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nsão radial seja a mesma para o cilindro e para as expa 
Mostre que essa relação é f/t11 = (2 - v)/(1 - v). 
que 0 vaso é feito, 
do mesmo mat.eri.al e que am­
e semiesferas, tem o mesmo raiO mterno. Se a 
do cilindro for 12 mm, qual será a espessura exigi­
as semiesferas? Considere v = 0,3. 
Problema 10.55 
tubo de aço A -36 está sujeito à carga axial de 60 kN. 
a mudança no volume do material após a aplica­
carga. 
30 mm 40 mm 
1---- 0,S m-----1 
Problema 10.56 
A cavidade de um corpo rígido liso está cheia com alumí­
líquido. Quando frio, o líquido fica a 0,3 mm da parte 
cavidade. Se essa parte superior for coberta e a tem­
aumentar l10°C, determine as componentes da tensão 
tl;,•"r eu, no alumínio. Dica: Use a Equação 10.18 com um termo 
lldieional a8T para a deformação (Equação 4.4). 
A cavidade de um corpo rígido liso está cheia com alu­
ll!fulo 6061-T6 líquido. Quando fiio, o líquido fica a 0,3 mm da 
.J!Iírte superior da cavidade. Se essa parte superior não for coberta 
�- temperatura aumentar l10°C, determine as componentes da 
lflll'onnação E,, EY e Ez no alumínio. Dica: Use as Equações 10.18 
í!{lm um termo adicional aô.Tpara a deformação (Equação 4.4). 
z 
I 0,3 mm 
Problemas 10.57/58 
� -----.. ·· · ·& . . · OOmml il51mm 
--L . y 
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 387 
10.59. O vaso de pressão cilíndrico de parede fina com raio 
interno r e espessura t é submetido a uma pressão interna 
p. Se as constantes do material forem E e v, determine as 
deformações nas direções circunferencial e longitudinal. 
Com esses resultados, calcule o aumento no diâmetro e no 
comprimento de um vaso de pressão de aço cheio de ar e 
sob pressão manométrica de 15 MPa. O vaso tem 3 m de 
comprimento, raio interno de 0,5 m e espessura da parede 
de 10 mm. E aço = 200 GPa, v aço = 0,3. 
*10.60. Estime o aumento no volume do tanque do Proble­
ma 10.59. Dica: Use os resultados do Problema 10.54 como 
confirmação. 
Problemas 10.59/60 
10.61. Um material macio está confinado no interior de um 
cilindro rígido que repousa sobre um suporte rígido. Consi­
derando que Ex = O e E
Y = O, determine qual será o fator de 
aumento do módulo de elasticidade quando é aplicada uma 
carga, se v = 0,3 para o material. 
z 
I 
p 
X y 
Problema 10.61 
10.62. Um vaso de pressão esférico de parede fina com raio 
interno r e espessura t é submetido a uma pressão interna p. 
Mostre que o aumento de volume no interior do vaso é ô. V = 
(2p7Tr4/Et)(1 - v). Use uma análise de pequenas deformações. 
*1 0 .7 Teo rias de fa l has 
Quando um engenheiro enfrenta o problema de 
executar um projeto utilizando um material específi­
co, torna-se importante estabelecer um limite superior 
para o estado de tensão que define a falha do mate-
388 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
rial. Se o material for dúctil, normalmente a falha será 
especificada pelo início do escoamento, ao passo que 
se for frágil, isso ocorrerá pela ruptura. Esses modos 
de falha são definidos prontamente se o elemento es­
trutural estiver sujeito a um estado de tensão uniaxial, 
como no caso de tensão simples; todavia, se o elemen­
to estrutural estiver sujeito a tensão biaxial ou triaxial, 
será mais difícil definir um critério para a falha. 
Nesta seção, discutiremos quatro teorias frequente­
mente utilizadas na prática da engenharia para prever 
a falha de um material sujeito a um estado de tensão 
multiaxial. Essas teorias, e outras como elas, também 
são usadas para determinar as tensões admissíveis 
informadas em muitos manuais e códigos de projeto. 
Porém, não existe nenhuma teoria de falha única que 
possa ser aplicada a um material específico todas as ve­
zes, porque um material pode comportar-se como dúc­
til ou frágil dependendo da temperatura, taxa de carre­
gamento, ambiente químico ou processo de fabricação 
ou moldagem. Quando usamos uma determinada te­
oria de falha, em primeiro lugar é necessário calcular 
as componentes da tensão normal e de cisalhamento 
em pontos do elemento estrutural onde essas tensões 
são maiores. Para esse cálculo, podemos usar os funda­
mentos da resistência dos materiais ou utilizar fatores 
de concentração de tensão onde aplicável ou, em situa­
ções complexas, determinar as maiores componentes 
da tensão por análise matemática baseada na teoria da 
elasticidade ou por uma técnica experimental adequa­
da. Seja qual for o caso, uma vez definido esse estado 
de tensão, as tensões principais nesses pontos críticos 
serão determinadas, uma vez que cada uma das teorias 
apresentadas a seguir é baseada no conhecimento das 
tensões principais. 
Materiais dúcteis 
Teoria tensão máxima. A cau­
sa mais comum do escoamento de um material dúctil 
como o aço é o deslizamento, que ocorre ao longo dos 
planos de conta to dos cristais orientados aleatoriamen­
te e que formam o material. Esse deslizamento deve-se 
à tensão de cisalhamento e, se submetermos um corpo 
de prova com o formato de uma tira fina com alto po­
limento a um ensaio de tração simples, poderemos ver 
como essa tensão provoca o escoamento do material 
(Figura 10.28). As bordas dos planos de deslizamento 
que aparecem na superfície da tira são denominadas 
linhas de Liider. Essas linhas indicam claramente os 
planos de deslizamento na tira, que ocorrem a aproxi­
madamente 45° em relação ao eixo da tira. 
