Prévia do material em texto

c) \( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \ldots \) 
 d) \( 1 - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} - \ldots \) 
 **Resposta:** a) \( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \ldots \) 
 **Explicação:** A série de Taylor para \( \cos(x) \) é dada por \( \sum_{n=0}^{\infty} 
\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \). 
 
5. **Qual é o valor da integral \( \int e^{3x} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) 
 b) \( e^{3x} + C \) 
 c) \( 3e^{3x} + C \) 
 d) \( \frac{1}{3} e^{3x} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} e^{kx} + C \). Aqui, \( k = 3 \). 
 
6. **Qual é o valor de \( \frac{d^2}{dx^2}(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \)?** 
 a) \( 12x - 24 \) 
 b) \( 12 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( 24x - 24 \) 
 **Resposta:** a) \( 12x - 24 \) 
 **Explicação:** A primeira derivada é \( 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 \). A segunda derivada é \( 
12x^2 - 24x + 12 \). 
 
7. **Qual é o valor de \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \( \pi \) 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). Avaliando de 0 a \( \pi \), temos \( -
\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2 \). 
 
8. **Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2}{5x^3 - 4x + 1} \)?** 
 a) 0 
 b) \( \frac{2}{5} \) 
 c) 1 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{2}{5} \) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \( x^3 \), obtemos \( \frac{2 + \frac{3}{x}}{5 
- \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^3}} \). À medida que \( x \to \infty \), os termos que incluem \( x \) 
tendem a 0. 
 
9. **Qual é a integral \( \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx \)?** 
 a) \( x^3 + x^2 + x + C \) 
 b) \( x^3 + x^2 + C \) 
 c) \( x^3 + x^2 + x + 1 + C \) 
 d) \( x^3 + x^2 + 1 + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^3 + x^2 + x + C \) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \( \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx + \int 1 \, dx = 
x^3 + x^2 + x + C \). 
 
10. **Qual é o valor de \( \int_1^2 (2x + 3) \, dx \)?** 
 a) 5 
 b) 6 
 c) 8 
 d) 9 
 **Resposta:** c) 8 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ x^2 + 3x \right]_1^2 = (2^2 + 3 \cdot 2) - (1^2 + 3 \cdot 
1) = (4 + 6) - (1 + 3) = 10 - 4 = 6 \). 
 
11. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?** 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( 2x \) 
 d) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot 
\frac{du}{dx} \), onde \( u = x^2 + 1 \) e \( \frac{du}{dx} = 2x \). 
 
12. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( e \) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usamos a definição da derivada de \( e^x \) em \( x = 0 \), que é \( e^0 = 1 
\). 
 
13. **Qual é a integral \( \int_0^{\pi/2} \cos(x) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 1 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) \). Avaliando de 0 a \( \pi/2 \), temos \( 
\sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 \). 
 
14. **Qual é o valor da integral \( \int_1^3 (x^2 - 4) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 2 
 c) 4 
 d) 6 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_1^3 = \left( \frac{27}{3} - 12 
\right) - \left( \frac{1}{3} - 4 \right) = (9 - 12) - \left( \frac{1}{3} - 4 \right) = -3 - \left( \frac{1}{3} - 
4 \right) = -3 + \frac{11}{3} = -\frac{9}{3} + \frac{11}{3} = \frac{2}{3} \).