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Matriz de flexibilidade
Apresentação
Para que seja possível dimensionar um elemento estrutural, é necessário conhecer o 
comportamento dele, ou seja, como cada elemento estrutural se comporta devido às cargas que 
são aplicadas e como está vinculado, conectado, ao meio ou a outro elemento estrutural. Para isso, 
é preciso determinar as reações de apoio em cada vínculo e os esforços solicitantes que atuam na 
estrutura devido ao carregamento aplicado. Nas estruturas isostáticas, essa tarefa é bem simples: 
basta aplicar as equações fundamentais da estática, porém, para estruturas hiperestáticas, a solução 
não é possível utilizando apenas as equações fundamentais de equilíbrio. Para atender a essa 
necessidade, foram desenvolvidos diversos métodos que permitem encontrar a solução desses 
problemas, entre eles o método da flexibilidade.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar os conceitos do método da flexibilidade, como 
construir a matriz de flexibilidade em função das condições de contorno de uma estrutura, cargas e 
vínculos, bem como determinar as rotações em cada vínculo e os vetores de carga, elementos 
necessários para construir a matriz de flexibilidade e determinar os esforços solicitantes de uma 
estrutura hiperestática. 
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Calcular a matriz de flexibilidade.•
Analisar as condições de contorno.•
Determinar as rotações nos vínculos e os coeficientes do vetor de carga.•
AULA C.1
1.1 - Princípios gerais
1.2 - Equilíbrio de forças
2.1 - Forças internas em elementos estruturais
2.2 - Diagramas de Solicitações Internas
3.1 - Classificação das Estruturas e Cálculo do Grau de 
Hiperestaticidade
3.2 - Estruturas planas carregadas fora do seu plano
4.1 - Estruturas tridimensionais
4.2 - Formulação matricial
__ C.1 Matriz de flexibilidade
__ C.2 Arcos
__ C.3 Treliças
__ C.4 Arranjos reticulados
__ C.5 Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e 
tridimensionais
__ C.6 Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
__ C.7 Aplicações em estruturas reticuladas
_C.1_
elm = Avaliação da Aula: ruim. Explica mal o assunto. Vídeo muito curto. Conteúdo ruim...
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
Desafio
Você foi designado pelo gerente geral de uma grande obra para solucionar um problema estrutural 
que foi detectado durante a construção. Em uma análise preliminar, foi detectada uma falha de 
projeto no dimensionamento das vigas do piso da cobertura de um edifício, de modo que a viga 
projetada não atenderá às especificações de segurança estrutural. A viga, inicialmente, estava 
engastada nas extremidades. Por isso, para que o material da viga não seja desperdiçado, a gerência 
optou por incluir dois apoios intermediários no vão da viga, diminuindo o vão livre da viga e 
alterando a distribuição de esforços na viga na expectativa de aproveitar o material já adquirido 
pela empresa.
Veja o esquema estrutural da viga com as alterações de projeto:
Dados: 
E=210 GPa = 21000 kN/cm2 
IAB = 4937,00 cm4 
IBC = 3168,00 cm4 
ICD = 3168,00 cm4
Você deve calcular as reações de apoio na viga para que o engenheiro calculista faça a verificação 
final da viga e autorize a mudança de projeto com a inclusão dos novos apoios.
_C.1_
elm = Não tentei. Aguardar o gabarito.
Padrão de resposta esperado
Adm
Pencil
DCL 
32 kN 
MA 25 kN/m 
-iA 
4,00 4,00 
8,00 8,00 
MEDIDAS EM METROS 
Estrutura redundante: 
32 k 
25 kN/m 
A 
MEDIDAS EW METROS 
DCL da estrutura redundante e constantes hiperestáticas: 
~matriz de flexibilidade: ~ = FAB + FBC + FCD 
800 12 11 
FAB = 6EI' 1 2 800 122 11 FBC = 6EI. 1 
vc 
vc 
1 11600 800 1 1 
F AB = 6EI. 800 1600 kN. cm 
1 11600 800 1 1 
FBC = 6EI . 800 1600 kN. cm 
18 kN 
8,00 4,00 
12,00 
18 k 
8 ,00 
12.00 
18 kN 
8,00 4,00 
12,00 
1200 12 11 
FCD = 6El . 1 2 
D 
1 12400 12001 1 
1 
FCD = 6EI . 1200 2400 k N. cm 
e 
1 
F= - . 
6EI 
1600 
800 
o 
o 
800 
1600 + 1600 
800 
o 
1600 800 o o 
o 
800 
1600 + 2400 
1200 
F = -1
-. 800 3200 
6EI O 800 
800 o 1 
4000 1200 kN. cm 
1200 2400 o o 
o 
o 1 
1200 kN. cm 
2400 
Condição de contorno: MA * O ~ XO -=/= O :. MA = XO 
X1 *O 
Vetor Hiperestático - X: 1 X0 
X= X1 
X2 
X2-=/= O 
MC-=/= O ~ X3-=/= O :. MC = X3 
Rotação nos apoios: 1 
25 kN/m ~choA~ 
A 
025 8003 32000000 
8AB = ' · = rad 
6. (4)E/ 6EI 
1 
8,00 
1 0,25 . 8003 32000000 
(}BA = = rad 
6. (4)E/ 6EI 
~ 
32 kN 
32.8002 7670412 
8AB = = rad 
6. (2,67)EI 6EI 
A 8 
32.8002 7670412 
4,00 4,00 
(}BA = 6. (2,67)EI = 6El rad 
8,00 
25 kN/m Trecho BC: 
B 
0,25 . 8003 32000000 
(}BC = 6. (4)EI = 6EI rad 
8 ,00 
~25.8003 32000000 
eCB = 6. (4)EI = 6EI rad 
18.(sen 68º)kN [irecho CD: 
P.b (L2 -b2
) 
~=====*:==1::::::8::::.(::::co::::s=::::::t68º)kN (}CD = 6E lL 
D 
8,00 4,00 
12,00 
18. sen68º . 400 . ( 12002 
- 4002
) 7120772 
eCD = 6EI (1200) = 6El rad 
P.a(L2 -a2 ) 
eDC=----
6EIL 
18. sen68º . 800 . e 12002 
- 8002
) 8900965 
(}DC = 6El (1200) = 6El rad 
X3 
-+ 
Vetor de Carga - C: 
Ôoq = 8AB [rad] 32000000 7670412 39670412 
+ = rad 
6EI 6EI 6EI 
32000000 7670412 32000000 71670412 
ô1q = 8BA + 8BC [rad] 
ô2q = 8CB + 8CD [rad] 
ô3q = 8DC 
l
ô1q = ---+ + = r ad 
. 6EI 6EI 6EI 6EI 
32000000 7120772 39120772 
ô2q = ---+ = ---rad 
6EI 6EI 6EI 
8900965 
o3q = ---rad 
6EI 
39670412 
-+ 1 71670412 
C = 6EI. 39120772 
8900965 
[§guação da Flexibilidade: I F. X + ê =] 
1600 
1 800 
6EI . O 
1600 
800 
o 
o 
o 
800 
3200 
800 
o 
800 
3200 
800 
o 
o 
800 
4000 
1200 
o 
800 
4000 
1200 
o 
o 
1200 
2400 
o 
o 
1200 
2400 
Xo 39670412 
X1 1 71670412 
. X2 + 6EI. 39120772 
X3 8900965 
39670412 
71670412 
39120772 
8900965 
1 { 1600. XO + 800.Xl + 0.X2 + 0.X3 = -39670412 
800.XO + 3200.Xl + 800.X2 + O.X3 = -71670412 
O.XO + 800.Xl + 4000.X2 + 1200.X3 = -39120772 
O. XO + O. Xl + 1200. X2 + 2400. X3 = -8900965 
1 Componentes hiperestáticas: x0 = -16432,33 kN. cm 
X1 = -16723,36 kN. cm 
X2 = -6262,23 kN.cm 
X3 = -577,62 kN. cm_J 
Após o cálculo das componentes hiperestáticas, o DCL da estrutura redundante será: 
DCL 
32 kN 
164,32kN.m 167,23kN.m 25 kN/m 
HA 
VB vc 
4,00 4,00 6,00 
8.00 8,00 12,00 
MEDIDAS EM METROS 
18 kN 
4,00 
= 0 
Importante observar que os valores das componentes hiperestáticas, neste caso, todos 
são negativos, isso implica que o sentido das componentes deve ajustado, onde o sinal positivo 
indica que o sentido adotado incialmente está correto e o sinal negativo indica que o sentido 
real é o contrário do sentido adotado incialmente. 
I Após o ajuste do DCL, o próximo passo é calcular as reações de apoio utilizando a 
estrutura redundante. 1 
Reações de Apoio: 
DCL 
32 kN 
Trecho AB: 
+i i:Fy =O +~ LFX =o l 
f~4.00 ~4 00 J 
)\ B.00 J 
IAEOIOAS EM METROS 
OCL 
l 67,2.3kl\.m 25 kl\/ m ) 2kN.m 
HB 
./8 vc 
l 8,00 J 
"1EDIOAS EM METROS - - - --- --
DCL 
18 kN 
vc 
8.00 4,00 
12.00 
MEDIDAS EM METROS 
VA + V8 ' - 32 - (25. 8) = O 
VA + V8 ' = 232,00 kN 
+0 LMA = o 
164,32 - (32 . 4) - (25 . 8. 4) - 167,23 + (V8 ' . 8) = 0 
930,91 
V/ = 
8 
= 116,36 kN 
VB' = 116,36 kN 
~ = 232,00 - VB = 232,00 - 116,36 = 115,64 kNl 
1VA=115,64 kN 
Trecho BC: 
+i LFy =O 
VB" + Vc' - (25 . 8) =O 
VB" + Vc' = 200,00 kN 
+0 'f.MB = 0 
+~ LFX =o 
167,23 - (25 . 8. 4) - 62,62 + (Vc'. 8) = O 
1 695,39 
Vc = 
8 
= 86,92 kN 
Vc' = 86,92 kN 
_J 
V8 " = 200,00 - Vc' = 200,00 - 86,92 = 113,07 kN 
VB" = 113,07 kN 
VB = 116,36 + 113,07 = 229,43 kN 
VB = 229,43 kN 
lrrecho CD: 1 
+i'f.Fy=O 
Vc" + V0 - (18. sen68º) = O 
Vc" + V0 = 16,69 kN 
+~ LFx =O 
H0 - (18. cos68º) = O 
H0 = 6,74 kN 
+0 "i.M8 =O 
62,62 - (18.sen68º.8) + (V0 .12) - 5,77 =O 
76,66 
V0 =--= 639kN 12 , 
V0 = 6,39 kN 
Vc" = 16,69 - V0 = 16,69 - 6,39 = 10,30 kN 
Vc" = 10,30 kN 
Vc = 86,92 + 10,30 = 97,22 kN 
Vc = 97,22 kN 
DCL da estrutura original após determinar as reações de apoio: 
DCL 
32 kN 16,69k 
164.32kN.m) 
2~ kN/m 5,77kN.m 
115.64k 229,43kN 97 ,22kN 5,39kN 
4,00 4,00 8.00 4,00 
8 ,00 8 ,00 12,00 
MEDIDAS EM ~ETROS 
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Infográfico
Utilizar uma estrutura redundante que seja representativamente igual à estrutura original permite 
determinar as reações de apoio que não podem ser calculadas por meio das equações 
fundamentais da estática.
Confira no Infográfico como aplicar a teoria da flexibilidade em uma estrutura estaticamente 
indeterminada.
_C.1_
Conteúdo do livro
No capítulo Matriz de flexibilidade, da obra Teorias das estruturas, que serve como base teórica 
desta Unidade de Aprendizagem, você vai explorar como são feitos os cálculos que têm a matriz de 
flexibilidade como foco principal. Além disso, você vai analisar as condições de contorno e 
determinar as rotações nos vínculos e os coeficientes do vetor de carga.
https://sagah.com.br/gabaritos/TEORIA_ESTRUTURAS.pdf
_C.1_
elm = ver cap 11 de
LivrPt_Civ_Estrutural_Analise_Fundam_Leet_Uang_Gilbert_ed3_2009_810p
SUMÁRIO 
Unidade 1 
Conceitos fundamentais ......................................................................... 13 
Douglas Andrini Edmundo 
Sistemas estruturais .................................................................................................................................. 13 
Princípios básicos da estática das estruturas ............................................................................ 27 
Apoios e vínculos ....................................................................................................................................... 29 
Matriz de flexibilidade ............................................................................. 51 
Douglas Andrini Edmundo 
Método da flexibilidade ......................................................................................................................... 52 
Análise estrutural ........................................................................................................................................ 61 
Elementos da matriz de flexibilidade ............................................................................................ 70 
1Vigas1 ............................................................................................................. 77 
Douglas Andrini Edmundo 
Conceito de vigas ...................................................................................................................................... 77 
Esforços solicitantes .................................................................................................................................. 79 
Diagramas de esforços solicitantes ................................................................................................. 91 
Pórticos 1 ....................................................................................................... 97 
Douglas Andrini Edmundo 
Pórticos ............................................................................................................................................................ 97 
Esforços solicitantes ................................................................................................................................ 101 
Diagramas de esforços solicitantes ............................................................................................... 111 
Arcos ............................................................................................................ 115 
Douglas Andrini Edmundo 
Comportamento estrutural dos arcos ........................................................................................ 115 
Principais tipos de arcos ....................................................................................................................... 119 
Cálculo das reações de apoio e esforços solicitantes ........................................................ 121 
Treliças ......................................................................................................... 133 I 
Rossana Piccoli 
Treliças e estaticidade ............................................................................................................................ 133 
Classificação de treliças quanto à formação .......... .... ....... ...................... .... ....... ........ 140 
Determinação dos esforços em treliças ..................................................................................... 143 
Unidade 2 
Formulação matricial ............................................................................. 155 
Douglas Andrini Edmundo 
Métodos mat riciais para análise de estruturas ...................................................................... 155 
Análise de uma estrutura indeterminada ................................................................................ 158 
Condições de contorno ....................................................................................................................... 158 
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
1 Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças ............................ 165 1 
Fernando Cuenca Rojas 
Determinação de reações de apoio nas estruturas 
pelo método matricial ..................................................................................................................... 165 
Matriz de rigidez ..................................................................................................................................... 166 
Método de rigidez e flexibilidade .................................................................................................. 177 
Apl icação do método da flexibilidade para estruturas 
isostáticas e hiperestáticas ........................................................................................................... 180 
Conceitos básicos de métodos dos elementos finitos ............... 191 
Douglas Andrini Edmundo 
Métodos dos elementos finitos ....................................................................................................... 192 
l Matriz de rigidez ....................................................................................................................................... 195 
Solução de sistemas lineares ............................................................................................................. 1~ 
1 Aplicações em estruturas reticuladas ............................................. 203 1 
Douglas Andrini Edmundo 
Concepção estrutural ........................................................................................................................... 203 
Geração de malhas ................................................................................................................................. 204 
Equações de equilíbr io e matriz de rig idez ............................................................................. 210 
Aplicações em estruturas formadas por 
elementos bidimensionais e tridimensionais ............................... 21 5 
Fernando Cuenca Rojas 
Definições básicas das est ruturas .................................................................................................. 216 
L Estruturas de superfície ...................................................................................................................... 2~ 
!unidade 3 
Vigas li ......................................................................................................... 241 
Diego Guimarães 
Viga com cargas distribuídas em forma triangular ............................................................. 241 
Diferenciar momento fletor e esforço cortante e suas relações ............................... 244 
Resolver os cálculos da força normal, do esforço cortante 
e do momento fletor e traçar os diagramas ...................................................................... 247 
Vigas111 ....................................................................................................... 255 
Diego Guimarães 
Analisar o comportamento estrutural de vigas ................................................................... 255 
Cálculo das solicitações internas: método das equações ............................................. 263 
LResolução do cálculo do ponto de momento máximo ................................................. 2~ 
Fundamentos do processo de Cross ............................................... 277 
Diego Guimarães 
Definição do funcionamento do método de Cross .......................................................... 277 
Interpretação física do processo de Cross ............................................................................... 281 
Descrição da distribuição dos momentos fletores em um nó ................................... 282 
Cargas móveis em estruturas isostáticas -
linhas de influência 1 ............................................................................. 291 
Fernanda Dresch 
Cargas móveis ........................................................................................................................................... 292 
Importância do estudo das linhas de influência ................................................................ 294 
Traçado da linha de influência referente às reações de apoio, 
ao esforço cortante e ao momento fletor .......................................................................... 299 
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Estruturas tridimensionais .................................................................. 309 
Diego Guimarães 
Estrutura tridimensionais .................................................................................................................... 309 
Trel iças ............................................................................................................................................................. 314 
Grelhas e pórticos espaciais ............................................................................................................... 317 
Unidade4 
Equilíbrio de forças ................................................................................ 325 
Diego Guimarães 
Forças atuantes ........................................................................................................................................ 325 
Estruturas: hipostática, isostática e hiperestática ................................................................ 331 
Impactos da aplicação de uma força em um corpo ......................................................... 334 
Diagramas de solicitações internas ................................................. 341 
Rossana Picco/i 
Convenção para o traçado dos diagramas de solicitações internas ..................... 341 
Diagrama de esforços solicitantes ............................................................................................... 353 
Análise dos diagramas .......................................................................................................................... 357 
Estruturas planas carregadas fora do seu plano ......................... 363 
Douglas Andrini Edmundo 
Estruturas planas ...................................................................................................................................... 363 
Carregamentos fora do plano da estrutura ............................................................................ 366 
Cálculo das cargas perpendiculares ao plano da estrutura ......................................... 373 
Arranjos reticulados .............................................................................. 379 
Douglas Andrini Edmundo 
Tipos de estruturas reticuladas e eixos de referência ...................................................... 379 
Eixos globais, eixos locais e esforços internos ....................................................................... 384 
Como determinar os tipos de esforços internos nas barras ......................................... 386 
Gabaritos ..................................................................... 392 
Conceitos fundamentais Matriz de flexibilidade Vigasl Pórticos 1 Arcos 
1
Treliças l Formulação matricial 
1. b 1. b 1. a 1. d 1. d 1.c 1.d 
2. e 2. d 2. e 2. a 2. e 
3. b 
3. a 3. e 3. e 3. d 
4. e 
4. b 4. b 
5. d 
4. b 4. e 
2. a 2. e 
3. e 3. a 
4. d 4. a 
5. e 5. e 5. e 5. e 5. a 5. e 
~~~~~~~~~~ 
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças Conceitos básicos de métodos dos elementos finitos Aplicações em estruturas reticuladas 
1. b 1. e 1. a 
2. b 2. e 2. d 
3. a 3. d 3. e 
4. d 4. b 4. a 
5. a 5. a 5. b 
Aplicações em estruturas formadas por elementos 
bidimensionais e tridimensionais 
1. b 
2. e 
3. b 
4. d 
5. e 
Vigas li 
1. a 
2. e 
3. d 
4. b 
5. e 
Vigas Ili F damentos do processo de Cross 
1. e 1. e 
2. b 2. a 
3. e 3. e 
4. a 4. a 
5. d 5. d 
Cargas móveis em estruturas isostáticas - linhas de !Estruturas tridimensionais 1 Equilíbrio de forças Diagramas de solicitações internas 
influência 1 
1. d 1. e ). d 
1. d 2. a 2. e 2. a 
2. a 
3. e 
4. b 
5. e 
3. e 
4. e 
5. b 
3. e 
4. b 
5. b 
3. d 
4. e 
5. b 
Estruturas planas carregadas fora do seu plano Arranjos reticulados 1. b 
2. e 
3. e 
4. d 
5. a 
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Matriz de flexibilidade
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Determinar a matriz de flexibilidade. 
 � Analisar as condições de contorno.
 � Determinar as rotações nos vínculos e os coeficientes do vetor de 
carga.
Introdução
Neste texto, você vai estudar como analisar o comportamento de uma 
estrutura. Para dimensionar um elemento estrutural, é necessário co-
nhecer o seu comportamento, ou seja, como cada elemento estrutural 
se comporta em função das cargas que são aplicadas e também como 
estão vinculados e conectados ao meio ou a outro elemento estrutural. 
Dessa forma, precisamos determinar as reações de apoio em cada vín-
culo e quais os esforços solicitantes que atuam na estrutura devido ao 
carregamento aplicado.
Para estruturas isostáticas, é simples: basta aplicar as equações fun-
damentais da estática. No entanto, para estruturas hiperestáticas, foram 
desenvolvidos diversos métodos que permitem encontrar a solução 
desses problemas. 
Neste livro, você vai estudar os conceitos do método da flexibilidade 
e como construir a matriz de flexibilidade em função das condições de 
contorno de uma estrutura, das cargas e dos vínculos. Também vai ver 
como determinar as rotações em cada vínculo e os vetores de carga, 
elementos necessários para construir a matriz de flexibilidade, e como 
determinar os esforços solicitantes de uma estrutura hiperestática. 
Adm
Rectangle
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
Método da flexibilidade
O método da flexibilidade é utilizado para a solução de estruturas hiperestáticas 
de qualquer tipo. No entanto, em função do grande trabalho que esse método 
gera, é mais utilizado em estruturas lineares, retilíneas e elásticas, ou em 
estruturas com poucas barras.
O objetivo principal de todo e qualquer método utilizado na solução de uma 
estrutura é encontrar o equilíbrio, a compatibilidade e segurança da estrutura. 
O equilíbrio é atingido quando todas as forças e reações de apoio se anulam, 
ou seja, a somatória de todas as forças aplicadas na estrutura é igual a zero. 
A compatibilidade da estrutura está relacionada às condições de contorno, a 
como a estrutura se deforma devido à aplicação das cargas, e às restrições ou 
graus de liberdade dos apoios. A segurança da estrutura será alcançada quando 
essa estrutura se encontrar em equilíbrio e também possuir compatibilidade 
nas deformações em relação aos vínculos.Matriz de flexibilidade
O método da flexibilidade consiste em analisar a estrutura estaticamente 
indeterminada por meio de uma estrutura redundante, estável e determinada, 
que é elaborada a partir da estrutura indeterminada inicial. Removem-se 
temporariamente algumas restrições que permitiram encontrar as reações de 
apoio, possibilitando a resolução do problema.
Considerando a estrutura abaixo, composta por uma viga contínua com 
quatro apoios e três vãos, temos uma estrutura estaticamente indeterminada, 
como podemos observar no diagrama de corpo livre DCL.
A B C D
L L L
O DCL da estrutura acima será dado como a seguir:
Matriz de flexibilidade2
DCL
HA
VA VB VC VD
L L L
Observe que, no DCL, o total de reações de apoio (r) dessa estrutura são 
5, e temos apenas uma barra (n) compondo a estrutura. Calculando o grau de 
hiperestaticidade, temos:
r = 5
n = 1
3. n, onde 3 é o número de equações fundamentais da estática
3. n = 3,1 = 3
Portanto, r = 5 > n = 3
O grau de hiperestaticidade será de 5 – 3 = 2, ou seja, essa estrutura possui 
dois graus de hiperestaticidade. Dessa forma, sua resolução não é possível 
apenas com a aplicação das equações fundamentais da estática.
Substituindo a estrutura indeterminada por uma estrutura redundante que 
seja estável e determinada, temos:
X0 X1 X2 X3
A B C D
L L L
Na estrutura redundante, substituímos os apoios engastados por apoios de 
primeiro ou de segundo gênero; nesse caso, a estrutura indeterminada já possui 
todos os apoios como sendo do primeiro e do segundo gênero. Em seguida, 
inserimos as constantes hiperestáticas X0, X1, X2 e X3, que são momentos 
aplicados em cada um dos apoios da estrutura e serão determinados por meio 
da matriz de flexibilidade.
3Matriz de flexibilidade
Adm
Pencil
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
Analisando a estrutura indeterminada, podemos observar que os apoios 
A e D são originalmente apoios do primeiro gênero e do segundo gênero, 
respectivamente; portanto, são apoios que não possuem momento como re-
ações — o que significa que os momentos nesses apoios serão iguais a zero. 
Partindo dessa análise, podemos determinar que as constantes hiperestáticas 
X0 e X3 são iguais a zero.
X0 = X3 = 0
Desse modo, teremos de determinar apenas as constantes hiperestáticas 
dessa estrutura, X1 e X2. Assim, temos o vetor hiperestático X .
No método da flexibilidade, também é necessário considerar a linha elástica 
da estrutura redundante, para que possamos determinar, por meio das rotações 
nos apoios, o vetor de carga C.
Linha elástica da estrutura redundante:
Analisando a somatória dos momentos no primeiro trecho da estrutura 
redundante, trecho AB, temos:
VA VB
DCL
L
X
Matriz de flexibilidade4
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Analisando o trecho na seção X, temos:
DCL
X
VA
Vx
Mx
Corte x1 : 0 ≤ x ≤ L
Σ Mx = 0
- VA.x + Mx = 0
Mx = VA.x
Para uma carga virtual unitária, temos que V A = 1L , portanto:
Mx = 
1
L . x =
x
L
A equação diferencial da linha elástica é dada pela expressão: d 2w
dx2 = - ME.I
, 
onde E é o módulo de elasticidade do material da barra e I é o momento de 
inércia da seção da barra. A expressão E.I é chamada de rigidez flexional da 
barra.
Como Mx = x
L , substituímos na equação diferencial da elástica:
d 2w
dx2 = - = - M
E.I
x
EIL
5Matriz de flexibilidade
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Resolvendo a equação diferencial, teremos:
EI dw
dx = - x2
2L
+ C1
EI w = - x3
6L + C1x + C2
para x = 0, w = 0
para x = L, C2 = 0 e C1 = L
6
como, dw
dx = θ
temos, para x = 0, ϴ = ϴAB = L6EI [rad]
e para x = L, ϴ = ϴBA = L3EI [rad]2L
6EI=
Os coeficientes de flexibilidade determinados por essa análise da linha 
elástica da estrutura redundante consideraram os valores de L e EI constantes 
para cada trecho da viga. Entretanto, quando os valores de L e EI forem dife-
rentes em cada trecho — ou seja, não forem constantes —, deve-se determinar 
a matriz de flexibilidade em cada trecho e efetuar a somatória das matrizes 
em cada trecho para se obter a matriz de flexibilidade da estrutura completa 
a ser analisada.
Dessa maneira, temos, para o trecho AB, os elementos da matriz de 
flexibilidade:
F = δ11 δ12
δ21 δ22
Onde:
δ11 = 2L
6EI [rad] = ϴBA
δ22 = 2L
6EI [rad ] = ϴBC
δ12 = L
6EI [rad] = ϴAB
δ21 = L
6EI [rad ] = ϴAB
Matriz de flexibilidade6
Substituindo os valores da rotação na matriz, temos:
F =
2L L
 6EI 6EI
 L 2L
6EI 6EI
=>
F = L
6EI
. 2 1
1 2
Com essa definição, temos os elementos que compõem a equação geral do 
método da flexibilidade, que será dado pela expressão: F . X + C = 0
Onde:
F = Matriz de flexibilidade
X = Vetor hiperestático
C = Vetor de carga
Analisando a estrutura para os três trechos, considerando que L ou EI não 
sejam constantes, precisamos determinar a matriz de flexibilidade para cada 
trecho separadamente e efetuar a somatória das matrizes, como veremos a 
seguir.
A análise de cada trecho é feita considerando cada trecho separadamente 
da estrutura, como se fossem estruturas independentes. Assim, obteremos 
uma matriz para cada trecho.
FAB = L1
6EI
. 2 1
1 2
FBC = L2
6EI
. 2 1
1 2
FCD = L3
6EI
. 2 1
1 2
7Matriz de flexibilidade
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
Pencil
A soma das matrizes de cada um dos trechos da viga deverá ser feita 
escalonando em função dos pontos comuns da estrutura, da seguinte forma:
x0
1
A
2
B
1
x1 x2 x3
2
B C
1
C
2
D
δ11
δ21
δ12
δ22 δ11
δ21
δ12
δ22 δ11
δ21
δ12
δ22
F = FAB + FBC + FCD
F = 
δ11 δ12 0 0
δ21 δ22 + δ11 δ12 0
0 δ21 δ22 + δ11 δ12
0 0 δ21 δ22
Antes de somar todas as matrizes, vamos isolar o termo 1
6EI
 e multiplicar 
cada elemento da matriz pelo L correspondente em cada trecho da estrutura.
FAB = 1
6EI
. L12 L11
L11 L12
FBC = 1
6EI
. L22 L21
L21 L22
FCD = 1
6EI
. L32 L31
L31 L32
Substituindo cada elemento na matriz de flexibilidade da estrutura, temos:
F = 1
6EI
.
L1δ11 L1δ12 0 0
L1δ21 L1δ22+L2δ11 L2δ12 0
 0 L2δ21 L2δ22+L3δ11 L3δ12
 0 0 L3δ21 L3δ22
Matriz de flexibilidade8
Os vetores de carga são determinados por meio das rotações nos apoios, 
segundo a equação da linha elástica para cada trecho da estrutura, e são 
calculados conforme o carregamento aplicado em cada trecho. Na Figura 1, 
temos as equações de rotação (inclinação e extremidade) para vigas isostáticas 
bi apoiadas e vigas em balanço. 
Figura 1. Deflexões e inclinações de vigas.
Fonte: Beer et al. (2015, p. 774). 
De acordo com cada carga aplicada no trecho, deve-se calcular a rotação. 
Se, em um mesmo trecho, tivermos duas cargas aplicadas, sendo uma carga 
pontual e a outra uniformemente distribuída, a rotação total do trecho será a 
somatória das rotações provocadas por cada uma das cargas.
9Matriz de flexibilidade
Os elementos do vetor de carga correspondentes a cada um dos elementos 
do vetor hiperestático serão:
δ0q = θAB [rad] 
δ1q = (θBA + θBC) [rad]
δ2q = (θCB + θCD) [rad]
δ3q = θDC [rad]
Com isso, determinamos todos os elementos da equação da matriz de 
flexibilidade, que será dada pela expressão:
F . X + C = 0
1
6EI
.
L1δ11 L1δ12
L1δ21 L1δ22+L2δ11
 0 L2δ21
 0 0
0 0
L2δ12 0
L2δ22+L3δ11 L3δ12
L3δ21 L3δ22
. = 0
X0
X1
X2
X3
+
δ0q
δ1q
δ2q
δ3q
Vimos inicialmente que as componentes hiperestáticas X0 e X1 são iguais 
a zero, em função das condições de contorno da estrutura, por serem origi-
nalmente vínculos de primeiro e segundo gênero.
Quando um dos termos do vetor que multiplica uma matriz é igual a zero, 
podemos eliminar a linha e a coluna correspondente. 
A componente X0 é igual a zero, portanto, podemos eliminar a primeira 
linha da matriz e a coluna correspondente, ou seja, a primeira coluna. Da 
mesma maneira, a componente X3 também é igual a zero e está na quarta linha 
da matriz, então podemos eliminar a linha e coluna correspondentes — nesse 
caso, aquarta coluna.
Aplicando essa regra à matriz de flexibilidade da estrutura, temos: 
.
X0
X1
X2
X3
+
δ0q
δ1q
δ2q
δ3q
1
6EI
.
L1δ11 L1δ12 0 0
L1δ21 L1δ22+L2δ11 L2δ12 0
 0 L2δ21 L2δ22+L3δ11 L3δ12
 0 0 L3δ21 L3δ22
= 0
Matriz de flexibilidade10
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
Line
Adm
Line
Após eliminar as linhas e colunas correspondentes às componentes iguais 
a zero da matriz, teremos:
1
6EI
. L1δ22+L2δ11 L2δ12
L2δ21 L2δ22+L3δ11
δ1q
δ2q
X1
X2
= 0. .
Estrutura redundante é aquela que representa a estrutura indeterminada, mas que 
pode ser estável e determinada. É por meio da análise da estrutura redundante que 
encontramos a solução para esse problema da engenharia.
Na construção da estrutura redundante, é muito importante ficar atento às condições 
de contorno da estrutura original, indeterminada. Os vínculos ou apoios da estrutura 
são substituídos por apoios de primeiro e de segundo gênero; isso inclui os apoios 
engastados.
Os momentos fletores existentes nos apoios engastados da estrutura, quando 
substituídos por um apoio do primeiro ou do segundo gênero, cujo momento fletor 
será igual a zero, serão corrigidos pela constante hiperestática correspondente no apoio.
A constante hiperestática somente será igual a zero quando, na estrutura original, 
o apoio for de primeiro ou de segundo grau. Quando o apoio na estrutura original
for um engaste, a constante hiperestática será diferente de zero, sendo o valor da 
constante hiperestática correspondente igual ao valor do momento fletor da estrutura 
indeterminada. 
Análise estrutural
Toda solução de um problema de engenharia estrutural tem início na análise 
da estrutura. Analisando o comportamento de uma estrutura em relação às 
deformações, cargas aplicadas, apoios, rotações, geometria, além dos materiais 
e da seção transversal de uma barra, é possível encontrar a solução para uma 
estrutura. Mas ao que se entende por solução de uma estrutura? A solução de 
uma estrutura é determinar a sua condição de equilíbrio e compatibilidade, 
de forma a garantir a segurança da estrutura e de seus usuários.
É a etapa mais importante do cálculo estrutural, pois basta uma análise 
errada para que seja criada uma condição insegura na estrutura, que poderá 
nem ser percebida até que um acidente estrutural ocorra.
11Matriz de flexibilidade
Analisar as condições de contorno de uma estrutura e entender seu com-
portamento é fundamental para que essa estrutura seja bem projetada. Uma 
estrutura bem projetada é aquela que tem a quantidade de material necessária 
para atender as necessidades de resistência e utilização ao longo de sua vida útil.
Este é o maior desafio da engenharia estrutural: prever comportamentos e 
determinar as soluções necessárias, visando o melhor custo–benefício.
Condições de contorno
A análise das condições de contorno de uma estrutura permite entender como 
uma estrutura será solicitada em função das cargas aplicadas e como ela irá 
responder em cada apoio, conforme as restrições ou os graus de liberdade 
que os vínculos oferecerem.
Por meio das condições de contorno é que verificamos se a estrutura é 
estaticamente determinada ou não, em função reações de apoio em cada 
vínculo, e se existe deslocamento ou rotação. Além disso, elas informam se 
o momento fletor é igual a zero ou diferente de zero, conforme demonstrado
no Quadro 1.
Todas essas informações traduzem o comportamento de um elemento 
estrutural, auxiliando na resolução do problema.
Apoio Deslocamento Rotação Momento
Apoio 1º gênero 
- Externo
D = 0 θ ≠ 0 M = 0
Quadro 1. Condições de contornos nos apoios.
(Continua)
Matriz de flexibilidade12
Apoio Deslocamento Rotação Momento
Apoio 1º gênero 
- Interno
D = 0 θ ≠ 0 M ≠ 0
Apoio 2º gênero 
- Externo
D = 0 θ ≠ 0 M = 0
Apoio 2º gênero 
- Interno
D = 0 θ ≠ 0 M ≠ 0
Apoio 3º gênero 
- Externo
D = 0 θ = 0 M ≠ 0
Extremo de viga 
em balanço - Livre
Δ ≠ 0 θ ≠ 0 M = 0
Quadro 1. Condições de contornos nos apoios.
(Continuação)
13Matriz de flexibilidade
Figura 2. Exemplo de condições de contorno para vigas estaticamente determinadas. 
Onde yA e yb = ∆A e ∆B
Fonte: Beer et al. (2015, p. 554).
yA = 0
yB = 0
y
A B
x
(a) Viga biapoiada
P
B
x
y
A
yA = 0
yB = 0
(b) Vida biapoiada com balanço
y
A
P
x
B
(c) Viga em balanço
yA = 0
θA = 0
Matriz de flexibilidade14
No exemplo a seguir, vamos analisar uma estrutura indeterminada e aplicar a teoria 
do método da flexibilidade.
Estrutura indeterminada:
Exemplo 1.
A
2,00
4,00 4,00
2,00
3,00
B C D
MEDIDAS EM METROS
19kN 20 kN/m 46 kN
A estrutura está engastada nas extremidades e possui dois apoios intermediários, 
um apoio de primeiro gênero e outro apoio de segundo gênero.
O diagrama de corpo livre DCL da estrutura é dado por:
DCL 19kN 20 kN/m 46 kN
MD
HD
MA
HA
VA VB
2,00 2,00
4,004,00
VC VD
MEDIDAS EM METROS
2,00 1,00
3,00
O grau de hiperestaticidade dessa estrutura é de 8 – 3 = 5, ou seja, essa estrutura 
possui um grau de hiperestaticidade de grau 5, o que torna impossível sua resolução 
utilizando apenas as equações fundamentais da estática. Nesse caso, 8 é o número de 
reações de apoios e 3 é o número de equações fundamentais da estática.
Aplicando o método da flexibilidade, substituímos todos os apoios originais da 
estrutura indeterminada por apoios de primeiro e de segundo gênero e inserimos as 
constantes hiperestáticas.