Considere agora um elemento do material tomado 
de um corpo de prova de ensaio de tração e que este­
ja sujeito somente à tensão de escoamento O'e (Figura 
10.29a) .A tensão de cisalhamento máxima pode ser de­
terminada traçando-se um círculo de Mohr para o ele­
mento (Figura 10.29b ). Os resultados indicam que 
Linhas de Lüdet 
em uma tira 
de aço doce 
Figura 10.28 
O' e 
Tmáx = l (10.26) 
Além do mais, essa tensão de císalhamento age em 
planos que estão a 45° em relação aos planos de tensão 
principal (Figura 10.29c), e esses planos coincidem com a 
direção das linhas de Lüder mostradas no corpo de prova, 
indicando que, de fato, a falha ocorre por cisalhamento. 
Usando essa ideia de que os materiais dúcteis fa­
lham por cisalhamento, Henri Tresca propôs, em 1868, 
a teoria da tensão de cisalhamento máxima, ou cri· 
tério de escoamento de Tresca. Essa teoria pode ser 
usada para prever a tensão de falha de um material 
dúctil sujeito a qualquer tipo de carga. A teoria da ten­
são de cisalhamento máxima afirma que o escoamento 
do material começa quando a tensão de cisalhamento 
máxima absoluta no material atinge a tensão de ci­
salhamento que provoca o escoamento desse mesmo 
material quando sujeito somente a tensão axial. Por­
tanto, para evitar falha, a teoria da tensão de cisalha­
mento máxima exige que T , b no material seJ' a menor 
max a s 
ou igual a O' /2, onde O' é determinada por um ensaio 
de tração si�ples. 
e 
Para aplicar a teoria, expressaremos a tensão de 
cisalhamento máxima absoluta em termos das tensõe5 
principais. O procedimento para tal foi discutido na 
Seção 9.7 com referência à condição de estado plano 
de tensão, isto é, na qual a tensão principal fora do pla­
no é nula. Se as duas tensões principais no plano tiv<> 
rem o mesmo sinal, isto é, forem ambas de tração nu 
de compressão, a falha ocorrerá fora do plano e, 
Equação 9. 15, 
Por outro lado, se as tensões principais no plano 
verem sinais opostos, a falha ocorrerá no plano e, 
Equação 9. 16, 
r : 
Tmáx = abs 
(J' máx - (J' mín 
2 
por essas equações e pela 10.26, a teoria da tensão 
· alhamento máxima para o estado plano de tensão CIS , 
d 
_ , . 
ser expressa para qumsquer uas tensoes pnncl-
país no plano como (J' 1 e (J' 2 pelos seguintes critérios: 
I (J' 1l == (J'e } (J' (J' têm os mesmos sinais 
I 1' 2 
I (J' 2 == (J'e 
I(J'l _ (J'zl == (J'e } (J'l' (J'2 têm sinais opostos 
(10.27) 
A Figura 10.30 apresenta um gráfico dessas equa­
ções. Fica claro que, se qualquer ponto do material es­
tiver sujeito ao estado plano de tensão e suas tensões 
principais no plano forem representadas por uma co­
ordenada ( (J' 1' (J' 2) marcada no contornoou fora da área 
hexagonal mostrada nessa figura, o material escoará 
no ponto e diz-se que ocorrerá a falha. 
T 
T (a) 
T 
y' Ue x' 
"'-. Tmáx = T / - � ""' ) �méd - 2 
45° 
(c) 
Figma 10.29 
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 389 
uz 
Teoria da tensão de cisalhamento máxima 
Figma 10. 30 
Teoria da energia de distorção máxima. Na 
Seção 3.5, afirmamos que um material, quando de­
formado por uma carga externa, tende a armazenar 
energia internamente em todo o volume. A energia por 
unidade de volume do material é denominada densi­
dade de energia de deformação, e, se o material estiver 
sujeito a uma tensão uniaxial, (J', a densidade de ener­
gia de deformação, definida pela Equação 3. 6, pode ser 
expressa como 
(10.28) 
É possível formular um critério de falha com base 
nas distorções causadas pela energia de deformação. 
Antes disso, entretanto, precisamos determinar a den­
sidade de energia de deformação em um elemento de 
volume de material sujeito às três tensões principais, 
(J'1, (J'2 e (J'3 (Figura 10. 31a) . Aqui, cada tensão principal 
contribui com uma porção da densidade de energia de 
deformação total, de modo que 
Se o material comportar-se de maneira linear elás­
tica, a lei de Hooke será aplicável. Portanto, substituin­
do a Equação 10. 18 na equação acima e simplificando, 
obtemos 
(10.29) 
Essa densidade de energia de deformação pode ser 
considerada como a soma de duas partes, uma que re­
presenta a energia necessária para provocar uma mu­
dança de volume no elemento sem mudar a forma do 
elemento e outra que representa a energia necessária 
para distorcer o elemento. Especificamente, a energia 
armazenada no elemento como resultado da mudan­
ça em seu volume é causada pela aplicação da tensão 
390 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
principal média, uméct = (u1 + u2 + u3)/3, visto que 
essa tensão provoca deformações principais iguais no 
material (Figura 10. 31b ). A porção remanescente da 
tensão, ( (T 1 - (T méd) , ( (T 2 - (T méd) , ( (]"3 - (T méd) , provoca a 
energia de distorção (Figura 10.31c). 
