Lista_de_Exercicios_de_Fenomenos_de_Tran

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE MATERIAIS 
CURSO DE ENGENHARIA DE MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE 
 
 
 
 
 
 
Prof. André Guimarães Ferreira 
 
 
 
2019 
 
Fenômenos de Transporte 
 1
Tabelas de Conversão de Unidades 
 
 
 
 
Tabelas de Propriedades CNTP 
 
 
 
Ábaco de Moody 
 
Fenômenos de Transporte 
 2
Prova 01 
 
Exercícios Resolvidos 
1.1) Um fluido escoa por uma tubulação com uma velocidade média de 9000 polegadas por hora (9,00x103 in/h). 
Obtenha a velocidade média do escoamento em unidades do SI. 
Solução: 
h
in
10x00,9V 3m = 
in37,39m1es3600h1 == 












=
in37,39
m1
.
s3600
h1
.
h
in
10x00,9V 3m 
in
m
.
s
h
.
h
in
.
37,39.3600
10x00,9
V
3
m = 
sm0635,0Vm = s/m10x35,6V
2
m
−= 
 
É sempre interessante colocar as respostas no formato de Engenharia, respeitando os algarismos 
significativos. A resposta s/m10x35,6V 2m −= está em um formato mais adequado do que sm0635,0Vm = . 
 
1.2) Um tanque está sendo abastecido com uma vazão de 40 galões por minuto ( mingal40=∀& ). Obtenha a 
vazão média do escoamento em unidades do SI. 
Solução: 
min
gal
10x0,4 1=∀& 
gal17,264m1es60min1 3 == 












=∀
gal17,264
m1
.
s60
min1
.
min
gal
10x0,4
3
1& 
gal
m
.
s
min
.
min
gal
.
17,264.60
40 3=∀& 
sm10x52,2 33−=∀& 
 
1.3) O perfil de velocidades do escoamento de um líquido entre placas planas é linear. 
 
a) Determine uma equação para velocidade u em função da coordenada y. b) Calcule a velocidade do 
escoamento para y = 2 mm. c) Sabendo-se que força tangencial (direção x) aplicada sobre a placa superior é de 
0,01 N e que a área da placa em contato com o fluido é de 0,1 m2, calcule a tensão de cisalhamento do fluido 
(τ). d) Determine a viscosidade (µ) do fluido. 
Solução: 
a) 



=→=
=→=
s/m1um01,0y
s/m0u0y
 
 
1s100a0)01,0(a1
0bb)0(a0
by.au:LinearPerfil
−=→+=
=→+=
+=
 y.100u = 
b) Para y = 2 mm, isto é y = 0,002m 
 ( ) 0,002m100s u -1= s/m2,0u = 
Fenômenos de Transporte 
 3
c) 
2m1,0
N01,0
A
F =τ=τ Pa1,0=τ 
d) 100y u(y) = 
 100 
dy
du = 
100
Logo100.
dy
du τ=µµ=τµ=τ )s.m/(kg001,0=µ 
 
1.4) Um escoamento completamente desenvolvido de água no interior de um tubo pode ser descrito pela 
seguinte equação: 













−==
2
1,ˆ
R
r
UuondeiuV máx
r 
a) Quantas dimensões possui este escoamento? 
b) O escoamento está em regime permanente ou transiente? 
c) Se o diâmetro do tubo é de 1 in e a velocidade máxima do escoamento (Umáx) é de 3 m/s, calcule a 
velocidade do escoamento no centro do tubo (r= 0 in), para r = ¼ in e para r = ½ in. 
 
Solução: 
a) O escoamento é unidimensional, pois a velocidade só possui depende apenas da posição radial r. 
b) O escoamento está em regime permanente, por não depender da variável tempo. 
c) R = ½ in e Umáx=3 m/s 
Se r= 0 in, 
 s/m3
in
in0
1s/m3u
2
2
1
=
















−= 
 s/m)î3(V =
r
 {No centro do tubo a velocidade é máxima} 
Se r= ¼ in, 
 [ ] s/m25,225,01s/m3
in
in
1s/m3u
2
2
1
4
1
=−=
















−= 
 s/m)î25,2(V =
r
 
Se r= ½ in, 
 s/m0
in
in
1s/m3u
2
2
1
2
1
=
















−= 
 s/m)î0(V =
r
 {Na parede do tubo é válida a condição de não deslizamento} 
 
1.5) Um fluido está confinado em um reservatório cilíndrico de 1 m de altura e de 20 cm de raio. A massa do 
reservatório vazio é de 1 kg. A massa total do reservatório com o fluido em seu interior é de 86,5 kg. Qual é a 
densidade do fluido que se encontra no interior do reservatório? 
Solução: 
∀
=ρ m 
322 m126,0)m2,0(.m1r.h =∀π=∀π=∀ 
kg5,85mkg1kg5,86mmm fluidocilindrototalfluido =−=−= 
3m126,0
kg5,85=ρ 3m
kg
680=ρ 
 
 
 
 
1.7) a) Determine a vazão mássica do escoamento de óleo através de um duto de secção triangular de 5 cm de 
base e 3 cm de altura, cuja velocidade vale 1,0 m/s. b) Determine a vazão volumétrica neste escoamento. 
Solução: 
Fenômenos de Transporte 
 4
a) AVm ρ=& 
2
hb
A = 
2
03,0.05,0
0,1.0,891
2
hb
Vm =ρ=& 
s/kg668,0m =& 
b) 
0,891
668,0m =
ρ
=∀
&
& 
s/m10x5,7 34−=∀& 
 
1.8) A água que escoa por um tubo de 1” de diâmetro é jogada em um balde vazio de 100 g de massa. Se após 
5 s a massa do balde com água é de 3,7 kg, determine a velocidade média do escoamento. 
Solução: 
AVm ρ=& 
4
A
A
m
V
2φπ=
ρ
=
&
 
2
m4
V
πφρ
=
&
 
t
m
m
∆
∆=& 
kg6,3mmms5t vaziobaldecheiobalde =−=∆=∆ 
( )
( )2
5
6,3
0254,0..998
.4
V
π
= s/m42,1V = 
 
1.9) Um escoamento de água através de uma tubulação de ½” de diâmetro possui uma vazão mássica de 3 g/s. 
a) Determine o número de Reynolds deste escoamento. 
Solução: 
a) AVm ρ=& 
( )2
3
2 0127,0..998
10x3.4m4
V
π
=
φπρ
=
−
&
 
s/m10x37,2V 2−= 
3
2
10x0,1
0127,0.10x37,2.998V
Re −
−
=
µ
φρ= 
8,300Re = 
 
1.10) Determine o número de Reynolds para uma vazão mássica de 0,3 kg/s. 
Solução: 
a) AVm ρ=& 
( )2
1
2 0127,0..998
10x3.4m4
V
π
=
φπρ
=
−
&
 
s/m37,2V = 
310x0,1
0127,0.37,2.998V
Re −=µ
φρ= 
30080Re = 
 
1.11) Calcule a vazão mássica de um escoamento de água com velocidade máxima de 5m/s em uma tubulação 
de 2cm de diâmetro. 
Solução: 
A.V.m ρ=& , mas a velocidade média é desconhecida. 
Fenômenos de Transporte 
 5
Para laminar: 
2
máxUV = 
Para turbulento: VU máx 22,1≈ 
µ
φρ≡ VRe 





≥
<<
≤
)(10000Re
)(10000Re2300
)(2300Re
Turbulento
Transição
narLamι
 
Hipótese 1: o escoamento é laminar 
sm
smU
V máx /5,2
2
/5
2
=== 
2300900.49
/001,0
02,0/5,2/998
Re
3
>==≡
mskg
msmmkgV
µ
φρ
 
Hipótese falsa 
Hipótese 2: o escoamento é turbulento 
sm
smU
V máx /098,4
22,1
/5
22,1
==≈ 
000.10803.81
/001,0
02,0/098,4/998
Re
3
>==≡
mskg
msmmkgV
µ
φρ
 
Hipótese verdadeira 
smV /098,4= 
( ) skgmsmmkgm /285,102,0
4
./098,4./998 23 == π& 
 
1.12) Um escoamento de água ocorre através de um bocal divergente de seção circular. O diâmetro da entrada 
do bocal (1) é de 1 in e o de saída do bocal (2) é de 2 in. Determine a pressão de saída do bocal, sabendo que a 
vazão mássica do escoamento é de 30 kg/min e que a pressão na entrada do bocal vale Patm=101325Pa. 
 
Hipóteses: 
Escoamento invíscido e incompressível, sem trabalho de eixo e troca de calor. 
Solução: 
Pela equação da continuidade, 
s/kg5,0m
s60
kg30
min
kg30
mmmm saientra =⇒==⇒== &&&&& 
2211 AVAVm ρ=ρ=& 
2
2
1
1 A
m
Ve
A
m
V
ρ
=
ρ
=
&&
 
4
Ae
4
A
2
2
2
2
1
1
φπ
=
φπ
= 
2
2
22
1
1
m4
Ve
m4
V
φπρ
=
φπρ
=
&&
 
Fenômenos de Transporte 
 6
Assumindo: 
φ1 = 0,0254 m, φ2 = 0,0508 m e ρ = 998 kg/m3. 
s/m247,0Ves/m989,0V 21 == 
Aplicando-se a equação de Bernoulli, 






++
ρ
=





++
ρ 1
2
1
1
2
2
2
2 zgV
2
1P
zgV
2
1P
 
Z1 = Z2 
( )





−+
ρ
=
ρ
2
2
2
1
12 VV
2
1PP
 
( ) ( )[ ]





 −+= 22atm2 247,0989,02
1
998PP 
PaPaP 3,4571013252 += 
PaP 3,1017822 = 
 
1.13) Uma talha cilíndrica de 30 cm de raio (R) confina 0,3 m3 de água. Determine a velocidade de saída da 
água por uma válvula de 1 cm de raio interno (r), desprezando as perdas por atrito. 
 
