EO - Matemática_VOLUME3

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Caro aluno 
O Hexag Medicina é, desde 2010, referência na preparação pré-vestibular de candidatos às 
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cial em relação aos concorrentes sua exclusiva metodologia em período integral, com aulas 
e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado.
Você está recebendo o livro Estudo Orientado. Com o objetivo de verificar se você aprendeu 
os conteúdos estudados, este material apresenta nove categorias de exercícios:
• Aprendizagem: exercícios introdutórios de múltipla escolha para iniciar o processo de fixa-
ção da matéria dada em aula. 
• Fixação: exercícios de múltipla escolha que apresentam um grau de dificuldade médio, 
buscando a consolidação do aprendizado. 
• Complementar: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade. 
• Dissertativo: exercícios dissertativos seguindo a forma da segunda fase dos principais ves-
tibulares do Brasil. 
• Enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano, 
preparando o aluno para esse tipo de exame. 
• Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios de múltipla escolha das universi-
dades públicas de São Paulo. 
• Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios dissertativos da segunda fase 
das universidades públicas de São Paulo 
• Uerj (exame de qualificação): exercícios de múltipla escolha que possibilitam a consolida-
ção do aprendizado para o vestibular da Uerj. 
• Uerj (exame discursivo): exercícios dissertativos que possibilitam a consolidação do apren-
dizado para o vestibular da Uerj.
Visando a um melhor planejamento dos seus estudos, os livros de Estudo Orientado rece-
berão o encarte Guia de Códigos Hierárquicos, que mostra, com prático e rápido manu-
seio, a que conteúdo do livro teórico corresponde cada questão. Esse formato vai auxiliá-lo 
a diagnosticar em quais assuntos você encontra mais dificuldade. Essa é uma inovação 
do material didático. Sempre moderno e completo, trata-se de um grande aliado para seu 
sucesso nos vestibulares.
Bons estudos!
Herlan Fellini
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
TRIGONOMETRIA E ARITMÉTICA
GEOMETRIAS PLANA E ESPACIAL
Aulas 17 e 18: Função polinomial do 2º grau 4
Aulas 19 e 20: Equações, inequações e funções exponenciais 16
Aulas 21 e 22: Definição e propriedades dos logaritmos 22
Aulas 23 e 24: Equações, inequações e sistemas de equações logarítmicas 27
Aulas 25 e 26: Funções logarítmicas 34
Aulas 17 e 18: Juros simples e compostos 44
Aulas 19 e 20: Conceitos trigonométricos 49
Aulas 21 e 22: Relações fundamentais da trigonometria 54
Aulas 23 e 24: Transformações trigonométricas 61
Aulas 25 e 26: Equações trigonométricas 69
Aulas 17 e 18: Polígonos 76
Aulas 19 e 20: Áreas dos quadriláteros e razão de semelhanças para áreas 82
Aulas 21 e 22: Área do círculo, setor e segmento circular 102
Aulas 23 e 24: Poliedros e noções de geometria métrica de posição 113
Aulas 25 e 26: Prismas 119
ÁLGEBRA
 4
E.O. APRENDIZAGEM
1. (Ufrgs) Dada a função f, definida por f(x) = x² + 9 – 6x, 
o número de valores de x
que satisfazem a igualdade f(x) = –f(x) é:
a) 0. d) 3.
b) 1. e) 4.
c) 2.
2. (PUC-RJ) Sejam f e g funções reais dadas por f(x) = x + 1 
e g(x) = 1 + 2x2.
Os valores de x tais que f(x) = g(x) são:
a) x = 0 ou x = 1.
b) x = 0 ou x = 2.
c) x = 1 ou x = 1 __ 2 .
d) x = 2 ou x = 1.
e) x = 0 ou x = 1 __ 2 .
3. (UERN) Seja uma função do 2º grau y = ax2 + bx + c, 
cujo gráfico está representado a seguir.
A soma dos coeficientes dessa função é:
a) –2. c) –4.
b) –3. d) –6.
4. (Espcex) Uma indústria produz mensalmente x lotes 
de um produto. O valor mensal resultante da venda 
deste produto é V(x) = 3x² – 12x e o custo mensal da 
produção é dado por C(x) = 5x² – 40x – 40. Sabendo que 
o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante 
das vendas e o custo da produção, então o número de 
lotes mensais que essa indústria deve vender para ob-
ter lucro máximo é igual a:
a) 4 lotes.
b) 5 lotes.
c) 6 lotes.
d) 7 lotes.
e) 8 lotes.
5. (Ulbra) Preocupados com o lucro da empresa VXY, os 
gestores contrataram um matemático para modelar o cus-
to de produção de um dos seus produtos. O modelo criado 
pelo matemático segue a seguinte lei: C = 15000 – 250n + n2, 
onde C representa o custo, em reais, para se produzirem n 
unidades do determinado produto. Quantas unidades de-
verão ser produzidas para se obter o custo mínimo?
a) –625
b) 125
c) 1.245
d) 625
e) 315
6. (Ufrgs) Considere as funções f e g tais que f(x) = 4x – 2x2 –1 
e g(x) = 3 – 2x. A soma dos valores de f(x) que satisfazem a 
igualdade f(x) = g(x) é:
a) –4.
b) –2.
c) 0.
d) 3.
e) 4.
7. A receita obtida pela venda de um determinado pro-
duto é representada pela função R(x) = – x2 + 100 x, onde 
x é a quantidade desse produto. O gráfico da referida 
função é apresentado abaixo.
É CORRETO afirmar que as quantidades a serem comer-
cializadas para atingir a receita máxima e o valor máxi-
mo da receita são, respectivamente:
a) 50 e 2.000.
b) 25 e 2.000.
c) 100 e 2.100.
d) 100 e 2.500.
e) 50 e 2.500.
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
HABILIDADES: 13, 15, 19, 20 e 21
COMPETÊNCIAS: 3, 4 e 5
AULAS 17 e 18
 5
8. (UFSM) Um jogador de basquete lança uma bola em 
direção à cesta e ela descreve um arco de parábola. A lei 
que descreve essa parábola é h(t) = – 1 __ 3 t² + 5 __ 3 t + 2, onde 
t é o tempo decorrido em segundos após o lançamento, 
e h é a altura em metros. Assim, é correto afirmar:
a) A bola atinge o solo em 5 s.
b) A imagem de h(t) é dada pelo conjunto 
 { y [ R | y ≥ 49 ___ 9 } .
c) O vértice da parábola é o ponto ( 5 __ 2 , 49 ___ 12 ) .
d) Para todo t [ [–6,1], h(t) ≥ 0.
e) A altura máxima atingida pela bola é igual a 7 __ 3 m.
9. Seja f(x) = 3 · ( x – 1 __ 2 ) ² – 4, onde x é um número real 
qualquer. O menor valor que f(x) pode assumir é:
a) –3. c) –5.
b) –4. d) –6.
E.O. FIXAÇÃO
1. A função real representada pelo gráfico é definida por:
a) f(x) = 2x² – x – 1.
b) f(x) = 2x² + 3x – 1.
c) f(x) = x² – 3x + 1.
d) f(x) = 2x² – 3x + 1.
2. (UFPB) Um estudo das condições ambientais na região 
central de uma grande cidade indicou que a taxa média 
diária (C) de monóxido de carbono presente no ar é de 
C(p) = 0,5p + 1 partes por milhão, para uma quantidade 
de (p) milhares de habitantes. Estima-se que, daqui a t 
anos, a população nessa região será de p(t) = 2t² – t + 
110 milhares de habitantes. Nesse contexto, para que a 
taxa média diária de monóxido de carbono ultrapasse o 
valor de 61 partes por milhão, é necessário que tenham 
sido transcorridos no mínimo:
a) 2 anos.
b) 2 anos e 6 meses.
c) 3 anos.
d) 3 anos e 6 meses.
e) 4 anos.
3. (UEG) Em um terreno, na forma de um triângulo re-
tângulo, será construído um jardim retangular, confor-
me figura abaixo.
Sabendo-se que os dois menores lados do terreno me-
dem 9 m e 4 m, as dimensões do jardim para que ele 
tenha a maior área possível, serão, respectivamente:
a) 2,0 m e 4,5 m.
b) 3,0 m e 4,0 m.
c) 3,5 m e 5,0 m.
d) 2,5 m e 7,0 m.
4. Se a função L(x) = 10 · (x – 2) · ( 1 ___ 10 – x ) representa 
o lucro de uma indústria em que x é a quantidade de 
unidades vendida, então o lucro será:
a) mínimo para x = 3.
b) positivo para x ≥ 2.
c) máximo para x = 1 ___ 10 .
d) positivo para 1 ___ 10 < x < 2.
5. (Unisc) O gráfico da parábola cuja função é 
f(x)=40x–10x²+50 mostra a velocidade, em quilô-
metros por hora, de um automóvel num intervalo 
(Dx) de 0 até 5 segundos.
Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.
I. A maior velocidade que o automóvel atingiu supera a 
velocidade inicial em 40 km/h.
II. A maior velocidade ocorreu quando o cronômetro in-
dicava x = 2,5 segundos.
III. O automóvel estava parado quando o cronômetro 
indicava x = 5 segundos.
a) Todas as afirmativas estão corretas.
b) Somente as afirmativas II e III estão corretas.
c) Somente as afirmativas I eIII estão corretas.
d) Somente as afirmativas I e II estão corretas.
e) Apenas uma das afirmativas está correta.
6. (UFSJ) Um corpo arremessado tem sua trajetória re-
presentada pelo gráfico de uma parábola, conforme a 
figura a seguir.
 6
Nessa trajetória, a altura máxima, em metros, atingida 
pelo corpo foi de:
a) 0,52 m. c) 0,58 m.
b) 0,64 m. d) 0,62 m.
7. (UFRN) Uma lanchonete vende, em média, 200 san-
duíches por noite ao preço de R$ 3,00 cada um. O pro-
prietário observa que, para cada R$ 0,10 que diminui 
no preço, a quantidade vendida aumenta em cerca de 
20 sanduíches.
Considerando o custo de R$ 1,50 para produzir cada 
sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao 
proprietário é:
a) R$ 2,50.
b) R$ 2,00.
c) R$ 2,75.
d) R$ 2,25.
8. (Pucsp) Para abastecer seu estoque, um comercian-
te comprou um lote de camisetas ao custo de 16 reais 
a unidade. Sabe-se que em um mês, no qual vendeu 
(40 – x) unidades dessas camisetas ao preço unitário 
de x reais, o seu lucro foi máximo. Assim sendo, pela 
venda de tais camisetas nesse mês, o percentual de 
aumento repassado aos clientes, calculado sobre o 
preço unitário que o comerciante pagou na compra do 
lote, foi de: 
a) 80%.
b) 75%.
c) 60%.
d) 45%
9. (UFSM) Uma pessoa ingere uma certa substância que 
se concentra em seu cérebro. O gráfico a seguir mostra 
essa concentração em função do tempo t.
Admitindo que a concentração y seja dada por uma fun-
ção quadrática y = at2 + bt + c, é correto afirmar que:
a) a > 0 e b2 – 4ac > 0.
b) a > 0 e b2 – 4ac < 0.
c) a < 0 e b2 – 4ac > 0.
d) a < 0 e b2 – 4ac < 0.
e) a ≠ 0 e b2 – 4ac = 0.
10. (Epcar) O gráfico de uma função polinomial do se-
gundo grau y = f(x), que tem como coordenadas do vér-
tice (5, 2) e passa pelo ponto (4, 3), também passará 
pelo ponto de coordenadas:
a) (1, 18).
b) (0, 26).
c) (6, 4).
d) (–1, 36).
E.O. COMPLEMENTAR
 1. (Insper) No gráfico estão representadas duas fun-
ções: f(x) do primeiro grau e g(x) do segundo grau.
O gráfico que melhor representa a função h(x) = f(x) + g(x) é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 7
2. (Insper) O número n de pessoas presentes em uma fes-
ta varia ao longo do tempo t de duração da festa, em 
horas, conforme mostra o gráfico a seguir.
Das opções abaixo, aquela que melhor descreve a fun-
ção n(t) é: 
a) n(t) = –10t2 + 4t + 50.
b) n(t) = –10t2 + 40t + 50. 
c) n(t) = –10t2 + 4t.
d) n(t) = –t2 + 40t.
e) n(t) = –10t2 + 40t.
3. (Ufrgs) O gráfico do polinômio de coeficientes reais 
p(x) = ax² + bx + c está representado a seguir.
Com base nos dados desse gráfico, é correto afirmar 
que os coeficientes a, b e c satisfazem as desigualdades:
a) a > 0; b < 0; c < 0.
b) a > 0; b < 0; c > 0.
c) a > 0; b > 0; c > 0.
d) a > 0;b > 0; c < 0.
e) a < 0; b < 0; c < 0.
4. (Fatec) Seja f a função quadrática, de R em R, defi-
nida por f(x) = (k + 3) · (x2 + 1) + 4x, na qual k é uma 
constante real.
Logo, f(x) > 0, para todo x real, se, e somente se:
a) k > –3.
b) k > –1.
c) –3 < k < 1.
d) k < 1 ou k > 5.
e) k < –5 ou k > –1.
5. Os ingressos para a pré-estreia mundial de um filme 
começaram a ser vendidos 20 dias antes da exibição do 
filme, sendo que:
• nos 10 primeiros dias desse período, as vendas fo-
ram feitas exclusivamente nas bilheterias;
• nos dez últimos dias, as vendas ocorreram simulta-
neamente nas bilheterias e pela internet.
Considere que t representa o tempo, em dias, desde o 
início das vendas e v(t) o total de ingressos vendidos, em 
milhões, até o tempo t. 
No período de vendas simultâneas nas bilheterias e 
pela internet, a função v(t) é dada por:
v(t) = –0,1t2 + 4t – 10.
O número de ingressos vendidos apenas nos 10 dias 
que antecederam a exibição do filme foi: 
a) 10 milhões. d) 40 milhões.
b) 20 milhões. e) 50 milhões.
c) 30 milhões.
E.O. DISSERTATIVO
1. Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas 
da forma f(x) = x² + ax + b definidas para todo x real.
a) Sabendo que o gráfico de y = f(x) intercepta o eixo 
y no ponto (0, 1) e é tangente ao eixo x, determine os 
possíveis valores de a e b.
b) Quando a + b = 1, os gráficos dessas funções 
quadráticas têm um ponto em comum. Determine as 
coordenadas desse ponto.
2. (UFPR) Considere as funções f(x) = x – 1 e 
g(x) = 2 __ 3 ∙ (x – 1) ∙ (x – 2).
a) Esboce o gráfico de f(x) e g(x) no sistema cartesia-
no abaixo.
b) Calcule as coordenadas (x, y) dos pontos de inter-
seção dos gráficos de f(x) e g(x).
3. (UFBA) Sabendo que os gráficos das funções quadráti-
cas f(x) = x2 − 4x + 3 e g(x) = –x2 – bx + c se intersectam 
em um ponto do eixo x e em um ponto do eixo y, determi-
ne o valor de b4c.
4. Na figura abaixo, os gráficos das funções reais f e g são 
tangentes. Sabendo que f(x) = x² + 2k e g(x) = 2x + k, calcule 
f(2) + g(3).
 8
5. (Udesc) Considere a região limitada pela parábola 
y = kx² e pela reta y = ka² sendo k e a números reais 
positivos, sombreada na figura abaixo.
A área desta região é calculada pela expressão A = 4ka3
 _____ 3 uni-
dades de área. Resolva os itens abaixo explicitando 
seus cálculos com a maior clareza possível.
a) Represente geometricamente e hachure a região 
delimitada pelas parábolas y = x² e y = 12 – 2x².
b) Determine a área da região obtida no item (a).
6. (UFPR) O número N de caminhões produzidos em uma 
montadora durante um dia, após t horas de operação, é 
dado por N(t) = 20 · t – t² sendo que 0 ≤ t ≤ 10. Suponha 
que o custo C (em milhares de reais) para se produzir N 
caminhões seja dado por C(N) = 50 + 30 · N.
a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de 
operação da montadora.
b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo 
alcançará o valor de 2300 milhares de reais?
7. (PUC-RJ) O retângulo ABCD tem dois vértices
na parábola de equação y = x² __ 6 – 11 ___ 6 x + 3e dois vértices 
no eixo x, como na figura abaixo.
Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede.
a) Determine as coordenadas do ponto A.
b) Determine as coordenadas do ponto C.
c) Calcule a área do retângulo ABCD.
8. (UFTM) Certa fonte multimídia promove um balé de 
água, luzes, cores, música e imagens. Sabe-se que bom-
bas hidráulicas fazem milhares de litros de água circula-
rem por minuto em alta pressão por canos de aço, dan-
do vida a um show de formas, entre as quais parábolas, 
conforme ilustra a figura.
A trajetória de uma dessas parábolas pode ser descrita 
pela função h(t) = 12t – t², com t ≥ 0, onde t é o tempo 
medido em segundos e h(t) é a altura, em metros, do 
jato no instante t.
Nessas condições:
a) determine, após o lançamento, a altura máxima 
que o jato alcança.
b) construa o gráfico da função, explicando o que 
acontece no instante t = 12 s.
9. (UEL) O óxido de potássio, K2O, é um nutriente usado 
para melhorar a produção em lavouras de cana-de-açú-
car. Em determinada região, foram testadas três dosa-
gens diferentes do nutriente e, neste caso, a relação en-
tre a produção de cana e a dosagem do nutriente se deu 
conforme mostra a tabela a seguir.
Dose do nutriente
(kg/hectare)
Produção de 
cana-de-açúcar
(toneladas/hectare)
0 42
70 56
140 61
Considerando que a produção de cana-de-açúcar por 
hectare em função da dose de nutriente pode ser descri-
ta por uma função do tipo y(x) = ax² + bx + c, determine 
a quantidade de nutriente por hectare que maximiza a 
produção de cana-de-açúcar por hectare. Apresente os 
cálculos realizados na resolução da questão.
10. (UFRJ) Determine a equação da parábola que passa pelo 
ponto P1 = (0,a) e é tangente ao eixo x no ponto P2 = (a,0), 
sabendo que a distância de P1 a P2 é igual a 4.
E.O. ENEM
1. (Enem) A temperatura T de um forno (em graus cen-
tígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante 
de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a 
expressão T(t) = – t
2
 __ 4 + 400, com t em minutos. Por mo-
tivos de segurança, a trava do forno só é liberada para 
abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°.
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se 
desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?
a) 19,0 d)38,0
b) 19,8 e) 39,0
c) 20,0
2. (Enem) Um professor, depois de corrigir as provas de 
sua turma, percebeu que várias questões estavam mui-
to difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função 
polinomial f, de grau menor que 3 para alterar as notas 
x da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira:
• A nota zero permanece zero.
• A nota 10 permanece 10.
• A nota 5 passa a ser 6. 
 9
A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo 
professor é:
a) y = – 1 ____ 25 x² + 7 ___ 5 x.
b) y = – 1 ____ 10 x² + 2x.
c) y = 1 ____ 24 x² + 7 ____ 12 x.
d) y = 4 ___ 5 x + 2.
e) y = x.
3. (Enem) A parte interior de uma taça foi gerada pela 
rotação de uma parábola em torno de um eixo z, con-
forme mostra a figura. 
A função real que expressa a parábola, no plano carte-
siano da figura, é dada pela lei f(x) = 3 __ 2 x² – 6x + C, onde 
C é a medida da altura do líquido contido na taça, em 
centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, represen-
ta o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, 
em centímetros, é:
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
4. (Enem) Existem no mercado chuveiros elétricos de 
diferentes potências, que representam consumos e cus-
tos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é 
dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o 
quadrado da corrente elétrica (i) que por ele circula. O 
consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é direta-
mente proporcional à potência do aparelho.
Considerando as características apresentadas, qual dos 
gráficos a seguir representa a relação entre a energia 
consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elé-
trica (i) que circula por ele?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
5. (Enem) Um posto de combustível vende 10.000 li-
tros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprie-
tário percebeu que, para cada centavo de desconto 
que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais 
por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool 
foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado 
no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado 
por dia com a venda do álcool, então a expressão que 
relaciona V e x é:
a) V = 10.000 + 50x – x2.
b) V = 10.000 + 50x + x2.
c) V = 15.000 – 50x – x2.
d) V = 15.000 + 50x – x2.
e) V = 15.000 – 50x + x2.
6. (Enem) Um túnel deve ser lacrado com uma tampa 
de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de 
 10
concreto têm contornos de um arco de parábola e mes-
mas dimensões. Para determinar o custo da obra, um 
engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico 
em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão 
e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, ob-
teve a seguinte equação para a parábola:
y = 9 – x2 sendo x e y medidos em metros.
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual 
a 2 __ 3 da área do retângulo cujas dimensões são, respecti-
vamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em 
metro quadrado? 
a) 18 d) 45
b) 20 e) 54
c) 36
7. (Enem) Um estudante está pesquisando o desenvol-
vimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, 
ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A 
temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, 
é dada pela expressão T(h) = –h2 + 22h – 85, em que h 
representa as horas do dia. Sabe-se que o número de 
bactérias é o maior possível quando a estufa atinge 
sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve 
retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de tem-
peratura, em graus Celsius, com as classificações: muito 
baixa, baixa, média, alta e muito alta.
Intervalos de 
temperatura (ºC)
Classificação
T < 0 Muito baixa
0 ≤ T ≤ 17 Baixa
17 < T < 30 Média
30 ≤ T ≤ 43 Alta
T > 43 Muito alta
Quando o estudante obtém o maior número possível 
de bactérias, a temperatura no interior da estufa está 
classificada como: 
a) muito baixa. d) alta.
b) baixa. e) muito alta.
c) média.
E.O. UERJ 
EXAME DE QUALIFICAÇÃO
1. (UERJ 2017) No plano cartesiano a seguir, estão repre-
sentados o gráfico da função definida por f(x) = x2 + 2, com 
x e os vértices dos quadrados adjacentes ABCD e 
DMNP.
Observe que B e P são pontos do gráfico da função f e 
que A, B, D e M são pontos dos eixos coordenados.
Desse modo, a área do polígono ABCPNM, formado 
pela união dos dois quadrados, é: 
a) 20. c) 36.
b) 28. d) 40.
2. (UERJ) Observe a função f, definida por:
f(x) = x2 – 2kx + 29, para x . 
Se f(x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da 
função f é 4. Assim, o valor positivo do parâmetro k é: 
a) 5 c) 10
b) 6 d) 15
3. (UERJ) A figura a seguir mostra um anteparo parabólico 
que é representado pela função f(x) = ( – √
__
 3 ____ 3 ) x2 + 2 √
__
 3 x.
x0
f(x)
Uma bolinha de aço é lançada da origem e segue uma 
trajetória retilínea. Ao incidir no vértice do anteparo é 
refletida e a nova trajetória é simétrica à inicial, em re-
lação ao eixo da parábola.
O valor do ângulo de incidência a corresponde a: 
a) 30°. c) 60°.
b) 45°. d) 75°. 
4. (UERJ) Os gráficos I e II representam as posições S de 
dois corpos em função do tempo t.
gráfico I
V1
t1 t (segundos)O
h
s 
(m
et
ro
s)
t (segundos)2t10
h
V2
gráfico II
s 
(m
et
ro
s)
 11
No gráfico I, a função horária é definida pela equação 
S = a1t
2 + b1t e, no gráfico II, por S = a2t
2 + b2t. 
Admita que V1 e V2 são, respectivamente, os vértices das 
curvas traçadas nos gráficos I e II.
Assim, a razão 
a1 __ a2
 é igual a:
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 8. 
5. (UERJ) O gráfico abaixo mostra o segmento de reta 
AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até 
B (3, 0).
O produto das distâncias do ponto C aos eixos coorde-
nados é variável e tem valor máximo
igual a 4,5.
O comprimento do segmento AB corresponde a:
a) 5.
b) 6.
c) 3 √
__
 5 .
d) 6 √
__
 2 .
6. (UERJ) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 
0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme 
representado no sistema de eixos ortogonais:
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas 
com vértices C e D. A equação de uma dessas parábolas é
y = –x2
 ___ 75 + 2x ___ 5 .
Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao 
ponto B, em metros, é igual a:
a) 38.
b) 40.
c) 45.
d) 50.
E.O. UERJ 
EXAME DISCURSIVO
1. (UERJ) Em um triângulo equilátero de perímetro igual 
a 6 cm, inscreve-se um retângulo de modo que um de 
seus lados fique sobre um dos lados do triângulo. Ob-
serve a figura:
 
Admitindo que o retângulo possui a maior área pos-
sível, determine, em centímetros, as medidas x e y de 
seus lados.
 2. (UERJ) Um terreno retangular tem 800 m de períme-
tro e será dividido pelos segmentos 
——
 PA e 
——
 CQ em três 
partes, como mostra a figura.
 
Admita que os segmentos de reta 
——
 PA e 
——
 CQ estão conti-
dos nas bissetrizes de dois ângulos retos do terreno e 
que a área do paralelogramo PAQC tem medida S. De-
termine o maior valor, em m2, que S pode assumir.
 3. (UERJ) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de 
sua safra anual, vende cada fruta por R$ 2,00. A partir 
daí, o preço de cada fruta decresce R$ 0,02 por dia.
Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no pri-
meiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia.
a) Expresse o ganho do fruticultor com a venda das 
frutas como função do dia de colheita.
b) Determine o dia da colheita de maior ganho para 
o fruticultor. 
4. (UERJ) Considere as seguintes funções, relativas a 
uma ninhada de pássaros:
C = 5 + 10 n; C = custo mensal, em reais, para a manu-
tenção de n pássaros.
V = –5 n2 + 100 n – 320; V = valor arrecadado, em reais, 
com a venda de n pássaros, 4 ≤ n ≤ 16.
Sabe-se que o lucro mensal obtido é determinado pela 
diferença entre os valores de venda V e custo C.
a) Determine os possíveis valores de n, para que haja 
lucro nas vendas.
b) Calcule o valor de n que proporciona o maior lucropossível e o valor, em reais, desse lucro. 
 12
5. (UERJ) A foto a seguir mostra um túnel cuja entrada 
forma um arco parabólico com base AB = 8 m e altura 
central OC = 5,6 m.
Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e 
o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola.
Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 
2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P 
em um determinado ponto do arco parabólico.
Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy.
6. (UERJ) Observe a parábola de vértice V, gráfico da 
função quadrática definida por y = ax2 + bx + c, que 
corta o eixo das abscissas nos pontos A e B.
A B x
y
V
Calcule o valor numérico de ∆ = b2 – 4ac, sabendo que 
o triângulo ABV é equilátero.
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Fuvest) A trajetória de um projétil, lançado da beira 
de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, 
é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, 
como ilustrado na figura abaixo. O ponto P sobre o 
terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto 
ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante 
do lançamento até o instante em que o projétil atinge 
o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima 
do terreno, é atingida no instante em que a distância 
percorrida por P, a partir do instante do lançamento, 
é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o 
projétil quando foi lançado?
a) 60
b) 90
c) 120
d) 150
e) 180
2. (Unicamp) Seja a um número real. Considere as 
parábolas de equações cartesianas y = x2 + 2x + 2 e 
y = 2x2 + ax + 3. Essas parábolas não se interceptam 
se e somente se: 
a) u a u = 2
b) u a u < 2.
c) u a – 2 u < 2.
d) u a – 2 u ≥ 2.
3. (Fuvest) A função f: R é R tem como gráfico uma 
parábola e satisfaz f(x + 1) – f(x) = 6x – 2, para todo nú-
mero real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando 
x é igual a:
a) 11 ___ 6 .
b) 7 __ 6 .
c) 5 __ 6 .
d) 0.
e) – 5 __ 6 .
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Fuvest) No plano cartesiano 0xy, considere a parábo-
la P de equação y = –4x2 + 8x + 12 e a reta r de equação 
y = 3x + 6. Determine:
a) os pontos A e B, de intersecção da parábola P 
com o eixo coordenado 0x, bem como o vértice V 
da parábola P. 
b) o ponto C, de abscissa positiva, que pertence à 
intersecção de P com a reta r. 
c) a área do quadrilátero de vértices A, B, C e V. 
 13
2. (Unicamp 2017) Sejam c um número real e f(x) = x2 – 4x + c 
uma função quadrática definida para todo número real x. No 
plano cartesiano, considere a parábola dada pelo gráfico de 
y = f(x). 
a) Determine c no caso em que a abscissa e a ordena-
da do vértice da parábola têm soma nula e esboce o 
respectivo gráfico para 0 ≤ x ≤ 4. 
b) Considere os pontos de coordenadas A = (a, f(a)) 
e B = (b, f(b)), onde a e b são números reais com a < b. 
Sabendo que o ponto médio do segmento 
——
 AB é M = (1, c), 
determine a e b.
3. (Unicamp) Uma grande preocupação atual é a polui-
ção, particularmente aquela emitida pelo crescente nú-
mero de veículos automotores circulando no planeta. 
Ao funcionar, o motor de um carro queima combustível, 
gerando CO2, além de outros gases e resíduos poluentes.
a) Considere um carro que, trafegando a uma determinada 
velocidade constante, emite 2,7 kg de CO2 a cada litro de 
combustível que consome. Nesse caso, quantos quilogra-
mas de CO2 ele emitiu em uma viagem de 378 km, saben-
do que fez 13,5 km por litro de gasolina nesse percurso?
b) A quantidade de CO2 produzida por quilômetro 
percorrido depende da velocidade do carro. Suponha 
que, para o carro em questão, a função c(v) que forne-
ce a quantidade de CO2, em g/km, com relação à ve-
locidade v, para velocidades entre 20 e 40 km/h, seja 
dada por um polinômio do segundo grau. Determine 
esse polinômio com base nos dados da tabela abaixo.
Velocidade (km/h) Emissão de CO2 (g/km)
20 400
30 250
40 200
4. (Unesp) O gráfico representa uma função f que des-
creve, aproximadamente, o movimento (em função do 
tempo t em segundos) por um certo período, de um 
golfinho que salta e retorna à água, tendo o eixo das 
abscissas coincidente com a superfície da água.
tempo (segundos)0
1
altura (metros)
-2
-4
a) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é 
constituída por segmentos de retas, determine a ex-
pressão matemática de f nos instantes anteriores à 
saída do golfinho da água. Em que instante o golfi-
nho saiu da água?
b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte 
de uma parábola, dada por:
 f(t) = ( - 3 __ 4 ) t2 + 6t – 9.
Determine quantos segundos o golfinho ficou fora da 
água e a altura máxima, em metros, atingida no salto. 
5. (Unifesp) A concentração C, em partes por milhão 
(ppm), de certo medicamento na corrente sanguínea após 
t horas da sua ingestão é dada pela função polinomial 
C(t) = –0,05t2 + 2t + 25. Nessa função, considera-se t = 0 
o instante em que o paciente ingere a primeira dose do 
medicamento. 
Álvaro é um paciente que está sendo tratado com esse 
medicamento e tomou a primeira dose às 11 horas da 
manhã de uma segunda-feira.
a) A que horas a concentração do medicamento na corren-
te sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez?
b) Se o médico deseja prescrever a segunda dose quando 
a concentração do medicamento na corrente sanguínea 
de Álvaro atingir seu máximo valor, para que dia da se-
mana e horário ele deverá prescrever a segunda dose? 
6. (Unifesp) A densidade populacional de cada distrito 
da cidade de South Hill, denotada por D (em número de 
habitantes por km2) está relacionada à distância x, em 
quilômetros, do distrito ao centro da cidade. A fórmula 
que relaciona D e x é dada por D = 5 + 30x – 15x2. 
a) Um distrito, localizado no centro da cidade de São 
Paulo, tem densidade populacional de 16,5 hab/km2. 
Comparando a densidade populacional do distrito 
que fica no centro da cidade de South Hill com a do 
distrito do centro da cidade de São Paulo, a segunda 
supera a primeira em y%. Calcule y. 
b) Determine a que distância do centro da cidade de 
South Hill a densidade populacional é máxima. Qual 
é o valor dessa densidade máxima? 
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. E 3. C 4. D 5. B
6. C 7. E 8. C 9. B
E.O. Fixação 
1. D 2. B 3. A 4. D 5. C
6. B 7. C 8. B 9. C 10. A
E.O. Complementar 
1. C 2. E 3. A 4. B 5. A
 14
E.O. Dissertativo
1.
a) a = ± 2 e b = 1
b) (1, 2)
2.
a) 
b) Os pontos de intersecção entre f(x) e g(x) são 
(1, 0) e ( 7 __ 
2
 , 5 __ 
2
 ) .
3. b4 · c = 24 · 3 = 48.
4. f(2) + g(3) = 2² + 2 + 2 · 3 + 1 = 13
5.
a) 
b) A = 32 ___ 
3
 + 64 ___ 
3
 = 96 ___ 
3
 = 32
6. 
a) C(t) = –30t2 + 600t + 50
b) t = 5h
7. 
a) A=(3,-1)
b) C = (8,0)
c) A área do retângulo ABCD é 5 u.a.
8. 
a) A altura máxima que o jato alcança é 36 m no 
instante t = 6 s.
b) Quando t = 12 s, h é igual a zero, ou seja, o jato 
retorna ao solo.
9. xv = 37 · 35/9 ≈ 143,88 kg
10. y = √
__
 2 ___ 
4
 ( x – 2 √
__
 2 ) ² ou y = – √
__
 2 ___ 
4
 ( x + 2 √
__
 2 ) ²
E.O. Enem
1. D 2. A 3. E 4. D 5. D
6. C 7. D
E.O. UERJ 
Exame de Qualificação
1. D 2. A 3. A 4. C 5. C
6. B
E.O. UERJ 
EXAME Discursivo
1. y = √
__
 3 ___ 
2
 e x = 1.
2. 20.000 m²
3. 
a) 160 + 0,4 n – 0,02 n2
b) 11º dia 
4. 
a) n tal que 5 < n < 13. 
b) 9 filhotes gerando 80 reais de lucro. 
5. 3 m 
6. ∆ = 12 
E.O. Objetivas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. D 2. C 3. C
E.O. Dissertativas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) A(–1, 0), B(3, 0) e V = (1, 16)
b) C(2, 12)
c) A = 36 u.a
 15
2. 
a) c = 2
 Portanto, segue o gráfico de f. 
 
b) 
 a = 1 – √
__
 3 
 b = 1 + √
__
 3 
3. 
a) 75,6 kg
b) 1 __ 
2
 v2 – 40v + 1000
4.
a) f(t) = 2t – 4 para 0 ≤ t ≤ 2; 2 s
b) 4 s; 3 m 
5. 
a) 21 h.
b) 7 horas da terça-feira.
6. 
a) y= 230%
b) Distância: 1 km
 Densidade máxima: 20 hab/km²
 16
E.O. APRENDIZAGEM
1. (PUC-MG) O valor de certo equipamento, comprado 
por R$ 60.000,00, é reduzido à metade a cada 15 meses. 
Assim, a equação V(t) = 60.000 · 2 , onde t é o tempo 
de uso em meses e V(t) é o valor em reais, representa a 
variação do valor desse equipamento. Com base nessas 
informações, é CORRETO afirmar que o valor do equipa-
mento após 45 meses de uso será igual a:
a) R$ 3.750,00.
b) R$ 7.500,00.
c) R$ 10.000,00.
d) R$ 20.000,00.
2. (Mackenzie) O valor de x na equação ( dXX 3 ___ 9 ) 2x–2
= 1 ___ 27 é:
a) tal que 2 < x < 3.
b) negativo.
c) tal que 0 < x < 1.
d) múltiplo de 2.
e) 3.
3. (PUC-RJ) A equação 2x2 – 14 = 1 _____ 1024 tem duas soluções 
reais. A soma das duas soluções é:
a) –5.
b) 0.
c) 2.
d) 14.
e) 1024.
4. (IFSUL) O esboço gráfico que melhor representa a 
função real de variável real y = ex+2 é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
5. (UPE) Os biólogos observaram que, em condições ideais, 
o número de bactérias Q(t) em uma cultura cresce expo-
nencialmente com o tempo t, em minutos, de acordo com a 
lei Q(t) = Q0∙ e
kt sendo k > 0 uma constante que depende da 
natureza das bactérias; o número irracional e vale aproxi-
madamente 2,718 e Q0 é a quantidade inicial de bactérias.
Se uma cultura tem inicialmente 6.000 bactérias e, 20 
minutos depois, aumentou para 12.000, quantas bacté-
rias estarão presentes depois de 1 hora? 
a) 1,8 104. 
b) 2,4 104. 
c) 3,0 104. 
d) 3,6 104. 
e) 4,8 104. 
6. O número real a satisfaz a sentença 32a – 1 < 1 ____ 
9a + 1 se, 
e somente se:
a) a < 4.
b) 4 ≤ a < 1.
c) a < – 1 ___ 4 .
d) 1 ___ 4 < a < 0.
e) a > 4.
7. O conjunto solução da inequação ( 1 __ 2 ) x – 3
 ≤ 1 __ 4 é:
a) (–∞, 5].
b) [5, +∞).
c) [–5, +∞).
d) [4, +∞).
e) (–∞, –5].
EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
HABILIDADES:
3, 4, 5, 19, 20, 21, 22, 
23, 24, 25 e 26
COMPETÊNCIAS: 1, 5 e 6
AULAS 19 e 20
 17
8. Se f(x) = 4x + 1 e g(x) = 4x, a solução da inequação 
f(x) > g(2 – x) é:
a) x > 0.
b) x > 0,5.
c) x > 1.
d) x > 1,5.
e) x > 2.
9. (UFES) O conjunto solução, em R, da inequação 
3x – 3 >(1/9)x + 3 é:
a) {x R | x > –3}.
b) {x R | 0 < x < 1}.
c) {x R | x > 1}.
d) {x R | x < 1}.
e) {x R | x > –1}.
10. (PUC-RS) O domínio da função definida por 
f(x) = √
______
 2x – 1 é:
a) (-∞; 0) (0; +∞).
b) [0; +∞).
c) (-∞; 0].
d) (1; +∞).
e) (-∞; -1).
E.O. FIXAÇÃO
1. (ACAFE) Um dos perigos da alimentação humana são 
os micro-organismos, que podem causar diversas doen-
ças e até levar a óbito. Entre eles, podemos destacar a 
Salmonella. Atitudes simples como lavar as mãos, ar-
mazenar os alimentos em locais apropriados, ajudam a 
prevenir a contaminação pelos mesmos. Sabendo que 
certo microrganismo se prolifera rapidamente, dobran-
do sua população a cada 20 minutos, pode-se concluir 
que o tempo que a população de 100 micro-organismos 
passará a ser composta de 3.200 indivíduos é:
a) 1 h e 35 min.
b) 1 h e 40 min.
c) 1 h e 50 min.
d) 1 h e 55 min.
2. (CFTMG) A solução da equação 3x+1 – 3x+2 = –54 é:
a) –2.
b) –1.
c) 0.
d) 2.
3. (UFRGS) Considere a função f tal que f(x) = k + ( 5 __ 4 ) 2x–1
, 
com k > 0.
Assinale a alternativa correspondente ao gráfico que 
pode representar a função f.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4. (ESPM) Se (4x)² = 16 · 2x², o valor de xx é:
a) 27. d) 1.
b) 4. e) – 1 ___ 
27
 .
c) 1 __ 4 .
5. (UFPB) O total de indivíduos, na n-ésima geração, de 
duas populações P e Q, é dado, respectivamente, por 
P(n) = 4n e Q(n) = 2n. Sabe-se que, quando P(n)/Q(n) ≥ 1024, 
a população Q estará ameaçada de extinção. Com base 
nessas informações, essa ameaça de extinção ocorrerá a 
partir da:
a) décima geração.
b) nona geração.
c) oitava geração.
d) sétima geração.
e) sexta geração.
6. (UFRGS) O conjunto solução da inequação ( 1 __ 2 ) x
2
 > 1 é:
a) . d) (-∞, 0).
b) (-1, 1). e) R.
c) (0, +∞).
7. (Mackenzie) O maior valor inteiro pertencente ao con-
junto solução da inequação [(2x+2 - 2x+1)/2x-2] < 0,25x é:
a) –3.
b) –2.
c) –1.
d) 1.
e) 2.
 18
8. (UPE) Antônio foi ao banco conversar com seu ge-
rente sobre investimentos. Ele tem um capital inicial de 
R$ 2.500,00 e deseja saber depois de quanto tempo de 
investimento esse capital, aplicado a juros compostos, 
dobrando todo ano, passa a ser maior que R$ 40.000,00 
Qual a resposta dada por seu gerente?
a) 1,5 anos
b) 2 anos
c) 3 anos
d) 4 anos
e) 5 anos
9. (ESPCEX) A inequação
10x + 10x + 1 + 10x + 2 + 10x + 3 + 10x + 4 < 11111 em que x 
é um número real:
a) não tem solução.
b) tem apenas uma solução.
c) tem apenas soluções positivas.
d) tem apenas soluções negativas.
e) tem soluções positivas e negativas. 
10. (IFSUL) Uma aplicação bancária é representada gra-
ficamente conforme figura a seguir.
 
