Robortella_Estatica_Hidrostatica_e_Gravi

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L
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I
!~
I:
~ I
L \ L'--1.
~ -.i\;'.;.0... - -
-- --
6JtWázLf 11
...
Estática do ponto material
A condição necessária e suficiente para que um corpo, conside-
rado ponto material.estejaem equilíbrioestáticoé que a resultante
das forças que agem sobre ele seja nula.
Ou seja:
I Equilíbrio de um ponto material-.Ã = Õ I
Analisemos algumas aplicações práticas:
1. Na situação ilustradaabaixo,esquematicamente temos:
I
,I
I -
I
I '{ ( l/I
11
11
]
/,
I
il
r,
\4
" ." I / I I/
J
'r
t:
EQUIUBRIO ESTÁTICO
I
..
.... ....
" - -- --
R=O-'T=P
12
f-
I
I
1
IIr'
1
1
tL
"/\
.
/,/' I' ; ~I ,
\. I i
~~~~
A
I
~
~'-
Para o equilíbrio estático, devemos ter:
p
p~
vc
.....
a) R=O ~ polígono das forças fechado
ou
{
.....
b) = O R, = TI,+ T~,+ Px= OR ~ .....
Ry= TI,.+ T~r+ Py= O. . .
Isto significa que, decompondo as forças agentesno ponto ma.
terial em duas direções ortogonais, a resultante deverá ser nula em
cada um dos eixos.
De acordo com a figura, vem:
p
. I
T2 I
I
~ -- ---x
T2x
p
t
\'
.j-
~
fi
. ,.
If.
. ~, .
i
f,,
~ 13
Segundo adireção x, TI =T2 =>TI cos a = T2cos~.x x
Segundo adireção y, Tly+ T2y =P=> TI sen a+ T2 sen~=P.
3. No caso iiustrado abaixo, admitindo-se que a polia e a corda
tenham inércia desprezível, esquematicamente teremos:
~
"~
TT
p
Estando a polia em equilíbrio estático, vem:
I R = Õ...P=2T I
4. No tratamento de algumas lesões do corpo humano é funda-
mental o conhecimento do equilíbrio estático, conforme você pode
observar nas ilustrações abaixo.
-
.
-~jj;
.
r;:;
.
'
.
'
.
'
.~
~D
.~ -_o
Ji\
\\ ~'
.
'
Ifl .~
~~í,,. ~ ~,
.~.'~
;~~7~~ i:::'.~';'
14
1. MEDICINADESANTOAMARO- Um corpo que pesa 60 newtons
está suspenso ao teto por dois fios, que formam com o teto
ângulos de 60°. A força de tração em cada fio é de:
}1i)' 34,5N. t~~,'L,
b) 51,8 N.
c) 86,0 N.
d) 91,3 N.
e) 120 N.
Resolução: Observando o es-
quema ao lado, temos:
. equilíbrio do corpo:
-+ -+
Rcorpo= O ::::}T = P
. equilíbriodo ponto O:
-+ -+
Ro='0 =c;> polígono das.
forças fechado
Pela lei dos senos:
TI P
::::}
sen 1200
P
sen 300
TI
=>
1
2
'/3
2
P
.=>TI = -::::} T1=
Y3
60 60 '\Í3= - = ::::}
V3 3
::::}TI = 20 '/3N ::::}
::::} IT~~34,$ N I
::::} L
~
Polígono das forças agentes em o:
P
111
kl
i
]
~
I
, ~
I
(j
~
Como o triângulo é isósceles,' TI=T2. Portanto, a intensidade da
força de tração nos fios é, aproximadamente, igual a 34,5 N.
Resposta: alternativaa.
2. PUC (SAO PAULO)- O es-
quema representa 'dois cor-
pos (1) e (2), com pesos res-
pectivamente iguais a 5 kgf e
10 kgf, suspensos por cordas
. LI e L2. Supondo desprezíveis
os pesos das cordas, as tra-
ções em LI e L2 valem, res-
pectivamente:
a) 10kgf e 5 kgf.
b) 10 kgf e 15 kgf.
c) 5 kgf e 10kgf.
d) 15 kgf e 15kgf.
ê( 5 kgf e 15kgf.
~
Resolução: Ao representar as for-
ças agentes nos corpos é inte-
ressante observar que no corpo
(2) agem três forças: peso (P2)'
tração da cordaL1 (TI) e tração
da corda L2 (T2).
Na situação de equilíbrio, temos:
corpo (1): TI=PI (1)
corpo (2): T2=TI + P2 (2)
Substituindo-se (1 ) em (2) ,
vem: T2=PI + P2
Como PI = 5 kgf e P2= 10 kgf,
temos:
T2
T2
T 2 -:-5 kgf + 10 kgf ::::}
::::} IT2 =15 kgf I
Como TI =P1> então
ITI =5 kgfl.
P2
TI
TI
P1
Resposta: alternativa e.
- - . "-~".,"""'n..,g.."1_''''__'-- --
16 ~ 17
3. PUC (CAMPINAS) - O bloco A da figura pesa 100 kgf. O coe.
ficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície na qual
ele repousa é 0,30. O peso P é de 20 kgf e o sistema está em
equilíbrio. Qual a força de atrito exercida sobre o bloco A?
A.
~"~"''''11 '~ : ",~",'
P
a) 20 kgf
b) 30 N
c) 30 kgf
Resolução: Observando o
quema ao lado, temos:
. equllíbriodo corpo de
pesoP:
d) 20 N
e) n.d.a.
NA
T' 0/45' r
es-
-------
T=P
-. -.
Rcorpo= O=>T= P (1)
. equilíbriodo ponto O:
PA T
P-. -.
Ro =O => polígono das
forças fechado
Assim, pela lei dos senos:
T T'
Polígono das forças agentes em O:
T=P
~=>'-'!.An.A~e-
=>T = T' (2)
Pelo equilíbrio do bloco A,
T' =A (3) e NA=PA (4).
Comparando as relações (1), (2) e
P = T = T' = A.
Como P= 20 kgf, vem:
I A= 20kgq
Note que a m.áxima intensidade da força de atrito estático será Adesl=
= f1.eNA= f1.ePA.
Como f1.e= 0,30 e PA= 100 kgf, vem:
Adesl= 0,30. 100 => I Adesl= 30 kgf I
(3 ), temos: !
l
j
\
\ -.:'~..
Logo, sendo A < Adesho bloco ainda não está na iminência de des-
lizar.
Resposta: alternativa a.
4. UNIVERSIDADEDEBRASrUA- Na figura, os corpos A e B estão
em contato e ligados por um fio flexível através de uma roldana.
Uma força F é aplicada em B e o sistema permanece em equi-
líbrio. Sobre o corpo A atuam:
a) somente 2 forças.
b) somente 3 for.ças.
c) somente 4 forças.
.. d) Nenhuma das alternativas.
. . ~..
F
Resolução: No bloco A, agem três forças:
1. força-peso (PA), aplicada pela Terra;
2. força de tração' (T), aplicada pelo fio;
3. força de contato (C). aplicada pelo bloco B. Os vetores-compo-
nentes da força de contato são a força de atrito (A): e a força nor-
mal (N).
~
~
~,
~~-
~
T
A
T
PA
Resposta: alternativa b.
18
Observação:As forças agentes em B são:
1. força-peso (PB), aplicada pela Terra;
2. força de tração (T), aplicadapelo fio;
3. força de contato (C'), aplicada pelo solo;
4. força de contato (C), aplicadapelo bloco A;
5. força externa (F), aplicada peloagente externo.
NB
T
PB
F
5. PUC (CAMPINAS) - Na figura. as massas de A e B são. respec-
tivamente. 10 kg e 5 kg. O coeficiente de atrito de A com a mesa
é 0.20. O menor valor da massa de C. para evitar o movimento
de A. é:
a) 15kg.
b) 16 kg.
c) 10 kg.
AI
I
I
I
I
d) 12 kg.
e) 20 kg.
~.i'I.'-""'';.';J'-_'''M.- ,
~
'~
~
Ir
Resolução: Considerando os blocos C e A em conjunto, temos:
N
PA+ Pc
,
I
~ .tI~
No equilíbrio estático do sistema, teremos:
bloco B: T = PB (I)
blocos C e A: T= A (2) e N = PA + Pc (3)
À medida que a massa do corpo C diminui, a intensidade da força de
. atrito de destaque (do conjunto formado pelos blocos C e A) também
diminui, pois Alest = l-1eN= 1-1.(PA+ Pc) = l-1e(MA + Mo)g.
Quando a intensidade da força de atrito de destaque for igualada pela
intensidade da força de tração, ocorrerá o mínimo valor da massa
do corpo C compatível com o equilíbrio estático.
Assim, em (2) teremos T= Adest (4).
De (I) e (4), vem:
PI! = Adest= l-1eN= l-1e(PA+ Pc)=> MB/= l-1e(MA+ M(')t=>
. 3
=> 5 = 0,2(10 +Me) => 5 = 2 + 0,2Mc => Me= -=>
0,2
=> I Me= 15kgI
Resposta: alternativaa.
6. FEl - Na figura anexa estão representadas duas esferas idênticas
de peso P = 50 N. Desprezam-se os atritos. Calcule as reações
das paredes. considerando o sistema em equilíbrio.
EI
~
I
(
.,,,
J E
... 2 ,,1
~-,,~!:" ." ,1:, '"..-
II1 .<:.-- r--
/
~
I , 60.
,A / l- - -- -./ --
Resolução: Observando o
esquema ao lado, podemos
escrever: .
.esfera E1: o polígono das
forças é um triângulo
eqüilátero.
Logo:
N2 = Na = P =>
=> I N2 =Na=50 N I (1)
EI
E2
N1
p
,'"'",v
esfera ~: do polígono das
forças, vem:
N1-P-= sen30°=>
Na
=> N1 - P = Na sen 30°
Substituindo Na pelo valor
encontrado em (1), vem:
1
N1 - 50 = 50 . -=>
2
=> I N1 =75N I
N4
b) - = cos 30°=>
Na
=> N4 = Na cos 30°
Substituindo Na pelo valor
encontràdo em (1), vem:
V3
N4=50.-=>
2
=> IN4= 25V3NI
a)
2. FEI-MAUÁ- Uma corda de comprimentoR = 7,0 m está atada a dois
pontos A e B, situados na mesma horizontal e separados por uma distância
d = 5,0 m. Num ponto D da corda, a 3,0 m de A, prende-se um corpo
de peso P= 10 kgf. Calcule as forças de tração nos trechos AD .e BD da
corda.
3. CESCEA - Na figura ao lado,~
temos um peso P, sustentado por
dois fios AB e AC. Nas condi-
ções da figura, podemos afirmar,
a. respeito das intensidades das
forças de tração nos fios, que:
a) são menores em AB"do que em AC.
. b) são maiores em AB do que em AC.
c) são iguais.
'd) dependendo do peso P, as alternativas a, b ou c podem estar corretas.
e) Nenhuma das alternativas anteriores. .
4. ACAFE - O sistema representado
está em equilíbrio. A força de tra-
ção na corda PQ tem intensidade
aproximadamente igual a:
(g = 10m/s2)
a) 100N.
b) 50 N.
c) 116,3N.
d) 57,7 N.
e) 157N.
5. MEDICINA DA SANTA CASA - Um ponto material está sob a ação de
duas forças de mesma intensidade 50 N. O ângulo entre essas duas forças
é de 120°. Para equilibrar o ponto, é necessário aplicar-lhe uma força de
intensidade igual a:
a) 100N.
b) 75 N.
c) 50 Y2N.
6. CESCEA - A figura ao lado
mostra duas formas diferentes de
se prender um mesmo balanço.
Com respeito às intensidades das
forças de ,tração nas cordas dos
dois arranjos, podemos afirmar
que:
a) são maiores em A do que
em B.
b) são maiores em B do que
em A.
c) são iguais em A e em B.
d) somente serão diferentes se ambos estiverem oscilando.
e) Nenhuma das alternativas anteriores é correta.
Polígono de forças da esfera E1:
P ~ triângulo
' J.../ eqüilátero
-~:lP
N4
p N1
N4
.Resposta: As reações das paredes nas esferas terão intensidades NI =
: 75 N, N2.= 50N, N4= 25 V3N
1. MEDICINA DE POUSO ALE-
GRE - Na figura ao lado, as
intensidades das forças de tração
T I e T2 nos fios deverão guar-
dar a seguinte relação:
a) TI =T2'
b) TI < T2 < P.
c) TI >T2>P.
d) TI =P cos 30° e T2=P cos 600.
e) TI =Picos 30° e T2=Picos 60°, P í,
~ .tI~
B"
ca,
P
d) 50 N.
e) 25 N.
~
~
22
7. PUC (SÃO PAULO) - Uma barra homogênea AB, de secção reta uniforme,
comprimento 1,2 m e peso 16 kgf, está suspensa, por meio de duas cordas
AC e DC de pesos desprezíveis, conforme indica o esquema. A intensidade
da força de tração em cada corda é de:
9. UNIVERSIDADE DE MINAS
GERAIS- Um corpo de 8,7 kgf
é suportado por duas cordas: MQ,
horizontal, e QN, que forma um
ângulo de 60° com a horizontal,
conforme indica a figura ao lado.
Sendo cos 30° = 0,87 e
cos 60° = 0,50, as forças que
agem ao longo das cordas valem:
a) FI = 5 N e F2= 8,5N.
b) F1= O e F2 = lOkgf.
c) FI = 8,5 N e F2 = 10N.
d) FI = 5 kgf e F2 = 10kgf.
e) FI = O e F2 = 8,5 kgf.
A B
d) 10 kgf.
e) 8 kgf.
a) 20 kgf.
b) I6 kgf.
c) 12kgf.
8. CESGRANRIO - Esta questão apresenta duas afirmações, podendo. a
segunda ser uma razão para a primeira. Marque:
~) se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda for uma justificativa
da primeira.
b) se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda não for uma justifi-
cativa da primeira.
c) se a primeira afirmação for verdadeira e a segunda afirmação for falsa.
d) se a primeira afirmação for falsa e a segunda afirmação for verdadeira.
e) se a primeira e a segunda afirmações forem falsas.
Querendo romper uma corda, dois garotos tentam primeiro puxá-Ia, cada
um segurando-a em uma de suas extremidades (fig. I). Não conseguindo,
prendem uma das extremidades da corda a um gancho fixo numa pare~e
e, os dois juntos, puxam a corda pela outra extremidade (fig. 11).
10. ENGENHARIA DE SÃO JOS~
DOS CAMPOS - A bola da
figura ao lado, suspensa por um
fio AC inextensível e sem peso,
apóia-se na parede vertical AB.
O ângulo DAC vale 30° e o peso
da bola é de 150 newtons. A
reação da parede tem intensidade
de aproximadamente:
a) 520 N.
b) 173 N.
c) 87.N.
d) 300 N.
e) Nenhuma das respostas ante-
riores.
Fig.1
l F;g.II .".~
!
.
~
~ ~~.,,]
11. FUVEST - Na figura, vemos
dois corpos 1 e 2, de massas
M1 = 2,0 kg e M2 = 4,0 kg,
respectivamente, ligados por um
fio que passa por uma roldana.
O bloco 2 está apoiado no solo.
Supondo-se a inexistência de atri-
tos e de outras massas, pergun-
ta-se quais são as intensidades das
seguintes forças: (g= 10 m/ S2)~.
1.a afirmação
A probabilidade de a corda
romper é a mesma nas duas
experiências.
2.a afirmação
Em ambos os casos, a maior
tração a que os garotos con-
seguiriam submeter a corda
é a mesma.
a) força de tração no fio f.
b) força exercida pelo solo sobre
o bloco 2.
porque
gj .tl~
~
Fi
A
~=.
~
~
~
24 ~ .tI~
12. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Um prisma de base hexagonal é colo-
cado, em equilíbrio, sobre os mesmos planos inclinados em duas posições
diferentes (I) e (11), como mostra a figura abaixo. Os dois planos são com-
~ --.
pletamente lisos, sem atrito. Sejam Fie F:.! as forças exercidas pelo plano-+ --.
AR sobre o prisma nos casos (I) e (11), respectivamente. e GJ e G2 as forças
exercidas pelo plano AC sobre o prisma nos cl\sos (I) e (11), respectivamente.
B - \B
c
-~II~
Com base nesses dados. analise as afirmações abaixo:
--. ~
I - As forças FI e G:.! têm direções perpendiculares.
- --.
II - O módulo de FI é maior do que o módulo de F:.!.
~ --.
III - O módulo de F2 é igual ao módulo de GI.
13. FEl - O sistema abaixo está em equilíbrio. Os fios são levese ás polias
A e R possuem massas MA= 1,00 kg e Mo = 2.00 kg, respectivamente.
O corpo C tem massa Mc= 5,00 kg e a aceleração da gravidade é g=
= 10.0 m/s2. As forças tensoras TI e T:,! valem, respectivamente:
TJ
a) 80.0 N e 70,0 N.
b) 80,0 kgf e 70,0 kgf.
c) 40.0 N e 70,0 N.
70,0 kgf.
35.0 N.
T2
d) 40,0 kgf e
e) 22,5 N e
14. FEl - Mediante uma força horizontal de intensidade F= 50 N. um corpo
de peso P= 120 N é mantido em equilíbrio sobre um plano inclinado que
forma um ângulo <I>com a vertical. A intensidade da reação normal exercida
pelo plano sobre o corpo e a tangente do ângulo <I>valem. respectivamente:
a) 70 N e 7/12. d) 130 N e 12/5.
b) 70 N e 12/7. e) 130 N e 5/12.
c) 170 N. e 12/17.
~
\
Q
15. MEDICINA DE SANTOS - Dois pontos materiais Pe Q de massas m e
m', respectivamente, estão unidos por uma corda que passa por uma roldana.
Os pontos mantêm-se em equilíbrio conforme mostra a figura abaixo. O pro-
duto das massas destes corpos é iguaL a 3 gramas; os ângulos <I>e6 valem,
respectivamente. 60° e 30°. Os ramos das cordas são paralelos às linhas de
deçlive dos planos. Os valores de m e m' são:
a) m = 31/4g e m' = 3a/4g.
b) m = 2 g e m' = 4 g.
c) m = m' = 1g.
. 16. MACKENZIE - O bloco de peso 10 kgf é mantido em repouso sobre
d) m = 31/2 g e
e) Faltam dados.
m' = 31/4g.
--.
o plano inclinado indicado na figura mediante a aplicação da força F, para-
lela à reta de maior declive do plano inclinado. O coeficiente de atrito
estáticp entre o plano inclinado e o corpo vale 0,5. A intensidade da for-
ça, em kgf, que satisfaz à condição do problema, é:
4m
3ma) 5.
b) lI.
c) 2 <; F <; 10.
17. FEI-MAUÁ - Um corpo de peso P= 50 N está apoiado num plano
inclinado que forma um ângulo de 30° com a horizontal. O coeficiente de
atrito estático entre o corpo e o plano é IL= 0,2. Um segundo corpo de
peso Q está preso ao primeiro por meio de um fio que passa por uma polia
sem atrito. Entre que limites pode variar o peso Q de forma que o sistema
permaneça em repouso? Poderá ser nula a força de atrito entre o corpo
e o plano inclinado? Justifique.
d) O <;F <; 3.
e) 5 .;;;;F <; 11.
Dados: sen 30°= 0,50; cos 30° = 0,87.
- . ''iII.~.iiiilitl'''~''""..'-- -
,4' g'j .tl n~26
18. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS - O sistema da figura está em equi-
líbrio. O que se pode dizer do coeficiente de atrito e.stático k?
't
21. ENGENHARIA DE SANTOS 0,
- No sistema' representado na
figura, FI =F2 = F. A força
equilibrante do sistema tem in-
tensidade:
a) 2F.
b) F/2.
c) FI V'L.
d) F \1'2.
e) Nenhuma das respostas ante-
riores.
