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TEORIA DOS CONJUNTOS
RAFAEL DE MOURA MOREIRA
Sumário
INTRODUÇÃO ������������������������������������������������� 3
CONCEITO DE TEORIA DE CONJUNTOS �������� 4
Representando conjuntos ���������������������������������������������������� 5
Elementos de um conjunto ��������������������������������������������������� 9
Operações entre conjuntos ������������������������������������������������ 10
Subconjuntos ���������������������������������������������������������������������� 14
APLICAÇÕES DE TEORIA DE CONJUNTOS �� 17
Conjuntos numéricos especiais ����������������������������������������� 17
Intervalos numéricos ���������������������������������������������������������� 24
Intervalos abertos e fechados ������������������������������������������� 24
Resolvendo problemas de conjuntos �������������������������������� 26
CONSIDERAÇÕES FINAIS ����������������������������32
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS & 
CONSULTADAS ��������������������������������������������33
2
INTRODUÇÃO
Nesta disciplina trabalharemos com alguns con-
ceitos matemáticos que são fundamentais para 
as mais diversas áreas de conhecimento�
Nosso principal objetivo é que você seja capaz de 
utilizar esses conceitos para compreender melhor 
outras disciplinas ao longo de seu curso, bem como 
resolver problemas na sua vida e em seu trabalho�
Sendo assim, não se restrinja à leitura dos concei-
tos teóricos e definições. Ao invés disso, procure 
sempre praticar os conceitos após estudá-los por 
meio dos exercícios propostos�
Neste e-book conheceremos um pouco a Teoria 
dos Conjuntos� Começaremos formalizando con-
juntos, estudando as relações existentes entre 
eles e as operações que podemos realizar entre 
conjuntos� Também conheceremos maneiras de 
representá-los graficamente. Por fim, estudaremos 
alguns conjuntos especiais na matemática e en-
tenderemos como utilizar os conceitos aprendidos 
para resolver alguns problemas reais�
3
CONCEITO DE TEORIA DE 
CONJUNTOS
Desde cedo, todos nós desenvolvemos uma noção 
intuitiva de conjuntos� Mesmo quem nunca estudou 
Teoria de Conjuntos consegue imaginar alguma 
espécie de agrupamento ou coleção de objetos ao 
escutar a palavra “conjunto”. Por exemplo, quando 
citamos um “conjunto musical”, muitas pessoas 
imediatamente imaginam um grupo de músicos�
Podemos ter conjuntos de praticamente tudo: 
números, palavras, pessoas, ou até mesmo outros 
conjuntos� Conjuntos podem, inclusive, não ter 
qualquer tipo de objeto: um conjunto vazio ainda 
é um conjunto�
Formalmente, um conjunto é uma coleção de ele-
mentos� Um detalhe para se atentar é que em um 
conjunto todo elemento é único� Sendo assim, o 
conjunto de todos os dígitos que formam o número 
2022 contém apenas dois elementos: o dígito “0” 
e o dígito “2”�
Conjuntos podem conter uma quantidade finita de 
elementos ou uma quantidade infinita de elementos. 
Vejamos alguns exemplos de possíveis conjuntos:
 y Conjunto de estudantes matriculados na FAM;
 y Conjunto de números divisíveis por 3;
 y Conjunto de cidades de um estado;
4
 y Conjunto de números ímpares divisíveis por 2�
Note que o segundo conjunto é infinito. Se partirmos 
do número 3, podemos somar 3 a ele infinitamente, 
e a cada operação teremos um novo elemento dis-
tinto que obedece à regra de formação do conjunto�
Já o quarto conjunto é claramente um conjunto 
vazio: pela definição, um número ímpar jamais 
será divisível por 2� Logo, o conjunto não possui 
elementos�
REPRESENTANDO CONJUNTOS
Enumeração
Conjuntos podem ser representados de diferentes 
maneiras. A forma mais simples é por meio da enu-
meração de seu conteúdo. Para isso, utilizaremos 
chaves para delimitar o conjunto e separaremos seus 
elementos por vírgula. Vejamos alguns exemplos:
A={3,6,9,12,15,18 …}
B={0,2}
C={a,e,i, o,u}
D= { }
E= Ø
5
Tanto o conjunto D quanto o conjunto E represen-
tam o conjunto vazio. Podemos representá-lo tanto 
por meio do símbolo Ø(vazio) quanto das chaves 
vazias (mas não combinando ambos: {Ø}).