M é o montante obtido através da função exponencial 
M = C · (1,1)t, C é o capital inicial e t é o tempo da aplicação.
Ao final de 04 meses o montante obtido será de: 
a) R$ 121,00 
b) R$ 146,41 
c) R$ 1.210,00 
d) R$ 1.464,10 
E.O. COMPLEMENTAR
1. (UNIOESTE) O Saccharomyces cerevisiae é um fungo 
com bastante importância econômica. É utilizado como 
fermento para a massa de pão, produzindo dióxido de 
carbono e fazendo a massa crescer. É também utilizado 
na produção de bebidas alcoólicas fermentadas, pois 
converte o açúcar em álcool etílico. Sob certas condi-
ções de cultura, este fungo cresce exponencialmente de 
forma que a quantidade presente em um instante t do-
bra a cada 1,5 horas. Nestas condições, se colocarmos 
uma quantidade q0 deste fungo em um meio de cultura, 
a quantidade q(t) existente do fungo, decorridas t horas 
com t [0, ∞), pode ser calculada pela função:
a) q(t) = q0 · 4
3t.
b) q(t) = 4 __ 9 t²q0 + q0.
c) q(t) = ( 3 __ 2 q0 ) ².
d) q(t) = q0 ( 3 __ 
2
 ) 2t
.
e) q(t) = 3 dXX 4t q0.
2. (UFV) Se 2a · x2 + 4a+1 · x + 8 > 0, para todo x R, é 
CORRETO afirmar que:
a) a ≤ 1/3.
b) a < 1/3.
c) a ≥ 1/3.
d) a < 0.
e) a > 1.
3. (ITA) Seja um número real, com 0 < < 1. Assinale 
a alternativa que representa o conjunto de todos os va-
lores de x tais que 2x ( 1 ___ 
 dXX 
 ) 2x2
 < 1.
a) ]–∞, 0] [ 2, +∞[.
b) ]–∞, 0[ ] 2, +∞[.
c) ]0, 2[.
d) ]–∞, 0[.
e) ]2, +∞[.
4. (UDESC) O Conjunto solução da inequação 
 [ 3 dXXXXXXX (2x – 2) ] x + 3
 > 4x é:
a) S = {x R | – 1 < x < 6}.
b) S = {x R | x < –1 ou x > 1}.
c) S = {x R | x < –1 ou x > 6}.
d) S = {x R | –6 < x < 1}.
e) S = {x R | x < – dXX 6 ou x > dXX 6 }.
5. (EPCAR (AFA)) A função real f definida por f(x) = a · 3x + b, 
sendo a e b constantes reais, está graficamente represen-
tada abaixo.
Pode-se afirmar que o produto (a · b) pertence ao in-
tervalo real: 
a) [–4, –1[. 
b) [–1, 2[. 
c) [2, 5[. 
d) [5, 8]. 
 19
E.O. DISSERTATIVO
1. (UFU) Na elaboração de políticas públicas que este-
jam em conformidade com a legislação urbanística de 
uso e ocupação do solo em regiões metropolitanas, é 
fundamental o conhecimento de leis descritivas do 
crescimento populacional urbano.
Suponha que a lei dada pela função p(t) = 0,5 · (2kt) ex-
presse um modelo representativo da população de uma 
cidade (em milhões de habitantes) ao longo do tem-
po t (em anos), contados a partir de 1970, isto é, t = 0 
corresponde ao ano de 1970, sendo k uma constante real.
Sabendo que a população dessa cidade em 2000 era de 
1 milhão de habitantes:
a) Extraia do texto dado uma relação de forma a ob-
ter o valor de k.
b) Segundo o modelo de evolução populacional dado, 
descreva e execute um plano de resolução que possi-
bilite estimar em qual ano a população desta cidade 
atingirá 16 milhões de habitantes.
2. (UFMG) Um grupo de animais de certa espécie está 
sendo estudado por veterinários. A cada seis meses, es-
ses animais são submetidos a procedimentos de morfo-
metria e, para tanto, são sedados com certa droga.
A quantidade mínima da droga que deve permanecer 
na corrente sanguínea de cadaum desses animais, para 
mantê-los sedados, é de 20mg por quilograma de peso 
corporal. Além disso, a meia-vida da droga usada é de 
1 hora — isto é, a cada 60 minutos, a quantidade da 
droga presente na corrente sanguínea de um animal 
reduz-se à metade.
Sabe-se que a quantidade q(t) da droga presente na 
corrente sanguínea de cada animal, t minutos após um 
dado instante inicial, é dada por q(t) = q02
–kt, em que:
• q0 é a quantidade de droga presente na corrente 
sanguínea de cada animal no instante inicial; e
• k é uma constante característica da droga e da espécie.
Considere que um dos animais em estudo, que pesa 10 
quilogramas, recebe uma dose inicial de 300 mg da droga 
e que, após 30 minutos, deve receber uma segunda dose. 
Suponha que, antes dessa dose inicial, não havia qualquer 
quantidade da droga no organismo do mesmo animal.
Com base nessas informações,
a) calcule a quantidade da droga presente no orga-
nismo desse animal imediatamente antes de se apli-
car a segunda dose.
b) calcule a quantidade mínima da droga que esse 
animal deve receber, como segunda dose, a fim de ele 
permanecer sedado por, pelo menos, mais 30 minutos.
3. (UFF)
a) Ao resolver uma questão, José apresentou o se-
guinte raciocínio:
“Como 1 __ 4 > 1 __ 8 tem-se ( 1 __ 2 ) 2 > ( 1 __ 2 ) 3 e conclui-se que 2 > 3.”
Identifique o erro que José cometeu em seu raciocí-
nio, levando-o a essa conclusão absurda.
b) Sem cometer o mesmo erro que José, determine o me-
nor número m, inteiro e positivo, que satisfaz à inequação:
 ( 1 __ 2 ) 4/m
 > ( 1 __ 4 ) m+1
4. Resolva as seguintes inequações exponenciais:
a) 53x – 1 > 1 ___ 25 
b) 8
2
 __ 
36 ≥ ( dXX
 3 __ 2 ) x
c) ( 1 __ 2x ) 3 < 
dXX 8 ___ 16 
5. Encontre os valores de x que satisfazem a inequação 
2(x – 1) · (4 – x) > 1.
6. (PUC-RJ) Seja f(x) = 4x – 6 · 2x + 8. 
a) Calcule f(0). 
b) Encontre todos os valores reais de x para os quais 
f(x) = 168. 
c) Encontre todos os valores reais de x para os quais 
f(x) < 0. 
7. (UFPR) Um grupo de cientistas decidiu utilizar o 
seguinte modelo logístico, bastante conhecido por 
matemáticos e biólogos, para estimar o número de 
pássaros, P(t), de determinada espécie numa área de 
proteção ambiental: P(t) = 500 _______ 
1 + 22–t , sendo t o tempo 
em anos e t = 0 o momento em que o estudo foi iniciado.
a) Em quanto tempo a população chegará a 400 indivíduos?
b) À medida que o tempo t aumenta, o número de 
pássaros dessa espécie se aproxima de qual valor? 
Justifique sua resposta. 
8. (UFPE) Em uma aula de Biologia, os alunos devem 
observar uma cultura de bactérias por um intervalo de 
tempo e informar o quociente entre a população final e a 
população inicial. Antônio observa a cultura de bactérias 
por 10 minutos e informa um valor Q. Iniciando a obser-
vação no mesmo instante que Antônio, Beatriz deve dar 
sua informação após 1 hora, mas, sabendo que a popula-
ção de bactérias obedece à equação P(t) = P0 · e
kt, Beatriz 
deduz que encontrará uma potência do valor informado 
por Antônio. Qual é o expoente dessa potência? 
9. (UEL) A espessura da camada de creme formada so-
bre um café expresso na xícara, servido na cafeteria A, 
no decorrer do tempo, é descrita pela função E(t) = a2bt, 
onde t ≥ 0 é o tempo (em segundos) e a e b são números 
reais. Sabendo que inicialmente a espessura do creme é 
de 6 milímetros e que, depois de 5 segundos, se reduziu 
em 50%, qual a espessura depois de 10 segundos?
Apresente os cálculos realizados na resolução da questão. 
E.O. UERJ 
EXAME DISCURSIVO
1. (UERJ) Considere uma folha de papel retangular que 
 20
foi dobrada ao meio, resultando em duas partes, cada 
uma com metade da área inicial da folha, conforme 
as ilustrações.
Esse procedimento de dobradura pode ser repetido 
n vezes, até resultar em partes com áreas inferiores a 
0,0001% da área inicial da folha.
Calcule o menor valor de n. Se necessário, utilize em 
seus cálculos os dados da tabela.
x 2x
9 102,70
10 103,01
11 103,32
12 103,63
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unicamp) Em uma xícara que já contém certa quanti-
dade de açúcar, despeja-se café. A curva a seguir repre-
senta a função exponencial M(t), que fornece a quantida-
de de açúcar não dissolvido (em gramas), t minutos após 
o café ser despejado. Pelo gráfico, podemos concluir que:
a) M(t) = 24 – (t/75).
b) M(t) = 24 – (t/50).
c) M(t) = 25 – (t/50).
d) M(t) = 25 – (t/150).
2. (Fuvest) Uma substância radioativa sofre desintegração 
ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t) = ca–kt, 
em que a é um número real positivo, t é dado em anos, 
m(t) a massa da substância em gramas e c, k são cons-
tantes positivas. Sabe-se que m0 gramas dessa substância 
foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem 
de m0 ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos?
a) 10%.
b) 5%.
c) 4%.
d) 3%.
e) 2%.
3. (Fuvest) Seja f(x) = a + 2bx+c, em que a, b e c são núme-
ros reais. A imagem de f é a semirreta ]–1, ∞[ e o gráfico 
de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e 
(0, –3/4). Então, o produto abc vale:
a) 4. d) –2.
b) 2. e) –4.
c) 0.
4. (Fuvest) Quando se divide o Produto Interno Bruto 
(PIB) de um país pela sua população, obtém-se a renda 
per capita desse país. Suponha que a população de um 
país cresça à taxa constante de 2% ao ano. Para que sua 
renda per capita dobre em 20 anos, o PIB deve crescer 
anualmente à taxa constante de, aproximadamente,
Dado: 20
 √
__
 2 1,035. 
a) 4,2%. d) 7,5%.
b) 5,6%. e) 8,9%. 
c) 6,4%. 
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unifesp) A figura 1 representa um cabo de aço preso 
nas extremidades de duas hastes de mesma altura h em 
relação a uma plataforma horizontal. A representação 
dessa situação num sistema de eixos ortogonais supõe 
a plataforma de fixação das hastes sobre o eixo das 
abscissas; as bases das hastes como dois pontos, A e 
B; e considera o ponto O, origem do sistema, como o 
ponto médio entre essas duas bases (figura 2). O com-
portamento do cabo é descrito matematicamente pela 
função f(x) = 2x + ( 1 __ 2 ) x, com domínio [A, B].
 
a) Nessas condições, qual a menor distância entre o 
cabo e a plataforma de apoio?
b) Considerando as hastes com 2,5 m de altura, qual 
deve ser a distância entre elas, se o comportamento 
do cabo seguir precisamente a função dada?
2. (Unesp) Resolva as equações exponenciais, determinan-
do os correspondentes valores de x.
a) 7x-3 + 7x-2 + 7x-1 = 57.
b) (1/3)x + (1/3)x+1 – (1/3)x-2 = –207.
3. (Unicamp) Considere a equação 2x + m22-x – 2m – 2 = 0, 
onde m é um número real.
a) Resolva essa equação para m = 1.
b) Encontre todos os valores de m para os quais a 
equação tem uma única raiz real.
4. (Unesp) Seja a, 0 < a < 1, um número real dado. Re-
solva a inequação exponencial a2x+1 > (1/a)x–3
 21
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. D 3. B 4. D 5. E
6. C 7. B 8. B 9. E 10. B
E.O. Fixação
1. B 2. D 3. A 4. B 5. A
6. A 7. B 8. D 9. D 10. D
E.O. Complementar
1. E 2. B 3. C 4. C 5. A
E.O. Dissertativo
1.
a) k = 1/30.
b) t = 150.
Portanto, 1970 + 150 = 2.120.
2. 
a) Sabendo que a meia-vida da droga é de 1h = 60min, 
temos que:
q(60) = 300 ____ 
2
 150 = 300 · 2–k60 2–k60 = 2–1 
 k = 1 ___ 
60
 .
Desse modo, a quantidade da droga presente no 
organismo desse animal imediatamente antes de se 
aplicar a segunda dose é:
Q(30) = 150 √
__
 2 mg.
b) De acordo com o enunciado, o animal fica sedado 
se 10 · 20 mg = 200 mg da droga estiverem presentes 
em seu organismo. A fim de manter o animal sedado 
por mais 30 minutos, temos que a quantidade de dro-
ga presente no organismo desse animal, adicionada à 
quantidade da segunda dose, deve ser tal que:
q(30) ≥ 200 mg q0 · 2
–1/60 · 30 ≥ 200 
q0 ≥ 200 dXX 2 mg.
Portanto, sabendo que, após 30 minutos da aplicação 
da primeira dose, havia 150 dXX 2 mg da droga no orga-
nismo do animal (item (a)), segueque a quantidade 
de droga na segunda dose deve ser de:
200 dXX 2 – 150 dXX 2 = 50 dXX 2 mg.
3. 
a) José cometeu o erro na última etapa do seu raciocínio, 
uma vez que a função exponencial dada por f(x) = ( 1 __ 
2
 ) x 
é decrescente.
b) O menor número inteiro e positivo m que satisfaz 
a inequação é 2.
4.
a) x > – 1 __ 
3
 .
b) x ≤ – 12.
c) x > 5 __ 
6
 .
5. 1 < x < 4.
6. 
a) f(0) = 3. b) x = 4.
c) x / 1 < x < 2.
7. 
a) t = 4.
b) O número de pássaros dessa espécie se aproxima a 500.
8. O expoente é 6.
9. 1,5 mm.
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. A área A(n) de cada parte, após n dobraduras, é dada por 
A(n) = A0 · 2
–n, com A0 sendo a área inicial da folha.
O menor valor de n para o qual
A(n) < 0,0001% · A0 é tal que:
A0 · 2
–n < 0,0001% · A0 2–n < 10–6 2n > 106
Considerando as aproximações fornecidas na tabela, obtemos 
219 = 210 · 29 103,01 · 102,70 = 105,71 < 106 e 220 = (210)2 · (103,01)2 
= 106,02 > 106
Portanto, o menor valor de n que satisfaz a condição do enun-
ciado é 20.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. C 3. A 4. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) A menor distância entre o cabo e a plataforma de 
apoio é dada por:
f(0) = 20 + ( 1 __ 
2
 ) 0 = 1 + 1 = 2m.
b) A distância entre as hastes é 2B, pois 0 é o ponto 
médio de AB. Logo, f(B) = 1 ou f(B) = –1.
Como B > 0 segue que 2B = 2 B = 1.
2. 
a) x = 3.
b) x = –3.
3. 
a) 1
b) m = 1 ou m ≤ 0.
4. f(x) é estritamente decrescente pois 0 < a < 1,ou seja, x1 < x2 
 f(x1) > f(x2).
Logo:
a2x + 1 > (1/a)x – 3 a2x + 1 > a–x + 3 2x + 1 < –x + 3 x < 2 ___ 
3 
 
V = ]–∞; 2 ___ 
3
 [
 22
E.O. APRENDIZAGEM
1. (UEL) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é:
a) o número ao qual se eleva a para se obter b.
b) o número ao qual se eleva b para se obter a.
c) a potência de base b e expoente a.
d) a potência de base a e expoente b.
e) a potência de base 10 e expoente a.
2. (Cesgranrio) Se log10(2x – 5) = 0, então x vale:
a) 5. d) 7/3.
b) 4. e) 5/2.
c) 3.
3. (UFRGS) O número log27 está entre:
a) 0 e 1. d) 3 e 4.
b) 1 e 2. e) 4 e 5.
c) 2 e 3.
4. (UFJF) Sejam a, b e c números reais positivos, com c ≠ 1. 
Sobre a função logarítmica, é correto afirmar: 
a) Se logc a = y, então ay = c.
b) logc (a + b) = (logc a) · (logc b).
c) logc ( a __ 
b
 ) = 
logc a _____ 
logc b
 .
d) logc ( 1 __ a ) = –logc a.
e) logc (a – b) = logc a – logc b.
5. (FEI) Se log 2 = a e log 3 = b, escrevendo log 32 ___ 27 em 
função de a e b obtemos: 
a) 2a + b.
b) 2a – b.
c) 2ab.
d) 2a ___ 
b
 .
e) 5a – 3b.
6. (Cesgranrio) O valor de logx( x √
__
 x ) é:
a) 3 __ 4 .
b) 4 __ 3 .
c) 2 __ 3 .
d) 3 __ 2 .
e) 5 __ 4 .
7. (IFPE) Biólogos estimam que a população P de certa 
espécie de aves é dada em função do tempo t, em anos, 
de acordo com a relação P(t) = 250 ∙ (1,2)t/5 sendo t =0 o 
momento em que o estudo foi iniciado.
Em quantos anos a população dessa espécie de aves 
irá triplicar? 
Dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48.
a) 45. d) 18.
b) 25. e) 30.
c) 12.
8. (Mackenzie) Para quaisquer reais positivos A e B, o 
resultado da expressão logA B
3 · logB A
2 é:
a) 10. d) A · B.
b) 6. e) 12.
c) 8.
9. (ESPM) Sendo log 2 = a e log 3 = b, o valor do log9 160 
é igual a: 
a) 4a + b ______ 2 . d) 4b + 2 ______ a .
b) 4a + 1 ______ 
2b
 . e) a + 1 _____ 
3b
 .
c) 2a + 3b _______ 2 .
10. (UPF) Sendo loga x = 2,logbx = 3 e logc x = 5 o valor 
de logabc x é: 
a) 30. d) 30 ___ 31 .
b) 31. e) 1 __ 3 .
c) 31 ___ 30 .
E.O. FIXAÇÃO
1. (UPE) Terremotos são eventos naturais que não têm 
relação com eventos climáticos extremos, mas podem ter 
consequências ambientais devastadoras, especialmente 
quando seu epicentro ocorre no mar, provocando tsuna-
mis. Uma das expressões para se calcular a violência de 
um terremoto na escala Richter é M = 2 __ 3 · log10 ( E __ 
E0
 ) onde 
M é a magnitude do terremoto, E é a energia liberada 
(em joules) e E0 = 104,5 joules é a energia liberada por 
um pequeno terremoto usado como referência. Qual foi 
a ordem de grandeza da energia liberada pelo terre-
moto do Japão de 11 de março de 2011, que atingiu 
magnitude 9 na escala Richter?
DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES 
DOS LOGARITMOS
HABILIDADES:
1, 3, 4, 10, 11, 12, 13 
e 21
COMPETÊNCIAS: 1, 3 e 5
AULAS 21 e 22
 23
a) 1014 joules. d) 1018 joules.
b) 1016 joules. e) 1019 joules.
c) 1017 joules.
2. (UDESC) Se log3(x – y) = 5 e log5(x + y) = 3, então 
log2(3x – 8y) é igual a:
a) 9.
b) 4 + log25.
c) 8.
d) 2 + log210.
e) 10.
3. A solução, em R da equação 62x – 4 · 6x = 0 é:
a) 0. c) log46.
b) 1. d) log64.
4. (FGV) Meia-vida de uma grandeza que decresce ex-
ponencialmente é o tempo necessário para que o valor 
dessa grandeza se reduza à metade.
Uma substância radioativa decresce exponencial-
mente de modo que sua quantidade, daqui a t anos, 
é Q = A · (0,975)t.
Adotando os valores ln 2 = 0,693 e ln 0,975 = –0,025, o 
valor da meia-vida dessa substância é aproximadamente: 
a) 25,5 anos. d) 28,8 anos.
b) 26,6 anos. e) 29,9 anos.
c) 27,7 anos.
5. (ESPCEX (AMAN)) Considerando log2 = 0,30 e 
log3 = 0,48, o número real x, solução da equação 
5x – 1 = 150, pertence ao intervalo: 
a) ]–`, 0]. d) [0, 2[.
b) [4, 5[. e) [5, +`[.
c) ]1, 3[.
6. (CFTMG) Se M = (4log59)log45 então, o valor de M é igual a: 
a) 3. c) 27.
b) 9. d) 81.
7. (UFRGS) Atribuindo para log2 o valor 0,3 então o va-
lor de 1000,3 é: 
a) 3.
b) 4.
c) 8.
d) 10.
e) 33.
8. (UEL) Considere A, B e C números reais positivos com 
A ≠ 1, B ≠1 e C ≠ 1. Se logA B = 2 e logC A = 3 __ 5 , conclui-se 
que o valor de logBC é: 
a) 1 __ 2 .
b) 5 __ 3 .
c) 1 __ 6 .
d) 5 __ 6 .
e) 6 __ 5 .
9. (UFSCAR) Adotando-se log 2 = a e log 3 = b, o valor 
de log1,5 135 é igual a:
a) 
(3ab)
 ______ 
(b – a)
 .
b) 
(2b – a + 1)
 __________ 
(2b – a)
 .
c) 
(3b – a)
 _______ 
(b – a)
 .
d) 
(3b + a)
 _______ 
(b – a)
 .
e) 
(3b – a + 1)
 __________ 
(b – a)
 .
10. (FEI) Considere a > 1 e a expressão adiante 
x = loga2a + logaa
2, então o valor de x é: 
a) 2 d) 2 __ 5 
b) 3 __ 2 e) 1
c) 5 __ 2 
E.O. COMPLEMENTAR
1. (ESPM) Seja A o conjunto de todos os valores de k 
para os quais a equação, em x:
logx – 3 (5 – x) = k
admite uma raiz inteira. O número de elementos de A 
é igual a:
a) 0. d) 3.
b) 1. e) 4.
c) 2.
2. (ESPCEX) Sendo x = 6 dXXX
 a² __ 
b
 com log2 a = 4 e log2 b = 5 em 
que a e b são números reais não nulos e diferentes de 1, 
então logx 2 é igual a:
a) 16. d) 4.
b) 8. e) 2.
c) 6.
3. (UFRGS) Aproximando log 2 por 0,301, verificamos 
que o número 1610 está entre 
a) 109 e 1010.
b) 1010 e 1011.
c) 1011 e 1012.
d) 1012 e 1013.
e) 1013 e 1014.
4. (IME) Se log10 2 = x e log10 3 = y, então log5 18 vale: 
a) 
x + 2y
 ______ 1 – x .
b) 
x + y
 _____ 1 – x .
c) 
2x + y
 ______ 1 + x .
d) 
x + 2y
 ______ 1 + x .
e) 
3x + 2y
 _______ 1 – x .
 24
5. (IFSUL) Tendo-se a e b como números reais positivos, 
e sendo b ≠ 1, se log2 a + 1 ______ 
logb 2
 = 6, então a ∙ b é igual a:
a) 12. c) 32.
b) 16. d) 64.
E.O. DISSERTATIVO
1. (UFC) Sendo a e b números reais positivos tais que:
log a = 224 e log b = 218 
Calcule o valor de a __ 
b
 .
2. (UFRRJ) Ao se estudar o crescimento das palmeiras na 
cidade de Palmeirópolis, constatou-se que a função que 
descreve esse crescimento em metros, após t anos, é:
f(t) = 3log2(2t – 1)
Quantos anos são necessários para que uma determina-
da palmeira atinja 27 metros de altura?
3. (UFPE) A expressão log(6 – x – x2) assume valores re-
ais apenas para x pertencente a um intervalo de núme-
ros reais, onde log é o logaritmo decimal. Determine o 
comprimento deste intervalo. 
4. (UFJF) Uma pessoa aplicou uma quantia inicial em 
um determinado fundo de investimento.Suponha que a 
função F, que fornece o valor, em reais, que essa pessoa 
possui investido em relação ao tempo t, seja dada por: 
F(t) = 100(1,2)t.
O tempo t, em meses, é contado a partir do instante do 
investimento inicial.
a) Qual foi a quantia inicial aplicada?
b) Quanto essa pessoa teria no fundo de investimento 
após 5 meses da aplicação inicial?
c) Utilizando os valores aproximados log10 2 = 0,3 e 
log10 3 = 0,48, quantos meses, a partir do instante do 
investimento inicial, seriam necessários para que essa 
pessoa possuísse, no fundo de investimento, uma 
quantia igual a R$ 2.700,00? 
5. (FGV) O diretor de uma editora estima que, se x 
exemplares de um novo livro de Cálculo para o Ensino 
Superior forem entregues aos professores para análise, 
as vendas do livro no primeiro ano serão de aproxima-
damente f(x) = 1000 (15 – 24e–0,003x) exemplares. Use 
a aproximação ln 2 = 0,69 para responder às questões.
a) Quantos exemplares a editora deverá distribuir 
para análise, para vender cerca de 9.000 exemplares 
no primeiro ano?
b) O diretor afirmou que, no primeiro ano, não conse-
guirão vender mais de 15.000 exemplares, qualquer que 
seja a quantidade de exemplares entregues aos profes-
sores para análise. É correta a sua afirmação? Justifique.
6. (UFF) São dados os números reais positivos n, i e x 
tais que n ≠ 1 e i ≠ 1.
Sabe-se que logn x = 2 e logi x = 4.
Calcule logni n dXX x . 
7. (IME) Considerando log 2 = a e log 3 = b, encontre 
em função de a e b, o logaritmo do número 5 √
______
 11,25 no 
sistema de base 15. 
8. (UFSCAR) Sejam x e y números reais positivos e dife-
rentes de 1. Sejam números reais positivos n, j e i, tais 
que n ± i ≠ 1, j ≠ 1.
a) Verifique que logx y = 1 _____ 
logy x
 .
b) Se 2 logn + i j · logn – i j = logn + i j + logn – i j, mostre 
que n, j e i são, respectivamente, a hipotenusa e os 
catetos de um triângulo retângulo. 
9. (UFPE) Admita que a população humana na terra seja 
hoje de 7 bilhões de habitantes e que cresce a uma taxa 
cumulativa anual de 1,8%. Em quantos anos, a popu-
lação será de 10 bilhões? Dados: use as aproximações 
log10 ( 10 ___ 7 ) ≈ 0,15 e log10 1,018 ≈ 0,0075.
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unesp) Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia 
e Estatística (IBGE) realizou o último censo populacio-
nal brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca 
de 190 milhões de habitantes. Supondo que a taxa de 
crescimento populacional do nosso país não se alte-
re para o próximo século, e que a população se esta-
bilizará em torno de 280 milhões de habitantes, um 
modelo matemático capaz de aproximar o número de 
habitantes (P), em milhões, a cada ano (t), a partir de 
1970, é dado por:
P(t) = [280 – 190 e–0,019 · (t – 1970)] 
Baseado nesse modelo, e tomando a aproximação para 
o logaritmo natural:
ln ( 14 ___ 95 ) –1,9
a população brasileira será 90% da suposta população 
de estabilização aproximadamente no ano de:
a) 2065. d) 2080.
b) 2070. e) 2085.
c) 2075.
2. (Fuvest) A magnitude de um terremoto na escala Ri-
chter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da ener-
gia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de 
uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, 
do inverso da concentração de íons H+.
Considere as seguintes afirmações:
I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se 
pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas.
II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com 
pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina 
com pH 8.
III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter 
libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 
3. Está correto o que se afirma somente em:
 25
a) I. d) I e II.
b) II. e) I e III.
c) III.
3. (Fuvest) Sabendo-se que 5n = 2, podemos concluir 
que log2 100 é igual a: 
a) 2 __ n d) 2 + 2n
b) 2n e) 2 + 2n ______ n 
c) 2 + n2
4. (Fuvest) Se log10 8 = a, então log105 vale 
a) a3 d) 1 + a __ 3 
b) 5a – 1 e) 1 – a __ 3 
c) 2a ___ 3 
5. (Fuvest) Tendo em vista as aproximações log10 2 < 0,30, 
log10 3 < 0,48, então o maior número inteiro n, satisfa-
zendo 10n ≤ 12418, é igual a
a) 424 d) 451
b) 437 e) 460
c) 443
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unesp) Numa fábrica, o lucro originado pela produ-
ção de x peças é dado em milhares de reais pela função 
L(x) = log10 (100 + x) + k, com k constante real.
a) Sabendo que não havendo produção não há lucro, 
determine k.
b) Determine o número de peças que é necessário 
produzir para que o lucro seja igual a mil reais.
2. (Unesp) Numa experiência para se obter cloreto de só-
dio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente uma cer-
ta quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a 
uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. 
A experiência termina quando toda a água se evaporar. 
Em cada instante t, a quantidade de água existente no 
recipiente (em litros) é dada pela expressão:
Q(t) = log10 [ 10n
 _____ t + 1 ] 
com n uma constante positiva e t em horas.
a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no 
recipiente, determine a constante n.
b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará?
3. (Unicamp) Calcule o valor da expressão a seguir, onde 
n é um número inteiro, n ≥ 2. Ao fazer o cálculo, você verá 
que esse valor é um número que não depende de n.
logn ( logn 
n
 dXXX n dXX n ) 
4. (Unesp) Sejam x e y números reais positivos.
Se log(xy) = 14 e log ( x2
 __ y ) = 10, em que os logaritmos 
são considerados numa mesma base, calcule, ainda 
nessa base:
a) log x e log y
b) log ( √
____
 x ∙ y ).
5. (Unesp) Sejam a e b constantes reais, com a > 0 e b > 0, 
tais que log10 a = 0,5 e log10 b = 0,7.
a) Calcule log10 ab, onde ab indica o produto de 
a e b.
b) Determine o valor de x [ R que satisfaz a equação 
( ab
 ___ 10 ) x = (ab)2.
6. (Unesp) Sejam i e j números reais maiores que zero 
e tais que i · j = 1. Se i ≠ 1 e logi x = logj y, determine 
o valor de xy. 
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. C 3. C 4. D 5. E
6. D 7. E 8. B 9. B 10. D
E.O. Fixação
1. D 2. E 3. D 4. C 5. B
6. B 7. B 8. D 9. E 10. C
E.O. Complementar
1. A 2. E 3. D 4. A 5. D
E.O. Dissertativo
1. a __ b = 27.
2. 4,5 anos ou 4 anos e 6 meses.
3. 05.
4. 
a) 100 reais.
b) 248,83 reais.
c) 18 meses.
5. 
a) 460.
b) 1000(15 – 24e–0,003x) > 15000 –24e–0,003x > 0 
 e–0,003x < 0 (impossível)
Logo, a afirmação do diretor está correta.
6. logni n √
__
 x = 4 __ 
3
 .
7. 2b – 3a + 1 ___________ 5b – 5a + 5 .
8. 
a) Sendo logxy=a e logyx=t, temos pela definição de 
 26
logaritmo, que: xa=y e yt=x.
Dessas duas igualdades, resulta (yt)a=y, ou ainda, a = 1/t.
Portanto, logx y = 1/(logyx).
b) Usando a propriedade
 logx y = 1/(logyx) na igualdade
 2logn + i j · logn – i j = logn + i j + logn – i j,
 temos:
 2{1/[logj(n+i).logj(n-i)]} = 
logj (n – i) + logj (n + i)
 ______________________ 
logj (n + i) · logj (n – i)
 
 2 = logj(n – i) + logj (n + i)
 2 = logj[(n – i) · (n + i)]
 2 = logj (n
2 – i2) 
 j2= n2 – i2
 n2 = j2 + i2 
9. t = 20 anos.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. B 2. D 3. E 4. E 5. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) –2.
b) 900 peças.
2. 
a) 1.
b) 9 horas.
3. –2
4. 
a) log x = 8 e log y = 6
b) log √
____
 xy = 7
5. 
a) log (a · b) = 1,2
b) x = 12
6. xy = 1 
 27
E.O. APRENDIZAGEM
1. (CFTMG) O valor de x, na equação
log3 (2x – 1) - log3 (5x + 3) = –1, é: 
a) 6.
b) 8. 
c) 10. 
d) 12. 
2. (ESPM) Se log x + log x2 + log x3 + log x4 = –20, o valor 
de x é:
a) 10.
b) 0,1.
c) 100.
d) 0,01.
e) 1.
3. (INSPER) O número de soluções reais da equação logx 
(x + 3) + logx (x – 2) = 2 é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
4. (UFSM) Suponha que um campo de futebol seja co-
locado em um sistema cartesiano ortogonal, conforme 
mostra a figura.
Para que oponto A (log10(x + 1) +1, log10(x
2 + 35)) tenha 
abscissa e ordenada iguais, é necessário e suficiente que: 
a) x > –1.
b) x = 5.
c) x < –1.
d) x = –5.
e) x > 5.
5. (UECE) Pode-se afirmar corretamente que a equação: 
log2(1 + x4 + x2) + log2(1 + 2x2) = 0:
a) não admite raízes reais.
b) admite exatamente uma raiz real. 
c) admite exatamente duas raízes reais, as quais são iguais.
d) admite exatamente quatro raízes reais.
6. (UEPB) A equação x2 – 4x + log2(m + 3) = 0 não admite 
solução real quando:
a) m 12.
b) m < 13.
c) m < 10.
d) m < 5.
e) m > 13.
7. (PUC-PR) Os valores de x que satisfazem à inequação 
log4(x + 3) ≥ 2 estão contidos no intervalo: 
a) x ≥ 2.
b) –2 ≤ x ≤ 2.
c) 0 ≤ x ≤ 20.
d) 2 ≤ x ≤ 15.
e) 13 ≤ x < ∞.
8. (UFRGS) Um número real satisfaz somente uma das 
seguintes inequações.
I. log x 0.
II. 2log x log (4x).
III. 2x2 + 8 26x.
Então, esse número está entre:
a) 0 e 1. 
b) 1 e 2. 
c) 2 e 3. 
d) 2 e 4. 
e) 3 e 4. 
9. (Mackenzie) Assinale, dentre os valores abaixo, um 
possível valor de x, tal que:
log 1 __ 4 x > log4 7.
a) 1 ___ 14 
b) 14 ___ 15 
c) 1 __ 5 
d) √
__
 2 ___ 
2
 
e) 3 __ 5 
EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS 
DE EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
HABILIDADES: 19, 21, 22, 23 e 25
COMPETÊNCIAS: 5 e 6
AULAS 23 e 24
 28
10. (EEAR) Se log 2 0,3 e log 36 1,6, então log 3 _____. 
a) 0,4. 
b) 0,5. 
c) 0,6. 
d) 0,7. 
E.O. FIXAÇÃO
1.(IFAL) A solução da equação logarítmica 
log4 (x – 6) – log2 (2x – 16) = –1 é o número real “m”. 
Desse modo, podemos afirmar que:
a) m = 7 ou m = 10.
b) o logaritmo de m na base dez é igual a um.
c) m = 10, pois m > 6.
d) m = 7, pois m > 6.
e) m2 = 20.
2. (Mackenzie) Considerando a solução (x, y) do sistema 
log4 x + log2 y = 5
log2 x – log4 y = 0
, 
com x Þ 1, o valor de logx ( x __ y ) é:
a) 1.
b) 4.
c) –1.
d) 1 __ 2 .
e) 1 __ 4 .
3. (IFCE) Seja (a, b) a solução do sistema linear 
2 log2 x + log2 y = 5.
log2 x + 3 log2 y = 10.
O valor de ab será igual a:
a) 2. d) 64.
b) 10. e) 256.
c) 16.
4. (UEL) Os números reais que satisfazem à equação 
log2(x
2 − 7x) = 3 pertencem ao intervalo 
a) ]0, + ∞ [.
b) [0, 7].
c) ]7, 8].
d) [-1, 8].
e) [-1, 0].
5. (UEPB) A solução da inequação logarítmica 
log 1 __ 2 x + log 1 __ 2 (x–2) > –3 é:
a) S = {x R/ x > 0}.
b) S = {x R/ x > 4}.
c) S = {x R / 0 < x < 4}.
d) S = {x R / 2 < x < 4}.
e) S = {x R / 0 < x < 2}.
6. (PUC-Camp) As soluções reais da inequação a seguir 
são todos os números tais que:
 ( 1 __ 2 ) log5(x + 3) > 1
a) –3 < x < –2. 
b) x > –3. 
c) x > –2. 
d) x < –2. 
e) 0 < x < 3. 
7. (Mackenzie) O menor valor inteiro de x, tal que 
9log
3
x 3log
9
x > 1, é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 6.
e) 9.
8. (UEL) A escala Richter atribui um número M para 
quantificar a magnitude de um tremor, ou seja, 
M(A) = Log10A – Log10A0, onde A > 0 é a amplitude 
máxima das ondas sísmicas medidas a 100 km do epi-
centro do sismo e A0 > 0 é uma amplitude de referência. 
Por exemplo, em 1945, no Japão, o tremor gerado pela 
bomba atômica teve magnitude aproximada de 4,9 na 
escala Richter, enquanto que o tremor ocorrido naquele 
país, em março de 2011, teve magnitude de 8,9.
Com base nessas informações, considere as afirmativas 
a seguir.
I. A amplitude máxima das ondas sísmicas do tremor 
de 2011 foi 10.000 vezes maior do que a amplitude 
máxima das ondas sísmicas geradas pela bomba de Hi-
roshima.
II. A diferença de magnitude de dois tremores, em 
relação às respectivas amplitudes máximas das ondas 
sísmicas, é uma função quadrática.
III. Um tremor de magnitude 8,0 na escala Richter tem 
ondas sísmicas com amplitude máxima 10 vezes maior 
do que a amplitude máxima em um tremor de magni-
tude 7,0.
IV. Se a amplitude máxima das ondas sísmicas de um 
tremor for menor que a amplitude de referência A0, 
tem-se que a magnitude deste tremor é positiva.
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e II são corretas. 
b) Somente as afirmativas I e III são corretas. 
c) Somente as afirmativas III e IV são corretas. 
d) Somente as afirmativas I, II e IV são corretas. 
e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas. 
 9. (ESPCEX (AMAN)) O número N de bactérias de uma 
cultura é dado em função do tempo t (em minutos), pela 
fórmula N(t) = (2,5)1,2t. Considere log10 2 = 0,3, o tempo 
(em minutos) necessário para que a cultura tenha 1084 
bactérias é:
a) 120. d) 185. 
b) 150. e) 205. 
c) 175. 
 29
10. (UFRGS) Se 10x = 20y, atribuindo 0,3 para log2, en-
tão o valor de x __ y é: 
a) 0,3. d) 1. 
b) 0,5. e) 1,3. 
c) 0,7. 
E.O. COMPLEMENTAR
1. (CFTMG) O conjunto solução da equação 
log2 (x
2 – 7x + 10) – log2 (x – 5) = log2 10 é: 
a) {5, 12}.
b) {12}.
c) {5}.
d) \ .
2. (UEL) A solução real da equação –1 = log5 [ 2x _______ 
(x + 1)
 ] é 
a) 1/9.
b) – 1/5.
c) – 1.
d) – 5.
e) – 9.
3. (UECE) Se a função f: (–1, 1) R é definida por 
f(x) = log10 ( 1+x _____ 1–x ) , então os valores de x para os quais f(x) < 
1 são todos os valores que estão no domínio de f e são:
a) menores que – 9 ___ 11 .
b) maiores que – 9 ___ 11 .
c) menores que 9 ___ 11 .
d) maiores que 9 ___ 11 .
4. (ITA) Dado um número real a, com a > 1, seja S o con-
junto solução da inequação.
log 1 __ a loga ( 1 __ a ) x – 7
 log 1 __ a (x – 1).
Então S é o intervalo: 
a) [4, + ∞[.
b) [4, 7[.
c) ]1, 5].
d) ]1, 4].
e) [1, 4[.
5. (Mackenzie) Relativamente às afirmações a seguir, 
assinale:
I. log2 3 > log 1 __ 4 
1 __ 9 
II. 2 log415 = √
___
 15 
III. log 1 __ 3 9 < log 1 __ 3 5
a) se somente III estiver correta. 
b) se somente I e III estiverem corretas. 
c) se somente II e III estiverem corretas. 
d) se somente I e II estiverem corretas. 
e) se somente II estiver correta. 
E. O. DISSERTATIVO
1. (UFSC) Se os números reais positivos a e b são tais 
que 
a – b = 48
log2 a – log2 b = 2
 calcule o valor de a + b. 
2. (UFRRJ) Determine o conjunto das soluções reais da 
equação a seguir:
log2 3 · log3 4 · log4 5 · log5 x = log4 (–2x – 1). 
3. (UFF) Resolva, em R*+, o sistema
log2 ( 1 __ x + 
y
 __ 2 ) = log ( 1 __ x + 
y
 __ 2 ) .
log x + log y =0.
4. Leia a matéria publicada em junho de 2016.
Energia eólica deverá alcançar 10 GW nos próximos dias:
O dia mundial do vento, 15 de junho, terá um mar-
co simbólico este ano. Antes do final do mês, a fonte 
de energia que começou a se tornar realidade no país 
há seis anos alcançará 10 GW, sendo que o potencial 
brasileiro é de 500 GW. A perspectiva é a de que, em 
metade deste tempo, o Brasil duplique os 10 GW. 
(WWW.PORTALABEEOLICA.ORG.BR. ADAPTADO.)
Considerando que a perspectiva de crescimento contin-
ue dobrando a cada três anos, calcule o ano em que 
o Brasil atingirá 64% da utilização do seu potencial 
eólico. Em seguida, calcule o ano aproximado em que 
o Brasil atingirá 100% da utilização do seu potencial 
eólico, empregando um modelo exponencial de base 2 
e adotando log 2 0,3 no cálculo final. 
5. (ITA) Seja f a função definida por f(x) = logx+1(x
2 – 2x – 8). 
Determine:
a) O domínio Df da função f.
b) O conjunto de todos os valores de x Df tais que 
f(x) = 2. 
c) O conjunto de todos os valores de x Df tais que 
f(x) > 1. 
6. (FGV) Um investidor aplicou certa quantia, em reais, 
à taxa de juro composto de 1% ao mês. Neste proble-
ma, desprezando qualquer tipo de correção monetária 
devido à inflação, responda as perguntas a seguir.
a) Neste investimento, após 2 meses, seria possível 
resgatar o valor aplicado com lucro de R$ 4.020,00. 
Calcule o valor inicialmente aplicado.
b) No investimento indicado, é possível resgatar um 
montante de 4 vezes o capital inicialmente aplica-
do em 139,3 meses. Caso o cálculo fosse feito ad-
otando-se log2 = 0,301 e log202 = 2,305, que são 
logaritmos com apenas 3 casas decimais de aproxi-
mação, seria obtido um valor aproximado de t anos. 
Chamando deE = t – 139,3 ao erro cometido no 
cálculo devido ao uso de apenas 3 casas decimais 
de aproximação nos logaritmos indicados, calcule E. 
 30
7. (UFG) A capacidade de produção de uma metalúrgica 
tem aumentado 10% a cada mês em relação ao mês 
anterior. Assim, a produção no mês m, em toneladas, 
tem sido de 1800 × 1,1m–1. Se a indústria mantiver este 
crescimento exponencial, quantos meses, aproximada-
mente, serão necessários para atingir a meta de pro-
duzir, mensalmente, 12,1 vezes a produção do mês um?
Dado: log1,1 ≈ 0,04. 
8. (UFPR) Para determinar a rapidez com que se es-
quece de uma informação, foi efetuado um teste em 
que listas de palavras eram lidas a um grupo de pes-
soas e, num momento posterior, verificava-se quantas 
dessas palavras eram lembradas. Uma análise mostrou 
que, de maneira aproximada, o percentual S de palavras 
lembradas, em função do tempo t, em minutos, após o 
teste ter sido aplicado, era dado pela expressão
S = –18 ∙ log(t + 1) + 86.
a) Após 9 minutos, que percentual da informação ini-
cial era lembrado?
b) Depois de quanto tempo o percentual S alcançou 
50%? 
9. (UFPR) Uma quantia inicial de R$ 1.000,00 foi inves-
tida em uma aplicação financeira que rende juros de 
6%, compostos anualmente. Qual é, aproximadamente, 
o tempo necessário para que essa quantia dobre? (Use 
log2(1,06) ≈ 0,084.) 
E.O. UERJ 
EXAME DE QUALIFICAÇÃO
1. (UERJ) O logaritmo decimal do número positivo x é 
representado por log x.
Então, a soma das raízes de log2x - log x3 = 0 é igual a: 
a) 1.
b) 101.
c) 1000.
d) 1001.
 2. (UERJ) Admita que a ordem de grandeza de uma medida 
x é uma potência de base 10, com expoente n inteiro, para 
10n - 1 __ 2 ≤ x < 10n + 1 __ 2 . 
Considere que um terremoto tenha liberado uma 
energia E, em joules, cujo valor numérico é tal que 
log10 E = 15,3. 
A ordem de grandeza de E, em joules, equivale a: 
a) 1014. 
b) 1015. 
c) 1016. 
d) 1017. 
3. (UERJ) Seja b a altura de um som, medida em 
decibéis. Essa altura b está relacionada com a inten-
sidade do som, I, pela expressão a seguir (figura 1), na 
qual a intensidade padrão, I0, é igual a 10–12 W/m2.
Observe a tabela a seguir. Nela, os valores de I foram aferi-
dos a distâncias idênticas das respectivas fontes de som.
Fi
gu
ra
 1
 = 10 × log ( I __ I0
 ) 
fonte de som I (W/m2)
turbina 1,0 × 102
amplificador de som 1,0
triturador de lixo 1,0 × 10–4
TV 3,2 × 10–5
Sabendo que há risco de danos ao ouvido médio a par-
tir de 90 dB, o número de fontes da tabela cuja inten-
sidade de emissão de sons está na faixa de risco é de: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
E.O. UERJ 
EXAME DISCURSIVO
1. (UERJ) Ao digitar corretamente a expressão log10(–2) 
em uma calculadora, o retorno obtido no visor corre-
sponde a uma mensagem de erro, uma vez que esse 
logaritmo não é um número real.
Determine todos os valores reais de x para que o valor 
da expressão log0,1(log10(log0,1(x))) seja um número real. 
2. (UERJ) Considere a equação:
(log2 x)2 – log 3 √
_ 2 x = 0 com x > 0. 
Um aluno apresentou o seguinte desenvolvimento para 
a solução dessa equação:
(log2 x)2 = log 3 √
_ 2 x
(log2 x)2 = 3(log2 x)
(log2 x) = 3
 x = 23
 x = 8
 S = {8}.
O conjunto-solução encontrado pelo aluno está incom-
pleto.
Resolva a equação e determine corretamente o seu 
conjunto-solução. 
3. (UERJ) Suponha que x e y são números reais positivos 
que apresentam logaritmos com bases diferentes, con-
forme as igualdades a seguir:
log9 x = log6 y = log4(x + y).
Calcule a razão 
y
 __ x . 
4. (UERJ) A International Electrotechnical Commission – 
IEC padronizou as unidades e os símbolos a serem usados 
 31
em Telecomunicações e Eletrônica. Os prefixos kibi, mebi 
e gibi, entre outros, empregados para especificar múlti-
plos binários são formados a partir de prefixos já existen-
tes no Sistema Internacional de Unidades - SI, acrescidos 
de bi, primeira sílaba da palavra binário.
A tabela na figura 1 indica a correspondência entre al-
gumas unidades do SI e da IEC.
Um fabricante de equipamentos de informática, usuário 
do SI, anuncia um disco rígido de 30 gigabytes. Na lin-
guagem usual de computação, essa medida correspon-
de a p × 230 bytes.
Considere a tabela de logaritmos na figura 2.
Figura 1
SI
nome símbolo magnitude
quilo k 103
mega M 106
giga G 109
IEC
nome símbolo magnitude
kibi Ki 210
mebi Mi 220
gibi Gi 230
Figura 2
x 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
Log x 0,301 0,342 0,380 0,415 0,447 0,477
Calcule o valor de p. 
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unicamp) A solução da equação na variável real x 
logx(x + 6) = 2, é um número: 
a) primo. c) negativo. 
b) par. d) irracional. 
2. (Fuvest) O número x >1 tal que logx2 = log4x é: 
a) √
__
 2 ___ 2 .
b) 2 .
c) √
__
 2 .
d) 2 √
__
 2 .
e) 4 .
3. (Fuvest) Os números reais x e y são soluções do sistema:
2 log2 x – log2 (y – 1) = 1
log2 (x + 4) – ( 1 __ 2 ) log2 y = 2
Então 7( √
__
 y – x) vale:
a) –7. d) 1.
b) –1. e) 7.
c) 0.
4. (Unesp ) Em que base o logaritmo de um número natu-
ral n, n > 1, coincide com o próprio número n? 
a) nn. d) n.
b) 1 __ n . e) n √
__
 n . 
c) n2.
5. (Fuvest) O número real a é o menor dentre os valores de x 
que satisfazem a equação 2 log2 (1 + √
__
 2 x) – log2 ( √
__
 2 x ) = 3.
Então, log2 ( 2a + 4 ______ 3 ) é igual a:
a) 1 __ 4 .
b) 1 __ 2 .
c) 1.
d) 3 __ 2 .
e) 2.
6. (Fuvest) Use as propriedades do logaritmo para sim-
plificar a expressão
S = 1 ____________ 
2 ∙ log22016
 + 1 ____________ 
5 ∙ log32016
 + 1 _____________ 
10 ∙ log72016
 
