financas-corporativas

Prévia do material em texto

Finanças corporativasFinanças corporativas
AUTORIA
Antonio Carlos Lázaro Sanches
Bem vindo(a)!
Seja muito bem-vindo(a)!
Prezado(a) aluno(a), que bom que você se interessou pelo assunto desta disciplina,
será o começo de uma jornada de conhecimento e experiências novas, que trarão
um novo jeito de ver as �nanças e como a utilizamos no dia a dia e nas empresas.
Finanças Corporativas está presente em uma simples compra com desconto, em
uma loja fazendo liquidação, e até nos complexos cálculos de juros compostos
(exponenciais). Sugiro que se prepare e tenha em mãos uma boa calculadora para
desvendar várias fórmulas da matemática �nanceira, análise de investimento e
análise de sensibilidade.
Nesta apostila, procurei abordar de forma prática esse conteúdo que é tão
importante em nosso cotidiano, seja na vida pessoal ou pro�ssional.
Quem nunca comprou parcelado?
Quem nunca pensou em �nanciar um veículo?
Você sabe calcular se os juros anunciados são efetivamente os juros cobrados?
É muito importante que você, enquanto futuro pro�ssional graduado na área de
gestão, tenha uma calculadora �nanceira. Recomendo HP12C. Não é uma
calculadora barata, então, se você não pode comprar no momento, pode optar por
acessar gratuitamente um emulador através do link: https://epxx.co/ctb/hp12c.html.
Há também a possibilidade de baixar em seu smartphone um aplicativo de HP12C
nas plataformas Android e IOS.
Na Unidade I começaremos a explorar a matemática �nanceira e seus conceitos e
importância no atual cenário �nanceiro. Depois serão demonstrados os cálculos de
percentagem, taxa unitária e juros simples. E em seguida veremos o que é Desconto
Racional e Desconto Comercial, um produto bancário muito utilizado pelas
empresas no Brasil.
Na Unidade II vamos ampliar nossos conhecimentos aprofundando mais no
conceito de juros e partir para os juros compostos e descontos compostos, além de
tratar também da correção monetária.
Na Unidade III será conceituada a análise de investimento, seus métodos de análise
e principalmente os tipos de formas, tais como: TMA (Taxa Mínima de Atratividade),
VPL (Valor Presente Líquido) e TIR (Taxa Interna de Retorno), suas vantagens e
desvantagens.
Na Unidade IV, a última e não menos importante, vamos aprender o que é análise
de sensibilidade, os possíveis cenários para tomada de decisão e o processo de
tomada de decisão.
Espero contribuir para seu crescimento pessoal e pro�ssional.
Muito obrigado e bom estudo!
https://epxx.co/ctb/hp12c.html
Sumário
Essa disciplina é composta por 4 unidades, antes de prosseguir é necessário que
você leia a apresentação e assista ao vídeo de boas vindas. Ao termino da quarta da
unidade, assista ao vídeo de considerações �nais.
Unidade 1
Matemática �nanceira
Unidade 2
Juros compostos, descontos
compostos, amortização e
depreciação
Unidade 3
Análise de investimentos
Unidade 4
Análise de sensibilidade
Matemática �nanceira
AUTORIA
Antonio Carlos Lázaro Sanches
Sumário
Introdução
1 - Percentagem
2 - Taxa unitária
3 - Juros simples
4 - A simbologia que adotaremos
5 - Desconto racional ou desconto por dentro
6 - Desconto comercial ou desconto por fora
Considerações Finais
Introdução
É muito comum em nosso cotidiano lidarmos com os assuntos que serão abordados
nesta unidade: cálculo percentual e de juros!
Você vai ao comércio e logo vê uma placa: 50% de desconto à vista!
Ou ainda: �nancie seu veículo com taxa de 0,99% ao mês!
Você sabe fazer um cálculo de porcentagem? Usando a calculadora? Ou sabe fazer de
cabeça ou através de fórmulas?
É muito comum fazermos tais contas de maneira intuitiva.
Uso um exemplo clássico que, com certeza, já ocorreu na sua família ou com algum
conhecido: meu falecido avô paterno, quase sem nenhum estudo, mas a vida toda foi
comerciante. Fazia contas di�cílimas sem o auxílio de calculadora e ainda �cava bravo
com os netos que a utilizavam. Cálculos percentuais exatos!
Nós podemos treinar isto! Vamos lá?
Plano de Estudo:
1. Percentagem
2. Taxa de Juros
3. Juros Simples
4. Simbologia
5. Desconto Racional ou Por Dentro
6. Desconto Comercial ou Por Fora
Objetivos de Aprendizagem:
1. Estudar percentual e o uso em nossas vidas
2. Conhecer a utilidade de taxas de juros
3. Conhecer o que é juros simples
4. Estudar a simbologia e a convenção utilizada
5. Entender o que são os Descontos Racionais ou por dentro e sua utilidade para as
empresas
6. Entender o que são os Descontos Comerciais ou por fora e sua utilidade para as
empresas
Percentagem
Como podemos calcular qual foi o nosso aproveitamento em um determinado
exame?
Suponhamos que você tenha acertado em um exame 12 das 15 questões
apresentadas. A razão entre o número de questões acertadas e o número total de
questões é:
Isto signi�ca que se dividirmos 12 por 15 chegaremos ao resultado de 0,8. O valor 0,8
signi�ca 80%. Sabe por quê? Como o próprio nome já diz “PORCENTO”, SE
MULTIPLICARMOS 0,8 POR 100, CHEGAMOS A 80%. Isto signi�ca que seu
aproveitamento foi de 80% ao acertar 12 questões num exame que continha 15.
Vamos utilizar outro exemplo:
Se você conseguisse acertar 25 questões num exame de 50?
Divida o 25/50 e chegará ao resultado de 0,5 que se multiplicado por 100, revela seu
aproveitamento de 50%.
Tosi (2009) nos lembra que, na fórmula de matemática �nanceira, a taxa de juros
deverá sempre ser informada na forma decimal, ou seja, dividida por 100.
Exercícios resolvidos de percentagem:
12
15
SAIBA MAIS
Na Calculadora HP-12C:
50 ENTER 25 %T
Note que na HP-12C existe uma tecla “%T” além da tecla normal “%”.
Nesse caso, em que queremos saber o quanto um número (por exemplo,
25) representa percentualmente de outro (50), digitamos primeiro o
número 50 na sequência apertamos ENTER, lançamos o 25 e por último
a tecla %T.
Tente você mesmo!
a) Quanto é 15% de 80?
Multiplique 15 por 80 e divida por 100.
15 x 80 = 1200 
1200/100 = 12 
12 é 15% de 80
Se você achar mais fácil, você pode simplesmente multiplicar 15% na sua forma
decimal, que é 0,15 por 80:
0,15 x 80 = 12
Resposta: 15% de 80 é igual a 12.
b) Quanto é 70% de 30?
Multiplique 70 por 30 e divida por 100:
21 é 70% de 30
Ou então você pode multiplicar 70% na sua forma decimal, que é 0,70 por 30:
0,7 x 30 = 21
Resposta: 70% de 30 é igual a 21.
c) Quanto é 150% de 45?
Multiplique 150 por 45 e divida por 100:
67,5 é 150% de 45
Você também pode simplesmente multiplicar 150% na sua forma decimal, que é 1,50
por 45:
1,50 x 45 = 67,5
Resposta: 150% de 45 é igual a 67,50.
d) Expresse a razão de 19 para 25 como uma porcentagem.
A razão de 19 para 25 pode ser expressa nestas duas formas:
Ao realizarmos a divisão de 19 por 25 iremos obter o valor da razão:
Tal como procedemos no caso das razões centesimais, devemos multiplicar esse valor
decimal por 100 e acrescentar o símbolo “%” para termos a representação da
porcentagem, na verdade o multiplicamos por 100%:
ou 19 : 25
19
25
= 0, 76
19
25
0,76 x 100% = 76%
e) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais
337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?
Sabemos que 30% da população da cidade mora na ilha e o restante, ou seja, 70%
mora no continente. Como 70% corresponde a 337.799 habitantes, podemos montar
uma regra de três para calcularmos quantos habitantes correspondem aos 30% que
moram na ilha:
337.799 está para 70, assim como x está para 30:
Podemos resolver este exercício de uma outra forma. Se multiplicarmos 337.799 por
100 e dividirmos este produto por 70, iremos encontrar o número total de habitantes
da cidade:
Ao calcular 30% de 482.570 iremos encontrar o número de habitantes da ilha:
Elementos do Cálculo Percentual
Vimos no exemplo do início desta unidade que:
Nesse exemplo, chamando o 12 de percentagem, o 15 de principal e o 80 de taxa,
temos:
Percentagem/principal = taxa/100
Daí, obtemos as seguintes de�nições:
Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.
Percentagem é o valor que representaa quantidade tomada de outra,
proporcionalmente a uma taxa.
Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.
O principal, a percentagem e a taxa são os elementos do cálculo percentual.
× 100 = 482.570
337.799
70
482.570 × 30% = = 144.771
482.570 × 30
100
=
12
15
80
100
ATENÇÃO
Na prática é muito comum:
empregarmos as palavras desconto, comissão, multa, parte, quota,
abatimento, prejuízo, lucro etc. em lugar de percentagem;
designarmos a taxa percentual simplesmente por percentagem.
Assim, tanto faz dizermos, em uma situação qualquer, que o lucro
foi de R$ 80,00 ou de 20%.
Taxa unitária
Vimos que a taxa percentual se refere a 100, isto é:
Porém, na resolução de muitas questões, é mais prático (e, algumas vezes, necessário)
tomarmos como valor referencial a unidade, obtendo o que chamamos de taxa
unitária (simbolizada por i). Assim:
Temos então:
= 25%
25
100
= ⇒ i = = 0, 25
25
100
i
1
25
100
Juros simples
Juros são de�nidos como sendo a remuneração do capital a qualquer título.
Assim, são válidas as seguintes expressões como conceitos de juros:
a. remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
b. custo do capital de terceiros;
c. remuneração paga pelas instituições �nanceiras sobre o capital nelas aplicado.
Os juros são �xados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma
unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia).
Exemplos:
12% ao ano = 12% a.a. 
4% ao semestre = 4% a.s. 
1% ao mês = 1% a.m.
Os regimes de juros estudados na Matemática Financeira são conhecidos como juros
simples e juros compostos.
No regime de juros simples apenas o capital inicial, também chamado de principal, rende
juros. Juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros.
No regime de juros compostos, somam-se os juros do período ao capital para o cálculo de
novos juros nos períodos seguintes. Juros são capitalizados e passam a render juros. O
regime de juros compostos será apresentado na Unidade II.
Tosi (2009) nos lembra que o valor dos juros simples é igual em todos os períodos de
cálculo, o que nos possibilita dizer que ele é linear em relação ao prazo. Veja a
demonstração grá�ca:
Figura 1 - Juros Simples
Fonte: Tosi (2009).
ATENÇÃO
O Valor do Dinheiro no Tempo
A Matemática Financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro no
tempo, que, por sua vez, está interligado à existência da taxa de juros.
Do ponto de vista da Matemática Financeira, $1.000,00 hoje não são
iguais a $1.000,00 em qualquer outra data, pois o dinheiro cresce no
tempo ao longo dos períodos, devido à taxa de juros por período.
Assim, um capital de $1.000,00 aplicado hoje, com uma taxa de juros de
8% a.a., implicará um rendimento anual de $80,00, proporcionando um
montante de $1.080,00 no �nal de um ano.
Pode-se dizer que considerando uma taxa de juros de, por exemplo, 8%
a.a., é indiferente termos $1.000,00 hoje ou $1.080,00 daqui a um ano. Um
capital de $1.000,00 hoje somente será igual a $1.000,00 daqui a um ano
na hipótese irreal da taxa de juros ser considerada igual a zero.
A simbologia que adotaremos
A simbologia e a convenção utilizada em todo esse material didático serão idênticas
àquelas adotadas por todas as calculadoras da marca HP, inclusive pela HP-12C.
As grandezas monetárias podem ser representadas no �uxo de caixa de acordo com
as convenções de �nal de período e de início de período, que são apresentadas a
seguir.
A calculadora HP-12C adota as seguintes convenções e simbologias para de�nir os
elementos do Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa: 
Número de períodos de capitalização de juros, expresso em anos,
semestres, bimestres, mês ou dias, podendo tomar os valores 0,1, 2,
3...
