Unidade 3 Matemática Computacional

Prévia do material em texto

<p>MATEMÁTICA</p><p>COMPUTACIONAL</p><p>UNIDADE III</p><p>Funções Exponenciais</p><p>e Logarítmicas</p><p>Marina Vargas R. P. Gonçalves</p><p>Funções Exponenciais</p><p>e Logarítmicas</p><p>3</p><p>Introdução</p><p>Nesta unidade, você estudará as funções exponenciais, englobando tanto a definição</p><p>formal quanto as propriedades intrínsecas a elas. Adicionalmente, serão tratadas</p><p>equações exponenciais, com enfoque especial em métodos de resolução.</p><p>Posteriormente, a unidade se volta para o estudo das funções logarítmicas. Esta seção</p><p>será inaugurada com a exposição formal da definição e propriedades essenciais</p><p>dessas funções, seguida pela discussão de equações logarítmicas e as técnicas</p><p>apropriadas para solucioná-las.</p><p>Esses conceitos são aplicáveis em uma ampla gama de contextos, desde a otimização</p><p>de algoritmos em ciência da computação até modelagem em engenharia e ciências</p><p>naturais.</p><p>Objetivos da Aprendizagem</p><p>Ao final do conteúdo, esperamos que você seja capaz de:</p><p>• Compreender as propriedades e aplicações das funções exponenciais e</p><p>logarítmicas.</p><p>• Resolver equações exponenciais e logarítmicas.</p><p>4</p><p>Funções Exponenciais</p><p>Uma função de uma única variável estabelece uma ligação entre dois grupos de</p><p>números. Assim, uma função exponencial é simplesmente essa ligação, em que um</p><p>dos grupos contém as potências calculadas com base em um número predefinido, e</p><p>o outro grupo é formado pelos resultados dessas operações.</p><p>Definição e Propriedades</p><p>Com essa introdução, podemos definir uma função exponencial.</p><p>Definição 1: função exponencial (Dante, 2011).</p><p>Uma função da forma:</p><p>com a ∈ R, a > 0 e a ≠ 1 é chamada função exponencial.</p><p>A função exponencial é uma ferramenta fundamental na</p><p>matemática, sendo amplamente aplicada em diversas áreas,</p><p>desde crescimento de populações até modelagem de fenômenos</p><p>naturais.</p><p>Atenção</p><p>A função exponencial pode ser crescente ou decrescente, dependendo do valor de sua</p><p>base.</p><p>5</p><p>Gráfico de funções exponenciais</p><p>Fonte: elaborada pela autora (2023).</p><p>#pratodosverem: ilustração de um gráfico com duas curvas. Uma sobe à medida que você se move para a direita, chamada</p><p>“função crescente”, com base ‘a’ maior que 1. A outra curva desce à medida que você se move para a direita, chamada “função</p><p>decrescente”, com base ‘a’ entre 0 e 1. Ambas as curvas cruzam os eixos em pontos especiais: (1, ‘a’) no eixo x e (0, 1) no eixo</p><p>y. Um quadriculado cinza-claro ajuda a analisar as curvas e os eixos.</p><p>Agora, sejam as seguintes funções exponenciais:</p><p>1</p><p>2</p><p>Essas funções representam comportamentos fundamentais na</p><p>matemática e são essenciais para entender o crescimento e o</p><p>decaimento exponencial.</p><p>Atenção</p><p>Pela definição, percebemos que (1) é uma função crescente e (2) é uma função</p><p>decrescente. Vamos substituir x por alguns valores e traçar o gráfico de ambas.</p><p>Começaremos pela função (1) .</p><p>6</p><p>Função</p><p>0 1</p><p>1 2</p><p>2 4</p><p>Fonte: elaborada pela autora (2023).