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46 Máquinas elétricas
Os materiais ferromagnéticos podem ser encontrados com uma ampla varie-
dade de características. Em geral, o seu comportamento é não linear e suas curvas 
características B-H são muitas vezes representadas por famílias de laços (B-H) de his-
terese. As perdas por histerese e por correntes parasitas são funções do nível de fluxo, 
da frequência de operação e também da composição dos materiais e dos processos 
de fabricação utilizados. Um entendimento básico da natureza desses fenômenos é 
muito útil na aplicação desses materiais em dispositivos práticos. Normalmente, as 
propriedades importantes estão disponíveis na forma de curvas características forne-
cidas pelos fabricantes de materiais.
Certos materiais magnéticos, em geral conhecidos como duros ou permanentes, 
os ímãs, são caracterizados por valores elevados de coercividade e de magnetização 
remanescente. Esses materiais produzem um fluxo magnético significativo, mesmo 
em circuitos magnéticos com entreferros de ar. Por meio de um projeto adequado, 
podem ser feitos para operar de forma estável em situações que os sujeitam a uma 
faixa ampla de variação de temperatura e de valores de FMM. Os ímãs permanentes 
encontram aplicação em diversos dispositivos de pequeno porte, como alto-falantes, 
motores CA e CC, microfones e instrumentos analógicos de medida.
1.8 Variáveis do Capítulo 1
μ Permeabilidade magnética [H/m]
μ0 Permeabilidade do vácuo = 4π × 10−7 [H/m]
μr Permeabilidade relativa
μR Permeabilidade de recuo [H/m]
φ, ϕ, φmax Fluxo magnético [Wb]
ω Frequência angular [rad/s]
ρ Densidade de massa [kg/m3]
A Área da seção reta [m2]
B, B Densidade de fluxo magnético [T]
Br Magnetização residual/remanescente [T]
e Força eletromotiva [V]
e, E Tensão [V]
E Intensidade de campo elétrico [V/m]
f Frequência [Hz]
F Força magnetomotriz [A]
g Comprimento de entreferro [m]
H, H, Hef Intensidade de campo magnético [A/m]
Hc Coercividade [A/m]
i, I Corrente [A]
iϕ, Iφ, ef Corrente de excitação [A]
J Densidade de corrente [A/m2]
l Dimensão linear [m]
L Indutância [H]
N Número de espiras
P Potência [W]
Pc Perdas no núcleo [W]
Pa Volts-ampères eficazes de excitação por massa unitária [W/kg]
Capítulo 1 – Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 47
Pc Densidade de perda no núcleo [W/kg]
P Permeância [H]
R Resistência [	]
R Relutância [H−1]
S Volts-ampères eficazes de excitação [VA]
Sa Volts-ampères eficazes de excitação por massa [VA/kg]
t Tempo [s]
T Período [s]
T Temperatura [oC]
V Tensão [V]
Vol Volume [m3]
W Energia [J]
Índices:
c Núcleo
g Entreferro
m, mag Ímã
max Máximo
ef eficaz
tot Total
1.9 Problemas
 1.1 Um circuito magnético com um único entreferro está mostrado na Fig. 1.27. 
As dimensões do núcleo são:
Área da seção reta Ac = 3,5 cm2
Comprimento médio do núcleo lc = 25 cm
Comprimento do entreferro g = 2,4 mm
N = 95 espiras
Suponha que o núcleo tenha permeabilidade infinita (μ → ∞) e despreze 
os efeitos dos campos de fluxo disperso e de espraiamento no entreferro. (a) 
Calcule a relutância do núcleo Rc e a do entreferro Rg. Para uma corrente de 
i = 1,4 A, calcule (b) o fluxo total φ, (c) o fluxo concatenado λ da bobina e (d) 
a indutância L da bobina.
 1.2 Repita o Problema 1.1 para uma permeabilidade finita no núcleo de μ = 2350 μ0.
Entreferro
Núcleo:
Bobina:
N espiras
g
caminho médio lc,
área Ac,
permeabilidade μ
λ
i
Figura 1.27 Circuito magnético do Problema 1.1.
48 Máquinas elétricas
 1.3 Considere o circuito magnético da Fig. 1.27 com as mesmas dimensões do 
Problema 1.1. Supondo uma permeabilidade de núcleo infinita, calcule (a) 
o número necessário de espiras para obter uma indutância de 15 mH e (b) a 
corrente no indutor que resultará em uma densidade de fluxo de 1,15 T.
 1.4 Repita o Problema 1.3 para uma permeabilidade de núcleo de μ = 1700 μ0.
 1.5 O circuito magnético do Problema 1.1 tem um núcleo constituído de material 
não linear cuja permeabilidade, em função de Bm, é dada por
em que Bm é a densidade de fluxo do material.
 a. Usando o MATLAB, faça o gráfico de uma curva de magnetização CC 
para esse material (Bm versus Hm) no intervalo 0 ≤ Bm ≤ 2,1 T.
 b. Encontre a corrente necessária para se obter uma densidade de fluxo de 
2,1 T no entreferro.
 c. Novamente, usando o MATLAB, faça o gráfico do fluxo concatenado da 
bobina em função da corrente da bobina, quando essa varia de 0 até o valor 
encontrado na parte (b).