-+
FI
'I~
-+
F2
\/
m:! = 100 kg "i
a) k = 0.3
b) k .;;;0,3
c) k .;;;0,5
d) k ;;;.0,5
e) k = 0,5
22. MEDICINA DE SANTOS - Assinale a alternativa errada:
a) Dado um ponto em equilíbrio sob a ação de três forças, qualquer delas
é resultante das outras duas.
b) A resultante de duas forças concorrentes pode ter intensidade igual à soma
das intensidades das forças componentes.
c) Dadas duas forças concorrentes em um pontoP, a linha de ação da re-
sultante delas também passa por P.
d) Uma das alternativas acima está errada.
19. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS (USP)- Dois corpos, A e B de mesmo
peso e superfícies desigualmente polidas, encontram-se em equilíbrio sobre
dois planos ortogonais entre si, conforme mostra a figura. Se inclinarmos
mais qualquer um dos, planos em r~lação à horizontal, o corpo itá se movi-
mentar sobfé' a linha de maior decltve do plano. Designando por I-1Ae I-1B
os coeficientes de atrito estático entre os corpos A e B e os respectivos pla-
nos de contato. podemosafirmar que:
,-,-"~~ ,,...~.::o.<,.,~,
a) I-1A= I-1B'
b) ~tA = tg 45°.
I
c) I-1A=-'
1-18
23. CESCEA - Uma esfera é presa pelo seu centro a fios inextensíveis, de mas-
sas desprezíveis, que passam por duas roldanas também de massas despre-
zíveis e livres de atrito. Na extremidade dos fios estão dois corpos de pesos
PI = 20 N e P:! = 10 N, conforme mostra a figura. O peso da esfera é
de 20 N e o sistema está em equilíbrio. Os valores do ângulo '<I>e da reação
do apoio sobre a esfera, que mais se aproximam dos valores corretos, são,
respectivamente: (Considerar sen 30°= 0,5; sen 45°= 0,7 e sen 60°= 0,9.)
. d) I-1A= 1-18sen <i>.
e) o ângulo <I>só pode ser de 45°. .j P1
20. ENGENHARIA DE SANTOS - A respeito da força equilibrante de um
sistema de forças concorrentes, podemos afirmar que:
a) seu sentido é sempre contrário ao da força resultante do sistema.
b) é sempre nula.
c) sua direção é sempre contrária à da resultante do sistema.
d) é sempre não-nula.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
Ij
P2
a) 30° e ON.
b) 30° e 12 N.
c) 45° e 18N.
d) 60° e 0,7N.
e) 60° e 2,5 N.
-
28
Este enunciado refere-se aos dois testes seguintes:
Um fio flexível passa por uma polia fixa e sustenta em suas extremidades
dois pesos, P e a. a pode deslizar sem atrito ao longo de uma barra
vertical.
a
.'
24. PUC (SÃO PAULO)- Na posição de equilíbrio, a força aplicada pela barra
sobre o anel Q é:
a) horizontal, orientada para a direita.
b) vertical, orientada para baixo.
c) vertical, orientada para cima.
d) horizontal, orientada para a esquerda.
e) inclinada em relação à barra.
25. PUC (SÃO PAULO)- Supondo <I>
equilíbrro, vale:
a) 1/2.
b) 2.
c) ,rm.
= 60°, a relação P/Q, na posição de
d) 2/ n.
e) t.
'.
~
1. b 2. TAD= 8kgf; TBD = 6kgf. 3.b 4. c
5. d 6. a 7. d 8. e 9. d 10.c
11. a1 Tr=20 N; b) N=20 N.
12. i - C; 11- E; 111- E.
13. e 14. d 15. a 16. e 17.0mfn= 16,3N; Om.tx= 33,7 N. A força de atrito
será nula quando O=25N.
18. d 19. c 20. a 21. d 22. a 23. e 24. a 25. b
-~
'I
I
I
I
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1
J.
J
I
,1
III
t
30
Momento escalar de uma força -.
Define-se momento escalar de uma força F. em relação a um
ponto O. como sendo o produto da intensidade F dessa força pela-.
distância d que vai de O à linha de ação de F (reta que define a direção
da força). acrescido de um sinal positivo ou negativo. Ou seja:
I MF(Ü) = ::t Fd I
.......
........
........
1
~
---------- lo
l
O momento escalar de uma força agen~e num corpo está asso-
ciado à tendência de rotação deste corpo, em relação ao ponto, devido
li ação da força. .
~ ~.tl
~
~
1.O ponto O é denominado pólo do momento,
2. A distância d é denominada braço do momento.
3. O momento associado à tendência de rotação no sentido horário será
admitido negativo. "-,
"-
~ ~"IM"o)<ol
oj G "
11
..
I
o momento associado à tendência de rotação no sentido anti-horário será
admitido positivo.
I MF(O} > 01
4. O momento de uma força será nulo quando o braço do momento for
zero (linha de ação da força passando pelo pólo).
o..,
".....
',~
I MF(O) = O I
5. No Sistema Internacional.o momento de uma força é medido em N . m.
O. Aplicações
Ilustremos algumas
de forças:
situações práticas onde ocorrem momentos
'I
~--
".' ,.....-
32 - - 1
r - I
~ .1 ~- ~-~{! 33
\i~ . \ ,1/'d \//. I \ ~- ------
I
161
e j
~~
o~
I
I
I
y:
/
/ J
d
L
Observe que quanto ma~or for' o braço do momento, mais facil-
mente obteremos a rotação desejada..
Ouando um corpo está submetido a duas forças com intensidades
iguais, mesmas direções, sentidos opostos e linhas de ação distintas.
dizemos que esse corpo está sob a ação de um binário.
I I .....
I I I FI'
I I - ,T.
.....
F2
I
1
..-~;
" - '--141"'/;Z
,
. -:::
7- -~ I FI =F2 =F I
EL/
Observe que a aplicação de um binário produz a rotação do corpo
sem causar aceleração de translação, pois a soma vetorial das forças
do binário é nula. A partir da figura acima, podemos escrever:
M
MFI \01 - + Fd
d
}
~ Mbinário = + 2Fd (sentido anti-horárioJ ~.
F..IOI-+F M FD d D 2d- ~ binário=+ ,on e =
~
O momento de um binário não depende do pólo escolhido. I: sempre
igual ao produto da intensidade de uma das forças pela distância
entre suas linhas de ação, acrescido do sinal relativo ao sentido
de rotação.
o.. Aplicações
Veja, agora, algumas situações
causadas pela ação de um binário:
práticas onde as rotações são
.
},t
I
I
~"
I
i
li
ltV
~- -'
L- $.~t~"'~
I
'34
-- ---
"'"
\. '-
?
~
(.,
,
"I'
,
/,
Vi'
Equilíbrio de um corpo rígido
Para que um corpo rígido. sob a ação de forças agentes num
mesmo plano, esteja em equilíbrio estático, é necessário e suficiente
que:
1) a soma vetorial de todas as forças agentes no corpo seja nula.
2) 'a soma algébrica dos momentos escalares de todas as forças em
.relação âo mesmo ponto (pólo), no' plano das forças. seja nula.
Em resumo:
-+ -+
Ir:! ~F='O
Equilíbrio estático de um corpo rígido+~MF(o) =O
~()
Se um sólido em equilíbrio estático está submetido somente à ação de
três forças coplanares, necessariamente as linhas' de ação dessas
forças deverão concorrer num único ponto ou serem as três paralelas.
i ~ .t! .
fN'~
.7'
N2
---=--=--- -
Isto se deve ao fato de que a soma algébrica dos momentos das forças
deve ser nula em relação a qualquer ponto do corpo no plano das forças.
. Alavancas- Alavancas são máquinas simples, constituídas
de uma única barra rígida, que pode girar em torno de um ponto fixo
denominado fulcro ou ponto de apoio.
~
~ fulcro~~. '.~~-~ ~
-
.
.
O ' .".
.. ~,
~~ n - . ~--
Pode-se realizar um trabalho com menor esforço quando se uti-
liza uma alavanca. Considerando-se o peso da barra desprezível em
relação às demais forças, as forças agentes na alavanca são:-+
. força resistente (R): força que se deseja vencer;-+
. força potente (F): força que .,0operador exerce na barra;-+
. força normal (N): força aplicada pelo apoio (fulcro).
a
@
7~;.--, ..,/
R
b
\
F
36 ~~ 37
Na situação de equilíbrio da alavanca, temos:
Inter-resistente - A resistência situa-se entre o fulcro e a po-
tência. Exemplos: carrinho de mão e quebra-nozes.-+ -+
1) 1:F = O=>N= R+ F
2) 1:Mp(o) = O=> +Ra - Fb = O=>Ra = Fb
Abaixo. vemos uma aplicação do equilíbrio de
COl'lstrução civil. fCi'.-r:
luma alavanca na
L ~-- -,I
~
o esqueleto humano é um conjunto de alavancas de todos os tipos, como
podemos observar na ilustracão:
- Classificação das alavancas- De acordo com a posição do
fulcro, em relação às forças potente e resistente, as alavancas se
classificam em:
Interfixa - O fulcro aitua-se entre a potência e a resistência.
EX4!mplos:tesoura, monjolo, balança de travessão e gangorra.
"\
toÁ' \
. ,,\)\
/
1
.
.
)'
( . .
\
F
, -,. ( fitL j j ,
~~~ - ;!j
resistência apoio
t' '
I ),.
!~
~~~
1r~
~ - ,,.)\
fulcro
alavanca Interpotente
. Tombamento de um sólido - Suponha um plano inclinado dE>
inclinação variável <1>,onde repousa um sólido, conforme mostra o
esquema seguinte.
\/ \
:c
B
Interpotente - A potência é aplicada entre o
têl1cia. Exemplos: pinça e pedal de acelerador.
r-- '\- ( ,
\~ ~
fui". ~ 1
fulcro e a resis-
1
..) R
...."'>
-".
.::;,o
-;:o;
O'J
I
I
j
figura 1 figura 2
Vamos supor também que <>coeficiente de atrito estático entre
as superfícies de contato seja elevado, de modo que não haja escor-
regamento do bloco sobre o plano.
A medida que formos variando a inclinação <I>no sentido indi-
cado, vamos aumentando as possibilidades de o sólido tombar.
/~
38
Agora, vamos estudar esse fenômeno. Quando o sólido está
apoiado sobre o plano, as forças N e P estão dispostas conforme
figura 1.
A medida que a inclinação do plano for aumentando, a com-
pressão do apoio tende a mudar sua linha de ação para a arestaAB
do sólido. Enquanto a linha de ação do peso P passar pela base do
sólido (segmento AD), não haverá tombamento.
Quando a linha de ação de P passar peloponto A, o sólido estará
no limite de tombamento (figura 2). Um mínimo acréscimo ao ângulo
de inclinação do plano será suficiente para o sólido tombar. No limite
de tombamento, podemos escrever:
AD b
tg <{I= - =>tg <{I= - (1 )
DC h
c
B
limite de tombamento
Conclusão:
-7
G Haverátombamento
~ ~ .tl
~
1.Baseado no que foi exposto, podemos entender o funcionamento do
brinquedo conhecido como. João-teimoso.. Esta teoria também é
fundamental na construção de Inclinações de acostamentos em trechos
retillneos de rodovias.
k,.:."X '1,
~"!í~f/ I
--
2.Quando se tem um conjunto de
blocos homogêneos dispostos
em uma pilha. o limite de
desmoronamento da mesma
ocorrerá quando a 'linha de
ação do peso dos blocos qu~
estiverem acima de outro passar
pela aresta deste. Observe os
esquemas abaixo. Nesses
esquemas. estudamos o equilíbrio
para uma pilha de três blocos.
. :lInha de açao
. r-- I '-/1 de:-:'1<.- P1,,"'" I ..........
~
~."'J?>
~
~~
aresta
Se os blocos são homogêneos, a linha de ação dos pesos
passará pelo centro geométrico dos blocos.
p;"equllibrlo ,,< // .,
de uma pilha
de blocos / "'t} .
homogêneos "" :íf/"'" :;,/,. .
'
i-1) "- .
g:; .tl~40
Q Complementos
1) Máquinas simples - Vimos que a alavancaé uma máquina
simples. Assim como ela, existem outras máquinas simples cuja
função é transmitir ou modificar forças: o plano inclinadoe as polias.
Em nossa análise, consideraremos tais máquinas como sendo
ideais (os atritos das polias serão desprezíveis e não consideraremos
as inércias dos fios e das polias).
Denomina-sevantagem mecânica de umamáquinasimples a ra-
zão entre as intensidades da força resistente e da força potente no
equilíbrio.
Sendo 'tF o trabalho realizado pela força potente e 'tR o trabalho
realizado pela força resistente, o rendimento de uma máquina simples
será obtido medianteo quociente I'YJ 'tR I'tp
2) Associação de polias- Na prática, é de grande interesse
associarmos polias fixas e móveis, a fim de conseguirmos mover
pesadas cargas com um mínimo de esforço. Apresentaremos, ainda
que superficialmente, algumas dessas associações:
I. ' ( .
Ou seja: IVM=+I
F
' ",
...;...,... ~- ..;.' ~ ~ ~-
i .L.:...1'.-~--~-~---
O plano inclinado tem grande aplicação no transporte de cargas pesadas (vagões
dI? mineração. caminhões de mudança), bem como em parques de diversões.
f~.
~
/
~
./ R
L_-
I I
--~I L- J
~/
.t*-'
~J.
/~J- ~
I
J. I
..~ .:..' "A,'''-
A polia ideal simplesmente modifica a direção da força de tração transmitida
pelo fio que a envolve.
--
- .. ~. "- - 1
"'\
J
42
- Moitão
r;=TI~
R
VM = - =>
F
~ 43
- Talha diferencial
I F= a 2a b RI
I VM= a2\ I
onde n é o número total de polias móveis.
I VM = 2nI
R
6
F
!F=/3=~1
I VM =2 . 3=61
- Sarilho - O sarilho é uma associação de máquinas simples. de
grande utilidade na exploração de poços de água em zonas rurais.
.~~-J'''.,,;~:-. L , . !líDillJilr~IL.ú.. . . -.
of.;;..~.;
- Talhaexpo encial
E:ERF = - . onde n é o número total de polias móveis.2"
VM =~=> I VM = 2°1
F
~~..
R
T
I F=+=~ I.
I VM= 28= 8 I
-;
/0,.
,'?
44 ..... ~ 45
Três forças atuam neste sistema: a força potente F aplicada na
manivela. a força resistente R agente na corda e a reação do
vinculo N.
Na situação de equiJíbrio. temos:
MR(o) + MN(O)+ MF(o)= O. ~ Rr+ O- Fb=O ~ Fb=Rr
I F ~ R I
R
Sendo VM= -, então
F IVM ~ I
- Corpo suspenso- Dizemos que um corpo suspenso por um de
seus pontos está:
. em equilíbrio estável, se o ponto de suspensão 5 se localiza
acima do centro de gravidade G do corpo (figuras 7 e 10).
. em equilíbrio instável, se o ponto de suspensão 5 se localiza
abaixo do centro de gravidade G do corpo (figuras 8 e 11).
. em equilíbrio indiferente. se o pontode suspensão 5 coincide
com o centro de gravidade G do corpo (figuras 9 e 12).
11,
JlS ..
~
Note que o sarilho funciona como uma alavanca interflxa de braços
desiguais.
GI
G
~ S~
w.
G=S
1
.
figo 7 {I
fig.8
flg. 9 .'
3) Equilíbrio dos sólidos
- Corpo apoiado - Dizemos que um corpo apoiado sobre uma
superfície está:
. em equilíbrio estável quando. levemente afastado de sua posição
de equilíbrio. volta a recuperá-Ia (figuras 1 e 4).
. em equilíbrio instável quando. levemente afastado de sua posição
de equilíbrio. não mais volta a recuperá-Ia (figuras 2 e 5).
. em equilíbrio indiferente quando, afastado de sua posição de
equilíbrio, ele retoma o equilíbrio em situação análoga à anterior
(mesmas forças e mesmo estado em relação ao apoio) (figuras 3 e 6).
s
Glp
flg. 10
Outros exemplos
G
!pS. 5 G
p
flg. 11
de corpos em equilíbrio
?
flg. 12
A
\
\
)
\
1IE~-9
~J;" . ~
,,(j,)
flg. 1
\
.\j
flg.2
--- :\-~/
. flg.3
equllfbrloestável
" -"'. L~
equilíbrio InstávelL' )&., ,.,/
I,.
Y~, ... .(j\( ';... .
fig.4
~
.~
{. .. '~~ ~) 'J l2.k /' ..~
...~-
- -- -J
flg.5 fig.6 equilíbrio Indiferente
--
~
46
e
Como percebemos, a posição do centro de gravidade de um
corpo rígido, em relação ao seu ponto de apoio ou de sustentação,
desempenha papel fundamental no estudo do seu equilíbrio.
Verifica-se que um corpo será tanto mais estável em seu equi-
líbrio quanto mais baixo estiver situado seu centro de gravidade, de
modo que a vertical baixada deste centro caia dentro de sua base
de apoio.
Compare a estabilidade dos móveis abaixo, quando ambos sofrem
a mesma inclinação:
~~
f/~.
~.
~J
...
'
.
;~ ~.
~I - - - ~",,",- ..J ".,//., r.~ -,~' -,.- 1
G mais baixo:
maior estabilidade
G mais alto:
menor estabilidade
4) Tensão normal e tensão de cisalhamento - Imaginemos uma-
. força'F aplicada à secção transversal de área 8 de um sólido pris-
mático. ~F
s
Façamos a decomposição desta força nas direções tangencial
normal à superfície de área 8, onde o esforço é exercido.- -
FN .- --/1- I FI II II I
I
J-
FT
s
-
O vetor-componente-normal FNpode realizar um esforço de tração
ou de compress~o.
Ao quociente entre a intensidade do vetor-componente-normal
(FN) e a área da superfície (8) denominamos tensão normal(aN).
o ~
Em slm~olos: ~
N
A unidade de aN no SI é -.
m2 -
O vetor-componente-tangencial FT realiza um esforço de cisalha.
mento.
Ao quociente entre a intensidade do vetor-componente-tangencial
(FT) e a área da superffcie (8) denominamos tensão de cisalha-
mento (C1T).
Em slmbolos: I GT ~ I
N
A unidade de C1Tno SI é -.
, m2
É comum se fazer confusão entre
tensão (grandeza escalar).
5) Deformação normal específica- Se o sólido prismático men-
cIonado no item anterior for uma barra de comprimento original L,-
" supondo que, sob a ação da força F, ela tenha se alongado ou encur-
tração (grandeza vetoria!) e
48
~ 49
tado de um comprimento ge intensidade ill, definimos como defor-
mação normal específica (e] a grandeza escalar ledLL I
A grandeza E é adimensional.
~r4.p,- 1--.
-",'" ",. I FT
.<: 1" I
I /'" 1ilL
E vem:
C1N= EE =>
FN ilL
=> - = E- =::::)
S L
SE
=> FN= -ilL
L
SE
onde - = K é denominada
L
constante elástica do sólido.
L
Assim, I FN =KilL I,que é a expressão mais conhecida da lei
de Hooke (a intensidade da força normal é diretamente proporcional
à intensidade da deformação). Entretanto. é bom ter em vista que, a
partir de um valor de intensidade da força normal. deixa de haver
proporcional idade entre FN e ill, ou seja, entre C1Ne E. A partir de
então. as deformações passam a ser plásticas (ramo ABdo gráfico).
6) lei de Hooke" - Hooke verificou experimentalmente que.
dentro de certos limites (regime elástico], havia uma proporciona-
lidade entre tensões normais (C1N)e deformações específicas (E).
Em símbolos:
I C1N= EE I
onde E é o coeficiente de proporcional idade. conhecido como módulo
de. Voung. E depende da natureza do material que constitui o sólido
prismático. .
Graficamente: . Tensãonormal(C1N)
.regime plástico
-#
1. CESGRANRIO- Querendo arrancar um prego com um martelo,
conforme mostra a figura. qual das forças indicadas (todas elas
de mesma intensidade) será mais eficiente?
A ~c~
r.~ ~. .<.,~
- "1
d) D
e) E
-
regime elástico C1N=EE
Deformação
específica (E)
o
.. Robert Hooke(1635-1703)- Físico, astrónomo e matemático .inglês. Estudou os
gases, o movimento planetário. descobriu a lei da elasticidade e a difraçãq da luz.
Estudou também fósseis .microscópicos e propôs teorias sobre a evolução das
espécies.
a) A
b) B
c) C
50
Resolução: Evidentemente, só as forças representadas por C, D e E
têm condições de arrancar o prego de maneira normal.
Aquela que apresentar o maior momento escalar em relação ao ponto
O (cabeça do prego) será a mais eficiente das três.
Como as intensidades das. forças são iguais, o maior momento será
aquele que possuir maior braço.
Observando. a ilustração abaixo, concluímos que o maior braço (dis-
tância do pólo à linha de ação da força) refere-se à força representada
por D (distância OP). B
A
Conclusão: A força mais eficiente, a que apresenta maior
escalar em relação ao pólo O, é representada pela letra D.
Resposta: alternativa d.
momento
2. CESCEA- A figura abaixo mostra duas massas M e 2M presas
aos extremos de uma barra rígida de comprimento d. Deseja-se
equilibrar o conjunto. apoiando-oem um ponto da barra, situado
a uma distância x da massa M. Qual deve ser o valor de x?
(M) (2M)
i -i~~ ~
'411 di.:
I I
I I
I. x ~
a) x = 2d/3
b) x = 3d/5
c) x =d/3
d) x =d/5
Resolução: Admitindo o peso da barra desprezívele estando o sistema
em equilíbrio, podemos escrever que a soma dos momentos das forças
agentes é nula em relação ao ponto de apoio O.
~ .tl~
N
d-x
x
G o ~I"..
P
d
2P
Ou seja:
~MF(ol = O
Do esquema acima, podemos escrever:
Mpw1 = +Px (sentido anti-horário)
M2PCO)= -2P(d - x) (sentido horário)
MNW) = O (momento tem braço nulo)
Assim, ~MF(o)= O implica em:
Px - 2P(d - x)+ O= O=>Px = 2P(d- x) =>
~
=> x=2d-2x=>3x=2d=> ~
Resposta: alternativa a.
3. UNIVERSIDADEDO PARANA- Na estrutura abaixo, o peso da
barra horizontal é 120 N. e o peso do bloco é 60 N. Sendo a=2 m
e a'= 0.50 m, as reações dos apoios A e B são:
-
I ~ i
I I
I I: t: I
I I
': I
" I
" ,' aO .1 ,
,. .,I a
I
I
I..
a) NA= 100 N
b) NA= 105 N
c) NA= 120 N
e NB= ao N.
e NB= 75 N.
e NB= 60 N.
d) NA= 130 N e NB= 50 N.
e) NA= 140 N e NB= 40 N.
52 gj .rJ~
ResoluçãO:
a) Estando o sistema em equilíbrio, a soma dos momentos das forças
será nula em relação a qualquer ponto no plano das forças. To-
memos, por exemplo, o ponto A.
Portanto, ~MF(A)= O.
NA
0A
E temos:
NA=120+60-75:::> INA=105N!
Resposta' alternativa b.
No 4. ENGENHARIA DE SÃO JOSÉ
DOS CAMPOS - Um I:;ioco
de massa igual a 240 kg está
suspenso, conforme é apre-
sentado na figura ao lado.
Considerando desprezível a
massa da barra AB, a força
de tração no cabo BC é 'de:
(,Admitir g = 10 m/s2 )
B
I ,P
: '
:' a : IP
I .1 t
I a/2: :
! ' '" ., '
I
a I
I
I
ti. .
Do esquema anterior, podemos escrever:
MNA (A) = O (braço do momento é nulo)
Mp(A) = -pa' (sentido horário)
a
Mp(A) = -P - (sentido horário)
2
MN 1\(A) = +Noa (sentido anti-horário)
Portanto, ~MF(A)= O implica em:
a a
0- pa' - P-+ Noa= O:::>Noa= P-+ pa'=>
2 2
P = 120N
P = 60N1 a'
=>No = - P+ p -, onde
2 a
Logo:
1/2
120+ 60 . - =>
2
1
No=-.
2
=> I No =75 N !
a) 3 000 N.
b) 3 200 N.
c) 1 800 N.
d) 4000 N.
e) Nenhuma dasanteriores
1
a' =0,50m=-m
2
Resolução:
a) Aplicando Pitágoras ao triângulo
(AB)2 + (AC)2= (BC)2
Logo:
(BC)2 = 162+ 122=
= 256 + 144=>
=> (BC)2= 400 => 12m
=>IBC= 20 mI
Assim, no triângulo CAB:
AC
sen IX=-=> sen IX=
BC
a=2m
- -
b) Como o sistema está em equilíbrio, temos ~F=O.
= ~=>lsenIX 3120 5
{
p = 120N
Logo,NA+ No'= P + p=> NA =,p + p - No, onde p= 60N
No=75N
-- - - -
2'm
v
I
,
I
/d
I
I,,,
A-:1
c
B
16m
240 kg
retângulo CAB, temos:
H
B
T'
16m
T'
o
P
54 ~ .tl~
Tsen IX
AD 3 d I 48 I
No triânguloADR, senlX=-~-=-~ d=-m
AB 5 16 5 H Tcos IX
b) Para facilitar o estudo das forças agentes no ponto A da barra,
decompomos a força de contato exercida pela parede em:
-.
V: vetor-componente-vertical;
-.
H: vetor-componente-horizontal.
Na situação de equilíbrio, ~MF(A)=O.
Observando o esquema das forças, podemos escrever:
MV(A) =O
MH(A) = O
MT(A) = + Td (sentido anti-horário)
MT'(A) = -T'(AB) (sentidohorário)
Então, ~MF(A)= O implica em:
T'(AB)
Td-T'(AB)=O~T'(AB) =Td ~ T=
d
J'
I
Portanto, a força de contato
de 3 200 N, horizontal.
Resposta: alternativa d.
p
total exercida pela parede na barra será
5. ITA- Uma escada AB. de peso desprezível. apóia-se no chão e
numa parede vertical. como mostra a figura. O ângulo da escada
com a parede vertical vale cI>e o coeficiente de atrito. nos dois
. apoios, é 1.1.= 0.5. Qual deve ser o ângulo cI>p~ra que um homem
de peso 80kgf possa subir até á metade da escada. sem que ela
escorregue?
P(AB )
Logo, T = , onde
d
P = Mg = 240 . 10 = 2400 N
AB = 16 m
48
d=-m
5
Como o bloco está em equilíbrio, T'=P.
Assim: T= 2400. 16
48
5
IT_4000N I
~
~
Resolução: Quando uma barra está apoiada contra uma parede, tendo
a sua outra extremidade apoiada no solo, devemos decompor as reações
dos apoios (parede e solo) horiz~ntal e verticalmente.
. -. -+
Observação: Na situaçãode equilfbrio da barra, temos ~ F = O. Decompondo
as forças agentes nas direções horizontal e vertical, temos:
-. -+ -+
Assim, a ação C1 da parede na barra será decomposta em H1 e VI,-+
obedecendo às tendências de escorregamentoda barra. A ação4 do
-+ -+
solo sobre a barra será decomposta em H2 e V2, observadas, também,
as tendências de movimento da barra junto ao solo.
Ao tomarmos o momento das forças agentes na barra, estando o sistema
em equilíbrio, devemos procurar fazê-Io em relação ao ponto onde
esteja concentrada a maioria das forças, pois, assim, os momentos
correspondentes se anulam (braço zero).
horizontal:H = T cos IX = 4 000 .~ = 3200=> IH = 3 200N I
20
3
vertical: V + TsenIX= P=>V = P - Tsen IX= 240 . 10- 4000. - =>
5
=>IV=ol
~
I
J
I ~ .rJ~56
N
(. +'\
\~
dJ ~
C1 I: I: I
~d:~--
1I I
I I
I d..!
p
Substituindp ~ e VI pelas igualdades correspondentes, encon-
H1
tradas nas expressões (3) e (5), vem:
:: =~ ~~ + ~) - ~ = ~ . ~ - ~ ~ = ~
dI 2~ 2 . 0,5 1Logo:-= = =
d~ 1 - ~2 1 - (0,5)~ 1 - 0,25
1 100 4 ~
0,75 = 75 =3=> ~
( 1 ~~2 )
Na situação de equilíbrio da escada, temos:
d
c) Observando a figura seguinte, podemos escrever tg <I>=~.
d2~ ~
a) ~F =O
Na direção horizontal, HI=H2 (1).
Na diteção vertical, V\ + V~ = N = P => VI + V~ = P (2).
Na iminência do deslizamento, sabemos que Adesl= tJ.N.
. H2
AssIm, VI = tJ.H\ (3) e H~ = [tV2 => V2 = - (4).
[l
H
Substituindo (3) e (4) em (2), teremos tJ.HI+ ::=P.
tJ.
HI f. 1)Substituindoél), vem tJ.HI+ --;-=P =>HI \~ +-; =P =>
"" I ~= ~+~ I (5).H\ [l
~) ~MF(o) = O
My\ (O) + MHI (P) + My2(0) + MH2(01 + Mp(o) = O=>
=> -VI dI - H1d2+ O+ O+ Pda= O=>VIdt+ HId2 =Pds (6)
Nas condições do problema, o homem atingiria o meio da escada no
instante em que as forças de atrito estático se tornassem máximas.
d
Como da= ~, podemos substituir, em (6):
2
dI
VIdI+H1d2=P -
2
4
Logo: tg <l>= - =>
3
=> I <I> = arc tg~ I
Resposta: O ângulo formado entre a escada e a parede vertical, para
4
que o observador consiga atingir o meio da escada, será <I>= arc tg -.
3
6. ENGENHAfUADE SÃO C~RLOS (USP) - Tem-se uma caixa de
fósforos de dimensões a, b e c, cujo centro de gravidade coincide
com o de simetria. Coloca-se um palito de fósforo (considerando
seu peso desprezível) entre uma das laterais da gaveta e a tampa
da caixa,como mostra a figura. Qual o maior comprimento L
do palito para que a caixa fique em equilíbrio?
=>HId2 = (: - VI) dI =>
d2 -=>--
dI
P
--VI
2
HI I d, 1 P V, I=> ~_~2' ~-~
a) a2/b
b) 2a/Vb
c) 2b/2
d) a/b2
e) Nenhuma das respostas anteriores.
58
Resolução: A situação-limitede equilíbrio ocorrerá quando a linha de
ação da força-peso passar pela aresta A.
b a
Neste caso, teremos tg (X=- (1) e tg (X=- (2).
a L
JI
b I
/ i --
/ J I -.....
I rp
/ . .'
L a (XI
b a
De (1) e (2), vem:- =-~
a L
:;r.--4I'
~
CTI
Resposta: alternativa a.
7. ITA- Uma barra delgada e homogênea está simplesmente apoiada
na parede, sem atrito, como mostra a figura. Para que o sistema
fique em equilíbrio, o fio deve ser ligado no ponto:.
14 1
12 ~I ,
3LI4 .1
-L
d) a.
e) R.
-I
a) p, a ou R.
b) a ou R.
c) P ou R.
Resolução:As forças agentesna barra são:
-+
peso (P), aplicada pela Terra, no centro de gravidade da barra, ponto Q;
-+
normal (N), aplicada pela parede, na extremidadeda barra e na direção
do seu eixo longitudinal;
-+
tração (T), aplicadapelo fio.
~
r
As forças peso e normal podem ser esquematizadas:
,..
------ ------+
-+
p
Na situação de equilíbrio, a soma dos momentos escalares das forças
agentes na barra deve ser nula em relação a qualquer ponto no plano
das forças. .
Portanto, em relação ao ponto Q, devemos ter ~MF(Q)= O.
O momento das forças peso e normal em relação a Q vale:
-+
MN1Q) = O (força N tem linha de ação que passa por Q)
-+
Mp,Q, =O (força P tem linha de ação que passa por Q)
Logo:
~MF1Q1= O~
~ MN(QI + Mp(Q) + MT(QI = O ~
~O+O+MT(o) = O
E vem:
MT(QI = O -+
Isto significa que a linha de ação da força T passa pelo ponto Q.
Logo, o fio deve estar ligado ao ponto Q.
8 Q-+
-+
p
Se o fio fosse ligado ao ponto P ou R, o sistema não ficaria em equi--+ -+
líbrio, pois os momentos das forças N e T seriam nulos em relação
a eles (linha de ação passando pelo pólo), mas o momentoda forçu
60
-+
P não o seria. A barra tenderia, então, a sair da posição horizontal,
desequilibrando-se, conforme vemos a seguir:
I)
~MF(p) =1=O, pois:
MTlP1 = O
MN(p) = O
~ ---.-------I
I
I
,
I +-+
~ L/4 I P
~ ':'
I '
L--p-
Mp(PI - 4
11),~
( ~MF(R) =1=O, pois:MT(RI =O
MN(RI =O-+P
I
I
{
L
Mp<R1= +p -
4L/4 "
Resposta: alternativa d.
Observação: O exercício anterior nos permite, então, concluir que: quando
um corpo rígido está em equilíb,'io sob a ação de três forças coplanares
não-paralelas, elas devem. necessariamente. ter suas linhas de ação
concorrendo num único ponto.
8. ENGENHARIADE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS- Utilizando uma
talha exponencial. é necessária a aplicação de uma força de
1 000 N para equilibrar um peso de 512000 N. O número de rol.
danas móveis da talha será de:
a) 4. d) 15.
b) 7. e) Nenhumadas respostas anteriores.
c) 11.
,
~ 61
Resolução: A relação entre a
intensidade da força potente
(F) e a in~ensidade da força
resistente (R) é dada por F=
R= -, onde n é o número de
2n
roldanas móveis.
Como F= 1 000 N e
R = 512 000 N, temos:
R
F=-~
2n
roldana
fixa
\ . F=1000N
~~
~
J
~ I~'
, J)~ movels~ 1000= 512000 ~
2n
=> 2n= 512
Como 512 = 29,decorre 2n= 2°.
Logo: In=91
R=512 000 N
Resposta: alternativa e.
-+
1. EPUSP - No esquema abaixo, o módulo do momento da força F, em rela-
ção ao ponto O, é. M. Gira-se, no plano da figura, o segmento representa-
-+
tivo da força F de 60° em sentido anti-horário, em torno de seu ponto de
aplicação; inverte-se seu sentido; quadruplica-se seu módulo e seu ponto
de aplicação é levado ao ponto médio do segmento
~m ~o. ~d,m~:~~~~~U~' JF
O P
OP por translação.
62
a) o momento muda de sinal, mas não de módulo.
b) o momento muda de sinal e seu módulo passa a VJM.
c) o momento muda de sinal e seu módulo passa a 2M.
d) somente com estes dados não se pode determinar o
e) Nenhuma das respostas anteriores.
2. MEDICINA DE SANTO AMARa - A respeito de um binário ou con-
jugado, podemos afirmar que:
a) tem resultante nula.
.b) sua resultante produz uma rotação no corpo sobre o qual atua.
c) não tem resultante:
d) há uma força que, atuando sozinha sobre um corpo livre, produz o mesmo
efeito que um binário.
e) não se pode dizer nada a seu respeito.
3. MEDICINA DE SANTO AMARa - A figura abaixo indica um binário
e um ponto O.
~
IF: I
1 d PI P] -- o)
orm--I~J--Li -
I I
I I
I I
I d2 I
,- ",1
, :
novo momento.
Temos, então, que o momento do binário em relação ao ponto O será:
a) zero. -+ -4
b) Mbin= IFI I . di + IF2 I . d2.
~-4 -~ -4
c) Mbin= \1FI I + I F2 IJdl/\ FI I.-4
d) Mbin= IF2\ . d.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
4. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS (USP)- A figura abaixo mostra um
quadro pendurado em uma parede. Admitindo que o fio é ideal e que o
quadro é retangular e tem o centro de gravidade coincidente com o centro
geométrico, podemos afirmar que a força exercida sobre a parede, no ponto
P, é representada pelo vetor:
a) 1
'l
b!
e) 1
c) ..
l tl?tj~. .
O enunciado que segue refere-se às duas questões seguintes:
l A figura abaixo representa uma barraAB de massa desprezível, apoiada
I sem atrito em C. F:
I
5
que a barra não sofra translação na sua direçãoS. MACKENZIE - Para
5, devemos ter:
a) FI cos <I>= F2..
b) FI = F2 cos <1>.
c) FI cos <I>= F2 sen <1>.
6. MACKt::NZIE- Para que a barra não sofra rotaçãoem torno de C, deve-
mos ter:
a) FI =F2.
b) FI sen <I>. AC - F2 COS<I>. CB= O.
c) FI COS <I>= F2 sen <1>.
d) AC . sen <I>= CB . cos <1>.
e) Nenhuma das anteriores.
d) FI = Ficos <1>.
e) FI sen <I>=F2 COS <1>.
7. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS- Dois meninos A e B estão equi-
librados numa tábua de peso desprezível, apoiada em C, conforme a figura.
\. 2m ~. 3 m -I
!>: ~~
'fI'
,7,
~ :: ,C-i--;:'~r;' /'~:.;::. :::-,..:r~"""L. .;;:,~ "-;":-J ~ .,;;.;~ "?:'~~"":"0':b'7 ;;':':.:: :.,;"../y~~~1
Se o menino A pesa 30 kgf, para que haja equilíbrio o menino B deverá pesar:
a) 10 kgf. d) 40 kgf.
b) 20 kgf. e) 60 kgf.
c) 30 kgf.
64 gj .fl~
8. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS- Uma vassoura é suspensa pelo seu
centro de gravidade, como indica a figura, permanecendo na posição hori-
zontal. Cortando o cabo no ponto de suspensão e medindo o peso das duas
partes obtidas, observa-se que:
10. UNESP - O sistema da figura abaixo é leve e suporta a carga Q, em
equilíbrio. Com base nessa afirmação. assinale a alternativa correta.
A c
~ .
.
~
.
'-
l
~ ~.
l
rl - " - ~,..
a) as duas partes têm mesmo peso.
b) a parte que contém a vassoura é a mais pesada.
c) a parte que contém somente o cabo é mais pesada do que a que contém
a vassoura.
d) a parte que contém a vassoura pode pesar mais ou menos que a parte
que só contém o cabo.
e) o fato de a vassoura conservar-se na horizontal indica que a gravidade é
praticamente nula no local da experiência.
'!:'
,'0
9. MACKENZIE - Uma pessoa de peso P desloca-se ao longo de uma
prancha rígida, apoiada em duas paredes verticais paralelas, separadas por
uma distância d, como mostra a figura.
a) A barra BC sofre e exerce forças maiores do que Q.
b) A barra AC é comprimida.
c) A barra BC é tracionada.
d) Em caso algum as forças suportadas por uma barra podem superar
a carga Q.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
11. FEl - A figura mostra uma viga homogênea, prismática, disposta hori-
zontalmente, apoiada num cutelo em C. e suspensa em A por um fio ver-
tical. Sendo o peso da viga igual a 150 N, determinar a tração no fio AB.
,_.~:
"1
.
- -,~- - 17
. .. x !
A I I 18
;4 d '1
Ao passar de um extremo ao outro, o esforço E sobre a parede A, des-
prezando-se o peso da prancha, varia de acordo com o diagrama:
E iE
8
I- L/4 I
, I
A
a) b)
! (\ L i
I. .1
12. MEDICINA DE POUSO ALEGRE - Para sustentarmos, em equilíbrio,
uma carga de 20 kgf, suspensa no ponto médio de uma alavanca homo-
gênea horizontal com 10 kgf de peso, articulada em A, conforme mostra
a figura. devemos fazer uma força F de:
o.......
