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FORMAÇÃO DE PROFESSORES E APLICAÇÃO EM SALA DE AULA
V217m Van de Walle, John A.
 Matemática no ensino fundamental [recurso eletrônico] :
 formação de professores em sala de aula / John A. Van de Walle
 ; tradução Paulo Henrique Colonese. – 6. ed. – Dados
 eletrônicos. – Porto Alegre : Artmed, 2009.
 Editado também como livro impresso em 2009.
 ISBN 978-85-363-2090-8
 1. Matemática – Ensino fundamental. 2. Conceitos
 numéricos. 3. Senso numérico. 4. Operações. I. Título. 
CDU 51:373.3
Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/1922
Matemática no Ensino Fundamental 439
ciocínio espacial ou senso espacial e o conteúdo específi co tais 
como aqueles mais comumente encontrados nos objetivos estaduais 
ou municipais. O primeiro desses referenciais está relacionado 
ao modo como os estudantes pensam e raciocinam sobre formas e 
espaços. Existe uma base teórica bem pesquisada e fundamentada 
sobre a organização do desenvolvimento do pensamento geométri-
co que orienta esse referencial. O segundo referencial é o conteúdo 
em seu sentido mais tradicional – saber sobre simetria, triângulos, 
retas paralelas, e assim por diante. Os autores do Principles and 
standards for school mathematics do NCTM têm auxiliado a des-
crever os conteúdos ao longo das séries e dos ciclos.
Precisamos compreender ambos os aspectos de raciocínio e de 
conteúdo em geometria para auxiliar melhor os alunos a ampliar e 
desenvolver seu pensamento geométrico.
Senso espacial e raciocínio geométrico
O senso espacial pode ser defi nido como uma intuição, ou 
uma sensibilidade, sobre formas e as relações entre formas. Indi-
víduos com senso espacial possuem um “tato” para os aspectos 
geométricos de sua vizinhança e as formas criadas pelos objetos 
em seu ambiente.
O senso espacial inclui a habilidade para visualizar mental-
mente objetos e relações espaciais – para girar e virar as coisas 
em sua mente. Isso inclui um conforto com as descrições geomé-
tricas de objetos e de suas posições. Pessoas com senso espacial 
apreciam formas geométricas na arte, na natureza e na arquitetu-
ra. Elas são capazes de usar ideias geométricas para descrever e 
analisar o mundo em que vivem.
Muitas pessoas afi rmam que não são muito boas com formas 
ou que elas possuem um senso espacial pobre. A crença típica é 
de que ou você nasceu com senso espacial ou não. [Uma pers-
pectiva totalmente inatista.] Mas isso não é verdade! Atualmente 
sabemos que experiências ricas com formas e relações espaciais, 
quando fornecidas consistentemente ao longo do tempo, podem 
e desenvolvem o senso espacial. Mas sem experiências geomé-
tricas ricas e interessantes, a maioria das pessoas não desenvolve 
seu senso espacial ou raciocínio espacial. Entre 1990 e 1996, os 
resultados do NAEP indicaram uma melhoria estável e contínua 
no raciocínio geométrico dos alunos em todas as três séries testa-
das: 4
a
 e 8
a
 no EF e 12
a
 no EM (Martin e Strutchens, 2000). Mas 
os alunos não melhoraram. Provavelmente houve um aumento na 
ênfase em geometria em todas as séries. Entretanto, muito mais 
ainda precisa ser feito se pretendermos que as crianças norte e 
sul-americanas alcancem o mesmo nível que os estudantes euro-
peus e asiáticos.
 Faça uma pausa e refl ita
Refl ita por um momento sobre as suas próprias crenças e concep-
ções no que diz respeito às habilidades de um indivíduo na área do 
senso espacial. O que você considera que faz com que algumas pes-
soas tenham um senso espacial melhor do que outras?
Os Padrões do NCTM defendem a noção de que to-
dos os alunos podem desenvolver suas habilidades e 
compreensões geométricas. “A noção de construção 
da compreensão em geometria por meio das séries, do pensa-
mento informal para um pensamento mais formal, é consistente 
com o pensamento teórico e as pesquisas em educação matemá-
tica” (p. 41).
O conteúdo geométrico
Por muito tempo, o currículo de geometria nos Estados Uni-
dos tem sido um tanto quanto uma mistura eclética de atividades 
e listas de “palavras em negrito” – com uma ênfase excessiva e 
exagerada na aprendizagem da terminologia. Ao mesmo tempo, 
a crescente ênfase dedicada à geometria tem gerado uma enorme 
variedade de atividades incríveis para os alunos. Os Padrões em 
Geometria nos Princípios e Padrões são um guia muito útil para 
o currículo da Educação Infantil (EI) ao Ensino Médio (EM). 
Como em cada um dos Padrões de Conteúdo, os Padrões em 
Geometria têm uma série de objetivos que se aplicam a todas as 
séries de ensino. Os quatro objetivos para geometria podem ser 
brevemente sumarizados com os temas: Formas e Propriedades, 
Transformação, Localização e Visualização.
Formas e Propriedades ● : inclui um estudo das propriedades 
das formas em ambas as dimensões (bi e tri), como também 
um estudo das relações construídas sobre essas proprieda-
des.
Transformação ● : inclui um estudo de translações, refl exões, 
rotações (deslizamentos, viradas e giros), o estudo de sime-
trias e o conceito de semelhança.
Localização ● : refere-se primariamente à geometria de co-
ordenadas ou outros modos de especifi car como os objetos 
estão localizados no plano ou no espaço.
Visualização ● : inclui o reconhecimento de formas no am-
biente, o desenvolvimento de relações entre objetos bi e 
tridimensionais, e a habilidade de desenhar e reconhecer 
objetos de diferentes perspectivas.
O valor desses objetivos de conteúdo é que fi nalmente existe 
um referencial de conteúdo que percorre transversalmente as sé-
ries de modo que professores e planejadores curriculares possam 
examinar o seu desenvolvimento anualmente. Para obter uma 
visão mais detalhada dessas áreas curriculares, consulte o Apên-
dice A e examine os objetivos e as expectativas do NCTM para 
cada uma dessas áreas ao longo das séries. As atividades neste 
capítulo estão agrupadas de acordo com essas quatro categorias 
para melhor orientar o seu trabalho.
O desenvolvimento do 
pensamento geométrico
Nem todas as pessoas pensam sobre as ideias geométricas 
da mesma maneira. Certamente, nós não somos todos iguais, mas 
somos todos capazes de crescer e desenvolver nossa habilidade 
de pensar e raciocinar em contextos geométricos. A pesquisa de 
dois educadores holandeses, Pierre van Hiele e Dina van Hiele-
Geldof, tem fornecido insights quanto às diferenças no pensa-
mento geométrico e como essas diferenças são estabelecidas.
O trabalho do casal van Hiele se iniciou em 1959 e, imedia-
tamente, atraiu muito a atenção da União Soviética, mas por qua-
se duas décadas fi cou praticamente desconhecido nos Estados 
Padrões
NCTM
440 John A. Van de Walle
Unidos e na maioria dos países ocidentais (Hoffer, 1983; Hoffer 
e Hoffer, 1992). Mas atualmente, a teoria dos van Hiele se tornou 
o fator mais infl uente no currículo de geometria norte-americano 
e de diversos países.
Os níveis do pensamento
geométrico de van Hiele
O aspecto mais proeminente do modelo é uma hierarquia 
de cinco níveis dos modos de compreensão de ideias espaciais. 
Cada um dos cinco níveis descreve os processos de pensamen-
to usados em contextos geométricos. Os níveis descrevem como 
pensamos e quais os tipos de ideias geométricas sobre as quais 
pensamos mais do que a quantidade de conhecimento ou de in-
formação que temos a cada nível. Uma diferença signifi cativa de 
um nível ao seguinte são os objetos de pensamento – sobre os 
quais somos capazes de pensar [operar] geometricamente.
Nível 0: visualização
Os objetos de pensamento no Nível 0 são as formas e “o que 
elas parecem”.
Os alunos nesse primeiro nível reconhecem e nomeiam as 
fi guras, baseados em suas características globais e visuais – uma 
abordagem do tipo Gestalt* para as formas. Esses alunos são ca-
pazes de fazer medidas e até mesmo conversar sobre as proprie-
dades das formas, mas essas propriedades não são abstraídas das 
formas que eles manipulam. Para esse alunos, é a aparência da 
forma quea defi ne. Uma forma quadrada é um quadrado “por-
que se parece com um quadrado”. O fato de a aparência ser o 
fator dominante nesse nível faz com que as aparências possam 
prevalecer sobre as propriedades de uma forma. Por exemplo, ao 
girar um quadrado de modo que todos os seus lados estejam a um 
ângulo de 45º com a vertical, ele pode agora ser um losango e 
não mais um quadrado. Os estudantes nesse nível irão agrupar e 
classifi car as formas, baseados em suas aparências – “Eu coloquei 
essas formas juntas porque elas são todas pontudas” (ou “gordas” 
ou “se parecem com uma casa”, ou são “dentadas”, e assim por 
diante). Com o seu foco na aparência das formas, os alunos são 
capazes de perceber como as formas são parecidas e diferentes. O 
resultado disso é que os alunos nesse nível podem criar e começar 
a compreender as classifi cações de formas.
Os produtos de pensamento no Nível 0 são classes ou agru-
pamentos de formas que são “parecidas”.
A ênfase no Nível 0 está nas formas que os alunos podem: 
observar, tocar, construir, separar, decompor, compor ou traba-
lhar de alguma maneira. O objetivo geral é explorar como as 
formas são parecidas e diferentes e usar essas ideias para criar 
classes de formas (tanto fi sicamente quanto mentalmente). Algu-
mas dessas classes de formas possuem nomes – retângulos, tri-
ângulos, prismas, cilindros e assim por diante. As propriedades 
das formas, tais como lados paralelos, simetrias, ângulos retos e 
assim por diante, estão incluídas nesse nível, mas apenas de uma 
maneira informal e observacional.
 * N. de T.: Gestalt – teoria que considera os fenômenos psicológicos como to-
talidades organizadas, indivisíveis, articuladas, isto é, como confi gurações.
Embora a teoria dos van Hiele se aplique a todos os estu-
dantes que estejam aprendendo qualquer conteúdo geométrico, 
ela pode ser facilmente aplicada à teoria das categorias de formas 
e propriedades. A seguinte atividade é um bom exemplo de uma 
proposta de atividade adequada ao Nível 0.
FIGURA 21.1 Uma coleção de formas para agrupar. Veja 
fi chas-modelo de Trabalho para obter uma coleção maior de 
formas.
Grupos de formas
Organize os alunos para trabalhar em “quartetos apren-
dizes” com um conjunto de formas bidimensionais se-
melhantes àquelas na Figura 21.1. Aqui temos algumas 
atividades relacionadas que podem ser feitas na seguinte 
ordem:
Cada estudante escolhe, ao acaso, uma das formas da ■
coleção. Na sua vez, cada aluno conta para o grupo 
uma ou duas coisas interessantes que descobriu sobre 
suas formas. Não há respostas certas ou erradas.
Cada aluno seleciona ao acaso duas formas. A tarefa ■
é descobrir alguma coisa que seja semelhante sobre 
as duas formas escolhidas e alguma coisa que seja di-
ferente. (Oriente-as para que escolham suas formas 
antes delas saberem qual é a tarefa.)
O grupo seleciona uma forma ao acaso e a coloca no ■
centro da mesa. Sua tarefa é descobrir todas as ou-
tras formas da coleção que são como a forma esco-
lhida, mas todas de acordo com a mesma regra. Por 
exemplo, se elas disserem “Essa fi gura é como a nossa 
forma porque possui um lado curvo e um lado reto”, 
Atividade 21.1
Matemática no Ensino Fundamental 441
Dependendo da série ou do ciclo escolar, essa atividade irá 
explicitar uma ampla variedade de ideias, conforme os estudan-
tes examinam e investigam as formas. Em sua maior parte, essas 
ideias serão do tipo “curvas” ou “parece com um foguete” em 
vez de conceitos geométricos típicos. Mas os alunos podem co-
meçar a perceber propriedades mais sofi sticadas e o professor 
pode ter uma oportunidade de introduzir os nomes apropriados às 
mesmas conforme os alunos descrevam as formas. Por exemplo, 
eles podem notar que algumas formas possuem cantos “como um 
quadrado” (ângulos retos) ou que “essas formas são as mesmas 
de ambos os lados” (linha de simetria).
O que claramente torna essa atividade de Nível 0, en-
tretanto, não é a presença ou a ausência de propriedades ou 
termos geométricos tradicionais. Sem dúvida, os alunos estão 
operando sobre as formas que veem a sua frente. Além disso, 
para os estudantes de Nível 0, as formas podem até mesmo 
“mudar” ou ter diferentes propriedades quando forem rearru-
madas ou sofrerem alguma rotação. O objetivo da atividade é 
que os alunos comecem a ver o que são semelhanças e diferen-
ças nas formas. Ao formarem grupos de formas, eles podem 
começar a imaginar formas pertencentes a essas classes que 
não estejam presentes.
Nível 1: análise
Os objetos de pensamento no Nível 1 são as classes de for-
mas, mais do que as formas individuais.
Os estudantes no nível de análise são capazes de considerar 
todas as formas dentro de uma classe, bem mais do que analisar 
apenas uma forma única. Em vez de conversar sobre esse retân-
gulo, é possível conversar sobre todos os retângulos. Se concen-
trando sobre uma classe de formas, os alunos são capazes de pen-
sar sobre o que torna um retângulo um retângulo (quatro lados, 
lados opostos paralelos, lados opostos de mesmo comprimento, 
quatro ângulos retos, diagonais congruentes, etc.). Os aspectos 
irrelevantes (Por exemplo, tamanho ou orientação) desaparecem 
em segundo plano. Nesse nível, os alunos começam a apreciar 
que uma coleção de formas é composta devido às suas proprie-
dades. As ideias sobre uma forma individual agora podem ser 
generalizadas a todas as formas que se encaixam naquela classe. 
Se uma forma pertence a uma classe particular tal como cubos, 
ela possui as propriedades correspondentes daquela classe. “To-
dos os cubos possuem seis faces congruentes e cada uma dessas 
faces é um quadrado”. Essas propriedades estavam apenas implí-
citas no Nível 0. Os estudantes operando no Nível 1 podem ser 
capazes de listar todas as propriedades de quadrados, retângulos 
e paralelogramos, mas não percebem que esses são subclasses de 
outra classe, que todos os quadrados são retângulos e todos os re-
tângulos são paralelogramos. Ao defi nir uma forma, os pensado-
res no Nível 1 vão, provavelmente, listar as muitas propriedades 
de uma forma que conhecem.
Os produtos de pensamento no Nível 1 são as propriedades 
das formas.
Uma diferença signifi cativa entre o Nível 1 e o Nível 0 é o 
objeto de pensamento dos estudantes em cada nível. Apesar de 
no Nível 1, os estudantes continuarem a usar modelos e desenhos 
de formas, eles começam a vê-las como representantes de clas-
ses de formas. Sua compreensão das propriedades das formas – 
tais como simetria, retas perpendiculares e paralelas e assim por 
diante, continua a ser refi nada.
Na próxima atividade, os alunos colocam em jogo tantas 
propriedades de formas quantas puderem. Eles já terão apren-
dido essas propriedades em atividades anteriores, possivelmente 
enquanto operavam no Nível 0. Estas podem incluir ideias, tais 
como simetria, classifi cação quanto ao ângulo reto (reto, obtuso, 
agudo), linhas paralelas e perpendiculares e o conceito de seg-
mentos de reta e ângulos congruentes.
Listas de propriedades para quadriláteros
Prepare as fi chas de trabalho para paralelogramos, lo-
sangos, retângulos e quadrados. (Veja fi chas-modelo). 
Em cada fi cha de trabalho, há três ou quatro exemplos 
daquela categoria de forma. Exemplos são ilustrados 
na Figura 21.2. Organize os alunos para trabalharem 
em grupos de três (trios) ou de quatro (quartetos) para 
cada tipo de quadrilátero. A tarefa dos grupos é listar 
tantas propriedades quantas eles conseguirem. Cada 
propriedade listada deve ser aplicável a todas as formas 
em sua fi cha de trabalho. Eles vão precisar de uma fi -
cha de registro simples para: checar os ângulos retos, 
comparar os comprimentos dos lados e desenhar linhas 
retas. Espelhos (para checar linhas de simetria) e papel 
de transparência (para checar congruências de ângulos 
e simetrias rotacionais) também são instrumentos úteis. 
Encoraje os alunos a usar as palavras “pelo menos” ao 
descreverem aquantidade de alguma coisa, por exem-
plo, “retângulos têm pelo menos duas linhas de sime-
tria,” enquanto quadrados – incluídos nos retângulos 
– possuem quatro.
Oriente os alunos a preparar suas listas de proprie-
dades sob esses cabeçalhos: Lados, Ângulos, Diagonais e 
Simetrias. Os grupos deverão compartilhar suas listas com 
toda a turma e, eventualmente, [a partir das discussões], 
será desenvolvida uma lista coletiva da turma para cada 
forma.
Atividade 21.2
então todas as outras formas colocadas na coleção 
devem ter essas propriedades. Desafi e-as a fazer um 
segundo agrupamento com a mesma forma escolhida, 
mas usando uma propriedade diferente.
Peça que os alunos compartilhem suas regras de agru- ■
pamento com toda a turma e mostrem exemplos. To-
dos eles devem desenhar uma nova forma que tam-
bém irá se encaixar no grupo de acordo com a mesma 
regra. Eles devem escrever sobre as propriedades de 
sua nova forma e porque ela atende à regra.
Faça um “Grupo Secreto”. Você ou um dos alunos ■
cria uma pequena coleção de cerca de cinco formas 
que se enquadram em uma regra secreta. Deixe as 
outras formas que pertencem a seu grupo na pilha. 
Os outros tentarão encontrar as outras peças que 
também pertençam ao conjunto e/ou descobrir a re-
gra secreta.
442 John A. Van de Walle
Tanto esta atividade quanto a atividade anterior de classifi -
cação envolvem um exame minucioso das formas. Embora esta 
atividade vá enfocar mais as propriedades geométricas tradicio-
nais, vimos que essas mesmas propriedades podem também ter 
sido desenvolvidas durante a atividade anterior. O que distingue 
essa atividade da atividade de classifi cação do Nível 0 é o obje-
to de pensamento dos alunos. Apesar de haver algumas formas 
disponíveis, eles devem imaginar que propriedades se aplicam a 
todas as formas na categoria. Se eles estiverem trabalhando nos 
quadrados, por exemplo, suas observações devem se aplicar tan-
to a um quadrado de lado com comprimento de um quilômetro 
quanto a um quadrado com lado de dois centímetros de compri-
mento.
Nível 2: dedução informal
Os objetos de pensamento no Nível 2 são as propriedades 
das formas.
Quando os alunos começam a ser capazes de pensar sobre 
as propriedades de objetos geométricos sem as restrições de um 
objeto particular, são capazes de desenvolver relações entre es-
sas propriedades. “Se todos os quatro ângulos são retos, a forma 
deve ser um retângulo”. “Se isso é um quadrado, todos os ângu-
los são ângulos retos”. “Se isso é um quadrado, ele tem de ser um 
retângulo”. Com maior habilidade para se engajar no raciocínio 
do tipo “se – então”, as formas podem ser classifi cadas usando 
apenas uma quantidade mínima de características. Por exemplo, 
“quatro lados congruentes e pelo menos um ângulo reto” pode 
ser sufi ciente para defi nir um quadrado. Retângulos são “para-
lelogramos com um ângulo reto”. As observações vão além das 
próprias propriedades e começam a enfocar os argumentos ló-
gicos sobre as propriedades. Os alunos no Nível 2 serão capa-
zes de acompanhar e apreciar um argumento dedutivo informal 
sobre formas e suas propriedades. As “provas” podem ser mais 
intuitivas do que rigorosamente dedutivas. Entretanto, há uma 
apreciação de que um argumento lógico é necessário. Entretanto, 
uma apreciação da estrutura axiomática de um sistema dedutivo 
formal permanece sob a superfície.
Os produtos de pensamento no Nível 2 são relações entre as 
propriedades de objetos geométricos.
A marca de qualidade das atividades de Nível 2 é a inclusão 
do raciocínio lógico informal. Os alunos já desenvolveram uma 
compreensão de várias propriedades das formas. Agora, é o mo-
mento de encorajá-los a fazer conjecturas e questionar “Por quê?” 
ou “E se?”. Compare o pensamento requerido na seguinte ativida-
de com aquela da atividade “Listas de Propriedades” e que foi ela-
borada para ser usada em sequência daquela. (As duas atividades 
formam um par que pode ser feito ao longo de vários dias.)
LMD: Listas mínimas de defi nições
(Esta atividade deve ser feita em sequência à atividade 
“Listas de propriedades”, descrita anteriormente.)
Uma vez que as listas de propriedades para os para-
lelogramos, losangos. retângulos e quadrados (e possivel-
mente os “papagaios” (pipas) e os trapézios) tenham sido 
construídas coletivamente pela turma, exponha as listas 
em um painel ou reproduza-as para os alunos. Em peque-
nos grupos, a tarefa é criar “Listas mínimas de defi nição” 
ou LMDs para cada forma. Uma LMD é um subconjunto 
das propriedades de uma forma que pode ser usado para 
“defi ni-la” e é, ao mesmo tempo, “mínima” [sufi ciente e 
necessária]. “Defi nir” aqui signifi ca que qualquer forma 
que tenha todas as propriedades da LMD deve ser da-
quela forma. Então, uma LMD para um quadrado vai ga-
rantir que você tenha um quadrado. “Mínima” signifi ca 
que se qualquer propriedade simples for removida dessa 
lista, ela deixa de ser uma defi nição. Por exemplo, uma 
LMD para um quadrado é um quadrilátero com quatro 
lados congruentes e quatro ângulos retos. Os estudantes 
devem tentar descobrir pelo menos duas ou três LMDs 
para suas formas. Uma lista proposta pode ser contestada
ou como não mínima ou como não defi nidora. Uma lista 
não é mínima se uma propriedade puder ser removida 
e a lista restante ainda defi nir a forma. Uma lista não é 
defi nidora se um contraexemplo – alguma outra forma 
diferente daquela que está sendo descrita – puder ser 
produzida usando apenas as propriedades na lista.
Atividade 21.3
Deve-se notar na atividade “Listas mínimas de defi nição” 
o seu componente lógico. “Se um quadrilátero possui essas pro-
priedades, então ele deve ser um quadrado”. A lógica também 
está envolvida em provar que uma lista é imperfeita – ou não - 
mínima ou não defi nidora. Aqui, os alunos começam a aprender 
sobre a natureza de uma defi nição e o valor dos contraexemplos. 
De fato, qualquer Lista mínima de defi nição (LMD) é uma defi -
nição em potencial. Esse pensamento lógico não era exigido na 
atividade “Listas de propriedades”. O outro aspecto dessa ativi-
dade que claramente a estabelece na categoria de Nível 2 é que os 
Quadrados Paralelogramos
Losangos Retângulos
FIGURA 21.2 As fi chas-modelo “Listas de propriedades de 
quadriláteros” podem ser encontradas nos Modelos de Fichas 
de Trabalho.
Matemática no Ensino Fundamental 443
alunos estão enfocando aqui as listas de propriedades das formas 
– as mesmas coisas que eram os produtos da atividade anterior 
de Nível 1. Como um resultado da atividade LMD, os estudantes 
estão criando uma coleção de novas relações que existem entre e 
no meio das propriedades.
Nível 3: dedução
Os objetos de pensamento no Nível 3 são relações entre as 
propriedades dos objetos geométricos.
No Nível 3, os estudantes são capazes de examinar mais do 
que apenas as propriedades das formas. Seu pensamento anterior 
produziu conjecturas envolvendo as relações entre as proprieda-
des. Essas conjecturas estão corretas? Elas são “verdadeiras”? 
Quando essa análise dos argumentos informais começa a ocorrer, 
a estrutura de um sistema completo – com axiomas, defi nições, 
teoremas, corolários e postulados – começa a se desenvolver 
e pode ser apreciada como um meio necessário de estabelecer 
verdades geométricas. Neste Nível, os estudantes começam a 
apreciar a necessidade de um sistema lógico fundamentado sobre 
um conjunto mínimo de suposições e do qual, outras verdades 
possam ser derivadas. O estudante neste Nível é capaz de tra-
balhar com sentenças abstratas sobre as propriedades geomé-
tricas e estabelecer conclusões baseadas mais na lógica do que 
na intuição. Um estudante operando no Nível 3 pode claramente 
observar que as diagonais de um retângulo bissectam uma a ou-
tra, como um de um nível de pensamento inferior também po-
deria. Entretanto, no Nível 3, há uma apreciação da necessidade 
de provar isso a partir de uma série de argumentos dedutivos.O 
pensador do Nível 1, ao contrário, acompanha o argumento, mas 
falha em apreciar sua necessidade.
Os produtos de pensamento do Nível 3 são sistemas axiomá-
ticos dedutivos para a geometria.
O tipo de raciocínio que caracteriza um pensador no Nível 3 
é o mesmo necessário em um curso típico de geometria do Ensi-
no Médio (EM), onde os alunos constroem uma lista de axiomas 
e defi nições para criar teoremas. Eles também provam teoremas 
usando raciocínio lógico claramente articulado, enquanto o ra-
ciocínio no Nível 1 pode ser bastante informal. Nos melhores 
cursos de geometria, os alunos devem se engajar em atividades 
nas quais possam descobrir as relações que eles mais tarde pro-
varão. Isso é semelhante às descobertas que os alunos fazem ao 
criarem suas listas mínimas de defi nição.
Em um sentido muito global, os alunos de geometria no EM 
estão trabalhando na criação de um sistema dedutivo geométrico 
completo. Geralmente esse é o sistema euclidiano que descreve 
melhor o mundo em que estamos acostumados a viver. Eles po-
dem também explorar outros sistemas geométricos, tais como a 
geometria onde todas as retas são desenhadas sobre a superfície 
de uma esfera ou então, a “geometria do motorista de táxi” onde 
os carros só podem seguir uma grade retangular de “ruas”. Esses 
sistemas são o produto de seu pensamento.
Nível 4: rigor
Os objetos de pensamento no Nível 4 são sistemas dedutivos 
axiomáticos para a geometria.
No nível mais elevado da hierarquia da Teoria dos van Hiele, 
os objetos de atenção são os próprios sistemas axiomáticos, não 
apenas as deduções dentro de um sistema. Há uma apreciação 
das distinções e relações entre diferentes sistemas axiomáticos. 
Por exemplo, a geometria esférica é baseada em linhas traçadas 
sobre uma esfera em vez de um plano ou espaço ordinário. Essa 
geometria tem seu conjunto próprio de axiomas e teoremas. Este 
é geralmente o nível de um especialista em matemática no ensino 
superior que esteja estudando geometria como um ramo da ciên-
cia matemática.
Os produtos de pensamento no Nível 4 são comparações 
e confrontos entre os diferentes sistemas axiomáticos da 
geometria.
Características dos níveis da
teoria dos van Hiele
Você, sem dúvida, notou que os produtos de pensamento em 
cada nível são os objetos de pensamento do nível seguinte. Essa 
relação objeto-produto entre os níveis da teoria dos van Hiele é 
ilustrada na Figura 21.3. Os objetos (ideias) devem ser criados 
em um nível de modo que as relações entre esses objetos possam 
se tornar o foco do nível seguinte. Além desse conceito-chave da 
A Teoria do Desenvolvimento do Pensamento
Geométrico dos van Hiele
Relações
entre as
propriedades
Sistemas
Dedutivos de
propriedades
Análise dos
sistemas
dedutivos
Propriedades
das formas
0. Visualização
1. Análise
2. Dedução
 Informal
3. Dedução
4. Rigor
Formas
Classes de
Formas
FIGURA 21.3 Em cada nível do Pensamento Geométrico, as ideias criadas nesse nível se tornam o foco ou objeto de pensamento 
do nível seguinte.
444 John A. Van de Walle
teoria, quatro características relacionadas aos níveis de pensa-
mento merecem atenção especial.
 1. Os níveis são sequenciais. Para chegar a qualquer nível aci-
ma do Nível 0, o aluno deve percorrer todos os níveis ante-
riores. Alcançar um nível signifi ca que o estudante experi-
mentou o pensamento geométrico apropriado para aquele 
nível e criou em sua própria mente os tipos de objetos ou 
relações que serão o foco do pensamento no próximo nível.
 2. Os níveis não são dependentes da idade no sentido dos es-
tágios de desenvolvimento de Piaget. Um estudante na 3a 
série do EF ou no EM pode estar no mesmo Nível. Além 
disso, alguns estudantes e adultos permanecem no Nível 0 
e um número signifi cativo de adultos nunca alcança o Nível 
2. Mas a idade está certamente relacionada à quantidade e 
aos tipos de experiências geométricas que eles tiveram. Por-
tanto, é razoável supor que todas as crianças da EI à 2
a
 série 
estejam no Nível 0, como também a maioria das crianças 
nas 3
a
 e 4
a
 séries do EF.
 3. A experiência geométrica é o fator simples de maior in-
fl uência sobre o avanço ou desenvolvimento através dos 
níveis. Atividades que permitam às crianças explorar, con-
versar sobre e interagir com o conteúdo do nível seguinte, 
enquanto ampliam suas experiências em seu nível corrente, 
têm a melhor chance de desenvolver o nível de pensamento 
geométrico dessas crianças.
 4. Quando o ensino ou a linguagem está em um nível superior 
ao do estudante, haverá uma falta de comunicação. Os es-
tudantes obrigados a lidar com objetos de pensamento que 
não foram ainda construídos no nível anterior podem ser 
forçados a uma aprendizagem mecânica [marcada pela re-
petição e memorização sem compreensão] e alcançar ape-
nas um êxito temporário e superfi cial. Um aluno pode, por 
exemplo, memorizar que todos os quadrados são retângulos 
sem ter construído essa relação. Bem como pode memori-
zar uma prova geométrica, mas falhar ao criar os passos ou 
compreender os fundamentos envolvidos (Fuys, Geddes e 
Tischler, 1988; Geddes e Fortunato, 1993).
Implicações para o ensino
Se a teoria dos van Hiele estiver correta – e há muitas evi-
dências que a sustentam – então um objetivo fundamental do 
currículo do EF deve ser desenvolver o nível de pensamento ge-
ométrico dos estudantes. Se os alunos devem ser adequadamente 
preparados para o currículo da geometria dedutiva do EM, então 
é importante que seu pensamento geométrico tenha se desenvol-
vido até o Nível 2 ao fi nal da 8
a
 série.
Nem todo professor será capaz de fazer as crianças se desen-
volverem para o nível seguinte. Entretanto, todos os professores 
devem estar conscientes de que as experiências fornecidas aos 
alunos serão o fator simples mais importante ao tentar fazer as 
crianças subirem essa escada desenvolvimentista. Todo profes-
sor deve ser capaz de perceber algum desenvolvimento no pensa-
mento geométrico ao longo do curso de um ano.
A teoria dos van Hiele e a perspectiva desenvolvimentista 
deste livro realçam a necessidade de ensinarmos no nível de pen-
samento da criança. Entretanto, quase todas as atividades podem 
ser modifi cadas para transpor dois níveis de pensamento, mesmo 
dentro de uma mesma turma. Em muitas atividades, como inte-
ragimos com as crianças individualmente vai adaptar a atividade 
aos seus níveis e encorajá-las ou desafi á-las a operar no nível 
superior seguinte.
As próximas seções contêm descrições dos tipos de ativida-
des e questionamentos que são apropriados a cada um dos primei-
ros três níveis de pensamento. Aplique esses descritores às tarefas 
que você propõe aos alunos, e use-os para orientar sua interação 
com eles. A utilização de materiais concretos, desenhos e mode-
los computacionais é um imperativo em cada nível.
Ensino no nível 0
As atividades educacionais em geometria apropriadas ao 
Nível 0 devem:
Envolver muitos agrupamentos e classifi cações. Observar ●
como as formas são parecidas e diferentes é o foco primário 
do Nível 0. Conforme os alunos aprendem mais conteúdos, 
os tipos de coisas que percebem vão se tornando mais sofi s-
ticados. No estágio bem inicial eles podem conversar sobre 
atributos da forma que pareçam não geométricos tais como 
“gordo” ou mesmo a cor das peças. Quando propriedades 
tais como simetria e quantidade de lados e “cantos” forem 
introduzidas, os alunos devem ser desafi ados a usar esses 
aspectos para classifi car as formas.
Inclua uma variedade sufi ciente de exemplos das formas ●
de modo que os aspectos irrelevantes não se tornem impor-
tantes. Os alunos precisam de amplas oportunidades para 
desenhar, construir, fazer, compor e decompor formas em 
ambos os espaços bi e tridimensionais. Essas atividades de-
vem ser construídas em torno de características específi cas 
ou propriedades de modo que os alunos desenvolvam uma 
compreensão das propriedadesgeométricas e comecem a 
usá-las naturalmente.
Para auxiliar os alunos a irem do Nível 0 ao Nível 1, eles de-
vem ser desafi ados a testar ideias sobre formas para uma varieda-
de de exemplos de uma categoria particular. Diga-lhes, “Vejamos 
se isso é verdade para outros retângulos”, ou “Você consegue 
desenhar um triângulo que não possua um ângulo reto?”. Em ge-
ral, os alunos devem ser desafi ados a verifi car se as observações 
feitas sobre uma forma particular se aplicam a outras formas de 
um tipo semelhante.
Ensino no nível 1
As atividades educacionais em geometria apropriadas para 
o Nível 1 devem:
Enfocar mais as propriedades das fi guras do que a sim- ●
ples identifi cação das mesmas. Conforme outros conceitos 
geométricos forem aprendidos, a quantidade de proprieda-
des que as fi guras possuem pode ser expandida.
Aplicar ideias a uma classe inteira de fi guras (por exemplo, ●
todos os retângulos..., todos os prismas...) em vez de aos 
modelos individuais. Analisar as classes de fi guras para 
determinar novas propriedades. Por exemplo, encontre ma-
neiras de agrupar todos os possíveis triângulos em grupos. 
E a partir desses grupos, defi nir tipos de triângulos. Soft-
Matemática no Ensino Fundamental 445
wares de geometria dinâmica tais como o The geometer’s 
sketchpad (da Key Curriculum Press) ou o “Régua e Com-
passo” (versão livre) são especialmente úteis para explorar 
muitos exemplos de uma classe de formas.
Para auxiliar os alunos a irem do Nível 1 ao Nível 2, desa-
fi e-os com questões do tipo “Por quê?” e aquelas que envolvem 
algum raciocínio. Por exemplo, “Se os lados de uma forma de 
quatro lados são todos congruentes, você sempre terá um quadra-
do?” e “Você consegue encontrar um contraexemplo?”
Ensino no nível 2
As atividades educacionais em geometria apropriadas ao 
Nível 2 devem:
Encorajar a elaboração e testagem de hipóteses ou conjec- ●
turas. “Você acha que isso funciona o tempo todo?”, “Isso é 
verdadeiro para todos os triângulos ou apenas para os equi-
láteros?”.
Examinar as propriedades das formas para determinar as ●
condições necessárias e sufi cientes para diferentes formas 
ou conceitos. “Que propriedades das diagonais você consi-
dera garantir a obtenção de um quadrado?”
Usar a linguagem da dedução informal: todos, alguns, ne- ●
nhum, se... então e se?, etc.
Encorajar os alunos a tentar estabelecer provas informais. ●
Como uma alternativa, peça que eles expliquem ou deem 
sentido às provas informais que outros alunos ou você te-
nham sugerido.
A seleção de tarefas e os níveis
de pensamento
Se você ensina entre a EI e a 3
a
 série, aproximadamente todos 
os seus alunos estarão no Nível 0. Entretanto, ao fi nal da 3ª série, 
você certamente vai querer começar a desafi á-los que pareçam 
capazes. Nas séries posteriores, você pode ter dentro da mesma 
turma, alunos em dois ou até mesmo todos os três níveis de pensa-
mento geométrico. Como você vai descobrir o nível de cada um? 
Uma vez que você conheça o nível, como vai selecionar atividades 
corretas e adequadas aos níveis de pensamento de seus alunos?
Não há teste simples para enquadrar os estudantes em algum 
nível. Entretanto, examine os descritores para os dois primeiros 
níveis. Conforme você conduza uma atividade, escute os tipos 
de observações que os alunos fazem. Eles conseguem falar sobre 
formas enquanto classes de fi guras? Eles se referem, por exem-
plo, aos “retângulos” em vez de basear suas discussões ao redor 
de um retângulo particular? Eles generalizam certas proprieda-
des que podem ser atribuídas a um tipo de forma ou simplesmen-
te à forma que estão manipulando? Eles compreendem que as 
formas não mudam quando a orientação espacial é modifi cada? 
Com simples observações desse tipo, você logo será capaz de 
distinguir os alunos entre os Níveis 0 e 1.
Nas séries seguintes, tente orientar os alunos do Nível 1 ao 
Nível 2. Se eles não forem capazes de acompanhar ou apreciar os 
argumentos lógicos e não se sentirem confortáveis com conjec-
turas e raciocínios tipo “se – então”, esses alunos provavelmente 
ainda estão no Nível 1 ou no Nível 0.
O restante desse capítulo oferece uma amostragem de ativi-
dades organizada amplamente ao redor dos quatro objetivos es-
pecífi cos de conteúdo dos Padrões do NCTM: Formas e Proprie-
dades, Localização, Transformações e Visualização. Dentro de 
cada um desses grupos de conteúdos, as atividades foram ainda 
agrupadas de acordo com os três primeiros níveis de van Hiele. 
Compreenda que todas essas subdivisões são bastante fl uidas. 
Uma atividade que se encontra em um nível pode facilmente ser 
adaptada para um nível adjacente simplesmente pelo modo que 
ela é apresentada aos alunos. Como você poderá constatar até 
mesmo as subdivisões de conteúdo se sobrepõem.
As atividades que mais claramente refl etem os níveis de van 
Hiele se encontram na seção Formas e Propriedades. Conforme 
você explora algumas das atividades em cada seção, você deve 
começar a apreciar o porquê de uma atividade ser apropriada a 
um nível ou a outro. Não se preocupe tanto em emparelhar níveis 
e atividades, a ponto de tornar a seleção de tarefas uma agonia. 
Como uma orientação rudimentar, se você leciona da EI à 2
a
 sé-
rie, comece com o Nível 0; de 3
a
 a 5
a
 série, explore os Níveis 0 e 
1; de 6
a
 a 8
a
 série, procure atividades de Nível 1 e de Nível 2.
Aprendizagem sobre 
formas e propriedades
Essa é a área de conteúdo que a maioria das pessoas conside-
ra ou imagina ao pensar sobre a geometria em sala de aula no EF; 
as crianças trabalhando com formas bi e tridimensionais. Elas es-
tão descobrindo o que torna essas formas parecidas e diferentes e 
neste processo elas começam a descobrir propriedades das formas. 
As propriedades são descobertas e descritas, seus nomes conven-
cionais podem ser apresentados; os alunos vão, com experiências 
sufi cientes, desenvolver classifi cações de formas especiais – tri-
ângulos, paralelogramos, cilindros, pirâmides, etc. – e aprender 
que algumas propriedades se aplicam a classes inteiras. Eventual-
mente, elas investigarão como as propriedades das formas impõem 
consequências lógicas às relações geométricas e a habilidade de 
raciocinar sobre formas e propriedades será desenvolvida.
Formas e propriedades para 
pensadores no nível 0
As crianças precisam de experiências com uma rica variedade 
de formas bi e tridimensionais. Triângulos podem ser mais do que 
apenas equiláteros. As formas podem ter lados curvos, lados retos e 
combinações desses tipos. Ao longo do trabalho, os nomes das for-
mas e de suas propriedades podem ser introduzidos casualmente.
Agrupar e classifi car
Quando os alunos trabalharem na classifi cação das formas, 
esteja preparado, pois eles podem notar aspectos que você não 
considera “reais” atributos geométricos, tais como “curvado” ou 
“se parece com um foguete”. As crianças nesse nível também vão 
atribuir às formas algumas ideias que não são parte da forma, tais 
como “aponta para cima” ou “tem um lado igual à extremidade 
do tabuleiro”.
Para uma variedade de formas bidimensionais, crie seus pró-
prios materiais. Uma boa seleção pode ser encontrada na Ficha 
446 John A. Van de Walle
de Trabalho chamado Formas 2-D (Bidimensionais). Faça várias 
cópias de modo que todos os grupos de crianças possam traba-
lhar com as mesmas formas. Quando você tiver seus conjuntos 
de formas construídos, uma boa atividade para iniciar é a descrita 
anteriormente – “Grupos de Formas”– p. 440.
Em qualquer atividade de agrupamento, os alunos devem 
decidir como agrupar, e não o professor. Isso permite que os alu-
nos façam a atividade usando ideias que eles mesmos reconhe-
çam e compreendam. Listando os tipos de atributos que usaram 
em seus agrupamentos, você poderá ser capaz de descobrir que 
propriedades eles já conhecem e usam e como pensam sobre as 
formas. A Figura 21.4 ilustra alguns dos muitosmodos de um 
conjunto de formas ser agrupado.
A parte do Grupo Secreto da Atividade 21.1 é uma opção 
para introduzir uma nova propriedade. Por exemplo, agrupe as 
formas de modo que todas tenham pelo menos um ângulo reto 
ou “canto quadrado”. Quando os alunos descobrirem sua regra 
secreta, você terá uma oportunidade de conversar mais sobre 
aquela propriedade.
A atividade seguinte também é feita com formas bidimen-
sionais.
Qual a minha forma?
A partir da Ficha de Trabalho, faça um conjunto de formas 
bidimensionais em papel. Corte cerca de um terço das for-
mas e cole-as, cada uma, dentro de uma folha de cartolina 
dobrada ao meio para fazer os fôlderes “Forma Secreta”.
Em cada grupo, um aluno deve ser escolhido como 
líder e receber um fôlder “Forma Secreta”. Os outros de-
vem encontrar a forma que se casa com a forma no fôlder, 
para isso, eles devem fazer perguntas às quais o líder pode 
responder apenas com “sim” ou “não”. O grupo pode 
agrupar as formas enquanto fazem as questões para aju-
dar a eliminar e reduzir as possibilidades. Eles não podem 
apontar uma peça e perguntar, “A fi gura é esta?”. Em vez 
disso, devem continuar a fazer questões que reduzam as 
escolhas à apenas uma forma. A peça fi nal é confrontada 
com a peça no fôlder do líder.
Atividade 21.4
A difi culdade da Atividade 21.4 é bastante dependente da 
forma no fôlder. Quanto mais formas na coleção se assemelha-
rem à Forma Secreta, mais difícil será a tarefa.
A maioria das atividades em “Grupos de Formas” pode e 
deve ser feita com formas tridimensionais também. A difi culda-
de é encontrar ou construir uma coleção que tenha variabilida-
de sufi ciente. Geoblocks (blocos geométricos) são conjuntos de 
grandes blocos de madeira disponíveis em vários distribuidores 
nos Estados Unidos e diversos países. A variedade é boa, mas 
Formas com contornos curvos.
Lados opostos apontam na mesma direção: paralelogramos.
Três lados – triângulos.
Formas com um canto “quadrado” – ângulo reto.
Estas são todas “dentadas” – côncavas.
FIGURA 21.4 Agrupando formas, os estudantes começam a 
reconhecer propriedades.
Todas rolam.
Todas possuem
uma ponta (vértice).
Todas possuem
um triângulo.
Todas as faces são
retângulos. Todas têm
6 faces, 8 cantos
(vértices) e 12 arestas.
FIGURA 21.5 Classifi cação inicial de formas tridimensionais.
Matemática no Ensino Fundamental 447
nenhum bloco possui superfícies curvas. Procure na internet e 
solicite catálogos de coleções de objetos de outras empresas. 
Tente combinar vários conjuntos diferentes para obter uma maior 
variação. Outra opção é coletar objetos reais tais como latas, 
caixas, bolas e formas de isopor. A Figura 21.5 ilustra algumas 
classifi cações de sólidos.
Os modos pelos quais as crianças descrevem as for-
mas na atividade “Grupos de Formas” ou similares 
com formas tridimensionais são uma boa pista sobre 
o seu nível de pensamento. As classifi cações feitas 
pelos pensadores no Nível 0 geralmente são restritas às formas 
que realmente podem colocar em um grupo. Quando eles come-
çarem a pensar em termos de propriedades das formas, vão criar 
categorias baseadas em propriedades e sua linguagem vai indicar 
que há muito mais formas no grupo do que aquelas que estão fi -
sicamente presentes. Os estudantes podem dizer coisas tais 
como, “Essas formas têm cantos quadrados como os retângulos”, 
ou “Esses parecem caixas. Todas as caixas têm lados quadrados 
[retangulares]”. ■
Construindo e dissecando formas
As crianças precisam explorar livremente como as formas 
se encaixam criando formas maiores (composição) e como as 
formas maiores podem ser criadas a partir de formas menores 
(decomposição). Entre as formas bidimensionais para essas ativi-
dades, os blocos geométricos e os vários quebra-cabeças inspira-
dos no Tangram são os mais conhecidos. Em um artigo de 1999, 
Pierre van Hiele descreve um interessante conjunto de ladrilhos 
chamado Quebra-Cabeça Mosaico (veja Figura 21.6). Outro ex-
celente conjunto de ladrilhos é um conjunto de triângulos corta-
dos a partir de quadrados (triângulos retângulos isósceles). Os 
modelos dos quebra-cabeças: Mosaico e Tangram podem ser en-
contrados na Coleção de fi chas-modelo.
A Figura 21.7 mostra quatro diferentes tipos de quebra-ca-
beças “Tangram” em ordem crescente de difi culdade. Existem 
vários livros devotados inteiramente ao Tangram e os Padrões 
Eletrônicos do NCTM incluem um applet Tangram (Exemplo 
No
ta
s 
so
bre
 avaliação
Tangram
Triângulos cortados
de quadrados
Tente cortar quadrados ou
retângulos de outras
maneiras para obter peças
que se relacionam e
componham um quebra-
-cabeça (Lindquist, 1987b).
As 7 peças do quebra-
-cabeça Mosaico são
construídas em um papel
isométrico (van Hiele, 1999).
5
3 2
4
1
67
Blocos geométricos
FIGURA 21.6 Atividades com ladrilhamentos podem envolver 
um grupo de formas ou podem ser elaboradas com apenas uma 
forma.
Use
para fazer
Encaixe as peças do
Tangram para formar
um Cachorro.
Contorno das figuras na
mesma escala das peças.
Contorno das figuras na mesma escala das peças.
Use todas as peças do Tangram para
formar esta figura.
Cada uma destas
figuras pode ser
feita com todas as
sete peças do Tangram.
Contorno das figuras não
está na mesma
escala das peças.
Nível fácil
Nível
difícil
Nível
superdifícil
FIGURA 21.7 Quatro quebra-cabeças do tipo Tangram ilus-
tram uma extensão dos níveis de difi culdade.
448 John A. Van de Walle
4.4). Uma forma de applet inclui oito fi guras que podem ser 
feitas usando todas as sete peças. A versão eletrônica dos Tan-
grams tem a vantagem da motivação e o fato de que você deve 
ser muito mais deliberativo na organização espacial das formas. 
A série Investigations in numbers, data and space usa blocos
geométricos na 1
a
 série em uma atividade similar aos Tangrams.
Como você pode ver no trecho da série desta página, os blocos 
geométricos, como o quebra-cabeça mosaico, oferecem uma 
considerável fl exibilidade para as crianças nesse tipo de ativi-
dade.
O valor do quebra-cabeça de van Hiele, o mosaico, é par-
cialmente devido ao fato de que o conjunto contém cinco ângulos 
diferentes (veja Figura 21.8). Se for apropriado, você pode usar 
as peças para conversar sobre os cantos quadrados (ângulos re-
Matemática
Conectada
1a Série: colcha de quadrados 
e cidades de blocos
Pesquisa 1: formas e padrões geométricos 
bidimensionais
Contexto
A atividade foi elaborada para a sétima aula desta pesqui-
sa. As sessões anteriores e algumas seguintes envolvem, como 
essa, descobrir diferentes modos de preencher um contorno 
com blocos geométricos. O programa curricular da Investiga-
tions também possui um componente computacional que usa o 
programa Shapes (Formas da Clements e Sarama, 1995) des-
crito na p. 478. A maior parte do trabalho desta sessão é feito 
individualmente em Centros de Aprendizagem. Nesse ponto, 
o programa de computador também é usado em um modo de 
jogo livre, no qual os alunos criam seus próprios desenhos (de-
safi os) na tela. Outros materiais usados nesta unidade incluem 
blocos geométricos e um conjunto de cartões com formas para 
agrupamento.
Descrição da tarefa
A essa altura, os alunos estão acostumados a preencher 
ou completar formas com os blocos geométricos. Eles tam-
bém têm registrado o seu trabalho de uma das várias maneiras 
possíveis: colando em cartolina versões adesivas dos blocos 
geométricos ou colorindo seus modelos à mão livre. Nas ativi-
dades anteriores, eles registraram o número de vezes em que 
cada tipo de bloco é usado. Nessa atividade eles preenchem a 
mesma forma pelo menos três vezes, cada uma tentando usar 
um número diferente de blocos. Os alunos trabalham em du-
plas, com uma das fi chas-modelo (mostrada aqui) para cada 
dupla de crianças. Enquanto o professor interage com os alu-
nos, ele deve se concentrar sobre qual abordagem os alunos 
usam. Algumas crianças usam as formas óbvias (ohexágono e 
trapézio) e tem difi culdade em descobrir outros métodos. Ou-
tras usam apenas triângulos ou apenas trapézios.
As quantidades são um foco adicional da atividade. Os 
alunos são encorajados a tentar encontrar outro modo para 
preencher os modelos com uma quantidade maior ou menor 
de blocos ou um número de blocos que esteja entre dois to-
tais diferentes. Esse foco sobre a quantidade tem o potencial 
de encorajar os estudantes a substituir blocos menores por um 
bloco maior equivalente (compor formas) ou blocos maiores 
por menores (decompor formas).
Na discussão com o grande grupo (toda turma), os alunos 
listam todos os diferentes totais que encontraram. (Há oito so-
luções diferentes). As questões devem girar ao redor da possi-
bilidade de uma solução com mais ou menos blocos ou de ou-
tras soluções adicionais. O professor deve cuidar do conforto 
dos alunos com o raciocínio e com a manipulação das formas 
ao fazerem as substituições.
Página 187 de 2-D and 3-D Geometry: Quilt Squares e Block Towns 
de S. J. Russell, D. H. Clements & J. Sarama. Investigations in Num-
ber, Data and Space. Copyright © 1998 de Dale Seymour Publica-
tions. Reimpresso com permissão da Pearson Education, Inc.
Diferentes modos de preencher, forma A
Nome Data
Quantidade
de blocos
Quantidade
de blocos
Quantidade
de blocos
187© Dale Seymour Publications®
Investigation 1 • Session 7
Quit Squares and Block Towns
Matemática no Ensino Fundamental 449
tos) e os ângulos que são maiores ou menores do que um ângulo 
reto (ângulo obtuso e agudo).
O geoplano é uma das melhores ferramentas para “dese-
nhar” formas bidimensionais. Aqui temos apenas três das muitas 
possíveis atividades adequadas ao Nível 0.
Copiando formas no geoplano
Copiar formas, modelos e padrões geométricos a par-
tir de cartões preparados como na Figura 21.9. Comece 
com os modelos apresentados com pontos como em um 
geoplano e posteriormente desafi e os alunos a copiar 
modelos desenhados sem a referência dos pontos.
Atividade 21.5
Partes congruentes
Copie uma forma de um cartão e desafi e os alunos a sub-
dividir ou cortá-las em formas menores em seus geopla-
nos. Especifi que a quantidade de formas menores. Espe-
cifi que também se elas devem todas ser congruentes ou 
simplesmente do mesmo tipo como mostrado na Figura 
21.10. Dependendo das formas envolvidas, essa atividade 
pode ser bastante fácil ou relativamente desafi adora.
Atividade 21.6
Tenha vários geoplanos disponíveis em sala de aula. É me-
lhor que duas ou três crianças tenham 10 ou 12 tabuleiros a sua 
disposição em um Centro de Aprendizagem do que cada uma ter 
apenas um. Desse modo, uma variedade de formas pode ser cons-
truída e comparada antes de serem modifi cadas ou desfeitas.
Oriente os alunos, desde o início, a copiar seus modelos 
construídos no geoplano. Cópias em papel permitem que os es-
tudantes criem conjuntos completos de desenhos que satisfaçam 
uma tarefa particular. Os desenhos podem ser colocados no qua-
Esse é um longo 
paralelogramo. Que outros 
paralelogramos você 
consegue fazer?
Faça essa casa com duas 
peças. Agora construa de 
outro modo. Você 
consegue construí-la com 
três peças? De quantas 
maneiras diferentes? E que 
tal 4 peças?
Quantos retângulos diferen-
tes você consegue fazer? 
Você consegue fazer algum 
de mais de uma maneira?
Quantos ângulos de mesmo tamanho, você consegue 
encontrar no conjunto de peças? Coloque-as em ordem do 
menor ao maior ângulo.
Construa ampliações do
triângulo equilátero.
FIGURA 21.8 Uma amostra de atividades com o quebra-ca-
beça mosaico. Baseada em van Hiele, P. M. (1999). Developing 
geometric thinking through activities that begin with play. Tea-
ching Children Matemathics, 5, 310-316.
Oriente as crianças a copiar as formas a partir de cartões
com padrões geométricos para o geoplano.
Além de cartões com padrões com ou sem pontos, desafie
as crianças a copiar formas do mundo real – mesas,
casas, letras do alfabeto, etc.
FIGURA 21.9 Formas no geoplano.
450 John A. Van de Walle
dro de avisos para serem classifi cados e discutidos, transforma-
dos em livretos ilustrando uma nova ideia que esteja sendo dis-
cutida e também enviados para casa para mostrar aos pais o que 
está sendo aprendido e produzido nas aulas de geometria.