 1.6 O circuito magnético da Fig. 1.28 consiste em um núcleo e um êmbolo móvel de 
largura lp, ambos de permeabilidade μ. O núcleo tem uma área de seção reta Ac e 
um comprimento médio lc. A área da sobreposição Ag para os dois entreferros é 
uma função da posição x do êmbolo, e pode-se assumir que varie de acordo com
Você pode desconsiderar os campos de espraiamento no entreferro e usar 
aproximações consistentes com a análise de circuitos magnéticos.
 a. Supondo que μ → ∞, deduza uma expressão que forneça a densidade de 
fluxo magnético Bg no entreferro, em função da corrente de enrolamen-
to i e da posição do êmbolo x (assuma que x esteja limitada ao intervalo 
0 ≤ x ≤ 0,5 X0). Escreva uma expressão para a respectiva densidade de 
fluxo no núcleo.
 b. Repita a parte (a) para uma permeabilidade finita μ.
x
Êmbolo
i
g
X0
lp
g
μ
μ
Bobina:
N espiras
Núcleo:
comprimento médio lc,
área Ac,
Figura 1.28 Circuito magnético do Problema 1.6.
Capítulo 1 – Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 49
 1.7 O circuito magnético da Fig. 1.28 tem 125 espiras e as seguintes dimensões:
Com x = 0,5 X0, a indutância medida é 52 mH. Usando aproximações ra-
zoáveis, calcule a permeabilidade relativa μr do material do núcleo e do 
êmbolo.
 1.8 A Fig. 1.29 mostra um indutor construído com dois núcleos em forma de C. 
Cada núcleo tem uma área Ac e comprimento médio lc. Há dois entreferros, 
cada um de comprimento g e área efetiva Ag. Finalmente, há duas bobinas de 
N espiras, uma em cada um dos núcleos em C. Assumido uma permeabilidade 
infinita do núcleo e as dimensões seguintes para os núcleos
Área da seção reta: Ac = Ag = 38,7 cm2
Comprimento do núcleo: lc = 45 cm
Comprimento de entreferro: g = 0,12 cm
 a. Calcule o número de espiras necessário para obter uma indutância de 
12,2 mH, assumindo permeabilidade de núcleo infinita e que as bobinas 
estão conectadas em série. Como o número de espiras deve ser inteiro, a 
sua resposta deve estar arredondada para o inteiro mais próximo. Calcule o 
valor de indutância com base no número resultante de espiras.
 b. A indutância poderá ser ajustada com mais precisão se alteramos o com-
primento do entreferro para obtermos a indutância desejada. Com base 
no número de espiras encontrado na parte (a), calcule o comprimento de 
entreferro necessário para obter a indutância de 12,2 mH.
 c. Com base nesse último cálculo de indutor, determine a corrente de indutor 
que produzirá uma densidade de fluxo no núcleo de 1,5 T.
Bobina 1
N espiras
Bobina
N espiras
Núcleo em C
 Área Ac
 comprimento médio lc
 permeabilidade μ
Entreferro
 Área Ag
 comprimento g
Figura 1.29 Circuito magnético do Problema 1.8.
50 Máquinas elétricas
 1.9 Assumindo que as bobinas estão conectadas em paralelo, repita o Problema 
1.8.
 1.10 Repita o Problema 1.8, assumindo que o núcleo tem uma permeabilidade de 
1800 μ0.
 1.11 O circuito magnético da Fig. 1.28 e do Problema 1.6 tem as seguintes dimensões:
espiras
 a. Supondo uma permeabilidade constante de μ = 3150 μ0, calcule a cor-
rente requerida para obter uma densidade de fluxo de 1,25 T no entreferro 
quando o êmbolo está completamente retraído (x = 0).
 b. Repita os cálculos da parte (a) para o caso em que o núcleo e o êmbolo são 
constituídos de um material não linear cuja permeabilidade é dada por
em que Bm é a densidade de fluxo do material.
 c. Para o material não linear da parte (b), use o MATLAB para plotar a den-
sidade de fluxo do entreferro em função da corrente de enrolamento para 
x = 0 e x = 0,5X0.
 1.12 Um indutor com a forma da Fig. 1.27 tem as dimensões:Área da seção reta Ac = 3,8 cm2
Comprimento médio do núcleo lc = 19 cm
N = 122 espiras
Supondo uma permeabilidade de núcleo de μ = 3240 μ0 e desprezando os 
efeitos do fluxo disperso e dos campos de espraiamento, calcule o comprimen-
to de entreferro necessário para se obter uma indutância de 6,0 mH.
 1.13 O circuito magnético da Fig. 1.30 consiste em anéis de material magnético 
dispostos em uma pilha de altura h. Os anéis têm raios interno Ri e externo Re. 
