Analise Matematica

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ÁTIC
A
Análise 
Matemática
Análise Matemática
Debora Cristiane Barbosa Kirnev
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Kirnev, Debora Cristiane Barbosa 
 
 
 ISBN 978-85-8482-272-0
 1. Análise matemática. 2. Números reais. 3. Teoria dos 
 conjuntos. I. Título.
 CDD 510 
– Londrina : Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2016.
 192 p.
K59a Análise matemática / Debora Cristiane Barbosa Kirnev.
© 2016 por Editora e Distribuidora Educacional S.A 
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2016
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Sumário
Unidade 1 | Conjuntos Numéricos 
Seção 1 - Análise e o processo de demonstrações matemáticas
1.1 | Considerações sobre os números 
1.2 | Processo lógico dedutivo para demonstrações matemáticas
1.2.1 | Elementos da Lógica
1.2.2 | Conceituando demonstrações matemáticas
1.2.3 | Procedimentos para demonstrações matemáticas
Seção 2 - Conjuntos numéricos
2.1 | Axiomatização dos números naturais
2.2 | Estruturas algébricas aplicadas aos conjuntos numéricos
2.2.1 | Grupos
2.2.2 | Anéis
2.2.3 | Domínios de integridade e corpos
Unidade 2 | Conjuntos Finitos e Infinitos
Seção 1 - Noções sobre conjuntos
1.1 | Primeiros conceitos e propriedades de conjuntos
1.2 | Conjuntos finitos, enumeráveis e não enumeráveis
1.2.1 | Funções
1.2.2 | Conjunto finito e conjunto infinito
1.2.3 | Conjunto enumerável e conjunto não enumerável
Seção 2 - Números reais
2.1 | Corpo ordenado
2.1.1 | Relação de ordem nos reais
2.1.2 | Intervalos
2.1.3 | Módulo ou valor absoluto
2.1.4 | A não enumerabilidade dos reais
2.2 | Corpo ordenado e completo
7
11
24
24
31
35
11
41
45
45
47
48
41
55
60
66
66
73
77
59
83
85
86
86
88
90
92
Unidade 3 | Sequências e Séries de Números Reais
Seção 1 - Sequências numéricas
1.1 | Conceito de Progressão Aritmética (PA)
1.1.1 | Termo geral de uma PA
1.2 | Conceito de Progressões Geométricas (PG)
1.2.1 | Termo geral de uma PG
1.3 | Sequências monótonas e limitadas
Seção 2 - Séries numéricas
2.1 | Conceituando séries numéricas 
2.2 | Séries infinitas
2.3 | Convergências e divergência de séries
2.3.1 | Série Geométrica
2.3.2 | Série-p
2.3.3 | Série alternada
2.3.4 | Teste da Comparação dos Limites
2.3.5 | Séries absolutas
101
106
106
114
114
118
105
127
127
129
135
137
139
140
141
141
Unidade 4 | Topologia da Reta e Aplicações
Seção 1 - Topologia da reta
1.1 | Conceitos topológicos
1.2 | Topologia na reta real
1.2.2 | Conjuntos fechados
1.2.3 | Pontos de acumulação
1.2.4 | Conjuntos compactos
Seção 2 - Aplicações da análise real
2.1 | Limites 
2.1.1 | Noção intuitiva de limite
2.2 | Limites e continuidade
149
153
155
160
164
167
153
171
171
173
176
Apresentação
Os três grandes ramos da matemática são a álgebra, a geometria e a análise, 
sendo a análise a mais recente no desenvolvimento da matemática. Os estudos 
nesse ramo deram subsídios para o desenvolvimento da própria matemática, com 
conceitos infinitesimais, e também para outras áreas como a física, engenharias, 
dentre outras.
Por meio de leis para casos específicos podemos transpor para acontecimentos 
mais gerais, como os estudos de limites, continuidades, cálculo diferencial e integral, 
equações diferenciais, análise numérica, dentre outros. Desde o surgimento do 
cálculo, a análise permeou todas as áreas da matemática devido a aplicações de 
muitos de seus conceitos.
Atualmente, temos estudos que recorrem à análise, nos quais resultados 
importantes têm sido obtidos, como a teoria da medida, funções de variáveis 
complexas, análise harmônica, análise funcional, equações diferenciais, teoria das 
probabilidades.
Este livro está organizado em quatro unidades para abranger os conteúdos 
previstos na disciplina de Análise Matemática. Na primeira unidade abordaremos 
o processo lógico dedutivo envolvido nas provas e demonstrações matemáticas e 
trataremos sobre os conjuntos numéricos. 
Na segunda unidade, discutiremos sobre conjuntos com as principais 
propriedades e definições, conjuntos enumeráveis e não enumeráveis, conjuntos 
finitos, infinitos, estrutura de corpo e o conjunto dos números reais como um 
corpo ordenado completo.
Quanto à terceira unidade, temos como objetivo definir, conceituar e demonstrar 
resultados relacionados à sequência e limite de uma sequência, convergência de 
sequência, sequências monótonas, limites e desigualdades, operações com limites 
e os testes de convergência para séries.
E na última unidade, lidaremos com conjuntos abertos e fechados, pontos de 
acumulação e conjuntos compactos, definindo e conceituando os itens destacados. 
Além disso, apresentaremos aplicações da análise por meio de demonstrações de 
resultados relacionados com limites e continuidade.
Bons Estudos! 
Profa. Me. Debora Cristiane Barbosa Kirnev
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Nesta seção apresentamos algumas situações pertinentes para 
estudo da Análise, a fim de justificar a necessidade de se estudar essa 
disciplina. Posteriormente, trataremos dos processos de demonstrações 
matemáticas, que são os recursos que utilizamos para justificar as 
sentenças matemáticas.
Seção 1 | Análise e o processo de demonstrações matemáticas
Objetivos de aprendizagem: Nesta unidade temos como objetivo 
retomar os conceitos relacionados aos números e abordar o processo de 
demonstrações matemáticas provando alguns resultados referentes aos 
conjuntos numéricos.
Ao final desta unidade, espero que compreenda os conceitos e as 
definições sobre os números reais e entenda o processo de prova formal 
aplicado às sentenças matemáticas neste conjunto.
Estes conceitos são fundamentais para o desenvolvimento crítico das 
propriedades matemáticas e estimular conjecturas e averiguações de 
resultados.
Bons estudos!
Debora Cristiane Barbosa Kirnev
Unidade 1
Conjuntos Numéricos
U1
10
Nesta seção, retomaremos a axiomatização dos números naturais 
e as estruturas algébricas para definirmos e demonstrarmos resultados 
relacionados aos conjuntos numéricos.
Seção 2 | Conjuntos numéricos
Conjuntos Numéricos
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Introdução à unidade
Na Educação Básica, o conteúdo dos números reais é apresentado, em muitos 
livros, simplesmente como a união dos racionais com os irracionais. É o papel 
da Análise promover uma abordagem axiomática sobre esse conjunto numérico, 
para tanto retomaremos os conceitos sobre esses números e também sobre 
como provar resultados e sentenças matemáticas. A partir disso, realizaremos a 
estruturação axiomática dos conceitos relacionados aos números reais, sendo 
essa uma ferramenta para preparar o futuro professor para justificar os conceitos 
pertinentes aos conjuntos numéricos.
Na primeira seção, abordaremos os principais conceitos sobre os números que 
serão base para definições e resultadosposteriores. Também trataremos sobre o 
processo de demonstrações matemáticas que é método dedutivo utilizado para 
provar os resultados em Matemática.
Na segunda seção, aprenderemos sobre proposições relacionadas aos 
conjuntos numéricos recorrendo às formas de demonstrações e estruturas 
algébricas para justificar alguns resultados.
Tenha um bom estudo e aproveite ao máximo o conteúdo para aprofundar os 
conhecimentos já adquiridos no decorrer do curso. 
Conjuntos Numéricos
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Conjuntos Numéricos
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Seção 1
Análise e o Processo de Demonstrações 
Matemáticas
Introdução à seção
Nesta seção, estudaremos conceitos relacionados aos números, mas é papel da 
análise justificar o conceito de infinito aplicado, por exemplo, nas dízimas periódicas 
e números irracionais, para justificar tais conceitos utilizando o processo lógico 
dedutivo adotado nas demonstrações matemáticas. O estudo da análise é alicerçado 
no conjunto dos números reais, deste modo, realizaremos considerações sobre esses 
números e posteriormente provaremos alguns resultados referentes aos números. 
1.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE OS NÚMEROS 
Desde a antiguidade os homens primitivos já se depararam com a necessidade de 
contar, surgindo o conceito de número, e com o desenvolvimento das civilizações 
originaram-se diferentes sistemas de numeração, sendo que atualmente adotamos 
o sistema de numeração decimal hindu-arábico, com valores posicionais e 
construídos com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
No processo de contagem, adotamos o conjunto dos números naturais: em 
algumas circunstâncias adotamos o conjunto com o primeiro elemento sendo 
o um, em outras adotamos como primeiro elemento o zero. Temos que todo 
número natural possui um sucessor, isto é:
Seja m um número natural, o sucessor de m é m+1.
No conjunto dos números naturais, podemos destacar as sequências numéricas, 
posteriormente definiremos uma sequência real atrelada ao conceito de função. 
Nesta abordagem veremos somente o termo geral das sequências de números 
naturais, considerando os naturais como N= {1, 2, 3, 4, 5, ...n, n+1}.
Destacamos o conjunto dos números naturais pares que denominaremos de 
conjunto P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ... 2n}.
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No conjunto dos números naturais ímpares também denominado de I a sequência 
dos números ímpares, que pode ser expressa por I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... 2n -1}.
A generalização das sequências dos números pares e ímpares 
seria diferente se tivéssemos considerado o conjunto N= {0, 1, 2, 
3, 4, 5, ...n, n+1}?
Além dessas sequências, podemos destacar as sequências dos números 
múltiplos, como, por exemplo, 3N = {3, 6, 9, 12, ..., 3n}, ou ainda 7N = {7, 14, 21, 28, 
... 7n}. Essas sequências podem ser combinadas com outras operações em que é 
possível obter uma generalização, vejamos alguns exemplos:
a) {5, 8, 11, 14, ..., 3n+2}
b) {2, 7, 12, 17, ..., 5n -3}
Podemos ter outras sequências que envolvem operações como, por exemplo, a 
potenciação e que requerem um processo de generalização. Após a generalização 
dessas sequências, precisamos provar, matematicamente, o que veremos 
posteriormente ao abordarmos as demonstrações matemáticas.
Outro conceito relacionado com os naturais é que: 
Um número primo é um número natural com exatamente dois divisores 
naturais distintos, isto é, um número natural divisível por um e por ele mesmo.
Vejamos os seguintes exemplos:
a) 1 não é primo, pois D(1)={1}.
b) 2 é primo, pois D(2)={1,2}.
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c) 3 é primo, pois D(3)={1,3}.
d) 5 é primo, pois D(5)={1,5}.
e) 7 é primo, pois D(7)={1,7}.
Como verificar se o número 243 é um número primo? Existe 
alguma estratégia ou seria apenas por inspeção?
Observamos que o número 1 não é primo porque tem apenas um divisor. 
Sobre os números primos e a decomposição de números compostos em primos, 
como, 50 = 5². 2, é baseado no Teorema Fundamental da Aritmética que pode 
ser enunciado como:
Todo número inteiro maior ou igual a dois pode ser representado por fatores 
de números primos. Essa decomposição será única, podendo mudar apenas a 
ordem dos fatores.
O Crivo de Eratóstenes verifica por meio de inspeção os números 
primos, acesse o link a seguir e estude sobre o assunto.
Disponível em: <http://massarandubamathematics.blogspot.com.
br/2013/05/o-crivo-de-eratostenes-numeros-primos.html>. Acesso 
em: 24 jul. 2015.
A seguir, retomamos algumas das propriedades válidas em N.
Propriedades da adição
Fechamento: O conjunto N é fechado para a adição, ou seja, a soma de dois 
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números naturais será um número natural.
Associativa: Para todos a, b, c pertencentes a N:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
15 + ( 12 + 4 ) = ( 15 + 12 ) + 4
15 + 16 = 27 + 4
31 = 31
Comutativa: Para todos a, b pertencentes a N:
a + b = b + a
18 + 6 = 6 + 18
24 = 24
Elemento neutro: Existe 0 em N, que somado a cada n em N, será o próprio 
número n, ou seja:
n + 0 = n
17 + 0 = 17
Propriedades da multiplicação
Fechamento: O conjunto N é fechado para a multiplicação, ou seja, o produto de 
dois números inteiros será um número inteiro.
Associativa: Para todos a, b, c pertencentes a N:
a * ( b * c ) = ( a * b ) * c
20 * ( 5 * 7 ) = ( 20 * 5 ) * 7
20 * 35 = 100 * 7
700 = 700
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Comutativa: Para todos a, b pertencentes a N:
a * b = b * a
70 * 50 = 50 * 70
3500 = 3500
Elemento neutro: Existe 1 em N, que multiplicado a cada n em N, será o próprio n:
n * 1 = n
19 * 1 = 19
Propriedade distributiva: Para todos a, b, c em N:
a * ( b + c ) = ( a * b ) + ( a * c )
7 * ( 40 + 50 ) = ( 7 * 40 ) + ( 7 * 50 )
7* 90 = 280 + 350
630 = 630
Além do exposto, temos que a operação de subtração e divisão não é fechada 
no conjunto dos números naturais, surgindo a necessidade de definir e conceituar 
os números negativos e as frações.
Quanto ao conjunto dos números inteiros, é constituído dos números negativos, 
o zero e os números positivos, formando o que denominamos de números relativos. 
Desde o período do Renascimento, os matemáticos perceberam a necessidade de 
um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tais como:
•	 x + 2 = 0, em que x= -2
•	 2x + 10 = 0, em que x= -5
•	 4y + 4 = 0, em que y= -1
A partir dos sinais + e – utilizados pelos comerciantes da época, os matemáticos 
adotaram essa notação para expressar o novo tipo de número. Realizada essa 
sistematização formal da notação, definiu-se o conjunto dos números inteiros 
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como a união do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos 
números naturais e o zero. E ainda é denotado pela letra Z (Zahlen = número em 
alemão), sendo escrito como Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}.
Temos que o sucessor de um número inteiro está imediatamente à sua direita 
na representação da reta numérica, e de modo análogo, o antecessor de um 
número inteiro está imediatamente à sua esquerda na reta. Outra consideração 
é que todo número inteiro, com exceção do zero, possui um elemento simétrico 
ou oposto indicado por –z. Analisando, geometricamente, tanto z como -z estão à 
mesma distância da origem do conjunto Z, ou seja, distam igualmente do 0. 
Retomamos algumas das propriedades válidas em Z. Observando que as 
propriedades apresentadas para os naturais são válidas, de modo análogo, para o 
conjunto dos números inteiros, acrescentamos outra propriedade da adição que 
denominamos de elemento oposto, ou seja, para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que:
z + (-z) = 0
76 + (-76) = 0
Além disso, a subtração de dois números inteiros a e b é a própria operação de 
adição do número a com o oposto de b, ou seja:
a - b = a + (- b).
Ressaltamosque para realizar a multiplicação de números inteiros devemos 
atender à regra de sinais que será válida para os demais conjuntos numéricos, 
vejamos o seguinte exemplo:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Observamos que o produto de dois números de mesmo sinal tem um resultado 
positivo, e o produto de dois números com sinais diferentes tem um resultado negativo.
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Outro conceito primitivo é o de medir, sendo que contar e medir são elementos 
associados às atividades matemáticas. Porém, apesar de considerarmos os naturais 
adequados para realizar contagens, podem não ser suficientes para realizar 
medidas, nas quais surge a necessidade de subdividir a unidade, e emerge dessa 
ação o conceito de fracionar, ou seja, dividimos uma unidade em partes. 
Podemos definir frações como os numerais que representam números racionais 
não negativos. Os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador 
e denominador, indicados com a seguinte notação:
O numerador representa quantas partes são consideradas do inteiro, ou seja, 
o número inteiro escrito sobre o traço de fração, e denominador representa em 
quantas partes dividimos o inteiro, sendo necessariamente diferente de zero. 
Observamos que os números decimais se originam das frações decimais. Por 
exemplo, a fração 1/2 equivale à fração 5/10 que equivale ao número decimal 
0,5. Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, ou seja, 
um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma 
vírgula. Por exemplo, a fração 123/100 pode ser representada como 1,23.
Ao associarmos os números relativos inteiros com o conceito de fração surge 
o conjunto dos números racionais. Neste conjunto, dividimos uma unidade em 
qualquer número de partes que ansiamos e os racionais são suficientes para 
representar resultados práticos de medidas, mas existem algumas situações nas 
quais não podemos determinar com precisão uma medida, são os casos em que 
ao fracionarmos obtemos dízimas. 
Podemos definir que um número racional é escrito na forma em que m e n são 
números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, ou seja, n deve ser diferente de zero. 
Usualmente adotamos m/n para significar a divisão de m por n. Podemos notar que 
os números racionais são obtidos por meio da razão entre dois números inteiros. O 
termo originado do latim ratio pode ser entendido como a razão, divisão ou quociente 
entre dois números inteiros, é por esse motivo que o conjunto dos números racionais 
é indicado por Q. Em termos notacionais, temos que:
Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}
Ao representar geometricamente o conjunto dos números racionais em uma 
reta numerada, podemos ilustrar algumas representações de racionais, conforme 
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as indicadas na Figura 1.1.
Figura 1.1 | Reta numérica dos racionais
Fonte: A autora (2015).
Notamos que a ordem dos números racionais será crescente, ou seja, indicamos 
da esquerda para a direita. Adotamos que um número racional r é menor do que 
outro número racional s se a diferença r - s é positiva. No caso dessa diferença r - s 
ser negativa, indicamos que o número r é maior do que s. 
A seguir, definiremos a adição de dois números racionais a/b e c/d, de modo que:
Quanto ao produto de dois números racionais a/b e c/d, podemos definir como:
Para a operação de multiplicação no conjunto dos racionais é válida a 
propriedade do elemento inverso, ou seja:
Para todo q=a/b nos racionais, sendo q diferente de zero, existe q -1=b/a nos 
racionais, tal que q × q -1 = 1.
Já a operação de divisão de números racionais recorre à propriedade de 
elemento inverso, de modo que a divisão de dois números racionais p e q é um 
produto do número p pelo inverso de q, ou seja, p ÷ q = p × q -1.
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O que são números decimais?
Devido ao sistema de numeração posicional, podemos representar os números 
estritamente racionais com a escrita de algarismos à direita da unidade, sendo que 
separamos a parte inteira da fracionada pela vírgula que é obtida pela divisão do 
numerador pelo denominador.
Por exemplo, 3/4 pode ser representado como 0,75 e ainda 3/2 pode ser 
indicado como 1,5. Mas ao indicarmos 1/3 nesta representação, obtemos uma 
divisão que sempre possui resto, ou seja, teremos 0,333... e esse procedimento 
não é possível de ser concluído. Atribuímos a esses pontos indicados na parte 
fracionária a indicação de uma sequência infinita de algarismos, a qual trataremos 
posteriormente, associada ao conceito de limite.
Denominamos esse tipo de número de dízima periódica, e denominamos 
a parte que se repete de período. Adotaremos a indicação do período como a 
indicação sublinhada, vejamos alguns exemplos:
a) 0,5555... = 0,5
b) 1,3333... = 1,3
c) 23,2323... = 23,23
d) 0,7777... = 0,7
e) 4,2333... = 4,23
Podemos classificar as dízimas como simples, que é quando a parte decimal é 
formada pelo período.
a) 0,4444... 
b) 5,454545... 
Ou ainda, podemos ter uma dízima composta, em que há na parte decimal 
algarismos que não fazem parte do período.
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a) 2,47777... 
b) 0,51333... 
Podemos reescrever uma dízima periódica como uma soma infinita de números 
decimais. 
a) 0,4444...= 0,4 + 0,04 + 0,004 + 0,0004 +...
b) 0,7222...= 0,7 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + ...
c) 3,5733...= 3,57 + 0,003 + 0,0003 + ...
Um conceito relacionado com fração são as dízimas periódicas. 
Como representá-las na forma de fração?
O número racional que possui a representação decimal sendo uma dízima 
periódica é denominado de geratriz. Utilizando o fato que uma dízima periódica 
pode ser representada como a soma infinita de termos, exemplificaremos como 
obter a geratriz. 
Considere D a dízima periódica 0,66666..., ou seja, D=0,6. Neste caso, temos 
uma dízima periódica simples, pois o período é formado apenas pelo algarismo 6.
I) Reescrevendo D como a soma de infinitos números decimais, temos:
D = 0,6 + 0,06 + 0,006 + 0,0006 + 0,00006 +...
II) Multiplicaremos essa igualdade por 10, e obtemos:
10D = 6 + 0,6 + 0,06 + 0,006 + 0,0006 +...
III) Ao subtrairmos membro a membro a equação em I) da equação em II), temos:
10 D - D = 6 
IV) Temos que:
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9 D = 6
V) Isolando D e simplificando, teremos:
D = 
De modo análogo, esse procedimento pode ser aplicado para as dízimas 
compostas. Verificamos que no conjunto dos números racionais podemos realizar 
as operações de somar, subtrair, multiplicar e dividir racionais, mas não se pode 
dividir por zero. 
Veremos outra problemática pertinente ao estudo dos números.
Como calcular a medida da diagonal de um quadrado unitário?
Neste problema recorremos ao teorema de Pitágoras e temos que determinar a 
medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles, cujos catetos medem 
uma unidade. Observe a Figura 1.2, que ilustra a situação descrita:
Figura 1.2 | Triângulo retângulo isósceles
Fonte: A autora (2015).
Temos que pelo teorema de Pitágoras a² = b²+ c², assim a² = 1² + 1², ou seja, 
a²= 2, o que implica em a = . 
Na Educação Básica, justificamos esse fato com a necessidade de termos o 
conjunto dos números irracionais indicado por I, uma vez que:
 = 1,414213562373095... 
Trata-se de uma dízima não periódica, ou seja, não pode ser escrita na forma 
de fração, isto é, não há geratriz para esse número, que é a condição para termos 
um número racional.
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Conheça mais sobre a história do número Pi, acesse o link a seguir e 
estude o assunto.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=auk0ak_RzOk>. 
Acesso em: 24 jul. 2015.
Por meio de uma noção intuitiva para lidar com os conjuntos naturais, inteiros,racionais, irracionais e reais, podemos realizar a distinção entre os conjuntos a 
partir da natureza do número pertencente a cada um dos conjuntos, como, por 
exemplo:
N = {0, 1, 2, 3, ... n, n+1, ...}, em que os naturais são os números inteiros não 
negativos incluindo o zero. 
Z = {... – n -1, - n, ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ..., n, n+1, ...}, formado pelos números inteiros 
negativos, positivos e o zero.
Q = {a/b sendo a, b pertencentes a Z e com b diferente de 0}. 
I = são aqueles que não podem ser expressos como números racionais.
A partir disso, adotamos o conjunto dos números reais como a união dos 
racionais com os irracionais e geralmente se ilustra esse conjunto por meio do 
diagrama de Venn-Euler indicado a seguir:
Outra problemática está relacionada com a circunferência ao realizarmos:
A razão entre o perímetro e o diâmetro da circunferência que resulta no número 
denominado de Pi =3,1416...
Esse fato decorre de que os círculos são figuras semelhantes. Ao recorrermos à 
análise podemos calcular Pi pela aplicação de séries infinitas. 
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Figura 1.3 | Conjuntos numéricos
Fonte: A autora (2015).
1. (MPU 2007 - adaptado) Seja X o menor número positivo que 
multiplicado por 7 resulta em um número cujos algarismos 
são todos iguais a 5. O número X será:
a) Um quadrado perfeito. 
b) Menor que 60 000. 
c) Divisível por 9.
d) Tal que o produto 7X tem 5 algarismos.
e) Tem a soma de algarismos igual a 30.
2. Observe as seguintes operações e busque um padrão e 
regularidade:
11² = 121
111² = 12 321
1 111² = 1234 321
11 111² = 123 454 321
.
.
O resultado da soma dos algarismos de 111 111 111² será: 
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26
3. Considere x e y números naturais. O resultado da divisão de 
x por y foi a dízima periódica 5,333... Dividindo-se y por x, o 
resultado obtido será igual a:
a) 2,333... 
b) 0,1875 
c) 0,1875... 
d) 0,333...
e) 0,1833
1.2 Processo Lógico Dedutivo para Demonstrações Matemáticas
Nesta subseção retomaremos os elementos da Lógica para abordarmos 
posteriormente o processo lógico dedutivo utilizado nas formas de demonstrações.
1.2.1 Elementos da Lógica 
Para realizarmos inferências podemos recorrer a uma argumentação por meio 
da Lógica. Segundo Salmon (2010, p. 1), a “Lógica trata de argumentos e inferências. 
Um dos seus objetivos fundamentais consiste em proporcionar métodos que 
permitem distinguir entre argumentos e inferências logicamente certos e aqueles 
que não o são”. 
Existem argumentos cujo propósito é convencer, porém são falaciosos, e ainda 
existem argumentos logicamente corretos que não convencem, porém são uma 
prova dedutiva válida. 
a) Um número par.
b) Maior que 90.
c) Menor que 80.
d) Divisível por 3.
e) Um cubo perfeito.
Conjuntos Numéricos
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27
Resolva o seguinte problema sobre dedução lógica:
Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia, fazem aniversário no mesmo dia. Ana, 
a mais velha, tem olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos. 
Tanto o produto como a soma das idades de Ana e Júlia, consideradas as 
idades em número de anos completados, são iguais a números primos. 
Segue-se que a idade de Ana – a filha de olhos azuis –, em número de 
anos completados, é igual:
a) À idade de Júlia mais 7 anos.
b) Ao triplo da idade de Júlia.
c) À idade de Júlia mais 5 anos.
d) Ao dobro da idade de Júlia.
e) À idade de Júlia mais 11 anos.
Fonte: <http://www.tutorbrasil.com.br/forum/matematica-concursos-
publicos/problema-das-idades-t4650.html>. Acesso em: 17 jul. 2015.
Na estruturação da Lógica, precisamos compreender que um argumento é 
formado de uma sequência finita de enunciados, em que o último enunciado é 
a conclusão do argumento, os anteriores à conclusão são considerados como 
premissas. Se o argumento for consistente, então será válido e poderá ser julgado 
como verdadeiro ou falso. Será verdadeiro, quando pudermos, a partir das 
premissas, deduzir uma conclusão verdadeira; caso contrário, será falso.
Temos que os tipos de argumentos podem ser dedutivos ou indutivos. Segundo 
Salmon (2010, p. 8), os argumentos são:
Dedutivos
I. Se todas as premissas são verdadeiras, a conclusão deve ser 
verdadeira.
II. Toda a informação ou conteúdo fatual na conclusão já estava 
contida nas premissas, pelo menos implicitamente.
Indutivos
I. Se todas as premissas são verdadeiras, a conclusão é 
provavelmente verdadeira, mas não necessariamente.
II. A conclusão contém informação não presente, mesmo 
implicitamente, nas premissas.
Conjuntos Numéricos
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28
Essas condições servem para distinguir os argumentos dedutivos dos indutivos. 
Ainda, Salmon (2010, p. 14) aponta combinações possíveis em argumentos válidos 
“1- Premissas verdadeiras e uma conclusão verdadeira. 2- Alguma ou todas as 
premissas falsas e uma conclusão verdadeira. 3- Algumas ou todas as premissas 
falsas e uma conclusão falsa”.
Desse modo, precisamos analisar as estruturas de sentenças para verificar a 
validade dos argumentos. Além disso, a argumentação é baseada nos princípios 
axiomáticos da Lógica Formal, que Gerônimo e Franco (2006, p. 16) definem:
1. O princípio da identidade garante que uma 
proposição é igual a si mesma. Isso parece 
estranho em um primeiro momento, mas do 
ponto de vista formal é necessário garantir isto.
2. Princípio da não contradição: uma proposição 
não pode ser verdadeira e falsa.
3. Princípio do terceiro excluído: uma 
proposição ou é verdadeira ou é falsa; não 
existe uma terceira alternativa.
As premissas e conclusões são sentenças declarativas que denominamos de 
proposição, sendo atribuídos os valores lógicos de verdadeiro ou falso. Vejamos 
alguns exemplos de proposições:
a) Um número natural ou é par ou é impar.
b) O número um é um número primo.
c) Todo número racional é inteiro.
d) Todo número natural é inteiro.
Dentre os exemplos, temos proposições que são verdadeiras e outras que são 
falsas, para assumir que uma proposição é verdadeira precisamos demonstrá-la 
matematicamente; para assumir que é falsa basta apresentar um contraexemplo, 
veremos as formas de demonstrações posteriormente.
No caso de termos uma proposição que não é passível de atribuir valor lógico, 
denominamos de uma conjectura. Podemos destacar como exemplo a conjectura 
Conjuntos Numéricos
U1
29
de Goldbach, que demorou 271 anos para ser demonstrada, vejamos:
Todo número ímpar maior que cinco pode ser expresso como soma de três 
números primos.
A propriedade fundamental de uma proposição é que ela é verdadeira ou falsa. 
Outro elemento que pode surgir numa demonstração são os conectivos lógicos, 
e recorremos a tabelas verdades para justificar o seu valor lógico. Na linguagem 
natural, conectivos são palavras ou grupos de palavras usadas para juntar duas 
sentenças; em termos de estruturas lógicas, são operadores que viabilizam o 
cálculo proposicional. 
I) Para conhecer mais sobre a prova da conjectura de Goldbach, acesse 
o link indicado a seguir: <http://noticias.terra.com.br/educacao/
peruano-resolve-problema-matematico-indecifravel-havia-271-anos,f
7ccbe63ec6de310VgnVCM4000009bcceb0aRCRD.html>.
Acesso em: 17 jul. 2015.
II) Para aprender mais sobre o desenvolvimento da lógica e da 
argumentação, recomento a leitura do livro de Machado e Cunha 
intitulado de Lógica e linguagem cotidiana - verdade, coerência, 
comunicação, argumentação, publicado pela editora Autêntica em 2008.
Como seria a negação de uma posição com conectivos lógicos?
Destacamos a seguir os conectivos, apresentaremos a respectiva tabela verdade 
e indicaremos as proposições por letras minúsculas:
• Negação: a negação de todo enunciado verdadeiro é falsa e a negação de todo 
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Tabela 1.1 | Negação
p ~p
V F
F V
Fonte: A autora(2015).
Observamos que para negar uma proposição do tipo ∀ x: p(x) temos que afirmar 
que ∃ x: ~p(x).
Ao afirmarmos que todos os números inteiros são racionais, a negação será 
existe um número inteiro que não é racional. Deste modo, se a afirmação é 
verdadeira, então a sua negação será falsa.
• Conjunção: uma conjunção é verdadeira se ambos os seus conjuntivos forem 
verdadeiros, caso contrário, é falsa.
Tabela 1.2 | Conjunção
P q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Fonte: A autora (2015).
Neste caso, a negação será: ~ ( p ^ q ) = ~p v ~q
Ao afirmarmos que o número 6 é divisível por 2 e por 3, temos que a negação 
será o número 6 não é divisível por 2 ou por 3.
• Disjunção (inclusiva): a disjunção inclusiva é verdadeira se um dos disjuntivos 
ou ambos forem verdadeiros, só no caso de ambos serem falsos é que teremos 
uma proposição falsa.
enunciado falso é verdadeira. 
Conjuntos Numéricos
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Tabela 1.3 | Disjunção inclusiva
p q p ˅ q 
V V V
V F V
F V V
F F F
Fonte: A autora (2015).
Sua negação será: ~ ( p v q ) = ~p ^ ~q
Ao afirmarmos que existe número racional que é natural ou inteiro, a sua 
negação será todo número racional não é natural e não é inteiro.
• Disjunção (exclusiva): a disjunção exclusiva é verdadeira se apenas um dos 
disjuntivos for verdadeiro, o que significa que será falsa no caso de ambos 
disjuntivos serem falsos ou verdadeiros.
Tabela 1.4 | Disjunção exclusiva
p q p ˅ q ^ ~ (p ^ q)
V V F
V F V
F V V
F F F
Fonte: A autora (2015).
Sua negação será: ~ ( p v q ) = ~p ^ ~q
Ao afirmarmos que um número real será estritamente racional ou irracional, 
a sua negação será um número real não será estritamente racional e irracional.
• Condicional: caracteriza-se uma relação de consequência necessária entre a 
primeira e a segunda proposições – de tal forma que a primeira proposição é tida 
como a causa ou condição suficiente para que aconteça a segunda proposição e 
a segunda proposição é a consequência ou condição necessária da primeira. Um 
enunciado condicional afirma que seu antecedente implica seu consequente.
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Sua negação será: ~ (p → q) = p ^ ~q
Ao afirmarmos que se um número é divisível por 9 então também é divisível por 
3, a sua negação será um número é divisível por 9 e não é divisível por 3.
• Bicondicionais: são proposições em que a verdade de uma das condições – seja 
o antecedente, seja o consequente – implica a verdade da outra e a falsidade de 
uma das condições, qualquer que seja, implica a falsidade da outra. Neste caso, 
temos que a recíproca de uma proposição será verdadeira. Seu símbolo é “ ” 
que é lido “se e somente se”. 
Tabela 1.6 | Bicondicional
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Fonte: A autora (2015).
Sua negação será: ~ (p ↔ q) = ~p V ~q
Ao afirmarmos que um número é primo se, e somente se, possuir dois divisores, 
a sua negação será um número não é primo ou não possui dois divisores.
Observamos que temos proposições que são tidas como equivalentes, por 
exemplo, p → q é equivalente a ~q �→ ~p, podemos verificar por meio de uma 
tabela verdade essa equivalência, vejamos o caso da contrapositiva:
Tabela 1.7 | Contrapositiva
p q ~p ~q p → q ~q → ~p (p → q )↔(~q → ~p)
V V F F V V V
Tabela 1.5 | Condicional
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Fonte: A autora (2015).
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Fonte: A autora (2015).
V F F V F F V
F V V F V V V
F F V V V V V
Observe que na parte destacada temos uma coluna com resultados apenas 
verdadeiros, isso ocorre, pois a coluna de p �→ q possui os mesmos valores lógicos 
de ~q �→ ~p. Quando aplicarmos a bicondicional e tivermos todos os resultados 
verdadeiros, temos uma tautologia, ou seja, há uma equivalência lógica: se tivermos 
todos os resultados falsos, então será uma contradição, e se tivermos resultados 
verdadeiros e falsos teremos uma contingência. Outro exemplo é a redução por 
absurdo em que p �→ q é equivalente a p ^ ~q �→ F, vejamos a tabela verdade:
Tabela 1.8 | Redução ao absurdo
p q ~q p �→ q p ^ ~q F p ^ ~q → F (p → q )↔(p ^ ~q → F)
V V F V F F F V
V F V F V F V V
F V F V F F F V
F F V V F F F V
Fonte: A autora (2015).
Conheça mais sobre conectivos e tabelas verdades, acesse o link a 
seguir e estude sobre o assunto.
Disponível em: <https://docente.ifrn.edu.br/cleonelima/disciplinas/
fundamentos-de-programacao-2.8401.1m/fundamentos-de-logica-
e-algoritmos-1.8401.1v/apostila-proposicoes-tabelas-verdade-
conectivos-logicos>. Acesso em: 24 jul. 2015.
1.2.2 Conceituando demonstrações matemáticas
Quando precisamos provar um resultado, podemos recorrer a métodos 
empíricos como experiências realizadas em áreas como a química e a física, ou 
podemos precisar de um método dedutivo que é o aplicado em matemática. 
Neste sentido, na Matemática alguma propriedade é aceita como verdadeira se for 
válida para todos os elementos do conjunto ao qual pertence. 
Conjuntos Numéricos
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34
Demonstrações são tidas como um método dedutivo ou raciocínio dedutivo 
que valida as afirmações matemáticas, porém outro termo utilizado é que são 
provas matemáticas.
Averiguamos os significados de prova e demonstrações, conforme indicado a 
seguir. No dicionário Houaiss (2009), prova é “1 aquilo que demonstra que uma 
afirmação ou um fato são verdadeiros; evidência, comprovação; 2 experiência 
científica; demonstração, experimento; 3 qualquer experimento para verificar ou 
testar a qualidade de uma coisa”.
Quanto ao dicionário filosófico Abbagnano (2000, p. 239-240), prova é um:
Já o termo demonstrações no dicionário Houaiss (2009) significa “1 ato ou 
efeito de demonstrar; 2 qualquer recurso capaz de atestar a veracidade ou a 
autenticidade de alguma coisa; prova; 3 raciocínio que torna evidente o caráter 
verídico de uma proposição, ideia ou teoria”.
No dicionário filosófico Abbagnano (2000, p. 805), demonstração está definida 
como:
No contexto da matemática, provas e demonstrações são 
sinônimos?
Procedimento apto a estabelecer um saber, 
isto é, um conhecimento válido. Constitui P. 
todo procedimento desse gênero, qualquer que 
seja sua natureza: mostrar uma coisa ou um 
fato, exibir um documento, dar testemunho, 
efetuar uma indução são P. tanto quanto as 
demonstrações da matemática e da lógica. 
Portanto esse termo é mais extenso que 
demonstração (v): as demonstrações são P., mas 
nem todas as P. são demonstrações.
Conjuntos Numéricos
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35
O termo D. e seu conceito foram introduzidos na Lógica por 
Aristóteles (Top., I 100a 27; An.post., I, 2 e passim) como silogismo 
que deduz uma conclusão de princípios primeiros e verdadeiros 
de outras proposições deduzidas silogisticamente de princípios 
primeiros e evidentes. [...] Mas, enquanto do ponto de vista 
gnosiológico se acentuaram os caracteres de necessidade e 
evidência intuitiva da D. (Descartes, Kant), do ponto de vista lógico 