, x 01
\ I
F
d
I X
I
C)h
-
H
d IIi
d)
A
I
I I
I I
01
I I
01/I I
x
I '"
d d . .-
I x a) 10 kgf.
d d
.-
2 2
b) 15 kgf.
d) 30 kgf.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
c) 20 kgf.
e) 60 kgf.
66
A barra AB apresentada na figura abaixo tem peso desprezível e está presa
a uma parede vertical. mediante um fio inextensível CD. e a um pino
colocado na extremidade A. A barra sustenta um corpo de peso P = 100 N.
preso à extremidade B. São dados AB = 6 m e BC = 2 m. Este enunciado
refere-se às três questões seguintes:
D
A
intensidade da força de tração no fio CD vale:
d) 150 V2N.
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
13. FEl - A
a) 100 N.
b) 50 Y6N.
c) 150 N.
14. FEl - A reação em A tem a direção indicada na figura:
O
(11)
D
(IV)
a) I.
b) 11.
c) m.
d) IV.
15. FEl - Para que a reação em A tenha a direção da barra, o fio de sus-
pensão do corpo deve ser preso no ponto:
a) A. d) médio da barra.b) B. e) Nenhuma das alternativas anteriores.
c) C.
.I
~ .tI~67
16. MEDICINA DA SANTA CASA - Duas polias concêntricas, presas a
um mesmo eixo, têm raios de 20 em e 40 em. Quatro cordas, A, B, C
e D, estão enroladas nas polias, de modo que A e B, quando traciona..
das, giram as polias no sentido anti-horário, enquanto que C e D as giram
no sentido horário. Uma pessoa de 60 kgf quer levantar uma carga de
100 kgf. A melhor maneira de satisfazer o seu desejo é'
I
I
I
I
I
I
I I :
I I I
" I
I I I
I I . I
A B C D
a) puxar pela corda A, o corpo preso na corda C.
b) puxar pela corda B, o corpo preso na corda D.
c) puxar pela corda A, o corpo preso na corda D.
d) puxar pela corda C, o corpo preso na corda B.
e) O homem não é capazde levantar o corpo de forma
que seja a combinação acima utilizada.
alguma, qualquer
17. MACKENZIE - Um tubo homogêneo étransportado na posição hori.
zontal por três homens A, B e C. O homem A segura o tubo em uma
extremidade e os outros suportam-no através de uma viga transversal,
muito delgada, de modo que a carga seja igualmente dividida entre os três
homens. Desprezando o peso da viga,a distância X, em. função dos com-
primentos indicados na figura vista na planta, vale:
r -1-
x
ao .~~.
...L.,c
I ;. I
: " ,L
1- - - :. __I
V ! . V
- .1.- - -.- - - --
a) Y.
b) 2Y.
c) L/4
d) LI2.
e) LI3.
A
D
(I)
A
O
(111)
A
68 ~ 69
18. MEDICINA DA SANTA CASA - A barra da figura pode girar livre-
mente em torno do eixo fixo S. Um corpo de massa M= 100 kg é pendu-
rado na extremidade R da barra, que é mantida na 'posição horizontal através
de um dinamômetro preso no ponto O. O ponto O é tal que OS= 10 em
e OR = 40 em.
Desprezando o peso da barra e considerando a aceleração da gravidade
g = 10 m/s~, o d;namômetro, na vertical, deverá marcar, aproximadamente:
22. PUC (SÃO PAULO) - A tesoura é uma combinação de duas alavancas:
a) interfixas. d) uma interfixa c outra inter-resistente.
b) inter-resistentes. c) uma interfixa c outra interpotente.
c) interpotentes.
a) 20 N.
b) 25 N.
c) 80 N.
d) 500 N.
e) 5000N.
Uma barra rígida, com peso desprezível, articulada em A e apoiada em O,
sustenta. na extremidade B, um peso P= 100V3N. As distâncias
AO e OBvalem, respectivamente,60cm e 40cm. O ângulo cI>mede 30°.
Este enunciado refere-se às questões de 19 a 21.
R
23. MEDICINA DA SANTA CASA - Normalmente, os objetos esquemati-
zados abaixo funcionam, respectivamente, como alavancas de que tipo?
X. . /~ -!) 7~_A". ~~. (tp/~
tesoura carriola quebra-nozes pinças .
10cm
:0
I, 40cm
a) Interfixa, interpotente, inter-resistente e inter-resistente.
b) Interpotente, interpotente, interpotente e interpotente.
c) Inter-resistente, interpotente, interfixa e interfixa.
d) Interfixa, inter-resistente, inter-resistente e interpotente.
'e) Nenhuma das respostas anteriores.
d) 250 N.
e) 500 N:
a) I
b) II
~III
d) IV
e) V
25. ITA - Três blocos cúbicos iguais, de arestas a, estão empilhados, con-
o forme sugere a figura. Nessas condições, a máxima distância x para que
ainda se tenha equilíbrio é: a
24. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS (USP)- A barra rígida e homo-
gênea MN da figura abaixo pode girar, sem atrito, em torno do pino M,
apoiando-se no degrau, em O. Qual das cinco setas desenhadas pode repre-
sentar a força exercida pelo pino M sobre a barra?
\~t~IV
y
B
A
!..-,- f . ~x
19. PUC (SÃO PAULO) - Nestas condições, a reação desenvolvida no ponto
de apoio Q tem intensidade:
a) 100 N.
, b) 125 N.
. c) 100 V'J"N.
20. PUC (SÃO PAULO) - A
a) 100N.
b) 125N.
c) 100 V'J"N.
21. PUC (SÃO PAULO) - A reação vertical em A. tem intensidade e sen-
tido dados por:
a) 25 V'J"N, para cima.
b) 25 V'J"N, para baixo.
c) 100 VTN, para cima.
~v
reação horizontal em A tem intensidade:
d) 250 N.
e) 500 N.
a
d) 100 V1"N, para baixo.
e) 250 N, para cima.
a) a/2.
b) (7a/8).
c) a.
d) (11a/12).
c) (3a/4).
I
I
I
i
x --.i
I
70 ~ 71
26. UNIVERSIDADE DO CEARÁ - Um cilindro de raio R apóia-se, por
uma de suas bases, num plano inclinado de 45° em relação ao plano
horizontal. Despreze a força de atrito. Para que o cilindro possa deslizar,
sem tombar, sua altura máxima H deverá ser igual a:
~2~ ~3V~
b) R. d) R/2.
28. CESCEA - Qual a condição
derrape na curva descrita?
a) V:!/r> I-Lg
b) V:!/r:! > I-Lg/h
29. CESCEA - Qual a condição
capote na curva descrita?
a) V:!/r > g
b) V:!/r:! > g/h
necessária para que o carro em questão
c) V:!/r> I-LgLl2h
d) Nenhuma das respostas anteriores.
necessária para que o carro em questão
27. CESGRANRIO - A figura representa uma escada apoiada em uma parede
e duas das forçasque atuam sobre ela: o peso P e a força F exercidapela
parede. F
c) V21r> gLl2h
d) Nenhuma das respostas anteriores.
k ~
'", ',',
1 '" BCD
i '
r
"": '", " ,
I "I ,
I A - ,'---
30. CESCEA - Sabendo-se que o carro não conseguiu completar a curva, é
verdade que:
a) se I-L< L/2h, o carro capotou.
b) se I-L> Ll2h, o carro capotou.
c) se I-L> Ll2h, o carro derrapou.
d) Nenhuma das respostas anteriores.
31. FAAP - Na figura, o bloco A está em equilíbrio estático. pesa 173 N
e o coeficiente de atrito entre ele e o plano inclinado é 0,5. A barraBe
tem sua extremidade B presa à corda que está atada em e. Um peso D
de 15N pode se movimentar sobre a barra, que tem 20 cm de compri-
mento. Desprezando os pesos da barra e da corda, bem como o atrito na
polia, determinar a posição do peso D em relação à extremidade B da
barra para que o bloco A fique na iminência de descida.
Entre os cinco segmentos propostos a seguir, qual representa a força exer-
cida pelo chão sobre a escada, para que ela permaneça em equilíbrio?
l_- x .-.1
d) D
e) E
c
~
~20 em-- ..r
B D
a) A
b) B
c) e
~
'.'
A figura abaixo representa um carro de massa M em movimento sobre
uma pista perfeitamente horizontal. O centro de gravidade (G) do carro,
eqüidistante das quatro rodas, encontra-se a uma altura h acima da
pista. e a distância entre as rodas de cada eixo é L. Numa curva de raio
r, o carro entrou com velocidade V, considerada excessiva. O coeficiente
de atrito entre os pneus e o asfalto é I-Le a aceleração da gravidade
local é g.
1 y'j
Dados: y'j =1,73; sen 30°=- ecos 30°=-.
2 2
32. ENGENHARIA DE SÃO JOS~ DOS CAMPOS- A magnitude da força
mínima Fmín, aplicada ao ponto e do cilindro de peso G= 1 000 N e raio
r = 15cm, mostrado na figura abaixo, capaz de fazê-Io passar sobre o
obstáculo D, de altura h= 3 cm, ~erá, em newtons:
h
h
L
Esteenunciadose refereàs questões de 28 a 30.
11'
a) 2 000.
b) 1667.
c) I 250.
d) 600.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
.....
G
72
33. ENGENHARIA DE SÃO JOS~ DOS CAMPOS- Uma barra prismática
delgada AD, de peso Q e comprimento 2a, está apoiada, sem atrito, sobre
um pequeno cilindro em D e encostada a uma parede vertical lisa, como
ilustrado na figura. O ângulo que a barra fará com a horizontal, quando
em equilíbrio, será dado pela expressão: .
.. B
A"
d) <I>=arc sen [(a/ Võ)].
e) Nenhuma das respostas anteriores.
a) <I>=arc sen [(b/ a)2].
b) <I>=arc cos [(a/b)!!a].
c) <I>=arc tg (b/a).
34. ENGENHARIA DE SÃO JOS~ DOS CAMPOS- Desprezando o peso
próprio da viga horizontal AB da figura, resultam forças n~s barras arti-.-.
culadas AD, AE e DC, quando atua na viga uma carga vertical P. As
magnitudes das forças que atuarão em cada barra, AD e DC, respectiva-
mente, serão:
.. - a .-.p
B
.~ . 'i!:J.t!~
35. MACKENZIE - No dispositivo indicado na figura, a barra e os fios têm
pesos desprezíveis. No instante t= Os, o registro é aberto e começa o
escoamento de água para o balde, com vazão constante de 5 litros por
minuto. O balde está, inicialmente, vazio e pesa 5 kgf. A tração de rup-
tura do fio horizontal é de 20 kgf, e o peso específico da água é de 1 kgf
por litro. O tempo gasto para a ruptura do fio horizontal é:
articulação
a) 6 minutos.
b) 5 minutos.
c) 4 minutos.
d) 3 minutos.
e) 2 minutos.
36. FEl - Um portão homogêneo de espessura constante e peso P= 600 N
está montado conforme indica a figura, sendo desprezíveis os atritos em
seus apoios. Determinar a intensidade das reações nos apoios.O,1m O,am
1"-'1-- --"'I
~
.J..~IN. - -ti
37. FEl - Uma prancha AD encontra-se em equilíbrio na posição horizontal,
suportando as massas ml e m~= 0,5 kg. na posição indicada na figura.
Num determinado instante, a massa mI começa a se deslocar em direção
à extremidade A, com velocidade constante V I= 12 cm/s.
j.o 0,5 m--f.o 1,5m -f.
ml
B
,
M
AI -
a) Determinar o valor da massa mI.
b) Determinar a velocidade da massa ~ e o sentido em que ela deve se
deslocar, de modo que a prancha AD permaneça na posição horizontal.
.L-_
. b I
P(b - a) Pb P(b - a) Pa
a) ; - d) ; -
2b cos <I> a 2b cos <I> b
b)
P(b - a) Pa
; - e) Nenhuma das respostas anteriores.
b sen <I> b
c)
P(b - a) P(a - b)
;-
b cos <I> b
T
i ..:a.L......
T
I
I
el
IC'!. I
74 ~
38. FAAP - O sistemaesquematizadoestá no plano vertical e em equilíbrio
na posição indicada. A barra AD é homogênea e uniforme e o seu extre-
mo A está apoiado no plano horizontal liso. A mola presa ao ponto B
da barra está disposta de modo que o seu eixo se mantém na direção da
perpendicular à barra. O fio que passa pela polia ideal e que tem uma
das extremidades presa à barra em C e a outra presa à partícula de peso
200 v'T N é ideal, e no trecho CE se mantém horizontal.
Sabendo-se que a constante elástica da mola é 2 000 N/ m e que AB=
= BC = CD, determinar:
D
1
42. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS. CRUZES- Uma pessoa pode erguer
um corpo de massa 50 kg. Se ela quiser suspender um Scania Vabis
(caminhão) carregado, de 51,2 toneladas, com uma talha exponencial, esta
deverá ter, no mínimo: (Admita a massa da talha desprezível.)
a) 100 polias móveis. d) 10 polias móveis.
b) 50 polias móveis. e) Nenhuma das respostas anteriores.
c) 20 polias móveis.
43. MEDICINA DE SANTO A~ARO - Empregando-se uma talha expo-
nencial para levantar uma carga de 192 kgf, devemos empregar uma po-
tência de 6 kgf. O número de polias móveis da referida talha é:
a) 5. d) 8.
b) 6. e) Nenhuma das anteriores.
c) 3.
'1;'.(,;) I{
E
44. CESCEA - Estão esquematizadas, nos desenhos abaixo, diversas máqui-
nas simples. Indique aquelas em que a força (F) aplicada é menor do que
o peso a ser levantado (P), nas condições especificadas nos desenhos (figu-
ras I. 11. m. IV, V, VI, VII).
r2 ~
p~/.1Fpr~
(I)
A
f. ., I~ ~,
a) o c0!11primento correspondente ao alongamento da mola.
b) o peso da barra.
39. MEDICINA DE SANTOS-
a) energia.
b) potência.
c) força.
Máquina simples serve para multiplicar:
d) trabalho.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
r2 > r1
;4'"/~...
(IV)
40. UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA - Em uma máquina, a razão
entre a força resistente e a força motriz recebe o nome de:
a) rendimento. d) vantagem mecânica.
b) trabalho passivo. e) Nenhuma das respostas anteriores.
c) trabalho resistente.
41. UNESP - Mediante certa máquina simples, alça-se lentamente uma carga
Q, exercendo força de acionamento F. Os correspondentes percursos são
q e f.
a) Vantagem mecânica ideal é a razão Q/F.
b) Vantagem mecânica real é a razão f/q.
c) No arriamento da carga, é concebível que a força de acionamento seja
F (a mesma).
d) Havendo atrito, não há conservação de energia.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
a) n. v. VII.
b) I, 11. V,
(11) (111)'
F
F
r2 = rJ
p ~~
~ilt' rJ = r2
F
p
. ,~~. --(VI)T~;f
;; "
r~'1 " ~ "
~ '>p ~~~ r1
">" p~F
-<.. -. . J. "'~ 7'('",'
r1 > r2 " ~(VII)
c) I, IV, VI.
d) m. VI. VII.
76 ~ .tI~
45. MEDICINA DE SANTO AMARO - Na figura, a potência aplicada vale:
~
a) O equilíbrio é instável.
-+ -+ ~
b) ~ preciso ser Q + F = O.
c) Em relação ao eixo do sarilho, o
momento de F é bF horário.
d) O equilíbrio requer F= Q.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
momento de Q é rQ anti-horário, e o
49. FMU - Um corpo ocupa as posições A, B e C sucessivamente. Neste
caso:
a) P =R/2n.
b) P =R.
c) P = R"/2.
I R
d) p=-.-.
2 2"- 1
R
~e\ P= -2"+ 1
n =número de
A
(,
( ,~
(-)
polias móveis. B
\. $)
46. MEDICINA DE SANTO AMARO - Na questão anterior, a vantagem
mecânica será:
a) l.
b) 2 cos <1>.
c) 2.
47. UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA - Para' levantar um peso de
200 kgf, faz-se uso de um moitão ou cadernal; a força motriz necessária
é igual a: (O moitão tem 2 polias móveis.)
a) 100 kgf. d) 200 kgf.
b) 150 kgf. e) Nenhuma das respostas anteriores.
c) 50 kgf.
d) 2n.
e) 2".
C
a) o corpo está em equilíbrio em A, B e C. '
b) afastado ligeiramente da posição A e depois largado, não volta ao equi-
líbrio.
c) afastado ligeirameqte da posição B e depois largado, volta ao equilíbrio.
d) afastado ligeiramente da posição C e depois largado, rola continuamente.
e) afastado ligeiramente da posição representada e depois largado, em cada,
uma das situações, se comporta de modo igual.
50. CESCEA - Em duas barras metálicas de comprimentos LI e L2 (L2 > LI),-
fixas em uma das extremidades, aplicam-se forças iguais às extremidades
livres. Supondo essas barras de mesma secção e constituídas de mesmo
material, podemos afirmar que:
48. ENGENHARIA DE SANTOS - O sarilho 'esquematizado é leve; o atrito
é desprezível; b= 2r. A carga Q é equilibrada pela força de acionamento
F, sendo <I>= 30°.
A'
)~
~ :.r< ."
LI
1 ~F
o
L,!
fi ---J. ..,.F
a) o aumento de comprimento da barra LI é maior do que o aumento de
comprimento da barra~.
b) o aumento de comprimento da barra LI é menor do que o aumento de
comprimento da barra~.
c) os aumentos de comprimento são iguais.
d) Nenhuma das alternativas anteriores.
78
51. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS- Np esquema anexo, representam-se
dois cubos maciços de ferro, Cl e ~, com arestas a e 3a; eles estão sus-
pensos eql repouso por fios de náilon cujos diâmetros são d e 2d e cujos
comprimentos são L e 2L. A relaçãoR2/Rl das reações nos apoios A2
e Al é:
AI A2
L, d 2L, 2d
a n , CI
d) 6,8.
e) 27.
a) 3.
b) 9.
c) 18.
52. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Retomar o enunciado anterior. De
acordo com a lei de Hooke, a relação x2/ XI entre os alongamentos dos
fios 2L e L respectivamente, deve ser da ordem de:
a) 3. d) 27.
b) 7. e) 54.
c) 14.
~
1. a 2.a 3.d 4. b 5.c 6.b 7.b 8. b
9. a 10. a 11. T=50 N, vertical, dirigida para baixo. 12. b 13. b 14.d 15. c 16. a
17. c 18. e 19. d 20. b 21. b 22. a 23. d 24. c
25. e 26. a 27. b 28. a 29. c 30. b 31. x ~4,4 em 32. d
33.+ =areco. (+):)
34. d 35. d 36. dobradiça superior: FI=250 N (horizontal);
dobradiça inferior: F2= 250 N (horizontal), Fa=600 N (vertical).
37. a) 1,5 kg; b) 36 cm/s no sentido de M para B.
800 .
38. a) X= 0,20m; b) P = - N. 39. c 40. d 41. a 42. d 43. a 44. c 45. d
3
46. e 47. c 48. e (NO equillbrio, ar=F+.) 49.a 50. b 51. e 52. c
PARTE11 .
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HIDROSTATICA
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rre55ãoexercido
por umLiquido
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I
I
I.
I
I
I
Conceitos iniciais
Fluidostática é a parte da Mecânica que estuda o comportamento
de um líquido ideal ou gás ideal em equilíbrio, bem como o com-
portamento de corpos que estejam em contato com ele.
A Hidrostática constitui um caso particular da Fluidostática e
estuda o comportamento de uma porção de líquido ideal em equi-
líbrio e dos corpos nele imersos.
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Um líquido ideal se caracteriza por ter .volume definido, ser
incompres'sível e não apresentar viscosidade. Devido a sua estru-
tura molecular, adapta-se aos contornos dos recipientes que o con-
têm, não apresentando, assim, forma determinada.
