Manual de Hidráulica

Prévia do material em texto

MANUAL 
DE 
HIDRÁULICA 
Esta a= edição do Manual de Hidráulica tem o patrocínio do Centro Estadual de Educação 
Tecnológica "Paula Souza" - CEETEPS e da Faculdade de Tecnologia de São Paulo - FATEC, 
SP, através da participação de seus docentes co-autores e ainda a colaboração inestimável 
dos seguintes professores do Departamento de Hidráulica: 
Dirceu .D:Alkmin Telles 
José Tarcísio Ribeiro 
Ariovaldo Nuvolari 
Wlad.imir Firsoff 
Edmundo Pu1z 
Joaquim Gabriel M. de Oliveira Neto 
com críticas e sugestões, até elaboração de textos, tabelas e gráficos. 
"Se tens de lidar com água, consulta 
primeiro a experiência, e depois a razão." 
Leonardo da Vinci 
(1452 - 1519) 
·~Hidráulica é a ciência das 
constantes variáveis." 
Desconhecido 
"Mais fácil me foi encontrar as leis com que 
se movem os corpos celestes, que estão a 
milhões de quilômetros, do que definir as 
leis do movimento da água, 
que escoa frente aos meus olhos." 
Galileu Galilei 
(1564 - 1642) 
CAESB 
BIBLIOTECA 
SEÇÃO DE INFORMAÇ!i.O E DOCUMENTAÇÃO 
PROF. DR. JOSÉ MARTINIANO D_E AZEVEDO NETI'O 
(1918- 1991) 
"MESTRE DE TODOS NÓS~ 
Engenheiro Civil, formado pela Escola Politécnica 
da Universidade de São Paulo em 1942 
MANUAL 
DE 
r 
HIDRAULICA 
COORDENAÇÃO: 
ROBERTO DE ARAUJO 
Co-autores 
MIGUEL FERNANDEZ Y FERNANDEZ 
Engenheiro Civil, formado pela Escola de Engenharia da Universidade Federal 
do Rio de Janeiro em 1970. Consultor em Engenharia Hidráulica e Saneamento 
ROBERTO DE ARAUJO 
Engenheiro Civil, formado pela Escola de Engenharia da Universidade Mackenzie em 
1956. Mestre em Engenharia Hidráulica pela Escola Politécnica da USP (1982) 
ACÁCIO EIJI ITO 
Engenheiro Civil, formado pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo em 1967. 
Mestre em Enge aria Hidráuli pela EscÇ,la ~olitécnica da USP (1983) , . ~ . 
EDITORA EDGARD BLÜCHER LTDA 
CAESB 
iO DE mf?RMAÇÀO E DOCUMENTAÇÃO 
MERO: i/~fü.. 
A: 30 1J Ü / ~.[,Q~ 
_._ ri -
© 1998 Azevedo Netto 
Miguel Fernandez y Fernandez 
Robeno de Araujo 
Acácio Eiji !to 
srr edição - 1998 
1" reimpressão - 2000 
É proibülo. a reproduçiio total. ou parcial 
por quaisquer meios 
sem autori:ztzção escriJa da editora 
EDITORA EDGARD BLÜCHER LTDA. 
Rua Pedroso Alvarenga, 1245 - cj. 22 
04531-012 - S. Paulo - SP- Brasil 
e-mail: eblucher@internetcom.com.br 
Impresso no Brasil Printed in Braxil 
-
APRESENTAÇAO DA 8~ EDIÇAO 
Em razão de conversas anteriores a respeito do Manual de Hidráulica, então em sua 6~ edição, 
em 1987 o Prof.Azevedo Netto contactou no Rio de Janeiro por telefone o Eng? Miguel Fernandez 
y Fernandez e convidou-o a conduzir uma nova edição do Manual. A razão dessa escolha nunca 
foi explicada e o prof. Azevedo limitou-se a afirmar que era sua decisão. 
Nos contactos posteriores, o professor explicou que era seu desejo a continuidade das edições, 
sempre atualizadas, através de co-autores que no futuro .escolheriam outros parceiros. Nessas 
reuniões foram determinadas as diretrizes da atualização, importando principalmente a não 
descaracterização do livro, de modo a manter a identidade com as edições anteriores. 
Esse trabalho sob a orientação do professor prosseguiu até 1990, frequentemente 
interrompido pelas atividades profissionais de ambos, mesmo sob a pressão perseverante do 
editor, e resultou na cristalização das linhas principais da revisão. Em junho de 1991, o prof. 
Azevedo Netto faleceu, interrompendo essa parceria. 
Por iniciativa do editor eng? Edgard Bliicher, nova parceria foi tentada com o eng? Guilhermo 
A. Alvarez, co-autor das 6~ e 77 edições, esta em 1991, novamente interrompida com o falecimento 
deste em 1995. 
Por outro lado, desde 1990 os professores do Departamento de Hidráulica da Faculdade de 
Tecnologia de São Paulo (FATEC-SP), do Centro Estadual de Educação Tecnológica "Paula Souza" 
(CEETEPS), vem se empenhando na modernização de seu Curso Superior de Tecnologia da 
Construção Civil - Modalidade Obras Hidráulicas, ministrado desde 1970, para transformá-lo 
em Curso Superior de Tecnologia em Hidráulica e Saneamento. O livro-texto adotado desde o 
início é o Manual de Hidráulica do prof? Azevedo Netto, que deverá permanecer após a 
implantação do novo curso. Para isso seria necessária uma revisão completa do texto, com a 
atualização dos meios e dos"procedimentos recomendados. Os equipamentos eletrônicos ora 
disponíve~s dispensam a utilização de ábacos e reduzem o uso de tabelas e gráficos, ainda 
importantes meios! 
Foi proposto e aceito pelo CEETEPS um projeto acadêmico para tal objetivo e o grupo 
constituído ficou sob a coordenação do prof. eng? Roberto de Araujo. Estabelecido o contacto 
com o eng? Edgard Bliicher, editor do livro, no final de 1995, este acolheu a colaboração oferecida 
e convocou o eng? Miguel Fernandez , então depositário dos desejos e planos do autor principal 
em relação ao futuro do Manual, para discussão do assunto. · 
Em reunião de março de 1996, o eng? Miguel transmitiu à nova parceria as diretrizes 
estabelecidas e entregou os rascunhos dos capítulos já trabalhados por ele; na ocasião, capítulos 
l? ao~ e 9?. Posteriormente enviou os capítulos 8?, 10'? e 13'?. Os capítulos 11'? e 12'? foram mantidos 
tal como na "?.edição, por absoluta falta de tempo. 
Os capítulos 14? a 20'? bem como os anexos 1, II e III foram trabalhados pela equipe do 
Departamento de Hidráulica da FATEC-SP, que também se incumbiu da revisão geral de todos os 
capítulos. 
Neste início de 1998 a tarefa foi considerada concluída e os textos entregues ao editor. 
Constatou-se no entanto, que ao final dessa etapa, não foi atingido o sentimento da revisão estar 
completa. 
Alguns assuntos resultaram satisfatórios, outros nem tanto. Espera-se que em nova 
oportunidade uma satisfação completa possa ser atingida. Alguns poucos assuntos tratados em 
edições anteriores ficaram fora desta. Também se espera voltar a eles. 
Para manter este livro útil e atual solicita-se aos usuários e leitores ·atentos que enviem ao 
editor suas críticas, comentários e correções. 
Falta apenas registrar que o empenho e a pertinácia do en~ Edgard Blucher foram 
fundamentai~ para este trabalho. 
().<; r:o-::mtnrP.<; 
Formação e queda de uma gota de água (CortesiB do Departamento 
de Hidráulica e Saneamento, Escola de E.ngenharia de São Carlos, USP) 
, 
PREFACIO 
Raros são os livros técnicos que chegam à 8~ edição. 
O "Manual de Hidráulica" do Prof. Dr.José Martiniano de Azevedo Netto atinge esse sucesso; 
por durante mais de 40 anos vem sendo consultado por seguidas gerações de técnicos para a 
elaboração de projetos de obras hidráulicas e sanitárias. 
Hoje é um livro que consta no curriculum de várias escolas de Tecnologia e Engenharia e 
representa papel importante na resolução de problemas relacionados aos Recursos Hídricos e ao 
Meio Ambiente. 
-!\Ssim como em edições anteriores, esta também introduz atualizações importantes, 
destacando-se os instrumentos de informática, agora ao alcance dos profissionais e alunos da 
área. 
Com o objetivo de adaptar-se às novas tendências, os assuntos foram reagrupados em número 
menor de capítulos, mas sem perder a profundidade, a abrangência e a didática. 
Ao mesmo tempo, foram agregados novos assuntos, como p.ex.: Instalações Prediais de Esgoto 
Sanitário, Instalações Prediais de Água Pluvial; Irrigação - Princípios, Métodos e 
Dimensionamento:· · 
Pela primeira vez, nosso querido mestre Azevedo Netto (1918-1991) não está presente 
fisicamente em uma atualização e publicação de sua obra. Apesar de ter nos deixado tão cedo, 
acredito que aprova e abençoa o resultado obtido por nossos colegas na continuidade de seu 
trabalho: 
Prof. Roberto de Araujo; coordenador 
Eng? Miguel Fernandez y Fernandez 
Prof. Acácio Ito 
Com a colaboração dos professores: 
Prof. Dr. Dirceu D'Alkmin Telles 
Prof. José Tarcísio Ribeiro 
Prof. Ariovaldo Nuvolari 
Prof. Wladimir Firsoff 
Prof. Edmundo Pulz 
Prof. Joaquim Gabriel M. de Oliveira Neto 
Tive o privilégio de conhecerparte dos membros dessa equipe, desde o tempo em que eram 
alunos da Escola Politécnica da USP e da. Faculdade de Tecnologia do CEETEPS; outros, de 
trabalharmos juntos na área de consultoria técnica. Muitos deles foram companheiros de luta no 
Departamento de Hidráulica da FATEC/São Paulo, que dirigí por alguns anos. 
Tenho a certeza de que o espírito deste manual continua vivo através do objetivo maior do 
nosso saudoso Prof. Azevedo Netto, que é estar sempre compromissado com a "Escola do Fazer". 
No futw-o, outras edições serão necessárias para adaptá-lo às inovações tecnológicas e 
normalização da ABNT. Gostaria que fossem elaboradas seguindo uma filosofia de trabalho que 
sempre me orientou durante todos esses anos: 
"A vida é a eterna luta em busca da perfeição". 
Kokei Uehara 
Professor Titular da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 
Departamento de Engenharia Hidráulica e Sanitária 
Usina de .Marmelos, fltiz de Fora. MG. primeira bidrelétrica da América do Sul,. inaugurada em 
05/09/1889, com potéD.ci.a de Sx 125 kW: Antes, em 1883. foi instalada a Usina do Ribeirão do 
!Dferno, em Diamantina. MG, com duas unidades de 48HP para a a.limentaçiio de bo.r:nbas d'água 
ZlB. exploraçii.o de diamantes. Ap6s essas, em 1901 entrou em operaç:i.o a Usina Edgard de Souza, 
no ri.o Tietê, para distnõuiç:i.o ZlB. cidade de São Paulo. Fonte, revista "IESA Noticias~, ano 11, n<t8, 
dezembro 1980. 
I 
CONTEUDO 
Princípios Básicos 
Hidrostática. Pressões e Empuxos 
Equihbrio dos Corpos Flutüantes 
Hidrodinâmica. Princípios gerais do movimento dos fluidos. 
Teorema de Bernoulli 
Orifícios, Bocais e Tubos Curtos 
Vertedores 
Escoamento em Tubulações. Análise dimensional e semelhança mecânica 
Cálculo de Tubulações Sob Pressão 
Condutes Forçados. Posições dos encanamentos, cálculo prático, 
materiais e considerações complementares 
Acessórios e Tubulações 
Estações Elevatórias, Bombas e Linhas de Recalque 
Golpe de Ariete. Transiente Hidráulico 
Sistemas de Tubulações. Condutos equivalentes, problemas dos 
reservatórios, distribuição em marcha, redes 
1 
23 
41 
45 
63 
87 
109 
141 
205 
225 
269 
325 
339 
,1W Condutas Livres ou Canais. Movimento Uniforme 361 
'is ) Cálculo do Escoamento em Canais 405 
~ 
@, Canais, Cálculo Prático e Considerações Complementares 417 
~) r'.EJ Hidrometria. Processos de medidas hidráulicas 423 
18 Sistemas Urbanos de Hidráulica Aplicada. Sistemas de abastecimento 465 
de água. Sistemas de esgoto sanitário. Sistemas de água pluvial 
19 Sistemas Prediais de Hidráulica Aplicada. Instalações prediais de água. 
Instalações prediais de esgoto sanitário. Instalações prediais 
de água pluvial 
20 Irrigação. Princípios, métodos e dimensionamento 
ANEXOS 
I Aplicações de Informática em Hidráulica 
II Sistema Internacional de Unidades (SI). Grandezas de Interesse 
à Hidráulica 
m Relações de Medidas e Conversões de Unidades 
Bibliografia recomendada 
índice 
605 
651 
652 
657 
662 
664 
-NOTAÇOES,GRANDEZAS 
NOTAÇÃO 
A 
D,d,d0 
DN 
V 
V 
p 
p 
F 
Q 
~ 
J 
i 
I, 10 
y,h, ij 
Ra 
Da 
g 
t 
to 
T 
b,B 
L 
L,J 
e,k 
p 
Rº 
Fr 
B 
e 
n 
f 
E UNIDADES 
GRANDEZA 
Seção líquida transversal, seção molhada 
Diâmetro 
Diâmetro nominal 
Velocidade 
Volume 
Pressão 
Peso 
Força 
Vazão, descarga 
Perda de carga total 
Perda de carga unitária 
Intensidade de chuvas 
Declividade 
Altura de lâmina liquida, altura de carga 
Raio hidráulico 
Diâmetro hidráulico 
Aceleração da gravidade 
Tempo, duração de chuvas 
Concentração de chuvas 
Recorrência de chuvas 
Largura (canais) 
Largura (vertedores) 
Comprimento 
Coeficiente de rugosi9.ade 
Potência 
Número de Reynolds 
Número de Fraude 
Número de Boussinesq 
Coeficiente de Hazen-Williams 
Coeficiente de Manning 
Coeficiente de resistência, de atrito 
LETRAS GREGAS USUAIS 
(j Tensão trativa 
µ Viscosidade dinâmica 
V Viscosidade cinemática 
'Y Peso específico 
p Massa específica 
õ Densidade 
UNIDADE 
m2 
m.mm 
m/s 
ml 
Pa,mc:a.~O 
N,k~ 
N.k~ 
m 3/s,e/s,e/min 
m 
m/m 
mm/h, l/s. ha 
m/m 
m 
m 
m 
m/s2 
s,min 
min 
anos 
m 
m 
m 
mm 
W,cv,HP 
Pa 
Pa.s 
m 2/s 
NJ:m3,~/ml 
kg/ml 
1 
I / 
PRINCIPIOS BASICOS 
1.1 - CONCEITO DE HIDRÁULICA.. SUBDIVISÕES 
O significado etimológico da palavra Hidráulica é "conduçã? de água" (do grego 
hydor, água e aulas, tubo, condução). 
Entretanto, atualmente, empresta-se ao termo Hidráulica um significado muito 
mais lato: é o estudo do comportamento da água e de outros líquidos, quer em 
repouso, quer em movimento. 
A Hidráulica pode ser assim dividida: 
• Hidráulica Geral ou Teórica 
Hidrostática 
Hidrocinemática 
Hidrodinâmica 
• Hidráulica Aplicada ou Hidrotécníca 
A Hidráulica Geral ou Teórica apro:xima-se muito da Mecânica dos Fluidos. 
A Hidrostática trata dos fluidos em repouso ou em equilíbrio, a Hidrocinemática 
estuda velocidades e trajetórias, sem considerar forças ou energia, e a 
Hidrodinâmica refere-se às velocidades, às acelerações e às forças que atuam em 
fluidos em movimento. 
A Hidrodinâmica, face às características dos fluidos reais, que apresentam 
grande número de variáveis físicas, o que tornava seu equacionamento altamente 
compl~xo, até mesmo insolúvel, derivou para a adoção de certas simplificações 
tais como a abstração do atrito interno, trabalhando com o denominado "fluido 
perfeito", resultando em uma ciência matemática com aplicações práticas bastante 
limitadas. 
Os engenheiros, que necessitavam resolver os problemas práticos que lhes eram 
apresentados, voltaram-se para a experimentação, desenvolvendo fórmulas 
empíricas que atendiam suas necessidades. 
Com o progresso da ciência e impulsionada sobretudo por alguns ramos onde 
se necessitaram abordagens mais acadêmicas, e onde houve disponibilidade de 
recursos para aplicação em pesquisa, e principalmente com o advento dos 
computadores, que permitiram trabalhar com sistemas de equações de grande 
complexidade, em pouco tempo a Hidrodinâmica desenvolveu-se e é hoje 
instrumento não apenas teórico-matemático, mas de valor prático indiscutível. 
2 PRINCIPIDS BÁSICOS 
A Hidráulica Aplicada ou Hidrotécnica é a aplicação concreta ou prática dos 
conhecimentos científicos da Mecânica dos Fluidos e da observação criteriosa dos 
fenômenos relacionados à água, quer parada, quer em movimento. 
As áreas de atuação da Hidráulica Aplicada ou Hidrotécnica são: 
•Urbana: 
Sistemas de abastecimento de água 
Sistemas de esgotamento sanitário 
Sistemas de drenagem pluvial 
Canais 
• Rural: 
Sistemas de drenagem 
Sistemas de irrigação 
Sistemas de água potável e esgotos 
• Instalações prediais: 
Industriais 
Comerciais 
Residenciais 
Públicas 
• Lazer e paisagismo 
• Estradas (drenagem) 
• Defesa contra inundações 
• Geração de Energia 
• Navegação e Obras Marítimas e Fluviais 
Os instrumentos utilizados para a atividade profissional de Hidrotécnica são: 
• analogias 
• cálculos teóricos e empíricos 
• modelos reduzidos físicos 
• modelos. matemáticos de simulação 
• hidrologia 
• arte 
Os acessórios, materiais e estruturas utilizados na prática da Engenharia 
Hidráulica ou Hidrotécnica são: 
• aterros • dragagens 
• barragens • drenos 
• bombas • eclusas 
• cais de portos 
• canais 
•comportas 
• diques 
• enrocamentos 
• flutuantes 
•medidores 
• orifícios 
_1.2 - EVOLUÇÃO DA HIDRÁULICA 
• poços 
• reservatórios 
• tubos e canos 
•turbinas 
•válvulas 
• vertedores 
• etc. 
Obras hidráulicas de certa importância remontam à Antigüidade. Na 
Mesopotâmia existiam canais de irrigação construídos na planície situada entre os 
rios Tigre e Eufrates e, em Nipur (Babilônia), existiam coletores de esgotos desde 
3750 a.e. 
Importantes empreendimentos de irrigação também foram executados no 
Egito, 25 séculos a.e., sob a orientação de Uni. Durante a XII dinastia, realizaram­
se importantes obras hidráulicas, inclusive o lago artificial Méris, destinado a 
regularizar as águas do baixo Nilo. 
EVOLUÇÃO DA HIDRÁULICA 3 
O primeiro sistema público de abastecimentode água de que se tem notícia, o 
aqueduto de Jerwan, foi construído na Assíria, 691 a.e. 
Alguns princípios de Hidrostática foram enunciados por Arquimedes\ no seu 
"Tratado Sobre Corpos Flutuantes", 250 a.e. 
A bomba de pistão foi idealizada pelo físico grego Ctesibius e construída pelo 
seu discípulo Hero, 200 a.e. 
Grandes aquedutos romanos foram construídos em várias partes do mundo, a 
partir de 312 a.e. No ano 70 a.e. Sextus Julius Frontinus foi nomeado 
Superintendente de Águas de Roma. 
No século XVI, a atenção dos filósofos voltou-se para os problemas encontrados 
nos projetos de chafarizes e fontes monumentais, tão em moda na Itália. Assim foi 
que Leonardo da Vinci2 apercebeu-se da importância das observações nesse setor. 
Um novo tratado publicado em 1586 por Stevin3, e as contribuições de Galileu4, 
Torricelli5 e Daniel Bernoulli6 constituíram a base para o novo ramo científico. 
Devem-se a Euler7 as primeiras equações gerais para o movimento dos fluidos. 
No s·eu tempo, os conhecimentos que hoje constituem a Mecânica dos Fluidos 
apresentavam-se separados em dois campos distintos: a Hidrodinâmica Teórica, 
que estudava os fluidos perfeitos, e a Hidráulica Empírica, em que cada problema 
era investigado isoladamente. 
A associação desses dois ramos iniciais, constituindo a Mecânica dos Fluidos, 
deve-se principalmente à Aerodinâmica. 
Convém ainda mencionar que a Hidráulica sempre constituiu fértil campo para 
as investigações e análises matemáticas, tendo dado lugar a estudos teóricos que 
freqüentemente se afastavam dos resultados experimentais. Várias expressões assim 
deduzidas tiveram de ser corrigidas por coeficientes práticos, o que contribuiu 
para que a Hidráulica fosse cognominada a "ciência dos coeficientes". As 
investigações experimentais tornaram famosos vários físicos da escola italiana, 
entre os quais, Venturi8 e Bidone. · 
Apenas no século XIX. com o desenvolvimento da produção de tubos de ferro 
fundido, capazes de resistir a pressões internas relativamente elevadas, com o 
crescimento das cidades e a importância cada vez maior dos serviços de 
abastecimento de água e, ainda, em conseqüência do emprego de novas máquinas 
hidráulicas, é que a Hidráulica teve um progresso rápido e acentuado. 
As investigações de Reynolds9 , os trabalhos de Prandtl1º e as experiências de 
Froude11 forneceram a base científica para esse progresso, originando a Mecânica 
dos Fluidos moderna. 
As usinas hidrelétricas começaram a ser construídas no final do século passado. 
Aos laboratórios de Hidráulica devem ser atribuídas as investigações que 
possibilitaram os desenvolvimentos mais recentes. 
O processamento de dados com o auxilio de computadores, além de abreviar 
cálculos, tem contribuído na solução de problemas técnico-econômicos para o· 
projeto e implantação de obras hidráulicas e propiciado a montagem de modelos 
de simulação que permitem prever e analisar fenômenos dinâmicos até então 
111 -ArqUimcdcs (287 -212 11.C.) 121 - Leonardo da Vinci (1452 -1519) 13 1 • Simiio Stevin ( 1548 -1620) 
141 • Galileu Golilei (1564 • 1642) 151 -Ev:mgclistn Torricelli (1608 -1647) 161 ·Daniel Bernoulli (1700 -1783) 
171 -Leon.ordo Euler (1707-1783) 181 -Giovnnni Bnttista Vcnturi (1746 -1822) 
191 -Osborne Reynolds (1842-1912) 1101 -LudwigPrnndtl (1875·1953) 1111 - William Fraude (1810·1879) 
4 PRINCIPIOS BÁSICOS 
impraticáveis de se proceder, ou feitos com tão significativas simplificações, que 
comprometiam a confiabilidade ou a economicidade. 
QUADRO 1.1 - Eventos históricos · 
INVENÇÕES AUfORES 
Esgotos 
Drenagem Empédocles 
Parafuso de· Arquimedes Arquimedes 
Bomba de pistão Ctesibius/Hero 
Aquedutos romanos 
Termas romanas 
Barômetro E.Torricelli 
Compressor de ar Otto von Gueriche 
Tubos de ferro fundido 
moldado JohanJordan 
Bomba centrífuga JohanJordan 
Máquina a vapor DenisPapin 
Vaso sanitário Joseph Bramah 
Turbina hidráulica Benoit Fourneyron 
Prensa hidráulica S.Stevin!J.Bramah 
Emprego de hélice John Ericson 
Manilhas cerâmicas 
extrudadas Francis 
Tubos concreto armado J.Monier 
Usina bidrelétrica 
Turbina a vapor A. Parsons/:Óe Lava 
Submarino J. P. Holland 
Tubos cimento amianto A.Mazza 
Tubos de ferro fundido Arens/ 
centrifugado Dimitri de Lavaud 
Propulsão ajato Frank Whittle 
TubosdePVC 
QUADRO 1. 2 - Eventos históricos no Brasil 
EVENTOS 
Primeiro sistema de abastecimento de água 
Primeira cidade com rede de esgotos 
Primeira bidrelétrica (para mineração) 
Primeira bidrelétrica (para abastecimento público) 
ANO 
3750 a.e. 
450 a.e. 
250 a.e. 
200 /120 a.e. 
150 a.e. 
20 a.e. 
1643 
1654 
1664 
1664 
1680 
1775 
1827 
1600/1796 
1836 
1846 
1867 
1882 
1884/1890 
1898 
1913 
1917 
1937 
1947 
ANO 
1723 
1864 
1883 
1889 
1.3 - SÍMBOLOS ADOTADOS E UNIDADES USUAIS 
PAÍS 
Babilônia 
Grécia 
Grécia 
Grécia 
Roma 
Roma 
Itália 
Alemanha 
França 
França 
França 
Inglaterra 
França 
Hol./lngl. 
Suécia 
Inglaterra 
França 
EUA 
Ingl./Suécia 
EUA 
Itália 
Brasil 
Inglaterra 
CIDADE 
Rio de Janeiro -RJ 
Rio de Janeiro - RJ 
Diamantina - MG 
Juiz de Fora - MG 
As grandezas físicas são comparáveis entre si através de medidas homogêneas, 
ou seja, referidas à mesma unidade. 
Os números apenas, sem dimensão de medida, nada informam em termos 
práticos: o que é maior, 8 ou 80? A pergunta carece de sentido porque não há termo 
de comparação. Evidentemente que 8 ml é mais que 80 litros (80dm3). Poderia ser 
de outra forma: 8kg e 80 kg. 
As "unidades" de grandezas físicas (dimensões de um corpo, velocidade, força, 
trabalho ou potência) permitem organizar o trabalho científico e técnico, sendo 
que com apenas sete grandezas básicas é possível formar um sistema que abranja 
SIMBOLOS ADOTADOS E UNIDADES USUAIS 5 
todas as necessidades. (Quadro 1.4). 
Tradicionalmente a engenharia, logo a Hidráulica também, usava o 
denominado sistema MKS (metro,quilograma,segundo) ou CGC (centímetro, grama, 
segundo), ou Sistema Gravitacional., em que as unidades básicas (MKS) são: 
QUADRO 1.3 
GRANDEZAS UNIDADE SfMBOLO DIMENSIONAL 
Força 
Comprimento 
Tempo 
quilograma-força 
metro 
segundo 
kgf 
m 
s 
F 
L 
T 
Entretanto, observou-se que esse sistema estabelecia uma certa confusão en­
tre as noções de peso e massa, que do ponto de vista físico são coisas diferentes. A 
massa de um corpo refere-se à sua inércia e o peso de um corpo refere-se à força 
que sobre este corpo exerce a aceleração da gravidade g. É evidente que uma mesma 
mas·sa de água, digamos um litro em determinada temperatura, tem pesos 
diferentes ao nível do mar ou a 2.000 m acima dele, sendo essa mesma massa mais 
"pesada" ao nível do mar, onde a aceleração da gravidade é maior, não esquecendo 
que a aceleração da gravidade também varia com a latitude (Quadro 1.6), e até com 
a posição da lua em relação à Terra (exemplo visível: as marés). 
Entre a força (F) e a massa de um corpo existe uma relação e>..-pressa pela equação 
(2!1 lei de Newton): 
onde: k é uma constante; 
m é a massa do corpo; 
a é a aceleração a que o corpo está submetido. 
Há dois sistemas de unidades que tornam a constante k igual a 1 (um): o SI 
(Sistema Internacional) ou absoluto e o gravitacional. No absoluto, .k é igual a 1 
(um) pela definição da unidade de força e no gravitacional pela definição da unidade 
de massa, ou seja: 
SISTEMA ABSOLUTO => a unidade de força é aquela que, ao agir sobre um 
corpo com a massa de um quilograma, ocasiona uma aceleração de um metro por 
segundo, por segundo, e se denomina "newton". A unidade de massa nesse sistema 
é correspondente a um bloco de platina denominado quilograma-protótipo, 
guardado em Sevres (França). 
SISTEMA GRAVITACIONAL => a unidade de força é igual a uma unidade de 
massa por uma unidade de comprimento por segundo, por segundo, logo a unidade 
de massa neste sistema é igual a g gramas. Como g varia de lugar para lugar, 
especialmente com a latitude e a altitude, ... 
M~lhor explicando, o Sistema Gravitacional torna o k igual à unidade pela 
definiçãoda unidade de massa. "Se um corpo de peso unitário cai livremente, a 
força unitária atuará e a aceleração será g", logo, para que a força unitária produza 
uma aceleração unitária, a unidade de massa será equivalente a g unid_ades de peso. 
No sistema métrico seria: 
1 kgf =unidade de massa x 1 m/s2, logo 
unidade de massa = 1 (kgf) / 1 (m/ sZ) = g (kg) 
6 PRINCIPIOS BÁSICOS 
Em outras palavras, a força gravitacional comunica à massa de 1 kg a aceleração 
g: lkgf = g 1 kg. O importante é entender que o peso de um corpo pode se reduzir a 
zero ao sair da gravidade terrestre, mas sua massa permanecerá a mesma. 
Evidentemente a definição de massa pecava por variar em função da aceleração 
da gravidade, o que não corresponde à realidade física da grandeza massa. 
Entretanto, as aproximações são boas o suficiente para, de maneira geral, em 
problemas pouco sensíveis à variação desse tipo de grandeza, continuarem a ser 
usadas, pelo hábito e pelas facilidades advindas principalmente do fato de que, a 
grosso modo: 
1 dm3 de H20 (um litro de água)= 1 kgf 
gerando a unidade prática de pressão conhecida como metro de coluna d'água 
(mca), tão difundida entre os técnicos. 
Por convenção internacional de 1960, foi criado o Sistema Internacional de 
Unidades (SI), também conhecido por Sistema Absoluto, legalmente em vigor no 
Brasil e na maioria dos países do mundo, do tipo MLT (massa, comprimento, tempo) 
e não FLT (força, comprimento, tempo) como era o Sistema Gravitacional. 
As unidades básicas desse sistema são o quilograma (neste caso seria um 
quilograma massa), o metro e o segundo. Deve-se atentar para a coincidência de 
nomenclatura entre a antiga unidade peso e a atual de massa, evitando-se assim as 
confusões daí advindas, infelizmente tão freqüentes. 
O SI é composto por sete grandezas básicas: 
QUADRO 1.4 
GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
·Tempo segundo s 
Intensidade de corrente ampere A 
TemperaturateI'Dlodinâinica kelvin K 
Intensidade luminosa candela cd 
Quantidade de matéria mol mol 
Havendo ainda as denominadas unidades complementares: 
ângulo plano radiano rad 
ângulo sólido esterradiano sr 
Cabe registrar que, para os fins usuais de engenharia hidráulica, não interessa 
a diferença entre o conceito de massa e quantidade de matéria, que vai interessar à 
física e à química puras. Um "mol" é a quantidade de matéria (ou quantidade de 
substância, nos EUA) de uma amostra ou sistema contendo tantas entidades 
elementares quantos átomos existem em 0,012 quilograma de carbono 12. 
Nesta edição, será adotado o Sistema Internacional (SI) de Unidades, sem 
abandonar entretanto os "usos e costumes" dos técnicos da área, a quem o livro se 
destina, estabelecendo também uma "ponte" entre aquele que se inicia no ofício e 
o veterano. 
As unidades derivadas do SI são estabelecidas através de tratamento algébrico 
ou dimensional das grandezas físicas básicas. 
Apresenta-se a seguir as grandezas mais freqúentes, com suas respectivas 
SIMBOLOS AOOTAOOS E UNIDADES USUAIS 7 
unidades para os cálculos relacionados com as atividades da hidráulica. 
, QUADR0-1.5 . , . · .. ' - . , .... .- , .. 
GRANDEZA SÍMBOLO UNIDADE RELAÇÃO COM DIMENSIONAL 
AS UNIDADES 
BÁSICAS 
ÁREA m2 V 
VOLUME m3 L3 
VELOCIDADE m/s LT-1 
ACELERAÇÃO m/s2 LT-2 
MASSA ESPECÍFICA kg/m3 ML-3 
FREQÜÊNCIA Hz hertz s-1 T-1 
FORÇA N newton kg·m/s2 MLT-2 
PRESSÃO Pa pascal N/m2 ML-1-r-2 
ENERGIA J joule N·m ML2T-2 
POT~NCIA w watt J/s ML2T-3 
VISCOSIDADE DINÂMICA p poise 0,1N·s/m2 M L-1 T-1 
VISCOSIDADE CINEMÁTICA St stokes 104 ·m2/s Lz-r-1 
MO])..{ENTO DE INÉRCIA m4 L4 
TENSÃO SUPERFICIAL N/m MT-2 
PESO ESPECÍFICO N/m3 ML-2T-2 
OBSERVAÇÃO: 
Para calcular o valor de g(cm/s2) em qualquer situação geográfica (latitude e 
altitude), abstraindo as distorções provocadas pela falta de homogeneidade da 
massa do planeta Terra, pode-se utilizar a fórmula (Gamow, 1? vol, p.38): 
g = 980,616 - 2,5928 X cos 2q> + 0,0069 X (cos 2q>)2 - 0,3086 X H 
onde q> = latitude em graus 
H = altitude em quilômetros 
No quadro 1.6 a seguir, apresentam-se valores de g calculados para diversas 
localidades pela fórmula acima mencionada. 
QUADRO 1.6 
CIDADE LATITUDE ALTITUDE AC. DA GRAVIDADE 
(graus) (m) (m/s2) 
Quito o 3 000 9,77100 
Manaus 3S 80 9,78068 
La Paz 17S 4000 9,77236 
Rio de Janeiro 23 s 1 9,78814 
São Paulo 24S 800 9,78637 
Buenos Aires 35 s 1 9,79729 
NewYork 42N 1 9,80345 
Paris 49N 150 9,80700 
Ilhas Malvinas 53 s 1 9,81331 
Portanto, para a realidade latino-americana parece que a melhor aproximação 
para o valor de g é 9,79 ou 9,80 e não o 9,81 citado nas bibliografias européia e 
norte-americana. Neste livro, sempre que for o caso, será utilizado o valor g = 9,80 
m/s2• 
8 
1.4 - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS, CONCEITOS 
1.4.1 - Definições . Fluidos: líquidos e gases 
PRINCIPIOS BÁSICOS 
Fluidos são substâncias ou corpos cujas moléculas ou partículas têm a 
propriedade de se mover, umas em relação às outras, sob a ação de forças de mínima 
grandeza. 
Os fluidos se subdividem em líquidos e aerüormes (gases, vapores). Em virtude 
do pouco uso da expressão aeriforme, serão utilizados neste livro os termos gases 
ou vapores, indistintamente, com o conceito de substância aeriforme. 
Os líquidos têm uma superfície livre, e uma determinada massa de um líquido, 
a uma mesma temperatura, ocupa só um determinado volume de qualquer reci· 
piente em que caiba sem sobras. Os líquidos são pouco compressíveis e resistem 
pouco atrações e muito pouco a esforços cortantes (por isso se movem facilmente). 
Os gases quando colocados em um recipiente, ocupam todo o volume, 
independente de sua massa ou do tamanho do recipiente. Os gases são alta.mente 
compressíveis e de pequena densidade, relativamente aos líquidos. 
O estudo do escoamento de gases (ou vapores) na Hidráulica praticamente só 
está presente nos problemas de enchimento e esvaziamento de tubulações e 
reservatórios fechados, quando há que se dar passagem ao ar através de dispositivos 
tais como ventosas e respiradores, ou ainda, na análise de problemas de 
descolamento de coluna líquida em tubulações por fenômenos transitórios 
hidr.áulicos (golpe de ariete). 
A forma como um líquido responde, na prática, às várias situações de 
solicitação, depende basicamente de suas propriedades físico-químicas, ou seja, de 
sua estrutura molecular e energia interna. A menor partícula de água, objeto da 
Hidráulica, é uma molécula composta por dois átomos de hidrogênio e um de 
oxigênio. Entretanto, uma molécula de água não forma o que em engenharia 
hidráulica se designa como tal. São necessárias muitas moléculas de água juntas, 
para que se apresentem as características práticas desse composto. A proximidade 
dessas moléculas entre si é função da atração que umas exercem sobre as outras, o 
que varia com a energia interna e, portanto, com a temperatura e com a pressão. 
Os estados físicos da água (sólido, líquido e gasoso) são resultado da maior ou 
menor proximidade e do arranjo entre essas moléculas e, portanto, da energia 
presente em forma de pressão e de temperatura. A medida de energia é o "joule", a 
de calor a "caloria" e a de pressão o "pascal". Uma caloria é a energia requerida 
para aquecer um grama de água, de um grau Kelvin (ou Celsius). 
Para passar de um estado físico para outro (ou de uma fase para outra), a água 
apresenta uma característica própria, que é a quantidade de calor requerida, sem 
correspondente variação de temperatura, denominada calor latente de vaporização 
(líquido<=> vap.or) e calor latente de cristalização (sólido<=> líquido). Ao nível do 
mar, a 45º de latitude e à temperatura de 20ºC, a pressão atmosférica é de 0,1 MPa 
(l,03 3 kgf/ cm2).N essas condições, se a temperatura de uma massa líquida for elevada 
à temperatura de lOOºC e aí mantida, ela evapora segundo o fenômeno da ebulição 
ou fervura. Em altitudes acima do nível do mar, a pressão atmosférica é menor e a 
água evapora a temperaturas tambémmenores. (Figura 1.1). 
Denomina-se "pressão de vapor"(ou "tensão de vapor") de um líquido a 
"pressão" na superfície, quando o líquido evapora. Essa "pressão de vapor" varia 
com a temperatura. O Quadro 1.7 mostra a variação da pressão de vapor da água 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS, CONCEITOS 9 
conforme a temperatura. Observe-se que a pressão de vapor iguala a pressão 
atmosférica normal a lOOºC e que, havendo uma diminuição de pressão (por 
exemplo em sucção de bombas), a pressão de vapor pode chegar a ser ultrapassada 
(para baixo) e a água passa ao estado de vapor bruscamente, criando o denominado 
efeito de "cavitação". 
Pressão 
/' 
100 Temperatura íC) 
"' e 
w Calor latente 
do cristalização 
100 
Figura 1.1 - Variação da pressão e energia da :ígua conforme a temperatura. 
Temporatura íC) 
QUADRO 1. 7 - Tensão de vapor da água conforme a temperatW'a. 
para g = 9,80 m/s2 (ao nível do mar) · 
TEMPERATURA PRESSÃO DE VAPOR DA ÁGUA 
ºC N/m2 kgf/m2 m.c.a. 
o 0,062 
4 813 83 0,083 
10 1225 125 0,125 
20 2 330 239 0,239 
30 4 490 458 0,458 
50 12 300 1259 1,259 
80 47 300 4830 4,830 
100 101200 10 330 10,330 
" . 
QUADRO 1.8 - Ponto de ebulição da água conforme a altitude: 
ALTITUDE (m) O 500 800 1000 1500 2 000 3 000 4 000 
(SiioPoulo) (Quito) (La Paz) 
ºC 100 98 97 96 95 93 91 89 
1.4.2 - Massa específica, densidade e peso específico 
A massa de um fluido em uma unidade de volume é denominada densidade 
absoluta, também conhecida como massa específica (kg/ m3) ("density"). 
O peso específico de um fluido é o peso da unidade de volume desse fluido 
(N/m3)("unit weight"). 
10 PRINCIPIOS BÁSICOS 
Essas grandezas dependem do número de moléculas do fluido na unidade de 
volume. Portanto, dependem da temperatura, da pressão e do arranjo entre as 
moléculas. 
A água alcança sua densidade absoluta máxima a uma temperatura de 3,98ºC. 
Já o peso específico da água nessa mesma temperatura também será igual à unidade 
em locais onde a aceleração da gravidade seja de 9,80m/s2 e a pressão de 1 atm 
(760mmHg, 10,33mca ou 0,1 MPa). 
Chama-se densidade relativa de um material a relação entre a massa específica 
desse material e a massa específica de um outro material tomado como base. No 
caso de líquidos, essa substância normalmente é a água a 3,98ºC. Tratando-se de 
gases, geralmente adota-se o ar nas CNTP [Condições Normais de Temperatura(20ºC) 
e pressão(l atm)]. Assim, a densidade relativa do mercúrio é 13,6 e da água salgada 
do mar em torno de 1,04 (números adimensionais) ("specific gravity"). 
QUADRO 1.9 -Variação da massa específica da água doce com a temperatura 
Temperatura Massa específica Temperatura Massa específica 
(ºC) (kgjm3) (ºC) (kg/m3). 
o 999,87 40 992,24 
2 999,97 50 988 
4 1000,00 60 983 
5 999,99 70 978 
•. 
10 999,73 80 972 
15 999,13 90 965 
20 998,23 100 958 
30 995.67 
Em termos práticos, pode-se dizer que a densidade da água é igual à unidade e 
que sua massa específica é igual a 1 kg/t e seu peso específico é 9,8 N/t. 
1.4.3 - Compressibilidade 
Compressibilidade é a propriedade que tem os corpos de reduzir seus volumes 
sob a ação de pressões externas. 
Considerando-se a lei de conservação da massa, um aumento de pressão 
corresponde a um aumento de massa específica, ou seja, uma diminuição de volu­
me. Assim, 
onde a é o coeficiente de compressibilidade 
V é o volume inicial 
dp é a variação de pressão 
equação(1) 
O inverso de a é t (t = l/a), denominado módulo de elasticidade de volume. 
Porém, a massa (m) vale 
m = pV =constante 
onde p é a massa específica 
Derivando, tem-se 
pdV+Vdp=O, 
dV 
V=-P­
dp 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS, CONCEITOS 
e substituindo o valor de Vna eq. (1) tem-se: 
dV=_!.pdV dp 
E dp 
!.._== dp 
p dp 
11 
eqaação(2) 
Verifica-se diretamente da equação (2) , que o módulo de elasticidade de vo­
lume tem dimensões de pressão e é dado, geralmente, em kgf/cm2 ou kgf/mZ(M.KS) 
e em N/m2 ou Pa (SI). (1 kgf = 9,8 N). 
Para os líquidos, ele varia muito pouco com a pressão, entretanto, varia 
apreciavelmente com a temperatura. Os gases tem t muito variável com a pressão 
e com a temperatura. 
QUADRO 1.10 - VariaÇão de<. e o. da água doce com a temperatura 
Temperatu:ra e a e a 
(ºC) (N/m2) 108 (m2JN) 10.10 (kg* /m2) · 108 (mZfkg*). 10-10 
o 19,50 5,13 1,99 50,2 
10 20,29 4,93 2,07 48,2 
20 21,07 4,75 2,15 46,5 
30 21,46 4,66 2,19 45,6 
Suponha-se que .certa transformação de um gás se dê a uma temperatura 
constante e que a mesma obedeça à lei de Boyle: Então, 
p ==constante; 
p 
Pela equação (2) tem-se 
E.=p 
dai, dp = p 
dp p 
equação (3) 
O resultado da eq. (3) pode ser assim escrito: "quando um gás se transforma 
segundo a lei de Boyle, o seu módulo de elasticidade de volume iguala-se à sua 
pressão, a cada instante". 
Para os líquidos, desde que não haja grandes variações de temperatura, pode­
se considerar e constante. Então, a eq. (2) pode ser assim integrada: 
p 1 
ln-==-(p-po) 
Po E 
equação(4) 
A eq. ( 4) expressa a variação de p com p. Como essa variação é muito pequena, 
pode-se escrever a expressão aproximada: 
P-Po = o:(p- p 0 ), de onde vem P = Po (l+o:(p- Po)J 
Po 
Nos fenômenos em que se pode desprezar a, tem-se p = p0 , que é a .:ondição de 
incompressibilidade. 
Normalmente, a compressibilidade da água é considerada, em termos práticos, 
apenas no problema de cálculo do golpe de aríete. 
12 PRINCIPIOS BÁSICOS 
Critérios de compressibilidade 
De acordo com o fenômeno considerado, não se pode prescindir da compres­
sibilidade de um líquido (golpe de aríete), ou, em outro extremo, pode-se prescindir 
da compressibilidade de um gás (movimento uniforme com baixas velocidades). 
Chamando de "e" a celeridade de propagação do som no fluido, sabe-se (New­
ton) que: 
ou e= /ciP 
~dp 
Portanto, a compressibilidade de um fluido está intimamente relacionada com 
a celeridade. 
Na água, a lOºC e à pressão atmosférica ao nível do mar: e= 1 425 m/s. 
S6 se pode considerar p constante ou dp = O se dp = O ou e = oo. 
Nos fenômenos do golpe de ariete não se pode considerar p constante, pois 
dp '* O e e é um valor finito. 
Pode-se, entretanto, considerar p constante nos fenômenos que envolvem 
pequenas massas de fluidos, onde se considera e= oo, ou em fenômenos em que p 
varia muito gradualmente, onde se considera dp =O. 
Chamando-se de -número de Mach (Ma) a relação entre a velocidade de um 
escoamento "v .. e a celeridade de propagação do som no mesmo fluido, 
Ma=~ 
e 
Chamando de K a constante da transformação adiabática, pode-se deduzir a 
seguinte relação: 
[ 
K-1 ·]l~K p=p0 1+-
2
-Ma· 
onde p 0 é a massa específica para v = O. 
Para Ma= 0,3 e um escoamento de ar (K = 1,4) com velocidade de 10.0m/s, tem-
se: 
P= 0,967 Po 
Nesse caso, igualando-se p a p0, comete-se um erro de aproximadamente 4%. 
O critério, portanto, para se considerar um gás compressível ou não, depende 
do erro que se permita cometer nos cálculos. 
No exemplo acima, o erro foi de 4%, que muitas vezes é inferior aos erros com 
que se tomam os dados do problema. 
1.4.4 - Elasticidade 
Berthelot, em 1850, descobriu essa propriedade que têm os líquidos de 
aumentar seu volume quando se lhes diminui a pressão. Para os gases, a 
propriedade já era bem conhecida. 
Em seguida, Worthington provou que o aumento de volume, devido a uma 
certa depressão, tem o mesmo valor absol~to que a diminuição do volume, para 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS, CONCEITOS 13 
uma compressão de igual valor absoluto. Isto é, os módulos de elasticidade são 
iguais à depressão e à compressão. 
Os gases dissolvidos afetam essa propriedade, quando se trata de grandes 
pressões. 
Exemplo: 1.1 - Suponhamos a água sob uma profundidade, ou seja, sob uma 
carga de 1 000 mca. Considerando a água a uma temperatura de 20°C (massa 
específica de 998 kg/m3), com módulo de elasticidade volumétrico de 2,15 x 
108 kgf/m2 ou 21,07 x 108 N/m2• A essa profundidade, se considerarmos a água 
incompressível, a pressão é de 99,80 kgf/cm2 (978 N/cm.2 ). Calculando·a massa 
específica da água a essa pressão, a diferença de pressão pode ser entendida 
como a força do peso por unidade de área, logo: 
m V 
dp=F/A= A ·g=po· A ·g 
dp = 998(kg/m3) • 1.000(m) · 9,80(m/s2) 
dp = 9 780 400(N/m2) 
da equação (1) 
dV 
=dp= e-, 
V 
dV dp -=--
V e 
~ = - (9 780 400/21,07. 108) = - 0,004642 
sendo 
m 
Po=v· V=!E. 
Po 
p = 1 002,65 (kg/ m3) 
sendo p0 = 998kg/m 3 
portanto, houve um acréscimo de ·densidade de 0,47%: 
(1 002,65 / 998 = 1,00466). 
Da mesma forma, sob uma coluna de água de 200 m, um litro de água nas 
CNTP reduz-se a 999cm3 de água na mesma temperatura. 
A água é cerca de 100 vezes mais compressível que o aço (variando com o tipo 
de aço). 
1.4.5 - Viscosidade / Abito interno. Líquidos perfeitos. Atrito externo 
1-Viscosidade/Atrito interno 
Quando um fluido escoa, verifica-se um movimento relativo entre as suas 
partículas, resultando um atrito entre as mesmas. Atrito interno ou viscosidade é 
a propriedade dos fluidos responsável pela sua resistência à deformação. 
14 l'RINCIPIOS BÁSICOS 
Pode-se definir ainda a viscosidade como a capacidade do fluido em converter 
energia cinética em calor, ou capacidade do fluido em resistir ao cisalhamento 
(esforços cortantes). 
A viscosidade é diretamente relacionada com a coesão entre as partícUias do 
fluido. Alguns líquidos apresentam essa propriedade com maior intensidade que 
outros. Assim, certos 6leos pesados escoam mais lentamente que a água ou o álcool. 
Ao se considerarem os esforços internos que se opõem à velocidade de 
deformação, pode-se partir do caso mais simples, representado pela Fig. 1.2. No 
interior de um líquido, as partículas contidas em duas lâminas paralelas de área 
(A), movem-se à distância (t:.IJ.), com velocidades diferentes (v) e (v + 6.v). 
A V A 
IM 
B IA-Ô.V ~ 8 
Figu=1.Z 
A segunda lâmina tenderá a acelerar a primeira e a primeira a retardar a 
segunda. 
A força tangencial (F) decorrente dessa diferença de velocidade será 
proporcional ao gradiente de velocidade (igual à velocidade de deformação angu­
lar).· 
ll.v 
F=µA­
illl 
equação (5) 
Onde "µ" é um coeficiente característico do fluido, em determinada 
temperatura e pressão, que se denomina coeficiente de viscosidade dinâmica ou 
viscosidade. A eq. (5) também é conhecida como equação da viscosidade de New­
ton. A viscosidade varia bastante com a temperatura e pouco com a pressão. 
O coeficiente de viscosidade dinâmica ou absoluta, ou simplesmente, 
viscosidade, tem a dimensional 
ML-1 r-1 no (SI), e FL-2 T no (MKS) 
No sistema (SI), a unidade de"µ" denomina-sepouiseuille, abreviatura "Pe", e 
no sistema (MKS), denomina-se poise, abreviatura "P". 
1 Pl = 1 N·s/m2 
lP = 0,1 N·s/m2 
100 centipoise = 1 P = 1 g/cm·s 
Para a água a 2úºC e 1 atm, tem-se "µ" = 1Q·3 N.s/m2 = 1 centí.poise 
Por essa facilidade de a água ter a viscosidade igual à unidade nas CNTP, ela é 
usada como padrão de viscosidade, exprimindo-se a viscosidade de outros fluidos 
em relação à mesma. 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS. CONCEITOS 15 
Temperatura µ Temperatura µ 
ºC (N.s/m2 ) io-s ºC (N.s/m2) 10-s 
o 1791 40 653 
2 1674 50 549 
4 1566 60 469 
5 1517 70 407 
10 1308 80 357 
15 1144 90 317 
20 1008 100 284 
30 799 
Dividindo-se o valor do coeficiente de viscosidade "µ"pela massa específica do 
fluido "p ", obtem-se o coeficiente de viscosidade cinemática "v". 
V=l!:._ 
p 
Esse coeficiente tem a vantagem de não depender da unidade de massa. 
A unidade de viscosidade cinemática no (SI) tem a dimensional [L2 T-1] e 
exprime-se em m 2 /s, e no (MKS) tem a mesma dimensional, exprimindo-se em cm2/s e 
denomina-se stoke, abreviação St. 
QUADRO 1.12-' Variação de ".v•· da água doce cóin ·a temperatura . · · · ·.' --_ ~ 
Temperatura V Temperatura V 
ºC (m2 / s) 10-9 ºC (m2 / s) 10-9 
o 1792 40 657 
2 1673 50 556 
4 1567 60 478 
5 1519 70 416 
10 1308 80 367 
15 1146 90 328 
20 1007 100 296 
30 804 
Os fluidos que obedecem a essa equação de proporcionalidade, eq. (5), ou seja, 
quando há uma relação linear entre o valor da tensão de cisalhamento aplicada e a 
velocidade de deformação resultante, quer dizer, o coeficiente de viscosidade 
dinâmica "µ" constante, são denominados fluidos newtonianos, incluindo-se a 
água, líquidos finos assemelhados e os gases de maneira geral. 
Entretanto, não devem ser esquecidos os fluidos denominados· não­
newtonianos, que não obedecem a essa lei de proporcionalidade e são muito 
encontrados nos problemas reais de engenharia civil, tais como lamas e lodos em 
geral. Os fluidos não-newtonianos apresentam uma relação não linear entre o valor 
da tensão de cisalhamento aplicada e a velocidade de deformação angular. 
Basicamente, há três tipos de fluidos não-newtonianos: 
Tipo (1) viscosidade que não varia com o estado de agitação. Embora não 
obedeça à proporcionalidade linear da eq (5), obedece a equações semelhantes em 
que, por exemplo, o coeficiente de viscosidade cinemática está elevado a uma 
potência. 
16 PRINCIPIOS BÁSICOS 
Tipo (2) "tixotrópicos", em que a viscosidade cai com o aumento da agitação. 
Em bombeamentos, podem ser tratados como newtonianos desde que introduzidos 
no sistema a partir de certa velocidade ou agitação. Exemplo: lodos adensados de 
estações de tratamento de esgotos. 
Tipo (3) "dilatante", em que a viscosidade aumenta com o aumento da agitação. 
Exemplo: algum.as pastas industriais, o melado da cana de açúcar. 
A Fig. 1.3 melhor ilustra o assunto. 
Figura 1.3 -Diagrama. cisalbaznento x deformação 
Tensão de 
cisalhamento 
· Tensão de 
escoamento 
Plástico ideal 
Fluido não newtoniano 
Fluido newtoniano 
Velocidade de deformação 
Como se pode observar pelas tabelas dos Quadros 1.11 e 1.12, a viscosidade 
varia consideravelmente com a temperatura e, portanto, essa é uma variável 
importantíssima a ser levada em consideração nos cálculos. A bibliografia registra 
a diminuição de capacidade de vazão de poços da ordem de até 3 0%, quando a 
temperatura da água se aproxima dos 4ºC, facilmente entendida se observarmos 
que o escoamento em meio poroso (laminar e com muita superfície de contato), 
como é o caso da maioria dos aqüíferos subterrâneos, é sobremaneira afetado pela 
viscosidade. 
De maneira geral, para os líquidos, a viscosidade cai com o aumento da 
temperatura e para os gases sobe com o aumento da mesma. 
O atrito interno pode ser evidenciado pela seguinte experiência: imprimindo­
se a um cilindro contendo um líquido um movimento de rotação em torno do seu 
eixo, dentro de pouco tempo, todo o líquido passa a participar do mesmo 
movimento, assumindo a forma parabólica. A bomba centrifuga utiliza-se desse 
principio. Figs. 1.4 e 1.5, respectivam.ente. 
2 - Líquidos perfeitos 
Um fluido em repouso goza da propriedade da isotropia, isto é, em torno de 
um ponto os esforços são iguais em todas as direções. 
Num fluido em movimento, devido à viscosidade, há anisotropia na 
distribuição dos esforços. 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS, CONCEITOS 17 
.. 
\._, 
!;f ~3?~s~:-20 
; ·:i.~':'.} ,::.:~;._·,.~ .......... ':.i-::·: 
•· ·c, ··:··· ~'·'.: 
Figura1.4 
Figura 1.5 - A) Eixo/entra.da 
B) Rotor C) Líquido em aceleração 
D) Carcaça E) Said.D. 
Em alguns problemas particulares, pode-se, sem grave erro, considerar o fluido 
sem viscosidade e incompressível. Essas duas condições servem para definir o que 
se chama líquido perfeito, em que a densidade é uma constante e existe o estado 
isotrópico de tensões em condições de movimento. 
O fluido perfeito não existe na prática, ou seja, na natureza, sendo portanto 
uma abstração teórica, mas em um grande número de casos é prático considerar a 
água como tal, ao menos para cálculos expeditos. 
3 -Atrito externo 
Chama-se atrito externo à resistência ao deslizamento de fluidos, ao longo de 
superfícies sólidas. 
Quando um líquido escoa ao longo de uma superfície sólida, junto à mesma 
existe sempre uma camada fluida, aderente, que não se movimenta. 
Nessas condições, deve-se pois entender que o atritoexterno é uma 
conseqüência da ação de freio exercida por essa camada estacionária sobre as demais 
partículas em movimento. 
Na experiência anterior, Fig. 1.4, o movimento do líquido é iniciado graças ao 
atrito externo que se verifica junto à parede do recipiente. 
Um exemplo importante é o que ocorre com o escoamento de um líquido em 
um tubo. Forma-se junto às paredes uma peÜcula fluida que não participa do 
movimento. Junto à parede do tubo, a velocidade é zero, sendo máxima na parte 
central, Fig. 1.6. 
Em conseqüência dos atritos e, principalmente, da viscosidade, o escoamento 
de um líquido numa canalização somente se verifica com certa perda de energia, 
perda essa designada por perda de carga. 
18 PRINCIPIOS BÀSICOS 
Figura.1.6 
·1·· .. Perda. de· ·. 
carga 
(b) 
Figura 1.7-(a) sem escoamento: prindpio dos vasos comWliCBlltes, (b) com escoamento: perda 
de carga 
1.4.6 - Coesão, adesão e tensão superficial 
A primeira propriedade permite às partículas fluidas resistirem a pequenos 
esforços de tensão. A formação de um gota d'água deve-se à coesão. 
Quando um líquido está em contato com um sólido, a atração exercida pelas 
moléculas do sólido pode ser maior que a atração existente entre as moléculas do 
próprio líquido. Ocorre então a adesão. 
Na superfície de um líquido em contato com o ar, há a formação de uma 
verdadeira película elástica. Isso é devido à atração entre as moléculas do líquido 
ser maior que a atração exercida pelo ar e ao fato de as moléculas superficiais 
2,5 
E 
o 
õ.2.0 
.a .a 
o . 
"O 1,5 
e 
ãj 
E 
:!:! 1,0 
e 
0,5 
Figunl.1.8 
1\\ ·. t . 
\ " l __ h l:l:i-<. -----
' \ t 1 th •· ..• ·~, l!ii\jo. , 
t \ r": Mercúrio ~ ' - . · b:,,4;m;J 
Agua 
\ \. 1-.......i... 
'~ ... ~ 
ºó-
..,;:,:; ~ ~ti/a 1~ ,_ 
..... /º ....... ~· -~ K ~e/'),_ 1---. ~ 
i"'.. -- ~ ~ 
o o.os 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 ,0,45 0,50 
h: Elevação ou depressão da coluna, cm 
Capilaridade: . A água n:iolha oyidro (adesão maior), elevando-se. · . 
·o i:nercúrio não moltia·o yídro (coesão maior), rebaixando-se. 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS, CONCEITOS 19 
atraídas para o interior do líquido tenderem a tornar a área da superfície um 
mínimo. É o fenômeno da tensão superficial. 
As propriedades de adesão, coesão e tensão superficial são responsáveis pelos 
conhecidos fenômenos de capilaridade, Fig. 1.8. 
A elevação do líquido, num tubo de pequeno diâmetro, é inversamente 
proporcional ao diâmetro. Como tubos de vidro e de plástico são frequentemente 
empregados para medir pressões (piezômetros), é aconselhável o emprego de tubos 
de diâmetro superior a 1 cm, para que sejam desprezíveis os efeitos de capilaridade. 
Num tubo de 1 mm de diâmetro, a água sobe cerca de 35cm. 
A tensão superficial '"t" tem dimensional [Mr-2] no (SI), exprime-se em N/m e 
varia com a temperatura. O Quadro 1.13, mostra os valores de tensão superficial 
para a água doce normal a diferentes temperaturas. 
QUADRO 1.1:~ - Variação de "t '' da água doce com a temperatura 
Temperatura 't Temperatura 't 
ºC (N/m) 10-2 ºC (N/m) 10-2 
o 7,513 50 6,778 
2 7,515 60 6,622 
10 7,375 70 6,453 
20 7,230 80 6,260 
30 7,069 90 6,070 
40 6,911 100 
Esses valores variam ainda com o material eventualmente dissolvido na água. 
Por exemplo, os sais minerais normalmente aumentam a tensão superficial e 
compostos orgânicos , como o sabão e o álcool, além dos ácidos em geral, diminuem 
a tensão superficial da água que os dissolve. 
Quanto á adesão de um líquido a um sólido, esta pode ser "positiva"(sólidos 
hidrófilos) ou "negativa"(sólidos hidrófobos), Fig. 1.9. 
Figura 1.9 
-~ ~r~ ~-G_o_ta_d_e_á_,g,_u_a k. 
Ar 
a-::s= Gota de água 
Sólido hidrófobo, a> 90' Sólido hidrófilo, o: < 90' 
por exemplo: parafina (a =- 107") por exemplo: vidro (o: =- 25') 
A adesão da água com a prata é praticamente neutra, sendo a:= 90° nas CNTP. 
A capilaridade dos solos finos é bastante conhecida e deve-se às características de 
seus compostos, sendo a adesão de tal forma forte que só se separa a água por 
evaporação. 
O cálculo da altura (h) que um líquido sobe ou desce em um capilar de diâmetro 
interno (d), Fig.1.10, suficientemente pequeno para desprezar-se o volume de água 
acima ou abaixo do plano de tangência do menisco, é feito da seguinte forma: 
20 PRINCIPIO$ BÁSICOS 
4·-r·sena 
h= onde: r·d 
Figura.1.10 d 
·I NA 
1 
p 
"'t" é a tensão superficial 
"a." é o ângulo de contato (adesão) 
"y" é o peso específico da água 
Adesão 
Plano tangente 
ao "menisco" 
O equilíbrio na Fig.1.10 se dá quando o peso (P) da coluna líquida deslocada 
igualar as forças de coesão e adesão. 
A água elevada em um capilar está abaixo da pressão atmosférica, daí ser 
impossível pretender que ela possa verter de alguma forma, o que aliás criaria 
uma forma de moto-contínuo, o que é inconcebível. 
1.4. 7 - Solubilidade dos gases 
Os líquidos dissolvem os gases. Em particular, a água dissolve o ar, em 
proporções diferentes entre o oxigênio e nitrogênio, pois o oxigênio é mais solúvel. 
O volume do gás dissolvido é proporcional à pressão do gás, e o volume é -o 
mesmo que o gás ocuparia no estado livre (não dissolvido), mas sujeito à mesma 
pressão (Henry). 
QUADRO 1.14 - Coeficiente de solubilidade de gases na água doce, 
em. m 3 de gás por m 3 de água, ao nível do mar 
OºC ... 
Ar 0,03 
Ácido clorídrico 5,60 
Ácido sulfúrico 5,00 
Cloro 5,00 
Gás carbônico (C02) 1,87 
Hidrogênio 0,023 
Monóxido de carbono (CO) 0,04 
Oxigênio 0,053 
Nitrogênio 0,026 
QUADRO 1.15 - Saturação de oxigênio, em "mg/t" 
ºC 
Água doce 
Água domar 
o 
14,6 
11,3 
5 
12,8 
10,0 
10 
11,3 
9,0 
15 
10,2 
8,1 
20 
9,2 
7,4 
20ºC 
0,92 
0,020 
0,033 
0,017 
25 
8,4 
6,7 
30 
7,6 
6,1 
compilado de .A. Lcnaistre 
PROPRIEOAOES DOS FLUIDOS, CONCEITOS 21 
Em outras palavras, o volume de gás dissolvido em um determinado volume 
de água é constante se não houver variação de temperatura, pois, um incremento 
de pressão diminuí o volume de gás dissolvido e passa a ser possível dissolver mais 
gás. Ao diminuir a pressão, ocorre o inverso, liberando-se gás. 
Essa propriedade é uma causa do desprendimento de ar e o aparecimento de 
bolhas de ar nos pontos altos das tubulações. 
Nas CNTP, a água dissolve o ar em até cerca de 2% de seu volume. 
1.4.8 - Tensão de vapor 
Dependendo da pressão a que está submetido, um líquido entra em ebulição a 
determinada temperatura; variando a pressão, varia a temperatura de ebulição. 
Por exemplo, a água entra em ebulição à temperatura de 100 • C quando a pressão é 
1,0332 kgf/cm.2 (1 atm), mas também pode ferver a temperaturas mais baixas se a 
pressão também for menor. 
E.ntão, todo líquido tem temperaturas de saturação de vapor (tv) (quando entra 
em ebulição), que correspondem biunivocamente a pressões de saturação deva­
por ou simplesmente tensões de vapor (pv). 
Essa propriedade é fundamental na análise do fenômeno da cavitação (Capítulo 
11), pois quando um líquido inicia a ebulição, inicia-se também a cavitação. 
Quadro 1.15 -Tensões de vapor (p,.) da água a Tlárias tempera~ras (tv) 
tv("C) Pv(kgf/c:m.2) tv("C) Pv(kgflcm.2 ) 
1 0,00669 50 0,1258 
3 0,00772 55 0,1605 
5 0,00889 60 0,2031 
10 0,01251 65 0,2550 
15 0,01737 70 0,3178 
20 0,02383 75 0,3931 
25 0,03229 80 0,4829 
30 0,04580 85 0,5894 
35 0,05733 90 0,7149 
40 0,07520 95 0,8619 
45 0,09771 100 1,0332 
compila.do de C. Ns.taix (bibliogrs.f1a) 
22 
Modelo hidráulico de rio, realizado no Labora.tório de Hi­
dráulica de São Paulo (rio Tietê entre Osasco e Santana do 
Parnaíba) (Cortesia do Centro Tecnológico de Hidráulica de 
São Paulo, CTH) 
23 
, 
HIDROSTATICA -
PRESSOES E EMPUXOS 
2.1 -.CONCEITOS DE PRESSÃO E EMPUXO 
Quando se considera a pressão, implicitamente relaciona-se uma força à 
unidade de área sobre a qual ela atua. 
Considerando-se, no interior de certa massa líquida, uma porção de volume V, 
limitada pela superfície A (Fig. 2.1), Si?_df.. rep_resentar um elem_ento de área nessa 
superfície e dF a força_guêneJ.a_a.tu.a.(perpendicularmente), a pressão será 
dF 
Figo:raZ.1 
2.2-LEI DE PASCAL* 
Enuncia-se 
dF 
p= dA 
Considerando-se toda a área, o efeito da 
pressã~--p~uziráumaforçaresultante que se 
chama empuxo, sendo, ás vezes, chamada de 
pressão total. Essa força é dada pelo valor da 
seguinte integral: 
E= tpdA 
Se a pressão for a mesma em toda a área, o 
empuxoserá 
E=pA. 
"Em qualquer ponto no interior de um ~íquido em repousd, a pressão é 
a mesma em: t~das as direções." · · 
Para demonstrá-la, pode-se considerar, no interior de um líquido, um prisma 
imaginário de dimensões elementares: largura dx, altura dy e comprimento 
unitário. A Fig.2.2 mostra as pressões nas faces perpendiculares ao plano do papel. 
O prisma estando em equihôrio, o somatório das forças na direção de X deve 
ser nulo. 
• Estabelecida por Leonardo da Vinci 
24 HIDROSTÁTICA. PRESSÔES E EMPUXOS 
-px-dy --
-
Figu:ra.Z.2 
Logo, 
Como sen 0 = dr/ds, 
vem que 
e, portanto, 
Para a direção Y, 
i i ' t . i 
. IPY:~ 
dy 
Pxdy=p3 ds-, 
ds 
IFy=O~ 
Pydx = Psds cos 8 + dy = Psds cos (} + ydx dy 
2 
t : t-
Como o prisma tem dimensões elementares, o último .termo (peso) sendo 
diferencial da segunda ordem, pode ser desprezado; assim, sendo cos (} = dx / ds, 
Logo, 
e, portanto, 
Px~Py=Ps 
A prensa hidráulica, tão conhecid~ é uma importante aplicação (Figs. 2.2 e 2.3) . 
onde 
F 1 = esforço aplicado; 
F 2 = força obtida; · 
. .--.., Ai 
· F2 =Fix-, 
.; , At 
A1 = seção do êmbolo menor; 
·A2 = seção do êmbolo maior: 
LEI OE STEVIN: PRESSÃO DEVIDA A UMA COLUNA LIQUIDA 
Figura 2.3 -Princípio da prensa 
hidráulica. O dilimetro do 
êmbolo mttio~ iguala-se a seis 
vezes o diâmetro do êmbolo 
menor. A relação de áreas é, 
portanto,. 36:.1. Se for aplicada 
uma força F, - 50 .kg, a pressão 
do fluido transmitirá ao êmbolo 
maior= força F
0 
que será 
36xF,,istoé 1800.kg. 
25 
2.3 - LEI DE STEVIN: PRESSÃO DEVIDA A UMA COLUNA LÍQ.UIDA 
Imaginando-se, no interior de um líquido em repouso, um prisma ideal e consi­
derando-se todas as forças que atuam nesse prisma segu:rido a vertical, deve-se ter 
(Fig. 2.4) 
e, portanto, 
--
-
Figu:raZ.4 
p 1A +yhA-p2 A =O, 
(y é o peso específico do líquido), obtendo-se 
lei que se enuncia: 
"A diferença de pressões entre dois pontos 
da massa de ,um-líquido em equililirio é­
igual à diferença de profundidade 
multiplicada pelo peso específico do 
líquido." 
Para a água, 'Y= 1 kg*/ dm3 = 104 N/m3 
Portanto o número de decímetros da diferença de profundidades eqµivale ao 
número de quilogramas força por decímetro quadrado da diferença de pressões. 
26 HIDROSTÁTICA. PRESSÕES E EMPUXOS 
Figuxa 2.5-Prensa hidráulica. para 450 toneladas (Cortesia de Máquinas 
Piratininga S.A., São Paulo) 
2.4 - INFLUÊNCIA DA PRESSÃO ATMOSFÉRICA 
A pressão na superfície de um líquido é exercida pelos gases que se encontram 
acima, geralmente à pressão atmosférica. 
Levando-se em conta a pressão atmosférica, têm-se !Fig. 2.6), 
P1 = Pa +yh, 
P2 = p 1 +yh' = Pa + y(h +h'). 
A pressão atmosférica varia com a altitude, correspondendo, ao nível do mar, 
a uma coluna de água de 10,33 m. A coluna de mercúrio seria 13,6 vezes menor, ou 
seja, O, 760 m (Fig.2. 7). ._.... 
Em muitos problemas relativos às pressões nos líquidos, o que geralmente 
MEDIDA DAS PRESSÕES 27 
!!!.!!J --=-=1== _7=.7=.~=-= -
hl -~~r---
- - - - - -· P2 
h 
. . 