15Matriz de flexibilidade
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Estrutura redundante:
4,00 4,00 3,00
2,00
19kN 20 kN/m 46kN
A B
2,00
C D
(MEDIDAS EM METROS)
Observe que os apoios das extremidades que são originalmente engastes foram 
substituídos por apoios do primeiro e do segundo gênero.
DCL da estrutura redundante:
DCL 19kN 20kN/m 46kN
HA
x0 x1 x2 x3
VA
2,00 2,00
VB VC
VD
4,004,00
2,00 1,00
3,00
(MEDIDAS EM METROS)
Condições de contorno:
MA≠0, MA=X0
MD≠0, MD=X3
X1≠0
X2≠0
Constantes hiperestáticas da estrutura redundante:
θA
B θBA
x0
A
θB
C θCB
θC
D
θD
C
x1
B
o o
x2
C
x3
D
FAB = 4
6EI
2 1
1 2
. FBC = 4
6EI
2 1
1 2
. FCD = 3
6EI
2 1
1 2
.
Matriz de flexibilidade16
elm = X0 X1 X2 X3 são momentos, 
cargas redundantes !! 
Multiplicando o valor de L pelas componentes da matriz, temos:
FAB = 1
6EI
8 4
4 8
. FBC = 1
6EI
8 4
4 8
. FCD = 1
6EI
6 3
3 6
.
Somando as matrizes de flexibilidade de cada um dos trechos, teremos:
F = FAB + FBC + FCD
1
6EI
.F =
8 4 0 0
4 8+8 4 0
0 4 8+6 3
0 0 3 6
1
6EI
.F =
8 4 0 0
4 16 4 0
0 4 14 3
0 0 3 6
O vetor de carga serão as condições de contorno das cargas aplicadas e das rotações 
nos apoios da estrutura redundante.
Trecho AB:
A
2,00 2,00
B
4,00
19kN
17Matriz de flexibilidade
Do Exemplo 1, temos:
1
2
L P
L
θAB = P L2
16EI
θBA = P L2
16EI
Trecho BC:
B
20kN/m
C
4,00
Matriz de flexibilidade18
Do Exemplo 1, temos:
L
w
θBC = w L3
24EI
θCB = w L3
24EI
Trecho CD:
C D
3,00 1,00
3,00
46 kN
19Matriz de flexibilidade
Do Exemplo 1, temos:
a
b
P
L
A B
θCD = P.b (L2 - b 2)
6EIL
θDC =
P.a (L2 - a2)
6EIL
É importante observar que, no Exemplo 1, as rotações nos apoios estão precedidas 
de sinal de + ou de -. Esse sinal se refere ao sentido da rotação da barra no apoio, e 
não aos valores das rotações, sendo maiores ou menores. Na equação da matriz de 
flexibilidade, o valor das componentes do vetor de carga é aplicado em módulo.
Elementos da matriz de flexibilidade
A matriz de flexibilidade é composta pela matriz F de cada elemento estrutural 
que compõe a estrutura indeterminada; pelo vetor hiperestático X , definido 
a partir da estrutura redundante; e pelo vetor de carga C, determinado por 
meio das rotações nos apoios, provocadas pelas cargas aplicadas na estrutura.
A relação entre cada uma dessas componentes torna possível a solução de 
uma estrutura indeterminada estaticamente.
Matriz de flexibilidade20
A solução está na determinação dos valores das componenteshiperestáticas 
[X0, X1, X2, X3, ..., Xn], que são encontrados após a resolução do sistema linear 
de equações gerado pela equação geral da flexibilidade.
F . X + C = 0
1
6EI
.
8 4 0 0
4 16 4 0
0 4 14 3
0 0 3 6
.
X0
X1
X2
X3
+
δ0q
δ1q
δ2q
δ3q
Vetor de carga
O vetor de carga é a componente da equação da flexibilidade que relaciona 
as rotações nos apoios com as cargas aplicadas na estrutura indeterminada.
Os elementos do vetor de carga estão diretamente relacionados a cada 
elemento do vetor hiperestático e a cada trecho da estrutura redundante, 
FAB X0 S0q.
δ0q = θAB [rad ] 
δ1q = θBA + θBC [rad ]
δ2q = θCB + θCD [rad]
δ3q = θDC [rad]
Temos:
δ0q =
PL2
16EI
[rad ]
δ1q =
PL2
16EI
[rad]wL2
24EI
+
δ2q = [rad]wL2
24EI
+
P.b (L2 - b2)
6EIL
δ3q = [rad]P.a (L2 - a2)
6EIL
Isolando o termo 1
6EI
 em cada equação, temos:
21Matriz de flexibilidade
( )δ0q =
1
6EI
[rad ]PL2
2,667
( )1
6EI
δ1q = [rad ]PL2
2,667
wL2
4
+
δ2q = [rad]wL2
4
+
P.b (L2 - b2)
L
1
6EI ( )
δ3q = [rad ]P.a (L2 - a2)
L( )1
6EI
Reescrevendo a equação da flexibilidade:
1
6EI
.
8 4 0 0
4 16 4 0
0 4 14 3
0 0 3 6
.
X0
X1
X2
X3
+ 1
6EI
PL2
2,667
PL2
2,667
+
wL3
4
+
wL3
4
P.b (L2-b2)
L
P.a (L2-a2)
L
= 0.
1
6EI
.
8 4 0 0
4 16 4 0
0 4 14 3
0 0 3 6
.
X0
X1
X2
X3
- 1
6EI
PL2
2,667
PL2
2,667
+
wL3
4
+
wL3
4
P.b (L2 - b2)
L
P.a (L2 - a2)
L
= 0.
Como 
1
6EI multiplica os dois termos da igualdade, podemos simplificar
a equação:
8 4 0 0
4 16 4 0
0 4 14 3
0 0 3 6
.
X0
X1
X2
X3
= -
PL2
2,667
PL2
2,667
+
wL3
4
+wL3
4
P.b (L2 - b2)
L
P.a (L2 - a2)
L
Matriz de flexibilidade22
Aplicando os conceitos de operações de matrizes, teremos um sistema 
linear de equações:
{8X0 + 4X1 + 0X2 + 0X3 = - PL2
2,667
PL2
2,6674X0 + 16X1 + 4X2 + 0X3 = - +
wL3
4
+
wL3
4
0X0 + 4X1 + 14X2 + 3X3 = - P.b (L2 - b2)
L
P.a (L2 - a2)
L
0X0 + 0X1 + 3X2 + 6X2 = -
Resolvendo o sistema de equações, encontramos os valores de X0, X1, 
X2 e X3.
A resolução do sistema linear de equações fornecerá os valores das cons-
tantes hiperestáticas, que possibilitarão resolver a estrutura indeterminada.
O método da flexibilidade também é chamado de método das deformações consis-
tentes, e é aplicado na análise de estruturas estaticamente indeterminadas lineares e 
elásticas — por isso método da flexibilidade.
Esse método pode ser aplicado na resolução de treliças, pórticos, vigas, placas, cascas 
e outras estruturas; porém, quanto maior for o grau de hiperestaticidade, maior será o 
esforço de programação e de processamento computacional. Por outro lado, quando 
utilizado em estruturas mais simplificadas, torna sua aplicação muito prática e viável. 
Leia o estudo “Análise matricial preliminar de estruturas estaticamente indeterminadas 
por meio do método da flexibilidade: um estudo de caso envolvendo duas vigas hipe-
restáticas e a determinação completa dos seus deslocamentos, rotações e coeficientes 
de flexibilidade” (SANTOS et al., 2008) sobre análise matricial preliminar de estruturas 
estaticamente indeterminadas por meio do método da flexibilidade. Trata-se de um 
estudo de caso envolvendo duas vigas hiperestáticas e a determinação completa dos 
seus deslocamentos, rotações e coeficientes de flexibilidade.
O método da flexibilidade apresentado nesse artigo deriva do método das forças 
ou do método da superposição. Entretanto, também visa encontrar a solução para 
uma estrutura estaticamente indeterminada. 
23Matriz de flexibilidade
1. Determine a matriz de flexibilidade 
da estrutura indeterminada abaixo.
46 kN 20 kN/m
A B
2,50 2,50
5,00
C
4,00
MEDIDAS EM METROS
Dados:
E = 210 GPa = 21000 kN/cm²
IAB = 4937,00 cm4
IBC = 3168,00 cm4
a) F = 1
6EI
.
500 1000 0
1000 900 400
0 400 800
1
kN.cm
b) F = 1
6EI
.
1000 500 0
500 1800 400
0 400 800
1
kN.cm
c) F = 1
6EI
.
800 500 0
500 1800 400
0 400 1000
1
kN.cm
d) F = 1
6EI
.
1200 600 0
600 1600 800
0 800 400
1
kN.cm
e) F = 1
6EI
.
800 400 0
400 1800 500
0 500 1000
1
kN.cm
2. Determine a rotação nos apoios 
provocados pelas cargas na 
estrutura redundante da estrutura 
indeterminada abaixo.
A
2,50 1,50
4,00
25kN
B
MEDIDAS EM METROS
6,00
C
71kN/m 50kN
2,50
D
30kN/m
2,00
5,00 4,00
E
Dados:
E = 210 GPa = 21000 kN/cm²
IAB = 2029,00 cm4
IBC = 3168,00 cm4
ICD = 2939,00 cm4
IDE = 2291,00 cm4
a) θAB = 5,042 . 10-4 rad
θBA = 5,959 . 10-5 rad
θBC = 9,605 . 10-2 rad
θCB = 9,650 rad
θCD = 1,662 . 10-2 rad
θDC = 1,662 . 10-2 rad
θDE = 9,353 rad
θED = 7,275 rad
b) θAB = 5,042 . 10-5 rad
θBA = 5,959 . 10-4 rad
θBC = 0,9605 rad
θCB = 0,9605 rad
θCD = 1,266 . 10-4 rad
θDC = 1,266 . 10-4 rad
θDE = 0,9353 . 10-3 rad
θED = 0,7275 . 10-3 rad
c) θAB = 6,042 . 10-2 rad
θBA = 6,959 . 10-2 rad
θBC = 9,605 . 10-2 rad
θCB = 9,605 . 10-2 rad
θCD = 2,266 . 10-2 rad
θDC = 2,266 . 10-2 rad
θDE = 1,9353 rad
θED = 3,7275 rad
d) θAB = 5,042 . 10-3 rad
θBA = 5,959 . 10-3 rad
θBC = 9,605 rad
θCB = 9,605 rad
θCD = 1,266 . 10-2 rad
θDC = 1,266 . 10-2 rad
θDE = 0,9353 rad
θED = 0,7275 rad
e) θAB = 5,402 . 10-3 rad
θBA = 5,690 . 10-3 rad
θBC = 9,506 rad
θCB = 9,655 rad
θCD = 2,266 . 10-2 rad
θDC = 2,266 . 10-2 rad
θDE = 0,9353 . 10-4 rad
θED = 0,7275 . 10-4 rad
Matriz de flexibilidade24
3. Com dados das rotações da 
estrutura redundante do 
exercício 2, determine o vetor 
de carga da estrutura. 
A
2,50 1,50
4,00
25kN
B
MEDIDAS EM METROS
6,00
C
71kN/m 50kN
2,50
D
30kN/m
2,00
5,00 4,00
E
Dados:
E = 210 GPa = 21000 kN/cm²
IAB = 2029,00 cm4
IBC = 3168,00 cm4
ICD = 2939,00 cm4
IDE = 2291,00 cm4
a) C =
5,042 . 10-3
9,611
9,618
0,948
0,728
b) C =
5,042 . 10-5
9,627
9,718
0,842
0,755
c) C =
5,042 . 102
8,611
8,618
1,948
1,728
d) C =
5,042 . 103
9,161
9,168
0,498
0,278
e) C =
5,042 . 10-4
9,116
9,816
0,849
0,972
4. Determine a equação da 
flexibilidade da estrutura 
indeterminada abaixo.
46kN 20kN/m
A
2,50
B
2,50
5,00
C
4,00
MEDIDAS EM METROS
Dados:
E = 210 GPa = 21000 kN/cm²
IAB = 4937,00 cm4
IBC = 3168,00 cm4
a) 1
6EI
800 500 0
500 1800 400
0 400 1000
. .
X0
X1
X2
-
4307116
7507116
3200000
= 01
6EI
.
b) 1
6EI
1000 500 0
500 1800 400
0 400 800
. .
X0
X1
X2
+
4307116
7507116
3200000
= 01
6EI
.
c) 1
6EI
800 500 0
500 1800 400
0 400 1000
. .
X0
X1
X2
+
3200000
7507116
3200000
= 01
6EI
.
d) 1
6EI
1000 500 0
500 1800 400
0 400 1000
. .
X0
X1
X2
+
7507116
7507116
3200000
= 01
6EI
.
e) 1
6EI
1200 500 0
600 1600 800
0 800 400
. .
X0
X1
X2
+
4307116
7507116
4307116
= 01
6EI
.
5. Determine as constantes 
hiperestáticas da estrutura 
estaticamente indeterminada abaixo
46kN 20kN/m
A
2,50
B
2,50
5,00
C
4,00
MEDIDAS EM METROS
Dados:
E = 210 GPa = 21000 kN/cm²
IAB = 4937,00 cm4
IBC = 3168,00 cm4 
a) X0 = -2916,90 kN.m
X1 = -2780,41 kN.m
X2 = -2609,79 kN.m
b) X0 = -2780,90 kN.cm
X1 = -289041 kN.cm
X2 = -2756,79 kN.cm
c) X0 = -2916,90 kN.cm
X1 = -2780,41 kN.cm
X2 = -2609,79 kN.cm
25Matriz de flexibilidade
BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
SANTOS, A. M. et al. Análise matricial preliminar de estruturas estaticamente indeter-
minadas por meio do método da flexibilidade: um estudo de caso envolvendo duas 
vigas hiperestáticas e a determinação completa dos seus deslocamentos, rotações 
e coeficientes de flexibilidade. Uniuv em Revista, União da Vitória, v.11, p.27-72, 2008. 
Disponível em:<http://ri.uepg.br:8080/riuepg/bitstream/handle/123456789/529/
ARTIGO_AnaliseMatricialPreliminar.pdf?sequence=1>. Acesso em: 31 out. 2017.
Leituras recomendadas
BEER, F. P. et al. Estática e mecânica dos materiais. Porto Alegre: AMGH, 2013.
HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013.
ILKIU, A. M. Teoria das estruturas: Parte I. [S.l.: s.n.], 1998. Notas de Aula.
LEET, K. M.; UANG, C. M.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2009.
TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: LTC, 1983.
d) X0 = -2916,90 kgf.cm
X1 = -2780,41 kgf.cm
X2 = -2609,79 kgf.cm
e) X0 = 2916,90 kN.cm
X1 = -2780,41 kN.cm
X2 = 2609,79 kN.cm
Matriz de flexibilidade26
Dica do professor
A análise das condições de contorno de uma estrutura permite entender como uma estrutura será 
solicitada em função das cargas aplicadas e como ela responderá em cada apoio, conforme as 
restrições ou os graus de liberdade que os vínculos oferecem.
Confira na Dica do Professor as principais etapas para determinar as reações de apoio de uma 
estrutura estaticamente indeterminada.
_C.1_
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/
cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/03509cc15185835cd2201cf3cc0f7503
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Adm
Pencil
Exercícios
1) Determine a matriz de flexibilidade da estrutura indeterminada a seguir:
Dados:
E=210 GPa = 21000 kN/cm2 
IAB = 4937,00 cm4
IBC = 3168,00 cm4
A)
B)
C)
D)
_C.1_
E)
elm = exerc iguais aos do Conteúdo do Livro e têm gabarito.
Gab B :
A matriz de flexibilidade será dada por:
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
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2)
Determine a rotação nos apoios provocada pelas cargas na estrutura redundante 
da estrutura indeterminada a seguir: 
Dados:
E=210 GPa = 21000 kN/cm2
IAB = 2029,00 cm4
IBC = 3168,00 cm4
ICD = 2939,00 cm4
IDE = 2291,00 cm4
A)
B)
C)
D)
E)
Gab D:
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
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Com os dados das rotações da estrutura redundante, resultantes do exercício anterior, 
determine o vetor de carga da estrutura: 
Dados:
E=210 GPa = 21000 kN/cm2
IAB = 2029,00 cm4
3)
IBC = 3168,00 cm4
ICD = 2939,00 cm4
IDE = 2291,00 cm4
Dados das rotações da estrutura redundante:
A)
B)
Gab A = 
O vetor de carga da estrutura redundante é o 
resultado das combinações das rotações nos 
apoios em cada trecho da estrutura.
Adm
Pencil
Adm
Pencil
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C)
D)
E)
Logo, o vetor de carga será:
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Determine a equação da flexibilidade da estrutura indeterminada a seguir: 
Dados:
E=210 GPa = 21000 kN/cm2
4)
IAB = 4937,00 cm4
IBC = 3168,00 cm4
A)
B)
C)
D)
E) Gab B:
Adm
Pencil
Adm
Pencil
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5)
Determine as constantes hiperestáticas da estrutura estaticamente indeterminada a seguir: 
Dados:
E=210 GPa = 21000 kN/cm2
IAB = 4937,00 cm4
IBC = 3168,00 cm4
A)
B)
C)
D)
E)
Gab C:
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Pencil
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Na prática
A concepção estrutural é o momento de desenvolver o esquema estrutural de todo o edifício, ou 
seja, é o ponto-chave que resulta entre um projeto seguro e economicamente viável e um projeto 
oneroso.
Para a melhor decisão sobre a concepção estrutural, o projetista deve conhecer e entender o 
comportamento de uma estrutura, fazendo questionamentos como: utilizar as vigas dos pavimentos 
simplesmente apoiadas ou utilizar vigas contínuas, que as transformariam em vigas estaticamente 
indeterminadas?
Veja mais a seguir.
_C.1_
hiperestática e a distribuição desses esforços ao longo da viga, permitindo que aplique a quantidade 
necessária de material em cada seção da estrutura. Esse procedimento fará com que a estrutura 
seja segura, estável e econômica.
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Pencil
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
A estrutura é a base para uma boa construção, pois é ela que vai suportar todo o peso e as 
condições aplicadas e fornecer, além disso, segurança. Acompanhe no vídeo Buildtrade steel 
construction process uma apresentação da estrutura de um edifício em que a composição de 
colunas e vigas resulta na concepção de pórticos hiperestáticos que podem ser resolvidos por 
meio da aplicação do método da flexibilidade.
Veja no vídeo Tipos de estruturas a exemplificação das estruturas hipostática, isostática e 
hiperestática, bem como os diferentes tipos de apoios (rígidos e rotulados), para saber mais 
como eles podem ser diferenciados.
A análise estrutural de estruturas estaticamente indeterminadas lineares e elásticas à aplicação 
do método da flexibilidade é um dos processos que permite a resolução desses problemas 
estruturais. Acompanhe o trecho da obra Fundamentos da análise estrutural, iniciando no 
tópico Análise de estruturas 
_C.1_
https://www.youtube.com/watch?v=aoOWzRpeDKo
4min - animação bonita, mas nada ajuda no aprendizado do método da flexibilidade...
https://youtu.be/VnBel53lrag
3min - animação interessante, mas pouco ajuda para aprender o método da flexibilidade...
indeterminadas pelo método da flexibilidade e finalizando em Problemas.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Leia no artigo Análise matricial preliminar de estruturas estaticamente indeterminadas - 
aplicação do método da flexibilidade como é feito o uso do método da flexibilidade no 
processo de resolução de dois problemas clássicos pertencentes à área do conhecimento da 
análise estrutural, no contexto da Engenharia, denominada Análise matricial de estruturas 
reticuladas.
elm = ver cap 11 de
LivrPt_Civ_Estrutural_Analise_Fundam_Leet_Uang_Gilbert_ed3_2009_810p
Explica o método, mas não aborda matriz de flexibilidade...
https://www.researchgate.net/
publication/280623909_ANALISE_MATRICIAL_PRELIMINAR_DE_ESTRUTURAS_ESTATICAMENTE_INDETERMINA
DAS_-_APLICACAO_DO_METODO_DA_FLEXIBLIDADE
pdf 47p - este sim aborda matriz de flexibilidade, mas não li...
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Arcos
Apresentação
As estruturas em arcos são muito aplicadas na construção de pontes e túneis. Apesar de a 
estrutura aparentar simplicidade, sua concepção pode ser complexa. A construção de estruturas 
em arcos evoluiu com o passar do tempo em função do desenvolvimento de novas tecnologias 
construtivas.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você estudará o comportamento estrutural dos arcos e como as 
tensões se distribuem ao longo desse tipo de estrutura. Além disso, você aprenderá a diferenciar os 
principais tipos de arco e aprenderá a determinar os esforços solicitantes de compressão nos arcos 
triarticulados.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Analisar o comportamento estrutural dos arcos.•
Distinguir os principais tipos de arco.•
Determinar as reações de apoio e os esforços solicitantes.•
AULA C.2
1.1 - Princípios gerais
1.2 - Equilíbrio de forças
2.1 - Forças internas em elementos estruturais
2.2 - Diagramas de Solicitações Internas
3.1 - Classificação das Estruturas e Cálculo do Grau de 
Hiperestaticidade
3.2 - Estruturas planas carregadas fora do seu plano
4.1 - Estruturas tridimensionais
4.2 - Formulação matricial
__ C.1 Matriz de flexibilidade
__ C.2 Arcos
__ C.3 Treliças
__ C.4 Arranjos reticulados
__ C.5 Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e 
tridimensionais
__ C.6 Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
__ C.7 Aplicações em estruturas reticuladas
_C.2_
elm = Avaliação da Aula: Regular...
Adm
Rectangle
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Pencil
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
Desafio
Os arcos são estruturas curvas submetidas a esforços axiais de compressão. Os arcos estruturais 
podem ser construídos em alvenaria, concreto armado, madeira e aço. A estrutura dos arcos pode 
ser maciça, com seção retangular, ou em forma de treliça.
_C.2_
Explique o questionamento de forma detalhada, para que assim possa ser feita a melhor escolha 
para o empreendimento. 
elm = Chatgpt:
Arco com Estrutura em Forma de Treliça:> Vantagens: 
- Eficiência de Material: Estruturas em treliça são projetadas para distribuir cargas de 
maneira eficiente ao longo de seus membros, o que pode resultar em economia de material 
comparado a estruturas maciças.
- Peso Reduzido: Devido à distribuição eficiente das cargas e ao uso otimizado de materiais, 
as estruturas em treliça tendem a ser mais leves do que estruturas maciças de seção 
retangular, o que pode ser crucial em aplicações onde o peso é um fator importante (por 
exemplo, em pontes).
- Versatilidade Geométrica: As treliças podem ser construídas em uma variedade de formas e 
tamanhos, o que oferece flexibilidade no design e na adaptação às condições específicas do 
local.
> Desvantagens:
- Complexidade de Fabricação: A construção de treliças pode ser mais complexa em comparação 
com estruturas maciças, exigindo habilidades e processos específicos para fabricação e
montagem dos elementos.
- Manutenção Potencial: Dependendo do ambiente e da exposição às intempéries, treliças podem 
requerer manutenção mais frequente devido aos muitos componentes individuais que as compõem. 
Estrutura Maciça de Seção Retangular:
> Vantagens:
- Simplicidade Construtiva: Estruturas maciças de seção retangular são mais simples de 
projetar e construir, exigindo menos partes individuais e possivelmente menos mão-de-obra 
especializada.
- Robustez: Devido à sua massa e volume, estruturas maciças podem ser mais robustas e menos 
suscetíveis a danos físicos ou degradação ao longo do tempo.
> Desvantagens:
- Peso Elevado: Comparadas às treliças, estruturas maciças de seção retangular tendem a ser 
mais pesadas para uma capacidade de carga equivalente, o que pode ser uma desvantagem em 
certas aplicações onde o peso é crítico.
- Eficiência de Material Limitada: O uso de material pode não ser tão otimizado quanto em 
treliças, o que pode resultar em custos mais altos ou impactos ambientais maiores dependendo 
dos materiais utilizados.
Conclusão:
A escolha entre um arco com estrutura em forma de treliça e uma estrutura maciça de seção 
retangular depende das necessidades específicas do projeto, incluindo considerações sobre 
peso, eficiência de material, custo, complexidade de construção e manutenção. Em geral, 
treliças são preferidas quando a economia de material e peso são cruciais, enquanto 
estruturas maciças podem ser mais adequadas quando a simplicidade construtiva e a robustez 
são prioritárias.
Padrão de resposta esperado
A principal vantagem apresentada pela estrutura em forma de treliça, quando 
comparada com a estrutura de seção maciça retangular, é a redução do peso 
próprio do elemento estrutural, em função do espaço entre as barras da 
treliça não ser preenchido. A redução do peso próprio é transferida aos 
elementos de apoio e fundações, que podem ter a sua capacidade de carga 
reduzida. Além disso, a redução dos elementos estruturais permite que estes 
sejam produzidos, transportados e manejados (no caso de elementos pré-
fabricados)com maior facilidade. 
A construção de estruturas em forma de treliça, contudo, exige a utilização 
de mais horas/homem de trabalho, maior quantidade de material de ligação e 
maior volume de pintura de proteção durante sua fabricação e manutenção. Os 
custos referentes à construção de arcos com estrutura em forma de treliça 
devem ser, portanto, analisados caso a caso e comparados aos custos 
referentes à construção de arcos com seção maciça retangular, de modo a 
conferir o melhor custo/benefício à estrutura. 
É importante destacar que, apesar de o arco treliçado ter maior custo de 
confecção/montagem, este custo pode ser diluído pelo alívio de carga e 
economia na execução das fundações, ou seja, somente com a composição 
orçamentária (custo geral) da obra é possível identificar, caso a caso, a 
solução mais barata (arco maciço x arco treliçado).
Infográfico
Os arcos estruturais podem ser encontrados com diferentes configurações geométricas. Cada tipo 
de configuração é própria para um determinado tipo de carregamento, determinado por meio de 
análise estrutural.
Confira, no Infográfico a seguir, os tipos de arco estrutural.
_C.2_
TIPOS DE ARCO ESTRUTURAL (de acordo com o número de centros)
Do ponto de vista geométrico, de acordo com o número de centros, os arcos 
podem ser classificados em:
Arco de um centro: Arco de dois centros:
Arco de três centros: Arcos de mais de três centros:
Adm
Pencil
Conteúdo do livro
Os arcos consistem em estruturas submetidas apenas a esforços de compressão axial. As estruturas 
em formato de arco são utilizadas desde a Antiguidade, muito antes do desenvolvimento de teorias 
consagradas de cálculo estrutural. Arcos construídos durante o Império Romano podem ser 
encontrados até hoje.
Leia o capítulo Arcos, da obra Teoria das estruturas, que aborda como se dá o comportamento 
estrutural dos arcos e como são feitos os cálculos das reações de apoio dessas estruturas. Além 
disso, você vai aprender a determinar os esforços internos de um arco.
https://sagah.com.br/gabaritos/TEORIA_ESTRUTURAS.pdf
_C.2_
elm = ver cap. 7 de 
LivrPt_Civ_Estrutural_Analise_Fundam_Leet_Uang_Gilbert_ed3_2009_810p
Adm
Rectangle
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Arcos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Analisar o comportamento estrutural dos arcos.
 � Distinguir os principais tipos de arcos.
 � Determinar as reações de apoio e os esforços solicitantes.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar o comportamento estrutural dos arcos e 
ver como as tensões se distribuem ao longo desse tipo de estrutura. Além 
disso, você vai aprender a diferenciar os três principais tipos de arcos de 
acordo com suas condições de vinculações. Por fim, você vai calcular as 
reações de apoio e determinar os esforços solicitantes de compressão 
nos arcos triarticulados.
Comportamento estrutural dos arcos
Os arcos são elementos estruturais solicitados à compressão. O comportamento 
estrutural dos arcos pode ser associado de maneira análoga ao comportamento 
estrutural dos cabos.
O cabo, quando submetido a um carregamento, adquire uma forma de 
equilíbrio que varia de acordo com a posição e a quantidade de cargas. Na 
Figura 1, você pode observar o comportamento de um cabo submetido a três 
tipos diferentes de carregamento: carga concentrada, duas cargas concentradas 
posicionadas simetricamente e uma carga uniformemente distribuída.
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
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Rectangle
Adm
Line
Adm
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Line
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Line
Adm
Line
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Pencil
Figura 1. Forma de equilíbrio de cabos com: (a) carga concentrada, (b) duas cargas con-
centradas e (c) carga uniformemente distribuída.
Fonte: Adaptada de Rebello (2000, p. 91).
A forma que o cabo adquire corresponde ao caminho que as forças per-
correm até chegar aos apoios. Essa forma é denominada funicular. Indepen-
dentemente do carregamento imposto ao cabo, ele estará sempre sujeito a 
esforços de tração simples.
Considere que os funiculares sejam invertidos simetricamente em relação 
à horizontal, sendo substituídos por elementos rígidos. Nesse caso, serão 
obtidas estruturas submetidas a esforços de compressão simples, conforme 
você pode observar na Figura 2.
Figura 2. Forma de equilíbrio de arcos com: (a) carga concentrada, (b) duas cargas con-
centradas e (c) carga uniformemente distribuída.
Fonte: Adaptada de Rebello (2000, p. 92).
Arcos116
Adm
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A existência de esforços de flexão resulta no aumento das dimensões e 
do peso da estrutura, tornando-a antieconômica. Para atuar sob compressão 
pura, o arco deve ser projetado de modo que a resultante das forças internas de 
cada seção passe pelo centroide. Paracada situação de forma e carregamento, 
existe apenas uma configuração ideal da estrutura, conforme você pode ver na 
Figura 3a. Quanto maior o desvio entre a configuração real e a configuração 
ideal (Figura 3b), maiores serão os esforços de flexão gerados.
Figura 3. Configuração dos arcos: (a) ideal e (b) com desvios.
Fonte: Adaptada de Rebello (2000, p. 92).
As estruturas em arco se caracterizam por apresentar uma reação horizontal 
nos apoios, denominada empuxo horizontal. O empuxo horizontal pode ser 
absorvido diretamente pelos apoios, desde que devidamente reforçados, con-
forme a Figura 4a, ou por meio de tirantes, conforme a Figura 4b, que fazem 
descarregar nos apoios apenas as cargas verticais.
Figura 4. Resistência ao empuxo horizontal.
Fonte: Adaptada de Rebello (2000, p. 95).
117Arcos
Adm
Line
Adm
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Adm
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O empuxo horizontal se relaciona de maneira inversamente proporcional 
com a flecha, ou seja, quanto menor a flecha, maior o empuxo e vice-versa. 
Além disso, o empuxo se relaciona de maneira proporcional com o esforço 
de compressão. Desse modo, é possível concluir que, quanto maior a flecha, 
menor é a solicitação de compressão no arco. Arcos abatidos são, portanto, 
mais curtos, mas demandam maior seção transversal. Já arcos com grande 
flecha são mais longos, mas possuem menor seção transversal.
Em cabos, a flecha é medida pela distância entre a horizontal que passa pelos apoios 
e o ponto mais afastado dessa horizontal (REBELLO, 2000, p. 85). Por analogia, a flecha 
de arcos é medida pela distância entre a horizontal que passa pelos apoios e o ponto 
mais afastado dessa horizontal.
A equação a seguir apresenta a relação ideal entre flecha (f) e vão (L), 
que garante a construção de arcos com menor volume, ou seja, mais leves e 
econômicos.
1
10
f
L
1
5> >
As estruturas em arco estão sujeitas ao fenômeno da flambagem. A flam-
bagem consiste na flexão transversal da estrutura em função da compressão 
axial. Ocorre em peças esbeltas, ou seja, em peças que possuem uma seção 
transversal pequena em relação ao seu comprimento.
Nos arcos, a flambagem pode ocorrer tanto no plano da estrutura quanto 
fora dele. No primeiro caso, a solução para a flambagem consiste no aumento 
da rigidez da estrutura, ou seja, no aumento da inércia da seção transversal 
(REBELLO, 2000, p. 93). No segundo caso, devem ser executados travamentos 
perpendiculares ao plano da estrutura, conforme você pode ver na Figura 5.
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Figura 5. Travamento de arcos. 
Fonte: Adaptada de Rebello (2000, p. 93).
Você pode aprender sobre a utilização de arcos no período do Império Romano 
acessando o link a seguir. 
https://goo.gl/wVD225
Principais tipos de arcos
De acordo com o número de articulações presentes na estrutura ou com a 
maneira como suas bases são construídas, os arcos podem ser classificados 
em: triarticulados, biarticulados e de extremidades fixas. Você pode ver essa 
classificação na Figura 6. De maneira geral, essas articulações estão localizadas 
nos apoios e no topo dos arcos.
119Arcos
https://civilizacaoengenheira.wordpress.com/2016/01/28/conhecendo-a-engenharia-
arcos/
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Figura 6. Tipos de arcos: (a) triarticulado, (b) biarti-
culado e (c) de extremidades fixas. 
Fonte: Leet, Uang e Gilbert (2010, p. 241).
O arco triarticulado possui uma articulação em cada apoio e outra no 
topo. A estrutura é estatisticamente determinada, ou seja, não está sujeita ao 
aparecimento de tensões derivadas de variações de temperatura, recalques 
de apoio e erros de fabricação. Desse modo, é o tipo de arco mais fácil de 
analisar e construir.
Os arcos biarticulado e de extremidade fixa são estatisticamente inde-
terminados, devendo ser analisados por meio do método da flexibilidade 
ou pela utilização de programa de computador. O arco biarticulado possui 
duas articulações, localizadas em cada um dos apoios da estrutura. O arco 
de extremidades fixas, também denominado biengastado, não apresenta ar-
ticulações em sua estrutura.
O número máximo de articulações presentes na estrutura não pode ser 
superior a três, caso contrário a estrutura se tornará hipostática, inviabilizando 
sua construção.
Arcos120
Os arcos são elementos construtivos que permitem que a estrutura seja projetada 
com grandes vãos, com um aproveitamento eficiente de materiais. Esses fatores fazem 
com que os arcos sejam utilizados frequentemente na construção de pontes. Nesse 
caso, a estrutura pode ser de três tipos: arcos com tabuleiro superior, arcos com tabuleiro 
intermediário e arcos com tabuleiro inferior, como você pode observar na Figura 7.
Figura 7. Arco com tabuleiro (a) superior, (b) intermediário e (c) 
inferior. 
Fonte: Adaptada de Quadros (2012, p. 53).
Cálculo das reações de apoio e esforços 
solicitantes
As reações de apoio de arcos triarticulados são determinadas por meio da 
aplicação das equações de equilíbrio estático. Conforme você pode observar 
na Figura 8, um arco triarticulado apresenta quatro incógnitas: duas reações 
verticais e duas reações horizontais.
121Arcos
Figura 8. Reações de apoio em um arco triarticulado.
Fonte: Leet, Uang e Gilbert (2010, p. 246).
A resolução desse sistema demanda a aplicação de quatro equações, de 
acordo com os procedimentos apresentados a seguir:
1. Somatório dos momentos em relação ao ponto A:
∑MA = w · L·L
2 – VC · L = 0
VC · L = w . L2
2
VC = w . L
2
2. Somatório das forças verticais:
Arcos122
3. Somatório dos momentos em relação ao ponto B:
4. Somatório das forças horizontais:
∑FH = HA – HC = 0
HA = HC
HA = wL2
8h
Você pode ver a aplicação desse procedimento no exemplo a seguir.
123Arcos
Determine as reações de apoio do arco apresentado na Figura 9.
Figura 9. Arco uniformemente carregado.
Fonte: Leet, Uang e Gilbert (2010, p. 246).
Solução:
1. Somatório dos momentos em relação ao ponto A:
VC = 8.000KN
VC = w ∙ L
2
VC =
2.000KN ÷ m ∙ 8m
2
2. Somatório das forças verticais:
VA = 8.000KN
VA = w ∙ L
2
VA =
2.000KN ÷ m ∙ 8m
2
3. Somatório dos momentos em relação ao ponto B:
HC = 8.000KN
HC = wL2
8h
HC =
2.000KN ÷ m ∙ (8m)2
8 ∙ 2m
Exemplo
Arcos124
4. Somatório das forças horizontais:
HA = 8.000KN
HA = wL2
8h
HA =
2.000KN ÷ m ∙ (8m)2
8 ∙ 2m
Os esforços solicitantes de compressão que atuam ao longo do eixo do arco 
são determinados a partir dos seguintes procedimentos:
a) Inicialmente, um sistema de coordenadas x-y é estabelecido com origem 
no ponto B do arco, conforme a Figura 10, com o sentido positivo do
eixo y direcionado para baixo.
Figura 10. Sistema de coordenadas x-y estabelecido no ponto B.
Fonte: Leet Uang e Gilbert (2010, p. 246).
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ver Leet, está 
melhor 
explicado!!