Evidências experimentais mostram que materiais 
não escoam quando submetidos a uma tensão (hidros­
tática) uniforme, como u méct que acabamos de discutir. 
O resultado é que, em 1904, M. Huber propôs que o 
(a) 
1 1 
(b) 
+ 
(c) 
Figura 10. 31 
escoamento em um material dúctil ocorre quando a 
energia de distorção por unidade de volume do mate­
rial é igual ou ultrapassa a energia de distorção por 
unidade de volume do mesmo material quando sub. 
metido a escoamento em um ensaio de tração simples. 
Essa teoria é denominada teoria da energia de dis­
torção máxima e, visto que mais tarde foi redefinida 
independentemente por R. von Mises e H. Hencky, às 
vezes ela também porta os nomes desses cientistas. 
Para obter a energia de distorção por unidade de vo­
lume, substituiremos as tensões (a_-1 - (T méd) , (u2 - a méd), 
(u3 - u méct) por u1, u2 e u3, respectlvamente, na Equação 
10.29, percebendo que u méct = (u1 + u2 + u)/3. Expan­
dindo e simplificando, obtemos 
No caso da tensão plana, u3 = O, essa equação re­
duz-se a 
Para um ensaio de tração uniaxial, u1 = u0, a2 = 
u3 = O e, portanto, 
Como a teoria da energia de distorção máxima exi­
ge que ua = (ua)e, então, para o caso de tensão no pla­
no ou biaxial, temos 
(10.30) 
Essa equação representa uma curva elíptica (Figura 
10.32).Assim, se um ponto no material sofrer uma tensão 
tal que a coordenada da tensão é marcada no contorno 
ou fora da área sombreada, diz-se que o material falha. 
Teoria da energia de distorção máxima 
Figura 10. 32 
u2 
Cisalhamento puro 
Figura 10.33 
Uma comparação entre os dois critérios de falha 
que descrevemos até aqui é mostrado na Figura 10.33. 
Observe que ambas as teorias dão os mesmos resul­
tados quando as tensões principais são iguais, isto é, 
pelas equações 10.2? e 
_
10.?0, 0'1 .= O" 2 = O" e ou, quando 
uma das tensões pnnc1pms for Igual a zero e a outra 
tiver valor ue. Por outro lado, se o material for subme­
tido a cisalhamento puro, r, então as teorias demons­
tram a maior discrepância na previsão da falha. As 
coordenadas da tensão desses pontos sobre as curvas 
foram determinadas considerando o elemento mostra­
do na Figura 10.34a. Pelo círculo de Mohr associado 
para esse estado de tensão (Figura 10. 34b ), obtemos 
as tensões principais 0'1 = r e 0'2 = - r. Aplicando as 
equações 10.27 e 10.30, a teoria da tensão de cisalha­
mento máxima e a teoria da energia de distorção máxi­
ma produzem (]' 1 = (]' /2 e (]' 1 = (]'e V3' respectivamente 
(Figura 10.33). 
Ensaios de torção reais, usados para desenvolver 
uma condição de cisalhamento puro em um corpo de 
prova dúctil, mostraram que a teoria da energia de 
distorção máxima dá resultados mais precisos para 
falha por cisalhamento puro do que a teoria da ten­
são de cisalhamento máxima. Na verdade, visto que 
((J'/'/3)/(0"/2) = 1,15, a tensão de cisalhamento para 
escoamento do material, como dada pela teoria da 
energia de distorção máxima, é 15% mais precisa do 
que a dada pela teoria da energia da tensão de cisalha­
mento máxima. 
u2 = -r 
l 
'T 
1 A (r, O) 
(a) T (b) 
Figura 10.34 
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 391 
Materiais frágeis 
Teoria da tensão normal máxima. Afirmamos an­
teriormente que materiais frágeis, como ferro fundido 
cinzento, tendem a falhar repentinamente por ruptu­
ra, sem nenhum escoamento aparente. Em um ensaio 
de tração, a ruptura ocorre quando a tensão normal 
atinge o limite de resistência O" r (Figura 10.35a) . Além 
disso, em um ensaio de torção, a ruptura frágil ocorre 
devido à tensão de tração máxima, desde que o plano 
de ruptura para um elemento esteja a 45° em relação 
à direção de cisalhamento (Figura 10.35b). Portanto, 
a superfície de ruptura é helicoidal, como mostra a fi­
gura.* Testes experimentais mostraram também que, 
durante torção, a resistência do material não é muito 
afetada pela presença da tensão principal de compres­
são associada que está em ângulo reta em relação à 
tensão de tração principal. Por consequência, a tensão 
de tração necessária para romper um corpo de pro­
va durante um ensaio de torção é aproximadamente 
a mesma necessária para romper um corpo de prova 
sob tensão simples. Por causa disso, a teoria da tensão 
normal máxima afirma que um material frágil falha­
rá, quando a tensão principal máxima O" 1 no material 
atingir um valor limite igual ao limite de resistência à 
tensão normal que o material pode suportar quando 
submetido à tração simples. 
Se o material estiver sujeito ao estado plano de ten­
são, exige-se que 
Falha de um material 
frágil sob tração 
(a) 
I0'1 I = O'r 
IO"z l = O"r 
Falha de um material 
frágil sob torção 
(b) 
Figura 10. 35 
(10.31) 
Um pedaço de giz escolar quebra desse modo quando suas extre­
midades são torcidas com os dedos. 