N espiras
Ri
g
Re
i
Figura 1.30 Circuito magnético do Problema 1.13.
Capítulo 1 – Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 51
Suponha que o ferro tenha permeabilidade infinita (μ → ∞) e despreze os 
efeitos de dispersão e de espraiamento magnéticos. Para
Ri = 3,2 cm
Re = 4,1 cm
h = 1,8 cm
g = 0,15 cm
calcule:
 a. O comprimento médio lc do núcleo e a área da seção reta Ac do núcleo.
 b. A relutância do núcleo Rc e a do entreferro Rg.
Para N = 72 espiras, calcule:
 c. A indutância L.
 d. A corrente i requerida para operar com uma densidade de fluxo no entre-
ferro de Bg = 1,25 T.
 e. O respectivo fluxo concatenado λ da bobina.
 1.14 Repita o Problema 1.13 para uma permeabilidade de núcleo de μ = 750 μ0.
 1.15 Usando o MATLAB, faça o gráfico da indutância do indutor do Problema 
1.13 em função da permeabilidade relativa do núcleo quando essa varia de 
μr = 100 até μr = 100.000. (Sugestão: Plote a indutância versus o logaritmo 
da permeabilidade relativa.) Qual é a permeabilidade relativa mínima do nú-
cleo para assegurar que a indutância esteja a menos de 5% do valor calculado, 
supondo que a permeabilidade do núcleo seja infinita?
 1.16 O indutor da Fig. 1.31 tem um núcleo de seção reta circular uniforme de área 
Ac, comprimento médio lc, permeabilidade relativa μr e um enrolamento de N 
espiras. Escreva uma expressão para a indutância L.
 1.17 O indutor da Fig. 1.31 tem as seguintes dimensões:
Ac = 1,1 cm2
lc = 12 cm
g = 0,9 mm
N = 520 espiras
 a. Desprezando os campos de espraiamento e dispersão e supondo μr = 1.000, 
calcule a indutância.
 b. Calcule a densidade de fluxo do núcleo e o fluxo concatenado do indutor 
para uma corrente de enrolamento de 1,2 A.
Bobina de
N espiras
g
Núcleo:
comprimento médio lc,
área Ac,
permeabilidade relativa μr
Figura 1.31 Indutor do Problema 1.16.
52 Máquinas elétricas
 1.18 O indutor do Problema 1.17 deve operar com uma fonte de tensão de 60 Hz. 
(a) Supondo uma resistência de bobina desprezível, calcule a tensão eficaz no 
indutor que corresponde a uma densidade de fluxo de pico no núcleo de 1,5 T. 
(b) Com essa condição de operação, calcule a corrente eficaz e a energia arma-
zenada de pico.
 1.19 Assuma que o material do indutor do Problema 1.17 tem a permeabilidade dada 
no Problema 1.5. Escreva um script de MATLAB para calcular a densidade de 
fluxo no núcleo e o fluxo concatenado do indutor com uma corrente de 1,2 A.
 1.20 Considere o circuito magnético cilíndrico da Fig. 1.32. Essa estrutura, conhe-
cida como pot-core, é constituída em geral de duas metades cilíndricas. A 
bobina de N espiras é enrolada em um carretel e, quando as duas metades são 
montadas, ela pode ser facilmente inserida na coluna disposta no eixo central 
do núcleo. Como o entreferro está no interior do núcleo e se este não entrar em 
saturação excessiva, um fluxo magnético relativamente baixo se “dispersará” 
do núcleo. Isso faz essa estrutura ter uma configuração especialmente atraente 
para uma ampla variedade de aplicações em indutores, como o da Fig. 1.31, e 
também em transformadores.
Suponha que a permeabilidade do núcleo seja μ = 2.300 μ0 e que N = 180 
espiras. As seguintes dimensões são especificadas:
 a. Embora a densidade de fluxo nas seções radiais do núcleo (as seções de es-
pessura h) diminuam na realidade com o raio, assuma que a densidade de 
fluxo permanece uniforme. Encontre o valor de R3 para o qual a densidade 
de fluxo média na parede externa do núcleo é igual àquela no interior do 
cilindro central.
 b. Escreva uma expressão para a indutância da bobina e calcule-a para as 
dimensões dadas.
 c. O núcleo deve operar com uma densidade de fluxo de pico de 0,6 T, em 
uma frequência de 60 Hz. Encontre (i) o respectivo valor eficaz da tensão 
g
l
h
h
l
i
R3
R2
R1
μ 
ν
C/L
Enrolamento de
N espiras
Figura 1.32 Indutor pot-core do Problema 1.20.
Capítulo 1 – Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 53
induzida no enrolamento, (ii) a corrente eficaz na bobina e (iii) a energia 
armazenada de pico.
 d. Repita a parte (c) para a frequência de 50 Hz.
 1.21 Uma forma de onda quadrada de tensão, com frequência fundamental de 
60 Hz e semiciclos positivos e negativos iguais de amplitude E, é aplicada a 
um enrolamento de 575 espiras em um núcleo fechado de ferro de seção reta 
igual a Ac = 9 cm2 e comprimento lc = 35 cm. Despreze a resistência do enro-
lamento e todos os efeitos de fluxo disperso.
 a. Faça um esboço da tensão, do fluxo concatenado no enrolamento e do flu-
xo no núcleo em função do tempo.
 b. Encontre o valor máximo admissível para E se a densidade máxima de 
fluxo não puder ser superior a 0,95 T.
 c. Calcule a corrente de pico no enrolamento se o núcleo tiver uma permeabi-
lidade magnética de μ0.
 1.22 Assuma que o núcleo de ferro do Problema 1.21 pode ser descrito por uma 
permeabilidade magnética dada por
em que B é a densidade de fluxo do núcleo.
 a. Plote a curva B-H do material do núcleo para densidades de fluxo no inter-
valo −1,8 T ≤ B ≤ 1,8 T.
 b. Uma tensão senoidal eficaz de 110 V e 60 Hz é aplicada ao enrolamento. 
Usando MATLAB, plote um ciclo da corrente de enrolamento resultante 
em função do tempo. Qual é a corrente de pico?
 c. A tensão da parte (b) é dobrada para 220 Vef. Acrescente um gráfico da 
corrente resultante em função do tempo para o gráfico da parte (b). Qual é 
a corrente de pico nesse caso?
 1.23 Repita as partes (b) e (c) do Problema 1.22 se um entreferro de 10 mm for 
inserido no núcleo magnético.
 1.24 Um indutor deve ser projetado usando um núcleo magnético com a forma dada 
na Fig. 1.31. O núcleo tem seção reta uniforme de área Ac = 6,0 cm2 e compri-
mento médio lc = 28 cm.
 a. Calcule o comprimento do entreferro g e o número de espiras N tais que a 
indutância seja 23 mH e de modo que o indutor possa operar com correntes 
de pico de 10 A sem saturação. Suponha que a saturação ocorra quando a 
densidade de fluxo de pico do núcleo exceda a 1,7 T e que, abaixo da satu-
ração, o núcleo tenha permeabilidade μ = 2700 μ0.
 b. Para uma corrente de indutor de 10 A, use a Eq. 3.21 para calcular (i) a 
energia magnética armazenada no entreferro e (ii) a energia magnética ar-
mazenada no núcleo. Mostre que a energia magnética armazenada total é 
dada pela Eq. 1.46.
 1.25 Escreva um script de MATLAB para projetar indutores com base no núcleo 
magnético da Fig. 1.31. Assuma que o núcleo tem uma seção reta com área de 
54 Máquinas elétricas
10,0 cm2, um comprimento de 35 cm e uma permeabilidade magnética rela-
tiva de 1.700. O indutor deve funcionar com uma corrente senoidal de 50 Hz 
e deve ser projetado de tal forma que o pico da densidade de fluxo no núcleo 
seja igual a 1,4 T quando o pico da corrente no indutor for 7,5 A.
Escreva um programa simples para projeto por computador na forma de 
um script de MATLAB. Ele deve calcular o número de espiras e o comprimen-
to do entreferro em função da indutância desejada. O script deve ser escrito 
de modo que solicite do usuário um valor de indutância (em mH) e que a 
saída seja o comprimento do entreferro em milímetros e o número de espiras. 
Escreva o seu script de modo que rejeite os projetos nos quais o comprimento 
do entreferro esteja fora do intervalo de 0,05 mm a 6,0 mm, ou nos quais o 
número de espiras seja menor do que 10.
Usando o programa, encontre as indutâncias (a) mínima e (b) máxima (com 
o valor mais próximo em mH) que satisfaça às especificações dadas. Para cada 
um desses valores, determine o comprimento de entreferro necessário, o númerode espiras, assim como a tensão eficaz correspondente ao fluxo de pico do núcleo.
 1.26 Considere um indutor composto de dois núcleos em C, como mostrado na Fig. 
1.29. Cada núcleo em C tem um seção reta de área Ac = 105 cm2 e um compri-
mento médio de lc = 48 cm.
 a. Assumindo que as bobinas estão conectadas em paralelo, calcule o número 
de espiras N por bobina e o comprimento do entreferro g tal que a indutân-
cia seja 350 mH e tal que a corrente no indutor possa ser aumentada para 
6,0 A sem ultrapassar uma densidade de fluxo no núcleo de 1,2 T, evitando 
assim a saturação do núcleo. Você pode ignorar a relutância do núcleo e os 
efeitos de espraiamento no entreferro.
 b. Repita a parte (a) assumindo que as bobinas estão conectadas em série.
 1.27 Assumindo que os núcleos em C do Problema 1.26 têm uma permeabilidade 
magnética de μ = 3,500 μ0, repita o Problema 1.26.
 1.28 Escreva um script de MATLAB para fazer o cálculo automático dos Proble-
mas 1.26 e 1.27. As entradas do seu script devem ser a área do núcleo, o com-
primento médio do núcleo, a permeabilidade do núcleo e o tipo de conexão 
dos enrolamentos (paralelo ou em série), assim como a indutância desejada, a 
densidade de fluxo máxima no núcleo e a corrente. Use o seu script para pro-
jetar um indutor de 220 mH cujos núcleos têm seção reta com área de 40 cm2 
e comprimento médio de 35 cm. O indutor deve ser capaz de suportar uma 
corrente de até 9,0 A com uma densidade de fluxo que não excede 1,1 T.
 1.29 Um mecanismo proposto para armazenar energia consiste em uma bobina de 
N espiras, enrolada em torno de um grande núcleo toroidal de material não 
magnético (μ = μ0), como mostrado na Fig. 1.33. Como se pode ver na figura, 
o núcleo tem uma seção reta circular de raio a e um raio toroidal r, medido até 
o centro da seção reta. A geometria desse dispositivo é tal que o campo mag-
nético pode ser considerado nulo em qualquer ponto fora do toro. Supondo 
que a � r, então pode-se considerar que o campo H no interior do toro esteja 
orientado acompanhando o toro e que tenha magnitude uniforme dada por
Capítulo 1 – Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 55
Para um bobina com N = 12.000 espiras, r = 9 m e a = 0,55 m:
 a. Calcule a indutância L da bobina.
 b. A bobina deve ser carregada com uma densidade de fluxo magnético de 
1,80 T. Para essa densidade de fluxo, calcule a energia magnética total 
armazenada no toro.
 c. Se a bobina tiver de ser carregada a uma taxa constante (isto é, di/dt cons-
tante), calcule a tensão necessária nos terminais para que a densidade de 
fluxo requerida seja atingida em 40 s. Suponha que a resistência da bobina 
seja desprezível.
 1.30 A Fig. 1.34 mostra um indutor enrolado em um núcleo de seção reta retangular 
feito de chapas de ferro. Suponha que a permeabilidade do ferro seja infinita. 
Despreze o espraiamento e a dispersão magnética dos dois entreferros (com-
primento total de entreferro = g). O enrolamento de N espiras é de fio de co-
bre isolado cuja resistividade é ρ	·m. Suponha que uma fração fenr do espaço 
de enrolamento esteja disponível para o cobre e que o restante do espaço seja 
usado na isolação.
 a. Calcule a área da seção reta e o volume do cobre no espaço de enrolamento.
 b. Escreva uma expressão para a densidade de fluxo B no indutor, em termos 
da densidade de corrente Jcobre no enrolamento de cobre.
 c. Escreva uma expressão para a densidade de corrente Jcobre no cobre, em 
termos da corrente I do enrolamento, do número de espiras N e da geome-
tria da bobina.
 d. Deduza uma expressão para a potência elétrica dissipada na bobina, em 
termos da densidade de corrente Jcobre.
 e. Deduza uma expressão para a energia magnética armazenada no indutor, 
em termos da densidade de corrente aplicada Jcobre.
+
λ
2a
r
i
Figura 1.33 Enrolamento toroidal do Problema 1.29.
g/2g/2
Núcleo:
 espessura h para
 dentro da página
a
a
w
w
w
b
i
Figura 1.34 Indutor com núcleo de ferro do Problema 1.30.
56 Máquinas elétricas
 f. A partir das partes (d) e (e), deduza uma expressão para a constante de 
tempo L/R do indutor. Observe que essa expressão é independente do nú-
mero de espiras da bobina e não se altera quando a indutância e a resistên-
cia da bobina são alteradas ao se variar o número de espiras.
 1.31 O indutor da Fig. 1.34 tem as seguintes dimensões:
a = h = w = 1,8 cm b = 2,2 cm g = 0,18 cm
O fator de enrolamento (isto é, a fração do espaço de enrolamento ocupado pelo 
condutor) é fenr = 0,55. A resistividade do cobre é 1,73 × 10−8	·m. Quando a 
bobina opera com uma tensão aplicada CC constante de 40 V, a densidade de 
fluxo no entreferro é medida como sendo 1,3 T. Encontre a potência dissipada 
na bobina, a corrente da bobina, o número de espiras, a resistência da bobina, 
a indutância, a constante de tempo e o diâmetro do fio, expresso pela bitola de 
fio mais próxima. (Sugestão: A bitola do fio pode ser obtida com a expressão
em que AWG é o diâmetro do fio, expresso em termos da norma American 
Wire Gauge e Afio é área da seção reta do condutor em m2.)