 
Solução: 
A cota do nível do tanque (z1) é definida por meio do volume da talha: 
1
2
cilindro z.R.π=∀ 
m061,1z
)3,0.(
3,0
z 121 =⇒π
= 
Pela equação de Bernoulli, 






++
ρ
=





++
ρ 1
2
1
1
2
2
2
2 zgV
2
1P
zgV
2
1P
 
P1 = P2 = Patm e z2 = 0 m 
1
2
1
2
2 zg2VV += 
Pela equação da continuidade, 
2211 AVAVm ρ=ρ=& 
2
2
2
12211 rVRVAVAV π=π⇒= 
2
2
21
2
2
2
1
R
r
VVrVRV =⇒= 
1
2
2
2
2
2
2 zg2R
r
VV +





= 
14
4
2
214
4
2
2
2
2 zg2R
r
1Vzg2
R
r
VV =





−⇒=− 
Fenômenos de Transporte 
 7






−
=⇒=




 −
44
4
1
2
214
44
2
2 rR
R
zg2Vzg2
R
rR
V 
44
4
1
244
4
12
2
rR
Rzg2
V
rR
Rzg2
V
−
=⇒





−
= 
sm56,4V2 =1.14) Um escoamento de água é bombeado com uma pressão de 2 atm. Determine a maior altura em que uma 
caixa d’água pode ser colocada, para que o fluido consiga se bombeado. O diâmetro da tubulação é constante. 
 
Solução: 
z2 – z1 = h 
Pela equação da continuidade, 
22112211 AVAVAVAVm =⇒ρ=ρ=& 
VVVAA 2121 ==⇒= 
Aplicando-se a equação de Bernoulli, 






++
ρ
=





++
ρ 1
2
1
1
2
2
2
2 zgV
2
1P
zgV
2
1P
 






+
ρ
=





++
ρ
212atm V
2
1P
ghV
2
1P
 
1atm PghP =ρ+ 
g
PP
hPPgh atm1atm1 ρ
−=⇒−=ρ 
m35,10h = 
 
1.15) Determine novamente a altura da caixa d’água do escoamento anterior para uma vazão de 1 kg/s, uma 
tubulação de 1 in de diâmetro com uma contração para o diâmetro de ½ in na entrada da caixa. 
 
Solução: 
z2 – z1 = h 
Pela equação da continuidade, 
2211 AVAVm ρ=ρ=& 
 
2
2
1
1 A
m
Ve
A
m
V
ρ
=
ρ
=
&&
 
4
Ae
4
A
2
2
2
2
1
1
φπ
=
φπ
= 
2
2
22
1
1
m4
Ve
m4
V
φπρ
=
φπρ
=
&&
 
s/m910,7Ves/m977,1V 21 == 
Aplicando-se a equação de Bernoulli, 
Fenômenos de Transporte 
 8






++
ρ
=





++
ρ 1
2
1
1
2
2
2
2 zgV
2
1P
zgV
2
1P
 






+
ρ
=





++
ρ
2
1
12
2
atm V
2
1P
hgV
2
1P
 
( )





−+
ρ
=





+
ρ
2
2
2
1
1atm VV
g2
1
g
P
h
g
P
 
( )2221atm1 VVg2
1
g
PP
h −+
ρ
−= 
m36,7h = 
A redução de seção na saída da tubulação (entrada da caixa d’água) proporciona a conversão de parte 
da energia potencial que seria utilizada para elevar o completamente o fluido em energia cinética. Basicamente o 
aumento de velocidade do fluido impediu que ele se elevasse a 10,35 m, chegando apenas a 7,36 m. 
 
1.16) Determine a velocidade do escoamento de água através de uma comporta de uma represa, sabendo que o 
nível de água nesta represa é de 30 m acima da comporta. 
 
Solução: 
Aplicando-se Bernoulli, 






++
ρ
=





++
ρ 1
2
1
1
2
2
2
2 zgV
2
1P
zgV
2
1P
 
atm21 PPP == 
211 AApois,0V >>≈ 
12
2
2 zgzgV2
1 =+ 
( ) gh2Vzzg2V 222122 =⇒−= 
gh2V2 = {Equação de Torricelli} 
s/m26,24V2 = 
 
 
1.17) Água é bombeada de um reservatório (1) com 1 m de raio para um reservatório (4) de mesmas dimensões, 
com uma vazão mássica de 1 kg/s. a) Sabendo que a bomba está localizada 10 m abaixo do nível do 
reservatório (1) e que toda a tubulação possui um raio de 1 in, determine a pressão do fluido na entrada da 
bomba (2). b) Sabendo que a bomba está 25 m abaixo do reservatório (4), determine a pressão de saída da 
bomba (3). c) Determine a potência necessária para a bomba funcionar. 
Obs: Apenas para confirmar a hipótese que para superfície de tanques a velocidade é nula, calcule apenas 
neste problema estas velocidades. 
 
Solução: 
Equação da continuidade 
Fenômenos de Transporte 
 9
44332211 AVAVAVAVm ρ=ρ=ρ=ρ=& 
2
32
2
41 r.AAeR.AA π==π== 
232241 r..
m
VVe
R..
m
VV
πρ
==
πρ
==
&&
 
m0254,0in1rem1R === 
s/m494,0VVes/m10x189,3VV 32
4
41 ====
− 
a)Aplicando-se Bernoulli entre os pontos (1) e (2) 






++
ρ
=





++
ρ 1
2
1
1
2
2
2
2 zgV
2
1P
zgV
2
1P
 
( ) ( )21222112 zzgVV2
1PP −+−+
ρ
=
ρ
 
( ) ( )




 −+−ρ+= 21
2
2
2
112 zzgVV2
1
PP 
atm121 PPem10zz ==− 
( ) ( )[ ] ( )




 +−+= − 108066,9494,010x189,3
2
1
998101300P 2
24
2 
Pa047199P2 = 
b) Aplicando-se Bernoulli entre os pontos (3) e (4) 






++
ρ
=





++
ρ 4
2
4
4
3
2
3
3 zgV
2
1P
zgV
2
1P
 
 ( ) ( )34232443 zzgVV2
1PP −+−+
ρ
=
ρ
 
( ) ( )




 −+−ρ+= 34
2
3
2
443 zzgVV2
1
PP atm434 PPem25zz ==− 
( ) ( )[ ] ( )




 +−+= − 258066,9494,010x189,3
2
1
998101300P 2
24
3 
Pa867345P3 = 
c) Aplicando-se a equação da energia entre os pontos (2) e (3) 
m
W
zgV
P
zgV
P eixo
&
&
−




 ++=




 ++ 2
2
2
2
3
2
3
3
2
1
2
1
ρρ
 
3232 VVezz == 
ρρ
32 PPmWeixo −= && WWeixo 1,147−=& 
1.17) Água escoa em regime permanente através de um tubo de comprimento L e de raio R=3in. 
Calcule a velocidade uniforme na entrada se a distribuição de velocidades na saída é dada por 






−=
2
2
1
R
r
Uu máx , onde Umáx=10ft/s 
Solução: 
Conservação da massa: ∫∫ +∀∂
∂=
∀ SCC
AdVd
t
rr
ρρ0 
Regime permanente: ∫+= SC AdV
rr
ρ00 
∫∫ += 210 AA AdVAdV
rrrr
ρρ 
∫ 





−+−=
R
máx rdrR
r
URU
0 2
2
2 210 πρπρ 
∫ 





−=
R
máx rdrR
r
URU
0 2
2
2 12πρπρ 
Fenômenos de Transporte 
 10
R
máx
R
máx
R
rr
R
U
dr
R
r
r
R
U
U
0
2
42
20 2
3
2 42
22






−=





−= ∫ 
4
2
42
2 22
2
máxmáx URR
R
U
U =





−= 
sft
sftU
U máx /5
2
/10
2
=== 
 
1.18) Repita o problema para a saída turbulenta: 
n
máx R
r
Uu 


 −= 1 , onde Umáx=10ft/s e n=1/7 
 ∫ 


 −=
R
n
máx rdrR
r
URU
0
2 12πρπρ 
 Mudança de variáveis: ζζζζ dRdrdr
R
d)(Rr
R
r −=−=−=−= 111 
 Limites de Integração: 



=⇒=
=⇒=
0
10
ζ
ζ
Rr
r
 
 ( )[ ] ( ) ( ) ζζζζζζ dR
R
U
dRR
R
U
U nmáxnmáx ∫∫ −−=−−=
0
1
2
2
0
12
1
2
1
2
 
 { } { }ζζζζζζζ ddUdUU nnmáxnnmáx ∫∫∫ −=−= ++ 0101 101 1 22 
 












+
−




+
=
++ 0
1
10
1
2
12
2
nn
UU
nn
máx
ζζ
 
 












+
−
+
−





+
−
+
=
1
1
1
0
2
1
2
0
2
nnnn
UU máx 
 
( ) ( )
( )( ) 




++
+−+=






+
−
+
=
21
12
2
2
1
1
1
2
nn
nn
U
nn
UU máxmáx 
( )( ) ( )( ) s/m,
s/ft
nn
U
U máx 178
21
102
21
2
7
1
7
1
=
++
×=
++
= 
 
OBS: Analisar os exemplos do livro do Fox, relativos à matéria estudada (em especial do Cap. 4). 
 