</p><p>#pratodosverem: tabela em que aparece uma função matemática chamada ‘f de x igual a 2 elevado a x’. Cada linha representa</p><p>um valor diferente de ‘x’, colocado na primeira coluna. Na segunda coluna, temos os valores correspondentes de ‘f(x)’, que são</p><p>obtidos elevando o número 2 à potência de ‘x’. Quando ‘x’ é 0, ‘f(x)’ é 1, o que significa que 2 elevado a 0 é 1. Quando ‘x’ é 1, ‘f(x)’</p><p>é 2, pois 2 elevado a 1 é 2. E quando 'x' é 2, 'f(x)' é 4, já que 2 elevado a 2 é 4.</p><p>Note como a função cresce rapidamente à medida que ‘x’ aumenta.</p><p>Isso é característico das funções exponenciais de crescimento.</p><p>Reflita</p><p>O gráfico a seguir expressa esse resultado.</p><p>7</p><p>Função</p><p>Fonte: elaborada pela autora (2023).</p><p>#pratodosverem: ilustração de um gráfico que exibe a função ‘f de x igual a 2 elevado a x’. No eixo horizontal, temos os valores</p><p>de ‘x’, enquanto o eixo vertical representa os valores de ‘f(x)’. À medida que avançamos para a direita no eixo horizontal, a curva</p><p>do gráfico sobe rapidamente, indicando um crescimento exponencial. O ponto (0, 1) no gráfico corresponde ao valor inicial</p><p>quando ‘x’ é 0, o ponto (1, 2) corresponde ao valor quando ‘x’ é 1, e o ponto (2, 4) representa o valor quando ‘x’ é 2.</p><p>Agora para (2), .</p><p>Função</p><p>0 1</p><p>1 ½</p><p>2 ¼</p><p>Fonte: elaborada pela autora (2023).</p><p>#pratodosverem: tabela que apresenta a função ‘f de x igual a meio elevado a x’. Cada linha mostra um valor diferente de ‘x’,</p><p>registrado na primeira coluna. Na segunda coluna, temos os valores correspondentes de ‘f(x)’, que são obtidos ao elevar meio</p><p>(1/2) à potência de ‘x’. Quando ‘x’ é 0, ‘f(x)’ é 1, porque meio elevado a 0 permanece 1. Quando ‘x’ é 1, ‘f(x)’ é ½, já que meio</p><p>elevado a 1 é ½. E quando ‘x’ é 2, ‘f(x)’ é ¼, pois meio elevado a 2 é ¼. A tabela ilustra como a função diminui exponencialmente</p><p>à medida que ‘x’ aumenta.</p><p>8</p><p>Agora observe como a função diminui rapidamente à medida que</p><p>‘x’ aumenta. Isso é típico das funções exponenciais de decaimento.</p><p>Reflita</p><p>O gráfico a seguir expressa esse resultado.</p><p>Função</p><p>Fonte: elaborada pela autora (2023).</p><p>#pratodosverem: ilustração de um gráfico que exibe a função ‘f de x igual a meio elevado a x’. No eixo horizontal, representa-</p><p>mos os valores de ‘x’, enquanto no eixo vertical estão os valores correspondentes de ‘f(x)’. Ao nos movermos para a direita no</p><p>eixo horizontal, a curva do gráfico diminui rapidamente, indicando um decaimento exponencial. O ponto (0, 1) no gráfico reflete</p><p>o valor inicial quando ‘x’ é 0, o ponto (1, 0.5) corresponde ao valor quando ‘x’ é 1 (já que meio elevado a 1 é 0.5) e o ponto (2,</p><p>0.25) representa o valor quando ‘x’ é 2 (visto que meio elevado a 2 é 0.25).</p><p>Portanto, avaliar uma função exponencial está relacionado a avaliar sua base.</p><p>Em experimentos realizados com bactérias, observamos um crescimento exponencial</p><p>comum para esse tipo de cultura. Vamos assumir que um determinado experimento</p><p>nesse formato apresentou uma expressão geral que modela o experimento na forma</p><p>9</p><p>em que é o número de bactérias após um determinado tempo t (em horas).</p><p>Pergunta-se: após quanto tempo do início do experimento a cultura terá 38400</p><p>bactérias?</p><p>Crescimento exponencial de bactérias</p><p>Fonte: elaborada pela autora (2023).