Os estudantes mais jovens podem usar um único grande 
geoplano de papel em cada fi cha. Posteriormente, um tabuleiro 
quadrado de papel com cerca de 10 cm será adequado. As crian-
ças mais avançadas podem usar pontilhados quadrados de centí-
metros. Todos os modelos podem se encontradas na Coleção de 
fi chas-modelo.
Para auxiliar as crianças nas séries iniciais a copiar os mo-
delos para o geoplano, recomende que elas marquem primeiro 
os pontos para os cantos de suas fi guras (“segunda fi leira, último 
pino”). Com os cantos identifi cados, é muito mais fácil para as 
crianças desenhar as linhas para compor a forma.
Os e-Padrões fornecem um geoplano eletrônico 
muito bom (e-exemplo 4.2). Embora se encontre na 
seção EI a 2
a
 série e seja intitulado “Investigating 
the concept of a triangle” (Pesquisando o conceito 
de triângulo), esse applet é realmente um excelente geoplano útil 
a qualquer série. Ele permite que você selecione e delete os 
“elásticos” ou os vértices. O applet Geoplano da NLVM (http://
nlvrn.usu.edu/en/nav/vlibrary.html) é essencialmente o mesmo, 
mas com o cálculo instantâneo do perímetro e da área apenas 
com um clique de um botão e sem remoção de vértices (você 
precisa mover um vértice para coincidir com outro). A série Mi-
ghty math: number heroes (da Riverdeep) também possui um 
poderoso geoplano eletrônico no seu componente GeoComputer. 
Os alunos podem mover uma forma inteira para qualquer parte 
do geoplano sem alterá-la. As formas podem ser coloridas, vira-
das ou giradas de movimentos de 90 graus, transformações que 
não são simples de executar em um geoplano físico. ■
 Faça uma pausa e refl ita
Se você nunca usou um geoplano, brinque com um desses geopla-
nos eletrônicos. Se você conhece geoplanos, mas nunca usou um 
e-geoplano, agora seria um bom momento para experimentar.
Coleções de papel pontilhado ou quadriculado fornecem 
uma alternativa aos geoplanos. Virtualmente todas as atividades 
sugeridas para ladrilhos e geoplanos também podem ser realiza-
das em papel pontilhado ou quadriculado. Mudar o tipo de papel 
modifi ca a atividade e fornece novas oportunidades para insights 
e descobertas. A Coleção de fi chas-modelo possui uma variedade 
de papel pontilhado e quadriculado.
Construir formas tridimensionais é um pouco mais difícil 
comparado com as formas bidimensionais. Uma variedade de 
materiais comercializados permite uma construção razoavelmen-
te criativa de sólidos geométricos (por exemplo: 3D GeoShapes, 
Polydron e o Zome System). Os 3D GeoShapes e Polydron são 
exemplos de materiais que consistem de polígonos plásticos que 
se encaixam para formar modelos tridimensionais. O Zome Sys-
tem é um conjunto de varetas e conectores que permitem criar 
modelos esqueléticos de poliedros com uma grande variedade. 
O Zome provavelmente é muito difícil para ser usado antes da 3a 
série. A seguir, apresentamos três abordagens caseiras, altamente 
recomendadas para a construção de modelos esqueléticos.
Agitadores plásticos de café com limpadores de cachimbos ou ●
argila de modelagem. Os agitadores de plástico podem ser fa-
cilmente cortados em diferentes comprimentos. Use pequenos 
bolas de argila (cerca de 1 a 2 cm de diâmetro) para conectar 
os cantos. Esse é um bom modelo desde que as estruturas não 
sejam muito elaboradas. Como uma alternativa para o método 
de conexão, insira limpadores de cachimbo com comprimen-
tos de 5 a 10 centímetros nas extremidades dos agitadores.
Canudos plásticos de beber, com juntas fl exíveis ● . Corte os 
canudos ao longo de seu comprimento com tesouras do topo 
(boca) até a área fl exível. Essas extremidades cortadas podem 
entãoser inseridas na extremidade não cortada de outros ca-
nudos, fazendo uma junta forte, mas fl exível. Três ou mais ca-
nudos podem ser unidos dessa maneira para formar polígonos 
bidimensionais. Para construir esqueletos de sólidos, use fi ta 
adesiva ou barbante para amarrar os polígonos lado por lado.
Barras de jornal enrolado ● . Fantásticos esqueletos de po-
liedros de grande tamanho podem ser construídos usando 
papel de jornal e fi ta adesiva. Enrole três folhas grandes de 
papel jornal ao longo da diagonal para formar uma barra. 
Quanto mais apertado o papel for enrolado, menos prova-
velmente a barra será dobrada. Prenda a barra no centro com 
um pedaço de fi ta adesiva. As extremidades das barras são 
fi nas e fl exíveis por cerca de 15 centímetros, onde há menos 
quantidade de papel. Conecte as barras agrupando essas par-
tes fi nas juntas e prendendo com fi ta adesiva. Use fi ta ade-
siva livremente, enrolando-a várias vezes ao redor de cada 
junta. Barras adicionais podem ser acrescentadas após duas 
ou três já estiverem coladas (veja Figura 21.11).
N
ot
as
 te
cnológicas
Comece com uma forma e recorte-a em formas menores. 
Acrescente condições especiais para tornar esta atividade
mais desafiadora
Três triângulos
todos iguais.
Quatro triângulos.
Qual o maior (ou menor)
número de triângulos que
preenchem essa figura?
Preencha essa
figura com três
retângulos iguais.
FIGURA 21.10 Decompondo Formas.
Matemática no Ensino Fundamental 451
Com esses modelos caseiros, os alunos devem comparar 
a rigidez de um triângulo com a falta de rigidez dos polígonos 
com mais de três lados. Destaque que os triângulos são usados 
em muitas pontes, nos longos pescoços dos guindastes de cons-
trução, em portões e nas partes estruturais das construções. Dis-
cuta por que isso ocorre. Ao construírem esqueletos de grandes 
estruturas, as crianças descobrirão que elas precisarão adicionar 
elementos diagonais para formar triângulos. Quanto mais triân-
gulos, menos provável que sua estrutura entre em colapso.
O método da barra de jornal é excitante porque as estru-
turas rapidamente se tornam enormes. Organize os alunos para 
trabalhar em grupos de quatro (quartetos) ou cinco (quintetos) 
crianças. Eles logo descobrirão o que torna a estrutura mais rígi-
da e novas ideias sobre equilíbrio e forma. Os alunos na 1
a
 série 
podem se benefi ciar da criação de estruturas de forma livre. Es-
tudantes de séries posteriores podem ser desafi ados a construir 
formas mais bem defi nidas.
Tecelagens
Uma tecelagem é um ladrilhamento do plano usando uma 
ou mais formas em um padrão repetitivo sem nenhum furo ou 
lacuna. Construir tecelagens é um modo artístico para estudantes 
no Nível 0 da 1
a
 até a 8
a
 série explorarem padrões em formas e 
perceber como as formas se combinam para compor outras for-
mas. Atividades de tecelagem com uma ou duas formas podem 
variar consideravelmente em difi culdade.
Até mesmo tecelagens de uma forma única são feitas mais 
facilmente com algumas formas do que com outras. Por exem-
plo, quadrados ou triângulos equiláteros tecem muito facilmente, 
embora ofereçam apenas um desafi o geométrico mínimo. Várias 
formas que produzem bons ladrilhos para tecelagens iniciais são 
mostradas na Figura 21.12.
Algumas formas são mais fáceis de tecer do que outras (veja 
Figura 21.13). Quando as formas podem ser reunidas em mais 
de um padrão, tanto o nível de resolução de problemas quanto a 
criatividade aumentam. Literalmente centenas de formas podem 
ser usadas como ladrilhos para compor tecelagens.
Em suas primeiras experiências com tecelagens, a maioria 
das crianças vai se benefi ciar muito com o uso de ladrilhos reais 
para criar os padrões. Ladrilhos simples feitos com papel carto-
lina podem ser cortados rapidamente em uma guilhotina. Outros 
ladrilhos podem ser traçados sobre papel cartolina ou colorido 
e várias espessuras cortadas de uma vez com tesouras. Crian-
ças mais avançadas podem ser capazes de usar quadriculados ou 
pontilhados e planejar suas tecelagens com papel e lápis. Para 
planejar uma tecelagem, use apenas uma cor de modo que o foco 
esteja sobre as relações espaciais. Para completar a composição 
estética e artística da tecelagem, acrescente um padrão de cor. 
Use apenas duas cores com crianças mais jovens e nunca mais 
de quatro. Padrões de cores também são repetidos regularmente 
sobre toda a tecelagem.
As tecelagens podem ser feitas colando ladrilhos de papel 
em grandes folhas de papel, desenhando-os sobre papel quadri-
culado ou pontilhado, ou traçando ao redor de um ladrilho de 
papel cartão. Trabalhe do centro para fora, deixando segmentos 
pontilhados para indicar que o padrão continua.
 Faça uma pausa e refl ita
Observe a tecelagem que está no canto esquerdo inferior da Figura 
21.13. Que ladrilho simples (um combinação de quadrados e meio-
-quadrados) forma esse padrão?
FIGURA 21.12 Essas formas simples são bons ladrilhos para 
usar em tecelagens nas séries iniciais. As linhas pontilhadas mos-
tram como as formas foram criadas a partir de quadrados ou 
triângulos equiláteros. Elas não estão incluídas nos ladrilhos dos 
alunos.
Use fita adesiva
ou barbante nos
cantos.
Enrole três folhas de jornal bem apertado ao longo da
diagonal. Prenda com fita. Enrolamentos apertados formam
barras mais resistentes.
FIGURA 21.11 Grandes estruturas esqueléticas e formas es-
peciais podem ser construídas com jornal enrolado bem aperta-
do. As crianças mais jovens podem construir esculturas de forma 
livre. Crianças mais avançadas podem ser desafi adas a construir 
formas com propriedades específi cas. Sobreponha as extremida-
des em cerca de 15 centímetros para garantir maior resistência.
As tecelagens podem ser desenhadas sobre quadriculados ou feitas com ladrilhos de papel cartão. Elas são
desafiantes e fornecem uma oportunidade tanto para a criatividade artística quanto para o raciocínio espacial.
FIGURA 21.13 Tecelagens.
TABELA 21.1
Categorias de formas bidimensionais
Forma Descrição
Curvas fechadas simples
Côncavo
convexo
Uma defi nição intuitiva para côncavo pode ser “ter um dente nela”. Se uma curva fechada 
simples não for côncava, é convexa. Uma defi nição mais precisa de côncava pode ser interes-
sante de explorar com alunos em níveis mais avançados.
Simétrico,
assimétrico
As formas podem ter uma ou mais linhas de simetria e podem ou não ter simetria rotacional. 
Esses conceitos vão demandar uma investigação mais detalhada.
Polígonos
Côncavo, convexo
Simétrico, assimétrico
Regular
Curvas fechadas simples com todos os lados retos.
Todos os lados e todos os ângulos são congruentes.
Triângulos Polígonos com exatamente três lados.
Classifi cados pelos lados (e ângulos)
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Todos os lados (ângulos) são congruentes.
Pelo menos dois lados (ângulos) são congruentes.
Nenhum par de lados (ângulo) é congruente.
Classifi cados pelo ângulo reto
Retângulo
Agudo
Obtuso
Possui um ângulo reto.
Todos os ângulos são menores do que um ângulo reto.
Um ângulo é maior do que um ângulo reto.
Quadriláteros convexos Polígonos convexos com exatamente quatro lados.
“Pipa” Dois pares opostos de lados adjacentes congruentes.
Trapézio Pelo menos um par de lados paralelos.
Trapézio isósceles Um par de lados opostos é congruente.
Paralelogramo Dois pares de lados paralelos.
Retângulo Paralelogramo com um ângulo reto.
Losango Paralelogramo com todos os lados congruentes.
Quadrado Paralelogramo com um ângulo reto e todos os lados congruentes.
452 John A. Van de Walle
Matemática no Ensino Fundamental 453
Formas e propriedades para 
pensadores no Nível 1
Quando os alunos mudam para o Nível 1 do pensamento ge-
ométrico, a atenção se volta mais para as propriedades apresenta-
das pelas tradicionais classifi cações de formas. Durante esse pe-
ríodo, faz sentido que os alunos aprendam os nomes adequados 
tanto para as formas quanto para suas propriedades.
Por motivode clareza, as defi nições importantes de formas 
bi e tridimensionais são apresentadas aqui. Você vai perceber que 
as defi nições de formas incluem relações entre as formas de um 
grupo e entre os grupos.
Categorias especiais de formas bidimensionais
A Tabela 21.1 lista algumas categorias importantes de for-
mas bidimensionais. Exemplos dessas formas podem ser encon-
trados na Figura 21.14.
Na classifi cação de quadriláteros e paralelogramos, os sub-
conjuntos não são todos disjuntos [pensamento exclusivo]. Por 
exemplo, um quadrado é um retângulo e um losango. Todos os 
paralelogramos são trapézios, mas nem todos os trapézios são 
paralelogramos.* As crianças no Nível 1 continuam a ter difí-
culdade em perceber ou estabelecer esse tipo de subrelação [que 
caracteriza uma classifi cação do tipo inclusiva e não exclusiva]. 
Elas podem muito corretamente listar todas as propriedades de 
um quadrado, um losango e um retângulo e ainda identifi car um 
quadrado como um “não losango” ou um “não retângulo” [o que 
caracteriza o pensamento exclusivo]. Devemos considerar errô-
 * N. de T.: Algumas defi nições de trapézio especifi cam apenas um par de 
lados paralelos, neste tipo de classifi cação, então os paralelogramos não 
poderiam ser considerados trapézios. O Projeto da Universidade de Chi-
cago “School Mathematics” (UCSMP) usa a defi nição “pelo menos um 
par”, signifi cando que os paralelogramos e retângulos são trapézios.
