Equação da Continuidade em Fluidos

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62
Unidade II
Unidade II
5 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE E ENERGIAS ASSOCIADAS A UM FLUIDO
5.1 Equação da continuidade para regime permanente
Na natureza, a massa e a energia são propriedades que se conservam, portanto, não podem ser 
criadas nem destruídas durante um processo. Em sistemas fechados, a relação da conservação da massa 
é empregada implicitamente, já que a massa do sistema permanece constante. Para um fluido escoando 
por um volume arbitrário no espaço (volume de controle), ou para sistemas abertos, a massa pode 
atravessar a fronteira do sistema, e deve‑se considerar a relação entre a quantidade de massa que entra 
e sai desse volume. Essa relação é chamada de equação da continuidade.
Em mecânica dos fluidos é comum a utilização do conceito de sistema e de volume de controle (VC). 
Sistema é definido como uma quantidade de massa fixa separada do ambiente por suas fronteiras, que 
podem ser fixas ou móveis. Já um volume de controle é um volume arbitrário no espaço por meio do 
qual o fluido escoa.
No estudo do movimento de um fluido, empregam‑se os conceitos de linha e de tubo de corrente para 
descrever como as partículas do fluido se movem. Considerando um fluido em movimento permanente 
pelo tubo de corrente da figura a seguir, por definição, o fluido dentro do tubo de corrente não pode 
cruzar a fronteira dessa superfície.
 Lembrete
• Linha de corrente – linha contínua e tangente ao vetor velocidade 
instantânea para cada ponto do campo de escoamento.
• Tubo de corrente – superfície formada por todas as linhas de corrente 
que passam pelos pontos de uma dada linha geométrica fechada.
63
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
A1
A2
v1
v2
Linhas de corrente
Tubo de corrente
Figura 31 – Tubo de corrente em um fluido que escoa em regime não turbulento
A partir desse movimento, pode‑se estabelecer uma expressão para a conservação da massa do fluido. 
Para o tubo de corrente anterior, as velocidades das seções retas de área A1 e A2 são, respectivamente, v1 
e v2. Considerando um elemento de fluido que penetre na parte inferior do tubo de corrente da figura 
anterior, o volume desse elemento (ΔV1) corresponde à área A1 vezes o comprimento ΔL1.
ΔV1 = A1 . ΔL1
O elemento de comprimento pode ser escrito em função da velocidade e do intervalo de tempo que 
o fluido leva para percorrer o elemento de volume naquela extremidade do tubo:
ΔL1 = v1 . Δt
Portanto, o elemento de volume fica:
ΔV1 = A1 . v1 . Δt
A massa de fluido que entra na extremidade inferior do tubo durante o intervalo Δt corresponde à 
massa específica ρ1 vezes o volume ΔV1. Assim:
m1 = ρ1 . A1 . v1 . Δt
Analogamente, a massa (m2) do fluido que sai pela extremidade superior durante o mesmo intervalo 
de tempo é:
m2 = ρ2 . A2 . v2 . Δt
64
Unidade II
Como nenhum fluido se acumula no tubo de corrente, em regime permanente de escoamento as 
duas massas, m1 e m2, são iguais. Logo:
m1 = m2
ρ ρ1 1 1 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅A v t A v t∆ ∆
ρ ρ1 1 1 2 2 2⋅ ⋅ = ⋅ ⋅A v A v
Essa equação é conhecida como equação da continuidade e representa a conservação de massa em 
fluxo constante. Assim, em regime permanente, a vazão mássica será conservada:
QM1 = QM2
 Observação
Na literatura, alguns autores aplicam a consideração anterior de 
conservação de massa a um tubo de corrente. Porém, também é comum 
que a lei de conservação de massa seja aplicada a um sistema e, em seguida, 
estendida a um volume de controle.
5.2 Equação da continuidade para fluidos incompressíveis
Se o fluido em movimento for incompressível, como a massa específica é constante, então ρ1 = ρ2 e 
a equação da continuidade ficará:
A1 . v1 = A2 . v2
Ou seja, a vazão volumétrica se conserva:
Q1 = Q2
Verifica‑se que, para fluidos incompressíveis, as velocidades médias e as áreas são grandezas 
inversamente proporcionais. Assim, uma diminuição da velocidade corresponde a um aumento da área.
5.3 Entradas e saídas não únicas
Para sistemas com diversas entradas e saídas, a equação da continuidade pode ser generalizada para:
Q QM
Entrada
M
Sa da
∑ ∑=
í
65
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Ou seja, a soma das vazões em massa na entrada é igual à soma das vazões em massa na saída.
A mesma análise pode ser aplicada para um fluido incompressível:
Q Q
Entrada Sa da
∑ ∑=
í
Exemplo 1
Para encher um balde de 36 litros, utiliza‑se uma mangueira cujo diâmetro interno é de 2 cm e 
se reduz a 0,9 cm na saída em virtude de um bocal. Sabe‑se que são necessários 55 segundos para 
encher completamente o balde. Nessas condições, determine a vazão volumétrica da água através da 
mangueira e a velocidade média da água na saída do bocal.
Resolução
Dados:
∀ = 36 l = 0,036 m³
Di = 2 cm = 0,02 m
DB = 0,9 cm = 0,009 m
t = 55 s
Q = ?
v = ?
Sabem‑se o volume do balde e o intervalo de tempo necessário para enchê‑lo. Dessa forma, tem‑se 
a vazão volumétrica:
Q = 
t
∀
Q = 
36 10 m
55 s
 = 0,654 10 m /s
‑3 3
‑3 3× ×
66
Unidade II
A velocidade média da água na saída do bocal é obtida por meio da relação:
Q = v A v = 
Q
A
⋅ ⇒
v = 
Q
D
2
 = 
0,654 10 m /s
0,009 m
2
 = 
0,654
B
2
‑3 3
2
π π