Figum2.6 
Figuxa.2.8 
Figum2.7 
interessa conhecer é a diferença de pressões. A pressão atmosférica, agindo 
igualmente em todos os pontos, muitas vezes não precisa ser considerada. Seja, 
por exemplo, o caso mostrado (Fig. 2.8) no qual se deseja conhecêr ~pressão' exercida 
pelo líquido na parede de um reservat6ri0. 
De ambos os lados da parede, atua a pressão atmosférica, anulando-se no ponto 
A. Nessas condições, não será necessário considerar.a pressão atmosférica para a 
solução do problema. 
Entretanto é importante lembrar que, nos problemas que envolvem o estudo 
de gases, a pressão atmosférica sempre deve ser considerada.· 
2.5 - MEDIDA DAS PRESSÕES 
O dispositivo mais simples para medir pressões é o tubo piezomé"trico ou, 
simplesmente, piezômetro. Consiste na inserção de um tubo transparente ·na 
canalização ou recipiente ond"e se quer medir a pressão. 
O líquido subirá no tubo piezométrico a uma ahurah, correspondente à pressão 
interna (Fig. 2.9). 
Nos piezômetros com mais de 1 cm de diâmetro, os efeitos da capilaridade são 
desprezíveis. 
Um outro dispositivo é o tubo dé U, aplicado, vantajosamente, para· medir 
pressões muito pequenas ou demasiadamente grandes para os piezômetros 
(Fig.2.10). 
Para medir pequenas pressões, geralmente se empregam a água, tetracloreto 
28 HIOROSTÂTICA. PRESSÕES E EMPUXOS 
A 
r·-
h }_ 
e B 
Figura.2.9 Figura.2.10 
de carbono, tetrabrometo de acetileno e benzina como líquidos indicadores, ao 
passo que o mercúrio é usado, de preferência, no caso de pressões elevadas. 
No exemplo indicado (Fig.2.10), as pressões absolutas seriam: 
onde 
em A, 
emB, 
emC, 
emD, 
r = peso específico do líquic;lo em D; 
Pa 
Pa +y' h 
Pa +y' h 
Pa + r' h - rz 
r' = peso específico do mercúrio ou do líquido indicador. 
Para a determinação da diferença de pressão, empregam-se man.ômetros 
diferenciais (Fig.2.11). 
Pc =PA +hl'Y1 +h3'Y3 =PD=PE+h2'Y2 
.•. PE- PA = h 1 'Y1 + h3 'Ys - h2 'Y2 · 
Para a medida de pressões pequenas pode-se empregar o manômetro de tubo 
inclinado, no qual se obtém uma escala ampliada de leitura (Fig.2.12), 
Na prática, empregam-se, freqüentemente manômetros metálicos (Bourdon) 
pa~a a verificação e controle de pressões. As pressões indicadas, geralmente são as 
locais e se denominam manométricas; 
Não se deve esquecer essa condição, isto é, que os manômetros indicam valores 
relativos, referidos à pressão atmosférica do lugar onde são utilizados (pressões 
manométricas). 
Assim, por exemplo, seja o caso de uma canalização, em cujo ponto 1 (Fig. 
2.13) a pressão medida iguala 15 m de coluna de água (valor positivo), em relação à 
pressão atmosférica ambiente. Se a pressão atmosférica no local corresponder ai 
me~, a pressão absoluta naquela seção da canalização será de 24 mca. 
A pressão atmosférica norII!-al, ao nível do m:µ-, equivale a 10;33 mca, sendo 
menor nos locais mais elevados. Na cidade de São Paulo, por exemplo, a pressão 
atmosférica local é aproximadamente igual a 9,5 mca (800 m de altitude). 
O ponto 2 (Fig. 2.13), situado no interior de um cilindro, está sob vácuo parcial. 
MEDIDA DAS PRESSÕES 29 
h2 
e 
Figun.2.11 
Figun.2.12 
A pressão relativa é inferior à atmosférica local e a indicação manométrica seria. 
negativa. Entretant9, nesse ponto, a pressão absoluta é positiva, correspondendo a 
alguns metros de coluna de água. - ·-·-
As unidades usuais de pressão são as seguintes: 
1atm=10,33 roca= 1 kgf/cm2 = 9,8 · 104 N/m2 = 0,098 MPa 
1 atm = 105 N/m2 """ 0,1 MPa 
~~-P_M~~~-'!"'~~~c:Y 
t./ Pressão manométrica positiva 
Pressão atmosférica normal PAN 
_____ P.f'.f:: _____ _ 
1 atmosféra} 
760mm mercúrio 
10,33 mca 
1 kg f/cm2 
0,1 MPa 
ctl 
3 
õ 
cn 
.o 
ctl 
o 
"" U) 
"' ~ 
a. 
: ~ 
.., Pressão atmosférica local ------~ ---------r ~á~~ -p:r:i:i- - - - -
V @ 
Leitura ] 
barométrica · 
local ~completo 
Figu:m 2.13 -Diagrama. de pressões absolutas e relativas 
-----
30 HIDROSTÁTICA., PRESSÕES E EMPUXOS 
2.6-EMPUXO EXERCIDO POR UM LÍQUIDO SOBRE UMA SUPERFÍCIE 
PLANA IMERSA 
Freqüentemente, o engenheiro encontra problemas relativos ao projeto de 
estruturas que devem resistir às pressões exercidas por líquidos. Tais são os projetos 
de comportas, registros, barragens, tanques, canalizações, etc. 
O problema será investigado em duas partes. 
2.6.1 - Grandeza e direção do empuxo 
A Fig. 2.14 mostra uma área de forma irregular, situada em um plano que faz 
um ângulo 0 com a superfície livre do líquido. 
·· Para a determinação do empuxo que atua em um dos lados da mencionada 
figura, essa área será subdividida em -elementosdA, localizados à profundidade 
genérica b e a uma distância y da interseção 9-
A força agindo em dA será . 
dF = pdA = tE!dA = yy ~ dA. 
Cada uma das forças dF será nõnnal à respectiva área. 
A resultante ou o empuxo (total) sobre toda a área, também nor:r:ial, s.erá dado 
por 
F = f dF = !A y y sen 6 dA = y sen 6 !A y dA,. 
!A y dA é o momento da área em relação à interseção O; portanto 
fAydA=Ay, 
expressão ondeyé a distância do centro de gray:i.dade da área até O, eA a área total. 
F= yysen 6A. 
Como 
ysen 6=h, 
-_i·~-·rhA-·--_ 
O empuxo exercido sobre uma superfície plana imersa é um grandeza tensorial 
· perpendicular à superfície e é igual ao produto da área pela pressão relativa ao 
centro de gravidade da área. 
-~ 
h ''--' 
Figuxa2.l4 
.... 
" ·' 
EMPUXO EXERCIDO POR UM LIQUIDO SOBRE UMA SUPERFfCIE PLANA IMERSA 31 
l 
+ - - - - - - ----:..-:..-:. 
. 1 - =-::-::-E-::-= ,.. 
- • 1 500 - - -y 1 • 
-----EÊID 3,00 
Exercício 2.1 - Qual o empuxo 
exercido pela água em uma comporta 
vertical, de 3 x 4m, cujo topo se encon­
tra a 5m de profundidade? (Fig. 2.15) 
y = 9,8 · 103 N/m3 (água) 
F=':fhA 
~· . 4,00 Figu;ra 2.15 
F = 9,8 · 103 • 6,5 · 12 = 764 400 N 
-
~cG 
F ; Cf. 
-------
. ·- ·- . ------
A resultante das pressões não está aplicada no 
centro de. gravidade CG da figura, porém um pouco 
abaixo, num ponto que se denomina centro de 
pressão ÇP (Fig. 2.16). 
Figura2.16 
2.6.2 - Determinação do centro de pressão 
A posição do centro de pressão pode ser determinada, aplicando-se o teorema 
dos momentos, ou seja, o momento da resultante em relação à interseção O deve 
igualar-se aos momentos das forças elementares dF (Fig. 2.17). 
Na dedução anterior, 
Substituindo, 
Fyp=fdFy 
dF= 'YY sen 9dA, 
F = y y sen e A. 
r:Y sen 9AyP = l 'YY sen 9dAy= y sen e/Ay2 dA. 
Logo, 
f y2dA I 
Yp = A Ay = Ay' 
expressão em que I é o momento de inércia em relação ao eixo-interseção. Mais 
comumente, conhece-se o momento de inércia relativo ao eixo que passa pelo centro 
de gravidade, sendo conveniente a substituição. 
l = l 0 + Ay 2 (teorema de Huygens) 
j 
, I 
Como ~ = K.2, quadrado do raio de giração (da área relativa ao eixo, passando 
pelo centro de gravidade), tem-se, ainda, 
- Kz 
Yp=Y+-=-. 
y 
32 HIDROSTÁTICA. PRESSÕES E EMPUXOS 
O centro de pressão está sempre 
abaixo do centro de gravidade a uma 
K2 
distância igual a -=-, medida no plano 
y 
da área. 
No Quadro 2.1 estão indicadas as 
expressões correspondentes' aos 
momentos de inércia das principais 
figuras. 
Figun.2.17 
Exercício 2.2 - Determinar a posição do centro de pressão para o caso da 
comporta indicada no exercício anterior (Fig.2.15). 
Do Quadro 2.1 
Logo, 
- Io 
Y =y+­
p Ay 
bd3 
Io=--
12 
...!_x4x 33 
y =6,50+-"'1=2---
p . 3x4x6,5 
9 
6,50 + - = 6,615m 
78 
Exercício 2.3 -Numa barragem de concreto está instalada um.a comporta 
circular de ferro fundido com 0,20 m de raio, à profundidade indicada 
(Fig. 2.18). 
F 
y 
h 
A 
F = 
yhA; 
1000 kgf/m3 
4,20; 
1t X 0,202 = 0,1257m2 
1 000 X 4,20 X 0,1257 = 258 kgf = 5 172 N 
-.::;:;i-=:-=::--
4,00., {' 
~~~]~.~ 
Figura 2.18. . P1gUn. 2.19 
EMPUXO EXERCIDO POR UM LIQUIDO SOBRE UMA SUPERFÍCIE PLANA IMERSA 33 
· Q.UAD}!O 2.1- . Momentos de inércia (I0).Área (tl}e centros de gravidade (CG) ~ 
.aaspnncipaisfigiiras•· - . . · . .. . . 
Retângulo 
Triângulo 
isósceles 
Círculo 
Semicírculo 
Semicírculo 
Parábola 
Elipse 
Figura e 
;---b--; 
r-·-···~ 
t._ ... ~ ~ o 
'!:-·~ 
1 O: 0·1--
.L.... t!. 
:-----11----; 
·;: ...... :e.::} 
.t.-····-·· 
~~~~' ____ j 
r-~ 
l'{----~o:~~r 
A s""T 
A~-----o-----~B rv : _Ê•h 
;1> 
.L. _____ 
0830 
Trapézio 
isósceles 
; • l--b--..{ • 
:~~7 :d ~~T-
:.7 ' '\:Ir 
J-----B-----..f 
lo 
_!_bd3 
12 
_!_bd3 
36 
;rd4 --
64 
0,00686d4 
;rr4 --
8 
Eixo vertical 
!!_hs 
2 
7ra3b --
4 
d 3 B 2 + 4Bb + b 2 
36 B+b 
* Relativos aos eixos 0-0 ouA-B, indicados (eixos neutros) 
A 
bd 
~bd 
2 
7rd2 ---4 
7rd2 --
8 
7rr2 -
2 
7r b 
--h·-
2 2 
:Jrab 
B+bxd 
2 
CG 
x=f:b 
y=Xd 
x=Xb 
y=?{d 
x=y=% 
d 
x=-
2 
y=0,4244% 
x-r 
Y= 0,4244r 
b 
X=-
2 
y=h·Ys 
x=a 
y=b 
B+b 
x=--
4 
d .B+2b 
y=-·--
3 B+b 
Exercício 2.4 - Uma caixa de água de 800 litros mede 1,00 x 1,00 x· 0,80. 
Determinar o empuxo que atua em uma de suas paredes laterais e o seu ponto 
de aplicação. (Fig.2.19). l ,';·.! " . 
•e ·- • 
F=yhA e 10 3 x 0,40 X 1,00 X 0,80 = 329 ~~= 3 136 N 
.1 ' ..... " \ 
,'\ iP r. ,_ 
Y -y-+ o 
P- Ay' 
onde y = 0,40 m, b = l,OOm e d = 0,80m. Logo, 
~bd3 
3 
Y =0,40+-1-2--=0,40+ lx]..OOxo.3o 0,40+ O,Sl2 =0,40+0,133=0,533m. 
P bd 0,40 12 X 0,80X0,40X1,00 3,840 
34 HIDROSTÁTICA. PRESSÕES E EMPUXOS 
2. 7 -APLICAÇÃO: CÁLCULO DE PEQUENOS MUROS DE RETENÇÃO 
E BARRAGENS 
Seja, por exemplo, um pequeno paramento vertical de alvenaria e de forma 
retangular, Fig.2.20, sujeito apenas a tombamente .. 
a) Cálculo do empuxo. 
F - F eh h ch2y. 
=y4yA, = xra2=-2-
b) DeterminaÇão do ponto de aplicação. 
Y =y+_..&_= h + ch
3 
P A- 2 h 
Y 12xchx-
2 
e) Dimensionamento do muro 
h h 4h 2 
-+-=-=-h 
2 6 6 3 
O muro deve resistir ao empuxo da água. Como se trata de alvenaria que não 
deve -q-abalhar à tração, a resultante das forças F e P deve cair no terço médio da 
base (ô = 2/3b). Tomando os momentos com relação ao ponto O, 
b h 
P2+F3=M; 
P=bchy' 
(y' =peso específico de alvenaria) 
chz 
F = 
2
r. (Y,, =peso específico da água) 
b 2ch r' ch3 r 2 M"" +--n ""oR=-bxbchy'· 
2 6 3 • 
~b2r'=h2rn :.b=~h2r. 
s 6 r' 
l 
!
---.=-=.-= --=-=--; --~ -:-· 
•• __ Yii . 
. · h "fa 
. . " 
F 
Figura 2.20 
APLICAÇÃO: CÂLCULO DE PEQUENOS MUROS DE RETENÇÃO E BARRAGENS 35 
Exercício 2.5 - Numa fazenda deseja-se construir uma pequena barragem 
retangular de pedra, assentada sobre rocha. Altura da barragem e 
profundidade da água: 1,20 m. Determinar a espessura de modo a satisfazer 
as condições de estabilidade. 
b=h rr: f 1 
"( = 2 250 Kgf/m3 (alvenaria de pedra) 
Exercício 2.6 - Cálculo de uma pequena barragem de seção triangular. 
a) Cálculo do empuxo 
F = hc rh = h2 rc. 
2 2 
b) Determinação do ponto de aplicação. 
c) Peso do muro. 
I h ch3 h h 2 
yp=y+~=-+ h =2+-=3h· 
Ay 2 12xch- 6 
2 
. h 
P= bx-xcxr' 
2 
(y' = peso específico de alvenaria de pedra). 
Figw:a.2.21 
Y,, 
F 
A 
1 
b 
h 
d) Dimensionamento do muro. 
Para não haver esforços de 
tração na alvenaria, a resul­
tante R deverá cair no terço 
médio, isto é, no máximo em B 
Do triângulo de forças, têm-se 
F=BD; 
Como 
P=GD. 
b 
BD=-
3' 
36 HIDROSTÁTICA. PRESSÕES E EMPUXOS 
e 
GD==~ (CGdotriângulo), 
F =E_.ouP·b=F·h. 
p h 
Portanto, substituindo-se os valores de P e F, 
h , h 2rc 
b·b· 2 ·c·r =-
2
-h, 
b2 = h2r :.b=h rr. 
r' vY' 
8 o 
Figura.2.22 
Exercício 2. 7 - Deseja-se executar uma pequena barragem de concreto 
simples sobre uma camada de rocha. Calcular a largura mínima da base, para 
que a barragem resista pelo seu próprio peso, ao tombamento devido ao 
em puxo da água. Altura da barragem e profundidade da água; l,30m.. 
b= h == 1,30 = 1,30=1,30 = 0,84m.. r- . ~2 400 Tz:4 1,55 
fr 1 ººº 
Exercício 2.8-Na seção mostrada da Fig. 2.23, efetuar o cálculo de B' mínimo. 
("/'=peso específico do material do muro:"/= peso específico da água) 
EC=h, 
EB=H. 
Procedendo de forma semelhante ao que foi visto no Exercício 2.6, tem-se 
B' = f3H rr:. vY'· 
sendo que os valores de ~ são fixados da seguinte forma: 
h 
p= H' o::;p::;l; (O~h:5;hH) 
n=E_ [Y' 
hfr· 
com n ;::; 1 a fim de que 
b~h#, 
(condição para estabilidade da cabeça); 
Figun.Z.2S 
A 
1 B' 
FbE 
-!~---
e--
H 
APLICAÇÃO: CÁLCULO DE PEQUENOS MUROS OE RETENÇÃO E BARRAGENS 37 
b 
a= B'' 0$a$l, (O~b$B') 
a) O <p <l· (O <h <H) 
/3= -np(1+3p)+~n2p2(p2 +10p+5)+4(1-p), 
2(1-p) 
onde o produto bp $ l (para que n $ B' ). 
Daí resulta a Tab.2.1. 
Tabela 2.1 
Valores de ~ para os seguintes valores de p 
n 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 
. 1,0 0,990 0,966 0,934 0,905 0,886 0,881 0,892 
1,1 0,985 0,956 0,9220,895 0,883 0,888 0,910 
1,2 0,980 0,946 0,912 0,889 0,885 0,900 0,933 
1,3 0,974 0,938 0,904 0,886 0,891 0,916 0,960 
1,4 0,970 0,930 0,898 0,886 0,899 0,936 0,990 
1,5 0,965 0,923 0,894 0,889 0,911 0,958 -
b) p=O,istoé,h=O. 
/3= 1 
~-a2 +a+l 
Dessa relação, resulta a Tab. 2.2. 
Tabela2.2 
0,8 0,9 
0,917 0,954 
0,947 0,995 
0,981 -
- -
- -
- -
a 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 O, 7 0,8 0,9 1,0 
~ 1,000 0,958 0,929 0,909 0,898 0,894 0,898 0,909 0,929 0,958 1.000 
e) p = 1, isto é, h = H 
~ = l e b = B' (seção retangular). 
Observando os diversos casos para cálculo de ~. pode-se concluir que, 
considerando~= l, o erro introduzido é pequeno e o cálculo de B'(mínimo) 
é feito a favót:.da segurança. Daí a fórmula para o cálculo da largura da base 
de pequenos muros (sejam quaisquer as formas das seções) resultar 
B'=H Ír. 
~? 
Observação. Cooperou com os cálculos desse item o aluno das•. Série Civil- opção Hidráulica 
e Saneamento. da Escola de Engenharia de São Carlos da USP - Vlademir C. Villela. 
38 HIDROSTÁTICA. PRESSÕES E EMPUXOS 
Exercício 2.9 - Um segmento parabólico ACD de base 2b e de altura a está 
imerso em água, em posição vertical, coincidindo a sua base com a superfície 
SS' do líquido. Determinar o empuxo e o centro de pressão. 
BDl.AC; 
AC= 2b; 
BD=a. 
Considere-se uma faixa de espessura 
elementar dx, comprimento LN e 
área dA.. Fazendo DM = x, LN estará a 
uma profundidade a - x 
dA= (LN)dx. 
De acordo com uma das proprie­
dades da parábola, 
-2 -2 
LN = DM :. LN2 = AC DM 4b
2x 
AC2 DB DB a 
s 
a 
Figura2.24 
LN - 2b...ix ---:r;;-· dA - 2b...ixdx --:ra . 
F=rf hdA., r2b r 8 
F=r r<a-x)'Jxd.x=-rba2
, 
o""ª 15 
O centro de pressão encontra-se a uma profundidade Yp· 
l a 2b r 32yba3 
Yp =r -r(a.-x)2-..ixdx=---, 
o -va 105 
Como 
2.8 - EMPUXO SOBRE SUPERFÍCIES CURVAS 
Nos casos práticos de Engenharia, quando se estuda o empuxo exercido sobre 
. superfícies curvas, freqüentemente é mais conveniente considerarem-se as 
componentes horizontais e verticais das forças. Consideremos, por exemplo, o caso 
da barragem, indicada na Fig. 2.25. Geralmente, a equação da curva do paramento 
interno é desconhecida, pois se adota um perfil prático. 
Nessas condições, é preferível considerarem-se as componentes F e W do 
em puxo (igual e de sentido contrário a R). Para isso, basta considerar o volume de 
líquido abc. O peso W, aplicado no centro de gravidade de abc, pode ser facilmente 
determinado. 
Flgura2.25 
O empuxo F, que age sobre . b 
ab, pode ser calculado pela 
expressão 
F= yiiA. 
A combinação dessas duas 
forças (F e W) pode ser obtida 
pelos princípios da Mecânica. 
--===~~~~~=§":=-==--
-1 
b 
F 
a 
EMPUXO SOBRE SUPERFICIES CURVAS 
Exercício 2.11 - Uma barragem com 4 m de altura e 10 m de extensão 
apresenta um perfil parabólico a montante. Calcular a resultante da ação 
das águas. 
Figun 2.27 - Pe!t:;.L.de 
uma gra:D.de b:úTag?m 
mostrondo a composição 
d:JS forças. As dimeD.Sães 
estão iD.<:licadas em m 
Px =rhA = 1OOOx2x4xlO=80 OOOkgf; 
2 
Py ="3(1 OOOx4xlOxl,50)""40 OOOkgf; 
R = ~~40-00_0_2_+_8_0_0_00-2 = 89 400kgf; 
2 
Yp = 34,00=2,67m; 
s- 5 
x 0 =8nc =8xi.so =0,94m; 
Yo = 0,4x4= 1,60m. 
'•, 
.~ .. 
':,,:··· 
-----· 
--":.--
4,00 
1 1 
~- - - - - - -198,0Q-' - - - - - - .. '. 
39 
40 HIDROSTÁTICA. PRESSÕES E EMPUXOS 
Figura 2.28 - Vista geral da UsiD.a de ]upiá, 
~~~;;~~ Complexo de Urubupu.ngá, rio Paraná. 
Potência 1 400 000 kW (Cortesia das 
Centrais Elétricas de São Paulo) 
Figura 2.29 - Vista geral da Usina 
Xa1/lllltes, ri.o ParanaP.anema. 
Potência 400 000 kW (Cortesia das 
Ceno:ai.s Elétricas de São Paulo) 
2 3 
1 - BOULDER, Colorado River, Arizona - Nevada 
2 - GRANO COULEE, Columbia River - Washington 
3 - OWYHEE, Owyhee River. Oregon - ldaho 
4 - ARROWROCK, Boise River-ldaho 
5 - SHOSHONE, Shoshone River-Wyoming 
6 - PARKER, Colorado River, Arizona- Califomia 
7 - ELEPHANT BUTTE, Rio Grande, New Mexico 
8 - HORSE MESA, Salt River, Arizona 
9 - ROOSEVELT, Salt River, Arizona 
1 O - PATHFINDER, North Platte, Aiver WY 
4 5 7 8 9 
Figura 2.30-Perfis de dez grandes barragens norte-americanas, com altun!S em m (algumas 
são do tipo de arco) 
, 
EQUILIBRIO DOS CORPOS 
FLUTUANTES 
"Um corpo imerso em um fluido sofre uma força de baixo para cima, denominada 
empuxo, igual ao peso do volume do fluido deslocado". Quando o "empuxo" é maior 
que o peso do corpo, este flutua.Arquimedes (287 a.C.) 
3.1 - CORPOS FLUTUANTES. CARENA 
41 
Corpos flutuantes são aqueles cujos pesos são inferiores aos pesos dos volumes 
de líquido que eles podem deslocar. Pelo teorema de Arquimedes, eles sofrem um 
impulso igual e de sentido contrário ao peso do líquido deslocado, permanecendo 
·na superfície líquida. 
Em outras palavras; para que um corpo flutue, sua densidade aparente média 
deve ser menor que a do líquido: o peso total do corpo iguala-se ao volume submerso 
multiplicado pelo peso específico do líquido. 
Chama-se carena ou querena à porção imersa do flutuante. 
O centro de gravidade da parte submersa, que se denomina centro de carena, 
(C), é o ponto de aplicação do empuxo. 
Nos navios, geralmente C encontra-se de 20 a 40% do calado. 
Define-se calado como sendo a distância entre a quilha do navio e a linha de 
flutuação h, (Fig.3.1). 
3.2 - EQUILÍBRIO ESTÁVEL 
Diz-se que um corpo está em equilíbrio estável quando qualquer mudança de 
posição, por menor que seja, introduz forças ou momentos tendentes a fazer o corpo 
retornar à sua posição primitiva. 
O equilíbrio sempre será estável no caso dos corpos flutuantes cujo centro de 
gravidade (G)-1.!~ar abaixo do centro de carena, o que pode acontecer no caso de 
corpos tarc:.cfos, lastreados ou não-homogêneos. 
Entretanto o equilíbrio estável não se verifica apenas no caso indicado, havendo 
ainda outras condições de equilíbrio estável, mesmo com o centro de gravidade 
acima do centro de carena. 
Se, em conseqüência de uma ação qualquer (ventos, vagas, etc.), o flutuante 
sofrer uma pequena oscilação, o centro de carena também se deslocará; pois, embora 
42 EQUILIBRIO DOS CORPOS FLUTUANTES 
B 
h 
FiguxnS.1 
o volume da parte submersa do corpo permaneça o mesmo, a sua forma variará 
mudando o seu centro de gravidade (os volumes AA'O e BB'O, (Fig.3.1) se 
equivalem). 
Supondo-se que o corpo tenha sofrido uma oscilação de ângulo 0, o centro de 
carena deslocar-se-á de C para C. A vertical que passa por C interceptará a linha 
primitiva em um ponto M. Para valores pequenos de 0, M é denominado metacentro. 
O ponto M representa o limite acima do qual G não deve passar (daí a sua 
denominação, pois significa meta= limite). O metacentro é o centro de curvatura 
da trajetória de C no momento em que o corpo começa a girar. 
Podem ser consideradas três classes de equilíbrio para os corpos flutuantes. 
a) EquiHbrio estável. Quando M está acima do centro de gravidade G. Nessas 
condições, qualquer oscilação provocada por força externa estabelece o 
binário peso-empuxo, que atuará no sentido de fazer o flutuante retornar 
à posição primitiva. 
b) Equilfbrio instável. Quando M está abaixo de G, sistema instável de forças. 
c) Equilíbrio indiferente. No caso em que o metacentro coincide com o centro 
de gravidade do corpo. 
3.3 - POSIÇÃO DO METACENI'RO 
Para ângulos pequenos (até cerca de 15°), a posição de M v.aria pouco, sendo a 
sua distânciaMG praticamente constante. 
A altura metacêntrica é, pois, uma medida de estabilidade, constituindo uma 
importante característica de qualquer embarcação ou estrutura flutuante. 
Valores muito altos da altura metacêntrica não são desejáveis, porque 
correspondem à oscilação muito rápida das embarcações e estruturas flutuantes 
(períodos curtos de balanço). Em navios, esse movimento rápido, além de trazer 
condições de desconforto, pode prejudicar as estruturas. 
Por outro lado, valores muito baixos de MG devem ser evitados, uma vez que 
pequenos erros na distribuição de cargas ou a presença de água nas embarcações,podem provocar condições de instabilidade. 
POSIÇÃO DO METACENTRO 43 
Na prática, a altura metacêntrica geralmente é mantida entre 0,30 a 1,20 m. 
Alguns valores práticos da altura metacêntrica (m) 
Transatlânticos 
Torpedeiros 
Cruzadores 
Iates a vela 
0,30 a 0,60 
0,40 a 0,60 
0,80 a 1,20 
0,90a1,20 
A posição do metacentro pode ser determinada pela expressão aproximada de 
Duhamel. 
onde 
I = momento de inércia da área que a superfície livre do liquido intercepta 
no flutuante (superfície de flutuação), sendo relativo ao eixo de 
inclinação (eixo sobre o qual se supõe que o corpo possa virar); 
V= volume de carena. 
Para que o equilíbrio de um flutuante seja estável, é preciso que MC > CG. 
Além do metacentro considerado na seção transversal, há o metacentro no 
sentido do comprimento, de menos importância, cuja determinação é análoga. 
Exercício 3.1 - Seja um prisma retangular de madeira com as dimensões 
indicadas na (Fig. 3.2) e de densidade 0,82. Pergunta-se se o prisma flutuará 
ou não, em condições estáveis, na posição mostrada na figura. 
0,20m 
-----1- -------1---~~ 
G --,.,,__t~-'-r·· --·-'. z 
% c-f-
1z12 -------- - - - -
0,28m 
.................... ____________________________________ _.Figum.3.2 
Calcula-se o volume de carena, 
V= 0,20 x 0,16 xz; 
da mesma forma, o peso do prisma, 
p = 0,20 X 0,16 X 0,28 X 0,82 
V X 1,00 =P, 
1,00 X 0,20 X 0,16 X Z = 0,20 X 0,16 X 0,28 X 0,82 
44 
Logo, 
portanto 
EQUILiBRIO DOS CORPOS FLUTUANTES 
Z = 0,28 X 0,82 = 0,2296; 
CG=E_-~= h-z = 0,28-0,2296 =0, 0252m; 
2 2 2 2 
I = ..!_bd3 = ..!_0,20 X 0,163; 
12 12 
MC=.!_= 0,20x0,163 =0,0093m; 
V 12x0,20x0,16x0,2296 
MC<CG. 
Desse modo o corpo não flutuará em condições estáveis na posição indicada. 
O prisma tombará, passando para uma posição estável (base 0,20 x 0,28 e 
altura 0,16). 
\, 
45 
""' HIDRODINAMICA 
PRINCÍPIOS GERAIS DO MOVIMENTO DOS FLUIDOS. 
TEOREMA DA ENERGIA DE BERNOULLI 
4.1 - MOVIMENTO DOS FLUIDOS PERFEITOS 
A Hidrodinâmica tem por_ objeto~- estudo do movimento dos fluidos. 
Consideremos um fluido perfeito em movimento, referindo as diversas posições 
dos seus pontos a um sistema de eixos retangulares Ox, Oy, Oz. 
O movimento desse fluido ficará pe.rfeitamente determinado se, em qualquer 
instante t, forem conhecidas a grandeza e a direção da velocidade v relativa a 
qualquer ponto; ou, então, o que vem a ser o mesmo, se forem conhecidas as 
componentes vx, vy, vz, dessa velocidade, segundo os três eixos considerados. 
Além disso, há a considerar, também, os valores da pressão p e da massa 
específica p, que caracterizam as condições do fluido em cada ponto considerado. 
O problema relativo ao escoamento dos fluidos perfeitos comporta, portanto, 
cinco incógnitas vx, vy, vz , p e p, que são funções de quatro variáveis 
independentes, x, y, z e t. A resolução do problema exige, pois,. um.sistema de 
cinco equações. 
As cinco equações necessárias compreendem: as três equações gerais do 
movimento, relativas a cada um dos três eixos; a equação da continuidade, que 
exprime a lei de conservação das massas; e um equação complementar, que leva 
em conta a natureza do fluido. 
São dois os métodos gerais para a solução desse problema: o método de 
Lagrange, que consiste em acompanhar as partíCÚJ.as em movimento, ao longo das 
suas trajetórias, e o de Euler, que estuda, no decorrer do tempo e em determinado 
ponto, a variação das .grandezas mencionadas. 
O método~ Euler é o adotado neste manual, por ser mais simples e cômodo. 
4.2 - VAZÃO OU DESCARGA 
Chama-se vazão ou descarga, numa determinada seção, o volume de líquido 
que atravessa essa seção na unidade de tempo. · 
Na prática a vazão é expressa em m3/s ou em outras unidades múltiplas ou 
submúltiplas. Assim, para o cálculo de canalizações, é comum empregarem-se litros 
por segundo; os perfuradores de poços e forne~edores de bombas costumam usar 
litros por hora. 
46 HIDRODINÂMICA 
4.3 - CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS 
;···.·.· --- .- _,·-,,~~-~- .·_ · · -- · .:_ .. : .: ·:-- ;{--u"rur~rme ·: -. -::.·: .. :· .:· :; :_: -,-:, ...... 
:·,,:.: . ·' '::.: ,' ':':.{permanente ~ '· ':;-·:--,;'..'! -~-,:,-'., : '{.acelerado'._,: 
, , _'.Mo;vimento :· ·. _" · · · 1 • • n,ao :un.~forme ·. : ... :· •' , · 
.·, .. ,- . . . :'-. " · nao_permanente '. , , · retal'.dado 
~~~-~\·• ... ~.'.:..~·.:..:._,:..:.:...:.._ ... ~. ~. ~-- .. ·.· .... .'.:.:.L ;:.::.;.;:.-: .. : .. i.:.: .. ~.'-'.:.. • .:. .... :l:_·_:..:.~ ... ~.:.. . .::...:. _.: .. ·_:....;:...:.;.:..!...:..'.1.:....1.: .. _ -~.:.. •• :.. ..... .!.-.!. .•• : .• .' • ..:.: .• ,_,:_,..:.; ::~ • ...... ~; ~ ... ~-, :._;_.:_..;'....:..:...~-~~-: : •. .' .. 
Movimento permanente é aquele cujas características (força, velocidade, 
pressão) são função exclusiva de ponto e independem do tempo. Com o movimento 
permanente, a vazão é constante em um ponto da corrente. 
As características do movimento não permanente, além de mudarem de ponto 
para ponto, variam de instante em instante, isto é, são função do tempo. 
O movimento permanente é uniforme quando a velocidade média permanece 
constante ao longo da corrente. Nesse caso, as seções transversais da corrente são 
iguais. No caso contrário, o movimento permanente pode ser acelerado ou 
retardado. 
Um rio pode servir para ilustração. Há trechos regulares em que o movimento 
pode ser considerado permanente e uniforme. Em outros trechos (estreitos, 
corredeiras, etc.), o movimento, embora permanente (vazão constante), passa a ser 
acelerado. Durante as enchentes ocorre o movimento não permanente: a vazão 
altera-se. 
(a) (b) 
Figma.4.1-(a) Uniforme Q,= Q..:A,=A,; v,-v.,.. (b)Acelerado Q,-Q.:A, >'A,:v, ..,v,.. 
(e) Movimento não permanente Q, "'Q.: A, "'A:i v, ,.v,.. 
4.4 - REGIMES DE ESCOAMENTO 
A observação dos líquidos em movimento leva-nos a distinguir dois tipos de 
movimento, de grande importância: 
a) regime laminar (tranqüilo ou lamelar); 
b) regime turbulento (agitado ou hidráulico). 
'-%~--
1~~---
Figuxa.4-2 
Com o regime laminar, as trajetórias das partículas em movimento são bem 
definidas e não se cruzam. 
O regime turbulento caracteriza-se pelo movimento desordenado das 
partículas. 
LINHAS E TUBOS DE CORRENTE 47 
4.5 - LINHAS E TUBOS D-E CORRENTE 
Em um líquido em movimento, consideram-se linhas de corrente as linhas 
orientadas segundo a velocidade do líquido e que gozam da propriedade de não 
serem atravessadas por partículas do fluido. 
Em cada ponto de uma corrente passa, em cada instante t, um.a partícula de 
fluido, animada de um velocidade v. As linhas de corrente são, pois, as curvas que, 
no mesmo instante t considerado, mantêm-se tangentes em todos os pontos à 
velocidade v. Pelo próprio conceito, essas curvas não podem cortar-se. 
Admitindo-se que o campo de velocidade v seja contínuo, pode-se considerar 
um tubo de corrente como uma figura imaginária, limitada por linhas de corrente. 
Os tubos de corrente, sendo formados por linhas de corrente, gozam da 
propriedade de não poderem ser atravessados por partículas de fluido: as suas 
paredes podem ser consideradas imp.ermeáveis. 
Um tubo de corrente, cujas dimensões transversais sejam infinitesimais, 
constitui o que se chama filete de corrente. 
Esses conceitos são de grande utilidade no estudo do escoamento de líquidos. 
V2 
At 
Figuza.4.3 Figun.4.4 
4.6 - EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENT«;J 
Seja um cubo elementar, de dimensões infinitamente pequenas, dx, dy e dz, 
situado no interior da massa de um fluido em movimento, sendo as suas arestas 
paralelas aos eíxes cartesianos (Fig. 4.5). 
A massa do fluido contida nesse cubo imaginário será 
pdxdydz=m 
As forças externas que atuam sobre essa massa fluida são: 
a) as que dependem do volume considerado, como, por exemplo, o peso, e 
que podem ser expressas pelas suas componentes X, Y e Z, relativas à 
unidade de massa; 
b) as que estão relacionadas à superfície das seis faces do cubo e que são 
devidas à pressão exercida pelo fluido externo. 
Designando-sepor p a pressão sobre a face normal a Ox (ABCD), a pressão sobre 
48 
z 
p 
dx 
o 
y 
X 
ap. cJx 
p+dX 
Figw:o.4.5 
HIDRODINÂMICA 
a face oposta seria igual a p mais a 
sua diferencial relativa ao desloca­
mento dx (variação de p na direção 
x): 
p+ dp dx. 
ax 
As ações externas sobre as faces 
normais a Ox e de superfície dy dz 
são opostas, dando uma resultante: 
Sendo m a massa de uma partícula em movimento, a a sua aceleração e F a 
força atuante, pode-se escrever m · a = F. 
Com relação ao eixo Ox, apresenta-se a seguinte equação geral: 
d 2x 
m--2 =:EF'x. 
dt 
d2x · ·· st dp 
p dx dy dz · -
2 
= p dx dy dz X - -:;--idx. dy dzi 
dt ax 
onde o primeiro membro representa a inércia; o primeiro termo do segundo 
membro, a ação da força F; o segundo termo do mesmo, a resultante da ação da 
pressão. 
Ou, simplificando e estendendo aos outros eixos Oy e Oz: 
d2x · 1 dp 
-=X---
dt2 p ax' 
que são as equações gerais do movimento, onde 
dzy 
dt2 
e 
d
2
z =Z-_!_ ap' 
df paz 
são as componentes ou projeções da aceleração da partícula considerada. 
Essas três projeções são as derivadas totais das três componentes da velocidade 
(vx, vy, vz) em relação ao tempo t: 
pois 
dx d 2x dvr V=-·--=--
~ at ·· ae ar • 
d
2
y = dv, 
dt2 dt ' 
E, como vx = f (x, y, z, t), pode-se exprimir 
dv.. av,. av,, dx avx dy avx dz --=--+----+----+----
dt at ax dt ay dt az dt 
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
ou 
d~ a~ a~ a~ a~ --=--+v --+v --+v -­
dt2 at 1C ax y ay z dez 
49 
Nessas condições, as equações gerais do movimento podem ser apresentadas. 
dv" +v àv"' +v àvx +v avx =X-!_ àp 
dt X ax y qy z qz P qX 
avy avy avy avy 1 àp 
--+v --+v --+v --=Y---
at X ax y ay z OZ P OY 
avz +v avz +v àvz +v dVz =Z-!_ op 
at X OX y qy z OZ p OZ 
equação (l) 
ou, ainda, 
!_dP=x-(v av"+v av"+v av,,+av,,) 
P OX X dX y dy z OZ at 
!.. ap - -( avv avy avy avr). " _ y v.... +vy a +vz + ' 
p oy ax y az àt 
1 àp -z ( av. av. av, av.) --- - v --+v --+v --+--paz " ax y ay z az at 
equação (2) 
que são .as três equações de Euler. 
Para a solução do problema restam, ainda, duas equações, dadas nos itens a 
seguir. 
4. '7 - EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
Admitindo-se que a massa específica p do fluido, que atravessa o cubo elementar 
(Fig. 4.5), varia com o tempo t, a massa que, em determinado instante, é igual a p 
dx dy dz, após um intervalo de tempo dt altera-se, 
ou, ainda, 
a 
at (pdxdydz) dt; 
dp dxdydzdt. 
ar equaçiio (3) 
Por outro lado, pode-se considerar que, em um intervalo de tempo dt, entra 
pela face ABCDÀÓ cubo elementar a massa 
pvxdydzdt 
saindo pela face oposta uma outra massa: 
dy dz [p V x + :X (p V,) dx J dt 
equação(4) 
equação (5) 
A diferença algébrica dessas expressões [(4) e (5)] dará, para essas faces, 
d -ª" (pv")dxdydzdt 
50 H 1OROO1NÃM1 CA 
Analogamente, para as faces normais a Oy e a Oz, as diferenças algébricas 
resultam., respectivamente, em 
Comparando-se esses resultados com a expressão (3), encontra-se que 
op a a a -
-dxdydz dt +o;-(P V") dx dydz dt+o;-(pv y) dx dy dz dt+ ,,__ (p Vz) dx dy dz dt = 0 
()t o X oy u.G · 
ou, simplificando: 
:.ap-·ic·p . .v:-)·.:a(pv >.·. â(.pv··•>··· ·· 
-+ . ." + .·· . Y +-··--.%-.=O 
J!! ... >.'!~~'.'.~ : ... :~!.:.'.-~.: ... .. ~lL .... ~. · •· 
equação (6) 
que é a equação da continuidade, que exprime a lei da conservação das massas. 
Para os líquidos incompressíveis, p =constante. 
av,, + ()vy + avz =O 
ax oy az (Quarta equação) · 
Considerando-se o trecho de um tubo de corrente, indicado na Fig.4.6, com as 
seçõesA1 e A 2 e velocidades respectivas v 1 e v 2, a quantidade de líquido de massa 
especifica p que passa pela primeira seção, na unidade de tempo, será: 
dml ----P1V1Ai_ 
dt 
Para a outra seção, teríamos 
dm, = P2 V 2A.z 
dt 
Tratando-se de movimento permanente, a quantidade de líquido entrando na 
seção A1 iguala-se à que sai por A 2 , 
P1 Ai V1 =P2 Az Vz 
E, ainda, praticam.ente, se o líquido for considerado incompressível p1 = p2• 
De um modo geral, 
onde 
Q =vazão (m3/s); 
v =velocidade média na seção (m/s); 
A= área da seção de escoamento (m2). 
Essa equação é de grande importância em todos os problemas da 
Hidrodinâmica. 
EQUAÇÃO COMPLEMENTAR 
Exercício 4.1 - Verificou-se que a velocidade econômica para uma extensa 
linha de recalque é 1,05 m/s. A vazão necessária a ser fornecida pela bombas 
é de 450 m 3/hora. Determinar o diâmetro da linha. 
Q=Av:.A= Q = 0,125 =0,1l9m.2, 
V 1,05 
.!;n-D2 = 0,119m2 :.D =~4X0,119 = 0,39m.. 
4 }t' 
No mercado encontram-se os seguintes diâmetros comerciais: 
350 mm, A= 0,0962 m2 
400 mm, A= 0,1257 m2 
450 mm, A= 0,1590 m 2• 
Adotando-se 400 mm (16"), a velocidade resultará em 
V= Q = Q,125 ::1 Qm/s. 
A 0,1257 ' 
É o diâmetro que mais se aproxima da condição econômica. Se fosse adotado 
o diâmetro imediatamente inferior (350 mm), a velocidade se elevaria para 
1,30 m/s, aumentando a potência das bombas e o consumo de eletricidade. 
Exercício 4.2 - Em um edifício de 12 pavimentos, a vazão máxima provável, 
devida ao uso de diversos aparelhos, em uma coluna de distribuição de 60 
mm de diâmetro, é de 7,5 litros/s. 
Determinar a velocidade de escoamento 
Q = Av :. v = Q = 0,0075m3 /s 2,65m/s. 
A 0,00283 
Essa velocidade é admitida pelas normas para o diâmetro de 60 mm (NBR 
5626). 
_/ 
4.8 - EQ.UAÇAO COMPLEMENTAR (relativa ao estado do fluido) 
51 
A última equação da Hidrodinâmica, necessária ao sistema de cinco equações 
é obtida considerando-se uma característica particular do fluido. 
Assim, por exemplo, no caso dos fluidos homogêneos e incompressíveis, 
p = constante. 
Para os gases perfeitos, tem-se a equação geral 
l!.gRT.= constante 
p 
Entretanto essa última equação introduziria uma sexta variável: a temperatura. 
52 HIDRODINÂMICA 
Para evitar nova incógnita, pode-se recorrer a uma equação que defina apenas uma 
condição especial do fluido em movimento. 
No caso de um gás perfeito, por exemplo, poder-se-ia admitir a temperatura 
constante, resultando 
E.= constante. 
p 
4.9 - MOVIMENTO PERMANENTE 
As Eqs. (2) podem ser escritas da seguinte forma: 
(Quinta equação) 
equação (7) 
Multiplicandcrse as eqs.(7) por dx, dy e dz, respectivamente, e somando-se, 
obtém-se 
1 
-dp= Xdx+Ydy+Zdz-(v" dvr +vy dvy +v, dv,) p . equação (8) 
Ou, ainda, 
1 (~) pdp=Xdx+Ydy+Zdz-d T. equação (9) 
que é a equação de Euler, escrita de forma diversa das eqs.(2) e para movimento 
permanente. 
Observa-se, aqui, que a transformação das (7) para (8) só foi possível porque 
foram desprezadas as variações de vx, vy e vz com o tempo, isto é, 
av,, dvy e av, 
dt ' dt dt . 
Ou seja, porque o movimento foi, por hipótese, considerado permanente. 
Diz-se que um movimento é permanente quando as partículas que se sucedem 
em um mesmo ponto apresentam, nesse ponto, a mesma velocidade, possuem a 
mesma massa específica e estão sujeitas à mesma pressão. 
4.10 :- CASO PARTICULAR: FLUIDO EM REPOUSO 
Fazendo-se v = O, encontra-se 
. . 
·. 1 ": '' ' ,. . . . 
-dp=Xdx+Ydy+Zdz p' . . 
que é a equação fundamental da Hidrostática. 
equação (10) 
4.11 -TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS PERFEITOS 
O teorema de Bernoulli decorre da aplicação O.a equação de Euler aos fluidos 
sujeitos à ação da gravidade (líquidos), em movimento permanente. 
Nessas condições, 
X= O, Y = O, Z = - g. 
TEOREMA DE BERNOULLI PARA LIQUIDOS PERFEITOS 
Resultando, para o movimento, da eq. (9): 
Dividindo-se por g, 
1 v 2 
-dp=-gdz-d-
p z 
dz+ dp + d(~) =o. 
pg 2g 
53 
Como pg = r(peso específico), dividindo-se todos os termos por ds(dx, dy, dz). 
obtém-se 
··. :. ·~ ·~· .. '' .. · ,' .... · '.z+-+-· -·=.constante· . 
.... . r 2g ··· · · 
A Fig. 4.6 mostra parte de um tubo de corrente, no qual esc9a um líquido de 
peso específico r. Nas duas seções indicadas, de áreas A1 e A 2, atuam as pressões p 1 
e p 2, sendo as velocidades, respectivamente, v1 e v2• 
A1 A'1 
-=..:..... --- .. ---
--jdsil-
A'z 
Plano de referência 
Figr.ua4.6 
As partículas, inicialmente emAl'num pequeno intervalo de tempo, passam a 
A'1, enquanto que asA2 movem-se para A'2• Tudo ocorre como se, nesse intervalo 
de tempo, o líquido passasse de A1 A' 1 para A 2 A' 2 • 
Serão investigadas apenas as forças que produzem trabalho, deixando-se de 
considerar aquelas que atuam normalmente à superfície lateral do tubo , de acordo 
com o teorema das forças vivas "variação da força viva em um sistema iguala o 
trabalho total de todas as forças que agem sobre o sistema". 
54 HIDRODINÂMICA 
Assim, considerando-se a variação da energia cinética ( ~ mv
2
) 
1 2 1 2 1 2 
2m2v2 -2m1v1 =2mv equ:içiio (11) 
Sendo o líquido incompressível, 
A 1 ds 1 =A2 ds2 =V (Figura 4.6) 
onde V= volume do líquido e a soma dos trabalhos das forças externas (empuxo e 
gravidade, pois não há atrito por se tratar de líquido perfeito) será 
p 1 A 1 ds 1 - p 2 A 2 ds2 +yV (Z1 -Z2). 
Igualando eq.(11) e eq.(12) temos 
.!1'... V(vi -vi)= V(p1 - Pz) + yV(Z1 - Z2) 
2g 
de modo que, simplificando, 
vi _ vi = P1 _ P2 + z _ z 
2g 2g r r i 2 
2 .. · v:·· . ... . .. . . .· 
~+P' +z .=i+P2'+i ·= const~te 
2g r i 2g r .. ·. .2 . • -
·equação (12) 
O conhecido e importantíssimo teorema de Bernoulli, que pode ser enunciado: 
"Ao longo de qualquer linha de corrente é constante a soma das alturas 
cinética (v2 /2g), piez.ométrica (pfr) e geométrica (Z)." 
O teorema de Bernoulli não é senão o princípio da conservação da energia. 
Cada um dos termos da equação representa um forma de energia: 
v2 
2
g = energia cinética (força viva para o peso unitário); 
r energia de pressão ou piezométrica; 
Z = energia de posição ou potencial. 
É importante notar que cada um desses termos pode ser expresso em metros, 
constituindo o que se denomina carga. 
v2 mz /s2 
-
2 
== --
1
-2- -+m (carga de velocidade ou dinâmica); 
g ms 
p kgf/m2 
y-= kgf/m3 -+m (carga de pressão); 
z = m -> m (carga geométrica ou de posição). 
Há máquinas hidráulicas que aproveitam essas diferentes formas de energia 
DEMONSTRAÇÕES EXPERIMENTAIS DO TEOREMA DE B ERNDULLI 55 
em conjunto ou separadamente. As rodas de água com admissão por cima (Fig.4.7) 
aproveitam a energia de posição (carga geométrica). Já nas rodas Pelton utiliza-se a 
energia cinética mediante a ação de jatos que incidem sobre as pás. 
Figura.4.7 
4.12 - DEMONSTRAÇÕES EXPERIMENTAIS DO TEOREMA 
DE BERNOULLI 
Em 1875, Froude apresentou interessantes experiências ilustrativas do teorema 
de Bernoulli. 
Uma delas consiste numa canalização horizontal e de diâmetro variável, que 
parte de um reservatório (vaso) de nível constante, Fig. 4.8. 
Instalando-se piezômetros nas diversas seções, verifica-se que a água sobe a 
alturas diferentes; nas seções de menor diâmetro, a velocidade é maior e, portanto, 
também é maior a carga cinética, resultando menor carga de pressão. 
Como as seções são conhecidas, podem-se verificar a distribuição e a constância 
da carga total (soma das alturas). 
Outra experiência curiosa consiste nos vasos que ainda levam o nome de seu 
idealizador. 
Dois vasos providos de bocais são justapostos, a água passando do primeiro 
para o segundo vaso (Fig.4.9). 
A pressão ex~ida pelo líquido na seção (2) é dada pela altura h 2 e, na seção 
(1), admite-se que corresponda a uma altura h 1. 
Pelo teorema de Bernoulli, tomando-se o eixo dos bocais como referência, 
vz vz 
_, +h,.=-2 +~=H 
2g, 2g 
Construindo-se a seção (1) de maneira que 
2 
3._=H 
2g 
.. , -
(isto é, a seção (1) pode ser tal que toda a carga H seja reduzida à energia 
cinética), resultará h 1 = O e a pressão, nesse ponto, será a atmosférica. 
56 HIDRODINÃMICA 
<D @ @ 
Ai A2 A3 
Figura~s.._ ........................ P.1 ........... P.2,_. .......... P.3 ............ .. 
Nessas condições, os vasos poderão ser separados afastando-se os bocais; a água 
continuará a passar de um vaso para o outro, sem escapar para o exterior. 
Nível mais alto 
/. 
FigurB.4.9 
Exercício 4.3 -A água escoa pelo tubo indicado na Fig. 4.10, cuja seção varia 
do ponto 1 para o ponto 2, de 100 cm2 para 50 cm2 • Em 1, a pressão é de 0,5 
kgf/cm2 e a elevação 100, ao passo que, no ponto 2, a pressão é de 3,38 kgf/ 
cm2 na elevação 70. Calcular a vazão em litros por segundo. 
v; P1 V~ P2 -+-+Z1 =-+-+Z2 
2g 'Y 2g 'Y 
v; + 5 000kgf/m
2 
+lOO= v~ + 33 800 + 70 
2g 1 000kgf/m3 2g 1 000 
v2 v2 
-
1 +5+100 =-2 +33,8+70 
2g 2g 
v2 v2 
- 2 --
1 =105-103,8=1.2 
2g 2g 
vi-v; =2x9,8x l,2=23,52 
Como a seção no ponto 1 tem uma área duas vezes maior que a do ponto 2, 
com a mesma vazão, a velocidade no ponto 2 será duas vezes maior. De acordo 
com a equação da continuidade, 
Q =A1. vl "'A.z. V2 :. V.z = 2 vl 
Substituindo, 
DEMONSTRAÇÕES EXPERIMENTAIS DO TEOREMA OE BERNOULLI 
123:52 r;::-;:-: 
v 1 = ~-S = "J7,84 = 2,8m/s 
Q =A1 • v1 = 0,0100 x 2,8 = 0,028m3/s (ou= 281/s). 
2-A2 = 50cm2 
p = 3,38kgf/cm2 
F~ 
100,00 
._. ____________________________________ Figura~10 
Exercício 4.4 - De uma pequena barragem, parte uma canalização de 250 
mm de diâmetro, com poucos metros de extensão, havendo depois uma 
redução para 125 mm; do tubo de 125 mm, a água passa para a atmosfera sob 
a forma de jato. A vazão foi medida, encontrando-se 105 f./s. 
_l_ vl 
- . - 2g 
Calcular a pressão na seç&o inicial da tubulação de 250 mm; a altura de água 
H na barragem; a potência bruta do jato . 
.::.-
v2p ·V:p 
_1 +-1 +z =-:t +-2 +Z 
2g r 1 2g r 2• 
P2 = O (descarga na atmosfera) r 
Como V= ~· 0,105 
v 1 =---=2,14m/s, 
0,0491 
Logo, a pressão é calculada como sendo 
O,l05 =8 53m/s. 
0,01227 • 
p, = 
8
'
532 
-
2
'
142 
=3 71-0 23=3 48m r 19,6 19,6 • ' ' 
57 
58 HIDRODINÃMICA 
da mesma forma, calcula-se a altura de 'água. 
H=EL+ ~ =348+023=371m· r 2g , , • • 
Determina-se, por sua vez, a potência bruta do jato. 
Potência = Q x H = 105 x 3• 71 5 2 cv 
75 75 ' 
Exercício 4.5 - Uma tubulação vertical de 150 mm de diâmetro apresenta, 
em um pequeno trecho, uma seção contraída de 75 mm, onde a pressão é de 
1 atm. A três metros acima desse ponto, a pressão eleva-se para 14, 7 mca. 
Calcular a velocidade e a vazão. (Fig. 4.12). 
Se a velocidade na tubulação, propriamente dita, for vl' a velocidade v2 , na 
garganta, será muito superior. 
v 2 (4v )2 
-
1 +14,7+3=--1-+10,3+0, 
2g 2g 
v2 p v2 p 
-' +-1.+z =-2 +-2+z 2g r i 2g r 2• 
2 6 2 
.3... 17 7= 1 v 1 10 3 
2g + ' 2g + '' 
15~ =74 
20" ' ' o 
2x9,8x7,4 _
3 10 / ------, m s, 
15 
v 2 = 4Y1 =12,4m/s, 
Q=Aiv1 =0,0177x3,10=0,055m3/s. 
---·1--- ·t· ---~ "14,7 ~ 
3,00 75mm 
1. 'l 
--·2----- ~- ----- P2 = 1 atm"" 10,3 mca 
··· .. ·: 
FigurD.4.12 Figura4.13 
EXTENSÃO DO TEOREMA DE BERNOULLI AOS CASOS PRÁTICOS 
Exercício 4.6 - Em um canal de concreto, a profundidade é de 1,20 me as 
águas escoam com uma velocidade média de 2,40 m/s, até um certo ponto, 
onde, devido a uma queda, a velocidade se eleva a 12 m/s, reduzindo-se a 
profundidade a 0,60 m. Desprezando as possíveis perdas por atrito, 
determinar a diferença de nível entre as duas partes do canal (Fig. 4.13). 
Logo. 
v2p v2p 
_, +--1..+z =-2 +2+z 
2g r l _2g r 2• 
v2 v2 
-
1 +O+(y+l.20)=-2 +0+0,60 
2g 2g 
2,402 + 1 20 + = 12,002 +o 60. 
19,6 • y 19,6 • 
0,30 + 1,20 + y = 7,40 + 0,60. 
y = S,00 - 1,50 = 6,50 m. 
4.13 -EXTENSÃO DO TEOREMA DE BERNOULLI AOS CASOS 
PRÁTICOS 
Na dedução do teorema de Bernoulli foram feitas várias hipóteses: 
59 
a) o escoamento do líquido se faz sem atrito: não foi considerada a influência 
da viscosidade; 
b) o movimento é permanente; 
c) o escoamento se dá ao longo de um tubo de corrente (de dimensões 
infinitesimais); 
d) o líquido é incompressível. 
A experiência não confirma rigorosamente o teorema de Bernoulli, isto porque 
os fluidos reais (naturais) se afastam do modelo perfeito. A viscosidade e o atrito 
externos são os principais responsáveis pela diferença; em conseqüência das forças 
de atrito, o escoamento somente ocorre com uma perda de energia: a perda de 
carga (a energia se dissipa sob a forma de calor). 
Por isso se introduz na equação deBernoulli um termo corretivo hf (perda de 
carga). v2 p vz p 
-' +__...!.+z =-2 +-2 +Z +h . 
2g r ' 2g r 2 r 
} ht ·-1- --vl 
2g 
~[~2~: 
Da tum 
Figw:a 4.14 ·. . ' . ~4.15 
60 HIDRODINÂMICA 
Além da correção acima, um outra deve ser mencionada: a dedução foi feita 
para um tubo de corrente considerandcrse determinada velocidade para cada seção. 
Na prática, porém, o que se verüica é a variação de velocidade de ponto para ponto 
numa mesma seção. Nessas condições, o que se tem não é uma velocidade única , 
mas sim uma distribuição de velocidades. Daí uma correção para o termo v 2/2g-. 
onde 
V~ p, z vi P2 a-+-+ 1 =a-+-+Z2 +h1 2g r 2g r 
CI ~coeficiente de correção (coeficiente de Coriolis); 
v1 =velocidade média na seção igual a Q/A1. 
O valor de a varia entre 1 e 2; será 1 quando houver uma velocidade única na 
seção, e 2 quando, em uma canalização, a velocidade variar parabolicamente de O 
junto às paredes do tubo, até o seu valor máximo no centro. Comumente, o valor 
desse coeficiente está próximo da unidade, sendo, por isso, omitido em muitos 
problemas da prática. 
O enunciado geral do teorema de Bernoulli fica sendo, portanto: 
"Para um escoamento contínuo e permanente, a carga total de energia, 
em quàiquer ponto de uma linha de corrente é igual à carga total em 
qualquer ponto a jusante da mesma linha de corrente, mais a perda de 
carga entre os dois pontos". · 
A adoção no enunciado acima da "linha de corrente;, visa minimizar a 
necessidade da introdução do coeficiente de correção C1 acima explicado. Ou seja, 
medindcrse sempre as energias no centro do tubo, por exemplo, se o diâmetro e a 
rugosidade forem iguais, não é necessário o coeficiente CI. 
No exercício a seguir, informam-se as perdas de carga (arbitradas) porque a 
forma de encontrá-las é descrita em capítulo posterior. A perda de carga nesse 
problema seria função do diâmetro (conhecido), do comprimento (não informado) 
e da rugosidade interna do tubo (não informado). 
Exercício 4.7 - Tome-se o sifão da Fig. 4.16. Retirado o ar da tubulação por 
algum meio mecânico ou estando a tubulação cheia, abrindo-se (C) pode·se 
estabelecer condições de escoamento, de (A) para (C), por força da pressão 
atmosférica. Supondo a tubulação com diâmetro de 150 mm, calculara vazão 
e a pressão no ponto (B), admitindo que a perda de carga no trecho AB é O, 75 
me no trecho BC é 1,25 m. 
8 
NA 
-i 
FiguIB.4.16 
EXTENSÃO 00 TEOREMA DE BERNOULLI AOS CASOS PRÁTICOS 
v! PA v~ Pc -+-+ZA =-+-+Zc +h!Ac• 
2g r 2g r 
v2 
0+0+4,5 =-e-+ 0+0+(0,75+1.25), 
19,6 
VE = 2,5 X 2 X 9,8 = 49, 
Vc=7m/s, 
a velocidade terá o mesmo valor em qualquer ponto do trecho@-©, já que 
o diâmetro é constante. 
Q = Av = n:(O,l5>2 x 7=O,124m3 /s 
4 
Para determinar a pressão em @,pode-se aplicar Bernoulli entre os pontos 
@e@. 
vzp vzpz 
__:!!_+~+Z =_p_+_p_+Z
8 
+h,,. 
2g r A 2g r ~ 
7 02 
0+0+0=-'-+PB +l,8+0,75 
19,6 r 
pB = -5,05 mca 
Observe-se que o limite de pressão negativa possível é o de rompimento da 
coluna líquida, ou seja, o da formação de vapor ou tensão de vapor, que nas 
CNTP é de 1 atm (-10,33 mca). Nas condições reais não é bom aproximar-se 
desse valor, que só se atinge teoricamente, pois vibrações ou temperaturas 
acima das normais podem impedir o funcionamento de um sifão assim 
calculado. 
Se, por acaso, verifica-se que um sifão calculado com pressão relativa negativa 
em seu ponto mais alto (pressão absoluta abaixo de 10,33 mca, nas CNTP) 
funciona assim mesmo, deve-se observar que a saída do sifão (extremidade 
de jusante) não trabalha à seção plena, portanto, a perda de carga não é a de 
cálculo nessa velosidade, logo nem·a vazão. Nesse caso, o sifão funciona por 
acaso. A condição"Cie funcionar com pressão negativa absoluta abaixo de -
10,33 mca é impossível de ser atendida. 
61 
62 
n-ês Marias, .ao :rio São F.nmdsco, :foi um marco importante da 
e.agenhar.ia de barrage.DS .ao Brasil. Em SUll época.foi um projeto 
de repercussão mUD.dial, pelas suas dime.asões - a maior 
barragem de terra da América Latina. e a qui.Dta do mWldo. Seu 
objeti.voi.Dicial:foi a regularização do rio São Fn:mc:isco, para :ti.Ds 
de melbona das co.adições de :rus.vegação. (Fonte: IESA NotfcillS). 
I 
ORIFICIOS, 
SOCAIS E TUBOS CURTOS 
5.1.- ESCOAMENTO EM ORIFÍCIOS (Foronom.ia) 
5.1.1 - Classificação dos orifícios 
63 
Orifícios são perfurações, geralmente de forma geométrica definida, feitas 
abaixo da superfície livre do líquido em paredes de reservatórios, tanques, canais 
ou canalizações. As aberturas feitas até a superfície do líquido constituem 
vertedores (Fig. 5.2). 
Figura 5.l - Ilustr.ação de um orifício Figw:a S.Z -Esquema de um vertedor 
Os orifícios podem ser classificados quanto à forma, em circulares, retangulares, 
etc.; quanto às suas dimensões relativas, em pequenos e grandes. 
São considerados pequenos os orifícios cujas dimensões são muito menores 
que a profundidade em que se encontram: dimensão vertical igual ou inferior a 
um terço da profundidade. 
Para os orifícios pequenos de área inferior a 1/10 da superfície do recipiente, 
pode-se desprezar a velocidade v1 do líquido (Fig. 5.1). 
Já, quanto à natureza da parede, podem ser classificadas em orifícios em parede 
delgada e orifícios em parede espessa. 
A parede é considerada delgada quando o jato líquido apenas toca a perfuração 
em uma linha que constitui o perímetro do orifício (Fig. 5.3.a). Numa parede 
espessa, verifica-se a aderência do jato (Fig.5.3.c). 
64 ORIFICJOS, SOCAIS E TUBOS CURTOS 
Os orifícios em parede delgada são obtidos em chapas finas ou pelo corte em 
bisel. O acabamento em bisel não é necessário se a espessura e da chapa é inferior 
a 1,5 vezes o diâmetro d do orifício suposto circular (ou à menor dimensão, se~ 
orifício tiver outra forma (Fig. 5.3.b). 
Ao contrário, se e for maior que uma vez e meia o diâmetro, o jato poderá se 
colar ao interior da parede, classificando-se o orifício como em parede espessa. 
' ' 
-M-
' 
' 
' ' - -
(a) (b) (e) 
Figura 5.3- (a) Parede delgada biselada. (b) Parede delgada: e< 1,5 d. (e) Parede espessa: e> 1.5 d 
Se o valor de e estiver compreendido entre 2 e 3 vezes o diâmetro d, teremos o 
caso de um bocal. 
O jato que sai de um orifício chama-se veia líquida. Sua trajetória é parabólica 
(como a de todo corpo pesado animado de velocidade inicial). 
5.1.2 - Orifícios pequenos em paredes delgadas: teorema de Torricelli 
Experimentalmente, constata-se que os filetes líquidos tocam as bordas do 
orifício e continuam a convergir, depois de passarem pelo mesmo, até uma seção 
A 2, na qual o jato tem área sensivelmente menor que a do orifício. Essa seção A 2 é 
denominada seção contraída (vena contracta). 
Vt {J2 
Figw:'B.5.4 Figu:raS.5 
ESCOAMENTO EM ORIFICIOS 65 
Costuma-se designar por coeficiente de contração da veia a relação entre a área 
da seção contraída e a área do orifício: 
C _A2 
e- A 
Valor médio prático de Cc é 0,62, Tab.5.1. Teoricamente, o valor de Cc é igual a 
_!!_
2 
para orifícios longos, abertos em paredes delgadas, Fig. 5.5. 
:lt'+ 
Tabela5.1 - Orifícios circulares em paredes delgadas. 
Coeficientes de contração Cc 
Carga Diâmetro do orifício, cm 
h.m 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 
0,20 0,685 0,656 0,626 0,621 0,617 
0,40 0,681 0,646 0,625 0,619 0,616 
0,60 0,676 0,644 0,623 0,618 0,615 
0,80 0,673 0,641 0,622 0,617 0,615 
1,00 0,670 0,639 0,621 0,617 0,615 
1,50 0,666 0,637 0,620 0,617 0,615 
2,00 0,665 0,636 0,620 0,617 0,615 
3,00 0,663 0,634 0,620 0,616 0,615 
5,00 0,663 0,634 0,619 0,616 0,614 
10,00 0,662 0,633 0,617 0,615 0,614 
Tratando-se de água e orifícios circulares, a seção contraída encontra-se a uma 
distância da face interna do orifício aproximadamente igual à metade do diâmetro 
do orifício. 
Adicionando-se à água uma substância que permita mostrar a trajetória das 
partículas líquidas, verüica-se que os filetes, a princípio convergentes, tornam-se 
paralelos ao passar pela seção contraída. 
No caso de orificiss pequenos, pode-se admitir,sem erro apreciável, que todas 
as partículas atravessam o orifício animadas da mesma velocidade, sob a mesma 
cargah. 
Aplicando-se o teorema de Bernoulli às seções 1 e 2 (Fig. 5.4) e toma;ndo-se o 
eixo de orifício como referência, 
vi p vz p 
_l +-..!!..+h=-t +i 
2g r 2g r 
Como nesse caso, a seção A do orifício é muito pequena em relação a Al' a 
velocidade v 1 é desprezível em face de vt , 
v;= 2g(h+p•;P2) 
il 
!· 
1
.: 
' 
' 
!1 
~i 
66 ORIFICIOS. SOCAIS E TUBOS CURTOS 
No caso mais comum em que a veia líquida se escoa na atmosfera, 
·Pi = Pa' 
,.:. __ · .. -."'"""'-···""":··:.... .. ~ 
expressão do conhecido teorema de Torricelli. 
Cada partícula, ao atravessar a seção contraída, teria uma velocidade idêntica 
à da queda livre, desde a superfície livre do reservatório até o plano de referência, 
passando pelo centro do orifício. 
vt é a velocidade teórica, que não leva em conta as perdas sempre existentes. 
Na realidade, porém, 
Vz < vt 
e por isso se introduz um coeficiente de correção, o coeficiente de redução de 
velocidade; 
e - Vz 
V - > 
vt 
sempre menor que a unidade. 
O valor médio de Cv é 0,985 (Tab. 5.2). 
v 2 =Cvvt =Cv~2gh. 
A vazão será, então, dada por 
Q=Av=.Aiv2 
substituindoA2 e v2 , 
Q=ACcCv~2gh. 
Designando-se por coeficiente de descarga ou de vazão ao produto Cc Cv, 
cd"'cccv, 
sendo, 
(fórmula geral para pequenos orifícios), 
. '·.:: 
h = carga sobre o centro do orifício (m); 
A =área do orifício (m2 ); 
cd =coeficiente de descarga. 
Na prática, é adotado o valor médio de Cd dado na Tabela 5.3. 
Para orifícios em geral, 
Ca = cc CV= 0,62 X 0,985 e 0,61, 
cd = o,61. 
A Tab.5.3 apresenta valores de Cd para pequenos orifícios, aplicáveis em 
questões que envolvem maior precisão. 
Também as adufas e comportas podem ser consideradas como orifícios. No 
caso de comportas com contração completa, o coeficiente Cd equivale a 0,61: nas 
comportas com contração incompleta, por influência do fundo ou das paredes 
laterais, o coeficiente varia de 0,65 a O, 70, podendo atingir valores ainda mais 
elevados em condições favoráveis. O valor prático usual de Cd é 0,67. Para as adufas, 
ESCOAMENTO EM ORIFICIOS 67 
pode-se aplicar um coeficiente ligeiramente maior: 0,70. 
TabelaS.2 - Orifícios circulares em paredes delgadas. 
Coeficiente de velocidade e,, 
carga Diâmetro do orifício, cm 
h,m 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 
0.20 0,954 0,964 0,973 0,978 0,984 
0,40 0,956 0,967 0,976 0,981 0,986 
0,60 0,958 0,971 0,980 0,983 0,988 
0,80 0,959 0,972 0,981 0,984 0,988 
1,00 0,958 0,974 0,982 0,984 0,988 
1,50 0,958 0,976 0,984 0,984 0,988 
2,00 0,956 0,978 0,984 0,984 0,988 
3,00 0,957 0,979 0,985 0,986 0,988 
5,00 0,957 0,980 0,987 0,986 0,990 
10,00 0,958 0,981 0,990 0,988 0,992 
Tabela5.3 - Orifícios circulares em paredes delgadas. 
