(Coleção do Professor de Matemática) João Lucas Marques Barbosa - Geometria Euclidiana Plana-SBM (2006)

Prévia do material em texto

Copyright© 2006, 2005, 2004 (duas edições), 2002, 2001, 2000, 1999, 1984 
by João Lucas Marques Barbosa 
Direitos reservados, 1984 pela Sociedade Brasileira de Matemática 
Estrada Dona Castorina, 11 O - Ho1to 
22460-320, Rio de Janeiro - RJ 
Impresso no Brasil / Printed in Brazil 
Coleção do Professor de Matemática 
Capa: Rodolfo Capeta 
Distribuição e vendas: 
Sociedade Brasileira de Matemática 
e-mail: vendalivros@sbm.org.br 
Te!.: (21) 2529-5073, 2529-5095 
www.sbm.org.br 
ISBN: 85-85818-02-6 
GeoITietria 
Euclidiana Plana 
João Lucas Marques Barbosa 
Nona Edição 
Coleção do Professor de Matemática 
SOCIEDADE 
· BRASILEIRA 
· li] DE MATEMÁTICA 
1■ p SOCIEDADE 
BRASILEIRA 
, ~~ DE MATEMÃTICA 
COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 
• Logaritmos - KL.Lima 
• Análise Combinatória e Probabilidade com as soluções dos exercícios - A.C.Morgado, 
J.B.Pitombeira, P.C.P.Carvalho e P.Fernandez 
• Medida e Forma em Geometria (Comprimento, Área, Volume e Semelhança) -
E,L.Lima 
• Meu Professor de Matemática e outras Histórias - E,L.Lima 
• Coordenadas no Plano com as soluções dos exercícios - KL.Lima com a colaboração 
de P.C.P.Carvalho 
• Trigonometria, Números Complexos - M.P.do Carmo, A.C.Morgado, E.Wagner, 
Notas Históricas de J.B.Pitombeira 
• Coordenadas no Espaço - E.L.Lima 
• Progressões e Ivfatemática Financeira - A.C.Morgado, E.Wagner e S.C.Zani 
• Construções Geométricas - E.Wagner com a colaboração de J.P.Q.Carneiro 
• Introdução à Geometria Espacial - P.C.P.Carvalho 
• Geometria Euclidiana Plana - J.L.M.Barbosa 
• Isometrias - E.L.Lima 
• A Matemática do Ensino Médio Vol.1 - E.L.Lima, P.C.P.Carvalho, E.Wagner e 
A.C.Morgado 
• A Matemática do Ensino Médio Vol,2 - E.L.Lima, P.C.P.Carvalho, E.Wagner e 
A.C.Morgado 
• A Matemática do Ensino Médio Vol. 3 - E.L.Lima, P.C.P.Carvalho, E.Wagner e 
A.C.Morgado 
• Matemática e Ensino - E.L.Lima 
• Temas e Problemas - E.L.Lima, P.C.P.Carvalho, E.Wagner e A.C.Morgado 
• Episódios da História Antiga da Matemática - A.Aaboe 
• Exame de Textos: Análise de livros de Matemática - E.L.Lima 
• Temas e Problemas Elementares- E.L.Lima, P.C.P.Carvalho, E. Wagner e A.C.Morgado 
COLEÇÃO INICIAÇÃO CIENTÍFICA 
• Números Irracionais e Transcendentes - D.G.de Figueiredo 
• Primalidade em Tempo Polinomial- Uma Introdução ao Algoritmo AKS- S.C.Coutinho 
COLEÇÃO TEXTOS UNIVERSITÁRIOS 
• Introdução à Computação Algébrica com o Maple - L.N.de Andrade 
• Elementos de Aritmética - A. Hefez 
• Métodos Matemáticos para a Engenharia - E.C.de Oliveira e M.Tygel 
• Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies - M.P.do Carmo 
• Matemática Discreta - L. Lovász, J. Pelikán e K. Vesztergombi 
• Álgebra Linear - H.P. Bueno 
COLEÇÃO MATEMÁTICA APLICADA 
• Introdução à Inferência Estatística - H.Bolfarine e M.Sandoval 
COLEÇÃO OLIMPÍADAS 
• Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 9'ª a 16'ª - e.Moreira, E.Motta, E.Tengan, 
L.Amâncio, N.Saldanha, P.Rodrigues 
A 
A ída Marques Barbosa 
que me criou incentivando 
o ideal pelo magistério. 
A meus filhos 
Henrique, Lucas e Davi 
que só me têm dado alegrias. 
Introdução 
Desde sua publicação em 1985 este livro foi revisto apenas na edição 
ele 1994, para eliminar pequenos erros tipográficos, e, exceto pela 
inclusão ele um prefácio elo Professor Manfredo P. elo Carmo na 
edição ele 1999, não sofreu qualquer alteração relevante. 
Apesar elos inúmeros apelos, sempre me esquivei ele rever o seu 
texto; como desculpa a falta ele tempo. Foi somente depois que 
recebi um exemplar contendo a indicação ele um grande número de 
erros tipográficos e sugestões, que me convenci a fazê-lo. O exem-
plar me chegou às mãos, pelo correio, sem qualquer outra mensagem 
que uma nota manuscrita na página de rosto, logo abaixo elo título 
e do nome do autor, que dizia " ... com anotações de Vanclik Estevam 
Barbosa ... ". Fiquei encantado com o detalhamento de suas anota-
ções, com as quais concordei na quase totalidade. Foi o incentivo 
que estava faltando para me fazer colocar mãos à obra, trabalho cio 
qual resultou a presente edição. Quero, neste momento, agradecer 
ao Vanclik por sua contribuição. 
A permanência elo livro entre os mais vendidos ela Sociedade 
Brasileira de Matemática a cada ano, desde 1985, o que tem exigido 
constantes reimpressões, me convenceu ele que o texto não deveria 
ser modificado, apenas corrigido. Atendendo ao apelo ele grande 
número ele colegas que utilizam ou utilizaram o livro, inclui novos 
exercícios em todos os capítulos e criei um novo, no final, apenas 
com exercícios, pensando naqueles alunos que precisam fazer uma 
revisão da Geometria Euclidiana. Neste mister fui auxiliado dire-
tamente por três alunos de iniciação científica do Departamento de 
Matemática da UFC: a Valdenize Lopes do Nascimento, o Antonio 
Marcelo Barbosa da Silva e o Gláucio Cordeiro Alencar, que se dis-
puseram a encontrar, selecionar e resolver uma enorme quantidade 
de exercícios de geometria. Se por um lado eles me auxiliaram bas-
tante, por outro, aprofundaram seus conhecimentos matemáticos. 
Agradeço-lhes elo excelente trabalho que fizeram 
Devo também agradecer a contribuição do meu filho mais novo, 
Davi, que no presente ano cursa o terceiro científico e se prepara 
para o vestibular. Os problemas de Matemática, que me trouxe, 
vez por outra, sem que soubesse, serviram de inspiração para a 
proposta de novos exercícios. 
Infelizmente todas as figuras do texto original foram perdidas e 
tiveram de ser refeitas. Para isto contei com o talento e dedicação 
do Márcio Pereira da Silva, o qual investiu tempo e esforço para 
reconstituí-las e para produzir outras, que acompanham os novos 
exercícios. 
Agradeço a todos os que direta ou indiretamente, colaboraram 
com esta edição do livro, particularmente a Professora Suely Driick, 
atual presidente da Sociedade Brasileira de Matemática e a todos 
os professores que, ao longo dos anos, me enviaram indicações de 
erros tipográficos no texto das edições anteriores deste livro. 
João Lucas Marques Barbosa 
Fortaleza, Julho de 2003 
ii 
Prefácio da 4~ Edição 
Até a publicação deste livro do Professor João Lucas Barbosa, não 
existia em português um texto que pudesse ser indicado para um 
estudante iniciar o seu aprendizado ela Geometria axiomtica. O 
método ela geometria axiomtica fornece uma demonstração tão con-
vincente da força do pensamento puro que os livros ele Euclides 
foram usados, através dos séculos, para treinar inteligências em 
formação, e serviram de modelos ele rigor para trabalhos tais como 
a Ética ele Espinoza e os Princípios de Newton. A Geometria ele-
mentar é o domínio por excelência no qual o método axiomático 
pode ser aplicado em situaçes que, embora simples, dão resultados 
altamente não-triviais. Tais métodos devem, portanto, fazer parte 
ela formação básica de um cidadão. Os livros ele Euclides são, entre-
tanto, difíceis para principiantes (além ele ser incompleta a axiomá-
tica ele Euclides) e, em outros países, várias tentativas foram feitas 
para tornar mais accessível ( e mais completo) o método axiomáti-
co no ensino da Geometria. No Brasil, há anos atrás, houve um 
relativo abandono elo ensino da Geometria à maneira ele Euclides. 
Na prática, o que se passava era que o assunto era relegado para 
o fim elo curso, e quase sempre não era ensinado. Isto devia-se em 
parte às dificuldades próprias elo assunto e em parte a uma certa 
influência ela então chamada, "matemática moclerna"que, embora 
utilizando a axiomática em outros tópicos, propugnava a eliminação 
ela Geometria ele Euclides no ensino básico. Foi neste quadro que 
iii 
apareceu o livro cio Professor Lucas Barbosa. Utilizando uma mo-
dificação ela axiomática ele Euclides, devida ao matemático russo 
A.V. Pogorelov, o Professor Lucas produziu um texto em português 
apresentando os elementos fundamentais ela Geometria Plana ele 
modo accessível, eficiente e correto. Que o livro foi bem recebido 
é comprovado pelo fato que ele foi reimpresso diversas vezes e quecontinua a demanda por novas edições. O livro, como diz o co-
nhecido chavão, preencheu uma lacuna. Ele é uma boa referência 
em português para aqueles que queiram ir mais adiante no estudo 
ela Geometria. Por exemplo, o excelente ((Medida e Forma em 
Geometria"clo Professor Elon Lima cita o livro cio professor Lu-
cas como referência para Geometria Plana. Em verclacle, O livro cio 
Professor Elon e um curso ele Geometria Hiperbólica dado no XX 
Colóquio Brasileiro ele Matemática pelo Professor Lucas constituem 
uma ótima continuação para os estudos aqui iniciados. Com isto, 
começo a me afastar cio meu tema inicial e creio conveniente con-
cluir aqui este Prefácio. Antes, porém, quero parabenizar o Profes-
sor Lucas pelo ótimo trabalho realizado. 
Manfreclo Perdigão cio Carmo 
19 ele abril ele 1999. 
iv 
Introdução da 3~ edição 
Esta é uma edição revista elo livro ele mesmo título que escrevi há 
cerca ele vinte anos e que foi publicado, em sucessivas impressões, 
na coleção Fundamentos ele Matemática Elementar ela Sociedade 
Brasileira ele Matemática. 
A revisão consistiu essencialmente na alteração cio enunciado ele 
alguns elos exercícios e problemas propostos, a correção de alguns 
erros ele datilografia e a possível inclusão ele alguns novos ... 
Agradeço a todos aqueles que me indicaram erros e enganos 
no texto original e fizeram sugestões para modificações do mesmo. 
Foram mais ele uma centena ele cartas, algumas apresentando a 
contribuição ele turmas inteiras ele cursos ele geometria em que ele. 
foi adotado. Por ser impossivel aqui registrar todos os seus nomes, 
quero representa-los na pessoa cio mais ilustre destes leitores, o 
Professor Manfreclo Perdigão cio Carmo, que me enviou em 1986 
uma cópia cio livro com suas observações e sugestões, a qual utilizei 
como repositório ele todas as que me foram enviadas posteriormente, 
o que simplificou sobremaneira a preparação desta nova edição. 
João Lucas Marques Barbosa 
Fortaleza, julho ele 1994 
V 
Introdução da 1~ edição 
Este livro foi escrito para servir de texto a uma disciplina de Geo-
metria para alunos ele cursos de licenciatura em Matemática. Ele 
contém o material padrão de um curso ele Geometria Euclidiana 
Plana, excetuando-se os tópicos relativos a movimentos e a cons-
trução de figuras com régua e compasso. Este material será incluído 
numa versão futura deste texto. 
Os axiomas adotados são aqueles selecionados por A.V. Pogo-
rélov no seu livro "Geometria Elemental". Estes axiomas têm a 
vantagem de levarem o aluno rapidamente aos teoremas mais impor-
tantes da Geometria Plana. Em alguns casos eles estão enunciados 
ele forma mais ampla do que seria necessário. Por exemplo, um de-
les afirma que, dada uma reta existem pontos sobre ela e pontos fora 
dela. De fato seria suficiente postular apenas a existência ele dois 
pontos sobre a reta e um ponto fora dela. Os axiomas sobre medição 
ele segmentos e medição de ângulos são extremamente vantajosos elo 
ponto ele vista metodológico. Primeiramente eles evitam o traba:ho 
ele estabelecer os conceitos ele medida ele segmentos e ele medida ele 
ângulos. É sabido que a introdução destes conceitos, quando se faz 
uso de uma axiomática clássica, constitui-se num problema nada 
simples e que requer a utilização ele meios inacessíveis ao aluno, 
por sua profundidade. Segundo, através dos a.xiomas de medição, 
incorpora-se a aritmética e a álgebra elementar ao arsenal de meios 
utilizáveis para as demonstrações cios teoremas ela Geometria. 
vii 
A introdução cio quinto postulado, característico ela Geometria 
Euclidiana, é retardada até o capítulo 6. Assim, os teoremas obti-
dos até o capítulo 5 são válidos em uma geometria não Euclidiana 
em que sejam verdadeiros os quatro primeiros axiomas. Neste as-
pecto este livro poderia ser considerado como um texto preliminar 
a um curso ele Geometria não Euclidiana ou servir como fonte ele 
referência para alunos daqueles cursos. 
O livro está organizado em 10 capítulos. Cada um deles contém, 
além ela parte ele conteúdo, uma relação ele exercícios, uma ele 
problemas e um texto denominado "Comentário". A separação 
elas questões propostas aos alunos, em problemas e exercícios, foi 
feita, em princípio, considerando-se que os problemas complemen-
tam a teoria e têm um caráter mais conceituai, enquanto que os 
exercícios destinam-se mais à fixação cio conteúdo apresentado. Os 
comentários constituem-se numa seleção ele pequenos tópicos, que 
não fazem parte cio conteúdo cio livro, mas que têm sido ele muita 
utiliclacle na formação cios alunos cios cursos ele Geometria que tenho 
lecionado. Incentivado por eles fui levado a incluir alguns destes pe-
quenos tópicos neste livro. 
Ao finalizar esta introdução gostaria de agradecer ao professor 
José Euny Moreira, que leu criticamente a versão manuscrita deste 
texto, e a minha esposa Cira que me incentivou a escrevê-lo. 
João Lucas Marques Barbosa 
Fortaleza, maio ele 1985 
viii 
Sumário 
Introdução 
Prefácio da 4ª Edição 
Introdução da terceira edição 
Introdução da primeira edição 
1. Axiomas de Incidência e Ordem 
2. Axiomas sobre Medição de Segmentos 
3. Axiomas sobre Medição de Ângulos 
4. Congruência 
111 
V 
Vll 
1 
13 
29 
45 
5. O Teorema do Ângulo Externo e suas Conseqüências 61 
6. O Axioma das Paralelas 
7. Semelhança de Triângulos 
8. O Círculo 
9. Funções Trigonométricas 
ix 
85 
109 
127 
157 
10. Área 
11. Revisão e Aprofundament: 
X 
175 
195 
CAPÍTULO 1 
AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ÜRDEM 
As figuras geométrica elementares, no plano, são os pontos e as 
retas. O plano é constituído de pontos e as retas são subconjuntos 
distinguidos ele pontos do plano. Pontos e retas cio plano satisfazem 
a cinco grupos ele axiomas que serão apresentados ao longo deste e 
dos próximos capítulos. 
O primeiro grupo ele axiomas é constituído pelos axiomas de 
incidência. 
Axioma 11 Qualquer que seja a reta existem pontos que pertencem 
e pontos que não pertencem à reta. 
Axioma 12 Dados dois pontos distintos existe uma única reta que 
os contém. 
Quando duas retas têm um ponto em comum diz-se qt1e elas se 
intersectam ou que elas se cortam naquele ponto. 
Proposi-;ão 1.1 Duas retas distintas ou não se intersectam ou se 
intersectarr:, em um único ponto. 
Prova: Sejam rn e n duas retas distintas. A interseção destas duas 
retas não pode conter dois (ou mais) pontos, cio contrário, pelo 
1 
2 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
axioma 12 , elas coincidiriam. Logo a interseção de m e n é vazia ou 
contém apenas um ponto. 
Imaginamos um plano como a superfície de uma folha de papel 
que se estende infinitamente em todas as direções. Nela um ponto 
é representado por uma pequena marca produzida pela ponta de 
um lápis, quando pressionada sobre o papel. O desenho da parte 
de uma reta é feito com o auxílio de uma régua. 
A 
o 
Figura 1.1 
Ao estudarmos geometria é comum fazer-se uso de desenhos. 
Nós mesmos faremos uso extensivo de desenhos ao longo destas 
notas. O leitor, no entanto, deve ser advertido, desde logo, que os 
desenhos devem ser considerados apenas como um instrumento de 
ajuda à nossa intuição e linguagem. 
Utilizaremos letras maiúsculas A, B, C, ... para designar pontos, 
e letras minúsculas a, b, e, ... para designar retas. Por exemplo, na 
Figura 1.2 
figura a:cima estão representados três pontos: A, B e C, e duas 
retas: me n. O ponto A é o ponto de interseção das du~ \~tas. 
1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ORDEM 3 
A figura abaixo apresenta uma reta e três pontos A, B e C desta 
reta. O ponto C localiza-se entre A e B ou, equivalentemente, os 
pontos A e B estão separados pelo ponto C. 
A e B 
Figura 1.3 
A noção de que um ponto localiza-se entre dois outros é uma 
relação, entre pontos de uma mesma reta, que satisfaz aos axiomas 
II1 , II2 e Ih apresentados a seguir. Estes são referidos como axiomas 
de ordem. 
Axioma II1 Dados três pontos distintos de uma reta, um e apenas 
um deles localiza-se entre osoutros dois. 
Definição 1.2 O conjunto constituído por dois pontos A e B e por 
todos os pontos que se encontram entre A e B é chamado segmento 
AB. Os pontos A e B são denominados extremos ou extremidades 
do segmento. 
Muitas figuras planas são construídas usando-se segmentos. A 
mais simples delas é o triângulo que é formado pôr três pontos que 
não pertencem a uma mesma reta e pelos três segmentos determi-
nados por estes três pontos. Os três pontos são chamados vértices 
do triângulo e os segmentos, lados do triângulos. 
B 
Figura 1.4 
4 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Definição 1. 3 Se A e B são pontos distintos, o conjunto consti-
tuído pelos pontos do segmento AB e por todos os pontos C tais que 
B encontra-se entre A e C, é chamado de semi-reta de origem A 
contendo o ponto B, e é representado por S.4B. O ponto A é então 
denominado origem da semi-reta S AB 
A B 
Figura 1.5 
Observe que dois pontos A e B determinam duas semi-retas SAB 
e SnA as quais contêm o segmento AB. 
A B 
Figura 1.6 
Proposição 1.4 Para as semi-retas determinadas por dois pontos 
A e B tem-se: 
a) SAB U SBA é a reta determinada por A e B, 
Prova (a) Sejam a reta determinada por A e B. Como SAB e SBA 
são constituídas ele pontos ela reta m, então SAB U SBA e m. Por 
outro lado, se C é um ponto ela reta m então, ele acordo com o 
axioma 111, uma das três possibilidades exclusivas ocorre: 
1) C está entre A e B, 
2) A está entre B e C, 
1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ORDEM 5 
3) B está entre A e C. 
No caso (1), C pertence ao segmento AB; no caso (2), C per-
tence a SBAi e no caso (3), C pertence a SAB· Portanto, em qual-
quer caso, C pertence a SAB U SBA· 
A prova ele (b) é deixada como exercício para o leitor. 
Axioma Ih Dados dois pontos distintos A e B sempre existem: 
um ponto C entre A e B e um ponto D tal que B está entre A e 
D. 
Uma conseqüência imediata deste axioma é que, entre quaisquer 
dois pontos ele uma reta, existe uma infinidade ele pontos. Também 
é uma conseqüência dele que uma semi-reta S'AB contém uma in-
finidade ele pontos além daqueles contidos no segmento AB. 
Considere uma reta m e dois pontos A e B que não pertencem 
a esta reta. Diremos que A e B estão em um mesmo lado da reta 
m se o segmento AB não a intercepta. 
Definição 1.5 Sejam m uma reta e A um ponto que não pertence 
a m. O conjunto constituído pelos pontos de m e por todos os pontos 
B tais que A e B estão em um mesmo lado da reta m é chamado 
de semi-plano determinado por m contendo A, e será representado 
por Pm.A· 
Axioma Ih Uma reta m determina exatamente dois semi-planos 
distintos cuja interseção é a reta m. 
Figura 1.7 
6 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
EXERCÍCIOS 
1. Sobre uma reta marque quatro pontos A, B, C e D, em ordem, 
da esquerda para a direita. Determine: 
a) ABUBC 
b) AB n BC 
e) ACnBD 
d) AB nCD 
e) SAB n SBc 
f) SAB n SAn 
g) ScB n SBc 
h) SAB U SBc 
2. Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um 
conjunto de 3 retas do plano? E um conjunto de 4 retas do 
plano? 
3. Prove o item (b) da proposição (1.4). 
4. Prove a afirmação feita, no texto, ele que existem infinitos 
pontos em um segmento. 
5. Um subconjunto do plano é convexo se o segmento ligando 
quaisquer dois de seus pontos está totalmente nele contido. 
Os exemplos mais simples de conjuntos convexos são o próprio 
plano e qualquer semi-plano. Mostre que a interseção de dois 
semi-planos é um convexo. 
6. Mostre que a interseção de n semi-planos é ainda um convexo. 
7. Mostre, exibindo um contra-exemplo, que a união de convexos 
pode não ser um convexo. 
1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ORDEM 7 
8. Diz-que três ou mais pontos são colineares quando eles to-
dos pertencem a uma mesma reta. Do contrário, diz-se que 
eles são não coline;ares. Mostre que três pontos não colineares 
determinam três retas. Quantas retas são determinadas por 
quatro pontos sendo que quaisquer três deles são não colinea-
res? 
9. Repita o exercício anterior para o caso de ô pontos. 
10. Seja U um subconjunto do plano. Dizemos que U é estrelado 
relativamente a um ponto P quando, para todo ponto A EU, 
o segmento PA esta totalmente contido em U. Mostre que 
conjuntos convexos são estrelados relativamente a qualquer 
de seus pontos. Dê um exemplo de conjunto estrelado que 
não é convexo. 
11. Se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pon-
tos mostre que ele é convexo. 
12. Prove que a união de todas as retas que passam por um ponto 
A é o plano. 
13. Chama-se plano de incidência ao par (P, R) onde P é um 
conjunto de pont?s e 'R é uma coleção de subconjuntos de P, 
denominados retas, satisfazendo apenas aos axiomas 11, 12 e 
à condição de que cada reta possui pelo menos dois pontos. 
Verifique se são planos de incidência os pares (P, R) seguintes: 
a) P = {A,B} e R = {{A, B}} 
b) P = {A, B, C} e 'R = {{A, B}, {A, C}} 
c) P = {A, B, C, D} e R = {{A, B}, {A, C}, {A, D}, 
{B, C}, {B, D}, {C, D}} 
d) P = R2 e R = {{ ( x, y) E R2; ax + by + e = O}; 
sendo ab-/= O} 
8 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
e) P = {A, B, C, D} e 'R. = { {A, B, C}, {A, D}, {B, D}, 
{C,D}} 
14. Construa exemplos distintos ele planos ele incidência com 5 
pontos. 
15. Um conjunto ele n cidades é ligado por estradas de modo que 
existe sempre uma ligando diretamente quaisquer duas delas. 
Tomando-se as cidades como pontos e as estradas como retas, 
verifique a validade elos axiomas ele plano de incidência. 
16. Denomina-se uma malha tipo 2-3 ao par ('P, 'R-) onde Pé um 
conjunto de pontos e Ré uma coleção ele subconjuntos de P, 
denominados retas, satisfazendo aos seguintes axiomas: 
Ml. Cada reta contém exatamente três pontos. 
M2. Por cada ponto passam exatamente duas retas. 
M3. Por dois pontos passa no máximo uma reta. 
M4. Existe pelo menos um ponto no plano. 
Construa exemplos de tais malhas com 6 e 9 pontos. 
17. São dados quatro pontos A, B, C e D e uma reta m que não 
contém nenhum deles. Sabe-se que os segmentos AB e CD 
cortam a reta me que o segmento BC não a corta. Mostre 
que o segmento AD também não a corta. 
18. Dados quatro pontos A, B, C e D no plano, mostre que, se os 
segmentos AB e CD se intersectam, então os pontos B e D 
estão em um mesmo semi-plano com relação á reta que passa 
por A e C. 
1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ORDEM 9 
PROBLEMAS 
1. Discuta a seguinte questão utilizando apenas os conhecimen-
tos geométricos estabelecidos, até agora, neste livro: "Exis-
tem retas que não se interceptam?" 
2. Repita o exercício 2 para o caso de 5 e 6 retas. Faça uma 
conjectura de qual será a resposta no caso de n retas. 
3. Sejam AB e CD segmentos e E um ponto tais que AB íl CD= 
{E}. Mostre que a reta que contém AB não pode conter CD. 
4. Mostre que não existe um exemplo de um plano de incidência 
com 6 pontos, em que todas as retas tenham exatamente 3 
pontos. 
5. Se C pertence a SAB e C =/- A, mostre que: SAB = SAc, que 
BC e SAB e que A <j. BC. 
6. Demonstr~ que a interseção de convexos é ainda um con,rexo. 
7. Mostre que um triângulo separa o plano em duas regiões, uma 
das quais é convexa. 
8. Generalize os exercícios 8 e 9 para o caso de n pontos. 
9. Podem existir dois segmentos distintos tendo dois pontos em 
comum? E tendo exatamente dois pontos em comum? 
10. Porque o conjunto de todos os pontos do plano não pode ser 
uma reta? Pode o conjunto vazio ser uma reta do plano? 
10 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
11. De acordo com os axiomas enunciados neste capítulo, qual o 
número mínimo de pontos de uma reta? 
12. Dado um conjunto P com n pontos, qual o número máximo 
de retas que o torna um plano de incidência? 
13. Seja (P, n) uma malha do tipo 2-3. Mostre que o número de 
elementos de Pé divisível por 3, e que o número de elementos 
de n é divisível por 2. 
14. Construa exemplos de malhas do tipo ·2-3 com 12 e 18 pontos. 
15. Generalize a noção de malha do tipo 2-3 para malha do tipo 
2-n. Classifique as malhas do tipo 2-2. 
16. Construa um exemplo de malha do tipo 2-4 com 16 pontos. 
Construa, emgeral exemplo de malha do tipo 2-n com 2n 
pontos. 
1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA E ORDEM 11 
COMENTÁRIO 
Para se aprender a jogar algum jogo, tal como damas, firo, 
xadrez, etc., temos que, inicialmente, aprender as suas regras. Um 
pai tentando ensinar seu filho a jogar damas dirá algo como: "Este 
é o tabuleiro de damas e estas são as pedras com que se joga", "São 
12 para cada jogador", "As pedras são arrumadas no tabuleiro as-
sim.", e arrumará as pedras para o filho. Aí já terá recebido uma 
enxurrada de perguntas do tipo: "Por que as pedras só ficam nas 
casas pretas?" , "Por que só são doze pedras?", "Eu acho mais boni-
tas as pedras brancas nas casas pretas e as pretas nas casas brancas, 
por que não é assim?", etc. 
Todas estas perguntas têm uma única resposta: Porque esta 
é uma das regras do jogo. Se alguma delas for alterada, o jogo 
resultante, embora possa ser também muito interessante, não será 
mais um jogo de damas. 
Observe que, ao ensinar um tal jogo, você dificilmente deter-se-
ia em descrever o que são as pedras. O importante são as regras do 
jogo, isto é, a maneira de arrumar as pedras no tabuleiro, a forma 
de movê-las, a forma de "comer" uma pedra do adversário, e etc. 
Qualquer criança, após dominar o jogo, improvisará tabuleiros com 
riscos no chão e utilizará tampinhas de garrafa, botões, cartões, e 
etc., como pedras. 
Ao criar-se um determinado jogo é importante que suas regras 
sejam suficientes e consistentes. Por suficiente queremos dizer que 
as regras devem estabelecer o que é permitido fazer em qualquer 
situação que possa vir a ocorrer no desenrolar de uma partida do 
jogo. Por consistente queremos dizer que as regras não devem 
contradizer-se, ou sua aplicação levar a situações contraditórias. 
12 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Geometria, como qualquer sistema dedutivo, é muito parecida 
com um jogo: partimos com certos conjuntos de elementos (pon-
tos, retas, planos) e é necessário aceitar algumas regras básicas que 
dizem respeito às relações que satisfazem estes elementos, as quais 
são chamadas de axiomas. O objetivo final deste jogo é o ele deter-
minar as propriedades elas figuras planas e cios sólidos no espaço. 
Tais propriedades, chamadas Teoremas ou Proposições, devem ser 
clecluziclas somente através cio raciocínio lógico a partir cios axiomas 
fixados ou a partir de outras propriedades já estabelecidas. 
De fato, existem várias geometrias distintas clepenclenclo elo con-
junto de axiomas fixado. A geometria que iremos estudar nestas no-
tas é chamada de Geometria Euclidiana, em homenagem a Euclides 
que a descreveu no seu livro, denominado "Elementos". 
CAPÍTULO 2 
AXIOMAS SOBRE l\1EDIÇÃO DE SEGMENTOS 
O instrumento utilizado para medir comprimento ele segmentos é 
a régua graduada. Na figura abaixo o segmento AB mede 3cm, o 
segmento AC mede 8cm, e o segmento BC mede 5cm. 
A B e 
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 \ 
111111111111111q1111p111111111111q11111p111111111111111111p111111111111q1111p11111111p111 
\ 
Figura 2.1 
Observe que ao ponto B, corresponde (na régua) o número 3 e 
ao ponto C, o número 8. A medida elo segmento BC é obtida pela 
diferença 8 - 3 = 5. É claro que a régua poderia ter sido colocada 
em muitas outras posições e números diferentes corresponderiam 
aos pontos B e C. No entanto, em cada caso, a diferença entre eles 
seria sempre 5 que é a medida do segmento BC. 
Estes fatos são introduzidos em nossa geometria através ele axio-
mas. 
Axioma III1 A todo par de pontos elo plano corresponde um 
número maior ou igual a zero. Este número é zero se e só se os 
pontos são coincidentes. 
13 
14 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
O número a que se refere este axioma é chamado de distância 
entre os pontos ou é referido como o comprimento do segmento 
determinado pelos dois pontos. Está implícito no enunciado do 
axioma, a escolha de uma unidade de medida que será fixada de 
agora em diante ao longo destas notas. 
Axioma III2 Os pontos de uma reta podem ser sempre colocados 
em correspondência biunívoca com os números reais, de modo que 
a diferença entre estes números meça a distância entre os pontos 
correspondentes. 
Este axioma bem poderia receber o apelido de axioma da "régua 
infinita" pois, ao estabelecer a correspondência biunívoca entre os 
números reais e os pontos da reta, a própria reta torna-se como que 
uma régua infinita que pode ser usada para medir o comprimento 
de segmentos nela contidos. 
Ao aplicarmos este axioma, o número que corresponde a um 
ponto da reta é denominado coordenada daquele ponto. 
De acordo com o axioma 1111 o comprimento ele um segmento 
AB é sempre maior do que zero. Assim, se a e b são as coorde-
nadas das extremidades deste segmento, o seu comprimento será a 
diferença entre o maior e o menor destes números. Isto é equivalente 
a tomar-se a diferença entre a e bem qualquer ordem e, em seguida, 
considerar o seu valor absoluto. Nós indicaremos o comprimento do 
segmento AB pelo símbolo AB. Portanto 
AB = lb-al. 
Axioma III3 Se o ponto C encontra-se entre A e B então 
Com a introdução dos axiomas 1111 , llh e llh, podemos rela-
cionar a ordenação dos pontos· de uma reta, introduzida através dos 
axiomas 111 e 112 , com a ordem dos números reais. Os números reais 
são ordenados pela relação "menor do que" ( ou pela relação "maior 
2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS 15 
do que"), e faz sentido dizer-se que um número e está entre dois 
outros a e b, quando ocorre a < e < b ou b < e < a. 
Proposição 2.1 Se, em uma semi-reta SAB, considerarmos um 
segmento AC com AC < AB, então o ponto C estará entre A e B. 
Prova: Certamente o ponto A não pode estar entre B e C, já que B 
e Cestão na mesma semi-reta de origem A. Se o ponto B estivesse 
entre A e C então, pelo axioma Ilh, teríamos AB + BC = AC e, 
como conseqüência, AB < AC. Mas esta desigualdade é contrária 
a hipótese AC< AB. Portanto, é o ponto C que está entre A e B. 
Teorema 2.2 Sejam A, B e C pontos distintos de uma mesma reta 
cujas coordenadas são, respectivamente, a, b e e. O ponto C está 
entre A e B se e só se o número c está entre a e b. 
Prova Se C está entre A e B então, pelo axioma Ilh, tem- se que 
AC+ CB = AB, ou seja 
lc - ai + lb - cl = la - bl . 
Vamos supor inicialmente que a < b. Neste caso, da igualdade 
acima, obtém-se 
lc- ai< b- a e lb-cl < b-a. 
Como conseqüência, c - a < b - a e b - c < b - a. Portanto, 
e< b e a< c. Assim, resulta que c está entre a e b. 
O caso em que b < a pode ser analisado de maneira análoga e é 
deixado a cargo do leitor. 
Reciprocamente, se o número c está entre os números a e b então 
lc - ai + lb - cl = la - bl . 
Segue-se daí que AC + C B = AB. Em particular 
e CB < AB. 
16 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Consideremos as semi-retas determinadas pelo ponto A. Se C e 
B pertencem à mesma semi-reta, então é uma conseqüência ela 
proposição anterior que C está entre A e B. Afirmo que C e B 
não podem pertencer a semi-retas distintas, isto é, não podem ser 
separados pelo ponto A. Se este fosse o caso, seria o ponto A que 
estaria entre B e C e teríamos BA + AC = BC. Mas daí resulta 
que BA < BC o que está em contradição com a designaldadc já 
obtida acima. Isto prova a afirmação e conclui a demonstração do 
teorema. 
Definição 2.3 Chamamos de ponto médio do segmento AB a um 
ponto C deste segmento tal que AC = C B. 
Teorema 2.4 Um segmento tem exatamente um ponto médio. 
Prova (Existência) Sejam a e b as coordenadas elas extremidades 
cio segmento. Considere o número c = (a+ b)/2. De acordo com o 
axioma IIl2 existe um ponto C ela reta que tem c por coorclenaela. 
Como 
AC la- cl = 'ª -ª; bl = ,~ - ~, 
C B = 1 e - bl = 1 a ; b - b 1 = 1 ~ - t 1 
concluímos que AC = C B. Como o número ( a + b) /2 está entre os 
números a e b, segue-se ela proposição anterior que C está entre A 
e B. Logo C é o ponto médio ele AB. 
( Unicidade) Seja C como obtido na prova ela existência e seja 
C' um outro ponto cio segmento AB tal que AC' = BC'. Sejam a, b 
e e' as coordenadas ciospontos A, B e C' respectivam1:;nte. Então 
teremos, 
(i) e' - a= b - e' , no caso em que a < e' < b, 
2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS 17 
(ii) a - é = é - b, no caso em que b < é < a. 
Em ambos os casos a conclusão é que 
, a+ b 
e=--. 
2 
Assim, em qualquer circunstância, é = e e, portanto, pelo 
axioma 1112, C = C'. Fica assim provada a unicidade do ponto 
médio. 
Observação A noção de distância é uma das noções mais básicas 
da geometria. Pelo que já vimos ela satisfaz às seguintes pro-
priedades: 
1) Para quaisquer dois pontos A e B do plano, tem-se AB ~ O. 
Além disso, AB = O se e somente se A = B. 
