Tema 03 Operações com Porcentagem - Aula

Prévia do material em texto

<p>Porcentagem</p><p>Apresentação</p><p>O conceito de porcentagem está presente tanto em situações simples do cotidiano, como no</p><p>cálculo de impostos, no aumento ou desconto no preço de um produto ou na previsão do tempo,</p><p>quanto em problemas e pesquisas aplicadas às mais variadas ciências.</p><p>Em matemática, a notação r% (r por cento) é utilizada para representar a fração (fração</p><p>centesimal), ou seja, 20% é a representação da fração ou 0,20 em representação decimal.</p><p>Assim, para saber quanto representa 20% de R$1.200,00, basta multiplicar esse valor por 0,20,</p><p>obtendo R$240,00.</p><p>Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai entender como definir a porcentagem, reconhecer as</p><p>diferentes possibilidades de representação de uma fração centesimal, além de conhecer exemplos e</p><p>aplicações desse conceito tão relevante para as mais diversas áreas.</p><p>Bons estudos.</p><p>Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p>Explicar a porcentagem.•</p><p>Transformar razões em taxas percentuais.•</p><p>Utilizar a porcentagem em situações-problema.•</p><p>Desafio</p><p>Entende-se por porcentagem uma razão na qual o consequente é 100, denominada “por cento”.</p><p>São razões centesimais, por exemplo, 5/100. Existe outra forma, muito usada em atividades</p><p>econômicas, para representar razão centesimal, que é denominada forma percentual, por exemplo,</p><p>5% (cinco por cento).</p><p>Neste Desafio, use seus conhecimentos sobre porcentagem para orientar um cliente sobre as</p><p>diferentes possibilidades de desconto e pagamento na aquisição de um veículo.</p><p>Analise a situação a seguir.</p><p>Diante desse cenário, você deve ajudar Adriano a resolver os seguintes problemas:</p><p>a) Calcular o valor a ser pago, à vista, em cada modelo de carro.</p><p>b) No caso do pagamento a prazo, calcular o valor da entrada e o valor das prestações para cada</p><p>modelo.</p><p>Infográfico</p><p>A porcentagem é a razão entre um número qualquer e 100, sendo representada pelo símbolo %. A</p><p>ideia de porcentagem é utilizada para representar partes de algo inteiro. Existe mais de uma forma</p><p>de representá-la. A escolha pela forma de representar vai depender do problema envolvido e de</p><p>como se deseja apresentar a informação. As transformações são bastante simples e aplicáveis a</p><p>diversas situações-problema do nosso cotidiano.</p><p>Neste Infográfico, conheça três tipos de representações e as características de cada uma delas.</p><p>Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.</p><p>https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/3df785a3-353d-4722-808c-bb1a07118c81/a18beca0-5fe1-4898-a8e2-03af3377c268.png</p><p>Conteúdo do livro</p><p>No nosso cotidiano, é essencial ter conhecimento sobre taxa de porcentagem para calcular a</p><p>porcentagem de um valor dado, calcular qual a taxa de porcentagem correspondente à razão entre</p><p>dois valores, solucionar problemas que envolvem lucro e prejuízo em operações com mercadorias e</p><p>calcular descontos e acréscimos sobre preços de mercadorias. Tudo isso é muito útil quando</p><p>estamos avaliando a aquisição de um bem, ou mesmo negociando um desconto simples para a</p><p>compra de qualquer produto. A porcentagem nos permite economizar e ter maior domínio sobre a</p><p>operação que estamos realizando.