gabarito Cálculo Vetorial e Edo

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<p>1. Pergunta 1</p><p>0/0</p><p>Uma função é uma regra que associa elementos de dois conjuntos. Assim como em</p><p>funções de uma variável, para funções de várias variáveis há os conceitos de domínio e</p><p>contradomínio. Sendo o domínio os elementos de “entrada” da regra e o</p><p>contradomínio os de “saída”.</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de duas</p><p>variáveis e conjuntos, analise as afirmações a seguir.</p><p>I. O par ordenado (-2, 1) pertence ao domínio da função f(x,y) = √(x+y) .</p><p>II. O contradomínio da função f(x,y) =√(x+y) é o conjunto dos reais positivos.</p><p>III. O par ordenado (-2,-2) pertence ao domínio da função f(x,y) =√(x²+y²) .</p><p>IV. As relações {(0,1)≥0, (0,2)≥1, (0,2)≥3} representam uma função de duas variáveis.</p><p>Está correto apenas o que se afirma em:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>I, III e IV</p><p>II e III</p><p>Resposta correta</p><p>II e IV</p><p>I, II e IV</p><p>I e II</p><p>2. Pergunta 2</p><p>0/0</p><p>Em limite de funções de uma variável, há apenas duas formas de se aproximar do</p><p>ponto do qual se quer calcular o limite. Pode-se aproximar pela</p><p>esquerda ou pela direita Neste</p><p>contexto, diz-se que o limite de f(x) existe quando L1=L2, isto é, se os limites laterais</p><p>convergem para o mesmo número. Em duas variáveis, não há apenas dois sentidos</p><p>para se aproximar do ponto (a,b), há infinitas direções e caminhos.</p><p>Considerando essas informações e seus conhecimentos de limites, quando o limite em</p><p>funções de duas variáveis ( existe é porque:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>f(x,y) está definido em (a,b).</p><p>existe pelo menos um caminho que se aproxima de (a,b) e converge para um número</p><p>real L.</p><p>a é igual a b.</p><p>os limites laterais por x e por y convergem para a mesma constante, isto</p><p>é,</p><p>o limite por todos os caminhos que se aproximam de (a,b) convergem para a mesma</p><p>constante L.</p><p>Resposta correta</p><p>3. Pergunta 3</p><p>0/0</p><p>A interpretação geométrica da derivada de uma função de uma variável é a de que ela</p><p>representa a inclinação da reta tangente ao ponto da função que se calcula a derivada.</p><p>Sabendo disso, a derivada pode ser aplicada para determinar os pontos de máximo e</p><p>mínimo da função. Basta derivar e igualar a zero. Uma vez achado estes pontos, para</p><p>determinar se é um ponto de máximo ou de mínimo, faz-se o teste da segunda</p><p>derivada (se a segunda derivada no ponto for positiva, é ponto de mínimo e se for</p><p>negativa, de máximo).</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas parciais,</p><p>analise as afirmativas a seguir.</p><p>I. A interpretação geométrica da derivada parcial é a inclinação da reta tangente à</p><p>curva da direção que se calcula a derivada.</p><p>II. Para determinar os pontos de máximo e mínimo em funções de duas variáveis, basta</p><p>igualar uma das derivadas a zero.</p><p>III. No teste da segunda derivada, os sinais das derivadas segundas em x e em y devem</p><p>ser os mesmos para termos um ponto de máximo ou mínimo.</p><p>IV. O ponto destacado no gráfico tem as derivadas parciais em x e em y igual a zero.</p><p>Está correto apenas o que se afirma em:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>I, III e IV.</p><p>Resposta correta</p><p>II e IV.</p><p>II, III e IV.</p><p>I e II.</p><p>I, II e IV.</p><p>4. Pergunta 4</p><p>0/0</p><p>É importante entender o comportamento geral de uma função de duas variáveis. Para</p><p>isso, deve-se observar atentamente quais são as componentes em cada direção dessa</p><p>função. Isto é, quais os tipos de função, ordem polinomial etc. Por exemplo, em uma</p><p>variável, a função f(x)=sin⁡x é periódica, portanto, sua representação gráfica também</p><p>deve ser.</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de duas</p><p>varáveis, analise as funções disponíveis a seguir e associe-as com suas respectivas</p><p>características.</p><p>1) f(x,y)=x^2+y^2;</p><p>2) f(x,y)=1-x^2;</p><p>3) f(x,y)=sin⁡x;</p><p>4) f(x,y)=x+y;</p><p>Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>1, 2, 3, 4.</p><p>3, 2, 4, 1.</p><p>Resposta correta</p><p>3, 1, 4, 2.</p><p>4, 3, 1, 2.</p><p>2, 3, 4, 1.</p><p>5. Pergunta 5</p><p>0/0</p><p>O estudo dos campos gradientes, divergentes e rotacionais é importante, também, para</p><p>a definição de algumas possíveis operações a serem realizadas entre eles. O</p><p>Laplaciano, por exemplo, é definido pelo cálculo do divergente de um gradiente de uma</p><p>função escalar f. Tome como exemplo uma funçãof(x,y,z)=xyz.</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca dos campos</p><p>divergentes, gradientes e rotacionais, e acerca do Laplaciano, afirma-se que o</p><p>Laplaciano escalar dessa função é 0 porque:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>os eixos x, y e z são ortogonais entre si.</p><p>o contradomínio dessa função faz parte dos reais R².</p><p>as derivadas parciais de são 0.</p><p>Resposta correta</p><p>o operador diferencial nabla é escrito na forma (∂2/∂x + ∂2/∂y + ∂2/∂z).</p><p>as derivadas parciais de são 1.</p><p>6. Pergunta 6</p><p>0/0</p><p>Em funções de uma variável, uma função é contínua quando , para</p><p>todo a pertencente ao domínio da função. Isto é, o limite da função no ponto existe, a</p><p>função no ponto está definida e ambos são iguais para todo ponto do domínio.</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre continuidade de funções</p><p>de várias variáveis, analise as afirmativas a seguir.</p><p>I. Uma função f(x,y) é contínua quando para todo (a,b)</p><p>pertencente ao domínio.</p><p>II. A função é contínua no domínio</p><p>III. A função definida por partes f é descontínua.</p><p>IV. A função definida por partes é descontínua.</p><p>Está correto apenas o que se afirma em:</p><p>II, III e IV.</p><p>II e IV.</p><p>I e II.</p><p>I, II e IV.</p><p>Resposta correta</p><p>I, III e IV.</p><p>7. Pergunta 7</p><p>0/0</p><p>Funções de três variáveis é uma regra que associa pontos com três coordenadas a um</p><p>número. Por ter três números de entrada, podem ser interpretadas como funções que</p><p>representam propriedades ao longo de um certo volume. Assim, dada uma função, é</p><p>necessário saber reconhecer qual o volume em questão.</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de três</p><p>variáveis e conjuntos, analise as afirmativas a seguir.</p><p>I. O domínio da função f(x,y,z)=√(1-x²-y²-z²) é D={(x,y,z) | x²+y²+z²≥1}.</p><p>II. Funções de três variáveis podem ser representados em um espaço de três</p><p>dimensões.</p><p>III. As curvas de nível de uma função de três variáveis podem ser representadas em um</p><p>espaço de três dimensões.</p><p>IV. O domínio da função f(x,y,z)=√(16-x²-y²)/(x-z+2) é D={(x,y,z) | x²+y²≤16 e z≠x+2}.