5 - Equação de Bernoulli

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21/09/2015
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI Profa DRA SIMONI M GHENO
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE
Energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada
construir uma equação que permitirá fazer o balanço das 
energias
EQUAÇÃO DE ENERGIA
Equação da Energia associada à Equação da Continuidade 
resolver inúmeros problemas práticos:
• determinação da potência das máquinas hidráulicas,
• determinação de perdas em escoamentos,
• transformação de energia, etc.
EP - medida pelo trabalho que o sistema poderia realizar ao se deslocar da
posição até o PHR (Plano Horizontal de Referência)
Tipos de Energias Mecânicas Associadas a um Fluido
Energia Potencial (EP) – É o estado de energia do sistema devido
somente à sua posição no campo da gravidade em relação ao PHR.
É medida pela capacidade de realização de trabalho do sistema.
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Trabalho=força × deslocamento
Então: W=G × z
Mas pelo que foi dito anteriormente:
EP = W
logo: EP = mgz
Interessa: diferenças de energias potenciais de um ponto a
outro do fluido
a posição do PHR não irá alterar a solução dos problemas
Energia Cinética (EC) – É o estado de energia determinado pelo movimento do
fluido.
Seja um sistema de massa m e velocidade v, a energia cinética será dada por:
2
mv
E
2
C 
Energia de Pressão (EPR) – Chamaremos com este nome o trabalho das forças de
pressão que atuam no escoamento do fluido.
No intervalo de tempo dt, o fluido deslocar-se-á de um ds, sob a ação da força F,
produzindo um trabalho
dVPdSAPdsFdW  
Energia Mecânica Total do Fluido (E) – Excluindo-se energias térmicas e levando em
conta apenas efeitos mecânicos
PRCP E E E E
  dVP 
2
mv
 zmg E
2
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Equação de Bernoulli
Equação de Energia Geral será construída aos poucos, partindo-se de uma equação
mais simples, válida somente para uma série de hipóteses simplificadoras.
Cada hipótese admitida cria um afastamento entre os resultados obtidos pela
equação e os observadores na prática.
Considerações:
Regime permanente
Sem máquina no trecho de escoamento em estudo (Entenda-se por máquina qualquer
dispositivo mecânico que forneça ou retire energia do fluido, na forma de trabalho
Sem perdas por atrito no escoamento do fluido ou fluido ideal
Propriedades uniformes nas seções
Fluido incompressível
Sem trocas de calor
Seja o tubo de corrente
Deixando passar um intervalo de
tempo dt, uma massa dm1 de
fluido a montante da seção (1)
atravessa a mesma e penetra no
trecho (1), (2) acrescentando no
mesmo a energia:
11
2
11
111 P 
2
dm
 dV
v
gzdmdE 
Na seção (2), uma
massa dm2 do fluido
que pertencia ao
trecho (1), (2) escoa
para fora, levando
energia:
22
2
22
222 P 
2
dm
 dV
v
gzdmdE 
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regime seja permanente:
No trecho (1) (2) não há variação
de energia, o que implica
obrigatoriamente que:
21 dEdE 
22
2
22
2211
2
11
11 P 
2
dm
 P 
2
dm
 dV
v
gzdmdV
v
gzdm 
Como 
V
m

e portanto

dm
dV 
2
2
2
2
22
221
1
1
2
11
11
P
 
2
dm
 
P
 
2
dm
 dm
v
gzdmdm
v
gzdm


2
2
2
2
22
221
1
1
2
11
11
P
 
2
dm
 
P
 
2
dm
 dm
v
gzdmdm
v
gzdm


Como o fluido é incompressível 21  
Como o o regime é permanente 
21 dmdm 
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
P
 
2
 
P
 
2
 


v
gz
v
gz
Dividindo a equação por g e lembrando que 
Equação de Bernoulli:
relacionar cotas, velocidades e pressões entre duas seções do 
escoamento do fluido.
g 

2
2
2
2
1
2
1
1
P
 
2
 
P
 
2
 
g
v
z
g
v
z
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A Equação de Bernoulli expressa que ao penetrar por (1) uma partícula de peso 
unitário, à qual estão associadas as energias 
1z 
2g
v
 
2
1

1P
deverá sair por (2) uma partícula de peso unitário à qual estejam associadas as 
energias 
2z 
2g
v
 