</p><p>No capítulo Porcentagem, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, você vai se aprofundar no</p><p>conceito de razão, cujo denominador é 100, e que recebe o nome de razão centesimal, podendo ser</p><p>expressa em taxas percentuais. Você também vai conhecer conceitos, fórmulas e diversos</p><p>exemplos, a fim de resolver problemas aplicados.</p><p>FUNDAMENTOS DE</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Luciana Maria Margoti</p><p>Araujo</p><p>Porcentagem</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p>� Explicar sobre porcentagem.</p><p>� Transformar razões em taxas percentuais.</p><p>� Utilizar porcentagem em situações-problema.</p><p>Introdução</p><p>Neste capítulo, você aprenderá sobre porcentagem e verificará como</p><p>contas simples, baseadas em frações, podem auxiliar na resolução de</p><p>muitos problemas.</p><p>Embora muito utilizada em problemas financeiros, outras aplicações</p><p>úteis e relevantes são apresentadas com o uso da porcentagem.</p><p>Porcentagem</p><p>Utiliza-se porcentagem com muita frequência no dia a dia: para determinar</p><p>descontos, juros, rendimentos e impostos, por exemplo. Por esse motivo, ela</p><p>é muito usada em relações e operações financeiras, além de sua aplicação em</p><p>situações mais simples, como na menção de proporção de ingredientes em</p><p>uma receita de bolo.</p><p>Antes de iniciar com a sua utilização propriamente dita, você deve saber</p><p>o que é uma razão centesimal. Sempre que uma fração é representada pela</p><p>razão que tem o denominador igual a 100, ela é dita centesimal.</p><p>5</p><p>100</p><p>39</p><p>100</p><p>84</p><p>100; ;</p><p>Sendo assim, pensando em "metade" representada por uma fração cente-</p><p>simal, se denominador da razão precisa ser 100, metade disto é 50:</p><p>50</p><p>100</p><p>Assim, tem-se uma razão centesimal que representa metade. Para com-</p><p>provar, basta simplificar a fração e verificar que, ao final, restará 1/2, que é</p><p>igual a 0,5.</p><p>Todas as frações representadas por razões centesimais são lidas de maneira</p><p>que o número presente no numerador esteja "sobre cem", "centésimos" ou</p><p>"dividido por cem". Assim:</p><p>11</p><p>100</p><p>Pode-se ler a razão acima como: onze sobre cem, onze centésimos ou</p><p>onze dividido por cem. Da relação de 100 com um inteiro, na fração acima,</p><p>entendemos que foram tomadas 11 partes de 100 disponíveis. E assim surge</p><p>a ideia de porcentagem, indicando a fração tomada de 100.</p><p>Agora, considere a fração:</p><p>20</p><p>100</p><p>Lê-se "vinte dividido por cem", que pode ser representada por:</p><p>0,20</p><p>ou vinte centésimos.</p><p>Ao multiplicar este número por 100, teremos a expressão de porcentagem,</p><p>representada pelo símbolo %. Assim:</p><p>0,20 × 100 = 20%</p><p>onde lemos "vinte por cento" (vinte por cem).</p><p>Porcentagem2</p><p>Vamos a mais alguns exemplos!</p><p>Três por cento:</p><p>3</p><p>100 = 0,03 ou 3%</p><p>Quinze por cento:</p><p>15</p><p>100 = 0,15 ou 15%</p><p>Trinta e dois por cento:</p><p>32</p><p>100 = 0,32 ou 32%</p><p>Cento e sessenta por cento:</p><p>160</p><p>100 = 1,6 ou 160%</p><p>Ana e Flávio possuíam 100 bolinhas de gude, cada um. Ana ganhou mais 20 bolinhas</p><p>de gude de seu avô. Qual foi a porcentagem de aumento do número de bolinhas de</p><p>gude de Ana em relação ao de Flávio?</p><p>Como os dois possuíam a mesma quantidade, a comparação será realizada somente</p><p>determinando a porcentagem que Ana possui a mais, após o presente de seu avô. Assim:</p><p>20</p><p>100 = 0,20 ou 20%</p><p>Ana possui, agora, 20% de bolinhas de gude a mais que Flávio.