</p><p>Está correto apenas o que se afirma em:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>I, II e III.</p><p>I, III e IV.</p><p>Resposta correta</p><p>I, II e IV.</p><p>II e IV.</p><p>I e II.</p><p>8. Pergunta 8</p><p>0/0</p><p>Ao estudar funções reais de várias variáveis reais, observa-se que as relações</p><p>funcionais, ou seja, as relações que associam conjuntos, alteram-se conforme</p><p>aumentam o número de variáveis. Em uma função real de uma variável, a relação é</p><p>feita tendo como base duas retas reais, por exemplo, mas isso não se mantém para as</p><p>outras relações funcionais.</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre relações funcionais de</p><p>duas ou mais variáveis, analise as afirmativas a seguir.</p><p>I. O domínio de uma função de duas variáveis é subconjunto de R³.</p><p>II. O contradomínio de uma função real de três variáveis é subconjunto de R.</p><p>III. O contradomínio de uma função real de cinco variáveis é subconjunto de R.</p><p>IV. O domínio de uma função de três variáveis é subconjunto de R³.</p><p>Está correto apenas o que se afirma em:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>II, III e IV.</p><p>Resposta correta</p><p>II e IV.</p><p>I e II.</p><p>I, III e IV.</p><p>I, II e IV.</p><p>9. Pergunta 9</p><p>0/0</p><p>O conhecimento da natureza de um objeto matemático permite uma manipulação</p><p>algébrica desse objeto de forma mais precisa. No caso dos campos gradientes,</p><p>divergentes e rotacionais, o conhecimento acerca de suas naturezas é fundamental</p><p>para manipulá-los entre si.</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca da natureza dos</p><p>campos gradientes, divergentes e rotacionais, analise as afirmativas a seguir e assinale</p><p>V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).</p><p>I. ( ) Um campo gradiente é um campo vetorial.</p><p>II. ( ) Um campo rotacional é um campo vetorial.</p><p>III. ( ) Um campo divergente é um campo vetorial.</p><p>IV. ( ) Um campo divergente em R³ é escrito na forma ∂A/∂x + ∂B/∂y + ∂C/∂z.</p><p>Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>V, F, F, F.</p><p>V, F, V, F.</p><p>F, V, F, V.</p><p>V, V, F, V.</p><p>Resposta correta</p><p>V, V, F, F.</p><p>10. Pergunta 10</p><p>0/0</p><p>Para calcular o divergente de um campo vetorial, primeiro se faz a derivada parcial das</p><p>componentes em suas respectivas direções (lembrando que i, j e k representam as</p><p>componentes nas direções de x, y e z). Depois, essas derivadas parciais são somadas,</p><p>resultando em um campo escalar.</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos vetoriais</p><p>divergentes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F</p><p>para a(s) falsa(s).</p><p>I. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=xzi+xyzj-y2 k, o divergente é ∇∙F=zi+xzj.</p><p>II. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=xyzi-x2 yk, o divergente é ∇∙F=yz.</p><p>III. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=cosxzj-sinxyk, o divergente é ∇∙F=0.</p><p>IV. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=ex sinyi+ex cosyj+zk, o divergente é ∇∙F=2ex</p><p>siny+1.</p><p>Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>V, V, F, F.</p><p>V, F, V, F.</p><p>F, F, V, V.</p><p>V, F, F, V.</p><p>F, V, V, F.</p><p>Resposta correta</p><p>Pergunta 1</p><p>0/0</p><p>Curvas de níveis são as regiões em uma função em que ela possui sempre o mesmo valor. Para</p><p>a construção de curvas de níveis, basta fazer f(x,y)=k, no qual k corresponde a uma constante.</p><p>Isso equivale a fazer um mapa das linhas da função onde a função tem o mesmo valor k.</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre curvas, analise as funções</p><p>disponíveis a seguir e associe-as com suas respectivas características.</p><p>1) f(x,y)=cos⁡(x)+sen(y).</p><p>2) f(x,y)=4x+3y.</p><p>3) f(x,y)=(x+y)/(x2+y2 ).</p><p>4) f(x,y)=y^2.</p><p>Curvas de níveis:</p><p>Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>1, 2, 3, 4.</p><p>4, 3, 1, 2.</p><p>3, 2, 4, 1.</p><p>2, 3, 4, 1.</p><p>3, 1, 4, 2.</p><p>Resposta correta</p><p>Pergunta 2</p><p>0/0</p><p>Para fazer o esboço de uma função, um dos primeiros passos é entender onde a função cruza</p><p>os eixos das coordenadas cartesianas. Para se determinar isso, basta zerar as outras variáveis</p><p>referentes aos outros eixos. Por exemplo, f(x,y)=x+y2-3, fazendo y=0, temos f(x,0)=x-3. Fazendo</p><p>f(x,0)=0, temos que a função cruza o eixo x em x=3.</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções, analise as afirmativas a</p><p>seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s).</p><p>I. ( ) A função f(x,y)=1 não cruza os eixos x e y.</p><p>II. ( ) A função f(x,y)=1-x-y cruza os eixos x e y respectivamente em x=1 e y=1.</p><p>III. ( ) A função f(x,y)=√(x2+y2 ) cruza o eixo y em y=1.</p><p>IV. ( ) A função f(x,y)=√(16+x2+y2 ) cruza o eixo z em f(0,0)=4.</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>V, V, V, F</p><p>V, V, F, F</p><p>V, F, V, F</p><p>V, V, F, V</p><p>Resposta correta</p><p>F, V, F, V</p><p>Pergunta 10</p><p>0/0</p><p>A representação do domínio de uma função de duas dimensões pode ser feita de maneira</p><p>matemática, escrevendo analiticamente o conjunto ou visualmente, hachurando o plano XY. A</p><p>forma de determinar qual é o domínio é verificar se a função possui alguma proibição de valor,</p><p>por exemplo, f(x)=1/x. Como não há divisão por zero na matemática, X não pode ser zero,</p><p>sendo o seu domínio D={x ϵ R ┤|x≠0}.</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de duas variáveis,</p><p>analise as afirmativas a seguir colocando V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s).</p><p>I. ( ) O domínio da função f(x,y) =√(x+y)/(x-1) x é D = {(x, y) | x+y≥0 e x≠1};</p><p>II. ( ) O domínio da função f(x,y)=ln⁡ (y^2-x) é D = {(x, y) | x≥y²};</p><p>III. ( ) O domínio da função f(x,y) = x²-y² é D = R² (todo par ordenado real);</p><p>IV. ( ) O domínio da função f(x,y)=1/√(4-x+y) é D = {(x,y) | x-y ≥4}.</p><p>Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>V, V, F, F.</p><p>F, V, F, V.</p><p>F, V, V, F.</p><p>V, F, V, F.</p><p>Resposta correta</p><p>V, V, V, F.</p><p>Pergunta 3</p><p>0/0</p><p>Quando se tem funções de mais de uma variável, naturalmente surge a indagação de “derivada</p><p>em relação a qual variável?”. Este conceito trata-se da derivada parcial. Seguindo a mesma</p><p>lógica de derivada de uma variável, o que não é a variável de derivação é constante. Portanto,</p><p>se derivarmos f(x,y) em relação a x, consideramos y como constante.</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas, analise as afirmativas</p><p>a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s).</p><p>I. ( ) A derivada de f(x,y)=x2 y+x3 y2+4y+1 em relação a x é fx (x,y)=2xy +3x2 y2.</p><p>II. ( ) A derivada de f(x,y)=x2 y+x3 y2+4y+1 em relação a y é fy (x,y)=x2+2x3 y.