392 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS 
(J2 
Teoria da tensão normal máxima 
Figura 10. 36 
Essas equações são mostradas no gráfico da Figu­
ra 10.36. Aqui, vemos que, se a coordenada da tensão 
(a a ) em um ponto no material cair sobre o contor-1' 2 • • 1 no ou fora da área sombreada, diz-se que o matena 
sofreu ruptura. Essa teoria é geralmente atribuída a 
W. Rankine, que a propôs em meados do século XIX. 
Constatou-se, por meios experimentais, que a teoria 
está de acordo com o comportamento de materiais 
frágeis cujos diagramas tensão-deformação são seme­
lhantes sob tração e sob compressão. 
Critério de falha de Mohr. Em alguns materiais 
frágeis, as propriedades sob tração e sob compressão 
são diferentes. Quando isso ocorre, podemos usar um 
critério baseado na utilização do círculo de Mohr 
para prever a falha do materi�l . Esse n;étodo f?i de­
senvolvido por Otto Mohr e, as vezes, e denommado 
critério de falha de Mohr. Para aplicá-lo, em primeiro 
lugar é preciso realizar três ensaios no material. Um 
ensaio de tração uniaxial e um ensaio de compressão 
uniaxial são usados para determinar o limite de resis­
tência às tensões de tração e compressão,(a
,
) 1 e (a
,
) c' 
respectivamente. Além disso, é realizado um ensaio 
de torção para determinar o limite de resistência à 
tensão de cisalhamento Tr do material. Em seguida, é 
construído o círculo de Mohr para cada uma dessas 
condições de tensão, como mostra a Figura 10. 37. O 
círculo A representa a condição de tensão a1 = a2 = O, 
a = - (a ) · o círculo B representa as condições de 3 r c' 
tensão a 1 = (a,) 1, a 2 = a 3 = O; e o círculo C representa 
a condição de tensão de cisalhamento puro provoca­
da por T • Esses três círculos estão contidos em um 
'envelop� de falha' indicado pela curva em cinza ex­
trapolada, desenhada na tangente a todos os três cír­
culos. Se uma condição de tensão plana em um ponto 
for representada por um círculo que estiver contido 
no interior do envelope, diz-se que o material não fa­
lhará. Todavia, se o círculo for tangente ao envelope 
em um ponto, ou estender-se para fora de seu contor­
no, então diz-se que ocorrerá falha. 
T 
Envelope de falha 
B 
Figura 10. 37 
Critério de falha de Mohr 
Figura 10. 38 
Também podemos representar esse critério em um 
gráfico de tensões principais u1 e u2(u3 = 0), mostrado 
na Figura 10.38. Aqui, ocorre falha quando o valor ab· 
soluto de qualquer uma das tensões principais atinge 
um valor igual ou maior do que (1J,) 1 ou (u,)c ou, �m 
geral, se o estado de tensão em um ponto for defimdo 
pela coordenada da tensão (ul' uz) , marcada sobre 0 
contorno ou fora da área sombreada. 
Qualquer um desses dois critérios pode ser usado 
, ' I na prática para prever a falha de um n:�terial :rag�: 
Todavia, devemos entender que sua utilidade e b?. 
tante limitada. Uma ruptura por tração ocorre mwto 
repentinamente e, em geral, seu i�ício dep�nde �e. c�:� 
centrações de tensão desenvolvidas em ImpetfelÇ . . d . 1 . 1 - es ou vazws. microscópicas o matena como me uso 
d entalhes na superfície e pequenas trincas. Como ca a 
uma dessas irregularidades varia de um corpo de pro� 
va para outro torna-se difícil especificar a falha com 
base em um ú�ico ensaio. Por outro lado, trincas e ou· 
. do o cOI· tras irregulandades tendem a fechar-se quan . 
- f rma!11 os Po de prova é comprimido e, portanto, na o o . bmete n pontos de falha que formanam quando se su 
corpo de prova à tração. 
c 
a 
n 
d 
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 393 
dúctil, á falha será especificada pelo iúício do escoamento; se for frágil, será eEpeci1icada ;pela 
no,ae lSta definida quando ocorre deslizamertto entre os cristais que compõem o material. Esse desliza­
tensão de cisalhamento e a teoria da tensão de cisalhamento máxima é baseada nessa ideia. 
tl(J defm•mlu
,
:ao é armazenada em um material quando ele é submetido à tensão normal. A: teoria da energia 
máxima depende de uma energia de deformação que distorce o material, e não da parte que aumenta 
material frágil é causada somente pela tensão de tração máxima no material, e não pela tensão de 
constitui a base da teoria da tensão normal .máxíma e será aplicável se o diagrama tensãO'-defor· 
for semelhante sob tração e sob compressão. 
tiver diagramas tensãO'-deformação diferentes sob pressão e sob compressão, o critério de falha 
... " ""'n""''" ser usado para prever falha. 
a imperfeições no material, a ruptura sob tensão de um material frágil é difícil de prever e, por isso, as teorias 
para materiais frágeis devem ser usadas com cautela. 
o tubo de aço mostrado na Figura 10.39a tem diâmetro 
interno de 60 mm e diâmetro externo de 80 mm. Se estiver 
sujeito a um momento de torção de 8 kN · m e a um mo­
mento ftetor de 3,5 kN · m, determine se essas cargas provo­
cam falha como definido pela teoria da energia de distorção 
máxima. A tensão de escoamento para o aço determinada 
por ensaio de tração é a e = 250 MPa. 
