Calculo II Questoes_pag59

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L =
∫ 3
−1
√
(3 t2)2 + (6 t5)2 dt
=
∫ 3
−1
√
9 t4 + 36 t10 dt
=
∫ 3
−1
√
9 t4 (1 + 4 t6) dt
=
∫ 3
−1
3 t2
√
1 + 4 t6 dt
=
∫ 3
−1
3 t2
√
1 + (2 t3)2 dt
Logo, fazendo a substituição
u = t3 ⇒ du = 3 t2 dt ∴ t = −1→ u = −1; t = 3→ u = 27
E teremos a integral,
∫ 27
−1
√
1 + (2u)2 du
Tomando agora uma substituição trigonométrica
2u = tg θ ⇒ 2 du = sec 2θ dθ
1
2
∫
(
√
1 + ( tg θ)2) sec 2θ dθ =
1
2
∫
sec 3θ dθ
Utilizando a fórmula de recorrência para secante, temos
1
2
∫
sec 3 (θ) dθ =
1
4
sec (θ) tg (θ) +
1
4
ln | tg (θ) + sec (θ)|+ C
Agora, voltando à variável u, como
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