</p><p>III. ( ) A derivada de f(x,y)=sin⁡xy em relação a x é fx (x,y)=cos⁡xy.</p><p>IV. ( ) A derivada de f(x,y)=(x2+y2 )2 em relação a y é fy (x,y)=4y (x2+y2 ).</p><p>Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>V, F, F, V.</p><p>Resposta correta</p><p>V, V, V, F.</p><p>F, V, F, V.</p><p>V, V, F, F.</p><p>V, F, V, F.</p><p>Pergunta 7</p><p>0/0</p><p>Derivar em três variáveis é o mesmo procedimento que derivar para duas. Considere as outras</p><p>variáveis como constantes e use as técnicas de derivação convencionais. Por exemplo, para</p><p>f(x,y)=x+y+1, a derivada em y é fy (x,y)=1.</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas parciais, analise as</p><p>afirmativas a seguir.</p><p>I. A derivada em relação a z da função f(x,y,z)=x2+y2+z2 é fz (x,y,z)=2z.</p><p>II. A derivada em relação a x da função f(x,y,z)=sen(√(x2+y2+z2 )) é fx (x,y,z)=cos⁡(√(x2+y2+z2</p><p>))/(2√(x2+y2+z2 )).</p><p>III. A derivada em relação a y da função f(x,y,z)=ln⁡xyz é fy (x,y,z)=1/y.</p><p>IV. As primeiras derivadas de f(x,y,z)=ex+y+z são iguais.</p><p>Está correto apenas o que se afirma em:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>II, III e IV.</p><p>I, III e IV.</p><p>Resposta correta</p><p>I, II e IV.</p><p>I e II.</p><p>II e IV.</p><p>Atividade de Autoaprendizagem 2</p><p>Pergunta 1</p><p>0/0</p><p>Ao descrever uma função em um dado sistema de coordenadas e fazer a mudança de um</p><p>sistema de coordenadas para outro, é necessário ter cautela para escrever corretamente os</p><p>elementos de área ou volume, caso contrário, o resultado da integração pode ficar</p><p>comprometido.</p><p>De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de sistemas de coordenadas,</p><p>analise as afirmativas a seguir:</p><p>I. O elemento de área em coordenadas polares é dA = rdrd0 .</p><p>II. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = rdrd0dz .</p><p>III. O elemento de volume em coordenadas esféricas é .</p><p>IV. Dada uma função f(x,y,z) em coordenadas cartesianas. Em coordenadas esféricas, ela é</p><p>escrita como .</p><p>Está correto apenas o que se afirma em:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>I, II e IV.</p><p>Resposta correta</p><p>II e IV.</p><p>I, III e IV.</p><p>II e III.</p><p>I e II.</p><p>Pergunta 2</p><p>0/0</p><p>Quando se mensuram volumes por integrais triplas existem inúmeras manipulações algébricas</p><p>que deixam os cálculos mais palatáveis. A mudança de coordenadas é uma manipulação</p><p>algébrica que consegue, muitas vezes, transformar limites integrativos complexos em limites</p><p>mais simples. As principais mudanças de coordenadas são para as polares, cilíndricas e</p><p>esféricas.</p><p>Figura – Representação de um sólido.</p><p>Considerando essas informações, o esboço do sólido na figura supracitada e seus</p><p>conhecimentos acerca de integrais triplas e mudança de coordenadas, pode se afirmar que o</p><p>volume do sólido em questão pode ser mensurado por coordenadas cilíndricas, porque:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>há simetria do sólido com relação ao eixo z.</p><p>Resposta correta</p><p>há simetria do sólido com relação ao eixo y.</p><p>há simetria do sólido com relação ao eixo x.</p><p>os para metros utilizados sa o r , 0 e ᵠ.</p><p>o sólido</p><p>é limitado por funções circulares.</p><p>Pergunta 3</p><p>0/0</p><p>As integrais triplas são utilizadas para efetuar cálculos de volumes de sólidos. Porém, existem</p><p>inúmeros jeitos de se mensurar numericamente esses volumes. Um exemplo disso é a mudança</p><p>de coordenadas, podendo ser cilíndrica, esférica ou cartesiana. Tenha como base a seguinte</p><p>integral tripla:</p><p>Tendo em vista seus conhecimentos acerca de integrais triplas em diversas coordenadas,</p><p>analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).</p><p>I. ( ) refere-se ao diferencial de volume dV.</p><p>II. ( ) A integral será efetuada primeiro com relação a z, depois com relação a e por último com</p><p>relação a .</p><p>III. ( ) A integral está escrita em coordenadas esféricas.</p><p>IV. ( ) Essa integral mensura a área de uma região no plano xy.</p><p>Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>F, V, F, V.</p><p>V, F, F, V.</p><p>V, F, V, F.</p><p>V, V, F, F.</p><p>Resposta correta</p><p>F, V, V, F.</p><p>Pergunta 4</p><p>0/0</p><p>A soma de Riemann em uma variável consiste em dividir uma curva em n retângulos de largura</p><p>delta , sendo a área da curva aproximadamente a soma da área dos retângulos. Em duas</p><p>variáveis, a soma de Riemann é: , onde x e y são pontos</p><p>amostrais.</p><p>Tendo em vista a definição apresentada, analise os procedimentos e ordene as etapas a seguir,</p><p>de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização da soma de</p><p>Riemann:</p><p>I. ( ) Definir o número de retângulos n e m e suas respectivas larguras e .</p><p>II. ( ) Fazer o produto dos termos do somatório.</p><p>III. ( ) Avaliar a função usando os pontos amostrais escolhido pela regra do ponto médio por</p><p>exemplo.</p><p>IV. ( ) Fazer a soma de todos os termos do somatório.</p><p>Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>4, 3, 2, 1.</p><p>2, 1, 3, 4.</p><p>1, 3, 2, 4.</p><p>Resposta correta</p><p>3, 4, 1, 2.</p><p>1, 2, 4, 3.</p><p>1. Pergunta 5</p><p>0/0</p><p>Sabendo como cada coordenada se relaciona entre cada sistema, basta fazer a</p><p>substituição na função. Por exemplo, em coordenadas polares é .</p><p>De acordo com essas informações e com os seus conhecimentos de integração, analise</p><p>as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).</p><p>I. ( ) A função em coordenadas cilíndricas é .</p><p>II. ( ) A função em coordenadas polares é .</p><p>III. ( ) A função em coordenadas polares é .</p><p>IV. ( ) A função em coordenadas esféricas é .</p><p>Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>V, F, F, V.</p><p>V, F, V, F.</p><p>V, V, F, F.</p><p>F, F, V, V.</p><p>F, V, V, F.</p><p>Resposta correta</p><p>Pergunta 6</p><p>0/0</p><p>Existem métodos integrativos para diferentes regiões abaixo de superfícies. O método mais</p><p>simples envolve o cálculo de algumas integrais a partir de regiões retangulares. Existem,</p><p>porém, outros métodos, que envolvem o cálculo de algumas integrais a partir de regiões</p><p>limitadas por funções. Essas regiões são separadas em Tipo I (limitadas no eixo y) e Tipo II</p><p>(limitadas no eixo x) e são escritas algebricamente como</p><p>Figura – Representação de uma região.</p><p>Considerando essas informações, o esboço da região na figura supracitada e seus</p><p>conhecimentos acerca de integrais, afirma-se que a região supracitada representa a região de</p><p>Tipo I, porque:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>é limitada por funções em relação ao eixo z.</p><p>tem seu contradomínio nos reais R.</p><p>é limitada por funções em relação ao eixo x.</p><p>é limitada por funções em relação ao eixo y.