FMA_404_Lista_de_Exercicios_I_1

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FMA-404 Lista de Exerćıcios I 1
Lista de Exerćıcios I
① Um certo estado |ψ〉 é um autoestado de L̂2 e de L̂z de forma que:
L̂2|ψ〉 = L2|ψ〉 = l(l + 1)h̄2|ψ〉, L̂z|ψ〉 = Lz|ψ〉 = mh̄|ψ〉.
Calcule para esse estado: 〈L̂x〉 e 〈L̂2
x〉.
② Mostre que a expressão:
〈L2〉 = h̄2l(l + 1),
pode ser obtida diretamente de duas condições: (a) os únicos valores
posśıveis que o momento angular orbital pode assumir em qualquer
eixo são −lh̄, (−l + 1)h̄, ..., lh̄; (b) todas as componentes do momento
angular orbital são igualmente prováveis.
❸ Considere uma part́ıcula de massa µ sujeita a uma trajetória circular
de raio constante r. A energia potencial será considerada nula em todos
os pontos da trajetória.
(a) Calcule a expressão clássica para a energia cinética da part́ıcula
em função de seu momento angular orbital L.
(b) Determine a expressão das componentes de L em coordenadas
cartesianas.
(c) Escreva o operador de momento angular, L̂z, em coordenadas
cartesianas.
(d) Calcule a expressão de L̂z em coordenadas polares (r, θ) do plano
de rotação e determine suas autofunções.
(f) Determine a expressão do hamiltoniano, Ĥ , da part́ıcula em rotação.
(g) Mostre que L̂z comuta com Ĥ. O que se pode então deduzir das
autofunções de Ĥ?
(h) Determine os autovalores de Ĥ .
Primeiro Semestre – 2005
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④ O problema acima é uma representação da massa reduzida µ de uma
molécula diatômica, cujos átomos estão a uma distância fixa r um do
outro, e que efetua movimentos de rotação.
(a) Determine os ńıveis de energia de rotação da molécula diatômica,
representada acima, utilizando a expressão geral para os autova-
lores de um momento angular L̂.
(b) O espectro de absorção de rotação da molécula de monóxido de car-
bono, CO, apresenta um pico de absorção para um comprimento
de onda λ = 1,3 mm, correspondente à uma transição entre os
ńıveis l = 1 e l = 2. Calcule o momento de inércia da molécula a
partir dos dados experimentais.
(c) Deduza a distância entre os átomos constituintes da molécula (para
NA átomos C = 12 g e O = 16 g).
⑤ Considere uma part́ıcula, sem spin, representada pela função de onda
|ψ〉 = A(x+ y + 2z)e−αr,
onde r =
√
x2 + y2 + z2 e A e α são constantes reais.
(a) Qual o momento angular total da part́ıcula?
(b) Qual o valor esperado da componente z, L̂z , do momento angular
da part́ıcula?
(c) Caso med́ıssemos L̂z , qual a probabilidade de que o resultado en-
contrado fosse Lz = h̄?
(d) Qual a probabilidade de encontrar a part́ıcula no ângulo sólido
dΩ, em θ e φ? Aqui θ e φ são os ângulos usuais em coordenadas
esféricas.
As seguintes expressões podem ser úteis:
Y 0
0
=
√
1
4π
, Y 1
±1
= ∓
√
3
8π
sen θ e±iφ
Y 1
0
=
√
3
4π
cos θ, Y 2
±1
= ∓
√
15
8π
sen θ cos θ e±iφ
Primeiro Semestre – 2005