Exercícios Propostos 
1.1) Uma bomba de 6 HP de potência trabalha ininterruptamente durante 2 horas. (a) Qual o trabalho 
produzido pela bomba em Joules. Se o consumo total de energia da propriedade é de 12 kW.h, (b) qual 
a porcentagem do consumo se deve à bomba? 
1.2) O êmbolo de uma seringa é apertado com uma força constante de 7 lbf. Sabendo-se que o diâmetro 
interno da seringa é de 0,5 in, calcule: (a) a força realizada em Newtons; (b) a área da seção da seringa 
em m2; (c) a pressão que o fluido está submetido em Pascal, (d) em atm e (e) em Psi (lbf/in2). Lembre-
se que: P = F/A e A = πr2. 
1.3) Transforme a temperatura de 27 oC em (a) Kelvin, (b) oR e (c) oF. 
1.4) Um escoamento de água passa através de uma tubulação de 3 cm de diâmetro com uma velocidade de 
40 ft/min. (a) Calcule a área da seção do tubo em m2. (b) Calcule a velocidade do escoamento em m/s. 
(c) Calcule a vazão volumétrica ( ∀& ) do escoamento ( A.V=∀& ). (d) Determine a massa de água que 
escoa pela tubulação durante 20 minutos (ρH2O=1000kg/m3). Lembre-se que m = ρ∀ e que t.∀=∀ & . 
1.5) Um tanque contendo, inicialmente, 20 L de água foi completamente abastecido com uma vazão 
volumétrica de 3 galões por minuto. Como o período de abastecimento foi de 4 minutos, (a) calcule o 
volume de água que entrou no tanque em litros. (b) Qual o volume total do tanque em litros? (c) Qual a 
massa de água que entrou no tanque (mentra) e (d) qual a massa que já estava no tanque? Se o tanque 
Fenômenos de Transporte 
 11
está furado e perde água na razão de 80 ml por hora, (e) qual a massa que saiu do tanque (msai) 
depois de 4 dias. (f) Qual a massa que restou no tanque (mfim)? {ρH2O≈1000kg/m3} 
1.6) Um volume de 10 litros de água escoa com uma velocidade média constante de 50 in/s. Calcule o 
momentum linear deste sistema. 
1.7) (a) Qual é o trabalho produzido para levantar um garrafão de água mineral de 30 litros a uma altura de 
1,5 m do chão? (b) Quanto vale este trabalho em calorias? (c) Qual o número mínimo de vezes que o 
garrafão deve ser levantado para que o trabalho produzido seja maior que 1 kcal? 
1.8) A viscosidade da água (µH2O) a uma temperatura de 300 K vale 2,09x10-5 slug/(ft.s). Calcule a 
viscosidade da água em unidades do SI. 
1.9) Uma placa de 1 m2 de área movimenta-se com uma velocidade constante de 5 m/s sobreuma película 
de glicerina. Sabendo-se que a película de glicerina possui 5 mm de espessura, a) calcule a força 
tangencial necessária para movimentar a placa na velocidade estabelecida. b) Determine a equação 
que descreve o perfil linear de velocidade do escoamento. 
1.10) Uma placa de 0,5 m2 de área é puxada com uma força de 20 N sobre uma película de água de 
espessura h. a) Estime o perfil de velocidades u(y). b) Se a velocidade com que a placa é puxada é de 
1 m/s, calcule a espessura h da película. 
1.11) Duas placas de 4 m2 de área movimentam-se na mesma direção e sentido com velocidades diferentes. 
A placa superior movimenta-se com uma velocidade de 3,6 km/h enquanto que a placa inferior possui a 
velocidade de 0,9 km/h. Se existe uma película de 3 mm de água entre as placas, determine: a) o 
campo de velocidades u(y); b) a tensão que a água exerce sobre a placa superior e c) a força com que 
a placa superior é puxada. 
1.12) Uma placa de 2 m2 de área movimenta-se com uma velocidade u1 sobre uma película de óleo de 
espessura h. Sobre esta placa, existe uma película de óleo de 3 mm de espessura e uma segunda 
placa (de 2 m2 de área) puxada na mesma direção e sentido da placa inferior com uma força de 100 N e 
uma velocidade de 1 m/s. a) Calcule a velocidade u1 da placa inferior. b) Calcule a espessura da 
película de água, sabendo-se que nenhuma força externa atua na placa inferior, isto é, a força com que 
a água tenta frear a placa é a mesma com que o óleo a faz movimentar. 
 
1.13) O campo de densidades de um escoamento é descrito por: 
t.1,0e.6
x
z
8,0
y
x
2680 −−+−=ρ 
Calcule a densidade do elemento fluido localizado no ponto P=(1,2,1) para os instantes de tempo: a) t = 0 s; b) t 
= 10 s; c) t = 10 min. 
1.14) Uma bola de plástico com 20 cm de raio está cheia de um determinado líquido. a) Sabendo-se que o 
peso da bola é de 415,5 N, determine o líquido no interior da bola. b) Quanto pesaria esta mesma bola 
preenchida de mercúrio. 
1.15) Calcule a temperatura do ar (em oC) se a pressão que ele está submetido é de 20 Psi e sua densidade 
vale 1,5 kg/m3. 
1.16) Determine a vazão volumétrica de um escoamento de glicerina por um duto de seção quadrada de lado 
1”, cuja velocidade média vale 3m/s. 
1.17) Um escoamento de tinta através de um tubo é capaz de encher 1 galão a cada 4 segundos. Determine 
o diâmetro do tubo, sabendo que a velocidade média do escoamento é de 1,86 m/s. 
1.18) Um escoamento de água com velocidade média de 3 ft/s através de um tubo de ½” de diâmetro é 
subdividido em 2 escoamentos secundários. A vazão volumétrica do escoamento secundário superior é 
de 0,7 gal/min. Determine a velocidade média do escoamento secundário inferior, sabendo que o 
diâmetro desta tubulação vale 1”. 
Fenômenos de Transporte 
 12
 
1.19) Determine a velocidade máxima de um escoamento laminar completamente desenvolvido, sabendo que 
a velocidade média do escoamento vale 2,0 m/s. 
1.20) Determine a velocidade máxima de um escoamento de óleo em um tubo de 2” de diâmetro, com Re = 
1500. 
1.21) Se a velocidade máxima de um escoamento desenvolvido de água (ρ=998kg/m3 e µ=0,001kg/m.s) em 
um tubo de 2cm de diâmetro vale 3m/s, determine a vazão do escoamento. 
1.22) Determine o diâmetro de saída de um bocal horizontal, sabendo que a vazão mássica de água é de 1,2 
kg/s e o diâmetro de entrada é 10 cm. A pressão de entrada do escoamento é 25 psi e na saída do 
bocal o escoamento torna-se um jato livre. 
1.23) Determine a velocidade do escoamento de água através de uma comporta de represa, sabendo que o 
nível da água está 5 m acima da comporta. 
1.24) Água é bombeada a ½ kg/s de um reservatório (1) muito largo para um segundo reservatório (2), com 
as mesmas dimensões, através de uma tubulação de 2 cm de raio. a) Sabendo que os reservatórios 
estão abertos para a atmosfera, determine as pressões manométricas (diferença entre pressão 
absoluta Patm) na entrada e na saída da bomba. b) Determine a potência necessária para a bomba 
funcionar. Patm=101,3kPa. 
 
1.25) Água é bombeada de uma lagoa para um reservatório muito grande. a) Determine a pressão na entrada 
da bomba, para uma tubulação com 5 cm de diâmetro e uma vazão mássica de 5kg/s. b) Determine a 
pressão na saída da bomba. c) Determine a potência da bomba. (ρH2O=998kg/m3 e Patm=92 kPa) 
 
 
1.26) Um escoamento com 1 kg/s de água entra em um duto de seção quadrada, com 2,0 cm de lado, com 
uma pressão absoluta de 200 kPa. Suponha que a tubulação sofra uma expansão e mude o formato de 
Fenômenos de Transporte 
 13
sua seção transversal para um círculo de raio 5,0 cm. Determine a pressão desta nova seção do 
escoamento, supondo que ela se encontra 2,0 m abaixo da entrada do escoamento. (ρH2O=998kg/m3) 
1.27) Um escoamento com 2,0 kg/s de água entra em uma tubulação vertical de raio constante de 1,0 cm. Se 
a pressão na entrada da tubulação é de 200 kPa, calcule a altura máxima do tubo para que ocorra 
escoamento ascendente descarregando na atmosfera. (ρH2O=998kg/m3 e Patm=92kPa) 
1.28) Qual a pressão de saída de água de uma bomba que opera com uma vazão mássica de 1kg/s, sabendo 
que sua potência é de 200W e a pressão na entrada vale 100 kPa? 
1.29) Considere o escoamento incompressível e permanente através do dispositivo mostrado. Determine a 
magnitude e o sentido da vazão volumétrica através da abertura 3. 
 