2
2

2P
De forma que as somas sejam idênticas para manter a energia constante no 
volume entre (1) e (2). 
Carga de pressão é definida como sendo 
energia de pressão por unidade de peso é a própria carga de pressão
Por analogia

P
h 
potencial cargaz 
cinética cargaou e velocidadda carga 
2g
v2
Fazendo 
teremos H = energia total por unidade de peso numa seção ou carga total na seção.
Com a noção de carga total a Equação de Bernoulli poderá ser escrita simbolicamente
Por analogia
z
g
vP
H 
2
2

21 HH 
“se o fluido for incompressível, sem atritos e escoando em regime
permanente, se não houver máquina e nem trocas de calor, então as
cargas totais se mantêm constantes em qualquer seção, não havendo nem
ganhos e nem perdas de carga”.
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Equação da Energia e Presença de uma Máquina
Máquina será qualquer dispositivo introduzido no escoamento, que forneça ou retire
energia do mesmo (forma de trabalho)
A maneira de funcionamento da máquina não nos interessará por enquanto, importa
somente como que sua presença afeta a equação de Bernoulli
Hipótese de fluido incompressível:
Bomba - qualquer máquina que forneça energia ao fluido
Turbina - qualquer máquina que retire energia do fluido.
Se não houvesse máquina: 21 HH 
Se a máquina for uma bomba o fluido receberá um acréscimo de energia tal que
21 HH 
Para restabelecer a igualdade deveremos então somar ao primeiro membro a 
energia recebida pela unidade de peso do fluido na máquina.
21 HHH B 
HB = carga manométrica da bomba (representa a energia fornecida à unidade de
peso do fluido que passa pela bomba)
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21 HH 
Pois por definição a turbina retira energia do fluido. Para restabelecermos a igualdade:
21 HHH T 
Se a máquina for uma turbina
HT = carga manométrica da turbina (energia retirada da unidade de peso do fluido
pela turbina.)
Como queremos estabelecer uma equação geral indicaremos Hm a carga
manométrica da máquina e escreveremos:
21 HHH m 
Sendo 
Hm=HB se a máquina for uma bomba
Hm=-HT se a máquina for uma turbina
Equação leva em conta a presença de uma máquina no escoamento entre as seções 
(1) e (2) que estão sendo estudadas, levandos em conta os significados de H1 e H2 :
 
2
P
 H 
2
 
P
2
2
22
m1
2
11 z
g
v
z
g
v


g
vv
z
P
Hm
2
)z- ( 
P 2
1
2
2
12
12 




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EXEMPLO 1
Considere o escoamento de água a 100C de uma seção 1 para outra seção 2. A seção 1 
(P1=345 kPa) tem 25mm de diâmetro, pressão manométrica de 345 kPa e velocidade média do 
fluxo de 3,0m/s. A seção 2 tem 50mm de diâmetro e encontra-se a 2 m mais alta que a seção 1. 
Considerando que não existem perdas de energia no sistema determine a pressão p2. 
A água escoa dentro de um tubo, como mostra a figura abaixo, com uma taxa de 
escoamento de 0,10 m 3 /s. O diâmetro no ponto 1 é 0,4 m. No ponto 2, que está 3,0 m 
acima do ponto 1, o diâmetro é 0,20 m. Se o ponto 2 está aberto para a atmosfera, 
determine a queda de pressão entre os pontos 1 e 2. 
EXEMPLO 2
EXEMPLO 3
A Norma regulamentadora NR 20 trata de 
transporte de combustíveis líquidos e inflamáveis. 
Estabelece as disposições regulamentares acerca 
do armazenamento, manuseio e transporte de 
líquidos combustíveis e inflamáveis, objetivando a 
proteção da saúde e a integridade física dos 
trabalhadores m seus ambientes de trabalho. A 
fundamentação legal, ordinária e específica, que 
dá embasamento jurídico à existência desta NR, 
é o artigo 200 inciso II da CLT. Considere o 
problema no qual a gasolina a 20oC e 1 atm
escoando por uma tubulação (Figura) a uma 
vazão de 120N/s. Desprezando as perdas, 
calcule a velocidade na seção 2.
8 cm
12 mP1
(2)
5 cm