</p><p>3Porcentagem</p><p>Transformação de razões em taxas percentuais</p><p>Nem sempre as frações a serem definidas nas porcentagens estarão em uma</p><p>razão centesimal.</p><p>Para uma pizza grande, dividida em oito pedaços, qual seria a porcentagem</p><p>equivalente a um pedaço?</p><p>Utilizando as noções de frações, faremos a relação (razão) entre um pedaço</p><p>de um total de oito pedaços:</p><p>1</p><p>8 = 0,125</p><p>Agora que já sabemos a representação decimal da fração, para transformar</p><p>0,125 em porcentagem, basta multiplicar por 100 e acrescentar o símbolo "%".</p><p>0,125 × 100 = 12,5%</p><p>Logo, um pedaço de pizza, de um total de oito pedaços, representa 12,5%</p><p>(doze e meio por cento) da pizza. De fato, se cada pedaço representar 12,5%</p><p>ou 0,125, a soma dos oito pedaços é:</p><p>0,125 + 0,125 + 0,125 + 0,125 + 0,125 + 0,125 + 0,125 + 0,125 = 1</p><p>ou,</p><p>0,125 × 8 = 1</p><p>onde "1" representa o inteiro ou 100% da pizza.</p><p>Imagine, agora, que uma biblioteca possui 5630 livros e pretende aumentar</p><p>esta quantidade em 30%. Depois de novas aquisições, quantos livros essa</p><p>biblioteca possuirá.</p><p>Primeiramente, é necessário determinar a quantidade de livros correspon-</p><p>dentes a 30% de um total de 5.630. Ou seja, certa quantidade de livros (x),</p><p>dividida por 5630, deverá resultar em 30% ou 0,30:</p><p>x</p><p>5630 = 0,30</p><p>Porcentagem4</p><p>Assim, multiplicando 0,30 por 5630, você saberá a quantidade de livros</p><p>correspondentes a esse percentual:</p><p>5.630 × 0,30 = 1.689</p><p>A biblioteca fará a aquisição de 1.689 livros, resultando um total de:</p><p>5.630 + 1.689 = 7.319 livros</p><p>Ao comprar uma camisa que custa R$ 69,50 à vista, a loja dará 15%</p><p>de</p><p>desconto. Qual será o valor pago nessa compra?</p><p>Novamente, você precisa descobrir o valor referente a 15% de R$ 69,50.</p><p>Como você viu no exemplo anterior, para descobrir essa quantidade, basta</p><p>multiplicar o valor total pela porcentagem (em número decimal) correspondente.</p><p>Após, realizar a subtração:</p><p>69,50 × 0,15 = 10,425</p><p>Calculado o valor do desconto, para saber quanto será pago, basta diminuir</p><p>este desconto do valor total:</p><p>69,50 – 10,425 = 59,075</p><p>Provavelmente, o valor pago nessa compra será, aproximadamente, de</p><p>R$ 59,10. Por ser tratar de um valor em dinheiro, o preço cobrado precisa ser</p><p>compatível com o troco a ser entregue ao comprador. Dessa maneira, o valor</p><p>de R$ 59,075 foi arredondado para R$ 59,10.</p><p>Ao atrasar por um mês o pagamento de sua conta de telefone, você foi</p><p>informado de que ao valor dela, que era de R$ 46,00, seriam acrescidos 5%</p><p>de juros. Qual é o valor, em dinheiro, correspondente aos juros? Quanto você</p><p>deverá pagar nessa conta?</p><p>5% de 46 = × 46 ou 0,05 × 46</p><p>5</p><p>100</p><p>5Porcentagem</p><p>resultando em R$ 2,30 de juros que serão cobrados. Portanto, o valor a</p><p>ser pago na conta será de:</p><p>46 + 2,30 = 48,30</p><p>Pensando ainda no problema acima, se sua conta fosse considerada como</p><p>100%, o valor que era devido, ao acrescentar 5% de juros, seriam pagos 105%</p><p>do valor total ou:</p><p>105% ÷ 100 = 1,05</p><p>Assim:</p><p>46 × 1,05 = 48,30</p><p>Já indicando o total a ser pago, somando-se os juros.