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Circunferência e círculo
Circunferência
O
A
B
C
D
E
P
r
r
r
r
r
r
❑ Se O é um ponto do plano e r um número real positivo, chama-se 
circunferência de centro O e raio r o lugar geométrico dos pontos do 
plano que estão à distância r do ponto O.
Elementos
Q
P
BA
O O
Corda PQ Diâmetro AB
r r
D = 2r
C= 2r
Elementos
A
B
MN
Arco AMB
Arco ANB
Arcos e ângulos
A ≡ B A ≡ B
arco completo arco nulo
Arcos e ângulos
AB
Arco de meia volta
(Semicircunferência)
O
Círculo
❑O conjunto constituído por uma circunferência e pelos 
pontos interiores a ela é chamado círculo ou disco.
O
r
Posições relativas de ponto e circunferências
A
B
O
P
✓ O ponto A é interno à circunferência
dOA < r
✓ O ponto B pertence à circunferência
dOB = r
✓ O ponto P é exterior à circunferência
dOP > r
r
Posições relativas de reta e circunferências
r
O
r é tangente à circunferência
dOP = r
r
P
r e a circunferência têm um único 
ponto comum.
⇔
Posições relativas de reta e circunferências
s
O
P
s é secante à circunferência
dOP < r
A
B
s e a circunferência têm dois 
pontos comuns.
⇔
Posições relativas de reta e circunferências
O
t é exterior à circunferência
dOP > r
P t e a circunferência não têm 
ponto comum.
⇔
t
Propriedades da reta tangente à circunferência
r
O
✓ Uma reta é tangente a uma circunferência 
se, e somente se, ela é perpendicular ao 
raio no ponto de tangência.
r
P
✓ Por um ponto de uma circunferência, pode-
 se traçar uma única tangente a essa 
circunferência.
Propriedade da reta secante à circunferência
s
O
M
A
B
✓ Uma reta secante que passa pelo centro da 
circunferência é perpendicular a uma corda 
se, e somente se, divide essa corda ao meio.
s ⊥ AB por O ⇔ AM = MB
Posições relativas de duas circunferências
B
Todos os pontos de C1 são 
externos a C2
r
dAB > r + R⇔
A R
C1
C2
C1 é externa C2
Posições relativas de duas circunferências
B
C1 e C2 têm um só ponto comum 
e não têm ponto interior comum
r
dAB = r + R⇔
A R
C1
C2
C1 e C2 são tangentes externamente em P
P
Posições relativas de duas circunferências
B
Têm dois pontos comuns
r
R – r < dAB < R + r⇔
A
R
C1
C2
C1 e C2 são secantes
Posições relativas de duas circunferências
B
Têm um só ponto comum e os 
demais pontos de C1 são 
interiores a C2
P
dAB = R – r⇔
A
C1
C2
C1 e C2 são tangentes 
internamente em P
Posições relativas de duas circunferências
B
Todos os pontos de C1 são 
interiores a C2
0 ≤ dAB < R – r⇔
A
C1
C2
C1 é interna a C2
Segmentos tangentes —
Quadriláteros circunscritíveis
UnB
A partir de um ponto C, exterior a uma circunferência, traçam-se 
duas retas tangentes, como mostra a figura adiante. Os segmentos 
tangentes CR e CS, que são necessariamente congruentes, medem, 
cada um, 23,5 cm. Em um dos arcos de extremos R e S, escolhe-se, 
ao acaso, um ponto P, traçando-se o segmento AB, tangente a 
circunferência em P. 
Calcule, em centímetros, o perímetro do triângulo ABC, desprezando 
a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
Ângulos na circunferência
Ângulo central
A
B
O
C

D
E
F


 Chama-se de ângulo central de uma circunferência todo ângulo 
que tem como vértice o seu centro.
A cada ângulo central corresponde 
um arco, interseção do ângulo com 
a circunferência.
Ângulo central
 Um ângulo central tem a mesma medida do arco correspondente.
AÔB é ângulo central
m(AÔB) = m(AB) = 
O
A
B

Ângulo Inscrito
 Chama-se ângulo em uma circunferência todo ângulo cujo 
vértice é um de seus pontos e cujos lados são secantes a ele.
APB é ângulo inscrito
m(APB) =  = 
O
A
B

P
AB
2
Ângulo Inscrito - Propriedade
Os ângulos inscritos de vértices 
P, Q e R são congruentes
m(APB) = m(AQB) = m(ARB) = 
AB
2
 Ângulos inscritos em um mesmo arco são congruentes.
P
A
B
Q
R
Ângulo Inscrito - Propriedade
AB diâmetro da circunferência, os 
ângulos de vértices M, N e P são 
retos, porque o arco AB mede 180o.
 Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.
M
A B
P
N
Ângulo Inscrito - Propriedade
Como conseqüência a mediana 
relativa a hipotenusa tem medida 
igual a metade da hipotenusa.
 Todo triangulo inscrito numa semicircunferência e retângulo.
M
A B
r r
r
Teorema do quadrilátero inscrito
 Num quadrilátero inscrito, os ângulos opostos são suplementares.
	Slide 1: Circunferência e círculo
	Slide 2: Circunferência
	Slide 3: Elementos
	Slide 4: Elementos
	Slide 5: Arcos e ângulos
	Slide 6: Arcos e ângulos
	Slide 7: Círculo
	Slide 8: Posições relativas de ponto e circunferências
	Slide 9: Posições relativas de reta e circunferências
	Slide 10: Posições relativas de reta e circunferências
	Slide 11: Posições relativas de reta e circunferências
	Slide 12: Propriedades da reta tangente à circunferência
	Slide 13: Propriedade da reta secante à circunferência
	Slide 14: Posições relativas de duas circunferências
	Slide 15: Posições relativas de duas circunferências
	Slide 16: Posições relativas de duas circunferências
	Slide 17: Posições relativas de duas circunferências
	Slide 18: Posições relativas de duas circunferências
	Slide 19: Segmentos tangentes — Quadriláteros circunscritíveis
	Slide 20: UnB
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23
	Slide 24: Ângulos na circunferência
	Slide 25: Ângulo central
	Slide 26: Ângulo central
	Slide 27: Ângulo Inscrito
	Slide 28: Ângulo Inscrito - Propriedade
	Slide 29: Ângulo Inscrito - Propriedade
	Slide 30: Ângulo Inscrito - Propriedade
	Slide 31: Teorema do quadrilátero inscrito