</p><p>#pratodosverem: ilustração de um gráfico que representa o crescimento do número de bactérias ao longo do tempo. Ele</p><p>começa perto do zero e rapidamente sobe, mostrando um crescimento exponencial. Após cerca de 40 horas, o número de</p><p>bactérias aumenta significativamente. Com o tempo, o crescimento diminui e se estabiliza.</p><p>Queremos encontrar o valor de t de forma que .</p><p>Tentaremos igualar as potências da equação para conseguirmos encontrar o valor de t.</p><p>Assim,</p><p>10</p><p>Com isso, obtemos que, após 40 horas, o número de bactérias passa de 2400 para</p><p>38400.</p><p>Equações Exponenciais</p><p>Agora, vamos supor, em analogia a uma função exponencial , que temos</p><p>equações escritas da seguinte forma:</p><p>É possível encontrar os valores de x para essa expressão? A</p><p>resposta é SIM. O exemplo citado anteriormente é o que chamamos</p><p>de equação exponencial. Ou seja, temos uma igualdade que</p><p>apresenta, ao menos em uma de suas partes, uma expressão</p><p>exponencial.</p><p>Atenção</p><p>Dessa forma, para , podemos transformar a equação em uma igualdade de</p><p>potências. Assim,</p><p>Como podemos comparar uma equação a uma balança, tudo que fazemos de um lado</p><p>da igualdade, se fizermos do outro, não alteraremos o equilíbrio da balança. Assim,</p><p>podemos escrever:</p><p>Logo, para que a igualdade seja válida, x = 2.</p><p>Vamos a mais dois exemplos:</p><p>Encontre a solução para</p><p>11</p><p>Assim, podemos escrever</p><p>Logo,</p><p>A solução para essa equação é escrita na forma: .</p><p>Encontre a solução para</p><p>Aplicando as propriedades de potências, escrevemos:</p><p>A solução para essa equação é escrita na forma: .</p><p>O comportamento único das funções exponenciais, determinado pela base da função,</p><p>pode resultar em crescimento rápido ou decrescimento acentuado. A análise das</p><p>bases das funções exponenciais permite entender como elas se relacionam com seus</p><p>gráficos e com situações práticas.</p><p>Funções Logarítmicas</p><p>Uma função logarítmica é um tipo de função matemática que envolve</p><p>o logaritmo</p><p>de uma variável independente. O logaritmo é uma operação matemática inversa</p><p>da exponenciação. Em uma função logarítmica, a variável independente está no</p><p>argumento do logaritmo, e o resultado da função é o valor do logaritmo dessa variável.</p><p>Definição e Propriedades</p><p>Uma função logarítmica é inversa a uma função exponencial.</p><p>A função f que associa a cada número real x > 0 o número real , com a > 0 é</p><p>chamada função logarítmica de base a, e é indicada por:</p><p>12</p><p>em que e a imagem .</p><p>Observamos na figura a seguir os gráficos para duas funções logarítmicas. Note que</p><p>assumimos valores para a base em intervalos diferentes.</p><p>Crescimento e decrescimento dependente da base</p><p>Fonte: elaborada pela autora (2023).</p><p>#pratodosverem: ilustração de um gráfico em que há duas curvas representando funções logarítmicas. Uma cresce</p><p>suavemente à medida que você se move para a direita, e a outra diminui suavemente. A primeira curva tem uma base maior que</p><p>1, e a segunda tem uma base entre 0 e 1.</p><p>A relação entre os valores da base e o comportamento de crescimento (ou decrescimento)</p><p>da função logarítmica é similar àquela observada na função exponencial. Em termos</p><p>simples, quando a base é maior que 1, a função logarítmica será crescente. Quando</p><p>a base está entre 0 e 1, a função logarítmica será decrescente (Dante, 2011).