Coeficiente de descarga Cd* 
carga Diâmetro do orifício, cm 
b,m 2,00 3,00 4,0 5,0 6,0 
0,20 0,653 0,632 0,609 0,607 0,607 
0,40 0,651 0,625 0,610 0,607 0,607 
0,60 0,648 0,625 0,610 0,607 0,608 
0,80 0,645 0,623 0,610 0,607 0,608 
1,00 0,642 0,622 0,610 0,607 0,608 
1,50 0,638 0,622 0,610 0,607 0,608 
2,00 ci,636 0,622 0,610 0,607 0,608 
3,00 0,634 0,621 0,611 0,607 0,608 
5,00 0.634 0,621 0,611 0,607 0,608 
10,00 ó}is4 0,621 0,611 0,607 0,609 
r O valor médio geralmente adotado em problemas é 0,61 
5.1.3 - Fenômeno da inversão do jato 
É um fenômeno curioso o que ocorre com a forma dos jatos (seção transver­
sal). A forma dos jatos passa por estágios que se sucedem a partir da seção contraída. 
Assim, por exemplo, se o orifício tiver uma forma elíptica, o jato deixará o 
orifício com essa forma; numa seção posterior, o jato passará a ter a forma circular 
e, mais adiante, voltará a assumir a seção elíptica, porém com o eixo maior em 
correspondência ao eixo primitivamente menor (Fig. 5.6). 
A Fig.5. 7 mostra seções de jatos produzidos por orifícios de forma triangular e 
quadrada. 
68 
A-~-v--Y 
o-o-o-o 
Figura.S.6 
ORIFICtOS, SOCAIS E TUBOS CURTOS 
FipxaS.7 
5.1.4 - Orifícios afogados abertos em paredes verticais delgadas. 
Diz-se que um orifício está afogado quando a veia escoa em massa líquida (Fig. 
5.8). Nesse caso, ocorre, ainda, o mesmo fenômeno de contração da veia. 
A expressão de Torricelli pode ser 
mantida, porém a carga h deve ser consi­
derada como a diferença entre as cargas de 
montante e jusante (h1 - h 2). 
Os coeficientes de descarga serão 
ligeiramente inferiores aos indicados para 
orifícios com descarga livre. Em muitos 
problemas da prática, essa diferença é 
desprezível. 
FiguxaS.8 
5.1.5 - Orifícios de grandes dimensões. Orüícios sob cargas reduzidas 
Tratando-se de orifícios grandes, já não se pode admitir que todas as partículas 
que os atravessam estejam animadas da mesma velocidade, porquanto não se pode 
considerar uma carga única (h). A carga é variável de faixa para faixa. 
O estudo pode ser feito considerando-se o grande orifício como dividido em 
um grande número de pequenas faixas horizontais, de altura infinitamente 
pequena. para as quais pode ser aplicada a expressão estabelecida para os orifícios 
pequenos. 
Sejam 
L = largura do 
orifício 
h =carga sobre um 
trecho elementar, de 
espessura dh. 
FigurlJ. 5.9 
-----ij ------ ~ · 'i . ,,;,," dn 
----- L 
ESCOAMENTO EM ORIFICIOS 69 
A carga para esse trecho elementar será 
dQ = CdL dh~2gh. 
A descarga de todo o orifício será obtida integrando-se essa expressão entre os 
limites h 1 e h 2 (cargas correspondentes ao topo e à base do orifício). 
Q= fh: CdL dh~2gh =CdLMfhz ./hdh=3-CdLMChJ/2 -hf12
). 
~ ~ 3 
5.1.6 - Contração incompleta da veia 
Para posições particulares dos orifícios, a contração da veia pode ser afetada, 
modificada, ou mesmo suprimida, alterando-se a vazão. 
Para que a contração seja completa, produzindo-se em todo o contorno da veia, 
é preciso que o orifício esteja localizado a uma distância do fundo ou das paredes 
laterais, pelo menos igual a duas vezes a sua menor dimensão. 
No caso de orifícios abertos, junto ao fundo ou às paredes laterais, é 
indispensável uma correção. Nessas condições, aplica-se um coeficiente de descarga 
Cá corrigido. 
Para orifícios retangulares,_ 
onde 
e d = cd (1 + o,1Sk), 
LJ LJ 
b . b 
FiguraS.10 
perímetro da parte em que há supressão , 
k-~~~~p~e~n~m:=-,e~t=r~o~t~ortãl,,..,-d~o..,.....,o~n~1~1~c~10=--~~~~ 
A Fig 5.10 inclui os seguintes casos: 
b 
k= 2(a+b)' 
Para orifícios circulares, 
k=~, 
2(a+b) 
C'a = Ca (1 + 0,13 k). 
k= 2a+b . 
2(a+b) 
b 
70 ORIFlcros. SOCAIS E TUBOS CURTOS 
Para orifícios junto a uma parede lateral, k = 0,25; para orifícios junto ao fundo, 
k = 0,25; para orifícios junto ao fundo e a uma parede lateral, k = 0,50; para orifícios 
junto ao fundo e a duas paredes laterais, k = O, 75. 
5.1. 7- Vórtice ou vórtex 
O vórtex é o redemoinho que se observa quando um líquido escoa por um 
orifício aberto no fundo de um tanque raso. 
O primeiro investigador a descrever o fenômeno foi Venturi. 
O vórtex se forma quando a profundidade (carga) é inferior a cerca de três 
vezes o diâmetro do orifício. 
FiguraS.11 Figura 5.12 - Fotografia de um vórtice 
É curioso notar que o sentido de movimento é diferente para cada hemisfério, 
sendo o de ponteiros de relógio para o hemisfério sul (desprezada a influência de 
causas perturbadoras). 
A formação de vórtice é inconveniente para o escoamento, pois o arraste de ar 
causado pelo redemoinho, além de reduzir a vazão, provoca ruídos e posterior 
acúmulo de ar em pontos altos das canalizações, prejudicando também o 
funcionamento de eventuais motobombas instaladas a jusante. 
5.1.8 - Perda de carga nos orifícios, adufas e comportas 
Se não existissem perdas nos orifícios, a velocidade v 2 do jato igualar-se-ia à 
velocidade teórica v1 (Torricelli). 
A perda de carga que ocorre na passagem por um orifício, corresponderá, 
portanto, à diferença de energia cinética 
Como 
v2 v2 
h, =-t __ 2. 
2g 2g 
- Vz v2 v2 
Vr --, hr =--2 ___ 2 • 
Cv ce2g 2g 
~"xr~f ~ii~!lf~:z: ..expressão da perda de carga, aplicável também às adufas e comportas. 
ESCOAMENTO EM ORIFICIOS 71 
No caso de comportas, o valor do coeficiente em geral se inclui entre 0,6 e 0,8. 
Admitindo-se como valor comum O, 7, encontra-se para cálculo da perda de carga 
v2 
em comportas: h 1 = - 2 
• 
2g 
A vazão é dada pela expressão comum: Q = O, 7 ~2gH (onde H é a altura do nível 
d'água em relação ao centro da comporta). No caso de comportas afogadas, H é a 
diferença entre os níveis d'água de montante e de jusante. 
Comporta Adufa de parede 
Telar -
Guia 
Luva 1 
Haste ~! 
1 
Porca \! 
~1-Tamoa -
Anéis 
1 
'\ 1 
Sede ' 
-
-
: Ar ........ B 
Figun!S.13 
5.1.9 - Escoamento com nível variável 
l 
~J 
t 
1 
Haste 
Porca 
Nos casos já considerados, a carga h foi admitida invariável. Se não for mantido 
o nível constante, a altura h passará a diminuir com o tempo, em consequência do 
próprio escoame:o:t:o pelo orifício. Com a redução da carga, a descarga através do 
orifício também irá decrescendo. O problema que se apresenta na prática consiste 
em se determinar o tempo necessário para o esvaziamento de um recipiente ou de 
um tanque. 
Sendo 
A = a área do orifício 
AR = a área do reservatório (superfície); 
t = o tempo necessário para o seu esvaziamento, em segundos. 
Num pequeno int.ervalo dt, a vazão será 
Q = CdA~2gh (pequenos orifícios) 
e o volume de líquido descarregado, 
(Vol = QX t). 
•' 
ii 
·l 
·,i 
·I 
:·:! ,., 
72 ORIFICIOS. BOCAIS E TUBOS CURTOS 
Nesse mesmo intervalo de tempo, o nível de água no reservatório baixará de 
dh, o que corresponde a um volume de líquido 
ARdh. 
As duas expressões que dão o volume são iguais 
Integrando-se a expressão acima, entre dois níveis h 1 e hv 
Para o esvaziamento completo h 2 =O e h 1 = h, 
-~liJ 
expressão aproximada, uma vez que depois de certo tempo de escoamento o orifício 
deixaria de ser "pequeno". Substituindo-se os valores 
cd ~ 0,61, 
~::4,43, 
encontra-se 
Exercicio 5.1- Em uma fábrica encontra-se a instalação indicada no esquema 
(Fig.5.14), compreendendo dois tanques de chapas metálicas, em comunicação 
por um orifício circular de diâmetro d. Determinar o valor máximo de d, 
para que não haja transbordamento no segundo tanque. 
Orifício quadrado (com supressão em uma face): 
Q=CdA~2gh, 
c:i =Cd(l+O,lSk), 
k=--b-= 0,10 0,25, 
2(a+b) 2(0,10+0,10) 
c:.i = 0,61 (1+0,15 x0,25) = 0,633, 
Q = 0,633x0,102~2x9,8x 0,85 
= 0,00633 x4,08 = 0,026m3/s (26.€/s). 
Planta 
o 
d-::~: '""º -... o .,, 
ci foo~ -... 0,10X0,10 
2.00 
2,00 D 
Figun.5.14 
ESCOAMENTO EM ORIFICIOS 
Orifício circular (afogado): 
Q=CdA~2g(h,. -h2 =0,026=0,61xAx~2x9,8x(2,6-0,6). 
Logo, 
A- 0,026 
- 0,6lx~39,2 
0,026 =-O 007m2 
3,82 , • 
mJ.
2 
=0,007 :.d=~4 X0,007 =~0,0089. 
4 7C 
d = 0,094m (9,4cm). 
Exercício 5.2 - Em uma estação de tratamento de água, existem dois 
decantadores de 5,50 x 16,50 me 3,50 m de profundidade (Fig. 5.15). Para 
limpeza e reparos, qualquer uma dessas unidades pode ser esvaziada por 
meio de uma comporta quadrada de 0,30 m de lado, instalada junto ao fundo 
do decantador. A espessura da parede é de 0,25 m. 
Calcular a vazão inicial na comporta e determinar o tempo necessário para o 
esvaziamento do decantador 
Q = CdA~2gh,. 
cd = o.s2 
A =0,30X0,30=0,09m2 
h 1 =3,35m 
Q = 0,62x0,09~2x9,8 x3,35 = 0,452m3/s =452 R./s 
que é a vazão inicial na comporta. Vejamos o tempo necessário: 
t= 2AR .fh 
CdA.j2i 
t _ . 2x90,75 ~3•35 
.. Q, 62 X 0,09 X ~2 X 9,8 
t = 1345 s, ou seja, cerca de 22,5 minutos (solução aproximada) 
I' 
,__...,.,~ 
0,25 
16,50 1 
5,50 
Comporta 
t" -',· 
Figura.S.15 
73 
l 
74 ORIFICIOS, SOCAIS E TUBOS CURTO: 
Exercício 5.3 - Qual será o efeito (momento) dos jatos que deixam um 
distribuidor rotativo de 4 braços de 60 cm, com bocas de 1 cm de diâmetro? 
Pressão de trabalho= 20 mca (Fig. 5.16). 
Q=CdA~2gh, 
=0,61;rrO.Ol
2 ~2x9,8x20 
4 
= 0,001m3/s ou 1 l/s 
F =LQv=R 
g 
R =pQv=LQv. comov=~2gh 
g 
R = 1000 o.001~2x9,8x20 =2kgf 
9,8 
M = 4 x 2 x O, 60 = 4, 8kgf · m 
FigunJS.16 
~------J~ato. 
R-
5.2 - ESTUDO DOS BOCAIS 
5.2.1 - Classificação dos bocais 
Os bocais ou tubos adicionais são constituídos por peças tubulares adaptada~ 
aos orifícios. Servem para dirigir o jato. O seu comprimento deve estai 
compreendido entre vez e meia (1,5) e três (3) vezes o seu diâmetro. De um modc 
geral, e para comprimentos maiores, consideram-se comprimentos de 1,5 a 3 I 
como bocais; de 3 a 500 D como tubos muitos curtos; de 500 a 4 000 I 
(aproximadamente) como tubulações curtas; e acima de 4 DOO D como tubulaçõe: 
longas. 
O es:tudo de orifícios em parede espessa é feito do mesmo modo que o estude 
dos bocais. 
.,. -. ' . . --~-~~?:.--
• ':L 
i F'jgw:a 5.17 
ii '. Os bocais costumam ser classificados em: 
;li ilí d . { interiores ou reentrantes :I c n ncos 
1-. exteriores 
i 
~ 
ESTUDO DOS SOCAIS 75 
cônicos { convergentes 
divergentes 
Denomina-se, ainda, bocal-padrão ao bocal cujo comprimento iguala-se a 2,5 
vezes o seu diâmetro e bocal de Borda ao bocal reentrante de comprimento padrão. 
5.2.2 - Vazão nos bocais 
Aos bocais aplica-se a fórmula geral, deduzida para os orifícios pequenos, 
: .·.· 
. ·--·~: -~-···-· .... ·- '· :.~.: .:..:.~ .. ·.: ... -.. '. 
5.2.3 - Bocais cilíndricos 
A contração da veia ocorre no interior dos bocais cilíndricos. 
Nos bocais-padrão, a veia pode colar-se ou não às suas paredes. Fechando-se o 
tubo de modo a enchê-lo, fazemos com que a veia fique colada, resultando um jato 
"total"(ocupando inteiramente a seção de saída). 
É interessante observar que o bocal reentrante de Borda corresponde à menor 
vazão: coeficiente de descarga 0,51 (teoricamente encontra-se Cd = 0,5 para veia 
livre) 
O bocal cilíndrico e>..1:erno, com veia aderente, eleva a vazão: Cd = 0,82. 
- \ 'k ........... '\. 
e 
........ \ .... ~ 
' ........ .... .... 
.. -,. 
_.--, 
. 
.,, ...... "'.... ,' r
_::.:.;::_. 
1 
\~ \ 
' \ \ ' -----
' ......... '.... --::.--------------
..... ;,---r---: ----.- -
/,. /. . . - -.... ,. .... -/ .... 
I ' 
I . . 
: ·. . . . 
Figu:ra 5.18 
J 
e 
.'t -
Figura 5.19- (o.) Boca:J cónico simples. (b) 
Bocal cónico com extremidade cilíndrica. 
(e) Boca.l..convexo. (d) Boca.l. tipo Rouse 
76 ORIFICIOS. BOCAIS E TUBOS CURTOS 
5.2.4 - Bocais cônicos 
· Com os bocais cônicos aumenta-se a vazão. Experimentalmente verifica-se que, 
nos bocais convergentes, a descarga é máxima para e= 13°30': cd = 0,94. 
Os tubos divergentes com a pequena seção inicial convergente, conforme mostra 
a Fig. 5.18 denominam-se Venturi, por terem sido estudados pelo investigador 
italiano. As experiências de Venturi demonstram que um ângulo de divergência 
de 5°, combinado com o comprimento do tubo igual a cerca de nove vezes o diâmetro 
da seção estrangulada, permite os mais altos coeficientes de descarga. 
5.2.5 - Bocais e agulhetas 
Na prática, os bocais são construídos para várias finalidades: combate a 
incêndios, operações de limpeza, serviços de construção, aplicações agrícolas, 
tratamento de água, máquinas hidráulicas, etc. 
Quatro tipos são usuais, e acham-se mostrados na Fig. 5.19. 
O coeficiente de descarga (Cd), geralmente, está compreendido entre 0,95 e 0,98. 
Os bocais de incêndio, normalinente, têm diâmetro de saída de 25 a 37,Smm. 
5.2.6 - Experiência de Venturi 
Parece paradoxal o fato de a vazão se elevar com a adição de um bocal; com o 
bocal, novos pontos para perda de energia são criados. A explicação foi dada por 
. Venturi numa célebre experiência. 
A pressão média existente na coroa de depressão, que envolve a veia líquida 
dentro do bocal, é menor que a pressão atmosférica. Isso foi verificado por Ven­
turi, que introduziu naquela parte um tubo de vidro, conforme mostra a Fig. 5.20. 
Observa-se que o valor O, 75h tem um limite teórico de 1 atm (10 mca). 
Nessas condições, a descarga, que num orifício ocorreria contra a pressão 
atmosférica, com a adição de um bocal passa a ser feita contra uma pressãomenor, 
elevando-se a vazão. A existência do bocal permite a formação e manutenção da 
coroa de depressão. 
--======r =====---=== =====---- ------................... 
H=10m 
____ _]__ ______ _ 
Figiuas.20· Fip:ra. 5.21 
ESTUDO DOS SOCAIS 
77 
5.2.7 - Subdivisão de carga em um bocal. Perda de carga 
Da carga total H, que atua sobre um bocal cilíndrico, cerca de 2/3 se converte 
em velocidade, correspondendo o terço restante à energia despendida na entrada 
do bocal. 
Considerando-se, por exemplo, o caso ilustrado na Fig. 5.21 de um tanque com 
uma altura de água de 10 m em relação ao eixo de um bocal, cujo comprimento de 
0,30 m iguala-se a três diâmetros (0,10 m). 
Q =CdA-J2gH 
Cd=0,82 
A = 0,00785m2 
Q= 0,82x0,00785 ~2x9,8x10 = 0,090m3/s 
Logo 
v= Q = O,OSO =11.46m/s 
A 0,00785 
A carga h correspondente a essa velocidade será 
h = v2 = 11,462 = 6, 70m 
2g 2x9,8 
Comparando-se esse valor de h com a carga inicialmente disponível (H = 10 m), 
verifica-se que cerca de dois terços de H (66,6% ou, aproximadamente, 6, 70 m) 
converte-se em velocidade, enquanto que o terço restante (33,3% ou 3,30 m) · 
corresponde à energia despendida na entrada do bocal. 
Essa perda (1/3 H) é equivalente à metade de h (h = 2/3 H), sendo portanto 
igual a 
o 5 v2 
'2g 
Designando-se por h 1 a perda de carga, 
h 1 =H-h, 
v2 v2 
h,=-t --
2g 2g 
Como, conforme 5.1.2, 
e 
V 
v=­
r Cv 
v2 v2 
h,=----
c;.2g 2g 
~~Ii~~Ífl~.;·" 
expressão da perda de carga nos bocais idêntica a dos orifícios. 
78 ORIFiCIOS, BOCAIS E TUBOS CURTOS 
5.2.8 - Comparação entre a perda de carga em um bocal normal e a perda em 
um bocal com entrada arredondada 
Para os bocais comuns, Fig. 5.22a, em que o valor médio de Cv é 0,82, a perda 
na entrada vem a ser 
( 
1 Jv2 
( 1 )v
2 
v2 v2 h1= --1 -= ---1 - .. (1,5-1)-=0,50-c; 2g o,s22 2g 2g 2g, 
v2 
ou seja, 50% de 
2
g. 
Figw:aS.22 
a b e 
Empregando-se bocais com bordas bem arredondadas (Fig. 5.22 b), consegue­
se elevar o valor de Cv até 0,98, resultando 
( 
1 J v 2 
( 1 ) v
2 
h1 = e! -1 2g = O, 952 -1 2g ' 
v2 v2 
(1.04-1)-=0,04-
2g 2g 
ou apenas cerca de 4% da carga de velocidade, o que mostra a conveniência de haver 
melhores condições de entrada. 
A forma geométrica ideal é a de uma tratriz*. Na prática, porém, uma curvatura 
ideal constitui um refinamento que raramente pode ser realizado. Entretanto as 
condições podem ser bastante melhoradas nos casos de tubulações, empregando­
se na sua extremidade inicial uma peça de redução de diâmetro (Fig. 5.22 c). 
Tabela5.4 - Alcanremáximodosjatos(requintes) 
(Trans.A.S.C.E. voLXXI ), m 
Alcance horizontal Alcance vertical 
Ângulo de 32º Ângulo de 60º 
com a horizontal** coma horizontal"'* 
Pressão Diâmetro dos bocais Diâmetro dos bocais 
l" 11/4'' 11;2~ 1" 11/4" 11/2" 
(2,Scm) (3,l.5cm) (3,75cm) (2,5cm) (3.15cm) (3,75cm) 
14mca ll,3 11,9 12,2 10,7 11.0 11,3 
20mca 16,8 18,9 20,l 19,5 19,8 21,0 
42mca 20,5 22,8 24,4 24,0 25,6 26,6 
56mca 23,2 25,6 26,9 27,2 28,7 29,3 
-~-Angulo com ahorizontil que perIIllteBlcan.ce máximo 
• Trat:riz- curva plana cujas tangentes tem igual comprimento. 
TUBOS CURTOS SUJEITOS A OESCARGA LIVRE 
QUADRO 5.1 - Bocais: coeficientes médios- • 
J • • ' 
Casos 
===~:~.:-::::: ;;--..., 
::::~~~~~~~~ 
;;;;;;~:·;;;: 
',,_ 1 ---------
__ ... .,.-----::-
::::::~~~~-~~:::::-::" :::;::1··----.·--- -.-.:.:" 
Valores médios para 
0,62 0,985 0,61 orifícios comuns em 
parede delgada 
0,52 0,98 0,51 Veia livre 
1,00 O, 75 O, 75 Veia colada 
0,62 0,985 0,61 Veia livre (valores médios) 
1,00 0,82 0,82 Veia colada 
Bordas arredondadas 
1,00 0,98 0,98 acompanhado os filetes 
líquidos 
5.3 -TUBOS CURTOS SUJEITOS À DESCARGA LIVRE 
5.3.1 - Natureza do problema 
79 
Um problema que se apresenta ao engenheiro com relativa freqüência é o que 
diz respeito à determinação da vazão de tubos relativamente curtos com descarga 
livre. Para citar os exemplos mais comuns, basta mencionar certos tipos de 
extravasadores, canalizações para o esvaziamento de tanques, descargas de 
canalizações. bueiros, instalações industriais, etc. 
Muito embora esse problema não exija tratamento complexo, a sua solução 
nem sempre tem sido bem colocada pelos profissionais que dele se ocupam. 
Observa-se freqüentemente a aplicação de fórmulas estabelecidas para as tubulações 
(encanamentos longos), sem os cuidados exigidos pela particularidade do caso em 
questão. 
80 ORIFICIOS. BOCAIS E TUBOS ClJRTOS 
Analisando-se o problema sob o aspecto mais geral, encontram-se, para L =O, 
orifícios; L = D, orifícios; L = 2D, bocais; L = 3D, bocais. 
Quando o comprimento L ultrapassa 
um grande número de vezes o diâmetro D, 
encontra-se o caso das tubulações 
L>nD. 
Teoricamente, o valor de n não deve ser 
inferior a 40 nos casos mais favoráveis, 
devendo exceder 250 nos casos mais co­
muns. Merriman considerava o compri­
mento 500 x D como limite inferior para as 
tubulações propriamente ditas. 
5.3.2 - Tubos muito curtos 
~- ·::-=-=-~~r;J]t~.:· 
. . ·. H .· 
' " llÍlllll------.,7 ---,--.- -·-·- -·-.:.... ~- ---
----L-1 
' ~ .. 
··.:; ·:. 
P'igura 5.23 
De qualquer maneira, verifica-se a existência de uma certa gama de valores, 
compreendida entre 3 x D e nD, que excede os bocais e cujas condições não 
caracterizam as tubulações normais. 
Geralmente se considera tubos muito curtos aqueles cujo comprimento supera 
o dos bocais (3 x D) e não excede o das tubulações curtas (500 x D). 
AJ; fórmulas gerais para os encanamentos são aplicáveis aos tubos ou tubulações 
de comprimento superior a 100 x D, devendo-se considerar as perqas de entrada e 
de velocidade para as tubulações cujo comprimento seja inferior a cerca de 4 000 x 
D. Para essa zona podem ser definidas as tubulações curtas. 
Erros grosseiros podem resultar da aplicação descuidada de fórmulas obtidas 
para canalizações de grande comprimento aos tubos muito curtos. Enquanto que 
naquelas predominam os atritos ao longo das linhas, nesses prevalecem a energia 
convertida em velocidade e as perdas localizadas, entre as quais a de entrada. 
A influência das diversas perdas nas tubulações em função da relação 
comprimento/ diâmetro (L/D) pode ser evidenciada pela Tab. 5.5, de valores médios 
calculados para tubos de 0,30 m de .diâmetro, com uma carga inicial de 30 m. 
Tabela5.5 
Comprimento 
expresso em 5 50 100 1000 10000 
diâmetros 
Carga de velocidade* 62% 41% 29% 5% 0,5% 
Perda na entrada 32% 20% 15% 2% 0,3% 
Perda nos tubos 6% 39% 56% 93% 99,3% 
•Em termos da carga disponível H 
5.3.3 - Perda de carga nos orifícios e bocais 
No caso de um orifício, a carga total equivale à energia de velocidade do jato 
acrescida da perda na saída: 
vz vz 
H=-+k-
2g 2g' 
TUBOS CURTOS SUJEITOS À DESCARGA LIVRE 
+ --- --------------v2 
ôh=k-
------__ 1_--__ -_~ 
FiguraS.24 
v 2 +kv2 =2gH:.v= ~~2gH 
vl+k 
E, como 
81 
conhecida expressão que permite o cálculo da perda de carga em um orifício, em 
um bocal ou na entrada de uma canalização. 
Tomando-se o valor prático para bocais, Cv = 0,82, 
( 
1 )v2 v2 
Õh = 0,822 -1 2g = 0,50 2g. 
5.3.4 - Perdas nas tubulações retilíneas 
Tratando-se, porém, de um tubo ou de uma simples tubulação retilínea, além 
da perda localizada na entrada (0,5 v 2/2g) e da carga correspondente à velocidade 
(v2/2g) existe ainda a perda por atrito ao longo das peças (h1) 
v2 v2 
H=0,5-+-+h,, 
2g 2g 
H = 1 5 v
2 
+f Lv
2 
(fórmula Universal - veja capítulo 8) 
' 2g D2g' 
2gH=(l,5+f~)v2 :.v= 2
gH 
D 1,5+/~ 
D 
Q=Av=A 
2gH 
L' 
1,5+/ D 
Q=HA L ~2gH, 
I.,S+f-
D 
que também poderá ser escrita da forma 
Q=JRA .J2gH 
· 1 L 
-+f­
C2 D 
V 
82 DRIFICIOS. SOCAIS E TUBOS CURTOS 
Como 
Os valores do coeficiente de atrito/variam com a velocidade média do líquido 
e com o diâmetro da canalização, para as mesmas condições de temperatura e de 
rugosidade das paredes. O aumento de velocidade corresponde a um decréscimo 
no valor de/ 
No caso de tubos muito curtos, com descarga livre, a dificuldade reside na 
fixaçãodo valor adequado def, não somente porque, ao se procurar determinar a 
vazão, a velocidade é desconhecida, como também devido ao fato de não se contar 
com valores experimentais correspondentes às grandes cargas e velocidades 
elevadas. 
5.3.5 - Condições de entrada nos tubos 
Examinando-se as condições de entrada nos tubos sob o ponto de vista teórico, 
verifica-se que o regime normal de escoamento somente é atingido após um certo 
percurso inicial. Ao fim desse trecho de transição é que se pode encontrar uma 
distribuição de velocidades capaz de caracterizar um regime de escoamento. Daí a 
necessidade de se considerar os dois casos que ocorrem na prática; o escoamento 
em regime laminar e o escoamento em regime turbulento. 
Nenhuma das fórmulas práticas estabelecidas para encanamentos, a rigor, 
poderia ser aplicada para as condições que prevalecem nesse trecho inicial. 
5.3.6 - Escoamento em regime laminar 
Nesse caso, se a seção de entrada no tubo for bem arredondada, de modo a 
evitar contrações, todas as partículas do líquido entrarão no tubo e começarão a 
escoar por ele com a mesma velocidade, exceção feita para uma camada muito 
pequena junto às paredes do tubo, que sofrerá a sua influência. 
De início, portanto, as partículas vão escoar praticamente com a mesma 
v2 
velocidade v, sendo -2 a energia cinética da massa. g . 
À medida que as partículas forem escoando ao longo do tubo, os filetes que 
ocupam a parte central vão tendo o seu movimento acelerado, ao passo que as 
partículas mais próximas das paredes ficam retardadas. Como se trata de regime 
laminar, o perfil normal de velocidades é parabólico e as condições de equilíbrio, 
teoricamente, somente seriam atingidas após uma distância infinita. 
Praticamente, Prandtl e Tietjens indicam que o perfil de equilíbrio é obtido 
após um percurso, 
L = 0,13R..JJ 
Para R~ = 1 800, por exemplo (número de Reynolds), 
L = 234.D. 
TUBOS CURTOS SUJEITOS À DESCARGA LIVRE 83 
. ,' 1 2 3 4 
~ 9 +---'-1-'----'--+-.;....__...;. __ l ' ··~---lllil-liíllll--lllllíil-
.. ::•, 
FiguniS.25 
Com o escoamento laminar, isto é, com a distribuição parabólica de velocidades, 
vz 
a energia cinética será igual a 2 
2
g . 
v 2 2v2 
No percurso mencionado, a energia cinética passará, portanto, de 
2
g a 
2
g . 
5.3. 7 - Escoamento em regime turbulento 
Com o escoamento turbulento, as condições de regime serão alcançadas mais 
rapidamente que no caso anterior. 
Teoricamente, admite-se que, a partir da aresta de entrada (0), constitui-se uma 
camada em que o escoamento é laminar, camada essa que vai se tornando mais 
espessa até um valor crítico z, a partir do qual a espessura se reduz repentina.m.ente 
a um valor relativa.mente pequeno (ô), que se mantém constante (filme laminar). 
Em z, origina-se uma camada que limita o escoamento turbulento em regime, 
cuja espessura aumenta muito rapidamente. 
No ponto em que convergem essas novas camadas (considerando o perfil de 
-Ti~~rt;~l~~tõ- --- -=::::=, ..t' 
' ..................... -
------:--------- o 
Dist. L 
Figura 5.26 
um tubo conforme mostrado no 
desenho), as condições de regime 
são atingidas em toda a seção de 
escoamento. As condições de 
equilíbrio nesse caso são alcan­
çadas após um percurso muito 
menor que no caso anterior, 
podendo-se estimar em 20 a 40 
diâmetros, a contar da borda de 
entrada. Devido à curvatura 
acentuada do trecho zt, o regime 
estabelece-se muito mais rapi­
damente do que se verificaria 
para zt'. 
84 ORIFICIOS, BOCAIS E TUBOS CURTOS 
5.3.8 - Processo expedito de cálculo da vazão 
Em vista das dificuldades que se apresentam para o tratam.ento do problema 
com o máximo rigor teórico, apresenta-se vantajoso para o engenheiro o 
processo expedito de cálculo, que se considera a seguir. 
A determinação da vazão de tubos muito curtos, sujeitos à descarga livre, 
pode ser feita aplicando-se a expressão geral de descarga nos bocais; assim. 
onde 
;-·~·""' ""~"'.'·';'":"'-,·~-;-.· "'.' :-.. ""-,"·'"':".( ... '. ... ;' 
Q=vazão, emm3/s; 
A= seção de escoamento (área útil do tubo), em m 2 ; 
g= 9,8 m/s2 ; 
H = carga inicial disponível, em m. 
O coeficiente de descarga Cd (ou coeficiente de velocidade Cv) dependerá 
do comprimento relativo do tubo, isto é, de L/D. 
Para orifícios em paredes delgadas, 
L 
D < 0,5. Cd = 0,61; 
Para os bocais, esse valor se eleva, 
.:!'..=2a3. e 082 D d= , . 
Para os tubos muito curtos, o valor de Cd vai decrescendo, à medida que se 
eleva a relação L/D, em conseqüência da influência dos atritos internos e externo 
(parede dos tubos). 
Eytelwein obteve os seguintes resultados com tubos novos de ferro fundido, 
de 0,30 de diâmetro, ensaiados com um carga inicial de 30 m: 
L 
-=10 D , 
L 
-=20 D • 
L 
-=30 D , 
L 
-=40 D ' 
L 
-=60, 
D 
cd =0,77; 
Cd=0,60. 
Outras pesquisas foram conduzidas por Bazard e Fanning há muitos anos. 
Na Tab.5.6, estão comparados os valores práticos disponíveis para o 
coeficiente cd. 
TUBOS CURTOS SUJEITOS À DESCARGA LIVRE 85 
Tabela 5.6 - Valores práticos de Cd 
L/D Azevedo Netto* Bazard Eytelwein Fanning"" 
300 0,33 0,38 
200 0,39 0,44 
150 0,42 0,48 
100 0,47 0,50 0,55 
90 0,49 0,52 056 
80 0,52 0,54 o:58 
70 0,54 0,57 0,60 
60 0,56 0,60 0,60 0,62 
50 0,58 0,63 0,63 0,64 
40 0,64 0,66 0,66 0,67 
30 0,70 0,70 0,70 0,70 
20 0,73 0,73 0,73 0,73 
15 0,75 0,75 0,75 
10 0,77 0,77 0,77 
.. Valores obtidos com tubos de pequeno diâmetro 
** Valores obtidos com tubos de ferro fundido de D = 0,30 m 
5.3.9 - Descarga de bueiros 
Os bueiros são condutos relativamente curtos e geralmente trabalham afogados. 
As experiências da Universidade de Iowa, EUA, indicaram que o coeficiente de 
descarga é função da relação comprimento/diâmetro (L/D). 
Para os bueiros de concreto, até 15 m de comprimento, recomendam-se os 
valores para Cd dados na Tab.5. 7. 
Tabela 5. 7 - Coeficientes de descarga para bueiros 
COMPRIMENTOS DIÂMETROS (m) 
(m) L 0,30 0,45 0,60 0,90 1,20 1,50 1,80 
3,00 0,86 0,89 0,91 0,92 0,93 0,94 0,94 
Bueiros com 6,00 0,79 0,84 0,87 0,90 0,91 0,92 0,93 
entrada 9,00 0,73 0,80 0,83 0,87 0,89 0,90 0,91 
chanfrada 12,00 0,68 0,76 0,80 0,85 0,88 0,89 0,90 
15,00 0,65 0,73 0,77 0,83 0,86 0,88 0,89 
3,00 0,80 0,81 0,80 0,79 0,77 0,76 0,75 
Bueiros com 6,00 0,74 0,77 0,78 0,77 0,76 0,75 0,74 
entrada 9,00 0,69 0,73 0,75 0,76 0,75 0,74 0,74 
viva 12,00 0,65 0,70 0,73 0,74 0,74 0,74 0,73 
15,00 0,62 0,68 0,71 0,73 0,73 0,73 0,72 
O capítulo 18 trata do dimensionamento de bueiros, considerando outras 
variáveis. 
86 
Furnas, DO.rio Gnmde, com seu extraordiDB:rio poteiidal, evitou 
o estroDgulameDto ecoD6mico da. regiiio CeDtro-Su1 e assüDil.ou 
o início de uma política din&mica DO setor de eDergia. 
IDaugurada em 1963, foi duraDte algu:m tempo a maior 
hid:relétri.cs. da América La.t::b:J.a... Seu grBDde reservat6rio 
permitiu a reguJBrização .que viabilizou o deseD.volvimeDto do 
eDorme poteD.dal do rio, em várias usiDas ajUSBD.te (FoDte IESA 
Notícias). 
87 
. --·.·,• .. : ',,, 
VERTEDORES 
6.1 - DEFINIÇÃO. APLICAÇÕES 
Figura6.1. Figura6.2 
Os vertedores podem ser definidos como simples paredes, diques ou aberturas 
sobre as quais um líquido escoa. O termo aplica-se, também, a obstáculos à passagem 
da corrente e aos extravasores das represas. 
Os vertedores são , por assim dizer, orifícios sem a borda superior. 
Figw:a. 6.3 • Vertedor de 
uma pequena barragem de 
elev.:içiio de nível. 
88 VERTEDORES 
Há muito que os vertedores têm sido utilizados, intensiva e satisfatoriamente, 
na medição de vazão de pequenos cursos de água e condutos livres, assim como no 
controle do escoamento em galerias e canais, razão por que.o seu estudo é de grande 
importância. 
6.2 -TERMINOLOGIA 
A borda horizontal denomina-se crista, ou soleira, Fig. 6.4. As bordas verticais 
constituem as faces do vertedor. A carga do vertedor, H, é a altura atingida pelas 
águas, a contar da cota da soleira do vertedor. Devido à depressão (abaixamento) 
da lâmina vertente junto ao vertedor,a carga H deve ser medida a montante· a uma 
distância aproximadamente igual ou superior a SH. 
Face Crista ou soleira 
.--.. ._..,.<--_="__.--... ________ _t ... _ -~d~~~S~H __ ._1 
--- ----_ l~-------- ------
H = Carga do vertedor L = Largura do vertedor 
Figuza.6.4 
6.3 - CLASSIFICAÇÃO DOS VERTEDORES 
Veia ou 
lâmina vertente 
Assumindo as mais variadas formas e disposições, os vertedores apresentam 
comportamentos os mais diversos, sendo muitos os fatores que podem servir de 
base à sua classificação. 
1. Forma 
(a) simples (retangulares, trapezoidais, triangulares. etc.): 
(b) compostos (seções combinadas). 
2. Altura relativa da soleira 
(a) vertedores completos ou livres (.p > p'); 
(b) vertedores incompletos ou afogados (.p <p'). 
3. Natureza da parede 
(a) vertedores em parede delgada (chapas ou madeira chanfrada); 
(b) vertedores em parede espessa (e> 0,66H), (Fig.6.5) 
4. Largura relativa 
(a) vertedores sem contrações laterais (L = B); 
(b) vertedores contraídos (L < B) (com uma contração e com duas 
contrações). 
É considerado contraído o vertedor cuja largura é menor que a do canal de 
acesso (Fig. 6.6). 
VERTEDORES RETANGULARES DE PAREDES DELGADAS 89 
; ~ ~rt~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~ UN ~~~~~~~f fü::. 
~~~1m~~l~ 
Figura.6.5 
Figuxa. 6.6 - Vertedores: sem contrações, com uma contração e com duas contr11ções 
6.4-VERTEDORES RETANGULARES DE PAREDES DELGADAS E SEM 
CONTRAÇÕES 
A Fig.6.7 mostra um vertedor retangular de paredes delgadas com contrações 
e outro sem contrações. 
Figura.6.7 
Examinando-se o movimento da água em um vertedor (Fig. 6.8), observa-se 
que os filetes inferiores, a montante, elevam-se, tocam a crista do vertedor e 
sobrelevam-se ligeiramente, a seguir. A superfície livre da água e os filetes próximos 
baixam. Nessas condições, verifica-se um estreitamento da veia, como acontece com 
os orifícios. 
1: 
90 VERTEDORES 
Para os orifícios de grande dimensões (5.1.5), foi deduzida a seguinte fórmula: 
Q "'~CdL.j2i(~12 _h~'2). 
Fazendo-se 
h 1 ~O, 
h 2 =H. 
Q=~C~~H312, 
3 
H 
onde 
... Figúrs.ÚJ 
Para o valor médio Cd = 0,62. 
2 
K = - X 0,62 X 4,43 = 1,83. 
3 
6.5 - FORMULAS PRÁTICAS 
Encontra-se um grande número de fórmulas propostas para essa classe de 
vertedores. Serão indicadas apenas as mais usuais. 
6.5.1 - Fórmula de Francis 
.·: Q;.i:ss.si1tm· · 
sendo Q dada em ml/s. L e H ê.;;_ ~·.• . · .. :_·"----- · -· 
A Tab.6.1 inclui valores calculados pela fórmula de Francis para um metro de 
largura de vertedor. 
6.5.2 - Fórmula da Sociedade Suíça de Engenheiros e Arquitetos 
Q=(l.816+ 1.Sl6 )[1+0.s(_!!_):]LH012
• lOOOH+l,6 H+p 
6.5.3 - Fórmula de Bazin 
Q = ( 0,405 +~ J[ 1+ o,ss( íf-p Jl LH~2gH 
m 
INFLU~NCIA DAS CONTRAÇÕES 
Tabela 6.1 - Vertedores retangulares em parede delgada, sem 
contrações. 
Fórmula de Francis, vazão por metro linear de soleira'" 
AlturaH,cm Q.f./s AlturaH,cm Q.f./s 
3 9,57 25 230,0 
4 14,72 30 302,3 
5 20,61 35 381,1 
6 27,05 40 465,5 
7 34,04 45 555,5 
8 41,58 50 650,6 
9 49,68 55 750,5 
10 58,14 60 855,2 
11 67,12 65 964.2 
12 76,53 70 1 077,7 
13 86,24 75 1195,l 
14 96,34 80 1316,5 
15 106,90 85 1442,0 
20 164,50 90 1571,0 
•Para os vertedores com I:rrgura menor ou m:liorque um metro, multiplicam-se os 
valores da v.:zziio pefa Iugura re3.l 
91 
Os valores de m encontram-se tabelados em diversos livros de hidráulica, 
resultando a seguinte apresentação para a fórmula de Bazin. 
Essas fórmulas são válidas para os vertedores, nos quais atua a pressão 
atmosférica da lâmina vertente (espaço W ocupado pelo ar, Fig. 6.8). Na fórmula de 
Francis está desprezada a velocidade de chegada da água. 
6.6 - INFLUÊNCIA DAS CONTRAÇÕES 
As contrações ocorrem nos vertedores cuja largura é inferior a do canal em 
que se encontram instalados (L < B). 
Francis, após muitas experiências, concluiu que tudo se passa como se no 
vertedor com contrações a largura fosse reduzida. 
Segundo Francis, deve-se considerar na aplicação ~a fórmula um valor corrigido 
para L. Para uma contração, 
L'=L- O,lH. 
Para duas contrações, 
L'=L- 0,2H. 
Para o caso de duas contrações, Fig. 6.9, a fórmula de Francis passa a ser: 
·.· : .. ~~.~,1.si;~l~·T2f~J~3;~···· 
92 VERTEDORES 
(sem levar em conta a velocidade de chegada da água). Para que os resultados obtidos 
com a aplicação dessa fórmula se aproximem dos valores reais, é preciso que 
H/p< 0,5 e que H/L < 0,5. 
L 
Veia 
0,1H L-0,2 H 
Figura 6.12 - Det3.lhe 
do vertedor 
0,1H 
Figura.6.10 
Figura 6.11-Instalaçiio 
permanente de um vertedor 
de parede delgada, bem 
venti11Jdo e com du.ss 
contrações 
JNFLU~NCIA- DA FORMA DA VEIA 93 
As correções de Francis também têm sido aplicadas a outras expressões, 
incluindo-se entre essas a própria fórmula de Bazin. 
6. 7 - VERTEDOR TRAPEZOIDAL DE CIPOLLETTI 
Cipolletti procurou determinar um vertedor trapezoidal que compensasse o 
decréscimo de vazão devido às contrações. 
Q=Q2+2Ql. 
A inclinação das faces foi 
estabelecida de modo que a 
descarga através das partes "trian­
gulares" do vertedor correspon­
desse aos decréscimo de descarga, 
devido às contrações laterais, com 
a vantagem de evitar a correção nos cálculos. 
Para essas condições, o talude resulta 1:4 (1 horizontal para 4 vertical). 
6.8- INFLUÊNCIA DA VELOCIDADE DE CHEGADA DA ÁGUA 
A fórmula de Francis que leva em conta a velocidade da água no canal de acesso 
é a seguinte: 
[( 
. J3/2 ( v2 J3/2] 
Q = 1,838 H + ;; -
2
g , 
onde v é a velocidade no canal. 
Em muitos casos da prática, essa influência é desprezada. Ela deve ser 
considerada nos casos em que a velocidade de chegada da água é elevada, nos 
trabalhos em que se requer grande precisão e sempre que a seção do canal de acesso 
for superior a 6 vezes a área de escoamento no vertedor (aproximadamente L x H). 
6.9 - INFLUÊNCIA DA FORMA DA VEIA 
Nos vertedores em que o ar não penetra no espaço W (Fig. 6.8), abaixo da lâmina 
vertente pode ocorrer uma depressão, modificando-se a posição da veia e alterando­
se a vazão. 
Essa influência pode se verificar em vertedores sem contrações ou em 
vertedores contraídos, como o indicado na Fig.6.14, nos quais o prolongamento 
das faces encerra totalmente a veia vertente, isolando o espaço W. Nessas condições, 
a lâmina líquida pode tomar uma das seguintes formas: 
a) lâmina deprimida; 
b) lâmina aderente, 
c) lâmina afogada. 
Quando se emprega um vertedor para medir vazões, deve-se evitar a ocorrência 
dessas condições particulares. 
94 
Figuia 6.14-Planta 
VERTEDORES 
···---
Figura 6.16-Fotografia. de 
Iabomt6rio mostrando a depressiio e 
a. aderência da veia líquida 
Figora 6.17-Nos vertedores 
triangulares não existe soleira 
horizontal; a influência da 
velocidade de chega.da. da água 
é desprezível, sendo perfeita a 
venrilaçii.o dB lâmina vertente. 
a) 
b) 
e) 
VERTEDOR TRIANGULAR 
a) Lâmina deprimida. O ar é arrastado pela água, ocorrendo um vácuo 
parcial em W, que modifica a posição da veia, Fig. 6.15 b. 
b) Lâmina aderente. Ocorre quando o ar sai totalmente, Fig. 6.15 c. 
95 
Em qualquer desses casos, a vazão é superior à prevista ou dada pelas fórmulas 
indicadas. 
c) Lâmina afogada. Quando o nível de água a jusante é superior ao da 
soleira, Fig. 6.15 d. 
p'>p. 
Nos vertedores afogados, a vazão diminui à medida que aumenta a 
submergência. 
De acordo com os dados do U.S. of Board Waterways, a vazão desses vertedores 
pode ser estimada com base nos valores relativos à descarga dos vertedores livres, 
aplicando-se um coeficiente de redução. 
Tabela 6.2 - Coeficiente para vertedores afogados 
h/H Coeficiente h/H Coeficiente 
0,0 1,000 0,5 0,937 
0,1 0,991 0,6 0,907 
0,2 0,983 0,7 0,856 
0,3 0,972 0,8 0,778 
0,4 0,956 0,9 0,621 
Sendo h a altura da água acima da soleira, medida a jusante. 
h =p'-p. 
6.10 - VERTEDOR TRIANGULAR 
Os vertedores triangulares possibilitam maior precisão na medida de cargas 
correspondentes a vazões reduzidas. São geralmente trabalhados em chapas 
metálicas. Na prática, somentesão empregados os que têm forma isósceles, sendo 
mais usuais os de 90°. 
Para esses vertedores, adota-se a fórmula de 
Thompson, 
~ Q =.1.4.ffS/2; 
onde Q é a vazão, dada em m3/s, eH, a carga, dada em 
Figura 6.18 m. 
O coeficiente dado (1,4), na realidade, pode assumir valores entre 1,40 e 1,46. 
Para Q em e/s e H em cm. 
Q = 0,014 . H5' 2 
A Tab. 6.3 inclui as vazões já calculadas para as cargas mais comuns. 
96 VERTEDORES 
Tabela 6.3 - Vertedores triangulares para pared~s delgada e lisa. 
Fórmula de Thompson 
AlturaH, cm. Q,.f/s Altura H, cm. Q,.f/s 
3 0,22 17 16,7 
4 0,42 18 19,2 
5 0,80 19 22,0 
6 1,24 20 25,0 
7 1,81 21 28,3 
8 2,52 22 31,8 
9 3,39 23 35,5 
10 4,44 24 39,5 
11 5,62 25 43,7 
12 6,98 30 69,0 
13 8,54 35 101,5 
14 10,25 40 141,7 
15 12,19 45 190,1 
16 14,33 50 247,5 
6.11 - VERTEDOR CIRCULAR (EM PAREDE VERTICAL) 
O vertedor de seção circular, embora raramente empregado, oferece como 
vantagem a facilidade de execução e não requer o nivelamento da soleira. 
A equação de vazão de um vertedor circular é a seguinte: 
Q = 1,518 D0,693 H1.ao1 
Qemml/s,D eHemm 
De 
Figu:ra 6.19 - Vertedor circular Figu:ra 6.20-Vertedortubular 
6.12 - VERTEDOR TUBULAR, TUBOS VERTICAIS LIVRES 
Os tubos verticais instalados em tanques, reservatórios, caixas de água, etc. 
podem funcionar como vertedores de soleiras curvas, desde que a carga seja infe­
rior à quinta parte do diâmetro externo (Fig. 6.20). 
H<D" 
5 
Nesse caso, aplica_se uma fórmula do tipo 
Q=KLIP' 
VERTEDORES DE PAREDE ESPESSA 97 
onde 
L=7t:D,, 
As experiências levadas a efeito na Universidade de Cornell mostram que n = 
1,42 e que o coeficiente K depende do diâmetro do tubo. 
Valores deD,., em m K 
0,175 1,435 
0,25 1,440 
0,35 1,455 
0,50 1,465 
0,70 1,515 
Para os valores de H, compreendidos entre 1/SD e e 3D ,,. o tubo funciona como 
orifício, com interferências provocadas pelo movimento do ar (formação de vórtice). 
Os tubos verticais, instalados nos reservatórios para funcionar como ladrões 
apresentam as seguintes descargas para essas condições da lâmina vertente: · 
Valores de D, mm Q.,e/s 
200 12 a54 
300 32a154 
400 64a320 
500 108 a 530 
600 174a870 
No capítulo 19 deste livro há mais informações sobre tubos verticais 
funcionando como condutores de água pluvial (tese do prof. C.F. Pimenta da 
EPUSP). 
6.13 - VERTEDORES DE PAREDE ESPESSA 
Um vertedor é considerado de parede espessa, quando a soleira é 
suficientemente espessa para que na veia aderente se estabeleça o paralelismo dos 
filetes. 
Aplicando a expressão de Torricelli, 
v=~2g(H-h). 
e 
Q = Lb~2g(H - h) 
ou, para a largura unitária L = l, 
equação(1) 
No princípio da vazão máxima, de Bélanger .. h se estabelece de forma a oca­
sionar uma vazão máxima". Com essa base pode-se pesquisar o valor máximo de Q. 
1. 
!j 
li 
98 VERTEDORES 
Derivando (H h 2 - h 3) e igualando 
a zero, 
--,---"'---=- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2H h - 3h3 =O, 
2H = 3h. 
Substituindo esse valor , na e­
quação (1) 
h=~H 
3 ' 
2 g; Q =L-H 2<1'-H 
3 <> 3 ' 
Q =~ {2gLH31z 
3 ~3 , 
expressão confirmada na prática. 
Figu:ra 6.22 - Vertedores de parede espessa. 
(cortesia do Centro Tec:no16gico de Hidráulica de Sii.o Paulo) 
6.14 - EXTRAVASORES DAS BARRAGENS 
Figura 6.21 
No traçado da seção transversal dos extravas ores ou sangradouros das represas, 
ou no estudo do perfil das próprias barragens que funcionam afogadas, procura-se 
adotar a forma mais satisfatória, tendo-se em vista o escoamento da lâmina vertente. 
A forma ideal é aquela que favorece a vazão ou descarga e que, ao mesmo tempo, 
impede a ocorrência de efeitos nocivos à estrutura, tais como o vácuo parcial, as 
pulsações da veia, as vibrações, etc. 
O traçado da crista deve ser feito para a vazão máxima esperada, isto é, para a 
maior carga admissível. 
VERTEDORES PROPORCIONAIS 99 
Tabela 6.4- Perfil Creager 
X y X 
0,0 0,126 0,6 
0,1 0,036 0,8 
0,2 0,007 1,0 
0,3 º·ººº 1,2 
0,4 0,007 1,4 
y X y 
0,060 1,7 0,870 
0,142 2,0 1,220 
0,257 2,5 1,960 
0,397 3,0 2,820 
0,565 3,5 3,820 
De acordo com as experiências de 
Creager e Escande, podem ser adotados 
os valores da Tab. 6.4 para uma carga 
H = lm. Para outros valores de H, basta 
multiplicar as coordenadas indicadas 
pelos mesmos. Nas condições ideais de 
projeto, pode-se aplicar a seguinte 
expressão: 
Q := 2,2L If312. 
Figura 6.23 -Perfil Crea.ger para barragens 
6.15 - VERTEDORES PROPORCIONAIS 
Os vertedores proporcionais são executados com uma forma especial para a 
qual a vazão varia, proporcionalmente, com a altura da lâmina líquida (primeira 
potência de II). São, por isso, também denominados vertedores de equação linear. 
Aplicam-se vantajosamente em alguns casos de controle das condições de 
escoamento em canais, particularmente em canais de seção retangular, em estações 
de tratamento de esgotos, etc. 
Figura 6.24 -
Vertedor Sutro 
y H 
Vertedor Sutra 
onde 
Q =vazão, m3/s; 
a = altura mínima, m; 
b =largura de base, m; 
H = altura da água, m. 
A forma das paredes do vertedor é 
dada por 
X 2 H -=1-- arctg -. 
b 1T: a 
100 VERTEDORES 
0,14L. 
Tabela 6.5 - Sutro 
y/a x/b y/a x/b y/a x/b NA 
0,1 0,805 1,0 0,500 10,0 0,195 
0,2 0,732 2,0 0,392 12,0 0,179 
0,3 0,681 3,0 0,333 14,0 0,166 ~ -------------~ 
0,4 0,641 4,0 0,295 16,0 0,156 H 
0,5 0,608 5,0 0,268 18,0 0,147 
0,6 0,580 6,0 0,247 20,0 0,140 
0,7 0,556 7,0 0,230 25,0 0,126 
0,8 0,536 8,0 0,216 30,0 0,115 
., -----'------_--_--.. ~ ~~r ~ 
0,9 0,517 9,0 0,205 35,0 0,107 L 
Figuia 6.25 - Vertedor Di Ricco 
Vertedor Di Ricco ( forma aproximada) 
Q = K Lfa( H +%a} 
Expressão válida para lâminas compreendidas entre 2,Sa e lOa e para 
sendo L, H e a dados em metros. 
Tabela 6.6 - Valores de K (Di Ricco) 
Lia 3 5 7 10 15 20 
K 2,094 2,064 2,044 2,022 1,997 1,978 
Exercício 6.1 - Exercícios de aplicação 
.5 a 1 O x h · 1 Antigo cursp_do córrego . "Figma6.26 
BIBLIOTECA 
v E R r E o o R E s PR o P o R e 1oNA1 ~EÇÃO DE INFORMAÇAo E DOCUMENTAÇÃO 101 
Estuda-se o abastecimento de água para uma granja que conta com 10 pessoas, 
5 cavalos, 15 vacas e 200 galinhas. 
Nas imediações existe um pequeno córrego, cujas águas, analisadas pelo DAE, 
foram consideradas satisfatórias. Como a sede se encontra em nível mais 
elevado, pretende-se instalar um ariete hidráulico (carneiro hidráulico) para 
elevar as águas. Eficiência admitida para o aparelho: 60%. A vazão do córrego 
foi determinada por meio de um vertedor triangular, cuja carga (H') igualou­
se a 5,5 cm. 
a) Quantidade de água a ser consumida 
10 pessoas X 100 e/dia 1 000 
5 cavalos x 40 200 
15 vacas x 40 
200 galinhas xl0/100 
600 
20 
1 820 e/dia 
1821 
q = 24"""" = 75, 9 .€/hora 
b) Quantidade de água necessária para funcionamento do aparelho: 
H 1 Q=qx-x­
h 7] 
127-97 1 
Q=75,9 l./hx x--=1265 l./hora 
100-97 0,60 
c) Escolha do carneiro 
Consultando-se um catálogo de aparelhos brasileiros da Cia. Lidgerwood, 
(Tab. 11.2) encontra-se para 
H 30 _ O l h=3·ª proporçao 1 : 
recomendam-se: aparelho n 2 5, canos de carga: 50 mm, canos de descarga: 25 
mm, água necessária por minuto: 35 litros, água elevada por hora: 88 litros. 
O rendimento será dado por 
7]= qH = lOq = 10x88 = 42% 
Qh Q 35x60 
d) Verificação da quantidade disponível de água 
Resta apenas verüicar se o regato tem uma vazão suficiente para o emprego 
do aparelho selecionado. Para tanto, foi instalado no curso de água um 
vertedor triangular tipo Thompson que acusa 0,055 m. 
H',.,0,055 m 
Q = 1,4 H512 
= 1,4 X 0,0555/Z 
= 1,4 X 0,0007 
= 1 e;s ou 60 e;min, mais do que suficiente para cobrir a demanda. 
102 VERTEDORES 
.. ·~:-- ..... ·-- ... , ... -
~-,~ 
. ·~>· 
..... • 
• • • • 1 • • 
1.1·· 
Figura 6.28 • Vertedor-padriio utilizado em labon1t6rio para medição de V3Zões 
(cortesia do Centro Tecnológico de Hidráulica de Sfio Paulo) 
CRIT~RIOS GERAIS OE CLASSIFICAÇÃO DOS VERTEDORES 103 
Exercício 6.2 - Está sendo projetado o serviço de abastecimento de água 
para uma cidadedo interior. A população atual é 3 200 habitantes; a futura, 
5 600 habitantes. O volume médio de água por habitante é de 200 e/dia, sendo 
25% o aumento de consumo previsto para os dias de maior consumo. 
Pensou-se em captar as águas de um córrego que passava nas proximidades 
da cidade e, para isso, procurou-se determinar a sua descarga numa época 
desfavorável do ano, tendo sido empregado um vertedor retangular, executado 
em madeira chanfrada e com 0,80 m de largura (largura média do córrego = 
1,35 m). A água elevou-se a 0,12 m acima do nível da soleira do vertedor. 
Verificar se esse manancial é suficiente; adote um coeficiente de segurança 
igual a 3, pelo fato de ter sido feita uma única medição de vazão. 
Calcula-se o volume de água per capita no dia de maior consumo, 
200 X 1,25 = 250 e/dia. 
Sendo o número de habitantes 5 600 e com base no resultado do cálculo ante­
rior, determina-se o volume total necessário: 
5 600 habitantes X 250 e/dia= 1 400 000 e/dia. 
Por sua vez, a vazão em e/sé 
1 400 ooo-:- 86 400 = 16 eis, 
e a vazão medida, 
Q = 1 838 (L - 0,2 H) H.312, 
Q = 1 838 (0,80 - 0,2 X 0,12) 0,12312 = 0,059 m3 /S = 59 e/s. 
Esse córrego, mesmo com um coeficiente de segurança 3, tinha a vazão 
necessária para abastecer tal cidade. 
6.17 - CRITÉRIOS GERAIS DE CLASSIFICAÇÃO DOS VERTEDORES 
O fato de se apresentarem os vertedores com as mais variadas formas e 
disposições explica, em parte, a falta de generalização e sistematização comum ao 
tratamento do assunto pelos tratadistas. 
Muitos são os fatores que podem 
servir de base à classificação 
dos vertedores. 
1. Forma 
a) simples; 
b) compostos. 
2. Natureza das paredes 
a) em parede delgada; 
b) em parede espessa. 
3. Forma da lâmina vertente 
a) de lâmina livre; 
b) de lâmina alterada. 
4. Largura 
a) contraídos; 
b) sem contrações. 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
y 
3 
2 
(\J 
li 
Q.. 
8 
li 
Q.. 
(\J 
li 
Q.. 
1 
1 
.... 
<(~ 
/ 
/ 'l.\'!> 
/ . ~"' 
/ .. ·· 
,' / .. ··· 
I / •• •º 
I / •• • 
1,(-·"· 
Figura 6.29 
104 VERTEDORES 
5. Perfil da soleira 
a) arredondados; 
b) de crista viva 
6. Altura da soleira 
a) completos ou livres: 
b) incompletos ou afogados. 
7. Posição da parede 
a) de parede vertical; 
b) de parede inclinada. 
8. Posição do vertedor em relação à corrente 
a) normais; 
b) laterais. 
9. Perfil do fundo 
a) em nível; 
b) em degrau. 
10. Normalização 
a) padrão ou standard 
b) particulares 
6.18 - VERTEDORES EXPONENCIAIS 
A forma dos vertedores, especialmente dos vertedores de parede delgada, 
constitui o objeto deste capítulo. 
Entre os vertedores de forma simples são particularmente interessantes os 
denominados exponenciais. 
Os vertedores exponenciais são aqueles para os quais a forma da soleira é 
expressa por 
y=CxP 
Variando-se o valor do expoente p, varia-se a forma do vertedor. Assim, para p 
= 1, tem-se o vertedor triangular: fazendo-se p = 2 resulta a forma parabólica. Na 
Fig.6.29 foram considerados os valores mais comuns de p. 
Equação geral de vazão 
Seja um vertedor de forma 
y=CxP. equação (Z) 
equ.ação(3) 
Considerando-se uma faixa de altura infirlitamente pequena, a vazão elementar 
será: 
dQ=Cd{2xdy}~2g(H-y); 
e a vazão total, 
VERTEDORES EXPONENCIAIS 
Substituindo-se x pelo seu valor na equação (3) 
Q = 2cd'12i H:1M1p rH y1'P (1-L.)112 d(YJ 
c11p Jo H11p H H 
Fazendo-se y/H = z 
integral euleriana de primeira espécie, ou 
função beta .. , que pode ser relacionada à 
função gama, 
r(1+2-Jr(~) 
Q = 2C d .fii . P 2 H3t'lA-1tp 
c 1
'P (5 1) r -+-
2 p 
105 
equação (4) 
Os valores de r podem ser rapidamente calculados, baseando-se nas 
propriedades 
r (u + 1) = ur (u) 
r (u + 1) = u! 
(para u >O); 
Por exemplo, o cálculo der (2,75) seria feito 
r (2, 75) = r (1 + 1, 75) = 1, 75 r (1, 75) = 1, 75 x 0,920 = 1,61. 
Tabela 6. 7 - Valores de u! 
u (u + 1) f(u+l)-u! 
o.o 1,0 1,000 
0,1 1,1 0,951 
0,2 1,2 0,918 
0,3 1,3 0,898 
0,4 1,4 0,887 
0,5 1,5 0,886 
0,6 1,6 0,893 
0,7 1,7 0,909 
0,8 1,8 0,931 
0,9 1,9 0,962 
1,0 2,0 1,000 
•A i.Dtegral euleria.na de primeira espécie ou função beta é expressa por 
fJ (a,b) r x·-1(1-x)b-1dx 
sendo a e b constantes. A função gsma é definida por 
Entre as fUD.ções f3 e f; subsiste a relação J3(a,b)=~ 
r(a+b) 
(u>O) 
l·J: 
''·1 ;!;. 
1'1· 
1 
'·' 
106 
A fórmula geral, que dá a vazão dos vertedores, pode ser escrita 
Q=k1H1' 
onde 
6.19 - RELAÇÃO ENTRE OS EXPOENTES n E p 
Comparando-se as eqs. (4) e (5) resulta 
3 1 
-+-=n 
2 p 
VERTEDORES 
equação (5) 
equaçiio (6) 
Para n = 1, p = -2; é o caso do vertedor proporcional, para o qual Q varia com a 
primeira potência de H. 
Os vertedores podem ser projetados de forma a resultar, para Q, uma variação 
segundo qualquer potência de H. Na prática, porém, não se toma para n valor infe­
rior ou exatamente igual à unidade, 
pois, nesse caso, a largura da base 
do vertedor assumiria valor infi­
nito. 
Contudo, como é particular-
mente interessante e desejável 
tomar n praticamente igual à 
unidade, de modo a resultar para a 
vazão um variação linear com a 
profundidade H, costumam-se 
empregar formas ajustadas do 
vertedor proporcional. Com esse 
objetivo pode-se substituir a área 
compreendida sob a curva, a partir 
de um certo valor de x, pela área 
equivalente, cortada sob a soleira 
teórica, Fig. 6.31. É uma forma 
aproximada, conhecida como verte­
dor Rettger. 
Tais vertedores têm tido em-
prego generalizado para controlar 
Área 
substituída e 
l'J '1#,J 
h 
:.t 
-l 
-f.-
T 
' 
1 
1 
' 
1 
1 
Figura 6.91 
Soleira 
teórica 
::1 
a velocidade em canais, particularmente em caixas de areia de estações 
depuradoras. e para manter as descargas desejáveis de certos equipamentos para a 
dosagem e aplicação de produtos químicos. 
6.20 - FATOR DE FORMA 
A área ocupada pela lâmina vertente pode ser expressa por: 
A =k2 ]{Ul cqu.açiio (7) 
RELAÇÃO ENTRE OS EXPOENTES m E n 107 
em que m é denominado fator de forma. 
Para valores de m superiores a 2, resultarão vertedores com soleiras convexas. 
QUADR06.1 
Vertedores Forma m 
Retangular m 1 
Triangular V . 2 
Proporcional _l~ 0,5 
Parabólico • 1,5 
Semicúbico V - 2,5 
6.21 - RELAÇÃO ENTRE OS EXPOENTES m E n 
A relação de escoamento sendo 
V=k3Hlf2 
n 
1,5 
2,5 
1 
2 
3 
e comparando-se as eqs. (7) e (8) com a expressão (5) chega-se a 
e k 1 = k 2 k 3 
p 
1 
-2 
2 
2/3 
equação (8) 
equo.çi.o (9) 
Teoricamente, portanto, o valor de n deve superar 0,5, condição necessária 
para que haja a luz do vertedor. 
Exercício 6.3 - Achar a equação da soleira de um vertedor para o qual n = 
1, 75 e H = 0,305, sendo Q = 22,71/s. 
Aplicando-se a eq. (4) com os valores dados e Cd = 0,6. 
2cd~H312+1 1pr(1+ ~)r(~) 
Q = --------,,..--~.,--~~ 
c11Pr(%+ ~J 
n=~+..!..=175 2 p , 
:. p =4 
108 VERTEDORES 
c
114 
_ 2 x o,6 x -/2i o,3 051•15 • r( 1 
+ ~ )r( ~) 
- 0,0221 r(%+~) 
cit4 = 2 x o,6 x 4,43 x o,3051
•
15 rei+ o,25)r(1 + o,so) 
0,0227 r(l+l,75) 
c 114 = l,2x4,43x0,1252. 0,90Sx0,886 
0,0227 1,61 
c114 = 14,65. 
e = 46 ooo. 
y =CxP. 
y = 46 OOOx4, 
que é a equação da soleira . 
Exercício 6.4 - Determinar a equação da curva de um vertedor exponencial 
de vazão equivalente a de um vertedor circular de diâmetro 0,457 m. 
A equação de vazão de um vertedor circular, em unidades métricas, é 
Q = 1,518 vo.693 JI1.807 
- Q = 1,518 X 0,457º·693 H 1•8º7 
e a equação que dará um vertedor exponencial é 
2cd-/2iH312+11p r( 1+~ )r(~ J 
Q= c11p ~%+ ~) 
Igualando as equações 
l,518x0,457º.s9s H1.ao1=2Cd.,/2i H'12+11p r( I+ ~ Jr( % J 
c11pr[%+ ~ J 
Para que haja igualdade, 
3 1 
1,807=-+-:.p=3,26 
2 p 
2cd-/2ir(1+..!.)) !.) 
l,518x0,457°·693 = p • l2 
c11pr(%+ ~) 
0,
8824 
= 2x0,6x4,43x 0,898 x0,886 
Cº.3º7 X1,687 
C0.307 1,20 X 4,43 X 0,898 X 0,886 
que é a equação procurada. 
0,8824x 1,687 
Co·3º7 = 2,841 
e =30 
y =CxP, 
y = 3Qx3,26 
109 
ESCOAMENTO EM -
TUBULAÇOES 
ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA MECÂNICA 
7.1 - INTRODUÇÃO. DEFINIÇÕES 
A maioria das aplicaçõesda Hidráulica na Engenharia diz respeito à utilização 
de tubos. Tubo é um conduto usado para transporte de fluidos, geralmente de seção 
transversal circular. Quando funcionando com a seção cheia (seção plena), em geral 
estão sob pressão maior que a atmosférica e, quando não, funcionam como canais 
com superfície livre, assunto a ser tratado em capítulos posteriores·. Em ambos os 
casos, as expressões aplicadas ao escoamento têm a mesma forma geral, como se 
verá adiante. 
Figunl.7.l 
li • A-A 
~ 
B-B 
Considera-se forçado o conduto no qual o líquido escoa sob pressão diferente 
da atmosférica. A canalização funciona, sempre, totalmente cheia e o conduto é 
sempre fechado (Fig. 7.1). 
110 ESCOAMENTO EM TUBULACÕES 
Os condutos livres apresentam, em qualquer ponto da superfície livre, pressão 
igual à atmosférica. Nas condições-limite, em que um conduto livre funciona 
totalmente cheio, na linha de corrente junto à geratriz superior do tubo, a pressão 
deve igualar-se à pressão atmosférica (Fig. 7.2). Funcionam sempre por gravidade. 
Na prática, as canalizações podem ser projetadas e executadas para funcionarem 
como condutes livres ou como encanamentos forçados. 
Os condutes livres são executados com declividades preestabelecidas, exigindo 
nivelamento cuidadoso. 
As canalizações de distribuição de água nas cidades, por 
exemplo, sempre devem funcionar como condutas forçados. Nesse 
caso, os tubos são fabricados para resistir à pressão interna 
estabelecida. 
Os rios e canais constituem o melhor exemplo de condutos 
livres. Os coletores de esgoto, normalmente também funcionam 
como condutas livres. 
Os condutas forçados incluem 
encanamentos, 
canalizações ou tubulações sob pressão, 
canalizações ou tubulações de recalque, 
canalizações ou tubulações de sucção, 
sifões verdadeiros, 
sifões invertidos, 
colunas ou "shafts", 
canalizações forçadas das usinas hidrelétricas ("penstocks"). 
barriletes de sucção ou descarga, 
Os condutos livres compreendem 
canaletas, 
calhas, 
drenos, 
inteceptores de esgoto, 
pontes - canais, 
coletores de esgoto, 
galerias, 
túneis - canais, 
canais, 
cursos de água naturais. 
po 
•
r 
-------
Figura 7.2 
Porque distinguir tubo, tubulação, cano e encanamento? Pelo uso prático dado 
a cada um: 
Tubo. Uma só peça, geralmente cilíndrica e de comprimento limitado pelo tamanho 
de fabricação ou de transporte. De um modo geral, a palavra tubo aplica-se ao material 
fabricado de diâmetro não muito pequeno. Exemplo: tubos de ferro fundido, tubos de 
concreto, tubos de aço, tubos PVC, tubos de polietileno. 