Taxa de juros por período de capitalização, expressa e percentagem,
sempre mencionando a unidade de tempo considerada (ano,
semestre, trimestre, bimestre, mês ou dia).
Valor presente (Presente Value), ou seja, valor do capital inicial
(principal) aplicado. Representa, na escala horizontal do tempo, o
valor monetário colocado na data inicial, isto é, no ponto
correspondente a n = 0.
Valor futuro (Future Value), ou seja, valor do montante acumulado no
�nal de períodos de capitalização, com a taxa de juros i. Representa,
na escala horizontal do tempo, os valores monetários colocados nas
datas futuras, isto é, nos pontos correspondentes a n = 1, 2, 3...
Valor de cada prestação da Série Uniforme (Periodic PaymenT) que
ocorre no �nal de cada período (Série Postecipada). Representa, na
escala horizontal do tempo, o valor de cada prestação igual à que
ocorre no �nal dos períodos 1, 2, 3...
No regime de juros simples, os juros de cada período são obtidos pela aplicação da
taxa de juros i sempre sobre o principal PV, fazendo com que os juros tenham o
mesmo valor em todos os períodos. Assim, temos:
juros de cada período: PV x i
juros de n períodos: n x PV x i
O valor futuro FV, também chamado de montante, é resultante da aplicação de um
principal PV, durante n períodos, com uma taxa de juros i por período. No regime de
juros simples, FV é obtido pela expressão:
FV = montante = principal + juros = PV + n x PV x i
ou seja:
FV = PV (1 + i x n)
Em que a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a
unidade referencial de tempo utilizada para de�nir o número de períodos n.
A Expressão Genérica FV = PV (1 + i x n) pode ser veri�cada, considerando PV =
1.000,00 e i = 8% ao ano, o montante FV, no �nal de cada ano é:
n = 1 => FV = 1.000,00 (1 + 0,08 x 1) = 1.080,00
n = 2 => FV = 1.000,00 (1 + 0,08 x 2) = 1.160,00
E assim por diante. Observe que o montante FV corresponde ao saldo no �nal de
cada ano após o pagamento.
Exemplo:
1. Um comerciante tomou emprestado num banco estatal a importância de R$
18.000,00 pelo prazo de dois anos a uma taxa de juros de 30% ao ano. Qual será o valor
dos juros e o montante a serem pagos?
PV = R$ 18.000,00 
FV = ? 
n = 2 anos 
i = 30% aa ou 30/100 = 0,3
FV = PV (1 + i x n)
FV = 18.000,00 (1 + 0,3 X 2) 
FV = 18.000,00 x 1,6 
FV = 28.800,00
SAIBA MAIS
Em relação aos elementos do Diagrama Padrão, são relevantes os seguintes
comentários:
a. os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais. Assim, por
exemplo, todos os meses têm a mesma duração de 30 dias;
b. a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve
necessariamente coincidir com a unidade referencial de tempo
utilizada para de�nir o número de períodos n;
c. os problemas comuns de Matemática Financeira envolvem, em geral,
apenas quatro elementos, sendo que dois deles são obrigatoriamente a
taxa de juros i e o número de períodos n. Os outros dois elementos a
serem relacionados podem ser PV com FV, PV com PMT, e FV com
PMT;
d. as fórmulas desse compêndio são desenvolvidas apenas para esse
Diagrama Padrão, assumindo a convenção de �nal de período. Os
problemas que se enquadram nessa situação têm solução imediata. Os
demais problemas deverão ser enquadrados nesse Diagrama Padrão
mediante desdobramentos e outros artifícios que não alteram o
enunciado do problema;
e. a Calculadora HP-12C está preparada para resolver os problemas que se
enquadram nesse Diagrama Padrão, com a convenção de �nal de
período.
Ressaltamos os seguintes pontos:
A calculadora está preparada para utilizar a convenção de �nal de
período quando a função END estiver ativa (acione as teclas g e
END e veri�que se a palavra BEGIN não aparece indicada no visor);
A calculadora deve apresentar sempre a letra C indicada no visor
(pressione concomitantemente as teclas STO e EEX), para que
realize todos os cálculos a juros compostos, independentemente do
valor de n ser um número inteiro ou fracionário;
Os valores monetários, sejam de PV, FV ou PMT, devem ser
registrados na calculadora sempre de acordo com a convenção de
sinal, isto é, as entradas de caixa (recebimentos) devem ter o sinal
positivo (+), e as saídas de caixa (pagamentos) devem ter o sinal
negativo (–);
Os problemas que envolvem apenas quatro elementos devem ser
resolvidos com o registrodo número zero para o elemento
monetário (PV, FV ou PMT) que não participa do problema;
Os valores do número de períodos n podem ser números inteiros ou
fracionários. Por exemplo, n pode ser registrado em anos, fração de
ano, fração de mês etc.;
O registro de uma taxa de juros de 8%, por exemplo, deve ser feito
com a colocação do número 8 na tecla correspondente a i. A
calculadora, internamente, faz as operações com 8%, isto é, com
8/100 = 0,08;
A calculadora sempre interliga os cinco elementos (n, i, PV, PMT e
FV). Por exemplo, no caso de obtenção do PV, a HP-12C calcula a
seguinte relação:
PV = valor presente de FV + valor presente de PMT
Fonte: Puccini e Puccini (2009).
Desconto racional ou desconto por
dentro
Tosi (2009, p. 98) conceitua que “o desconto simples é efetuado com base no regime
de capitalização simples, ou seja, utilizando-se taxas de juros lineares, nessa
modalidade está incluído o desconto racional (por dentro)”.
A taxa de juros i, também denominada taxa de rentabilidade ou, ainda, taxa de
desconto “por dentro”, pode ser obtida a partir da relação a seguir, que fornece:
O valor do desconto, expresso em $, corresponde aos juros acumulados no tempo.
Assim, genericamente, ele pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro FV, ou
montante, e o valor presente PV, ou principal, ou seja:
O valor do desconto “por dentro” (Dd), ou racional, é obtido multiplicando-se o valor
presente PV pela taxa de desconto i, e esse produto pelo prazo da operação n, ou seja:
Na prática, entretanto, o valor presente é sempre a incógnita, sendo normalmente
conhecidos o valor futuro FV, o prazo n e a taxa de desconto i. Vamos, a seguir,
deduzir a fórmula que permite obter o valor do desconto racional a partir das variáveis
conhecidas.
O valor do desconto “por dentro”, ou racional, é também obtido pela aplicação da
expressão geral para desconto, isto é:
A partir da expressão, podemos chegar na seguinte relação:
Substituindo o PV dessa última equação, na equação anterior, temos:
Vamos resolver alguns exercícios?
a) Calcule o número de meses necessário para um capital dobrar de valor, com uma
taxa de juros de 2% ao mês, no regime de juros simples.
i = ( − 1) ×
FV
PV
1
n
Descontos = FV − PV
Dd = PV × i × n
Dd = FV − PV
PV =
FV
1 + i × n
Dd = FV − = FV (1 − )FV
1 + i × n
1
1 + i × n
Dd = FV ×
1 × n
1 + i × n
Solução:
Supondo o valor de PV = $ 100,00, então teríamos FV = $ 200,00, e os dados do
problema seriam os seguintes:
PV= $100,00; 
FV = 2 X 100,00 = $200,00; 
i = 2% ao mês = 0,02; 
n = ?
Pela Relação apresentada anteriormente temos:
Assim temos que n = 50 meses.
b) Calcule o valor da taxa mensal de desconto “por dentro” usada numa operação de
desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é $ 10.000,00 e cujo valor do
principal é $ 9.750,00.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
PV= $9.750,00; 
FV = $10.000,00; 
n = 60 dias = 2 meses; 
i = ? (% ao mês)
Precisamos multiplicar o resultado por 100 para �car em percentual.
Assim, temos 1,282% ao mês.
FV = 200, 00 = PV (1 + i × n) = 100, 00 (1 + 0, 02 × n)
200, 00 = 100 + 2n
200 − 100 = 2n
2n = 100
n =
100
2
i = ( − 1) ×
FV
PV
1
n
i = ( − 1) ×
10.000
9.750
1
2
i = 0, 01282
c) Calcule o valor do desconto simples de um título de $ 1.000,00, com vencimento
para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por dentro” é de 1,2% ao mês.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
FV = $1.000,00; 
n = 60 dias; 
i = 1,2% ao mês = 1,2%/30; temos ao dia = 0,04% a.d. = 0,0004 
Desconto = FV – PV = ?
e, portanto, o desconto “por dentro” é igual a (1.000,00 − 976,56) = $23,44.
d) Um empresário tem uma conta de cheque especial num banco que permite
saques a descoberto e que cobra 1,5% ao mês sobre o saldo devedor, a juros simples,
pelos dias que a conta �car descoberta.
Calcule o montante de juros cobrado no mês de abril, assumindo que a conta tem
saldo zero no �nal de março e que em abril são emitidos os seguintes cheques:
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Veja que sempre utilizamos as mesmas
unidades de tempo, se nos derem o tempo em dias e a taxa em meses,
temos que converter um ou outro para as mesmas unidades. Vai
depender de como o problema pede. Se pedir em meses, transforme
dias em meses, isto é, 60 dias = 2 meses.
Outra coisa importante é que quando fazemos o cálculo do i no
problema anterior, o resultado sai na forma unitária e se quisermos
apresentar na forma percentual é só multiplicar por 100, isto é, 0,01282 X
100 = 1,282%.
PV =
FV
(1 + i × n)
PV = = $976, 56
1.000, 00
(1 + 0, 0004 × 60)
Data 1º de abril 11 de abril 21 de abril
Valor do cheque ($) 2.000,00 1.000,00 1.000,00
Saldo devedor ($) 2.000,00 3.000,00 4.000,00
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
i = 1,5% ao mês = 1,5%/30 = 0,05% ao dia = 0,0005 a.d.
I) Calculando os juros devidos por período:
Juros de 1º de abril a 10 de abril => durante esses 10 dias o saldo devedor é de $
2.000,00, portanto: Juros = 2.000,00 X 0,0005 X 10 = $10,00
Juros de 11 de abril a 20 de abril => durante esses 10 dias o saldo devedor é de $
3.000,00, portanto: Juros = 3.000,00 X 0,0005 X 10 = $15,00
Juros de 21 de abril a 30 de abril => durante esses 10 dias o saldo devedor é de $
4.000,00, portanto: Juros = 4.000,00 X 0,0005 X 10 = $20,00
Assim, o total de juros devidos no mês de abril é igual a:
Juros do mês de abril = (10,00 + 15,00 + 20,00) = $45,00
II) Utilizando o conceito de saldo médio:
O saldo devedor médio no mês de abril é obtido pela relação:
O que nos dá o valor de $ 3000,00.
SALDO MÉDIO =
(2000 × 10 + 3000 × 10 + 4000 × 10)
30
Desconto comercial ou desconto
por fora
Tosi (2009, p. 117) conceitua que “o desconto composto é efetuado com base no
regime de capitalização composta, ou seja, utilizando-se taxas de juros exponenciais”.
No regime de juros simples, os descontos de cada período são obtidos pela aplicação
da taxa de desconto d sempre sobre o valor futuro FV, ou montante, fazendo com que
os descontos tenham o mesmo valor em todos os períodos. Assim, temos:
desconto de cada período: FV x d
desconto de n períodos: n x FV x d
Observe que a taxa de desconto d (“por fora”) é aplicada sobre o valor futuro FV para
produzir o valor presente PV, ao passo que a taxa de desconto i (“por dentro”), ou taxa
de rentabilidade, é aplicada sobre o valor presente PV para produzir o valor futuro FV.
Assim, o valor do desconto “por fora” (Df), ou comercial, é obtido multiplicando-se o
valor futuro FV pela taxa de desconto d por período, e esse produto pelo número de
períodos de desconto n, ou seja:
O valor presente PV, ou principal, resultante do desconto “por fora” sobre o montante
FV, durante n períodos, com uma taxa de desconto d por período, é obtido, a juros
simples, pela expressão:
ou seja:
Em que a unidade referencial de tempo da taxa de desconto d deve coincidir com a
unidade referencial de tempo utilizada para de�nir o número de períodos n.
Vejamos um exemplo
a) Calcule o valor do desconto simples de um título de $ 1.000,00, com vencimento
para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por fora” é de 1,5% ao mês.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
FV = $1.000,00; 
n = 60 dias; d = 1,5% ao mês = 1,5%/30 ao dia = 0,05% a.d. = 0,0005 a.d. 