</p><p>Imaginamos, agora, que, em uma gincana da escola, três equipes foram</p><p>divididas e receberam a tarefa de arrecadar dinheiro para ajudar o asilo da</p><p>cidade. Ao final da apuração, a equipe azul havia arrecadado 40% a mais que a</p><p>equipe laranja; e a equipe laranja, 15% a mais que a equipe verde. Sabendo-se</p><p>que a equipe verde conseguiu arrecadar R$ 485,00, quais foram os valores</p><p>conseguidos pelas equipes azul e laranja.</p><p>Como foi apresentado o valor arrecadado pela equipe verde, e o valor</p><p>arrecadado pela equipe laranja está relacionado a ele, você pode verificar</p><p>que a equipe laranja, tendo arrecadado 15% a mais que a verde, conseguiu</p><p>115% do valor daquela equipe. Assim, a equipe laranja arrecadou R$557,15:</p><p>115% ÷ 100 = 1,15</p><p>1,15 × 485 = 557,75</p><p>Já o valor conseguido pela equipe azul está relacionado ao valor da equipe</p><p>laranja. Assim, a partir de agora, o valor arrecadado pela equipe laranja passa</p><p>a ser o inteiro, ou 100%. Logo, como a equipe azul conseguiu 40% a mais que</p><p>a laranja, chegou, então, a 140% do valor desta equipe:</p><p>140% ÷ 100 = 1,4</p><p>Porcentagem6</p><p>Ou seja:1,4 × 557,75 = 780,85</p><p>A equipe azul conseguiu arrecadar R$780,85.</p><p>Como você viu até aqui, a porcentagem dá solução a inúmeras situações, sejam elas</p><p>financeiras ou não. É preciso atenção ao operar com porcentagens, uma vez que, para</p><p>realizar as operações, você deverá tirar o símbolo de %, dividindo o número por 100.</p><p>Por exemplo, 3% é igual a 3/100, que resulta em 0,03.</p><p>Porcentagem em situações-problema</p><p>Verificaremos como podem ser aplicados os conceitos de porcentagem em</p><p>variadas situações. Como você já percebeu, todas as vezes que a quantidade</p><p>referida for menor que o inteiro (100%), em números decimais, ela assumirá</p><p>um valor entre zero e um, ou menor que 100%.</p><p>Uma sala de aula com 40 alunos tem 25% de meninas. Qual é a quantidade</p><p>de meninas nessa sala?</p><p>25</p><p>100 = 0,25</p><p>40 × 0,25 = 10 alunas</p><p>Na compra de uma geladeira com valor de R$ 2.500,00, a loja informou</p><p>que cobra 3% de juros (simples) ao mês, independentemente de quantas vezes</p><p>o pagamento será parcelado. Você decidiu dividir o pagamento da geladeira</p><p>em 6 parcelas. Qual será o valor total de juros cobrados? Qual será o valor</p><p>de cada parcela?</p><p>Como o pagamento será dividido em 6 parcelas a juros simples, os juros</p><p>serão calculados pela quantidade de meses a serem divididas as parcelas,</p><p>sobre o valor total da geladeira. Ou seja, 3% vezes as 6 parcelas que você</p><p>pretende pagar:</p><p>7Porcentagem</p><p>3</p><p>100 × 6 = 0,18 ou 18% de juros no total</p><p>Assim, 18% de R$ 2.500,00 indicará o valor a ser acrescido no preço da</p><p>geladeira com o pagamento parcelado:</p><p>18</p><p>100 × 2.500 = 450</p><p>O valor total da geladeira, parcelado, será de R$ 2.500,00 + R$ 450,00 =</p><p>R$ 2.950,00. Divido em 6 parcelas:</p><p>2.950 ÷ 6 ≅ 491,67</p><p>Cada parcela será de, aproximadamente, R$ 491,67.</p><p>Para vender uma maior quantidade de produtos, uma loja resolve conceder</p><p>30% de desconto para todos os clientes que fizerem suas compras à vista. Ana</p><p>deseja comprar um conjunto de moletom, cujo valor é R$ 129,00, uma calça</p><p>jeans de R$ 89,90 e uma camiseta de R$ 56,00. Pagando à vista, qual será o</p><p>valor de desconto obtido por Ana?</p><p>Antes de determinar o desconto, você precisa verificar o valor total da</p><p>compra de Ana:</p><p>129 + 89,90 + 56 = 274,90</p><p>A partir daí, verificar o desconto que é de 30% ou 30/100 = 0,30:</p><p>0,30 × 274,90 = 82,47</p><p>O desconto de Ana será de R$ 82,47.