</p><p>Resposta correta</p><p>pode ser representada em coordenadas cilíndricas</p><p>Pergunta 7</p><p>0/0</p><p>As integrais podem representar diversos tipos de mensuração. Pode-se mensurar áreas,</p><p>comprimentos e volumes com elas de maneira extremamente distinta. A seguinte integral</p><p>dupla de uma função de duas variáveis efetua a mensuração de uma dessas medidas:</p><p>Considerando essas informações e seus conhecimentos acerca de integrais, afirma-se que a</p><p>integral supracitada mensura o volume de uma superfície, porque:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>a região integrativa é uma região R retangular.</p><p>Resposta correta</p><p>a função que compõe o integrando é uma função par.</p><p>o integrando dessa integral é uma função de duas variáveis.</p><p>o diferencial de volume dv = dxdy.</p><p>o contradomínio dessa função faz parte dos reais R.</p><p>Pergunta 8</p><p>0/0</p><p>As coordenadas cilíndricas auxiliam na resolução de certos tipos de integrais</p><p>triplas e seu uso é recomendado quando se observa uma certa simetria na figura</p><p>em um eixo específico.</p><p>Figura – Representação de um sólido entre um plano e um paraboloide.</p><p>Considerando essas informações, o esboço do sólido na figura supracitada e seus</p><p>conhecimentos de integrais em coordenadas cilíndricas, é correto afirmar que o sólido pode</p><p>ter seu volume calculado em integrais com coordenadas cilíndricas porque:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>o eixo z varia de 0 a 10</p><p>o sólido é limitado por duas superfícies.</p><p>há uma simetria da figura com relação ao eixo x.</p><p>há uma simetria da figura com relação ao eixo y.</p><p>há uma simetria da figura com relação ao eixo z.</p><p>Resposta correta</p><p>Pergunta 9</p><p>0/0</p><p>Vetor e campo vetorial são conceitos importantes para o estudo de Cálculo Vetorial. Ambos</p><p>auxiliam, por exemplo, no entendimento do objeto matemático chamado integral de linha</p><p>De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de campos vetoriais, vetores e</p><p>integral de linha, analise as afirmativas a seguir:</p><p>I. A função descreve um campo vetorial.</p><p>II. A integral de linha mensura o efeito geral de um campo ao longo de uma curva</p><p>específica.</p><p>III. é uma representação de uma integral de linha.</p><p>IV. Um vetor possuí dois parâmetros básicos: sentido e módulo.</p><p>Está correto apenas o que se afirma em:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>I, II e III.</p><p>Resposta correta</p><p>I, III e IV.</p><p>II, III e IV.</p><p>II e IV.</p><p>I e II.</p><p>Pergunta 10</p><p>0/0</p><p>As integrais variam sua utilidade conforme os objetos matemáticos que elas integram.</p><p>Integrais de uma variável costumam mensurar áreas sob curvas, integrais duplas com funções</p><p>de duas variáveis podem calcular volumes e integrais triplas também podem mensurar</p><p>volumes.</p><p>De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integrais para funções de</p><p>várias variáveis e integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir:</p><p>I. é uma integral que mensura volume.</p><p>II. , sendo uma integral em uma região retangular, tem a função de</p><p>mensurar volume.</p><p>III. Um volume infinitesimal em três dimensões pode ser escrito da seguinte forma: dV = dx *</p><p>dy * dz.</p><p>IV. As coordenadas cartesianas são melhores para a resolução de integrais do que outras</p><p>coordenadas.</p><p>Está correto apenas o que se afirma em:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>II e IV.</p><p>I, II e IV.</p><p>I, II e III.</p><p>Resposta correta</p><p>I e II.</p><p>I, III e IV.</p><p>Pergunta 1</p><p>0/0</p><p>O teorema de Green, em sua forma vetorial, é utilizado para simplificar a resolução de integrais</p><p>de linha em caminhos fechados. O teorema relaciona a borda do caminho com a área formada</p><p>pelo caminho fechado, que deve ter orientação anti-horária. O teorema de Green possui mais</p><p>de uma forma de ser escrito.</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, analise as</p><p>afirmativas a seguir.</p><p>I. é uma forma do teorema de Green.</p><p>II. é uma forma do teorema de Green, sendo</p><p>III. é uma forma do teorema de Green.</p><p>IV. é uma forma do teorema de Green.</p><p>Está correto apenas o que se afirma em:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>I, II e IV.</p><p>Resposta correta</p><p>I e II.</p><p>I, II e III.</p><p>I e IV.</p><p>II e IV.</p><p>Pergunta 6</p><p>0/0</p><p>Muitas integrais duplas de funções de duas variáveis são definidas a partir de regiões</p><p>retangulares. Porém, existem maneiras de se calcular essas integrais, mesmo que não estejam</p><p>definidas em regiões retangulares, mas a região no plano xy deve ser limitada por funções.</p><p>Cada tipo de limitação</p><p>funcional caracteriza um certo tipo de região (Tipo I ou Tipo II).</p><p>De acordo com os seus conhecimentos sobre integrais duplas definidas em regiões do Tipo I e</p><p>do Tipo II, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s)</p><p>falsa(s).</p><p>I. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo I são definidas da seguinte</p><p>forma</p><p>II. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo II são definidas da seguinte</p><p>forma .</p><p>III. ( ) As regiões do Tipo I são limitadas por funções em y.</p><p>IV. ( ) As regiões dos tipos I e II são casos específicos de regiões retangulares.</p><p>Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>F, V, F, V.</p><p>F, F, V, V.</p><p>V, V, V, F.</p><p>Resposta correta</p><p>V, V, F, F.</p><p>F, V, V, F.</p><p>Pergunta 3</p><p>0/0</p><p>Um dos requisitos do teorema de Green é que o caminho de integração seja fechado. Isto é, o</p><p>ponto do começo da integração e do fim são o mesmo. Lembrando que o que está sendo</p><p>somado são os vetores do campo, portanto o fato de ser fechado não torna a integral nula.</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>o caminho fechado faz a orientação ser anti-horário.</p><p>só é possível definir uma área de integração com uma superfície fechada.</p><p>Resposta correta</p><p>o caminho fechado permite definir um volume.</p><p>o caminho aberto poder ter singularidades.</p><p>a integral de caminho em um campo vetorial é definida em caminho fechado.</p><p>1. Pergunta 4</p><p>O resultado de uma derivada ou integral deve independer da escolha de coordenadas</p><p>para representar o espaço. Isso faz sentido pois, dado um problema, resolvê-lo por um</p><p>método ou outro não o altera.</p><p>Acerca dos seus conhecimentos de coordenadas espaciais, pode-se afirmar que é</p><p>conveniente utilizar coordenadas cilíndricas ou esféricas em alguns problemas porque:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>permite integrar em qualquer ordem as coordenadas.</p><p>só é possível resolver algumas integrais em uma coordenada específica.