O valor de S é: 
a) 1 __ 2 . 
b) 1 __ 3 . 
c) 1 __ 5 . 
d) 1 __ 7 . 
e) 1 ___ 10 . 
7. (Unesp) Sejam x e y números reais. Se x > 0, x ≠ 1 e 
logx10 > logx(10)y, então: 
a) y < 0. 
b) y > 1 e x > 1. 
c) y < 1 e x < 1. 
d) y < 1 e x > 1 ou y > 1 e x < 1. 
e) y > 0. 
8. (Fuvest) O conjunto dos números reais x que satisfazem 
a inequação log2(2x + 5) - log2(3x - 1) >1 é o intervalo: 
a) ]– ∞, –5/2[.
b) ]7/4, ∞[.
c) ]–5/2, 0[.
d) ]1/3, 7/4[.
e) ]0, 1/3[.
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Fuvest) Determine a solução (x, y), y > 1, para o siste-
ma de equações
logy (9x – 35) = 6
log3y (27x – 81) = 3
 32
2. (Fuvest) Resolva as inequações:
a) x3 – x2 – 6x > 0. 
b) log2(x
3 – x2 – 6x) ≤ 2. 
3. (Unifesp) A intensidade luminosa na água do mar 
razoavelmente limpa, que é denotada por I, decresce 
exponencialmente com o aumento da profundidade, 
que por sua vez é denotada por x e expressa em metro, 
como indica a figura.
 
a) Utilizando as informações da figura e denotando por 
I0 a constante que representa a intensidade luminosa 
na água razoavelmente limpa ao nível do mar, deter-
mine I em função de x, com x sendo um inteiro positivo.
b) A relação empírica de Bouguer-Lambert nos diz que 
um feixe vertical de luz, quando penetra na água com 
intensidade de luz I0, terá sua intensidade I de luz reduz-
ida com a profundidade de x metros determinada pela 
fórmula I = I0e
–μx, com e sendo o número de Euler, e μ 
um parâmetro denominado de coeficiente de absorção, 
que depende da pureza da água e do comprimento de 
onda do feixe. Utilizando a relação de Bouguer-Lambert 
no estudo da intensidade luminosa na água do mar ra-
zoavelmente limpa (dados da figura), determine o valor 
do parâmetro μ. Adote nos cálculos finais ln2 = 0,69. 
4. (Unicamp) A superfície de um reservatório de água 
para abastecimento público tem 320.000 m2 de área, 
formato retangular e um dos seus lados mede o dobro 
do outro. Essa superfície é representada pela região ha-
churada na ilustração abaixo. De acordo com o Código 
Florestal, é necessário manter ao redor do reservatório 
uma faixa de terra livre, denominada Área de Proteção 
Permanente (APP), como ilustra a figura abaixo. Essa 
faixa deve ter largura constante e iguala 100 m, medi-
dos a partir da borda do reservatório.
a) Calcule a área da faixa de terra denominada APP 
nesse caso.
b) Suponha que a água do reservatório diminui de 
acordo com a expressão V(t) = V0 2–t em que V0 é 
o volume inicial e t é o tempo decorrido em meses. 
Qual é o tempo necessário para que o volume se re-
duza a 10% do volume inicial? Utilize, se necessário, 
log10 2 ≈ 0,30. 
5. (Fuvest) O número N de átomos de um isótopo ra-
dioativo existente em uma amostra diminui com o tem-
po t, de acordo com a expressão N(t) = N0e
– t, sendo 
N0 o número de átomos deste isótopo em t = 0 e a 
constante de decaimento. Abaixo, está apresentado o 
gráfico do log10N em função de t, obtido em um estudo 
experimental do radiofármaco Tecnécio 99 metaestável 
(99mTc), muito utilizado em diagnósticos do coração.
 
A partir do gráfico, determine
a) o valor de log10N0.
b) o número N0 de átomos radioativos de 99mTc.
c) a meia-vida (T1/2) do 99mTc.
Note e adote: A meia-vida (T1/2) de um isótopo radioativo 
é o intervalo de tempo em que o número de átomos 
desse isótopo existente em uma amostra cai para a 
metade; log10 2 = 0,3; log10 5 = 0,7. 
6. (Unesp) Resolva a inequação 
(16 – x2) · log3 (x – 2) > 0. 
7. (Fuvest) É dada a função f definida por:
f(x) = log2x – log4(x – 3)
a) Determine os valores de x para os quais f(x) ≤ 2.
b) Determine os valores de x para os quais f(x) > 2. 
8. (Unicamp) Suponha que o preço de um automóvel 
tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre 
o preço do ano anterior. Se F representa o preço inicial 
(preço de fábrica) e p(t), o preço após t anos, pede-se:
a) a expressão para p(t);
b) o tempo mínimo necessário, em número inteiro 
de anos, após a saída da fábrica, para que um au-
tomóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. 
Se necessário, use: log 2 ≈ 0,301 e log 3≈0,477. 
9. (Fuvest) Determine o conjunto de todos os números 
reais x para os quais vale a desigualdade;
|log16 (1 – x2) – log4(1 + x)| < 1 __ 2 
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. D 3. B 4. B 5. C
6. E 7. E 8. B 9. A 10. B
 33
E.O. Fixação
1. B 2. C 3. E 4. D 5. D
6. A 7. B 8. B 9. C 10. E
E.O. Complementar
1. B 2. A 3. C 4. D 5. C
E. O. Dissertativo
1. 80.
2. S = \.
3. x = 3 ___ 
2
 e y = 2 ___ 
3
 .
4. O Brasil atingirá 64% da utilização do seu potencial eólico em 
2031. Em 2033 atingirá 100%.
5. 
a) D = ]4, +∞[.
b) S = .
c) S = ] 3 + 3 √
__
 5 ________ 
2
 , +∞[.
6. 
a) R$ 200.000,00.
b) E = 11,2 meses.
7. 28 meses
8. 
a) 68%.
b) 1h 39min.
9. Aproximadamente 11,9 anos.
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. D 2. B 3. B
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. S = {x | 0 < x < 0,1}.
2. S = {1, 8}.
3. 
y
 __ x = 1 + √
__
 5 _______ 
2
 . 
4. p = 28
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. B 3. D 4. E 5. B
6. E 7. D 8. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. Resposta: (11; 2).
2. 
a) S = {x | –2 < x < 0 ou x > 3}.
b) S = ]–2, 1 – √
__
 5 ] [–1,0[ ] 3, 1 + √
__
 5 ].
3. 
a) I(x) = I0 · 4
–x.
b) μ = 1,38.
4. 
a) A = 10000(24 + π)m2.
b) Aproximadamente 3 meses e 10 dias.
5. 
a) log10 N0 = 6.
b) N0 = 1.000.000.
c) t = 6 horas.
6. v = ]3; 4[
7. 
a) V = {x R | 4 x 12}
b) V = {x R | 3 < x < 4 ou x > 12}
8. 
a) p(t) = F (0,81)t
b) 15 anos
9. S = { x R / - 3 ___ 5 < x < 3 ____ 5 }
 34
E.O. APRENDIZAGEM
1. (PUCRS) A representação
é da função dada por y = f(x) = logn(x). O valor de 
logn (n
3+8) é:
a) 2. d) 8.
b) 4. e) 10.
c) 6.
2. (CFTMG) Sabe-se que ( 1 __ 3 , 1 ) pertence ao gráfico de 
f(x) = logn x.
O valor de b é:
a) 27. c) 1 ___ 27 .
b) 81. d) 1 ___ 81 .
3. (ESPCEX (AMAN)) Na figura abaixo, está representa-
do o gráfico da função y = log x. 
Nesta representação, estão destacados três retângulos 
cuja soma das áreas é igual a: 
a) log2 + log3 + log5.
b) log30.
c) 1 + log30.
d) 1 + 2log15.
e) 1 + 2log30.
4. (FGV) Considere o gráfico das funções reais f(x) = 2 log x 
e g(x) = log 2x, nos seus respectivos domínios de validade.
A respeito dos gráficos de f e g, é correto afirmar que: 
a) não se interceptam.
b) se interceptam em apenas um ponto.
c) se interceptam em apenas dois pontos.
d) se interceptam em apenas três pontos.
e) se interceptam em infinitos pontos.
5. (UFPR) Considere o gráfico da função f(x) = log2x e a 
reta r que passa pelos pontos A e B como indicado na 
figura abaixo, sendo k a abscissa do ponto em que a 
reta r intersecta o eixo Ox. Qual é o valor de k?
a) 17/12.
b) 14/11.
c) 12/7.
d) 11/9.
e) 7/4.
6. (PUC-RS) O estudo dos logaritmos e de suas pro-
priedades nos leva a efetuar simplificações que facili-
tam nossos cálculos. Nesse sentido, a representação 
gráfica que melhor se adapta à da função f dada por 
f(x) = ( √
___
 10 )logx é:
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
HABILIDADES:
3, 4, 5, 19, 20, 21, 22, 
23, 24, 25 e 26
COMPETÊNCIAS: 1, 5 e 6
AULAS 25 e 26
 35
a) b) 
c) d) 
e) 
7. (UFJF-PISM 1) Para qual das funções abaixo, a equa-
ção f(x) – 1 = 0 não possui uma raiz real? 
a) f(x) = ex. d) f(x) = 2x. 
b) f(x) = log10
x. e) f(x) = 1. 
c) f(x) = –x2. 
8. (UEG) O gráfico da função y = log(x + 1) é represen-
tado por: 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
9. (IFAL) Resolvendo a equação, log2x + log(1 + 2x) = log20, 
encontramos o valor de x real igual a: 
a) 1. d) 4.
b) 2. e) 5. 
c) 3. 
E.O. FIXAÇÃO
1. (ESPM) O domínio da função real f(x) = logx(x
2 – 4x + 3) 
é dado por: 
a) ]–`, 1[ ø ]3, +`[.
b) ]–`, 0[ ø ]3, +`[.
c) ]–`, –1[ ø ]3, +`[.
d) ]0, 1[ ø ]3, +`[.
e) ]1, 3[.
2. (ESPCEX (AMAN)) Na figura abaixo, dois vértices do 
trapézio sombreado estão no eixo x e os outros dois vér-
tices estão sobre o gráfico da função real f(x) = logk x, 
com k > 0 e k ≠ 1. Sabe-se que o trapézio sombreado tem 
30 unidades de área; assim, o valor de k + p – q é:
a) –20.
b) –15.
c) 10.
d) 15.
e) 20.
 3. (UFMG) Observe a figura.
 36
Nessa figura está representado o gráfico da função:
f(x) = log2 
1 ______ 
 (ax +b)
 .
Então, f (1) é igual a:
a) –3. d) – 1 __ 2 . 
b) –2. e) – 1 __ 3 .
c) –1. 
4. (ESPM) Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazen-
da improdutiva no interior do país, dando origem a uma 
pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade 
tenha crescido segundo a função P = 0,1 + log2 (x – 1996), 
onde P é a população no ano x, em milhares de habitantes. 
Considerando √
__
 2 1,4, podemos concluir que a popula-
ção dessa cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes 
em meados do ano: 
a) 2005. d) 2007.
b) 2002. e) 2004. 
c) 2011.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO 
Um dos principais impactos das mudanças ambientais 
globais é o aumento da frequência e da intensidade de 
fenômenos extremos, que quando atingem áreas ou re-
giões habitadas pelo homem, causam danos. Responsá-
veis por perdas significativas de caráter social, econô-
mico e ambiental, os desastres naturais são geralmente 
associados a terremotos, tsunamis, erupções vulcânicas, 
furacões, tornados, temporais, estiagens severas, ondas 
de calor etc.
(DISPONÍVEL EM: <WWW.INPE.BR>. ACESSO EM: 20 MAIO 2015.) 
5. (UEL) Em relação aos tremores de terra, a escala Rich-
ter atribui um número para quantificar sua magnitude. 
Por exemplo, o terremoto no Nepal, em 12 de maio de 
2015, teve magnitude 7,1 graus nessa escala. Sabendo-
-se que a magnitude y de um terremoto pode ser des-
crita por uma função logarítmica, na qual x representa 
a energia liberada pelo terremoto, em quilowatts-hora, 
assinale a alternativa que indica, corretamente, o gráfi-
co dessa função. 
a) c)
 
b) d) 
 
 
e) 
 
6. (PUC-RS) O modelo da cobertura que está sendo coloca-
da no Estádio Beira-Rio está representado na figura abaixo.
 
Colocada devidamente em um plano cartesiano, é pos-
sível afirmar que, na forma em que está, a linha em des-
taque pode ser considerada uma restrição da represen-
tação da função dada por:a) y = log(x). 
b) y = x2. 
c) y = u x u . 
d) y = √
___
 –x . 
e) y = 10x. 
7. (CFTMG) Na figura abaixo estão representadas as 
funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = log2 ( x __ 2 ) . 
Sabendo-se que o ponto A tem abscissa 8, a área do 
quadrilátero OABC é: 
a) 53. 
b) 56. 
c) 1.014. 
d) 1.814. 
 8. (UECE) O domínio da função real de variável real 
definida por f(x) = log7(x
2 – 4x) · log3(5x – x2) é o inter-
valo aberto cujos extremos são os números:
a) 3 e 4. 
b) 4 e 5. 
c) 5 e 6. 
d) 6 e 7. 
 37
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES 
Informação I
A figura a seguir exibe parte do gráfico da função 
f(x) = log0,85x, cujo domínio é {x 0 < x ≤ 0,85}.
Informação II
Um carro, que no ato da compra vale R$40.000,00, tem 
uma desvalorização de 15% ao ano. Ou seja, após um 
ano, o carro tem, a cada instante, um valor 15% menor 
do que o valor que tinha exatamente um ano antes. 
9. (INSPER) Passados 20 anos, o carro valerá cerca de: 
a) R$ 600,00. 
b) R$ 1.600,00. 
c) R$ 6.000,00. 
d) R$ 16.000,00. 
e) R$ 25.000,00. 
10. (INSPER) Para que o carro perca 80% do seu valor, é 
necessário que se passem: 
a) entre 5 e 6 anos. 
b) entre 6 e 7 anos. 
c) entre 7 e 8 anos. 
d) entre 8 e 9 anos. 
e) entre 9 e 10 anos. 
E.O. COMPLEMENTAR
1. (CEFET MG) O conjunto dos valores de x [ R* para 
que log(1 – 2x) (2 – x – x2) exista como número real é
a) { x [ R | x < –2 ou x > 1 } 
b) { x [ R* | –2 < x < 1 __ 2 } 
c) { x [ R | x < –2 ou x > 1 __ 2 } 
d) { x [ R | –2 < x < 1 } 
e) { x [ R* | x < 1 __ 2 } 
2. (EPCAR (AFA)) No plano cartesiano, seja P(a,b) o pon-
to de interseção entre as curvas dadas pelas funções 
reais f e g definidas por f(x) = ( 1 __ 2 ) x e g(x) = log x.
É correto afirmar que: 
a) a = log2 ( 1 _______ 
log2 ( 1 __ a ) 
 ) .
b) a = log2 (log2 a).
c) a = log ( log ( 1 __ a ) ) .
d) a = log2 ( log a ) .
3. (ITA) Considere as funções f e g, da variável real x, defi-
nidas, respectivamente, por f(x) = ex2 + ax + b e g(x) = ln ( ax ___ 
3b
 ) , 
em que a e b são números reais. Se f(–1) = 1 = f (–2) en-
tão pode-se afirmar sobre a função composta g o f que: 
a) g o f(1) = ln 3.
b) E g o f(0).
c) g o f nunca se anula.
d) g o f está definida apenas em {x [ R : x > 0}.
e) g o f admite dois zeros reais distintos.
4. (UDESC) Considere a função f(x) = log8(x + 3)3. A quan-
tidade de números inteiros que pertencem ao conjunto 
solução da inequação 4f(x) ≤ 2x + 105 é igual a: 
a) 8. 
b) 12. 
c) 21. 
d) 19. 
e) 11. 
5. (EPCAR (AFA)) Considere a função real f definida por 
f(x) = ax com a ]0 ,1[. Sobre a função real g definida por 
g(x) = –b – f(x) com b ]–∞, –1[, é correto afirmar que: 
a) possui raiz negativa e igual a loga (–b). 
b) é crescente em todo o seu domínio. 
c) possui valor máximo. 
d) é injetora. 
E.O. DISSERTATIVO
1. (INSPER) Considere a função real f, dada pela lei 
f(x) = logx x
x.
a) Desenhe o gráfico de f(x).
b) Calcule k, k [ R de modo que se tenha 16f(k) = 40. 
Se necessário, utilize a aproximação log2 = 0,30. 
2. (UFRJ) Seja f: ]0, ∞[ R dada por f(x) = log3 x.
 38
Sabendo que os pontos (a, –b), (b, 0), (c, 2) e (d, b) 
estão no gráfico de f, calcule b + c + ad. 
3. (UFG) Dados dois números reais positivos a e n, com n ≠ 1, 
o número y tal que ny = a é denominado logaritmo de a na 
base n, e é representado por logn a. Faça o que se pede:
a) Faça um esboço do gráfico da função f(x) = log 2x, x > 0.
b) Mostre que log2 ( 1 __ 2 ) = log 2.
4. (UFC) Considere o número real 3 √
__
 4,1 .
a) Mostre que 3 √
__
 4,1 > 9. 
b) Mostre que 3 √
__
 4,1 < 10. 
Sugestão: log10 3 < 0,48 e √
___
 4,1 < 2,03. 
5. (UFJF-PISM 1) No gráfico a seguir, representou-se a 
função f : * + definida por f(x) = log2x. 
Define-se ainda, conforme a figura, um triângulo retân-
gulo MNP, reto em N, com os vértices M e P perten-
cendo à curva definida por f. A partir das informações 
apresentadas no gráfico de f, responda às questões a 
seguir detalhando os seus cálculos:
 
a) Qual o valor de a e b obtidos a partir do gráfico de f. 
b) Calcule a medida da área do triângulo MNP. 
c) Determine o(s) valor(es) de x tal que 
[f(x)]2 –5 · [f(x)] = –6. 
6. Um analgésico é aplicado via intravenosa. Sua con-
centração no sangue, até atingir a concentração nula, 
varia com o tempo de acordo com a seguinte relação:
c(t) = 400 − klog3(at + 1),
em que t é dado em horas e c(t) é dado em mg/L. As 
constantes a e k são positivas.
a) Qual é a concentração do analgésico no instante 
inicial t = 0? 
b) Calcule as constantes a e k, sabendo que, no in-
stante t = 2, a concentração do analgésico no sangue 
é metade da concentração no instante inicial e que, 
no instante t = 8, a concentração do analgésico no 
sangue é nula. 
7. Considere as funções f e g definidas por
f(x) = 2log2(x – 1), se x , x > 1,
g(x) = log2 ( 1 – x __ 4 ) , se x , x < 4.
a) Calcule f ( 3 __ 2 ) , f(2), f(3), g(–4), g(0) e g(2). 
b) Encontre x,1 < x < 4, tal que f(x) = g(x). 
c) Levando em conta os resultados dos itens a) e b), es-
boce os gráficos de f e de g no sistema cartesiano abaixo.
 
8. Numa plantação de certa espécie de árvore, as me-
didas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, 
desde o instante em que as árvores são plantadas até 
completarem 10 anos, são dadas respectivamente pe-
las funções:
altura: H(t) = 1 + (0,8) ∙ log2(t + 1)
diâmetro do tronco: D(t) = (0,1) ∙ 2 
t
 
___
 7 
com H(t) e D(t) em metros e t anos.
a) Determine as medidas aproximadas da altura, em 
metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das 
árvores no momento em que são plantadas.
b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmet-
ro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros. 
9. Considere as funções f(x) = x __ 2 e g(x) = log2x, para x > 0.
a) Represente, num mesmo sistema de coordenadas re-
tangulares, os gráficos das duas funções, colocando os 
pontos cujas abscissas são x = 1, x = 2, x = 4 e x = 8.
b) Baseado na representação gráfica, dê o conjunto solução 
da inequação x __ 2 < log2x, e justifique por que __ 2 < log2 . 
E.O. UERJ 
EXAME DE QUALIFICAÇÃO
1. (UERJ) Observe no gráfico a função logaritmo deci-
mal definida por y = log(x).
Admita que, no eixo x, 10 unidades correspondem a 1 
cm e que, no eixo y, a ordenada log(1000) corresponde 
a 15 cm.
A escala x:y na qual os eixos foram construídos equivale a: 
a) 5:1.
b) 15:1.
c) 50:1.
d) 100:1.
 39
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Fuvest) A curva da figura que se segue representa o 
gráfico da função y = log10x, para x > 0. Assim sendo, a área 
da região hachurada, formada pelos dois retângulos, é:
a) log10 2. d) log10 5.
b) log10 3. e) log10 6.
c) log10 4.
2. (Fuvest) Se x é um número real, x > 2 e 
log2(x – 2) – log4x = 1, então o valor de x é: 
a) 4 – 2 √
__
 3 . d) 4 + 2 √
__
 3 .
b) 4 – √
__
 3 . e) 2 + 4 √
__
 3 .
c) 2 + 2 √
__
 3 .
3. (Unesp) Considere a função f, definida por f(x) = lognx. 
Se f(n) = m e f(n + 2) = m + 1, os valores respectivos de 
n e m são: 
a) 2 e 1. d) 3 e 2.
b) 2 e 2. e) 4 e 1.
c) 3 e 1.
4. (Unesp) A figura representa o gráfico de y = log10x. 
Sabe-se que OA = BC. Então, pode-se afirmar, que:
a) logab = c.
b) a + b = c.
c) aC = b.
d) ab = c.
e) 10a + 10b = 10c.
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unicamp) A altura (em metros) de um arbusto em 
uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser ex-
pressa pela função h(t) = 0,5 + log3 (t + 1), onde o tem-
po t ≥ 0 é dado em anos.
a) Qual é o tempo necessário para que a altura au-
mente de 0,5 m para 1,5 m?
b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de 
desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função 
composta g(t) = h(3t + 2). Verifique que a diferença 
g(t) – h(t) é uma constante, isto é, não depende de t. 
2. (Unesp) Considereas funções:
f(x) = log3 (9x2) e g(x) = log3 ( 1 __ x ) , definidas para todo x > 0.
a) Resolva as duas equações: f(x) = 1 e g(x) = –3.
b) Mostre que 1 + f(x) + g(x) = 3 + log3 x. 
3. (Unesp) O brilho de uma estrela percebido pelo 
olho humano, na Terra, é chamado de magnitude apa-
rente da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é 
a magnitude aparente que a estrela teria se fosse ob-
servada a uma distância padrão de 10 parsecs (1 parsec 
é aproximadamente 3 × 1013 km). As magnitudes apar-
ente e absoluta de uma estrela são muito úteis para se 
determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m a 
magnitude aparente e M a magnitude absoluta de uma 
estrela, a relação entre m e M é dada aproximadamente 
pela fórmula
M = m + 5 ∙ log3 (3 ∙ d–0,48)
onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela 
Rigel tem aproximadamente magnitude aparente 0,2 
e magnitude absoluta –6,8. Determine a distância, em 
quilômetros, de Rigel ao planeta Terra. 
4. (Unifesp) A área da região hachurada na figura A vale 
log10 t, para t > 1.
a) Encontre o valor de t para que a área seja 2.
b) Demonstre que a soma das áreas das regiões ha-
churadas na figura B (onde t = a) e na figura C (onde 
t = b) é igual à área da região hachurada na figura D 
(onde t = ab). 
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. B 3. D 4. B 5. A
6. B 7. C 8. D 9. B
 40
E.O. Fixação
1. D 2. B 3. B 4. D 5. B
6. A 7. C 8. B 9. B 10. E
E.O. Complementar
1. B 2. A 3. E 4. E 5. A
E.O. Dissertativo
1. 
a) 
b) k = 4 __ 
3
 .
2. b + c + ad = 11. 
3. 
a) 
b) Pela definição:
 log2 
1 __ 
2
 = p 2p = 1 __ 
2
 2p = 2–1 p = –1;
 log 2 = q ( 1 __ 
2
 ) 
q
 = 2 2–q = 2 q = –1.
 Logo, p = q e, portanto, log2 
1 __ 
2
 = log 2.
4. 
a) 2 < √
____
 4,1 32 < 3 √
__
 4,1 9 < 3 √
__
 4,1 
b) log10 3 √
__
 4,1 = √
____
 4,1 · log10 3 < 2,03 · 0,48 = 0,9744 < 
1 = log10 10
log10 3 √
__
 4,1 < log10 10 3 √
__
 4,1 < 10
5. 
a) a = 2, b = 4.
b) área = 21 u.a.
c) x = 4 ou x = 8.
6. 
a) c(0) = 400 mg/L.
b) a = 1 e k = 200.
7. 
a) f ( 3 __ 
2
 ) = –2
 f(2) = 0
 f(3) = 2
 g(–4) = 1
 g(0) = 0
 g(2) = –1.
b) x = 7 __ 
4
 .
c) 
 
 
8. 
a) altura 1 metro;
 diâmetro 10 cm.
b) 20 cm.
9. 
a) 
 
b) S = ]2; 4[.
 f(π) < g(π) logo π __ 
2
 < log2π.
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. C
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. D 3. A 4. D
 41
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 2 anos.
b) g(t) – h(t) = 1 + h(t) – h(t) = 1, para todo t ≥ 0.
2. 
a) Sf = { dXX 3 ___ 
3
 } e Sg = {27}.
b) 1 + f(x) + g(x) = 1 + log3 (9x2) + log3 ( 1 __ x ) =
 = 1 + log3 ( 9x2 · 1 __ x ) =
 = 1 + log3 (9x) =
 = 1 + log3 9 + log3 x = 
 = 1 + 2 + log3 x =
 = 3 + log3 (x) 
3. 7,29 × 1015 km.
4. 
a) t = 100.
b) Se (SB), (SC) e (SD) forem, respectivamente, as 
áreas hachuradas das figuras B, C e D, então:
(SB) + (SC) = log10a + log10b = log10(a.b) = (SD), 
portanto (SB)+(SC)=SD. 
 43
TRiGONOMETRiA 
E ARiTMÉTiCA
 44
E.O. APRENDIZAGEM
1. (FGV) Sandra fez uma aplicação financeira, compran-
do um título público que lhe proporcionou, após um 
ano, um montante de R$ 10.000,00. A taxa de juros da 
aplicação foi de 10% ao ano. Podemos concluir que o 
juro auferido na aplicação foi: 
a) R$ 1.000,00.
b) R$ 1.009,09.
c) R$ 900,00.
d) R$ 909,09.
e) R$ 800,00.
2. João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao 
cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 
80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do 
banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no che-
que especial, caso João quitasse esta dívida imediata-
mente ou, na mesma condição, isto é, quitação ime-
diata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João 
também poderia renegociar suas dívidas em 18 par-
celas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, 
José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro 
que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com 
juros de 25% sobre o total emprestado.
A opção que dá a João o menor gasto seria:
a) renegociar suas dívidas com o banco.
b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à 
quitação das duas dívidas.
c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as par-
celas pendentes nos devidos prazos.
d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à 
quitação do cheque especial e pagar as parcelas do 
cartão de crédito.
e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à 
quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do 
cheque especial.
3. (CFTMG) O pagamento de uma televisão foi feito, 
sem entrada, em 5 parcelas mensais iguais, corrigidas 
a juros simples pela taxa de 0,7% ao mês. Dessa forma, 
no final do período, o valor total pago, em percentual, 
será maior do que o inicial em 
a) 2,1. c) 4,2.
b) 3,5. d) 7,3.
4. (PUC-RJ) Em março de 2011, a garrafa de 500 ml de 
suco de bujurandu custava R$ 5,00. Em abril, o valor 
subiu 10% e, em maio, caiu 10%. Qual o preço da gar-
rafa em junho? 
a) R$ 4,50 d) R$ 5,50
b) R$ 4,95 e) R$ 6,00
c) R$ 5,00
5. Gabriel aplicou R$ 6.500,00 a juros simples em dois 
bancos. 
No banco A, ele aplicou uma parte a 3% ao mês duran-
te 5 __ 6 de um ano; no banco B, aplicou o restante a 3,5% ao 
mês, durante 3 __ 4 de um ano.
O total de juros que recebeu nas duas aplicações foi de 
R$ 2.002,50.
Com base nessas informações, é correto afirmar que: 
a) é possível comprar um televisor de R$ 3.100,00 
com a quantia aplicada no banco A.
b) o juro recebido com a aplicação no banco A foi 
menor que R$ 850,00.
c) é possível comprar uma moto de R$ 4.600,00 com 
a quantia recebida pela aplicação no banco B.
d) o juro recebido com a aplicação no banco B foi 
maior que R$ 1.110,00.
E.O. FIXAÇÃO
1. Considere que uma pessoa decida investir uma de-
terminada quantia e que lhe sejam apresentadas três 
possibilidades de investimento, com rentabilidades lí-
quidas garantidas pelo período de um ano, conforme 
descritas: 
Investimento A 3% ao mês 
Investimento B: 36% ao ano 
Investimento C: 18% ao semestre 
As rentabilidades, para esses investimentos, incidem 
sobre o valor do período anterior. O quadro fornece al-
gumas aproximações para a análise das rentabilidades: 
n 1,03n
3 1,093
6 1,194
9 1,305
12 1,426
Para escolher o investimento com a maior rentabilidade 
anual, essa pessoa deverá: 
a) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, 
pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%.
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
HABILIDADES: 21 e 23
COMPETÊNCIA: 5
AULAS 17 e 18
 45
b) escolher os investimentos A ou C, pois suas renta-
bilidades anuais são iguais a 39%.
c) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade 
anual é maior que as rentabilidades anuais dos inves-
timentos B e C.
d) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade 
de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do in-
vestimento A e de 18% do investimento C.
e) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 
39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao 
ano dos investimentos A e B. 
2. (Uepg – adaptada) Os capitais C1 = R$ 2.000,00 e 
C2 = R$ 1.500,00 são aplicados a juros simples de 1% ao 
mês e 18% ao ano, respectivamente, durante t meses. 
Após esse tempo, a soma dos montantes produzidos 
pelas duas aplicações é de R$3840,00. Nesse contexto, 
assinale o que for correto. 
a) O tempo t de aplicação é superior a 6 meses.
b) O montante produzido por C2 é R$ 1.980,00
c) C1 rendeu R$ 250,00 de juros.
d) O tempo t de aplicação é de 270 dias.
3. João deseja comprar um carro cujo preço à vista, com 
todos os pontos possíveis, é de R$ 21.000,00 e esse va-
lor não será reajustado nos próximos meses.
Ele tem R$ 20.000,00, que podem ser aplicados a uma 
taxa de juros compostos de 2% ao mês, e escolhe deixar 
todo o seu dinheiro aplicado até que o montante atinja 
o valor do carro.
Para ter o carro, João deverá esperar: 
a) dois meses, e terá a quantia exata.
b) três meses, e teráa quantia exata.
c) três meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, 
R$ 225,00.
d) quatro meses, e terá a quantia exata.
e) quatro meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, 
R$ 430,00.
4. (UECE) Um comerciante comprou um automóvel por 
R$ 18.000,00, pagou R$ 1.000,00 de imposto e, em se-
guida, vendeu-o com um lucro de 20% sobre o preço de 
venda. O lucro do comerciante foi: 
a) R$ 3.750,00.
b) R$ 4.050,00.
c) R$ 4.350,00.
d) R$ 4.750,00.
5. (Uepg - adaptado) Uma pessoa aplicou, no prazo de 
dois anos, os capitais C1 e C2 a juros simples, o primeiro 
a 18% a.a e o segundo a 24% a.a. Sabendo que o rendi-
mento das duas aplicações totalizou R$ 487,00 e que o 
capital C1 é 40% menor que C2, assinale o que for correto. 
a) Se f(x) = x – 770 então f(C2) > 0.
b) Os dois capitais juntos totalizam R$ 1.120,00.
c) C2 corresponde a mais que R$ 750,00.
d) A diferença entre os capitais é maior que 
R$ 300,00.
e) C1 corresponde a R$ 600,00.
E.O. COMPLEMENTAR
1. Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe 
oferece as seguintes possibilidades de pagamento:
• Opção 1: Pagar à vista, por R$ 55.000,00
• Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada 
de R$ 30.000,00 e mais uma prestação de R$ 
26.000,00 para dali a 6 meses.
• Opção 3: Pagar a prazo, dando uma entrada de 
R$ 20.000,00 mais uma prestação de R$ 20.000,00 
para dali a 6 meses e outra de R$ 18.000,00 para 
dali a 12 meses da data da compra.
• Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 
15.000,00 e o restante em 1 ano da data da com-
pra, pagando R$ 39.000,00
• Opção 5: pagar a prazo, dali a um ano, o valor de 
R$ 60.000,00
Arthur tem o dinheiro para pagar a vista, mas avalia se 
não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até 
um valor menor), em um investimento, com rentabilidade 
de 10% ao semestre, resgatando os valores à medida que 
as prestações da opção escolhida fossem vencendo.
Após avaliar a situação do ponto financeiro e das con-
dições apresentadas, Arthur concluiu que era mais van-
tajoso financeiramente escolher a opção: 
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
2. (UFRN) Maria pretende comprar um computador 
cujo preço é R$ 900,00. O vendedor da loja ofereceu 
dois planos de pagamento: parcelar o valor em quatro 
parcelas iguais de R$ 225,00, sem entrada, ou pagar à 
vista, com 5% de desconto. Sabendo que o preço do 
computador será o mesmo no decorrer dos próximos 
quatro meses, e que dispõe de R$ 855,00, ela analisou 
as seguintes possibilidades de compra:
Opção 1 Comprar à vista, com desconto.
Opção 2
Colocar o dinheiro em uma aplicação que ren-
de 1% de juros compostos ao mês e comprar, 
no final dos quatro meses, por R$ 900,00.
Opção 3
Colocar o dinheiro em uma aplicação que ren-
de 1% de juros compostos ao mês e comprar a 
prazo, retirando, todo mês, o valor da prestação.
Opção 4
Colocar o dinheiro em uma aplicação que 
rende 2,0% de juros compostos ao mês e 
comprar, três meses depois, pelos R$ 900,00.
Entre as opções analisadas por Maria, a que oferece 
maior vantagem financeira no momento é a: 
a) opção 2.
b) opção 1.
c) opção 4.
d) opção 3.
 46
3. (FGV) César aplicou R$ 10.000,00 num fundo de in-
vestimentos que rende juros compostos a uma certa 
taxa de juro anual positiva i. Após um ano, ele saca des-
se fundo R$ 7.000,00 e deixa o restante aplicado por 
mais um ano, quando verifica que o saldo é R$ 6.000,00. 
O valor de (4i – 1)2 é: 
a) 0,01. d) 0,04.
b) 0,02. e) 0,05.
c) 0,03.
E.O. DISSERTATIVO
1. (FGV) Em 1º de junho de 2009, João usou R$ 150.000,00 
para comprar cotas de um fundo de investimento, pa-
gando R$ 1,50 por cota. Três anos depois, João vendeu a 
totalidade de suas cotas, à taxa de R$ 2,10 cada uma. Um 
apartamento que valia R$ 150.000,00 em 1º de junho 
de 2009 valorizou-se 90% nesse mesmo período de três 
anos. (Nota: a informação de que a valorização do apar-
tamento foi de 90% nesse período de três anos deve ser 
usada para responder a todos os itens a seguir).
a) Se, ao invés de adquirir as cotas do fundo de in-
vestimento, João tivesse investido seu dinheiro no 
apartamento, quanto a mais teria ganhado, em R$, 
no período?
b) Para que, nesse período de três anos, o ganho de 
João tivesse sido R$ 20.000,00 maior com o fundo de 
investimento, na comparação com o apartamento, por 
quanto cada cota deveria ter sido vendida em 1º de 
junho de 2012?
c) Supondo que o regime de capitalização do fundo de 
investimento seja o de juros simples, quanto deveria ter 
sido a taxa de juros simples, ao ano, para que a ren-
tabilidade do fundo de investimento se igualasse à do 
apartamento, ao final do período de três anos? Apresente 
uma função que relacione o valor total das cotas de João 
(Y) com o tempo t, em anos. 
2. (PUC-RJ) Responda:
a) Maria fez uma aplicação em um investimento que 
deu prejuízo de 10% e resgatou R$ 45.000,00. Qual 
foi o valor da aplicação?
b) João aplicou R$ 5.000,00 em um investimento que 
rendeu 10%, mas sobre o rendimento foi cobrada uma 
taxa de 15%. Qual foi o valor líquido que João resgatou?
c) Pedro aplicou R$ 70.000,00, parte no investimento 
A e parte no investimento B, e no final não teve lucro 
nem prejuízo. O investimento A rendeu 12%, e o in-
vestimento B deu prejuízo de 3%. Qual foi o valor que 
Pedro aplicou no investimento A? Qual foi o valor que 
Pedro aplicou no investimento B? 
3. (UFES) Num país longínquo, a tributação sobre a 
venda de veículos novos é feita por meio de um im-
posto único de 8%, que incide sobre o valor de ven-
da estipulado pelas concessionárias. O preço final de 
um veículo ao consumidor é o valor estipulado pelas 
concessionárias acrescido dos 8% de imposto, que as 
concessionárias então repassam ao governo.
Como as vendas vinham caindo muito, em decorrência 
da crise mundial, o governo resolveu reduzir tempora-
riamente esse imposto para 4%.
a) Determine a queda percentual no preço final de um ve-
ículo novo ao consumidor. Essa queda depende do preço 
de venda estipulado pelas concessionárias? Justifique a 
sua resposta.
b) A redução do imposto veio acompanhada de um 
acréscimo de 20% nas vendas, o que não impediu 
que o governo perdesse receita. Determine a queda 
percentual da receita do governo advinda do imposto 
sobre a venda de veículos novos.
c) Ao invés de reduzir o imposto para 4%, o governo 
poderia ter reduzido o imposto para x%. Admitindo 
que, com a redução do imposto para x%, houvesse um 
aumento de 5(8 − x)% nas vendas, o governo arreca-
daria uma fração f (x) do que arrecadava antes. Deter-
mine f (x), 0 x 8 , e esboce o gráfico de f .
4. (CFTRJ) Marcelo comprou um móvel de R$ 1.000,00 
de forma parcelada, com juros de 5% ao mês. Sabendo 
que Marcelo pagou R$ 400,00 no ato da compra e o 
restante um mês depois, qual foi o valor dessa segunda 
parcela, 30 dias após a compra?
5. (FGV) O Sr. Alfredo costuma aplicar seu dinheiro num 
fundo de investimento que rende juros compostos.
a) Quanto deverá aplicar hoje, para ter um montante 
de R$ 13.310,00 daqui a 3 anos, se a taxa de juros 
for de 10% ao ano?
b) Se ele aplicar hoje R$ 8.000,00, qual a taxa anual de 
juros (constante) que o fundo deverá render para que ele 
possa sacar R$ 6.000,00 daqui a 1 ano e R$ 9.000,00 
daqui a 2 anos, esgotando seu saldo?
6. (FGV) Como resultado de um processo ganho na justi-
ça, Hélio deveria ter recebido, no início de 2006, a quan-
tia de R$ 4.000,00 da empresa Alfa. No mesmo período 
(início de 2006), Hélio devia R$ 1.000,00 em sua fatura 
de cartão de crédito. Nenhuma dessas quantias foi qui-
tada à época. 
Para atualizar (corrigir) valores monetários ao longo do 
tempo, pode-se utilizar o regime de capitalização de ju-
ros compostos. É válida a seguinte relação matemática: 
M = C ∙ (1 + i)n, em que M é o montante; C é o capital; i é 
a taxa de juros e n é o número de períodos de capitaliza-
ção. Por exemplo, aplicando-se o capital de R$ 1.000,00 à 
taxa de 5,00% ao mês, por um mês, obtém-se o montan-
te de R$ 1.050,00 
A tabela abaixo contém valores para o termo (1 + i)n, 
para i e n selecionados.
n (meses)i (% meses) 1 12 108 120 132
1,00 1,0100 1,1268 2,9289 3,3004 3,7190
2,00 1,0200 1,2682 8,4883 10,7652 13,6528
3,00 1,0300 1,4258 24,3456 34,7110 49,4886
4,00 1,0400 1,6010 69,1195 110,6626 177,1743
5,00 1,0500 1,7959 194,2872 348,9120 626,5958
 47
Utilize as informações do enunciado para responder às 
seguintes questões:
Nota: taxa de juro utilizada para atualizar: 
• o valor recebido por Hélio da empresa Alfa: 1,00% 
ao mês. 
• a dívida da fatura de cartão de crédito: 4,00% 
ao mês. 
a) Suponha que a taxa de juro utilizada para atualizar 
o valor que Hélio tem a receber da empresa Alfa seja 
igual a 1,00% ao mês. Qual será o valor que a em-
presa Alfa deverá pagar a Hélio no início de 2016, ou 
seja, após exatos 10 anos?
b) Suponha que a taxa de juro utilizada para atualizar a 
dívida da fatura de cartão de crédito seja igual a 4,00% 
ao mês. No início de 2016, ou seja, após exatos 10 anos, 
qual é o valor atualizado dessa dívida de Hélio?
c) Suponha que Hélio receba da empresa Alfa, no 
início de 2016, o valor devido. Quanto, no máximo, 
poderia ter sido a dívida de Hélio em sua fatura de 
cartão de crédito, em valores do início de 2006, de 
forma que ele pudesse quitá-la, no início de 2016, 
com o valor recebido da empresa Alfa?
E.O. UERJ - EXAME DE 
QUALIFICAÇÃO
1. (UERJ) João abriu uma caderneta de poupança e, em 
1º de janeiro de 2006, depositou R$ 500,00 a uma taxa 
de juros, nesse ano, de 20%. Em 1º de janeiro de 2007, 
depositou mais R$ 1.000,00. Para que João tenha, nessa 
poupança, em 1º de janeiro de 2008, um montante de 
R$ 1.824,00, a taxa de juros do segundo ano deve cor-
responder a: 
a) 12%.
b) 14%.
c) 16%.
d) 18%.
2. (UERJ) Na compra de um fogão, os clientes podem 
optar por uma das seguintes formas de pagamento:
• à vista, no valor de R$ 860,00 
• em duas parcelas fixas de R$ 460,00 sendo a pri-
meira paga no ato da compra e a segunda 30 dias 
depois.
A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados 
no ato da compra é de: 
a) 10%.
b) 12%.
c) 15%.
d) 18%.
3. (UERJ) João, na compra de um produto pago por meio 
de um sistema de crédito, optou por dividir o pagamen-
to em 5 parcelas iguais. Esse sistema cobra, ao final de 
cada mês, a partir da data da compra, juros de 10% so-
bre a quantia que ainda resta a ser paga.
A percentagem total que João pagará de juros, nesta 
compra, será aproximadamente de: 
a) 50%.
b) 32%.
c) 25%.
d) 20%.
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Fuvest) Há um ano, Bruno comprou uma casa 
por R$ 50.000,00. Para isso, tomou emprestados R$ 
10.000,00 de Edson e R$ 10.000,00 de Carlos, prome-
tendo devolver-lhes o dinheiro, após um ano, acresci-
do de 5% e 4% de juros, respectivamente. A casa valo-
rizou 3% durante este período de um ano. Sabendo-se 
que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o combinado a 
Edson e Carlos, o seu lucro foi de: 
a) R$ 400,00.
b) R$ 500,00.
c) R$ 600,00.
d) R$ 700,00.
e) R$ 800,00.
2. (Fuvest) No próximo dia 08/12, Maria, que vive em 
Portugal, terá um saldo de 2.300 euros em sua conta 
corrente, e uma prestação a pagar no valor de 3.500 
euros, com vencimento nesse dia. O salário dela é su-
ficiente para saldar tal prestação, mas será depositado 
nessa conta corrente apenas no dia 10/12.
Maria está considerando duas opções para pagar a 
prestação:
1. Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrará juros de 
2% ao dia sobre o saldo negativo diário em sua conta 
corrente, por dois dias;
2. Pagar no dia 10. Nesse caso, ela deverá pagar uma 
multa de 2% sobre o valor total da prestação.
Suponha que não haja outras movimentações em sua 
conta corrente. Se Maria escolher a opção 2, ela terá, 
em relação à opção 1: 
a) desvantagem de 22,50 euros.
b) vantagem de 22,50 euros.
c) desvantagem de 21,52 euros.
d) vantagem de 21,52 euros.
e) vantagem de 20,48 euros.
3. (Unesp) Mário tomou um empréstimo de R$ 8.000,00 
a juros de 5% ao mês. Dois meses depois, Mário pagou 
R$ 5.000,00 do empréstimo e, um mês após esse paga-
mento, liquidou todo o seu débito. O valor do último 
pagamento foi de: 
a) R$ 3.015,00.
b) R$ 3.820,00.
c) R$ 4.011,00.
d) R$ 5.011,00.
e) R$ 5.250,00.
 48
4. (Unicamp) Uma compra no valor de 1.000 reais será 
paga com uma entrada de 600,00 reais e uma mensali-
dade de 420 reais. A taxa de juros aplicada na mensali-
dade é igual a: 
a) 2%. c) 8%.
b) 5%. d) 10%.
5. Em todos os dias 10 dos meses de janeiro, fevereiro 
e março de um certo ano, o Sr. João aplicou a mesma 
quantia de R$ 1.000,00 à taxa de juros compostos de 
10% ao mês. Podemos concluir que o montante dessa 
aplicação no dia 10 de abril desse mesmo ano foi de: 
a) R$ 4.203,00.
b) R$ 3.641,00.
c) R$ 4.015,00.
d) R$ 3.135,00.
e) R$ 3.968,00.
6. (Unicamp) Um determinado cidadão recebe um salário 
bruto de R$ 2.500,00 por mês, e gasta cerca de R$ 1.800,00 
por mês com escola, supermercado, plano de saúde etc. 
Uma pesquisa recente mostrou que uma pessoa com esse 
perfil tem seu salário bruto tributado em 13,3% e paga 
31,5% de tributos sobre o valor dos produtos e serviços 
que consome. Nesse caso, o percentual total do salário 
mensal gasto com tributos é de cerca de: 
a) 40%. c) 45%.
b) 41%. d) 36%.
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unicamp) O valor presente, Vp, de uma parcela de um 
financiamento, a ser paga daqui a n meses, é dado pela 
fórmula a seguir, em que r é o percentual mensal de juros 
(0 ≤ r ≤ 100) e p é o valor da parcela.
Vp = P _________ 
 [ 1+ r ____ 100 ] n
 