Desconto = FV − PV = ?
Sabemos que:
Df = FV × d × n
PV = montante − descontos = FV − n × FV × d
PV = FV (1 − d × n)
PV = FV (1 − d × n) = $1.000, 00 × (1 − 0, 0005 × 60) = $970, 00
portanto, o desconto “por fora” é igual a (1.000,00 - 970,00) = $ 30,00.
Livro
Filme
Juros compostos, descontos
compostos, amortização e
depreciação
AUTORIA
Antonio Carlos Lázaro Sanches
Sumário
Introdução
1 - Capitalização e desconto compostos
2 - Depreciação
3 - O que é amortização?
Considerações Finais
Introdução
Certa vez resolvi trocar meu veículo por um novo, mas como eu não tinha todo o
dinheiro para pagar à vista, resolvi �nanciar uma parte. A concessionária anunciava
em sua vitrine uma taxa de juros de 0,99% ao mês para o �nanciamentodo carro, em
12 parcelas mensais.
Como ando sempre com minha HP-12C, fui conferir, fazendo os cálculos. Conversando
com o gerente da loja, ele me informou o seguinte: para �nanciar o valor de R$
15.000,00, que correspondia à metade do valor de um carro, eu iria pagar 12 parcelas
mensais de R$ 1.375,00, sendo a primeira 30 dias após do fechamento do negócio.
Com essas informações e com a calculadora HP-12C, em alguns segundos, eu pude
conferir se aquela taxa de 0,99% ao mês, divulgada pela empresa vendedora, era a
taxa que realmente custava para mim, como consumidor.
Vamos lá, pegue a sua calculadora HP-12C ou no emulador on-line (que já passei o
link na apresentação deste material) e faça junto comigo:
1. Primeiramente ligue a HP: tecla ON.
2. Apague todas as memórias �nanceiras de sua HP, pois ela poderá pegar dados
armazenados e fazer o cálculo errado. Para isso aperte duas teclas: digite
primeiro a tecla f (amarela) e depois a tecla CLx. Faça isso sempre que você for
começar um novo cálculo. (f CLx).
3. Digite a tecla f e a tecla do número 2 para aparecer duas casas decimais na HP.
Se você quiser que apareça mais casas decimais é só teclar f e número desejado.
(f 2)
4. Observe se no visor está aparecendo o termo BEGIN (ele não deve aparecer, pois
ele serve para cálculos com uma parcela de entrada, que não é o caso, esse
�nanciamento é sem entrada). Assim, se você digitar a tecla g (azul) e depois a
tecla do número 7 (BEG) irá aparecer o termo BEGIN que serve para cálculos
quanto você já paga uma parcela no ato da compra. Nesse caso, digite a tecla g
e depois 8 (END), o termo BEGIN irá desaparecer e o cálculo será feito
considerando um �nanciamento sem entrada, como é esse caso. (g 8)
5. Digite 12, que é o número de parcelas do �nanciamento e aperte a tecla n. (12 n)
6. Digite 15000, que é o valor �nanciado, aperte a tecla CHS para ele �car negativo
(-15.000,00) e digite PV. (15000 CHS PV)
7. Agora digite 1375, que é o valor de cada parcela, e depois a tecla PMT. (1375 PMT)
8. Por último, digite a tecla i, que é a informação que você deseja que a HP-12C
calcule, ou seja, a taxa de juro. (i)
Observe que no visor apareceu 1,50. Caso não tenha aparecido esse valor, �que
tranquilo, refaça todos os passos bem devagar e com cuidado que vai dar certo.
Dessa forma, podemos concluir que a taxa custa 1,50% ao mês para quem comprar
esse carro �nanciado. Bem diferente da taxa de 0,99% estampada nas vitrines da loja.
Mas, por que você acha que isso acontece?
Neste caso, foi porque a loja informou apenas a taxa de juro do negócio e não
informou que havia outros custos a mais para fazer o �nanciamento, como o Imposto
sobre Operações Financeiras, taxa para fazer o cadastro do cliente consumidor, taxa
para a abertura de crédito etc. Essas outras informações não são apresentadas de
maneira clara para você que é o consumidor, mas estão todas escondidas e são
acrescentadas diretamente no valor das prestações. Se você não �car atento, pagará
todas elas sem perceber e sem saber que está pagando.
Por isso é muito importante que você saiba fazer o cálculo da taxa correta, pois, assim,
você mesmo descobrirá se há mais valores sendo cobrados no seu �nanciamento e
não �cará dependendo das informações que lhe forem passadas. Esse é um exemplo
de armadilha que o mercado prepara para os consumidores. Se você estiver
preparado, não será surpreendido(a) por nenhuma delas.
Tosi (2009) explica que a capitalização composta ocorre quando os juros de cada
período são incorporados ao capital, de forma que o resultado renda juros no próximo
período. Veja a representação grá�ca:
Figura 1 - Juros Compostos
Fonte: Tosi (2009).
Vamos agora veri�car estas situações e aprender a nos preparar!
Plano de Estudo:
1. Capitalização e Desconto Compostos
2. Depreciação 
3. O que é Amortização?
Objetivos de Aprendizagem:
1. Conhecer o que é juros sobre juros (juros compostos)
2. Conhecer sobre Depreciação (desgaste ou perda de utilidade pelo uso dos
produtos)
3. Estudar a perda do valor dos bens imateriais em razão do tempo (Amortização)
Capitalização e desconto
compostos 
Veremos nesta unidade que o conceito de juros compostos é muito importante, uma
vez que esse é o sistema indicado para efetuar análises e transformações de �uxos de
caixa de forma conceitualmente correta. Inicialmente, apresentaremos o problema da
capitalização composta, que trata da valorização do dinheiro ao longo do tempo. Em
seguida, apresentaremos o problema inverso, ou seja, o da diminuição das grandezas
futuras, na medida em que são trazidas para o valor presente, mediante as operações
de desconto composto.
Nos dois casos, os estudos incluem deduções de fórmulas genéricas e suas aplicações
em exemplos numéricos, cujas soluções são apresentadas pelo Simulador da HP-12C.
No regime de juros compostos, os juros de cada período, quando não são pagos no
�nal do período, devem ser somados ao capital e, consequentemente, também
passam a render juros. A esse processo dá-se o nome de capitalização de juros, e
como ele acontece no regime de juros compostos, costuma ser chamado de
capitalização composta.
No regime de juros compostos, os juros de cada período são obtidos pela aplicação da
taxa de juros i sobre o capital, aplicado no início do período de capitalização.
Assim, temos:
A. no 1° período de capitalização (n = 1)
capital no início do período = PV
juros do período = PV x i
capital no �nal do período = FV = PV +PV x i = PV (1 + i)
B. no 2° período de capitalização (n = 2)
capital no início do período = PV (1 + i)
juros do período = PV (1 +i) x i
capital no �nal do período = FV = PV (1 +i) +PV (1 + i) x i =
= PV (1 +i) x (1 +i)
portanto:
C. no 3° período de capitalização (n = 3)
A expressão para o valor futuro FV, ou montante, no �nal do 3° período de
capitalização pode ser deduzida de forma análoga, e toma o seguinte aspecto:
FV = PV (1 + i)2
D. no enésimo período de capitalização
A expressão genérica do valor futuro FV, ou montante, resultante da aplicação de um
principal PV durante n períodos de capitalização, com uma taxa de juros i por período,
no regime de juros compostos é:
em que a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a
unidade referencial de tempo utilizada para de�nir o número de períodos n.
Desconto Racional ou Por Dentro
A taxa de desconto i (por dentro, ou racional) é usualmente denominada taxa de
desconto e é muito utilizada pelo mercado �nanceiro.
Temos que:
que fornece o valor do principal PV a partir de FV, em função dos parâmetros n e i. O
valor do desconto “por dentro” (Dd), ou racional, expresso em $, é obtido pela
aplicação da Expressão Genérica para desconto, combinada com a Relação, isto é
Se temos PV, achemos, então, FV. O problema envolvendo o cálculo do valor futuro FV
a partir do valor presente PV consiste na solução da Expressão Genérica (5.1), em que
a relação precisa ser calculada para os parâmetros i e n.
A expressão pode ser calculada para qualquer valor de i e de n, com a
utilização da HP-12C, basta utilizar das teclas a seguir:
FV = PV (1 + i)3
FV = PV (1 + i)n
PV =
FV
(1 + i)n
Dd = FV − PV =
FV [(1 + i)n − 1]
(1 + i)n
(1 + i)n
(1 + i)n
Vamos exempli�car?
Quando o problema pedir o contrário, dado FV para achar PV. Faça os mesmos
passos, apenas trocando a tecla PV por FV, inclusive mantenha a troca de sinal
utilizando CHS.
Vamos a mais um exercício?
NA PRÁTICA
Calcule o valor acumulado no �nal de seis anos, no regime de juros
compostos, com uma taxa efetiva de 10% ao ano, a partir de um
investimento inicial (principal) de $ 1.000,00.
Solução:
n = 6 anos;
i = 10% ao ano;
PV = $1.000,00;
FV = ?
O primeiro passo é limpar a calculadora: f Clx
O segundo passo é digitar 1000 (que é o valor principal), inverter o sinal
clicando em CHS. Isso deve ser feito, pois a calculadora reconhece a
partir da inversão do sinal, que isto foi a entrada, o principal, como se
fosse uma saída de caixa.
Terceiro passo é digitar 10 i
Quarto passo é digitar6 n
E, por �m, tecle em FV.
A calculadora lhe dará o número 1.771,56. Isto signi�ca que após 6 anos, o
capital de 1000 acumulará 771,56 de juros, permitindo um montante de
1.771,56.
NA PRÁTICA
O montante de $ 1.000,00, colocado no �nal do 4° mês do diagrama
indicado a seguir, deve ser capitalizado e descontado com a taxa de 1%
ao mês, no regime de juros compostos.
Calcule:
a. o valor acumulado no �nal do 7° mês, pela capitalização do montante
de $ 1.000,00 indicado no diagrama;
b. o valor que deve ser investido no �nal do 1° mês, para se obter o
montante de $ 1.000,00 indicado no diagrama.
Solução:
a. montante no �nal do 7° mês
Assim, o valor de $ 1.000,00 �ca colocado no ponto zero da nova escala
de tempo e deve ser tratado como um valor presente PV, que precisa ser
capitalizado três meses para atingir o �nal do 7° mês.
Na HP-12C:
1000 CHS PV
3 n
1 i
FV
O resultado será 1.030,30.
b) principal no �nal do 1° mês
Nesse caso, para enquadrarmos o problema no Diagrama Padrão,
precisaremos colocar o valor PV (a ser determinado) no ponto zero da
nova escala de tempo, conforme indicado a seguir:
Assim, o valor de $ 1.000,00 �ca colocado no ponto 3 da nova escala de
tempo, e deve ser tratado como um valor presente FV, que precisa ser
descontado três meses para atingir o �nal do 1° mês.
Na HP-12C:
1000 CHS FV
3 n
1 i
PV
O resultado será 970,59.
Depreciação
O que é Depreciação?
É a diminuição do valor dos bens corpóreos em decorrência de desgaste ou perda de
utilidade pelo uso, ação da natureza ou obsolescência. Expressa a perda de valor que
os valores imobilizados de utilização sofrem no tempo, por força de seu emprego na
gestão.
O encargo da depreciação poderá ser computado como custo ou despesa
operacional, conforme o caso. A depreciação dos bens utilizados na produção será
custo, enquanto a depreciação dos demais bens há de ser registrada como despesa
operacional. 
Segundo as leis brasileiras, segue uma tabela de depreciação:
O lançamento pode ser:
D = DESPESA DE DEPRECIAÇÃO
Ou
C = DEPRECIAÇÃO ACUMULADA
Tabela 1 - Tabela de Depreciação
  Taxa anual Anos de vida útil
Edifícios 4% 25
Máquinas e equipamentos 10% 10
Instalações 10% 10
Móveis e utensílios 10% 10
Veículos 20% 5
Computadores e periféricos 20% 5
Fonte: Dominium Contabilidade (2020).
Alguns bens não se depreciam, como:
Terrenos, salvo em melhoramentos ou construções;
Bens que normalmente aumentam de valor com o tempo, como obra de arte;
Prédios e construções não alugados nem utilizados por seu proprietário na
produção de seus rendimentos ou imóveis destinados à venda.
Como Calculamos Depreciação?