2) Para quaisquer dois pontos A e B tem-se que AB = BA. 
Uma outra importante propriedade da distância é a desigualdade 
triangular: 
3) Para quaisquer três pontos A, B e C do plano tem-se AC ::; 
AB + BC. Igualdade ocorre se e somente se B pertence ao 
intervalo AC. 
Esta desigualdade será demonstrada no capítulo 5 (veja o teorema 
(5.11)) como conseqüência cios 4 primeiros grupos ele axiomas. 
Definição 2.5 Seja A um ponto do plano e r um número real pos-
itivo. O círculo de centro A e raio r é o conjunto constituído por 
todos os pontos B do plano tais que AB = r. 
18 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
o 
• 
A e 
e 
Figura 2.2 
É uma conseqüência elo axioma 1112 que podemos traçar um 
círculo com qualquer centro e qualquer raio. 
Todo ponto C que satisfaz a desigualdade AC < r é dito estar 
dentro elo círculo. Se, ao invés, AC > r, então C é dito estar fora 
elo círculo. O conjunto elos pontos que estão dentro do círculo é 
chamado de disco ele raio r e centro A. 
É também uma conseqüência elo axioma 1112 que o segmento ele 
reta ligando um ponto de dentro elo círculo com um ponto fora elo 
mesmo tem um ponto em comum com o círculo. 
2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS 19 
EXERCÍCIOS 
1. Sejam A, B e C pontos ele uma reta. Faça um desenho repre-
sentando-os, sabendo que AB = 3, AC = 2 e BC = 5. 
2. Repita o exercício anterior, sabendo que C está entre A e B 
e que AB = 7 e AC = 5. 
3. Quatro pontos A, D, V e I estão sobre uma reta ele modo que 
suas coordenadas são número inteiros consecutivos. Sabe-se, 
além disto, que V está entre I e A e que DA < DV. Faça 
uma figura indicando as posições relativas destes pontos. 
4. Desenhe uma reta e sobre ela marque dois pontos A e B. 
Suponha que a coordenada do ponto A seja zero e a do ponto 
B seja um. Marque agora pontos cujas coordenadas são 
3, 5, 5/2, 1/3, 3/2, 2, -1, -2, -5, -1/3, -5/3. 
5. Sejam A1 e A2 pontos de coordenadas 1 e 2. Dê a coordenada 
elo ponto médio A3 elo segmento A1A2 . Dê a coordenada elo 
ponto médio A4 elo segmento A2A3. Dê a coordenada A5 elo 
ponto médio elo segmento A3A4 . 
6. Dados três pontos colineares A, B e C tais que AB seja o 
triplo ele BC, calcule as medidas ele AB e BC sabendo que 
AC mede 32cm. 
7. São dados três pontos A, B e C com B entre A e C. Sejam M 
e N os pontos médios ele AB e BC respectivamente. Mostre 
que MN = (AB + BC)/2. 
20 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
8. São dados três pontos A, B e C com Centre A e B. Sejam M 
e N os pontos médios de AB e BC respectivamente. Mostre 
que M N = (AB - BC)/2. 
9. Considere três pontos colineares A, B e C, sendo que B fica 
entre A e C e AB = BC. Se M é o ponto médio de AB e N 
é o ponto médio de BC mostre que M N = AB. 
10. São dados pontos A, B, C e D colineares com coordenadas 
x, y, z e w tais que x < y < z < w. Prove que AC = BD se e 
só se AB = CD. 
11. Prove que, se (a/b) = (c/cl) então 
a) 
a b cl e 
cl 
e 
b e a 
b) 
a+b e+ cl a-b e - cl 
e --
a e a e 
e) 
a+b e+ cl a-b e - cl 
b cl 
e 
b d 
12. Se P é ponto de interseção de círculos de raio r e centros em 
A e B, mostre que PA = PB. 
13. Usando régua e compasso, descreva um método para constru-
ção de um triângulo com dois lados de mesmo comprimento. 
(Um tal triângulo é chamado de triângulo isósceles). 
14. Descreva um método para construção de um triângulo com 
os três lados de mesmo comprimento. (Um tal triângulo é 
chamado de triângulo eqüilátero). 
15. Mostre que, se a < b então a< (a+ b)/2 e b > (a+ b)/2. 
16. Um segmento ligando dois pontos de um círculo e passando 
pelo seu centro é chamado de diâmetro. Mostre que todos os 
diâmetros têm a mesma medida. 
2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS 21 
17. Considere um círculo de raio r. Mostre que a distância entre 
quaisquer dois pontos situados dentro do círculo é menor do 
que 2r. 
18. Considere dois círculos de raio r que não se intersectam. 
Mostre que o comprimento do segmento ligando seus centros 
é maior do que 2r. ' 
19. O círculo de raio r 1 centrado em A intercepta o círculo de raio 
r2 centrado em B em exatamente dois pontos. O que se pode 
afirmar sobre AB? 
20. Considere um círculo de raio r e centro A. Sejam B e C 
pontos deste círculo. O que se pode afirmar sobre o triângulo 
ABC? 
21. Considere um círculo de raio r e centro O. Seja A um ponto 
deste círculo e seja B um ponto tal que o triângulo OAB é 
eqüilátero. Qual é a posição do ponto B relativamente ao 
círculo? 
22. Dois círculos de mesmo raio e centros A e B se interceptam 
em dois pontos C e D. O que pode ser afirmado sobre os 
triângulos ABC e AC D? 
23. Sejam A, B, C e D quatro pontos da reta m tais que Besta 
entre A e C, e Cesta entre B e D. Sabendo que AB = CD 
mostre que AC = BD. 
24. Decida se existem pontos A, B e C tais que AB = 5, BC = 3 
e CA = 1. 
25. Seja m uma reta e 'H a união de todos os discos de raio 1 
e centro em pontos de m. Seja 'H' o conjunto de todos os 
pontos A satisfazendo a propriedade de que existe um ponto 
P(A) E m tal que a distância da A a P(A) e menor do que 
1. Mostre que 'H = 'H'. 
22 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
26. Decida se o resultado elo exercício anterior é verdadeiro quando 
substituímos m por um segmento LM. 
27. Uma emissora ele rádio transmite com potência suficiente para 
alcançar qualquer receptor situado a menos de 100 Km de 
sua antena. Justifique a veracidade da seguinte afirmação: 
sabendo-se que é possível viajar da cidade A para a cidade B 
ouvindo no rádio continuamente a transmissão daquela emis-
sora conclui-se que a distância entre A e B é de, no máximo, 
de 200 Km. 
28. Sejam M, A e B pontos distintos situados sobre uma mesma 
reta. Se a = 1"\1 A/ M B diz-se que M divide AB na razão a. 
Dado qualquer número real positivo a mostre que existe um 
único ponto M E AB tal que M divide AB na razão a. 
29. Dado qualquer número real positivo a -=I= 1 mostre que existe 
um único ponto M na reta determinada por A e B, que não 
pertence a AB e que divide AB na razão a. Porque o caso 
a = 1 teve ele ser excluído? 
30. Sejam M, N, A e B pontos distintos sobre uma mesma reta, 
sendo que ME AB e que N está fora de AB. Diz-se que M 
e N dividem harmonicamente o segmento AB quando 
MA NA 
====a. 
MB NB 
Quando a > 1, determine as posições relativas dos quatro 
pontos. Repita o exercício para o caso em que O < a < 1. 
31. Suponha que M e N dividem harmonicamente o segmento 
AB. Mostre que 
2 1 1 
-=-±-
AB AM AN 
2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS 23 
32. Suponha que M e N dividem harmonicamente o segmento 
AB e que O seja o ponto médio ele AB. Mostre que 
33. São dados três pontos A, B e C no plano e constata-se que a 
distância ele A a B é igual a soma elas distâncias ele A a C e 
ele C a B. O que pode ser afirmado sobre estes pontos? 
34. Decida se existem três pontos A, B e C sobre uma reta tais 
que AB = 5cm, BC= 6cm e AC= 7cm? 
35. No plano se tem quatro pontos distintos A, B, C e D e uma 
reta m que não passa por nenhum deles. Sabe~se.que os seg-
mentos AB e CD cortam a reta e que AC não a corta. O que 
pode ser dito sobre o segmento BD? · 
36. Quatro pontos A, B, C e D são colineares. O ponto B está 
entre A e C, e o ponto C entre B e D. Demonstre que o 
ponto C se encontra entre A e D. 
37. Considere uma reta m. Associe a cada ponto um número real 
como é garantido pelo Axioma III2• Seja A um ponto desta 
reta que tem coordenada a. Mostre queas duas semi-retas 
L1 e L2 determinadas por A em rn podem ser descritas como: 
L1 = {B E m; a coordenada ele B é ~ a} e L2 = {B E 
m; a coordenada ele B é ~ a}. 
38. Seja X um ponto qualquer da reta m cuja coordenada repre-
sentaremos por x. Mostre que as soluções da desigualdade 
x ~ a constitui uma semi-reta. 
39. Usando a notação elo exercício anterior, descreva geométricamente 
as soluções da desigualdade x 2 - 1 ~ O. 
40. Repita o exercício anterior para a desigualdade x2-5x+6 ~ O. 
24 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
41. Repita o exercício anterior para x3 - x ~ O. 
42. É frequentemente dito que «a menor distância entre dois pon-
tos é uma linha reta". Embora seu significado seja muito 
claro, tal afirmação é incorreta. Porque? Como você modifi-
caria as três últimas palavras da frase para que ela se tornasse 
correta? 
43. Tome uma caixa de cartolina e escolha sobre ela dois pontos 
quaisquer. Usando um cordão tente achar a menor distância 
a ser percorrida por uma formiga que deseje ir de um ao outro 
ponto escolhidos. Relate os resultadoe encontrados. 
44. Aproximadamente quantos tijolos serão necessários para cons-
truir uma parede de 6m de comprimento por 3m de altura 
sabendo-se que: ela deve ser construída com ~'iolos e arga-
massa, cada tijolo mede 19cm de comprimento por 14cm ele 
altura e sua largura é a largura da parede, e cada tijolo será 
contornado por uma camada de argamassa de 1cm. 
2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS 25 
PROBLEMAS 
1. Dado um segmento AB mostre que existe, e é único, um ponto 
C entre A e B tal que (AC/ BC) = a, onde a é qualquer 
número real positivo. 
2. Prove a seguinte afirmação feita no texto: o segmento de reta 
ligando um ponto fora ele um círculo com um ponto dentro 
do mesmo, tem um ponto em comum com o círculo. 
3. Dados dois pontos A e B e um número real r maior do que 
AB, o conjunto dos pontos C satisfazendo a CA + CB =ré 
chamado de elipse. Estabeleça os conceitos de região interior 
e de região exterior a uma elipse. 
4. Um conjunto M de pontos elo plano ·é limitado se existe um 
círculo C tal que todos os pontos de M então dentro de C; e é 
ilimitado quando não é limitado. Prove que qualquer conjunto 
finito de pontos é limitado. Prove também que segmentos são 
limitados. Conclua ·o mesmo resultado para triângulos. 
5. Prove que a união de uma quantidade finita de conjuntos 
limitados é ainda um conjunto limitado. 
6. Mostre que, dado um ponto P e um conjunto limitado M, 
existe um disco com centro em P que contém M. 
7. Prove que as retas são conjuntos ilimitados. (Sugestão: use o 
problema 6.) 
26 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
8. Discuta a veracidade da seguinte afirmação: o caminho que 
realiza a menor distância entre dois pontos é o segmento de 
reta que os une. 
9. Mostre que é possível construir um círculo de qualquer raio 
contido em um semi-plano. 
10. Considere uma semi-reta SAB· Mostre que, para cada ponto 
C de S AB existe um círculo centrado em C passando pelo 
ponto A. Para cada C, seja B(C) o disco limitado por C. 
Mostre que a união dos B(C) é um conjunto convexo. 
11. Sejam uma reta e Pum ponto que não pertence a m. Seja 
1i a união das semi-retas de origem P que cortam m. 
a) Mostre que 1{ é um conjunto convexo. 
b) Discuta a seguinte afirmação: a fronteira de 1{ é a união 
de duas semi-retas que não interceptam m. 
12. Sejam A, B, C e D quatro pontos situados fora de um círculo 
de raio r e centro O. Suponha que os segmentos AB, BC, 
CD e D E estão fora do círculo e que o segmento AC contém 
o ponto O. Mostre que AB +BC+ CD+ DA> 4r. 
13. Descreva um método para desenhar um triângulo eqüilátero. 
14. Descreva um método para desenhar um triângulo cujos lados 
medem 3, 4 e 6. 
15. A superfície ela terra é uma esfera ele raio muito grande. 
Tão grande que, localmente, tem-se a sensação ele que estar 
vivendo sobre uma superfície plana. De fato, esta sensação é 
tão forte que a história registra um período em que tal crença 
era lugar comum. Discuta a seguinte questão: o que são retas 
sobre uma esfera. 
2. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS 27 
16. Continue a questão anterior discutindo se as retas na esfera 
satisfazem ou não aos axiomas I, II e III. 
17. Dentro da mesma ordem ele idéias, suponha que vivêssemos 
numa superfície cilíndrica. Repita os exercícios 15 e 16 neste 
contexto. Observo que um autor de ficção científica concebeu 
uma nave espacial de dimensões gigantescas na forma ele um 
cilindro que giraria em torno de seu eixo para gerar gravidade 
artificial. Tal nave seria a nova morada elo homem ao longo 
de viagens espaciais que durariam várias gerações. 
18. Considere como plano a parte ela planta de uma cidade ocu-
pada pelas ruas e avenidas. Considere como segmento de reta 
qualquer caminho que possa ser seguido por um ta.xi para ir 
de um ponto a outro ela cidade. Verifique se cada um dos 
axiomas que já enunciamos vale ou não nesta "geometria". 
19. Tome uma folha de papel. Suponha que o plano seja cons-
tituído apenas elos pontos desta folha ele papel. Dados dois 
pontos neste plano, usando uma régua e um lapis pode-se 
traçar um segmento ligando os dois pontos. Defina as reta 
como a extensão ele um segmento até a borda ela folha ele 
papel. Discuta a validade ou não, nesta "geometria", de todos 
os a.xiomas já apresentados até aqui. 
20. Se a folha ele papel for levemente encurvada, muda alguma 
coisa na resposta elo item anterior? 
21. Analise a possibilidade ele estabelecer um conceito ele "estar 
entre" para pontos de um círculo. 
28 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
COMENTÁRIO 
As primeiras noções geométricas surgiram quando o homem viu-
se compelido a efetuar medidas, isto é, a comparar distâncias e 
a determinar as dimensões dos corpos que o rodeavam. Egípcios, 
Assírios e Babilônios já conheciam as principais figuras geométricas 
e a noções de ângulo que usavam nas medidas ele área e na Astrono-
mia. 
A maior parte do desenvolvimento da Geometria resultou cios es-
forços feitos, através de muitos séculos, para construir-se um corpo 
de doutrina lógica que correlacionasse os dados geométricos obtidos 
da observação e medida. Pelo tempo de Euclides (cerca de 300 a.C.) 
a ciência da Geometria tinha alcançado um estágio bem avançado. 
Do material acumulado Euclides compilou os seus "Elementos", um 
dos mais notáveis livros já escritos. 
A Geometria, como apresentada por Euclides, foi o primeiro 
sistema ele idéias desenvolvido pelo homem, no qual umas pou-
cas afirmações simples são admitidas sem demonstração e então 
utilizadas para provar outras mais complexas. Um tal sistema é 
chamado dedutivo. A beleza da Geometria, como um sistema de-
dutivo, inspirou homens, das mais diversas áreas, a organizarem 
suas idéias da mesma forma. São exemplos disto o "Principia" de 
Sir Isaac Newton, no qual ele tenta apresentar a Física como um 
sistema dedutivo, e a "Ética" do filósofo Spinoza. · 
CAPÍTULO 3 
AXIOMAS SOBRE lVIEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
Definição 3.1 Chamamos de ângulo a figura formada por duas 
semi-retas com a mesma origern. 
A 
Figura 3.1 
As semi-retas são chamadas ele lados do ângulo e a origem comum, 
de vértice cio ângulo. Um ângulo formado por duas semi-retas dis-
tintas de uma mesma reta é chamado ele ângulo raso. 
A 
Figura 3.2 
29 
30 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Existem várias maneiras distintas de representar um ângulo. 
Por exemplo, o ângulo da figura (3.3) pode ser designado por BÂC 
ou por CÂB. Ao utilizarmos esta notação, a letra indicativa do 
vértice deve sempre aparecer entre as outras duas, as quais repre-
sentam pontos das semi-retas que formam o ângulo. 
Figura 3.3 
Quando nenhum outro ângulo exibido tem o mesmo vértice, 
pode-se usar apenas a letra designativa elo vértice para represen-
tar o ângulo. Por exemplo, o ângulo da figura (3.3) poderia ser 
representado simplesmente por Â. Em qualquer dos dois casos con-
siderados a letra designativa do vértice levará sempre um acento 
circunflexo. Também é comum a utilização de letrasgregas para 
representação ele ângulos. Neste caso é conveniente escrever a letra 
designativa elo ângulo próximo do seu vértice, como indicado na 
figura abaixo. 
\~ª -
Figura 3.4 
Os ângulos são medidos em graus com o auxílio de um trans-
feridor1. Na figura seguinte, o ângulo BÂC mede 20° (vinte graus). 
3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 31 
Observe que, de maneira análoga ao que ocorre no caso da medição 
de segmentos, o transferidor pode ser colocado de várias maneiras 
diferentes, no entanto, o valor ela medida elo ângulo BÂC será sem-
pre 20°. 
Figura 3.5 
A maneira ele introduzir a medição ele ângulos na geometria é 
através elos axiomas apresentados a seguir. Observe que eles têm 
enunciados semelhantes aos dos ax:iomas sobre medição ele segmen-
tos. 
Axioma III4 Todo ângulo tem uma medida maior ou igual a zero. 
A medida ele um ângulo é zero se e somente se ele é constituído por 
duas semi-retas coincidentes. 
Para facilitar o enunciado elo próximo axioma, vamos dar a se-
guinte definição: 
Definição 3.2 Diremos que uma semi-reta divide um semi-plano 
se ela estiver contida no semi-plano e sua origem f ar um ponto da 
reta que o determina. 
32 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Axioma 1115 É possível colocar, em correspondência biunívoca, os 
números reais entre zero e 180 e as semi-retas da mesma origem 
que dividem um dado semi-plano, de modo que a diferença entre 
estes números seja a medida do ângulo formado pelas semi-retas 
correspondentes. 
180 
125 
B 
o 
Figura ~-6 
60 
A 
o 
Ao fazer tal correspondência chamamos o número que corres-
ponde a uma dada semi-reta de coordenada da semi-reta. Na figura 
(3.6) acima, a semi-reta SoA tem coordenada 60, a semi-reta SoB 
tem coordenada 125. De acordo com o axioma 1115 a medida do 
ângulo AÔB é 125-60=65. Este é um fato geral. Se a e b forem 
coordenadas cios lados cio ângulo AÔB, então ia - bl é a medida 
deste ângulo. Indicaremos um ângulo e a sua medida pelo mesmo 
símbolo. Assim escreveremos ele uma maneira geral 
AÔB = la-bl 
para significar que la-bl é a medida elo ângulo AÔB. Observe que 
as semi-retas que formam um ângulo raso serão sempre numeradas 
por O e 180, sendo assim a medida de tais ângulos sempre 180°. 
Definição 3:3 Sejam SoA, SoB e So::: semi-retas de mesma origem. 
Se o segmento .4.B interceptx· Soe dircr,ws que S00 divide o ângulo 
AÔB. 
3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 33 
Axioma III6 Se uma semi-reta Soe divide um ângulo AÔB, então 
AÔB = AÔC + CÔB . 
Definição 3.4 Dois ângulos são ditos suplementares se a soma 
de suas medidas é 1800. O suplemento de um ângulo é o ângulo 
adjacente ao ângulo dado obtido pelo prolongamento de um de seus 
lados 
e 
Figura 3.7 
É claro que um ângulo e seu suplemento são ângulos suple-
mentares. É também evidente que, se dois ângulos têm a mesma 
medida, então o mesmo ocorre com seus suplementos. 
Quando duas retas distintas se interceptam, formam-se quatro 
ângulos, como indicado na figura abaixo. Os ângulos AÔB e DÔC 
são opostos pelo vértice. Do mesmo modo o são os ângulos AÔ D e 
BÔC. 
D 
e 
Fig.ura 3.8 
~ 
A 
B 
34 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Proposição 3.5 Ângulos opostos pelo vértice têm a mesma me-
dida. 
Prova: De fato, se AÔB e DÔC são ângulos opostos pelo vértice, 
então eles têm o mesmo suplemento: AÔD. Logo 
AÔB + AÔD 180º 
DÔC + AÔD 180º 
Portanto AÔB = 180° - AÔD = DÔC. 
Definição 3.6 Um ângulo cuja medida é 9(f. é chamado ângulo 
reto. 
É claro que o suplemento ele um ângulo reto é também um 
ângulo reto. Quando duas retas se intersectam, se um elos quatro 
ângulos formados por elas for reto, então todos os outros também 
o serão. Neste caso diremos que as retas são perpendiculares. 
Teorema 3. 7 Por qualquer ponto de uma reta passa uma única 
perpendicular a esta reta. 
Prova: (Existência}. Dada uma reta rn e um ponto A sobre ela, as 
duas semi-retas determinadas por A formam um ângulo raso. Con-
sidere um elos semi-planos determinados pela reta m. De acordo 
com o axioma IIl5 , entre todas as semi-retas com origem A, que 
dividem o semi-plano fixado, existe uma cuja coordenada será o 
número 90. Esta semi-reta forma, com as duas semi-retas determi-
nadas pelo ponto A sobre a reta m, ângulos ele 90°. Portanto ela é 
perpendicular a reta m. 
(Unicidade}. Suponha que existissem duas retas n e n' pas-
sando pelo ponto A e perpendiculares a m. Fixe um elos semi-
planos determinados por m. As interseções elas retas n e n' com 
este semi-plano são semi-retas que formam um ângulo a e, como na 
3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
n' n 
y 
A 
Figura 3.9 
m 
35 
figura (3.9), formam outros dois ângulos /3 e I com as semi-retas 
determinadas pelo ponto A na reta m. 
Como n e n' são perpendiculares a 1n então /3 = 1 = 90º. Por 
outro lado, devemos ter a + /3 + 1 = 180°. Lego a = 0° e as retas 
n e n' coincidem. 
1Queremos observar que os ângulos podem também ser medidos utilizando 
o grado, o radiano ou qualquer outra unidade de medida de ângulos. Elas cor-
respondem a diferentes maneiras de numerar ao:; semi-retas de mesma origem e 
sua adoção não interfere com o desenvolvimento da teoria. O leitor vai encon-
trar no "comentário" deste capítulo uma razão histórica pela qual escolhemos o 
grau para unidade de medida de ângulos neste texto. 
36 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
EXERCÍCIOS 
1. Mostre que se um ângulo e seu suplemento têm a mesma 
medida então o ângulo é reto. 
2. Dois ângulos são suplementares. A diferença entre eles é de 
50°. Determine a medida dos dois ângulos. 
3. Um ângulo é chamado agudo se mede menos de 90°, e é cha-
mado obtuso se mede mais de 90°. Mostre que o suplemento 
de um ângulo agudo é sempre obtuso. 
4. Quanto mede o ângulo cuja quinta parte do seu suplemento 
mede 24º? 
5. O ângulo formado pelas bissetrizes ele dois ângulos adjacentes 
mede 40°. Sendo a medida de um deles igual a três quintos 
da medida elo outro, determine a medida elos dois ângulos. 
6. Três semi-retas ele mesma origem são traçadas no plano. Co-
locando-se o transferidor de forma adequada, a primeira delas 
tem coordenada O, a· seg_unda 30 e a ultima 120. Qual a me-
dida do ângulo entre a segunda e a terceira? Se o transferidor 
fosse rodado um pouco de modo que a coordenada da primeira 
fosse agora 20, qual seriam as coordenadas das outras semi-
retas? 
7. Duas retas se interceptam formando quatro ângulos. Se um 
deles é reto, mostre que os outros também são retos. Se, 
ao invés de ser reto, um deles medisse 60°, qual seriam as 
medidas elos outros. 
3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 37 
8. Use um transferidor e desenhe ângulos de 45º, 60°, 90º, 142°, 
15.5° e 33°. 
' 9. Dois ângulos são ditos complementares se sua soma é um 
ângulo reto. Dois ângulos são complementares e o suplemento 
de um deles mede tanto quanto o suplemento do segundo mais 
30º. Quanto medem os dois ângulos? 
10. Determine a medida do ângulo agudo que tem a mesma me-
dida do seu complemento. 
11. Qual é o ângulo agudo que mede o dobro do seu complemento? 
12. Porque o complemento de um ângulo é sempre menor do que 
o seu suplemento? 
13. Qual a medida da diferença entre o suplemento de um ângulo 
e seu complemento? 
14. Ao longo de 1/2 hora o ponteiro dos minutos de um relógio 
descreve um ângulo raso ( ou seja, o ângulo entre sua posição 
inicial e sua posição final é um ângulo raso). Quanto tempo 
ele leva para descrever um ângulo de 60° graus? 
15. Ao mesmo tempo em que o ponteiro dos minutos gira, o das 
horas também gira, só que em menor velocidade: ele leva 6 
horas para descrever um àngulo raso. Quanto tempo ele leva 
para percorrer um ângulo de 10º. 
16. Qual o ângulo formado entre o ponteiro dos minutos e da~ 
horas quando são 12 horas e 30 minutos? 
17. Exatamente às 12 horas um ponteiro estará sobre o outro. A 
que horas voltará a ocorrer que os dois ponteiros formem um 
ângulo de Oº? 
38 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
A 
18. Uma poligonal é uma figura formada por uma seqüência ele 
pontos A1, A2, ... , An e pelossegmentos A1A2, A2A3, A3A4, 
... , An_1A 11 • Os pontos são os vértices ela poligonal e os 
segmentos são os seus lados. Desenhe a poligonal ABCD 
sabendo que: AB = BC = CD = 2cm,, ABC = 120º e 
BÔD = 100º. 
19. Um polígono é uma poligonal em que as seguintes 3 condições 
são satisfeitas: (a) A11 = A1, (b) os lados ela poligonal se in-
terceptam somente em suas extremidades, (e) cada vértice é 
extremidade ele dois lados e ( d) dois lados com mesma ex-
tremidade não pertencem a uma mesma reta. Das 4 figuras, 
abaixo, apenas duas são polígonos. Determine quais são elas. 
A 
D A D 
E 
e e 
e E B 
B 
A B 
B \ 
E 
c~c 
E D 
Um polígono ele vértices A1, A2, ... , An+l = A1, será repre-
sentado por A 1A2A3, ... , A 11 • Ele tem n lados, n vértices e n 
ângulos. 
3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 39 
20. Desenhe um polígono de 4 lados ABC D tal que AB = BC = 
CD= DA= 2cni, com AÊC = AÍJC = 100º e com BêD = 
BÂD = 80º. 
21. A soma dos comprimentos dos lados de um polígono é chamada 
de perímetro do polígono. Desenhe um polígono, meça seus 
lados e determine seu perímetro. 
22. Seja ABCD um polígono tal que AB =BC= CD= DA. Se 
AB = a seu perímetro será 4a. Determine um ponto E fora 
da região limitada pelo polígono tal que ABE é um triângulo 
eqüilátero. Considere agora o polígono AEBCD. Determine 
seu perímetro. 
23. No polígono ABCD da questão anterior, seja M o ponto 
médio do lado AB. Determine agora dois pontos E 1 e E2 
tais que AE1M e !11 E2B sejam eqüiláteros. Determine agora 
o perímetro do polígono AE1Jvf E2BCD. 
24. Generalize a construção do exercício anterior tomando agora 
pontos médios dos segmentos AM e M B e determine o perí-
metro do polígono resultante. 
25. Mostre que todo polígono é limitado. 
26. O segmento ligando vértices não consecutivos de um polígono 
é chamado uma diagonal do polígono. Faça o desenho de um 
polígono de seis lados. Em seguida desenhe todas as suas 
diagonais. Quantas diagonais terá um polígono de 20 lados? 
E de n lados? 
27. Discuta a seguinte afirmação: todo polígono separa o plano 
em duas partes, uma limitada e outra ilimitada. (A parte 
limitada é referida como a região limitada pelo polígono, ou 
o interior do polígono). 
40 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
28. Dê exemplo de um polígono que possua uma diagonal que não 
esteja contida na região por ele limitada. 
29. Considere um polígono de quatro lados. Mostre que o com-
primento de qualquer uma de suas diagonais é menor do que 
a metade do seu perímetro. 
30. São dados quatro pontos A, B, C e D. É também sabido que 
AB +BC+ CD+ DA e 2AC são iguais. O que você pode 
afirmar sobre a posição relativa dos quatro pontos? 
31. Um polígono é convexo se está sempre contido em um dos 
semi-planos determinados pelas retas que contêm os seus la-
dos. Na figura abaixo mostre que o polígono (a) é convexo e 
o {b) é não convexo. 
(a) (b) 
32. Mostre que, em um polígono convexo, as diagonais estão sem-
pre contidas na região limitada pelo polígono. 
33. Os ângulos formados pelos lados de um polígono convexo são 
chamados de ângulos do polígono. Suponha que tenha sido 
demonstrado que a soma dos ângulos de qualquer triângulo 
é um valor constante s. Com esta informação mostre que 
3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 41 
a soma dos ângulos de um polígono convexo de n lados é 
(n - 3)a. 
34. Suponha agora que tenha sido demonstrado que a soma dos 
ângulos de qualquer triângulo é sempre menor do que um 
número a. Mostre então que a soma dos ângulos de um 
polígono convexo de n lados é menor do que (n - 3)a. 
35. Polígonos convexos recebem designações especiais. São as 
seguintes as designações dadas a estes polígonos de acordo 
com seu número de lados, até 10 lados. 
nº de lados nome do polígono convexo 
3 triângulo 
4 quadrilátero 
5 pentágono 
6 hexágono 
7 heptágono 
8 octágono 
9 nonágono 
10 decágono 
Dado um polígono convexo mostre que qualquer de suas dia-
gonais sempre o divide em dois conjuntos convexos. 
36. Dê exemplo de uma polígono não convexo que possua uma 
diagonal que o divide em dois polígonos convexos. 
42 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
PROBLEMAS 
1. Dado um ângulo AÔ B mostre que existe uma única semi-reta 
Soe tal que AÔC = ÇÔB. A semi-reta Soe é chamada de 
bissetriz do ângulo AO B. 
2. Mostre que as bissetrizes de um ângulo e do seu suplemento 
são perpendiculares. 
3. Dado um ângulo AÔ B e um número real positivo a, O < a < 
1, mostre que existe uma única semi-reta Soe, contida neste 
ângulo, tal que CÔB =a• AÔB. 
4. De quantos graus move-se o ponteiro dos minutos enqaanto o 
ponteiro elas horas percorre um ângulo raso? 
5. Descreva um processo pelo qual um desenhista, sem usar 
um transferidor, possa "copiar" um ângulo, isto é, dado um 
ângulo desenhado em uma folha de papel, desejamos estabele-
cer um procedimento pelo qual possamos desenhar um outro 
ângulo que tenha a mesma medida do primeiro, isto sem fazer 
uso de um transferidor. 
6. Descreva um método, em que se faça uso apenas de um com-
passo e de uma régua não numerada, para desenhar um tri-
ângulo eqüilátero. 
7. Descreva um método, em que se faça uso apenas de um com-
passo e de uma régua não numerada, de construção de um 
quadrilátero com os quatro lados de mesmo comprimento. 
3. AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 43 
8. Seu método se estende para o caso de 5 lados? 
9. Uma alternativa para definir ângulo é a de considerar a in-
terseção de semi-planos. Formalize esta ideia. Relacione com 
nossa definição. 
10. Considere dois círculos S1 e S2 centrados no ponto O. As 
semi-retas tendo O como origem podem ser usadas para as-
sociar a cada ponto P do círculo S1 um ponto Q do círculo 
S2 . Pense nela como uma função f elo círculo S1 no círculo 
S2. Mostre que: 
a) Se J(Pi) = J(A) então A = A- (fé biunívoca.) 
b) Se Q for qualquer ponto ele S2 então existe P E S1 tal 
que J(P) = Q. (fé sobre.) 
Comente sobre a seguinte afirmação: "Os círculos S1 e S2 têm 
o mesmo número ele pontos". 
11. De exemplo de um quadrilátero (não convexo) com duas dia-
gonais que não se interceptam. 
12. Por definição, se P for um polígono convexo, então, para cada 
um ele seus lados m,, podemos escolher um semi-plano L(m,) 
determinado por m tal que P e L(m). Logo P e ílm L(m). 
Mostre que P = ílm L(m). 
13. Sejam m e n duas retas. Mostre que: se 1n está contida em 
um elos semi-planos determinados por n então ou m, = n ou 
m, e n não se intersectam. 
14. Mostre que se uma semi-reta tem origem no vértice A ele um 
triângulo ABC e passa por algum ponto interior ao triângulo, 
então ela intercepta o lado BC. 
44 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
COMENTÁRIO 
No segundo e primeiro milênios antes de Cristo, floresceram 
na Mesopotâmea ( a região entre os rios Eufrates e Tigre, o que 
hoje é aproximadamente o Iraque) várias civilizações conhecidas, 
de um modo geral, como civilização babilônica. Entre elas, a ci-
vilização Suméria, que teve seu ápice no segundo milênio a.C., e 
a civilização que se desenvolveu em torno da cidade chamada Ba-
bilônia no primeiro milênio a.C. Os babilônios absorveram grande 
parte da cultura matemática egípcia e a ela acrescentaram suas 
próprias conquistas. Entre estas, figura o total desenvolvimento da 
álgebra elementar e a invenção de um sistema de numeração em que 
os algarismos têm um valor de posição na grafia dos números. Este 
método de escrever os números, infelizmente não foi absorvido pelas 
civilizações que se seguiram à civilização babilônica. Em passado 
mais recente ele foi redescoberto pelos hindus de quem o importa-
mos, através dos árabes. 
Enquanto a base de numeração hindú era decimal, exatamente 
como utilizamos hoje, a base de numeração babilônica era sexa-
gesimal. Isto significa que eles utilizavam 60 símbolos (algarismos) 
distintos para escrever todos os números. Infelizmente o zero era 
representado por uma lacuna o que tornava a leitura de alguns 
números confusa. Talvez esta tenha sido a dificuldade essencial, 
que levou este sistema a não ser absorvidopelas civilizações que 
sucederam a civilização babilônica. 
Para este povo, que utilizava um sistema de numeração de base 
60, foi muito natural dividir o círculo em 360 partes (grau), e cada 
uma destas partes em 60 partes (minuto) e repetir o processo para 
estas sub-partes. Assim o "grau" é uma invenç:ão dos babilônios, 
que entraram para a história da ciência matemática com uma con-
tribuição importante que utilizamos até hoje. 
CAPÍTULO 4 
CONGRUÊNCIA 
Definição 4.1 Diremos que dois segmentos AB e CD são con-
gruentes quando AB = CD; diremos que dois ângulos  e Ê são 
congruentes se eles têm a mesma medida. 
Observe que, com esta definição, as propriedades ela igualdade 
ele números passam a valer para a congruência ele segmentos e ele 
ângulos. Como conseqüência, um segmento é sempre congruente a 
ele mesmo e dois segmentos, congruentes a um terceiro, são con-
gruentes entre si. O mesmo valendo para ângulos. 
Para simplificar ao máximo a nossa notação, iremos utilizar o 
símbolo "="para significar congruente. Assim, AB = CD eleve ser 
lido como AB é congruente a CD e  = Ê eleve ser lido como 
ângulo A é congruente ao ângulo B. Em geral não haverá perigo 
ele confusão com a igualdade ele números ou ele conjuntos. Quando 
houver, reforçaremos com palavras o significado elo símbolo. 
Definição 4.2 Dois triângulos são congruentes se for possível es-
tabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vérices de modo 
que lados e ângulos correspondentes sejam congruentes. 
