Campo Elétrico e Linhas de Força

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O Campo Elétrico 
Aula 03 
O Campo Elétrico 
e a Lei de Gauss
� Introduzir o conceito de campo elétrico;
�Aprender a visualizar o campo através das
linhas de força;
�Calcular o campode uma cargapuntiforme;
Objetivos
�Calcular o campode uma cargapuntiforme;
�Calcular o campo produzido por uma
distribuição de cargas.
Definição de Campo Elétrico
Imagine uma carga q1 colocada a certa distância de uma
outra carga q2, ambas fixas.
A carga q2 vai sofrer a ação de uma força devido à
presença de q1.
Pergunta! Como ela “sabe” que q1 está ali perto para
exercer essa força?
Agora suponha que q1 é aproximada de q2 . Uma vez que a
distância entre as cargas diminui, a força que q2 “sente” irá
aumentar.aumentar.
Pergunto novamente!Como a carga q2 “sabe” que a outra
foi aproximada e passa a sentir uma força maior?
q2 não temcomo saber� “ação à distância”.
Solução apresentada� campo elétrico (Faraday, 1791-
1867).
Diz que: O espaço emtorno de uma carga elétrica é
modificado pela presença de uma nova “entidade” física�
campo elétrico.
Por ex.
A carga q1 produz emtodo o espaço emtorno dela umcampo
elétrico.
q2 sente o campo de q1 , que exerce uma força sobre q2.
Definição de Campo elétrico.
Medimos o através da força atuando sobre uma dada
carga de prova q0, a qual deve ser positiva e como menor
valor possível.
Camponum dadopontodoespaço.
E
r
Camponum dadopontodoespaço.
Colocamos ali a carga q0 e medimos força , atuando
sobre ela. O campo elétrico é definido como o quociente
entre a força elétrica e a carga de prova q0,F
r
F
r
E
r
)1(
0q
F
E
r
r
=
Observe:
= grandeza vetorial.
)1(
0q
F
E
r
r
=
E
r
Ou seja, o é umvetor que tema mesma direção e
sentido da força (quando esta atua sobre uma carga
positiva).
Unidade no SI:N/C (Newton/Coulomb).
E
r
Da definição de campo elétrico temos:
CN
C
N
q
F
E /105,7
100,4
1030 2
5
3
×=
×
×== −
−
Linhas de Força = representação gráfica do campo.
As linhas podemser curvas ou retas.
A relação entre as linhas de força e o campo elétrico é
Linhas de Força do Campo Elétrico
A relação entre as linhas de força e o campo elétrico é
estabelecida por03 regras básicas.
Regra 1– Para um dado ponto sobre alinha de força, a
reta tangente à curva fornece a direção do campo
elétrico naquele ponto. Na Figura 1, vemos um
conjunto de curvas representando as linhas de força de
um dado campo elétrico.
E
r
Regra 2– Se calcularmos o número de linhas de força por
unidade de área emuma seção colocada perpendicular à
direção das mesmas numa dada região do espaço,
obteremos umvalor que é proporcional à intensidade do
campo elétrico naquela região. A Figura 2 ilustra essa
regra: na região A, o campo é mais intenso do que emB (as
áreas das superfícies emA e B são iguais).
E
r
Regra 3– As linhas de força saemdas cargas positivas
e chegamàs cargas negativas(Figura 4).
A seguir, mostramos as linhas de força de algumas
distribuições de cargas.
1. Plano infinito uniformemente carregado: as linhas de força
são perpendiculares à superfície do plano e igualmente
espaçadas (veja a Figura 5).
� Pela Regra 2, este último
fato indica que ocampo
elétrico é uniforme, ou
seja, temo mesmo valor
emtodos os pontos.
Como se obter uma situação 
dessa?
Usando duas placas paralelas 
(finitas) carregadas.
Note! As linhas saem da placa 
positiva para a negativa.
2. Carga puntiforme e distribuições de cargas comsimetria
esférica:nesse caso, as linhas de força são radiais, concêntricas
à carga puntiforme ou ao centro da distribuição esfericamente
simétrica (Figura 7).
3. Linha de carga e distribuição de cargas comsimetria
cilíndrica: as linhas de força são radiais, concêntricas à linha ou
ao eixo da distribuição cilindricamente simétrica.
RESPOSTA:
•A letra A estácorreta, as linhas de campo estão apontando para fora
da carga positiva.
•A letra B estácorreta, as linhas de campo estão apontando para
dentro da carga negativa.
•A letra C estáerrada, as linhas de campo deveriamestar apontando
paraforadaesferacarregadapositivamente.paraforadaesferacarregadapositivamente.
•A letra D estáerrada, as linhas de campo deveriamestar comuma
distribuição esfericamente simétrica.