evidenciou-se o caráter de dedução formal a partir de premissas 
(Descartes, Leibniz), o que distingue a D. (cujo tipo ou ideal 
continua sendo a D. matemática) de outros gêneros de prova.
Se considerarmos o termo prova em qualquer contexto, pode ser entendida 
como prova empírica ou prova dedutiva, sendo o termo demonstração aplicado 
ao processo dedutivo. Mas no contexto específico da matemática, recorremos a 
Almouloud (2009) que adota os termos provas e demonstrações como sinônimos 
e outros autores utilizam esses termos deste modo. Sendo assim, mesmo que 
prova seja uma palavra abrangente a outras ciências, quando citarmos prova em 
matemática entenderemos como uma demonstração. 
Bicudo (2002) define uma demonstração em termos lógicos sendo um sistema 
formal que é a parte sintática de um sistema axiomático, formado pela linguagem 
e seussímbolos, expressões e fórmulas, pelos axiomas e pelas regras de inferência. 
Tais componentes asseguram a partir de certas condições, que a conclusão da 
demonstração que denominamos de tese pode ser inferida de outras premissas que 
denominamos de hipótese. O mesmo autor caracteriza demonstração de modo que:
Seja, agora, F um sistema formal em que 
todas as regras sejam finitas. Então, uma 
DEMONSTRAÇÃO em F é uma sequência finita 
de fórmulas, em que cada uma seja ou um axioma 
ou seja conclusão de uma regra cujas hipóteses 
precedem essa fórmula na sequência dada. Se 
A for a última fórmula em uma demonstração 
P, diremos que P é uma DEMONSTRAÇÃO de A. 
Uma fórmula de A de F será um teorema de F se 
existir uma demonstração de A (BICUDO, 2002, 
p. 83, grifos do autor).
Conjuntos Numéricos
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36
Considerando os processos mentais envolvidos em uma demonstração 
matemática, entendemos que um indivíduo recorre à razão ou racionalidade. 
Segundo Balacheff (2004), é por meio da racionalidade que se busca o raciocínio 
lógico necessário para se demonstrar. O autor explica que a racionalidade,
1 Tradução nossa: “[...] rationality is dense everywhere in human being life, either at an individual or a 
collective level. By “rationality” is meant here the system of the criteria or rules mobilized when one have to 
make choices, to take decisions, or to perform judgements. [...] These rules and criteria could originate in 
opinion, belief or knowing but in all case they are organized in a structure, which allows decision-making”. 
Entendemos que no processo de demonstração está implícita a racionalidade 
do indivíduo, que em muitos casos é chamado de raciocínio lógico dedutivo. 
Sobre o assunto, Balacheff (2004, p. 2) assegura que,
O que é preciso para realizar uma demonstração matemática?
[...] densa em toda a vida do ser humano, seja 
em um indivíduo ou em um nível coletivo. 
Por ‘racionalidade’ entendemos o sistema dos 
critérios ou regras mobilizado quando se tem 
que fazer escolhas, tomar decisões, ou para 
realizar julgamentos. [...] Essas regras e critérios 
poderiam originar-se de opinião, crença 
ou saber, mas em todos os casos, eles são 
organizados em uma estrutura, que permite a 
tomada de decisão1 (BALACHEFF, 2004, p. 1).
[...] a racionalidade nos permite raciocinar e decidir, é então 
a base de qualquer processo de prova. Como vemos, a 
racionalidade em geral, e sua relação com a matemática, em 
particular, é um ponto-chave para nossa compreensão de 
qualquer obra de arte em nosso campo de pesquisa.2
2 Tradução nossa: “Rationality allows us to reason and to decide, it is then the foundation of any proving 
process. How we see rationality in general, and its relation to mathematics in particular, is a key point for 
Conjuntos Numéricos
U1
37
our understanding of any piece of work in our field of research”.
3 Axiomas, postulados e hipóteses são utilizados como sinônimos.
1.2.3 Procedimentos para demonstrações matemáticas
Na Matemática, é preciso definir os conceitos de modo que esta significação 
satisfaça às características de tal conceito e somente deste conceito. Nesse sentido, 
há proposições que são aceitas sem demonstração, que denominamos de axiomas3 
que são considerados a base para definirmos as propriedades relacionadas com 
os axiomas, porém essas propriedades precisam ser demonstradas dedutivamente, 
neste caso denominamos de teorema, ou seja, requer demonstração. Sendo 
necessário provar um resultado para justificar um teorema, denominamos de lema, 
ainda há possibilidade de que ao provarmos um teorema surjam consequências 
imediatas da demonstração, neste caso denominamos de corolário. 
No procedimento de prova matemática adotamos a hipótese sendo verdadeira 
e desenvolvemos uma sequência lógica dedutiva para justificar a tese, que é a 
conclusão da demonstração. Vejamos um exemplo da forma condicional em que 
p �→ q ou p implica q sendo que:
p: hipótese ou condição suficiente para q. 
q: tese ou condição necessária para p. 
Considere a proposição:
Se n é um número que pode ser escrito na forma 2k, com k ∈ N então n é um 
número par.
Neste caso temos:
p: n é um número que pode ser escrito na forma 2k, com k ∈ N.
q: n é um número par.
Se p for verdadeira, então q necessariamente será verdadeira, caso contrário, 
ou seja, se apenas q for falsa, a sentença toda p �→ q será falsa.
Conjuntos Numéricos
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38
No exemplo dado temos uma relação de causa e consequência em que 
a recíproca é verdadeira, ou seja, q �→ p. Quando a recíproca de um teorema é 
verdadeira, temos uma bicondicional, ou seja, ambas as proposições p �→ q e q �→ 
p são condição necessária e suficiente para a validade da outra.
Porém, em uma condicional nem sempre isso ocorre. Considere a proposição:
Todo número primo maior que dois é ímpar
Temos que a sentença é verdadeira, analisemos a recíproca:
Todo número ímpar é primo e maior do que dois.
Segue que a recíproca é falsa, para provar basta indicarmos um contraexemplo: 
temos que 15 é um número ímpar, porém não é um número primo, assim 
mostramos que a sentença é falsa. 
Quando uma proposição é falsa, não se aplica o método dedutivo, apenas 
apresentamos um contraexemplo para justificar a falsidade da sentença. Vejamos 
um outro exemplo de proposição:
Seja n um número ímpar, então n² é um número ímpar.
Para provar essa sentença, utilizaremos uma forma de demonstração que 
chamamos de direta, em que realizamos uma sequência de argumentos baseados 
na hipótese e a conclusão será a tese.
DEMONSTRAÇÃO: Suponha que n é um número natural ímpar, sendo assim, 
existe um número natural k de modo que n = 2k+1. Substituindo o n temos: 
n ² = (2k + 1)² 
Realizando as operações elementares e organizando na estrutura de número 
ímpar, teremos:
Conjuntos Numéricos
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39
4k + 4k +1= 2(2k + 2k) +1
Ou seja, n é um número ímpar.
Realizando a contrapositiva, teremos uma sentença equivalente, ou seja, p �→ q 
é equivalente a ~q �→ ~p, deste modo a contrapositiva da proposição anterior será:
O quadrado de um número par também é par.
Sendo uma proposição equivalente em termos de lógica, logo a validade da 
proposição anterior implica na validade dessa proposição. Neste sentido, podemos 
recorrer à contrapositiva para demonstrarmos os resultados. Para isso, negamos a 
tese e chegamos à negação da hipótese. Considere a proposição:
Se x² − 6x + 5 é par, então x é ímpar.
Ao realizarmos a contrapositiva, obteremos:
Se x é par, então x² – 6x + 5 é impar.
DEMONSTRAÇÃO: Como x é par, pode ser representado na forma x = 2k, 
com k ∈ N. Deste modo, substituindo o x obtemos:
x² - 6x + 5 = (2k)² -6(2k) +5 
Realizando as operações elementares e organizando na estrutura de número 
ímpar teremos:
4k² - 12k + 5 = (4k² - 12k +4 ) +1 = 2(2k² - 6k +2) +1
Concluímos que x² - 6x + 5 é ímpar. Assim a sentença: 
Se x é par, então x² – 6x + 5 é impar.
Conjuntos Numéricos
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40
é verdadeira. E por equivalência lógica, a sentença:
Se x² − 6x + 5 é par, então x é ímpar.
também será verdadeira. Vejamos outro exemplo, considere a seguinte proposição:
Se n2 é impar, então n é impar.
 A demonstração direta se torna difícil neste caso, então é conveniente utilizar 
a forma contrapositiva, ou seja:
Se n é par, então n2 é par.
DEMONSTRAÇÃO: se n é par, n = 2k, logo n2 = 4k2 = 2(2k2), ou seja, um número par.
Outra forma de demonstrar um resultado é por meio da demonstração por 
absurdo, ou ainda, da redução ao absurdo. Neste caso, aceitamos a hipótese 
sendo verdadeira e utilizamos a negação da tese para obtermos um resultado falso. 
Assim, obteremos um resultado com valor lógico verdadeiro, então a proposição 
inicial também será verdadeira. Vejamos um exemplo:
Se afirmarmos que existe um número real que satisfaza equação x2 + 9 = 
0, por absurdo, suponhamos que x exista. Então, temos que x2 = -9, sendo um 
absurdo, pois não existe raiz quadrada de números negativos, assim concluímos 
que não existe x real que verifica a equação dada.
Verificamos anteriormente que a medida da diagonal de um quadrado unitário 
é 2 , provaremos por redução ao absurdo a seguinte proposição:
2 é um número irracional.
Assumimos que um número irracional não pode ser representado na forma de 
uma fração, além disso, utilizaremos o resultado da demonstração anterior.
DEMONSTRAÇÃO: Suponha que 2 é um número racional, deste modo 
Conjuntos Numéricos
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41
podemos representá-lo na forma de uma fração irredutível a
b
, sendo a e b 
números inteiros, logo:
2 = 
a
b
Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado, temos que:
2
2
2= �
a
b
Segue que,
2b² = a²
Temos que 2b² é um número inteiro par, isso implica em a² ser um número 
inteiro par, logo a também é par, deste modo, podemos assumir a = 2c, sendo c 
um número inteiro. Substituindo o a temos:
2b² = (2c)²
2b² = 4c²
b²= 2c²
Segue que, deste modo, a fração a
b
 não será irredutível, ou seja, temos um 
absurdo. Logo, 2 é um número irracional.
Apesar dos irracionais serem uma dízima não periódica, é possível 
localizá-los na reta numérica, acesse o link a seguir e aprofunde o seu 
conhecimento sobre o assunto.
Disponível em: <http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/
precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap14.html>. Acesso em: 15 jul. 
2015.
Conjuntos Numéricos
U1
42
1. X e Y são números tais que: Se X ≤ 4, então Y > 7. Se a 
proposição é do tipo p→ q, analise cada item e traduza 
para linguagem simbólica verificando se é uma sentença 
equivalente.
a) Se Y ≤ 7, então X > 4.
b) Se Y > 7, então X ≥ 4.
c) Se X ≥ 4, então Y < 7.
d) Se Y < 7, então X ≥ 4.
e) Se X < 4, então Y ≥ 7.
2. Utilize uma forma de demonstração e mostre que: a soma 
de dois números pares será um número par.
Conjuntos Numéricos
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43
Seção 2
Conjuntos Numéricos
Introdução à seção
Aos nos depararmos com a teoria elementar dos números, tratamos apenas a 
aritmética básica do conjunto dos números naturais e, pelo princípio da extensão, 
os números inteiros e os demais conjuntos numéricos. Porém, mesmo nessa 
abordagem, precisamos recorrer à teoria elementar dos conjuntos e introdução 
da lógica matemática. 
Usualmente admitimos a existência do conjunto dos números naturais munidos 
das operações de adição e multiplicação. A partir disso, definimos as propriedades 
das operações e outros conceitos relacionados, conforme exposto na seção 
anterior. Entretanto, a construção do conjunto dos números naturais requer 
um processo axiomático, ou seja, admitimos alguns conceitos primitivos como 
número natural, definimos alguns axiomas, sendo que essas proposições são 
consideradas como verdadeiras sem a necessidade de demonstrações. No caso 
dos números naturais, um conjunto mínimo de axiomas é dado pelos conhecidos 
Axiomas de Peano. A partir disso, demonstram-se as propriedades dos números 
naturais, inclusive as propriedades da adição e da multiplicação. Trataremos na 
próxima subseção sobre esse tema.
2.1 Axiomatização dos números naturais
O matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) publicou no livro 
Arithmetices Principia: Nova Methodo Exposita a axiomatização do conjunto 
dos números naturais realizada em 1889. Nesta obra, foram enunciados alguns 
axiomas sobre números naturais, posteriormente conhecidos como os Axiomas 
de Peano. Primeiramente, precisamos admitir três conceitos primitivos: 
1º) zero ou um;
2º) número natural; 
3º) o sucessor de um número natural. 
Sendo n um número natural, denotamos por s(n) o seu sucessor. Deste modo, 
Conjuntos Numéricos
U1
44
os Axiomas de Peano podem ser enunciados do seguinte modo:
I) O um é um número natural e não é sucessor de um número natural.
II) Todo número natural tem um único sucessor, que também é um número natural.
III) Se dois números naturais têm o mesmo sucessor, então eles são iguais entre si.
IV) Se um subconjunto X dos números naturais possui o elemento um e também 
o sucessor de todos os elementos de X, então X é igual ao conjunto dos números 
naturais.
Considerando os axiomas e os conceitos primitivos como verdadeiros, segue 
que o axioma IV) é adotado no processo de demonstração por indução. Esse 
método de demonstração matemática possui aplicações em quase todas as áreas 
da matemática, inclusive na Análise.
Uma demonstração fundamentada na Indução Matemática é denominada 
de Prova por Indução ou pelo Princípio da Indução e se compõe de duas 
propriedades: é preciso que a afirmação seja válida para um primeiro natural a, 
não necessariamente o número 1, pois o adotaremos de uma forma generalizada. 
Sendo satisfeita essa propriedade, considerando a afirmação válida para um natural 
k arbitrário é válida também para o sucessor de k. Sendo essas duas propriedades 
satisfeitas, podemos concluir que a afirmativa inicial é verdadeira. Definimos o 
Princípio da Indução Generalizado da seguinte forma:
Suponha que para cada natural n se tenha uma afirmativa P(n) que satisfaça 
às seguintes propriedades:
I) P(a) é verdadeira.
II) Sempre que a afirmativa é verdadeira para um natural k qualquer e é verdadeira 
para o seu sucessor k+1.
Então:
P(n) é verdadeira para todo n natural.
Destacamos que a Indução Matemática se baseia em duas propriedades, a 
primeira garante que estamos considerando um fato verdadeiro para o primeiro 
número natural a; a segunda garante que se a afirmação é verdadeira para um 
natural k ≥ a qualquer e implica verdadeira para o seu sucessor, então é verdadeira 
Conjuntos Numéricos
U1
45
para todo natural. Denominamos as duas propriedades de hipótese de indução; 
satisfeita a hipótese, a tese de que uma propriedade P é válida para o número 
natural n, será verdadeira. 
O Princípio da Indução não é aplicado apenas como método de demonstração. 
Pode ser utilizado para definir funções do tipo f: N → Y que possui como domínio 
o conjunto N dos números naturais. Temos da definição de função que f : X → 
Y necessita de uma regra bem definida, na qual seja determinado como se deve 
associar a cada elemento x ∈ X um único elemento y = f(x) ∈ Y.
 Entretanto, no caso específico em que o domínio da função é o conjunto N 
dos números naturais, com o propósito de definir uma função f : N → Y , podemos 
definir os elementos se tivermos os seguintes dados:
I) Podemos determinar o valor f (1).
II) Tenhamos uma regra para calcular f (s(n)) tendo f (n).
A partir disso, é possível conhecer f (n) para todo número natural n, neste caso 
temos uma função com recorrência. Assim, se denominarmos de X o conjunto 
dos números naturais n em que se pode determinar f (n) por meio de:
I) 1 ∈ X 
II) n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X. 
Logo, pelo axioma da indução, tem-se X = N. 
Observamos que uma função f : N → Y em que o domínio é o conjunto dos 
números naturais denomina-se de uma sequência ou sucessão de elementos de Y. 
Vejamos a seguir uma aplicação do Princípio da Indução, mostraremos que:
Todo número é diferente do seu sucessor.
DEMONSTRAÇÃO: denominamos a proposição de P. Sendo que dado o 
número natural n, utilizaremos P(n) como n ≠ s(n). 
Prova de I) Sendo assim, P(1) é verdadeira, pois 1 ≠ s(1), pois o 1 não é sucessor 
de número algum, logo o 1 não é sucessor de si próprio. 
Conjuntos Numéricos
U1
46
Prova de II) Suponha que P(n) é verdadeira, ou seja, se considerarmos que n ≠ 
s(n), então s(n) ≠ s(s(n)), pois a função s : N → N é injetiva. Porém a afirmação s(n) 
≠ s(s(n) significa que P(s(n)) é verdadeira. Deste modo, a verdade de P(n) implica 
na verdade de P(s(n)). 
Então, pelo Princípio da Indução, todosos números naturais que satisfazem a 
propriedade P, isto é, são diferentes de seus sucessores, é verdadeira.
Retome o conceito de funções, pois recorreremos a esse conteúdo 
posteriormente, acesse os links e bons estudos.
Disponível em: <http://educacao.globo.com/matematica/assunto/
funcoes/conceito-de-funcoes.html>. Acesso em: 17 jul. 2015.
Disponível em: <http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoSobre
jetoraInjetoraBijetora.aspx>. Acesso em: 17 jul. 2015.
Considerando as formas de demonstrações apresentadas, qual 
seria a estratégia adequada para provar o teorema fundamental 
da aritmética?
Retomando o exposto na seção anterior e associando com as formas de 
demonstrações, iremos provar o teorema fundamental da aritmética. Assim, 
teremos que demonstrar a seguinte proposição:
Todo número inteiro maior ou igual a dois pode ser representado por fatores 
de números primos. Essa decomposição será única, podendo mudar apenas a 
ordem dos fatores.
Conjuntos Numéricos
U1
47
DEMONSTRAÇÃO: Sendo n = 2 um número primo. Mostraremos a existência 
da fatoração por primos por meio do Princípio da Indução: Se n é primo não 
há o que provar. Se n é composto, n = ab, a, b ∈ N, a < n, b < n e, por hipótese 
de indução, a e b se decompõem como produto de primos, portanto n se 
decompõe como produto de primos. 
Temos que demonstrar a unicidade, recorrendo à indução: Suponha que n 
possua duas fatorações n = p
1
p
2
…p
r
 e n = q
1
q
2
…q
s
 como produto de primos. 
Como p
1
|q
1
q
2
…q
r
, p
1
 deve dividir algum q
i
 e, portanto, p
1 
= q
i
 (pois são ambos 
números primos) e, como n|p
1 
= n|q
i 
< n admite uma única fatoração prima, por 
hipótese de indução, concluímos que a fatoração de n é única.
Na próxima seção, retomaremos as definições e propriedades das estruturas 
algébricas.
2.2 Estruturas algébricas aplicadas aos conjuntos numéricos
 Vimos que a partir de alguns axiomas podemos construir o conjunto dos naturais 
recorrendo ao Princípio da Indução. A partir disso, podemos definir os números 
inteiros sendo construídos por meio de uma relação de equivalência no conjunto 
dos pares ordenados de números naturais. O mesmo ocorre com o conjunto dos 
números racionais, em que um número é novamente definido como um conjunto. 
Porém, encontraríamos dificuldades em justificar os números irracionais e os reais 
por meio das relações de equivalência, para tanto, precisaríamos do conceito 
de infinito e das estruturas algébricas, ou seja, são as propriedades satisfeitas por 
conjuntos não necessariamente numéricos. A seguir, retomaremos os conceitos 
das estruturas de grupos, anéis e corpos que serão aplicados posteriormente nas 
próximas unidades.
2.2.1 Grupos
Mostramos anteriormente que os conjuntos numéricos satisfazem algumas 
propriedades, no caso de satisfazer um número mínimo para alguma operação 
binária, podemos classificar como:
I) Grupoide: trata-se de um conjunto G não vazio com uma operação binária 
fechada tal que denotamos de (G, *). Temos um exemplo de grupoide (Z, -), e um 
contraexemplo de (N, -).
Conjuntos Numéricos
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48
II) Semigrupo: atende à propriedade de grupoide e à propriedade associativa, ou 
seja, dados a, b e c ∈ G, temos que (a * b) * c = a * (b * c). Temos que (N,+) atende 
a essa estrutura.
III) Monoide: atende à propriedade de semigrupo e possui o elemento neutro. Por 
exemplo (N, *) é um exemplo dessa estrutura.
Considerando um monoide, que outras estruturas são necessárias 
para termos um grupo?
Para termos uma estrutura de grupo temos que: seja G um conjunto e * 
uma operação binária, ou ainda, lei de composição interna, definida sobre G, o par 
ordenado (G,*) é um grupo se são atendidas as seguintes propriedades:
I) Associativa:
Sejam a, b e c ∈ G, temos que ( a * b ) * c = a * ( b * c) .
II) Elemento neutro:
Existe e ∈ G, de modo que para todo a ∈ G temos que e * a = a * e = a
III) Elemento simétrico:
Seja a ∈ G existe a’ ∈ G de modo que a * a’ = a’ * a = e, em que e trata-se do 
elemento neutro.
Quanto à ordem de um grupo (G,*), temos que G é finito se o  número  de 
elementos do conjunto G é finito. No caso de G ser um conjunto infinito, como, 
por exemplo, os números inteiros, racionais e reais, afirmamos que (G,*) possui 
ordem infinita. 
No caso do tipo de operação que indicamos por *, se for uma adição temos 
então um grupo denominado de aditivo, e quando for uma multiplicação temos 
um grupo denominado de multiplicativo.
Ainda temos que e se um grupo (G,*) atender à propriedade comutativa G e' 
Conjuntos Numéricos
U1
49
denominado comutativo ou abeliano, ou seja, atende à propriedade:
IV) Comutativa:
Para todo a e b ∈ G, temos que a * b = b * a.
Podemos destacar, como exemplo, que os conjuntos (Z, +) e ( Z, .) são exemplos 
de grupos abelianos.
2.2.2 Anéis
Temos que um conjunto A não vazio é um anel se os elementos podem ser 
adicionados e multiplicados, ou seja, existem leis de composição interna em que 
são dadas duas operações (x, y) → x + y e (x, y) → x.y aos pares de elementos de A 
em A, satisfazendo aos seguintes axiomas para todo x, y e z ∈ A:
Axiomas para a operação de adição:
I) Associativa:
(x + y) + z = x + (y + z)
II) Elemento neutro:
Existe 0 em A tal que x + 0 = 0 + x = x
III) Elemento simétrico:
x + (-x) = (-x) + x = 0
IV) Comutatividade:
x + y = y + x
Axiomas para a operação de multiplicação:
Conjuntos Numéricos
U1
50
I) Associativa:
(x.y).z = x.(y.z)
II) Distributiva:
x.(y + z) = x.y + x.z
(y + z).x = y.x + z.x
OBSERVAÇÕES 
Considere o anel ( A , + , .)
I) Ao adotarmos A como um conjunto numérico, indicamos o elemento neutro da 
adição pelo número 0, mas em outro conjunto pode-se indicar o elemento neutro 
não sendo necessariamente um número.
II) Para cada elemento x ∈ A, seu inverso em relação à adição pode ser denominado 
de elemento oposto de a e é indicado por -x.
III) Se operação de multiplicação é comutativa, caracterizando o anel comutativo, 
ou seja, para todo x e y ∈ A temos que x . y = y . x.
IV) Se a operação de multiplicação possui elemento neutro, ou seja: para todo x ∈ A 
temos que x . 1 = 1 . x = x , temos um anel com elemento identidade ou com unidade.
Estude o artigo intitulado Associações de estruturas algébricas das 
páginas de 2 a 11 e aprofunde o seu conhecimento, acesse o link:
<http://www.unoeste.br/site/pos/enapi/2011/suplementos/documentos/
Exactarum-PDF/Matem%C3%A1tica.pdf>. Acesso em: 24 jul. 2015.
2.2.3 Domínios de integridade e corpos
Em um domínio de integridade ou anel de integridade, precisamos considerar 
Conjuntos Numéricos
U1
51
um anel A comutativo com unidade e atender à seguinte proposição:
Para todo x, y ∈ A, se x . y = 0 então x = 0 ou y = 0. 
A partir dessa definição, temos um corolário sobre o cancelamento que decorre 
do fato de um anel A ser domínio de integridade, vejamos:
Para todo x, y e z ∈ A, sendo x ≠ 0 e xy = xz implica em y = z.
São exemplos de domínio de integridade os anéis do conjunto dos números 
inteiros (Z, +, .), dos racionais (Q, +, .), dos reais (R, +, .) .
Quanto à estrutura de corpos, todo corpo é um domínio de integridade, porém 
a recíproca não é verdadeira, isso significa que um corpo atende mais alguma 
propriedade, ou seja, um anel A de integridade é um corpo se todo elemento não 
nulo de A possui elemento inverso para operação de multiplicação, vejamos a 
definição:
Para todo x ∈ A e x ≠ 0 existe x-1 ∈ A tal que x. x-1 = 1.
Para compreender a definição, podemos analisar os anéis (Z,+,.) e (Q, +,.). 
Em ambos os casos temos anéis comutativos com unidades que valem a lei do 
anulamento do produto. Porém no anel Z somente os elementos 1 e -1 possuem 
simétrico multiplicativo, enquanto em Q todoelemento não nulo admite simétrico 
multiplicativo, deste modo, Q é considerado um corpo e Z é considerado apenas 
um domínio de integridade. Consequentemente pelo princípio da extensão temos 
que (R,+, . ) é um corpo.
Quais são as propriedades a que o conjunto dos números 
reais satisfaz?
Conjuntos Numéricos
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1. Utilize o Princípio da Indução Generalizado para provar que:
2n + 1 < 2n, para todo n ≥ 3.
2. Analise a seguinte demonstração de (-a).(-b) sabendo que a 
e b são elementos de um anel (A, +,.).
(-a).(-b)=(-1)a.(-1).b= (-1).(-1)a.b = 1ab = ab
A demonstração é válida?
Nesta unidade você aprendeu sobre:
- Noções intuitivas sobre os números.
- Princípios da lógica, conectivos e tabelas verdades.
- Formas de demonstrações: direta, contrapositiva e redução 
por absurdo.
- Axiomatização dos números naturais.
- Princípio da Indução.
- Estruturas algébricas aplicadas aos conjuntos numéricos.
Conjuntos Numéricos
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53
Esta unidade foi elaborada com o intuito de conduzir o processo 
de construção do conhecimento a respeito dos conjuntos 
numéricos, formas de demonstrações baseadas nos princípios da 
lógica, a construção dos números naturais por meio de axiomas 
e a aplicação do princípio de indução matemática, juntamente 
com as estruturas algébricas que nos auxiliarão posteriormente.
Ao aprofundar os conteúdos apresentados, por meio de seus 
estudos com as leituras complementares, de pensar e buscar 
respostas para as questões de reflexão, além de realizar as 
atividades de aprendizagem tanto da seção quanto da unidade, 
atingiremos o objetivo de compreender os conceitos tratados 
nesta unidade, além de conhecer os conteúdos prévios que 
serão tratados nas próximas unidades deste livro.
1. Considerando o conjunto dos números naturais incluindo 
o zero, represente por meio da notação de conjuntos os itens 
a seguir:
a) N = os números naturais.
b) P= números pares.
c) I= números ímpares.
d) A = números menores que 7 (sem listar os elementos).
e) B = números múltiplos de cinco.
f) C = números quadrados perfeitos.
g) D = números cubos perfeitos.
2. Analise as sentenças a seguir e indique (V) para verdadeiro 
e (F) para falso.
( ) Para todo número real y, tem-se que y < 3 e que y > 2.
( ) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x² + 5x = 0.
Conjuntos Numéricos
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54
( ) Para todo número real positivo x, tem-se que x² > x.
( ) Para algum número real k, tem-se que k > 5 e que k² – 5k = 0.
3. Utilize a formas de demonstrações tratadas nesta unidade 
e prove que para um inteiro n, n3 + 5 é ímpar se e somente se 
n for par.
4. Utilize uma prova por indução para a seguinte proposição: 
1+ 3 + 5 + ... + (2n -1) = n² é verdadeira para qualquer inteiro 
positivo n.
5. Apresente dois exemplo de conjuntos numéricos que sati-
fazem a estrutura algébrica de corpo.
U1
55Conjuntos Numéricos
Referências
ABBAGNANO, Nicola. Dicionário de Filosofia. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes, 
2000. 
ALMOULOUD, S. A. Prova e demonstração em matemática: problemática de seus 
processos de ensino e aprendizagem. Rio de Janeiro: EMANPED, GT: Educação 
Matemática, 2009. Disponível em: http://www.ufrrj.br/emanped/paginas/conteudo_
producoes/docs_30/prova.pdf. Acesso em: 15 jul. 2015. 
BALACHEFF, N. The researcher epistemology: a deadlock for educational research 
on proof. Leibniz: Grenoble, 2004. n. 109. Disponível em: <http://www.tpp.umassd.
edu/rc/reading/Balachef_Taiwan2002.pdf>. Acesso em: 3 set. 2015.
BICUDO, Irineu. Demonstração em matemática. BOLEMA: Boletim de Educação 
Matemática, Ano 15, nº 18, p.79-90. Rio Claro: UNESP, 2002.
GERÔNIMO, J. R.; FRANCO, V. S. Fundamentos de matemática: uma introdução 
à lógica matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. Maringá: Eduem, 
2006. 
HOUAISS eletrônico 3.0. Dicionário de língua portuguesa. Rio de Janeiro: Objetiva, 
2009.
MACHADO, N. J.; CUNHA, M. O. da. Lógica e linguagem cotidiana: verdade, 
coerência, comunicação, argumentação. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2008.
MARIOTTI, M. A.; BALACHEFF, N. Introduction to the special issue on didactical 
and epistemological perspectives on mathematical proof. Heidelberg: ZDM 
Mathematics Education, 2008. 
SALMON, W. C. Lógica. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010.
Objetivos de aprendizagem: Nesta unidade, temos como objetivo 
discutir sobre conjuntos com as principais propriedades e definições, 
conjuntos finitos, infinitos, conjuntos enumeráveis e não enumeráveis. 
Além disso, baseado na estrutura de corpo, definiremos axiomaticamente o 
conjunto dos números reais como um corpo ordenado completo. 
Ao final desta unidade, espero que compreenda as definições e 
propriedades de conjuntos, como também as operações com conjuntos. 
Retome o conteúdo de funções, principalmente funções injetoras, 
sobrejetoras e bijetoras, que são base para conceituar os conjuntos infinitos, 
diferenciando dos finitos. Além disso, compreenda a correspondência 
biunívoca entre conjuntos para conceituar conjuntos enumeráveis e 
não enumeráveis. É esperado também que compreenda o conjunto dos 
números reais como uma estrutura algébrica de corpo, em que temos uma 
relação de ordem e que podemos lidar com intervalos e o conceito de 
valores absolutos.
Os conceitos e propriedades apresentados neste capítulo terão como 
base o método axiomático adotado nas demonstrações matemáticas, 
que serão adotadas para justificar proposições, teoremas e corolários 
apresentados, para que assim conheça sobre a Matemática Abstrata, sendo 
esta fundamental para a Análise Real.
Bons estudos.
Debora Cristiane Barbosa Kirnev
Unidade 2
CONJUNTOS FINITOS 
E INFINITOS
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
58
Intuitivamente, conhecemos as estruturas do conjunto dos números 
naturais, sendo possível mostrar por meio de um processo axiomático 
a construção desse conjunto. A partir disso, podemos estabelecer 
definições e propriedades válidas para os demais conjuntos numéricos. 
Para lidarmos com os números reais, recorremos a axiomas, proposições 
e teoremas, justificados por meio de demonstrações de resultados que 
veremos posteriormente, nessa seção.
Seção 2 | Números reais
 A teoria dos conjuntos influenciou o desenvolvimento da lógica e 
da matemática do século XX, contribuindo em áreas como a teoria das 
funções, álgebra, topologia e análise funcional. Veremos nessa seção os 
princípios dessa teoria e definiremos conceitos relacionados às funções 
para subsidiar as definições de conjuntos finitos, infinitos, enumeráveis e 
não enumeráveis.
Seção 1 | Noções sobre conjuntos
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
59
Introdução à unidade
Nesta unidade, trataremos de elementos relacionados à Análise Real, para isso 
precisamos conhecer a teoria dos conjuntos de Georg Cantor (1845-1918), que 
foi um dos primeiros matemáticos a lidar com o conceito de conjuntos infinitos e 
assim forneceu subsídios importantes para o desenvolvimento da análise. Como 
estamos lidando com a Análise Real, definiremos, baseados na teoria dos conjuntos 
e de outros teoremas relacionados, o conjunto dos números reais.
Na primeira seção trataremos de tópicos relacionados com conjuntos, o 
primeiro tópico aborda conceitos, definições e propriedades que são a base da 
teoria dos conjuntos, posteriormente tratamos das operações entre conjuntos 
como a união, interseção, completar e diferença, bem como as propriedades 
relacionadas a essas operações. 
Uma vez definidas, no segundo tópico abordado na segunda seção, 
retomamos os conceitos de funções, tratando da definição, e também definimos 
e exemplificamos os tipos de funções como injetora, sobrejetora e bijetora, 
essenciais para definirmos os conceitos posteriores. Em seguida, lidamos com 
os conceitos de conjuntos finitos e infinitos, etambém enumeráveis e não 
enumeráveis, baseados nas definições anteriores de conjuntos e funções.
Nessa segunda seção, também aprenderemos sobre o processo de 
axiomatização dos números reais, definindo as principais propriedades e mostrando 
que os reais atendem à estrutura de corpo ordenado e completo. 
Aprofunde os conhecimentos adquiridos aproveitando ao máximo o conteúdo 
disponibilizado neste material.
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
60
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
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Seção 1
Noções sobre conjuntos
Segundo Boyer (1974), diversos matemáticos como Augustus De Morgan (1806-
1871) e George Boole (1815-1864), ao desenvolverem princípios lógicos, também 
contribuíram para o desenvolvimento da teoria dos conjuntos. Boole publicou em 
1854 uma obra em que apresentou seus estudos que deram origem à álgebra de 
Boole, na qual utilizou relações entre conjuntos. Porém o processo axiomático da 
teoria dos conjuntos ocorreu por volta de 1890, sendo iniciado por Georg Cantor 
(1845-1918), tomando como base a teoria dos números. 
Figura 2.1 | Georg Cantor
Fonte: <http://famous-mathematicians.org/wp-content/uploads/2013/07/
Georg_Cantor2-228x300.jpg>. Acesso em: 10 ago. 2015.
Cantor se interessava pela análise e estudou o conceito de infinito trabalhando com 
propriedades aplicadas aos conjuntos infinitos. A partir de seus estudos, desenvolveu-
se o que denominamos atualmente de teoria dos conjuntos. Esta teoria teve origem 
com a publicação de Cantor, em 1874, a respeito de coleções infinitas que consistiam 
em comparar os elementos de conjuntos infinitos termo a termo por meio de uma 
relação de correspondência. Por meio desse estudo, Cantor provou por redução ao 
absurdo que o conjunto dos números reais não possuía correspondência um a um 
com os conjuntos dos números naturais. Posteriormente, Richard Dedekind (1831- 
1916) utilizou os estudos da teoria dos conjuntos para desenvolver o conceito de 
contínuos. Em síntese, temos que as descobertas de Cantor originaram a teoria dos 
conjuntos abstratos, generalizando o conceito de conjunto.
Conjuntos Finitos e Infinitos
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62
Aprofunde seu conhecimento, estude o artigo de Geraldo Ávila Cantor e 
a teoria dos Conjuntos, acesse o link: <http://www.educadores.diaadia.
pr.gov.br/arquivos/File/2010/veiculos_de_comunicacao/RPM/RPM43/
RPM43_02.PDF>. Acesso em: 25 ago. 2015.
1.1 Primeiros conceitos e propriedades de conjuntos
Na teoria dos conjuntos, um conjunto é descrito como uma coleção ou classe 
de objetos bem definidos, denominados de elementos, ou seja, são os membros 
do conjunto. Os objetos podem ser, por exemplo: números, pessoas, outros 
conjuntos, entre outros.
Outra forma de se obter um conjunto é por meio de uma regra de formação, 
na qual determinamos os elementos, de modo que cada elemento seja único. 
Podemos definir pertinência de um elemento, a qual é representada pelo símbolo 
∈, em um conjunto como x é um elemento de A ou x pertence a A; em termos 
notacionais temos:
x A�∈
A não pertinência de um elemento, representada pelo símbolo ∈, indica que x 
não é um elemento de A ou x não pertence a A, conforme:
x A∉
A pertinência é somente para elementos de um conjunto, utilizamos o contido 
ou contém para indicar elementos de subconjuntos, os quais são representados 
pelos símbolos ⊂ e ⊃, respectivamente. Se considerarmos dois conjuntos A e B, 
de modo que todos os elementos de A sejam também elementos de B, então A é 
subconjunto de B e adotamos que A está contido em B ou B contém A, de modo 
que indicamos respectivamente como:
Conjuntos Finitos e Infinitos
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A BeB A⊂ ⊃��
No caso de A ser diferente de B, temos que A é um subconjunto próprio de B 
e B é um superconjunto de A. Se o conjunto A está contido em B e B está contido 
em A, logo A=B, ou seja, os conjuntos possuem os mesmos elementos, o que 
implica em:
A BeB A⊂ ⊂�� , ou seja, A B⊆
Existe um conjunto que contém todos os outros conjuntos?
Baseados em Gerônimo e Franco (2006), destacamos o paradoxo de 
Russel no qual podemos concluir que: nada contém tudo, ou seja, não 
existiria um conjunto que contivesse todas as coisas. Vejamos esse 
paradoxo, conhecido como o paradoxo do barbeiro.
“O barbeiro da cidade, que só faz a barba de todos os homens que não 
se barbeiam a si mesmos, se barbeia a si mesmo?”
Temos que os elementos de todos os conjuntos pertencem ao conjunto 
universo, que indicamos por U. 
Por outro lado, quando um conjunto não possuir elementos, denominamos de 
conjunto vazio e ele é denotado por:
∅	ou	{}
Conjuntos Finitos e Infinitos
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O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer outro subconjunto. Por meio 
das demonstrações matemáticas mostraremos que todo elemento pertencente 
ao conjunto vazio também pertence a A.
DEMONSTRAÇÃO: Se x ∈�, logo que x ∈�A . Pela contrapositiva, suponhamos 
que x �∉ A , assim temos que x ∉ , pois o conjunto vazio não contém elementos. 
Então x ∈�A implica que x ∉ .
Há outra forma de demonstrar esse resultado, por redução ao absurdo, vejamos:
DEMONSTRAÇÃO: Se o  A , assim existe x ∈� e x ∉ A , o que é um 
absurdo, pois não existe x pertencente ao ∈� ,
 
