Transformações Lineares aula

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<p>Transformações Lineares</p><p>Notas de Aulas</p><p>Nesse capítulo, estudaremos um tipo especial de função (ou aplicação), em que o do-</p><p>mínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais. Assim, tanto a variável independente</p><p>como a dependente são vetores. Em especial, estamos interessados nas funções vetoriais</p><p>lineares, as quais são denominadas transformações lineares.</p><p>Problematizando</p><p>Podemos representar muitos problemas por essas funções. Por exemplo [3], se um</p><p>quilograma de soja são extraídos 0, 2 litros de óleo, então, de uma produção de x kg de</p><p>soja, seriam extraídos 0, 2x litros de óleo. Representando na forma de função, temos</p><p>f(x) = 0, 2x→</p><p></p><p>f : < → <</p><p>x 7→ x</p><p>f : quantidades em litros de óleo</p><p>x : quantidade em kg de soja</p><p>Observe que</p><p>1) se tivermos duas produções se soja, x1 kg e x2 kg, então, para calcular a produção total</p><p>de óleo, temos</p><p>f(x1 + x2) = 0, 2(x1 + x2) = 0, 2x1 + 0, 2x2 = f(x1) + f(x2)</p><p>ou seja,</p><p>f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2).</p><p>2) se a quantidade de soja produzida for multiplicada por um fator α, a produção de óleo</p><p>será</p><p>f(αx) = 0, 2(αx) = α(0, 2x) = αf(x)</p><p>assim,</p><p>f(αx) = αf(x).</p><p>Se tivermos, agora, uma função entre espaços vetoriais, f : V → W (em que V e W</p><p>são espaços vetoriais), satisfazendo as condições 1) e 2), do exemplo acima, então, f é</p><p>uma transformação linear (ou aplicação linear).</p><p>1</p><p>De�nição</p><p>Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T : V → W é denominada transfor-</p><p>mação linear (ou aplicação linear) de V em W se satisfaz as seguintes propriedades:</p><p>(i) T (~u+ ~v) = T (~u) + T (~v), ∀ ~u,~v ∈ V ;</p><p>(ii) T (α~u) = αT (~u), ∀ ~u ∈ V e α ∈ <.</p><p>Caso V = W , a transformação linear T : V → W é chamada operador linear de V .</p><p>Transformação Nula</p><p>Se T : V → W é uma transformação linear, então T (~0) = ~0.</p><p>Consequência: se T (~0) 6= 0, então T : V → W não é transformação linear.</p><p>Exemplo. Veri�que se as transformações T : V → W são lineares ou não.</p><p>(a) T : <2 → <2, T (x, y) = (3x,−2y, x− y).</p><p>Resolução.</p><p>Veri�car se a transformação é nula, ou seja, se T (~0) = ~0.</p><p>Temos que T (x, y) = (3x,−2y, x− y) é nula para (0, 0), pois</p><p>T (0, 0) = (0, 0, 0).</p><p>Veri�car as propriedades (i) e (ii) de transformação linear.