Isósceles
“Pipa”
Curvas fechadas simples
Côncavas
Equiláteros
Sem lados paralelos Trapézios Losangos RetângulosParalelogramos Quadrados
Isósceles Agudo RetânguloEscaleno Obtuso
Convexas Polígonos Curvas fechadas simples
Triângulos
Quadriláteros convexos
Existem muitas maneiras de
agrupar e classificar os polígonos.
Muitos deles com três e quatro
lados possuem nomes especiais.
Pensadores no Nível 1 ainda não 
reconhecem estas sub-relações 
[pensamento inclusivo].
RetângulosQuadradosLosangos
Paralelogramos
Quadriláteros convexos
Trapézios
FIGURA 21.14 Classifi cação de formas bidimensionais.
454 John A. Van de Walle
neo os alunos se referirem a esses subgrupos como conjuntos 
disjuntos? Até a 4
a
 ou 5
a
 série, é errôneo encorajar apenas esse 
tipo de pensamento. Burger (1985) aponta que os alunos das sé-
ries iniciais do EF mais avançados conseguem compreender e 
usar corretamente tais esquemas de classifi cação em outros con-
textos. Por exemplo, os alunos de uma turma podem pertencer a 
mais de um clube. Um quadrado é um exemplo de um quadrilá-
tero que pertencem a dois “clubes diferentes”.
Categorias especiais de formas 
tridimensionais
Importantes e interessantes formas e relações também exis-
tem no mundo tridimensional.
A Tabela 21.2 descreve classifi cações de sólidos. A Figura 
21.15 mostra exemplos de cilindros e prismas. Note que prismas 
são defi nidos aqui como uma categoria especial de cilindros – 
um cilindro com um polígono de base. A Figura 21.16 mostra um 
agrupamento similar de cones e pirâmides.
 Faça uma pausa e refl ita
Explique o seguinte: Prismas estão para os cilindros como as pirâmi-
des estão para os cones. Como essa relação pode ser útil na aprendi-
zagem das fórmulas de cálculo de volumes?
Muitos livros didáticos defi nem cilindros estritamente como 
cilindros circulares. Esses livros não apresentam nomes especiais 
para outros cilindros. Sob essa escolha de defi nição, o prisma não 
é um caso especial de um cilindro. Isso chama a atenção para o 
fato de que defi nições são convenções, e nem todas as convenções 
são universalmente aceitas. Se você voltar às fórmulas para volu-
me no Capítulo 20, verá que a defi nição mais inclusiva para cilin-
dros e cones, apresentada aqui permite que usemos uma fórmula 
para qualquer tipo de cilindro – e, portanto, prismas – como uma 
sentença similar que é verdadeira para cones e pirâmides.
Atividades de agrupamento e de classifi cação
A próxima atividade propõe um bom método para quando 
você quer introduzir uma categoria de formas.
TABELA 21.2
Categorias de formas tridimensionais
Forma Descrição
Agrupados por arestas e vértices
Esferas e formas “ovais” Formas sem arestas e sem vértices (cantos).
Formas com arestas, mas sem vértices (por exemplo, um disco voador).
Formas com vértices, mas sem arestas (por exemplo, uma bola de futebol americano)
Agrupados por faces e superfícies
Poliedros Formas todas compostas de faces (uma face é uma superfície plana de um sólido). Se todas as 
superfícies forem faces, todas as arestas serão segmentos de retas.
Alguma combinação de faces e superfícies arredondadas (cilindros circulares são exemplos, 
mas isto não é uma defi nição para um cilindro).
Formas com todas as superfícies curvas.
Formas com e sem arestas e com e sem vértices.
Faces podem ser paralelas. Faces paralelas estão sobre planos que nunca se interceptam.
Cilindros
Cilindro Duas faces congruentes, paralelas chamadas bases. As linhas que ligam os pontos corresponden-
tes nas duas bases são sempre paralelas. Estas linhas paralelas são chamadas eixos do cilindro.
Cilindro Reto Um cilindro com eixos perpendiculares às bases.
Um cilindro que não é um cilindro reto é um cilindro oblíquo.
Prisma Um cilindro com bases poligonais. Todos os prismas são casos especiais de cilindros.
Prisma retangular Um cilindro com bases retangulares.
Cubo Um prisma quadrado com faces quadradas.
Cones
Cone Um sólido com exatamente uma face e um vértice que não está sobre a face.
Linhas retas (eixos) podem ser desenhadas de qualquer ponto sobre o perímetro da base até o 
vértice. A base pode ter qualquer forma. O vértice não precisa estar diretamente sobre a base.
Cone circular Cone com uma base circular.
Pirâmide Cone com um polígono como base todas as faces ligadas ao vértice são triângulos.
As pirâmides são nomeadas de acordo com a forma da base: triangular, quadrada, octogonal, etc.
Todas as pirâmides são casos especiais de cones.
Defi nição misteriosa
Use o retroprojetor ou quadro-negro para conduzir as 
atividades tais como o exemplo na Figura 21.17. Em sua 
primeira coleção, certifi que-se de que tenha permitido to-
das as possíveis variáveis. Na Figura 21.17, por exemplo, 
um quadrado é incluído no conjunto de losangos. Do mes-
mo modo, escolha não exemplos que sejam tão próximos 
dos exemplos positivos quanto for necessário para ajudar 
Atividade 21.7
Matemática no Ensino Fundamental 455
Além de confi rmar a escolha das formas no terceiro conjun-
to, os alunos devem escrever uma explicação para sua escolha.
O valor da abordagem da “Defi nição misteriosa” é que os 
alunos desenvolvem ideias e defi nições baseadas em seu próprio 
desenvolvimento conceitual. Após suas defi nições terem sido 
discutidas e comparadas, você pode oferecer a defi nição usual 
dos “livros” para garantia de clareza.
A próxima atividade é especialmente útil para defi nir os tipos 
ou categorias de triângulos e utiliza uma abordagem diferente.
“Agrupando triângulos” vai resultar nas defi nições dos seis 
tipos diferentes de triângulos, sem precisarmos listar essas defi ni-
ções no quadro e fazer os estudantes memorizá-las. Como uma se-
quência da atividade, faça um diagrama como o mostrado aqui. De-
safi e os alunos a colocar um triângulo em cada um dos nove casos.
Agudo
Retângulo
Obtuso
Eq
ui
lá
te
ro
Is
ós
ce
le
s
Es
ca
le
no
Cilindros Não cilindros
Cilindros especiais
Prismas Prismas retos Cilindros retos
(não prismas)
Os cilindros possuem duas faces paralelas e linhas
paralelas ligando os pontos correspondentes a essas faces. 
Se as faces paralelas forem polígonos, o cilindro pode ser
chamado de um prisma.
FIGURA 21.15 Cilindros e Prismas.
com uma defi nição acurada. O terceiro conjunto ou misto 
também deve incluir esses não exemplos com os quais os 
alunos provavelmente podem se confundir mais.
considerar apenas as medidas dos ângulos ou apenas a 
questão da congruência dos lados, mas guarde essas pis-
tas se você puder.
Cones econes com uma base poligonal (pirâmides) todos pos-
suem elementos retilíneos ligando cada ponto da base com o
vértice. (Sim, uma pirâmide é apenas um tipo especial de cone)
Cones
Não cones
Cones especiais – pirâmides
Cones não pirâmides
FIGURA 21.16 Cones e Pirâmides.
Agrupando triângulos
Faça cópias da Ficha de Trabalho “Agrupando Triângulos” 
que se encontra na Coleção de fi chas-modelo. Observe os 
exemplos de triângulos retângulos, agudos e obtusos; os 
exemplos de triângulos equiláteros, isósceles e escalenos 
e triângulos que representam todas as combinações pos-
síveis dessas categorias. Oriente os estudantes a cortá-los. 
A tarefa é agrupar toda a coleção em apenas três grupos 
de modo que nenhum triângulo pertença a dois grupos. 
Quando a tarefa for completada e as descrições dos agru-
pamentos tiverem sido escritas, os alunos deverão, então, 
encontrar um segundo critério para criar três agrupa-
mentos diferentes. Eles podem precisar de uma pista para 
Atividade 21.8
456 John A. Van de Walle
 Faça uma pausa e refl ita
Dos nove casos, dois deles são impossíveis. Você consegue dizer 
quais e por quê?
Os quadriláteros (polígonos com quadro lados) são uma 
fonte especialmente rica para pesquisas. Uma vez que os estu-
dantes estejam familiarizados com os conceitos de ângulos reto, 
obtuso e agudo, a congruência de segmentos de reta e ângulos e 
a simetria tanto de linha (refl exiva) quanto a de ponto (rotacio-
nal), a Atividade 21.2, “Listas de propriedades de quadriláteros” 
é um bom modo de reunir essas ideias e começar a perceber 
como diferentes coleções de propriedades se aplicam às classes 
especiais de formas. (A Atividade 21.2 foi discutida brevemente 
no início do capítulo. O desenvolvimento dos conceitos de sime-
tria será explorado na seção sobre transformações mais adiante 
no capítulo.)
Lembre-se de que em “Listas de Propriedades de Quadrilá-
teros”, os alunos trabalham para criar listas de todas as proprie-
dades que puderem descobrir para uma classe particular de for-
mas. Isso pode demandar dois ou três períodos de aula. Os alunos 
devem compartilhar as listas começando com paralelogramos, 
depois losangos, então retângulos e fi nalmente quadrados. Peça 
que um grupo apresente sua lista. Então, os outros que trabalha-
ram na mesma forma devem acrescentar ou retirar propriedades 
da lista. A turma deve concordar com tudo que for colocado na 
lista coletiva. Conforme novas relações surgirem nesse período 
de apresentação e discussão, você pode introduzir a terminologia 
adequada. Por exemplo, se duas diagonais se interceptam for-
mando uma quina quadrada, então elas são perpendiculares. Ou-
tros termos tais como paralelas, congruentes, bissetrizes, ponto 
médio, e assim por diante, podem ser apresentados e esclareci-
dos conforme você auxiliar os alunos a escrever suas descrições. 
Esse também é um bom momento para introduzir símbolos tais 
como ≅ para "congruente" ou II para "paralelo”.
Como uma extensão, repita a Atividade 21.2 usando “pipas” 
e trapézios. "Listas de propriedades de quadriláteros" possui al-
gumas extensões importantes descritas na seção sobre as ativida-
des para o Nível 2 (veja p. 458). Além disso, atividades similares 
podem ser usadas para introduzir defi nições para formas tridi-
mensionais.
Atividades de construção
Construir ou desenhar formas continua sendo importante 
no Nível 1. Softwares de geometria dinâmica (tais como o The 
geometer’s sketchpad, o Cabri-geometre e o Régua e compasso) 
realçam muito a exploração de formas nesse nível.
Na atividade “Listas de propriedades”, os alunos examinam 
as diagonais de várias classes de quadriláteros. Se essa atividade 
ainda não tiver sido realizada, a seguinte exploração é muito in-
teressante. Em vez de começar com as formas, ela começa com 
as diagonais.
Tiras diagonais
Nessa atividade, os alunos precisam de três tiras de pa-
pel cartão com cerca de 2 cm de largura. Duas devem ser 
do mesmo comprimento (cerca de 30 cm) e a terceira um 
pouco menor (cerca de 20 cm). Faça nove furos igualmen-
te espaçados ao longo da tira. (faça um furo próximo a 
cada extremidade. Divida a distância entre os furos por 
8. Essa será a distância entre os furos restantes). Use um 
prendedor para ligar as duas tiras. Um quadrilátero é 
formado ligando os quatro furos das extremidades como 
mostrado na Figura 21.18. Forneça aos alunos a lista de 
possíveis relações para ângulos, comprimentos e razões 
de suas partes. A tarefa é usar as tiras para determinar 
as propriedades das diagonais que vão gerar diferentes 
quadriláteros. As tiras são usadas para auxiliar a explora-
ção. Os alunos podem querer fazer desenhos em malhas 
quadriculadas para testar as várias hipóteses.
Atividade 21.9
Cada tipo de quadrilátero pode ser descrito em termos de 
suas diagonais de modo único, usando apenas as condições de 
comprimento, razão entre suas partes e se elas são ou não per-
pendiculares. Alguns alunos vão trabalhar com as relações das 
diagonais para ver quais formas podem ser feitas. Outros vão 
começar com exemplos de formas e observar as relações das 
diagonais. Um programa de geometria dinâmica tal como The 
geometer’s sketchpad ou o Régua e compasso é um excelente 
veículo para essa pesquisa.
Círculos
Muitas relações interessantes podem ser observadas entre as 
medidas de diferentes partes do círculo. Entre as mais impressio-
nantes e importantes está a razão entre as medidas de sua circun-
ferência e de seu diâmetro.
Todas essas figuras possuem alguma
propriedade em comum.
Qual dessas a possui?
Nenhuma destas a possui.
A nomenclatura de uma propriedade não é necessariamente
garantia de compreensão. É necessário uma observação
mais cuidadosa das propriedades para descobrir o que 
as formas têm em comum.
FIGURA 21.17 Uma defi nição misteriosa: “todas essas”, “ne-
nhuma dessas”.
Matemática no Ensino Fundamental 457
Descobrindo Pi
Oriente os grupos de alunos a medir cuidadosamente a 
circunferência e o diâmetro de muitos círculos diferentes. 
Cada grupo deve medir diferentes círculos.
Meça a circunferência e o diâmetro de itens circula-
res tais como tampas, tubos, latas e cestas de lixo. Para 
medir a circunferência, contorne um fi o de barbante ao 
redor do objeto e então meça o comprimento do fi o.