Regra de formação
No exemplo anterior, note que o conjunto A repre-
senta um conjunto infinito. Os 3 pontos indicam 
que o conjunto continua além dos elementos 
representados. A ideia intuitiva que temos é que 
existe uma regra que podemos generalizar a par-
tir dos elementos dados para gerar os próximos 
elementos�
Existe uma maneira mais direta de representar 
conjuntos com esse tipo de comportamento. Ao 
invés de enumerar seus índices, podemos escrever 
a regra de geração do conjunto�
Considere, por exemplo, a inequação abaixo:
Equação 1: exemplo de inequação
2x> 4
Você provavelmente já viu em algum momento a 
solução para inequações como essa sendo repre-
sentada na forma de um conjunto, com sua regra 
de formação, como no exemplo abaixo:
6
Equação 2: conjunto solução da inequação
S={x ∈ ℝ| x > 2}
A regra acima significa “x pertence aos reais tal que 
x é maior do que 2”� Ou seja, qualquer número real 
superior a 2 pertence a esse conjunto� Explicaremos 
em mais detalhes o significado completo de cada 
parte dessa regra, e você será capaz de utilizar 
essa notação para representar outros conjuntos�
Diagramas de Venn
Para facilitar a visualização de relações e opera-
ções entre conjuntos, existe uma representação 
gráfica bastante conveniente, conhecida como 
diagrama de Venn�
Em um diagrama de Venn, conjuntos podem ser 
representados por formas geométricas (geralmente 
círculos), que podem ser parcialmente ou totalmente 
sobrepostos� Regiões de sobreposição represen-
tam elementos que pertencem simultaneamente 
a mais de um conjunto�
Na figura a seguir, o círculo azul representa os 
elementos de um conjunto A, o círculo vermelho 
representa os elementos de um conjunto B e o círculo 
verde representa os elementos de um conjunto C�
7
Note que há regiões de sobreposição no diagrama� 
A região onde A e B se sobrepõem, por exemplo, 
representa os elementos que pertencem simulta-
neamente aos conjuntos A e B. A pequena região 
triangular ao centro representa elementos perten-
centes a A, B e C simultaneamente.
Figura 1: exemplo de diagrama de Venn�
A
B C
Fonte: elaboração própria�
Utilizaremos diagramas de Venn para ilustrar as 
diferentes operações entre conjuntos e, posterior-
mente, discutiremos como utilizá-los para resolver 
problemas�
8
ELEMENTOS DE UM CONJUNTO
A principal relação entre um elemento e um con-
junto é o pertencimento: um elemento pode ou não 
pertencer a um conjunto� Quando um elemento 
pertence a um conjunto, utilizaremos o símbolo 
∈(pertence)� Caso contrário, utilizaremos o símbolo 
∉ (não pertence)�
Considere o seguinte conjunto: A={1, 3,5,7,9}� 
Podemos afirmar que:
 y 1 ∈ A (1 pertence a A).
 y 2 ∉ A (2 não pertence a A).
O número de elementos que pertencem a um con-
junto é chamado de cardinalidade do conjunto. A 
cardinalidade de um conjunto “A” qualquer pode 
ser escrita como |A| (Letra A entre barras verticais). 
No exemplo anterior, |A|= 5�
Para o conjunto vazio, representado por { } (chaves 
vazias) ou ∅ (símbolo de vazio), dizemos que não 
existe elemento que pertence a ele (por exemplo, ∌x 
| x ∈ A, literalmente “não existe x tal que x pertença 
a A). Portanto, sua cardinalidade sempre será zero.
