2021 - AULA 5 - TEORIA DE ERROS - ALUNOS

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Conceitos Básicos da Teoria de Erros
Prof. Dr. Regina Meyer Branski
Objetivo
Apresentar Teoria da Medição e dos Erros
Medidas experimentais
Erros e Incertezas
Propagação de erros e incertezas
Linearização de Curvas
Medidas Experimentais
Erro decorre
Condições ambientais Instrumento utilizado Pesquisador
Toda medida realizada tem um erro assocido
Erro
Condições ambientais: chuva, vento, temperatura, umidade etc.
Instrumentos Erros sistemáticos
Pesquisador
Erros grosseiros
Erros aleatórios ou acidentais
Classificação dos 
Erros
Erro aleatório ou acidental: decorrem das
variações imprevisíveis nas mensurações.
Erro sistemático: se acumulam ao longo das
medições. Decorrem de problemas nos
equipamentos e são corrigidos com aferição,
calibração e seu uso correto
Erro Observacional ou grosseiro: relacionado
a falhas no procedimento ou imperícia do
observador.
Acurácia (Exatidão) vs. Precisão
Valor Alvo: valor verdadeiro de uma grandeza 
Exatidão ou Acurácia: proximidade entre os resultados de uma medição e o 
valor verdadeiro
Precisão: consistência nos resultados experimentais obtidos em condições de 
reprodutibilidade
Acurácia vs. Precisão
ACURÁCIA
ERRO = valor obtido –
valor verdadeiro
Quanto maior 
ACURÁCIA menor o 
ERRO
PRECISÃO
DESVIO = diferenças 
entre as medidas 
individuais
Quanto maior a 
PRECISÂO menor o 
DESVIO
Precisão 
Repetitividade
• Grau de concordância entre os resultados de medições
sucessivas de um mesmo mensurando, efetuadas sob as
mesmas condições de medição. Incluem:
• mesmo procedimento de medição
• mesmo observador
• mesmo instrumento de medição sob as mesmas
condições
• mesmo local
• repetição em curto período de tempo
Definições e 
Conceitos
Mensurando: grandeza a ser determinada na
medição
Medição: Conjunto de operações que têm por
objetivo determinar o valor de uma grandeza
Resultado da medição: Valor atribuído ao
mensurando e informações sobre incerteza
Valor Médio Verdadeiro: valor que seria obtido de
um número infinito de observações em condições
de repetibilidade
Medidas Físicas
Medida direta: resultado da leitura de
uma magnitude mediante o uso de
instrumento de medida
Medida indireta: resultado da
aplicação de uma relação matemática
que vincula a grandeza a ser medida
com outras diretamente mensuráveis.
Algarismos significativos e Medidas Físicas 
Medidas Físicas são 
expressas em notação 
científica
Um dígito antes da 
vírgula e decimais 
multiplicado pela 
potência de dez
14269513 mm = 1,43*10 7 mm
• Arredondar para cima se o último dígito for ⩾ 5
• Mantem se o último dígito for < 5 
• Pode dar a precisão necessária: 1,4269513 * 107
Contagem de 
algarismos 
significativos
1012 = 1,012 * 10 3 
0,012 = 1,2 * 10 -2
1,3 * 10 -2
130 = 1,30 * 10 2
0,11 = 1,1 * 10 -1
0,110 = 1,10 * 10 -1
Algarismos significativos
Número de algarismos que compõem valor
da grandeza (exclui zeros à esquerda)
Raio da Roda (mm) Significativos
57,896
5,79 * 10 1
5,789600 * 10 1
0,6 * 10 2
Algarismos significativos
Quantidade de 
algarismos significativos
• Depende:
• Da sensibilidade e precisão do
instrumento de medição
• Da perícia do observador
• Da incerteza associada à grandeza que
está sendo medida
Contagem dos 
algarismos 
significativos: 
comprimento da barra
27,5 mm (medição com escala):
3 algarismos significativos
27,75 mm (medição feita com
paquímetro digital):
4 algarismos significativos
Quantos algarismos 
significativos tem 
0,00129?