</p><p>reduz o número de coordenadas e integrais.</p><p>reduz uma integral tripla em um produto de três integrais.</p><p>a simetria do problema, sendo cilíndrica ou esférica, torna a resolução da integral mais</p><p>simples nessas coordenadas.</p><p>Resposta correta</p><p>Pergunta 7</p><p>0/0</p><p>Integrais em uma ou mais variáveis são essencialmente somas que se faz em uma função de</p><p>interesse. A soma possui certas propriedades, como, por exemplo, (a,b)*c=a*c+b*c.</p><p>De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca das propriedades das integrais</p><p>de várias variáveis, analise as afirmativas a seguir:</p><p>I. Dada as funções f(x,y) e g(x,y), temos que .</p><p>II. Sendo c uma constante</p><p>III. Se , então .</p><p>IV. Dada as funções f(x,y) e g(x,y), temos que .</p><p>Está correto apenas o que se afirma em:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>I, II e IV.</p><p>II e III.</p><p>II e IV.</p><p>I e II.</p><p>Resposta correta</p><p>I, III e IV.</p><p>Pergunta 1</p><p>0/0</p><p>Considere a situação problema a seguir:</p><p>Um grupo de cientistas, estudando o crescimento populacional de um certo tipo de bactéria em</p><p>relação a outro tipo de bactéria que prejudica o crescimento conjunto, chegou ao seguinte</p><p>equacionamento:</p><p>(e2y – y cos(xy)) dx + (2xe2y – xcos(xy) + 2y)dy = 0</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais exatas,</p><p>obtenha a relação entre o crescimento da bactéria x e y utilizando o método de resolução de</p><p>equações diferenciais exatas.</p><p>Avalie as afirmativas a seguir e selecione a relação correta.</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>A relação entre x e y é xe2x + sen(x)cos(x) + c = 0</p><p>A relação entre x e y é cos(x)sen(x) + y2 = c</p><p>A relação entre x e y é xe2y – sen(xy) + y2 + c = 0</p><p>Resposta correta</p><p>A relação entre x e y é sen(x) + xe2y + c = 0</p><p>A relação entre x e y é xe2 + cos(xy) + c = 0</p><p>1. Pergunta 2</p><p>0/0</p><p>O fator de integração é uma função na qual o produto da equação diferencial por tal</p><p>função transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada do produto de duas</p><p>funções, a saber, y e o fator integrante. Essa função é utilizada na resolução de</p><p>equações lineares.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais</p><p>lineares, para a equação diferencial dada abaixo, ache o fator de integração necessário</p><p>para sua resolução:</p><p>Dy/dx – 3y = 0</p><p>Avalie as afirmativas abaixo e assinale a correta:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>O fator de integração é e3x</p><p>O fator de integração é 3x</p><p>O fator de integração é ex</p><p>O fator de integração é 3x.e</p><p>O fator de integração é e-3x</p><p>Resposta correta</p><p>1. Pergunta 3</p><p>0/0</p><p>Uma equação diferencial ordinária de primeiro grau pode ser muitas vezes</p><p>simplesmente solucionada pelo método das variáveis separáveis, tal método, que é</p><p>considerado a forma mais simples de se resolver uma equação diferencial,</p><p>basicamente divide as variáveis independentes e dependentes com seus respectivos</p><p>fatores de integração, permitindo a integração das variáveis.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis,</p><p>calcule a equação abaixo utilizando o método das variáveis separáveis:</p><p>dy/dx = (1+e2x)</p><p>Avalie as afirmativas a seguir e marque a que representa o resultado correto da</p><p>integral.</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>O resultado da integral é x + ex + c</p><p>O resultado da integral é x2 + e2x + c</p><p>O resultado da integral é x + 1/2ex + c</p><p>O resultado da integral é x + 2e2x + c</p><p>O resultado da integral é x + ½ e2x + c</p><p>Resposta correta</p><p>Pergunta 4</p><p>0/0</p><p>Uma equação diferencial ordinária do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 é equivalente a M(x, y) + N(x,</p><p>y)y’ = 0, pois y’ = dy/dx, ou seja, uma equação diferencial ordinária é exata se pode ser escrita</p><p>como M(x, y) + N(x, y)y’ = 0, e teremos que M/dy = N/dx.</p><p>Considere a situação problema a seguir:</p><p>Um grupo de cientistas que estavam estudando o efeito de um certo gene em pessoas com</p><p>câncer chegou na seguinte equação, que descreve o comportamento do gene aliado ao fato de</p><p>as pessoas fumarem:</p><p>2xydx + (x2 -1)dy = 0</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais exatas,</p><p>calcule, com base na equação acima, a relação entre as variáveis x e y:</p><p>Avalie as afirmativas a seguir e selecione a alternativa com a relação correta</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>A relação entre x e y é y2 + 2x = c</p><p>A relação entre x e y é 2xy2 + x = c</p><p>A relação entre x e y é x2y2 – y = c</p><p>A relação entre x e y é x2y – y = c</p><p>Resposta correta</p><p>A relação entre x e y é 2xy – y = c</p><p>Pergunta 5</p><p>0/0</p><p>“Uma forma simples de observar a homogeneidade de uma função polinomial é constatar que</p><p>todos os monômios da função têm o mesmo grau e, no caso de uma função racional (quociente</p><p>de polinômios), todos os membros do numerador têm um mesmo grau e todos os membros do</p><p>denominador também possuem um mesmo grau. Uma EDO que está na forma normal y'=f(x,y)</p><p>é homogênea se a função f=f(x,y) é homogênea de grau zero.”</p><p>Fonte: UEL. Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira ordem. Disponível em:</p><p>http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/edo/edo1ord.htm#edo0203. Acesso em:</p><p>08/09/2019</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações homogêneas, dada a</p><p>equação abaixo, determine se a mesma é homogênea e, em caso positivo, determinar seu grau.</p><p>f(x, y) = x/2y + 4</p><p>Assinale a alternativa correta a seguir.</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>Homogênea grau 3.</p><p>Homogênea grau 1.</p><p>Não homogênea.</p><p>Homogênea grau 0.</p><p>Resposta correta</p><p>Homogênea grau 2.</p><p>Pergunta 6</p><p>0/0</p><p>http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/edo/edo1ord.htm#edo0203.</p><p>Dentre as principais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, encontramos as</p><p>equações diferenciais homogêneas, o termo homogênea procede do fato que um dos lados da</p><p>equação diferencial é, nesse caso, uma função homogênea de grau qualquer. Por definição, uma</p><p>função f=f(x,y) é dita homogênea de grau k se, para todo t real, tem-se que: f(tx,ty) = tk.f(x,y).</p><p>Para tais equações,</p><p>uma substituição de variável conveniente permite reescrever a equação</p><p>diferencial como sendo uma equação de variáveis separáveis.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações homogêneas, dada a</p><p>equação abaixo, determine se a mesma é homogênea e caso seja, determine o grau da equação.</p><p>f(x, y) = x3 + y3 + 1</p><p>Assinale a alternativa correta a seguir.