logo ⊂ A .
Observamos que caso um conjunto possua um único elemento, denominamos 
de conjunto unitário.
Qual seria a representação notacional do conjunto unitário do vazio?
Outro conceito relevante é o conjunto das partes. Sendo um conjunto A, 
indicamos como P(A) o conjunto constituído por todos os subconjuntos de A (lê-
se: partes de A). Por exemplo, sendo A = {1, 2, 3} temos um conjunto formado por 
3 elementos, logo:
P A( ) = ∅ { } { } { } { } { } { } { }{ }, , , , , , , , , , , ,1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
Quanto às operações de conjuntos que resultam em outros conjuntos, 
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
65
destacamos a união, a interseção, o complementar e a diferença.
A união de dois conjuntos A e B, denotada por ∪, é um conjunto de todos os 
elementos que pertencem a A ou a B, em termos notacionais temos:
A B x x A ou x B = ∈ ∈{ }:
A interseção de dois conjuntos A e B, denotada por ∩, é um conjunto de todos 
os elementos que pertencem a A e a B, em termos notacionais temos:
Se não existirem elementos comuns a A e B, temos dois conjuntos disjuntos. 
No caso do complementar que adotaremos Ac, é o conjunto de elementos 
pertencentes ao universo, mas que não pertencem a A, em termos notacionais 
temos que:
A x x U e x Ac = ∈ ∉{ }:
Podemos ter o caso de complementar relativo, que denominamos a diferença 
entre dois conjuntos A e B, indicados por A – B, neste caso consideramos os 
elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B, tal que:
A B x x A e x B− = ∈ ∉{ }:
São propriedades das operações entre conjuntos as destacadas a seguir:
I) União: quaisquer que sejam os conjuntos A, B, C, partes de um conjunto universo 
U, temos que:
Conjuntos Finitos e Infinitos
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Quadro 2.1 | União
Fonte: O autor (2015).
1) A ∪ ∅ = A
2) A ∪	U = U
3) A ∪ A C = A
4) A ∪ A = A
5) A ∪ B = B ∪ A
6) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
7) A ∪ B = A ⇔ B ⊂ A
8) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
II) Interseção: quaisquer que sejam os conjuntos A, B, C, partes de um conjunto 
universo U, temos que:
Quadro 2.2 | Interseção
Fonte: O autor (2015).
1) A ∩ ∅ = ∅
2) A ∩	U = A
3) A ∩ A C = A
4) A ∩ A = A
5) A ∩ B = B ∩ A
6) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
7) A ∩ B = A ⇔ B ⊂ A
8) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
III) Complementar: sejam os conjuntos A e B contidos em um universo U no qual 
estamos considerando os complementares.
Quadro 2.3 | Complementar
Fonte: O autor (2015).
1) (A C) C = A
2) A ⊂ B ⇔ B C ⊂ A C
3) A = ∅ ⇔ C A = U
4) (A ∪ B) C = A C ∩ B C
5) (A ∩ B) C = A C ∪ B C
IV) Diferença: sejam A, B e C conjuntosquaisquer num universo U.
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
67
Quadro 2.4 | Diferença
Fonte: O autor (2015).
1) A - ∅ = A e ∅	- A = ∅
2) A - U = ∅ e U - A = A C
3) A	- A = ∅
4) A - A C = A
5) (A - B) C = AC ∪ B
6) A - B = B C - A C
7) A ∪ (B - C) = (A ∪ B) - (C - A)
8) A ∩ (B - C) = (A ∩ B) - (A ∩ C)
A seguir demonstraremos algumas propriedades referentes às operações com 
conjuntos:
PROPRIEDADE 1: 
 
A B C A B A C∩ ∪( ) = ∩( )∪ ∩( ) . 
DEMONSTRAÇÃO
: 
Seja x ∈ ∩ ∪( )A B C ou seja, x ∈ x ∈ logo x ∈u x ∈assim x 
∈ A B u x ∈ A C deste modo x ∈u A C∩ podemos concluir que x ∈Por outro 
lado, se x ∈x ∈u A C∩ isto implica que x ∈ A B u x ∈ C e ainda x ∈ x ∈u x 
∈C sendo assim, x ∈x ∈de modo que x ∈Segue que a igualdade é verdadeira.
PROPRIEDADE 2:
A B A BC c c∪( ) = ∩� . 
DEMONSTRAÇÃO: Seja x ∈assim x ∉ a A B∪ ou seja, x ∉ A � x ∉ B logo x ∈ x 
∈ isto implica que x ∈Por outro lado, se x ∈então x ∈ x ∈deste modo, x ∉� �A x 
∉� B consequentemente x ∉ A B∪ assim x ∈Podemos concluir que a igualdade 
é verdadeira.
PROPRIEDADE 3:
A B A B⊂ ⇔ − =� � � . 
DEMONSTRAÇÃO: Temos que demonstrar duas condicionais, isto é:
I) A ⊂ B → A – B = ∅
Conjuntos Finitos e Infinitos
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68
II) A – B = ∅ → A ⊂ B 
Demonstração de I): Seja x ∈ A por hipótese A B⊂ ogo x ∈ B, deste modo 
não existe x ∈ A e x ∉ B, sendo assim A B− = �
Demonstração de II): pela contrapositiva da proposição temos: A ⊄ B → A – 
B ≠ ∅	Considere que x ∈ . Se x ∉B� Segue que x ∈� e x ∉ , assim A B- Logo a 
condicional II é verdadeira.
Pela prova de I) e II) temos que a bicondicional é verdadeira.
1. No contexto da Matemática Moderna, o que são conjuntos?
2. Relacione, se possível, as palavras a seguir com conjuntos, 
caracterizando cada uma:
a) Classe:
b) Coleção:
c) Elemento:
d) Pertinência:
e) Números:
1.2 CONJUNTOS FINITOS, ENUMERÁVEIS E NÃO ENUMERÁVEIS
Os conjuntos podem ser finitos e infinitos, enumeráveis e não enumeráveis. 
Para abordar este tema precisaremos resgatar os conceitos e propriedades de 
funções.
1.2.1 Funções
Gerônimo e Franco (2006) abordam alguns matemáticos que contribuíram 
para o desenvolvimento de funções, entre eles: René Descartes (1596-1650); 
Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-716); Joseph-Louis Lagrange (1736-1813); 
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). Destacamos que Leonhard Euler 
Conjuntos Finitos e Infinitos
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69
(1007-1783) introduziu a notação y= f(x) que adotamos na atualidade. Funções são 
casos particulares de relações, podemos entender em aplicações práticas como 
grandezas que se relacionam entre si, porém precisam satisfazer a definição desta. 
Segundo esses autores, uma definição de função que é abordada no Ensino 
Médio seria: “uma regra de correspondência, que associa cada elemento x de um 
certo conjunto, chamado de domínio da função, a um único elemento y em um 
outro conjunto de contradomínio da função” (GERÔNIMO; FRANCO, 2006, p. 176).
Além dessa definição, o autor apresenta outra em termos formais:
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Uma 
função de A em B, denotada por f: A �→B, é uma 
terna (f,A,B), onde f é uma relação de A em B 
satisfazendo as seguintes condições:
i) Dom (f) = A, ou seja, para qualquer x em A, 
existe y em B tal que (x, y) está em f; 
ii) Seja x f y e x f z, então y = z. (GERÔNIMO; 
FRANCO, 2006, p. 176).
Na definição formal apresentada, temos que A é denominado de domínio da 
função indicado por f: A �→B e denotado por Dom (f), onde Dom representa domínio. 
Quanto ao conjunto B, é denominado de contradomínio da função e denotado por 
Cdom (f). A segunda condição da definição garante que cada elemento do domínio 
está relacionado com um único elemento do contradomínio. E adotaremos, ao 
invés de x f y (lê-se: x está relacionado com y), utilizaremos que y= f(x). 
Retome o conteúdo de relações binárias que envolvem os conceitos de 
produto cartesiano, relações de equivalência e relação de ordem. Estude 
a Unidade 1 do livro de Estruturas Algébricas.
Considerando x ∈� A e y = f(x), temos que y é denominado de imagem de x sob 
função, em que x é a pré-imagem de y sob a f. Em termos notacionais, indicamos 
Conjuntos Finitos e Infinitos
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70
a imagem (Im) como:
Im(f) = { f(x)/ x ∈� A}
Quanto às variáveis, os elementos do conjunto A são denominados de variáveis 
independentes e os elementos do conjunto Im(f) são denominados de variáveis 
dependentes.
Além disso, quando o contradomínio da função é o conjunto dos números 
reais, então a função é denominada função real. No caso de um contradomínio 
não ser um conjunto numérico, denominamos apenas de aplicação, ou seja, a 
aplicação atende à mesma definição de função, mas não temos necessariamente 
um conjunto numérico no contradomínio.
Como definir o gráfico de uma função?
EXEMPLO:
Considere o conjunto A = {1,2,3} e B = {4,6,8,12,15} e a relação f={(x, 4x) / 
x ∈� A}. Deste modo, a terna (f, A, B) define uma função f: A �→B em que f(x)= 
4x. Temos que Dom(f) = A, segue que x f y e x f z, é dado por y= 4x e z = 4x, 
assim y=z. Podemos observar que o contradomínio (Cdom) e a imagem (Im) são 
conjuntos diferentes, segue que Cdom(f)= B e Im(f)= { 4, 8, 12). Porém a imagem 
é subconjunto do contradomínio. 
Utilizaremos as definições apresentadas sobre funções e as propriedades de 
conjuntos para demonstrarmos as proposições a seguir. 
PROPOSIÇÃO 1:
Considere f: X �→
 
Y uma função e A ⊂ X e B ⊂ X. Verifique se f(A ∩	B) = f(A) ∩ f(B) 
DEMONSTRAÇÃO: Mostraremos que esta proposição é falsa, por meio de um 
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
71
contraexemplo. 
Seja f: X �→
 
Y definida por f(x) = n² e A, B contidos em X, tal que; A= {-2,-1,0,1} e B 
= {-1,0,1,2,3}; logo A∩B = {-1,0,1}, assim f(A∩B) = {0,1}, segue que f(A) = {0,1,4} e f(B) 
= {0,1,4,9}, deste modo f(A) ∩f(B) = {0,1,4}, o que implica que f(A ∩B) ≠f(A) ∩ f(B).
PROPOSIÇÃO 2:
Considere f: X �→Y uma função e A ⊂ X e B ⊂ X. Verifique se f(A ∪
 
B) = f(A) ∪ f(B) 
DEMONSTRAÇÃO: temos que provar que as sentenças a seguir são verdadeiras
i) f(A ∪ B) ⊂ f(A) ∪ f(B)
Seja y ∈� f(A ∪ B , existe x em que f(x) = y e x ∈� A ∪
 
