Matemática - Questões de Porcentagem (1)

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QUESTÕES DE
PORCENTAGEM
MATEMÁTICA
2 
QUESTÕES - PORCENTAGEM
INTRODUÇÃO 
Motivadas pelo sistema de numeração decimal, as pessoas têm o costume 
de expressar a relação entre certa quantidade e o todo quando este é geralmente 
100. Daí o uso do termo porcentagem (relativo a frações de denominador 100).
NOTAÇÃO E USO 
Quando dizemos que, se em 400 alunos de uma escola, 240 são meninas, é 
o mesmo que dizer que encontramos 120 meninas em cada 200 alunos, ou ainda,
60 são meninas em cada 100 alunos. Representamos esta situação assim:
100
60
200
120
400
240
 (observe que os denominadores referem-se ao todo) 
Temos boa noção da proporção de meninas na escola principalmente 
através da última fração. 
Por tratar-se de frações especiais (frações com denominador 100), 
receberam uma notação especial: %. Assim, por exemplo: 
a) 60% =
100
60
 = 0,6 b) 4% =
100
4
 = 0,04 c) 123% =
100
123
 = 1,23 
Obs.: Uma vez que uma porcentagem representa uma fração, pode ser 
escrita na forma decimal. O contrário é possível: escrever um número decimal ou 
uma fração (mesmo sem denominador 100) na forma de porcentagem: 
a) 
50
7
 = 0,14 = 
100
14
 = 14% b) 
25
2
 = 0,08 = 
100
8
 = 8% 
c) 
8
3
 = 0,375 = 
100
5,37
 = 37,5% d) 
9
17
 = 1,888... = 
100
...8,188
 189%
Obs.: Note que, se uma fração possui como denominador um divisor de 100 
(1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 ou 100), não é difícil escrever a fração de denominador 
100 a ela equivalente. No item e) isto não acontece. Neste caso trabalha-se com 
aproximação. 
a) 
100
75
4
3
 = 75% b) 
100
26
5
3,1
 = 26% c) 
100
8,0
25
2,0
 = 0,8%
d) 4 =
100
400
 = 400% e) 
7
3
 = 0,428571...  0,43 = 
100
43
 = 43% 
 3 
EXERCÍCIOS 
1 – Escrever sob a forma de números decimais as porcentagens: 
 a) 22% b) 3% c) 250% d) 1,85% e) 0,18% 
2 – Escrever sob a forma de fração irredutível as porcentagens: 
 a) 30% b) 8% c) 124% d) 0,4% e) 5.000% 
3 – Escrever sob a forma de porcentagem as frações e os números decimais: 
 a) 
2
1
 b) 
20
9
 c) 
8
7
 d) 
11
420
 e) 
2
3
 
 f) 0,12 g) 0,123 h) 0,04 i) 0,4 j) 4 
4 – Escrever sob a forma de porcentagem: 
 a) (10%)² b) %49 c) (12%).(5%) d) 
%160
%40
 
 
 
 
 
 
 
 APLICAÇÃO DA DEFINIÇÃO DE PORCENTAGEM 
 
 Exemplo: Qual é a quantidade que representa 24% de 350 unidades? 
 Resposta: 0,24 . 350 = 84 ou 
100
24
 . 350 = 84 
 Calcule então: 
 a) 25% de 120 b) 325% de 800 c) 2% de 400 
 d) 13% de 21 e) 0,2% de 5 f) 4% de 3,5 
 