Tubulação. Conduto constituído de tubos (várias peças) ou tubulação contínua 
fabricada no local. É o termo usado pa,ra o trecho de um aqueduto pronto e acabado. 
Sinônimos: canalização, encanamento, tubulagem. 
Cano. Peça geralmente cilíndrica. Designação dada mais comumente ao mate­
rial de pequeno diâmetro. Exemplos: canos de chumbo, de aço galvanizado, de PVC, 
etc. Termo mais usado em instalações prediais. 
EXPERltNCIAS DE REYNOLDS: MOVIMENTOS LAMINAR E TURBULENTO 111 
Convém ainda registrar a palavra rede, que vem a ser um conjunto de 
tubulações interligadas em várias direções. 
Figura 7.3 -Antigo aqueduto 
do Rio de Janeiro, concluído 
em 1750. Por esse conduto 
livre eram aduzidllS as liguas 
do rio Cari.OC:J. para. o 
:J.bastecimento da cidade. 
Posteriormente, esss. obra foi 
aproveitada como ponte para. 
a passagem de bondes. 
Figura 7.4 -
Aduto.ro de Cotia, 
travessia sobre o 
c:uutl do rio 
Pinheiros, São 
Paulo,SP 
(Cortesia do 
Centro 
Tecnológico de 
Hidrliulic.::i de São 
Paul.o) 
'7.2 - EXPERIÊNCIAS DE REYNOLDS: MOVIMENTOS LAMINAR 
E TURBULENTO 
Osborne Reynolds (1883) procurou observar o comportamento dos líquidos 
em escoamento. Para isso, Reynolds empregou um dispositivo semelhante ao 
esquema apresentado nas Figs. 7.5 e 7.6, que consiste em um tubo transparente (A) 
inserido em um recipiente com paredes de vidro (B). A entrada do tubo, alargada 
em forma de sino, evita turbulências parasitas. 
Nessa entrada localiza-se um ponto de introdução de um corante. 
A vazão pode ser regulada pela torneira existente na sua extremidade (C). 
Abrindo-se gradualmente a torneira, primeiramente pode-se observar a 
formação de um filamento colorido retilíneo, (Fig. 7. 7a). Com esse tipo de 
movimento, as partículas fluidas apresentam trajetórias bem definidas, que não 
112 
Figura. 7.5 -Reynolds realizaIJdo 
uma de suas experiências 
ESCOAMENTO EM TUBULACÕES 
• 
Figura 7.6 - Detalhe do 
escoamento do corante. 
se cruzam. É o regime definido como laminar ou lamelar (no interior do líquido 
podem ser imaginadas lâminas ou lamelas em movimento relativo). 
Abrindo-se mais o obturador, elevam-se a descarga e a velocidade do líquido. O 
filamento colorido pode chegar a difundir-se na massa líquida, em conseqüência 
do movimento desordenado das partículas. A velocidade apresenta em qualquer 
instante uma componente transversal. 
Tal regime é denominado turbulento (Fig. 7. 7b e c). 
Revertendo-se o processo, isto é, fechando-se gradualmente o registro, a 
velocidade vai sendo reduzida gradativamente; existe um certo valor de v para o 
qual o escoamento passa de turbulento para laminar, restabelecendo-se o filete 
colorido e regular. 
A velocidade para a qual essa transição ocorre denomina-se velocidade crítica 
inferior, e é menor que a velocidade na qual o escoamento passa de laminar para 
turbulento. 
Reynolds, após suas investigações teóricas e experimentais, trabalhando com 
diferentes diâmetros e temperaturas, concluiu que o melhor critério para se 
determinar o tipo de movimento em uma canalização não se prende exclusivamente 
ao valor da velocidade, mas ao valor de uma expressão sem dimensões, na qual se 
considera, também, a viscosidade do líquido. 
que é o número de Reynolds, onde 
R = vD 
e U 
v =velocidade do fluido (m/s), 
D =diâmetro da canalização (m), 
v =viscosidade cinemática (m2/s). 
Qualquer que seja o sistema de unidades empregadas, o valor de R,, será o 
mesmo. 
Se o escoamento se verificar com R,, superior a 4 000, o movimento nas 
condições correntes, em tubos comerciais, sempre será turbulento. Em condições 
REGIME DE ESCOAMENTO NOS CASOS CORRENTES 113 
a) 
b) 
Figura. 7.7 
ideais de laboratório, já se tem obser­
vado o regime laminar com valores de 
Re superiores a 40 000; entretanto, 
nessas condições, o regime é muito 
instável, bastando qualquer causa 
perturbadora, por pequena que seja, 
para modificá-lo. Na prática, admite-se 
que tais causas pertubadoras sempre es­
tejam presentes. 
Para os encanamentos, o escoa­
mento em regime laminar ocorre e é 
estável para valores do número de 
Reynolds inferiores a 2 000. Entre esse 
valor e 4 000 encontra-se uma zona 
crítica, na qual não se pode determinar 
com segurança a perda de carga nas canalizações. 
Nas condições práticas, o movimento da água em canalizações é sempre 
turbulento. 
7.3 - CONCEITO GENERALIZADO DO NÚMERO DE REYNOLDS 
O número de Reynolds é um parâmetro que leva em conta a velocidade entre o 
fluido que escoa e o material que o envolve, uma dimensão linear típica (diâmetro, 
profundidade, etc.) e a viscosidade cinemática do fluido: 
R _ vL 
e - V 
No caso de escoamento em tubos de seção circular (canalizações, 
encanamentos), considera-se o diâmetro como dimensão típica, resultando a 
expressão já indicada anteriormente, 
R = vD 
" V 
Para as seções não-circulares, pode-se tomar 
R = 4RHv 
e V 
sendo RH o raio hidráulico (veja Capítulo 14). 
Tratando-se de canais ou condutas livres, considera-se a profundidade como 
termo linear, assim, 
R = vH 
e V 
Nesse último caso, o valor crítico inferior de Re é, aproximadamente, 500. 
7.4 - REGIME DE ESCOAMENTO NOS CASOS CORRENTES 
Na prática, o escoamento da água, do ar e de outros fluidos pouco viscosos se 
verifica em regime turbulento, como é fácil demonstrar. 
A velocidade média de escoamento, em canalizações de água, geralmente varia 
114 ESCOAMENTO EM TUBULAÇÔESem torno de 0,90 rn/s (entre 0,5 e 2 m/s). Seja a temperatura média da água admitida 
20ºC. Para essa temperatura, a viscosidade cinemática é 
'I> = 0,000001 m2/s (1. 10-s) 
Em uma canalização de diâmetro relativamente pequeno como, por exemplo, 
5 O mm, teríamos 
R = vD = 0,90x0,05 = 45 000 
e V 0,000001 
Valor bem acima de 4 000. Para diâmetros maiores, os valores de Rc seriam 
bem superiores. 
O contrário se verifica quando se tratar de líquidos muitos viscosos", como óleos 
pesados, etc. 
Exercício 7.1 - Uma tubulação nova de aço com 10 cm de diâmetro conduz 
757 m 3/dia de óleo combustível pesado à temperatura de 33 ºC. Pergunta-se: 
o regime de escoamento é laminar ou turbulento? Informa-se a viscosidade 
do óleo pesado para 33 ºC: 
Q=757m3/dia = ~=0,0088m3/s 
86.400 
A= :n:D
2 
= :n:O,l0
2 
= 0,00785m2 
4 4 
Q=Av.·.v= Q = 0,00880 =1 lOm/s 
A 0,00785 ' 
v = 0,000077m2/s 
R = 1, 10xO,10 ~ l 400 
e 0,000077 
Portanto o movimento é laminar. 
7.5 - PERDAS DE CARGA: CONCEITO E NATUREZA 
A adoção de um modelo perfeito para os fluidos 
·não introduz erro apreciável nos problemas da 
Hidrostática. Ao contrário, no estudo dos fluidos em 
movimento não se pode prescindir da viscosidade e 
seus efeitos. 
No escoamento de óleos, bem como na condução 
da água ou mesmo do ar, a viscosidade é importante 
fator a ser considerado. 
Quando, por exemplo, um líquido flui de (1) para 
(2), na canalização indicada na Fig. 7.9, parte da 
energia inicial se dissipa sob a forma de calor; a soma 
das três cargas em (2) (teorema de Bernoulli) não se 
iguala à carga total em (1). A diferença h 1 , que se 
denomina perda de carga, é de grande importância 
no problemas de engenharia e por isso tem sido 
objeto de muitas investigações. 
A resistência ao escoamento no caso do regime 
Figura '1.8 - Fotogr.úia 
mostrando fifa.mentos 
coloridos paro diversos valores 
do número de Reynolds. 
CLASSIFICAÇÃO DAS PERDAS DE CARGA 115 
--r~r-
T~-
- _____ Canalização 
1 z, 
1 --~~~~.=---;-- Z2 
------------------------·Figu:ra '7.9 
laminar é devida inteiramente à viscosidade. Embora essa perda de energia seja 
comumente designada como perda por fricção ou por atrito, não se deve supor que 
ela seja devida a uma forma de atrito como a que ocorre com os sólidos. Junto às 
paredes dos tubos não há movimento do fluido. A velocidade se eleva de zero até o 
seu valor máximo junto ao eixo do tubo. Pode-se assim imaginar uma série de camadas 
em mÕvimento, com velocidades diferentes e responsáveis pela dissipação de energía. 
Quando o escoamento se faz em regime turbulento, a resistência é o efeito 
combinado das forças devidas à viscosidade e à inércia. Nesse caso, a distribuição 
de velocidades na canalização depende da turbulência, maior ou menor, e esta é 
influenciada pelas condições das paredes. Um tubo com paredes rugosas causaria 
maior turbulência. 
A experiência tem demonstrado que, enquanto no regime laminar. a perda por 
resistência é uma função da primeira potência da velocidade, no movimento 
turbulento ela varia, aproximadamente, com a segunda potência da velocidade. 
7.6 - CLASSIFICAÇÃO DAS PERDAS DE CARGA 
Na prática, as canalizações não são constituídas exclusivamente por tubos 
retilíneos e de mesmo diâmetro. Usualmente, incluem ainda peças especiais e 
conexões que, pela forma e disposição, elevam a turbulência, provocam atritos e 
causam o choque de partículas, dando origem a perdas de carga. Além disso, 
apresentam-se nas canalizações outras singularidades, como válvulas, registros, 
medidores, etc., também responsáveis por perdas dessa natureza. 
Devem ser consideradas, pois, as perdas apresentadas a seguir. 
a) Perda por resistência ao longo dos condutos. Ocasionada pelo movimento 
da água na própria tubulação. 
Admite-se que essa perda seja uniforme em qualquer trecho de uma canalização 
de dimensões constantes, independentemente da posição da canalização. Por isso 
também podem ser chamadas de perdas contínuas. 
b) Perdas locais, localizadas ou acidentais. Provocadas pelas peças especiais e 
demais singularidades de uma instalação. 
116 ESCOAMENTO EM TUBULAÇÔES 
Essas perdas são relativamente importantes no caso de canalizações curtas com 
peças especiais; nas canalizações longas, o seu valor freqüentemente é desprezível, 
comparado ao da perda pela resistência ao escoarçi.ento. 
7.7-PERDA DE CARGA AO LONGO DAS CANALIZAÇÕES. RESISTÊNCIA 
AO ESCOAMENTO 
Poucos problemas mereceram tanta atenção ou foram tão investigados quanto 
o da determinação das perdas de carga nas canalizações. As dificuldades que se 
apresentam ao estudo analítico da questão são tantas que levaram os pesquisadores 
às investigações experimentais. Assim foi que, após inúmeras experiências 
conduzidas por Darcy e outros investigadores, com tubos de seção circular, concluiu­
se que a resistência ao escoamento da água é 
a) diretamente proporcional ao comprimento da canalização (1tDL). 
b) inversamente proporcional a uma potência do diâmetro (1/IJm). 
c) função de uma potência da velocidade média (vn). 
d) variável com a natureza das paredes dos tubos (rugosidade), no caso do 
regime turbulento(k'). 
e) independente da posição do tubo: 
f) independente da pressão interna ·sob a qual o líquido escoa. 
g) função de uma potência da relação entre a viscosidade e a densidade do 
fluido (µJpY. 
Para uma tubulação, a pei;,da de carga pode ser expressa como 
hr =k'xnDLx-
1-xvnx(f:!:._Jr 
Dm p 
simplificando ao fazer m = p + 1: 
fazendo k = k'1t ( ~ )r 
p 
h, =kLvn 
IY' 
equação (1) 
sendo (1) a equação básica para a perda de carga em tubulações, considerando 
desprezíveis na prática (ou incluídos no coeficiente "k"), os efeitos das variações 
de densidade e viscosidade da água nas temperaturas e velocidades usuais 
A equação (1) também pode ser escrita assim: 
h, IY' = kv" 
L 
equação (Z) 
Designando-se hrf L por J, isto é, a perda de carga unitária (por m de canalização) 
vem: 
DP · J = k · vn ou D · J = q> (v) 
O coeficiente k considera as condições dos tubos (questão complexa). As fórmulas 
empíricas propostas para determinadas condições e a fórmula Universal, 
substituem, na prática, essa expressão geral. 
PERDA OE CARGA AO LONGO DAS CANALIZAÇÕES. RESIST~NCIA AO ESCOAMENTO 117. 
Para que as equações (1) e (2) tenham aplicação prática, é necessário conhecer 
ft k", "p" e "n". Foi Chezy, por volta de 1775 que observou que a perda de carga pela 
passagem de água sob pressão em tubos variava mais ou menos com o quadrado 
da velocidade da água, ou seja, atribuiu o valor "2"para "n". Posteriormente, por 
volta de 1850, Darcy e Weisbach sugeriram um novo aprimoramento para a equação 
(1), considerando "p" igual a "l ",e multiplicando numerador e denominador por "2g": 
h =(k"·2 ) L·v2 
r g D. 
2
g equação (3) 
Chamando (k" · 2g) de"!" ou coeficiente de atrito, obtém-se a fórmula de cálculo 
de tubulações conhecida como fórmula de Darcy-Weisbach ou ainda "fórmula Uni­
versal": 
· Lv2 '. '· 
. br=f D2g. . equação (4) 
que já tem aplicabilidade prática ao exprimir a perda de carga em função da 
veloc.idade na tubulação, e ter homogeneidade dimensional. 
Entretanto, a fórmula de "Darcy" apresenta dificuldades: 
a) Em escoamento turbulento, que ocorre quase sempre na prática, a perda 
de carga não varia exatamente com o quadrado da velocidade, mas sim 
com uma potência que varia normalmente entre 1, 75 a 2. Para contornar 
essa dificuldade, corrige-se o valor de "f", de forma a compensar a 
incorreção na fórmula. 
b) 
c) 
Considerando que v=QI A, v=+.ese"Q", "f" e "L" forem conhecidos, 
nD /4 
tem-se que a equação (4) resulta em hr = a/DS, ou seja, a perda de carga é 
inversam.ente proporcional à 5a. potência do diâmetro, o que não se verifica 
na prática, pois as experiências demonstram que o expoente de (D) é 
próximo ~e 5,25. Tal dificuldade é mais uma vez ajustada no valor de "f". 
O coeficiente de atrito "f", que pelo visto acaba sendo uma função da 
rugosidade do tubo, da viscosidadee da densidade do líquido, da velocidade 
e do diâmetro, apesar de todas as pesquisas a respeito, não teve seu valor 
estabelecido através de uma fórmula. Assim, seu valor será sempre obtido 
de tabelas e gráficos, onde são anotados pontos observados na prática e 
por experiências, e onde são interpolados os valores intermediários, com 
a limitação de que correspondem a determinada situação de temperatura, 
rugosidade, etc., difíceis de se reproduzirem exatamente. 
Tais düiculdades, no entanto, não devem ser tomadas como invalidação do 
método, que atende muito bem às necessidades normais da engenharia, mas como 
campo aberto à pesquisa e desenvolvimento, para que se chegue a resultados 
teóricos os mais próximos da realidade, ampliando a aplicação da hidráulica. 
7. 7.1 - Natureza das paredes dos tubos: rugosidade 
Analisando-se a natureza ou rugosidade das paredes, devem ser considerados: 
a) o material empregado na fabricação dos tubos; 
b) o processo de fabricação dos tubos; 
c) o comprimento de cada tubo e número de juntas na tubulação; 
118 ESCOAMENTO EM TUBULAÇÔES 
d) a técnica de'assentamento; 
e) o estado de conservação das paredes dos tubos; 
f) a existência de revestimentos especiais; 
g) o emprego de medidas protetoras durante o funcionamento. 
Assim por exemplo, um tubo de vidro é mais liso e oferece condições mais 
favoráveis ao escoamento que um tubo de ferro fundido_ Uma canalização de aço 
rebitado opõe maior resistência ao escoamento que uma tubulação de aço soldado. 
Por outro lado, os tubos de ferro fundido ou de aço, por exemplo, quando novos, 
oferecem resistência menor ao escoamento que quando usados. Com o tempo, esses 
tubos são atacados por fenômenos de natureza química relativos aos minerais pre­
sentes na água, e na sua superfície interna podem surgir protuberâncias "tubércu­
los" ou reentrâncias (fenômenos da corrosão). Essas condições agravam-se com o 
tempo(Fig. 7.lOc). Modernamente, tem sido empregados revestimentos internos 
especiais com o objetivo de eliminar ou minorar esses fenômenos. 
Outro fenômeno que pode ocorrer nas canalizações é a deposição progressiva 
de substâncias contidas nas águas e a formação de camadas aderentes -incrustações 
- que reduzem o diâmetro útil dos tubos e alteram a sua rugosidade (Fig. 7.lOb). 
Essas incrustações verificam-se no caso de águas muito duras, com teores elevados 
de certas impurezas. O mais comum é a deposição progressiva de cálcio em águas 
calcáreas. 
Figura 7.1.0 
Alterações na 
superfície 
:interna do 
tubo 
Tubo novo Incrustação Corrosão Tuberculização 
Os fatores apontados devem ser considerados quando se projetam instalações 
hidráulicas. 
7. 7.2 - Influência do envelhecimento dos tubos 
Com o decorrer do tempo e em conseqüência dos fatores já apontados, a capacidade 
de transporte de água das tubulações de ferro fundido e aço (sem revestimentos 
especiais) vai diminuindo. De acordo com as observações de Hazen e Williams, a 
capacidade decresce de acordo com os dados médios apresentados na Tab. 7.1. 
Tabela 7.1 - Capacidade das canalizações de ferro e aço. 
(Sem revestimento permanente interno) 
D-4" 6" 10" 16" . 20" 30" 
Idade (lOOmm) (150mm) (250 mm) (400mm) (SOO mm) (750 mm) 
tubos novos Q= 100% 100 100 100 100 100 
apóslOanos Q~ 81% 83 85 86 86 87 
após20anos Q- 68% 72 74 75 76 77 
após30aoos Q 58%62 65 67 68 69 
após40anos Q. 50%55 58 61 62 63 
após50anos Q 43%49 54 56 57 59 
PERDA DE e AR G A A o Lo N G o DA s e ANAL 1 z A e ô E s. R E s 1sTÉNe1 A A o E se o AME N To 119 
Os tubos não metálicos costumam apresentar capacidade constante ao longo 
do tempo, a menos de algum fenômeno de incrustação específica, o mesmo 
ocorrendo com os tubos de cobre. 
7.7.3 - Problemas práticos de encanamentos 
Nos problemas de encanamentos são quatro os elementos hidráulicos: D, J, v e Q. 
A$ equações disponíveis são duas: 
a) equação da continuidade, Q =Av 
b) equação de resistência, DJ = <p v (representada na prática por uma 
fórmula empírica). 
Sendo quatro as variáveis e duas equações, o problema será determinado se 
forem dados dois elementos hidráulicos. Apresentam-se, então, os tipos de 
problemas a resolver fornecidos no Quad. 7.1. 
0 QUADR07.l 
Tipos Dados Incógnitas Observações 
I D·J Q·v 
II D·Q J·v Calcula-se v = QIA 
III D·v J·Q Calcula-se Q~A/v 
IV J·Q D·v 
V J·v D·Q 
VI Q·v D·J Caj.cula-se A ~ Q!v 
Nos três primeiros tipos de problemas em que é conhecido D, a solução é 
imediata. 
O quarto tipo de problema é particularmente importante: é o caso das linhas 
adutoras, etc., para as quais Q é fornecida por dados estatísticos e J decorre da 
topografia. 
Nos problemas tipo IV calcula-se D com a equação de resistência, DJ = <pv. No 
tipo V a solução pode ser por tentativas ou pela equação de resistência. 
No sexto tipo de problema pode-se calcular D com a equação da continuidade, 
recaindo-se no segundo caso. Vide soluções dos problemas na seção 9.8 
Figura 7.11-Inc:rustações 
decorreIJ.tes de certas impurezas de 
água (dureza) 
- , .. 
~ .. ~·~ .. ,. - . . ~ ~:;:;.~ 
Figura 7.12-Tubulaçiio de ferro. de 
gr::JD.de diiimetro, mostraDdo os efeitos 
da tuberculizllção 
120 ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES 
7.8 - PERDAS DÊ'CAR.GA LOCALIZADAS 
Essas perdas são denominadas locais, localizadas, acidentais ou singulares, pelo 
fato de decorrerem especificamente de pontos ou partes bem determinadas da 
tubulação, ao contrário do que acontece com as perdas em conseqúência do 
escoamento ao longo dos encanamentos. 
7.8.1 - Perda de carga devida ao alargamento brusco de seção 
É clássica a dedução da expressão relativa à perda de carga devida ao alarga­
mento brusco, partindo-se do teorema de Bernoulli e considerando-se o impulso 
O.as forças que atuam nas seções e a variação da quantidade de movimento. 
A Fig. 7.13 mostra, esquematicamente, 
um alargamento brusco de seção. 
A velocidade vl' na seção menor, será 
bem maior que a velocidade v2, havendo, 
portanto, partículas fluidas mais velozes 
(animadas da velocidade v1) que se chocam 
com partículas mais lentas de velocidade v2• 
Na parte inicial da seção alargada forma-se 
um anel de turbilhões que absorve energia. 
Pigun17.1S 
Geralmente se considera que na parte inicial da seção alargada ainda atue a 
pressão pl' admitindo-se que a pressão p 2 seja medida a jusante da zona de turbi­
lhões. Considerando-se essas seções e aplicando-.se o teorema de Bernoulli, 
p v2 p v2 
-1.+_1 +z=2+-2 +z+h 
r 2g r 2g ' 
eJ.-pressão donde se obtém a perda de carga hf' 
h/ = ;~ - ;; -( ~2 
- ~I ) equação (5) 
Considerada a unidade de tempo, a quantidade de fluido que escoa é Q (vazão). 
A resultante que atua da direita para a esquerda será 
(pz - P1)Az 
e a variação da quantidade de movimento; 
Qr (v -vz) g l 
Igualando-se essas duas expressões (a variação da quantidade de movimento 
deve igualar-se ao impulso das forças), 
equação (6) · 
PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS 121 
Substituindo-se esse valor na eq. (5), 
equação (7) 
expressão que entre nós é conhecida como o teorema de Borda-Bélanger, em 
homenagem a Borda, que deduziu essa expressão (1766), e a Bélanger, que retomou 
esses estudos e expôs a sua teoria (1840): 
"Em qualquer alargamento brusco de seção, há uma perda de carga local 
medida pela altura cinética correspondente à perda de velocidade". 
7.8.2 - Expressão geral das perdas localizadas 
Substituindo o valor de v2 em função de v1 na equação (7), encontra-se, ainda, 
V2=.A,.·V1 
~ 
h =(v1-V2)2 =(1-Ai)zv~ 
t 2g ~ 2g 
h =K~ 
l 2g 
De um modo geral, todas as perdas localizadas podem ser expressas sob a forma 
·.: ~.~-Kv2· 
' J·' ·2g' 
equação geral para a qual o coeficiente Kpode ser obtido experimentalmente para 
cada caso. 
Esse trabalho experimental vem sendo realizado, há vários anos, por 
engenheiros interessados na questão, por fabricantes de conexões e válvulas e pelo 
laboratórios de Hidráulica. Merecem especial menção as investigações de Giesecke, 
da Crane Company e do Laboratório de Hidráulica de München,assim como as 
observações mais recentes da Marinha dos EUA. 
Verificou-se que o valor de K é praticamente constante para valores do número 
de Reynolds superiores a 50 000. Conclui-se, portanto, que para os fins de aplicação 
prática pode-se considerar constante o valor de K para determinada peça, desde 
que o escoamento seja turbulento, independentemente do diâmetr9 da tubulação 
e da velocidade e natureza do fluido. 
A Tab. 7.3 apresenta os valores aproximados de K para as peças e perdas mais 
comuns na prática. É um quadro elaborado com bases nos dados disponíveis mais 
seguros e fidedignos. 
•Essa expressão leva a resultados Jigeiram.ente inferiores a.os experimenta.is, razão por que 
Ss.int-Vens.nt propôs um termo corretivo complementar; com base nos da.dos experimentais de 
Borda. Posteriormente, Hanok, Archer e outros investigadores propuseram correções mais 
lógicas e exatas, que, não obstante, nem sempre são considerads.s na prática. 
122 ESCOAMENTO EM TUBULACÕES 
Tabela 7.2 - Valores aproximados de K (perdas localizadas) 
Peça K Peça K 
Ampliação gradual 0,30* Junção 0,40 
Bocais 2,75 Medidor Venturi 2,50** 
Comporta aberta l,00 Redução gradual 0,15* 
Controlador de vazão 2,50 Saída de canalização 1.00 
Cotovelo de 90º 0,90 Tê, passagem direta 0,60 
Cotovelo de 45º 0,40 Tê, saída de lado 1,30 
Crivo 0,75 Tê, saída bilateral 1.80 
CUrvade 90º 0,40 Válvula de ângulo aberta 5,00 
CUrvade45° 0,20 Válvula de gaveta aberta 0,20 
CUrva de 22,5° 0,10 Válvula borboleta aberta 0,30 
Entrada normal em canalização 0,50 Válvula-de-pé 1,75 
Entrada de Borda 1.00 Válvula de retenção 2,50 
Existência de pequena derivação 0,03 Válvula de globo aberta 10.00 
• Com bllSe na velocidade maior (se~o menor) Velocidade 1.00 
••Relati= à velocidade= c:m:W:z..~o 
7.8.3 - Perda de carga na entrada de uma canalização (saída de reservatório). 
A perda de carga que se verifica na entrada de uma canalização (saída de 
reservatórios, tanques, caixas, etc.) dependerá bastante das condições que 
caracterizam o tipo da entrada. 
A disposição mais comum, denominada normal, é aquela em que a canalização 
faz um ângulo de 90° com as paredes ou com o fundo dos reservatórios, constituindo 
uma aresta viva. Para essas condições, o valor de K é bem determinado, podendo 
ser tomado igual a 0,5. 
No ca·so de tubulação reentrante, constituindo a entrada clássica de Borda 
(designação dada em homenagem ao grande hidráulico do século XVIII), as condições 
são desfavoráveis e K assume um valor igual a 1. Se as entradas forem arredondadas, o 
valor de K cairá sensivelmente, igualando-se a 0,05 sempre que for obedecida a forma 
de sino. A entrada arredondada ideal teria a forma de uma tratriz (K = 0,04). 
Na prática, sempre que as proporções· da obra justificarem, poderão ser 
melhoradas as condições da entrada, instalando-se uma redução no início da 
tubulação (vide 5.2.8). 
~~~-5--?L ~~~--?L ~~~--?L ~~~--?L --=- -..:- -~ -..= 
~· r ----1 _____r 
(a) (b) (e) (d) 
Figura 7.14 e (a) Reelltrante ou de Borda; K - 1. (b) Normal; K - 0,5.(c) Forma de sino; 
K- 0,05. (d) Concordiincia com um peça s.diciollal (reduçiio), K-0,10 
7.8.4- Perda de carga na saída das canalizações (entrada em reservatórios) 
Duas situações podem ocorrer no ponto de descarga das canalizações (Fig. 7.15). 
PERDAS OE CARGA LOCALIZADAS 123 
Se a descarga for feita ao ar livre, haverá um jato na saída da canalização, perdendo­
se precisamente a energia de velocidade: K = 1. Se a canalização entrar em um 
reservatório, caixa ou tanque, haverá um alargamento de seção, caso em que a perda 
corresponderá a um valor de K compreendido entre 0,9 e 1. 
.._. __________________________________________ __ 
Figura 7.15 
7.8.5 - Perda de carga em curvas 
Um erro comum é a falsa concepção que muitos fazem, imaginando que todos 
os cotovelos ou curvas de raios mais longos sempre causam perdas menores do 
que os de raio mais curto. Na realidade, existe um raio de curvatura e um 
desenvolvimento ótimos para cada curva; veja Tab. 7. 3. 
Tabela 7. 3 - Curvas de 90° 
Relação R/D -> 1 11/2 2 4 6 8 
valores deK 0,48 0,36 0,27 0,21 0,27 0,36 
7.8.6 - Perda de carga em válvulas de gaveta 
As válvulas e os registros podem oferecer uma grande resistência ao escoa­
mento. Mesmo quando totalmente abertos, haverá uma perda de carga sensível 
devido à sua própria construção. 
Para as válvulas de gaveta totalmente abertas, o valor de K pode variar desde 
0,1 até 0,4, conforme as características de fabricação: 0,2 é um dado médio 
representativo. 
As experiências de Weisbach levaram aos resultados relativos a válvulas de 
gaveta parcialmente abertas; tais resultados acham-se mostrados na Tab. 7. 4. 
Tabela~4-VruoresdeKparaválvulasdegaveta 
d/D s/S" K 
7/8 0,948 0,07 
6/8 0,856 0,26 
5/8 0,740 0,81 
4/8 0,609 2,06 
3/8 0,466 5,52 
2/8 0.315 17,00 
1/8 0,159 97,80 
* s/S - vi.de observação da Tab. 7.5 Figura.7.16 
124 ESCOAMENTO EM TUBULAÇÔES 
7.8. 7 - Perda de carga em válvula-borboleta 
AJ:. válvulas-borboleta são de aplicação cada vez mais generalizada em obras 
hidráulicas. 
O valor de K dependerá do ângulo ô, de abertura, sendo aplicáveis os valores 
da Tab.7.5. 
--+--
Figu:ra 7.17 
Tabela 7.5 - Valores de K para válvulas-borboleta 
ô s/S* K ô 
5º 0.913 0,24 'fOº 
10° 0,826 0,52 45° 
15° 0,741 0,90 50º 
20° 0,658 1,54 55° 
25° 0,577 2,51 60° 
30° 0,500 3,91 65° 
35° 0,426 6,22 70° 
w s/S é relação de áreas efetillllS da abertura. de possagem 
e da tubulação de seção cüxular 
s/S"' 
0,367 
0,293 
0,234 
0,181 
0,134 
0,094 
0,060 
7.8.8 - Perda de carga devida ao estreitamento de seção 
K 
10,80 
18,70 
32,60 
58,80 
118,00 
256,00 
750,00 
A perda decorrente da redução brusca de diâmetro, de uma seção A1 para uma 
seção A 2, é dada por 
sendo 
2 
h =K~ 
f 2g 
K=~(1- ~) 
Se a redução de diâmetro for gradual, a perda será menor. Nesse caso, o valor 
de K, geralmente, está compreendido entre 0,04 e 0,15. 
7.8.9 - Perda de carga devida ao alargamento gradual de seção 
Verifica-se, experimentalmente, que os valores de K dependem da relação en· 
tre os diâmetros inicial e final, bem como do comprimento da peça. Para as peças 
usuais, encontra-se que 
PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS 125 
O Prof. C. F. Pimenta dá os seguintes valores para K, em função do ângulo de 
ampliação da peça: 
~I a{~ 
13 5º 10° 20° 40° 60º 80° 120° 
K 0,13 0,17 0,42 0,90 1,10 1,08 1,05 
Figw:a 7.18 
7.8.10 - Perda de carga em tês e junções 
Quadro 7.2 1 
Esquema 
Relação de 
Kd Ks vazões 
Kd q-Q/3 0,25 o.os - q-Q/2 0,40 0,30 
~--~t?-º q-2Q/3 0,50 0,55 
q-Q - 0,90 
q 
Kd q-Q/3 º·ºº 0,90 - q-Q/2 0,01 0,92 
o--~.~-~ q-2Ql3 0,12 1,00 
q-Q - 1,30 
q 
!51... q-Q/3 0,18 desprezível 
~-~;;?-º 
q-Q/2 0,11 0,11 
q =2Q/3 0,04 0,26 
45• ~ 
q-Q - 0,38 
X 
Kd q=Q/3 desprezível 0,55 -o-~~-a~ q=Q/2 0,02 0,45 
q-2Q/3 0,12 0,32 
~ 45• 
q-Q - 0,40 
~ 
7.8.11 - Método dos comprimentos virtuais 
Um método relativamente recente para se levar em conta as perdas localizadas 
é o dos comprimentos virtuais de canalização. Uma canalização que compreende 
diversas peças especiais e outras singularidades, sob o ponto de vista de perdas de 
carga equivale a um encanamento retilíneo de comprimento maior. É nessa simples 
idéia que se baseia um novo método de grande utilidade na prática para a 
consideração das perdas locais. 
O método consiste em se adicionarem à extensão da canalização, para simples 
efeito de cálculo, comprimentos tais que correspondam à mesma perda de carga 
que causariam as peças especiais existentes na canalização. A cada peça especial 
corresponde um certo comprimento fictício e adicional. Levando-se em 
consideração todas as peças especiais e demais causas de perda, chega-se a um 
comprimento virtual de canalização. 
126 ESCOAMENTO EM TUBULACÕES 
As perdas de carga ao longo das canalizações podem ser determinadas pela 
fórmula de Darcy-Weisbach (seção 7. 7) 
h' _ fLv.
2 
i- D2g 
Para determinado encanamento, L e D são constantes e, como o coeficientede 
atrito f não tem dimensões, a perda de carga será igual ao produto de um número 
v2 
puro pela carga de velocidade 
2
g, 
h' =m v2 
[ 2g' 
Por outro lado, as perdas acidentais têm a seguinte expressão geral: 
v2. 
h 1 =K-, 
2g 
Observa-se, portanto, que a perda de carga na passagem por conexões, válvulas, 
etc., varia com a mesma função da velocidade existente para o caso de resistência 
ao escoamento em trechos retilíneos de encanamentos. É devido a essa feliz 
identidade que se pode exprimir as perdas localizadas em função de comprimentos 
retilíneos de canalização. Pode-se obter o comprimento virtual de canalização, que 
corresponde a uma perda de carga equivalente à perda local, fazendo-se 
7.8.12 - Valores práticos 
h'1 =hr 
fLv2 v 2 
--=K­
D2g 2g 
·.··KD 
L=-· 
f · 
.·.,·' 
A Tab. 7.6 inclui valores para os comprimentos fictícios correspondentes às 
peças e perdas mais freqüentes na canalizações. Os dados apresentados foram em 
grande parte calculados pelo prof. Azevedo Netto, com base na fórmula de Darcy­
Weisbach em sua apresentação americana, tendo sido adotados valores precisos de 
K. Em parte eles se baseiam também nos resultados das investigações feitas por 
autoridades no assunto, tais como os departamentos especializados do Governo 
Federal Norte-Americano, da Crane Co., etc. 
Os comprimentos equivalentes, embora tenham sido calculados para 
tubulações de ferro e aço, poderão ser aplicados com aproximação razoável ao caso 
dos encanamentos de cobre ou latão. 
As imprecisões e discrepâncias resultantes do emprego generalizado desse 
método e dos dados apresentados são, provavelmente, menos consideráveis que as 
indeterminações relativas à rugosidade interna dos tubos e resistência ao 
escoamento, assim como à sua variação na prática. 
O ábaco incluso, original da Crane Co., foi convertido ao sistema métrico e 
publicado por cortesia daquela companhia (Fig. 7;19). 
Tabela 7.6 - Comprimentos equivalentes a pe1·das locnllzadas. (Expressos em metros de canalização retilínear 
~ o o 
o . o 
w ffi w ffi 
::; o 
~o 
., o w w gg "'o w w '" o " o ... o o o 
~ c1 o"' o .. o ~ " ºº "' _, z _, o: iil o' o " _, ~ê :"í" :"í o " "o "_, :"í ~ ~ ~ wo ....... w :::> .. -h "' o " ~ e ..Q o ..Q ~ > _, >::;: > o > " - ~ 7 ~ ~ ~ ~ ! ~ ~ 
:> _, :> o 
~g ~ º e e o ~ -: ~5 ~ :"í ~3 ::; w "" ~ t. 
::; > .. o: Oz 
8~ o" 8 <i! B~ B ~ B~ ~ i1 -<( _, "< z 1!! B '!!! l!l "< .... ";jf" o o: o .. wz > " > '" 
> .. li) o 
Dllmelro D .i. ~ .J; c:::::3€:. 
mm pol ~ ~ 'Q /} ~ ~ CJ ~ ~ g ~ w êi ~ 
. ' 
13 1/2 0,3 0,4 0,5 0,2 0,2 0,3 0,2 0,2 0,4 0,1 4,9 2,6 0,3 1,0 1,0 3,6 0,4 
19 3/4 0,4 0,6 0,7 0,3 0,3 0,4 0,2 0,2 0,5 0,1 6,7 3,6 0,4 1,4 1,4 5,6 0,5 
25 1 0,5 0,7 0,8 0,4 0,3 0,5 0,2 0,3 0,7 0,2 8,2 4,6 0,5 1,7 1,7 7,3 0,7 
32 l1/4 0,7 0,9 1, 1 0,5 0,4 0,6 0,3 0,4 0,9 0,2 11,3 5,6 0,7 2,3 2,3 10,0 0,9 
38 l112 0,9 1, 1 1,3 0,8 0,5 0,7 0,3 0,5 1,0 0,3 13,4 6,7 0,9 2,8 2,8 11,6 1,0 
50 2 1, 1 1,4 1,7 0,8 0,6 0,9 0,4 0,7 1,5 0,4 17,4 8,5 1, 1 3,5 3,5 14,0 1,5 
63 2112 1,3 1,7 2,0 0,9 0,8 1,0 0,5 0,9 1,9 0,4 21,0 10,0 1,3 4,3 4,3 17,0 1,9 
75 3 1,6 2, 1 2,5 1,2 1,0 1,3 0,6 1, 1 2,2 0,5 26,0 13,0 1,6 5,2 5,2 20,0 2,2 
100 4 2,1 2,8 3,4 1,5 1,3 1,6 0,7 1,6 3,2 0,7 34,0 17,0 2,1 6,7 6,7 23,0 3,2 
125 5 2,7 3,7 4,2 1,9 1,6 2,1 0,9 2,0 4,0 0,9 43,0 21,0 2,7 8,4 8,4 30,0 4,0 
150 6 3,4 4,3 4,9 2,3 1,9 2,5 1, 1 2,5 5,0 1, 1 51,0 26,0 3,4 10,0 10,0 39,0 5,0 
200 8 4,3 5,5 6,4 3,0 2.4 3,3 1,5 3,5 6,0 1,4 67,0 34,0 4,3 13,0 13,0 52,0 6,0 
250 10 5,5 6,7 7,9 3,8 3,0 4, 1 1,8 4,5 7,5 1,7 85,0 43,0 5,5 16,0 16,0 65,0 7,5 
300 12 6,1 7,9 9,5 4,6 3,6 4,8 2,2 5,5 9,0 2,1 102,0 51,0 6,1 19,0 19,0 78,0 9,0 
350 14 7,3 9,5 10,5 5,3 4,4 5.4 2,5 6,2 11,0 2,4 120,0 60,0 7,3 22,0 22,0 90,0 11,0 
• Oa valoras Indicados para reglelroa da globo apllcarn·•• lambêm b lornelrao, v61vulu para chuveiros a válvulas de deecerga 
w 
iU _, 
f 
w i: 
o o 
:"í'~ 
~~ 
>o: 
e 
1, 1 
1,6 
2,1 
2,7 
3,2 
4,2 
5,2 
6,3 
6,4 
10,4 
12,5 
16,0 
20,0 
24,0 
28,0 
o o a .. 
o .. 
w;:: 
o o 
:"í '(j. 
~~ 
> o: 
~ 
1,6 
2,4 
3,2 
4,0 
4,8 
6,4 
8, 1 
9,7 
12,9 
16, 1 
19,3 
25,0 
32,0 
38,0 
45,0 
" ,.., 
"' " > 
(/) 
o 
o 
> 
"" "' > 
r 
o 
o 
> 
N ,. 
o ,. 
(/) 
... 
~ 
128 ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES 
7.8.13 - Nova simplificação 
Considerando-se os comprimentosL, apresentados na Tab. 7.6, para determinar 
perda e dividindo-se esses comprimentos pelos diâmetros das canalizações, verifica­
se que os resultados apresentam uma variação relativamente pequena. Assim é 
que os dados relativos às perdas em cotovelos de 90°, de raio médio, levam a valores 
de L/D variando desde 26 (para 12") até 31 (para 3/4"). 
Nessas condições, as informações contidas na Tab. 7.6 poderão ser condensadas 
tomando-se os comprimentos equivalentes expressos em diâmetros das 
canalizações. A Tab. 7. 7 inclui os dados recomendados por Azevedo Netto. 
Figrua 7.19-Perdas de ctJrga localizadas (Crao.e Co.) :;_ 
Válvula de globo 
1i ~ -tflt- L cr Tê, ,.Jda•OteraJ 
Válwla do ãog"~ ~ 
!~ -~·-··áJJ @=3- Entrada de borda 
Tê, saída lateral / 
00.-~/~ 
~}-@j-
Tê reduzido 112 
ou cotovelo 90" 
Tê reduzido 1/4 
ou cotovelo 90º, raio médio 
Tê passagem direta ou 
cotovelo de 90", raio longo 
Entrada nonnal -
Cotovelo 45• 
Válvula de gaveta 
100.om 
so.om 
40,0m 
30,0m 
20,0m 
10,0m 
5,0m 
4.0m 
3,0m 
2,0m 
1,0m 
o.sm 
0,4m 
0,3m 
0.2m 
0,1m 
o 
40" 1000mm 
36" 900mm 
30' 750mm 
24" 600mm 
20" 500mm 
16" 400mm 
14" 350mm 
1Z' 300mm 
10· 2SOmm 
a· 200mm 
s· 150mm 
5'" 125mm 
4" 100mm 
Z' · SOmm 
11/2" 38mm 
1'1• 32mm 
1" 2Smm 
1
/:" 13mm 
'ERDAS DE CARGA LOCALIZADAS 129 
Tabela 7. 7 - Perdas localizadas expressas em 
diâmetros de canaU:z;ação retilínea 
(comprimentos equivalentes) 
Comprimentos expressos 
em diâmetros 
Peça (n". de diâmetros) 
Ampliação gradual 12 
Cotovelo de 90º 45 
Cotovelo de 45° 20 
Curva de 90° 30 Curvas de aço em segmentos 
Curva de 45º 15 
Entrada normal 17 30° 2 segmentos 7 
Entrada de Borda 35 
Junção 30 45° 2 segmentos 15 
Redução gradual 6 45° 3 segmentos 10 
RegistI"O de gaveta, aberto 8 60º 2 segmentos 25 
Registro de globo, aberto 350 60º 3 segmentos 15 
Registro de ângulo, aberto 170 90° 2segmentos 65 
Saída de canaliz.ação 35 90° 3 segmentos 25 
Tê, passagem direita 20 90° 4segmentos 15 
Tê, saída de lado 50 
Tê, saída bilateral 65 
Válvula-de-pé e crivo 250 
Válvula de retenção 100 
Exercício 7.2 - Uma canalização de ferro dúctil com 1 800 m de comprimento 
e 300 mm de diâmetro está descarregando em um reservatório, 60i/s. Calcular 
a düerença de nível entre a represa e o reservatório, considerando todas as 
perdas de carga. Verificar quanto as perdas locais representam da perda por 
atrito ao longo do encanamento (em%). Há na linha apenas 2 curvas de 90º, 2 
de 45° e 2 registros de gaveta (abertos)(Fig. 7.20). 
velocidade na canalização é 
Q 0,060 
v = - = ---= 0,85m/s 
A 0,0707 
~ = 0,852 = 0,03 7m. 
2g 2x9,8 
v2 
As perdas de carga acidentais serão determinadas em função de 
2
g . Calcula-
se a entrada na canalizacão. 
130 ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES 
v2 
1.0-=0,037 
2g 
determinam-se 2 curvas de 90º, 
2 X 0,40 X 0,037 - 0,030 
assim como 2 curvas de 45º, 
2 X 0,20 X 0,037 = 0,015 
e 2 registros de gaveta-abertos, 
2 X 0,20 X 0,037 = 0,015 
mais a saída da canalização= 0,037 
Lb.1 =0,134m 
Essas perdas, portanto, não atingem 14 cm. 
A perda por atrito ao longo do encanamento pode ser encontrada na Tab. 
8.14 (Fórmula de Hazen-Williams): 
com Q = 60 e;s, 
e D = 0,30 m. 
Encontra-se para C = 100: 
J = 0,41m / lOOm = 0,004lm/m 
h1 =JL = 0,0041x1800 = 7,38m 
A perda de carga total será a diferença de nível entre a represa e o reservatório, 
e.= 0,134 + 7,38 = 7,514 m 
Para essa canalização, as perdas locais representarão 
% = 'Lh, X lOO = 0, 134X100 1.82% 
h, 7,38 
isto é, cerca de 2% da perda por atrito. Em casos como esse, de canalizações 
relativamente longas com pequeno número de peças especiais, funcionandocom velocidades baixas, as perdas locais são desprezíveis ~m face da perda 
por atrito. 
A própria variação do valor perdido por atrito, segundo as diferentes fórmulas 
que poderiam ser adotadas para o seu cálculo, justificaria tal afirmação. Se, 
por exemplo, ao invés da fórmula de Hazen-Williams, fosse adotada a fórmula 
Universal, resultaria para e= l,SOmm 
J = 0,0038 (Tab. 8.14b) 
h'1 =! x L = 0,0038 x 1 800 = 6,84m 
As perdas localizadas corresponderiam apenas a: 
%= 0,134x100 1,96% 
6,84 
O contrário se verifica no caso de instalações prediais, nas quais o grande 
número de peças especiais é causa de perdas consideráveis. 
l 
PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS 131 
Exercício 7.3 - Analisar as perdas locais no ramal de 3/4" que abastece o 
cl:iuveiro de uma instalação predial. Verificar qual a porcentagem dessas 
perdas em relação à perda por atrito ao longo do ramal (Fig. 7.21). 
Aplicando-se o método dos comprimentos equivalentes às perdas acidentais, 
(1) -Tê, saída do lado 1,4 m de canalização 
(2) - Cotovelo, 90° O, 7 
(3) - Registro de gaveta aberto 0,1 
(4) - Cotovelo, 90° 0,7 
(5) - Tê, passagem direta 0,4 
(6) - Cotovelo, 90º O, 7 
(7) - Registro de gaveta aberto 0,1 
(8) - Cotovelo, 90º O, 7 
(9) - Cotovelo, 90º O, 7 
5,Sm 
Verifica-se, portanto, que as perdas localizadas correspondem ou equivalem 
a um comprimento adicional de 5,50 m. 
A perda por atrito é devida ao comprimento real da canalização, isto é, 
0,35 + 1,10 + 1,65 + 1,50 + 0,50 + 0,20 = 5,30m. 
9 0.50 
º·~ 
1 1/2" 
1 0,35 2 
R R.3 
1 1;,· 
1,65 
8~5 
8 
1,50 
R 7 
6 
Como as perdas localizadas 
equivalem à perda em 5,50 m de 
encanamento retilíneo, são mais 
elevadas do que as perdas ao longo 
dos 5,3 O m de canalização. 
% = 5,50X100 l04% 
5,30 
As perdas singulares representam, 
pois, 104% da perda por atrito. 
Figw:a 7.21 
7.8.14 - Importância relativa das perdas localizadas 
As perdas localizadas podem ser desprezadas nas tubulações longas cujo 
comprimento exceda cerca de 4.000 vezes o diâmetro (item 5.3.2). São ainda 
desprezíveis nas canalizações em que a velocidade é baixa e o número de peças 
especiais não é grande. 
Assim, por exemplo, as perdas localizadas podem não ser levadas em conta 
nos cálculos das linhas adutoras, redes de distribuição, etc. 
Tratando-se de canalizações curtas, bem como de encanamentos que incluem 
grande número de peças especiais, é importante considerar as perdas acidentais. 
Tal é o caso das instalações prediais e industriais, dos encanamentos de recalque e 
dos condutas forçados das usinas hidrelétricas. 
132 ESCOAMENTO EM TUBULAÇÔES 
7.8.15 - Cuidados no caso de velocidades muito elevadas 
É muito importante assinalar que, no caso de tubulações funcionando com 
velocidades elevadas, as perdas de carga localizadas passam a ter valores que chegam 
a ultrapassar os valores das perdas ao longo das linhas. 
Exercício 7.4 - Um conduto forçado de 1,20 m de diâmetro e 150 m de 
extensão parte de uma câmara de extravasão para conduzir 4,5m3 /s de água 
extravasada para um rio cujo nível está 6,50m abaixo do nível máximo que 
as águas poderão atingir na câmara. Na linha existem 4 curvas de 90º. Verificar 
as condições hidráulicas. 
Consultando-se a Tab. 8.14a encontra-se: 
Velocidade v = 3,98m/s; ~ =0,807m;J = 1,41m/100m (C = 100) 
2g 
Perdas localizadas: .D< = 4 x 0,4 + 1 + 0,5 = 3,1 
h'1 = 3,1 x 1,20 = 3, 72m (64%) 
Perda ao longo da linha: 
h 1 = 1,41 x 1,5 = 2,12m (36%) 
Perdas totais: 5,84m (o diâmetro é satisfatório) 
7.9 -ANÁLISE DIMENSIONAL 
A interpretação de vários fenômenos comuns à Hidráulica, a análise dos 
modelos reduzidos e a comparação entre experi~entos realizados no passado, tais 
como determinação da perda de carga em tubos e canais, fica grandemente 
facilitada pela análise dimensional. A análise dimensional conduz à forma adequada 
de uma equação, mas não leva a resultados numéricos. 
7.9.1 -Teorema de Buckingham 
A análise dimensional repousa sobre o seguinte teorema, que recebeu o nome 
de teorema de Buckingham (ou teorema dos n). 
Sejam n grandezas físicas e constantes dimensionais e k o número total de 
grandezas fundamentais, em termos das quais se exprimem aquelas n grandezas. 
Se um fenômeno físico puder ser considerado como uma função 
F (G1, G27 ••• , Gn) =O 
das n grandezas G; interdependentes, também poderá ser considerado como uma 
função adimensional 
'P (iz:J., 172, ••• , "n-k) = O 
de n-k parâmetros adimensionais 7t; independentes. quaisquer, da forma 
onde 4 é um núm.eropuro. 
Observa-se aqui que só o teorema dos ·n não dá a relação entre os vários 
adimensionais. Entretanto, conhecendo os adimensionais de um certo fenômeno, 
a experiência pode dar esses adimensionais em números puros, que, devidamente 
apresentados, podem fornecer a relação procurada. 
ANÁLISE DIMENSIONAL 133 
7.9.2 - Aplicação do teorema de Buckingham ao caso geral de um fluido 
que se movimenta relativamente a uma superfície sólida 
Neste caso, o fenômeno depende das seguintes grandezas dimensionais: 
R 1 = resistência (atrito) da parede sólida à passagem do fluido (kg* /m2); 
µ = viscosidade do fluido (kg"s/m2 ); 
p = massa especüica do fluido (kg/m3) ou (kg*s2/m4); 
v = velocidade relativa entre o fluido e a superfície sólida (m/s); 
D = dimensão linear características da superfície sólida; define a forma 
geométrica (m); 
e = grandeza linear característica da rugosidade da superfície sólida (altura 
das asperezas) (m); 
g = aceleração local da gravidade (m/s2); 
E= módulo de elasticidade de volume (kg* /m2); 
a= tensão superficial (kg* /m). 
Escolhem-se aqui as grandezas p, v, D como grandezas fundamentais, em termos 
das quais se exprimirão nove grandezas dimensionais. Assim, · 
Como o primeiro e o segundo termos têm a~ mesmas dimensões de força, 
comprimento e tempo, podem-se igualar essas dimensões. 
A tabela seguinte facilita esse trabalho. 
F L T 
Ri 1 -2 o 
pa.l ª1 -4a.l 2a.l 
va2 o ~ -<X2 
Da.3 o a.3 o 
Desse modo, igualando os expoentes das grandezas básicas, 
a.l = 1, 
Portanto 
-4a.l + ~ + <X:i = -2, :. <X:i = 4a.l - ~ -2 
2a.1 -~ = o :. ~ = 2etl 
~=2, 
a.3 =o. 
Então o adim.ensional de R 1 será Â = R, , também chamado núm.ero índice 
pv2 
de resistência ou Wiederstandzahl. 
Da mesma forma, encontram-se os adimensionais dados a seguir. 
134 ESCOAMENTO EM TUBULACÕES 
R~ = pvD (da viscosidade); (Reynolds) 
µ 
~ (da rugosidade); 
vz 
Fr = gD (da aceleração da gravidade); (Fraude) 
e 
--2 (do módulo de elasticidade); 
pv 
<5 
~D (da tensão superficial). 
pv 
Assim, o fenômeno em questão, que poderia ser descrito por um.a relação 
entre nove grandezas dimensionais 
F(R1,µ,p, v,D, e,g, e. <5) =O, 
poderá também ser descrito por uma relação entre seis grandezas 
adimensionais: 
<t>(~.pvD ,.:=..., v
2 ,-e-)=o. 
pv2 µ D gD pv2D 
7.9.3 - Perda de carga em tubos. Movimento uniforme 
A experiência mostra que a perda de carga em tubos, veic:u.lando um fluido 
incompressível com movimento uniforme (caso particular da aplicação do 
teorema dos n:, feita aqui), pode ser expressa apenas em função das seguintes 
grandezas dimensionais: R 2 , µ, p, v, D, e. Poderá, então, a perda de carga em 
questão ser expressa através dos números adimensionais: Rif pv2 , pvD/µ, e/D. 
Pode-se expressar a perda de carga em tubos, veiculando fluído incom­
pressível em movimento uniforme, por 
li_= 'Í' (pvD • .!:..). pvz µ D equaç.iio (8) 
7.9.4 - Expressão de R .- Fórmula Universal 
Seja um duto cilíndrico veiculando uma vazão constante de fluido 
incompressível, sendo D o diâmetro; A = 10 
Dz ; P (perímetro molhado) = rr.D. 
4 -
Por equillbrio de forças que agem sobre o fluido, tem-se (na direção do 
movimento) 
mas sen a.= Zt - Zz L , 
(p1 -p2)A+ yAL sen et=R1 PL, 
ANÁLISE DIMENSIONAL 
v~.--~-~-~---~-~~~~~~~~~~---. 
2g ---------- Âh --- .. 
---------- Vi 
--------- 2g 
P2 
r 
._. ____________________________________ Figura.7.22 
Contudo, pelo teorema de Bernoulli (Cap. 4), a perda de carga 
Assim,h 1 =M=(~ +z1)-(~ +z2} 
AM 
R1=r PT· 
Ao valor ; dá-se o nome de raio bidráulicoRHou raio médio, 
A 
RH=-p 
135 
No caso de movimento uniforme, o valor ~ recebe a designação de declividade 
. é . J M h, E -p1ezom trica = L = r;· ntao 
ou 
R1=pgRHJ. 
Substituindo-se na eq. (8) o valor deR 1 dado acima vem 
ou.com 
resulta 
gRnJ:::;,,. (p.v.D ~) 
v2 'I' µ 'D' 
À.= gRHJ 
2 ' 
V 
Â=~(':D, ~} 
equação (9) 
equação (10) 
expressão geral adimensional que relaciona a declividade piezométrica ( J) e, 
e 
portan~o, a perda de carga (L1h = JL) com Re e D. 
Pode-se dizer que, praticamente, todas as f6rmulas experimentais para o cálculo 
de perdas de cargas podem derivar daí. 
136 ESCOAMENTO EM TUBULACÕES 
A chamada fórmula Universal deriva diretamente dessa expressão. 
Da eq. (10) vem 
Para tubos de seção circular, RH =~;lembrando-se que 
.1h =h1 =JL, 
tem-se 
L vz 
Afl=8.íl--. 
D2g 
Ora, fazendo-se f = 8.íl, tem-se a chamada fórmula Universal. 
onde 
L v 2 
h1 = t:.h =f -- (Universal), 
D2g 
f = 8.íl = ef!' ( Re, ~} 
Os valores de f são, em geral, dados por diagramas e ábacos, tais como o 
diagrama de Moody e o ábaco de Rousse (Cap. 8), proveniente também da análise 
dimensional. ··- ,1 cr · 
7.9.5 - Fómula de Chézy 
Da eq. (10) vem 
Fazendo-se e= E' vem 
v=C~Rs·J, (Chézy) equaçiio{11) 
que é a fórmula de Chézy, de caráter tão geral quanto a fórmula Universal, com a 
vantagem de o coeficiente de Chézy ter sido obtido por inúmeros experimentadores, 
entre os quais Manning, Ganguillet e Kutter, que exprimiram a rugosidade, não só 
pela altura das asperezas (e), mas pelo seu efeito global. 
7.9-6 - Fórmula de Chézy com coeficiente de Manning 
Manning, adotando o coeficiente de rugosidade de Ganguillet e Kutter, chegou 
à seguinte expressão para o coeficiente C de Chézy: 
se 
C =_!R11s 
n H 
Subtituindo-se na eq. (11) e lembrando a equação da continuidade, Q =Av, tem-
7J = AR;!' (Manning) 
SEMELHANÇA MECÂNICA 137 
7.9. 7 - Fórmula de Bazen-Williams 
bas experiências de Hazen-Williams tem-se a seguinte expressão para a equação (9): 
_!_= 1º· 643 
D-4S7 (Hazen-Williams) 
Ql.85 cus 
Os valores de C são dados em função do material dos tubos e do tempo de uso. 
7.9.8 - Fórmula de Poiseuille 
Para movimentos laminares, o valor de À, tanto experimental como deduzido 
teoricamente, é 
À.=~=~ 
· R,, p·v·D 
Substituindo-se na eq. (10), vem 
~ = gDJ , J = 32 µ v (Poiseuille) 
pvD 4v2 yD2 
Observa-se que a fórmula de Poiseuille, é válida para Re < 2 000; mas, devido a 
perturbações que causam turbulência no movimento, a mesma deve ser aplicada 
com maior segurança para Rc < 1 000. 
7.10- SEMELHANÇA MECÂNICA. 
Conhecendo quais são os adimensionais de um certo fenômeno, podem-se 
comparar dois experimentos desse fenômeno, mesmo que feitos em escalas 
geométricas diferentes, desde que todos os adimensionais sejam iguais numa escala 
e noutra. 
Assim, um escoamento de água, em um tubo de seção circular, é semelhante 
ao escoamento de ar também em um tubo circular, de diâmetro diverso, desde que 
sejam iguais o número-índice de resistência (À), o número de Reynolds (Re), e a 
1 - e re açao n· 
Essa semelhança é entendida na medida em que, calculando-se em um caso 
(por exemplo, água), experimentalmente, vazões, velocidades, perdas de carga, etc., 
têm-se no outro caso (ar), por correlação, as vazões, velocidades, perdas !'.le carga, 
etc. 
No caso, diz-se que o experimento é um modelo para deduzir certos valores 
(em geral difíceis de experimentar) de um protótipo. 
7.10.1 - Caso particular em que o número de Reynolds é o adimensional mais 
importante 
Para a construção de um modelo (em geral reduzido) de um protótipo, deve-se 
selecionar o adimensional mais importante e dele tirar todas as escalas de 
correlação. Observa-se, aqui, que essa correlação pode ter o que se chama distorção 
de escala, devido à impossibilidade de serem considerados iguais todos os 
adimensionais do fenômeno no mesmo modelo. 
138 
ou 
ESCOAMENTO EM TUBULACÔES 
Assim, se o índice (1) for relacionado ao protótipo e o índice (2) ao modelo, ter-se-á 
p,v,D1 p2v 2D2 ----µ:- =---µ;-' 
ViD1 = V2D2 
1Ji Vz 
Seja d =(escala geométrica). Então a escala de velocidade será 
A escala das vazões será 
Qz = A2v2 = dz(V2) d-i = V2 d. 
Qi AiVi Vi V1 
7.10.2 - Caso particular em que o número de Froude é o adimensional mais 
importante 
No caso anterior em que as relações entre forças de viscosidade e forças de 
inércia têm maior importância no fenômeno, o adimensional selecionado é o 
número de Reynolds. Já no caso em que as relações entre forças de peso e forças de 
inércia são de maior importância, o adimensional selecionado é o número de 
Fraude. 
Assim, 
ou 
v2 v; 
_l =--
D1 D2' 
Daí a escala de velocidade e a escala de vazões 
7.10.3 - Caso particular em que importam tanto o número de Reynolds, como 
o número de Froude 
e 
Nesse caso devem valer simultaneamente 
V2 - V2 Qi 
V1 - Vi , 
V2 = dl/2
0 
Vl 
Isso só é possível em dois casos: ou d = 1 e 'Ui= 'l.>2 (escala natural, mesmo fluido), 
Vz -d3/2 ou-- . 
Vi 
SEMELHANÇA MECÂNICA 139 
( J
2/3 
No último caso deve-se contentar com a escala d = ~: 
A Tab. 7.8 dá os valores das relações de escala, de diversas grandezas, entre 0 
modelo e o protótipo que funcionam com o mesmo fluido. 
Tabela 7.8 
Relações de Re Fr 
Velocidades d-1 dl/2 
Comprimentos d d 
Tempos d2 dl/2 
Acelerações d-3 1 
Massas d3 d3 
Forças 1 d3 
Pressões d-2 d 
Vazões d d5/2 
Quantidades de movimento 1 d3 
Potências d-1 d7/2 
Exercício 7.5 - Deseja-se ensaiar um vertedor de uma barragem de lOOm de 
altura através de um modelo em escala 1:50. Pretende-se saber se a lâmina 
vertente no protótipo age com pressão maior que a atmosférica sobre o 
vertedor. Dar a vazão do modelo. A vazão do protótipo é de 1 000 m 3/s, 
De acordo com o tratamento geral feito no item 7.10, os adimensionais que 
influem nesse caso (movimento relativo entre fluido e superfície sólida) são 
e s a 
íl,Re,Fr,-,-.--2 e --2-· 
D p·v p·v D 
Os adimensionais mais importantes, devido à grande predominância das forças 
de peso em relação às forças de viscosidade, de tensão superficial, etc., são 
e 
Fr e n· 
O número-índice selecionado será o número de Froude (Fr), sendo que o valor 
de ; será aproximado o mais possível pela confecção de superfícies tão lisas 
quanto for realizável em laboratório. Assim, as escalas desejadas são a de 
vazão, d 512, e a de pressões, d. 
Mas 
Daí 
1 d::::: 
50
::::: 0,02, d512
::::: 5,66X10-5
• 
Q2 = d 512 Q1 =5,66x10-5 x 1 000 = 0,0566 m3/s. 
Q2 = 56,6 e;s, 
P1 = 50P2· 
Conhecendo-se as pressões p 2 do modelo, têm-se as pressões p 1 do protótipo. 
A altura do modelo será 2 rn (1:50). 
140 
Estreito, cautrufda em seguida a Fumas e logo ajusBX1.te desta. 
inaugurada em 1969, permitiu um reforço substancial de 
energia para a área mais iD.dustrislizada do Brasil .EUl ocasião. 
Recorde em prazo de implantação e em economia (Fonte: IESA 
Notícias). 
141 
I 
CALCULO DE TUBULAÇOsS 
SOB PRESSAO 
8.1 - INTRODUÇÃO 
No projeto de uma tubulação, a questão principal é determinar a quantidade 
de energia necessária para "empurrar" a quantidade de água desejada entre um 
ponto e outro dessa tubulação. _ 
Engenheiros e pesquisadores que se ocuparam da questão, buscaram sempre · 
encontrar uma fórmula prática que permitisse a solução desse problema. 
Normalmente, num abastecimento de água por gravidade, os dados conhecidos 
são a carga disponível li! a vazão desejada, e a incógnita é o diâmetro do tú.bo. Mas 
qualquer combinação de parâmetros conhecidos ou por determinar é frequente 
no dia-a-dia dos engenheiros. Por exemplo, em geração hidrelétrica é comum 
conhecer a vazão necessária para a turbina, a altura geométrica entre o nível de 
água a montante e a jusante e a perda de carga máxima admissível, sendo a incógnita 
novamente o diâmetro. 
8.2 - O MÉTODO EMPÍRICO E A MULTIPLICIDADE DE FÓRMULAS 
Conforme visto no item 7.7, a fórmulade·Darcy-Weisbach ou fórmula Univer­
sal, apresenta o inconveniente de precisar de aferição de um coeficiente/que nem 
sempre é transladável de uma situação para outra, o que torna sua utilização 
problemática. 
Assim, diversos engenheiros e pesquisadores dedicaram-se a lançar os dados 
observados na prática em gráficos e tentar desenvolver equações empíricas a partir 
dos mesmos. 
A fórmula empírica consagrada pelo uso é a fórmula de Hazen-Williams (ou 
Williams-Hazen) que, pela tradição de bons resultados e simplicidade de uso via 
tabelas, há de permanecer em uso por muito tempo no meio dos engenheiros, em 
que pese a campanha pelo abandono das fórmulas empíricas e tentativas de 
obrigatoriedade do uso do método científico. Tal colocação de obrigatoriedade de 
fórmula, já incluída em diversas normas brasileiras, parece ser exigência 
desnecessária que extrapola os objetivos de normalização. 
As fórmulas empíricas, normalmente só se aplicam ao líquido em que foram 
ensaiadas, a temperaturas semelhantes, uma vez que não incluem termos relativos 
às propriedades físicas do líquido (fluído). 
142 CÁLCULO DE TUBULAÇÔES SOB PRESSÃO 
Também é importante anotar que tais fórmulas assumem que o escoamento é 
sempre turbulento, que é o que ocorre na prática com raríssimas exceções, para as 
·quais o leitor deverá estar atento. 
As fórmulas empíricas, são fórmulas monômias, por isso facilmente calculadas 
e tabeladas. 
O grande número de fórmulas existentes para o cálculo de canalizações 
certamente impressiona e põe em dúvida aqueles que se iniciam nesse setor da 
hidráulica aplicada. 
Desde a apresentação da fórmula de Chézy, em 1775, que representou a primeira 
tentativa para exprimir algebricamente a resistência ao longo de um conduto, 
inúmeras foram as expressões propostas para o mesmo fim, muitas das quais ainda 
hoje são reproduzidas e encontradas nos manuais de Hidráulica. No preparo deste 
capítulo foram compulsadas numerosas fórmulas, podendo-se dizer que existam 
mais de cem. 
Parece mesmo ter havido época em que todos os engenheiros hidráulicos -
uns mais, outros menos - preocupavam-se no sentido de apresentar fórmulas 
próprias, ou, pelo menos, de prestigiar fórmulas "nacionais". Como curiosidade, 
mantém-se nesta edição o Quadro 8.1 a seguir, onde se listam as supostas 40 fórmu­
las principais: 
'· 
'. 
QU~RO 8.1 -:--Algumas fórmulas práticas 
Ano Autor País Ano Autor País 
1 1775 Chézy França 21 1877 F:mn.ing Estados Unidos 
2 1779 Dubuat França 22 1877 Hamilton Smith· Estados Unidos 
3 1791 Woltmann Alemanha 23 1878 Colombo França 
4 1796 Eytekweub Alemanha 24 1878 Darrach Estados Unidos 
5 1800 Coulomb França 25 1880 Ehrmann Alemanha 
6 1802 Eisenmann Alemanha 26 1880 Iben Alemanha 
7 1804 Prony França 27 1881 Franck Alemanha 
8 1825 D'Aubuisson França 28 1883 Reynolds Inglaterra 
9 1828 Taclini Itália 29 1884 Thrupp Inglaterra 
10 1845 Weisbach Alemanha 30 1886 Unwin Estados Unidos 
11 1851 Saint Venant França 31 1887 Stearbs-Brusch Estados Unidos 
12 1854 Hagen Alemanha 32 1889 Geslain França 
13 1855 Dupuit França 33 1889 Tutton Inglaterra 
14 1855 Leslie Inglaterra 34 1890 Manning Irlanda 
15 1855 Darcy França 35 1892 Flamant França 
16 1867 Ganguillet-Kutter Suíça 36 1896 Lang Alemanha 
17 1867 Levy França 37 1898 Fornié França 
18 1868 Bresse França 38 1902 Hiram-Mills Estados Unidos 
19 1868 Gauckler França 39 1903 Christen Estados Unidos 
20 1873 Lampe Alemanha 40 1903• Hazen-Williams Estados Unidos 
.. Verificada em 1920 e em 1994. 
8.2.1 - Critério para a adoção de uma fórmula 
Evidentemente, uma expressão não deve ser adotada simplesmente por motivos 
de simpatia pelo nome do autor, pela sua escola ou país de origem, ou, ainda, pelo 
fato de a fórmula já ter sido empregada com "bons resultados". Raramente as 
O M~TODO EMPIRICO E A MULTIPLICIDADE OE FÓRMULAS 143 
canalizações, depois de postas em serviço, são ensaiadas de modo conveniente para 
a determinação das suas características hidráulicas; mesmo assim os resultados do 
seu funcionamento, invariavelmente, são classificados como bons. 
Como os resultados obtidos com o emprego de fórmulas diferentes chegam a 
variar de 100%, Fanning, em seu tratado, ponderou: "Graves erros podem provir do 
uso pouco racional e inconveniente das fórmulas. O conhecimento completo da 
origem de uma fórmula é essencial para a segura aplicação prática". 
No presente capítulo serão feitas algumas considerações, como contribuição 
para o melhor esclarecimento ao assunto e fixação de critérios mais racionais para 
a escolha de uma fórmula. 
8.2.2 - Fórmula de Darcy 
Darcy teve o grande mérito de ter sido o primeiro investigador a considerar a 
natureza e o estado das paredes dos tubos, isto é, foi quem primeiro apresentou 
uma fórmula moderna na atual acepção da palavra. 
Foi Darcy um verdadeiro gênio da Hidráulica; com base em apenas duzentas 
observações, obteve uma fórmula cuja utilidade e aplicação têm sido reconhecidas 
e asseguradas há cerca de 150 anos. 