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b) Em um ponto D, localizado no eixo de uma seção arbitrária, é calculado
o momento M correspondente:
Como M = 0, tem-se:
v = 
4 · h · x2
L2
Essa expressão equivale à equação de uma parábola.
c) O esforço axial de compressão (T) pode ser expresso em função do
empuxo horizontal (H) e da inclinação (θ) da seção, de acordo com o
que segue:
T =
H
cosθ
d) A tangente do ângulo θ corresponde à derivada da equação da parábola,
como você pode ver a seguir:
tanθ =
dy
dx – 8 · h · x
L2
e) Pela análise do triângulo apresentado na Figura 11, conclui-se que:
cosθ =
1
1 + 8 · h · x
L2( )2
√
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Figura 11. Determinação do cosseno da inclinação θ.
Fonte: Leet, Uang e Gilbert (2010, p. 246).
f) Por fim, o esforço de compressão axial atuante na estrutura pode ser
apresentado por meio da seguinte equação:
1 + 8 · h · x
L2( )2
√T = H ·
No exemplo a seguir, você pode ver uma aplicação prática desse 
procedimento.
127Arcos
Para o arco apresentado no exemplo anterior, determine os esforços de tração nos 
pontos indicados na Figura 12.
Figura 12. Determinação dos esforçosde compressão axial.
Fonte: Leet, Uang e Gilbert (2010, p. 246).
Solução:
No ponto B, é estabelecido um sistema de coordenadas x-y, e o sentido do eixo y é 
direcionado para baixo, conforme a Figura 13.
Figura 13. Estabelecimento do sistema de coordenadas.
Fonte: Leet, Uang e Gilbert (2010, p. 246).
Exemplo
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De acordo com o sistema de coordenadas, a posição x de cada um dos pontos pode 
ser definida, sendo esses valores aplicados na equação do esforço de compressão 
axial, apresentada a seguir. Assim, os esforços solicitantes são obtidos nesses pontos.
1 + 8 · h · x
L2( )
2
√T = H ·
1 + 8 · 2m · x
(8m)2( )
2
√T = 8.000KN ·
Ponto X (m) T (KN)
1 -4 11314
2 -2 8944
3 0 8000
4 2 8944
5 4 11314
Os valores obtidos permitem demonstrar que os maiores valores de compressão 
axial são máximas nos apoios do arco, diminuindo à medida que se aproximam do 
centro do topo.
129Arcos
Arcos130
LEET, K. M.; UANG, C.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. Porto 
Alegre: McGraw-Hill, 2010.
QUADROS, B. C. Passarela em arco com tabuleiro inferior: proposta de projeto para o 
campus central da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. 2012. Trabalho de 
Diplomação (Graduação em Engenharia Civil)–Universidade Federal do Rio Grande 
do Sul, Porto Alegre, 2012.
REBELLO, Y. C. P. A concepção estrutural e a arquitetura. São Paulo: Zigurate, 2000.
Leituras recomendadas
BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2011.
Dica do professor
As estruturas em forma de arco são utilizadas desde a Idade Antiga, com destaque para as 
construções realizadas pelo Império Romano. Antes do advento das construções com concreto 
armado e aço, as estruturas em forma de arco eram construídas com pedras e argamassa. A 
construção de arcos com alvenaria apresenta algumas particularidades, conforme pode ser visto no 
vídeo apresentado a seguir.
_C.2_
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/
d315e17f994dbdaea976329650581c70
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Exercícios
1) Os arcos são elementos estruturais solicitados exclusivamente à compressão, tendo
comportamento análogo ao da treliça.
Analise a afirmativa apresentada e assinale a alternativa correta.
A) A afirmativa é falsa, pois os arcos são elementos solicitados à tração.
B) A afirmativa é verdadeira.
C) A afirmativa é falsa, pois os arcos são solicitados exclusivamente à flexo-compressão e têm
comportamento análogo ao dos cabos.
D) A afirmativa é falsa, pois os arcos têm comportamento análogo ao dos cabos.
E) A afirmativa é falsa, pois os arcos têm comportamento análogo ao das vigas isostáticas, com
tração no bordo inferior e compressão no superior.
_C.2_
elm = exerc. = ao do Conteúdo do Livro , v. bib virtual com gabarito...
A err = A afirmativa é falsa, pois os arcos são elementos solicitados à 
tração.
Os arcos são solicitados exclusivamente à compressão.
B err = A afirmativa é verdadeira.
Os arcos não têm comportamento análogo ao da treliça. Os arcos têm 
comportamento análogo ao dos cabos, embora estes sejam solicitados apenas à 
tração.
C err = A afirmativa é falsa, pois os arcos são solicitados exclusivamente à 
flexo-compressão e têm comportamento análogo ao dos cabos.
Apesar de terem comportamento análogo ao cabos, os arcos são submetidos 
apenas à compressão.
Gab D = A afirmativa é falsa, pois os arcos têm comportamento análogo ao dos 
cabos.
Os arcos têm comportamento análogo ao dos cabos. Enquanto os primeiros são 
submetidos a esforços axiais de compressão, os segundos são submetidos a 
esforços axiais de tração.
E err = A afirmativa é falsa, pois os arcos têm comportamento análogo ao das 
vigas isostáticas, com tração no bordo inferior e compressão no superior.
Os arcos se comportam de maneira análoga aos cabos. Enquanto estes são 
submetidos apenas a esforços de tração axial, os arcos são submetidos apenas 
a esforços de compressão axial.
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2) Analise as afirmativas a seguir, referentes ao comportamento dos arcos, e assinale a
alternativa correta.
A) A forma do arco denominada funicular não depende do carregamento ao qual a estrutura está
submetida.
B) O funicular dos cabos, quando simetricamente invertido na vertical, equivale ao funicular do
arco para um mesmo tipo de carregamento.
C) O funicular do arco corresponde ao caminho que as forças percorrem até chegar aos apoios.
D) A presença de esforços de flexão favorece o dimensionamento do arco, tornando a estrutura
mais econômica.
E) A resultante das forças internas de tração deve passar pelo centroide da seção do arco.
A err = A forma do arco denominada funicular não depende do carregamento ao qual a 
estrutura está submetida.
O funicular consiste na trajetória que a força aplicada percorre até chegar aos apoios, 
mudando de forma de acordo com o carregamento.
B err = O funicular dos cabos, quando simetricamente invertido na vertical, equivale ao 
funicular do arco para um mesmo tipo de carregamento.
O funicular dos cabos corresponde ao dos arcos quando invertido simetricamente na 
horizontal.
Gab C = O funicular do arco corresponde ao caminho que as forças percorrem até chegar aos 
apoios.
O funicular corresponde à trajetória da força aplicada, variando de acordo com a 
distribuição da mesma na estrutura.
D err = A presença de esforços de flexão favorece o dimensionamento do arco, tornando a 
estrutura mais econômica.
A presença de esforços de flexão resulta no aumento da seção do arco, aumentando o peso da 
estrutura e, em consequência, os gastos com material.
E err = A resultante das forças internas de tração deve passar pelo centroide da seção do 
arco.
As forças internas de compressão devem passar pelo centroide da seção do arco.
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3) As estruturas em arco se caracterizam por apresentar reações horizontais nos apoios, que se
relacionam de maneira diretamente proporcional com a flecha. Analise a afirmativa
apresentada e assinale a alternativa correta.
A) A afirmativa é verdadeira.
B) A afirmativa é falsa, pois os arcos apresentam reações verticais nos apoios, denominadas de
empuxo.
C) A afirmativa é falsa, pois os arcos apresentam reações nulas nos apoios, não tendo relação
com a flecha, deste modo.
D) A afirmativa é falsa, pois as reações horizontais se relacionam com a flecha de maneira
inversamente proporcional.
E) A afirmativa é falsa, pois as reações horizontais não têm relação com a flecha.
A err = A afirmativa é verdadeira.
A relação entre as reações horizontais 
(denominadas empuxo horizontal) é 
diretamente proporcional à flecha (altura 
do arco).
B err = A afirmativa é falsa, pois os arcos 
apresentam reações verticais nos apoios, 
denominadas de empuxo.
As reações denominadas de empuxo, que atuam 
nos apoios do arcos, têm direção 
horizontal.
C err = 
A afirmativa é falsa, pois os arcos 
apresentam reações nulas nos apoios, não 
tendo relação com a flecha, deste modo.
Os arcos têm reações horizontais nos 
apoios, as quais variam de maneira 
inversamente proporcional à flecha.
Gab D = A afirmativa é falsa, pois as 
reações horizontais se relacionam com a 
flecha de maneira inversamente 
proporcional.
As reações horizontais, denominadas de 
empuxo horizontal, têm relação inversamente 
proporcional com a flecha. Diferentemente 
do que foi mencionado no enunciado.
E err = A afirmativa é falsa, pois as 
reações horizontais não têm relação com a 
flecha.
As reações horizontais se relacionam com a 
flecha, sendo essa relação inversamente 
proporcional, ou seja, quanto maior a 
flecha, menores as reações horizontais.
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4) Analise as afirmativas abaixo, referentes aos arcos de alvenaria, e assinale a alternativa
correta.
A) Os arcos de alvenaria estão sujeitos a esforços axiais de tração.
B) Pedra-chaveé a denominação dada à primeira pedra posicionada na base do arco.
C) Aduela é o nome dado à estrutura de madeira que sustenta os elementos de alvenaria,
enquanto estes são posicionados.
D) A forma dos arcos de alvenaria é puramente estética, não interferindo na distribuição das
cargas.
E) A pedra angular tem faces laterais cortadas, de modo a facilitar a transferência de tensões.
A err = Os arcos de alvenaria estão sujeitos a esforços axiais de tração.
Todas as estruturas em forma de arco estão sujeitas a esforços axiais de compressão.
B err = Pedra-chave é a denominação dada à primeira pedra posicionada na base do arco.
A pedra chave é a última a ser posicionada, no topo do arco, de modo a conferir equilíbrio 
para a estrutura.
C err = Aduela é o nome dado à estrutura de madeira que sustenta os elementos de 
alvenaria, enquanto estes são posicionados.
Aduela é o nome dado a cada um dos elementos de alvenaria que formam o arco, com exceção 
do último elemento, posicionado no topo, que recebe o nome de pedra-chave.
D err = A forma dos arcos de alvenaria é puramente estética, não interferindo na 
distribuição das cargas.
A forma interfere na distribuição de cargas. Arcos mais pontiagudos distribuem melhor a 
carga nas paredes do que os arcos arredondados.
Gab E = A pedra angular tem faces laterais cortadas, de modo a facilitar a transferência 
de tensões.
A pedra angular, também denominada pedra-chave, é a última a ser posicionada e confere 
estabilidade à estrutura.
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E) Os tirantes absorvem as reações do empuxo horizontal, aliviando as tensões atuantes nos
apoios.
5) Analise as afirmativas abaixo, referentes às estruturas em forma de arco, e assinale a
alternativa correta.
A) Diferenças entre a configuração real e a configuração ideal da estrutura não acarretam
prejuízos financeiros.
B) Os reforços no apoio permitem que apenas cargas verticais descarreguem neste.
C) O empuxo horizontal se relaciona de maneira inversamente proporcional com o esforço de
compressão.
D) A flambagem da estrutura de aço, causada pelos esforços de compressão, ocorre apenas no
plano da estrutura.
A err = Diferenças entre a 
configuração real e a 
configuração ideal da 
estrutura não acarretam 
prejuízos financeiros.
Quanto maior a diferença 
entre as configurações real 
e ideal, maiores os esforços 
de flexão atuantes na 
estrutura e, portanto, maior 
a seção da mesma, resultando 
em maiores gastos com 
materiais.
B err = Os reforços no apoio 
permitem que apenas cargas 
verticais descarreguem 
neste.
Os reforços estruturais nos 
apoios têm por objetivo 
aumentar a resistência dos 
mesmos frente aos empuxos 
horizontais.
C err = O empuxo horizontal se relaciona de maneira inversamente proporcional com o 
esforço de compressão.
O empuxo horizontal varia de maneira diretamente proporcional aos esforços de compressão e 
inversamente proporcional à flecha.
D err = A flambagem da estrutura de aço, causada pelos esforços de compressão, ocorre 
apenas no plano da estrutura.
A flambagem pode ocorrer tanto no plano da estrutura quanto fora deste. O primeiro caso 
exige aumento da inércia da seção, enquanto o segundo exige a execução de travamentos 
perpendiculares ao plano.
Gab E = Os tirantes absorvem as reações do empuxo horizontal, aliviando as tensões 
atuantes nos apoios.
Os tirantes absorvem o empuxo horizontal. Desse modo, somente cargas verticais descarregam 
nos apoios.
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Na prática
A utilização de estruturas em forma de arcos vai muito além das construções com concreto, 
madeira e aço. Os arcos estão presentes, por exemplo, na construção de túneis rodoviários e 
ferroviários. De acordo com as características do solo, a construção de túneis com seção em forma 
de arco pode ser uma alternativa que satisfaz as condições de segurança, funcionalidade e 
custo/benefício.
_C.2_
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Projetando uma estrutura em arco
As estruturas em forma de arco são, aparentemente, bastante simples. Contudo, sua concepção e 
dimensionamento podem envolver grande complexidade. No link a seguir, você poderá perceber 
quão complexo pode ser o projeto de uma estrutura em arco.
Sistemas estruturais para coberturas
As estruturas em arco são muito utilizadas na construção de coberturas de estádios e centros 
esportivos, tendo características próprias, quando comparadas a outros sistemas estruturais. No 
link a seguir, você poderá comparar três tipos de sistema estrutural utilizados na construção de 
estádios e centros esportivos: cabos, treliças e arcos.
Arcos de alvenaria
Os arcos de alvenaria são estruturas utilizadas desde os tempos do Império Romano. O 
comportamento dos arcos de alvenaria pode ser analisado por meio de diversas teorias de cálculo 
estrutural. No link a seguir, você aprenderá um pouco mais sobre o comportamento das estruturas 
em forma de arco.
_C.2_
https://revistaprojeto.com.br/acervo/concurso-ousadia-01-11-2006/
http://www.fec.unicamp.br/~nilson/apostilas/sistemas_estruturais_grad.pdf
pdf 93p apostila unicamp 
http://www.pecc.unb.br/wp-content/uploads/dissertacoes/M09-5A-Patr%C3%ADcia-Nunes.pdf
pdf 176p dissertação mestrado unb 2009 TEORIA DO ARCO DE ALVENARIA: UMA PERSPECTIVA
HISTÓRICA 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E CRÉDITOS DE IMAGENS
ALLEN, E.; IANO, J. Fundamentos da engenharia de edificações. 5 ed. Porto Alegre: Bookman,2013.
BERNUCCI, L. B. Pavimentação asfáltica: formação básica para engenheiros. 1 ed. Rio de
Janeiro: PETROBRÁS: ABEDA, 2006.
HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013.
LEET, K. M; UANG, C; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. Porto Alegre :
AMGH, 2010.
NUNES, P. C. C. Teoria do arco de alvenaria: uma perspectiva histórica. Dissertação (Mestrado
em Engenharia Civil) - Universidade de Brasília, Brasília, 2009.
PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos em 16 aulas. 3 ed. São Paulo: Oficina de
Textos, 2016.
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Treliças
Apresentação
A treliça é uma estrutura de elementos, relativamente delgados, ligados entre si pelas 
extremidades. Todos os elementos da treliça comumente utilizados em construções são de madeira 
ou barras de metal e, em geral, são unidos uns aos outros por meio de uma placa de reforço na qual 
eles são aparafusados ou soldados. Também podem ser mantidos unidos por um grande parafuso 
ou pino que perfura cada um dos elementos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você verá que as aplicações das treliças são diversas, como 
estrutura de suporte em telhados, estruturas fechadas ou abertas em pontes, torres de 
telecomunicações (antenas), torres de energia elétrica, campos de futebol (cobertura), guindastes, 
entre outros. Os três métodos de análise estrutural para o cálculo de esforços são: Método dos 
nós, Método de Ritter (Seções) e Método de Carmona (gráfico).
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir o que são treliças e suas classificações quanto à estaticidade.•
Avaliar as treliças quanto à lei de Formação: simples, compostas e complexas.•
Analisar os esforços solicitados pelo Método do Equilíbrio dos Nós, pelo Método de Ritter e
pelo Método de Cremona.
•
AULA C.3
1.1 - Princípios gerais
1.2 - Equilíbrio de forças
2.1 - Forças internas em elementos estruturais
2.2 - Diagramas de Solicitações Internas
3.1 - Classificação das Estruturas e Cálculo do Grau de 
Hiperestaticidade
3.2 - Estruturas planas carregadas fora do seu plano
4.1 - Estruturas tridimensionais
4.2 - Formulação matricial
__ C.1 Matriz de flexibilidade
__ C.2 Arcos
__ C.3 Treliças
__ C.4 Arranjos reticulados
__ C.5 Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e 
tridimensionais
__ C.6 Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
__ C.7 Aplicaçõesem estruturas reticuladas
_C.3_
elm = Aula Ruim. Erros no Conteúdo, Vídeo curto e explica mal, Erros nos exercícios, 
Conteúdo livro ruim. 
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Desafio
Os engenheiros estruturais, mecânicos e de construção analisam, calculam e decidem as dimensões 
dos elementos estruturais das treliças de telhados e pontes. Observe e resolva o desafio 
apresentado a seguir, justificando suas respostas. 
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
_C.3_
Você foi designado para o desenho e escolha do telhado de um galpão de 
madeira na área rural para fins agrícolas. O investidor, e dono do imóvel, 
informa que a largura e o comprimento do galpão têm, respectivamente, 25 e 40 
metros.
Um arquiteto do município deu uma opinião rápida e indicou o uso de uma 
treliça para o telhado tipo Howe e justificou sua resposta dizendo o 
seguinte:
"O modelo de tesoura que mais se emprega no Brasil para estruturas de 
madeira dos telhados residenciais é tesoura inglesa ou Howe, conforme vemos 
na figura a seguir".
Como engenheiro calculista e 
responsável pelo projeto e execução, 
você tem a decisão final.
Você deveria confiar cegamente na 
opinião do arquiteto?
Escolheria outra opção de treliça para 
o telhado em questão?
Se você trocar a tipologia da treliça, 
justifique sua resposta.
elm = Segundo Hibbeler: "... a treliça do 
tipo tesoura, Figura 3.3a, pode ser usada 
para vãos curtos que exigem espaço livre 
acima. As treliças Howe e Pratt, figuras 
3.3b e 3.3c, são usadas para telhados de 
vão moderado, em torno de 18 m a 30 m. Se 
vãos maiores são necessários para 
suportar o telhado, a treliça de leque ou 
treliça Fink pode se usada, figuras 3.3d 
e 3.3e. Essas treliças podem ser 
construídas com a corda inferior curvada 
como aquela mostrada na Figura 3.3f Se um 
telhado plano ou praticamente plano for 
escolhido, a treliça Warren, Figura 3.3g, 
é frequentemente usada. Também, as 
treliças Howe e Pratt podem ser 
modificadas para telhados planos. 
Treliças dente de serra, Figura 3.3h, são 
quase sempre usadas quando o espaço entre 
colunas não é objetável e uma iluminação 
uniforme é importante. Uma indústria 
têxtil seria um exemplo. A treliça na 
forma de arco, Figura 3.3i, às vezes é 
selecionada para garagens e pequenos 
hangares de aviões; e a treliça em arco 
articulado (Figura 3.3j), apesar de 
relativamente cara, pode ser usada para 
grandes alturas e vãos longos como arenas 
para esportes, ginásios e por aí afora."
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Já o Chatgpt retorna que: "Para um galpão agrícola de 25 x 40 metros, a treliça tipo 
Warren com nós verticais é ideal devido à sua eficiência estrutural, que distribui cargas 
uniformemente e proporciona estabilidade. A simplicidade na fabricação e montagem reduz 
custos e complexidade, enquanto a robustez e durabilidade garantem uma longa vida útil, 
essencial para estruturas expostas a elementos naturais. Esta treliça equilibra bem 
resistência, custo-benefício e facilidade de construção, tornando-a uma escolha prática e 
econômica para grandes vãos em ambientes agrícolas (Docsity)."
Assim, supondo que o telhado do galpão será plano a treliça Warren seria a primeira 
escolha.
Padrão de resposta esperado
Sempre que obtiver uma opinião de um profissional em qualquer área 
profissional, deve-se conferir a informação e investigar soluções 
alternativas para o assunto, pois é importante perceber a dimensão da 
responsabilidade de um engenheiro com as estruturas. A treliça Howe é um 
modelo indicado para casas de até 18 metros de vão, sendo que para casas com 
largura entre 10 e 18 metros, faz-se necessário confeccionar as tesouras com 
peças duplas. Além dessa dimensão de vão, a estrutura passa a ser onerosa e 
alta, razão pela qual deve-se optar por outros modelos de estruturas.
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Infográfico
A classificação e a estaticidade das treliças estão em função da tipologia de cada uma delas. Veja a 
continuação no Infográfico que explica de forma resumida os três objetivos da unidade acadêmica.
_C.3_
Treliças usadas em PONTES:
Pratt ; Howe ; Warren; K ; Baltimore
Treliças usadas em TELHADOS:
Fink ; Pratt ; Howe ; Warren
ESTATICIDADE
Condições para obtenção de uma treliça isostática:
a) Equilíbrio estável.
b) Número de incógnitas é igual ao número de equações de equilíbrio da 
estática.
> no. de incógnitas = no. de reações (r) + no. de barras (b)
> no. de equações = no. de nós (n) x 2
Classificação:
 1a. condição 2a. condição Classifiação
 Indeslocável E r+b = 2n Isostática
 Indeslocável E r+b > 2n Hiperestática
 Deslocável OU r+b < 2n Hipostática
ESFORÇOS SOLICITANTES
Obtenção dos esforços solicitantes em treliças:
> Método do nós
> Método de Ritter
> Método de Cremona
Conteúdo do livro
No capítulo Treliças, do livro Teorias das estruturas, analisaremos os conceitos sobre treliças no 
plano 2D, classificando o tipo de treliça e conhecendo seu grau de estaticidade, mostrando se a 
treliça é hiperestática, isostática ou hipostática. Também estudaremos as diferentes tipologias de 
treliças simples, compostas e complexas utilizadas nas diferentes estruturas e superestruturas nas 
engenharias mecânica e civil. Analisaremos, também, os métodos para determinar os esforços 
internos nos diferentes tipos de treliças. Observaremos que existem métodos clássicos como, por 
exemplo, o método dos nós; métodos simplificados, como o método de Ritter ou; métodos das 
seções e o método de Carmona ou método gráfico. 
https://sagah.com.br/gabaritos/TEORIA_ESTRUTURAS.pdf
_C.3_
Cremona
elm = melhor ver cap. 4 de 
LivrPt_Civ_Estrutural_Analise_Fundam_Leet_Uang_Gilbert_ed3_2009_810p
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SUMÁRIO 
Unidade 1 
Conceitos fundamentais ......................................................................... 13 
Douglas Andrini Edmundo 
Sistemas estruturais .................................................................................................................................. 13 
Princípios básicos da estática das estruturas ............................................................................ 27 
Apoios e vínculos ....................................................................................................................................... 29 
Matriz de flexibilidade ............................................................................. 51 
Douglas Andrini Edmundo 
Método da flexibilidade ......................................................................................................................... 52 
Análise estrutural ........................................................................................................................................ 61 
Elementos da matriz de flexibilidade ............................................................................................ 70 
1Vigas1 ............................................................................................................. 77 
Douglas Andrini Edmundo 
Conceito de vigas ...................................................................................................................................... 77 
Esforços solicitantes .................................................................................................................................. 79 
Diagramas de esforços solicitantes ................................................................................................. 91 
Pórticos 1 ....................................................................................................... 97 
Douglas Andrini Edmundo 
Pórticos ............................................................................................................................................................ 97 
Esforços solicitantes ................................................................................................................................101 
Diagramas de esforços solicitantes ............................................................................................... 111 
Arcos ............................................................................................................ 115 
Douglas Andrini Edmundo 
Comportamento estrutural dos arcos ........................................................................................ 115 
Principais tipos de arcos ....................................................................................................................... 119 
Cálculo das reações de apoio e esforços solicitantes ........................................................ 121 
Treliças ......................................................................................................... 133 I 
Rossana Piccoli 
Treliças e estaticidade ............................................................................................................................ 133 
Classificação de treliças quanto à formação .......... .... ....... ...................... .... ....... ........ 140 
Determinação dos esforços em treliças ..................................................................................... 143 
Unidade 2 
Formulação matricial ............................................................................. 155 
Douglas Andrini Edmundo 
Métodos mat riciais para análise de estruturas ...................................................................... 155 
Análise de uma estrutura indeterminada ................................................................................ 158 
Condições de contorno ....................................................................................................................... 158 
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1 Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças ............................ 165 1 
Fernando Cuenca Rojas 
Determinação de reações de apoio nas estruturas 
pelo método matricial ..................................................................................................................... 165 
Matriz de rigidez ..................................................................................................................................... 166 
Método de rigidez e flexibilidade .................................................................................................. 177 
Apl icação do método da flexibilidade para estruturas 
isostáticas e hiperestáticas ........................................................................................................... 180 
Conceitos básicos de métodos dos elementos finitos ............... 191 
Douglas Andrini Edmundo 
Métodos dos elementos finitos ....................................................................................................... 192 
l Matriz de rigidez ....................................................................................................................................... 195 
Solução de sistemas lineares ............................................................................................................. 1~ 
1 Aplicações em estruturas reticuladas ............................................. 203 1 
Douglas Andrini Edmundo 
Concepção estrutural ........................................................................................................................... 203 
Geração de malhas ................................................................................................................................. 204 
Equações de equilíbr io e matriz de rig idez ............................................................................. 210 
Aplicações em estruturas formadas por 
elementos bidimensionais e tridimensionais ............................... 21 5 
Fernando Cuenca Rojas 
Definições básicas das est ruturas .................................................................................................. 216 
L Estruturas de superfície ...................................................................................................................... 2~ 
!unidade 3 
Vigas li ......................................................................................................... 241 
Diego Guimarães 
Viga com cargas distribuídas em forma triangular ............................................................. 241 
Diferenciar momento fletor e esforço cortante e suas relações ............................... 244 
Resolver os cálculos da força normal, do esforço cortante 
e do momento fletor e traçar os diagramas ...................................................................... 247 
Vigas 111 ....................................................................................................... 255 
Diego Guimarães 
Analisar o comportamento estrutural de vigas ................................................................... 255 
Cálculo das solicitações internas: método das equações ............................................. 263 
LResolução do cálculo do ponto de momento máximo ................................................. 2~ 
Fundamentos do processo de Cross ............................................... 277 
Diego Guimarães 
Definição do funcionamento do método de Cross .......................................................... 277 
Interpretação física do processo de Cross ............................................................................... 281 
Descrição da distribuição dos momentos fletores em um nó ................................... 282 
Cargas móveis em estruturas isostáticas -
linhas de influência 1 ............................................................................. 291 
Fernanda Dresch 
Cargas móveis ........................................................................................................................................... 292 
Importância do estudo das linhas de influência ................................................................ 294 
Traçado da linha de influência referente às reações de apoio, 
ao esforço cortante e ao momento fletor .......................................................................... 299 
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Estruturas tridimensionais .................................................................. 309 
Diego Guimarães 
Estrutura tridimensionais .................................................................................................................... 309 
Treliças ............................................................................................................................................................. 314 
Grelhas e pórticos espaciais ............................................................................................................... 317 
Unidade4 
Equilíbrio de forças ................................................................................ 325 
Diego Guimarães 
Forças at uantes ........................................................................................................................................ 325 
Estruturas: hipostática, isostática e hiperestática ............................................................... .331 
Impactos da aplicação de uma força em um corpo ......................................................... 334 
Diagramas de solicitações internas ................................................. 341 
Rossana Piccoli 
Convenção pa ra o traçado dos diagramas de solicitações internas ..................... 341 
Diag rama de esforços solicitantes ............................................................................................... 353 
Análise dos diagramas .......................................................................................................................... 357 
Estruturas planas carregadas fora do seu plano......................... 363 
Douglas Andrini Edmundo 
Estruturas planas ...................................................................................................................................... 363 
Ca rregamentos fora do plano da estrutura ............................................................................ 366 
Cálculo das cargas perpendiculares ao plano da estrutura ......................................... 373 
Arranjos reticulados .............................................................................. 379 
Douglas Andrini Edmundo 
Tipos de estruturas reticuladas e eixos de referência ...................................................... 379 
Eixos globais, eixos locais e esforços internos ....................................................................... 384 
Como determinar os tipos de esforços internos nas barras ......................................... 386 
Gabaritos ..................................................................... 392 
!Conceitos fundamentais l Matriz de flexibilidade !Vigas 1 I Pórticos 1 Arcos 
1. b 1. b 1. a 1. d 1. d 
2. e 2. d 2. e 2. a 2. e 
3. b 3. a 3. e 3. e 3. d 
4. e 
5. d 
4. b 4. b 4. b 4. e 
S. e s. e S. e ~ 
rei iças 
1. e 
2. a 
3. e 
4. d 
S. a 
Formulação matricial 
1. d 
2. e 
3. a 
4. a 
S. e 
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças Conceitos básicos de métodos dos elementos finitos Aplicações em estruturas reticuladas 
1. b 
2. b 
3. a 
1 ~· d 
~- ª 
1. c 1. a 
2. e 2. d 
3. d 3. e 
4. b 4. a 
~ a ~ b 
~icações em estruturas formadas por elementos 1 Vigas li 
1 bidimensionais e tridimensionais 
Vigas 111 1 Fundamentos do processo de Cross 1 
1. b 
2. e 
3. b 
4. d 
5. e 
Cargas móveis em estruturas isostáticas - linhas de 
influência 1 
1. d 
2. a 
3. e 
4. b 
5. e 
1. a 1. e 1. e 
2. e 2. b 2. a 
3. d 3. e 
4. b 
3. e 
4. a L 4. a 
5. e 5. d ~ 
Estruturas tridimensionais Equilíbrio de forças 
1. d 1. e 
2. a 2. e 
3. e 3. e 
4. e 4. b 
5. b 5. b 
[Arranjos reticulados J t. b 
2. e 
3. e 
4. d 
5. a 
Diagramas de solicitações internas 
1. d 
2. a 
3. d 
4. e 
5. b 
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Treliças
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir o que são treliças e suas classificações quanto à estaticidade.
 � Avaliar as treliças quanto à lei de formação: simples, compostas e 
complexas.
 � Analisar os esforços solicitantes pelo método do equilíbrio dos nós, 
pelo método de Ritter e pelo método de Cremona.
Introdução
A treliça é uma estrutura de elementos relativamente delgados ligados 
entre si pelas extremidades. Todos os elementos da treliça utilizados em 
construções são de madeira ou barras de metal e em geral são unidos 
uns aos outros por meio de uma placa de reforço na qual eles são apa-
rafusados ou soldados. Também podem ser mantidos unidos por um 
grande parafuso ou pino que perfura cada um dos elementos. 
Neste capítulo, você verá que as aplicações das treliças são diversas, 
como estrutura de suporte em telhados, estruturas fechadas ou aber-
tas em pontes, torres de telecomunicações (antenas), torres de energia 
elétrica, campos de futebol (cobertura), guindastes, entre outros. Os três 
métodos de análise estrutural para o cálculo de esforços são: método dos 
nós, método de Ritter (Seções) e método de Carmona (gráfico).
Treliças e estaticidade
Uma treliça é um sistema articulado de plano rígido. Esse sistema pode ser 
definido como uma estrutura de barras rígidas delgadas complanares ligadas 
entre si por extremidades, formando um conjunto estável (GOMES, 2016). 
Os elementos de uma treliça costumam ser executados em barras de madeira, 
aço, alumínio e concreto armado e em geral são unidos por uma rótula ou 
Em substituição, li cap. 4 (Treliças): 
LivrPt_Civ_Estrutural_Analise_Fundam_Leet_Uang_Gilbert_ed3_2009_810p
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placa de reforço (Figura 1). Os elementos são delgados e incapazes de suportar 
cargas transversais.
Figura 1. Ligações: (a) placa de reforço e (b) rótula.
Fonte: Silveira ([s.d.]).
(a) (b)
Na Figura 2, a seguir, você pode ver alguns dos formatos mais comuns 
de treliças.
Figura 2. Alguns formatos de treliças.
Fonte: Facige, 2013, documento online.
Uma treliça é uma estrutura composta por elementos lineares unidos por 
nós, localizados nas extremidades de cada elemento, como você pode ver nas 
Figuras 3 e 4. 
Treliças134
Figura 3. Representação dos nós e aplicação de forças em uma treliça 
plana.
Fonte: Adaptada de Kalil e Azambuja (2013).
P
F G H
A B C D E
P P
P
Sabe-se que o triângulo é a figura mais estável. Assim, a treliça é um 
sistema estrutural formado por uma série de triângulos que resulta em uma 
estrutura resistente e rígida (Figura 5). Nessa estrutura, todas as cargas devem 
ser aplicadas nas junções ou nós.
Figura 4. Treliça plana.
Fonte: Adaptada de Valle; Rovere; Pillar, 2013, documento online.
135Treliças
Figura 5. Estruturas formadas por treliças planas e espaciais. 
Fonte: Marino Bocelli/Shutterstock.com e Kulikovv/Shutterstock.com.
Classificação quanto à estaticidade
Você deve saber que uma rótula não transmite momento, apenas esforços 
na direção do eixo e em direções perpendiculares a ele. Por outro lado, as 
cargas externas nas treliças só estão aplicadas nos nós. A análise do equilíbrio 
mostra que nas extremidades das barras de uma treliça só existem esforços 
na direção do eixo longitudinal e que esses esforços são de mesmo módulo, 
porém em sentidos contrários (Figura 6). Todas as cargas são aplicadas aos 
nós e normalmente o peso próprio é desprezado, pois a carga suportada é bem 
maior que o peso do elemento. É possível demonstrar facilmente que as barras 
de uma treliça, por terem suas extremidades rotuladas, desenvolvem apenas 
esforços normais constantes ao longo de suas barras. Você pode visualizar 
isso isolando uma barra de uma treliça (KALILL; AZAMBUJA, 2013).
Figura 6. Barra submetida a esforço de tração ou compressão.
Treliças136
Na barra, os esforços perpendiculares ao seu eixo (esforço cortante) são 
eliminados, pois as barras não são carregadas ao longo de seu eixo e têm 
momentos nulos nas suas extremidades.
Assim, você pode chegar à seguinte conclusão: mesmo as barras sendo 
unidas por meio de rótulas ou soldas, se costuma considerar que elas são ligadas 
por pinos. Portanto, as forças que atuam em cada extremidade de uma barra 
são reduzidas a uma única força sem nenhum momento. Conforme Leggerini 
(2017), a única solicitação interna desenvolvida é um esforço normal constante 
ao longo da barra (Figura 7).
Figura 7. (a) Barra tracionada e (b) ponte de treliça, com transmissão de cargas do pavimento 
para os nós da treliça.
Fonte: Adaptada de Kalil e Azambuja (2013).
R (a) (b)
R
Treliça da ponte
A B EDC
As treliças, assim como outros sistemas estruturais, podem dividir-se em 
hipoestáticas, isostáticas e hiperstáticas. Segundo Gomes (2016), além do 
cálculo das incógnitas das reações de apoio, é necessário calcular os esforços 
nas barras da treliça. Você também deve fazer a análise da estaticidade: interior 
(número de barras que é necessário calcular); exterior (número de incógnitas 
de reações de apoio); e global da estrutura. Para a estaticidade, o número de 
equações será de 2n, pois em cada nó se aplicam as equações de equilíbrio 
de um ponto material (Σ Fx = 0 e Σ Fy = 0). 
Considerando:
r: o número de reações
b: o número de barras
n: o número de nós
137Treliças
Se:
r + b = 2n, a treliça é isostática e o número 
de reações é igual ao necessário;
r + b < 2n, a treliça é hipoestática e o número 
de reações é menor que o necessário;
r + b > 2n, a treliça é hiperstática e o número 
de reações é maior que o necessário.
A seguir, você vai ver as definições paraestaticidade global, interior e 
exterior (GOMES, 2016).
Estaticidade global
Uma treliça é globalmente isostática se o número de incógnitas é igual ao 
número de equações disponíveis:
a + b = 2n
O grau de estaticidade global (hg) de uma treliça é igual a: hg = a + b – 2n
Se:
hg < 0, treliça globalmete hipoestática
hg = 0, treliça globalmete isostática
hg > 0 , treliça globalmete hiperstática
Estaticidade interior
Ainda é possível determinar a estaticidade interior das treliças. Admitindo que 
a treliça está simplesmente apoiada, você tem como número de incógnitas de 
reações de apoio a = 3 (por exemplo, um apoio móvel possui uma incógnita 
e um apoio fixo, duas incógnitas). A equação pode ser escrita assim:
hi = 3 + b – 2n = b – (2n – 3)
Treliças138
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Se:
hi < 0, há uma deficiência de barras, por isso a 
treliça é considerada interiormente hipoestática;
hi > 0, existem mais barras que as necessárias para evitar 
o colapso, o que sugere que a treliça é interiormente
hiperestática e por isso estaticamente indeterminada;
hi = 0, essa relação é uma condição necessária 
para a estabilidade da treliça. 