Se ABC e EFG são dois triângulos congruentes e se 
45 
46 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
A - E 
B -----.t F 
C - G 
é a correspondência que define a congruência, então valem, simul-
taneamente, as seis relações seguintes: 
AB 
 
EF 
Ê 
BC 
Ê 
FC 
p 
AC 
ê 
EG 
ê 
Se, nos triângulos abaixo, considerarmos a correspondência C - F, 
B - D e A - E, verificaremos que ê = P, Ê = ÍJ, Â = Ê, 
CB = FD, BA = DE e AC= EF. Portanto os triângulos CBA 
e F D E são congruentes. 
e G 
6 
F 
30 ,____,_ ___ 4 ___ .___--"" A 
E 
Figura 4.1 
Escreveremos ABC = EFG para significar que os triângulos 
ABC e EFG são congruentes e que a congru.ência leva A em E, B 
em F e Cem G. 
Axioma IV Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB = EF, 
AC = EG e  = Ê então ABC = EFG. 
4. CONGRUÊNCIA 47 
Observe que, ele acordo com a definição ( 4. 2), para verificarmos 
se dois triângulos são congruentes temos que verificar seis relações: 
congruência elos três pares de lados e congruência dos três pares de 
ângulos correspondentes. O axioma acima afirma que é suficiente 
verificar apenas três delas, ou seja: 
AB = EF} 
AC=EG 
Â=Ê 
==> { 
A-f! = E}F, BC= FC, AC= EG 
A= E, Ê = F, ê = ê 
Este axioma é conhecido como primeiro caso ele congruência ele 
triângulos. Outros dois casos serão apresentados a seguir. 
Teorema 4.3 (2° caso de congruência de triângulos) Dados 
dois triângulos ABC e EFG, se AB = EF, Â = Ê e Ê = F, 
então ABC = EFG. 
Prova: Sejam ABC e EFG dois triângulos tais que AB = EF, 
 = Ê e Ê = F. Seja D um ponto ela semi-reta SAc tal que 
AD= EG. 
G 
A~----------~B E~----------~F 
Figura 4.2 
Compa~e os !riângulos ABD e EFG. Como AD = EG, AB = 
EF e A = E, concluímos, pelo axioma IV, que ABD = EFG. 
Como conseqüência, tem-se que AÊD = F. Mas, por hipótese, 
F = AÊC. Logo AÊD = AÊC. Consequentemente as semi-retas 
SBD e S8 c coincidem. Mas então o ponto D coincide com o ponto 
48 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
C· e, portanto, coincidem os triângulos ABC e ABD. Como já 
provamos que ABD = EFG, então ABC= EFG. 
Definição 4.4 Um triângulo é dito isósceles se tem dois lados con-
gruentes. Estes lados são chamados de laterais, e o terceiro lado é 
chamado de base. 
Proposição 4.5 Em um triângulo isósceles os ângulos da base são 
congruentes. 
Prova Seja ABC um triângulo em que AB = AC. Pretende-se 
provar que Ê = ê. Para isto compare o triângulo ABC com ele 
mesmo fazendo corresponder os vértices da seguinte maneira: 
A t--t A, B t-t C e C t-t B. 
Por hipótese, AB = AC e 
AC = AB. Como  = 
Â, segue-se (pelo axioma IV) 
que esta correspondência de-
fine uma congruência. Como 
conseqüência tem-se Ê = ê. B 
A 
P.igura 4.3 
e 
Caso o leitor tenha alguma dificuldade em seguir o argumento 
acima, deve desenhar duas cópias elo triângulo ABC e repetir o 
raciocínio para estes dois triângulos. 
Proposição 4.6 Se, em um triângulo ABC, tem-se dois ângulos 
congruentes, então o triângulo é isósceles. 
4. CONGRUÊNCIA 49 
Prova Seja ABC um triângulo em que Ê3 = ê. Vamos mostrar 
que AB = AC. Novamente comparemos o triângulo ABC com 
ele próprio, fazendo corresponder os vértices como na prova ela 
proposição anterior, isto é: A - A, B - C e C - B. Como 
Ê3 = ê e ê = Ê3 por hipótese, e BC= CB, segue-se (pelo teorema 
( 4.3)) que esta correspondência define uma congruência. Como 
conseqüência AB = BC. 
Definição 4. 7 Seja ABC um triângulo e seja D um ponto da 
reta que contém B e C. O segmento AD chama-se mediana do 
triângulo relativamente ao lado BC, se D for o ponto médio de 
BC. O segmento AD chama-se bissetriz do ângulo  se a semi-reta 
SAD divide o ângulo C ÂB em dois ângulos congruentes, isto é, se 
CÂD = DÂB. O segmento AD chama-se altura do triângulo rela-
tivamente ao lado BC, se AD for perpendicular a reta que contém 
B eC. 
Na figura (4.4), em (a) AD é mediana, em (b) AD é bissetriz, 
e em (c) AD é altura. 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
BL...---0.__ _ _, 
(a) 
A C 
(b) 
Figura 4.4 
A 
(e) 
50 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Proposição 4.8 Em um triângulo isósceles a mediana relativa-
mente a base é também bissetriz e altura. 
Prova: Seja ABC um triângulo isósceles cuja base é AB. Seja 
CD sua mediana relativamente à base. Deve-se provar que AÔD = 
BÔD e que ADC é um ângulo reto. Para isto considere os triângulos 
ADC e BDC. Como AD = BD (já que CD é mediana), AC = 
BC (já que o triângulo é isósceles com base AB) e  = Ê (de 
acordo com a proposição anterior), então,pelo Axioma IV, tem-se 
ADC = BCD. Segue- se daí que AÔD = BÔD e CÍJA = BÍJC. 
A primeira congruência nos diz que CD é bissetriz do ângulo Aê B. 
Como AD B é um ângulo raso e C ÍJ A + B ÍJC = AD B então 
CÍJA + BÍJC = 180°. Como já sabemos que CÍJA = BÍJC então 
concluímos que CÍJA = BÍJC = 90°. Portanto CD é perpendicular 
a AB. Isto conclui a prova da proposição. 
e 
A D e 
Figura 4.5 
Teorema 4.9 (3º caso de congruência de triângulos) Se dois 
triângulos têm três lados correspondentes congruentes então os tri-
ângulos são congruentes. 
4. CONGRUÊNCIA 51 
e 
A1------,-------➔ B 
D 
Figura 4.6 
Prova Sejam ABC e EFG dois triângulos tais que AB = EF, 
BC = FC e AC = EG. Vamos provar que ABC = EFG. 
Para isto, construa, a partir da semi-reta SAB e no semi-plano 
oposto ao que contém o ponto C, um ângulo igual ao ângulo Ê. No 
lado deste ângulo que não contém o ponto B, marque um ponto D 
tal que AD = EG e ligue D a B. Como AB = E F (por hipótese), 
AD = EG (por construção) e DÂB = Ê (por construção), então 
ABD = EFG. Vamos agora mostrar que os triângulos ABD e 
ABC são congruentes. Para isto trace CD. Como AD = EG = 
AC e DB = FG = BC, então os triângulos ADC e BDC são 
isósceles. Segue-se que AÍJC = Aê D e C ÍJ B = Dê B e logo que 
AÍJ B = Aê B. Mas então, pelo primeiro caso de congruência de 
triângulos, podemos concluir que ABD = ABC. Como já tínhamos 
provado que ABD = EFG, concluímos que ABC= EFG. 
52 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
EXERCÍCIOS 
1. Um ângulo raso é dividido por duas semi-retas em três ângulos 
adjacentes congruentes. Mostre que a bissetriz elo ângulo elo 
meio é perpendicular aos lados elo ângulo raso. 
2. Desenhe um triângulo. Construa agora um outro triângulo 
congruente ao que você desenhou. Descreva o procedimento. 
3. Construa um triângulo ABC sabendo que AB = 7, 5e111,, 
BC = 8, 2e111, e AÊC = 80°. Meça o comprimento ele AC 
e os outros ângulos elo triângulo. 
4. Na figura abaixo à esquerda os ângulos a e /3 são congruentes. 
Mostre que AC = BC. 
D 
e A 
E 
5. Na figura acima à direita tem-se AB= AC e BD = CE. 
Mostre que: ACD = ABE e BCD = CBE 
6. Dois segmentos AB e CD se interceptam em um ponto M o 
qual é ponto médio elos dois segmentos. Mostre que AC = 
BD. 
7. Em um triângulo ABC a altura elo vértice A é perpendicular 
ao lado BC e o divide em dois segmentos congruentes. Mostre 
que AB = AC. 
4. CONGRUÊNCIA 53 
8. Mostre que os pontos médios dos lados de um triângulo isósceles 
formam um triângulo também isósceles. 
' 
9. Na figura ao lado, AC = AD 
e AB é a bissetriz do ângulo 
C ÂD. Prove que os triângulos 
AC B e AD B são congruentes. 
10. Complemente o exercício 
anterior mostrando que, se 
traçármos o segmento CD, ele 
será perpendicular a AB. 
e 
A <---------o B 
D 
11. Em um quadrilátero ABC D sabe-se que AB = CD e BC = 
AD. Mostre que os triângulos AC B e CAD são congruentes. 
Conclua que os ângulos opostos do quadrilátero são congruen-
tes, isto é, que  = ê e Ê = ÍJ. Altere sua prova para mostrar 
que, se os quatro lados tiverem a mesma medida então os qua-
tro ângulos serão congruentes. 
12. Mostre que um triângulo eqüilátero é também eqüiangular, 
isto é, tem os três ângulos iguais. 
13. Na figura abaixo o ponto A é ponto médio dos segmentos CB 
e DE. Prove que os triângulos ABD e AGE são congruentes. 
e 
D A~E 
~ 
B 
14. Considere um círculo de raio R centrado em um ponto O. 
Sejam A e B pontos do círculo. Mostre que o raio que passa 
54 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
pelo ponto médio do segmento AB é perpendicular a este 
segmento. Inversamente, mostre que, se o raio é perpendicular 
ao segmento então o cortaria no seu ponto médio. 
15. Na figura abaixo os ângulos  e ê são retos e o segmento DE 
corta CA no ponto médio B de CA. Mostre que DA= CE. 
D 
e B 
A 
E 
16. Dois círculos de centro A e B e mesmo raio se interceptam 
em dois pontos C e D. Se M é o ponto de intersecção de AB 
e CD, mostre AM = M B e Clvi M D. 
17. Use o resultado do exercício anterior para descrever um mé-
todo de construir, usando apenas régua e compasso, a per-
pendicular a uma reta passando por um ponto fora da reta. 
18. Da figura ao lado sabe-se que 
OC = O B, O D = O A e 
BÔD = CÔA. fl.fostre que 
CD = BA. ~:e, além disto, 
soubermos que CD = O B con-
clua que os três triângulos for-
mados são isósceles. D 
e B 
M 
o A 
19. Considere um ângulo AÔB onde AO BO. Trace dois 
círculos ele mesmo raio centrados erL A e em B. Suponha 
que seus raios sejam grande suficientes para que eles se inter-
ceptem em dois pontos. Mostre que a reta ligando estes dois 
pontos passa pelo vértice do âr1gulo e é sua bissetriz. 
4. CONGRUÊNCIA 55 
20. Use o resultado o exercéicio anterior para descrever um método 
ele construir a bissetriz de um ângulo usando apenas régua e 
compasso. 
21. Faça uma demonstração cliferente da Proposição (4.5) fazendo 
uso da solução elo exercício 5. 
22. Três sarrafos ele madeira são 
pregados, dois a dois, ele 
modo a formar um triângulo, 
com somente um prego em 
cada vértice. A figura as-
sim obtida é rígida. Por que? 
Para comparação construa um 
quadrilátero com quatro sar-
rafos e um prego em cada 
vértice. É esta figura rígida? 
23. Explique porque é usual reforçar-se um portão com uma trave 
na diagonal como indicado esquematicamente na figura se-
guinte à esquerda. 
24. Explique porque a figura acima à direita é rígida. 
56 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
PROBLEMAS 
1. Na figura ao lado C!vl A é 
um ângulo reto e M é ponto 
médio de AB Mostre que 
CA = CB. 
2. A região marcada com um 
11,f representa um lago. Des-
creva um processo pelo 
qual seja possível medir a 
distância entre os pontos A 
e B. ( Qualquer medição 
fora do lago é possível). 
ç 
e 
B 
3. Mostre que, se um triângulo tem os três lados congruentes, 
então tem também os três ângulos congruentes. 
4. Na figura ao lado ABD 
e BCD são triângulos 
isósceles com base D B. 
Prove que os ângulos 
AÊC e AÍJC são congru-
entes. 
e 
B 
D 
5. Usando a mesma figura, mostre que ,também a reta AC é 
bissetriz de B ÂD e é perpendicular a D B. 
4. CONGRUÊNCIA 
6. Na ao lado, ABD 
e são triângulos 
isósceles com base BD. 
Prove que AÊC = AÍJC 
e que AC é bissetriz do 
ângulo BêD. 
57 
e 
7. Justifique o seguinte procedimento para determinação do pon-
to médio de um segmento. "Seja AB um segmento. Com um 
compasso centrado em A, desenhe um círculo de raio AB. 
Descreva outro círculo de mesmo raio e centro em B. Estes 
dois círculos se interceptam em dois pontos. Trace a reta 
ligando estes dois pontos. A interseção desta reta com o seg-
mento AB será o ponto médio de AB." 
A M B 
8. Na construção acima é realmente necessário que os dois cír-
culos tenham raio AB '? 
9. Mostre que, na construção descrita no problema 7, acima, a 
reta que determina o ponto médio de AB é perpendicular a 
AB. 
10. Utilize a idéia da construção descrita no problema 7 e pro-
ponha um método de construção de uma perpendicular a uma 
reta dada passando por um ponto desta reta. 
58 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
11. Na figura abaixo tem-se AD = DE, Â = DÊC e AÍJE = 
BÍJC. Mostre que os triângulos ADB e EDC são congruen-
tes. 
12. Um quadrilátero tem diagonais congruentes e dois lados opos-
tos também congruentes. Mostre que os outros dois lados são 
congruentes. 
13. Determine o conjunto de pontos que satisfazem a propriedade 
de serem equidistantes dos extremos de um segmento. 
14. Sejam A e B pontos de um círculo e M o ponto médio de 
AB. sejam C e D pontos do segmento AB equidistantes do 
ponto M. Mostre que C e D são também equidistantes do 
centro do círculo. O resultado ainda vale se os pontos C e D 
estiverem sobre a reta que contém AB? 
15. Uma reta corta dois círculos concêntricos em quatro pontos. 
Mostre que os dois segmentos que ficam ·na região entre os 
círculos são congruentes. 
4. CONGRUÊNCIA 59 
COMENTÁRIO 
Foi na Grécia que surgiu, pela primeira vez na história, a figura 
do cientista profissional. Aquele homem devotado à busca ele co-
nhecimento e recebendo um salário para fazer isto. Alguns elos 
nomes mais representativos desta classe, durante a civilização grega, 
viveram em Alexandria, onde Ptolomeu I fez erigir um grande cen-
tro de pesquisas denominado "Museo", com sua famosa biblioteca. 
Ali, a tradição grega em Ciência e Literatura foi preservada e de-
senvolvida. O sucesso desse empreendimento foi considerável. 
Entre os primeiros pesquisadores associados ao M useo de Ale-
xandria está Euclides, um dos matemáticos mais influentes de todos 
os tempos. Euclides aparentemente recebeu sua educação mate-
mática em Atenas, dos discípulos ele Platão, e sua principal obra 
intitula-se: "Elementos", (composto de 13 volumes). Este trabalho 
deve ter-se tornado um clássico logo após sua publicação. Cer-
tamente, desde os tempos de Arquimedes, ele era constantemente 
referido e utilizado como texto básico. Ao lado ela bíblia é sem 
düvida o livro mais reproduzido e estudado de todos os que já foram 
escritos na história do rriundo ocidental. Mais de 1.000 edições dele 
já foram produzidas desde a invenção ela imprensa e, antes disto, 
cópias manuscritas dominavam todo o ensino ela matemática. A 
geometria ensinada na escola secundária é, freqüentemente, cópia 
quase literal ele 8 ou 9 dos 13 volumes que o constituem. O próprio 
texto que o leitor tem em mãos contém muitas demonstrações que 
são, exceto pela linguagem, parte dos "Elementos". 
Certamente Euclides não criou toda a geometria contida nos 
seus "Elementos". Seu trabalho foi muito mais aquele de um com-
pilador, desejoso de colocar em um ünico texto, três das grandes 
descobertas gregas: 
60 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
a) a teoria de Eudoxio das proporções (livro V). 
b) a teoria ele Teteto dos irracionais (livro X) e 
c) a teoria dos cinco corpos regulares que ocupava lugar ele des-
taque na cosmologia ele Platão. 
Foi, no entanto, a aplicação sistemática do método dedutivo 
para desenvolver a geometria à partir ele alguns fatos básicos toma-
dos como axiomas, que, sem dúvida, teve o maior impactoe in-
fluência sobre o ensino e sobre a maneira ele fazer ciência a partir 
de então. 
CAPÍTULO 5 
Ü TEOREMA DO ANGULO EXTERNO E SUAS 
CONSEQÜÊNCIAS 
Definição 5.1 Se ABC é um triâng·ulo, os seus ângulos ABC, 
Bê A e CÂB são chamados de ângulos internos ou simplesmente de 
ângulos do triângulo. Os suplementos destes âng·ulos são chamados 
de ângulos externos do triângulo. 
B 
e~ D 
A 
Figura 5.1 
Na figura acima o ângulo BÂD é um ângulo externo do triângulo 
ABC adjacente ao ângulo interno CÂB. 
Teorema 5.2 (ÂNGULO EXTERNO) Todo ângulo e:rterno de um 
triângulo mede mais do que qualquer dos ângulos internos a ele 
não adjacentes. 
61 
62 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Prova: Seja ABC um triângulo. Na semi-reta ScA marque um 
ponto D tal que A esteja entre C e D, como indicado na figura 5.2. 
Devemos provar que BÂD > Ê e BÂD > ê. Vamos inicialmente 
provar que BÂD > Ê. Para isto considere o ponto médio E do 
segmento AB. 
B F __ , 
- - I 
- - I 
e~,'/ 
A D 
Figura 5.2 
Na semi-reta ScE, marque um ponto F tal que CE = EF. 
Trace AF. Compare os triângulos CEB e FAE. Como BE= AE 
(já que E é o ponto médio de AB), CE = EF (por construção) 
e BÊC = AÊF (por serem opostos pelo vértice), segue-se que 
BEC = AEF. Consequentemente Ê = EÂF. Como a semi-
reta SAF divide o ângulo BÂD, então EÂF < BÂD. Portanto. 
Í3 < BÂD. Deixamos a cargo do leitor a prova de que BÂD > ê. 
Proposição 5.3 A soma das medidas de quaisquer dois ângulos 
internos de um triângulo é menor do que 18(!1. 
Prova: Seja ABC um triângulo. Vamos mostrar que Ê+ê < 180º. 
Seja 0 o ângulo externo deste triângulo com vértice em C. Pela 
proposição anterior temos que 
Como 0 e ê são suplementares, então 0 + ê = 180°. Portanto, 
Ê+ê < e+ê = 180°. 
5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO 63 
Corolário 5.4 Todo triângulo possui pelo menos dois ângulos in-
ternos agudos. 
Prova: De fato, se um triângulo possuísse dois ângulos internos 
não agudos, sua soma seria maior ou igual a 180º, o que não pode 
ocorrer de acordo com a proposição anterior. 
Corolário 5.5 Se duas retas distintas rn e n são perpendiculares 
a uma terceira, então rn e n não se interceptam. 
Prova: Se rn e n se inter-
ceptassem formar-se-ia um 
triângulo com dois ângulos 
retos, o que é absurdo pelo 
corolário anterior. 
Figura 5.3 
m 
n 
Definição 5.6 Duas retas que não se interceptam são ditas para-
lelas. 
A proposição seguinte fornece um método ele construção de re-
tas perpendiculares. Como conseqüência do Corolário (5.5), este 
método pode ser utilizado para construção de retas paralelas. 
Proposição 5. 7 Por um ponto fora de uma reta passa uma e so-
mente uma reta perpendicular a reta dada. 
Prova (Existência). Seja rn uma reta e A um ponto fora desta 
reta. Tome sobre rn dois pontos B e C distintos. Trace AB. Se AB 
já é perpendicular a m, terminamos a construção. Caso contrário, 
considere, no semi-plano que não contém A, uma semi-reta com 
origem B formando com SBc um ângulo congruente a AÊC. Nesta 
semi-reta tome um ponto A' tal que BA' = BA. O segmento AA' 
é perpendicular a m. De fato, como BA = BA', o triângulo ABA' 
64 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
A 
m 
n', .... e 
' 
'A' 
Figura 5.4 
é isósceles. Como AÊC = CÊA', então BC é bissetriz do ângulo 
ABA'. Segue-se, então, que BC é perpendicular a AA'. 
( Unicidade) Se existissem duas retas distintas passando pelo 
ponto A e sendo ambas perpendiculares a reta rn, formar-se-ia um 
triângulo com dois ângulos retos, o que é absurdo de acordo com o 
corolário ( 5.4). 
A 
m 
Figura 5.5 
O ponto A' obtido a partir de A e rn na construção acima (vide 
figura (5.4)), é chamado de reflexo do ponto A relativamente à reta 
rn. O reflexo é caracterizado pelas seguintes condições: 
a) AA' é perpendicular a rn, e 
b) rn corta AA' no seu ponto médio. 
5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO 65 
A função Fm que associa a cada ponto elo plano, o seu reflexo 
relativamente a uma reta m fixada, é chamada reflexão e tem as 
seguintes propriedades: 
i) Fm(Fm(A)) =Apara todo ponto A, 
ii) Fm(A) =Ase e somente se A é ponto ela reta m, 
iii) Fm(A)Fm(B) = AB, ou seja, Fm preserva a distância entre 
pontos elo plano, e 
iv) se A E m, B ~ ni e B' = Fm(B) então m é a bissetriz elo 
ângulo BÂB'. 
Fica a cargo elo leitor a demonstração ela validade destas pro-
priedades. 
Dado um ponto A e uma reta ni, a perpendicular a m passando 
por A interceptam em um ponto P chamado: pé ela perpendicular 
baixada elo ponto A a reta m. Se Q é qualquer outro ponto ele m, 
o segmento AQ é dito ser oblíquo relativamente a m. 
Q p 
Figura 5.6 
m 
Na figura, o segmento Q P é chamado ele projeção do segmento 
QA sobre a reta m. É uma conseqüência ela proposição seguinte 
que QA > QP e que QA > AP. O número AP é chamado de 
distância elo ponto A à reta m. 
Dado um triângulo ABC diremos que o lado BC opõe-se ao 
ângulo  ou, ele maneira equivalente, que o ângulo  é oposto ao 
lado BC. 
66 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
e 
Figura 5.7 
Proposição 5.8 Se dois lados de um triângulo não são congru-
entes então seus ângulos opostos não são congruentes e o maior 
ângulo é oposto ao maior lado. 
Prova: A primeira parte da proposição é uma conseqüência ime-
diata das proposições (4.5) e (4.6). Para provar a segunda parte, 
considere um triângulo ABC em que BC < AC e vamos mostrar 
que CÂB < CÊA. 
e 
Figura 5.8 
Para isto, marque, sobre a semi-reta ScA, um ponto D tal que 
CD= BC. Como BC< AC então este ponto D pertence ao seg-
mento AC e, como conseqüência, a semi-reta S8 v divide o ângulo 
CÊ A. Portanto tem-se 
CÊA > CÊD. 
Agora observe que 
CÊD = CÍJB > CÂB. 
5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO 67 
A igualdade acima é conseqüência de CBD ser um triângulo isós-
celes, e a desigualdade ocorre porque C ÍJ B é ângulo externo elo 
triângulo BDA. Portanto 
CÊA > CÂB 
como queríamos demonstrar. 
Proposição 5.9 Se dois ângulos de um triângulo não são congru-
entes então os lados que se opõem a estes ângulos têm medidas 
distintas e o maior lado opõe-se ao maior ângulo. 
Prova: Novamente aqui, a primeira parte ela proposição é uma 
conseqüência imediata das proposições ( 4.5) e ( 4.6). Para provar 
a segunda parte, considere um triângulo ABC em que CÂB < 
CÊA e vamos mostrar que BC< AC. Observe que, existem três 
possibilidades: BC< AC, BC> AC e BC= AC. 
Se BC > AC então, pela proposição anterior, deveríamos ter 
CÂB > CÊA, o que é contrário a nossa hipótese. Do mesmo modo, 
se ocorresse BC= AC, o triângulo seria isósceles e CÂB = CÊA, 
o que está também em desacordo com nossa hipótese. 
Logo eleve ocorrer BC< AC, como queríamos demonstrar. 
Teorema 5.10 Em todo triângulo, a soma dos comprimentos de 
dois lados é maior do que o comprimento do terceiro lado. 
Prova Dado um triângulo ABC mostraremos que AB+BC > AC. 
Para isto, marque um ponto D na semi-reta SAB, ele modo que 
AD= AB + BC. Segue-se que BD= CB e, portanto, o triângulo 
BCD é isósceles com base CD. Logo, teremos BÔD = BÍJC. 
Como B está entre A e D, então BÔD < AÔD. Segue-se que 
no triângulo ACD tem-se BÍJC < AÔD. Logo, pela proposição 
anterior, AC< AD. Mas então AC< AB + BC. 
Teorema 5.11 (DESIGUALDADE TRIANGULAR) Dados três pon-
tos distintos A, B e C do plano, tem-se que AC ::; AB + BC. 
Igualdade ocorre se e somente se B pertence ao segmento AC. 
68 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
e 
A~---------~------~D 
13 
Figura 5.9 
Prova: Se A, B e C não estão sobre uma mesma reta, então eles de-
terminam um triângulo e a desigualdade é conseqüência do teorema 
anterior. Se estão sobre uma mesma reta, sejam a, b e e, respecti-
vamente, as suas coordenadas. Neste caso é simples verificar que 
la - cl :'.S la - bl + lb - cl 
e que igualdade ocorre se e somente se b está entre a e e. O resultado 
é agora uma conseqüência do teorema (2.2). 
A desigualdade triangular é a única restrição para que se possa 
construir um triângulo com comprimento dos lados pré-determina-
dos. Por exemplo, de acordo com esta desigualdade é impossível 
construir-se um triângulo cujoslados sejam 5, 3 e 9. 
Proposição 5.12 Sejam a, b e e três números positivos. Suponha 
que la - bl < e < a+ b. Então pode-se construir ·um t?·iângulo cujos 
lados medem a, b e e. 
Prova: Trace uma reta e sobre ela marque dois pontos A e B tais 
que AB = e. Com um compasso descreva um círculo ele centro A e 
raio b, e um círculo ele centro B e raio a. 
Como la-bl < c < a+b, os dois círculos se interceptam. Chame 
quaisquer elos pontos ela interseção ele C. O triângulo ABC tem 
lados medindo a, b e e como desejado. 
5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO 69 
B 
Figura .5.10 
Vamos agora aplicar a desigualdade triangular para resolver o 
seguinte problema: São dados dois pontos A e B fora de uma reta 
m,. Determinar um ponto P sobre a reta m tal que AP + P B seja 
o menor possível. 
Inicialmente vamos supor que A e B estejam em semi-planos 
distintos relativamente a reta m,. Neste caso o segmento AB inter-
cepta a reta m, num ponto P. Afirmo que este ponto é a solução 
elo nosso problema. De fato, se P' é qualquer ponto de m, então, 
pela desigualdade triangular, teremos: AP' + P' B 2:: AB, ocorrendo 
igualdade se e somente se P = P'. 
m 
Figura 5.11 
No caso em que A e B estão em um mesmo semi-plano, seja 
B' o reflexo elo ponto B relativamente a reta m. Se P' é qualquer 
ponto de m, então P' B = P' B'. Consequentemente, teremos que 
AP1 +P1B = AP' +P1B1 • 
70 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Assim, o problema reduz-se ao caso anterior e a solução é o ponto 
P obtido pela interseção de m com o segmento AB' 
A 
B' 
m 
... ... 
... 1 
'B 
Figura 5.12 
É interessante observar que este problema surge em Física, quan-
do se tenta determinar um ponto P, sobre um espelho, onde deve 
ocorrer a reflexão de um raio de luz que vai do ponto A ao ponto B, 
refletindo-se no espelho. Ou quando tenta-se determinar um ponto 
onde uma bdl.it de bilhar deve chocar-se com a lateral da mesa, para 
ir do ponto A, tocar na lateral e atingir uma bola que se encontra 
no ponto B. 
Vamos agoral 'apHcar os resultados já obtidos para estudar uma 
classe especial de triângulos. 
Definição 5.13 Um triângulo que possui um ângulo reto é cha-
mado triângulo retângulo. O lado oposto ao ângulo rew é chamado 
hipotenusa, e os outros dois lados são denominados catetos. 
De acordo com (5.4) os ângulos opostos aos catetos são agudos. 
É uma conseqüência de (5.9) que a hipotenusa é maior do que qual-
quer dos catetos. Por outro lado, pela desigualdade triangular, o 
comprimento da hipotenusa é menor do que a soma dos compri-
mentos dos catetos. Se dois triângulos retângulos são congruentes, 
então, necessariamente, os ângulos retos rlP.vem-se corresponder. 
5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO 
A 
B hipotenusa 
Figura 5.13 
71 
e 
Por causa disto, além dos três casos de congruência que já conhe-
cemos, existem outros três específicos para triângulos retângulos. 
Estes são apresentados no teorema seguinte. 
Teorema 5.14 (CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS) 
Sejam ABC e A' B'C' dois triângulos retângulos cujos ângulos retos 
são ê e ê 1• Se alguma das condições abaixo ocorrer, então os dois 
triângulos soo congruentes: 
\l'~:.\·1. 
1. BC= B'C' e 
2. AB = kE' e BC= B'C', e 
3. AB = A'B' e Â=Â'. 
Os casos acima podem ser identificados como igualdade entre 
1. ( c • a) cateto e ânguio oposto, 
2. (h • c) hipotenusa e cateto, e 
3. (h • a) hipotenuss, e §.:ngulo agudo. 
Prova: (Caso 1) Nossas hipóteses são, neste caso, as seguintes: 
ê = ê' (reto), BC= B'C' e  = Â'. 
72 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Observe que, apesar ele termos informações sobre dois ângulos e um 
lado, não podemos aplicar o "2º caso ele congruência". Para provar 
que ABC e A' B'C' são congruentes marque um ponto D sobre a 
semi-reta ScA ele sorte que CD = C'A'. Os triângulos CDB e 
C' A' B' são então congruentes, pelo primeiro caso ele congruência. 
Figura 5.14 
Como conseq_üência, tem-se que C ÍJ B = Â'. Desde que C ÂB = Â' 
(por hipó-~s:e), concluímos que 
CÍJB = CÂB. 
Afirmo que os pontos A e D coincidem. De fato, se tal não ocor-
rer A, D!'l'B formam um triângulo em que os ângulos CÍJB e 
C ÂB sã~ ângulo externo e interno não adjacente. Portanto a igual-
dade acima hão pode ocorrer ele acordo com o teorema elo ângulo 
externo. Então A e D coincidem e logo CAB = CDB. Como 
CDB = C'A'B' conclui-se que CAB = C'A'B', como queríamos 
demonstrar. 
As demonstrações elos outros dois casos são deixadas a cargo elo 
leitor. 
5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO 7:3 
EXERCÍCIOS 
1. Prove que, se um triângulo tem dois ângulos externos congru-
entes, então ele é isósceles. 
2. A figura ao lado é formada pe-
los segmentos AC, AE, CF e 
E B. Determine os ângulos que 
são: 
a) menores elo que o ângulo 
7. .t 
b) maiores elo que o ângulo 
5, e, 
c) menores elo que o ângulo 
4 \ 
3. Na figura ao lado os ângulos 
externos Aê'E e AÊD satis-
fazem a clesig-_-:.alclacle: Aê E < 
AÊD. Mostre que AÊD > 
ABC. 
D B 
D e 
8 
s/ 
\ / 
3/ 
7 B 
A 
e 
4. Prove que um triângulo retângulo tem dois ângulos externos 
obtusos. 
5. Em um cartório ele registro ele imóveis um escrivão recusou-se 
a transcrever o registro ele um terreno triangular cujos lados, 
segundo o seu proprietário, mediam 100m, 60m e 20m. Você 
pode dar um argumento que justifique a atitude do escrivão? 
E 
74 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
6. Sejam ABC e A' B'C' dois triângulos em que AB = A' B', 
 = Â' e ê = Ô'. Decida se ABC e A' B'C' são congruentes 
ou não. (Prove que eles são congruentes ou dê um exemplo 
para mostrar que as hipóteses podem ocorrer sem que os dois 
triângulos sejam congruentes). 
7. A figura abaixo foi copiada de um livro por uma criança. As 
medidas dos ângulos indicadas são as medidas corretas do 
desenho original. Com base nesta informação, responda às 
seguintes questões relativas ao desenho original. 
a) Os triângulos ABC e 
DCB são congruen- e 
tes? 
b) Qual o lado do 
triângulo ABC qu-3 é 
mais longo? A 
c) ·Qual o lado do 
tr,1,ângulo DC B que é B 
mais curto? 
e 
8. Se, no problema anterior, os 
ângulos tivessem _sido indica-
dos como na figura ao lado, 
A 
quais seriam as respostas às 
perguntas a, b e e acima? 
B 
B 
9. Na figura ao lado tem-se 
BD > BC e  > AÊC. Prove 
que BD> AC. 
A D 
e 
5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO 
10. Na figura ao lado H foi esco-
lhido no segmento FG de sorte 
que EH = EG. Mostre que 
i > 2. 
11. Se um triângulo ABC é 
eqüilátero e D é um ponto 
do segmento BC mostre que 
AD> DB. 
12. Na figura ao lado m e n 
são duas retas perpendicula-
res. Qual o caminho mais 
curto para se ir do ponto A ao 
ponto B tocando-se nas duas 
retas? 
13. Na figura ao lado i 2. 
Mostre que as retas m e n são 
paralelas. 
m 
p 
F 
E 
1 H 
2 
A 
a 
2 
75 
B 
n 
m 
n 
14. Mostre que, qualquer triângulo tem pelo menos um ângulo 
externo obtuso. 
76 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
15. Na figura ao lado, B, D e A 
são colineares. Do mesmo 
modo D, E e C são colineares. 
Mostre que AÊC > DÊC. 
A 
16. Prove as propriedades da função 
texto. 
17. Na figura ao lado os triângulos 
ABC e EDC são congruentes 
e os pontos A, C e D são coli-
neares. Mostre que AD> AB. 
18. Na figura ao lado tem-se i = 2 
e i + 2 = 180º. Conclua que as 
retas m e n são paralelas. 
19. Na figura ao lado Ê e ÍJ são 
ângulos retos e AB = DC. 
Mostre que AD= BC. 
B 
D 
E 
"reflexão" , constantes do 
B 
E 
A e D 
m n 
2 
A B 
i 
1 
D e 
20. No final da demonstração do teorema (5.2), é feita a seguinte 
afirmação: ".. a semi-reta SAF divide o ângulo BÂD, ... ". 
Justifique com detalhes porque esta afirmação é verdadeira. 
e 
5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO 
21. Na figura ao lado AD e BC são 
segmentos. Mostre que AD + 
BC> AB+CD 
22. Duas retas m e n são cortadas 
por uma transversal formando 
ângulos a e I como indicado 
na figura ao lado. Mostre que, 
se a+ 1 = 180º então 1n e n 
não se interceptam. 
23. Na figura ao lado AD e BC são 
congruentes e perpendiculares 
a CD. Mostre que os ângulos 
 e Ê são congruentes. 
eA 
m 
11 (l 
A I3 ~I ~I 
D C 
77 
B 
D 
24. Dado um triângulo ABC, marca-se um ponto D no lado AB. 
Mostre que CD é menor do que o comprimento de um elos 
lados AC ou BC. 
78 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
PROBLEMAS 
1. No triângulo ABC da figura 
ao lado tem-se CD perpendi-
cular a AB, BE perpendicular 
a AC e CD= BE. Mostre que 
ABC é um triângulo isósceles. 
2. Na figura ao lado ABC é um 
triângulo eqüilátero e AD = 
BE = CF. Se, além disso, 
DÂB = EÊC, mostre que 
EFD é também eqüilátero. 