Analisando os. próprios dados do antigo diretor da Repartição de Águas de Paris, 
verifica-se que, para ele, o expoente n da velocidade na expressão geral 
J=kv" 
DP 
está compreendido entre 1, 76 e 2. Entretanto, em sua fórmula, Darcy, como os 
demais pesquisadores de sua época, adotou o expoente 2. Considerando-se que 
aql\ele hidráulico tinha em vista estabelecer uma !ó'rmula prática, para uso 
generali'Zado, e que no seu tempo eram desconhecidas as réguas de cálculo e a 
Nomografia, assim como eram praticamente inexistentes as tabelas, a orientação 
tomada por Darcy veio a seu crédito (embora os oficiais de Napoleão já usassem 
réguas para a solução rápida dos problemas de balística, somente em 1859 surgiu a 
régua logarítmica de Manheim,). 
Um fato pouco conhecido e que demostra o bom-senso e o espírito cuidadoso 
de Darcy é os seus dados e observações geralmente se referirem a tubos novos. 
Todavia ele soube admitir, com critério razoável, o fenômeno do envelhecimento 
dos tubos, dobrando os seus coeficientes. 
1 - Apresentação alemã da Fórmula de Darcy (Forcheimer): 
Com relação à expressão geral de resistência oposta ao es,coame:t?:to (item7.7): 
D·]=<p(v), .. , .~ 
Darcy admitiu: <p (v) = kvz. 
A fórmula de Darcy pode ser escrita: 
J=KQ2 
~=K'Q2 
2g 
V=KHQ, 
..,._· 
equação (la) 
equação (lb) 
equação (lc) 
144 CÁLCULO DE TUBULAÇÔES SOB PRESSÃO 
A Tab. 8.1 apresenta os valores de K, K' e K". 
Tabela 8.1- Valores para os coeficientes "K" na fórmula de Darcy-Forcheimer 
para tubos de ferro e de aço, conduzindo água fria 
Diâmetros K K' K" 
(mm) Tubos usados Tubos novos 
10 116 785 000,0000 58 392 500,0000 8 263 800,0000 12 732,0000 
20 2 338 500,0000 1 169 250,0000 516 490,0000 3 183,0000 
30 250 310,0000 125 155,0000 102 022,0000 1414,7000 
40 52 560,0000 26 280,0000 32 281,0000 '795,8000 
50 15 874,0000 7 937,0000 13 222,0000 509,3000 
60 6 021,0000 3 011,0000 6 376,4000 353,6800 
75 1990,0000 995,0000 2 730,0000 230,0000 
100 412,4000 206,2000 826,3800 127,3200 
125 133,0000 66,5000 344,0000 8,1,9000 
150 50,6400 25,3200 163,2400 56,5900 
200 l~,5700 5,7900 51,6490 31,8310 
250 3,7050 1,8530 21,1550 20,3720 
300 1,4680 0,7340 10,2020 14,1470 
350 0,6704 0,3852 5,5070 10,3940 
400 0,3413 0,1707 3,2280 7,9580 
450 0;1880 0,0940 2,0150 6,2880 
500 0,1104 0,0552 1,3220 5,0930 
550 0,0683 0,0342 0,9030 4,2100 
600 0,0440 0,0220 0,6380 3,5370 
Exercícío 8.1 - Para o abastecimento de água de uma grande fábrica será 
executada uma linha adutora com tubos de ferro fundido numa extensão de 
2 100 m. Dimensionar a canalização com capacidade de 25 f/s. O nível de 
água na barragem de captação é 615 m e a cota da canalização na entrada do 
reservatório de distribuição é de 599,65 m. 
L = 2 100 m 
h 1 = 615 - 599,65 = 15,35 m 
J = H, = 15
•
35 
=O 0073m/m 
L 2 100 :_ 
Q = 25 e;s = 0,025 ml/s 
São dados f e Q; a incógnita é D (problema tipo IV). Calcula-se: 
J= KQ2 _-_ K=_L= 0,0073 = ll, 7 
Q2 0,0252 
Para esse valor de K, encontra-se,na Tab. 8.1, D = 0,20 m (tubos usados) 
2 - Apresentação americana da Fórmula de Darcy 
Modernamente apresenta-se a expressão de Darcy com a seguinte forma: 
Lv2 
h1 = f -- equação (2) 
D2g 
O MOODO EMP/RICO E A MULTIPLICIDADE DE FÓRMULAS 
onde h 1 =perda de carga (m); 
f = coeficiente de atrito; 
L = comprimento da canalização (m); 
v =velocidade média (m/s); 
g =aceleração da gravidade (9,8 m/s2). 
Tabela 8.2 - Valores do coeficiente de atrito "f" na fórmula de Darcy 
(apresentação americana), para tubos novos de ferro fundido e de aço, 
conduzindoáguafria -Diâmetro Velocidade média em m/s 
nominal 
<=> 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,50 2,00 
13 0,041 0,037 0,034 0,032 0,031 0,029 0,028 
19 0,040 0,036 0,033 0,031 0,030 0,028 0,027 
25 0,039 0,034 0,032 0,030 0,029 0,027 0,026 
38 0,037 0,033 0,031 0,029 0,029 0,027 0,026 
50 0,035 0,032 0,030 0,028 0,027 0,026 0,026 
75 0,034 0,031 0,029 0,027 0,026 0,025 0,025 
100 0,033 0,030 0,028 0,026 0,026 0,025 0,025 
150 0,031 0,028 0,026 0,025 0,025 0,024 0,024 
200 0,030 0,027 0,025 0,024 0,024 0,023 0,023 
250 0,028 0,026 0,024 0,023 0,023 0,022 0,022 
300 0,027 0,025 0,023 0,022 0,022 0,021 0,021 
350 0,026 0,024 0,022 0,022 0,022 0,021 0,021 
400 0,024 0,023 0,022 0,021 0,021 0,020 0,020 
450 0,024 0,022 0,021 0,020 0,020 0,020 0,020 
500 0,023 0,022 0,020 0,020 0,019 0,019 0,019 
550 0,023 0,021 0,019 0,019 0,018 0,018 0,018 
600 0,022 0,020 0,019 0,018 0,018 0,017 0.017 
Tabela 8.3 - Valores do coeficiente de atrito ~·r na fórmula de Darcy 
3,00 
0,027 
0,026 
0,025 
0,025 
0,024 
0,024 
0,023 
0,022 
0,021 
0,020 
0,019 
0,018 
0,018 
0,017 
0,017 
0,016 
0,015 
(apresentação americana), para tubos usados de ferro fundido e de aço e para 
tubulações de concreto, conduzindo água fria 
Diâmetro Tubos de aço e de ferro Tubos de concreto 
145 
nominal 
·--~--·-·-•·-~.~~--,f~;:i:; •. ;~}:::,~.~:~~i~~ª-ª"ªªi·mh1i.~aj~J1.L~:·.::~~i~~-~lrI!Z:~ci;~::·. 
<=) 0.50 1,00 1.50 3,00 aualauer 0.50 1.00 1.50 
25 0,054 0,053 0,052 0,051 0,071 - - -
50 0,048 0,047 0,046 0,045 0,059 - - -
75 0,044 0,043 0,042 0,041 0,054 - - -
100 0,041 0,040 0,039 0,038 0,050 - - -
150 0,037 0,036 0,035 0,034 0,047 - - -
200 0,035 0,034 0,033 0,032 0,044 - - -
250 0,033 0,032 0,031 0,030 0,043 - - -
300 0,031 0,031 0,030 0,029 0,042 0,030 0,029 0,027 
350 0,030 0,030 0,029 0,028 0,041 0,028 0,027 0,026 
400 0,029 0,029 0,028 0,027 0,040 0,027 0,026 0,025 
450 0,028 0,028 0,027 0,026 0,038 0,026 0,025 0,024 
500 0,023 0,027 0,026 0,025 0,037 0,025 0,024 0,023 
550 0,026 0,026 0,025 0,024 0,035 0,025 0,023 0,022 
600 0,025 0,024 0,023 0,022 0,032 0,024 0,022 0,021 
Obs.: para ma.oqueiras de borracha adotar 0,02 s f S 0,03 
146 CÁLCULO OE TUBULAÇÕES soa PRESSÃO 
Exercício 8.2 - Uma estação elevatória recalca 220 e;s de água através de uma 
canalização antiga, de aço, de 500 mm de diâmetro e 1 600 m de extensão. 
Estimar a economia mensal de energia elétrica que será feita, quando essa 
canalização for substituída por uma linha nova, de aço, com revestimento 
interno especial. Custo da energia elétrica$ 0,10/k.Wh. 
Lv2 
h1=f-­
D2g 
A=0,196m2 Q 0,220 
v=-=--=l,13m/s 
A 0,196 -· 
Para a canalização antiga, f = 0,037 e, para a tubulação nova, f = 0,019, valor 
que manterá devido à existência do revestimento especial. 
A perda de carga nas condições iniciais (tubulação velha) é: 
hr = 0,0371600x1.,132 
0,50xl9,6 
Para a tubulação nova resultará: 
75
·
6 
= 7 71m 9,8 ' . 
h = O,Ol9 7 71=3 96m 
f 0,037 ' , 
A diferença de altura de recalque será, portanto, de 3, 75 m, o que corresponde 
a uma potência de: 
o 736 o 736 , . 
p = Q X H X-' - = 220 X 3, 75 X-'--= 8,085kW (teonca) 
75 75 
Levando-se em conta o rendimento do conjunto motor-bomba, estimado em 
70%, 
P = 8 085-
1
- = 11550W=11,SSkW 
0,70 
Economia diária de ll,55kW x $0,10/kWh x 24 h/dia = $ 27, 72/dia; 
Economia mensal de$ 831,60. . 
8.2.3 - Outras fórmulas para tubulações e seus limites de aplicação 
Cada fórmula de resistência costuma ser apresentada com a indicação dos 
limites para a sua aplicação fixando-se, geralmente, os diâmetros mínimo e máximo. 
Esses valores, algumas vezes estabelecidos pelos próprios autores das expressões, 
foram outras vezes fixados pelos engenheiros interessados na sua aplicação. 
Tais limites, entretanto, não têm o significado absoluto que freqüentemente 
lhes é atribuído e sobretudo não são comparáveis. Enquanto algumas fórmulas 
foram estabelecidas com base em poucas dezenas de dados, outras decorreram da 
análise de alguns milhares de observações. Prony, por exemplo, baseou-se em 51 
experiências; Weisbach, em 63; Darcy, em 200; Flamant, em 552; enquanto Hazen 
e Williams serviram-se de alguns milhares de dados. Entre os limites fixados para 
a fórmula de Darcy estariam compreendidos dados compulsados por Hazen e Wil­
liams, num total muito superior a 200. Flamant baseou-se em observações feitas com 
tubos de até 90 cm de diâmetro; não obstante, a sua fórmula tem sido recomendada 
para canalizações de maior diâmetro. As investigações conduzidas por Hazen e Will­
iams incluíram dados sobre condutos desde 25 mm de diâmetro até cerca de 4,5 m. 
O M~TODO EMPIRICO E A MULTIPLICIDADE DE FÓRMULAS 
r 
8.2.4- Comparação de algumas fórmulas práticas 
vn 
Seja a expressão geral para perda de carga unitária J = k­
DP 
147 
Para movimento laminar, n = 1 e p = 2; para movimento francamente turbulento 
n=2ep=l. 
No Quadro 8.2, estão ~amparadas algumas das expressões propostas, sob esse 
aspecto (relação entre os expoentes de "v" e "D"): 
' 
QUADR08.2 
'' 
Autor""' Fórmula Expoentes de Somados 
( aspecto geral) "v,, "D"' expoentes 
Darcy ( 1 • 1. ,, ,-.,~ \ 
v2 
1)U .. :.; '(..,._> ....... J=k1- 2 1 3* 
~ D 
v2 
Levy-Vallot J=k2 Dl.!13 2 1,33 3,33 
Manning 
v2 
J=ks D1,;is 
2 1,33 3,33 
V1.7S 
Flamant J = k., Dus 1,75 1,25 3 
v1.9 
Biegeleisen-Bukowsky J = ks Du 1,9 1,1 3 
v1.B7 
Lawford J=k-- 1,87 1,127 2,997 6 Du27 
v2 
Scobey J =: k7 D1.2s 2 1,25 3,25 
v'·ea 
Fair, Whipple e Hsiao J-k 1,88 1,12 3 - e D1.i2 
vi.as 
Hazen-Williams J-k 1,85 1,17 3,02 - 9 Di.i7 
(") N:i expressão de Darcy, a variação de k 1 com D está em torno de 7% apenas. 
("")Estão relacionadas apenas as f6nnulas empíricas mllis consagradas pelo uso ou por 
seu valor histórico. 
8.2.5 - Inconvenientes das primeiras fórmulas 
A fórmula de Darcy há muitos anos completou seu centenário; a de Levy é 
apenas 10 anos mais nova; a de Manning resultou de uma simplificação da expressão 
de Ganguillet-Kutter, fórmula essa que remonta a 1867. 
Evidentemente, no decorrer de tantos anos a indústria dos materiais e a técnica 
de fabricação dos tubos evoluíram bastante. A superfície interna dos tubos 
apresenta-se mais homogênea e mais favorável ao escoamento. Evoluiram os 
processos de revestimento e ainda mais, com a produção de tubos mais longos, 
148 CÁLCULO DE TUBULAÇÔES SOB PRESSÃO 
reduziu-se o número de juntas. 
Por outro lado, definiram-se melhor as características das águas a transportar, 
tornou-se mais conhecido o fenômeno da corrosão e pôde-se controlar a 
agressividade das águas. 
Essas considerações mostram as inconveniências do emprego de muitas das 
fórmulas estabelecidas há muito tempo. 
O emprego das primeiras fórmulas está condicionado à classificação das 
canalizações em uma de duas classes: tubos novos e tubos usados. Os resultados 
geralmente variam de 1 para 2, isto é, os coeficientes para tubos em uso são duas 
vezes maiores do que os para tubos novos. Resta perguntar quando um tubo deixa 
de ser novo e se uma tubulação de 10 anos é velha. O número limitado de 
observações não permitia uma classificação melhor ou uma apreciação mais precisa 
do fenômeno conhecido como o "envelhecimento dos tubos". 
Cumpre lembrar que tais inconvenientes, que podem ser atribuídos à velha 
expressão de Darcy, são removidos quando se considera a nova apresentação de 
sua fórmula, mais conhecida como apresentação americana ou fórmula de Darcy­
Weisbach. 
8.2.6 - Contribuiçãoda estatística. Uma fórmula média 
O tratamento estatístico dos inúmeros dados existentes sobre o assunto -
resultados das observações e experimentações realizadas pelos diversos 
investigadores - mostra que o expoente de v varia entre cerca de 1, 7 a 2. Um valor 
médio pode ser assumido em torno de 1,85. As próprias experiências de Darcy levam 
a valores de n compreendidos entre 1, 76 e 2. 
Reynolds, que teve a primazia de investigar as velocidade-limite entre os re­
gimes de escoamento laminar e turbulento, chegou à conclusão de que o expoente 
n assume o valor da unidade para o movimento laminar e que, para os movimentos 
turbulentos que ocorrem na prática, n depende da rugosidade da parede dos tubos, 
oscilando entre 1, 73 e 2. Para os tubos muito lisos, n é cerca de l, 75 ao passo que, 
para grandes turbulências, em tubos fortemente "incrustados", n = 2. 
Com base nessas considerações e no que indica a análise dimensional, conclui­
se que uma fórmula "racionalizada" para a determinação da perda de carga nas 
tubulações seria 
v1+x 
J=k n2-x 
onde, para o movimento 100% turbulento, o valor experimental de x seria 1 e, para 
as condições correntes, com movimento turbulento, oscilaria de O, 70 a l; tomando­
se, para o último caso, o valor médio de x = 0,85, resultaria a seguinte expressão: 
vi.as 
J-k-
- D1J.s 
8.2. 7 - Fórmula de Hazen-Williams 
Depois de feitas essas considerações, é curioso notar que dois pesquisadores 
norte-americanos, após cuidadoso exame estatístico de dados obtidos por mais de 
trinta investigadores, inclusive os de Darcy e os decorrentes de pesquisas próprias, 
O METOOO EMPIRICO E A MULTIPLICIDADE OE FÓRMULAS 
propuseram, em 1903, uma fórmula prática que pojle ser escrita 
v1.SS 
J-k-
- Di.i.1 
149 
equaçiio (3) 
denominada fórmula de Hazen-Williams (Allen Hazen, engenheiro civil e 
sanitarista, e Gardner S. Williams, professor de Hidráulica) que goza de grande 
aceitação, devido ao amplo uso e às confirmações experimentais. 
A fórmula de Hazen-Williams, com o seu fator numérico em unidades SI, é a 
seguinte: 
onde: Q =vazão (m3/s); 
D = diâmetro (m); 
J ~ 10,643 Ql.85. c-1.s5. D-4.87 
J = perda de carga unitária (m/m) 
equação (4) 
C =coeficiente adimensional que depende da natureza (material e estado) 
das paredes dos tubos, Quadro 8.3. 
A fórmula também pode ser escrita explicitando-se a vazão ou a velocidade: 
como 
substituindo em (5) tem-se: 
Q = 0,279 CD 2.63] 0,54 equação (5) 
nD2 
Q=Av=--v 
4 
v = 0,355 CD 0.53 !°·54 equaçiio (6) 
onde v =velocidade (m/s) 
No final deste capítulo (item 8.4), estão apresentadas as Tabelas (8.14a) com o 
resultado dos cálculos pela fórmula de Hazen-Williams para os diâmetros comerciais 
e velocidades usuais e para diferentes valores do coeficiente C. 
. A disposição dos vários aspectos da fórmula, tal como está apresentada no 
Quadro 8.4, é de grande conveniência na prática. 
8.2.8 - Vantagens da fórmula de Hazen-Williams 
É uma fórmula que resultou de um estudo estatístico cuidadoso, no qual fo­
ram considerados os dados experimentais disponíveis, obtidos anteriormente por 
um grande número de pesquisadores, bem como dados de observações dos próprios 
autores. 
A expressão de Hazen-Williams é teoricamente correta: a soma dos expoentes 
p e n, que é 3,02, apresenta uma diferença desprezível sobre o valor teórico. 
Os expoentes da fórmula foram estabelecidos de maneira a resultarem as 
menores variações do coeficiente numérico C para tubos de mesmo grau de 
rugosidade. Em conseqüência, o coeficiente C é, tanto quanto possível e praticável, 
uma função quase que exclusiva da natureza das paredes. 
A grande aceitação que teve a fórmula permitiu que fossem obtidos valores 
bem determinados do coeficiente C. Nessas condições, pode-se estimar o 
envelhecimento dos tubos. 
É uma fórmula que pode ser satisfatoriamente aplicada para qualquer tipo de 
150 CÁLCULO DE TUBULAÇÔES SOB PRESSÃO 
conduto e de material*. Os seus limites de aplicação são os mais largos: diâmetro 
de 50 a 3 500 mm e velocidades até 3 m/s, ou seja, praticamente todos os casos do 
dia a dia aí se enquadram. 
r - ' ' 
QUADRO 8.3 - Valor do coefici~nte C sugerido para a fórmula de 
Hazen-Wtlliams . . 
' . . . 
Tubos Usados Usados 
Novos ± 10 ±20 
anos anos 
Aço corrugado (chapa ondulada) 60 
Aço galvanizado roscado 125 100 
Aço rebitado, novos 110 90 80 
Aço soldado, comum (revestimento betuminoso) 125 110 90 
Aço soldado com revestimento ep6xi.co 140 130 115 
Chumbo 130 120 120 
Cimento-amianto 140 130 120 
Cobre 140 135 130 
Concreto, bom acabamento 130 
Concreto, acabamento comum 130 120 110 
Ferro fundido, revestimento ep6xi.co 140 130 120 
Ferro fundido, revestim.ento de argamassa de cimento 130 120 105 
Grés cerâmico, vidrado (maniJhas) 110 110 110 
Latão 130 130 130 
Madeira, em aduelas 120 120 110 
Tijolos, condutes bem executados 100 95 90 
Vidro 140 
Plástico (PVC) 140 135 130 
Obs.: o engenheiro projetistas.o adotar um coeficiente C deve se precaver contra valores 
acima daqueles aqui indicados, mesmo que indicado nos catiilogos dos fabricantes de 
tubulações. Ocorre que os valores indicados nos catálogos são normalmente obtidos em 
condições de Jaborat6rio e na prática influendlUil também outros fatores, to.is como o efeito 
das juntas, falta de alinhlUilento na montagem, irregularidades ou recs.lques no terreno, 
qualidade da água, etc. 
·,:. QlJADRO 8.4-Fórm~Iàde-~azên~willi~~no,~isteina's1 · . · 
" Lr • ' r ~ ' J • ' - ' '• ' -
Para C-100 
v- 35,5 D º·63 Jº·'!A 
Q ~ 27,88 D 2.s3] o.s4 
v1.BS2 
J::;:0,00135 D 1•167 
Ql.852 
J = 0,0021 D 4 •87 
Relações 
para 
valores 
quaisquer 
deC 
( )
1.852 
lc - 100 
fc=IOO C 
D [cJº.38 
Dc:oo = 100 
~e 
Vc.100 100 
_!k_=_.E_ 
Qc=lOO 100 
(')A fórmula de Hazen-Williams pode ser aplicada a condutos livres ou coDdutos forçados; tem 
sido empregada para canalizações de águas e esgotos. Seus autores basearam-se em experiências com 
os seguintes materiais (tubos): aço. cimento, chumbo, estanho, ferro forjado ("wroughtironft), ferro 
fundido. latão, madeira. tijolos e vidro. 
O METODO EMPIRICO E A MULTIPLICIDADE OE FÓRMULAS 151 
8.2.9 - O envelhecimento das tubulações de ferro fundido e aço 
Ensaios e verificações feitos em linhas de aço e de ferro fundido, muito bem 
executadas e em que foram empregados tubos de boa qualidade, sem revestimento 
interno, mostraram que, para o início de funcionamento, o coeficiente C assume 
valores nas vizinhanças de 140. Pouco depois, entretanto, esse valor cai para 130 e 
com o decorrer do tempo passa a valores cada vez mais baixos. A tendência de o 
ferro entrar em solução e a presença de oxigênio dissolvido na água - fatores 
primordiais da corrosão - são responsáveis pela formação de tubérculos na 
superfície interna dos tubos. Da redução da seção e do aumento da rugosidade 
resultam a diminuição da capacidade de transporte da canalização e o decréscimo 
deC. 
Tal fenômeno da tuberculização, que se caracteriza por formações esponjosas 
duras que crescem como se fossem corais e que, uma vez bem secas se "esfarelam" 
com relativa facilidade, é algumas vezes erroneamente designado por incrustação. 
O termo incrustação deve. ser reservado ao fenômeno da constituição de 
camadas ou crostas devidas a certas substâncias presentes em quantidades 
excessivas na água, que vão se depositando ou aderindo às paredes dos tubos, 
especialmente os tubos metálicos, diminuindo o diâmetro interno do tubo. O caso 
típico de incrustação ocorre quando a água transportada pelo tubos apresenta 
elevados teores de cálcio, por exemplo, águas de terrenos calcários, bastante 
freqüentes. 
Entre os vários fatores (*) que afetam a corrosão, o pH tem uma grande 
influência, conforme se pode constatar no Quadro 8.5. 
QUADRO 8.5 - Perda de capacidade de tubulações de ferro fundido não 
revestido internamente ao fim de 30 anos (C inicial: 135 
ou 100%) 
Percentagem 
pHdaágua ValordeC da capacidade 
inicial 
6,0 20 15 
6,5 52 40 
7,5 85 657,0 72 55 
8,0 91 70 
(*)Alguns dos fatores que afetam a corrosão: potencial de oxidação do material (entropia), 
sobretensão, oxigénio ctissolvido, C02 , alcalinidade, presença de substância inibidoras ou 
capazes de formar películas, homogeneidade da superfície dos mbos. velocidade da água. 
temperatura. existência de residuais de sulfato de alumínio, cloro, etc. 
8.2.10 - Escolha criteriosa do coeficiente C 
A fórmula de Hazen-Williams, sendo das mais perfeitas, requer, para a sua 
aplicação criteriosa, maior cuidado na adoção do coeficiente C. A escolha negligente 
desse coeficiente ou a fixação de um valor médio invariável reduz de muito a 
precisão que se pode esperar de tal fórmula. 
Para tubos de ferro ou de aço, o coeficiente C é uma função do tempo, de modo 
que o seu valor deve prever a vida útil que se espera na canalização. 
Para avaliações expeditas, pode-se usar, para tubos metálicos. C = 100. Tal valor 
corresponde, aproximadamente, à situação da tubulação em quinze a vinte anos, 
152 CÁLCULO DE TUBULACÔES SOB ?RESSÃO 
portanto dentro da vida útil esperada, quando ainda deverá estar funcionando para 
as vazões de cálculo. Tal desempenho pode ser melhorado se periodicamente for 
feita uma "limpeza" na tubulação. Tal limpeza periódica é muito pouco usual na 
América Latina, até porque os projetos não a prevêem e depois passa a ser muito 
difícil fazê-la, pois não são instalados os acessórios necessários para facilitar a 
operação, especialmente a colocação e retirada do "pig" de limpeza. Menos usual . 
ainda é a recomposição do revestimento interno. Também pouco se faz em termos 
de controle de qualidade eficaz para a corrosividade da água. 
A Tabela 8.4, obtida das investigações de Hazen e Williams, é de grande utilidade 
nas aplicações práticas, especialmente quando se calculam canalizações de certa 
importância. Nas observações que serviram de base predominaram águas "moles", 
em sua maioria não tratadas quimicamente. Os valores apresentados resultam das 
condições mais comuns. Para águas "in natura", muito agressivas, ou para águas 
tratadas e não bem controladas, o envelhecimento dos tubos poderá ser mais rápido. 
Para águas muito bem controladas, o decréscimo de C é mais lento. 
Na Fig. 8.1 estão comparados os dados disponíveis de diversos investigadores, 
relativos ao envelhecimento de tubulações de ferro fundido. Pode-se notar que as 
condições adotadas por Hazen e Williams, bem próximas das investigações de 
Carter, são bastante razoáveis, não constituindo condições extremas, mas, bem ao 
contrário, dados médios. 
Na Figura 8.2 estão representados os valores indicados na Tab. 8.4. O aumento 
de rugosidade, a redução de diâmetro e as dimensões relativas dos tubérculos 
maiores para os tubos de menor diâmetro, causam, para estes, um envelhecimento 
mais rápido. 
e 
130 
~ 
\·~ --....... ..... .· 
\ 
. 
··:'--.. ~~a in-.,, . 
120 
\ ............ ~ l!._S - l 
" -
\ . . ~º- ~ _gr . . 110 
\ 
. . A i"(oE, ---. 
90 \ • • .s ..... . . ,... ~é<YI 
' 
......... , .. ~er' :::....·1t~ 
~.s> .... .......... -.... ::::.../} ... 
80 
~--
......... ~ 
~ 
~.s8, --:.:-.::: ---- ...... 
70 ......... ~8 •• --
--....:.: ..._f:. A-
60 
-....... ~-
--- -r--
50 
o 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 
Figura.8.1 ._. ________________ ................................................. --... Anos 
O M00DO EMPIRICO E A MULTIPLICIDADE DE FÓRMULAS 
e 
130 
~ 
~ 
120 ~ 
~ 
110 ~ ~ 
'\ ~ 
90 "\. ~ ~-.......... 
""' 
~ ~ 
"\.. "-':: ~ r-..... 
"-.. ~ ~" ""--
80 
" ~ ~~ ............... 70 ";-..... ......... ~ :::--......... -----......... "' -.......... "-... :--
60 ............... "" ............... --..... ~ -........... 
DN 100 ~ 
50 
--... 
....__ -
..:--..... 
--. 
DN 1000 
DN 500 
DN 250 
DN 200 
DN 150 
o 5 10 ·15 20 25. 30 35 40 45 50 
153 
Anos Figu.ra 8.2 
._. __________________________________________________ ... 
Tabela 8.4 - Valores do coeficiente C segundo os dados analisados por Hazen-
Williams. Tubos de ferro fundido sem revest:ilnento interno (*) 
Diâmetro 
100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 750 900 1 050 1500 
(mm) 
Anos 
(**) 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 
o 130 130 130 130 130 130 130 130 130 130 130 130 130 
5 117 118 119 120 120 120 120 120 120 120 121 122 122 
10 106 108 109 110 110 110 111 112 112 112 113 113 113 
15 96 100 102 103 103 103 104 104 105 105 106 106 106 
20 88 93 94 96 97 97 98 98 99 99 100 100 100 
25 81 86 89 91 91 91 92 92 93 93 94 94 94 
30 75 80 83 85 86 86 87 87 88 89 90 90 90 
35 70 75 78 80 82 82 83 84 85 85 86 86 87 
40 64 71 74 76 78 78 79 ao 81 81 82 83 83 
45 60 67 71 73 75 76 76 77 77 78 78 79 80 
50 56 63 67 70 71 72 73 73 74 75 76 76 77 
(*)Valores do coeficientes C para tubulações de aço: 
a) Com juntas Mlock-bar", adotar os mesmos coeficientes indicados para os tubos de ferro 
fundido; 
140 
130 
122 
113 
106 
100 
95 
91 
88 
84 
81 
78 
b) Soldadas, tomar como valores de C os valores indicados para tubos de ferro fundido 5 anos 
mais velhos: 
c) Rebitados, tomar como valores de C os valores indicados para tubos de ferro fundido 10 
anos mais velhos: 
d) Com revestilnentos especiais, admitir 130. 
(**) O valor 140 correspondente ao início de funcionam.ento de linhas muito bem executadas, 
com tubos de boa qualidade. 
154 CÁLCULO DE TUBULACÕES SOB PRESSÃO 
Portanto, note-se que para uma mesma rugosidade de parede interna do tubo, 
na fórmula de Hazen-Williams, um tubo de maior diâmetro deverá ter um 
coeficiente Cligeiramente maior que o de um tubo de diâmetro menor. Isso significa 
que ao estudar alternativas de diâmetros diferentes usando Hazen-Williams, para 
ser rigoroso o engenheiro deve atribuir a tubos de diâmetros diferentes, diferentes 
valores de C, valendo-se para isso de sua experiência, da Fig. 8.2 e da Tab. 8.4. 
Tabela 8.5 - Correspondência aproxilnada entre os valores de f 
(fórmula Universal) e o coeficiente C da expressão de 
Hazen-Williams. Para C - 100 (valores de j) 
D v- 0~50 v-1,00 v-1,50 
<=> (m/s) (m/s) (m/s) 
50 0,049 0,044 0,042 
100 . 0,043 0,039 0,037 
150 0,040 0,036 0,034 
200 0,038 0,034 0,032 
300 0,036 0,032 0,030 
400 0,034 0,031 0,029 
500 0,033 0,030 0,028 
600 0,032 0,029 0,027 
Tabela 8.6 -Correspondência aproximada entre os coeficientes C de 
Hazen-Williams e n de Manning, K de Striclder e yde Bazin 
e 40 60 80 90 100 110 120 130 140 
n 0,031 0,021 0,016 0,014 0,013 0,012 0,011 0,010 0,009 
K 35 50 60 70 75 85 90 100 - 110 
r 1,75 1,30 0,45 0,23 0,20 0,17 0,12 0,06 0,04 
Tabela 8. 7 - Fatores de correspondência K para os diferentes valores de C na 
fórmula de Hazen-William.s(") 
e K e K e K e K e K e K c·x e K 
40 5,457 55 3,026 ?O 1,936 85 1,351 100 1,000 115 0,772 130 0,615 145 0,503 
41 5,213 56 2,927 71 1,886 86 1,322 101 0,982 116 0,760 131 0,606 146 0,496 
42 4,986 57 2,832 72 1,837 87 1,294 102 0,964 117 0,748 132 0,598 147 0,490 
43 4,773 58 2,742 73 1,791 88 1,267 103 0,947 118 0,?36 133 0,590 148 0,484 
44 4,574 59 2,657 74 1,747 89 1,241 104 ci,930 119 0,725 134 0,582 149 0,478 
45 4,388 60 2,576 75 1,704 90 1,215 105 0,914 120 0,713 135 0,574 150 0,472 
46 4,213 61 2,498 76 1,662 91 1,191 106 0,898 121 0,703 136 0,566 151 0,466 
47 4,048 62 2,424 77 1,623 92 1,167 107 0,882 122 0,692 137 0,558 152 0,460 
48 3,894 63 2,353 78 1,584 93 1,144 108 0,867 123 0,682 138 0,551 153 0,455 
49 3,748 64 2,285 79 1,547 94 1,121 109 0,852 124 0,671 139 0,543 154 0,449 
50 3,610 65 2,221 80 1,512 95 1,100 110 0,838 125 0,661 140 0,536 155 0,444 
51 3,480 66 2,159 81 1,477 96 1,079 111 0,824 126 0,652 141 0,529 156 0,439 
52 3,357 67 2,099 82 1,444 97 1,058 112 0,811 127 0,642 142 0,522 157 0,434 
53 3,241 68 2,043 83 1,412 98 1,038 113 0,797 128 0,633 143 0,516 158 0,429 
54 3,130 69 1,988 84 1,381 99 l,019 114 Q_,785 129 0,624 144 0,509 159 0,424 
(•) Os valores acima são aplicados para a correção de resultados de perda de carga J, a partir 
de C- 100 para valores de C diferentes de 100, conforme explicado a seguir. 
O MIÕTODOEMPIRICO E A MULTIPLICIDADE DE FÓRMULAS 155 
A Tab. 8. 7 apresenta um coeficiente prático Kpara o cálculo de uma nova perda de 
carga quando já é conhecida a perda de carga para C - 100: 
JCqq = KLC100 
Exemplo: Uma linha de recalque com 500 mm de diâmetro funcionando com 
220 J/s de vazão e C = 100, tem uma perda de carga de 3,50 mjkm. Se com· 
uma limpeza interna da tubulação o C chegar a 130, a perda de carga~ai se 
reduzir como segue: · 
Jc130 = K Jc100 = 0,615 x 3,50 = 2,15 m/km 
Exercício 8.3 - Numa cidade do interior, o número de. casas atinge a 1 340 e, 
segundo a agência de estatística regional, a ocupação média dos domicílios 
gira em torno de 5 pessoas por habitação. A cidade já conta com um serviço 
de abastecimento de água, localizando-se o manancial na encosta de uma 
serra, em nível mais elevado do que o reservatório de distribuição de água 
na cidade. o diâmetro da linha adutora existente é de 150 mm, sendo os tubos 
de ferro fundido com bastante uso. O nível de água no ponto de captação 
flutua em torno de cota 812,0 msnmm (metros sobre o nível médio do mar); 
o nível de água médio no reservatório de distribuição é 776,00 msnmm; o 
comprimento da linha adutora é 4 240 m. 
Verificar se o volume de água aduzido diariamente pode ser considerado 
satisfatório para o abastecimento atual da cidade, admitindo-se o consumo 
individual médio como sendo de 200 litros por habitante por dia, aí incluídos 
todos os usos da cidade, mesmo aqueles não domésticos, e que nos dias de 
maior calor a demanda é cerca de 25% maior que a média. 
Solução: 
Para a rodo 
do distribuição 
Cálculo do consumo no dia de maior demanda: 
5 habitantes 
1 340 domicílios x x 
domicílio 
200e X 1,25 = 1 675 000. e/dia= 1 675m3/dia 
hab. x dia . 
·a vazão, dita instantânea, ou seja, na unidade de tempo de segundo é: 
156 e A L e u L o o E T u B u L A e õ E s s o B p R E s s À o 
1 675 000. €/dia = 19,4. e;s - 0,0194 m 3/s 
86 400 segundos/dia 
Usando os dados da adutora existente, calcula-se a carga total disponível; 
812 m - 776 m = 36m 
e a perda de carga unitária máxima possível: 
H 36m !=z:= 
4 240
m =0,0085-m/m 
e a velocidade necessária para fazer passar essa vazão pela seção do tubo 
seria: 
Q 0,0194m.3/s 
V= - = -'-----'--
A ;rxD2 /4 
0,0194m.3/s 
;rx0,1502 /4 
Aplicando a fórmula de Williams-Hazen: 
Como o tubo é considerado velho, adote-se C = 100 
l,0978m/s ~ 
Conhecidos D e J, são incógnitas v e Q porque só se conhecem as velocidades 
e vazões necessárias, mas não se sabe se a configuração implantada permite 
passar essa vazão. 
Escolhendo primeiro a formula de WH explicitada para Q: 
Q = 0,279 CD 2•63 J o,54, logo 
Q= 0,279X100 X 0,1502.63 X Õ~0085º·54= 0,014475 m 3/s =14,47 . .f./s, 
vazão insuficiente para as necessidades de 19,4 .f./s (cerca de 30% abaixo). 
Entretanto, pela quantidade de parâmetros "avaliados" e pela facilidade de 
medir a vazão em uma configuração como essa (basta fechar a saídà do 
reservatório vazio e medir o tempo para encher determinado volume), deve­
se proceder a uma avaliação de bom senso sobre o quê e quando fazer. 
Se fosse escolhida a fórmula explicitada para v: 
v = 0,355 CD o.63/ o.s4, logo 
v = 0,355 x 100 x 0,1502-63 x 0,0085º·54 = 0,81856 m/s, velocidade insuficiente, 
porque menor que a necessária (< 1,0978 m/s). Uma das soluções para 
aumentar a vazão seria a limpeza da tubulação, aumentando o valor de C. 
Exercício 8.4 - Para a adução de água da Represa do Guarapiranga para a 
Estação de Tratamento do Alto de Boa Vista, em São Paulo, foram construídas 
várias linhas paralelas, com tubos de ferro fundido com 1 m de diâmetro 
nominal e 5 900 m de comprimento em cada linha. Cada linha deve conduzir 
1 000 .f./s sob bombeamento. As cotas dos níveis de água na tomada e na 
chegada da ETA são aproximadamente iguais. 
Estimar as perdas de carga para as seguintes épocas: inicial, após 10, após 20 
e após 30 anos de funcionamento, admitindo que não haverá limpeza da 
tubulação. 
Solução: 
O problema é resolvido para uma linha, já que são todas iguais. São 
O MtTODO EMPIRICO E A MULTIPLICIDADE DE FÔRMULAS 157 
conhecidos os diâmetros e as vazões (logo a velocidade também). É incógnita 
a perda de carga, que será função do coeficiente de rugosidade. Pela Tab. 8.4 
resultam os coeficientes C ao longo dos anos, relacionados no quadro a seguir 
Pela fórmula explicitada para J: J = 10,643 QI.85 c-1,85 fl-4.87 ; 
para C = 130, vem que: J = 10,643 X 1,01·85 X 130-1,SS X l,0-4•87 = 0,0013069 m/m 
o que resulta em uma perda de carga total de 5 900 x 0,0013069 = 7, 71 m; 
para C! = 100 J = 10,643 x 1,01·85 x 100-1.ss x l,00-4·87 = 0,0021236 m/m 
e uma perda de carga total de 5.900 m x 0,0021236 m/m = 12,53 m; 
e assim por diante. A tabela a seguir mostra os resultados, e portanto a 
variação de altura manométrica que as bombas deverão vencer para que vazão 
não se altere ao longo desse período: · 
Idade Valor de C hr (m) 
Inicial 130 7,71 
10 anos 113 9,99 
20 anos 100 12,53 
30 anos 90 15,22 
O uso da Tab. 8.7 leva aos mesmos resultados, a partir de C = 100. 
8.2.11 -Fórmulas empíricas para encanamentos de pequeno diâme~ro 
A fórmula de Hazen-Williams tem sido preconizada para tubulações de 50 mm 
de diâmetro, ou maiores. 
Para canos de pequeno diâmetro (1/2 a 2 polegadas), Fair-Whipple-Hsiao (1930), 
após um grande número de experiências, conduzidas segundo a técnica mais 
avançada e sob um controle perfeito, propuseram fórmulas especiaiS do tipo da 
fórmula de Hazen-Williams, que têm sido aceitas e recomendadas como as mais 
satisfatórias. 
. Foram experimentados tubos de cobre, latão, metal admiralty, aço galvanizado, 
ferro galvanizado, aço e ferro I).U, tanto para água fria como para água quente. 
As investigações de Fair-Whipple-Hsiao tiveram grande oportunidade, bem 
como reconhecida utilidade, de levar a fórmulas seguras para o dimensionamento 
das pequenas canalizações, inclu~ndo as que conduzem água quente. 
O saudoso engenheiro Eduardo Eurico de Oliveira, no estudo que fez de um 
projeto de regulamento para as instalações domiciliares de abastecimento de água 
do Rio de Janeiro, já havia recomendado a fórmula de Fair-Whipple-Hsiao, tendo 
qualificado os trabalhos experimentais dos seus autores como a "melhor orientação 
prática". 
Para encanamentos de aço galvanizado e água fria, a fórmula é a seguinte: 
Ql.88 
J = 0 002021-- OU Q = 27,113 xJ0·532 X fl2.596 
' D4.se 
Para tubos de cobre ou latão e água fria, as fórmulas de Fair-Whipple-Hsiao 
158 CÁLCULO OE TUBULAÇÔES SOB PRESSÃO 
são: 
ou 
Ql.75 
f = 0,000874----;;7
5 
, 
D· 
Q = 55,934 v2.714 !°·571 
Ql.75 
e para água quente Q = 63,281 D 2·714 fl·571 ou J = 0,000704-
75 D"'· 
com Q (m3/s), D (m) eJ(m/m). 
A norma brasileira para instalações prediais recomenda as fórmulas de Fair­
Whipple-Hsiao nas seguintes formas: 
Para tubos hidraulicamente rugosos (aço carbono galvanizado ou não): 
J = 19,8 . 10s . Ql,88 . D-4.88 
Para tubos hidraulicamente lisos (plástico, cobre ou ligas de cobre): 
J = 8,63 . 106 . Ql.75. D-4.75 
sendo J em k.Pa/m, Q em e/se D em mm. 
Outra fórmula que também é usada para tubulações de pequeno diâmetro é a 
de Flamant (1892): 
, .. 
, .DJ, . V. 
: .. :1 ... : .'>.4~0' ;·· .··.·.· 
'.·::: .. L.~: .. :f::-.. ·.!? ....... . 
ou J = 4b. vl.75. D-1.2s com v(m/s),D (m) eJ(m/m) 
sendo: 
b = 0,00023 para canos de ferro ou de aço usados 
b = 0,000185 para canos de ferro e aço novos 
b = 0,000140 para canos de chumbo 
b = 0,000130 para canos de cobre 
b = 0,000120 para canos de plástico (PVC, etc.) 
A Tab. 8.8 é para b = 0,00023. Para outros materiais basta multiplicar J por (b/ 
0,00023). 
Tabela 8.8 - Fórmula de Flaniant (1892) 
Tubos de pequenos diâmetros - ferro e aço galvanizado 
19mm(3/4") 25 IIlIIl (1 ") 32 IIlIIl (1 1/ 4") 38mm (1 1/ 2 "') 
Q (1/s) v(m/s) f(m/m) v(m/s) f(m/m) v(m/s) J(m/m) v(m/s) /(m/m) 
0,02 0,071 0,0012 0,041 0,0003 0,025 0,0001 0,018 0,00005 
0,04 0,141 .0,0041 .0,081 0,0011 0,050 0,0003 0,0350,00015 
0,06 0,212 0,0084 0,122 0,0023 0,075 0,0007 0,053 0,00031 
0,08 .· 0,282 0,0139 0,163 0,0038 0,099 0,0012' 0,071 0,00052 
0,10 0,353 0,0206 0,204 0,0056 0,124 0,0017 0,088 0,00077 
0,12 0,423 0,0283 0,244 0~0077· .0;149 0,0024 0,106 0,00105 
0,14 0,494 0,0371 0,285 0,0101 0,174 0,0031 0,123 0,00138 
0,16 0,564 0,0469 . 0,326 0,0127 . 0,199 0,0039 .. 0,141 0,00174 
0,18 0,635 0,0576 0,367 0,0156 0,224 0,0048 0,159 0,00214 
O M€TODO EMPIR1CO E A MULTIPLICIDADE DE FÓRMULAS 159 
19 mm. (3/4") 25 mm(l") 32 mm (1 1/ 4 ") 38mm. (1 1/2 ") 1 
Q (J/s) v(m/s) J(m./m) v(m/s) J(m/m) v(m/s) J(m/m) v(m/s) J(m/m) 
0,20 0,705 0,0693 0,407 0,0188 0,249 0,0058 0,176 0,00257 
0,22'.' 0,7_76 0,0818 .. 0,448 0,0222. .. 0.274. 0,0069 0,194. 0,00304 
0,24 0,846 0,0953 0,489 0,0259 0,298 0,0080 0,212 0,00354 
. 0;26· .. 0,917 .0,1096 . .0,530:. .0;0299' 0;323 0,0092 0,229 . 0,00407 . 
0,28 0,988 0.1248 0,570 0,0339 0,348 0,0105 0,247 0,00464 
0;30 1,058 .0,1408 .0,611 0,0382 0,373 . . 0,0118 0,265 0,00523 
0,32 1,129 0,1577 0,652 0,0428 0,398 0,0133 0,282 0,00586 
0,34 .... . l,199 0,1753 . 0,693 .0;0476 .. 0,423: .0,0147 0;300 .. 0,0065'2· 
0,36 1,270 0,1938 0,733 0,0526 0,448 0,0163 0,317 ' 0,00720 
0,38 .. :1.340 ... · 0,2130 . .·0,774. 0,0578. .0,472.· 0,0179 0,335 . 0,00792 
0,40 1,411 0,2330 0,815 0,0633 0,497 0,0196 0,353 0,00866 
0,-42 .. l,481: :0,2538 .0,856:· . . 0,0689 . .. 0,522. ·. .0,0213 ... .0,370. 0,00943 
0,44 1,552 0,2753 0,896 0,0748 0,547 0,0231 0,388 0,01023 
o;41L. 1,622.~ .. ~0,29.76. _·_0,937. o;oao8 · .. .0,572 .· ·0;0250 0,406 .. o;oüo6 
0,48 1,693 0,3206 0,978 0,0871 0,597 0,0269 0,423 0,01191 
.o.5o __ .l.l63* ... 0,34':43 .. . 1,0,19"' . ·.0.093 .. 5 •. ·0,622 . ,0,0289 .. _0,441 . 0,01280 . 
0,55 1,940 0,4068 1,120 0,1105 0,684 0,0342 0,485 0,01512 
0,60::· ... 2,116,_; . 0.47.3.7_: .:.1,222 . 0;1286.: .0,746_' 0,0398 0,526' 0~01760 
0,65 2,293 0,5449 1,324 0,1480 0,808 0,0458 0,573 0,02025 
0,10· 2;459 0,6204. '1,426 o.1685 o;a10. 0.0522: 0,617 0,02306. 
0,75 2,645 0,7000 1,528 0,1901 0,933 0,0588 0,661 0,02601 
.o.ao: •.• 2;822: ,0,78~.7: 1,630. _Q;2128 0,995 0,0659. ,0,705 0,02913 
0,85 2,998 0,8714 1,732 0,2366 1,057 0,0733 0,749 0,03239 
. .0,90 .... '. .. 3,174 : . 0,9631 . ,1,8.33 .. .0,2615. . 1,119 0,0810 . 0,794 0,03579 
0,95 1,935 0,2875 1,181 0,0890 0,838 0,03934 
1,00. . . . 2,037"' 0,3145 . 1;243 0,0974, . . 0,882 . 0,04304 
1,10 2,241 0,3716 1,368 0,1150 0,970 0,05085 
1,20 .. 2,4:45 0,4327 ,1;492 ... · ,0,133.9 1,058 0,05921 
1,30 2,648 0,4978 1,616 0,1541 1,146 0,06812 
1,40. :2,852 ... _0,5!567 ·. ·.l,7'41. '0;1754 1,234 . 0,0_7755 
1,50 3,956 0,6394 1,865 0,1979 1,323 0,08750 
1,60 ... _ .. 1;9a9_. 0,2216 1,411 0,09797 
1,70 2,114 0,2464 1,499 0,10893 
1,80. .. 2,238. 0,2723' .1,587 .· 0,12039 
1,90 2,362 0,2994 1,675 0,13234 
2;00 ... . - ~- ... ' ....... . , __ ., ·- 2,487:"..: J),3275 1,763 0,14477 
2,10 2,611 0,3567 1,852 0,15767 
2,20: 2,735. 0,386.9_ 1,940 0,17104 
2,30 2,860 0,4182 2,028 0,18488 
2,40 ..•. ,2,984 0,4505 2,116 . 0,19917 .. 
2,50 3,108 0,4839 2,204 0,21392 
2,60 .. ·•. 2,293 0,22912 .. . . 
2,70 2,381 0,24476 
2,80 .. . .... 2,469 0,26.085. 
2,90 2,557 0,27737 
3,00'. 2,645* ' 0,29,432 
3,10 2,733 0,31171 
3,20 ..... 
. - . .. 2,822 0,32951' 
,_'. . . . , . . ..... 
3,30 2,910 0,34774 
3,'10 ' _2,998 .. 0,3!5!539 
,_ ... --- ... .. ...... ,,,, . .. . - .. .. , . •-' ..... , .. '"··· -
3,50 3,086 0,38546 
* Ll.mite: v """'< 14 W (D - m) 
CÁLCULO DE TUBULAÇÔES SOB PRESSÃO 
ENTÍFICO. A "FÓRMULA UNIVERSAL" 
tíficas referentes às relações físicas que regem o escoamento 
le meados do século XVIII, com Chezy e depois no século 
tch, conforme abordado no item 7. 7, resultando na fórmula 
~~~ijf~~ equação (7) 
sobre a fórmula 
que na fórmula [eq. 7), o coeficiente de atrito f não tem 
ão do número de Reynolds. Como L/D é uma relação entre 
dimensões lineares, ela também constitui um número 
,ção exprime o fato de a perda de carga em determinado 
ao produto de um número puro pela carga de velocidade 
:y-Weisbach é aplicável aos problemas de escoamento de 
'• óleos, gasolina, etc.) em encanamentos. Com restrições, 
questões que envolvem o movimento de fluidos aeriformes, 
bém pode ser apresentada em função da vazão Q(m3 /s), fazendo-
r (:11:D2)J2 
l 4 
em kgf/ m 2 (encanamento horizontal) seria: 
['j}}~~~~i~~t!ff [~filI~ff s 
:são inicial, em kgf/ m2 
:são final, em kgf/ m2 
> específico do fluido, em kgf/ m3 
atrito f 
equação (8) 
equação (9) 
rito f, sem dimensões, é função do número de Reynolds e 
. A espessura ou altura e das asperezas (rugosidade) dos 
~determinando-se valores para e/D. 
~scoamento de fluidos em canalizações, considera-se como 
equivalente, isto é, a rugosidade correspondente ao mesmo 
)ara asperezas constituídas por grãos de areia, tais como os 
iradse, com valores elevados do número de Reynolds (ver 8.3.6). 
O M~TODO CIEN1 
O número 
turbulento ou n 
Para os enc: 
para valores do 
a 4 000, o escoar 
Entre esses , 
O regime cc 
elevados do n'l 
intermediária, e 
ii 
8.3.3 - Naturez 
O fato de al1 
ainda, por resis 
interpretações 
imaginada come 
dois sólidos em 
Ao contrári1 
as paredes dos 
camada aderen1 
No regime 
deformação cor 
fluido responsá 
No caso do e 
descrição. As p 
posições numa~ 
fluida. A resistê 
forças relativas 
8.3.4 Camada l 
Quando um 
camada de flu: 
velocidade do f 
'L" 161 
(ime de escoamento em laminar, 
l regime laminar ocorre e é estável 
resa 2 000. Com valores superiores 
turbulento (ver item 7.2). 
1ominada zona crítica. 
é atingido com valores ainda mais 
do, portanto, uma segunda zona 
ição (Fig. 8.3). 
Os valores do coeficiente de 
atrito (f) são obtidos em função do 
número de Reynolds e da rugo­
sidade relativa, tendo-se em vista 
o regime de escoamento. 
FiguraB.3 
da de carga por perda por atrito, ou, 
menta ao escoamento, tem levado a 
l de carga não deve ser suposta ou 
;emelhante ao que se verifica quando 
e o outro. 
ocamente do fluido em cantata com 
, a essas paredes, estabelece-se uma 
iue se verifica é tão somente uma 
o a viscosidade ou atrito interno do 
menta é agitado, complexo e de difícil 
irregular ocupam as mais variadas 
inuamente, a mistura de toda a massa 
Lto é devida ao efeito combinado das 
luido. 
~ filme laminar 
rfície, observa-se a existência de uma 
cie, onde se verifica a variação de 
:i. camada foi concebida por Ludwig 
162 CÁLCULO DE TUBULACÕES soe PRESSÃO 
Prandtl (1904) e notada pela primeira vez por Hele-Shaw, tendo sido designada por 
camada limite. 
A Fig. 8.4 mostra o escoamento de um fluido ao longo de uma chapa. A partir 
da aresta inicial da chapa, constitui-se uma camada de escoamento laminar (camada 
limite) que vai aumentando em espessura até um ponto crítico. À medida que 
aumenta a espessura da camada limite, decresce a sua estabilidade, até um ponto 
T, de transição, onde se rompe o seu equilíbrio. 
Figw:aB.4 
A partir desse ponto crítico, a espessura da camada laminar se reduz a um 
valor õ, que se mantém aproximadamente constante (subcamada laminar ou filme 
laminar). No ponto T, tem início uma camada turbulenta, cuja espessura vai 
aumentando rapidamente. 
A espessura da camada limite pode ser definida como sendo a dimensão 
correspondente a 99% do seu limite assintótico. É nessa camada que se verifica a 
maior parte da deformação viscosa. 
No caso dos encanamentos, também prevalecem condições análogas à descrita. 
Se o escoamento na tubulação for laminar,· o fluido percorrerá uma distância 
relativamente grande, até que o perfil normal das velocidades seja atingido, isto 
porque é necessário'que a camada limite (mostrada na Fig. 8.4, de O a T) continue 
a se expandir até atingir as vizinhanças do eixo do tubo. 
Tratando-se de escoamento turbulento, o ponto crítico T ocorre a uma pequena 
distância da entrada; a partir desse ponto, a espessura da camada turbulenta 
Figw:aB.5 
~.~"=--=--==========~~J 
Laminar 
O MtTOOO CIENTIFICO. A "FORMULA UNIVERSAL" 163 
aumentatão rapidamente que o perfil normal de velocidade é obtido a uma 
distância relativamente curta (Fig. 8.5). 
Nota-se portanto que, no escoamento de fluidos em canalizações, existe sempre 
uma camada laminar, mesmo no caso de regimes turbulentos. A espessura dessa 
c3.Illada depende do número de Reynolds, sendo mais fina para os valores mais 
elevados de R.,. 
A camada laminar é de grande importância nas questões relativas à rugosidade 
dos tubos, assim como nos problemas referentes ao escoamento de calor. 
8.3.5 -Tubos lisos e tubos rugosos 
Na realidade, não existe uma superfície perfeitamente lisa; qualquer superfície 
examinada sob um bom microscópio mostra uma certa rugosidade. Entretanto, 
diz-se que uma superfície é aerodinamicamente lisa, quando as asperezas que 
caracterizam a sua rugosidade não se projetam além da camada laminar (Fig. 8.6) 
. Limite da 
~~~~~~~~~~~~~~~~~ .... ~camada 
(b) 
laminar 
Limite da 
---camada 
laminar 
--------------------- Figura.8.6 
Quando as superfícies são de tal forma rugosas que apresentam protuberâncias 
que ultrapassam o filme laminar e se projetam na zona turbulenta, elas provocam 
o aumento desta, resultando daí uma perda mais elevada para o escoamento. 
Se as rugosidades forem muito menores que a espessura da camada, não 
afetarão a resistência ao escoamento; todas as superfícies que apresentarem essas 
condições poderão ser consideradas igualmente lisas. É por isso que, na prática, 
tubos feitos com certos materiais, tais como vidro, chumbo e latão, podem 
apresentar as mesmas perdas de carga, perdas essas idênticas às que seriam obtidas 
no caso de superfícies lisas ideais. Conclui-se, também, que não há interesse em se 
fazer com que as superfícies internas dos tubos sejam mais lisas do que um certo 
limite. 
Define-se como rugosidade absoluta e a medida das saliências da parede do 
tubo, ou seja, se houver protuberâncias de 1 mm, essa é a rugosidade absoluta. A 
rugosidade relativa é a divisão da rugosidade absoluta pelo diâmetro do tubo: e/D. 
O problema prático que surge da aplicação desses conceitos é que a rugosidade 
absoluta nunca é única, sendo as saliências dos tubos de diversos tamanhos e 
distribuições, e esse número acaba sendo obtido por uma conta de trás para frente, 
onde se chega a um valor médio para a rugosidade absoluta, o que acaba tendo 
precisão científica só para as condições de medição. 
164 CÁLCULO DE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
8.3.6 - Experiências de Nikuradse 
Em 1933, J. Nikuradse divulgou, na Alemanha, os resultados de uma série de 
investigações que marcaram um passo decisivo na moderna mecânica dos fluidos. 
Utilizando tubos de três tamanhos diferentes, Nikuradse produziu nos mesmos 
uma rugosidade artificial, cimentando, na superfície.interna, grãos de areia de 
tamanho conhecido e, obtendo a mesma rugosidade relativa para os três tubos. 
Pôde, então, verificar que, para um determinado valor do número de Reynolds (Re ), 
o coeficiente de resistência (f) era idêntico para as três tubulações. As experiências 
foram repetidas para cinco valores da rugosidade relativa. Elas vieram provar que 
é válido o conceito de rugosidade relativa e que é correta a expressão 
para o tipo de rugosidade ensaiado. 
Experiências mais recentes conduzidas pelo Instituto Tecnológico de Illinois, 
com tubos de rugosidade artificial (roscas), vieram mostrar que f é também uma 
função da disposição, arranjo ou espaçamento das asperezas, assim como da sua 
forma. 
8.3. 7 - Regime laminar, Re < 2 000 
O escoamento é calmo, regular; os filetes, retilíneos. O perfil das velocidades 
tem a forma parabólica; a velocidade máxima no centro é igual a duas vezes a 
velocidade média (Fig. 8. 7). 
Para o escoamento laminar, aplica-se a equação conhecida como de Hagen­
Poiseuille. 
equaçiio (10) 
determinada, experimentalmente, por Hagen (1839) e, independentemente, por 
Poiseuille (1840). A sua dedução analítica foi feita posteriormente por Wiedermann, 
em 1856. 
Verifica-se que, para o escoamento laminar, a perda de carga é proporcional à 
primeira potência da velocidade. Substituindo-se na equação (10) o valor 
resulta: 
nD2 
Q=Av=--v 
4 
h _ 64vLv _ 64v Lv2 
1 
- 2gD2 - Dv D2g 
Comparando-se a expressão acima com a fórmula de Darcy-Weisbach (equação 
7), verifica-se que 
f 64v 
= Dv' equação (11) 
Observa-se que essa fórmula não envolve fatores empíricos ou coeficientes 
O M~TODO CIENTIFICO, A "FÓRMULA UNIVERSAL" 165 
experimentais de qualquer natureza; só inclui dados relativos às propriedades do 
fluido (viscosidade, peso específico). 
A equação ( 11) mostra, ainda, que a perda por atrito nesse caso é independente 
da rugosidade das paredes dos tubos. A experiência comprova esse fato. 
O regime laminar raramente ocorre na prática, exceção feita para o escoamento 
de certos fluidos bastante viscoso·s, tais como determinados óleos pesados, melaços 
e caldas, ou, então, para o caso de tubos capilares ou escoamento em meios porosos. 
O escoamento do sangue nos tecidos do organismo constitui um exemplo 
interessante. 
A eq. (10) também pode ser escrita: 
l = 32~ outra forma da fórmula de Poiseuille. pg·Dz 
8.3.8 - Regi.me turbulento 
O escoamento é agitado e o comportamento com tubos lisos é diverso daquele 
que se verifica com tubos rugosos. 
Em 193 O, Theodore Von Kármán estabeleceu uma fórmula teórica, relacionando 
os valores de f e de R,, para os tubos lisos 
"~\?iJ~~~,éf f l~~lít~i~il equação (l
2
) 
Essa equação é válida para os tubos lisos e para qualquer valor de R,,, 
compreendido entre o valor crítico e oo (/ = O). É teoricamente correta e os seus 
resultados têm sido comprovados experimentalmente. 
Para os tubos rugosos funcionando na zona de turbulência completa, Nikuradse 
encontrou 
166 CÁLCULO OE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
equação (13) 
Os valores de f obtidos para tubos rugosos são maiores do que os obtidos pela 
Eq. (12). 
Convém notar que a Equação (13) não inclui o número de Reynolds e que, 
portanto, para um certa canalização de determinado diâmetro D, o valor de f 
dependerá apenas da rugosidade. 
Para a região compreendida entre as condições precedentes, isto é, entre o caso 
de tubos lisos e a zona de turbulência completa, C. F. Colebrook propôs, em 1938, 
uma equação semi-empírica, ou seja, · 
~~l{flillt~~i]ii _,,,, 
Essa equação tende para a equação (12) dos tubos lisos quando "'e/3, 7D" torna­
se muito pequeno, assim como tende para a Eq. (13) quando se reduz o valor de 
"2,51/ Re ..ff ". 
Nessas condições, quando a espessura do filme laminar for grande, comparada 
à altura das projeções rugosas, a perda no encanamento será a mesma que resultaria 
se a canalização fosse muito lisa. 
R-
3 
~ 6L.J-L-~4Jlill-1~~~[131tfl'=f.'1=-=t=f.=f=f,&!/1=1='=/=,f=/:# 
"'"'-.. ,.... l 
2 4 6 8 1()> 2 . 4 '6 8 1o' 2· 4 6 8 1o" 
FNT-
Figw:a 8.8-Diagr= de Rouse 
o 
1 Escoamento 1~1 Escoamentolutbulen!lo------------------1 
laminar etílica 
;::: 
"' --l 
o 
0,080 o 
o 
0,060 
0,05 
1 
n 
-
0,04 ,.., 
:z 
0,03 --l 
0,050 0.02 n 
\ 
" ~ 
o 
0,016 
0,040 
\ ' ~ N Tl!bos_ iugosõs 
\ ~ .!. 1 1 1 1 1 1111 
Jr - > 
0,010 
1 =\\ 
....__ 
'· ' ' 
""'"' - !';;;: 
0,030 
\111 ~ ........ """' pi ~ \'? ""'- ..... " lO m \<; ";:;::: r---- '1-J 1 ::n 
\~ t:J ~· ":::::i::: t' 1 1 1 ... \ll I> a ~. ""- f:::::-:::::::: i--ranslfã.01 111' 
1 m 0,020 
~ 
~ ~ 
a. ·" -...... -(1) 0,018 \"" _, -et "'<:- ~ 
~ T T, 
i:l. ::lo 0.016 1 t "' '11 o 
f "" 0,014 
, ..... r--
;:-. 
r-.... F::::+ 1 n1m ' , 
~ 0,012 
. . ,. : · 1 ' ' l::::bUJ lill f'' 1 - , •• 
0,010 ; - oiâgr8-r1la : . h 
0,008 "" ó 
o,ooe "' :o ;::: 
0,004. e: e 
co .--
[ > 
0,002 e:: 
~ :z 
-ID < 0,001 
~ rn 0,0008 
"' 0,0006 "' "' :::t. 
~ 
,. 
0,0004 .--
~ 
0,0002 o 
0,0001 
0,00005 
0,009 
(• 
..::., · I ~ 
:-· 
Ir"'~ ---0,008 
0,007 ~0s11~ 
1 1 1 li li 1 1111r--......08 li--
0,00001 
0,000005 
1 1 1 1111 1 li li 1 "( 1 1 o,ooe 
0,005-, 
e a 10' 2 4 6 e10• 2 4 8 810' 2 4 e e 10• 2 4 6 8 10' 2 4 6 8 101Nllmero de Reynolds Ro .... 
~ 
.... 
O'I 
00 
Problemn 
Dados Incógnitas 1° Passo 2º Passo 3° Pnsso 4° Passo 5° Passo tipo 
D,Q h1• V Calcular Calculnr Determinar Com vnlores de Calcular 
v=Q R = vD 
Re e de e/D, encon- f Lv2 
e 
trar f no diagrama h,=--- D2g A e U D (Moody) (Darcy) 
II D,h, v,Q Calcular Determinar Com os valores de Calcular Calcular 
--- D Re.fÍ e de D Q=AV 
R .[! = /2ghrD
3 - V=~h1D2g e e 
e ' Lu2 encontrar f no dia- f L 
grama (Rouse) 
III h,,Q D,v Assumfrum Com f 1 calcular Calcular Determinar Comesses 
primeiro. valor 
D =s /!8LQ2 R =__i_CL e 
valores, encontrnr 
de f: f1 no diagrama um o 
1 1 - ., • 7r D1u D, ,,.. 
novo valor ,... 
para/: f 2 
o 
e 
IV hp V D,Q Assumir um Com f 1 calcular Calcular Determinar repetir as 
,... 
o 
primeiro valor 
fLv 2 R = vD1 
e operações até o 
para/ :f1 
-
quefn+I =fn D--- e U D, 1 
- 11,2g (Moody) 1 
-i 
e 
w 
e 
' 
1 
> 
V V, Q D,h1 Calcular Conhecido D, <> 
o problema 
o 
A=Q 
- - - ,., 
recai no tipo 1 
(/1 
V 
"' o 
w 
VI v,D h1,Q Calcular Conhecido Q, 
1 
.,, 
"' Q=Av o problema - - - ,., 
VI 
recai no tipo I "' ,,., 
o 
O MtTODO CIENTIFICO, A "FÔRMULA UNIVERSAL" 169 
8.3.9 - Diagramas de Stanton, Rouse e Moody 
A equação de Colebrook pode ser convenientemente representada num 
diagrama, tomando-se, nos eixos, valores de f (ou de l/..[J e Re ..fJ) e os valores de 
D/e aparecem como uma família de curvas [Harpa de Nikuradse (Fig. 8.3)). 
Diagramas desse tipo foram publicados por Hunter Rouse e L. F. Moody. Outro 
diagrama semelhante foi originalmente divulgado por Stanton. 
Na Fig. 8.8, encontra-se o diagrama de Rouse, e na Fig. 8.9 o de Moody, de grande 
utilidade na solução geral dos problemas de escoamento em tubos. 
Ao final deste capítulo (item 8.4), está apresentada a Tab. 8.14 (b), com o 
resultado dos cálculos pela f6rmula Universal (Colebrook), para os diâmetros 
comerciais e velocidade usuais e para diferentes valores de rugosidade absoluta e. 
8.3.10 - Problemas tipo: sua solução com o emprego dos diagramas de Rouse e 
Moody 
O Quadro 8.6 auxilia o encaminhamento dos vários tipos de problemas. Con­
sideram-se como conhecidos os dados complementares relativos à natureza e 
condições do fluido que permitam conhecer a sua viscosidade (u), bem como as 
características da tubulação: comprimento (L), material, estado e aspereza (e). 
Exercício 8.5 - (Problema-tipo I); 
Uma tubulação de aço rebitado, com 0,30 m de diâmetro e 300 m de 
comprimento, conduz 130 e;s de água a 15,SºC. A rugosidade do tubo é 0,003 m. 
Determinar a velocidade média e a perda de carga. 
Solução: 
A viscosidade cinemática da água a 15,5ºC = 0,000001132m2/s (Tab. 8.10) 
Q 0,130 . 
v = - = ---= 1,84m/s 
A 0,0707 
R = vD = 1.B4 x0, 30 :::490 000=4 9><10s 
" V 0,000001132 ' 
e 0,003 01 d' -=·--=O, , e pelo iagrama: r- 0,038 (Moody) 
D 0,3 
h _ Lv2 
_ 0,038x300xl.842 
r -f D2g - 0,30x2x9,8 
Exercício 8.6 - (Problema-tipo II) 
hr =6,55m 
Dois reservat6rios estão ligados por uma canalização de ferro fundido 
(e= 0,000260 m) com 0,15 m de diâmetro e 360 m de extensão. Determinar a 
velocidade e a vazão no momento em que a diferença de nível entre os dois 
reservatórios igualar-se a 9,3 O m. Admitir a temperatura da água como sendo 
de 26,SºC. 
Solução: 
Pela Tabela 8.10, tira-se a viscosidade u da água a essa temperatura: 
u = 0,000000866 m2/s 
170 CÁLCULO OE TUBULACÕES SOB PRESSÃO 
ri 2gh,D3 
então: Rc'\fJ = 2 = 
Lv 
2x 9,8 x9,3 x 0,153 
3 60 X 0, 0000008662 
e D 0,15 :::SSO 
e 0,000260 
pelo diagrama: f = 0,023 (Rouse) 
v =~h,D2g = 9,30x0,15x2x9,8 
fL 0,023x360 
Q = Av = O,Ol 777x 1,80 = 0,03 lm.3 /s 
Exercício 8.7 - (Problema-tipo III) 
v=l.,80m/s 
Determinar o diâmetro necessário para que um encanamento de aço (e = 
0,000046 m) conduza 19 t/s de querosene a lOºC (\l = 0,00000278 m 2/s), com 
uma perda de carga que não exceda 6 m em 1 200 m de extensão. Calcular 
velocidade e perda de carga para o diâmetro adotado. 
Solução: 
Assumindo f 1 = 0,03, 
s s ~--------
Í8LQ2 = o,o3x8xl 2ooxo,orn2 
h17?-g 6 X 7r2 
X 9,8 
D1 =0,179m 
R = 4Q = 4X0,019 
ci nD1v 7rX0,179x0,00000278 
R01 ::: 48 600 = 4,9 ·104 
..!.... = O,OOOD46 - o 000257 e, pelo diagrama: f = 0,022 (Moody) 
D, 0,179 ' 2 
D,= 0,022x8xl.200x0,0192 = O,lGSm 
6x~x9,8 
R = 4 xo,o19 -52.000=52·10'1 
c
2 :n; X 0,168 X 0,00000278 , 
..!....= o,oooo45 .. o,00027 e, pelo diagrama: f
3 
= 0,022 (Moody) 
D2 0,168 
Portanto o diâmetro 0,168 m seria suficiente. Entretanto o diâmetro comercial 
mais próximo é 0,20 m, este será o adotado. A velocidade resultará, então, 
v = O,Ol9 =0,605m/s e hf=2,58m 
0,0314 
O M~TODO CIENTIFICO, A •FÓRMULA UNIVERSAL• 171 
Exercício 8.8 - (Problema-tipo IV) 
Uma canalização nova de aço com 150 m de comprimento transporta gasolina 
a lOºC (u = 0,000000710 m 2/s) de um tanque para outro, com uma velocidade 
média de 1,44 m/s. A rugosidade dos tubos pode ser admitida igual a 0,000061 
m. Determinar o diâmetro e a vazão da linha, conhecida a diferença de nível 
entre os dois depósitos, que é de 1,86 m. 
