Vetores e Geometria Analítica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Professor: Jônison Lucas dos Santos Carvalho
Discente:
Unidade 1
Lista 1 (VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA - MAT0150 - T01 - 2024.1)
1. Dados os vetores u⃗ = 2⃗i −3 j⃗ , v⃗ = i⃗ − j⃗ e w⃗ =−2⃗i + j⃗ , determinar:
a) 2u⃗ − v⃗
b) v⃗ − u⃗ +2w⃗
c)
1
2
u⃗ −2v⃗ − w⃗
d) u⃗ − 1
5
v⃗ −7w⃗
2. Dados os vetores u⃗ = (3,−1) e v⃗ = (−1,2), determinar o vetor w⃗ = (x, y) tal que:
a) 4(u⃗ − v⃗)+ 1
3
w⃗ = 2u⃗ − w⃗
b) 3w⃗ − (2v⃗ − u⃗) = 2(4w⃗ −3u⃗)
3. Dados os pontos A(−1,3), B(2,5), C (3,−1) e O(0,0), calcular:
a)
−−→
O A−−→
AB
b)
−−→
OC −−→
BC
c) 3
−→
B A−4
−→
C B
4. Sejam os pontos A(−5,1) e B(1,3). Determinar o vetor v⃗ = (a,b) tal que
a) B = A+2v⃗
b) A = 2B +3v⃗
5. Representar no gráfico o vetor
−→
AB nos casos:
1
a) A(−1,3) e B(3,5)
b) A(−1,4) e B(4,2)
c) A(0,0) e B(3,−5)
d) A(−1,3) e B(0,−2)
6. Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor v⃗ = (−1,3), sabendo que sua ex-
tremidade está em (3,1)? Representar graficamente este segmento.
7. Dados os pontos A(−3,2) e B(5,−2), determinar os pontos M e N pertencentes ao segmento AB tais
que
−−→
AM = 1
2
−→
AB e
−−→
AN = 2
3
−→
AB .
8. Sendo A(−2,3) e B(6,−3) extremidades de um segmento, determinar
a) os pontos C ,D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento;
b) os pontos F e G que dividem o segmento de AB em três partes de mesmo comprimento.
9. O ponto P pertence ao segmento A(x1, y1) e B(x2, y2) e a distância dele ao ponto A é a terça parte da
distância dele ao ponto B . Expressar as coordenadas de P em função das coordenadas de A e B .
10. Sabendo que o ponto P (−3,m,n +2) pertence à reta que passa pelos pontos A(1,−2,4) e B(−1,−3,1),
determine m e n.
11. Seja o triângulo de vértices A(4,1,−2), B(2,−5,6) e C (1,1, ,2). Calcular o comprimento da mediana do
triângulo relativa ao lado AB .
12. Dados os vetores u⃗ = (1,−1), v⃗ = (−3,4) e w⃗ = (8,−6), calcular:
a) |u⃗|
b) |v⃗ |
c) |w⃗ |
d) |2u⃗ − w⃗ |
e) |u⃗ − v⃗ |
f) |2u⃗ + v⃗ − w⃗ |
13. Dados os pontos A(2,−2,3) e B(−2,1,0) e o vetor v⃗ = (1,3,−4), calcular:
a) A+3v⃗
b) (A−B)− v⃗
c) B +2(B − A)
2
d) 2v⃗ −3(B − A)
14. Sabendo que 3u⃗ −4v⃗ = 2w⃗ , determinar a,b e c, sendo u⃗ = (2,−1,c), v⃗ = (a,b −2,3) e w⃗ = (4,−1,0).
15. Dado o vetor w⃗ = (3,2,5), determinar a e b de modo que os vetores u⃗ = (3,2,−1) e v⃗ = (a,6,b)+ 2w⃗
sejam paralelos.
16. Determinar o valor de n para que o vetor v⃗ =
(
n,
1
2
,
3
4
)
seja unitário.
17. Determinar o valor de a para que u⃗ = (a,−2a,2a) seja um versor.
18. Dado o vetor v⃗ = (2,−1,−3), determinar o vetor paralelo a v⃗ que tenha:
a) sentido contrário ao de v⃗ e três vezes o módulo de v⃗ ;
b) o mesmo sentido de v⃗ e módulo 4;
c) sentido contrário ao de v⃗ e cinco vezes o módulo de v⃗ ;
19. Determinar o valor de y para que seja equilátero o triângulo de vértices A(4, y,4), B(10, y,−2) e C (2,0,−4).
20. Dados os vetores u⃗ = (2,−3,1) e v⃗ = (1,−1,4), calcular
a) 2u⃗ · (−v⃗)
b) (u⃗ +3v⃗) · (v⃗ −2u⃗)
c) (u⃗ + v⃗) · (u⃗ − v⃗)
d) (u⃗ + v⃗) · (v⃗ − u⃗)
21. Sejam os vetores u⃗ = (2, a,−1), v⃗ = (3,1,−2) e w⃗ = (2a −1,−2,4). Determinar a de modo que
u⃗ · v⃗ = (u⃗ + v⃗) · (v⃗ + w⃗)
22. Determinar o vetor v⃗ , paralelo ao vetor u⃗ = (2,−1,3), tal que v⃗ · u⃗ =−42.
23. Sabendo que |u⃗| = 2, |v⃗ | = 3 e u⃗ · v⃗ =−1, calcular
a) (u⃗ −3v⃗) · u⃗
b) (2v⃗ − u⃗) · (2v⃗)
c) (u⃗ + v⃗) · (v −4v⃗)
d) (3u⃗ +4v⃗) · (−2u⃗ −5v⃗)
24. Dados os vetores a⃗ = (2,1,α), b⃗ = (α+2,−5,2) e c⃗ = (2α,8,α), determinar o valor de α de modo que o
vetor a⃗ + b⃗ seja ortogonal ao vetor c⃗ − a⃗.
25. Determinar o vetor u⃗ tal que |u⃗| = 2, o ângulo entre u⃗ e v⃗ = (1,−1,0) é 45° e u⃗ é ortogonal a w⃗ = (1,1,0).
3
26. Calcular o valor de m de modo que seja 120° o ângulo entre os vetores v⃗ = (−3,1,n) e k⃗.
27. Dados os vetores u⃗ = (3,0,1) e v⃗ = (−2,1,2), determinar projv → u⃗ e proju → v⃗ .
28. Se u⃗ = 3⃗i − j⃗ − 2⃗k, v⃗ = 2⃗i +4 j⃗ − k⃗ e w⃗ = −⃗i + k⃗, determinar
a) |u⃗ × u⃗|
b) (2v⃗)×(3v⃗)
c) (u⃗ × w⃗)+ (w⃗ × u⃗)
29. Dados os pontos A(2,1,−1), B(3,0,1) e C (2,−1,−3), determinar o ponto D tal que
−−→
AD =−→
BC ×−→
AC .
30. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u⃗ + 2v⃗ e v⃗ − u⃗, sendo u⃗ = (−3,2,0) e
v⃗ = (0,−1,−2).
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