2023-03-01T20-02-18-710751-Grupo_4___Matem__tica_5o_ano___Professor

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RVO LU MEEnsino Fundamental - Anos Iniciais
QUINTO ANO 4
GRUPO 4
REGIONALISMO E SOCIEDADE
CO EF 05 INFI 23 1B LV 04 MI DMUL PR.indd 1CO EF 05 INFI 23 1B LV 04 MI DMUL PR.indd 1 18/11/22 12:1518/11/22 12:15
Juciene Nogueira Almeida de Brito
Destacar
DA
DO
S
ESCOLA:
NOME:
TURMA: NÚMERO:
HORÁRIO SEGUNDA TERÇA QUARTA QUINTA SEXTA SÁBADO
HORÁRIO SEGUNDA TERÇA QUARTA QUINTA SEXTA SÁBADO
CO EF 05 INFI 23 1B LV 04 MI DMUL PR.indd 2CO EF 05 INFI 23 1B LV 04 MI DMUL PR.indd 2 18/11/22 12:1518/11/22 12:15
4ENSINO FUNDAMENTAL - ANOS INICIAISQUINTO ANO
GRUPO 4
REGIONALISMO E SOCIEDADE
vo lu me
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EDITORIAL
Todos os direitos desta publicação são reservados 
ao COC – Plataforma de Educação.
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Diretor de produtos e conteúdo Vinícius Santos Daltro
Direção editorial Alexandre Ferreira Mattioli
Gerência de produtos editoriais Matheus Caldeira Sisdeli
Gerência de design Cleber Figueira Carvalho
Coordenação de produtos editoriais Cláudia Dourado Barbosa
Coordenação editorial de conteúdo Erika Akime Tawada Boldrin, Luiz Molina Luz, 
Michelle Y. Urcci Gonçalves, Wagner Fonzi
Coordenação de design Vanessa Cavalcanti
Autoria Anayra Giacomelli Lamas Alcantara, André Roberto de Oliveira Fabrino, 
Annie Simões Rozestraten Furlan, Bruna Henrique Albuquerque, Fábia Alvim 
Leite, Gustavo Barros Alcantara, Leandro Calbente Câmara, Leandro da Silva 
Borges, Tatiana Adas Gallo
Editoria responsável Ana Elisa Montebelli Motta, Carla Margareth Ferreira Ribeiro, Cesar da Costa Jr., 
Eloá Thaís Matielo de Campos Silvério, Erika Akime Tawada Boldrin, Kleber Pereira 
dos Santos, Larissa Andrioli Guedes, Maria Cecília Rossi Dal Bem Ribeiro, Mariana 
Paulino Silva, Mariana Prudenciatto, Natália Helena Pesso Coelho, Paula Christina 
Bin Nomelini, Paula Garbellini de Barros Rodrigues 
Editoria pedagógica Anita Adas
Editoria de conteúdo Alexandre Faraoni, Breno Carlos da Silva, Danilo César Defina, Emanuella Teresa 
 Kalil Lima, Felipe Pinheiro Freire De Lima, Flávia Darre Barbosa, Franco Caldas 
Fuchs, Gilson Caires Marçola, Isabel Cristina Cossalter, Jamila Gomes de Oliveira 
Silva, João Paulo Ferraro, Lívia de Sordi, Mara Cristina Scorsafava, Mariane de Mello 
Genaro Feitosa, Miriam Margarida Grisolia, Pamella Terezinha Souza de Oliveira, 
Priscila Fernanda Ferreira
Controle de produção editorial Lidiane Alves Ribeiro de Almeida
Assistência de editoria Ana Carolina de Almeida Duarte, Ana Elisa Montebelli Motta, Daniel Ximenes 
Lopes, Fernanda Thais Ornelas, Ítalo Demétrio de Jesus Barros, Kleber Pereira 
dos Santos, Larissa Andrioli Guedes, Mariana Paulino Silva, M.R. Sampaio 
Consultoria Editorial, Milene Massumi, Pamella Terezinha Souza de Oliveira, 
Paula Carvalho, Paulo Roberto de Jesus Silva 
Preparação e revisão gramatical Alexandre Olsemann, Ana Lúcia Alves Vidal, Ana Maria Xavier Cotrim, Anelise 
de Freitas, Eliana Gazola, Esther Oliveira Alcântara, Fabiana C. Cosenza 
 Oliveira, Ivone Teixeira, Jamile Reami Turqueto, Juliana Mello, Leandro 
 Requena Pereira, Milena Contador Lotto, Miriam Margarida Grisolia, Murilo 
Oliveira de Castro Coelho
Organização de originais Lucas Bernardo de Oliveira, Luzia Helena Fávero, Marisa Aparecida 
dos Santos e Silva
Editoria de arte Marcelo Acquilino
Coordenação de pesquisa e licenciamento Thiago Fontana
Pesquisa e licenciamento Catia Trancoso, Jaqueline Lima, Natalie Coppola
Ilustrações Bruna Souza, Estúdio Calamares, Estúdio Caramela, Estúdio Ilustra Cartoon, 
Thiago Matos, Victor Lemos
Capa e projeto gráfico Product Design, APIS Design
Imagem da capa Pixel-Shot/Shutterstock
Diagramação e arte final Estilotech Editoração e Arte Educacional
Coordenação multimídia Alberto Rodrigues
PCP George Romanelli Baldim, Paulo Campos Silva Jr.
Gostou? Podemos melhorar!
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<link.coc.com.br/c1TNNK8>. 
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REGIONALISMO 
E SOCIEDADE
“[...] O meu respeito da identidade cultural 
do outro exige de mim que eu não pretenda 
impor ao outro uma forma de ser de minha 
cultura, que tem outros cursos, mas tam-
bém o meu respeito não me impõe negar 
ao outro o que a curiosidade do outro e o 
que ele quer saber mais daquilo que sua 
cultura propõe.”
Paulo Freire
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SUMÁRIO
PORTUGUESA
GRUPO 4 PÁG. 11
LÍNGUA
TEXTUAL
GRUPO 4 PÁG. 79
PRÁTICA
FÍSICA
GRUPO 4 PÁG. 113
EDUCAÇÃO
GRUPO 4 PÁG. 95
ARTE
54
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PÁG.PÁG.PÁG.PÁG.
CONHEÇA SEU LIVRO 
MAPA INTERDISCIPLINAR
REDAÇÃO: PRODUÇÃO DE TEXTO
ENCARTES
ADESIVOS
6
 10
317
321
329
GRUPO 4 PÁG. 247
HISTÓRIA
GRUPO 4 PÁG. 129
MATEMÁTICA
DA NATUREZA
GRUPO 4 PÁG. 209
CIÊNCIAS
GRUPO 4 PÁG. 273
SOCIAIS
CIÊNCIAS
GEOGRAFIA
GRUPO 4 PÁG. 287
54
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CONHEÇA
SEU LIVRO
PARA CONFERIR
Momento indicado para 
conferir a aprendizagem de 
conteúdos. Pode ser aplicado 
ao final do capítulo ou 
durante seu desenvolvimento.
ABERTURA DE CAPÍTULO
Traz elementos que 
contextualizam os 
conteúdos e estimulam 
a reflexão.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Quadro que apresenta os 
objetivos de aprendizagem 
a serem desenvolvidos.
EXERCÍCIOS
São divididos em exercícios de 
aplicação, trabalhados em sala, e 
exercícios propostos, realizados em 
casa ou fora da sala de aula.
ATIVIDADES
Reunidas em capítulos, 
sistematizam a teoria 
e os exercícios que 
serão trabalhados. 
76
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ORGANIZADOR VISUAL
Revisa nomes e conceitos, 
estabelecendo conexões e 
possíveis relações entre eles.
PRODUÇÃO DE TEXTO
As folhas de produção de texto são 
destacáveis para facilitar o uso pelo 
aluno e a correção pelo professor.
ENCARTES E ADESIVOS
Oferecem recursos complementares que 
enriquecem as atividades.
76
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CONHEÇA
SEU LIVRO
VOCABULÁRIO
Explica, de maneira 
acessível, termos e conceitos, 
favorecendo sua compreensão.
QUADRO DE TEXTO
Apresenta conteúdos 
relacionados ao que 
está sendo trabalhado, 
permitindo o contato com 
textos clássicos ou de 
diversos autores.
BOXES E ÍCONES
A minha esteira
Respiro o vento, e vivo 
de perfumes
No murmúrio das folhas 
de mangueira;
Nas noites de luar aqui 
descanso 
E a lua enche de amor a 
minha esteira.
AZEVEDO, Álvares de. Melhores 
poemas. Rio de Janeiro: Global, 2013. 
(Seleção de Antônio Candido).
VOCABULÁRIO
Escaldado: que foi 
colocado em água 
muito quente.
MUNDO DO 
TRABALHO
Uma profissão 
antiga
Relojoeiro é o 
profissional que 
conserta relógios, 
trocando baterias 
ou pulseiras e reali-
zando todo tipo de 
reparo. Hoje em dia, 
é mais difícil encon-
trar relojoeiros que 
construam relógios, 
mas, antigamente, 
isso era comum, 
especialmente reló-
gios mecânicos, que 
eram feitos à mão.
EXPLORE 
MAIS
Você ficou curioso 
sobre os Jogos dos 
Povos Indígenas? 
Saiba mais sobre 
essa competição e a 
história dela no link 
a seguir. Disponível 
em: <link.coc.com.br/
IDjVryj>.
MUNDO DO 
TRABALHO
Mostra relações do 
conteúdo com as 
profissões e o mundo 
do trabalho.
EXPLORE MAIS
Sugere sites, textos 
e links, em ambiente 
digital, relacionados ao 
conteúdo estudado.
98
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https://memoria.ebc.com.br/esportes/2015/10/conheca-modalidades-esportivas-dos-jogos-mundiais-indigenas
https://memoria.ebc.com.br/esportes/2015/10/conheca-modalidades-esportivas-dos-jogos-mundiais-indigenas
MINIATURAS
 
As miniaturas favorecem a 
contextualização dos quadros de 
conteúdo e indicam os pontos 
em que as informações adicionais 
estão relacionadas.
PARA IR ALÉM
Apresenta conteúdos 
adicionais que 
aprofundam ou 
ampliam o estudo, 
estimulando 
a reflexão e a 
curiosidade.
VERBO DE COMANDO
Transcrever: escrever novamente, copiar, reproduzir. 
VERBO DE COMANDO
Explica os verbos operatórios 
utilizados nas atividades.
PARA IR ALÉM
Tu ou você?
No diálogo entre a 
onça e o jabuti, eles 
tratam um ao outro 
pelo pronome tu. 
Tanto tu quanto 
você podem ser uti-
lizados para se refe-
rir àquele com quem 
se fala. A preferência 
por um pronome ou 
outro varia entre as 
regiões do Brasil.
Os selos pedagógicos organizam e indicam 
o objetivo de algumas partes da atividade.
O selo colaborativo indica exercícios que exploram 
estratégias diferenciadas de aprendizagem. COLABORATIVO
Os selos remissivos indicam as páginas em que são utilizados ou 
encontrados materiais complementares ao desenvolvimento da atividade.
PÁG. 399REDAÇÃO PÁG. 399ENCARTE PÁG. 399ADESIVO ENCARTE
 PÁG. 399
ADESIVO
 PÁG. 399
REDAÇÃO
 PÁG. 399
 ENTRE CONVERSAS...
 DIVERSÃO À VISTA!
 ATIVE A MEMÓRIA!
 MOMENTO DE DESCOBERTAS!
SELOS
CONTEÚDO
DIGITAL
98
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MAPA INTERDISCIPLINAR
10
GE AR
EF
MA
HIGE
MATEMÁTICA
Múltiplos e div
isores
CIÊNCIAS DA NATUREZA
A vida das plantas
HISTÓRIA Povos antigos
CIÊNCIAS SOCIAIS
Movimentos sociais
LÍNGUA PORTUGUESA 
Inferência, coesão, textos 
jornalísticos, recursos sonoros 
na poesia, leitura, produção e 
declamação de poemas
EDUCAÇÃO FÍSICA
Jogos e brincadeiras 
populares do Brasil 
e de outros países
GEOGRAFIA
Elementos das cidades
ARTE
Imagens do Brasil: 
memória, pintura e 
fotografia
PRÁTICA TEXTUAL
Literatura de cordel, 
produção de folheto 
de cordel 
4
REGIONALISMO 
E SOCIEDADE
GRUPO
Os conteúdos estudados podem ser comuns a mais de uma disciplina. Entender 
como eles se relacionam contribui para o aprendizado e torna as aulas mais 
interessantes. Assim, este mapa mostra possíveis ligações entre os assuntos, 
propondo pontos de partida para um trabalho interdisciplinar.
AR GE LP
HI
GEEF
CS
CN
AR PTCS GE GE LP AR
GE LPAR CS
CN
LPHILPAR CS
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MATEMÁTICA
130
PÁGINA CAPÍTULO 8
Múltiplos e divisores
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 129CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 129 01/12/22 13:4201/12/22 13:42
MÚLTIPLOS E 
DIVISORES
8
CAPÍTULO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Utilizar critérios de divisibilidade.
• Identificar os múltiplos e os divisores de um número 
natural.
• Resolver situações-problema envolvendo mínimo múltiplo 
comum.
• Resolver situações-problema envolvendo máximo divisor 
comum.
• Conceituar número primo e número composto.
• Decompor um número natural em fatores primos.
• Aplicar a decomposição em fatores primos para cálculo do 
mínimo múltiplo comum.
MATEMÁTICA130
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O Brasil é um grande produtor agrícola. Os produtos cultivados 
no país são usados para a nossa alimentação, para a alimenta-
ção dos animais e são, ainda, enviados para outros países. Ao 
longo de nossa história, as plantações se multiplicaram pelo 
interior do país, que teve, e ainda tem, seu território dividido 
em um mosaico de plantações. Há regiões com plantações de 
café, outras com plantações de laranja, outras ainda com cana-
viais, plantações de milho, soja e tantas outras culturas. Todas 
elas dividem espaço com o pouco que sobrou da mata nativa 
que existia por aqui, e que retiramos ao longo do tempo. Esta-
mos ainda aprendendo que tão importante quanto produzir-
mos nosso próprio alimento é manter, e até reflorestar, áreas 
de vegetação nativa, pois elas são indispensáveis para manter 
o equilíbrio entre todos os seres vivos, e certamente podem 
ajudar, por exemplo, na regulagem do clima, que é essencial 
para as plantações. 
131CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 131CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 131 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
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Atividade 55
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAL
Aline fazia uma pesquisa sobre diferentes produtos que são cultivados na re-
gião em que mora. Um dos produtos mais importantes dessa região é a laran-
ja. Com o passar das décadas, seu avô Bernardo, que mora em um sítio perto 
da cidade, acompanhou toda a mudança na paisagem. Aline conversava sobre 
isso com ele em sua pesquisa. Ele dizia:
— Vi os pés de laranja se multiplicarem nessa região. Cada pé que nasce e 
cresce tem os frutos multiplicados em seus galhos. Quando colhidos, são to-
dos divididos em grandes caixas.
— Interessante, vovô! Você usou palavras como “multiplicarem”, “multi-
plicados” e “divididos”. Na escola, além dessa pesquisa sobre a agricultura em 
nossa região, também estou estudando os múltiplos e os divisores. Curioso 
usar essas palavras para falar de um assunto tão diferente da Matemática.
Bernardo lembrava-se bem dos múltiplos, mas, querendo testar sua neta, 
perguntou:
— Sim, os múltiplos. Você pode me falar o que entendeu?
— Claro, vovô! Vou mostrar um exemplo sobre o 
que entendi.
Pegando uma folha 
de papel, Aline anotou 
a tabuada do número 
5 e mostrou quais são 
os primeiros múltiplos 
de 5.
Esses são os primeiros 
múltiplos naturais do 
número 5.
5 × 0 = 0
5 × 1 = 5
5 × 2 = 10
5 × 3 = 15
5 × 4 = 20
5 × 5 = 25
5 × 6 = 30
5 × 7 = 35
5 × 8 = 40
5 × 9 = 45
5 × 10 = 50
Iniciar o estudo so-
bre múltiplos com 
calma, sobretudo 
no momento de 
mostrar aos alunos 
a escrita em forma 
de conjunto numéri-
co. Fazer a leitura da 
história de forma co-
letiva; nela, destacar 
os trechos em que 
se faz uma relação 
indireta entre os ter-
mos “multiplicaram” 
e “dividido” com o 
estudo na Matemá-
tica. É um momento 
para perceberem a 
aplicação de termos 
comumente usados 
em outras áreas, 
que não sejam nu-
méricas, mas que 
transmitem ideias 
semelhantes às que 
se relacionam a ope-
rações com números.
Destacar que o zero 
é sempre o primei-
ro múltiplo natural 
de um número. 
Nesse caso, desta-
car o termo “natu-
ral”, pois, no 7o ano, 
os alunos poderão 
ampliar o conjunto 
para os múltiplos 
inteiros de um nú-
mero, incluindo os 
números negativos.
MATEMÁTICA132
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 132CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 132 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
— Perfeito! Gostei quando disse que são os “primeiros” múltiplos naturais de 5. 
Afinal, eles são...
— Infinitos! – completou Aline. A professora falou que os múltiplos formam 
uma sequência de números infinita, ou seja, que não tem fim.
— Exato! Vi que está entendendo. 
— Além disso, ela mostrou uma forma simplificada de escrever os múltiplos 
de um número. No caso dos múltiplos de 5, veja o que aprendi.
Novamente, pegando uma folha, Aline fez a seguinte anotação:
M(5) = {0, 5, 10 ,15, 20, 25, 30, 35, 40, 
45, 50, 55, 60, 65, ... }
Aline e seu avô Bernardo continuaram uma gostosa conversa sobre os múltiplos 
de um número natural e, também, sobre a importância da multiplicação de vários 
produtos cultivados em diferentes regiões. Falaram também da necessidade de 
manutenção de florestas nativas, formando um delicado elo que fortalece a vida 
de todos os seres vivos no planeta. 
Aline anotou os múltiplos de 5 usando a escrita de um conjunto e, por isso, 
utilizou chaves. As reticências são usadas para indicar queo conjunto é infini-
to. Podemos entender que são infinitos, pensando da seguinte forma:
1o Qualquer número natural multiplicado por 5 tem como resultado um 
múltiplo de 5. Veja, por exemplo, a seguinte multiplicação:
5 × 87 = 435
Então, 435 é um múltiplo de 5. Aliás, é múltiplo também de 87. 
Como existem infinitos números naturais para multiplicar por 5, temos infi-
nitos múltiplos de 5.
2o Podemos escrever a sequência dos múltiplos de 5 começando pelo zero 
e seguir aumentando de 5 em 5:
M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, …}
+5 +5 +5 +5 +5
Como podemos sempre adicionar 5 unidades, a sequência não terá fim.
133CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 133CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 133 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
PARA IR ALÉM
Múltiplos de um número natural
Pensando nos múltiplos de um número natural, podemos fazer algumas ob-
servações simples, mas importantes.
1. O zero é múltiplo de todos os números naturais. Afinal, qualquer nú-
mero multiplicado por zero resulta, justamente, em zero. 
 Exemplos
a. 7 × 0 = 0. Então, 0 é múltiplo de 7.
b. 12 × 0 = 0. Então, 0 é múltiplo de 12.
c. 28 × 0 = 0. Então, 0 é múltiplo de 28.
2. Todo número natural é múltiplo dele mesmo. Afinal, qualquer número 
multiplicado por 1 resulta no próprio número.
 Exemplos
a. 3 × 1 = 3. Então, 3 é múltiplo de 3.
b. 11 × 1 = 11. Então, 11 é múltiplo de 11.
c. 30 × 1 = 30. Então, 30 é múltiplo de 30.
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
 MOMENTO DE DESCOBERTAS!
1 No texto, mostramos algumas curiosidades sobre múltiplos. Há, porém, mais 
uma. Tente encontrar um número natural que não tenha infinitos múltiplos. 
Anote-o e explique a razão pela qual ele não tem infinitos múltiplos. 
Dica: há apenas um número com essa condição.
 ATIVE A MEMÓRIA!
2 Escreva, na forma de conjunto, os cinco primeiros múltiplos naturais de
a. 4 b. 12
 
É o zero, pois qualquer número multiplicado por zero resulta em zero. Logo, o único múltiplo de zero é o próprio zero.
1. Neste exercício, 
pedir aos alunos 
que reflitam a res-
peito do assunto 
proposto e, em se-
guida, expressem 
suas opiniões, po-
dendo redigir uma 
resposta única.
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16...} M(12) = {0, 12, 24, 36, 48...}
MATEMÁTICA134
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 134CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 134 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
3 Na cidade onde Luara mora, há uma linha de metrô usada para transporte de 
passageiros. Na estação em que ela costuma embarcar, o metrô passa pontual-
mente a cada 7 minutos. Às 8 horas, passa um metrô. Complete no quadro se-
guinte todos os horários em que ele passará novamente nessa estação até o 
horário mais próximo das 9 horas e, depois, responda ao que se pede.
a. Em relação à ideia dos múltiplos, o que se pode observar com relação aos mi-
nutos representados nos visores dos relógios?
b. Com base no último horário indicado, represente nos visores os próximos 
4 horários.
c. Os minutos nos horários serão sempre múltiplos de 7?
 
0 1 1 23 0 7 4
0 1 27 4 1
2 8 3 45 2
4 59 6
3. Neste exercício, a resposta deve indicar que “são múltiplos de 7”, e não “são os múltiplos de 7”. O uso do artigo 
“os” no segundo caso dá ideia de que todos os múltiplos estão representados, o que não é verdade. Essa informação 
é importante. 
Pode-se observar que todos os minutos são múltiplos de 7.
Não.
135CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 135CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 135 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
4 Siga as dicas, descubra o número em cada caso e anote-o.
a. Sou um múltiplo de 8, maior que 60 e menor que 70.
b. Sou um múltiplo de 5, maior que 76 e menor que 81.
c. Sou um múltiplo de 9, maior que 90 e menor que 100.
5 O dono de uma granja deve vender cartelas de ovos 
com 8 unidades cada uma. De acordo com essa ideia, 
complete o quadro seguinte corretamente e, depois, 
responda ao que de pede.
QUANTIDADE DE 
CAIXAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Total de ovos 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
Os números que completam o quadro são múltiplos de qual número?
VAVLT/ ISTO
CK
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 ATIVE A MEMÓRIA!
6 Felipe escreveu os nove primeiros múltiplos de alguns números naturais, mas es-
queceu-se de alguns. Complete as lacunas com os números que ficaram faltando.
a. M(3) = {0, 3, 6, , 12, 15, , 21, ...}
b. M(7) = {0, , 14, 21, , 35, , 56...}
c. M(11) = { , 11, 22, , , 55, 66, , ...}
d. M(15) = {0, 15, 30, 45, , 75, , , 120...}
7 Escreva um múltiplo de 3, e também de 4, que seja menor que 20.
 
4. Neste exercício, 
permitir que os 
alunos pensem em 
estratégias para 
chegar à resposta 
nos itens b e c. No 
item b, é espera-
do que já tenham 
percebido o fato de 
que os múltiplos de 
5 terminam em zero 
ou cinco. Esse fato 
será estudado, em 
detalhes, ao longo 
do capítulo, mas é 
possível ter essa per-
cepção com base na 
tabuada. No item c, 
é possível adicionar 
9 unidades em 90, 
sendo este um múl-
tiplo conhecido na 
tabuada do 9.
É o número 64.
É o número 80.
É o número 99.
São múltiplos de 8.
7. Este exercício dá 
aos alunos a possi-
bilidade de pensar 
na ideia desenvol-
vida na próxima 
atividade, sobre 
múltiplos comuns. 
Na correção, pedir a 
eles que comentem 
o que pensaram.
9 18 24
7 28 42
0 33 44 77 88
60 90 105
É o 12.
MATEMÁTICA136
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 136CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 136 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
MÚLTIPLOS COMUNS DE DOIS OU MAIS 
NÚMEROS NATURAIS
Luana, professora de dança, está pensando em uma nova coreografia para a 
apresentação de um grupo de alunos.
Atividade 56
Em parte da 
dança, os alunos 
deverão formar 
grupos de 3.
Um grupo de 3 
alunos de mãos 
dadas dançando.
Então, o total de 
alunos será um 
múltiplo de 3.
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, ...}
Em outra parte da dança, 
os alunos deverão for-
mar grupos de 4.
Um grupo de 4 alunos de 
mãos dadas dançando.
Então, o total de 
alunos será, também, 
um múltiplo de 4.
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16 ...}
Orientar os alunos a fazer a leitura da história em quadrinhos com posterior discussão coletiva. A partir desse ponto, 
fazer a formalização do conceito de múltiplos comuns.
137CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 137CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 137 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Observe que a quantidade total de alunos que ela 
deverá ter é um múltiplo comum de 3 e de 4. Se ano-
tarmos os primeiros múltiplos desses números, como 
a professora estava pensando, podemos verificar 
quais são esses múltiplos comuns:
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 
42, 45, 48...}
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 
52, 56, 60...}
Para destacar os múltiplos comuns de 3 e 4, usa-
remos a sigla MC (múltiplos comuns):
MC(3, 4) = {0, 12, 24, 36, 48...}
Observe que os múltiplos comuns formam uma se-
quência também infinita. Nesse caso, basta a profes-
sora escolher a quantidade que for melhor dentre os 
múltiplos comuns.
Então, como não posso ter 
zero aluno, poderei ter um 
grupo com 12, ou com 24, ou 
com 36, ou com 48, e assim 
por diante.
 ATIVE A MEMÓRIA!
1 Anote os conjuntos dos múltiplos de cada número pedido. Para o conjunto dos 
múltiplos comuns, anote, pelo menos, os três primeiros números.
a. M(4) = 
M(5) = 
MC(4, 5) = 
b. M(4) = 
M(6) = 
M(8) = 
MC(4, 6, 8) = 
1. A quantidade de 
múltiplos que será 
escrita em cada con-
junto deste exercício 
pode variar; entre-
tanto, à medida que 
os alunos tentarem 
escrever os três 
primeiros múltiplos 
comuns, como está 
na resposta, eles 
perceberão a neces-
sidade de escrever 
mais múltiplos nos 
conjuntos anterio-
res. Devem lembrar-
-se de que o zero é 
sempre o primeiro 
múltiplo comum.
Com o tempo, so-
bretudo após co-
nhecerem a ideia 
de mínimo múltiplo 
comum, poderão 
perceber que basta 
encontrar o mmc 
dos números para 
que seja possível 
compor o conjunto 
d o s m ú l t i p l o s 
comuns de dois ou 
mais números a 
partir do mmcdeles.
{0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44...}
{0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45...}
{0, 20 ,40...}
{0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52...}
{0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48...}
{0, 8, 16, 24, 32, 40, 48...}
{0, 24, 48...}
MATEMÁTICA138
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 138CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 138 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
 MOMENTO DE DESCOBERTAS!
2 Felipe não estava se sentindo bem e foi ao médico. Embora não fosse nada sério, 
logo no primeiro dia de tratamento, ele deveria tomar um comprimido a cada 
4 horas e um remédio em gotas a cada 2 horas. Ele começou a tomar os dois 
remédios à meia-noite, isto é, à zero hora. Durante todo o primeiro dia de tra-
tamento, ele tomou os dois remédios de maneira correta. De acordo com essa 
ideia, faça o que se pede.
a. Indique no quadro os horários do dia em que Felipe tomou os comprimidos.
b. Os números que indicam os horários no quadro anterior são múltiplos de qual 
número natural?
c. Indique no quadro os horários do dia em que tomou o remédio em gotas.
d. Os números que indicam os horários no quadro anterior são múltiplos de qual 
número natural?
e. Em quais horários ele tomou os dois medicamentos juntos?
f. Complete o conjunto a seguir com os seis primeiros números.
MC(2, 4) = 
g. Todos os múltiplos de 4 são também múltiplos de 2?
h. Todos os múltiplos de 2 são também múltiplos de 4?
2. Este exercício 
apresenta outro 
exemplo prático, 
além do que foi 
apresentado no 
texto teórico, sobre 
a ideia de múltiplos 
comuns. Destacar 
esse fato, tornan-
do o aprendizado 
mais significativo. 
0h 4h 8h 12h 16h 20h
0h 2h 4h 6h 8h 10h 12h 14h 16h 18h 20h 22h
São múltiplos de 2.
São múltiplos de 4.
Nos horários: 0h, 4h, 8h, 12h, 16h e 20h
{0, 4, 8, 12, 16, 20...}
Sim.
Não.
139CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 139CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 139 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
 ATIVE A MEMÓRIA!
3 Nos quadros a seguir, indicamos os números naturais de 0 até 39. Pinte os três 
quadrinhos de cada número, seguindo a legenda. O número zero já está pintado 
de acordo com essa ideia e serve de exemplo. Depois, faça o que se pede.
Pintar de amarelo se for múltiplo de 2.
Pintar de azul se for múltiplo de 3.
Pintar de verde se for múltiplo de 6.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
a. Escreva cada um dos conjuntos pedidos a seguir de acordo com os números 
anteriores.
• M(2)
• M(3) 
• M(6)
b. Quais são os números pintados com todas as três cores?
3. Neste exercício, a 
ideia é que os alunos 
observem os múlti-
plos comuns de três 
números naturais. 
Eles devem perce-
ber, também, que os 
múltiplos de 6 são 
múltiplos de 2 e de 
3 ao mesmo tempo. 
Esse fato pode auxi-
liá-los na compreen-
são do critério de 
divisibilidade por 6, 
apresentado em ati-
vidades posteriores.
Sugerimos fazer, 
com os alunos, a 
pintura dos quadri-
nhos, evitando que 
pintem de forma 
incorreta. Caso te-
nha disponível uma 
lousa eletrônica, 
projetar um modelo 
semelhante desses 
quadros e colorir 
com as cores da le-
genda usando recur-
sos da própria lousa.
Pedir a eles que 
usem reticências 
nas representa-
ções dos conjuntos 
numéricos e que 
representem to-
dos os números do 
quadro, que sejam 
do conjunto, antes 
de indicarem as 
reticências, como é 
dado nas respostas.
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38...}
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39...}
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36...}
São: 0, 6, 12, 18, 24, 30 e 36.
MATEMÁTICA140
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 140CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 140 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
c. Os números pintados com as três cores são múltiplos comuns de 2, 3 e 6. Então, 
complete o conjunto MC(2, 3, 6) de acordo com os números do quadro.
d. Observando os múltiplos comuns de 2, 3 e 6, indique V para verdadeiro e F para 
falso, em cada afirmação a seguir.
• Todo múltiplo de 3 é também múltiplo de 2. ( )
• Todo múltiplo de 6 é também múltiplo de 2. ( )
• Todo múltiplo de 6 é também múltiplo de 3. ( )
• Todo múltiplo de 6 é também múltiplo de 2 e de 3. ( )
 MOMENTO DE DESCOBERTAS!
4 Existe um número que é múltiplo comum de todos os números naturais. Que 
número é esse?
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 ATIVE A MEMÓRIA!
5 Vítor tem certa quantidade de figurinhas entre 50 e 60. Ele percebeu que pode 
formar grupos de 6 ou 9 figurinhas, sem haver sobra nos dois casos. Quantas 
figurinhas ele tem?
6 Quantos múltiplos comuns de 4 e 6 existem entre 20 e 40? 
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
MC(2, 3, 6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36...}
É o zero.
Ele tem 54 figurinhas (múltiplo comum de 6 e 9 entre 50 e 60).
6 . O b s e r v a n d o 
as sequências de 
múltiplos de 4 e 6, 
temos que 24 e 36 
são múltiplos co-
muns desses dois 
números e estão no 
intervalo entre 20 
e 40. São, portanto, 
dois números. 
F
V
V
V
141CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 141CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 141 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (mmc)
Quando Luana, a professora de dança, pensou 
em montar sua coreografia, ela percebeu que 
poderia ter um único grupo com 12, 24, 36, 48 
pessoas, ou mais. Porém, como o palco da apre-
sentação não é muito grande, ela ficou com 
uma dúvida.
A ideia de múltiplos comuns apareceu para 
a professora Luana quando pensou em formar 
grupos de 3 e, depois, de 4 alunos durante a 
dança, sem sobrar aluno. Por isso, pensou em 
múltiplos comuns de 3 e 4, que são:
MC(3, 4) = {0, 12, 36, 48, ...}
Observe que ela quer a menor quantidade de alunos para ensaiar. Então, 
devemos procurar no conjunto anterior o mínimo múltiplo comum de 3 e 4. 
Logo, vemos que é o zero. A professora, porém, não pode ter zero aluno, não 
é mesmo?
Então, seguimos para o primeiro múltiplo comum que não seja o zero, e 
vemos que é o 12. Matematicamente, dizemos que:
mmc(3, 4) = 12, em que lemos: o mínimo múltiplo comum de 3 e 4 é 12.
De maneira geral, temos o que segue.
Considerando dois ou mais números naturais diferentes de zero, 
chamamos de mínimo múltiplo comum (mmc) desses números o 
menor de todos os seus múltiplos comuns, diferente de zero.
É importante perceber que, apenas no cálculo do mmc, desconsideramos 
o zero. Afinal, ele sempre seria o mínimo múltiplo comum de dois ou mais 
números e, nesse caso, essa informação não nos serviria para nada, como 
não serviu para a professora de dança planejar sua aula já que não é possível 
ter zero aluno. No entanto, para indicar apenas os múltiplos naturais de um 
número, ou até mesmo os múltiplos comuns, indicamos o zero, como nas 
atividades anteriores.
Atividades 57 e 58
Qual será a 
quantidade 
mínima de 
alunos que 
poderei ter na 
turma?
Reforçar o fato de 
que o zero não é con-
siderado no cálculo 
do mmc, mas que 
ainda deve ser indi-
cado como o primei-
ro múltiplo natural 
de um número, ou 
o primeiro múltiplo 
comum de dois ou 
mais números.
Comentar também 
que há maneiras 
alternativas de cál-
culo do mmc, mas 
que começarão o 
estudo pela forma 
mais elementar, 
que consiste em 
escrever os múlti-
plos dos números 
até encontrar o pri-
meiro múltiplo co-
mum que não seja 
o zero. Em estudo 
posterior, os alunos 
poderão fazer uso 
da decomposição 
em fatores primos. 
Entretanto, embo-
ra possa parecer 
mais cansat ivo, 
neste momento, 
é importante que 
eles compreendam 
o real significado 
de mínimo múlti-
plo comum, e só 
poderão ter esse 
entendimento des-
tacando os primei-
ros múltiplos de 
cada número e pro-
curando o mínimo 
que seja comum.
MATEMÁTICA142
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 142CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 142 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
Há algumas maneiras de calcular o mmc de dois ou mais números. Nesta 
atividade, falaremos sobre a primeira delas, que consiste em escrever os 
múltiplosdos números até encontrar o primeiro múltiplo comum que não 
seja o zero.
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
 ENTRE CONVERSAS...
1 Escreva os seis primeiros múltiplos em cada conjunto pedido. Depois, juntamen-
te com um colega, faça o que se pede.
M(2) = 
M(4) = 
M(6) = 
M(8) = 
a. Observando a sequência de múltiplos, encontre o mínimo múltiplo comum em 
cada item a seguir.
mmc(2, 4) = mmc(2, 6) = mmc(2, 8) = 
b. Os números 2, 4, 6 e 8 são pares. Em cada cálculo do item anterior, você deveria 
indicar o mínimo múltiplo comum de 2 e outro número par maior que ele. Será 
que, nesse caso, o mmc será sempre o maior dos dois números dados?
c. Será que o mmc de dois números pares será sempre o maior deles? Para res-
ponder, calcule o que se pede e escreva uma conclusão.
mmc(6, 8) = 
 ATIVE A MEMÓRIA!
2 No bairro onde Henrique mora, passa um caminhão de lixo comum a cada 3 dias. 
Além dele, a cada 5 dias, passa um caminhão que recolhe material reciclável. Se 
hoje os dois caminhões passam no bairro dele, daqui a quantos dias, no mínimo, 
os dois vão passar no bairro no mesmo dia?
6
{0, 2, 4, 6, 8, 10...} {0, 6, 12, 18, 24, 30...}
{0, 4, 8, 12, 16, 20...} {0, 8, 16, 24, 32, 40...}
4 8
Sim.
24
Não. Para isso ocorrer, um tem de ser múltiplo do outro.
1. Este exercício pro-
move uma breve re-
flexão. É importante 
que os alunos discu-
tam as questões em 
duplas. Durante a 
correção, promover 
uma rápida discus-
são coletiva acerca 
das conclusões.
Reforçar o fato de 
que, na Matemáti-
ca, é preciso tomar 
cuidado ao querer 
generalizar algo 
apenas com alguns 
poucos exemplos 
numéricos. Os alu-
nos devem perceber 
que, como todo nú-
mero par é múltiplo 
de 2, o mmc de 2 e 
outro número par, 
maior que ele, será 
sempre o número 
par que não seja o 2. 
É um tipo de ques-
tionamento que 
tem a intenção de 
despertar o senso in-
vestigativo e a curio-
sidade da turma.
2. Devemos pensar no 
mmc de 3 e 5. 
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...}
M(5) = {0, 5, 10, 15, ...}
mmc(3, 5) = 15
Os caminhões vão passar no bairro no mesmo dia daqui a 15 dias.
143CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 143CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 143 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
3 Calcule o que se pede em cada item.
a. mmc(4, 6) = 
b. mmc(8, 9) = 
c. mmc(12, 20) = 
d. mmc(4, 6, 9) = 
4 Uma costureira faz diferentes modelos de vestido. Há um modelo preto, que usa 
apenas 2 botões, um modelo branco, que usa 3 botões e, ainda, um modelo azul, 
que usa 4 botões. Os botões são sempre os mesmos, em qualquer modelo. Ela 
quer saber qual é a menor quantidade de botões que deve ter para fazer apenas 
vestidos pretos, brancos ou azuis, sem sobrar botões. Sobre essa situação, faça 
o que se pede.
a. Quantos botões, no mínimo, ela deverá ter?
M(4) = {0, 4, 8, 12...}
M(6) = {0, 6, 12...}
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60...}
M(20) = {0, 20, 40, 60...}
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36...}
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36...}
M(9) = {0, 9, 18, 27, 36...}
M(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72...}
M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72...}
Ela deverá ter, no mínimo, 12 botões.
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...}
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12...}
M(4) = {0, 4, 8, 12...}
mmc(2, 3, 4) = 12
12 60
72 36
MATEMÁTICA144
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 144CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 144 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
b. Usando a quantidade mínima de botões, calcule quantos vestidos ela poderá 
fazer escolhendo cada uma das três cores.
5 Bianca e Jorge são amigos e, às vezes, encontram-se em um parque para treinar 
caminhada em uma pista. Bianca consegue completar cada volta em um tempo 
de 9 minutos, mas Jorge completa a mesma volta em um tempo de 6 minutos. 
Eles começaram a caminhar juntos no início da pista, que fica em frente ao por-
tão de entrada do parque. Após quantos minutos, no mínimo, os dois voltarão a 
se encontrar nesse mesmo ponto?
6 O professor Felipe fez um desafio para seus alunos:
— Tenho comigo um pacote de folhas de papel sulfite. Posso organizar as folhas 
em grupos de apenas 12 folhas ou em grupos de apenas 15 folhas e, nos dois 
casos, não sobrarão folhas. Quantas folhas eu tenho?
Um de seus alunos comentou:
— Mas, com essas informações, podemos ter mais de uma resposta.
— Tem razão. Devo dizer que a quantidade de folhas no pacote é a menor possí-
vel para fazer essas divisões que citei.
E então? Quantas folhas há no pacote?
Há 60 folhas no pacote.
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60...}
M(15) = {0, 15, 30, 45, 60...}
mmc(12, 15) = 60
Ela poderá fazer 6 vestidos pretos, ou 4 vestidos brancos ou, ainda, 3 vestidos azuis.
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36...}
M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45...}
mmc(6, 9) = 18
Vestidos pretos: 12 ÷ 2 = 6
Vestidos brancos: 12 ÷ 3 = 4
Vestidos azuis: 12 ÷ 4 = 3
Eles voltarão a se encontrar após 18 minutos.
145CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 145CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 145 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
7 O funcionário de um supermercado está empilhando caixas e latas, conforme 
a figura. Cada lata tem 9 cm de altura, e cada caixa tem 12 cm de altura. Após 
colocar algumas latas e caixas, verificou que as duas pilhas ficaram na mesma 
altura. De acordo com essa ideia, responda ao que se pede.
a. Qual é a menor altura igual que essas duas pilhas podem ter?
b. Quantas latas estarão empilhadas ao atingir a altura indicada no item anterior?
c. Quantas caixas estarão empilhadas ao atingir a mesma altura da pilha de latas?
A menor altura é 36 cm.
M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45...}
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72...}
mmc(9, 12) = 36
Estarão empilhadas 4 latas.
36 : 9 = 4
Estarão empilhadas 3 caixas.
36 : 12 = 3
MATEMÁTICA146
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 146CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 146 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 ATIVE A MEMÓRIA!
8 Qual é o mínimo múltiplo comum de 3, 4 e 9?
9 Dois guardas fazem ronda em uma grande fábrica no período da noite. Um de-
les passa pela portaria a cada 10 minutos, e o outro passa pela portaria a cada 
12 minutos. Às 20 horas, eles passaram juntos pela portaria. De acordo com es-
sas informações, responda ao que se pede.
a. Após quantos minutos, no mínimo, eles voltarão a passar juntos pela portaria?
b. Qual será o próximo horário em que voltarão a se encontrar após as 20 horas?
10 (Avaliação Nacional) Letícia tem uma floricultura. Ela quer comprar rosas bran-
cas e vermelhas, sendo a mesma quantidade de cada cor. Além disso, as rosas 
vermelhas poderão ser distribuídas, sem sobra, em grupos de 4 flores cada um, 
e as rosas brancas poderão ser distribuídas, também sem sobra, em grupos de 
9 flores cada um. Para isso, a quantidade mínima de flores de cada cor que ela 
deve comprar é
a. 13
b. 14
c. 28
d. 36
e. 72
É 36.
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36...}
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36...}
M(9) = {0, 9, 18, 27, 36...}
Após 60 minutos (ou 1 hora).
M(10) = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70...}
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60...}
mmc(10, 12) = 60
Às 21 horas (20 + 1 = 21).
10. Neste exercício, devemos pensar no mínimo múltiplo comum de 
4 e 9, pois a quantidade de cada tipo de flor deve ser possível dividir 
exatamente por 4 ou 9, sendo a menor quantidade possível. 
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36...}
M(9) = {0, 9, 18, 27, 36...}
mmc(4, 9) = 36
Portanto, cada grupo de rosas deverá ter 36 unidades.
147CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 147CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 147 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
DIVISORES NATURAIS DE UM NÚMERO NATURAL
Rebeca faz sabonetes caseiros de 
vários aromas e cores. Ela é muito 
caprichosa. Ontem ela fez 18 uni-
dades e quer montar pacotes com 
a mesma quantidade cada um para 
vender, sem sobra. Para descobrir de 
quais formas diferentes ela poderia 
agrupar os 18 sabonetes, ela decidiu 
testarvárias divisões possíveis. Veja 
suas divisões.
–
18 1
1 18
08
–
8
0
–
18 2
18 9
0
–
18 3
18 6
0
–
18 4
16 4
4
–
18 5
15 3
3
–
18 6
18 3
0
–
18 7
14 2
4
–
18 8
16 2
2
–
18 9
18 2
0
–
18 10
10 1
8
–
18 11
11 1
7
–
18 12
12 1
6
–
18 13
13 1
5
–
18 14
14 1
4
–
18 15
15 1
3
–
18 16
16 1
2
–
18 17
17 1
1
–
18 18
18 1
0
Observe que apenas 6 divisões são exatas (resto zero). Sobre elas, Rebeca 
pode chegar às seguintes conclusões:
• pode montar 1 caixa com 18 sabonetes;
• pode montar 2 caixas com 9 sabonetes cada uma;
• pode montar 3 caixas com 6 sabonetes cada uma;
• pode montar 6 caixas com 3 sabonetes cada uma;
• pode montar 9 caixas com 2 sabonetes cada uma;
• pode montar 18 caixas com 1 sabonete cada uma.
Atividade 59
Д
И
Н
А
 О
РЛ
О
ВА
/ 
IS
TO
CK
Conversar com os 
alunos sobre o fato 
de que o zero não é 
considerado no cál-
culo do mmc, mas 
que ainda deve ser 
indicado como o 
primeiro múltiplo 
natural de um nú-
mero, ou o primeiro 
múltiplo comum de 
dois ou mais núme-
ros, estimulando-os 
a expressar oral-
mente o que sabem 
sobre o assunto.
MATEMÁTICA148
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 148CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 148 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
Por essa razão, dizemos que 18 é divisível por 1, 2, 3, 6, 9 e 18. Em outras pa-
lavras, dizemos que os divisores de 18 são 1, 2, 3, 6, 9 e 18. Matematicamente, 
indicamos assim:
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Os divisores de um número natural são aqueles que dividem esse número 
com exatidão, sem sobra.
Há formas diferentes de descobrir os divisores de um número. Uma delas é 
fazer como Rebeca e dividir o número por todos os números naturais menores 
ou iguais a ele. Nesse caso, para descobrir os divisores de 20, deveríamos di-
vidir 20 por todos os números naturais de 1 a 20, para verificar quais divisões 
são exatas. Mas pode ser um pouco trabalhoso, não é mesmo?
Existe, porém, um caminho curioso e mais curto. Basta encontrar todos os 
pares de números naturais que multiplicados resultam em 20:
1 × 20 = 20 2 × 10 = 20 4 × 5 = 20
Os fatores 1, 2, 4, 5, 10 e 20 indicados nessas três multiplicações são, justa-
mente, os divisores de 20. Observe que, nesse caso, não precisamos indicar as 
outras multiplicações com a ordem dos fatores trocadas, pois são os mesmos 
fatores.
Temos algumas curiosidades sobre os divisores de um número natural.
1. O número 1 é divisor de qualquer número natural. Afinal, qualquer 
número dividido por 1 resulta no próprio número. 
 Exemplos
a. 9 ÷ 1 = 9. Logo, 1 é divisor de 9.
b. 30 ÷ 1 = 30. Logo, 1 é divisor de 30.
2. Qualquer número é divisor dele mesmo, exceto o zero. Afinal, qual-
quer número dividido por si mesmo resulta em 1. 
 Exemplos
a. 7 ÷ 7 = 1. Logo, 7 é divisor de 7.
b. 13 ÷ 13 = 1. Logo, 13 é divisor de 13.
3. Zero não é divisor de qualquer número. Afinal, não existe divisão por zero.
4. Os divisores de um número natural formam uma sequência que 
tem fim, ou seja, é finita. 
Antes de apresen-
tar as curiosidades 
sobre os divisores 
de um número, 
questionar os alu-
nos sobre as 4 in-
formações citadas, 
antes de formalizar 
a explicação.
Este é o momento 
oportuno para apli-
car o exercício 1 da 
seção “Para conferir”.
149CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 149CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 149 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
MUNDO DO TRABALHO
Médicos e medicamentos
Em receitas médicas, muitos medicamen-
tos são receitados para intervalos de 2, 
4, 6, 8, 12 ou 24 horas. É comum mé-
dicos receitarem remédios para 
serem tomados, por exemplo, de 
6h em 6h, ou de 8h em 8h.
Porém, não é comum receitar 
remédios para serem tomados 
de 5h em 5h ou de 7h em 7h. Os 
médicos seguem o que está indi-
cado na bula e que foi desenvolvido 
por farmacêuticos na indústria. Isso pode ser 
explicado pelos divisores, afinal, um dia tem 24 horas. 
Pensando nos divisores de 24, temos:
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Então, como 8 é um divisor de 24, tomando um remédio de 8h em 8h, por 
exemplo, ele será administrado sempre nos mesmos horários. Começando à 
zero hora, veja com fica:
1o dia 0h – 8h – 16h 
2o dia 0h – 8h – 16h
3o dia 0h – 8h – 16h
Mas, se fosse receitado para tomar de 7h em 7h, veja como ficaria:
1o dia 0h – 7h – 14h – 21h 
2o dia 4h – 11h – 18h
3o dia 1h – 8h – 15h – 22h 
Em cada dia, ele seria administrado em horários diferentes. Uma bagunça, não 
é mesmo? Por isso, os divisores podem nos ajudar a organizar nossa rotina 
de horários.
SI
M
PL
EH
A
PP
YA
R
T/
 IS
TO
CK
MATEMÁTICA150
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 150CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 150 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
 ENTRE CONVERSAS...
1 Junte-se a um colega, complete as multiplicações em cada quadro com os pa-
res de números corretos e descubra quais são os divisores do número indicado, 
completando também o conjunto desses divisores. Siga a dica do texto teórico 
e não anote os mesmos fatores. Como exemplo, se anotar 3 × 4, não escreva 
4 × 3, pois são os mesmos números. Além disso, anote os primeiros fatores em 
ordem crescente, para organizar o pensamento.
a. 12
 × = 12
 × = 12
 × = 12
D(12) = 
b. 30
 × = 30
 × = 30
 × = 30
 × = 30
c. 25
 × = 25
 × = 25
d. 36
 × = 36
 × = 36
 × = 36
 × = 36
 × = 36
D(36) = 
 ATIVE A MEMÓRIA!
2 Pensando no número 84, e sem fazer cálculos, anote qual o seu menor e seu 
maior divisor.
D(25) = 
D(30) = 
O menor divisor é 1 e o maior é 84 (o próprio número).
1
1 1
1
2
2 2
5
3
3 3
5 4
6
12
30 36
25
6
15 18
5
4
10 12
6 9
6
{1, 2, 3, 4, 6, 12}
{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
{1, 5, 25}
1. Este exercício 
deve ser resolvido 
em duplas. Contudo, 
se julgar mais apro-
priado, propor um 
trabalho individual 
neste momento. 
A ordem de escrita 
dos fatores pode 
mudar de linha para 
linha. No entanto, 
pedir aos alunos que 
sigam o comando 
de anotar os pri-
meiros fatores em 
ordem crescente. 
Dessa forma, dimi-
nui a possibilidade 
de se repetir ou de 
se esquecer de al-
gum fator.
151CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 151CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 151 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
 MOMENTO DE DESCOBERTAS!
3 Leia o seguinte diálogo entre os amigos Paulo e Marcela e, depois, responda ao 
que se pede.
Um número será chamado perfeito se for 
igual à soma de todos os seus divisores 
próprios. Divisor próprio de um número é um 
divisor diferente do número. (O número 2 é 
um divisor próprio de 8.)
Ah, eu entendi! O número 6, 
por exemplo, é um número 
perfeito, pois seus divisores 
próprios são os números 1, 2 e 
3, e podemos verificar que 
6 = 1 + 2 + 3.
Qual dos números a seguir pode ser considerado um número perfeito?
30 28 12 25
12:
1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 e 16 ≠ 12 (12 não é perfeito.)
25:
1 + 5 = 6 e 6 ≠ 25 (25 não é perfeito.)
28:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 e 28 = 28 (28 é perfeito.)
30:
1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 = 42 e 42 ≠ 30 (30 não é perfeito.)
Apenas o 28.
3. A ideia sobre 
número perfeito, 
mostrada neste 
exercício, é apenas 
uma curiosidade. 
É uma oportunida-
de para os alunos 
treinarem o cálculo 
dos divisores de um 
número de maneira 
mais lúdica. Antes 
de eles resolverem 
o exercício, certifi-
car-se de que todos 
compreenderam o 
conceito sobre nú-
mero perfeito.
Ressaltar que to-
dos os divisores 
naturais de um nú-
mero, com exceção 
do próprio número, 
são divisores pró-
prios desse número.
MATEMÁTICA152
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 152CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 152 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
 ATIVE A MEMÓRIA!
4 A professora Letícia tem uma turma com 32 alunos. Ela sabe que pode formar gru-
pos iguais, sem sobra, mas que há casos em que não consegue. Para formar trios 
(grupos de 3 alunos), por exemplo, haverá sobra de aluno, pois 3 não é divisor 
de 32. Pensando nisso, faça o que se pede.
a. Anote sugestõesde grupos que ela pode formar sem sobrar alunos.
b. Verifique se os colegas fornecerão mais sugestões, além das que você anotou, 
e complete a resposta anterior se for necessário.
c. Qual é a relação dos números escritos no item a com os divisores de 32?
d. Anote a quantidade de alunos de sua turma. Depois, faça como a professora 
Letícia e anote todas as possibilidades de grupos iguais que podem ser forma-
dos em sua turma, sem sobra, incluindo grupos de 1 aluno e um único grupo 
com todos.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 ENTRE CONVERSAS...
5 Identifique todos os pares de números que multiplicados resultem em 40. De-
pois, escreva o conjunto com todos os divisores naturais de 40.
6 (Avaliação Nacional) Alguns números podem ser divididos em grupos iguais, 
sem sobra. Como exemplo, 10 pode ser dividido por 1, 2, 5 ou 10. Esses quatro 
números são também os divisores naturais de 10. Beatriz queria descobrir, como 
curiosidade, quais são os divisores de 36 que sejam, também, números pares. Se 
ela pensar corretamente, deverá concluir que a quantidade de divisores natu-
rais pares de 36 é
a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9
D(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}
6. Neste exercício, 
podemos identi-
ficar os divisores 
naturais de 36 ob-
servando todos os 
pares de números 
naturais que, multi-
plicados, resultam 
em 36:
1 × 36 = 36
2 × 18 = 36
3 × 12 = 36
4 × 9 = 36
6 × 6 = 36
D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 
9, 12, 18, 36}
Desses divisores, 
são pares: 2, 4, 6, 12, 
18 e 36. Logo, são 6 
divisores naturais 
pares de 36.
5. 1 × 40 = 40
2 × 20 = 40
4 × 10 = 40
5 × 8 = 40
Resposta pessoal. Contudo, são esperadas as seguintes possibilidades: “grupo” de 1 aluno, grupos de 2, 4, 8, 16 alunos ou um 
único grupo com 32 alunos.
4. Neste exercí-
cio, destacar uma 
possível aplicação 
prática do conceito 
de divisores em 
sala de aula. De-
pendendo da quan-
tidade de alunos da 
turma, a reflexão 
pedida no i tem 
d pode servir de 
base para o estu-
do sobre números 
primos, ainda nes-
te capítulo. Neste 
momento, contu-
do, não faremos 
essa formalização.
Eles são divisores de 32.
Resposta com base na quantidade de alunos da turma.
153CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 153CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 153 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
DIVISORES COMUNS DE DOIS OU MAIS 
NÚMEROS NATURAIS
Em muitas situações de nosso cotidiano, precisamos dividir ou pensar 
nos divisores de um número, não é mesmo? Em sua turma, por exemplo, 
se o professor quiser formar grupos, sem sobra, deverá pensar nos divi-
sores da quantidade de alunos da turma. 
O professor Felipe, por exemplo, tem duas tur-
mas de 5o ano. Na turma do 5o ano A, ele tem 32 
alunos e, na turma do 5o ano B, 28 alunos. Ele quer 
fazer um trabalho com os alunos das duas tur-
mas, que serão divididos em grupos iguais, sem 
sobra. Os grupos devem ter a mesma quantidade 
de alunos nas duas turmas. Assim, se ele formar 
grupos de 4 alunos no 5o ano A, os alunos do 5o 
ano B também deverão ser divididos em grupos 
de 4 alunos.
Então, se o objetivo é dividir as duas turmas em 
grupos iguais, sem sobra, o professor Felipe deverá 
pensar nos divisores naturais de 32 e 28:
D(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}
D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
Como os grupos devem ser iguais, com mesma 
quantidade de alunos, devemos então pensar nos 
divisores comuns de 28 e 32, que destacamos a 
seguir.
DC(28, 32) = {1, 2, 4}
Atividade 60
5o ano A: 
32 alunos
5o ano B: 
28 alunos
Os grupos devem ser iguais 
nas duas turmas, sem sobra.
Então, poderei formar gru-
pos de 1 aluno, de 2 alunos 
ou de 4 alunos nas duas 
turmas, sem sobra.
A situação descrita 
no texto teórico 
pode ser proposta 
para o grupo pen-
sar no início da 
aula. Com base nos 
comentários dos 
alunos, desenvol-
ver a ideia de divi-
sores comuns.
MATEMÁTICA154
CO EF5 INFI 23 2B LV04 G04 MAT_C08.indd 154CO EF5 INFI 23 2B LV04 G04 MAT_C08.indd 154 06/12/22 16:0406/12/22 16:04
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Assim como, no estudo dos múltiplos, há os múltiplos comuns, também te-
mos, no estudo dos divisores, os divisores comuns. A princípio, estudaremos 
esse assunto relacionando os divisores de cada número dado e, depois, pro-
curando aqueles que sejam comuns. Veja mais um exemplo sobre os divisores 
comuns de 12, 18 e 30:
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
DC(12, 18, 30) = {1, 2, 3, 6}
 ENTRE CONVERSAS...
1 Junte-se a um colega, faça os cálculos necessários em seu caderno e escreva os 
conjuntos de divisores e divisores comuns pedidos em cada item.
a. D(8) = 
D(9) = 
DC(8, 9) = 
b. D(18) = 
D(20) = 
DC(18, 20) = 
c. D(16) = 
D(28) = 
DC(16, 28) = 
d. D(12) = 
D(24) = 
D(30) = 
DC(12, 24, 30) = 
1. É aconselhável 
que este exercício 
seja resolvido em 
duplas, para que 
os alunos possam 
reforçar a ideia 
discutida na teoria 
sobre o conceito de 
divisores comuns. 
Na sequência, a ideia 
pode ser aplicada 
em outras situações-
-problema, além do 
exemplo indicado 
no texto teórico. 
{1, 2, 4, 8}
{1, 3, 9}
{1}
{1, 2, 3, 6, 9, 18}
{1, 2, 4, 5, 10, 20}
{1, 2}
{1, 2, 4, 8, 16}
{1, 2, 4, 7, 14, 28}
{1, 2, 4}
{1, 2, 3, 4, 6, 12}
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
{1, 2, 3, 6}
155CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 155CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 155 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2 Junte-se a um colega e leiam com atenção cada pergunta, indicando a conclusão 
a que chegaram. Depois, com o auxílio do professor, verifiquem se as conclusões 
estão corretas.
a. Qual é o único divisor comum de todos os números naturais?
b. Quais são os únicos divisores comuns de todos os números pares?
 ATIVE A MEMÓRIA!
3 Em uma floricultura, há 24 rosas brancas e 18 rosas vermelhas. Fátima trabalha 
na floricultura e quer montar enfeites com uma mesma cor de rosa cada um, 
sempre com a mesma quantidade, e sem sobra. Pensando nessa ideia, responda 
ao que se pede.
a. Em grupos de quantas rosas brancas Fátima poderá distribui-las?
b. Em grupos de quantas rosas vermelhas Fátima poderá distribuí-las?
c. Pensando na ideia de que os grupos devem ser todos da mesma quantidade, 
sem misturar cores e sem sobra, em grupos de quantas rosas Fátima poderá 
pensar em distribuir todas elas?
 
Em grupos de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ou 24 rosas.
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Em grupos de 1, 2, 3, 6, 9 ou 18 rosas.
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
2. Este exercício 
deve ser discutido 
em duplas, mas, na 
correção, promover 
uma discussão co-
letiva. Nessa faixa 
etária, pode ser 
um tanto abstrato 
generalizar ideias, 
mas os alunos de-
vem perceber os 
seguintes fatos:
• Se o número 1 é 
o menor divisor 
de todo número 
n a tu ra l , co n s e -
quentemente, será 
divisor comum de 
todos os números 
naturais. Como a 
pergunta indica 
que há um único 
divisor comum de 
todos os números 
naturais, deduz-se 
que seja o 1. É uma 
situação diferente 
de perguntar se o 1 
seria o único divisor 
comum. Reforçar 
esse fato.
• Todo número par 
é múltiplo de 2 (si-
tuação já observa-
da nas atividades 
sobre múltiplos). 
Logo, será divisor 
comum de todo nú-
mero par, além do 1.
É o 1.
São o 1 e o 2.
Nos divisores comuns de 18 e 24: grupos de 1, 2, 3 ou 6 rosas.
MATEMÁTICA156
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 156CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 156 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 ATIVE A MEMÓRIA!
4 Considerando os números 15 e 40, responda ao que se pede.
a. Quais são os divisores naturais de 15?
b. Quais são os divisores naturais de 40?
c. Exatamente dois divisores de 15 não são divisores de 40. Quais são esses números?
d. Exatamente seis divisores de 40 não são divisores de 15. Quais são esses números?
e. Há apenas dois divisores comuns entre 15 e 40. Quais são esses números?
5 Um total de 32 brigadeiros e 24 paçoquinhas serão organizados em pacotes 
com a mesma quantidade de doces cada um, semmisturar tipos de doce e sem 
sobras. Quantas unidades de cada doce poderão ser colocadas em cada pacote? 
Anote todas as possibilidades.
Poderão ser colocadas 1, 2, 4 ou 8 unidades de cada doce em cada pacote.
D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
DC(32, 24) = {1, 2, 4, 8}
São os números 1, 3, 5 e 15.
São os números 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 e 40.
São os números 3 e 15.
São os números 2, 4, 8, 10, 20 e 40.
São os números 1 e 5.
157CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 157CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 157 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃOMÁXIMO DIVISOR COMUM (mdc)
Na situação mostrada no texto teórico da atividade 60, o professor Felipe en-
controu grupos de mesma quantidade de alunos que ele pode formar com 
suas duas turmas de 5o ano.
DC(28, 32) = {1, 2, 4}
DC(28, 32) = {1, 2, 4}
Eu descobri que posso formar 
grupos de 1, 2 ou 4 alunos.
Então, se eu quiser a maior 
quantidade de alunos por grupo, 
serão 4 alunos em cada grupo.
Atividades 61 e 62
Felipe está indicando o máximo divisor comum dos números 28 e 32, que 
é a quantidade de alunos das duas turmas. Matematicamente, podemos indi-
car assim:
mdc(28, 32) = 4
(Lemos: o máximo divisor comum de 28 e 32 é 4.)
Considerando dois ou mais números naturais diferentes de zero, chamamos 
de máximo divisor comum (mdc) desses números o maior de todos os seus 
divisores comuns.
Para identificar o máximo divisor comum, anotamos os divisores co-
muns desses números e localizamos o maior deles. Há, ainda, outras for-
mas de calcular, as quais você poderá usar com base em outras ferramentas 
de cálculo, que ainda serão apresentadas.
A situação descri-
ta no texto teórico 
pode ser proposta 
para que o grupo 
reflita no início da 
aula. Com base nos 
comentários dos 
alunos, desenvol-
ver a ideia de divi-
sores comuns.
MATEMÁTICA158
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 158CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 158 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
 ENTRE CONVERSAS...
1 Junte-se a um colega, determine o máximo divisor comum dos números indi-
cados em cada item. Antes, complete corretamente cada conjunto de divisores 
pedido. Use o quadro em branco em cada item para os cálculos necessários.
a. D(12) = 
D(16) = 
DC(12, 16) = 
mdc(12, 16) = 
b. D(20) = 
D(30) = 
DC(20, 30) = 
mdc(20, 30) = 
1. Neste exercício, a 
determinação dos 
divisores naturais 
de um número pode 
ser feita por meio 
das divisões ou pro-
curando os pares de 
números que, mul-
tiplicados, resultam 
no número dado (do 
qual se quer obter 
os divisores).
Ressaltar a impor-
tância de os alu-
nos dominarem 
as tabuadas.
{1, 2, 3, 4, 6, 12}
{1, 2, 4, 8, 16}
{1, 2, 4}
4
{1, 2, 4, 5, 10, 20}
{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
{1, 2, 5, 10}
10
159CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 159CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 159 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
c. D(14) = 
D(21) = 
DC(14, 21) = 
mdc(14, 21) = 
d. D(12) = 
D(24) = 
D(36) = 
DC(12, 24, 36) = 
mdc(12, 24, 36) = 
{1, 2, 7, 14}
{1, 3, 7, 21}
{1, 7}
7
{1, 2, 3, 4, 6, 12}
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
{1, 2, 3, 4, 6, 12}
12
MATEMÁTICA160
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 160CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 160 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
2 Em atividades anteriores, apresentamos a ideia do mínimo múltiplo comum 
(mmc) e, nesta atividade, discutimos a ideia do máximo divisor comum (mdc). 
As ideias de mínimo e máximo podem ser confundidas caso não se compreenda 
bem o conceito de cada uma delas. Com os colegas e com o auxílio do professor, 
responda às perguntas que seguem. 
a. Por que não existe um “máximo múltiplo comum” de dois ou mais números?
b. Por que é possível encontrar um máximo divisor comum de dois ou mais números?
c. Qual seria o “mínimo divisor comum” de dois ou mais números?
d. É possível que o máximo divisor comum de dois números seja 1? Se a resposta 
for afirmativa, dê um exemplo.
 
2. Neste exercício, 
propor aos alunos 
uma reflexão sobre 
o fato de não se 
calcular o “máximo 
múltiplo comum” 
ou o “mínimo divi-
sor comum”. Essa 
confusão não é 
rara entre e les . 
Entretanto, a par-
t ir do momento 
em que eles com-
preenderem o real 
significado de cada 
uma dessas siglas, 
poderão minimizar 
esse tipo de confu-
são. É um exercício 
para ser comenta-
do coletivamente.
Sugestão de resposta: Os múltiplos de um número natural formam uma sequência infinita. Logo, não há o maior múltiplo de um 
número. Consequentemente, não é possível encontrar um “máximo múltiplo comum” de dois ou mais números.
Sugestão de resposta: Os divisores de um número formam uma sequência finita. Logo, há sempre um maior divisor de um número 
incluindo o próprio número). Portanto, é possível encontrar um máximo divisor comum de dois ou mais números.
Seria sempre o 1.
Sim. Exemplo: mdc(2, 3) = 1.
161CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 161CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 161 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
3 Veja o raciocínio usado por Beatriz para calcular o máximo divisor comum de 
16 e 24.
Após observar com atenção o raciocínio de Beatriz, discuta com um colega de 
turma os questionamentos a seguir, registrando o que pensam a respeito do 
assunto. Ao terminarem, façam uma discussão coletiva com toda a turma e o 
professor, confirmando o raciocínio.
a. Na opinião de vocês, o raciocínio de Beatriz faz sentido?
b. Se, em vez de registrar apenas os divisores de 16, ela registrasse apenas os di-
visores de 24, seria possível descobrir que 8 é o máximo divisor comum de 16 e 
24, seguindo a mesma linha de raciocínio?
mdc(16, 24) = ?
mdc(16, 24) = ?
D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
Preciso determinar o máxi-
mo divisor comum de 16 e 
de 24.
Já sei! Vou anotar 
apenas os divi-
sores de um dos 
números, como 
o 16.
mdc(16, 24) = ?
mdc(16, 24) = ?D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
mdc(16, 24) = 8
Portanto...
Agora, começando pelo 
maior divisor, em ordem 
decrescente, verifico qual 
é, também, divisor de 24.
Logo, vejo que é o 8.
3. Este exercício 
apresenta um mé-
todo alternativo 
de cálculo do mdc, 
mais simplificado, 
pelo fato de os di-
visores de apenas 
um dos números 
se relacionarem. 
Ao fazer a corre-
ção, ressaltar que, 
caso se conheçam 
os divisores de um 
dos números, basta 
destacar aqueles 
que também sejam 
divisores do outro 
número (divisores 
c o m u n s ) , r e c o -
nhecendo qual é o 
maior. Reforçar que, 
qualquer que seja o 
método emprega-
do, é necessário ter 
muita atenção.
Resposta pessoal.
Sim.
MATEMÁTICA162
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 162CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 162 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
c. Essa forma de cálculo parece ser mais simples que a tradicional, pois não é 
necessário indicar os divisores dos dois números. Qual pode ser um problema 
nessa forma de cálculo?
 ATIVE A MEMÓRIA!
4 Um artesão tem dois pedaços de barbante. Um deles é vermelho, com compri-
mento de 80 cm. O outro é amarelo, com comprimento de 32 cm. Ele quer cortar 
os dois pedaços de barbante em pedaços menores, todos iguais no comprimen-
to, e sem sobra. Além disso, ele quer o maior tamanho possível de barbante, 
medido em centímetros. Sabendo disso, responda ao que se pede.
a. Qual deverá ser o comprimento de cada pedaço de barbante?
b. Quantos pedaços de barbante de cada cor ele terá?
Ele terá 5 pedaços de barbante vermelho e 2 pedaços de barbante amarelo.
Vermelho: 80 ÷ 16 = 5
Amarelo: 32 ÷ 16 = 2 
Cada pedaço de barbante deverá ter 16 cm.
D(80) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80}
D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
mdc(80, 32) = 16
Resposta pessoal. Sugestão de resposta: O problema pode ser semelhante ao cálculo completo, ou seja, esquecer de indicar 
algum divisor, ou indicá-lo, mas não concluir que seja divisor do outro número também.
163CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb163CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 163 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 ENTRE CONVERSAS... 
5 Calcule o máximo divisor comum que se pede em cada item. De-
pois, com os colegas e o professor, responda ao que se pede.
mdc(4, 8) mdc(6, 12)
mdc(5, 10) mdc(4, 12)
a. Em cada cálculo anterior, é correto afirmar que o número menor 
é divisor do número maior?
b. Em cada cálculo anterior, é correto afirmar que o máximo divisor 
comum dos dois números é o menor deles?
c. O que podemos deduzir usando as duas ideias anteriores?
 
VOCABULÁRIO
Deduzir: concluir algo 
pelo raciocínio.
D(5) = {1, 5}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
mdc(5, 10) = 5
D(4) = {1, 2, 4}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
mdc(4, 12) = 4
D(4) = {1, 2, 4}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
mdc(4, 8) = 4
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
mdc(6, 12) = 6
5. Este exercício 
leva os alunos a 
pensar em casos es-
pecíficos de cálculo 
do mdc. Permitir 
que todos discutam 
coletivamente as 
situações indicadas 
para que cheguem 
a uma conclusão 
lógica sobre o que 
se pede.
Entre dois números, quando o menor deles é divisor do maior, o máximo divisor comum será o menor 
dos dois números. 
Sim.
Sim.
MATEMÁTICA164
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 164CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 164 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 ATIVE A MEMÓRIA!
6 Calcule o que se pede em cada item.
a. mdc(18, 24) b. mdc(15, 30)
7 Ao perguntarem a idade de seu filho, a professora Verônica respondeu:
— A idade dele, em anos, é o máximo divisor comum de 18 e 27.
Qual é, então, a idade do filho da professora Verônica?
8 (Avaliação Nacional) Um cozinheiro tem dois sacos com farinha de trigo, sendo 
um com 24 kg e o outro com 28 kg. Ele quer dividir a quantidade de cada saco 
em porções menores, sendo todas iguais entre si, e sem sobra, tendo a maior 
quantidade possível de farinha, em quilogramas, em cada porção. Se fizer dessa 
forma, o total de porções que ele poderá formar será
a. 4
b. 6
c. 7
d. 13
e. 26
O filho da professora Verônica tem 9 anos de idade.
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(27) = {1, 3, 9, 27}
mdc(18, 27) = 9
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
mdc(18, 24) = 6
D(15) = {1, 3, 5, 15}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
mdc(15, 30) = 15
6. No item b deste 
exercício, na corre-
ção, verificar se os 
alunos percebem o 
fato de que 15, sen-
do divisor de 30, 
indica o máximo di-
visor comum deles.
8. Se as duas quantidades devem ser divididas em porções menores, sem sobra, em quilogramas, devemos pensar nos divisores de 24 e 28:
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
D(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}
Como as porções devem ser iguais, tendo a maior quantidade cada uma, temos:
MDC(24, 28) = 4
Então, cada porção deverá ter 4 kg. Calculando o total de porções, vem:
Saco com 24 kg: 24 ÷ 4 = 6
Saco com 28 kg: 28 ÷ 4 = 7
Total de porções = 6 + 7 = 13
São, portanto, 13 porções.
165CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 165CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 165 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE POR 2, 3 E 5
Muitas vezes, quando analisamos com calma os números, podemos encontrar 
alguns padrões que nos ajudam em cálculos. Veja a descoberta que Gabriela fez.
Atividade 63
Gabriela, o número 
28 é divisível por 2?
E o número 279 576, é 
divisível por 2?
Já sei! É sim! 
Afinal, 279 576 
é par, e todo 
número par é 
divisível por 2.
Nossa... é um 
número grande! 
Não consigo 
pensar apenas 
na tabuada...
Claro! Afinal, 28 está 
na tabuada do 2, isto 
é, é múltiplo de 2.
E como você 
sabe que esse 
número é par?
Porque termina 
em 6, que é um 
algarismo par.
Pedir aos alunos 
que leiam a história 
em quadrinhos, indi-
cando o que enten-
deram ao final. De 
acordo com a neces-
sidade, repassar a 
história, destacando 
os pontos importan-
tes do diálogo entre 
aluna e professora. 
Outra sugestão de 
abordagem inicial é 
propor os mesmos 
questionamentos da 
professora, mas para 
a turma, verificando 
se chegam à mesma 
conclusão que a per-
sonagem Gabriela. 
Na sequência, co-
mentar sobre os 
critérios de divisi-
bilidade por 3 e 5. 
Neste momento do 
estudo, ainda não 
faremos a demons-
tração do critério de 
divisibilidade por 3. 
Comentar que, à 
medida que evo-
luírem no estudo 
da Matemát ica , 
poderão provar 
que esse critério é 
válido para qual-
quer número natu-
ral divisível por 3. 
Sobre o critério de 
divisibilidade por 5, 
os alunos já pos-
suem condições de 
observar o padrão 
formado (terminar 
em zero ou cinco).
MATEMÁTICA166
CO EF5 INFI 23 2B LV04 G04 MAT_C08.indd 166CO EF5 INFI 23 2B LV04 G04 MAT_C08.indd 166 06/12/22 16:0506/12/22 16:05
Se um número é divisível por 2, significa que o 2 é divisor desse número. 
Nesse caso, o raciocínio usado por Gabriela está correto e é conhecido como 
critério de divisibilidade por 2. O critério de divisibilidade por um número 
é uma espécie de regra que permite verificar se um número é divisível por 
outro de maneira relativamente simples, sem a necessidade de se efetuar 
uma divisão para verificar se o resto é zero, isto é, se a divisão é exata. Assim, 
destacamos:
• Critério de divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2, caso seja par. Um número é par quando o 
algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemplos
a. 798 é divisível por 2, pois é par (termina em 8).
b. 6 427 não é divisível por 2, pois não é par (termina em 7).
Continuando a conversa com a professora, Gabriela descobriu ainda outros 
dois critérios de divisibilidade: por 3 e por 5. Veja o que ela descobriu:
• Critério de divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3, caso a soma dos seus algarismos seja um 
número divisível por 3.
Exemplos
a. 147 é divisível por 3, pois 1 + 4 + 7 = 12, e 12 é divisível por 3.
b. 503 não é divisível por 3, pois 5 + 0 + 3 = 8, e 8 não é divisível por 3.
• Critério de divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5, caso o algarismo das unidades seja 
0 ou 5.
Exemplos
a. 7 895 é divisível por 5, pois termina em 5.
b. 7 502 não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5.
Destacar o uso de 
expressões como 
“é divisível por” e “é 
divisor de”. Além do 
exemplo do texto 
teórico, comentar 
outros exemplos 
que reforcem o mo-
mento correto de 
usar cada expressão.
167CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 167CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 167 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
 ATIVE A MEMÓRIA!
1 Um número natural é par ou ímpar. Para saber se um número é divisível por 2, 
basta observar se o número é par. Se for, é divisível por 2; se for ímpar, não é 
divisível por 2. Mas, como saber se um número é ímpar?
2 Roberto tem pedaços de papel com números escritos. Contorne apenas os nú-
meros que são pares.
274 645 129 650 98
2 589 31 562 405 116 123 321
3 Usando uma calculadora e o critério de divisibilidade por 3, verifique, em cada 
item, se o número dado é divisível por 3. Utilize a calculadora para obter a soma 
dos algarismos. Para os números que forem divisíveis por 3, efetue a divisão do 
número dado por 3, observando se a divisão é, de fato, exata.
a. 75
b. 678
O número 75 é divisível por 3.
O número 678 é divisível por 3.
6 + 7 + 8 = 21, e 21 é divisível por 3.
7 + 5 = 12, e 12 é divisível por 3.
1. Aproveitar este 
exercício para re-
tomar as ideias 
de números pares 
e ímpares.
3. Neste exercício, 
orientar os alunos a 
usar a calculadora, 
destacando que ela 
é, neste momento, 
uma ferramenta de 
cálculo que possi-
bilita que tenham 
maior atenção ao 
critério estudado.
Pedir, contudo, que 
façam o registro 
das adições, usan-
do a calculadora 
para chegar à soma 
e, depois, nos casos 
em que houver a 
divisibilidade por 3, 
efetuar a divisão 
com o auxílio da 
calculadora para 
verificar se a divi-
são é exata (resul-
tado inteiro). Como 
exemplo, mostrar 
o que ocorre nos 
casos em que não 
houver a divisibi-
lidade (resultadodecimal, sem ne-
cessidade de apro-
fundar esse estudo, 
neste momento).
Um número é ímpar se o algarismo das unidades for 1, 3, 5, 7 ou 9.
MATEMÁTICA168
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 168CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 168 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
c. 5 179
d. 34 051
e. 63 364 518
4 Complete a sentença com os números corretos.
Todos os múltiplos de 5 terminam em ou em . Portanto, todo 
número divisível por 5 termina em ou em .
5 Assinale um X nos números que são divisíveis por 5.
 675
 552
 3 175
 2 522
 73 551
 891 230
O número 63 364 518 é divisível por 3.
O número 34 051 não é divisível por 3.
O número 5 179 não é divisível por 3.
6 + 3 + 3 + 6 + 4 + 5 + 1 + 8 = 36, e 36 é divisível por 3.
3 + 4 + 0 + 5 + 1 = 13, e 13 não é divisível por 3.
5 + 1 + 7 + 9 = 22, e 22 não é divisível por 3.
4. A ordem de es-
crita dos núme-
ros 0 e 5 em cada 
trecho de lacunas 
pode ser invertida.0 5
0 5
X
X X
169CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 169CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 169 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 ENTRE CONVERSAS...
6 Com um colega, leia atentamente cada item, discuta qual deve ser a solução e 
registre-a.
a. Qual é o menor número natural que devemos adicionar a 723 para ficar divisí-
vel por 2?
b. Qual é o menor número natural que devemos adicionar a 652 para ficar divisí-
vel por 2 e 3 ao mesmo tempo?
c. Qual é o menor número natural que devemos adicionar a 124 para ficar divisí-
vel por 2 e 5 ao mesmo tempo?
Adicionar 6.
Adicionar 1.
Adicionar 2.
O número procurado deve ser par. Logo, para que 723 se torne par, basta adicionar 1:
723 + 1 = 724, que é divisível por 2.
O número 652 já é divisível por 2 (é par). Verificando se é divisível por 3, temos: 
6 + 5 + 2 = 13. Mas 13 não é divisível por 3. O próximo número divisível por 3, após 13, é o 15. Logo, basta adicionar 2:
652 + 2 = 654, que será divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Para ser divisível por 5, precisa terminar em 5 ou 0. Porém, deve ser divisível por 2 também; logo, só pode terminar em 0. 
Assim, temos que 130 é o próximo número que termina em 0 após 124. Dessa forma, deve-se adicionar 6, pois 124 + 6 = 130.
MATEMÁTICA170
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 170CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 170 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 ATIVE A MEMÓRIA!
7 Pedro estava vendo as placas de algarismos que formam o número da casa de seu tio.
Ele percebeu que, se trocasse de posição apenas dois desses algarismos, teria 
um número divisível por 2, 3 e 5 ao mesmo tempo. Verifique quais são esses dois 
algarismos e escreva como ficaria esse número.
8 O número seguinte, marcado em um quadro, tem o algarismo da ordem das uni-
dades simples borrado.
83 
Quais algarismos podem ser escritos no lugar do algarismo borrado para que 
aconteça o que se pede em cada item? Anote-os.
a. O número ser divisível por 2.
b. O número ser divisível por 3.
c. O número ser divisível por 5.
Os algarismos 0 e 2 devem ser trocados de posição, formando o número 1 260.
Podem ser os algarismos 0, 2, 4, 6 ou 8.
Podem ser os algarismos 1, 4 ou 7.
Podem ser os algarismos 0 ou 5.
7. Neste exercício, 
os alunos devem 
ser capazes de ob-
servar o seguinte: 
a. Para que o nú-
mero seja divisível 
por 2, deve ser par. 
Logo, o algarismo 
0, o 6 ou o 2 deve 
f i c a r n a o rd e m 
das unidades.
b. Para que seja 
divisível por 3, a 
soma dos algaris-
mos deve ser um 
número divisível 
por 3. Temos que 
1 + 0 + 6 + 2 = 9, que 
é um número divi-
sível por 3. Impor-
tante observar que, 
qualquer que seja a 
ordem dos algaris-
mos, a soma deles 
não muda (aprovei-
tar para retomar a 
propriedade comu-
tativa da adição).
c. Para que seja di-
visível por 5, deve 
terminar em 0 ou 5. 
De acordo com as 
observações cita-
das anteriormente, 
o número deverá 
terminar em zero. 
Logo, basta colocar 
o algarismo 0 na or-
dem das unidades 
e o algarismo 2, que 
estava na ordem das 
unidades, no lugar 
de 0, que estava na 
ordem das centenas.
8. Neste exercício, 
o item b pode não 
ser tão direto como 
os outros dois itens. 
Deve-se verificar 
quais algarismos, 
adicionados a 11 
(8 + 3), resultam 
em um número 
divisível por 3. De 
forma simplificada, 
quando se chegar 
ao primeiro número 
(1), basta seguir adi-
cionando de 3 em 3. 
Contudo, essa for-
ma de pensamento 
pode ser mais abs-
trata, devendo ser 
tratada com calma 
na correção.
171CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 171CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 171 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE POR 6, 9 E 10
Gabriela é muito curiosa. Depois que ela percebeu o padrão em múltiplos de 2, 
fez a seguinte observação:
Atividade 64
Gabriela percebeu um padrão no estudo dos múltiplos comuns que a 
ajudou na identificação do critério de divisibilidade por 6. A professora, 
aproveitando a oportunidade, explicou-lhe outros dois critérios, que são 
apresentados a seguir.
Eu percebi que os 
múltiplos comuns 
de 2 e 3 são exata-
mente os múltiplos 
de 6!
Então, pensei: 
será que todo 
número divisível 
por 6 deve ser 
divisível por 2 e 
por 3 ao mesmo 
tempo?
Com certeza! 
Você está certa!
Eu estava revisando o 
estudo sobre múltiplos 
comuns.
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …}M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, …}MC(2, 3) = {0, 6, 12, 18, …}
Orientar os alunos a ler a história em quadrinhos do texto teórico individualmente, discutindo a ideia após finalizarem a leitura. Comentar 
que há, ainda, critérios de divisibilidade por outros números, como por 4, 8, 12, 15, mas que poderão ser estudados futuramente, no ano 
seguinte. Caso demonstrem curiosidade, propor uma pesquisa em livros ou internet, observando como se dá a interpretação por parte deles.
MATEMÁTICA172
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 172CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 172 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
• Critério de divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6, caso seja divisível por 2 e também por 3.
Exemplos
a. 18 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3.
b. 22 não é divisível por 6, pois, apesar de ser par (divisível por 2), não é 
divisível por 3.
• Critério de divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9, caso a soma de seus algarismos seja um 
número divisível por 9.
Exemplos
a. 135 é divisível por 9, pois 1 + 3 + 5 = 9, e 9 é divisível por 9.
b. 9 085 não é divisível por 9, pois 9 + 0 + 8 + 5 = 22, e 22 não é divisível por 9.
• Critério de divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10, caso o algarismo da unidade simples seja 
zero.
Exemplos
a. 9 870 é divisível por 10, pois termina em zero.
b. 8 005 não é divisível por 10, pois não termina em zero.
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
 ENTRE CONVERSAS...
1 Um número é divisível por 10 quando sua escrita termina no algarismo zero. 
Breno sabia disso, mas escreveu esta outra regra:
“Para saber se um número é divisível por 10, basta verificar se é par e divisível 
por 5 ao mesmo tempo.”
Converse com um colega para verificar se essa regra de Breno está correta e 
anote-a. Depois, confirme-a com os colegas e o professor. 
 
1. Na ideia indica-
da neste exercício, 
comentar que não 
se trata de uma 
regra mais simples 
ou mais complexa, 
embora os alunos 
possam opinar nes-
se sentido. Eles de-
vem perceber que, 
se um número ter-
mina em zero, ele é 
par e divisível por 5.
Este é o momento 
oportuno para apli-
car o exercício 2 da 
seção “Para conferir”.
Resposta pessoal. É esperado que os alunos concluam que a regra está correta.
173CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 173CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 173 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
 ATIVE A MEMÓRIA!
2 Usando o critério de divisibilidade adequado e uma calculadora, verifique, em 
cada item, se o número dado é divisível por 6.
a. 84
b. 346
c. 669 686
3 O critério de divisibilidade por 9 é parecido com o critériode divisibilidade de ou-
tro número. Qual é esse número? Qual é a diferença entre esses dois critérios?
 
O número 84 é divisível por 6.
2. Neste exercício, 
orientar os alunos a 
utilizar a calculadora 
como ferramenta de 
cálculo. Pedir a eles 
que anotem o resul-
tado da adição dos 
algarismos encon-
trado na calculadora. O número 84 é par, ou seja, divisível por 2.
8 + 4 = 12, e 12 é divisível por 3.
O número 669 686 é par, ou seja, divisível por 2.
6 + 6 + 9 + 6 + 8 + 6 = 41, e 41 não é divisível por 3.
O número 346 é par, ou seja, divisível por 2.
3 + 4 + 6 = 13, e 13 não é divisível por 3.
O número 346 não é divisível por 6.
O número 669 686 não é divisível por 6.
É parecido com o critério de divisibilidade por 3. Nesse critério, a soma dos algarismos deve ser divisível por 3, e, no critério de divisi-
bilidade por 9, a soma deve ser divisível por 9.
MATEMÁTICA174
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 174CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 174 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
4 Usando o critério de divisibilidade adequado e uma calculadora, verifique, em 
cada item, se o número dado é divisível por 9.
a. 126
b. 799
c. 85 797
5 Assinale um X nos números que são divisíveis por 10.
 890
 4 500
 605
 3 018
 50 002
 790 500
O número 85 797 é divisível por 9.
O número 799 não é divisível por 9.
O número 126 é divisível por 9.
8 + 5 + 7 + 9 + 7 = 36, e 36 é divisível por 9.
7 + 9 + 9 = 25, e 25 não é divisível por 9.
1 + 2 + 6 = 9, e 9 é divisível por 9.
4. Neste exercício, 
orientar os alunos 
a utilizar a calcula-
dora como ferra-
menta de cálculo. 
Pedir a eles que 
anotem o resultado 
da adição encontra-
do na calculadora.
X
X
X
175CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 175CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 175 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 ENTRE CONVERSAS...
6 Com um colega, leiam atentamente cada item, discutam qual deve ser a solução 
e registrem-na.
a. Qual o menor número natural que devemos adicionar a 973 para encontrar um 
número divisível por 9?
b. Qual é o menor número natural que devemos adicionar a 1 006 para encontrar 
um número divisível por 10?
7 Escreva um número que seja divisível por 6 e outro que seja divisível por 9. Cada 
um desses números deve ter 4 algarismos. Depois, compartilhe com um colega 
os números que usou de exemplo e veja os exemplos dele.
Exemplo de número divisível por 6: 
Exemplo de número divisível por 9: 
Adicionar 4.
Devemos encontrar o próximo número, após 1 006, que termine em 0, que é 1 010.
Assim: 1 010 – 1 006 = 4.
Adicionar 8.
9 + 7 + 3 = 19, e 19 não é múltiplo de 9. O próximo número divisível por 9, depois de 19, é 27.
Logo, devem-se adicionar 8 unidades, pois 19 + 8 = 27.
7. A correção deste 
exercício precisa ser 
feita individualmente.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
MATEMÁTICA176
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 176CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 176 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 ATIVE A MEMÓRIA!
8 Escreva na linha seguinte, em ordem crescente, todos os números possíveis de 
três algarismos, com 4, 0 e 5, sem repetição. Depois, responda ao que se pede.
a. Quais desses números são divisíveis por 6?
b. Quais desses números são divisíveis por 9?
c. Quais desses números são divisíveis por 10?
9 (Avaliação Nacional) Em um jogo com cartões numerados, um jogador sorteou 
seis cartões, que são mostrados a seguir.
Ele deve escolher três desses cartões para formar um número de três algaris-
mos que seja divisível por 9. Ele tem mais de uma opção de número para formar. 
Qual alternativa indica um desses números?
a. 142
b. 513
c. 523
d. 632
e. 634
5 1 2 4 3 6
8. Neste exercício, 
comentar com os 
alunos que escre-
ver os números em 
ordem crescente 
auxilia a organi-
zação do pensa-
mento. Eles devem 
perceber, também, 
que nenhum nú-
mero começa com 
o algarismo 0. Por 
isso, não são consi-
derados os núme-
ros 045 e 054.
9. Neste exercício, 
aplicando o critério 
de divisibilidade 
por 9 , podemos 
verificar em qual 
alternativa é dada 
uma opção, cuja 
soma dos algaris-
mos seja divisível 
por 9. Esse fato é 
observado no nú-
mero 513 (5 + 1 + 
+ 3 = 9).
405, 450, 504 e 540
450, 504 e 540
450 e 540
405, 450, 504, 540
177CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 177CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 177 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
CONHECENDO OS NÚMEROS PRIMOS
Geralmente, usamos a palavra “primo” para falar sobre o filho 
da tia ou do tio, não é mesmo? Você sabia que existe também 
um número que chamamos de primo?
Esse tipo de número apresenta uma curiosidade e, para sa-
ber qual é, observe a sequência dos primeiros números naturais 
maiores que zero e seus divisores.
Atividade 65
Número primo é o número que tem apenas dois divisores 
naturais diferentes, o 1 e o próprio número. 
Em destaque, estão os números que têm 
apenas dois divisores naturais diferentes, 
o 1 e o próprio número. Esse tipo de número 
é chamado de número primo.
D(1) = {1}
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1, 3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
PARA IR ALÉM
Números primos
O termo primo vem 
do latim e tem re-
lação com primei-
ro. Considere, por 
exemplo, os seis 
primeiros números 
primos: 2, 3, 5, 7, 11, 
13, ... 
Quando escreve-
mos as tabuadas e, 
consequentemen-
te, as sequências 
de múltiplos, pode-
mos perceber que 
esses números só 
aparecem pela pri-
meira vez em sua 
própria tabuada. 
Exemplos
• Número 7, que é 
primo, aparece 
pe la pr imeira 
vez na própria 
tabuada do 7.
• Número 8, que não 
é primo, apesar de 
aparecer em sua 
própria tabuada, 
já aparece antes 
nas tabuadas do 
2 e do 4.
O conceito de número primo deve ser introduzido com calma, destacando nos conjuntos de divisores aqueles que têm apenas dois divisores 
naturais diferentes, o 1 e o próprio número. Apresentar aos alunos o texto do boxe “Para ir além”, com curiosidades sobre o uso da palavra 
“primo”, fazendo com que o aprendizado seja mais significativo.
MATEMÁTICA178
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 178CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 178 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Além de conhecer uma forma 
prática de identificar os núme-
ros primos e de poder acessar o 
link sugerido no boxe ao lado, 
saiba que conhecer bem as ta-
buadas ajuda a identificar os 
números primos, pelo menos 
até o 100. Caso você tenha bom 
domínio das tabuadas, perce-
berá, por exemplo, que o núme-
ro 37 não aparece em nenhuma 
tabuada, exceto nas “tabuadas” 
do 1 e do próprio 37, que são os 
únicos divisores naturais desse 
número. 
 ENTRE CONVERSAS...
1 No texto teórico, mostramos os primeiros números primos: 2, 3, 5, 7, 11 e 13. 
Pensando nos divisores dos números naturais, ou verificando as tabuadas, des-
cubra os próximos números primos e anote os que forem menores que 30.
 MOMENTO DE DESCOBERTAS!
2 As tabuadas auxiliam bastante a identificação dos primeiros números primos. 
Há, entretanto, um método organizado e preciso para encontrar os primeiros 
números primos naturais. Esse método foi elaborado pelo matemático grego 
Eratóstenes e ficou conhecido como Crivo de Eratóstenes.
Inicialmente, devemos escrever na tabela os números naturais de 1 a 100. Para 
ajudá-lo, já deixamos a tabela pronta. Siga o roteiro dado a seguir e anote os 
números primos menores que 100.
EXPLORE MAIS
Números primos
Nos exercícios, você poderá conhecer uma for-
ma prática para descobrir os números primos 
menores que 100. Os números primos são infi-
nitos e, para identificar, por exemplo, se o nú-
mero 256 117 é ou não primo, são necessários 
conhecimentos mais avançados de Matemática. 
Há, porém, listas de números primos. No link se-
guinte, por exemplo, você poderá acessar uma 
lista que mostra os números primos menores 
que 1 milhão.Disponível em: <link.coc.com.br/wzr3EYY>. 
A lista de números primos disponível no link do boxe “Explore mais” pode ser acessada após os alunos listarem 
os números primos menores que 100, logo no primeiro exercício de aplicação.
2. Este exercício 
pode ser feito em 
pequenos grupos, 
permit indo que 
os alunos leiam o 
roteiro de forma 
coletiva, discutindo 
o que devem fazer.
Outra proposta é 
resolvê-lo com eles, 
pedindo-lhes que 
identif iquem os 
números a serem 
riscados. Ajudá-los 
a perceber que não 
se pediu que riscas-
sem os múltiplos de 
4, 6, 8, 9 e 10, por-
que já foram risca-
dos após seguirem 
os passos dados.
São: 17, 19, 23 e 29.
Este é o momento oportuno para aplicar 
o exercício 3 da seção “Para conferir”.
179CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 179CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 179 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
http://link.coc.com.br/wzr3EYY
1o Risque o número 1, pois ele tem apenas um divisor natural.
2o Risque os múltiplos de 2, exceto ele mesmo. Note que só vão sobrar números 
ímpares.
3o Risque os múltiplos de 3, exceto ele mesmo. Note que alguns números já es-
tavam riscados porque são pares.
4o Risque os múltiplos de 5, exceto ele mesmo.
5o Risque os múltiplos de 7, exceto ele mesmo.
6o Risque os múltiplos de 11, exceto ele mesmo.
Os números que não foram riscados são os números naturais primos. Todos eles 
têm somente dois divisores naturais diferentes: o 1 e ele mesmo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Os números primos menores que 100 são:
 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.
MATEMÁTICA180
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 180CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 180 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
 ENTRE CONVERSAS...
3 Existe um único número primo par. Os outros números primos são ímpares. Pen-
sando nessa informação, converse com um colega e faça o que se pede.
a. Identifique qual é o único número primo par e escreva uma razão pela qual 
isso ocorre.
b. Circule a afirmação correta.
Afirmação 1: Sem contar o 2, todo número primo é ímpar.
Afirmação 2: Sem contar o 2, todo número ímpar é primo.
 ATIVE A MEMÓRIA!
4 A professora Raquel, de Língua Portuguesa, sempre encontra dificuldades para 
dividir os alunos do 5o ano em grupos iguais, pois sempre sobra algum aluno. 
Sua aluna Beatriz lhe disse que isso ocorre pelo fato de que o total de alunos da 
turma é dado por um número primo. Se há mais de 32, e menos de 40 alunos na 
turma, quantos alunos há no total?
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 ATIVE A MEMÓRIA!
5 Complete cada multiplicação apenas com números primos.
a. × = 15 b. × = 22
6 (Avaliação Nacional) Mariana perguntou para a professora qual é sua idade. 
Ela disse que daria algumas pistas para Mariana descobrir, sendo que a primeira 
pista foi: “é um número primo maior que 30 e menor que 40”. Então, para seguir 
para a próxima pista, Mariana deverá pensar apenas nos números
a. 37 e 39
b. 31 e 37
c. 31 e 39
d. 31, 37 e 39
e. 31, 33 e 37
3. Neste exercício, 
propor aos alunos 
uma rápida discus-
são coletiva, após 
conversarem a res-
peito do que se pede 
nele. É importante 
perceberem que, 
tirando o número 2, 
todo número primo 
é ímpar, mas o con-
trário não é verda-
deiro, ou seja, nem 
todo número ímpar 
é primo. Se perce-
berem isso, evita-se 
que cheguem a con-
clusões equivocadas.
4. Neste exercício, 
observar o fato de 
que, se houver na 
turma de alunos um 
total de matrículas 
representado por 
um número primo, 
aproveitar a situa-
ção descrita para 
destacar esse fato, 
ou seja, explicar a 
impossibi l idade 
de formar grupos 
iguais, sem sobra.
É o 2. Ele é o único primo par, pois todos os outros números pares são divisíveis por pelo menos três divisores: 1, 2 e o próprio número.
Há 37 alunos.
5. Este exercício for-
nece uma primeira 
ideia, ainda que 
de forma indireta, 
sobre a decomposi-
ção de um número 
em fatores primos; 
contudo, não é ne-
cessário aprofundar 
o tema. Destacar 
que haveria, ainda, 
outras formas de 
indicar os fatores, 
mas que não seriam 
números primos.
A ordem de escrita dos fatores pode ser invertida.
3 5 2 11
6. Um número primo tem apenas dois divisores naturais diferentes: o 1 e o próprio número. Essa condição se observa, para números 
entre 30 e 40, apenas no 31 e no 37. 181CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 181CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 181 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃOCONHECENDO OS NÚMEROS COMPOSTOS
Felipe percebeu que, quando multiplica números primos, o resultado não é 
um número primo. Veja sua observação.
Atividade 66
Os números compostos mencionados pela professora de Felipe são os 
números naturais que não são primos, nem 1. No caso do número 1, só po-
demos escrever a seguinte multiplicação de números naturais que resulta 
em 1: 1 × 1 = 1. Por isso, o número 1 não é primo nem composto, ele é apenas 
um número natural.
Um número natural, maior que 1, que tem mais de dois divisores naturais 
diferentes, é chamado de número composto. 
Veja os primeiros números compostos:
 {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ...}
3 × 2 = 6
5 × 7 = 35
3 × 2 = 6
5 × 7 = 35
Percebi que, ao multiplicar 2 e 3, que 
são primos, o resultado 6 não é primo. 
O mesmo acontece com os números 5 
e 7.
Sim! E isso sempre vai acontecer. 
Multiplicando números primos, 
você poderá compor, ou seja, 
formar os chamados números 
compostos.
A situação descri-
ta no texto teórico 
leva os alunos a 
pensar na forma-
ção numérica com 
base em multipli-
cações. Pode-se 
associar o termo 
“composto” com 
a ideia de “com-
posição” do nú-
mero a partir de 
fatores primos, 
tornando o termo 
mais significativo. 
MATEMÁTICA182
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 182CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 182 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
 ATIVE A MEMÓRIA!
1 No quadro seguinte, estão escritos os números naturais de 2 a 41, mas mistura-
dos. Pinte os quadrinhos de acordo com a legenda e com o número escrito neles. 
Depois, responda ao que se pede.
Quadrinho com número primo
Quadrinho com número composto
5 26 4 13 36 16 7 15 28 21
32 3 12 30 24 17 14 19 10 9
22 8 11 39 37 27 25 40 29 18
2 35 38 23 34 33 31 20 6 41
a. Quantos quadrinhos foram pintados de amarelo, ou seja, quantos números pri-
mos há de 2 a 41?
b. Quantos quadrinhos foram pintados de vermelho, ou seja, quantos números 
compostos há de 2 a 41?
c. Há mais números primos ou compostos de 2 a 41?
2 A quantidade de alunos em sua turma é um número primo ou um número composto?
 
1. Neste exercício, os quadrinhos serão pintados da seguinte forma:
Quadrinhos amarelos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 e 41.
Quadrinhos vermelhos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39 e 40.
Em destaque, estão os quadrinhos pintados de amarelo.
5 26 4 13 36 16 7 15 28 21
32 3 12 30 24 17 14 19 10 9
22 8 11 39 37 27 25 40 29 18
2 35 38 23 34 33 31 20 6 41
Inicialmente, os alunos podem fazer pequenas 
marcas com lápis de cor nos quadrinhos, ou fazer 
um leve traço usando lápis grafite para que pos-
sam corrigir algum erro, de forma mais simples, se 
houver. Após a correção, pedir a eles que façam a 
pintura definitiva e total dos quadrinhos.
Há 13 números.
Há 27 números.
Há mais números compostos.
Resposta circunstancial.
183CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 183CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 183 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
3 Todos os números pares são números compostos? Explique sua resposta.
4 Qual é o maior número composto escrito com dois algarismos?
EXERCÍCIOS PROPOSTOSATIVE A MEMÓRIA!
5 Responda ao que se pede.
a. Qual é o menor número composto?
b. Quais são os números compostos maiores que 20 e menores que 40?
c. Quais são os números compostos maiores que 80 e menores que 90?
6 Em um trabalho em grupo sobre números primos e números compostos, Hen-
rique ficou encarregado de pesquisar os números compostos entre 90 e 100. 
Outros integrantes do grupo pesquisariam os números compostos em outros 
intervalos numéricos. Se ele pesquisar corretamente, deverá concluir que o total 
de números compostos no intervalo dado é
a. 5
b. 6
c. 7
d. 8
e. 9
6. Entre 90 e 100, há 
apenas o 97 como 
n ú m e r o p r i m o . 
Logo, os demais 
são compostos: 91, 
92, 93, 94, 95, 96, 98 
e 99.
Portanto, são oito 
números compostos 
no intervalo dado.
É o 4.
São os números: 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38 e 39.
São os números: 81, 82, 84, 85, 86, 87 e 88.
É o 99.
Não. O 2 é par, mas é um número primo.
MATEMÁTICA184
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 184CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 184 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS - ÁRVORE 
DE FATORES
Maria Júlia percebeu que a multiplicação de números primos tem como resul-
tado um número composto. Tentou, então, encontrar dois números primos que 
multiplicados resultem no número composto 12.
Atividade 67
Com a explicação do professor, Maria Júlia descobriu que um número com-
posto pode ser formado pela multiplicação de três ou mais números primos. 
Outro exemplo pode ser visto no número 36:
36
4 9×
2 2× × 3 3×
Não estou achando dois 
números primos que multi-
plicados resultem em 12.
Nesse caso, não são 
dois fatores, mas 
três! Veja. 12
2 6×
2 × 2 3×
A decomposição 
de um número em 
fatores primos pos-
sibilita observar 
mais atentamente 
a formação dos nú-
meros compostos, 
apresentados na 
atividade anterior. 
Ressaltar esse fato. 
A princípio, a de-
composição de um 
número em fatores 
primos pode pare-
cer para os alunos 
apenas uma curio-
sidade. Nas ativida-
des seguintes, eles 
poderão observar 
aplicações impor-
tantes desse cálcu-
lo, por exemplo, no 
cálculo do mmc.
Durante a lguns 
anos, os alunos 
usaram o termo 
decomposição para 
reescrever um nú-
mero como uma 
adição de unidades, 
dezenas, centenas 
etc., como em:
273 = 200 + 70 + 3. 
Agora, eles devem 
considerar a decom-
posição em fatores 
primos. Assim, lem-
brá-los de que o ter-
mo fator é emprega-
do na multiplicação, 
part icularmente 
para os números 
que são multiplica-
dos (o resultado é 
o produto).
185CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 185CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 185 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
18
× ×
×
Observe que as setas que indicam cada decomposição formam um esque-
ma que lembra as ramificações dos galhos ou das raízes de uma árvore. Daí o 
nome “árvore de fatores”.
Inicialmente, mostramos que 36 = 4 × 9. Contudo, tanto 4 quanto 9 não são 
números primos. Então, decompomos 4 em 2 × 2 e 9 em 3 × 3. Os fatores obti-
dos na última linha são todos números primos. Assim, concluímos que:
36 = 2 × 2 × 3 × 3 
Neste momento, esse fato é apenas uma curiosidade numérica. Ainda neste 
capítulo, você poderá descobrir que a decomposição em fatores primos pode 
auxiliá-lo em outros cálculos, até mesmo no cálculo do mmc (mínimo múltiplo 
comum). Veja outro exemplo.
Portanto, 30 = 3 × 2 × 5.
 ENTRE CONVERSAS...
1 Júlio lembrou-se da propriedade comutativa da multiplicação, que diz que a or-
dem dos fatores não altera o produto. Pensando nessa propriedade, ele fez a 
decomposição do número 14 de duas formas diferentes:
Seguindo a ideia de Júlio, escreva a decomposição do 
número 18 completando as lacunas, mas sendo o primeiro 
fator um número primo. Depois, verifique com um colega 
se ele anotou os fatores em outra ordem.
30
6 5×
3 2× 5×
14 ou
2 7×
14
7 2×
1. Neste exercício, 
destacar o uso da 
propriedade co-
mutativa da multi-
plicação. Os alunos 
devem perceber 
que os fatores po-
dem ser escritos em 
ordens diferentes. 
Sobre a decompo-
sição do número 18, 
considerando que o 
primeiro fator seja 
um número primo 
(2 ou 3), a última 
linha, que indica 
a forma fatorada, 
pode ser escrita 
como: 2 × 3 × 3, 
3 × 3 × 2 ou 3 × 2 × 3. 
Incentivar a conver-
sa entre os alunos, 
podendo fazer uma 
discussão coletiva, 
anotando na lousa 
as diferentes or-
dens de escrita.
MATEMÁTICA186
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 186CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 186 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
2 Faça a decomposição em fatores primos dos números apresentados a seguir. 
Utilize o método conhecido como árvore de fatores. Depois, compartilhe 
suas respostas com os colegas, verificando se todos fizeram exatamente da 
mesma forma.
a. 20
b. 16
c. 27
d. 28
e. 50
f. 42
Sugestão de decomposição:
Sugestão de decomposição: Sugestão de decomposição:
Sugestão de decomposição:
20
2
2 10
2 5× ×
×
Sugestão de decomposição:
28
2
2 14
2 7× ×
×
Sugestão de decomposição:
27
3
3 9
3 3× ×
×
42
6 7
7×
×
2 3×
16
2
2 8
4 2× ×
2 2 2×× 2×
×
50
2
2 25
5 5× ×
×
2. Neste exercício, 
apresentamos aos 
alunos uma forma 
de resolução. A or-
dem dos fatores 
pode variar. Durante 
a correção, mostrar 
essa variedade de 
respostas, reforçan-
do a propriedade 
comutativa (a or-
dem dos fatores não 
altera o produto).
187CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 187CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 187 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
 ATIVE A MEMÓRIA!
3 A seguir, são dadas as decomposições de alguns números compostos. Faça os 
cálculos e descubra qual é o número.
a. 2 × 3 × 5 = 
b. 2 × 2 × 3 × 5 = 
c. 2 × 3 × 11 = 
d. 11 × 13 = 
e. 3 × 3 × 11 = 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 ATIVE A MEMÓRIA!
4 Complete corretamente as lacunas nas decomposições de cada número.
a. 
b. 