</p><p>Em janeiro deste ano, um pacote de arroz custava R$ 18,50. Em dezembro,</p><p>essa mesma marca de arroz passou a ser vendida por R$ 21,30. Qual foi o</p><p>aumento, em porcentagem, ocorrido?</p><p>Porcentagem8</p><p>Você precisa determinar qual é a proporção entre os dois valores. Como</p><p>houve um aumento, espera-se um resultado acima de 100%. Assim:</p><p>21,30</p><p>18,50 = 1,1513</p><p>O arroz passou a ser vendido por 1,1513 vezes mais que o preço do início</p><p>do ano ou:</p><p>1,1513 × 100 = 115,13</p><p>Houve um aumento de 15,13% acima do valor oferecido em janeiro.</p><p>LIMA, D. M.; GONZALEZ, L. E. F. Matemática aplicada à informática. Porto Alegre: Book-</p><p>man, 2015. (Série Tekne).</p><p>ZOT, W. D.; CASTRO, M. L. Matemática financeira: fundamentos e aplicações. Porto</p><p>Alegre: Bookman, 2015.</p><p>9Porcentagem</p><p>Conteúdo:</p><p>Dica do professor</p><p>A ideia de porcentagem está presente em várias situações que envolvem acréscimos ou reduções,</p><p>seja na compra de mercadorias ou no pagamento de tributos.</p><p>Nesta Dica do Professor, confira exemplos do uso da porcentagem em situações aplicadas e os três</p><p>tipos de representação para esse conceito: razão centesimal, taxa unitária e taxa percentual, a partir</p><p>de exemplos para cada uma dessas representações.</p><p>Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.</p><p>https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/bf0c509e7173fd1234a91a2d356cfcb3</p><p>Exercícios</p><p>1) Os problemas que envolvem porcentagem são bastante recorrentes, portanto, saber calculá-</p><p>la é essencial. A estratégia de resolução depende do tipo de problema com o qual se está</p><p>lidando.</p><p>Nesse contexto, suponha que Carla gastou R$15,00 para preparar um arranjo de flores e o</p><p>vendeu com lucro de R$6,00.</p><p>Entre as alternativas a seguir, assinale aquela que expressa corretamente a porcentagem do</p><p>lucro de Carla.</p><p>A) 250%.</p><p>B) 2,50%.</p><p>C) 40%.</p><p>D) 0,40%.</p><p>E) 90%.</p><p>2) Saber resolver situações que envolvam taxa de porcentagem, lucro ou prejuízo em</p><p>operações com mercadorias e descontos ou acréscimos sobre preços de produtos é muito</p><p>importante no nosso dia a dia.</p><p>Nesse contexto, considere que Paulo é um revendedor de bolos e que ele compra cada um</p><p>por R$12,00. Ele deseja lucrar 30% com a venda de cada unidade.</p><p>Entre as alternativas a seguir, assinale aquela que apresenta o lucro unitário, em reais, que</p><p>Paulo terá.</p><p>A) R$15,60.</p><p>B) R$3,60.</p><p>C) R$0,025.</p><p>D) R$40,00.</p><p>E) R$0,40.</p><p>3) Embora a indústria brasileira automotiva esteja cada vez mais globalizada, o Brasil vai na</p><p>contramão dessa realidade na questão dos combustíveis. Isso porque a gasolina vendida aqui</p><p>é uma mistura de álcool e gasolina. No resto do mundo, é oferecida gasolina pura. Sendo</p><p>assim, para rodar em terras brasileiras, os veículos estrangeiros precisam ser adaptados.</p><p>Considerando que em um dado galão há 240 litros de gasolina e 60 litros de álcool, pode-se</p><p>afirmar que a porcentagem de álcool contida na mistura corresponde a:</p><p>A) 25%.</p><p>B) 5%.</p><p>C) 0,20%.</p><p>D) 0,25%.</p><p>E) 20%.</p><p>4) A comissão de vendas é um percentual do valor total de uma venda ou do lucro obtido na</p><p>venda, que é destinado ao vendedor. Esse valor é pago como recompensa pelos esforços do</p><p>profissional de</p><p>vendas e integra parte importante da sua remuneração mensal.