Solução: 
Admitindo inicialmente 
f =O 02S=D =ÍLv
2 
= 0,025xl50xl.,44
2
'=0 2 1'4 m 
1 
' 
1 hr2g 1.,86x2x9,8 ' 
. R _ vD1 _ l,44X0,214 35 OOO os 
e. el - V - 0,QQQQQQ71Q 4 =4•4 xl • 
e· 0,000061 . 
D, = 
0
,
214 
=:0,000285 e, pelo diagrama: f 2 = 0,017-(Moody) 
D :::: 0,017x150xl,44
2 
0 145m eR = v.D2 :::: l,44x0,145 =2 SxlOs 
2 1,86x2x9,8 , e
2 
'U 0,000000710 ' 
e O 000061 . 
-= ' =:0,00042 e, pelo diagrama: 
D2 0,145 
f 3 = 0,018 (Moody) 
D _ O,OlSxlSOxl,442 
3 
- l,86x2x9,8 
0,153m. 
ou seja, muito próximo do diâmetro comercial de 150 mm, resultado que 
será aceito. 
A vazão será: 
Q =Av = 0,0177 x 1,44 = 0,0255 m 3 /s = 25,5 t/s 
8.3.11 - Observações sobre o emprego da fórmula Universal 
O emprego da fórmula Universal tem-se ampliado, embora ainda não exista 
um conhecimento satisfatório a respeito da variação dos valores dos coeficientes 
de rugosidade (e). Muitos engenheiros não se sentem seguros, principal.mente 
quando consideram o caso de tubulações sujeitas à tuberculização ou a incrustações 
internas. 
A maioria dos dados divulgados sobre esses coeficientes corresponde a tubos 
novos ou a canalizações não sujeitas ao fenômeno do "envelhecimento", e por isso 
muitos técnicos têm sido levados a cometer enganos na avaliação do comportamento 
hidráulico de tubulações. 
As Tabs. 8.9 e 8.11 que se apresentam a seguir revelam a grande variabilidade 
de valores para o coeficiente e, mostrando ao mesmo tempo os valores sugeridos. 
Na prática, essas incertezas sobre as temperaturas a adotar e as rugosidades 
reais a encontrar anulam em grande parte as vantagens teóricas do uso das fórmulas 
"cien1íficas" sobre as empíricas, pois a ordem de grandeza das imprecisões remetem 
ambos os métodos a uma mesma faixa de soluções. · 
172 CÁLCULO DE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
A norma NBR12 215 (NB 591) da ABNT (Associação Brasileira de Normas 
Técnicas) prefere o uso da fórmula "Universal" para o cálculo de adutoras em 
sistemas de distribuição de água. Esse é um assunto que transcende os objetivos 
de uma normalização técnica e que deve ficar a critério do projetista, uma vez que 
a metodologia de trabalho e de cálculo é da alçada do engenheiro autor do projeto 
e, como visto anteriormente, na prática as imprecisões do uso de fórmulas empíricas 
não alteram a ordem de grandeza em relação às imprecisões dos parâmetros a adotar 
na fórmula Universal; e o uso das fórmulas empíricas é mais ágil. 
Tabela 8.9 - Rugosidade dos tubos (valores de e em metros)" 
(ver também a Tab. 8.11) 
Material Tubos novos 
Aço galvanizado 0.00015 a 0,00020 
Aço rebitado 0,0010 a 0,0030 
Aço revestido 0,0004 
Aço soldado 0,00004 a 0,00006 
Chumbo lisos 
Cimento-amianto 0,000025 
Cobre ou latão lisos 
Concreto bem acabado 0,0003 a 0,0010 
Concreto ordinário 0,0010 a 0,0020 
Ferro forjado 0,0004 a 0,0006 
Ferro fundido 0,00025 a o,oooso-· 
Ferro fundido com revestimento asfáltico 
Madeira em aduelas 
Manilhascerfunicas 
Vidro 
Plástico 
"Par.a os tubos lisos, o valor de e é O, 00001 ou menos 
""Dados iD.clicados por R. W. Powell 
"""Correspondem aos maiores valores de D/e 
0,00012 
0,0002 a 0,0010 
0,0006 
lisos••• 
lisos 
Tabela 8.10-Viscosidade cinemática da água (u) 
Tubos velhos** 
0,0046 
0,0060 
0,0005 a 0,0012 
0,0024 
lisos 
lisos 
0,0024 
0,0030 a 0,0050 
0,0021 
0,0030 
lisos**" 
lisos 
Temperatura Viscosidade cinemática Temperatura Viscosidade cinemática 
ºC m 2 /s ºC m 2 /s 
.o 0,000001792 20 0,000001007 
2 0.000001673 22 0,000000960 
4 0,000001567 24 0,000000917 
6 0,000001473 26 0,000000876 
8 0,000001386 28 0,000000839 
10 0,000001308 30 0,000000804 
12 0,000001237 32 0,000000772 
14 0,000001172 34 0,000000741 
16 0.000001112 36 0,000000713 
18 0,000001059 38 0,000000687 
Veja também a Quadro 1.12 
Tabeln 8.11 - Coeficientes de rugosidnde "e " em mm pnrn a fórmula Universal 
Valores recomendados para projeto (pesquisa da litera~ra internacional). Tu]Jos em serviço (J. M. Azevedo Netto) 
Autores Tuljos de aço Tubos Tubos de forro Tubos Ferro Tubos lisos PVC Tubos 
com de fundido e ferro dúctil de galvanizado chumbo, cerâmicos 
revestimento concreto Sem Com cimento- cobre, 
especial revestimento revestimento amianto latão etc. 
ou esmalte especial especial 
•Câmara Sindical Nacional 
(SCNHP) França 0,1 - - 0,1 - - - - -
• Dégremont, M. Technlque 
de léau (1978) 0,1 0,2 a 0,5 0,2 0,1 0,1 - o.oi 0,03 a 0,1 1,0 
• Lamont, Peter, IWSA, 3°. 
Cong. (1955) 0,06 0,25 a 0,50 0,25 0,125 0,025 0,125 - - -
•Manual ofBrltlsh Water 
Engineerlng Practlce, 
IWE,(1961) 0,125 0,04 - 0,125 0,03 - - - -
• Chemical Engineers 
Handbook,R.H.Perry, 
4ª. Ed., (1963) 0,05 º·~ 0,26 - - 0,15 - - -
•Interna] Flow, British 
Hydromechanlcs Research 
Assoc!atlon 0,025 a0,50 0,1 - - - - - - -
• Pipplng Hendbook, King 
e Crocker (1967) 0,05 - - 0,12 - - - - -
• Falr, Geyer e Okun (1966) 0,03 a0,09 0,3 a 3,0 0,06a0,12 - - 0,06 a 0,24 <0,03 - -
• R. W. Powell (citado Azevedo 
Netto) (1951) 0,5a 1,2 0,3a1,0 2,1 - - - - - 3,0 
• Hydraulic Instltute (1979) 0,05 - 0,14 - - 0,17 - - -
•A. Lencastre 0,06 a 0,15 0,06 a 0,5 - - - - - - -
• Linsley & Franzlnl (1978) - 0,3 a 3,0 0,26 0,12 - 0,15 - 0,02 -
• PNB 591 (1977) O,OBa0,12 0,08a0,66 - 0,14 a 0,20 0,14110,20 - - 0,08110,12 -
•Azevedo Netto 0,125 0,30 0,25 0,125 0,05 0,15 0,02 0,10 1,5 
Obs.: A experiência francesa recomenda a adoçiio de e= 0,1 mm para tubos e pa1·11 tubos niio sujeitos A c01-rosão e incrustação e e -2 mm para 
tubos sujeitos 11 esse fenômenos de deterioração. 
o 
:s: ,.,_ 
.... 
o 
o 
o 
(") 
"' z 
-< 
o 
o 
,. 
.,, 
o 
"' :s: 
e: .... ,. 
e 
z 
< 
'" "' ti) ,. 
..... 
~ 
174 CÁLCULO DE TUBULACÔES SOB PRESSÃO 
Tabela 8.12 - Viscosidade cinemática de alguns fluidos ("O) 
Peso Viscosidade 
F1uido Temperatura específico cinemática 
ºC kg"* ;ms m 2 /s 
5 737 0,000000757 
10 733 0,000000710 
Gasolina 15 728 0,000000681 
20 725 0,000000648 
25 720 0,000000621 
30 716 0,000000596 
5 865 0,00000598 
10 861 0,00000516 
Óleo 15 858 0,00000448 
combustível 20 855 0,00000394 
25 852 0,00000352 
30 849 O,OOOOOS13 
5 1,266 0,0000137 
10 1,244 0,0000141 
Ar 15 1,222 0,0000146 
(Pressão atm.osférica) 20 1,201 0,0000151 
25 1,181 0,0000155 
30 1,162 0,0000160 
8.3.12- Envelhecimento dos tubos 
As tubulações, especialmente as de ferro e as de aço, estão sujeitas ao fenômeno 
do envelhecimento. Em geral, após algum tempo, os tubos vão se tornando mais 
rugosos em conseqüência de efeitos da corrosão ou da incrustração nas paredes 
internas. 
Para levar em conta o aumento da rugosidade com o tempo, Colebrook e White 
estabeleceram uma relação linear que pode ser expressa por 
e= e0 +a· t , 
onde: en = altura das rugosidades nos tubos novos (m); 
e =altura das rugosidades nos tubos após t anos (m); 
t = tempo, em anos; 
a =taxa de crescimento das asperezas, em m/ano. 
Tratando-se de canalizações de água, a taxa de crescimento a. depende 
consideravelmente da qualidade da água e, portanto, varia com as condições locais. 
Para algumas partes dos Estados Unidos foram determinados valores para a.. 
De acordo com as investigações feitas, os valores variam de 0,0006 a 0,00006 m/ 
ano para a região dos Grandes Lagos e Bacia do Mississipi e de 0,0004 a 0,002 m/ 
ano para a parte leste dos EUA. 
Segundo a experiência inglesa, na falta de dados experimentais seguros, o 
envelhecimento dos tubos de ferro fundido pode ser estimado para as condições 
médias, aplicando-se a seguinte expressão: 
2 log a.= 6,6 -pH , onde o coeficiente a é dado em mm/ano. 
O M~TODO CIENTIFICO, A "FÓRMULA UNIVERSAL" 175 
Essa expressão evidencia a importância do pH da água no fenômeno da 
corrosão. 
Tabela 8.13 -pH da água x ex: (m.m/ano) 
5,5 0,00305 
6,0 0,00203 
6,5 0,00113 
7,0 0,00063 
7,5 0,00038 
8,0 0,00020 
8,5 0,00011 
9,0 0,00006 
Também é justo considerar variações em função do tipo de aço ou de ferro 
fundido considerado. Por outro lado, os fenômenos de corrosão relacionados com 
a diferença de eletronegatividade dos terrenos cruzados pela tubulação, correntes 
elétricas parasitas, etc., normalmente combatidos pela proteção externa do tubo e 
pela proteção catódica, não apresentam relação direta com o aumento da rugosidade 
das tubulações. 
Outros critérios existem e são igualmente válidos, como os de Langelier, 
entretanto nenhum superará o estudo real das características da água, a observação 
de situações correlatas na região em estudo e o acompanhamento da tubulação em 
questão ao longo dos anos. 
8.3.13 - Condições de entrada nas canalizações 
As fórmulas apresentadas para o escoamento em regime laminar (eq.11) e em 
regime turbulento (eq.13) e (eq.14) não são válidas para a parte inicial dos 
encanamentos. No caso de regime laminar, por exemplo, em um encanamento que 
parta de um reservatório, se a entrada na canalização for bem feita, de modo a 
evitar contrações, todas as partículas do fluido tenderão inicialmente a escoar com 
a mesma velocidade, exceto aquelas de uma camada muito fina, junto às paredes. 
Nesse primeiro instante, o perfil das velocidades é uma reta e a energia cinética é 
dada por v2/2g. 
À medida que o escoamento vai se processando ao longo da tubulação, as 
partículas mais próximas das paredes vão sendo retardadas, enquanto que as mais 
centrais vão tendo o seu movimento acelerado até que seja atingido o perfil de 
equilíbrio (parábola), como se vê na Fig. 8.5. 
A distância necessária para se atingir na prática as condições de equilíbrio pode 
ser estimada pela relação: 
x = 0,58 R,P e geralmente supera 50 diâmetros. 
A perda suplementar nesse trecho é, aproxima.damente, igual a [l,16 · v2 /2g] 
No caso do escoamento turbulento, o equilíbrio se estabelece a uma distância 
muito menor, a cerca de 10 a 30 diâmetros da entrada no encanamento: 
X= 0,8 Rc º·25D 
176 CÁLCULO DE TUBULACÔES SOB PRESSÃO 
8.3.14 - Escoamento de líquidos muito viscosos 
É importante determinar o número de Reynolds para verificar o regime de 
escoamento (laminar ou turbulento). 
Dv 
O número de Reynolds é dado por: Rc = -
1) 
onde Re = diâmetro da canalização (m); 
v"" a velocidade média do fluido (m/s); 
u =viscosidade cinemática (m2/s) 
Na Tab.8.12 encontram-se valores da viscosidade cinemática para diversos 
fluidos e diferentes temperaturas. Deve-se atentar para o caso de escoámento de 
fluido não-newtoniano, quando a teoria desenvolvida neste capítulo não se aplica. 
Ver item 1.4.5 e, para maiores detalhes, consultar bibliografia (Daugherty and 
Franzini, etc.) 
Exercício 8.9 (escoamento laminar) 
Calcular a perda de carga devida ao escoamento de 22,5 e;s de óleo pesado 
(934 kg*/ m3), com um coeficiente de viscosidade cinemática de 0,0001756 
m 2/s, através de uma canalização nova de aço de 150 mm de diâmetro nomi­
nal e 6 100 m de extensão. 
V= Q = 0,0225 =1.27m/s· 
A 0,0177 ' 
R = Dv O,lSOxl,27= 1085 
0 
V 0,0001756 
Portanto o regime de escoamento é laminar, podendo ser aplicada a equação 
(10). 
h, = 128vLQ= 128x0,0001756x6100x0,0225 lSSm de coluna de óleo 
1'D4 g ~xo,1so• x9,8 
ou 
198 X 934:;: 185 000kgf/m2 
Exercício 8.10- (escoamento de ar): Um duto de aço de 150 mm de diâmetro 
nominal e 30 m de extensão será utilizado para fornecer 275 e;s de ar à pressão 
atmosférica e a 15 ªC. Calcular a perda de pressão. 
Q 0,275 
v=-= 15,5m/s; 
A 0,01767 
R = Dv = 0,15xl5,5 _l,SxlOs 
• V 0,0000146 
e"" 0,000046m 
D = o, 15 3 250, e pelo diagrama: f = 0,019 , então: 
e 0,000046 
h = fLv
2 = 0,019x30x15,5
2 =47m 
r D2g 0,15xl9,6 
(47 metros de coluna de ar ou pouco menos de 6 centímetros de coluna de 
água). 
O METODO CIENTÍFICO. A "FÓRMULA UNIVERSAL" 177 
8.3.15 -Escoamento de gases 
O peso específico dos gases varia diretamente com a pressão a que estão 
submetidos, e inversamente com a temperatura absoluta, de acordo com a equação 
dos gases perfeitos: 
r =_..E_ onde 
RT' 
"(=peso específico, em (kgf/m3) 
p "'pressão, em (kgf/m2) 
T =temperatura absoluta, (t + 273º) 
R = constante do gás 
O escoamento de gases praticamente sempre é acompanhado de variação de 
pressão e, conseqüentemente, de alteração do peso específico. Para os gases, a 
equação da continuidade deve ser escrita em termos de peso ou massa: 
'Y1 ·A1 · vl ='Yz ·A2 • V2 
Constata-se portanto que, se em um conduto de seção circular com diâmetro 
uniforme e sob temperatura constante a pressão absoluta cair para a metade do 
valor inicial, o peso específico do gás também será reduzido a 50% e, conse­
qüentemente, a velocidade deverá elevar-se ao dobro. 
Sempre que a variação de pressão de um ponto para outro não for elevada, a 
alteração de peso específico será pequena, podendo-se aplicar as expressões gerais 
de resistência, estabelecidas para o escoamento de fluidos incompressíveis. 
Esse é um caso que freqüentemente se verifica em canalizações curtas ou em 
condutas de baixa velocidade, onde 
p 2 )0,90 
P1 
Com maior rigor podéria ser limitada a variação de pressão a apenas 4% (p 2 = 
0,96 p 1), o que traria um erro da ordem de 2% nos resultados. Em tais condições, a 
linha de carga é admiti.da como sendo retilínea (Fig. 8.10), sendo aplicáv~l a fórmula 
Universal do escoamento de fluidos incompressíveis. 
Distãncia ao longo da tubulação - L ..._ ________________________________________ .. 
FiguraS.lO 
Os problemas nesse caso são resolvidos de maneira idêntica à que se adota 
para as questões relativas ao escoamento de líquidos, podendo-se admitir o peso 
específico constante e, se for desejada maior precisão, levar em conta o seu valor 
médio. O valor de h 1 será dado em metros de coluna de um líquido imaginário, de 
178 CÁLCULO DE TUBULAÇÔES SOB PRESSÃO 
peso específico idêntico ao do gás. A rugosidade relativa será a mesma indicada 
para o movimento dos líquidos nas tubulações, mantendo-se praticamente 
constantes os valores de Rc e def. Os diagramas de Rouse·e de Moody aplicam-se 
tanto aos fluidos compressíveis como aos incompressíveis. 
Se, ao contrário do que vem sendo admitido, a queda de pressão for acentuada, 
as expressões da Hidráulica não' poderão mais ser aplicadas, exigindo o problema 
um tratamento mais complexo. Nesse caso, a linha de carga será representada por 
uma curva (Fig. 8.11). 
Tal é o caso das tubulações em que a perda de carga (p 1 - p 2 ) representa uma 
porção importante da pressão inicial p 1, o que geralmente ocorre nos condutos 
longos e nas canalizações com pressões e velocidades elevadas. · 
Para a solução desse problema, a tubulação em questão poderia ser subdividida 
em trechos, para efeito de cálculos, trechos estes para os quais pudesse ser aplicado 
o critério precedente. Isso corresponderia à substituição da éurva representativa 
da linha de carga por inúmeros trechos retos. Em cada um desses trechos, seria 
admissível adotar valores médios para o peso específico e para a velocidade média 
de escoamento. Esse método de cálculo, contudo, além de ser aproximado, poderá 
se tornar bastante trabalhoso no caso de tubulações de grande extensão. 
Figura 8.1.1 
o. 
1 
~ 
cn 
cn 
!!! 
e.. 
Distância ao longo da tubulação - L 
O estudo geral do escoamento de gases, sob o ponto de vista teórico, abrange 
dois casos extremos: 
a) Escoamento isotérmico. Tubulações não-protegidas termicamente, onde 
prevalece a temperatura ambiente, considerada uniforme. 
b) EscoameD.to adiabático. Tubulações perfeitamente protegidas, onde não 
ocorrem trocas de calor. 
Na prática, o escoamento de gases aproxima-se mais das condições isotérmicas, 
uma vez que as tubulações metálicas são instaladas sem proteção especial. 
Admitindo-se, portanto, a expansão isotérmica, pode-se deduzir a expressão 
seguinte( .. ). 
• Ralph W. Powell - An Elementary Text in Hydraulics and Fluid Mechanics. The Macmillan Co. New 
York.pp. 166-167. 
O MÊTODO CIENTiFICO, A "FÓRMULA UNIVERSAL" 
Essa expressão difere da anterior apenas pelo fator ~ 
P1 +pz 
179 
A partir dela podem-se verificar as diferenças que resultariam da aplicação da 
primeira expressão aos problemas em consideração 
Para P2 = o. 96p,. => 
2
P 1 = 1,02 (erro de 2%) 
p, +0,96p, 
e para: P2 = 0,90p,. 
2p, 
1,05 (erro de 5%) 
Deve-se observar que, para a gama de pressões correntes a que estão submetidos 
os gases, o coeficiente de viscosidade absoluta é praticamente constante. Como a 
velocidade varia inversamente com o peso específico, o número de Reynolds 
permanece constante ao longo das tubulações e, consequentemente, o coeficiente 
de atrito f mantém-se com igual valor ao longo dos condutos. A viscosidade 
cinemática varia inversamente com as pressões. 
O escoamento em condições adiabáticas ocorre, na prática, somente nos casos 
em que se torna conveniente o isolamento térmico das tubulações. Os casos mais 
comuns são os dos condutes de vapor de água e de fluidos refrigerantes, como, por 
exemplo, a amônia. 
Como na maioria dos casos correntes os encanamentos são relativamente 
curtos, as perdas de pressão são reduzidas, podendo-se mais uma vez aplicar as 
expressões já mencionadas. Todavia há casos em que esse tratamento simplificado 
do problema não pode ser admitido. Uma análise simples, porém bem feita, das 
condições de escoamento em tais casos, encontra-se na Mecânica dos Fluidos, de R. 
C. Binder, Prentice Hall Inc. New York, 1947, pp. 189-197. 
A rigor, o escoamento de um gás pode não ser adiabático e nem realmente 
isotérmico. Para que as condições fossem isotérmicas, seria necessário que as trocas 
de calor se fizessem com uma determinada velocidade e de acordo com uma lei 
preestabelecida. As condições da prática aproximam-se mais do escoamento 
isotérmico, quando a temperatura ambiente excede a temperatura do fluido. 
Assim como existem para as questões de escoamento da água fórmulas práticas 
simplificadas, para os condutas de gás foram propostas e têm sido aplicadas diversas 
expressões. Incluem-se entre essas a fórmula de Biel, 
O 0637v0
•
184 
f = ' , onde Q está em (m3/s), 
Ql,12S 
assim como a fórmula de Aubery (para escoamento de gás de iluminação, em 
canalizações de ferro fundido), 
1625Q1.85 
h, = n~:;2 
ondeh1 é dado em mm de água/km: Q, em m 3/h; e D, em cm. 
A Comgás de São Paulo adota a fórmula de Dr. Pole para os cálculos relativos às 
canalizações de baixa pressão da rede de distribuição: 
180 CALCULO DE TUBULAÇÔES SOB PRESSÃO 
Q = 0,6659~ r::t 
Q =vazão de gás, em (m3 /hora); d =densidade do gás em relação ao ar; 
D =diâmetro da canalização, em (cm) L = extensão da canalização, em (m). 
H = perda de carga, em (mca) 
8.4-TABELAS PARA AS FÓRMULAS DE BAZEN-WILLIAMS E UNIVER­
SAL (COLEBROOK) 
A Tabela 8.14a apresenta o resultado dos cálculos pela fórmula de Hazen-Will­
ia.ms para os diâmetros comerciais e velocidades usuais e para diferentes valores 
do coeficiente "C". 
A Tabela 8.14b apresenta o resultado dos cálculos pela fórmula Universal 
(Colebrook) para os mesmos diâmetros comerciais e mesmas velocidades usuais e 
para diferentes valores de e (rugosidade absoluta). Optou-se porcalcular a tabela à 
temperatura de 4ºC (densidade e viscosidade máximas da água), porque assim 
estaremos a favor da segurança quanto à capacidade dos tubos, além do que, mesmo 
em países tropicais, há dias ou noites em que é justo esperar temperaturas dessa 
ordem para a água. 
Apresentadas lado a lado, as tabelas proporcionam ao usuário imediata 
comparação dos resultados obtidos pela fórmula empírica largamente utilizada de 
Hazen-Williams e a fórmula Universal. 
Além disso, o usuário da fórmula de Hazen-Williams, poderá inferir dessa 
comparação desvios do coeficiente C, em função do diâmetro e da velocidade, 
conforme já explicado em 8.2.10. 
TA B E LAS P A R A AS F Ô R M U LA S O E H A Z E N - W 1 l L 1 A M S E U N 1 V E R S A L { C O l E B R O O K ) 181 
Tabela 8.14a - Fórm~a de Hazen - Williams e Tabela S.14b - Fómul~ Universal (4ºC) 
Perdas de carga em metros por 100 metros 
Coeficiente C 
[Hazen-Wtlliams] 
· · Rugosidàde e .. . ·4,00 · 
(mmHColebrook) · : . . . 
Vazão VeL T.fl-/2g 
(l/s) (m/s) (m) 
80 90 100 
' 2,00 ·. 1,5i) 
Diâm.etro 50Dl.Jll 
110 120 130 140 
1,00 0,50 0,10 0,05 
o,4 0,20 0.0021 · o,39 . 0,35 . 0.28 0.28 0.25 · 0,23 · 0,22 0,20 o,1e 0,11 : 0,14 . 0,14 0,14 0,13 
0,6 0,31 0,0048 .. 0,87: 0,75 '.0,63. 0,60 0,56 0,49 0,49 0,41 . Q,40 0,35 0,30 0,30 0,28 0,27 
o.8 0,41 o.oo8s i,s4 1,21 1,12 i.02 o,99 o.84 o.as o, 11 o,69 0,60 o,5o o,52 o,47 o,45 
1,0 0,51 0,0132 2,40 1,92 1,74 1,55 1~54 1,27 . 1,33 . 1,07 1,06. 0,91 0,76 0,78 0,71 0,68 
1,2 0,61 0,0190 3,45 . 2,70 2,49 2,17 2,21 1,78 ' ~,90 1,50 1,5(' 1,27 i,07 1.10 . 0,99 . 0,96 
1.4 0.11 0.0259 4.70 . 3,59 •• 3,39 2,89 ' 3,01. 2,31 2;ss 1,99 2.os 1,69 1,43 1,46 1.s1 1,21 
1,6 . 0,81 0,0338 6,13 4,60 4,42 3, 70 . 3,92 3,04 . 3,36 2,55 2,66 . 2,17 l,83 l,87 1,68 1,63 
1,8 0,92 0,0428 7,75 5,72 : 5,59 . 4,60 4,9? 3,78 4.24 . 3,17 3;~6 2,70 2~9 : 2,33 2,08 2,03 
2,0 1,02 0,0529 9,57. 6,95 . '6,69 5,59 6.11 4,60 5,22 3,85 . 4,13 3,28 2,80 ' 2,83 . 2,54 2,46 
2,2 l,12 0,0640' 11.57 8,29 8~33 6,67 7,38 . 5,48 6,31 4,60 . 4,99 • 3,91 3,36 . 3,37 3,03 2,94 
2,4 1,22 0,0761 13,77 9,74 ' 9,91 • 7,83 1 8,78. 6,44 7,50 ' 5,40 5,92 4,60 3,96 3,96 . 3;57. 3,45 
2.6 1,32 0,0894 16,16 · 11,30 . 11.62 9,08 10,so· 7,47 8!80 . 6,26 6;93 s,33 4.62. 4,60 4.14 4,01 
2,8 1,43 0.1036 18, 73 12,96 13,48 10,42 11,94 8,57 10,19 7,18 1 '8,03 ' 6,12 5,33 5,27 . 4, 77 4,60 
3,0 1,53 0,1190 21,50 : 14,72 • 15,46 11.84 13,70 9, 74 11,69 . 8,16 1 9,20 6,95 . 6,09 5,99 . 5,43 5,22 
3,2 1,63 0,1354 24,46 16,59 • 17,59 13,34 15,58 10,98 Ú,29. 9,20 ; 10,46 7,83 6,89 6,75 6,13 5,89 
3,4 1,73 o,1528 21,61 18,56 i9;05 14.93 • i.7,58 12.20 15.oo 10.29 Ü,79 8,76 1,1s 7,55 6,88 6,59 
3,6 1,83 0,1713 30;95 20,64 22,25 16,59 . 19,70 13,65 16;81 11,44 13,2Í 9,74 . 8,65 8,40 7,67 7,32 
3,8 1,94 0,1909 .34,48 22,81 24,78 18,34 ; 21,94 15.09 18,72 12,65 14,71, 10,77 9,61 9,28 8,50 8,09 
u~~u~~~~u~~~~~~~~ 
4,2 2,14 o.2m. 42,11 27,46 30.26 22.00 26,79 18,16 22,85 ;5,22 17,94 12,95 u.57 1i,11 10,20 9,74 
um~~~~~~~~u~~~u~~ 
4.6 2,34 0.2797 5.o .• ~~ 32,49 36,29 26,13 32,12 21,49 21,39 · 10,02 · 21.49 15,34 13,92 13.22 12,24 11,53 
4,8 2,44 0,3046 54,99 35,16 39,51 28,27 34,97 23,26 29,81 19,49 23,39 16,59 15,13 14,31 13,27 12,47 
5,0 2,55 0,3305 59,67 37,92 42,87° 30,49 ' 37,94 25,08 32,34 21,03 25,3~ 17,90 16,38 15,43 14,36 13,45 
5,2 2,65 0,3575 64,53 40,78 46.36 32,79 ·41,03 26,97 '34,97 22,61 27,42 19,24 17,68 16.59 15,48 14,46 
5,4 2, 75 0,3855 69,59 . 43, 73 49,99 35,16 44,24 28,93 ' 37, 71 24,25 29,55 20,64 19,03 17, 79 . 15,64 15,51 
5,6 2,85 0,4146 74,83 46,78 53,75 37,61 47,57 30,94 40,54 25,94 31,77 22,08 20,43_ 19,03 17,85 16,59 
U~~-~~~~~~~~~~~~M 
6,0 3,06 0,4759 85,90 53,15 . 61,69 42, 73 ' 54,59 35,16 46,52 29,47 36,45 25,08 23,38 21,63 20,38 18,85 
6,2 3,16 0,5082 91,71 56,48 65,87 45,41 58,28 37,36 49,67 31,32 38,90 26,65 24,93 22,98 21,71 20,03 
6,4 3,26 0,5415 97,72 59,90 70,18 48,16 62,10 39,62 52,92 33,21 41,44 28,27 26,53 24,37 . 23,09 21,25 
6,6 3,3 6 0,5759 103,92 63,41 74,63 50,98 66,03 41.95 56,27 35,16 44,06 29,93 28,18 25,80 24,50 22,49 
6,8 3,46 0,6113 110,31 67,02 79,22 53,88 70,09 44,33 59,72 37,16 . 46,76. 31,63 29,88 27,27 25,96 23,77 
mw~~~~~~~~~u~~~®~ 
7,2 3,67 0,6853 123,66 74,50 88,80 59,90 78,57 49,28 66,94 41,31 52,39, 35,16 33,43 30,32 28,99 26,43 
7,4 3,77 0,7239130,63 78,38 93,80 63,02 82,98 51,85 70,70 43,46. 53,33 36,99 . 35,27 31,89 30,57 27,80 
7,6 3,87 0,7636 137,78: 82,35 98,93 66,21 87,52. 54,47 74,56 45,66 58,35 38,86 37,17 33,51 32,19 29,21 
um~~~~~u~~~~~~~u~ 
M~~~~~u~~~~~~~~u~ 
8,2 . 4,18 0,8889 160,38 94,79 115;15 76,21 101,87 62,70 ; 86,77 52,56 67,88 44,73 43,16 38,57 ! 37,31 33,62 
182 CÁLCULO DE TUBULACÕES SOB PRESSÃO 
Continuaç:ii.o da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros 
Coeficiente e 
[Bazen-Williams] 
Riigosid~dee 4,oo 
(mm) [Colebrook] 
Vazão Vel Tfl /2.g . 
80 90 
2.,00 ' 1,50 
. ' 
100 110 
1,00 
Diâmetro 60= 
0,50 
... . . 
12.0 130 
0,10 
140 
~·~.os. 
(l/s) (m/s) (m) 
0,6 0,21 0,0023 Ó:3{ '. 0,31 : 0;24 '. 0,25 ! . o;Ú · 0,20 : 0.19. 0,17 0,15 0.15 _D,12 0,13 ;· O;l2, 0,11 
0,8 0,28 0,0041 0.57 . 0,52. . '0,42 0,42 ' 0,31. 0,35 0,33 0,29 0,27 0,25 . 0,20 . 0,21 . 0,19 . 0,19 
1,0 o,35 o.oos4 o.as . o, 79 · o~65 o.64 : o,sá · o,52 · o,5à o,44 : 0,41 : o,37 , à,31 o,32 /~.29 0,28 
1,2 o,42 0.0092.1,2( 1,11 . 'o.9.3 : o,89 ! o,a3 . o, 73 à,12 o,62 : o,58 o,52 · D.43" o,45 i ·0,40 , o,39 
1.4 0,50 0,0125 1,72. 1,48 : 1,26 1,19 : 1~13; 0,98 0,98 0,82 : 0,79.. 0,70 1 0,57' 0,60 :. 0,53 0,52 
1,6 o.so 0.0163 2,25· 1.89 .. 1;65 1,52 1,41 1,25 · 1..21 i.o5 .1,02 o.89 : .. 0.13 · 0.11: à;6s· 0.61 
1.a o,64 0,0201 2.8~ 2,35 2,o8 1.89 i,86 :· 1.56 üio , 1,30 ; .u9 : 1.11 0,91: o,96 : o,85 o,a3 
2,0 0,71 0,0255 3,51. 2,86 2,57 • 2.,30 . 2.,29 1,89 " l,97 1,59 : !;59 ' 1,35 : l,U ·.· 1,16 . i,03· · 1,01 
2,.2 0,78 0,0309 4,25 3,41 . 3,10 2,74 : 2;11. 2,26 2,38 1,89 . 1,9( ' 1,61 ),33 1,39 . i..22 ·. 1,21 
2,4 0,85 0,0367. 5,05 4,01 . 3,69 3,22 :3,29 2,65 ' 2,83 2,22 2,26 1,89 ;. i,57 1,63 1;44 1,42 
2,6 0,92 O,D431 .. 5.93 4,65 4,33 3,74 . ·3,86 3,07 3,32 2,58 .2.65 2,19 l;à3 .· 1,89 'l,67 1.65 
2,8 0,99 0,0500 6,87 S,33 .S,02 4,29 . 4,47 3,53 1 3,.84°. 2,96 3,06 2,52 .2;11 2,17 1;92 · 1,89 
3,0 1,06 0,0574 '7,88 . 6,06 ' 5;76. 4,87 ~,13. 4,01 4,41 . 3,36 3,51 2,86 ' 2,46 2,47 : 2J.8 2,15 
3,2 1,13 0,0653 8,97. 6,83 .6,55 5,49 5,83 4,52 5,0i 3,79 3,99 ' 3,22 . 2,72 2,78 ; .2;46 :' 2,42 
3,4 1.20 0,013110.12 7,64 7,39 6,14 6.58. 5,o5 ' 5,s5 . 4.24 · 4.49 3,51 . 3~05 · 3.11 : 2,76 .·: 2,11 
3,6 1,27 o,oa26. 11,35 8,49 · '8,ia 6,83 7,37 5,62 .6,33 4,71 : 5,03 4.0l • 3,46 3,45 : 3;97 . s.01 
3,8 1.34 0.092112,64 9,39 9.22 7,55 8,21 6,21 7,05 5.20 5,60 4,43 :. 3, 78 3,82 : 3.40 ~: 3,33 
4,0 1,41 0,1020 14,00 10,32 10,21 8,30 9,09 6,83 . 7,81 5,72 ' 6,20 4,87 i Ü7 : 4,20 1 3_74 3,66 
4,2 1,49 0,1125 15,44 11,30 11,26 9,08 : 10,02 7,47 8,60 6,26 : 6,83 5,33 1 4,58 ' 4,60 1 .4.10 . 4,01 
4,4 1,56 0.1234 1s:94 12,31 12i35' 9,90 l0,99 8,15 9,43 · 5,83 : 7,49 5,81 : 5,01 .. 5,01 :: 4'.48 4,37 
4,6 1,63 0,1349 18,51 · 13,37 '13,50 10,75 i'2,01 8,84 10,31 7,41 ' 8,17 6,31 . 5;45 . 5,44 ' 4,87 . 4,74 
4,8 l,10 0.1469 20.15 14,47 14,69 11,63 i.3.or 9,57 u.z2 8,02 ·8,89 6,83 · s,92 · 5,89 : 5js 5,13 
5,o i. 11 0,1594 21;81 15.60 . 15,94 12.55 · 14;1.8 10,32 · 12,11 · 8,55 9,64. ' 7,36 6,4L 6,35 : 5, 11.. 5,54 
5,2 1,84 0,1124 23,65 16,78 · 17,24 13,49 : 15,33 n,10 l3.i6. 9,30 · 10,42: 7,92 . 6,91 . 6,83 : ··s;15 5,95 
5,4 1,91 0,1859 25,50 11,99 10,59• 14,47 1 ·16,53' 11,90 14,18 9,98 , 11.23 · 8,49 7.44 1,32 · s;6o 5,38 
5,6 1,98 0.1999 2r,42 19,25 :19,99: 15,48 · 17.78 12,73 .15.25 10,61 .12.01. 9,08 7,98 7,83 1 r;o8· · 6,83 
5,8 2.,05 0,2.145 29,41 20,54 2ú4 16,51 >t9,07 13,59 16,35 11,39 12,9~ 9,69 8,54 . 8,36 ! 7,57 .• 7,29 
6,0 2,12 0,2295 31,48 21,87 22,94 17,58 . 20;40 14,47 17,50 . 12,13 13,85 10,32 . 9;12 8,90 : . 8,07 : 7, 76 
6,2 2,19 0,2451 33,61 · 23.z4 24,49 18.69 21.18 15,37 18,68 12,89 : 14;78 l0,97 9,12 9,46 : 8;60 . 0,24 
6,4 2,26 0,2611 35,81 . 24,65. 26,()9 19,82 23,20 16,30 19,90 13,67 15, 74 11,63 10,34 10,03 : 9~13 8, 74 
6,6 2,33 0,2777 38,08 26,09 27,75 20,98 . 24,67 17,26 21.16 14,47 ' 16,73. 12,31 J0,98 10,62 .· 9,69 9,26 
uw~~M~~u~~~~~~~~~ 
1,0 2,48 0.3124 ~;93 29,io 3i,20· 23,40 · 21,15 19,25 23,79 16.13 10.s1 13,73 12,3r n,84 .10.84, 10,32 
7,2 2,55 0,3305 45,3l, 30,66 ·33,01 24,65 ' 29;35 20,28 25,16. 17,00 . i9,89 14,47 .13,01 12,47 : 11,44 '10,87 
7,4 2,62 0,349137,86'. 32,25 · 34,87 25,93 : 31,00 21,33 . 26,58 17,88 21,00 15,22 iúf 13,12 :.12,06 11,44 
7,6 2,69 0,3683 50,48' 33,88 ·36;11: 27,24 32,69 22,41 28,03 18,79 22,15 15,99 14,46 13,79112,70 12,02 
7,8 2,76 0,3879 53,17 35,55 38,ri 28,59 "34,43 23,52 '29,52 19,71. 23,32 16,78 15,21 14.47i13,,35 12,61 
e.o 2,83 o,4080 55;93 · 37.26 . 4o. 74 29,96 s6~22 · 24.65 ·.:li.os · 20.66 : 24.s2. 17.58 i5;9a ·. 15,16 ; 14.01. 13,22 
0,2 2,90 o,4287 58,7?. 39,01 42;ao 31,36 : 38,d5 25.80 32;s1 21,63 25,76 18,41 16,i'T 15,87 .14,70 13,84 
a,4 2,97 o,4499 61;66 • 40,79 .4Â;9i. 32,79 )9,92 26,98 ·34,22~ 22,61 21.02 19.25 i.7~58 16,60·15;s9·. 14,47 
.L 
T A B E L A S P A R A A S F Ô R M U L A S D E H A Z E N • W 1 L L 1 A M S E U N 1 V E R S A L ( C O L E B R O O K ) 183 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros Diâmetro 75mm. 
Coeficiente C 
[Bazen-Williams] 80 90 100 110 120 130 140 
:Rugosidade e 4.0o 
(llllJlllC9lebrookJ · : · 
. 2,00· 1,50·. 1,00. . p,50, 
.~>. 
: .0.10 ' o.os 
1 ,'. , .. ·· 
Vazão Vel VZ/2g ' ' . >": .. -: 
((/s) (m/s) (m) . _ . ! · ., , . .·. __ 
1,2 
1,4 
1,6 
1,8 
2,0 
2,2 
2,4 
2,6 
2,8 
3,0 
3,2 
3,4 
3,6 
3,8 
4,0 
4,2 
4,4 
4,6 
4,8 
5,0 
5,2 
5,4 
5,6 
5,8 
6,0 
6,2 
6,4 
6,6 
6,8 
7,0 
7,2 
7,4 
7,6 
7,8 
a.o 
8,2 
8,4 
8,6 
8,8 
9,0 
0,21 0,0038 o.38 ; o,37 • 0,28 o,30 · o.2s : 0.25 ô,2i 0,21 i 0,18,. · 0,18 : ·a;1( 0,15 0;14 - D.13 
0,32 o,oos1 o,51 : o.so : o,38_ 0,40 · o,34 ; o,33 • o,3o 0,28 i·0,25. 0,24 : .0,19 0.20 .0.18 0,18 
o,3s 0.0061 ó;s6, o,64 .o;so o.51 0;45_ o.42 :o:w· o,35 . : o,32 . o.3o 0,24 ·' 0.26 · o,2s 0.23 
0,41 o.oo8s a.a4 0.19 :-0~53: o,64 .. o.ss-: o.s2 a;49 _ o.44 :_ô,4o o,37 · 0;30·: o,32 ·a,28, o.2a 
o,4s 0,0104 ·J,o(. o,96 ; 0,11. 0,18 o,69 o,64 ·a.só o,53 : o,49 o,4s : o;37 · o,39 . o,34 o.34 
o,so o,012s. -ús . 1,15 i · o;sf o.93 . º'.ª~ · o, 16 : ·a. 13 : o,64 :_ o;sif o,54 · o,44 : 0,41 o,4L o,41 
o,54 0,0150 1,4Q - l,3s : 1.1i. 1.09 , ~.99 · o,89 ,, o,86 0,15 0~10.·· o,64 :o,51• • o,5s o;48 · o,48 
o,s9 o,om ús 1,57 ' t;3Ci 1.26 ·u1 ' 1,04 , -1.0i' · o.a1 · o.82 o,74 o.w o,64 o,55 o.56 
0,63 0,20052,03 1,80 ÚiÍ 1,45 1;l_( 1,19 .j;1f: 1,00 :·o,95 0,85 '0,68·· 0,73 0,64 0,64 
o,68 0,0235 2,32 _ 2,04 · q3 1,64 : .t;5s 1,35 ,.·1,3f. 1,13 ' i;o9 _: o.96 • i:J,78 o,83 0,12 0.12 
O, 72 0,0267 2;64, ' 2,30 1,96 1,85 : Ú6 : i;s2 1.53. 1,28 ! 1;23' 1,09 : 0,88- · 0,94 . O,Bl 0,82 
0.11 0,0302 2,98/ 2,s8 .2.2( 2,01 i.9if- 1,10 : ür i,43 i p9' 1,22 : o.~9·.: 1,os o~s1'. 0,91 
0,81 0,0338, 3,34_, 2,86 ,: 2;~8: 2,30 2f2: 1,89 ::i~~:3'.·. 1,59 '. 1,55 1,35 :- 1,10' 1,17 ' 1,01,- 1,02 
0,86 0,0377 3;72:: 3,17 ' 2,76 2,55 ; 2,4f: 2,09 ,2,14•• 1,76 ·: i,73: 1,49 : 1.22 : 1,29 ··1.12 . 1,12 
0,91 0,0418. 4.'12 · 3,48 i 3,06 2,80 >ú(: 2,30 ::z;.3( 1,93 : 1,91, 1,64 ::1,34 1,42 U3 I,23 
o,95 0.0461 '4,55: 3,81 · 3,37 3,06 .: 3,02. 2,52 2;s1 · 2,11 · 2,11 ' 1,80 i,41~: t.55 1;35 I,35 
1.00 0,0506 .. 4.99 · 4,15 · úo 3,34 3,31 : 2. 15 -2,àf 2,30 ; 2,31 · t,96 : · 1:sr 1,69 · 1,47 1,47 
1,04 0,0553 ,5,45 4,51 '. 4,0f 3,63 ' . .3,62' 2,98 : ú3' 2,50 2;52. ', 2,13 . ]j5 : 1,84 1,60. 1,60 
1,09 0,0602 5,94: 4,88 : <uo: 3,92 , 3,94 3.23 .ú1 2,11 ~,7f 2,30 1'.90. . 1.99 V3 • 1,73 
1,13 0,0653 6,44 5,26 : ÜT 4,23 , 
0
4,21. 3,48 :- 3;70. 2,92 2:97 · 2,48 .2.05J 2,14 t86 . 1,87 
1,18 O,Q706 6,96° 5,66 . -5;16 _: 4,55.:' 4,62; 3, 74 ~DO :. 3,14 : .3;2i ' 2,67 2,21 2,30 2,01 - 2,01 
1,22 o.01s1: . .1.Sl 6,01 .····s.s1• 4,88 .Ú.8 .. 4,01 /ü1> 3,37 : ·3;46 '· 2,86 .. 2.38 · 2,47 2,15. 2,15 
1,27 0,0819 8,01.. 6,49 ': s,98 ' 5,22 · 5,35: 4,29 ; 4,si: 3,60 ! :3;11 : 3,06 : 2,ss .-. 2,64 : 2,31 • 2,30 
1,31 0,0878 8,6{ 6,93 .-·Mf 5,57 : 5,74·- 4,58 1.:4;96 3,84 Í 3,9( 3,27 ; 2,1:Í.: 2,82 2,46" 2,46 
1.36 o,0940:~.27- 7,38 ,:6~~7. 5,93 :_6,1t 4,88 ·s-.~i> 4,09 'j~~ · 3,48 '2,9i:_ 3,oo 2,63. 2,62 
l,4o 0,1004).89:. 7,84 : r,33.' 6,30 ).56 · 5,19 .,5;67: 44.,3
6
5
1 
:.4.4.·---5
8
4
4
. -:.,. 3,10 :::qo,- 3,19 2,79 2,18 · 
1,45 0,1070 10,54' 8,31 ., 7;81 6,68 ' 6,99.' 5,50 6,04- 3,92 ' 3,29 . 3,38 ' 2,97 ' 2,95 
t,49 o.1138: ii:;21 8,80 : ),3iJ . 1.0~ : 1.1~ - 5,82 ~ .M2 - 4,88 s;l{ 4,15 3,sq : 3,58 :.3.14 3.12 
1,54 o,12oa ú;9o, 9,3o : 8:8i 1.48 1. 1.aa·, 6,15 ::6;a1:. 5.16 ·s,4f 4,39 · 3~10_ 3,78 ' 3,33 . 3,3o 
~~oo~~:~·~ m~~ w!~'™1m w ~ ~ ~:w 
' .. . 1 . • . ' .• 
1,63 0,1354 13,3,~ 10,34 9,88' 8,31 : 8,83' 6,84 ,7.63 ' 5,73 ',6,11. : 4,88 .4,13 ' 4,21 3,71 3,67 
1,68 0,1430 ,14,09 10,88 10,43 8,75 9,33 7,20 - 8,06: 6,03 ~:6,45°/ 5,13 '4;36. 4,43 '3,90 3,86 
i. 12 o.1soa i4,ss 11,43 u.oo 9,19 9,84 7,56 · üo. 6,34 .6.eo 5,39 Ú9 . 4,65 · 4.11 4,05 
1,77 0,1589: 15,65 11,99 [Ú.59 9,64 : 10,36: 7,93 8.9~ • 6,65 ; ·Ú6' 5,66 . 4;83' 4,88 ',4;3i 4,25 
1,81 o.1s11 16.46 12,51 . 12.is 10.10 · 10,90 8,31 • 9;41 :·. 6,97 : 1,si< 5,93 s.oi - 5.u 4.53 _ 4,46 
l,B6 0.1156. 11,30 · 13,16 · lÚO 10,58 i 11;45 8,10 : 9,a·s .: 1,29 , 7.90 - 6,21 :.s;32, 5,35 4,75 4.67 
1,90 0,1843.'à~.1{ 13,76\i3~4411,osl'12.oi: 9,10 -io.37. 1,63 ;s.~9,:- 6,49 ;_5;~7.· 5,6o .·4.97 4,8s 
t,95 0,1931,is.02 14,37 ''14.08
1 
11,55 ·.12:s9 9,51 :ia.si 1,91r9;s9· 6,78 · 5,83' 5,as. 's.29 5,10 
1,99 0,202Ú9,92 14,99 :_l·Ó'4 12,06 13,iâ' 9,92 '·11;38 8,31 : ·S,o9' .. · 7,08 . :G,10: 6,10 , -5,43 ' 5,32 
2,04 0,2115 20;83 -- 15,63 ;: ·15;42 12,51 ~ 13;18 10,34 ii;9o, s.61 i'9,si· . 1,38 :-s;37::, 6,36 ;: .s,61 5,54 
184 CÁLCULO DE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros Diâmetro IOOmm 
Coeficiente C 
[Hazen-Wtlliams] 80 90 100 110 120 
... RugoSidade e ..• '··•.·4,6() ·. 
(mm)lColebrook] · · : ·. . . 
: 2.00 .·· 1,50' 
.\.',, 
'1,00' . o;5o . '0,10 
' ·- ',, 
Vazão Vel. V2/2g ': 
(f/s) (m/s) (m) : : ·· 
'· 
i.: 
' . ' i 
: ' . ' 
2.5 0,32 0.0052: o,34 o,36 ··:o,26 0.29 ·· 0.23 0,24 ~.ú 0.20 ! 0.11 o.i1 ~.13 
3.0 0,38 0,0074 ' o.4i ' 0,50 à,3( 0,40 : 'o.33 0,33 ' 0,29 0,28 '; 0,24' 0,24 ' 0,19 . 
3,5 o,45 0,0101 · o,66 · o,57 ' o,5o o,54 j;4s'. o.44 o;4o . o,37 ,'o,3~.; o.32 : 0,25 
4,0 o.51 0.0132 o,86 : o,86 ; Ô,65. o,59 • ·o,59. · o,57 :o,52 o,48 : .Q;42 o,40 · o,32 
4,5 0,57 0,0167 1.09< 1,07 ',0,82 0,86 'ci,14' 0,71 0,65' 0,59 0,53 ' 0,50 0,40. 
5,o o.64 0.0201 Ü4 · 1,30 · i.óf 1,04 .: o.92 o,86 0,80 0.12 . o,s·6 0,61 •o,48 . 
5,s 0.10 o.02so:·.1,6s · 1,55 : .i,23,. 1,24 1;11: 1,02 0,912 o,86 ·o,79 0.13 o.58 
6,0 O, 76 0,0297 úf 1,82 : .Ú6 1,46 : -1;32 1,20 i Ú~ .: 1,01 ' 0,94 · 0,86 0.68 
6,5 0,83 0,0349 ·,2,27 2,11 · l,11 1,69 ! 1,54.; 1,39 ; 1,35 1,17 : 1,10 0,99 0,79 
7,0 0,89 0,0405 '2,63_ 2,42 ' 1,99. 1,94 ' '1,79.. 1,60 ·: 1,56 : 1,34 : 1.2i ·, 1,14 . 0,9i' 
7.5 o,95 o,0465 3.o~ 2,15 :·2,2~·· 2,21 ·j,of 1,82 ; t;79 : 1,52 .. 1,46 1,30 i,04: 
8,0 1,02 0,0529. 3,43. 3,10 :' 2,59. 2,49 2,33 2,05 2,04 1,72 1 1,65 1,46 J,17' 
u ~~n~:Wi~2~ ~:~:~ ~:a.w w 
9,0 1,15 0,0669 4,34' 3,85 3,2~ 3,10 2,95 2.55 2,57 2,13 i 2,09 . 1,82 : 1,47 
9,s 1,21 o,0746 4,84 4.25 .. 3,65 · 3,42 3,29 . 2,82 . ,2,8s: 2,ss . 2,s2 2.01 1,63 . 
10,0 1,27 0,0826 5,36 4,68 ',4,04' 3,76 '3,64· 3,10 3,17•, 2,59 2,57. 2,21 1,79. 
10,5 1.34 0,0911 5,9i 5.12 · 4,46 4.12 4,01 3,39 ~;49 . 2,84 2~83 2,42 1,97 
11,0 1,40 0,1000 6,48 .• 5,58 4,89 ' 4,49 4,40 3,69 3,83 ' 3,10 ·. 3,10 ·. 2,64 2,15 
11.s 1,46 0,1093 ,7,08. 6,06 . s,3'4 4,87 .ü1 4,01 4,19 · 3,36 3,39 2,86 2,35 
1,53 0,1190 1, 11 6,56 : ·s.~2 . 5,21 5,23 ' 4,34 ··4,58 , 3,64 : 3,69 3.10 2.55 
1,59 0,1291 \8,37 · 1,01 . 6,31- 5,69 : 5,68. 4,68 :4,94 • 3,92 · 4,oo 3,34 2.16 
1,66 0.1396 9,p5 1,61 · · 6,82 6,12 6,14 5,03 5,34 · 4,22 4,32 3.59 · 2,97 
1,72 0,1506 9,76 .· 8,16 '7.36' 6,56 6,62 5,40 '5,76 4,52 '4,66: 3,85 3,20 
1,78 0,1619:!0,49. 8,73 ' 7,91 7,02 7,12 5,77 6.19 4.84 ' 5,0Ô 4,12 3,43 
1,85 0,1737 11,25 9,31 4,84 7,49 7,63 6,16 6,64 ; 5,16 ' 5,3~ 4,40 3,67' 
1,91 0,1859 .12,04 9,92 9,08 7,97 8.i7 6,56 ' 7,10 ' 5,50 ' 5,74 4,68 3,92 
1,97 0,1985 12,86 10,54 ,9,69 8,47 8,72 6,97 7,58 5,84 ' '5,12 4,97 4,18 
2,04 0,2115: 13, 70 11,18 10~32 8,99 9,29 7,39 8,08 6,20 6,52 5.27 4,45 
2,10 0,2250 14,57' 11,83 10,98 9,51 9;87 7,83 8,59 6,56 .6,93 5,58 '4,72_ 
2,16 0,2388 15,47 12,50 11~65 10,().5 ' 10,48 8,27 9,12 ' 6,93 ' 7,36 5,90 5,00 
2,23 0,2530 16,59 13,19 12,35 10,61 11,10. 8,73 9,66 7,32 7,79 6,23 5,29 
2,29 0,2677 17,34 13,90 13,06 11,18 11, 75 9,19 10,22 7,71 8,24 6,56 5,59 
2,39 0,2828 18,31 14,62 13,80 11,76 . 12,41 9.67 10,79 8.11 8,iO 6,90 5,90 
2,42 0,2983 19,31 15,36 14,55 12,35 13,09 10,16 11,38 8,52 9,17 7,25 6,21 
2,48 0,3142 20,34 16,12 15,33 12,96 13, 78 10,66 11,98 8,94 ' 9,66 7.61 6,53 
2,25 0,3305 21,40' 16,89 16,12 13,58 14,,50 11,18 ' 12,60' 9,37 10,16 7,97 . 6.86 
2,61 0,3472 ~2.48 17,69 16,12 14,22 15,23 11, 70 13,24 9.81 ' 10,67 8,35 7;20 
2,67 o,3644 23,59 18,49 11,11 14,87 15,98 12,23 · 13,89 10,25 11,19 8,73 7,S5: 
2,74 0,3819 24;73 19,32 18.62 15,53 16,75 12,78 14,58 10.71 11,73 9,12 '7.90 
2.80 0,399 25,89 20,16 19.50 16,21 7,53 13,33 ' 15,24' 11,18 12,28 9.51 8,27 
12,0 
12,5 
13,0 
13,5 
14,0 
14,5 
15,0 
15,5 
16,0 
16,5 
17,0 
17,5 
18,0 
18,5 
19,0 
19,5 
20,0 
20,5 
21,0 
21,5 
22.0 
130 140 
; o;os·· 
0,15 : .,0,13 ', 0,13 
0,20 0:1~ : 0,18 
0.27 • 0,23 0,24 
0.35 0,30 0,30 
0,43 ' 0,37 . 0.38 
0,53 ; 0,45 0,46 
o,63 : 015i' o,55 
º· 74 : 0,63 ' 0,64 
0,86 ·. º· 73;' 0,75 
0,98 0,84. 0,86 
li·." 
1,12 : 0,95 0,97 
1,26 : 1,07 ' 1,10 
1.41 : l,20 1,23 
1.57 ! ' 1,34 1,37 
1, 73 1.48 1,51 
1,90 ' 1,63 1,66 
2,08 ' 1;79 1,82 
2,27 1,95' 1,98 
2,47 2,12 2,15 
2,67 '2,30 2.33 
2,88 2,49 2,51 
3,10 2,68 ' 2,70 
3,32 2,88 2,89 
3,55 3,08 3,10 
3, 79 3,30 3,30 
4,04 3,52 : 3,52 
4,29 3,74 3,74 
4,55 ' 3,98 ' 3,96 
4.81 ' 4,22 4,20 
5,09 4,46 4,44 
5,37 ' 4, 72 4,68 
5,66 4,98 4,93 
5,95 ' 5,25 5,19 
6,25 5,52: 5,45 
6,56 5,81, 5,72 
6,87 6,10 5,99 
7,20 6,39 6,27 
7,52 ' 6,69 6,56 
7.86 ' 7.00 ' 6,85 
8,20 : 7,32 ' 7,15 
TABELAS PARA AS FÓRMULAS DE HAZEN-WILLIAMS E UNIVERSAL (COLEBROOK) 185 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de caxga em metros por 100 metros 
Coeficiente C 
[Hazen-Wtlliams] 
. RtigoSidad~e> 4.0Ó ·· 
(m:.ai}[Colebrook] ·.·. ·· · 
. . .:: 
V87..âo VeL 1/l/2g ,, , .. : 
(f/s) (m/s) (m) 
80 
: 2,00. 
: ., 
90 100 110 
·l,50, 1,,00 :. 
j"_. 
Diâmetro 150= 
120 130 140 
0,50 ' .. 0.10 .· ··. 0,05 
., 
·I 
·'·.-:"·i 
'.·. 
5,0 0,28 0,0041' O,ÍS ;> 0,18 -~,12 : 0,14 ! O,Ü : 0,12 0,10 ' 0,10 o,'o~ · 0,08 : 0,06 . 0,07 0,06 0,06 
o,37 o,oos9 . o~5 0.29 .0,20 0.24 : iJ,18 o,19 : · oj5 :· 0,16 . 0,13 o.14 0.10 0,12 0,10 ' 0,10 
o,45 0.0104 . o,38.. o,43 . p,3o o,35 :. 0,21-' 0.28 .o.z4 0.24 · aio 0.20 · o.1s 0.11 0,15 , o.15 
o.54 0,0141 . 0,54 o,59 .-0;42 o,47 ~p.~s · o,39 o,34 .' o,33 9.28 · 0.28 . 0;21 : 0,24 0,20 · 0,21 
0,62 0,019i o.72, º· 77 .0;56 0,62 ' ·o,51. 0,51 0;45 ·• 0,43 0,37 0,37 ! o,28 :. 0,32 0,26 0,27 
0.11 0,0255 M3. o,98 ~ o.1i 0.10 a·;Ss. o,65 o;5à : o,54 , o;4e o,4s o,35 ; o.4o o.33 .. o,ss 
o,79 0,0320 u1 ... · u1 i o;9o o,97 ; o,82: 0,80 0.12 o,67 i 0,60 · o,57 · ó .. 44 o,49 0,41 0,43 
0,88 0,0392 :1.43. i 1,46 ' .l!'1Q 1,18 ' 1,00 0,97 : 0,88 : 0,81 1.Q,73 0,69 0,53.' 0,60 • 0,49 0,52 
o,96 0,0412 1, 1f l, 74 1;33' . l,4o .i.20 1,15 i.os , o,96 ·o;s1 o,s2 q,64, . o. 11 . o,59 0,62 
i,o5 0,0559 :z.04 · 2,03 : .i.57 1,63 ·~,4s 1,34 ~:1;2s,·: 1,13 : l.o.3 · o,96 o,75 :' o,83 o,69 · 0.12 
1.13 0,0653 .2.~·~:·. 2,34 ,t;84_ 1,89 J,66, 1,55 _1'.46 1,30 : i.'21. 1,11 : 0,87. 0,95 0,80 0,83 
m~™~'~·~.~ ~·m.~·wu( w:~ ~·~ ~ 
1,30 0,0863-·3,14.: 3,04 '2,42' 2,44' 2;2Q; 2,01; 1;93: 1,68 ·.Ú9. 1,43 ':1,13· 1,24 · i,03'• 1,08 
1,39 0,0900 3.57, 3,41 ';zd5 •. 2,15 c'.?;49/ 2,26 : 2~i9. 1,89 j;8o , 1,61 us ' i,39 üi.· 1.21 
1.47 0,1103: 4,92 : 3,81 3,lQ : 3,06 : 2,81 2,52 2,47 . 2.11 2,02 1,80 :.·i.43 1,55 l,30 1,35 
1,56 0,1234 \49 ,: 4,23 i 3,46 : 3,40 ; .3,14 2,80 2;76 2,34 : 2:~6 ; 2,00 ' '1,60 '• 1, 72 ' 1,45 1,50 
1,64 0,1373 .5;()0 4,67 d.85·' 3,75 : 3,49 ,' 3,09 3,07 2,59 : 2,51 2,20 : Ú7 1,90 1,60 1,66 
1.73 o,1518 ··s,52< s,12 · 4,2s :· 4,12 3,86: 3,39 3,39 2,a4 '· 2,w 2,42 • 1,ss· 2,08 i,T( 1,02 
1,81 0,1671 ; 6,0~ 5,60 i 4,69 4,50 ' 4,25 ! 3. 70 . :Vi3 3,10 ; 3,06 ' 2,64 2,14 2,28 1,93 1,99 
1.90 0,1832· 6,66: s,10 , 5;13 4.9o .4.65·; 4,o3 :4:09·: 3,38 ~.3;~~:; 2,88: 2;34. 2,48. 2.11. 2,16 
1,98 0,1999 .7.27'.:· 6,61 · ~5.so: 5,31 • ·s,08 · 4,37 .·_u6.' 3,67 3,65 .. 3,12 2,55. 2.69 ·2,30· 2,34 
2,01 0.2114 :7;st· 1.14 : 6,o9: 5,74 : ··5,5* · 4,73 'ÚS 3,96 ! 3.97. 0~ 3,37 . bs·· 2,91 .2;49, 2,53 
2,15 0.2357 .8.57 1,10 . 6,60 s.19 r 5,98 5,o9 :S,25': 4,27 \3à· 3,63 , 2,99 ·, 3,13 ;· 2,69 2,13 
2,24 0,2547 .:9,26 8,27 '7,13 6,65 . ' 6,46 ' 5,47 : 5,67·. 4,59 4,64 ' 3,90 : 3,22 ' 3,37 ' 2;89 2,93 
2,32 0,2144 9.98.· 8.86 1.~. 1,12 : 6;9{, 5,86 ··s.:ii: 4,91 );ao. 4,18 .M6_
1 
3,61 , 3;ti 3,14 
2.41 0,2948, io,72 9,47 8;~6 7,61 • 7,48: 6.26 5;57 ,; 5,25 's;37 4,47 1 3;12. 3,85 3,33 3,36 
2,49 o.3160 ii;49 10,10 8;85 8,12 _: à;o2 .· s,68 · .7,of 5,6o s. 1s· . 4, 11 
1 3,98 4.n a,56' 3,58 
2,57 o,3379 12,29 · 10, 75 9;45 8,64 : 8,57 : 1,11 J.5~: 5,96 :: .6;i5, 5,o7 o,4.2,4 .. 4,37 . 3, zg 3,81 
2,66 o,3605 ia,i:i:· u,41 ..io.99: 9,11 ··s,1( 7,55 s.92 .. 6,33 i:·6;5p\ s,39 .4.52· 4,64 . 4;04 4,05 
2,74 0,3839 13,96: 12,09 ·lÓ,:i5' 9,72 _9,74 8,00 8,54 , 6.71 · 6,98 5,71 . 4,81 4,92 4,29 4,29 
2,83 0,4080 14,83 12,80 11,42 10,29 ' 10,35 8,46 ' 9,08 :_' 7,10 ; '7.41 ' 6,04 5,10 5,21 4,55 4,54 
2,91 0,4329 15;7{' 13,52 . 12,12 10,87 ' 10,98 8,94 9,63 7,49 . 7,86 6,38 5,4i: 5,50 4,82 4,79 
3,00 0,4585' 16,67 14,26 : 12,'83 11,46 11,62 9,43 10,20 7,90 ' 8,32 6, 73 5, 72.. 5,80 '5,09 5,06 
J,oa o,4848 17,62 . 15,01 13,57 12,0"T :;i2;9 9,93 ~º·!8 .. 8,32 · s,8q 1,08 
1 
6,04 6.11 .S;37 ., 5,32 
3.17 o,5118 .18;60: 15,79 ·14,32 12,69 /i2.97 10.44 11.38 8,75 .9,29 . 7,45 ·.6,37 6,42 5,66 5,6o 
3,25 0,5396 19;51:· 16,58. i5;10' 13,33 : Ú,68 10,97, 12,00 9,19 9,79 • 7,82 ,6,7i : 6,75 5,96. 5,88 
3,34 o,5681. 2o;ss 11,39 1s,90: 13,98 : i{4o 11.so : 12;53·, 9,64 '10;3i. '· 8,21 , :1,0.6 1.08 6.26 · 6,11 
3,42 o,5974. #;~_' 15.z1 . · 16,'il 14,64 :· '1s;14: 12.05 . ~3~2a 10.10 ió;83 8,60 7,41. 7,41 6,57 6,46 
3,51 0,6214 :~~.ao.: 19,06 1r,5s 15,32 ,,i~.90 12,61 13,94 l0.57 : í1,37 8,99 _·1,1a 1.16 · 6,89 6,76 
3,59 0,6581 ·23,~2 19,92 :)8;~ 16,02 16,67· 13,18 H,63: 11,05 ·,:i;93 · 9,40 : 8,15 8,11 ' 7,22. 7,07 
6,5 
8,0 
9,5 
11,0 
12,5 
14,0 
15,5 
17,0 
18,5 
20,0 
21,5 
23,0 
24,5 
26,0 
27,5 
29,0 
30,5 
32,0 
33,5 
35,0 
36,5 
38,0 
39,5 
41,0 
42,5 
44,0 
'45,5 
47,0 
48,5 
50,0 
51,5 
53,0 
54,5 
56,0 
57,5 
59,0 
60,5 
62,0 
63,5 
186 CÁLCULO DE TUBULAÇÔES SOB PRESSÃO 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros Diâmetro 200= 
Coeficiente C 
[Hazen-Will.iams] 80 90 100 110 120 130 140 
.. 
' RÚgoSidlide e : . ;·. 4,00 '. 
(mm)lColebrOók] ·· .-·._ : · · : 
"2,00 : '1 so 
1.,·'.' 
0,50' ·,0,10 0,05·, 
Vazão VeL 'lfi./2g: 
((/s) (m/s) (m) 
I• .. 
: ... .. ,. 
·' ·: 
· .. 