SOLUÇÃO 
Para resolver esse problema, temos de investigar um ponto 
sobre o tubo que esteja sujeito a um estado de tensão críti­
ca máxima. Ambos, momento de torção e momento fletor, 
são uniformes ao longo do comprimento do tubo. Na se­
ção arbitrária a-a (Figura 10.39a), essas cargas produzem 
as distribuições de tensão mostradas nas figuras 10.39b e 
l.0.39c. Por inspeção, os pontos A e B estão sujeitos ao mes­
mo estado de tensão crítico. Aqui, investigaremos o estado 
de tensão em A. Assim, 
Te (8.000 N · m) (0,04 m) 
r A - - - = 116 4 MPa -
J - ( 7T/2) [(0,04 m)4 - (0,03 m)4] ' 
Me (3.500 N · m) (0,04 m) 
IJ'A = - - = 101 9 MPa I - (7T/4)[(0,04 m)4 - (0,03 m)4] ' 
Esses resultados são mostrados em uma vista tridimensional 
de um elemento de material no ponto A (Figura 10.39d) e, 
uma vez que o material está sujeito ao estado plano de tensão, 
ele também é mostrado em duas dimensões (Figura 10.39e). 
O centro do círculo de Mohr para esse estado plano de 
tensão está localizado em 
o - 101,9 
G'méd = 2 = -50,9 MPa 
a 
8 kN·m_� 
(a) 
(b) 
+ 
(c) 
(d) 
(e) 
A 
� 
116,4 
--t---�-t--+__1_- O" (MPa) 
r (MPa) 
Figura 10.39 
(f) 
394 RESISTl:NCIA DOS MATERIAIS 
O ponto de referência A(O, -116,4 MPa) é marcado e o cír­
culo, construído (Figura 10.39f). Aqui, o raio calculado pelo 
triângulo sombreado é R = 127,1 e, portanto, as tensões prin­
cipais no plano são 
0"1 = -50,9 + 127,1 = 76,1 MPa 
0"2 = -50,9 - 127,1 = -178,0 MPa 
Pela Equação 10.30, exige-se 
0"12 - 0"10"2 + O"/ ::; 0"/ 
? (76,1)2 - (76,1)( -178,0) + ( -178,0)2 ::; (250)2 
51.000 < 62.500 OK 
Considerando-se que o critério foi cumprido, o material no 
interior do tubo não escoará ('falhará') , de acordo com a 
teoria da energia de distorção máxima. 
O eixo maciço de ferro fundido mostrado na Figura 
10.40a está sujeito a um torque T = 400 N · m. Determine 
seu menor raio de modo que não falhe de acordo com a 
teoria da tensão normal máxima. O limite de resistência de 
um corpo de prova de ferro fundido determinado por um 
ensaio de tração é (O",), = 150 MPa. 
SOLUÇÃO 
A tensão crítica ou máxima ocorre em um ponto localizado 
sobre a superfície do eixo. Considerando que o eixo tem raio 
r, a tensão de cisalhamento é 
Te ( 400 N·m)r 
Tmáx = J = 
(7r/2)r4 
(a) 
-rmáx 
T 
(b) 
Figma 10.40 
254,65 N·m 
r3 
T = 400 N·m 
O círculo de Mohr para esse estado de tensão ( cisalhamento 
puro) é mostrado na Figura 10.40b. Como R = T máx' então 
254,65 N·m 
0"1 = - 0"2 = 7rnáx = 
3 r 
A teoria da tensão normal máxima, Equação 10.31, exige 
I0"1 I ::; O"r 
254•65 :s 150 X 106 N/m2 
r3 
Assim, o menor raio do eixo é determinado por 
254•65 = 150 X 106 N/m2 
r3 
r = 0,01193 m = 11,93 m 
� � " 
m���J�Ul® n m.�i4 
Resposta 
O eixo maciço mostrado na Figura 10.41a tem raio de 0,5 cm 
e é feito de aço com tensão de escoamento O" = 360 MPa. 
Determine se as cargas provocam a falha do eixo de acordo 
com a teoria da tensão de cisalhamento máxima e a teoria da 
energia de distorção máxima. 
SOLUÇÃO 
O estado de tensão no eixo é provocado pela força axial e pelo 
torque. Visto que a tensão de cisalhamento máxima causada 
pelo torque ocorre na superfície externa do material, temos 
p 
A 
15 kN ---�2 = - 19,10 kN/cm2 = 191 MPa 
1r(0,5 cm) 
(b) 
Figura 10.41 
3,25 N·m (0,5 cm) = 16 55 k:N/cm2 = 165 5 MPa f (0,5 cm)4 ' 
' 
A ação das componentes da tensão sobre um elemento 
no ponto A é mostrada na Figura 10.41b. Em vez 
usar 0 círculo de Mohr, as tensões principais também po­
ser obtidas pelas equações de transformação de tensão, 
Equações 9.5. 
(j + (j X y + a1,2 == __ 2 ___ -
- -191 + o + - 2 -
== - 95,5 ± 191,1 
a1 == 95,6 MPa 
a2 == -286,6 MPa 
( -19� _ o r + (165,5)2 
Teoria da tensão de c:isalhamento máxima. Visto que as 
tensões principais têm sinais opostos, pela Seção 9.7, a defor­
mação por cisalhamento máxima absoluta ocorrerá no plano 
e, portanto, aplicando a segunda das Equações 10.27, temos 
la1 - a2 l :S G'e 
1 95,6 - (-286,6) 1 � 360 
382,2 > 360 
Assim, a falha por cisalhamento do material ocorrerá de 
acordo com essa teoria. 
Teoria da energia de distorção máxima. Aplicando a 
Equação 10.30, temos 
( a12 - a1a2 + al) :S G'e2 
[(95,6? - (95 .. 6)( -286,6)- < -286,6) 2] � (36W 
118.677,9:5 129.600 
Por essa teoria, não ocorrerá falha. 