. Densidade - Densidade absoluta (ou massa específica) (tJ.) de
uma substância homogênea é o quociente entre a massa (m) de uma
porção qualquer desta substância e <>seu correspondente volume
(V), a uma dada temperatura.
I tJ. ~ I
Em símbolos:
o conceito de densidade pode ser estendido para um corpo.
Diremos que a densidade (d) de um corpo é o quociente entre sua
massa (m) e o correspondente volume externo (Vext).
, ~Em slmbolos: d=-V.xt
- Unidadesde densidade- No SistemaInternacional de Unidades,
temos:
para m= 1 kg e V= 1 m" -+ tJ.(ou d)= 1~.m3
No Sistema CGS, temos:
para m= 1 g e V= 1 cm" -+ tJ. (ou d)= 1
g
cm3
.1" No Sistema Técnico, temos:
para m= 1 utm e V= 1 m3 -+ tJ. (ou d)= 1 m3
utm
Noteque: l' g. =10'~1cm3 m3
I ~
~lLiúéa-'" 83
- Densidades aproximadas de sólidos. e líquidos
~/J
A densidade absoluta de uma substância nem sempre coincide
com a densidade de um corpo formado por aquela substância. Um
exell'lplo: pela tabela anterior. vemos que a densidade absoluta do ferro a
20° C é de 7,800g/cm3; entretanto. uma esfera oca de ferro, com massa
de 1 kg e raio externo de 10 em, possui uma densidade da ordem de
0.25 g/cm3, e flutua em água.
Essa diferença é devida às partes ocas do corpo. não ocupadas pela
substância. O mesmo ocorre com um navio feito de ferro.
A densidade de um corpo só coincide com a densidade da substância,
da qual ele é feito quando o corpo é maciço.
. Peso específico de uma substância - Define-se peso específico
(p) de uma substância como sendo o produto da densidade absoluta
(tJ.)pela aceleração da gravidade local (g).
Em símbolos: I p= tJ.gI
. Pressão exercida por uma força
- Pressão média - Define-se pressão média (pm) exerci da por uma
força normal sobre uma superfície como sendo o quociente entre a
intensidade da força normal (F) e a área da superfície (5).
Sólidos Densidades (g/cm3)
alumínio (200C) 2,65
cortiça (200C) 0,24
ouro (200 C) 19,32
gelo (00 C) 0,917
ferro (200 C) 7,80
madeira (200 C) 0,50
cobre (200C) 8,93
Líquidos Densidades (g/ cm3)
álcool (200 C) 0,789
glicerina (200C) 1,26
mercúrio (200C) 13,600
querosene (200C) 0,820
gasolina (200C) 0,790
água pura (40 C) 1,000
água do mar (200 C) 1,030
84
-
lã
~~~ 85
Em símbolos:
I pm : I
t.~
\\
~ . .-';)
~
. <j!<'
J r4'
~/
:~r
.. ,~. ~~-
')~ "
~
Se fizermos esta área S ao redor do ponto A tão pequena quanto
possível, isto é. .tendendo a zero (S ~ O), teremos o que se conven-
ciona chamar de "pressão no ponto A" (PA).
Em símbolos: PA= lim Pm= lim i.
s~o s~o S
v/
(ir
#
- Pres~ão uniforme - Quando todos os pontos de uma superfície
estão submetidos à mesma pressão, dizemos que a superfície está
a uma" pressão uniforme". Neste caso, a pressão em cada ponto
(p) coincide com a pressão média na superfície (Pm).
Em símbolos, pressão uniforme ~ Ip = pmI
. Unidades de pressão - No Sistema Internacional de Unidades.
temos:
N
para F = 1 N e S = 1 m2 ~ p = 1- = 1 pascal (Pa).
m2
No Sistema CGS, temos:
A força normal exercida pela
solo é a normal N. Assim,
Ji.
s
bailarina na região definida por parte do seu pé no
N
PIII= - Estando a bailarina em equilíbrio, temos
S
dyn
para F = 1 dyn e S = 1 cm2 ~ p = 1-
cm2
= 1 bária.
No Sistema Técnico, temos:
para F= 1 kgf e S= 1 m2 ~ p=.1
kgf
m2
Note que: 11 Pa = 10 báriasl
P
N=P. Logo, Pm=-'
S
Note que pressão é uma grandeza escalar que não assume va-
lores negativos. .
- Pressão no ponto - Tomemos um ponto A de um elemento de
superfície de área S, sobre a qual agem forças normais cuja resul-
tante tem intensidade F.
F
- Outras unidades usuais de pressão - A tradição tem mantido,
ao longo do tempo, outras unidades de pressão. que passamos a
mencionar: .
1 bar = 1Or. Pa = 10" bárias
1 milibar = 103 bar = 102 Pa
A unidade "milibar" é muito usada
kgf
1 atmosfera técnica = 1
até hoje em meteorologia.
cm2
~
1.Para uma mesma força normal, quanto menor for a área da sÚperfície
de apoio, maior será a pressão correspondente. Assim, uma moça calçando
sapatos de salto alto exercerá, no solo, uma pressão maior do que a
exercida por um rapaz, de peso igual ao dela, mas que esteja calçando
sapatos de salto baixo.
88
~~tWéa-- 89
\ \.!'t" 'f~
NI
~ ''.I///I t/ . I Ift/"'/./'"
Mas não é apenas o fundo do recipiente que o líquido pressiona.
Também as paredes laterais são pressionadas. pelo mesmo processo
de compressão molécula a molécula. Se fizermos um furo na parede
lateral do recipiente, surgirá um jato de líquido perpendicular à
parede. Este fato confirma que o líquido pressiona as paredes laterais
do reCr~~ ~ r [: \
I
. ...
4. Se a força F não for normal à superfície, devemos decompô-Ia nas
direções tangencial e normal.
~
E decorre:~.
I
#
J
'
'~- .~.~:,.;:.1.,
Portanto, um líquido exerce pressão nos pontos do seu interior,
no fundo do recipiente e nas paredes laterais.
Conclui-se, então, que a força exercida por um líquido ideal em
equilíbrio é sempre perpendicular às paredes do recipiente que o
contém e a qualquer superfície nele imersa.
Assim, se uma porção de líquido exerce uma força de intensi.
dade F numa superfície de área S, podemos escrever:
Pressão exercida por um líquido
As moléculas de um gás exercem pressão nas paredes do reci-
piente que as contém através das forças que elas aplicam nestas
paredes, durante as colisões.
I p ; I
e I F=psl
~ ti 'I)
'-- ..",-,
i~ -.~.- ." ,- I
' . - - , I .
~ Ji'~ : L f\--=-- -~.?;..~I --
'- .
~\.
As moléculas de um líquido. entretanto. não apresentam tanta
mobilidade quanto as moléculas de um gás; por isso. a pressão que
elas exercem não é do mesmo tipo.
Devido à sua disposição característica, as moléculas no interior
de um líquido não apresentam grande mobilidade relativa e se "em-
pilham" umas sobre as outras. A ação da gravidade faz com que
elas se comprimam.
Deste modo, uma molécula exerce pressão sobre as que se
encontram logo abaixo, e estas, por sua vez, comprimem as moléculas
vizinhas, gerando uma cadeia de compressões que atinge o fundo
do recipiente, exercendo nele uma pressão.
Iit
\
\'
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-)- \.:~ ~~~ ,1111
r===
, Q
Cít
.,
90
8 lei de Stevin* - A lei de Ste- Q.
vin estuda o comportamento da
pressão no interior de um líqui-
do ideal e homogêneo em equi-
líbrio.
- 1.' parte - Imaginemosuma
porção cilíndrica do líquido em
posição horizontal, cuja espessu-
ra seja comparável à do fio de
cabelo.
As forças exercidas pelo
restante do líquido nas bases do
cilindro são perpendiculares a
elas e. de intensidades FAe Fu,
conforme mostra o esquema ao
lado. \.. ..)
Como o líquido está em equilíbrio, a porção cilíndrica do líquido
também está. Assim, na direção horizontal podemos escrever
FA=Fu (1).
Dividindo os membros da expressão (1) pela área S das bases,
temos ~ =~ (2). Logo: IPA= pu 1 (3).S S
. Donde concluímos que:
Os pontos situados na mesma horizontal de um líquido ideal
e homogêneo em equilíbrio estão submetidos à mesma pressão.
- 2.' parte - Imaginemos, agora, uma porção cilíndrica do líquido
em posição vertical. de esp~ssura qualquer e altura h.
?
J,
"
,
II ..:..C'" . I~F:
FA S S
..1
..1 1",- --=~
As forças exercidas pelo restante do líquido nas bases do cilindro
são perpendiculares a elas e de intensidades FAe Fu, conforme mostra
o esquema anterior. Na direção vertical, além destas forças exer.
cidas pelo próprio líquido, há a força-peso da porção cilíndrica, cuja
intensidade é P.
. Simon Stevin (1548-1620)- Físico e matemático holandês. Estudou o movi-
mento dos projéteis e contribuiu decisivamente para o desenvolvimentoda Estática
e da Hidrostática.
-
.~
~tWéa~ 91
j
Como o líquido está em equilíbrio,- a porção cilíndrica também
está. Assim, na direção vertical podemos escrever Fu= FA+ P (4).
Chamando de fl.a densidade do líquido, de m a massa da porção
cilíndrica e de V,o seu volume, decorre:
P= mg = fl.Vg = fl.Shg (5)
Substituindo (5) em (4), decorre FB= FA+ fl.Shg (6).
Dividindo os membros da expressão (6) pela área S das bases,
FB FA fl.~hgtemos -=-+
S S ~
Logo: I PB= PA + fl.gh I
As expressões [7) e (8)
ciado é o seguinte:
A diferença de pressão entre dois pontos de um líquido ideal e
homogêneo em equilíbrio é igual ao produto do peso específico do
líquido pela diferença de nível entre os. pontos.
Esboçando o gráfico p X h da pressãoem função da profundidade,
obteremos uma reta, como mostra o diagrama a séguir:
(7) => I PB- PA=ph I (8)
constituem a lei de Stevin, cujo enun-
1
A.. - - I- -
<40~ ~l
p
h
B8- - - - ~ -
I
Pé--- P = PA+ ph-- --- - I
I
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I-~ '."- "ll ~.'-"~"
, ~r./ V'l'- c
PA
h
o h
92
Resumindo, para um líquido ideal e homogêneo em equilíbrio:
a) a pressão cresce linearmente com a profundidade;
b) a pressão não varia para pontos situados no mesmo nível
horizontal.
~
Devido à lei de Stevin, ao construir um dique, deve-se dotá-Ia de uma
espessura suficiente para suportar a pressão exercida pelo
líquido no fundo.
I ~~- ~
~ ~'"
q/q
~ -. ,~
~
. Pressão atmosférica (experiência de Torricelli) - O ar existente
sobre a superfície da Terra exerce sobre ela uma determinada pres-
são, denominada" pressão atmosférica". Algumas experiências muito
simples permitem constatar sua existência:
1) Eliminando o ar do interior de uma lata (por meio de uma
bomba pneumática, por exemplo), verificamos que ela irá se defor-
mando devido às forças de compressão que as moléculas do ar
externo exercem sobre ela.
r
I
I
~~,
'~ !t\ ' ~1
b \7 ., ~-~ "-
lata amassad a
'" .r; - .- ~.J c....=/lata
- '~~
bomba pneumáticr L
-
~~!tiúéa-... 93
2) Unindo duas placas de vidro liso. bem limpas, eliminamos o
ar existente entre elas. Se tentarmos separá-Ias, sentiremos muita
dificuldade. devido às forças de compressão exercidas sobre as
placas pelas moléculas do ar externo.
iG<- L,.~ ....
3) Colocando uma folha de papel liso sobre um copo com água,
firmando-a com a palma da mão e virando o copo para baixo, verifi-
caremos que, ao remover a mão que segurava o papel. a força externa
exercida pelo ar sobre o papel impedirá que a água caia.
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r
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Uma engenhosaexperiência realizadapor EvangelistaTorricelli *
permitiu determinar o valor da pressão atmosférica ao nível do mar.
Torricelli tomou um tubo. encheu-o de mercúrio até a boca. tampou-a
. EvangelistaTorricelli(1608-1647) - Físico e matemático italiano, discípulo de
Galileo. Estudou o movimento dos fluidos e dos projétejs e inventou o barômetro.
I . - {
M ,
e emborcou-o numa cuba que continha o mesmo Irquido. O mercúrio
dentro do tubo desceu e parou a 76 cm do nível do mercúrio na cuba.
r. ~~ & . /\
-
~
~lMéa-M 95
Este desequilíbrio de pressões causa o seguinte: as forças que o ar exerce
sobre a água externa ao cano empurram-na cano acima, até que ela
atinja a alturamáximah = 10,3m.
r
,.
I
I
76 em
Os pontos A e B estão na mesma horizontal, no mesmo líquido
em equilíbrio. Logo, pela lei de Stevin, estão à mesma pressão. A
pressão em A é a pressão atmosférica ao nível do mar e a pressão
em B é a pressão exercida pelo líquido na base da coluna. isto signi-
fica que o ar externo ao tubo exerce forças na superfície do líquido
na cuba e impede que o líquido interno desça.
Aplicando a lei de Stevin ao mercúrio no interior do tubo, temos:
po ~ O ("vácuo")
f.I.= 13,6g/cm3= 13600kg/m3
9 = 9,8 N/kg
h = 76 cm = 0,76 m
L
-- -
""-
É importante deixar claro que a bombanãoaspira a água, mas sim o ar.
A coluna líquida é empurrada cano acima pelas forças externas, que o
ar do interior do poço exerce sobre a superfície livre do líquido.
Na prática utilizam-sebombas aspirantes para alturas aproximadamente
iguais a 8 m, pelo fato de não se conseguir aspirar todo o ar no
interior do cano devido a vedações imperfeitas na bomba. Para alturas
maiores. utiliza-se bomba premente, que ajuda o ar externo a empurrar a
coluna líquida.
3. O mesmo ocorre quando tomamos um refrigerante com canudinho. Ao
chupar o ar do Interior do canudinho, levando-opara os pulmões,
geramosuma região de baixa pressão no interior do canudinho e na
boca. O ar externo ao canudinhopressiona a superficielivre do liquido e
força-o a subir 'canudinho acima.
patm = PB = po + f.l.gh, onde
patm= O+ 13600 . 9,8 . 0,76
patm= 101300N/m2,~ I patm= 1,013. 1O~N/m2 I
Resumindo, a pressão atmosférica ao nível do mar é equivalente
à pressão exercida em sua base por uma coluna de mercúrio de
76 cm de altura. Esta pressão é, no SI, igual a 1,013. 10~N/m2. Este
valor é conhecido como" 1 atmosfera". '
~
1. Admite-se como nula a pressão no ponto O, pois se considerou
desprezivel a pressão do vapor de mercúrio que ali se formou por ocasião
da descida da coluna. Devemos lembrar que o mercúrio é um liquido de
baixa volatilidade à temperatura ambiente.
2. Se substituirmos o mercúrio por água, de densidade ao redor de 1 g/cm3
e, portanto, 13,6 vezes menor que a do mercúrio, a altura do líquido que
equilibrará a pressão atmosférica será da ordem de 13,6 vezes maior que
a do mercúrio, isto é, 13,6. 0,76 = 10,3 m. É o que acontece quando
pretendemos tirar água de ÍJm poço usando uma bomba aspirante. O ar
do interior do cano é eliminado pela ação da bomba, criando-se uma região
de baixa pressão ("região de vácuo"). Na parte externa ao cano temos
ar que exerce pressão atmosférica sobre a superfície livre do líquido.
I tJJ'
-j
111 .
l'
, 1- '.\- ., i#.r" 0.0-,;, .,
I -
f
, . , I
.
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I
96
----
4. O sifão é outro exemplo interessante de aplicação dos efeitos da pressão
atmosférica. Tomemos o esquema a seguir: - - --
p.tm
U-J
A
o .
..
B ,-
h
" 'r
C.f.
fi,
\ ',. ,- -'3'
Eliminando o ar do tubo por meio de uma escorvada e mantendo sua
extremidade livre (C) abaixo do nível AB do líquido no recipiente, a
pressão na extremidade C será maior que a pressão atmosférica e o
líquido descerá. Vejamos:
PB == PA ==Patm (pontos A e B na mesma horizontal)
Pc == PB + I~gh (lei de Stevln aplicada à porção BC do líquido)
Logo: Pc==Patm + j.l.gh=> Pc> Patm
Graças à pressão atmosférica, é possível retirar gasolina do tanque de um
carro com uma mangueira. Trata.se de sifão Improvisado.
...,
''''!t
f -
r---
I
.J(~\--
I
- J
('1:'1.'( ;j" -J/ , ~
..~\ . .J' ~ .' .;&-
' '"
~
r~,~,
~
5.A pressão atmosférica ao nível do mar (Patm==1,013. 105N/m2) é
aproximadamente equivalente a 1 kgf/cm:!. Uma mão aberta tem uma
área aproximada de 150cm:! em cada um dos lados. Logo, o ar aplica-lhe
uma força de intensidade de 150kgf em cada um dos lados da mão,
equivalente à intensidade do peso de dois homens médios.
="'
~
~tWéa~
---
97
- ~
Por um raciocínio semelhante, concluímos que o ar exerce, sobre a cabeça
do homem, uma força equivalente ao peso de muitos sacos de areia.
Ele s6 não é esmagado por esta pressão externa porque no organismo
h~ pressões internas que causam a compensação.
6. A pressão do ar diminui com a altitude, pois o ar torna-se mais
rarefeito. Esta queda de pressão é perigosa para os seres humanos
acostumados com a pressão da superfície. Daí serem os aviões modernos
pressurlzados.
. Pressãoabsolutae pressão efetiva- Aplicando a lei de Stevin
aos pontos A e B do esquema abaixo, temos: ar
- - A~=-=--=-=
J'
,t'--~. ',," "." -, . .T. ' , .,;, )J \ , ..;;fi;-
...0~ jt\~
.
'
...r--~~' 7 '--- B-- - - --
PB= PA+ J-tgh
Mas. PA= patm;logo. PB= patm+ J-tgh.
A parcela J-tghé a pressão devida somente ao líquido e recebe
o nome de pressão efetiva.
A pressão total do ponto B é denominada pressão absoluta.
Assim, podemos escrever:
I pressão absoluta=pressão atmosférica + pressão efetiva I
~ "
98
. Vasos comunicantes - Quando um mesmo líquido é disposto
num vaso em formato de U, ele alcançará o mesmo nível nos dois
ramos. Palro
Isto é facilmente confirmado pela lei de Stevin. Tomemos dois
pontos, A e 8, no fundo do recipiente, em cada um dos seus ramos.
Como tais pontos estão na mesma horizontal dentro do mesmo líquido
em equilíbrio, eles estão à mesma pressão. Logo, PA= PB.
PA= palro-i- !1ghA
PB= palm+ !1ghB
E decorre: palm+ !1ghA= palm+ !1ghB=> I hA = hB I
Em resumo:
Quando dois vasos são ligados pela base e expostos ao ar livre,
o líquido que eles contêm, quando em equilíbrio, atinge o mesmo
nível nos dois ramos.
Mas:
~
o mesmo aconteceria com diversos vasos, nas mais diferentes posições
e com os maís diversos formatos.
."
o
, ,
J
~
~úittáz~ 99
Os poços artesianos são exemplos ilustrativos do princípio que
rege o comportamento dos vasos comunicantes.
O lençol de água se apresenta, em geral, entre camadas imper-
meáveis do terreno. É um reservatóriosubterrâneo que sofre a pres-
são de todo o líquido que se encontra em níveis mais elevados. Se
na superfície for feita uma perfuração que atinja o lençol, a água
jorrará violentamente, tendendo a atingir o mesmo nível das partes
mais altas do lençol.
rocha impermeável
-"- -1\-
Uma comprovação experimental bem simples pode ser feita com
um funil e uma mangueira ajustada ao seu bico. Coloca-se água no....
sistema e mantém-se o funil em nível superior ao da outra extremI-
dade.da mangueira. Como a água está num sistema de vasos comu-
nicantes, tende a ficar no mesmo nível nos dois ramos. Estando um
deles mais baixo, a água jorra.