5 Quando Mariana fez a decomposição de um número natural, ela descobriu que 
esse número pode ser escrito como uma multiplicação de números primos da 
seguinte forma: 2 × 3 × 5 × 5 × 7. Se ela fez a decomposição de forma correta, 
qual é o número decomposto por ela?
a. 150
b. 420
c. 750
d. 1 050 
e. 2 100
100
4 ×
×× ×2
210
21×
× 7× ×5
25
2
10
2 3
5 5
30 143
60 99
66
5. Realizando as 
multiplicações, te-
mos:
2 × 3 × 5 × 5 × 7 = 
= 6 × 5 × 5 × 7 = 
= 30 × 5 × 7 =
= 150 × 7 =
= 1 050
MATEMÁTICA188
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 188CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 188 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS - 
DISPOSITIVO VERTICAL
Há uma técnica de cálculo que pode substituir o método mos-
trado na atividade anterior. É o que chamamos de dispositivo 
vertical, com divisões sucessivas. Como sempre, o domínio das 
tabuadas será muito interessante, além do bom conhecimento 
sobre os critérios de divisibilidade que mostramos. Acompanhe 
o passo a passo que mostra a decomposição do número 36.
Atividade 68
36
36 2
18
→ 36 ÷ 2
36 2
18 2
9
→ 18 ÷ 2
36 2
18 2
9 3
3
→ 9 ÷ 3
1o Escrevemos o número a ser decomposto e tra-
çamos uma reta vertical ao lado dele, conforme o 
 esquema ao lado.
2o Dividimos esse número pelo menor número pri-
mo possível, que é o 2. Colocamos o resultado dessa 
divisão (18) abaixo do número 36.
3o Continuamos a dividir, sempre por números 
primos. Dividindo 18 por 2, temos o quociente 9. 
4o Agora, dividimos 9 por 3. 
O dispositivo ver-
t ical que indica 
divisões sucessivas 
geralmente é mais 
prático que a es-
crita em forma de 
árvores de fatores.
Entretanto, com 
base na ideia da ati-
vidade anterior, os 
alunos podem com-
preender melhor 
a ideia de divisões 
sucessivas. É impor-
tante mostrar a eles 
vários exemplos na 
lousa, além dos que 
estão no texto teó-
rico, pois, assim, po-
derão sentir maior 
segurança. Embora 
seja uma técnica de 
cálculo relativamen-
te simples, o fato de 
se escreverem os 
quocientes embai-
xo dos dividendos 
pode parecer um 
pouco estranhono 
começo. Atentar 
para o nível de se-
gurança da turma 
para prosseguir o 
estudo. Comentar 
que as div isões 
não precisam ser, 
necessariamente, 
resolvidas mental-
mente, podendo ser 
calculadas separa-
damente. Ressaltar 
que, no dispositivo, 
indicam-se apenas 
os fatores primos e 
os quocientes obti-
dos em cada divisão.
189CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 189CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 189 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
5o Finalmente, dividimos 3 por 3. Quando o resulta-
do é 1, terminamos o cálculo. 
Observe que, na coluna da direita, estão escritos os 
fatores primos de 36.
Logo, 24 = 2 · 2 · 2 · 3. Logo, 100 = 2 · 2 · 5 · 5.
Forma fatorada
A multiplicação dos fatores primos que indicam o número é chamada de 
forma fatorada. Assim, nos dois exemplos anteriores, temos que:
• a forma fatorada de 24 é 2 · 2 · 2 · 3;
• a forma fatorada de 100 é 2 · 2 · 5 · 5.
Perceba que, com base na forma fatorada de um número, é possível desco-
brir qual é esse número apenas efetuando a sequência de multiplicações.
Exemplo
2 · 3 · 5 · 7 é a forma fatorada de 210, pois:
 2 · 3 · 5 · 7 =
 = 6 · 5 · 7 =
 = 30 · 7 =
 = 210
36 2
18 2
9 3
3 3
1
→ 3 ÷ 3
24 2
12 2
6 2
3 3
1
100 2
50 2
25 5
5 5
1
→ 3 ÷ 3 → 5 ÷ 5
→ 6 ÷ 3 → 25 ÷ 5
→ 12 ÷ 3 → 50 ÷ 2
→ 24 ÷ 3 → 100 ÷ 2
A conclusão a que chegamos é que 36 = 2 · 2 · 3 · 3
Veja outros dois exemplos.
Exemplo 1 Exemplo 2
Este é o momento 
oportuno para apli-
car o exercício 4 da 
seção “Para conferir”.
MATEMÁTICA190
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 190CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 190 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
 ATIVE A MEMÓRIA!
1 Usando o dispositivo vertical, com divisões sucessivas por números primos, 
decomponha cada número dado em fatores primos. Escreva, também, a forma 
fatorada de cada um desses números. Uma calculadora pode ser usada para au-
xiliar nas divisões.
a. 8
Forma fatorada: 
b. 60 
Forma fatorada: 
c. 30
Forma fatorada: 
d. 80
Forma fatorada: 
60 2
30 2
15 3
5 5
1
8 2
4 2
2 2
1
80 2
40 2
20 2
10 2
5 5
1
30 2
15 3
5 5
1
1. Neste exercício, 
sugerir aos alunos 
o uso de uma calcu-
ladora por ser o pri-
meiro contato deles 
com o algoritmo da 
decomposição su-
cessiva. Com isso, 
o foco passa a ser o 
algoritmo em si.
2 · 3 · 52 · 2 · 2
2 · 2 · 2 · 2 · 52 · 2 · 3 · 5
191CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 191CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 191 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
e. 180
Forma fatorada: 
f. 200 
Forma fatorada: 
 MOMENTO DE DESCOBERTAS!
2 Quando usamos o dispositivo vertical para decompor um número em fatores 
primos, é comum escrevermos os fatores em ordem crescente. Fazemos dessa 
forma para organizar o cálculo, entretanto é possível decompor com os fatores 
em ordens diferentes.
De acordo com essa ideia, decomponha o número 30 com os fatores em três 
ordens diferentes. Depois, responda ao que se pede.
MODO 1 MODO 2 MODO 3
Qual propriedade da multiplicação garante que podemos decompor com os fa-
tores em qualquer ordem?
 
2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 2 · 5 · 5
30 2
15 3
5 5
1
30 3
10 2
5 5
1
30 5
6 2
3 3
1
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
Sugestões de resposta.
200 2
100 2
50 2
25 5
5 5
1
A propriedade comutativa.
2. Apenas como pa-
drão, a decomposi-
ção por divisões su-
cessivas é realizada 
com os fatores em 
ordem crescente. 
Esse fato, além de 
organizar o cálculo, 
pode facilitar cálcu-
los futuros, como o 
de mmc, mdc e até 
mesmo o de sim-
plificação de raízes 
em anos posterio-
res. Assim, orientar 
os alunos para que 
sigam essa ordem, 
mas fazendo-os 
refletir sobre o fato 
de que é possível, 
também, inverter a 
ordem dos fatores. 
Este exercício pro-
move essa reflexão.
MATEMÁTICA192
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 192CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 192 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
 ATIVE A MEMÓRIA!
3 Mirela é professora de Matemática de uma turma de 5o ano e tem três filhos. Seu 
aluno Vítor perguntou a idade deles. Ela, pensando em um pequeno desafio, 
respondeu:
— As idades dos meus filhos, em anos, são números primos. Além disso, a mul-
tiplicação desses números tem como resultado o número 110.
Então, quais são as idades dos filhos da professora Mirela?
EXERCÍCIO PROPOSTO
 ATIVE A MEMÓRIA!
4 Faça uso do dispositivo vertical e decomponha cada número, anotando sua for-
ma fatorada.
a. 32 b. 84 c. 300
Forma fatorada: Forma fatorada: Forma fatorada: 
Os filhos da professora Mirela têm 2, 5 e 11 anos de idade.
110 2
55 5
11 11
1
Logo, 110 = 2 · 5 · 11.
3. Neste exercício, 
explicar aos alunos 
que existem estra-
tégias de cálculo 
que evitam fazer 
apenas “chutes” 
aleatórios. Na cor-
re ç ã o, ve r i f i c a r 
como pensaram. 
Só então, se neces-
sário, comentar o 
seguinte: se o nú-
mero é par, um dos 
fatores deve ser o 2. 
Dividindo 110 por 
2, temos o quocien-
te 55. Por terminar 
em 5, um dos fato-
res é, certamente, 
o 5. Continuando 
a decomposição, 
chega-se em 5 × 11. 
Portanto, a forma 
decomposta de 110 
é 2 × 5 × 11, sendo 
estes os números 
primos que indi-
cam as idades dos 
filhos da professora. 
Sugerir a decompo-
sição pelo disposi-
tivo vertical, mas 
os alunos podem 
fazer uso de outras 
estratégias, como a 
árvore de fatores, 
por exemplo.
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
84 2
42 2
21 3
7 7
1
300 2
150 2
75 3
25 5
5 5
1
2 · 2 · 2 · 2 · 2 2 · 2 · 3 · 7 2 · 2 · 3 · 5 · 7
193CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 193CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 193 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
CÁLCULO DO mmc POR DECOMPOSIÇÃO 
SIMULTÂNEA
Nesta atividade, você poderá descobrir que a decomposição por divisões su-
cessivas pode ser útil no cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou 
mais números. Acompanhe, como exemplo, o cálculo do mmc de 8 e 20.
1o Faremos, inicialmente, a decomposição 
simultânea de 8 e 20. Para isso, escrevemos 
na mesma linha, separados por vírgula, os 
números a serem decompostos e traçamos 
a linha na vertical.
2o Tanto 8 quanto 20 podem ser divididos 
por 2. Efetuamos as duas divisões.
3o Podemos dividir 4 e 10 novamente por 2. 
4o Agora, apenas 2 é divisível por 2. Então, 
dividimos 2 por 2 e copiamos 5 na linha 
seguinte.
5o Finalmente, dividimos 5 por 5.
Atividades 69 e 70
8, 20
→ 8 ÷ 2 e 20 ÷ 28, 20 2
4, 10
→ 4 ÷ 2 e 10 ÷ 2
8, 20 2
4, 10 2
2, 5
→ 2 ÷ 2
8, 20 2
4, 10 2
2, 5 2
1, 5
→ 5 ÷ 5
8, 20 2
4, 10 2
2, 5 2
1, 5 5
1, 1
Mostrar aos alunos 
a ideia da decom-
posição simultânea 
com calma, linha 
por linha, e com 
outros exemplos 
além dos que são 
mostrados no tex-
to teórico, até que 
todo o grupo sinta 
segurança para 
prosseguir o estudo 
resolvendo os exer-
cícios de aplicação.
MATEMÁTICA194
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 194CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 194 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
A decomposição termina 
quando se chega ao núme-
ro 1 para todos os números 
que são decompostos.
O produto dos fatores primos encontrados é o mmc de 8 e 20:
mmc(8, 20) = 2 · 2 · 2 · 5 = 40
Veja outros dois exemplos.
mmc(6, 8) mmc(12, 20)
mmc(6, 8) = 2 · 2 · 2 · 3 = 24 mmc(12, 20) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60
6, 8 2
3, 4 2
3, 2 2
3, 1 3
1, 1
12, 20 2
6, 10 2
3, 5 3
1, 5 5
1, 1
→ 3 ÷ 3 → 5 ÷ 5
→ 2 ÷ 2 → 3 ÷ 3
→ 4 ÷ 2 → 6 ÷ 2 e 10 ÷ 2
→ 6 ÷ 2 e 8 ÷ 2 → 12 ÷ 2 e 20 ÷ 2
Além disso, as divisões 
são, na medida do pos-
sível, simultâneas, isto 
é, em uma mesma linha. 
Sempre que houver um 
divisor primo comum, 
utilize-o.
195CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 195CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 195 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
 ATIVE A MEMÓRIA!
1 Utilize o método de decomposição simultânea e calcule o mínimo múltiplo co-
mum pedido em cada item.
a. mmc(10, 12) 
b. mmc(24, 30) 
c. mmc(8, 12, 16) 
d. mmc(20, 25)
e. mmc(12, 15)
f. mmc(10, 12, 14)
10, 122
5, 6 2
5, 3 3
5, 1 5
1, 1
mmc(10, 12) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60
12, 15 2
6, 15 2
3, 15 3
1, 5 5
1, 1
mmc(12, 15) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60
24, 30 2
12, 15 2
6, 15 2
3, 15 3
1, 5 5
1, 1
mmc(24, 30) = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120
20, 25 2
10, 25 2
5, 25 5
1, 5 5
1, 1
mmc(20, 25) = 2 · 2 · 5 · 5 = 100
8, 12, 16 2
4, 6, 8 2
2, 3, 4 2
1, 3, 2 2
1, 3, 1 3
1, 1, 1
mmc(8, 12, 16) = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 48
10, 12, 14 2
5, 6, 7 2
5, 3, 7 3
5, 1, 7 5
1, 1, 7 7
1, 1, 1
mmc(10, 12, 14) = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 = 420
MATEMÁTICA196
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 196CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 196 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
 ENTRE CONVERSAS...
2 Com um colega, calculem cada item usando a decomposição simultânea e, de-
pois, respondam ao que se pede.
mmc(3, 5) mmc(2, 7)
mmc(11, 13) mmc(2, 3, 5)
a. Os números dados para cálculo do mmc em cada item são todos números primos?
b. Em cada item, o mmc dos números primos coincide com o produto obtido na 
multiplicação desses mesmos números?
c. De acordo com a ideia do item anterior, é possível supor que, quando se calcula 
o mmc de dois ou mais números primos, o resultado será o produto desses 
números primos?
 ATIVE A MEMÓRIA!
3 Tiago escolheu dois números primos: 5 e 7. Sua amiga Luara deve, agora, calcu-
lar mentalmente o mínimo múltiplo comum desses números. Qual é o resultado 
a que ela deve chegar?
 Ela deve chegar ao resultado 35.
3. Observar se os 
alunos fazem uso 
da conclusão obtida 
no exercício ante-
rior para responder 
ao que se pede nes-
te exercício.
Sim.
Sim.
Sim.
11, 13 11
1, 13 13
1, 1
mmc(11, 13) = 11 · 13 = 143
2, 3 , 5 2
1, 3, 5 3
1, 1, 5 5
1, 1, 1
mmc(2, 3, 5) = 2 · 3 · 5 = 30
3, 5 3
1, 5 5
1, 1
mmc(3, 5) = 3 · 5 = 15
2, 7 2
1, 7 7
1, 1
mmc(2, 7) = 2 · 7 = 14
2. Este exercício 
apresenta uma re-
flexão para o caso 
em que se deseja 
calcular o mmc de 
números primos. Os 
alunos devem per-
ceber, por meio das 
decomposições, que 
o mmc de números 
primos é dado pelo 
produto desses 
mesmos números.
Permitir que discu-
tam a ideia em du-
plas e, na correção, 
fazer uma reflexão 
coletiva. Ressaltar 
que, na Matemática, 
não é tão simples 
generalizar uma 
ideia com apenas 
alguns exemplos 
numér icos, mas 
que é possível su-
por algo. Comentar 
que, na decomposi-
ção de números pri-
mos, os fatores são 
justamente esses 
números primos, 
podendo supor que 
o mmc seja o produ-
to deles.
197CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 197CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 197 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4 Luciana é professora de Arte e tem três turmas de 5o ano. O quadro mostra a 
quantidade de alunos em cada turma.
TURMA 5o ANO A 5o ANO B 5o ANO C
Quantidade de alunos 24 30 36
Ela quer providenciar certa quantidade de folhas que poderá distribuir para os 
alunos de uma das três turmas, sem sobrar. Essa quantidade de folhas deve ser 
a menor possível. Sabendo disso, faça o que se pede.
a. A ideia envolvida nessa situação é de máximo divisor comum ou de mínimo 
múltiplo comum?
b. Usando a decomposição simultânea, calcule qual é a quantidade mínima de 
folhas que ela deve providenciar.
c. Calcule quantas folhas seriam distribuídas para cada aluno em cada turma que 
fosse escolhida.
 
Seriam distribuídas 15 folhas por aluno no 5o ano A, 12 folhas por aluno no 5o ano B e, ainda, 10 folhas por aluno no 5o ano C.
5o ano A: 360 ÷ 24 = 15
5o ano B: 360 ÷ 30 = 12
5o ano C: 360 ÷ 36 = 10
Ela deve providenciar 360 folhas.
24, 30, 36 2
12, 15, 18 2
6, 15, 9 2
3, 15, 9 3
1, 5, 3 3
1, 5, 1 5
1, 1, 1
mmc(24, 30, 36) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 360
É de mínimo múltiplo comum.
MATEMÁTICA198
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 198CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 198 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 ATIVE A MEMÓRIA!
5 Calcule o que se pede em cada item fazendo uso da decomposição simultânea. 
Lembre-se de observar quando os números dados forem apenas números pri-
mos, pois isso pode agilizar o cálculo.
a. mmc(14, 35) b. mmc(13, 17) c. mmc(60, 150, 200)
6 Complete corretamente as lacunas do cálculo do mínimo múltiplo comum de 12, 
18 e 20.
12, 18, 20 2
 , , 10
3, , 3
1, 3, 
1, 1, 5 5
1, 1, 1
mmc(12, 18, 20) = · · · · = 
14, 35 2
7, 35 5
7, 7 7
1, 1
mmc(14, 35) = 2 · 5 · 7 = 70
60, 150, 200 2
30, 75, 100 2
15, 75, 50 2
15, 75, 25 3
5, 25, 25 5
1, 5, 5 5
1, 1, 1
mmc(60, 150, 200) = 
= 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 = 600
13, 17 13
1, 17 17
1, 1
Ou, simplesmente:
13 × 17 = 221
mmc(13, 17) = 13 · 17 = 221
6 9
9 5
5 3
2
2 2 3 3 5 180
199CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 199CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 199 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
REVISÃO - MÚLTIPLOS E DIVISORES
Quantas coisas você pôde conhecer sobre múltiplos e divisores neste capítulo, 
não é mesmo? Você poderá usar todo esse conhecimento em muitos outros 
assuntos que conhecerá neste e nos próximos anos.
Neste final de capítulo, propomos uma revisão sobre algumas das ideias 
que conheceu. Os tópicos a seguir apresentam um breve resumo, com algu-
mas dessas ideias.
• O menor múltiplo natural de um número é o zero.
• Não existe o maior múltiplo de um número, pois os múltiplos 
são infinitos.
• O menor divisor natural de um número natural é o 1.
• O maior divisor de um número natural é o próprio número.