1.30) Uma curva redutora bidimensional tem um perfil de velocidades linear na seção 1. O escoamento é 
uniforme nas seções 2 e 3. O fluido é incompressível e o escoamento permanente. Determine 
magnitude e o sentido da velocidade uniforme na seção 3. Considere a profundidade igual a w. 
 
 
1.31) Água entra em um canal plano e largo, com altura 2h, a uma velocidade constante de 5m/s. Na saída a 
distribuição de velocidades é dada por 
2
máx h
y
1
U
u





−= 
onde y é medido a partir da linha média do canal. Determine a velocidade máxima (linha média) na 
saída. 
1.32) Água entra em um canal retangular de largura constante (para dentro do papel), h=75,5mm, com 
velocidade uniforme U. O canal faz uma curva de 90º que distorce o escoamento, de modo a produzir o 
perfil linear de velocidade mostrado na saída, com vmáx=2vmín. Avalie vmín, se U=7,5m/s. 
 
Fenômenos de Transporte 
 14
1.33) Uma placa vertical tem um orifício de bordas vivas no seu centro. Um jato de água com velocidade V 
atinge a placa concentricamente. Obtenha uma expressão para a força externa necessária para manter 
a placa no lugar se o jato sai pelo orifício com velocidade V. Avalie a força atuante para V=5m/s, 
D=10cm e d=2,5cm. 
 
1.34) Água escoa em regime permanente através de um cotovelo de 180º, conforme mostrado. Na entrada do 
cotovelo a pressão manométrica é 96kPa. A água descarrega à pressão atmosférica. Admita que as 
propriedades são uniformes nas áreas de entrada e saída. A1=2600mm2, A2=650mm2 e V1=3,05m/s. 
Determine a componente horizontal da força para o cotovelo não se mover. 
 
1.35) Água escoa em regime permanente através do bocal mostrado, descarregando para a atmosfera. 
Calcule a componente horizontal da força na junta flangeada. Indique se a junta está sob tração ou 
compressão. 
 
1.36) A figura a seguir mostra um redutor montado em uma tubulação. O volume interno do redutor é 0,2m3 e 
sua massa 25kg. Avalie a força total que deve ser exercida pelos tubos adjacentes para suportar o 
redutor. O fluido é gasolina a 720kg/m3. 
 
1.37) Uma turbina é alimentada com 0,6m3/s de água por meio de um tubo com 0,3m de diâmetro. O tubo de 
descarga tem diâmetro de 0,4m. Determine a queda de pressão através da turbina, se ela fornece 
60kW. 
1.38) Uma bomba retira água de um reservatório através de um tubo de aspiração de 150mm de diâmetro e a 
descarrega em um tubo de descarga de 75mm de diâmetro. A bomba se encontra a 2m acima da 
superfície livre do reservatório. O manômetro no tubo de descarga (na saída da bomba) indica 170kPa. 
A velocidade média no tubo de descargaé de 3m/s. Se a eficiência da bomba for de 75%, determine a 
potência necessária para acioná-la. 
1.39) Uma bomba centrífuga de água com tubo de aspiração de diâmetro de 4in e tubo de descarga de 
mesmo diâmetro possui uma vazão volumétrica de 300gpm. A pressão de entrada é 8in de Hg de 
vácuo e a pressão de saída é de 35 psig (manométrica: somando Patm, chega-se à pressão absoluta). 
Fenômenos de Transporte 
 15
As seções de admissão e de descarga estão localizadas na mesma altura. A potência medida fornecida 
à bomba é de 9,1hp. Determine a eficiência da bomba. 
 
Respostas: 
1.1) (a) Wb=3,22x107 J (b) %Consumo=74,6% 
1.2) (a) F=31,136 N (b) A=1,267x10-4m2 (c) P=2,458x105 Pa (d) P=2,426 atm 
(e) P=35,65 Psi 
1.3) (a) T=300,15 K (b) T=540,27 oR (c) T=80,6 oF 
1.4) (a) A=7,07x10-4m2 (b) V=0,2032m/s (c) s/L10x436,1 1−=∀& (d) m=172,4 kg 
1.5) (a) ∀ =45,4 L (b) ∀ t=65,42 L (c) mentra=45,4 kg (d)minício=20 kg 
(e) msai=7,68 kg (f) mfim=57,7 kg 
1.6) P=12,7 kg.m/s 
1.7) (a) W=441,45 J (b) W=105,43 cal (c) n>9,48, logo n=10 
1.8) µH2O=1,00x10-3 kg/(m.s) 
1.9) (a) F=1500 N (b) u(y)=1000y 
1.10) (a) u(y)=40000y (b) h=25µm 
1.11) (a) u(y)=250y+0,25 (b) τ=0,25 Pa (c) F=1 N 
1.12) (a) u1=0,48 m/s (b) h=9,6 µm 
1.13) (a) ρ=673,8 kg/m3 (b) ρ=677,6 kg/m3 (c) ρ=679,8 kg/m3 
1.14) (a) ρ=1264 kg/m3 {Glicerina} (b) P=4463 N 
1.15) T=47,2 oC 
1.16) s/m10x94,1 33−=∀& 
1.17) D = 1” 
1.18) V3 = 0,141 m/s 
1.19) UMáx = 4,0 m/s 
1.20) UMáx = 19,22 m/s 
1.21) s/kg784,0m =& 
1.22) φ = 1,13 cm 
1.23) V = 9,9 m/s 
1.24) a) P3g = 97,79 kPa e P4g = 244,60 kPa 
 b) WWeixo 5,73−=& 
1.25) a) P2=10454Pa; b) P3=284490Pa; c) Weixo=-1373W 
1.26) P2=222,6kPa 
1.27) h=11m 
1.28) Psai=299,6kPa 
1.29) sm /1416,0 3=∀& (fluxo entrando) 
1.30) V3 = -3,33ft/s (fluxo entrando) 
1.31) Umáx=7,5m/s 
1.32) vmáx=10m/s e vmin=5m/s 
1.33) Rx=-183,7 î N 
1.34) Rx=-370,3 î N 
1.35) Rx=-918 î N 
1.36) Rx=-4692 î N e Ry=1657jN 
1.37) ∆P=75,4kPa 
1.38) WNom=3,43kW 
1.39) η=88% 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte 
 16
Prova 02 
 
Exercícios Resolvidos 
2.1) Um tanque aberto para a atmosfera armazena glicerina. a) Determine a pressão de um elemento fluido a 
uma profundidade de 20 cm. b) Determine a pressão manométrica neste mesmo ponto. 
Solução: 
( )infsupGsupinf hhg.PP −ρ+= 
atmsup PP = 
m2,0hh infsup =− 
( )2,08066,9.1264PP atminf += 
( )Pa2479101300Pinf += 
kPa78,103Pinf = 
atmg PPP −= infinf 
kPaP g 48,2inf = 
 
2.2) Calcule a pressão absoluta nos ouvidos de um mergulhador a 200 m de profundidade em água 
(ρ=998kg/m3). Quantas vezes esta pressão é maior do que a pressão atmosférica? 
Solução: 
( )infsupO2HatmMeg hhg.PP −ρ+= 
( )2008066,9.998101300PMeg += 
( )kPa1957400101300PMeg += 
kPa70,2058PMeg = 
atm
Meg
P
P
oporçãoPr = 
3,101
7,2058
oporçãoPr = 
vezes3,20oporçãoPr = 
 
2.3) Um reservatório cilíndrico de 40 cm de diâmetro e de 1 m de altura contém gás hidrogênio (H2). Sabendo 
que o gás exerce uma força vertical para cima de 25 kN sob a tampa do reservatório: 
a) Determine a pressão do gás no topo do tanque. 
b) Determine a pressão do gás no fundo do tanque. 
c) Determine a força que a tampa deve fazer para que o tanque não se abra. (O peso molecular do H2 é 
de 2 kg/kmol e a temperatura do tanque é de 27 oC). 
 
Solução: 
a) 
4
d
A
A
F
P
2
π== 
( )22 4,0
25000.4
P
d
F4
P
π
=
π
= 
kPa9,198P = 
 
b) kPa9,198PP nfisup == 
No caso de gases, pode-se observar que, para a grande maioria das aplicações, pequenas variações de 
alturas não provocam mudanças significativas no campo de pressão. Sendo assim, a maioria dos reservatórios 
que confina gases pode ser considerada isobárica. 
c)ΣFZ = 0, pois a tampa está em repouso. 
 
( )
4
d
AAPPF
FFF
0FFF
2
TampaTampaatm2Htampa
atm2Htampa
atmtampa2H
π=−=
−=
=−−
 
Fenômenos de Transporte 
 17
 
( ) ( )
4
4,0
101300198900F
2
tampa
π−= 
kN26,12Ftampa = 
 
2.4) Determine a altura da coluna de líquido de um barômetro construído de glicerina, medindo a pressão 
atmosférica padrão. 
 
Solução: 
( )infsupGsupinf hhg.PP −ρ+= 
3
G m/kg1264=ρ 
kPa3,101PP atminf == 
kPa0PP vácuosup == 
g.
P
hh.g.P
G
inf
Ginf ρ
=⇒ρ= 
8066,9.1264
101300
h = 
m17,8h = 
 
2.5) Para o tanque da figura abaixo, calcule a pressão absoluta e manométrica para um ponto (P1) 20 cm abaixo 
da superfície da gasolina e para um ponto (P2) 40 cm abaixo da superfície da gasolina. A pressão lida pelo 
manômetro é de 99 kPa. 
 