B, sendo assim, x∈� A ou 
x ∈� B, deste modo f(x) ∈� f(A) ou f(x) ∈� f(B), segue que f(x) ∈� f(A) ∪ f(B), como 
y=f(x), y ∈� f(A) ∪ f(B), o que implica em f(A ∪ B) ⊂ f(A) ∪ f(B).
II) f(A) ∪ f(B) ⊂ f(A ∪ B)
Seja y ∈� f(A) ∪ f(B), assim y ∈� f(A) ou y ∈� f(B) existe x em que f(x) = y em que 
x ∈� A ou x ∈� B, segue que x ∈� A ∪ B , logo f(x) ∈� f(A ∪ B), como y=f(x), y ∈� f(A 
∪ B), o que implica em f(A) ∪ f(B) ⊂ f(A ∪ B).
Por I) e II) a proposição f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) é verdadeira.
Existem casos particulares de funções, acesse os links a seguir e 
aprofunde seus conhecimentos sobre os tipos de funções:
Função identidade: <http://www.infoescola.com/matematica/funcao-
identidade/>.
Função constante: <http://www.mundoeducacao.com/matematica/
funcao-constante.htm>. 
Função maior inteiro: <http://sbemparana.com.br/arquivos/anais/
epremxii/ARQUIVOS/COMUNICACOES/CCTitulo/CC019.PDF>. Acesso 
em: 10 ago. 2015.
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
72
Definiremos, a seguir, alguns conceitos pertinentes às funções. Iniciamos pelo 
conceito de igualdade. Duas funções são iguais se possuírem o mesmo gráfico, ou seja, 
as mesmas características e o mesmo contradomínio. Conceituamos anteriormente o 
contradomínio, quanto ao gráfico (Gr) de uma função temos o seguinte:
Gr(f) = {(x,f(x)) ∈ AXB / x ∈ A}
Outro conceito é o de imagem inversa de conjuntos. Segue que a imagem 
inversa de B sob f, denotada por f -1(B) trata-se do conjunto de todas as pré-imagens 
dos elementos de B, ou seja:
f -1(B) = {x ∈ A/ f(x) ∈ B}
Vejamos a demonstração de uma proposiçãosobre o assunto:
Considere f: X → Y uma função e U ⊆ X e V ⊆ X. Prove que: se U ⊂ V então
f -1(U) ⊂ f -1(V).
DEMONSTRAÇÃO: Seja x ∈ f -1(U), sendo assim, existe y = f(x) tal que y ∈ f(U) 
e x ∈ U, segue que U ⊂ V, logo x ∈ V e y ∈ f(V), como y = f(x) então x ∈ f -1(V), o 
que implica em f -1(U) ⊂ f -1(V).
As definições de funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras são de suma importância 
para lidarmos com as proposições posteriores. Uma função f: A→B denomina-se 
injetiva ou injetora se dois elementos distintos de A após a aplicação de f resultam em 
dois elementos distintos em B. Em termos notacionais definimos como, seja f : A→B 
tal que para todo x
1
, x
2
 ∈ A, e f(x
1
), f(x
2
) ∈ B, se f(x
1
) = f(x
2
) então x
1
=x
2
Utilizando as equivalências lógicas, podemos escrever utilizando a forma 
contrapositiva uma proposição equivalente, vejamos:
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
73
se x
1
 ≠ x
2
 então f(x
1
) ≠ f(x
2
)
Vejamos uma demonstração de uma proposição que envolve esse conceito.
Seja f: X → Y uma função, mostre que f é injetiva se, e somente se, quaisquer que 
sejam A, B ⊂ X, f(A∩B) = f(A) ∩f(B).
DEMONSTRAÇÃO: 
Temos que mostrar que as sentenças a seguir são verdadeiras
I) Se f é injetiva, então f(A∩B) = f(A) ∩f(B).
Se f é injetiva segue que f(x
1
) = f(x
2
) implica x
1
 = x
2
. Seja y ∈ f(A ∩B), deste 
modo, existe x = x
1
 = x
2 
tal que f(x) = y e x ∈ A ∩B, sendo assim x ∈ A e x ∈ B, 
logo f(x) ∈ f(A) e f(x) ∈ f(B), deste modo, f(x) ∈ f(A) ∩ f(B), segue que f(x) = y logo 
y ∈ f(A) ∩ f(B) o que implica f(A ∩ B) ⊂
 
f(A) ∩ f(B). Por outro lado, se y ∈ f(A) ∩ 
f(B), temos que y ∈ f(A) e y ∈ f(B), deste modo, existe x
1
 = x
2 
tal que x
1
 ∈ A e x
2 
∈ 
B, no qual f (x
1
) = y e f(x
2
) = y, pois a f é injetiva. Considerando x = x
1 
= x
2
 temos 
que x ∈ A ∩ B, ou seja, f(x) ∈ f(A ∩ B), logo f(x) = y ∈ f(A ∩B), sendo assim, f(A) ∩ 
f(B) ⊂ f(A∩B), temos que f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
II) Se f(A∩B) = f(A) ∩ f(B) então f é injetiva.
Consideremos a contrapositiva da sentença, isto é, se a f não é injetiva, então 
f(A∩B) ≠ f(A) ∩ f(B). Temos em I) que f(A∩B) ⊂
 
f(A) ∩ f(B) sem necessariamente 
ser injetiva. Mostraremos que se a f não é injetiva então f(A) ∩ f(B) ⊄f(A ∩B). Seja y 
∈ f(A) ∩ f(B), assim y ∈ f(A) e y ∈ f(B), sendo assim existe x
1
 ∈ A e x
2 
∈ B em que 
x
1
 ≠ x
2 
e f(x
1
) = y e f(x
1
) ∈ f(A), f(x
2
) = y e f(x
2
) ∈ f(B), deste modo, f(x
1
) = f(x
2
) = y, 
mas x
1
≠ x
2, 
pois a f não é injetiva. Logo, f(A) ∩f(B) ⊄f(A∩B) sendo assim, f(A∩B) ≠ 
f(A) ∩ f(B). Por I) e II) a proposição é verdadeira.
Definiremos o conceito de função sobrejetora. Uma função f : A→B é 
denominada de sobrejetiva, ou ainda, sobrejetora se para qualquer elemento y ∈ 
B, existe um elemento x ∈ A, de modo que f(x) = y. 
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
74
O que seria uma função bijetora e qual a relação desse tipo de 
função com a correspondência entre os conjuntos numéricos?
Quando uma função é sobrejetora, o contradomínio é igual ao conjunto imagem. 
No caso de uma função ser injetora e sobrejetora, denominamos de bijetiva, ou 
ainda bijetora, ou seja, temos uma função bijetora se há uma correspondência 
entre os dois conjuntos A e B, de modo que cada elemento de A possui uma 
correspondência a um dos elementos de B, que denominamos de correspondência 
biunívoca. Vejamos um diagrama para ilustrar uma correspondência biunívoca.
Figura 2.2 | Correspondência biunívoca
Fonte: O autor (2015).
Aprofunde seus conhecimentos sobre as aplicações de conceitos de 
funções injetora, sobrejetoras e bijetoras. Acesse os links a seguir e 
bons estudos.
Funções: <http://www.mat.ufmg.br/~anacris/Funcoes.pdf>. 
Função composta: <http://www.calculo.iq.unesp.br/sitenovo/
Calculo1/funcao-composta.html>. 
Função inversa: <http://www.calculo.iq.unesp.br/sitenovo/Calculo1/
funcoes-inversas.html>. Acesso em: 10 ago. 2015.
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
75
1.2.2 Conjunto finito e conjunto infinito
Baseados em Boyer (1974) e Eves (1995), descreveremos as contribuições 
principalmente de Georg Cantor para o conceito de conjunto infinito. A teoria 
dos conjuntos, desenvolvida por Cantor, é composta por demonstrações novas 
de fatos conhecidos e o surgimento de diversos fatos novos. Deste modo houve 
subsídios para se reformular diversos problemas da matemática, originando os 
fundamentos da matemática que sustentam o desenvolvimento da álgebra, da 
análise e da geometria.
O surgimento de paradoxos que levaram a resultados inaceitáveis em pleno 
século XIX, além da rejeição de axiomas clássicos, fizeram com que a teoria não 
fosse bem aceita pelos matemáticos da época. Porém, com o passar do tempo, 
essa teoria foi fundamental para o progresso da análise.
Cantor, por volta de 1870, ao estudar a continuidade dos números reais, 
demonstra que há conjuntos não enumeráveis. Além de distinguir números 
algébricos e transcendentais, ou não algébricos, isto é, um número irracional 
que não é uma raiz de qualquer equação polinomial com coeficientes inteiros. 
Além disso, Cantor determina um modo de comparar os tamanhos de conjuntos 
infinitos, demostrando que o conjunto de todos os números é maior do que o 
conjunto dos números algébricos. 
Nesse sentido, Cantor adota conjuntos de modo que as totalidades desses conjuntos 
possuem propriedades que não são atendidas pelos objetos dessas totalidades. 
Em 1872, Cantor definiu números irracionais em termos de sequências 
convergentes de números racionais. Além disso, define conjuntos equipotentes, 
ou seja, aqueles que possuem uma correspondência biunívoca, e demonstra a 
diferença entre cardinais e ordinais, que não é tão simples em conjuntos infinitos 
quanto nos finitos. Já em 1873, foi provado que os números racionais estão em 
correspondência biunívoca com os números naturais. Em 1874 demonstrou-se 
que a classe de todos os números algébricos é enumerável e em 1878 apresentou 
um modo para construir classe não enumerável de números reais.
Devido aos estudos de Cantor, pode-se provar que existem conjuntos que não 
são equipotentes, como um conjunto infinito ser indicado em correspondência 
com uma de suas partes próprias. Os estudos sobre os tipos de infinitude, nos quais 
destacamos os números transfinitos, deram origem à definição de continuidade 
aplicada no cálculo diferencial e integral. 
Vimos nas subseções anteriores os conceitos mais gerais de conjuntos e 
funções, recorreremos a esses conceitos para tratar de outros resultados para 
lidarmos com conjuntos finitos e infinitos. 
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
76
Por meio dos axiomas de Peano, tratados na unidade anterior, abordamos as 
sequências de números naturais como números ordinais, ou seja, são objetos que 
ocupam determinados lugares em uma sequência ordenada. Outro conceito é o 
de números cardinais, que seria o resultado de uma operação de contagem, isto 
é, seria a resposta à pergunta: quantos elementos possui um conjunto? Podemos 
definir cardinalidade como:
Seja n ∈ N, adotaremos com a notação In, o conjunto dos números naturais de 1 
até n. Deste modo, I1 = {1}, I2 = {1,2}, I3 = {1,2,3} e, generalizando, um número k 
pertence a In se, e somente se, 1 ≤ k ≤ n.
Considere A um conjunto, temos que A é finito, ou seja, A tem n elementos 
quando for possível estabelecer uma correspondência biunívoca f: In → A. O 
número natural n chama-se então número cardinal do conjunto A ou, somente, o 
número de elementos de A. A correspondência f: In → A denomina-se contagem 
dos elementos de A. Sendo f(1) = x
1
, f(2) = x
2
, ... , f(n) = x
n
, podemos indicar A = {x
1
, 
x
2
, ... , x
n
}. Para todo n, o conjunto é finitoe seu número cardinal é n. Assim, todo 
número natural n é o número cardinal de algum conjunto finito. Admitimos que o 
conjunto vazio ∅ trata-se de um conjunto finito, no qual ∅ tem zero elemento. Sendo 
assim, por definição, zero é o número cardinal do conjunto vazio. Denotamos o 
cardinal de um conjunto A por #|A|. Dessa forma, temos:
# |∅ |= 0
# | {0}| = 1
# | {0, 1} | = 2
# |{0, 1, 2} | = 3
...
# | {0, 1, 2, ... , n–1} | = n
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
77
Considere A e B conjuntos quaisquer. Se existe uma bijeção f : A → B, temos que 
o conjunto A é equipotente ao conjunto B e denotamos por A ≈ B. Deste modo, 
tem-se que A e B possuem a mesma cardinalidade, ou seja, ambos têm o mesmo 
número de elementos, ou ainda, têm a mesma potência. Segue que a relação de 
equipotência é uma relação de equivalência, pois satisfaz as propriedades reflexiva, 
simétrica e transitiva.
Outro resultado é que dados dois conjuntos A e B, temos que #|A| ≤ #|B| se 
existe f: A → B injetiva, ou ainda, se A é equipotente a um subconjunto de B. Por 
meio da teoria dos conjuntos, pode-se deduzir de todo conjunto outro conjunto 
de cardinalidade superior. Vejamos um exemplo:
Considere um conjunto A, tal que A = {0, 1, 2}. Indicamos por P(A) o conjunto 
das partes de A, ou seja, o conjunto formado pelos subconjuntos de A, sendo assim:
P(A) = {∅, {0}, {1}, {2}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1,2, 3}} 
Segue que #| P(A)| = 8 > 3 = #|A|. Generalizando o processo de construção do 
conjunto das partes de um conjunto, temos que os subconjuntos de um conjunto 
de n elementos possui o número total de possibilidades de formação de 2n. Deste 
modo, se #|A| =n então #|P(A)| = 2n.
A partir dos conceitos apresentados temos que:
Um conjunto é finito se sua cardinalidade é determinada, ou seja, possui n 
elementos. Caso contrário, temos um conjunto infinito.
Vejamos a seguir uma proposição que relaciona as funções bijetoras com os 
conjuntos. Considere o seguinte teorema: 
Um conjunto é infinito, se e somente se, está em correspondência biunívoca 
com um subconjunto próprio.
A partir desse resultado mostraremos que:
O conjunto dos números naturais é infinito por meio de uma correspondência 
biunívoca.
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
78
DEMONSTRAÇÃO: Seja a função definida por f: N→2N tal que f(n) = 2n, temos 
que mostrar que f é injetora. Para mostrar que f é injetora, consideremos que se 
n
1
≠n
2
 então f(n
1
) ≠f(n
2
). Suponha que f(n
1
) = f(n
2
) que implica em n
1 
= n
2
, sendo 
assim, f(n
1
)=2n
1
 e f(n
2
)=2n
2
, considere n
1
≠n
2 
e f(n
1
)=f(n
2
), deste modo,
 
2n
1
=2n
2
 o 
que é um absurdo, logo a f é injetora. Temos que 2N é um subconjunto próprio 
de N e existe uma correspondência biunívoca com N, segue que N é infinito.
Veremos a seguir exemplos de correspondências biunívocas.
EXEMPLO 1:
Ilustraremos a correspondência biunívoca dos naturais aos números pares, cuja 
função é definida por f: N→2N tal que f(n) = 2n. Com esse exemplo, podemos 
averiguar que o conjunto dos números naturais é infinito.
Quadro 2.5 | Correspondência biunívoca dos pares
Fonte: O autor (2014).
Naturais Pares
0 0
1 2
2 4
3 6
⋮ ⋮
n 2n
⋮ ⋮
EXEMPLO 2
A seguir ilustramos uma relação dos naturais aos inteiros, cuja função f: N→Z 
é definida por:
Por meio dessa função verificamos a correspondência biunívoca e também que 
o conjunto dos números inteiros é enumerável, que definiremos posteriormente.
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
79
Quadro 2.6 | Correspondência biunívoca dos naturais aos inteiros
Fonte: O autor (2014).
Naturais Inteiros
0 0
1 -1
2 1
3 -2
4 2
5 -3
6 3
⋮ ⋮
N f(n)
⋮ ⋮
1.2.3 Conjunto enumerável e conjunto não enumerável
Cantor atribuiu aos números naturais o conceito de enumerável, ou seja, são os 
números que podemos contar, porém esse conceito pode ser estendido a outros 
conjuntos. Podemos definir conjunto enumerável como:
Todo conjunto que possui uma relação de equivalência com o conjunto dos 
números naturais.
A relação de equivalência é satisfeita se houver uma correspondência biunívoca, 
ou ainda, uma função bijetora entre o conjunto dos naturais e outro conjunto. 
Como verificamos no exemplo 2, indicado anteriormente, há uma função bijetora 
que satisfaz a relação de equivalência entre os naturais e os inteiros, logo o conjunto 
dos inteiros é enumerável.
Como verificar que o conjunto dos números racionais é 
enumerável?
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
80
Comparando o conjunto dos inteiros com os das frações racionais, temos 
a impressão de que o conjunto dos inteiros é menor do que os racionais, isso 
decorre do fato de que entre duas frações há uma infinidade de outras frações, 
além das frações equivalentes, porém, apesar disso, podemos verificar que ambos 
os conjuntos são enumeráveis. 
Para verificarmos, vamos organizar as frações em grupos, cada grupo contendo 
aquelas que são irredutíveis e a soma do numerador com o denominador seja 
constante, vejamos alguns exemplos aplicados aos racionais positivos:
EXEMPLO 1:
O grupo das frações cujo numerador e denominador somados resulta em 6.
EXEMPLO 2:
O grupo das frações cujo numerador e denominador somados resulta em 9.
Note que cada grupo de frações possui um número finito de elementos. Para 
enumerar, por exemplo, os racionais positivos, basta escrever todos os grupos, 
um após o outro, na ordem crescente das somas correspondentes. Deste modo, 
todos os números racionais serão indicados, ou seja, teremos a sequência a seguir 
para os racionais positivos:
A seguir, ilustramos a sequência dos racionais positivos distribuindo as frações 
racionais em linhas e colunas de modo que em cada linha fixamos o numerador e 
aumentamos de um em um os denominadores seguintes. Deste modo, na primeira 
linha temos todas as frações de numerador igual a 1, na segunda linha, todas as 
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
81
frações de numerador igual a 2, na terceira igual a 3 e assim sucessivamente. 
Podemos observar que são representados todos os números racionais e que 
poderemos enumerar os racionais positivos seguindo as flechas. De modo análogo, 
podemos realizar os grupos com os racionais negativos.
Figura 2.3 | Enumeração dos racionais
Fonte: Adaptado de Gerônimo e Franco (2006).
Sendo assim, a correspondência biunívoca dos naturais aos racionais pode ser 
indicada por:
Quadro 2.7 | Correspondência biunívoca dos naturais aos racionais 
positivos
Fonte: O autor (2014).
Naturais Racionais
0 0
1 1/1
2 1/2
3 2/1
4 3/1
5 2/2
6 1/3
⋮ ⋮
É possível enumerar o conjunto dos números irracionais?
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
82
Ao estudarmos os números irracionais, lidamos com números transcendentais 
como π e números algébricos como 2 , 3 , 13, entre outros. Mostramos 
anteriormente que números como 2 , não podem ser escritos na forma de fração 
irredutível, de modo análogo podemos demonstrar para as demais raízes irracionais. 
Além disso, os irracionais podem ser expressos por dízimas não periódicas. Apenas 
com esses temos a impressão de que existe um número reduzido de termos 
pertencentes ao conjunto dos irracionais, mais isso de fato não ocorre, trata-se 
de um conjunto infinito e não enumerável. Em consequência disso, temos que 
o conjunto dos números reais é não enumerável, uma vez que é a união dos 
racionais, que é enumerável, e dos irracionais, que é não enumerável. 
A seguir, veremos a demonstração de proposições relacionadas com a 
enumerabilidade.
TEOREMA
Se X é enumerável e Y ⊂ X, então Y é enumerável.
DEMONSTRAÇÃO: Temos que se X é enumerável e finito implica em Y ⊂ X ser 
finito. Como o conjunto X é enumerável, segue queY é enumerável. Por outro 
lado, se X é enumerável e infinito, existe uma bijeção f : N → X , de modo que X = 
{ f (1), f (2), f (3), f (4), ...}, o que implica do fato de que Y ⊂ X em Y ser enumerável.
A partir desse resultado temos alguns corolários.
COROLÁRIO 1
Considere f : X → Y uma função injetiva. Se Y é enumerável, implica em X ser 
enumerável.
DEMONSTRAÇÃO: Como f : X → Y é uma função injetora, temos que f : X → 
f (X), o qual f (X) é o conjunto imagem de X em relação a f, é uma bijeção. Temos 
que f (X ) ⊆ Y e Y é enumerável, segue que f (X) é enumerável e, portanto, X é 
enumerável devido à bijeção com f(X).
COROLÁRIO 2 
Considere f : X → Y uma função sobrejetiva. Se X é enumerável, implica em Y ser 
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
83
enumerável.
DEMONSTRAÇÃO: Como f : X → Y é uma função sobrejetiva, então para 
cada y ∈ Y existe pelo menos um x ∈ X, tal que f (x) = y, deste modo, para cada 
y escolhemos um único elemento x do domínio que satisfaz a relação f (x) = y. 
Dessa forma, definimos uma função g : Y → X dada por g(y) = x, tal que f (g(y)) = 
f (x) = y para todo y ∈ Y, deste modo g é uma função injetiva. Como por hipótese 
X é enumerável, temos que Y será um conjunto enumerável. 
COROLÁRIO 3
Considere X
1
, X
2
, X
3
, ..., X
n
, ... conjuntos enumeráveis, então a união
X = X
1
 ∪ X
2
 ∪ X
3
 ∪ ... ∪ X
n
 ∪ ... será enumerável.
DEMONSTRAÇÃO: Seja a união X = X1 ∪ X2 ∪ X3 ∪ ... ∪ Xn ∪ ... de conjuntos 
enumeráveis disjuntas dois a dois, pois, caso contrário, poderíamos considerar os 
conjuntos X
1
, X
2
 − X
1
, X
3
 − (X
2
 ∪ X
1
),..., em que a união resulta em X. Como os X
n
 
são conjuntos enumeráveis, temos que:
X
1
 = {x
1
1, x
1
2, x
1
3, x
1
4, x
1
5, x
1
6, ..} 
X
2
 = {x
2
1, x
2
2, x
2
3, x
2
4, x
2
5, x
2
6, ..} 
X
3
 = {x
3
1, x
3
2, x
3
3, x
3
4, x
3
5, x
3
6, ..}
...
X
n
 = {x
n
1, x
n
2, x
n
3, x
n
4, x
n
5, x
n
6, ..}
...
Enumeramos todos os elementos da união X = X
1
 ∪ X
2
 ∪ X
3
 ∪ ... ∪ X
n
 ∪ ... de 
modo que:
I) Os elementos da união de enumeráveis X = X
1
 ∪ X
2
 ∪ X
3
 ∪ ... ∪ X
n
 ∪ ... são 
alinhados de forma que a linha Li, fica com aqueles elementos que pertencem ao 
conjunto enumerável X
i
 com i = 1, 2, 3, ...;
II) A partir dessa organização, enumeramos os conjuntos, como, por exemplo, 
indicado no diagrama de setas a seguir: 
Conjuntos Finitos e Infinitos
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84
Figura 2.4 | Enumeração do conjunto X
Fonte: Adaptado de Souza (2013).
Com essa organização, os elemento de X estarão em correspondência com 
um número natural, estabelecendo-se uma bijeção f : N → X, o que implica em X 
ser enumerável.
1. Julgue as sentenças a seguir em verdadeiro (V) ou falso (F).
( ) Todo conjunto equipotente a um conjunto enumerável é 
enumerável.
( ) Todo superconjunto de um conjunto enumeráveis é 
enumerável.
( ) A união de dois conjuntos finitos é um conjunto finito.
( ) A união de dois conjuntos enumerável pode ser não 
enumerável.
( ) A interseção de conjuntos disjuntos é o conjunto vazio. 
( ) Se um conjunto possui uma correspondência biunívoca 
com os naturais então o conjunto é enumerável.
2. Justifique por que uma relação de equivalência é também 
uma correspondência biunívoca dos naturais a um outro 
conjunto.
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
85
Seção 2
Números Reais
Introdução à seção
Segundo Ávila (2001), diversos matemáticos no século XIX trataram da 
construção dos números reais, dentre eles Richard Dedekind, Karl Weierstrass, 
Charles Meray e Georg Cantor, mas as teorias consistentes foram de Cantor 
e Dedekind, nas quais nos apoiaremos para abordar sobre a axiomatização do 
conjunto dos números reais.
Temos que o conjunto dos números reais satisfaz a estrutura algébrica de 
corpo, ou seja, é um anel comutativo com unidade que satisfaz a definição de 
domínio de integridade e possui elemento inverso multiplicativo, por essa razão 
atende aos seguintes axiomas:
Sejam os corpos dos reais com as operações da adição e multiplicação, tal que 
(R, +, .), e os elementos x, y e z em R, temos:
Para a adição:
I) Fechamento: para x, y em R, temos x + y em R
II) Elemento neutro: x + 0 = 0 +x = x
III) Elemento oposto: x + (-x) = (-x) + x = 0
IV) Associatividade: x + ( y + z) = (x + y) + z
V) Comutatividade: x + y = y + x
VI) Cancelamento: se x ≠ 0, x + y = x + z implica y = z 
Para a multiplicação:
I) Fechamento: para x, y em R, temos x . y em R
II) Unidade: x . 1 = 1 . x = x 
III) Elemento inverso: x . x -1 = 1
IV) Associatividade: x. (y . z) = (x . y). z
Conjuntos Finitos e Infinitos
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86
V) Comutatividade: x . y = y . x
Para ambas as operações:
I) A distributiva da multiplicação em relação à adição: x. (y ± z) =(y ± z). x = x . y ± x . z
Além disso, possui as seguintes propriedades:
Quadro 2.8 | Propriedades do corpo dos reais
Fonte: O autor (2015).
Para todo a, b, x, y, z e w em R, temos que:
1) -0 = 0
2) Se x
 
≠ 0 então x-1 ≠ 0
3) - ( x + y ) = ( - x ) +( - y ) = - x – y
4) - ( x – y) = y – x
5) (x – y) +(y – z) = x – z
6) (x + y) - ( y – z) = x + z
7) (x – y).( z – w) = (xz + yw) – (xw + yz)
8) x - y = z - w se e somente se, x + w = z + y
9) Seja e o elemento neutro da adição assim e-1 = e
10)
x
y
Seja x ≠ 0, x.y = x.z se, e somente se, y = z
11) Seja y ≠ 0 e z ≠ 0, assim 
x
y
 ± w
z
 = 
12) Seja y ≠ 0 e z ≠ 0, assim 
x
y
 . 
w
z
 = 
13) Seja y ≠ 0 e z ≠ 0, assim 
x
y
 = w
z 
implica em x.z = y.w
14)
A equação ax + b = 0 em que x é uma incógnita e a, b constantes, 
possui única solução se a≠0; não possui solução se a = 0 e b ≠ 0; e 
possui infinitas soluções se a = 0 e b = 0.
Como são definidas as operações de subtração e de divisão no 
conjunto dos números reais?
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
87
Estude o artigo intitulado A caracterização dos números reais por 
Georg Cantor, em tradução de Denise Silva Vilela do artigo publicado 
originalmente por Cantor, no qual se discutirá do conceito de 
continuidade dos números reais. Acesse o link a seguir e bons estudos.
<http://www.sbhc.org.br/arquivo/download?ID_ARQUIVO=264>. 
Acesso em: 10 ago. 2015.
2.1 Corpo ordenado
Para que um conjunto não vazio seja ordenado, é necessário satisfazer a 
relação de ordem. Temos que uma relação de ordem de um conjunto A que é um 
subconjunto R, e considerando AXA, no qual os elementos satisfazem as seguintes 
propriedades reflexiva, antissimétrica e transitiva, ou seja: 
a) Reflexiva: para todo x ∈ A temos que (x,x) ∈ R.
b) Antissimétrica: se (x,y) ∈ R e (y,x) ∈ R, então x = y.
c) Transitiva: se (x,y) ∈ R e (y,z) ∈ R, então (x,z) ∈ R.
Definimos um corpo (K, +, ·) ordenado se nele está contido um subconjunto 
próprio P ⊂ K, que satisfaz as seguintes condições:
I) Considere x, y ∈ P, temos que x + y ∈ P e x · y ∈ P, ou seja, P é fechado em 
relação às operações de adição e multiplicação.
II) Considere x ∈ K, temos que exatamente uma das três possibilidades ocorre: ou 
x = 0 ou x ∈ P ou −x ∈ P, sendo que 0 é o elemento neutro da adição.
Uma consequência da definição é que se (K, +, ·) é um corpo ordenado, 
podemos formar o conjunto −P = {−x; x ∈ P} e assim obtemos K =P ∪ {0}∪ −P, em 
que os conjuntos P, {0} e −P são dois a dois disjuntos.
Outro fato é que, sejam a e b elementos de um corpo ordenado (K, +, ·) e P ⊂ 
K é um subconjunto que satisfaz as propriedades I) e II) temos que:
Conjuntos Finitos e Infinitos
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88
Quadro 2.9 | Elementos de um corpo ordenadoFonte: O autor
1) a é menor do que b, indicado por a < b quando, b − a ∈ P
2) a é maior do que b, indicado por a > b, quando a − b ∈ P
2.1.1 Relação de ordem nos reais
Segue que a relação a < b e a > b são as relações de ordem em (K, +, ·). Em 
consequência, são satisfeitas as seguintes propriedades para a relação de ordem a 
< b em (R, +, ·):
Quadro 2.10 | Propriedades relacionadas à ordem em R
Para todo a, b, c, d e x ∈ R, temos que:
1) a < b e b < c implica a < c
2) Para a, b em R temos a = b ou a < b ou b < a
3) a < b implica a + c < b + c
4) 0 < c e a < b implica a · c < b · c
5) a < b se, e somente se, b - a for positivo
6) a > b se, e somente se, a – b for positivo
7) a ≤ b se, e somente se, a b ou a b< =
8) a ≥ b se, e somente se, a b ou a b> =
9) a > 0 implica em a ser positivo
10) a < 0 implica em a ser negativo
11) a< x < b implica em x é maior que a e menor que b
12) a ≤ x ≤ b implica em x é maior ou igual que a e menor ou igual que b
13) a ≤ x < b implica em x é maior ou igual que a e menor que b
14) a< x ≤ b implica em x é maior que a e menor ou igual que b
15) Se a > 0 e b > 0 então a + b> 0
16) Se a > 0 e b > 0 então a.b> 0
17) Se a < b e b < c então a < c 
18) Se a < b então a + c < b + c
19) Se a < b e c> 0 então a.c < b.c
20) Se a < b e c < 0 então a.c > b.c 
21) a < b e c < d então a + c < b + d
Fonte: O autor (2015).
2.1.2 Intervalos
Além dos conceitos de maior e menor, podemos analisar intervalos, de modo 
que entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:
Conjuntos Finitos e Infinitos
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89
I) Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais: 
1,09 ; 1,009 ; 1,0009 ; 1,1 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,89 ; 1,988 ; 1,9987 ...
II) Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais: 
5,001 ; 5,002 ; 5,003 ; 5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,099 ; 5,999 ; 5,9999 ...
Considere dois números reais indicados por a e b, denomina-se intervalo: o conjunto 
dos números reais compreendidos entre a e b, podendo inclusive incluir a e b.
Neste caso, o intervalo de números reais pode ser entendido como o conjunto 
de números reais entre dois extremos, que indicamos como a e b, podendo a e b 
pertencer ou não ao conjunto. Os números a e b são os limites do intervalo, sendo a 
diferença p - q, denominada de amplitude do intervalo. No caso do intervalo incluir a e 
b, o intervalo é denominado de fechado e, caso contrário, o intervalo é denominado 
aberto. No quadro a seguir indicamos intervalos em termos notacionais:
Quadro 2.11 | Intervalos
INTERVALO NOTAÇÃO OBSERVAÇÃO
Fechado [a, b] = {x ∈ R/ a ≤ x ≤ a} inclui os limites a e b.
Aberto (a, b) =]a, b[= { x ∈ R/ a < x < b} exclui os limites a e b.
Fechado à esquerda [a, b) = [a, b[= { x ∈ R/ a ≤ x < b} inclui a e exclui b.
Fechado à direita (a, b] = ]a, b]={x ∈ R/ a < x ≤ b} exclui a e inclui b.
Semi-fechado à esquerda [a, ∞ ) = [a, ∞ [= {x ∈ R/ x ≥ a} números maiores ou iguais a a.
Semi-fechado à direita (- ∞ , a] =]- ∞ , a ]= { x ∈ R/ x ≤ a} números menores ou iguais a a.
Semi-aberto à direita (a, ∞ ) = ]a, ∞ [= { x ∈ R/ x > a } números maiores do que a.
Semi-aberto à esquerda (-∞ , a) = ]- ∞ , a [= { x ∈ R/ x < a} números menores do que a.
Reta real (-∞ , ∞ )= ]-∞ , ∞[ = R números reais.
Fonte: O autor (2015).
A seguir, apresentamos exemplos para a aplicação de intervalos.
EXEMPLO 1
Qual o conjunto solução em R da desigualdade 2 3 5 8+ < +x x ?
SOLUÇÂO
2 3 5 8 2 8 5 3 2 6 3+ < + ⇒ − < − ⇒ > − ⇒ > −x x x x x x
S= x x/ ,> −{ } = − +∞] [3 3
Conjuntos Finitos e Infinitos
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90
EXEMPLO 2
Qual o conjunto solução em R da desigualdade 4 3 2 10< − ≤x ?
SOLUÇÂO
4 3 2 10 4 2 3 10 2 6 3 12 2 4< − ≤ ⇒ + < ≤ + ⇒ < ≤ ⇒ < ≤x x x x
S x x= < ≤{ } = ] ]/ ,2 4 2 4
Acesse os links a seguir e estude mais sobre relação de ordem e 
intervalos.
Representação geométrica de intervalos:
<http://www.infoescola.com/matematica/intervalo/>.
Operações com conjuntos e intervalos:
<http://conteudoonline.objetivo.br/Conteudo/Index/1737?token=5%
2F2Yd2%2Bzzv%2F29umTApxi0Q%3D%3D>. Acesso em: 10 ago. 2015.
2.1.3 Módulo ou valor absoluto
Intuitivamente podemos entender o módulo como a distância de um número 
real ao número zero, essa é uma abordagem tratada na Educação Básica quando 
justificamos que precisamos medir a distância de um número negativo ao zero e 
estendemos esse conceito para os números reais.
Nesta abordagem, ao verificarmos a distância de um número negativo qualquer 
ao zero teríamos uma medida negativa que não é adequada, para esse caso temos 
a atribuição do módulo de número real a que se atribui um valor positivo.
Deste modo, temos as seguintes situações:
I) O módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número, se for zero 
ou positivo.
II) O módulo ou valor absoluto de um número real será o seu simétrico, no caso 
de ser um número negativo. 
Adotamos a notação com duas barras verticais para representar o módulo 
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
91
ou valor absoluto de um número real, ou seja, |x| (lê-se: o módulo de x). Assim, 
podemos defini-lo como:
x x x= ≥ = − < se x 0 e x se x 0
Por exemplo, temos que o |5|= 5 e o |-2| = 2. Uma das aplicações do conceito 
de módulo é para a raiz quadrada de um número, neste caso temos que:
x x2 =
Podemos destacar os exemplos:
I) 5 5 52 = = 
II) (-3)
2 = − =3 3
A seguir apresentamos propriedades relativas ao módulo ou valor absoluto.
Quadro 2.12 | Propriedades relacionadas ao módulo ou valor absoluto
Para todo a, b, ∈ R e b ≠ 0 temos que:
1) x a a x a< ⇔ − < < > onde a 0
2) x a a x a≤ ⇔ − ≤ ≤ > onde a 0
3) x a x a> ⇔ < − > > ou x a onde a 0
4) x a x a≥ ⇔ ≤ − ≥ > ou x a onde a 0
5) |a.b| = |a|.|b|
6)
a
b
a
b
=
7) a b a b+ ≤ +
8) a b a b− ≤ +
9) a b a b− ≤ −
Fonte: O autor (2015).
Veremos a seguir alguns exemplos de aplicações de módulos nas resoluções 
de equações e inequações:
EXEMPLO 1
Conjuntos Finitos e Infinitos
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3 2 5 3 2 5x x+ = ⇒ + = + = ⇒ = = ou 3x 2 -5 x 1 ou x - 7
3
EXEMPLO 2 
5 4 3x + = − 
Neste caso, a equação não possui solução, pois o valor absoluto de um número 
não resulta em número negativo.
EXEMPLO 3
 