</p><p>Sejam as funções:</p><p>1</p><p>2</p><p>Pela definição percebemos que (1) é uma função crescente e (2) é uma função decrescente.</p><p>Vamos substituir por alguns valores e traçar o gráfico de ambas.</p><p>13</p><p>Função</p><p>1 0</p><p>2 1</p><p>4 2</p><p>Fonte: elaborada pela autora (2023).</p><p>#pratodosverem: na tabela, temos pares de valores,</p><p>em que o primeiro valor na coluna "x" está relacionado</p><p>ao segundo valor na coluna f(x). A função logarítmica</p><p>f(x) calcula uma relação especial entre esses valores.</p><p>Quando observamos o primeiro gráfico, vemos uma curva</p><p>ascendente que cresce de forma suave à medida que nos</p><p>movemos para a direita. Isso significa que, conforme o</p><p>valor de "x" aumenta, o resultado da função f(x) também</p><p>aumenta, mas essa mudança não ocorre de maneira</p><p>uniforme.</p><p>Função</p><p>0 1</p><p>2 -1</p><p>4 -2</p><p>Fonte: elaborada pela autora (2023).</p><p>#pratodosverem: na tabela, temos novamente conjuntos</p><p>de valores representados por "x" e g(x). Dessa vez, a</p><p>função logarítmica g(x) nos mostra algo diferente: à</p><p>medida que "x" aumenta, o resultado de g(x) diminui. Essa</p><p>relação inversa entre os valores é evidente no segundo</p><p>gráfico, em que vemos uma curva inclinada para baixo à</p><p>medida que nos movemos para a direita. A curva revela</p><p>como a função g(x) diminui de maneira específica à</p><p>medida que os valores de "x" crescem.</p><p>Função</p><p>Fonte: elaborada pela autora (2023).</p><p>#pratodosverem: no gráfico, temos uma curva que</p><p>representa a função logarítmica (x), em</p><p>que x é a variável no eixo horizontal e f(x) é a variável no</p><p>eixo vertical. A função logarítmica calcula o poder ao qual</p><p>precisamos elevar o número 2 para obter o valor de x. À</p><p>medida que avançamos para a direita no eixo horizontal,</p><p>a curva sobe gradualmente no eixo vertical. Isso significa</p><p>que, à medida que x aumenta, o resultado de f(x) também</p><p>aumenta, mas de maneira não constante.</p><p>Função</p><p>Fonte: elaborada pela autora (2023).</p><p>#pratodosverem: no segundo gráfico, vemos uma curva</p><p>que representa a função logarítmica , com</p><p>x no eixo horizontal e g(x) no eixo vertical. Nesse caso, a</p><p>função logarítmica calcula o poder ao qual precisamos</p><p>elevar 1/2 para obter o valor de x. À medida que nos</p><p>movemos para a direita no eixo horizontal, a curva desce.</p><p>Isso significa que, à medida que x aumenta, o resultado de</p><p>g(x) diminui.</p><p>14</p><p>Portanto, avaliar uma função logarítmica está relacionado a avaliar sua base.</p><p>Além disso, a relação inversa entre a função logarítmica e a função exponencial pode</p><p>ser observada no gráfico a seguir.</p><p>Função logarítmica inversa de uma função exponencial</p><p>Fonte: elaborada pela autora (2023).</p><p>#pratodosverem: ilustração de um gráfico em que há duas curvas, uma laranja e outra azul. A curva laranja sobe rapidamente</p><p>à medida que avança para a direita, enquanto a curva azul desce suavemente ao se mover para a direita. Uma linha cinza</p><p>tracejada, chamada “linha de igualdade”, ajuda a comparar os valores. A curva laranja começa baixa e cresce rapidamente, a</p><p>azul começa alta e desce suavemente. A linha cinza ajuda a comparar os valores das curvas com x.