</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>Equação homogênea grau 1.</p><p>Equação homogênea, grau 3.</p><p>A equação não é homogênea.</p><p>Resposta correta</p><p>Equação homogênea grau 0.</p><p>Equação homogênea grau 2.</p><p>Pergunta 7</p><p>0/0</p><p>Considere a situação problema a seguir:</p><p>Um barco está sendo rebocado a uma velocidade de 12 nós. No instante inicial em que o cabo</p><p>do reboque é largado, uma pessoa dentro do bote começa a remar, no sentido do movimento,</p><p>exercendo uma força de 10 kgf. Sabendo que o peso total do conjunto homem barco é de 200</p><p>kgf, e a resistência ao movimento é 2,6 v, e v é a velocidade em m/s.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, calcule a</p><p>velocidade do bote após 0,5 minuto (adotar g=10 m/s2).</p><p>Dica: Como temos que: Massa x aceleração = força aplicada – resistência</p><p>Chegamos a dv/dt + 0,13v = 1/2</p><p>Avalie as afirmativas a seguir e selecione a velocidade correta do barco.</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>A velocidade do barco após 0,5 segundos é 2,5 m/s.</p><p>A velocidade do barco após 0,5 segundos é 1 m/s.</p><p>A velocidade do barco após 0,5 segundos é 4,5 m/s.</p><p>A velocidade do barco após 0,5 segundos é 4,2 m/s.</p><p>Resposta correta</p><p>A velocidade do barco após 0,5 segundos é 3,2 m/s.</p><p>1. Pergunta 8</p><p>0/0</p><p>Para se resolver uma equação diferencial linear, há um método lógico que leva em</p><p>consideração alguns passos: deve-se primeiramente escrever a equação linear na</p><p>forma dy + [P(x) – f(x)]dx = 0, sendo o fator de integração igual a e^(integral de P(x)).</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais</p><p>lineares, calcule o fator de integração da seguinte equação:</p><p>Dy/dx – 4y = x5ex</p><p>Avalie as afirmativas e assinale a correta:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>O fator de integração é igual a e-4</p><p>O fator de integração é igual a xe-4</p><p>O fator de integração é igual a x-e</p><p>O fator de integração é igual a e-4x</p><p>O fator de integração é igual a e-4X</p><p>Resposta correta</p><p>Pergunta 9</p><p>0/0</p><p>A aplicação do método das variáveis separáveis é tida como uma das mais fáceis, sua resolução</p><p>consiste em colocar a derivada na forma dy/dx, por exemplo, em um lado da equação e o</p><p>restante dos termos do outro lado, depois disso, deve-se colocar tudo que tem a variável x</p><p>junto com o termo dx e, da mesma forma, tudo que tem y deve ser colocado juntamente com</p><p>dy.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, dada a</p><p>equação diferencial dy/dx = sen(x), ache a equação de y(x).</p><p>Avalie as afirmativas a seguir e selecione a opção que contém a solução correta.</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>A solução para a equação corresponde a y = -cos(x) + c</p><p>Resposta correta</p><p>A solução para a equação corresponde a y = cos(x) + c</p><p>A solução para a equação corresponde a y = sen(x) + c</p><p>A solução para a equação corresponde a y = -sen(x) + c</p><p>A solução para a equação corresponde a y = -cos(x)</p><p>Pergunta 10</p><p>0/0</p><p>A simplificação de equações diferenciais é um processo que facilita a resolução, pois a redução</p><p>da equação a uma outra equivalente e simplificada torna o processo mais simples e intuitivo,</p><p>evitando cálculos excessivos; algumas simplificações exigem técnicas de produtos notáveis e</p><p>fatoração.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, dada a</p><p>equação: (1+x)dy – ydx = 0, calcule y(x).</p><p>(dica: dividir todos membros por (1+x)).</p><p>Avalie as afirmativas a seguir e selecione a que demonstra o resultado correto da integral.</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>O resultado da integral é y = ex+1 (e+x)</p><p>O resultado da integral é y = ± ec(1+x)</p><p>Resposta correta</p><p>O resultado da integral é y = ± e(1+x)</p><p>O resultado da integral é y = ± ec(1+x)</p><p>O resultado da integral é y = ± ex(1+x)</p><p>Pergunta 2</p><p>0/0</p><p>Em cálculo, um problema de valor inicial (ou problema de Cauchy) é uma equação diferencial,</p><p>tal que a mesma é determinada com o valor da função objetivo em certo ponto, denominado</p><p>valor inicial. Dessa forma, é possível selecionar uma única equação dentro de uma família de</p><p>equações.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, dada a</p><p>equação dy/dx = - x/y, com um valor inicial de y(4) = 3, calcule a solução considerando o valor</p><p>inicial.</p><p>Avalie as afirmativas a seguir e selecione a solução correta para a equação.</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>A solução para a equação é y2 + x2 = 25</p><p>Resposta correta</p><p>A solução para a equação é y = -x2 - 5</p><p>A solução para a equação é y = x2 - 5</p><p>A solução para a equação é y2 + x2 = 5</p><p>A solução para a equação é y = x2 - 25</p><p>1. Pergunta 4</p><p>0/0</p><p>Considere a situação-problema a seguir:</p><p>Imagine que há um tanque de 400 litros, e que uma solução de 60 kg de sal em água</p><p>enche o tanque. Despeja-se 8 litros de água por minuto e a mistura homogênea sai na</p><p>mesma proporção.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis,</p><p>calcule a quantidade de sal existente no tanque após 1 hora.</p><p>Dica: A concentração será S/400 Kg/litro, porém, a cada 8 minutos, temos que 8S/400</p><p>= -S/50 dt é a variação na quantidade de sal que sai do tanque.</p><p>Avalie as afirmativas abaixo e selecione a quantidade correta de sal.</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>A quantidade de sal é igual a 20 kg.</p><p>A quantidade de sal é igual a 26 kg.</p><p>A quantidade de sal é igual a 10 kg.</p><p>A quantidade de sal é igual a 24 kg.</p><p>A quantidade de sal é igual a 18 kg.</p><p>Resposta correta</p><p>Pergunta 6</p><p>0/0</p><p>Após a integração e resolução de equações diferenciais, obtemos uma função com uma</p><p>constante de integração (geralmente denominada c), ou seja, a solução define uma família</p><p>infinita de soluções, uma para cada valor da constante c, ou seja, a constante c, chamada</p><p>também de constante arbitrária, designa uma solução em forma de equação.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, dada a</p><p>equação diferencial xe-y sen(x) dx – y dy = 0, calcule a solução para a equação diferencial.</p><p>(Dica: multiplicar todos termos por ey)</p><p>Avalie as alternativas abaixo e selecione a alternativa que corresponde à solução correta para a</p><p>equação.</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>A solução para a equação é x cos(x) + sen(x) = ey + c</p><p>A solução para a equação é x cos(x) + sen(x) = – ey + c</p><p>A solução para a equação é x cos(x) - sen(x) = yey + c</p><p>A solução para a equação é – x cos(x) + sen(x) = yey – ey + c</p><p>Resposta correta</p><p>A solução para a equação é y cos(x) = yey – ey + c</p><p>Pergunta 8</p><p>0/0</p><p>As equações diferenciais lineares estão presentes em vários ramos da engenharia. Um modelo</p><p>matemático é uma representação de um sistema físico que pode ser, por diversas vezes,</p><p>expresso por uma equação diferencial linear.