3 2 5 3 2 5x x+ > ⇒ + < − + > ⇒ < > ou 3x 2 5 x -7
3
 ou x 1
S = −∞ −



+∞] [, ,7
3
1
2.1.4 A não enumerabilidade dos reais
Ávila (2001), baseado na demonstração de Cantor em 1874, mostra que o 
conjunto dos números reais não possui uma correspondência biunívoca com 
os naturais e consequentemente não é enumerável, sendo assim, é de tamanho 
estritamente superior. Por meio de um simples e elegante método denominado 
de diagonal, Cantor provou a impossibilidade da bijeção entre os dois conjuntos 
e denominou o conjunto dos reais de contínuo. Justificamos a impossibilidade da 
correspondência por meio da seguinte proposição:
R é equipotente ao intervalo ]0, 1[, ou seja, existe uma bijeção de R em ]0,1[.
Para mostrar que existe essa bijeção, basta definirmos a função f: R → ]0,1[ tal que:
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
93
Sendo que essa função possui uma bijeção entre R e ]0,1[, ou seja, é injetora e 
sobrejetora.
Por meio do método diagonal, podemos demonstrar que R não é enumerável. 
Adotaremos a redução ao absurdo como forma de demonstração.
DEMONSTRAÇÃO: Supomos que R seja enumerável. Como existe uma 
bijeção entre R e ]0,1[, temos que há uma relação de equivalência entre os dois 
conjuntos, ou seja, R ≈ ]0,1[, sendo assim o intervalo ]0,1[ é também enumerável. 
Deste modo, para cada k ∈ N associamos ak pertencente ao intervalo ]0,1[, 
consideremos a representação decimal infinita dada por:
a
k
 = 0,b
k1
b
k2
 ...b
kn
...
Sendo assim, temos as seguintes representações decimais:
Quadro 2.13 |Representações decimais
Fonte: O autor (2015).
k a
k
Representação decimal
1 a
1
0,b
11
b
12
 ...b
1n
...
2 a
2
0,b
21
b
22
 ...b
2n
...
3 a
3
0,b
31
b
32
 ...b
3n
...
⋮ ⋮ ⋮
n a
k
0,b
k1
b
k2
 ...b
kn
...
⋮ ⋮ ⋮
A partir disso, definiremos o número x = 0,x
1
x
2
 ...x
 j
... pertencente ao intervalo 
]0,1[, definido tal que:
Da definição de x segue que xj ≠ bjj, para todo j = 0, 1, 2, ..., e assim x ≠ ak para 
todo k = 0, 1, 2, ... Portanto b ∈ [0, 1] não está associado com nenhum ak, qualquer 
que seja k, e assim o intervalo ]0,1[ é não enumerável e consequentemente R não 
pode ser enumerável.
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
94
Aprofunde seu conhecimento sobre esse tópico, estude o livro de 
Geraldo Ávila (2001) intitulado Análise matemática para licenciatura e 
veja mais sobre o conjunto dos números reais.
2.2 Corpo ordenado e completo 
Os números reais podem ser definidos axiomaticamente como formando um 
corpo ordenado completo, pois satisfazem a seguinte proposição conhecida 
como Princípio Arquimediano.
Considere os números x, y ∈ R, se x > 0 existe n ∈ N tal que n x > y.
Temos que, num corpo ordenado, o princípio Arquimediano é equivalente a 
qualquer uma das seguintes sentenças:
I) Qualquer que seja o número x existe um inteiro n ∈ N tal que x < n. 
II) A sucessão {
1
n
� } converge para 0, ou seja, qualquer que seja x > 0 existe p ∈ N 
tal que para todo n ≥ p, 0 < 1 n < x.
Há outras construções para corpos ordenados completos, temos a construção 
dos cortes de Dedekind em que, a uma partição (A, B) de Q em duas metades, 
sendo que todo o elemento de A seja um minorante de B, e, reciprocamente, todo 
o elemento de B seja um majorante de A. Um corte de Dedkind (A, B) representa 
o único número x que é simultaneamente um majorante de A e um minorante 
de B. Também temos a construção das sucessões de Cauchy, nesta construção 
de um corpo ordenado completo, os números reais são tidos como classes 
de equivalência de sucessões de Cauchy, todas convergindo para o número 
que representam. Quaisquer dois corpos ordenados completos são sempre 
univocamente isomorfos, por esse motivo, qualquer corpo ordenado completo 
será tido como o corpo dos números reais, e designado por R, sendo indiferente à 
natureza específica dos objetos.
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
95
O conjunto dos números racionais é um corpo ordenado 
completo?
Aprofunde seu conhecimento sobre a análise dos conjuntos numéricos, 
estude o livro intitulado Introdução à análise matemática na reta, das 
páginas 9 a 19. Acesse o link a seguir: <http://www.sbm.org.br/docs/
coloquios/NE-1.02.pdf>. Acesso em: 10 ago. 2015.
Observamos que as propriedades de corpo e as propriedades de corpo 
ordenado também são válidas nos conjuntos dos racionais. Veremos a seguir as 
propriedades válidas apenas para os reais que caracterizam esse conjunto como 
um corpo ordenado completo.
PROPRIEDADE 1
Considere um subconjunto A ⊂ R, temos que A é limitado se existe k>0 tal que:
x ∈ A implica em – k< x < k.
PROPRIEDADE 2
Temos que s ∈ R é supremo de A se s for a menor das cotas superiores de A, ou seja:
x ≤ s, para todo x ∈ A
x ≤ c, para todo x ∈ A implica em s ≤ c
PROPRIEDADE 3
Temos que i ∈ R é ínfimo de A se i for a maior das cotas inferiores de A, ou seja:
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
96
x ≥ i, para todo x ∈ A
x ≥ c, para todo x ∈ A implica em i ≥ c
 A partir dessas propriedades temos o que denominamos de axioma do 
supremo, enunciado como:
Todo conjunto limitado e não vazio de números reais possui um supremo e um 
ínfimo em R.
Esse axioma que é satisfeito em R garante que os reais são um corpo ordenado 
completo. Mostraremos um contraexemplo para demonstrar que o axioma do 
supremo não é satisfeito no conjunto dos racionais.
Considere o conjunto A = {x ∈ Q / 0 < x² < 2}, temos que o supremo de A é o 
2 , que não é um número racional. Logo, os racionais são um corpo ordenado 
apenas.
Ainda relacionado com os conceitos apresentados, temos o seguinte teorema:
Entre dois números reais distintos há sempre um número irracional e também há 
sempre um número racional.
Retome o conceito de limite aplicado ao cálculo diferencial e integral 
para compreender a próxima proposição. Consulte o material da 
disciplina de cálculo!
Além desse princípio arquimediano apresentado anteriormente, podemos 
denominar de ordenado completo qualquer corpo ordenado que satisfaça o que 
denominamos de Princípio do Encaixe. 
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
97
Considere uma sucessão de intervalos fechados encaixados [a
1
, b
1
] ⊇ [a
2
, b
2
] ⊇ 
· · · ⊇ [a
n
, b
n
] ⊇ [a
n+1
, b
n+1
] ⊇ · · · com lim
n→∞ bn − an = 0, existe um único elemento 
que é comum a todos os intervalos [a
n
, b
n
]. 
Aprofunde seu conhecimento sobre o estudo de análise real, veja os 
exemplos e demonstrações de proposições relacionadas com essa 
unidade de estudo no livro de Elon Lages Lima (2004), intitulado Um 
curso de análise, nas páginas 32 a 87. Além disso, acesse o link a seguir e 
veja outros resultados relacionados aos números reais.
Disponível em: <http://www.math.ist.utl.pt/~pmartins/CI/NotasCDI01.
pdf>. Acesso em: 10 ago. 2015.
1. Estudamos as propriedades dos números reais por meio das 
demonstrações matemáticas; mostre que x.0 = 0, para todo 
x ∈ R.
2. Considere as definições e propriedades dos números reais e 
resolva a inequação modular:
x x− + + <1 1 10 .
Nesta unidade você aprendeu sobre:
- Conceitos e propriedades sobre conjuntos.
- Operações com conjuntos.
- Conceitos e propriedades sobre funções.
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
98
- Conjuntos finitos e infinitos.
- Conjuntos enumeráveis e não enumeráveis.
- Corpo ordenado dos números reais.
- Relação de Ordem nos reais.
- Intervalos em R.
- Valor absoluto de um número real.
- Corpo ordenado e completo dos reais.
- A não enumerabilidade dos reais.
- Provas e demonstrações matemáticas.
Nesta unidade lidamos com conceitos relacionados a conjuntos 
finitos e infinitos. Tivemos como objetivo a partir do tema 
definido, tratar sobre conjuntos com as principais propriedades e 
definições, diferenciando conjuntos finitos e infinitos, conjuntos 
enumeráveis e não enumeráveis. Baseado na estrutura de 
corpo, definiu-se axiomaticamente o conjunto dos números 
reais como um corpo ordenado completo, tratando da relação 
de ordem nos reais e módulo de um número real. 
Espero que tenha compreendido esses conteúdos importantes 
para o desenvolvimento, sendo que muitos dos tópicos 
abordados serão tratados na Educação Básica. Tais conteúdos 
são necessários para estudarmos as unidades posteriores.
Aprofunde os conteúdos apresentados, complemente seus 
estudos com as leituras sugeridas, pense e busque respostas 
para as questões de reflexão. Também recomendo que realize as 
atividades de aprendizagem tanto da seção quanto da unidade. 
Anseio que obtenha bons estudos e compreenda os conceitos 
tratados nesta unidade e continue aprofundando seus 
conhecimentos nas próximas unidades deste livro.
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
99
1. (FUVEST - adaptado) Considere que P é uma propriedade 
relativa aos números naturais. Sabe-se que:
I- P é verdadeira para o natural n = 10.
II- Se P é verdadeira para n, então P é verdadeira para 2n.
III- Se P é verdadeira para n e n > 2, então P é verdadeira para n - 2.
Pode-se concluir que:
a) P é verdadeira para todo número natural n. 
b) P é verdadeira somente para números naturais n, n ≥ 10. 
c) P é verdadeira para todos os números naturais pares. 
d) P é somente verdadeira para potências de 2. 
e) P não é verdadeira para os números ímpares.
2. Considereas operações com conjuntos e A = { a, b }, 
classifique as sentenças em verdadeiro (V) ou falso (F): 
( ) { b } ∈ A.
( ) ∅ ∈ A.
( ) { a } ⊂ A.
( ) a ⊂ A.
3. Justifique, por meio das demonstrações matemáticas 
apresentadas na unidade, por que o conjunto dos números 
inteiros é um conjunto infinito.
4. Considerando as propriedades e operações com números 
reais, qual a solução da equação 2 1 4 3x x− = + ?
5. Justifique por que o intervalo ]0,1[ no conjunto dos números 
reais é infinito e não enumerável?
Conjuntos Finitos e Infinitos
U2
100
U2
101Conjuntos Finitos e Infinitos
Referências
ÁVILA, G. Análise para licenciatura. São Paulo: Edgard Blucher, 2001.
BOYER, C. B. História da matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard 
Blucher, 1974.
EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: UNICAMP, 1995. 
GERÔNIMO, J. R., FRANCO, V. S. Fundamentos de matemática: uma introdução à 
Lógica Matemática, Teoria dos Conjuntos, Relações e Funções. Maringá: Eduem, 2006. 
LIMA, E. L. Um curso de análise. IMPA, Projeto Euclides. Rio de Janeiro: IMPA, 2004.
SOUZA, J. S. Números reais: um corpo ordenado e completo. Dissertação de 
mestrado profissional. Goiana: UFG, 2013.
Unidade 3
Nesta seção, conceituaremos sequências numéricas, apresentando 
a definição e retomando os conceitos de progressões aritméticas e 
geométricas. Posteriormente, trataremos de sequências limitadas e 
monótonas, apresentando definições, exemplos e propriedades.
Seção 1 | Sequências Numéricas
Objetivos de aprendizagem: Nesta unidade, temos como objetivo 
definir, conceituar e demonstrar resultados relacionados à sequência e limite 
de uma sequência, convergência de sequência, sequências monótonas, 
limites e desigualdades, operações com limites e os testes de convergência 
para séries.
Ao final desta unidade, espero que compreenda os conceitos, definições 
e propriedades abordados.
Bons estudos.
Debora Cristiane Barbosa Kirnev
SEQUÊNCIAS E SÉRIES 
DE NÚMEROS REAIS
Nesta seção, conceituaremos séries numéricas por meio de exemplos, 
apresentando as definições e propriedades, posteriormente realizaremos 
testes de convergências para séries.
Seção 2 | Séries Numéricas
Sequências e Séries de Números Reais
U3
104
Sequências e Séries de Números Reais
U3
105
Introdução à unidade
Segundo Boyer (1967), na antiguidade Pitágoras (585 a.C.-500 a.C.) e outros 
teóricos contribuíram para o desenvolvimento da Aritmética, desde essa época os 
pitagóricos já lidavam com as progressões aritméticas, geométricas, harmônicas 
e outras sequências numéricas. Nesta unidade, trataremos sobre sequências e 
séries, destacando as principais características acerca desses conteúdos. 
Na primeira seção, o tema trabalhado será sequências. Definiremos sequências 
como uma função e veremos exemplos que explicitam essa definição para 
posteriormente analisarmos o conceito de limites e indicarmos se uma sequência 
é convergente ou divergente, também veremos propriedades relacionadas às 
sequências e classificaremos em monótonas crescentes, decrescentes e constantes. 
Na segunda seção, conceituaremos séries numéricas, primeiramente por meio 
de exemplos e posteriormente apresentando a definição, propriedades e testes de 
convergência para séries.
Aprofunde os conhecimentos adquiridos aproveitando ao máximo o conteúdo 
disponibilizado neste material.
Sequências e Séries de Números Reais
U3
106
Sequências e Séries de Números Reais
U3
107
Seção 1
Sequências Numéricas
Introdução à seção 
Constantemente nos deparamos com conjuntos em que os elementos estão 
ordenados. Na própria natureza temos padrões e regularidades nos quais podemos 
estabelecer sequências. Denominamos de sequência ou sucessão qualquer 
conjunto ordenado. 
Podemos ter sequências finitas e infinitas, sendo representadas da seguinte forma:
 (a
1
, a
2
, a
3
, ... , ... , a
n
, ...) em que temos a
1
 como primeiro termo, a
2
 como 
segundo termo, ... , a
n
 como n-ésimo termo. 
EXEMPLO: 
O conjunto dos múltiplos de cinco indicados por X=(0, 5, 10, 15, 20, ...) é um 
caso de sequência numérica infinita.
Existem sequências em que podemos estabelecer uma lei de formação, ou 
seja, há uma relação matemática entre os termos, sendo possível estabelecer o 
que denominamos de termo geral.
Após conceituarmos o que seria uma sequência, apresentamos a definição 
formal baseada em Ávila (2001) e em Lima (2004), vejamos:
Definição: uma sequência real (ou sucessão) é uma função f: N→R que associa 
a cada número natural n um número real f(n). O valor numérico f(n) é o termo de 
ordem n da sequência. Do modo como definimos a sequência, o domínio de f é 
um conjunto infinito, mas o contradomínio poderá ser finito ou infinito. O domínio 
de uma sequência é indicado por Dom(f)=N e a imagem de uma sequência por 
Im(f)={a
1
, a
2
, a
3
, ...}.
Sequências e Séries de Números Reais
U3
108
Para compreendermos o conceito e a definição de sequência, abordaremos os 
conteúdos de progressões aritméticas e progressões geométricas que envolvem 
os conceitos de sequências e de séries que veremos posteriormente. Faremos 
uma breve retomada desses conteúdos para tratarmos de conceitos mais abstratos 
relacionados ao tema desta unidade.
1.1 Conceito de Progressão Aritmética (PA)
Segundo Boyer (1974), desde a antiguidade temos indícios de resolução de 
problemas que envolvem progressões. Destacamos, por exemplo, egípcios que 
buscaram estabelecer padrões para as enchentes do rio Nilo, analisando os 
períodos em que ocorriam cheias do rio e se organizando para o plantio na baixa 
do rio. Quanto aos babilônicos, eram um povo no centro das rotas de navios 
e utilizaram a troca de experiências com os diferentes povos para resolverem 
problemas matemáticos. 
Um dos registros históricos de problemas da antiguidade é o papiro Rhind, 
datado de em torno de 1650 a.C. Neste papiro destacamos o exemplo sobre 
progressão: divida 100 pães entre cinco homens de modo que as partes recebidas 
estejam em Progressão Aritmética e que um sétimo da soma das três partes 
maiores seja igual à soma das duas menores.
Atualmente os conceitos de progressão aritmética (PA) são aplicados em 
problemas cotidianos abordados no ensino desse conteúdo.
1.1.1 Termo geral de uma PA
Para compreendermos o que seria um termo geral, vamos analisar o seguinte 
problema.
EXEMPLO: 
(Osec-SP - adaptado) Um jardim tem uma torneira e dez roseiras dispostas em linha 
reta. A torneira dista 50 m da primeira roseira e cada roseira dista 2 m da seguinte. 
Um jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde na torneira e despeja seu 
conteúdo na primeira. Volta à torneira e despeja seu conteúdo na segunda Volta à 
torneira e repete a operação para cada roseira seguinte. Após regar a última roseira 
e voltar à torneira para deixar o balde, ele terá andado quantos metros?
SOLUÇÃO: Vejamos a seguinte representação para a situação-problema:
Sequências e Séries de Números Reais
U3
109
Figura 3.1 | Representação do problema das roseiras
Fonte: O autor (2015).
Ao analisar a imagem construímos uma sequência que representa quantos 
metros o jardineiro caminhou em cada percurso de ida e volta (100, 104, 108, 112, 
116, 120, 124, 128, 132, 136). Para determinar o percurso realizado pelo jardineiro, 
basta somarmos os termos dessa progressão aritmética, ou seja:
S= 100+104+108+112+116+120+124+128+132+136 = 1180
Portanto, o jardineiro andou 1180 m.
A partir desse exemplo podemos definir progressões aritméticas, vejamos:
Definição: denominamos de progressão aritmética uma sequência numérica em 
que termos, a partir do segundo, são obtidos por meio da soma de um número 
constante chamado de razão (r).Vejamos algumas sequências que são progressões aritméticas:
X = (1, 7, 13, 19, ...) neste caso a razão será r = 6, ou seja, temos uma sequência 
crescente. 
Y = (-17,- 17,- 17, ...) neste caso a razão será r = 0, ou seja, temos uma sequência 
constante.
Z = (50, 40, 30, 20, ...) neste caso a razão será r = -10, ou seja, temos uma 
sequência decrescente.
Após a conceituação de progressão aritmética precisamos deduzir o termo 
geral de uma PA, vejamos:
Definição: considere a sequência (a
1
, a
2
, a
3
, ... , a
n
, ...) em progressão aritmética e 
de razão r. Segue que:
Sequências e Séries de Números Reais
U3
110
a
2
 = a
1
 + 1.r
 a
3
 = a
2
 + r = (a
1
 + r) + r = a
1
 + 2r
 a
4
 = a
3
 + r = (a
1
 + 2r) + r = a
1
 + 3r
Observe os destaques; generalizando temos que:
 a
n
 = a
1
 + (n – 1) . r
Sendo que essa expressão representa o termo geral de uma PA no qual o a
n
 é o 
n-ésimo termo, r é a razão e a
1
 é o primeiro termo da sequência.
Vejamos alguns exemplos sobre essa definição:
EXEMPLO 1: 
Um escritor escreveu, em certo dia, as 20 primeiras linhas de um livro. A partir 
desse dia, ele escreveu, em cada dia, mais 5 linhas. O livro tem 17 páginas, cada 
uma com exatamente 25 linhas.
a) Em quantos dias o escritor concluiu o livro?
b) Quantas linhas foram escritas neste livro, considerando que a 17ª página está 
completa? 
c) Qual a representação gráfica do número de dias relacionado com o número de 
linhas escritas nos primeiros 10 dias?
d) Existe um nome específico para o relacionamento de dados? Analise se a 
representação gráfica dos dados é crescente ou decrescente.
SOLUÇÃO: 
a) Construindo uma tabela com os dados do problema temos:
Tabela 3.1 | Representação do problema do escritor
Dia Número de linhas escritas Número de páginas escritas
1 20 0
2 25 1
3 30 -
4 35 -
5 40 -
6 45 -
7 50 2
Sequências e Séries de Números Reais
U3
111
Fonte: O autor (2015).
8 55 -
... ...
n
Pela tabela, podemos perceber que no segundo dia ele conclui a primeira 
página e, a partir do segundo dia, a cada cinco dias uma nova página vai sendo 
escrita, deste modo, podemos construir a função que relaciona o número de dias 
(n) com o número de páginas escritas (f(n)), ou seja, f n n( ) ( )= + −1 2
5
. Assim, 
para 17 páginas escritas teremos 17 1
2
5
= +
−( )n
, ou seja, n = 82.
b) Utilizando a tabela do item a podemos estabelecer a relação f(n) = 20 + (n-1)5. 
Assim, em 82 dias conforme obtemos no item anterior, teremos escrito 425 linhas. 
c) Temos a seguinte representação gráfica:
Figura 3.2 | Gráfico do problema do escritor
Fonte: O autor (2015).
d) Podemos relacionar os dados desse problema com o conceito de função, e neste 
caso se trata de uma função linear definida de f: N→R e estritamente crescente. 
EXEMPLO 2:
Uma bola é lançada do topo de uma torre. Ao cair no vácuo, percorre 9,8 m após 
um segundo de queda, 19,6 m após dois segundos de queda, 29,4 m após três 
segundos de queda, e assim sucessivamente. Sabendo que a altura desta torre é 
de 196 metros, responda os itens a seguir. 
Sequências e Séries de Números Reais
U3
112
a) Depois de quantos segundos a bola estará a 49 metros do chão? 
b) Qual a representação gráfica da situação?
SOLUÇÃO:
a) Construindo uma tabela com os dados do problema temos:
Tabela 3.2 | Representação do problema do lançamento de bola
Fonte: O autor (2014).
N Segundo Quantidade de metros percorridos Altura do chão
1 0 0 196
2 1 9,8 186,2
3 2 19,6 176,4
4 3 29,4 166,6
Note que, 19,6 – 9,8 =9,8 e que 29,4 – 19,6 = 9,8. Podemos observar uma 
progressão aritmética em que a razão é 9,8 sendo uma PA decrescente, assim, 
adotando a razão como r = – 9,80 temos que:
a
n
= a
1
+(n-1).r
49= 196 + ( n-1) . (-9,80), deste modo n = 16 
b) A partir dos dados do problema temos a seguinte representação gráfica:
Figura 3.3 | Gráfico do problema do lançamento da bola
Fonte: O autor (2015).
Sequências e Séries de Números Reais
U3
113
Observamos que as progressões aritméticas satisfazem às seguintes propriedades:
1ª) A soma de termos equidistantes é a mesma. 
2ª) Temos a mesma média aritmética para termos equidistantes.
Vejamos um exemplo sobre essas propriedades:
EXEMPLO 3:
Numa escola da Alemanha, um professor pediu que os alunos somassem todos os 
números naturais de 1 a 100:
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100.
Para surpresa de todos, um dos alunos deu a resposta imediatamente: 5.050
Realize a soma desses termos e verifique se está correta.
SOLUÇÃO:
Vamos somar uma sequência de números menores, isto é,
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
Deste modo, vamos fazer a soma como Gauss,
1+10 = 11
2+ 9 = 11
3+ 8 = 11
4+ 7 = 11
5+ 6 = 11
Agora temos 5 somas de 11, ou seja, 5 x 11 = 55.
Fazendo de modo análogo a soma dos termos de 1 até 100 podemos verificar 
que a soma dos termos é igual a 5050. 
Esclarecendo a história: a pedido do professor, ele explicou que a soma de 1 
com 100, de 2 com 99, de 3 com 98, e assim por diante, até a última soma, que é 
Sequências e Séries de Números Reais
U3
114
de 50 com 51, é sempre igual a 101. Assim:
1+2+3+ ... + 50 + 51 + ... + 98 + 99 + 100
Como eram 50 somas iguais de 101, o resultado só poderia ser 50 x 101, e essa 
multiplicação ele fizera “de cabeça”. Este menino chamava-se Gauss.
Analisando a soma de Gauss, como generalizar a soma de uma PA?
Geralmente, consideramos uma PA = (a
1 
, a
2 
, a
3 
, ... , a
n
), segue que S
n 
é a soma 
dos n termos dessa PA, logo 
Deste modo, 
Segue que,
Portanto, deduzimos uma expressão para soma de uma PA. 
Apresentamos a seguir alguns desafios, construa as resoluções desses 
problemas.
Sequências e Séries de Números Reais
U3
115
Riquinho, que é muito esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada 
de R$ 300,00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia: R$ 1,00 no 
primeiro dia de cada mês e, a cada dia, R$ 1,00 a mais que no dia anterior. 
Seu Juca concordou, mas, ao final do primeiro mês, logo percebeu 
que havia saído no prejuízo. Calcule quanto, em um mês com 30 dias, 
Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesada de R$ 300,00.
SOLUÇÃO: Receberá R$ 165,00
Fonte do desafio 1: <http://www.profezequias.net/papg.html>. Acesso 
em: 11 set. 2015.
DESAFIO 2: (UFRJ) Felipe começa a escrever números naturais em uma 
folha de papel muito grande, uma linha após a outra, como mostrado 
a seguir
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11 12 13
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
...........
...........
Considerando que Felipe mantenha o padrão adotado em todas as linhas:
a) Determine quantos números naturais ele escreverá na 50ª linha.
b) Determine o somatório de todos os números escritos na 50ª linha.
c) Prove que o somatório de todos os elementos de uma linha é sempre 
o quadrado de um número ímpar.
SOLUÇÃO:
Item a)
Como a linha 1 temos (2.1-1) = 1 termo.
Como a linha 2 temos (2.2-1) = 3 termos. 
Como a linha 3 temos (2.3-1) = 5 termos. 
Como a linha 4 temos (2.4-1) = 7 termos. 
Portanto a linha n terá (2n-1) termos, assim a linha 50 tem portanto 
(2.50-1) = 99 termos.
Item b) 
Como o primeiro termo da linha 50 é 50, e como ela forma uma 
progressão aritmética de razão 1 e tem 99 termos, o seu último termo é 
50 + (99-1).1 = 148. Logo a linha 50 é a sequência 50, 51, 52, 53, ..., 148. 
Segue que a soma dos seus termos será 9801.
Sequências e Séries de Números Reais
U3
116
Item c) 
Seja q(n) a quantidade de números na n-ésima linha. Observando que 
a quantidade de números na 1º linha é 1, na 2º é 3, na 3º é 5, e assim 
sucessivamente,temos q(n) = 2n -1.
S = n + (n+1) + (n + 2) + ... + [n + q(n) -1]
S = q(n) . n + { 1 + 2 + ... + [q(n) -1] }
S = q(n) . n + { q(n). [(q(n) - 1]/2 }
Sabendo que q(n) = 2n - 1, segue que,
S = (2n -1)2.
Fonte do desafio 2: <http://www.anchietaba.com.br/portal/canal-
damatematica/resolucao/ufrj_vest2004_resposta.pdf>. Acesso em: 11 
set. 2015.
1.2 Conceito de Progressões Geométricas (PG)
Uma progressão geométrica trata-se de uma sequência numérica na qual a partir 
do primeiro termo cada elemento é igual ao produto do termo anterior por uma razão 
q. Um exemplo desse tipo de sequência é (3, 12, 48, 192,...), neste caso o primeiro 
termo que indicamos por a
1
 = 3, a razão q= 4. Uma aplicação desse tipo de sequência 
é no cálculo de juros compostos, que são aplicados no mercado financeiro.
1.2.1 Termo geral de uma PG
Para compreendermos o que seria um termo geral, vamos analisar o seguinte 
problema.
EXEMPLO:
Qual o montante produzido em 3 meses a uma taxa de 20% a.m., no regime de 
juros compostos, a partir de um capital inicial de R$ 10.000,00?
SOLUÇÃO: Construindo uma tabela para verificar o rendimento mensal dos juros 
temos:
Tabela 3.3 | Representação do problema do juros compostos
Período Juros Montante
0 0 10.000
1 2.000 12.000
2 2.400 14.400
Sequências e Séries de Números Reais
U3
117
Fonte: O autor (2015).
3 2.880 17.280
... .... ...
n j 10.000 (1+0,2)n
Assim, o montante (M) que é o acúmulo do capital inicial e os juros do período será:
M = 10000. (1+0,2)3
M = 17.280,00
Relacionando com progressões geométricas, temos que o a1= 10000 e a razão 
será q=1,2.
Qual o tipo de função que podemos associar com o juro 
composto? Como seria a representação gráfica?
Além desse exemplo, podemos observar padrões geométricos nos fractais que 
dão origens a sequências com caracterizações de uma PG.
EXEMPLO:
Observemos o fractal triminó indicado na Figura 3.4:
Figura 3.4 | Fractal triminó
Fonte: O autor (2015).
Sequências e Séries de Números Reais
U3
118
Qual o padrão geométrico do fractal triminó?
Após analisarmos o padrão geométrico desse fractal podemos construir a 
seguinte tabela:
Tabela 3.4 | Representação do problema do fractal triminó
Fonte: O autor (2015).
Nível Quantidade de quadrados
1 31=3
2 3² =9
3 3³ = 27
4 34 = 81
... ...
n 3n
Associando esse exemplo com PG temos que a
1
 = 3 e a razão q = 3.
Existem sequências em que não podemos definir a razão entre dois 
termos consecutivos? O que seriam sequências recursivas?
Para aprofundar seu conhecimento sobre progressões geométricas, 
estude o artigo intitulado de Fractais: progressão e série geométrica 
uma metodologia de ensino. Disponível em: <http://facos.edu.
br/publicacoes/revistas/modelos/agosto_2011/pdf/fractais_
progressao_e_serie_geometrica.pdf>. Acesso em: 11 set. 2015.
Sequências e Séries de Números Reais
U3
119
Nas progressões geométricas ao considerarmos três termos consecutivos, 
o termo médio será a média geométrica dos outros dois termos. Além disso, 
podemos observar outras características nas sequências em PG, vejamos os casos 
a seguir:
X= (4, 16, 64, 256, ...) neste caso a razão será q = 4, ou seja, temos uma sequência 
crescente. 
Y = (180, 90, 45, ...) neste caso a razão será q = 1/2, ou seja, temos uma sequência 
decrescente. 
Z = (-6, 12, -24, 48, ...) neste caso a razão será q = -2, ou seja, temos uma sequência 
oscilante. 
W = (13, 13, 13, 13, ...) neste caso a razão será q = 1, ou seja, temos uma sequência 
constante. 
Observamos que temos a razão de uma PG por meio de:
q = a
2
 / a
1
 = a
3
 / a
2
 = a
4
 / a
3
 = a
n
 / a
n-1
Quanto ao termo geral de uma PG, podemos obtê-lo por meio da seguinte 
generalização:
a
2
 / a
1
 = q → a
2
 = a
1
 . q
a
3
 / a
2
 = q → a
3
 = a
2
 . q → a
3
 = a
1
 . q . q → a
3
 = a
1
 . q2
a
4
 / a
3
 = q → a
4
 = a
3
 . q → a
4
 = a
1
 . q2 . q → a
4
 = a
1
 . q3
Continuando esse procedimento para uma sequência qualquer, isto é:
( a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, ...., a
n-1, 
 a
n
)
Temos que:
( a
1
, a
1
. q, a
1
. q², a
1
. q³, a
1
. q4, ..., a
1
.q(n-1))
Deste modo, o termo geral para qualquer n pertencente aos naturais é definido por:
a
n
 = a
1
 .q(n-1)
 
