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**Resposta:** É uma identidade trigonométrica verdadeira para todos \( x \). 
**Explicação:** Usamos a identidade \( \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) \) e \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) 
\). 
 
### 47. Sistema de Equações com Frações 
**Problema:** Resolva o sistema \( \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\ \frac{1}{x} - 
\frac{1}{y} = 2 \end{cases} \). 
**Resposta:** \( x = \frac{1}{3} \) e \( y = -\frac{1}{3} \). 
**Explicação:** Adicionando as duas equações, obtemos \( \frac{2}{x} = 3 \), então \( x = 
\frac{1}{3} \). Substituindo na segunda equação, obtemos \( y = -\frac{1}{3} \). 
 
### 48. Equação Diferencial de Segunda Ordem 
**Problema:** Resolva \( \frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0 \). 
**Resposta:** \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \). 
**Explicação:** A equação característica é \( r^2 + 4 = 0 \), cujas raízes são \( r = \pm 2i \). 
 
### 49. Equação Polinomial de Grau 4 
**Problema:** Resolva \( x^4 - 16 = 0 \). 
**Resposta:** \( x = \pm 2, \pm 4 \). 
**Explicação:** Fatoramos como \( (x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0 \), resultando em raízes \( x = \pm 2 \) 
e \( x = \pm 4 \). 
 
### 50. Equação Exponencial com Logaritmo 
**Problema:** Resolva \( e^x = x^2 \). 
**Resposta:** \( x \approx 0.703 \) e \( x \approx 1.718 \). 
**Explicação:** Esta equação não pode ser resolvida algebricamente e requer métodos 
numéricos para encontrar soluções aproximadas. 
 
### 51. Equação Trigonométrica Simples 
**Problema:** Resolva \( \sin(x) = 0 \). 
**Resposta:** \( x = n\pi \), onde \( n \) é um número inteiro. 
**Explicação:** A função seno é zero em múltiplos inteiros de \( \pi \). 
 
### 52. Sistema de Equações Polinomiais Simples 
**Problema:** Resolva o sistema \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 2 \\ xy = 1 \end{cases} \). 
**Resposta:** \( (x, y) = (1, 1) \) e \( (-1, -1) \). 
**Explicação:** Substituímos \( y = \frac{1}{x} \) na primeira equação, resultando em \( x^2 + 
\frac{1}{x^2} = 2 \). 
 
### 53. Equação Diferencial de Primeira Ordem 
**Problema:** Resolva \( \frac{dy}{dx} = y \cos(x) \). 
**Resposta:** \( y = C e^{\sin(x)} \). 
**Explicação:** Separando variáveis e integrando, obtemos \( y = C e^{\sin(x)} \). 
 
### 54. Equação Polinomial de Grau 3 
**Problema:** Resolva \( x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0 \). 
**Resposta:** \( x = 2 \) e outras raízes são encontradas por fatoração adicional. 
**Explicação:** Fatoramos \( (x - 2)(x^2 - x - 6) = 0 \) e obtemos \( x = 2, 3, -2 \). 
 
### 55. Equação Logarítmica Complexa 
**Problema:** Resolva \( \log_{10}(x 
 
^2 + 1) = 1 \). 
**Resposta:** \( x = \pm \sqrt{9} \). 
**Explicação:** Reescrevemos como \( x^2 + 1 = 10 \), então \( x^2 = 9 \), resultando em \( x = 
\pm 3 \). 
 
### 56. Equação Diferencial Linear Avançada 
**Problema:** Resolva \( \frac{d^2y}{dx^2} - 3 \frac{dy}{dx} + 2y = e^x \). 
**Resposta:** \( y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} - \frac{e^x}{2} \). 
**Explicação:** Usamos o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução 
particular e a solução homogênea. 
 
### 57. Sistema de Equações Lineares 
**Problema:** Resolva o sistema \( \begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \).