matemática_financeira

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Sumário 
AULA 1 – INTRODUÇÃO À HP 12C .............................................................................. 3 
Exercício AULA 1 ................................................................................................................................................. 7 
AULA 2 – CONHECENDO A CALCULADORA ............................................................. 8 
Exercício AULA 2 ............................................................................................................................................... 15 
AULA 3 – CONFIGURANDO SUA CALCULADORA ................................................... 16 
Exercício AULA 3 ............................................................................................................................................... 22 
AULA 4 – REGISTRADORES, FUNÇÕES E CÓDIGOS DE ERROS .......................... 23 
Exercício AULA 4 ............................................................................................................................................... 30 
AULA 5 – INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA E DIAGRAMA DE FLUXO 
DE CAIXA ..................................................................................................................... 31 
Exercício AULA 05 ............................................................................................................................................ 35 
AULA 6 – JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS ................................................ 36 
Exercício AULA 06 ............................................................................................................................................ 43 
AULA 7 – SÉRIES UNIFORMES, NÃO UNIFORMES E AMORTIZAÇÃO................... 44 
Exercício AULA 07 ............................................................................................................................................ 51 
AULA 8 – TAXAS DE JUROS E DESCONTOS ........................................................... 53 
Exercício AULA 08 ............................................................................................................................................ 59 
AULA 9 – GESTÃO DE CUSTO E FORMAÇÃO DE PREÇO ...................................... 61 
Exercício AULA 9 ............................................................................................................................................... 83 
AULA 10 – MERCADOS FINANCEIROS ..................................................................... 84 
Exercício AULA 10 ............................................................................................................................................ 97 
AULA 11 – ESTATÍSTICA I .......................................................................................... 98 
Exercício AULA 11 .......................................................................................................................................... 132 
AULA 12 – ESTATÍSTICA II ....................................................................................... 133 
Exercício AULA 12 .......................................................................................................................................... 142 
AULA 13 – CONTABILIDADE .................................................................................... 144 
Exercício AULA 13 .......................................................................................................................................... 152 
 
 
 
 3 
Aula 1 – Introdução à HP 12c 
De todas as máquinas financeiras atualmente disponíveis no 
mercado, a HP 12C é, provavelmente, a mais antiga. Foi lançada 
em 1981, dentro da clássica série de calculadoras 10C, composta 
pelas máquinas HP 10C, 11C, 12C, 15C e 16C, todas lançadas 
entre os anos de 1981 a 1985 e com pequenas diferenças entre 
elas, veja nos modelos abaixo. 
 
Modelo 10c 
 
Modelo 11c 
 
 
 
 
 4 
Modelo 12c 
 
Modelo 15c 
 
Modelo 16c 
 
Suas características principais incluem o fato de possuir mais 
de 120 funções específicas para usos em negócios, que permitem 
trabalhar com 20 diferentes fluxos de caixa, operações com taxas 
internas de retorno e valores presentes líquidos. 
É caracterizada por trabalhar com lógica RPN (do inglês 
Reverse Polish Notation, ou notação polonesa reversa) – o que 
permite uma entrada mais rápida de dados e a execução mais 
eficiente dos cálculos. 
Apresenta, ainda, de acordo com o site da HP baterias de 
longa duração, tamanho pequeno e conveniente, além de 
programação através do teclado. É intitulada como a calculadora 
que não morreria, sendo a mais antiga e mais bem vendida 
calculadora de todo o mundo. Embora outros modelos mais novos 
e com muito mais recursos tenham sido lançados posteriormente, 
as vendas da velha HP 12C seguem boas. 
Alguns catálogos de vendas destacaram a superioridade 
mecânica de outras máquinas, como a HP 17BII (apresentada 
como 15 vezes mais rápida que a 12C e com capacidade de 
 
 5 
armazenamento e processamento quatro vezes superior) ou a HP 
19BII (15 vezes mais rápida e com capacidade nove vezes 
superior de processamento de informações). Seguem imagens. 
 
 Modelo HP 17Bii Modelo HP 19Bii 
 
E quais seriam as razões da persistência do uso da velha HP 12C 
a ponto, por exemplo, de justificar sua aplicação em um texto 
escrito longos 20 anos depois? Eis algumas justificativas: 
1) É uma calculadora puramente RPN, sem opções 
algébricas para confundir o comprador, ou o usuário. As 
calculadoras mais novas, HP 17B e 19B, foram lançadas em 
versões algébricas, rapidamente substituídas pelas 
versões BII, com RPN opcional; 
 
2) Os compradores, geralmente profissionais ligados a 
áreas de negócios, são sempre ligeiramente conservadores 
– o que os tornam aficionados pela HP 12C, já tradicional 
no mercado; 
 
3) Possui uma excelente aparência; 
 
4) Como todas as outras calculadoras da série 10C, possui 
uma boa e sólida aparência “feita como um tijolo”, 
especialmente quando comparadas com outros modelos de 
calculadoras disponíveis no mercado; 
 
 
 6 
5) Ela já se tornou parte do “elegante uniforme executivo 
de negócios”, o que a distingue facilmente dos modelos 
mais simples. 
 
6) Talvez forneça as funções apropriadas, de forma 
apropriada e pelo preço mais justo possível. 
 
De um modo geral, as duas principais características da 
calculadora poderiam ser representadas por sua robustez (bem 
cuidada, a máquina dura indeterminadamente) e simplicidade (é 
fácil de operar, possuindo as principais funções necessárias em 
matemática financeira, por exemplo). 
Com a evolução das planilhas eletrônicas, como o Excel, 
igualmente será apresentado neste curso, os usos da HP 12C 
ficaram limitados a rápidas operações, ou cálculos mais simples. 
Didaticamente, ainda representa um excelente recurso, em 
função de executar as principais funções financeiras e apresentar 
um custo muito mais baixo que um microcomputador portátil, por 
exemplo. 
 
 
 7 
Exercício AULA 1 
 
1- Qual é a calculadora financeira mais antiga do mercado? 
 
2- Quando foi lançada? 
 
3- Composta por quais outras máquinas? 
 
4- Quantas funções possui? 
 
5- O que é RPN? 
 
6- Quais as justificativas para a resistência do uso da HP12C? 
 
 
 8 
Aula 2 – Conhecendo a Calculadora 
Depois de tantas contas feitas “no braço”, chegou à hora de 
resolvê-las usando a HP-12C. Uma HP-12C moderna opera sob a 
forma de dois sistemas: algébrico (como todas as outras 
calculadoras convencionais) e o RPN. 
 
RPN o que é? 
Como funciona? 
RPN, Notação Polonesa Inversa também conhecida como 
notação pós-fixada, foi criado por Jan Lukasiewicz, matemático 
polonês, nos anos 20 e aplicado pelo filósofo e cientista da 
computação australiano Charles Hamblin em meados dos anos 
1950, para habilitar armazenamento de memóriade endereço 
zero. A diferença entre estes dois sistemas está na forma de 
entrada dos dados. No sistema algébrico as calculadoras 
executam cálculos de uma forma direta, ou seja, obedecendo à 
seqüência natural da Matemática. Para fazermos à operação 2 + 
3, tecla-se primeiro 2, depois o +, e em seguida o 3 e, 
finalmente, a tecla =. Resultado: 5. No sistema RPN a entrada de 
dados é feita introduzindo primeiro os dados, separados pela 
tecla ENTER. Tal sistema torna os cálculos extensos muito mais 
rápidos e simples. É o sistema RPN que será explorado neste 
curso. Para entendermos melhor isso, vamos dar uma olhada na 
calculadora e em seus comandos e funções. 
 
 
 
Linha Financeira 
 
 
Teclas Especiais 
Ligar e 
Desligar 
Acesso à 
função 
laranja 
Acesso à 
função 
azul 
Acesso à 
memória 
Entrada 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fil%C3%B3sofo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Computa%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Austr%C3%A1lia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Charles_Hamblin
http://pt.wikipedia.org/wiki/Anos_1950
http://pt.wikipedia.org/wiki/Anos_1950
 
 9 
Vamos testar de forma prática. 
Com sua HP12C em mãos, vamos fazer o mesmo cálculo 
proposto anteriormente, mas agora no Sistema RPN. 
 
1º passo: Ligar sua HP12C. Pressione ON; 
2º passo: Caso seu visor apresente algum número diferente de 
zero, limpe-o usando a CLx; 
3º passo: Depois pressione a tecla f (função laranja) e a seguir a 
tecla 2 para o visor apresentar 2 casas decimais; 
4º passo: Agora aperte 2, pressione ENTER e em seguida 3. Por 
último, a tecla +. Resultado: 5. 
 
Ela não é mais difícil que as calculadoras convencionais, ela 
é diferente. Por ser diferente não estamos acostumados com esse 
processo. Por ser diferente é que vamos estudá-la em detalhes. 
 
Setores do Teclado 
 
Vamos dividir a calculadora em setores para facilitar a 
compreensão. 
 
Setor de Entrada de Dados: Essas teclas permitirão a 
você introduzir os dados dos seus problemas na máquina. O 
ponto substitui a nossa vírgula. 
 
 
 
 
 
 
 10 
Setor de Operações Básicas: Essas operações são as 
velhas conhecidas divisão, multiplicação, subtração e soma. 
 
 
 
Setor de Potência e Raiz: 
 
yx - Eleva um número y qualquer (base) a um número x 
qualquer (expoente) 
1/x – Calcula o inverso deste número, por exemplo, o inverso do 
número 2 é 0,5. 
√x - Calcula a raiz quadrada de um número x (função azul). 
 
 
Atenção: Essa função calcula apenas a raiz quadrada de um 
número. Raiz cúbica, quarta, etc., só através do artifício 
matemático de elevar um número a um expoente fracionário. 
 
 
 
 
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Setor de Porcentagem: O cálculo da porcentagem dá o 
resultado de se aplicar uma taxa x, expressa como partes de cem 
(por cento), a um valor base y. Uma expressão genérica para um 
cálculo de porcentagem está mostrada logo abaixo da 
calculadora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Setor de Limpeza: Limpar um registro do visor substitui o 
número dele por zero. A limpeza da memória de programa 
substitui as instruções existentes por "g GTO 00". Há várias 
operações de limpeza na HP 12c, como mostrado na tabela 
abaixo. 
 
 
 
 12 
Teclas Significado 
CLX Limpa os valores contidos no visor 
f CLEAR REG (f 
CLX) 
Limpa tudo, exceto a memória de 
programação 
f CLEAR Σ Limpa os registros estatísticos, os registros 
da pilha operacional e o visor 
f CLEAR FIN Limpa os registros financeiros 
f CLEAR PRGM Limpa a memória de programação (quando 
no modo PRGM) 
 
Setor Financeiro: É o setor mais utilizado na sua HP 12C 
em matemática financeira. Quando entrarmos neste assunto, 
falaremos especificamente de cada tecla. 
 
 
 
Setor Calendário: Os cálculos financeiros dependem dos 
períodos de tempo, por esta razão a habilidade de manipular 
datas é importante. Saber o número de dias entre duas datas ou 
calcular uma nova data dada a partir de uma data de referência e 
um número de dias entre elas são partes freqüentes dos 
problemas de finanças. 
 
 13 
 
 
Setor de Armazenamento/Recuperação de Dados: Aqui 
esta o HD da sua HP12C. 
 
 
 
 
 
 
 14 
Setor de Troca-Troca: R↓ armazena os dados de X,Y e Z 
enquanto LST x recuperar dados que estavam no visor antes da 
última operação executada. 
 
 
 
 
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Exercício AULA 2 
 
1- Quais os dois sistemas usados pela HP12C? 
 
2- Fale sobre o RPN 
 
3- O teclado da HP12C é dividido em setores. Quais são eles? 
 
4- Cite 4 teclas da calculadora e seus significados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
 
Aula 3 – Configurando sua calculadora 
Para saber se a calculadora está funcionando normalmente, 
existem alguns procedimentos de teste que podem ser efetuados, 
como: 
 
Auto-teste dos circuitos 
 
Teste automático 
Com a calculadora desligada, pressione e mantenha 
pressionada a tecla [x] (ou [+]) e depois ligue a HP12C, 
pressionando a tecla [ON]. 
Solte a tecla [ON] e depois a tecla [x] (ou [+]). 
Um auto-teste será realizado. Se o mecanismo da máquina 
estiver funcionando corretamente, dentro de aproximadamente 
25 segundos (durante os quais no visor será exibida a palavra 
“running” piscando) todos os indicadores do visor serão exibidos 
(a exceção do ‘*’: indicador de bateria fraca). 
Se aparecer a expressão "Error 9" (veja imagem abaixo) ou 
não aparecer nada, a calculadora está com problemas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
Teste semi-automático 
 
Com a calculadora desligada, pressione e mantenha 
pressionada a tecla [÷] e depois ligue a HP12C, pressionando a 
tecla [ON]. Solte a tecla [ON] e depois a tecla [÷]. Para 
verificar todas as teclas da HP, nesta opção de teste é necessário 
pressionar TODAS as teclas da máquina, da esquerda para a 
direita, de cima para baixo. Ou seja, é necessário pressionar 
todas as teclas, da tecla [N] até a tecla [÷], depois da tecla [yx] 
até a tecla [x], da tecla [R/S] até a tecla [-], pressionando, na 
passagem, a tecla [ENTER] e, por último, da tecla [ON] até a 
tecla [+], passando, também, pela tecla [ENTER]. Assim, a tecla 
[ENTER] deverá ser pressionada em duas passagens distintas. 
De forma similar ao teste anterior, se o mecanismo da 
máquina estiver funcionando corretamente, após pressionar todas 
as teclas na ordem descrita, o visor indicará o número 12 no 
centro. Se aparecer a expressão "Error 9" não aparecer nada, a 
calculadora está com problemas. 
 
Funções amarelas e azuis 
 
Como forma de economizar teclas, a HP emprega o recurso 
de atribuir à mesma tecla, diferentes funções. Algumas teclas da 
HP apresentam legendas em branco (função principal), em 
amarelo ou em azul. Para empregar uma função "amarela" é 
necessário pressionar a tecla [f] antes. Para empregar uma 
função "azul" é necessário pressionar a tecla [g] antes. 
Exemplo: a tecla [i] apresenta outras duas funções 
adicionais: a função [INT] em amarelo e a função [12÷]. 
Para usar a função [i] basta pressionar a tecla [i]. Para usar a 
função [INT] é necessário pressionar, antes, a tecla [f] (note 
que o visor indicará que tecla [f] foi pressionada) e depois a tecla 
[INT]. De forma similar, para usar a função [12÷] é necessário 
pressionar a tecla [g] (note que o visor indicará que tecla [g] foi 
pressionada) e depois a tecla [12÷]. 
 
 
 
 
 
 
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Observações complementares 
 
Lembre-se que quando a tecla [f] ou [g] é pressionada, 
somente as funções em amarelo ou azul serão ativadas. Caso as 
teclas [f] ou [g] tenham sido pressionadas de forma indesejada, 
para cancelar a operação, basta pressionar as teclas [f] 
[PREFIX]. 
 
Formatar exibição de casas decimais 
 
Embora sempre trabalhe internamente com valores com 
muitas casas decimais, a HP12C permite a exibição de um 
número de casas decimais pré-fixado. Para fixar um número de 
casas decimais, pressione a tecla [f] e depois o número de casas 
decimais desejado. Por exemplo, para trabalhar com 2 casas 
decimais, basta pressionar [f] 2. Para exibir 4 casas decimais, 
pressione[f] 4. 
 
Importante lembrar 
 
Embora exiba valores com um número de casas decimais 
predefinido, internamente a máquina processará um número com 
um maior número de casas decimais. Em cálculos sucessivos, os 
valores das etapas intermediárias exibidas no visor, podem, 
portanto, ser diferentes do valor final exibido. 
Assim, evite transcrever valores para o papel e depois para a 
calculadora. Tente sempre usar as pilhas e os registradores da 
calculadora. 
 
Selecionar ponto ou vírgula 
 
A HP12C permite usar o ponto ou a vírgula como separador 
de casas decimais. Para trocar a opção em vigor, desligue a 
máquina, pressione a tecla [.] e depois ligue a máquina, 
liberando primeiro à tecla [ON] e depois a tecla [.]. 
Automaticamente, a HP12C trocará o separador de casas 
decimais. 
 
 
 
 
 19 
Notação de números muito grandes ou muito pequenos 
 
A HP permite a realização de cálculos com números que 
sejam maiores que 10-100 e menores que 10100. Já que o visor só 
permite a exibição de números com até 10 algarismos, números 
muito grandes ou muito pequenos são exibidos sob a forma de 
notação científica, onde a mantissa é apresentada primeiramente. 
E, depois, o expoente de 10 que multiplica a mantissa. Por 
exemplo, 14 milhões multiplicados por 24 milhões serão exibidos 
na HP como sendo [3,360000 14]. Note a existência de 
espaço entre 3,360000 e 14. O primeiro número [3,360000] é a 
mantissa e o segundo [14] é o expoente de 10 que está 
multiplicando a mantissa. De outra forma: 14.000.000 x 
24.000.000 = 336.000.000.000 = 3,360000 x 10 . 
Uma forma de trabalhar com valores muito grandes na HP é 
viabilizada pela tecla [EEX] que representa o expoente de 10 que 
multiplica o número que está sendo digitado. A função será mais 
bem descrita a seguir. 
 
Indicação de bateria fraca 
 
Caso a bateria da máquina esteja fraca, aparecerá um 
indicador [*] piscando no canto inferior esquerdo. 
Para evitar um desgaste antecipado da bateria, deve-se 
evitar colocar a calculadora próxima a fontes de campos 
eletromagnéticos, como alto-falantes automotivos, aparelhos de 
som, televisores, etc. 
 
Lógica RPN 
 
Note que a HP12C não possui uma das principais teclas de 
calculadoras algébricas comuns que é a tecla de igualdade. A 
razão dessa inexistência consiste no fato da HP trabalhar com 
uma lógica matemática diferente: a lógica RPN. 
Enquanto em uma operação algébrica comum, os operandos 
devem ser intercalados por operadores, na lógica RPN os 
operandos devem ser colocados primeiramente e, depois, devem 
ser colocados os operadores. 
A notação pré-fixada recebeu o nome de Notação Polonesa, 
em homenagem a Jan Lukasiewicz (já falamos sobre ele, 
anteriormente). A HP ajustou a notação pós-fixada para o teclado 
 
 20 
das calculadoras, mediante o uso de pilhas para armazenamento 
dos operandos e funções específicas para o manuseio das pilhas. 
 
Pilhas de Registradores 
 
Outra característica da HP é representada pela pilha de 
registradores. Embora apenas um dos registradores da máquina 
seja sempre exibido (o visor, também denominado registrador X), 
existem outros, dispostos em forma de "pilha", que permitem e 
facilitam a realização de cálculos sucessivos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conforme visto na representação anterior, o visor é 
denominado Registrador X. Além dele, existem outros 
registradores, como o Y, Z e T. Quando um número é digitado na 
máquina, ele é automaticamente inserido no Registrador X 
(visor). Ao pressionar a tecla [ENTER], o número é duplicado, 
sendo seu valor copiado para o registrador Y. As operações da 
máquina são quase sempre efetuadas com os registradores X e Y. 
Assim, sugere-se que, antes de iniciar operações sucessivas 
na HP, deve-se fazer a limpeza da pilha. Para limpar a pilha, 
basta pressionar as teclas [f] [REG]. 
Last X 
 
T 
Z 
Y 
X 
 
Registradores 
da HP 12C 
Outros 
Registradores 
Visor 
 
 21 
A tecla [ENTER] consiste no principal mecanismo para a 
operação de pilhas da HP 12C. Ao pressionar [ENTER], os 
registradores são "empurrados" para cima na pilha, sendo o 
conteúdo do visor (registrador X) duplicado. Quando as 
operações são efetuadas, a calculadora opera os registradores X 
e Y, mantendo o resultado no visor (registrador X). 
É importante destacar que a única ocasião em que à tecla 
[ENTER] deve ser pressionada é quando se deseja dois números 
que estão sendo introduzidos consecutivamente, um número 
imediatamente após o outro. Apenas nestas ocasiões o [ENTER] 
deve ser utilizado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
Exercício AULA 3 
 
1- Quais os testes que devem ser efetuados para verificar se a 
calculadora está funcionando corretamente? 
 
2- Quais são as três cores utilizadas na HP12C? 
 
3- Como identificamos que a bateria está fraca? 
 
4- Cite os registradores da HP12C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
Aula 4 – Registradores, Funções e Códigos de Erros 
Algumas funções da HP são próprias para as operações 
envolvendo a pilha de registradores. Deve-se destacar: 
[R↓]: rola a pilha para baixo. 
[X↔Y]: troca a posição dos registradores X e Y; 
[LST X]: recupera o último registrador X; 
[CLX]: limpa o registrador X (apenas); 
[f] [REG]: limpa todos os registradores da HP (não apenas a 
pilha), incluindo os registradores financeiros e os estatísticos. 
 
Registradores adicionais 
 
Um outro conjunto de registradores da HP pode ser utilizado 
mediante o emprego das teclas: 
[STO] - do inglês STORE, armazene. Armazena valores em um 
registrador que pode variar de 0 a 9 (vinte opções disponíveis); 
[RCL] - do inglês RECALL, recupere. Recupera valores 
armazenados na função [STO]. 
 
Registradores Estatísticos 
 
Um grupo de funções e recursos especiais da HP12C permite 
a execução de cálculos estatísticos básicos. 
Para isso, é necessário entrar com os dados necessários, 
empregando a função [Σ+]. Caso algum valor errado tenha sido 
incluído, pode-se excluí-lo mediante a tecla [Σ-]. Naturalmente, 
antes de armazenar valores nos registradores estatísticos é 
necessário limpar o conteúdo anterior mediante a função [f] [Σ]. 
 
Funções estatísticas básicas: 
 
[f] [Σ]: limpa valores armazenados nos registradores 
estatísticos. 
[Σ+]: acrescenta dados aos registradores estatísticos da HP12C. 
[Σ-]: subtrai dados aos registradores estatísticos da HP12C. 
É interessante observar que a HP12C não armazena os 
dados individuais, mas, sim, um conjunto de somatórios, descrito 
na tabela seguinte. Dos somatórios armazenados é possível 
construir as principais medidas estatísticas como a média, o 
desvio-padrão e o coeficiente de correlação, que serão abordadas 
posteriormente. 
 
 24 
 
Quadro 1: Registradores estatísticos da HP12C 
Registrador Estatístico Registrador da HP 
N: número de dados armazenados R1 : Registrador 1 
ΣX: somatório de X R2 : Registrador 2 
ΣX2: somatório de X ao quadrado R3 : Registrador 3 
ΣY: somatório de Y R4 : Registrador 4 
ΣY2: somatório de Y ao quadrado R5 : Registrador 5 
ΣXY: somatório de (X vezes Y) R6 : Registrador 6 
Assim, para recuperar o número de elementos incluídos nos 
somatórios (n) basta recuperar o registrador 1: [RCL] 1. Para 
recuperar o Σ XY basta recuperar o registrador 6: [RCL] 6. 
 
Registradores Financeiros 
 
Podem ser de dois tipos básicos: registradores de séries 
uniformes e registradores de fluxos de caixa (séries não 
uniformes). 
Séries uniformes: os registradores de séries uniformes são 
representados pelas teclas localizadas logo abaixo do visor : [n], 
[i], [PV], [PMT] e [FV]. 
Séries não uniformes: Os registradores de séries não uniformes 
são ativados através das funções [g] [CF0] e [g] [CFj] e 
armazenados nos registradores numéricos. Podem ser 
armazenados até 20 registradores de fluxos de caixa não 
uniformes. As principais funções são representadas pelas teclas: 
[f][NPV] e [f] [IRR].Registradores e funções financeiras serão abordados neste 
curso com mais detalhes em capítulos de matemática financeira. 
 
 
 
 
 
 25 
 
Funções algébricas 
 
As funções algébricas da HP 12C permitem a realização de 
cálculos matemáticos elementares. As principais funções são 
representadas pelos operadores algébricos básicos [+], [-], [x], 
[÷], que, respectivamente, efetuam as operações de soma, 
subtração, multiplicação e divisão. 
 
Funções percentuais 
 
São três as funções que facilitam cálculos percentuais da HP 
12C: 
[%]: calcula a percentagem fornecida no registrador X em cima 
do registrador Y. 
[%T]: calcula quantos por cento do registrador X o registrador Y 
vale. 
[∆%]: calcula a variação percentual existente entre os 
registradores Y e X, nesta ordem. 
 
Funções de datas 
 
É importante ressaltar que a HP só permite cálculos com 
datas entre 15/10/1582 e 25/11/4046. Antes de começar a 
trabalhar com cálculos de data na HP 12C é necessário configurar 
a notação empregada. 
Para isso, antes de colocar as datas na máquina, deve-se 
selecionar uma das opções representadas nas funções : 
[g] [D.MY]: configura a HP para trabalhar no modo de notação 
dia.mês.ano; 
[g] [M.DY]: configura a HP para trabalhar no modo de notação 
mês.dia.ano. 
Como, no Brasil, é adotada a convenção de notação de datas 
no formato dia, mês e ano, recomenda-se que o indicador D.MY 
esteja sempre ativado. 
[g] [DATE]: com base no registrador Y, calcula a data futura ou 
passada acrescida do número de dias presente no registrador X. 
[g] [∆DYS]: calcula o número de dias corridos existentes entre 
as datas fornecidas nos registradores Y e X. 
 
 
 
 26 
Funções estatísticas 
 
Um grupo de recursos extremamente úteis da HP 12C está 
representado nas funções estatísticas da calculadora. Através de 
funções estatísticas simples, é possível obter-se algumas 
estatísticas básicas como a média, o desvio-padrão, a média 
ponderada, o coeficiente de correlação e variáveis interpoladas. 
[g] [ ] - calcula a média aritmética simples dos valores de X e 
Y armazenados no modo de somatório. 
[g] [s] - calcula o desvio padrão amostral dos valores de X e Y 
armazenados no modo de somatório. 
[g] [ W] - calcula a média ponderada dos valores de X e Y 
armazenados no modo de somatório. 
Funções estatísticas aplicáveis à análise de regressão e 
correlação 
A análise de regressão/correlação é facilitada na HP 12C 
através de duas funções principais : 
[g] [ ,r] - interpola ou extrapola o valor de X com base em 
outros valores de X e Y armazenados no modo de somatório. 
Também calcula o coeficiente do valor de correlação r; 
[g] [ŷ,r] - interpola ou extrapola o valor de Y com base em 
outros valores de X e Y armazenados no modo de somatório. 
Também calcula o coeficiente do valor de correlação r. 
 
Funções financeiras 
 
A seguir serão apresentadas as principais funções financeiras 
da HP12C. Todas estas funções serão abordadas com maior 
profundidade durante o módulo de Matemática Financeira. É 
importante ressaltar a necessidade do correto uso de dois 
indicadores (“flags”) fundamentais nos cálculos que envolvem 
matemática financeira na HP12C: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
Flag Ativa Desativa Descrição 
C [STO] 
[EEX] 
STO] [EEX] Quando ativado indica a 
opção de cálculo de juros 
compostos nas parcelas 
fracionárias de períodos não 
inteiros. Quando não ativado, 
indica que nas parcelas 
fracionárias de períodos não 
inteiros o cálculo no regime 
de juros compostos ocorrerá 
mediante juros simples. 
BENGIN [g] [BEG] [g] [END] Quando ativado, indica que a 
série calculada é antecipada 
(primeira prestação paga no 
ato). Quando desativado, 
indica cálculos com séries 
postecipadas, onde o 
pagamento da primeira 
prestação é diferido. 
 
Funções financeiras de séries uniformes: 
 
[n]: número de períodos da série; 
[i]: taxa da série (válido para uniformes e não uniformes); 
[PV]: do inglês Present Value, valor presente da série; 
[PMT]: do inglês Payment, valor da prestação (ou pagamento) 
da série; 
[FV]: do inglês Future Value, valor futuro da série. 
 
Funções financeiras de séries não uniformes: 
 
[g] [CF0]: do inglês Cash Flow 0, armazena o fluxo de caixa na 
data zero; 
[g] [CFj]: do inglês Cash Flow j, armazena o fluxo de caixa na 
data j (j entre 1 e 20); 
[g] [Nj]: armazena o número de fluxos de caixa repetidos; 
[f] [NPV]: do inglês Net Present Value, calcula o valor presente 
líquido de um fluxo de caixa não uniforme. 
 
 
 
 28 
Funções de programação 
 
Um recurso útil da calculadora HP 12C em determinadas 
situações consiste na possibilidade de programar a máquina. 
Existem várias funções e recursos de programação, como: 
[R/S]: do inglês RUN/STOP, solicita ou interrompe a execução 
de um programa; 
[f] [P/R]: do inglês PROGRAM/RUN, colocada a calculadora no 
modo de programação (PROGRAM) ou de execução (RUN); 
[f] [PSE]: do inglês PAUSE, fornece uma pausa de cerca de 1 
segundo na execução do programa; 
[f] [PRGM]: do inglês CLEAR PROGRAMS, limpa os programas 
registrados na memória da calculadora; 
[g] [GTO]: do inglês GO TO, executa um desvio de rotina em 
programa, com instrução do tipo “vá para”; 
[SST]: do inglês STEP, executa o programa passo a passo; 
[g] [BST]: do inglês BACK STEP, volta um passo na execução do 
programa. 
 
Códigos de erro 
 
Eventualmente, na operação da HP 12C pode ocorrer alguma 
falha, resultando em um procedimento incorreto, muitas vezes 
indicado por uma mensagem de erro. As principais mensagens de 
erro da calculadora serão descritas a seguir: 
Error 0: erro em operações matemáticas. 
Exemplos: divisão de número por zero, raiz quadrada de número 
negativo, logaritmo de número menor ou igual à zero, fatorial de 
número não inteiro. 
Error 1: ultrapassagem da capacidade de armazenamento e 
processamento da máquina : a magnitude do resultado é igual ou 
superior a 10100. 
Por exemplo, fatorial de 73. Note que a mensagem de erro não 
aparece: apenas uma série de noves aparece no visor. 
Error 2: operações estatísticas com erro. 
Por exemplo, média com n igual a 0. 
Error 3: erro no cálculo da taxa interna de retorno (IRR). Neste 
caso, a mensagem informa que o cálculo é complexo, podendo 
envolver múltiplas respostas e não poderá prosseguir, a menos 
que você forneça uma estimativa para a taxa interna de retorno 
(IRR). 
 
 29 
Error 4: erro em operações com a memória da calculadora. 
Por exemplo : tentativa de introdução de mais de 99 linhas de 
programação; tentativa de desvio (GTO) para uma linha 
inexistente em um programa; tentativa de operação com os 
registradores de armazenamento (R5 a R9 ou R.0 a R.9); 
tentativa de utilização de um registrador ocupado com linha de 
programação. 
Error 5: erro em operações com juros compostos. 
Provavelmente, algum valor foi colocado com o sinal errado 
(todos os valores têm o mesmo sinal), ou os valores de i, PV e PF 
são tais, que não existe solução para n. 
Error 6: problemas com o uso dos registradores de 
armazenamento. O registrador de armazenamento especificado 
não existe, ou foi convertido em linha de programação. O número 
de fluxos de caixa inseridos foi superior a 20. 
Error 7: problemas no cálculo da taxa interna de retorno (IRR). 
Não houve troca de sinal no fluxo de caixa. 
Error 8: problemas com o calendário. Pode ser decorrente do 
emprego de data inapropriada ou em formato impróprio; 
tentativa de adição de dias além da capacidade da máquina. 
Error 9: problemas no auto-teste. Ou o circuito da calculadora 
não está funcionando corretamente, ou algum procedimento no 
auto-teste apresentou falhas. 
 
 30 
Exercício AULA 4 
 
1- Quantos são os tipos de registradores? 
 
2- E quais são eles? 
 
3- Quais são os registradores de: série unifome e não-uniforme. 
 
4- Quais são os operadores da função percentual? 
 
5- Fale sobre os códigos de erro. 
 
 
 31Aula 5 – Introdução à Matemática Financeira e Diagrama de 
Fluxo de Caixa 
 
Conceituação e importância do estudo da matemática 
financeira 
 
Podemos conceituar matemática financeira, de maneira 
simplista, é o ramo da matemática que tem como objeto de 
estudo o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. Avalia-
se a maneira como este dinheiro está sendo ou será empregado 
de maneira a maximizar o resultado, que se espera positivo. Com 
as ferramentas adequadas pode-se também comparar entre duas 
ou mais alternativas, aquela que mais benefícios nos trarão, ou 
menos prejuízo acarretará. 
Na atual economia, que se diz globalizada, não se concebe 
qualquer projeto, seja de que área for, em que o aspecto 
financeiro não seja um dos mais relevantes para sua execução. 
No dia a dia das famílias ocorre o mesmo fenômeno. Discute-se 
cada vez mais o último IGP (Índice Geral de Preços), a inflação ou 
deflação, a taxa de juros básicos da economia, a famosa SELIC 
divulgada após longas reuniões do COPOM. 
Enfim, números, índices e taxas que em princípio nos parece 
saídos de algum caldeirão alquímico, mas que na verdade são 
sempre variações sobre o mesmo tema: Estatística, 
matemática pura e matemática financeira. 
 
Para exemplificarmos melhor imagine a decisão entre 
comprar aquele fogão em 10 vezes “sem juros” ou pouparmos o 
dinheiro para comprarmos o mesmo produto à vista. 
Quais os custos envolvidos nessa decisão? 
Como avaliar monetariamente a decisão? 
Pois é. Quantas vezes já não nos vimos diante deste e de 
outros dilemas, que podem parecer simples, mas, se você não 
possuir alguns conhecimentos básicos, parecem insolúveis? 
 
Então, a matemática financeira se ocupa em estudar e 
fornecer as tais ferramentas adequadas para a tomada de decisão 
com a maior precisão possível. 
Se na vida pessoal já temos que tomar decisões que nos 
afetarão por um bom tempo, imagine na vida de uma empresa 
 
 32 
cujo faturamento, na maioria das vezes é bastante superior a 
renda de uma família. 
Note que as decisões são, basicamente, as mesmas. O que 
muda são os efeitos e o grau de precisão com que os cálculos 
devem ser feitos. 
Assim o estudo da matemática financeira se reveste de vital 
importância para qualquer pessoa que almeje entender o mundo 
atual tal qual ele se apresenta: Fluxos de capital em corrente pelo 
mundo, tornando economias, hoje estáveis, em instáveis de uma 
hora para outra. Decisões de cunho social, sendo tomadas 
considerando como mais relevantes aspectos financeiros. 
Enfim, o dinheiro ditando as regras em quase todos, senão 
todos os aspectos de nossas vidas. 
Já não cabe discutir se isso é bom ou mau, até porque não 
dá para se discutir aquilo que não entendemos. Cabe-nos tentar 
compreender essa nova realidade, da melhor maneira possível 
para, aí sim tentarmos altera-la para o que julgamos melhor. 
 
Elementos básicos em Matemática Financeira 
 
Por mais práticos que possamos querer ser, alguns princípios 
básicos devem ser seguidos. Assim iniciaremos nosso estudo da 
maneira tradicional e iremos aos poucos demonstrando a 
aplicação dos conceitos nas atividades da empresa. 
A seguir os termos mais comumente encontrados nos 
relacionamentos financeiros: 
 
Capital: Valor aplicado através de alguma transação financeira. 
Nas operações de crédito pode ser conhecido como Principal (aí 
embutidos impostos como o IOC). Também pode ser tratado 
como Valor Atual, Valor presente ou Valor Aplicado. 
Note que o mais importante não é a maneira como ele é 
chamado, mas sim o fato de que é sobre ele que incidirão os 
encargos financeiros, também conhecidos como juros. 
Juros: Representam à remuneração do capital empregado, seja 
pelo Banco seja pela Empresa. Quando você aplica um capital em 
algo, está tomando uma decisão de adiar um consumo, certo? 
Assim, você espera obter de alguma forma um “prêmio” por ter 
deixado de consumir e ter poupado. Esse prêmio é representado 
pelo juro que você recebe caso aplique num Fundo de 
 
 33 
Investimento de um Banco, Poupança ou empreste o dinheiro a 
algum amigo. 
 
Montante: É a soma do capital com os juros. Pode também ser 
chamado de valor futuro (capital empregado mais à soma dos 
juros no tempo correspondente). 
As notações mais comumente apresentadas pelas publicações são 
representadas abaixo. 
 
C = Capital; 
n = número de períodos (dias, meses, anos ou simplesmente nº. 
de parcelas); 
j = juros simples decorridos n períodos; 
J = juros compostos decorridos n períodos; 
r = taxa percentual de juros; 
i = taxa unitária de juros (i = r/100); 
P = principal ou valor atual; 
M = Montante de capitalização simples; 
S = Montante de capitalização composta. 
 
Observação: Note que existem notações em letras 
maiúsculas e minúsculas e que têm sentidos diferentes. 
 
Diagrama de Fluxo de Caixa 
 
Um diagrama de fluxo de caixa, é simplesmente a 
representação gráfica numa reta, dos períodos e dos valores 
monetários envolvidos em cada período, considerando-se uma 
certa taxa de juros ‘i’. 
Traça-se uma reta horizontal que é denominada eixo dos 
tempos, na qual são representados os valores monetários, 
considerando-se a seguinte convenção: 
*dinheiro recebido - seta para cima. 
*dinheiro pago - seta para baixo. 
 
 
 34 
Exemplo: 
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um 
projeto que envolve investimento inicial de 800, pagamento de 
200 no terceiro ano, e que produz receitas de 500 no primeiro 
ano, 200 no segundo, 700 no quarto e 200 no quinto ano. 
Convenção: 
Dinheiro recebido - flecha para cima Þ valor positivo 
Dinheiro pago - flecha para baixo Þ valor negativo 
 
Vamos agora considerar o seguinte fluxo de caixa, onde C0, 
C1, C2, C3, ..., Cn são capitais referidos às datas, 0, 1, 2, 3, ..., n 
para o qual desejamos determinar o valor presente (PV). 
 
 
 
 
 
 
 
 
O problema consiste em trazer todos os capitais futuros para 
uma mesma data de referencia. Neste caso, vamos trazer todos 
os capitais para a data zero. Do diagrama de fluxo de caixa visto 
acima, concluímos que o valor presente - PV - do fluxo de caixa 
será: 
 
PV = C0+ + + +...+ 
 
500 
200 
700 
200 
800 
200 
0 
1 2 
3 
4 5 
1% 
0 1 2 3 4 n 
C0 
C1 
C2 
C3 
C4 
Cn 
C1 C2 C3 Cn 
(1+i)¹ (1+i)² (1+i)³ (1+i)n 
 
 
 
 
 35 
Exercício AULA 05 
 
1 - Numa loja de veículos usados, são apresentados ao cliente 
dois planos para pagamento de um carro: 
Plano A: dois pagamentos, um de $ 1.500,00 no final do sexto 
mês e outro de $ 2.000,00 no final do décimo segundo mês. 
Plano B: três pagamentos iguais de $ 1.106,00 de dois em dois 
meses, com início no final do segundo mês. 
Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 4% a.m., qual o 
melhor plano de pagamento? 
 
2 - Um certo equipamento é vendido à vista por $ 50.000,00 ou a 
prazo, com entrada de $ 17.000,00 mais três prestações mensais 
iguais a $ 12.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês 
após a entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador, se a 
taxa mínima de atratividade é de 5% a.m.? 
 
3 - Um equipamento pode ser adquirido pelo preço de $ 
50.000,00 à vista ou, a prazo conforme o seguinte plano: 
Entrada de 30% do valor à vista, mais duas parcelas, sendo a 
segunda 50% superior à primeira, vencíveis em quatro e oito 
meses, respectivamente. Sendo 3% a.m. a taxa de juros do 
mercado, calcule o valor da última parcela. 
 
Observação: Utilize sua calculadora e apresente os Fluxos 
na resolução do exercicio. 
 
 
 
 
 
 
 36 
Aula 6 – Juros Simples e Juros Compostos 
A cobrança de juros não é prática exclusiva da era moderna. 
Há indícios históricos de que ocorria desde tempos remotos, na 
era pré-urbana, quando a atividade econômica era 
fundamentalmenteagrícola. Exemplo: alguém, que por algum 
motivo tinha um cavalo disponível, podia emprestá-lo a outro que 
precisava de um cavalo para ajudá-lo em sua colheita. 
Entretanto, quem emprestou não estava interessado apenas 
em receber o cavalo de volta após algum tempo. Desejava 
também uma parte dos grãos que o cavalo contribuiu para 
produzir, ou seja, era a cobrança de juro sobre o empréstimo do 
cavalo. 
Com o advento da moeda e, mais tarde, dos intermediários 
financeiros (bancos), as coisas se sofisticaram. Mas o conceito 
fundamental continua tão simples quanto essa história do cavalo. 
 
Conceitos básicos do juro simples 
 
A forma mais elementar de uma operação de empréstimo 
financeiro é graficamente representada na figura abaixo, uma 
pessoa recebe do credor um valor C e, depois de um período de 
tempo T, paga ao credor um valor M, correspondente ao valor C 
acrescido dos juros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 T (periodo) 
 
 
C é denominado capital, valor atual ou valor presente. 
M é denominado montante ou valor no horizonte. 
 
A taxa de juro i é a proporção de C correspondente ao 
acréscimo. Assim: 
C (crescimento) 
M (pagamento) 
 
 37 
 
M = C + Ci = C(1 + i) 
 
É praxe a indicação dos juros em termos percentuais. 
Portanto, p = 100i ou i = p/100, onde p é o valor do juro em 
percentual. E a fórmula anterior pode ser escrita: 
 
M = C (1 + p/100) 
 
Se i é a taxa para um período de referência T, a taxa it para 
um período diferente t é, no critério dos juros simples, dada pela 
proporção aritmética: 
 
it = it / T 
 
De outra forma, pode-se dizer que, se i é a taxa de juro 
simples para um período T, a taxa in para n períodos T é dada 
pelo produto: 
 
in = n i 
(equivale à substituição t = n T na fórmula anterior). 
 
Na aplicação dos juros simples, as taxas são, portanto, 
proporcionais. Se i é a taxa para um período, a relação ‘M = C + 
Ci = C (1 + i)’ para n períodos é assim escrita: 
Mn = C (1 + n i). Onde Mn é o montante após n períodos. 
Exemplo: uma pessoa tomou R$ 1.000,00 emprestados para 
pagar em seis meses com juros simples de 2% ao mês. 
Determinar o valor a ser pago. 
A taxa decimal é i = 2/100 = 0,02. Portanto, M6 = 1000 (1 
+ 6 × 0,02) = R$ 1.120,00. 
Na praxe comercial, o período-base é, em geral, o ano. 
Exemplo: juros de 0,12 ou 12% ao ano. São também comuns as 
seguintes definições para períodos fracionários: 
 
• Juro exato: usa a proporção correspondente aos dias do 
ano, it = i t / 365. 
• Juro comercial: considera o ano com 360 dias, it = i t / 
360, e o período t deve ser dado em múltiplos de 30 dias 
(meses). 
 
 
 38 
• Juro ordinário: mesmo critério do comercial, it = i t / 
360, mas o período t pode ser dado em qualquer número de dias. 
Notar que os mesmos conceitos de juros são válidos para 
investimentos, isto é, C pode ser o valor aplicado e M o resgate 
do investimento com o acréscimo dos juros. 
Exemplo: um capital de R$ 10.000,00 é aplicado por 135 
dias em um fundo que rende 12% ao ano. Calcular o montante 
após esse período considerando juro simples ordinário. 
A taxa anual é i = 12/100 = 0,12. Segundo definição 
anterior, i145= 0,12 145 / 360 ≈ 0,048. Aplicando a formula que 
já conhecemos: 
 
M = 10000 (1 + 0,048) = R$ 10.480,00. 
 
Exemplo: se uma aplicação rende 12% ao ano, calcular o 
tempo necessário para dobrar o capital investido considerando 
juros simples. Usa-se a relação Mn=C (1 + n i). Neste caso, 
Mn=2C e i=12/100 = 0,12. Substituindo, 2C=C(1+0,12n). 
Resolvendo, n≈8,33 anos. 
 
 
 
 39 
Juro Composto 
 
No conceito de juro composto, os juros dos períodos 
anteriores são acumulados para o período seguinte em forma de 
progressão geométrica. 
No exemplo da figura abaixo, cada retângulo numerado 
representa um período T, ao qual corresponde uma taxa de juro i. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a relação a formula do montante do capitulo 
anterior, o montante M1 (final do período 1) correspondente ao 
capital C no início do mesmo período é dado por: 
 
M1=C(1+i). 
 
Esse valor é o capital para o início do segundo período. 
Assim, M2=M1(1 + i)=C(1+i)(1+i)=C(1+i)
2. Para o último 
período, M12=C(1+i)
12. Generalizando para n períodos, 
Mn=C(1+i)
n 
C M
1
=
C
(1
+
i)
 
01 02 03 04 05 
 
06 07 08 09 10 12 11 
M
2
=
M
1
=
C
(1
+
i)
=
C
(1
+
i)
²
 
M12=C(1+i)
12 
 
 40 
Considerando os n períodos equivalentes a um único período 
de taxa in, pode-se fazer a igualdade Mn=C(1+i)
n=C(1+in). 
Simplificando, in=(1+i)
n−1. 
Essa fórmula calcula, portanto, a taxa de juro composto in 
para n períodos de taxa de juro i. Ela pode ser rearranjada para 
indicar a taxa por período i em função da taxa dos n períodos in: 
 
i=(1+in)
1/n−1 
 
Supõe-se agora a relação da formuia acima com k períodos, 
ik=(1+i)
k−1. Se é conhecida a taxa in para n períodos, substitui-
se o valor de i dado pela formula acima nessa relação e o 
resultado é: ik=(1+in)
k/n−1. Ou seja, a taxa para k períodos é 
calculada em função da taxa para n períodos. 
Em razão do fato de o capital de um período ser igual ao 
montante (capital mais juros) do período anterior, juros 
compostos são também denominados juros capitalizados ou juros 
sobre juros. 
Na maioria dos países, inclusive o Brasil, as operações 
financeiras são quase sempre calculadas com juros compostos. É 
necessário, entretanto, prestar atenção a alguns conceitos de 
praxe para evitar equívocos: 
 
• Taxa nominal: é um valor apenas de referência, adotado 
para um determinado período (em geral, um ano), com menção 
dos períodos a capitalizar. Exemplo: 36% ao ano capitalizados 
mensalmente. 
 
• Taxa do período (proporcional): é a taxa nominal 
proporcional a cada período de capitalização. No exemplo 
anterior, o seu valor é 36% / 12 = 3% ao mês. 
 
• Taxa efetiva: é a taxa de juros compostos, calculada com 
a taxa por período, para o número de períodos desejados. 
Exemplo: no caso de 36% ao ano capitalizados 
mensalmente, a taxa por período é p = 36% / 12 = 3% ao mês. 
Ou i = p/100 = 0,03. Para um ano (12 meses), a taxa efetiva é 
calculada segundo igualdade: 
 
i12=(1+0,03)
12−1≈0.426 ou 42,6%. 
 
 
 41 
Na forma genérica, é comum o uso da notação i(m), onde i é 
a taxa nominal para o ano e m é o número de capitalizações por 
ano (não é expoente). Assim, a taxa do período é i(m)/m. 
Substituindo em in=(1+i)
n−1 e reagrupando, 
(1+i(m)/m)m=i+1. Onde i é a taxa anual efetiva equivalente a i(m). 
 
 
 
 
 
 
 
n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 
1 1,010 1,020 1,030 1,040 1,050 1,060 1,070 1,080 1,090 1,100 1,120 1,150 1,180 
2 1,020 1,040 1,061 1,082 1,103 1,124 1,145 1,166 1,188 1,210 1,254 1,323 1,392 
3 1,030 1,061 1,093 1,125 1,158 1,191 1,225 1,260 1,295 1,331 1,405 1,521 1,643 
4 1,041 1,082 1,126 1,170 1,216 1,262 1,311 1,360 1,412 1,464 1,574 1,749 1,939 
5 1,051 1,104 1,159 1,217 1,276 1,338 1,403 1,469 1,539 1,661 1,762 2,011 2,288 
6 1,062 1,126 1,194 1,265 1,340 1,419 1,501 1,587 1,667 1,772 1,974 2,313 2,700 
7 1,072 1,149 1,230 1,316 1,407 1,504 1,606 1,714 1,828 1,949 2,211 2,660 3,185 
8 1,083 1,172 1,267 1,369 1,477 1,594 1,718 1,851 1,993 2,144 2,476 3,059 3,759 
9 1,094 1,195 1,305 1,423 1,551 1,689 1,838 1,999 2,172 2,358 2,773 3,518 4,435 
10 1,105 1,219 1,344 1,480 1,629 1,791 1,967 2,159 2,367 2,594 3,106 4,046 5,234 
11 1,116 1,243 1,384 1,539 1,710 1,898 2,105 2,332 2,580 2,853 3,479 4,652 6,176 
12 1,127 1,268 1,426 1,601 1,796 2,012 2,252 2,518 2,813 3,138 3,896 5,350 7,288 
13 1,138 1,294 1,469 1,665 1,886 2,133 2,410 2,720 3,066 3,452 4,363 6,153 8,599 
14 1,149 1,319 1,513 1,732 1,980 2,261 2,579 2,937 3,342 3,797 4,887 7,076 10,147 
15 1,161 1,346 1,558 1,801 2,079 2,397 2,759 3,172 3,642 4,177 5,474 8,137 11,974 
16 1,173 1,373 1,605 1,873 2,183 2,540 2,952 3,426 3,970 4,595 6,130 9,358 14,129 
17 1,184 1,400 1,653 1,948 2,292 2,693 3,159 3,700 4,328 5,054 6,866 10,761 16,672 
18 1,196 1,428 1,702 2,0262,407 2,854 3,380 3,996 4,717 5,560 7,690 12,375 19,673 
 
A tabela acima dá os resultados de (1 + i)n, onde i = p/100, 
para diversos valores de p e n. Naturalmente, ela é desnecessária 
diante de calculadoras e programas como planilhas de cálculo. 
Mas em provas, o seu uso pode ser solicitado. 
 
 
 
 42 
Comparação juros simples e compostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico da Figura acima faz a comparação do montante M 
de um capital C = R$ 100,00 em relação ao período em meses, 
para juros simples e compostos de i = 0,01 (ou 1%) por mês. 
 
De acordo com fórmulas já vistas, 
• Juros simples: M = 100 (1 + 0,01 n). 
• Juros compostos: M = 100 (1 + 0,01)n. 
 
Essas fórmulas permitem deduzir (e o gráfico demonstra) 
que, para a mesma taxa por período, juros compostos produzem 
resultados mais elevados por serem progressões geométricas. 
Juro Composto 1% ao mês 
Juro Simples 1% ao mês 
100 
110 
120 
130 
140 
150 
160 
170 
M(R$) 
0 6 12 18 24 30 36 42 48 
 
 43 
Exercício AULA 06 
 
1-Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro 
do mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao 
ano, produzindo um montante de R$ 4.800,00. Nessas condições, 
calcule o capital aplicado, desprezando os centavos. 
 
2- A quantia de R$10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos 
do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule 
os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os 
centavos. 
 
3- Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitária anual 
equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês. 
a) 0,6 a.a 
b) 60% a.a 
c) 6,0 a.a 
d) 6% a.a 
 
4- Os capitais de R$20.000,00, R$30.000,00 e R$50.000,00 
foram aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 
4, 3 e 2 meses respectivamente. Obtenha o prazo médio de 
aplicação desses capitais. 
 
 
Observação: Utilize sua calculadora e apresente os calculos 
na resolução do exercicio. 
 
 
 
 
 44 
 
Aula 7 – Séries Uniformes, Não Uniformes e Amortização 
Séries Uniformes 
 
Uma série uniforme de valores monetários (pagamentos ou 
recebimentos), na qual todas as prestações (PMT, R ou T) têm 
um mesmo valor, no regime de juros compostos, é usualmente 
conhecida por modelo Price. 
 
Problemas fundamentais: 
 
a) Dado PMT achar PV 
b) Dado PV achar PMT 
c) Dado PMT achar FV 
d) Dado FV achar PMT 
 
Dado PMT achar o PV 
 
Este problema envolve a obtenção do valor presente PV, a 
partir do valor de cada prestação PMT de uma série uniforme de n 
prestações, dada uma taxa de juros i, e consiste na solução da 
seguinte fórmula: 
)
)1(
1)1(
(
n
n
ii
i
PMTPV



 
O fator )
)1(
1)1(
(
n
n
ii
i


 é denominado Fator de Valor Atual, cujas 
principais notações são: FVA (i, n), FRP (i, n) ou ainda Ani e cujos 
valores constam das tabelas financeiras. 
 
Dado PV achar PMT 
 
Este problema envolve a obtenção do valor PMT de cada 
prestação, sendo as prestações em número n, a partir do valor 
presente PV, dada uma taxa de juros i e consiste na solução da 
seguinte expressão: 
)
)1(
)1(
(
1


n
n
i
ii
PVPMT
 
 
 45 
O fator )
)1(
)1(
(
1

n
n
i
ii
é denominado Fator de Recuperação de 
Capital, cujas principais notações são: FRC (i, n), FPR (i, n) ou 
ainda Ani e cujos valores constam das tabelas financeiras. 
 
Dado PMT achar FV 
 
Este problema consiste em determinar o montante 
acumulado FV, no final de n períodos, a partir da capitalização 
das n prestações de valor PMT, a uma dada taxa de juros i, 
mediante a aplicação da seguinte fórmula: 
)
1)1(
(
i
i
PMTFV
n 

 
O fator 
)
1)1(
(
i
i n 
é denominado Fator de Acumulação de 
Capital, cujas principais notações são: FAC (i, n), FRS (i, n) ou 
ainda Sni e cujos valores constam das tabelas financeiras. 
 
Dado FV achar PMT 
 
Este problema envolve a obtenção do valor PMT de cada 
prestação, sendo as prestações em número n, a uma dada taxa 
de juros i, a partir do valor futuro FV e consiste na solução da 
seguinte relação: 
)
1)1(
(


ni
i
FVPMT
 
 
O fator )
1)1(
(
 ni
i
 é denominado Fator de Formação de 
Capital, cujas principais notações são: FFC (i, n), FSR (i, n) ou 
ainda 1 / Sni e cujos valores constam das tabelas financeiras. 
 
 
 
 
 
 
 46 
Série Não Uniforme 
 
Se alguma regra da série uniforme não for respeitada (uma 
entrada para várias saídas iguais e consecutivas),teremos uma 
série não uniforme, ou seja, os prazos entre as parcelas podem 
variar, o valor das parcelas são diferentes ou podem haver 
entradas e saídas intercaladas no fluxo. Portanto as fórmulas 
válidas para a série uniforme não fazem sentido para a série 
uniforme. O procedimento para cálculo da taxa na série não 
uniforme é o mesmo da série uniforme, ou seja, tentativa e erro. 
A taxa também é conhecida como Taxa Interna de Retorno. 
Vamos imaginar que no exemplo da série uniforme as 2 últimas 
prestações estão sendo pagas juntas no 3º mês (o fato do valor 
das parcelas ser diferente caracteriza uma série não uniforme). 
 
PV = 15.000,00 
n = 3 
IRR = ? (Internal Rate of Return) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a forma de calcular a taxa é similar ao da série 
uniforme, precisamos “trazer” os lançamentos para o instante 
inicial. 
 
 2% 3% 4% 5% 
1º Lançamento 4.015,59 3.976,60 3.938,37 3.900,86 
2º Lançamento 3.936,85 3.860,78 3.786,89 3.715,10 
3º Lançamento 7.719,32 7.496,66 7.282,48 7.076,38 
Total 15.671,76 15.334,04 15.007,74 14.692,34 
NPV -671,76 -334,04 -7,74 -307,66 
 
Antes de continuarmos com o cálculo para determinar a 
taxa, podemos observar que para cada taxa sugerida foi 
4.095,90 4.095,90 8.191,80 
15.000,00 
 
0 1 2 3 
 
 
 47 
calculado o NPV (Net Present Value), valor presente líquido, que 
representa o somatório dos lançamentos (incluindo o valor inicial) 
calculados no instante inicial do fluxo. 
Podemos afirmar com certeza que a taxa procurada está 
entre 4 % e 5%. Fazendo mais algumas tentativas: 
 
4,0%=> Somatório das parcelas descapitalizadas: R$ 15.007,74 
4,1%=> Somatório das parcelas descapitalizadas: R$ 14.975,71 
4,02%=> Somatório das parcelas descapitalizadas: R$ 15.001,32 
4,03%=> Somatório das parcelas descapitalizadas: R$ 14.998,12 
4,024%=> Somatório das parcelas descapitalizadas: R$ 15.000,04 
4,025%=> Somatório das parcelas descapitalizadas: R$ 14.999,72 
Se utilizarmos novamente 9 casas decimais o resultado é: 
4,024125812%. 
O quadro abaixo mostra que, a série não uniforme e a série 
uniforme, possuem os mesmos conceitos em relação ao cálculo 
da taxa. 
 
 Saldo Devedor Taxa de Juros Saldo Corrigido Prestação 
1º mês 15.000,00 4,024125812 15.603,62 4.095,90 
2º mês 11.507,72 4,024125812 11.970,81 4.095,90 
3º mês 7.874,91 4,024125812 8.191,81 8.191,80 
 
Algumas vezes, devido a arredondamentos, aparecem 
pequenas diferenças. 
É interessante observarmos que o fato de haver um 
lançamento maior e conseqüentemente uma prazo menor fez que 
a taxa da série não uniforme (4,024%) fosse maior que a da 
série uniforme (3,625%). 
 
Amortização 
 
Segundo o Dicionário Eletrônico Aurélio: 
Amortizar 
1. Passar (bens, haveres, etc.) para corporações de bens de mão-
morta [V. bens de mão-morta.] 
2. Extinguir (dívida) aos poucos ou em prestações. 
3. Abater (parte de uma dívida), efetuando o pagamento 
correspondente: 
Amortização 
1. Ato de amortizar. 
 
 48 
2. Cada uma das parcelas das dívidas amortizáveis. Amortização 
de ações. Jur. 
1. Operação pela qual as sociedades anônimas, dos fundos 
disponíveis e sem redução do capital, distribuem por todos os 
acionistas, ou por alguns deles, a título de antecipação, somas de 
dinheiro que caberiam às ações em caso de liquidação. 
 
O valor da amortização está embutido no valor das parcelas 
ou pagamentos: 
 
Valor_parcela= juro + amortização 
 
Se uma dívida não for amortizada ela nunca acabará. 
 
Sistema Francês 
 
No sistema francês as prestações são fixas e os valores de 
amortização crescentes. A tabela price é uma adaptação do 
sistema francês. 
Relembremos o exemplo da série uniforme: 
Vamos imaginar um financiamento de R$ 15.000,00 com 4 
prestações de R$ 4.095,90, já sabemos que a taxa deste fluxo é 
3,625080076%. 
 
 Sld. 
Devedor 
Taxa de 
Juros 
Sld. 
Corrigido 
Prestação Juros Amortização 
1º mês 15.000,00 3,625080076 15.543,76 4.095,90 543,76 3.552,14 
2º mês 11.447,86 3,625080076 11.862,85 4.095,90 414,99 3.680,91 
3º mês 7.766,95 3,625080076 8.048,51 4.095,90 281,56 3.814,34 
4º mês 3.952,61 3,625080076 4.095,90 4.095,90 143,29 3.952,61 
 
Saldo corrigido: Saldo devedor x (1 + Taxa de juros / 100); 
 
Saldo devedor: Saldo corrigido (mês anterior) - Prestação (mês 
anterior) ou 
Saldo devedor: Saldo devedor (mês anterior) - Amortização 
(mês anterior); 
 
Prestação: Juro + Amortização. 
Sistema de Amortização Constante 
 
 
 49 
Também conhecido por SAC, neste sistema as amortizações 
possuem valor fixo e as prestações valores decrescentes. 
O valor da amortização é obtido a partir da divisão do valor 
da dívida pelo número de parcelas. 
Se no exemplo anterior fosse adotado o SAC, teríamos o 
seguinte: 
 
 15.000,00 
Valor_amortização = ------------- => Valor_amortização = 3.750,00 
 4 
 
Obtemos o seguinte quadro: 
 
Mês Sld. Dev. Taxa Juros Sld. Corr. Prestação Juros Amortiz. 
1º 15.000,00 3,625080076 15.543,76 4.293,76 543,76 3.750,00 
2º 11.250,00 3,625080076 11.862,85 4.157,82 407,82 3.750,00 
3º 7.500,00 3,625080076 7.771,88 4.021,88 271,88 3.750,00 
4º 3.750,00 3,625080076 3.885,94 3.885,94 135,94 3.750,00 
 
Sistema de Amortização Misto 
 
Também conhecido por SAM, neste sistema os valores de 
amortização são obtidos a partir da média aritmética entre os 2 
sistemas anteriores. 
 
Mantendo o exemplo: 
 
Mês Sist. Francês SAC SAM 
1º 3.552,14 3.750,00 3.651,07 
2º 3.680,91 3.750,00 3.715,46 
3º 3.814,34 3.750,00 3.782,17 
4º 3.952,61 3.750,00 3.851,31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 50 
Obtemos o seguinte quadro: 
 
Mês Sld. Dev. Taxa Juros Sld. Corr. Prestação Juros Amortiz. 
1º 15.000,00 3,625080076 15.543,76 4.194,83 543,76 3.651,07 
2º 11.348,93 3,625080076 11.760,34 4.126,87 411,41 3.715,46 
3º 7.6330,47 3,625080076 7.910,19 4.058,89 276,72 3.782,17 
4º 3.851,30 3,625080076 3.990,91 3.990,91 139,61 3.851,30 
Obs.: Foi feito um pequeno ajuste para eliminarmos a diferença. 
 
 
 51 
Exercício AULA 07 
 
01- Um investidor aplicou durante 4 meses R$ 2.000,00. A taxa 
de 3 % a.m. permaneceu constante por todo o período. Qual era 
o valor que o investidor tinha ao final de cada mês? 
 
02- Na aquisição de um bem financiado em 48 meses, as parcelas 
ficaram no valor de R$ 680,00 cada. Sabendo que a taxa de juros 
cobrada foi 1,5% a.m., determine o valor desse bem. 
 
03- Uma pessoa deposita anualmente $ 7.500,00 numa conta 
especial particular. Qual será o saldo daqui a 60 meses, para um 
juros de 8 % a.a. concedida pelo banco? 
 
04- Considere um empréstimo de R$ 20.000,00 com taxa de 
juros de 2% a.m. e prazo de 5 meses. 
 
04.1) Complete a tabela considerando o Sistema Francês de 
amortização e prestação de R$ 4.243,17. 
 
Mês Saldo Devedor Saldo Corrigido Prestação Juros Amortização 
 
 
 
 
 
 
04.2) Com as mesmas informações, complete a tabela 
considerando o Sistema de Amortização Constante. 
 
Mês Saldo Devedor Saldo Corrigido Prestação Juros Amortização 
 
 
 
 
 
 
 
 
 52 
04.3) Com as mesmas informações, complete a tabela 
considerando o Sistema de Amortização Misto. 
 
Mês Saldo Devedor Saldo Corrigido Prestação Juros Amortização 
 
 
 
 
 
 
 
 53 
Aula 8 – Taxas de Juros e Descontos 
Taxas de Juros 
 
É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo 
coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. 
Exemplos: 1% ao mês, capitalizados mensalmente; 
 12% ao ano, capitalizados anualmente. 
Tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos 
tempos das taxas de juros e dos períodos de capitalização, 
costuma-se dizer simplesmente: 1% ao mês e 12% ao ano. 
 
 
Taxas Proporcionais 
 
São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo 
diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo capital, durante 
um mesmo prazo, produzem um mesmo montante ao final 
daquele prazo, no regime de juros simples. 
Exemplos: 12% ao ano e 1% ao mês; 
 12% ao ano e 3% ao trimestre; 
 12% ao ano e 6% ao semestre. 
As taxas proporcionais podem ser assim relacionadas: 
 
 
ia = is x 2 = iq x 3 = it x 4 = im x 12 = id x 360 
 
 
 
 
Taxas Equivalentes 
 
São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo 
diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo capital, durante 
um mesmo prazo, produzem um mesmo montante no final 
daquele prazo, no regime de juros compostos. 
 
 
 
 54 
Cálculo da taxa equivalente: 
 
 
ieq = [(1 + i)
p/q – 1] . 100 
 
 
 
onde: ieq= taxa equivalente (que se quer calcular); 
 i = taxa fornecida; 
 p = período desejado (para o qual se deseja calcular a 
 taxa equivalente); 
 q = período fornecido (aquele a que se refere a taxa 
 fornecida). 
 
Taxa Nominal 
 
É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo 
não coincide com a unidade de tempo dos períodos de 
capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos 
anuais e os períodos de capitalização podem ser semestrais, 
quadrimestrais, trimestrais, mensais ou diários. 
Exemplos: 10% ao ano, capitalizados mensalmente 
 24% ao ano, capitalizados semestralmente 
A taxa efetiva correspondente é assim calculada: 
100].1)1[(  nN
n
i
i
 
onde: iN = taxa nominal 
 n = número de períodos de capitalização 
 
Taxa Over 
 
Trata-se de uma taxa nominal cuja unidade de referência de 
seu tempo é o mês e a unidade de referência do período de 
capitalização é o dia útil. 
Exemplo:2% a.m., por dia útil 
 
 
 55 
A taxa efetiva correspondente é calculada por: 
100].1)
30
1[(  no
i
if
 
Onde i0 = taxa over 
 n = número de dias úteis do mês 
Taxa Bruta e Taxa Líquida 
 
Taxa bruta de uma aplicação financeira é a taxa de juros 
obtida considerando o valor da aplicação e o valor de resgate 
bruto, sem levar em conta o desconto do imposto de renda que é 
retido pela instituição financeira. 
Taxa líquida de uma aplicação financeira é a taxa de juros 
obtida considerando o valor da aplicação e o valor de resgate 
líquido, levando em conta o desconto do imposto de renda que é 
retido pela instituição financeira. 
 
Taxa Aparente e Taxa Real 
 
Há que se distinguir duas componentes nas taxas correntes 
de mercado: uma destinada a preservar a moeda contra a 
inflação e outra destinada a remunerar em termos reais o capital. 
A taxa real é o rendimento (ou custo) de uma operação 
depois de expurgados os efeitos inflacionários. 
A relação entre as taxas é a seguinte: 
)1).(1()1( jria  
onde, por período: ia = taxa aparente; 
 r = taxa real; 
 j = taxa de inflação 
 
 
 
 56 
Desconto Racional Simples (ou ‘Por Dentro”) 
 
É obtido pela diferença entre o valor nominal (N ou FV) e o 
valor atual (V ou PV) de um título que é descontado “n” períodos 
antes de seu vencimento. 
 ).1(
..
).1( ni
niN
ni
N
NVNDr




 
onde: N = valor nominal do título; 
 i = taxa de desconto por período; 
 n = número de períodos de antecipação. 
 
 
 
 
E o valor descontado racional: 
).1().1(
..
ni
N
ni
niN
NDNV rr




 
 
Desconto Comercial Simples (ou “Por Fora”) 
 
É obtido multiplicando-se o valor nominal (N ou FV) pela 
taxa de desconto por período (i) e este produto pelonúmero de 
períodos de antecipação (n). 
niNDc .. 
E o valor descontado comercial: 
).1(.. niNniNNDNV cc  
 
Desconto Bancário Simples 
 
É o desconto comercial acrescido de uma taxa de 
administração ou de serviço cobrada sobre o valor nominal do 
título. 
).(... hniNNhniNDb  
 onde: N = valor nominal do título; 
 i = taxa de desconto por período; 
 
 57 
 n = número de períodos de antecipação; 
 h = taxa de administração ou de serviço. 
E o valor descontado bancário: 
)].(1[).( hniNhniNNDNV bb  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao invés de uma taxa de administração cobrada sobre o 
valor nominal do título, é comum a cobrança de uma tarifa, que 
pode ser uma tarifa por título descontado ou uma tarifa por 
operação. 
sdescontadotítulosntfniNDb º...  ou TFniNDb  .. 
 onde: N = valor nominal do título; 
 i = taxa de desconto por período; 
 n = número de períodos de antecipação; 
 tf = tarifa cobrada por título descontado; 
 TF = tarifa cobrada pela operação (independente 
do número de títulos descontados). 
E o valor descontado bancário: 
sdescontadotítulosntfniNDNV bb º.).1(  
 ou 
TFinNDNV bb  )1( 
 
 
Taxa Efetiva (if) 
 
É aquela que, aplicada sobre o valor descontado, durante o 
prazo de antecipação, permite reproduzir o valor nominal ao final 
do período. 
 
a) Taxa efetiva no desconto racional simples. É a própria taxa 
aplicada no cálculo do desconto. 
 
 58 
 
b) Taxa efetiva no desconto comercial simples 
100).
1
(
n
Vc
N
if


 
c) Taxa efetiva no desconto bancário simples 
100).
.1
(
ni
i
if


 
 
 
Desconto Racional Composto (ou “Por Dentro”) 
 
É obtido pela diferença entre o valor nominal (N ou FV) e o 
valor atual (V ou PV) de um título que é descontado “n” períodos 
antes de seu vencimento. 
n
n
n i
iN
i
N
NVNDr
)1(
]1)1[(
)1( 




 
Observação: embora exista matematicamente, o desconto 
comercial não é praticamente utilizado pelo mercado no regime 
de juros compostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 59 
Exercício AULA 08 
 
01- Um produto que custa R$80,00 está sendo vendido por 
R$75,00. Qual a taxa de desconto oferecido? 
 
02- Um determinado produto é vendido à vista com desconto de 
12%. Qual a taxa de juros que será paga por quem optar pela 
compra com cheque pré-datado para 30 dias? 
 
03- Uma pessoa possui R$1.000,00 aplicados à taxa de 5% a.m., 
uma televisão que custa R$1.000,00 é vendida com desconto de 
5% para pagamento à vista. A televisão deve ser comprada à 
vista ou com cheque pré-datado para 30 dias? 
 
04- Complete a tabela: 
 
Taxa Desc. Taxa Juros Taxa Desc. Taxa Juros 
2,00000 2,00000 
3,00000 3,00000 
6,00000 5,00000 
12,00000 10,00000 
22,50000 15,00000 
24,00000 20,00000 
 
05- Um posto de gasolina oferece as seguintes condições de 
pagamento: Cheque para 90 dias ou desconto de 5% para 
pagamento à vista. Qual a taxa de juros mensal paga por quem 
opta pelo pagamento em cheque? 
 
06- Quais são as taxas equivalentes? 
06.1) 25 % a.a. em 180 dias? 
06.2) 21 % a.a em 30 dias? 
06.3) 20,5 % a.a. em 61 dias? 
06.4) 5 % a.m. em 90 dias? 
06.5) 22 % a.a. em 91 dias? 
06.6) 0,1 % a.d. em 180 dias? 
 
 
 60 
07- Há 5 dias foi aplicado R$10.000,00 em um fundo de 
investimento cuja cota valia 3,098768650, hoje a cota vale 
3,114072297. 
07.1) Qual o percentual de variação da cota? 
 
07.2) Quanto valerá a cota ao final de 30 dias de aplicação se 
forem mantidas as mesmas condições de valorização? 
 
08- Um banco anunciou indevidamente um CDB (Certificado de 
Depósito Bancário) que dobraria o valor investido em 180 dias. 
08.1) Qual seria a taxa ao ano deste CDB? 
 
08.2) Qual a taxa ao ano do CDB, sabendo-se que o investimento 
correto dobra o capital investido em 2 anos? 
 
 
 61 
Aula 9 – Gestão de Custo e Formação de Preço 
A primeira coisa que pensamos quando desenvolvemos um 
produto, quando revendemos um produto ou apenas quando 
estamos interessados em lucrar por um trabalho é: ‘Por quanto 
vender?’. 
A priori, devemos nos basear nos seguintes fatores: 
- Cobrir custos; 
- Maximizar ganhos: 
* Financeiros; 
* De penetração; 
* Imagem (goodwill); 
* Solidez (a longo prazo). 
 
Outra pergunta comum é: ‘Quanto o cliente está disposto 
a pagar?’. 
Para chegar a uma conclusão mais correta, devemos nos 
perguntar algumas coisas: 
*Quem é efetivamente o meu cliente e o meu consumidor? 
*Quem são os meus competidores? 
*Como os meus clientes valorizam o meu produto? 
*Quanto e como podem pagar? 
*Como convencer os clientes? 
*Meu produto (realmente) é melhor do que o da concorrência? 
 
Depois de descobrir por quanto você pode vender, você 
precisa saber por quanto consegue vender. Eis os 
questionamentos que te ajudaram a achar mais uma resposta: 
Preciso levar em conta o custo direto/indireto/fixo/variável, 
as despesas variaveis de venda, custos de logistica, impostos, 
custos de comunicação e promoção e custos financeiros. 
Lembre-se sempre que é muito importante saber quem é 
sua concorrência, onde estão posicionados (produtos, escala, 
tecnologia, preços e condições de pagamento, logistica usada, 
abastecimento, armazenagem/distribuição, valor da imagem, 
nicho ou massa dirigida), também é importante avaliar a 
estrutura do mercado: competição, monopolio, direferenciação, 
etc. 
Parece complexo e dificil passar por todo esse processo 
apenas para elaboração de um preço, mas é exatamente esse 
processo que diferencia o sucesso do fracasso. Só com muito 
trabalho e pesquisa uma empresa nova se mantem no mercado. 
 
 62 
Para ajudar nesse processo, abaixo seguem formulas: 
 
 
[Preço unitário - Custo unitário] x Quantidade 
[Px - Cx] x Qx 
 
 
Ponto de equilíbrio 
[Px - Cx] x Qx = 0 
Sendo X > 0 
 
 
Margem de contribuição 
Px – CVx 
Px 
 
 
Conheça os 6 pecados capitais na gestão de custo e 
elaboração de preço: 
* Fazer preço apenas em função da concorrência; 
* Fazer preço apenas em função do custo; 
* Fazer rateio dos custos fixos aos produtos; 
* Definir produtos e preços pelo viés das vendas; 
* Focar FOB e não CIF; 
* Não considerar que só o bolso do consumidor final é que sente 
os custos totais; 
Vale ressaltar também que custo e preço não servem apenas 
para se ter lucro e/ou não ter prejuizo. Veja abaixo para a Gestão 
de Custos é importante: 
Valorização 
* custos de estoques; 
* custos de produtos; 
* preços; 
* lucros; 
* interface contábil, fiscal e tributária. 
Controle 
* eficiência; 
* consumo de materiais; 
* processos; 
* mão de obra; 
* gerencial/departamental/ setorial. 
 
 63 
Planejamento 
* planejamento, programação e controle de produção e de 
estoque; 
* análise de resultados; 
* análise de investimentos; 
* política comercial; 
* política econômico-financeira (orçamento, fluxo de caixa, 
preços, etc); 
* “Make-or-buy”. 
Além de: 
* Projetar produtos e serviços; 
* Identificar qual etapa do processo de produção deve ser 
aprimorado; 
* Tomada de decisão de onde deve ser direcionado os 
investimentos; 
* Negociação de preços e especificações de produtos; 
* Manter estrutura de canais de distribuição adequadas. 
Sabemos que manter a competitividade de uma empresa 
sempre em alta é um dos grandes desafios enfrentado por todas 
as empresas. A vasta literatura acerca do tema propicia infinitos 
recursos para o desenvolvimento da sustentação da vantagem 
competitiva. Portanto vale ressaltar que geralmente as 
tradicionais soluções de curto prazo desenvolvidas pelas 
empresas nem sempre têm clareza e detalhamento da melhor 
direção a ser seguida, pois a vantagem competitiva geralmente 
está intimamente ligada à estruturação da cadeia de valores da 
empresa. 
Uma ferramenta útil para sustentar a competitividade é a 
gestão estratégica de custos. Ela tenta compreender onde a 
empresa estará amanhã diante de todas as variáveis que 
envolvem o ambiente empresarial. 
 
Tendo assim uma visão diferente se compararmosa 
estratégias puramente simples que geralmente refere-se aos 
planos da alta administração para alcançar os objetivos 
almejados pela empresa. 
A gestão estratégica de custos "é o uso de custos para 
desenvolver e identificar estratégias superiores que produzirão 
uma vantagem competitiva" (Hansen; Mowen; 2001, p. 423) 
Sendo assim a gestão estratégica de custos surge como uma 
alternativa de entender às demandas do sistema econômico com 
 
 64 
relação as variáveis vividas nos mercados buscando a melhoria 
continua da competitividade. 
 
Classificação de Custos 
 
A partir da conceituação de custos, as empresas utilizam-se 
de várias formas ou métodos para transferí-los aos preços de 
venda de seus produtos. Tais métodos são chamados de sistemas 
de custos e sua aplicação está fundamentada numa prévia e 
rigorosa classificação e controle dos variados gastos envolvidos 
nas atividades empresariais. 
Os custos, em qualquer empresa, podem ser classificados 
sob vários critérios: 
 
a. Com base na estrutura da empresa: classificação 
funcional. 
Numa empresa industrial, por exemplo, suas principais 
funções são a de Fabricação ou Produção, Administração e 
Comercialização ou Vendas. Para a finalidade de construir 
controles mais refinados de custos pode ainda comportar outras 
divisões, tais como, Distribuição, Finanças, Tributação, etc. 
 
b. Com base na sua variação com o volume de produção e 
vendas: classificação proporcional. 
Em relação ao seu comportamento face as oscilações no 
volume de produção e vendas, os custos podem ser fixos (quando 
independem do nível de produção e/e vendas) ou variáveis 
(quando guardam uma relação diretamente proporcional com o 
nível de atividades da empresa). 
 
Dessa forma, num dado período de tempo, são variáveis os 
gastos com matérias primas, componentes, energia elétrica, 
salários da mão-de-obra direta, tributação, comissões; tais 
despesas acompanham rigorosamente o sentido da variação do 
nível de atividades da empresa: aumentam ou diminuem 
conforme o volume de unidades produzidas e vendidas no 
período. 
Por outro lado, são fixos os gastos com depreciação do 
capital imobilizado em máquinas, equipamentos, móveis, 
instalações, etc.; com salários do pessoal indireto da produção 
(tais como, supervisores, encarregados, etc.); com salários do 
 
 65 
pessoal administrativo; com alugueis, taxas, seguros, despesas 
financeiras (que dependem exclusivamente do volume de 
empréstimos para capital de giro que a empresa tomou), etc; tais 
gastos tendem a permanecer em torno de um determinado 
patamar, para uma ampla faixa de variação do volume de 
produção e vendas, num dado período de tempo. 
 
 c. Com base na sua caracterização no produto: quanto à 
possibilidade de sua identificação no produto. 
Os gastos podem ser diretos (quando são prontamente 
caracterizados no produto - na unidade produzida -, via sua 
composição física, seu processo de produção ou de 
comercialização) ou indiretos (quando são gastos gerais 
relacionados a atividades auxiliares, paralelas ou correlatas às 
atividades produtivas e, portanto, não relacionados a nenhum 
produto em particular). 
Assim são diretos todos os gastos com insumos materiais e 
energéticos; embalagens; salários da mão de obra direta; 
comissões sobre as vendas; tributação (ICMS, IPI, COFINS, etc), 
entre outros; são indiretos, os gastos administrativos, 
financeiros, gastos com o processo de produção não associados à 
unidade produzida tais como, a depreciação das máquinas e 
equipamentos, os salários do pessoal de supervisão, materiais de 
limpeza e lubrificação, etc. 
 
 
 
 
 
d. Com relação ao fluxo de saídas do caixa no período. 
Face à existência ou não de contrapartida de caixa no 
período os gastos podem implicar em desembolso (saídas de 
valores monetários, tais como alugueis, salários, impostos, etc) 
ou podem ser gastos atribuídos ou imputados ao período (tais 
como, depreciação, parcelas dos encargos sociais constituídas de 
previsões de despesas que podem ou não ocorrer - p. ex., 
provisão de depósitos para rescisão por justa causa, etc). 
É possível, a partir da classificação exposta, construir os 
principais instrumentos de dimensionamento, análise e controle 
estratégico de custos e resultados, relacionados ao movimento 
 
 66 
das empresas em períodos determinados, como passaremos a 
abordar nos tópicos que se seguem. 
 
Análise Econômica de Custos: Custos – Volumes – Lucros 
 
A utilização por parte do empreendimento de recursos 
produtivos geradores de custos fixos (que independem, em 
amplas faixa, das oscilações no nível de atividades) resulta no 
estabelecimento de relações específicas entre o nível de 
atividades operacionais (volume de produção e vendas) e o 
montante de lucros obtido. Tais relações caracterizam-se pela 
ocorrência do efeito de alavancagem operacional, que ocasiona a 
variação mais do que proporcional dos lucros a partir de uma 
dada modificação no volume de produção e vendas. 
A análise desse fenômeno permite responder questões 
estratégicas para o funcionamento dos empreendimentos no 
mercado tais como: 
 
- Em que medida o volume de atividades operacionais 
afeta o montante e a margem de lucro? 
- O que se pode esperar em termos do montante e da 
margem de lucro a partir de oscilações no nível de 
atividades operacionais da empresa? 
- A partir de que volume de produção e vendas a empresa 
pode obter lucros em suas operações produtivas? 
 
 
 
Um dos conceitos que auxilia a abordagem das questões 
colocadas é o de ponto de nivelamento econômico (o chamado 
“break-even point”). Num projeto ou numa empresa em 
funcionamento este ponto representa um volume de produção e 
vendas (expresso em volume físico, valor monetário ou como 
proporção da capacidade instalada) que satisfaça a seguinte 
igualdade: 
L=RT-CT, com L=0, ou seja, 
RT=CT (1) 
sendo, RT=q*pv (2) 
onde: 
RT = Receita total do período 
q = quantidade vendida no período. 
 
 67 
pv = preço unitário de venda. 
L = Montante de Lucro obtido. 
CT = Custos Totais = CF + CVT, em (1): 
RT = CF + CVT ou 
RT - CVT = CF (3) 
CF = Custos Fixos do período. 
CVT = Custos Variáveis Totais 
sendo, CVT = q*v (4), e 
v = custos variáveis unitários. 
De (1), (2) e (3) temos 
q*pv=CF+q*v ou 
CF =q*(pv-v) (5) 
onde, (pv - v) = mcp , sendo 
mc = margem de contribuição unitária do produto, então 
CF = q * mcp (6) 
Temos ainda que: 
MC = RT - CVT e MC / RT = IMC 
Ou, RT * IMC = RT - CVT (7), com 
MCT = Margem de contribuição total. 
IMC = índice da margem de contribuição total. 
 
Trata-se de determinar o volume de produção ou vendas a 
partir do qual a empresa passa a obter resultado positivo para 
suas operações produtivas, vale dizer, o volume a partir do qual 
as receitas totais superam os custos totais. 
Assim a partir das equações (1), (2), (4), (5) e (6) pode-se 
obter os seguintes resultados: 
a. Ponto de nivelamento econômico expresso em 
quantidade (para uma empresa monoprodutora): 
 
q = CF / mcp 
 
 
 
 
b. Ponto de nivelamento econômico expresso em valores 
monetários (para as empresas multiprodutoras): 
 
Para quase todas as empresas o ponto de nivelamento 
expresso em quantidade não faz sentido, pois elas possuem uma 
 
 68 
ampla variedade de produtos. Por isso é necessário expressar o 
nivelamento em valores monetários. Assim, de (3) e (7) tem-se: 
 
IMC * RT = CF ou 
RT = CF / IMC 
 
Para a utilização deste conceito, que estima o ponto de 
nivelamento econômico da empresa, deve-se observar as 
seguintes condições: 
 
a. No período analisado a composição e o volume físico da 
produção deve ser igual à das vendas. 
 
b. A margem de contribuição deve ser positiva e tanto os custos 
variáveis unitários como os preços devem ser uniformes, ou 
invariantes do ponto de vista técnico. 
 
c. A capacidade e a produtividadeda produção são conhecidas e 
não se alteram. 
 
d. As funções de custos utilizadas são previsíveis. 
 
Dimensionamento e Controle de Custos 
 
A partir da classificação vista no ítem anterior é possível 
identificar a estrutura de custos (a composição dos gastos com os 
recursos produtivos utilizados) de um empreendimento. 
Complementando-a com a estrutura de receitas (a 
composição das vendas) pode-se obter o resultado econômico do 
período, o que propicia a análise econômica das atividades 
produtivas, bem como uma série de informações de muita 
utilidade para o controle de custos em vários níveis, para o 
processo decisório estratégico empresarial e, fundamentalmente, 
para a escolha e construção de sistemas de determinação de 
custos de referência para a fixação de preços de vendas para os 
produtos. 
A discussão deste tópico deve ter como ponto de partida e 
pano de fundo a preocupação com a taxa de retorno da empresa, 
objetivo básico dos empreendimentos capitalistas. Tanto a 
margem de lucro quanto a rotação do capital produtivo estão 
diretamente ligadas à estrutura de custos e receitas. 
 
 69 
Portanto, e tendo presente as diferentes classificações 
anteriormente discutidas, deve-se entender a estrutura de custos 
e o demonstrativo de receitas, custos e resultado econômico para 
determinados períodos, como instrumentos “ex-ante” para 
decisões estratégicas e “ex-post” para revisões corretiva-
estratégicas dos resultados das atividades produtivas analisadas. 
 
Estrutura de Custos 
 
Formalmente, a estrutura de custos mostra a participação de 
cada elemento de custo no total dos gastos da empresa, num 
dado período. Estão aí registrados o quanto se "gastou" para 
fabricar os produtos da empresa, desde a aquisição de insumos 
materiais até sua entrega aos clientes. 
Evidentemente, as estruturas são específicas de cada 
empresa, refletindo sua estrutura administrativa, o padrão 
tecnológico empregado na produção, o número de pessoas 
ocupadas nas diferentes atividades (diretamente produtivas ou 
não), a estrutura comercial, a política de vendas praticada, e 
assim por diante. 
Por outro lado, observa-se que a estrutura de custos das 
empresas pode revelar diferenças significativas entre os diversos 
empreendimentos produtivos. Tais diferenças são reflexos a 
utilização de diferentes tipos e quantidades de recursos 
produtivos, de distintos portes dos empreendimentos e, até 
mesmo, em empresas semelhantes (do mesmo ramo, porte e 
padrão tecnológico), de diferentes formas ou estratégias 
utilizadas para a gestão dos recursos disponíveis. 
 
Em suma, a partir da construção da estrutura de custos é 
possível o acompanhamento da evolução da participação dos 
diferentes ítens de custos no conjunto das atividades 
empresariais; a ordenação e a definição de estratégias específicas 
para a administração dos principais grupos; o nível estimado do 
resultado econômico obtido e, finalmente, informações acerca dos 
métodos mais adequados para a apropriação dos custos aos 
produtos fabricados e vendidos pela empresa. 
Os passos mais importantes para a elaboração da estrutura 
de custos, construção de sistemas de custeio e determinação dos 
preços de venda dos produtos numa empresa qualquer, podem 
ser observados em seguida num exemplo numérico. 
 
 70 
 
Dimensionamento de Custos, Receitas e Resultado 
Econômico 
 
É necessário um exame mais preciso de alguns conceitos e 
procedimentos antes de mostrar as principais formas de 
dimensionamento das grandezas mais relevantes para o 
controle gerencial-estratégico dos resultados obtidos 
correntemente pelas empresas. 
A providência inicial é compatibilizar os custos variáveis de 
produção e as receitas no período de referência. 
Em primeiro lugar, o conceito de receita das vendas de um dado 
período - convencionalmente, um mes, a partir da frequência 
usual de emissão dos principais instrumentos de informações 
contábeis -, refere-se ao valor das receitas geradas, ou seja, o 
valor originado de todas as entregas aos clientes, efetuadas ao 
longo do período, independente das vendas terem sido feita para 
recebimento à vista, dentro do mes de referência, ou a qualquer 
prazo de recebimento, em função de eventuais financiamentos 
concedidos aos clientes. Dessa forma, é sempre possível 
determinar, com absoluta precisão, o valor da receita das vendas 
mensais nas empresas. 
Por outro lado, os custos de produção devem ser os custos 
do volume vendido, ou seja, os custos variáveis de produção 
devem ser referidos ao mesmo conjunto de produtos que compõe 
a receita das vendas do período. Nesse caso, o dimensionamento 
não é tão simples nem tão direto como foi visto para as receitas 
das vendas. 
O método mais utilizado para determinar os valores dos 
custos variáveis de produção, compatíveis com as receitas das 
vendas, é o do seu cálculo a partir da associação das quantidades 
vendidas de cada produto com suas respectivas especificações 
técnicas de insumos materiais e de parâmetros dos processos 
produtivos. Disso resulta, a possibilidade da determinação das 
quantidades físicas globais utilizadas de cada um dos insumos 
materiais utilizados, bem como dos insumos energéticos, dos 
tempos de produção em cada um dos setores produtivos, dos 
serviços produtivos adquiridos de terceiros e dos demais recursos 
produtivos geradores de custos variáveis de produção (tal 
procedimento é conhecido como “explosão das vendas” nos 
custos variáveis de produção dos produtos). 
 
 71 
A partir das quantidades globais e dos correspondentes 
custos unitários no período de referência, calculam-se os 
respectivos valores totais dos custos dos recursos geradores de 
custos variáveis de produção acima indicados (mais detalhes 
serão apresentados no exemplo ilustrativo apresentado na 
próxima seção). 
Os custos variáveis de vendas, de distribuição e de 
tributação, por seu turno, são determinados com absoluta 
precisão, pois todos os mais importantes (comissões, fretes e 
impostos, por exemplo) são expressos como alíquotas ou taxas 
percentuais do preço de venda. 
Os custos fixos, conceitualmente, são característicos do 
período e não associados às quantidades produzidas ou vendidas, 
sendo, portanto, de obtenção simples e direta, em qualquer 
período de referência. 
Dessa forma, devidamente compatibilizados custos e 
receitas do período de referência, é possível obter-se uma boa 
estimativa, em qualquer das suas agregações mais relevantes do 
ponto de vista da avaliação gerencial-estratégica do 
funcionamento da empresa, vale dizer, como excedente bruto da 
empresa (resultado econômico), como excedente bruto da 
atividade (LAJI, lucro antes do juros e do imposto de renda) ou 
como excedente líquido dos proprietários da empresa (lucro 
depois do imposto de renda). 
É apresentado a seguir um conjunto de informações de uma 
empresa hipotética, para o período de um mes, que permite a 
construção de todos os instrumentos mais utilizados para o 
controle e dimensionamento de custos, além de possibilitar a 
elaboração das planilhas de custos de produtos e a determinação 
do preço de venda a partir dos custos totais e lucros unitários 
atribuídos aos produtos. 
A empresa em questão é de pequeno porte contando com 72 
pessoas ocupadas sendo, 54 empregados na produção (48 
operários, 1 encarregado geral, 3 supervisores de setor e 2 
auxiliares gerais), 8 pessoas ocupadas na administração geral 
(incluindo 3 diretores-proprietários), 10 pessoas ocupadas no 
setor de vendas (3 na administração das vendas, 3 vendedores 
externos e 4 vendedores no sistema “telemarketing”). 
 
 
 72 
A empresa fabrica apenas dois produtos (A e B) com as 
seguintes características principais no período analisado: 
 
Quadro I 
Informações/Produtos A B 
Receita Tota 60.000 140.000 
Quantidade Vendida 1.500 7.000 
Quantidade Produzida 1.650 8.400 
Preço Unitário de Venda 40 20 
 
No quadro I observa-seque, em função das diferenças entre 
as quantidades produzidas e vendidas, resulta um incremento dos 
estoques de produtos acabados no período. O movimento físico e 
monetário dos volumes produzidos e vendidos bem como as 
oscilações dos estoques estão ilustrados no quadro II. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quadro II 
 Informações/Produtos A B 
Estoque 
Inicial 
Quantidade 
Valor (U.S. $) 
50 
1.277 
200 
2.554 
Produção Quantidade 
Valor1 (U.S. $) 
1.650 
42.141 
8.400 
107.268 
 
1
 O valor unitário utilizado tanto para avaliar os volumes produzidos, vendidos e o estoque inicial foi o preço de 
venda subtraído da margem de lucro, dos custos diretos de vendas e distribuição e dos custos tributários, todos 
avaliados pelas médias obtidas na estrutura de custos e demonstrativo de resultados. Ou seja, a avaliação do 
movimento dos estoques de produtos acabados é feita pelo valor de produção, incluindo os gastos específicos de 
fabricação (diretos e indiretos) e os demais gastos fixos/indiretos gerais da empresa (de administração, vendas, 
distribuição e financeiros). Dessa forma os estoques ficam avaliados pelos chamados “custos de casa”. No exemplo, 
o valor médio de tais custos, obtido na própria estrutura de custos do período, é de 0,6389. 
 
 73 
Vendas Quantidade 
Valor (U.S. $) 
1.500 
38.330 
7.000 
88.390 
Estoque 
Final2 
Quantidade 
Valor (U.S. $) 
200 
5.108 
1.600 
20.432 
 
A especificação técnica dos produtos (a quantidade de 
insumos materiais consumida por unidade de produto) e os 
preços unitários dos insumos materiais e serviços produtivos de 
terceiros, utilizados na produção constam no quadro III. 
 
Quadro III 
Insumos MP1 
(kg) 
MP2 
(kg) 
MP3 
(kg) 
MP4 
(kg) 
Serv. Prod. De 3os 
A 
B 
0,250 
0,115 
0,750 
0,275 
1,500 
- 
- 
2,000 
1,000 
- 
Custos 
(s/impostos) 
8,00 5,00 2,00 2,00 3,20 
 
A quantidade e os valores em moeda dos insumos 
correspondentes aos volumes produzido e vendido são os 
seguintes: 
 
 
 
 
 
Quadro IV 
Insumos MP1 MP2 MP3 MP4 S. Total 
MP 
Serv. Prod. de 
3os 
No Volume Vendido 
(kg) 
A 
B 
Total 
375 
805 
1.180 
1.125 
1.925 
3.050 
2.250 
- 
2.250 
- 
14.000 
14.000 
- 
- 
- 
1.500 
- 
1.500 
(U.S.$) 
A 
B 
3.000 
6.440 
5.625 
8.525 
4.500 
- 
- 
28.000 
13.125 
44.065 
4.800 
- 
 
2
 A expressão utilizada para a determinação do estoque final do mês foi a seguinte: 
Estoque final = Estoque inicial + Produção do mês - Vendas do mês 
Observe-se que tal expressão é válida para as quantidades (volumes físicos). Para os valores expressos em moeda a 
validade fica condicionada à igualdade dos “custos de casa” do mês anterior e do atual, ou seja, à não variação de 
custos de produção no período. 
 
 74 
Total 9.440 15.250 4.500 28.000 57.190 4.800 
No Volume produzido 
(kg) 
A 
B 
Total 
412 
966 
1.378 
1.237 
- 
3.547 
2.475 
2.310 
2.475 
- 
- 
- 
- 
16.800 
16.800 
1.650 
- 
1.650 
(U.S.$) 
A 
B 
Total 
3.300 
7.728 
11.028 
6.187 
11.550 
17.737 
4.950 
- 
4.950 
- 
33.600 
33.600 
14.438 
52.878 
67.315 
5.280 
- 
5.280 
 
O movimento das compras, consumo na produção e 
estoques de insumos está apresentado no Quadro V. Por outro 
lado, o Quadro VI ilustra os principais parâmetros característicos 
das atividades produtivas nos quatro setores em que se desenrola 
o processo de produção da empresa examinada. 
 
Quadro V 
Insumos MP1 MP2 MP3 MP4 Serv.Prod. 
de 3os 
Estoque 
Inicial 
(kg) 
(US$) 
459,50 
3.676,00 
1.773,75 
8.868,75 
2.475,00 
4.950,00 
16.800,00 
33.600,00 
1.650,00 
5.280,00 
Compras (kg) 
(US$) 
1.389,00 
11.112,00 
3.473,75 
17.368,75 
2.300,00 
4.600,00 
15.000,00 
30.000,00 
2.000,00 
6.400,00 
Consumo (kg) 
(US$) 
1.378,50 
11.028,00 
3.547,50 
17.737,50 
2.475,00 
4.950,00 
16.800,00 
33.600,00 
1.650,00 
5.280,00 
Estoque 
Final3 
(kg) 
(US$) 
470,00 
3.760,00 
1.700,00 
8.500,00 
2.300,00 
4.600,00 
15.000,00 
30.000,00 
2.000,00 
6.400,00 
Quadro VI 
Setores I II III IV 
Número de operários 10 16 14 8 
Horas.homens disponíveis
4 1.800 2.880 2.430 1.440 
Horas.homens trabalhadas
5 1.530 2.448 2.066 1.224 
 
 
3
 A expressão utilizada para a determinação do estoque final do mês foi a seguinte: 
Estoque final = Estoque inicial + Compras do mês - Consumo do mês 
Observe-se que tal expressão é válida para as quantidades (volumes físicos). Para os valores expressos em moeda a 
validade fica condicionada à igualdade entre os custos médios do estoques iniciais e os preços de aquisição do mês 
corrente, ou seja, a não variação dos preços dos insumos em dois meses sucessivos. 
4
 Corresponde ao número de operários do setor multiplicado por 180 horas trabalhadas no mês por operário (cerca 
de 22,5 dias com jornada de 8 horas). 
 
 75 
Massa de Sal.e E.S.(US$)66 4.742 5.927 7.113 5.928 
Sal.e E.S./h.h.t.(US$) 3.10 2.42 3.44 4.84 
Tempo de 
Produção (h.h.t.) 
Prod. A 
Prod. B 
0,400 
0,200 
0,250 
0,150 
0,250 
0,200 
0,105 
0,213 
Insumo Energético Total (US$) 300 400 200 1.100 
Insumo Energético/h.h.t.(US$) 0,196 0,163 0,097 0,899 
 
Os custos variáveis de vendas tem as seguintes 
características: 
- A taxa de Comissão paga sobre o valor das vendas varia por 
produto e corresponde a 5,5% para o produto A e 4,5% para o 
produto B. 
- As vendas da empresa cobrem várias regiões do país, sendo 
que as alíquotas de ICMS variam entre 9%, 12% e 18% do preço 
de venda. A distribuição percentual regional das vendas é a 
seguinte: região com alíquota 9%: 60%; região com alíquota 
12% : 30% e região com alíquota 18%: 10%. 
- As alíquotas de PIS e COFINS, são, respectivamente de 0,65% 
e 2,00% aplicadas sobre o preço de venda dos produtos. 
- Por outro lado, as taxas de fretes oscilam entre 0,2% e 0,8% do 
valor total do produto transportado. 
Finalmente, a distribuição do investimento em máquinas, 
equipamentos, móveis, veículos pelos diversos setores da 
empresa é mostrada a seguir. 
 
Quadro VII 
Setores Máquinas, Equipamentos, Veículos e 
Instalações 
(1) (2) (3) 
Produção - Total 
I 
II 
III 
IV 
600.000 600.000 
100.000 100.000 
150.000 150.000 
50.000 50.000 
300.000 300.000 
Administração Geral 36.000 24.000 60.000 
 
5
 Correspondem às horas homens disponíveis corrigidas pelo grau de ocupação do setor. Para simplificar, todos os 
setores foram considerados com grau de ocupação em torno de 85%. 
6
 Correspondem aos Salários mais Encargos Sociais médios multiplicado pelo número de operários do respectivo 
setor; por exemplo, para o setor I, o salário médio é de R$ 270,97, adicionado de Encargos Sociais de 75%, ou 
R$203,22 totaliza um valor de R$474,20 que multiplicado por dez operários, gera uma massa de salários mais 
encargos sociais de R$4.742,00. 
 
 76 
Administração de Vendas 36.000 12.000 48.000 
Distribuição 84.000 84.000 
Total Geral 672.000 120.000 792.000 
(1) Investimentos Fixos com período de depreciação de 10 
anos. 
(2) Investimentos Fixos com período de depreciação de 5 
anos. 
A partir dos dados do Quadro VII, foi utilizado o para efeito de 
cálculo da quota mensal de depreciação o método de depreciação 
linear, com Valor Residual nulo. A expressão utilizada foi a 
seguinte: 
Qd = (VA - VR)/ Td 
Onde: 
Qd = Quota mensal de depreciação. 
VA = Valor atual de reposição do bem. 
VR = Valor residual do bem (valor de venda ao final de sua vida 
útil econômica na empresa). 
Td = tempo de depreciação (em meses) 
 
A estrutura de custos, receitas e resultado econômico do 
período consta no quadro VIII. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 77 
Quadro VIIIDemonstrativo de Custos, Receita e Resultado Econômico. 
Período: 1 mes 
Valores Absolutos em U.S.$ 
Custos Absolutos 
Valores 
(%) 
RT=100 
(%) 
CT=100 
1. Fabricação 
1.1 Variáveis 
- Insumos materiais (s/ impostos) 
-Insumos energéticos 
- Salários e Encargos Sociais 
- Serviços Produtivos de Terceiros 
- Fretes sobre compras de insumos 
1.2. Fixos 
- Salários e Encargos Sociais 
- Depreciação de máquinas e equip. 
- Gastos gerais de produção 
104.093 
88.844 
57.190 
2.000 
23.710 
4.800 
1.144 
15.249 
7.900 
5.000 
2.349 
52.0 
44.4 
28.6 
1.0 
11.9 
2.4 
0.6 
7.6 
4.0 
2.5 
1.2 
63.1 
53.9 
34.8 
1.2 
14.4 
2.9 
0.7 
9.3 
4.8 
3.0 
1.4 
2. Administração 
- Salários e Encargos Sociais 
- Pro labore e Encargos Sociais 
- Telecomunicações 
- Materiais de escritórios 
- Depreciação de máquinas e equi. 
- Gastos gerais de administração 
13.400 
5.100 
5.800 
600 
200 
700 
1.000 
6.7 
2.6 
2.9 
0.3 
0.1 
0.4 
0.5 
8.2 
3.1 
3.5 
0.4 
0.1 
0.4 
0.6 
3. Vendas e Distribuição 
3.1 Variáveis 
- Comissões 
- Fretes 
3.2 Fixos 
- Salários e Encargos Sociais 
- Telecomunicações/Telemarketing 
- Depreciação máq., equip. e veículos 
- Gastos Gerais 
16.700 
10.200 
9.600 
600 
6.500 
1.700 
2.100 
1.910 
800 
8.4 
5.1 
4.8 
0.3 
3.3 
0.9 
1.1 
1.0 
0.4 
10.2 
6.2 
5.8 
0.4 
4.0 
1.0 
1.3 
1.2 
0.5 
4. Financeiros 
- Juros de financia/to Capital de Giro 
- Gastos gerais 
3.800 
3.300 
500 
1.9 
1.7 
0.3 
2.3 
2.0 
0.3 
5. Tributações 
- ICMS (extinta) 
- PIS/COFINS 
Custos Totais 
Receita Total s/ IPI 
26.900 
21.600 
5.300 
164.893 
200.00 
13.5 
10.8 
2.7 
82.4 
100.0 
16.4 
13.1 
3.2 
100.0 
- 
Resultado Econômico 35.107 17.6 - 
 
Resumidamente, o demonstrativo de receitas, custos e resultado 
econômico apresentado no quadro acima, foi construído a partir 
dos seguintes procedimentos: 
 
 78 
a. A receita representa o total das vendas entregues no 
mes. Ou seja, corresponde (na hipótese de que todas as 
vendas entregues aos cliente no período tenham sido 
registradas fiscal/ contabilmente) ao valor total das notas 
fiscais emitidas. 
 Os custos foram assim determinados: 
 
 a.1. Custos variáveis de produção: exceto os custos dos fretes 
sobre as compras dos insumos materiais, os demais custos 
variáveis de produção (insumos materiais, insumos energéticos, 
salários e encargos sociais da mão de obra direta e serviços 
produtivos de terceiros) referem-se ao volume vendido. Tal 
procedimento tem a finalidade de compatibilizar os custos e as 
receitas do período, de tal forma que o resultado econômico seja 
obtido pela comparação de grandezas homogêneas. 
 
 a.2. Custos variáveis de vendas, distribuição e tributários: tais 
custos (comissões, fretes sobre vendas, ICMS, PIS, COFINS), já 
estão referidos ao valor das vendas do período. 
 
 a.3. Demais custos fixos: correspondem aos gastos relativos ao 
período, pois conceitualmente independem do volume produzido 
e/ou vendido. 
 
A utilização de demonstrativos, do tipo do que foi aqui 
apresentado, para a determinação estimativa do resultado 
econômico das atividades de uma empresa e para informar sua 
gestão estratégica, apresenta algumas restrições que devem ser 
levadas em conta em qualquer análise. 
Em primeiro lugar, há a possibilidade de que os valores 
registrados para determinadas despesas no período possam 
extrapolar tal período do ponto de vista da utilização efetiva dos 
recursos produtivos correspondentes. Isso coloca a necessidade 
de estender o período de análise, tanto para fazer frente ao 
problema citado, como para tornar as estruturas mais 
representativas da atividade da empresa, em função da 
possibilidade de frequentes mudanças na composição das suas 
vendas. Em geral, os problemas colocados nestes dois primeiros 
ítens são amenizados pela utilização de períodos móveis e mais 
extensos do que um mes (trimestres, semestres). 
 
 79 
 Além disso, quando se trabalha com períodos mais longos, 
e, em economias como a brasileira -quase sempre afetadas por 
fortes desvalorizações da unidade monetária em função do 
processo inflacionário -, torna-se necessária a compatibilização da 
unidade de medida (a moeda nacional) para que se possa fazer 
comparações ao longo do tempo, ou mesmo para que se possa 
operar (adicionar ou subtrair) dados de períodos sucessivos 
(como trimestres ou semestres móveis, p.ex.). 
Tal compatibilização é obtida pela correção dos valores pelos 
índices disponíveis (o mais indicado e mais complexo é o 
chamado “índice interno de inflação” de cada empresa) ou pela 
utilização da taxa de câmbio de alguma das moedas, dentre as 
chamadas “moedas fortes” (U.S. dolar, p.ex., como foi feito na 
ilustração apresentada no presente trabalho). 
 
Custos e Formação do Preço de Venda 
 
É possível analisar os resultados obtidos no período ao nível 
dos produtos. Para isso, torna-se necessário a construção de 
Sistemas de Custeio que constituem-se em métodos de 
dimensionamento de custos para as unidades produzidas e 
vendidas. 
Há dois tipos básicos de sistemas de custos. O primeiro, o 
de construção mais simples, é o chamado Sistema de Custo 
Direto (ou Variável) que consiste numa metodologia de 
dimensionamento de custos que atribui ao produto tão somente 
aqueles custos que lhes sejam característicos, ou passíveis de 
identificação na unidade produzida ou vendida que, como foi 
visto, correspondem aos custos diretos. 
O conceito de custo do produto é, nesse sistema, 
rigorosamente expresso, sendo que todos os demais custos que 
não sejam característicos do produto são tratados, 
coerentemente, como gastos gerais do conjunto das atividades da 
empresa, portanto, não atribuídos às unidades produzidas ou 
vendidas 
Um exemplo de planilha deste sistema, aplicada ao cálculo 
dos custos dos produtos da empresa em estudo, é apresentado 
no Quadro IX, ao final do texto. O segundo tipo de método para 
dimensionamento dos custos de produtos é o Sistema de Custo 
Total. Este sistema baseia-se na atribuição de todos os gastos 
aos produtos, independentemente de que sejam ou não 
 
 80 
característicos ou passíveis de identificação na unidade produzida 
ou vendida. 
O conceito de custo do produto, neste caso, se concretiza 
como custo total atribuído ao produto, ou seja, como a soma dos 
gastos diretos (característicos dos produtos) e dos gastos 
indiretos (do conjunto da empresa) atribuídos aos produtos 
segundo critérios arbitrários, previamente estabelecidos. 
O Sistema de Custo Total permite, portanto, mesmo que de 
um modo estimativo e, necessariamente, sob algum grau de 
arbitrariedade, a determinação do preço de venda do produto a 
partir dos seus custos totais e de uma dada margem de lucro. 
 
A equação do preço unitário de venda, a partir de um 
sistema de custeio integral por taxas, seria a seguinte: 
 
pv = cap + (m * pv) ou, pv = cfa /(1 -m) 
onde: 
pv = preço de venda unitário calculado 
cap = custos atribuídos ao produto, sendo, 
cap = cvp + cfa 
cvp = custos variáveis do produto, sendo, 
cvp = cv1 + cv2 
cv1 = custos variáveis que independem do preço de venda. 
cv2 = custos variáveis que dependem do preço de venda 
cfa = custos fixos atribuídos ao produto, sendo: 
cfa = cf1 + cf2 
cf1 = custos fixos que independem do preço de venda. 
cf2 = custos fixos que dependem do preço de venda. 
m = valor absoluto da margem (%) de lucro do produto. 
 
Dessa forma a primeira providência para a implantação do 
Sistema de Custo Total deve ser a definição dos critérios para a 
atribuição dos custos fixos (previamente classificados) aos 
produtos. 
Há duas formas que são mais comumente utilizadas para a 
construção de Sistemas de Custos Totais. A primeira delas é 
chamada de Sistema de Custeio por Absorção e envolve a criação 
de Centros de Custos associados às várias funções, 
departamentos, setores, áreas, atividades relevantese, quando 
possível, aos próprios produtos da empresa. 
 
 81 
Este sistema possibilita, ademais da determinação de 
parâmetros para o cálculo do custo unitário dos produtos, o 
desenvolvimento de controles da utilização dos recursos em cada 
uma divisões estabelecidas; é evidente, que as informações 
assim obtidas são extremamente úteis para alicerçar qualquer 
análise crítica com vistas ao desenvolvimento da estrutura da 
organização. 
A segunda, denominada Sistema de Custeio por Taxas 
(índices ou "over-head"), resulta na atribuição dos custos 
indiretos aos produtos através de relações entre os vários grupos 
de gastos da empresa, que podem ser medidas na própria 
estrutura de custos, ou, quando se tratar de relações em valor, 
medidas pelo quociente entre o montante de gastos e a base de 
cálculo de custo unitário escolhida. 
Evidentemente, é possível a construção de Sistemas de 
Custeio Total que resultem da combinação dos dois principais 
métodos descritos acima. 
A expressão geral para o cálculo do preço de venda a partir 
dos custos e da margem de lucro esperada ou atribuída aos 
produtos, cujo cálculo encontra-se na planilha contida no quadro 
X, é a seguinte: 
 
pv =[cv1 + cf1] / [1 - (cv2+ cf2+ m)] , onde: 
pv = preço de venda unitário calculado. 
cv1 = custos variáveis de processamento 
cf1 = custos fixos de processamento e despesas fixas 
administrativas gerais, de vendas e distribuição. 
cv2 = custos variáveis de distribuição e vendas, custos variáveis 
de tributação 
cf2 = custos fixos financeiros. 
m = margem(%) de lucro esperada 
 
Observe-se que na equação do preço de venda apresentada 
acima, a base de cálculo (o numerador da expressão) é formada 
pelos custos (diretos de produção e indiretos atribuídos ao 
produto) cuja determinação é autônoma e independente do 
próprio preço de venda. Por outro lado, e complementarmente, 
considerou-se que os custos cuja determinação unitária é função 
do preço de venda são: Comissões de Vendas e Fretes de 
Entregas; custos fixos de vendas e entrega (considerados 
globalmente); custos financeiros; ICMS, PIS e COFINS. 
 
 82 
Uma expressão mais geral para o cálculo do preço de venda 
unitário, dados o custo total unitário e a margem de lucro 
esperada para os produtos, pode ser vista em seguida. 
 
pvc = BC * M, onde, 
pvc = preço de venda unitário calculado 
BC = Base de Cálculo para o preço de venda, correspondendo ao 
conjunto dos custos do produto cuja determinação unitária 
independe do preço de venda, em função da natureza do gasto 
ou das características da modalidade do sistema de custeio total 
em uso. 
M = Multiplicador dos custos, cuja determinação unitária é função 
do preço de venda, sendo, 
M = 1 / [1 - (Σ ti + m)], onde: 
ti = Valores absolutos das taxas ou índices percentuais dos 
custos que são expressos em função do preço de venda, em 
função da natureza do gasto ou da modalidade do sistema de 
custeio total em uso. 
m = Valor absoluto da margem de lucro esperada ou definida 
como meta para o produto. 
Se, alternativamente, o objetivo for a estimativa do percentual da 
margem de lucro (mc) obtida a partir do preço de venda efetivo 
(Pve), a expressão geral é a seguinte: 
 
mc = {1 - [Σ ti + (BC / Pve)]} * 100% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 83 
Exercício AULA 9 
 
01- Em que devemos nos basear para descobrimos por quanto 
devemos vender um produto? 
 
02- Quais as fórmulas usadas na elaboração de um preço? 
 
03- Liste três coisas que são importantes na Gestão de Custo. 
 
04- Como podem ser classificados os custos de uma empresa? 
 
05- Explique com suas palavras o que é BREAK-EVEN POINT. 
 
06- O que significa cada letra das fórmulas abaixo: 
a) q= CF/MCT 
b) RT=CF/IMC 
 
07- Qual o conceito de receita de vendas citado em sua apostila? 
 
08- Qual a diferença entre custos variáveis de venda e custos 
fixos? 
 
09- Os custos variáveis têm algumas características. Cite três 
delas. 
 
10- O quadro VIII foi construído a partir de quais procedimentos? 
(responda resumidamente) 
 
11- O que é Sistema de Custeio? 
 
12- Quais são os dois tipos básicos de Sistemas de Custo? 
 
13- Quais as duas formas mais utilizadas para a construção de 
Sistemas de Custos Totais? 
 
 
 
 84 
Aula 10 – Mercados Financeiros 
Mercado Financeiro pode ser definido como sendo o processo 
onde os recursos excedentes da economia (poupança) são 
direcionados para o financiamento de empresas e de novos 
projetos, desta forma estimulando o crescimento da economia. Já 
o Sistema Financeiro Nacional, é a composição de instituições 
responsáveis pela captação de recursos financeiros, pela 
distribuição e circulação de valores e regulação dos processos. 
A consolidação do mercado financeiro brasileiro ocorreu de 
forma efetiva, por volta de 1964, quando houve a promulgação 
de três leis que marcaram profundas alterações na estrutura do 
sistema financeiro nacional: 
 
1. Lei nº 4380 – 21/08/64: instituiu a correção monetária 
nos contratos imobiliários de interesse social, trouxe a 
criação do Banco Nacional de Habitação e a criação do 
Sistema Financeiro de Habitação. 
2. Lei n° 4595 – 31/12/64: estabeleceu as características e 
as áreas específicas de atuação das instituições financeiras e 
transformação do SUMOC ( Superintendência da Moeda e do 
Crédito, que é autoridade monetária antes da criação do 
Bacen, Banco do Brasil, e Tesouro Nacional) 
3. Lei n°4728 – 14/07/65: estruturou o mercado de capitais 
e estabeleceu medidas para seu desenvolvimento. 
 
Desde então, o sistema financeiro brasileiro passou a ter 
maior diversificação do número de intermediários financeiros não 
bancários, com áreas específicas e bem determinadas de atuação. 
Em paralelo, houve uma ampliação considerável nas regras de 
ativos financeiros, aumentando as opções para aplicação em 
poupanças e criando melhores condições no processo de 
intermediação. 
As Bolsas assumiram portanto, a característica institucional, 
com as reformas do Sistema Financeiro Nacional e do mercado de 
capitais nos anos de 1965 e 1966, passando a ser, então 
associações sem fins lucrativos, com autonomia administrativa, 
financeira e patrimonial. 
Após essas transformações, ocorreu também a criação da 
Comissão de Valores Mobiliários, pela Lei n° 6385, de 07/12/76. 
Vimos um novo marco na história do mercado financeiro 
 
 85 
brasileiro recentemente. Dia 26/03/08, quando a Bovespa 
anunciou oficialmente, o início do processo de fusão com a BM&F. 
A Nova Bolsa, nome provisório da nova instituição que 
surgiu com a fusão, será a terceira maior do mundo, e a segunda 
maior das Américas. 
 
Autoridades Monetárias 
 
As autoridades de apoio são entidades responsáveis pela 
normatização e execução das operações de emissão de moeda. 
 
CMN – Conselho Monetário Nacional 
 
É a entidade superior do Sistema Financeiro, tendo o papel 
de órgão regulador. Possui poder deliberativo máximo do Sistema 
Financeiro Nacional. O CMN é responsável por fixar as diretrizes 
da política monetária, creditícia e cambial do País. É constituído 
pelos seguintes membros: 
- Ministro de Estado da Fazenda; 
- Ministro de Estado do Planejamento, Orçamento e Gestão; 
- Presidente do Banco Central do Brasil. 
 
Competências 
 
- Estabelecer as diretrizes gerais das políticas monetária, cambial 
e creditícia; 
- Regular as condições de constituição, funcionamento e 
fiscalização das instituições financeiras; 
- Disciplinar os instrumentos de política monetária e cambial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 86 
Objetivos 
 
- Conciliar o volume dos meios de pagamento com as 
necessidades da economia nacional, certificando-se de queo 
volume é suficiente para acompanhar o processo de 
desenvolvimento do país. 
- Assumir o papel de regular o valor interno da moeda, para 
prevenir ou corrigir os possíveis surtos inflacionários ou 
deflacionários de origem interna ou externa, e qualquer 
desequilíbriooriginado de fenômenos conjuntural. 
- Assumir o papel de regular o valor externo da moeda, e 
equilibrar o balanço de pagamento do País, com o objetivo de 
utilizar da melhor forma os recursos em moeda estrangeira. 
- Tornar favorável as condições de desenvolvimento da economia 
nacional nas diferentes regiões do País, por meio de orientação 
sobre a aplicação dos recursos das instituições financeiras, sejam 
elas públicas ou privadas. 
- Cuidar para que as instituições e os instrumentos financeiros 
estejam sempre sendo aperfeiçoados, visando a maior eficiência 
do sistema de pagamentos e de mobilização de recursos 
- Cuidar para que as instituições financeiras tenham sempre 
liquidez e solvência. 
- Papel de órgão coordenador e regulador das políticas monetária, 
creditícia, orçamentária, fiscal e da dívida pública, tanto interna 
como externa. 
- Autorização de emissão de papel moeda. 
- Aprovação de orçamentos monetários feitos pelo Banco Central 
do Brasil. Junto ao CMN, há a Comissão Técnica da Moeda e do 
Crédito (COMOC), com o papel de assessoramento técnico na 
formulação da política da moeda e do crédito no país. 
 
BACEN – Banco Central do Brasil 
 
Atua como órgão executivo do sistema financeiro, tendo 
como responsabilidade cumprir e fazer cumprir os regulamentos 
do sistema e as normas expedidas pelo CMN. São de sua 
competência todas as atribuições listadas abaixo: 
- Emissão do papel-moeda e moeda metálita dentro das 
condições e dos limites autorizados pelo CMN; 
- Execução e controle dos serviços do meio circulante; 
 
 87 
- Receber os recolhimentos compulsórios dos bancos comerciais e 
os depósitos voluntários das instituições financeiras e bancárias 
que operam no País; 
- Realizar operações de redesconto e empréstimo às instituições 
financeira quando for necessário; 
- Responsável por regular a execução da compensação de 
cheques e outros papéis; 
- Dentro do enfoque de política monetária, realizar operações de 
compra e venda de títulos públicos federais; 
- Responsabilidade de executar o controle de crédito; 
- Fiscalizar as instituições financeiras, e puni-las quando for 
necessário; 
- Emissão de títulos de responsabilidade própria, de acordo com 
as condições estabelecidas pelo CMN; 
- Autorizar o funcionamento de todas as instituições financeiras; 
- Deixar definida as condições para o exercício de quaisquer 
cargos de direção nas instituições financeiras; 
- Estar atento sobre a interferência de outras empresas nos 
mercados financeiros e de capitais; 
- Ter controle do fluxo de capitais estrangeiros em circulação no 
País, de forma que possa garantir o funcionamento do mercado 
cambial. 
Em suma, sua atuação funciona como um protetor da moeda 
nacional, para que possa garantir que o mercado financeira e a 
economia do País sejam robustos e tenham equilíbrio. 
 
Autoridades de Apoio 
 
As autoridades de apoio são instituições que podem atuar 
como instituições financeiras normais auxiliando na execução da 
política monetária (como o Banco do Brasil) ou normatizando um 
setor específico (como a CVM). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 88 
CVM - Comissão de Valores Mobiliários 
 
Órgão normativo, voltado para a fiscalização, disciplina e 
desenvolvimento do mercado de valores mobiliários não emitidos 
pelo Sistema Financeiro e pelo Tesouro Nacional. Possui 
autonomia para normatizar a atuação dos diversos integrantes do 
mercado, devendo zelar pela regularidade e confiabilidade do 
mercado, portanto, normatiza e persegue a sua padronização. 
Tem plena competência para julgar e punir eventuais 
irregularidades cometidas no mercado. A CVM possui uma 
estrutura destinada à orientação dos investidores, ou então, para 
que esteja apta para acolher suas denúncias e sugestões. 
Resumidamente, os objetivos essenciais da CVM, são 
caracterizados: 
- estimular a aplicação de poupança no mercado acionário; 
- executar o funcionamento eficiente das bolsas de valores e 
instituições auxiliares que operem neste mercado; 
- proteger os titulares de valores mobiliários contra 
irregularidades da emissão dos títulos, e contra atos ilegais de 
manipulação dos preços dos valores mobiliários nos mercados 
primários e secundários; 
- fiscalizar a emissão, registro, distribuição, e negociação de 
títulos emitidos pelas sociedades anônimas de capital aberto. 
 
Banco do Brasil – BB 
 
Está se ajustando aos poucos, à estrutura de um banco 
múltiplo tradicional, porém em muitos casos, ainda opera como 
agente financeiro do Governo Federal. É o principal executor da 
política oficial de crédito rural. 
Mantém algumas funções que não são próprias de um banco 
comercial comum, uma vez que são atividades caracterizadas 
como de parceiro principal do governo federal na prestação de 
serviços bancários, pois age como principal executor dos serviços 
bancários de interesse do Governo Federal. 
 
 
 
 
 
 
 89 
Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social –
BNDES 
 
É a principal instituição financeira de fomento do País, tendo 
como objetivos básicos: 
- Auxiliar o desenvolvimento econômico e social do País; 
- Fortalecer o setor empresarial nacional; 
- Estimular o surgimento de novos pólos de produção, atenuando 
os desequilíbrios regionais; 
- Proporcionar a integração do desenvolvimento das atividades 
agrícolas, industriais e de serviços; 
- É encarregada também de gerir o processo de privatização das 
empresas estatais. 
 
Caixa Econômica Federal – CEF 
 
É a instituição financeira que fica responsável por 
operacionalizar as Políticas do Governo Federal para habitação 
popular e saneamento básico, sendo caracterizada cada vez mais 
como o banco de apoio ao trabalhador de baixa renda. 
Entre suas principais atividades estão a captação de recursos 
em cadernetas de poupança, em depósitos judiciais e a prazo, e 
sua aplicação em empréstimos vinculados à habitação. 
Quase a totalidade dos recursos obtidos junto ao Fundo de 
Garantia por Tempo de Serviço – FGTS – são direcionados para 
as áreas de saneamento e infra-estrutura urbana. A CEF cuida da 
administração de loterias, de fundos e de programas. 
 
Conselho de Recursos do Sistema Financeiro Nacional – 
CRSFN 
 
Tem como responsabilidade julgar os recursos e interpostos 
das decisões relativas à aplicação de penalidades administrativas 
pelo Banco Central do Brasil, Comissão de Valores Mobiliários e 
Secretaria de Comércio Exterior. 
Em sua composição, há oito conselheiros com as devidas 
competências e conhecimentos em mercado financeiro e de 
capitais. São eles: 
- Um representante do Ministério da Fazenda; 
- Um representante do Banco Central; 
- Um representante da Caixa Econômica Federal; 
 
 90 
- Um representante da Comissão de Valores Mobiliários. 
Quatro representantes das entidades de classe, do mercado 
financeiro e de capitais, indicados por solicitação do Ministro da 
Fazenda. As entidades de classe quem integram o CRSFN são as 
seguintes: 
- Abrasca (Associação Brasileira das Companhias Abertas); 
- Anbid (Associação Nacional dos Bancos de Investimento); 
- CNBV (Comissão de Bolsas de Valores); 
- Febraban ( Federação Brasileira das Associações de Bancos); 
- Abel (Associação Brasileira das Empresas de Leasing); 
- Adeval (Associação das Empresas Distribuidoras de Valores); 
- AEB ( Associação de Comércio Exterior do Brasil). 
As quatro primeiras entidades listadas possuem assento no 
Conselho como membros-titulares, e os demais como suplentes. 
Ambos são nomeados pelo Ministro da Fazenda, com mandatos 
de dois anos. 
 
Instituições Financeiras 
 
A atividade de intermediação financeira exerce alguns papéis 
importantes dentro do panorama do mercado financeiro 
brasileiro. Deve, entre outros, minimizar a incerteza e os riscos a 
níveis compatíveis com as exigências de maximização dos 
ganhos, tendo que proporcionar cada vez mais segurança e 
agilidade no julgamento e previsão de melhores retornos. 
Abaixo estão listados os tipos de instituiçõesfinanceiras, e 
um breve conceito sobre o papel de cada uma: 
 
Bancos Comerciais: os bancos comerciais são 
intermediários financeiros que transferem recursos dos agentes 
superavitários para os deficitários. Entre suas principais 
atividades, estão: podem descontar títulos, fazer operações de 
abertura de crédito, fazer operações de crédito rural, de câmbio e 
comércio internacional, podem realizar captação de depósitos à 
vista e a prazo fixo, obtenção de recursos com instituições oficiais 
para repasse aos clientes, entre outras atividades que ajudam na 
circulação do dinheiro. 
 
Bancos de Desenvolvimento: são agentes de 
financiamento, que apóiam empreendimentos que contribuam 
para o desenvolvimento do país. É usado para o fortalecimento 
 
 91 
da estrutura de capital das empresas, desenvolvimento do 
mercado de capitais. Seu objetivo é promover o desenvolvimento 
do País, aumentando o nível de competitividade brasileira. Desta 
forma, eleva a geração de emprego, e reduz as desigualdades. 
 
Cooperativas de Crédito: normalmente, as cooperativas 
atuam em setores primários da economia, ou então são formadas 
pelos funcionários das empresas. Atuando no setor primário, 
melhoram a comercialização dos produtos rurais e facilitam para 
que cheguem até os consumidores. Já nas empresas, oferecem 
crédito aos funcionários, que contribuem mensalmente para 
manter a mesma. As operações de cooperativa são exclusivas 
para os cooperados. 
 
Bancos de Investimentos: os bancos de investimentos 
fazem captação de recursos através de CDB e RDB, de venda de 
cotas de fundos de investimentos, de capitação e repasse de 
recursos. Os recursos adquiridos são direcionados a empréstimos 
e financiamentos para aquisição de bens de capital pelas 
empresas ou subscrição de ações e debêntures. Os bancos de 
investimento não podem utilizar os recursos para 
empreendimentos mobiliários, e possuem limites para 
investimento no setor estatal. 
 
Sociedades de Créditos, Financiamentos e 
Investimentos: este tipo de instituição pode captar recursos 
através de letras de câmbio, e sua função é financiar bens de 
consumo duráveis aos consumidores através de crediário. Como é 
uma atividade de alto risco, o passivo das financeiras é limitado a 
12 vezes seu capital mais reservas. 
 
Sociedades Corretoras: as sociedades corretoras servem 
como intermédio para terceiros, para que estes possam operar 
com títulos e valores mobiliários. Para serem formadas, as 
corretoras dependem do Bacen, e para poderem exercer suas 
atividades, dependem da CVM. Entre suas atividades, as 
corretoras podem participar do lançamento de ações, auxiliando 
na distribuição, podem administrar carteiras e fundos de 
investimentos, podem intermediar operações de câmbio. As 
corretoras contam com profissionais especializados em análise de 
mercado, de setores da economia e de companhias. Dão o 
 
 92 
suporte para que os investidores tirem suas dúvidas e saibam 
sobre as melhores oportunidades de mercado. 
 
Sociedades Distribuidoras: algumas de suas principais 
atividades são: a intermediação de oferta pública e distribuição 
de títulos e valores mobiliários, fazem a administração e custódia 
das carteiras de títulos e valores mobiliários, cuidam da 
formação, organização e administração de fundos e clubes de 
investimento, podem operar no mercado acionário por conta de 
terceiros, comprando, vendendo e distribuindo títulos e valores 
mobiliários, incluindo ouro financeiro; podem fazer a 
intermediação com as bolsas de valores e de mercadorias; 
realizam lançamentos públicos de ações; podem operar no 
mercado aberto e podem intermediar operações de câmbio. As 
sociedades distribuidoras são supervisionadas pelo Bacen. 
 
Sociedade de Arrendamento Mercantil: as sociedades de 
arrendamento mercantil fazem operações com leasing, nas quais 
o locatário tem a opção de, no final do contrato, renovar o 
contrato, adquirir o bem por um valor residual ou devolver o bem 
locado à sociedade. A captação de recursos se dá através da 
emissão de debêntures. 
 
Associações de Poupança e Empréstimo: são sociedades 
civis, onde a captação de recursos se dá através de caderneta de 
poupança. O principal objetivo é o financiamento imobiliário, e 
todos os associados possuem direito à participação nos 
resultados. 
 
Sociedades de Crédito Imobiliário: são voltadas ao 
público de maior renda. A captação de recursos se dá através de 
Letras Imobiliárias, depósitos de poupança e repasses de CEF. Os 
recursos captados são destinados ao financiamento imobiliário 
diretos ou indiretos. 
 
 
Investidores Institucionais: os principais são: 
Fundos Mútuos de Investimentos: condomínios abertos que 
aplicam seus recursos em títulos e valores mobiliários, co o 
objetivo de oferecer aos condomínios maiores retornos e menores 
riscos. 
 
 93 
Entidades Fechadas de Previdência Privada: são aquelas mantidas 
por contribuição de grupo de trabalhadores e da mantenedora. 
Parte de seus recursos deve ser destinada ao mercado acionário, 
por determinação legal. 
Seguradoras: são definidas como instituições financeiras 
conforme determinação legal. O Bacen determina o percentual 
limite a ser destinado aos mercados de renda fixa e variável. 
 
Companhias Hipotecárias: são constituídas sob a forma 
de sociedade anônima. Possuem como objetivo, a concessão de 
financiamentos destinados à produção, reforma, ou 
comercialização de imóveis aos quais não se aplicam as normas 
do Sistema Financeiro de Habitação. As companhias hipotecárias 
dependem da autorização do Bacen para funcionarem. Entre os 
objetivos, estão o financiamento imobiliário, administração de 
crédito hipotecário. Principais operações passivas são as letras 
hipotecárias, debêntures, empréstimos e financiamentos no País 
e no Exterior. E, suas principais operações ativas, são 
financiamentos imobiliários, aquisição de créditos hipotecários, 
refinanciamentos de créditos hipotecários e repasses de recursos 
para financiamentos imobiliários. Possuem também, como 
operações especiais, a administração de créditos hipotecários de 
terceiros e de fundos de investimento imobiliário. 
 
Agências de Fomento: as agências de fomento têm como 
objetivo conceder financiamento de capital fixo e de giro. Estão 
sob o controle da Unidade da Federação, e devem ser 
constituídas como sociedade anônima de capital fechado. 
Possuem fachada de instituição financeira, mas não podem captar 
recursos junto ao público, fazer redesconto, ter conta reserva no 
Bacen, contratar depósitos interfinanceiros como depositante ou 
depositária, e não podem ter participação societária em outras 
instituições financeiras. As agências de fomento devem formar e 
manter, permanentemente, fundo de liquidez no mínimo a 10% 
do valor de suas obrigações, devendo ser integralmente aplicado 
em títulos públicos federais. 
 
Bancos Múltiplos: são instituições financeiras que possuem 
pelo menos duas das seguintes carteiras: comercial, de 
investimento e/ou desenvolvimento, de crédito, financiamento e 
investimento. Sendo que a carteira de desenvolvimento somente 
 
 94 
poderá ser operada por banco público. O banco múltiplo deve ser 
constituído por no mínimo duas carteiras, sendo que uma delas, 
obrigatoriamente, deve ser comercial ou de investimento. 
 
Bancos Cooperativos: são bancos comerciais ou bancos 
múltiplos formados, obrigatoriamente, com carteira comercial. 
Possui como acionistas controladores as cooperativas centrais de 
crédito, as quais devem deter no mínimo 51% das ações com 
direito a voto. Sua principal restrição é limitar suas operações e 
apenas uma UF, o que garante a permanência dos recursos onde 
são gerados, estimulando o desenvolvimento local. 
 
Dinâmica dos Mercados 
 
Como introdução ao tópico, pode-se falar sobre o intermédio 
do mercado financeiro entre os agentes deficitários e 
superavitários, e seu papel de alocar os recursos dos agentes 
superavitários da economia oupoupadores, para os agentes 
deficitários da economia ou tomadores de recursos. São 
necessidades opostas que se complementam, pois os agentes 
deficitários precisam buscar recursos para financiar seus 
investimentos e, da mesma forma, que os agentes superavitários 
querem aplicar seus recursos mediante a remuneração de sua 
poupança. 
A intermediação financeira cuida para que haja conciliação 
dos interesses quanto a prazo, montante e taxa de juros. Ela 
assume, portanto, os riscos das operações e o cumprimento das 
obrigatoriedades. 
Começando pelo papel do Tesouro Nacional, que é 
responsável pela administração do orçamento do governo federal. 
É através da captação de recursos pelas instituições bancárias, 
tributos e contribuições federais que o Tesouro Nacional forma o 
caixa necessário para a execução financeira das contas do 
governo. Ou seja, se há déficit público, cabe ao Tesouro emitir 
títulos da dívida pública, para poder financiá-lo. Os títulos são 
leiloados pelo Banco Central. 
Neste fluxo, o Banco Central assume o papel de 
disponibilização de moeda e crédito para toda a economia. O 
banco central compra e vende títulos emitidos pelo Tesouro, para 
que possa controlar a oferta monetária na economia. A venda de 
títulos pelo Tesouro é usada para pagar as contas do governo, já 
 
 95 
a venda de títulos pelo Banco Central ocorre, apenas quando há 
excesso de oferta monetária, e portanto com a venda, ocorrerá a 
redução de dinheiro em poder público e dos bancos, 
conseqüentemente, a contração dos meios de pagamentos. 
Desta forma, o Banco Central exerce controle sobre a 
circulação da moeda, aquecendo ou esfriando a economia, 
conforme as medidas usadas por meio de seus instrumentos de 
atuação. Dentre seus instrumentos de controle, estão: a taxa de 
reservas compulsórias, que significam aumentar o diminuir o 
dinheiro disponível nos bancos, e conseqüentemente, aumentar 
ou diminuir valores disponíveis para os empréstimos, e taxas 
cobradas, pois o valor da moeda ficará mais caro caso diminua o 
volume disponível, e o valor da moeda ficará mais barato, caso 
haja maior volume de moeda disponível para os empréstimos. 
Operações de mercado aberto, comprando e vendendo 
títulos da dívida pública federal. Taxa de redesconto, pode 
estimular ou desencorajar os bancos a tomar empréstimos do 
Banco Central. Se aumentar a taxa de redesconto, fará com que 
os bancos evitem ao máximo não precisarem utilizar o 
empréstimo do banco central, e no caso contrário, da queda da 
taxa de redesconto, ocorrerá uma expansão na oferta monetária. 
Definido de forma clara os papéis do Banco Central e do 
Tesouro Nacional, podemos falar sobre o papel dos bancos, para 
dar seqüência ao fluxo de dinâmica do mercado. A forma de 
captação dos bancos é através da emissão de CDI (através de 
outros bancos, entre si), através de títulos privados CDB/RDB/LC 
(através do público),devolvendo ao público na forma de 
empréstimo, ou então utilizando os recursos para compra de 
ativos de outros bancos ou de títulos do Governo. Outra forma de 
captação é através da venda de cotas dos fundos, direcionando 
estes recursos também para aquisição de títulos públicos e 
privados. 
Sistema de Pagamento Brasileiro – SPB 
 
É um conjunto de regras, procedimentos, instrumentos de 
controle e sistemas operacionais integrados, usados na 
transferência de recursos financeiros entre clientes, bancos, 
câmaras de liquidação e compensação e o Bacen. Possui como 
objetivo administrar o processo de compensação e liquidação de 
pagamentos por meio eletrônico. 
 
 96 
O SPB faz com que as instituições financeiras credenciadas 
ao Banco Central do Brasil, estejam ligadas, através da utilização 
de certificados digitais para autenticar e verificar a identidade dos 
participantes em todas as operações realizadas. 
O SPB é reconhecido internacionalmente como um dos sistemas 
de compensação mais eficientes do mundo. Possui um elevado 
grau de automação, um grande volume de documentos 
processados, operações em tempo real e um alto nível de 
segurança. 
 
 
 97 
Exercício AULA 10 
 
01- O que é Mercado Financeiro? 
 
02- Que são as instituições que compõem o Sistema Financeiro 
Nacional? 
 
03- Em que ano a consolidação do Mercado Financeiro Brasileiro 
ocorreu? E o que aconteceu em 1976 e 2008 de importante para 
o Mercado Brasileiro? 
 
04- Quantas e quais são as autoridades monetárias brasileiras? 
 
05- As instituições financeiras exercem alguns papeis importantes 
no Mercado Financeiro Brasileiros, quais são eles? 
 
06- Escolha duas das principais instituições financeiras e fale 
sobre seu papel no Mercado Financeiro. 
 
07- Na sua apostila falamos de forma superficial sobre um 
assunto muito importante pra você: Tesouro Nacional. Com a 
ajuda do seu Instrutor, pesquise e elabore um breve resumo 
(mínimo de uma página) sobre este assunto. 
 
08- Qual o papel assumido pelo Banco Central nas transações do 
Tesouro Nacional? 
 
09- O que são as taxas de Reservas Compulsórias? 
 
10- O que significa SPB e o que ele faz? 
 
 
 
 
 98 
Aula 11 – Estatística I 
Por ser um conteúdo complexo e extenso, será dividido em 
duas partes A primeira com 90% do conteúdo e com exercicios 
teoricos e a segunda, finalizando o conteúdo e com exercícios 
práticos. Vamos iniciar por algumas definições: 
 
Estatística: ramo da matemática aplicada. 
 
Antiguidade: os povos já registravam o número de habitantes, 
nascimentos, óbitos. Faziam "estatísticas". 
 
Idade média: as informações eram tabuladas com finalidades 
tributárias e bélicas. 
 
Sec. XVI: surgem as primeiras análises sistemáticas, as 
primeiras tabelas e os números relativos. 
 
Sec. XVIII: a estatística com feição científica é batizada por 
Godofredo Achenwall. As tabelas ficam mais completas, surgem 
as primeiras representações gráficas e os cálculos de 
probabilidades. A estatística deixa de ser uma simples tabulação 
de dados numéricos para se tornar "O estudo de como se chegar 
a conclusão sobre uma população, partindo da observação de 
partes dessa população (amostra)". 
 
Métodos Científicos: Destacamos o método experimental e o 
método estatístico. 
 
Método Experimental: Consiste em manter constante todas as 
causas, menos uma, que sofre variação para se observar seus 
efeitos, caso existam. Ex: Estudos da Química, Física, etc. 
 
Método Estatístico: diante da impossibilidade de manter as 
causas constantes (nas ciências sociais), admitem todas essas 
causas presentes variando-as, registrando essas variações e 
procurando determinar, no resultado final, que influências cabem 
a cada uma delas. 
Ex: Quais as causas que definem o preço de uma mercadoria 
quando a sua oferta diminui? 
 
 99 
Seria impossível, no momento da pesquisa, manter 
constantes a uniformidade dos salários, o gosto dos 
consumidores, nível geral de preços de outros produtos, etc. 
 
A Estatística 
 
 É uma parte da matemática aplicada que fornece métodos 
para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de 
dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. 
 
 A coleta, a organização ,a descrição dos dados, o cálculo e a 
interpretação de coeficientes pertencem à estatística 
descritiva, enquanto a análise e a interpretação dos dados, 
associado a uma margem de incerteza, ficam a cargo da 
estatística indutiva ou inferencial, também chamada como a 
medida da incerteza ou métodos que se fundamentam na teoria 
da probabilidade. 
 
Organização De Dados Estatísticos 
 
Fases do método estatístico: 
 
1º - Definição Do Problema: Saber exatamente aquilo que 
se pretende pesquisar é o mesmo que definir corretamente o 
problema. 
 
2º - Planejamento: Como levantar informações? Que dados 
deverão ser obtidos? Qual levantamento a ser utilizado? 
Censitário? Por amostragem? E o cronograma de atividades? Os 
custos envolvidos?, etc. 
 
3º - Coleta de dados: Fase operacional. É o registro sistemático 
de dados,com um objetivo determinado. 
 
Dados primários: quando são publicados pela própria pessoa ou 
organização que os haja recolhido. Ex: tabelas do censo 
demográfico do IBGE. 
 
Dados secundários: quando são publicados por outra 
organização. Ex: quando determinado jornal publica estatísticas 
referentes ao censo demográfico extraídas do IBGE. 
 
 100 
OBS: É mais seguro trabalhar com fontes primárias. O uso 
da fonte secundária traz o grande risco de erros de transcrição. 
 
Coleta Direta: quando é obtida diretamente da fonte. Ex: 
Empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferência dos 
consumidores pela sua marca. 
 
* coleta contínua: registros de nascimento, óbitos, casamentos; 
* coleta periódica: recenseamento demográfico, censo industrial; 
* coleta ocasional: registro de casos de dengue. 
* coleta indireta: é feita por deduções a partir dos elementos 
conseguidos pela coleta direta, por analogia, por 
avaliação,indícios ou proporcionalização. 
 
4º - Apuração Dos Dados: Resumo dos dados através de sua 
contagem e agrupamento. É a condensação e tabulação de 
dados. 
 
5º - Apresentação Dos Dados: Há duas formas de 
apresentação, que não se excluem mutuamente. A apresentação 
tabular, ou seja é uma apresentação numérica dos dados em 
linhas e colunas distribuídas de modo ordenado, segundo regras 
práticas fixadas pelo Conselho Nacional de Estatística. A 
apresentação gráfica dos dados numéricos constitui uma 
apresentação geométrica permitindo uma visão rápida e clara do 
fenômeno. 
 
6º - Análise E Interpretação Dos Dados: A última fase do 
trabalho estatístico é a mais importante e delicada. Está ligada 
essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja 
finalidade principal é descrever o fenômeno (estatística 
descritiva). 
 
Definições Básicas Da Estatística 
 
Fenômeno Estatístico: é qualquer evento que se pretenda 
analisar, cujo estudo seja possível a aplicação do método 
estatístico. São divididos em três grupos: 
 
Fenômenos de massa ou coletivo: são aqueles que não 
podem ser definidos por uma simples observação. A estatística 
 
 101 
dedica-se ao estudo desses fenômenos. Ex: A natalidade na 
Grande Vitória, O preço médio da cerveja no Espírito Santo, etc. 
 
Fenômenos individuais: são aqueles que irão compor os 
fenômenos de massa. 
Ex: cada nascimento na Grande Vitória, cada preço de 
cerveja no Espírito Santo, etc. 
 
Fenômenos de multidão: quando as características observadas 
para a massa não se verificam para o particular. 
 
Dado Estatístico: é um dado numérico e é considerado a 
matéria-prima sobre a qual iremos aplicar os métodos 
estatísticos. 
 
População: é o conjunto total de elementos portadores de, pelo 
menos, uma característica comum. 
 
Amostra: é uma parcela representativa da população que é 
examinada com o propósito de tirarmos conclusões sobre a essa 
população. 
 
Parâmetros: São valores singulares que existem na população e 
que servem para caracterizá-la. Para definirmos um parâmetro 
devemos examinar toda a população. 
Ex: Os alunos do 2º ano da FEEVALE têm em média 1,70 
metros de estatura. 
 
Estimativa: é um valor aproximado do parâmetro e é calculado 
com o uso da amostra. 
 
Atributo: quando os dados estatísticos apresentam um caráter 
qualitativo, o levantamento e os estudos necessários ao 
tratamento desses dados são designados genericamente de 
estatística de atributo. 
 
Variável: É o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
 
Variável Qualitativa: Quando seu valores são expressos por 
atributos: sexo, cor da pele,etc. 
 
 
 102 
Variável Quantitativa: Quando os dados são de caráter 
nitidamente quantitativo, e o conjunto dos resultados possui uma 
estrutura numérica, trata-se portanto da estatística de variável e 
se dividem em: 
 
Variável Discreta ou Descontínua: Seus valores são 
expressos geralmente através de números inteiros não negativos. 
Resulta normalmente de contagens. 
Ex: Nº de alunos presentes às aulas de introdução à 
estatística econômica no 1º semestre de 2007: mar=18, abr=30, 
mai=35, jun=36. 
 
Variável Contínua: Resulta normalmente de uma mensuração, e 
a escala numérica de seus possíveis valores corresponde ao 
conjunto R dos números Reais, ou seja, podem assumir, 
teoricamente, qualquer valor entre dois limites. 
Ex.: Quando você vai medir a temperatura de seu corpo com 
um termômetro de mercúrio o que ocorre é o seguinte: O filete 
de mercúrio, ao dilatar-se, passará por todas as temperaturas 
intermediárias até chegar na temperatura atual do seu corpo. 
Exemplos: 
. Cor dos olhos das alunas: qualitativa 
. Índice de liquidez nas indústrias gaúchas: quantitativa 
contínua 
. Produção de café no Brasil: quantitativa contínua 
. Número de defeitos em aparelhos de TV: quantitativa 
discreta 
. Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa: 
quantitativa contínua 
. O ponto obtido em cada jogada de um dado: quantitativa 
discreta 
 
Amostragem 
 
Métodos Probabilísticos 
 
Exige que cada elemento da população possua determinada 
probabilidade de ser selecionado. Normalmente possuem a 
mesma probabilidade. Assim, se N for o tamanho da população, 
a probabilidade de cada elemento ser selecionado será 1/N. 
 
 103 
Trata-se do método que garante cientificamente a aplicação 
das técnicas estatísticas de inferências. Somente com base em 
amostragens probabilísticas é que se podem realizar inferências 
ou induções sobre a população a partir do conhecimento da 
amostra. 
É uma técnica especial para recolher amostras, que 
garantem, tanto quanto possível, o acaso na escolha. 
 
Amostragem Casual ou Aleatória Simples 
 
É o processo mais elementar e freqüentemente utilizado. É 
equivalente a um sorteio lotérico. Pode ser realizada numerando-
se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um 
dispositivo aleatório qualquer, x números dessa seqüência, os 
quais corresponderão aos elementos pertencentes à amostra. 
Ex.: Vamos obter uma amostra, de 10%, representativa 
para a pesquisa da estatura de 90 alunos de uma escola: 
 
1º - numeramos os alunos de 1 a 90. 
 
2º - escrevemos os números dos alunos, de 1 a 90, em pedaços 
iguais de papel, colocamos na urna e após mistura retiramos, um 
a um, nove números que formarão a amostra. 
 
OBS: quando o número de elementos da amostra é muito 
grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso. Neste 
caso utiliza-se uma Tabela de números aleatórios, construída de 
modo que os algarismos de 0 a 9 são distribuídos ao acaso nas 
linhas e colunas. 
 
Amostragem Proporcional Estratificada: 
 
Quando a população se divide em estratos (sub-populações), 
convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em 
consideração tais estratos, daí obtemos os elementos da amostra 
proporcional ao número de elementos desses estratos. 
 
 
 
 104 
Ex: Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 
10%, do exemplo anterior, supondo, que, dos 90 alunos, 54 
sejam meninos e 36 sejam meninas. São portanto dois estratos 
(sexo masculino e sexo feminino). Logo, temos: 
 
Sexo Populacão 10% Amostra 
Masc. 54 5,4 5 
Femin. 36 3,6 4 
Total 90 9,0 9 
 
Numeramos então os alunos de 01 a 90, sendo 01 a 54 
meninos e 55 a 90, meninas e procedemos o sorteio casual com 
urna ou tabela de números aleatórios. 
 
Amostragem Sistemática 
 
Quando os elementos da população já se acham ordenados, 
não há necessidade de construir o sistema de referência. São 
exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de 
uma rua, etc. Nestes casos, a seleção dos elementos que 
constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto 
pelo pesquisador. 
Ex: Suponhamos uma rua com 900 casas, das quais 
desejamos obter uma amostra formada por 50 casas para uma 
pesquisa de opinião. Podemos, neste caso, usar o seguinte 
procedimento: como 900/50 = 18, escolhemos por sorteio casual 
um número de 01 a 18, o qual indicaria o primeiro elemento 
sorteado para aamostra; os demais elementos seriam 
periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, suponhamos 
que o número sorteado fosse 4 a amostra seria: 4ª casa, 22ª 
casa, 40ª casa, 58ª casa, 76ª casa, etc. 
 
Amostragem Por Conglomerados (ou Agrupamentos) 
 
Algumas populações não permitem, ou tornam 
extremamente difícil que se identifiquem seus elementos. Não 
obstante isso, pode ser relativamente fácil identificar alguns 
subgrupos da população. Em tais casos, uma amostra aleatória 
simples desses subgrupos (conglomerados) pode se colhida, e 
uma contagem completa deve ser feita para o conglomerado 
 
 105 
sorteado. Agrupamentos típicos são quarteirões, famílias, 
organizações, agências, edifícios etc. 
Ex: Num levantamento da população de determinada cidade, 
podemos dispor do mapa indicando cada quarteirão e não dispor 
de uma relação atualizada dos seus moradores. Pode-se, então, 
colher uma amostra dos quarteirões e fazer a contagem completa 
de todos os que residem naqueles quarteirões sorteados. 
 
Métodos Não Probabilísitcos 
 
São amostragens em que há uma escolha deliberada dos 
elementos da amostra. Não é possível generalizar os resultados 
das pesquisas para a população, pois as amostras não-
probabilísticas não garantem a representatividade da população. 
 
Amostragem Acidental 
 
Trata-se de uma amostra formada por aqueles elementos que 
vão aparecendo, que são possíveis de se obter até completar o 
número de elementos da amostra. Geralmente utilizada em 
pesquisas de opinião, em que os entrevistados são 
acidentalmente escolhidos. 
Ex: Pesquisas de opinião em praças públicas, ruas de 
grandes cidades; 
 
Amostragem Intencional 
 
De acordo com determinado critério, é escolhido 
intencionalmente um grupo de elementos que irão compor a 
amostra. O investigador se dirige intencionalmente a grupos de 
elementos dos quais deseja saber a opinião. 
Ex: Numa pesquisa sobre preferência por determinado 
cosmético, o pesquisador se dirige a um grande salão de beleza e 
entrevista as pessoas que ali se encontram. 
 
Amostragem Por Quotas 
 
Um dos métodos de amostragem mais comumente usados 
em levantamentos de mercado e em prévias eleitorais. Ele 
abrange três fases: 
 
 
 106 
1ª - classificação da população em termos de propriedades que 
se sabe, ou presume, serem relevantes para a característica a ser 
estudada; 
 
2ª - determinação da proporção da população para cada 
característica, com base na constituição conhecida, presumida ou 
estimada, da população; 
 
3ª - fixação de quotas para cada entrevistador a quem tocará a 
responsabilidade de selecionar entrevistados, de modo que a 
amostra total observada ou entrevistada contenha a proporção e 
cada classe tal como determinada na 2ª fase. 
Ex: Numa pesquisa sobre o "trabalho das mulheres na 
atualidade", provavelmente se terá interesse em considerar: a 
divisão cidade e campo, a habitação, o número de filhos, a idade 
dos filhos, a renda média, as faixas etárias etc. 
A primeira tarefa é descobrir as proporções (porcentagens) 
dessas características na população. Imagina-se que haja 47% de 
homens e 53% de mulheres na população. Logo, uma amostra de 
50 pessoas deverá ter 23 homens e 27 mulheres. Então o 
pesquisador receberá uma "quota" para entrevistar 27 mulheres. 
A consideração de várias categorias exigirá uma composição 
amostral que atenda ao n determinado e às proporções 
populacionais estipuladas. 
 
Séries Estatísticas 
 
Tabela: É um quadro que resume um conjunto de dados 
dispostos segundo linhas e colunas de maneira sistemática. 
De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou 
células da tabela devemos colocar : 
* um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero; 
* três pontos ( ... ) quando não temos os dados; 
* zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso 
pela unidade utilizada; 
* um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à 
exatidão de determinado valor. 
Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve 
ser aberto. 
 
 
 107 
Série Estatística: É qualquer tabela que apresenta a 
distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da 
época, do local ou da espécie. 
 
Séries Homógradas: são aquelas em que a variável 
descrita apresenta variação discreta ou descontínua. Podem ser 
do tipo temporal, geográfica ou específica. 
 
a) Série Temporal: Identifica-se pelo caráter variável do fator 
cronológico. O local e a espécie (fenômeno) são elementos fixos. 
Esta série também é chamada de histórica ou evolutiva. 
 
ABC VEÍCULOS LTDA. 
Vendas no 1º bimestre de 2006 
Período Unidades Vendidas 
Jan/96 20000 
Fev/96 10000 
Total 30000 
 
 
 
b) Série Geográfica: Apresenta como elemento variável o fator 
geográfico. A época e o fato (espécie) são elementos fixos. 
Também é chamada de espacial, territorial ou de localização. 
 
ABC VEÍCULOS LTDA. 
Vendas no 1º bimestre de 2006 
Filiais Unidades Vendidas 
São Paulo 13000 
Rio de Janeiro 17000 
Total 30000 
 
 
 
 108 
c) Série Específica: O caráter variável é apenas o fato ou espécie. 
Também é chamada de série categórica. 
 
ABC VEÍCULOS LTDA. 
Vendas no 1º bimestre de 2006 
Marca Unidades Vendidas * 
Fiat 18000 
Gm 12000 
Total 30000 
 
Séries Conjugadas: Também chamadas de tabelas de 
dupla entrada. São apropriadas à apresentação de duas ou mais 
séries de maneira conjugada, havendo duas ordens de 
classificação: uma horizontal e outra vertical. O exemplo abaixo é 
de uma série geográfica-temporal. 
ABC VEÍCULOS LTDA. 
Vendas no 1º bimestre de 2006 
Filiais Janeiro/06 Fevereiro/06 
São Paulo 10000 3000 
Rio de Janeiro 12000 5000 
Total 22000 8000 
 
Gráficos Estatísticos: São representações visuais dos 
dados estatísticos que devem corresponder, mas nunca substituir 
as tabelas estatísticas. 
Características: Uso de escalas, sistema de coordenadas, 
simplicidade, clareza e veracidade. 
 
Gráficos de informação: São gráficos destinados 
principalmente ao público em geral, objetivando proporcionar 
uma visualização rápida e clara. São gráficos tipicamente 
expositivos, dispensando comentários explicativos adicionais. As 
legendas podem ser omitidas, desde que as informações 
desejadas estejam presentes. 
Gráficos de análise: São gráficos que prestam-se melhor 
ao trabalho estatístico, fornecendo elementos úteis à fase de 
análise dos dados, sem deixar de ser também informativos. Os 
gráficos de análise freqüentemente vêm acompanhados de uma 
tabela estatística. Inclui-se, muitas vezes um texto explicativo, 
 
 109 
chamando a atenção do leitor para os pontos principais revelados 
pelo gráfico. 
 
Uso indevido de Gráficos: Podem trazer uma idéia falsa 
dos dados que estão sendo analisados, chegando mesmo a 
confundir o leitor. Trata-se, na realidade, de um problema de 
construção de escalas. 
 
Classificação dos gráficos: Diagramas, Estereogramas, 
Pictogramas e Cartogramas. 
 
1 - Diagramas: 
São gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São 
os mais usados na representação de séries estatísticas. Eles 
podem ser: 
 
1.1 - Gráficos em barras horizontais. 
 
1.2 - Gráficos em barras verticais (colunas). 
Quando as legendas não são breves usa-se de preferência os 
gráficos em barras horizontais. Nesses gráficos os retângulos têm 
a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos 
dados. A ordem a ser observada é a cronológica, se a série for 
histórica, e a decrescente, se for geográfica ou categórica. 
 
1.3 - Gráficos em barras compostas. 
 
1.4 - Gráficos em colunas superpostas. 
Eles diferem dos gráficos em barras ou colunas 
convencionais apenas pelo fato de apresentar cada barra ou 
coluna segmentada em partes componentes. Servem para 
representar comparativamente dois ou mais atributos. 
 
 
 
1.5 - Gráficos em linhas ou lineares. 
São freqüentemente usados para representação de séries 
cronológicas com um grande número de períodos de tempo. As 
linhas são mais eficientesdo que as colunas, quando existem 
intensas flutuações nas séries ou quando há necessidade de se 
representarem várias séries em um mesmo gráfico. 
 
 110 
Quando representamos, em um mesmo sistema de 
coordenadas, a variação de dois fenômenos, a parte interna da 
figura formada pelos gráficos desses fenômenos é denominada de 
área de excesso. 
 
1.6 - Gráficos em setores. 
Este gráfico é construído com base em um círculo, e é 
empregado sempre que desejamos ressaltar a participação do 
dado no total. O total é representado pelo círculo, que fica 
dividido em tantos setores quantas são as partes. Os setores são 
tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados 
da série. O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, 
no máximo, sete dados. 
Obs: As séries temporais geralmente não são representadas 
por este tipo de gráfico. 
 
2 - Estereogramas: 
São gráficos geométricos dispostos em três dimensões, pois 
representam volume. São usados nas representações gráficas das 
tabelas de dupla entrada. Em alguns casos este tipo de gráfico 
fica difícil de ser interpretado dada a pequena precisão que 
oferecem. 
 
3 - Pictogramas: 
São construídos a partir de figuras representativas da 
intensidade do fenômeno. Este tipo de gráfico tem a vantagem de 
despertar a atenção do público leigo, pois sua forma é atraente e 
sugestiva. Os símbolos devem ser auto-explicativos. A 
desvantagem dos pictogramas é que apenas mostram uma visão 
geral do fenômeno, e não de detalhes minuciosos. 
 
 
4 - Cartogramas: 
São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O 
objetivo desse gráfico é o de figurar os dados estatísticos 
diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. 
 
Distribuição de Freqüência 
 
É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados 
conforme as freqüências (repetições de seus valores). 
 
 111 
 
Tabela primitiva ou dados brutos: É uma tabela ou relação de 
elementos que não foram numericamente organizados. É difícil 
formarmos uma idéia exata do comportamento do grupo como 
um todo, a partir de dados não ordenados. 
Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 
52, 58, 57, 58, 60, 51 
ROL: É a tabela obtida após a ordenação dos dados 
(crescente ou decrescente). 
Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 
54, 57, 58, 58, 60, 60 
 
Distribuição de freqüência sem intervalos de classe: É a 
simples condensação dos dados conforme as repetições de seu 
valores. Para um ROL de tamanho razoável esta distribuição de 
freqüência é inconveniente, já que exige muito espaço. Veja 
exemplo abaixo 
 
Dados Freqüência 
41 3 
42 2 
43 1 
44 1 
45 1 
46 2 
50 2 
51 1 
52 1 
54 1 
57 1 
58 2 
60 2 
Total 20 
 
 
 
 112 
Distribuição de freqüência com intervalos de classe: 
Quando o tamanho da amostra é elevado, é mais racional 
efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de 
classe. 
 
Classes Freqüências 
41 |------- 45 7 
45 |------- 49 3 
49 |------- 53 4 
53 |------- 57 1 
57 |------- 61 5 
Total 20 
 
Elementos de uma Distribuição de Freqüência (com 
intervalos de classe) 
 
Classe: são os intervalos de variação da variável e é simbolizada 
por i e o número total de classes simbolizada por k. 
Ex: na tabela anterior k = 5 e 49 |------- 53 é a 3ª classe, 
onde i = 3. 
Limites De Classe: são os extremos de cada classe. O menor 
número é o limite inferior de classe (li) e o maior número, limite 
superior de classe (Li). 
Ex: em 49 |------- 53,... l3 = 49 e L3 = 53. 
O símbolo |------- representa um intervalo fechado à 
esquerda e aberto à direita. 
O dado 53 do ROL não pertence a classe 3 e sim a classe 4 
representada por 53 |------- 57. 
 
Amplitude Do Intervalo De Classe: é obtida através da 
diferença entre o limite superior e inferior da classe e é 
simbolizada por hi = Li - li. 
Ex: na tabela anterior hi = 53 - 49 = 4. 
Obs: Na distribuição de freqüência c/ classe o hi será igual 
em todas as classes. 
 
Amplitude Total Da Distribuição: é a diferença entre o limite 
superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. AT 
= L(max) - l(min). 
Ex: na tabela anterior AT = 61 - 41= 20. 
 
 113 
 
Amplitude Total Da Amostra (ROL): é a diferença entre o 
valor máximo e o valor mínimo da amostra (ROL). 
Onde AA = Xmax - Xmin. 
Em nosso exemplo AA = 60 - 41 = 19. 
Obs: AT sempre será maior que AA. 
 
Ponto Médio De Classe: é o ponto que divide o intervalo de 
classe em duas partes iguais. 
Ex: em 49 |------- 53 o ponto médio x3 = (53+49)/2 = 51, 
ou seja x3=( l3 + L3 )/2. 
 
Método prático para construção de uma Distribuição de 
Freqüências c/ Classe 
 
1º - Organize os dados brutos em um ROL. 
2º - Calcule a amplitude amostral AA. 
No nosso exmplo: AA = 60 - 41 = 19 
3º - Calcule o número de classes através da "Regra de 
Sturges": 
 
n 
i 
nº de classes 
3 |-----| 5 3 
6 |-----| 11 4 
12 |-----| 22 5 
23 |-----| 46 6 
47 |-----| 90 7 
91 |-----| 181 8 
182 |-----| 362 9 
 
Obs: Qualquer regra para determinação do nº de classes da 
tabela não nos levam a uma decisão final; esta vai depender, na 
realidade de um julgamento pessoal, que deve estar ligado à 
natureza dos dados. 
No nosso exemplo: n=20 dados, então ,a princípio, a regra 
sugere a adoção de 5 classes. 
4º - Decidido o nº de classes, calcule então a amplitude do 
intervalo de classe h > AA / i. 
No nosso exemplo: AA/i = 19/5 = 3,8 . 
 
 114 
Obs: Como h > AA/i um valor ligeiramente superior para 
haver folga na última classe. Utilizaremos então h = 4 
5º - Temos então o menor nº da amostra, o nº de classes e 
a amplitude do intervalo. Podemos montar a tabela, com o 
cuidado para não aparecer classes com freqüência = 0 
(zero). 
No nosso exemplo: o menor nº da amostra = 41 + h = 45, 
logo a primeira classe será representada por 41 |------- 45. 
As classes seguintes respeitarão o mesmo procedimento. 
O primeiro elemento das classes seguintes sempre serão 
formadas pelo último elemento da classe anterior. 
Representação Gráfica de uma Distribuição 
 
Histograma, Polígono de freqüência e Polígono de 
freqüência acumulada. 
Em todos os gráficos acima utilizamos o primeiro quadrante 
do sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais. Na linha 
horizontal (eixo das abscissas) colocamos os valores da variável e 
na linha vertical (eixo das ordenadas), as freqüências. 
 
Histograma: é formado por um conjunto de retângulos 
justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de 
tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos 
médios dos intervalos de classe. A área de um histograma é 
proporcional à soma das freqüências simples ou absolutas. 
 
Freqüências simples ou absoluta: são os valores que 
realmente representam o número de dados de cada classe. A 
soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados 
da distribuição. 
Freqüências relativas: são os valores das razões entre as 
freqüência absolutas de cada classe e a freqüência total da 
distribuição. A soma das freqüências relativas é igual a 1 (100%). 
 
Polígono de freqüência: é um gráfico em linha, sendo as 
freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, 
levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. Para 
realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos 
completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos 
pontos médios da classe anterior à primeira e da posterior à 
última, da distribuição. 
 
 115 
 
Polígono de freqüência acumulada: é traçado marcando-
se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo 
horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites 
superiores dos intervalos de classe. 
 
Freqüência simples acumulada de uma classe: é o 
total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite 
superior do intervalo de uma determinada classe. 
 
 
Freqüência relativa acumulada de um classe: é a 
freqüênciaacumulada da classe, dividida pela freqüência total da 
distribuição. 
 
CLASSE fi xi fri Fi Fri 
50 |-------- 54 4 52 0,100 4 0,100 
54 |-------- 58 9 56 0,225 13 0,325 
58 |-------- 62 11 60 0,275 24 0,600 
62 |-------- 66 8 64 0,200 32 0,800 
66 |-------- 70 5 68 0,125 37 0,925 
70 |-------- 74 3 72 0,075 40 1,000 
Total 40 1,000 
 
fi = freqüência simples; 
xi = ponto médio de classe; 
fri = freqüência simples acumulada; 
Fi = freqüência relativa 
Fri = freqüência relativa acumulada. 
Obs: uma distribuição de freqüência sem intervalos de 
classe é representada graficamente por um diagrama onde cada 
valor da variável é representado por um segmento de reta 
vertical e de comprimento proporcional à respectiva freqüência. 
 
Medidas de Posição 
 
São as estatísticas que representam uma série de dados 
orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao 
eixo horizontal do gráfico da curva de freqüência. 
 
 116 
As medidas de posições mais importantes são as medidas de 
tendência central ou promédias (verifica-se uma tendência dos 
dados observados a se agruparem em torno dos valores 
centrais). 
As medidas de tendência central mais utilizadas são: média 
aritmética, moda e mediana. Outros promédios menos usados 
são as médias: geométrica, harmônica, quadrática, cúbica e 
biquadrática. 
As outras medidas de posição são as separatrizes, que 
englobam: a própria mediana, os decis, os quartis e os percentis. 
 
Média Aritmética = 
 
É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e 
o número total dos valores. 
= ΣXí/n 
 
Onde xi são os valores da variável e n o número de valores. 
 
Dados não-agrupados: Quando desejamos conhecer a média dos 
dados não-agrupados em tabelas de freqüências, determinamos a 
média aritmética simples. 
Ex: Sabendo-se que a venda diária de arroz tipo A, 
durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 kilos, 
temos, para venda média diária na semana de: 
.= (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 14 kilos 
 
Desvio em relação à média: é a diferença entre cada 
elemento de um conjunto de valores e a média aritmética, ou 
seja: 
di = Xi - 
 
No exemplo anterior temos sete desvios: 
d1 = 10 - 14 = - 4 , d2 = 14 - 14 = 0 , d3 = 13 - 14 = - 1 , 
d4= 15 - 14 = 1 , d5 = 16 - 14 = 2 , d6 = 18 - 14 = 4 ...e. 
d7 = 12 - 14 = - 2. 
 
 
 
 117 
Propriedades da média aritmética 
 
1ª propriedade: A soma algébrica dos desvios em relação à 
média é nula. 
No exemplo anterior: d1+d2+d3+d4+d5+d6+d7 = 0 
 
2ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma 
constante (c) a todos os valores de uma variável, a média 
do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa 
constante. 
Se no exemplo original somarmos a constante 2 a cada um 
dos valores da variável temos: 
Y = 12+16+15+17+18+20+14 / 7 = 16 kilos ou 
Y = .+ 2 = 14 +2 = 16 kilos 
 
3ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os 
valores de uma variável por uma constante (c), a média do 
conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa 
constante. 
Se no exemplo original multiplicarmos a constante 3 a cada 
um dos valores da variável temos: 
Y = 30+42+39+45+48+54+36 / 7 = 42 kilos ou 
Y = x 3 = 14 x 3 = 42 kilos 
 
Dados agrupados: 
 
Sem intervalos de classe: Consideremos a distribuição 
relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o 
número de filhos do sexo masculino. Calcularemos a quantidade 
média de meninos por família: 
 
Nº de meninos freqüência = fi 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
total 34 
 
 
 118 
Como as freqüências são números indicadores da 
intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como 
fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média 
aritmética ponderada, dada pela fórmula: 
 
=Σxi.fi/Σfi 
 
 
 
 
xi fi xi.fi 
0 2 0 
1 6 6 
2 10 20 
3 12 36 
4 4 16 
total 34 78 
Onde 78 / 34= 2,3 meninos por família 
 
Com intervalos de classe: Neste caso, convencionamos que 
todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe 
coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média 
aritmética ponderada por meio da fórmula: 
=Σxi.fi/Σfi 
 
Onde Xi é o ponto médio da classe. 
Ex: Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela 
abaixo. 
 
Estaturas (cm) freqüência = fi ponto médio = xi xi.fi 
50 |------------ 54 4 52 208 
54 |------------ 58 9 56 504 
58 |------------ 62 11 60 660 
62 |------------ 66 8 64 512 
66 |------------ 70 5 68 340 
70 |------------ 74 3 72 216 
Total 40 2.440 
 
 
 119 
Aplicando a fórmula acima temos: 2.440 / 40.= 61. logo. 
 = 61 cm 
 
Média Geométrica = g 
 
É a raiz n-ésima do produto de todos eles. 
 
 
 
 
Média Geométrica Simples: 
 
ou 
 
Ex.: Calcular a média geométrica dos seguintes conjuntos de 
números: 
a) { 10, 60, 360 }.: = ( 10 * 60 * 36 0) ^ (1/3)......R: 60 
b) { 2, 2, 2 }........: = (2 * 2 * 2 ^ (1/3).................R: 2 
c) { 1, 4, 16, 64 }: = (1 * 4 * 16 * 64 ) ^(1/4)......R: 8 
 
Média Geométrica Ponderada: 
 
ou 
Ex - Calcular a média geométrica dos valores da tabela 
abaixo: 
 
xi fi 
1 2 
3 4 
9 2 
27 1 
 Total 9 
=(12*34*92*271)(1/9)...................R: 3,8296 
 
 
 
 120 
Média Harmônica - h 
 
É o inverso da média aritmética dos inversos. 
Média Harmônica Simples: (para dados não agrupados) 
 
ou 
 
 
 
Média Harmônica Ponderada: (para dados agrupados em 
tabelas de freqüências) 
 
 
 
Ex.: Calcular a média harmônica dos valores da tabela 
abaixo: 
 
classes fi xi fi/xi 
1 |--------- 3 2 2 2/2 = 1,00 
3 |--------- 5 4 4 4/4 = 1,00 
5 |--------- 7 8 6 8/6 = 1,33 
7 |--------- 9 4 8 4/8 = 0,50 
9 |--------- 11 2 10 2/10 = 0,20 
total 20 4,03 
R: 20 / 4,03 = 4,96 
OBS: A média harmônica não aceita valores iguais a zero 
como dados de uma série. 
A igualdade g = h.= , só ocorrerá quando todos os 
valores da série forem iguais. 
OBS: Quando os valores da variável não forem muito 
diferentes, verifica-se aproximadamente a seguinte relação: 
 
g = ( .+ h ) /.2 
 
 
 
 121 
Demonstraremos a relação com os seguintes dados: 
z = { 10,1 ; 10,1 ; 10,2 ; 10,4 ; 10,5 } 
 
Média aritmética = 51,3 / 5 = 10,2600 
Média geométrica= = 10,2587 
Média harmônica = 5 / 0,4874508 = 10,2574 
Comprovando a relação: 
10,2600 + 10,2574 / 2 = 10,2587 = média geométrica. 
 
 
 
 
 
Moda - Mo 
 
É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de 
valores. 
Desse modo, o salário modal dos empregados de uma 
fábrica é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo 
maior número de empregados dessa fábrica. 
A Moda quando os dados não estão agrupados. 
 
A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com 
definição, procurar o valor que mais se repete. 
Ex: Na série { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é 
igual a 10. 
Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais 
nenhum valor apareça mais vezes que outros. 
Ex: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é 
amodal. 
Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de 
concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais 
valores modais. 
Ex: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta 
duas modas: 4 e 7. A série é bimodal. 
 
A Moda quando os dados estão agrupados 
 
a) Sem intervalos de classe: Uma vez agrupados os dados, é 
possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da 
variável de maior freqüência. 
 
 122 
Ex: Qual a temperatura mais comum medida no mês abaixo: 
 
Temperaturas Freqüência 
0º C 3 
1º C 9 
2º C 12 
3º C 6 
R: 2º C é a temperatura modal, pois é a de maior freqüência. 
 
 
 
b) Com intervalos de classe: A classe que apresenta a 
maior freqüência é denominada classe modal. Pela definição, 
podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante 
que está compreendido entre os limites da classe modal. O 
método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o 
ponto médio da classe modal. Damos a esse valora denominação 
de moda bruta. 
 
Mo = ( l* + L* ) / 2 
 
Onde l* = limite inferior da classe modal e L* = limite 
superior da classe modal. 
Ex: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo. 
 
Classes (em cm) Freqüência 
54 |------------ 58 9 
58 |------------ 62 11 
62 |------------ 66 8 
66 |------------ 70 5 
 
R: a classe modal é 58|-------- 62, pois é a de maior 
freqüência. l* = 58 e L*= 62 
Mo = (58+62) / 2 = 60 cm (este valor é estimado, pois 
não conhecemos o valor real da moda). 
 
 
 123 
Método mais elaborado pela fórmula de CZUBER: 
 
Mo = l* + (d1/(d1+d2)) x h* 
 
l*= limite inferior da classe modal 
L*= limite superior da classe modal 
d1= freqüência da classe modal - freqüência da classe anterior 
à da classe modal 
d2= freqüência da classe modal - freqüência da classe 
posterior à da classe modal 
h*= amplitude da classe modal 
 
Mo =58+((11-9)/((11-9)+(11–8))x4  Mo=59,6 
 
Obs: A moda é utilizada quando desejamos obter uma 
medida rápida e aproximada de posição ou quando a medida de 
posição deva ser o valor mais típico da distribuição. Já a média 
aritmética é a medida de posição que possui a maior 
estabilidade. 
 
Mediana - Md 
 
A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo 
uma ordem ( crescente ou decrescente), é o valor situado de tal 
forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo 
número de elementos. 
 
A mediana em dados não-agrupados 
 
Dada uma série de valores como, por exemplo: 
{5,2,6,13,9,15,10} 
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a 
ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos 
valores: {2,5,6,9,10,13,15} 
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é 
igual a 9, logo a Md = 9. 
 
 
 
 124 
Método prático para o cálculo da Mediana: 
 
Se a série dada tiver número ímpar de termos: O valor 
mediano será o termo de ordem dado pela fórmula : 
 
(n+1)/2 
 
Ex: Calcule a mediana da série {1,3,0,0,2,4,1,2,5} 
1º - ordenar a série {0,0,1,1,2,2,3,4,5} 
n = 9 logo (n+1)/2 é dado por (9+1)/2=5, ou seja, o 5º 
elemento da série ordenada será a mediana 
A mediana será o 5º elemento = 2 
 
 
 
 
Se a série dada tiver número par de termos: O valor 
mediano será o termo de ordem dado pela fórmula: 
 
[(n/2)+(n/2+1)]/2 
 
Obs: n/2 e (n/2 + 1) serão termos de ordem e devem ser 
substituídos pelo valor correspondente. 
Ex: Calcule a mediana da série {1,3,0,0,2,4,1,3,5,6} 
1º - ordenar a série {0,0,1,1,2,3,3,4,5,6} 
n = 10 logo a fórmula ficará: [(10/2 )+(10/2+1)]/2 
[(5+6)]/2 será na realidade (5º termo+6º termo)/2 
5º termo = 2 
6º termo = 3 
A mediana será = (2+3) / 2 ou seja, Md = 2,5. 
A mediana no exemplo será a média aritmética do 5º e 6º termos 
da série. 
 
Notas: 
 
- Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, 
haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. 
- Quando o número de elementos da série estatística for par, 
nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da 
 
 125 
série. A mediana será sempre a média aritmética dos 2 
elementos centrais da série. 
- Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, 
necessariamente, o mesmo valor. 
- A mediana, depende da posição e não dos valores dos 
elementos na série ordenada. Essa é uma da diferenças 
marcantes entre mediana e média (que se deixa influenciar, e 
muito, pelos valores extremos). Vejamos: 
Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10 
Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10 
-Isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a 
do primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a 
mediana permanece a mesma. 
 
 
 
 
A mediana em dados agrupados 
 
a) Sem intervalos de classe: Neste caso, é o bastante identificar 
a freqüência acumulada imediatamente superior à metade da 
soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável 
que corresponde a tal freqüência acumulada. 
Ex.: Conforme tabela abaixo: 
 
Variável xi Freqüência fi 
Freqüência 
acumulada 
0 2 2 
1 6 8 
2 9 17 
3 13 30 
4 5 35 
total 35 
 
 
 
 126 
Quando o somatório das freqüências for ímpar o valor 
mediano será o termo de ordem dado pela fórmula : 
 
Σfi+1 
2 
 
Como o somatório das freqüências=35 a fórmula ficará: 
(35+1)/2=18º termo = 3. 
 
 
Quando o somatório das freqüências for par o valor mediano 
será o termo de ordem dado pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: Calcule Mediana da tabela abaixo: 
 
Variável xi Freqüência fi Freqüência acumulada 
12 1 1 
14 2 3 
15 1 4 
16 2 6 
17 1 7 
20 1 8 
total 8 
 
Aplicando fórmula acima teremos: [(8/2)+ (8/2+1)]/2 = (4º 
termo + 5º termo) / 2 = (15 + 16) / 2 = 15,5 
b) Com intervalos de classe: Devemos seguir os seguintes 
passos: 
1º) Determinamos as freqüências acumuladas ; 
2º) Calculamos ; 
 
 127 
3º) Marcamos a classe correspondente à freqüência acumulada 
imediatamente superior à . Tal classe será a classe 
mediana; 
4º) Calculamos a Mediana pela seguinte fórmula: 
 
M Md = l* + [( - FAA ) x h*] / f* 
 
l* = é o limite inferior da classe mediana. 
FAA = é a freqüência acumulada da classe anterior à classe 
mediana. 
f* = é a freqüência simples da classe mediana. 
h*= é a amplitude do intervalo da classe mediana. 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: 
 
classes freqüência = fi Freqüência acumulada 
50 |------------ 54 4 4 
54 |------------ 58 9 13 
58 |------------ 62 11 24 
62 |------------ 66 8 32 
66 |------------ 70 5 37 
70 |------------ 74 3 40 
total 40 
 
= 40 / 2 =.20, logo.a classe mediana será 58 |---------- 62 
l* = 58 FAA = 13 f* = 11 h* = 4 
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos: 
Md = 58 + [ (20 - 13) x 4] / 11 = 58 + 28/11 = 60,54 
OBS: Esta mediana é estimada, pois não temos os 40 
valores da distribuição. 
 
Emprego da Mediana 
 
 128 
 
Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição 
em duas partes iguais. 
Quando há valores extremos que afetam de maneira 
acentuada a média aritmética. 
Quando a variável em estudo é salário. 
 
Separatrizes 
 
Além das medidas de posição que estudamos, há outras 
que, consideradas individualmente, não são medidas de 
tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à 
sua característica de separar a série em duas partes que 
apresentam o mesmo número de valores. 
Essas medidas - os quartis, os decis e os percentis - são, 
juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de 
separatrizes. 
 
 
Quartis - Q 
 
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem 
em quatro partes iguais. Precisamos portanto de 3 quartis (Q1 , 
Q2 e Q3) para dividir a série em quatro partes iguais. 
Obs: O quartil 2 ( Q2 ) sempre será igual a mediana da 
série. 
 
Quartis em dados não agrupados 
 
O método mais prático é utilizar o princípio do cálculo da 
mediana para os 3 quartis. Na realidade serão calculadas " 3 
medianas " em uma mesma série. 
Ex 1: Calcule os quartis da série: {5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 } 
- O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou 
decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } 
- O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 
9, logo a Md = 9 que será = Q2 = 9 
- Temos agora {2, 5, 6 } e {10, 13, 15 } como sendo os dois 
grupos de valores iguais proporcionados pela mediana(quartil 2 ). 
Para o cálculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas das 
 
 129 
partes iguais provenientes da verdadeira Mediana da série 
(quartil 2). 
Logo em { 2, 5, 6 } a mediana é = 5 . Ou seja: será o 
quartil 1 = Q1 = 5 
em {10, 13, 15 } a mediana é =13 . Ou seja: será o quartil 3 = 
Q = 13 
 
Ex 2: Calcule os quartis da série: { 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 
9, 10, 13 } 
A série já está ordenada, então calcularemos o Quartil 2 = 
Md = (5+6)/2 = 5,5 
- O quartil 1 será a mediana da série à esquerda de Md : { 1, 1, 
2, 3, 5, 5 } 
Q1 = (2+3)/2 = 2,5 
- O quartil 3 será a mediana dasérie à direita de Md : {6, 7, 9, 9, 
10, 13 } 
Q3 = (9+9)/2 = 9 
 
Quartis para dados agrupados em classes 
 
Usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando 
substituir, na fórmula da mediana, 
E fi/2, por k E fi/4, sendo k o número de ordem do quartil. 
 
Assim, temos: 
Q1 = . l* + [(E fi / 4 - FAA ) x h*] / f* 
Q2 = . l* + [(2.E fi / 4 - FAA ) x h*] / f* 
Q3 = . l* + [(3.E fi / 4 - FAA ) x h*] / f* 
 
Ex 3 - Calcule os quartis da tabela abaixo: 
 
classes freqüência = fi Freqüência acumulada 
50 |------------ 54 4 4 
54 |------------ 58 9 13 
58 |------------ 62 11 24 
62 |------------ 66 8 32 
66 |------------ 70 5 37 
70 |------------ 74 3 40 
total 40 
 
 
 130 
- O quartil 2 = Md , logo: 
= 40/2=20, logo a classe mediana será 58 |---------- 62 
l*=58 
FAA=13 f*=11 h*=4 
Q2=l*+[(2.E fi/4-FAA)xh*]/f* 
- Substituindo esses valores na fórmula, obtemos: 
Md = 58 + [ (20 - 13) x 4] / 11 = 58 + 28/11 = 60,54 = Q2 
- O quartil 1 : E fi / 4 = 10 
Q1 = . l* + [(E fi / 4 - FAA ) x h*] / f* 
Q1 = 54 + [ (10 - 4) x 4] / 9 = 54 + 2,66 = 56,66 = Q1 
- O quartil 3 : 3.E fi / 4 = 30 
Q3 = . l* + [(3.E fi / 4 - FAA ) x h*] / f* 
Q3 = 62 + [ (30 -24) x 4] / 8 = 62 + 3 = 65 = Q3 
 
 
 
 
Decis - D 
 
A definição dos decis obedece ao mesmo princípio dos 
quartis, com a modificação da porcentagem de valores que ficam 
aquém e além do decil que se pretende calcular. A fórmula básica 
será: k .E fi / 10 onde k é o número de ordem do decil a ser 
calculado. Indicamos os decis: D1, D2, ... , D9. Deste modo 
precisamos de 9 decis para dividirmos uma série em 10 partes 
iguais. 
De especial interesse é o quinto decil, que divide o conjunto 
em duas partes iguais. Assim sendo, o quinto decil é igual ao 
segundo quartil, que por sua vez é igual à mediana. 
Para D5 temos: 5.E fi / 10 = E fi / 2 
Ex: Calcule o 3º decil da tabela anterior com classes. 
k= 3 onde 3 E fi / 10 = 3 x 40 / 10 = 12. 
Este resultado corresponde a 2ª classe. 
D3 = 54 + [(12 - 4) x 4] / 9 = 54 + 3,55 = 57,55 = D3 
 
Percentil ou Centil 
 
Denominamos percentis ou centis como sendo os noventa e 
nove valores que separam uma série em 100 partes iguais. 
 
 131 
Indicamos: P1, P2,... , P99. É evidente que P50 = Md; P25 = Q1 
e P75=Q3. 
O cálculo de um centil segue a mesma técnica do cálculo da 
mediana, porém a fórmula será: k .E fi / 100, onde k é o número 
de ordem do centil a ser calculado. 
 
Dispersão ou Variabilidade: É a maior ou menor 
diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor 
de tendência central (média ou mediana) tomado como ponto de 
comparação. 
 
A média - ainda que considerada como um número que tem 
a faculdade de representar uma série de valores - não pode, por 
si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou 
heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o 
conjunto. 
 
Consideremos os seguintes conjuntos de valores das 
variáveis X, Y e Z: 
X = { 70, 70, 70, 70, 70 } 
Y = { 68, 69, 70 ,71 ,72 } 
Z = { 5, 15, 50, 120, 160 } 
Observamos então que os três conjuntos apresentam a 
mesma média aritmética = 350/5 = 70 
Entretanto, é fácil notar que o conjunto X é mais homogêneo 
que os conjuntos Y e Z, já que todos os valores são iguais à 
média. O conjunto Y, por sua vez, é mais homogêneo que o 
conjunto Z, pois há menor diversificação entre cada um de seus 
valores e a média representativa. 
Concluímos então que o conjunto X apresenta dispersão nula 
e que o conjunto Y apresenta uma dispersão menor que o 
conjunto Z. 
 
 
 
 
 132 
Exercício AULA 11 
 
01- O que é Estatística? 
 
02- Quais são as fases do método estatístico? 
 
03- Escolha três tipos de Amostragem e explique-as. 
 
04- Como são classificados os gráficos? 
 
05- Explique cada uma das siglas abaixo: 
a) fi 
b) xi 
c) fri 
d) Fi 
e) Fri 
 
06- O que são medidas de posição? 
 
07- Quais são as medidas de tendência mais utilizadas? 
 
8- Quais são as três propriedades da média aritmética? 
 
9- O que é Moda? 
 
10- Explique cada um dos elementos da fórmula de CZUBER. 
 
11- O que é mediana? 
 
12- Quando devemos empregá-la? 
 
13- O que é percentil ou centil? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 133 
Aula 12 – Estatística II 
Medidas De Dispersão Absoluta 
 
Amplitude total: É a única medida de dispersão que não 
tem na média o ponto de referência. 
Quando os dados não estão agrupados a amplitude total é a 
diferença entre o maior e o menor valor observado: 
 
AT = X máximo - X mínimo. 
 
Ex: Para os valores 40, 45, 48, 62 e 70 a amplitude total 
será: AT = 70 - 40 = 30 
Quando os dados estão agrupados sem intervalos de classe 
ainda temos: 
 
AT = X máximo - X mínimo 
 
Ex: 
xi fi 
0 2 
1 6 
3 5 
4 3 
 AT = 4 - 0 = 4 
 
* Com intervalos de classe a amplitude total é a diferença 
entre o limite superior da última classe e o limite inferior da 
primeira classe. Então: 
 
 
 
 134 
AT = L máximo - l mínimo 
 
Ex: 
Classes fi 
4 |------------- 6 6 
6 |------------- 8 2 
8 |------------- 10 3 
AT = 10 - 4 = 6 
 
A amplitude total tem o inconveniente de só levar em conta 
os dois valores extremos da série, descuidando do conjunto de 
valores intermediários. Faz-se uso da amplitude total quando se 
quer determinar a amplitude da temperatura em um dia, no 
controle de qualidade ou como uma medida de cálculo rápido sem 
muita exatidão. 
 
Desvio quartil: Também chamado de amplitude semi-
interquatílica e é baseada nos quartis. 
Símbolo: Dq e a 
Fórmula: Dq = (Q3 - Q1) / 2 
 
Observações: 
 
1 - O desvio quartil apresenta como vantagem o fato de 
ser uma medida fácil de calcular e de interpretar. Além do mais, 
não é afetado pelos valores extremos, grandes ou pequenos, 
sendo recomendado, por conseguinte, quando entre os dados 
figurem valores extremos que não se consideram representativos. 
2- O desvio quartil deverá ser usado preferencialmente 
quando a medida de tendência central for a mediana. 
3- Trata-se de uma medida insensível ã distribuição dos 
itens menores que Q1, entre Q1 e Q3 e maiores que Q3. 
Ex: Para os valores 40, 45, 48, 62 e 70 o desvio quartil 
será: 
 
Q1 = (45+40)/2 = 42,5 
Q3 = (70+62)/2 = 66 
Dq = (66 - 42,5) / 2 = 11,75 
 
 
 
 135 
 
 
Desvio médio absoluto - Dm 
 
Para dados brutos: É a média aritmética dos valores 
absolutos dos desvios tomados em relação a uma das seguintes 
medidas de tendência central: média ou mediana. 
 
para a Média = Dm = E | Xi - | / n 
para a Mediana = Dm = E | Xi - Md | / n 
 
As barras verticais indicam que são tomados os valores 
absolutos, prescindindo do sinal dos desvios. 
Ex: Calcular o desvio médio do conjunto de números 
{-4,-3,-2,3,5} 
=-0,2 e Md = - 2 
 
Tabela auxiliar para cálculo do desvio médio: 
 
 Xi Xi - | Xi - | Xi - Md | Xi - Md | 
- 4 (- 4) - (-0,2) = -3,8 3,8 (- 4) - (-2) = - 2 2 
- 3 (- 3) - (-0,2) = -2,8 2,8 (- 3) - (-2) = - 1 1 
- 2 (- 2) - (-0,2) = -1,8 1,8 (- 2) - (-2) = 0 0 
3 3 - (-0,2) = 3,2 3,2 3 - (-2) = 5 5 
5 5 - (-0,2) = 5,2 5,2 5 - (-2) = 7 7 
 
 E = 16,8 E = 15 
 
Pela Média: Dm=16,8/5= 3,36 
Pela Mediana: Dm=15/5=3 
 
Desvio Padrão - S 
 
É a medida de dispersão mais geralmente empregada, pois 
leva em consideração a totalidade dos valores da variável em 
estudo. É um indicador de variabilidade bastante estável. O 
desvio padrão baseia-se nos desvios em torno da média 
aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida como : a 
 
 136 
raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios e é 
representada por S . 
 