Solução: 
glicerinadecm15h;óleodecm15h;gasolinadecm10h
óleodecm10h;gasolinadecm10h
cm40h;cm20h
c2b2a2
b1a1
21
===
==
==
 
b1Óleoa1Gasolinaar1 h.g.h.g.PP ρ+ρ+= 
Pressão relativa: 
Fenômenos de Transporte 
 18
10806698911080669680990001 ,.,.,.,.P g ++= 
88738666990001 ,,P g ++= kPa,P g 541001 = 
atmg PPP −= 11 PaP 2018411 = 
cGlicerinabÓleoaGasolinaarg
h.g.h.g.h.g.PP 2222 ρρρ +++= 
150806691264150806698911080669680990002 ,.,.,.,.,.,.P g +++= 
31859713108666990002 ,,,P g +++= kPa,P g 841022 = 
Pressão relativa: atm2g2 PPP −= kPa,P 142042 = 
 
2.6) Para a medição do nível de um tanque de água é utilizada uma coluna de mercúrio, conforme mostrado na 
figura a seguir. Determine o nível do tanque (ht). 
 
 
Solução: 
No tanque: 
( )infsupO2Hatm1 hh.g.PP −ρ+= cm10hhh inftsup == 
( )1,0h.g.PP tO2Hatm1 −ρ+= 
No tubo: 
( )infsupHgatm1 hh.g.PP −ρ+= cm10hcm10cm20h infsup =+= 
( )1,03,0.g.PP Hgatm1 −ρ+= 
Logo: 
( ) ( )2,0.g.P1,0h.g.P HgatmtO2Hatm ρ+=−ρ+ 
( ) ( )2,0.g.1,0h.g. HgtO2H ρ=−ρ ( ) ( )2,01,0h HgtO2H ρ=−ρ 
( ) ( )2,01,0h
O2H
Hg
t ρ
ρ
=− ( ) 1,02,0h
O2H
Hg
t +ρ
ρ
= 
( ) 1,02,0
998
13580
h t += m82,2h t = 
 
2.7) Determine o comprimento L e a altura h2 da coluna inclinada de mercúrio, quando o nível do tanque de água 
é de 2 m. 
Fenômenos de Transporte 
 19
 
Solução: 
Considerando o ponto 1 sendo a interface água/mercúrio: 
1O2Hatm1 h.g.PP ρ+= 
2Hgatm1 h.g.PP ρ+= 
2Hgatm1O2Hatm h.g.Ph.g.P ρ+=ρ+ 
2Hg1O2H h.g.h.g. ρ=ρ 
2Hg1O2H h.h. ρ=ρ 
)30(sen.Lhh.hhh. o21
Hg
O2H
221
Hg
O2H =
ρ
ρ
==
ρ
ρ
 
1
Hg
O2Ho h.)30(sen.L
ρ
ρ= 1
Hg
o
O2H h.
).30(sen
L
ρ
ρ= 
2.
13580.5,0
998
L = cm4,29L = 
)30(sen.Lh o2 = cm7,14h 2 = 
 
 
2.9) Determine a pressão manométrica do ponto o do escoamento ascendente de água, a partir da medida a 
coluna de mercúrio (figura a seguir). 
 
Solução: 
Considerando o ponto 1 sendo a interface água/mercúrio: 
( )21O2Ho1 hh.g.PP −ρ+= 
( )24Hgatm1 hh.g.PP −ρ+= 
Fenômenos de Transporte 
 20
( ) ( )24Hgatm21O2Ho hh.g.Phh.g.P −ρ+=−ρ+ 
( ) ( )21O2H24Hgatmo hh.g.hh.g.PP −ρ−−ρ=− 
( ) ( )21224 .... hhghhgP OHHggo −−−= ρρ 
( ) ( )[ ]21224 hhhhgP OHHggo −−−= ρρ 
( ) ( )[ ]3,04,0.9983,05,0.13580.8066,9 −−−=goP 
kPaP go 66,25= 
 
2.10) Determine a força F1 necessária para manter a comporta articulada fechada. 
 
Solução: ( )∫ +−=
A
oR AdhgPF
vr
..ρ 
Varredura: h: 0 até H � iwdhAdeiwHA ˆ.ˆ. −=−=
rr
 
Portanto: ( )( )∫ −+−=
H
oR wdhihgPF
0
ˆ..ρ
r
 
( )
H
o
H
oR hhPwidhhPwiF
0
2
0
.
2
ˆ.ˆ 




 +=+= ∫
γγ
r
 





 += 2.
2
ˆ HHPwiF oR
γr 
( ) ( ) ikNmmPamiF m
N
R
ˆ1388,639144,0.
2
746,15708
9144,0.025,47881013006096,0ˆ 23 =




 ++=
r
 
( ) ( ) ikNimmPaiwHPAdPF atm
A
atmatm
ˆ466,56ˆ6096,09144,0101300ˆ.. −=−××=−== ∫
vr
 
LFHFFM R
H
atmo ×=×+×⇒=∑ 120 
Mas, L=H-h’ 
( ) ( )
H
o
R
H
o
RA
o
R
h
h
P
F
w
dhwhhP
F
dAhghP
F
h
0
3
2
0
2
32
..
1
.
1
' 





+=+=+= ∫∫
γγρ 






+= 3
2
32
' H
H
P
F
w
h o
R
γ 
( ) ( ) ( ) mmmPa
N
m
h m
N
4669,09144,0
3
746,15708
2
9144,0
025,4788101300
8,63138
6096,0
' 33
2
=






++= 
mmmh'-HL 4475,04669,09144,0 =−== 
Portanto 
H
FLF
F
H
atmR 2
1
×−×
= 
kN
m
mNmN
F 666,2
9144,0
4572,04677,564664475,08,63138
1 =
×−×= 
ikNF ˆ666,21 −=
r
 
Fenômenos de Transporte 
 21
 
2.11) Determine a força F1 necessária para manter a comporta articulada fechada. 
 
Solução: ( )∫ +−=
A
atmR AdhgPF
vr..ρ 
Varredura: h: 0 até H � iwdhAdei
wH
A ˆ'.ˆ
2
.
−=−=
rr 
Semelhança de triângulos: i
H
wh
dhAde
H
wh
w
H
w
h
w ˆ.'
'
−==⇒=
r 
Portanto: ( )∫ 




−+−=
H
atmR dhH
wh
ihgPF
0
ˆ..ρ
r
 
( )
H
atm
H
atmR h
g
h
P
H
w
idhghhP
H
w
iF
0
32
0
2 .
32
ˆˆ 




 +=+= ∫
ρρ
r
 






+= 3
2
.
32
ˆ H
gHP
H
w
iF atmR
ρr 
( ) ( ) ikNmmPa
m
m
iF s
m
m
kg
R
ˆ8247,1071.
3
8066,9998
1.
2
101300
1
2ˆ 3232 =





+=
r
 
( ) ( ) ikNimmPaiwHPAdPF atm
A
atmatm
ˆ3,101ˆ
2
12
101300ˆ
2
.
. −=−××=−== ∫
vr
 
LFHFBFM Ratmo ×=×+×⇒=∑ 10 
Mas, L=H-h’ e B=H-h” (a resultante da força atmosférica atua no centro gravitacional do triângulo) 
( ) ( )
H
atm
R
H
atm
R
H
atm
R
h
gh
P
FH
w
dhhghP
FH
w
dh
H
wh
hghP
F
h
0
4
3
0
2
0 43..
.
1
' 





+=+=




+= ∫∫
ρρρ 






+= 4
3
43.
' H
gH
P
FH
w
h atm
R
ρ 
( ) ( ) mmmPa
Nm
m
h s
m
m
kg
672,01.
4
8066,9998
1.
3
101300
7,107824.1
2
' 4233 =





+= 
mmmmh'-HL 328,0672,01 =−== 
Além disso, 
H
atm
atm
H
atm
atm
H
atm
atm
h
P
FH
w
dhhP
FH
w
dh
H
wh
hP
F
h
0
3
0
2
0 3..
..
1
" 





==




= ∫∫ 
( ) mmPa
N
mH
P
F
w
h atm
atm
667,01.
3
101300
101300
2
3
" 2
2
=


=





= 
mmmmh"-HB 333,0667,01 =−== 
Portanto 
Fenômenos de Transporte 
 22
H
BFLF
F atmR
×−×
=1 
kN
m
mNmN
F 631,1
1
333,0101300328,07,107824
1 =
×−×= 
ikNF ˆ631,11 −=
r
 
 
2.12) Determine a altura h do reservatório de água necessário para manter uma vazão constante de saída de 
1x10-5 m3/s pela tubulação. 
 
Solução: 
Pela equação da energia, 








+α+
ρ
−








+α+
ρ
= 2
2
222
1
2
111
T zg2
VP
zg
2
VP
h 
Considerando (1) o nível do tanque e (2) a saída do escoamento, 
0Vh z-zP P P 121atm 21 ≈=== 







 α−=
2
V
hgh
2
22
T 
Para determinação das velocidades: 
22
2
2
4
V
4
Ae
A
V
πφ
∀=⇒πφ=∀=
&&
 
( ) s/m127,0V01,0
10x4
V 22
5
2 =⇒π
=
−
 
1270Re
10x1
01,0x127,0x998
Re
V
Re
3
=⇒=⇒
µ
φρ= − 
Logo, o escoamento é laminar e α2 = 2,0. 