A 
e 
B e A A B 
3. Na figura ao lado AD = BC, 
AÍJC e Bê.D são ângulos re-
tos, e M. E; N são pontos 
médios dos segmentos AB e 
DC respectivamente. Mostre 
que M N é perpendicular a AB 
e a CD. 
A 
D 
M 
1 
~l 
N 
4. Demonstre os casos (2) e (3) da Proposição (5.14). 
] 
5. Sejam AHC e A' B'C' dois triângulos não retângulos comê = 
ê1, AB = A' B' e BC = B' C'. Dê um exemplo para mostrar 
B 
e 
5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO 79 
que estas hipóteses não acarretam que os triângulos devam 
ser congruentes. 
6. Mostre que, por um ponto fora de uma reta sempre passa uma 
outra reta que não intercepta a reta dada. 
7. Mostre que, se duas retas têm uma perpendicular comum 
então elas não se interceptam. 
8. Dado um triângulo ABC seja D o ponto médio do lado BC. 
Considere então o segmento AE passando pelo ponto D tal 
que AD = D E e trace EC. Mostre que a soma elos ângulos in-
ternos do triângulo AEC é igual à soma dos ângulos internos 
do triângulo ABC. Mostre, além disto, que EÂC + AÊC = 
B ÂC. Portanto o triângulo AEC possui um ângulo 0 satis-
fazendo a 0 ~ Â/2. 
9. Mostre que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 
sempre menor ou igual a 180°. (Ajuda: Suponha que existe 
um triângulo ABC cuja soma dos ângulos seja maior do que 
:80º. Utilize o exercício anterior para construir uma seqüência 
de triângulos AnBnCn todos tendo soma dos ângulos internos 
i~uais a soma dos ângulos internos de ABC e tais que Ân ~ 
A/2n. Conclua~ prova mostrado que, para n suficientemente 
grande chegar,epi<;>s_num triângulo em que dois ângulos somam 
mais do que 180'\.2) 
10. Mostre que, se num quadrilátero ABC D tem-se AB = CD 
e BC = DA então os lados opostos deste quadrilátero estão 
sobre retas que não se interceptam. 
11. Dado u:rr. segmento AB mostre que existe um número a0 satis-
fazendo a O < a0 < 90 tal que, para todo ângulo O < a < a0 
existe "um ponto C fora de AB tal que o triângulo ABC é 
isósceles com base AB e tal que a medida de C AB é igual 
2 A ideia desta )rova é devida a Legendre 
80 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
a a. (Ajuda: Não é suficiente construir dois ângulos agu-
dos congruentes a a nas extremidades ele AB, pois as duas 
retas construídas podem não se encontrar. Proceda ela se-
guinte forma. Trace a perpendicular 1n que passa pelo ponto 
médio ele AB. Mostre que, para toda escolha ele C E m o 
triângulo formado é isósceles. Mostre que os ângulos ela base 
elos triângulos assim formados tem medida menor elo que um 
certo número a0 < 90 e maior elo que zero.) 
12. Dois segmentos têm extremidades em um círculo. Mostre que 
o mais distante elo centro elo círculo têm o menor compri-
mento. 
13. Define-se a distância entre dois círculos como o menor com-
primento elos segmentos que têm uma extremidade em um 
círculo e a outra no outro. Mostre que a distância entre dois 
círculos concêntricos é o valor absoluto ela diferença entre seus 
raios. 
5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO 81 
COMENTÁRIO 
Quando se deseja demonstrar uma proposição, resolver um exer-
cício ou simplesmente entender o enunciado de um teorema, é muito 
importante que sejamos capazes ele separar as hipóteses do que se 
deseja provar (tese ou conclusão). Esquematicamente o enunciado 
ele uma proposição ( ou teorema, ou corolário, ou problema, ou exer-
cício etc.) pode ser sempre representado por 
P - Q (leia: P implica Q) 
onde P e Q representam aqui duas afirmações. A afirmação Pé a 
hipótese e a afirmação Q é a tese. Em muitos casos, a hipótese vem 
precedida ele um "se" ou de um "quando", e a tese de um "então". 
Um exemplo disto é a seguinte proposição: 
"Se duas retas distintas possuem uma perpendicular co-
mum, então elas não se interceptam." 
Neste enunciado temos 
Hipótese: 
Tese: 
Duas retas distintas possuem uma perpendicular 
comum. 
As duas retas não se interceptam. 
Evidentemente, nem todos os enunciados ele proposições estão apre-
sentados no formato "se ... , então .. ". Por exemplo, a mesma propo-
sição poderia ter sido enunciada ela seguinte maneira: 
82 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
"Retas perpendiculares a uma terceira não se encon-
tram". 
Agora, a hipótese está disfarçada no pedaço de frase "Retas per-
pendiculares a uma terceira ... ", e a tese, no restante. Pelo menos 
quatro proposições constantes deste capítulo nos dão exemplos de 
enunciados deste tipo. Quando encontramos dificuldade em reco-
nhecer a hipótese e a tese de um dado enunciado, é sempre uma 
boa política tentar reescrevê-lo no formato "se ... , então ... ". Por 
exemplo, a proposição (4.8) tem o seguinte enunciado: 
"Em um triângulo isósceles a mediana relativamente à 
base é também bissetriz e altura." 
Uma maneira de reescrevê-la no formato "se ... , então ... " é o se-
guinte: 
"Se ABC é um triângulo isósceles com base BC e D é 
o ponto médio de BC, então AD é bissetriz do ângulo 
BÂC e é perpendicular ao lado BC." 
Embora estes dois enunciados sejam extremamente diferentes, eles 
dizem exatamente a mesma coisa. O primeiro é sem dúvida mais 
elegante, mas o segundo é o enunciado com que realmente traba-
lhamos quando demonstramos esta proposição. 
Consideremos agora as duas proposições seguintes: 
a) "Se um triângulo é isósceles, então ele possui dois 
ângulos iguais" . 
b) "Se dois ângulos de um triângulo são iguais, então 
o triângulo é isósceles" . 
Observe que a hipótese da primeira é a tese da segunda e que a tese 
da primeira é a hipótese da segunda. Em termos esquemáticos, se 
P-+Q 
5. O TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO 83 
representa a proposição (a), então 
Q - p 
representa a proposição (b). A segunda proposição é dita ser a 
inversa da primeira. Cada proposição tem sempre uma inversa a 
qual pode ser verdadeira ou não. Exemplos: 
1.i) Se duas retas possuem uma perpendicular comum então elas 
são retas paralelas. 
l.ii) Se duas retas são paralelas, então elas possuem uma perpen-
dicular comum. 
2.i) Se um triângulo é retângulo, então ele possui dois ângulos 
agudos. 
2.ii) Se um triângulo possui dois ângulos agudos, então ele é um 
triângulo retângulo. 
A proposição (1.i) foi demonstrada neste capítulo. Sua inversa, a 
proposição (1.ii), é verdadeira, mas sua demonstração neste nível 
do curso seria muito complicada. A proposição (2.i) também foi 
demonstrada neste capítulo. Sua inversa, a proposição (2.ii), é ob-
viamente falsa. 
Quando ocorre que as proposições P - Q e Q - P são simul-
taneamente verdadeiras, dizemos que P e Q são afirmações equiva-
lentes, e representamos esquematicamente isto por 
P - Q (Pé equivalente a Q) 
No enunciado de teoremas estabelecendo que as duas afirmações são 
equivalentes é comum que se use o formato " ... se e somente se ... ". 
Por exemplo: 
"Dois lados de um triângulo são ·congruentes se e so-
mente se dois de seus ângulos são congruentes". 
84 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Outros formatos comuns são " ... se e só se ... ", " ... é condição neces-
sária e suficiente para ... " e " ... é equivalente a ... ". 
Considere agora as duas seguintes proposições: 
I) Se dois lados de um triângulo são congruentes então 
seus ângulos opostos são também congruentes. 
II) Se dois ângulos ele um triângulo não são congru-
entes, então os lados que se opõem a estes ângulos 
também não são congruentes. 
Se representarmos por _p a negação da afirmação P, então esque-
maticamente as proposições acima podem ser representadas por 
I) p-+ Q 
II) Ç'J -+1/ 
Chamamos a segunda proposição ele negativa da primeira. Um 
fato simples ele lógica, e extremamenteútil, é que uma proposição 
e sua negativa são sempre simultaneamente verdadeiras ou simul-
taneamente falsas. Por isso é equivalente demonstrar-se qualquer 
uma das duas. Deve-se, no entanto, observar que, o trabalho para 
demonstração ele uma delas pode ser menos complicado do que o 
trabalho para se demonstrar diretamente a outra. O leitor eleve 
observar que a proposição I acima é exatamente a proposiç·ão ( 4.5) 
e que II é a primeira parte ela proposição (5.9). 
CAPÍTULO 6 
Ü AXIOMA DAS PARALELAS 
A existência ele retas paralelas é uma conseqüência elos postulados 
já apresentados. O Corolário ( 5. 5), além ele garantir tal existência, 
fornece um método ele, efetivamente, desenhar-se retas paralelas. 
O axioma que apresentamos a seguir diz, essencialmente, que duas 
retas paralelas a uma terceira e com um ponto em comum são co-
incidentes. 
Axioma V Por um ponto fora ele uma reta m pode-se traçar uma 
única reta paralela a reta m. 
Deve-se observar que este axioma prescreve a 'Unicidade, já que 
a existência ele reta paralela a m, passando por um ponto dado, já 
era garantida por (5.5). Como conseqüência imediata deste axioma 
tem-se: 
Proposição 6.1 Se a reta rn é paralela às retas n 1 e n 2 , então n 1 
e n2 são paralelas ou coincidentes. 
Prova: Suponha que n 1 e n 2 não coincidem e são paralelas a reta 
ni. Se n 1 e n 2 não fossem paralelas entre si, elas teriam um ponto ele 
interseção, digamos, P. Mas então n 1 e n 2 seriam distintas paralelas 
à reta m, passando por P. Isto contradiz o axioma V. Logo n 1 e n 2 
são paralelas. 
85 
86 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Corolário 6.2 Se uma reta corta uma de duas paralelas, então 
corta também a outra. 
Prova: Sejam n 1 e n2 retas paralelas. Se uma reta m cortasse n 1 
e não cortasse n2 , então m e n2 seriam paralelas. Assim n2 seria 
paralela a m e a n 1 . Como m e n 1 não são paralelas entre si nem 
coincidentes, temos uma contradição com a proposição anterior. 
Logo m corta também n2 . 
A nossa definição de retas paralelas não é tão simples de usar 
como aparenta. Desde que retas são infinitas em comprimento, 
como poderemos provar que duas retas não se intersectam? Por 
exemplo, as retas m e n da figura abaixo parecem ser paralelas. 
Como decidir se elas não se encontram em algum ponto do plano 
muito distante de A e B-? 
m 
n 
Figura 6.1 
Uma maneira muito simples de responder a esta pergunta é 
através da comparação dos ângulos i e 2, indicados na figura, for-
mados pelas duas paralelas com a reta que passa por A e B 
Proposição 6.3 Sejamm, n, i e 2 como na figura (6.1} Sei= 2, 
então as retas m e n são paralelas. 
Prova: De fato, se m interceptasse n em algum ponto P, como 
representado na figura seguinte, formar-se.:.ia um triângulo ABP. 
6. O AXIOMA DAS PARALELAS 87 
Neste triângulo i é ângulo externo e 2 é um ângulo interno não 
adjacente ao ângulo i, ou vice-versa. Assim, pelo teorem~ do ângulo 
externo teríamos i-/- 2 o que contradiz nossa hipótese. Portanto m 
e n não se intersectam. 
Figura 6.2 
Quando duas retas são cortadas por uma transversal formam-
se oito ângulos como indicado na figura abaixo. Quatro deles são 
correspondentes aos outros quatro, a saber 
i - 2 3 - 4 .5 - 6 7 - 8 
Figura 6.3 
88 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Observe que i = 7, 2 = 8, 3 = 5 e 4 = 6 por serem opostos 
pelo vértice. Como conseqüência, se i = 2 então todos os outros 
pares de ângulos correspondentes serão congruentes. Além disso, 
teremos que 3 + 2 = 180°. Inversamente, se 3 + 2 = 180° então 
i = 2. Estas observações permitem reescrever a proposição (6.3) 
de duas maneiras distintas. 
Proposição 6.3.A Se, ao c01tarmos duas retas com uma trans-
versal, obtivermos 3 + 2 = 180º então as retas são paralelas. 
Proposição 6.3.B Se, ao cortarmos duas retas com uma trans-
versal, os ângulos correspondentes forem congruentes, então as re-
tas são paralelas. 
O axioma V permite-nos mostrar que a inversa desta proposição 
é também verdadeira. 
Proposição 6.4 Se duas retas paralelas são cortadas por uma trans-
versal, então os ângulos correspondentes são congruentes. 
m" 
m 
m' 
Figura 6.4 
Prova: Sejam m e m' duas retas paralelas e seja n uma reta que 
corta m e m' nos pontos A e B, respectivamente. Considere uma 
reta m" passando pelo ponto A e formando com a transversal qua-
tro ângulos congruentes aos ângulos correspondentes formados pela 
reta m' com a mesma transversal. De acordo com a proposição an-
terior m' em" são paralelas. De acordo com a proposição (6.1) e 
6. O AXIOMA DAS PARALELAS 89 
o Axioma V, m, e m" são coincidentes. Portanto 1n forma ângulos 
com a reta n congruentes aos correspondentes formados por m' com 
a reta n. 
Vamos agora apresentar duas conseqüências importantes elo axio-
ma V. 
Teorema 6.5 A soma das medidas dos ângulos internos de um 
triângulo é 180°. 
Prova: Seja ABC um triângulo. Pelo vértice C trace uma reta 
paralela ao lado AB. Numere os ângulos formados com vértice C, 
como indicado na figura seguinte. 
e 
Figura 6.5 
Tem-se i + 2 + 3 180º. Como AC é transversal às duas 
paralelas, é uma conseqüência direta ela proposição anterior que 
i = Â. Como BC é também transversal às duas paralelas, então 
3 = Ê. Portanto 
Â+Ê+AêB = 1+3+2 = 180°. 
A proposição seguinte relaciona uma série ele corolários imedia-
tos deste teorema. 
Corolário 6.6 
a) A soma das medidas dos ângulos agudos de um triângulo 
retângulo é 90º. 
b) Cada ângulo de um triângulo eqüilátero mede 60º. 
90 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
e) A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual a 
soma das medidas dos ângulos internos que não lhe são adjacentes. 
d} A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º. 
A pr~va deste corolário é deixada a cargo do leitor. 
O teorema seguinte nos diz que retas paralelas são eqüidistantes. 
Teorema 6. 7 Se m e n são retas paralelas, então todos os pontos 
de m estão à mesma distância da reta n. 
Prova: Sejam m e n retas paralelas. Sobre m tome dois pontos 
A e A', e deles baixe perpendiculares à reta n. Sejam B e B' 
respectivamente os pés destas perpendiculares. Devemos provar 
que AB = A' B'. Para isto trace A' B como indicado na figura 
seguinte. 
Figura 6.6 
Observe que AÂ' B = A' ÊB' e que A' ÂB = 90º. isto é uma 
decorrência de que m e n são paralelas e da aplicação da proposição 
(6.4) ao considerar-se A' B e AB como transversais. Portanto os 
triângulos AA' B e B' B A' são triângulos retângulos com um ângulo 
agudo e hipotenusa ( comum) congruentes. Segue-se do teorema 
(5.14) que eles são congruentes. A congruência é a que leva A 
em B', A' em B e B em A'. Logo AB = A' B', como queríamos 
demonstrar. 
A inversa deste teorema é também verdadeira e sua demonstra-
ção é proposta como um exercício deste capítulo. 
6. O AXIOMA DAS PARALELAS 91 
Definição 6.8 Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados 
opostos são paralelos. 
A B 
e 
Figura 6.7 
Proposição 6.9 Em um paralelogramo lados e ângulos opostos são 
congruentes. 
Prova: Seja ABCD um paralelogramo. Trace a diagonal AC. 
Como AB e DC são paralelos, então BÂC = AêD. Como AD 
e BC são paralelos, então CÂD = AêB. Como, além disso, AC 
é comum aos triângulos ABC e CDA, então estes triângulos são 
congruentes. Logo Ê = iJ,· AB = CD e BC= DA. É agora fácil 
ver que  = ê. 
Proposição 6.10 As diagonais de um paralelogramo se intersec-
tam em um ponto que é ponto médio das duas diagonais. 
A prova desta proposição é simples e é deixada a cargo do leitor. 
As duas proposições seguintes dão condições suficientes para que um 
quadrilátero seja um paralelogramo. 
Proposição 6.11 Se os lados opostos de um quadrilátero são con-
gruentes então o quadrilátero é um paralelogramo. 
92 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Prova: Seja ABCD um quadrilátero em que AB = CD e BC= 
AD. Trace a diagonal BD elo quadrilátero. Os triângulos ABD e 
CD B são congruentes ele acordo com o terceiro caso ele congruência 
ele triângulos. Logo CÊD = BDA e CDB = DÊA. A primeira 
igualdade garante que BC e AD são paralelos,a segunda garante 
que CD e BA também são paralelos. Logo ABCD é um paralelo-
gramo. 
A B 
e 
Figura 6.8 
Proposição 6.12 Se dois lados opostos de um quadrilátero são 
congruentes e paralelos, então o quadrilátero é ·um paralelogramo. 
A prova desta proposição é deixada a cargo elo leitor. Outras 
proposições sobre paralelogramos são propostas como exercícios ou 
problemas. 
Teorema 6.13 O segmento ligando os pontos médios de dois lados 
de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem metade de seu 
comprimento. 
Prova: Seja ABC um triângulo. Designe por D o ponto médio 
ele AB e por E o ponto médio ele AC. Devemos provar que D E é 
paralelo a BC e que DE= ½BC. Para isto, marque na semi-reta 
SEv um ponto F tal que FD = DE. Como AD = DB (já que 
D é ponto médio de AB) AÍJE = F ÍJB por serem opostos pelo 
6. O AXIOMA DAS PARALELAS 93 
A 
B e 
Figura 6.9 
vértice, então os triângulos AD E e F D B são congruentes. Como 
conseqüência tem-se que DFB = AÊD e FB = AE. Logo FB e 
EC são paralelos e têm o mesmo comprimento. Segue-se então ela 
proposição (6.12) que o quadrilátero FBCE é um paralelogramo. 
Portanto F E é paralelo a BC e têm o mesmo comprimento. Como 
D é ponto médio ele FE então DE= ½BC, como queríamos de-
monstrar. 
Proposição 6.14 Suponha que três retas paralelas, a, b e e, cor-
ta:m as retas m e n nos pontos A, B e C e nos pontos A', B' e C', 
respectivamente. Se o ponto B encontra-se entre A e C, então o 
ponto B' também encontra-se entre A' e C'. Se AB = BC, entâo 
também tem-se A' B' = B' C'. 
Prova: Sejam a, b e e retas paralelas em e n retas que intersectam 
estas paralelas nos pontos A, B e C e A', B' e C' como indicado na 
figura seguinte. Se B está entre A e C, então A e Cestão em semi-
planos distintos relativamente à reta b. Observe que A e A' estão 
em um mesmo semi-plano determinado por b, já que a e b são retas 
paralelas e A e A' pertencem à reta a. Do mesmo modo C e C' estão 
em um mesmo semi-plano determinado por b. Podemos portanto 
concluir que A' e C' estão em semi-planos distintos relativamente 
à reta b. 
94 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Logo b intercepta o seg-
mento A' C' em um único 
ponto. Como B' é o ponto 
de interseção da reta n com 
a reta b, e A' e C' per-
tencem a n concluímos que o 
ponto de interseção de A'C' 
com b é exatamente o ponto 
B'. Logo B' pertence ao seg-
mento A' C' e logo B' está en-
e 
b 
a 
e 
n 
A' 
E 
Figura 6.10 
tre A' e C'. Isto demonstra a primeira parte ela proposição. 
D 
Para demonstrar a segunda parte, trace pelo ponto B' uma reta 
paralela à reta m. Esta corta as retas a e e em pontos D e E, 
respectivamente. Afirmo que os triângulos B' D A' e B' EC' são 
congruentes. De fato, como DB'BA e B'ECB são paralelogramos, 
então DB' = AB e B' E = BC. Como AB = BC por hipótese, 
então concluímos que D B' = B' E. Observe que os ângulos DÊ' A' 
e E B' C' são congruentes por serem opostos pelo vértice e B' b A' e 
B' ÊC1 são também congruentes por serem ângulos correspondentes 
determinados por uma transversal cortada pelas paralelas a e e. Isto 
prova a nossa afirmação. Da congruência dos triângulos B' D A' e 
B' EC' decorre imediatamente que A' B' = B'C'. 
Esta proposição pode ser generalizada de maneira quase ime-
diata para o caso em que as duas transversais cortam um número 
qualquer (maior ou igual a três) ele retas paralelas. 
Corolário 6 .15 Suponha que k retas paralelas a1 , a2, ... , ak cor-
tam duas retas m e n nos pontos A1, A2, ... , Ak e nos pontos A~, 
A;, ... , A~, respectivamente. Se A1A2 = A2A3 = ... = Ak-1Ak 
então A~A; = A;A; ~ ... = A~_ 1A~ . 
A prova deste corolário é deixada a cargo do leitor. O teorema 
que iremos enunciar a seguir constitui-se numa etapa essencial para 
o estabelecimento ela teoria das figuras semelhantes que será desen-
volvida no próximo capítulo. Na sua demostração iremos utilizar, 
6. O AXIOMA DAS PARALELAS 95 
de maneira essencial, o fato de que o corpo dos números reais é 
completo. 
Teorema 6.16 Se uma reta, paralela a um dos lados de um tri-
ângulo, corta os outros dois lados, então ela os divide na mesma 
razão. 
Prova: Seja ABC um triângulo. Considere uma reta paralela ao 
lado BC. que corta os lados AB e AC, respectivamente, nos pontos 
D e E, como representado na figura (6.11). Deveremos provar que: 
(AD/AB) = (AE/AC). 
Para isto, tome um pequeno segmento APi na semi-reta SAB de 
modo que as razões AB/AP1 e AD/AP1 não sejam números in-
teiros. Consideremos na semi-reta SAB os pontos A, Pa, ... , A, 
... tais que 
para todo k 2: 2. Existem então dois números inteiros m e n tais 
que: 
D 
B 
está entre 
está entre 
A 
e 
e 
E 
B~-------------~c 
Figura 6.11 
96 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Tem-se portanto: 
ni · AP1 < AD < (m + 1) · AP1 e 
n · AP1 < AB < (n + 1) · AP1 . 
É então simples concluir destas desigualdades que 
m AD m+ l 
--<=<--. 
n+ l AB n 
a) 
Tracemos pelos pontos Pi, A, ... , Pn+i retas paralelas a BC. Estas 
retas, segundo (6.15), cortam a semi-reta SAc em pontos Q1 , Q2 , 
... , Qn+i, os quais também satisfazem a 
para todo k, 2 ~ k ~ n + 1. Além disso, o ponto E encontra-se 
entre Qm e Qm+l e o ponto C entre Qn e Qn+l · O mesmo raciocínio 
feito acima pode ser repetido aqui obtendo-se corno resultado a 
desigualdade: 
rn AE 1n + 1 
--<=<--. 
n+ l AC n 
b) 
As desigualdades (a) e (b) permitem-nos concluir que 
c) 1 
AD AE 1 1n + 1 m --- <-----
AB AC n n + 1. 
Observe que, corno 1n ~ n, então 
1n + l m m + n + 1 2n + 2 2 
-----=----<---
n n+l n(n+l) -n(n+l) n 
ou seja, as razões AD/ AB e AE / AC diferem por não mais elo que 
2/n. Quanto menor for o segmento APi tanto maior será o número 
n e tanto menor será o quociente 2/n. Corno o lado esquerdo ela 
desigualdade ( c) não depende ele n, só podemos concluir que os quo-
cientes AD/ AB e AE / AC são iguais, como queríamos demonstrar. 
6. O AXIOMA DAS PARALELAS 
EXERCÍCIOS 
1. Na figura ao lado O é o ponto 
médio ele AD e Ê = ê. Se B, 
O e C são colineares, conclua 
que os triângulos ABO e DOC 
são congruentes. 
97 
2. Prove que a soma elas medidas dos ângulos agudos de um 
triângulo retângulo é 90°. 
3. Prove que cada ângulo de um triângulo eqüilátero mede 60°. 
4. Prove que a medida do ângulo externo ele um triângulo é igual 
a soma das medidas dos ângulos internos a ele não adjacentes. 
5. O que é maior, a base ou a lateral ele um triângulo isósceles 
cujo ângulo oposto à base mede 57°? 
6. Quanto medem os ângulos ele um triângulo se eles estão na 
mesma proporção que os nümeros 1, 2 e 3? 
7. Se um triângulo retângulo possui um ângulo que mede 30º, 
mostre que o cateto oposto a este ângulo mede a metade ela 
hipotenusa. 
8. Na figura ao lado O é o centro 
do círculo, AB é um diâmetro 
e C é outro ponto elo círculo. 
Mostre que 2 = 2 • i. 
98 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
9. Seja ABC um triângulo isósceles com base AB. Sejam Jvf 
e Nos pontos médios dos lados CA e CB, respectivamente. 
Mostre que, o reflexo do ponto C relativamente à reta que 
passa por M e N é exatamente o ponto médio do segmento 
AB. 
10. Demonstre a proposição (6.10). 
11. Demonstre a proposição (6.12). 
12. Um retângulo é um quadrilátero que tem todos os seus ângulos, 
retos. Mostre que, todo retângulo é um paralelogramo. 
13. Mostre que, as diagonais de um retângulo são congruentes. 
14. Um losango (também denominado, rombo) é um paralelo-
gramo que tem todos os seus lados congruentes. Mostre que, 
as diagonais de um losango cortam-se em ângulo reto e são 
bissetrizes dos seus ângulos. 
15. Um quadrado é um retângulo que também é um losango. 
Mostre que, se a diagonais de um quadrilátero são congru-
entes e se cortam em um ponto que é ponto médio de ambas, 
então o quadrilátero é um retângulo. Se, além disso, as dia-
gonais são perpendiculares uma a outra, então o quadrilátero 
é um quadrado. 
16. Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados opostos 
são paralelos. Os lados paralelos de um trapézio são chama-
dos bases e os outros dois são denominados de laterais.Um 
trapézio é dito isósceles se suas laterais são congruentes. Seja 
ABCD um trapézio em que AB é uma base. Se ele é isósceles, 
mostre que  = Ê e ê = ÍJ. 
17. Mostre que, as diagonais de um trapézio isósceles são congru-
entes. 
6. O AXIOMA DAS PARALELAS 99 
18. Determine a soma dos ângulos internos de um pentágono. 
19. Determine a soma elos ângulos internos ele um nonágono. 
20. Determine a soma dos ângulos externos ele um triângulo. 
21. Determine a soma dos ângulos internos de um quadrilátero 
não convexo. 
22. Mostre que, em um paralelogramo os ângulos elos vértices 
consecutivos são suplementares. 
23. Se as diagonais ele um quadrilátero convexo têm o mesmo 
comprimento o que pode ser dito sobre ele? 
24. Um triângulo têm dois ângulos que medem 20º e 80º. Deter-
mine a medida de todos os seus ângulos externos. 
25. Considere um ângulo ele vértice A e seja O um ponto na região 
limitada por ele. Sejam M e N os pés das perpendiculares 
baixadas de O aos lados do ângulo. Qual a medida elo ângulo 
MÔN se a medida ele  for 20º. 
26. Qual a resposta da questão anterior se o ponto O ficar na 
região não limitada pelo ângulo. (Faça várais hipóteses sobre 
a localização ele O, se achar necessário.) 
27. Pode existir um triângulo ABC em que a bissetriz elo ângulo 
 e a bissetriz elo ângulo externo no vértice B sejam paralelas? 
28. Determine os ângulos de um triângulo retângulo isósceles. 
29. Porque um triângulo não pode ter dois ângulos externos agu-
dos? 
30. Pode um ângulo externo ele um triângulo ser menor elo que o 
ângulo interno que lhe é adjacente? 
100 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
31. Seja ABC um triângulo isósceles ele base BC. Mostre que a 
bissetriz elo seu ângulo externo no vértice A é paralela a sua 
sua base. 
32. Na figura ao lado determine 
o valor da soma dos ângulos 
Ae B. 
33. Na figura ao lado AE = 
AD, CD = C F' BA = BC 
e E ÍJ F = 80°. Determine 
Ê. 
A 
B D 
e 
B 
34. Na figura ao lado AB é con-
gruente a AC, AE é congru-
ente a AD, e BÂD = 48". 
Calcule a medida elo ângulo 
CÍJE. 
6. O AXIOMA DAS PARALELAS 101 
35. Na figura ao lado tem-
se que CE é bissetriz elo 
ângulo AÔD e BE é bis-
setriz elo ângulo AÊC. De-
termine a medida elo ângulo 
 sabendo que BÊC mede 
50°. 
B 
D C 
38. Na figura ao lado determine 
o valor ele a + b + e sabendo 
que d= 25º. 
D C 
E 
A 
B e 
36. Na figura ao lado AB = 
BC, AD é uma altura e AE 
é uma bissetriz e Ê = 80º. 
Determine o ângulo DÂE. 
37. Na figura ao lado ABCD é 
um quadrado e BCE é um 
triângulo eqüilátero. Deter-
mine o ângulo B ÍJ E. 
d a 
39. Na figura ao lado ABCD é 
um quadrado e CD E é um 
triângulo eqüilátero. Deter-
mine a medida elo ângulo 
AÊD. 
D 
102 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
40. Na figura ao lado AB, AC 
e CD são congruentes. De-
termine /3 en função de a. 
B e 
a 
D 
41. Seja ABC um triângulo, Pum ponto de AC e Q um ponto 
de AB. Além disto se sabe que CB = BP = PQ = QA. 
Supondo que os ângulos ê mede 60º, determine a medida do 
ângulo Â. 
r 
42. Na figura ao lado determine 
o valor de a + /3 + 'Y + 0. 
6. O AXIOMA DAS PARALELAS 103 
PROBLEMAS 
1. Mostre que, os casos (1) e (3) do teorema (5.14) são con-
seqüências imediatas do segundo caso de congruência de tri-
ângulos. 
2. Demonstre o caso (2) do teorema (5.14) utilizando a constru-
ção sugerida pela figura seguinte. 
B 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
--f---'D 
B' 
A'~--+--~ C' 
3. Mostre que, se dois ângulos e o lado oposto a um deles, em um 
triângulo, são iguais às correspondentes partes de um outro 
triângulc, e!ltão os triângulos são congruentes. 
4. Na figura ao lado A, B e 
C são pontos de um círculo 
de centro O. Mostre que A 
BÔC=2-BÂC. 
104 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
5. Mostre que, se m e n são 
duas retas que formam, com 
uma transversal, ângulos 2 
e 3 ( como na figura se-
guinte) tais que 2 + 3 #-
180º, então m e n se inter-
sectam. 
2 
3 
6. Mostre que, se os ângulos opostos de um quadrilátero são 
congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo. 
7. Mostre que, se as diagonais de um quadrilátero se intersec-
tam em um ponto que é ponto médio de ambas, então o 
quadrilátero é um paralelogramo. 
8. Mostre que, se as diagonais de um paralelogramo são congru-
entes, então o paralelogramo é um retângulo. 
9. Mostre que, um paralelogramo cujas diagonais são perpendi-
culares é um losango. 
10. Prove que o segmento ligando os pontos médios das laterais 
de um trapézio é paralelo às bases e que seu comprimento e 
a média aritmética dos comprimentos das bases. 
11. Mostre que, os pontos médios dos lados de um quadrilátero 
qualquer são vértices de um paralelogramo. 
12. Use a proposição (6.15) para estabelecer um método de di-
visão de. um segmento qualquer em k partes iguais. 
13. Adote como axioma V', em sult~btuição ao axioma V, a vali-
dade da proposição contida no problema 5 acima. Prove agora 
o axioma V. Explique por que o problema 5 e este mostram 
que os axiomas V e V' são equivalentes. O axioma V' é exa-
tamente o quinto axioma como enunciado por Euclides ( vide 
comentário a seguir) 
6. O AXIOMA DAS PARALELAS 105 
CorvIENTÁRIO 
Euclides baseou a construção ela sua geometria em 10 axiomas 
separados em dois grupos: cinco foram classificados como "noções 
comuns" e os outros como "postulados". A distinção entre eles não 
é ele todo clara. As "noções comuns"parecem ter sido consideradas 
como hipóteses aceitáveis a todas as ciências ou a todas as pessoas 
inteligentes, enquanto que os postulados eram considerados como 
hipóteses características ela geometria. As cinco noções comuns 
eram: 
1. Coisas que são iguais a uma mesma coisa são também iguais 
entre si. 
2. Se iguais são adicionados a iguais, os resultados são iguais. 
3. Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais. 
4. Coisas que coincidem com outras coisas são iguais uma a 
outra. 
5. O todo é maior do que qualquer ele suas partes. 
Os postulados eram: 
I Pode-se traçar uma reta por quâi'squer dois pontos. 
II Pode-se continuar uma reta infinitamente. 
III Pode-se descrever uma circunferência com qualquer centro e 
qualquer raio. 
IV Todos os ângulos retos são iguais. 
106 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
V Se uma reta corta duas outras retas formando ângulos co-
laterais internos cuja soma é menor elo que dois retos, então 
as duas retas, se continuadas infinitamente, encontram-se no 
lado no qual estão os ângulos cuja soma é menor do que dois 
retos. 
Embora Euclides não tenha dito especificamente, fica claro, 
através da forma como ele o utilizou, que o primeiro postulado 
refere-se a uma única reta ligando os dois pontos. Também, elo 
contexto, fica claro que, para Euclides, "reta"significava o que hoje 
chamamos de "segmento". Daí ele falar em "continuar infinita-
mente uma reta". Ele assumiu tacitamente que tal prolongamento 
pode ser feito de uma única maneira em cada extremidade de uma 
"reta", de modo que duas retas distintas não podem ter um seg-
mento comum. De fato Euclides utilizou-se ele muitas hipóteses 
que não constavam, sob nenhuma forma, nem das "noções comuns", 
nem dos "postulados". Esta omissão é considerada pelos geômetras 
como um dos mais graves defeitos elos "Elementos". 
Mesmo um exame apressado do livro Idos "Elementos" revela 
que ele compõe-se de três partes distintas ( embora Euclides não 
as tenha separado formalmente). A primeira parte, constituída 
pelas primeiras 26 proposições, trata quase exclusivamente da teo-
ria elementar dos triângulos. Ela abrange todo o material que 
apresentamos até o final do capítulo 5 destas notas. A segunda 
parte trata da teoria das paralelas. Inicia-se com a proposição 27 e 
prossegue até a proposição 34. Ali são apresentadas as proposições 
que abrangem o material apresentado no capítulo 6 destas no-
tas. A partir da proposição 34, até o final (proposição 48), o 
livro I dos "Elementos"trata elas relações entre áreas de paralelo-
gramos, triângulos e quadrados e culmina com o famoso teorema de 
Pitágoras (Proposição47) e ele seu inverso (Proposição 48). É fato 
importante a ser observado que o quinto postulado não foi utilizado 
por Euclides na prova de qualquer elas 26 primeiras proposições do 
livro I, as quais ainda são válidas caso o quinto postulado seja 
6. O AXIOMA DAS PARALELAS 107 
excluído ou trocado por um outro compatível com os restantes pos-
tulados e noções comuns. 
