conjuntos

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MATEMÁTICA I
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01 CONJUNTOS
CONCEITO DE CONJUNTO
Conjunto é o ente matemático que reúne elementos com uma 
característica em comum. Se desejamos expressar o conjunto A, 
formado pelas letras da palavra CADERNO, teremos:
A = {c, a, d, e, r, n, o}
Podemos também expressar este conjunto de outras maneiras, 
como por exemplo a caracterização dos seus elementos ou por 
meio de um diagrama. Observe:
A = {x ϵ A/x é letra da palavra caderno}
CONJUNTO VAZIO
É aquele que não possui nenhum elemento, como o próprio 
nome sugere. Se tentarmos expressar o conjunto A dos números 
primos pares maiores que 3, não encontraremos nenhum elemento. 
Desta forma, dizemos que este conjunto é vazio. Expressamos este 
cenário de uma das seguintes maneiras:
A = ∅ = { }
CONJUNTO UNITÁRIO
É aquele conjunto que possui apenas um elemento, como o 
próprio nome indica. Ao criar o conjunto B formado pelos números 
primos pares, teremos que seu único elemento será o 2. Assim, por 
ter apenas 1 elemento, chamamos este conjunto de unitário. 
B = {2}
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
Na relação de pertinência estabeleceremos uma conexão 
entre elemento em um conjunto. Desta forma, podemos afirmar 
se determinado elemento se encontra ou não presente em 
um conjunto. Utilizamos os símbolos: ∈ ou ∉ (pertence ou não 
pertence). Observe o exemplo abaixo:
A = {1, 2, 4, 5, 8}
1 ∈ A 2 ∈ A 4 ∈ A 5 ∈ A 8 ∈ A
0 ∉ A 3 ∉ A 6 ∉ A 9 ∉ A 10 ∉ A
RELAÇÃO DE INCLUSÃO
Nesta relação, faremos uma conexão sempre entre dois 
conjuntos, para entender se todos os elementos do conjunto A 
estão presentes no conjunto B também. Para tal, utilizaremos os 
símbolos ⊂, ⊄, ⊃, ou ⊅ (está contido, não está contido, contém e 
não contém, respectivamente). Observe o exemplo abaixo:
A = {0, 1, 2, 3,4 , 5}; B = {1, 2, 3} e C = {-1, 2, 6}
B ⊂ A (B está contido em A)
C ⊄ A (C não está contido em A)
A ⊃ B (A contém B)
B ⊅ C (B não contém C)
CONJUNTO DAS PARTES DE UM 
CONJUNTO
Denominamos o conjunto das partes de um conjunto como a 
lista com todas as possibilidades de subconjunto do conjunto em 
questão. Assim, se temos por exemplo o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, 
podemos pensar em todos os subconjuntos que este conjunto 
possui. Vale ressaltar que um conjunto sempre terá entre seus 
subconjuntos o conjunto vazio e ele mesmo. Observe o exemplo 
a seguir:
A = {2, 4, 6}
P(A) = {∅, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6}}
Parta calcular o número de subconjuntos existentes a partir de 
um conjunto dado com n elementos, utilizamos a fórmula a seguir:
P(A) = 2n, em que n = número de elementos do conjunto em questão.
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
UNIÃO (∪)
Nesta operação, participarão do resultado os elementos 
que pertencem a pelo menos um conjunto envolvido. Assim, ao 
estabelecer a união entre os conjuntos A = {0, 1, 2, 5} e B = {0, 3, 4, 
5, 8}, teremos que A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 8}. 
Nesta operação temos as seguintes propriedades:
A U B = B U A
A U A = A
A U ∅ = A
A U (B U C) = (A U B) U C
INTERSEÇÃO (∩)
Nesta operação, participarão do resultado os elementos que 
pertencem a todos os conjuntos envolvidos. Assim, ao estabelecer 
a interseção entre os conjuntos A = {0, 1, 2, 5} e B = {0, 3, 4, 5, 8}, 
teremos que A ∩ B = {0, 5}
Nesta operação temos as seguintes propriedades:
A ∩ A = A
A ∩ B = B ∩ A
A ∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
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MATEMÁTICA I 01 CONJUNTOS
01. Considere os conjuntos A = {0, 1, 3, 5, 7] e B = {0, 3, 5}. 
Assinale V para verdadeiro ou F para falso em cada uma das 
afirmativas a seguir:
I. ( ) 3 ϵ A
II. ( ) 4 ϵ B
III. ( ) 5 ⊂ B
IV. ( ) A ϵ B
V. ( ) B ⊂ A
VI. ( ) ∅ ϵ A
VII. ( ) ∅ ⊂ B
Resolução:
Afirmativa 1: É verdadeira, visto que o elemento 3 está 
presente no conjunto A.
Afirmativa 2: É falsa, visto que o elemento 4 não está presente 
no conjunto B.
Afirmativa 3: É falsa, pois o símbolo está contido não relaciona 
elemento e conjunto.
Afirmativa 4: É falsa, visto que o símbolo “pertence” não 
relaciona dois conjuntos.
Afirmativa 5: É verdadeira, visto que o conjunto B está contido 
em A.
Afirmativa 6: É falsa, pois ∅ não é elemento do conjunto A.