 AUMENTOS E DIMINUIÇÕES PERCENTUAIS 
 Aumento percentual 
O valor V que um número N = 30 terá após sofrer um aumento 
percentual de P = 24% é assim calculado: 
 V = 30 + 0,24 . 30 = (1 + 0,24).30 = 1,24 . 30 = 37,2 
Você sabia que: 52‰ = 
1000
52
 = 0,052 ? 
 4 
 Note a colocação intencional do fator comum 30 em evidência. Este 
procedimento auxilia na busca de uma regra que ofereça diretamente o valor V 
após um aumento percentual. Descubra-a através de outros exemplos e aplique-a 
nas situações a seguir: 
 a) N = 250 e P = 8% b) N = 25 e P = 80% c) N = 2.000 e P = 2,4% 
 d) N = 23 e P = 120% e) N = 4 e P = 340% f) N = 87 e P = 900% 
 Diminuição percentual 
O valor V que um número N = 30 terá após sofrer uma diminuição 
percentual de D = 24% é: 
 V = 30 – 0,24 . 30 = (1 – 0,24).30 = 0,76 . 30 = 22,8 
 Note novamente a colocação intencional do fator comum 30 em evidência. 
Do mesmo modo, busque uma regra que ofereça diretamente o valor V após uma 
diminuição percentual. Observando que não ocorre diminuição de mais de 100%, 
descubra-a através de outros exemplos e aplique-a nas situações a seguir: 
 a) N = 235 e D = 6% b) N = 29 e D = 60% c) N = 300 e D = 7,2% 
 
 Aplicação prática 
 Um produto custa 40 reais e sofre sucessivamente aumento de 36% e 
desconto de 25%. Qual seu preço final? Qual é o percentual equivalente a estas 
duas variações percentuais? 
 aum. de 36% ( 1,36) desc. de 25% ( 0,75) 
 Verifica-se que o preço inicial ficou multiplicado por 1,02 (1,36  0,75). 
Isto significa que ocorreu um aumento, e que equivale a 2%. 
 
 EXERCÍCIOS 
 1 – Numa sala existem 24 meninos e 16 meninas. Qual é o percentual de 
meninas na classe? 
 2 – Um reservatório de capacidade 200 litros contém 170 litros de água. 
Qual é o percentual relativo à parte vazia do reservatório? 
 3 – Um estacionamento tem 150 carros. Se ainda existem 40% de vagas, 
qual é a capacidade do estacionamento? 
 4 – Um produto custa 8 reais e teve seu preço aumentado em 3%. Quanto 
passará a custar? 
 5 – Um produto custa 15 reais e teve um desconto de 5%. Quanto custará? 
40,00 54,40 40,80 
 5 
 6 – Uma mercadoria custa 28 reais e tem seu preço reajustado por dois 
aumentos sucessivos de 4% e de 6%. Qual será o seu preço após estes dois 
aumentos? 
 7 – Aumentando-se a altura e a base de um retângulo em 15% e 20%, 
respectivamente, a área deste retângulo é aumentada em qual percentual? 
 8 – No dia 1° de setembro foi aberta uma caderneta de poupança e 
depositada uma quantia x. No dia 1° de dezembro do mesmo ano o saldo era de 
665500 reais. Sabendo que, entre juros e correção monetária, a caderneta de 
poupança rendeu 10% ao mês, qual era a quantia x? 
 9 – A cada ano que se passa, o valor de um carro diminui 30% em relação 
ao seu valor do ano anterior. Se V for o valor do carro no 1° ano, qual seu valor 
no 8° ano? 
 10 – O preço de certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. 
Supondo que o preço atual seja 100 reais, daqui a 3 anos qual será o seu preço? 
 11 – Uma certa mercadoria é vendida nas lojas A e B, sendo 20 reais mais 
cara em B. Se esta loja oferecesse um desconto de 10%, o preço nas duas lojas 
seria o mesmo. Qual é o preço desta mercadoria na loja A? 
 12 – O preço de um produto que custava R$ 12,50 sofreu um aumento, 
passando a custar R$ 13,50. A majoração sobre o preço antigo foi de qual 
percentual? 
 13 – O dólar estava cotado a R$ 1,85. Passou no próximo dia a ser cotado a 
R$ 1,48. Qual é o percentual de queda na cotação? 
 14 – Determinado produto que custa 150 reais sofre dois decréscimos 
sucessivos de mesmo percentual, passando a custar 96 reais. De qual percentual 
foi cada desconto? 
 15 – O preço de um produto foi reajustado em 20% de aumento por um 
comerciante. Este se arrependeu e retornou ao preço anterior através de um 
desconto. De qual percentual foi este desconto? 
 16 – Um recipiente contém uma mistura de leite natural e leite de soja num 
total de 200 litros, dos quais 25% são de leite natural. Qual a quantidade de leite 
de soja que deve ser acrescentada a esta mistura para que venha a conter 20% de 
leite natural? 
 17 – Numa classe existem 40% de meninas. Esta classe recebeu matrícula 
de 6 meninas, fazendo este percentual aumentar para 50%. Quantos alunos há 
agora? 
 18 – Paulo gasta 20% de seu salário com combustível, 30% com 
alimentação, 15% com vestuário e 20% com impostos, restando-lhe ainda 200 
reais. Qual é o salário de Paulo? 
 6 
 19 – Um produto teve dois aumentos sucessivos iguais que correspondem a 
um único aumento de 96%. Qual é o percentual de cada aumento? 
 20 – Após um aumento de 20%, o preço de um produto passou a custar 288 
reais. Qual era o preço do produto anterior ao aumento? 
 21 – A qual percentual de desconto correspondem dois descontos 
sucessivos de 13% e de 31%? 
 22 – Um terreno tem forma retangular. O que acontece com sua área se 
aumentarmos em 30% sua largura e diminuirmos em 30% o seu comprimento? 
 23 – Numa certa população, 18% das pessoas são gordas, 30% dos homens 
são gordos e 10% das mulheres são gordas. Qual é a porcentagem de homens na 
população? 
 24 – Uma máquina produz 4% de suas peças com defeito. Após 5 horas de 
produção, desregulou-se e essa taxa aumentou para 6%, trabalhando assim por 
mais 3 horas no dia. Se neste diaa produção foi de 400 peças, quantas saíram com 
defeito? 
 25 – Uma loja cobra uma taxa de juros mensal de 10% na venda de um 
produto na seguinte condição de pagamento: entrada de 100 reais; 240 reais após 
um mês e 220 reais após dois meses. Qual é o preço deste produto à vista? 
 26 – Numa comunidade, 30% são fumantes. Se 2 em cada 5 fumantes 
deixarem de fumar, o número de fumantes será de 900 pessoas. Qual é a 
população desta comunidade? 
 27 – Uma liga metálica de 200 kg é composta de 15% de estanho e 25% de 
cobre. Deseja-se acrescentar a ela, num processo de fundição, certa quantidade de 
cada um destes metais para que a nova liga contenha 20% de estanho e 32% de 
cobre. Determinar estas quantidades. 
 28 – Uma empresa dispensou 20% de seus empregados e aumentou o 
salário dos restantes, fazendo com que o valor de sua folha de pagamento 
diminuísse 10%. O salário médio de sua empresa (valor da folha de pagamento 
dividido pelo número de empregados) teve qual aumento percentual? 
 29 – A organização de uma festa distribuiu gratuitamente 200 ingressos 
para 100 casais. Outros 300 ingressos foram vendidos, 30% dos quais para 
mulheres. As 500 pessoas com ingresso foram à festa. Determine o percentual de 
mulheres na festa. Se os organizadores quisessem ter igual número de homens e 
mulheres na festa, quantos ingressos a mais eles deveriam distribuir apenas para 
as pessoas do sexo feminino? 
 30 – Dos carros que vêm de A, 45% viram à B 
esquerda, o mesmo ocorrendo com 35% dos que A E 
vêm de B e 30% dos que vêm de C. Qual o percen- 
tual de carros que, passando por A, entram em E? C 
 7 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 
 1 – Uma geladeira, cujo preço à vista é de 680 reais, tem um acréscimo de 
5% neste preço se for paga em 3 prestações mensais iguais. Qual é o valor de cada 
uma destas parcelas? 
 2 – O salário de um trabalhador era de 840 reais e passou a ser de 966 reais. 
Qual foi a porcentagem de aumento em seu salário? 
 3 – Paulo gastou 40% do que tinha e ainda ficou com 87 reais. Quanto ele 
tinha e quanto ele gastou? 
 4 – Laura gastou 900 reais na compra de uma bicicleta, de um aparelho de 
som e de uma estante. A bicicleta custou 60 reais a menos que a estante, e o preço 
do aparelho de som corresponde a 80% do preço da bicicleta. Quanto custa cada 
um destes produtos? 
 5 – Um televisor de 685 reais está sendo vendido em uma promoção com 
desconto de 12%. Por quanto está sendo vendido? 
 6 – Um fogão está sendo vendido assim: 30% de entrada e o restante em 5 
prestações iguais de 63 reais cada uma. Qual é o preço deste fogão? 
 7 – Um objeto que custava R$ 70,00 reais teve seu preço aumentado em 
R$ 10,50. Qual foi o percentual deste aumento? 
 8 – O mesmo modelo de uma geladeira está sendo vendido nas lojas A e B 
do seguinte modo: na loja A por 800 reais com desconto de 8% e na loja B por 
820 reais com desconto de 10%. Em qual destas lojas o preço é menor? 
 9 – Uma certa mercadoria é vendida nas lojas A e B, sendo 50 reais mais 
barata em B. Se a loja A oferecesse um desconto de 10%, os preços ficariam 
iguais. Qual é o preço na loja A? 
 10 – Uma quantia de R$ l.890,00 foi repartida entre três pessoas. Marta 
recebeu 80% da quantia de Luiz e Sérgio recebeu 90% da quantia de Marta. 
Quanto recebeu cada pessoa? 
 11 – Um comerciante comprou uma peça de tecido de 100 m por 800 reais. 
Se ele vender 40 m com lucro de 30%, 50 m com lucro de 10% e o restante pelo 
preço de custo, qual é o percentual de lucro na venda da peça toda? 
 12 – Um fabricante de televisores oferece como “vantagem” a devolução do 
dinheiro pago pelos seus produtos dois anos após a compra. Supondo-se uma 
inflação anual de 900% nestes dois anos, se, ao invés de devolver o dinheiro, o 
fabricante desse, no ato da compra, um desconto equivalente em dinheiro a ser 
devolvido, de quantos por cento deveria ser este desconto? 
 Respostas: 1) 238 2) 15% 3) 145 e 58 4) 300; 240 e 360 5) R$ 602,80 
6) 450 7) 15% 8) A 9) 500 10) L=750; M=600 e S=540 11) 17% 12) 1% 
 8 
 LUCRO / PREJUÍZO SOBRE CUSTO E SOBRE VENDA 
 Com o objetivo de dimensionar lucros e prejuízos (auxiliar na 
contabilização de ganhos e perdas), o comerciante utiliza-se de medidas 
percentuais, temas deste item. 
 O preço de um produto que o comerciante adquire é denominado preço de 
custo (C). O valor a este preço acrescentado para posterior venda é chamado lucro 
(L). O preço resultante da soma de C com L é chamado preço de venda (V). Se o 
valor da venda é menor que o valor do custo, então o lucro é negativo e será 
chamado de prejuízo (P). 
 Assim sendo: e 
 
C
L
  lucro sobre custo 
V
L
  lucro sobre venda 
 
C
P
  prejuízo sobre custo 
V
P
  prejuízo sobre venda 
 
 Exemplos: 
 1 – Um objeto que custa 60 reais é vendido por 75 reais. Qual é a 
porcentagem do lucro em relação ao preço de: a) custo? ; b) venda? 
 L + C = V a) %2525,0
60
15

C
L
 b) %202,0
75
15

V
L
 
 L + 60 = 75 
 L = 15 
 2 – Um automóvel de preço 56 mil reais é vendido com um prejuízo de 
20% sobre este preço. Qual foi o preço de venda? 
 2,0
C
P
  P = 0,2 . 56.000 = 11.200 reais 
 V = C – P  V = 56.000 – 11.200 = 44.800 reais 
 3 – Um vendedor ambulante vende seus produtos com lucro de 20% sobre o 
preço de venda. Qual é seu lucro sobre o preço de custo? 
 LCLCLLV
V
L
V
L CLV 455
5
1
2,0    
 Daí: %2525,0
4
1
4

L
L
C
L
 
 Obs.: – O lucro sobre o custo é sempre maior que o lucro sobre a venda. 
 – O prejuízo sobre o custo é sempre menor que o prejuízo sobre a venda. 
V = C + L V = C – P 
 9 
 EXERCÍCIOS 
 
1 – Uma jóia foi comprada por R$ 7.200,00 e vendida por R$ 8.640,00. 
Qual foi o percentual de lucro sobre o preço de custo desta jóia? 
 2 – Um vendedor teve prejuízo de 250 reais equivalente a 16% sobre a 
venda de uma mercadoria. Por qual preço ela foi comprada? 
 3 – Determinar o preço de custo de um automóvel que foi vendido por 
R$ 37.500,00, sabendo que o lucro sobre a venda foi de 20%. 
 4 – Um livro foi vendido por 136 reais com lucro de 40% sobre o preço de 
custo. Determine este preço de custo. 
 5 – Uma máquina fotográfica que custou 450 reais foi vendida com um 
lucro de 40% sobre o preço de custo. Por quanto foi vendida? 
 6 – Uma mercadoria que custa 840 reais é vendida com um prejuízo de 
20% sobre o preço de venda. Qual é o preço de venda? 
 7 – Um vendedor negocia seus produtos com lucro de 50% sobre o preço de 
venda. Qual é seu lucro sobre o preço de custo? 
 8 – O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto 
por x reais e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de 
promoções, ele deu a seus clientes um desconto de 20% sobre o preço de venda 
deste produto. Teve então um lucro ou um prejuízo sobre o preço de custo? 
 9 – Determinar de quanto por cento sobre o custo é o prejuízo de 100% 
sobre a venda? 
 10 – Uma certa mercadoria foi comprada e revendida sucessivamente por 
dois negociantes. O primeiro obteve um lucro de 10% sobre o respectivo preço de 
compra. O segundo a negociou sofrendo prejuízo de 10% sobre o respectivo preço 
de compra. Calcular o preço pelo qual o primeiro a adquiriu, sabendo-se que o 
segundo a transferiu ao comprador por R$ 2.079,00. 
 11 – Um comerciante compra 60 quilos de feijão e quer vendê-los de modo 
a poder comprar, com o dinheiro da venda, 80 quilos do mesmo feijão. Qual é a 
taxa de lucro do comerciante sobre a compra? 
 12 – Um comerciante comprou 350 litros de aguardente a R$ 1,35 o litro. 
Que quantidade de água deve juntar à aguardente para vender o litro a R$ 1,75 e 
ganhar 30% sobre o preço de compra? 
 13 – Certa mercadoria foi vendida por R$ 20.602,80 com prejuízo de 12,7% 
sobre o preço de compra. Por quanto deveria ser vendidapara dar um lucro de 
15% sobre o seu custo? 
 14 – O prejuízo sobre o preço de compra de um produto é de 20%. Se ele 
fosse vendido pelo triplo do preço, qual seria o lucro sobre o preço de compra? 
 10 
 JUROS 
 Ao aplicar (investir) certa quantia (capital C) em uma instituição financeira 
(por exemplo, um banco) por um determinado período de tempo (t), recebe-se, ao 
final deste, aquela quantia acrescida de um valor denominado juro (J). O valor do 
juro depende de certa porcentagem (taxa de juros i) sobre a quantia aplicada. O 
montante (M) é o resultado da soma daquela quantia com o juro. 
M = C + J 
 Juros simples são juros constantes incorporados a um capital, 
periodicamente, como, por exemplo, acontece na correção de certas dívidas por 
certo período de tempo. 
 Juros compostos são juros crescentes (ou decrescentes) incorporados a um 
capital, periodicamente, como acontece, por exemplo, na correção de aplicações 
financeiras. 
 
 Exemplo de situação envolvendo juros simples: 
Uma dívida de 530 reais venceu há 5 dias. É cobrada uma multa de 0,2% 
por dia de atraso no sistema de juros simples. Qual é o valor do montante desta 
dívida? 
→ 0,2% . 530 = 0,002 . 530 = 1,06 (juro de um dia) 
→ 5 . 1,06 = 5,30 (correção da dívida em juros simples por 5 dias) 
→ montante: M = C + J = 530 + 5,30 = 535,30 reais. 
 
