Aula 4- introdução à astronáutica

Prévia do material em texto

Introdução à astronáutica
Aula 4- Introdução à Dinâmica
Orbital
Prof. Dra. Bruna Niccoli Ramirez - CECS
bruna.niccoli@ufabc.edu.br
Aula do prof. Ramachrisna Teixeira -
IAG USP
Aula do prof. Ramachrisna Teixeira -
IAG USP
Como são definidas as estações do ano?
Leiam a aula completa: https://
edisciplinas.usp.br/pluginfile.
php/8009163/mod_resource/content/1/
A8_estac%CC%A7o%CC%83es_print.
pdf
Metas de compreensão:
1 - Explicar os conceitos básicos do movimento orbital e descrever como eles
são analisados;
2 - Explicar e usar as leis básicas de Newton;
3 - Empregar as leis de Newton para descrever geométrica e matematicamente
as órbitas;
4- Usar as constantes do movimento orbital (Energia mecânica específica e
momento angular específico) para determinar importantes variáveis angulares.
“Quantos anos você tinha quando descobriu que não
seria um astronauta?”
Quantos anos você
tinha quando
descobriu que iria
trabalhar com o
espaço?
=)
Na aula passada falamos que
trajetórias e órbitas são
elementos básicos de uma
missão espacial.
Para calcular tais
movimentos você
precisa saber um
pouco de cálculo,
geometria e física
básica.
Duas bolas de mesma massa caem ao mesmo tempo→ Os
movimentos vertical e horizontal são independentes.
Mesmo que você jogue a
bola mais e mais rápido, a
taxa de variação da
velocidade no tempo de
queda da bola sempre
será a mesma - 9,8 m/s2
(é o que chamamos de
aceleração gravitacional).
O que faz o tempo de
queda da bola variar é a
componente horizontal do
movimento.
Se você fosse um gigante arremessando uma bola desde
a Terra ao Espaço…
Um objeto em
órbita apenas
não cai na
Terra por
causa da sua
velocidade
horizontal.
Para compreender o movimento de um foguete ou de
uma bola, sempre construímos um checklist (mesmo que
mental) do Processo de análise deste movimento, o qual
deve conter:
1- O sistema de Coordenadas;
2 - A equação do movimento;
3 - As hipóteses simplificadoras assumidas;
4 - As condições iniciais;
5- Análise de erros;
6 - Teste do modelo.
Para construir tal análise precisamos de alguns conceitos
básicos da física:
- Massa?
- Inércia?
- Gravidade?
- Quais são as 4* leis de Newton?
1º Lei de Newton - Momentum - “Lei da Inércia”
“Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a
menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças aplicadas sobre ele”.
Momentum é a resistência que o objeto tem de alterar a velocidade e a quantidade de movimento.
Momento angular
É a quantidade de resistência de um objeto em rotação mudar sua velocidade
angular ou sua direção.
Momento angular
2º Lei de Newton - alteração do momentum - Princípio
fundamental da dinâmica - Lei da superposição das forças
“A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida e é
produzida na direção de linha reta na qual aquela força é aplicada.”
3° Lei de Newton - Ação e reação
“A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade: as ações
mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas em
sentidos opostos.”
Lei da atração universal
Dois corpos atraem-se por uma força diretamente proporcional ao
produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado
da distância que os separa.
Parâmetro gravitacional μ
Onde:
Usando o raio médio da Terra
6.378.137 m
Conservação do
momento
Energia (mecânica)
“Fg”
Energia mecânica total de um objeto orbitando a Terra:
Leis de Kepler
25
1ª Lei de Kepler
Toda órbita é
uma elipse
com o Sol (ou
corpo
principal) em
um de seus
focos.
26
Slide adaptado da aula da prof. Cláudia
Celeste
2ª Lei de Kepler
A linha entre o corpo
orbitante e o corpo
principal varre áreas
iguais em iguais
intervalos de tempo.