a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em 
duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à 
vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). 
Calcule o valor presente da mercadoria, Vp, supondo 
uma taxa de juros de 1% ao mês.
b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja 
vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, 
com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 
mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo, 
novamente, que a taxa mensal de juros é igual a 1%, 
determine o valor presente da mercadoria, Vp, e o per-
centual mínimo de desconto que a loja deve dar para 
que seja vantajoso, para o cliente, comprar à vista.
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. E 3. B 4. B 5. C
E.O. Fixação
1. C 2. A 3. C 4. D 5. B
E.O. Complementar
1. D 2. C 3. D
E.O. Dissertativo
1. 
a) R$ 75.000,00 b) R$ 3,05 c) 30%;
Y = 150.000 + 45.000 · t
2. 
a) R$ 50.000,00
b) R$ 5.425,00
c) O valor aplicado no investimento A foi R$14.000,00, 
e o valor aplicado no investimento B foi R$ 56.000,00.
3. 
a) 3,7%
b) 40%
c) f(x) = 28x – x2
 ________ 
160
 
O gráfico é uma parábola, representado pela figura abaixo:
4. R$ 630,00
5. 
a) 10.000,00 b) 50%
6. 
a) R$ 13.201,60 b) R$ 110.662,60 c) R$ 119,30
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. B 2. C 3. B
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. C 2. C 3. C 4. B 5. B 6. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) R$ 398,02.
b) 1,97p; 1,5%
 49
E.O. APRENDIZAGEM
1. (UEL) O valor da expressão cos 2p ___ 3 + sen 3p ___ 2 + tg 5p ___ 4 é:
a) 
dXX 2 – 3 ______ 2 . d) 1 __ 2 .
b) – 1 __ 2 . e) 
dXX 3 ___ 2 .
c) 0.
2. (UFAL) O seno de um arco de medida 2340° é igual a: 
a) - 1. d) √
__
 3 ___ 2 .
b) – 1 __ 2 . e) 1 __ 2 .
c) 0.
3. (CFT-MG) O número N = 
3 cos180° – 4 sen 210° + 2 tg 135°
 ______________________________ 
6 sen2 45°
 
pertence ao intervalo:
a) ] –4, –3 [. c) [ –2, –1 ].
b) [ –3, –2 [. d) ] –1, 0 ].
4. (CFT-MG) O valor de 
y = cos 150° + sen 300° – tg 225° – cos 90° é:
a) dXX 3 + 1. d) – dXX 2 .
b) – dXX 2 + 2. e) 1.
c) – dXX 3 – 1.
5. (UEL) O valor da expressão 
sen 8p ___ 
3
 – cos 5p
 _______________ 
tg 13p ____ 6 
 é:
a) 3 + 2 dXX 3 _______ 2 . d) 3 dXX 2 + 2 dXX 3 .
b) 3 dXX 2 + 2 dXX 3 __________ 2 . e) 3 ( dXX 2 + dXX 3 ) .
c) 3 + 2 dXX 3 .
6. (Espcex) O valor de (cos165º + sen 155º + cos 145º – 
sen 25º + cos 35º + cos 15º) é: 
a) dXX 2 . d) 1.
b) –1. e) 1 __ 2 .
c) 0.
7. (CFT-MG) Na figura, P e Q são pontos da circunferên-
cia trigonométrica de centro O e raio unitário.
sen : ordenada do ponto P
cos : abscissa do ponto P
sen : ordenada do ponto Q
cos : abscissa do ponto Q
O valor de + em radianos, é: 
a) 2p. c) 13p ____ 6 .
b) 11p ____ 6 . d) 
25
 ____ 12 .
8. (PUC-RJ) Assinale a alternativa correta. 
a) cos (2000º) < 0.
b) sen (2000º) > 0.
c) sen (2000º) = cos (2000º).
d) sen (2000º) = – sen (2000º).
e) sen (2000º) = – cos (2000º).
9. (IFAL) O valor da expressão 
sen 30º + tg 225º
 ___________________ 
cos π/2 – sen (-60º)
 é: 
a) 1. d) √
__
 3 . 
b) 1 __ 2 . e) – 1 __ 2 . 
c) – √
__
 3 . 
E.O. FIXAÇÃO
1. (PUC-RJ) Assinale a alternativa correta. 
a) sen (1000º) < 0.
b) sen (1000º) > 0.
c) sen (1000º) = cos (1000º).
d) sen (1000º) = – sen (1000º).
e) sen (1000º) = – cos (1000º).
2. (ESPCEX) Os pontos P e Q representados no círculo 
trigonométrico abaixo correspondem às extremidades 
de dois arcos, ambos com origem em (1,0), denomina-
dos respectivamente e medidos no sentido positivo. 
O valor de tg ( + ) é:
CONCEITOS TRIGONOMÉTRICOS
HABILIDADES: 6, 7, 8, 9 e 14
COMPETÊNCIAS: 2 e 3
AULAS 19 e 20
 50
a) 3 + dXX 3 ______ 3 .
b) 3 – √
__
 3 _______ 3 .
c) 2 + dXX 3 .
d) 2 – dXX 3 .
e) –1 + dXX 3 .
3. (UFRGS) Considere as afirmativas abaixo:
I. tan 92° = –tan 88°.
II. tan 178° = tan 88°.
III. tan 268° = tan 88°.
IV. tan 272° = –tan 88°.
Quais estão corretas?
a) Apenas I e III.
b) Apenas III e IV.
c) Apenas I, II e IV.
d) Apenas I, III e IV.
e) Apenas II, III e IV.
4. (Mackenzie)
I. cos 225° < cos 215°.
II. tg (5 /12) > sen (5 /12).
III. sen 160° > sen 172°.
Das afirmações acima:
a) todas são verdadeiras.
b) todas são falsas.
c) somente II e III são verdadeiras.
d) somente II é verdadeira. 
e) somente I e II são verdadeiras. 
5. (INSPER) Considere dois ângulos agudos cujas medidas a 
e b, em graus, são tais que a + b = 90º e 4sen a – 10sen b = 0.
Nessas condições, é correto concluir que: 
a) tg a = 1 e tg b = 1.
b) tg a = 4 e tg b = 1 __ 4 .
c) tg a = 1 __ 4 e tg b = 4.
d) tg a = 2 __ 5 e tg b = 5 __ 2 .
e) tg a = 5 __ 2 e tg b = 2 __ 5 .
6. (INSPER) Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS 
está inscrito na circunferência trigonométrica, os arcos 
 
 
 AP e 
 
 AQ têm medidas iguais a a e b, respectivamente, com 
0 < a < b < p.
Sabendo que cos a = 0,8, pode-se concluir que o valor 
de cos b é: 
a) −0,8. d) 0,6.
b) 0,8. e) −0,2.
c) −0,6.
7. (FGV) No círculo trigonométrico de raio unitário indi-
cado na figura, o arco 
 
 AB mede a. Assim, PM é igual a:
a) –1 – tg 
b) 1 – cos 
c) 1 + cos 
d) 1 + sen 
e) –1 + cotg 
8. (Insper) O professor de Matemática de Artur e Bia 
pediu aos alunos que colocassem suas calculadoras 
científicas no modo “radianos” e calculassem o valor 
de sen π __ 2 . Tomando um valor aproximado, Artur digitou 
em sua calculadora o número 1,6 e, em seguida,calcu-
lou o seu seno, encontrando o valor A. Já Bia calculou 
o seno de 1,5, obtendo o valor B. Considerando que 
π
 __ 2 
vale aproximadamente 1,5708, assinale a alternativa 
que traz a correta ordenação dos valores A, B e sen 
π
 __ 2 .
a) sen p __ 2 < A < B.
b) A < sen __ 2 < B.
c) A < B < sen __ 2 .
d) B < sen __ 2 < A.
e) B < A < sen __ 2 .
9. (PUC-SP) Na sequência de termo geral an = 5n + sen ( n · p __ 2 ) , 
com n [ N*, a soma dos 20 primeiros termos de ordem 
ímpar é igual a: 
a) 1800. d) 2000.
b) 1874. e) 2024.
c) 1896.
10. (FEI) Se 0 < x < p __ 4 , é válido afirmar-se que: 
a) sen ( p __ 2 – x ) = sen x.
b) cos (p – x) = cos x.
c) sen (p + x) = sen x.
d) sen [ ( p __ 2 – x ) ] = cos x.
e) cos (p + x) = sen x.
 51
E.O. COMPLEMENTAR
1. (UEL) A expressão cos [ ( 3p ___ 2 ) + x ] é equivalente a:
a) –sen x. d) cos x.
b) –cos x. e) sen x.
c) sen x · cos x.
2. (Mackenzie)
I. sen 2 > sen 3.
II. sen 1 > sen 30°.
III. cos 2 > cos 3.
Relativamente às desigualdades acima, é correto afir-
mar que:
a) todas são verdadeiras.
b) todas são falsas.
c) somente I e II são verdadeiras.
d) somente II e III são verdadeiras.
e) somente I e III são verdadeiras.
3. (UFF) Para u = 89°, conclui-se que:
a) tg u < sen u < cos u.
b) cos u < sen u < tg u.
c) sen u < cos u < tg u.
d) cos u < tg u < sen u.
e) sen u < tg u < cos u.
4. (ESPCEX) O valor numérico da expressão 
 sec 1320º ___ 2 – 2 cos ( 53p ____ 3 ) + (tg 2220º)2 é:
a) –1. d) 1.
b) 0. e) – 
dXX 3 ___ 2 .
c) 1 __ 2 .
5. (INSPER) Considere o produto abaixo, cujos fatores 
são os cossenos de todos os arcos trigonométricos 
cujas medidas, em graus, são números inteiros perten-
centes ao intervalo [91, 269].
P = cos 91º · cos 92º · cos 93º · ... · cos 268º · cos 269º
Nessas condições, é correto afirmar que: 
a) –1 < P < – 1 __ 4 . d) 0 < P < 1 __ 4 .
b) – 1 __ 4 < P < 0. e) 1 __ 4 < P < 1.
c) P = 0.
E.O. DISSERTATIVO
1. O radiano é uma unidade de medida de arco que cor-
responde ao arco cujo comprimento equivale ao raio 
da circunferência. Como vemos na figura a seguir, AB 
delimita um arco na circunferência. Se “esticarmos” o 
segmento de arco AB, o comprimento AB’ deve ser igual 
ao raio, se o arco for de 1 radiano. 
Sabendo disso, calcule quanto vale, aproximadamente, 
1 radiano em graus.
2. Transforme em radianos e em graus as seguintes medidas:
a) 30°.
b) 45°.
c) 120°.
d) 180°.
e) 300°.
f) p __ 3 .
g) 5p ___ 6 .
h) 3p ___ 4 .
i) 5p ___ 2 .
j) 4p ___ 3 .
3. Aprendemos que para calcular o comprimento de um 
segmento de arco medido em graus em uma circunferência 
utilizamos L = a _____ 360º 2pR, pois 2pR corresponde ao compri-
mento total da circunferência e a fração a _____ 360º corresponde 
à quantas partes da circunferência a delimita. Se utilizarmos 
o ângulo em radianos, a fórmula fica:
L = u ___ 2p
 2pR L = uR
Desta forma vemos que para calcular o comprimento 
de um arco na circunferência, basta multiplicar a medi-
da do arco (em radianos) pelo raio. Sendo assim, calcule 
o comprimento de um arco de 120° contido numa cir-
cunferência de raio igual a 5 m.
4. Sabendo que a circunferência abaixo possui raio de 
10 cm e que o comprimento do menor arco formado 
pelos pontos AB mede 10p ____ 3 cm, dê a medida do ângulo 
A 
 ̂ 
 C B em graus.
 52
5. Uma das medidas que utilizamos para a medida de 
arcos em uma circunferência é o grau (°). Suas sub-
divisões são o minuto (‘) e o segundo (‘’). Um grau 
corresponde à 60 minutos, e cada minuto à 60 segun-
dos. Devemos tomar cuidado ao realizar operações 
aritméticas ou algébricas utilizando medidas de arcos 
em graus, minutos e segundos simultaneamente. Por 
exemplo, se tivermos um arco de medida 20°15’ e qui-
sermos transformá-lo em radianos, primeiramente, po-
demos transformar os 15’ em graus e somá-lo ao 20°:
15’ = 15 ___ 60 = 0,25°
Dividimos 15 minutos por 60, da mesma forma que 
transformamos as unidades de tempo. 
Portanto, 20°15’ = 20°+0,25° = 20,25°. Agora, fazemos:
 360º _______ 20,25º = 2p ___ x 
Da mesma forma, transforme em radianos os seguintes arcos:
a) 60°30’. c) 50°15’.
b) 120°45’. d) 20°6’.
6. Encontre a primeira determinação positiva dos 
arcos a seguir, o número de voltas e indique-os no 
círculo trigonométrico:
a) 1110°.
b) 780°.
c) 1500°.
d) –1590°.
e) 23p ____ 6 .
f) 29____ 3 .
g) – 14π _____ 3 .
h) 103π _____ 6 .
7. Escreva a expressão geral para os arcos côngruos (em 
radianos) das seguintes medidas de arco:
a) 90°.
b) 30°.
c) 180°.
d) 150°.
8. Em cada item, escreva em graus e em radianos os 
arcos que representam os pontos simétricos A, B e C.
a) 
b) 
c) 
9. Calcule o valor da soma cos2 0° + cos2 2° + cos2 4° + cos2 6° + 
... + cos2 358° + cos2 360°.
10. Encontreo valor numérico de y = sen2 10° + sen2 20° 
+ sen2 30° + sen2 40° + sen2 50° + sen2 60° + sen2 70° + 
sen2 80° + sen2 90°.
E.O. ENEM
1. (Enem) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o ska-
tista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, 
conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na 
modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atle-
ta no mundo a conseguir esse feito. A denominação 
“900” refere-se ao número de graus que o atleta gira 
no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, cor-
responde a: 
a) uma volta completa. 
b) uma volta e meia. 
c) duas voltas completas. 
d) duas voltas e meia. 
e) cinco voltas completas. 
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. C 3. C 4. C 5. A
6. C 7. A 8. A 9. D
 53
E.O. Fixação
1. A 2. D 3. D 4. C 5. E
6. C 7. C 8. E 9. D 10. D
E.O. Complementar
1. E 2. A 3. B 4. D 5. B
E.O. Dissertativo
1. Fazendo p = 3, temos que 1 radiano é aproximadamente 60°.
2. 
a) p __ 6 .
b) p __ 4 .
c) 2p ___ 3 .
d) p.
e) 5p ___ 3 .
f) 60°.
g) 150°.
h) 135°.
i) 450°.
j) 240°.
3. 10p
 ____ 3 m.
4. A 
 ̂ 
 C B = 30°.
5. 
a) 121p _____ 360 .
b) 161p _____ 240 .
c) 67p ____ 240 .
d) 67p ____ 600 .
6. 
a) 30°, 3 voltas.
b) 60°, 2 voltas.
c) 60°, 4 voltas.
d) 210°, 4 voltas.
e) 11p ____ 6 , 1 volta.
f) 5p ___ 3 , 4 voltas.
g) 4p ___ 3 , 2 voltas.
h) 7p ___ 6 , 8 voltas.
7. 
a) p __ 2 + 2kp, k [ Z.
b) p __ 6 + 2kp, k [ Z.
c) p + 2kp, k [ Z.
d) 5p ___ 6 + 2kp, k [ Z. 
8. 
a) A = 150°, 5p ___ 
6
 rad, B = 210°, 7p ___ 
6 
 rad e C = 330°, 11p ____ 
6 
 rad.
b) A = 60°, p __ 
3 
 rad, B = 240°, 4p ___ 
3
 rad e C = 300°, 5p ___ 
3
 rad.
c) A = 45°, p __ 
4
 rad, B = 135°, 3p ___ 
4
 rad e C = 225°, 5p ___ 
4
 rad.
9. 91.
10. 5.
E.O. Enem
1. D.
 54
E.O. APRENDIZAGEM
1. Em um triângulo ABC, o lado AC mede 16 cm e a altu-
ra relativa ao lado BC mede 8 cm. A medida do ângulo 
ACB é:
a) 60°. d) 30° ou 150°.
b) 60° ou 120°. e) 45°.
c) 30°.
2. (PUC-RJ) Se cos 2u = 7 ___ 25 e u pertence ao primeiro 
quadrante, então cos u é igual a: 
a) 4 __ 5 .
b) 3 __ 5 .
c) 
 ( dXX 5 ) 
 ____ 3 .
d) 5 __ 7 .
e) 
 ( dXX 3 ) 
 ____ 2 .
3. (CFT-CE) No intervalo [0, 2p], o número de soluções 
distintas da equação sen2(x) = 
1 + cos(x)
 __________ 2 é:
a) 0. d) 3. 
b) 1. e) 4.
c) 2. 
4. (PUC-RS) Na equação tan(x) = cot(x) em R, onde 
0 < x < p __ 2 o valor de x é: 
a) –1.
b) 1.
c) p __ 3 .
d) p __ 4 .
e) p __ 6 .
5. (UECE) Se p e q são duas soluções da equação 
2sen2 x – 3sen x + 1 = 0 tais que sen p sen q, então o 
valor da expressão sen2 p – cos2 q é igual a: 
a) 0. 
b) 0,25. 
c) 0,50. 
d) 1. 
6. (UCPEL) Sendo x [0, 2p] e 2sen2 x – 3cos x = 0, 
então x vale: 
a) p __ 3 .
b) 2p ___ 3 .
c) 2p ___ 5 .
d) 3p ___ 4 .
e) 5p ___ 6 .
7. (FGV) No intervalo [0, ], a equação 8sen2x = 4senx – 
admite o seguinte número de raízes: 
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
8. (Espcex (Aman) 2019) O número de raízes reais 
da equação 2 cos2 x + 3 cos x + 1 = 0 no intervalo 
]0, 2p[ é 
a) 0
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
9. (Acafe 2018) Se 3x , 2
2
ð ðp
p
 
e 1sen x cos x 5 , en-
tão o valor da expressão 75 (sec x cossec x sen x)
11
 é: 
a) 
4
5
 
b) 
3
5
 
c) 
5
4
 
d) 11
60
 
10. (Unisinos 2017) As funções seno e cosseno de 
qualquer ângulo x satisfazem a seguinte identidade: 
sen2 x + cos2 x = 1. Se cos x = 0,5, quais são os pos-
síveis valores do seno deste ângulo x? 
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS 
DA TRIGONOMETRIA
HABILIDADES: 6, 7, 8, 9, 14, 15 e 24
COMPETÊNCIAS: 2, 4 e 5
AULAS 21 e 22
 55
Lembre que sen2 x = (sen x)2.
a) 
5
2
 e 
5
2
b) 
3
2
 e 
3
2
 
c) 
1
2
 e 
1
2
 
d) 
2
2
 e 
2
2
 
e) 
3
4
 e 
3
4
 
E.O. FIXAÇÃO
1. (PUC-RJ) Os ângulos (em graus) entre 0° 
e 360° para os quais sen = cos são: 
a) 45° e 90°. 
b) 45° e 225°. 
c) 180° e 360°. 
d) 45°, 90° e 180°. 
e) 90°, 180° e 270°. 
2. (Mackenzie) Se sen4 x = 1 + cos2 x, então x pode per-
tencer ao intervalo: 
a) [ p __ 4 ; 3p ___ 4 ] .
b) [ 0; p __ 6 ] .
c) [ p; 5p ___ 4 ] .
d) [ p __ 6 ; p __ 3 ] .
e) [ 5p ___ 3 ; 2p ] .
3. (Cesgranrio) O número de raízes reais da equação 
( 3 __ 2 ) + cosx = 0 é: 
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) maior do que 3.
4. (PUC-RS) Se 0 x < 2 , então o conjunto solução da 
equação sen(x) = dXXXXXXXXX 1 – cos2x é: 
a) [ 0; p __ 2 ) .
b) [ p __ 2 ; p ] .
c) [ p; 3p ___ 2 ].
d) [0; 2p).
e) [0; p].
5. (UECE) O número de soluções da equação 
3 sen² x – 3 u sen x u + cos² x = 0 que estão no intervalo 
[0, 2p] é: 
a) 2. c) 4. 
b) 8. d) 6. 
6. (Cesgranrio) O número de soluções da equação 
sen2 x = 2 sen x, no intervalo [0,2 ], é: 
a) 0. d) 3.
b) 1. e) 4.
c) 2. 
7. (FGV) Resolvendo a equação log2(sen x) = log4 (cos x) 
no intervalo 0º < x < 90º o valor de x é tal que: 
a) 45º < x < 60º.
b) 30º < x < 45º.
c) 0º < x < 30º. 
d) 75º < x < 90º.
e) 60º < x < 75º.
8. (Acafe 2018) Analise as alternativas a seguir e assi-
nale a correta. 
a) Sabendo que x R; x
2
ð ðp
p
 
e que sen (x) 0,8, 
o valor de 2 2y sec (x) tg (x) é 41y .
9
 
b) Se sen (x) cos (x) k, então, o valor de y para 
que 4 4y sen (2x) cos (2x) é y = 8k2 + 1. 
c) O maior valor possível para y, sabendo que 
y 2 sen (2x) cos (2x) 3 é y = 2.
d) sen sen (2)
2
ðp
9. (Udesc 2017) A expressão
2 2
2 2
sec (x) 1 cossec (x) 1
tg (x) 1 cot g (x) 1 é igual a: 
a) 1 - 2 cos2 (x) d) 1
b) 3 - 2 cos2 (x) e) 1 + 2 sen2 (x)
c) 3 + 2 sen2 (x)
10. (Udesc 2018) A soma de todas as raízes reais da função
2
2
5f(x) cot g (x) 2
4 sen (x) 
pertencentes ao 
intervalo , 3
2
ð ðp
p
 
é igual a: 
a) 4p 
b) 53
6
ðp
c) 9p
d) 35
6
ðp
e) 73
6
ðp
E.O. COMPLEMENTAR
1. (UECE) Usando a expressão clássica do desenvolvi-
mento da potência (a + b)n onde a e b são números reais 
e n é um número natural, pode-se resolver facilmente 
a equação sen4 x – 4sen3 x + 6 sen2 x – 4senx + 1 = 0. 
 56
Então, para os valores de x encontrados, teremos que 
cos x é igual a: 
a) 1. c) 
dXX 2 ___ 2 .
b) 
dXX 3 ___ 2 . d) 0.
 
2. (UFPE) Sabendo-se que sen2 x – 3sen x · cos x + 2cos2 x = 0, 
temos que os possíveis valores para tg x são: 
a) 0 e –1. 
b) 0 e 1. 
c) 1 e 2. 
d) –1 e –2. 
e) –2 e 0. 
3. (Mackenzie) Em [0, 2p], a soma das soluções reais 
da equação[2 – dXXXXXXXXX 1 – cos2 x ] · [0,5 – dXXXXXXXXX 1– sen2 x ] = 0 é:
a) p.
b) 2p.
c) 3p.
d) 4p.
e) 5p.
4. (Mackenzie) Em [0, 2p], a soma das raízes da equação 
( dXXXXXXXXX 1 – cos2 x ) + sen x = 1 é: 
a) 3p.
b) 2p.
c) 4p.
d) 0.
e) p.
5. (Mackenzie) Em [0, 2p], o número de soluções reais 
da equação dXX 3 sen x + cos x = 2 é: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
E.O. DISSERTATIVO
1. (PUC-RJ) Quantas soluções de sen(x) + cos(x) = 0 exis-
tem para x entre 0 e 2p? 
2. (UFSCar) Sendo sen a + cos a = 1 __ 5 :
a) determine sen a e cos a.
b) represente no círculo trigonométrico todos os ângu-
los que satisfazem a igualdade dada. 
3. (UFRJ) A equação x2 – 2x · cos u + sen2 u = 0 possui 
raízes reais iguais. Determine u, 0 ≤ u ≤ 2p. 
4. (UFMG) Determine todos os valores de x perten-
centes ao intervalo (0, p) que satisfazem a equação 
3 tg x + 2 cos x = 3 sec x. 
5. (Ime 2018) Sabendo que | x |
6
ðp
 
e que x satisfaz 
a equação abaixo
2
3 cos x(4 cos x sen x) 1
210 sen x 8 sen x cos x
Determine os possíveis valores de x.
6. (Uerj 2015) Considere a função real f, de variável 
real x, definida pelo seguinte determinante:
2cos(x) 2
f(x) para 0 x
1 2cos(x)
ðp 
Observe o gráfico da função f. 
Determine os valores de x para os quais f (x) = 1.
7. (Ime 2014) Resolva a equação
 
2
2
cos x cos x
log sen x log senx 4
8. (Uftm 2011) Dado um triângulo isósceles de lados 
congruentes medindo 20 cm, e o ângulo a formadopor esses dois lados, tal que 4sena = 3cosa determine:
a) O valor numérico de sena.
b) O perímetro desse triângulo.
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unicamp) Seja x real tal que cos x = tg x. O valor de 
sen x é: 
a) 
dXX 3 – 1 ______ 2 .
b) 1 – dXX 3 ______ 2 .
c) 
dXX 5 – 1 ______ 2 .
d) 1 – dXX 5 ______ 2 .
2. (Fuvest) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação 
(cos2 a) x2 - (4 cos a sen b) x + ( 3 __ 2 ) sen b = 0,sen-
do a e b os ângulos agudos indicados no triângulo 
retângulo da figura a seguir.
 57
Pode-se então afirmar que as medidas de e são, 
respectivamente: 
a) __ 8 e 3___ 8 . 
b) __ 6 e __ 3 .
c) __ 4 e __ 4 .
d) __ 3 e __ 6 .
e) 3___ 8 e __ 8 .
3. (Fuvest) A soma das raízes da equação sen2 x – 2cos4 x = 0, 
que estão no intervalo [0,2p] é: 
a) 2p.
b) 3p.
c) 4p.
d) 6p.
e) 7p.
4. (Fuvest) Se a está no intervalo [ 0, p __ 2 ] e satisfaz 
sen4 a – cos4 a = 1 __ 4 , então o valor da tangente de a é: 
a) dXX
 3 __ 5 . d) dXX
 7 __ 3 .
b) dXX
 5 __ 3 . e) dXX
 5 __ 7 .
c) dXX
 3 __ 7 .
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Fuvest) Determine as soluções da equação 
(2cos2 x + 3sen x) (cos2 x – sen2x) = 0 que estão no 
intervalo [0,2 p]. 
2. (Fuvest) Seja x no intervalo ]0, __ 2 [ satisfazendo a 
equação tg x + ( 2 ___ 
 dXX 5 
 ) sec x = 3 __ 2 .
Assim, calcule o valor de:
a) sec x. 
b) sen ( x + ( p __ 4 ) ) .
3. (Unicamp 2020) Seja a função 2 senxf(x) ,
2 cos x definida para todo número real x. 
a) Mostre que f f f( )f .
2 2 4
ð ð ððp p
p
p
b) Seja u um número real tal que f (u) = 2. Determine 
os possíveis valores para senu.
4. (Unicamp 2016) Considere o triângulo exibido na 
figura abaixo, com lados de comprimentos a, b e c e 
ângulos a, b e g.
 
a) Suponha que a sequência a, b, g é uma progressão 
aritmética (PA). Determine a medida do ângulo b.
b) Suponha que a sequência (a,b,c) é uma pro-
gressão geométrica (PG) de razão q 2. De-
termine o valor de tan b.
5. (Fuvest 2014) Uma bola branca está posicionada no 
ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola 
vermelha, no ponto P, conforme a figura abaixo. 
A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da 
mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do 
segmento PR, e o ângulo agudo formado por PR e L 
mede 60°. A bola branca atinge a vermelha, após ser re-
fletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, forma 
um ângulo agudo u com o segmento PR e o mesmo 
ângulo agudo a com o lado L antes e depois da reflex-
ão. Determine a tangente de a e o seno de u.
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. A 3. D 4. D 5. B
6. A 7. B 8. D 9. C 10. B
E.O. Fixação
1. B 2. A 3. A 4. E 5. D
6. D 7. A 8. A 9. E 10. B
 58
E.O. Complementar
1. D 2. C 3. D 4. E 5. A
E.O. Dissertativo
1. 2 soluções entre 0 e 2p
2. 
a) sen a = 4 ___ 5 e cos a = – 3 ___ 5 ou
 sen a = – 3 ___ 5 e cos a = 4 ___ 5 .
b) 
3. u = p __ 
4
 ou 3p ___ 
4
 ou 5p ___ 
4
 ou 7p ___ 
4
 . 
4. V = { p __ 
6
 , 5p ___ 
6
 } .
5. De x ,
6
ðp
2
2 2
2 2
2 2
2
2
x
6 6
x x
6 6 6
3 cos x 4cos x senx 1
210sen x 8senxcos x
2 3 4cos x senxcos x 10sen x 8senxcos x
6 8cos x 2senxcos x 10 1 cos x 8senxcos x
6 8cos x 2senxcos x 10 10cos x 8senxcos x
2cos x 6senxcos x 4
cos x 3senx
ð ðð ð ð
2
2
2 2 2
2 2
2 2
cos x 2
1 sen x 3senxcos x 2
sen x 3senxcos x 1
sen x 3senxcos x sen x cos x
2sen x cos x 3senxcos x 0
2sen x 2senxcos x cos x senxcos x 0
2senx senx cos x cos x senx cos x 0
senx cos x 2senx cos x 0
p p p
pp
Da equação senx cos x 0,
senx cos x
Note que senx 0 e cos x 0.
Daí, senx 1
cos x
tgx 1
 
Como x ,
6 6
ð ðpp a equação tgx = 1 não admite solução.
Da equação 2senx cos x 0, 2senx cosx
Note que senx 0 e cosx 0.
Daí, senx 1
cos x 2
1tgx
2
 
Como x ,
6 6
ð ðpp a equação 
1tgx
2 
admite a solução 
1x arctg .
2
 
Resposta: 
1x arctg .
2
6. Desenvolvendo o determinante, temos:
2
2
2
f(x) 4cos x 2
fazendo f(x) 1
1 4cos x 2
4cos x 3
3 5cos x x ou x
2 6 6
ð ðp p
7. 2
2
cos x cos x
log sen x log senx 4
senx 0
C.E. cos x 0
cos x 1
2
2
cos x cos x
cos x cos x
2
cos x cos x cos x
2
2
log sen x log senx 4
12 log senx log senx 4
2
log senx 4 log senx 2 ou log senx 2
1senx cos x ou senx (não convém)
cos x
Resolvendo o sistema 
2 2
2
sen x cos x 1
senx cos x
Temos, 
2sen x senx 1
1 5 1 5senx ou senx 
2 2
 Como senx 0, temos:
1 5senx 
2
 Logo, a solução será dada por
 59
 5 1S x R / x arcsen k 2 ,k Z .
2
ðp
8.
a) Sabendo que 2 2sen cos 1á áa a
 
e 4cos sen ,
3
á áa a
 então:
2
2 24 25sen sen 1 sen 1
3 9
3sen .
5
á á á
á
a a a
a
b) Seja a medida do lado oposto ao ângulo Sa-
bendo que 4cos sen
3
á áa a
 
e 3sen ,
5
áa
 
então 
4cos .
5
áa
 
Logo, pela Lei dos Cossenos, encontramos:
2 2 2 2
2
420 20 2 20 20 800 640
5
160
4 10 cm.
Portanto, o perímetro do triângulo é dado por:
 
20 20 4 10 4(10 10)cm.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. C 2. D 3. C 4. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. { p __ 4 , 3p ___ 
4
 , 7p ___ 
6
 , 5p ___ 
4
 , 7p ___ 
4
 , 11p ____ 
6
 } .
2. 
a) 
dXX 5 ___ 2 . b) 3 dXXX 10 _____ 10 .
3. 
a) Tem-se que
 2 sen 32f
2 22 cos
2
ðð ðp
p
p
e
2 sen 12f .
2 22 cos
2
ðð ðp
p
p
Daí, vem 3 1f f 2.
2 2 2 2
ð ðp p
Por outro lado, temos
 2 senf( ) 2
2 cos
ðð ðp
p
p
e
 
22 sen 2
4 2f 1.
4 22 cos 24 2
ðð ðp
p
p
Logo, segue que f( )f 2 1 2.
4
ððp p
A identidade é verdadeira.
b) Se f( ) 2,èu então 
 
2 2
2 2
2 sen 2 2cos sen 2
2 cos
4cos sen 4sen 4
4(1 sen ) sen 4sen 4
sen (5sen 4) 0
4sen 0 ou sen .
5
è è èè è è èè è èè èè è
u
u
u u
u u u
u u u
u u
u u
Portanto, como os valores obtidos para sen produ-
zem valores compatíveis para cos , segue o resultado.
4.
a) Se (a, b, g) é uma PA, então a soma de seus termos 
será 180, pois a soma dos ângulos internos de um 
triângulo é sempre 180º. Assim, pode-se escrever:
PA ( , , ) ( r, , r)
r r 3
S 180 180 3 60
2
á â ã â â ââ â â âa b b b b
b b
b b
g
b) Se (a,b,c) é uma PG de raiz q 2, então pode-se 
escrever:
PG (a, b, c) (a, a 2, 2a)
Pela lei dos cossenos, tem-se:
2 22a 2 a 2a 2 a 2a cosâb
2 2 2 32a 5a 4a cos cos
4
â âb b
Pela relação fundamental:
2 2 2 9sen cos 1 sen 1
16
â â âb b b
2 7 7sen sen
16 4
â âb b
Por fim, calculando a tangente:
 7
sen 7 4 74tg tg3cos 4 3 3
4
ââ ââb
b
b
b
5. Considere a figura, em que P' e Q' são, respectivamente, os 
simétricos de P e Q em relação a RT, com T pertencente a L. 
 60
Como Q e Q' são os pontos médios de PR e P'R, se-
gue-se que S é o baricentro do triângulo PRP'. Logo, 
RS 2 ST e, portanto, RT 3 ST.
Do triângulo PRT, vem 
 
PTtg60 PT 3 3 ST
RT
e
PT 3 3 STsen60 PR
3PR
2
PR 6 ST.
 