×




××
×
−10
6,362 10
m
s
1
m‑5
3
2
3
v = 10,28 m/s
Exemplo 2
Em um determinado circuito hidráulico, um reservatório admite água com uma vazão de 25 l/s. 
Nesse mesmo reservatório, é trazido óleo por outra tubulação com uma vazão de 14 l/s. A mistura 
homogênea formada é então descarregada por outro tubo cuja seção transversal tem uma área de 37 
cm². Determine a velocidade da mistura.
água óleo
mistura
Reservatório
Figura 32
Resolução
Dados:
Q = 25 l/s = 25 10 m /sgua
‑3 3
á ×
Q = 14 l/s = 14 10 m /sleo
‑3
ó ×
3
A = 37 cm = 37 10 m2 ‑4 2×
67
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
A vazão total é a soma da vazão da água e vazão do óleo:
Q = Qágua + Qóleo
Q = 25 10 m /s + 14 10 m /s‑3 3 ‑3 3× ×
Q = 39 10 m /s‑3 3×
Para determinar a velocidade da mistura, tem‑se:
Q = v A v = 
Q
A
⋅ ⇒
v = 
39 10 m /s
37 10 m
 = 
39 10
37 10
m
s
1
m
‑3 3
‑4 2
‑3
‑4
3
2
×
×
×
×
v = 10,54 m/s
Exemplo 3
Em um determinado sistema com escoamento de água, no ponto A, o diâmetro do tubo é de 50 mm 
e a velocidade da água é de 2,3 m/s. O conduto se bifurca em dois condutos menores, cada um com 
diâmetro de 25 mm. Nessas condições, determine:
a) As vazões nos pontos A e B.
b) A velocidade no ponto B.
A
B
Figura 33
68
Unidade II
Resolução
Dados:
DA = 50 mm
vA = 2,3 m/s
DB = 25 mm
QA = ?
QB = ?
vB = ?
Para determinar a vazão no ponto A, utilizar a equação:
Q = v AA A A⋅
Q = v
D
2
 = 2,3 m/s
50 10 m
2
 = 2,3 6A A
A
2 ‑3 2
⋅ 



⋅ ×




⋅ ⋅π π π 225 10 m
s
m‑6 2×
QA = 4,52 × 10
–3 m3/s
Apesar de a área da seção transversal no ponto B ser menor do que no ponto A, a vazão total precisa 
ser a mesma. Desta forma:
2QB = QA
Q = 
Q
2
 = 
4,52 10 m /s
2B
A
‑3 3×
QB = 2,26 × 10
–3 m3/s
A velocidade da água no ponto B é obtida por meio da relação:
QB = vB . AB = 2,26 × 10
–3 m3/s
69
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
v = 
2,26 10 m /s
A
2,26 10 m /s 2,26 10 
B
‑3 3
B
‑3 3 ‑3× = ×