-~
'\ /
----
/
~.......
~':w_~
O mesmo não acontece quando dois líquidos, não-miscíveis são
dispostos, em equilíbrio, num sistema de vasos comunicantes. Ha.
verá um desnível entre suas superfícies livres. Podemos relacionar
1 '
'.
r' .'
1
. . I h.
A B
100
-
~
~!ti&a~ 101
estes líquidos observando que a pressão, ao nível da superfície de
separação dos líquidos, é a mesma.
Pl = paiOl+ !llgh1
P2 = paiOl+ !l2gh2
Como Pl= P2 (mesma horizontal dentro do mesmo
então paiOl+ !llghl = pallU+ !l~gh~=> l!llhl = !l2h~ I
líquido),
F
lembrando que p= - decorre F= pS. onde S é a área das
. s
superfícies no fundo dos vasos.
Observando o esquema anterior, concluímos que:
S4 > S3 > S2 > SI
Portanto: I F4> F3> F2> FII
Isto significa que, embora as pressões sejam iguais no fundo
dos vasos, as intensidades das forças que as causam são diferentes.
Em resumo,a pressão depende da profundidadedo líquido e não
da forma do vaso.
. Lei de Pascal"- Se um ponto qualquer de um líquido ideal em
equilíbrio sofrer uma variação de pressão, todos os demais pontos
deste líquido sofrerão a mesma variação. ~p
PaiOl
PaiOl
! ! !
1ttU
h.,mesma-
pressão
.'
..
("..
h1l I '...
~.
líquido 1
!lI
(
-.- -I
(2)
- - -- ~4~
(1) ,
superfície
de separação
c'
,-
líquido 2
!l2
Assim:
Para que o sistema de líquidos diferentes seja real, torna-se necessário
que o líquido de maior densidade seja colocado sob o líquido de menor. densidade. No esquema anterior, devemos ter !lI <!l2'
_
1
-
--1 A
I
h'
I
A
~ ..~
,-
I
Ih
~~.-I_L-
B
__1-1- --B
- -1
l
i
' -:- -i-- j
I h I
-'.- ---! j - I
(4)
líquido é dada pela lei de
!l
Pela lei de Stevin, podemos escrever:
po = PA + !lgh (1)
Se o pontc! A sofrer uma variação de pressão ~p, sua pressão
passará a ser:
IP'A = PA + ~p I (2)
Como o líquido ideal é incompressível. o seu volume permanece
invariável e. conseqüentemente, o desnível entre A e B (h) e a sua
densidade (!l) nao mudam. Pela lei de Stevin, podemos escrever:
p'o = P'A+ !lgh
Como P'A= PA+~p, temos p'o= PA+ ~p + !lgh.
Logo: p'o= (PA+ !lgh) + ~p
De (1), vem: Ip/o = po f ~p I (3)
Observando(2) e (3) concluímosque o ponto genérico B do inte-
rior do líquido sofreu a mesmavariaçãode pressão ~p experimentada
pelo ponto A.
. Par~doxohidrostático - Observe a montagemabaixo. Todos os
vasos estão em contato com a atmosfera e o líquido é o mesmo
em todos eles.
,--
(1) (2) (3)
A pressão num 'ponto do interior do
Stevin:
p = paiOl+ !lgh .
Logo, a pressão no fundo de cada vaso é a mesma,
I Pl =P2 = P3:= P41 independente do seu formato.
.Blaise Pascal (1623-1662) - Matemático, físico. filósofo e escritor francês.
Estudou a dinâmica e a estática dos fluidos, inventou a calculadora. a seringa e
a prensa hidráulica. Foi o fundador da moderna teoria das probabilidades.
102
-
.::..
~tWéa4& 103
~
\ y:
\ ~~
\ "~'
., '-:,
~
dicularmente ao êmbolo de área 82, transmitida pelo líquido, de tal
modo que os acréscimos de pressão correspondentes sejam iguais:
~Pl = ~P2 (lei de Pasca!}
I~=~ISI S2
Como S:l > SI => F2> FI.
Assim, dependendo da relação entre as áreas 81 e 82, podemos
obter no êmbolo de área 82 forças de intensidade F2 muitas vezes
maior que a intensidade FI.
A prensa hidráulica pode ser utilizada como elevador de veículos
nos postos de gasolina.
logo:
. Aplicações práticas da lei de Pascal
1) Funcionamentode uma seringa
2) Freio hidráulico - O sistema de freio hidráulico dos veículos
está basicamente ebquematizado a seguir:"
fluido de freio válvula
- - - -- -
pistãon
-1$" i
~
~II~
--tambor da roda
O motorista aciona o pedal do freio, exercendo uma força F, e,
conseqüentemente, um acréscimo de pressão sobre o êmbolo do
cilindro. Esse acréscimo de pressão é transmitido através do fluido
de freio ao cilindro interno de cada roda.' O pistão de cada cilindro
comprime a lona de freio contra o tambor da roda.
~PI
Para elevar o carro, abre-se uma válvula que admite ar compri-
mido no reservatório A, que contém óleo.I O ar comprimido causa
um acréscimo de pressão na superfície do óleo. Este acréscimo de
pressão é transmitido ao reservatório 8, até um pistão, que eleva o
carro.
Voltemos à prensa hidráulica:
3) Prensa hidráulica- A prensa hidráulica é uma espécie de
máquina simples que multiplica a intensidade de forças.
Sejam 81 e 82 as áreas das superfícies dos êmbolos da prensa.
admitida com o mesmo líquido nos dois vasos e em equilíbrio.
Ó.P2
ó.Vl1
I Ó.V2
\/
Aplicando uma força de intensidade FI perpendicularmente ao
êmbolo de área 81, obteremos uma força de intensidadeF2 perpen.
FI
S2
"'. ..,........
tF,
5,
-
SI ó.h2L
lhI 52....
104
Como o líquido é incompressível (ideal), quando, o êmbolo de
área SI se desloca de Ahl' o outro êmjJolo de área ~ se desloca
de A~. de modo que o volume de líquido movimentado seja igual nos
dois ramos. Ou seja:
SI Ah2
AVI = AV2 ~ S1Ah1 = S2Ah2 ~ -=-
S2 Ahl
4) Explosões submarinas - As bombas de profundidade lan-
çadas por navios provocam danos nos submarinos devido à trans-
missão do aumento de pressão por ocasião das explosões.
j'
-
-/f 1 \ ~ r~
~~~~~ . -'?' - -.-- ,J ~-r-
I
~~
1. MEDICINA DE SANTO AMARO - Misturam-se dois líquidos A
e B. O volume do líquido A é de 120cm3 e sua densidade é de
0,78 gjcm3. O volume do líquido B é de 200 cm3 e sua densidade
é de 0.56 gjcm3. A densidade da mistura, em gjcm3, é de:
a) 0,64. d) 1,34.
b) 0,67. e) Nenhuma das respostas anteriores.
c) 0,70.
'tI
~
I"
~
~Kiâéa48 105
Resolução: A densidade d da mistura é obtida dividindo a sua massa
m
m pelo seu volume V. Em símbolos, d=- (I).
V
A massa m da mistura é igual à soma das massas mAe ma dos líquidos
misturados. Em símbolos, m=mA + ma (11).
O volume V da mistura é igual à soma dos volumes VA e Va dos
líquidos misturados. Em símbolos, V=VA + Va (111).
Mas mA= !tAVA, onde !tA= densidade do líquido A=0,78 gjem3
e VA= volume do líquido A = 120em:!.
Logo, mA =0,78 . 120 ~ mA=93,6g.
E mB= !tBVB,onde !tB= densidade do líquido B = 0,56 g/etn3
e VB= volume do líquido B = 200 em:!.
Logo, IT~B= 0,56 . 200 ~ mB= 112g.
Decorre, então:
m mA+ mBd=-= -
V VA+ VB
~ I d = 0,64 g/emul
93,6+ 112 205,6
~d=-
120+ 200 320
~
Resposta: alternativaa.
2. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Sobre um plano horizontal AB
apóiam-se 2 cubos de alumínio com 1 dm de aresta. A densidade
desses cubos é de 2.7 gjcm3. Sobre eles apóia-se um terceiro
cubo, idêntico aos dois primeiros, conforme indica a figura.
~.
I
I
/; /. '
/
A B
~'
A pressão média
2
a) - .2,7.
3
b) 3 . 2,7.
3
c) - . 2,7.
2
exercida sobre o plano AB vale, em kgf/dm2:
d) 2,7.
e) 2 . 2.7.
106 I~
Resolução: Como o sistema está em equilíbrio, a força total trocada
entre os blocos e o plano de apoio terá intensidade F tal que F=3P (1),
onde P é a intensidade do peso de cada bloco.
, , ,
,
/
/
, /
, /
.
/' 1'/ '
/
/
, , ,
, /
/
/
" /, /
/, , ",
,
/
/
/
, , a
"
p
A B
"
Adotando a convenção: m=massa de cada bloco; g= intensidade da
aceleração da gravidade local; d= densidade de' cada cubo; V= vo-
lume de cada cubo, podemos escrever:
P=mg
m
e d=-~m=dV
V
Logo:
P = dVg (2)
Substituindo P da expressão
expressão (2), vem:
F = 3dVg (3)
Como os blocos são cubos de aresta a, podemos escrever V=a3 (4).
Substituindo V da expressão (3) pelo correspondente da expressão (4),
vem F=3da3g (5).
(1) pelo termo equivalente dado pela
intensidade da força normal
Mas, lembrando que pressãomédia=
área da superfície comprimida
temos:
F
Pm= -, onde S é a área de cada face dos cubos, ou seja, S=a2.
2S
,
-
~
~laâéa-M 107
Decorre, então:
- F 3da3gpm--=-
2S 2a2
3
prn= - dag (6)
2
Na expressão (6), fazendo d= 2,7~ = 2,7~ = 2,7 utm
cm3 dm3 9,8 dm3
a = 1 dm; g=9,8 m/s2, vem:
3 2,7 utm
prn=-. -
2 9,8 dm3
3 utm . m/s2
pm=- . 2,7
2 dm2
I pm=!.. . 2,7 kgf I2 dm2
m
1 dm . 9,8-
S2
Resposta: alternativa c.
3. UNESP - A pressão absoluta em um ponto de um líquido homo.
gêneo em equilíbrio. sujeito a gravidadeuniforme, em função da
profundidade h do ponto considerado. é mais corretamente
representada por:
p p
a) b)
h h
o o
"" p
dJr
c)
ho
h o
e) Nenhuma das respostas anteriores.
108
I
~~
~tWéa~ 109
P
I'
L
P
Resolução: Admitindo que a situação do líquido mencionado
esquematizada abaixo, podemos escrever, tendo em vista a
Stevin:
11
PB = PA + {.Lgh, onde
{
PB=P
PA= patro
{.Lg=p
c)
2 4
L
+-80
53
P P
d) e)
..----
B
- -- - -
h
1 2 3 4 5- 1 2 3 4 5
Resolução: A expressão "pressão hidrostática" é sinônima de "pressão
efetiva", que é a pressão exercida exclusivamente pelo líquido. Ou
seja:
p = {.Lgh= ph
Na posição 1, a pressão efetiva é nula e, a partir daí, até a posição
2, ela aumenta linearmente com a profundidade. O ângulo que o
gráfico retilíneo forma com o eixo das posições é designado por IX.
No trecho que vai da posição 2 à posição 3, a pressão efetiva continua
aumentando com a profundidade. Neste trecho" entretanto, estamos
analisando a coluna de mercúrio cujo peso específico é maior que o
da água. Assim sendo, a variação de pressão ocorre com mais inten-
sidade a cada unidade de profundidade e o ângulo que o gráfico reti-
líneo forma com o eixo das posiçõesé designadopor~.Teremos, então,
que ~> IX, pois PHg> PÓg"..
No trecho que vai da posição 3 à posição 4, a pressão efetiva perma-
nece constante, pois neste trecho a profundidade é a mesma para todas
as posições. No trecho que vai da posição 4 à posição 5, a pressão
efetiva diminui, pois a profundidade também diminui com as posições.
Ao chegar na posição 5, a pressão efetiva é nula.
Deste modo, o gráfico p X L que melhor representa o fenômeno
exposto é o seguinte:1 (
-
P pressao
efetiva)
Decorre, então:
p = Patro+ ph
Esta expressão revela que a pressão absoluta p em um ponto qualquer
de um líquido homogêneo em equilíbrio varia com a profundidadeh,
de acordo com uma função do 1.0 grau. Assim, a relação entre p e
h é melhor expressa através de um gráfico retilíneo do tipo:
P
Palro
onde tg IX= dec (p X h) ~p.
Resposta: alternativa b.
4. CESGRANRIO- O tubo em
U contém mercúrio e água.
como mostra a figura. Am-
bos os ramos estão abertos
para a atmosfera. Qual dos
gráficos propostos a seguir
mostra a variação da pres-
são hidrostática p em função
da posição L. ao longo do
caminho 1-2-3-4-51
1
,
,~
I ~> IX.pois PHg > PalguaI
L (posição)
I
I
:-u :I II II I3' I.,.. _. ~ ;-" 4 \r~ 1Resposta: alternativa b. 4 52 3
,
.
seja a
!p
lei de a)
110
5. FUVEST- Uma pessoa.'quando enche os pulmões ao nível do
mar. inspira um volume de 1 litro de ar. com massa de aproxi-
madamÊmte 1.2 g. Esta mesma pessoa se instala em uma câmara
a 10m de profundidade, abaixo do nível do mar, conforme mostra
a figura. nível do mar
~~ ~~ --'"'- ~.....
,
ar 10m
,
I ,O
!y. ",~-s-\~ .- -
Avalie a massa de ar inspirada por esta pessoa, no interior da
câmara. quando enche os pulmões. Suponha que a massa espe-
cífica da água do mar é de aproximadamente 1.0 gJcm3.
Resolução: Ao nível do mar, a pressão do ar é praticamente igual a
1 atm. Isto é, par = 1 atm (nível do mar).
A cada 10m de coluna de água corresponde um aumento de pressão
de aproximadamente 1 atm. Assim, a pressão do ar (p' ur) no interior da
câmara. a 10m de profundidade, iguala 2 atm. Isto é:
p' ar=par + pcolunade água =>
=> p' ar = 1 atm+ 1 atm =>
=> p'ar= 2 atm (a 10m de profundidade)
Aplicando a equação de Clapeyron ao ar dos pulmões (admitido como
gás perfeito) ao nível do mar e à profundidade de 10 m, temos:
, m
ao mvel do mar, parV=- RT (1).
M
m'
à profundidade de 10 m,.p'arY'=- RT' (2).M
Admitindo que o volume dos pulmões cheios de ar seja constante e
que a transformação ocorrida seja isotérmica, temos V = V' e T = T'.
Portanto, dividindo membro a membro as expressões (1) e (2), vem:
ParY
p'arV' -
~ytf
~
m'- JYf'~
j
par = 1 atm
onde . =>
p'ar= 2 atm
, ~~~-- 111:,
'...
t,
1 m
=>-=-=>
2 m'
=>m' = 2m, onde ri1= 1,2g.
Logo, m' ==2 . 1,2 =>
=> I m' = 2,4 g I
Resposta: A massa de ar inspirada pela pessoa no interior da câmara,
ao encher os pulmões, é igual a 2,4 g.
6. CESGRANRIO- Umrapaz aspira ao mesmo tempo água e óleo,
por meio de dois canudos de refrigerante, como mostra a figura.
Ele consegue equilibrar os líquidos nos canudos com uma altura
de 8,0 cm de água e de 10,0cm de óleo.
8.0emt j ._~í-
~7J
---~~}~cm
./ ..:
água
. :-
~:>';
~
óleo
massa específica do óleo e a da água é:
d) 1.2.
e) 4,0.
A razão entre a
a) 0.80.
b) 0.20.
c) 0.25.
Resolução: Ao aspirar o ar do interior dos canudos, o rapaz cria uma
região de baixa pressão na parte superior dos canudos. Assim, o ar
externo situado sobre a superfície livre dos líquidos força a subida
dos líquidos canudinhos acima, formando as colunas.
ha = 8,0eml- '-.-:~,ti.,. "
-- - ~lho = 10,0 em'4 . ~ -7JII J
~U:t;.
D<r.
água
112
Observando a figura, podemos escrever:
Px = py = patro(1)
Por outro lado, aplicando a lei de Stevin às colunas de líquido, temos:
px = Pboca+ !-tagha (2)
Py=pboca + !-togho (3)
onde Pbocacorresponde à pressão do ar da parte superior dos canudos,
que se encontram na boca do rapaz.
Levando em conta as expressões (1), (2) e (3), vem:
~ + !-tagha ~ + !-togho ~
~ !-ta*ha= !-to*ho~
~ !-taha= !-toho~
!-to . ha
~ -=- ~
!-ta ho
!-to 8,0 cm
~-=
!-ta 10,0 cm
~ 1~=0,801
Resposta:alterpativaa.
~
7. MAPOFEI- Um tubo em U contém dois líquidos não-miscíveis.
conforme a figura. As massas específicas dos líquidos são a =
= 5.0 gjcm3 e b = 10,0gjcm3. Dá-se h = 1.0 em. Adotar 9 = 10
m/s2. A pressão atmosférica é p = 10Njcm2, Qual é a pressão
no ponto A?
a
. I J h
b
Resolução:
T-
h
---
~- x..:~
.
b
-
~
~tZiáéa~ 113
,..
\'1\1
,;1
Os pontos X e Y estão na mesma horizontal dentro do mesmo líquido
em equilíbrio. Logo, Px = py (1).
Pela lei de Stevin, aplicada aos dois ramos do tubo em U, temos:
px = Palro+ bgh (2)
py =PA+ agh (3)
Tendo em conta (1), (2) e (3), decorre:
PA+ agh = Patro+ bgh ~
a = 5,0 g/cm3= 5,0 . 103kg/m3
b = 10,0g/cm3 = 10,0 . 103kg/m3
g= 10m/s2
h= 1,0cm= 1,0. 1O-2m
N N
= 105-
m2
~ PA = patro+ (b - a)gh, onde
Patro= 10
cm2
Logo: PA= 105+ (10- 5) . 103. 10 . 10-2~
~ PA= 105+ 5,. 102~
~ I PA= 100500N/m2 I
Resposta: A pressão no ponto A é de 100500 N/m2.
8. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO - Os êmbolos de
certa prensa hidráulica têm respectivamente 5 cm e 25 cm de
raio. Sobre o menor está aplicada uma força de 100 kgf, perpen-
dicular ao êmbolo. Sabendo-se que a prensa está em equilíbrio.
pode-se afirmar que a força que deve estar aplicada ao outro
êmbolo, perpendicular a ele, é de:
a) 2,5 . 103kgf. d) 7,3 . 103kgf.
b) 3,8. 103kgf. e) Nada disso.
c) 5,5 . 103kgf.
Resolução:
(1) (2)
F2
FI
v" ( ,."
Si S..- ,.
r
,
:
. .
114
Para uma prensa hidráulica em equibõrio, tendo em vista a lei de
Pascal, podemos escrever:
FI F2---
SI S2
Para o ~xcrcício em questão, vem:
FI = 100 kgf
SI =1tr~= 1t . 52 =251t cm2
S2=1tr~= 1t . 252= 6251t cm2
100 kgf F2
Logo: =
251t cm2 6251t cm2
F2 = 2 500 kgf
I F2 =2,5 . 103kgf I
Resposta: alternativa a.
9. UNIVERSIDADEFEDERALDO RIO DE JANEIRO- Ainda com rela-
ção ao enunciado anterior, se o êmbolo menor sofrer um desloca-
mento de 50 em, o maior sofrerá um deslocamento de:
a) 1,0em. d) 4,0 em.
b) 2,0 em. e) Nada disso.
c) 3,0 em.