Sequências e Séries de Números Reais
U3
120
Se tivermos partes de uma PG, ou ainda não tivermos o primeiro termo, 
poderíamos ajustar a generalização anterior, isto é:
a
n
 = a
k
 .q(n-k)
Como determinar a soma dos termos de uma PG? 
Acesse o link a seguir e veja exemplos resolvidos sobre progressões 
geométricas. Disponível em: <http://exercicios.brasilescola.com/
exercicios-matematica/exercicios-sobre-progressao-geometrica.
htm>. Acesso em: 11 set. 2015.
1.3 Sequências Monótonas e Limitadas
Por meio dos exemplos apresentados nas subseções anteriores, podemos notar 
que as sequências são funções cujo domínio é o conjunto dos números naturais, 
ou seja, os números inteiros e positivos. Quanto à imagem, são os elementos da 
sequência. No caso do n-ésimo termo indicado por f(n), temos o par ordenado 
associado com a função (n, f(n)), em que n é um número inteiro positivo.
EXEMPLO:
Seja a função definida por segue que:
Para n=1 temos 
Para n=2 temos 
Sequências e Séries de Números Reais
U3
121
Para n=3 temos 
Para n=4 temos 
E assim sucessivamente, formando a sequência ( ..., .
Para essa sequência temos os seguintes pares ordenados associados:
Tabela 3.5 | Pares ordenados da sequência 1
2 1n +






Fonte: O autor (2015).
Termo Par ordenado
1 A= ( 1, 
1
3
)
2 B= ( 2, 
1
5
)
3 C= ( 3, 
1
7
)
4 D= ( 4, 
1
9
)
... ...
n ( n
n
, )
1
2 1+
Representando graficamente temos que:
Figura 3.5 | Representação gráfica da função 
Fonte: O autor (2015).
Observe que a representação gráfica de uma sequência é um gráfico com 
Sequências e Séries de Números Reais
U3
122
dados discretos, isso ocorre porque o domínio é o conjunto dos números naturais.
Se continuarmos indicando os pares ordenados dessa função, os pontos 
aproximam-se infinitamente do eixo horizontal, ou seja, se aplicarmos o limite nessa 
função tenderíamos a zero, neste caso temos uma sequência que denominamos 
de convergente, pois, existe um limite, caso contrário teríamos uma sequência 
divergente.
Geralmente, se existir um número L em que |a
n
 – L| seja arbitrariamente pequeno 
para n suficientemente grande, temos que a sequência (a
n
) possui o limite L, neste 
caso denominamos a sequência de convergente, vejamos a definição:
Definição: A sequência (a
n
) possui o limite L se para qualquer ɛ > 0 existir um 
número N>0, tal que se n for um inteiro e se n > N, então |a
n
 – L|< ɛ.
Vejamos um exemplo para aplicarmos a definição.
EXEMPLO: (Adaptação de LEITHOUD, 1994, p. 690) 
Provaremos que a sequência definida pela função possui o limite 
1
2
, 
ou seja, , vejamos:
DEMOSTRAÇÃO: precisamos mostrar que para todo ɛ > 0 existe um número N>0, 
tal que se n for um inteiro e se n > N, então:
|
n
n2 1+ |< ɛ
|
2 2 1
2 2 1
n n
n
− −
+( ). |< ɛ
|
−
+( )
1
2 2 1. n |< ɛ
1
2 2 1. n +( ) < ɛ
2 1n + > 1
2ε
n > 1 2
4
− ε
ε
Para que a afirmação seja válida, consideramos N = 1 2
4
− ε
ε
 e se n for um número 
Sequências e Séries de Números Reais
U3
123
inteiro temos que:
Se n > 1 2
4
− ε
ε
, então |
n
n2 1+ |< ɛ.
Verificando a proposição para ε =
1
8
, então N = 3
2
, reescrevendo a proposição 
anterior com esses dados temos:
Se n > 3
2, então |
n
n2 1+ |< 
1
8
.
Considerando n = 4 temos que: 
|
4
2 4 1. + |< 
1
8
|
4
9
 |< 
1
8
| |< 
1
8
Deste modo, mostramos que o limite dessa sequência será 
1
2
.
Aprofunde seus conhecimentos sobre sequências convergentes e 
divergentes estudando os exemplos indicados no link a seguir:
Disponível em: <http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDI-
III/series1.pdf>. Acesso em: 11 set. 2015.
Considere c uma constante e an e bn sequências numéricas, assim temos as 
seguintes propriedades:
1ª) Uma sequência constante (c), tem c como seu limite.
2ª) 
3ª) lim
n n n
a b
→∞
± = 
Sequências e Séries de Números Reais
U3
124
4ª) lim .
n n n
a b
→∞
= 
5ª) lim
n
n
n
a
b→∞
 = 
lim
lim
n n
n n
a
b
→∞
→∞
Qual a diferença de sequência limitada e uma sequência que 
possui limite?
Além de analisarmos a convergência ou divergência de uma sequência, 
podemos classificá-la, vejamos a seguinte definição:
Definição: denominamos de sequências monótonas uma sequência que seja 
crescente, decrescente ou constante, de modo que:
1º) Se an < an+1 para todo n então a sequência é estritamente crescente.
2º) Se an > an+1 para todo n então a sequência é estritamente decrescente.
3º) Se an = an+1 para todo n então a sequência é constante.
EXEMPLO:
Classificaremos a sequência 
1
n





 , primeiramente verificaremos quais são os termos 
dessa sequência:
Tabela 3.6 | Termos da sequência 1
n






Número 
inteiro
Termo da sequência
1 1
2 
1
2
3 
1
3
4 
1
4
Sequências e Séries de Números Reais
U3
125
Fonte: O autor (2015).
... ...
n
Analisando os elementos da tabela, temos uma sequência monótona 
decrescente, ou seja, para todo n inteiro e positivo. Essa sequência é 
denominada como sequência harmônica.
A seguir definiremos limitantes para sequências, vejamos:
Definição: Um número C é denominado de limitante inferior de uma sequência 
(an) se C ≤ an para todo n inteiro e positivo. Um número D é denominado de 
limitante superior de uma sequência (an) se an ≤ D para todo n inteiro positivo.
EXEMPLO:
Representaremos graficamente a sequência 
1
n





 para analisarmos os limitantes. 
Temos os seguintes pares ordenados para essa sequência:
Tabela 3.7 | Pares ordenados da sequência 1
n






Termo Par ordenado
1 A= ( 1,1)
2 B= ( 2,
 
1
2
)
3 C= ( 3, 
1
3
)
4 D= ( 4, 
1
4
)
5 E= ( 5, 
1
5
)
6 F= ( 6, 
1
6
)
7 G =( 7, 
1
7
)
... ...
n ( n n
,)
11
n





)
Fonte: O autor (2015).
Sequências e Séries de Números Reais
U3
126
Indicando os pares ordenados no plano cartesiano temos que:
Figura 3.6 | Representação gráfica da sequência 1
n






Fonte: O autor (2015).
Retomando a definição de limitante e analisando o gráfico, podemos concluir que:
1º) -3 é um limitante inferior da sequência, assim como -2.
2º) O limitante inferior máximo da sequência será o número zero.
3º) 4 é um limitante superior da sequência, assim como 3.
4º) O limitante superior mínimo dessa sequência será o número um.
A partir dessa análise concluímos que:
Definição: uma sequência (an) é limitada se, e somente se, possuir limitantes 
superior e inferior.
Baseadas nas análises realizadas na sequência 
1
n





 , podemos 
verificar que a sequência converge ou diverge?
Sequências e Séries de Números Reais
U3
127
Para aprofundar seus conhecimentos sobre sequências monótonas e 
limitadas acesse o link a seguir e veja mais exemplos e demonstrações 
de resultados referentes a esse conteúdo: <https://galdino.catalao.ufg.
br/up/635/o/sequencia.pdf>. Acesso em: 11 set. 2015.
1. Considere a sequência, (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...) o termo que 
ocupa da 13ª posição será:
a) 95
b) 144
c) 89
d) 233
e) 68
2. Observe a sequência de figuras que representam os números 
quadrangulares e responda:
Figura 3.7 | Representação dos números quadrangulares
Fonte: O autor (2015).
a) Quantos quadrados possuirá o décimo elemento dessa 
sequência? 
b) Indique os dez primeiros termos dessa sequência.
c) Qual o termo geral da sequência?
Sequências e Séries de Números Reais
U3
128
Sequências e Séries de Números Reais
U3
129
Seção 2
Séries Numéricas
Introdução à seção
Vimos anteriormente o conceito de uma sequência numérica de números reais. 
Nesta seção, trataremos de séries numéricas que estão relacionadas à soma de 
elementos de uma sequência real. Temos que para a operação de adição definida 
nos reais podemos aplicar a propriedade associativa, ou seja, se somarmos 23 
+ (34+56) = (23 + 34) + 56, assim em uma sequência finita podemos agrupar 
os termos de modo apropriado e realizarmos a adição. Mas como realizar esse 
procedimento para sequências infinitas?
 Inicialmente conceituaremos séries numéricas para posteriormente lidarmos 
com problemas como o levantado na questão anterior.
2.1 Conceituando Séries Numéricas 
Segundo Boyer (1974), na antiguidade Arquimedes, por volta do ano 250 a.C., já 
precisou calcular a soma dos termos da sequência:
1 + ¼ + (¼)2 + (¼)3 + ... = 4/3
Mesmo não adotando procedimento para séries infinitas, essa foi uma das 
primeiras somas de sequências. Somente por volta de 1350 é que temos registros 
de soma de sequências por meio de procedimentos de cálculos infinitesimais. 
Como, por exemplo, a soma da sequência 
n
n2





 , ou seja:
1
2
2
4
3
8 2
2+ + + + + = ... ...
n
n
Nesse mesmo período, Oresme contribuiu com o desenvolvimento matemático, 
apresentou a primeira demonstração de que a série harmônica é divergente, isto é: 
1
2
1
3
1
4
1
+ + + + + = +∞ ... ...
n
Sequências e Séries de Números Reais
U3
130
Agrupando os termos dessa sequência do seguinte modo: 
1
2
1
3
1
4
1 1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
+ + + + + = + + + + + + ( ... ... ( )
n
11
8
1
9
1
10
1
16
) ( ... ) ... + + + + +
Concluímos que cada soma entre parênteses será maior ou igual a ½, assim 
podemos indicar que: 
 ( 
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10
1
16
+ + + + + + + + + + +( ) ) ( ... ) ...≥≥ + + + = + ∞ 
1
2
 
1
2
1
2
...
 
Em torno de 1668, Gregory e Mercator estudaram e apresentaram resultados 
sobre o que denominaram de séries de potências de x, que representam funções 
como sen x, cos x, tg x, entre outras, como os exemplos que indicamos a seguir.
EXEMPLO 1: a função arcotangente de x, indicada por:
arctg x x x x x = − + − +
3 5 7
3 5 7
...
.
EXEMPLO 2: a função ln (1+x) indicada por:
ln(1+x) = - 
x
 
x
 - 
x
 . . . 
2 3 4
x
2 3 4
+ +
Já em 1748, Euler publicou trabalhos que demonstravam somas de séries como 
as indicadas a seguir.
EXEMPLO 1:
1 1
2
1
3
1
4
1
6
2 2 2 2pi pi pi pi
+ + + + =
( ) ( ) ( )
 . . . 
EXEMPLO 2:
1
1
1
2
1
3
1
4 6
2 2 2 2
+ + + = 
2pi
Vários matemáticos contribuíram com estudos acerca da convergência de 
séries numéricas e de séries de funções, veremos a seguir definições, propriedades 
Sequências e Séries de Números Reais
U3
131
acerca de séries infinitas.
 
2.2 Séries Infinitas
Analisaremos a convergência de dízimas periódicas para compreendermos o 
conceito de convergência de séries numéricas. Temos que 
0,1 + 0,01 + 0,001 + .... = 0,111...
 Neste caso, temos a soma de uma PG de infinitos termos,segue que a razão é 
q = 
1
10
1
10
1
10
2 3
+ + + ... e a soma dos termos dessa sequência pode ser indicada por:
1
10
1
10
1
10
2 3
+ + + ...
No qual converge, ou seja:
1
10
1
10
1
10
2 3
+ + + ...= 
1
9
De modo análogo, considerando 0,333... = x temos 3, 333... = 10x. Ao 
subtrairmos estas equações temos que 9x = 3, isto é, x = 3/9 = 1/3 . Segue que:
3
10
3
100
3
1000
+ + + = 
1
3
. . .
 
No caso de dízimas periódicas, podemos verificar a convergência das séries, 
vejamos um exemplo diferente.
Considere a seguinte soma S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + .....
Aplicando a propriedade associativa de algumas formas, obtemos:
1º) caso: S = (1 – 1) + ( 1 – 1) + ( 1 – 1) +.... = 0
2º) caso: S = 1 + (– 1 + 1) + ( – 1 + 1) + ( – 1 +1 ) + .... = 1
3º) caso: S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1+ ...) ⇒ S = 1 – S ⇒ 2S = 1 ⇒ S = ½
Sequências e Séries de Números Reais
U3
132
Podemos verificar a convergência da série S indicada anteriormente?
 Outro exemplo conhecido como o paradoxo de Zenão é obtido a partir do 
seguinte problema: para se andar um quilômetro, deve-se andar primeiramente 
meio quilômetro. Porém, antes de andar esse meio quilômetro deve-se andar um 
quarto de quilômetro. Mas antes andar esse um quarto de quilômetro, deve-se 
primeiro andar um oitavo de quilômetro e assim sucessivamente. Zenão afirmou 
que esse movimento era impossível, pois sequer se iniciaria a caminhada.
Traduzindo o problema obtemos a seguinte representação:
1
1
2
1
4
1
8
= + + + .... .
Essa série pode ser entendida como a soma de uma PG infinita de razão 
1
2
. Na 
qual podemos aplicar que S a
q
=
−
1
1
 . Assim S =
−
=
1
2
1
1
2
1 
A partir dos exemplos apresentados, definiremos os conceitos relacionados a séries.
Definição: uma série infinita é uma expressão que pode ser escrita na forma
a a a a .....
n
n 1
1 2 3
=
∞
∑ = + + +
Em que os números a
1
, a
2
, a
3
, ... são denominados de termos da série e a
n
 de 
termo geral da série. Retomando um exemplo anterior
0,111... = 0,1 + 0,01 + 0,001 +... = 
1
10
1
10
1
10
2 3
+ + + ...
Realizaremos a soma parcial dos termos dessa sequência, vejamos: 
s 0,1
1
10
1
= =
Sequências e Séries de Números Reais
U3
133
s
2
= + = + = +0 1 0 01
1
10
1
100
1
10
1
10
2
, ,
s
3
= + + = + + = + +0 1 0 01 0 001
1
10
1
100
1
1000
1
10
1
10
1
10
2 3
, , ,
s
4
= + + + = + + + = + +0 1 0 01 0 001 0 0001
1
10
1
100
1
1000
1
10000
1
10
1
10
1
1
2
, , , ,
00
1
10
3 4
+
Segue que s
1
, s
2
, s
3
, s
4
,... pode ser entendida como uma sequência cujos 
resultados das somas se aproximam de 1/9.
Se continuarmos esse procedimento, quanto mais termos considerarmos, mais 
precisa será a aproximação do limite dessa série. Podemos comprovar esse fato 
se calcularmos o limite dessa sequência para um número n de termos em que n 
tende ao infinito, ou seja, n →	∞.
Considere que,
s
1
10
1
10
1
10
...
1
10
n 2 3 n
= + + + +
Temos uma expressão equivalente para s
n
 para o cálculo do limite obtida 
multiplicando s
n
 por 
1
10
, ou seja:
1
10
s
1
10
1
10
1
10
...
1
10
1
10
n 2 3 4 n n 1
= + + + + + +
Ao subtrairmos a primeira sequência pela segunda temos que:
s
1
10
s
1
10
1
10
1
10
1
1
10
n n n 1 n
− = − = −




+
9
10
1
10
1
1
10
sn n= −






sn n= −






1
9
1
1
10
Segue que:
Sequências e Séries de Números Reais
U3
134
n
n
n
nlim lims
1
9
1
1
10
1
9→+∞ →+∞
= −




 =
Ou seja, tivemos o valor de 1/9 que é o esperado para a soma dessa série. Neste 
procedimento, construímos uma sequência de somas infinitas e aplicamos o limite 
para verificar o valor de convergência dessa série. Deste modo,
0 11111
1
9
, ... =
Como podemos definir a soma de uma série infinita?
A partir do exemplo, podemos pensar em um processo de generalização para 
a soma de uma série infinita. Considere a série 
a a a a .....
n
n 1
1 2 3
=
∞
∑ = + + +
Realizamos as somas parciais da sequência ( )s
n
 do seguinte modo:
s
1
 = a
1
s
2
 = a
1
 + a
2
s
3
 = a
1
 + a
2
 + a
3
...
s
n
 = a
1
 + a
2
 + a
3
 +...+a
n
 = s
n-1
 + a
n
 = a
k
k 1
n
=
∑
Para um n crescente, as somas parciais anexam mais termos da série. Assim, 
quando n →	+∞ se a soma s
n
 tender para um número finito, esse limite será a soma 
de todos os termos da série. A partir disso definimos que:
Definição: Considere a b
n n
+( )∑
1
a
n
1
•
 
uma série e (s
n
) a sequência de somas parciais 
associada a essa série. Se lim s S
n
n→+∞
= , tal que S < ∞ temos que a série a b
n n
+( )∑
1
a
n
1
• 
Sequências e Séries de Números Reais
U3
135
é convergente a S e que S é a sua soma. Indicamos a b
n n
+( )∑
1
a
n
1
•
 
= S. Caso contrário, a 
série será divergente, ou seja, não possui a soma determinada.
Observamos que as notações a
1
 + a
2
 + a
3 
+...+ a
n
 + ….= a a a
n
n 1
n
1
n
=
+∞
∑ ∑ ∑= = 
são utilizadas para indicarmos uma série. No caso específico de a b
n n
+( )∑
1
a
n
1
• é mais usual 
para as séries convergentes. Outro, termo notacional é referente ao índice que 
pode iniciar em n = 0 ou de n = 1, dependendo do tipo de série a ser analisada.
EXEMPLO 1:
Considere a série a b
n n
+( )∑
1
1
n1
• cujo o termo geral é dado por a 1
n
n
= . Temos que a 
sequência das somas parciais será:
s 1
s 1
1
2
s 1
1
2
1
3
...
s 1
1
2
1
3
...
1
n
1
2
3
n
=
= +
= + +
= + + +
Ao aplicarmos o limite nessa sequência temos que 
n
nlims
→+∞
= +∞ e deste 
modo a série a b
n n
+( )∑
1
1
n1
•
 
será divergente.
EXEMPLO 2:
O número de Euler representado por e pode ser indicado como:
n
n
lim 1
1
n→+∞
+




 = e= 2,718281828...
Temos que a série a seguir converge para e, vejamos:
Sequências e Séries de Números Reais
U3
136
1
1 1
1
2
1
3
1
4
1
0 n n
e
! ! !
...
!
...= + + + + + + + =
∞
∑
Construindo algumas somas parciais podemos verificar esse fato:
s
0
 = 1
s
1
 = 1 + 1 = 2
s 1 1
1
2!
2 0,5 2,5
2
= + + = + =
s 1 1
1
2!
2,5
1
6
3
= + + + = + = + =
1
3
2 5 0 166666666 2 666666667
!
, , ,
s 1 1
1
2!
4
= + + + + = + =
1
3
1
4
2 666666667
1
24
2 708333334
! !
, ... , ...
s 1 1
1
2!
5
= + + + + + = + =
1
3
1
4
1
5
2 708333334
1
120
2 716666667
! ! !
, ... , ...
s 1 1
1
2!
6
= + + + + + + = + =
1
3
1
4
1
5
1
6
2 716666667
1
720
2 718055556
! ! ! !
, ... , ....
s 1 1
1
2!
7
= + + + + + + + = + =
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
2 718055556
1
5040
2 7182
! ! ! ! !
, ... , 555969...
s 1 1
1
2!
8
= + + + + + + + + = + =
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
2 718255969
1
40320
2
! ! ! ! ! !
, ... ,, ...718278771
s 1 1
1
2!
9
= + + + + + + + + + = +
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2 718278771
1
362! ! ! ! ! ! !
, ...
8880
2 718281527= , ...
s 1 1
1
2!
10= + + + + + + + + + + =
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10
2 718281527
! ! ! ! ! ! ! !
, .... , ...+ =
1
3628800
2 718281803
Note que a partir da sétima soma parcial obtemos precisão de quatro casas 
decimais.
Sequências e Séries de Números Reais
U3
137
2.3 Convergências e Divergência de Séries 
Nesta subseção, veremos métodos e procedimentos para verificar a 
convergência ou divergência de séries, além de apresentarmos propriedades 
pertinentes a elas.
Definição: Em geral podemos aplicar o teste da divergência, ou seja:
1º) Caso: se lim a 0
n
n→+∞
≠ então a b
n n
+( )∑
1
a
n
1
• é divergente.
2º) Caso: se lim a 0
n
n→+∞
= então a b
n n
+( )∑
1
a
n
1
• poderá ser convergente ou divergente.
A definição apresentada se refere ao critério do termo geral para convergência 
de séries, também será tida como uma condição necessária para a convergência 
de uma série. A partir disso, podemos concluir os seguintes resultados:
I) Se a b
n n
+( )∑
1
a
n
1
• converge então 
n
nlima
→+∞
= 0 . 
II) As séries do tipo a b
n n
+( )∑
1
n
1
• são divergentes, devido a lim n
n→+∞
= +∞ .
III) No caso do lim a 0
n
n→+∞
= não podemos inferir sobre a convergência ou 
divergência da série a b
n n
+( )∑
1
a
n
1
• .
IV) Uma série convergente ou divergente não é comprometida por remover ou 
acrescentar uma quantidade finita de termos.
V) Se a b
n n
+( )∑
1
a
n
1
• é convergente, uma série a bn n+( )∑
1
b
n
1
• construída a partir de a bn n+( )∑
1
a
n
1
• com 
o acréscimo ou retirada de termos, neste caso essa nova série será convergente, 
para uma número geralmente diferente da soma a b
n n
+( )∑
1
a
n
1
• . 
VI) Se a b
n n
+( )∑
1
a
n
1
• e a bn n+( )∑
1
b
n
1
• são duas séries que convergem para S e R respectivamente, 
temos os seguintes casos:
1º) Caso: A série a b
n n
±( )∑
1
 é convergente a S ± R.
2º) Caso: A série a b
n n
+( )∑
1
ka
n
1
• é convergente a kS com k pertencente aos reais.
3º) Caso: Se a b
n n
+( )∑
1
a
n
1
• converge e a bn n+( )∑
1
b
n
1
• diverge, então a bn n+( )∑
1
 diverge.
Sequências e Séries de Números Reais
U3
138
4º) Caso: Se a b
n n
+( )∑
1
a
n
1
• diverge e k ≠ 0, então a bn n+( )∑
1
ka
n
1
•
 
diverge.
Observamos que se a b
n n
+( )∑
1
a
n
1
• e a bn n+( )∑
1
b
n
1
• são duas séries que divergem, não se pode 
concluir nada sobre a b
n n
+( )∑
1
. 
EXEMPLO 1:
 As séries 
1
2
1
1
n−∑ e 
1
2
1
3
n−∑ convergem para números distintos.
EXEMPLO 2:
 As séries 2 1
1
n−∑ e bn∑ = − + + + + + + +3 5 12 1 2 4 8 16 ..... divergem.
EXEMPLO 3:
As séries 2 e n n∑ ∑−2 são divergentes e 2 2n n−( )∑ é convergente a 0.
Que exemplos de séries com termos exclusivamente positivos 
podemos destacar?
Aprofunde seus conhecimentos sobre convergências e divergências 
de séries, acesse o link a seguir e veja as demonstrações referentes a 
esse tema: <http://www.spm.uem.br/bspm/pdf/vol29-2/Art8-2.pdf>. 
Acesso em: 11 set. 2015.
Sequências e Séries de Números Reais
U3
139
2.3.1 Série Geométrica
Retomando o exemplo anterior da série infinita 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... temos 
um exemplo de uma série geométrica. 
Definição: Considere uma série o tipo a.r a ar ar ar ... arn 1
1
2 3 n-1−∑ = + + + + + + ....
 
em 
que a ≠ 0; denominamos esse caso de série geométrica e o número r é a razão 
da série.
De modo equivalente, podemos representar a série geométrica por:
ar a ar ar .
n
0
2∑ = + + + ..
Ou de modo mais geral por:
ar a ar ar ar ...
n k
n k
2 3−
=
∑ = + + + +
EXEMPLO 1:
Segue que 0,1 + 0,01+ 0,001 + 0,0001 + ... = 
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
2 3 4
1
+ + + +
∞
∑... n 
trata-se de uma série geométrica cuja razão r = 1/10 e a = 1.
EXEMPLO 2:
Temos que 3 − 3.2 + 3.22 − 3.23 + 3.24 −..... = 3 2
0
.( )−
∞
∑ n trata-se de uma série 
geométrica de razão r = −2 e a = 3.
Ao analisarmos os exemplos de séries geométricas anteriores 
podemos inferir que convergem ou divergem?
Para verificarmos a convergência ou divergência desse tipo de série aplicamos 
o seguinte teste:
Sequências e Séries de Números Reais
U3
140
Definição para o teste de série geométrica: A série geométrica a.rn 1
1
−∑ a ≠ 0 e 
r ∈ R
1º) Caso: será convergente para S
a
1 r
=
−
 se r 1< .
2º) Caso: será divergente, se r 1≥ .
DEMONSTRAÇÃO:
1º) Caso: para r 1=
Se r = 1 a série será indicada por a a a a a ....
1
∑ = + + + + assim a n-ésima soma 
parcial será:
s
n
 = (n+1).a
Assim, 
lim s
n
n→+∞
= ±∞
Concluímos que a série é divergente.
2º) Caso: para r = –1
Se r = –1 a série será indicada por a( 1) a a a a a a .....n 1
1
− = − + − + − +−∑a( 1) a a a a a a .....n 1
1
− = − + − + − +−∑ .
Assim as somas parciais seriam a, 0, a, 0, a, 0,... e acarretando que a série diverge 
por não existir o limite das somas parciais.
3º) Caso: r 1↑
 