= ×
π DB
2
2
mm /s
 m
3
π 25 10
2
3 2×



−
v = 
2,26 10
0,156 10
m
s
1
m
B
‑3
‑3
3
2
×
⋅ ×π
VB = 4,61 m/s
Exemplo 4
Em uma determinada indústria, o sistema hidráulico ilustrado a seguir opera com um fluido 
específico (ρ = 600 kg/m³). Durante a inspeção do sistema, foi constatado um vazamento. Determine a 
despesa diária com o fluido vazado, sabendo que seu custo é de R$ 0,05 por quilograma e que o sistema 
hidráulico opera por 8 horas diárias. Dados: vA = 2,0 m/s, AA = 25 cm², vB = 1,9 m/s e AB = 30 cm².
VA
VB
vazamento
V = 6 m/s
A
BA = 20 cm2
Figura 34
Resolução
Dados:
ρ = 600 kg/m³
C = 0,05 reais/kg
vA = 2,0 m/s
70
Unidade II
AA = 25 cm²
vB = 1,9 m/s
AB = 30 cm²
Para determinar a quantidade de fluido perdido em virtude do vazamento, é necessário calcular 
todas as vazões envolvidas:
Q = QA + QB + Qv
ρ ρ ρ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅v A = v A + v A + QA A B B V
Q =v A ‑ v A ‑ v AV A A B Bρ ⋅ ⋅ ⋅( )
Q = 600 kg/m m/s 20 10 m m/s 25 10 m mV
3 2 ‑4 26 2 194⋅ ×( ) − ⋅ ×( ) −− , //s 30 10 m‑4 2⋅ ×( )  
Q = 600 1,3 10
kg
m
m
sV
‑3
3
3
×( )
Qv = 0,78 kg/s
Sabe‑se que o fluido tem um custo de 0,05 reais por quilograma. Assim, para as 8 horas (t = 28800 
segundos) de operação do sistema hidráulico, tem‑se:
V = t Q C = 28800 s 0,78 kg/s 0,05 reais/kgV⋅ ⋅ ⋅ ⋅
V = 1123,2 s
kg
s
reais
kg
V = 1123,20 reais
Portanto, a despesa diária em virtude do vazamento do fluido é de R$ 1.123,20.
5.4 Energia potencial (Ep)
Anteriormente, foram discutidos conceitos relacionados com a conservação da massa de um fluido. 
Em regime permanente, o fluxo de massa por unidade de tempo em uma seção transversal se mantém 
constante, o que pode ser expresso por meio da equação da continuidade.
71
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Da mesma forma, é possível estabelecer uma equação para conservação da energia de um fluido, já 
que a energia de um sistema não pode ser criada nem destruída, apenas transformada. Para isso, serão 
discutidos os tipos de energia associados a um fluido em movimento permanente.
Considerando um sistema de massa m, abandonado do repouso a uma distância z do plano horizontal 
de referência (figura a seguir), o trabalho (W) realizado pela força peso é dado pelo produto entre a força 
e o deslocamento:
W = G . z = m . g . z
A variação da energia potencial de um sistema equivale ao negativo do trabalho realizado pela 
força, assim:
∆E Wp = −
Como no plano horizontal de referência (PHR), a energia potencial é nula, então, a energia potencial 
gravitacional no ponto z é dada por:
Ep = m . g . z
Ou seja, essa é a energia armazenada no sistema e que está associada à posição em relação ao plano 
horizontal de referência. No SI a unidade para energia é:
J joule
kg m
s
 ( ) = ⋅
2
2
z
G = m.g
Plano horizontal de referência
Figura 35 – Sistema de massa m a uma distância z do plano horizontal de referência (PHR)
72
Unidade II
5.5 Energia cinética (Ec)
A energia cinética (Ec) é a energia associada ao movimento do fluido. Supondo um sistema com 
massa m movendo‑se com velocidade v, a energia cinética é dada por:
E
m v
C =
⋅ ²
2
5.6 Energia de pressão (Epr)
Analogamente, a energia de pressão (ou energia potencial de pressão) pode ser obtida por meio do 
trabalho realizado pela força que causa a pressão p em um tubo de corrente (figura a seguir). Supondo 
que a pressão seja uniforme, a força é dada por:
F = p . A
Se a força causar um deslocamento ds durante um intervalo de tempo dt, o trabalho dW exercido 
pela força será:
dW = F . ds = p . A . ds
Ou seja:
dW = p . dV
sendo dV o elemento de volume.
ds
dVA
F
Figura 36 – Força exercida sobre tubo de corrente causando uma pressão sobre o fluido
73
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Portanto, a energia de pressão (Epr) será:
dE dW dE p dVpr pr= ⇒ = ⋅ 
E p dVpr
V
= ⋅∫ 
5.7 Energia mecânica total (E)
Para um fluido incompressível em movimento permanente, a energia mecânica total é dada pela 
soma da energia cinética com a energia potencial (de posição e de pressão). A energia térmica não é 
energia mecânica, já que, como previsto pela Segunda Lei da Termodinâmica, a energia térmica não 
pode ser convertida em trabalho direta e completamente.
Dessa forma, a energia mecânica total do sistema é:
E E E Ep c pr= + +
E m g z
m v
p dV
V
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅∫
2
2
6 EQUAÇÃO DE BERNOULLI E EQUAÇÃO DA ENERGIA NA PRESENÇA DE 
MÁQUINAS
A conservação da energia mecânica aplicada ao escoamento de um fluido leva à equação conhecida 
como equação de Bernoulli, obtida pelo matemático suíço Daniel Bernoulli no século XVIII em seu 
tratado Hidrodynamics. Considerando um fluido incompressível e um tubo de corrente limitado por 
seções transversais de área A1 e A2 (figura a seguir), a quantidade de massa (dm1) que atravessa A1 
equivale à quantidade de massa (dm2) que atravessa A2. Ou seja:
dm1 = dm2 = dm
A2
A1
V2
V1
dV2dV1 z2
Plano horizontal de referência
z1
dm
dm
Figura 37 – Tubo de corrente limitado por seções transversais de área A1 e A2.
74
Unidade II
Nessa configuração, um elemento de massa nas seções (1) e (2) apresenta energia mecânica total 
dada por:
Em (1): dE dm g z
dm v
p dV1 1
1
2
1 12
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
Em (2): dE dm g z
dm v
p dV2 2
2
2
2 22
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
Sabendo que a massa específica (ρ) de um fluido é definida como:
ρ ρ= ⇒ ⋅dm
dV
 dV= dm
as equações da energia mecânica total nas seções (1) e (2) ficam:
Em (1): dE dm g z
dm v p
dm1 1
1
2
1
12
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
ρ
Em (2): dE dm g z
dm v p
dm2 2
2
2
2
22
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
ρ
Considerando que não existam perdas no sistema e que o regime de movimento seja permanente, a 
energia no ponto (1) equivale à energia no ponto (2), ou seja:
dE1 = dE2
dm g z
dm v p
dm dm g z
dm v p
dm⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅1 1
2
1
1
2
2
2
2
22 2ρ ρ
g z
v p
g z
v p⋅ + + = ⋅ + +1 1
2
1
1
2
2
2
2
22 2ρ ρ
Para um fluido incompressível: ρ1 = ρ2 = ρ
Portanto:
g z
v p
g z
v p⋅ + + = ⋅ + +1 1
2
1
2
2
2
2
2 2ρ ρ
Dividindo a equação anterior pela aceleração da gravidade (g) e substituindo o produto (ρ∙g) por g 
(peso específico do fluido), obtém‑se:
75
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
z
v
g
p
z
v
g
p
1
1
2
1
2
2
2
2
2 2
+ + = + +
γ γ
Essa equação é conhecida como equação de Bernoulli e permite relacionar alturas, velocidades e 
pressões de dois pontos do escoamento de um fluido ao longo de uma linha de corrente. Ou seja, 
segundo a equação de Bernoulli:
z
v
g
p
H cons te+ + = =
2
2 γ
tan
em que H é a carga total do sistema (energia por unidade de peso) e sua unidade no SI é o metro (m). Assim:
H1 = H2
E cada parcela da equação de Bernoulli refere‑se a um tipo de carga:
• z → carga potencial (energia potencial por unidade de peso);
• 
v
g
²
2
→ carga cinética (energia cinética por unidade de peso); e
• p
γ
→ carga de pressão (energia de pressão por unidade de peso).
Portanto, a equação de Bernoulli expressa que, para um fluido ideal, incompressível, em escoamento 
permanente, as cargas totais se mantêm constantes ao longo de uma linha de corrente. Ela é análoga 
ao princípio da conservação da energia mecânica, pois afirma que as formas de energia mecânica são 
convertidas entre si, mas a soma delas permanece constante.
 Observação
No sistema do tipo FLT, a dimensão da carga (ou energia por unidade de peso) 
é L. Por essa razão é comum a utilização do termo altura para essa grandeza.
6.1 Considerações da equação de Bernoulli
Para empregar corretamente a equação de Bernoulli, é necessário que as seguintes condições sejam satisfeitas:
• movimento permanente;
• escoamento incompressível;
• trocas de calor;
76
Unidade II
• forças de atrito são desprezíveis;
• escoamento ao longo de uma linha de corrente; e
• ausência de máquinas no trecho.
 Lembrete
Uma linha de corrente é uma linha contínua e tangente ao vetor 
velocidade instantânea para cada ponto do campo de escoamento.
Vale destacar que, apesar de todos os fluidos reais possuírem viscosidade, a equação de Bernoulli 
pode ser utilizada em algumas regiões do escoamento, desde que as forças de atrito sejam desprezíveis 
quando comparadas com as outras forças que atuam no fluido (figura a seguir).
Equação de Bernoulli é válida
Equação de Bernoulli não é válida
Figura 38 – Regiões em que a equação de Bernoulli é válida
 Saiba mais
Para saber mais sobre a utilização da equação de Bernoulli, acesse:
O QUE é a equação de Bernoulli. Khan Academy, [s.d.]. Disponível em: 
<https://pt.khanacademy.org/science/physics/fluids/fluid‑dynamics/a/
what‑is‑bernoullis‑equation>. Acesso em: 12 dez. 2016.
77
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
6.2 Pressão estática, dinâmica e de estagnação
Multiplicando a equação de Bernoulli pelo peso específico do fluido ( g = ρ∙g), tem‑se:
ρ ρ⋅ ⋅ + + =g z v p cons te
2
2
tan
Na equação anterior, cada parcela possui unidade de pressão e representa um tipo de pressão, como 
detalhado a seguir:
• p → é chamada de pressãoestática e representa a pressão termodinâmica do fluido.
• ρ v
2
2
 → é chamada de pressão dinâmica e representa o aumento de pressão quando o fluido em 
 