Estaticidade exterior
A estaticidade exterior é calculada a partir das condições de apoio do sistema. 
Os apoios restringem os graus de liberdade. Por isso, as incógnitas a que 
surgem são calculadas a partir das equações de equilíbrio independentes da 
estática. No caso do plano, serão três. 
he = a – 3
Se:
he < 0, treliça exteriormente hipoestática 
he = 0, treliça exteriormente isostática
he > 0, treliça exteriormente hiperstática
Como você pode ver na Figura 8, a seguir, um elemento não precisa ser reto para ser de 
duas forças. Embora as treliças com elementos retos sejam mais comuns, elas também 
podem conter elementos com curvas ou outras formas complexas.
139Treliças
Classificação de treliças quanto à formação
É importante classificar as treliças quanto à sua lei de formação para defi-
nir sua resolução. Quanto à lei de formação, as treliças podem ser: simples, 
compostas e complexas.
Treliças simples
Treliças simples são as treliças formadas a partir de um triângulo inicial sem 
possível deformação (três barras e três rótulas). Nesse triângulo, para cada 
novo nó, adicionam-se duas novas barras. 
Uma treliça triangular composta por três elementos e três nós pode ser 
considerada uma treliça rígida. A treliça rígida é aquela que não sofre grandes 
deformações com a ação de pequenas cargas. É possível acrescentar mais duas 
barras não colineares obtendo um novo nó. A estrutura resulta numa nova 
treliça (Figura 9). Você pode continuar acrescentando barras de duas em duas 
até obter uma treliça triangular básica desejada (Figura 9b). À treliça formada 
dessa maneira dá-se o nome de treliça simples (Figura 10). 
Figura 8. Treliças também podem conter elementos com curvas.
Fonte: Roman Sigaev/Shutterstock.com.
Treliças140
Figura 9. Três nós são considerados uma treliça e é possível 
acrescentar mais duas barras para expandir a treliça.
Fonte: O autor (figura a) e adaptada de Kalil e Azambuja (2013) 
(figura b).
(a)
(b)
Figura 10. Formação de uma treliça simples de telhado Howe.
Fonte: Gomes (2016).
141Treliças
Treliças compostas
A treliça é chamada composta quando formada por duas treliças simples ligadas 
por três barras não simultaneamente concorrentes ou paralelas, ou por um 
nó e uma barra, sendo que esta barra não concorre no nó citado (Figura 11). 
Segundo Kalil e Azambuja (2013), para resolver uma treliça composta, é 
possível considerar que ela é formada por duas treliças simples. Assim, se 
verifica o cálculo dos esforços nos elementos de ligação, o que permitirá isolar 
as treliças para fins de cálculo estático.
Figura 11. Treliça composta.
Fonte: Tudo Engenharia (c2017).
(a) (b)
1
1
2
3
C
Treliças complexas
De acordo com Kalil e Azambuja (2013), uma treliça complexa é classificada 
pela análise de eliminação. Ou seja, se não é simples nem composta, é uma 
treliça complexa. Mas você não pode afirmar se ela é isostática apenas aplicando 
a análise de b + r = 2n, que é uma condição necessária, mas não suficiente, 
para garantir a isostaticidade.
Uma treliça complexa pode ser formada com uma série de combinações 
de elementos triangulares, quadriláteros ou mesmo poligonais. Além disso, 
ela pode apresentar barras que se cruzam sem estarem vinculadas umas às 
outras (Figura 12). 
Treliças142
Adm
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Figura 12. Treliça complexa.
Fonte: Adaptada de Kalil e Azambuja (2013). 
Para saber mais sobre o cálculo da estaticidade em treliças, acesse o link.
https://goo.gl/5JsZj9
Determinação dos esforços em treliças
Considerações
Para uma treliça simples, sujeita a um carregamento, você deve considerar as 
reações de apoio calculadas a partir das equações de equilíbrio da estática. 
Conforme Leggerini (2007), isolando-se a barra que se deseja calcular em 
uma treliça, se verifica que o esforço normal é constante ao longo dessa barra. 
Então, é possível calcular o seu valor em uma seção qualquer (Figura 13).
143Treliças
Adm
Pencil
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Stamp
Figura 13. Seção S na barra em que se deseja calcular os esforços.
Fonte: Kalil e Azambuja (2013). 
Você pode determinar os esforços axiais das barras de treliças utilizando 
vários métodos. Por exemplo:
 � método do equilíbrio dos nós;
 � método de Ritter ou método das seções;
 � método de Cremona.
Método do equilíbrio dos nós
Nesse método, isola-se cada um dos nós e marcam-se as forças externas 
atuantes e os esforços normais das barras que nele concorrem. As forças que 
garantem o equilíbrio do nó, denominadas esforços normais das barras, serão 
determinadas como se a treliça estivesse em equilíbrio. Assim, todos os seus 
nós também o estarão.
O cálculo deve sempre iniciar pelos nós que possuam apenas duas incóg-
nitas para resolver. Assim, a sucessão de nós é feita de modo a que surjam 
apenas dois esforços como incógnitas em cada novo nó. A barra estará sujeita 
à compressão se a força que a comprime convergir para os nós. Ela estará 
sujeita à tração se a força que a traciona sai dos nós (GOMES, 2016).
Na Figura 14, você pode ver as convenções de sinais.
Treliças144
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
Figura 14. Convenções de sinais para barras de treliças.
Se você considerar um diagrama do corpo livre da treliça como um todo, 
então as forças nos elementos devem ser tratadas como forças internas. Mas, 
para considerar o equilíbrio do nó, você deve torná-lo uma força externa no 
diagrama de corpo livre. Observe a Figura 15, a seguir.
Figura 15. Forças de tração e compressão atuando em uma treliça.
Fonte: Adaptada de Ponte de espaguete, 2015, documento online. 
500 N
500 N
FBA (tração) FBC (compressão)
2 m 
B
B
A C
2 m 
45° 
45° 
500 N
FBA (tração)
FBC (compressão)
B
45° 
(a)
(b) (c)
Na Figura 15, FBA está “puxando” o pino — BA está sendo tracionado. 
Além disso, FBC está “empurrando” — BC está sob compressão. 
Resolvendo as equações:
145Treliças
Fonte: Ponte Espaguete (2015).
Equilíbrio no nó B: Equilíbrio no nó C:
Equilíbrio no nó A:
Representação dos esforços nos nós da treliça: 
45°
45°
500 N
707,1 N
A
Tr
aç
ão
Tração
Compressão
B
C
500 N
500 N
500 N
500 N
500 N
500 N 500 N
707,1 N
Treliças146
Método de Ritter ou método das seções
O método de Ritter consiste em cortar a treliça por uma secção obtendo duas 
partes totalmente independentes. Esse método determina que, se um corpo 
está em equilíbrio, qualquer parte dele, mesmo seccionada, também deverá 
estar. Esse método consiste em dividir o elemento que se deseja analisar na 
treliça e aplicar as equações de equilíbrio na região selecionada. O método das 
seções é normalmente mais utilizado em relação ao método dos nós quando 
apenas se deseja determinar a força num dos elementos da treliça (ou num 
número reduzido de elementos).
Ao dividir uma treliça numa secção SS ,́ do ponto de vista estático nada deve 
se alterar, desde que se substituam as barras cortadaspelos esforços normais 
atuantes. Os esforços são determinados para que garantam o equilíbrio da 
estrutura treliçada. Você pode analisar a parte esquerda ou a parte direita da 
treliça (Figura 16). Assim, é possível escolher aquela que contiver o menor 
número de incógnitas na obtenção do cálculo dos esforços normais. 
Figura 16. Treliça com corte da seção SS´ (a) e a representação das forças das barras sec-
cionadas (b).
Para determinar a força na barra BD da treliça da Figura 16, você deve 
seccionar por meio das barras BD, BE e CE. Depois, deve remover essas barras 
e estudar a porção ABC da treliça como um corpo livre.
147Treliças
O seccionamento deve ocorrer de modo a se obter no máximo três forças 
desconhecidas, ou seja, você deve cortar no máximo três elementos ou barras. 
Assim, pode utilizar um número igual de equações de equilíbrio para resolver 
o problema.
Na Figura 17, você pode verificar a seção cortando a treliça, bem como 
as forças indicadas das barras e suas direções para o cálculo das equações 
de equilíbrio.
Figura 17. Treliça: (a) corte da seção direita e (b) corte da seção esquerda (c).
Fonte: Ponte Espaguete (2015).
T
T
T
T
C
C
C
1000 N
1000 N
A
B C
C C
D
G
G GFGF FGF
Dx
Fx
FGC
FGC
FBC
FBC
45º
45º
F Ea
a
(a)
(b) (c)
2 m 2 m
2 m
2 m
2 m
2 m
2 m
2 m
2 m
C
C
C
Compressão
T
T
Forças
internas
de tração
Forças
internas de 
compressão
Tração
Método de Cremona ou diagrama de Maxwell
O método de Cremona consiste na representação gráfica das forças que agem 
nas barras da treliça e na verificação do equilíbrio de cada nó na treliça. Dessa 
forma, você precisa proceder da seguinte maneira: desenhar em escala a tre-
liça, colocar o carregamento e calcular as reações de apoio e a força normal 
de cada barra da treliça. Ficam definidas as áreas abertas entre as forças do 
carregamento de reações de apoio, e as áreas internas entre esforços normais 
de cada barra (VALLE; ROVERE; PILLAR, 2013). Assim, você deve desenhar 
em escala as forças traçando uma poligonal iniciada por um dos nós. Tome 
como exemplo a treliça mostrada na Figura 18. É necessário desenhar em 
escala as forças, traçando poligonais iniciadas por um dos nós com no mínimo 
Treliças148
duas incógnitas. O polígono resultante deverá ser um polígono fechado, e isso 
representa que a treliça está em equilíbrio.
Figura 18. Resolução do método de Cremona em treliças.
Fonte: Valle, Rovere e Pillar (2013).
149Treliças
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Para exercitar o que você viu até aqui, resolva a treliça a seguir pelo método do equi-
líbrio dos nós.
Primeiro, verifique se a treliça é uma estrutura isostática:
barras b = 9
nós n= 6
reações r = 3
r + b = 2n
 3 + 9 = 2 × 6
12 = 12
A treliça é uma estrutura isostática.
1. Cálculo das reações de apoio
Equação de equilíbrio de momentos: como a estrutura está em equilíbrio, a somatória 
dos momentos em relação a qualquer ponto da estrutura deve ser nula. Tomando o 
nó A como referência, tem-se:
Σ M A = 0
– 4 × R E + 50 × 4 +100 × 2 = 0
R E = 400 / 4 
RE = 100 kN
Substituindo o valor de RE na equação
R A + 100 = 200 kN
Logo,
R A = 100 kN
α = 45º
Treliças150
2. Cálculo das forças nas barras
151Treliças
Resultados:
NAB = – 100 kN Compressão
NAF = 0 kN
NBC = – 50 kN Compressão
NBF = + 70,7 kN Tração
NCF = – 100 kN Compressão
NCD = – 50 kN Compressão 
NDF = + 70,7 kN Tração
NDE = – 100 kN Compressão
NFE = 0 kN
1. Determine o grau de estaticidade 
da treliça com dois apoios 
iniciais mostrada na figura 
a seguir, definindo se ela é 
isostática, hiperestática ou 
hipoestática e também indique 
se é estável ou instável. Além 
disso, estabeleça o número de 
incógnitas totais da treliça.
a) Hiperestática; estável; 
total de incógnitas: 14.
b) Hipoestática; instável; 
total de incógnitas: 13.
c) Isostática; estável; total 
de incógnitas: 14.
d) Isostática; instável; total 
de incógnitas: 15.
e) Hiperestática; estável; 
total de incógnitas: 20.
2. A treliça de aço representada na 
figura a seguir é uma estação de 
telecomunicações muito utilizada 
no Brasil e no mundo inteiro. 
Ela é uma estrutura unida por 
barras em formatos triangulares. 
Assinale a alternativa que responde 
corretamente às seguintes questões:
I. Qual é o tipo de 
estaticidade da treliça? 
II. A treliça é estável ou não? 
III. Qual é o número de incógnitas 
totais na estrutura?
Treliças152
a) Hiperestática, estável 
e 18 incógnitas.
b) Isostática, instável e 18 incógnitas.
c) Hiperestática, estável 
e 16 incógnitas.
d) Hipoestática, instável 
e 18 incógnitas.
e) Hipoestática, estável 
e 16 incógnitas.
3. Calcule a força no elemento DJ da 
treliça de telhado Howe mostrada na 
figura a seguir. Despreze quaisquer 
componentes horizontais de força 
nos apoios. Utilize o método de 
Ritter ou o método das seções.
10 kN
6 painéis de 4 m
10 kN
10 kN
1 2
D
E
F
G
HIJKL
B
A
C
6 m
a) DJ = 18,43 kN (Compressão).
b) DJ = 14,14 kN (Compressão).
c) DJ = 14,14 kN (Tração).
d) DJ = 16,67 kN (Compressão).
e) DJ = 16,67 kN (Tração).
4. Resolva o problema a seguir 
pelo método das seções.
a) N2 = 12 tf (T); N9 = – 2 tf 
(C); N16 = – 14 tf (C).
b) N2 = 14 tf (T); N9 = – 4 tf 
(C); N16 = – 14 tf (C).
c) N2 = 14 tf (C); N9 = – 2 tf 
(T); N16 = – 14 tf (T).
d) N2 = 14 tf (T); N9 = – 2 tf 
(C); N16 = – 14 tf (C).
e) N2 = 14 tf (T); N9 = – 2 tf 
(T); N16 = – 14 tf (C).
5. Encontre os esforços internos 
na treliça apresentada a seguir. 
Utilize o método de Cremona.
2 tf
D
C
A
2m 2m
1m
1m
B
a) AD = – 2830 kgf; CD = + 2000 
kgf; BD = – 2830 kgf; AC = + 
2230 kgf; BC = + 2230 kgf
b) AD = – 2530 kgf; CD = + 2000 
kgf; BD = – 2530 kgf; AC = + 
2130 kgf; BC = + 2130 kgf
c) AD = + 2830 kgf; CD = + 2000 
kgf; BD = + 2830 kgf; AC = + 
2230 kgf; BC = + 2230 kgf
d) AD = – 2830 kgf; CD = – 2000 
kgf; BD = – 2830 kgf; AC = – 
2230 kgf; BC = – 2230 kgf
e) AD = – 2030 kgf; CD = + 2000 
kgf; BD = – 2030 kgf; AC = + 
2230 kgf; BC = + 2230 kgf
153Treliças
BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 
2012.
FACIGE. Treliças. 2013. Disponível em: <http://facige.com.br/biblioteca/wp-content/
uploads/2013/05/trelicas.pdf>. Acesso em: 16 fev. 2018.
GOMES, M. I. S. Estudo e análise de treliças. Lisboa: Instituto Superior Engenharia de 
Lisboa, 2016. Apostila da disciplina de Estatística. Disponível em: <http://docplayer.
com.br/49130649-Estudo-e-analise-de-trelicas.html>. Acesso em: 14 jan. 2018.
KALIL, S. B.; AZAMBUJA, E. Treliças isostáticas. Porto Alegre: PUCRS, 2013. Apostila de 
Técnicas dos Materiais e Estruturas II. Disponível em: <http://www.feng.pucrs.br/
professores/soares/Tecnicas_Materiais_e_Estruturas_II/Aula_01_-_Trelicas.pdf>. 
Acesso em: 11 fev. 2018. 
LEET, K. M.; UANG, C.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2010
LEGGERINI, M. R. C. Resistência dos materiais I – EM. Porto Alegre: PUCRS, 2007. Notas de aula. 
Disponível em: <http://www.feng.pucrs.br/professores/mregina/ENGENHARIA_-_Resis-
tencia_dos_Materiais_I/resistencia_i_em_apostila_2007.pdf>. Acesso em: 11 fev. 2018.
PONTE ESPAGUETE. Como calcular os esforços de treliça? 2015. Disponível em: http://
pontedespaguete.blogspot.com.br/2015/05/como-calcular-os-esforcos-de-trelica-ha.
html. Acesso em: 11 fev. 2018.
SILVEIRA, R. Treliças isostáticas. Ouro Preto: UFOP, [s.d.]. Apostila de Teoria das estruturas 
I. Disponível em: <https://pt.scribd.com/doc/89249435/Apostila-Trelicas-Isostaticas-I>. 
Acesso em: 11 fev. 2018.
TUDO ENGENHARIA. Questões teóricas sobre treliças: teoria das estruturas 2. c2017. 
Disponível em: <http://www.tudoengcivil.com.br/2015/10/questoes-teoricas-sobre-
trelicas-teoria.html >. Acesso em: 11 fev. 2018.
VALLE, A.; ROVERE, H. L.; PILLAR, N. M. P. Análise estruturalI. Florianópolis: UFSC, 2013. 
Apostila do Departamento de Engenharia Civil. Disponível em: <https://www.sli-
deshare.net/jucarraro/anlise-estrutural-i>. Acesso em: 11 fev. 2018.
Leituras recomendadas
GHISI, E. Resistência dos sólidos para estudantes de arquitetura. Florianópolis: UFSC, 2005. 
Apostila da disciplina Resistência dos sólidos do curso de Arquitetura. Disponível em 
<http://www.labeee.ufsc.br/antigo/graduacao/ecv_5645/Apostila_ECV5645.pdf>. 
Acesso em: 11 fev. 2018. 
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2011.
SCHMIDT, R. J.; BORESI, A. P. Estática. São Paulo: Thompson, 2003.
Treliças154
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Dica do professor
Na Dica do Professor a seguir, você verá os conceitos de treliças planas e espaciais. Além disso, 
será abordado também o cálculo do grau de estaticidade de uma treliça plana e os diferentes 
métodos de análise estrutural para determinação dos esforços internos nas treliças.
_C.3_
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/
cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/436f6c4a079982ae4ba21dd58fb4b665
7min
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Exercícios
1) Determine o grau de estaticidade da treliça a seguir. Determine, também, se ela é isostática,
hiperestática ou hipostática. Indique se é estável ou instável, e o número de incógnitas totais da
treliça.
A) Hiperestática, estável, total de incógnitas = 14.
B) Hipostática, instável, total de incógnitas = 13.
C) Isostática, estável, total de incógnitas = 14.
D) Isostática, instável, total de incógnitas = 15.
E) Hiperestática, estável, total de incógnitas = 20.
_C.3_
Gab C = A treliça é isostática e estável, pois os seus nós são indeslocáveis.
É isostática, pois o número de equações é igual ao número de incógnitas e tem seus nós 
estáveis.
O número de incógnitas é 14, pois o número de reações externas é 3 e o número de barras é 
11, o que soma 14.
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A seguinte treliça de aço, representada na figura a seguir, é uma estação de telecomunicações 
muito utilizada no Brasil e mundo inteiro, se trata de uma estrutura unida por barras em formatos 
triangulares. Responda às seguintes questões:
a) Qual é o tipo de estaticidade da treliça?
b) A treliça é estável ou não?
c) Qual é o número de incógnitas totais na estrutura?
2)
A) Hiperestática, estável e 18 incógnitas.
B) Isostática, instável e 18 incógnitas.
C) Hiperestática, estável e 16 incógnitas.
D) Hipostática, instável e 18 incógnitas.
E) Hipostática, estável e 16 incógnitas.
Gab A = Hiperestática, estável e 18 incógnitas.
A treliça tem R+B = 18 e número 2N = 16, por uma diferença e falta de 2 equações.
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Calcule a força no elemento DJ da treliça de telhado Howe mostrada na figura a seguir. Despreze 
quaisquer componentes horizontais de força nos apoios. Utilize o método de Ritter ou o método 
das seções. 
3)
A) DJ= 18,43 kN (compressão).
B) DJ= 14,14 kN (compressão).
C) DJ= 14,14 kN (tração).
D) DJ= 16,67 kN (compressão).
E) DJ= 16,67 kN (tração).
Gab E
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Resolva o problema a seguir pelo método das seções.4)
A) N2=12 tf (T); N9= -2 tf (C); N16=-14 tf (C).
B) N2=14 tf (T); N9= -4 tf (C); N16=-14 tf (C).
C) N2=14 tf (C); N9= -2 tf (T); N16=-14 tf (T).
D) N2=14 tf (T); N9= -2 tf (C); N16=-14 tf (C).
E) N2=14 tf (T); N9= 2 tf (T); N16=-14 tf (C).
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Gab D
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Encontre os esforços internos na treliça apresentada a seguir. Utilize o método de Cremona.5)
A) AD=-2830 kgf; CD=+2000 kgf; BD=-2830 kgf; AC=+2230 kgf; BC=+2230 kgf.
B) AD=-2530 kgf; CD=+2000 kgf; BD=-2530 kgf; AC=+2130 kgf; BC=+2130 kgf.
C) AD=+2830 kgf; CD=+2000 kgf; BD=+2830 kgf; AC=+2230 kgf; BC=+2230 kgf.
D) AD=-2830 kgf; CD=-2000 kgf; BD=-2830 kgf; AC=-2230 kgf; BC=-2230 kgf.
E) AD=-2030 kgf; CD=+2000 kgf; BD=-2030 kgf; AC=+2230 kgf; BC=+2230 kgf.
Gab A = Veja abaixo a resolução da treliça pelo método de Cremona ou gráfico.
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Na prática
Uma estrutura formada de elementos unidos em suas extremidades para formar uma estrutura 
rígida é denominada treliça. Pontes, apoios de telhados, guindastes e outras estruturas do gênero 
são exemplos comuns de treliças. Os elementos estruturais comumente usados são vigas em I ou 
em U, cantoneiras, barras e formas especiais que são unidas em suas extremidades por soldagem, 
conexões rebitadas, ou grandes parafusos ou pinos. Quando os elementos da treliça se situam 
essencialmente em um único plano, a treliça é denominada treliça plana. Veja as diferentes 
aplicações das treliças na vida real e na construção das diferentes estruturas e superestruturas nas 
urbanizações.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
_C.3_
Aplicações de TRELIÇAS. Nas fotos, observe atentamente que a estrutura é toda 
formada por triângulos.
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Resolvendo TRELIÇA determinada pelo MÉTODO DOS NÓS
Veja o link a seguir Resolvendo TRELIÇA determinada pelo MÉTODO DOS NÓS
Estruturas para telhados
Leia no artigo as diferentes aplicações dos telhados em coberturas de residencias, utilizando os três 
materiais mais comuns na construção civil, a madeira, o concreto e o aço.
Princípio básico da treliça
Veja como funciona o princípio básico de uma treliça no site a seguir.
_C.3_
https://youtu.be/4h233_PU_Wk
17min - profa. Carol Rossi
http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/65439/000864069.pdf
pdf 81p monografia TCC 2012 UFRGS
http://www.ebanataw.com.br/trelica/trelica01.htm
pág internet, comenta flambagem...
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E CRÉDITOS DE IMAGENS
BEER, Ferdinand P.; et al. Mecânica vectorial para engenheiros - Estática. 7. ed. McGraw 
Hill: Rio
de Janeiro, 2006.
CERVI; BINS; DECKERT. A modelagem matemática na construção de telhados com diferentes
tipos de telhas. Disponível em:
<http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/modelagem/Modelagem_Tesouras_Web/modela
gem_tesouras.htm>. Acesso em: 28 fev. 2018.
MERIAM, James L.; KRAIGE, L. Glenn. Mecânica para Engenharia-Estática - v. 1, 7. ed. LTC,
12/2015.
VALLE, A.; LA ROVERE, H. L. Apostila de análise estrutural, I. Notas de aula-UFSC.
ECV/GRUPEX/PET: Florianópolis, 2013.
WATANABE, Roberto Massaru. Treliças. Universidade de São Paulo. (USP). Disponível em:
<http://www.ebanataw.com.br/trelica/trelica.php>. Acesso em: 28 fev. 2018. 
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Arranjos reticulados
Apresentação
Os chamados engenheiros estruturais, associados à engenharia estrutural, são aqueles que tratam 
do planejamento, projeto, construção e manutenção de sistemas estruturais para transporte, 
moradia, trabalho e lazer. O projeto e a construção de estruturas constituem a área da Engenharia 
Civil na qual esses profissionais se especializam. Desta forma, torna-se importante entender que 
essas estruturas devem resistir a solicitações impostas durante a sua vida útil, a ventos fortes e, em 
algumas partes do mundo, a terremotos. Sendo assim, podem ser concebidas como um 
empreendimento por si próprio, como no caso de pontes, ou podem ser um utilizadas em arranjos 
reticulados, como o esqueleto no caso de edifícios. Podem ser projetadas e construídas em aço, 
concreto, madeira, novos materiais sintéticos, entre outros.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar como analisar estruturas planas utilizando um 
arranjo reticulado ou modelo de estruturas reticuladas e, ainda, verá como analisar o sistema de 
eixos globais e eixos locais das barras. Além disso, você compreenderá também como determinar 
os tipos de esforços internos nas barras.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar os tipos de estruturas reticuladas.•
Analisar o sistema de eixos globais eeixos locais das barras.•
Determinar os tipos de esforços internos nas barras.•
AULA C.4
1.1 - Princípios gerais
1.2 - Equilíbrio de forças
2.1 - Forças internas em elementos estruturais
2.2 - Diagramas de Solicitações Internas
3.1 - Classificação das Estruturas e Cálculo do Grau de 
Hiperestaticidade
3.2 - Estruturas planas carregadas fora do seu plano
4.1 - Estruturas tridimensionais
4.2 - Formulação matricial
__ C.1 Matriz de flexibilidade
__ C.2 Arcos
__ C.3 Treliças
__ C.4 Arranjos reticulados
__ C.5 Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e 
tridimensionais
__ C.6 Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
__ C.7 Aplicações em estruturas reticuladas
_C.4_
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Adm
Rectangle
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
Desafio
Sabemos que uma estrutura é um conjunto capaz de receber solicitações, absorvê-las internamente 
e transmiti-las até seus apoios ou vínculos (pilares, fundações), onde elas encontram um sistema de 
forças externas equilibrantes denominadas forças reativas. 
Para que possamos ter uma ideia dessas estruturas, precisamos saber a classificação dos tipos de 
estruturas e dos modelos dos arranjos reticulados conforme o arranjo espacial e das cargas 
aplicadas. A análise de arranjos reticulados não segue uma formalidade matemática, mas os 
conceitos de força, momento fletor e equilíbrio estático de uma estrutura devem ser conhecidos.
Como engenheiro de estruturas, você deve aplicar esses conceitos para saber como analisar 
estruturas planas utilizando um arranjo reticulado ou modelo de estruturas reticuladas.
elm = aguardar gabarito.
_C.4_
Exemplo de PLANTA BAIXA de uma construção:
Identifique os carregamentos que atuam na viga 1 e na viga 6.
Considere como vínculos os apoios simples (móveis) em P1 e como fixos 
(duplos) em P2 e P3.
As cargas das parede podem ser consideradas para fins de cálculo.
Padrão de resposta esperado
As forças que atuam na viga 1 e na viga 6 são:
Aqui
Nesse caso, as cargas distribuídas q1 e q2 são provenientes das lajes que se apoiam na viga 
1.
Aqui
Já as cargas distribuídas q3 e q4 são provenientes das lajes que se apoiam na viga 6, e a 
carga concentrada V2 representa a carga da viga 2 apoiada na viga 6.
elm = padrão de resposta c/ defeito: onde consta "aqui", prov. deveria ser um link para 
abrir um pdf com desenvolvimento da resposta...
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Oval
Adm
Oval
Adm
Pencil
Adm
Pencil
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Pencil
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Infográfico
Estruturas reticuladas são muito comuns, por exemplo, em estruturas de coberturas, treliças 
espaciais, e em estruturas metálicas em geral de edifícios e pontes. O modelo estrutural para as 
estruturas reticuladas possui características muito específicas. Os eixos das barras são bem 
definidos e seguem o comportamento descrito na Teoria de Navier, sobre membros estruturais 
submetidos à flexão e sob o efeito de forças axiais e de torção.
Acompanhe, no Infográfico a seguir, alguns exemplos de estruturas reticuladas.
_C.4_
Um pórtico plano consiste em um modelo 
estrutural reticulado que pertence, na 
grande maioria das vezes, a uma estrutura 
tridimensional.
Pórtico espacial é o caso mais geral de 
arranjos estruturais reticulados.
Grelhas são estruturas planas 
reticuladas carregadas 
perpendicularmente ao plano da 
estrutura.
As treliças são estruturas 
reticuladas compostas por 
barras conectadas por 
articulações que permitem que 
estas rotacionem de forma 
independente nas ligações de 
uma com a outra.
Conteúdo do livro
Os arranjos reticulados ou sistemas estruturais reticulados nada mais são que estruturas formadas 
por barras. A análise de arranjos reticulados não segue uma formalidade matemática, mas os 
conceitos de força, momento fletor e equilíbrio estático de uma estrutura devem ser conhecidos.
Leia o capítulo Arranjos reticulados, que faz parte do livro Teorias das estruturas, é base teórica 
desta Unidade de Aprendizagem e destaca a classificação dos tipos de estruturas e dos modelos 
dos arranjos reticulados conforme o arranjo espacial e das cargas aplicadas.
https://sagah.com.br/gabaritos/TEORIA_ESTRUTURAS.pdf
_C.4_
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Highlight
Adm
Highlight
SUMÁRIO 
Unidade 1 
Conceitos fundamentais ......................................................................... 13 
Douglas Andrini Edmundo 
Sistemas estruturais .................................................................................................................................. 13 
Princípios básicos da estática das estruturas ............................................................................ 27 
Apoios e vínculos ....................................................................................................................................... 29 
Matriz de flexibilidade ............................................................................. 51 
Douglas Andrini Edmundo 
Método da flexibilidade ......................................................................................................................... 52 
Análise estrutural ........................................................................................................................................ 61 
Elementos da matriz de flexibilidade ............................................................................................ 70 
1Vigas1 ............................................................................................................. 77 
Douglas Andrini Edmundo 
Conceito de vigas ...................................................................................................................................... 77 
Esforços solicitantes .................................................................................................................................. 79 
Diagramas de esforços solicitantes ................................................................................................. 91 
Pórticos 1 ....................................................................................................... 97 
Douglas Andrini Edmundo 
Pórticos ............................................................................................................................................................ 97 
Esforços solicitantes ................................................................................................................................ 101 
Diagramas de esforços solicitantes ............................................................................................... 111 
Arcos ............................................................................................................ 115 
Douglas Andrini Edmundo 
Comportamento estrutural dos arcos ........................................................................................ 115 
Principais tipos de arcos ....................................................................................................................... 119 
Cálculo das reações de apoio e esforços solicitantes ........................................................ 121 
Treliças ......................................................................................................... 133 I 
Rossana Piccoli 
Treliças e estaticidade ............................................................................................................................ 133 
Classificação de treliças quanto à formação .......... .... ....... ...................... .... ....... ........ 140 
Determinação dos esforços em treliças ..................................................................................... 143 
Unidade 2 
Formulação matricial ............................................................................. 155 
Douglas Andrini Edmundo 
Métodos mat riciais para análise de estruturas ...................................................................... 155 
Análise de uma estrutura indeterminada ................................................................................158 
Condições de contorno ....................................................................................................................... 158 
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1 Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças ............................ 165 1 
Fernando Cuenca Rojas 
Determinação de reações de apoio nas estruturas 
pelo método matricial ..................................................................................................................... 165 
Matriz de rigidez ..................................................................................................................................... 166 
Método de rigidez e flexibilidade .................................................................................................. 177 
Apl icação do método da flexibilidade para estruturas 
isostáticas e hiperestáticas ........................................................................................................... 180 
Conceitos básicos de métodos dos elementos finitos ............... 191 
Douglas Andrini Edmundo 
Métodos dos elementos finitos ....................................................................................................... 192 
l Matriz de rigidez ....................................................................................................................................... 195 
Solução de sistemas lineares ............................................................................................................. 1~ 
1 Aplicações em estruturas reticuladas ............................................. 203 1 
Douglas Andrini Edmundo 
Concepção estrutural ........................................................................................................................... 203 
Geração de malhas ................................................................................................................................. 204 
Equações de equilíbr io e matriz de rig idez ............................................................................. 210 
Aplicações em estruturas formadas por 
elementos bidimensionais e tridimensionais ............................... 21 5 
Fernando Cuenca Rojas 
Definições básicas das est ruturas .................................................................................................. 216 
L Estruturas de superfície ...................................................................................................................... 2~ 
!unidade 3 
Vigas li ......................................................................................................... 241 
Diego Guimarães 
Viga com cargas distribuídas em forma triangular ............................................................. 241 
Diferenciar momento fletor e esforço cortante e suas relações ............................... 244 
Resolver os cálculos da força normal, do esforço cortante 
e do momento fletor e traçar os diagramas ...................................................................... 247 
Vigas 111 ....................................................................................................... 255 
Diego Guimarães 
Analisar o comportamento estrutural de vigas ................................................................... 255 
Cálculo das solicitações internas: método das equações ............................................. 263 
LResolução do cálculo do ponto de momento máximo ................................................. 2~ 
Fundamentos do processo de Cross ............................................... 277 
Diego Guimarães 
Definição do funcionamento do método de Cross .......................................................... 277 
Interpretação física do processo de Cross ............................................................................... 281 
Descrição da distribuição dos momentos fletores em um nó ................................... 282 
Cargas móveis em estruturas isostáticas -
linhas de influência 1 ............................................................................. 291 
Fernanda Dresch 
Cargas móveis ........................................................................................................................................... 292 
Importância do estudo das linhas de influência ................................................................ 294 
Traçado da linha de influência referente às reações de apoio, 
ao esforço cortante e ao momento fletor .......................................................................... 299 
Estruturas tridimensionais .................................................................. 309 
Diego Guimarães 
Estrutura tridimensionais .................................................................................................................... 309 
Treliças ............................................................................................................................................................. 314 
Grelhas e pórticos espaciais ............................................................................................................. .. 317 
Unidade4 
Equilíbrio de forças ................................................................................ 325 
Diego Guimarães 
Forças atuantes ........................................................................................................................................ 325 
Estruturas: hipostática, isostática e hiperestática ................................................................ 331 
Impactos da aplicação de uma força em um corpo ......................................................... 334 
Diagramas de solicitações internas ................................................. 341 
Rossana Picco/i 
Convenção para o traçado dos diagramas de solicitações internas ..................... 341 
Diagrama de esforços solicitantes ............................................................................................... 353 
Análise dos diagramas .......................................................................................................................... 357 
Estruturas planas carregadas fora do seu plano ......................... 363 
Douglas Andrini Edmundo 
Estruturas planas ...................................................................................................................................... 363 
Carregamentos fora do plano da estrutura ............................................................................ 366 
Cá lculo das cargas perpendiculares ao plano da estrutura ......................................... 373 
Arranjos reticulados .............................................................................. 379 
Douglas Andrini Edmundo 
Tipos de estruturas reticuladas e eixos de referência ...................................................... 379 
Eixos globais, eixos locais e esforços internos ....................................................................... 384 
Como determinar os tipos de esforços internos nas barras ......................................... 386 
Gabaritos ..................................................................... 392 
Conceitos fundamentais ~triz de flexibilidade Vigas 1 Pórticos 11 Arcos 
1. b 1. b 1. a 1. d 1. d 
2. e 2. d 2. e 2. a 2. e 
3. b 3. a 3. e 3. e 3. d 
4. e 
5. d 4. b 4. b 4. b 4. e 
5. e 5. e 5. e 5. e 
Treliças 
1. e 
2. a 
3. e 
4. d 
5. a 
Formulação matricial 
1. d 
2. e 
3. a 
1 ~· a 
L_____?. c 
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças Conceitos básicos de métodos dos elementos finitos Aplicações em estruturas reticuladas 
l.b l. c 1. a 
2. b 2. e 2. d 
3. a 3. d 3. e 
4. d 4. b 4. a 
5. a 5. a 5. b 
Aplicações em estruturas formadas por elementos 
bidimensionais e tridimensionais 
1. b 
2. e 
3. b 
Ll ~ _J 
Vigas li 
1. a 
2. e 
3. d 
4. b 
5. e 
Vigas Ili Fundamentosdo processo de Cross 
1. e 1. e 
2. b 2. a 
3. e 3. e 
4. a 4. a 
5. d li d 
Cargas móveis em estruturas isostáticas - linhas de 
influência 1 
Estruturas tridimensionais Equilíbrio de forças Diagramas de solicitações internas 
1. d 
2. a 
3. e 
4. e 
5. b 
qb 1 u Lll____J 5. b 
1. d 
2. a 
3. e 
4. b 
5. e 
[Estruturas planas carregadas fora do seu plano ] I. e 
2. d 
Arranjos reticulaclOsl 1. b 
2. e 
3. e 3. e 
4. b 4. d 
5. e 5. a 
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Arranjos reticulados
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar os tipos de estruturas reticuladas.