+=⇒−=
2
V2
h
g
1
h
2
V2
hgh
2
2
T
2
2
T 
Resta agora determinar hT 
LCT hhh += 
Perda Contínua: 
2
VL
fh
2
C φ
= 
Para escoamento laminar: 
Re
64
fLam = 
2
VL
Re
64
h
2
C φ
= 
Perdas Locais: Entrada e saída da tubulação 
Entrada com bordas vivas: kentrada = 0,5 
Saída: ksaída = 0 (jato livre) 
Fenômenos de Transporte 
 23
( )
2
VLe
fkh
2
L 











φ
+= ∑∑ 
( )∑ += entradasaída kkk e 0D
Le
f =





∑ 
( ) ( )
2
V
kk
L
Re
64
h
2
V
kk
2
VL
Re
64
h
2
entradasaídaT
2
entradasaída
2
T 





++
φ
=⇒++
φ
= 
Substituindo hT na equação da energia 
( )








+





++
φ
=
2
V2
2
V
kk
L
Re
64
g
1
h
2
2
2
entradasaída 
( )
2
V
2kk
L
Re
64
g
1
h
2
entradasaída 





+++
φ
= 
( ) ( )
2
127,0
25,00
01,0
100
.
1270
64
8066,9
1
h
2





 +++= 
cm7,41h = 
 
2.13) Água é bombeada do ponto (1) do escoamento para uma caixa d’água (4), através de uma tubulação de 
aço comercial. As dimensões, conexões e acessórios da instalação são apresentados na figura a seguir. 
a) Sabendo que a vazão mássica da bomba é de 1 kg/s e que a pressão no ponto (1) é de 8,5 atm, determine a 
pressão na entrada da bomba (2). 
b) Determine a pressão na saída da bomba (3). 
c) Determine a potência da bomba. 
d) Para uma eficiência de 70%, determine a potência nominal do motor necessário para o funcionamento da 
bomba (em hp). 
 
Solução: 
a) Pela equação da energia, 








+α+
ρ
−








+α+
ρ
= 2
2
222
1
2
111
T zg2
VP
zg
2
VP
h 
0zz 21 == 







 α+
ρ
−







 α+
ρ
=
2
VP
2
VP
h
2
222
2
111
T 
 
Pela equação da continuidade: 
21 mmm &&& == 
2
2 m4
V
4
VmAVm
φπρ
=⇒πφρ=⇒ρ=
&
&& 
s/m977,1V
)0254,0(xx998
0,1x4
V
m4
V 1212
1
1 =⇒π
=⇒
φπρ
=
&
 
Fenômenos de Transporte 
 24
s/m910,7V
)0127,0(xx998
0,1x4
V
m4
V 2222
2
2 =⇒π
=⇒
φπρ
=
&
 
Para determinação de α1 e α2 é necessário o conhecimento do regime do escoamento nos 2 pontos da 
tubulação. 
11550Re
10x1
0254,0x977,1x998
Re
V
Re
3
11
1 =⇒=⇒µ
φρ
= − 
256100Re
10x1
0127,0x910,7x998
Re
V
Re
3
22
2 =⇒=⇒µ
φρ
= − 
Ambos os escoamentos são turbulentos: α=1,06 
LCT hhh += 
No entanto, a perda de carga contínua deve ser dividida em duas partes, pois existem 2 tubulações com 
dimensões diferentes. O mesmo deve ocorrer para a perda de carga local. 
2L1L2C1CT hhhhh +++= 
 
Perda contínua na primeira tubulação de 1 in: 
2
VL
fh
2
1
1
1
11C φ
= 
L1 = 20 m, φ1 = 0,0254 m, Re1 = 50 115. 
Para aço comercial: e = 0,046 mm e/φ1 = 0,0018 
2
9,0
2
9,0o 11550
74,5
7,3
0018,0
log25,0
Re
74,5
7,3
/e
log25,0f
−−
















+=










 +φ= 
0263,0fo = 
2
5.0
2
5,0
o
1
0263,0.11550
51,2
7,3
0018,0
log2
f.Re
51,2
7,3
/e
log2f
−−
















+−=
















+φ−= 
0260,0f1 = 
Logo, 
( ) 22
1C
2
1C s/m009,40h2
977,1
0254,0
20
0260,0h =⇒= 
Perda contínua na primeira tubulação de ½ in: 
2
VL
fh
2
2
2
2
22C φ
= 
L2 = 10 m, φ2 = 0,0127 m, Re2 = 100256. 
Para aço comercial: e = 0,046 mm e/φ2 = 0,0036 
2
9,0o 100256
74,5
7,3
0036,0
log25,0f
−











 += 
0289,0fo = 
2
5.02 0289,0.100256
51,2
7,3
0036,0
log2f
−











 +−= 
0287,0f2 = 
Logo, 
( ) 22
2C
2
2C s/m97,706h2
910,7
0127,0
10
0287,0h =⇒= 
Perda contínua na tubulação de aspiração da bomba: 
22
2C1CC s/m98,746hhh =+= 
Perda local na primeira tubulação de 1 in: 
Válvula gaveta: 8
Le =
φ
 
Contração: AR = 0,25. Interpolando os dados: 
Fenômenos de Transporte 
 25
[ ] 3975,043,043,039,0.
2,04,0
2,025,0
k contração =+−





−
−= 
( )
2
VLe
fkh
2
1
1
1
111L














φ
+= ∑∑ 
[ ] 221L
2
1L s/m183,1h2
977,1
8x0260,03975,0h =⇒+= 
Perda local na primeira tubulação de ½ in: 
22
2L s/m0h = 
Perda local total na tubulação de aspiração: 
22
L2L1LL s/m183,1hhhh =⇒+= 
Perda de carga total na tubulação de aspiração: 
2L1L2C1CT hhhhh +++= 
m16,748h T = 
Voltando à equação da energia: 







 α+
ρ
−







 α+
ρ
=
2
VP
2
VP
16,748
2
222
2
111 
( )222112 VV2
P
16,748
P −α+
ρ
+−=
ρ
 
( )




 −+−+= 2212 910,7977,12
06,1
16,748998PP 
 P1 = 8,5 atm =861 262,5 Pa 
kPa57,83P2 = 
b) Pela equação da energia, no recalque 








+α+
ρ
−








+α+
ρ
= 4
2
444
3
2
333
T zg2
VP
zg
2
VP
h 
0VPPm20zz 4atm434 ≈==− 
Pela equação da continuidade: 
s/m910,7VV 23 == 
Considerando a tubulação de 1 in como ponto (5): 
s/m977,1VV 15 == 
Para determinação de α3 é necessário o conhecimento do regime do escoamento nos pontos da 
tubulação. 
11550ReRe 15 == 
256100ReRe 23 == 
Ambos os escoamentos são turbulentos. 06,13 =α 
Falta, agora, determinar a perda de carga. 
LCT hhh += 
Novamente, a perda de carga contínua deve ser dividida em duas partes, pois existem 2 tubulações com 
dimensões diferentes. O mesmo deve ocorrer para a perda de carga local. 
5L3L5C3CT hhhhh +++= 
Perda contínua na segunda tubulação de ½ in: 
2
V
D
L
fh
2
3
3
3
33C = 
L3= 10 m, φ3 = 0,0127 m, Re3 = 100256. 
Para aço comercial: e = 0,046 mm e/φ3 = 0,0036 
0287,0ff 23 == 
Logo, 
( ) 22
3C
2
3C s/m97,706h2
910,7
0127,0
10
0287,0h =⇒= 
Fenômenos de Transporte 
 26
Perda contínua na segunda tubulação de 1 in: 
2
VL
fh
2
5
5
5
55C φ
= 
L5 = 30 m, φ5 = 0,0254 m, Re5 = 50 115. 
Para aço comercial: e = 0,046 mm 
e/φ5 = 0,0018 
0260,0ff 15 == 
Logo, 
( ) 22
5C
2
5C s/m01,60h2
977,1
0254,0
30
0260,0h =⇒= 
Perda contínua na tubulação de recalque da bomba:22
5C3CC s/m98,766hhh =+= 
Perda local na segunda tubulação de ½ in: 
Expansão: AR = 0,25. Interpolando os dados: 
[ ] 5775,064,064,039,0.
2,04,0
2,025,0
k ansãoexp =+−





−
−= 
( )
2
VLe
fkh
2
3
3
3
333L














φ
+= ∑∑ 
[ ] 223L
2
3L s/m067,18h2
910,7
5775,0h =⇒= 
Perda local na segunda tubulação de 1 in: 
Válvula globo: 340
D
Le = 
Cotovelos Padrão de 90o: 30x2
D
Le = 
Saída: ksaída = 1 
( )
2
VLe
fkh
2
5
5
5
555L














φ
+= ∑∑ 
( )[ ] 225L
2
5L s/m278,22h2
977,1
3030340x0260,01h =⇒+++= 
Perda local total na tubulação de recalque: 
22
L5L3LL s/m34,40hhhh =⇒+= 
Perda de carga total na tubulação de recalque: 
5L3L5C1CT hhhhh +++= 
22
T s/m32,807h = 
Voltando à equação da energia: 






−+
ρ
−







 α+
ρ
= )zz(gP
2
VP
32,807 34
atm
2
333 








+α−ρ+= gh
2
V
32,807PP
2
33
atm3 






+−+= 20x8066,9
2
910,7x06,1
32,807998101300P
2
3 
kPa65,1069P3 = 
c) Aplicando-se a equação da energia na bomba 
m
W
zg
VP
zg
VP eixo
&
&
−





++=





++ 2
2
222
3
2
333
22
α
ρ
α
ρ
 
2332 VVezz == 
Fenômenos de Transporte 
 27
( )
3
3
32
998
1065,106957,83
1
m
kgs
kg
eixoeixo
Pax
W
PP
mW
−=⇒−= &&&
ρ
 
WWeixo 988−=& 
d) A potência nominal de uma bomba é dada pela equação: 
η
eixo
alno
W
W
&
& =min 
WW alno 14117,0
988
min −==& 
hpW alno 89,1min −=& 
 
 
2.14) Determine a velocidade média de saída de água na tubulação de aço comercial do sistema abaixo. 
 