Método linear (ou quotas constantes)
É o método que contabiliza, como despesa ou custo, uma parcela constante do valor
do bem em cada período.
NA PRÁTICA
A empresa comprou, no início de janeiro, um veículo com vida útil
estimada de 5 anos pelo valor de $ 30.000,00, sem valor residual
estimado. Qual será o valor da depreciação?
No �nal do primeiro ano, deverá reconhecer a despesa de depreciação
de $30.000,00 : 5 = $ 6.000,00 por ano.
Para calcularmos o valor da depreciação mensal, para efeito de apuração
de resultados mensais, basta dividir o valor da depreciação anual por 12:
$ 6.000,00 : 12 = $ 500,00 por mês.
Se considerarmos um valor residual de R$ 3.000,00, o valor anual da
depreciação será:
Para calcularmos o valor da depreciação mensal, para efeito de apuração
de resultados mensais, basta dividir o valor da depreciação anual por 12:
A contabilização do valor da depreciação mensal será efetuada da
seguinte forma: débito de despesa de depreciação e crédito da conta
Depreciação Acumulada, portanto o lançamento será:
Débito – Despesa de Depreciação $ 450,00
Crédito – Depreciação Acumulada $ 450,00
No �nal do primeiro ano, o Ativo Imobilizado da empresa deverá ser
apresentado no Balanço Patrimonial da seguinte forma:
Veículos $ 30.000,00
(-) Depreciação Acumulada ($ 6.000,00) $ 24.000,00
Dessa forma, o leitor do balanço saberá a idade aproximada do Ativo
Imobilizado da empresa.
= $5.400, 00 por ano
($30.000, 00 − $3.000, 00)
5
= $450, 00 por mês
$5.400, 00
12
Método soma dos dígitos
Esse método consiste em somar os algarismos desde a unidade até o algarismo que
representa o número de anos da vida útil do bem. No exemplo do item anterior, sem
considerar o valor residual, teríamos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Quota do 1º. Ano = 5/15 x $ 30.000 = $ 10.000
Quota do 2º. Ano = 4/15 x $ 30.000 = $ 8.000
Quota do 3º. Ano = 3/15 x $ 30.000 = $ 6.000
Quota do 4º. Ano = 2/15 x $ 30.000 = $ 4.000
Quota do 5º. Ano = 1/15 x $ 30.000 = $ 2.000
soma = $ 30.000
Nesse método, o valor mensal da depreciação:
no primeiro ano, seria de R$ 10.000,00 : 12 = R$ 833,33.
no segundo ano, seria de R$ 8.000,00 : 12 = R$ 666,67.
no terceiro ano, seria de R$ 6.000,00 : 12 = R$ 500,00.
no quarto ano, seria de R$ 4.000,00 : 12 = R$ 333,33.
no quinto ano, seria de R$ 2.000,00 : 12 = R$ 166,67
Método saldo decrescente
Também denominado método de Matheson ou Exponencial, ou ainda método da
porcentagem �xa sobre o valor contábil.
Em que n é o número estimado de anos da vida útil do bem.
Usando o exemplo anterior e supondo um valor residual de R$ 1.500, teríamos:
% anual = 1 – 0,54928
% anual = 0,45072 ou 45,072%
Quota do 1º. Ano = 45,072% x 30.000 = $ 13.521,60
Porcentagem anual = 1 −
n√valor residual
Custo do bem
%anual = 1 −
5√1.500
30.000
Quota do 2º. Ano = 45,072% x 16.478,40 = $ 7.427.15
Quota do 3º. Ano = 45,072% x 9.051,25 = $ 4.079,58
Quota do 4º. Ano = 45,072% x 4.971,67 = $ 2.240,83
Quota do 5º. Ano = 45,072% x 2.730,84 = $ 1.230,84
Total = $ 28.500,00
Nesse caso, a depreciação mensal seria de:
No primeiro ano = R$ 13.521,60 : 12 = R$ 1.126,80
No segundo ano = R$ 7.427,15 : 12 = R$ 618,93
No terceiro ano = R$ 4.079,58 : 12 = R$ 339,97
No quarto ano = R$ 2.240,83 : 12 = R$ 186,74
No quinto ano = R$ 1.230,84 : 12 = R$ 102,57
O inconveniente desse método é a necessidade de um valor residual para proceder o
cálculo da depreciação.
SAIBA MAIS
Exemplo de depreciação de um Congelador
Vida útil determinada pelo empresário = 4 anos
Valor de aquisição = 4.800
Valor residual (valor do mesmo congelador com 4 anos de uso) = 2.400
Valor Depreciável = Valor contábil - Valor residual
Valor Depreciável = 4.800 - 2.400 = 2.400
Taxa anual de depreciação = 25% a.a.
Depreciação no primeiro ano = 600
No segundo ano:
Valor contábil = 4.800 - 600 = 4.200
Valor residual do congelador, agora para 3 anos = 1.800 (valor deve ser
avaliado ano a ano)
Valor depreciável = 4.200 - 1.800 = 2.400
Taxa de depreciação no segundo ano = 33,3333%
Depreciação no segundo ano = 800
No terceiro ano:
Valor contábil = 4.200 - 800 = 3.400
Valor residual do congelador, agora com 2 anos de uso e mais dois anos a
usar = 1.000
Valor depreciável = 3.400 - 1000 = 2.400
Taxa de depreciação no terceiro ano = 50%
Depreciação no terceiro ano = 1.200
No último ano:
Valor contábil = 3.400 - 1.200 = 2.200
Valor residual, nesta data, é igual ao valor de mercado = 1.100
Valor Depreciável = 2.200 - 1.100 = 1.100
Taxa de depreciação no quarto ano = 100%
Depreciação no quarto ano = 1.100
Como consequência, o valor contábil estará re�etindo o valor recuperável
do ativo. Caso o empresário resolva continuar a usar o congelador, deverá
ele estipular nova vida útil e o valor contábil de partida será os 1.100.
Fonte: Autor (2020).
O que é amortização? 
É a perda do valor dos bens imateriais em razão do tempo. Enquanto a depreciação é
usada para os bens materiais (tangíveis), a amortização é usada para os bens
imateriais (intangíveis), como benfeitorias e imóveis de terceiros, marcas e patentes,
despesa de organizações etc.
A amortização dos componentes do intangível sujeita-se a dois prazos:
Um mínimo de cinco anos, para �ns �scais;
Um máximo de dez anos, que é aplicável a todas as pessoas jurídicas que
possuam escrituração contábil regular.
O LANÇAMENTO SER D = AMORTIZAÇÃO E C = AMORTIZAÇÃO ACUMULADAQuais são os métodos de amortização?
Os dois métodos mais utilizados são: Sistema de Amortização Progressivo (SAP,
PRICE ou Sistema Francês) e Sistema de Amortização Constante (SAC).
O primeiro método, conhecido também como Price ou Francês, utiliza-se da Tabela
Price e é um método usado em amortização de empréstimo, cuja principal
característica é apresentar prestações (ou parcelas) iguais. O método foi apresentado
em 1771 por Richard Price em sua obra Observações sobre Pagamentos Remissivos
(em inglês: Observations on Reversionary Payments).
O método foi idealizado pelo seu autor para pensões e aposentadorias. No entanto, foi
a partir da 2ª Revolução Industrial que sua metodologia de cálculo foi aproveitada
para cálculos de amortização de empréstimo.
A Tabela Price usa o regime de juros compostos para calcular o valor das parcelas de
um empréstimo e, dessa parcela, qual é a proporção relativa aos pagamentos dos
juros e a amortização do valor emprestado.
Tomemos como exemplo um empréstimo de $ 1.000,00, com taxa de juros de 3% ao
mês a ser pago em 4 parcelas mensais. Para calcular o valor da parcela, deve-se usar a
fórmula de juros compostos combinada com a da progressão geométrica, resultando
em:
Onde:
pmt: Valor da parcela
PV: Valor Presente (do inglês Present Value)
i: Taxa de juros (do inglês Interest Rate)
n: Número de períodos
pmt =
PV i
1 − 1
(1+i)n
No caso do exemplo, o cálculo da pmt é:
Um mês depois do empréstimo, o saldo devedor cresce 3% indo para $ 1.030,00,
porém, como também deve ocorrer o pagamento de $ 269,03, o saldo devedor passa
a ser $ 760,97. Perceba que o pagamento da parcela cobriu os juros de $ 30,00 e
também fez a amortização de $ 239,03 (269,03 - 30,00) do valor emprestado. O
mesmo ocorre nos meses seguintes, porém, como o saldo devedor diminui a cada
mês, o valor das parcelas relativo ao pagamento dos juros é decrescente.
pmt = ≈ 269, 03
1000 × 0, 03
1 − 1
(1+0,03)4
Quadro - Tabela de Amortização
Mês Saldo devedor
Prestação
Amortização Juros
0 1.000,00    
1 760,97 239,03 30,00
2 514,78 246,20 22,83
3 261,19 253,58 15,44
4 0,00 261,19 7,84
Fonte: o autor.
SAIBA MAIS
Tabela Price no Brasil
No Brasil, a interpretação matemática da existência de juro composto na
Tabela Price �ca condicionada a fórmula anterior, que estabelece como
regra geral na formação dos juros embutidos nas parcelas uma
progressão Geométrica decrescente, ou seja, do maior para o menor.
Vale ressaltar que juros compostos é uma unidade de medida, assim
como juros contínuos ou juros simples. Em uma mesma série de
pagamentos, podemos medir o custo �nanceiro por diversas unidades
de medida, especialmente juros compostos e juros contínuos. A
proibição legal no Brasil é a cobrança de juros sobre juros já cobrados do
mutuário.
Apesar de amplamente utilizada em todo o mundo ocidental, a
metodologia de cálculo é discutida em alguns países do mundo, por ser
o único sistema que permite o pagamento em parcelas iguais e
periódicas ao longo do prazo do empréstimo.
Embora a tabela Price seja também muito utilizada no Brasil pelo
mercado e segmentos �nanceiros, seu uso tem sido contestado perante
o judiciário, uma vez que a legislação brasileira permite o uso de juros
compostos somente em determinadas operações que possuam previsão
legal.
“A aplicação da Tabela Price aos contratos de prestações diferidas no
tempo impõe excessiva onerosidade aos mutuários devedores do SFH,
pois no sistema em que a mencionada Tabela é aplicada, os juros
crescem em progressão geométrica, sendo que, quanto maior
quantidade de parcelas a serem pagas, maior será a quantidade de vezes
que os juros se multiplicam por si mesmos, tornando o contrato, quando
não impossível de se adimplir, pelo menos abusivo em relação ao
mutuário, que vê sua dívida se estender inde�nidamente e o valor do
imóvel exorbitar até trans�gurar-se inacessível e incompatível
ontologicamente com os �ns sociais do Sistema Financeiro da
Habitação.” (Delgado, 2005) Porém, este é o único método que permite
pagamentos iguais ao longo do período.
É muito conhecido o trecho do texto de Price para de�nir a transferência
de renda pelo juro composto de suas tabelas:
Um centavo de libra emprestado na data de nascimento de nosso
Salvador a um juro composto de cinco por cento teria, no presente ano
de 1781, resultado em um montante maior do que o contido em
DUZENTOS MILHÕES de Terras, todas de ouro maciço. Porém, caso ele
tivesse sido emprestado a juro simples ele teria, no mesmo período,
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Sistema de Amortização Constante (SAC) é uma forma de amortização de um
empréstimo por prestações que incluem os juros, amortizando, assim, partes iguais
do valor total do empréstimo.
Nesse sistema o saldo devedor é reembolsado em valores de amortização iguais.
Dessa forma, no sistema SAC o valor das prestações é decrescente, já que os juros
diminuem a cada prestação. O valor da amortização é calculado dividindo-se o valor
do principal pelo número de períodos de pagamento, ou seja, de parcelas.
O SAC é um dos tipos de sistema de amortização utilizados em �nanciamentos
imobiliários. A principal característica do SAC é que ele amortiza um percentual �xo
do saldo devedor desde o início do �nanciamento. Esse percentual de amortização é
sempre o mesmo, o que faz com que a parcela de amortização da dívida seja maior
no início do �nanciamento, fazendo com que o saldo devedor caia mais rapidamente
do que em outros mecanismos de amortização.
totalizado não mais do que SETE XELINS E SEIS CENTAVOS. (Nogueira,
2002, Tabela price da Prova Documental e Precisa elucidação de seu
anatocismo)
Fonte: Wikipedia (2020b).