</p><p>Equações Logarítmicas</p><p>Consideremos a equação exponencial . Embora as bases não possam ser</p><p>igualadas diretamente, podemos usar métodos que mantenham o equilíbrio da</p><p>equação. Para isso, utilizamos estratégias que não afetem a igualdade dos dois lados</p><p>da equação. Podemos prosseguir da seguinte forma:</p><p>15</p><p>Aplicando um logaritmo na base dois, nas duas partes da equação, conseguimos usar</p><p>as propriedades logarítmicas para terminar a resolução.</p><p>Portanto, já temos o valor de x e, caso necessário, ainda podemos encontrar o valor</p><p>de logaritmo de 5 na base 2.</p><p>Dados os valores , resolva as equações:</p><p>a.</p><p>b.</p><p>c.</p><p>Solução:</p><p>a.</p><p>Como não conseguimos igualar a base das potências, acrescentaremos o logaritmo</p><p>na base 3, dos dois lados da equação, para facilitar a simplificação:</p><p>b.</p><p>Como não é possível igualar as bases das potências, vamos aplicar o logaritmo na</p><p>base 3.</p><p>16</p><p>c.</p><p>Fazendo , podemos escrever:</p><p>Assim, y = 3 ou y = 4. Mas queremos saber os valores para x, logo:</p><p>Como não conseguimos igualar as potências, podemos escrever:</p><p>Como possuímos os valores para , podemos melhorar a resposta</p><p>encontrada usando as propriedades logarítmicas. Assim,</p><p>Nesse processo de resolução de equações exponenciais, enfrentamos desafios</p><p>quando as bases das potências não podem ser igualadas diretamente. Para solucionar</p><p>equações como essas, recorremos ao uso de logaritmos, uma ferramenta matemática</p><p>poderosa. Ao aplicarmos logaritmos com a base apropriada nos dois lados da equação,</p><p>conseguimos simplificar a expressão e obter o valor da incógnita.</p><p>Para saber mais sobre o assunto, acesse o link e assista a um</p><p>vídeo com uma introdução às funções exponenciais.</p><p>Saiba mais</p><p>https://www.google.com/url?q=https://www.youtube.com/watch?v%3DnbSrrXHHONg%26t%3D61s&sa=D&source=docs&ust=1697164353392953&usg=AOvVaw3swSTeQ2B0shphX5UZw4gw</p><p>17</p><p>Conclusão</p><p>As funções exponenciais e suas propriedades nos proporcionaram uma ferramenta</p><p>robusta para entender fenômenos que crescem ou decrescem de forma acelerada,</p><p>algo comum em diversas áreas do conhecimento.</p><p>Por outro lado, as funções logarítmicas, com suas intrincadas propriedades, oferecem</p><p>mecanismos para desmembrar problemas complexos e entender como variáveis se</p><p>relacionam em uma escala mais gerenciável.</p><p>O domínio dessas funções e a habilidade de resolver equações exponenciais e</p><p>logarítmicas são essenciais para qualquer pessoa que deseja ter uma compreensão</p><p>profunda da matemática e suas aplicações.</p><p>18</p><p>Referências</p><p>CRESCIMENTO das funções exponenciais. [S. l.: s. n.], 3 set. 2014. 1 vídeo (8 min).</p><p>Publicado pelo canal Khan Academy Brasil. Disponível em: https://www.youtube.com/</p><p>watch?v=nbSrrXHHONg&t=61s. Acesso em: 13 set. 2023. DANTE, L. R. Matemática:</p><p>contextos & aplicações. São Paulo: Ática, 2011. v. 1.</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=nbSrrXHHONg&t=61s</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=nbSrrXHHONg&t=61s</p><p>_Hlk144562636</p><p>_heading=h.30j0zll</p>