PRmsrne��s §� "- 0 z - 0 /: 
� X "' K« "' / '"" :s:, ���"' " "' 4 = "' '"'"' 
10.63, Um material está sujeito ao estado plano de tensão. 
Expresse a teoria da falha de energia de distorção em termos 
de (]' , a e r . x y xy 
'10.64. Um material está sujeito ao estado plano de tensão. 
Expresse a teoria da falha da tensão de cisalhamento máxi­
�a �m termos de ax, aY e rxy' Considere que as tensões prin­
C!pats têm sinais algébricos diferentes. 
10.65, As componentes do estado plano de tensão em um 
Ponto crítico de uma carcaça de aço estruturalA-36 são mos­
tradas na figura. Determine se ocorreu falha (escoamento) com base na teoria da tensão de cisalhamento máxima. 
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 395 
Pl'Oblema 10.65 
10.66. As componentes do estado plano de tensão em um 
ponto crítico de uma carcaça de aço estruturalA-36 são mos­
tradas na figura. Determine se ocorreu falha (escoamento) 
com base na teoria da energia de distorção máxima. 
125 MPa 
�
80MPa 
Problema 10.66 
75 MPa 
10.67. A tensão de escoamento para uma liga de magnésio 
e zircónio é a e = 107 MPa. Se uma peça de máquina for fa­
bricada com esse material e um ponto crítico no material for 
submetido às tensões principais no plano a1 e a2 = -0,5a1, 
determine o valor de a 1 que provocará escoamento de acor­
do com a teoria da tensão de cisalhamento máxima. 
*10.68. Resolva o Problema 10.67 usando a teoria da ener­
gia de distorção máxima. 
10.69. Se um eixo for feito de um material para o qual 
a e = 350 MPa, determine a tensão de cisalhamento por tor­
ção máxima exigida para provocar escoamento pela teoria 
da energia de distorção máxima. 
10.70. Resolva o Problema 10.69 usando a teoria da tensão 
de cisalhamento máxima. As duas tensões principais têm si­
nais opostos. 
10. 71. A tensão de escoamento para um material plástico 
é ae = 110 MPa. Se esse material estiver sujeito ao estado 
plano de tensão e ocorrer uma falha elástica quando uma 
tensão principal for 120 MPa, qual será o menor valor da 
outra tensão principal? Use a teoria da energia de distorção 
máxima. 
*10. 72. Resolva o Problema 10.71 usando a teoria da tensão 
de cisalhamento máxima. Ambas as tensões principais têm o 
mesmo sinal. 
10. 73. A chapa é feita de bronze Tobin, que escoa a 
a = 175 MPa. Pela teoria de falha da tensão de cisalhamento e 
396 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS 
máxima, determine a tensão de tração máxima ux que pode 
ser aplicada à chapa, se também for aplicada uma tensão de 
tração uy = 0,75ux. 
10. 74. A chapa é feita de bronze Tobin, que escoa a a-e = 175 MPa. 
Pela teoria da energia de distorção máxima, determine a ten­
são de tração máxima ux que pode ser aplicada à chapa, se 
também for aplicada uma tensão de tração uy = 0,75u_, 
Problemas 10.73174 
10. 75. Uma liga de alumínio 6061-T6 deve ser usada para fa­
bricar um eixo de acionamento maciço que transmita 33 kW 
a 2.400 rev/min. Usando um fator de segurança de 2 para o 
escoamento, determine o menor diâmetro do eixo que pode 
ser selecionado com base na teoria da tensão de cisalhamen­
to máxima. 
*10.76. Resolva o Problema 10.75 usando a teoria da ener­
gia de distorção máxima. 
10. 77. Uma liga de alumínio deve ser usada para fabricar um 
eixo de acionamento que transmita 20 kW a 1.500 rev/min. 
Usando um fator de segurança de 2,5 para escoamento, deter­
mine o menor diâmetro do eixo que pode ser selecionado com 
base na teoria da energia de distorção máxima. u e = 25 MP a. 
10. 78. Uma barra com área de seção transversal quadrada é fei­
ta de um material cuja tensão de escoamento é u e = 840 MP a. Se 
a barra for submetida a um momento fietor de 10 kN · m, deter­
mine o tamanho exigido para a barra de acordo com a teoria 
da energia de distorção máxima. Use um fator de segurança 
de 1,5 para o escoamento. 
10.79. Resolva o Problema 10.78 usando a teoria da tensão 
de cisalhamento máxima. 
*10.80. As tensões principais de deformação no plano que 
agem sobre um elemento diferencial são mostradas na figu­
ra. Se o material for aço-máquina com tensão de escoamento 
a-e = 700 MPa, determine o fator de segurança para escoa­
mento usando a teoria da energia de distorção máxima. 
475 MPa 
480 MPa 
Problema 10.80 
10.81. As tensões principais no plano que agem sobre urn 
elemento diferencial são mostradas na figura. Se o material 
for aço-máquina com tensão de escoamento u = 700 MPa 
determine o fator de segurança para escoamento, se for con: 
siderada a teoria da tensão de cisalhamento máxima. 
SO MPa 
SO MPa 
Problema 10.81 
10.82. O estado de tensão que age sobre um ponto crítico 
em um elemento de máquina é mostrado na figura. Determi­
ne a menor tensão de escoamento para um aço que possa ser 
selecionado para a fabricação da peça com base na teoria da 
tensão de cisalhamento máxima. 