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais lineares,</p><p>dada a equação abaixo, encontre a solução geral utilizando o método de resolução de uma</p><p>equação linear:</p><p>dy/dx + xy/(x2 + 9) = 9</p><p>Avalie as afirmativas abaixo e selecione o valor correto da solução.</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>O valor de y é igual a = x2 / (c+9)</p><p>O valor de y é igual a = (c / x2)</p><p>O valor de y é igual a = c / (x2 + 9)^1/2</p><p>Resposta correta</p><p>O valor de y é igual a = x2 + 9/c</p><p>O valor de y é igual a = c / (x2 + 9)</p><p>1. Pergunta 1</p><p>0/0</p><p>As equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem são equações que</p><p>pertencem ao grupo de equações diferenciais lineares. Tais equações são tidas como</p><p>homogêneas se a função g(t) na equação y” + p(t)y’ + q(t)y = g(t) for nula, ou seja, y” +</p><p>p(t)y’</p><p>+ q(t)y = 0.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equação linear</p><p>homogênea, dada a função y = e2x, é correto afirmar que a equação diferencial linear</p><p>homogênea que admite tal solução é:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>y’’’ – 6y’’ + 11y’ – 6y = 0.</p><p>Resposta correta</p><p>y’’ – 11y’ – 10y = 0.</p><p>2y’’’ – 10y’’ + 8y’ – 5y = 0.</p><p>y’’’ – 6y = 0.</p><p>6y’’ + 11y’ – 6y = 0.</p><p>2. Pergunta 2</p><p>0/0</p><p>Uma equação não homogênea é aquela em que a função g(t) na equação:</p><p>y” + p(t)y’ + q(t)y = g(t) não é nula. Qualquer função denominada yp, que satisfaça a</p><p>equação acima é tida como uma solução particular da equação não homogênea.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações não</p><p>homogêneas, dada a equação y” + 9y = 27, é correto afirmar que a solução particular</p><p>que admite a equação é:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>yp = 3.</p><p>Resposta correta</p><p>yp = 3x2.</p><p>yp = 9x2.</p><p>yp = 3x.</p><p>yp = 18x.</p><p>3. Pergunta 3</p><p>0/0</p><p>Uma equação diferencial ordinária envolve derivadas de uma função de uma só</p><p>variável independente, enquanto as equações diferenciais parciais de uma função de</p><p>mais de uma variável independente, sendo o termo diferencial em comum, referente às</p><p>derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações</p><p>diferenciais ordinárias não homogêneas, dada a equação y” + 9y = 27, é correto afirmar</p><p>que uma solução particular que admita é:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>yp = 3.</p><p>Resposta correta</p><p>yp = 3x2.</p><p>yp = 18x.</p><p>yp = 3x.</p><p>yp = 9x2.</p><p>4. Pergunta 4</p><p>0/0</p><p>Uma solução particular para uma equação homogênea pode ser a soma de uma função</p><p>complementar com qualquer outra solução particular, como, por exemplo, a soma de</p><p>uma combinação linear com qualquer outra solução particular, ou seja, o resultado</p><p>pode ser dado como: y = função complementar + qualquer outra solução particular.</p><p>Dada que a solução geral para a equação não homogênea a seguir é y = c1.ex + c2.e2x +</p><p>c3.e3x, por substituição, determine sua solução particular e apresente a solução geral.</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equações não</p><p>homogêneas, é correto afirmar que a solução geral para y’’’ – 6y’’ + 11y’ – 6y = 0 é:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>y = c1.ex + c2.e2x + c3.e3x – 10 – x.</p><p>y = c1.ex + c2.e2x + c3.e3x – 12 – 1/2x.</p><p>y = c1.ex + c2.e2x + c3.e3x – 11/12 – x.</p><p>y = c1.ex + c2.e2x + c3.e3x – 11/12 – 1/2x.</p><p>Resposta correta</p><p>y = c1.ex + c2.e2x + c3.e3x – 11 – 2x.</p><p>5. Pergunta 5</p><p>0/0</p><p>Em matemática, wronskiano é uma função aplicada especialmente no estudo de</p><p>equações diferenciais. O nome dessa função é uma homenagem ao matemático polonês</p><p>Josef Wronski. Esse conceito é muito útil em diversas situações, por exemplo na</p><p>verificação se duas funções que são soluções de uma EDO de segunda ordem são</p><p>linearmente dependentes ou independentes.</p><p>Determine a matriz do teorema e a dependência linear das seguintes equações:</p><p>f1(x) = em1x e f2(x) = em2x</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema wronskiano,</p><p>é correto afirmar que:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>a matriz é [em1x em2x]</p><p>[m1 m2]</p><p>linearmente dependente.</p><p>a matriz é [em1x em2x]</p><p>[em2x m2.em2x]</p><p>linearmente independente.</p><p>a matriz é [em1x ex]</p><p>[m1.em1x ex]</p><p>linearmente independente.</p><p>a matriz é [em1x em2x]</p><p>[m1.em1x m2.em2x]</p><p>linearmente independente.</p><p>Resposta correta</p><p>a matriz é [em1x em2x]</p><p>[m1.em1x m2.em2x]</p><p>linearmente dependente.</p><p>6. Pergunta 6</p><p>0/0</p><p>Suponha que um corpo de m está caindo em um fluido no qual a resistência em kgf seja</p><p>proporcional ao quadrado da velocidade em m/s. Se a velocidade máxima limite é</p><p>50m/s, determine a velocidade após 2s, com o corpo partindo do repouso:</p><p>Dica: m.dv/dt = mg – Kv2.</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais e</p><p>problema de valor inicial, assinale a alternativa que corresponde à velocidade após 2s:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>22 m/s.</p><p>30 m/s.</p><p>27,8 m/s.</p><p>20,5 m/s.</p><p>21,4 m/s.</p><p>Resposta correta</p><p>7. Pergunta 7</p><p>0/0</p><p>De uma maneira geral, podemos afirmar que a independência linear é quando nenhum</p><p>elemento de um conjunto for combinação linear de outro, ou seja, pode-se afirmar que</p><p>um subconjunto é linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um elemento</p><p>do conjunto é combinação linear dos demais.</p><p>Determine a matriz do teorema e a dependência linear das seguintes equações:</p><p>f1(x) = ex</p><p>f2(x) = xex</p><p>f3(x) = x2.ex</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema Wronskiano,</p><p>é correto afirmar que:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>a matriz é:</p><p>[ex xex ex ]</p><p>[ex xex + ex x2.ex + ex ]</p><p>[ex + 2ex x2.ex + 4xex + 2ex]</p><p>linearmente dependente.</p><p>a matriz é:</p><p>[ex xex x2.ex ]</p><p>[ex xex x2.ex + 2xex ]</p><p>[ex + 2ex x2.ex + 4xex + 2ex]</p><p>linearmente dependente.</p><p>a matriz é:</p><p>[ex xex x2.ex ]</p><p>[ex xex + ex x2.ex + 2xex ]</p><p>[ex xex + 2ex x2.ex + 4xex + 2ex]</p><p>linearmente independente.</p><p>Resposta correta</p><p>a matriz é:</p><p>[ex xex x2.ex ]</p><p>[ex xex + 2ex x2.ex + 4ex ]</p><p>[ex xex + 4ex x2.ex + 8xex + 2]</p><p>linearmente dependente.</p><p>a matriz é:</p><p>[ex x2.ex ]</p><p>[ex xex + ex x2.ex + 2x ]</p><p>[xex + 2ex x2.ex + 4xex + 2ex]</p><p>linearmente independente.