 � Analisar o sistema de eixos globais e eixos locais das barras.
 � Determinar os tipos de esforços internos nas barras.
Introdução
Neste capítulo, você vai ver como analisar estruturas planas utilizando 
um arranjo reticulado ou modelo de estruturas reticuladas. Estruturas 
reticuladas são muito comuns, por exemplo, em estruturas de coberturas, 
treliças espaciais e estruturas metálicas em geral de edifícios e pontes. 
O modelo estrutural para as estruturas reticuladas possui características 
muito específicas. Os eixos das barras são bem definidos e seguem o 
comportamento descrito na Teoria de Navier, sobre membros estruturais 
submetidos à flexão, mas também sob o efeito de forças axiais e de torção.
Tipos de estruturas reticuladas e 
eixos de referência
Os arranjos reticulados ou sistemas estruturais reticulados nada mais são do 
que estruturas formadas por barras. A classificação dos tipos de estruturas 
e dos modelos dos arranjos reticulados é feita conforme o arranjo espacial e 
as cargas aplicadas. 
A análise de arranjos reticulados não segue uma formalidade matemática, 
mas você deve conhecer os conceitos de força, momento fletor e equilíbrio 
estático de uma estrutura.
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Pórticos planos
Um pórtico plano (Figura 1) é um modelo estrutural reticulado que pertence, 
na grande maioria das vezes, a uma estrutura tridimensional, que corresponde 
apenas a uma parte da estrutura global.
Figura 1. Carregamentos, reações de apoio, eixos globais, deslocamentos e rotações.
Os arranjos reticulados de um pórtico possuem uma simplificação na sua 
análise, não são considerados carregamentos ou deslocamentos no sentido 
transversal do plano da estrutura. Portanto, no caso de pórtico plano, os 
deslocamentos apresentados ocorrem apenas nas direções dos eixos x e y.
Treliças
As treliças são estruturas reticuladas compostas por barras conectadas por 
articulações. Estas permitem que as barras rotacionem de forma independente 
nas ligações de uma com a outra. O carregamento em uma treliça é todo 
transferido para os nós, de forma que as barras sejam submetidas apenas a 
esforços internos axiais devido às articulações existentes.
Uma cobertura sob a ação de ventos de sucção, por exemplo, está submetida 
a forças que atuam diretamente nas telhas, que transferem esse carregamento 
para as terças. Estas, por sua vez, estão fixadas nas treliças e, por consequência, 
transferem esse carregamento para os nós das treliças. Você pode ver essa 
dinâmica na Figura 2.
Arranjos reticulados380
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Figura 2. Treliça de cobertura, eixos globais, carga de vento de sucção, reações de apoio.
Agora considere uma cobertura. Nela, há várias ações atuando simultane-
amente, e cada carregamento provoca uma reação de apoio e distribuição de 
esforços diferente em relação aos demais. Por exemplo, uma ação permanente 
provoca carregamentos devido ao peso próprio da estrutura. No caso de uma 
cobertura metálica, o peso próprio é formado pelo peso de telhas de cobertura, 
terças, contraventamentos, tirante de terças, chapas de ligação e parafusos, 
como você pode ver na Figura 3.
Figura 3. Treliças de cobertura, eixos globais, carregamento permanente, reações de apoio.
Grelhas
Grelhas são estruturas planas reticuladas carregadas perpendicularmente 
ao plano da estrutura (Figura 4). Os esforços que surgem em uma estrutura 
reticulada de grelha são de momentos fletores em torno dos eixos do plano 
da estrutura e de deslocamentos no sentido do plano perpendicular ao plano 
da estrutura.
381Arranjos reticulados
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Figura 4. Grelha — carregamento perpendicular ao plano, eixos globais, deslocamentos, reações de apoio e rotações.
Pórticos espaciais
O pórtico espacial é o caso mais geral de arranjos estruturais reticulados 
(Figura 5). Nesse caso, cada nó da estrutura poderá ter três componentes de 
deslocamento e três componentes de rotação. Assim, os esforços internos 
surgem devido aos carregamentos impostos, ou seja, são compostos por seis 
esforços.
 � Esforço normal: Nx
 � Esforço cortante: Vy e Vz
 � Momento fletor: My e Mz
 � Momento torçor: Tx
Arranjos reticulados382
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Figura 5. Pórtico espacial.
Os arranjos reticulados são elementos estruturais simplificados para auxílio da análise 
estrutural, sendo apresentados em um plano. Você deve ter em mente a visão espacial 
de uma estrutura para entender como os elementos estruturais estão conectados e 
como deverão ser transmitidos os esforços entre esses elementos.
383Arranjos reticulados
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Eixos globais, eixos locais e esforços internos
As estruturas possuem dois sistemas de eixos que orientam os deslocamentos, 
as rotações e os esforços internos. O primeiro é o sistema global de eixos 
(Figura 6), que referencia a estrutura como um todo. O segundo, um sistema 
de eixos que referencia cada elemento que compõem a estrutura, ou seja, uma 
única barra, sendo chamado de sistema de eixos locais (Figura 7).
Figura 6. Eixos globais de um pórtico plano.
Figura 7. Eixos locais da barra BC.
Arranjos reticulados384
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A condição de equilíbrio de um sistema estrutural reticulado deve ser observada de 
maneira global e também local, ou seja, em cada barra que compõem a estrutura 
reticulada e também em cada um dos nós. Em resumo, todos os elementos que 
formam a estrutura devem estar em equilíbrio.
Figura 8. Eixos globais e esforços internos da barra BC.
Figura 9. Eixos globais e esforços internos da barra BC referenciados pelos eixos locais.
385Arranjos reticulados
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A referência de eixos globais e locais de uma estrutura deve ser analisada 
corretamente para evitar erros de determinação dos esforços e transmissão dos 
esforços para os elementos que estiverem conectados. Identificar um momento 
fletor ocorrendo no eixo errado irá acarretar o dimensionamento equivocado 
de toda a estrutura. Portanto, você deve ter muita atenção na referência dos 
eixos globais e locais, além de uma visão espacial dos elementos estruturais.
Figura 10. Arranjo estrutural reticulado compondo treliça de cobertura.
Fonte: junrong/Shutterstock.com.
Como determinar os tipos de esforços internos 
nas barras
No exemplo a seguir, você vai exercitar o que aprendeu até aqui. 
Arranjos reticulados386
Determine as reações de apoio da estrutura reticulada do pórtico plano apresentado 
a seguir:
DCL
387Arranjos reticulados
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→ + ΣFx = 0
15 + HA = 0
HA = – 15 kN
+ ↑ ΣFy = 0
VA + VD – (20 * 12) = 0
VA + VD = 240 kN
VA = – VD + 240
VA = 240 – 127,21
VA = 112,79 kN
↻ + ΣMA = 0
(20 * 12 * ( )) + (15 * 5,77) – (VD * 12) = 012
2
– VD * 12 = – 1440 – 86,55
– VD =– 1526,55
12
VD = 127,21 kN
DCL
Arranjos reticulados388
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Na Tabela 1, a seguir, você pode ver uma comparação entre as estruturas 
reticuladas (deslocamentos, rotações e esforços internos).
Pórtico 
plano
Treliças Grelhas Pórticos 
espaciais
Deslocamento 
em X
Δx Δx Δx = 0 Δx
Deslocamento 
em Y
Δy Δy Δy = 0 Δy
Deslocamento 
em Z
Δz = 0 Δz = 0 Δz Δz
Rotação em 
torno de X
θx = 0 θx = 0 θx θx
Rotação em 
torno de Y
θy = 0 θy = 0 θy θy
Rotação em 
torno de Z
θz θz = 0 θz = 0 θz
Esforço normal Nx (eixo 
x local)
Nx (eixo 
x local)
N = 0 Nx (eixo 
x local)
Esforço 
cortante
Vy (eixo 
y local)
V = 0 Vz (eixo 
z local)
Vy (eixo 
y local)
Vz (eixo 
z local)
Momento 
fletor
Mz (eixo 
z local)
M = 0 My (eixo 
y local)
My (eixo 
y local)
Mz (eixo 
z local)
Momento 
torçor
T = 0 T = 0 Tx (eixo 
x local)
Tx (eixo x 
local)
Tabela 1. Comparação entre estruturas reticuladas.
389Arranjos reticulados
O arranjo dos elementos de uma estrutura formada por 
treliças espaciais influencia diretamente o seu compor-
tamento. Diferentes arranjos dos elementos conduzem a 
diferentes distribuições de esforços entre as barras. Saiba 
mais sobre esse assunto no link a seguir, que vai direcioná-
-lo a um artigo técnico sobre treliças espaciais:
https://goo.gl/WDgy7b
1. Analise as afirmativas a seguir, 
referentes aos pórticos planos, e 
assinale a alternativa correta.
a) Os pórticos planos são 
estruturas tridimensionais, que 
correspondem à estrutura global.
b) Na análise de pórticos planos, 
não são considerados os 
carregamentos que atuam no 
sentido transversal da estrutura.
c) Os pórticos planos apresentam 
deslocamentos apenas na 
direção x, ou seja, apenas 
deslocamentos horizontais.
d) Os pórticos planos 
estão submetidos a 
carregamentos horizontais, 
verticais e transversais.
e) O pórtico plano não consiste em 
um modelo estrutural reticulado.
2. Analise as afirmativas a seguir, 
referentes às treliças, e assinale 
a alternativa correta.
a) A treliça é um tipo de 
estrutura reticulada onde as 
suas barras estão interligadas 
por meio de nós rígidos.
b) Na treliça, o carregamento é 
aplicado no meio das barras 
que formam a estrutura.
c) As treliças não necessitam 
ser dimensionadas para os 
efeitos do vento de sucção.
d) As barras que formam a 
estrutura treliçada possuem 
resistência à rotação.
e) As barras das treliças estão 
submetidas, unicamente, a 
esforços axiais internos de 
tração e compressão.
3. Analise as afirmativas a seguir, 
referentes às estruturas em grelha, 
e assinale a alternativa correta.
a) A grelha é um tipo de estrutura 
reticulada submetida apenas 
a esforços axiais internos.
b) Os carregamentos das grelhas 
são aplicados diretamente 
nos nós da estrutura, de 
modo a evitar a transmissão 
de momentos fletores.
Arranjos reticulados390
https://metalica.com.br/trelicas-espaciais
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c) As grelhas são estruturas verticais 
que possuem carregamento 
aplicado paralelamente 
ao plano da estrutura.
d) A vinculação entre as barras 
de uma estrutura em grelha é 
constituída por articulações.
e) A grelha é um tipo de estrutura 
submetido a esforços de flexão 
e deslocamentos verticais.
4. Analise as afirmativas a seguir, 
referentes ao carregamento 
das estruturas reticuladas, e 
assinale a alternativa correta.
a) Os pórticos planos possuem 
carregamento perpendicular 
ao plano da estrutura.
b) As treliças estão submetidas a 
esforços nas direções x e y.
c) As estruturas em grelha possuem 
carregamento vertical, paralelo 
ao plano da estrutura.
d) A estrutura de um pórtico 
espacial possui três 
componentes de rotação.
e) A estrutura de um pórtico 
espacial possui duas 
componentes de deslocamento.
5. Analise as afirmativas a seguir, 
referentes aos sistemas de eixos, 
e assinale a alternativa correta.
a) O posicionamento adequado 
do sistema de eixos, tanto 
global contra local, contribui 
para a redução de erros 
na análise estrutural.
b) As estruturas possuem três 
sistemas de eixos que orientam 
as rotações, deslocamentos 
e os esforços internos.
c) As condições de equilíbrio 
podem ser satisfeitas apenas 
pela análise do sistema global.
d) O sistema global de eixos 
orienta cada uma das barras da 
estrutura, individualmente.
e) O sistema local é utilizado 
para orientar a estrutura 
como um todo.
BEER, F. P. et al. Estática e mecânica dos materiais. Porto Alegre: AMGH, 2013.
BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 7. edição. Porto Alegre: AMGH, 2015.
LEET, K. M.; UANG, C.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2010.
Leituras recomendadas
HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013.
ILKIU, A. M. Teoria das estruturas: parte I. [S.l.]: [s.n.], 1998. Notas de aula.
TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos: volume I. Rio de Janeiro: LTC, 1983.
391Arranjos reticulados
Dica do professor
Você sabe como é feita a análise estrutural por meio de arranjos reticulados? Acompanhe, na Dica 
do Professor a seguir, como funcionam os objetivos da análise estrutural.
_C.4_
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/
d23ecdab32b78b0e474e649ada8c3610
2min30
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Exercícios
1)
A análise estrutural é a parte da Mecânica que estuda as estruturas. Com relação aos 
conceitos dessa área, é correto afirmar que:
A) os arranjos reticulados ou sistemas estruturais reticulados nada mais são que estruturas
formadas por nós.
B) a análise de arranjos reticulados segue uma formalidade matemática, não levando em conta
conceitos de força.
C) para a análise dos arranjos deve ser considerado apenas o equilíbrio estático de uma
estrutura.
D) uma estrutura é um conjunto capaz de receber solicitações, absorvê-las internamente e
transmiti-las até seus apoios ou vínculos.
E) na determinação dos esforços e das deformações não são levados em conta os agentes
externos, como cargas e variações térmicas.
_C.4_
A Err = os arranjos reticulados ou sistemas estruturais reticulados nada mais são que 
estruturas formadas por nós.
Os arranjos reticulados são estruturas formadas por barras, não por nós.
B Err = a análise de arranjos reticulados segue uma formalidade matemática, não levando em 
conta conceitos de força.
Ao contrário: a análise de arranjos reticulados não segue uma formalidade matemática, mas 
os conceitos de força devem ser levados em conta.
C Err = para a análise dos arranjos deve ser considerado apenas o equilíbrio estático de 
uma estrutura.
Além do equilíbrio estático, devem ser considerados conceitos de força e de momento fletor.
Gab D = uma estrutura é um conjunto capaz de receber solicitações, absorvê-las internamente 
e transmiti-las até seus apoios ou vínculos.
Onde elas encontram um sistema de forças externas equilibrantes denominadas forças 
reativas.
E Err = na determinação dos esforços e das deformações não são levados em conta os agentes 
externos, como cargas e variações térmicas.
A análise estrutural consiste na determinação dos esforços e das deformações a que as 
estruturas ficam submetidas quando solicitadas por agentes externos.
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2)
A classificação dos tipos de estruturas e dos modelos dos arranjos reticulados é feita 
conforme o arranjo espacial e das cargas aplicadas. Com relação a isso, é correto afirmar 
que:
A) pórtico plano é um modelo estrutural reticulado que pertence, na maioria das vezes, a uma
estrutura tridimensional.
B) os arranjos reticulados de um pórtico possuem uma simplificação na sua análise, sendo
considerados os carregamentos no sentido transversal do plano.
C) as treliças são estruturas reticuladas compostas por barras conectadas por articulações fixas.
D) o carregamento de uma treliça não é transferido para os nós de forma que as barras sejam 
submetidas apenas a esforços internos.
E) uma cobertura sob a ação de ventosde sucção consiste em um exemplo clássico dos
conceitos de pórtico espacial.
Gab A. pórtico plano é um modelo estrutural reticulado que pertence, na maioria das vezes, 
a uma estrutura tridimensional.
E essa estrutura tridimensional corresponde apenas a uma parte da estrutura global.
B. Err = os arranjos reticulados de um pórtico possuem uma simplificação na sua análise, 
sendo considerados os carregamentos no sentido transversal do plano.
Não são considerados carregamentos ou deslocamentos no sentido transversal do plano da 
estrutura.
C. Err = as treliças são estruturas reticuladas compostas por barras conectadas por 
articulações fixas.
Na verdade, as articulações permitem que as barras rotacionem de forma independente nas 
ligações de uma com a outra.
D. Err = o carregamento de uma treliça não é transferido para os nós de forma que as 
barras sejam submetidas apenas a esforços internos.
Errado, pois o carregamento é todo transferido para os nós.
E. Err = uma cobertura sob a ação de ventos de sucção consiste em um exemplo clássico dos 
conceitos de pórtico espacial.
A cobertura consiste em um exemplo típico de treliça.
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A) Em uma cobertura, apesar de termos várias ações atuando simultaneamente, nem todos os
carregamentos provocam reação de apoio.
B) No caso de uma cobertura metálica, é correto dizer que uma ação permanente provoca
carregamentos devido ao peso próprio da estrutura.
C) Grelhas não são consideradas estruturas planas reticuladas por não terem carregamento.
D) Os únicos esforços que surgem em uma estrutura reticulada de grelha são de momentos
fletores.
E) Pórtico espacial é o caso mais geral de arranjos estruturais reticulados, por isso apresenta
apenas esforço normal.
3)
Ainda com relação aos tipos de estruturas dos arranjos reticulados, assinale a alternativa 
correta.
A. Err Em uma cobertura, apesar de termos várias ações atuando simultaneamente, nem todos 
os carregamentos provocam reação de apoio.
Cada carregamento provoca uma reação de apoio e distribuição de esforços diferentes em 
relação aos demais.
Gab B. = No caso de uma cobertura metálica, é correto dizer que uma ação permanente 
provoca carregamentos devido ao peso próprio da estrutura.
O peso próprio é formado pelo peso das telhas de cobertura, das terças, dos 
contraventamentos, do tirante de terças, das chapas de ligação e dos parafusos.
C. Err = Grelhas não são consideradas estruturas planas reticuladas por não terem 
carregamento.
As grelhas são estruturas planas reticuladas carregadas perpendicularmente ao plano da 
estrutura.
D. Err = Os únicos esforços que surgem em uma estrutura reticulada de grelha são de 
momentos fletores.
Os esforços são de momento fletor em torno dos eixos do plano da estrutura e deslocamentos 
no sentido do plano perpendicular ao plano da estrutura.
E. Err = Pórtico espacial é o caso mais geral de arranjos estruturais reticulados, por 
isso apresenta apenas esforço normal.
Os esforços de pórtico espacial são esforço normal e cortante e momento fletor e torçor.
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4)
As estruturas possuem dois tipos de eixos que orientam os deslocamentos, as rotações e os 
esforços internos. Com relação a isso, assinale a alternativa correta.
A) O primeiro sistema é o global de eixos, que referencia cada elemento que compõe a
estrutura.
B) O segundo sistema é o de eixos, que referencia a estrutura como um todo.
C) É importante ter em mente a visão espacial de uma estrutura para poder entender como os
elementos estruturais estão conectados.
D) Não é estritamente necessário analisar a referência dos eixos globais e locais de uma
estrutura.
E) Identificar um momento fletor ocorrendo no eixo errado não irá acarretar erros de
dimensionamento.
A. Err = O primeiro sistema é o global de eixos, que referencia cada elemento que compõe 
a estrutura.
O sistema global de eixos referencia a estrutura como um todo.
B. Err = O segundo sistema é o de eixos, que referencia a estrutura como um todo.
O sistema de eixos referencia cada elemento de uma única barra, sendo chamado de eixo 
local.
Gab C. = É importante ter em mente a visão espacial de uma estrutura para poder entender 
como os elementos estruturais estão conectados.
E assim podemos saber como deverão ser transmitidos os esforços entre esses elementos.
D. Err = Não é estritamente necessário analisar a referência dos eixos globais e locais 
de uma estrutura.
Deve ser analisada corretamente para evitar erros de determinação dos esforços.
E. Err = Identificar um momento fletor ocorrendo no eixo errado não irá acarretar erros 
de dimensionamento.
Irá, sim, acarretar um dimensionamento equivocado de toda a estrutura.
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5)
As cargas podem ser classificadas quanto à posição, duração, forma de aplicação e variação 
com o tempo. Segundo essa classificação:
A) Quanto à posição, as cargas podem ser divididas em permanentes e acidentais.
B) Quanto à duração, as cargas podem ser divididas em estáticas e dinâmicas.
C) Quanto à variação com o tempo, as cargas podem ser concentradas ou distribuídas.
D) Quanto à forma de aplicação, as cargas podem ser fixas ou móveis.
E) O peso próprio de uma estrutura pode ser carga estática e permanente.
A. Err = Quanto à posição, as cargas podem ser divididas em permanentes e acidentais.
São divididas em fixas e móveis.
B. Err = Quanto à duração, as cargas podem ser divididas em estáticas e dinâmicas.
São divididas em permanentes e acidentais.
C. Err = Quanto à variação com o tempo, as cargas podem ser concentradas ou distribuídas.
São divididas em estáticas e dinâmicas.
D. Err = Quanto à forma de aplicação, as cargas podem ser fixas ou móveis.
São divididas em concentradas ou distribuídas.
Gab E. = O peso próprio de uma estrutura pode ser carga estática e permanente.
Permanente quanto à duração e estática quanto à variação com o tempo.
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Na prática
Em sistemas estruturais, é importante você estar atento a que, assim como toda estrutura, eles 
devem apresentar as propriedades de resistência e rigidez, isto é, ser capazes de resistir a cargas, 
dentro de certos limites, sem se romper e sem sofrer grandes deformações e variações de suas 
dimensões originais. Assim, uma vez conhecida a estrutura e determinadas as ações estáticas e/ou 
dinâmicas que atuam sobre ela, os objetivos da análise estrutural são a determinação dos esforços 
solicitantes internos, a determinação das reações de apoio e a determinação dos deslocamentos em 
alguns pontos.
Veja a seguir a classificação das cargas quanto à posição, duração e variação com o tempo.
_C.4_
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Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Análise estrutural de torres de transmissão de energia 
submetidas aos efeitos dinâmicos induzidos pelo vento
O uso de uma análise estrutural estática pode acarretar o mau dimensionamento de torres, levando 
a possíveis acidentes. Confira mais sobre o assunto no artigo a seguir.
Análise elástica de estruturas reticuladas
Na leitura do material a seguir, veja detalhes muito específicos sobre esse tipo de análise das 
estruturas reticuladas.
Reações de apoio em pórticos espaciais
Veja como calcular as reações de apoio em um pórtico tridimensional.
_C.4_
http://www.labbas.eng.uerj.br/pgeciv/nova/files/dissertacoes/07.pdf
pdf 151p dissertacao mestrado Uerj 2006
http://www.pintoengenharia.com.br/wp-content/uploads/2012/11/Análise-Elástica.pdf
https://youtu.be/447VCBYYrpk
13min
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Reações de apoio em vigas
A seguir, você verá uma maneira muito simples e prática de calcular reações de apoio em vigas 
biapoiadas.
https://youtu.be/yCWu7lQKA-k
10min
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E CRÉDITOS DE IMAGENS
ALMEIDA, M. C. F. de. Estruturas isostáticas. São Paulo: Oficina de Textos,2009.
MARTHA, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: Campus,
2010.
SORIANO, H. L. Estática das estruturas. 2. ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2010.
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Aplicações em estruturas formadas por elementos
bidimensionais e tridimensionais
Apresentação
Um engenheiro ou arquiteto envolvido no projeto de infraestrutura – como prédios, pavilhões, 
viadutos, pontes, torres de comunicação, entre outros – estará constantemente tomando decisões 
técnicas sobre sistemas estruturais. Portanto, deve-se conhecer e identificar as diferentes 
aplicações na vida real das estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais. As 
estruturas, ou sistemas estruturais, são disposições racionais e adequadas de diversos elementos 
estruturais. Os corpos sólidos deformáveis com capacidade de receber e transmitir solicitações em 
geral são classificados como elementos estruturais.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai aprender a identificar as estruturas formadas em duas e 
três dimensões na engenharia. Além disso, vai estudar as aplicações de estruturas em 2D e 3D, 
como os pórticos aplicados em edificações, as estruturas apoiadas que podem representar uma 
viga, uma viga em balanço que representa uma sacada, um reservatório de água tridimensional 
representado por um paralelepípedo ou um cilindro estrutural e demais aplicações nas engenharias 
civil, de produção, mecânica e ambiental. 
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar o que são estruturas lineares.•
Reconhecer os elementos bidimensionais e tridimensionais no campo estrutural.•
Relacionar os elementos bidimensionais e tridimensionais com aplicações na engenharia.•
_C.5_
AULA C.5
1.1 - Princípios gerais
1.2 - Equilíbrio de forças
2.1 - Forças internas em elementos estruturais
2.2 - Diagramas de Solicitações Internas
3.1 - Classificação das Estruturas e Cálculo do Grau de 
Hiperestaticidade
3.2 - Estruturas planas carregadas fora do seu plano
4.1 - Estruturas tridimensionais
4.2 - Formulação matricial
__ C.1 Matriz de flexibilidade
__ C.2 Arcos
__ C.3 Treliças
__ C.4 Arranjos reticulados
__ C.5 Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e 
tridimensionais
__ C.6 Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
__ C.7 Aplicações em estruturas reticuladas
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Desafio
Tipicamente, na construção civil, o engenheiro civil/estrutural deve saber identificar e classificar os 
elementos estruturais, para, posteriormente, dimensioná-los. Imagine que você é o encarregado 
pela construção de um prédio comercial e assumiu essa tarefa após o engenheiro anterior ser 
dispensado.
Na documentação que foi entregue a você, muitos arquivos estão incompletos. Entre os itens que 
você ainda não encontrou, está a identificação dos elementos. Antes de prosseguir o trabalho, você 
deve colocar tudo em ordem.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Aproveitando a imagem de uma edificação de dois pavimentos, com todos os elementos 
estruturais, desde a fundação até a cobertura, que estava entre os arquivos, identifique qual dos 
elementos é bidimensional e tridimensional e justifique sua resposta de cada elemento identificado.
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elm = aguardar gabarito.
elm = link do conteúdo não funciona!
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Infográfico
A identificação de aplicação em estruturas conhecidas e muito usuais na vida real é essencial. As 
estruturas lineares podem ser bidimensionais ou tridimensionais, dependendo do arranjo das 
barras, ou seja, são analisadas segundo hipóteses estabelecidas na resistência dos materiais e na 
estática das estruturas, observando-se, naturalmente, os aspectos peculiares de cada uma.
No Infográfico a seguir, você vai ver as aplicações e a classificação dos elementos estruturais 
bidimensionais e tridimensionais.
_C.5_
Lembre-se: bidimensional é formado por duas dimensões: altura e largura, em que d é considerado 
para fins de cálculo, sendo plano em sua essência. Ele é apenas um ente ideal (teórico), pois, no 
mundo real, qualquer superfície palpável é formada por pelo menos três dimensões. Tridimensional 
é definido com três dimensões: altura, profundidade e largura, as quais devem ser levadas em 
consideração no cálculo da estrutura, o que, na prática, indica o relevo.
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Conteúdo do livro
As estruturas, também denominadas de sistemas estruturais, devem ser entendidas como 
disposições racionais e adequadas de diversos elementos estruturais. Os corpos sólidos 
deformáveis com capacidade de receber e de transmitir solicitações em geral são classificados 
como elementos estruturais. No capítulo Aplicações em estruturas formadas por elementos 
bidimensionais e tridimensionais, da obra Teorias das estruturas, você vai ver definições básicas das 
estruturas, mostrando os tipos de estruturas existentes na engenharia civil, como estruturas 
lineares, de superfície e volumétricas.
https://sagah.com.br/gabaritos/TEORIA_ESTRUTURAS.pdf
_C.5_
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Highlight
SUMÁRIO 
Unidade 1 
Conceitos fundamentais ......................................................................... 13 
Douglas Andrini Edmundo 
Sistemas estruturais .................................................................................................................................. 13 
Princípios básicos da estática das estruturas ............................................................................ 27 
Apoios e vínculos ....................................................................................................................................... 29 
Matriz de flexibilidade ............................................................................. 51 
Douglas Andrini Edmundo 
Método da flexibilidade ......................................................................................................................... 52 
Análise estrutural ........................................................................................................................................ 61 
Elementos da matriz de flexibilidade ............................................................................................ 70 
1Vigas1 ............................................................................................................. 77 
Douglas Andrini Edmundo 
Conceito de vigas ...................................................................................................................................... 77 
Esforços solicitantes .................................................................................................................................. 79 
Diagramas de esforços solicitantes ................................................................................................. 91 
Pórticos 1 ....................................................................................................... 97 
Douglas Andrini Edmundo 
Pórticos ............................................................................................................................................................ 97 
Esforços solicitantes ................................................................................................................................ 101 
Diagramas de esforços solicitantes ............................................................................................... 111 
Arcos ............................................................................................................ 115 
Douglas Andrini Edmundo 
Comportamento estrutural dos arcos ........................................................................................ 115 
Principais tipos de arcos ....................................................................................................................... 119Cálculo das reações de apoio e esforços solicitantes ........................................................ 121 
Treliças ......................................................................................................... 133 I 
Rossana Piccoli 
Treliças e estaticidade ............................................................................................................................ 133 
Classificação de treliças quanto à formação .......... .... ....... ...................... .... ....... ........ 140 
Determinação dos esforços em treliças ..................................................................................... 143 
Unidade 2 
Formulação matricial ............................................................................. 155 
Douglas Andrini Edmundo 
Métodos mat riciais para análise de estruturas ...................................................................... 155 
Análise de uma estrutura indeterminada ................................................................................ 158 
Condições de contorno ....................................................................................................................... 158 
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1 Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças ............................ 165 1 
Fernando Cuenca Rojas 
Determinação de reações de apoio nas estruturas 
pelo método matricial ..................................................................................................................... 165 
Matriz de rigidez ..................................................................................................................................... 166 
Método de rigidez e flexibilidade .................................................................................................. 177 
Apl icação do método da flexibilidade para estruturas 
isostáticas e hiperestáticas ........................................................................................................... 180 
Conceitos básicos de métodos dos elementos finitos ............... 191 
Douglas Andrini Edmundo 
Métodos dos elementos finitos ....................................................................................................... 192 
l Matriz de rigidez ....................................................................................................................................... 195 
Solução de sistemas lineares ............................................................................................................. 1~ 
1 Aplicações em estruturas reticuladas ............................................. 203 1 
Douglas Andrini Edmundo 
Concepção estrutural ........................................................................................................................... 203 
Geração de malhas ................................................................................................................................. 204 
Equações de equilíbr io e matriz de rig idez ............................................................................. 210 
Aplicações em estruturas formadas por 
elementos bidimensionais e tridimensionais ............................... 21 5 
Fernando Cuenca Rojas 
Definições básicas das est ruturas .................................................................................................. 216 
L Estruturas de superfície ...................................................................................................................... 2~ 
!unidade 3 
Vigas li ......................................................................................................... 241 
Diego Guimarães 
Viga com cargas distribuídas em forma triangular ............................................................. 241 
Diferenciar momento fletor e esforço cortante e suas relações ............................... 244 
Resolver os cálculos da força normal, do esforço cortante 
e do momento fletor e traçar os diagramas ...................................................................... 247 
Vigas 111 ....................................................................................................... 255 
Diego Guimarães 
Analisar o comportamento estrutural de vigas ................................................................... 255 
Cálculo das solicitações internas: método das equações ............................................. 263 
LResolução do cálculo do ponto de momento máximo ................................................. 2~ 
Fundamentos do processo de Cross ............................................... 277 
Diego Guimarães 
Definição do funcionamento do método de Cross .......................................................... 277 
Interpretação física do processo de Cross ............................................................................... 281 
Descrição da distribuição dos momentos fletores em um nó ................................... 282 
Cargas móveis em estruturas isostáticas -
linhas de influência 1 ............................................................................. 291 
Fernanda Dresch 
Cargas móveis ........................................................................................................................................... 292 
Importância do estudo das linhas de influência ................................................................ 294 
Traçado da linha de influência referente às reações de apoio, 
ao esforço cortante e ao momento fletor .......................................................................... 299 
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Estruturas tridimensionais .................................................................. 309 
Diego Guimarães 
Estrutura tridimensionais .................................................................................................................... 309 
Trel iças ............................................................................................................................................................. 314 
Grelhas e pórticos espaciais ............................................................................................................... 317 
Unidade4 
Equilíbrio de forças ................................................................................ 325 
Diego Guimarães 
Forças atuantes ........................................................................................................................................ 325 
Estruturas: hipostática, isostática e hiperestática ................................................................ 331 
Impactos da aplicação de uma força em um corpo ......................................................... 334 
Diagramas de solicitações internas ................................................. 341 
Rossana Piccoli 
Convenção para o traçado dos diagramas de solicitações internas ..................... 341 
Diagrama de esforços solicitantes ............................................................................................... 353 
Análise dos diagramas .......................................................................................................................... 357 
Estruturas planas carregadas fora do seu plano ......................... 363 
Douglas Andrini Edmundo 
Estruturas planas ...................................................................................................................................... 363 
Carregamentos fora do plano da estrutura ............................................................................ 366 
Cálculo das cargas perpendiculares ao plano da estrutura ......................................... 373 
Arranjos reticulados .............................................................................. 379 
Douglas Andrini EdmundoTipos de estruturas reticuladas e eixos de referência ...................................................... 379 
Eixos globais, eixos locais e esforços internos ....................................................................... 384 
Como determinar os tipos de esforços internos nas barras ......................................... 386 
Gabaritos ..................................................................... 392 
Conceitos fundamentais Matriz de flexibilidade Vigas 1 Pórticos 1 !Arcos 1 iTreliças 
1. b 1. b 1. a 1. d 1. d 1. e 
2. e 2. d 2. e 2. a 2. e 2. a 
3. b 
3. a 3. e 3. e 3. d 
4. e 3. e 
5. d 
4. b 4. b 4. b 4. e 4. d 
S. e S. e S. e Ls. e S. a 
1. e 
2. e 
3. a 3. d 
4. d 
5. a 
4. b 
5. a _J 
Aplicações em estruturas formadas por elementos 
bidimensionais e tridimensionais 
Vigas li Vigas Ili Fundamentos do processo de Cross 
1. a 1. e 1. e 
2. e 2. b 
3. d 3. e 
4. b 4. a 
5. e 5. d 
2. a 
3. e 
4. a 
1. b 
2. e 
3. b 
Ll ~ _J li d 
Formulação matricial 
1. d 
2. e 
3. a 
4. a 
S. e 
3. e 
4. a 
5. b 
Cargas móveis em estruturas isostáticas - linhas de Estruturas tridimensionais Equilíbrio de forças Diagramas de solicitações internas 
influência 1 
1. d 
2. a 
3. e 
4. b 
5. e 
[Estruturas planas carregadas fora do seu plano J 1. e 
2. d 
m 
1. d 
2. a 
3. e 
4. e 
5. b 
1. e 1. d 
2. e 2. a 
3. e 3. d 
4. b 4. e 
5. b 5. b 
Arranjos reticulados ] i. b 
2. e 
3. e 
4. d 
5. a 
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Aplicações em estruturas 
formadas por elementos 
bidimensionais e 
tridimensionais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Entender o que são estruturas lineares.
 � Reconhecer os elementos bidimensionais e tridimensionais no campo 
estrutural.
 � Identificar os elementos bidimensionais e tridimensionais e correla-
cioná-los com aplicações na engenharia.
Introdução
Um engenheiro ou arquiteto envolvido no projeto de infraestruturas 
de prédios, pavilhões, viadutos, pontes, torres de comunicação estará 
constantemente tomando decisões técnicas sobre sistemas estruturais. 
Deve, portanto, conhecer e identificar as diferentes aplicações na vida real 
das estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais.
Neste capítulo, você aprenderá a identificar as aplicações de estruturas 
formadas em duas e três dimensões na construção civil. Você estudará 
aplicações de estruturas em 2D e 3D, como os pórticos aplicados em edi-
ficações, estruturas simplesmente apoiadas que podem representar uma 
viga, uma viga em balanço que representa uma sacada, um reservatório 
de água tridimensional representado por um paralelepípedo ou cilindro 
estrutural e demais aplicações na engenharia civil, mecânica, ambiental, 
de produção, entre outras.
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Adm
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Definições básicas das estruturas
As estruturas, também denominadas de sistemas estruturais, devem ser 
entendidas como disposições racionais e adequadas de diversos elementos 
estruturais. Classificam-se como elementos estruturais os corpos sólidos 
deformáveis com capacidade de receber e de transmitir solicitações em geral.
Segundo Jansen (2010), esses elementos, em função das suas três dimensões 
externas principais, podem ser divididos em três categorias:
 � Quando duas dimensões são da mesma ordem de grandeza e bem me-
nores que a terceira dimensão, tem-se o elemento estrutural linear, 
sendo o mais comum denominado barra (reta ou curva). São vigas, 
colunas, pilares, escoras, tirantes, nervuras, entre outros, ditos elemen-
tos unidimensionais.
 � Quando duas dimensões são da mesma ordem de grandeza e bem 
maiores que a terceira dimensão, tem-se o elemento estrutural de su-
perfície. Entre os existentes, podem ser mencionados os elementos de 
superfície denominados folha, placa, chapa e casca — os elementos 
bidimensionais.