Problema 10.82 
10.83. A tensão de escoamento para uma liga de urânio é 
u = 160 MPa. Se uma peça de máquina for fabricada com 
e;se material e um ponto crítico no material for submetido 
ao estado plano de tensão de modo tal que as tensões prin· 
cipais sejam a-1 e a-2 = 0,25ul' determine o valor de a-1 que 
causará escoamento de acordo com a teoria da energia de 
distorção máxima. 
*10.84. Resolva o Problema 10.83 usando a teoria da tensão 
de cisalhamento máxima. 
10. 85. Uma liga de alumínio deve ser usada para fabricar 
um eixo de acionamento maciço que transmita 25 kN a 
1 .200 rev/min. Usando um fator de segurança de 2,5 para es· 
coamento, determine o menor diâmetro do eixo que pode 
ser selecionado com base na teoria da tensão de cisalhamen· 
to máxima. u e = 70 MP a. 
10.86. O estado de tensão que age sobre um ponto crític? �·: 
estrutura de um banco de automóvel durante uma cohsa• 
é mostrado na figura. Determine a menor tensão de es�oa · 
mento para um aço que possa ser selecionado para fabn
.
car 
o elemento estrutural com base na teoria da tensão de ctsa· 
lhamento máxima. 
. ..... 
' J 
(J, 
I( 
te 
I r 
Ç<l 
li ! 
cs 
se 
111 
Problema 10.86 
175 MPa 
r560MPa 
10.87. Resolva o Problema 10.86 usando a teoria da ener­
gia de distorção máxima. 
Problema 10.87 
175 MPa 
r560MPa 
'10.88. Se uma peça de máquina for feita de titânio (Ti-
6Al-4V) e um ponto crítico no material for submetido ao 
estado plano de tensão de modo tal que as tensões principais 
são u1 e u2 = 0,5ul' determine o valor de u1 em MPa que 
provocará escoamento de acordo com (a) a teoria da tensão 
de cisalhamento máxima e (b) teoria da energia de distorção 
máxima. 
10.89. Deduza uma expressão para um torque equivalen­
te r. que, se aplicado sozinho a uma barra maciça de seção 
transversal circular, provocaria a mesma energia de distor­
ção que a aplicação combinada de um momento fletor M e 
um torque T. 
10.90. Uma liga de alumínio 6061-T6 deve ser usada para 
fabricar um eixo de acionamento que transmita 40 kN a 1.800 rev/min. Usando um fator de segurança FS = 2 para 
escoamento, determine o menor diâmetro do eixo que pode 
selecionado com base na teoria da energia de distorção 
máxima. 
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 397 
10.91. Deduza uma expressão para um momento fletor 
equivalente Me que, se aplicado sozinho a uma barra maciça 
de seção transversal circular, provocaria a mesma energia de 
distorção que a aplicação combinada de um momento fletor 
M e um torque T. 
*1110.92. O resultado do cálculo das cargas internas em uma 
seção crítica ao longo do eixo de acionamento de aço de um 
navio são um torque de 3,45 kN · m, um momento fletor de 
2,25 kN · m e uma propulsão axial de 12,5 kN. Se os limites de 
escoamento para tração e cisalhamento forem u e = 700 MPa e 
r e = 350 MPa, respectivamente, determine o diâmetro exigido 
para o eixo pela teoria da tensão de cisalhamento máxima. 
/ 3 45 kN·m / ' 12,5 kN 
Problema 10.92 
10.93. O elemento está sujeito às tensões mostradas na Fi­
gura. Se I.Te = 350 MPa, determine o fator de segurança para 
essa carga com base na (a) teoria da tensão de cisalhamentomáxima e (b) teoria da energia de distorção máxima. 
56 MPa 
84MPa 
Problema 10.93 
10.94. O estado de tensão que age em um ponto crítico so­
bre uma chave de porca é mostrado na figura. Determine 
a menor tensão de escoamento para o aço que poderia ser 
selecionado para a fabricação da ferramenta com base na 
teoria da energia de distorção máxima. 
10.95. O estado de tensão que age em um ponto crítico so­
bre uma chave de porca é mostrado na figura. Determine 
a menor tensão de escoamento para o aço que poderia ser 
selecionado para a fabricação da ferramenta com base na 
teoria da tensão de cisalhamento máxima. 
398 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
__.._ . 70 MP a ---t[]t- 175 MPa 
--
Problemas 10.94/95 
*10.96. O pequeno cilindro de concreto com diâmetro de 
50 mm está sujeito a um torque de 500 N · m e a uma força 
de compressão axial de 2 kN. Determine se ele falhará de 
acordo com a teoria da tensão normal máxima. O limite de 
resistência do concreto é u, = 28 MPa. 
Quando um elemento de material está 
sujeito a deformações que ocorrem 
somente em um plano, ele sofre defor­
mação plana. Se as componentes da 
deformação E , E e ')' forem conhecÍ-x i' xy 
das para uma onentação especifica do 
elemento, as deformações que agem 
em alguma outra orientação do ele­
mento poderão ser determinadas pe­
las equações da transformação da de­
formação no plano. Da mesma forma, 
as deformações principais normais e a 
deformação por cisalhamento máxima 
no plano poderão ser determinadas 
por equações de transformação. 
Problemas de transformação da defor­
mação também podem ser resolvidos 
de maneira parcialmente gráfica usan­
do o círculo de Mohr. Para traçar o 
círculo, definem-se os eixos E e y/2 e 
traçam-se no gráfico o centro do cír­
culo C [(Ex + Ey)/2, O] e o 'ponto de re­
ferência' A(Ex, 'Yx/2). O raio do círculo 
estende-se entre esses dois pontos e é 
determinado por trigonometria. 