</p><p>8. Pergunta 8</p><p>0/0</p><p>A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem</p><p>diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na</p><p>equação dada, a transforma em uma identidade), ou seja, dada uma equação</p><p>diferencial, uma função solução é aquela que satisfaz todas as condições da equação</p><p>diferencial.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações não</p><p>homogêneas, dada a solução particular para a equação não homogênea</p><p>y = e2x, é correto afirmar que a equação não homogênea que admite tal solução é:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>y’’ – 3y’ = 2e6x.</p><p>y’’ – 3y’ + 4y = 2e2x.</p><p>Resposta correta</p><p>y’’ – 3y’ + 4y = 2e.</p><p>y’’ – 6y’ - 4y = 4x2.</p><p>y’’ – 6y’ + 16y = e2x.</p><p>9. Pergunta 9</p><p>0/0</p><p>O Wronskiano é utilizado para determinar se um conjunto de funções diferenciáveis</p><p>são linearmente dependentes ou independentes, em um dado intervalo. Caso o</p><p>Wronskiano seja diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são</p><p>linearmente independentes.</p><p>Determine a matriz do teorema e a dependência linear das seguintes equações:</p><p>f1(x) = sen2x e f2(x) = 1 – cos2x</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema Wronskiano,</p><p>é correto afirmar que:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>a matriz é [senx.cosx, 1 – cos2x]</p><p>[senx.cosx sen2x]</p><p>linearmente independente.</p><p>a matriz é [sen2x, 1 – cos2x]</p><p>[senx cos2x]</p><p>linearmente dependente.</p><p>a matriz é [sen2x, 1 – cos2x]</p><p>[cosx, sen2x]</p><p>linearmente independente.</p><p>a matriz é [sen2x, 1 – cos2x]</p><p>[2.senx.cosx 2.sen2x]</p><p>linearmente dependente.</p><p>Resposta correta</p><p>a matriz é [sen2x, 1 – cos2x]</p><p>[sen2x.cosx sen2x]</p><p>linearmente dependente.</p><p>10. Pergunta 10</p><p>0/0</p><p>É possível calcular o determinante de qualquer matriz, desde que a mesma seja</p><p>quadrada, ou seja, que o número de linhas corresponda ao número de colunas (ou seja,</p><p>uma matriz de ordem n x n). Seu determinante é dado pela subtração entre o</p><p>somatório do produto dos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos</p><p>termos da diagonal secundária.</p><p>Determine a matriz do teorema e a dependência linear das seguintes equações:</p><p>f1(x) = eax cos(bx) e f2(x) = eaxsen(bx).</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema Wronskiano,</p><p>é correto afirmar que:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>a matriz é [eax cos(bx) eaxsen(bx)]</p><p>[eaxsen(bx) + a.eax cos(bx) b.eax cos(bx) +</p><p>sen(bx)]</p><p>linearmente independente.</p><p>a matriz é [eax cos(bx) eaxsen(bx)]</p><p>[-b eaxsen(bx) + a.eax sen(bx) b.eax sen(bx) + a. eaxsen(bx)]</p><p>linearmente independente.</p><p>a matriz é [eax cos(bx) eaxsen(bx)]</p><p>[-b eaxcos(ax) + bx.eax cos(bx) a.eax cos(bx) + a. eaxsen(bx)]</p><p>linearmente independente.</p><p>a matriz é [eax cos(bx) eaxsen(bx)]</p><p>[-b eaxsen(bx) + a.eax cos(bx) b.eax cos(bx) + a. eaxsen(bx)]</p><p>linearmente independente.</p><p>Resposta correta</p><p>a matriz é [eax cos(bx) eaxsen(bx)]</p><p>[-b sen(bx) + a.cos(bx) b.eax cos(bx) + a. eaxsen(bx)]</p><p>linearmente independente.</p><p>Pergunta 6</p><p>0/0</p><p>Existem diversas formas de se classificar uma equação diferencial, como, por exemplo, a ordem</p><p>da equação diferencial, que corresponde à ordem da derivada de maior grau que aparece na</p><p>equação. A solução de uma equação diferencial de ordem n conterá n constantes.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equação linear homogênea,</p><p>dada a função y = e3x, é correto afirmar que a equação diferencial linear homogênea que</p><p>admite tal solução é:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>igual a y” – 18y’ + 12 = 0.</p><p>igual a y” – 9y = 0.</p><p>Resposta correta</p><p>igual a x2 + 4y = 0.</p><p>igual a 9y” – 18y’ = 0.</p><p>igual a y” – 3y’ + y = 0.</p><p>Pergunta 7</p><p>0/0</p><p>Uma equação linear homogênea é uma equação que possui os termos independentes iguais a</p><p>zero, por exemplo, 4x + 8y - z = 0 é uma equação homogênea, portanto, podemos concluir que</p><p>um sistema linear será considerado homogêneo se todas as suas equações tiverem os seus</p><p>termos independentes iguais a zero.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equação linear homogênea,</p><p>dada a função y = x2, é correto afirmar que a equação diferencial linear homogênea que admite</p><p>tal solução é:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>igual a x2 – 3xy’ + 4y = 0.</p><p>igual a x2y” – 3y’ + y = 0.</p><p>igual a x2y” – 3xy’ + 4y = 0.</p><p>Resposta correta</p><p>igual a y” – 3y’ + 4y = 0.</p><p>igual a x2y” – 3xy’ = 0.</p><p>Pergunta 9</p><p>0/0</p><p>Dadas as equações dependentes linearmente no intervalo [0, ∞], determine qual função</p><p>mantém a dependência do conjunto de funções a seguir:</p><p>f1(x) = (x)1/2 + 5</p><p>f2(x) = -1.[(x)1/2 + 5x].</p><p>Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre dependência linear, é correto</p><p>afirmar que:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>a função que mantém a série dependente é x – 1.</p><p>a função que mantém a série dependente é 5 [x -1].</p><p>Resposta correta</p><p>a função que mantém a série dependente é 5x2.</p><p>a função que mantém a série dependente é 1 – 5x2.</p><p>a função que mantém a série dependente é 5x.</p><p>1. Pergunta 6</p><p>0/0</p><p>Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que</p><p>não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ... ,y(n) é chamada uma equação</p><p>diferencial de ordem n, ou seja, uma equação diferencial que contém a derivada n-</p><p>ésima da variável dependente.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações não</p><p>homogêneas, dada a solução particular para a equação não homogênea</p><p>y = xex, é correto afirmar que a equação não homogênea que admite tal solução é:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>y’’ – 6y’ + 4y = xex – e2x.</p><p>y’’ – 3y’ + 4y = 2xex.</p><p>y’’ – 6y’ + 16y = e2x.</p><p>y’’ – 3y’ = 2xex – ex.</p><p>y’’ – 3y’ + 4y = 2xex – ex.</p><p>Resposta correta</p><p>Pergunta 9</p><p>0/0</p><p>As soluções podem ser classificadas em soluções gerais e soluções particulares. As gerais</p><p>apresentam n constantes independentes entre si, sendo n a ordem da EDO. Já soluções</p><p>particulares são obtidas mediante as condições iniciais dadas ou condições de contorno.</p><p>Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações não homogêneas,</p><p>dada a solução particular para a equação não homogênea:</p><p>y = -4x2, é correto afirmar que a equação não homogênea é:</p><p>Ocultar opções de resposta</p><p>y” – 2y’ + 4y = -16x2 + 24x – 8.</p><p>6y’ + 4y = 24x – 8.</p><p>y” – 7y’ + 8y = 24x2 + 24x.</p><p>y” – 3y’ + 4y = -16x2 + 24x – 8.</p><p>Resposta correta</p><p>y” – 9y’ + 10y = 16x – 8.</p>