A fórmula acima é empregada quando tratamos de uma 
população de dados não-agrupados. 
Ex: Calcular o desvio padrão da população representada 
por -4, -3, -2, 3, 5. 
Xi 
- 4 - 0,2 - 3,8 14,44 
- 3 - 0,2 - 2,8 7,84 
- 2 - 0,2 - 1,8 3,24 
3 - 0,2 3,2 10,24 
5 - 0,2 5,2 27,04 
 
 E = 62,8 
Sabemos que n=5e 62,8/5=12,56. 
A raiz quadrada de 12,56 é o desvio padrão = 3,54 
 
Obs: Quando nosso interesse não se restringe à descrição 
dos dados mas, partindo da amostra, visamos tirar inferências 
válidas para a respectiva população, convém efetuar uma 
modificação, que consiste em usar o divisor n - 1 em lugar de n. 
A fórmula ficará então: 
 
Se os dados -4, -3, -2, 3, 5 representassem uma amostra o 
desvio padrão amostral seria a raiz quadrada de 62,8/(5 -
1)=3,96 
O desvio padrão goza de algumas propriedades, dentre as 
quais destacamos: 
 
1ª = Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a todos os 
valores de uma variável, o desvio padrão não se altera. 
 
 137 
2ª = Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma 
variável por uma constante (diferente de zero), o desvio padrão 
fica multiplicado ( ou dividido) por essa constante. 
 
Quando os dados estão agrupados (temos a presença de 
freqüências) a fórmula do desvio padrão ficará: 
 
 ou , quando se trata de 
uma amostra. 
 
Ex: Calcule o desvio padrão populacional da tabela abaixo: 
 
Xi f i Xi.f i . f i 
0 2 0 2,1 -2,1 4,41 8,82 
1 6 6 2,1 -1,1 1,21 7,26 
2 12 24 2,1 -0,1 0,01 0,12 
3 7 21 2,1 0,9 0,81 5,67 
4 3 12 2,1 1,9 3,61 10,83 
 
Total 30 63 E = 32,70 
 
- Sabemos que E fi = 30 e 32,7 / 30 = 1,09. 
- A raiz quadrada de 1,09 é o desvio padrão= 1,044 
- Se considerarmos os dados como sendo de uma amostra o 
desvio padrão seria: a raiz quadrada de 32,7/(30-1)= 1,062 
Obs: Nas tabelas de freqüências com intervalos de classe a 
fórmula a ser utilizada é a mesma do exemplo anterior. 
 
Variância - S2 
 
É o desvio padrão elevado ao quadrado. A variância é uma 
medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva, 
porém é extremamente importante na inferência estatística e em 
combinações de amostras. 
 
 
 138 
Medidas De Dispersão Relativa 
 
Coeficiente de Variação de Pearson - CVP 
 
Na estatística descritiva o desvio padrão por si só tem 
grandes limitações. Assim, um desvio padrão de 2 unidades pode 
ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor 
médio é 200; no entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não 
pode ser dito. 
Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na 
mesma unidade dos dados limita o seu emprego quando 
desejamos comparar duas ou mais séries de valores, 
relativamente à sua dispersão ou variabilidade, quando expressas 
em unidades diferentes. 
Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos 
caracterizar a dispersão ou variabilidade dos dados em termos 
relativos a seu valor médio, medida essa denominada de CVP: 
Coeficiente de Variação de Pearson (é a razão entre o desvio 
padRão e a média referentes a dados de uma mesma série). 
 
CVP = (S / ) x 100 
 
O resultado neste caso é expresso em percentual, entretanto 
pode ser expresso também através de um fator decimal, 
desprezando assim o valor 100 da fórmula. 
Ex: Tomemos os resultados das estaturas e dos pesos de 
um mesmo grupo de indivíduos: 
 
Discriminação Média Desvio Padrão 
Estaturas 175 cm 5,0 cm 
Pesos 68 kg 2,0 kg 
 
- Qual das medidas (Estatura ou Peso) possui maior 
homogeneidade? 
 
Resposta: Teremos que calcular o CVP da Estatura e o CVP do 
Peso. O resultado menor será o de maior homogeneidade (menor 
dispersão ou variabilidade). 
CVP estatura = ( 5 / 175 ) x 100 = 2,85 % 
CVP peso = ( 2 / 68 ) x 100 = 2,94 %. 
 
 139 
Logo, nesse grupo de indivíduos, as estaturas apresentam 
menor grau de dispersão que os pesos. 
 
Coeficiente de Variação de Thorndike - CVT 
 
É igual ao quociente entre o desvio padrão e a mediana. 
 
CVT = ( S / Md ) x 100% 
 
Coeficiente Quartílico de Variação - CVQ 
 
Esse coeficiente é definido pela seguinte expressão: 
 
CVQ = [(Q3 - Q1) / (Q3 + Q1)] x 100% 
 
Desvio quartil Reduzido – Dqr 
 
Dqr = [(Q3 - Q1) / 2Md ] x 100% 
 
Medidas de Assimetria 
 
Uma distribuição com classes é simétrica quando: 
Média = Mediana = Moda 
 
Uma distribuição com classes é: 
Assimétrica à esquerda ou negativa quando: 
Média < Mediana < Moda 
 
Assimétrica à direita ou positiva quando: 
Média > Mediana > Moda 
 
Coeficiente de assimetria 
 
A medida anterior, por ser absoluta, apresenta a mesma 
deficiência do desvio padrão, isto é, não permite a possibilidade 
de comparação entre as medidas de duas distribuições. Por esse 
motivo, daremos preferência ao coeficiente de assimetria de 
Person: 
 
 
 140 
As=3(Média-Mediana)/Desvio Padrão 
 
Escalas de assimetria: 
 
| AS | < 0,15  assimetria pequena 
0,15 < | AS | < 1  assimetria moderada 
| AS | > 1  assimetria elevada 
 
Obs: Suponhamos AS= -0,49  a assimetria é considerada 
moderada e negativa 
Suponhamos AS= 0,75  a assimetria é considerada 
moderada e positiva 
 
Medidas de Curtose 
 
Denominamos curtose o grau de achatamento de uma 
distribuição em relação a uma distribuição padrão, denominada 
curva normal (curva correspondente a uma distribuição teórica de 
probabilidade). 
Quando a distribuição apresenta uma curva de freqüência 
mais fechada que a normal (ou mais aguda ou afilada em sua 
parte superior), ela recebe o nome de leptocúrtica. 
Quando a distribuição apresenta uma curva de freqüência 
mais aberta que a normal (ou mais achatada em sua parte 
superior), ela recebe o nome de platicúrtica. 
A curva normal, que é a nossa base referencial, recebe o 
nome de mesocúrtica. 
 
Coeficiente de curtose 
 
C1 = (Q3 - Q1) / 2(P90 - P10) 
 
Este coeficiente é conhecido como percentílico de curtose. 
Relativamente a curva normal, temos: 
 
C1 = 0,263  curva mesocúrtica 
C1 < 0,263  curva leptocúrtica 
C1 > 0,263  curva platicúrtica 
 
O coeficiente abaixo ( C2 )será utilizado em nossas análises: 
 
 141 
 
Onde S é desvio padrão. 
C2 = 3  curva mesocúrtica 
C2 > 3  curva leptocúrtica 
C2 < 3  curva platicúrtica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 142 
Exercício AULA 12 
 
01- Calcule as seguintes medidas descritivas para o conjunto de 
dados, supondo que eles representam: 
a) uma amostra 
b) uma população 
 83, 92, 100, 57, 85, 88, 84, 82, 94, 93, 91, 95 
 
• medidas de posição: média, mediana, moda e 3º decil; 
• medidas de dispersão: amplitude total; desvio médio, desvio 
padrão e coeficiente de variação. 
 
02- Considerando o conjunto de dados do exercício 1, verifique o 
que acontece com a mediana, a média e a variância de uma série 
de dados quando: 
a) cada observação é multiplicada por 2; 
b) soma-se 10 a cada observação; 
c) de cada observação subtrai-se 3 e multiplica-se por ¼; 
d) subtrai-se a média de cada observação; 
e) de cada observação subtrai-se a média e divide-se pelo desvio 
padrão. 
 
03- Na cidade A, a média de salários é de 1000 unidades 
monetárias (u.m.) e o 3º quartil é de 600 u.m. 
a) Escolhendo-se um trabalhador, ao acaso, na cidade A, o que é 
mais provável: ganhar mais ou menos do que 600 u.m.? 
b) Em uma cidade B, a média de salários é de 700 u.m. e a 
variância é praticamente zero, Em qual cidade você procuraria 
emprego? Justifique. 
 
 
 143 
04- Quer se estudar o número de erros de impressão de um livro, 
Para isso escolheu-se uma amostra de 50 páginas, encontrando-
se o seguinte número de erros por página: 
 
Erros Número de Páginas 
0 25 
1 20 
2 3 
3 1 
4 1 
 
a) Qual o número médio de erros por página? 
b) E número mediano? 
c) Qual o desvio padrão? 
d) Represente graficamente a distribuição. 
e) Se o livro tem 500 páginas, qual o número de erros esperados 
no livro? 
 
05- Observando-se a freqüência de casos de raiva por idade em 
uma população obteve-se o primeiro quartil igual a quatro anos, 
e a mediana igual a sete anos, Sabendo-se que a distribuição é 
simétrica, indique o valor da média. 
 
06- Considere a distribuição de notas de 2 turmas, A e B, 
compare as 2 distribuições com base nas medidas abaixo: 
a) Turma A: média = 6 ; variância = 2 
 Turma B: média= 6 ; variância = 1 
 
b) Turma A: 
 Nota mínima=1; 1º quartil=3; 2º quartil=4,5; 
 3º quartil=7; Nota máxima= 8. 
 Turma B: 
 Nota mínima=2; 1º quartil= 3; 2º quartil= 6; 
 3º quartil= 9; Nota máxima= 10. 
 
 
 
 
 144 
Aula 13 – Contabilidade 
O estudo organizado de qualquer assunto deve começar por sua 
definição. Deste modo, torna-se inevitável a pergunta: 
 
O que é Contabilidade? 
 
A palavra contabilidade deriva do latim computare (contar, 
computar, calcular). Apesar disso, não se deve confundir a 
Contabilidade com a Matemática. O contabilista não precisa 
conhecer Matemática com profundidade. Na maioria das vezes, 
bastam-lhe os conhecimentos matemáticos básicos necessários a 
qualquer profissional. Portanto, quem não gosta de Matemática 
não precisa necessariamente detestar Contabilidade. 
A definição adequada da Contabilidade exige a sua divisão 
em duas áreas: Contabilidade teórica e Contabilidade prática. 
 
Contabilidade Teórica 
 
Quando abordamos a Contabilidade como teoria, 
procuramos definir aquilo de que ela trata, estuda seus princípios 
e suas possíveis aplicações. Ou seja, a Contabilidade como teoria 
estabelece princípios e regras de conduta a serem seguidas pelos 
profissionais da área contábil, com o objetivo de aprimorar e 
padronizar os procedimentos por eles adotados. Isto tem como 
efeito a uniformidade de conduta profissional e permite a 
comparação dos trabalhos realizados pelos contabilistas. Em sua 
abordagem teórica, dizemos que a Contabilidade é uma ciência. 
Ciência é o conjunto organizado e aprofundado de 
conhecimentos sobre um determinado assunto. Diferente da 
Matemática, a Contabilidade não é uma ciência exata. Para que 
as técnicas contábeis sejam aplicadas de maneira uniforme, são 
necessários princípios e regras a serem observados por todos os 
profissionais da área contábil. Abordada pela perspectiva teórica, 
a Contabilidade pode ser definida como: 
Ciência que estuda o patrimônio do ponto de vista 
econômico e financeiro, bem como os princípios e as técnicas 
necessárias ao controle, à exposição e à análise dos elementos 
patrimoniais e de suas modificações. 
O 1º Congresso Brasileiro de Contabilidade, realizado em 
1924, definiu a Contabilidade como: 
 
 145 
"A ciência que estuda e pratica as funções de orientação, de 
controle e de registro dos atos e fatos de uma administração 
econômica." 
 
Contabilidade Prática 
 
A Contabilidade prática envolve o uso de técnicas ou 
procedimentos por meios dos qual a Contabilidade teórica e seus 
princípios são postos em prática. A Contabilidade como prática 
envolve o registro das operações de uma entidade em livros 
mantidos com essa finalidade. Sua função é controlar o 
patrimônio de uma determinada pessoa ou organização, com o 
objetivo de fornecer informações sobre ele ao público 
interessado. 
O contabilista pode ser a pessoa que se dedica ao estudo da 
ciência contábil (Contabilidade teórica) ou o profissional que atua 
na prestação de serviços contábeis, aplicando as técnicas 
contábeis (Contabilidade prática). 
 
Objetivo da Contabilidade 
 
O objetivo é o assunto do qual a ciência cuida. Pensando 
desta forma, o objetivo ou assunto do qual trata a Contabilidade 
é o patrimônio. 
Por intermédio da Contabilidade, o administrador de uma 
empresa, ou até mesmo de uma residência, pode, por exemplo: 
 
(1) gerenciar melhor os recursos disponíveis; 
(2) obter informações úteis ao planejamento de suas atividades; 
(3) saber o custo do que é produzido ou consumido; 
(4) apurar o lucro ou prejuízo; 
(5) controlar e reduzir despesas e aumentar receitas; 
(6) prevenir e identificar erros e fraudes. 
Em resumo, por meio da Contabilidade, podemos ter o 
controle e o conhecimento detalhado do estado em que se 
encontra nosso patrimônio e acompanhar a sua evolução, seja na 
exploração de um determinado negócio, seja em nossa própria 
residência. 
 
 
 
 146 
Finalidade 
 
A Contabilidade é mantida com a finalidade de fornecer 
informações sobre o patrimônio de uma determinada pessoa. 
Essas informações são destinadas às pessoas interessadas no 
patrimônio. 
 
Pessoas Interessadas nas Informações Contábeis 
 
As pessoas que têm interesse na divulgação das informações 
contábeis podem ser divididas em 2 grupos: 
 
1 - público interno - os administradores e os acionistas ou 
sócios controladores; 
 
2 - público externo - os acionistas ou sócios não controladores, 
bancos, fornecedores, governo, etc. 
 
Os administradores necessitam das informações contábeis 
para melhor desempenhar as funções de gestão do patrimônio. 
Para eles, essas informações podem ser úteis ao planejamento, 
ao controle, à tomada de decisões. A Contabilidade pode informar 
ao administrador qual é o produto mais rentável, quanto custa 
produzir um bem ou serviço, qual será o resultado provável num 
determinado nível de produção e venda etc. 
Uma das principais preocupações da legislação que rege as 
sociedades anônimas é a proteção aos acionistas não 
controladores. Os controladores têm o poder de nomear os 
administradores, e estes irão agir de acordo com os interesses 
daqueles. Ocorre que muitas vezes os interesses dos 
controladores são conflitantes com os interesses dos não 
controladores. Para os acionistas não controladores, as 
informações contábeis são um instrumento importante na 
fiscalização da atuação dos controladores. De acordo com esta 
ótica, a Lei das Sociedades por Ações (Lei nº. 6.404/76) exige a 
publicação das demonstrações contábeis das sociedades 
anônimas. 
Como parte do público externo, os bancos, fornecedores e 
financiadores em geral querem saber se a empresa apresenta 
situação econômico-financeira que lhe permita assumir e saldar 
dívidas; os clientes precisam verificar se ela tem condições de 
 
 147 
realizar adequadamente o fornecimento de bens ou serviços; o 
governo deve fiscalizar se o pagamento dos tributos está sendo 
feito da maneira correta. 
 
Funções da Contabilidade 
 
Entre as funções da Contabilidade, temos: 
1 – função administrativa – controlar o patrimônio; 
2 – função econômica – nas empresas, a função econômica 
consiste na apuração do lucro ou prejuízo, ou seja, na apuração 
do resultado econômico. 
 
Identificação dos Aspectos Patrimoniais 
 
A identificação dos elementos que compõem o patrimônio 
(bens, direitos, obrigações) diz respeito ao seu aspecto 
qualitativo. Já a mensuração destes elementos, a sua 
identificação em valores monetários, diz respeito ao aspecto 
quantitativo. A Contabilidade se ocupa dos dois aspectos: da 
identificação dos elementos patrimoniais (aspecto qualitativo) e 
da mensuração, da indicação do valor em moeda, destes 
elementos (aspecto quantitativo). 
 
Áreas ou Ramos da Contabilidade 
 
Para efeitos didáticos, a Contabilidade normalmente é 
dividida em áreas ou ramos. Esta divisão tem por objetivo o 
aprimoramento das técnicas aplicadas a determinadas atividades 
ou pessoas e o estudo de aspectos específicos da Contabilidade. 
As áreas da Contabilidade podem ser estudadas de forma 
autônoma. No entanto, elas não são matérias independentes, 
pois têm o mesmo objeto que a Contabilidade, ou seja, tratam do 
mesmo assunto: o patrimônio. Assim, a Contabilidade pode ser 
dividida em: Contabilidade Geral, Contabilidade de Custos, 
Contabilidade Bancária, Contabilidade Pública, Contabilidade de 
Seguros; Análise das Demonstrações, Auditoria etc. 
 
Campo da Aplicação da Contabilidade 
 
O principal campo de aplicação da Contabilidade são as 
aziedas. 
 
 148 
Azienda é o patrimônio considerado juntamente com a 
pessoa que tem sobre ele poderes de administração e 
disponibilidade. O conceito de azienda reúne o patrimônio e a 
pessoa que o administra: 
 
Azienda = Patrimônio + Gestão 
 
Gestão é o ato de administrar, de gerir os bens, direitos e 
obrigações, além dos recursos humanos. Considerado o 
patrimônio de uma determinadaempresa, a partir do momento 
em que passe a ser administrado, com o objetivo de lucro, ele irá 
sofrer modificações significativas. Surge, então, a Contabilidade, 
como instrumento necessário ao controle e informação dos 
efeitos provocados pelos fatos decorrentes da gestão patrimonial. 
O patrimônio pode ser administrado com finalidade 
econômica ou social. Na administração com fins econômicos, o 
objetivo é o lucro. As pessoas jurídicas que têm finalidade 
econômica são denominadas empresas. Já as pessoas jurídicas 
que têm finalidades sociais (filantrópicas, científicas, religiosas) 
são denominadas associações. 
Empresa e azienda são conceitos diferentes. Empresa é uma 
espécie de azienda. Empresa é uma azienda com finalidade 
lucrativa. 
A Contabilidade também é aplicada as entidades sem 
finalidade lucrativa, como é o caso da União, dos Estados, dos 
Municípios, das Autarquias. Essas entidades são pessoas jurídicas 
de direito público. A elas é aplicável a Contabilidade Pública. 
Para entender a diferença entre azienda e patrimônio, imagine 
um patrimônio que não esteja sendo administrado. Por ele não 
estar sofrendo alterações significativas, de pouca importância 
seria o trabalho do contabilista. Entretanto, quando este 
patrimônio começa a ser gerido com uma finalidade qualquer, 
temos a azieda. Em razão das diversas modificações a que o 
patrimônio fica sujeito, o trabalho do contabilista ganha 
destaque, sendo por meio dele que as alterações patrimoniais 
serão controladas e informadas. 
Apesar de o patrimônio poder ter como titular pessoa física 
ou jurídica, trataremos quase que exclusivamente das pessoas 
jurídicas, especialmente daquelas que têm finalidade lucrativa: as 
sociedades empresariais. 
 
 149 
Na prática, os registros contábeis são mantidos somente por 
pessoas jurídicas a isto obrigadas por lei. 
 
Titular do Patrimônio 
 
Pessoa Física 
A pessoa natural ou física é o ser humano, sem distinção de 
sexo, idade, raça. A partir do momento em que nasce com vida, a 
pessoa natural pode ser titular de um patrimônio e adquirir bens 
e direitos ou contrair obrigações, inclusive por herança. Com a 
morte, natural ou presumida, o patrimônio é transferido aos 
sucessores (herdeiros ou legatários). 
No direito romano, não se reconhecia personalidade aos 
escravos. Eles eram tratados como bens. 
 
Pessoas Jurídicas 
Além de reconhecer a personalidade da pessoa natural, a lei 
também reconhece a personalidade da pessoa jurídica (ente 
moral). 
Existem as pessoas jurídicas resultantes da união de duas ou 
mais pessoas, físicas e/ou jurídicas, para o desenvolvimento de 
atividades de interesse comum. Quando o objetivo é econômico, 
quer dizer, se há finalidade lucrativa, a pessoa jurídica é 
denominada sociedade ou sociedade empresária. Se não há fins 
lucrativos, associação. 
Nem sempre a pessoa jurídica é formada pelo agrupamento 
de duas ou mais pessoas. A Lei nº. 6.404/76, art. 251, admite a 
constituição de pessoa jurídica, mediante escritura pública, tendo 
como único acionista uma sociedade brasileira. 
Há também a fundação. Para criá-la, seu fundador, por 
instrumento público ou testamento, deve destinar bens livres 
para esse fim e especificar a que ela se destina. O fundador pode 
declarar, se quiser, a maneira como a fundação deverá ser 
administrada. 
A pessoa jurídica adquire personalidade a partir do registro 
de seus atos constitutivos no órgão estabelecido pela legislação. 
Quer dizer, para ser legalmente reconhecida como titular de 
um patrimônio, a pessoa jurídica deve ter uma cópia do seu 
contrato social ou estatuto social regularmente arquivada no 
órgão responsável pelo registro de sociedades. O distrato 
(desfazimento da sociedade) também depende de registro. As 
 
 150 
sociedades que não têm contrato ou estatuto validamente 
registrado são sociedades irregulares ou de fato, constituindo-se 
num agrupamento de bens, direitos e obrigações sem 
personalidade jurídica. Não obstante, elas têm capacidade 
processual e são representadas ativa e passivamente em juízo 
pela pessoa a quem cabe a administração de seus bens. 
O patrimônio da pessoa jurídica não se confunde com o 
patrimônio de seus sócios. Os bens, direitos e obrigações são da 
sociedade, e não de seus sócios. Assim, quando um empregado 
da sociedade procura a Justiça para reclamar direitos 
trabalhistas, a princípio, a ação é proposta contra a pessoa 
jurídica. 
As sociedades são representadas ativa e passivamente por 
seus administradores. 
 
Empresário e Sociedade Empresária 
 
O titular do patrimônio explorado com finalidade econômica 
pode ser o empresário ou a sociedade empresária. Ele é o titular 
do empreendimento, ou melhor, a pessoa que desenvolve a 
atividade ou empresa. 
Uma atividade pode ser explorada por meio de empresa 
individual ou de empresa coletiva. A empresa individual é 
explorada por pessoa física (empresário), em seu próprio nome, e 
não se confunde com a pessoa jurídica. A pessoa física titular da 
empresa individual responde com seu patrimônio, de forma 
ilimitada, pelas obrigações assumidas na exploração da atividade. 
O empreendimento explorado por pessoa jurídica é 
denominado empresa coletiva. 
Em sentido estrito, o empresário ou a sociedade empresária 
é o titular do negócio (o sujeito de direito); e a empresa é o 
próprio negócio ou atividade desenvolvida (o objeto). 
Na prática, porém, é muito comum o uso da palavra 
"empresa" no sentido de sociedade empresária. 
 
Dissolução, Liquidação e Extinção 
 
Para que uma sociedade seja extinta, é necessário que haja 
a sua dissolução. 
A dissolução da sociedade é o ato pelo qual se desfaz o 
vínculo contratual entre os sócios, com o objetivo de se extinguir 
 
 151 
a pessoa jurídica. Uma vez dissolvida a sociedade, são tomadas 
as medidas necessárias para que os seus compromissos 
pendentes sejam solucionados e ela seja extinta. A extinção é 
equivalente à morte da pessoa jurídica. A dissolução caracteriza o 
início da liquidação. 
Na fase de liquidação, ocorre a realização do ativo e o 
pagamento das obrigações, representadas pelo passivo exigível. 
Após o pagamento das dívidas, o saldo, se positivo, é rateado 
entre os sócios, de acordo com a participação de cada um. 
 
 
Dissolução  Liquidação  Extinção 
 
 
O liquidante é a pessoa encarregada de proceder a 
liquidação da sociedade. Em geral, os próprios sócios são 
nomeados liquidantes. Mas o estatuto ou os sócios em assembléia 
podem determinar que pessoa não pertencente à sociedade seja 
nomeada liquidante. 
Na liquidação judicial, como é o caso da falência, quem 
nomeia o liquidante é o juiz. 
Pago o passivo e rateado o ativo remanescente, o liquidante 
deve convocar a assembléia geral para a prestação final das 
contas. 
Aprovadas as contas, encerra-se a liquidação e a companhia 
se extingue. 
 
 
A extinção significa o fim da pessoa jurídica, seu 
desaparecimento. Uma vez extinta, a sociedade deixa de ser 
sujeito de direitos e obrigações, ou seja, perde sua 
personalidade. 
 
 
 
 152 
Exercício AULA 13 
 
01- O Primeiro Congresso Brasileiro de Contabilistas, realizado na 
cidade do Rio de janeiro, de 17 a 27 de agosto de 1924, formulou 
um conceito oficial para Contabilidade. Assinale a opção que 
indica esse conceito oficial. 
a) Contabilidade é a ciência que estuda o patrimônio do ponto de 
vista econômico e financeiro, observando seus aspectos 
quantitativo e específico e as variações por ele sofridas. 
b) Contabilidade é a ciência que estuda e pratica as funções de 
orientação, de controle e de registro relativas à administração 
econômica. 
c) Contabilidade é a metodologia especial concebida para captar, 
registrar, reunir e interpretar os fenômenos que afetam as 
situações patrimoniais, financeiras e econômicas de qualquer 
ente. 
d) Contabilidade é a arte de registrar todas as transações de uma 
companhia que possam ser expressas emtermos monetários e de 
informar os reflexos dessas transações na situação econômico-
financeira dessa companhia. 
e) Contabilidade é a ciência que estuda e controle o patrimônio 
das entidades, mediante registro, demonstração expositiva, 
confirmação, análise e interpretação dos fatos nele ocorridos. 
 
02- Assinale a função econômica da Contabilidade: 
a) Apurar lucro ou prejuízo 
b) Controlar o patrimônio 
c) Evitar erros e fraudes 
d) efetuar o registro dos fatos contábeis 
e) verificar a autenticidade das operações 
 
03- Considera-se ramo contábil: 
a) a auditoria 
b) a fiscalização 
c) o planejamento 
d) o controle 
e) a metodologia 
 
 
 
 153 
04- A palavra ‘azienda’ é comumente usada em Contabilidade 
como sinônimo de fazenda, na acepção de: 
a) conjunto de bens e haveres 
b) mercadorias 
c) finanças públicas 
d) grandes propriedades rurais 
e) patrimônio, considerado juntamente com a pessoa que tem 
sobre ele poderes de administração e disponibilidade 
 
05- O campo de aplicação da Contabilidade é a azienda, que é um 
ente cuja existência verifica-se a partir da reunião dos seguintes 
elementos essenciais: 
a) patrimônio, trabalho e organização. 
b) contabilidade, patrimônio e gestão. 
c) planejamento, organização e controle. 
d) patrimônio, trabalho e administração. 
e) registro, orientação e controle. 
 
06- O patrimônio, que a contabilidade estuda e controla, 
registrando todas as ocorrências nele verificadas. 
"Estudar e controlar o patrimônio, para fornecer informações 
sobre sua composição e variações, bem como sobre o resultado 
econômico decorrente da gestão da riqueza patrimonial." 
As proposições indicam, respectivamente: 
a) o campo de aplicação e o conceito da Contabilidade 
b) a finalidade e as técnicas contábeis da Contabilidade 
c) o objeto e finalidade da Contabilidade 
d) a finalidade e o conceito da Contabilidade. 
e) o campo de aplicação e o objeto da Contabilidade. 
 
 
 154 
OURO MODERNO 
INTERATIVO EDUCACIONAL 
 
 
 
 
 
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