14,0 
16,0 
18,0 
20,0 
22,0 
24,0 
26,0 
28,0 
30,0 
32,0 
34,0 
36,0 
38,0 
40,0 
42,0 
44,0 
46,0 
48,0 
50,0 
52,0 
54,0 
56,0 
58,0 
60,0 
62,0 
64,0 
66,0 
68,0 
70,0 
72,0 
74,0 
76,0 
78,0 
80,0 
82,0 
84,0 
86,0 
88,0 
90,0 
92,0 
0,45 0,010L'0;2S· 0,30 ._Ó,20: 0,24 ; ·o.if 0,20 ~0,16 0,17 9;13 0,14 IÚO 0,12 ; ·O,iO 0,11 
o.51 0,0132 o,32 · o,38 .: o;25' · o.31 1 
: 0.23 0.25 : 0;21 0.21 0,11 0,18 ci,13 0,16 . 0,13 0.14 
o,57 o.01s1: o,4F: 0,48 ; -0;32 . o,38 ; o~s o,31 ; .0;2s 0.26 · 0.22 0,22 . 0;11 o,19 0,16 0,11 
o.64 0,0201 o,51 o,58 : 0;40 _' o,46 1 o.36 o,38 . · o.32 · 0,32 ; o,2r:· 0,21 o,2à ; 0,24 . o.i9 0.20 
0.10 0,0250,'6.~(~ o.69 ó.~:; o,55 .:9~44.· 0,46 :.o,3,t_ o,38, 0,32 o,33 )~4 · 0,28 i 0,23. 0,24 
o. 16 0.0291 ·0;1r 0,81 o.s1 o.65 1 • o.52 · o.54 · Ms i o.45 · o,3s • o.38 0,29 · o,33 o:Z1 : 0.29 
o,83 0,0349 <0;85·o,94 >0;51 · o, 15 0,61 .' 0,62 ! o;54 ·:· o,52 · 0~45 · o,44 : o,3f o,38 ! o,s1· . o,33 
o,89 0,0405 ·.o,99 . i,08 ! .·0;1{ o,87 : 0)1: 0,11 : o',63 0,60 : '0;52. o,51 . o,39 9,44 '.Q,36, o.3a 
o.95 0,0465 \íf 1,22 : .o;89 o,98 jji;8~ 0,81 '::o: if o,sa : ci;so o.58 ó.44 o,5o . M1 • o,43 
1,02 0,0529};29 .. 1,38 ; 1.0_1.' 1.11 :}~9.~: o.91 :.~.82 0.16 i o.6f: o,65 ! o'.5o_ · o,56 ,·Ms 0,49 
1,08 0.0597 ).46 . 1,54 , .1.14 1.24 i 1 •. 04. 1,02 ; o,s2 _, o,86 : a, 76 o. 13 . o,s6. o,63 , o,52 o.5s 
1,15 0,0669 1;63 . 1,72 .· 1,28 . 1,38 : 1,1~ 1,13 _ 1,0~ 0,95 ' 0,85 . 0,81 ,0,62 . 0,70 ; 0,57 0,61 
1,21 0,0145 ! .:i,82: l,9o i 1;42 0,52 :'. qo : 1,25 !.u( 1,05 i o,95 o,89 o,69 0.11 . o~64 o,67 
1,27 0,0826 2,02 :_ 2,09 ·l,58 1,68 "i;44 1,38 ', 1,27.. 1,16 ; ,l,05 0,98 : 0,76: 0,85 ; .0,70 0,74 
l,34 0,0911 .i.22 · 2.20 · 1,74. 1.83 , :i,5á 1,51 ; 1.40 ·. l,27 . i,i.6 1,00 : 0,04 .· o.93 • 0;11 . 0.01 
1,40 0,1000 2;44 · 2,49 !. • i;91 ;, 2,00 '. i;74 1,65 ! i,53 t,38 · 1.21 1,11 · 0;92 1,01 , o;M : o.as 
1,46 0,1093 2.66-. 2.10 2,oa· 2.17 '. \90 1,19 : 1,68 1,so 1,39 ·• 1,21 · l;oo . 1,10 , o,91 o,96 
1,53 0,1190 2,9b . 2,92 r , 2,27 2,35 : 2;06 , 1,93 1
: 1.s~ 1,62 . ·1,sr 1,38 1,08 . 1,19 0,99 1,04 
1,59 0,1291 3.~15 ' 3,15 2,4~ 2,53 2,24 2,09 i 1~98 : 1,75 . 1,64_: 1.49 ),17 1,28 : 1,07 1,12 
1,66 0,1396 3,40 ' 3,39 2;66, 2,73 i 2;42 : 2,24 : . 2~14 1,88 1 1,77 .· 1,60 '1,26. 1,38 :_.i,.15 1,20 
1,72 0,1506' 3,61 3,63 2,87 2,92 ' 2,61 2,40 '2,31 2,02 . 1,91 .• 1,72 1;36 . 1,48 '1,24· 1,29 
t, 78 0,1619 3;ss: 3,89 ; M8 . 3,13 . :i;ei 2,57 : 2,48 2.16 : 2,05 1,83 1.46 1,58 · l,:i2 1.38 
1,85 0,1737 4~?3 4,15 :_ '3,3~.' 3,34 3,0~ 2,74 1 ,2.66 2,30 2,20 . 1,96 !;56 1,69 ~42. 1,47 
1,91 0,1859 4,53 4,42 . 3,54 . 3,55 3,22 2,92 2,85 2,45 ! 2,35 . 2,09 1,67 1.80 ; ~,51 1,57 
1,97 o,1985 iM 4,69 : 3;ta 3,77 ! 3i~ 3,11 , 3;o4 . 2,60 · 2;s1 ~ 2.22 1,78 1,91 .1,61 1,61 
2,04 0,2115 5,15 . 4,98 .· 4,02 4,00 . 3;66 3,29 3,24 2,76 2,67 2.35 1,89 2,03 1,71 1,77 
2.10 0.2250 5,48 5,21 4.20" 4,24 ·3,90" 3,49 3,44 2.92 · 2,04 2,49 2:01 2,14 1.01 1,87 
2,16 0,2388. 5.82 5,57 ·. 4,54 4,48 4,13 3,69 .3,65 3,09 '3,01 2,63 .2,13' 2,27 1,92 1,98 
2,23 0,2530 6,16: 5,00 , 4,0·1" 4,73 4,38 3,89 3;81 3,26 '3;i9 2.11 · 2,.25 2,39 1
• 2,03 2,09 
2,29 0.2611 6,52 6,19 : : 5,o9· 4,98 1 Ú3 4.10 4,09 . 3,43 3.31. 2,92 _. 2,ss 2,52 2;14 2,20 
2,36 0,2828 . 6,89' 6,52 5,38 5,24 4;89 4,31 '4,32 . 3,61 3,56 . 3,07 2;51 2,65 ; 2,26. 2.31 
2,42 0.2983 7,26 6,85 :. 5,67. 5,50 .. 5,16 4,53 :· 4,56 3,80 . 3,76 3,23 . 2;s4_ 2.19 2,37 · 2,43 
2,48 o,3142 7,65 . 1,10 : s,97. 5,11 .5,44 4,75 . 4,ao 3,9a 3,96 3,39 , 2;10 . 2,92 2,50 2.55 
2,55 o,3305 · 8.05 7,53 s.2s 6.os "S;72 : 4,98 s.os 4,17 : 4,16 3,55 2,92 • 3,06 : 2,62 2,67 
2,61 0,3412 s,45 • 1.a0 . 6.6.º 6,34 5.of. 5.21 5,3o· 4,31 . 4,31 3,12 3,b6 3,21 , 2,15. 2.00 
2,61 o.3644 0;81 B.24 .s,92 6.s2 • 6,30 · 5,45 ;' 5,56: 4,57 . 4;50 3,89 : 3.21. 3,35 ·2,ss 2,92 
2, 74 0,3819 9;3·0: 8,61 7,26. · 6,92 · 6,61 5,69 , 5,83 . 4. 77 4,80 4,06 3,36 3,50 ' ·3,01 3,0S 
2,ao o.3999 9,74 8,98 1 1,60 · 7.22 6,92 5,94 : 6.11 · 4,9a 5,03 .· 4,24 . 3,51_ 3,6s , 3;1s 3,19 
2,86 0,4183 10,18 9,36 7,95 ' 7,53 . 7,23 6.19 ' 6,39 ,. 5,19 . 5,26 4,42 3;67 3,81 3,29 3,32 
2,93 0,4371 iq,64. 9,75 B,3Ó 7,84 . .7.s6 . 6,45 . 6.s1: 5,41 _5,49 4,60 M3 ' 3,97 ; M3 3,46 
T A B E LA S P A R A A S F Ó R M U L A S O E H A Z E N - W 1 L L 1 A M S E U N 1 V E R S A L ( C O l E 8 R O O K ) 187 
Continuação da Tabela &.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros Diâ.Inetro 250mm 
Coeficiente C 
[Hazen-Wtlliams) 80 90 100 110 120 130 140 
· Ru~osidade e 4,00 2,00 1,50 1.00 0,50' ' 0,10 .o.os 
(mm) Colebniok) '' 
Vazão Vel V:J2g 
'' 
(l/s) (m/s) (m) ... 
'· 
10,D 0,20 0,0021 0,04 o.os 0,03 0,04 0,03. 0,04 0,03 •, 0,03 0,02 0,03 0,02 0,02 0,02' 0,02 
14,0 0,29 0,0041 0,08 ', 0,10 ' 0,06 0,08 0,06 0,07 ' o.os 0,06 0,04' o,o5 ·'0,03 0,04 0,03 0,04 
18,0 0,37 0,0069 'ô,12 0,16 ·, 0,10 0,13 0,09 0,11 0,08 0,09 0,07 0,08 ' 0,06 ' 0,07 'o.os 0,06 
22,0 0,4S 0,0102 ' 0,16 0,23 . 0,15' 0,19 0,13. 0,15 : 0,12 0,13 0,10 0,11 ' 0,08 .· 0,09 0,08: 0,08 
0,0143 . ·ojs 0,32 : 0,20" 0,25 o,i9 o;ú ' ' 
0.10 26.0 0,53 D,21 0,18 0,14 0,15 : .. 0.11 0,13 OJl 
30,0 0,61 0,0190 0,34 ' 0,41 • 0,27' 0,33 : . 0,25 · 0,27 d,22. 0,23 . ó.is·· 0,19 "0,14 0,17 0,14. 0,15 
34,0 0,69 0,0245 0.44 · 0,52 0,35 0,42 1 0,32 0,34 0,28 0,29 0,24 0,25 1. 0,18 0,21 0,17 0,18 
38,0 0,77 0,0305 o,ss 0,64 0,43 0,51 '·o,40 0,42 0,35 0,35 0,30. 0,30 ·0,22 ··. 0,26 0,2i 0,23 
42,0 0,86 0,0373 . 0,61 0,í7 ' 0,53 0,62 9,49 O,Sl 0,43' 0,43 0,36°' 0,36 . _0,27 0,31 ', 0,2S 0,27 
46,0 0,94 o,o44a . o.ao. · 0,91 ' 0,64 0,73 ' o,sa 0,60 O,S2 0,51 ,0,43 0,43 0,32 0,37 .· 0,30 0,32 
50,0 1,02 O,OS29 0,95 1,06 0,75' 0,85 0,69 0,70 o,61 0,59 0,51, 0,50 o;38· 0,43 0,35 0,38 
'" d,71 54,D 1,10 0,0617 1,11 · 1,23 ·0,87 0,99 ; 0,80 0,81 0,68 ,0,59, 0,58 '0,44. 0,50 . 0,41 0,43 
58,0 1,18 0,0712 J.28 1,40 : 1,01' 1,13 ' 0,92, 0,93 0,82 0,78 0,68 0,66 0,50 0,57 0,46, 0,50 
62,0 1,26 0,0813 ús•· 1.S8 · 1,15 1.27 : 1,0S 1,05 .·o,94 o,a8 , .o,78 O,iS ·O.Si 0,64· O,S3 0,56 
1,65 1,30 1,43 ' i,19 1,06 .· o,99 . o.as 
" 
0,84 : 0,64 0;59 66,0 1,34 0,0921 1, 78 . 1,18 0,72 0,63 
70,0 1,43 0,1036 1,86 1,98 1,47 1,59 1,34 1,31 ' 1,19 1,10 0,99 ' 0,94 ' 0;12 0,81 '0,66 0,70 
74,0 1,51 0,1158 2,08 2,20 1,64 1 77 ; 150' 1,45 )~33 1,22 : 1.ll J..,04 0,80 0,89 0,74 0,78 
0,1287 2,3i 1:95 ! ÍS6 " 
78,0 1,59 2,42 1,82 1,60 'l,48 1,34 1,23.· J..,14 0,89 0.99 . 0,81 0,86 
82.0 1,67 0,1422 2,55 2,66 : '2,01 2,14 1,84 1,76 1,63 1,47 J..,36 J..,25 o,98 1,08 0,89 0,94 
86,0 1,75 0,1564 2,80 2,90 ' 2,21 .. 2,33 2,02 1,92 Ú9 1,61 1,49 1,37 1.07. 1,18 0;9s . 1,03 
90,0 1,83 0,1713 3,07' 3,16 : 2.42 2,54 2,21 2,09 1,96 J..,75 ' 1.63 1,49 ' 1,17. J..,28 J.;07 1,12 
94,0 1,91 0.1869 3,35 3,42 2,64 2,75 2,41 2,26 2,14 1.,90 ' 1.?8 1,62 . i.28 1,39 . J..,16 1,21 
98,0 2,00 0,2031 3,64. 3,70 ' 2.87, 2,97 : 2.62 2,45 2,33 ' 2,05 ' 1;93 . 1,74 1,38 1,SO 1,25 ' 1,31 
102,0 2,08 0,2201 3,94 3,98 3,11 3,20 2,84 2,63 2,52 2,21 ' ·2.09 1,88 1,49 . 1,62 1,35 1,41 
106,0 2,16 0,2377 4,26 4.28 3,36 3,44 3,0f 2,83 2,72 2,37 '2,26 2,02 1,61_ 1,74 1,46 1,52 
110,0 2,24 0,2559 4,59 4,58 3,62. 3,68 3,30 3,03 2,93 2,54 '2,43 2,16 1,73 1,86 ' 1,57 1,62 
114,0 2,32 0,2749 4,93 4,89 3,88 3,93 3,55 3,24 3,lS 2,71 2,61 2.31 1,86' 1,99 1,68 l,74 
118,0 2,40 0,2945' 5,28 ' 5,21 4,16 4,19 . 3,8o' 3,45 . 3,37 2,89 2,i9 2,46 1,98 2,12 1,79 1,85 
122.0 2,49 0,3148 5,46 . S,55 
: 
4,45 4,46 4,06 3,67 3,60 3,08 2,99 2,62 2,12 ' 2,26 1,91 1,97 
126,0 2,57 0,3358 6,02 5,89 4,74 4,73 4,33 3,90 3,84· 3,26 3,18 2,78 ' 2.26 2,40 2,03 2,09 
130,0 2,65 0,3575 6,40 6.24 5,05 5.02 4,61' 4,13 4,09' 3,46 '3,39 .· 2,94 2,40 2,54 2,16 2,21 
134,0 2,73 0,3798 6,80 6,24 5,.05 5,02 . 4,61 4,13 4,09 3,46 3,39 2,94 2,40 2,54 2.16. 2,21 
138,0 2,81 0,4028 7,22 6,97 5,69 5,60 5,19 4,61 4,60 3.86 3,82 3,29 2,69' 2,84 2.42 2,47 
142,0 2,89 0,4265 7,64 7,35 •. ,6,02 5,91 5,50 4,86 4;01 4,07 4,04 3,47 2,85 2,99 2,56 2,61 
146,0 2,97 0,4S09 8,08 i,74 S:36 6,22 5,81 5,12 5,15 4,29 4,27 - 3,65 3,01 3,15 2,70 2,74 
150,0 3,06 0,4759 8,52 8,13 : 6,72 6,54 6,13 5,38 5,44 4,51 '4,50 3,84 3,17' 3,31 2,84 2,88 
154,0 3,14 0,5017 8,98 8,54 7,08 6,87 ' 6,46. 5,65 5,73,' 4,73 '4,75 4,03 3.3~ 3.47 '2,99 3,03 
1S8.0 3,22 0,5281 9,46 8,95 ' 7,45 7,20 '6,80 5,92 6,03 4,96 4,99 4,23 ' 3,51 3,64 3,14. 3.18 
162,0 3,30 0,5551 9,94 9,38 7,83 7,54 . 7,15' 6,20 6,34 5,20 s;25 4,43 3,69 3,82 3,30 3,33 
166,0 3,38 0,5829 10.44 9,81 ' 8,22 7,89 .' 7,51 6,49 6,65 5,44 s;51 4,63 3,87 3,99 3;46 3,48 
188 CÁLCULO DE TUBULAÇÔES SOB PRESSÃO 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em me17os por 100 metros Diâmetro 300mm 
Coeficiente C 
[Hazen-Williams] 80 90 100 110 120 130 140 
.. i~g&i&lié~._ . ~•ôià ;· 
(mm)!Colebroo~J > .·. · :.2;00 
,1 
.. :1,sq' 
'•'(''• 
: }·ºº·' 0,50 ·0,10 ' ·0;05 .. ·. 
Vu.ão VeL V2/2g '.: 
((/s) (m/s) (m) ' ·· 
20,0 
25,0 
30,0 
35,0 
40,0 
45,0 
50,0 
55,0 
60,0 
65,0 
70,0 
75,0 
80,0 
85,0 
90,0 
95,0 
100,0 
105,0110,0 
115,0 
120,0 
125,0 
130,0 
135,0 
140,0 
145,0 
150,0 
155,0 
160,0 
165,0 
170,0 
175,0 
lSO,O 
1S5,0 
190,0 
195,0 
200,0 
205,0 
210,0 
215,0 
.. ,1 
·' ·,. '· .... 
w~u:~,~ ~~~ ~'.~·~~~ ~;~~m ~- ~ 
o,35 o,oos4 ,o;of 0,12 · o.pt. 0.10 ·: o.ô7 .: o.os . :o.os o,o7 o.os. 0,06 o,o4 o,o5 :(i,o4 o,o4 
0,42 0.0092 0~13 0,11 .. 0,10., 0,14 o,io . 0,11 0;09 o,o9 , b.01 0.08 0,06 . 0,01 : 0,06 o.os 
0,50 0,0125. 0,18 . 0,23 ; 0,14 . 0,18 ' Ó.Í~;. 0,15 0,12· ' 0,13 ! 0,10 0,11 Q;98 0,09 ' 0:01 ' 0,08 
o,57 o,01s3 :'o;23. . 0.29 i/O.iS · 0.23 .:o,17 < o,19 · · o,'15~- 0,16 : 0,13 · 0,14 0.10 . 0.12 . o,él9 0,10 
o.64 0,0201 · ó;à·. o,36 · ô:2i 0,29 :::_o;ú.~ 0.24 : ·0.19·. 0,20 · o.is 0.11 0,12 0,15 · ·o.i2 . 0.13 
0.11 0,0255 :.q.ªs : o.44 : à~f o,35 ; ·o;26: 0.29 •. 0,23 · 0.24 . o)o 0,21 · ó,1s : o.is . o.14 . o.1s 
0.18 0,0309 0,43: o,52 · o,34 o,42 : :oi32 o,35 0.2~. 0.29 0.24 0,25 : o.is· 0.21 : b,i1 o.i9 
o,s5 0,0367 :o;st'. .· o.s1 . M1 o,49 o,38: o,41 .:9,34; o,34 · 0.20 . 0.29 , 0.21 ·.· 0.25 : 0,20 :: 0,22 
0,92 0,0431 :0;60.· 0.11 Má o.57 . 0;44 0,41 ·o,39, o,39 : o,33: o,34 .o,2s .· 0.29 :.o,h· 0,25 
o,99 0,0500 ),70' . o,s2 ,',o.s.~ o,s6 · o si o,54 . 9~46· o,45 • o.38 • o,39 ó,29.' o,33 , ·0,21 . 0.29 
i,06 0,0574 .·0;80 0,93 :.o,64 0,75 a:s9: 0,61 ' 0,52 ' 0,51 : 0,44 ,' 0,44 o,33' 0,38 0,3Ó 0,33 
1,13 0,0653. 0,91:; 1,04 . 0,7S 0,84 0;67. 0,69 ::o,59 .· O,SS 0,50 ,; 0,49 .ó;37 0,43 D,34\ 0,37 
1,20 0,0131 :r,oi . l,11 : o.s2: o,94 ·o.75 :, o. 11 . o,67 ·. o,65 o,56 . o,55 0,42 o,4s o,38 · 0,41 
1.27 o,os26 · t.i~ · · 1,30 : ;o.92 :" 1,04 ó.~4 ~ o,86 : . o.:75 : o. 12 o 63 0,61 o,ilfi o,53 o;43 · o,46 
1,34 0,0921 1.29 . 1,44 
1 
1.02 1,15 : o.94 · o,95 : 'b;s4. o,80 · 0:10 o.6s : 9,52 , o,58 . 0;41: o,51 
1,41 0,1020' 1,43 ., 1,58 1,13' 1,27 .~04' 1,04 '.o,93 ·: 0,88 0,78 0,75 . 0,57,· 0,64 .0.52 . 0,56 
1.49 0,1125 i;:rl7 · 1,73 :i,2s. t,39 • 'ús . 1,14 r.;02, o,96 · o;ss o,s2 · 0,62. 0,10 ; o,57 . 0.61 
1,56 0,1234 "1~73 ' l,S8 '. i,37' 1,51 . ,í,26 ! 1,25 l,~2 ' 1,04 ·, 0,94. O,S9 . Q,58: 0,77 . 0,63 : 0,67 
1,63 0,1349 i,sf 2,05 Í,5o··. 1,64 · J,37: 1,35 t,22· 1,13 1.02.: o,97 .0,74 o,s3 0 .• 60. 0,13 
1,10 0,1469 i:os · 2.21 : ú>f l,1s . isa·· 1,46 . i.if: 1,23 1.ii 1,04 o.si.: o,9o . 0.14 ': 0,19 
i.11 o,1594 J,23.' 2.39 '. :i:,71.· 1.92 : is{ 1,58 ... r.;44: 1,32 i.2i> 1,13 º·ªª o,97 : ·0,00 o.85 
1,84 0,1724 2,41 2,57 ).~~2. 2,06 '1~_15 ' 1,70 1;56' 1,42 • 'l,30 . l,21 ' Q,94 1,04 : 0,86 . 0,91 
1,91 o.1ss9 2,60 · 2,1s -2;91:, 2,21 1,89 1,82 , i.~:. 1.53 , 1,41 1,30 i,02 1.12 . o:93. · o,98 
1,9S 0,1999'. 2,SO 2,95 '.2,22. ,: 2,37 2,03 1,95 , 1,Bl 1,63 i · l,5L 1,39 • 1;09 < 1,20 . 0,99,. 1,04 
2,05 0,2145 1 3;00 : 3,14 ' 2~38 : 2,53 1 úa 2,08 : ú4 ,' 1,74 1 1,62 1.48 '\i7 l,2S . 1,06 1,11 
2,12 0,2295 3.2i· 3,35 :· 2,55 2,69 : 2;33 2.21 2;ó8. 1,86 ú3 1,58 i.;25 1,36 , i,13 1,19 
2,19 0,2451 3,43' 3,56 ; 2;72: 2,S6 ·2,49. 2,35 . ÜL 1,97 i,85 . 1,58 i.33. 1,45 ,J,21 . 1,26 
2.26 0,2611 3.Ss.' 3,77 'isa,: 3,03 2,56. 2,49 ; 2,36 ~. 2,09 ::1,97 l,7s J,41'. 1,53 i.2( t,34 
2.33 0.2m ),88 3,99 . 3~os. 3,21 2,02 • 2,64 , 2,s1. 221 . 2,09 1.8s . 1,50 ~ 1,62 1,36 . 1,42 
2,41 0,2948 4,12 4,22 . .3,27.. 3,39 3,00' 2, 79 . 2,67, 2,34 • 2,22 . 1,99 1,59· . 1, 72 ' 1,44 •. 1,50 
2,48 0,3124 ·4,37 4,45 : 3,47 3,58 3 .• 1s 2,95 ' 2~82 :" 2,47 2,l5 2,10 'i,6S. . l,Sl 1,52 1,58 
2,55 0,3305 ,.4,62 4,69 : 3.,67 3,77 .3,36: 3,10 2,99 2,60 2,49 2,21 : 1,78 1,91 :· 1,61 1,66 
2,s2 o,3491 4,88 · 4,93 , 3,S7 3,97 : 3;55 3.26 3,16 2.14 2,63 2,33 ~8s 2,01 . i;59 · 1,15 
2,69 o,36S3 5,is · 5,1s 4·.09· 4,17 3,7( 3,43 . ü3 • 2,s1 2,11 2,45 1;98 2,11 1,78. I.84 
2,76 0,3879 5,42 5,44 ,. 4,~0 4,37 .3,94 3,60 3,50 3,02 2,~2 2,57 2,08 2,21 1,87. 1,93 
2,S3 0,4080 .5,70 .. ' 5,70 i .f.53 4,5S 4.~·i'; 3,77 '3,6( 3,16 3,07. 2,69 Í,lf 2,32 1,97 · 2,02 
2,90 0,4287 · s;~9 5,97 4. 1s 4.so ;4,3S:: 3,95 3,S7. 3,31 3.2i .. 2.s2 2;29 : 2,43 . 2;06 2,12 
2,97 o,4499 6.29 6,24 ~,99· 5,02 . ·~.57 4,13 : 4,06 3,46 3,38 2,95 . 2,40 2,s4 . üs'. 2,21 
3,04 0,4715 ' 6,59 6,52 5,23 ·. 5,24 4,19 4,31 ".4i2~· < 3,61 : .3,54 3,0S 2,52; 2,65 ~~6 2.,31 
T A B E l A S P A R A A S F Ó R M U L A S D E H A Z E N - W 1 L L 1 A M S E U N 1 V E R S A L ( C O l E B R O O K ) 189 
Continuaç--;io da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros 
Coeficiente C 
[Hazen-Williams] 
Rugosidade e · · 4 00 
(ninillColeb~o~r ·, ' . 
Vaüo VeL V-/2g 
(t/s) (m/s) (m) · · 
80 90 100 110 
•'", 
; o.so : 1,SÓ. 1.oq· .•• 
Diâmetro 350mm 
120 130 140 
0,19 
20.0 0,21 0.0022 o.D3: 0,04 ; 0.02 : o,o3 ·,o.ó~ . o.os o;o:Í · 0.02 ' 0.02 . 0.02 om 0,02 0,01 0,01 
30,0 0,31 0,0050 0,06 O.OS . 0,05. 0,06 : 0,04 . 0,05 0,04 0,04 O,O:i · . 0,04 0,03 0,03 0,03 0,03 
40,0 0,42 0,0088 0,10 0,14 0,0S 0,11 .. 0.07 0,09 O,Ó7 : 0,08 : 0,06 0,06 .. 0,05 0,06 : 0,04 0,05 
~ w~m~.~:~~w ~ ~ ~~w:~·~.~ ~.~.w 
60.0 0,62 0.0198 0.23 .· 0,29 o.is 0.23 . ·:0;11 0,19 . OJs: 0,16 · o.ú " 0,14 . 0.10 0,12 · o,o9 0.10 
10,0 o,73 0.2700 0,31 o,39 .0.25 o,31 ·. Q.23_ o,2s 0 . .20 .· 0.21 , b,u .. 0,18 :·· .0.13 . o,1s 0,12 0,14 
80,0' 0,83 0,0352 '0,40. 0,49 '0,32' 0,40 : 0,30 : 0,33 ' 0,26' 0,27 : 0,22 ' 0,23 0,11, 0,20 :0,16 0,17 
90,0 0,94 0,0446 J~51· 0,61 > 0,41 0,49 0,37 0,41 :· 0,3~ 0,34 0,2S 0,29 : .. Ó,2L 0,25 0,20 0,22 
100,0 1,04 o.os51 o,63 0,15 o,5o. o,60 · o,46" o,49 o,4r o,41 , 0,35 , o,35 0,26 o,3o D.24 0,26 
110.0 1,14 o.os66 o,76 : o,89 o,õl o. 12 , o.56 : o,59 · 0;50 o,49 i ó,42 o.42 à,31 o,36 o:w.. 0,32 
120,0 1,25 0,0793 0,90 ' 1,04 ' 0,72' 0,84 ', 0,66 ·. 0,69 0,59 '• 0,58 '0,50 0,49 : li,37 0,43 ' 0,34 0,37 
130,0 1,35 0,0931 '1.06 ' 1,21 0,85 0,97 ' 0,78 0,80 b,G9. 0,67 Ó,5S" 0,57 ' 0,43 0,49 MO 0,43 
140,0 1,46 0,1019 1,23 1,39 ci,9s 1.i2 ,0,9.o o,92 0.80 0.11 ' o.6s : o,66 . o,56 o.57 o,46. o,49 
150,0 1,56 0,1239 .1.~1- 1,5s i,1.3 1,21 • i.o:i i,04 o,92 o,88 . 0,11 0,15 ' o,s1 , o,64 . o,52. o,56 
160.0 1,66 0,1410 1.60 · 1,18 1.28 · 1,43 i Ú8 1.18 .· 1,05 · o,99 · o,88 o,84 ó,64 0,12 o,59 o.63 
170,0 1,77 0,1591 1,81 · 1,99 1,44 1,60 . 1,33 1,32 . ÜS . 1,10 0,99 ü,94 · 0,72 · 0,81 . 0,66" 0,71 
180,0 1,87 0,1784 2,03 2,21 1,62 1,78 ' '1,49 1,46 J,33 1,23 1.11 1,04 ' 0,8 0,90 0,74 ' 0,79 
190,0 1,97 0,1988 '2,26 2,45 : 1,80 1,97 ' 1,66 1,62 l,48 1,36 1,24 ' 1,15 0,90 '' 1,00 ' 0,82 0,87 
200,0 2,08 0,2202 2,50 2,69 ' 2,00 2,16 1.83 1,78 1,64 ' 1,49 ' 1,37 1,27 ' 0,99 1,10 '0,90' 0,95 
210,0 2,18 0,2428 2, 76 2,95 2,20 2,37 2,02 1,95 . 1,80 . 1,63 1,5i. 1,39 . 1,09 . 1,20 0,99 · 1,04 
220,0 2,29 0,2665 3,03 3,21 ' 2,42 2,58 2,22 2,12 1,98 ' l, 78 1,66 1,52 1,20 1,31 1,09 1,14 
230,0 2,39 0,2913 3,3r 3,49 · 2.64 2,80 2.42 . 2.31 2.16 · 1.93 1.01 . 1.65 : l,3o 1.42 ·. 1.18 1.24 
~w~~m.w~~~~~~~~~~~ 
250,0 2,60 0,3441 3,91 ' 4,07 .· 3,12 3,27 '2,86 2,69 2,55 ' 2,26 2,14 1,92 1,53' 1,66 1,39 1,44 
260,0 2, 70 0,3722 4,22 4.37 3,37 3,52 3,10 2,89 2, 76 2,43 ' 2,31 2,06 1,66 1, 78 1,50 1,55 
210.0 2.81 o,4014 4,56 4,69 3,64. 3,77 ' 3,34. 3,10 2,98 2.60 · 2,49 . 2,21 1.78 1,91 · 1;61 1,66 
280,0 2,91 0,4317 4,90 5,02 -3,91 4,03 3,59 3,32 3,20 2,78 2,67 2,37 1,91 2,04 1,73 1,78 
290,0 3,01 0,4631 ' 5.25 5,36 4,20 4,31 3,85 3,54 3,43 ' 2,97 ' 2,87 2,53 2,05 2,18 1,85 1,90 
300,0 3,12 o,4956 5,62 5,10 ' 4,49 4,58 4,12 3,11 3,67. 3,16 3,01 2,69 . 2,19 2,32 1.97 2.02 
310,0 3,22 0,5291 6.0.0 ' 6,06 .4,79 4,87 4,40 4,01 3,92 3,36 3,28 2,86 2,34 2,47 2,10 2,15 
320,0 3,33 0,5638 6,40 6,43 5,11 5,17 4,69 ' 4,25 4.,18 3,56 3,49 3,03 2,49 2,61 2,24 2,28 
330,0 3,43 0,5996 6;80 ' 6,80 5,43 5,47 4,98 4,50 4,44 3,77 3,71 3,21 2,64 2,77 2,37 2,41 
340,0 3,53 0,6365 7,22 7,19 5,76 5,i8 5,29 4,76 4,71 3,99 3,94 3,39 2.8.0 2,93 2~.51 2,55 
350,0 3,64 0,6745 7,65 7,59 6,11 6,10 5,50 5,02 4,99 4,21 4,17 3,58 2,97' 3,09 2,66 2,69 
360,0 3,74 0,7136 8,10 7,99 6,46 6,43 5,93 5,29 5,28 4,43 4,41 3,77 . 3,13 3,25 2,8Í 2,84 
370,0 3,85 0,7538 8,55 8,41 6,83 6,76 6;26 5,56 5,58' 4,66 4,66 3,97 3,31 3,42 ' 2,96 2,98 
380,0 3,95 0,7951 9,02 8,83 7,20 7,10 ' 6,60 5,84 5,89; 4,90 ' 4,91 4,17 3,49 3.59 ' 3,12 3,13 
390,0 4,05 0,8375 9.SO 9,27 . 7,58 7,45 6,96 6,13 6,205,14 5,17 4,37 3,67 3,77 3,28 3,29 
400,0 4,16 0,8810 9,99 ' 9, 71 7,9S 7,81 7,32 6,43 6,52 5,39 5,44 4,58 3,86 3,95 3,45 3,45 
410,0 4,26 0,9256 10,50 10,17 ' 8,38 8,18 7,69 6, 73 6~85 . 5,64 5, 72 4,80 4,05 4,14 3,62 3,61 
190 CÁLCULO DE TUBIJLACÕES SOB PRESSÃO 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros Diâmetro 400mm 
Coeficiente C 
[Hazen-Wílliams] 80 90 100 110 120 130 140 
.· · !fui~Sidad~e • ;.,4;0o >2.ào. i;SO 1,00. :'0,50. 0,10 •··o,os 
(min) Colebróok] : · 1· ' i 
'. 
. ·., "- 1· •. ,: ·., :': 
'' '· 
Vazão VeL V2/2g· ..... · .- : ·. 
,. : : 
(l/s) (m/s) (m) Í.·· ' '.·, . ' .... ··· .. ; ,. 
40,0 0,32 o.oosf o.os .· 0,07 :o,oc o.os : 004. 0,05 0,03.: 0,04 0,03. 0,03 0,02. 0,03 .0;62 0,03 
à,0081 ci,Óé ' . ó.os 
··.·'. ,· 
o.às ; o.ó( o,04, 0.04 : 0,03" 50,0 0,40 0,11 0,09 ; o.os· 0,07 0,06 o.os 0,04 
60,0 0,48 o.ous. o;ü 0,15 : 0,09 0,12 : o;wr" 0,10 O,ó1· 0,08 ~ o.os.·. O,Q7 :·o.os· 0.06 ; o.o( 0,05 
70,0 0,56 0,0158 . 0,15 ; 0,20 . 0.12 0,16 : 0,11 0,13 : 0!10· . 0,11 : 0,09 0,09 .. 0,07 o.os f 0,06. 0,07 
80,0 064 0,0207 . 0,20 .. 0,26 . o.16 · 0,21 : .. (i,i5' 0,17 ; O;l3 0,14 '. 0,11. 0,12 · .. 0.09··. 0,10 : '_o.os 0,09 
90,0 0,72 o.02s1 . ó.25· · 0,32 ···a 20 0,26 r o.is' 0.21 : 0;17' 0,18 : 0,14 '. 0,15 .. 0;11 0,13 • 0,10 • 0,11 
: ,-·.· 1 ~ • • . • 
: 0,20 o,i1' 100,0 0,80 0.0323. 0,31 . 0,39 : ,0.25.: 0,31 . 0,23':. 0,26 0,22 0,18 0,13 0,16 0;13 0,14 
110.0 0,88 0,0391 • o!~f· 0,46 :0,30 0,37 ! ·o~à 0,31 '.0,25. 0,26 b;il 0,22 : 0,16 o,i9 o.is: 0,16 
1.·· .. ,. 
: -o;s3 · Ó,29 : 0,25 .à,19 •. 0,22 : . 0,18 ··. 120.0 0,95 0,0465: 0,44 . 0,55 ·0,36 0,44 0,36 0,30 0,26 0,19 
130,0 1,03 O,OS45 0,52 '. 0,63 : 042 0,51 .. o.~B: 0,42 :o,3( 0,35 'o)9. 0,30 0;22 :: 0,26 :.· 0,21 0,22 
140,0 1,11 0,0633 0;60' 0,73 : o:48. 0,58 ' .0;45. 0,48 . 0,40 0,40 :;0,3{: 0,34 . 0,25. 0,30 ! 0;24 0,26 
o,69 • ::0:5s. ! .o;s1.· 
..... ,·· 
0,29 .• :0;21-150,0 1,19 0,0726 0,82 0,66 0,55 0;46 . 0,46 • 0,39 ; 0,39 0,34 0,29 
160,0 1,27 0,0826 0,79 0,93 .·o;s3.· 0,75 · o,58' 0,61 o.s2 ·.· 0,52 'OM; 0,44 ' 0,33. 0,38 0;30 0,33 
170,0 l35 0,0933. 0,89 1,04 : li.n 0,84 : 0,66 0,69 · .. o,s9 0,58 .. Q,49' 0,49 .· 0~37 ' 0,42 .0,34 0,37 
0.1046 ·. o.99 o,73' 
..... 
'0,41. 180,0 1,43 1,16 o.s.o. 0,93 0,76 '· 0,66 0,64 0,55. 0,55 0,47 ' 0,38 0,41 
190,0 1.51 0,1165 \11 · 1,28 .<o;sg · 1,03 . 0,82 0,84 .0,73-• 0.71 0,62 .• 0,60 ; o;46 0,52 .0,42 0,45 
'. ·o;gs , .. ·: 
200,0 1,59 0,1291 i;23 1,40 1,13 ' 0,91.. 0,93 ' 0,81. 0,78 :.·0;68 ;' 0,66 p,_s( 0,57 . 0,46 . o.so 
210,0 1,67 0,1423 u.s. 1,54 i 1 .. 0~; 1,24 : 1;00 1,02 '·:~.8~' 0,85 • .o.rs·; 0,73 0,55. 0,63 0,51 . 0,55 
220,0 1,75 0,1562 1,48 • l,68 1,19 1,35 . tio 1,11 i 0,98. 0,93 '0,82 .. 0,79 ' 0,61 0,68 . 0,56 0,59 
230,0 1,83 0,1707 1.62 1,82 1.3º .. 1.46 1,20: 1,20 '1;01. 1,01 . 0,90. 0,86 0,66 .· 0,74 • -0,60 . 0,65 
•': .-. .. . - . t 
240,0 1.91 0,1859 .·l,.76 1,97 1,42 1,58 .'1,30. 1,30 1,17., 1,09 . 0,98 ' 0,93 . .0,72_ o.ao •.:0,66 0,70 
250,0 1,99 0,2017 I,éf' 2,12 i;54· 1,71 j,41" 1,40 . 1,26 1,18 .'i;o6 . ·1,00 .. 0.78 0,86 • 0,71 . 0,75 
260,0 2,07 0,2182 .2:07. : 2,28 1,66' 1,84 . 1,53 1,51 . ·137. 1,27 : 1,is. 1,08 -0,84' 0,93 i' 0,76 0,81 
1 • ' • 'iss· ·ú1'· : o.9o. : ó,82 270,0 2,15 0,2353 2.2t 2,45 .Ps. 1,97 1,62 l,3S -.1,24 1,16 1,00 0,87 
280,0 2,23 0,2530 : 2,40 2,62 .. 1.~~ 2.,11 ; ~77 1,73 1,58. 1.45 . l33' 1,24 . 0,97. 1,07 ·. 0,88 0,93 
290,0 2,31 0,2114 • 2:s0 ··. 2,79 . 2,07 2,25 . J.90 1,85 1}0 
.. 
1,55 1,43 :·. 1,32 1,04 1,14 '0,94: 0,99 
300,0 2,39 0,2905 2;76 : 2,98 2.21 · 2,39 2,03 1,97 : ·t;e? . 1,65 : 1,53 1,40 _1,11 1,21 (OL 1,06 
310,0 2,47 0,3102.iw 3,16 '·2,36 2..54 1 -2.11:. 2.09 J,94 1,75 ' 1;63 .. 1,49 1,18 . 1,29 .. i;Q7 1,12 
32.0,0 2,55 0,3305 '3;14 
' 
3,35 (2,52· 2,70 ! 2,31. 2,22 .·2.of 1,86 : 1,7{ 1,58 ~.1,25 136 :· 114 1,19 
3,33 2~6á 
',_,' •. 
:.·i,33· i44: µ1° 330,0 2,63 0,3515 3,55 2,85 . 2,46 2,35 : 2,20. 1,97 · ·i.04 .· 1.68 1,26 
340,0 2,71 0,3í31 3,54 3,75 ... 2,84' 3,02 2,61, 2,48 : 2;33 2,08 1~96 ' 1,77 1.~1 · 1,53 : 1,28. 1,33 
350,0 2,79 0,3954 ·. 3,75 . 3,96 . 3;01 3,18 .2.77 2,62 '_2,47 2,20 2,07. 1,87 1,49. 1,61 1,35 1.40 
360,0 2,86 0,4183 3,97 . 4,17 3,18 3,35 2;93 2,76 2,62 2,31 : 2,19 1,97 1;s0 1,70 '1,43' 1,48 
370,0 2,94 0,4419 )19 4,39 
1
),36 3,53 ; 3,09 2,90 ·. 2;76 2,43 . 2,32: 2,07 . 1,67 1,79 1.Sl 1,56 
380,0 3,02 0,4661, 4,42 ' 4,61 3.55 .. 3,71 .• 3,26 3,05 2,91. 2,56 2,44 2,18 1;76_ 1,88 '.- 1,59 1,64 
390,0 3,10 0,4909 4,66 4,84 '3.74° 3,89 .. 3;43 3,2.0 ..• 3;D7. 2,68 2,57, 2,28 1,85 1,97 ' :l,67· 1,72 
400,0 3,18 0,5164 . 4;90 ; 5,07 1 3,93. 4,08 . },6i 3,35 ' 3,2~ 2,81 2,70 . 2,39 1,94 2,06 ; 1,75. 1.80 
410,0 3,26 0,5426 5,15 5,31 : 4,13 4,27 'f79· 3,51 '. 3,390: 2,94 ),84 2,50 .'2,04 2,16 1;84 1,88 
420,0 3,34 o.s694 .s,:40 . 5,55 . 4,33 .. 4,46 > 3~98. 3,67 3,ss· ·· 3,08 ; 2,98, 2,S2 . 2,i.4 2.26 1,92.1 1,97 
o.~968, 5.66.: 
•,.' '- 1 1. ·.' 
:}.i# ~.àl ·.· 430,0 3,42 5,80 ; 4;54 4,66 . '4,17. 3,83 /3,73. 3,21 2.74 . 2,2~ 2,36 2,06 
T A B E L A S P A R A A S F Ó R M U L A S D E H A Z E N - W 1 L L 1 A M S E U N 1 V E R S A L ( C O L E B R O O K ) 191 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros Diâmetro 450mm 
Coeficiente C 
[Hazen-Williams) 80 90 100 110 120 130 140 
·•·· Ru~o&idãde ~. : 
·4,oo ·' ' 2,00 ' l,SO 1.00 0,50 . o.ia ; 0,05 
,, 
(mm) Colebrook] •' 
,,, ·"i 
., ',• 1 
Va2âO Vel V-J2g •. ,, 
(t/s) (m/s) (m) 
,. ·' 
' 
0,0008' 0,01 ; 0~01 ' 
' ··,", 
20,0 0,13 0,01 : 0,01 0,01 0,01 º·ºº' 0,01 j O;OO . 0,01 ·º·ºº' º·ºº ' º·ºº' º·ºº 40,0 0,25 0.0032 om 0,04 0,02 0,03 :. 0,02 0,03 '0,02 '. 0,02 : Q,02 0,02 o.ai 0,02 · o oi 0,01 ···' 
60,0 0,38 0,0073 o.os ' 0,09 'o.os 0,07 : 0,04' 0,06 '0,04. 0,05 ' 0,03' 0,04 ·.0,03 .·. 0,03 0,03 0,03 
80,0 0,50 0,0129 0,11 0,14 o.o~ 0,12 :, º~º~· 0,10 •0;01. 0,08 i o:os, 0,07 iüis·· 0,06 0,05' o.os 
100,0 0,63 0,0201 ··o.is 0,22 ~ o.u 0,18 '0,12 0,14 ,0;11, 0,12 : 0,09 0,10 :·,O,OJ~ 0,09 ' 0,07 .• 0,08 
120,0 0,75 0,0290 ·. o.2( 0,31 •. 019 0,25 .. ó.ia 0,20 0,16 0,17 ',0,14: 0,14 0,10 '·: 0,13 •·à.ia• 0,11 ' . 
: 0,24 . • o;i.8 :· :.1 (, . 
:· o.ff 140,0 0,88 0,0395 .0,32' 0,41 '. 0,26 0,33 0,27 •.0,22 ' 0,23 0,19 '014. 0,17 0,14 
160,0 1,01 0,0516 : 0.42: 0,52 : 0,34 •, 0.42 : .. o~3'i 0,35 0)8· 0,29 :.0~24· 0,25 ·.o'.18; 0,21 .·. b.i? . 0,19 
180,0 1,13 0,0653 .0,53 0,65 : Ó,43 0,52 i 0,39 0,43 ', 0;35, 0,36 :.1po: 0,31 0,23 0,26 >0,21, 0,23 
200,0 1,26 0,0806 o.Eis 0,79 ~ o;s3 0,64 : ~,49' 0,52 ·o;u•· 0,44 • o,37 0,37 0,28 0,32 '0~6 0,28 
220,0 1,38 0,0975 · .. 0,79 0,94 ! 'o.64. 0,76 0,59 0,62 : 0;53 ', 0,52 :·o;45 0,45 : ó,33: 0,38 Ó,31 0,33 
240,0 1,51 0.1161 o,94 1,11 ' 0,76 0,89 .0,70' 0,73 ' 0;63' 0,61 i Ó,53 .• 0,52 '0,39: 0,45 : 0,36. 0,39 
260,0 1,63 o 1362 ni:.· 1,29 ' 9,89 1,03 0,82 0,85 ':'0,74 .•. 0,71 ' 0.62 ' 0,61 • a.46 0,52 : .0,42 0,46 
0:1580 ·. Ú8"' '····· ,··· 
'0,85' i o 72'.· ,.0,53'' 0,49 280,0 1,76 1,48 : . l.03 1.19 0;95 0,98 0,82 0,70 0,60 0,52 
0,1813 ' 1;47 ' 1.68 .•. 1,19 1,35 1,09'.· 1,11 ·o,98 . 0,93 
1 .~' ' 
0,79 • O,!il, 0,68 ' 0,56 0,59 300,0 1,89 i 0;83.·' 
320,0 2,01 0,2063: 1,6!, ' 1,89 Ü5 1,52 1;24' 1,25 l.ti 1,05 0,94 0,89 , 0;59• 0,77 :. 0,63,' 0,67 
340,0 2,14 0,2329 .1;0~ ,' 2,11 1,52' 1,70 1,40, 1,40 ' i;t6': 1,17 :{ol 1,00 i·0,7,7' 0,86 0,71 0,75 
360,0 2,26 0,2611 ' 2,12 2,35 1;7i 1,89 i,57· 1,55 );4i 1,30 1:19'' 1,11 i 0,87' 0,96 : 0,79 0,83 
380,0 2,39 0,2910' 2,36 2,60 . 1;90 2,09 1,75: 1,72 ü7. 1,44 : 1,32 ' 1,23 ' 0,96 1,06 0:51 0,92 
400,0 2.52 0,3224: 2.61 '· 2,86 :.,2,il 2,30 1;94. 1,89 'Ú4 1,58 : :1;46' 1,35 i iô5' 1,16 0,91 1,01 
o,3554) .• e8 . 2,14., i.91 
'' 1 • 
'1;06 :, 420,0 2,64 3,13 2,32. 2,51 ' 2,07 1,73 .. ·1,61.· l,48 '. l,17.' 1,27 1.11 
440,0 2,77 0,3901 : 3;16 3,41 is5 2,74 2,35' 2.25 2;10 1,89 l,77 1,61 ·Ú8 · 1,39 1,16 1,21 
460,0 2,89 0,4264 ··3;46 ' 3,70 2,78'· 2,98 : 2;56 · 2,45 2,29 2,05 '1~93 ' 1,75 i,40. 1,51 'i.26 l,31 
480,0 3,02 0,4643 .3;76' 4,00 ' 3,03 3,22 i 2,79 2,65 2,50. 2,22 2,10 : 1,89 · í;52·' 1,63 l,3Z· 1,42 
soo.o 3,14o.so31 · 4.o8 4,32 ' '3,29 :. 3,47 i 3,03. 2,86 2;71. 2,39 ' 2,28' 2,04 :.1.64 .: 1,i6 1,48 1,53 
520,0 3,27 0,5449 4,42 . 4,64 3.56' 3,73 1 3,27 3,07 '2,93 2,57 : 2,46,' 2,19 ;q·t 1,89 i,60 ' 1,65 
: 2,65 ' 
1 ,• ' 
540,0 3,40 0,5876 i .4;75' 4,98 3,84 4,00 . 3,53 3,29 ' 3;16. 2,76 2,35 ,' i,91 2,03 : 1,72 l,7i 
560,0 3,52 0,6319 ' 5,12 ' 5,33 4;12,. 4,28 :· 3,80' 3,52 :úo 2,95 ·•2.0s· 2,51 : 2,os.: 2,17 : 't,85. 1,89 
580,0 3,65 0,6778 5,49. 5,68 ''4,42: 4,57 .4,07 ,: 3,76 i.ú4.' 3,15 ··3,os 2,68 '2°20 2,31 1,98 2,02 
'. 
'2'.35:' 600,0 3,77 o.12s4 5;8e 6,05 ' 4;fr· 4,87 ·4;36'' 4,00 i 3;90 3,36 3,27 2,86 2,46 2,11: 2,15 
620,0 3,90 0,7746 ,6.:28 6,43 M5. 5,17 . 4,ss:; 4,25 4,16 3,57 .3:5o • 3,04 "2;51 ' 2,62 2'.25 . 2,28 
,', ·. 
: 4,43' '2,sy·· ' 2,40 640,0 4,02 0,8253 .6.69 : 6,82 5,39 5,48 4,96: 4,51 3,78 3,72' 3,22 2,78 2,42 
660,0 4,15 o,8m 7,11 7,22 5,73 ', 5,81 5,27; 4,78 '4,72 4,00 ',3,96, 3,41 : ~;83 •, 2,94 . 2,54 2,56 
680,0 4,28 0,9317 ' 7,55 :. 7,63 6oá 6,14 : '5~59 5,05 ,5,01 : 4,23 : '4.20. 3,60 . 3;01 ' 3,11 2,70 2,71 .. ··'· 
4,45 700,0 4,40 0,9873 8,00 ' 8,05 . 6,44 6,47 ' 5;93. 5,33 5;30 i 4,47 3,80 . 3,18. 3,28 2,85 2,86 
720,0 4,53 1,0446 8,46 : 8,48 : s;s1 · 6,82 
1 
6;21. 5,61 ·· 5,si·; 4,70 : '4;71 . 4,00 3,36' 3,45 3,01. 3,01 
·.· ··, 
'),20···· 
:ü~ 
'' 
J.sf 740,0 4,65 1,1034 '8.94' 8,93 7,18 : 6,62. 5,90 4,95 Ü7,, 4,21 3,63 3,18.:. 3,17 
760,0 4,78 1,1639 ~.13 ,. 9,38 : 7,59· 7,54 i~i!f 6,20 5,20 : 5~2(' 4,43 .ti4 e 
3,82 • 3;3s ·: 3,33 
780,0 4,90 1,2259 : 9,93. 9,84 '' ª·ºº 7,91 6,51 5,46 5,52: 4,64 .3~M·· 4,00 : 3,52' 3,49 
1,2896 · iú5. 
1. . ' ~ . : i74: 6,82 5,72 :.?',81··· 4,87 .'Ü( 4,20 '3,fo .' 3,66 800,0 5,Q3 10,31 : 8,41• 8,29 
1 ·' •• 
192 CÁLCULO DE TUBULAÇÔES SOB PRESSÃO 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros 
Coeficiente e 
[Bazen·Wílliams) 
· 'Rugosidade e · -__ -- 4;0_ ·a 
(mm) [Colebrookl · · _ : : 
80 
! 2,oti -
1 .... •': 
90 100 
··-·' 
110 
' o,so: 
'·:1 
Diãm.etro 500mm 
120 130 
0,10 -
Vazão Vel. V2/2g: '' · ' · - .~< . 
140 
{l/s) (m/s) (m) 1,::,. .·.. ·:;::_.:. ·: ... :.: .. ··: :·.-
40,0 0,20 0,0021 :~.o~ : 0,02 ' o;d1 " 0,02 : o.o.( 0,02 : º;oi - 0,01.: 0~01:, 0,01 : o,or 0,01 '.0,01 : 0,01 
60,o o,31 0.0048 ::_o.Q3--· o.os ; .o.ó3: o.o4 : 0;03: o,o3 0,02 om · 0.02 0,02 1 0.02 0,02 <o.of· 0.02 
ao.o 0,41 o,oo8s:·;.o,o.f: o,o9 I;º·º~-: 0.01 ! o.~s. o.os : o,o4. o,o5 
1
1
• o.o~: o,o4 : o,03 o,o4 : .. ~.o.3 .. ' o.o3 
100.0 o,51 0,0132 . o,o9 : 0.13 • 0,08 0,11 , 0,01 o,o9 o.o~ 0.01 o.os 0.06 : o.o4 o.os i o,o4 . o.os 
120,0 0.61 0.0190-. 0;'1r:- 0.18 1 · oJL o,15 i 0~10 · 0.12 '. 0109 _- 0.10 : o.os o.o9 j;q~: 0.01 : q.ó~; 0.01 
140,0 0.11 0,0259_,o.1.~: 0,24 .::0:1-~~ 0.20 ;,::oJ~.: 0.16 [:.ºA( 0,14 !.p.g; 0,12 ··o.os: 0.10. o.os o.o9 
160.0 0.01 o.o33s. ~º·.24- o,31 1 º:~9 : o,2s . R·.1ª. 0.21 
1
, o,~~ ·-: 0.11 . 0.14.. 0,15 <o;ii," 0,13 :_ ó,1ó · 0.11 
180,0 0,92 0,0428 .'0.30 :: 0,39 ' 0,25_ : 0,31 - o.~t 0,26 l ·º . .29 ' 0,22 • 0.17 0,18 :o,i3 : 0,16 : :9;13' : 0,14 
200.0 1,02 0,0529 :· 0,31· · 0,41 _ o,3ó-. o,38 _0,2~· • o,31 r :a.2$·: · 0.26 • o.zi'": 0.22 0,16_ 0,19 ~ .0.15 o,17 
220.0 1,12 o.o64o :o.~s :" o,57 }!31:' o.45 ; p;3~;·; o,37 ::o.~('. 0,31 :·o,2s:. o.z1 - o,2p 0.23 : ·a.is·· o.zo 
240,0 1.22 0.0151 o,54 o,66 : 0,44 . o,53 : o.40 o.44 : o,36 . o,37 ·0,31 .. o,31 _0.23· : 0.21 Lo.21.. 0,24 
260.0 1,32 0,0894 · 6'.63 0,11 : o.si.;· 0.62 \ ,D.4( o.s1 :A1~ ,- o.43 ; q.~6 - o,36 0.21 : o,31 ; o.2s, o.z1 
280.0 1.43 0,1036 o,73 0,08 ..:o;59.. 0,11 : o,5s:: o,s8 : D;49 · o,49 o,42-' o,42 · 0,31 : o,36 - 0,29 ·:'. o.31 
300.0 1,53 0.1190 ··.-o,84 · 1.00 ··.-a,61l 0,81 ; :·o.63 . a.66 : à.ss< o:56 · oA: o,47 o.3s--- o.41 : o;fr' o,36 
320.0 1,63 0.1354 o.96 .: 1.13 : 0~11,- o.91 ; q'.11:, 0.15 ,_ o!s4- o,63 : º~54_ o,53 • a.4ii o,46 : o,37" o.4o 
340,0 1. 13 0.1528 .;i,os:: 1.21 -.. :9'.87 1,02 : o.~o o,84 : 0;12 '. 0.10 o,w o.so o,4s _ o,51 : 0,42 o,45 
350,0 1,s3 o.im i,21 :· 1,41 , o,9_S-: 1,13 : 0,90·: o,93 : 9_.er:,; 0.10 , o!6.e o,66 - o.s:1 o,s1 i .0,46·: 0,50 
380.0 1,94 0,1909. ·1;3~ :. 1,s6 : :409, 1.2s , 1.~0-~ 1.03 _· 9,~o o,86 _ 0,16 _ 0,13 - o,s6 _:: o.63 1 o.si o,5s 
400.0 2,04 0,2115 _l,49. 1,11 , 1,21• 1,37 10:1.11:: 1,13 . .i,oo o,95 · o;s4· 0,81 ;,0,62.: 0.10 i o,57 _ o,s1 
420,0 2.14 0,2332 1.s4" 1.87 : i.33ê 1,50 i ·1,23 · 1,24 f:i;10. 1.04 0:93 .· o.se · o,68: 0,16 : 0,52;: o,s6 
440,0 2,24 o.z559. 1,80 ~' 2,04 · :t46 · 1.64 :::i:3sX 1.35 i 1.~r: 1,13 : ~02 :· o,96 · o.7s · o,83 . o,sa 0,12 
460.0 2,34 0,2191 \97 .. 2,22 . 1,59 .. · 1,1s · );47:: 1,41 i 1.32 ; 1.z3 - i.11 - 1;05 - Ml o,9o ;- 0~14. 0,19 
4SO,O 2,44 0,3046 2.~ ' 2,40 :, 1,74, 1,93 \)~69 ." 1,59 :1;44_:" 1.33 ~l,21 - 1,13 0,89 ; 0,98 i o.ar: 0,85 
500,0 2,55 o,3305 ,.2.~3 2,59 :. 1,8_8 ... 2,08 ~ '1~74.. 1,11 i.~s/. 1;43 · ·1,31 ·: 1,22 ·o,96 -- i.05 ; .o.s7. · o.92 
520,0 2,65 o.3575. ~.s2 - 2,18 : 2,04· 2.24 : '.1,88, I,84 i. ~~ · 1,54 ' -:(42 , 1,31 1~03: 1,13 : Q,94. o,99 
540,0 2,75 0,3855 2,~" 2,98 : 2,20 2,40 : 2,02 1,97 i 1,82 : 165 : 1,53 1,41 1,11 _:_ 1,21 ~ 1,01,· '1,06 
s6o,o 2.s5 o,4146 2.9~_ 3,19 -2;35 2,s6 · 2.ia · 2,11 ;'1;95 -- 1,77 : 1.6s 1.50 1;20 - 1,30 : 1;08 .: 1.13 
5so.o 2,95 o,4441:w: 3,40 :,2;53,_ 2,14 .:2;34: 2.25; 2,Q!l} 1.09: 1,15_· 1,61 :tia: 1,38 :1,1( 1,21 
soo.o 3,06 o,4759 3,3( 3,62 :2Jt 2,91 ,}~sei. 2,24-··2.24 - 2,01 'is( 1,11 :: 1;37 1,47 :·i.24 1.29 
620,0 3,16 0,5082 3,58 3,85 -- 2;S~ 3,10 i 2,67_: 2,55 2,39._ 2,13 , 2,02 ; 1,82 --1,46 1.57 1 1,32', 1,37 
.640,o 3,26 o,541s'\82. ·, 4.08 : ~;~a· 3,28 ! :~;s{.: 2,10 : ·2:sS,-: 2,2s *,1s . 1,93 +!ss. 1.66 !).4o 1,45 
660,0 3,36 o.s459 4,ps . 4,32 "3.2B _ 3,4S : 3;or 2,86 1 •. 2.n 2,40 ! 2,20 ·2.04 l;6s - 1. 16 : 1.49_ 1,s3 
680,0 3,46 o,6113: Ml 4,57 . 3,48,. 3,67 : 3;?L: 3,02 : .2;a8.~ 2,53 ! 2,42 - 2,16 1,1s 1,s6 :: 1.58 1,62 
100.0 3,57 0,6478 :4;56 4,82 3,69 - 3,88 . 3,40. 3,19 : 3,os-·: 2,61 ; 2,57 · 2.2s , 1;e5. 1,96 . i.67- 1,11 
720,0 3,67 0,6853 "4.83, 5,08 "$;~0 4,08: s;#o:_: 3,36 "3',2f· 2,82 ; i.il 2,40 '.'i.96 2,07 [:1,76_:, 1,80 
740,o 3, 11 o. 7239. : s.10 · 5,34 _ 4,12 :· 4,30 1 ~,ao, ; 3,53 ; ~.40- :. 2,96 , 2!87: 2,s2 hQ7 - 2,11 : 1,86 , 1,90 
760,0 3,87 0,7636: 5;_3S: 5,61 : ~35'.. 4,51 ! 4,01": 3,71 i:3,59 i 3,11 : 3.~02 : 2,65 2,18' 2,28 : 1,96_: 1,99 
1so.o 3,87 o,S043 5,67 s,89 • 4,ss · 4,74 4;2_2 · 3,90 : 3,70 3,21 , 3;18 ,: 2,18 , 2.29 · 2,40 , 2,06 · 2,09 
800,0 4,07 0,8461 • 5;9~::. 6,17 : :4;82:: 4,96 'J,44 4,08 : 3,98 : 3,42 : 3,35 2,91 -ú1 i 2,51 : 2.i6 2,19 
: ------- .• -__ ,.' - ,' ,_,_,_, ___ ,,_ ,,_ -""'.' 1-' - .:' ' - ;:.:-., :.- -..• .-:'; 
020,0 4,18 o,8889 '6,2.6:- 6,46 , 5,06·; 5,20 F 4,_6~ - 4,27 : 4;~~ - 3,58 : +s2. 3,05 , 2,53 , 2,63 t 2.21 2.29 
T A B E L A S P A R A A S F Ó R M V L A S O E H A Z E N • W 1 L L 1 A M S E U N 1 V E R S A L ( C O L E 8 R O O K ) 193 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros Diâm.etro 550mm 
Coeficiente e 
[Bazen·Williams] 80 90 100 110 120 130 140 
. .. ·· ii~,~~cl~d~ b .. :4;00 .• 1, 2,00: :.1.so· 
,,,, .. ,,, . 
1 : l,00 ' 0,50 0;10: . O,QS' 
(mm) C?lebrook] < : · 1 ·.' 
" 1 i ': 
,, : 
I ·. ,., i ,, 
Vaz.ão Vel. Vl/2g ~ , , : ; 
(l/s) (m/s) (m) ,• 
, , .···-·:) !'' -·,,1·-
·. ., ... 
•,' ··.".:····-'.::.: ,,, 
0.0014 :'.o!ci{: 
1',!1_; 
40,0 0.17 0,02 ; o;cii 0,01 ·, ~.01: O,Ql 1,0,g(: 0,01 :':0.01: 0,01 1: 0,01 0,01 0,00 0,01 
. '002 :, ··o,oC , .. '•' . .' 
,:o.ai" 60,0 0,25 0.0033 . o!q2 , 0,03 0,03 , :,0,0,2 0,02 , 0,01.· 0,02 0,02 :. 0,01 0,01 0,01 
80,0 0,34 o.oos8 o.q~ · 0,05 ··a:os:: 0,04 . o.q~ 0,04 :,0,03 : 0,03 .0,02: 0,03 .:-0.o2 0,02 ;-0;02 0,02 
·o,04·: '·''· 
100,0 0,42 0,0090, :0;06:: 0,08 ·Q;9( O,Q7 , 0,04 o.os 0,05 :'º·º~·: 0,04 0,03. 0,03 ·, 0,03 0,03 
0.0130 o;ós , ·b,91 .. : 
:··.··, 
q~o6, . 
11~ 
. q,o4· .. 120,0 0,51 . ···.· 
0,12 0,09 ,: 0!06., 0,08 0,06 ·.o.o~.: o.os 0,05 0,04 
140,0 0,59 0,0177 0,11,. ·o.is o 09' 0,12 '0 08 0,10 : 008 .·. 0,09 ,. o·à6' 0,07 0,06 ),os··. 0,05 
0,0231 :·0,14 :· :·0:12'i 
r ..... , : .. J.,.· 
: a::oâ',160;0 0,67 0,20 0,16 ,:o;ir: 0,13 OJQ 0,11 0,09 0,08 o,w 0,07 
180,0 0,76 0,0293 . O,lf 0,24 , 0;15 ·· 0,20 :· 0,14 0,16 ~:i:~' 0,14 ; o.~i.J· 0,12 ['o.os,. 0,09 , º·ºª 0,09 
200,0 0,84 0,0361 :0,23 0,30 ê ô 18 '. 0,24 : 0;17; 0,20 0,17 : .0,13 , 0,14 1 0;10 0,12 : 0,10: 0,11 
. ' .. · .. I ·•· . · Q,is · .. ).1~: !012 . õ,ii, 220,0 0,93 0,0437 0,27 0,36 : 0;22 0,29 ' '0,2Q 0,24 0,20 0,17 0,14 0,13 
240,0 1,01 0.0520 . o;:i2·. 0,42 :. 0,26;' 0,34 .::0,24 0,28 ..~.2r. 0,23 , '0,19." 0,20 ~:'o'..if 0,17 ; 0,13 , 0,15 
260,0 1,09 0.0610 · o:Ss' · 0,48 : 0,31. 0,39 :· 0.2~ 0,32 0 .• 26. 0,27 
\Ó.22 '" 
0,23 ;:.0;1i· 0,20 0,16: 0,17 
280,0 1,18 0,0708' 0,44 , ' 0,56 o,36 .· 0,45 ' 0;33 0,37 0,30,, 0,31 '0;25:' 0,26 0;19 0,23 ~0,18 0,20 
. Ó,4( 
:·' '·--··., 
0,22 .. 300,0 1,26 0,0813, .0,51'' 0,63 0,51 :.·0;38 0,42 ·.·a,34·• 0,35 .•0,2.9.' 0,30 0,26 0,20· 0,22 
320,0 1,35 0,0925 .=o.se :· 0,71 . '047 0,57 0,43· 0,47 '0;39·. 0,39 •. 0,33 , 0,34 .•0;25.· 0,29 0,23. 0,25 
340,0 1,43 0,1044 : 0,65 .·' 0,80 ;··q~3 •. 0,64 ,)J,49'. 0,53 : 0,44· 0,44 ' b 31.: 0,38 : ·a.28 0,32 0,26 0,28 
1 , .• ,: 
360,0 1,52 0,1170 ' .Q. 7:i , i 0,88 ' ci.59' 0,71 q,55 0,59 : o.4~ ·• 0,49 1 0,4~ , 0,42 i 0,31". 0,36 •· 0,29 0,31 
1,60 o,i304 . o.ai'· : ·os&·. 0,79 , 0,61. 0,65 -0.~5: ,·0,35' 
,• 
380,0 0.98 0,54 , 0.46: 0,47 0,40 1 .0;32 0,35 i · ... 
:, 0,67: 400,0 1,68 0,1445 o!9o' 1,07 , 0,73 0,86 0,71 .o.s1: 0,60 '0,51 0,51 , 0;38 0,44 ' 0,35 0,38 
'• ..... 
:,iià4' >0,6T. o.si •. 0,42 .. 420,0 1,77 0,1593 , Q,99 . 1,18 , ~;80 0,95 0,78 0,65 0,56 0,48 0,39 0,42 
440,0 1,85 0,1748 . 1,09 ' 1,28 ,, 0,88. 1,03 .0;81. 0,85 ··~·;ib·· 0,71 , 0;62. 0,61 1'0,4( 0,52 . 0,42 0,45 
460,0 1,94 0,1911.'.i,i9 .: 1,39 : ·0,96''. 1,12 ·.~ó.às• 0,92 0,77 "q;68 0,66 : .. Q,50 , 0,57 0,46. 0,49 
0,2080,, i;29 ' 
1 • • • 
; :0,91·· 
~ . '· ' - ' 
, o,sq'' 480,0 2,02 1,51 : 105· 1,21 1,00 .0,87: 0,84 ,0,1(· 0,71 ·. 0,5( 0,61 0,53 
1 ·.'.· : 
500,0 2,10 0,2257: 1,40 . 1,63 t :1,K 1,31 'tos: 1,07 0,94 0,90 ·o.só:: 0,77 . ·.o.59 0,66 . OA4' . 0,58 
520,0 2,19 0,2442 ; i.52 ' 1,75 , 1,23., 1,41 : ~l;l4, 1,16 .:1,02.' 0,97 o.86. 0,82 • o;54.• 0,71 .. Q,5$. 0,62 
540,0 2,27 0.2633 ),64 ,, 1,87 ': l,33: 1,51 1,23' 1,24 ).10 ·•. 1,04 ·.o;93. 0,88 · o;6s 0,76 : 0;6,3.: 0,66 
560,0 2,36 0,2832 1,76\ 2,00 1,43·· 1,61 '1,32 1.33 ,, 1,18 1,11 i,oo: 0,95 <0,74 ' 0,82 0,67·· 0,71 
580,0 2,44 0,3038. 1.8~ ,: 2,14 ,q.;s.3 1,72 :, 11~1. 1,42 1;27, 1.19 i i:or : 1,01 '·:à.79 .. ' 0,87 0,72' 0,76 
600,0 2,53 0,3251 . 2~02 ,. 2,28 :.l.64,, 1,83 ' 1,51, 1,51 '.1,36': 1,26 :i,15. 1,07 .'.0,84 0,93 .. 0,77, 0,81 
620,0 2,61 0,3471 :!;16 .. 2,42 . ps 1,95 ,J,61 1,60 '1;45 1,34 i 1,23' ' 1,14 ···ô.9o 0,98 . o.~2 0,86 
640,0 2,69 0,3699,, ,2,30 .: , 2,57 : ),86" 2,06 
'.t~r 
1,70 ~~54:: 1,42 : i,si •. 1,21 • o.~s ·• 1,04 ' Q.8~ 0,91 
660,0 2,78 0,3933 ·;44 , 2,72 : 1.98' 2,18 1.80 J.H: 1,51 : :1!,39, 1.28 lOL 1,11 : 0,92 0,96 
1 . i.94. 
.,_t.I 
.0.~1. 680,0 2,86 0,4175 2,59. 2,87 '2;10: 2,31 1.90 ':1.14.. 1,59 ).4! 1,36 1m> 1,17 1,02 
700,0 2,95 0,4425 ·2;75 :• 3,03 ', 2;23 2,44 ' 2,06,: ,200 >1:-~' 1,68 : '156 ,. 1,43 ''ü4:. 1,23 l,03' 1,07 
720,0 3,03 o,4681 ~~.9C 3,19 : ,.2~36: 2,57 2;18 2,11 . 1,95 , 1,77 • 1'65.: 1,51 '.üó 1,30 :1,09.· 1,13 
·• 2;3o 
'· , 
: t'-27. 740,0 3,11 0,4945 .. :3,07 '· 3,36 . 2.4~, 2,70 2,22 2,06 1,86 ' 1;74 1.59 1,37 ' 1.1?~ 1,19 
0,5216 '.;3,24: ,: :,,~~63 . 2.42. ··2,18:. 
.... ..,, . 
:.1:34.": : 1;21- 1,25 760,0 3,20 3,53 2,84 2,33 1,96 ... q~.· 1,67 1,44 
•''·······, 
780,0 3,28 o,5494 .s;41.:,, 3,70 ' 277. 2,98 '·2 55, 2,45 2;29 2,05 ... 1~~.:· 1,75 
li:~ 
1,51 , i,2( 1,31 
···' 
:>~:::' ,·pf soo.o 3,37 0,5779 ; .. 3,59 , 3,88 : 2,91. 3,12 2,57 2,41 ' 2,15 ?.O,~:, 1.83 1,58 1,38 
..•. ,.,._1 
<3·06' .·.2;53,., (2,14 );55,:: 1,65 1,40: 1,44 820,0 3,45 o,5072 : .. 3;g. •! 4,06 
,· ·'· ' 
3,27 2,69 2.25 1,92 
194 CÁLCULO OE TUBULAÇÕES SOB .PRESSÃO 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga exn metros por 100 metros 
Coeficiente C 
[Hazen-Williams) 
· ·Riigôsid~de ~ , . 4.oO · 
(min)lCol~bi:oOk] .... · .. · .·.· . 
1 • •• "•"· •••••• •••••• ·, 
80 
i 200 :·, 
1 . '· 
90 100 
1,50 
r ,: . 
: 1,00 
' .. 
, .. ··.·;. 
Diâm.etro 600mm 
110 120 130 140 
o 10 
··.' •• 1 .' 
. 0,05. 0,50 . .. 
1 
Vazão VeL Vl/2g ,.~ : 
((/s) (m/s) (m) · ·: . . . 