Há evidência de que os postulados, particularmente o quinto, 
foram formulados por Euclides mesmo. Sabe-se que o quinto pos-
tulado tornou-se, ele imediato, alvo ele críticas pelos matemáticos 
ela época. Este fato não é de estranhar, quando consideramos 
que, primeiramente, ele é bastante diferente, inclusive em tamanho 
dos outros postulados, parecendo mais uma proposição do que um 
axioma; depois, tecnicamente, ele é a inversa de uma das proposições 
demonstradas nos "Elementos" com base apenas nos quatro primei-
ros postulados, a saber, a proposição 27; por último, ele não possui, 
em nenhum sentido, aquela característica de "auto-evidência" que 
caracterizou inicialmente a escolha dos outros a.,xiomas. Além disso, 
a sua tardia utilização, após tantas proposições serem provadas sem 
seu auxílio, levantou suspeitas de que ele seria simplesmente uma 
proposição demonstrável a partir dos outros axiomas a qual Eu-
clides não conseguira demonstrar. Como conseqüência desta sus-
peita, inumeráveis tentativas foram feitas para prová-lo ou eliminá-
lo através de uma redefinição elo conceito ele retas paralelas. Entre 
os nomes famosos dos que tentaram demonstrar o quinto postulado 
podemos listar Proclus (485-410 a.C.), Nasiraclin (1201-1274), John 
Wallis (1616-1703), Gerolamo Sacheri (1667- 1733), John H. Lam-
bert (1728-1777), Aclrien M. Legendre (1752-1833), Louis Bertrand 
(1731-1812) e Carl F. Gauss (1777-1855). Estes deixaram nas suas 
obras referências relevantes sobre o assunto. É, no entanto, certo 
que todos aqueles interessados seriamente em matemática até o 
século dezessete tentaram eventualmente demonstrar o quinto pos-
tulado. 
Foi somente na primeira metade do século dezenove que os 
matemáticos chegaram à conclusão ele que o quinto postulado não 
era demonstrável a partir elos outros quatro. Isto ocorreu com ades-
coberta elas chamadas geometrias não-Euclidianas em que o quinto 
postulado ele Euclides é substituído por uma outra afirmação que 
lhe é contraditória. Esta descoberta esta associada com o nome 
108 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
ele dois matemáticos que a obtiveram independentemente: Johann 
Bolyai (1802-1860) e Nikolai I. Lobachewsky (1793-1856). Ostra-
balhos destes dois matemáticos foram el~vaclos às suas devidas pro-
porções por Friedrich B. Riemann ( 1826-1866) que deu início a 
um segundo período no desenvolvimento elas geometrias Euclidi-
ana e não-Euclidianas, um período caracterizado pelas investigaç:ões 
elo ponto ele vista ela geometria diferencial, em contraste com os 
métodos sintéticos previamente utilizados. Associados a este se-
gundo período estão os nomes ele Lie, Beltrami, Cayley, Klein, Clif-
forcl e Hilbert. 
Lie foi responsável pela introdução elos grupos de transformação 
no estudo ela geometria. Beltrami tem o crédito ele ter produzido 
a primeira prova ela consistência elas geometrias não-Euclidianas. 
Embora Bolyai e Lobachewsky não tenham encontrado nenhuma 
contradição em sua geometria ao longo ele todas as suas inves-
tigações, ainda permanecia a possibilidade ele que alguma incon-
sistência pudesse aparecer no desenvolvimento ele novos trabalhos 
ele pesquisa. Beltrami mostrou como a geometria ele Bolyai e Lo-
bachwsky podia ser representada sobre uma superfície no espaço 
Euclidiano a três dimensões, ele forma que os seus postulados fos-
sem obtidos a partir elos axiomas ela geometria Euclidiana. Como 
conseqüência, qualquer inconsistência que pudesse existir nas geo-
metrias não-Euclidianas seria também uma inconsistência ela geo-
metria Euclidiana. 
Os trabalhos ele Cayley, Klein e Clifforcl produziram uma linda 
classificação destas geometrias elo ponto ele vista projetivo-métrico. 
Daí em diante, a preocupação com a fundamentação ela geome-
tria em bases sólidas dominou a pesquisa matemática sobre o as-
sunto culminando com a reconstruç:ão ela geometria Euclidiana por 
Hilbert o que, finalmente, e definitivamente, encerrou a longa ba-
talha com o quinto postulado ele Euclides. 
CAPÍTULO 7 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
Diremos que dois triângulos são semelhantes se for possível estabe-
lecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices ele modo 
que ângulos correspondentes sejam iguais e lados correspondentes 
sejam proporcionais. Com isto queremos dizer que, se ABC e 
G 
e 
Figura 7.1 
EFG são dois triângulos semelhantes e se A - E, B - F e C -
G é a correspondência que estabelece a semelhança, então valem 
simultaneamente as seguintes relações: 
Â=Ê Ê=F ê=ê e ' ' 
AB BC CA 
EF FG GE 
109 
110 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
O quociente comum entre as medidas elos lados correspondentes é 
chamado de razão de proporcionalidade entre os dois triângulos. 
Observe que dois triângulos congruentes são semelhantes com 
razão ele proporcionalidade um; inversamente, dois triângulos se-
melhantes com razão ele proporcionalidade um, são congruentes. 
O teorema seguinte será referido como "segundo caso ele seme-
lhança ele triângulos" a fim de que os casos ele semelhança e os casos 
ele congruência se correspondam de uma forma natural. 
Teorema 7.1 Dados dois triângulos ABC e EFG, se  = Ê e 
Ê = F então os triângulos são semelhantes. 
Prova: Como a soma dos ângulos de um triângulo é 180°, então 
a congruência dos ângulos  e Ê e dos ângulos Ê e F acarreta 
na congruência dos ângulos ê e ê. Resta provar que os lados são 
proporcionais. Para isto, tome na semi-reta SEF o ponto H de 
modo que EH= AB. Pelo ponto H trace uma reta paralela a FC. 
G 
Figura 7.2 
Esta corta a semi-reta SEa num ponto J, formando um triângulo 
EH J que é congruente ao triângulo ABC, já que  = Ê, AB = EH 
e Ê = F = EH J. Esta última congruência deve-se ao paralelismo 
de JH e GF. Segue-se agora do teorema (6.16) que (EH/EF) = 
(EJ/EG). Como EH = AB e EJ = AC então, da igualdade 
acima obtém-se: 
(AB/EF) = (AC/EG). 
7. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 111 
De maneira análoga demonstra-se que (AC/ EG) 
Fica assim demonstrado o teorema. 
(CB/GF). 
O teorema (7.1) permite construir, com facilidade, exemplos de 
triângulos semelhantes fazendo-se uso ele régua e transferidor. Por 
exemplo, para desenhar um triângulo semelhante ao triângulo ABC 
ela figura (7.3), inicia-se traçando um segmento EF qualquer; 
e 
Figura 7.3 
\ 1 
'~G 
1 ', 
1 \ 
1 \ 
\ 
E 
F 
a partir de suas extremidades constroem-se ângulos Ê e P congru-
entes aos ângulos  e Ê, respectivamente ( em um mesmo semi-
plano determinado pela reta EF); prolongando-se os lados destes 
ângulos determina-se um ponto G. De acordo com a proposição 
anterior os triângulos ABC e EFG são semelhantes. 
O seguinte teorema será referido como primeiro caso de seme-
lhança de triângulos. 
Teorema 7.2 Se, em dois triângulos ABC e EFG tem-se  = Ê 
e (AB / EF) = (AC/ EG), então os triângulos são semelhantes. 
Prova: Construa um triângulo H I J que tenha H I = EF, ÍI = Â 
e i = Ê. De acordo com o teorema (7.1), os triângulos ABC e 
H I J são semelhantes. Por conseguinte: 
(AB/HI) = (AC/HJ). 
112 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
G 
e 
A~BE..__._-----+----~FH..__._---+------'"~ 
Pígura 7.4 
Como HI = EF, a hipótese (AB/EF) = (AC/EC) e a igualdade 
acima implicam que: 
HJ=EC. 
Como, por construção, H I = EF e ÍI = Â = Ê, podemos concluir, 
pelo primeiro caso ele congruência ele triângulos, que os triângulos 
EFC e H I J são congruentes. Como já sabíamos que ABC e H I J 
eram semelhantes, podemos concluir facilmente que ABC e EFC 
são semelhantes. 
O terceiro caso ele semelhança ele triângulos é o seguinte. 
Teorema 7.3 Se, em dois triângulos ABC e EFC, tem-se 
AB BC CA 
EF FC CE' 
então os dois triângulos séi,o semelhantes.Prova: Construa um triângulo H I J que tenha ÍI = Â, H I = EF 
e H J = EC. Segue-se então ela hipótese que 
(AB/HI) = (AC/HJ). 
Portanto, ele acordo com o teorema (7.2), os triângulos ABC e H I J 
são semelhantes. 
7. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 113 
G J 
e 
A~B E~-----+---~F H~----+----~J 
Figura 7.5 
Decorre daí que, além da igualdade acima, também ocorre 
(AB/HI) = (BC/IJ). 
Segue-se (daí e da hipótese do teorema) que I J = FG. Como 
já tínhamos que H I = EF e H J = EG (por construção) então, 
pelo terceiro caso de congruência de triângulos, H I J e EFG são 
congruentes. Como H I J e ABC são semelhantes, conclui-se que 
ABC e EFG são também semelhantes. Isto conclui a prova do 
teorema. 
Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice 
A. Trace a altura AD do vértice A ao lado BC. No que se segue 
vamos fazer uso da seguinte notação a = BC, b = AC, e = AB, 
h = AD, m = BD e n = DC. 
Como AD é perpendicular a BC, então os triângulos ADB e ADC 
são retângulos. Como Ê + ê = 90° e Ê + BÂD = 90° então 
BÂD = ê. 
Como também D ÂC + ê = 90° então 
DÂC= Ê. 
Os triângulos AD B e CD A são portanto ambos semelhantes ao 
triângulo ABC e são também semelhantes entre si. Destas seme-
lhanças podemos deduzir várias relações entre as medidas a, b, e, 
114 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
A 
Figura 7.6 
h, m e n acima mencionadas. Por exemplo, a semelhança entre 
AD B e CD A é a que leva A em C. B em A e D em D. Como 
conseqüência desta semelhança tem-se 
c m h 
b h n 
Da última igualdade deduz-se que 
h2 = mn 
Assim provamos a seguinte proposição; 
Proposição 7.4 Em todo triângulo retângulo a altura do vértice 
do ângulo reto é média geométrica entre as projeções dos catetos 
sobre a hipotenusa. 
O seguinte é um dos mais importantes e mais úteis teoremas 
da geometria Euclidiana plana. É conhecido como "teorema ele 
Pitágoras" em homenagem a um grande geômetra da Grécia antiga. 
Teorema 7.5 (Pitágoras) Em todo triângulo retângulo o quadra-
do do comprimento da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos 
comprimentos dos catetos. 
7. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 115 
Em termos da notação estabelecida acima o teorema de Pitágoras 
afirma que 
a2 = b2 + c2 
Prova: A prova do teorema de Pitágoras é uma conseqüência da 
semelhança dos triângulos ADB, CDA e ABC. Da semelhança de 
ADB e ABC (A ---t C, B ---t B e D ---t A) conclui-se que 
m e 
e a 
Da semelhança dos triângulos CDA e ABC conclui-se que 
n b 
b a 
Logo am = c2 e an = b2 . Portanto a(m + n) = c2 + b2 . Como 
m + n = a, então a2 = b2 + c2, como queríamos demonstrar. 
A seguinte proposição é a inversa do teorema de Pitágoras. 
Proposição 7.6 Um triângulo possui lados medindo a, b e e. Se 
a2 = b2 +c2, então o triângulo é retângulo e sua hipotenusa é o lado 
que mede a. 
Prova: Gonstrua um triângulo retângulo cujos catetos meçam exa-
tamente b e e. Neste novo triângulo, de acordo com o teorema de 
Pitágoras, a hipotenusa mede Jb2 + c2 = a. Portanto este novo 
triângulo ( que é retângulo) tem lados medindo a, b e e. Pelo terceiro 
caso de congruência, ele é portanto congruente ao triângulo original. 
Logo o triângulo original é retângulo e sua hipotenusa mede a. 
116 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
EXERCÍCIOS 
1. Quanto mede a hipotenusa ele um triângulo retângulo em que 
os catetos medem um centímetro cada? 
2. Quanto mede a altura ele um triângulo eqüilátero cujos lados 
medem um centímetro cada? 
3. No triângulo ABC, AB = 5, BC = 12 e CA = 13. Qual a 
medida elo ângulo Ê? 
4. No triângulo DEF, DE = EF = G e F D = 6v'2. Quanto 
medem os ângulos elo triângulo? 
5. Uma caixa mede 12 centímetros ele comprimento, 4 centíme-
tros ele largura e 3 centímetros ele altura. Quanto medem as 
diagonais ele cada uma elas faces da caixa? 
6. Mostre que dois triângulos eqüiláteros são sempre semelhan-
tes. 
7. Mostre que são semelhantes dois triângulos isósceles que têm 
iguais os ângulos opostos à base. 
8. Na figura ao lado D 
é ponto médio ele AB 
e E é ponto médio ele 
AC. Mostre que os 
triângulos AD E e ABC 
são semelhantes. 
e 
E 
A~--~0---~B 
7. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
9. Na figura ao lado tem-
se que BDA e ABC 
são semelhantes, sendo 
a semelhança a que leva 
B em A, D em, B 
e A em C. Conclua 
que o triângulo BDA é 
isósceles. 
117 
B 
10. Os lados de um triângulo ABC medem 6 m, 9 me 12 m. Em 
um triângulo EFG semelhante a este, o menor lado mede 30 
m. Determine a medida dos outros lados. 
11. Os lados de um triângulo medem 9 cm, 17 cm e 21 cm. De-
termine os lados de um segundo triângulo sabendo que ele é 
semelhante ao primeiro e que seu perímetro é 141 cm. 
12. Todos os triângulos indicados na figura abaixo são retângulos. 
Determine a, b, e, d e e. 
D 
F 
13. Sejam Q e T respectivamente um quadrado e um triângulo 
eqüilátero cujos lados medem a. Determine a relação entre 
suas áreas. 
118 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
14. Na figura ao lado 
o triângulo ABC é 
eqüilátero, as três retas 
ligando os lados AB 
a AC são paralelas a 
BC, dividem o lado 
AB em quatro segmen-
tos congruentes. Se 
DG + EH + F I = 18. 
Determine o perímetro 
do triângulo ABC. 
15. Na figura ao lado tem-se 
AB = AC. Mostre que 
DE é paralelo a BC se 
e só se EÔB = CÊD. 
A 
B,__ _____ ....,. C 
A 
B e 
16. Um conjunto de três inteiros que são comprimentos dos lados 
ele um triângulo retângulo é chamado de tripla pitagórica. 
A mais simples delas é {3, 4, 5}. Verifique que {5, 12, 13} e 
{9, 12, 15} são triplas pitagóricas. 
17. É claro que, se { a, b, e} for um tripla pitagórica então, para 
qualquer inteiro n, maior elo que 1, {na,nb,nc} é também 
uma tripla pitagórica. Explique por que? 
18. Encontre mais três triplas pitagóricas que não sejam obtidas 
uma ela outra por multiplicação por inteiro. 
7. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
19. Mostre que uma tripla pitagórica não pode ser formada ape-
nas de números ímpares. 
Dois polígonos são semelhantes quando existe uma corres-
pondência entre seus vértices de sorte que ângulos correspon-
dentes são congruentes e lados correspondentes são propor-
cionais numa mesma razão. Assim, um polígono convexo 
A1A2 ..• An é congruente a um outro A~A; ... A~ se e só se 
Â1 = Â~, Â2 = Â;, ... , Ân = Â~, e 
De fato, a noção de figuras semelhantes se estende muito 
além dos simples polígonos convexos. Quando comparamos 
um retrato e sua ampliação temos claramente duas figuras 
semelhantes. No caso, temos uma grande quantidade de pon-
tos correspondentes e a distância entre eles é multiplicada 
por um determinado fator de ampliação (2 vezes, 3 vezes, 
etc.). Os mapas pretendem ser representações esquemáticas 
de regiões, onde as ditâncias lineares entre pontos represen-
tam as distâncias reais quando multiplicadas por um fator 
fixo. As plantas baixas de casas e apartamentos são outro ex-
emplo de representação de uma situação real de modo que as 
distâncias na planta representam as distâncias reais quando 
multiplicadas pelo fator de conversão usado na elaboração da 
planta. 
20. Como no caso de triângulos, quando duas figuras são seme-
lhantes, chama-se razão de semelhança ao quociente dos com-
primentos dos segmentos correspondentes. Sabe-se que a 
razão de semelhança entre um triângulo eqüilátero T1 , cujo 
lado mede 28 cm, e um triângulo T2 é 4/7. Determine o com-
primento dos lados do segundo triângulo. 
120 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
21. Dois retângulos são semelhantes. A base do primeiro mede 15 
cm e sua altura 6 cm. Ache os lados do segundo retângulo sa-
bendo que a razão de semelhança entre o primeiro e o segundo 
é 2. 
22. Dois retângulos são semelhantes. A base do primeiro mede 
3cm e sua altura 2cm. A base do segundo mede 10cm. De-
termine a altura do segundo e a razão de semelhança entre o 
primeiro e o segundo retângulo. 
23. Dois retângulos são semelhantes sendo 3,5 a razão de seme-
lhança entre o primeiro e o segundo. Se o perímetro do pri-
meiro é 10 cm, qual o perímetro do segundo. 
24. Dois paralelogramos são congruentes e a razão de proporcio-nalidade do primeiro para o segundo é a. Mostre que a razão 
entre o comprimento ele uma diagonal do primeiro e a ela cor-
respondente diagonal elo segundo também é a. 
25. A legenda ele um mapa elo Brasil indica que o mesmo foi feito 
ele forma que as distâncias lineares ele 600km correspondem 
no mapa a apenas 4cm. No mapa, com uma régua medimos a 
distância de Fortaleza a Caninclé e encontramos 0,5 cm. Qual 
a distância real de Fortaleza a Canindé? Observe que o valor 
encontrado representa a distância entre as duas cidades em 
linha reta. 
26. Na planta de uma cidade, desenhada na escala 1:6000, a 
distância entre o local ela Catedral e o elo estádio ele fute-
bol é ele 45 cm. Qual a distância verdadeira entre os dois 
locais? 
27. A sombra, sobre o solo, de um bastão ele 7 m colocado na 
vertical, mede 3m. Estime a altura ele um edifício, na mesma 
região, cuja sombra, no mesmo instante, mede 27 m. 
7. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 121 
28. Um farol fica em uma ilha à vista da costa. Um nadador, 
querendo saber a distância da praia até o farol, fez o seguinte: 
Marcou dois pontos A e B na praia, distantes 100 m um do 
outro. Colocou uma folha de papel no ponto A e marcou 
sobre ela um segmento na direção do ponto B e outro na 
direção do farol. Mediu o ângulo entre os dois segmentos, 
com um transferidor, e anotou o resultado: 90°. Foi então 
para o outro ponto e repetiu o processo marcando, desta vez, 
60º. Desenhou então um triângulo retângulo numa folha de 
papel em que um dos ângulos agudos era 60º, verificando que 
a hipotenusa neste triângulo media o dobro do lado menor. 
Concluíu então que a distância da praia ao farol era de 200 
m. Ele está certo ou errado? Se você acha que ele está certo, 
justifique seu procedimento. Se acha que está. errado, diga 
por que e proponha outro procedimento. 
29. Dois octógonos são semelhantes e a razão de semelhança do 
maior para o menor é de 3,5. Determine o perímetro elo maior 
sabendo que o perímetro elo menor é 20 cm. 
30. Considere o triângulo EFG formado pelos pontos médios elos 
lados elo triângulo ABC. Qual a relação entre seus perímetros? 
122 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
·PROBLEMAS 
1. Prove o segundo caso de semelhança de triângulos supondo 
conhecido o teorema (7.2) e sem fazer uso do teorema (6.16). 
2. Prove que a relação "é semelhante a" é transitiva, isto é, prove 
que, se dois triângulos são semelhantes a um terceiro, então 
são semelhantes entre si. 
3. Prove que alturas correspondentes em triângulos semelhantes 
estão na mesma razão que os lados correspondentes. 
4. Prove que a bissetriz de um ângulo de um triângulo divide 
o lado oposto em segmentos proporcionais aos outros dois 
lados. _Isto é, se ABC é o triângulo e BD é a bissetriz do 
ângulo Ê sendo D um ponto de lach AC, então (AD/ DC) = 
(AB/ BC). (Ajuda: trace pelo ponto A uma reta paralela 
ao lado BD. Esta intercepta a semi-reta ScB num ponto E 
formando triângulos semelhantes.) 
5. Enuncie e prove a afirmação inversa do exercício anterior. 
6. Prove que, se um triângulo retângulo tem ângulos agudos de 
30° e 60°, então seu menor cateto mede metade do compri-
mento da hipotenusa. (Ajuda: Faça uso do que foi obtido no 
exercício 3). 
7. Prove que, se em um triângulo retângulo o menor cateto mede 
metade do comprimento da hipotenusa, então seus ângulos 
agudos são de 30° e 60º. 
7. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 123 
8. Prove que, se dois triângulos têm lados correspondentes pa-
ralelos, então eles são semelhantes. Prove também que as 
retas ligando os vértices correspondentes são concorrentes ou 
paralelas. (Suponha que os vértices correspondentes são dis-
juntos). 
9. A afirmação do Problema anterior valeria para polígonos? 
10. Seja ABC um triângulo em que AB = 6 cm, BC = 12 cm 
e o ângulo Ê3 mede 120º. Seja D o ponto em que a bissetriz 
do ângulo Ê3 corta o lado AC. Determine o comprimento de 
BD. 
11. Seja ABC um triângulo, D o ponto médio de AC e E o 
ponto médio de BC. Sabendo que BD é perpendicular a 
AE, AC= 6 e BC= 7, determine AB. 
12. Seja ABC um triângulo retângulo em que ê é o ângulo reto. 
Trace a altura a partir do ponto C. Se a e b são os compri-
mentos dos catetos e h é o comprimento da altura, mostre 
que 
1 1 1 
-=-+-h,2 a2 b2 
13. Mostre que todos os polígonos regulares de n lados são seme-
lhantes. 
14. Os lados de um triângulo ABC medem: AB = 20cm, BC = 
15cm e C A = 10cm. Sobre o lado BC marca-se um ponto 
D de modo que BD = 3cm e traçam-se pelo ponto D retas 
paralelas aos lados AB e AC as quais os interceptam, res-
pectivamente, nos pontos F e E. Mostre que o quadrilátero 
AEDF é um paralelogramo e determine seu perímetro. 
15. Sejam ABCD e A' B'C' D' quadriláteros convexos semelhantes 
tais que (A' B' / AB) = ,\ 
124 
(a) 
(b) 
GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
M A'C' B'D' \ ostre que AC = BD = .,.. , 
Seja M o ponto médio de AB e M' o ponto médio de 
A'B' M M'C' \ . ostre que MC = .,.. . 
(c) Seja Mo ponto de AB e /3 um número real entre zero e 
um tal que MA = /3.M B. Seja M' o ponto de A' B' tal 
que M' A'= f]M' B'. Mostre que ~;g' = À . 
16. Um segmento é ampliado de modo que o comprimento do 
segmento ampliado é duas vezes o original. Descreva que 
pontos correspondem a que pontos pela ampliação. 
17. Um retângulo é ampliado de modo que o comprimento dos 
lados da ampliação medem o dobro dos originais. Descreva 
que pontos correspondem a que pontos pela ampliação. 
18. É dado um retângulo ABCD tal que AB = 18 me BC= 12 
m. Ligue o ponto D ao ponto médio .M do lado AB. Designe 
por P o ponto de encontro de DA1 com AC. Determine a 
distância de P a cada um dos lados do retângulo. 
19. Determine o lado do quadrado inscrito em um triângulo eqüi-
látero. ( O quadrado terá dois vértices sobre um lado do 
triângulo e os outros dois vértices nos outros lados do tri-
ângulo. 
20. Um quadrado está inscrito num triângulo tendo um de seus 
lados sobre o lado do triângulo que mede 25 cm. Sabendo que 
a altura do triângulo relativamente a este lado mede 15 cm, 
determine o lado do quadrado. 
21. Considere um triângulo ABC em que AB = 18 cm, AC = 27 
cm e BC = 15 cm. Marque D sobre AB de modo que AD = 6 
cm e E sobre AC tal que DE seja paralelo a BC. A bissetriz 
do ângulo A corta D E no ponto F. Determine D F e F E. 
7. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 125 
COMENTÁRIO 
Pitágoras, que morreu em 490 a.C., foi conhecido por seus con-
temporâneos como o fundador ele um movimento ele cunho reli-
gioso que veio a ser conhecido como Pitagorismo. Os pitagóricos 
interessavam-se pela ciência ele um modo geral e particularmente 
pela Filosofia e pela Matemática. No que concerne à Matemática a 
maior contribuição elos pitagóricos foi o desenvolvimento ela teoria 
elos números, e a descoberta elos números irracionais. Foram eles 
que provaram, pela primeira vez, que o número v'2 é irracional. A 
prova deste fato apresentada no 10º livro ele Euclides é a seguinte: 
Suponha que v'2 é um número racional. Então v'2 pode ser 
representado na forma ~ = m/n onde m e n são dois números 
inteiros primos entre si. Logo 2n2 = m 2 . Como conseqüência 1n2 é 
um número par. :tvias então 1n é par e podemos escrever m, como 
m, = 2p. Portanto 2n2 = 1n2 = 4zi. Mas então n2 = 2p2 . Segue-se 
que n 2 é um número par e, como conseqüência, n é um número 
par. Mas se n é par e 1n é par então os dois não são primos entre si. 
Por outro lado, no início, havíamos escolhido 1n e n primos entre 
si. Esta contradição provém ela hipótese de que v'2 é racional. 
Portanto v'2 não é racional. 
Esta descoberta foi, sem dúvida, a grande contribuição do Pi-
tagorismo à Geometria Grega. Ela influenciou ele forma definitiva 
o desenvolvimento que teve a matemática Grega a partir daí. 
A lenda sobre a origem elo teorema ele Pitágoras diz que ele 
foi descoberto por Pitágoras o qual sacrificou 100 bois aos Deuses 
como prova ele sua gratidão por ter conseguido esta descoberta. 
No entanto, a verdade histórica é que o teorema ele Pitágoras 
já era conhecido, em casos particulares,no Egito (3.000 a.C.), e 
126 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
em sua total generalidade pelos Sumérios e Babilônios (2000 a 1000 
a.C.). E é bem possível que sua demonstração tenha sido obtida 
na Grécia em época anterior a de Pitágoras. 
Há um grande número de demonstrações deste teorema. Neste 
capítulo apresentamos uma delas, e algumas outras serão apresen-
tadas no capítulo relativo a áreas, sob a forma ele exercícios e pro-
blemas. 
CAPÍTULO 8 
0 CÍRCULO 
No Capítulo 2 definimos círculo ele centro A e raio r como o con-
junto dos pontos elo plano que estão a uma distância r elo ponto 
A. Também chamaremos de raio ao segmento que une o centro do 
círculo a qualquer de seus pontos. O segmento ligando dois pontos 
de um círculo será denominado de corda. Toda corda que passa 
pelo centro do círculo é um diâmetro. Também chamaremos de 
diâmetro a distância 2r. Não haverá perigo de confusão no uso da 
mesma palavra para significar duas coisas diferentes. No contexto 
será sempre claro a que estaremos nos referindo. 
e 
AB e CD são cordas 
D CD é um diâmetro 
Figura 8.1 
127 
128 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Proposição 8.1 Um raio é perpendicular a uma corda ( que não é 
um diâmetro) se e somente se a divide em dois segmentos congru-
entes. 
Prova: Seja O o centro elo círculo e OC o raio que é perpendicular 
a corda AB. Seja M o ponto ele interseção ela corda com o raio. 
Com OA = OB (raios) então o triângulo OAB é isósceles com base 
AB. 
' ' M ' e o 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
Figura 8.2 
Logo  = Ê3. Se a corda é perpendicular ao raio, então os ângulos 
OM A e OM B são retos. Como conseqüência AÔM = BÔM. 
Segue-se então, pelo primeiro caso ele congruência ele triângulos, 
que AOM = BOJVJ. Como conseqüência AM = l'vfB. Inversa-
mente, se AM = M B, então, pelo terceiro caso ele congruência 
ele triângulos deduz-se que: AO1'1 = BOM. Como conseqüência, 
O MA = O 1\1 B. Mas como a soma destes dois ângulos é um ângulo 
raso, conclui-se que cada um deles mede 90°. Portanto a corda é 
perpendicular ao raio passando por JVJ. Isto completa a prova ela 
proposição. 
Quando uma reta e um círculo têm apenas um ponto em co-
mum, dizemos que a reta tangencia o círculo e chamamos a reta 
ele tangente ao círculo. O ponto comum entre uma tangente e um 
círculo é chamado ele ponto de tangência ou ponto de contacto. 
8. O CÍRCULO 129 
Proposição 8.2 Se uma reta é tangente a um círculo então ela é 
perpendicular ao raio que liga o centro ao ponto de tangencia. 
Figura 8.3 
Prova: Consideremos um círculo de centro O e uma reta m que 
lhe seja tangente. Seja T o ponto de tangência. Designemos por P 
o pé da perpendicular baixada do ponto O à reta m. Gostaríamos 
de concluir que P e T coincidem. Vamos então supor que P e T são 
pontos distintos. Então OT é a hipotenusa do triângulo retângulo 
OPT. Portanto OP < OT. Como OT é um raio, então Pé um 
ponto que está dentro do círculo. Tomemos então um ponto T' sobre 
a reta m, tal que PT = PT', com T' f:. T. Pelo primeiro caso de 
congruência de triângulos concluímos que OPT = OPT'. Portanto 
OT = OT'. Mas então T' é outro ponto da reta m que também 
pertence ao círculo. Logo a reta m não é tangente. Contradição! 
Assim P e T coincidem, OT é perpendicular a m e a proposição 
fica demonstrada. 
A extremidade de um raio que não é o centro do círculo é 
chamada de extremidade do raio. 
Proposição 8. 3 Se uma reta é perpendicular a um raio em sua 
extremidade, então a reta é tangente ao círculo. 
130 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Prova: Consideremos um círculo ele centro O e seja m uma reta 
perpendicular ao raio OT passando pelo ponto T. Devemos provar 
que m é tangente ao círculo, ou seja, que m não tem outro ponto ele 
interseção com o círculo. Seja P qualquer outro ponto de m, então o 
triângulo OT P é retângulo e portanto OT2 + T P 2 = O P 2 . Segue-se 
que OP > OT e portanto P está fora elo círculo. Logo T é o único 
ponto comum à reta e ao círculo. Isto conclui a demonstração. 
Sejam A e B dois pontos de um círculo. Tracemos a reta que 
passa por estes dois pontos. Ela separa o plano em dois semi-planos. 
Cada um destes semi-planos contém uma parte elo círculo. Estas 
partes são denominadas ele arcos determinados pelos pontos A e 
B. Quando A e B são extremidades de um diâmetro, estes arcos 
são denominados de semicírculos. Quando a corda AB não é um 
diâmetro, distinguimos os dois arcos determinados por A e B elo 
seguinte modo: como o centro elo círculo encontra-se em um elos 
semi-planos determinados pela reta que passa por A e B, o arco 
que fica no mesmo semiplano que o centro elo círculo é chamado 
ele arco maior; o outro é chamado de arco menor. Observe que os 
raios que ligam o centro do círculo aos pontos elo arco menor todos 
cortam a corda AB. Já os raios que ligam o centro do círculo aos 
pontos do arco maior não intersectam a corda AB. 
\ 
v 
o 
....._____...- arco maior 
Figura 8.4 
8. O CÍRCULO 131 
Se O é o centro do círculo então AÔ B é chamado de ângulo central. 
A medida em graus do arco menor determinado pelos pontos A e 
B é por definição a medida do ângulo central AÔ B. A medida 
em graus do arco maior é definida como sendo 360° - aº, onde aº 
é a medida em graus do arco menor. No caso em que AB é um 
diâmetro a medida dos dois arcos é 180°. 
Proposição 8.4 Em um mesmo círculo, ou em círculos de mesmo 
raio, cordas congruentes determinam ângulos centrais congruentes 
e reciprocamente. 
A prova desta proposição é simples e é deixada a cargo do leitor. 
Uma conseqüência dela é que cordas congruentes determinam arcos 
menores de mesma medida e portanto, também arcos maiores de 
mesma medida. 
O leitor deve observar que, a maneira de somar ângulos que têm 
o mesmo vértice permite introduzir uma maneira de somar arcos 
que se justapõem. Esta soma é associativa e comutativa como o é 
a soma de ângulos. 
9 A 
Um ângulo se denomina inscrito em um círculo se seu vértice A 
é um ponto do círculo e seus lados cortam o círculo em pontos B e 
C distintos do ponto A. Os pontos B e C determinam dois arcos. O 
arco que não contiver o ponto A é chamado de arco correspondente 
ao ângulo inscrito dado . Diremos também que o ângulo subtende 
o arco. 
132 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Proposição 8.5 Todo ângulo inscrito em um círculo tem a metade 
da medida do arco correspondente. 
Prova: Consideremos primeiro o caso em que um dos lados do 
ângulo inscrito é um diâmetro. Seja A o vértice do ângulo inscrito 
e B e C os pontos em que seus lados cortam o círculo. Suponha que 
o centro O do círculo pertença ao lado AC. Neste caso, a medida do 
arco corresp~ndente ao ângulo inscrito é a medida do ângulo BÔC. 
Como BO = AO então o triângulo OAB é isósceles e portanto 
OÂB = OBA. Mas então BÔC = OÂB + OBA = 2 · CÂB. 
Portanto, neste caso particular a proposição é verdadeira. 
A 
' 1 
A e ' ,,, 
, 
,o 
1 
1 
1 
D 
D 
Figura 8.6 
Suponhamos agora que nenhum dos lados do ângulo inscrito é 
um diâmetro. Tracemos então o diâmetro que passa pelo vértice 
A do ângulo inscrito. Seja D a outra extremidade deste diâmetro. 
Pelo primeiro caso concluiremos que BÔD = 2-BÂD e que DÔC = 
2-DÂC. 
Neste ponto temos de distinguir dois casos: (a) o diâmetro AD 
divide o ângulo BÂC. (b) O diâmetro AD não divide o ângulo 
BÂC. (Veja figura acima). No caso (a), temos que BÂD+DÂC = 
BÂC. A demonstração é então completada somando-se as igual-
dades já encontradas: 
BÔD + DÔC = 2 · (BÂD + DÂC) = 2 · BÂC. 
8. O CÍRCULO 133 
Observe que BÔD + DÔC é exatamente a medida do arco corres-
pondente ao ângulo BÂC. No caso (b), podem ainda advir duas 
situações distintas: (i) AC divide o ângulo BÂD e (ii) AB divide 
o ângulo C ÂD. A prova nos dois casos é essencialmente a mesma. 
Faremos o caso (i). Neste caso BÂC = BÂD - CÂD. Então, 
utilizando-se as duas igualdades obtidas inicialmente, tem-se 
BÔD - CÔD = 2 · (BÂD - CÂD) = 2 · BÂC. 
Agora observe que BÔD - CÔD é exatamente a medida do arco 
correspondente ao ângulo BÂC. Isto completa a demonstração.Corolário 8.6 Todos os ângulos insc1'itos que subtendem um mes-
mo arco têm a mesma medida. Em particular, todos os ângulos que 
subtendem um semicírculo são retos. 
e 
Figura 8.7 
A seguinte proposição é também de certo modo um corolário da 
proposição (8.5). 
Proposição 8. 7 Sejam AB e CD cordas distintas de um mesmo 
círculo que se intersectam num ponto P. Então AP • P B = CP• P D. 
Prova: Observe que nos triângulos CPB e DAP tem-se: CPB = 
AP B ( opostos pelo vértice) e CÊ P = AÍJ P (por serem ângulos 
134 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Figura 8.8 
I 
I 
I 
e 
inscritos que subtendem o mesmo arco). Logo, os dois triângulos 
são semelhantes e a semelhança é a que leva C em A, P em P e B 
em D. Logo~;=;~. Mas então, AP · PB =CP· PD. 
Proposição 8.8 Se os dois lados de um ângulo de vértice P são 
tangentes a um círculo nos pontos A e B, então: 
a) a medida do ângulo P é igual a 180º menos a medida do arco 
menor determinado por A e B; 
b} PA=PB. 
Prova: Seja O o centro do círculo. No quadrilátero OAP B temos 
que A= B = 90º. Logo P + Ô = 180º. Como Ô é exatamente a 
medida do arco menor determinado por A e B, fica provado a parte 
(a). Para provar a parte (b), trace PO e compare os triângulos 
P AO e P BO. Como  = Ê = 90º os dois triângulos são retângulos. 
Como AO= BO (raios) e PO é comum, então os dois triângulos 
são congruentes ( conforme o teorema ( 5 .14)). Logo P A = P B. 