Meça também círculos grandes marcados nos pisos 
de ginásios e quadras. Use uma roda ou corda para medir 
a circunferência.
Colete as medidas da circunferência e do diâmetro 
de todos os grupos e coloque-as em uma tabela ordenada 
de quatro colunas [coloque em ordem de diâmetro]. A ra-
zão entre a circunferência e o diâmetro também deve ser 
calculada para cada caso. Uma plotagem dos dados deve 
ser feita com o eixo horizontal representando os diâme-
tros e o eixo vertical as circunferências.
A maioria das razões deve estar entre 3,1 e 3,2. A 
plotagem dos dados deve gerar aproximadamente uma 
linha reta passando pela origem. A inclinação da reta 
também deve estar próximo de 3,1. (Lembre-se do Ca-
pítulo 19 de que os gráfi cos de razões equivalentes são 
sempre linhas retas através da origem). A razão exata é 
um numero irracional, cerca de 3,14159, representado 
pela letra grega π (pi).
Atividade 21.10
O que é mais importante na Atividade 21.10 é que os alunos 
desenvolvam uma clara compreensão de π como a razão entre a 
circunferência e o diâmetro em qualquer círculo. A quantidade π 
não é um número estranho que aparece em fórmulas matemáti-
cas, é uma razão universal e que ocorre naturalmente.
Quando os alunos começarem a fazer mais do que 
construir com “blocos” geométricos (Tangrams, 
blocos geométricos, desenhos em malhas, etc.), o 
computador começa a oferecer instrumentos pode-
rosos para explorações. ■
Softwares de geometria dinâmica
Em um programa de geometria dinâmica, os pontos, as retas 
e as fi guras geométricas são facilmente construídos na tela do 
computador usando apenas o mouse. Uma vez desenhados, os 
objetos geométricospodem ser movimentados e manipulados em 
uma variedade interminável de possibilidades. Distâncias, com-
primentos, áreas, ângulos, inclinações e perímetros podem ser 
medidos. Quando modifi camos as fi guras, as medidas são atuali-
zadas instantaneamente.
As retas podem ser desenhadas perpendiculares ou paralelas 
a outras retas ou segmentos. Ângulos e segmentos podem ser de-
senhados congruentes a outros ângulos e segmentos. Um ponto 
pode ser colocado no ponto médio de um segmento. Uma fi gura 
pode ser produzida de modo que seja uma refl exão, uma rota-
ção ou dilatação de outra fi gura. A coisa mais signifi cativa é que 
quando um objeto geométrico é criado com uma relação particu-
lar com outro(s) objeto(s), essa relação é mantida não importan-
do de que maneira o objeto seja movimentado ou modifi cado.
Os melhores programas comercializados de geometria co-
nhecidos são: The geometer’s sketchpad (da Key Curriculum 
Press), o Geometry inventor (da Riverdeep) e o Cabri géomètre 
II (da Texas Instruments). Embora cada um opere um pouco di-
ferentemente, eles são sufi cientemente parecidos de modo que 
não são necessárias descrições individuais para cada programa 
aqui. Originalmente projetados para alunos no EM, todos po-
dem ser usados proveitosamente e devem ser usados desde a 
4
a
 série.
N
ot
as
 te
cnológicas
Os quadriláteros podem ser determinados pelas suas 
diagonais. Considere o comprimento de cada uma delas, onde 
elas se cruzam e os ângulos entre elas. Que condições vão 
gerar paralelogramos? Retângulos? Losangos? Desafio: Que 
propriedades vão gerar um trapézio não isósceles?
FIGURA 21.18 Diagonais de quadriláteros.
Distância (J a E)
Distância (G a J)
Distância (J a H)
Distância (F a J)
=
=
=
=
3,81 cm
3,81 cm
2,21 cm
2,21 cm
C
G
D
A
E
F
J
H
B
FIGURA 21.19 Uma construção geométrica do Sketchpad 
ilustrando uma interessante propriedade dos quadriláteros. Os 
pontos médios dos lados formam um paralelogramo.
458 John A. Van de Walle
Exemplos de geometria dinâmica
Para apreciar o potencial (e o lado lúdico) dos softwares de 
geometria dinâmica, você realmente precisa experimentá-lo em 
um computador. Enquanto isso, um exemplo é oferecido aqui 
como uma tentativa de ilustrar como esses programas funcio-
nam.
Na Figura 21.19, os pontos médios de um quadrilátero ABCD 
desenhado livremente foram ligados. As diagonais do quadriláte-
ro resultante (EFGH) também foram desenhadas e medidas. Não 
importa como os pontos A, B, C, e D sejam arrastados ao redor 
da tela, até mesmo invertendo o quadrilátero, as outras linhas vão 
manter as mesmas relações (ligando pontos médios e diagonais) e 
suas medidas serão instantaneamente atualizadas na tela.
Lembre-se de que no Nível 1, os objetos de pensamento são 
classes de formas. Em um programa de geometria dinâmica, se 
um quadrilátero for desenhado, apenas uma forma é observada, 
como no caso de desenhos em papel ou em um geoplano. Mas, 
agora, esse quadrilátero pode ser esticado e alterado de infi nitas 
maneiras. Os alunos realmente exploram não apenas uma for-
ma, mas uma enorme quantidade de exemplos daquela classe de 
formas. Se uma propriedade não se modifi ca quando a fi gura é 
alterada, a propriedade é atribuível a toda classe de formas em 
vez de apenas a alguma forma particular.
Outro exemplo na Figura 21.20 mostra como o Sketchpad 
pode ser usado para investigar quadriláteros, partindo de dia-
gonais. As orientações para criar o “sketch (desenho)” estão in-
cluídas e podem ser feitas simplesmente com uma experiência 
mínima com o software. Criando o desenho dessa maneira, as 
diagonais do ACBD vão sempre bissectar uma a outra não im-
portando como o desenho seja alterado. Arrastando o ponto C 
ao redor da tela, ACBD pode ser transformado em um parale-
logramo, retângulo, losango e quadrado. Para cada uma dessas 
fi guras, informações adicionais sobre as diagonais podem ser 
determinadas olhando o desenho.
Os programas de geometria dinâmica também são poderosas 
ferramentas para investigar conceitos de simetria e transforma-
ções (deslizamentos, viradas e giros). Os publicadores desses pro-
gramas fornecem excelentes atividades que são apropriadas para 
pesquisas no Nível 1. Muitas atividades são incluídas no software 
e outras são encontradas em publicações suplementares.
Formas e propriedades para 
pensadores no Nível 2
No Nível 2, o enfoque muda de simplesmente examinar as 
propriedades de formas para explorações que incluam raciocínio 
lógico. Quando os alunos desenvolvem uma compreensão das 
várias propriedades geométricas e aplicam essas propriedades a 
importantes categorias de formas, é essencial começar a encorajar 
conjecturas e a explorar argumentos dedutivos informais. Os alu-
nos devem começar a tentar – ou pelo menos acompanhar – provas 
simples e explorar ideias que se conectem diretamente à álgebra.
Provas e defi nições
As atividades complementares, a “Listas de propriedades 
de quadriláteros” (Atividade 21.2), que é uma atividade de Ní-
vel 1, e a “Listas mínimas de defi nição” (Atividade 21.3), uma 
atividade de Nível 2, realmente ajudam a esclarecer a distinção 
entre esses dois níveis. (Você pode querer rever essas atividades 
novamente antes de continuar a ler).
Encontrar LMDs (Listas mínimas de defi nição) é o prin-
cipal desafi o da Atividade 21.3. O paralelogramo, o losango, o 
retângulo e o quadrado possuem, cada um, pelo menos quatro 
LMDs. Uma das LMDs mais interessantes para cada forma con-
siste apenas das propriedades de suas diagonais, por exemplo, o 
quadrilátero com diagonais que se bissectam e são perpendicu-
lares (interceptam-se em ângulo reto) é o losango. Várias LMDs 
consistem de apenas uma propriedade, por exemplo, um qua-
drilátero com simetria rotacional de pelo menos ordem 2 é um 
paralelogramo.
Note que a atividade LMD realmente envolve mais lógica 
do que o exame de formas. Os alunos estão engajados no pro-
cesso geral de decidir, “Se especifi carmos apenas essa lista de 
propriedades, ela vai garantir essa forma particular?”. Um se-
gundo aspecto é a oportunidade de discutir o que constitui uma 
defi nição. De fato, qualquer LMD pode ser uma defi nição da 
forma. As defi nições que geralmente usamos são LMD’s que 
foram escolhidas provavelmente devido à facilidade com que 
podemos compreendê-las. Um quadrilátero com diagonais que 
Quadriláteros com diagonais que se bissectam.
AC = 4,1 cm
CB = 5,7 cm
BD = 4,1 cm
DA = 5,7 cm
Desenhe o segmento AB com ponto médio P.
Construa um círculo com centro P e ponto de controle (raio) C.
Construa uma reta através de C e P e, então, construa o 
ponto de interseção D.
Construa ACBD e meça cada lado.
Arraste C. Que quadriláteros diferentes você consegue fazer?
O que é verdadeiro sobre as diagonais de cada forma que 
você fez?
O que você consegue descobrir sobre as diagonais das 
formas que você fez?
P
D
A
C
B
FIGURA 21.20 Com o The geometer’s sketchpad os alunos 
podem construir dois segmentos de reta que sempre vão se bis-
sectar. Quando as extremidades são ligadas, o quadrilátero resul-
tante será sempre da mesma classe, independente de como os 
pontos A, B, C e D são movimentados.
Matemática no Ensino Fundamental 459
se bissectam não traz à mente imediatamente a imagem de um 
paralelogramo, embora esta seja uma lista de propriedades que o 
defi ne. Lembre-se de que quando os alunos criaram suas listas de 
propriedades, nenhuma defi nição foi dada, apenas uma coleção 
de formas e um “rótulo”. Teoricamente, as listas poderiam ter 
sido criadas sem nunca terem ouvido falar dessas formas, apenas 
a partir de suas observações.
A próxima atividade também é uma sequência da atividade 
“Listas de propriedades”, embora não esteja restrita a quadrilá-
teros e possa incluir, também, formas tridimensionais. Observe 
novamente a lógica envolvida.
Verdadeiro ou falso?
Prepare sentenças nos seguintes formatos:
“Se isso é um ___________________.então ele tam-
bém é um __________.”
“Todos os _______ são _________.”
“Alguns _______________ são __________________”
Apresentamos aqui alguns exemplos, mas existem 
numerosas possibilidades.
Se isso é um quadrado, então ele é um losango. ■
Todos os quadrados são retângulos. ■
Alguns paralelogramos são retângulos. ■
Todos os paralelogramos possuem diagonais con- ■
gruentes.
Se isso tem exatamente duas linhas de simetria, ele ■
deve ser um quadrilátero.
Se isso é um cilindro, então é um prisma. ■
Todos os prismas possuem um plano de simetria. ■
Todas as pirâmides possuem bases quadradas. ■
Se um prisma tem um plano de simetria, então é um ■
prisma reto.
A tarefa é decidir se as sentenças são verdadeiras ou 
falsas e apresentar um argumento que fundamente a de-
cisão. Quatro ou cinco sentenças “Verdadeiro ou Falso” 
são sufi cientes para uma boa lição. Uma vez que o for-
mato das sentenças tenha sido compreendido, oriente os 
alunos a desafi ar os colegas criando suas próprias listas de 
sentenças. Cada lista dever ter pelo menos uma sentença 
verdadeira e uma sentença falsa. Use as listas dos alunos 
nas lições subsequentes.
Atividade 21.11
 Faça uma pausa e refl ita
Use as listas de propriedades para quadrados e retângulos para pro-
var que “todos os quadrados são retângulos”. Note que você deve 
usar raciocínio lógico para compreender essa sentença. Não é nada 
bom simplesmente forçar esse tipo de sentença a alunos que não 
estejam prontos para desenvolver esse tipo de relação.
Embora a lógica esteja envolvida nessas atividades, você 
pode ter difi culdade em compreender como os alunos no EF real-
mente podem fazer provas. A atividade seguinte foi elaborada 
por Sconyers (1995) para demonstrar que alunos podem criar 
provas em geometria bem antes do EM.
Dois polígonos em um
Apresente o seguinte problema:
Comece com um polígono convexo com um dado nu-
mero de lados. Ligue dois pontos no polígono com 
um segmento de reta formando dois novos polígo-
nos. Quantos lados os dois novos polígonos resultan-
tes possuem juntos?
Demonstre com alguns exemplos (veja Figura 
21.21). Deixe os alunos explorarem desenhando e cor-
tando polígonos. Encoraje-os a fazer uma tabela mos-
trando a quantidade de lados originais e os resultantes. 
Os alunos devem primeiro fazer conjecturas sobre uma 
regra geral. Quando os grupos se sentirem confortáveis 
com suas conjecturas, devem tentar raciocinar sobre 
porque sua sentença é correta, isto é, provar suas con-
jecturas.
Atividade 21.12
Obviamente, o número de lados resultante, depende de onde 
o corte é feito. Com a exceção de triângulos, há três possibili-
dades. Para cada caso, um argumento claro pode ser feito. As 
conjecturas e provas apropriadas foram deixadas para você, mas 
confi e que os alunos trabalhando juntos podem realizar essa ta-
refa.
Note que nessa tarefa, como em outras já exploradas, 
as sentenças a serem provadas foram criadas pelos alunos. Se 
você escreve um teorema no quadro e pede a eles para prová-lo, 
você já lhes disse que é verdadeiro. Se, ao contrário, um aluno 
Comece com 3 lados:
Duas novas formas: 7 lados
Comece com 4 lados: Duas
novas formas: 7 lados
Comece com 6 lados:
Duas novas formas: 8 lados
Comece com 5 lados: Duas
novas formas: 8 lados
Comece com 5 lados: Duas
novas formas: 9 lados
FIGURA 21.21 Comece com um polígono e desenhe um seg-
mento que o divida em dois polígonos. Quantos lados os dois 
novos polígonos, juntos, terão?