</p><p>(i) Sejam ~u = (x1, y1), ~v = (x2, y2) ∈ <2, então</p><p>T (~u+ ~v) = T (x1 + x2, y1 + y2) = (3(x1 + y1),−2(y1 + y2), (x1 + x2)− (y1 + y2))</p><p>T (~u) + T (~v) = T (x1, y1) + T (x2, y2) = (3x1,−2y1, x1 − y1) + (3x2,−2y2, x2 − y2)</p><p>T (~u) + T (~v) = (3x1 + 3x2,−2y1 − 2y2, x1 + x2 − y1 − y2)</p><p>Portanto, T (~u+ ~v) = T (~u) + T (~v).</p><p>2</p><p>(ii) Para α ∈ < e ~u = (x1, y1) ∈ <2, temos</p><p>T (α~u) = T (αx1, αy1) = (3αx1,−2αy1, αx1 − αy1) = α(3x1,−2y1, x1 − y1)</p><p>T (α~u) = α(3x1,−2y1, x1 − y1) = αT (~u)</p><p>Portanto, T é transformação linear.</p><p>(b) T : <2 → <2, T (x, y) = (x+ 2, y + 3).</p><p>Resolução.</p><p>Temos que T não é transformação linear, pois, T (0, 0) = (2, 3).</p><p>(c) T : <2 → <2, T (x, y) = (−9x, y2).</p><p>Resolução.</p><p>Veri�car se a transformação é nula, ou seja, se T (~0) = ~0.</p><p>Temos que a propriedade é satisfeita, pois, para (0, 0), T (0, 0) = (0, 0).</p><p>Veri�car as propriedades (i) e (ii) de transformação linear.</p><p>(i) Sejam ~u = (x1, y1), ~v = (x2, y2) ∈ <2, então</p><p>T (~u+ ~v) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (−9(x1 + x2), (y1 + y2)</p><p>2)</p><p>T (~u) + T (~v) = T (x1, y1) + T (x2, y2) = (−9x1, y21) + (−9x2, y22)</p><p>T (~u) + T (~v) = (−9(x1 + y1), y</p><p>2</p><p>1 + y22)</p><p>T (~u+ ~v) 6= T (~u) + T (~v)</p><p>Portanto, T não é transformação linear.</p><p>Teorema: dados espaços vetoriais reais V e W e uma base de V , {~v1, ~v2, . . . , ~vn}, sejam</p><p>~w1, ~w2, . . . , ~wn elementos arbitrários de W . Então, existe uma única aplicação (transfor-</p><p>mação) linear T : V → W tal que T (~v1) = ~w1, . . . , T (~vn) = ~w. Esta aplicação é dada</p><p>por:</p><p>3</p><p>se ~v = α1~v1 + · · ·+ αn~vn,</p><p>T (~v) = α1T (~v1) + · · ·+ αnT (~vn) = α1 ~w1 + · · ·+ αn ~wn.</p><p>Exemplo: Seja T : <3 → <2 uma transformação linear e β = {~v1, ~v2, ~v3} uma base do</p><p><3, sendo ~v1 = (0, 1, 0), ~v2 = (1, 0, 1), ~v3 = (1, 1, 0). Determinar T (5, 3,−2), sabendo que</p><p>T (~v1) = (1,−2, ), T (~v2) = (3, 1), T (~v3) = (0, 2).</p><p>Resolução.</p><p>Expressamos ~v = (5, 3,−2) como combinação linear dos vetores da base β 1</p><p>(5, 3,−2) = a1(0, 1, 0) + a2(1, 0, 1) + a3(1, 1, 0)</p><p>5 = a2 + a3 ⇒ a3 = 7</p><p>3 = a1 + a3 ⇒ a1 = −4</p><p>−2 = a2</p><p>Então,</p><p>(5, 3,−2) = −4(0, 1, 0)− 2(1, 0, 1) + 7(1, 1, 0). (1)</p><p>Logo, aplicando T em (1), temos</p><p>T (5, 3,−2) = T (−4(0, 1, 0)− 2(1, 0, 1) + 7(1, 1, 0))</p><p>T (5, 3,−2) = −4T (0, 1, 0)− 2T (1, 0, 1) + 7T (1, 1, 0)</p><p>T (5, 3,−2) = −4(1,−2)− 2(3, 1) + 7(0, 2)⇒ T (5, 3,−2) = (−10, 20)</p><p>Núcleo</p><p>Seja T : V → W uma transformação linear. O conjunto de todos os vetores ~v ∈ V</p><p>tais que T (~v) = ~0 é chamado núcleo de T , sendo denominado por N(T ) ou ker(T ),</p><p>N(T ) = {~v ∈ V ; T (~v) = ~0}.