 � Quando as três dimensões são da mesma ordem de grandeza, isto é, 
sem a predominância de uma dimensão sobre as outras, tem-se o ele-
mento estrutural de volume, também denominado bloco ou elemento 
tridimensional.
Estruturas lineares
As estruturas lineares, também conhecidas como unidimensionais (reticula-
res), são estruturas compostas por elementos unidimensionais, ou seja, em 
que o comprimento prevalece sobre as outras dimensões. As Figuras 1, 2 e 3 
apresentam um pórtico, uma treliça e uma grelha, respectivamente.
Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais2
Figura 1. Exemplo de um pórtico – estrutura unidimensional ou linear.
Fonte: Nakao (2010).
20 kN
DC
10
 k
N
/m
A B
6 m
B’
10 kN
2 
m
4 
m
Figura 2. Exemplo de uma treliça – estrutura unidimensional ou linear.
Fonte: Battisti (2013).
3 m
4 m 4 m 4 m 4 m
C E G H
A
B
D
F 3 kN3 kN
6 kN 6 kN
6 kN
1.2 m
3Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais
Figura 3. Exemplo de uma grelha – estrutura bidimensional, constituída por 
elementos lineares.
Fonte: Guterres (2013).
As estruturas formadas por uma ou mais barras são denominadas de es-
truturas lineares. Destacam-se entre elas:
 � vigas;
 � pilares;
 � treliças;
 � arcos;
 � pórticos;
 � grelhas.
Nas estruturas de concreto armado, em edificações, as vigas são elementos 
estruturais que suportam as ações oriundas das lajes e das paredes, e são 
apoiadas nos pilares que transmitem as referidas ações para as fundações (veja 
a Figura 4). As treliças consistem em outro tipo de estrutura linear e em geral 
são construídas com madeira, aço ou alumínio. São largamente empregadas 
em coberturas, pontes e passarelas (Figuras 5 e 6).
Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais4
Adm
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Adm
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Figura 4. Elementos estruturais principais de uma 
edificação – vários tipos de elementos lineares, bidi-
mensionais e tridimensionais.
Fonte: Watanabe (2017).
Viga
Laje
Pilar
Estacas
Bloco da
fundação
Figura 5. Treliça aplicada em coberturas – bidimensional.
Fonte: Padrão (2017).
5Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais
Figura 6. Treliças aplicadas em pontes e passarelas – bidimensional.
Fonte: Pedreira (2016) e Fabricação (2014).
As estruturas lineares podem ser bidimensionais ou tridimensionais, de-
pendendo do arranjo das barras. São analisadas segundo hipóteses estabele-
cidas na resistência dos materiais e na estática das estruturas, observando-se, 
naturalmente, os aspectos peculiares de cada uma.
Aplicações dos elementos lineares
Tirantes
Os tirantes são elementos unidimensionais que sofrem esforços predominan-
tes de tração. Eles podem ser aplicados em contraventamentos de pórticos 
(Figura 7), tirantes superiores em pontes estaiadas (Figura 8) e gruas de alta 
tonelagem (Figura 9).
Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais6
Adm
Line
Adm
Line
Figura 7. Estrutura metálica bidimensional com contraventamentos: ti-
rantes – unidimensional.
Fonte: Projecto (2017).
Esforços predominantes
N Tirante N
Tração
Figura 8. Ponte Anita Garibaldi, maior ponte estaiada no Brasil – ponte 
tridimensional e tirantes unidimensionais. 
Fonte: Projeto (2015).
7Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais
Figura 9. Sistema de grua com tirantes para levantamento de pesos elevados 
– tirantes unidimensionais.
Fonte: Gruas (2016).
Vigas
São estruturas lineares, dispostas horizontalmente ou inclinadas, com um ou 
mais apoios. Os principais tipos de vigas são:
 � viga em balanço;
 � viga simplesmente apoiada.
A viga em balanço tem como característica estrutural um só apoio (neces-
sariamente um engaste fixo). Ela se aplica a tetos nas entradas de residências, 
sacadas ou marquises em edificações, obras de arte decorativas, espaços 
esportivos para gerar sombra, entre outros (Figura 10).
A viga simplesmenteapoiada é aquela que possui um apoio fixo e um 
apoio móvel. Suas aplicações são muitas: vigas estruturais nos pavimentos 
das edificações, residências, estádios, pontes, muros de arrimo, pavilhões, 
estruturas metálicas, entre outras. Veja alguns exemplos nas Figuras 11, 12 e 13.
Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais8
Figura 10. Aplicações da viga em balanço: artes decorativas, marquise ou sacada em 
edificações – viga linear e marquise bidimensional.
Fonte: Leite (2015), Tozzi (2017) e Martins (2013).
Marquise Pórtico
Figura 11. Aplicação de vigas de concreto armado em edificações – vigas 
lineares e edificação tridimensional.
Fonte: Estrutura (2013).
9Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais
Figura 12. Viga em concreto protendido em U para construção de ponte 
– unidimensional.
Fonte: Olmet (2017).
Figura 13. Viga metálica aplicada em estrutura de pavilhão industrial – unidimensional.
Fonte: Chan (2013).
Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais10
Pilares
Os pilares são elementos lineares submetidos a compressão e a momentos 
fletores. As aplicações desses elementos são diversas: residências, edificações, 
pontes, muros de arrimo, estádios, estruturas pré-fabricadas, etc. Observe as 
Figuras 14 a 18, que trazem alguns exemplos de pilares.
Figura 14. Pilares aplicados em edificações ou residências 
– unidimensional.
Fonte: Pilar (2010).
Figura 15. Pilares de grandes dimensões em pontes – unidimensional.
Fonte: Congress (2016).
11Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais
Figura 16. Pilares aplicados em muros de divisão e arrimo – unidimensional.
Fonte: Ampliada (2013).
Figura 17. Pilares aplicados em estruturas de estádios – unidimensional.
Fonte: Estádio (2017).
Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais12
Figura 18. Pilares aplicados em estruturas pré-fabricadas 
– unidimensional.
Fonte: Estruturas (2017).
Estruturas de superfície 
Utiliza-se uma estrutura formada com elementos bidimensionais para simpli-
ficar a análise estrutural e conseguir um melhor entendimento dos esforços 
na estrutura. As estruturas bidimensionais são aquelas nas quais duas de suas 
dimensões prevalecem sobre a terceira. Exemplos de estruturas bidimensionais 
são laje, paredes e cascas.
As lajes e as paredes, embora geometricamente semelhantes, recebem 
denominações diferentes em função da direção das ações. Nas lajes, as forças 
atuantes são perpendiculares ao plano da estrutura; já nas paredes, as forças 
atuantes permanecem ao plano da estrutura. Como a maioria das forças que 
atuam nas edificações advém da ação da gravidade sobre os corpos, as lajes 
são elementos estruturais horizontais ou inclinados, e as paredes são elementos 
estruturais verticais.
A aplicação mais usual das estruturas bidimensionais é apresentada na 
Figura 19.
13Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais
Figura 19. Elementos estruturais bidimensionais.
Fonte: Jansen (2010).
Lajes Cascas Paredes
As estruturas de superfície, também conhecidas como laminares ou bidi-
mensionais, ficam definidas quando se conhecem a sua superfície média e a 
lei de variação da sua espessura. Entre as estruturas laminares, destacam-se 
as placas, as chapas e as cascas.
As cascas são amplamente empregadas em coberturas de grandes vãos e 
em reservatórios, enquanto as placas litoides (lajes) aparecem muito frequen-
temente em pisos de edifícios e tabuleiros de pontes.
Definições de estruturas de superfície, bem como seus principais esquemas 
geométricos e de carregamento, são mostrados na Figura 20.
Figura 20. Elementos estruturais em uma edificação: aplicação de ele-mentos bidimensionais e tridimensionais.
Fonte: Deifeld (2013).
Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais14
As aplicações típicas das estruturas bidimensionais ou de superfície no dia a dia, na 
engenharia civil, são lajes pré-fabricadas, cúpulas, paredes ou muros de divisão. Observe 
alguns exemplos nas Figuras 21, 22 e 23.
Figura 21. Laje pré-fabricada, montagem NBR 14859 – bidimensional.
Fonte: Laje (2016).
Figura 22. Aplicação de cascas em cúpulas de concreto armado, planetário 
– bidimensional.
Fonte: Cúpula (2017).
15Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais
Figura 23. Aplicação de uma estrutura bidimensional em muros de divisão e arrimo 
– bidimensional.
Fonte: Arrimo (2014).
Aplicações dos elementos de superfície bidimensionais 
As placas possuem uma carga perpendicular ao plano, por exemplo, uma laje 
de um edifício. Observe a distribuição de cargas na Figura 24.
Figura 24. Distribuição de cargas em uma laje de edifício.
Fonte: Jansen (2010).
My
Mx
Lajes Lajes
PilarViga baixa
Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais16
As chapas são outra aplicação de estruturas bidimensionais. As cargas 
encontram-se dentro do mesmo plano da chapa, por exemplo, em paredes 
de alvenaria estrutural, reservatórios, viga parede, entre outros. Veja alguns 
exemplos nas Figuras 25 e 26.
Figura 25. Chapas de concreto armado: aplicações de elementos 
bidimensionais.
Fonte: Jansen (2010).
Paredes
Figura 26. Reservatório de concreto armado – tridimensional.
Fonte: Reservatório (2017).
17Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais
As cascas também são uma aplicação em que a carga é perpendicular ao 
plano e dentro do plano. Um exemplo são as membranas. Veja a sua aplicação 
na Figura 27.
Figura 27. Cascas ou membranas em cúpulas de concreto armado, balões ae-
rostáticos e estruturas curvas – tridimensionais.
Fonte: Jansen (2010).
Segundo Hibbeler e Vianna (2013), quando é necessário que o vão de uma estrutura 
seja grande e sua altura não é um critério importante para o projeto, uma treliça pode 
ser escolhida. Treliças consistem em elementos delgados, normalmente dispostos de 
maneira triangular. As treliças planas são compostas por membros que se encontram 
no mesmo plano e são frequentemente usadas para o suporte de pontes e tetos, 
enquanto treliças espaciais têm elementos que se estendem em três dimensões e 
são adequadas para guindastes e torres.
Devido ao arranjo geométrico dos seus membros, cargas que fazem a treliça inteira 
se curvar são convertidas em forças de tração ou compressão nos membros. Por isso, 
uma das vantagens fundamentais de uma treliça, comparada a uma viga, é que ela 
usa menos material para suportar determinada carga (Figura 28). 
Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais18
Figura 28. A carga faz a treliça se curvar, o que desenvolve compressão nos 
membros do topo e tração nos membros de baixo – elemento bidimensional 
na treliça e tridimensional na ponte em geral.
Fonte: Hibbeler e Vianna (2013).
Uma treliça também é construída de elementos longos e delgados, que podem ser 
arranjados de várias maneiras para suportar uma carga. Com frequência, é economi-
camente viável usar uma treliça para cobrir vãos de 9 m a 122 m — ainda que treliças 
também possam ser usadas ocasionalmente para vãos de comprimentos maiores.
Para reforçar seus conhecimentos até agora, recomendamos a leitura do primeiro 
capítulo do livro “Análise de estruturas”, intitulado “Tipos e classificação das estruturas” 
(HIBBELER; VIANNA, 2013).
Para saber mais, você pode acessar a página interativa que apresenta tudo sobre teoria 
das estruturas (ARAGÃO FILHO, 2001), disponível em:
https://goo.gl/8BBXU5
Estruturas formadas por elementos tridimensionais
Também conhecidas como elementos de volume, são estruturas maciças em 
que as três dimensões se comparam. Exemplos de estruturas tridimensionais 
são blocos de fundações, blocos de coroamento de estacas e estruturas de 
barragens (JANSEN, 2010).
19Aplicaçõesem estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais
http://aquarius.ime.eb.br/~moniz/isostatica.htm
pág internet, notas de aula Teoria das Estruturas I.
As estruturas de volume (bloco) são elementos comumente empregados em 
fundações das construções, com a finalidade de transmitir ao solo as ações 
da supraestrutura. Nas Figuras 29, 30 e 31, você encontra alguns exemplos 
de blocos.
Figura 29. Bloco de estaca – tridimensional.
Fonte: Critérios (2017).
Tirante
Biela
Figura 30. Blocos de fundação – tridimensional.
Fonte: PET Civil (2016).
Bloco em degraus Bloco comum
Blocos
Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais20
Figura 31. Barragens geradoras de energia elétrica – tridimensional.
Fonte: Sturm (2005).
Usina hidrelética
Linhas de 
distribuição
de energiaCasa de força
Gerador
Turbina
Rio
Duto
Canal
Reservatório
Na Figura 32, são apresentados dois esquemas de estruturas. Explique a aplicação do 
modelo estrutural na vida real, apresente alternativas de aplicação e identifique o tipo 
de elemento bidimensional ou tridimensional.
Figura 32. Treliças compostas – bidimensionais.
Fonte: Santos (2010).
c
1
1
2
3
21Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais
Solução:
O Esquema 1 é um elemento estrutural bidimensional, que pode ser aplicado como:
 � base metálica nas torres de telecomunicações;
 � tesoura de pavilhão industrial sofisticada.
O Esquema 2 é um elemento bidimensional, aplicado em:
 � torres de telecomunicação;
 � torres de decoração em praças;
 � antenas metálicas;
 � partes ou seções de pontes.
É importante ressaltar que os elementos de barras que formam a treliça são triângulos, 
estruturas muito estáveis e com melhor distribuição de esforços.
1. Dada as estruturas em forma de 
treliça e em grelha abaixo, quais 
tipos de sistema de estrutura 
estão representados?
10
 c
m
DCBA
E
10 cm10 cm10 cm
F
a) Estruturas unidimensional 
e bidimensional.
b) Estruturas bidimensional 
e bidimensional.
c) Estruturas bidimensional 
e tridimensional.
d) Estruturas linear e tridimensional.
e) Estruturas de volume 
e tridimensional.
2. A figura abaixo apresenta uma 
grua para levantamento de cargas 
pesadas. Dentro da estrutura da 
grua há elementos metálicos, 
como treliças e tirantes. Os tirantes 
representam estruturas de 
qual tipo?
a) Estruturas bidimensionais.
b) Estruturas unidimensionais 
e bidimensionais.
c) Estruturas unidimensionais.
d) Estrutura tridimensional.
e) Estrutura com esforço 
a compressão.
3. Na figura abaixo, são apresentados 
vários tipos de perfuração de 
estacas, entre elas a estaca broca 
e a espiral. Segundo seu critério, 
haverá a possibilidade de que 
alguma delas seja uma estrutura 
Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais22
bidimensional na obra?
Posicionamento 
do guindaste e 
colocação de 
camisa guia
Perfuração
da estaca
Desarenação
ou troca da
lama
Colocação 
de armadura
Concretagem
da estaca
a) Sim, quando a estaca 
for concretada.
b) Não, pois todas elas serão 
tridimensionais. 
c) Sim, as armaduras e a estaca 
são bidimensionais. 
d) Sim, as estacas são 
bidimensionais e 
unidimensionais. 
e) É possível que elas se 
transformem em bidimensionais.
4. Na figura abaixo temos cinco tipos 
de pontes em duas dimensões. 
Cada uma das pontes representa 
também estruturas bidimensionais?
1 2
5
4
3
a) Não, elas só representam 
estruturas unidimensionais.
b) Não, elas só podem ser 
bidimensionais. 
c) Não, elas são elementos 
de treliça. 
d) Sim, todas elas. 
e) A metade das estruturas, 
sim; a outra metade, não.
5. Os pilares são elementos lineares 
submetidos à compressão e 
a momentos fletores. Quais 
são suas aplicações?
a) Somente em barragens 
tridimensionais.
b) Somente em residências 
e edificações.
c) Em residências, edificações, 
pontes, muros de arrimo, 
estádios, estruturas 
pré-fabricadas.
d) Em tirantes.
e) Em vigas.
23Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais
AMPLIADA. Pré-moldados Sampaio, Betim, 2013. Disponível em: <http://www.pre-
moldadossampaio.com.br/images/produtos/13/ampliada/733f3d03eb793c70a85f7
6145c0fc25d28092016163425.jpg>. Acesso em: 16 nov. 2017.
ARAGÃO FILHO, L. A. C. M. Teoria das Estruturas I. Rio de Janeiro: COPPE/UFRJ, 2001. 
Disponível em: <http://aquarius.ime.eb.br/~moniz/isostatica.htm>. Acesso em: 16 
nov. 2017.
ARRIMO. Construindo Decor, 2014. Disponível em: <http://construindodecor.com.br/
wp-content/uploads/2014/09/arrimo-2.jpg>. Acesso em: 16 nov. 2017.
BATTISTI, C. Física. CESB Engenharia, Maringá, 2013. Disponível em: <https://cesben-
genharia.files.wordpress.com/2013/03/trelic3a7as.jpg>. Acesso em: 16 nov. 2017.
CHAN. Metroquadrado: residência da araucária, Urubici. Projeto Design, São Paulo, 
n. 420, 2013. Disponível em: <https://arcoweb.com.br/projetodesign/arquitetura/
metroquadrado-residencia-urubici-sc>. Acesso em: 20 nov. 2017.
CONGRESS WBN. St. Joseph, 2016. Disponível em: <https://plus.google.
com/+CongressWBNOfficial>. Acesso em: 20 nov. 2017.
CRITÉRIOS de dimensionamento de bloco de fundação adotados pelo Eberick. Alto 
QI, Florianópolis, 2017. Disponível em: <http://faq.altoqi.com.br/images/uploads/
Eberick/Dimensionamento%20da%20Estrutura/Criterios_de_dimensionamento_
de_blocos_de_fundacao_adotados_pelo_Eberick_e.gif>. Acesso em: 16 nov. 2017.
CÚPULA de concreto. Fulldome-planetarium, Londrina, 2017. Disponível em: <http://
www.fulldome-planetarium.com/cupula-de-concreto>. Acesso em: 20 nov. 2017.
DEIFELD, T. E.C. Estruturas de Concreto Armado I. Ebah, Bagé, 2013. Disponível em: 
<http://www.ebah.com.br/content/ABAAAgDqkAB/aula-02-estruturas-concreto-
-armado-i-2013-1>. Acesso em: 20 nov. 2017.
ESTÁDIO Mane. Portal Metálica, 2017. Disponível em: <http://wwwo.metalica.com.br/
images/stories/Id5287/estadio_mane_01.jpg>. Acesso em: 16 nov. 2017. 
ESTRUTURA de concreto. Blog Construir, 2013. Disponível em: <http://blog.construir.arq.
br/wp-content/uploads/2013/10/estrutura-de-concreto.jpg>. Acesso em: 16 nov. 2017.
ESTRUTURAS Pré-fabricadas. VTN, São José dos Campos, 2017. Disponível em:<http://
www.vtn.com.br/pre-moldados-e-fundacoes/estrutura-pre-fabricada/index.php>. 
Acesso em: 16 nov. 2017.
FABRICAÇÃO de passarelas metálicas 4. Móbile Estruturas Metálicas, Uberlândia, 2014. 
Disponível em: <http://mobileestruturas.com.br/projetos/fabricacao-de-passarelas-
-metalicas-4/>. Acesso em: 20 nov. 2017. 
Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais24
GRUAS com tirantes médios. Portal dos equipamentos, São Paulo, 2016. Disponível em: 
<https://www.portaldosequipamentos.com.br/cls/anuncios/pes_43560/gruas-com-
-tirante-med.jpg>. Acesso em: 16 nov. 2017.
GUTERRES, A. Isostatica. Ebah, Canoas, 2013. Disponível em: <http://www.ebah.com.
br/content/ABAAAfTSEAD/isostatica>. Acesso em: 20 nov. 2017.
HIBBELER, R. C.; VIANNA, P. Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2013. 
JANSEN, R. Teoria das estruturas 1. Blumenau: Furb, 2010. 115 p. Disponível em: <https://
www.passeidireto.com/arquivo/3995136/apostila---teoria-das-estruturas-1>. Acesso 
em: 10 out. 2017.
LAJE de concreto pré-fabricada. AEC Web, São Paulo, 2016. Disponível em: <https://
www.aecweb.com.br/tematico/img_figuras/laje-de-concreto-pre-fabricada$$12017.
jpg>. Acesso em: 16 out. 2017.
LEITE, G. F. T. O Balanço na Arquitetura. Futura Arquitetura, 2015, Disponível em: <https://
futuraarquiteta.wordpress.com/tag/apoio-fixo/>. Acesso em: 20 nov. 2017.
MARTINS, J. Conceitos estruturais. Equipe de obra, São Paulo, n. 59, 2013. Disponível 
em: <http://equipedeobra.pini.com.br/construcao-reforma/59/conceitos-estruturais-
-conheca-e-entenda-como-funcionam-alguns-dos-284523-1.aspx>. Acesso em: 20 
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NAKAO, O. S.Resistência dos materiais. São Paulo: Escola Politécnica/USP, 2010. Dispo-
nível em: <http://www.lem.ep.usp.br/membros/nakao/pef215/revisao/revisaop1.html>. Acesso em: 16 nov. 2017.
OLMET. Бетонные элементы. WorldBuild 365, Moscou, 2017. Disponível em: <https://
russian.worldbuild365.com/product/d21n0uxeh/beton-ukreplyayushchie-tekhnologii-
-sypuchie-materialy/betonnye-elementy>.Acesso em: 20 nov. 2017.
PADRÃO. Coberturas Padrão. São Paulo, 2017. Disponível em: <http://www.cobertu-
raspadrao.com.br/data/images/coberturas-e-telhados-fotos-estruturas-metalicas3.
jpg>. Acesso em: 16 nov. 2017.
PEDREIRA, L. Uma Ponte Ferroviária Metálica e a história da cidade cearense de Iguatu. 
Norteando você, 2016. Disponível em: <https://www.norteandovoce.com.br/turismo/
uma-ponte-ferroviaria-metalica-e-historia-da-cidade-cearense-de-iguatu/>. Acesso 
em: 20 nov. 2017. 
PET CIVIL. Civilização Engenharia, Florianópolis, 2016. Disponível em: <https://civi-
lizacaoengenheira.files.wordpress.com/2016/10/download-1.jpg?w=294&h=220>. 
Acesso em: 16 nov. 2017.
PILAR. Premart, São Paulo, 2013. Disponível em: <http://www.premart.com.br/Content/
imagens/produtos/pilar2.jpg>. Acesso em: 16 nov. 2017.
25Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais
PROJECTO de Estabilidade de Pavilhão Metálico para Albergaria – A velha – Portugal. 
Força Exponencial, Pombal, 2017. Disponível em: <http://www.forcaexponencial.com/
portfolio/projecto-de-estabilidade-de-pavilhao-metalico-para-albergaria-a-velha-
-portugal/>. Acesso em: 16 nov. 2017.
PROJETO Ponte Anita Garibaldi. Estrutura de comunicação, Florianópolis, 2015. Disponí-
vel em: <http://www.estruturadecomunicacao.com.br/wp-content/uploads/2015/01/
Projeto-Ponte-Anita-Garibaldi-600x398.jpg>. Acesso em: 16 nov. 2017.
RESERVATÓRIO de concreto. MF Rural, Marília, 2017. Disponível em: <https://
s3.amazonaws.com/mfrural-produtos-us/5791-114053-428257-reservatorio-de-
-concreto.jpg>. Acesso em: 16 nov. 2017.
SANTOS, E. D. A. Resistência dos Materiais. Ebah, São Cristóvão, 2010. Disponível em: 
<http://www.ebah.com.br/content/ABAAABHD0AC/resistencia-dos-materiais-trelicas-
-cisalhamento-torcao-flambagem>. Acesso em: 20 nov. 2017.
STURM. Hydroelectric dam portuguese. Wikimedia Commons, San Francisco, 2005. 
Disponível em: <https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hydroelectric_dam_por-
tuguese.PNG>. Acesso em: 16 nov. 2017.
TOZZI, D. Monument in Villa-Lobos Park. Architectuul, 2017. Disponível em: <http://ar-
chitectuul.com/architecture/monument-in-villa-lobos-park>. Acesso em: 20 nov. 2017.
WATANABE, R. M. Concreto estrutura. Ebanataw, São Paulo, 2017. Disponível em: <http://
www.ebanataw.com.br/roberto/concreto/estrutura1.JPG>. Acesso em: 11 nov. 2017.
Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e tridimensionais26
Dica do professor
Cada elemento tem – e deve ter – uma função estrutural em um conjunto de elementos para 
suportar as cargas permanentes e variáveis. A transmissibilidade dos esforços para os apoios é 
realizada pelos elementos por meio de interações interna e externa. Na Dica do Professor, você vai 
conhecer as aplicações dos elementos unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais nas 
estruturas.
_C.5_
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/
a64cb298e88e4655a31b0c7c56da27a4
2min40
Adm
Pencil
Exercícios
1) Nas figuras a seguir, é apresentada uma estrutura em forma de treliça e em grelha. Analise e
indique que tipo de sistema estrutural aparece, respectivamente.
A) Estrutura unidimensional e bidimensional.
B) Estrutura bidimensional e bidimensional.
C) Estrutura bidimensional e tridimensional.
D) Estrutura de linear e tridimensional.
E) Estrutura de volume e tridimensional.
_C.5_
Gab B = As duas estruturas representam estruturas de superfície, ou seja, bidimensionais. 
Isso porque as deformações e as tensões na estrutura são predominadas por dois eixos ou 
dois planos.
Adm
Pencil
A imagem a seguir apresenta uma grua para levantamento de cargas pesadas. Dentro da 
estrutura da grua, têm-se elementos metálicos, como treliças e tirantes.
2)
Os tirantes representam que tipo de estrutura? 
A) Estrutura bidimensional.
B) Estrutura unidimensional e bidimensional.
C) Estrutura unidimensional.
D) Estrutura tridimensional.
E) Estrutura com esforço à compressão.
Gab C = Os tirantes são elementos unidimensionais, pois eles só têm esforços de tração e 
dependem de um eixo de análise. Já se a análise fosse feita partindo da grua como um todo, 
seriam considerados elementos tridimensionais.
Adm
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Na figura a seguir, são apresentados vários tipos de perfuração de estacas, entre elas a 
estaca broca e espiral.
3)
Alguma delas pode ser considerada uma estrutura bidimensional na obra? 
A) Sim, quando a estaca for concretada.
B) Não, pois todas elas serão tridimensionais.
C) Sim, pois as armaduras e a estaca são bidimensionais.
D) Sim, pois as estacas são bidimensionais e unidimensionais.
E) Sim, pois, possivelmente, elas se transformarão em bidimensionais.
Gab B = As estacas, mesmo concretadas, continuam se comportando como estrutura 
tridimensional, pois contam com características de elemento volumétrico. Posteriormente, 
as estacas não se transformarão em estrutura bidimensional. Já as armaduras da estaca 
poderiam ser grelhas em um plano circular.
Adm
Pencil
Na figura a seguir, existem cinco tipos de pontes em duas dimensões. Pode-se, então, 
afirmar que cada uma dessas pontes representa também estruturas bidimensionais?
4)
A) Não, pois elas só representam estruturas unidimensionais.
B) Não, pois elas só podem ser bidimensionais.
C) Não, pois elas são elementos de treliça.
D) Sim, pois todas elas podem ser consideradas estruturas bidimensionais.
E) Sim, quanto à metade das estruturas, e não, quanto à outra metade.
Gab D = Independentemente do tipo de ponte, todas elas representam uma estrutura 
tridimensional tanto na etapa de projeto quanto na de execução. Elas podem ser analisadas 
como bidimensionais, mas, no fim do projeto, obrigatoriamente serão analisadas como 
tridimensionais, pois têm uma profundidade. Ainda assim, alguns dos elementos são estruturas 
treliçadas e outros, estacadas.
Adm
Pencil
5) Os pilares são elementos lineares submetidos à compressão e a momentos fletores. Dessa
forma, quais são as aplicações deles?
A) Somente em barragens tridimensionais.
B) Somente em residências e edificações.
C) Em residências, edificações, pontes, muros de arrimo, estádios e estruturas pré-fabricadas.
D) Em tirantes.
E) Em vigas.
Gab C = Os pilares podem ser aplicados em vários tipos de estruturas e superestruturas. 
Porém, isso não se enquadra para tirantes, pois um pilar trabalha predominantemente a 
compressão e a flexão, não se enquadrando para vigas, que são elementos horizontais, sendo 
o oposto do pilar, que é vertical.
Adm
Pencil
Na prática
O arquiteto brasileiro Oscar Niemeyer foi um dos personagens mais influentes da moderna 
arquitetura mundial. A combinação da arte de desenho com elementos estruturais bidimensionais e 
tridimensionais resultou em obras muito reconhecidas a níveis nacional e mundial.
Veja alguns exemplos de aplicação de elementos estruturais de Niemeyer na prática.
_C.5_
Adm
Pencil
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Assista ao vídeo Etapas de construção em concreto armado 
(fundações, pilares, vigas e lajes) para observar uma simulação dos diferentes 
elementos de uma edificação. Nele, você vai poder identificar os principais 
elementos bidimensionais e tridimensionais nas estruturas.
Leia o artigo a Otimização topológica de estruturas bidimensionais, que aborda 
assuntos relacionados às estruturas estudadas nesta Unidade de Aprendizagem.
Você viu nesta unidade como diferenciar as estruturas bidimensionais das 
estruturas tridimensionais. Leia no artigo Análise térmica de estruturas 
bidimensionais em situação de incêndio como é o comportamento dessas 
estruturas em condições extremas.
_C.5_
https://youtu.be/0FtN9wDFs2k
8min ; animação de montagem,nada de cálculo.
http://www.repositorio.ufop.br/bitstream/123456789/2311/1/
DISSERTAÇÂO_OtimizaçãoTopológicaEstruturas.pdf
pdf 160p dissertação Ufop 2009
http://www.revistas.ibracon.org.br/index.php/riem/article/download/590/603
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E CRÉDITOS DE IMAGENS
As 10 obras mais importantes de Oscar Niemeyer. Disponível em: http://www.imovelweb.com.br/
noticias/10-obras-mais-importantes-de-oscar-niemeyer/. Acesso em: 18 dez. 2017.
HIBBELER, R. C.; VIANNA, Pedro (rev.). Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2013.
Memorial da América Latina. Disponível em: https://flic.kr/p/7vm3WW. Acesso em: 13 dez.2017.
Museu Oscar Niemeyer. Disponível em: https://flic.kr/p/62cP9w. Acesso em: 13 dez. 2017.
Perguntas de concurso na Arquitetura. Disponível em: http://rotadosconcursos.com.br/
questoesde-concursos/arquitetura/412029. Acesso em: 18 dez. 2017.
Sistemas estruturais. Aplicações. Disponível em: http://www.ebah.com.br/content/
ABAAABYfIAI/2-sistemas-estruturais. Acesso em: 18 dez. 2017.
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
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Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
Apresentação
A análise matricial de estruturas é um tópico da análise estrutural, em que as equações que regem 
o problema a resolver são formuladas matricialmente, sejam equações de equilíbrio de forças ou
de compatibilidade de deformações, dependendo do método utilizado (método das forças ou 
método dos deslocamentos), sendo o método dos deslocamentos o mais adequado para a 
implementação computacional.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar o comportamento de estruturas e aplicar os 
métodos matriciais para resolver e encontrar os esforços nas estruturas hiperestáticas.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Determinar as reações de apoio e esforços solicitante de uma estrutura utilizando métodos 
matriciais.
•
Analisar o comportamento de diversas estruturas.•
Identificar os métodos matriciais para solução de estruturas hiperestáticas.•
AULA C.6
1.1 - Princípios gerais
1.2 - Equilíbrio de forças
2.1 - Forças internas em elementos estruturais
2.2 - Diagramas de Solicitações Internas
3.1 - Classificação das Estruturas e Cálculo do Grau de 
Hiperestaticidade
3.2 - Estruturas planas carregadas fora do seu plano
4.1 - Estruturas tridimensionais
4.2 - Formulação matricial
__ C.1 Matriz de flexibilidade
__ C.2 Arcos
__ C.3 Treliças
__ C.4 Arranjos reticulados
__ C.5 Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e 
tridimensionais
__ C.6 Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
__ C.7 Aplicações em estruturas reticuladas
_C.6_
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Desafio
Você é um engenheiro projetista, encarregado de analisar um pórtico de concreto armado que 
servira como pórtico de entrada em um Parque Ecológico. Para analisar o pórtico, você terá de 
calcular os esforços internos e deslocamentos por um método matricial.
Considere que no canto esquerdo superior existe uma força externa resultante do vento horizontal 
de 100 kN com direção à direita, e no canto superior direito tem um momento de 20 kN aplicado 
em sentido horário. Para maior entendimento e informação da geometria do pórtico observe a 
imagem a seguir: 
Alguns dados extras do pórtico:
E: Módulo de elasticidade 
A: Área 
I: Inércia 
L: Comprimentos de viga e coluna 
E*A = Produto do módulo de elasticidade e área da seção do elemento estrutural 
E*I = Produto do módulo de elasticidade e inércia do elemento estrutural
E1 A1 = E2 A2 = E3 A3 = 300000 KN
E1 I1 = E2 I2 = E3 I3 = 32.400 kN m²
_C.6_
Representação estrutural do pórtico:
L1= L3 = 4 m
L2 =3 m
elm = aguardar gabarito.
Padrão de resposta esperado
A Engenharia estrutural tem a responsabilidade de analisar e determinar os 
esforços externos, internos e deslocamentos. Para este problema, 
utilizaremos o método das forças (método matricial – rigidez).
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O método indica como primeiro passo numerar as barras de menor a maior, como 
indicado na imagem a seguir:
Após numerar as barras, realizaremos a numeração dos graus de liberdade do 
pórtico:
Veja as etapas a seguir: 
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Adm
Pencil
Adm
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Infográfico
Observar as reações externas, os tipos de vínculos nos apoios, os comprimentos e as dimensões na 
estrutura a ser analisada, posteriormente realizar o desmembramento da estrutura, observando os 
esforços internos em cada barra separada, momento, normal e cortante, e, finalmente, montar a 
matriz de flexibilidade para estruturas isostáticas ou hiperestáticas. 
Veja no Infográfico uma sequência de processos de cálculo e análise.
_C.6_
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Conteúdo do livro
A análise matricial de estruturas é um tópico da análise estrutural em que as equações que regem o 
problema a resolver são formuladas matricialmente, sejam equações de equilíbrio de forças ou de 
compatibilidade de deformações, dependendo do método utilizado (método das forças ou método 
dos deslocamentos), sendo o método dos deslocamentos o mais adequado para a implementação 
computacional. 