Do triângulo PST, obtemos 
PT 3 3 STtg tg
ST ST
tg 3 3.
á ááaaa
Sabendo que 2 2cossec 1 cotgá áa a e que a é agudo, 
encontramos 
 
2
2 1 27cossec 1 sen
283 3
3 21sen .
14
á á
á
a a
a
Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo QRS, vem 
 
 
PR
QR RS 2 ST2
sen sen sen3 21
14
21sen .
7
á è è
è
a
u
u u
 61
E.O. APRENDIZAGEM
1. (UFJF) Um ângulo do segundo quadrante tem seno 
igual a 12 ____ 13 . O cosseno desse ângulo é igual a:
a) 5 ___ 13 . d) – 1 ___ 13 .
b) 1 ___ 13 . e) – 12 ___ 13 .
c) – 5 ___ 13 .
2. (CFT-MG) Sabendo-se que cos a = 3 __ 5 e 0 < a < p __ 2 , pode-
se afirmar que tg vale: 
a) 4 __ 3 . c) 5 __ 6 .
b) 1. d) 3 __ 4 .
3. (UFSJ) Considerando os valores de u, para os quais a 
expressão sen u cos u+cossec u sec u
 é definida, é CORRETO 
afirmar que ela está sempre igual a: 
a) 1. c) sen .
b) 2. d) cos .
4. (UEL) Se a medida x de um arco é tal que p __ 2 < x < , 
então: 
a) sen (x + p)> 0.
b) cos (x + p) < 0.
c) tg (x + p) > 0.
d) cos (x + 2p) > 0.
e) sen (x + 2p) > 0.
5. (IFCE) Se sen (x) = – 2 __ 3 , cos (2x) sen (–x) é: 
a) 2 __ 9 . d) – 2 ___ 27 .
b) 2 ___ 27 . e) – 9 ___ 27 .
c) – 2 __ 9 .
6. (UFES) Se x = 105°, então sen x é:
a) 6 dXX 2 – 2 _______ 8 .
b) 6 dXX 3 – 7 _______ 4 .
c) 7 dXX 3 – 5 _______ 8 .
d) 
( 3 + dXX 2 ) dXX 3 __________ 8 .
e) 
 ( 1 + dXX 3 ) dXX 2 
 __________ 4 .
7. (PUC-RJ) Sabendo que p < x < 3p ___ 2 e sen (x) = – 1 __ 3 , é 
correto afirmar que sen (2x) é:
a) – 2 __ 3 . d) 1 ___ 27 .
b) – 1 __ 6 . e) 4 dXX 2 ____ 9 .
c) 
dXX 3 ___ 8 .
8. (PUC-RJ) Sendo x um arco e satisfazendo p __ 2 < x < p e 
sen (x) = 24 ___ 25 , o valor de cos ( x __ 2 ) é:
a) 1 ___ 25 . d) – 3 __ 5 .
b) – 1 __ 5 . e) 3 __ 5 .
c) 1 __ 5 .
9. (UPE) Num triângulo retângulo, temos que tg x = 3. 
Se x é um dos ângulos agudos desse triângulo, qual o 
valor de cos x?
a) 1 __ 2 d) 1 __ 4 
b) 
dXX 5 ___ 10 e) 
dXXX 10 ____ 10 
c) 
dXX 2 ___ 2 
10. (IFCE) O valor de cos(105º) é 
a) √
__
 3 ___ 2 d) √
__
 2 + √
__
 6 _______ 2 
b) √
__
 2 + √
__
 6 _______ 4 e) √
__
 2 – √
__
 6 _______ 4 
c) √
__
 2 – √
__
 6 _______ 2 
E.O. FIXAÇÃO
1. (IFSC) Se cos (x) = –12 ____ 13 , p < x < 3p ___ 2 e x [ (3º quadran-
te), então é CORRETO afirmar que o valor de tg (x) é: 
a) –5 ___ 13 .
b) –5 ___ 12. 
c) 5 ___ 13. 
d) 5 ___ 12 .
e) 0,334.
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
HABILIDADES: 6, 7, 8, 9, 15 e 24
COMPETÊNCIAS: 2, 4 e 5
AULAS 23 e 24
 62
 2. (UNIOESTE) É correto afirmar que a expressão
 
cos2 (x) – sen2 (x) + 3 tg (2x)
 ___________________________ 
1 – (sen (x) – cos (x))2 é igual a:
a) 3 tg (2x).
b) cotg (2x) + 3 sec (2x).
c) tg (2x) + 3 cossec (2x).
d) tg (2x) + 3 sec (2x).
e) cotg (2x) + 3 cossec (2x).
3. (FATEC) Se f é uma função real definida por 
f(x) = 
(2tgx)
 _________ 
(1 + tg2x)
 , então f(x) é igual a: 
a) cosec 2x. d) cos 2x. 
b) sec 2x. e) sen 2x. 
c) tg 2x. 
4. (FATEC) Se x – y = 60°, então o valor de 
(sen x + sen y)2 + (cos x + cos y) 2 é igual a: 
a) 0. d) 3.
b) 1. e) 4.
c) 2. 
5. (UEG) Considerando-se que sen (5º) = 2 ___ 25 , tem-se que 
cos (50º) é:
a) 
dXX 2 ___ 50 ( dXXXX 621 + 2 ) .
b) 
dXX 2 ___ 50 ( dXXXX 621 – 2 ) .
c) 
dXX 2 ___ 50 ( 1 – dXXXX 621 ) .
d) 
dXX 2 ___ 50 ( dXXXX 621 – 1 ) .
6. (FGV) Se cos x + sec (–x) = t, então, cos2 x + sec2 x é 
igual a:
a) 1. d) t2 – 2.
b) t2 + 2. e) t2 + 1.
c) t2.
7. (CEFET-MG) A função 
f(x) = sec x · sen (2x) · sen2 ( x + p __ 2 ) · cos (p – x) tg2 x 
deve ser reescrita como produto de uma constante pe-
las funções seno e cosseno, calculadas no mesmo valor 
x, como f (x) = k · senm x · cosn x. O valor de m é: 
a) –2.
b) –1.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
 8. (UEL) Se cos(2x) = 1 __ 3 , onde x [ (0, p) então o valor de 
y = 
[sen (3x) – sen (x)]
 ___________________ 
cos (2x)
 é:
a) –1. d) 
 ( 2 dXX 3 ) 
 _____ 3 .
b) 
 ( dXX 3 ) 
 ____ 3 . e) 1.
c) 3 ___ 
 dXX 3 
 .
9. (Mackenzie) A expressão 
cos (a2 – 2b2) · cos (b2) – sen (a2 – 2b2) · sen (b2) é igual a:
a) cos (a2 + b2).
b) sen (b2).
c) cos (a2).
d) sen [(a + b) · (a – b)].
e) cos [(a + b) · (a – b)].
10. (UEG) Sabendo-se que sen(x) = 1 __ 2 e que x é um ângulo 
do 1º quadrante, o valor da expressão sen(4x) – cos(4x) é 
a) √
__
 3 – 1 ______ 2 
b) 1 __ 2 
c) √
__
 3 + 1 ______ 2 
d) 2 
E.O. COMPLEMENTAR
1. (ITA) Se cos 2x= 1 __ 2 , então um possível valor de 
 
cotg x –1
 _________________________ 
cossec (x – p) – sec (p – x)
 é:
a) 
dXX 3 ___ 2 . d) dXX 3 .
b) 1. e) 2.
c) dXX 2 .
2. (UESPI) Seja f: R – {–1} R uma função satisfazen-
do f ( x + 1 _____ x – 1 ) = 1 __ x , para todo x real e diferente de 1 e 
de 0. Qual o valor de f (tg2 a) para a real e a ≠ p __ 2 +kp, 
k inteiro? 
a) cos (2a). d) –sen (2a).
b) sen (2a). e) tg a.
c) –cos (2a).
3. (FGV) Uma esfera de raio r está apoiada sobre o chão 
plano em um dia iluminado pelo sol. Em determinado 
horário, a sombra projetada à direita do ponto onde a 
esfera toca o chão tinha comprimento de 10 m, como 
indica a figura.
 
Nesse mesmo horário, a sombra projetada por uma va-
reta reta de 1 m, fincada perpendicularmente ao chão, 
tinha 2 m de comprimento. Assumindo o paralelismo 
dos raios solares, o raio da esfera, em metros, é igual a: 
a) 5 √
__
 5 – 10. 
b) 10 √
__
 5 – 20. 
c) 5 √
__
 5 – 5. 
d) 5 √
__
 5 – 2. 
e) 10 √
__
 5 – 10. 
 63
4. (G1 – IFAL) O valor da expressão 
sen 30º + tg 225º
 _____________ 
cos π __ 2 – sen(-60º)
 é: 
a) 1. d) √
__
 3 . 
b) 1 __ 2 . e) – 1 __ 2 . 
c) – √
__
 3 . 
5. (EEAR) O valor de cos 735º é: 
a) 1 __ 4 . c) √
__
 2 + √
__
 6 _______ 4 . 
b) √
__
 3 ___ 4 . d) √
__
 2 + √
__
 6 _______ 8 . 
E.O. DISSERTATIVO
1. (UFV) Resolva os itens a seguir.
a) Complete as lacunas a seguir:
1) cos é positivo no _______ e _______ quadrantes.
2) sen é negativo no _______ e _______ quadrantes.
3) tg é negativo no _______ e _______ quadrantes.
4) sec é positivo no _______ e _______ quadrantes.
b) Sabendo-se que cos 30° = √
__
 3 ___ 2 , calcule cos 15°. 
2. (UFSC) Na figura a seguir determine a medida do seg-
mento AB, em cm, sabendo que sen a = 0,6.
3. (UFG) Um time de futebol conseguiu um terreno para 
seu futuro centro de treinamento (CT). O terreno tem 
a forma de um triângulo retângulo e suas dimensões 
são apresentadas na figura a seguir. O projeto de con-
strução do CT prevê um muro ligando os pontos A e C.
Sabendo que o segmento AD é a bissetriz do ângulo 
com vértice em A, calcule a medida, em metros, do 
muro AC. 
4. (UFRJ) Seja x tal que sen x + cos x = 1. Determine 
todos os valores possíveis para sen 2x + cos 2x. 
5. (UFJF-PISM 2) Seja ABC um triângulo cujas medidas 
dos ângulos internos formam uma progressão aritmética 
não constante e cujos lados AB e AC têm medidas √
__
 6 cm 
e 3 cm respectivamente.
a) Prove que um dos ângulos internos desse triângulo 
mede 60º. 
b) Suponha que o ângulo A 
 ̂ 
 B C seja o que mede 60º. 
Determine a medida do ângulo A 
 ̂ 
 C B. 
c) Com as hipóteses do item anterior, determine o 
seno do ângulo B 
 ̂ 
 A C. 
6. (UEMA) Considere as expressões trigonométricas abaixo:
cos(a + b) = cosacosb – senasenb e 
sen(a + b) = sencosb + senbcosa.
Para calcular o cos2a e o sen2a basta fazer a = b e, a 
partir das expressões trigonométricas, obtêm-se: 
cos2a = cos(a + a) = cos2a – sen2a e 
sen2a = sen(a + a) = 2senacosa. 
De modo semelhante ao cálculo acima, desenvolva o 
cos3a e o sen3a.
7. (UFC) Os números reais a, b e y são tais que a ≠ 0 e a 
cos y ≠ b sen y . Se tg = 
a seny + b cosy
 ______________ 
a cosy – b seny
 calcule o valor 
de tg (x – y) em função de a e b somente. 
8. (UFSCAR) Suponha que o planeta Terra seja uma esfera 
de centro C e raio R. Na figura, está representado o pla-
neta Terra e uma nave espacial N. A fração visível da su-
perfície da Terra por um astronauta na nave N é dada em 
função do ângulo , mostrado na figura, pela expressão:
f( ) = 1 – sen________ 2 
 
a) Determine o ângulo , em graus, para o qual é visível 
da nave a quarta parte da superfície da Terra e a distân-
cia da nave à superfície da Terra neste caso. (Use a 
aproximação R = 6.400 km.)
b) Se um astronauta numa nave, a uma distância d da 
Terra, avista a superfície da Terra com ângulo= 15o, 
determine a fração visível da superfície da Terra pelo as-
tronauta. (Use as aproximações √
__
 2 = 1,4 e √
__
 6 = 2,4.) 
9. (UFC) ABC é um triângulo retângulo em A, com cate-
tos AB e AC de medidas respectivamente iguais a 3 cm 
e 4 cm.
Com centros em B e em C, traçamos dois círculos b e g, 
de raios respectivamente 3 cm e 4 cm, e, em seguida, 
uma reta r que passa por A e intersecta b e g respec-
tivamente nos pontos P e Q, com P, Q ≠ A. Calcule o 
maior valor possível do produto dos comprimentos dos 
segmentos PA e QA. 
 64
E.O. UERJ 
EXAME DE QUALIFICAÇÃO
1. (UERJ) Um esqueitista treina em três rampas planas de 
mesmo comprimento a, mas com inclinações diferentes. 
As figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas 
AB = CD = EF, contidas nas retas de maior declive de 
cada rampa.
Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de par-
tida A, C e E são, respectivamente, h1, h2 e h3, conclui-se 
que h1 + h2 é igual a: 
a) h3 dXX 3 .
b) h3 dXX 2 .
c) 2h3.
d) h3.
2. (UERJ 2017) No esquema abaixo, estão representa-
dos um quadrado ABCD e um círculo de centro P e raio r, 
tangente às retas AB e BC. O lado do quadrado mede 3r.
 
A medida do ângulo C 
 ̂ 
 A P pode ser determinada a par-
tir da seguinte identidade trigonométrica:
tg(a – b) = 
tga – tgb
 ______________ 
1 + (tga)(tgb)
 .
O valor da tangente de é igual a: 
a) 0,65. 
b) 0,60. 
c) 0,55. 
d) 0,50. 
3. (UERJ) Considere o ângulo segundo o qual um obser-
vador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se 
aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima 
mais 100 m, como mostra o esquema a seguir.
A altura da torre, em metros, equivale a: 
a) 96. c) 100.
b) 98. d) 102.
E.O. UERJ 
EXAME DISCURSIVO
1. (UERJ) Alguns cálculos matemáticos ficam mais sim-
ples quando usamos identidades, tais como:
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
Considerando essas identidades, calcule os valores 
numéricos racionais mais simples das expressões:
a) (57,62)2 – (42,38)2.
b) cos6 15° + sen6 15°. 
2. (UERJ) Considere o teorema e os dados a seguir.
Se a, b e a + b são três ângulos diferentes de π/2 + kπ, 
k então tg(a + b) = 
tga + tgb
 ______________ 
1 – (tga)(tgb)
 . 
a, b e c são três ângulos, sendo tgb = 2 e tg(a + b + c) = 4 __ 5 . 
Calcule tg(a – b + c). 
3. (UERJ) Considere o triângulo ABC a seguir, onde os ân-
gulos A, B e C estão em progressão aritmética crescente.
Determine os valores de cada um desses ângulos, re-
spectivamente, nas seguintes condições:
a) sen A + sen B + sen C = 
(3 + √
__
 3 )
 __________ 2 . 
b) 
——
 AB = 2 
——
 BC . 
4. (UERJ) Um triângulo acutângulo ABC tem 4 cm2 de 
área e seus lados 
——
 AB e 
——
 AC medem, respectivamente, 
2 cm e 5 cm.
Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobran-
do-se o ângulo interno Â, calcule o aumento percentual 
de sua área. 
5. (UERJ) Observe a figura abaixo:
Ela representa um papel quadrado ABCD, com 10 cm de 
lado, que foi dobrado na linha AM, em que M é o ponto 
médio do lado 
——
 BC . Se, após a dobra, A, B, C, D e M são 
coplanares, determine:
a) a distância entre o ponto B e o segmento 
——
 CD .
b) o valor de tg . 
 65
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Fuvest) No quadrilátero ABCD onde os ângulos 
 ̂ 
 A e 
 ̂ 
 C 
são retos e os lados têm as medidas indicadas, o valor 
de sen 
 ̂ 
 B é:
a) 
dXX 5 ___ 5 . d) 2 __ 5 .
b) 2 dXX 5 ____ 5 . e) 1 __ 2 .
c) 4 __ 5 .
2. (Fuvest) Os números reais sen p ___ 12 , sen a, sen 5p ___ 12 for-
mam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então 
o valor de sen a é: 
a) 1 __ 4 . d) 
dXX 6 ___ 4 .
b) 
dXX 3 ___ 6 . e) 
dXX 3 ___ 2 .
c) 
dXX 2 ___ 4 .
3. (Fuvest) Sejam x e y números reais positivos tais 
que x + y = p __ 2 . Sabendo-se que sen (y – x) = 1 __ 3 , o valor 
de tg2 y – tg2 x é igual a: 
a) 3 __ 2 . d) 1 __ 4 .
b) 5 __ 4 . e) 1 __ 8 .
c) 1 __ 2 .
4. (Fuvest) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figu-
ra, a hipotenusa AC mede 12 cm e o cateto BC mede 6 cm.
Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ân-
gulo M 
 ̂ 
 A C é igual a:
a) 
dXX 2 ___ 7 .
b) 
dXX 3 ___ 7 .
c) 2 __ 7 .
d) 2 dXX 2 ____ 7 .
e) 2 dXX 3 ____ 7 .
5. (Fuvest) No quadrilátero plano ABCD, os ângulos A 
 ̂ 
 B C 
e A 
 ̂ 
 D C são retos, AB = AD = 1, BC = CD = 2 e 
——
 BD é uma 
diagonal.
O cosseno do ângulo B 
 ̂ 
 C D vale: 
a) √
__
 3 ___ 5 . 
b) 2 __ 5 . 
c) 3 __ 5 . 
d) 2 √
__
 3 ____ 5 . 
e) 4 __ 5 . 
6. (Fuvest) Sabe-se que existem números reais A e x0, 
sendo A > 0, tais que senx + 2 cosx = A cos(x – x0) para 
todo x real. O valor de A é igual a: 
a) √
__
 2 . 
b) √
__
 3 . 
c) √
__
 5 . 
d) 2 √
__
 2 . 
e) 2 √
__
 3 . 
7. (Fuvest) Um caminhão sobe uma ladeira com inclina-
ção de 15°. A diferença entre a altura final e a altura ini-
cial de um ponto determinado do caminhão, depois de 
percorridos 100 m da ladeira, será de, aproximadamente,
Dados: √
__
 3 1,73; sen2 ( __ 2 ) = 1 – cos________ 2 . 
a) 7 m. 
b) 26 m. 
c) 40 m. 
d) 52 m. 
e) 67 m. 
8. (Fuvest) A figura representa um quadrado ABCD de 
lado 1. O ponto F está em 
——
 BC , 
——
 BF mede √
__
 5 ___ 4 , o ponto 
E está em 
——
 CD e 
——
 AF é bissetriz do ângulo B 
 ̂ 
 A E. Nessas 
condições, o segmento 
——
 DE mede:
 
a) 3 √
__
 5 ____ 40 . d) 11 √
__
 5 _____ 40 . 
b) 7 √
__
 5 ____ 40 . e) 13 √
__
 5 _____ 40 . 
c) 9 √
__
 5 ____ 40 . 
 66
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Fuvest)
Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois 
braços articulados que se movem em um plano vertical, 
perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, 
P1 e P2 representam, respectivamente, a articulação de 
um dos braços com a base, a articulação dos dois braços 
e a extremidade livre do guindaste. O braço OP1 tem 
comprimento 6 e o braço P1P2 tem comprimento 2. Num 
dado momento, a altura de P2 é 2, P2 está a uma altura 
menor do que P1 e a distância de O a P2 é 2 dXXX 10 . Sendo Q 
o pé da perpendicular de P2 ao plano do chão, determine:
a) o seno e o cosseno do ângulo P2 
 ̂ 
 O Q entre a reta 
 _____
 
›
 OP 2 
e o plano do chão.
b) a medida do ângulo O 
 ̂ 
 P 1P2 entre os braços do guin-
daste.
c) o seno do ângulo P1 
 ̂ 
 O Q entre o braço OP1 e o plano 
do chão.
2. (Unesp) Um farol localizado a 36 m acima do nível do 
mar é avistado por um barco a uma distância x da base 
do farol, a partir de um ângulo a, conforme a figura:
x
36 m
α
a) Admitindo-se que sen(a) = 3 __ 5 , calcule a distância x.
b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e 
que uma nova observação foi realizada, na qual o ângu-
lo passou exatamente para 2a, calcule a nova distân-
cia x' a que o barco se encontrará da base do farol. 
3. (Unicamp) Um recipiente cúbico de aresta a e sem 
tampa, apoiado em um plano horizontal, contém água 
até a altura 3 __ 4 a. Inclina-se lentamente o cubo, girando-o 
em um ângulo u em torno de uma das arestas da base, 
como está representado na figura abaixo.
a) Supondo que o giro é interrompido exatamente 
antes de a água começar a derramar, determine a 
tangente do ângulo .
b) Considerando, agora, a inclinação tal que tan (u) = 1 __ 4 , 
com 0 < u < p __ 2 , calcule o valor numérico da expressão 
cos (2u) – sen (2u).
4. (Unifesp) Um observador, em P, enxerga uma circun-
ferência de centro O e raio 1 metro sob um ângulo , 
conforme mostra a figura.
a) Prove que o ponto O se encontra na bissetriz do 
ângulo u.
b) Calcule tg(u), dado que a distância de P a O vale 
3 metros. 
5. (Unicamp) A figura abaixo exibe um círculode raio r 
que tangencia internamente um setor circular de raio R 
e ângulo central u.
a) Para u = 60º, determine a razão entre as áreas do 
círculo e do setor circular. 
b) Determine o valor de cos u no caso em que R = 4r.
 6. (Unesp) Sabendo-se que cos(2x) = cos2x – sen2x, para 
quais valores de x a função f(x) = cosx + 1 __ 2 · cos(2x) as-
sume seu valor mínimo no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π? 
7. (Fuvest) Sejam x e y dois números reais, com 
0 < x < π __ 2 e π/2 < y < π, satisfazendo seny = 4 __ 5 e 
11senx + 5cos(y – x) = 3. 
Nessas condições, determine:
a) cosy. 
b) sen2x. 
8. (Unicamp) De uma praia, um topógrafo observa uma 
pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na vertical, 
uma régua de 2 m de comprimento. Usando seu teodo-
lito, o topógrafo constatou que o ângulo formado entre 
a reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de 
reta que une o teodolito ao topo da régua é de 60°, en-
quanto o ângulo formado entre a mesma reta vertical e o 
segmento que une o teodolito à base da régua é de 75°. 
 67
Sabendo que o teodolito está a uma altura de 1,6 m do 
nível da base da escarpa, responda às questões a seguir.
a) Qual a distância horizontal entre a reta vertical que 
passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa?
b) Qual a altura da escarpa?
9. (Fuvest) Na figura a seguir, as circunferências têm 
centros A e B. O raio da maior é 5 __ 4 do raio da menor; P é 
um ponto de intersecção delas e a reta AQ é tangente à 
circunferência menor no ponto Q.
Calcule:
a) cos A 
 ̂ 
 B Q. 
b) cos A 
 ̂ 
 B P. 
c) cos Q 
 ̂ 
 B P. 
10. (Fuvest) Determine os números reais x e y, com 
0 ≤ x + y ≤ π e 0 ≤ y ≤ π, tais que.
senx seny = – 1 __ 4 
cos(x + y) + cos(x – y) = 3 __ 2 .
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. A 3. A 4. E 5. B
6. E 7. E 8. E 9. E 10. E
E.O. Fixação
1. D 2. B 3. E 4. D 5. B
6. D 7. E 8. D 9. E 10. C
E.O. Complementar
1. A 2. C 3. B 4. D 5. C
E.O. Dissertativo
1. 
a) 1) 10. e 40.
 2) 30. e 40.
 3) 20. e 40.
 4) 10. e 40.
b) cos 15° = dXXXXX 
dXX 3 +2 _____ 
4
 .
2. 96 cm.
3. 780 m.
4. –1 e 1.
5. 
a) Sejam - r, e + r os ângulos internos do triân-
gulo ABC. Sabendo que a soma dos ângulos internos 
de um triângulo qualquer mede 180º, temos:
 – r + + + r = 180º = 60º.
b) A 
 ̂ 
 C B = 45º.
c) sen B 
 ̂ 
 A C = √
__
 2 + √
__
 6 ________ 
4
 .
6. cos3a = cos3a – 3sen2acosa.
sen3a = 3senacos2a – sen3a.
7. tg(x – y) = b __ a .
8. 
a) = 30º e d = 6.400 km. b) 3 __ 
8
 .
9. PA∙QA = 24.
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. D 2. B 3. A
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 
a) 1.524.
b) 13 ___ 16 .
2. –32.
3. A = 30º, B = 60º e C = 90º.
4. 20%.
5. 
a) 2.
b) tg = 3 __ 
4
 .
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. C 2. D 3. A 4. B 5. C
 68
6. C 7. B 8. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) sen (P2 
 ̂ 
 O Q) = 
dXXX 10 ____ 
10
 .
 cos (P2 
 ̂ 
 O Q) 3 dXXX 10 _____ 
10
 .
b) O 
 ̂ 
 P 1P2 = 90º.
c) 3 ___ 5 .
2. 
a) x = 48 m.
b) x' = 10,5 m. 
3. 
a) tg u = 1 ___ 
2
 .
b) 7 ____ 17 . 
4. 
a) Para provarmos que o ponto O se encontra sobre a 
bissetriz do ângulo u, devemos mostrar que os ângu-
los OPT e OPS são congruentes.
De fato: 
Como PS e PT são segmentos tangentes à circunfe-
rência de centro O e raio 1, com origem no mesmo 
ponto (P), PS = PT.
Por LLL, os triângulos retângulos OTP e OSP são con-
gruentes. Logo, a = b = u __ 
2
 e, desse modo, OP é bisse-
triz do ângulo u.
b) tg u = 
( 4 dXX 2 ) ______ 7 .
5. 
a) pr2
 ___________ 
pR2 · 60º _____ 
360º
 
 = 6 · ( r __ 
R
 ) 2 = 2 __ 
3
 
b) 7 __ 9 .
6. Para 0 ≤ x ≤ 2π, a função f(x) assume o valor mínimo 
para x = 2π ____ 
3
 ou x = 4π ____ 
3
 . 
7. 
a) cos y = – 3 ___ 5 .
b) sen2x = 120 _____ 
169
 .
8. 
a) (3 + 2 √
__
 3 ) m.
b) (1,6 + √
__
 3 ) m.
9. 
a) 4 __ 5 .
b) 2 __ 5 .
c) 
(8 + 3 √
___
 21 )
 ___________ 
25
 .
10. x = –π/6 e y = π/6 ou.
x = –5π/6 e y = 5π/6.
 69
E.O. APRENDIZAGEM
1. A soma das raízes da equação 
sen² x + sen (–x) = 0, no intervalo [0, 2p] é:
a) 7p ___ 2 . d) 3p.
b) 9p ___ 2 . e) 3p ___ 2 .
c) 5p ___ 2 .
2. Todo x, com 0º x 360º, que satisfaz a equação
 16sen2 x
 ______ 
45sen x = 1 ___ 64 , pertence ao intervalo:
a) 0º x 72º.
b) 72º x 144º.
c) 144° x 216º.
d) 216º x 288º.
e) 288º x 360º.
3. (UFSM) A soma das raízes da equação cos2x + cos x = 0, 
no intervalo 0 < x < 2p, é: 
a) p. d) 7p ___ 2 .
b) 4p. e) 5p ___ 2 .
c) 3p.
4. (FATEC) O conjunto solução da equação 
2cos2 x + cos x – 1 = 0, no universo U = [0, 2p], é: 
a) { p __ 3 , p, 5p ___ 3 } .
b) { p __ 6 , p, 5p ___ 6 } .
c) { p __ 3 , p __ 6 , p } .
d) { p __ 6 , p __ 3 , p, 2p ___ 3 , 5p ___ 3 } .
e) { p __ 3 , 2p ___ 3 , p, 4p ___ 3 , 5p ___ 3 , 2p } .
5. (PUC-RS)A solução da equação cos [ 3x – ( p __ 4 ) ] = 0, 
quando 0 ≤ x ≤ p __ 2 , é: 
a) p __ 4 .
b) – p __ 4 .
c) 7p ___ 12 .
d) p __ 2 .
e) 0.
6. (UFRGS) No intervalo [0, p] a equação tan (x) – 1 = 0: 
a) não possui raízes.
b) possui uma única raiz.
c) possui apenas 2 raízes.
d) possui exatamente 4 raízes.
e) possui infinitas raízes. 
7. (PUC-RS) O conjunto solução da equação 
sen(x) – cos(x) = 0 em [0; 2p] é: 
a) { }.
b) {0}.
c) { – p __ 4 , p __ 4 } .
d) { p __ 4 , 3p ___ 4 } .
e) { p __ 4 , 5p ___ 4 } .
8. (UFRGS) O número de soluções da equação 2cos x = sen x 
que pertencem ao intervalo [ – 16p ____ 3 , 16p ____ 3 ] é: 
a) 8. d) 11.
b) 9. e) 12.
c) 10.
9. (FATEC) No intervalo ]0, p[ , os gráficos das funções 
definidas por y = sen x e y = sen 2x interceptam-se em 
um único ponto.
A abscissa x desse ponto é tal que: 
a) 0 < x < p __ 4 .
b) p __ 4 < x < p __ 2 .
c) x = p __ 4 .
d) p __ 2 < x < 3p ___ 4 .
e) 3p ___ 4 < x < 2p.
10. (UNIRIO) O conjunto-solução da equação cos 2x = 1 __ 2 , 
onde x é um arco da 1a volta positiva, é dado por: 
a) {60°, 300°}. 
b) {30°, 330°}. 
c) {30°, 150°}. 
d) {30°, 150°, 210°, 330°}. 
e) {15°, 165°, 195°, 345°}. 
11. (FGV) No intervalo [0, 2p], a equação trigonométri-
ca sen 2x = sen x tem raízes cuja soma vale: 
a) p. d) 4p.
b) 2p. e) 5p.
c) 3p.
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
HABILIDADES: 6, 7, 8, 9, 14, 15 e 24
COMPETÊNCIAS: 2, 4 e 5
AULAS 25 e 26
 70
12. (PUC-RS) Se x , então a equação cos(x) = cos(–x) 
apresenta o conjunto solução: 
a) . d) (–∞, 0]. 
b) [–1, 1]. e) {–1, 0, 1}.
c) [0, +∞). 
E.O. FIXAÇÃO
1. (UPF) Dentre as equações abaixo, assinale aquela que 
tem uma única solução em ]– p, p].
a) tg a = 1.
b) sen a = 0.
c) cos a = –1.
d) tg a = 0.
e) cos a = – 2.
2. (PUC-RJ) Assinale o valor de para o qual sen 2u = tg u:
a) p __ 2 . d) 4p ___ 3 .
b) p __ 3 . e) 3p ___ 4 .
c) 2p ___ 3 .
3. (UFU) Se os números reais x1 e x2, tais que 0 ≤ x1 < x2 ≤ __ 2 , 
são soluções da equação [ 1 ________ 
(sen x)2 ] + [ 1 _______ 
(cos x)2 ] = 16, 
então x2 – x1 é igual a:
a) p __ 4 . c) p __ 6 .
b) p __ 3 . d) p ___ 12 .
4. (UFSJ) Sendo x um arco tal que 0 x < 2p e 
dXX 3 · (tgx) = 2 · senx, é CORRETO afirmar que: 
a) a soma das soluções dessa equação é igual a 
b) as extremidades de todos os arcos x que são solu-
ção dessa equação estão no terceiro quadrante. 
c) nesse intervalo, a equação tem dois arcos distintos 
como soluções. 
d) para qualquer solução dessa equação,tg x = sen x.
5. (UFSCAR) O conjunto solução da equação
sen [ ( 8p ___ 9 ) + ( 8p ___ 27 ) + ( 8p ___ 81 ) ... ] = cos x, com x [0,2 [, é:
a) { 2p ___ 3 , 4p ___ 3 } . d) { p __ 6 , 11p ____ 6 } .
b){ 5p ___ 6 , 7p ___ 6 } . e) { p __ 3 , 5p ___ 3 } .
c) { 3p ___ 4 , 5p ___ 4 } .
6. (Esc. Naval) A soma dos quadrados das raízes da 
equação |senx| = 1 – 2sen2 x, quando 0 < x < 2p vale: 
a) 49 ___ 36 p2. d) 14 ___ 9 p2.
b) 49 ___ 9 p2. e) 49 ___ 6 p2.
c) 7 __ 3 p2.
7. (UECE) O número de soluções da equação |sen2x| = |cosx|, 
no intervalo [0,2p] é: 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
8. (FEI) Se cotg(x) + tg(x) = 3, então sen(2x) é igual a: 
a) 1/3. 
b) 3/2. 
c) 3. 
d) 2/3. 
e) Nenhuma anterior é correta. 
9. (UEL) Se x [0,2p], o número de soluções da equação 
cos2x = sen ( __ 2 – x ) é: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
10. (CFT-MG) O conjunto formado pelas raízes da função 
f(x) = cos ( 2x ___ 3 ) · cos ( 3x ___ 2 ) que estão contidas no intervalo 
[0, p] é:
a) { __ 3 , } .
b) { 3___ 4 , } .
c) { 3___ 4 , 4___ 3 } .
d) { __ 3 , 3___ 4 , } . 
11. (PUC-RS) O conjunto solução da equação 
sen(x) = cos[x-( /2)] em IR é: 
a) {-1, 0, 1}. 
b) [-1, 1]. 
c) {x IR x = ( /2) + k , k Z}. 
d) {x IR x = k , k Z}. 
e) IR.
12. (ESPCEX) A soma das soluções da equação 
cos(2x) – cos(x) = 0, com x [0, 2π), é igual a: 
a) 5π ___ 3 . 
b) 2π. 
c) 7π ___ 3 . 
d) π. 
e) 8π ___ 3 . 
13. (FGV) Uma possível solução da equação 
sen2x ∙ sen3x = cos2x ∙ cos3x com 0º ≤ x < 90º, é 
a) 72º. 
b) 36º. 
c) 24º. 
d) 18º. 
e) 15º. 
 71
E.O. COMPLEMENTAR
1. (UDESC) A soma de todos os valores dex [0, 2p] que 
satisfazem a equação cos2(2x) – sen2 (x) = cos6 (x) é igual a: 
a) . d) 3 . 
b) 2 . e) 4 .
c) 5 .
2. (UFRGS) O conjunto das soluções da equação 
sen [ ( p __ 2 ) log x ] = 0 é: 
a) {1, 10, 102, 103, 104, ...}. 
b) {..., 10-3, 10-2, 10-1, 1, 10, 102, 103, 104, ...}. 
c) {..., 10-6, 10-4, 10-2, 1, 102, 104, 106, ...}. 
d) {..., -10-6, -10-4, -10-2, 1, 102, 104, 106, ...}. 
e) {..., -103, -102, -10, 1, 10, 102, 103, 104, ...}.
3. (UFRGS) Considere a equação 
cos x = cos (x + p). Se 0 x < 2p, esta equação: 
a) não tem solução. 
b) tem apenas 1 solução. 
c) tem somente soluções 0 e p.
d) tem somente as soluções p __ 2 e 3p ___ 2 .
e) tem infinitas soluções.
4. (ITA) A soma das raízes da equação 
( dXX 3 )tg x – ( dXX 3 ) sen 2x + cos 2x = 0, que pertencem ao 
intervalo [0, 2p], é: 
a) 17p ____ 4 .
b) 16p ____ 3 .
c) 15p ____ 4 .
d) 14p ____ 3 .
e) 13p ____ 4 .
5. (UFRGS) Considere as funções f e g definidas por 
f(x) = senx e g(x) = cosx. 
O número de raízes da equação f(x) = g(x) no intervalo 
[–2π, 2π] é 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
E.O. DISSERTATIVO
 1. Resolva as seguintes equações:
a) sen(x) = 1.
b) cos(x) = 1.
c) sen(x) = 1 __ 2 .
d) cos(x) = 1 __ 2 .
e) tg(x) = dXX 3 .
2. Resolva a equação para 0 x < 2p, 
2sen (–x) cos (–x) = –cos (x).
3. (FGV) Resolva as seguintes equações trigonométricas:
a) sen x = 
dXX 2 ___ 2 , onde 0 ≤ x ≤ 2
b) sen x = cos 2x, onde 0 ≤ x ≤ 2
4. (UFV) Determine todos os pares (x,y) de números re-
ais que satisfazem o sistema a seguir:
sen2 x = sen2 2y
cos2 x = sen2 y
sendo 0 ≤ x ≤ p e 0 ≤ y ≤ p.
5. (Ufes) Determine todos os valores de u para os quais 
sen3 u cos u – sen u cos3 u = 1 __ 4 .
6.(Ita)Obtenha todos os pares (x, y), com x, y [ [0, 2p], tais que 
sen (x + y) + sen (x – y) = 1 __ 2 .
sen x + cos y = 1. 
7. (UFPE) Quantas soluções a equação trigonométrica 
sen x = dXXXXXXXXX 1 – cos x admite, no intervalo [0, 80p)? 
8. (UFPR) Considere o hexágono indicado na figura 
abaixo.
a) Qual é a área do hexágono, quando a = 60º?
b) Sabendo que a expressão que fornece a área em 
função do ângulo é A (a) = 2 sen ( dXX a ___ 2 ) + sen(a) e que 
o ângulo a que fornece a área máxima é uma solução da 
equação trigonométrica cos ( a __ 2 ) + cos (a) = 0, resolva a 
equação e calcule a área máxima do hexágono. 
9. (UFBA) Sendo x a medida de um arco, em radianos, de-
termine as soluções da equação 
4 cos2 ( π __ 4 ) cosx ∙ sen ( π __ 2 – x ) – cos(x + 7π) + sen ( 11π ____ 2 ) = 0 
que pertencem ao intervalo [−6, 8]. 
10. (UFPE) Quantas soluções a equação trigonométrica 
sen2x + cosx = 5/4 admite no intervalo [0,60 π]?
Parte do gráfico da função sen2x + cosx está esboçada abaixo.
 72
11. (UFBA) Dadas as funções reais
f(x) = { senx, 0 ≤ x < π __ 2 
 
1 + cosx, π __ 2 ≤ x ≤ π
 }e g(x) = { f ( x + π __ 2 ) , – π __ 2 ≤ x < 0
 
1 + f ( x + π __ 2 ) , 0 ≤ x ≤ π' __ 2 
 } 
determine x, pertencente ao intervalo [0, π __ 2 [ tal que 
[f(x)]2 + g(x) – 7 __ 4 = 0.
12. (ITA) Considere a equação
(3 – 2cos2x) ( 1 + tg2 x __ 2 ) – 6tg x __ 2 = 0.
a) Determine todas as soluções x no intervalo [0, π[.
b) Para as soluções encontradas em a), determine cotg x. 
13. (UFSCAR) O número de turistas de uma cidade pode 
ser modelado pela função f(x) = 2,1 + 1,6 sen (πx/6), 
onde x representa o mês do ano (1 para janeiro, 2 para 
fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e f(x) 
o número de turistas no mês x (em milhares).
a) Determine quais são os meses em que a cidade 
recebe um total de 1300 turistas.
b) Construa o gráfico da função f, para x real, tal que 
x [1, 12], e determine a diferença entre o maior e 
o menor número de turistas da cidade em um ano. 
14. (UNIRIO) Considere a função definida por 
f(x) = tg3 [x + (π/2)] – tg [(x + (π/2)], sendo, x ]0, π[.
Determine os valores de x tais que f(x) = 0.
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unesp) A figura representa parte dos gráficos das 
funções f(x) = 1 + sen(2x) e g(x) = 1 + cos(x).
Se x1, x2 e x3 são, respectivamente, as abscissas dos pon-
tos P, Q e R de intersecção dos gráficos das funções f(x) 
e g(x) no intervalo [0, π], a soma x1 + x2 + x3 é: 
a) 2π ___ 3 . 
b) 4π ___ 3 . 
c) 3π ___ 2 . 
d) 5π ___ 6 . 
e) 7π ___ 12 .
2. (Unicamp 2018) Seja X um número real tal que 
sen x cos x 0,2. Logo, | sen x cos x | é igual a 
a) 0,5.
b) 0,8.
c) 1,1.
d) 1,4.
3. (Fuvest 2002) Se á está no intervalo [0, 2] e satisfaz 
4 4 1sen cos ,
4 
então o valor da tangente de é: 
a) 3
5 
d) 7
3
b) 5
3 
e) 5
7
c)
3
7
4. (Fuvest 2000) O dobro do seno de um ângulo α, 
0 < α < π/2, é igual ao triplo do quadrado de sua tan-
gente. Logo, o valor de seu cosseno é: 
a) 2
3
b) 
3
2
c) 
2
2
d) 
1
2
e) 
3
3
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Fuvest) Ache todas as soluções da equação
sen3 x cos x - 3 sen x cos3 x = O no intervalo [0,2 ). 
2. (Unicamp) Considere a equação trigonométrica 
sen2 u – 2 cos2 u + ( 1 __ 2 ) sen 2u = 0.
a) Mostre que NÃO são soluções dessa equação os 
valores de u para os quais cos u = 0.
b) Encontre todos os valores de cos u que são soluções 
da equação. 
3. (Fuvest) Determine todos os valores de x pertencen-
tes ao intervalo [0, 2p] que satisfazem a equação 
cos2 2x = 1 __ 2 – sen2 x. 
4. (Fuvest) Um arco x está no terceiro quadrante do círculo 
trigonométrico e verifica a equação 5 cos(2x) + 3 sen x = 4. 
Determine os valores de sen x e cos x. 
 73
5. (Fuvest) A medida x, em radianos, de um ângulo satis-
faz p __ 2 < x < e verifica a equação sen x + sen 2x + sen 3x = 0.
Assim,
a) determine x.
b) calcule cos x + cos 2x + cos 3x.
6. (Unicamp 2017) Sabendo que k é um número real, 
considere a função f(x) = k senx + cosx, definida para 
todo número real 
a) Seja t um número real tal que f(t) = 0. Mostre que 
f(2t) = –1. 
b) Para k = 3 encontre todas as soluções da equação 
f(x)2 + f(–x)2 = 10 para 0 ≤ x ≤ 2π. 
7. (Unifesp) Na procura de uma função y = f(t) para repre-
sentar um fenômeno físico periódico, cuja variação total 
de y vai de 9,6 até 14,4, chegou-se a uma função da forma 
f(t) = A + B sen [(π/90) (t – 105)],com o argumento me-
dido em radianos.
a) Encontre os valores de A e B para que a função f 
satisfaça as condições dadas.
b) O número A é chamado valor médio da função. 
Encontre o menor t positivo no qual f assume o seu 
valor médio. 
8. (Unesp) A temperatura, em graus Celsius (°C), de uma 
câmara frigorífica, durante um dia completo, das 0 hora 
às 24 horas, é dada aproximadamente pela função:
f(t) = cos π ___ 12 t – cos π __ 6 t, 0 ≤ t ≤ 24, com t em horas. Determine:
a) a temperatura da câmara frigorífica às 2 horas e às 
9 horas (use as aproximações √
__
 2 = 1,4 e √
__
 3 = 1,7)
b) em quais horários do dia a temperatura atingiu 0 °C. 
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. B 3. C 4. A 5. A
6. B 7. E 8. C 9. B 10. D
11. E 12. A
E.O. Fixação
1. C 2. E 3. B 4. C 5. B
6. B 7. D 8. D 9. D 10. D
11. E 12. B 13. D
E.O. Complementar
1. C 2. C 3. D 4. B 5. B
E.O. Dissertativo
1. 
a) S = { x [ R | x = p __ 
2
 + 2k p, com k [ Z } .
b) S = {x [ R | x = 2kp, com k [ Z}.
c) S = {x [ R | x = p __ 
6
 + 2kp ou.
 x = 5p ___ 
6
 + 2kp, com k [ N}.
d) S = {x [ R | x = p __ 
3
 + 2kp ou.
 5p ___ 3 + 2kp, com k [ N}.
e) S = { x [ R | x = p __ 
3
 + kp, com k [ Z } .
2. S = { p __ 
2
 , 3p ___ 
2
 , p __ 
6
 , 5p ___ 
6
 } 
3. 
a) { p __ 4 , 3p ___ 
4
 } .
b) { p __ 6 , 5p ___ 
6
 , 3p ___ 
2
 } .
4. V = { ( p __ 
3
 , p __ 
6
 ) ; ( 2p ___ 
3
 , p __ 
6
 ) ; ( 0, p __ 
2
 ) ; ( p, p __ 
2
 ) ; ( p __ 
3
 , 5p ___ 
6
 ) ; ( 2p ___ 
3
 , 5p ___ 
6
 ) }
5. u = 3p ___ 
8
 + kp ___ 
2
 , k [ Z.
6. ( p __ 
6
 ; p __ 
3
 ) , ( p __ 
6
 ; 5p ___ 
3
 ) , ( 5p ___ 
6
 ; p __ 
3
 ) e ( 5p ___ 
6
 ; 5p ___ 
3
 ) . 
7. 80. 
8. 
a) 
dXX 3 ___ 2 + 1.
b) a = 120º.
Área máxima do hexágono é igual a 3 dXX 3 ____ 
2
 .
9. S = { – 5π ____ 3 , –π, – π ___ 3 , π ___ 3 , π, 5π ____ 3 e 7π ____ 3 } 
10. 60 soluções
11. x = π ___ 
6
 
12. 
a) S = { π __ 
6
 , π __ 
2
 , 5π ___ 
6
 } 
b) cotg π __ 
6
 = √
__
 3 , cotg π __ 
2
 = 0, cotg 5π ___ 
6
 = – √
__
 3 
13. 
a) Julho e novembro.
b) 3200 turistas.
 