•A letra E estáerrada, as linhas de campo deveriamestar apontando
para dentro da esfera carregada negativamente.
Movimento de uma carga num campo elétrico
As linhas de forçado E indicama direção e o sentido do campo.
Da def. de E, uma:
– carga positiva vai experimentar umaforça nomesmo sentido do campo.
– carga negativa, a força vai atuar nosentido oposto.
RESPOSTA:
A resposta correta é a letra A. Como a carga colocada emP é
positiva, isto indica que a força terá o mesmo sentido e direção
do campo elétrico e neste caso o campo é tangente a linha de
força.
O cálculo do campo elétrico
Eq. 1 = válida emqualquer situação.
Se quisermos calcular o campo produzido por uma
determinada distribuição de cargas, devemos fazer
alguns cálculos. É necessárioconhecera expressãoalguns cálculos. É necessárioconhecera expressão
matemática da força que essa distribuição de cargas
exerce sobre uma carga de teste. A seguir, damos
alguns exemplos.
1. Campo elétrico de uma carga puntiforme
Neste caso, devemos utilizar a expressão da força elétrica
entre duas cargas pontuais, ou seja, a força de Coulomb
que estudamos na aula 2 – Eletrostática. De acordo coma
equação 1, a força exercida por uma carga q sobre uma
carga de prova q0 colocada a uma distanciar da mesma é
dadapordadapor
2
0
04
1
r
qq
F
πε
=
Usando a equação 1, teremos que o módulo do campo
produzido porq a uma distanciar será
Ou seja,
0q
F
E =
2
04
1
r
q
E
πε
=
Utilizando a Equação (2) e substituindo na mesma os valores
numéricos do campo e da distância, teremos:
( ) qN
r
q
E
2294
2
04
1
×=×
=
πε
( )
( )
Cq
m
q
CmN
C
N
5
22
2294
100,4
0,3
/.109100,4
−×=
×=×
2. Campo elétrico de um sistema com N cargas 
puntiformes
O campo resultante deve ser calculado pela soma vetorial
dos campos de cada carga:
)3(...
1
321 ∑
=
=++++=
N
i
iN EEEEEE
rrrrrr
Onde:
É o módulo do campo de uma carga puntiforme.
2
0
1
4 r
q
E i
i πε
=
r
E1P E2P
+-
1,2m 0,8m
ER
RESPOSTA:
Na figura podemos observar os campos gerados pelas cargas Q1 e
Q2, que atuamsobre o ponto P. O campo resultante que atua sobre o
pontoPserádadopelasomadeE1P eE2P.
( )
( )
( )
( )
CNE
m
C
CmN
m
C
CmNE
r
Q
k
r
Q
kE
EEE
R
R
R
PPR
/103,3
8,0
100,1
/.100,9
2,1
100,3
/.100,9
4
22
6
229
22
6
229
2
2
2
02
1
1
0
21
×=
××+××=
+=
+=
−−
pontoPserádadopelasomadeE1P eE2P.
Vemos assim que o campo resultante é horizontal e aponta da direita 
para a esquerda.
A Lei de GaussA Lei de Gauss
� Introduzir o conceito de fluxo do campo elétrico;
�Estudar a Lei de Gauss para o campo elétrico;
�Calcular o campo elétrico de uma carga pontual e
dedistribuições com simetria esférica;
Objetivos
dedistribuições com simetria esférica;
�Analisar o campo elétrico de umcondutor isolado.
Uma nova forma para a Lei de Coulomb
�Na aula 2 (Eletrostática), estudamos a Lei de Coulomb
� podemos calcular o campo elétrico (aula 3 – O campo
elétrico) para qualquer distribuição de cargas.
�Problema – forma do corpo� cálculos extensos�
computador.
�Solução� nova forma de calcular o campo elétrico�
Lei de Gauss.
A Lei de Coulomb nos fornece uma relação entre a carga elétrica e o
campo elétrico, ou seja,
Primeiramente = introduzir o conceito de superfície gaussiana.
Conceito =superfície fechada hipotéticaque envolve umadada região
do espaçoonde pode ou não existir cargas elétricas ou um campo
2
04 r
q
E
πε
=
do espaçoonde pode ou não existir cargas elétricas ou um campo
elétrico.
Forma da superfície é arbitrária, mas sua utilidade consiste emela
possuiramesma simetriado problema (forma esférica, cilíndrica etc).
Importante = a superfície deve serfechada.
A Lei de Gauss fornece uma relação entre o valor do campo elétrico
sobre a superfície gaussiana e a cargatotal efetiva nointerior da
superfície.
O cálculo do campo elétricosobre umasuperfícieestá ligado a uma
grandezachamadafluxo; no nosso caso, ofluxo do campo elétrico.
Maso queéo fluxodocampoelétrico?Maso queéo fluxodocampoelétrico?