Na obra Teoria das estruturas, leia o capítulo Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças, base 
teórica desta Unidade de Aprendizagem. O capítulo aborda de forma geral os diferentes métodos 
existentes para encontrar os esforços internos nas estruturas isostáticas e hiperestáticas. As 
convenções de sinais e formulários, também podem ser encontradas.
https://sagah.com.br/gabaritos/TEORIA_ESTRUTURAS.pdf
_C.6_
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Highlight
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Highlight
SUMÁRIO 
Unidade 1 
Conceitos fundamentais ......................................................................... 13 
Douglas Andrini Edmundo 
Sistemas estruturais .................................................................................................................................. 13 
Princípios básicos da estática das estruturas ............................................................................ 27 
Apoios e vínculos ....................................................................................................................................... 29 
Matriz de flexibilidade ............................................................................. 51 
Douglas Andrini Edmundo 
Método da flexibilidade ......................................................................................................................... 52 
Análise estrutural ........................................................................................................................................ 61 
Elementos da matriz de flexibilidade ............................................................................................ 70 
1Vigas1 ............................................................................................................. 77 
Douglas Andrini Edmundo 
Conceito de vigas ...................................................................................................................................... 77 
Esforços solicitantes .................................................................................................................................. 79 
Diagramas de esforços solicitantes ................................................................................................. 91 
Pórticos 1 ....................................................................................................... 97 
Douglas Andrini Edmundo 
Pórticos ............................................................................................................................................................ 97 
Esforços solicitantes ................................................................................................................................ 101 
Diagramas de esforços solicitantes ............................................................................................... 111 
Arcos ............................................................................................................115 
Douglas Andrini Edmundo 
Comportamento estrutural dos arcos ........................................................................................ 115 
Principais tipos de arcos ....................................................................................................................... 119 
Cálculo das reações de apoio e esforços solicitantes ........................................................ 121 
Treliças ......................................................................................................... 133 I 
Rossana Piccoli 
Treliças e estaticidade ............................................................................................................................ 133 
Classificação de treliças quanto à formação .......... .... ....... ...................... .... ....... ........ 140 
Determinação dos esforços em treliças ..................................................................................... 143 
Unidade 2 
Formulação matricial ............................................................................. 155 
Douglas Andrini Edmundo 
Métodos mat riciais para análise de estruturas ...................................................................... 155 
Análise de uma estrutura indeterminada ................................................................................ 158 
Condições de contorno ....................................................................................................................... 158 
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1 Aplicações em vigas, pórt icos, arcos e treliças ............................ 165 1 
Fernando Cuenca Rojas 
Determinação de reações de apoio nas estruturas 
pelo método matricial ..................................................................................................................... 165 
Matriz de rigidez ..................................................................................................................................... 166 
Método de rigidez e flexi bilidade .................................................................................................. 177 
Apl icação do método da flexibilidade para estruturas 
isostáticas e hiperestáticas ........................................................................................................... 180 
Conceitos básicos de métodos dos elementos fini tos ............... 191 
Douglas Andrini Edmundo 
Métodos dos elementos finitos ....................................................................................................... 192 
Matriz de rigidez ....................................................................................................................................... 195 
l_:olução de sistemas lineares ............................................................................................................ 1~ 
1 Aplicações em estrut uras reticuladas .............................................. 203 1 
Douglas Andrini Edmundo 
Concepção estrutural ........................................................................................................................... 203 
Geração de malhas ................................................................................................................................. 204 
Equações de equi líbrio e matriz de rigidez ............................................................................. 210 
Aplicações em estruturas fo rmadas por 
elementos bidimensionais e tridimensionais ............................... 215 
Fernando Cuenca Rojas 
Definições básicas das est ruturas .................................................................................................. 216 
L Estruturas de superfície ...................................................................................................................... 2~ 
!unidade 3 
Vigas li ......................................................................................................... 241 
Diego Guimarães 
Viga com cargas distribuídas em forma triangular ............................................................. 241 
Diferenciar momento fletor e esforço cortante e suas relações ............................... 244 
Resolver os cálculos da força normal, do esforço cortante 
e do momento fletor e traçar os diagramas ...................................................................... 247 
Vigas 111 ....................................................................................................... 255 
Diego Guimarães 
Analisar o comportamento estrutural de vigas ................................................................... 255 
LCálculo das solicitações internas: método das equações ............................................. 263 
Resolução do cálculo do ponto de momento máximo ................................................. 2~ 
Fundamentos do processo de Cross ............................................... 277 
Diego Guimarães 
Definição do funcionamento do método de Cross .......................................................... 277 
Interpretação física do processo de Cross ............ -............... -.................. - ............. ·-········· 281 
Descrição da distribuição dos momentos fletores em um nó ................................... 282 
Cargas móveis em estruturas isostáticas -
linhas de influência 1 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.•••••••••••••••••••••••• 291 
Fernanda Dresch 
Cargas móveis ........................................................................................................................................... 292 
Importância do estudo das linhas de influência ··············-····································-··········294 
Traçado da linha de influência referente às reações de apoio, 
ao esforço cortante e ao momento fletor .......................................................................... 299 
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Rectangle
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Estruturas tridimensionais .................................................................. 309 
Diego Guimarães 
Estrutura tridimensionais ........................................................................................................... ......... 309 
Treliças ............................................................................................................................................................. 314 
Grelhas e pórticos espaciais ............................................................................................................... 317 
Unidade4 
Equilíbrio de forças ................................................................................ 325 
Diego Guimarães 
Forças atuantes .... ................ .. .................................................................... .............................................. 325 
Estruturas: hipostática, isostática e hiperestática ............. ..................................... ............. .331 
Impactos da aplicação de uma força em um corpo ......................................................... 334 
Diagramas de solicitações internas ................................................. 341 
Rossana Piccoli 
Convenção pa ra o traçado dos diagramas de solicitações internas ...... .. .. ........... 341 
Diagrama de esforços solicitantes ............... ...... ........................................................................ .. 353 
Análise dos diagramas ..................................... .. .. ................ ............................................................... .. 357 
Estruturas planas carregadas fora do seu plano ......................... 363 
Douglas Andrini Edmundo 
Estruturas planas ......................................... .... ...................................................... .. ....... .. ........................ 363 
Ca rregamentos fora doplano da estrutura .... ................................................... ........... .. ........ 366 
Cálculo das cargas perpendiculares ao plano da estrutura ......................................... 373 
Arranjos reticulados .............................................................................. 379 
Douglas Andrini Edmundo 
Tipos de estruturas reticuladas e eixos de referência ...................................................... 379 
Eixos globais, eixos locais e esforços internos ............ ........................................................... 384 
Como determinar os tipos de esforços internos nas barras ......................................... 386 
Gabaritos ..................................................................... 392 
Conceitos fundamentais ~triz de flexibilidade Vigas 1 Pórticos 1 Arcos rei iças Formulação matricial 
l. b 1. b 1. a ]. d ]. d 1. e 1. d 
2. e 2. d 2. e 2. a 2. e 2. a 
3. b 3. a 3. e 3. e 3. d 
4. e 3. e 
5. d 
4. b 4. b 4. b 4. e 4. d 
5. e 5. e 5. e 5. e 5. a 
2. e 
3. a 
1 ~- a 
L____?. c 
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças Conceitos básicos de métodos dos elementos finitos Aplicações em estruturas reticuladas 
l.b l. c l. a 
2. b 2. e 2. d 
3. a 3. d 3. e 
4. d 4. b 4. a 
5. a 5. a 5. b 
Aplicações em estruturas formadas por elementos Vigas li 
bidimensionais e tridimensionais 
Fundamentos do processo de Cross 
1. a 1. e l. e 
1. b 
2. e 
3. b 
4. d 
2. e 
3. d 
4. b 
2. a 
3. e 
4. a 
2. b 
3. e 
4. a 
5. e 5. e 5. d 
Cargas móveis em estruturas isostáticas - linhas de Estruturas tridimensionais Equilíbrio de forças Diagramas de solicitações internas 
influência 1 
1. 
1. d 2. 
2. a 
3. 3. e 
4. b 4. 
5. e 5. 
Estruturas planas carregadas fora do seu plano l. e 
2. d 
3. e 
4. b 1 
~ 
d 
a 
e 
e 
b 
J_J
l e 
e 
e 
b 
b 
Arranjos reticula~ t. b 
2. e 
3. e 
4. d 
5. a 
1. d 
2. a 
3. d 
4. e 
5. b 
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Aplicações em vigas, 
pórticos, arcos e treliças
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Determinar as reações de apoio e os esforços solicitantes de uma 
estrutura utilizando métodos matriciais. 
 � Analisar o comportamento de diversas estruturas. 
 � Identificar os métodos matriciais para solução de estruturas 
hiperestáticas. 
Introdução
A análise matricial de estruturas é um tópico da análise estrutural em que 
as equações que regem o problema a resolver são formuladas matricial-
mente, sejam equações de equilíbrio de forças ou de compatibilidade de 
deformações. Os métodos utilizados para tal fim podem ser de força ou 
de deslocamento, sendo este o mais adequado para a implementação 
computacional. 
Neste capítulo, você vai estudar o comportamento de estruturas e 
aplicar os métodos matriciais para resolver e encontrar os esforços nas 
estruturas hiperestáticas. 
Determinação de reações de apoio nas 
estruturas pelo método matricial
Existem metodologias para a consideração de condições de apoio a partir 
do particionamento do sistema de equações de equilíbrio. Tais metodologias 
possibilitam uma determinação formal das reações de apoio da estrutura. 
Entretanto, muitas vezes, para minimizar os cálculos, seguir uma sequência 
lógica e evitar cálculos desnecessários, aplicam-se os métodos matriciais para 
a análise estrutural (CARELLI, 2010).
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Line
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A análise de modelos estruturais nada mais é do que a determinação de 
uma solução que satisfaça condições de equilíbrio, condições de compatibi-
lidade de deslocamentos e relações tensão-deformação. Os métodos básicos 
da análise estrutural se diferenciam pela ordem em que essas condições são 
impostas (MARTHA, 1993).
Existem dois métodos básicos para a análise estrutural, conhecidos como: 
método das forças (método da flexibilidade) e método dos deslocamentos 
(método da rigidez).
Dos métodos básicos da análise estrutural, o método dos deslocamentos 
é o que melhor se aplica na utilização de computadores. Por isso, esse vai ser 
o método que você vai ver aqui. O método se aplica para treliças, quadros e
grelhas, bem como para estruturas compostas por elementos estruturais planos 
ou tridimensionais (MARTHA, 1993).
Para analisar e aprender mais sobre métodos matriciais na 
análise estrutural, acesse este link ou código: 
https://goo.gl/2uckcL
Matriz de rigidez 
O método dos deslocamentos trabalha com as chamadas matrizes de rigidez. 
Você vai ver essas matrizes separadamente para cada tipo de estrutura (treliças, 
quadros, vigas e arcos).
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças166
https://transportes.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
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Matriz de rigidez global
A seguir, você pode ver uma definição das matrizes de rigidez exemplificadas 
para a Figura 1.
Figura 1. Coordenadas globais e locais. 
Fonte: Martha (2013).
Uma matriz de rigidez global estabelece relações entre forças e desloca-
mentos definidos pelas coordenadas globais. Essas relações são escritas, para 
as coordenadas globais da Figura 1, como mostra a Equação 1, dividida em 
três partes, como você pode ver a seguir.
K11 D1 + K12 D 2 + K13 D 3 + K14 D 4 + ..................... + K1’12 D 12 = F1
K 1 D 1 + K22 D 2 + K23 D 3 + ................................... + K2’12 D 12 = F2
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
K 12’1 D 1 + K 12’2 D 2 +………..................................+ K 12’12 D 12 = F12
(1a)
167Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
Adm
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Oval
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Oval
Adm
Oval
Adm
Oval
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Essas relações podem ser expressas pelo produto de matrizes:
Ou, de forma condensada:
K D = F (1c)
Onde:
K = matriz de rigidez global
D = vetor dos deslocamentos
F = vetor das forças aplicadas
Matriz de rigidez de uma barra sob tensão axial 
Considere a Figura 2, que mostra uma barra de seção constante (A) e módulo 
de Young (E) engastada em um extremo e submetida à tração axial sob a ação 
de uma carga concentrada (P). O deslocamento do extremo livre é dado pela 
seguinte expressão:
Pl
AE
δ = (2)
(1b)
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças168
Portanto, a carga pode se expressar em função do deslocamento como:
P k δ= ⋅ (3)
Onde:
AEk
l
= (4)
k é a constante de rigidez axial da barra.
A Equação 3 permite a seguinte interpretação: a constante de rigidez axial 
de uma barra engastada em um extremo é a força necessária para causar um 
deslocamento unitário no extremo livre.
Agora, a reação no extremo esquerdo (R = – P) e a força aplicada, de igual 
valor absoluto, submetem a barra a um estado de tração. Considerando-se, em 
geral, os deslocamentos dos extremos na barra, numerados como aparece na 
Figura 2, você terá δ1 = 0, δ2= δ. Para tanto, você pode expressar as forças nos 
extremos em função dos deslocamentos com a seguinte expressão:
( )2 1
AE AEP
l l
δ δ δ= = − (5)
Portanto, 
( )1 2
AER P
l
δ δ= − = − (6)
As equações matriciais podem ser representadas em forma matricial:
 
1
2
1 1
1 1
R EA
P l
δ
δ
− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (7)
169Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
Os termos que compõem essa equação são:
 � o vetor de deslocamento (ou graus de liberdade)
1
2
d
δ
δ
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (8)
 � o vetor de forças nodais
R
p
P
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (9)
 � e a matriz de rigidez
1 1
1 1
EAk
l
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
 (10)
Em consequência, a Equação 7 se transforma em:
p k d= ⋅ (11)
Figura 2. Barra submetida à tensão normal ou axial. (a) modelo; (b) forças internas e deslocamentos.
Fonte: Hurtado (2013).
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças170
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
Pencil
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Line
Método da matriz derigidez aplicado a treliças planas 
e espaciais
O método matricial aplica-se às treliças planas, compostas de barras articuladas. 
Você pode ver um exemplo ilustrativo desse tipo de estrutura na Figura 3. 
Nas treliças, os elementos estão submetidos ao esforço axial (tração ou com-
pressão). A diferença entre as treliças e barras contínuas reside na orientação 
dos elementos. Por isso, será necessário o emprego de diferentes sistemas de 
coordenadas para cada elemento (HURTADO GÓMEZ, 2013).
Figura 3. Treliça estaticamente indeterminada.
Fonte: Hurtado (2013).
Considere a Figura 3. Observe que a barra com o asterisco (*) terá forças 
internas como as mostradas na Figura 4. Como você pode ver, nenhuma 
dessas forças é paralela aos eixos coordenados, onde estão definidas as forças 
externas e as reações. Se as forças internas na barra (*) forem Ni e Nj e os 
deslocamentos dos nós forem i e j, é possível fazer a seguinte representação 
(HURTADO GÓMEZ, 2013):
1 1
1 1
i ie
j je
N uEA
N ul
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 (12)
A representação em forma matricial é:
e e ep k d= ⋅ (13)
171Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
Adm
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Adm
Oval
Figura 4. Forças internas em um elemento 
da treliça.
Fonte: Hurtado (2013).
i
j
Nj
Ni
Como toda estrutura dos elementos tem, em geral, orientações diferentes, 
é necessário transformar as forças internas num sistema de coordenadas em 
comum, como o sistema cartesiano global, formado por um eixo horizontal 
e um vertical. Para realizar a transformação, considere a Figura 5. Ela apre-
senta as forças internas e seus equivalentes no sistema global. As forças Vi 
e Vj logicamente são nulas no caso de treliças (HURTADO GÓMEZ, 2013).
Figura 5. Forças internas em um elemento de treliça: (a) sistema local e (b) sistema global.
Fonte: Hurtado (2013).
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças172
Adm
Rectangle
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A Figura 6 mostra os paralelogramos das forças N e V, de uma parte, e 
das forças X e Y, da outra. Nessas forças não aparecem os subscritos i e j, pois 
eles funcionam para qualquer ponto. Veja as equivalências das forças N e V 
em função de X e Y: 
(14)
Para a comprovar a validez dessas relações, você pode calcular o valor da 
resultante no sistema local:
Figura 6. (a) Paralelogramos das forças equivalentes e (b) relações entre as forças.
Fonte: Hurtado (2013).
Para tanto:
173Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
Adm
Rectangle
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Line
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Line
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Onde indica-se que a resultante é a mesma para ambos os pares de forças 
ortogonais. As relações indicadas pela Equação 14 podem ser representadas 
da seguinte forma:
cos
cos
N sen X
V sen Y
β β
β β
    
=    −    
Essa equação pode ser representada de forma matricial:
p = TP
Com:
A matriz T denomina-se matriz de transformação ou rotação. Por outro 
lado, com base na Figura 6, é evidente que as forças X e Y podem ser expressas 
em função das forças N e V:
Isso indica que:
(15)
Por uma comparação simples, observa-se que:
Isso quer dizer que a inversa da matriz de transformação é igual à sua trans-
posta. As matrizes que cumprem essa condição são denominadas ortogonais.
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças174
Adm
Pencil
Adm
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Pencil
Adm
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Matriz de rigidez de um elemento da treliça
Ao especificar a Equação 15, para os nós i e j de um elemento de treliça como 
o mostrado na Figura 5, você obtém:
Ela está composta pelo vetor de forças internas em coordenadas locais:
E pelo vetor de forças internas em coordenadas globais:
E a matriz de transformação de coordenadas do elemento é:
A relação entre as forças internas no sistema pode ser expressa na forma 
compacta:
175Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
A matriz Te de ordem 4x4 cumpre com as relações de ortogonalidade, ou 
seja:
Agora, entre as forças pe e os deslocamentos associados a elas:
Onde ke:
As equações finais do método dos deslocamentos expressam o equilíbrio dos nós da 
estrutura nas direções das deslocabilidades. Por isso, é conveniente introduzir uma 
convenção de sinais para forças e momentos que facilite a definição de condições 
de equilíbrio. Isso vai acarretar uma nova convenção de sinais para esforços normais, 
esforços cortantes e momentos fletores em quadros planos. A Figura 7, que você pode 
ver a seguir, resume a convenção de sinais adotada no método para quadros planos.
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças176
Método de rigidez e flexibilidade
Relação entre ações e deslocamentos
Figura 7. Convenção de sinais adotada para quadros planos no método dos deslocamentos.
Fonte: Martha (2010).
177Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
Adm
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Adm
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Line
Adm
Line
Equação da força em função em termos do 
deslocamento
Onde a rigidez da mola (k) é a força por unidade de deslocamento, ou 
seja, é a força requerida para produzir um deslocamento unitário na mola 
(CARELLI, 2010).
Equação do deslocamento em termos da força
Onde б é a deformabilidade da mola, geralmente chamada de flexibili-
dade, sendo o deslocamento por unidade de força. Ou seja, é o deslocamento 
produzido pela aplicação de uma força de valor unitário.
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças178
Relação entre rigidez e flexibilidade 
Se, em vez de uma mola, houver uma barra contínua (como a viga de um 
edifício, por exemplo), porém discretizada, ou seja, com um número finito de 
graus de liberdade (neste caso, apenas um), de acordo com a resistência dos 
materiais, se pode dizer:
Comparando-se as equações anteriores:
E analisando e trabalhando as equações anteriores, tem-se o coeficiente 
de rigidez da barra:
Logo, o coeficiente de flexibilidade da barra é dado por:
179Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
As matrizes de rigidez elementares de algumas barras em vigas e treliças são apresen-
tadas na Figura 8, que você pode ver a seguir.
Figura 8. Matrizes de rigidez elementares.
Fonte: Carelli (2010).
Aplicação do método da flexibilidade para 
estruturas isostáticas e hiperestáticas
Estruturas isostáticas
Observe o roteiro de cálculo para estruturas isostáticas:
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças180
Adm
Line
a) Fixar o sistema de coordenadas globais (de referência).
b) Subdividir a estrutura em elementos e estabelecer o sistema de coor-
denadas locais.
c) Formular a matriz de incidência estática: [B], tal que {S} = [B] {R}.
d) Formular a matriz de flexibilidade da estrutura desmembrada, cujas
submatrizes, referentes aos diversos elementos, se dispõem em banda:
e) Compor a matriz de flexibilidade da estrutura integrada:
f) A partir do carregamento dado, formular o vetor das ações nodais {R}.
g) Calcular os esforções {S}, deslocamentos {r} e deformações {s}:
Estruturas hiperestáticas
No caso de estruturas hiperestáticas, a matriz de incidência estática [B] não 
pode ser formulada diretamente a partir das equações de equilíbrio, porque 
há indeterminação estática na estrutura.
Por isso, transforma-se a estrutura hiperestática, rompendo-se tantos víncu-
los quantos necessários para se obter um modelo isostático (sistema principal). 
Nesse sistema, será sempre possível formular a matriz [B] segundo a isostática.
O sistema principal deverá ser compatibilizado com a estrutura hiperestática 
original por meio da aplicação de ações {X} nos locais e direções em que 
houve cortes de vínculos, implicando deslocamentos finais nulos segundo as 
mesmas coordenadas.
181Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
Adm
Pencil
Adm
Line
Às ações {X}, dá-se o nome de hiperestáticas. Já às equações complemen-
tares que compatibilizam os modelos, dá-se o nome de equações de coerência.
Veja o roteiro de cálculo para estrutura hiperestática:
a) Deve-se inicialmente estabelecer o sistema principal (isostático),
numerando-se as coordenadas globais a partirde onde se aplicam as
ações externas {R}, e então os hiperestáticos {X}.
b) Na equação de equilíbrio relativa ao sistema principal, podem ser então
considerados os seguintes vetores de ações exteriores e deslocamentos:
c) Desmembra-se a estrutura em elementos, fixando-se as coordenadas
locais.
d) A partir das equações da compatibilidade estática,
formula-se a matriz de incidência estática [B] relativa ao sistema principal:
ou ainda: 
e) Formulada a matriz de flexibilidade para a estrutura desmembrada, [f], 
será possível compor a matriz de flexibilidade [F] do sistema principal 
integrado:
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças182
f) Os deslocamentos do sistema principal são:
g) Desses deslocamentos, sabe-se que {x} = {0}, obtendo-se as equações
de coerência:
obtendo-se os hiperestáticos:
a expressão final dos esforços (nas coordenadas locais):
e os deslocamentos nodais (nas coordenadas globais):
Logo, a matriz de flexibilidade da estrutura hiperestática é:
183Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
A seguir, estão alguns exemplos. Para exercitar o que aprendeu, você pode resolver a 
estrutura apresentada nas figuras, em que E e J são comuns às duas hastes.
Figura 9. Estrutura hiperestática com duas hastes.
Fonte: Domicio (1977).
Solução:
Transformando o carregamento uniforme na Figura 9, a consideração de que a 
estrutura tem grau hiperestático g = 2 impõe a escolha de um sistema principal, 
como mostra a Figura 10.
Figura 10. Sistema principal segundo o método das forças.
Fonte: Domicio (1977).
Obteve-se tal sistema rompendo dois vínculos, no presente caso por meio de ar-
ticulações em A e B.
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças184
Adm
Pencil
As coordenadas de referência (Figura 10) são duas para o carregamento e duas 
para os hiperestáticos (R1, R2, X3, X4). Note que o hiperestático X4 compõe-se de dois 
momentos opostos e iguais.
(B1)(B0)
[B] =
–1
0
0
0
1
0
0
–10 0
0
0 1
0
–1 0
l
6EJ
[f ] =
2
–1
–1
2
2
–1
–1
2
Figura 11. Representação dos carregamentos e transmissibilidade de cargas.
Fonte: Domicio (1977).
As submatrizes de flexibilidade para a estrutura do sistema principal integrado são:
–1
[F10] =
l
6EJ
[B1]T [f ][B0] =
0
–1
0
1
0
0
l
6EJ
= 0 0
–2 –1
=
2
–1
–1
2
2
–1
–1
2
–1
0
0
0
0 1
0
0
0
[F11] =
l
6EJ
[B1]T [f ][B1] =
0
–1
0
1
0
0
l
6EJ
= 2
–1
–1
4
=
2
–1
–1
2
2
–1
–1
2
–1
0
–1
0
0
0
1
0
0
–1
185Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
Adm
Rectangle
É necessário inverter [F11]:
6EJ[F11]–1 =
7
4
1
1
2
Carregamento modal:
{R} =
pl²/12
pl²/12
Valores dos hiperestáticos:
{X} = – [F11]–1 [F10] {R}
= – =4
1
1
2
0
–2
0
–1
l
6EJ7l
6EJX3
X4
pl²/12
pl²/12
pl²/28
pl²/14
Esforços em coordenadas locais:
{S} = {S0} + [B0 B1] R
X
== +
–1
0
0
0
1
0
0
–10 0
0
0 1
0 pl²/12
pl²/12
pl²/28
pl²/14
S1
S2
S3
S4
+ pl²/12
0
0
– pl²/12
–pl²/28
–pl²/14
+pl²/14
0
–1 0
O diagrama de momentos fletores é o da Figura 10. Note que a matriz de incidência 
[B] para a estrutura estaticamente indeterminada é:
[B] = [B0] – [B1] [F11]–1 [F10] =
–2/7
–4/7
–3/7
 0
–1/7
–2/7
–2/7
 1
Essa matriz transforma diretamente {R} em {S}:
Figura 12. Diagrama de momentos fletores da estrutura.
Fonte: Domicio (1977).
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças186
Adm
Pencil
Se você deseja obter os deslocamentos nodais {r} da estrutura dada, pode compor 
sua matriz de flexibilidade:
{F} = [F00] – [F10]T [F11]–1 [F10]
Onde: [F00] = [B0]T [f ] [B0]
No presente caso, conclui-se que:
[F00] = [F] = +l
6EJ
l
6EJ
l
42EJ
2
1
1
2
2
1
1
2
–8
–4
–4
–2
e
[F] = l
14EJ
2
1
1
4
Os deslocamentos nodais são:
= =2
1
1
4
l
14EJ
r1
r2
pl²/12
pl²/12
3pl³/168EJ
5pl³/168EJ
Quanto às reações, dadas as coordenadas estabelecidas na Figura 13, se determina 
[C] tal que:
{A} = [C] R
X
[C ] =
–1/l
0
1/l
0
1/l
0
–1/l
0
0
1/l
0
1/l
1/l
1/l
–1/l
1/l
(R1 = 1) (R2 = 1) (X3 = 1) (X4 = 1)
{A} = {A0} + [C0 C1] R
X
pl
28
= +
+
pl/2
0
pl/2
0
=
pl²/12
pl²/12
pl²/28
pl²/14
16
3
12
3
–1/l
0
1/l
0
1/l
0
–1/l
0
0
1/l
0
1/l
1/l
1/l
–1/l
1/l
Figura 13. Reações na estrutura.
Fonte: Domicio (1977).
187Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
Adm
Rectangle
1. Obtenha a matriz de rigidez [K ] da 
estrutura abaixo para o sistema 
de coordenadas estabelecido. 
Dica: desconsidere os efeitos de 
2ª ordem, ou seja, despreze os 
esforços axiais despertados pela 
imposição dos deslocamentos 
na direção transversal à barra.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. Quais são os métodos clássicos 
matriciais mais utilizados 
na análise matricial de 
estruturas na engenharia?
a) Método da flexibilidade 
e das forças.
b) Método das forças e 
dos deslocamentos.
c) Método da rigidez e dos 
deslocamentos.
d) Métodos da rigidez.
e) Método das forças e 
do equilibrio.
3. Para a treliça plana da imagem 
abaixo, obtenha os esforços e os 
deslocamentos dos nós B e D. E 
e J são comuns a todas as barras. 
Utilize o método da flexibilidade.
a) [S]={-P raiz(P) -P -P 0 } T { r1 
r2 r3 r4} = {1 -(2+2 raiz(2)) 0 
-(3+2 raiz(2))} T * PL/EJ
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças188
CARELLI, J. A. Análise matricial de estruturas. Joaçaba: UNOESC, 2010. Apostila da 
disciplina Análise Matricial de Estruturas.
HURTADO GÓMEZ, J. E. Análisis matricial de estructuras: curso con MATLAB. Manizales: 
[s.n.], 2013.
MARTHA, L. F. O método da rigidez direta sob um enfoque matricial. Rio de Janeiro: 
PUCRJ, 1993.
MARTHA, L. F. Métodos básicos da análise de estruturas. Rio de Janeiro: Campus, 2010. 
b) [S]={-P raiz(P) -P -P 0 } T { r1 
r2 r3 r4} = { 1 -(2+2 raiz(2)) 0 
-(3+2 raiz(2)) } T * PL/EJ
c) [S]={-P raiz(2P) -P -P 1 } T 
{ r1 r2 r3 r4} = { 1 -(2+2 raiz(2)) 
0 -(3+2 raiz(2)) } T * PL/EJ
d) [S]={-P raiz(2P) -P -P 0 } T 
{ r1 r2 r3 r4} = { 0 -(2+2 raiz(2)) 
0 -(3+2 raiz(2)) } T * PL/EJ
e) [S]={-P raiz(2P) -P -P 0 } T { r1 
r2 r3 r4} = { 1 -(2+2 raiz(2)) 0 
-(3+2 raiz(2)) } T * 2PL/EJ
4. Determine os esforços internos 
pelo método da rigidez ou dos 
deslocamentos na imagem abaixo. 
Considere EJ = 5*10^4 t/m2.
a) {S}= { -1 -6,98 6,98 -9,72 3,70 
6,02 3,70 0,46 0,47 -0,46 }
b) {S}= { -2,77 -6,98 6,98 -9,72 
3,70 6,02 3,70 0,46 0,47 -0 }
c) {S}= { -2,77 -6,98 6,98 -9,72 
3,70 6,02 3,70 0,46 0 -0,46 }
d) {S}= { -2,77 -6,98 6,98 -9,72 3,70 
6,02 3,70 0,46 0,47 -0,46 }
e) {S}= { -2,77 -6,98 6,98 -9,72 
3,70 6,02 0 0,46 0,47 -0,46 }
5. Tem-se a estrutura da imagem 
abaixo, com dois graus de 
indeterminação (rotações nos 
nós C e D), onde se desprezam as 
deformações axiais. Resolva pelo 
método da rigidez e encontre os 
esforços internos da estrutura.
a) [S]={-30 -60 60 -117 -8 -16 
133 -145}T * (pL3 /1128)
b) [S]={-30 -60 60 -117 -8 -16 
133 -145}T * (pL3 /1000)
c) [S]={-30 -60 60 -117 -8 -16 
133 -140}T * (pL3 /1128)
d) [S]={-30 -60 60 -117 -4 -16 
133 -145}T * (pL3 /1128)
e) [S]={-20 -60 60 -117 -8 -16 
133 -145}T * (pL3 /1128)
189Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
Dica do professor
Para a determinação de esforços internos, reações, matriz de rigidez e deslocamentos, deve-se 
estudar com profundidade a análise estrutural matricial. 
Assista a este vídeo, no qual serão apresentados exemplos específicos para o melhor entendimento 
da análise matricial em estruturas.
_C.6_
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/
a797c65bbac8d4be17300947a0c12c38
7min
elm = difícil de 
acompanhar, sem antes já 
ter entendido todo o 
assunto...
Adm
Pencil
Adm
Oval
Adm
Oval
Adm
Pencil
Exercícios
1) Obtenha a matriz de rigidez [K] da estrutura a seguir para o sistema de coordenadas estabelecido.
Dica: desconsiderar os efeitos de segunda ordem, ou seja, desprezar os esforços axiais despertados
pela imposição dos deslocamentos na direção transversal à barra.
A)
[K] =[34E1A1L1 −√34E1A1L1−√34 E1A1L1 14E1A1L1 + E2A2L2]
B)
C)
D)
E)
_C.6_
Gab B:
Adm
Pencil
Adm
Pencil
2) Quais os métodos clássicosmatriciais mais utilizados na análise matricial de estruturas na
Engenharia?
A) Método da flexibilidade e das forças.
B) Método das forças e dos deslocamentos.
C) Método da rigidez e dos deslocamentos.
D) Métodos da rigidez.
E) Método das forças e do equilíbrio.
Gab B = Os métodos clássicos matriciais mais utilizados na análise matricial de estruturas 
na Engenharia são os método das forças e dos deslocamentos.
Adm
Pencil
Para a treliça plana da imagem a seguir, obtenha os esforços e os deslocamentos dos nós B e D. 
E e J são comuns a todas as barras. Utilize o método da flexibilidade.
3)
A) [S]={ -P raiz(2P) -P -P 0 } T { r1 r2 r3 r4} =
{ 1 -(2+2 raiz(2)) 0 -(3+2 raiz(2)) } T * PL/EJ.
B) [S]={ -P raiz(P) -P -P 0 } T { r1 r2 r3 r4} =
{ 1 -(2+2 raiz(2)) 0 -(3+2 raiz(2)) } T * PL/EJ.
C) [S]={ -P raiz(2P) -P -P 1 } T { r1 r2 r3 r4} =
{ 1 -(2+2 raiz(2)) 0 -(3+2 raiz(2)) } T * PL/EJ.
D) [S]={ -P raiz(2P) -P -P 0 } T { r1 r2 r3 r4} =
{ 0 -(2+2 raiz(2)) 0 -(3+2 raiz(2)) } T * PL/EJ.
E) [S]={ -P raiz(2P) -P -P 0 } T { r1 r2 r3 r4} =
{ 1 -(2+2 raiz(2)) 0 -(3+2 raiz(2)) } T * 2PL/EJ.
Gab A :
Adm
Pencil
Adm
Pencil
4) Determine os esforços internos pelo método da rigidez ou dos deslocamentos na imagem a seguir.
Considere EJ = 5*10^4 t/m².
A) {S}= { -1 -6,98 6,98 -9,72 3,70 6,02 3,70 0,46 0,47 -0,46 }
B) {S}= { -2,77 -6,98 6,98 -9,72 3,70 6,02 3,70 0,46 0,47 -0 }.
C) {S}= { -2,77 -6,98 6,98 -9,72 3,70 6,02 3,70 0,46 0 -0,46 }.
D) {S}= { -2,77 -6,98 6,98 -9,72 3,70 6,02 3,70 0,46 0,47 -0,46 }.
E) {S}= { -2,77 -6,98 6,98 -9,72 3,70 6,02 0 0,46 0,47 -0,46 }.
Gab D:
Adm
Pencil
5) Tem-se a estrutura da imagem a seguir, com dois graus de indeterminação (rotações nos nós C e D),
em que se desprezam as deformações axiais.
Resolva pelo método da rigidez e encontre os esforços internos da estrutura.
A) [S]={-30 -60 60 -117 -8 -16 133 -145}T * (pL³ /1128).
B) [S]={-30 -60 60 -117 -8 -16 133 -145}T * (pL³ /1000).
C) [S]={-30 -60 60 -117 -8 -16 133 -140}T * (pL³ /1128).
D) [S]={-30 -60 60 -117 -4 -16 133 -145}T * (pL³ /1128).
E) [S]={-20 -60 60 -117 -8 -16 133 -145}T * (pL³ /1128).
Gab A:
Adm
Pencil
Adm
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Na prática
A análise estrutural consiste na determinação dos esforços e deslocamentos gerados pelas ações 
atuantes na estrutura. Métodos manuais de análise estrutural geralmente demandam um tempo 
excessivo de análises, tornando-os inviáveis para a maioria dos problemas práticos e motivando o 
emprego de métodos computacionais. Saiba mais sobre o desenvolvimento de um software para 
análise de esforços e deslocamentos de estruturas planas ou espaciais formadas por elementos de 
barras. 
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Com o objetivo de melhorar a interação entre o usuário e o programa, o software desenvolvido 
conta com uma interface gráfica que otimiza a entrada de dados e permite a alteração ou a 
ampliação de uma estrutura previamente analisada com maior agilidade e controle
_C.6_
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Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Método dos Deslocamentos - viga triapoiada com nós 
indeslocáveis
Assista à resolução de uma viga triapoiada com nós indeslocáveis pelo método dos deslocamentos.
Cálculo matricial para análise de treliças 
Assista ao vídeo a seguir, para saber mais sobre a análise das treliças.
_C.6_
https://youtu.be/PdqBxncifE0
18min
https://youtu.be/gGma9uENHdM
6min
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E CRÉDITOS DE IMAGENS
BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros. 5. ed. São Paulo: 
Makron Books, 1994. v. 2.
DA SILVA, A. M; DRUMOND, F. P. Desenvolvimento de um software para análise estrutural de
sistemas reticulados espaciais usando o método dos deslocamentos. Exacta, v. 10, n. 3,2012.
DOMÍCIO, M. F. Análise matricial das estruturas. Livros Técnicos e Científicos 
Editora,1977.
KIMURA, A. Informática aplicada em estruturas de concreto armado: cálculo de edifícios com 
o uso de sistemas computacionais. São Paulo, 2007.
MAZZILLI,C. E. N.; ANDRÉ, J. C.; BUCALEM,M. L. Métodos matriciais. In: MAZZILLI, C. E. N.
Mecânica das estruturas. São Paulo: Epusp, 2010. p. 2-183.
Adm
Pencil
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Aplicações em estruturas reticuladas
Apresentação
A concepção estrutural influencia no comportamento da estrutura. É fundamental que o 
engenheiro de estruturas saiba aplicar as malhas de cálculo para o método dos elementos finitos e 
saiba analisar as equações de equilíbrio de uma estrutura reticulada por meio do desenvolvimento 
da matriz de rigidez de um sistema estrutural reticulado.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai ver que, com esses conhecimentos, o dimensionamento 
de estruturas pode ser otimizado em termos de funcionalidade, custos e segurança.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Analisar a concepção estrutural.•
Desenvolver a geração de malhas.•
Aplicar as equações de equilíbrio e matriz de rigidez do sistema estrutural.•
AULA C.7
1.1 - Princípios gerais
1.2 - Equilíbrio de forças
2.1 - Forças internas em elementos estruturais
2.2 - Diagramas de Solicitações Internas
3.1 - Classificação das Estruturas e Cálculo do Grau de 
Hiperestaticidade
3.2 - Estruturas planas carregadas fora do seu plano
4.1 - Estruturas tridimensionais
4.2 - Formulação matricial
__ C.1 Matriz de flexibilidade
__ C.2 Arcos
__ C.3 Treliças
__ C.4 Arranjos reticulados
__ C.5 Aplicações em estruturas formadas por elementos bidimensionais e 
tridimensionais
__ C.6 Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças
__ C.7 Aplicações em estruturas reticuladas
_C.7_
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Desafio
A geração de malhas e o método dos elementos finitos proporcionam resultados precisos para a 
análise de estruturas complexas, sendo bastante implementadas em métodos computacionais, 
especialmente em razão da sua complexidade matemática e do envolvimento com (às vezes) os 
sistemas lineares compostos por milhares de termos.
É importante para o engenheiro entender como funciona o método e até mesmo resolver 
problemas simples envolvendo geração de malhas sem a necessidade de um computador. Com 
isso, é capaz de verificar se os resultados provenientes de um software estão condizentes com a 
solução real. Veja.