Solução: 
Equação da energia: 
T2
2
2
22
1
2
1
11 hzgV
2
P
zgV
2
P =





+α+
ρ
−





+α+
ρ
 
m8hzz 21 ==− 
atm21 PPP == 
0V1 ≈ 
Voltando à equação da energia: 
LC
2
2
2
T
2
2
2 hhV
2
ghhV
2
gh +=
α
−⇒=
α
− 
Perda de carga: 
2
VL
fh
2
2
C φ
= 
( )
2
VLe
fkh
2
2
L 











φ
+= ∑∑ 
Entrada: 28,0k02,0
2
04,0r
entrada =⇒==φ
 Saída: 0k saída = 
( )∑ =⇒+= 28,0kkkk entradasaída 
2
V
k
L
fh
2
2
T 





+
φ
= 
Substituindo na equação da energia: 
2
V
k
L
fV
2
gh
2
22
2
2






+
φ
=
α
− 
Fenômenos de Transporte 
 28
2
22
2
2
2 Vk
L
fgh2
2
V
k
L
fgh 





+
φ
+α=⇒





+
φ
+α= 
k
L
f
gh2
VV
k
L
f
gh2
2
2
2
2
2
+
φ
+α
=⇒=






+
φ
+α
 
28,0f250
9056,156
V
2
2 ++α
= 
Existem 2 possibilidades de regime de escoamento: Laminar ou Turbulento. 
Supondo que o escoamento seja laminar: 
Re
64
fe22 ==α 
Re/1600028,2
9056,156
V2 +
= 
Mas V19960
V
Re =
µ
φρ= 
( ) 2
2
2
2
2 V/8016,028,2
9056,156
V
V19960/1600028,2
9056,156
V
+
=⇒
+
= 
9056,156V8016,0V28,2 2
2
2 =+ 
09056,156V8016,0V28,2 2
2
2 =−+ 
Resolvendo a Equação do 2o Grau:



−=
=
)impossível(s/m47,8V
s/m12,8V
2
2 
Calculando Re: 
)TurbulentoEscoamento(109162
V
Re =
µ
φρ
= 
O escoamento não é laminar e a velocidade calculada não está correta. 
Para escoamento Turbulento: 
Para 7
1n = , α = 1,06 
f25034,1
9056,156
28,0f25006,1
9056,156
V2 +
=
++
= 
Resta definir o fator de atrito f: 
2
9,0o Re
74,5
7,3
/e
log25,0f
−











 +φ= e 
2
5,0
of.Re
51,2
7,3
/e
log2f
−
















+φ−= 
Para tubo de aço comercial: e/φ = 0.046/20 = 0,0023 
Como Re depende de 2V , o processo de solução deve ser iterativo. 
2V19960
V
Re =
µ
φρ= 
 Processo Iterativo: 
1a Iteração 
Pela solução de escoamento laminar, pode-se estimar a velocidade 2V em: 
s/m67,6V inicial2 = 
133133Re67,6x19960V19960
V
Re 2 =⇒==µ
φρ= 
0256,0f
133133
74,5
7,3
0023,0
log25,0f o
2
9,0o
=⇒














+=
−
 
0255,0f
0256,0.133133
51,2
7,3
0023,0
log2f
2
5,0
=⇒














+−=
−
 
Fenômenos de Transporte 
 29
s/m51,4V
0255,0x25034,1
9056,156
V 22 =⇒+
= 
%48Erro%100x
V
VV
Erro
2
inicial22 =⇒
−
= 
2a Iteração 
Pela solução da iteração anterior, pode-se estimar a velocidade inicial2V em: 
s/m51,4V inicial2 = 
6,90019Re51,4x19960V19960
V
Re 2 =⇒==µ
φρ
= 
0263,0f
6,90019
74,5
7,3
0023,0
log25,0f o
2
9,0o
=⇒










 +=
−
 
0260,0f
0263,0.6,90019
51,2
7,3
0023,0
log2f
2
5,0
=⇒










 +−=
−
 
 
s/m47,4V
0261,0x25034,1
9056,156
V 22 =⇒+
= 
%84,0Erro%100x
V
VV
Erro
2
inicial22 =⇒
−
= 
3a Iteração 
Pela solução da iteração anterior, pode-se estimar a velocidade inicial2V em: 
s/m47,4V inicial2 = 
2,89221Re47,4x19960V19960
V
Re 2 =⇒==µ
φρ
= 
0263,0f
2,89221
74,5
7,3
0023,0
log25,0f o
2
9,0o
=⇒










 +=
−
 
0260,0f
0264,0.2,89221
51,2
7,3
0023,0
log2f
2
5,0
=⇒










 +−=
−
 
s/m47,4V
0261,0x25034,1
9056,156
V 22 =⇒+
= 
%0Erro%100x
V
VV
Erro
2
inicial22 ≈⇒
−
= 
Então: s/m47,4V2 = 
 
Exercícios Propostos 
2.1) Determine o nível (h1) do tanque necessário para que a água levante o bloco M1 de massa 200 kg. Assuma 
que a área superficial do bloco possui 10 cm de raio e que o atrito entre o bloco e a parede do tanque é 
desprezível. 
Fenômenos de Transporte 
 30
 
2.2) Determine a pressão absoluta no ponto A, sabendo que h1 = 10 cm e h2= 30 cm. 
 
2.3) Determine a altura da coluna de água de um barômetro de água que está medindo a pressão atmosférica 
padrão. 
2.4) Calcule a altura da coluna de líquido de um barômetro de glicerina que está medindo uma pressão 
atmosférica de 100 kPa. 
2.5) Determine a pressão absoluta no bulbo de Álcool (ρálcool = 789 kg/m3). 
 
2.6) a) Determine a diferença de pressão entre os pontos B e C do escoamento ascendente de água 
representado na figura abaixo. b) O que aconteceria se a pressão no ponto C fosse maior do que a do ponto 
B? 
Fenômenos de Transporte 
 31
 
2.7) Determine o comprimento L da coluna inclinada de glicerina, para o tanque com um nível de 3 m de álcool e 
uma pressão Po = 15 psi. 
 
2.8) Calcule a pressão relativa do gás A. Assuma que h = 3 cm. 
 
2.9) (a) Determine a diferença de pressão entre os pontos B e C, e o (b) sentido do escoamento abaixo. (h1 = 10 
cm, h2 = 3 cm) 
Fenômenos de Transporte 
 32
 
2.10) O manômetro A mede a pressão manométrica PAG. Determine as elevações das colunas de fluido y (h1) 
e de fluido z (h2) nos tubos piezométricos B e C abertos para a atmosfera. (Dica: utilize a pressão da 
interface y/z como referência para determinar h1 e h2). 
 
2.11) Uma peça de 213g é colocada em um recipiente volumétrico graduado com água. Sabendo que o 
volume inicial da água no recipiente (antes da colocação da peça) é de 1230mL e que após a colocação da 
peça é o volume total se torna 1327mL, determine a densidade do material da peça. Considere a densidade 
da água como 998kg/m3. 
 
2.12) Uma porta de acesso (1m de largura e 1,5m de altura) está localizada na parede vertical de um tanque 
com água. A porta é articulada em sua aresta superior, instalada 1m abaixo do nível da água. A pressão 
atmosférica de 101,3kPa atua na face externa da porta. Qual a força necessária para manter a porta 
fechada, se esta força é aplicada no centro da aresta inferior da porta. 
 
2.13) Mercúrio escoa através de uma tubulação de aço comercial com 5cm de diâmetro, com uma vazão 
mássica constante de 8kg/s e é descarregada na atmosfera, em um jato livre. Calcule a pressão (P1) no 
início da tubulação. {Patm=92kPa} 
Fenômenos de Transporte 
 33
 
2.14) Uma bomba recebe álcool à pressão atmosférica (P0=92kPa) e bombeia a uma velocidade média 
constante de 2,5m/s, através de tubos lisos (e=0), descarregando em um jato livre. Determine a potência da 
bomba. 
 
2.15) Um escoamento de água é bombeado através de uma tubulação (e=2x10-6m) com 2cm de diâmetro e 
vazão de 1kg/s. A pressão na entrada da bomba (P0) vale 50kPa. Determine a potência da bomba. 
 