Day 0
Day
10
Day
20
Day
30
Day
40Day
50
Day
60
Day
70
Day
80
Day
90
Day 100
Day 110
Day 120
27
Adaptado da aula da prof. Cláudia Celeste
3ª Lei de Kepler
P2 = R3
P1 P2
R2
R1
EXAMPLO:
Earth
P = 1 Year
R = 1 AU
Mars
P = 1.88 Years
R = 1.52 AU
Define a relação
entre o período
orbital e o raio
médio de quaisquer
dois corpos em
órbita.
Para um
determinado corpo,
o período orbital e a
distância média do
segundo corpo em
órbita são:
P = Orbital Period
R = Average Radius
Slide da aula da prof. Cláudia Celeste
O problema restrito de dois corpos
O problema restrito de dois corpos - Sistema de referência
→ Na mecânica Newtoniana precisamos definir um sistema de referência inercial
(isto significa que o sistema de coordenadas não está acelerado*);
 * Isto é meramente uma simplificação, pois na realidade todos os sistemas de referência do universo estão
acelerando. O que nos permite fazer a essa suposição é que as leis de Newton são “suficientes” para resolver os
problemas da mecânica clássica.
→ Mas afinal, o que é um sistema de referência?
- São conjuntos de vetores unitários
posicionados entre si por ângulos retos que
nos permitem definir a magnitude e a direção
de um outro vetor em relação a eles.
O SISTEMA DE COORDENADAS SERVE PARA
FACILITAR A VIDA!
Para o caso de um satélite orbitando a Terra:
Escolhemos um sistema de coordenadas
geocêntrico equatorial com as seguintes
características:
→ Origem assumida: centro da Terra;
→ Plano fundamental: equador da Terra.
Perpendicular a este plano está o Polo Norte;
→ Direção Principal: Direção do equinócio
vernal que é encontrada pela linha que une a
Terra e Sol no primeiro dia da primavera.
Equação do movimento - para examinar como as forças externas
afetam o sistema
Quais forças atuam na espaçonave?
- Força gravitacional;
- Arrasto (quando estiver próxima à
atmosfera);
- Impulso (se houver);
- Força de atração gravitacional de
um 3º corpo (Sol, Lua, etc);
- Outros…
= 0 → Se fora da
atmosfera.
= 0 → Se não estiver em
manobra ou não for
prevista.
= 0 → A nave está muito
próxima da Terra,
portanto vamos assumir
apenas 2 corpos.
= 0 → ignoramos outras
forças, como
eletromagnética pela
interação com o campo
da Terra e etc
Hipóteses simplificadoras:
Hipóteses simplificadoras:
Assumimos também:
- A massa da Terra é muito
maior que a massa da nave;
- A massa da nave não varia no
tempo;
- A Terra é aproximadamente
esférica;
- A densidade da Terra é
aproximadamente homogênea
- a gravidade da Terra age
desde o centro do planeta;
- O sistema de coordenadas
geocêntrico equatorial é
suficientemente inercial,
portanto são válidas as Leis de
Newton.
Então, temos:
Isto denota a direção
da força
gravitacional - vide
apêndice do material
didático
Vetor de posição/
magnitude
Dividindo os dois lados por ‘m’, obtemos a Equação de movimento do problema
restrito a dois corpos.
Parâmetro
gravitacional
Aceleração
Vetor posição do satélite
Módulo do vetor
posição do satélite
Chegamos a uma equação diferencial de segunda ordem, vetorial e não linear…
ou seja, apesar de sua simples resolução (vide apêndice C3 do material do
moodle), ela não é uma equação que nos traga alguma resposta intuitiva apenas
ao observá-la.
Resolvendo-a para a magnitude do vetor de posição de um objeto no espaço,
chegamos a novos parâmetros:
O que a equação está nos dizendo?
Eu sou a solução do problema restrito
de dois corpos e descrevo a posição
da nave espacial, R, em termos de
duas constantes e do ângulo polar.