≠ 1
Considere a sequência das somas parciais (s
n
):
s a ar ar ar ... ar
n
2 3 n 1= + + + + + − 
rs ar ar ar ... ar ar
n
2 3 n 1 n= + + + + +− 
Subtraindo a primeira expressão da segunda temos que:
s rs a ar
n n
n− = − .
Deste modo,
s
a(1 r )
1 r
n
n
=
−
−
.
Sequências e Séries de Números Reais
U3
141
Aplicando o limite temos,
lim s lim
a(1 r )
1 r
a
1 r
; se r
 se 
n
n
n
n
→+∞ →+∞
=
−
−
= −
<
∞
1
; rr >



 1
Deste modo, validamos o teste de convergência ou divergência para séries geométricas.
2.3.2 Série-p
Observe a seguinte estrutura de série 
1
npn 1=
∞
∑ , sendo que p>0, essa estrutura é 
denominada série-p, sendo convergente se p > 1 e divergente se 0 < p ≤ 1.
Um caso particular desse tipo de série 
1
nn 1=
∞
∑ que denominamos de série 
harmônica e, como vimos anteriormente, será divergente. Vejamos a seguir o teste 
da integral para definirmos a convergência ou divergência desse tipo de série.
Definição teste da integral: Considere a série ∑
k
ak
k
• com termos positivos e seja f a 
função geradora de ( )ak . Se f é decrescente e contínua em [a;+∞), então:
∑
k
ak
k
• é convergente se, e somente, se f x dx
a
( ).
+∞
∫ for convergente.
Por exemplo, ao aplicarmos o teste da integral na série 
1
2
1 nn=
∞
∑ temos um 
caso de série convergente. Porém, aplicaremos o teste da integral na estrutura da 
série-p, vejamos:
1º) Caso: aplicaremos o teste da integral considerando para p ≠ 1
1
1 x
dxp =
∞
∫ 
lim
b
pb x dx
→∞
−∫ =1
Sequências e Séries de Números Reais
U3
142
lim
b
p bx
p→∞
− +
− +





 =
1
1
1
1
1
1
1
−
−
→∞
−
p
b
b
p
lim( )
2º) Caso: para p > 1 temos que,
1
1
1
1
−
− =
→∞
−
p
b
b
p
lim( )
1
1
1
1
1
1
1−
− =
−→∞ −p b pb p
lim( )
Deste modo, a série-p será convergente.
3º) Caso: para 0 < p < 1 temos que,
1
1
1
1
−
− = ∞
→∞
−
p
b
b
p
lim( ) . 
Assim, a série-p será divergente.
4º) Caso: para p< 0 temos que,
lim lim lim
n n n p n
pa
n
n
→∞ →∞ →∞
−= = = ∞
1
. 
Segue que a série-p será divergente.
5º) Caso: para p = 0 temos que, a série-p é indicada por 1
1n=
∞
∑ que é uma série que 
diverge.
Concluímos que a série-p será convergente apenas quando p > 1.
2.3.3 Série alternada
Considerando os elementosde uma sequência alternada, ao aplicarmos a 
Sequências e Séries de Números Reais
U3
143
soma obtemos uma série alternada. 
Vejamos a seguir alguns exemplos de séries alternadas.
EXEMPLO 1: ( )−
=
+∞
∑ 1
0
k
k
EXEMPLO 2: 
( )− +
=
+∞
∑ 1
1
1
k
k k
EXEMPLO 3: 
cos( . )k
kk
pi
=
+∞
∑
1
Como seriam as representações gráficas das sequências que 
dão origem às séries alternadas dos exemplos anteriores?
Definição do teste de Leibniz (Teste da Série Alternada): Uma série alternada 
converge quando satisfaz às seguintes condições:
1ª) Condição: a an n〉 +1 para todo n ≥1
2ª) Condição: lim
n n
a
→∞
=0
2.3.4 Teste da Comparação dos Limites
Considere ∑
k
ak
k
• e ∑
k
bk
k
• séries de termos positivos de modo que: 
L a
bk
k
k
=
→+∞
lim
Se 0 < L < +∞ temos que ambas são convergentes ou ambas são divergentes.
2.3.5 Séries absolutas
Podemos ter séries com termos positivos e negativos, podemos aplicar a esses 
termos o módulo obtendo uma série absoluta.
Sequências e Séries de Números Reais
U3
144
Vejamos a seguir um exemplo:
EXEMPLO:
Considere a série 
1
1
4
1
9
1
16
1
25
− − + + − ...
Aplicando o módulo aos elementos da sequência obtemos a seguinte série absoluta:
1
1
4
1
9
1
16
1
25
+ + + + + ...
Em geral, a série absoluta de ∑
k
ak
k
• é representada por ∑
k
 ak
k
• . Ao obtermos 
uma série absoluta podemos aplicar a seguinte proposição:
Dada uma série an
n=
∞
∑
1
 esta será absolutamente convergente se e somente 
an
n=
∞
∑
1
 for convergente.
3.2.3.6 Teste da Razão
Se ∑
k
ak
k
• é uma série de termos não nulos então, resolvendo o 
L a
ak
k
k
=
→+∞
+
lim
1
Temos que:
1º) Caso: se L < 1, então ∑
k
ak
k
• converge absolutamente e, portanto, converge.
2º) Caso: se L = 1, então nada se pode afirmar sobre ∑
k
ak
k
• .
3º) Caso: se L > 1, então ∑
k
ak
k
• diverge.
Observamos que o teste da razão é recomendado quando a
n
 possui potências 
e produtos e aplicável o teste da série-p.
Sequências e Séries de Números Reais
U3
145
Aprofunde os seus conhecimentos sobre testes de convergências 
de séries, acesse o link a seguir e veja proposições, definições 
exemplos resolvidos: <http://www.aedmoodle.ufpa.br/pluginfile.
php?file=%2F104051%2Fmod_resource%2Fcontent%2F0%2FLivro%2FC
apitulo5.pdf>. Acesso em: 11 set. 2015.
A seguir apresentamos exemplos diversos para analisarmos a convergência ou 
a divergência de séries.
EXEMPLO 1: (Adaptação de LEITHOULD, 1994, p. 713) 
Determine se a série é convergente ou divergente: 
1
41 nn=
∞
∑
SOLUÇÃO: 
Temos que 
1
41 nn=
∞
∑ = 1
4
+ 
1
8
+ 
1
16
+...+ 
1
4n
+..., segue que 
1
1 nn=
∞
∑ é a série 
harmônica e é divergente, assim 
1
41 nn=
∞
∑ = 1
4
1
1 nn=
∞
∑ que será divergente também.
EXEMPLO 2: (Adaptação de LEITHOULD, 1990, p. 716)
Determine se a série é convergente ou divergente: 
4
3 11
n
n +=
∞
∑
SOLUÇÃO: 
Temos que 
4
3 11
n
n +=
∞
∑ = 44 + 
4
10
+ 
4
28
+...+ 
4
3 1
n +
+... neste caso podemos 
comparar com a série 
4
31
n
n=
∞
∑ = 4
3
+ 
4
9
+ 
4
27
+...+ 
4
3
n +... que é uma série 
geométrica de razão 
1
3
 que será convergente. Assim 
4
3 1
n +
<
4
3
n o que implica 
que a série 
4
3 11
n
n +=
∞
∑ será convergente.
Sequências e Séries de Números Reais
U3
146
Nesta unidade você aprendeu sobre:
- Conceituação de sequências.
- Progressões aritméticas.
- Progressões geométricas.
- Sequências convergentes e divergentes.
- Sequências monótonas.
- Sequências limitadas.
- Conceituação de séries.
- Somas parciais de séries.
- Teste da divergência e propriedades de séries.
1. Verifique se a série a 1 1 1 1 1 ....
n
1
= + − + − +
∞
∑ é convergente ou 
divergente.
2. Qual o primeiro procedimento para verificar se uma série é 
convergente?
3. A figura a seguir mostra os quatro primeiros termos de uma 
série infinita de quadrados. O quadrado exterior tem uma área 
de 4 m2 e cada um dos outros é obtido ligando-se aos pontos 
médios dos lados do quadrado anterior. Encontre a soma das 
áreas de todos os quadrados.
Sequências e Séries de Números Reais
U3
147
- Séries geométricas.
- Séries-p.
- Séries alternadas.
- Séries absolutas.
- Testes de convergências para séries.
Nesta unidade lidamos com conceitos relacionados com 
sequências e séries. Primeiramente conceituamos séries, 
apresentamos as definições relacionadas às progressões 
aritméticas e geométricas, para deste modo compreendermos 
como são construídas algumas sequências, utilizamos esses 
temas para definirmos, por exemplo, os termos, o termo geral, 
e verificarmos que sequências são funções cujo domínio é 
o conjunto dos naturais e o contradomínio é o conjunto dos 
números reais, sendo os termos dessa sequência o conjunto 
imagem da função. 
Após a conceituação de sequências abordamos definições 
e propriedades que envolvem convergência e divergência, 
classificação em sequências monótonas crescentes, 
decrescentes e constantes, além de definirmos limitantes e 
sequências limitadas.
Já na segunda seção conceituamos séries e apresentamos 
exemplos sobre somas parciais. Em seguida, definimos e 
elencamos propriedades relacionadas a séries, apresentamos 
alguns tipos de séries e testes de convergência para séries.
Espero que tenha compreendido os conteúdos abordados nesta 
unidade. Aprofunde os conteúdos apresentados, complemente 
seus estudos com as leituras sugeridas, pense e busque respostas 
para as questões de reflexão. Além de realizar as atividades de 
aprendizagem tanto da seção quanto da unidade. 
Sequências e Séries de Números Reais
U3
148
A figura a seguir mostra uma sequência de triângulos de Sierpinski.
Figura 3.8 | Representação do triângulo de Sierpinski
 Nível 0 Nível 1 Nível 2
Fonte: O autor (2015).
O processo começa no nível zero, com um triângulo equilátero 
de área 1. Em cada passo a seguir cada triângulo equilátero é 
dividido por meio dos seguimentos que ligam os pontos médios 
dos seus lados e é eliminado o triângulo central assim formado.
1. Qual será a área branca dos níveis apresentados na 
sequência? 
2. Qual o termo geral dessa sequência?
Considere a série 
1
n(n 1)1 +
∑ para resolução dos exercícios 
de 3 a 5.
3. Indique os quatro primeiros termos da série.
4. Indique a sequência das somas parciais dessa série.
5. Verifique se a série é convergente ou divergente.
U3
149Sequências e Séries de Números Reais
Referências
ÁVILA, G. Análise para licenciatura. São Paulo: Edgard Blucher, 2001.
BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1974.
LEITHOULD, L. O cálculo com geometria analítica. São Paulo: Harbra, 1994.
LIMA, E. L. Um curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, Projeto Euclides, 2004.
Nesta seção conceituaremos o conjuntos abertos, conjuntos fechados, 
pontos de acumulação e conjuntos compactos. Apresentaremos 
conceitos relacionados com vizinhança, interior de um conjunto, para 
definirmos conjuntos abertos e fechados, e complemento de um 
conjunto para definirmos conjuntos fechados. Além disso, trazemos a 
demonstração de resultados e exemplos sobre esses tópicos.
Seção 1 | Topologia da Reta
Objetivos de aprendizagem: Nesta unidade temos como objetivo lidar 
com conjuntos abertos e fechados, pontos de acumulação e conjuntos 
compactos, definindo e conceituando os itens destacados. Além disso, 
apresentaremos aplicações da análise em limites e continuidades por meiode demonstrações de resultados.
Ao final desta unidade, espero que compreenda os conceitos, definições 
e propriedades abordados.
Bons estudos.
Debora Cristiane Barbosa Kirnev
Unidade 4
TOPOLOGIA DA RETA 
E APLICAÇÕES
Nesta seção relacionaremos os conceitos topológicos abordados 
na seção anterior com limites e continuidade, mostrando algumas 
das aplicações da análise real, sendo que a análise contribuiu para 
o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral da forma como 
conhecemos atualmente.
Seção 2 | Aplicações da Análise Real
Topologia da Reta e Aplicações
U4
152
Topologia da Reta e Aplicações
U4
153
Introdução à unidade
Abordaremos nesta unidade conceitos topológicos no conjunto dos números 
reais e aplicações da análise real. 
Na primeira seção trataremos especificamente de topologia, primeiramente 
conceituaremos os elementos que utilizamos nesse ramo da matemática, 
para assim lidarmos com as definições e os teoremas sobre conjuntos abertos 
e fechados, pontos de acumulação e conjuntos compactos. Essa é a parte da 
matemática que lida com limites e proximidades, podendo esses conceitos serem 
expandidos para topologia mais geral. 
Iniciamos a segunda seção com a noção intuitiva de limites, para posteriormente 
definirmos limites e continuidades, juntamente com suas respectivas propriedades, 
apresentamos exemplos a fim de esclarecer as aplicações dos conceitos 
topológicos.
Topologia da Reta e Aplicações
U4
154
Topologia da Reta e Aplicações
U4
155
Seção 1
Topologia da Reta
Introdução à seção 
Segundo Boyer (1974), por volta do início do século XX, as contribuições de 
Poincaré, com o trabalho denominado de analysis situs, a teoria dos conjuntos de 
Cantor e os estudos de Brouwer deram origem à topologia. Veremos a seguir os 
conceitos desse ramo da matemática.
1.1 Conceitos Topológicos 
Para introduzirmos os conceitos topológicos, consideraremos um conjunto 
não vazio que possui uma métrica na qual podemos verificar o conceito de distân-
cia. Por exemplo, no conjunto dos números reais, consideramos a reta real para 
analisarmos a distância entre dois pontos. A partir da definição de distância verifica-
remos as definições dos elementos representados no diagrama a seguir:
Figura 4.1 | Conceitos topológicos
Fonte: O autor (2015).
Topologia da Reta e Aplicações
U4
156
Iniciamos apresentando a definição de distância, vejamos:
Definição: Considere x, y pertencentes aos reais, temos que a distância entre x e y 
é dada por um número real não negativo de modo que d(x, y) = | x – y |.
A partir dessa definição podemos constatar que são válidas as seguintes 
propriedades:
1ª) Propriedade: temos que d(x, y) = 0 se, e somente se, x = y.
2ª) Propriedade: é válida a simetria, ou seja, d(x, y) = d(x, y).
3ª) Propriedade: é válida a desigualdade triangular, ou seja, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Provaremos a propriedade da desigualdade triangular, vejamos:
DEMONSTRAÇÃO: 
d(x, y) = | x – y | 
 = | (x – z) + (z – y) | 
 ≤ | x – z | + | z – y | 
 ≤ d(x, z) + d(z, y)
Além da definição de distância, precisamos definir vizinhança, vejamos:
Definição: Considere o número real a pertencente aos reais e seja ε > 0, de modo 
que a vizinhança de a com raio ε é definida em termos notacionais por:
Vε (a) = {x: d(x, a) < ε }= { x : | x – a | < ε }= ] a – ε , a + ε [
(Vε (a), lê-se: vizinhança de a com raio ε)
Topologia da Reta e Aplicações
U4
157
Para ilustramos a definição de vizinhança, vejamos a figura a seguir:
Figura 4.2 | Representação de vizinhança
Fonte: O autor (2015).
Associadas à definição de vizinhança, temos as seguintes propriedades:
1ª) Propriedade: Seja ε < δ neste caso, Vε (a) ⊂ Vδ (a).
2ª) Propriedade: Considere Vε (a) = {a} de modo que a ≠ b assim existe ε > 0 tal que:
Vε (a) ∩ Vε (b) = ∅
1.2 Topologia na Reta Real
Segundo Lima (2004), o conjunto dos números reais é o espaço topológico 
mais frequentemente utilizado e, por isso, o mais importante. Os conceitos 
topológicos são aplicados, por exemplo, em funções contínuas, sendo possível 
esclarecer sobre limites e continuidades de funções. 
Para abordamos tais conceitos precisamos de elementos geométricos 
associados à aritmética no conjunto dos números reais, vejamos alguns exemplos:
Tabela 4.1 | Exemplos de conceitos topológicos
TERMO ELEMENTO GEOMÉTRICO
Corpo dos reais A reta numérica
Número real Ponto
a < b a está à esquerda de b
a > b a está à direita de b
Valor absoluto da diferença |x - y| Distância do ponto x ao ponto y
Intervalo [a, b]
Segmento de reta em que os extremos são os 
pontos a e b
Fonte: O autor (2015).
Topologia da Reta e Aplicações
U4
158
A seguir definiremos elementos topológicos.
1.2.1 Conjuntos abertos
Para definirmos conjuntos abertos precisamos da definição de ponto interior, 
sendo assim, temos que:
Definição: Seja x ∈ R um ponto interior de um conjunto X ⊂ R, deste modo 
existe alguma Vε (x) contida no conjunto X.
Podemos entender os pontos interiores como todos os pontos suficientes 
próximos de x que ainda pertencem ao conjunto X, sendo assim, (x - ε, x + ε) ⊂ X. 
Vejamos uma ilustração dessa definição.
EXEMPLO: (adaptação de LIMA, 2004, p. 163) 
Se x ∈ (a, b) ⊂ X, seja ε o menor dos números positivos x - a e b - x, então (x- ε, x+ 
ε) ⊂(a,b), logo (x- ε, x+ ε) ⊂ X. Vejamos:
Figura 4.3 | Exemplo de ponto interior
Fonte: O autor (2015).
Adotaremos a seguinte notação para os pontos interiores de um conjunto X: 
int (X). Note que se X ⊂ Y, significa que int(X) ⊂ X implica em int(X) ⊂ int(Y).
OBSERVAÇÕES:
1º Caso: nem todo conjunto possui pontos interiores.
2º Caso: se um conjunto X possui algum ponto interior, ele deve ter pelo menos 
um intervalo aberto, assim será infinito.
3º Caso: se temos um intervalo aberto, temos um conjunto não enumerável, ou 
seja, se int(X) ≠ ∅ então X é não enumerável.
Topologia da Reta e Aplicações
U4
159
Definição: um conjunto A ⊂ R será um conjunto aberto se, e somente se, coincidir 
com o seu interior, ou seja, A = int(A). 
Vejamos a seguir a ilustração de conjunto aberto:
Figura 4.4 | Exemplo de conjunto aberto
Fonte: O autor (2015).
Baseado na definição anterior, temos que em qualquer conjunto A, se existir, o 
int(A) ⊂ A para demonstrar que A é aberto temos que provar que A ⊂ int (A).
A partir da definição de conjunto aberto provaremos as seguintes proposições:
Teorema 1: as vizinhanças Vε (a) são conjuntos abertos. 
DEMONSTRAÇÃO: Considere b ∈ Vε (a), temos que d(a, b) < ε. Indicando, 
δ = ε – d(a, b) > 0 , segue que Vδ (b) ⊂ Vε (a). Vejamos, se x ∈ Vδ (b) implica 
em d(x, b) < δ = ε – d(a, b) , sendo assim, d(x, b) + d(a, b) < ε deste modo, d(x, a) 
< ε implica em x ∈ Vε (a). Baseado na definição de ponto interior temos que 
b ∈ int (Vε (a)), ou seja, Vε (a) ⊂ int (Vε (a)). Sendo assim é válida a igualdade Vε (a) 
= int (Vε (a)), e podemos concluir que Vε (a) é um conjunto aberto.
Teorema 2: Considere X um conjunto qualquer, int ( X) é um conjunto aberto.
DEMONSTRAÇÃO: Temos que mostrar que int (X) ⊂ int (int(X)), de modo que 
tenhamos int(X) = int (int (X)), ou seja, int (X) será um conjunto aberto. Segue que 
se X ⊂ Y implica em int (X) ⊂ int(Y). Assim x ∈ int (X) implica em que existe Vε (x) tal 
que Vε (x) ⊂ X, isto é, existe Vε (x), tal que int(Vε (a)) ⊂ int(X). Segue que o conjunto 
Vε (x) é aberto e temos int(Vε (x)) = Vε(x) deste modo, x ∈ int(X) implica que existe 
Topologia da Reta e Aplicações
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160
Vε (x), tal que Vε (x) ⊂ int(X) implica em x ∈ int (int(X)), ou seja, int(X) ⊂ int (int (X)) .
Vejamos a seguir alguns exemplos relacionados com a definição eas 
proposições anteriores.
EXEMPLO 1:
Se X= (3, + ∞), temos uma margem de segurança de um ponto x ∈ X que é x - 3. 
Sendo tanto menor quanto mais próxima de 3 esteja o ponto x. Em geral, um 
conjunto X é aberto se, e somente se, para cada x ∈ X, existe um intervalo, aberto 
(a,b), tal que x ∈ (a,b) ⊂ X, neste caso, o intervalo (a,b) seria a margem de segurança 
do ponto x para garantir que este ponto pertença ao conjunto X. 
EXEMPLO 2:
Temos que o conjunto vazio é aberto. Segue que um conjunto qualquer X só pode 
deixar de ser aberto se existir em X algum ponto que não seja interior. Como não 
existe nenhum ponto no vazio, temos que admitir que este conjunto é aberto.
EXEMPLO 3:
O conjunto dos números reais é um conjunto aberto.
EXEMPLO 4:
Considere X= (0,2) ∪ (3,6). Segue que X é um subconjunto aberto da reta. Neste 
caso, para todo x ∈ X temos x ∈ (0,2) ou x ∈ (3,6). Em qualquer caso temos um 
intervalo aberto que contém x e está contido em X. 
EXEMPLO 5:
Um intervalo, sendo limitado ou não, será um conjunto aberto se, e somente se, 
for um intervalo aberto. Temos ainda que todo conjunto aberto não vazio é não 
enumerável. Deste modo, os conjuntos Q e Z, seus subconjuntos, os conjuntos 
finitos da reta não são abertos. Além disso, nenhum conjunto composto apenas 
por números irracionais pode ser aberto, pois não possui intervalos.
Topologia da Reta e Aplicações
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161
A definição de conjunto aberto se aplica às operações de 
conjuntos?
A seguir apresentamos algumas sentenças e resultados sobre conjuntos abertos.
Teorema 1: A união de dois conjuntos abertos será um conjunto aberto. 
Teorema 2: A união de uma família arbitrária de conjuntos abertos será um 
conjunto aberto.
Teorema 3: A interseção de um número finito de conjuntos abertos é um 
conjunto aberto.
Observamos que a interseção de uma infinidade de conjuntos pode não ser 
um conjunto aberto. Considerando esses teoremas sobre a união e interseção de 
conjuntos, apresentamos alguns exemplos:
EXEMPLO 1:
Se considerarmos a interseção infinita da família do conjunto −





1 1
n n
, para n= 
1, 2, 3,... temos que a interseção resultará no conjunto {0} que não é um conjunto 
aberto. Observe que {0} é o conjunto unitário do vazio, que possui o conjunto 
vazio como elemento.
EXEMPLO 2: 
Todo conjunto aberto contido nos números reais é uma união de intervalos abertos.
Topologia da Reta e Aplicações
U4
162
O que seria um conjunto conexo?
Aprofunde seu conhecimento sobre conjuntos abertos e fechados 
estude o texto de apoio disponível no link a seguir até a página 11, e 
veja outros exemplos sobre o assunto e exercícios propostos.
<http://www.mat.uc.pt/~caldeira/AnaliseIII-1.pdf>. Acesso em: 19 set. 2015.
1.2.2 Conjuntos fechados
Para definirmos conjuntos fechados precisaremos de alguns conceitos. 
Portanto partiremos do conceito ponto aderente.
Definição: Considere x	∈ R um ponto aderente de um conjunto X ⊂	R, deste modo 
x é um limite de uma sequência de pontos x
n
 ∈ X. 
 
Temos que todo ponto pertencente ao conjunto X é ponto aderente, mas 
temos outro caso que satisfaz essa definição.
EXEMPLO: 
Considere o conjunto (0, +∞) temos que 0 ∉ X, porém 0 é ponto aderente de X, 
pois lim
n n→∞





 =
1
0 , em que 
1
n





 � ∈ X para qualquer n .
Relacionado com essa definição temos o seguinte teorema:
Topologia da Reta e Aplicações
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163
Teorema: Um ponto x ∈ R é aderente a um conjunto X ⊂ R se, e somente se, para 
todo ε>0 temos X ( x - ε , x + ε ) ≠ 0.
Como consequência desse teorema, temos os seguintes corolários:
Corolário 1: um ponto x é aderente ao conjunto X se, e somente se, para todo 
intervalo aberto I contendo x temos que I ∩ X ≠ 0.
Corolário 2: Considere X ⊂	R limitado inferiormente e Y ⊂	R limitado superiormente. 
Temos que um ponto x ínfimo de X (denotaremos por x= inf X) é aderente a X e y 
supremo de Y (denotaremos por y = sup Y) é aderente a Y1.
Com base nisso podemos definir o fecho de um conjunto.
Definição: Denominamos de fecho de um conjunto X, denotado por X̅, o conjunto 
formado pelos pontos aderentes a X.
Analisando a definição apresentada podemos concluir que se X ⊂ Y, implica 
em X̅	⊂	Y̅, e ainda que, X ⊂ X̅, para todo X. A partir dos conceitos apresentados 
podemos definir conjunto fechado, vejamos:
Definição: Um conjunto X ⊂ R será fechado se, e somente se, todo ponto aderente 
a X pertence a X.
Ou seja, se temos um conjunto não vazio em R, limitado e fechado, o ínfimo e 
o supremo pertencem a esse conjunto. Além disso, temos o seguinte:
Teorema: O fecho de todo conjunto X ⊂ R é um conjunto fechado, ou seja, X̅̅ ̅̅ =X̅
1 Os conceitos de ínfimo e supremo foram abordados na Unidade 2.
Topologia da Reta e Aplicações
U4
164
Também podemos definir se um conjunto é denso, vejamos:
Definição: Considere X e Y conjuntos dos números reais, de modo que, X ⊂ Y. 
Temos que X é denso em Y quando todo ponto de Y for aderente a X.
Um conjunto ser denso implica que todo ponto de Y é limite de uma sequência 
de pontos de X. Por meio dessa definição, podemos constatar que os racionais 
Q são densos nos reais, ou seja, em R. Segue que os R-Q, isto é, os irracionais, 
também são densos em R. 
Relacionado à definição anterior temos o seguinte teorema:
Teorema: Todo conjunto X de números reais possui um subconjunto enumerável 
E, denso em X.
A seguir, apresentamos alguns exemplos a respeito desses conceitos:
EXEMPLO 1:
O fecho do conjunto dos racionais é a reta real.
EXEMPLO 2: 
O fecho do conjunto R-Q dos números irracionais também é a reta real.
EXEMPLO 3:
Os racionais e R-Q (irracionais) não são conjuntos fechados.
EXEMPLO 4:
O conjunto vazio é fechado.
Topologia da Reta e Aplicações
U4
165
EXEMPLO 5: 
O conjunto dos inteiros Z é fechado.
EXEMPLO 6:
O conjunto dos números reais é fechado.
EXEMPLO 7: 
Todo conjunto finito é fechado, pois o seu complementar é aberto.
EXEMPLO 8:
Existem conjuntos que não são fechados nem abertos, como, por exemplo, os 
racionais Q e os irracionais R-Q.
Como justificar que os conjuntos vazio e dos números reais 
são simultaneamente abertos e fechados?
Apresentamos agora algumas sentenças e resultados sobre conjuntos fechados.
Teorema 1: A união finita de uma família arbitrária de conjuntos fechados será um 
conjunto fechado.
Teorema 2: A interseção de conjuntos fechados será um conjunto fechado.
Topologia da Reta e Aplicações
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166
Os conceitos apresentados foram definidos para o conjunto dos 
números reais, porém podemos aplicá-los a um conjunto qualquer e 
teremos o que denominamos de espaços métricos, veja no link a seguir 
as definições, proposições e teoremas anteriores aplicados em um 
contexto qualquer:
<http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAcv0AC/topologia-rn>. 
Acesso em: 3 out. 2015.
Veremos a seguir definições que irão complementar as apresentadas para 
conjuntos abertos e fechados.
1.2.3 Pontos de acumulação 
Um caso que temos que considerar são os pontos de fronteira, ou seja, aqueles 
pontos que possuem uma vizinhança em um conjunto X e no Xc, vejamos a 
ilustração desse caso:
Figura 4.5 | Exemplo de ponto de fronteira
Fonte: O autor (2015).
Definição: Considere x ∈ R, x é um ponto de fronteira (ou ponto exterior) ao 
conjunto X ⊂ R se, e somente se existir uma Vε (x) contida no complementar do 
conjunto X. 
Outro conceito relevante é o de ponto de acumulação, vejamos a definição:
Topologia da Reta e Aplicações
U4
167
Definição: Considere x ∈ R, x é ponto de acumulação de um conjunto X ⊂ R se 
e somente se em qualquer Vε (x) existe pelo menos um ponto de X diferente de x. 
Temos que o conjunto dos pontos de acumulação de X é denominado de 
derivadode X e representa-se por X′, pode ocorrer que X′ = ∅.
No conjunto dos números inteiros, temos pontos de 
acumulação?
Por meio dos conceitos apresentados podemos verificar diversas propriedades. 
Temos o teorema a seguir que é relacionado com a definição de conjunto fechado, 
vejamos:
Teorema: Um conjunto X ⊂ R é fechado se, e somente se, seu complementar 
R – X = Xc é aberto.
DEMONSTRAÇÃO: Consideremos X um conjunto fechado e Xc um conjunto aberto, 
dado x ∈ Xc há uma vizinhança de x em que não há pontos de X. Segue que, se em 
alguma vizinhança de x existir aos menos um ponto do conjunto X, que não seja o 
próprio x, sendo o conjunto X fechado por hipótese, esse ponto x pertenceria então 
ao conjunto X e não a Xc como admitimos inicialmente. Portanto, se existe uma 
vizinhança de x sem nenhum ponto de X, implica que essa vizinhança está contida 
no complementar de X, ou seja, existe uma Vε (x) ⊂	X, deste modo se provando que, 
x ∈ X implica em existir uma vizinhança Vε (x) tal que Vε (x) ⊂	Xc implica em x ∈ int(Xc), 
significando esta implicação que Xc ⊂ int(Xc), ou ainda, que Xc é um conjunto aberto.
Por termos uma proposição bicondicional, temos que provar a recíproca, ou seja, 
sendo X um conjunto aberto mostraremos que Xc é fechado. Considere que x ∉ X, 
temos que x ∈ Xc assumindo que X é aberto, há uma vizinhança de x contida no 
conjunto X o que implica que esse ponto x não pode ser ponto de acumulação de A. 
Temos também o teorema indicado a seguir sobre pontos de acumulação:
Topologia da Reta e Aplicações
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168
Teorema: Temos que x é um ponto de acumulação de um conjunto X em 
qualquer vizinhança desse ponto se, e somente se, encontra-se infinitos pontos 
de X nessa vizinhança.
DEMONSTRAÇÃO: Se para cada vizinhança do ponto x encontramos infinitos 
pontos do conjunto X, encontramos pelo menos um ponto do conjunto e assim, 
por definição, temos um ponto de acumulação do conjunto. Por outro lado, se 
admitirmos que x é ponto de acumulação do conjunto X, se em alguma Vε (x) 
encontramos apenas finitos pontos do conjunto, indicados por x
1
, x 
2
, ... , x
k
 os 
pontos de X diferentes de x se encontram na vizinhança de modo que:
δ = Mín { d(x
1
 , x) ; d(x
2
 , x) ; ... ; d(x
k 
, x) } > 0
Podemos constatar que na vizinhança de Vδ (x) não existem pontos do 
conjunto X para eventualmente próprio x, sendo assim, se algum y ≠ x pertencente 
ao conjunto X e também a Vδ (x), teríamos d(y, x) < δ < ε e nesse caso esse y 
pertenceria igualmente a Vδ (x), ou seja, o ponto y seria então um dos xj (j = 1 
, 2 , ... , k) e seria necessário que a d(y, x) ≥ δ , dado o modo como se definiu o 
valor δ . Porém, se em Vδ (x) não existem pontos do conjunto X para mais do 
que eventualmente o próprio x, concluímos que o ponto x não pode ser ponto 
de acumulação do conjunto X, chegando a um absurdo. Assim, se considerarmos 
um ponto de acumulação de um conjunto X e admitir-se a existência de uma 
vizinhança para esse ponto em que apenas haja um número finito de pontos do 
conjunto, concluímos que o mesmo não pode ser ponto de acumulação desse 
conjunto. Deste modo, sendo x o ponto de acumulação de X, então existem 
infinitos pontos do conjunto na vizinhança de x.
A partir desse teorema temos os seguintes corolários.
Corolário 1: Os conjuntos finitos não possuem pontos de acumulação.
Corolário 2: Uma condição necessária de existência de pontos de acumulação de 
um conjunto é que este seja um conjunto infinito.
O que seria um conjunto discreto?
Topologia da Reta e Aplicações
U4
169
Temos que o fecho de um conjunto X é obtido acrescentando a X os seus 
pontos de acumulação. Assim temos o seguinte teorema:
Teorema: Para todo X ⊂ R, temos que X X X= ∪ '`.
X X X= ∪ '`, lê-se: o fecho de X é igual ao conjunto X unido com o conjunto dos 
pontos de acumulação de X, o derivado de X).
A partir desse teorema temos os seguintes corolários.
Corolário 1: X é fechado se, e somente se, X'⊂ X
Corolário 2: Se todos os pontos do conjunto X são isolados, então X é enumerável.
Vejamos casos para analisarmos a definição de ponto de acumulação.
EXEMPLO 1:
Considere o conjunto no intervalo da reta entre 0 e 1, denominado de conjunto K 
de Cantor, neste conjunto todo ponto x é um ponto de acumulação. 
EXEMPLO 2:
Considere o conjunto X = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...}, temos que 0 é ponto de acumulação 
a direita do conjunto, mas não a esquerda de X.
1.2.4. Conjuntos compactos
Apresentaremos uma definição para conjuntos compactos aplicada à topologia 
na reta, denominada de compacidade sequencial.
Definição: um conjunto não vazio X ⊂ R é compacto se toda sequência de pontos 
Topologia da Reta e Aplicações
U4
170
de X possui uma subsequência convergente para um ponto de X.
Para aprofundar seus conhecimentos sobre sequências numéricas 
acesse o link a seguir e veja exemplos de sequências e subsequências:
<http://www.icmc.usp.br/~andcarva/sma333/notasdeaula.pdf>. 
Acesso em: 3 out. 2015.
Relacionado com os conceitos tratados anteriormente temos o teorema de 
Bolzano-Weierstrass, por meio desse teorema podemos verificar que qualquer 
subconjunto dos números reais que seja limitado e infinito possui pelo menos um 
ponto de acumulação.
 