NA PRÁTICA
Um empréstimo de R$ 120.000,00 (cento e vinte mil reais) a ser pago em
12 meses a uma taxa de juros de 1,0% ao mês (em juros simples),
aplicando a fórmula para obtenção do valor da amortização iremos obter
um valor igual a R$ 10.000,00. Essa fórmula é o valor do empréstimo
solicitado dividido pelo período, sendo, nesse caso: R$ 120.000,00 / 12
meses. Logo, a tabela SAC �ca:
Note que o juro é sempre 1,0% do saldo devedor do mês anterior, a
prestação é a soma da amortização e o juro. Sendo assim, o juro é
decrescente e diminui sempre na mesma quantidade, R$ 100,00. O
mesmo comportamento tem as prestações. A soma das prestações é de
R$ 127.800,00. Gerando juros de R$ 7.800,00.
Quadro - Sistema de Amortização Constante
Nº prestação Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0       120000
1 11200 1200 10000 110000
2 11100 1100 10000 100000
3 11000 1000 10000 90000
4 10900 900 10000 80000
5 10800 800 10000 70000
6 10700 700 10000 60000
7 10600 600 10000 50000
8 10500 500 10000 40000
9 10400 400 10000 30000
10 10300 300 10000 20000
11 10200 200 10000 10000
12 10100 100 10000 0
Fonte:  o autor.
Outra coisa a se observar é que as parcelas e juros diminuem em
progressão aritmética (PA) de r = -100.
SAIBA MAIS
Fórmulas:
A = cte
Rk = [(n – k + 1) . i + 1] . P/n
Rk = A + Jk
A = P/n
Jk = (n – k + 1) . i . P/n
em que:
P: Financiamento
n: Quantidade de Prestações
i: taxa de juros
Rk: Prestação
A: Parcela da Amortização
Jk: Parcela do Juro k
Livro
Vídeo
Análise de investimentos
AUTORIA
Antonio Carlos Lázaro Sanches
Sumário
Introdução
1 - Método determinísticos de análise de investimentos
2 - Método de valor anual uniforme equivalente (VALUE)
3 - A Taxa de Atratividade (TMA)
4 - Método do Valor Presente Líquido (VPL)
5 - Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)
6 - Método não exatos
7 - Árvore de decisão
Considerações Finais
Introdução
Diversas pessoas que lidam com projetos de investimentos se deparam com a
escolha de alternativas que envolvem estudos econômicos. E o pior, é muito comum
vermos essas pessoas fazerem suas escolhas sem que o custo do capital empregado
seja considerado de maneira correta. Somente um estudo econômico pode con�rmar
a viabilidade de projetos tecnicamente corretos.
Neste material, nós veremos parte do que os estudiosos chamam de “EngenhariaEconômica”. Tal engenharia objetiva a análise econômica de decisões sobre
investimentos e tem muitas aplicações, pois os investimentos poderão ser de
empresas privadas, públicas ou mesmo investimentos pessoais.
Alguns exemplos de problemas que estudaremos são:
Temos o dinheiro, é melhor comprar o veículo a vista ou a prazo
Construir uma indústria com esteira para transportar materiais ou fazer o
transporte manualmente
Utilizar tubo de maior ou menor diâmetro para a construção de uma rede de
abastecimento de águas
Sempre que formos fazer uma análise sobre investimentos, devemos considerar seus
os aspectos econômicos, ou seja, devemos nos preocupar com a rentabilidade.
Aplicando corretamente os critérios econômicos, poderemos saber quais
investimentos são rentáveis ou não. Ou ainda como poderemos aplicar dinheiro de
maneira a obter maior retorno.
Mas de nada adianta analisarmos a rentabilidade dos rendimentos se não possuirmos
o dinheiro para aplicar, nem termos a possibilidade de conseguir �nanciamentos. Os
investimentos mais rentáveis deverão ser analisados de acordo com critérios
�nanceiros, os quais mostraram os efeitos do investimento na situação �nanceira da
empresa, ou seja, como o investimento poderá afetar o capital de giro da empresa.
Além do supracitado, existem fatores a serem analisados que não são conversíveis em
dinheiro. A decisão de se implantar um projeto deve considerar três critérios
relevantes:
Econômico: rentabilidade do investimento;
Financeiro: disponibilidade de recursos;
Imponderáveis: fatores não conversíveis em dinheiro.
Esse último critério trata das repercussões de um investimento que não são
diretamente conversíveis em dinheiro, por isso chamado de imponderáveis. Um
exemplo: investir para manter o nível de emprego. Manter a satisfação do cliente,
dentre outros. Geralmente quem faz a análise desse último critério não somos nós,
gestores do projeto, mas sim a alta administração da organização.
De acordo com Filho e Kopittke (2008), é conveniente ter em mente que para se fazer
um estudo econômico adequado, alguns princípios básicos devem ser considerados,
como:
Observar alternativas de investimento. De nada adianta calcular se é vantajoso
comprar algo a vista se não há condição de conseguir dinheiro para isso.
Expressar as alternativas sempre em dinheiro. Não há como comparar 200
horas/mensais de mão de obra com 200 Kwh de energia. Convertendo os dados
REFLITA
É importante entender que as técnicas de avaliação de investimentos
são tão somente instrumentos de apoio à tomada de decisão. Outros
fatores de decisão, como objetivos estratégicos, aspectos econômicos,
políticos e gerenciais, são também relevantes na seleção de projetos de
investimentos.
Fonte: Puccini e Puccini (2011).
em dinheiro teremos um denominador comum muito prático.
Considerar apenas as alternativas. Por exemplo, numa análise para decidir sobre
o tipo de motor a comprar, não é relevante saber o consumo de energia se for
igual para os dois.
Mensurar sempre os juros sobre o capital empregado. Sempre existe alguma
maneira de empregar o dinheiro de modo que ele renda alguma coisa. Quando
aplicamos o dinheiro em um projeto devemos ter certeza de ser esta a coisa
mais rentável a se fazer.
Não considerar o passado, pois o que interessa é o presente e o futuro. Não
posso dizer: “este carro não pode ser vendido por menos que 30.000,00, pois eu
gastei muito com ele em o�cina”. Isto não existe. O que realmente importa é o
valor de mercado do carro.
Plano de Estudo:
1. Método determinístico de Análise de Investimentos
2. Método de Valor Anual Uniforme Equivalente
3. Taxa de Atratividade (TMA)
4. Método do Valor Presente Líquido (VPL)
5. Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)
6. Métodos não Exatos
7. Árvore de Decisão
Objetivos de Aprendizagem:
1. Conhecer qual método será utilizado para Análise de Investimento
2. Conhecer uma série uniforme equivalente a todos os custos e receitas
3. Medir a Taxa Mínima de Atratividade e analisar se o investidor está obtendo
ganhos �nanceiros
4. Conhecer as Vantagens e Desvantagens do Valor Presente Líquido
5. Estudar os métodos não exatos
6. Estudar a árvore de decisão
Método determinísticos de análise
de investimentos
Para que o método de análise de um projeto seja de�nido, temos antes que de�nir
qual é o objetivo da empresa que está elaborando e analisando o projeto.
Não faz muito tempo, as empresas apenas pensavam no lucro ao �nal do ano ao
fazerem um projeto. Porém os objetivos das empresas mudaram, assim como
mudaram também os modelos de gestão com o passar dos tempos.
Para uma análise sob esse enfoque, é necessário utilizarmos o conceito de “custo de
recuperação do capital”. De acordo com Filho e Kopittke (2008), antigamente as
empresas normalmente utilizavam a contabilidade de custos conjugada à
contabilidade �nanceira. Com isso, todo investimento feito era amortizado em
determinada quantidade de anos, sob a forma de depreciação. A recuperação do
capital era lançada a uma taxa zero.
Pelo conceito de equivalência, deve haver uma taxa tal que torne equivalente o
investimento feito e sua recuperação. E é esta taxa que determina o custo do capital
investido a ser lançado como despesa. Por isso é interessante que a empresa separe
as contabilidades!
Utilizamos três   métodos de análises de investimentos que se ajustam a tais
conceitos:
Método do Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE): consiste em achar uma
série uniforme equivalente a todos os custos e receitas para cada alternativa. A
alternativa que tiver o maior saldo positivo é a melhor.
Método do Valor Presente Líquido (VPL): calcula o valor presente equivalente das
saídas de �uxo de caixa de cada alternativa, somando-o ao investimento inicial.
A opção que apresentar o Valor Presente Líquido Total mais positivo é a melhor.
A taxa utilizada para descontar o �uxo de caixa é a TMA
REFLITA
O método determinístico é um modelo matemático que resulta em um
conjunto de saídas, com base no conjunto de entradas iniciais
conhecidas.
Fonte: Render et al. (2017).
Método da Taxa Interna de Retorno (TIR): taxa para qual a saída do �uxo de caixa
proveniente de um investimento é equivalente ao valor inicial investido, ou seja,
é a taxa que zera os ganhos do investidor. Esse método calcula a TIR de todas as
alternativas para compará-las com a TMA de�nida. Os investimentos com TIR
maior que a TMA são consideráveis rentáveis.
Esses métodos são equivalentes e, se bem aplicados, conduzem ao mesmo resultado.
Porém cada um se adapta melhor a um determinado tipo de problema. Veremos
cada um deles brevemente.
CONCEITUANDO
TMA: Taxa Mínima de Atratividade é a taxa a partir da qual o investidor
considera que está obtendo ganhos �nanceiros. É uma taxa associada a
um baixo risco, ou seja, qualquer sobra de caixa pode ser aplicada, na
pior das hipóteses, na TMA. Geralmente é utilizada a SELIC (taxa básica
de juros da economia), a TJLP (Taxa de Juros de Longo Prazo) e/ou a TR
(Taxa Referencial).
Método de valor anual uniforme
equivalente (VALUE)
Como já mencionado, o VALUE consiste em achar uma série uniforme equivalente a
todos os custos e receitas para cada alternativa. A alternativa que tiver o maior saldo
positivo é a melhor. Porém os mais utilizados são a TIR e o VPL. Como custo de
oportunidade, temos o conceito de TMA que veremos adiante.
A Taxa de Atratividade (TMA)
Como já mencionado, ao considerarmos uma proposta de investimentos, devemos
levar em conta que estamos perdendo a oportunidade de aplicarmos esses recursos
em outras coisas. Por exemplo, se eu investir $ 100 mil na compra de um
equipamento, eu posso ter que deixar de investir esse dinheiro em ações ou na
própria poupança, e ainda quem sabe num outro projeto. Porém, como as
oportunidades são várias, nós devemos levar em consideração algumas opções de
fácil acesso e um tanto quanto seguras.
No Brasil, para pessoas físicas, é comum a TMA ser igual à rentabilidade da poupança.
Para pessoas jurídicas, a determinação da TMA émais complexa e depende do prazo
do investimento ou da importância estratégica das alternativas.
Agora, quando vamos fazer comparações de curto prazo, como comprar uma
componente da produção hoje com desconto ou daqui a dez dias sem desconto,
utilizamos a remuneração dos títulos bancários de curto prazo como os CDBs.
Método do Valor Presente Líquido
(VPL) 
De acordo com Groppelli e Nikbakht (2006), existem vantagens e desvantagens neste
método.
O método do valor presente líquido tem três vantagens importantes:
Primeira, ele usa os �uxos de caixa em lugar dos lucros líquidos. Fluxos de caixa
(lucros líquidos + depreciação) incluem a depreciação como uma fonte de fundos.
Isso funciona porque a depreciação não é um desembolso de caixa no ano em que o
ativo é depreciado. Ao contrário da contabilidade, no campo das �nanças considera-
se o �uxo de caixa em lugar dos lucros líquidos. Portanto, a abordagem do VPL, ao
contrário do método da taxa média de retorno, é consistente com a moderna teoria
�nanceira.
Segunda, o método do VPL, ao contrário dos métodos da taxa média de retorno e do
período de amortização (payback), reconhece o valor do dinheiro no tempo. Quanto
maior o tempo, maior o desconto. Ou, simpli�cando, se os �uxos de caixa de um
projeto, com risco médio, são descontados a 10%, um outro projeto com um maior
grau de risco deve ser descontado a uma taxa superior à de 10%. Portanto, o valor do
dinheiro no tempo para um projeto está re�etido na taxa de desconto que deve ser
selecionada com cuidado pelo analista �nanceiro. Geralmente, a taxa de desconto
tende a se elevar caso a oferta monetária esteja escassa e haja expectativa de
elevação da taxa de juros.