movimento é parado;
• ρ . g . z → é chamada de pressão hidrostática e representa a possível variação da pressão com a altura.
A soma das pressões estática, dinâmica e hidrostática corresponde à pressão total do fluido. Portanto, 
a equação de Bernoulli pode ser enunciada como:
A pressão total permanece constante ao longo de cada linha de corrente para o 
escoamento permanente de um fluido incompressível.
A pressão de estagnação (pestagnação) é definida como a soma da pressão estática com a pressão 
dinâmica, ou seja:
pestagnação = pestática + pdinâmica
p p
v
estagna oçã = + ρ
2
2
A pressão de estagnação corresponde à pressão em um ponto quando o fluido é parado 
completamente. O ponto em que isso ocorre é chamado de ponto de estagnação. Para corpos que 
exibem geometria regular, o ponto de estagnação pode ser facilmente determinado por considerações 
de simetria (figura a seguir); já para objetos de geometria irregular, a determinação do ponto de 
estagnação não é óbvia.
78
Unidade II
ponto de 
estagnação
Figura 39 – Ponto de estagnação em escoamento sobre uma esfera
Um exemplo clássico para descrever as três pressões é imaginar o vento batendo contra a mão em 
regime permanente:
• A pressão atmosférica é a pressão estática.
• A pressão que se sente na palma da mão é a pressão de estagnação.
• O acréscimo de pressão, em relação à atmosférica, é a pressão dinâmica.
Exemplo 1
Considere a configuração ilustrada a seguir na qual uma caixa de água está a 30 m do nível do solo 
e é alimentada por um cano com diâmetro interno de 20 mm. Esse cano sai do nível do solo e sua vazão 
é de 2,5 litros por segundo. Desprezando perdas nesse sistema, determine a diferença de pressão entre 
as extremidades do cano. Dados: g = 10 m/s² e g = 10000 N/m³.
cano
2
h = 30 m
1
Figura 40 
79
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Resolução
Dados:
h = 30 m
D = 20 mm
Q = 2,5 l/s = 2,5 × 10–3 m3/s
g = 10 m/s²
g = 10000 N/m³
ΔP = ?
Pela equação da continuidade, pode‑se determinar a velocidade da água no interior do encanamento:
v1 . A1 = 2,5 × 10
–3 m3/s
v = 
2,5 10 m /s
A
 = 
2,5 10 m /s
D
2
 = 
2,5 10 
1
‑3 3
1
‑3 3 ‑3× ×




×
π
2
mm /s
20 10 m
2
3
‑3
π ×




2
v = 
2,5 10
3,14 10
m
s
1
m
1
‑3
‑4
3
2
×
×
v1 = 7,96 m/s
Aplicando a equação de Bernoulli:
z
v
g
p
z
v
g
p
1
1
2
1
2
2
2
2
2 2
+ + = + +
γ γ
γ γz + v
2 g1
1
2
⋅




+ = +
⋅




+p z v
g
p1 2
2
2
22
p p z
v
g
z
v
g1 2 2
2
2
1
1
2
2 2
− = +
⋅




− +
⋅




γ γ
80
Unidade II
Sabe‑se que v2 = 0 m/s e que z2 – z1 = 30 m. Assim, tem‑se:
p p
z z
v
g
1 2
2 1
1
2
2
− = −( ) +
⋅γ
p p N m1 2
3
2
210000 30
7 96
2 10
− = − ( )
⋅








 m
 m/s
 m/s
/
,
p p
m
s
s
m
N m1 2 10000 30
63 36
20
10000 30− =




= m ‑ m ‑ 3,1
2
2
2
3, / 77 m N/m3( )
p p
N
m
m1 2 268300− = = 268300 N/m3
2
p1 – p2 = 268,3 kPa
Exemplo 2
A água é retirada de um reservatório de grandes dimensões por meio de um sifão com diâmetro 
interno de 1 cm, como ilustrado na figura a seguir. Considerando que a equação de Bernoulli é válida 
para essa configuração, determine:
a) A velocidade v2 na saída do sifão; e
b) A vazão em m³/s.
Dados: g = 10 m/s², z1 = 60 cm, z2 = ‑25 cm, z3 = 90 cm e z4 = 35 cm
z1
z2
v2
z3
z4
z = 0
Figura 41 
81
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Resolução
Dados:
D = 1 cm
g = 10 m/s²
z1 = 60 cm
z2 = ‑25 cm
z3 = 90 cm
z4 = 35 cm
Entre os pontos 1 e 2, tem‑se:
z
v
g
p
z
v
g
p
1
1
2
1
2
2
2
2
2 2
+ + = + +
γ γ
Em virtude de as extremidades estarem abertas p1 = p2 = 0 e v1 = 0, pois o reservatório é de 
grandes dimensões.
z z
v
g
v g z z1 2
2
2
2 1 22
2= + ⇒ = −( )
v2 = ⋅ ⋅ × ×( ) 2 10 m/s 60 10 m ‑ ‑25 10 m2 ‑2 ‑2
v2
220 0 85= ⋅ = m/s m 17 m /s2 2,
v2 = 4,12 m/s
A vazão é dada por Q = v2 . A2:
Q v A v
D m= ⋅ = ⋅ 



= ⋅ ×




= ⋅
−
2 2 2
2 2 2
2
4 12
1 10
2
4 12 7 85π π, , , m/s 44 10 5 2× − m
s
m
Q = 3,24 × 10–4 m3 / s
82
Unidade II
Exemplo 3
Considere a configuração ilustrada a seguir. No ponto (1) da tubulação escoa água com 
uma velocidade de 2 m/s a uma pressão de 300 kPa. No ponto (2) a pressão é de 200 kPa, e a 
velocidade da água é de 4 m/s. Nessas condições, e desprezando perdas, determine a altura h. 
Dados: g = 10 m/s² e g = 10000 N/m³.
h
2
1
Figura 42 
Resolução
Dados:
v1 = 2 m/s
p1 = 300 kPa
v2 = 4 m/s
p2 = 200 kPa
g = 10 m/s²
g = 10000 N/m³
Utilizando a equação de Bernoulli:
z
v
g
p
z
v
g
p
1
1
2
1
2
2
2
2
2 2
+ + = + +
γ γ
z z
v
g
p v
g
p
h
g
v v p p2 1
1
2
1 2
2
2
1
2
2
2
1 22 2
1
2
1− = + − −




⇒ = −( ) + −( )γ γ γ
83
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Substituindo os valores fornecidos pelo problema:
h =
⋅
( ) − ( )  + × −
1
2 10
2 4
1
10000
300 10 202 2 3
3
 m/s
 m/s m/s
 N/m
 Pa2 00 10
3×( ) Pa
h
s
m
m
s
m
N
Pa= ⋅ −( ) + × ⋅ ×−0 05 12 1 10 100 10
2 2
2
4 3
3
,
h m
m
N
N
m
= − + = − +0 6 10 0 6 10
3
2, , m m
h = 9,4 m
Exemplo 4
Um reservatório de grandes dimensões, com diâmetro interno de 3 m, possui um orifício 5 m abaixo 
do nível da água. Determine a velocidade da água que sai pelo orifício, sabendo que o diâmetro do 
orifício é de 21 mm. Dados: g = 10 m/s² e g = 10000 N/m³.
(2)
(1)
Orifício
Figura 43 
84
Unidade II
Resolução
Na superfície da água dentro do tanque, a velocidade é nula (v2 = 0), em razão de o tanque ser de 
grandes dimensões e a pressão ser a atmosférica. Na saída da água, a pressão também é a atmosférica 
(p1 = p2) e a velocidade é obtida pela equação de Bernoulli:
z
v
g
p
z
v
g
p
1
1
2
1
2
2
2
2
2 2
+ + = + +
γ γ
v
g
z z p p
v
g
1
2
2 1 2 1
2
2
2
1
2
= − + −( ) +
γ
Como p2 = p1 e v2 = 0, tem‑se:
v
g
z z v g z z1
2
2 1 1 2 12
2= − ⇒ = −( )
v s1
22 10 5 20 5= ⋅ ( ) = ⋅ m/s m ‑ 0 m m /2 2
V1 = 10 m/s
Uma máquina é um dispositivo que realiza trabalho (adiciona energia) sobre um fluido ou extrai 
trabalho (extrai energia) de um fluido. As máquinas que adicionam energia a um fluido são denominadas 
bombas. Já as máquinas que extraem energia de um fluido são chamadas turbinas.
Considerando dois pontos (1 e 2) de uma linha de corrente, na ausência de máquinas, a energia por 
unidade de peso (carga, H1) no ponto 1 é igual à energia por unidade de peso (carga, H2) no ponto 2. Ou 
seja:
Na ausência de máquinas:
H1 = H2
6.3 Bombas
Se a máquina for uma bomba, o fluido receberá um acréscimo de energia durante seu escoamento 
(figura a seguir). Dessa forma, a carga do ponto 2 é maior do que no ponto 1 (H2 > H1), e, considerando 
o balanço de energia mecânica, a equação do sistema deve ser reescrita, levando em conta a energia 
fornecida pela bomba por unidade de peso do fluido (carga, HB). Logo:
85
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
H1 + HB = H2
1
2
B
Figura 44 – Esquema de uma bomba inserida em um sistema de escoamento
6.4 Turbinas
Se a máquina do sistema for uma turbina (figura a seguir), então a carga do ponto 2 é menor do 
que a do ponto 1 (H2 < H1), e, considerando o balanço de energia mecânica, a equação do sistema 
deve ser reescrita levando em conta a energia extraída pela turbina por unidade de peso do fluido 
(carga, HT). Logo:
H1 – HT = H2
1
2
T
Figura 45 – Esquema de uma turbina inserida em um sistema de escoamento
6.5 Equação da energia na presença de uma máquina
De maneira geral, a equação da energia de um sistema na presença de uma máquina pode ser escrita 
em termos da carga da máquina (HM):
H1 + HM = H2
86
Unidade II
Ou seja:
HM = H2 – H1
Se:
HM > 0 (HM = HB) → a máquina é uma bomba;
HM < 0 (HM = HT) → a máquina é uma turbina;
HM = 0 (H1 = H2) → ausência de máquina.
Considerando a figura a seguir, as cargas nos pontos 1 e 2 são dadas por:
H z
p v
g1 1
1 1
2
2
= + +
γ
H z
p v
g2 2
2 2
2
2
= + +
γ
em que:z1 e z2 → alturas do fluido nos pontos 1 e 2;
p1 e p2 → pressões do fluido nos pontos 1 e 2;
v1 e v2 → velocidades do fluido nos pontos 1 e 2;
g → aceleração da gravidade; e
g → peso específico do fluido.
Portanto, a carga da máquina pode ser obtida por:
H z z
p p
g
v vM = − +
− + ⋅ −( ) ( ) ( )2 1 2 1 2
2
1
21
2γ
87
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
M
v2
v1
z1
p1 z2p2
Plano horizontal de referência
Figura 46 – Esquema de escoamento na presença de uma máquina
 Saiba mais
Para saber mais sobre a equação da energia na presença de uma 
máquina, leia o capítulo 4 do livro:
BRUNETTI, F. Equação da energia para regime permanente. In: BRUNETTI, 
F. Mecânica dos fluidos. São Paulo: Prentice Hall, 2009. cap. 4.
6.6 Potência e rendimento de uma máquina
A grandeza potência (N) é definida como o trabalho realizado por uma força por unidade de tempo. 
Como trabalho relaciona‑se com a energia mecânica do sistema, a potência de uma máquina pode ser 
descrita por:
N
energia= mec nica
tempo
â
Multiplicando e dividindo a equação anterior pela força peso, tem‑se:
N
energia peso
tempo
= × mec nica
peso
â
Como o termo (energia mecânica/peso) representa a carga da máquina (HM), e o termo (peso/tempo) 
representa a vazão em peso (QG), então a potência pode ser escrita como:
N = HM × QG
88
Unidade II
A vazão em peso corresponde ao produto entre o peso específico do fluido (g) e a vazão volumétrica 
(Q), assim:
N = g . Q . H
Para o caso de uma bomba, a potência recebida pelo fluido é:
N = g . Q . HB
Já para o caso de uma turbina, a potência cedida pelo fluido é:
N = g . Q . HT
No sistema internacional (SI), a unidade de potência é:
J joule
s segundo
W watt
 
 
 