</p><p>Nesse contexto, considere que Ana é vendedora de roupas e ganha, como remuneração</p><p>variável, uma comissão de 5% sobre os lucros das vendas realizadas. Se no mês passado as</p><p>vendas foram de R$ 60.000,00 com um lucro de 30%, então é correto afirmar que a</p><p>comissão de Ana será de:</p><p>A) R$900,00.</p><p>B) R$3.000,00.</p><p>C) R$18.000,00.</p><p>D) R$10.000,00.</p><p>E) R$9.000,00.</p><p>Relatórios de instituições brasileiras e internacionais deixam um problema bem evidente:</p><p>mulheres recebem menos que homens para exercer a mesma função. Quando o assunto é</p><p>desigualdade salarial, o Brasil se encontra em uma posição pouco confortável no ranking</p><p>internacional de igualdade salarial.</p><p>5)</p><p>Nesse contexto, considere o casal Lúcia e Antônio, que exercem a mesma função em uma</p><p>empresa. Somando o salário de ambos, eles recebem, por mês, o total de R$21.500,00.</p><p>Sabendo que Antônio recebe 15% a mais que Lúcia, é correto afirmar que os salários de</p><p>Lúcia e de Antônio, respectivamente, são:</p><p>A) R$2.804,35 e R$18.695,65.</p><p>B) R$9.878,38 e R$11.621,62.</p><p>C) R$10.750,00 e R$10.750,00.</p><p>D) R$3.225,00 e R$18.215,00.</p><p>E) R$10.000,00 e R$11.500,00.</p><p>Na prática</p><p>O mercado imobiliário permite pensar em diferentes oportunidades de negócio. Quem está atento</p><p>a esse mercado já deve ter considerado a ideia de comprar um imóvel para reformar. Com os</p><p>devidos cuidados e atenção aos detalhes, esse tipo de negociação pode ser muito vantajosa, tanto</p><p>para quem pensa em morar quanto para quem deseja revender.</p><p>Confira, Na Prática, uma situação de investimento em imóveis em que se apresentam os detalhes e</p><p>os cálculos relacionados a esse tipo de negócio.</p><p>Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.</p><p>https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/ecfedab5-6dfb-49ca-b7fe-e4d00c0e5d8a/f3c94247-e955-40ca-b71c-ce259125fa0b.png</p><p>Saiba +</p><p>Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:</p><p>Porcentagens, razões e proporções</p><p>Você pode saber mais sobre porcentagem consultando o capítulo 7 da obra Matemática para</p><p>profissionais da saúde de Lynn M. Egler, Denise Propes e Alice J. Brown (2015). O capítulo</p><p>apresenta a equivalência entre porcentagens, razões, frações e números decimais. Você verá como</p><p>realizar conversões e aplicar proporções. Além disso, acompanhará exemplos de como resolver</p><p>problemas envolvendo proporções.</p><p>Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!</p><p>Porcentagem</p><p>A porcentagem é uma razão de denominador igual a 100 e por isso podemos representá-la com o</p><p>símbolo de porcentagem, fração ou número decimal. Para te ajudar na hora de calcular, sugerimos</p><p>este vídeo que explica tudo em detalhes. Você verá que existem dicas relevantes para auxiliar na</p><p>hora de calcular porcentagem.</p><p>Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.</p><p>Cálculo de porcentagem</p><p>Neste vídeo você verá em detalhes como realizar o cálculo de porcentagem. O professor apresenta</p><p>diversas dicas para não errar na hora de resolver um problema deste tipo. Acompanhe esse vídeo</p><p>para compreender como resolver as operações e dicas práticas de diferentes tipos de resolução</p><p>que agilizam a busca pelo resultado.</p><p>Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.</p><p>https://www.youtube.com/embed/X6Dt82kJpmo</p><p>https://www.youtube.com/embed/RrVKPHonJJg</p>