Algarismos
Significativos
Corretos e
Duvidosos
s = 5,75 ± 0,05 cm
algarismos significativos = algarismos corretos + algarismos duvidosos
(5,75) (5,75) (5,75)
Tamanho do besouro
a) Entre 0 e 1 cm
b) Entre 1 e 2 cm
c) Entre 1,5 e 1,6 cm
d) Entre 1,54 e 1,547 cm
e) Entre 1,546 e 1,547 cm
Diâmetro da moeda
a) Entre 0 e 2 cm
b) Entre 1 e 2 cm
c) Entre 1,9 e 2,0 cm
d) Entre 1,92 e 1,94 cm
e) Entre 1,935 e 1,945 cm
Regras de Arredondamento
< 5: algarismo 
precedente é mantido 
inalterado 
• 3,14 e 2,73 são 
arredondados para 
3,1 e 2,7
> 5: algarismo 
precedente é 
aumentado 1
• 3,16 e 2,78 são 
arredondados para 
3,2 e 2,8
5: se algarismo 
precedente for par 
mantém inalterado e se 
for impar aumenta 1
• 4,65 e 4,75 são 
arredondados para 
4,6 e 4,8
Incerteza em medidas diretas
Expressão de uma medida deve representar
o valor da grandeza e a incerteza
Incerteza: parâmetro associado ao
resultado de uma medição que caracteriza
a dispersão dos valores que podem ser
atribuídos ao mensurando
(23,6 ± 0,2)
Diferentes
aparelhos
• Valor após ± denominado incerteza
• Incerteza é expressa pelo intervalo de confiança
Medida Viscosidade (g cm s)
A 9,8 ± 0,4
B 12,3 ± 4,0
Padrão 9,3
Expressão da grandeza
• Usar a mesma potência de dez para o
valor da grandeza e para a incerteza
• Número de dígitos depois da vírgula na
incerteza deve ser o mesmo da medida
Notação errada Notação correta
5,30 ± 0,0572 5,30 ± 0,06
124,5 ± 11 125 ± 11
0,00002002 ± 0,0000005 (200 ± 5) * 10 -7
(45 ± 2,6) * 10 1 (45 ± 3) * 10 1
Como 
determinar a
incerteza de 
uma medida?
• Determinar o tempo de queda de um corpo
• Medir várias vezes o tempo e calcular a
média
• Variabilidade de cada medida é dada pelo
desvio padrão
• Variabilidade da média é dado pelo erro
(desvio padrão da média, caso tenha várias
médias)
Média, desvio
padrão e erro
padrão
MÉDIA DA AMOSTRA: ത𝑋 =
σ 𝑋𝑖
𝑁
DESVIO PADRÃO DA AMOSTRA: 𝑆 =
σ(𝑋𝑖− ത𝑋)2
𝑛−1
ERRO PADRÃO OU DESVIO PADRÃO DA MÉDIA COM n VALORES:
σ ത𝑋 =
𝑆
𝑛
Desvio Padrão e Erro Padrão
Desvio Padrão: mede a variabilidade dentro de uma única amostra
Erro Padrão (𝜎 ҧ𝑥 = s/√𝑛): mede a variabilidade média entre as amostras
Interpretação do Erro Padrão σ ത𝑋 da Média
Expressa a incerteza do valor médio de n medições em condições de
repetitividade
Amostra maior resulta em um erro padrão da média menor
Erro padrão da média σ ത𝑋 baixo indica menor dispersão e, portanto,
uma estimativa mais precisa da média da população
Calcule a média do tempo 
de queda, desvio padrão e 
desvio padrão da média
Com um cronômetro eletrônico foi realizado
um conjunto de medidas de tempo de queda
de um corpo. No quadro estão os resultados
de nossas medições. A incerteza do
cronômetro foi de 0,05 ms.
4,93 0,77 7,01 3,83 5,40
2,21 6,00 5,17 4,12 2,56
Operações
Matemáticas e 
Propagação da 
Incerteza
Operações matemáticas com algarismos 
significativos
Adição e subtração: resposta não 
deve ter mais casas decimais que 
a parcela mais pobre em casas 
decimais 
Multiplicação e divisão: 
quantidade de algarismos 
significativos da resposta é igual 
à quantidade de significativos do 
operando que tiver a menor 
quantidade de algarismos 
significativos
Exemplos
1,6 + 2,39 + 500,004 
1,506 x 50,5
250 x sen(15°)
Propagação da Incerteza: Adição de valores experimentais
𝜎𝐿
2 = 𝜎𝐴
2 + 𝜎𝐵
2
𝜎𝐿
2 = 22 + 0,52= 4,25
𝜎𝐿 = 2,06
Portanto: L = 20,0 ± 2,1
Propagação da Incerteza: Subtração de valores experimentais
𝜎𝐿
2 = 𝜎𝐴
2 + 𝜎𝐵
2
𝜎𝐿
2 = 22 + 22= 8
𝜎𝐿 = 2,8
Portanto: L = 4,0 ± 2,8
Propagação da Incerteza: multiplicação de grandezas 
experimentais
• (
σ𝑉
𝑉
)2= (
σп
П
)2 + (
2σ𝑅
𝑅
)2 + (
σ𝐿
𝐿
)2
•
σп
П
= 0
• 2* 
σ𝑅
𝑅
= 
1
2,0
= 0,5
•
σ𝐿
𝐿
= 
0,5
10,0
= 0,05
•
σ𝑉
𝑉
= 02 + 0,52 + 0,052 = 0,5025
• 𝜎𝑉 = 0,5025*V = 0,5025*125,7 = 63
• V = (126 ± 63) cm3 ou (13 ± 6)*10 cm3
Propagação de 
Incerteza para 
variáveis
independentes
Regra Geral para variáveis independentes
Na soma ou subtração, a
incerteza absoluta do 
resultado é a soma em 
quadratura das incertezas 
absolutas
Na multiplicação ou divisão, 
a incerteza relativa do 
resultado é dada pela soma 
em quadratura das 
incertezas relativas dos 
operandos.