( )
( )
( )=
A seguir, são mostrados os fatores de conversão entre as principais unidades para potência:
• Cavalo vapor (CV): 1 CV = 735,5 W
• Horse power (HP): 1 HP = 745,7 W
Contudo, caso exista transmissão de potência, existirão perdas associadas, e a potência recebida 
ou cedida pelo fluido não coincidirá com a potência da máquina. Para o caso de bombas, a potência 
recebida pelo fluido (N) é menor do que a potência da bomba (NB), como mostrado na figura a seguir:
B
NB
Motor
N
Figura 47 – Ilustração da transmissão de potência de um motor para uma bomba
89
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Dessa forma, define‑se o rendimento de uma bomba (ηB) como a razão entre a potência recebida 
pelo fluido (N) e a fornecida pelo eixo da máquina (NB).
ηB
B
N
N
=
Substituindo a potência recebida pelo fluido (N) na equação anterior, tem‑se:
η γB B
B
Q H
N
= ⋅ ⋅
Vale ressaltar que o rendimento de uma máquina é uma grandeza com valores entre 0 e 1. Por meio 
da relação anterior, é possível determinar a potência de uma bomba.
N
Q H
B
B
B
= ⋅ ⋅γ
η
Para o caso de a máquina ser uma turbina, o fluido cede potência para a turbina. Logo, a potência 
cedida pelo fluido (N) será maior do que a potência da turbina (NT), como ilustrado na figura a seguir.
T
NT
Gerador
N
Figura 48 – Ilustração da transmissão de potência de uma turbina para um gerador
Assim, o rendimento de uma turbina (ηT) é definido com a razão entre a potência da turbina (NT) e 
a potência cedida pelo fluido (N).
ηT T
N
N
=
90
Unidade II
Substituindo a potência cedida pelo fluido (N) na equação anterior, tem‑se:
η
γT
T
T
N
Q H
=
⋅ ⋅
Analogamente ao caso de uma bomba, é possível determinar a potência de uma turbina a partir da 
relação de rendimento:
NT = g . Q . HT . ηT
Exemplo 1
Considerando a configuração ilustrada a seguir, em que a água de um reservatório de grandes 
dimensões deve ser bombeada por uma bomba submersa, com potência de 5 kW e eficiência de 70%, 
para uma piscina (também de grandes dimensões) cuja superfície livre está a 30 m acima do nível da 
água subterrânea, determine a vazão máxima da água. Dado: g = 10000 N/m³.
30 m
Piscina
Bomba
Figura 49 
Resolução
Dados:
N = 5 kW
ηB = 0,70
91
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
z2 = 30 m
z1 = 0 m
g = 10000 N/m³
Q = ?
A carga da máquina pode ser obtida por:
H z z
p p
g
v vB = −( ) +
−( ) + −( )2 1 2 1 22 1212γ
Nesse caso, p2 = p1 e as velocidades v2 = v1 = 0, em razão de os reservatórios serem de grandes 
dimensões. Assim:
HB = 30 m – 0 m
HB = 30 m
Para determinar a vazão máxima de água, emprega‑se:
η γ η
γB
B B
B
Q H
N
Q
N
H
= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
⋅
Q
J
s
m
N m
= × ⋅
⋅
= × ⋅
⋅
5 10 0 70
10000 30
5 10 0 70
10000 30
13 3 3 W
 N/m m3
, ,
 Observação
1 W = 1 J/s
1 J = 1 N.m
Q
N m
s
m
N m
= ⋅0 012 1
3
,
Q = 0,012 m3/s
92
Unidade II
Exemplo 2
Considerando que a potência do eixo de uma turbina é de 500 kW e sua eficiência é de 90%, se 
a vazão mássica através da turbina for de 575 kg/s, qual será a carga extraída do fluido pela turbina? 
Adotar: g = 10 m/s².
Resolução
Dados:
NT = 500 kW
η T = 0,90
QM = 575 kg/s
HT = ?
Para determinar a carga extraída do fluido pela turbina emprega‑se:
N Q H H
N
Q
H
N
QT T T T
T
T
T
T
M T
= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =
⋅ ⋅
⇒ =
⋅ ⋅
γ η
γ η η10
Lembrando que a vazão mássica QM é calculada por:
Q QM = ⋅ρ e γ ρ ρ= ⋅ = ⋅g 10
Multiplicando ambos os lados da equação de vazão mássica, tem‑se:
g Q g Q g Q Q Q QM M M⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ρ γ γ 10
Substituindo os valores fornecidos pelo problema:
H
N m
s
s
m
s
T =
×
⋅ ⋅
= ×
⋅ ⋅
⋅500 10
10 575
500 10
10 575 0 9
3
2
3 2 W
 m/s kg/s 0,9 , kkg
H
N s
kg
kg m
s
s
kgT
= ⋅ = ⋅96 62 96 62
2
2
2
, , 
HT = 96,62 m
93
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Exemplo 3
Determine a potência de uma bomba com rendimento de 90%, sabendo que a carga fornecida por 
essa bomba é de 20 m e que por ela escoa água (g = 10000 N/m³) com vazão volumétrica de 12 litros/s.
Resolução
Dados:
NB = ?
ηB = 0,90
HB = 20 m
Q = 12 litros/s = 12 × 10–3 m3/s
Para determinar a potência da bomba emprega‑se:
η γ γ
ηB
B B
B
Q H
N
N
Q H= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅
Substituindo os valores fornecidos pelo problema:
N
m N
m
m
s
m= ⋅ × ⋅ =
−10000 12 10 20
0 90
2666 67
3 3
3
3 N/m m /s 3
,
,
N
N m
s
J
s
= ⋅ =2666 67 2666 67, ,
N = 2666,67 W
Exemplo 4
O reservatório A, ilustrado a seguir, possui grandes dimensões e fornece água (g = 10000 N/m³) com 
uma vazão volumétrica de 5 l/s para o reservatório B, por meio de uma tubulação seção transversal de 
10 cm². Determine:
a) se a máquina do sistema é uma bomba ou uma turbina;
b) a potência da máquina, sabendo que o seu rendimento é de 75%.
Adotar: g = 10 m/s²
94
Unidade II
20 m
5 mB
A
ref. M
Figura 50 
Resolução
Dados:
Q = 5 l/s
A = 10 cm²
N = ?
η = 0,75
A carga da máquina pode ser obtida por:
H z z
p p
g
v vM = −( ) +
−( ) + −( )2 1 2 1 22 1212γ
Em razão de o reservatório ser de grandes dimensões, v1 = 0. Além disso, as pressões nos dois 
reservatórios são iguais p2 = p1. Dessa forma, tem‑se:
H z z
g
vM = −( ) +2 1 2212
A velocidade v2 é determinada pela equação da vazão volumétrica:
Q v A v
Q
A
= ⋅ ⇒ =2 2
v
m
s m
2
3
4 2
3
2
5 10
10 10
5
1= ×
×
=
−
−
 m /s
 m
 