Assim o resultado fica demonstrado. 
Diremos que um polígono está inscrito num círculo se seus 
vértices pertencem ao círculo. 
8. O CÍRCULO 
Figura 8.9 
1 
1 
- - ~o 
I 
I 
I 
I 
Proposição 8.9 Todo triângulo está inscrito em um círculo. 
Prova: Seja ABC um triângulo. 
Para mostrar que ele está inscrito 
em um círculo deveremos exibir um 
ponto que seja eqüidistante de A, B 
e C. Seja m uma reta perpendicu-
lar a BC e passando pelo seu ponto 
médio 1\1 e seja n a reta perpendicu-
lar a BC e passando pelo seu ponto 
médio N. Designe por P o ponto de 
interseção destas duas retas. Observe 
que todo ponto da reta m. é eqüidis- Figura 8.10 
tante de A e B, e que todo ponto da 
135 
reta n é eqüidistante de B e C. Logo o ponto P será eqüidistante 
de A, B e C. 
Esta proposição pode ser enunciada da seguinte maneira: 
Proposição 8.10 Três pontos não colineares determinam um cír-
culo. 
Chamamos de mediatriz de um dado segmento à reta perpen-
dicular ao segmento passando pelo seu ponto médio. Com esta 
definição podemos enunciar o seguinte corolário da proposição (8.9). 
136 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Corolário 8.11 As mediatrizes dos lados de um triângulo encon-
tram-se em um mesmo ponto. 
De um modo geral apenas os triângulos possuem a propriedade 
de serem inscritíveis em círculos. Para outros polígonos a condição 
de que o mesmo possa ser inscrito em um círculo acarreta fortes res-
trições sobre as suas medidas. A seguinte proposição é um exemplo 
disto. 
Proposição 8.12 Um quadrilátero pode ser inscrito em um drcu-
lo se e somente se possui um par de ângulos opostos suplementares. 
Prova: Vamos supor inicialmente que o quadrilátero possa ser ins-
crito em um círculo. Observe que cada um de seus ângulos _é um 
ângulo inscrito no círculo. Seja ABC D o quadrilátero. Considere 
os ângulos  e ê. Eles subtendem exatamente os dois arcos deter-
minados pelos pontos B e D. Como estes dois arcos somam 360°, 
então, de acordo com a proposição (8.5), a soma dos ângulos  e 
ê será 180º. Portanto eles são suplementares. 
D 
Figura 8.11 
8. O CÍRCULO 137 
Vamos agora supor que um quadrilátero ABCD tem um par de 
ângulos opostos suplementares. Como a soma dos ângulos inter-
nos do quadrilátero é 360º, então o outro par de ângulos opostos 
também é suplementar. Trace um círculo pelos pontos A, B e C. 
Isto sempre pode ser feito (de acordo com (8.10)). Só existem três 
alternativas para a localização do ponto D: ele pode estar sobre, 
dentro, ou fora do círculo. Vamos supor que ele esteja fora do 
círculo. Neste caso trace o segmento BD. Seja E o ponto onde 
este corta o círculo. O quadrilátero ABCE é um quadrilátero ins-
crito no círculo e, portanto, pela primeira parte da proposição, seus 
ângulos opostos são suplementares. Em particular, temos 
ABC+ AÊC = 180º 
Por hipótese também temos 
ABC+ ADC = 180º. 
Das duas igualdades concluímos que ADC = AÊC. Agora observe 
que AÊB > ADB e BÊC > BDC (ângulos externos). Logo: 
AÊC=AÊB+BÊC>ADB+BDC=ADC 
Esta contradição mostra que D não pode estar fora do círculo. O 
resto da prova mostrando que D também não pode estar dentro do 
círculo é deixada como exercício. 
Um círculo está inscrito em um polígono se todos os lados do 
polígono são tangentes ao círculo. Quando tal ocorre diz-se que o 
polígono circunscreve o círculo. 
Proposição 8.13 Todo triângulo possui um círculo inscrito. 
Prova: Seja ABC um triângulo. Trace as bissetrizes dos ângulos 
 e Ê. Estas se encontram em um ponto P. Deste ponto, baixe 
perpendiculares aos lados do triângulo. Sejam E, F e G os pés 
138 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
destas perpendiculares nos lados AB, BC e C A, respectivamente. 
Vamos provar que PE = PF = PC. Assim o ponto Pé o centro 
de um círculo que passa pelos pontos E, F e G; além disto, como 
os lados do triângulo ABC são perpendiculares aos raios P E, P F 
e PC eles são também tangentes ao círculo. Logo o círculo está 
inscrito no triângulo. 
A 
e 
Figura 8.12 
Para provar que P E = P F = PC vamos comparar os triângulos 
PGA e P EA, e os triângulos P EB e P F B. Todos eles são triân-
gulos retângulos. Nos dois primeiros temos PÂG = PÂE (PA 
é bissetriz) e P A comum. Nos dois últimos temos P ÊE = P ÊF 
( P B é bissetriz) e P B comum. Portanto os dois pares de triângulos 
são congruentes. Da congruência dos dois primeiros concluímos que 
PC= PE. Da congruência dos dois últimos obtemos PE = PF. 
Isto completa a demonstração. 
Corolário 8.14 As bissetrizes de um triângulo encontram-se em 
um ponto. 
Prova: Na demonstração anterior provamos que o ponto de en-
contro de duas bissetrizes do triângulo ABC é o centro de um 
8. O CÍRCULO 139 
círculo inscrito naquele triângulo. Para obter o Corolário é sufi-
ciente provar que o segmento unindo o centro deste círculo inscrito 
com o terceiro vértice, é também uma bissetriz do triângulo ABC. 
O leitor não terá dificuldade em fazer esta demonstração que é 
deixada como exercício. 
Um polígono regular é um polígono que é eqüilátero e eqüiangu-
lar. Com isto queremos dizer que todos os seus lados são congru-
. entes (eqüilátero) e também todos os seus ângulos são congruentes 
(eqüiangular). 
Figura 8.13 
Proposição 8.15 Todo polígono regular está inscrito em um cír-
culo. 
Prova: Seja A1, A2 , ... , An um polígono regular. Tracemos o 
círculo que passa pelos pontos A1, A2 e A3 . Seja O o centro deste 
círculo. Como OA2 = OA3 então o triângulo OA2A3 é isósceles 
e logo OAA2A3 = OA;A2 . Como o polígono é regular todos os 
seus ângulos internos têm a mesma medida. Portanto A1Â2 A3 = 
A2Â3A4. 
140 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Mas então, A1Â20 OA~A4. Como além disso A1A2 = A3A4 
(lados de um polígono regular são congruentes) e OA2 = OA3 , 
então os triângulos OA1A2 e OA4A3 são congruentes. Daí obtém-
se OA4 = OA1. Portanto A4 também é um ponto do círculo. 
O mesmo raciocínio pode agora ser repetido para provar que A5 
também pertence ao círculo, e assim sucessivamente. Como resul-
tado final obtém-se que todos os pontos do polígono pertencem ao 
círculo. 
Corolário 8.16 Todo polígono regular possui um círculo inscrito. 
Prova: Trace o círculo no qual o polígono regular A1A2 ... An está 
inscrito. Seja O o seu centro. Todo os triângulos isósceles A10A2 , 
A 2OA3, A3OA4, ... são congruentes. Como conseqüência suas al-
turas relativamente às bases são também congruentes. O círculo 
de centro O e com raio igual ao comprimento destas alturas está 
inscrito no polígono. 
8. O CÍRCULO 141 
EXERCÍCIOS 
1. Pode existir um círculo de raio igual a 6 cm e no qual uma 
corda meça 14 cm? 
2. Em um círculocujo raio mede 30 cm pode existir uma corda 
que meça 45 cm? 
3. Considere dois círculos de raios r 1 e r 2 . Mostre que se eles se 
intersectam em mais de um ponto então r 1 + r 2 é maior do 
que a distância entre seus centros. 
4. Dados dois círculos de raios r 1 e r 2 cujos centros distam d, 
mostre que, se r 1 +r2 > d então os dois círculos se intersectam 
em dois pontos. 
5. Diremos que dois círculos são tangentes se são tangentes a 
uma mesma reta em um mesmo ponto. O ponto mencionado 
é chamado de ponto de contacto. Mostre que, quando dois 
círculos são tangentes, os dois centros e o ponto de contacto 
são colineares. 
6. Dois círculos são ditos tangentes exteriores se ficam de lados 
opostos da reta tangente comum. Se os dois ficam do mesmo 
lado da reta tangente, diz-se que os dois são tangentes inte-
riores. Qual a distância entre os centros de dois círculos que 
são tangentes exteriores sabendo-se que seus raios m·edem 2 
cm e 5 cm? 
7. Qual a distância entre os centros de dois círcülos que são 
tangentes interiores se seus raios medem 2 cm e 3 cm? 
142 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
8. O diâmetro de um círculo é 12 cm. Calcule a distância ao 
círculo de um ponto exterior que dista 15 cm do seu centro. 
9. O raio de um círculo é 10 cm. Calcule a distância ao círculo 
de um ponto interior sabendo que ele dista 4 cm do seu centro. 
10. Qual é o lugar geométrico dos pontos que distam 2cm de um 
círculo cujo raio mede 5 cm? 
11. Três círculos são dois a dois tangentes exteriores. Seus cen-
tros formam um triângulo eqüilátero. Qual a medida ele seus 
raios? 
12. Prove que, em um mesmo círculo ou em círculos de mesmo 
raio, cordas congruentes são eqüidistantes do centro. 
13. Prove que, em um mesmo círculo ou em círculos de mesmo 
raio, cordas eqüidistantes do centro são congruentes. 
14. Prove que, em um mesmo círculo ou em círculos de mesmo 
raio, se duas cordas têm comprimentos diferentes, a mais 
curta é a mais afastada do centro. 
15. Mostre que a mediatriz de uma corda passa pelo centro elo 
círculo. 
16. Explique porque o reflexo de um círculo relativamente a uma 
reta que passa pelo seu centro é o mesmo círculo. ( vide 
capítulo 5 para definição ele reflexo). 
17. Em um triângulo eqüilátero mostre que o círculo inscrito e o 
círculo circunscrito têm o mesmo centro. 
18. São traçadas duas cordas paralelas à partir das extremidades 
de um diâmetro. Mostre que as duas são congruentes. 
8. O CÍRCULO 
19. Na figura ao lado AE é 
tangente comum e JS liga 
os centros dos dois círculos. 
Os pontos E e A são pon-
tos de tangência e M é o 
ponto de interseção dos seg-
mentos JS e AE. Prove que 
o ângulo J é congruente ao 
ângulo S. 
20. Na figura ao lado as três re-
tas são tangentes simulta-
neamente aos dois círculos. 
Estas retas são denomi-
nadas de tangentes comuns 
aos círculos. Desenhe dois 
círculos que tenham: 
a) quatro tangentes co-
muns. 
b) exatamente duas tan-
gentes comuns. 
c) somente uma tangente 
comum. 
cl) nenhuma tangente co-
mum. 
e) mais de quatro tan-
gentes comuns. 
143 
21. Na figura relativa ao exercício anterior, os dois círculos são 
tangentes e a tangente que passa no ponto de contacto inter-
secta as outras duas, determinando um segmento. Determine, 
144 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
em função dos dois raios, o comprimento deste segmento e 
mostre que o ponto de contacto é o seu ponto médio. 
22. Na figura seguinte à esquerda, 1\1 é o centro dos dois círculos 
e AI< é tangente ao círculo menor no ponto R. Mostre que 
AR= RI<. 
23. Na figura acima à direita, UK é tangente ao círculo no ponto 
U e UE= LU. Mostre que LE = EK. 
24. Na figura seguinte à esquerda, 1\10 = IX. Prove que 1\1 I = 
ox. 
25. Na figura anterior à direita, H é o centro do círculo e q__1 é 
um diâmetro. Se CA e H N são paralelos, mostre que AN e 
I N são congruentes. 
26. Na figura abaixo à esquerda, O é o centro do círculo e TA é 
um diâmetro. Se P A = AZ, mostre que os triângulos P AT e 
Z AT são congruentes. 
8. O CÍRCULO 145 
R 
z 
27. Na figura acima à direita, sabe-se que Y é o centro do círculo 
e que BL = ER. Mostre que BE é paralelo a LR. 
28. Na figura seguinte à esquerda, o quadrilátero DI AN é um 
paralelogramo e I, A e Jvf são colineares. Mostre que DI = 
DM. 
T 
29. Na figura anterior à direita, qual dos dois arcos, AH ou MY, 
tem a maior medida em graus? Sabe-se que os dois círculos 
são concêntricos. 
Uma reta intersecta um círculo em no máximo dois pontos 
(veja problema 1). As que o intersectam em exatamente dois 
pontos são chamadas de secantes . Um ângulo secante é um 
ângulo cujos lados estão contidos em duas secantes do círculo 
e que cada lado intersecta o círculo em pelo menos um ponto 
excluído o vértice. Vamos chamar de região angular asso-
ciada a um ângulo AÊC a interseção dos seguintes dois semi-
planos: o que contém o ponto C e é determinado por AB, 
146 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
e o que contém o ponto A e é determinado por BC. Dados 
um ângulo e um círculo, a parte elo círculo contida na região 
angular associada ao ângulo dado é designada arco ( ou ar-
cos) determinado (determinados) pelo ângulo. Nos exercícios 
seguintes indicaremos por AB a medida em graus elo arco AB. 
30. Na figura anterior à esquerda AP B é um ângulo secante cujo 
vértice esta dentro elo círculo. Mostre que AP B = ½ ( ÁB 
+CD). 
31. Na figura anterior à direita AP 8 é um ângulo secante cujo 
vértice está fora elo círculo mostre que AP B = ½ ( A~B - CD). 
32. Mostre que dois pontos tomados sobre uma corda e situados 
a igual distância elo seu ponto médio são eqüiclistantes elo 
círculo. 
33. Mostre que dois pontos tomados sobre uma reta tangente a 
um círculo a igual distância elo ponto ele contacto são eqüiclis-
tantes elo círculo. 
34. Sucessivos arcos são marcados em um círculo ele modo que 
cada arco tenha uma corda ele mesmo comprimento que o raio. 
Prove que o sexto arco termina no ponto onde o primeiro arco 
começa. 
35. Prove que todo paralelogramo inscrito em um círculo é retân-
gulo. 
8. O CÍRCULO 147 
36. Prove que todo trapézio inscrito em um círculo é isósceles. 
37. Prove que o segmento ligando um vértice ele um polígono 
regular ao centro elo círculo em que ele está inscrito é bissetriz 
elo ângulo daquele vértice. 
38. Desenhe dois exemplos ele polígonos eqüiangulares inscritos 
em um círculo, mas que não são regulares. 
39. Desenhe dois exemplos ele polígonos eqüiláteros que circuns-
crevem um círculo, mas que não são regulares. 
40. Dado um quadrado ele lado 5cm, qual o raio elo círculo no qual 
ele está inscrito? Qual o raio elo círculo que ele circunscreve? 
41. Dado um triângulo eqüilátero ele lado 4cm, qual o raio elo 
círculo no qual ele está inscrito? E qual o raio elo círculo que 
ele circunscreve? 
42. Dados dois círculos e duas retas, cada uma elas quais tangentes 
aos dois círculos. Mostre que os segmentos delas determinados 
pelos pontos ele tangencia são congruentes. 
43. Um círculo está inscrito em um triângulo retângulo cujos la-
dos medem 3, 4 e 5. Determine o diâmetro elo círculo 
44. Um círculo esta inscrito em um triângulo retângulo cujos cate-
tos medem b e e e cuja hipotenusa mede a. Determine o 
diâmetro elo círculo. 
45. Um círculo está inscrito em um triângulo eqüilátero. Deter-
mine o raio do círculo sabendo que a altura do triângulo é 
6cm. 
46. Dois círculos são tangentes exteriores sendo A o ponto ele 
contacto. Seja Bum ponto ele um elos círculos e C um ponto 
elo outro tais que a reta que passa por estes pontos é tangente 
comum aos dois círculos. Mostre que o ângulo BÂC é reto. 
148 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
47. Um ponto M é exterior a um círculo. Determine sobre o 
círculo dois pontos (distintos) eqüidistantes de M. 
48. Prove que, em dois círculos de raios R e kR, cordas de compri-
mento e e kc, respectivamente, subtendem arcos que medem 
Se kS. 
8. O CÍRCULO 149 
PROBLEMAS 
1. Prove que uma reta pode cortar um círculo em no máximo 
dois pontos. 
2. Umareta que contém os centros de dois círculos é chamada de 
reta dos centros dos dois círculos. Prove que, se dois círculos 
têm dois pontos em comum, a reta dos centros é mediatriz do 
segmento ligando estes dois pontos. 
3. Prove que dois círculos distintos não podem ter mais do que 
dois pontos em comum. 
4. Prove, que se dois círculos são tangentes, a reta dos centros 
passa pelo ponto de contacto. 
5. Prove que, se dois cír~los se intersectam em exatamente um 
ponto então eles são tangentes. 
6. Dois círculos de mesmo raio são tangentes exteriores sendo 
P seu ponto de tangência. Determine o local geométrico dos 
pontos equidistantes dos dois círculos. 
7. Na sua opinião, qual seria a resposta da questão anterior se 
os dois raios fossem diferentes? 
8. Na figura seguinte à esquerda, APC é um ângulo secante 
cujo vértice encontra-se fora do círculo e que o intersecta em 
quatro pontos como indicado. Prove que AP • P B = CP• P D. 
Compare este resultado com a Proposição (8.7). 
150 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
9. Na figura acima à direita WS e H I são cordas que se inter-
sectam no ponto G, e RT é bissetriz do ângulo WÔI. Prove 
que WR-TS =RI· HT. 
10. Na figura seguinte à esquerda ABC é um triângulo e D um 
ponto de BC tal que AD é bissetriz do ângulo Â. Prove que 
(AD)2 = AB •AC-BD• DC. (Ajuda: considere o círculo no 
qual o triângulo está inscrito, prolongue AD até o ponto E 
do círculo, como indicado na figura. Mostre que os triângulos 
ABE e ADC são semelhantes e use a Proposição (8.7).) 
11. Na figura anterior à direita o círculo está inscrito no quadrilá-
tero. Prove que a soma dos comprimentos de um par ele lados 
opostos é igual a soma elos comprimentos elo outro par. 
12. Seja ABCDEF um hexágono que circunscreve um círculo. 
Prove que AB +CD+ EF =BC+ DE+ FA. 
8. O CÍRCULO 151 
13. Enuncie e prove uma proposição semelhante a do exercício an-
terior para um polígono de 8 lados. Será que uma proposição 
semelhante vale para um polígono de 10 lados? E para um 
de 11 lados? Enuncie suas conclusões na forma mais geral 
possível. 
14. Na figura seguinte as retas são tangentes comuns aos dois 
círculos. Prove que m1 e m2 se intersectam na reta dos cen-
tros. Prove que se os raios dos dois círculos são diferentes, as 
retas n1 e n2 também se intersectam na reta dos centros. 
15. Sejam A e B pontos de interseção de dois círculos. Sejam C 
e D as extremidades dos diâmetros dos dois círculos que se 
iniciam no ponto A. Prove que a reta que liga C a D contém 
o ponto B. 
16. Prove que a medida de um ângulo formado por uma tangente 
e uma corda de um círculo é igual a metade da medida do 
arco que ele determina. 
17. Prove que a medida de um ângulo formado por uma tangente 
e uma secante é igual a metade da diferença entre as medidas 
dos arcos que ele determina. 
152 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
18. Seria possível reunir em uma única proposição as informações 
parciais fornecidas pelos exercícios 16 e 17 e pelos problemas 
13 e 14? 
19. Prove que um polígono eqüilátero inscrito em um círculo é 
um polígono regular. 
20. Prove que um polígono eqüiangular que circunscreve um cír-
culo é um polígono regular. 
21. Prove que, se um círculo for dividido em um número qual-
quer de arcos iguais, então as cordas destes arcos formam um 
polígono regular inscrito no círculo, e as tangentes traçadas 
pelos pontos ele separação dos arcos forma um polígono regu-
lar que circunscreve o círculo. 
22. Descreva um método ele traçar um círculo de raio dado que 
seja tangente aos lados de um ângulo. 
23. Descreva um método para traçar um círculo de raio dado que 
seja tangente a dois círculos fixados. Quantas soluções pode 
ter este problema? 
24. Determine o lugar geométrico descrito pelos pés das perpen-
diculares baixadas ele um ponto A às retas que passam por 
um ponto B. 
25. Determine o lugar geométrico descrito pelos vértices dos tri-
ângulos de base AB e com ê = 30°. A medida fixada elo 
ângulo ê faz alguma diferença na sua resposta? 
26. Dois círculos se cortam nos pontos A e B. Pelo ponto B 
traçamos uma reta que corta o primeiro círculo num ponto X 
e o segundo círculo num ponto Y. Mostre que a medida do 
ângulo X ÂY não depende da reta traçada. 
8. O CÍRCULO 153 
COMENTÁRIO 
Ao longo destas notas postulamos a maneira de medir o compri-
mento de segmentos. A partir daí pudemos definir o comprimento 
ele uma poligonal como a soma elos comprimentos elos seus lados. 
No entanto não fizemos referência a questão de como medir o com-
primento de curvas. De fato, a única curva que consideramos até o 
momento foi o círculo. Intuitivamente o comprimento de um círculo 
deve ser o comprimento do segmento que obteríamos se pudéssemos, 
cortando o círculo, desencurvá-lo, como faríamos a um pedaço de 
arame circular. No entanto esta noção de "desencurvamento" não 
existe na geometria que construímos. Podemos partir de uma idéia 
bem mais simples que é a de aproximar o círculo por uma poligonal. 
Tomemos para isto um polígono regular inscrito no círculo, com n 
lados, cada um deles medindo Bn- Se o número de lados for sufi-
cientemente grande, a nossa intuição nos diz que o perímetro deste 
polígono, n • Bn, será muito próximo do comprimento do círculo. 
Figura 8.14 
154 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Vamos determinar s2n em termos ele Sn e elo raio elo círculo. 
Na figura anterior à direita, temos um círculo ele centro O e raio 
R, e neste, uma corda CE perpendicular a um diâmetro AB. O 
triângulo ABC é retângulo e CD é a altura elo vértice C. Logo 
-2 - - --2 
AC = AB · AD. Também OC D é retângulo e portanto DO = 
OC2 - CD2 . Se CE= Sn, então AC= S2n e, das fórmulas acima, 
obtém-se 
1) (s2n)2 = 2R · m, 
2) (R-m)2 = R2 - (8~')2 
onde m = AD. Eliminando-sem destas equações resulta: 
É fácil verificar que o lado s4 ele um quadrado inscrito no círculo 
é R../2 e que seu perímetro é 4R../2. Utilizando-se agora sucessi-
vamente a fórmula acima podemos encontrar os perímetros Pn dos 
polígonos regulares inscritos no círculo com 8, 16, 32, 64, ... lados. 
O leitor não terá dificuldade em verificar que 
Ss R✓2- /2 
R✓2-J2+ v'2 
RJ2-J2+ j2+ /2 
E poderá facilmente estabelecer uma expressão geral para s2n, (n 2:: 
8). Com base nas fórmulas acima, calculamos, em termos aproxi-
mados, corretos até a quarta casa decimal, os valores constantes 
ela tabela 8.1. Assim, segundo nossa intuição, o comprimento de 
8. O CÍRCULO 155 
n Sn Pn 
4 1, 41421 · R 5,6568 · R 
8 O, 76537 · R 6, 1229 · R 
16 O, 39018 · R 6,2428 · R 
32 O, 19603 · R 6,2730 · R 
64 O, 09814 · R 6,2806 · R 
128 0,04908 · R 6, 2825 · R 
256 0,02454 · R 6, 2830 · R 
512 0,01227 - R 6, 2831 - R 
Tabela 8.1: Alguns valores ele Sn e Vn 
um círculo ele raio R eleve ser aproximadamente 6, 2831 · R. Infe-
lizmente não dispomos ainda ele uma definição ele comprimento elo 
círculo que nos permita verificar a validade desta afirmação. 
Antes ele tentar estabelecer a definição ele comprimento ele um 
círculo vamos fazer algumas observações. Seja Pum polígono con-
vexo inscrito num círculo, e sejam A e B dois ele seus vértices 
consecutivos. Tomemos um ponto C elo arco AB e indiquemos por 
P 1 o polígono cujos vértices são os vértices elo polígono P, mais o 
ponto C. A passagem elo polígono P para o polígono Pi constitui-
se na substituição ao lado AB pelos lados AC e C B. Desde que 
AB < AC+CB, concluímos que o perímetro ele Pi é maior elo que o 
perímetro ele P. Assim, adicionando-se a um polígono convexo ins-
crito no círculo novos vértices, aumentamos o seu perímetro. Sem 
dúvida este procedimento não resulta em um crescimento ilimi-
tado. De fato, se tomarmos um polígono circunscrito ao círculo, 
seu perímetro será maior elo que o perímetro ele qualquer polígono 
convexo inscrito. 
Chama-se ele comprimento elo círculo ao menor elos números 
maiores elo que o perímetro ele qualquer polígono convexo nele ins-
crito. 
É uma conseqüência imediata desta definição que, dado qual-
quer número é > O, pode-se sempre inscrever umpolígono convexo 
156 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
no círculo tal que a diferença do seu perímetro para o comprimento 
do círculo (em valor absoluto) seja menor do que€. O comprimento 
do círculo é tradicionalmente representado na forma 271" R onde 7r é 
o comprimento de um semicírculo de raio 1. O valor aproximado 
de 7r, correto até a 5ª casa decimal é: 
7r = 3.141593 
o que nos dá um perímetro de aproximadamente 6, 283186 • R. 
CAPÍTULO 9 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Considere um círculo de centro O e nele um diâmetro AB. Fixemos 
nossa atenção em um dos semicírculos determinados por AB. Tome 
um ponto qualquer C deste semicírculo e indique por a o ângulo 
CÔB. Trace, a partir de C, uma perpendicular à reta que contém 
AB. Seja D o pé desta perpendicular. 
ex. A'-----~o__. ___ D_~B A'--=-n-----'=-'-------'B 
Figura 9.l 
Chama-se de seno do ângulo a ao quociente CD/ OC. O seno 
do ângulo a é representado por: sena. Observe que, de acordo 
com esta definição, tem-se que: 
sen0º = O, sen90º = 1 e sen180º = O (9.1) 
Define-se o co-seno do ângulo a como o quociente O D/ OC 
quando o ângulo a é agudo. Se o ângulo a é obtuso, o co-seno 
157 
158 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
é definido como valor negativo deste quociente, isto é -OD /OC. 
Representa-se oco-seno elo ângulo a por: cosa. Com esta definição 
tem-se que: 
cosOº = 1, cos90º = O e cos180º = -1. (9.2) 
Chama-se ele tangente do ângulo a ao quociente 
sena 
tga=--
cosa 
não sendo esta função definida se a = 90°. 
(9.3) 
Proposição 9.1 Os valores do seno e do co-seno de um ângulo 
independem do semicírculo utilizado para definí-los. 
Prova: Consideremos um outro círculo ele centro O' e neste um 
diâmetro A' B'. Consideremos um ponto C' sobre o círculo ele modo 
que o ângulo C'Ô' B' seja congruente ao ângulo a e portanto con-
gruente a CÔB. Considere os triângulos COD e C'O' D' onde D e 
D' são os pés elas perpendiculares baixadas àos segmentos ele reta 
AB e A' B', respectivamente, a partir elos pontos C e C'. Como 
CÍJO e C' D'O' são ângulos retos e já sabemos que CÔB = C'Ô' B', 
então concluímos que os triângulos considerados são semelhantes. 
Portanto teremos 
C'O' C' D' 0' D' 
CO CD OD 
Como conseqüência 
CD C'D' OD O'D' 
sena==== e 
CO C'O' 
cosa==== 
CO C'D' 
Isto prova a nossa afirmação. 
Teorema 9.2 Qualquer que seja o ângulo a tem-se: 
9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 159 
Prova: Para a igual a 0°, 90° ou 180°, a afirmação acima é com-
provada pela substituição direta dos valores do seno e do co-seno 
correspondentes. Nos outros casos, considere o triângulo OêD da 
figura (9.1). Tem-se então 
(OD) 2 (CD) 2 cos 2a+ sen 2a = OC + OC OD2 +CD2 OC2 -------cc-- - -- - 1 oc2 - oc2 -
onde fez-se uso do teorema de Pitágoras na penúltima igualdade. 
Teorema 9.3 (Fórmulas de redução) Se a é um ângulo agudo 
então 
a) sen(90º - a)= cosa 
b) cos(90º - a)= sena 
e) tg(90º - a) = 1/ tga 
Prova: (Veja figura 9.2) Sejam C e C' pontos de um semicírculo 
de extremidades A e B, tais que CÔB = a e C1ÔB = 90º - a. 
Figura 9.2 
Sejam D e D' os pés das perpendiculares baixadas à reta que 
contém AB a partir de C e C', respectivamente. Observe que, 
como C'ÔB = 90° - a, então OC' D' = a. Logo os triângulos COD 
160 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
e OD'C' são congruentes (OC = OC', CÍJO = C1ÍJ 1O = 90° e 
CÔ D = OC' D' = a) e portanto 
C'D' OD' OC' 
OD CD OC 
Segue-se que 
C'D' OD 
sen(90º - a)= OC' = OC = cosa 
OD' CD 
cos(90º - a)= OC' = OC = sena 
A prova de (c) é deixada a cargo do leitor. 
Teorema 9.4 Qualquer que seja a tem-se: 
a) sen(180º - a) = sena 
b} cos(180º - a)= - cosa 
Prova: Quando a é igual a 0°, 90° ou 180°, a afirmação acima é 
comprovada por substituição direta dos valores do seno e co-seno 
correspondentes. Nos outros casos, considere pontos C e C' no 
semicírculo de sorte que CÔB = a e C'ÔB = 180° - a. Sejam D 
e D' os pés das perpendiculares baixadas dos pontos C e C' à reta 
determinada por A e B. 
Figura 9.3 
9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
A congruência dos triângulos OC D e OC' D' nos fornece 
CD = C' D' e DO = D' O 
Como conseqüência imediata temos que 
C'D' CD 
sen(180º-a) = = = = = sena 
C'O CO 
D'O DO 
e I cos(180º - a)I = C'O = CO = 1 cosa! 
161 
Como a =I= 90° então a ou 180° - a é obtuso e o outro é agudo. Por 
isto, cosa e cos ( 180º - a) têm sinais opostos. Logo 
cos(180º - a)= - cosa. 
As definições de seno, co-seno e tangente dadas no início do 
capítulo permitem concluir imediatamente as seguintes fórmulas 
relacionando os lados de um triângulo retângulo e os seus ângulos 
agudos. 
Proposição 9.5 Em um triângulo retângulo ABC, de ângulo reto 
ê, tem-se 
BC= AB senÂ, AC= AB cos e BC= AC tg 
Uma conseqüência desta proposição é que, se conhecermos um 
ângulo e um lado de um triângulo retângulo é possível calcularmos 
a medidas de seus outros dois lados, supondo-se que conheçamos 
como calcular as funções seno, co-seno, e tangente de um ângulo. 
Atualmente, uma máquina de calcular razoavelmente simples, pos-
sui circuitos que calculam estas funções com aproximação correta 
até a quarta ou quinta casa decimal, o que é mais do que suficiente 
para a grande maioria dos cálculos. Pode-se, no entanto, fazer 
uso de uma tabela de funções trigonométricas obtida facilmente em 
qualquer compêndio sobre trigonometria. 
162 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Proposição 9. 6 
a) sen45º = 1/./2, cos45º = 1/./2 e tg45º = 1 
b} sen30º = 1/2, cos30º = /3/2 e tg30º = 1//3 
Prova: (a) Construa um triângulo retângulo ABC tendo ângulo 
reto Ô, e tendo AC = BC. Tem-se então que  = Ê = 45º e, 
utilizando-se o teorema ele Pitágoras, AC = BC = AB / \1'2. Logo 
AB/v2 
sen45º = ___,,,,,=- = 1/V2 
AB 
Da mesma forma obtém-se o valor ele cos45º. O valor ela tangente 
é obtido pela simples divisão elos valores elo seno e co-seno. 
( b) Construa um tri-
ângulo eqüilátero ABC. Todos A 
os seus ângulos medem 60º e to-
dos os seus lados têm o mesmo 
comprimento a. Considere a al- B 
tura baixada elo vértice B ao 
lado AC e seja D o pé desta 
altura. Os dois triângulos for- e 
mados são congruentes e DA= Pig-ura 9.4 
DC = a/2. Aplicando o teo-
rema ele Pitágoras ao triângulo ABD concluímos que BD= a/3/2. 
Observe que o ângulo AÊ D mede 30º. Logo 
0 a/2 sen30 = - = 1/2 
a 
a/3/2 
cos30º = -- = v'3/2 
a 
1/2 r,:; 
tg30º = -- = 1/v3 
/3/2 
(9.4) 
(9.5) 
(9.6) 
9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 163 
Com esta proposição e os teoremas (9.3) e (9.4) podemos agora 
facilmente determinar os valores do seno, co-seno e tangente elos 
ângulos de 60º, 120º, 135° e 150º. 
Teorema 9. 7 (Lei dos co-senos) Em um triângulo ABC tem-se: 
AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2 ·AC· BC· cosê 
Prova: Se o ângulo ê for reto então a afirmação acima é exata-
mente o teorema de Pitágoras. Podemos portanto supor que ê não 
é um ângulo reto. Tracemos a altura do vértice A. Como ê não é 
um ângulo reto então o pé desta altura, que designaremos por D, 
não coincide com o ponto C. Se D coincidir com o ponto B então o 
triângulo ABC é retângulo tendo Ê como ângulo reto. Neste caso, 
AC• cosê= BC e o resultado acima é uma decorrência imediata 
do teorema de Pitágoras. Assim podemos supor que B, C e D 
são pontos distintos. Como ADB e ADC são triângulos retângulos 
tem-se 
AB 2 = AD 2 + BD 2 
AC 2 = AD 2 + DC 2 
A A A 
~A~ L___j) ~-----,L-'---____,,__ ~~ 
e BD e D BDC B 
Figura 9.5 
Logo, subtraindo-se estas duas equações obtém-se 
AB 2 - AC 2 = BD 2 - DC 2 
164 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Agora iremos substituir o termos BD 2 desta equação. Para isto, 
teremos de considerar três possibilidades. (Veja figura 9.5) 
a) C está entre B e D 
Neste caso tem-se DC + BC = BD. Substituindo-se BD por 
DC + BC, desenvolvendo-se o quadrado e simplificando-se os ter-
mos, a equação acima torna-se: 
AB 2 = AC 2 + BC 2 + 2 · BC · DC. 
O~serve que DC =AAC· cos(AêD) e que cos(AÔD) = - cos(~80º-
ACD) = - cos(ACB). Como ACB é exatamente o ângulo C do 
triângulo ABC, o resultado fica demonstrado neste caso. 
b) D está entre C e B 
Neste casotem-se BD+ DC = BC e, portanto, BD = DC -
BC. Substituindo-se como no caso anterior este valor de BD, 
obtém-se 
AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2 · BC · DC 
Observando-se que DC =AC• cosê obtém-se o resultado. 
c) B está entre C e D 
Este caso é tratado de forma semelhante e é deixado a cargo do 
leitor completar a demonstração. 
Teorema 9.8 (Lei dos senos) Qualquer que seja o triângulo ABC, 
tem-se: 
sen  sen Ê3 sen ê 
BC AC AB 
9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Figura 9.6 
, , 
, , 
, , , ,o , 
165 
Prova: Considere o círculo que circunscreve o triângulo ABC. Seja 
O o seu centro e R o seu raio. Considere o diâmetro que tem B 
como extremidade. Seja D sua outra extremidade. Se os pontos 
A e D estiverem de um mesmo lado da reta determinada por B 
e C, então os ângulos BÍJC e BÂC são congruentes por serem 
ângulos inscritos correspondentes a um mesmo arco. Se os pontos 
A e D estiverem em lados distintos da reta que contém BC então 
os ângulos BÍJC e BÂC são suplementares já que correspondem a 
arcos que se complementam para formar o círculo. Em ambos os 
casos tem-se que · 
senÍJ = senÂ. 