 1.32 O circuito magnético da Fig. 1.35 tem dois enrolamentos e dois entreferros. 
Pode-se supor que o núcleo tenha permeabilidade infinita. As dimensões do 
núcleo são indicadas na figura.
 a. Supondo que a bobina 1 esteja conduzindo uma corrente I1 e a corrente na 
bobina 2 seja zero, calcule (i) a densidade de fluxo magnético em cada um 
dos entreferros, (ii) o fluxo concatenado do enrolamento 1 e (iii) o fluxo 
concatenado do enrolamento 2.
 b. Repita a parte (a), supondo uma corrente zero no enrolamento 1 e uma 
corrente I2 no enrolamento 2.
 c. Repita a parte (a), supondo que a corrente do enrolamento 1 seja I1 e a 
corrente do enrolamento 2 seja I2.
 d. Encontre as indutâncias próprias (autoindutâncias) dos enrolamentos 1 e 2 
e a indutância mútua entre os enrolamentos.
i2
i1
g1
g2
N1 espiras
N2 espiras
Área A1
Área A2Núcleo, μ → ∞
Figura 1.35 Circuito magnético do Problema 1.32.
Capítulo 1 – Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 57
 1.33 O circuito magnético simétrico da Fig. 1.36 tem três enrolamentos. Os enrola-
mentos A e B têm N espiras cada um e são enrolados nas duas pernas inferio-
res do núcleo. As dimensões do núcleo estão indicadas na figura.
 a. Encontre a indutância própria de cada um dos enrolamentos.
 b. Encontre as indutâncias mútuas entre os três pares de enrolamentos.
 c. Encontre a tensão induzida no enrolamento 1 quando as correntes iA(t) e 
iB(t) dos enrolamentos A e B estão variando no tempo. Mostre que essa 
tensão pode ser usada para medir o desequilíbrio (diferença) entre duas 
correntes senoidais de mesma frequência.
 1.34 O gerador alternador (recíproco) da Fig. 1.37 tem um êmbolo móvel (de posi-
ção x) montado de tal modo que desliza para dentro e para fora de uma estru-
tura magnética, conhecida como yoke*, mantendo o espaçamento g constante 
nos dois lados entre o êmbolo e o yoke. Esses dois podem ser considerados 
com permeabilidade infinita. O movimento do êmbolo está restringido de tal 
modo que sua posição limita-se a 0 ≤ x ≤ w.
Há dois enrolamentos nesse circuito magnético. O primeiro enrolamento 
tem N1 espiras e conduz uma corrente CC constante I0. O segundo de N2 espi-
ras está em circuito aberto e pode ser conectado a uma carga.
 a. Desprezando os efeitos de espraiamento, encontre a indutância mútua en-
tre os enrolamentos 1 e 2 em função da posição x do êmbolo.
 b. O êmbolo é acionado por uma fonte externa de tal modo que o seu movi-
mento é descrito por
em que � ≤ 1. Encontre uma expressão para a tensão senoidal gerada como 
resultado desse movimento.
* N. de T.: Alusão à canga, ou jugo, devido à sua forma.
iB
g
N espiras
N1 espiras
iA
i1
N espiras
l1
l2
lA
Núcleo:
 Área Ac
 Permeabilidade μ 
Figura 1.36 Circuito magnético simétrico do Problema 1.33.
58 Máquinas elétricas
 1.35 A Fig. 1.38 mostra uma configuração que pode ser usada para medir as carac-
terísticas magnéticas do aço elétrico.O material a ser testado é cortado ou per-
furado, produzindo chapas em formato de anéis circulares que então são em-
pilhadas (intercalando camadas isolantes para evitar a formação de correntes 
parasitas). Dois enrolamentos envolvem essa pilha de chapas: o primeiro, com 
N1 espiras, é usado para produzir um campo magnético na pilha de chapas; o 
segundo, com N2 espiras, é usado para captar o fluxo magnético resultante.
A exatidão dos resultados requer que a densidade de fluxo magnético 
seja uniforme dentro das chapas. Isso será conseguido se a largura dos anéis 
w = Re − Ri for muito menor que o raio das chapas e se o enrolamento de 
excitação envolver uniformemente a pilha de chapas. Para os propósitos desta 
análise, suponha que haja n chapas, cada uma de espessura �. Suponha tam-
bém que o enrolamento 1 seja excitado com uma corrente i1 = I0 sen ωt.
x
Êmbolo
N1 espiras
N2 espiras
ν2
I0
g
g
w
μ → ∞
μ → ∞
h >> g
x(t) = (1 + � sen ωt)w
2
Yoke
Profundidade D
+
Figura 1.37 Gerador alternador do Problema 1.34.
i2 = 0
+
v2
v0 = G∫v2 dt
∫dt
i1
Enrolamento 2,
N2 espiras
Pilha de n chapas,
cada uma de espessura �
Enrolamento 1,
N1 espiras
t << Ri
Ri
Re
Figura 1.38 Configuração para medição das propriedades do aço elétrico.
Capítulo 1 – Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 59
 a. Encontre a relação entre a intensidade de campo magnético H nas chapas e 
a corrente i1 no enrolamento 1.
 b. Encontre a relação entre a tensão v2 e a razão, no tempo, da variação de 
fluxo magnético B nas chapas.
 c. Encontre a relação entre a tensão v0 = G ∫ v2dt e a densidade de fluxo.
Nesse problema, mostramos que a intensidade do campo magnético H e a 
densidade do fluxo magnético B nas chapas são proporcionais à corrente i1 e 
à tensão v0, por meio de constantes conhecidas. Assim, no aço elétrico, B e H 
podem ser medidas diretamente e as curvas características B-H, como discuti-
das nas Seções 1.3 e 1.4, podem ser determinadas.
 1.36 Da curva de magnetização CC da Fig. 1.10, é possível calcular a permeabili-
dade relativa μr = Bc /(μ0Hc) do aço elétrico M-5 em função do valor de fluxo 
Bc. Supondo que o núcleo da Fig. 1.2 seja feito de aço elétrico M-5 com as 
dimensões dadas no Exemplo 1.1, calcule o intervalo de densidade de fluxo 
tal que a relutância do núcleo nunca exceda em 5% a relutância do circuito 
magnético total.
 1.37 Para testar as propriedades de uma amostra de aço elétrico, chapas com a for-
ma dada na Fig. 1.38 foram estampadas a partir de uma chapa de aço elé-
trico de espessura igual a 3,0 mm. Os raios das chapas são Ri = 80 mm e 
Re = 90 mm. Elas foram montadas em uma pilha de 15 chapas (separadas por 
isolamento apropriado para evitar as correntes parasitas) com o propósito de 
testar as propriedades magnéticas, na frequência de 50 Hz.
 a. O fluxo na pilha de chapas será produzido com uma fonte de tensão de 
50 Hz de amplitude variável com 20 V de amplitude de pico. Desprezando 
qualquer queda de tensão na resistor de enrolamento, calcule o número 
necessário de espiras N1 do enrolamento de excitação para assegurar que 
a pilha de chapas possa ser excitada até atingir uma densidade de fluxo de 
pico de 1,8 T.
 b. Com um enrolamento secundário de N2 = 10 espiras e um ganho de inte-
gração G = 1.000, observa-se que a saída do integrador é de 7,5 V de pico. 
Calcule (i) o respectivo fluxo de pico da pilha de chapas e (ii) a respectiva 
amplitude da tensão aplicada ao enrolamento de excitação.
 1.38 As bobinas do circuito magnético mostrado na Fig. 1.39 são conectadas em 
série de modo que os valores de FMM dos caminhos A e B tendem ambos a 
estabelecer fluxos na perna central C com o mesmo sentido. As bobinas são 
enroladas com o mesmo número de espiras, N1 = N2 = 120. As dimensões 
são:
Área das seções retas das pernas A e B = 8 cm2
Área da seção reta da perna C = 16 cm2
Comprimento do caminho A = 17 cm
Comprimento do caminho B = 17 cm
Comprimento do caminho C = 5,5 cm
Entreferro = 0,35 cm
60 Máquinas elétricas
O material é do tipo aço elétrico M-5 de 0,012 polegadas. Desconsidere o 
espraiamento e a dispersão.
 a. Quantos ampères são necessários para produzir uma densidade de fluxo de 
1,3 T no entreferro?
 b. Dada a condição da parte (a), quantos joules de energia são armazenados 
no campo magnético do entreferro? Com base nessa energia armazenada, 
calcule a indutância desse enrolamento conectado em série.
 c. Calcule a indutância do sistema assumindo que o núcleo tenha permeabili-
dade infinita. Compare a sua indutância com o valor calculado na parte (b).
 1.39 A seguinte tabela mostra dados da metade superior de um laço de histerese 
simétrico de 60 Hz para uma amostra de aço magnético:
B, T 0 0,2 0,4 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,95 0,9 0,8 0,7 0,6 0,4 0,2 0
H, A·espiras/m 48 52 58 73 85 103 135 193 80 42 2 −18 −29 −40 −45 −48
Usando o MATLAB, (a) plote esses dados, (b) calcule a área do laço de histe-
rese em joules e (c) calcule a respectiva densidade de perdas no núcleo a 60 Hz 
em watts/kg. Assuma que a densidade do aço M-5 é 7,65 g/cm3.
 1.40 Um circuito magnético conforme mostrado na Fig. 1.27 tem as seguintes 
dimensões:
Área da seção reta Ac = 27 cm2
Comprimento médio do núcleo lc = 70 cm
Comprimento do entreferro g = 2,4 mm
N = 95 espiras
e é feito com aço elétrico M-5 tendo as propriedades descritas nas Figs. 1.10, 
1.12 e 1.14. Suponha que o núcleo esteja operando com uma densidade de 
fluxo senoidal de 60 Hz cuja densidade de fluxo eficaz é 1,1 T. Desconsidere 
a resistência do enrolamento e a indutância de dispersão. Para essas condições 
de operação, obtenha a tensão do enrolamento, a corrente eficaz do enrola-
mento e as perdas no núcleo. A densidade do aço M-5 é 7,65 g/cm3.
