) 12 páginas. 
 
 
Porcentagem: 
 
é a divisão de um número qualquer por 100, podendo 
esta ser representada por 3 formas disdintas: forma 
percentual; fracionária e decimal. 
 Percentual 
Exemplos: 5% ; 0,1% ; 230% ... 
 Fracionária 
Exemplos: 
5
100
 ; 
0,1
100
 ; 
230
100
 ... 
 Decimal 
Exemplos: 0,05 ; 0,001 ; 2, ... 
 
Cálculo percentual 
A partir de uma regra de três simples é possível 
determinar a porcentagem de um valor qualquer ou 
representar um determinado valor em sua forma 
percentual. Vejamos exemplos: 
 
a) 20% de 225  100% --------- 225 
 20% --------- X 
Realizando a multiplicação cruzada, temos que: 
 x =
20.225
100
. Logo, x = 45 
 
Obs: Em casos como esses podemos apenas multiplicar 
o valor percentual, em sua forma Fracionária ou 
Decimal, pelo valor total. 
Por exemplo: 𝒙 =
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
. 𝟐𝟐𝟓 ou 0,2 . 225 = 45 
-------------------------------------------------------------------
------- 
b) 45 é quantos porcento de 225 ? 
100% --------- 225 
 X --------- 45 
Múlplicando cruzado, obtemos: x =
45.100
225
 
Obs: Em casos como esses podemos apenas dividir a 
parte do valor pelo seu total e multiplicar por 100. 
Por exemplo: 𝒙 =
𝟒𝟓
𝟐𝟐𝟓
. 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟎% 
 
Aumento Percentual 
Para se calcular o valor final Vf de um aumento 
percentual i% de um valor inicial V, utilizamos o 
produto Vf=V.(1 + i%). 
Obs.: É conveniente deixarmos a taxa em sua forma 
decimal ou fracionária. 
Exemplo: 
 
Valor Inicial= 200 ; Taxa = 15% ou 0,15 ; 
Valor Final = 200. (1 + 0,15) = 200.1,15 
Valor Final = 230 
 
Aumentos Sucessivos 
Quando em uma situação problema apresentam-se uma 
sequência de aumentos percentuais iguais ou distintos, 
utilizamos a seguinte expressão: 
 
Vf=V.(1 + i1%).(1 + i2%)(1 + i3%)...(1 + in%) 
 
Desconto Percentual 
Para se calcular o valor final Vf de um desconto 
percentual i% de um valor inicial V, utilizamos o 
produto Vf=V.(1 – i%). 
Obs.: É conveniente deixarmos a taxa em sua forma 
decimal ou fracionária. 
Exemplo: 
 
Valor Inicial= 300 ; Taxa = 25 % ou 0,25 ; 
Valor Final = 300. (1 – 0,25) = 300.0,75 
Valor Final = 225 
 
Descontos Sucessivos 
Quando em uma situação problema apresentam-se uma 
sequência de descontos percentuais iguais ou distintos, 
utilizamos a seguinte expressão: 
 
Vf=V.(1 – i1%).(1 – i2%).(1 – i3%)....(1 – in%) 
 
PRATICANDO ITENS 
01. Com a chegada da entressafra, período em que não há 
colheita, o preço do quilograma de cebola sofreu dois 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
aumentos sucessivos de 20% e 50%. Após esses ajustes o 
valor que antes era de R$ 3,00 passou a ser: 
 
a) R$ 5,46 b) R$ 5,40 c) R$ 5,32 d) R$ 5,26 
e) R$ 5,18 
 
02.(IFBA) 
Preço da gasolina sobe e clientes são pegos de 
surpresa em Salvador 
Os motoristas que circulam por Salvador são 
surpreendidos pelo aumento do preço da gasolina em 
diversos postos de combustíveis […]. O G1 circulou 
por alguns estabelecimentos da capital e identificou 
aumentos […]. 
 