Resolução:
O líquido contido no interior da prensa é admitido incompressível.
Logo, o volume de líquido deslocado no vaso do êmbolo menor (VI)
será igual ao volume de líquido deslocado no vaso do êmbolo maior
(V2). Deste modo, temos:
VI = V2
Sldl = S2d2
SIdI
d2=-S2
J
d2 = 251t. 50
-
à
~ltiáéa~ 115
=} Id2=2,OcmJ6251t
Resposta: alternativa b.
10. PUC (CAMPINAS)- O sistema esquematizado compreende dois
pistões cilíndricos, móveis, sem atrito, e uma alavanca. Os
pistões têm diâmetros de 5,0 cm e 20,0 em; a alavanca tem braços-
de 10cm e 20 cm. A força F necessária para manter o sistema
em equilíbrio tem intensidade de:
250 N
~
20 em,",
10em '.
a) 2 000 N.
b) 8 000 N.
c) 250 N.
Resolução:
10
,
".,~,
t
'1
\~,
".
água
.....
F
~
-
d) 1 250 N.
e) 1 230 N.
FI
a
17
F2 B F
F2
rB
)
o
Na situação de equilíbrio, teremos, para a alavanca:
MF1(O)+ MF2(O),= O=} + ~la - F2b= O=}
a
=} FIa = F2b=} F2 = F1- (1)
b
Pela lei de Pascal, temos, em relação ao líquido:
~PA = ~PB
4. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Um recipiente cilíndrico de secção
transversal igual a 10 cm2 e de 5 em de altura está completamente cheio de
um líquido cuja massa específica é 2g/cm3. Qual é, em gramas, a massa do
líquido contido no recipiente?
a) 4
b) 10
c) 25
116
Logo: 3. UNIVERSIDADE DE SERGI-
PE - Uma placa de metal mede
5,0 cm de espessura e sua super-
fície está desenhada na figura ao
lado. Sua massa é de 500,0 g.
Qual é, aproximadamente, sua
densidade?
2r
F2 F F2 F a-=-=>-=-=>F=-F2
SA Sa 1tf~ 1tf~ r~
Substituindo F2 pela expressão (1), decorre:
2
F - ra a F
-T'b 1A
ra = 10 em
rA =2,5 em
a = 20em
b = 10em
Fl = 250N
102
a) 2,7 g/cm3
b) 3,6 g/cm3
c) 5,4 gl cm3
d) 6,8 g/ cm3
e) 7,2 g/cm3
onde
Logo: F= 2,52
~ . 250 =>
. 10
=> I F=8000N I
Resposta: alternativa b.
-
~
~tMéa~ 117
L.tt t t 1-W
t'
-,\
lE~ f
"
J~l . + I T ~~ I til
'1
r
I . I
:
I
I .~
~ ; t i I
d) 50
e) 100
5. PUC (SÃO PAULO) - Um frasco vazio tem massa igual a 30 g;- cheio
de água, 110 g e, cheio de outro líquido, 150 g. A densidade deste líquido
em relação à água contida no frasco é de:
a) 0,66. d) 1,50.
b) 4,00. e) 5,00.
c) 3,67.
6. EMESCAM (ESPIRITO SANTO)- A relação correta entre o peso especí-
fico (p) e a massa específica (!t) de uma substância é:
a) p= !to d) P=g/!t.
b) P = !tg. e) P= It/V.
c) P = !t/g.
{
g =aceleração da gravidade;Onde
I b A .V = vo ume da su stancJa.
7. UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA- Qual o peso especí-
fico da água no sistema MKS?
a) 103kgUm3
b) 9,81 . 103N/m3
c) 9,81 . 103kg/m3
d) 103kgl m3
e) 1g/cm3
1. FACULDADES DO INSTITUTO ADVENTISTA
abaixo não mede massa específica?
a) gl cm:!
b) kg/m:l
c) utm/m:!
- Qual das unidades
d) gl P
e) gUcm3
2. FAFABES (ESPíRITO SANTO)- A massa específica do mercúrio em dado
problema tinha o valor determinado de 13,6g/cm3. Em outro problema, a
unidade de massa específica erakgl m3. O valor numérico da massa espe-
cífica do mercúrio nesta nova unidade era:
a) 0,0136.
b) 13 600.
c) 136.
d) 136 000.
e) 1,36.
118
o peso específico8. UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA -
da água no Sistema Técnico é:
a) 981 N/cm3.
b) 10:\kgf/m3.
c) 9,81 . 103 N/m3.
9. UNIVERSIDADE DE SERGIPE- Pressão é uma grandeza que pode ser
medida em:
a) newtons.
b) newtons por metro quadrado.
c) newtons por metro.
d) 981 dyn/m3.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
d) quilogramas por metro cúbico.
e) quilogramas por metro.
~o. FUN DAÇÃO CARLOS CHAGAS - O tijolo da figura apóia-se sobre o
solo, sobre a base ABEF. Se estivesse apoiado sobre a base ARCD de área
igual a 1/3 da anterior, a pressão exercida pelo tijolo seria:
D. G
A
B
F
H
E
d) 3% maior que a anterior.
e) 30% maior que a anterior.
a) a mesma.
b) 3 vezes maior.
c) 1/3 do valor anterior.
11. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Uma pessoa de 80 kgf de peso apóia-
-se sobre uma chapa de 20 cm X 20 cm, que repousa sobre uma bolsa de
água. A aceleração da gravidade é g= 9.8 m/s2. A pressão média trans-
mitida é da ordem de:
.r---
a) 80 kgf.
,b) 0,2 kgf/cm2.
c) 0,2 N/cm2.
d) 200 dyn/cm2.
e) Um valor diferente dos
~
"
'\
~I '. --' ---~k9f
" ,\ 4,-
l..
' '
I I I I ~ '1 I _..J.- - -, -
í I '" ). , J. ..'~",-- ....-
anteriores.
1
1
-
a
~~~ 119
12. UNESP - A sapata de uma coluna mede 0,60 X 0,40 m2 e suporta carga
Q = 4.8 tf (toneladas-força).
Q
a) A pressão média da sapata no solo é de 4,8 tf.
b), A pressão média do solo na sapata é de 4,8 tf.
c) A base da sapata tem área A= 24 cm:!.
d) A pressão na base da sapata é de 2,0 kgf/cm2.
e) n. d. a.
13. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS - Afirmação: A pressão exer-
cida, no chão, por uma moça calçada com sapato de saItos finos é maior
do que a pressão que ela exerce quando' está calçada com t,ênis.
porque
Razão: A pressão exercida por uma força sobre uma superfície é direta-
mente proporcional à in~ensidade da força e inversamente proporcional à
área da superfície.
a) Afirmação e razão corretas; a razão justifica a afirmação.
b) Afirmação e razão corretas; a razão não justifica a afirmação.
c) Afirmação correta; razão errada.
d) Afirmação errada; razão correta.
e) Afirmação e razão erradas.
14. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Uma placa retangular de vidro, me-
dindo I m de largura por 2,5 m de comprimento, está imersa em um líquido,
numa região onde a pressão é de 10 newtonsfm2 em todos os pontos da
face da placa. Qual é, em newtons, a intensidade da força que atua sobre
esta face da placa?
a) 0,25
b) 2,5
c) 4,0
d) 10
e) 25
15. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPIRITO SANTO- A pressão atmos-
férica é de lOã N/m:! ao nível do mar. A força que ela exerce sobre uma
área de 100 m:! na superfície da água é de:
a) 107 N.' d) 106 N.
b) 104 N. e) zero.
c) 103 N.
120
16. FUVEST- Uma bailarina, cujo peso é de 500 N, apóia-se na ponta de seu
pé, de modo que a área -de contato com o solo é somente de 2,0 cm2.
Tomando-se a pressão atmosférica como sendo equivalente a 10 N/cm2, de
quantas atmosferas é o acréscimo de pressão devido à bailarina, nos pontos
de contato com o solo?
r
,
""
1t
: ~~
~ ~-:r> f- -~ :-«. ./
)
a) 25
b) 100
c) 50
17. ARQUITETURA DE SANTOS
a) 1 kgUcm2.
b) 10 kgUcm2.
c) 1 kgf/m2.
- A pressão atmosférica é da
d) 1 gf/cm2.
e) 103 kgf/m2.
ordem de:
18. FEl - A lei de Stevin diz que a diferença de pressões entre dois pontos
de um líquido em equilíbrio é:
a) igual ao peso do líquido entre os dois pontos.
b) igual ao volume do líquido entre os dois pontos.
c) igual ao peso específico do líquido vezes a diferença de cotas entre os
dois pontos.
d) igual à massa específica do líquido vezes a diferença de cotas entre os
dois pontos.
e) Nada disso.
19. POLITÉCNICA (USP) - A lei de Stevin - "A pressão num fluido em
equilíbrio sob a ação da gravidade varia linearmente com a profundidade"
--' vale, para:
a) gases perfeitos.
b) líquidos compressíveis.
c) fluidos homogêneos e incompressíveis.
d) qualquer líquido real.
e) Nenhum dos anteriores.
~
~~ :121
20. UNIVERSIDADE DE ALAGOAS - Na figura abaixo está representado
um recipiente que contém um líquido. X, Y, Z e W são pontos deste líquido.
Em que pontos a pressão do líquido é a mesma?
'I'
I
J
X.
I
I
-1~ - ~ -
I
Wf
'<111
I
~
a) X e Y.
b) Y e W.
c) Y e Z.
d) W e Z.
21. ITA - Emborca-se um tubo de ensaio numa vasilha com água, conforme
mostra a figura abaixo. Com respeito à pressão nos pontos A, B, C, D. E
e F, qual das opções abaixo é válida?
i
f: -
i
i
.
E
.
F
l !l
a) PA=PD'
b) PA =PF'
c) Pc = PD'
d) PE =PB'
e) Nenhuma das opções anteriores é correta.
~22. POLITÉCNICA (USP)- Dois pontos situados em um líquido de densidade
1,0 . 103 kg/ m3 apresentam uma diferença de nível de 10m. A diferença de
pressão entre esses pontos é aproximadamente de:
a) 1,0 . 105 N . m-2.
b) 1,0. 105 kgf . m-2.
c) 1,0. 102 atm.
d) 1,0. 102 em Hg.
e) Nada disso.
122
-
~~kláéa-..a 123
23. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS- A pressão total, num ponto de um
líquido em repouso, em função da profundidade h do ponto considera-
do, é mais corretamente representada por:
pp p
26. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - A figura abaixo representa um reci-
piente cilíndrico~ cujo diâmetro da base é D, contendo um líquido de den-
sidade d até uma altura h. Variando-se apenas a medida de uma destas
grandezas de cada vez, como podemos aumentar a pressão hidrostática em P?
~.~ .
a) Aumentando D.
b) Diminuindo D.
c) Aumentandoh.
d) Diminuindo h.
e) Diminuindo d.
!~:
illl':
'11111
'0
o
h
p . '. '.;.
24. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPIRITO SANTO- Um recipiente
com a forma mostrada na figura abaixo conté!J1 um líquido d~ massa espe-
cífica 1-1.Se' po é a pressão atmosférica, a. pressão no ponto P no fundo do
recipiente é:
D
27. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Num lago, a 10 m de profundidade,
a soma da pressão hidrostática com a pressão atmosférica é de aproxima-
damente 2 atmosferas. No mesmo lago, a 20 m de profundidade, a soma
da pressão hidrostática com a pressão atmosférica será de, aproximadamente,
em atmosferas:
a) 12.
b) 4.
c) 3.
d) 2,33.
e) 2,50.
-- ---
h
'I,
II
I
28. FACULDADES FRANCISCANAS- Um corpo situado num lago à pro-
fundidade de 62.5 m suporta uma pressão de, aproximadamente:
a) 6 atm. d) 9 atm.
b) 7 atm. e) 10 atm.
c) 8 atm.
29. UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA - O excesso de pressão sobre
a pressão atmosférica no ponto A do interior do líquido ideal de massa
específica 1,5 . 103 kg/ m3, contido no recipiente da figura, é:
(Dado: g=9,8 m/s2.)
. .fi
~c; .
(.
(
c
p
I~
I
. 'I,
A
a) Po + I-1ga.
b) Po + I-1g(h+ a).
c) Po + I-1g(h- a)..
d) Po - I-1ga.
e) Po - '1.gh.
Ir.
25. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Qual a pressão, em N/m2, no fundo
de um lago com 10m de profundidade? Tomar a pressão atmosférica igual
a 105 N/m:!, a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e a densidade da
água igual a 103 kg/ m3.
a) 105
b) 1,5 . 105
c) 2,0 . 105
!11i' .
1Ii,
4an 111'
" .
Ilu',
'"
. . 3CQ1
Ir.-
d) 106
e) 1010
a) 5,9 . 102 N/m2.
b) 1,470. 102 N/m2.'
c) 4,410 . 102 N/m2.
d) 4,4 . 102N/m2.
e) 1,5 . 102N/m2.
a) I b)l c)
h I h I h.
dJLL
&P
e)
I h
.1
-
~~@âéa--125124
3Q. CESGRANRIO - Um copo de vidro é mergulhado em um tanque com
água, de forma tal que esta encha completamente o copo (fig. 1). Ainda
totalmente imerso, o copo é então emborcado (fig. 2).
Fig. 1 J li . Fig. 2
32. MEDICINA DA SANTA CASA - Um tubo contendo ar à temperatura
. ambiente é emborcado em mercúrio e permite as duas situações represen-
tadas abaixo, encerrando, em ambas, a mesma massa de ar. A pressão
atmosférica no local é, em em de Hg, um valor mais próximo de:
Em seguida, emerge-se parcialmente o copo, mantendo-se sua borda sem.
pre submersa. Nesta situação, qual das figuras abaixo melhor ilustra a
posição do nível d~ água no interior do copo?
a) n - -b)
a) 76.
b) 75.
c) 72.
d) 70.
e) 68.
~
T
30cm
L
'-LJ.
~!,ar
I
-r '-r:
14 cm .
'n .
33.FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - O tubo AR contém água. A extre-
midade R é aberta e a A é fechada. A pressão exercida só pela água na
base do tubo é da ordem de:
I
I
I .
I ,. . ....',..~, '. R=GOm
h =30 m ' ~
d) 6 atmosferas.
e) algumas bárias.
a) 1 atmosfera.
b) 2 atmosferas.
c) 3 atmosferas.
34. CESGRANRIO - Julgue as afirmações abaixo:
1.a afirmação
No ponto P da parede de
um copo contendo água, e
colocado sobre a sua mesa
de almoço, a força exercida
pela água pode ser represen-
,11/ . .
I
I'U'
.
o
...
Q
31. FUVEST - Quando você toma um refrigerante em um copo com um
",anudó, o líquido sobe pelo canudo porque:
a) a pressão atmosférica cresce com a altura, ao longo do canudo,
b) a pressão no interior da sua boca é menor que a atmosférica.
c) a densidade do refrigerante é menor que a densidade do ar.
d) a pressão em um fluido se transmite integralmente a todos os pontos do
fluido.
e) a pressão hidrostática no copo é a mesma em todos os pontos de um
plano horizontal.
-+
tada pelo segmentoF da fj-
gura.
porque
2.a afirmação
A pressão total em P é per-
pendicular à parede.
I~""'L'-
"
F
Q e .
ao
I
i
i
ar
...,.,.. ---T-- --
. ..
o
1
. mercúrio
i/I . .
(co?t.. 1 I I' '. (\
i
11>,....
J ...
-'
. o
l)iíll
e)
t
i
a
~álúéa~ 127126
1-
35. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Na figura abaixo, está representado
o perfil de um recipiente cheio de água. A pressão hidrostática na base
do recipiente é igual a H. Qual é a pressão hidrostática no ponto P, eqüidis-
tante dos pontos Y e X? (IXé ângulo de inclinação da parede do recipiente.)
38. UNIVERSIDADE DE SALVADOR - A figura abaixo representa 3 fras-
cos, X, Y e Z, cilíndricos e contendo o mesmo tipo de líquido.
~
..
If :'. ~.-
~
b
I )
' 0 !~
~" .~.
li'
I~"
'11
I1
C/0 .,
. .... j ~., /1~ '111
....
x v z
v
d) 2H
e) H/2 cos IX
Px, Pv e pz são, respectivamente, as pressões no fundo de cada frasco. Qual
das seguintes relações entre Px, Pv e pz é correta?
a)px> py > pz d)py > pz >Px
~~>~>~ ~~>~>~
c) py > Px > pz
O esquema abaixo representa três recipientes A, B e C completamente
cheios de água. A tem secção transversal 8 e altura H; B é formado de
duas partes cilíndricas de secções 8 e 8/2 e alturas iguais a H/2; C é
formado de três partes cilíndricas de secções 8. 8/2 e 8/3 e alturas iguais
. H/3. -Jn'.: (A) J~ 13 ~- --
1,"
,
': ~ ~ ~ H/.3~ 2
f"' .~:. ]
F8 ~ -=;j
a) H cos IX
b) H sen IX
c) H/2
36. UNIVERSIDADE FEDERAL DE BRASILIA - Três recipientes cilíndri-
cos A, 8 e C, cujos raios são r, 2r e 3r, respectivamente, contêm água
até a altura h. As pressões nas bases dos cilindros obedecem à relação:
a) PA= Po = Pc. d) 9PA= 4po =Pc.
b) PA= 2po = 3pc. e) 9pc=4Po=p".
c) Pc=2po = 3PA'
37. MEDICINA DA SANTA CASA - Na figura a seguir, um tubo e o barril
se intercomunicam e estão cheios de água, cuja densidade é de 1 g/cm3. A
aceleração da gravidade é igual a 10 m/s2 e a pressão atmosférica é igual
aIO. 104 N/m2. A força total no fundo do barril é, em newtons, mais
aproximadamente igual a:
." tubo aberto
r--
j
1 litro
(volume do tubo)I \ 18 m
,1.~\-t -
1 200 cm2 '. . .
\( do tom.. do fundo) .- . 'm
a) 2,4 . 104. ~ p---
b) 3,6 . 104.
c) 3,6 . 105.
d) 2,4 . 106;
e) 2,4 . 109.
Este enunciado refere-se às próximas duas questões.
.4.
39. PUC (SÃO PAULO) - Nestas condições, as pressões PA'
bases dos recipientes A, 8 e C, respectivamente, são tais que:
a) PA= PB =Pc. 3 4
d) PA= -PB = -Pc'
b) PA= 2PB=3pc. 2 3
c) PA= 3po =4pc. e) PA=4po =9pc.
40. PUC (SÃO PAULO) - As forças totais FA' FB e Fc exercidas pela água
nas bases de A, 8 e C, respectivamente, são tais que:
a) FA=FB =Fc. d) FA=4FB = 9Fc.
b) FA=2FB=3Fc.
) F - ~F - ~Fe A - B - C.
c) FA::: 3FB = 4Fc. 2 3
PB e Pc nas
128
\
I
41. PUC (SÃO PAULO) - Os dois recipientes indicados no esquema abaixo
estão cheios de água. Em ambos, o raio da secção mais larga é r e o da
mais estreita, r/2. Chamando de FAUe FCD as forças exercidas pela água
respectivamente em AO e CD, bases dos recipientes, podemos afirmar que:
a) FAB= FCD'
b) FAB =2FcD.
1
c) FAB=-FCD'
3
1
d) FAB= -FCD'
4
e) F AB= 4FcD.
2 r
~ ro--- ....' I L--- tI r - ,-/' " s-I li -t-I
1 3H
II
I
1
J
"
-1- - ' I
t ~- ,~ 1: - ~ .- _':ri' I )!f. -- H 'A . I . . B - " - - C" H1 JD
I. ,I m
I r I 2"
.......
11
42. CESGRANRIO - Dois reservatórios idênticos, inicialmente vazios, são
ligados a mei~ altura por um cano de diâmetro muito menor que as di-
mensões lineares dos reservatórios. A um dado momento, uma bica situada
acima de um dos reservatórios começa a jorrar água com uma vazão cons-
tante e suficientemente pequena para que possamos desprezar os efeitos da
resistência oferecida à passagem de água pelo cano que interliga os dois
reservatórios.