Teorema: um conjunto A ⊂ R sendo limitado e infinito possui pelo menos um 
ponto de acumulação. 
DEMONSTRAÇÃO: Considere a e b, respectivamente, o limite inferior (ou minorante) 
e o limite superior (ou majorante) de um conjunto A. Sendo o conjunto X representado 
por x ∈ [a, b] que possuam à sua direita (sejam excedidos por) uma infinidade de 
elementos do conjunto A. Temos que X é não vazio, pois ao menos a ∈ X, que é 
o limite inferior de A e temos à sua direita infinitos elementos do conjunto A que 
por hipótese é infinito. Entretanto, X é limitado superiormente por b, assim nenhum 
elemento de X excede b, porque à direita desse b não há elementos do conjunto A. 
Por ser X limitado superiormente, possui supremo que será indicado por λ. Segue 
que supremo λ é ponto de acumulação do conjunto A, pois dada uma vizinhança 
qualquer, temos que Vε (λ) = ] λ - ε , λ + ε [ . Portanto:
I) À direita de λ - ε há elementos de X, caso contrário λ - ε seria um limite superior 
de X inferior ao respectivo supremo.
II) À direita de λ - ε há infinitos elementos do conjunto A.
III) À direita de λ + ε não poderá existir uma infinidade de elementos de A, caso 
contrário λ + ε ∈ X o que seria contraditório ao fato de λ ser o supremo de X.
IV) Em Vε (λ) = ] λ - ε, λ + ε [ precisa existir uma infinidade de elementos do conjunto 
A. Deste modo, concluímos que λ ∈ A′.
Topologia da Reta e Aplicações
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171
Outro teorema relevante é o de Heine-Borel, vejamos.
Teorema: Um subconjunto não vazio X ⊂ R é compacto se, e somente se, é 
fechado e limitado.
Observamos que, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, toda sequência de um 
conjunto que é limitado possui uma subsequência convergente. Assim, se além de 
limitado o conjunto for fechado implica em que o limite dessa subsequência é um 
elemento do conjunto, ou seja, todo conjunto fechado e limitado é compacto.
Qual a demonstração do teorema de Heine-Borel?
Aprofunde seus conhecimentos sobre topologia na reta, estudando 
a referência de Lima (2004), Curso de análise, das páginas 161 a 186. 
Neste livro há outras demonstrações de teoremas para complementar 
seus estudos.
1. Justifique a sentença: “um conjunto será necessariamente 
aberto ou fechado”.
2. Analise o conjunto de Cantor definido no intervalo da reta 
real entre 0 e 1, e infira em que condições será aberto ou 
fechado.
Topologia da Reta e Aplicações
U4
172
Topologia da Reta e Aplicações
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173
Seção 2
Aplicações da análise real
Introdução à seção
Nas unidades anteriores abordamos o conceito de função, esseé um conceito 
de grande relevância em um curso de Análise Matemática. Segundo Ávila (2001), 
os estudos sobre funções se deram a partir do século XVII. Nessa época, com o 
surgimento da Geometria Analítica, muitos problemas eram resolvidos utilizando as 
variáveis e incógnitas que podiam ser representadas por meio dos eixos coordenados. 
A palavra “função” foi introduzida por Leibniz (1646-1716) em 1673, utilizada 
para designar qualquer das várias variáveis geométricas associadas com uma curva 
dada. Porém, gradativamente, passou a significar a dependência de uma variável 
em termos de outras. Já no século XVIII, o conceito de função permaneceu quase 
restrito à ideia de uma variável, tida como dependente, e sendo expressa em 
termos de outra ou outras variáveis que eram independentes.
Porém, com os estudos de processos infinitos estudados no campo da análise 
matemática, a ideia de função existente, que já era associada ao conceito de 
derivadas e integrais, começa a ser definida por meio de processos infinitos aplicados 
ao cálculo. Nesta subseção, trataremos dos processos infinitos associados a limites 
e continuidades, que deram origem ao cálculo conforme é aplicado na atualidade.
2.1 Limites 
Como vimos anteriormente, podemos entender um número real como um 
ponto de uma reta. Também definimos vizinhança de um ponto: de modo geral, é 
qualquer conjunto que contenha um ponto x internamente, sendo que entendemos 
vizinhança, quando não explicitado, como um intervalo aberto. Às vezes, há o caso 
de termos uma vizinhança excluindo o próprio ponto que indicaremos por V'. Ainda 
relacionando com o conceito de ponto de acumulação de um conjunto X, temos 
que x é ponto de acumulação do conjunto X, se em toda vizinhança de x há algum 
elemento de X diferente do ponto. No caso de um ponto não ser de acumulação 
teremos um ponto isolado. E teremos um conjunto discreto para todo conjunto 
em que os elementos são todos pontos isolados. Vejamos a seguir um caso.
Topologia da Reta e Aplicações
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174
EXEMPLO:
Temos um conjunto discreto em:
A = 
Sendo que essa função é dada por f: N →R tal que f(n) = 
n
n +1
, temos a 
seguinte representação:
Figura 4.6 | Exemplo de função discreta
Fonte: O autor (2015).
Ou seja, se n é um número natural, temos que a função é limitada superiormente 
por 1, além disso temos todos os pontos do conjunto isolados, o único ponto 
de acumulação será o número 1 que não pertence ao conjunto. Nesse tipo de 
representação gráfica indicamos apenas os pontos, pois não teríamos uma função 
contínua. 
No caso de um subconjunto em R possuir todos os seus pontos de acumulação, 
temos um caso de um conjunto denso. 
Se considerarmos o domínio da função anterior, sendo o conjunto dos números 
reais, temos uma indeterminação para o x= -1, sendo que poderíamos representar a 
função por f: R-{-1} →R, tal que f(x) = 
x
x +1
, e a representação gráfica seria dada por:
Topologia da Reta e Aplicações
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175
Figura 4.7 | Exemplo de função real
Fonte: O autor (2015).
Destacamos nessa representação gráfica os pontos indicados no caso discreto, 
porém como definimos a função no conjunto dos números reais, podemos analisar 
a continuidade da função, para isso precisamos entender os processos infinitos 
aplicados aos pontos dessa função, pois podemos observar que a função não é 
definida para x=-1. Ocorre que podemos analisar esse tipo de indeterminação por 
meio dos conceitos de limites.
A partir dos conceitos apresentados, podemos verificar a noção intuitiva de limite. 
2.1.1 Noção intuitiva de limite
Realizaremos um estudo informal de limites no qual nos preocuparemos 
em entender o que é limite, relacionando com o que vimos sobre pontos de 
acumulação.
Em muitos casos de funções, precisamos analisar se os valores f(x) de uma 
função f, em que x assume valores próximos de um número a, ou seja, temos que 
verificar se a f(x) se aproxima de um número b quando x se aproxima de a. Caso 
isso ocorra, afirmamos que o limite de f(x) quando x tende para a, é igual a b e 
indicamos pela notação lim ( )
x a
f x b
→
= . Vejamos um exemplo.
EXEMPLO:
Considere a função f, indicada por:
Topologia da Reta e Aplicações
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176
f x x
x
( ) =
−
−
2
1
1
.
Observe que o domínio da f será os R – {1}. De modo que temos que investigar 
o que ocorre com a f(x) quando se aproxima de algum número quando x assume 
valores próximos de 1. Verificamos na tabela a seguir valores de x próximos do 
número 1 e os correspondentes valores de f(x).
Tabela 4.2 | Exemplos de noção intuitiva de limite
Fonte: O autor (2015).
Observamos que para um valor de x cada vez mais próximo de 1, a f(x) está 
cada vez mais próxima de 2. Simbolicamente, temos que lim ( ) .
x
f x
→
=
1
2 Note que, 
lim ( )
x
f x
→
=
1
2não significa que x vai assumir o valor 1 e nem que a f(x) vai assumir 
o valor 2. Podemos inferir que no ponto x=1 temos um ponto de acumulação em 
que o ponto não pertence ao conjunto. 
Vejamos a representação gráfica dessa função:
Figura 4.8 | Exemplo de noção intuitiva de limites
Fonte: O autor (2015).
Segue que x ↑1 ≠	1, assim
Topologia da Reta e Aplicações
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177
f x x
x
x x
x
x( ) ( ) ( )= −
−
=
− +
−
= +
2
1
1
1 1
1
1
 Deste modo, a função f se comporta como a função g dada por g x x( ) = +1, 
ou seja, f(x) = g(x) para todo x ↑1 ≠	1. Como a representação gráfica da função g é uma 
reta, temos que a representação de f é a mesma reta, apenas excluímos o ponto 
(1,2), pois x ↑1 ≠	1.
Considere a função f(x) representada no gráfico a seguir:
Figura 4.9 | Exemplo de noção intuitiva de limites
Fonte: O autor (2015).
Analise e verifique intuitivamente se existem os seguintes limites:
a) lim ( )
x
f x
→ +0
 
b) lim ( )
x
f x
→ −0
c) lim ( )x f x→0
d) lim ( )x f x→+∞
e) lim ( )x f x→−∞ 
f) lim ( )x f x→2
Topologia da Reta e Aplicações
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178
2.2 Limites e Continuidade
Segundo Ávila (2001), o conceito de limite é posterior ao de derivada. Ele surgiu 
devido à necessidade de se calcular limites de razões incrementais que definem 
derivadas para limites do tipo 0/0 em que há indeterminações. Vejamos um caso 
de função com indeterminação.
EXEMPLO:
Seja a f: R-{0} →R tal que f(x) = 
sen x
x
( )
� , a representação gráfica é dada por:
Figura 4.10 | Exemplo de função com indeterminação
Fonte: O autor (2015).
Observe que com x tendendo a zero, temos um ponto de acumulação, porém 
a função não é definida no ponto, sendo necessário o estudo dos limites laterais 
no ponto.
Outra necessidade de se considerar o estudo dos limites é para o cálculo de 
integrais impróprias de funções do tipo:
Com x tendendo a 1.
Note que nos casos apresentados e em outros similares, a variável se aproxima 
de algum valor, sem coincidir com esse valor que será o limite no ponto analisado, 
atendendo à definição de ponto de acumulação. A partir disso, realizamos a 
definição de limite indicada a seguir:
Topologia da Reta e Aplicações
U4
179
Definição: Considere uma função f com domínio D, seja um ponto de acumulação 
de D, que poderá pertencer ou não a D. Seja um número L, esse será limite de f(x) 
com x tendendo a a, se, dado qualquer ε > 0 existe δ > 0 tal que:
Note que na definição apresentada utilizamos o conceito de vizinhança 
apresentado anteriormente. Porém, para simplificarmos a notação escrevemos a 
definição do seguinte modo:
lim ( )
x a
f x L
→
= ou lim ( )x a f x L→ =
EXEMPLO: 
Considere f a função indicada na representação gráfica a seguir:
Figura 4.11 | Exemplo de função com indeterminação
Fonte: O autor (2015).
Analisaremos alguns casos de limites, vejamos:
1º Caso: lim
x→0
f(x) 
Observamosque quando x = 0, f(x)=3, sendo o limite lateral a esquerda e a 
direita igual a 3, temos que lim
x→0
f(x) = 3. 
2º Caso: lim
x→5
f(x) 
Observamos que quando x = 5, f(x)=3, sendo o limite lateral a esquerda e a 
direita igual a + ∞, temos que lim
x→5
f(x) = + ∞ 
3º Caso: lim
x→−5
f(x) 
Observamos que quando x = 5, f(x) não está determinada, sendo o limite lateral 
a esquerda igual a- ∞	e a direita igual a + ∞, temos que lim
x→5
f(x) não existe.
Topologia da Reta e Aplicações
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180
4º Caso: lim
x→−10
f(x) 
Observamos que quando x = -10, f(x)= 3, sendo o limite lateral a esquerda e a 
direita igual a 3, temos que lim
x→−10
f(x) = 3. 
Quais as condições para termos uma função contínua?
O conceito de limite é utilizado para caracterizar o comportamento de uma função 
f(x) nas proximidades do valor a, ou seja, na vizinhança do ponto a, se mantendo 
diferente de a. Se a função tiver definida no ponto a e, além disso, o valor de f(a) 
coincidir com o valor do limite, então teremos continuidade no ponto. Sendo assim, 
podemos ter o limite no ponto sem que a função seja contínua. Ao nos referirmos ao 
limite de um ponto, devemos entender que esse ponto é um ponto de acumulação 
do domínio da função. A partir disso, podemos definir continuidade, vejamos:
Definição: Temos que f é contínua no ponto x = a se existir o limite de f(x) com x 
tendendo a a e se esse limite for igual a f(a).
Indicamos que f é contínua em seu domínio, ou apenas contínua, se satisfazer 
a definição para todos os pontos do domínio. 
Em resumo, temos que função f é contínua no ponto a se forem satisfeitas as 
seguintes condições:
I) f(a) existe.
II) lim ( )
x a
f x
→
 existe.
III) lim ( )
x a
f x
→
 = f(a).
Observamos que se uma ou mais destas três condições não for satisfeita, temos 
um caso de uma função f que é descontínua em a. Vejamos a seguir alguns casos 
de funções contínuas:
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181
EXEMPLO 1:
As funções do tipo polinomial f(x) = a
0
xn + a
1
xn-1 +a
2
xn-2 + ... + a
n
 . 
Representação gráfica de f(x) = x³ + 2x² - x
Figura 4.12 | Exemplo de função polinomial contínua
Fonte: O autor (2015).
EXEMPLO 2:
As funções do tipo racional f(x) =
p x
q x
( )
( )
Representação gráfica de f(x) = 7
2
x
x² +
Figura 4.13 | Exemplo de função racional contínua
Fonte: O autor (2015).
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182
Observamos que há funções do tipo racional que possuem indeterminações e 
acabam gerando representações gráficas com assíntotas ou com um furo no valor 
de x que gera o denominador igual a zero, como na função f(x) = 
1
1x -
, vejamos a 
representação gráfica:
Figura 4.14 | Exemplo de função racional descontínua
Fonte: O autor (2015).
EXEMPLO 3:
As funções do tipo raiz n-ésima xn , para x > 0 para n par.
Representação gráfica de f(x) = x
Figura 4.15 | Exemplo de função raiz n-ésima contínua
Fonte: O autor (2015).
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183
EXEMPLO 4:
As funções do tipo exponencial f(x) = ax , a > 0 e a ≠ 1.
Representação gráfica de f(x) = 2x
Figura 4.16 | Exemplo de função exponencial contínua
Fonte: O autor (2015).
EXEMPLO 5:
As funções do tipo logarítmicas f(x) = loga x , a > 0 e a ≠ 1.
Representação gráfica de f(x) = ln (x)
Figura 4.17 | Exemplo de função logarítmica contínua
Fonte: O autor (2015).
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184
EXEMPLO 6:
As funções do tipo senoides f(x) = sen x.
Representação gráfica de f(x) = sen(x)
Figura 4.18 | Exemplo de função senoide contínua
Fonte: O autor (2015).
De modo análogo, temos que as funções cossenoides são contínuas.
A seguir, apresentamos alguns resultados referentes aos conceitos definidos:
Teorema: Se uma função f com domínio D possui limite L com x → a, então |f(x)| 
tem limite |L|.
Por meio desse teorema podemos constatar que se uma função f é contínua 
em x=a, então o módulo dessa função, ou seja, a |f(X)| também será contínua 
nesse ponto. Isto é:
lim | ( ) | | ( ) |x a f x f a→ =
Outro teorema relevante será:
Teorema: Se uma função f com domínio D possui limite L com x → a e se A< L< 
B, então existe δ > 0, tal que x pertence à interseção da vizinhança de a com D, 
ou seja, V´δ (a) D implica em A < f(x) < B.
A partir desse teorema temos os seguintes corolários:
Corolário 1: Se uma função f com domínio D possui limite L com x → a então 
Topologia da Reta e Aplicações
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185
existe δ > 0 tal que f(x) é limitada em V´δ (a) ∩D.
Corolário 2: Se uma função f com domínio D possui limite diferente de zero com 
x → a, então existe δ > 0, tal que x pertence a V´δ (a)∩D e implica em f(x) > L/2 se 
L>0 e f(x)< L/2 se L<0, isto é, |f(x)| > |L|/2 em V´δ (a)∩D.
No link a seguir há outros resultados decorrentes de limites e 
continuidade que são aplicados em diversos ramos da matemática, 
como, por exemplo, em análise numérica. Acesse o link e aprofunde 
os seus conhecimentos: <https://uspdigital.usp.br/siicusp/cdOnlineTr
abalhoVisualizarResumo?numeroInscricaoTrabalho=4102&numeroEdi
cao=18>. Acesso em: 3 out. 2015.
Que operações podemos aplicar aos limites?
Para as operações com limites temos as seguintes propriedades:
Teorema: Dadas duas funções f e d com o mesmo domínio D com os limites x 
→ a, temos que:
I) f(x) + g(x) possui limite e lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x).
II) Considere uma constante k, assim k.f(x) possui limite e lim k.f(x) = k.lim f(x).
III) f(x) . g(x) possui limite e lim [f(x) . g(x)] = lim f(x) . lim g(x).
IV) Se tivermos lim g(x) ≠ 0 , então f(x)/(gx) possui limite e lim 
f x
g x
( )
( )
 = 
lim
lim
f x
g x
( )
( ) .
Temos como consequência desse teorema o seguinte corolário:
Topologia da Reta e Aplicações
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186
Corolário: Se f e g são funções contínuas em x=a, então são contínuas em x=a as 
funções f+g, f.g, sendo k uma constante a função k.f, e a função f/g se g(a) ≠ 0. 
Em que situações temos limites infinitos?
No caso do quociente temos que analisar o comportamento da função, pois 
poderá ocorrer limites infinitos, precisamos analisar quando os limites são infinitos, 
ou seja, lim ( )
x a
f x
→
= −∞ e lim ( )
x a
f x
→
= +∞ e simbolizam, respectivamente, que 
f(x) decresce indefinidamente quando x se aproxima de a, e ainda que f(x) 
cresce indefinidamente quando x se aproxima de a.
EXEMPLO:
Considere a função f, dada por f x
x
( ) =
1
2
. 
Figura 4.19 | Exemplo de função com limites infinitos
Fonte: O autor (2015).
Analisemos o limite nos seguintes casos:
1º Caso: limite lateral esquerdo de x tendendo a zero resulta em 
lim ( )
x
f x
→ −
= +∞
0
. 
2º Caso: limite lateral direito de x tendendo a zero 
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187
lim ( )
x
f x
→ +
= +∞
0
.
Segue que como os limites laterais convergem para o mesmo valor, implica que:
lim ( )
x
f x
→
= +∞
0
.
Os teoremas e proposições a seguir definem limites de uma função em termos 
de limite de sequências, sendo outra forma de abordar limites.
Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que uma função f com 
domínio D possua limite L com x→ a é que, para toda sequência x
n
 pertencente 
a D- {a}, ter x
n
→ a implica em f(x
n
)
 
→ L. 
A partir desse teorema, podemos concluir que f é contínua em um ponto a se, 
e somente se, para toda x
n
 pertencente a D- {a}, quando x
n
→ a temos f(x
n
)
 
→ f(a) . 
Como explicitar a condição necessária e a condição suficiente 
apresentada no teorema anterior?
Um resultado decorrente do teorema anterioré que:
Corolário: uma condição necessária e suficiente para que uma função f com 
domínio D possua limite para x→ a é que f(xn) possua limite para qualquer que 
seja a sequência x
n
 pertencente a D- {a}, quando x
n
→ a.
Outro teorema que envolve sequências é o critério de convergência de Cauchy, 
que é enunciado a seguir:
Teorema: uma condição necessária e suficiente para que uma função f(x) com 
domínio D possua limite com x→ a é que dado qualquer ε > 0 existe δ > 0 tal que:
x, y pertencente V´δ (a)∩D implica em |f(x) – f(y)| < ε
 
Topologia da Reta e Aplicações
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188
Os tópicos apresentados nesta seção surgiram em decorrência do 
desenvolvimento da análise e subsidiam o cálculo diferencial e integral.
1ª) Recomendação: no link a seguir há exercícios resolvidos que envol-
vem conceitos de topologia aplicados ao cálculo diferencial e integral. 
Acesse e estude para aprofundar seus conhecimentos:
<https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/downloadFile/3779571794473/Lis-
ta4.1.pdf>. Acesso em: 3 out. 2015.
2ª) Recomendação: no link a seguir temos um trabalho que relaciona 
a análise com a álgebra linear, acesse e estude uma nova abordagem 
para os conceitos apresentados nessa unidade:
<http://www.sbm.org.br/docs/coloquios/SU3-01.pdf>. Acesso em: 3 
out. 2015.
3ª) Recomendação: no livro de Ávila (2001), intitulado de Análise 
Matemática para Licenciatura, p. 113 a 125, indicado nas referências 
bibliográficas, você poderá aprofundar seus conhecimentos sobre as 
aplicações de análise.
Considere a f(x) indicada na representação gráfica a seguir 
para resolver as questões a seguir.
Figura 4.20 | Atividade sobre limites
Fonte: O autor (2015).
Topologia da Reta e Aplicações
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189
1. Analise, intuitivamente, e determine se existe o limite nos pontos:
a) lim ( )
x
f x
→ −3
 
b) lim ( )
x
f x
→ +3
c) lim ( )x f x→3 
d) lim ( )x f x→−∞
e) lim ( )x f x→+∞ 
f) lim ( )x f x→4
2. Responda os seguintes itens:
a) A função está definida em todos os pontos do domínio?
b) Todos os pontos do domínio são pontos de acumulação?
c) Podemos afirmar que a função é contínua? Justifique.
Nesta unidade aprendemos sobre:
- Conceitos topológicos.
- Ponto Interior.
- Vizinhança.
- Conjuntos abertos.
- Teoremas relacionados com conjuntos abertos.
- Ponto aderente.
- Fecho de um conjunto.
- Conjunto fechado.
- Teoremas relacionados com conjuntos fechados.
- Conjunto denso.
Topologia da Reta e Aplicações
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190
- Ponto de fronteira.
- Ponto de acumulação.
- Teoremas relacionados com ponto de acumulação.
- Conjuntos compactos.
- Teoremas relacionados com conjuntos compactos.
- Noção intuitiva de limites.
- Definição formal de limites.
- Conceito de continuidade.
- Definição formal de continuidade.
- Propriedades e teoremas para aplicação de limites e 
verificação de continuidades.
- Operações com funções e aplicação de limites e continuidades.
- Limites infinitos.
Nesta unidade lidamos com conceitos relacionados com 
conjuntos abertos, conjuntos fechados, pontos de acumulação 
e conjunto compactos. Apresentamos conceitos relacionados 
com vizinhança, interior de um conjunto para definir conjuntos 
abertos, também abordou-se sobre fecho e complemento de 
um conjunto para definirmos conjuntos fechados. Além disso, 
realizamos a demonstração de resultados e exemplos sobre 
esses tópicos.
Após a conceituação de elementos topológicos, abordamos 
os limites e continuidade, apresentando uma noção intuitiva 
e posteriormente a definição formal que recorre a processos 
infinitos vistos anteriormente.
Topologia da Reta e Aplicações
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191
1. Utilizando os conceitos topológicos tratados na unidade, 
apresente ao menos uma característica para cada item a seguir:
a) Conjunto aberto:
b) Conjunto fechado:
c) Conjunto denso:
d) Conjunto compacto:
2. Quais as condições para que um conjunto seja 
simultaneamente denso e aberto?
3. Um ponto de fronteira pode ser um ponto de acumulação?
4. Considere a função f representada no gráfico a seguir:
Figura 4.21 - Atividade sobre limites
Fonte: O autor (2015).
Verifique a existência do limite nos pontos indicados:
a) lim
x→0
 f(x)
b) lim
x→8
 f(x)
c) lim
x→−4
f(x)
Espero que tenha compreendido esses conteúdos abordados 
nesta unidade. Aprofunde os conteúdos apresentados, 
complemente seus estudos com as leituras sugeridas, pense 
e busque respostas para as questões de reflexão, além de 
realizar as atividades de aprendizagem tanto da seção quanto 
da unidade. 
Topologia da Reta e Aplicações
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192
d) lim
x→4
f(x)
e) lim
x→+∞
 f(x) 
f) lim
x→−∞
f(x)
5. Represente graficamente a função e investigue a 
continuidade nos pontos indicados:
a) f x
senx
x
x
x
( )
,
,
=
≠
=







0
0 0
 em x = 0.
b) f x
x x
x x
( )
,
| |,
=
≥ −
− < −





2
1
1 1
 em x = - 1.
c) f x x x
x
( ) ,=
− +
+
2
2
3 7
1
 em x = -1.
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193
Referências
ÁVILA, G. Análise para licenciatura. São Paulo: Edgard Blucher, 2001.
BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1974.
LIMA, E. L. Um curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, Projeto Euclides, 2004.
U
N
O
PA
R
A
N
Á
LISE M
ATEM
ÁTIC
A
Análise 
Matemática