O fluxo elétricoé uma grandeza proporcional aonúmero das linhas do
campo elétrico que penetramemalguma superfície.
Caso simples. Considere umcampo elétrico uniforme de móduloE e
direção constante, perpendicular a uma superfície retangular plana de
área A. Suponha que o campo é horizontal e a superfície vertical. Este é
o caso mais simples e o fluxo, que representamos pela letra gregaΦ, é
dado pela seguinte expressão,
No SI, o fluxo do campo elétrico
é medido emN.m2/C.
AE
rr
⋅=Φ
Observe que o fluxo é proporcional ao número de linhas de força que
atravessama superfície.
Seinclinarmos a superfície de umânguloθ emrelação à vertical,o fluxo
através da mesmadiminuirá (área efetiva atravessada pelo campo). No
caso, esta é a área projetada perpendicularmente ao campo, que vale
A’= A cosθ .
θcosAE=Φ
θcosEA=Φ
CmN /.1030 23×=Φ
°= 45θ
2
SOLUÇÃO: 
Dados:
Área = 0,2m x 0,3m = 0,06m2
Sendo o fluxo é dado por
Temos
C
N
E
m
CmN
E
mE
C
mN
5
2
23
2
2
3
1014,7
2
2
06,0
/.1030
45cos06,0
.
1030
×=
=
×
×=
°××=×
Temos
Em geral,paracalcularmoso fluxo, é necessáriodividir a superfícieem
um grande número de elementos muitopequenos de área∆A, de modo
quea variação do campo elétrico sobre o elemento pode ser desprezada.
Este pequeno elemento de superfíciepode ser consideradoplano. Se
definirmos o vetor∆A normal a essa superfície, então, o fluxo elétrico
∆Φ através desse pequeno elemento de área será,
θcosAE ∆=∆Φ
Paracalcularo fluxo total atravésda superfície, precisamossomaras
contribuições de todos os elementos, ou seja,
Essa soma é feita sobre todos os elementos de área da superfície fechada
representada nessa figura. Para obtermos uma expressão exata do fluxo
do campo elétrico através de uma superfície fechada, devemos fazer a
área de cada elemento aproximar-se de zero. Onúmero de elementos se
aproximadeinfinito ea somaésubstituídapor umaintegral, istoé,
∑=Φ AE
rr
aproximadeinfinito ea somaésubstituídapor umaintegral, istoé,
Importante! O vetor área aponta sempre para fora de uma superfície
fechada.
O símbolo (integral fechada) indica que aintegral é feita sobre toda
a superfície (fechada), ou seja, umasuperfície gaussiana.
∫ ).(int fechada
∫∑ ⋅=∆⋅=Φ
→∆
AdEAE
A
rrrr
rlim
0
Observe agora a Figura 5.
Figura 5 - Superfíciegaussianadeformaarbitráriaimersanumcapoelétrico.
A integral fechada (5) que nos dá o fluxo pode ser escrita como uma
soma de três integrais abertas. A primeira sobre a base esquerda do
cilindro (a); a segunda sobre a superfície lateral do cilindro (b); e a
terceira sobre a base direita do cilindro (c). Temos então,
∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅=⋅=Φ
cba
AdEAdEAdEAdE )6(
rrrrrrrr
Na base esquerda (a), o ângulo q entre o campo e o vetor área emtodos
os pontos da superfície é de 180°. Alémdisso, E é constante e todos os
vetores dAtêm a mesma direção e sentido oposto ao de E . A integral
pode ser simplificada e calculada emquatro etapas, como segue,
Onde A é a base da área do cilindro.
( ) ∫∫∫ −=−==⋅ EAdAEdAEAdE o180cos
rr
Ad
r
E
r
E
r
Da mesma forma, podemos calcular o fluxo na área da direita (c),
sabendo que o ânguloθ entre o campo e o vetor área nessa superfície é
igual a 0°. Assim, obtemos
( ) ∫∫∫ +=+==⋅ EAdAEdAEAdE o0cos
rr
Na superfície lateral do cilindro, o ângulo entre o campo e o vetor área é 
sempre θ = 90°, de maneira que obtemos, 
Finalmente, substituindo esses resultados em (6), teremos,
( ) 090cos ==⋅ ∫∫ dAEAdE o
rr
00 =++−=Φ EAEA
A Lei de Gauss
Forma alternativa de calcular o campo elétrico baseada no fluxo do
campo. Ela pode ser expressa da seguinte maneira:
“ O fluxo do campo elétricoΦ através de uma superfície fechada
(superfície gaussiana) multiplicado pela permissividade elétrica e0 é
igual à carga total Q no interior da superfície”.