9
Alguns conjuntos podem ter cardinalidade infinita, 
como o conjunto ilustrado na Equação 2�
Utilizaremos diagramas de Venn para ilustrar as 
diferentes operações entre conjuntos e posterior-
mente discutiremos como utilizá-los para resolver 
problemas�
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
União
A união entre dois conjuntos, denotada por ∪, é 
um conjunto formado por todos os elementos 
pertencentes a cada um dos conjuntos. Note que, 
como conjuntos, não devem possuir elementos 
repetidos, um elemento presente nos dois 
conjuntos originais aparecerá uma única vez no 
conjunto união. Exemplo:
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {3, 4, 5}
A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 7, 9}
10
Figura 2: união entre conjuntos A ∪ B (conjunto união de 
A e B).
Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Venn0111.svg� 
Acesso em: 20 abr. 2022.
IntersecçãoTodo 
produto entre 2 números reais negativos resulta em 
um número positivo. Portanto, a raiz quadrada de 
um número negativo não pode pertencer aos reais�
Esses novos números receberam o nome de nú-
meros imaginários� Como qualquer número real 
negativo pode ser escrito como o produto entre 
menos 1 e um número real positivo, definimos 
uma constante imaginária:
𝑖𝑖 = 	 −1
Surge, assim, uma nova família de números que 
precisam de 2 componentes para ser representados: 
uma componente real, composta por um número 
real puro, e uma componente imaginária, composta 
por um número real multiplicado pela constante 
imaginária, ou seja, um número c qualquer pode 
ser escrito como a = bi, onde a e b são reais�
Assim, podemos definir um novo conjunto numé-
rico, chamado de conjunto dos complexos� Ele é 
representado por um C estilizado, ℂ (símbolo dos 
números complexos), e sua definição é:
21
ℂ = {a + bi |a,b ∈ ℝ}
Note que todos os números reais podem ser es-
critos nessa forma, adotando b = 0 (b igual a 0)� 
Também podemos representar números imaginários 
puros nessa forma, adotando a = 0 (a igual a zero)� 
Portanto, os números reais são um subconjunto 
dos números complexos�
Figura 6: relações entre os conjuntos numéricos�
e πv
√2
1+i√3
i
0
-1
-2
-7/11
1.333...
ℕ
ℤ
ℚ
ℝ
ℂ
Fonte: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Number-
SetinC�svg. Acesso em: 20 abr. 2022.
22
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:NumberSetinC.svg
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:NumberSetinC.svg
Devido ao alto grau de abstração dos problemas que 
levaram ao descobrimento dos números imaginários (e, 
possivelmente, da infelicidade na escolha de seu nome), 
muitas pessoas acreditam que eles são apenas uma 
“invenção” e não existem “de verdade”�
Uma maneira mais clara de entender como números 
complexos podem representar fenômenos reais é pensar 
em um vetor� Quando descrevemos o movimento de um 
corpo em um plano, por exemplo, esse corpo pode estar 
se movendo simultaneamente em 2 dimensões (horizontal 
e vertical)� É como pressionar o botão direcional de um 
controle de videogame para a diagonal. Para descrever 
o movimento do corpo, não podemos utilizar apenas 1 
número� É necessário usar 2 números, um para cada 
componente de seu movimento�
Números complexos nada mais são do que números 
com 2 componentes� Eles surgem ao trabalharmos com 
eletromagnetismo (por exemplo, para modelar o com-
portamento de circuitos elétricos em corrente alternada), 
em diversas equações modelando campos e partículas 
na física moderna e até mesmo em sistemas de controle 
e técnicas de processamento digital de sinais, onde o 
sinal pode representar diversos fenômenos, como sons, 
imagens, temperatura, velocidade etc�
FIQUE ATENTO
23
INTERVALOS NUMÉRICOS
Nós podemos formar conjuntos numéricos arbitrá-
rios montando uma regra dizendo de qual conjunto 
especial nossos números virão, bem como os 
valores de início e fim de um intervalo.