</p><p>1Como β é uma base de <3, então todos os vetores de <3 podem ser escritos como combinação linear</p><p>de β.</p><p>4</p><p>Observação. N(T ) ⊂ V e é um subespaço vetorial de V e, como T (~0) = ~0, temos que</p><p>~0 ∈ N(T ).</p><p>Exemplo. Determine o núcleo da transformação linear.</p><p>(a) T : <2 → <2, T (x, y) = (x+ y, 2x− y).</p><p>Resolução.</p><p>Precisamos determinar x e y tal que T (x, y) = (0, 0), assim,</p><p>(x+ y, 2x− y) = (0, 0)⇒</p><p>x+ y = 0</p><p>2x− y = 0</p><p>⇒ x = 0, y = 0</p><p>Portanto, N(T ) = {(0, 0)}.</p><p>(b) T : <3 → <2, T (x, y, z) = (x− y + 4z, 3x+ y + 8z).</p><p>Resolução.</p><p>(x− y + 4z, 3x+ y + 8z) = (0, 0)⇒</p><p>x− y + 4z = 0</p><p>3x+ y + 8z = 0</p><p>⇒ x = −3z, y = z.</p><p>Portanto, N(T ) = {(−3z, z, z); z ∈ <} = {z(−3, 1, 1); z ∈ <} ou N(T ) = [(−3, 1, 1)]</p><p>(o núcleo é gerado pelo vetor (−3, 1, 1)).</p><p>Núcleo</p><p>Seja T : V → W uma transformação linear. A imagem de T é o conjunto dos</p><p>vetores ~w ∈ W tais que existe um vetor ~v ∈ V , que satisfaz T (~v) = ~w. ou seja,</p><p>Im(T ) = {~w ∈ W ; T (~v) = ~w para algum ~v ∈ V }.</p><p>Observação. Im(T ) é um subespaço de W .</p><p>Teorema: sejam V e W espaços vetoriais de dimensão �nita e T : V → W uma trans-</p><p>formação linear, então</p><p>dim(N(T )) + dim(Im(T )) = dimV.</p><p>5</p><p>Corolário1: se dimV = dimW , então a transformação linear T é injetora se, e somente</p><p>se, é sobrejetora.</p><p>Corolário 2: seja T : V → W uma aplicação linear injetora. Se dimV = dimW , então</p><p>T leva base em base.</p><p>Matriz de uma transformação linear</p><p>Sejam T : V → W uma transformação linear, α = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} uma base de V e</p><p>β = {~w1, ~w2, . . . , ~wm} uma base de W . Então, T (~v1), T (~v2), . . . , T (~vn) são vetores de W e</p><p>podemos escrevê-los como combinação linear dos vetores da base β</p><p>T (~v1) = a11 ~w1 + a21 ~w2 + · · ·+ am1 ~wm</p><p>T (~v2) = a12 ~w1 + a22 ~w2 + · · ·+ am2 ~wm</p><p>...</p><p>T (~vn) = a1n ~w1 + a2n ~w2 + · · ·+ amn ~wm</p><p>A matriz</p><p>[T ]αβ =</p><p></p><p>a11 a12 . . . a1n</p><p>a21 a22 . . . a2n</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>am1 am2 . . . amn</p><p></p><p>é a matriz da transformação em relação as bases α e β.</p><p>Observação. Se as bases α e β forem canônicas, temos uma matriz canônica [T ].</p><p>Exemplos.</p><p>1) Dada a transformação linear T : <3 → <2, T (x, y, z) = (x+ y, y− z) e considerando-se</p><p>as bases α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} do <3 e β = {(1, 1), (0, 2)} do <2, determinar [T ]αβ .</p><p>Resolução.