14. π __ 
4
 ou π __ 
2
 ou 3π ___ 
4
 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. C 2. D 3. B 4. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. S = { 0; p __ 
3
 ; p __ 
2
 ; 2p ___ 
3
 ; p; 4p ___ 
3
 ; 3p ___ 
2
 ; 5p ___ 
3
 } .
 74
2. 
a) sen2 u – 2 · cos2 u + 1 __ 
2
 · sen (2 · u) = 0 
 1 – cos2 u – 2 · cos2 u + 1 __ 
2
 · 2 · sen u · cos u = 0 
 1 – 3 · cos2 u + sen u · cos u = 0.
Os valores de u, para os quais cos u = 0, não são so-
luções da equação dada, pois, neste caso, a sentença 
resultante é 1 – 0 + 0 = 0, que é falsa.
b) ± 
dXX 2 ___ 
2
 ou ± 
dXX 5 ___ 5 .
3. S = { p __ 
6
 , p __ 
4
 , 3p ___ 
4
 , 5p ___ 
6
 , 7p ___ 
6
 , 5p ___ 
4
 , 7p ___ 
4
 , 11p ____ 
6
 } .
4. sen x = – 1 __ 5 e cos x = – 2 √
__
 6 ____ 5 .
5. 
a) 2p ___ 3 .
b) 0. 
6.
a) Se f(t) = 0, então
 k sen t + cos t = 0 k = – cos t _____ sen t 
 f(2t) = k sen 2t + cos 2t
 f(2t) = – cos t _____ sen t · 2 sen t cos t + cos2t – sen2t
 f(2t) = –1 
b) S = { π __ 
4
 , 3π ___ 
4
 , 5π ___ 
4
 , 7π ___ 
4
 } 
7. 
a) A = 12 e B = + – 2,4.
b) t = 15.
8. 
a) f(2) = 0,35 ºC; f(9) = –0,7 ºC.
b) 0h, 8h, 16h e 24h.
 75
GEOMETRiAS 
PLANA E ESPACiAL
 76
E.O. APRENDIZAGEM
1. (IFSP) Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que 
constava um terreno delimitado por quatro ruas. Na 
parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela 
rua Saturno e pela rua Júpiter é 90°; o ângulo formado 
pela rua Júpiter e pela rua Netuno é 110° e o ângulo 
formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 100°. Nes-
sas condições, a medida de um ângulo formado pelas 
ruas Marte e Saturno, na parte rasgada do mapa, é de:
a) 50°. d) 80°.
b) 60°. e) 90°.
c) 70°.
2. (UTF-PR) A soma das medidas dos ângulos internos 
de um triângulo é 180º. A soma das medidas dos ângu-
los internos de um hexágono é: 
a) 180º. d) 720º.
b) 360º. e) 900º.
c) 540º.
3. (PUC-RJ) Os ângulos internos de um quadrilátero me-
dem 3x – 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20 graus. O menor 
ângulo mede: 
a) 90°. d) 105°.
b) 65°. e) 80°.
c) 45°.
4. (IFCE) A respeito das diagonais de um hexágono re-
gular de lado medindo 1 cm, é CORRETO afirmar-se que:
a) são nove, de três comprimentos diferentes, e as 
menores medem √
__
 3 cm.
b) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as 
maiores medem √
__
 3 cm.
c) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as 
menores medem √
__
 3 cm.
d) são doze, de três comprimentos diferentes, e as 
maiores medem √
__
 3 cm.
e) são doze, de dois comprimentos diferentes, e as 
menores medem √
__
 3 cm.
5. (Eear) Ao somar o número de diagonais e o número 
de lados de um dodecágono obtém-se 
a) 66.
b) 56.
c) 44.
d) 42.
6. (UFSCar) A figura 1 representa um determinado en-
caixe no plano de 7 ladrilhos poligonais regulares (1 he-
xágono, 2 triângulos, 4 quadrados), sem sobreposições 
e cortes.
FIGURA 1 FIGURA 2
Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados per-
feitamente nos espaços da figura 1, como indicado na 
figura 2, é correto dizer que:
a) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isós-
celes de ângulo da base medindo 15°.
b) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos 
isósceles de ângulo da base medindo 30°.
c) 2 são triângulos isósceles de ângulo da base me-
dindo 50° e 4 são triângulos isósceles de ângulo da 
base medindo 30°.
d) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos re-
tângulos isósceles.
e) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos 
escalenos.
7. (UFES) 
s
a
b
g
r
Na figura acima, as retas r e s são paralelas. A soma 
 + + + das medidas dos ângulos indicados na 
figura é: 
a) 180°.
b) 270°.
c) 360°.
d) 480°.
e) 540°.
POLÍGONOS
HABILIDADES: 7, 8 e 9
COMPETÊNCIA: 2
AULAS 17 e 18
 77
8. (Mackenzie) Os ângulos externos de um polígono re-
gular medem 20º. Então, o número de diagonais desse 
polígono é: 
a) 90. d) 135.
b) 104. e) 152.
c) 119.
9. (Uece) Se a partir de cada um dos vértices de um po-
lígono convexo com n lados podemos traçar tantas dia-
gonais quanto o total das diagonais de um hexágono 
convexo, então, o valor de n é 
a) 9. c) 11.
b) 10. d) 12.
10. (USF) O polígono regular cujo ângulo interno mede 
o triplo do ângulo externo é o:
a) pentágono.
b) hexágono.
c) octógono.
d) decágono.
e) dodecágono.
E.O. FIXAÇÃO
1. (CFT-RJ) Manuela desenha os seis vértices de um he-
xágono regular (figura abaixo) e une alguns dos seis 
pontos com segmentos de reta para obter uma figura 
geométrica. Essa figura não é seguramente um:
a) retângulo.
b) trapézio.
c) quadrado.
d) triângulo equilátero.
2. (Cesgranrio) 
A
B
C
D N
M a
No quadrilátero ABCD da figura anterior, são traçadas 
as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo 
. A soma dos ângulos internos 
 ̂ 
 A e 
 ̂ 
 D desse quadriláte-
ro corresponde a: 
a) __ 4 .
b) __ 2 .
c) .
d) 2 .
e) 3 .
3. (UEG) Na figura a seguir, para quaisquer que sejam x 
e y, as medidas dos ângulos satisfazem a relação:
x
y
a) y = 90° – x .
b) y = 180° – x .
c) y = 2x .
d) y = 3x.
4. (ITA) Considere as afirmações sobre polígonos con-
vexos:
I. Existe apenas um polígono, cujo número de diagonais 
coincide com o número de lados.
II. Não existe polígono, cujo número de diagonais seja o 
quádruplo do número de lados.
III. Se a razão entre o número de diagonais e o de lados 
de um polígono é um número natural, então o número 
de lados do polígono é ímpar.a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
c) Apenas (I) é verdadeira.
d) Apenas (III) é verdadeira.
e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras. 
5. (IFSP) Ana estava participando de uma gincana na 
escola em que estuda e uma das questões que ela tinha 
de responder era “quanto vale a soma das medidas dos 
ângulos internos do polígono regular da figura?”
 
Para responder a essa pergunta, ela lembrou que seu 
professor ensinou que a soma das medidas dos ângulos 
internos de um triângulo é igual a 180º, e que todo po-
lígono pode ser decomposto em um número mínimo de 
triângulos. Sendo assim, Ana respondeu corretamente à 
pergunta dizendo: 
a) 720º.
b) 900º.
c) 540º.
d) 1.080º.
e) 630º.
 78
6. (UECE) Se, em um polígono convexo, o número de 
lados n é um terço do número de diagonais, então o 
valor de n é: 
a) 9.
b) 11.
c) 13.
d) 15.
7. (FAAP) A medida mais próxima de cada ângulo exter-
no do heptágono regular da moeda de R$ 0,25 é:
2525
centavos
a) 60°.
b) 45°.
c) 36°.
d) 83°.
e) 51°.
8. (CFT-CE) Se a razão entre o número de diagonais d 
e de lados n, com n > 3, de um polígono, é um número 
inteiro positivo, então o número de lados do polígono: 
a) é sempre par.
b) é sempre ímpar.
c) é sempre múltiplo de 3.
d) não existe.
e) é sempre primo.
9. (CFTMG) Na figura a seguir, o pentágono regular 
está inscrito numa circunferência de centro O e as se-
mirretas 
 _____
 
›
 PA e 
 _____
 
›
 PB são tangentes à circunferência nos 
pontos A e B respectivamente.
 
A medida do ângulo A 
 ̂ 
 P B, em graus, é igual a 
a) 36. c) 108.
b) 72. d) 154.
10. (FEI) A sequência a seguir representa o número de 
diagonais d de um polígono regular de n lados:
n 3 4 5 6 7 ... 13
d 0 2 5 9 14 x
O valor de x é: 
a) 44.
b) 60.
c) 65.
d) 77.
e) 91.
E.O. COMPLEMENTAR
1. (Fatec) O lado de um octógono regular mede 8 cm. 
A área da superfície desse octógono, em centímetros 
quadrados, é igual a:
a) 128 (1 + √
__
 2 ).
b) 64 (1 + √
__
 2 ).
c) 32 (1 + √
__
 2 ).
d) 64 + √
__
 2 .
e) 128 + √
__
 2 .
2. (ITA) De dois polígonos convexos, um tem a mais que 
o outro 6 lados e 39 diagonais. Então a soma total dos 
números de vértices e de diagonais dos dois polígonos 
é igual a: 
a) 63.
b) 65.
c) 66.
d) 70.
e) 77.
3. (ESPM) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, BDE é 
um triângulo equilátero e BDF é um triân gulo isósceles, 
onde 
——
 AF = 
——
 AB . A medida do ângulo é:
a) 120°.
b) 135°.
c) 127,5°.
d) 122,5°.
e) 110,5°.
4. (UFSC) Considere um hexágono equiângulo (ângulos 
internos iguais) no qual quatro lados consecutivos me-
dem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura a 
seguir. O perímetro do hexágono é:
A 23 B
C
DE
F
15
13
20
a) 92. d) 99.
b) 95. e) 100.
c) 96.
 79
5. (ITA) Sejam P1 e P2 octógonos regulares. O primeiro 
está inscrito e o segundo circunscrito a uma circunfe-
rência de raio R. Sendo A1 a área de P1 e A2 a área de P2, 
então a razão A1/A2 é igual a:
a) √
__
 5 __ 8 .
b) 9 √
___
 2 ___ 16 .
c) 2 √
__
 2 – 1.
d) 4 √
__
 2 + 1 ________ 8 .
e) 2 + √
__
 2 ______ 4 .
E.O. DISSERTATIVO
1. (UFJF) Na figura a seguir, representa-se um hexágono 
regular ABCDEF em que cada lado mede 12 centímetros.
Determine:
a) O valor da medida do perímetro e da área do hexá-
gono regular ABCDEF. 
b) O valor das medidas das diagonais 
—
 CF e 
——
 CE deste 
hexágono regular 
c) A razão entre as medidas dos comprimentos dos 
círculos circunscrito e inscrito, ao hexágono regular 
ABCDEF. 
2. Determine x:
x x
x
105º 105º
3. Qual é o polígono convexo em que a soma dos ângu-
los internos é 1080°? 
4. (ITA) Seja n o número de lados de um polígono con-
vexo. Se a soma de n – 1 ângulos (internos) do polígono 
é 2004°, determine o número n de lados do polígono.
5. (CFT-CE) A medida do ângulo central de um polígono 
regular é 24°. De acordo com esta informação, deter-
mine as medidas:
a) do ângulo interno.
b) do ângulo externo. 
6. (CFT-CE) Um polígono regular tem 4 lados a mais 
que outro, e o seu ângulo interno excede em 15° o 
ângulo interno do outro. Quais são esses polígonos? 
7. O ângulo interno de um polígono regular é o triplo do 
ângulo externo. Qual é esse polígono? 
8. O apótema de um triângulo equilátero mede 3 cm. 
Determine o lado do triângulo. 
9. O lado de um hexágono regular inscrito numa circun-
ferência mede 8 √
__
 3 cm. Determine o apótema do qua-
drado inscrito na mesma circunferência. 
10. A soma dos ângulos internos de um polígono regu-
lar é 1440°. Determine a medida do ângulo central.
E.O. UERJ 
EXAME DISCURSIVO
1. (UERJ) No toldo da barraca de seu Antônio, decorado 
com polígonos coloridos, destaca-se um dodecágono, 
cujos vértices são obtidos a partir de quadrados cons-
truídos em torno de um hexágono regular, conforme 
mostra o desenho a seguir.
A
H
B
G
C
FI
L
DK
J E
a) Demonstre que o dodecágono ABCDEFGHIJKL é 
um polígono regular.
b) Tomando o quadrado de lado 
——
 AB como unidade de 
área, calcule a área desse dodecágono. 
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unifesp) Pentágonos regulares congruentes podem 
ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de 
cinco pontas, conforme destacado na figura.
 80
Nestas condições, o ângulo mede: 
a) 108°. d) 36°.
b) 72°. e) 18°.
c) 54°.
2. (Unifesp) A soma de n – 1 ângulos internos de um 
polígono convexo de n lados é 1900°. O ângulo rema-
nescente mede:
a) 120°.
b) 105°.
c) 95°.
d) 80°.
e) 60°.
3. (Unesp) O número de diagonais de um polígono convexo 
de x lados é dado por N(x) = x
2 – 3x _________ 
2
 . Se o polígono 
possui 9 diagonais, seu número de lados é:
a) 10.
b) 9.
c) 8.
d) 7.
e) 6.
4. (Fuvest) Na figura adiante, ABCDE é um pentágono 
regular. A medida, em graus, do ângulo é: 
A
EB
C D
a) 32°. d) 38°.
b) 34°. e) 40°.
c) 36°.
5. (Fuvest) Dois ângulos internos de um polígono conve-
xo medem 130° cada um e os demais ângulos internos 
medem 128° cada um. O número de lados do polígono é:
a) 6.
b) 7.
c) 13.
d) 16.
e) 17.
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unicamp) Um triângulo equilátero tem o mesmo 
perímetro que um hexágono regular, cujo lado mede 
1,5 cm. Calcule:
a) o comprimento de cada lado do triângulo.
b) a razão entre as áreas do hexágono e do triângulo.
2. (Unesp) Um artesão foi contratado para ornamentar 
os vitrais de uma igreja em fase final de construção. 
Para realizar o serviço, ele precisa de pedaços triangu-
lares de vidro, os quais serão cortados a partir de um 
vidro pentagonal, com ou sem defeito, que possui n bo-
lhas de ar (n = 0, 1, 2…).
Sabendo que não há 3 bolhas de ar alinhadas entre 
si, nem 2 delas alinhadas com algum vértice do pen-
tágono, e nem 1 delas alinhada com dois vértices do 
pentágono, o artesão, para evitar bolhas de ar em seu 
projeto, cortou os pedaços de vidro triangulares com 
vértices coincidindo ou com uma bolha de ar, ou com 
um dos vértices do pentágono.
vidro pentagonal
bolha de ar
Nessas condições, determine a lei de formação do nú-
mero máximo de triângulos (T) possíveis de serem cor-
tados pelo artesão, em função do número (n) de bolhas 
de ar contidas no vidro utilizado.
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. D 3. B 4. C 5. A
6. D 7. E 8. D 9. D 10. C
E.O. Fixação
1. C 2. D 3. B 4. B 5. B
6. A 7. E 8. B 9. C 10. C
E.O. Complementar
1. A 2. B 3. C 4. D 5. E
 E.O. Dissertativo
1. 
a) Perímetro: 72 cm
 Área: 216 √
__
 3 cm2 
b) 
——
 CE = 12 √
__
 3 cm e 
——
 CF = 24 cm 
c) 2 √
__
 3 ____ 
3
 
2. x = 110° 
3. Octógono 
 81
4. n = 14 
5. 
a) 156°
b) 24° 
6. Octógono e dodecágono.
7. Octógono 
8. 6 √
__
 3 
9. a = 4 √
__
 6 
10. 36°
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 
a) 
 
P
E
F
GH
Na figura acima, sendo o ângulo F 
 ̂ 
 P G = a, temos:
a + 90º + 120º + 90º = 360º a = 60º 
Como os lados adjacentes ao ângulo a são os lados 
de quadrados congruentes, o triânguloFGP é isósceles 
de base FG. Consequentemente, os ângulos G 
 ̂ 
 F P e F 
 ̂ 
 G 
P são congruentes. Daí, o triângulo FGP é equilátero. 
Portanto, o dodecágono é equilátero.
Os ângulos internos do dodecágono são dados por 
90º + 60º = 150º, logo, concluímos que o mesmo é 
equiângulo e regular.
b) ℓ2(6 + 3 √
__
 3 )
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. D 2. D 3. E 4. C 5. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e 
Unifesp)
1. 
a) 3 cm b) 3/2
2. Soma dos ângulos internos de um pentágono: 180º (5 – 2) = 540º.
Ao redor de cada bolha temos 360°
Seja T o número de triângulos e n o número de bolhas, temos a 
seguinte relação:
 T 180º – n 360º = 540º (:180º)
 T – 2n = 3
 T = 2n + 3
 82
E.O. APRENDIZAGEM
1. (PUC-RJ) Um show de rock foi realizado em um ter-
reno retangular de lados 120 m e 60 m.
Sabendo que havia, em média, um banheiro por cada 
100 metros quadrados, havia no show: 
a) 20 banheiros.
b) 36 banheiros.
c) 60 banheiros.
d) 72 banheiros.
e) 120 banheiros.
2. (UFRN) A figura a seguir representa uma área quadra-
da, no jardim de uma residência. Nessa área, as regiões 
sombreadas são formadas por quatro triângulos cujos la-
dos menores medem 3 m e 4 m, onde será plantado gra-
ma. Na parte branca, será colocado um piso de cerâmica.
O proprietário vai ao comércio comprar esses dois produtos 
e, perguntado sobre a quantidade de cada um, responde: 
a) 24 m2 de grama e 25 m2 de cerâmica.
b) 24 m2 de grama e 24 m2 de cerâmica.
c) 49 m2 de grama e 25 m2 de cerâmica.
d) 49 m2 de grama e 24 m2 de cerâmica.
3. (IFSP) Uma praça retangular é contornada por uma 
calçada de 2 m de largura e possui uma parte interna re-
tangular de dimensões 15 m por 20 m, conforme a figura.
Nessas condições, a área total da calçada é, em metros 
quadrados, igual a:
a) 148. d) 160.
b) 152. e) 164.
c) 156.
4. (PUC-MG) De uma placa quadrada de 16cm2, foi recor-
tada uma peça conforme indicado na figura. A medida 
da área da peça recortada, em centímetros quadrados, é:
a) 4. c) 6.
b) 5. d) 7.
5. (INSPER) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) 
ocorrem em ringues com a forma de octógonos regula-
res com lados medindo um pouco menos de 4 metros, 
conhecidos como “Octógonos”. Medindo o compri-
mento exato de seus lados, pode-se calcular a área de 
um “Octógono” decompondo-o, como mostra a figura 
a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro 
triângulos retângulos e isósceles.
A medida do lado do quadrado destacado no centro da 
figura é igual à medida a do lado do “Octógono”. Se a 
área desse quadrado é S, então a área do “Octógono” vale:
a) S(2 dXX 2 +1). d) 2S( dXX 2 + 2). 
b) S( dXX 2 + 2). e) 4S( dXX 2 + 1).
c) 2S( dXX 2 + 1). 
6. (IFSC) Considere os dois retângulos da figura abai-
xo. O retângulo ABCD tem 2 cm de largura e 9 cm de 
comprimento, e o retângulo EFGH tem 4 cm de largura 
e 12 cm de comprimento. 
ÁREAS DOS QUADRILÁTEROS E RAZÃO 
DE SEMELHANÇAS PARA ÁREAS
HABILIDADES: 6, 7, 8, 9 e 14
COMPETÊNCIAS: 2 e 3
AULAS 19 e 20
 83
É CORRETO afirmar que a razão da área do retângulo 
ABCD para a do retângulo EFGH é: 
a) 3 __ 4 . d) 3 __ 8 . 
b) 8 __ 3 . e) 11 ___ 16 .
c) 1 __ 2 . 
7. (Mackenzie) Um quadrado é dividido em quatro retân-
gulos congruentes traçando-se três linhas paralelas a um 
dos lados, conforme a figura.
Se a área de cada um desses quatro retângulos é 48 cm2, 
então o perímetro, em centímetros, do quadrado ori-
ginal é:
a) 64.
b) 48 dXX 3 .
c) 48 dXX 2 .
d) 32 dXX 3 .
e) 32 dXX 2 .
8. (CPS) Na figura, temos a representação de um terre-
no na forma do trapézio retângulo ABCD, e parte desse 
terreno é o quadrado DEFG onde será construída uma 
casa. Sabendo-se que AB = 20, BC = 25, AD = 15 e AE = 7, 
medidas na mesma unidade de comprimento, então a 
razão da área da casa para a área do terreno é:
a) 1 para 25. 
b) 2 para 25. 
c) 3 para 23. 
d) 4 para 25. 
e) 1 para 5. 
9. (UCS) O piso de uma sala de 210 m2, em um Centro 
de Eventos, tem a forma de um trapézio, em que as 
bases medem 15 m e 20 m. Ao dividir-se a sala por 
meio do levantamento de uma parede, passando pe-
los pontos médios dos lados não paralelos do piso, 
obtêm-se duas novas salas.
A área da sala, em m2 que conterá o lado maior do piso 
da sala inicial será igual a:
a) 105,0. 
b) 107,5. 
c) 112,5. 
d) 92,5. 
e) 101,5. 
10. (UEL) Um losango com lado 20 cm e um ângulo de 
30° tem área de: 
a) 57 cm2. d) 346 cm2.
b) 87 cm2. e) 400 cm2.
c) 200 cm2.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
A pipa, também conhecida como papagaio ou quadra-
do, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portu-
gueses no século XVI.
Para montar a pipa, representada na figura, foram uti-
lizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas 
varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de 
seda, cola e linha.
As varetas são fixadas conforme a figura, formando a 
estrutura da pipa. A linha é passada em todas as pontas 
da estrutura, e o papel é colado de modo que a extremi-
dade menor da estrutura da pipa fique de fora. 
11. (CPS) 
32 
Na figura, a superfície sombreada corresponde ao pa-
pel de seda que forma o corpo da pipa. A área dessa 
superfície sombreada, em centímetros quadrados, é: 
a) 576. d) 1 150. 
b) 704. e) 1 472. 
c) 832. 
12. (IBMEC-RJ) O mosaico da figura adiante foi dese-
nhado em papel quadriculado 1 1. A razão entre a 
área da parte escura e a área da parte clara, na região 
compreendida pelo quadrado ABCD, é igual a:
a) 1 __ 2 
b) 1 __ 3 
c) 3 __ 5 
d) 5 __ 7 
e) 5 __ 8 
 84
13. (CFTMG) Um triângulo equilátero ABC de lado 1 cm 
está dividido em quatro partes de bases paralelas e com 
a mesma altura, como representado na figura abaixo.
A parte I tem a forma de um trapézio isósceles, cuja 
área, em cm2, é:
a) 
dXX 3 ___ 16 . c) 7 dXX 3 ____ 64 . 
b) 5 dXX 3 ____ 32 . d) 9 dXX 3 ____ 128 . 
14. (UFSM) Para facilitar o estudo dos triângulos, uma 
menina foi orientada por sua professora a trabalhar 
com jogos educativos. O TANGRAM é um quebra-cabe-
ça de origem chinesa. É formado por cinco triângulos 
retângulos isósceles T1, T2, T3, T4 e T5, um paralelogramo 
P e um quadrado Q que, juntos formam um quadrado, 
conforme a figura apresentada. Se a área de Q é 1, é 
correto afirmar:
 
a) A área do quadrado maior é 4. 
b) A área de T1 é o dobro da área de T3. 
c) A área de T4 é igual à área de T5. 
d) A área de T5 é 1 __ 4 da área do quadrado maior. 
e) A área de P é igual à área de Q. 
15. (PUC-MG) Sobre a placa retangular representada na 
figura, foram desenhados mais dois retângulos, confor-
me indicado.
Se a medida da área do retângulo hachurado é 30 cm2, a 
medida da área dessa placa, em centímetros quadrados, é: 
a) 120. c) 360.
b) 240. d) 480.
16. (UFRGS) Na figura a seguir, AD e BC são perpendi-
culares a AB .
Sabendo que a área do trapézio ABCD é igual ao dobro 
da área do triângulo OAD, temos que a razão OB/OA é 
igual a:
a) dXX 2 .
b) dXX 3 .
c) ( dXX 2 ) – 1.
d) ( dXX 3 ) – 1.
e) ( dXX 3 ) – dXX 2 .
17. (CFTPR) Um mapa está na escala 1 : 500.000. Se 
um quadrado deste mapa tem 4 cm2 de área, então 
a área real deste quadrado em km2 é: 
a) 10. d) 100.
b) 20. e) 200.
c) 50.
18. (UFJF-PISM 1) Marcos comprou a quantidade míni-
ma de piso para colocar em toda a sua sala que tem o 
formato abaixo e pagou R$ 48,00 o metro quadrado.
 
Quanto ele gastou comprando o piso para essa sala? 
a) R$ 288,00 
b) R$ 672,00 
c) R$ 1.152,00 
d) R$ 1.440,00 
e) R$ 2.304,00 
19. (FGV) Um canteiro com formato retangular tem 
área igual a 40 m2 e sua diagonal mede √
___
 89 m. O perí-
metro desse retângulo é: 
a) 20 m 
b) 22 m 
c) 24 m 
d) 26 m 
e) 28 m 
 85
 20. (IFAL) Para colocar o piso em um salão de formato 
retangular, cujas dimensões são 6 metros de largura e 
8 metros de comprimento, gasta-se R$ 18,00 por cadametro quadrado. Qual o valor total do gasto para colo-
car o piso em todo o salão? 
a) R$ 486,00 
b) R$ 648,00 
c) R$ 684,00 
d) R$ 846,00 
e) R$ 864,00 
E.O. FIXAÇÃO
1. (ESPM) A figura abaixo mostra um retângulo de lados 
7 cm e 8 cm no qual estão contidos os quadrados A, B e 
C. A medida x pode variar entre 3,5 cm e 7 cm, fazendo 
com que os lados dos três quadrados se alterem.
Dentro desse intervalo, o maior valor que a área do po-
lígono P pode ter é igual a: 
a) 18 cm2
b) 15 cm2
c) 17 cm2
d) 19 cm2
e) 16 cm2
2. (UFMG) Observe esta figura:
Nessa figura, o quadrilátero ABCD tem como vértices os 
pontos médios dos lados do retângulo EFGH, que, por 
sua vez, está inscrito em uma circunferência. O segmen-
to AC e o raio dessa circunferência medem, respectiva-
mente, 12 cm e 7 cm.
Assim sendo, é CORRETO afirmar que a área do quadri-
látero ABCD, em cm2, é:
a) 6 dXXX 13 .
b) 8 dXXX 13 .
c) 12 dXXX 13 .
d) 4 dXXX 13 .
3. (UFRGS) Na figura abaixo, os triângulos retângulos 
são congruentes e possuem catetos com medidas a e b:
A área da região sombreada é:
a) 2ab 
b) a2 + b2 
c) a2 + 2ab + b2 
d) a2 – 2ab + b2 
e) a2 – b2 
4. (CFTRJ) Em uma parede retangular de 12m de com-
primento, coloca-se um portão quadrado, deixando-se 
3m à esquerda e 6m à direita. A área da parede ao 
redor do portão é 39m2 (figura abaixo). Qual é a altura 
da parede? 
a) 3 m 
b) 3,9 m 
c) 4 m 
d) 5 m 
5. (UFSJ) A seguinte figura é composta por polígonos 
regulares, cada um deles tendo todos os seus lados con-
gruentes e todos os seus ângulos internos congruentes.
A medida do lado de cada um desses polígonos é 
igual a b unidades de comprimento. Com relação a 
essa figura, é INCORRETO afirmar que:
a) a área total ocupada pelo hexágono é 3 __ 2 dXX 3 b2 uni-
dades de área. 
b) a área total da figura é (12 + 6 dXX 3 )b2 unidades de área. 
c) a área total ocupada pelos triângulos é 3 __ 2 dXX 3 b2 uni-
dades de área. 
d) a área total ocupada pelos quadrados é 12b2 uni-
dades de área. 
 86
6. (UPE) Dois retângulos foram superpostos, e a intersecção 
formou um paralelogramo, como mostra a figura abaixo:
Sabendo-se que um dos lados do paralelogramo mede 
4,5 cm, quanto mede a área desse paralelogramo? 
a) 12 cm2 
b) 16 cm2 
c) 24 cm2 
d) 32 cm2 
e) 36 cm2 
7. (CFTMG) A área de um paralelogramo ABCD é 54 dm2. 
Aumentando-se 6 unidades na sua altura e diminuin-
do-se 4 unidades na base, sua área aumenta de 6 dm2. 
Dessa forma, a razão entre as medidas da base e da 
altura desse paralelogramo será:
a) 3 __ 2 
b) 2 __ 3 
c) 1 __ 2 
d) 1 __ 3 
8. (IFPE) O Sr. Joaquim comprou um terreno em um 
loteamento numa praia do litoral sul de Pernambuco. 
O terreno tem a forma de um paralelogramo (figura 
abaixo) com a base medindo 20 metros e a altura me-
dindo 15 metros. Os pontos M e N dividem a diagonal 
BD em três partes iguais. No triângulo CMN, ele vai 
cultivar flores. Qual é a área que o Sr. Joaquim desti-
nou para esse cultivo, em m2?
a) 37 
b) 39 
c) 45 
d) 48 
e) 50 
9. (CFTMG) Se a área de um retângulo, cujos lados são 
denominados a e b, em que a > b, é igual a 120 m2 e seu 
perímetro é igual a 52 m, então, é correto afirmar que 
a) a – b = 0. 
b) a – b = 2. 
c) a – b = 14. 
d) a – b = 68. 
10. (UFG) No trapézio ABCD a seguir, o segmento AB 
mede a, o segmento DC mede b, M é o ponto médio de 
AD e N é o ponto médio de BC.
Nestas condições, a razão entre as áreas dos trapézios 
MNCD e ABNM é igual a:
a) 
(a + 2b)
 _______ 
3a + b
 
b) 
(a + 3)
 _______ 
(2a + b)
 
c) 
(a + 3b)
 _______ 
(3a + b)
 
d) 
(a + 2b)
 _______ 
(2a + b)
 
e) 
(3a + 2b)
 ________ 
(2a + 3b)
 
 11. (UTFPR) A área de uma sala com a forma da figura 
a seguir é de:
a) 30 m2 
b) 26,5 m2 
c) 28 m2 
d) 24,5 m2 
e) 22,5 m2 
12. (CFTMG) Na figura, ABCD é um retângulo onde AB = a 
e AE = ( 1 __ 4 ) CD. Se a área do triângulo ADE é 16 cm2, a área 
do trapézio BCDE, em cm2, vale:
 
a) 72 c) 112
b) 90 d) 256
 87
13. (Mackenzie) Unindo-se os pontos médios dos lados 
de um hexágono regular H1, obtém-se um hexágono re-
gular H2. A razão entre as áreas de H1 e H2 é:
a) 4 __ 3 d) 3 __ 2 
b) 6 __ 5 e) 5 __ 3 
c) 7 __ 6 
14. (CFTMG) Um fazendeiro de um determinado lugar 
está muito incomodado. Uma rodovia de 4 m de lar-
gura foi construída atravessando um dos seus pastos 
retangulares, dividindo-o em dois. Como resultado, ele 
perdeu um pouco de suas terras. Se todas as dimensões 
da figura estão em metros, a área do terreno que ele 
perdeu, em m2, é:
a) 120 c) 160
b) 150 d) 200
15. (UFPE) Qual a área do triângulo hachurado na figura, 
sabendo-se que o lado do quadrado ABCD vale 2cm?
 
a) 1 __ 2 cm2
b) [ ( 1 __ 3 ) + ( 1 __ 2 ) ] cm2 
c) 1 __ 2 cm2
d) 1 __ 6 cm2
e) 1 ___ 16 cm2
16. (UFSCAR) A figura mostra um círculo de centro O e 
raio R = 18 cm. O segmento AB é o lado de um hexágono 
regular inscrito e ACE, um triângulo equilátero inscrito.
Nessas condições, a área do paralelogramo EFBG é:
a) 216 dXX 3 cm2
b) 180 dXX 3 cm2
c) 116 dXX 3 cm2
d) 120 dXX 3 cm2
e) 108 dXX 3 cm2
17. (UFRN) Miguel pintará um painel retangular com 
motivos geométricos. As duas regiões destacadas, a re-
gião 1 (FGKM), contida no quadrado FGLM, e a região 2 
(HILK), contida no paralelogramo HILM, conforme figura 
a seguir, serão pintadas de vermelho. Sabe-se que a tinta 
utilizada para pintar uma região qualquer depende pro-
porcionalmente de sua área.
Se Miguel gastasse na pintura da região 1, 3 __ 7 da tinta 
vermelha de que dispõe, poderíamos afirmar que:
a) o restante de tinta vermelha daria , exatamente, 
para a pintura da região 2.
b) o restante de tinta vermelha seria insuficiente para 
a pintura da região 2.
c) a região 2 seria pintada e ainda sobrariam 3 __ 7 de 
tinta vermelha.
d) a região 2 seria pintada e ainda sobraria 1 __ 7 de 
tinta vermelha.
18. (UFRN) Na figura a seguir, r, s, t e u são retas PARA-
LELAS e EQUIDISTANTES. Os segmentos EF, GH, IJ e KL 
são congruentes.
Se S(Ri) representa a área da região Ri, i = 1,2,3, então:
a) S(R1) = S(R2) < S(R3)
b) S(R1) = S(R2) = S(R3)
c) S(R2) > S(R3) > S(R1)
d) S(R1) < S(R2) < S(R3)
19. (G1 - ifsc) Na figura a seguir, o lado do quadrado 
ABCD mede a = 6 cm; o lado do quadrado CEFG mede 
b = 2 cm e a altura do triângulo BCH mede h = 4 cm.
 
 88
Assinale a alternativa CORRETA.
Com base nesses dados, calcule a área da parte acinzen-
tada da figura. 
a) 52 cm2 
b) 40 cm2 
c) 44 cm2 
d) 48 cm2 
e) 50 cm2 
20. (Upe-ssa 1) Em torno de um canteiro retangular de 
12 m de comprimento por 8 m de largura, pretende-se 
construir uma calçada. Qual deve ser a largura máxima 
dessa calçada, se o material disponível só é suficiente 
para cimentar uma área de 69 m2? 
a) 1,0 m 
b) 1,5 m 
c) 2,0 m 
d) 2,5 m 
e) 3,0 m 
E.O. COMPLEMENTAR
1. (FGV) Três irmãos receberam de herança um terreno 
plano com a forma de quadrilátero convexo de vértices 
A, B, C e D, em sentido horário. Ligando os vértices B e 
D por um segmento de reta, o terreno fica dividido em 
duas partes cujas áreas estão na razão 2:1, com a parte 
maior demarcada por meio do triângulo ABD. Para divi-
dir o terreno em áreas iguais entre os três irmãos, uma 
estratégia que funciona, independentemente das medi-
das dos ângulos internos do polígono ABCD, é fazer os 
traçados de BD e DM , sendo 
a) M o ponto médio de AB .
b) M o ponto que divide AB na razão 2:1.
c) M a projeção ortogonal de D sobre AB .
d) DM a bissetriz de A 
 ̂ 
 D B.
e) DM a mediatriz de AB .
2. (Epcar (Cpcar)) A figura abaixo representa um octó-
gono regular tal que CH = 6 cm.
A área desse polígono, em cm2, é igual a:
a) 56 ( dXX 2 – 1 ) 
b) 64 ( dXX 2 – 1 ) 
c) 72 ( dXX 2 – 1 ) 
d) 80 ( dXX 2– 1 ) 
3. (IFCE) Em um trapézio, a área é numericamente igual 
à altura. Sobre isso, é correto afirmar-se que:
a) a soma das bases é igual a 1.
b) a base maior é igual a 1.
c) a base menor é menor do que 1.
d) a base maior é menor do que 1.
e) a altura é igual a 1.
4. (IFCE) Na figura abaixo, podemos visualizar o gráfico 
da função y = ax + b , com a, b, R, a 0 e b 0. 
A função g: (1, `+) R associa, a cada x [ R, x > 1 
a área g(x) da região sombreada na figura, delimitada 
pelo eixo das abscissas, pelo gráfico de y = ax + b e 
pelas retas verticais X = 1 e X = x. Se g(x) = x2 + 3x – 4, 
a e b são, respectivamente, 
a) 1 e 2. d) 2 e 3.
b) 2 e 1. e) 1 e 3.
c) 3 e 2.
5. (UFPR) A soma das áreas dos três quadrados da figura 
é igual a 83 cm2. Qual é a área do quadrado maior?
a) 36 cm2
b) 20 cm2
c) 49 cm2
d) 42 cm2
e) 64 cm2
6. (CFTMG) UVWX é um paralelogramo com área de 24 cm2. 
M e N são os pontos médios de UX e VW, respectivamente. 
Os pontos X, N, P e Q, M, W estão alinhados. A área do tri-
ângulo QOP, em cm2, é
a) 27 c) 32
b) 30 d) 36
 89
7. (UFPE) O paralelogramo ABCD está dividido em qua-
tro paralelogramos, como ilustrado na figura a seguir. 
As áreas de EBFI, IFCG e HIGD são dadas por 15x, 10x2 
e 14x para algum real positivo x, respectivamente. Qual 
a área de AEIH? 
a) 15
b) 21
c) 24
d) 25
e) 28
8. (Epcar (Afa)) Considere, no triângulo ABC abaixo, os 
pontos P 
——
 AB , Q 
——
 BC , R 
——
 AC e os segmentos 
——
 PQ e 
——
 QR 
paralelos, respectivamente, a 
——
 AC e 
——
 AB . 
 
Sabendo que 
——
 BQ = 3 cm, 
——
 QC = 1 cm e que a área do 
triângulo ABC é 8 cm2, então a área do paralelogramo 
hachurado, em cm2 é igual a 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
9. (FGV-RJ) A área de um trapézio mede 1.800 cm2. A al-
tura desse trapézio mede 50 cm. Considere o problema 
de determinar as medidas das bases desse trapézio, sa-
bendo que essas medidas, em centímetros, são números 
inteiros divisíveis por 8. 
O número de soluções desse problema é: 
a) 3. d) 4. 
b) 2. e) 5. 
c) 1. 
10. (CFTMG) Na figura a seguir ATD é uma semicircun-
ferência inscrita no trapézio ABCD e A, T e D são pontos 
de tangência.
 