Focaremos em intervalos de números reais� Seria 
bastante difícil definir por enumeração um con-
junto contendo todos os números reais entre 3 e 
6, incluindo o 3, por exemplo, afinal, no conjunto 
dos reais, existem infinitos números entre dois 
números quaisquer. Porém, por meio de uma regra 
de formação, é possível descrever o conjunto na 
forma de um intervalo:
s = {x ∈ ℝ | 3y Forma de conjunto: 𝑆𝑆 = 	𝑥𝑥 ∈ 	ℝ 	𝑥𝑥 > 	
1
5	}
30
 y Forma de intervalo: 𝐼𝐼 =	]	%
&
, ∞	[ ou 𝐼𝐼 = (	%
&
, ∞	)
 y Reta numérica:
Figura 11: reta numérica, exemplo 2�
0 0,2 1 2 ...
ℝ
Fonte: elaboração própria�
Note que mantivemos a bolinha aberta em 0,2 (ou 
seja, um quinto), pois o resultado que obtivemos é 
que x deve ser MAIOR, e não maior ou igual.
Pelo mesmo motivo, na notação de intervalo uti-
lizamos o colchete virado para fora� Como esse 
intervalo vai até o infinito, também mantivemos o 
colchete virado para fora no outro extremo, afinal, 
intervalos até o infinito sempre são considerados 
abertos�
31
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Chegamos ao fim de nossos estudos sobre teoria 
dos conjuntos, coleções de elementos únicos�
Aprendemos a representar conjuntos por meio 
da enumeração, onde listamos todos os seus 
elementos entre chaves, bem como pela regra de 
formação, onde utilizamos símbolos para descrever 
uma condição para que um elemento pertença ao 
conjunto�
Em seguida, estudamos como utilizar diagramas de 
Venn para compreender relações entre conjuntos� 
Utilizamos os diagramas para nos auxiliar confor-
me aprendemos a realizar diferentes operações, 
como a união, a intersecção e a diferença entre 
os conjuntos�
Por fim, utilizamos esse básico de teoria de con-
juntos para definir alguns conjuntos numéricos 
muito importantes na matemática, conhecemos 
uma notação enxuta para representar conjuntos 
formados por números sequenciais, conhecida 
por intervalo e, por fim, abordamos exemplos de 
problemas reais utilizando tudo o que foi aprendido�
Lembre-se de fazer exercícios para praticar todo 
esse conteúdo!
32
Referências Bibliográficas 
& Consultadas
AXLER, S. Pré-cálculo: uma preparação para 
o cálculo com manual de soluções para o 
estudante. 2. ed. Rio de Janeiro: GEN/LTC, 2016. 
[Minha Biblioteca].
GERSTING, J. L. Fundamentos matemáticos 
para a Ciência da Computação: Matemática 
Discreta e suas aplicações. 7. ed. Rio de Janeiro: 
GEN/LTC, 2017. [Minha Biblioteca].
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo, Vol� 1� 
6. ed. Rio de Janeiro: GEN; LTC, 2018. [Minha 
Biblioteca].
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, Vol� 2� 
6. ed. Rio de Janeiro: GEN; LTC, 2018. [Minha 
Biblioteca].
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. 
Introdução ao Cálculo para Administração, 
Economia e Contabilidade. 2. ed. São Paulo: 
Saraiva, 2018. [Minha Biblioteca].
RODRIGUES, A. C. D.; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016. [Biblioteca Virtual Pearson].
ROGAWSKI, J.; COLIN, A. Cálculo. 3. ed. Porto 
Alegre: Bookman, 2018. [Minha Biblioteca].
SILVA, P. S. D. Cálculo Diferencial e Integral� 1� 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017. [Minha Biblioteca].