Emtermosmatemáticos,temos, )7(Q=Φε
oε
Emtermosmatemáticos,temos,
Onde, eo é a permissividade elétrica do vácuo, e vale:oε
)7(Qo =Φε
2212 ./1085,8 mNCo
−×=ε
A cargaQ é a soma algébrica de todas as cargas presentes no interior
da superfície gaussiana.
Cargas externas não contribuem.
A única carga presente encontra-se fora da superfície gaussiana, a carga
total dentro da superfície é nula (Q= 0) e, portanto, de acordo coma
equação (7), ofluxo do campo elétrico nessa superfície é zero.
Na Figura 8, temos três superfícies.
o
q
ε
1=Φ
qqQ +=
Na superfície S o fluxo do
campo elétrico é
Na superfície S' a carga no
interior da mesma é
32 qqQ +=
( )
o
qq
ε
32 +=Φ
e o fluxo do campo elétrico é
Já na superfície S ˝, acargano interior da mesma énula e o fluxo do
campo elétrico éΦ = 0.
Aplicações da Lei de 
Gauss em casos de 
simetria esférica, simetria esférica, 
cilíndrica e plana.
Campo de uma carga pontual
Este é umcaso onde existe simetria esférica, pois, como vemos na
Figura 9, podemos escolher como superfície gaussiana uma esfera cujo
centro coincide coma posição da carga.
O primeiro passo aqui é calcular o fluxo do campo elétrico através da
superfície esférica de raior. O vetor do campo elétrico é radial
(perpendicular à superfície) e, portanto, é sempre paralelo ao elementode
área dA. Como a carga que dá origemao campo é positiva, o campo
elétrico aponta para fora da superfície, concluímos então que o ângulo
entre E e dAé θ = 0°. O produto escalar que aparece na integral do fluxo
na equação (5) é igual aE dA. Como os pontos sobre uma esfera estão
eqüidistantes do seu centro, o módulo do campo elétrico deve possuir o
mesmo valor sobre toda a superfície gaussiana. Assim, quando
calculamosa integralsobreaesfera,podemosconsiderarE constante.
Ad
r
Ad
r
E
r
calculamosa integralsobreaesfera,podemosconsiderarE constante.
( ) ∫∫∫ ===⋅ AEdAEdAEAdE o0cos
rr
O fluxo será dado por:
24 rA π=Como a área total da esfera é
O fluxo será Er 24 π=Φ
qQ =Substituindo esse valor na equação (7) , e fazendo , obtemos, 
qEro ==Φ 24 πε
24 r
q
E
oεπ
=
Esta é exatamente a mesma expressão para o campo de uma carga
pontual obtida na aula 3 a partir da Lei de Coulomb.
E, portanto, 
O campo de uma esfera carregada a uma distância r maior que o raio
R da esfera é igual ao campo produzido por uma carga pontual no
centro da esfera (r>R). Usando a expressão para o campo de uma
carga pontual
2
04 r
q
E
πε
=
, e substituindo os valores obtemos:
( ) q
CmNCN 2292 /.100,9/100,3 ×=× ( )( )
Cq
CmN
mCN
q
m
q
CmNCN
8
229
222
22
2292
103,3
/.100,9
)0,1)(/100,3(
0,1
/.100,9/100,3
−×=
=
×
×=
×=×
Campo de uma linha de carga 
r
E
oεπ
λ
2
=
SOLUÇÃO:
Sendo o cilindro infinito, podemos usar a expressão para uma
linha infinita de carga, ou seja,
r
E
02πε
λ=
Substituindo os valores iremos obter:
E =
πε
λ
( )( )
mC
mmNC
CN
r
E
/103,8
3,0./1085,8)14,3(2
/500
2
9
2212
0
−
−
×=
×
=
=
λ
λ
πε
Campo elétrico de um plano infinito carregado
o
E
ε
σ
2
=
Observando a expressão para o campo el étrico de um
plano infinito carregado percebemos que o campo
elétrico produzido não depende da distância ao plano. O
campo tem o mesmo valor em todos os pontos do
espaço.
( )
CNE
mNC
mC
E
/5,56
./1085,82
/100,1
2 2212
29
0
=
=
××
×== −
−
ε
σ
CNE /5,56=
O campo elétrico é nulo emqualquer ponto dentro do condutor.
Um condutor isolado carregado
Se o condutor isolado tiver umexcesso de carga, toda essa carga
se deslocará para a superfície do mesmo. Não haverá carga líquida
no interior do condutor.
O campo elétrico na parte externa ao condutor carregado nas
proximidades da sua superfície (E) é perpendicular à superfície do
condutor.
)( E
r
O módulo do campo pode ser calculado
usando a Lei de Gauss, supondo umcondutor
positivamente carregado que possui uma
densidade superficial de cargaσ (carga por
unidade de área). Daí,
o
E
ε
σ=