</p><p>Os elementos da matriz são determinados aplicando T nos vetores da base α, como</p><p>6</p><p>combinação linear dos vetores da base β</p><p>T (1, 1, 1) = (2, 0) = a1(1, 1) + a2(0, 2) (2)</p><p>T (0, 1, 1) = (1, 0) = b1(1, 1) + b2(0, 2) (3)</p><p>T (0, 0, 1) = (0,−1) = c1(1, 1) + c2(0, 2) (4)</p><p>em que</p><p>[T ]αβ =</p><p>a1 b1 c1</p><p>a2 b2 c2</p><p></p><p>Resolvendo os sistemas gerados pelas equações (2), (3) e (4), temos</p><p>a1 = 2, a2 = −1, b1 = 1, b2 = −1/2, c1 = 0, c2 = −1/2.</p><p>[T ]αβ =</p><p> 2 1 0</p><p>−1 −1/2 −1/2</p><p> .</p><p>2) Dadas as bases α = {(1, 1), (0, 1)} do <2 e β = {(0, 3, 0), (−1, 0, 0), (0, 1, 1)} do <3,</p><p>determine a transformação linear cuja matriz é [T ]αβ =</p><p></p><p>0 2</p><p>−1 0</p><p>−1 3</p><p>.</p><p>Resolução.</p><p>Precisamos determinar a transformação T : <2 → <3, T (x, y) = (a, b, c).</p><p>Então,</p><p>T (1, 1) = a1(0, 3, 0) + a2(−1, 0, 0) + a3(0, 1, 1),</p><p>T (0, 1) = b1(0, 3, 0) + b2(−1, 0, 0) + b3(0, 1, 1),</p><p>Como, da matriz transformação, temos a1 = 0, a2 = −1, a3 = −1, b1 = 2, b2 = 0, b3 = 3,</p><p>então, T (1, 1) = (1,−1,−1) e T (0, 1) = (0, 9, 3).</p><p>Agora, como α é uma base</p><p>de <2, então, podemos escrever qualquer vetor (x, y) como</p><p>combinação linear dos vetores de α</p><p>(x, y) = a1(1, 1) + a2(0, 1)⇒ (x, y) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1). (5)</p><p>Aplicando T na equação (5), temos</p><p>T (x, y) = T (x(1, 1) + (y − x)(0, 1))⇒ T (x, y) = xT (1, 1) + (y − x)T (0, 1),</p><p>T (x, y) = x(1,−1,−1) + (y − x)(0, 9, 3)⇒ T (x, y) = (x, 9y − 10x, 3y − 4x).</p><p>7</p><p>Inversa de uma transformação linear</p><p>Teorema: sejam A e B bases dos espaços vetoriais V e W , respectivamente. Uma trans-</p><p>formação linear T : V → W é inversível se, e somente se, [T ]AB é inversível. Além disso,</p><p>se T é inversível, então [T−1]BA = ([T ]AB)</p><p>−1.</p><p>Corolário: sejam A e B bases dos espaços vetoriais V e W , respectivamente, e</p><p>T : V → W uma transformação linear. T é inversível se, e somente se, det[T ]AB 6= 0.</p><p>Referências</p><p>[1] ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. ed. Campus</p><p>[2] BARONE JR, M. Álgebra linear. São Paulo: IME-USP, 1988.</p><p>[3] BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3a edição. São Paulo: Harbra, 1986.</p><p>[4] BOULOS, P., CAMARGO, I. Geometria Analítica. São Paulo: Prentice Hall, 2005.</p><p>[5] CALLIOLI, C. A.; DOMINGUES, H; COSTA, R. C. F. Álgebra linear e aplicações.</p><p>São Paulo: Atual, 2003.</p><p>[6] COELHO, F. U.; LOURENÇO, M. L. Um curso de Álgebra Linear. São Paulo:</p><p>Editora da Universidade de São Paulo-EDUSP, 2001.</p><p>[7] LIMA, E. L. Álgebra linear. Rio de Janeiro: IMPA, 1998.</p><p>[8] STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra linear. 2a edição. Pearson, 2010.</p><p>8</p>