Terceira, aceitando somente projetos com VPL positivos, a companhia também
aumentará o seu valor. Um aumento no valor da companhia, na realidade, é um
aumento no preço das ações ou na riqueza dos acionistas. O método do VPL do
orçamento de capital deve, portanto, no �nal das contas, acarretar maior riqueza aos
acionistas. Já que o objetivo da moderna administração �nanceira é aumentar,
continuamente, a riqueza dos acionistas, o método do VPL deve ser visto como a
técnica mais moderna de orçamento de capital.
Existem, entretanto, algumas limitações à abordagem do VPL. O método supõe que a
administração seja capaz de fazer previsões detalhadas dos �uxos de caixa dos anos
futuros. Na realidade, entretanto, quanto maior o período, mais difícil a estimativa dos
�uxos de caixa futuros. Os �uxos de caixa futuros são in�uenciados pelas vendas
futuras, pelos custos da mão-de-obra, dos materiais e dos custos indiretos de
fabricação, pelas taxas de juros, pelos gostos dos consumidores, pelas políticas
governamentais, pelas mudanças demográ�cas etc.
A superestimação ou subestimação dos �uxos de caixa futuros podem levar à
aceitação de um projeto que deveria ser rejeitado, ou à rejeição de um projeto que
deveria ser aceito. Além do mais, o método do VPL supõe que a taxa de desconto seja
a mesma durante todo o projeto. No exemplo precedente você descontou os �uxos
de caixa a 10% durante quatro anos, porém uma taxa de desconto de 10% pode não
ser realista. A taxa de desconto de um projeto, tal como a taxa de juros, na realidade,
muda de um ano para o outro.
A taxa de desconto pode ser afetada por oportunidades de reinvestimento de �uxos
de caixa futuros, pelas taxas de juros futuras e pelos custos de levantamento de novos
capitais. O problema pode ser resolvido pela previsão das taxas de juros futuras e,
então, pelo desconto do �uxo de caixa de cada ano futuro pela taxa de desconto
prevista. Embora essa seja uma sugestão inteligente, você há de concordar que a
predição de uma taxa de juros para os próximos cinco ou dez anos é tão incerta
quanto os resultados de se lançar uma moeda cinco ou dez vezes! Contudo, não
obstante tais limitações, o método do VPL é ainda o melhor método de orçamento de
capital.
Método da Taxa Interna de
Retorno (TIR) 
De acordo com Groppelli e Nikbakht (2006), existem vantagens e desvantagens nesse
método, veja a seguir.
Vantagens e Desvantagens
Numerosas pesquisas têm mostrado que, na prática, o método da TIR é mais utilizado
que a abordagem do VPL. A razão disso pode ser atribuída à facilidade de cálculo da
TIR, parecida com a TMR; porém, ao usar os �uxos de caixa e ao reconhecer o valor do
dinheiro no tempo, parece-se com o VPL. Em outras palavras, embora a TIR seja fácil e
compreensível, ela não possui as restrições da TMR e do período de amortização
(payback), pois ambos os métodos ignoram o valor do dinheiro no tempo.
O principal problema com o método da TIR é que ele, muitas vezes, fornece taxas de
retorno não-realistas. Suponha uma taxa mínima de retorno de 11% e uma TIR
calculada de 40%. Isso signi�ca que a administração deve aceitar imediatamente o
projeto por causa da sua TIR de 40%? A resposta é não! Uma TIR de 40% implica em a
companhia ter uma oportunidade de reinvestir seus �uxos de caixa futuros à taxa de
40%. Se a experiência passada e a economia indicarem que os 40% representam uma
taxa não-realista para futuros investimentos, então uma TIR de 40% é suspeita.
Falando francamente, uma TIR de 40% é muito boa para ser verdade! A menos que a
TIR calculada seja uma taxa razoável para reinvestimento dos �uxos de caixa futuros,
ela não deve servir como parâmetro de aceitação ou rejeição de um projeto.
Um outro problema com o método da TIR é que ele pode fornecer diferentes taxas de
retorno. Suponha que haja duas taxas de desconto (duas TIRs) que tornem o valor
presente igual ao investimento inicial. Nesse caso, qual taxa deve ser usada na
comparação com a taxa mínima? A �nalidade dessa pergunta não é resolver os casos
em que haja diferentes TIRs, mas que você saiba que o método da TIR, não obstante
sua popularidade no mundo dos negócios, apresenta mais problemas do que
imagina um pro�ssional. 
Método não exatos
Os três métodos exatos, VPL, VALUE e TIR são equivalentes e ajustam-se
perfeitamente ao conceito de “equivalência” da matemática �nanceira. Alguns
analistas, no entanto, ainda utilizam métodos não exatos. Não é nosso interesse nos
aprofundar, mas sim passar brevemente por eles apenas para conhecimento.
O principal método não exato é o do tempo de recuperação do capital investido, o
famoso PAYBACK. Ele mede o tempo necessário para que o somatório das parcelas
anuais seja igual ao investimento inicial. Esse método não leva em consideração a
vida do investimento, e pode ser di�cultada sua aplicação quando o investimento
inicial se der por mais de um ano ou quando os projetos comparados tiverem
investimentos iniciais diferentes.
Veja um exemplo baseado em Groppelli e Nikbakht (2006):
NA PRÁTICA
A Companhia ABC planeja investir num projeto que tem um desembolso
inicial de $ 3.700. Ela previu que o projeto proporcionará entradas de
caixa regulares de $ 1.000 no ano 1, de $ 2.000 no ano 2, de $ 1.500 no ano
3 e de $1.000 no ano 4. Se a empresa tivesse como meta um período de
amortização (payback) de três anos, você recomendaria que esse projeto
fosse aceito?
Solução:
As informações anteriores devem ser reescritas no seguinte formato:
Você pode ver por essa informação que após dois anos a empresa terá
recuperado $ 3.000 dos seus $ 3.700 investidos. Então, calculemos a
proporção do terceiro ano que a empresa precisará para recuperar os $
700 restantes do seu investimento inicial ($3.700 – $3.000 = $700). Para
fazer isso, simplesmente dividimos os $ 700 pela entrada de caixa do
terceiro ano:
700/1.500 = 0,47
Em termos redondos, 0,47 de um ano é, aproximadamente, 24 semanas
(0,47 x 52 semanas = 24 semanas), perfazendo um total de 2 anos e 24
semanas antes que o investimento seja recuperado.
A seguir, compare esse período de recuperação com o período-meta
para ver se a empresa deve prosseguir com o investimento. Nesse caso, o
período de recuperação efetivo (2 anos e 24 semanas) é menor que o
período-meta de 3 anos. Portanto, o projeto é aceitável.
Tabela X - título aqui
ANO FLUXO DE CAIXA($)
1 1.000
2 2.000
3 1.500
4 1.000
Fonte: o autor
Ainda de acordo com os autores existem vantagens e desvantagens na utilização do
método.
Vantagens e Desvantagens
O método do período de recuperação do investimento tem várias vantagens e
desvantagens. A principal vantagem é que esse método é fácil de usar. Não é
necessário fazer cálculos complicados para encontrar quantos anos um projeto
demora para recuperar o seu investimento inicial. O período de recuperação do
investimento também é fácil entender. Portanto, quando os analistas precisam de
uma medida rápida do risco, eles podem usar o método do período de recuperação
para ver se o capital investido será recuperado em um período razoável de tempo.
O método do período de recuperação do investimento, não obstante sua
simplicidade, pode ser de valia mesmo para as maiores corporações multinacionais.
Para tais empresas, eventos políticos — tais como a nacionalização de setores num
país estrangeiro — são as principais fontes de risco. Em termos de possíveis eventos
políticos, então, quanto menor o período de recuperação do investimento, menor o
risco do projeto. O método do período de recuperação de investimento, portanto,
pode ajudar as empresas a medir o risco de perder o capital em países estrangeiros.
@freepik
A principal desvantagem desse
método é ignorar completamente o
valor do dinheiro no tempo. No
método do período de recuperação
de investimento, não existe diferença
entre o valor de uma entrada de
caixa de $ 100 no primeiro ano e o
mesmo montante de entrada de
caixa um ano depois. Além do mais, o
método do período de recuperação
não leva em consideração as
entradas de caixa produzidas após o
período em que o investimento
inicial foi recuperado. Por causa
desses graves obstáculos, o método
do período de recuperação de
investimento não deve ser visto como
uma abordagem muito boa ao
orçamento de capital. 
Vimos os métodos convencionais mais utilizados para a análise de um projeto. De
acordo com esses métodos, o trabalho do gestor seria basicamente avaliar o risco,
escolher uma taxa de desconto apropriada e calcular o valor presente dos �uxos de
caixa.
De acordo com Samanez (2009), na prática, essa tarefa não é tão simples e vai muito
além disso. Uma vez conhecidas as possíveis falhas do projeto, o gestor pode decidir
se investe mais em informação, como uma melhor pesquisa de mercado, por
exemplo. Pode-se decidir investir mais em um novo processo tecnológico com o
objetivo de con�rmar a qualidade, durabilidade, resistência etc. Ou seja, o projeto não
é algo estático!
Sendo assim, abordaremos algumas técnicas usadas no planejamento e controle de
um projeto de investimento, de modo que o gestor possa ter uma visão melhor da
sensibilidade do empreendimento às mudanças nas principais variáveis.
De acordo com Samanez (2009), para conseguir uma análise econômica robusta,
deve-se examinar o impacto das diversas fontes de risco sobre o VPL do projeto. Isso
pode ser feito por meio de algumas técnicas, das abordaremos nesta unidade.
Árvore de decisão 
A árvore de decisão é uma metodologia grá�ca de veri�car as consequências de
decisões atuais e futuras, bem como os eventos aleatórios relacionados. Esse método
nos possibilita o entendimento e o controle de um número expressivo de problemas
de investimentos sujeitos a riscos.
De acordo com Samanez (2009), essa metodologia consiste num meio de mostrar a
anatomia de uma decisão de investimento, assim como a interação entre decisão
presente, eventos possíveis, atitudes de competidores e possíveis decisões futuras e
suas consequências.
Esse método aborda dois elementos essenciais para a análise real de investimentos,
sendo eles a incerteza e o investimento sequencial. Vejamos a estrutura da árvore de
decisão:
Figura 1 - Árvore de Decisão
Fonte: adaptado de Filho e Kopittke (2008).
Os nós quadrados representam as decisões e os nós redondos representam nós de
incerteza, ou seja, eventos aleatórios.
De acordo com Filho e Kopittke (2008), nos ramos de uma árvore de decisão devem
ser levados em conta:
As probabilidades após os nós de incerteza
Os valores de investimentos nos nós de decisão
Os retornos no �nal dos ramos
Veja o exemplo adaptado de Filho e Kopittke (2008):
NA PRÁTICA
Um vendedor ambulante está considerando a possibilidade de vender
camisas esportivas. As camisas seriam compradas por $ 10.00 e vendidas
por $ 35.00. Como a qualidade do material é baixa estima-se que haja
30% de perda para o vendedor ambulante. Independentemente da
quantidade adquirida, seus custos de transporte e manutenção serão de
$ 1000.00 por dia. As camisas não vendidas terão um valor residual de $
2.00.
A demanda diária pelas camisas depende das condições de vigilância
nas ruas: se a vigilância for ostensiva, o vendedor somente consegue
vender 50 camisas, vendendo 4 vezes mais se a vigilância das ruas for
fraca. Caso a vigilância for média, o vendedor consegue colocar 120
camisas.
As camisas só podem ser compradas em lotes pré-determinados: 80, 160,
240 ou 320 unidades.
A experiência tem mostrado que há 40% de chance de que a vigilância
seja fraca contra 30% de vigilância ostensiva. Em consequência ela é
média 30% das vezes.
Calcule:
1. Qual a quantidade de camisas que o vendedor ambulante deverá
comprar para maximizar o seu lucro esperado?
2. Disponha os resultados sob forma de matriz de receitas.
Solução:
1. a) Quantidade de camisas que maximiza o lucro esperado.