Conseqüentemente 
BC= 2R senÂ. 
(Observe que aqui utilizamos o fato de que o triângulo BCD é 
retângulo). De forma análoga demonstra-se que 
AB = 2R • sen ê e AC = 2R • sen Ê . 
Comparando-se as três fórmulas obtidas conclui-se que 
166 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
sen senB senê 1 
BC AC AB 2R. 
Fica assim demonstrado este teorema. 
Teorema 9.9 Sejam a e (3 dois ângulos agudos. Então tem-se: 
a) cos(a + (3) = cosa cos(3- sena sen(3, 
b} sen(a + (3) = sena cos(3 + cosa sen(3. 
Prova: Dado o ângulo a+ (3 de origem O, trace a semi-reta 
de mesma origem que o divide em dois ângulos congruentes aos 
ângulos a e (3. Por qualquer ponto H desta semi-reta trace uma 
perpendicular a qual interceptará os lados do ângulo a + (3 em 
pontos A e B como indicado na figura abaixo, de modo que AÔH = 
a e BÔH = (3. Seja a = OA, b = OB, h = OH, m = AP e 
n=BP. 
Pelo teorema (9.7) aplicado aos triângulos OAB, OAH e OBH 
teremos respectivamente: 
(m + n) 2 
m2 
n2 
a2 + b2 - 2ab cos ( a + (3) 
a2 + /-,,2 - 2ah cosa 
b2 + /-,,2 - 2bh cos (3 
(9.7) 
(9.8) 
(9.9) 
Utilizando-se o triângulo OAH tem-se h = a cosa e usando-se 
o triângulo OBH tem-se h = b cos(3. Segue-se que 
li2 = ab cosa cos(3 e que 
ah cosa= ab cosa cos(3 = bh cos(3 
Portanto, podemos reescrever as equapes (9.8) e (9.9) como 
m2 a2 - ab cosa cos(3 
n 2 b2 - ab cosa cos(3. 
9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 167 
e 
B 
Figura 9.7 
Além disto, corno m = a sena e n = b sen /3 tem-se que mn = 
ab sena sen /3. Logo 
(m+n)2 = rn2 +n2 +2mn = a2 +b2 -2ab cosa cos/3+2 sena sen/3. 
Segue-se então de (9.7) o resultado desejado. Fica a cargo do leitor 
provar a equação (b) bem corno o seguinte corolário 
Corolário 9.10 Se a é um ângulo maior do que /3 tem-se 
a) cos(a - /3) = cosa cos/3 + sena sen/3 
b) sen(a - /3) = sena cos/3- cosa sen/3 
168 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
EXERCÍCIOS 
1. Os catetos de um triângulo retângulo medem 5cm e 12cm. 
Qual o valor do seno de seu menor ângulo agudo? e qual o 
do co-seno? 
2. Em um triângulo ABC, em que todos os ângulos são agudos, 
a altura do vértice C forma com os lados CA e CB, respec-
tivamente, ângulos a e /3. Seja D o pé da altura do vértice 
C. Calcule AD, BD, AC e CB sabendo que AD = l, que 
a = 30º e J3 = 45º. 
3. Quando o sol está 30° acima do horizonte, qual o comprimento 
da sombra projetada por um edifício de 50 metros? 
4. Uma árvore de 10 metros de altura projeta uma sombra de 
12 metros. Qual é a altura angular do sol? 
5. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10cm e um 
dos ângulo agudos mede 30°. Quais as medidas dos catetos? 
6. Um barco esta ancorado no meio de um lago. Uma longa 
estrada retilínea acompanha parte de sua margem. Dois ami-
gos em passeio turístico observam o barco de um ponto na 
estrada e anotam que a reta daquele ponto ao barco forma 
um ângulo de 45º com a estrada. Após viajarem 5 km eles 
param e anotam que agora podem ver o barco segundo um 
ângulo de 30º com a estrada. Com esta informação calcule a 
distância do barco à estrada. 
9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 169 
A idéia da questão anterior é usada pelos astrônomos para de-
terminar aproximadamente a distância da terra a um estrela 
da seguinte maneira. Em um determinado dia, usando instru-
mentos de alta precisão, eles medem o ângulo que a direção 
da estrela faz com a reta que liga a terra ao centro do sol. 
Meio ano mais tarde, eles voltam a realizar a mesma medida. 
Como, no seu movimento em torno do sol, após meio ano, a 
terra se encontra aproximadamente na posição oposta, relati-
vamente ao sol, da que se encontrava no momento da primeira 
medição, a distância entre duas posições de tomada das me-
didas é aproximadamente igual a duas vezes a distância da 
terra ao centro do sol, que é conhecida. 
7. Um parque de diversões deseja construir um escorregador gi-
gante cujo ponto de partida fique a 20m de altura. As nor-
mas de segurança exigem que o ângulo do escorregador com a 
horizontal seja de, no máximo, 45º. Qual será o comprimento 
mínimo do escorregador? 
8. Achar a altura de um edifício sabendo-se que o ângulo segundo 
o qual é visto varia de 20° a 30° quando o observador avança 
92m em sua direção. 
9. Uma escada, encostada em uma casa, forma um ângulo de 
70º com o solo quando seu pé está afastado 4m da casa. Qual 
o comprimento da escada? 
10. Achar o comprimento da corda de um círculo de 20cm de raio 
subtendida por um ângulo central de 150º. 
11. Os lados de um triângulo ABC são os seguintes: AB 5, 
AC = 8 e BC = 5. Determine o seno do ângulo Â. 
12. Do topo de um farol, 40 metros acima do nível do mar, o 
faroleiro vê um navio segundo um ângulo ( de depressão) de 
15°. Qual a distância do navio ao farol? 
170 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
13. Um carro percorreu 500 metros de uma estrada inclinada 20º 
em aclive. Quantos metros o ponto de chegada está acima do 
ponto de partida? 
14. Mostre que o perímetro de um polígono regular inscrito em 
um círculo de raio R é Pn = 2Rn sen ( 1~º). 
15. Num triângulo ABC tem-se AC = 23, Â = 20º e ê = 140º. 
Determine a altura do vértice B. 
16. As funções secante, c~-secante e fO-tan!Jente de UI!} ângul<? Â 
são definidas por sec A = 1 / cos A, csc A = 1 / sen A e cot A = 
1/ tgÂ, desde que cosÂ, sen e tg sejam definidas e di-
ferentes de zero. Prove que: 
a) 1 + tg 2 Â = sec2 Â 
b) 1 + cot2 Â = csc2 Â 
17. O que é maior: 
a) sen55º ou cos55º ? c) tg 15° ou cot 15º ? 
b) sen 40° ou cos 40º ? d) sec 55° ou csc 55º ? 
18. Para qualquer ângulo a diferente de zero e 180º mostre que: 
(a) sena+ cosa = 1 
csca seca 
(b) tg a + cot a = sec a csc a 
( c) sec a = sena ( cot a + tg a) 
(d) sec2 a - csc2 a= tg 2a - cot2 a. 
cosa 
(e) 1 - sena 
(f) 
1 + sena 
cosa 
19. Calcule o valor de cos 105º usando que 105=60+45. 
9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 171 
20. Encontre o valor de cos 15º. 
21. Calcule o valor de sen 75º e de tg75ª usando que 75=45+30. 
22. Se sena= 3/5 e cos/3 = 12/13 determine o valor de sen(a+ 
/3). 
23. Dado um triângulo equilátero, seja C o seu círculo circuns-
crito. Determine a altura do triângulo em função do raio. 
24. Achar o perímetro de um triângulo isósceles cuja base mede 
40cm e cujos ângulos da base medem 70º. 
25. Se tg0 = 5/12 determinar sen0 e cos0. 
26. Dado um triângulo retângulo ABC, sendo  o ângulo reto, 
trace a altura do vértice A e seja D o seu pé em BC. Mostre 
que os triângulos ABC, DAC e DBA são congruentes e de-
termine a razão entre os lados correspondentes. 
27. Na figura abaixo temos um círculo de centro O cujo raio mede 
10 cm e onde BC é perpendicular ao diâmetro AC. Determine 
o comprimento ele BC sabendo que o ângulo  mede 15ª. 
B 
o A --------'----; 
e 
172 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
PROBLEMAS 
1. A figura abaixo à esquerda representa uma folha de papel 
retangular dobrada. A, B, C e D são os vértices do retângulo 
e E F B representa a posição do triângulo EC B apósa dobra 
do papel. Sabendo-se que AB = 6 cm e que cos 0 = ../3 /2 
calcule o comprimento de BE. 
2. Na figura acima à direita temos um círculo e um quadrado 
tendo 3 pontos em comum. Sabendo que o lado do quadrado 
é 10 cm, determine o raio do círculo. 
3. Mostre que, se a e /3 são ângulos agudos então 
) ( /3) tga + tg/3 ª tg ª + = 1 - tg a tg /3 
b) ( /3) cot a cot /3 - 1 cot a+ = -----
cota+ cot/3 
4. Ache fórmulas para tg(a-/3) e cot(a-/3) em termos de tga, 
tg/3, cota e cot /3. 
5. Mostre que tg(180º - a)= - tga. 
6. Mostre que, se o ângulo a é agudo então 
9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
(a) sen2a = 2 sena cosa 
(b) cos2a = 1 - 2 sen 2a 
2tga 
(c) tg2a = 1 2 - tg a 
7. Mostre que cos(0/2) = J1 + 2cose 
M tg(0/ 2) __ 1- cose 8. ostre que 
sen0 
9. Exprimir sen3a em função de sena. 
10. Mostre que cos 20 = cos4 0 - sen 40 
173 
11. Num triângulo isósceles o ângulo oposto à base é 0 e os lados 
medem a. Determine a medida da base. 
12. Supondo que 0 é um ângulo agudo, mostre que 
cos0 = sen(0 + 30º) + cos(0 + 60º). 
13. Em um triângulo ABC, em que todos os ângulos são agudos, 
a altura do vértice C forma com os lados C A e C B respecti-
vamente ângulos a e /3. Seja D o pé da altura do vértice C. 
Calcule AD, BD, AC e CB sabendo que AD= 1. 
174 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
COMENTÁRIO 
O estudo das funções trigonométricas e de suas aplicações é de-
nominado trigonometria. A trigonometria iniciou-se como o estudo 
das aplicações, a problemas práticos, elas relações entre os lados de 
um triângulo. Na Grécia, associava-se a um dado ângulo a corda 
correspondente ao arco que eie determinava em um círculo centrado 
no seu vértice. Posteriormente, na matemática hindu, começou-se 
a associar metade desta corda. A correspondência era estabelecida 
através de tabelas. 
Uma grande dificuldade que existia tanto no tempo dos gre-
gos como no tempo dos hindus para elaboração e utilização destas 
tabelas era a não existência de um sistema adequado de numeração 
(introduzido na aritmética somente no 16° século). O primeiro tra-
balho sobre trigonometria de que se tem real conhecimento está 
contido no "Almagest". (Um trabalho sobre astronomia em 13 vo-
lumes, escrito por Ptolomeu de Alexandria por volta da metade do 
segundo século.) Num de seus capítulos é apresentada uma tabela 
de cordas. Esta tabela refere-se a uma seqüência de ângulos, distan-
ciados de meio grau um do outro, e seus valores estão corretos até 
pelo menos cinco casas decimais. Ali também é explicado o método 
de calcular a tabela. Um outro capítulo é dedicado a solução de 
triângulos. Vários teoremas relativos a cordas são demonstrados. 
Estes teoremas contêm implicitamente o conhecimento das fórmulas 
mais importantes da trigonometria. No entanto, os escritores gre-
gos do quarto século chamam a Hiparco, que viveu no segundo 
século a.C., ele originador da ciência ela trigonometria. Ele teve a 
reputação ele ter calculado uma tabela de cordas que constituiu um 
livro com doze volumes. 
CAPÍTULO 10 
ÁREA 
Uma região triangular (figura (a) abaixo) é um conjunto de pontos 
do plano formado por todos os segmentos cujas extremidades estão 
sobre os lados de um triângulo. O triângulo é chamado de fronteira 
da região triangular. O conjunto de pontos de uma região triangular 
que não pertencem a sua fronteira é chamado de interior da região 
triangular. 
(a) (b) 
Figura 10.1 
Uma região poligonal é a união de um número finito de regiões 
triangulares que duas a duas não têm pontos interiores em comum 
(figura (b) acima). 
175 
176 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
Um ponto é interior a uma região poligonal se existe alguma 
região triangular contida na região poligonal e contendo o ponto no 
seu interior. O interior da região poligonal é o conjunto dos pontos 
que lhe são interiores. A fronteira da região poligonal é constituída 
pelos pontos da região que não pertencem ao seu interior. 
Figura 10.2 
p é ponto interior a região 
q é ponto da fronteira 
A noção de área de regiões poligonais é introduzida na geometria 
através dos seguintes axiomas: 
Axioma VI.1 A toda região poligonal corresponde um número 
maior do que zero. 
O número a que se refere este axioma é chamado de área da 
região. 
Axioma VI.2 Se uma região poligonal é a união de duas ou mais 
regiões poligonais que duas a duas não tenham pontos interiores em 
comum, então sua área é a soma das áreas daquelas regiões. 
Axioma VI.3 Regiões triangulares limitadas por triângulos con-
gruentes têm áreas iguais. 
É claro que todo polígono convexo determina uma região poli-
gonal. Nós iremos tomar a liberdade de usar expressões do tipo "a 
área de um quadrado" quando queremos dizer realmente "a área da 
região poligonal cuja fronteira é um quadrado". Em geral falare-
mos de "área de um dado polígono", quando queremos de fato nos 
referir a área da região cuja fronteira é aquele polígono. Assim, o 
10.ÁREA 177 
axioma VI.3 acima poderia ter sido enunciado como: "triângulos 
congruentes possuem áreas iguais" . 
Axioma Vl.4 Se ABCD é um retângulo então sua área é dada 
pelo produto: AB · BC. 
A partir destes axiomas vamos determinar a área ele algumas 
regiões poligonais simples. Vamos iniciar pelo paralelogramo. 
Dado um paralelogramo ABCD designemos por b o compri-
mento elo lado AB e por h o comprimento de um segmento ligando 
as retas que contém os segmentos AB a CD e que seja perpendicular 
a ambas. Um tal segmento é chamado de altura elo paralelogramo 
relativamente ao lado AB. 
Proposição 10.1 A área do paralelogramo é o produto do cornpri-
mento de um de seus lados pelo comprimento da altura relativa a 
este lado. 
Figura 10.3 
Prova: Em termos da notação fixada acima elevemos provar que 
a área do paralelogramo ABCD é b · h. Para isto trace, a partir 
dos pontos A e B, dois segmentos, AE e B F, perpendiculares à 
reta que contém CD. O quadrilátero AB F E é um retângulo cuja 
área é AB • BF a qual, em termos de nossa notação, é exatamente 
b • h. Para concluir a demonstração observe que os triângulos ADE 
178 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
e C B F são congruentes e que 
Área(ABCD) Área(ABCE) + Área(ADE) = 
Área(ABCE) + Área(CBF) 
Área(ABFE) = b · h 
Isto conclui a demonstração. 
Como corolário desta proposição determina-se a área ele um 
triângulo qualquer. 
Proposição 10.2 A área de um triângulo é a metade do produto 
do comprimento de qualquer de seus lados pela altura relativa a este 
lado. 
----------------------D 
I 
A'------------~1B 
Figura 10.4 
I 
Prova: Dado um triângulo ABC, trace pelo vértice C uma reta 
paralela ao lado AB, e pelo vértice B uma reta paralela ao lado 
AC. Estas duas retas se interceptam em um ponto D. O polígono 
ABDC é um paralelogramo, e os dois triângulos ABC e CDB são 
congruentes. Como Área(ABDC) = Área(ABC) + Área(CDB) e 
Área(ABC) = Área(CDB), então: Área(ABC) = ½Área(ABDC). 
Para completar a demonstração observe que a altura do vértice C 
do triângulo ABC é exatamente a altura elo paralelogramo ABDC 
relativamente ao lado AB. 
Proposição 10.3 A área de um trapézio é metade do produto do 
comprimento de sua altura pela soma dos comprimentos de suas 
bases. 
10. ÁREA 179 
Prova: Seja ABCD um trapézio cujas bases são os lados AB e CD. 
'fi·ace a diagonal AC para dividir o trapézio em dois triângulos. 
e 
E B 
Figura 10.5 
Trace as alturas CE, do triângulo ACB, e AF, do triângulo ACD. 
Então teremos que AF = CE, já que os lados AB e CD são para-
lelos. Como conseqüência 
Área(ABCD) Área(ACB) + Área(ACD) (10.10) 
1- - 1- -
- AB · CE+- DC · AF = (10.11) 
2 2 
1- - -
- (AB + DC) · CE (10.12) 
2 
Fica assim demonstrada a proposição. 
Proposição 10.4 A área de um polígono regular de n lados, ins-
crito numa circunferência de raio Ré ½R2n • sen(360º/n). 
Prova: Seja O o centro do círculo. Ligando-se cada um dos vértices 
do polígono ao ponto O formam-se n triângulos isósceles cujas bases 
são os lados do polígono, cujos lados iguais têm comprimento R e 
cujo ângulo do topo mede 360º /n.Seja OAB um tal triângulo. 
Trace a altura do vértice A. Esta altura mede R sen (360º /n) e o 
lado O B mede R. Logo a área deste triângulo é ½ R2 sen ( 360° / n) e 
a área total do polígono é ½nR2 sen(360º/n). 
180 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
No comentário feito ao final do 
Capítulo 8 nós vimos como pro-
ceder para estabelecer a noção de 
comprimento de um círculo. Pode-
mos proceder de maneira análoga 
com relação à área da região li-
mitada por um círculo. Consider-
amos polígonos inscritos e obser-
vamos que, ao aumentarmos um 
vértice em um de tais polígonos, 
aumentamos a sua área. Assim, 
não existe um polígono inscrito no 
Figura 10.6 
círculo co;m área maximal. Por outro lado, a área de qualquer 
polígono inscrito é menor do que a área de qualquer polígono cir-
cunscrito. É então natural definir: a área da região limitada por um 
círculo é o menor número maior do que a área de qualquer polígono 
nele inscrito. 
Valores aproximados para a área da região limitada por um 
círculo podem então ser obtidos a partir da fórmula determinada 
na proposição (10.4) para a área de um polígono regular inscrito. 
Na tabela (10.1), n é o número de lados do polígono e An é a sua 
área. 
O leitor não terá dificuldade em reformular a prova da proposição 
(10.4) (considerando a altura do vértice O do triângulo OAB) de 
modo a obter a seguinte expressão para a área do polígono regular 
inscrito de n lados. 
(180º) (180º) An = nR2 sen n · cos n 
e a seguinte fórmula para o perímetro do mesmo polígono 
(180º) Pn = 2nR• sen n 
10. ÁREA 181 
n An 
16 3,06147 
32 3,12145 
64 3,13655 
128 3,14033 
256 3,14128 
512 3,14151 
1024 3,14157 
2048 3,14158 
4096 3,14159 
1048546 3,14159 
Tabela 10.l 
Segue-se daí que 
R
2An = cos(180º/n) 
Pn 
Se considerarmos um polígono regular inscrito com um grande nú-
mero de lados, o valor de cos(180º /n) será extremamente próximo 
elo valor de cos0º, enquanto que o valor de An estará muito próximo 
elo valor da área da região limitada pelo círculo e o valor ele Pn será 
aproximadamente o valor do comprimento do círculo. É portanto 
razoável esperar que, para o círculo, duas vezes sua área seja igual 
a R vezes seu perímetro. A proposição abaixo tem exatamente este 
enunciado. 
Teorema 10.5 A área da região limitada por um círculo é igual a 
metade do produto do raio pelo comprimento do círculo. 
Prova: Representemos por p o comprimento do círculo e por A a 
área da região por ele limitada. Se P é um polígono inscrito no 
círculo, representemos por p(P) o seu perímetro, por A(P) a sua 
área e por L(P) o comprimento do maior de seus lados. 
Tomemos um número positivo a qualquer, e seja P um polígono 
inscrito tal que 
182 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
a) L(P) < a 
b) A-A(P) <a•R 
c) p - p(P) < a 
Para fazer a escolha deste polígono podemos inicialmente escolher 
três polígonos: Pi, onde se verifica (a), A onde se verifica (b) e P3 , 
onde se verifica (c). A maneira como se definiu área e perímetro 
elo círculo permite afirmar que as escolhas ele A e A são possíveis. 
Agora, forme um novo polígono que tenha como vértices os vértices 
dos três polígonos. Este novo polígono satisfaz as três condições 
acima. A ele chamaremos ele polígono P. A área deste polígono 
pode ser calculada somando-se as áreas de todos os triângulos com 
vértice no centro elo círculo e tendo como lado um elos lados elo 
polígono P. Seja OAB um destes triângulos. Sua área será 
, 1- -
Area(OAB) = 2 AB · OC 
onde OC é a altura do vértice O deste triângulo. 
Figura 10.7 
Como OA > OC > OA-AC, tem-se que 
1- - - , 1--2 AB · (OA-AC) < Area(OAB) < 2 AB · OA 
10. ÁREA 183 
Observando que OA = R e AC< L(P) < a, concluímos que 
1- , 1-2 AB · (R- a)< Area(OAB) < 2 AB. R 
Desde que uma desigualdade como esta vale em cada um dos tri-
ângulos em que subdividimos o polígono P, podemos somar todas 
elas para obter 
1 1 
2p(P) · (R- a)< A(P) < 2 p(P) · R 
Como o polígono P satisfaz a condição (c), temos que p-a < p(P). 
Por outro lado sabemos, da definição de perímetro do círculo, que 
p(P) < p. Utilizando estas duas informações na desigualdade acima 
obtém-se 
1 1 
-(p-a)(R-a) < A(P) < -p·R 
2 2 
ou seja 
..!_ p · R- ~(aR + ap - a2 ) < A(P) < ~ p · R 
2 2 2 
Desta desigualdade decorre que a área do polígono A(P) difere de 
p • R/2 em menos que (aR + ap - a2)/2. Já que, pela escolha do 
polígono P, A - A(P) <a• R, então concluímos que 
IA - ..!_ P · RI <a· R + ..!.(aR + ap - a2) 2 2 
Como o valor de a é arbitrário, podendo ser tomado tão pequeno 
quanto se queira, e o lado esquerdo desta desigualdade não depende 
da escolha de a, só podemos concluir que a diferença A - ½ p •Ré 
zero. 
Fica assim demonstrado o teorema. 
Observe que o número 7r foi definido no capítulo 8 como o com-
primento de um semicírculo. Podemos portanto reformular o enun-
ciado do Teorema (10.5) para o seguinte: 
Corolário 10.6 A área de um disco de raio r é 7rr2 • 
184 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
EXERCÍCIOS 
1. Determine a área ele um triângulo eqüilátero ele lado s. 
2. Que relação satisfazem as áreas ele dois triângulos congruen-
tes? 
3. Que relação satisfazem as áreas ele polígonos congruentes? 
4. Que relação satisfazem as áreas de dois triângulos retângulos 
semelhantes ? 
5. Que relação satisfazem as áreas ele dois quadriláteros seme-
lhantes ? 
6. O raio do círculo inscrito em um polígono regular é chamado 
ele apótema elo polígono regular. Prove que a área ele um 
polígono regular é igual a metade elo produto elo seu perímetro 
por seu apótema. 
7. Determine a área ele um hexágono regular inscrito em um 
círculo de raio R. 
8. Prove que a razão entre os comprimentos ele dois círculos é 
igual a razão entre seus raios. 
9. Prove que a razão entre as áreas ele d'..'is discos é igual a razão 
entre os quadrados elos seus raios. 
10. Se os diâmetros ele dois discos são 3 e 6, qual a relação entre 
as suas áreas? 
10. ÁREA 185 
11. Qual a área de um quadrado inscrito em um círculo cujo raio 
mede 5 cm? 
12. Dois hexágonos regulares têm lados medindo 2 cm e 3 cm. 
Qual é a relação entre as suas áreas? 
13. O comprimento de um círculo vale duas vezes o comprimento 
de outro círculo. Que relação satisfazem suas áreas? 
14. A área de um disco vale cinco vezes a área de outro disco. 
Que relação satisfazem seus raios? 
15. A escritura indica que um terreno é regular com 20m de frente 
e 50m de fundo. Na linguagem legal, terreno é dito regular 
quando tem a forma de um paralelogramo, usualmente um 
retângulo. Na prefeitura o terreno foi registrado como tendo 
1000 metros quadrados. A planta do terreno é apresentada 
abaixo. Que forma deveria ter o terreno para que o valor 
registrado estivesse correto? Qual a área aproximada do ter-
reno? Qual seria o prejuízo de uma pessoa que o tivesse com-
prado pela informação do registro e pago 300 reais por metro 
quadrado? 
i 
E 
o 
N 
◄ 48,98 m --- --
Cll 
-~ 
iii 
Cll 
"O 
Cll 
::, 
a:: 
16. Quanto seria necessário de papel para cobrir toda a face ex-
terna de uma lata cilíndrica cuja altura é 15 cm e cujo raio 
de base é 5 cm? 
186 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
17. Inscreve-se um triângulo eqüilátero de raio a em um círculo. 
Determine a área limitada por este círculo em termos de a. 
18. Seja ABCD um quadrado de lado a em que AC e BD são as 
duas diagonais. Seja O o ponto de encontro destas diagonais 
e sejam P e Q os pontos médios dos segmentos AO e BO 
respectivamente. Determine a área do quadrilátero que tem 
vértices nos pontos A, B, Q e P. 
19. Seja Tum triângulo eqüilátero inscrito em um círculo de raio 
R. Determine a área da região formada pelos pontos interiores 
ao círculo e exteriores ao triângulo. 
20. Na figura ao lado ABCD 
é um quadrado e a, b e e 
são três retas paralelas pas-
sando nos vértices A, B e 
C respectivamente. Deter-
mine a área do quadrado sa-
bendo que a distância entre 
as retas a e b é 5 cm e entre 
as retas b e e é 7 cm. 
21. A figura ao lado apresenta 
um círculo de centro O cujo 
raio mede 2cm. ABé um 
diâmetro, C é um ponto do 
círculo tal que BÔC = 60º. 
Determine a área da região 
sombreada limitada por AC 
e pelo arco menor determi-
nado por A e C. 
A 
e 
a 
b 
e 
e 
22. Um losango tem três de seus vértices sobre um círculo de raio 
r e o quarto no centro do círculo. Determine sua área. 
10. ÁREA 187 
23. Dado um quadrado Q1, os pontos médios elos seus lados deter-
minam um novo quadrado Q2, e os pontos médios dos lados 
de Q2 determinam um outro quadrado Q3 • Qual a razão entre 
as áreas do maior e elo menor quadrado? 
24. Na figura abaixo são representados dois círculos concêntricos 
de raios r e R, sendo r < R. Seja m uma reta tangente ao 
círculo menor tendo A como ponto de contacto. Seja B o 
ponto onde esta reta corta o círculo maior e seja n a reta 
tangente em B ao círculo maior. Se o ângulo a ( o menor 
formado entre m e n) mede 30°, determine a razão entre as 
áreas limitadas pelos dois círculos. 
25. Construa uma estrela ele seis pontas usando dois triângulo 
eqüiláteros congruentes concêntricos. Determine sua área em 
função elo lado elos triângulos. 
26. Sejam me n duas retas paralelas. Considere pontos A e Bem 
me C e D em n. Qual a relação entre as áreas elos triângulos 
ABC e ABD? 
27. Na figura seguinte à esquerda, ABCD é um quadrado de lado 
a, 1\1 é um ponto ele AD, N é um ponto de AB e M NC é 
um triângulo eqüilátero. Determine sua área. 
188 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
D e 
M 
N B 
28. Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice 
C, como na figura acima à direita. Sobre cada um de seus 
lados foram construídos semi-círculos tendo os lados como 
diâmetros. Qual a relação entre as áreas das regiões limitadas 
pelos semi-círculos destacadas na figura. 
29. Qual seria a resposta ela questão anterior se, em lugar ele 
semi-círculos usássemos triângulo eqüiláteros? E se fossem 
hexágonos regulares? 
30. Deseja-se calcular a área ela figura 
ao lado. Ela foi desenhada 
tomando-se um círculo e um 
ponto P fora dele e traçando-se as 
duas tangentes ao círculo à par-
tir ele P. Sabe-se também que 
o ponto P dista 2r do centro elo 
círculo, sendo r é o seu raio. 
p 
10. ÁREA 189 
PROBLEMAS 
1. Mostre que se dois triângulos são semelhantes então a razão 
entre suas áreas é igual a razão entre os quadrados de quais-
quer dois de seus pares de lados correspondentes. 
2. Mostre que a razão entre as áreas de dois polígonos semelhan-
tes é igual a razão entre os quadrados de quaisquer dois de 
seus lados correspondentes. 
3. Três polígonos semelhantes são construídos tendo cada um de-
les, como lado, um dos lados de um dado triângulo retângulo. 
Prove que a área do maior deles é igual a soma das áreas dos 
dois menores. 
4. A região limitada por dois raios e um arco de um círculo é 
chamada de setor elo círculo. Mostre que a área de um setor 
é ½ RS onde R é o raio do círculo e S é comprimento do arco. 
5. Determine a área da região limitada por uma corda e pelo 
arco de círculo que ela subtende. 
6. Determine a área da parte da região limitada por um círculo 
que fica entre duas de suas cordas. 
190 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
8. A figura ao lado sugere uma 
outra maneira ele demons-
trar o teorema ele Pitágoras. 
Para fazer a demonstração ex-
presse a área elo quadrado 
maior ele duas maneiras dife-
rentes: como produto elos la-
dos e como soma elas áreas 
elos 4 triângulos e elo quadrado 
menor. Complete a demon-
stração. 
9. Uma outra prova elo teorema 
ele Pitágoras é sugerida pela 
figura ao lado. Determine 
a área elo trapézio ele duas 
maneiras diferentes, ele forma 
análoga ao que foi feito na 
questão anterior. Complete a 
prova. Esta prova foi inven-
tada por Garfielcl em 1876. 
10. Bhaskara, um matemático 
hindu elo século doze, criou 
uma prova elo teorema ele 
Pitágoras baseada na figura 
ao lado. Faça esta demonstra-
ção. 
e 
b e 
11. Sejam a e {3 os círculos inscrito e circunscrito a um dado 
triângulo retângulo. Se a soma elos comprimentos destes dois 
círculos é 2l7r cm e um elos catetos elo triângulo mede 8 cm, 
determine a área elo triângulo. 
10. ÁREA 
12. Na figura ao lado os seg-
mentos PQ e 1\1 N são 
paralelos ao lado BC do 
triângulo ABC. Se M é o 
ponto médio de AC e P é 
o ponto médio de Alvl, de-
termine a área do trapézio 
lvl PQ N em termos da área 
do triângulo ABC. 
191 
13. Quaisquer dois quadrados podem ser cortados em 5 pedaços 
de tal forma que estes cinco pedaços podem ser rearrumados 
para formar um novo quadrado. A maneira de fazer os cortes 
é indicada na figura seguinte, no caso particular em que os 
quadrados considerados têm lados um o duplo do outro. De-
pois que você verificar como construir o quadrado com os 5 
pedaços, tente determinar como fazer os cortes no caso em 
que os quadrados têm lados 12 e 8. 
192 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
COMENTÁRIO 
É possível evitar a introdução dos Axiomas VI.1 a Vl.4. O con-
ceito de área teria então ele ser trabalhado a partir dos axiomas e 
teoremas demonstrados nos capítulos anteriores e o conteúdo dos 
axiomas VI.1 a VI.4 apareceria como um teorema ela nossa geome-
tria. Vamos dar um idéia ele como isto poderia ser feito. 
Começamos observan-
do que, em todo triângulo, 
o valor elo produto do 
comprimento de um lado 
pela altura que lhe é cor-
respondente, não depende 
ela escolha elo lado. Se 
usarmos a notação indi-
cada na figura abaixo, o 
A 
e 
que estamos dizendo é que ag = bh = ck. Definimos, então a área 
ele um triângulo como este produto, vezes uma constante universal 
L. Isto é, dado um triângulo ABC, definimos sua área como 
Área(ABC) = L · AB · h ( 10.13) 
onde h é o comprimento ela altura elo vértice B relativamente ao 
lado AC. Em seguida temos de mostrar que, se subdividirmos o 
triângulo ABC em um número finito de triângulos, e utilizarmos 
para cada um elos triângulos ela subdivisão a fórmula acima, a soma 
ele suas áreas será igual a área elo triângulo original ABC. 
Esta demonstração não será apresentada aqui. O leitor inte-
ressado poderá encontra-la no livro "Geometria Elemental"cle A.V. 
Pogorélov, Editora Mir. Mas se quiser tentar por si mesmo, deve 
10. ÁREA 193 
iniciar com o caso mais simples em que a subdivisão foi feita como 
na figura seguinte. Observe que, neste caso, há uma altura que é 
comum a todos os triângulos! Para o caso geral, se PQ R for um 
triângulo da subdivisão, tente determinar uma fórmula para sua 
área em termos elas áreas dos triângulos APQ, AQ R e ARP. 
O valor L que figura na fórmula (10.13) é ali colocado para 
permitir a adaptação daquela fórmula às diversas unidades de área. 
A 
Dada uma região po-
ligonal, a coisa mais na-
tural a fazer é definir sua 
área como a soma elas 
áreas dos triângulos que 
a compõem. Observemos 
que uma mesma região 
c~-~-~-~-~B poligonal pode ser subdi-
vidida em regiões triangu-
lares de muitas maneiras diferentes. Assim, temos uma questão 
de consistência a ser resolvida. Para que possamos usar esta 
definição devemos verificar se o valor final ela área ele uma região 
poligonal é independente da particular subdivisão da mesma em 
triângulos. Suponhamos que uma região poligonal P tenha sido 
subdividida em triângulos T1, T2 , ... , T,.,, e depois em triângulos 
T{, T~, ... , T~.,,. Precisamos demonstrar que a soma elas áreas elos 
triângulos, em ambos os casos, é a mesma. Os triângulos elas duas 
subdivisões, considerados em conjunto, realizam uma subdivisão ela 
região poligonal P em polígonos convexos, a saber: em triângulos, 
quadriláteros, pentágonos e hexágonos. Subdividimos, cada um de-
les, em triângulos. Teremos agora uma subdivisão T{1, T~', ... , r;' 
da região poligonal P com a propriedade de que qualquer triângulo, 
da primeira subdivisão ou da segunda subdivisão, é composto de 
triângulos da nova subdivisão. Como já vimos, a área de todo 
triângulo da primeira subdivisão de P é a soma das áreas dos 
triângulos que o compõem. Igualmente a área de todo triângulo 
ela segunda subdivisão é a soma elas áreas dos triângulosque o 
194 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
compõem. Por isto 
LÁrea(T;) 
LÁrea(TD 
LÁrea(T;') 
LÁrea(T;') 
Portanto a soma das áreas dos triângulos de qualquer das partições 
é a mesma. Isto conclui o nosso argumento. 
Agora é fácil obter que a área de um retângulo ABC D é igual 
a 2L • AB • CD. Para isto basta subdividir o retângulo em dois 
triângulos retângulos através da diagonal AC. 
É extremamente conveniente escolher o valor de L de modo que, 
a área de um quadrado de lado um, seja exatamente um. De acordo 
com a fórmula acima, basta tomar L = 1/2. Esta escolha trans-
forma a equação (10.13) na fórmula usual da área ele um triângulo! 
CAPÍTULO 11 
REVISÃO E APROFUNDAMENTO 
EXERCÍCIOS 
1. Num losango, prove que as diagonais se encontram em ângulo 
reto formando 4 triângulos congruentes. 
2. Mostre que a área de um losango é igual a metade do produto 
dos comprimentos de suas diagonais. 
3. Mostre que as diagonais de um retângulo são congruentes e 
se bissectam. 
4. Um retângulo tem 24 cm2 de área e 20cm de perímetro. De-
termine sua dimensões. 
5. Determinar a soma dos ângulos externos de um pentágono 
6. Enuncie os casos de congruência de triângulos retângulos 
7. Mostre que os pontos da bissetriz de um ângulo são equidis-
tantes de seus lados. 
8. Mostre que, num triângulo isósceles as bissetrizes dos ângulos 
da base são congruentes. 