• O mmc (mínimo múltiplo comum) indica o menor dos múltiplos comuns 
a dois ou mais números dados.
• O mdc (máximo divisor comum) indica o maior dos divisores comuns a 
dois ou mais números dados.
• Um número primo tem apenas dois divisores naturais diferentes, o 1 e o 
próprio número.
• Um número composto tem mais que dois divisores naturais diferentes.
• Todo número par é divisível por 2.
• Se a soma dos algarismos que formam 
um número for divisível por 3, o número 
será divisível por 3.
• Se um número natural termina em 0 
ou 5, ele é divisível por 5.
• Se um número natural é divisível por 
2 e por 3, então é divisível por 6.
• Se a soma dos algarismos que for-
mam um número for divisível por 9, o 
número será divisível por 9.
• Um número que termina em zero é 
divisível por 10.
Atividades 71 e 72
Lembre-se de que o bom conhecimento so-
bre as tabuadas ajuda muito no estudo sobre 
múltiplos e divisores.
Neste capítulo, 
foram apresentados 
diferentes métodos 
para calcular o mmc. 
Quando possível, use 
o método que consi-
derar mais fácil.
As atividades 71 
e 72 apresentam 
uma revisão geral 
do texto teórico. Os 
exercícios desta-
cam alguns desses 
pontos. Além disso, 
há um jogo que 
pode estimular o 
estudo de múlti-
plos de forma mais 
lúdica. Ao retomar 
as ideias do texto 
teórico, aproveitar 
para verificar o que 
os alunos lembram 
de todo o conteúdo.
MATEMÁTICA200
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 200CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 200 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
 ATIVE A MEMÓRIA!
1 Em uma turma de alunos de um curso de Inglês, há 36 alunos matriculados. Com 
frequência, o professor gosta de formar grupos de estudo com a mesma quanti-
dade de alunos, e sem sobra. Sobre essa situação, responda ao que se pede.
a. Sem considerar grupos de apenas 1 aluno, ou um único grupo com todos os 
alunos, quantos e quais grupos ele poderá formar em suas aulas?
b. Se for matriculado mais 1 aluno na turma, será possível fazer divisões em grupos 
iguais sem sobra? Desconsidere, novamente, grupos de 1 aluno ou um grupo com 
todos. Explique usando conhecimentos sobre divisores mostrados neste capítulo.
2 Anote V para verdadeiro e F para falso, em cada afirmação.
a. O menor divisor natural de 
um número natural é o 1.
b. O número 678 é divisível 
por 3.
c. O número 95 225 é divisível 
por 5.
d. O maior divisor de 42 é o 
próprio 42.
e. O maior múltiplo de 80 é o 
próprio 80.
f. O número 454 é divisível 
por 6.
g. O número 22325 é divisível 
por 2.
Pensando nos pares de números que multiplicados resultem em 36, temos:
1 × 36; 2 × 18; 3 × 12; 4 × 9; 6 × 6, 9 × 4; 12 × 3; 18 × 2 e 36 × 1
Ele poderá formar 2 grupos de 18 alunos, 3 grupos de 12 alunos, 4 grupos de 9 alunos, 6 grupos de 6 alunos, 9 grupos de 4 
alunos, 12 grupos de 3 alunos ou 18 grupos de 2 alunos.
Não será possível, pois haverá 37 alunos, que é um número primo e, portanto, sem divisores naturais diferentes de 1 e 37.
V
V
V
V
F
F
F
201CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 201CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 201 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
 MOMENTO DE DESCOBERTAS!
3 Nosso sistema de numeração é decimal. Assim, usamos grupos de 10 para for-
mar os números (10 unidades, 10 dezenas, 10 centenas etc.). Empregamos com 
frequência o número 100, que forma as centenas. No entanto, em alguns casos 
específicos, como na contagem do tempo, usamos a base 60, indicando 60 mi-
nutos ou 60 segundos. A base 60 pode ter algumas vantagens quando compara-
mos com o número 100. Como exemplo, faça o que se pede.
a. Calcule os divisores naturais do número 100 e anote-os. Registre, também, 
quantos divisores ele tem.
b. Calcule os divisores naturais do número 60 e anote-os. Registre, também, quan-
tos divisores ele tem.
c. Qual dos dois números tem mais divisores?
d. Se você tiver uma coleção com 60 unidades de um objeto, e outra coleção com 
100 unidades desse objeto, em qual das duas coleções será possível formar 
uma variedade maior de grupos iguais sem sobra?
 Na coleção com 60 unidades.
O número 60.
D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}
O número 100 tem 9 divisores naturais.
D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
O número 60 tem 12 divisores naturais.
3. Este exercício 
a p re s e n t a u m a 
curiosidade que 
poderá ser apro-
fundada em anos 
poster iores , no 
estudo sobre sis-
tema de numera-
ção. No momento, 
os alunos devem 
reconhecer que há 
situações em que 
se usam agrupa-
mentos em 60 uni-
dades. O número 
60, nesse contexto, 
tem mais divisores 
que o número 100, 
apesar de 60 ser 
menor que 100. 
Embora não seja 
exatamente a justi-
ficativa por trás do 
uso da base 60 em 
algumas medidas 
de tempo, pode-se 
apresentar essa 
curiosidade numé-
rica. O uso da base 
60 possibilita um 
número maior de 
divisores. Esse fato, 
em períodos da his-
tória em que não 
havia calculadoras, 
poderia facilitar 
certos cálculos.
No item d, comen-
tar que se deseja 
saber em qual caso 
há uma variedade 
maior de grupos, e 
não uma quantida-
de maior de grupos.
MATEMÁTICA202
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 202CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 202 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
4 Um coreógrafo pretende formar um grupo de dança que simbolize a cultura de 
três regiões diferentes do Brasil: um grupo de forró, representando a Região 
Nordeste, um grupo de samba, representando a Região Sudeste e, ainda, um 
grupo de carimbó, que represente a Região Norte.
Todos os dançarinos deverão desenvolver uma coreografia em conjunto no pal-
co que, de certa forma, será uma mistura desses três ritmos. Para isso, deve-
rão entrar no palco em grupos de 6 pessoas. Durante a apresentação, deverão 
formar duplas, depois, trios e, ainda, grupos de 5 pessoas em outro momento. 
Finalmente, o encerramento será feito em grupos de 8 pessoas. Em nenhum 
momento, deve sobrar dançarino.
Nessas condições, qual deve ser o número mínimo de pessoas que devem parti-
cipar dessa coreografia?
Em cada momento da apresentação, os grupos formados devem ser de 6, 2, 3, 5 ou 8 pessoas. Logo, o total de pessoas 
deve ser um múltiplo comum desses cinco números. Como deve ser a menor quantidade possível de pessoas, devemos 
calcular o mmc(6, 2, 3, 5, 8): 
6, 2, 3, 5, 8 2
3, 1, 3, 5, 4 2
3, 1, 3, 5, 2 2
3, 1, 3, 5, 1 3
1, 1, 1, 5, 1 5
1, 1, 1, 1, 1
mmc(6, 2, 3, 5, 8) = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120
No mínimo, 120 pessoas devem participar da coreografia.
4. Este exercício 
apresenta uma re-
lação mais próxima 
com o tema do gru-
po. Destacar o uso de 
diversas coreogra-
fias em diferentes 
estilos de música e 
dança, nas diferen-
tes regiões do país. 
O professor de Arte, 
ou de dança, pode 
ser convidado a fazer 
alguns comentários.
203CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 203CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 203 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 DIVERSÃO À VISTA!
5 Junte-se a um colega para jogar um divertido jogo que envolve a ideia de 
múltiplos. É o jogo a corrida dos múltiplos. Para isso, recorte e monte o dado 
disponível nos encartes, além das demais peças que serão os peões. O tabu-
leiro para o jogo encontra-se no encarte. Siga as regras. PÁG. 323 e 325ENCARTES
Material necessário
• Tabuleiro
• 1 dado
• 1 peão para cada jogador
Como jogar
1. Vocês jogarão com um único dado e um único tabuleiro. Utilize depois seu 
material para jogar com parentes e amigos. Primeiramente, estabeleçam uma 
ordem de jogada entre os jogadores. Para isso, joguem o dado e aquele que 
obtiver o maior número será o primeiro a jogar. Na primeira rodada, um dos 
jogadores lança o dado e coloca seu peão na casa que corresponde ao número 
de pontos obtidos. Por exemplo, com 5 pontos, o peão é colocado na casa de 
número 5.
2. A partir da segunda rodada de cada jogador, o procedimento será o seguinte: 
na vez de cada jogador, ele lançará novamente o dado. Seu peão deve ocupar 
a casa indicada pelo primeiro múltiplo do número de pontos obtidos no dado, 
depois da casa onde seu peão se encontra.
Por exemplo:
• Se o jogador estiver na casa 5 e obtiver 3 pontos no dado, o primeiro 
múltiplo de 3 depois da casa 5 é o 6; assim, seu peão deverá ocupar a 
casa 6.
• Se esse mesmo jogador tivesse obtido 4 pontos no dado, iria para a casa 8, 
que é a primeira casa com múltiplo de 4, depois da casa 5.
• Se o jogador estivesse na casa 15 e obtivesse 6 pontos no dado, ele deveria 
avançar para a casa 18, que é o próximo múltiplo de 6, depois do 15.
3. Na primeira rodada, o jogador cuja peça parar sobre uma casa que contenha 
um número primo perderá a vez na próxima jogada.
4. O vencedor do jogo será aquele que chegar primeiro à casa de número 100, ou 
ultrapassá-la.
5. A corrida dos 
múltiplos
Objetivos
• Identificar o concei-
to de múltiplos de 
um número natural.
• Conceituar núme-
ro primo.
Material neces-
sário
• 1 dado (encarte)
• 1 pista numerada 
de 1 a 100 (encarte)
• Peões (1 para cada 
jogador, no encar-
te), ou tampinhas e 
fichinhas diferentes
Descrição das ati-
vidades e metodo-
logia
Jogo matemático 
enfocando múlti-
plos de um número 
natural e o conceito 
de número primo.
O desenvolvimen-
to da atividade é 
colocado em práti-
ca por meio de um 
jogo, o qual pode 
ser realizado em 
grupos de dois, três 
ou quatro alunos.
É aconselhável que 
os grupos sejam 
de, no máximo, 
quatro pessoas, 
pois, em quantida-
des maiores, pode 
ocorrer dispersão 
entre os alunos no 
decorrer do jogo, 
em razão da espe-
ra entre as jogadas.
As regras do jogo 
deverão ser apre-
sentadas mediante 
a leitura em con-
junto, explicando-
-as com exemplos 
claros. A partir de 
então, inicia-se o 
jogo, e o profes-
sor deverá acom-
panhar algumas 
das jogadas dos 
grupos para ana-
lisá-las, esclarecer 
dúvidas e verificar 
o aproveitamento 
da atividade.
MATEMÁTICA204
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 204CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 204 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 ATIVE A MEMÓRIA!
6 Um feirante tem uma porção de 48 maçãs e outra de 32 peras. 
Ele quer montar pacotes promocionais contendo, em cada pa-
cote, maçãs e peras. Os dois tipos de fruta devem ser distribuí-
dos igualmente nos pacotes, sem sobra. Porém, a quantidade de 
maçãs não será igual à quantidade de peras em cada pacote. 
Sabendo disso, responda ao que se pede.
a. Qual é o número máximo de pacotes que ele poderá formar?
b. Quantas unidades de cada tipo de fruta serão colocadasem cada pacote?
7 Calcule o máximo divisor comum de 24 e 36.
TE
R
EZ
A 
TA
R
A
SO
VA
/ 
IS
TO
CK
D(48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
mdc(48, 32) = 16
mdc(24, 36) = 12
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
mdc(24, 36) = 12
Serão colocadas 3 maçãs e 2 peras. 
Ele poderá formar 16 pacotes.
Maçãs: 48 ÷ 16 = 3
Peras: 32 ÷ 16 = 2
205CAPÍTULO 8
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 205CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 205 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
8 Calcule o mínimo múltiplo comum de 18 e 24.
9 (Avaliação Nacional) Henrique estava usando um aplicativo de troca de men-
sagens com um colega de turma para conferir os resultados de uma tarefa que 
fizeram. Seu colega escreveu a forma fatorada de um dos números que deveria 
decompor, indicando o seguinte:
Forma fatorada = 2 · 2 · 2 · 7 · 13
Nesse caso, a forma fatorada escrita por ele é do número
a. 364
b. 628
c. 718
d. 722
e. 728
10 (Avaliação Nacional) Gabriela descobriu que pode usar a decomposição de um 
número em fatores primos para calcular o mínimo múltiplo comum de dois ou 
mais números. Nesse caso, ela percebeu a importância de saber decompor cor-
retamente um número e resolveu treinar. Ela escolheu o número 600 e fez sua 
decomposição. Se calculou corretamente, deverá obter
a. 2 · 2 · 3 · 5 · 5
b. 2 · 2 · 2 · 3 · 5 
c. 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5
d. 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5
e. 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 5
Sugestão de cálculo:
18, 24 2
9, 12 2
9, 6 2
9, 3 3
3, 1 3
1, 1
mmc(18, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72
mmc(18, 24) = 72
8. Neste exercício, 
os alunos podem 
fazer uso do méto-
do que preferirem 
para o cálculo, po-
dendo, por exem-
plo, relacionar os 
múltiplos, encon-
trando o mmc, ou 
usar o dispositivo 
vertical, como indi-
cado na sugestão 
de resolução. Na 
correção, fazer um 
levantamento so-
bre qual método 
foi preferido pela 
maioria. Com base 
nesse levantamen-
to, conversar com 
o grupo sobre essa 
preferência, para 
que todos possam 
expor suas opiniões 
em relação ao mé-
todo mais prático 
ou mais fácil.
10. Decompondo 
600 em fatores pri-
mos, temos:
600 2
300 2
150 2
75 3
25 5
5 5
1
Portanto, 600 = 2 · 2 · 
 · 2 · 3 · 5 · 5.
9. Neste exercício, 
basta efetuar a se-
quência de multipli-
cações dada:
2 · 2 · 2 · 7 · 13 =
= 4 · 2 · 7 · 13 =
= 8 · 7 · 13 = 
= 56 · 13 =
= 728
MATEMÁTICA206
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 206CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 206 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
207CAPÍTULO 8
PARA CONFERIR
1 Complete as lacunas com os divisores naturais de cada número indicado.
a. D(9) = { , , ,} 
b. D(16) = { , , , , } 
2 Três amigos fizeram algumas afirmações sobre a divisibilidade de um número. Veja.
Fábio: O número 676 é divisível por 6.
Lorena: O número 486 é divisível por 9.
Bruno: O número 1 001 é divisível por 10. 
Apenas um deles fez uma afirmação correta. Quem foi?
3 Circule os números que são considerados primos.
9 2 6 7 11
4 Complete cada decomposição com os números que estão faltando e anote a forma 
fatorada.
a. b. 
Forma fatorada: 
66 = 
Forma fatorada: 
140 = 
66 2
1
140 2
1
1
1
Foi Lorena.
2 · 3 · 11 2 · 2 · 5 · 7
2 4 8 16
3 9
33 70
35
7
11
3 2
5
7
11
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 207CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 207 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
ORGANIZADOR
VISUAL
MATEMÁTICA208
MATEMÁTICA
Números primos
Máximo divisor 
comum
Mínimo múltiplo 
comum por 
decomposição 
simultânea
Mínimo múltiplo 
comum (mmc)
Múltiplos comuns Divisores comuns
Números compostos
Decomposição em 
fatores primos
Múltiplos Divisores
Operações com 
números naturais
Critérios de 
divisibilidade por 2, 3, 
5, 6, 9 e 10
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 208CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 208 01/12/22 13:4301/12/22 13:43
ENCARTES
321MATEMÁTICA
ENCARTE
 PÁG. 48
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 321CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 321 01/12/22 13:4501/12/22 13:45
322
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 322CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 322 01/12/22 13:4501/12/22 13:45
ENCARTES
323MATEMÁTICA
ENCARTE
 PÁG. 204
1
SAÍDA
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16 17
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
18
48
63
19
47
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
64
20
46
82
93
65
21
45
81
100
CHEGADA
99
98
97
96
95
94
66
22
44
80
67
23
43
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
24
42
25
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
Recortar
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 323CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 323 01/12/22 13:4501/12/22 13:45
324
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 324CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 324 01/12/22 13:4501/12/22 13:45
ENCARTES
325MATEMÁTICA
ENCARTE
 PÁG. 204
Cole aqui
Cole aqui
Cole aqui
Co
le
 a
qu
i
Co
le
 a
qu
i
Cole aquiCo
le
 a
qu
i
Recortar
2
6
4 3
1
5
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 325CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 325 01/12/22 13:4501/12/22 13:45
326
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 326CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 326 01/12/22 13:4501/12/22 13:45
ENCARTES
327GEOGRAFIA
ENCARTE
 PÁG. 307
A
R
TE
 /
 G
1
COLETA E TRATAMENTO DE ESGOTO NO BRASIL
27% dos brasileiros não têm o esgoto coletado, nem tratado.
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 327CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 327 01/12/22 13:4501/12/22 13:45
328
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 328CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 328 01/12/22 13:4501/12/22 13:45
ADESIVOS
329HISTÓRIA
ADESIVO
 PÁG. 258
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 329CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 329 01/12/22 13:4601/12/22 13:46
ADESIVOS ADESIVOS ADESIVOS
ADESIVOS ADESIVOS ADESIVOS
ADESIVOS ADESIVOS ADESIVOS
ADESIVOS ADESIVOS ADESIVOS
ADESIVOS ADESIVOS ADESIVOS
ADESIVOS ADESIVOS ADESIVOS
CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 330CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 330 01/12/22 13:4601/12/22 13:46
CO EF 05 INFI 23 1B LV 04 MI DMUL PR.indd 3CO EF 05 INFI 23 1B LV 04 MI DMUL PR.indd 3 18/11/22 12:1518/11/22 12:15
CCP23PP252FGK04
CO EF 05 INFI 23 1B LV 04 MI DMUL PR.indd 4CO EF 05 INFI 23 1B LV 04 MI DMUL PR.indd 4 18/11/22 12:1618/11/22 12:16