Esta equação também é a relação das seções cônicas…
Como, pela 1°Lei de Kepler, o movimento orbital se dá na geometria elíptica,
então podemos assumir a equação para este caso específico, ficando
portanto escrita assim:
Sabendo ainda que:
Geometria da Órbita - Elipse
Perigeu
0°
Apogeu
180°
e define a forma da elipse
a define o tamanho da elipse
θ define o ângulo desde o perigeu
Semi-eixo maior
anomalia
verdadeira
excentricidade
(0.0 to 1.0)
Apo/Peri geu – Terra
Apo/Peri lua – Lua
Apo/Peri helio – Sol
Apo/Peri apsides – não especificado
90°
120°
a
e
θ
150°
Adaptado da aula da
prof. Cláudia Celeste
Algumas relações:
Em que:
2a : Eixo maior2c : Distancia entre os focos
Ra : Raio do apoapsis
Rp : Raio do periapsis
Adaptado da aula da
prof. Cláudia Celeste
Determine as distâncias mais próximas e mais afastadas
do corpo principal.
Constantes do Movimento Orbital
Em um campo conservativo a energia mecânica e o
momento são conservados. O movimento orbital
acontece no campo conservativo gravitacional. Assim o
movimento do veículo espacial conserva a energia
mecânica e o momentum angular.
47
Energia Mecânica Especifica
Da energia mecânica:
Para generalizar a equação anterior, define-se a
ENERGIA MECANICA ESPECIFICA (ε) a qual não
depende da massa:
Assim:
A energia mecânica específica é conservada, então deve
ser a mesma ao longo da órbita. Quando veículo
espacial se aproxima do ponto mais afastado do corpo
principal (foco) ganha altitude, ou seja, ganha energia
potencial e ao mesmo tempo perde energia cinética e
quando se aproxima do ponto mais perto do foco perde
altitude, ou seja, ganha energia cinética.
Da expressão para energia total específica do problema
de dois corpos, tem-se:
Aplicável posteriormente para mudanças de
órbitas.
50
Existe uma relação entre a energia mecânica específica
e o semieixo maior da órbita:
Tipo de órbita a partir da sinal da energia mecânica
especifica:
• ε<0 (negativo)-- órbita circular ou
elíptica
• ε =0 -- órbita parabólica
• ε>0 (positivo) – órbita hiperbólica
51
Dada a energia, podemos determinar o período
orbital P, que é o tempo que demora o veículo
espacial em completar uma volta ao redor da sua
órbita:
52
Momento Angular Específico
momento angular específico (h):
O plano que contém ao vetor R e ao vetor V é o plano de órbita.
Exercícios
54
1) Dadas as massas da Terra, mTerra = 5.98 x 1024 kg e da Lua,
mLua = 7.35 x 1022 kg, calcule a força gravitacional que a
Terra exerce sobre a Lua sabendo que a distância média
entre os corpos é 3.84 x 108 m.
2) Usando o raio equatorial 6.378 km obtenha ag
a) na superfície da Terra
b) na altitude de 200km
55
c) na altitude de 500 km
d) Na altitude de 1.000 km
3) Obtenha o comportamento ag x h e analise o
resultado. Utilize o recurso gráfico do MatLab.
4) Utilizando a solução da equação para o raio orbital
de uma cônica obtenha a equação geral do raio orbital
para as distancias mais próximas, rp, e mais afastadas,
56
 
57
6) Obtenha o período orbital para dos dados do exercício 5.
7) Obtenha a equação geral da velocidade do perigeu, Vp, e do
apogeu, Va, de um satélite em função da excentricidade e
semieixo maior. Obtenha também para uma órbita circular.
8) Obtenha Vp e Va do satélite CBERS 1, 2 e 2B e do SCD1 e 2.
Compare o resultado com a velocidade de um satélite
geoestacionário (pesquise a velocidade de um satélite
geoestacionário).
58
9) Obtenha o comportamento da velocidade, V, (km/s) e
do período (min) orbital, P, em função da altitude, h, para
um satélite em órbita circular considerando as órbitas:
LEO e MEO (Discutir o resultado). Utilize recurso gráfico
do MatLab.
a) LEO – h entre 200 km e 2.000 km
b) MEO – h entre 15.000km e 25.000 km