Alternativas:
1. compra de 80 camisas
2. compra de 160 camisas
3. compra de 240 camisas
4. compra de 320 camisas
Alternativa A:
Custo da alternativa: 80 x 10.00 + 1000.00 = 1800.00
Camisas vendáveis: 80 x 0,7 = 56
Receitas:
Para vigilância ostensiva: 50 x 35.00 + 6 x 2.00 = 1762.00
Para vigilância média: 56 x 35,00 = 1960.00
Para vigilância fraca: 56 x 35.00 = 1960.00
Receita líquida:
Para vigilância ostensiva (o): 1762.00 - 1800.00 = -38.00
Para vigilância média (m): 160.00
Para vigilância fraca (f): 160.00
Calcula-se as receitas líquidas das outras alternativas de forma análoga.
A árvore de decisão apresenta-se assim:
As receitas líquidas esperadas são as seguintes:
E(A) = 0,3 x (-38) + 0,3 x 160 + 0,4 x 160 = 100.60
E(B) = 706.20
Figura 2 - Árvore de Decisão de três etapas
Fonte: adaptado de Filho e Kopittke (2008).
E(C) = 836.60
E(D) = 571.00
Dessa forma, a melhor alternativa é a C, que consiste na compra de 240
camisas. Pode-se, também, apresentar o problema sob a forma de matriz
de decisão:
A partir destes dados pode-se, por exemplo, calcular o valor de uma
informação adicional. Vamos fazer aqui uma exempli�cação, que, apesar
de hipotética, pode ser utilizada para outros casos, é claro!
Até quanto o vendedor ambulante poderá pagar a um hipotético policial
corrupto para que lhe informe qual o tipo de vigilância que irá ocorrer
com certeza? Deve-se veri�car, neste caso, qual a melhor opção quando
se sabe o que vai ocorrer:
Caso a vigilância seja ostensiva a melhor alternativa é a A, ou seja, o
prejuízo será de $38.00.
Caso a vigilância seja média a melhor alternativa é a B, com lucro
de 1320.
Caso a vigilância seja fraca a melhor opção é a alternativa D, com
lucro de 2848.
Assim, o valor esperado da receita líquida, com informação perfeita, é de:
V(p) = -38 x 0,3 + 1320 x 0,3 + 2848 x 0,4 = 1523,80
Ora, o valor esperado sem essa informação era de $836,60,
correspondente à alternativa C. Assim, o vendedor deve estar disposto a
pagar ao policial no máximo:
Quadro 2 - Matriz de Decisão
  Vigilância
Alternativas Ostensiva Média Fraca
A -38,00 160,00 160,00
B -726,00 1320,00 1320,00
C -1414,00 896,00 2480,00
D -2102,00 208,00 2848,00
P(v) 0,3 0,3 0,4
Fonte: adaptado de Filho e Kopittke (2008).
1523,80 - 836,60 = 687,20
REFLITA
Esse exemplo serviu para nos mostrar que a empresa pode gastar
adicionalmente no caminhar de um projeto para conseguir informações.
Mas deve-se calcular exatamente qual é o máximo que ela poderá pagar,
de modo que compense o investimento.
Fonte: o autor.Livro
Filme
Análise de sensibilidade
AUTORIA
Antonio Carlos Lázaro Sanches
Sumário
Introdução
1 - A análise de cenários
2 - Processo de tomada de decisão
Considerações Finais
Introdução
De acordo com Samanez (2009), como na projeção dos �uxos de caixa de um projeto
geralmente temos que trabalhar com grande quantidade de variáveis ou fatores,
torna-se importante identi�car quais deles tem um peso maior na determinação de
tais �uxos.
Como vimos, não podemos considerar os projetos como sendo estáticos, pois lidam
com variáveis, que como o próprio nome já diz, variam ao longo do tempo e podem
causar alterações nos �uxos de caixa futuros.
Mas como mensurar tais alterações? Como saber como essas alterações irão afetar o
andamento do meu projeto?
A análise de sensibilidade permite identi�car as variáveis críticas no processo de
projeção e determinação dos �uxos futuros, de modo que possamos avaliar o projeto
considerando diversas hipóteses sobre o comportamento dessas variáveis.
Existem duas maneiras de fazermos a análise de sensibilidade: modo unidimensional
e multidimensional.
Análise unidimensional: quando medimos os efeitos de cada variável
separadamente.
Análise multidimensional: quando analisamos os efeitos das variáveis ao mesmo
tempo.
Atualmente, com o avanço da tecnologia informática, podemos fazer a análise de
sensibilidade em cenários que representam fenômenos econômicos que provocam
movimentos em mais de uma variável de cada vez.
Plano de Estudo:
1. Análise de Cenários
2. Processo de Tomada de Decisão
Objetivos de Aprendizagem:
1. Analisar a sensibilidade em si, é a correlação que podem apresentar as variáveis
2. Conhecer as várias formas de Tomada de Decisão
A análise de cenários
Um problema da análise de sensibilidade em si é a correlação que podem apresentar
as variáveis. Um número grande de vendas pode se associar facilmente a preços
menores ou época de promoções. O que surgiu para melhorar a análise de
sensibilidade foi uma variante desta, conhecida como análise de cenários.
Na análise de cenários, ao invés da variação de um parâmetro por vez, podemos fazer
variar um conjunto destes, formando assim os cenários. São atribuídos valores a cada
parâmetro e após várias análises de sensibilidade podemos identi�car as variáveis-
chave que, em cada cenário, determinam o sucesso e o insucesso do projeto.
Vejamos o exemplo a seguir proposto por Samanez (2009):
Efetue uma análise de sensibilidade (com o uso de cenários) para um
projeto que requer um investimento inicial de $ 150, depreciável em 10
anos. Suponha que as informações contidas no Quadro 1 são as
apresentadas pelo departamento de Marketing a respeito do mercado,
da participação da empresa nesse mercado, do preço unitário de venda,
do custo variável e do custo �xo para três cenários possíveis: o pessimista,
o otimista e o esperado.
Quadro 1 - Informações sobre os três cenários possíveis para o projeto tratado
  CENÁRIOS
VARIÁVEL PESSIMISTA OTIMISTA ESPERADO
Mercado 900 unidades/ano 1.100 unidades/ano 1.100 unidades/ano
Participação 4% 16% 10%
Vendas projetadas 36 unidades/ano 176 unidades/ano 100 unidades/ano
Preço unitário $ 3,5/unidade $ 3,80/unidade $ 3,75/unidade
Custo variável $ 3,6/unidade $ 2,75/unidade $ 3/unidade
Custo �xo total $ 4/ano $ 20/ano $ 30/ano
Fonte: Samanez (2009).
A partir destas informações, o Quadro 2 mostra o �uxo de caixa esperado para o
período de 10 anos e o VPL de cada cenário.
O cálculo do VPL considerou uma taxa de desconto de 10% ao ano. No caso do cenário
esperado:
Como o VPL do cenário esperado é positivo, uma decisão apressada poderia
recomendar o investimento. Porém, algumas dúvidas podem surgir a partir das
estimativas do cenário esperado:
Será que o mercado absorve 1.000 unidades por ano?
Será que a empresa conseguirá abocanhar 10% desse mercado?
Se os concorrentes lançarem um produto de melhor qualidade ou menor preço,
o que ocorrerá?
Será que o custo variável �cará realmente em torno de $ 3,00 por unidade?
Quadro 2 - Fluxo de caixa esperado e o VPL de cada cenário
    CENÁRIO
    PESSIMISTA OTIMISTA ESPERADO
 
ANO 0
($)
DO ANO 1 AO 10 ($) DO ANO 1 AO 10 ($) DO ANO 1 AO 10 ($)
Investimento -150      
Receitas   126 668,8 375
(-) custo variável total   -129,60 -484 -300
(-) custo �xo total   -40 -20 -30
(-) depreciação   -15 -15 -15
Lucro antes de juros e IR   -58,60 149,80 30
(-) IR (50%)   0,0 -74,90 -15
(+) depreciação   15 15 15
Fluxo de caixa livre (FCL) -150 -43,6 89,90 30
VPL (10%)   -417,90 402,40 34,34
Fonte: Samanez (2009).
V PL esperado = −$150, 00 +∑10
t=1
= $34, 34
$30
(1, 10)
t
Vimos por meio do exemplo que o projeto poderá até dar prejuízo, como no caso do
cenário pessimista. Mas o que fazer então? Temos que analisar qual variável tem mais
peso, ou quais variáveis. Isso quer dizer que existem algumas variáveis que causam
mais impacto no projeto quando elas se alteram.
Observando o quadro, podemos concluir que os parâmetros que mais podem colocar
em risco o sucesso econômico do projeto são os aumentos inesperados nos custos
variáveis e �xos, já que nesses casos, o VPL assume maiores valores negativos.
Cabe aqui salientar que essa análise não de�ne o signi�cado de otimista e pessimista,
visto que não usa probabilidades. O trabalho técnico em análise econômica de
projetos exige transformar possibilidades em probabilidades. A análise também não
considera a possibilidade de ocorrer variáveis interdependentes. Nesse caso, talvez
fosse necessário fazer uma análise de cenários ou uma análise de sensibilidade
conjunta.
Quadro 3 - VPL do cenário pessimista com a mudança de uma variável de cada vez
Mudança VPL Recalculado
Mudança do VPL
Em valor ($) Em %
Diminuição de 20% na participação no mercado -413,48 -4,42 -1,06%
Aumento de 20% no custo variável -577,18 -159,28 -38,11%
Aumento de 20% no custo �xo unitário 467,06 -49,16 -11,76%
Fonte: Samanez (2009).
SAIBA MAIS
Corresponde ao valor presente dos resultados esperados – positivos e
negativos – do �uxo de caixa, descontando-se ao custo do capital. Custo
de capital ou Taxa mínima de atratividade, representa o retorno mínimo
exigido para um projeto de investimento
Fonte: Galesne, Fensterseifer e Lamb (1999).
Processo de tomada de decisão
De acordo com Filho e Kopittke (2008), devemos ter em mente que a análise das
alternativas de investimento é apenas um passo de um processo de solução de um
problema. De nada adiante boa técnica de análise de alternativas se estas não forem
adequadamente geradas.
Segundo Krick (1971) apud Filho e Kopittke (2008), os passos básicos para o “processo
do projeto” são:
Formulação do problema
Análise do problema
Busca de alternativas
Avaliação das alternativas
Especi�cação da solução preferida
A fase I implica em descrever de maneira geral, porém resumida, as características do
problema. Por exemplo, a empresa apresentou di�culdades no escoamento da
produção, pois as instalações não estão adequadas para a recente expansão das
vendas.
A fase II requer uma especi�cação mais pormenorizada das características desse
problema, incluindo as restrições. Essa fase inclui também a de�nição dos critérios e
sua ponderação para a posterior análise das alternativas.
A fase III busca identi�car alternativas que atendam as especi�cações e as restrições.
A fase IV consiste num confronto entre os resultados qualitativos e quantitativos
através dos critérios estipulados na fase II.
A fase V, �nalmente, consiste na escolha da alternativa com base na análise das fases
de I a IV.
Existem outras metodologias interessantes. Vejamos a que foi proposta por Kepner e
Tregoe (1980) apud Filho e Kopittke (2008). De acordo com essa metodologia existem
sete fases para a análise de decisão, focadas na melhor alternativa. As fases são as
seguintes:
Estabelecer os objetivos: resultados que se espera obter.
Classi�car os objetivos: devemos classi�car os objetivos em
OBRIGATÓRIOS e DESEJÁVEIS.
Desenvolver alternativas dentre as quais será feita aescolha
Avaliar as alternativas
Exemplo de Aplicação
Veja o exemplo proposto por Filho e Kopittke (2008): suponha que você tenha que
decidir sobre uma melhor localização industrial. Veja os dados que você possui.
A empresa que lhe contratou pretende implantar uma nova unidade de produção
capaz de produzir 300 mil toneladas no ano. Essa empresa, apesar de já ter de�nida
sua produção, deve se confrontar com dois problemas: a escolha adequada da
tecnologia e da localização.
Existem dois grandes centros consumidores para o produto em questão, os quais
chamaremos de C1 e C2. Existe também um centro fornecedor de matéria prima que
denominaremos MP. A matéria prima a qual o autor se refere é a principal, podendo
ser encontradas as matérias primas secundárias em qualquer uma das localidades.
Duas tecnologias são possíveis, A ou B.
Então o problema que você tem que resolver é: Instalar-se em C1, C2 ou MP, e utilizar
A ou B. Ou seja, são seis possibilidades, C1 - A; C1 - B; C2 - A; C2 - B; MP - A; MP - B.