Se os lados paralelos desse trapézio medem 4 cm e 9 cm, 
então sua área, em cm2, é igual a 
a) 22. 
b) 45. 
c) 78. 
d) 90. 
E.O. DISSERTATIVO
1. Calcule a área do losango que tem diagonal maior 
igual a 8m e diagonal menor igual a 70 dm. 
2. (FAAP) As bases de um trapézio são 80 cm e 60 cm e 
sua altura 40 cm. A 10 cm da base maior, traça-se uma 
paralela às bases, que determina dois trapézios. Qual é 
a área de cada um? 
3. (GCP)Na figura abaixo, as bases do trapézio isós-
celes ABCD medem 10 cm e 30 cm e a medida do 
ângulo BÂD é 60º. Além disso, AE = EB
a) Determine a altura do trapézio ABCD.
b) Utilizando o Teorema de Pitágoras, encontre a 
medida DE.
c) Calcule a medida da área do triângulo DCE. 
4. (UFTM) O trapézio retângulo ABCD representa um ter-
reno, com área de 800 m2, situado em certo condomínio. 
Uma das cláusulas que regulamentam as construções 
nesse condomínio exige que a área construída, indicada 
pelo trapézio AECD na figura, ocupe no mínimo 50% e 
no máximo 70% da área do terreno.
Desse modo, determine:
a) o intervalo de todos os possíveis valores que x 
pode assumir para atender à cláusula especificada.
b) o valor de x, se a área não construída ocupar 2 __ 5 da 
área total do terreno. 
 90
5. (UFG) Um agricultor pretende dividir um terreno em 
duas partes que possuam a mesma área. A figura a se-
guir representa o terreno e a divisão deve ser feita ao 
longo da linha vertical tracejada.
Considerando-se o exposto, determine o valor de x, 
com precisão de uma casa decimal.
Dado: dXXX 34 = 5,83.
6. (UFJF) Em um trapézio ABCD, com lados AB e CD pa-
ralelos, sejam M o ponto médio do segmento CD e S1 a 
área do triângulo BMC.
a) Considere P o ponto de interseção do segmento 
AM com BD . Sabendo que a área do triângulo DPM 
é um quarto da área do triângulo BMC, deduza a re-
lação existente entre a altura H do triângulo BMC re-
lativa à base MC e altura h do triângulo DPM relativa 
à base MD .
b) Sabendo que CD = 2 e AB = 6, calcule a área do 
trapézio em função da altura H do triângulo BMC. 
7. (UFPE) A figura a seguir possui x unidades de área. 
Determine o inteiro mais próximo de x.
8. (UFRJ) A figura 1 a seguir apresenta um pentágo-
no regular de lado 4L; a figura 2, dezesseis pentágo-
nos regulares, todos de lado L.
Qual é maior: a área A do pentágono da figura 1 ou a 
soma B das áreas dos pentágonos da figura 2? Justifi-
que sua resposta. 
9. (UFMG) Na figura a seguir, o triângulo ABC tem área 
igual a 126. Os pontos P e Q dividem o segmento AB em 
três partes iguais, assim como os pontos M e N dividem 
o segmento BC em três partes iguais.
Com base nessas informações,
a) Determine a área do triângulo QBN.
b) Determine a área do triângulo sombreado PQM.
10. (UFG) A “árvore pitagórica fundamental” é uma 
forma estudada pela Geometria Fractal e sua apa-
rência característica pode representar o formato dos 
galhos de uma árvore, de uma couve-flor ou de um 
brócolis, dependendo de sua variação. A árvore pita-
górica abaixo foi construída a partir de um triângulo 
retângulo, ABC, de lados AB = 3, AC = 4 e CB = 5, e de 
quadrados construídos sobre seus lados. A figura rami-
fica-se em quadrados e triângulos retângulos meno-
res, semelhantes aos iniciais, sendo que os ângulos 
 ̂ 
 C , 
 
^ 
 F e 
 ̂ 
 I são congruentes, seguindo um processo iterativo 
que pode se estender infinitamente.
Com base nessas informações, calcule a área do triân-
gulo GHI, integrante dessa árvore pitagórica. 
11. (UFPR) Um canteiro de flores possui 25 m2 de área e 
tem o formato de um triângulo retângulo. Este triângu-
lo foi dividido em cinco partes, por segmentos de reta 
igualmente espaçados e paralelos a um dos catetos, 
conforme indica a figura a seguir.
Qual é a área do trapézio hachurado indicado na figura?
 91
12. (UFRRJ) Esboce graficamente as retas y = x – 1, y = x – 3, 
y = – x + 1 e y = 1 e determine a área da região delimitada 
por estas retas. 
13. (CFTRJ) Um trapézio propriamente dito é um qua-
drilátero em que há um par de lados paralelos chama-
dos bases cujas medidas são denotadas usualmente por 
b e B, e outros dois lados que não são as bases e não 
são paralelos entre si. Chama-se altura do trapézio pro-
priamente dito a distância entre suas bases e usa-se a 
notação h para sua medida. Desse modo, a área A de 
um trapézio propriamente dito é dada pela expressão 
A = 
( B + b ) _______ 2 × h
A figura a seguir mostra um trapézio propriamente dito 
com bases medindo 17 e 34, com os comprimentos dos 
lados medidos em centímetros.
 
Qual será a área desse trapézio, em centímetros quadrados? 
14. (CFTRJ) Na figura abaixo:
• Os pontos B, F e E são colineares;
• Os pontos A, D e E são colineares;
• ABCD é um quadrilátero equiângulo;
• O segmento 
——
 EB é bissetriz do ângulo C 
 ̂ 
 E A; 
• O ângulo A 
 ̂ 
 B E mede 60º e o segmento 
——
 BC mede 18 cm. 
 
Com essas informações, calcule a medida da área, em cm2 
do triângulo BCE. 
15. (FGV) A figura a seguir representa a tela de um 
quadro pós-moderno, um quadrado cujos lados medem 
2 metros. Deseja-se pintar o quadro nas cores cinza e 
preta, como descrito na figura.
 
a) Qual a área que deverá ser pintada em preto? 
Expresse a resposta em metros quadrados. Qual é a 
proporção de cor preta para cor cinza?
b) Se a pintura na cor preta custa R$ 100,00 
o metro quadrado, e a pintura na cor cinza, 
R$ 200,00 o metro quadrado, qual será o custo total 
de pintura do quadro?
c) Se as cores forem invertidas (sendo a área cinza 
pintada de preto e a área preta pintada de cinza), 
qual será a variação percentual do custo total de pin-
tura do quadro, com relação ao custo total obtido no 
item B? 
16. (PUC-RJ) Na figura abaixo, temos que:
 
——
 AB =——
 AF = 6 cm
 
——
 BC = 3 cm 
CD = 
——
 EF = 2 cm 
 
a) Calcule o valor de 
——
 DE . 
b) Calcule a área do polígono ABCDEF. 
17. (PUC-RJ) Fabio tem um jardim ACDE com o lado AC 
medindo 15 m e o lado AE medindo 6 m, A distância en-
tre A e B é 7 m. Fabio quer construir uma cerca do ponto 
A ao ponto D passando por B. Veja a figura abaixo.
 
a) Se a cerca usada entre os pontos A e B custa 100 
reais o metro e a cerca entre os pontos B e D custa 
200 reais o metro, qual o custo total da cerca?
b) Calcule a área da região hachurada ABDE.
c) Considere o triângulo BCD, apresentado na figu-
ra abaixo. Sabendo-se que o triângulo BB’D’ possui 
cateto BB' = 2BC, calcule a área do triângulo BB’D’.
 92
18. (UEL) João é dono de um food truck, uma espécie de 
lanchonete estruturada em uma carroceria de um veícu-
lo móvel (caminhão) e utilizada para preparar e vender 
lanches. Ele quer enfeitar uma das faces da carroceria 
de seu caminhão, cujo formato é retangular, contornan-
do-a com fita de led.
Considerando que João precisa de exatamente 700 cm 
de fita de led e que a área retangular limitada pela fita 
de led deve ser igual a 30.000 cm2, determine as dimen-
sões desse retângulo.
Justifique sua resposta apresentando os cálculos reali-
zados na resolução desta questão. 
19. (PUC-RJ) De uma folha de papelão de lados de medi-
das 23 e 14 foram retirados, dos quatro cantos, quadra-
dos de lado de medida 3 para construir uma caixa (sem 
tampa) dobrando o papelão nas linhas pontilhadas.
a) Determine o perímetro da folha de papelão após a 
retirada dos quatro cantos.
b) Determine a área da folha de papelão após a reti-
rada dos quatro cantos.
c) Determine o volume da caixa formada. 
E.O. ENEM
1. (Enem) Em uma certa cidade, os moradores de um 
bairro carente de espaços de lazer reinvidicam à prefei-
tura municipal a construção de uma praça. A prefeitura 
concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la 
em formato retangular devido às características técni-
cas do terreno. Restrições de natureza orçamentária im-
põem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para 
cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores 
desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para 
a construção da praça: 
Terreno 1: 55 m por 45 m
Terreno 2: 55 m por 55 m 
Terreno 3: 60 m por 30 m 
Terreno 4: 70 m por 20 m 
Terreno 5: 95 m por 85 m 
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às 
restrições impostas pela prefeitura, os moradores de-
verão escolher o terreno 
a) 1. d) 4.
b) 2. e) 5.
c) 3.
2. (Enem) Uma fábrica de fórmicas produz placas qua-
dradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas 
placas são vendidas em caixas com N unidades e, na 
caixa, é especificada a área máxima S que pode ser co-
berta pelas N placas.
Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, 
a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e 
conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma 
que a área coberta S não fosse alterada.
A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada 
nova caixa será igual a: 
a) N __ 9 d) 3N
b) N __ 6 e) 9N
c) N __ 3 
3. (Enem) Um forro retangular de tecido traz em sua eti-
queta a informação de que encolherá após a primeira 
lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura 
a seguir mostra as medidas originais do forro e o ta-
manho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na 
largura. A expressão algébrica que representa a área do 
forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).
Nessas condições, a área perdida do forro, após a pri-
meira lavagem, será expressa por: 
a) 2xy
b) 15 – 3x
c) 15 – 5y
d) –5y – 3x
e) 5y + 3x – xy
4. (Enem) Para decorar a fachada de um edifício, um ar-
quiteto projetou a colocação de vitrais compostos de qua-
drados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.
 93
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos mé-
dios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC 
medem 1 __ 4 da medida do lado do quadrado. Para con-
feccionar um vitral, são usados dois tipos de mate-
riais: um para a parte sombreada da figura, que custa 
R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões 
ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2.
De acordo com esses dados, qual é o custo dos mate-
riais usados na fabricação de um vitral? 
a) R$ 22,50
b) R$ 35,00
c) R$ 40,00
d) R$ 42,50
e) R$ 45,00
5. (Enem) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por 
metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de 
moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais.
Uma artista plástica precisa encomendar telas e mol-
duras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangu-
lares (25 cm × 50 cm). Em seguida, fez uma segunda 
encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares 
(50 cm × 100 cm). 
O valor da segunda encomenda será 
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a 
altura e a largura dos quadros dobraram. 
b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas 
não o dobro. 
c) a metade do valor da primeira encomenda, porque 
a altura e a largura dos quadros dobraram. 
d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas 
não a metade. 
e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o 
custo de entrega será o mesmo. 
6. (Enem) A cerâmica constitui-se em um artefato 
bastante presente na história da humanidade. Uma 
de suas várias propriedades é a retração (contração), 
que consiste na evaporação da água existente em um 
conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma 
determinada temperatura elevada. Essa elevação de 
temperatura, que ocorre durante o processo de cozi-
mento, causa uma redução de até 20% nas dimensões 
lineares de uma peça.
DISPONÍVEL EM: WWW.ARQ.UFSC.BR. 
ACESSO EM: 3 MAR. 2012.
Suponha que uma peça, quando moldada em argila, 
possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm 
e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos 
em 20%.
Em relação à área original, a área da base dessa peça, 
após o cozimento, ficou reduzida em 
a) 4%.
b) 20%.
c) 36%.
d) 64%.
e) 96%.
7. (Enem) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui 
preocupação constante nos períodos chuvosos. Em al-
guns trechos, são construídas canaletas para controlar 
o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte verti-
cal determina a forma de um trapézio isósceles, tem as 
medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão 
da água é de 1.050 m3/s. O cálculo da vazão, Q em m3/s, 
envolve o produto da área A do setor transversal (por 
onde passa a água), em m2, pela velocidade da água no 
local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. 
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões espe-
cificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.
Na suposição de que a velocidade da água não se al-
terará, qual a vazão esperada para depois da reforma 
na canaleta? 
a) 90 m3/s.
b) 750 m3/s.
c) 1.050 m3/s.
d) 1.512 m3/s.
e) 2.009 m3/s.
8. (Enem) O governo cedeu terrenos para que famílias 
construíssem suas residências com a condição de que 
no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como 
área de preservação ambiental. Ao receber o terreno re-
tangular ABCD, em que AB = BC ___ 2 , Antônio demarcou uma 
área quadrada no vértice A, para a construção de sua 
residência, de acordo com o desenho, no qual AE = AB ___ 5 é 
lado do quadrado.
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exata-
mente o limite determinado pela condição se ele 
a) duplicasse a medida do lado do quadrado. 
b) triplicasse a medida do lado do quadrado. 
 94
c) triplicasse a área do quadrado. 
d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
e) ampliasse a área do quadrado em 4%.
9. (Enem) O tangram é um jogo oriental antigo, uma 
espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 
5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 
1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um 
quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Uti-
lizando-se todas as sete peças, é possível representar 
uma grande diversidade de formas, como as exemplifi-
cadas nas figuras 2 e 3.
Se o lado AB do hexágono mostrado na figura2 mede 
2cm, então a área da figura 3, que representa uma “ca-
sinha”, é igual a 
a) 4 cm2.
b) 8 cm2.
c) 12 cm2.
d) 14 cm2.
e) 16 cm2.
10. (Enem) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão 
de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no 
inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos 
de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gra-
mas por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de área, ou 
modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e co-
bre 45 m2 de área. O fabricante indica que o aquecedor 
deve ser instalado em um ambiente com área menor do 
que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade 
por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. 
A área do salão que deve ser climatizada encontra-se 
na planta seguinte (ambientes representados por três 
retângulos é um trapézio).
Avaliando-se todas as informações, serão necessários 
a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do 
tipo B. 
b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. 
c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. 
d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. 
e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B. 
E.O. UERJ 
EXAME DE QUALIFICAÇÃO
1. (UERJ) Unindo-se os pontos médios dos lados do tri-
ângulo ABC, obtém-se um novo triângulo A’B’C’, como 
mostra a figura.
Se S e S’ são, respectivamente, as áreas de ABC e A’B’C’, 
a razão S/S’ equivale a: 
a) 4 c) dXX 3 
b) 2 d) 3 __ 2 
2. (UERJ) Uma folha de papel retangular, como a da 
figura 1, de dimensões 8 cm × 14 cm, é dobrada como 
indicado na figura 2.
Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, 
em cm2, é igual a: 
a) 112 
b) 88 
c) 64 
d) 24 
3. (UERJ) Para confeccionar uma bandeirinha de festa 
junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de 
largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às ins-
truções abaixo.
1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, 
e abri-lo novamente:
 
 95
2. Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de 
modo que B coincida com o ponto P do segmento MN:
 
3. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP.
A área construída da bandeirinha APBCD, em cm2, é 
igual a: 
a) 25 (4 – √
__
 3 ) 
b) 25 (6 – √
__
 3 ) 
c) 50 (2 – √
__
 3 ) 
d) 50 (3 – √
__
 3 ) 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO 
– Uma área agrícola, próxima a um lago, precisa ser 
adubada antes do início do plantio de hortaliças.
– O esquema (figura 1) indica as medidas do terreno a 
ser plantado. Os dois lados paralelos distam 10 km e os 
três ângulos obtusos indicados são congruentes.
– Para corrigir a elevada acidez do solo, o produto reco-
mendado foi o calcário (CaCO3), na dosagem de 5 g/m2 
de solo.
– Para a adubação do terreno, emprega-se um pulve-
rizador com 40 m de comprimento, abastecido por um 
reservatório de volume igual a 2,16 m3, que libera o 
adubo à vazão constante de 1.200 cm3/s. Esse conjun-
to, rebocado por um trator que se desloca à velocidade 
constante de 1 m/s, está representado na figura 2.
– A partir do início da adubação, a qualidade da água 
do lago passou a ser avaliada com regularidade. 
4. (UERJ) 
A área do terreno a ser plantada é, em km2, igual a: 
a) 160 c) 170
b) 165 d) 175
E.O. UERJ 
EXAME DISCURSIVO
1. (UERJ) Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de 
trapézio, têm as frentes de mesmo comprimento volta-
das para a Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos estão 
voltados para a Rua Beta. Observe o esquema:
As áreas de A e B são, respectivamente, proporcionais 
a 1 e 2, e a lateral menor do terreno A mede 20 m. Cal-
cule o comprimento x, em metros, da lateral maior do 
terreno B. 
2. (UERJ) No triângulo ABC a seguir, os lados BC, AC e AB 
medem, respectivamente, a, b e c. As medianas AE e BD 
relativas aos lados BC e AC interceptam-se ortogonal-
mente no ponto G.
Conhecidos a e b, determine:
a) o valor de c em função de a e b;
b) a razão entre as áreas dos triângulos ADG e BEG. 
3. (UERJ) Uma piscina, cujas dimensões são 4 metros de 
largura por 8 metros de comprimento, está localizada 
no centro de um terreno ABCD, retangular, conforme in-
dica a figura a seguir. 
Calcule a razão entre a área ocupada pela piscina e a 
área ABCD. 
4. (UERJ) Um atleta está treinando em uma pista retilí-
nea e o gráfico a seguir apresenta dados sobre seu mo-
vimento. 
 96
A distância percorrida pelo corredor, no intervalo entre 
0 e 5 segundos, é igual à área do trapézio sombreado.
Calcule essa distância. 
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unesp) A figura representa um triângulo retângulo 
de vértices A, B e C, onde o segmento de reta DE é pa-
ralelo ao lado AB do triângulo.
Se AB = 15 cm, AC = 20 cm e AD = 8 cm, a área do tra-
pézio ABED, em cm2, é:
a) 84.
b) 96.
c) 120.
d) 150.
e) 192.
2. (Unesp) A figura representa uma chapa de alumínio 
de formato triangular de massa 1250 gramas. Deseja-se 
cortá-la por uma reta r paralela ao lado BC e, que inter-
cepta o lado AB em D e o lado AC em E, de modo que o 
trapézio BCED tenha 700 gramas de massa. A espessura 
e a densidade do material da chapa são uniformes. De-
termine o valor percentual da razão de AD por AB .
Dado: dXXX 11 ≈ 3,32
 
a) 88,6. d) 66,4. 
b) 81,2. e) 44,0.
c) 74,8. 
3. (Unifesp) Na figura, o ângulo C é reto, D é ponto médio 
de AB, DE é perpendicular a AB, AB = 20 cm e AC = 12 cm.
E
A área do quadrilátero ADEC, em centímetros quadra-
dos, é:
a) 96. d) 48.
b) 75. e) 37,5.
c) 58,5. 
4. (Unesp) A figura representa um trapézio retângulo em 
que a medida de AB é k centímetros, o lado AD mede 2k 
e o ângulo DÂE mede 30°.
Nestas condições, a área do trapézio, em função de k, 
é dada por: 
a) k2 (2 + dXX 3 ). d) 3k2 dXX 3 . 
b) k2 [ (2 + dXX 3 )
 _______ 2 ] . e) k2 dXX 3 . 
c) 3k2 
( dXX 3 )
 ____ 2 . 
5. (Fuvest) O mapa de uma região utiliza a escala de 
1:200 000. A porção desse mapa, contendo uma Área de 
Preservação Permanente (APP), está representada na fi-
gura, na qual AF e DF são segmentos de reta, o ponto G 
está no segmento AF , o ponto E está no segmento DF , 
ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio. Se AF = 15, 
AG = 12, AB = 6, CD = 3 e DF = 5 dXX 5 indicam valores em 
centímetros no mapa real, então a área da APP é:
a) 100 km2 d) 240 km2
b) 108 km2 e) 444 km2
c) 210 km2
6. (Fuvest) Na figura a seguir , a reta r é paralela ao seg-
mento AC , sendo E o ponto de intersecção de r com a 
reta determinada por D e C. Se as áreas dos triângulos 
ACE e ADC são 4 e 10, respectivamente, e a área do qua-
drilátero ABED é 21, então a área do triângulo BCE é:
 97
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
7. (Fuvest) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com 
catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence 
ao cateto AB , o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto 
F pertence à hipotenusa AC , de tal forma que DECF seja 
um paralelogramo. Se DE = 3 __ 2 , então a área do paralelo-
gramo DECF vale
a) 63 ___ 25 d) 56 ___ 25 
b) 12 ___ 5 e) 11 ___ 5 
c) 58 ___ 25 
8. (Unicamp 2017) Considere o quadrado de lado a > 0 
exibido na figura abaixo. Seja A(x) a função que associa 
a cada 0 ≤ x ≤ a a área da região indicada pela cor cinza.
 
O gráfico da função y = A(x) no plano cartesiano é dado por 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
9. (Unesp 2017) O hexágono marcado na malha quadricu-
lada sobre a fotografia representa o contorno do câmpus 
da Unesp de Rio Claro, que é aproximadamente plano.
A área aproximada desse câmpus, em km2, é um núme-
ro pertencente ao intervalo 
a) [0,8; 1,3[ 
b) [1,8; 2,3[ 
c) [2,3; 2,8[ 
d) [1,3; 1,8[ 
e) 0,3; 0,8[ 
10. (Unesp) Renata pretende decorar parte de uma pa-
rede quadrada ABCD com dois tipos de papel de parede, 
um com linhas diagonais e outro com riscos horizontais. 
O projeto prevê que a parede seja dividida em um qua-
drado central, de lado x, e quatro retângulos laterais, 
conforme mostra a figura.
 
Se o total da áreadecorada com cada um dos dois tipos 
de papel é a mesma, então x, em metros, é igual a 
a) 1 + 2 √
__
 3 
b) 2 + 2 √
__
 3 
 98
c) 2 + √
__
 3 
d) 1 + √
__
 3 
e) 4 + √
__
 3 
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Fuvest)
Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-ho-
rário. A partir de cada vértice atingido ao longo do per-
curso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construin-
do-se um segmento de mesmo comprimento que esse 
lado. As extremidades dos prolongamentos são denota-
das por A’, B’, C’ e D’, de modo que os novos segmentos 
sejam, então, AA' , BB' , CC' e DD' . Dado que AB = 4 e 
que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, 
calcule a área do
a) paralelogramo ABCD;
b) triângulo BB’C’;
c) quadrilátero A’B’C’D’.
2. (Fuvest) No paralelogramo ABCD a seguir, tem-se que 
AD = 3 e DAB = 30°. Além disso, sabe-se que o ponto P 
pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo DÂB.
a) Calcule AP.
b) Determine AB sabendo que a área do quadrilátero 
ABCP é 21. 
3. (Unicamp) Um terreno tem a forma de um trapézio re-
tângulo ABCD, conforme mostra a figura, e as seguintes 
dimensões: AB = 25 m, BC = 24 m, CD = 15 m.
a) Se cada metro quadrado desse terreno vale R$ 
50,00, qual é o valor total do terreno?
b) Divida o trapézio ABCD em quatro partes de mes-
ma área, por meio de três segmentos PARALELOS AO 
LADO BC. Faça uma figura para ilustrar sua resposta, 
indicando nela as dimensões das divisões no lado AB. 
4. (Unesp) O lado BC do triângulo ABC mede 20 cm. Tra-
ça-se o segmento MN, paralelo a BC conforme a figura, 
de modo que a área do trapézio MNBC seja igual a 3 __ 4 da 
área do triângulo ABC. Calcule o comprimento de MN.
5. (Fuvest) No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado 
AD; N está sobre o lado BC e 2BN = NC. Sabe-se que as 
áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que 
DC = 10.Calcule AB.
6. (Fuvest) Na figura, BC é paralela a DE.
AB = 4
BD = 5
Determine a razão entre as áreas do triângulo ABC e do 
trapézio BCDE. 
7. (Unicamp) Considere dois quadrados congruentes 
de lado 4 cm. O vértice de um dos quadrados está no 
centro do outro quadrado, de modo que esse quadrado 
possa girar em torno de seu centro. Determine a va-
riação da área obtida pela intersecção das áreas dos 
quadrados durante a rotação.
 99
8. (Unicamp) Os lados do triângulo ABC da figura abaixo 
têm as seguintes medidas: 
——
 AB = 20, 
——
 BC = 15 e 
——
 AC = 10. 
 
a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que 
——
 BD = 
3 e traça-se o segmento DE paralelo ao lado AC. Ache 
a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao 
lado AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado 
ED, sem explicitar os valores de h e H.
b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC 
em relação ao lado AC. 
9. (Unesp 2003) Em um acidente automobilístico, foi iso-
lada uma região retangular, como mostrado na figura.
Se 17 m de corda (esticada e sem sobras) foram sufi-
cientes para cercar 3 lados da região, a saber, os dois 
lados menores de medida x e um lado maior de medida 
y, dados em metros, determine:
a) a área (em m2) da região isolada, em função do 
lado menor;
b) a medida dos lados x e y da região retangular, sa-
bendo-se que a área da região era de 36 m2 e a me-
dida do lado menor era um número inteiro. 
10. (Unifesp) As figuras A e B representam dois retân-
gulos de perímetros iguais a 100 cm, porém de áreas 
diferentes, iguais a 400 cm2 e 600 cm2, respectivamente.
A figura C exibe um retângulo de dimensões (50 – x) 
cm e x cm, de mesmo perímetro que os retângulos das 
figuras A e B.
a) Determine a lei, f(x), que expressa a área do retân-
gulo da figura C e exiba os valores de x que fornecem 
a área do retângulo da figura A.
b) Determine a maior área possível para um retângulo 
nas condições da figura C. 
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. A 3. C 4. C 5. C
6. D 7. D 8. D 9. C 10. C
11. C 12. A 13. C 14. E 15. D
16. B 17. D 18. D 19. D 20. E
E.O. Fixação
1. A 2. C 3. D 4. C 5. B
6. E 7. A 8. E 9. C 10. C
11. B 12. C 13. A 14. C 15. E
16. A 17. D 18. B 19. C 20. B
E.O. Complementar
1. A 2. C 3. C 4. D 5. C
6. A 7. B 8. B 9. D 10. C
E.O. Dissertativo
1. A = 28 m2 
2. 2025 cm2 e 775 cm2 
3. 
a) tg 60º = h ___ 
10
 h = 10 · dXX 3 cm
b) DE = 5 dXXX 13 cm
c) A = 10 · 10 dXX 3 __________ 
2 
 = 50 dXX 3 cm2
4. 
a) 10 m ≤ x ≤ 26 m.
b) x = 18 m
5. x = 191,5 m
6. 
a) H = 4h 
b) A = 4H
 100
7. 15
8. Sejam A1 e A2, respectivamente, as áreas dos pentágonos da 
figura 1 e da figura 2.
Como os pentágonos são regulares, segue que eles são seme-
lhantes. Desse modo,
 
A1 ___ 
A2
 = ( 4L ___ 
L
 ) 
2
 = 16 A1 = 16A2
portanto, a área do pentágono da figura 1 é igual à soma das 
áreas dos 16 pentágonos da figura 2.
9. 
a) 14 u.a.
b) 28 u.a.
10. 1536 _____ 
625
 u.a.
11. 12 m2
12. Observe a figura abaixo:
A = A1 + A 2 = 3 u.a.
13. A = 180 cm2
14. S = 81 √
__
 3 cm2.
15. 
a) A proporção da cor preta para a cor cinza será de 5 __ 
3
 .
b) R$ 550,00.
c) 18,18%.
16. 
a) ED = √
___
 13 cm. b) A = 27 cm2.
17. 
a) R$ 2.700,00.
b) 66 m2.
c) 48 m2.
18. 150 e 200 centímetros
19. 
a) 74 u.c. b) 286 u.a. c) 408 u.v.
E.O. Enem
1. C 2. A 3. E 4. B 5. B
6. C 7. D 8. C 9. B 10. C
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. A 2. C 3. B 4. D
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. x = 100 m
2. 
a) c = √
__________
 [ ( a2 + b2 ) ________ 5 ] 
b) 
S1 __ 
S2
 = 1, em que S1 e S2 são, respectivamente, as 
áreas dos triângulos ADG e BEG.
3. 1 __ 5 .
4. 12,5 m
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. B 2. D 3. C 4. B 5. E
6. B 7. A 8. D 9. A 10. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) A = 12
b) A = 12
c) S(A’B’C’D’) = 60
2. 
a) AP = 3 dXXXXXXXX ( 2 + dXX 3 ) 
b) AB = 31 ___ 
2
 
3. 
a) R$ 24.000,00
b) Observe a figura a seguir:
4. MN = 10
5. AB = 20 
6. 
Área do triângulo
 ________________ 
Área do trapézio
 = 16 ___ 
65
 
7. Não há variação da área da intersecção, tem valor igual a 4cm2.
8. 
a) H/h = 5.
b) H = 15 √
___
 15 ______ 
4
 
9. 
 101
a) S = x(17 – 2x) com 0 < x < 8,5
b) x = 4 m e y = 9 m
10. 
a) f(x) = –x2 + 50x, com 0 < x < 50.
A área da figura A é 400 cm2.
Logo –x2 + 50x = 400 ä
ä x2 – 50x + 400 = 0 ä
ä x = 40 cm ou x = 10 cm.
b) 625 cm2.
 102
E.O. APRENDIZAGEM
1. (IFSP) A figura representa dois semicírculos com o 
diâmetro em dois lados consecutivos de um quadrado. 
Sabendo-se que a diagonal do quadrado mede 3 √
__
 8 cm, 
a área da figura, em centímetros quadrados, é igual a:
Adote π = 3.
 
a) 72. d) 45.
b) 63. e) 30.
c) 54.
2. (UTFPR) Seja a a circunferência que passa pelo ponto 
B com centro no ponto C e a circunferência que passa 
pelo ponto A com centro no ponto C, como mostra a fi-
gura dada. A medida do segmento AB é igual à medida 
do segmento BC e o comprimento da circunferência 
mede 12π cm. Então, a área do anel delimitado pelas 
circunferências e (região escura) é, em cm2, igual a:
 
a) 108 d) 36
b) 144 e) 24
c) 72
3. (UPE) A figura a seguir representa um hexágono re-
gular de lado medindo 2 cm e um círculo cujo centro 
coincide com o centro do hexágono, e cujo diâmetro 
tem medida igual à medida do lado do hexágono. 
Considere: π 3 e √
__
 3 1,7.
Nessas condições, quanto mede a área da superfície 
pintada?
a) 2,0 cm2. d) 8,0 cm2.
b) 3,0 cm2. e) 10,2 cm2.
c) 7,2 cm2.
4. (UFRGS) Os círculos desenhados na figura abaixo são 
tangentes dois a dois. 
A razão entre a área de um círculo e a área da região 
sombreada é: 
a) 1. d) _____ 4 – 
b) 2. e) 2_____ 4 – 
c) 3 _____ 4 – 
5. (UEL) Considere que um tsunami se propaga como 
uma onda circular.
Se a distância radial percorrida pelo tsunami, a cada in-
tervalo de 1 hora, é de k quilômetros,então a área A, 
em quilômetros quadrados, varrida pela onda entre 9 
horas e 10 horas é dada por: 
a) A = k2.
b) A = 9 k2.
c) A = 12 k2.
d) A = 15 k2.
e) A = 19 k2.
ÁREA DO CÍRCULO, SETOR E 
SEGMENTO CIRCULAR
HABILIDADES: 6, 7, 8, 9 e 14
COMPETÊNCIAS: 2 e 3
AULAS 21 e 22
 103
6. A área do círculo, em cm², cuja circunferência mede 
10 π cm, é:
a) 10 π
b) 36 π
c) 64 π
d) 50 π
e) 25 π
7. (UPE) A logomarca de uma empresa é formada por 
dois círculos tangentes e por três segmentos de reta 
paralelos, sendo que o segmento AB contém os centros 
dos círculos, e os segmentos MN e PQ são tangentes ao 
círculo menor, medindo 6 cm cada um, como mostra a 
figura a seguir. Quanto mede a área da superfície cinza 
da logomarca?
 
a) 9___ 2 . d) 3
b) 3___ 2 . e) 2
c) 9
8. (UFT) Considerando a circunferência da figura a se-
guir com centro no ponto O e diâmetro igual a 4 cm.
Pode-se afirmar que o valor da área da região hachu-
rada é: 
a) ( √
__
 8 4)cm2.
b) 2 cm2.
c) (2 – 4) cm2.
d) ( –1) cm2.
e) (4 – 2) cm2.
9. (FGV) Cada um dos 7 círculos menores da figura a 
seguir tem raio 1 cm. Um círculo pequeno é concêntri-
co com o círculo grande, e tangencia os outros 6 círcu-
los pequenos. Cada um desses 6 outros círculos peque-
nos tangencia o círculo grande e 3 círculos pequenos.
Na situação descrita, a área da região sombreada na 
figura, em cm2, é igual a: 
a) d) 5___ 2 .
b) 3___ 2 . e) 3
c) 2
10. Conforme a figura abaixo, A é o ponto de tangência 
das circunferências de centros C1, C2 e C3.
Sabe-se que os raios dessas circunferências formam 
uma progressão geométrica crescente.
Se os raios das circunferências de centros C1 e C2 me-
dem, respectivamente, 2r e 3r, então a área da região 
sombreada vale, em unidades de área: 
a) 55 ___ 8 r2. c) 61 ___ 8 r2.
b) 29 ___ 4 r2. d) 8 r2 .
E.O. FIXAÇÃO
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
 
1. (UEL) Observe a simetria do corpo humano na figura 
acima e considere um quadrado inscrito em um círculo 
de raio R, conforme a figura a seguir.
 104
A área da região sombreada é dada por: 
a) A = R2 (π - √
__
 2 ).
b) A = 
R2 (π - 2)
 ________ 2 
c) A = 
R2 (π - 4)
 ___________ 2 .
d) A = 
R2(π - √
__
 2 )
 _________ 4 .
e) A = 
R2(π2 - √
__
 2 )
 __________ 4 .
2. (EPCAR (CPCAR)) A figura abaixo representa o lo-
gotipo que será estampado em 450 camisetas de uma 
Olimpíada de Matemática realizada entre os alunos do 
“Colégio Alfa”. Essa figura é formada por um círculo de 
centro O inscrito num triângulo isósceles cuja base 
——
 BC 
mede 24 cm e altura relativa a esse lado mede 16 cm:
O círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que é 
necessário, exatamente, 1 pote de tinta cinza para pin-
tar 5400 cm2.
Adote π = 3.
Com base nesses dados, é correto afirmar que o número 
de potes necessários para pintar o círculo em todas as 
camisetas é igual a: 
a) 9. c) 11.
b) 10. d) 12.
3. (CFTMG) A figura abaixo mostra uma semicircunfe-
rência de centro O e diâmetro 
——
 AC . Em seu interior, en-
contram-se duas semicircunferências de centros O1 e 
O2 tangentes entre si. A medida do segmento 
——
 BC é um 
quarto da medida do segmento 
——
 AC .
A razão entre a área da circunferência de diâmetro 
——
 BD e 
da semicircunferência de centro O é:
a) 3 __ 8 . c) 5 ___ 16 .
b) 3 ___ 16 . d) 5 ___ 32 .
4. (UFG) Alguns agricultores relataram que, inexplicavel-
mente, suas plantações apareceram parcialmente quei-
madas e a região consumida pelo fogo tinha o padrão 
indicado na figura a seguir, correspondendo às regiões 
internas de três círculos, mutuamente tangentes, cujos 
centros são os vértices de um triângulo com lados me-
dindo 30, 40 e 50 metros.
Nas condições apresentadas, a área da região queima-
da, em m2, é igual a: 
a) 1100π.
b) 1200π.
c) 1300π.
d) 1400π.
e) 1550π.
 5. (EPCAR (CPCAR)) Considere a área S da parte som-
breada no triângulo retângulo isósceles 001O2.
AD, AB e BC são arcos de circunferência com centros em 
O2, O e O1 respectivamente, cujos raios medem 2r.
Das figuras abaixo, a única em que a área sombreada 
NÃO é igual a S, é: 
a) 
Circunferência de diâmetro —— AB e semicircunferências 
de diâmetros 
——
 OA e 
——
 OB .
b) 
Circunferência de centro O.
 105
c) 
Circunferência de centro O.
d) 
Circunferência de centro O inscrita num quadrado. Dois 
setores circulares de raio r.
6. (CPS) Para preparar biscoitos circulares, após abrir a 
massa formando um retângulo de 20cm de largura por 
40cm de comprimento, dona Maria usou um cortador 
circular de 4cm de diâmetro, dispondo-o lado a lado vá-
rias vezes sobre toda a massa para cortar os biscoitos, 
conforme a figura.
Considere que:
– os círculos que estão lado a lado são tangentes entre si e 
completam todo o retângulo com o padrão apresentado;
– os círculos das bordas são tangentes aos lados do re-
tângulo.
Com a sobra de massa, dona Maria abre um novo retân-
gulo, de mesma espessura que o anterior, para cortar 
mais biscoitos. Assim sendo, desconsiderando a espes-
sura da massa, as dimensões desse novo retângulo po-
dem ser:
Dados: área do círculo de raio r: A = πr2, adote: π = 3. 
a) 8cm × 30cm. d) 10 cm × 22 cm.
b) 8cm × 25cm. e) 10 cm × 21cm.
c) 9 cm × 24 cm.
7. (FGV) Na figura abaixo, o ângulo  do triângulo ABC 
inscrito na circunferência é reto. O lado 
——
 AB mede 4, e o 
lado 
——
 AC mede 5.
A área do círculo da figura é: 
a) 9,75π. d) 10,50.
b) 10π. e) 10,75π.
c) 10,25π.
8. (UEL) Sabendo-se que o terreno de um sítio é com-
posto de um setor circular, de uma região retangular e 
de outra triangular, com as medidas indicadas na figura 
ao lado, qual a área aproximada do terreno?
 
a) 38,28 km2. d) 58,78 km2.
b) 45,33 km2. e) 60,35 km2.
c) 56,37 km2.
9. (FGV) A figura indica uma circunferência de diâmetro 
AB = 8 cm, um triângulo equilátero ABC, e os pontos D e 
E pertencentes à circunferência, com D em AC e E em BC.
Em cm², a área da região hachurada na figura é igual a: 
a) 64. 
b) 8. 
c) 8 ( √
__
 3 – π __ 3 ) .
d) 4 ( √
__
 3 – π __ 3 ) .
e) 4 ( √
__
 3 – π __ 2 ) .
10. (UPE-SSA 1) O retângulo ABCD, representado a se-
guir, tem área cuja medida é de 18 cm2. Qual é a razão 
entre a medida da área da parte pintada e a medida da 
área total do retângulo? Considere π = 3,0.
a) 1/4. d) 1/7.
b) 1/5. e) 1/8.
c) 1/6. 
 106
E.O COMPLEMENTAR
1. (UFTM) Na figura, 
——
 AB , 
——
 BC e 
——
 CD são lados, respecti-
vamente, de um octógono regular, hexágono regular e 
quadrilátero regular inscritos em uma circunferência de 
centro P e raio 6 cm.
A área do setor circular preenchido na figura, em cm2, 
é igual a: 
a) 16π. d) 35π ____ 2 .
b) 33π ____ 2 . e) 18π.
c) 17π.
2. (IME) Seja o triângulo retângulo ABC com os cate-
tos medindo 3 cm e 4 cm. Os diâmetros dos três semi-
círculos, traçados na figura abaixo, coincidem com os 
lados do triângulo ABC. A soma das áreas hachuradas, 
em cm2, é: 
 
a) 6. d) 12.
b) 8. e) 14. 
c) 10.
3. (EPCAR (AFA)) As circunferências e da figura 
abaixo são tangentes interiores e a distância entre os 
centros C1 e C2 é igual a 1 cm.
Se a área sombreada é igual à área não sombreada na 
figura, é correto afirmar que o raio de 2, em cm, é um 
número do intervalo. 
a) ] 2, 11 ___ 5 [ . c) ] 23 ___ 
10
 , 5 __ 
2
 [ . 
b) ] 11 ___ 5 , 23 ___ 
10
 [ . d) ] 5 __ 
2
 , 13 ___ 5 [ . 
4. (CFTMG) Uma circunferência de raio 2 tangencia ou-
tra e dois de seus raios, conforme figura seguinte.
O valor da área hachurada é: 
a) 2π √
__
 2 . c) 2π( √
__
 2 – 3). 
b) 3π( √
__
 2 – 1). d) π(2 √
__
 2 – 1). 
5. (FGV) Na figura, a reta suporte do lado BC do triân-
gulo ABC passa pelo centro da circunferência . Se A = 
15°, BC = 4 cm, e o raio de mede 2 cm, a área sombre-
ada na figura, em cm2, é igual a:
 
a) 
(9 –π)
 ______ 3 . d) 
[3( √
__
 3 ) – π]
 __________ 3 .
b) 
 6( √
__
 3 ) – 2π
 ___________ 3 . e) 
[2( √
__
 6 ) – π]
 __________ 3 .
c) 
(9 – 2π)
 _______ 3 .
E.O. DISSERTATIVO
1. (CCAMPOS) Na figura abaixo, os retângulos PQRS e 
ABCD, com PQ // AB, representam, respectivamente o 
terreno e a casa da família Pinto Teixeira que ali vive 
com a cadelinha “poodle”, Hanna. A parte S, sombreada 
da figura, representa a superfície do terreno que Hanna 
pode alcançar, quando presa à uma guia de 30m que 
está fixada no ponto M, médio de 
——
 AB . Sabendo ainda 
que AB = 12m e que BC = 18m, calcule o valor da área 
de S, usando 3 como valor aproximado de π.
 