195 
196 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
9. Em um triângulo retângulo, as projeções dos catetos sôbre a 
hipotenusa medem 9cm e 16cm. Determine as medidas dos 
lados do triângulo. 
10. Uma reta corta uma região triangular ao longo de um seg-
mento de comprimento a. Mostre que a é menor ou igual ao 
comprimento do maior lado do triângulo. 
11. Considere um triângulo ABC sobre o qual se sabe que AC = b 
e BC= a. Mostre que a área de ABC é igual a ½ab senê. 
12. Em um triângulo ABC, AB = 5cm, AC = 6cm e BC = 7cm. 
Calcule 
a) a área desse triângulo, 
b) a medida das três alturas, 
c) o raio do círculo inscrito, e 
d) o raio do círculo circunscrito. 
13. Na figura seguinte ABCD é um retângulo e Dl\1 = 1\1 N = 
N B. Determine a área do triângulo M N C. 
D e 
14. Mostre que se duas cordas estão à mesma distância do centro 
do círculo então têm o mesmo comprimento. 
15. Mostre que todos os seus pontos de um corda, excetuando 
suas extremidades, estão no interior da região limitada pelo 
11. REVISÃO E APROFUNDAMENTO 197 
círculo. Conclua que a região limitada por um círculo é um 
convexo. 
16. Mostre que a maior corda de um ctculo é um diâmetro. 
17. Determine a área da região limitada por um polígono regular 
de 12 lados inscrito num círculo cujo raio mede 5cm. 
18. Um quadrado está inscrito em um círculo cujo raio mede 
5cm. Qual a área da região exterior ao quadrado e interior ao 
círculo? 
19. Um triângulo isósceles está inscrito em um círculo cujo raio 
mede 5cm. Qual á área de região exterior ao triângulo e 
interior ao círculo? 
20. Qual a razão entre os comprimentos dos círculos circunscrito 
e inscrito em um quadrado? 
21. Determine a área da região situada entre os círculos inscrito 
e circunscrito a um quadrado de lado a. 
22. Mostre que, em um quadrilátero convexo, qualquer segmento 
ligando dois de seus pontos tem menor comprimento do que 
sua maior diagonal. 
23. Num trapézio, as bases medem 9 cm e 15 cm e a altura 12 
cm. Prolongando-se os lados não paralelo formam-se dois 
f 
triângulos. Determine suas alturas. 
24. Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 3 cm e 
6 cm e formam um ângulo de 45°. Qual é sua área? 
25. As bases de um trapézio isósceles medem 6 cm e 10 cm. De-
termine sua área sabendo que que seu perímetro mede 24 cm. 
26. Mostre que o segmento de menor comprimento ligando um 
ponto A, situado fora de um círculo, a um ponto do círculo 
está sobre o segmento ligando A ao centro do círculo. 
198 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
27. Aproveite a ideia do exercício anterior para definir a noção de 
distância de um ponto a um círculo. 
28. Determine o segmento mais curto ligando um ponto A a um 
triângulo. (Ajuda: determine primeiro as regiões do plano 
onde o segmento mais curto é simplesmente a perpendicular 
baixada do ponto a um dos lados do triângulo.) 
29. Prove que se m e n são retas eqüidistantes então m e n são 
paralelas ou coincidentes. 
30. Mostre que, se duas retas são paralelas a uma terceira, então 
são paralelas. 
31. Dado um triângulo ABC seja D E AB e E E AC tais que 
DE é paralelo a BC. Se Fé o ponto médio de DE, mostre 
que a reta passando por A e F corta BC no seu ponto médio. 
32. Mostre que um triângulo inscrito em um círculo que tem dois 
vértices nas extremidades de um diâmetro é reto. 
33. Seja A um ponto fora de um círculo. Por ele são traçadas 
duas tangentes distintas ao círculo representando-se por B e 
C os seus pontos de tangência. Mostre que AB = AC. 
34. Na figura seguinte sabe-se m n e r são tangentes ao círculo, 
que B é ponto de tangência e que AB = 10cm. Qual o 
perímetro do triângulo AP R? 
A 
11. REVISÃO E APROFUNDAMENTO 199 
35. Na figura seguinte o círculo é tangente aos três semi-círculos 
e tem raio a. Os semi-círculos são tangentes nos seus pontos 
de contacto. Sabendo que M N = N P = 2R determine a. 
M N p 
36. Dado um pentágono ABCDE, suponha que seus lados são 
dois a dois congruentes e que os ângulos A, B, e C são também 
dois a dois congruentes. Mostre que ABCDE pode ser ins-
eri to em um círculo. 
37. Dois círculos Se S' se encontram em um ponto P. A tangente 
a S em P corta S' em B e a tangente a S' corta S em A. Seja 
S" o círculo que passa por A, B e P. A tangente a S" corta 
o círculo S em C e o circulo S' em D. Mostre que PC = P D 
38. Duas retas concorrentes são tangentes a um círculo de centro 
O nos pontos B e C. Seja A o ponto onde as retas se encon-
tram. Seja D o ponto de interseção de AO com BC. Prove 
- - -2 
que O A x OD = O B . 
39. Seja ABC um triângulo retângulo em A e AD uma de suas 
alturas. Mostre que AD2 = BD x DC. 
40. Dado um triângulo ABC e D E BC determine a retapas-
sando por D que separa o triângulo em duas regiões de igual 
área. (Sugestão: Seja E o ponto médio de BC. Por E trace 
200 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
EF paralelo a AD com F E AC e mostre que DF resolve o 
problema.) 
41. Dado um triângulo ABC, sejam D e E os pontos médios de 
AB e AC respectivamente. Mostre que BDC e BEC têm 
mesma área. 
42. Dado um triângulo ABC, mostre que o triângulo formado 
pelos pontos médios dos seus lados divide o triângulo original 
em 4 triângulos congruentes. 
43. Seja ABC D um quadrilátero convexo. Demonstre que ele 
está inscrito em um círculo se e só se DÂC = DÊC. 
44. Mostre que todo paralelogramo circunscrito a um círculo é 
um losango. 
45. Demonstre que a altura de um triângulo eqüilátero inscrito 
em um círculo mede 3/4 do diâmetro do círculo. 
46. Sejam AB e CD cordas congruentes de um círculo. Sejam 
M e N seus pontos médios. Mostre que Aif N forma ângulos 
congruentes com AB e CD. 
4 7. Mostre que os segmentos ligando os pontos médios de um 
quadrilátero forma um paralelogramo 
48. Dado um conjunto finito de pontos do plano mostre que existe 
uma reta tal que todos os pontos se encontram em um dos 
semi-planos por ela determinado. 
49. Sejam O, O' e A três pontos colineares distintos. Mostre que 
os círculos de centro O e raio O A e de centro O' e raio O' A 
são tangentes no ponto A. Inversamente, mostre que, se dois 
círculos são tangentes num ponto A, então os dois centros e 
o ponto A são colineares. 
11. REVISÃO E APROFUNDAMENTO 201 
50. Mostre que se uma reta intersecta um círculo em um ponto e 
não lhe é tangente, então ela o intersecta também em outro 
ponto. 
51. Mostre que se um círculo intersecta outro e os dois não são 
tangentes, então os dois se intersectam também em outro 
ponto. 
52. Prove que, se dois pontos B e Cestão fora de um círculo então 
existe um ponto A tal que AB e AC estão fora do círculo. 
53. Dois círculos que têm um ponto comum A são tangentesse e 
so se a reta passando pelo ponto A, tangente à um deles, é 
também tangente ao outro. 
54. Dois círculos Se S', de raios distintos, são tangentes em um 
ponto A. Mostre que, exceto pelo ponto A, S' está totalmente 
fora da região limitada por Sou totalmente dentro dela. 
55. Determine a medida do lado de um octógono inscrito num 
círculo cujo raio mede 10cm. 
56. Determine a medida do lado de um decágono inscrito num 
círculo cujo raio mede 10cm. 
57. Determine o comprimento d da corda que subtende um arco 
a de um círculo cujo raio mede 10cm. 
58. Determine o comprimento de um arco de 18° em um círculo 
cujo raio mede 10cm. 
59. Qual a medida em graus de um arco de um círculo que mede 
47!' cm sabendo-se que o raio do círculo mede 6 cm. 
60. Dadas duas retas m e n e pontos A, B, C E m e A', B', 
C' E n tais que AC' é paralelo a A'C e BC' é paralelo a B'C, 
mostre que AB' é paralelo a A' B ( Teorema de Papus) 
202 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
61. Considere 3 semi-retas de mesma origem O. Na primeira 
temos pontos A e A', na segunda pontos B e B' e na terceira 
C e C'. Suponha que A esta entre O e A', B esta entre O e 
B' e C esta entre O e C'. Se AB for paralela a A' B' e AC for 
paralela a A' C' mostre que BC é paralela a B' C'. ( Teorema 
de Desargues). 
62. Um ponto M está dentro ela região limitada por um ângulo 
de 60º, distando 2cm de um lado e 11cm do outro lado. De-
termine sua distância ao vértice do ângulo. 
63. Os comprimentos dos lados de um triângulo são a, b e e. Se 
c3 = a3 + b3 o que se pode dizer sobre o ângulo que se opõe 
ao maior lado? ele é agudo?, é reto? ou é obtuso? 
64. Mostre que, se as áreas de um triângulo eqüilátero e de um 
quadrado são iguais então o perímetro do triângulo é maior 
do que o do quadrado. 
65. Sejam a, b e e as medidas dos lados de um triângulo e seja 
R o raio do seu círculo circunscrito. Mostre que R = abc/4A 
onde A é a área do triângulo. 
66. Na figura abaixo D é ponto médio de AB, N D é perpendicular 
a AB e AC é perpendicular a N B. Se M D = a e lvl N = b 
qual o valor de AB? 
N 
e 
M 
B D A 
11. REVISÃO E APROFUNDAMENTO 203 
67. Uma base de um trapézio mede 2cm enquanto que a outra e 
as suas laterais medem 1cm cada. Qual o comprimento elas 
diagonais do trapézio? 
68. Seja ABC um triângulo isósceles de base AB. Mostre que é 
constante a soma elas distância de qualquer ponto de AB aos 
lados AC e BC. (Constante, no enunciado, quer dizer que o 
resultado independe da escolha do ponto no segmento AB.) 
69. Em um retângulo ABCD AD mede a e AB mede b, sendo 
que a > b. Um ponto M é marcado sobre AD ele tal sorte 
que BM A= BA1C. Determine o comprimento de M D. 
70. O inverso de um ponto P com relação a um círculo de centro 
O (diferente de P) e raio ré um ponto P' ela semi-reta Sop 
tal que O P • O P' = r 2 . Mostre que o inverso de um ponto que 
fica sobre o círculo considerado é o próprio ponto. Mostre que 
os inversos dos pontos da região limitada pelo círculo estão 
na região exterior ao círculo. 
71. Represente por O* o plano menos o ponto O. Mostre que a 
inversão relativamente a um círculo de centro O e raio r é 
uma função f definida em O* com valores em O* que é 1-1, 
ou seja, se J(P) = J(Q) então P = Q. Mostre em seguida 
que J(J(P)) = P. 
72. Mostre que f leva pontos muito distantes de O em pontos 
muito próximos de O. Trace uma reta que não intersecte o 
círculo e tente fazer uma figura da imagem desta reta pela 
função f. 
73. Seja P um ponto exterior ao círculo de centro O e raio r. 
Considere a partir de P uma reta tangente ao círculo em 
um ponto T. Mostre que P' é obtido pela projeção de T 
sobre o segmento OP. Este procedimento permite construir 
geometricamente o inverso ele um ponto exterior ao círculo. 
204 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
7 4. Seja P um ponto interior ao círculo ele centro O e raio r. 
Trace a reta perpendicular à semi-reta S0 p passando por P. 
Esta reta corta o círculo em dois pontos. De qualquer um 
deles trace a reta tangente ao círculo. Tal reta intercepta a 
semi-reta S0 p em um ponto P'. Mostre que P' é o inverso ele 
P relativamente ao círculo. 
75. Fixe um círculo ele centro O e raio r e seja f a função inversão 
definida acima. 
(a) Mostre que se L é uma reta passando pelo ponto O então 
J(L) e L. 
(b) Sejam A e B pontos tais que O, A e B não sejam coli-
neares. Sejam A' = J(A) e B' = J(B). Mostre que os 
quatro pontos A, B, B' e A' estão sobre um círculo e que 
os ângulos OÂB e OÊ' A' são congruentes. 
76. Dois círculos são ortogonais se eles se intersectam e suas tan-
gentes, nos pontos ele intersecão são perpendiculares. U sanclo 
a função inversão da questão anterior mostre que, qualquer 
círculo que passa por A e A' = f (A) é ortogonal ao círculo ele 
inversão. 
77. Consiciere um círculo S de raio r e centro O e seja f a in-
versão relativamente a este círculo. Sejam uma reta que não 
intercepta S. Seja A o pé da perpendicular baixada elo ponto 
O à reta m. Seja A'= J(A). Trace o círculo S' centrado no 
ponto médio de O A' e que passa por O e A'. Mostre que se 
BE m então f(B) E S'. 
78. Neste e nos próximos exercícios vamos usar o verbo construir 
para significar que desejamos achar a solução do problema 
usando apenas régua não numerada e compasso. Dado um 
ângulo, construa sua bissetriz. 
79. Dado um segmento AB, construa o seu ponto médio. 
11. REVISÃO E APROFUNDAMENTO 205 
80. Dada uma reta m e um ponto A E m, construa a perpendi-
cular a m passando por A. 
81. Dada uma reta me um ponto A fora ele m, construa a per-
pendicular a m passando por A. 
82. Dado um ângulo ele vértice A e uma semi-reta de extremidade 
B, construa um ângulo de vértice B, congruente ao ângulo  
e tendo a semi-reta como um dos seus lados. 
83. Dada uma reta e um ponto A fora dela, construa a reta n 
paralela a m passando por A. 
84. Dado um círculo construa seu centro. 
85. Dado um círculo ele centro O e um ponto A fora ela região 
limitada pelo círculo, construa a reta tangente ao círculo pas-
sando pelo ponto A. 
86. Construa o círculo inscrito em um triângulo dado. 
87. Construa o círculo circunscrito a um triângulo dado. 
88. Dados uma reta m, um ponto BE me um ponto A fora ele m 
tal que .~_B não é perpendicular a m, construa o círculo que 
passa por A e B e é tangente a m em B. 
89. Dado um segmento AB, determine C, D E AB tais que AC= 
CD= DB. 
90. Dado um ponto P dentro de um ângulo, construir um círculo 
que passe pelo ponto P e seja tangente aos lados elo ângulo. 
206 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
PROBLEMAS 
1. Mostre que as bissetrizes de um triângulo se encontram em 
um ponto. 
2. Mostre que as três mediatrizes aos lados de um triângulo se 
encontram em um ponto. 
3. Mostre que as medianas de um triângulo se intersectam em 
um mesmo ponto ( o qual é chamado de baricentro do triân-
gulo )3 . Mostre, além disto, que a distância do baricentro a 
cada vértice é igual a 2/3 do comprimento da mediana que 
parte do vértice. 
4. Mostre que as alturas de um triângulo se encontram em um 
mesmo ponto (chamado ortocentro). (Ajuda: use que as per-
pendiculares aos lados de um triângulo passando pelos pontos 
médios dos lados se encontram em um mesmo ponto). 
5. Uma ceviana de um triângulo é uma segmento que liga um 
vértice a um ponto do lado oposto. Prove a seguinte afirmação 
( Ceva): seja ABC é um triângulo e sejam X E AB, Y E BC 
e Z E CA; as cevianas CX, AY e BZ se encontram em um 
ponto P se e somente se 
AX BY CZ 
-·-·-=1 
XB YC ZA 
3 Arquimedes mostrou que o baricentro é o centro de gravidade de uma placa 
triangular de espessura e densidade constantes. 
11. REVISÃO E APROFUNDAMENTO 207 
6. Use o resultado do exercício anterior para dar outra prova de 
que: 
a) as medianas de um triângulo são concorrentes. 
b) as bissetrizes de um triângulo são concorrentes. 
c) se as alturas de um triângulo são cevianas então elas são 
concorrentes. 
7. Se os pontos X, Y e Z são colineares e pertencem à retas de-
terminadas pelos lados BC, CA e AB respectivamente,como 
na figura seguinte, então 
Este resultado é conhecido como Teorema de Menelau. 4 
A 
z 
B 
X 
e 
8. Um triângulo tem lados medindo a, b e e e perímetro igual a 
2p. Mostre que sua área vale ✓p(p - a)(p - b)(p - e). (pé 
referido como o semi-perímetro elo triângulo.) 
9. Um triângulo tem semi-perímetro p e o raio elo círculo inscrito 
é r. Mostre que sua área é igual a pr. 
4Menelau, geômetra, viveu por volta do ano 100 de nossa era em Alexandria. 
208 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
10. Um triângulo tem lados medindo a, b e e. Se R é a medida 
elo raio circunscrito ao triângulo então sua área é dada por 
abc/4R. 
11. Na figura abaixo à esquerda ABC D é um quadrado e Eê B = 
EÊC = 15º. Mostre que AED é eqüilátero. 
12. Na figura acima à direita AX e BY são perpendiculares a 
AB, X PY = 90°. Qual deve ser o valor do ângulo PY B para 
que a área elo triângulo X PY seja a maior possível? 
13. Na figura abaixo à esquerda o círculo maior tem raio R1 e 
o círculo menor tem raio R2 , a reta s é tangente aos dois 
cfrculos no ponto P. Determine a relação entre os ângulos a 
e {3. 
r 
b 
s 
a 
14. A figura acima à direita representa um corredor com uma 
"esquina" em um hospital. Qual o comprimento da maior 
11. REVISÃO E APROFUNDAMENTO 209 
maca que pode trafegar no corredor sabendo-se que as macas 
têm largura e. 
15. Na figura a seguir à esquerda tem-se AB = AC, /3 = 20°, 
'Y = 60° e 0 = 50°. Determine a. 
A A 
B e e 
16. Na figura acima à direita tem-se AB = AC, DE paralelo 
a BC e DF perpendicular a EC. Sabendo que  = 20º e 
DÊC = 60º determine BêF. 
17. Na figura abaixo, BC é perpendicular a 00, BQ é paralela 
a 00, os pontos O, P e Q são colineares e PQ = 2 • 00. 
Sabendo que PÔC = 26º determine o ângulo BÔC. 
o 
210 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
18. Mostre que o comprimento da mediana relativa a um lado de 
um triângulo é menor do que a semi-soma dos comprimentos 
dos outros lados e é maior que a semi-diferença. (Obs.: Semi-
soma é a mesma coisa que metade da soma, ou seja, a média 
aritmética. Semi-diferença é a metade da diferença.) 
19. Mostre que a soma dos comprimentos das medianas de um 
triângulo é menor do que o seu perímetro e é maior do que o 
semi-perímetro. 
20. Seja ABC D um paralelogramo e 111 e N, respectivamente, os 
pontos médios de AB e BC. Mostre que os segmentos DM 
e DN cortam a diagonal AC dividindo-a em três segmentos 
congruentes. 
21. Prove que a soma dos comprimentos das medianas de um 
triângulo é maior do que 3 / 4 do seu perímetro. 
22. Dado um triângulo, mostre que o centro do círculo que lhe 
é circunscrito, o baricentro e o ortocentro estão sobre uma 
mesma reta ( denominada reta de E-uler). 
23. Num triângulo, os pontos médios dos três lados, os pés das 
alturas, e os pontos médios dos segmentos ligando os três 
vértices ao ortocentro estão em um mesmo círculo (denomi-
nado: círc-ulo dos nove pontos) 
24. Seja ABC um triângulo e sejam K, L e 1\1 os pés elas alturas. 
Mostre que as alturas de ABC são as bissetrizes dos ângulos 
do triângulo J{ LM que é denominado triâng-ulo ártico. 
25. Mostre que, entre todos os retângulos de perímetro 8cm o que 
tem maior área é o quadrado. 
26. Considere um ângulo de 30º inscrito em um círculo de raio 
2cm sendo que um de seus lados é uma corda. Determine a 
área da região interior ao círculo e ao ângulo. 
11. REVISÃO E APROFUNDAMENTO 211 
27. Dois círculos são tangentes em um ponto A. Sejam m e n 
duas retas passando pelo ponto A. Suponha que m corta os 
círculos em E e C, e n o faz nos pontos D e B, sendo que D 
e E estão no mesmo círculo. Mostre que BC é paralelo a D E 
28. Considere um círculo de raio r e centro O, como na figura 
abaixo. Seja AB um diâmetro e CD uma corda que corta AB 
no ponto E que é ponto médio de AO. Suponha que o ângulo 
AÊC mede 45°. Determine a área da região sombreada. 
B 
29. Mostre. que todo triângulo de lados p2 - q2 , 2pq e p2 + q2 é 
um triângulo retângulo. Aqui, p e q são quaisquer números 
inteiros positivos com p > q. São todas as triplas pitagóricas 
obtidas desta forma? 
30. Um círculo é dividido em quatro partes por dois diâmetros 
ortogonais. Determine o raio do maior círculo que pode ser 
desenhado dentro de uma destas partes. 
31. Qual seria sua resposta se os diâmetros formassem um ângulo 
de 45º? 
32. Sejam P e Q dois pontos em um círculo e sejam me n retas 
tangentes ao círculos nestes pontos. Sejam P' um ponto de 
m e Q' um ponto de n que ficam do mesmo lado da reta 
determinada por P e Q. Mostre que, se PP' = QQ' então 
existe um círculo que passa por P' e Q' o qual também tem 
as retas m e n como tangentes. 
212 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 
33. Na figura seguinte, à esquerda, sabe-se que ABC é eqüilátero 
e que AD = BE = C F, mostre que EF D é também eqüilátero. 
A 
e 
34. Determine a medida elo ângulo A na figura acima à direita 
sabendo que ABC é isósceles e que os segmentos BC, CD, 
DE, EF e F A são congruentes. 
35. Na figura seguinte o triângulo ABC é retângulo, com ângulo 
reto no vértice A, as retas BD e CE são bissetrizes dos 
ângulos Ê e ê, respectivamente. A normal baixada do ponto 
A ao lado BC corta as duas bissetrizes mencionadas em dois 
pontos. Determine a distância entre estes pontos, sabendo 
que AE = 4cm e AD = 5cm. 
B 
E 
e D A 
Figura 11.1 
Referências Bibliográficas 
[1] Ayres Jr., Frank, Trigonometria Plana e Esférica Coleção 
Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1972. 
[2] Barbosa, J.L.M., Geometria Hiperbólica, Universidade Fed-
eral do Goiás, 2002. 
[3] Birkhoff, G.D., Beatley, R., Basic Geometry, Chelsea, New 
York, 1940. 
[4] Clairaut, A.C., Éléments de Geometrie, Gauthier Villars, 
Paris, 1920. 
[5] Coxeter, H.S.M., Greitzer, S.L., Geometry Revisited, The 
Mathematical Association of America, 1967. 
[6] Enriques, F., Amaldi, U., Elementi di Geometria - Parte sec-
onda, Zanichelli, Bologna, 1989. 
[7] Gonçalves Jr., Oscar, Matemática 6, geometria plana e espa-
cial, Editora Scipione, 1991. 
[8] Hartshorne, R., Geometry: Euclid and Beyond, Springer, New 
York, 2000. 
[9] Hilbert, D., Foundations of Geometry, Open Court Publish-
ing Company, 1994. 
[10] Jacobs, H.R., Geometry, W. H. Freeman and Company, 1974. 
213 
214 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
[11] Jennings, G.A., Modem Geometry with Applications, 
Springer-Verlag, 1994. 
[12] Kondratyeva, L.A., Solomonik, V.S., Questions and Problems 
in High-School Mathematics, Mir Publishers, 1987. 
[13] Lange, S., Murrow, G., Geometry - A high school course, 
Springer-Verlag, 1983. 
[14] Legendre, A.M., Éléments de Géométrie, com as adições e 
modificações de M. A. Blanchet, Firmin-Didot Freres, fils et 
cie, Paris, 1876. 
[15] Morgado A.C., Wagner, E., Jorge, M., Geometria II (métrica 
plana), Livraria Francisco Alves, 1974. 
[16] Nielsen, K.L., Modem Trigonometry, Barnes & Noble Books, 
1966. 
[17] Pogorelov, A.V., Geometría elemental, tradução de Carlos 
Vega, Editorial Mir, 1974. 
[18] Serrão, A.N., Exercícios e Problemas de Geometria no Plano., 
parte B, Editora Ao Livro Técnico S.A., 1966. 
[19] Singer, D.A., Geomet'f"I).' Plane and Fancy, Series: Under-
graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1997. 
, 
Indice Remissivo 
área, 175 
de um disco, 180, 181 
de um paralelogramo, 177 
de um polígono regular, 179 
de um retângulo, 177 
de um trapézio, 178 
de um triângulo, 178 
de uma região, 176 
ângulo, 29 
externo, teorema do, 62 
agudo, 36 
axiomas sobre medição de, 
29 
bissetriz, 42 
central, 131 
co-seno de um, 157 
complementares, 37 
cossecante de um, 170 
cotangente de um, 170 
de um polígono, 41 
de um triângulo, 61 
dividido por uma semi-reta, 
33 
externo de um triângulo, 
61 
inscrito em um círculo, 131 
215 
interno de um triângulo. 61 
interseção de semi-planos, 
43 
lados de um, 29 
medição, 32 
medidos em grau, 30 
obtuso, 36 
oposto a um lado, 65 
que subtende um arco, 131 
raso, 29, 42 
reto, 34 
secante, 145 
secante de um, 170 
seno de um, 157 
suplemento, 33 
tangente ele um,158 
vértices de um, 29 
ângulos 
ela base, 48 
congruentes, 45 
de um triângulo, soma, 89 
externos ele um triângulo, 
73 
opostos pelo vértice, 33 
suplementares, 33 
altura, 50 
216 
ele um triângulo, 49 
apótema 
elo polígono, 184 
arco, 130 
correspondente a um ângulo 
inscrito, 131 
ele um círculo, 130 
maior, 130, 131 
menor, 130, 131 
Arquimedes, 206 
axioma, 12 
ele incidência, 1 
ele ordem, 3 
sobre áreas, 176 
elas paralelas, 85 
ele congruência, 46 
ele ordem, 5 
o quinto axioma ele Euclides, 
106, 107 
sobre medição ele ângulos, 
31 
sobre medição ele segmen-
tos, 13, 14 
Axiomas ele Euclides, 105 
noções comuns, 105 
postulados, 105 
base ele um triângulo isósceles, 
48 
bases ele um trapézio, 98 
Beltrami, 108 
Bertrand, 107 
bissetriz, 42, 49, 50, 53, 56 
construção ela, 55, 204 
Bolyai, 108 
ÍNDICE REMISSIVO 
círculo, 18 
centro, 18 
comprimento ele um, 156 
diâmetro, 20 
elos nove pontos, 210 
em um semi-plano, 26 
existência, 18 
inscrito em um polígono, 
137 
pontos ele interseção, 20 
pontos exteriores, 18 
pontos interiores, 18 
raio, 18 
setor ele um, 189 
tangente ele um, 128 
círculos, 21 
ortogonais, 204 
tangente comum a dois, 143 
tangentes, 141 
tangentes exteriores, 141 
tangentes interiores, 141 
catetos, 70 
Cayley, 108 
centro ele um círculo, 18 
ceviana, 206 
Cliff orcl, 108 
co-secante de um ângulo, 170 
co-seno de um ângulo, 157 
lei elos co-senos, 163 
co-tangente ele um ângulo, 170 
complemento ele um ângulo, 37 
comprimento 
de um círculo, 156 
ele um segmento, 13, 14 
ÍNDICE REMISSIVO 
congruência 
de ângulos, 45 
ele segmentos, 45 
ele triângulos, 45, 46 
ele triângulos retângulos, 71 
ele triângulos, primeiro caso, 
46, 47 
ele triângulos, segundo caso, 
47 
ele triângulos, terceiro caso, 
50 
conjuntos 
convexos, 6 
estrelados, 7 
ilimitados, 25 
limitados, 25 
consistência, 11 
construção, 204 
ele um triângulo, 68 
ela bissetriz, 204 
ela perpendicular, 205 
ele reta tangente a um círculo 
passando por um ponto, 
205 
de retas paralelas, 205 
ele um quadrilátero, 42 
ele um ângulo, 42, 205 
ele um triângulo eqüilátero, 
42 
217 
elo centro de um círculo, 
205 
do ponto médio, 57, 204 
convexos, 6 
interseção, 6, 9 
polígonos, 40 
união, 6 
coordenadas, 19 
de um ponto em uma reta, 
14 
de uma semi-reta, 32 
corda de um círculo, 127 
decágono, 41 
desenhos, 2 
desigualdade triangular, 17, 67, 
68 
diâmetro 
ele um círculo, 20, 127 
diagonal 
ele um paralelogramo, 91 
de um polígono, 39 
disco, 18 
área de um, 180, 181 
centro de um, 18 
raio de um, 18 
distância, 28, 56 
de um ponto a uma reta, 
65 
ele uma bissetriz, 55 entre círculos, 80 
elo círculo circunscrito a um entre pontos, 14 
triângulo, 205 propriedades, 17 
do círculo inscrito num triângulo, divisão harmônica 
205 de um segmento, 22 
218 
Elementos de Euclides, 12, 28, 
59 
elipse, 25 
região interior, 25 
eqüiangular 
triângulo, 53 
eqüilátero 
triângulo, 20 
Euclides, 12, 28, 59 
axiomas de, 105 
extremidades do raio, 129 
extremos de um segmento, 3 
figura rígida, 55 
figuras semelhantes, 119 
fronteira 
ele uma região poligonal, 
176 
de uma região triangular, 
175 
funções trigonométricas 
co-secante, 170 
co-seno, 157, 163 
co-tangente, 170 
secante, 170 
seno, 157, 164 
tangente, 158 
Gauss, 107 
geometria 
do motorista de taxi, 27 
Euclidiana, 12, 28 
sobre um cilindro, 27 
sobre uma esfera, 26 
grado, 35 
ÍNDICE REMISSIVO 
grau, 30, 44 
heptágono, 41 
hexágono, 41 
Hilbert, 108 
Hiparco, 174 
hipotenusa, 70 
inscrito, 134 
interior 
de uma região poligonal, 
176 
de uma região triangular, 
175 
inversão, 203 
isósceles 
triângulo, 20 
jogo, 11 
Klein, 108 
lado 
de um triângulo, 3 
de uma poligonal, 38 
oposto a um ângulo, 65 
Lambert, 107 
laterais 
ele um trapézio, 98 
ele um triângulo isósceles, 
48 
Legendre, 79, 107 
Lei 
elos co-senos, 163 
elos senos, 164 
Lie, 108 
ÍNDICE REMISSIVO 
limitados, 25 
Lobachewsky, 108 
losango, 98 
diagonais, 98 
lugar geométrico, 152 
malha, 8 
ele tipo 2-3, 8 
do tipo 2-n, 10 
medição 
de ângulos, 29, 30 
ele segmentos, 14 
mediana, 49 
mediatriz, 135 
medida, 14, 28 
ele um ângulo, 32 
ele um segmento, 14 
unidade, 14 
Nasiradin, 107 
nonánogo, 41 
octógono, 41 
ordem elos pontos ele uma reta, 
15 
origem ele uma semi-reta, 4 
ortocentro, 206 
paralelas, 63 
paralelogramo, 91 
área, 177 
diagonais, 91 
lados, 91 
pentágono, 41 
perímetro, 39 
ele um polígono, 39 
perpendicular, 34 
existência, 34 
unicidade, 35 
construção da, 205 
pi (7r), 156 
Pitágoras 
teorema ele, 114 
teorema inverso, 115 
plano, 1 
219 
planos ele incidência, 7, 8, 10 
polígono, 38 
ângulos de um, 41 
circunscrito a um círculo, 
137 
convexo, 40 
diagonal, 39 
inscrito em um círculo, 134 
lados, 38 
regular, 179 
vértices, 38 
polígonos semelhantes, 119 
poligonal, 38 
lados, 38 
vértices, 38 
ponto 
de contacto, 128, 141 
de tangencia, 128 
médio, 16, 57, 204 
pontos, 1 
ordem, 3 
colineares, 7 
coordenadas, 14 
distância entre dois, 14 
elo mesmo lado ele uma reta, 
220 
5 
entre dois, 3 
não colineares, 7 
separados por um ponto, 3 
Proclus, 107 
projeção 
de um segmento sôbre uma 
reta, 65 
proposições 
equivalentes, 83 
hipótese de uma, 81 
inversas, 83 
negativa de, 84 
tese ele uma, 81 
Ptolomeu, 17 4 
quadrado, 98 
diagonais, 98 
inscrito em um triângulo, 
124 
quadrilátero, 41 
régua, 2, 13 
radiano, 35 
raio 
ele um círculo, 18 
extremidade do, 129 
razão 
ele proporcionalidade, 110 
ele semelhança, 119 
reflexão, 65, 70, 76 
propriedades, 65 
relativamente a uma reta, 
65 
reflexo, 64 
ÍNDICE REMISSIVO 
de um ponto, 64 
região 
exterior de uma elipse, 25 
angular, 146 
interior de uma, 175 
interior de uma elipse, 25 
limitada por um polígono, 
39 
poligonal, 175, 176 
triangular, 175 
retângulo, 98 
área de um, 177 
diagonais de um, 98 
reta 
dos centros, 149 
de Euler, 210 
secante, 145 
tangente a um círculo, 128 
retas, 1 
interseção, 1 
correspondência com os número~ 
reais, 14 
determinam semi-planos, 5 
eqüidistantes, 90, 198 
ordem dos pontos, 15 
paralelas, 63 
perpendiculares, 34 
se cortam, 1 
retas paralelas 
axioma das, 85 
Riemann, 108 
Sacheri, 107 
secante a um círculo, 145 
ÍNDICE REMISSIVO 
secante ele um ângulo, 170 
segmento, 3 
divisão harmônica, 22 
divisão numa razão dada, 
22 
extremos, 3 
medição, 13 
ponto médio, 16, 57 
segmentos 
congruentes, 45 
extremidades, 3 
semelhança 
de figuras, 119 
de polígonos, 119 
razão de, 119 
semelhança de triângulos 
primeiro caso, 111 
segundo caso, 110 
terceiro caso, 112 
semi-perímetro, 207 
semi-plano, 5 
semi-retas, 4 
divide um semi-plano, 31 
ordem, 15 
origem, 4 
que divide um ângulo, 33 
semicírculo, 130 
comprimento de um, 156 
seno de um ângulo, 157 
lei elos senos, 164 
setor 
de um círculo, 189 
suficiência, 11 
suplemento 
ele um ângulo, 33 
tangente 
de um ângulo, 158 
a um círculo, 128 
221 
comum a dois círculos, 143 
teorema 
ele Menelau, 207 
de Ceva, 206 
de Desrgues, 202 
ele Papus, 201 
ele Pitágoras, 114 
elo ângulo externo, 62 
inverso elo teorema de Pitágoras, 
115 
transferidor, 30 
trapézio, 98 
área ele um, 178 
bases, 98 
diagonais, 98 
isósceles, 98 
laterais, 98 
triângulo, 3, 41 
área ele um, 178 
órtico, 210 
ângulo externo, 61 
ângulo interno, 61 
retângulo, catetos, 70 
retângulo, hipotenusa, 70 
altura, 49 
bissetriz, 49 
construção, 20 
eqüiangular, 53 
eqüilátero, 20, 75 
222 
figura rígida, 55 
isósceles, 20, 48-50, 56, 57 
isósceles, ângulos da base, 
48 
isósceles, ângulos externos, 
73 
isósceles, base, 48 
isósceles, laterais, 48 
lados, 3 
lados e ângulos opostos, 65 
mediana, 49 
retângulo, 70, 73 
soma dos ângulos, 62, 79, 
89 
vértices, 3 
triângulos 
retângulos, casos de con-
gruência, 71 
congruência, 53, 56, 58 
congruência, primeiro caso, 
47 
congruência, segundo caso, 
47 
congruência, terceiro caso, 
50 
congruentes, 45, 46 
semelhança de, 109 
trigonometria, 17 4 
triplapitagórica, 118 
vértices 
de um triângulo, 3 
de uma poligonal, 38 
Wallis, 107 
ÍNDICE REMISSIVO