 
Considerando que a gasolina sofreu dois aumentos 
sucessivos de 2% nas últimas semanas, isso equivale a 
um único aumento de: 
 
a) 4,08% b) 4,04% c) 4,02% d) 4,00% e) 
3,96% 
 
03.Com a chegada da entressafra, período em que não 
há colheita, o preço do quilograma de cebola sofreu 
dois aumentos sucessivos de 20% e 30%, passando a 
custar R$ 5,46. O preço do quilograma de cebola 
anterior aos acréscimos era de: 
 
a) R$ 3,20 b) R$ 3,50 c) R$ 4,10 d) R$ 4,00 
e) R$ 4,20 
 
04.(UNIFOR)Um torcedor de um time de futebol do 
estado do Ceará comprou uma camisa do seu time por 
80 reais. Uma semana depois, a loja aumentou seus 
preços em 30%, mas como as vendas não estavam 
correspondendo, resolveu fazer uma liquidação, 
colocando um desconto de 30% em todos os seus 
produtos. Se o mesmo torcedor voltasse a mesma loja 
depois desse aumento e do sucessivo desconto 
compraria a mesma camisa por: 
 
a) 70 reais. b) 71,50 reais. c) 72 reais. d) 72,80 
reais. 
e) 73 reais. 
 
05.(Unesp) Levantamento efetuado pela Secretaria de 
Educação de certo município mostrou que atos de violência 
física ou psicológica, intencionais e repetitivos (bullying), 
estiveram envolvidos em cinco de cada oito desavenças 
entre alunos ocorridas em determinado período. 
Com base nessas informações, é correto afirmar que as 
desavenças não motivadas por bullying representam, do 
número total de desavenças ocorridas nesse período, 
 
a) 62,5%. b) 60%. c) 40%. d) 37,5%. e) 26,5%. 
 
06.(Enem) Para aumentar as vendas no início do ano, uma 
loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 
20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os 
clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a 
um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas 
compras. 
Um cliente deseja comprar um produto que custava R$50,00 
antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão 
fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão 
fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao 
efetuar a compra, em reais, seria de 
 
a) 15,00. b) 14,00. c) 10,00. d) 5,00. e) 4,00. 
 
07.(Unesp)Um advogado, contratado por Marcos, 
consegue receber 80% de uma causa avaliada em R$ 
200 000,00 e cobra 15% da quantia recebida, a título de 
honorários. A quantia, em reais, que Marcos receberá, 
descontada a parte do advogado, será de 
 
a) 24 000 b) 30 000 c) 136 000 d) 160 000 e) 184 
000. 
 
08.(Enem )Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. 
No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do 
investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que 
havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar 
o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação. 
 
A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações 
corresponde ao valor de 
a)R$ 4 222,22. 
b)R$ 4 523,80. 
c)R$ 5 000,00. 
d)D R$ 13 300,00. 
e)R$ 17 100,00. 
 
09.(Enem-2021) Um atleta produz sua própria refeição 
com custo fixo de R$ 10,00. Ela é composta por 400 g 
de frango, 600 g de batata-doce e uma hortaliça. 
Atualmente, os preços dos produtos para essa refeição 
são: 
REFEIÇÃO Frango 
(Kg) 
Batata-doce 
(Kg) 
Hortaliça(Und) 
R$ 12,50 R$ 5,00 R$ 2,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Em relação a esses preços, haverá um aumento de 50% 
no preço do quilograma de batata-doce, e os outros 
preços não serão alterados. O atleta deseja manter o 
custo da refeição, a quantidade de batata-doce e a 
hortaliça. Portanto, terá que reduzir a quantidade de 
frango. 
Qual deve ser a redução percentual da quantidade de 
frango para que o atleta alcance seu objetivo? 
Alternativas 
 
a)12,5 b)28,0 c)30,0 d)50,0 e)70,0 
 
10(Enem-2022)Um professor tem uma despesa mensal 
de 10% do seu salário com transporte e 30% com 
alimentação. No próximo mês, os valores desses gastos 
sofrerão aumentos de 10% e 20%, respectivamente, 
mas o seu salário não terá reajuste. Com esses 
aumentos, suas despesas com transporte e alimentação 
aumentarão em R$ 252,00. 
O salário mensal desse professor é de 
Alternativas 
a)R$ 840,00. 
b)R$ 1 680,00. 
c)R$ 2 100,00. 
d)R$ 3 600,00. 
e)R$ 5 200,00.