Não esqueça de converter a
incerteza absoluta em 
relativa para o resultado 
final
Qualquer termo menor que 1/3 do maior termo nasoma em quadratura 
pouco contribui com o resultado final e pode ser desprezado
Incerteza padrão 
final
• Erro Padrão do Valor Médio + Desvio padrão
residual
• Erro padrão residual: indicado pelo fabricante
(ou adotar metade da menor divisão da
escala) (sistemáticos)
• 𝜎𝑓= 𝜎 ҧ𝑥
2 + 𝜎𝑟
2
Exercício
• Você quer medir o
volume de água que uma
pia pode conter. Para isso
foram realizadas 10
medidas do comprimento
(C), da largura (L) e da
profundidade (P)
mostradas na tabela
Medidas C (cm) L (cm) P (cm)
1 54,2 30,7 16,3
2 54,4 30,5 16,5
3 54,3 30,8 16,4
4 54,2 30,8 16,2
5 54,1 30,6 16,5
6 54,4 30,7 16,4
7 54,3 30,6 16,3
8 54,1 30,8 16,2
9 54,2 30,5 16,3
10 54,3 30,6 16,4
Soma 542,5 306,6 163,5
Média 54,25 30,66 16,35
Desvio
Desvio Padrão 0,11 0,12 0,11
Exercício
• Cálculo da Área
• ҧ𝐴 = 54,3 * 30,7 = 1.667,01 cm2
• Desvio Padrão da Área
• 𝑠𝐴 = ±[ ҧ𝐴 (
𝑠𝐶
2
ҧ𝐶2
+ 
𝑠𝐿
2
ത𝐿2
)1/2] = ± 7,193
• A = (1667,0 ± 7,2) cm2
ҧ𝐴 = ҧ𝐶 ∗ ത𝐿 • Cálculo do Volume ത𝑉 = ҧ𝐴 ∗ ത𝑃
• ത𝑉 = 1.667,0 * 16,35 = 27.338,80
• Desvio Padrão do Volume
• 𝑠𝑉 = ±[ത𝑉 (
𝑠𝐴
2
ҧ𝐴2
+ 
𝑠𝑃
2
ത𝑃2
)1/2] = ± 215,722
• V = (27.338,8 ± 215,7) cm2
Linearização de curvas
• Transformar uma função curvilínea (não
linear) em linear
• Exemplo: 𝑠 =
𝑎𝑡2
2
(não é linear)
• Criar uma nova variável 𝑥 =
𝑡2
2
⇒ 𝑠 = ax
Espaços em função do tempo para um corpo em queda livre
S = 
𝑡2
2
para um corpo em queda livre
Linearização 
de curvas
Exponencial
Aplicar log em 
ambos os 
termos
Exemplo 1: 𝑦 = 𝑎𝑒𝑏𝑥
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑥
𝑌 = 𝑙𝑛 𝑦 𝑒 𝐴 = 𝑙𝑛(𝑎)
𝑌 = 𝐴 + 𝑏 ∗ 𝑥
Exemplo 2: 𝑦 = 𝑎𝑥𝑏
ln(y) = ln(a) + b*ln(x)
Y = ln(y), A = ln(a) e X = ln(x)
Y = A + b*X
Objetivo
Apresentar Teoria da Medição e dos Erros
Medidas experimentais
Erros e Incertezas
Propagação de erros e incertezas
Linearização de Curvas