Afirmativa 7: É verdadeira, visto que o conjunto vazio é parte 
de qualquer conjunto.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02. Considere os conjuntos A = {1, 2, 5, 6, 7} e B = {2, 6, 7}. 
Expresse os resultados abaixo:
a) A U B
b) B ∩ A
c) A – B
d) B – A 
e) B²
f) O número de subconjuntos não-vazios de A.
Resolução:
a) Participarão da união os elementos que pertencem a pelo 
menos um dos conjuntos. Assim, teremos A U B = {1, 2, 
5, 6 7}.
b) Participarão da interseção os elementos que pertencem 
a ambos os conjuntos. Assim, teremos: B ∩ A = {2, 6, 7}.
c) Participarão da diferença A – B todos os elementos que 
pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. 
Assim, teremos: A – B = {1, 5}
d) Participariam da diferença B – A os elementos de que 
pertencessem ao conjunto B e não pertencessem ao 
conjunto A. Como todos os elementos do conjunto B são 
elementos do conjunto A, teremos B – A = ∅.
e) Temos que B² = B x B. Este produto cartesiano terá por 
resultado: B² = {(2, 2), (2, 6), (2, 7), (6, 2), (6, 6), (6, 7), (7, 2), 
(7, 6), (7, 7)}.
f) O conjunto A possui 5 elementos. Seu número de 
subconjuntos será dado por 25 = 32. Como a questão 
pede o número de subconjuntos não-vazios, devemos 
retirar destes 32 subconjuntos o conjunto vazio, fazendo 
com que tenhamos: 32 – 1 = 31 subconjuntos não-vazios.
DIFERENÇA (–)
Nesta operação, participarão do resultado os elementos que 
são pertencentes ao primeiro conjunto, mas não são ao segundo. 
Assim, ao estabelecer a diferença entre os conjuntos A = {0, 1, 2, 5} 
e o conjunto B = {0, 3, 4, 5, 8}, teremos que A – B = {1, 2} Também 
podemos criar a diferença entre os conjuntos B e o conjunto A 
e assim, teríamos B – A = {3, 4, 8}. Note que esta operação faz 
com que a ordem dos conjuntos na operação seja de extrema 
importância para o resultado encontrado. 
Nesta operação temos as seguintes propriedades:
A - ∅ = A
∅ - A = ∅
A – A = ∅
COMPLEMENTAR (C)
A partir de dois conjuntos A e B, de modo que B esteja contido 
em A (B ⊂ A), podemos estabelecer o complemento do conjunto B 
em relação ao conjunto A, ou seja, um terceiro conjunto que indique 
os elementos que não pertencem ao conjunto B, mas pertencem ao 
conjunto A. Assim, se temos A = {0,1, 2,3 4, 5} e B = {3, 4}, podemos 
dizer que:
CBA = A – B = {0, 1, 2, 5}
Note que o complementar do conjunto B em relação ao conjunto 
A é o mesmo que a diferença entre o conjunto A e o conjunto B. 
PRODUTO CARTESIANO (X)
Nesta operação serão gerados pares ordenados em que os 
valores do eixo x (abscissas) serão oriundos do primeiro conjunto e 
os valores do eixo y (ordenadas) serão oriundos segundo conjunto. 
Observe:
A = {1, 3, 5, 7} e B = {2, 4, 6}
A x B = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6), 
(7, 2), (7, 4), (7, 6)}
B x A = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (4, 7), (6, 1), 
(6, 3), (6, 5), (6, 7)}
Nesta operação temos as propriedades:
A x ∅ = ∅
∅ x A = ∅
∅ x ∅ = ∅
CARDINALIDADE
Um dos pontos mais importantes do estudo de conjuntos é o que 
envolve a cardinalidade. Nela, são criadas situações-problemas em 
que devemos alocar o número de elementos de alguns conjuntos 
que podem possuir interseções entre si. Utilizaremos como 
ferramenta o Diagrama de Venn, que possibilitará a compreensão 
de quantos elementos temos em cada conjunto. Em outras 
palavras, se precisamos relacionar a quantidade de elementos 
presentes nos conjuntos A e B, o diagrama fará com que possamos 
entender quantos elementos pertencem somente ao conjunto A, 
quantos pertencem somente ao conjunto B, quantos pertencem 
simultaneamente aos dois conjuntos e quantos elementos não 
pertencem a nenhum dos dois conjuntos.
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01 CONJUNTOS
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MATEMÁTICA I
03. Em um curso de idiomas, todos 70 os alunos participam 
de pelo menos uma das aulas entre Inglês e Espanhol. Se 
45 deles participam das aulas de Inglêse 42 participam das 
aulas de Espanhol. Determine o número de alunos desta 
turma que participa:
a) Das duas aulas deste curso.
b) Apenas das aulas de Inglês.
c) Apenas das aulas de Espanhol.
d) Apenas de uma das aulas.
Resolução:
Considere o diagrama abaixo:
Criaremos uma equação a partir do universo dado:
45 – x + x + 42 – x = 70
87 – x = 70
x = 17
Assim:
a) 17 alunos
b) 45 – 17 = 28 alunos
c) 42 – 17 = 25 alunos
d) 28 + 25 = 53 alunos
ANOTAÇÕES