 1.41 Repita o Exemplo 1.8 supondo que todas as dimensões do núcleo sejam 
duplicadas.
 1.42 Usando as curvas de magnetização do samário-cobalto dadas na Fig. 1.19, 
encontre o ponto de produto energético máximo e os respectivos valores de 
densidade de fluxo e intensidade de campo magnético. Usando esses valores, 
repita o Exemplo 1.10 substituindo o ímã de Alnico 5 por um de samário-
A B
C
N1 N2
I1 I2
Figura 1.39 Circuito magnético do Problema 1.38.
Capítulo 1 – Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 61
-cobalto. De quanto isso reduz o volume de ímã necessário para se obter a 
densidade de fluxo desejada no entreferro?
 1.43 Usando as características de magnetização do neodímio-ferro-boro dadas na 
Fig. 1.19, encontre o ponto de produto energético máximo e os valores corres-
pondentes de densidade de fluxo e intensidade de campo magnético. Usando 
esses valores, repita o Exemplo 1.10 substituindo o ímã de Alnico 5 por um de 
neodímio-ferro-boro. De quanto isso reduz o volume de ímã necessário para 
se obter a densidade de fluxo desejada no entreferro?
 1.44 A Fig. 1.40 mostra o circuito magnético de um alto-falante de ímã permanen-
te. A bobina móvel (não mostrada), produtora de som, tem a forma cilíndrica 
e se ajusta ao entreferro. Um ímã de samário-cobalto é usado para criar um 
campo magnético CC no entreferro. Esse campo interage com as correntes da 
bobina móvel produzindo o movimento. O projetista determinou que o entre-
ferro deve ter raio R = 2,2 cm, comprimento g = 0,1 cm e altura h = 1,1 cm.
Supondo que a estrutura em yoke e a peça polar tenham permeabilidade 
magnética infinita (μ → ∞), encontre a altura hm e o raio Rm do ímã de modo 
que seja fornecida uma densidade de fluxo magnético de 1,3 T no entreferro e 
seja requerido um volume mínimo de ímã.
(Sugestão: Refira-se ao Exemplo 1.10 e à Fig. 1.19 para determinar o 
ponto de produto energético máximo para o samário-cobalto.)
 1.45 Repita o Problema 1.44 substituindo o ímã de samário-cobalto por um de neo-
dímio-ferro-boro e utilizando as características de magnetização da Fig. 1.19.
 1.46 Com base nas características de magnetização do material neodímio-ferro-
-boro da Fig. 1.24 e da Tabela 1.1, calcule o produto energético máximo para 
esse tipo de neodímio-ferro-boroem cada uma das temperaturas da Tabela 
1.1, além dos respectivos valores de H e B. (Sugestão: Escreva uma expressão 
analítica para o produto energético máximo em termos de H usando o fato de 
que a permeabilidade de recuo é 1,04 μ0.)
 1.47 No entreferro do circuito magnético da Fig. 1.41, deseja-se obter uma densida-
de de fluxo magnético variável no tempo de acordo com
Bg = B0 + B1 sen ωt
em que B0 = 0,6 T e B1 = 0,20 T. O campo CC B0 deve ser criado por um ímã 
de neodímio-ferro-boro com a característica de magnetização da Fig. 1.19. O 
Ímã
Peça
polar
μ → ∞
μ → ∞
R g Yoke
Entreferro
h
hm
Rm
C/L
Figura 1.40 Circuito magnético do alto-falante do Problema 1.44 (bobina móvel não mostrada).
62 Máquinas elétricas
campo variável no tempo deve ser criado por uma corrente variável no tempo. 
Para Ag = 7 cm2, g = 0,35 cm, N = 175 espiras e com a característica de mag-
netização da Fig. 1.19, encontre:
 a. o comprimento d e a área Am do ímã que permitirão obter a densidade de 
fluxo desejada no entreferro e minimizar o volume de ímã.
 b. A amplitude da corrente variável no tempo necessária para se obter a den-
sidade desejada de fluxo de entreferro variável no tempo.
 1.48 Um circuito magnético com a forma da Fig. 1.41 deve ser projetado usando ma-
terial neodímio-ferro-boro com as características da Fig. 1.24 e da Tabela 1.1.
O núcleo do circuito magnético terá uma área de seção reta Ag = 9 cm2 
e o comprimento do entreferro será g = 0,32 cm. O circuito deve ser projetado 
para operar com temperaturas de até 180o C.
 a. Encontre o comprimento d e a área Am do ímã que correspondem ao vo-
lume mínimo de ímã que produzirá uma densidade de fluxo magnético de 
0,8 T com o sistema operando a uma temperatura de 180o C.
 b. Para o ímã da parte (a), encontre a densidade de fluxo no entreferro quando 
a temperatura de operação é 60o C.
N espiras
Ímã Entreferro:
 área Ag
Área Am
d
g
μ → ∞ μ → ∞
i(t)
Figura 1.41 Circuito magnético do Problema 1.47.