_C.7_
elm = aguardar gabarito.
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Infográfico
O entendimento das aplicações em estruturas reticuladas depende da compreensão dos conceitos 
fundamentais, tais como nós, graus de liberdade, rigidez e coeficiente de influência de rigidez.
Neste Infográfico, tais conceitos são apresentados. Confira.
_C.7_
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Conteúdo do livro
A concepção de um projeto estrutural começa, geralmente, a partir de um projeto arquitetônico. O 
melhor projeto estrutural é aquele que é capaz de conciliar menor custo, maior eficiência e maior 
segurança. Para atingir esse objetivo, é necessário que o projetista enxergue a estrutura da 
edificação como um conjunto de elementos estruturais, idealizados como uma estrutura reticulada.
Veja no capítulo Aplicações em estruturas reticuladas, do livro Teoria das estruturas, o conceito por 
trás da geração de malhas e da aplicação das matrizes de rigidez para dimensionamento de 
estruturas.
https://sagah.com.br/gabaritos/TEORIA_ESTRUTURAS.pdf
_C.7_
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Highlight
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Highlight
SUMÁRIO 
Unidade 1 
Conceitos fundamentais ......................................................................... 13 
Douglas Andrini Edmundo 
Sistemas estruturais .................................................................................................................................. 13 
Princípios básicos da estática das estruturas ............................................................................ 27 
Apoios e vínculos .......................................................................................................................................29 
Matriz de flexibilidade ............................................................................. 51 
Douglas Andrini Edmundo 
Método da flexibilidade ......................................................................................................................... 52 
Análise estrutural ........................................................................................................................................ 61 
Elementos da matriz de flexibilidade ............................................................................................ 70 
1Vigas1 ............................................................................................................. 77 
Douglas Andrini Edmundo 
Conceito de vigas ...................................................................................................................................... 77 
Esforços solicitantes .................................................................................................................................. 79 
Diagramas de esforços solicitantes ................................................................................................. 91 
Pórticos 1 ....................................................................................................... 97 
Douglas Andrini Edmundo 
Pórticos ............................................................................................................................................................ 97 
Esforços solicitantes ................................................................................................................................ 101 
Diagramas de esforços solicitantes ............................................................................................... 111 
Arcos ............................................................................................................ 115 
Douglas Andrini Edmundo 
Comportamento estrutural dos arcos ........................................................................................ 115 
Principais tipos de arcos ....................................................................................................................... 119 
Cálculo das reações de apoio e esforços solicitantes ........................................................ 121 
Treliças ......................................................................................................... 133 I 
Rossana Piccoli 
Treliças e estaticidade ............................................................................................................................ 133 
Classificação de treliças quanto à formação .......... .... ....... ...................... .... ....... ........ 140 
Determinação dos esforços em treliças ..................................................................................... 143 
Unidade 2 
Formulação matricial ............................................................................. 155 
Douglas Andrini Edmundo 
Métodos mat riciais para análise de estruturas ...................................................................... 155 
Análise de uma estrutura indeterminada ................................................................................ 158 
Condições de contorno ....................................................................................................................... 158 
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1 Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças ............................ 165 1 
Fernando Cuenca Rojas 
Determinação de reações de apoio nas estruturas 
pelo método matricial ..................................................................................................................... 165 
Matriz de rigidez ..................................................................................................................................... 166 
Método de rigidez e flexibilidade .................................................................................................. 177 
Apl icação do método da flexibilidade para estruturas 
isostáticas e hiperestáticas ........................................................................................................... 180 
Conceitos básicos de métodos dos elementos finitos ............... 191 
Douglas Andrini Edmundo 
Métodos dos elementos finitos ....................................................................................................... 192 
l Matriz de rigidez ....................................................................................................................................... 195 
Solução de sistemas lineares ............................................................................................................. 1~ 
1 Aplicações em estruturas reticuladas ............................................. 203 1 
Douglas Andrini Edmundo 
Concepção estrutural ........................................................................................................................... 203 
Geração de malhas ................................................................................................................................. 204 
Equações de equilíbr io e matriz de rig idez ............................................................................. 210 
Aplicações em estruturas formadas por 
elementos bidimensionais e tridimensionais ............................... 21 5 
Fernando Cuenca Rojas 
Definições básicas das est ruturas .................................................................................................. 216 
L Estruturas de superfície ...................................................................................................................... 2~ 
!unidade 3 
Vigas li ......................................................................................................... 241 
Diego Guimarães 
Viga com cargas distribuídas em forma triangular ............................................................. 241 
Diferenciar momento fletor e esforço cortante e suas relações ............................... 244 
Resolver os cálculos da força normal, do esforço cortante 
e do momento fletor e traçar os diagramas ...................................................................... 247 
Vigas 111 ....................................................................................................... 255 
Diego Guimarães 
Analisar o comportamento estrutural de vigas ................................................................... 255 
Cálculo das solicitações internas: método das equações ............................................. 263 
LResolução do cálculo do ponto de momento máximo ................................................. 2~ 
Fundamentos do processo de Cross ............................................... 277 
Diego Guimarães 
Definição do funcionamento do método de Cross .......................................................... 277 
Interpretação física do processo de Cross ............................................................................... 281 
Descrição da distribuição dos momentos fletores em um nó ................................... 282 
Cargas móveis em estruturas isostáticas -
linhas de influência 1 ............................................................................. 291 
Fernanda Dresch 
Cargas móveis ........................................................................................................................................... 292 
Importância do estudo das linhas de influência ................................................................ 294 
Traçado da linha de influência referente às reações de apoio, 
ao esforço cortante e ao momento fletor .......................................................................... 299 
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
PencilEstruturas tridimensionais .................................................................. 309 
Diego Guimarães 
Estrutura tridimensionais .................................................................................................................... 309 
Treliças ............................................................................................................................................................. 314 
Grelhas e pórticos espaciais ............................................................................................................... 317 
Unidade4 
Equilíbrio de forças ................................................................................ 325 
Diego Guimarães 
Forças atuantes ........................................................................................................................................ 325 
Estruturas: hipostática, isostática e hiperestática ................................................................ 331 
Impactos da aplicação de uma força em um corpo ......................................................... 334 
Diagramas de solicitações internas ................................................. 341 
Rossana Picco/i 
Convenção para o traçado dos diagramas de solicitações internas ..................... 341 
Diagrama de esforços solicitantes ............................................................................................... 353 
Análise dos diagramas .......................................................................................................................... 357 
Estruturas planas carregadas fora do seu plano ......................... 363 
Douglas Andrini Edmundo 
Estruturas planas ...................................................................................................................................... 363 
Carregamentos fora do plano da estrutura ............................................................................ 366 
Cálculo das cargas perpendiculares ao plano da estrutura ......................................... 373 
Arranjos reticulados .............................................................................. 379 
Douglas Andrini Edmundo 
Tipos de estruturas reticuladas e eixos de referência ...................................................... 379 
Eixos globais, eixos locais e esforços internos ....................................................................... 384 
Como determinar os tipos de esforços internos nas barras ......................................... 386 
Gabaritos ..................................................................... 392 
!Conceitos fundamentais l Matriz de flexibilidade Vigas 1 Pórticos 1 Arcos ~rmulação matricial 
1. b ). b 1. a 1. d 1. d 1. e 1. d 
2. e 2. d 2. e 2. a 2. e 2. a 
3. b 3. a 3. e 3. e 3. d 
4. e 3. e 
5. d ~· b 4. b 4. b 4. e 4. d 
s. e s. e 5. e 5. e 5. a 
2. e 
3. a 
4. a 
5. e 
Aplicações em vigas, pórticos, arcos e treliças Conceitos básicos de métodos dos elementos finitos Aplicações em estruturas reticuladas 
1. e 
2. e 
3. d 
4. b 
5. a 
1. b 
2. b 
3. a 
4. d 
5. a J 
1. a 
2. d 
3. e 
4. a 
5. b 
1 Aplicações em estruturas formadas por elementos 1 Vigas li 
bidimensionais e tridimensionais 
Vigas 111 1 Fundamentos do processo de Cross 1 
1. a 1. e 1. e 
2. a 1. b 
2. e 
3. b 
4. d 
5. e 
4. b 
2. b 2. e 
3. d 3. e 3. e 
4. a ~ 
5. e 5. d ~ 
Cargas móveis em estruturas isostáticas - linhas de 
influência 1 
Estruturas tridimensionais Equilíbrio de forças 
1. d 1. e 
1. d 2. a 2. e 
3. e 3. e 
2. a 
3. e 
4. b 4. e 4. b 
5. e 5. b 5. b 
[Estruturas planas carregadas fora do seu plano] ~ 
1 
~ 
Arranjos reticulados t. b 
2. e 
3.e 3. e 
4. b 4. d 
5. e 5. a 
Diagramas de solicitações internas 
1. d 
2. a 
3. d 
4. e 
5. b 
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
Rectangle
Aplicações em estruturas 
reticuladas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Analisar a concepção estrutural.
 � Desenvolver a geração de malhas.
 � Analisar as equações de equilíbrio e a matriz de rigidez do sistema 
estrutural.
Introdução
Neste capítulo, você vai aprender a analisar a concepção estrutural e ver 
como ela pode influenciar o comportamento da estrutura e a aplicação 
das malhas de cálculo para o método dos elementos finitos. Além disso, 
você vai ver como analisar as equações de equilíbrio de uma estrutura 
reticulada e o desenvolvimento da matriz de rigidez de um sistema es-
trutural reticulado.
Concepção estrutural
A concepção estrutural é a construção de uma estrutura a partir de um projeto 
arquitetônico. Ou seja, é a elaboração da estrutura de suporte para um projeto.
Para que a concepção estrutural seja eficaz, o projetista precisa conhecer 
o comportamento dos elementos estruturais. Ele também deve saber qual a
influência, nesses mesmos elementos estruturais, dos vãos especificados, 
além de compreender como cada elemento será vinculado a outro elemento 
estrutural ou ao meio, por exemplo, o solo.
O maior desafio do projetista de estruturas é encontrar a melhor maneira 
de compor uma estrutura com base no projeto arquitetônico. Essa estrutura 
deve atender às expectativas do cliente, manter o requisito de segurança e 
ainda ser economicamente viável.
Adm
Rectangle
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
Adm
Line
A grande maioria dos projetos não é pensada para conciliar a estrutura à 
necessidade do uso da edificação. Os projetos, na sua maioria, são pensados 
para atender a uma demanda de utilização e de necessidade do usuário. Não 
há nada de errado nessa premissa. Mas o que não é adicionado a essa equação 
é a compatibilidade da estrutura, dos materiais estruturais e dos efeitos que, 
por exemplo, grandes vãos causam no dimensionamento da estrutura. Um 
vão grande, com um carregamento ao longo de toda sua estrutura, exigirá 
uma viga com inércia suficiente para vencer o vão com segurança. Da mesma 
forma, vãos menores exigirão vigas com menor inércia.
A concepção estrutural de um projeto é a diferença entre uma obra mais 
pesada e uma mais leve, portanto mais onerosa ou mais econômica. Pensar 
como a estrutura de um projeto, enquanto ainda é idealizado, é um grande 
desafio e pensar como serão executadas cada uma das etapas permite que a 
execução do projeto flua de maneira muito mais eficaz.
A experiência em conhecer como cada estrutura é executada, fabricada, 
detalhada e montada é a diferença entre uma concepção estrutural eficiente 
e uma concepção estrutural em que os elementos serão pesados e de difícil 
execução.
No método dos elementos finitos, os graus de liberdade são analisados em todos os 
nós da malha de elementos discretos da estrutura. Já na análise clássica as condições de 
contorno são analisadas somente nos apoios ou vínculos entre cada elemento estrutural.
As condições de contorno de cada um dos elementos discretos influenciam dire-
tamente o comportamento dos demais elementos que compõem a malha de uma 
estrutura.
Geração de malhas
Os métodos matriciais clássicos, como o método da flexibilidade e o método 
da rigidez, visam à resolução de elementos estruturais reticulados de maneira 
mais ampla, analisando o elemento inteiro. 
Aplicações em estruturas reticuladas204
O método dos elementos finitos traz, na realidade, uma nova maneira de 
analisar um elemento estrutural, que é a divisão de uma estrutura em pequenas 
regiões. Assim, cada pequeno elemento apresenta uma formulação matemática 
específica do método, assim como nos métodos matriciais.
A ideia é que muitas estruturas podem ser representadas por elementos 
estruturais básicos que são conectados entre si. Como exemplo, você pode 
considerar um edifício, que pode ser representado por vigas, pilares e lajes co-
nectados nas extremidades de cada elemento. O mesmo procedimento pode ser 
adotado para estruturasde pontes, estruturas treliçadas, pontes estaiadas, etc.
O método dos elementos finitos é uma análise matemática que consiste na fragmen-
tação de um meio contínuo em pequenos elementos, sem que haja alteração das 
propriedades do meio original. Esses elementos são descritos por equações diferenciais 
e resolvidos por modelos matemáticos, para que sejam obtidos os resultados desejados.
Esse método pode ser entendido com base nos métodos de Ritz e de Galerkin. A ideia 
de estimar um ponto, com uso de malhas, de uma variável a partir do ponto crítico de 
uma função envolve o mesmo tipo de aproximação. Assim, se faz necessário escolher 
o espaço de aproximação das funções previamente determinadas. 
Isso é necessário porque as equações que regem os sistemas são equações diferen-
ciais e, como as soluções, adotam as ferramentas de métodos numéricos, a escolha do 
método e das funções para obter melhor aproximação dos resultados.
A geração de malhas em um elemento estrutural consiste, portanto, na 
divisão desse elemento em diversas regiões menores, seja uma viga (Figura 1), 
um pilar ou uma laje. Cada pequena região do espaço será denominada ele-
mento. Então, o comportamento de toda a estrutura será determinado pela 
superposição dos comportamentos de cada um dos elementos individualmente.
205Aplicações em estruturas reticuladas
Figura 1. Divisão de um elemento estrutural em pequenas regiões.
Problema estrutural contínuo.
A
A B
B
A malha de elementos discretos que forma o elemento estrutural como 
um todo possui vários conceitos que são comuns na análise estrutural. 
É importante que você conheça esses conceitos, que são:
 � nó;
 � graus de liberdade;
 � rigidez;
 � coeficiente de influência de rigidez.
A seguir, você vai ver detalhadamente cada um deles.
Nó
O conceito de nó é de um ponto representativo onde serão calculados os 
deslocamentos, que por sua vez permitem calcular o deslocamento de toda 
a estrutura. Os cálculos são realizados com a aplicação de equações mate-
máticas formuladas para cada tipo de elemento discreto da malha. Os nós 
podem ser posicionados nas conexões com os vínculos da estrutura, entre 
elementos discretos, fazendo conexão entre si e permitindo a transferência 
de comportamentos de um elemento para outro. Ou seja, cada elemento sofre 
influência das condições de contorno de cada elemento que são transmitidas 
pelos nós que as conectam.
Aplicações em estruturas reticuladas206
Problema discreto por meio da divisão do domínio em diversos elementos. 
Adm
Rectangle
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Grau de liberdade
O grau de liberdade em um elemento discreto representa uma coordenada em 
que são medidos os deslocamentos nos nós na análise estrutural. Portanto, 
a quantidade de graus de liberdade em cada nó é necessária para se medir o 
deslocamento com exatidão, garantindo a posição do sistema.
Na Figura 2, você pode ver uma treliça assentada em um apoio do segundo 
gênero, no ponto A, e num apoio do primeiro gênero, no ponto B. O apoio do 
segundo gênero, nó 1, permite apenas rotação, restringe os deslocamentos. O 
apoio do primeiro gênero, nó 3, permite rotação e deslocamento horizontal. 
O nó 2, por sua vez, pode sofrer deslocamento horizontal e vertical, portanto 
possui dois graus de liberdade.
Figura 2. Representação dos graus de liberdade de uma treliça.
y
z
1
1
2
2
A B
3
3
x
Rigidez
A rigidez é um conceito muito importante, pois influencia diretamente a 
resposta do elemento ao deslocamento. Ou seja, influencia a relação entre o 
deslocamento e a força necessária para se provocar determinado deslocamento.
207Aplicações em estruturas reticuladas
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Na análise matricial, o objetivo é descrever equações que representem e 
relacionem os deslocamentos aos graus de liberdade da estrutura e às forças 
aplicadas na mesma direção dos graus de liberdade. Assim, é necessário que 
os coeficientes de rigidez sejam relacionados aos deslocamentos dos graus 
de liberdade de todo o sistema estrutural, que são definidos por meio dos 
coeficientes de influência de rigidez.
Coeficiente de influência de rigidez
O coeficiente de influência de rigidez é o comportamento provocado em 
determinado elemento devido à sua ligação com o elemento vizinho. Por 
exemplo, na Figura 3, um coeficiente k12 significa que surgem esforços no nó 
1 devido ao deslocamento unitário no nó 2.
Figura 3. Estrutura formada por barras que podem ser calculadas com a aplicação da 
análise matricial de estruturas.
Fonte: Siyanight/Shutterstock.com.
Aplicações em estruturas reticuladas208
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
Pencil
Adm
Pencil
No exemplo a seguir, você vai analisar uma estrutura e determinar a matriz de rigidez 
global.
Figura 4. Elementos e graus de liberdade.
2
2
3
21
L L
1
1
A B C
A estrutura possui os graus de liberdade globais, que são as coordenadas necessárias 
para descrever a posição de uma estrutura considerando as suas condições de con-
torno. Cada elemento também possui os graus de liberdade, que são as coordenadas 
necessárias para descrever a posição de um elemento isolado, sem nenhuma condição 
de contorno.
Os graus de liberdade globais da estrutura são os deslocamentos horizontais permi-
tidos nos apoios B e C, portanto possuindo apenas dois graus de liberdade.
O Elemento 1 (situado entre os nós 1 e 2) possui seu grau de liberdade correspondente 
ao grau de liberdade 1 da estrutura. Já o Elemento 2 (situado entre os nós 2 e 3) possui 
seu grau de liberdade correspondente aos graus de liberdade 1 e 2 da estrutura.
Na Tabela 1, você pode ver os graus de liberdade e as suas correlações com a estrutura 
global.
Grau de 
liberdade global
Grau de liberdade 
local do Elemento 1
Grau de liberdade 
local do Elemento 2
1 2 1
2 - 2
Tabela 1. Graus de liberdade e estrutura global.
O Elemento 1 não possui conexão com o grau de liberdade global 2 da estrutura, 
portanto não será preenchido, nessa posição, na matriz de rigidez.
A matriz de rigidez do elemento (k) será dada por:
k = EA
L
k11 k12
k21 k22
209Aplicações em estruturas reticuladas
Onde:
k = EA
L
k11 k12
k21 k22
Matriz de rigidez do Elemento 1:
k = EA
L
(k11)1 (k12)1
(k21)1 (k22)1
Matriz de rigidez do Elemento 2:
k = EA
L
(k11)2 (k12)2
(k21)2 (k22)2
A matriz de rigidez da estrutura será composta pela superposição das matrizes dos 
dois elementos que formam a estrutura global.
A superposição das matrizes obedece à conexão dos elementos. O grau de liberdade 2 
do Elemento 1 está conectado com o grau de liberdade 1 do Elemento 2, portanto:
(k11)g = (k22 )1 + (k11)2
Sobrepondo as matrizes:
k =
EA
L
(k11)1 (k12)1 0
(k21)1 (k22)1 + (k11)2 (k12)2
 0 (k21)2 (k22)2
[ ]
Onde: 
E = módulo de elasticidade do material que compõe
A = área da seção transversal do elemento
L = comprimento da barra (elemento)
Equações de equilíbrio e matriz de rigidez
A formulação matricial permite resolver problemas estruturais indetermina-
dos. Dessa forma, possibilita o desenvolvimento de equações de equilíbrio 
que satisfaçam as condições de contorno da estrutura e permitam solucionar 
o problema por meio da rigidez da barra, da área da seção transversal e do
módulo de elasticidade.
Aplicações em estruturas reticuladas210
A Lei de Hooke rege o comportamento dos materiais elásticos, sendo seu 
módulo de elasticidade (E) dado por:
E = σ
ε
A tensão σ, por sua vez, é definida por:
σ =
F
A
E a deformação ε é expressa por:
ε =
L – L0
L0
=
∆L
L0
Desse modo, como tensão é na verdade uma força (F) aplicada em deter-
minada área (A), você pode escrever:
σ = E � ε
F
A = E · ∆L
L0
F =
EA
L0
∆L( )
Essa relação entre força e deslocamento torna-se evidente a partir dessa 
demonstração da Lei de Hooke, e a rigidez da barra será dada por:
kaxial =
EA
L0
Portanto:
F = kaxial ∆L
211Aplicações em estruturas reticuladas
Onde (deslocamento):∆L = u
Assim:
F = ku
Escrevendo na forma matricial:
F =
F1
F2
[ ] u =
u1
u2
[ ] k =
k11 k12
k21 k22
[ ]
A relação entre forças e graus de liberdade de uma barra submetida à força 
axial e aos deslocamentos dos nós será dada por meio da matriz de rigidez 
da estrutura.
A matriz de rigidez é responsável por estabelecer a relação entre os des-
locamentos, forças e graus de liberdade da estrutura, tornando sua função 
de suma importância. Ela permite que a formulação matricial de qualquer 
estrutura, seja treliça, viga, coluna, membranas, placas, sólidos e cascas, se 
torne viável porque todos os elementos possuem uma matriz de rigidez, embora 
cada estrutura possua uma forma particular de representar a matriz de rigidez.
Confira, no link a seguir, um estudo sobre o método dos elementos finitos aplicados 
à construção civil.
https://goo.gl/5eCtMq
Aplicações em estruturas reticuladas212
http://fait.revista.inf.br/imagens_arquivos/arquivos_destaque/
rs7zGfsUfvv4wME_2014-4-22-19-46-51.pdf
pdf 11p artigo
Adm
Pencil
1. Analise as afirmativas abaixo, 
referentes à concepção estrutural, 
e assinale a alternativa correta.
a) A estrutura deve ser 
planejada de acordo com 
o projeto arquitetônico.
b) A concepção estrutural 
engloba a vinculação dos 
elementos estruturais entre si, 
não considerando a vinculação
destes com o meio.
c) A concepção estrutural 
deve considerar apenas a 
demanda de utilização e as 
necessidades do usuário.
d) A concepção estrutural não 
possui ligação direta com a 
viabilidade econômica de 
um sistema estrutural.
e) Sistemas estruturais com grandes 
vãos exigem inércia menor que 
sistemas com vãos menores.
2. Analise as afirmativas a seguir, 
referentes à geração de malhas, e 
assinale a alternativa correta. 
a) O método dos elementos 
finitos visa a analisar todo 
o sistema estrutural como 
um único elemento.
b) O método dos elementos 
finitos visa subdividir o sistema 
estrutural em um conjunto de 
elementos, todos analisados 
pela mesma formulação.
c) O método dos elementos finitos 
consiste na fragmentação 
do sistema estrutural 
original, resultando em 
diversos elementos com 
propriedades diferentes.
d) A viga é um exemplo de 
elemento obtido a partir 
da fragmentação de um 
sistema estrutural.
e) O comportamento da estrutura 
é obtido pela análise isolada 
de cada um dos elementos.
3. Analise as afirmativas a seguir, 
referentes ao conceito de 
nós e graus de liberdade, e 
assinale a alternativa correta:
a) Grau de liberdade pode ser 
definido como um ponto 
representativo onde serão 
calculados os deslocamentos.
b) A análise matricial objetiva 
relacionar os deslocamentos com 
o nós e com as forças aplicadas.
c) Os nós são posicionados, 
geralmente, nas conexões 
do elemento com os 
vínculos da estrutura.
d) O grau de liberdade consiste 
na força necessária para 
promover determinado 
deslocamento na estrutura.
e) O tipo de apoio do elemento 
estrutural não tem influência 
no grau de liberdade.
4. Analise as afirmativas a seguir, 
referentes à rigidez da estrutura, e 
assinale a alternativa correta. 
a) Na análise matricial, é necessário 
relacionar os coeficientes de 
rigidez com os deslocamentos 
dos graus de liberdade de 
todo o sistema estrutural.
b) A seção transversal da seção 
da barra não exerce influência 
na rigidez da barra.
213Aplicações em estruturas reticuladas
c) A rigidez depende 
apenas da geometria dos 
elementos estruturais.
d) O coeficiente de influência 
da rigidez não exerce 
influência no comportamento 
global da estrutura.
e) O coeficiente de influência 
de rigidez se refere ao 
comportamento que cada 
elemento possui quando não 
está vinculado à estrutura.
5. Analise as afirmativas, referentes 
às equações de equilíbrio e 
à matriz de rigidez, e assinale 
a alternativa correta.
a) A formulação matricial apresenta 
a desvantagem de não permitir 
a resolução de problemas 
estruturais indeterminados.
b) A matriz de rigidez permite 
a formulação de qualquer 
tipo de estrutura.
c) Por meio da formulação 
matricial, os problemas podem 
ser resolvidos apenas por 
meio da rigidez da barra e da 
área da seção transversal.
d) A rigidez da barra não 
possui relação com o 
módulo de elasticidade do 
material que a constitui.
e) A matriz de rigidez da estrutura 
permite relacionar as forças com 
os graus de liberdade de uma 
barra submetida à força axial.
BEER, F. P. et al. Estática e mecânica dos materiais. Porto Alegre: McGraw-Hill, 2013.
BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 7. edição. Porto Alegre: McGraw-Hill, 2015.
LEET, K. M.; UANG, C.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. Porto 
Alegre: McGraw-Hill, 2010.
Leituras recomendadas
HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013.
ILKIU, A. M. Teoria das estruturas: parte I. [S.l.]: [s.n.], 1998. Notas de aula.
TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos: volume I. Rio de Janeiro: LTC, 1983.
Aplicações em estruturas reticuladas214
Dica do professor
As estruturas reticuladas são uma representação da estrutura original feita por meio de uma malha 
de nós e elementos, em que os elementos têm matrizes de rigidez e estão conectados aos nós. A 
malha precisa satisfazer as condições de continuidade da estrutura, tal como se fosse a estrutura 
original.
Nesta Dica do Professor, você vai ter uma visão global das estruturas reticuladas e dos 
componentes necessários para o lançamento de malhas.
_C.7_
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/
d701fa16bd12fe6c5703a4f6caaf71ae
3min
Adm
Pencil
Exercícios
1) Quantos nós existem na malha proposta na figura a seguir?
A) São 8 nós.
B) São 8 nós. Entretanto, não podem haver nós onde há uma força aplicada.
C) A malha da estrutura tem 10 nós.
D) A malha proposta tem 10 nós. Porém, o lançamento da malha está errado: não se pode
colocar um nó onde há força aplicada.
E) A estrutura tem 10 nós, mas a distribuição da malha não contempla nós em trechos em
balanço.
_C.7_
A ERR = São 8 nós.
Os apoios devem ser considerados como nós também.
B ERR = São 8 nós. Entretanto, não podem haver nós onde há uma força aplicada.
É preferível, inclusive, que hajam nós onde existem forças. Verificar o número de apoios.
Gab C = A malha da estrutura tem 10 nós.
Os apoios devem ser contabilizados como nós, pois há avaliação de deslocamentos e forças 
nos apoios.
D ERR = A malha proposta tem 10 nós. Porém, o lançamento da malha está errado: não se pode 
colocar um nó onde há força aplicada.
A contagem dos nós está correta. Não há nenhum impeditivo sobre o nó estar na mesma 
posição da aplicação da força. Na verdade, é desejável, uma vez que na solução do 
problema, o deslocamento neste ponto está diretamente atrelado a uma força.
E ERR = A estrutura tem 10 nós, mas a distribuição da malha não contempla nós em trechos 
em balanço.
Não há problema algum com relação aos nós em trechos em balanço.
Adm
Pencil
2) Sobre o método dos elementos finitos, pode-se afirmar que:
A) é um método para avaliar elementos estruturais de maneira mais ampla, analisando o
elemento inteiro.
B) neste método, o elemento estrutural estudado é dividido em diversos elementos. O
comportamento da estrutura é determinado pela análise de cada elemento individualmente.
C) neste método, o elemento estrutural é dividido em diversos elementos sem conexão entre si,
que representam a geometria do elemento estrutural estudado.
D) neste método, o elemento estrutural (ou a estrutura) estudado é dividido em diversos
elementos conectados entre si. O comportamento da estrutura é dado pela superposição dos
comportamentos de cada um dos elementos.
E) é chamado de método dos elementos finitos por dividir a estrutura em elementos estruturais
que findam ou em reações ou em mudança de ângulo entre os elementos.
A ERR = é um método para avaliar elementos estruturais de maneira mais ampla, analisando o 
elemento inteiro.
O método tem a finalidadeoposta: fragmentar cada elemento.
B ERR = neste método, o elemento estrutural estudado é dividido em diversos elementos. O 
comportamento da estrutura é determinado pela análise de cada elemento individualmente.
O comportamento da estrutura é determinado pela superposição dos comportamentos de cada um 
dos elementos, que têm relações de continuidade entre si.
C ERR = neste método, o elemento estrutural é dividido em diversos elementos sem conexão 
entre si, que representam a geometria do elemento estrutural estudado.
A conexão entre os elementos é necessária para satisfazer as condições de continuidade do 
elemento original.
Gab D = neste método, o elemento estrutural (ou a estrutura) estudado é dividido em 
diversos elementos conectados entre si. O comportamento da estrutura é dado pela 
superposição dos comportamentos de cada um dos elementos.
Com isso, é possível determinar tensões e deslocamentos ao longo de toda a estrutura.
E ERR = é chamado de método dos elementos finitos por dividir a estrutura em elementos 
estruturais que findam ou em reações ou em mudança de ângulo entre os elementos.
Na verdade, a estrutura é dividida em um número finito de elementos. O número de divisões 
pode ser tão grande quanto se deseja.
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3) Sobre os conceitos envolvidos no método dos elementos finitos e na geração de malhas, é
correto afirmar que:
A) os nós são pontos representativos nos quais são calculados os deslocamentos.
B) os nós são pontos representativos que indicam os vínculos da estrutura.
C) os graus de liberdade em cada nó devem ser exatamente iguais aos graus de liberdade da
estrutura, como um todo.
D) a rigidez de um elemento é uma relação que depende da força aplicada sobre o elemento, sua
deformação por conta dessa força e da sua deformação com relação aos outros elementos.
E) o coeficiente de influência de rigidez mede a rigidez de um elemento isolado.
Gab A = os nós são pontos representativos nos quais são calculados os deslocamentos.
A estrutura pode ser dividida em quantos elementos/nós forem necessários. Lembrando sempre 
que os elementos devem estar conectados entre si, para manter as condições de 
continuidade.
B ERR = os nós são pontos representativos que indicam os vínculos da estrutura.
Os nós não são colocados somente nos vínculos. Eles podem ser implementados ao longo de 
toda a estrutura, em quantidade a ser definida conforme a necessidade de obtenção de 
dados.
C ERR = os graus de liberdade em cada nó devem ser exatamente iguais aos graus de 
liberdade da estrutura, como um todo.
Não há relação entre os graus de liberdade de cada nó e os graus de liberdade da 
estrutura, como um todo. Os graus de liberdade em cada nó indicam quais movimentos são 
possíveis no nó.
D ERR = a rigidez de um elemento é uma relação que depende da força aplicada sobre o 
elemento, sua deformação por conta dessa força e da sua deformação com relação aos outros 
elementos.
A rigidez de um elemento não depende da sua deformação com relação aos outros elementos.
E ERR o coeficiente de influência de rigidez mede a rigidez de um elemento isolado.
O coeficiente de influência de rigidez diz respeito a sua interação com os elementos 
vizinhos.
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4) A matriz de rigidez é usualmente expressa por uma matriz multiplicada por um termo que
depende do módulo de elasticidade do material que compõe o elemento, da sua área
transversal e do comprimento do elemento. Sobre esse termo, no caso de uma força axial, é
correto afirmar que:
A) considerando dois elementos com os mesmos valores de módulo de elasticidade e área
transversal, ao dobrar o comprimento do elemento, o termo é reduzido pela metade.
B) ele é proporcional ao comprimento do elemento.
C) para que dois elementos tenham o mesmo valor para este termo, se o elemento A tem E, A e
L, o elemento B, que tem E/2 e L, deve ter A/2.
D) o termo é inversamente proporcional à área transversal do elemento.
E) a unidade do termo, no sistema internacional, é Nm.
Gab A = considerando dois elementos com os mesmos valores de módulo de elasticidade e área 
transversal, ao dobrar o comprimento do elemento, o termo é reduzido pela metade.
Como o comprimento divide o termo, esta afirmativa está correta.
B ERR = ele é proporcional ao comprimento do elemento.
Na verdade, ele é inversamente proporcional ao comprimento do elemento.
C ERR = para que dois elementos tenham o mesmo valor para este termo, se o elemento A tem 
E, A e L, o elemento B, que tem E/2 e L, deve ter A/2.
Para que os dois elementos tenham o mesmo valor para o termo, o elemento B deve ter E/2, L 
e 2A.
D ERR = o termo é inversamente proporcional à área transversal do elemento.
O termo é proporcional à área transversal do elemento.
E ERR = a unidade do termo, no sistema internacional, é Nm.
A unidade correta é N/m.
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5) A lei de Hooke rege o comportamento da estrutura e dos elementos que a constituem. Dessa
forma, matricialmente, a seguinte equação deve ser respeitada:
Ku=F
Onde k é a matriz de rigidez, u são os deslocamentos nos nós e F é a força axial.
Considerando a seguinte matriz de rigidez:
E o seguinte vetor de forças: 
Qual é o deslocamento u1, dado pelo vetor?
A) O valor de u1 é 5 m.
B) O valor de u1 é -2 mm.
C) O valor de u1 é -2 m.
D) O valor de u1 é -2 cm.
E) O valor de u1 é 7 mm.
A ERR = O valor de u1 é 5 m.
Verificar ordem dos vetores.
Gab B = O valor de u1 é -2 mm.
Resolvendo o sistema linear, chega-se a este valor.
C ERR = O valor de u1 é -2 m.
É preciso ajustar as unidades. A matriz k tem seus coeficientes dados em kNm, enquanto a 
força é dada em N.
D ERR = O valor de u1 é -2 cm.
Verificar as unidades. A matriz k tem seus coeficientes dados em kNm, enquanto a força é 
dada em N. 1N = 0,001kN.
E ERR = O valor de u1 é 7 mm.
Cuidar com a ordem dos vetores na resolução do sistema linear.
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Na prática
A modelagem de estruturas (e de elementos estruturais) por meio de programas computacionais 
tornou-se cada vez mais corriqueira na Engenharia.
Existem vários programas disponíveis no mercado. Tais programas, no mais das vezes, baseiam-se 
no método dos elementos finitos, sendo a estrutura (ou o elemento estrutural) estudada de forma 
discretizada, constituída por uma malha composta por nós e ligações.
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Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Análise de estruturas reticuladas utilizando o software Excel 
pelo método dos elementos finitos.
Confira esse trabalho de mestrado que faz a análise de estruturas reticuladas pelo método dos 
elementos finitos, por meio do software Excel.
Análise elástica de estruturas reticuladas.
Veja esse material sobre análise elástica de estruturas reticuladas: classificação das estruturas 
reticuladas, modelos matemáticos, etc.
AxisVM 12 | Uma rápida introdução - estrutura reticulada.
Aqui você vai poder visualizar a aplicação das estruturas reticuladas em um software (AxisVM 12). 
É apresentada uma rápida introdução do programa.
_C.7_
https://alsafi.ead.unesp.br/bitstream/handle/11449/111055/000792446.pdf?
sequence=1&isAllowed=y
http://www.civil.ist.utl.pt/~ctf/AEI/AEER.pdf
pdf 246p Apostila / livro Uni Lisboa
https://youtu.be/oQuIkWPmBNI
16min
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E CRÉDITOS DE IMAGENS
BEER, Ferdinand P.; et al. Mecânica vectorial para engenheiros - Estática. 7. ed. McGraw 
Hill: Rio de Janeiro, 2006.
CERVI; BINS; DECKERT. A modelagem matemática na construção de telhados com diferentes
tipos de telhas. Disponível em: <http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/modelagem/
Modelagem_Tesouras_Web/modelagem_tesouras.htm>. Acesso em: 28 fev. 2018.
MERIAM, James L.; KRAIGE, L. Glenn. Mecânica para Engenharia-Estática - v. 1, 7. ed. 
LTC,12/2015.
VALLE, A.; LA ROVERE, H. L. Apostila de análise estrutural, I. Notas de aula-UFSC. ECV/
GRUPEX/PET: Florianópolis, 2013.
WATANABE, Roberto Massaru. Treliças. Universidade de São Paulo. (USP). Disponível em: 
<http://www.ebanataw.com.br/trelica/trelica.php>.Acesso em: 28 fev. 2018. 
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