2.16) Água é bombeada (de baixo para cima) através de uma tubulação de trefilado com 5cm de diâmetro,com uma vazão volumétrica constante de 0,01m3/s, conforme a figura a seguir. Calcule a potência que a 
bomba deve fornecer ao fluido, em kW {Patm=92kPa}. 
Fenômenos de Transporte 
 34
 
2.17) Óleo é bombeado (de baixo para cima) através de uma tubulação de aço rebitado e de diâmetro de 
20cm, com uma vazão mássica constante de 15kg/s. Calcule a potência que a bomba deve fornecer ao 
fluido. {Patm=92kPa} 
 
 
 
Respostas: 
2.1) h1 > 8,68 m 
2.2) PA = 104,14 kPa 
2.3) h = 10,35 m 
2.4) h = 8,07 m 
2.5) PA = 109,07 kPa 
2.6) (a) PB – PC = 8,13 kPa (b) O escoamento seria descendente. 
2.7) L = 4,09 m 
2.8) PAG = -3,995 kPa 
2.9) (a) PB – PC = 8,64 kPa (b) O escoamento ocorre de B para C. 
2.10)(a)
543
y
x
y
AG
1 hhhg
P
h ++
ρ
ρ
+
ρ
= (b) 54
z
y
3
z
x
z
AG
2 hhhg
P
h +
ρ
ρ
+
ρ
ρ+
ρ
= 
2.11) 2196kg/m3 
2.12) 14,7kN 
2.13) a 2.17) Sem resposta. 
Fenômenos de Transporte 
 35
Prova 03 
 
Exercícios Resolvidos 
3.1) Exemplo 1.1 (Incropera). 
3.2) Exemplo 1.2 (Incropera). 
3.3) Exemplo 1.6 (Incropera). 
3.4) Exemplo 2.1 (Incropera). 
3.5) Exemplo 3.1 (Incropera). 
3.6) Exemplo 3.2 (Incropera). 
3.7) Exemplo 3.4 (Incropera). 
3.8) Exemplo 5.1 (Incropera). 
3.9) Exemplo 5.2.1 (Incropera). 
 
Exercícios Propostos 
3.1) O vidro traseiro de um automóvel é desembaçado pela fixação de um aquecedor em película, fino e 
transparente, sobre a sua superfície interna. O seu funcionamento fornece um fluxo térmico uniforme na 
superfície interna do vidro. Para um vidro de 4mm de espessura, determine a potência elétrica, por unidade de 
área, necessária para manter a temperatura da superfície interna em 15oC. A temperatura do ar no interior do 
carro e o coeficiente convectivo são T∞i=25oC e hi=10W/m2K e no exterior são T∞e=-10oC e he=65W/m2K. Resp: 
q”= 1270W/m2. 
3.2) Vapor a uma temperatura de 250oC escoa através de uma tubulação de aço (AISI 1010) com diâmetro 
interno de 60mm e diâmetro externo de 75mm. O coeficiente de convecção entre o vapor e a superfície interna 
da tubulação é hi=500W/m2K, enquanto aquele entre a superfície externa e a vizinhança é he=25W/m2K. A 
emissividade da tubulação vale 0,8 e a temperatura do ar e da vizinhança está a T∞=20oC. Qual a perda de calor 
para cada 1m de tubulação. Resp: q= 1831W. 
3.3) Um bastão de latão com 100mm de comprimento e 5mm de diâmetro se estende horizontalmente a partir 
de uma solda que se encontra a 200oC. O ambiente ao seu redor está a 20oC, com h=30W/m2K. Determine as 
temperaturas no bastão a 25mm, 50mm e 100mm da solda. 
3.4) Bolas de aço com 12mm de diâmetro são temperadas pelo aquecimento a 1150K seguido pelo resfriamento 
lento até 400K ao ar a T∞=325K, com h=20W/m2K. Supondo que as propriedades do aço sejam k=40W/mK, 
ρ=7800kg/m3, e c=600J/kgK, estime o tempo necessário para o resfriamento. Resp: t=1122s 
3.5) Eixos de aço carbono (AISI 1010) com 0,1m de diâmetro são tratados termicamente pelo aquecimento em 
fornalha a gás onde os gases se encontram a 1200K e mantêm o coeficiente de transferência de calor 
convectivo em 100W/m2K. Se os eixos entram no forno a 300K, quanto tempo eles devem permanecer no seu 
interior atinja a temperatura de 800K? Resp: t=859s 
3.6) Explique o processo de transição para a turbulência do escoamento sobre uma placa plana. Quais as 
subcamadas do escoamento turbulento? 
3.7) Como varia o coeficiente convectivo local ao longo de uma placa plana. Por que ele apresenta este tipo de 
variação? 
3.8) Qual o significado físico dos adimensionais: Bi, Fo, Nu, Pr, Re, Pe? 
3.9) Explique o fenômeno de resfriamento evaporativo. 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte 
 36
 
Prova 04 
Exercícios Resolvidos 
4.1) Exemplo 7.1 (Incropera). 
4.2) Exemplo 8.3 (Incropera). 
4.3) Exemplo 8.4 (Incropera). 
4.4) Exemplo 8.5 (Incropera). 
4.5) Exemplo 9.2 (Incropera). 
4.6) Exemplo 9.3 (Incropera). 
4.7) Exemplo 9.4 (Incropera). 
4.8) Exemplo 13.3 (Incropera). 
4.9) Exemplo 13.4 (Incropera). 
 
Exercícios Propostos 
4.1) Óleo de motor a 100oC a uma velocidade de 0,1m/s escoa sobre a superfície inferior e superior de uma 
placa plana com 1m de comprimento a 20oC. Determine o fluxo térmico local na saída da placa. Resp: 1300W/m2 
4.2) A superfície de uma placa plana com 1,5m de comprimento é mantida a 40oC. Água a temperatura de 4oC e 
a uma velocidade de 0,6m/s escoa sobre a superfície. Calcule a taxa de transferência de calor para a 
profundidade de 1m da placa. Resp.: 55kW 
4.3) Considere um escoamento de a) ar e de b) água com velocidade de corrente livre de 5m/s e temperatura de 
20oC através de um cilindro transversal de 1cm de diâmetro e 1m de comprimento a 50oC. Calcule a taxa de 
transferência de calor para cada fluido. Resp: a)71,1W b)20,439kW 
4.4) Óleo de motor, a uma vazão de 0,02kg/s, escoa através de um tubo com 3mm de diâmetro e 30m de 
comprimento. O óleo possui uma temperatura na alimentação de 60oC, enquanto a temperatura na parede do 
tubo é mantida a 100oC pela condensação de vapor sobre a sua superfície externa. Determine o coeficiente 
convectivo médio interno e a temperatura do óleo na saída do tubo. Resp: 222 W/m2K e 90,9oC. 
4.5) Água é alimentada em um tubo com parede delgada, de 40mm de diâmetro e 4m de comprimento, a uma 
vazão de 0,25kg/s e uma temperatura de 30oC, e é aquecida por ar quente que escoa transversalmente ao redor 
do tubo com V=100m/s e T∞=225oC. Calcule a temperatura de saída do escoamento, a temperatura média da 
superfície do tubo e a taxa de transferência de calor. Resp:Tm,o=47,6oC. 
4.6) A porta de um forno doméstico, com 0,5m de altura e 0,7m de largura, atinge uma temperatura superficial 
média de 32oC durante a operação do forno. Estime a perda de calor para o ambiente externo a 22oC. Se a porta 
possui emissividade de 1,0 e a vizinhança está a 22oC, calcule as perdas convecção livre e por radiação. Resp: 
11,7W e 21,4W. 
4.7) O escoamento de ar através de um longo duto de ar-condicionado, com formato quadrado e 0,2m de lado, 
mantém a sua superfície externa a uma temperatura de 10oC. Se o duto, na posição horizontal, não possui 
isolamento e está exposto ao ar a 35oC no porão da casa, qual o ganho de calor para 1m de duto. Resp: 84,8W. 
4.8) Uma tubulação horizontal, com 12,5mm de diâmetro e com uma temperatura superficial externa de 240oC, 
está localizada no interior de uma sala com o ar a temperatura de 20oC. Calcule a taxa de transferência de calor 
para 10m de tubo. Resp: 1,03kW 
4.9) Considere o arranjo de 3 superfícies negras na figura a seguir. Determine o fator de forma F13. Calcule a 
transferência líquida de calor q13. F13=0,64 e q13=1700W 
 
4.10) Considere duas placas paralelas muito grandes com suérfícies cinzas e difusas. Determine a irradiação e a 
radiosidade na placa superior. Qual a radiosidade da placa inferior? Qual a troca líquida entre as placas. Resp: 
G1= 14,175W/m2; J1= 56,7W/m2; J2= 14,175W/m2; q12= 42,525W/m2 
 
Fenômenos de Transporte 
 37
4.11) Uma estufa de circulação forçada opera em um laboratório, com temperatura controlada a 300K (ar e todas 
as paredes). A parede superior da estufa possui uma área de 2m2, sendo o comprimento L=2m e a largura 
B=1m. Esta parede é composta por duas chapas de 5mm de alumínio, isoladas termicamente por uma camada 
de 5cm de poliestireno expandido. A emissividade da superfície externa da estufa é de 70%. Passa no interior da 
estufa um escoamento de secagem com 5m/s a 350K. Desconsiderando trocas de radiação internas na estufa e 
considerando trocas externas por convecção natural e por radiação com o ambiente, calcule as temperaturas da 
superfície interna e externa da estufa. Sugestão: crie uma única resistência condutiva para a parede.