460 John A. Van de Walle
cria uma sentença sobre uma situação geométrica que a turma 
esteja explorando, pode ser escrita no quadro com a marca de 
uma questão como uma conjectura, uma sentença cuja verdade 
ainda não foi determinada. Você pode questionar, “Ela é ver-
dadeira? Sempre? Podemos prová-la? Podemos encontrar um 
contraexemplo?”. Argumentos dedutivos razoáveis podem ser 
forjados nas discussões.
A relação pitagórica
A relação pitagórica é tão importante que merece alguma 
atenção especial. Em termos geométricos, essa relação afi rma 
que se um quadrado for construído em cada lado de um triângulo 
retângulo, a soma das áreas dos dois quadrados menores é igual à 
área do quadrado ao longo do comprimento maior, a hipotenusa. 
Para descobrir essa relação, considere a seguinte atividade.
A relação pitagórica
Oriente os alunos a desenhar um triângulo retângulo 
sobre uma folha de papel quadriculado (de meio centí-
metro). Estabeleça para cada aluno um triângulo dife-
rente especifi cando os comprimentos dos dois catetos. 
Eles devem desenhar um quadrado sobre cada cateto 
e a hipotenusa e descobrir a área de todos os três qua-
drados. (Para o quadrado sobre a hipotenusa, a área 
exata pode ser encontrada fazendo cada um dos lados 
a diagonal de um retângulo. Veja Figura 21.22.) Faça 
uma tabela com os dados das áreas (Quadrado no cate-
to 1, Quadrado no cateto 2, Quadrado na hipotenusa.), 
e desafi e os alunos a procurar por uma relação entre os 
quadrados.
Atividade 21.13
Como uma extensão da última atividade, os alunos podem 
explorar o desenho de outras fi guras sobre os catetos e a hipote-
nusa de triângulos retângulos e calcular as áreas. Por exemplo, 
desenhar semicírculos ou triângulos equiláteros em vez de qua-
drados. As áreas de quaisquer polígonos regulares desenhados 
sobre os três lados de triângulos retângulos manterão entre si a 
mesma relação.
A Atividade 21.13 estabelece a relação pitagórica. O que 
podemos dizer sobre uma prova? A Figura 21.23 mostra duas 
provas que os alunos podem acompanhar. A primeira consiste de 
apenas dois desenhos. Foi retirada do livro Proofs without words 
([Provas sem palavras], Nelson, 1993). Uma prova algébrica é 
mostrada abaixo dos desenhos, baseada no segundo quadrado.
 Faça uma pausa e refl ita
Use os dois desenhos na Figura 21.23 para criar uma prova da rela-
ção pitagórica.
Os e-Padrões incluem uma prova dinâmica visual 
que é válido compartilhar com seus alunos. (Applet 
6.5). Como ela requer saber que paralelogramos e 
retângulos com a mesma base e altura possuem a 
mesma área (veja Capítulo 20), também serve de revisão dessa 
propriedade. ■
Descobrir versus explicar relações
Os softwares de geometria dinâmica tais como o The 
geometer’s sketchpad ou Régua e compasso, permitem que os 
estudantes explorem uma classe inteira de fi guras e observem 
propriedades ou relações que são atribuíveis aquela classe. No 
Nível 2, entretanto, o enfoque está sobre o raciocínio ou pensa-
mento dedutivo. Esses programas de computador podem auxiliar 
os alunos a desenvolver argumentos dedutivos que sustentem as 
relações que descobriram e acreditem serem corretas através do 
raciocínio indutivo? Considere a seguinte situação.
Suponha que você organize os alunos para usar um progra-
ma de geometria dinâmica para desenhar um triângulo, meça to-
dos os ângulos e some-os. Conforme os vértices do triângulo são 
arrastados ao redor da tela; a soma dos ângulos permanece esta-
N
ot
as
 te
cnológicas
4
4 4
4
16
4
4
FIGURA 21.22 A relação pitagórica. Note que se desenhado 
sobre um quadriculado, a área de todos os quadrados é mais 
facilmente determinada. Aqui, temos 4 + 16 = área do quadrado 
sobre a hipotenusa.
a
b
c
c
c
c
a
b
a b
a
b
A área do quadrado maior é (a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Assim, c2 + 2ab = a2 + 2ab +b2
 c2 = a2 + b2
A mesma área também é c2 mais 4 vezes a área de um triângulo.
 c 2 + 4( ab ) = c 2 + 2ab1
2
FIGURA 21.23 Duas provas da relação pitagórica. Os dois 
quadrados juntos são uma “prova visual”. Você pode expressá-
la em palavras? A segunda prova é a prova algébrica baseada na 
fi gura à direita.
Matemática no Ensino Fundamental 461
cionária em 180 graus. Os alunos podem conjecturar que a soma 
dos ângulos interiores de um triângulo é sempre 180 graus, e eles 
poderiam ser completamente convencidos da verdade dessa con-
jectura baseados nessa experiência indutiva (Várias atividades 
não computadorizadaslevariam à mesma conclusão.).
Como Michael de Villiers destaca em seu excelente livro 
Re-thinking proof with the geometer’s sketchpad ([Repensando 
provas com o geometer’s sketchpad], de 1999), “A observação 
de que o Sol nasce toda manhã não explica porque isso é verda-
deiro” (p. 24). De Villiers aponta que a experiência que leva os 
alunos a conjecturas ou verdades também deve auxiliá-los estu-
dantes a desenvolver uma fundamentação para o resultado. No 
caso dos ângulos internos de um triângulo, a experiência descri-
ta acima falha em explicar o porquê disso ser assim. Considere 
a seguinte atividade, que pode ser feita facilmente com papel e 
tesoura ou com um programa de geometria dinâmica.
Soma de ângulos em um triângulo
Oriente todos os alunos a cortar três triângulos con-
gruentes. (Empilhe as três folhas de papel e corte as três 
formas de uma vez.). Coloque um triângulo sobre uma 
reta e o segundo diretamente ao lado na mesma orienta-
ção. Coloque o terceiro triângulo no espaço entre os dois 
triângulos como mostra a Figura 21.24(a). Baseado nessa 
experiência, que conjectura você consegue fazer sobre a 
soma dos ângulos em um triângulo?
Atividade 21.14
Em um programa de geometria dinâmica, os três triângulos 
na Figura 21.24(a) podem ser desenhados partindo com um tri-
ângulo, transladando-o à direita do comprimento de AC, e então 
girando o mesmo triângulo ao redor do ponto médio do lado EC. 
Quando os vértices do triângulo original forem arrastados, os ou-
tros triângulos vão mudar de acordo e permanecer congruentes. 
Ainda não sabemos o porquê da soma dos ângulos ser sempre 
um ângulo de 180º, mas essa exploração permite aos alunos ver 
porque ela deve ser assim. Na fi gura, há linhas paralelas a cada 
lado do triângulo original. Usando as propriedades dos ângulos 
formados cortando as linhas paralelas com uma linha transversal, 
é fácil argumentar que a soma dos ângulos será sempre uma linha 
reta (veja Figura 21.24(b); a prova foi deixada para você).
Softwares de geometria dinâmica podem ser tremendamente 
poderosos para auxiliar os estudantes a observar relações geo-
métricas e a fazer conjecturas. A verdade das conjecturas geral-
mente será óbvia. Entretanto, no Nível 2, devemos começar a 
perguntar por quê. A seguinte atividade ilustra esse ponto com 
mais detalhe.
Segmentos médios do triângulo
Usando um programa de geometria dinâmica, desenhe 
um triângulo e rotule os vértices A, B e C. Desenhe o seg-
mento ligando os pontos médios de AB e AC, e nomeie 
esse segmento de DE, como na Figura 21.25. Meça os 
comprimentos de DE e BC. Também meça os ângulos ADE 
e ABC. Arraste os pontos A, B e C. Que conjecturas você 
consegue fazer sobre as relações entre os segmentos DE, 
os segmentos médios de ABC, e BC, a base de ABC?
Atividade 21.15
Fica muito claro que o segmento médio é a metade do com-
primento da base e paralelo a ela, mas porque isso acontece? Os 
alunos vão precisar de um pouco mais de orientação, mas você 
não necessariamente tem de fornecer o argumento para eles. Re-
comende que eles desenhem uma linha através de A paralela a BC. 
Peça que eles listem todos os pares de ângulos que considerarem 
A C
B
A
B
E
DC
(a) Três triângulos congruentes podem ser organizados e
 dispostos para mostrar que a soma dos ângulos
 internos será sempre um ângulo de 180 graus.
(b) Desenhe CE paralelo a AB. Porque o ângulo BAC é
 congruente ao ângulo ECD? Porque o ângulo ABC é
 congruente ao ângulo BCE?
FIGURA 21.24 O raciocínio lógico-dedutivo é necessário para 
provar relações que parecem verdadeiras a partir das observações.
m GAC = 35 
m ACB = 35 
m AED = 35 
m FAB = 60 
m ABC = 60 
m ADE = 60 
F GA
D E
C
DE = 5.22
BC = 10.44
B
FIGURA 21.25 O segmento médio de um triângulo é sempre 
paralelo à base e possui metade de seu comprimento.
462 John A. Van de Walle
ser congruentes. Por que eles são 
congruentes? Note que o triângu-
lo ABC é semelhante ao triângu-
lo ADE. Por que ele é semelhan-
te? Com dicas desse tipo, muitos 
alunos das séries fi nais do EF po-
dem começar a fazer argumentos 
lógicos sobre porque as coisas 
que eles observam serem verda-
deiras são, de fato, verdadeiras.
Aprendizagem sobre 
transformações
As transformações são mudanças em posição ou tamanho 
de uma forma. Os movimentos que não modifi cam o tamanho 
ou a forma do objeto movido são chamados “movimentos rí-
gidos”. Geralmente, são discutidas transformações de três mo-
vimentos rígidos: translações ou deslizamentos, refl exões ou 
viradas, e rotações ou giros. Curiosamente, o estudo de sime-
tria também está incluído sob o estudo de transformações. Você 
sabe o motivo?
Transformações para pensadores
no nível 0
Transformações nesse nível envolvem uma introdução aos 
conceitos básicos de deslizamentos, viradas e giros e o desenvol-
vimento inicial das simetrias de linha e rotacional.
Deslizamentos, viradas e giros
Ao nível primário, os termos deslizamentos, viradas e giros 
são adequados. O objetivo inicial é auxiliar os alunos a reconhe-
cer essas transformações e a começar a explorar seus efeitos so-
bre formas simples. Você pode usar uma forma não simétrica no 
retroprojetor para introduzir esses termos (veja Figura 21.26). 
Muito provavelmente seu livro didático usará apenas o centro de 
uma forma como o ponto de rotação e restringirá as refl exões à 
linha vertical e linha horizontal, por meio do centro. Essas restri-
ções não são necessárias e podem até mesmo ser enganosas.
O “Homem em movimento” descrito na próxima ativida-
de também pode ser usado para introduzir os alunos aos termos 
deslizamentos, viradas e giros. Na atividade, as rotações estão 
restritas a giros de 14, 
1
2 e 
3
4 no sentido horário. O centro do giro 
será o centro da fi gura. Refl exões serão viradas sobre a linha 
vertical ou horizontal. Essas restrições são por simplicidade. No 
caso geral, o centro de rotação pode estar em qualquer lugar ou 
até mesmo fora da fi gura. As linhas de refl exão também podem 
estar em qualquer lugar.
Homem em movimento
Usando a Ficha de Trabalho do Homem em movimento, 
faça cópias do primeiro Homem em movimento e, então, 
copie a imagem espelhada nas costas dessas cópias (Veja 
Figura 21.27). Experimente primeiro. Você precisa que a 
imagem das costas case com a imagem da frente quando 
mantidas contra a luz. Corte o excesso de papel para dei-
xar um quadrado. Dê a todos os alunos um Homem em 
movimento com duas faces [frente e costas].
Demonstre cada um dos possíveis movimentos. Um 
deslizamento é simplesmente assim: a fi gura não gira 
nem vira. Demonstre rotações de 14, 
1
2 e 
3
4. Enfatize que 
apenas rotações no sentido horário serão usadas nessa 
atividade. Similarmente, demonstre uma virada hori-
zontal (vira de cabeça para baixo) e uma virada vertical 
(esquerda e direita são trocadas). Pratique com alguém 
iniciando com seu Homem em movimento na mesma 
orientação. Quando você anunciar um dos movimentos, 
os alunos devem deslizar, virar ou girar o Homem em mo-
vimento de acordo.
Então, apresente os dois Homens em movimento 
lado a lado em qualquer orientação. A tarefa é decidir 
que movimento ou combinação de movimentos fará o 
Homem da esquerda casar com o Homem da direita. Os 
alunos devem usar seus próprios Homens para descobrir 
uma solução. Teste as soluções que eles apresentem. Se 
ambos os homens estiverem na mesma orientação, chame 
isso de um deslizamento.
Atividade 21.16
Um plano de uma aula 
expandida baseada na Ati-
vidade 21.15, “Segmentos 
médios do triângulo”, pode 
ser encontrado no site
www.artmed.com.br.
Mu
um
linh
U l d l
LIÇÃO
EXPANDIDA
Translação
Rotação
Reflexão
FIGURA 21.26 Translação (deslizamento), refl exão (virada), 
rotação (giro).
FIGURA 21.27 O Homem em movimento está impresso cos-
tas com costas. Use-o para mostrar deslocamentos, viradas e gi-
ros (Veja fi chas-modelo).
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem.Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.