Generalizando: J = C . i . t daí: 
 
 Exemplo de situações envolvendo juros compostos: 
1 – Um capital de 40 mil reais foi aplicado à taxa de 2% ao mês durante 3 
meses. Qual foi o montante ao final deste período? 
→ 1° mês: M = 1,02 . 40.000 
→ 2° mês: M = 1,02 . (1,02 . 40.000) = 1,022. 40.000 
→ 3° mês: M = 1,02 . (1,022. 40.000) = 1.023. 40.000 = 42.448,32 reais. 
 
Generalizando: 
 
 Obs.: Analogamente conclui-se que um capital, após descontos sucessivos 
e iguais, transforma-se no montante: 
 
 
2 – Quanto receberá de juros, ao final de um semestre, uma pessoa que 
investiu, a juros compostos, a quantia de 6.000 reais à taxa de 1% ao mês? 
M = C . (1 + i) t 
M = C . (1 – i) t 
M = C . (1 + i . t) 
 11 
M = C . (1 + i) t = 6.000 . 1,016 ≅ 6.369,12 reais (com auxílio de calculadora) 
Assim, J = 6.369,12 – 6.000 = 369,12 reais. 
 
Obs.: – Por tratar-se de uma equação exponencial em t, calculá-lo requer 
conhecimentos básicos da teoria de logaritmos. 
 – Como visto no exemplo acima, a calculadora faz-se necessária no 
cálculo do capital inicial ou do capital final, sobretudo quando se tem valor 
elevado para t. 
 – O período t e a taxa i devem referir-se a mesma unidade de tempo. 
 
 EXERCÍCIOS 
 1 – Qual deve ser o capital que, aplicado à taxa de 20% ao ano, gera um 
montante de 14.400 reais em 2 anos? 
 2 – Calcule o montante produzido por 5.000 reais aplicado à taxa de 6% ao 
bimestre, após um ano. 
 3 – O capital de 2.000 reais rendeu, após 4 meses, juros de 165 reais. Qual 
foi a taxa de juros? 
 4 – Em qual situação a aplicação de 4.000 reais terá maior rendimento: 
a) no sistema de juros simples a 3% ao mês, em 2 meses? 
b) no sistema de juros compostos a 2% ao mês, em 3 meses? 
5 – Em determinada época, a taxa de correção monetária da caderneta de 
poupança é de 10%. Uma pessoa deseja comprar um produto oferecido em duas 
situações. Qual é a situação mais vantajosa: 
a) à vista, por 3.000 reais? 
b) a prazo, em 3 parcelas de 1.100 reais (com entrada)? 
6 – Um certo material radioativo perde diariamente 2% de sua massa. Se t é 
o tempo necessário para que sua massa fique reduzida à metade (meia vida), 
determine t. [use log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845] 
7 – Um televisor é vendido em 4 parcelas (1 + 3) de 240 reais. A taxa de 
aplicação financeira na época da compra é de 10%. A partir de qual percentual de 
desconto a compra à vista é mais vantajosa? 
8 – Uma pessoa tinha uma dívida de R$ 7.500,00 com certo banco. Após 5 
meses verificou que havia sido corrigida para R$ 9.500,00. Qual foi a taxa de 
juros cobrada pelo banco? 
9 – Qual a taxa anual equivalente para juros compostos a 7% por bimestre? 
10 – Aplicando 100 mil reais a juros compostos de 5% ao mês e 80 mil 
reais a 6% ao mês, depois de quanto tempo teremos montantes iguais? 
 12 
CURIOSIDADE 
 Segundo a prática em bancos, o tempo necessário para que um capital dobre 
o seu valor é dado pelo quociente entre o número 70 e a taxa média de aplicação. 
É a denominada regra dos 70, que funciona bem com taxas pequenas. 
 Justificativa: 
M = C . (1 + i) t [] veja que se x  0  x  ln (1 + x) 
2C = C . (1 + i) t 
2 = (1 + i) t 
ln 2 = ln (1 + i) t 
t . ln (1 + i) = ln 2 [] 
t . i = ln 2  0,7 
Daí: t =
i
7,0
 ou t =
100i
70

 
 
 Assim, o tempo necessário para que uma quantia dobre de valor, corrigida 
mensalmente por uma taxa média de 1,4%, é: 
 t = 
100i
70

 = 
4,1
70
 = 50 meses 
 
 
 
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-1
0
1
2