Escolher a melhor alternativa como decisão tentativa
Avaliar as consequências adversas da decisão tentativa
Controlar os efeitos da decisão �nal, evitando as consequências
adversas e fazendo um acompanhamento adequado
O centro C1 não possui tradição nesse ramo industrial. A empresa prevê, baseada em
sólido estudo de mercado, que venderá 1/3 da sua produção em C2 e, 2/3 em C1. Já a
fonte de matérias primas MP, possui sérios problemas de mão de obra, que exigiriam
um centro de treinamento e poderiam ocasionar problemas com rotatividade de
pessoal, visto que a população não está acostumada ao trabalho na indústria.
Para ambas as tecnologias, os processos produtivos requerem investimentos
semelhantes e o consumo de matéria prima é o mesmo, porém, com a tecnologia B o
custo com matéria prima secundária seria maior. O processo A economiza nos
materiais secundários, mas possui um custo de mão de obra superior, pois exige
maior quali�cação.
O processo A conta com perspectivas de produzir com melhor qualidade futura, pois
trata-se de uma tecnologia nova. Porém existe uma certa incerteza, visto que o
processo B já é testado e aprovado, apesar de mais antigo.
O preço competitivo nas localidades C1 e C2 é de 2.400/t. O preço da matéria prima é
de 320/t (na fonte) e o consumo é de 1,2 t/t de produto. O custo de transporte de
matéria prima é de 0,16/tkm e para o produto é de 0,56/tkm.
O custo dos materiais secundários é de 240/t de produto para o processo B e de 144/t
para o processo A. A incidência do custo de mão de obra no processo B é de 404/t no
centro C2, 456 em C1 e 488 no centro MP. Para o processo A a mão de obra é 20%
mais cara. Os demais custos somam 400/t indiferentemente ao processo ou à
localização. O custo de recuperação do capital é de 150 milhões/ano.
MP �ca ao sul do estado, a 250 Km de C2 e a 400 Km de C1.
C2 �ca no oeste do estado, a 250 Km de MP e 500 Km de C1.
C1 �ca no leste do estado, a 500 Km de C2 e 400 Km de MP.
C1 e C2 não possuem problemas de mão de obra, porém o centro
C2, além de possuir tradição neste ramo de indústrias, possui mão
de obra mais barata.
Veja que você, enquanto tomador(a) de decisão, teve que organizar todos os dados
referentes às possibilidades e agora deve escolher onde produzir. Seus superiores
estão aguardando sua decisão de melhor localidade e tecnologia. E você, o que
decidiria? Como utilizaria todos estes dados?
Estabelecimento dos objetivos
Produzir com máxima lucratividade possível.
Ter amplas condições de crescimento.
Atingir no futuro o mercado externo.
Manter o padrão de inovação tecnológica.
Evitar poluição ambiental.
Reduzir investimento inicial.
Evitar problemas com mão de obra.
Evitar riscos em relação ao processo produtivo.
@freepik
Considere alguns fatores adicionais:
1. MP é um porto marítimo
2. A empresa, no futuro, tem o
objetivo de ampliar a produção
e tentar o mercado externo.
3. A empresa terá problemas de
rejeitos industriais.
4. O centro C1 possui alta
concentração industrial com
sérios problemas de poluição
ambiental.
5. O governo está criando
incentivos para
descentralização industrial.
6. Está prevista a construção de
uma linha férrea entre MP e C2.
7. A prefeitura de MP poderá
oferecer infraestrutura para a
indústria.
Classi�cação e ponderação dos objetivos
Os objetivos podem ser classi�cados em obrigatórios e desejáveis. Colocaremos um
objetivo obrigatório que será: “Produzir com lucratividade (margem de lucro sobre as
receitas) mínima de 7%”
Os demais objetivos e restrições serão ordenados e ponderados conforme veremos a
seguir.
Desenvolvimento das alternativas
Como já mencionado anteriormente, seis são as possibilidades, visto que possuímos
três localidades vezes duas tecnologias possíveis. Porém, antes da análise é necessário
estabelecer uma matriz de custos baseados nos dados já mencionados
anteriormente, calculando, assim, a lucratividade e a perda relativa sobre as receitas.
Avaliação das alternativas
As seis alternativas produzirão com rentabilidade acima de 7%, o que signi�ca que
todas terão lucratividade, que fora nosso único objetivo obrigatório.
A perda da pior alternativa quantitativa (MP-A) em relação às receitas é de apenas
2,7%. Portanto, todas as alternativas deverão ser analisadas com mais cautela, visto
que a diferença entre elas não é signi�cativa. Qualquer objetivo secundário que for
alcançado pode superar essa perda facilmente.
Quadro 4 - Matriz de cálculo dos custos de cada combinação
 
LOCALIZAÇÕES ALTERNATIVAS
TECNOLOGIA C TECNOLOGIA B
  MP C1 C2 MP C1 C2
  Custos            
  Transporte de matéria-prima para 0 23.400 14.400 0 23.040 14.400
 
Transporte de produtos acabados
para C1
44.800 0 56.000 44.800 0 56.000
 
Transporte de produtos acabados
para C2
14.400 28.000 0 14.400 28.000 0
  Subtotal 58.800 51.040 70.400 58.800 51.040 70.400
  Mão de obra 175.680 164.160 145.440 146.400 136.800 121.200
  Matéria-prima 115.200 115.200 115.200 115.200 115.200 115.200
  Materiais secundários 43.200 43.200 43.200 72.000 72.000 72.000
  Outros custos 120.000 120.000 120.000 120.000 120.000 120.000
  Recuperação do capital 150.000 150.000 150.000 150.000 150.000 150.000
  TOTAL DOS CUSTOS 662.880 643.600 644.240 662.400 645.040 648.800
A Receitas 720.000 720.000 720.000 720.000 720.000 720.000
B Margem de lucro 57.120 76.400 75.760 57.600 74.960 71.200
C
Diferença sobre melhor alternativa (C1
A)
19.280 0 640 18.800 1.440 5.200
D Perda sobre receitas C/A 2,70% 0 0,10% 2,70% 0,20% 0,70%
E Lucratividade 7,90% 10,60% 10,50% 8,00% 10,40% 9,90%
Fonte: Filho e Kopittke (2008).
Para tomarmos a decisão, portanto, devemos ponderar os outros objetivos e
restrições. Temos que montar uma matriz de ponderação, como a que segue.
Escolha da melhor alternativa em primeira tentativa
Considerando-se os resultados obtidos através do confronto dos objetivos e restrições
estabelecidos, a tendência é que façamos a escolha pela localização C2. Porém, como
o resultado de C2 �cou parecido tanto com a tecnologia A quanto com a B, temos
que fazer outra análise mais aprofundada, ou seja, das consequências adversas.
Consequências adversas
As duas alternativas de tecnologia para a localização C2 possuem algumas notas
baixas que devemos analisar com mais atenção.
Quadro 5 - Matriz de Ponderações
Objetivos desejáveis Peso
Tecnologia A Tecnologia B
MP C1 C2 MP C1 C2
E P E P E P E P E P E P
Produzir com máxima
lucratividade
10 5 50 10 100 10 100 5 50 10 100 9 90
Condições de crescimento 9 5 45 5 45 10 90 5 45 5 45 10 90
Exportar futuramente 7 10 70 5 35 8 56 10 70 5 35 8 56
Inovação tecnológica 7 10 70 10 70 10 70 6 42 6 42 6 42
Evitar poluição 7 10 70 5 35 10 70 10 70 5 35 10 70
Evitar problemas de mão de obra 7 3 21 8 56 10 70 3 21 8 56 10 70
Evitar riscos no processo 5 5 25 5 25 5 25 10 50 10 50 10 50
Reduzir investimento inicial 3 30 30 5 15 5 15 10 30 5 15 5 15
Total 55   381   381   496   378   378   483
NOTA PONDERADA = total/55 6,9   6,9   9   6,9   6,98,8
Fonte: Filho e Kopittke (2008). 
Obs.: Produto (P) = Escore (E) x Peso
Em relação à localização
Ambas receberam nota 5,0 no objetivo 8, reduzir investimento inicial. Essa nota foi
atribuída devido a possibilidade da localização MP oferecer incentivos à instalação.
Como não existe certeza disso vir a ocorrer, uma posição mais conservadora manteria
a posição C2.
Em relação às tecnologias
C2 - A recebeu nota baixa no objetivo 7, ao mesmo tempo que C2 - B recebeu nota
baixa no objetivo 4. Ou seja, há dúvidas sobre o novo processo, em relação ao risco de
operacionalizá-la, mas também ao colocarmos estaríamos possibilitando inovações
tecnológicas.
A escolha de A traz um risco embutido do processo não funcionar a contento. Pode-
se dizer que é raro isto acontecer (probabilidade = 20%), mas com alto índice de
gravidade, ou seja, se ocorrer é muito grave (90 numa escala de 0 a 100). Já a escolha
de B, em troca de segurança, impossibilita grandes progressos tecnológicos, com 60%
de probabilidade, porém com índice mais baixo de gravidade (20, numa escala de 0 a
100).
Em suma, para essas duas possibilidades (C2 – A e C2 – B) teríamos o seguinte:
Quadro 6 - Consequências adversas para cada tecnologia
CONSEQUÊNCIAS ADVERSAS
PROBABILIDADDE DE 0 A
1
GRAVIDADE DE 0 A
100
PXG
C2 – A      
Processo não funcionar a contento 0,2 90 18
Impossibilidade de progressos
tecnológicos
0 20 0
SUBTOTAL     18
C2 – B      
Processo não funcionar a contento 0 90 0
Impossibilidade de progressos
tecnológicos
0,6 20 12
SUBTOTAL     12
Fonte: Filho e Kopittke (2008).
Conclusão
Em função das informações fornecidas, da metodologia adotada e das ponderações
aplicadas, observamos uma tendência para a escolha da combinação C2 – B. Essa
escolha só foi possível após diversas análises, pois quantitativamente poderíamos ter
escolhido a alternativa C1 – A.
Na matriz de ponderações, C2 – A passou a ser a melhor alternativa. Somente após a
análise das consequências adversas é que foi possível chegar a C2 – B.
É importante ressaltar que o exemplo é meramente didático. Quando for aplicado na
prática, deve ser bem mais pormenorizado, estudado em conjunto com os diversos
setores da empresa, para que possa ser de�nido o que seria ponto positivo e o que
seria ponto negativo de cada decisão.
O importante após essa exposição é perceber que as vezes a tomada de decisão, ao
ser feita com a análise de apenas o que é mais positivo, não é a melhor solução. Os
pontos adversos também são importantes e às vezes decisivos na escolha do gestor
do projeto. Portanto, para concluirmos a nossa disciplina de Avaliação de Projetos, é
importante o(a) gestor(a) ter em mente que para cada situação podem aparecer
diferentes soluções.
REFLITA
Em que situações é necessário utilizar técnicas de análise de
investimentos?
Quais as técnicas mais indicadas para cada situação?
Fonte: o autor
Livro
Prezado(a) aluno(a),
Foi um grande prazer tratar de um assunto tão importante para todo o processo de
gestão e �nanças corporativas, ou seja, como administrar os recursos com base na
maximização do capital investido. Para isso aprendemos sobre a utilidade da
matemática �nanceira em nossas vidas, a importância de se conhecer sobre taxas
de juros e seus impactos em nosso cotidiano, o que são juros simples e como
calcular descontos racionais ou por dentro e suas utilidades para as empresas.
Estudamos sobre juros compostos e sobre descontos compostos, aprendemos que o
desgaste ou perda de utilidade pelo uso dos produtos são tratados como
depreciação e que isso afeta o valor dos bens ao longo do tempo.
Vimos que todo investimento precisa ser analisado antes de se tomar a decisão de
investir, para isso os métodos para Análise de Investimento são fundamentais.
De�nir a TMA é a base para saber se o investidor está obtendo ganhos �nanceiros e,
além de tudo, entender que o dinheiro perde valor com a passagem do tempo.
Analisamos também a importância da criação de cenários para a tomada de
decisão, o que garante uma maior certeza em relação as variáveis e alteração do
projeto.
Para concluir nossa apostila, deixo a vocês alguns exercícios resolvidos. Espero que
este conteúdo tenha sido de grande valia para você!
Um grande abraço e sucesso!
Conclusão
	00-Finanças corporativas
	01-Matemática financeira
	02-Juros compostos, descontos compostos, amortização e depreciação
	03-Análise de investimentos
	04-Análise de sensibilidade
	05-Conclusão