	Introdução
	Conceito de Teoria de Conjuntos
	Representando conjuntos
	Elementos de um conjunto
	Operações entre conjuntos
	Subconjuntos
	Aplicações de Teoria de Conjuntos
	Conjuntos numéricos especiais
	Intervalos numéricos
	Intervalos abertos e fechados
	Resolvendo problemas de conjuntos
	Considerações finais
	Referências Bibliográficas & Consultadasy Forma de conjunto: 𝑆𝑆 = 	𝑥𝑥 ∈ 	ℝ 	𝑥𝑥 > 	
1
5	}
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 y Forma de intervalo: 𝐼𝐼 =	]	%
&
, ∞	[ ou 𝐼𝐼 = (	%
&
, ∞	)
 y Reta numérica:
Figura 11: reta numérica, exemplo 2�
0 0,2 1 2 ...
ℝ
Fonte: elaboração própria�
Note que mantivemos a bolinha aberta em 0,2 (ou 
seja, um quinto), pois o resultado que obtivemos é 
que x deve ser MAIOR, e não maior ou igual.
Pelo mesmo motivo, na notação de intervalo uti-
lizamos o colchete virado para fora� Como esse 
intervalo vai até o infinito, também mantivemos o 
colchete virado para fora no outro extremo, afinal, 
intervalos até o infinito sempre são considerados 
abertos�
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Chegamos ao fim de nossos estudos sobre teoria 
dos conjuntos, coleções de elementos únicos�
Aprendemos a representar conjuntos por meio 
da enumeração, onde listamos todos os seus 
elementos entre chaves, bem como pela regra de 
formação, onde utilizamos símbolos para descrever 
uma condição para que um elemento pertença ao 
conjunto�
Em seguida, estudamos como utilizar diagramas de 
Venn para compreender relações entre conjuntos� 
Utilizamos os diagramas para nos auxiliar confor-
me aprendemos a realizar diferentes operações, 
como a união, a intersecção e a diferença entre 
os conjuntos�
Por fim, utilizamos esse básico de teoria de con-
juntos para definir alguns conjuntos numéricos 
muito importantes na matemática, conhecemos 
uma notação enxuta para representar conjuntos 
formados por números sequenciais, conhecida 
por intervalo e, por fim, abordamos exemplos de 
problemas reais utilizando tudo o que foi aprendido�
Lembre-se de fazer exercícios para praticar todo 
esse conteúdo!
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Referências Bibliográficas 
& Consultadas
AXLER, S. Pré-cálculo: uma preparação para 
o cálculo com manual de soluções para o 
estudante. 2. ed. Rio de Janeiro: GEN/LTC, 2016. 
[Minha Biblioteca].
GERSTING, J. L. Fundamentos matemáticos 
para a Ciência da Computação: Matemática 
Discreta e suas aplicações. 7. ed. Rio de Janeiro: 
GEN/LTC, 2017. [Minha Biblioteca].
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo, Vol� 1� 
6. ed. Rio de Janeiro: GEN; LTC, 2018. [Minha 
Biblioteca].
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, Vol� 2� 
6. ed. Rio de Janeiro: GEN; LTC, 2018. [Minha 
Biblioteca].
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. 
Introdução ao Cálculo para Administração, 
Economia e Contabilidade. 2. ed. São Paulo: 
Saraiva, 2018. [Minha Biblioteca].
RODRIGUES, A. C. D.; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016. [Biblioteca Virtual Pearson].
ROGAWSKI, J.; COLIN, A. Cálculo. 3. ed. Porto 
Alegre: Bookman, 2018. [Minha Biblioteca].
SILVA, P. S. D. Cálculo Diferencial e Integral� 1� 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017. [Minha Biblioteca].
	Introdução
	Conceito de Teoria de Conjuntos
	Representando conjuntos
	Elementos de um conjunto
	Operações entre conjuntos
	Subconjuntos
	Aplicações de Teoria de Conjuntos
	Conjuntos numéricos especiais
	Intervalos numéricos
	Intervalos abertos e fechados
	Resolvendo problemas de conjuntos
	Considerações finais
	Referências Bibliográficas & Consultadas