~::~ ~:~~ ~:~~; ~:~r ~:~~ ,~:~;, ~:~~ 1 ~:~;: ~:~~ :.,~:~~ ~:~; ; ~:rir ~:~~ . ~:~: ~:~~ ~:~!' ~:~ 
isa.o o,64 0,0201 .0.11 : 0.16 ~ .. ·o,o!i' 0.13 : à,ll9: 0.11 . ·o.os · o,o9 o,of. o.os o.os : O.D7 o.os o.os 
200.0 0,11 o,02s5. 0.14: 0.19 ' ô,iiF 0,16 .;:o,ú: 0,13 · o.ia ' 0.11 :o.os' o.o9 0.01 0.08 o.os , 0.01 
220,0 0,78 0,0309 . Q,l'Í' . 0,23 ' .O,i4. 0,19 . lÚi' 0,15 ·. 0,~2 0,13 0;10 · 0,11 b;08 . 0,09 o;ot, 0,08 
240,0 o,ss 0,0367' 0,20 : 0,21 : ·a.i7 · 0,22 üs: 0,18 , 0,14 : 0,15 0,12 0,13 . o,o9, 0,11 • o;O? 0.10 
260,0 0,92 0,0431' o,2{ 0,32 O~Ó·, 0,25 ':fü~: 0,21 ' O,i( 0,18 _0;14 . 0.15 ;0,11 0,13 :. 0,10 0,11 
280,0 0,99 0,0500 : 0,28 ' 0,36 :- 0,23 : 0,29 : 0,21 0,24 . 0,19: . 0,20 : 0,16 0,17 0,12 : 0,15 0,12 0,13 
300,0 1.06 o.os14 "a,3·2 : o,41 ! :il.26 o,33 : :o.24: 0.21 0.22· 0,23 >aia'. o,19 , o,i4 , 0.11 ,0;1s. o,15 
320.0 1,13 0,0653 Ó,36 . . o,47 ~ ó,3o 0,21 : , ·ô.27 · o.31 -0.2{: 0.26 0,-2( • 0.22 · 0,16· . 0.19 , 0,15 0,11 
340,o 1,20 0,0131 · Ó,41 ' o,s2 o.ás: o,42 · ô;3i · o,34 •o'.28 · 0.29 · 0,24, 0.25 o,1a, 0,21 : Ó.17 o,1s 
360,0 1,21 0,0826 · o,46.' o,58 o,37 · o,47 1 0,35 . o,3s ·: o;3i 0,32 · o;fr . 0,21 0.20 · 0,24 : 0,19 · 0,21 
380,0 1,34 0,0921 .0;51 o,64 ' M( o,51 ; .1i.3( o.42 '0:3s:. o,35 · Q,29 o,3o 0.22 · 0.26 : 0.21 ; 0,23 
400,o 1,41 0,1020 o;57 0,10 · .0,45· o,57 1 o.43. o,47 ::0,38· o,39 ·0.22 o,33 :.0.25· 0,29 · 0.23 0,25 
420,0 1,49 0.1125 Ó,62: o. n : o,s1. 0,62 [ 2.41 . o,51 ,,:0;42 o,43 . 0,36 '. o,36 0~1 o,a1 0,25. 0.27 
440,0 1,56 0,1234: ,0,68 0,84 ; 0,56. 0,67 •. 0,52: 0,56 i p,46 0,47 : 0,39 . 0,40 0,30. 0,34 0;27: 0,30 
460,0 1,63 0,1349 · 0,75. 0,91 ; .0,61 . O, 73 ·. O,S6 . 0,60 ' 0,51 0,51 0,43 0,43 . 0;32 ·. 0,37 i. Ó,30 , 0,32 
480,0 1.10 0,1469 'O,s1 o,99 ' o,66 o,79 · o.si o.65 . 0,5s,· o,55 · 0;41. · o,47 o,a5 · o,4o o,a2 o,35 
soo.o 1,11 o,1594:o;ss. i.os · 0,12 o,86 : .~;66 0.10 'O,so o,59 .. o.sr. o,5o ·o.as o,43 o.35 o,38 
s20.o 1.84 0,1124 o,96 1,14 o.1a.· o,92 :" 0,12 o,76 : .o,ss: o,63 ' o,5( o,54 · p,4{ o,47 0;3·s 0,41 
540,o 1.91 o,i859 ., 1!oa: 0.12 . 0,84,: o,99 _."0:11 0,81 , 0,10 · o,68 o.s~ o,58 0,44 : o,5o . :o.4o o,44 
560,0 1,98 0,1999 'ü1 1,31 · ·a,90 1,05 .·· 0,83. 0,87 · 0,75 0,73 O;ô4 0,62 0,47 0,53 : Ô,43'. 0,47 
500.0 2.05 0,2145 · Ú9 1.40 , o,97 . 1,13 : .0,89 o,93 0,80 ·. o,78 'o;6S , o.66 : 0;51 •. o,s1 .: o:4s , o,5o 
~~~~mw~w ~.~:~~ ~ ~-~~~:~.~ ~ ~ ~ 
620,0 2,19 0,2451 1,36: 1,58 . ÚO 1,27 ; .1,02 · 1,05 .. 0;~2 0,88 . 0,78:: 0,75 . 0,58 0,64 0,53 0,56 
s40,o 2,26 o,2s11 U5'. 1,68 : i.1s . 1.35 '" 1.09 . 1.11 : . D.9?" o,93 , o.sa . o, 79 0,61 o.68 o,56 o,so 
660,0 2,33 0,2777 l,54 . 1,78 i 1,25. 1,43 1,16 1,18 ; 1,04 0,99 . 0,88 . 0,84 0,65 0,72 . 0,59 0,63 
680,0 2.41 0,2948 l.63 1,88 '· l,33 1,51 1,23 1,24 1,10. ; 1,04 ).Q4 ; 0,89 0.69 o, 76 0,63 0,67 
700,0 2,48 0,3124 1;73 1,98 ._I,41 1,59 . 1,30: 1,31 : 1,17,:· 1,10 0,9~ 0,94 0,73 0,81 0,66 0,70 
72.0,0 2,55 0,3305 -·1;83 · 2,09 1;49 1,68 ; 11;38 1,38 . 1;24 1,16 : 1;05 0,99 O,Tl 0,85 0,70 0,74 
740.o 2,62 0,3491 '. ·i.sa 2,20 · 1,57 l,Tl · 1,45 1.45 i;31... 1,22 1,11 1,04 ·a.sr ' o,s9 : :0.14 o,78 
760,0 2,69 0,3683 . 2;ó4 2,31 '. 1,66' 1,86 : tsf 1,53 1,38 ; 1,28 1~17 1,09 .. 0;86. 0,94 i o, 18,. 0,82 
780,o 2. 1s o,3879; ·.2,1s · 2,42 1,7s 1,95 1 i;61 1,60 1,45 1,34 i,23 1,i4 o.9o . o,99 .. o.s2 o.as 
800.0 2,a3 0,4oao 2;26 · 2,s4 \8( 2,04 ; "i;~o 1,sa . -i:ss 1,41 ~;29 t,20 0!95 1,03 o.as . o,90 
820,0 2,90 0,4287 };37 2,66 J,93. 2,14 . 1,78 1,76 .1,60 1,47 ,:'t,36 1,25 0,99 1,08 0,90 0,94 
840.o 2,91 o,4499··2,49 2.18 :, 2,of 2,24 ·i.;s1; 1,84 ,.1,s5·· 1,54 :·1.4? 1,31 2,04. 1,13 :·o;94 o,99 
aso.o 3,04 0,4715 2,s1 2,90 2.ii · 2,34 i,!i6 · i,92 : 1,1s 1,61 · ~.49 :. 1,37 · i.o9 . us ,.o.st 1,oa 
880,0 3,11 o,4937 2. 73 ª·ºª :: .2.22 2,44 : .i.ôs : 2.00 ·\às ·. 1,s8 ~ss . 1,43 . 1.i4 1,23 · · i.a3. • 1,08 
900.0 3.18 o,5164 2,a6 3,16 : 2,33; 2,54 . ~·!5'. 2.09 , i.93:: 1.1s 1:s:i.·. 1,49 . l,19: 1.29 [ i.o.s·, u2 
920,0 3,25 0,5396 .-~~9,9 3,29 . 2,43. 2,65 :2,2( 2,18 i' :2;9? ,. 1,82 • i,71.: 1,55 1;24; 1,34 ; ijf 1,17 
T A B E L A S P A R A A S F Ó R M U L A S O E H A Z E N - W 1 L L 1 A M S E U N 1 V E R S A L ( C O L E B R O O K ) 195 
Continuação da Tabela 8-14 
Perdas de carga em. metros por 100 metros 
Coeficiente C 
[Hazen-Williams] 80 90 100 110 
0,50: (n!J.1~. si~-.i~_-_e e. ~j ·:. ·4'.~~ •. • 2;6ó : úo i.oo; : 
Vazão VeL V2/2g . · : , ,· , . : . ·: 
120 130 ~ 140 
. '.º!~º .. .0,05 
.,. 
..r· ... 
((/s) (mÍsl (m) · ' : . 
100,0 0,26 0,0034 o.of 0,03 t o!ó~ : 0,02 ; ;ó:oi :
1 
0,02 : 0:01· ': 0,01 : ."o,oi ':; 0,01 '.o:ot 0,01 Ó.Ô,l : 0,01 
150,0 o,39 0,0011. o;o4,. o,o5 ! · o.of o.o4 ;. o.p3 o,o4 o~o~. ' o,o3 .O.Q2 \; 0,03 ' o;o:r 0.02 0.02 0,02 
200,0 0,52 0,0138 Q,06 ; 0,09 . 0,05 ' 0,07 :: ,o.os ·. 0,06 :. 0,04 ·. 0,05 ., ~·94 . 0,04 0,03. 0,04 0,03 0,03 
2so.o o,65 0,0215: :ó;10,: o,i4 : d,oa · o,i1 :.: iÚii :. 0,08 · :0;01 . 0,08 ,o.os : 0.01 '· o;os ·. 0,06 . o,04 . o,o5 
300,0 º· 78 0,0310 : o,í{ 0,19 : o,i2 0,16 io.11 0,13 0,10 0,11 : o,of·.· 0,09 'ó.o'i 0,08 0,06 0,07 
350,0 o,91 o,o42(0,Ii1:.: 0,26 i _o:i6 0.21 ··q.W· 0,11 /o'.i~:.: 0.14 .·o.it~ 0.12 o,ôf: 0.11 ·a.ás o,o9 
400.0 1,04 o,oss1 o.2s . o,33 .. 0;20 · 0.27 0;19 0.22 . 0.11:: 0,18 · '.·0;1ii·· 0,16 o.it.: 0,14 o,ii 0.12 
450,0 i,11 0.0691·0;32· o,41 '.o;2s:: 0,33 : :o.24'. 0.21 .á,22: 0,23 'o.-19. o,19 ·o,i4 0;1 .o.u·: o,15 
500.0 i,30 0.0860 :O.:if o,50 'o,3f 0,40 : o~3it o.33 rüf 0.28 ·0.23 .. : 0,24 ''0;11· 0.20 . ,o.is 0.10 
s5o,o 1,43 o.io41 o.4f 0,60 o;39'. o,48 0;3ir o,40 o,32 o,33 : 0;20.: 0,28 ':ó.21 0,24 0,19 0,21 
600.0 1,s6 o.mg_'ó,ss_ 0,10 -0.46 o.51 · .o.43: 0,41 'úa:. o,39 .. 9.33": o,33 Ais• 0,29 . a.23': 0,25 
6So,o 1,69 0.1454. o,66 0,82 o.54 · o.56 .. o,so o,54 .0,45. o,45 ··o,38 .. o,39 , 0,29·~ o,33 0.21.·. 0,29 
100.0 1,82 0,1686 ·o.1€v o,94 · 0,62 0.15 . 1i,5s. 0.62 · 'ó,52·: o,52 ··o;44' o,44 b.~3!' o.38 o.31 . o,33 
750,0 1,95 0,1936 o:aa ; 1,06 .• o;ti; 0,86 '0,66 : 0,70 o,60.,' 0,59 ; o.si: 0,50 ),38··· 0,43 o,35.' 0,38 
soo.o 2,08 0,2202 úo 1,20 · ii.82 : o,96 .0.1;; . o. 19 : ·o;~ . o,66 o:sá : o,51 : o~43 ' o,49 a,40. o,43 
s5o.a 2,21 0,2486 .i.13 .· 1,34 .. 0,92 : i,os · o,85;' o.s9 0;11' 0,14 · :o.ss. o,63 .ci,48. o,55 a;.44 o,48 
900,a 2,34 o.2n1 .üs' 0,49 . 0Jo3 0.20 ô.9s o,99 p.86 o.s3 0.13 ' 0.10 ),§4 0,61 · ó,5o · o,53 
950,0 2.47 0,3106 :UL 1,65 1,15 . 1,33 .: 1,06 0,09 . 0,9.6 .. 0,91 . 0,81:-' 0,78 Q,60 , 0,67 0,55 0,58 
1000.0 2,so a.3441 ·1.ss. 1,s1 · ü1 1,46 . i,18 1.20 , 1~0,s" i,oo :o,9o : o,86 'o,67: a,74 o.si. o,64 
1050,0 2,13 a,3794 .. üf 1,98 1,40 1,60 , 1.~o. i,31 ·. ~-1.r i,10 p.~9 ' o,94 :o.~3 : 0.81 . o,67 0.10 
1100.0 2,86 o,4164 , 1,88 .. 2.16 1.~ i. 74 i,42 . 1,43 1,.28 · 1.20 . 1,09 · 1.02 ~.ao : a,88 o,73 o. 11 
mo.a 2,99 o,4551 +.os· 2,35 1,68. i,09 .1.s.~; 1,55 ·.t40 · 1.30 '•],19': 1,11 ,a.~a·· .. o,96 .:o;sa .. a,83 
1200.0 3,12 o,4956 ,2.24 . 2,54 1,83 2,04 J,69. 1,68 i,s3 . l,41 . .i;30 •, 1.20 .o,95 • 1,03 o.86 o.so 
1250,0 3,25 0,5377 . 2,43 2,74 1,99 ; 2,20 1,à4. 1,81 1,66 ·. 1,52 '·1.4i ·. 1,29 ' Ú3 ' 1,11 Ó,93 '. 0,97 
1300.0 3,3s o.5816 ·.úr. 2,95 .· 2.1s. 2.,31 ::.1,99, 1,95. ~79·' 1,63 ._i1·'..56_~, ... :: 1,39 ·i,11 _· 1.20 ,1.01. i.a5 
1350,0 3,51 0,6272 .2.84; 3,16 . 2,32 2,54 2,14 2,09 . 1,93" 1,75 ·. '. ... ·, 1,49 ',l,20 1,29 1,09. 1.12 
1400,0 3,64 0,6745 s.os' 3,38 ,2,49. 2,72 .2,30: 2,24 :2,00 '· 1,87 vs:, 1,60 . i".zg 1,38 1,16 1,20 
1450,0 3,77 0,7235" _3,27 3,61 : 2;67, 2,90 ·. 2,47:: 2,39 2.2( 2,00 .1.~f: 1,70 \_38: 1,47 . 1,25 1,28 
1500,0 3,9o 0,1143 3,,50:: 3,84 2_.86, 3,09 : 2;65 ., 2,54 '2,38: ·. 2,13 . 2;02 1,01 , i;47: 1,56 1.33 .· 1,35 
1550.0 4,a3 o.8268 3,7(. 4,o8 .· 3;05 3,2s : ..2.82 2,10 2.s4 2.26 . ·2.w 1,93 . J,5r l,ss 1,42 i,4s 
1600,0 4,16 0,8810 :3.98 4,33 . 3.25 3,48 ':3,of 2,86 : úc 2,40 · 2,30 '. 2.04 ::i.st 1,76 1.5i · 1,54 
1s5o,o 4,29 o,9369 ià· 4,50 ,· ·3.4s 3,68 . 3Jo 3,a3 2,sà' 2,54 .ü4·. 2.16 , úi 1,s6 i,so . 1,63 
' 1' '.. .- . ; .·, ... ,• .. _." 
1700,0 4,42 0,9946 4;50 . 4,84 1 • 3,67 3,89 . 3,1:0 . 3,20 ~.06 ; 2,68 : 2,59 ' 2,29 .1,89 : 1,97 vo.' 1,72 
1150,0 4,45 1,0539 4,77/ 5.11 : 3,89 4,11 03.sà i 3,38 ~.24 ·, 2,83 : 2;75 :: 2,41 :· 2.oq· 2.08 . .l;SO .. 1.s1 
1800,0 4,68 l,1150 5;04 . 5,38 ' 4,12 4,33 3,81 • 3,56 3,43 : 2,98 ' -2;91 •.'. 2,54 2;1~ 2,19 "t,90 .: 1,91 
1850,0 4,81 1,1778 5,33· 5,66 . 4;35 , 4,55 ' ~62 3,75 · 3;62. 3J4 : 3;of 2.61 :2.2,3. ·. 2,30 ·.2.00 2.01 
1sao,o 4.94 i,2423.·s.62', 5,95 4,s9· 4,78 ·4,24 3,94 · 3,a2:' 3,3o ::s;24; 2.s1 :2,35'' 2;42 2,u 2,11 
1950.0 5,01 1,3os6 :s.~2 6,124 üs 5,02 4:47. 4.13 .4.oi,, 3.46 ; 3)11·:: 2.9s :ú?.: 2,s4 .2,.22. 2.21 
2000.0 s,20 1,3765 ·6;2f 6,54 S:Os , 5.26 . ~10 : 4,33 . ú'.. 3,63 , 3;58 3,09 · 2.so ~ 2,66 2;33 2.32 
2oso.o 5,33 1,4462 · 6~54 : 6,85 · :5;34:: 5,51 A,94' 4,53 ·4;4s ·, 3,80 :'··3;77 ·:: 3,23 : 2;73 : 2,79 · 2,45 2,43 - ·' ·-.• ' . ,-._ ..... " . -,-·.; •, .. '.' '·. . . 
196 CÁLCULO DE TUBULACÕES SOB PRESSÃO 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros 
Coeficiente e 
[Hazen-Williams] 80 
·::200 
. ··':·· 
1. 
90 100 110 
'··l,00. •.· p,so 
".' 
·:. '.: .. ' .. . Vazão Ve!. VZ/2g , ... ' : ... . 
Diâmetro 800mm 
120 
'ôio 1·.:.' . 
. : ''> ,' 
•'. .·. 
130 
:.·p;os · 
·-·· 
···'. 
140 
((/s) (m/s) (m) :>' \' h :;- · ' '".' , . . .. . 
100,0 0.20 0.0020:·0;01.: 0.01 •. :o,oi. 0,01 •j.oi- 0.01 /~;:g~·; 0.01 0.01.~ 0,01 :~~~6· 0,01 :o.o~; º·ºº 
1so.o o,3o o,004s 0:02.: o,Q3 ··o.o( 0.02 <o;oi: 0,02 : o.o~: · 0.02 ; 0.01 0.01 · 'ó,or,. 0,01 ,. 0,01 0.01 
200.0 0,40 0,0081 ·o.o3· a,o5 > o,o3 o,04 : ·a.ó{ om ·a.o? o,o3 : 0.02 0,02 0.02 0.02 0~02 . 0,02 
2SO,O o so o 0126 '. ô;os" :: 0,07 ~ o;M. 0,06 : ci;o:{ 0,05 o,ó3 ' . 0,04 ~ o;o3 0,03 : 0,02 ; 0,03 • 6,o2 . 0,03 
300,0 0:60 0:0182 :o.of:' 0,10 <~~p~:· 0,08 : 2.~s om :.Q:os: 0,06 :ª·E4 o,o5 o.o~ o,o4 iJi,o~. o,o4 
3SO,O 0,70 0,0:!47 0,09, 0,14 . 0,08 0,11 : . 0,07 ' 0,09 0,07 .. : 0,08 0,06 . 0,06 ;0,04 0,6 ; 0,04 o.os 
400,0 0,80 0,0323 :··o;i2''.' 0,17 i. o~Íó'. 0,14 ; ~.o:g9 .. ~ 0,11 ,:·:o;q9· ! 0,10 :;_o,0:7': 0,08 ,·o.os,:.: 0,07 ! º~º5 . 0,06 
450,0 o,9o o,o4a8'ó;is:' 0,22 1.:o;i:i: 0,11 ... 0,12·: 0,14 /0;1t> 0,12 :·p;ô9 ·· 0.10 :.o:ot: o.o9 !: 0,01: 0,08 
soo.o 0,99 O.OS04 0,19 : 1.26 ~ ,o;~6 0,21 (iÜS' 0,17 :: Ó;Ú. o,1s . 0,11 · 0,12 . 0,09 : 0,11 ; 0,08. 0,09 
550,0 1,09 0,0610 ·'0,23 0,31 :-.o.19; 0,25 "o;iá·: 0,21 :0;16: 0,17 : ·0,14'. 0,lS : o.li 0,13 :-o;ío 0,11 
600.0 1,19 0.0726 ià:W:' o,31 ; o.2( o.3o :·9~2i ' 0,24 : ·o.i?'•: 0,20 : o.~6": 0,11 ::i).ú · o.15 · ·o.i2 .. · o.i3 
650,0 1,29 0,0852: q,32 .: 0,43 : 0,2~ 0,34 ;. ~;2?. 0,28 ; :O~~'·, 0,24 ,.0,19. 0,20 ; 0,15 · 0,17 0,14 0,15 
700,0 1,39 0,0988• 0:38.: 0,49 ·:0;31. 0,39 i .0,29: 0,32 :.0,26.'; 0,27 · .0,22 0,23 .0,17.: 0,.20 ·o;i( 0,17 
150,0 1.49 0,1135: 0;43:: o,56 : ·0,35: o,45 i .. 0;3( o,37 i o,30 o.31 ::0;25 · 0.26 i 0.19 · 0,23 :: o;ia. 0.20 
800,0 1,59 0,129( a:49 . 0,63 ·o,4o :: 0,50 1 o,37 . 0,41 '0,34 0,35 · .O,i9 . 0,30 ;-.. 0,22 0,25 i ·0,20 '.' 0,22 
850,0 1,69 0,1451· ~;55.:·; 0,10 :,~·~6: a,56 ; _o.~2.: o,46 o~3_(: o,39 · 0:33: o,33 o,2s. 0,28: 0,23: o,2s 
900.0 1,19 0.1634 o,62· o,1s o,51. o,53 .. o;47 o,51 . o,43 o.43 • o,37. o,37 , o,2i ~ o.32 i 0,25 : 0,28 
950,0 1,89 o,1s21' ·a,691. o,86 :."o.57 : o,69 · ó,53 : o,57 ::(j;4a: o,48 .·o,4i' 0,41 o,31· o,35 1 0.28 · 0;31 
1000.0 1,99 0.2011: o. T7 o,95 .· o,63 : 0,16 . ·a,ss : o,s3 ·o;53': o,s2 ; .o.45. o,45 : o,34 · o,38 : o,31 o,34 
1050,0 2,09 0,2224'·0.~:: 1,04 · .016il'; o,83 \ o,~, o,68 \o;s0 o,s1 : o:so ~- 0,49 : o,37: .. o,42: Ô~34: o,37 
1100.0 2,19 o,2441 '~o.9:f'. 1,13 : ·o,76< 0,91 i :.0.7( o,75 : o.~~.. o,63 0;54 o,53 . o.4~ 0,46 :·: o,37. 0,40 
11so.o 2.29 o,26ss:ioC· 1.23 <o,83, o,99 :,b,'f7; 0,81 ·.o,1i( o.s8 ;o;59· o,58 o,44. o,5o 0,41·o,43 
1200,0 2.39 0,2905:\io"· 1,33 :: o,91: i.01 : .. o,s{ o,s8 : 0,16: 0,14 ,·ó,65' o,63 0,4(. o,54 • o,44 · o.47 
1250,0 2,49 0,3152 '.l,20.' 1,43 . o.98. 1,15 j :o,91.: 0,95 : o:s2 0,79 :.0;1b 0,67 . ó,52" 0,58 ,0,48 0,51 
1300.0 2,59 o,3409 -1;30' 1,54 1.01L 1,24 r 0:90; 1.02 : o;â9:, o.85 . 0.16 0.13 -o~56.', o,63 . o.s1 o,55 
1350,0 2,69 0,3676 \40 1,65 1,i5, 1,33 i 1,06 1,09 0,9ii':' 0,91 0~82 0,78 0,6Í 0,67 0,55 0,58 
1400,0 2,79 0,3954 ... 1,50. 1,76 :i,23: 1,42 :.1,1{' 1,17 J..03·: 0,98 1 0:88 0,83 0,65 0,72 O,S9 0,63 
1450,o 2,88 0,4241 _ :i.~L l,88 :i.3.~ : i.s1 : ::i.z2·:: 1,25 : \ú: 1,04 : o.~4 . o,89 : o, 19 o, 11 . ·o.~3.. o,67 
1500,0 2,98 0,4539 1;72: 2,00 .. );41. 1,61 !.1,31; 1,33 i J,~8: 1,11 : J,Oi' . 0,95 .Ó;!( 0,82 · 0,68: 0,71 
1550.0 3,08 o,4846:.·1,84 · 2,13 : r.sr 1,11 ~ ·t4o ., 1,41 '1:ú; · 1.18 :"i;08. · i.01 .. 0,19 ·: 0.81 'ó,12. 0,16 
1500,0 3,18 o,5154 l.96' 2,26 i.61; l,s2 :;:r,49' 1,49 ·.:ó5' · 1,zs .'i;is, 1.01 ::o,8{ 0,92 ·0,11: 0,80 
1s5o.o 3.28 o,5492 2,09 . 2,39 · i. ri· 1,92 '.· J.;59 : 1.58 . ü:i i,33 · ü2 · 1,13 . 0.90 o,97 ! o.si· o,85 
1100,0 3,38 o.ss30 . i;fr· 2,53 · .t,8i. · 2,03 ;: ;t.68: 1.61 : i,52 1,40 ; .i;z9 1,19 o,95 l,03 . o.as o,9o 
1750,o 3,48 o,6178 ';2,3~ . 2,67 ).:9i 2,14 )18 · i,76 ::.sr',: 1.48 ; 1,37 1,26 : 1,01 1,09 : o.~1 : 0,95 
1800,0 3,58 0,6536 ~~48 ~ 2,81 2.0~-. 2,26 i:J~89 1.86 1,70 .' l,S6 1,45 1,33 . 1,06 1,14 0,96 1,00 
1850,0 3,68 o.6904 · 2,s2 _;: 2,96 , ,?.W 2,38 
1 
1.9~ 1,96 > i,~o. t54 : l.;53: 1,39 · :.1;12. ·, 1.20 : · 1;02: 1,os 
1900,0 3,i8 0,1282 :2~n: 3,11 .: 2;2T 2,50 ;··2;ia·: 2,05 :· 1,90· 1,12 ~ i,6i' 1,41 . i;18 1,2s : :yJ7.: 1,10 
1950,0 3,88 07671 : 2,91: ~ 3,26 2.39 2,62 '2;21' 2,16 : 2;00 : 1,81 ! 1;10 . 1,54 'i 24 1,33 . ~,13 ; 1,16 
2000.0 3,98 o,ao69 3;of . 3,41 2,s_i: 2,15 · úi· 2,26 : üo>- 1,89 > i;;{ 1,61 ; :.Ú( 1.39 ü~ . i.21 
2050,0 4,08 0,8478 3~2( 3,57 ' '2,1)4 2,87 ;4( 2,36 : ~,2f;'. 1,98 .· 'i;88 . 1,69 1;~7. 1,45 :)~24: 1,27 
TABELAS PARA AS FÓRMULAS OE HAZEN-WILLIAMS E UNIVERSAL (COLEBROOK) 197 
Continuação da Tabela S.14 
Perdas de cax-ga em metros por 100 metros 
Coeficiente C 
[Hazen-Williams] 
Vazão VeL V'l /2g 
(t/s) (m/s) (m) 
::;:, 
. ·::. -
•,,, 
so 
! 2,oo. 
·.·< .·: 
.· .. , 
90 100 110 
' 0,50' 
1 ' 
' : -. ~ . - ':' .. , 
_ .. -, 
Diâmetro 900mm. 
120 
: 0,10;: 
~ 
····· 
130 
·0,05, 
·"I . 
140 
200,0 0,31 0,0050 0;02 ' 0,03 '· o.ai 0,02 ' ·o.ai 0,02 . 0,01 0,01 '. o.aí ' 0,01 ' o.ó{:' 0,01 ' 0,01 0,01 
250,0 o.39 0.0019 ti,o3 · 0,04 '··o~Q~ · o,o3 : .0.92 .. om i p.o2·.· 0.02 )J.o:n 0,02 ':i),01·.· 0.02 0;91 · 0.01 
300,0 0,41 o,om ,; 0104 0.06 ; .0.03 : o,o5 i 0!03, 
1 
o,o4 : o.o~, , o.o3 . o'.02 .: o,o3 : 0.02 : 0.02 ; 0;9~ · 0.02 
350,o o,55 o,01s4 · o,os 0,08 i ,·,o.of; 0.06 : o,~4: o.os , o.~~ . o,o4 :. 9.03 . o,o4 • ,o.;02 . o.o3 ; .0 •. 0,2 , o.o3 
400,0 o,63 0,0201 .0;01 0,10 iAOS,, 0,08 : o'.os; 0,06 : :o.os.: o,os : o.o~ , o,o5 '·0,03 · 0,04 : 0,03 · 0,03 
450,0 0,71 0,0255: O,os-'' 0,12 •-, .0,07': 0,10 ·: 0,0_6 . O,OS ,. 0;06.: 0,07 ·,o;OS. :. 0,06 ! O,Q4 : 0,05 0,04 0,04 
500,0 ' 0,79 0,0315 à,10 .: 0,15 :ó;09~. 0,12 1 o.óà 0,10 .'o;o7' 0,08 .à;o6 ; 0,07 :'o',of 0,06 : ô,()5: o.os 
sso.o o.s6 o,o38(ó:i2·' 0,18: 0.10 0.14 :·0;1f 0.12 1:o;à9) 0,10 •.0;07-: o.os '0.06: om ! 0,06 o.os 
600.0 o,94 0,0453 )i,1s . 0.21 '. 9.J2 0.11 . o.;~ · 0,14 . 0.1.0 :.: 0.11 [ o,_o~ .: 0,10 0.01· 0,08 ~.o! 0.01 
650,0 1,02 0,0532 .. 0,17' 0,24 ' 0,14' 0,19 . 0,13. 0,16 ''0;12 ·' 0,13 •0,10' 0,11 0,08. 0,10 0,08. 0,09 
.. '· •, .. ' '"' ' .... , ,·: :· "' ,. ' " 
700,0 1,10 0,0617 - 0,20 ': 0,28 0,17 • 0,22 • ,0,15 ' 0,18 ' 0,14 ' 0,15 : .0,12 ' 0,13 0,09 0,11 0,09.' 0,10 
750,0 1,18 O,Q708, 0,23 . 0,31 .. _0,19, 0,25 ·~.18 · 0,21 • O,l~ . 0,17 :· Ó,l~. 0,15 '. 0,1{ 0,13 '. 0,10 0,11 
soo.o 1,26 0,0806_.0,26 ' 0,35 '.0,22' 0,28 ·0,20 0,23 ' 0,18<', 0,20 0,16·: 0,17 i 0,12, 0.14 . o,u 0,13 
s5o.o 1,34 0,0910 .0:30,: 0,39 >a_,24.· 0,32 1 ';o.23. o.2s O:Ci.2i: 0.22 ::0,18; 0,19 · o;w 0,16 : 0.13. 0,14 
900.0 1,41 0.1020 ; o,33 , ~ o.44 j · '0,2_1 ' o,3s : ó.2( o.zs • if;23 :: o.z4 : .. o.zó : 0.21 ·,o.is · 0,18 : 0,14. o,1s 
950,0 l,49 0,1137; 0,37 .: 0,48 ' 0,31 0,39 : . 0,28·. 0,32 0,26 . 0,27 ' 0,22 . 0,23 .. 0,17 0,20 .. 0,16 0,17 
1000,0 1,57 0,1259 0.4i. ' 0,53 : 0;34 0,43 '0,31., 0,35 o.is 0,30 :),24 :: 0,25 i· o,i9 ' 0,22 ; :0,17 ' 0,19 
1050.0 1,65 0.1388 9,45·. o,58 ' 0;3t_ o,47 :· o;35 o,39 o,31, 0,32 o.27:\ 0,28 ' 0,29 · 0,24 ·a.is 0,21 
1100.0 1.73 0,1524 .p,so: o,64 ! o.41 · o,51 : o,38 · 0,42 :o,sf 0,35 :.0;29.: o,30 0.22: 0,26 o.2i: 0,23 
1150,0 i.a1 0,1666.:0,54 · o,s9 :,.o.4s'.' o.ss · o.42 o,46 '0;3f) o,38 j,32,: o,33 ,:o,u:: 0,28; ci:22 0,24 
1200.0 1,89 o,1s13 ;·:o~s9 ·· 0.15 ó.4~: o.so ·: o.4~' o.49 j,;11 : o,41 :.M5· .. o,3s . :o~6 o,3o . o,2( 0,26 
1250.0 1.96 0,1968 o.64- 0,81 ! o,53 o,65 o,49 o,53 : o,44 o,45 · 0;38 ·. o,38 J 9.29: 9,33 0.26 · 0,29 
1300.0 2,04 o.z12s ·.o,69 0,81 : 0,57. 0.10 : o',53. o.s1 ·Ú8, o,48 ,. 0;~1· o,41 ~. ô;31 · o,35 , o,2s · o,31 
1350,0 2.12 o.z2s5 o!7~ :· o,93 ; 0~62 ·. 0,15 : o.51: o.s1 : .o.~2:' o.52 ; ·ºi44 : o,44 i o,33 o,3s · .o.31 o,33 
1400,o 2,20 o,2468 o.a~. o,99 1 o,66 o.ao '· o.s2 o,66 . o,56, o,55 1
. o,48,.· o,47 : ,0,36 . o.40 .. 0,33 o,35 
1450,0 2.28 0,2648 'ó,s6 ' l,os 0,11 o,8s o,66 0,10 o.~.o : o,59 · o.sr o,so 0:3s o,43 : ó,35'. o.3s 
1500,0 2,36 0,2834 o.9i · 1.13 -0,16: o,91 · .o,1i o.1s : o,64' o,63 ' o.ss · o.s3 •· o,41.. o,46 . 0,31 0,40 
15so.o 2,44 o,302s o,99,: 1.20 ; 0,81. ·o.9s · p;15 o,79 :.o.se o,57 . o.5~ o,57 'o,4s o,49 •· o.40 .. o,43 
1500.0 2,s2 0,322( :i.os 1.27 ' o,87: 1,02 o.só o,84 o;73 • 0.11 'ó;·52: o.so • ó,46. o,52 : o,42 o,45 
1650.0 2,59 o.3429 ü2·: i,35 ·. 0,92·. 1,08 ·o.as· o,s9 0,11: o.1s : o:6s· o.64 0,49' o.s5 ·M5.· o.48 
1100.0 2,61 o,3640.:i.~ : 1,42 i o,98 i,14 _ o,st o,94 : 0,82 · 0,19 •. 0,10. o,67 1·0.s~· o,58 : .0,48, o,s1 
1750,0 2,75 0,3857, 1,26 .· l,50 ' 1,04 1 1,21 0,96 0,99 0,87,. 0,83 .· 0,1(. 0,71 : 0,55 0,61 ·. 0,50' 0,53 
1800.0 2,s3 o,4080 1,33 : 1,58 . üó 1.27 i,02 l,os .~.s~ o,88 i o.is · 0,15 . o,58 · o,64 .0,53 o,56 
1850,0 2,91 0,4310 1,41::: 1,67 : ,Ü6 1,34 1 1.07: 1,10 ' 0,97 ' 0,92 !' '0,83 0,79 i 0,61 0,68 : 0,56 0,59 
1900.0 2,99 o,4546 ·1.48 · 1,75 :.-i,22 1,41 : üs 1,16 1.02' o,97 ó,87 · o,83 , o:s5 0.11 o.ss 0.62 
1950,0 3,07 0,4789' 1,!i6:. 1,84 : p~ 1,48 1 :1,~9: 1,21 : Í,Q8 1.02 i 9,9(• 0,87 : 0,6~::; 0,75 .0,62:. 0,65 
2000.0 3,14 o,5037 '1,s4> 1,92 i i;3s l,ss .1,25 1,z1 :.J.,13 .• 1,01 0'.si; 0,91 : 0)2,:: 0,18 ;.9.~5., o.se 
2050,0 3,22 0,5292 '_ Í,73,, 2,01 >1,42: l,62 1 1,32 1,33 : 1,1~,' 1,12 ::_1.02.~: 0,95 : ,0,75 0,82 : 0'.68 0,71 
2100.0 3,30 0,5554' 1,81'•: 2,11 '1;49: l,69 ' 1,38' 1,39 ' 1,25' 1,17 : 1,07: 0,99 . 0,79 ' 0,86 ' 0,72.: 0,75 
21so.o 3,38 o,5821 -i;9ó:: 2.zo !: i:s5·: 1.11 : J,45: 1,46 : i;ir:: 1.22 : .üi:-_ 1.04 ~ ójz · 0,90 1 o.1s~: o,1e 
198 CÁLCULO OE TUBULACÔES SOB PRESSÃO 
Continuaçiio da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros 
Coeficiente C 
[Hazen..Williams] 80 90 100 
i~~~i~i::?t;~d:, !;2.oõ: ! 1:oa 
Vazão Vel V"-/2g° ',,' <·: , , 
110 
~- 0,50 
Diâmetro 1000mm 
120 130 140 
0,05 
·:::·, ... · 
(l/s) (m/s) (m) ::· ' < [.: .' '. ,: ' :, r>! ':", : : '. 
lOO.o 0,13 0,0008 :' o.~o . : o.ao :. ~o.oo. o.ao : : .. o;qo; o.oo : o.~o •. : o.ao : . o.oo • o.oo , ~.()f o.ao o,ó'o ·. o.ao 
200,0 0.25 0.0033 0;01.· 0.02 1··'.0.01: 0.01. 0.01: 0,01 :0.01·. 0,01 :0,01 0,01 0,01 0,01 .• o.ar 0,01 
300,0 0,38 0,10074: o.~f ·' 0,03 : ~~;O,~;: 0,03 ' .õ .. 02 ' 0,02 '. ó.~i., 0,02 i '6,q( 0,02 ' º·º! ' 0,01 í o.o~ . 0,01 
400.0 o.51 0,0132 Mf! 0.06 , :0;9h o,o5 :o;or: o,o4 10.0~:: o,o3 ·,0;02 o,o3 ,. 0,02 , 0,02 : 0,02 : 0,02 
500.0 0,064 o,0201:M~ ,. o,o9 íA;g~_; om :o,;o5~ 0,06 ,- o;o4; o,o5 i·o~:o~ : 0,04 . oA3. 0,04 i 0;03 · om 
600,0 0,16 0,0291 o,os . 0.12 . ;0,0-7,.: 0,10 : 0,01· 0.00 :-0.06 0.01 o.os 0,06 , 9.!)4 · o.o5 ; o.o~ , o.o4 
100.0 0,09 o.o4o5 .. q.rf: 0,16 :~:ó .. ~~: 0.13 :'·Ms:: 0.11 1 :,ô;~à.: 0,09 i):oi. 0,08 . o.os·· 0.01 : p,os 0,06 
800.0 1.020.0529. o:+~.:' 0.21 .·,o.ir~ 0.11 <M.?·,; 0,14 :· :gr1l' 0.12 , o,a9·,, 0.10 • 0,01 o,o9 . 0,01. 0.01 
900,0 1,15 0,0669'0,19 ' 0,26 ''O;i.6: 0,21 .. , 0,15 : 0,17 1: O,i.3:. 0,15 : ·0,1(.' 0,12 ··.a;Õ9 ' 0)1 • o.os. 0,09 
1000.0 1.27 0.0826 o.24. o,32 : o.i9'. 0,26 · .o;~s ,' 0.21 i ·0;1( · 0,10 1 :0;14 .: 0.15 · ri;1i' 0,13 0,10 • 0.11 
1100.0 1,40 0.1000. o,28' o,38 : ô;24 · 0,31 ! , ôJ2~: 0,25 : o,io : 0,21 i O;i't : o,1a • o;h • o,1s ·0;12· 0.14 
1200.0 1,53 0.1190 ~;3(; o,45 i. o.2s.:~ o,36 [, ó:26: 0,30 (0~4 .: 0,25 !.ó,20 :, 0.21 . o;i5 0,18 : OJ4 0,16 
1300.0 1,66 0,1396 Mo o,52 i :o;w 0,42 ':0;3( o,34 : .o,28 . 0,29 : Q,24. , 0,24 · 0,18 0,21 : ·,o.if: 0,18 
1400,0 1,10 o,1619 :<i.46/ o,59 i ._º;~~·\ o,48 i ó~f o,39 !··0,;32,: o,33 o'.~t 0,28 . 0;2t 0.24 (ó.i9 0,21 
1500,0 1,91 0,1859 0,53 ' 0,68 ' 0,44 ' 0,54 ' 0,41. 0,45 0,37' 0,37 ' 0,32 0,32 ' 0.24 0,28 : 'Ó,22: 0,24 
_. ' 1 -. - ,' ·'· '·"· • 1 ' ' ' 
1500,0 2,04 0,2115 . o,60: . o,76 : ·o;50 · 0,61 : .o,46 · o,50 ; ·o.42 · o,42 · 0.36 . o,36 0.27 o,31 : 0,25 · 0,21 
1700,0 2,16 0,2388 0,68, 0,85 ! : à;ss: 0,69 .:·o;s~:· 0,56 (o,4r· 0,47 o;4o 0,40 o,3q. 0,35 i 0~28 0,30 
1800.0 2.29 0.2677 .0:16 · ' o,95 : º~~3 .: 0,16 ~- o:$f: o,63 ; · o,53 : o,53 ·o,45:. o.45 o,34 o,.39 ! o,31 o,34 
1900.0 2,42 o,2903'0.~s1.·: 1,05 í'º:·!R·: o,84 :O'.~~; o,69 :.:o:~~·:. o,58 :.o,5o:. o,49 ;o,38 o,43 :.o.ss o.31 
2000,0 2,55 0,3305 .0,94 ': 1,15 1~ 0,78 0,93 ~ .0,72·. 0,76 ',0;65: 0,64 : 0,56 '• 0,54 0,42 0,47 0,38 0,41 
2100,0 2.61 o,3644' ·i,à4·: 1,26 • o;sS: t,01 T1i;79.! o,83 i:o;7f.' 0.10 !o.62-:' o,59 : ó.46 o,51 042 · o,45 
2200,0 2,80 o,399g:i,i4'( 1,37 : 0,94·'· 1,10 •ó;ã1>' 0,91 : ·0,79: 0,76 : o;s8': 0,65 ;:0.50 0,56 a:46' 0,49 
2300.0 2,93 o.m1: ü~:: 1,49 <1.03.: t,20 <o.95' o,99 ::a.as o,83 i 0)4' 0.10 o;Ss. 0,61 0,50 • o,53 
.•·· '. • ··:., ' ' '•' 1 
2400,0 3,06 0,4759 V5 ' 1,61 :1;12. 1,30 <1,p_4 1,07 . 0,9~ 0,90 ~ 0,80 ' º· 76 0,60 0,66 0,54 0,57 
2500,0 3,18 0,5164 ),47.': 1,74 ;·. 1.21. 1,40 i 1;13_ 1,15 1,02 :: 0,97 iº·ª-I':. 0,82 0,65 ' 0,71 ·, 0,59 0,62 
2600,0 3,31 o,5586 1;5o: i.87 ! .1;31· 1,51 i 1,22, i,24 po .. t.04 :: o.9~ . o,88 , 0;10: 0.16 o,&4 o,66 
2100.0 3,44 0,6023 1.-11: 2.01 : 1,41 1.s1 . i;31, 1,33 : ,i.19 .: 1.11 , 1.01 o.95 .·0,15 0.82 : o.se , 0.11 
2800,0 3,57 0,6478' 1;84: 2,15 i ~-52:: 1,73 ! ),4l 1.42 : : i,ts' 1,19 ,' 1.9.9 1.01 : o.a( 0,87 ~ 0;73 0,76 
2900,0 3,69 0,6949 ,1;98 ' 2,29 1 1,63: i 1,84 i 1,51 1,52 : ·1;37 1,27 ).,17. 1,08 ',_ 0!87_: 0,93 f Q,79 : 0,81 
3000.0 3,02 o,7436. 2,11 2.44 i,74 · 1,96 , J,62 t.61 : t,47 , 1,35 . 1;25 • t.15 : :o,93 o,99 : o.84· · 0,01 
3100.0 3,95 0,1940'· 2.,26; 2,59 i .1,a~: 2.09 : :tn: t12 , 1;51. 1.44 : ·1.s4· i.22 · o;99. 1.06 ,· o,9o. o,92 
3200,0 4,07 o,8461 2.'4i'. 2,15 ·1.99 2,21 : 1,84 1,82 ~ 1,67;'' 1,52 , i.;42 ·: l,3o 1;os : t.12 : ·.o.95 o,98 
3300,0 4,20 o,s998 2.s6 2.91 •. 2.11 2,34 i,96_ 1,93 . i.11:' t.61 i i5i : t.37 1.1:i'. 1.10 : .1.01. 1,03 
3400,0 4.33 o.9552 · 2.n. 3,00 ;.z;2s, 2,41 :- 2;q8': 2,04 '.í.sà.' 1.11 ; ·i;6i 1.45 ; 1;lá : 1.25 · -io'7 t.09 
3500,0 4,46 1,0122 ":2,88 . 3,25 ; 2;3f: 2,61 : :2:20 2,15 -ü!l L80 i ito ' 1,53 ! :Ú5, 1,32 ' l~Ü . 1,15 
3500.0 4,58 1.0708 3,ó4 3,42 [ 'i;Sf,. 2,15 ~'2:3:L 2,2s :· 2;11' 1.90 [·1.aô: 1,61 : i;32 1,39 1.20.· 1.21 
3100,0 4,11 1.1312 ,:Mf: 3,6o 1 2;6s 2,09 1:2.~f 23,3s :2,2~ :. 2.00 ·. ~s(:, 1,10 'i,40· 1,46 1,2s 1,2s 
3000,0 4,841,1931·3,39·: 3,78 !,·2;8~': 3,04 i-2~~º; 2,50 .p5·; 2.10 :2;01 .. 1,10 ),4i·· 1.54 ú3· 1,34 
3900,0 4,97 1,2568 'l,57 3,97 '' 2,95 ' 3,19 ', '2,74 :· 2,62 .2,48 2.20 : 2,11 : 1,87 1,55 ' 1,61 '1,40':: 1,41 
4000.0 5,09 1,3220 :.3';16'. 4,16 '. ·3;1Q' 3,34 . ~,'8~ : 2,15 2,6o~: 2,31 , ~2.22' 1,96 i,s{ 1,69 ·üf- 1,47 
TABELAS PARA AS FÓRMULAS DE HAZEN-WILLIAMS E UNIVERSAL (COLEBROOK) 199 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros DiâJnet:ro 1200mm 
Coeficiente C 
[Hazen-Williams] 80 90 100 110 120 130 140 .. 
· ·Rugosidade e . 4.00 .. : · 2,00 ·. 1.50 i,oo o.so 0,10 o.os· 
(mm)1Colebrook] ·· 
Vazão Vel lfl/2g 
(l/s) (m/s) (m) 
600.0 o,53 0.0143 o'.o3 o,o5 o,Q3 · o.o4 o,o3 ~2 
100.0 0,62 o.01ss · o:o4 · 0.01 o.o4 o.os o,o3 o,o4 0,03 · 
800,0 0,71 0,0255 .0,06 0,09 . 0,05 0,07 . 0,04 0,06 0,04 
900,0 0,80 0,0323 ' 0,07 0,11 0,06 0,09 ' 0,06 0,07 o.os 
1000,0 0,88 0,0398 0,09 0,13 0,07 0,11 0,07. 0,09 0,6 
1100,0 0,97 0,0482 0,11 ' 0,16 ' 0;09 0,13 ' 0,08 0,10 ó.os ' 
1200,0 1,06 0,0574 . 0,13 ' 0,18 ·. 0,11' 0,15 0,10 0,12 0,09 
1300,0 1,15 0,0673 '0,15 . 0,21 '0,13 . 0,17 0.12" 0,14 ,0,11 
1400,0 1.24 0,0181 0,18 0.24 ; ó.is 0.20 0.14 0.16 0,12 .. 
1500.0 1.33 0,0897 .. oio , 0.28 0.11 0,22 .. 0.16 o,i8 0,14 
1600,0 1,41 0,1020 0,23 ·, 0,31 0,19 0,25 0,18 0,21 0,16 ' 
1700,0 1,SO 0,1152' 0,26 . 0,35 ; 0,22 0,28 0;20 0,23 0.18 . 
1800,0 1,59 0,1291 0,29° 0,39 : _Q.24 0,31 0,22 0,26 0,20 
1900,0 1,68 0,1438 : Ó,32": 0,43 ; 0,27 0,35 : ' 0,25 0,29 0,23 ': 
2000,0 1,77 0,1594 : Ô,36 0,47 . 0;30 0,38 0,28, 0,31 0;25' 
2100,0 1,86 0,1151 :: ô;40 ' o,s2 : o,33 · o,42 • o,31. o,34 0,28 
2200,0 1,95 0,1929 0,43 0,57 i 0;36 0,45 0;34 0,37 : 0,30 
2300,0 2,03 0,2108 Ó,47 0,61 ' 0,39 • 0,49 ' 0,37 0,41 0,33 
2400,0 2,12 o,229s ·o,52 o,s6 1 • 0;43 o,53 MO o.44 . · 0,36 .· 
2500,0 2,21 0,2490 0,56 : 0,72 ~ Q,46 0,58 0,43 . 0,47 0,39' 
2600,0 2,30 0.2694 .,0,61 o, 11 . _o.se 0.62 · ·a.41 o.51 o,42 
2100.0 2,39 0,2905 .. o.ss o,83 .. ·· o,s4 o.s6 ; o,so o,55 o.46 
2800,0 2,48 0,3124 Ó,70. 0,88 ; 0,58 0,71 0,54 0,58 0;49 
2900,0 2,56 o,3351 o. 7s · o,94 ·.9,s3 o,76 o;58 o.s2 . o.s~ 
3000,0 2,65 0,3586 ;• 0,81 1.00 0,67 0,81 1 0,62 0,66 0,56 
3100,0 2,74 0,3829 . Ô,86 1.07 0,71 0,86 0.66 0,71 0,60 
3200,0 2,83 0,4080 0~92 1.13_ O, 76 0,91 O, 71 O, 75 0,64 
3300,0 2,92 0,4339 0,98 1,20 : 0,81 0,96 0,75 0,79 0,68 
3400,0 3,01 o,4606 1,04 i.21 .• 0:86 i.02 0.00 o,84 o,73 
3500,0 3,09 0,4881 i,ió 1,34 ' 0,91 1,07 0,85 0,88 0,77 ' 
3600,0 3,18 0,5164 1,16 1,41 1 0,96 1,13 0,90 . 0,93 '. 0,81' 
3700,0 3,27 0,5455 Ú3 1.48 i 1.02 . 1,19 ·. 0,95 0,98 0,86 
3800,0 3,36 0,5754 · l,29 1.56 '. 1,07. 1,25 ; 1,00 1,03 ci.91 
3900,0 3,45 0,6061 I,36 1,63 ' i,13- I.31 , ,i,o5 I.08 o.95 
4000,0 3,54 0,6376 üf 1,71 . i,19 1,38 ' 1,11 1,13 1,00 
4100,0 3,63 o.6698 '1,51 : 1, 19 · . i,25 1.44 U!i 1,18 l.os 
4200,0 3,71 0,7029. üs 1 1,87 •. l,3l 1,51 1,22' 1,24 ~.11 ·· 
4300,0 3,80 0,7368 ' Í~66' 1,96 ... i,37 1,57 1,28 1,29 1;16 .· 
4400.0 3,89 o.m4 1.73. 2,04 · .. I.44 1.64 ·. 1,34 1,35 . 1,21 
4500.0. 3,98 0,8069 .. 1;8C 2,13 ! 1,50 1.11 1,40 1,41 1,2F 
0,03 ' 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 ' 0,02 
0,04 . 0,03 0,03 0,02 0,03 0,02 0,02 
0,05 0,04 . 0,04 0!03 0,04 0,03 0,03 
0,06 0,04 O.OS 0,04. 0,04 O,Q3 . 0,04 
O,D7 0,06 0,06 ·o,04 . 0,05 · 0,04 0,05 
0,09 0,07 0,07 0,5 0,06 o.os 0,06 
0.10 0,08 . 0,09 ' 0,06 0,07 0,06 0,07 
0,12 0,09 0,10 0,91 0,09 º· 7 0,08 
0,14 0,11 0,12 o.os 0.10 ' 0,08 0,09 
0,15 . 0,12 0,13 0,09 0,11 0,09 . 0,10 
0,17 O,i4 0,15 0,11' 0,13 0,10 0,11 
0,19 0,16.. 0,17 O,Í2. 0.14 · 0,11 0,12 
0,22 0,18 0,18 b,13 0,16 0;13 0,14 
0,24 ' ,0,20 0,20 0;15 0,18 0,14 . 0,15 
0,26 0,22 0,22 . 0,17 0,19 1 0,15 0,17 
0,29 0.24 0,24 . a~.i8 · 0.21 .· 0,11 . o,1s 
0,31 0,26 0,27 . 0;20 . 0,23 . 0,18 0,20 
0,34 . 0,29 0,29 . 0,22 0,25 0,20 0,22 
0,37 ' 0;31. 0,31 . 0,24 0,27 0,22 . 0,24 
0,40 ' 0,34. 0,34 ' 0,26 0,29 0,24 0,2S 
0,43 : 0,36. 0,36 '0,28 0,31 0,25 0,27 
0,46 0,39 0,39 0,30 0,34 0,27 0,29 
0,49 0,42 0,42 '0,32 0,36 0,29 0,31 
0,52 '0,45 0,45 0,34 0,38 0,31 0,33 
0,56 0,48 0,47 0,36 . 0,41 0,33 0,36 
o,59 o.si · o,so o,39 o,43 o,36 o,38 
0,63 o.ss 0,53 . 0,41 0,46 0,38 0,40 
0,66 0,59, 9,57 0.44 0,49 D,40 0,42 
º· 70 0,62 0,60 ' 0,47 0,52 0,43 0,45 
o.74 · o,66 o,63 o.49 o.54. 0,45 o,47 
0,78 . 0,70 0,66 ' 0,52 0,57 0,48 0,50 
0,82 º· 74 0,70 O,S5 0,60 0,50 0,53 
0,86 ·O,'Ia . 0,73 0,58 0,63 · 0,53 0,55 
0,91 . 0,82. o, 77 0,61 0,66 O,S6 0,58 
o,95 · o,86 0.01 · o.64 .• o. 10 o,58 0,61 
0,99 0,90 ' 0,85 • 0,67 ' º· 73 0,61 0,64 
1,04 · 0,95.. 0,88 O, 70 O, 76 . 0,64 0,66 
1,08 , ·a;99 0,92 . o. 74 ' 0,80 ' o,67 o,69 
1,13 1,04 0,96 0,77 0,83 .0,70 0,72 
1,18 ~09 : 1,00 . o~sl. 0,87 ' 0,73 0,75 
200 CÁLCULO DE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros Diâmetro 1400mm 
Coeficiente C 
[Hazen-Willia.ms] 
· .• ·Rug~~dad~ ~ · 4,00 
(mm)1Colebrook] .....• 
Vazão Vel V-J2g .. 
(l/s) (m/s) (m) 
80 
2,00 
90 100 
: 1.50 : 
,, 
110 120 130 140 
1,00 .· 'O,SO .. 0,10 : _9,os •. 
',: 
! 
'· 
!', .'·.,' 1' ' ·;. ·,; ,. 
400.0 0.26 0.0034 · 0,01 ' 0,01 .· o,oi. 0,01 o.ai 0,01 o.ao · 0.01 o.ao 0,01 : o,oo " o,oo o;oo o.oo 
500,0 o,39 0.0011 0;01 0.02 o.ot. 0.02 O.Dl 0,02 .. 0.01 ,· 0,01 0,01 ·. 0.01 0.01 0.01 ;o,or\ 0.01 
800,0 0,52 0,0138 0,03 · 0,04 .. 0.02.:: 0,03 0,02 O,Q3 ; 0,02 "· 0,02 . 0,02. 0,02 0,01 · 0,02 O,OL 0,01 
1000,0 0,65 0,0215 o;04 • 0,06 , ·o,03 , 0,05 . 0;03 0,04 : 0,03 .. 0,03 0,02 ' 0,03 0,02 0.D3 ~ 0.02 . 0,02 
1200,0 o,78 0,0310 .ç~qs' o.o9 : . .à!qs 0,01 :010~ 0,06 ! ~;o4 ', o,o5 , o~ó4.<. o,o4 o,o3. o,4 ! 0~03 .• o.o3 
1400,o o,s1 o.0422 .. :o.os , 0.12 , ºAT o,o9 o.o~. o.os .0;06 0,06 : o.os o.os o,04 . o.os .,· ô,o4 o,o4 
1600.0 i.o4 0,0551 a;ro : o.IS o,a9 .: 0.12 · p.oa 0.10 ··ó.o( 0.08 : :0.06 0,01 o,o5 0,06 . q.o? o,o5 
1800,0 1,17 0,0697 0,13 0,18 0.11.: 0,15 ; . 0,.10, 0,12 0,09 ~ 0,10 0,08 0,09 ' o,w: 0,07 : 0,06 0,07 
2000.0 l,3o 0.0060 . 0.16.. 0.22 0!13,. o.is , 0.12 0,15 Q.ú . 0.12 : · 0,10 0.12 O.os : o.os 0,01 o.os 
2200,0 1.43 0,1041 ; 0,19 , 0,27 . 0.16 ; 0,21 ; 'Q •. ~S " 0,18 , . 0,14 .· 0,15 ; OJ2 ' 0,13 ' 0,09 0,11 : 0,09 . 0,09 
2400,0 1,56 0,1239 0,23 0,31 0,19 0,25 " 0,18 0,21 0,16 0,17 1 0,14 ' 0,15 0,11 0,13 
1 o,ui 0,11 
2600,o 1,69 0,1454 :o,27 ' o,36 j;22 '. 0,29 Ó;2I. 0,24 Ó,19 . 0.20 , o.is 0.11 o i3 o 1s i o ii o 13 
2800,0 1,82 0,1686 0,31 ' 0,42 0,26 0,34 ' 0;24 0,28 :·. 6,22': 0,23 : Ó,Í9 0.20 -0:15 ,: o'.11 t o'.í{: 0:1s 
3000.0 1.9s o,1936 >(üs. o,47 o;3o o,38 o,28 o,31 : 6;2s< 0,26 ! 0,22 0,22 0.11 0.19 · o:i:s:·; 0,11 
3200,0 2,08 0,2202 º·*í .• 0,53 'ó.34 0,43 0,32' 0,35 : 0;29 0,30 0,2( 0.25 0,19 0,22 : 0,17 0,19 
3400,0 2.21 o,2486 o.46 , 0,60 : o,38 o,48 · o,36 o,4o ·, 0!32 o,33 . 0.28 0.28 · 0;21 0,24 · o,:id' 0.21 
3600,0 2,34 0,2787 Q,51: 0,66 : ·p,43. 0,53 . 'q;4( 0,44 : 0,36. 0,37 ,0,31 0,31 ·O,Ú 0,27 ' 0,22~· 0,24 
3800,0 2,47 0,3106 '0,57 0,73 0,48, 0,59 ' OM 0,49 '. 0~40' 0,41 0,35 0,35 0,26 ' 0,30 '. '0~4 0,26 
4000,0 2,60 0,3441 O:S4 : 0.81 ' 0,53 0,65 ·. P.49' 0,53 i 0,45 0,45 0;39 0,38 ,0,29' 0,33 : 0,27 0,29 
4200,0 2,73 0,3794 ó,io 0,88 0,S8' 0,71 0~54 0,58 ".0,49 ' 0,49 ·0,43 : 0,42 : o,32 0,36 i ~.29: 0.31 
4400,o 2,86 o,4164' O,í'.7 o.96 : 0,64 0,11 , Q.~ô o,64 : o,54 o,53 · o,47; o,45 'o;ss o,39 , o,32 . o,34 
4600,0 2,99 0,4551' 0,84 1,05 /0,70 0,84 0,65 0,69 0,59 o.se o~sl 0,49 :o,38 0,43 : ô;ss ' 0,37 
4800,0 3,12 0,4956 0;91.' 1,13 .0,76 0,91 : 0,71, 0,75 '0,64 0,63 0,55' 0,53 0,42 ' 0,46 : 0,38 0,40 
5000,0 3,25 0,5377 0,99' 1,22 0,83 0,98 ! 0,7:7 0,81 ' 0,70 0,68 ''0,60 ' 0,58 : 0,45 0,50 0,41 0,43 
5200,0 3,38 0,5816 1,07 1,31 '0,89 1,06 : 0,83 0,87 ' 0,76 0,T.l ' 0,65' ·0,62 0,4~" 0,53 ~ 0,45 : 0,47 
5400,0 3,51 0,6272 1,16 1,41 '0,96 1,13 1,90 0,93 ' 0,82 0,78 : 0,70 0,66 0,52 0,57 ' 0,48 ' 0,50 
5600,0 3,64 0,6745 1,24 ' 1,51 : 1,04 1,21 0,9,6, 1,00 .0,88 0,83 : 0,75 0,71 0,56 0,61 0,51 0,53 
5800,0 3,77 0.1235 1,33 1.61 i.11 1,29 t.03 1,06 , 0,9'4 o,89 . 'o.si.. o,76 0,60. o,65 ·a,55. o,57 
6000,0 3,90 0,7743' 1,43 ~ 1,71 l~i9 1,38 1.~1 1,13 ,' 1~01 0,95 0,86 0,81 0,65. 0,70 '0,59 ' 0,61 
6200,0 4,03 0,8268' 1,53 1,82 ' '1,27 1,46 1,18 ' 1,20 : i.,07 1,01 0,92 0,86 0,69 º· 74 ; 0,63 0,64 
6400,o 4.16 0,8810 J.63 1,93 · 1,35 1,55 ,i,26 1,28 : 1.14: 1,01 o,98 o,91 o,73' 0.18 : o,6r'- o,68 
6600,0 4,29 0,9369 i,73 2,04 1,44' 1,64 1.34 1,35 .i,22 1.13 Ü5 0,96 '0,78 ·· 0,83 !'o;i1c 0,72 
6800.0 4,42 o.9946 i.83 2,16 . 1,53 1,13 Mf 1,43 · 1.29 1,20 i,11 1.02 o,83 . o,s8 i o.1s .·. 0,11 
1000.0 4,55 1.os39 .1,94 : 2.28 ~~2: 1,83 1,51 1,51 : 1;31 l,26 1,18 1,01 :-0.s71 o.ss .. ·a.19 0.81 
1200.0 4,68 1,1150 2.06. 2,40 · l. 71 · 1,93 -i;59 :: 1,59 1,45 1,33 ú4 1,13 : 0;92 . o,98 ).8( o,85 
1400.0 4,81 1,1118 2.11 2,52 ; l,s1 2.os 11,68 . 1.67 •. 1,s3 1,40 i:s1 · 1,19 o.~8 : 1.03 : · 0,00_! 0,90 
7600,0 4,94 1,2423 2;29 :- 2,65 ; i,91 : 2,13 '1,7( 1,75 1.61 '. 1,47 1,38,: 1,25 ' 1,03' 1,08 0,93 .. · 0,94 
7800,0 5,07 1.3086 .'2,41 2,78 · 2,01: 2,24 1,87 1,84 ).,'(O. 1,54 : U6. 1,31 ·i;os-' 1,13 ! à,9S.': 0,99 
8000.0 s,20 1,376sj,s4:: 2.92 .2.1r.: 2,34 i;9_1 1,93 i.79· 1.62 :.1.s3: 1.s0 ü.4: 1.19 ::ias'. 1.03 
a200,o 5,33 i,4452 &.st 3,o5 2.i2 2,45 M.1. 2.02 :· i;sa: 1,s9 : 1,6i.; J.,44 :. 1,19 ;: 1.24 l ióa . l,08 
CAESB 
BIR1_10TECA 
TABELAS PARA AS F ó R M isE~r[)"-E H A z EN. w 1 L.l.1 f--~ ,s. :·~ElllTA~o s A L ( C O l E B R O O K ) 201 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros Diâm.etro 1800mm 
Coeficiente C 
(Hazen-Williams] 80 90 .100 110 120 130 140 
. :ib;~6~ciad~1e · '·4.ôo · 2,00 1,50 . üo : ' 0,50 '0,10 .o.os· 
(mm) Colebrook] . ~ J 
''· 
Vazão Vel. V2/2g 
((/s) (m/s) (m) 
,., i"· 
' '' ' 
0,01 
1 " 
·0;01 ' ' o.ai 1000,0 0,39 0,0079 0,02 1 0,01 0,01 _0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01. 0,01 
1200,0 0,47 o,om:·M2.' 0,03 :· 0,01 0,02 0,01 0,02 0,01· 0,01 ' 0,01. 0,01 : .0,01 0,01 0,01 0,01 
1400,0 0,55 0,0154 ' 0,02 '1 0,03 .0,02 0,03 0,02 0,02 .0,02 ' 0,02 0,01' 0,02 0,01 0,01 ' 0,01 0,01 
1600,0 0,63 0,0201 ··. o.o3 . 0,04 •. 0,02 ' 0,03 :. 0,02 0,03 .· O.o2 0,02 :O,O~ · 0,02 :001 0,02 0;01 0,02 
0,0255 '. 0;03 ' 0,04 : 0,03 
i',' -·. 
1800,0 0,71 o.os • .om 0,04 : 0,02 : 0,03 '0,02 ' 0,03 '. 0,02' 0,02 0,02 0,02 
2000,0 0,79 o,o31s .. ó;o4 0.01 '·o.o4 0,05 i .a.03 0,04 ; 0,03' 0,04 0,03 . 0,03 0,02 0,03 0,02 0,02 
o,o3s1 ' o;os · .. 0,04 .o;p~. 
, ... " 
'Ó,Q3' ·0,02 2200,0 0,86 0,08 0,06 : 0,04 o.os 0,04 O,Q3 0,04 0,03 0,03 
2400,0 0,94 0,0453 , ~.os. · 0,09 0,05: 0,07 o.os: 0,06 o.q~ o.os o;o( 0,04 0,03 0,04 ' 0,03' 0,03 
2600,0 1,02 0,0532 :o.ar .. 0,11 ' 0,06' 0,09 : Q.06· 0,07 :-o.os.: 0,06 ),04' o.os °Q.04 0,04 0.03 0,04 
2800,0 1,10 0,0611 ·o.o~ • 0,12 ' qm 0,10 '. 0,07 0,08 ' 0,06' 0,07 : o.os 0,06 ' 0,04 0,05 .o.ri4 0,04 
3000,0 1,18 O,Q708 0,10 . 0,14 º~º~' 0,11 ' 0,07 0,09 . •O,Q7. o.os : :· 0,06 0,07 '0,05. 0,06 0,04 o.os 
0,0806 ·0:11 ' 
·.''. 
3200,0 1,26 0,16 : 0,09 0,13 0,08 0,10 'o.os 0,09 0,07 0,07 '0,05: 0,06 0,05 0,06 
3400,0 1,34 0,0910 0,1:! 0,18 .• 0,10 0,14 '0.10: 0,12. 0,09 0,10 o.os 0,08 •. 0,06 O,Q7 . Q,06 0,06 
3600,0 1,41 0,1020 .· ~;14- .·. 0,20 i·o.ú. 0,16 '. 0,11 0,13 ··o io ·. 0,11 i 0,09' 0,09 : 0,07 0,08 '0,06 0,07 
3800,0 1,49 0,1137 : 0,15 ' 0,22 1 QJ3 0,17 · o.li 0.13 o'.11. 0,12 ·:0,09 : 0,10 . Ó,07 0,09 O,o7 0,08 
4000,0 1,57 0,1259 '. 0,17 0,24 i 0,14 0,19 0,13 0,16 0~12 0,13 0;10 ·. 0,11 ·o.os 0,10 0,08' 0,08 
1 
4200,0 1,65 0,1388 o,i9. 0,26 .0,16 0,21 . o.is. 0,17 . O,i3 • 0,14 0:12. 0:12 • 0;09 0,11 0,08' 0,09 
4400,0 1,73 0,1524 ' 0,20 0.28 .. 0.17, 0,23 : 0,16' 0,19 0,15 0,16 ' 0,13 : 0,13 '. ·0,10' 0,12 0,09 0,10 
4600,0 1,81 0,1666 0,22 0,31 0,19 0,25 0,17 0,20 0,16 0,17 : 0,14: 0,15 o,h 0,13 0,10 0,11 
4800,0 1,89 0,1813 0;24 0,33 ' 0,20 0,27 ... 0,19 0,22 0,17·. 0,18 0,15' 0,16 0,12 0,14 0,11: 0,12. 
5000,0 1,96 0,1968 0,2~ 0,36 0,22' 0,29 , o.~1 0,24 ·0.19 0,20 : 0,16 0,17 : 0,13' 0,15 0,12 0,13 
5200,0 2,04 0,2128 .• 0,29. 0,39 0,24 0,31 ' 0,22' 0,26 0,20 0,21 : '0,18 0,18 '. 0,14 0,16 o.is 0,14 
5400,0 2,12. 0,2295 0,31 ' 0,41 '0,26 0,33 ' 0,24 0,27 '0,22 0,23 • 0,19 ' 0,20 0:1~ ' 0,17 0,14 0,15 
5600,0 2,20 o,2468 '' o,3s . o,44 , 0;2s 0,36 ' 0,26 0,29 0,24 0,25 : 0,20: 0,21 '0,16 0,18 0,14 0,16 
5800,0 2,28 o.2s4a . o.ss 0,47 ; 0,30. 0,38 
'. 
0,28 0,31 0,25 0,26 ' 0,22 .. 0,22 ' 0,17 0,19 ', 0,16 0,17 
6000,0 2,36 0.2834 . 0;39 . 0,50 ' 0!32 0,40 0:30 0,33 0,27. 0,28 ó.~3 ·. 0,24 0,18 0,20 ' .0,17 0,18 
6200,0 2,44 0,3026 0,41 . 0,53 : 0,34 0,43 o,32· 0,35 0,29 0,30 0~25 0,25 .0,19 0,22 o;J.8 0,19 
6400,0 2,52 0,3224 0,43 ' 0,57 0,36 0,46 n,34 0,38 '0,31' 0,31 0,27. 0,27 0,20 0,23 0,19 
; 
0,20 
6600,0 2,59 0,3429 0,46 ' 0,60 : '0,38 0,48 : 0,36 0,40 0,33 0,33 .. 0,28