3
v2 = 5 m/s
95
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Assim, tem‑se:
H z z
g
v m m mM = −( ) + = −( ) + ⋅ ( ) = − +2 1 2
2 21
2
5 20
1
2 10
5 15
1
20
 
m/s
 m/s 
 m2 //s
 m /s2
2 225
H m
s
m
m
s
m mM = − + = − +15
25
20
15 125
2 2
2 ,
HM = ‑13,75 m
Como HM < 0, tem‑se que a máquina é uma turbina.
Para determinação da potência, emprega‑se a relação:
N Q HT T T= ⋅ ⋅ ⋅γ η
N mT = ⋅ × ⋅ ⋅
−10000 5 10 13 75 0 753 N/m m /s 3 3 , ,
N
N m
s
J
sT
= = ⋅ =515 62 515 62 515 62, , , N
m
m
s
m 3
3
NT = 515 62, W
Exemplo 5
O reservatório 1, que é fechado e mantido a uma pressão de 10 5 Pa, fornece água para o reservatório 2 
(aberto) por meio de uma tubulação com 35,5 mm de diâmetro. Sabendo que os dois reservatórios são de grandes 
dimensões, e a vazão do sistema é de 5 l/s, determine se a máquina é uma bomba ou turbina e calcule sua 
potência, sabendo que seu rendimento é de 75%. Dados: z1 = 10 m, z2 = 30 m, p1 = 10
5 Pa e gágua = 10000 N/m³.
M
(2)
(1) 30 m
10 m
ref.
Figura 51 
96
Unidade II
Resolução
Dados:
D = 35,5 mm = 35 × 10–3m
Q = 5 I/s = 5 × 10–3 m3/s
η = 0,75
z1 = 10 m
z2 = 30 m
p1 = 105 Pa
Para determinar se a máquina é bomba ou turbina, precisa‑se obter a carga da máquina (HM):
H z z
p p
g
v vM = − +
− + ⋅ −( ) ( ) ( )2 1 2 1 2
2
1
21
2γ
Em virtude de os reservatórios serem de grandes dimensões, as velocidades são v1 = v2 = 0. Além 
disso, como o reservatório 2 está aberto, p2 = 0. Assim:
H z z
p
M = − − = −( ) −( )2 1 1
5
330 10
10
10000γ
 m m
 Pa
 N/m
H
N
m
m
NM
= − = −20 10 20 102
3
 m m m
HM = 10 m
Como HM > 0, tem‑se que a máquina é uma bomba.
Para o cálculo da potência, emprega‑se a equação:
N
Q H
B
B
B
= ⋅ ⋅γ
η
N
N
m
m
s
mB =
⋅ × ⋅ =
−10000 5 10 10
0 75
666 67
3 3
3
3 N/m m /s m
 
3
,
,
97
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
N
Nm
s
J
sB
= =666 67 666 67, . ,
NB = 666,67 W
Exemplo 6
O reservatório ilustrado a seguir fornece água com uma vazão de 100 litros/s. O diâmetro da tubulação 
é de 35,5 mm. Determine se a máquina instalada é bomba ou turbina e calcule seu rendimento, sabendo 
que sua potência é de 575 kW. Considere que não há perdas no sistema e que o reservatório é de 
grandes dimensões. Dados: gágua = 1 x 10
4 N/m³ e g = 10 m/s².
20 m
(1)
(2)
M
Figura 52 
Resolução
Dados:
Q = 100 l/s = 100 × 10–3 m3/s
D = 35,5 mm = 35,5 × 10–3 m
N = 575 kW
gágua = 10000 N/m
3
g = 10 m/s2
98
Unidade II
Para determinar se a máquina é bomba ou turbina, é necessário calcular a carga HM. Dessa forma:
H z z
p p
g
v vM = − +
− + ⋅ −( ) ( ) ( )2 1 2 1 2
2
1
21
2γ
Em virtude de o reservatório estar aberto, as pressões são iguais, p2 = p1 = 0. Como o reservatório é 
de grandes dimensões, v1 = 0. Já a velocidade v2 é obtida por meio da vazão Q:
Q v A v
Q
A
Q
D
= ⋅ ⇒ = =
⋅


2 2 2
2
π
v
s m
s2
3 3
3 2
3
4
3100 10
35 5 10
2
100 10
9 90 10
= ×
⋅ ×




= ×
×
−
−
−
−
 m
 m
/
, ,π
11
2m
V2 = 101,01 m/s
Assim, tem‑se:
H z z
g
vM = − + ⋅ = + ⋅
( )( ) ,2 1 22 2
21
2
20
1
2 10
101 01 m
 m/s
 m/s
H
m
s
s
mM
= + = +20 510 15 20 510 15
2
2
2
 m m m, ,
HM = 530,15 m
Como HM > 0, tem‑se que a máquina é uma bomba.
Para o cálculo do rendimento, emprega‑se a relação:
η γB B
B
Q H
N
= ⋅ ⋅
ηB =
⋅ × ⋅
×
−10000 100 10 530 15
575 10
3 3
3
 N/m m /s m
 W
3 ,
99
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
ηB
N
m
m
s
m
W
N m
s
s
J
J
s
s
J
= = ⋅ =0 92 1 0 92 0 923
3
, , ,
ηB = 0,92
 Resumo
Na equação da continuidade, em regime permanente, a vazão mássica 
(QM) é conservada:
QM1 = QM2 ⇒ ρ1 . A1 . v1 = ρ2 . A2 . v2
em que:
ρ1 e ρ2 são as massas específicas do fluido nos pontos 1 e 2;
A1 e A2 são as áreas das seções transversais 1 e 2; e
v1 e v2 são as velocidades nos pontos 1 e 2.
Se o fluido em movimento for incompressível, a vazão volumétrica se 
conservará:
A1 . v1 = A2 . v2 ⇒ Q1 = Q2
Para sistemas com diversas entradas e saídas, a soma das vazões em 
massa na entrada é igual à soma das vazões em massa na saída:
Q QM
Entrada
M
Sa da
∑ ∑=
í
A mesma análise pode ser aplicada para um fluido incompressível:
Q Q
Entrada Sa da
∑ ∑=
í
A energia potencial (Ep) é a armazenada no sistema e está associada à 
posição (z) em relação ao plano horizontal de referência.
Ep = m . g . z
em que m é a massa do fluido e g é a aceleração da gravidade local.
100
Unidade II
A energia cinética (Ec) é a associada ao movimento do fluido. Supondo 
um sistema com massa m movendo‑se com velocidade v, a energia cinética 
é dada por:
E
m v
C =
⋅ 2
2
A energia de pressão (Epr):
E p dVpr
V
= ⋅∫ 
em que p é a pressão e dV é o elemento de volume.
A energia mecânica total (E):
E E E E E m g z
m v
p dVp c pr
V
= + + ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅∫ 
2
2
A equação de Bernoulli permite relacionar alturas, velocidades e 
pressões de dois pontos do escoamento de um fluido ao longo de uma 
linha de corrente. A equação de Bernoulli expressa que, para um fluido 
ideal incompressível em escoamento permanente, as cargas totais (H) se 
mantêm constantes ao longo de uma linha de corrente.
H H z
v
g
p
z
v
g
p
1 2 1
1
2
1
2
2
2
2
2 2
= ⇒ + + = + + 
γ γ
As bombas são máquinas que adicionam energia a um fluido durante 
seu escoamento.
H1 + HB = H2
As turbinas são máquinas que extraem energia de um fluido durante 
seu escoamento.
H1 – HT = H2
A potência (N) (recebida ou cedida) por um fluido é dada por:
N = g . Q . H
101
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Contudo, caso exista transmissão de potência, existirão perdas 
associadas, e a potência recebida ou cedida pelo fluido não coincide 
com a potência da máquina e deve‑se considerar o rendimento da 
máquina (η).
Para bombas, a potência é:
η γB B
B
Q H
N
= ⋅ ⋅
Para turbinas, a potência é:
NT = g . Q . HT . ηT
 Exercícios
Questão 1. Uma indústria utiliza cerca de 9 m3 de água a cada hora de seu funcionamento. Para 
evitar problemas de abastecimento, foi efetuada uma instalação que contém um tanque logo abaixo do 
piso e outro localizado no topo do prédio, que apresenta 50 metros de altura.
Para elevar a água até o tanque superior, foi colocada uma bomba na instalação, como mostra a 
figura a seguir.
2m
50
m
5m
2,5m
5m
Piso
B
Figura 53
A tubulação possui um diâmetro de 40 mm e comprimento total igual a 62 m. Sabe‑se que a perda 
de carga distribuída pela tubulação é de 10 m a cada 100 m de comprimento e que a perda de carga em 
cada curva mostrada na instalação é de 0,7 m.
102
Unidade II
Para essa situação, a altura manométrica (hbomba) e a potência (W) da bomba devem ser:
Obs.: considere a aceleração da gravidade igual a 10m/s2 e a massa específica da água 
ρ = 1000 kg/m3.
A) hbomba = 52,5m W = 2,8kW
B) hbomba = 61,3m W = 1,3kW
C) hbomba = 52,5m W = 1,3kW
D) hbomba = 61,3m W = 1,5kW
E) hbomba = 52,5m W = 1,5kW
Resposta correta: alternativa D.
Análise das alternativas
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: a altura manométrica indicada é a necessária para elevar a água com velocidade zero 
na saída da tubulação sem considerar as perdas na tubulação.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: embora a altura manométrica da bomba esteja correta, a potência indicada é a 
necessária para a altura manométrica de 52,5 m.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: nessa alternativa, além de a altura manométrica indicada ser a mesma que a da 
alternativa A (menor que a verdadeira), a potência é a indicada na alternativa B (também menor 
que a verdadeira).
D) Alternativa correta.
Justificativa: a altura manométrica da bomba e a potência são as necessárias.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: embora a potência esteja correta, a altura manométrica não está.
103
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Solução da questão
Para resolver o problema, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 mostrados 
na figura a seguir.
2m
50
m
5m
2,5m
5m
Piso
B
2
1
Figura 54 – Instalação hidráulica com as pontas para a aplicação da equação de Bernoulli
 