SOO N·m 
SOO N·m 
2 kN 
Problema 10.96 
10.97. Se um eixo maciço de diâmetro d for submetido a 
um torque T e um momento M, mostre que, pela teoria da 
tensão normal máxima, a tensão principal máxima admissí­
vel é uadm = (16hrd3)(M + YW + 'P). 
Problema 10.97 
Ex + Ey Ex - Ey /'xy E ·' = --- + ---cos 20 + -sen 2" 
·' 2 2 2 u 
Ex + Ey Ex - Ey Yxy Ey• = --2- - --
2
-cos 20 - -zsen 20 
'Yx'y' (Ex - Ey) 'Yxy 
-2- = - --2- sen 20+ -zcos 20 
_ Ex + Ey �(Ex - Ey)2 (/'xy)2 El z - --- ± + -' 2 2 2 
/'�;Imo = ) ex � Ey y + (/';y r 
Ex + Ey Eméd= --2--
T 
. . ..... 
Jrn:u1�.av por cisalhamento má­
será igual àquela por 
máxima no plano desde 
deformações principais no pia­
sinais opostos. Se tiverem o 
sinal, então a deformação por 
máxima absoluta ocor­
fora do plano. 
de Hooke pode ser expressa 
dimensões, onde cada defor­
está relacionada com as três 
da tensão normal pelas 
do material E e v. 
e v forem conhecidas, então G 
ser determinada. 
uu'"""<"v é uma medida da defor­
volumétrica. O módulo de 
Jre!>sit,íli<iadle é usado para medir 
de um volume de material. 
que as tensões principais 
um material sejam conhecidas, 
usar uma teoria de falha 
a base para um projeto. 
dúteis falham sob cisalha­
e, nesse caso, a teoria da tensão 
v<OGLLlUU'-'<OlUU máxima OU a teoria 
energia de distorção máxima po­
r usadas para prever falha. Am-
teorías fazem comparações com 
de escoamento de um corpo 
rova submetido à tensão uniaxial. 
frágeis falham sob tração, 
a teoria da tensão normal 
ou o critério de falha de Mohr 
ser usados. Nesse caso, as com­
são feitas com o limite de 
à tensão de tração desen­
em um corpo de prova. 
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 399 
G = 
E 
[2(1 + v)] 
k = 
E 
3(1 - 2v) 
400 RESIST�NCIA DOS MATERIAIS 
0 "' � � � Y "' ="' -= "" "'"' � ��+%" =�;;- -"' = 2 W! "� """' � �% % "' F ��Z>V�f!A07ffj "" 
�R(!!)IBI.!!eNJ�S me R�X�,;IS�® 
w 
� "'�:�, , 
t � � 0 y "' " =� 
10.98. As tensões principais que agem em um ponto sobre 
um vaso de pressão cilíndrico de parede fina são a 1 = pr!t, 
a2 = pr/2t e a3 = O. Se a tensão de escoamento for a0, deter­
mine o valor máximo de p com base na (a) teoria da tensão 
de cisalhamento máxima e (b) teoria da energia de distorção 
máxima. 
10.99. Um vaso de pressão esférico de parede fina tem 
raio interno r e espessura t e está sujeito a uma pressão 
interna p. Se as constantes do material forem E e v , deter­
mine a deformação na direção circunferencial em termos 
dos parâmetros citados. 
*10.100. As componentes da deformação no ponto A sobre 
a carcaça são Ex = 250(10-6), EY = 400(10-6), 'Yxy = 275(10-6), 
Ez = O. Determine (a) as deformações principais em A, (b) a 
deformação por cisalhamento máxima no plano x-y, e (c) a 
deformação por cisalhamento máxima absoluta. 
Problema 10.100 
10.101. Um elemento diferencial é submetido à de­
formação no plano que tem as seguintes componentes: 
Ex = 950(10-6), EY = 420(10-6), 'Yxy = -325(10-6). Use as equa­
ções de transformação da deformação e determine (a) as de­
formações principais e (b) a deformação por cisalhamento 
máxima no plano e a deformação média associada. Em cada 
caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as 
deformações distorcem o elemento. 
10.102. As componentes do estado plano de tensão em um 
ponto crítico sobre uma carcaça fina de aço são mostradas 
na figura. Determine se ocorre falha (escoamento) com base 
na teoria da energia de distorção máxima. A tensão de escoa­
mento para o aço é a e = 650 MPa. 
340 MPa 
Problema 10.102 
10.103. Resolva o Problema 10. 102 pela teoria da tensão de 
cisalhamento máxima. 
340 MPa 
Problema 10.103 
*10.104. A roseta de deformação a 60o está montada sobre 
uma viga. As seguintes leituras foram obtidas para cada ex­
tensômetro: E" = 600(10-6), Eb = -700(10-6) e E, = 350(10-6). 
Determine (a) as deformações principais no plano e (b) a 
deformação por cisalhamento máxima no plano e a defor­
mação normal média. Em cada caso, mostre o elemento dis­
torcido devido a essas deformações. 
Problema 10.104 
10.105. A viga de alumínio tem a seção transversal retan­
gular mostrada na figura. Se for submetida a um momento 
fletor M = 7,5 kN · m, determine o aumento na dimensão de 
50 mm na parte superior da viga e a redução dessa dimensão 
na parte inferior da viga. E ai = 70 GPa e v.1 = 0,3. 
75 mm 
I M = 7,5 kN·m L 
�50 mm� 
Problema 10.105 
c 
f\ 
Ir 
fc 
1 
SL I 
C I : 
V(' 
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Fig 
vig.