 
 107
2. (UFG) O limpador traseiro de um carro percorre um 
ângulo máximo de 135°, como ilustra a figura a seguir.
Sabendo-se que a haste do limpador mede 50 cm, dos 
quais 40 cm corresponde à palheta de borracha, deter-
mine a área da região varrida por essa palheta.
3. (UEG) A figura abaixo representa uma circunferência 
de raio r = 2 cm, em que AC é o diâmetro e AB é uma 
corda. Sabendo-se que o ângulo BÔC = 60º, calcule a 
área da região hachurada.
4. (UFTM) A figura mostra o projeto de um paisagista 
para um jardim em um terreno plano. Sabe-se que os 
círculos são concêntricos e que a área do quadrado 
ABCD é igual a 100m2. No círculo inscrito no quadrado, 
haverá um espelho d’água, e na região sombreada do 
círculo circunscrito ao quadrado serão plantadas flores 
de várias espécies.
Usando π = 3,1 determine a área aproximada:
a) ocupada pelo espelho d’água.
b) da região onde serão plantadas flores. 
5. (Ufes) Para irrigar uma região retangular R de dimen-
sões <×3<, um irrigador giratório é acoplado a uma bom-
ba hidráulica por meio de um tubo condutor de água. A 
bomba é instalada em um ponto B. Quando o irrigador é 
colocado no ponto C, a uma distância 3< ___ 2 do ponto B , ele 
irriga um círculo de centro C e raio 2<(veja figura).
a) Calcule a área da porção irrigada de R quando o 
irrigador está no ponto C.
b) Admitindo que o raio da região irrigada seja in-
versamente proporcional à distância do irrigador até 
a bomba, calcule o raio da região irrigada quando o 
irrigador é colocado no centro da região retangular R. 
6. (UFRJ) Um disco se desloca no interior de um quadrado, 
sempre tangenciando pelo menos um dos seus lados. Uma 
volta completa do disco ao longo dos quatro lados divide 
o interior do quadrado em duas regiões: a região A dos 
pontos que foram encobertos pela passagem do disco e a 
região B dos pontos que não foram encobertos. O raio do 
disco mede 2 cm e o lado do quadrado mede 10 cm.
Determine a área da região B. 
7. (UFJF-PISM 1) Antônio, um fã de histórias em quadri-
nhos, decidiu confeccionar uma roupa para uma festa a 
fantasia. Para desenhar o símbolo da roupa, ele utilizou 
seus conhecimentos de matemática.
Considere a figura do símbolo abaixo.
a) Considere o triângulo ABC, de lado AB medindo 
80 mm e inscrito em uma semicircunferência de raio 
50 mm e centro O. Calcule os comprimentos dos seg-
mentos OD e DC sabendo-se que BD é uma altura do 
triângulo ABC. Considere π = 3. 
b) Antônio deseja confeccionar o triângulo ABC e a 
semicircunferência de diâmetro DC com um tecido 
vermelho, e o restante do símbolo com um tecido 
azul. De quantos milímetros quadrados de cada teci-
do, Antônio vai precisar para confeccionar o símbolo 
para sua fantasia? Considere π = 3. 
8. (UEL) Algumas figuras geométricas são utilizadas em sím-
bolos, como, por exemplo, a “Estrela de David” (Figura 1).
 108
A partir das Figuras 1 e 2, desenhou-se um esquema, re-
presentado na Figura 3, que não obedece a uma escala. 
Sabe-se que, na Figura 3, estão representados uma cir-
cunferência de centro no ponto O e um triângulo equi-
látero (ABC), inscrito nessa circunferência.
Considerando que o raio da circunferência é de √
___
 48 cm, 
responda aos itens a seguir.
a) Determine a medida do lado do triângulo ABC. 
Justifique sua resposta apresentando os cálculos rea-
lizados na resolução deste item.
b) Determine a área representada pela cor cinza na 
Figura 3.
Justifique sua resposta apresentando os cálculos rea-
lizados na resolução deste item. 
9. (PUC-RJ) A figura mostra um triângulo equilátero de 
lado 1, um círculo inscrito e um segundo círculo tangen-
te a dois lados do triângulo e tangente exteriormente 
ao primeiro círculo.
a) Encontre o raio do maior círculo.
b) Encontre o raio do menor círculo.
c) Encontre a área da região sombreada, limitada por 
um lado do triângulo e pelos dois círculos. 
E.O. ENEM
1. (Enem) Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, res-
pectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio 
R. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região 
S de maior intensidade luminosa, conforme figura.
Área do setor circular: ASC = aR2
 ____ 2 , em radianos.
A área da região S, em unidades de área, é igual a: 
a) 2πR2
 ____ 3 – √
__
 3 R2
 _____ 2 
b) 
(2π - 3 √
__
 3 )R2
 ___________ 12 
c) πR2
 ____ 12 – R
2
 ___ 8 .
d) πR2
 ___ 2 . 
e) πR2
 ___ 3 . 
2. (Enem) Uma empresa produz tampas circulares de 
alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas 
quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 
1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 
16 tampas pequenas.
Área do círculo: πr2
As sobras de material da produção diária das tampas 
grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, 
respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetu-
arem reciclagem do material. A partir dessas informa-
ções, pode-se concluir que: 
a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. 
b) a entidade I recebe metade de material do que a 
entidade III. 
c) a entidade II recebe o dobro de material do que a 
entidade III. 
d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material 
do que a entidade III. 
e) as três entidades recebem iguais quantidades de 
material. 
3. (Enem) O proprietário de um terreno retangular me-
dindo 10 m por 31,5 m deseja instalar lâmpadas nos 
pontos C e D, conforme ilustrado na figura:
Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de 
raio. Os segmentos AC e BD medem 2,5 m. O valor em 
m2 mais aproximado da área do terreno iluminada pelas 
lâmpadas é:
(Aproxime √
__
 3 para 1,7 e π para 3.) 
a) 30. d) 61.
b) 34. e) 69.
c) 50.
4. (Enem) Um chefe de cozinha utiliza um instrumento 
cilíndrico afiado para retirar parte do miolo de uma la-
ranja. Em seguida, ele fatia toda a laranja em secções 
perpendiculares ao corte feito pelo cilindro. Considere 
que o raio do cilindro e da laranja sejam iguais a 1 cm e 
a 3 cm, respectivamente.
 109
A área da maior fatia possível é: 
a) duas vezes a área da secção transversal do cilindro. 
b) três vezes a área da secção transversal do cilindro. 
c) quatro vezes a área da secção transversal do cilindro. 
d) seis vezes a área da secção transversal do cilindro. 
e) oito vezes a área da secção transversal do cilindro. 
5. (Enem) Para estimular a prática de atletismo entre 
os jovens, a prefeitura de uma cidade lançou um pro-
jeto de construção de ambientes destinados à prática 
de esportes. O projeto contempla a construção de uma 
pista de atletismo com 10 m de largura em torno de um 
campo de futebol retangular medindo 100 m x 50 m. A 
construção será feita da seguinte maneira: duas partes 
da pista serão paralelas às laterais do campo; as outras 
duas partes estarão, cada uma, entre duas semicircun-
ferências, conforme a figura a seguir.
A partir desses dados, é correto afirmar que a pista de 
atletismo terá uma área de:
Use: π= 3,14. 
a) 2.184 m2.
b) 3.884 m2.
c) 3.948 m2.
d) 4.284 m2.
e) 4.846 m2.
E.O. UERJ 
EXAME DISCURSIVO
1. (UERJ) Considere um setor circular AOC, cujo ângulo 
central é medido em radianos. A reta que tangencia o 
círculo no extremo P do diâmetro CP encontra o prolon-
gamento do diâmetro AB em um ponto Q, como ilustraa figura.
Sabendo que o ângulo satisfaz a igualdade tgu = 2u, 
calcule a razão entre a área do setor AOC e a área do 
triângulo OPQ. 
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Fuvest) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, 
DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1. Logo, 
a área da região hachurada é:
 
a) 1 - ( π __ 6 ) + [ ( √
__
 3 )
 ____ 4 ] .
b) 1 - ( π __ 
3
 ) + [ ( √
__
 3 )
 ____ 2 ] .
c) 1 - ( π __ 
6
 ) - [ ( √
__
 3 )
 ____ 4 ] .
d) 1 + ( π __ 3 ) - [ ( √
__
 3 )
 ____ 2 ] .
e) 1 - ( π __ 3 ) - [ ( √
__
 3 )
 ____ 4 ] .
2. (Unicamp) O segmento AB é o diâmetro de um semi-
círculo e a base de um triângulo isósceles ABC, confor-
me a figura abaixo.
 
Denotando as áreas das regiões semicircular e triangu-
lar, respectivamente, por S( ) e T( ), podemos afirmar 
que a razãoS( )/T( ) quando = π/2 radianos, é: 
a) π/2. c) π. 
b) 2π. d) π/4. 
3. (Fuvest) Na figura, os pontos A, B, C pertencem à 
circunferência de centro O e BC = a. A reta 
‹
 
__
 
›
 OC é per-
pendicular ao segmento 
——
 AB e o ângulo A 
 ̂ 
 O B mede π/3 
radianos. Então, a área do triângulo ABC vale:
 110
a) a
2
 __ 8 . d) 3a2
 ___ 4 . 
b) a
2
 __ 4 . e) a2. 
c) a
2
 __ 2 . 
4. (Unesp) No vazamento de petróleo da empresa ame-
ricana Chevron do último dia 7 de novembro, na bacia 
de Campos/RJ, a mancha de óleo na superfície do mar 
assumiu grandes dimensões e teve seu pico de área en-
tre os dias 12 e 14 daquele mês. O vazamento levou 
dias para ser contido, pois o petróleo continuava a es-
capar por fissuras, como mostrado na foto.
A figura mostra, de forma hipotética e aproximada, em 
tom escuro, as áreas da mancha de óleo na superfície 
do mar.
Dados 1 dm3 = 1 L e π 3 e sabendo que a altura média 
da lâmina de óleo sobre as águas era de 0,003 mm e 
que 1 barril de petróleo cru contém 160 litros de óleo, 
o número aproximado de barris que vazaram no inci-
dente foi: 
a) 2 360. d) 3 320.
b) 2 860. e) 5 250. 
c) 2 960. 
5. (Unesp) Uma empresa tem o seguinte logotipo:
Se a medida do raio da circunferência inscrita no qua-
drado é 3 cm, a área, em cm2, de toda a região pintada 
de preto é: 
a) 9 – ( 9π ___ 4 ) . d) 36 – ( 9π ___ 4 ) .
b) 18 – ( 9π ___ 4 ) . e) 36 ( 9π ___ 2 ) . 
c) 18 – ( 9π ___ 2 ) . 
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unifesp) Na figura, são exibidas sete circunferências. 
As seis exteriores, cujos centros são vértices de um he-
xágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além 
disso, cada circunferência externa é também tangente 
às outras duas que lhe são contíguas.
Nestas condições, calcule:
a) a área da região sombreada, apresentada em des-
taque à direita.
b) o perímetro da figura que delimita a região som-
breada. 
2. (Fuvest) Na figura, estão representadas a circunfe-
rência C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de 
tal modo que: 
1. O ponto O pertence ao segmento 
——
 PQ .
2. OP = 1, OQ = √
__
 2 .
3. A e B são pontos da circunferência, 
——
 AP é perpendicu-
lar a 
——
 PQ e 
——
 BQ é perpendicular a 
——
 PQ .
Assim sendo, determine:
a) A área do triangulo APO.
b) Os comprimentos dos arcos determinados por A e 
B em C .
c) A área da região hachurada. 
 111
3. (Fuvest)
Na figura, a circunferência de centro 0 é tangente à reta 
‹
 
__
 
›
 CD 
no ponto D, o qual pertence à reta 
‹
 
___
 
›
 AO . Além disso, A e 
B são pontos da circunferência, AB = 6 √
__
 3 e BC = 2 √
__
 3 . 
Nessas condições, determine:
a) a medida do segmento 
——
 CD .
b) o raio da circunferência.
c) a área do triângulo AOB.
d) a área da região hachurada na figura. 
4. (Fuvest) São dadas três circunferências de raio r, duas 
a duas tangentes. Os pontos de tangência são P1, P2 e P3.
 
Calcule, em função de r, 
a) o comprimento do lado do triângulo equilátero T 
determinado pelas três retas que são definidas pela 
seguinte exigência: cada uma delas é tangente a duas 
das circunferências e não intersecta a terceira.
b) a área do hexágono não convexo cujos lados são 
os segmentos ligando cada ponto P1, P2 e P3 aos dois 
vértices do triângulo T mais próximos a ele. 
5. (Unicamp) A figura abaixo exibe um círculo de raio r 
que tangencia internamente um setor circular de raio R 
e ângulo central . 
 
a) Para = 60º, determine a razão entre as áreas do 
círculo e do setor circular. 
b) Determine o valor de cos no caso em que R = 4r. 
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. A 3. C 4. D 5. E
6. E 7. C 8. C 9. C 10. C
E.O. Fixação
1. B 2. A 3. A 4. D 5. D
6. B 7. C 8. D 9. C 10. E
E.O. Complementar
1. B 2. A 3. C 4. D 5. A
E.O. Dissertativo
1.
S = 2268 m2
2. A = 900π cm2. 
3. A = 4π _____ 
3
 - √
__
 3 . 
4. 
a) 77,5 m².
b) 55 m².
5. 
a) A = <
2
 __ 
6 
 (2π + 3 √
__
 3 ).
b) r = 6 ___ 5 ℓ.
6. 4(5 - π ) cm2. 
7. 
a) 
——
 OD = 14 mm.
b) Sverm = 2886 mm² e Sazul = 1801,5 mm²
8. 
a) ℓ = 12.
b) Scinza ≈ 88 cm2.
 112
9. 
a) R = √
__
 3 ___ 
6
 .
b) r = √
__
 3 ___ 
18
 .
c) A = √
__
 3 ___ 
27
 – π ____ 
324
 – π ___ 
72
 .
E.O. Enem
1. A 2. E 3. D 4. E 5. B
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
 1. 1/2.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. C 2. A 3. B 4. B 5. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 6( √
__
 3 ) - 2π unidades de área.
b) 4π unidades de comprimento. 
2.
a) √
__
 3 ____ 
2
 u.a.
b) AÔB = 5π ___ 
12
 ou 75°
c) 3 √
__
 3 + 6 + 5π _____________ 
6
 u.a. 
3.
a) CD = 4 √
__
 3 .
b) r = 6.
c) A = 9 √
__
 3 .
d) A = 3(4π - 3 √
__
 3 ).
4. 
a) ℓ = 2r · ( √
__
 3 + 1).
b) S = r2 · ( √
__
 3 + 3).
5. 
a) Razão = 2 __ 
3
 .
b) cos = 7 __ 
9
 .
 113
E.O. APRENDIZAGEM
1. (CEFET–MG) No contexto da Geometria Espacial, afirma-se:
I. Se uma reta é paralela a um plano, então ela está 
contida nesse plano.
II. Duas retas sem ponto comum são paralelas ou reversas.
III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de um 
deles é paralela ao outro.
IV. Duas retas distintas paralelas a um plano são para-
lelas entre si.
São corretas apenas as afirmativas: 
a) I e II. 
b) I e III. 
c) II e III. 
d) II e IV. 
e) III e IV. 
2. (INSPER) De cada vértice de um prisma hexagonal 
regular foi retirado um tetraedro, como exemplificado 
para um dos vértices do prisma desenhado a seguir.
O plano que definiu cada corte feito para retirar os te-
traedros passa pelos pontos médios das três arestas 
que concorrem num mesmo vértice do prisma. O nú-
mero de faces do poliedro obtido depois de terem sido 
retirados todos os tetraedros é: 
a) 24. 
b) 20. 
c) 18. 
d) 16. 
e) 12. 
3. (UFC) O número de faces de um poliedro convexo com 
20 vértices e com todas as faces triangulares é igual a: 
a) 28. 
b) 30. 
c) 32. 
d) 34. 
e) 36. 
4. (UFRGS) Um poliedro convexo de onze faces tem seis 
faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O nú-
mero de arestas e de vértices do poliedro é, respecti-
vamente: 
a) 34 e 10. d) 12 e 10.
b) 19 e 10. e) 19 e 12.
c) 34 e 20. 
5. (UPE) Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, to-
das triangulares. Nestas condições, assumindo que tal 
poliedro exista, o número esperado de vértices para 
este será:
a) 10. d) 7. 
b) 9. e) 6.
c) 8. 
6. (UECE) Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 
hexágonos e 12 pentágonos. O número de vértices des-
te polígono é: 
a) 90. c) 60.
b) 72. d) 56.
7. A figura mostra uma peça feita em 1587 por Stefano 
Buonsignori, e está exposta no Museu Galileo, em Flo-
rença, na Itália. Esse instrumento tem a forma de um 
dodecaedro regular e, em cada uma de suas faces pen-
tagonais, há a gravação de um tipo diferente de relógio.POLIEDROS E NOÇÕES DE GEOMETRIA 
MÉTRICA DE POSIÇÃO
HABILIDADES: 6, 7, 8 e 9
COMPETÊNCIA: 2
AULAS 23 e 24
 114
Em 1758, o matemático Leonard Euler (1707-1783) desco-
briu o teorema conhecido por relação de Euler: em todo 
poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces, vale 
a relação V – A + F = 2. Ao se aplicar a relação de Euler 
no poliedro da figura, o número de arestas não visíveis é:
a) 10. d) 16.
b) 12. e) 18.
c) 15. 
8. (UNITAU) A soma dos ângulos das faces de um polie-
dro convexo vale 720°. Sabendo-se que o número de 
faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que 
o número de faces vale: 
a) 6. d) 12.
b) 4. e) 9.
c) 5.
9. (UECE) Um poliedro convexo com 32 vértices possui 
apenas faces triangulares. O número de arestas deste 
poliedro é: 
a) 100. c) 90.
b) 120. d) 80.
10. (UFJF-PISM 2) Observe, abaixo, uma imagem desse 
vírus que tem a forma de um sólido geométrico.
 
Qual é a planificação do sólido representado por esse vírus? 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
d) 
 
e) 
 
E.O. FIXAÇÃO
1. (ESPCEX) Considere as seguintes afirmações:
I. Se dois planos e são paralelos distintos, então as 
retas r1 e r2 são sempre paralelas.
II. Se e são planos não paralelos distintos, existem 
as retas r1 e r2 tal que r1 e r2 são paralelas.
III. Se uma reta r é perpendicular a um plano no ponto 
P, então qualquer reta de que passa por P é perpen-
dicular a r.
Dentre as afirmações acima, é (são) verdadeira(s):
a) somente II.
b) I e II.
c) I e III.
d) II e III.
e) I, II e III.
2. (UEL) Sobre os conhecimentos de geometria tridi-
mensional, considere as afirmativas:
I. Se duas retas distintas não são paralelas, então elas 
são concorrentes.
II. Três pontos distintos entre si determinam um único plano.
III. Duas retas paralelas distintas determinam um plano.
IV. Se duas retas r e s são reversas, então existe um úni-
co plano que contém r e é paralelo a s.
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é: 
a) I e II.
b) I e IV.
c) III e IV.
d) I, II e III.
e) II, III e IV.
3. (UFC) Um poliedro convexo só tem faces triangulares 
e quadrangulares. Se ele tem 20 arestas e 10 vértices, 
então, o número de faces triangulares é: 
a) 12. 
b) 11. 
c) 10. 
d) 9. 
e) 8. 
 115
4. (PUC-PR) Um poliedro convexo é formado por faces 
quadrangulares e 4 faces triangulares. A soma dos ân-
gulos de todas as faces é igual a 12 retos.
Qual o número de arestas desse poliedro? 
a) 8. d) 2.
b) 6. e) 1.
c) 4. 
5. (PUC-PR) Um poliedro convexo tem 7 faces. De um 
dos seus vértices partem 6 arestas e de cada um dos 
vértices restantes partem 3 arestas.
Quantas arestas tem esse poliedro? 
a) 8. d) 14.
b) 10. e) 16.
c) 12.
6. (Cesgranrio) Considere o poliedro regular, de faces 
triangulares, que não possui diagonais. A soma dos ân-
gulos das faces desse poliedro vale, em graus: 
a) 180º. 
b) 360º. 
c) 540º. 
d) 720º. 
e) 900º. 
7. (PUC-Camp) Sobre as sentenças:
I. Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.
II. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.
III. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.
É correto afirmar que apenas: 
a) I é verdadeira. 
b) II é verdadeira. 
c) III é verdadeira. 
d) I e II são verdadeiras. 
e) II e III são verdadeiras. 
8. (Cesgranrio) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 
6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vér-
tices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concor-
rem 5 arestas. O número de faces desse poliedro é igual a: 
a) 16. d) 30.
b) 18. e) 44. 
c) 24. 
9. (UEM-PAS) Assinale o que for correto. 
01) Sejam a reta r = π1 π2, onde π1 e π2 são planos, e 
a reta s paralela a r, de tal forma que s π1 π2. Então, 
toda reta perpendicular a r contida em um desses dois 
planos é reversa a s. 
02) Dados um ponto P pertencente a um plano π e 
uma reta r perpendicular a π, tal que P r, temos que 
toda reta contendo P perpendicular a r está em π. 
04) Dadas duas retas reversas, existe um plano que 
as contém. 
08) Considere 6 retas contendo as arestas de um 
tetraedro regular. Fixada uma das retas, então ela é 
reversa a apenas uma dessas 6 retas. 
16) A interseção de um poliedro convexo com um pla-
no é uma região convexa. 
10. Um lapidador recebeu de um joalheiro a encomenda 
para trabalhar em uma pedra preciosa cujo formato é 
o de uma pirâmide, conforme ilustra a Figura 1. Para 
tanto, o lapidador fará quatro cortes de formatos iguais 
nos cantos da base. Os cantos retirados correspondem 
a pequenas pirâmides, nos vértices P, Q, R e S ao longo 
dos segmentos tracejados, ilustrados na Figura 2.
 
Depois de efetuados os cortes, o lapidador obteve, a 
partir da pedra maior, uma joia poliédrica cujos núme-
ros de faces, arestas e vértices são, respectivamente, 
iguais a: 
a) 9, 20 e 13. 
b) 3, 24 e 13. 
c) 7, 15 e 12. 
d) 10, 16 e 5. 
e) 11, 16 e 5. 
E.O. COMPLEMENTAR
1. (FATEC) A reta r é a intersecção dos planos e , per-
pendiculares entre si. A reta s, contida em , intercepta 
r no ponto P. A reta t, perpendicular a , intercepta-o no 
ponto Q, não pertencente a r.
Nessas condições, é verdade que as retas: 
a) r e s são perpendiculares entre si. 
b) s e t são paralelas entre si. 
c) r e t são concorrentes. 
d) s e t são reversas. 
e) r e t são ortogonais. 
2. (UFJF) A figura a seguir representa a planificação de 
um poliedro convexo.
O número de vértices deste poliedro é: 
a) 12.
b) 14.
c) 16.
d) 20.
e) 22.
 116
3. (PUC-PR) Quantas arestas tem um poliedro convexo 
de faces triangulares em que o número de vértices é 3/5 
do número de faces? 
a) 60. d) 20.
b) 30. e) 15.
c) 25.
4. (ITA) Um poliedro convexo de 16 arestas é formado 
por faces triangulares e quadrangulares. Seccionando-
-o por um plano convenientemente escolhido, dele se 
destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas 
faces quadrangulares. Este novo poliedro possui um 
vértice a menos que o original e uma face a mais que 
o número de faces quadrangulares do original. Sendo 
m e n, respectivamente, o número de faces e o número 
de vértices do poliedro original, então: 
a) m = 9, n = 7.
b) m = n = 9.
c) m = 8, n = 10.
d) m = 10, n = 8.
e) m = 7, n = 9.
5. (UFRG) As figuras a seguir representam um octaedro 
regular e uma de suas planificações.
Aos vértices A, B, E, F do octaedro correspondem, res-
pectivamente, os pontos a, b, e, f da planificação. Ao 
vértice D do octaedro correspondem, na planificação, 
os pontos:
a) m, n, p. d) q, r, s. 
b) n, p, q. e) r, s, m. 
c) p, q, r. 
E.O. DISSERTATIVO
1. (UFPE) Unindo-se o centro de cada face de um cubo, 
por segmentos de reta, aos centros das faces adjacentes, 
obtém-se as arestas de um poliedro regular. Quantas fa-
ces tem esse poliedro? 
2. (UFPE) Um poliedro convexo possui 10 faces com três 
lados, 10 faces com quatro lados e 1 face com dez lados. 
Determine o número de vértices deste poliedro. 
3. (PUC-SP) Qual é o poliedro que tem 12 vértices e 
30 arestas?
4. Um poliedro convexo possui a soma dos ângulos das 
faces 1080°. Sabendo que este possui 5 faces, quantas 
arestas o poliedro possui?
5. Qual o poliedro que possui 4 vértices e 6 arestas? 
Desenhe este poliedro. 
6. Qual poliedro convexo regular possui 20 ângulos 
triédricos?
7. Um poliedro convexo possui 4 faces triangulares e x 
faces hexagonais. Quantas faces este poliedro possui, 
sabendo que possui 12 vértices?
8. (UFPE) Calcule a oitava potência do comprimento, em 
m, da aresta de um icosaedro regular, sabendo que sua 
área mede 15 m2.
9. (UFG) Um joalheiro produzirá um ornamento para um 
pingente a partir de uma pedra preciosa, originalmente 
em forma de um cubo. Para isso, ele retirará de cada 
vértice do cubo um tetraedro cujos vértices são o vér-
tice do cubo e os pontos médios das arestas que con-
correm neste vértice. Os tetraedros serão descartados.
Considerando-se as condições apresentadas, calcule:
a) O número de faces do poliedro que constitui o ornamento.
b) A fração do volumedo cubo original que constitui 
cada tetraedro retirado. 
E.O. UERJ 
EXAME DE QUALIFICAÇÃO
1. (UERJ) Considere o icosaedro a seguir (Fig.1), constru-
ído em plástico inflável, cujos vértices e pontos médios 
de todas as arestas estão marcados.
A partir dos pontos médios, quatro triângulos equiláteros 
congruentes foram formados em cada face do icosaedro. 
Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pon-
tos marcados fiquem sobre a superfície de uma esfera, 
e os lados dos triângulos tornem-se arcos de circunfe-
rências, como ilustrado na figura 2.
Observe agora que, substituindo-se esses arcos por seg-
mentos de reta, obtém-se uma nova estrutura poliédri-
ca de faces triangulares, denominada geodésica (Fig. 3):
O número de arestas dessa estrutura é igual a: 
 117
a) 90. c) 150.
b) 120. d) 180. 
2. (UERJ) Dois dados, com doze faces pentagonais cada 
um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dode-
caedros estão justapostos por uma de suas faces, que 
coincidem perfeitamente, formam um poliedro cônca-
vo, conforme ilustra a figura.
 
Considere o número de vértices V, de faces F e de ares-
tas A desse poliedro côncavo.
A soma V + F + A é igual a: 
a) 102. c) 110.
b) 106. d) 112. 
3. (UERJ) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vérti-
ces, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruen-
tes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais 
a 1 __ 3 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de po-
liedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras.
Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa 
esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao 
costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, 
ele gasta 7 cm de linha.
Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, 
um comprimento de linha igual a: 
a) 7,0 m. c) 4,9 m. 
b) 6,3 m. d) 2,1 m. 
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unifesp) Considere o sólido geométrico exibido na 
figura, constituído de um paralelepípedo encimado por 
uma pirâmide. Seja r a reta suporte de uma das arestas 
do sólido, conforme mostrado.
Quantos pares de retas reversas é possível formar com 
as retas suportes das arestas do sólido, sendo r uma das 
retas do par? 
a) 12. d) 7.
b) 10. e) 6.
c) 8.
2. (Unifesp) Considere o poliedro cujos vértices são os 
pontos médios das arestas de um cubo.
O número de faces triangulares e o número de faces 
quadradas desse poliedro são, respectivamente: 
a) 8 e 8. 
b) 8 e 6. 
c) 6 e 8. 
d) 8 e 4. 
e) 6 e 6. 
3. (Fuvest) O número de faces triangulares de uma 
pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâ-
mide possui: 
a) 33 vértices e 22 arestas. 
b) 12 vértices e 11 arestas. 
c) 22 vértices e 11 arestas. 
d) 11 vértices e 22 arestas. 
e) 12 vértices e 22 arestas. 
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Unesp) No espaço tridimensional consideram-se 
duas retas r e s e os conjuntos: A, de todos os planos 
por r, B, de todos os planos por s. Descrever o conjunto 
A B, nos seguintes casos:
a) r e s são paralelas;
b) r e s são reversas. 
2. (Fuvest) Quantas faces tem um poliedro convexo com 
6 vértices e 9 arestas? Desenhe um poliedro que satis-
faça essas condições.
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. B 3. E 4. B 5. E
6. C 7. A 8. B 9. C 10. A
 118
E.O. Fixação
1. D 2. C 3. E 4. A 5. C
6. D 7. E 8. A 9. 01, 02, 08 e 16
10. A
E.O. Complementar
1. E 2. A 3. B 4. B 5. D
E.O. Dissertativo
1. 8. 
2. 21. 
3. Icosaedro.
4. 8.
5. Tetraedro.
6. Dodecaedro (12 faces).
7. 8 faces.
8. 9. 
9. 
a) 14 faces.
b) 1 ___ 
48
 do volume do cubo.
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. B 2. D 3. B
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. C 2. B 3. E
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) Se as retas r e s são paralelas distintas, existe um 
único plano passando por r e s; portanto A B é um 
conjunto unitário. Se as retas são paralelas coinciden-
tes, então A B = A = B.
b) Se r e s são retas reversas, não existe um plano pas-
sando por r e s. Logo, A B = { }.
2. F = 5.
 119
E.O. APRENDIZAGEM
1. (Cftsc) Uma indústria precisa fabricar 10.000 caixas 
com as medidas da figura abaixo.
Desprezando as abas, aproximadamente quantos m2 de 
papelão serão necessários para a confecção das caixas?
a) 0,328 m2
b) 1 120 m2
c) 112 m2
d) 3 280 m2
e) 1 640 m2
2. (UFPE) No cubo da figura a seguir, as arestas medem 
4 cm. Quanto mede a diagonal AB?
A
4 cm
4 cm
4 cm
B
a) 4 dXX 3 cm
b) 2 dXX 3 cm
c) 4 dXX 2 cm
d) 2 dXX 2 cm
e) 2 cm
3. (UFPB) Foram feitas embalagens de presente em 
forma de prisma regular de altura H = 6 dXX 3 cm e base 
triangular de lado L = 8 cm, conforme ilustra a figura 
a seguir.
Sabendo-se que as embalagens não têm tampa e que 
o custo para a sua produção, por cm2, é de R$ 0,05, o 
custo total de fabricação de cada unidade é :
Dado: considere dXX 3 = 1,7
a) R$ 12,30. d) R$ 15,20.
b) R$ 13,60. e) R$ 17,30.
c) R$ 8,16.
4. (UNEB) A pele é o maior órgão de seu corpo, com uma 
superfície de até 2 metros quadrados. Ela tem duas ca-
madas principais: a epiderme, externa, e a derme, interna. 
(BREWER. 2013, P. 72).
De acordo com o texto, a superfície máxima coberta 
pela pele humana é equivalente a de um cubo cuja dia-
gonal, em m, é igual a:
a) 1 __ 3 . d) 1.
b) 
dXX 3 ___ 3 . e) dXX 3 .
c) 
dXX 3 ___ 2 . 
5. (Ufrgs) A figura 1, a seguir, representa um prisma reto 
de base hexagonal regular.
I. 
II. 
III. 
PRISMAS
HABILIDADES: 6, 7, 8 e 9
COMPETÊNCIA: 2
AULAS 25 e 26
 120
Considerando as planificações I, II e III. Quais delas po-
dem ser do prisma? 
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas I e II.
d) Apenas II e III.
e) I, II e III.
6. (FGV - 2017) Cada aresta de um cubo é pintada de 
verde ou de amarelo. Após a pintura, em cada face des-
se cubo há pelo menos uma aresta pintada de verde.
O número máximo de arestas desse cubo pintadas de 
amarelo é: 
a) 6.
b) 9.
c) 8.
d) 10.
e) 4.
7. (IFSP) A figura abaixo representa a planificação de 
um poliedro P:
Avalie as afirmações I, II e III sobre o poliedro represen-
tado pela planificação: 
I. O número de arestas do poliedro P corresponde a 
uma vez e meia o número de vértices.
II. O poliedro P tem, pelo menos, duas faces paralelas.
III. O poliedro P pode ser classificado como pentágono. 
Contém uma afirmação verdadeira: 
a) apenas II.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
8. (Espcex (Aman)) As medidas das arestas de um para-
lelepípedo retângulo são diretamente proporcionais a 
3, 4 e 5 e a soma dessas medidas é igual a 48 cm. Então 
a medida da sua área total, em cm2 é.
a) 752.
b) 820.
c) 1.024.
d) 1.302.
e) 1.504.
9. (Cefet - MG) A Organização Mundial da Saúde reco-
menda que, fazendo economia, um ser humano consu-
ma 50 litros de água por dia. Uma família com quatro 
pessoas possui, em sua casa, uma caixa d’água na for-
ma de um prisma reto com 1 metro quadrado de área 
da base cheia com 100 litros de água.
A altura a ser completada de forma que a água da cai-
xa seja o suficiente para abastecer a família por cinco 
dias, em metros, é de :
a) 9,0 × 10-4. d) 9,0 × 10-1.
b) 9,0 × 10-3. e) 9,0 × 10-0.
c) 9,0 × 10-2.
10. (UEPG) As dimensões de um paralelepípedo retân-
gulo são proporcionais aos números 1, 2 e 3 e sua área 
total é igual a 198 cm2. Sobre esse paralelepípedo, assi-
nale o que for correto.
01) Seu volume vale 162 cm3.
02) As suas dimensões formam uma progressão aritmética.
04) A soma das medidas de todas as suas arestas é 72 cm.
08) Sua diagonal é maior que 11 cm.
E.O. FIXAÇÃO
1. (Udesc) Um bloco sólido de pedra com forma de para-
lelepípedo retângulo de 12 metros de altura, 10 metros 
de largura e 4 metros de profundidade é demarcado 
de forma a ser dividido em 30 paralelepípedos iguais e 
numerados, conforme mostra a figura.
Se forem extraídos os paralelepípedos de número 7, 9, 
12 e 20, então a nova área superficial dobloco será de:
a) 480 m2. d) 488 m2.
b) 104 m2. e) 416 m2.
c) 376 m2.
2. (Insper) Uma empresa fabrica porta-joias com a for-
ma de prisma hexagonal regular, com uma tampa no 
formato de pirâmide regular, como mostrado na figura.
 121
As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado 
medindo 6 cm e a altura da tampa também vale 6 cm. A 
parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua 
tampa são revestidas com um adesivo especial, sendo 
necessário determinar a área total revestida para cal-
cular o custo de fabricação do produto. A área da parte 
revestida, em cm2, é igual a:
a) 72(3 + dXX 3 ).
b) 36(6 + dXX 5 ).
c) 108(2 + dXX 5 ).
d) 27(8 + dXX 7 ).
e) 54(4 + dXX 7 ).
3. O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá 
ser substituído por outro que tenha a forma de círculo. 
O suporte de apoio da mesa tem o formato de um pris-
ma reto, de base em forma de triângulo equilátero com 
lados medindo 30 cm.
Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro 
circulares com cortes já padronizados, cujos raios me-
dem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm. O proprietário 
da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor 
diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior 
do suporte da mesa.
Considere 1,7 como aproximação para √
__
 3 .
O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em cen-
tímetros, é igual a
a) 18.
b) 26.
c) 30.
d) 35.
e) 60.
4. (Upe) Para pintar completamente o cubo representa-
do abaixo, são necessários 300 mililitros de tinta.
 
Mantendo o mesmo rendimento de pintura, quantos 
litros seriam necessários para pintar completamente 
a peça representada abaixo, formada por 13 desses 
cubos, sabendo-se que não há cubos escondidos?
 
a) 0,7 litro.
b) 1,9 litros.
c) 2,1 litros.
d) 3,0 litros.
e) 4,2 litros.
5. (IFSP) ABCDEFG é um cubo de aresta 4 cm. Unindo-se 
os pontos médios das arestas AD , ED, FG , CG e CD , ob-
tém-se um polígono cujo perímetro, em centímetros, é 
igual a
 
a) 6 √
__
 2 . d) 15 √
__
 2 .
b) 9 √
__
 2 . e) 18 √
__
 2 .
c) 12 √
__
 2 .
6. (Esc. Naval) Qual é o menor ângulo formado por duas 
diagonais de um cubo de aresta L?
a) arcsen 1 __ 2 .
b) arccos 1 __ 4 .
c) arcsen 1 __ 3 .
d) arccos 1 __ 3 .
e) arctg 1 __ 4 .
7. (Esc. Naval) Num prisma hexagonal regular a área la-
teral é 75% da área total. A razão entre a aresta lateral 
e a aresta da base é
a) 2 dXX 5 ____ 3 
b) 3 dXX 3 ____ 2 
c) 5 dXX 3 ____ 2 
d) 2 dXX 3 ____ 5 
e) 5 dXX 2 ____ 3 
E.O. COMPLEMENTAR
1. (ITA) Considere um prisma regular em que a soma dos 
ângulos internos de todas as faces é 7200°. O número 
de vértices deste prisma é igual a:
a) 11. d) 20.
b) 32. e) 22.
c) 10.
2. (Uespi) Um paralelepípedo retângulo tem por base 
um quadrado com lado medindo 6 cm e tem altura 8 
cm, conforme a ilustração a seguir.
Qual a distância entre o vértice A e o plano passando 
pelos vértices B, C e D? 
 122
a) 21 ____ 
 dXXX 41 
 d) 24 ____ 
 dXXX 41 
 
b) 22 ____ 
 dXXX 41 
 e) 25 ____ 
 dXXX 41 
 
c) 23 ____ 
 dXXX 41 
 
E.O. DISSERTATIVO
1. (UFG) Uma estrutura de arame foi construída a par-
tir de dois cubos concêntricos de medidas diferentes e 
com faces paralelas, ligando cada vértice do cubo in-
terno a um vértice do cubo externo, por segmentos de 
reta, como indica a figura a seguir.
Considere que a aresta do cubo interno tem um terço 
do comprimento, ℓ, da aresta do cubo externo e que 
cada haste é formada por um único fio de arame es-
ticado. Nessas condições, determine, em função de ℓ, 
o comprimento de arame necessário para a construção 
desta estrutura.
2. (PUC-RJ) Pretende-se fabricar uma caixa com faces 
retangulares e ângulos retos, aberta em cima, com um 
volume de 10 m3 (conforme figura a seguir). O compri-
mento de um dos lados da base deve ser o dobro do 
comprimento do outro lado. O material para construir 
a base custa R$ 10,00 por metro quadrado, ao passo 
que o material para construir as laterais custa R$ 6,00 
por metro quadrado.
a) Se o lado p mede 2 metros, quanto vale n? 
b) Com os valores do item (a), calcule o custo de 
construção da caixa.
c) Encontre o custo de construção da caixa em função 
de p. 
3. (UFBA) Sendo o ângulo formado entre uma diago-
nal e uma face de um mesmo cubo, determine 1 _____ 
sen2 . 
4. (UFMG) Considere esta figura:
Nessa figura, o quadrilátero ABCD tem
• ângulos retos nos vértices B e C;
• ângulo de 45º no vértice A;
• o lado AD apoiado sobre uma reta r; e
• AB = 4 dXX 2 , BC = 3 dXX 2 e CD = dXX 2 .
Com base nessas informações,
a) determine a distância h do ponto C à reta r;
b) determine a distância H do ponto B à reta r;
c) determine a função y = f(x), para 0 x H, tal 
que f(x) seja igual à área sombreada de uma figura 
como a ilustrada abaixo, que é a parte do quadrilá-
tero ABCD compreendida entre a reta r e uma reta 
s, paralela à r, de modo que a distância entre r e s é 
igual a x.
d) Considere, agora, um recipiente de comprimento 10, 
apoiado em um plano horizontal, cuja seção transversal 
é o quadrilátero ABCD, já mostrado nos itens anteriores 
desta questão:
Suponha que esse recipiente está parcialmente cheio 
de água e que o nível dessa água é x.
Com base nessas informações,
I. Determine uma expressão para o volume V (x) da 
água contida no recipiente para 0 x H;
II. Determine o nível x de água no recipiente para que 
o volume de água dentro dele seja igual à metade do 
volume total do mesmo recipiente.
E.O. ENEM
1. (Enem) Um carpinteiro fabrica portas retangulares 
maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido 
de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumen-
tou sua altura em 1 __ 8 , preservando suas espessuras. A fim 
de manter o custo com o material de cada porta, preci-
sou reduzir a largura.
A razão entre a largura da nova porta e a largura da 
porta anterior é:
a) 1 ___ 8 . d) 8 ___ 9 .
b) 7 ___ 8 . e) 9 ___ 8 .
c) 8 ___ 7 .
 123
2. (Enem) Conforme regulamento da Agência Nacional 
de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em 
voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, 
contudo a soma das dimensões da bagagem (altura + 
comprimento + largura) não pode ser superior a 115 cm.
A figura mostra a planificação de uma caixa que 
tem a forma de um paralelepípedo retângulo.
O maior valor possível para x em centímetros, para que 
a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela 
Anac é 
a) 25. d) 45.
b) 33. e) 49.
c) 42.
E.O. UERJ 
EXAME QUALIFICAÇÃO
1. (UERJ) A embalagem de papelão de um determinado 
chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma 
de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.
Em relação ao prisma, considere:
• cada um dos ângulos 
 ̂ 
 A , 
 ̂ 
 B , 
 ̂ 
 C e 
 ̂ 
 D da base superior 
mede 120º;
• as arestas AB , BC e CD medem 10 cm cada.
Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a emba-
lagem custa R$ 10,00 por m2 e que dXX 3 = 1,73.
Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em 
reais, gasto somente com o papelão é aproximadamen-
te igual a:
a) 0,50.
b) 0,95.
c) 1,50.
d) 1,85.
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Fuvest) O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na 
figura, tem arestas de comprimento a. 
Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, então 
a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é 
igual a:
a) 
(a dXX 3 )
 _____ 5 . d) a dXX 3 .
b) 
(a dXX 3 )
 _____ 3 . e) 2a dXX 3 .
c) 
(a dXX 3 )
 _____ 2 .
2. (Unifesp) Um cubo de aresta de comprimento a vai 
ser transformado num paralelepípedo reto retângulo 
de altura 25% menor, preservando-se, porém, o seu vo-
lume e o comprimento de uma de suas arestas.
A diferença entre a área total (a soma das áreas das seis 
faces) do novo sólido e a área total do sólido original será: 
a) 1 __ 6 a2. d) 2 __ 3 a2.
b) 1 __ 3 a2. e) 5 __ 6 a2.
c) 1 __ 2 a2.
3. (Unesp) Afigura mostra um paralelepípedo retorre-
tângulo ABCDEFGH, com base quadrada ABCD de ares-
ta a e altura 2a, em centímetros.
A distância, em centímetros, do vértice A à diagonal BH vale:
a) 
dXX 5 _____ 6 a. d) 
dXX 6 ____ 5 a.
b) 
dXX 6 ____ 6 a. e) 
dXXX 30 ______ 6 a.
c) 
dXX 5 ____ 5 a.
 124
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
1. (Fuvest) No cubo ABCDEFGH, representado na figura 
abaixo, cada aresta tem medida 1. Seja M um ponto na 
semirreta de origem A que passa por E. Denote por o 
ângulo BMH e por x a medida do segmento AM.
a) Exprima cos em função de x.
b) Para que valores de x o ângulo é obtuso?
c) Mostre que, se x = 4, então mede menos do que 45º.
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. A 3. B 4. D 5. D
6. B 7. B 8. E 9. D
10. 01 + 02 + 04 + 08 = 15
E.O. Fixação
1. A 2. E 3. A 4. C 5. C
6. D 7. B
E.O. Complementar
1. E 2. D
E.O. Dissertativo
1. 8ℓ ( 2 + 
dXX 3 ___ 
3
 ) u.c. 
2. 
a) 1,25 m
b) R$ 170,00
c) C(p) = 20p2 + 180 ____ p 
3. 3
4. 
a) h = 1.
b) H = 4.
c) f(x) = 
6x, se 0 x 1
–x2 + 8x – 1, se 1 < x 4d)
 I. V(x) = 
60x, se 0 x 1
150 – 10(– x2 –8x – 1), se 1 < x 4
 II. x = 4 – 
dXXX 30 ____ 
2
 .
E.O. Enem
1. D 2. E
E.O. UERJ 
Exame Qualificação
1. B
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. C 2. A 3. E
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) cos = x2 – x ____________________ 
 dXXXXXXXXXXX x2 – 2x + 2 dXXXXXX x2 + 1 
 
b) S = {x R | 0 < x <1}.
c) Para x = 4, cos u = √
__
 2 ___ 
2
 , portanto u < 45º