p
h
v
g
h
p
h
v
g
hbomba perdas
1
1
1
2
2
2
2
2
2 2γ γ
+ + + = + + +
Tomando o plano do ponto 1 como o plano horizontal de referência (h1 = 0), podemos escrever:
0 0 0 0
22
2
2
+ + + = + + +h h v
g
hbomba perdas
h m
v
g
hbomba perdas= + +52 5 2
2
2
,
Sabendo que a vazão (Q) é igual a 9,0 m3/h e que a tubulação possui um diâmetro (d) de 40 mm, a 
velocidade do fluido (v) na tubulação é:
v
Q
A
Q
d
Q
d
= =
⋅
= ⋅
⋅π π2 2
4
4
v
m
h
mm
m
s
m
=
⋅
⋅( )
=
⋅
( )
4 9
40
4 9
3600
0 04
3
2
3
2π π. ,
v
m
s
= ⋅
⋅
4 9
0 04 36002π. ,
104
Unidade II
v
m
s
≅ 2 0,
A perda manométrica na tubulação (hperdas) é a soma da perda distribuída pelo comprimento da tubulação 
com as perdas singulares que ocorrem em cada componente da instalação (curvas, cotovelos, válvulas, etc.).
No problema proposto, a tubulação possui 52 m de comprimento e duas curvas. Assim a perda de 
carga pode ser escrita:
hperdas = hdistribuída + hsingular
hperdas = 5,2m + 2 . 0,7m → hperdas = 6,6m
A altura manométrica da bomba é:
h m
m
s
m
s
mbomba = +




⋅
+52 5
2 0
2 10
6 62
2
,
,
,
h mbomba = 613,
A potência da bomba (W) pode ser determinada pela expressão:
W = g . Q . hbomba
Sendo g = ρ . g, pode‑se escrever:
W = ρ . g . Q.hbomba
W
kg
m
m
s
m
s
m= ⋅ ⋅1000 10 9
3600
6133 2
3
. ,
W W≅ 1500
W kW= 15,
Questão 2 (Enade 2011, adaptada). O petróleo é retirado das jazidas por meio de perfurações na 
crosta terrestre, através das quais se atinge o poço petrolífero. O petróleo jorra espontaneamente devido 
à grande pressão de seus gases. Uma empresa especializada em perfurar poços foi contratada para 
pesquisar a existência de petróleo em uma região. Durante o processo de perfuração, verificou‑se que, 
ao atingir 100 m de profundidade, o poço jorra petróleo espontaneamente a uma altura h = 18 m 
acima do solo. A empresa pede para um especialista fazer uma análise desse problema clássico. Após 
esquematizar o problema, conforme figura a seguir, ele considera razoável admitir que as perdas por 
atrito com o ar são em torno de 10% da carga total do jato de petróleo na saída do poço.
105
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
3 3
h
4
Poço de extração de petróleo
PHR
Solo
Gases
100 m
1 1
P2
Petróleo
2 2
Figura 55
Dados:
Aceleração da gravidade g = 10 m/s2.
Área da seção do poço = 500 cm2.
Perda de carga no trecho 2‑3 é equivalente a 50 m.
Peso específico do petróleo γ = 707 3
kgf
m
Considerando os resultados obtidos pelo especialista, a partir de uma análise quantitativa, 
conclui‑se que a vazão volumétrica na saída do poço de petróleo e a pressão P2 na entrada do poço são, 
respectivamente, iguais a:
A) 0,1 m3/s e ‑4,0 kgf/cm2.
B) 0,1 m3/s e 12,0 kgf/cm2.
C) 0,1 m3/s e 8,0 kgf/cm2.
D) 1 m3/s e ‑4,0 kgf/cm2.
E) 1 m3/s e 12,0 kgf/cm2.
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