T
~1t-
Qual dos gráficos abaixo melhor representa a evolução com o tempo do
nível de água no reservatório acima do qual se encontra a bica?
a)
L
h
L/2 ~-
d) ! h
L
b)
L L
c)
h --
- -, --r- -T/ II I I I
I I --+
I
I t
h
I
1
-1---1 L/2
I I
I I t
e) &h
L
~-
J
~
~tMéa"" 129
43. CESGRANRIO - Dois líquidos imiscíveis (água e ólt:o, por exemplo)
estão em equilíbrioem um copo, conformemostra a figura abaixo:
h Patm
"': ,líquido 2 ' .
líquido 1< '
p
~L L\
Qual dos gráficos abaixo melhor
com a altura h, medida a partir
P
ilustra a variação da pressão hidrostática
do fundo do copo?
P
a) b)
. ',2'i
<r'~
c)
hh
Patm
P
e)
h
Patm
44. UNIVERSIDADE DE TAUBATf: - A figura indica três pontos
C de um líquido em equilíbrio. As pressões PAI Pu e Pc, nesses
estão relacionadas por:
. .
B
.... -/,
a) PA> Pu > Pc.
b) pA< Pu < Pc.
A, O e
pontos,c) PA< PB= Pc.
d) PA= PB= Pc.
h
I " . L.
Patm Patm
P
---
I ,
d) I I I
I I
I II
I
I
I
I h
I I .Patm
130
J
~
~tWCa~ 131
45. FUVEST - Um vaso cilíndrico I contém água até a altura de 1,0 m e
está ligado, por um tubo fino, a outro vaso cilíndrico 11, inicialmente vazio,
com diâmetro duas vezes maior que o de I. O tubo de comunicação está
a 0,5 m de altura e fechado, no início, por uma torneira, como mostra
a figura.
Pressão atmosférica: Pa = 105 N/m:!.
49. MACKENZIE - Suponhamos um sistema como mostra a figura, onde
dI = densidade do mercúrio (13,6 g/cm3) e d2= densidade da água
(1,0 g/ cm:i). Então'
T
!~.:.
k:'
!
.l
1. }
1,Om :
1
1":
\
1
f ~ 0,5 m
ti "fi!' ,
.I,
11
/..
a) h1 =d1h:!.
b) h~ = h1d1.
c) h1 = vn;:
50. MEDICINA DA SANTA CASA - Dois líquidos (1) e (2), de densidades
dI e d.~ respectivamente, ocupam um recipiente em U e ficam em equilíbrio
hidrostático, conforme os desníveis indicados na figura abaixo. A razão
dI / d2 é igual a:
d) h1 = h:!.
e) o sistema é impraticável na realidade.
a) Abrindo-se a torneira, que altura atingirá a água no vaso lI?
b) Antes de abrir a torneira, qual era o valor da pressão no fundo do vaso 11
46. MEDICINA DE ITAJUBÁ - Se a pressão atmosférica local Po é igual a
1,02 . 105 N/m~ e y é igual a 2,00 m, podemos afirmar que, na montagem
abaixo, a pressão no ponto A é de:
d) 1,00 . 105 N/m~.
e) 0,82 . 105 N/m:!.
a) ~
3 .
b)~
5 .
c)~
15 .
d)~
13'
:11 líquido (2)
I
'I
~--
A . ..n :
~w rI . J-
~ .
12cm
- - -I.w,..
líquido (1)
I~" .,
40cm
a) 1,62 . 105 N/m:!.
bj .1,42. 105N/m:!,
c) 1,22 . 105N/m:!.
47. UNIVERSIDADE DO PARANÁ - Dois tubos comunieantes, com sec-
ções respectivamente iguais a 8 cm~ e 2 cm~, contêm mercúrio. Colocan-
do.se 272 g de água no tubo estreito e sabendo que as massas específicas
do mercúrio e da água são respectivamente 13,6 g/cm:i e 1,0 g/cm3, pode-
mos dizer que o nível do mercúrio no tubo mais largo subirá.
a) 10,0 cm. d) 2,0 cm.
b) 0,5 cm. e) 0,1 cm.
c) 5,0 cm.
e)~
. 5 .
51. MEDICINA DE ITAJUBÁ - De acordo com a figura abaixo, calcule a
pressão atmosférica local, sabendo-se que o gás dentro do recipiente está
a uma pressão de 136 cm Hg.
48. MAPOFEI - Um tubo em U, de secção transversal constante, contém
mercúrio até a altura de 15cm em cada ramo. Num dos ramos coloca-se
uma coluna de água com 7,2 cm de altura e, sobre esta, uma de óleo
(Póleo= 0,8 g/ cm3) com 8,0 cm de altura. pe quanto se eleva, no outro
ramo, o nível de mercúrio? (Pmercúrio= 13,6g/cm3.)
~..
a) 55 cm Hg
b) 60 cm Hg
c) 76 cm Hg
55cmr[:.
~--
1
131cm
. . '1~g
d) 131 em Hg
e) Nenhum dos valores anteriores.
"-
r-" ,( ,.
. mercúrio. .
->
. .r- .. - - -- -
... . .. t. . . '
águ"
:
132
52. UNIVERSIDADE DO CEARÁ - A figura mostra um tubo em U de
extremidades abertas, contendo dois líquidos não-miscíveis de densidades
di e ~, respectivamente. As alturas das duas colunas de líquido são as
indicadas. A relação entre as densidades dos dois líquidos é:
a) dI = d2.
b) dI = 2d2.
c) dI =4d2.
d) dI = 8d2.
{Ir. ..
di
o.
53. CESCEA- A figura mostra um tubo em U, de extremidades abertas,
contendo três líquidos não-miscÍveis, de densidades do, di e eLo!.Se a situa-
ção de equilíbrio for a da figura, as densidades estarão relacionadas pela
expressão:
a) do= 8(0,75d2 - dI),
b) do = 8(0,75d2+ dI),
c) do = (d2 - 0,75dI)/8.
d) Nenhuma das anteriores.
h. di
]~/,
h/8
54. MEDICINA DE SANTOS .- Tem-se um reservatório A contendo um gás.
a 27° C. O reservatório está ligado a um tubo em U, de área 'de secção
reta unitária, que contém água e mercúrio, conforme mostra a figura.
A
- - Ihl
água
. .' '. c>. ~. Imercúrio~.
Determine a pressão do gás. Dados: aceleração da gravidade= 10 m/s2;
hI = 75 mm; h2= 105mm; densidade da água= 1gl cm3; densida'de do
mercÚrio = 13.5g/cm3; pressão atmosférica= 760 mm Hg.
~
~tWéa~ 133
\
.55. FUVEST - Um tubo de vidro em forma deV, fechado em uma das
extremidades, contém mercúrio à temperatura ambiente em seu interior,
encerrando uma certa massa gasosa G, num lugar onde a pressão atmos-
férica é normal. Os níveis do líquido em ambos os braços do tubo estão
indicados na figura. Considere que a pressão atmosférica normal (l atmos-
fera) suporta uma coluna de 760 milímetros de mercúrio. Determinar a
pressão PB, no espaço tomado pela massa gasosa G, em atmosferas.
PB
. .
d
j'
56. FESP - Dois líquidos não-miscÍveis de densidades di e d2 (dI < d2) são
colocados num tubo emV, sendo ~h a diferença de nível entre as super-
fícies livres dos dois líquidos. A coluna h do líquido menos denso será:
d2 d2~h
a) ~h. d) -
d2 - dI dI
b) dI ~h. e) n. d. a.
d2 - dI
dI~h
c)-
d2
57. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Na figura abaixo está representado
o perfil de um recipiente formado por três segmentos de cilindro. As áreas
das secções retas dos segmentos A; B e C são, respectivamente, 100 cm2,
50 cm:! e 25 cm2. No recipiente há água sob pressão. Os pontos 1, 2 e
3 estão nivelados horizontalmente. Qual é a relação entre as pressões
hidrostáticas Pl> P2 e Pa nos pontos 1, 2 e 3?
AL
B 1-
c---,
1
.
2
3 1
J
.s-
a) PI =2P2=4P3
b) PI = V2P2 = 2Pa
c) PI =P2=Pa
d) 4PI = 2P2=Pa
e) 2PI = Y2P2= Pa
134
-
a
~úiId:a~ 135
58. PUC (CAMPINAS)- Dois vasos comunicantes contêm, em equilíbrio,
mercúrio e óleo. A superfície livre do mercúrio está 2 cm acima da super-
fície de separação dos dois líquidos e a do óleo se encontra 34 cm acima
do mesmo nível de referência. Determinar a massa específica do óleo,
sabendo-se que a do mercúrio é de 13,6 g/ cm3.
a) 0,88 g/ cm3 d) 0,92 g/ cm3
b) 0,80 g/cm:\ e) n. d. a.
c) 0,65 g/ cm3
.
}
}
61. MAPOFEI - Uma coluna d'água de 10 m de altura exerce pressão que
se pode considerar igual a 1,0 atm. A 10m de profundidade, em um lago,
observa-se uma bolha de gás tendo volume de 0,10 cm3. Desprezar tensão
.superficial A pressão atmosférica é de 1,0 atm. A temperatura da água
é constante. Quando a bolha chegar à superfície livre da água, qual é o
seu volume?
59. CESGRANRIO - Mesmo para alguém em boa forma física, é impossível
respirar (por expansão da caixa torácica) se a diferença de pressão entre o
meio externo e o ar dentro dos pulmões for maior que um vigésimo (1/20)
de atmosfera. Qual é, então, aproximadamente, a profundidade máxima
(h), dentro d'água, em que um mergulhador pode respirar por meio de um.
tubo de ar, cuja extremidade superior é mantida fora da água?
62. MACKENZIE - A prensa hidráulica é uma aplicação:
a) do princípio de Pascal.
b) do princípio de Arquimedes.
c) do teorema de Bernoulli relativo à dinâmicà dos fluidos.
d) da lei de Stevin.
e) da lei de J. T. Hidráulicus.
ar - - ~-
63. ITA - Na prensa hidráulica esquematizada, DI e D2 são os diâmetros
-+
dos tubos verticais. Aplicando-se uma força FI ao cilindro CI, transmite-se
-+
a C2, através do líquido de compressibilidade desprezível, uma força F2.
Se DI.= 50 cm e D2= 5 cm, temos:
----
.1': CI
) ,
água 'h FI
(
DI D2
,
a) Cinqüenta centímetros..
b) Dois metros. .
c) Dez metros.
d) Vinte centímetros.
e) Um metro.
F2 1
a) -=-.
FilO
F2
b) -= 10.
FI
F2c) - = 5.
FI
F2 1
d) -=-.
FI 100
F2e) -= 100.
FI
60. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ - Uma bolha de ar desprende-se
do fundo de um lago. Ao atingir a superfície livre do líquido, o volume
da bolha está quadruplicado. Admita que a temperatura é constante ao
longo da camada do líquido. Se designarmos por K o peso específico da
água do lago e por p a pressão atmosférica local, a profundidade do lago
será igual a:
a) 2p/ K.
b) 4p/K.
c) 3p/ K.
d) 2p/3K.
e) p/2K.
136
,
~~ 137
64. FACULDADES DO INSTITUTO ADVENTISTA- O freio hidráulico de
um automóvel é uma ilustração:
a) da lei de Hooke.
b) da segunda lei de Newton.
c) do princípio de Arquimedes.
d) do princípio de Pascal.
e) da lei de Boyle.
Este enunciado se refere às questões 65 e 66.
Na figura, o pistão A tem área SA= 10cm2 e comunica-se hidraulicam.ente
com o pistão B, que tem área SB=100cm2. A mola tem constante
elástica k= 105N/m. O pistão A, sob a ação de 'Jma força constante-+
F, realiza um trabalho't =20J, comprimindo a mola numa distância Llx.
A
B
F
k
:.(
~I
65. FEl - Calcular a distância Llx que a mola se comprime.
-+
66. FEl - Calcular a intensidade da força F e a distância percorrida pelo
pistão A.
67. PUC (RIO DE JANEIRO) - Um elevador de automóvel funciona como
esquematizado na figura abaixo. em que dois pistões cilíndricos (diâmetros
0,1 m e 1,0 m) fecham dois reservatórios interligados por um tubo;. todo o
sistema é cheio com óleo. Levando-se em conta que os pesos do óleo e
dos pistões são desprezíveis em relação ao peso do automóvel 0,0 .104 N),
-+
qual a força mínima F 'que deve ser aplicada ao pistão menor e que seja
capaz de levantar o automóvel?
/I JD~-=-
--~~
F
a) 1,0 . 103 N
b) 1,0 . 102N
c) 1,0. 104N
d) 0,50 . 103N
e) 0,50 . 104N
68. MAPOFEI - Uma bomba injeta óleo num cilindro e empurra um pilltno
que levanta um peso de 100 toneladas-força. O pistão tem área igual 1\
0,25 metros quadrados. Qual a pressão do óleo? (Exprimir em unidades
do Sistema Internacional de Unidades.)
69. MAPOFEI - Na questão anterior, o pistão é levantado com uma velo.
cidade de I cm/min. Qual a vazão fornecida pela bomba, emlitrosl
segundo?
70. MAPOFEI - Com os dados fornecidos nas duas questões anteriores. cal.
cule a potência da bomba de óleo, em watts.
71. UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA - Um recipiente possui o for-
mato de um tronco de cone, sobre cujas bases se apóiam dois cilindros pro-
vidos de êmbolos A e B. O espaço entre os êmbolos é preenchido por um
líquido ideal. Ambos os êmbolos são comprimidos contra o líquido. Se a
r~zão entre os diâmetros da/dA vale 5, a razão entre as pressões PB/PA valerá:
B
PA PB
T
._;
-~
, ,
dBI (
. I
a) 1/25.
b) 5.
c) 25.
d) 1.
e) 1/5.
72. UNIVERSIDADE DE PELOTAS - O macaco hidráulico representado
na figura a seguir está em equilíbrio. Os êmbolos possuem áreas iguais a
a e 5a. Quai a intensidade da força F? 200 kgf
~Oem Sem
r- . +-+
jF-"A~
a) 10 kgf
b) 40 kgf
c) 160kgf
d) 5 kgf
e) 20 kgf
138
73. ENGENHARIA DE SÃO JOS~ DOS CAMPOS- Dois pistões de uma
prensa hidráulica têm áreas na razão 2 para 15. Por meio de uma alavanca
inter-resistente é aplicada uma força de 100 N no pistão de menor área.
conforme a ilustração abaixo. A força transmitida ao êmbolo maior. em
newtons, será de:
;.,.""
,..
. a) 50.
b) 10 700.
c) 6 000.
d) 930.
e) Nenhuma das respostas anteriores.'"
~.
9. b 10.b
18. c 19. c
27. c 28. b 29. b
1. e 2. b 3. c 4. e 5. d 6. b 7. b 8. b
11. b 12. d 13. a 14. e 15. a 16. a 17. a
20. c 21. c 22. 'a 23. e 24. b 25. c 26. c
30. a. 31. b 32. d 33. c
34. 1.' afirmação: correta; 2.' afirmação: falsa.
35. c 36. a
37. b (Entendendo-se por "força tota'" a "força exercida pela água".)
38. e 39. a 40. a 41. e 42. a 43. c 44. d 45. a) 0,125 m;
b) 1.1 .10' N/m". 46. e 47. d 48. x ~ 0,5 em
49. e (O líquido de maior densidade, mercúrio. deve ficar sob o líquido de menor
densidade. água.)
50. b 51. b 52. c 53. a 54. Pgás=787,8mm Hg
55. PB= 507mm Hg~ 0.67atm 56. a
~7. c (Admitindo o líquido em equilíbrio.)
58. b 59. a 60. c 61. V= 0,20 em" 62. a 63. d 64. d 65. Ilx= 2 em
66. F= 200 N; d =0.2 m. 67. b 68. P = 3.92.10. Pa 69. vazão ~ 0.042P/s
70. potência ~ 1,6. 10' W
71. d (Admitindo o líquido em equilíbrio.)
72. a 73. c
--- \\.~'"- ......
~t
..
~ ........ 11
~
(L .
')Ç"1"
~
11
11 81
1i 11 11
I 11 111
,I
cIJitU
.,
I
I ..
.
a
I il '.' . 11l:1li11
'I
111 1111
a 11 aa
'i.r-t:mpuxo exero -,"
por umLiquido - I
11
140
J
~
~tWéa~ 141
Este corpo está ocupando um volume que antes era ocupado por
uma porção do líquido. Logo, as forças que o líquido exerce sobre
o corpo são as mesmas que ele exercia sobre a porção do líquido
que ali se encontrava antes queo o corpo ocupasse seu lugar.
II
- "'
{(o .
-[~~J
t
. - .-c- --o
+-
I
fl~~d:i
t~I~~d~
~.
Empuxo
Quando um corpo é total ou parcialmente mergulhado num fluido.
ele é pressionado em todas as direções.
I
ji.
I
A porção do líquido deslocada pelo corpo estava em equilíbrio.
Logo, a resultante das forças aplicadas pelo restante do líquido
(empuxo) equilibrava o peso desta porção de líquido deslocada pelo
corpo.
Conseqüentemente, como o peso desta porção de líquido deslo-
--. --.
cada pelo corpo (PUqd..t) e o empuxo (E) exercido pelo restante do
líquido se equilibram, estas duas forças devem ter mesma direção,
mesma intensidade, sentidos contrários e mesma linha de ação.
A resultante de todas as forças aplicadas pelo fluido no corpo
nele mergulhado é denominada empuxo.
Para analisar o empuxo, vamos lançar mão da lei de Arquimedes. r
0,
Lei de Arquimedes *
Imaginemos um corpo inteiramente mergulhado no interior de
um líquido em equilíbrio. Admite-se que o líQuidoseja ideal. :11
idesltado:I,J..- ..l.,.J E = Pllq delt
--.
Pu, "" I1
D . Característicasdo empuxo- A resultante das forças que um..fluido exerce sobre um corpo nele mergulhado recebe onome de--.
empuxo (E) e tem as seguintes características:
. intensidade (E): igual à intensidade do peso do fluido deslocado;
o. direção: vertical;
. sentido: orientada de baixo para cima;
. ponto de aplicação: centro de gravidade do fluido deslocado.
.Arqulmedes de Slracusa (287 a.C. - 212 a.C.) - Cientista e matemático grego.
Foi autor de importantes trabalhos em Geometria. Inventou interessantes artefatos
militares durante o cerco. romano à cidade de Siracusa. Desenvolveu tratados sobre
centros de gravidade e corpos flutuantes pelos quais é considerado o fundador
da Mecânica teórica.. o
142
/' """
...~ <; 1'/ -, :-~---A~ -
..\ 1,
., ,
[
\
.., '... '-', -".".
~r;.i1"-.- -""-
volume do
fluido (líquido)
deslocado
~ <1
,."..."'..", "...,'\\\,,," .."..-.
-+
E
Gllq desl
/'~
~
Sre O líquido representado nas ilustrações tem densidade abso.
luta !-t, podemos escrever:
PlIqdesl= mllqdesl. 9
PlIq desl= !-tVI(qdesl. 9
Como E= PHq desl, então I E= !-tVI(q desl . g I.
~
O empuxo é basicamente devido ao fato de que a pressão na parte Inferior
do corpo é maior que a pressão na sua parte superior.
. Conseqüências da lei de Arquimedes:
I. Quandoum corpo é abandonado no interiorde um líquido. total-
mente mergulhado nele, teremos:
VI(q des\=Vcorpo
Pcorpo
!-t
c
d
J
I t
.,
-
~
~ltitff:a~ 143
,.
Primeira hipótese: se Pcorpo> E, então o corpo
Neste caso, temos Pcorpo= mcorpo. g = dVcorpo. g.
Se E= !-tVUq11051 . g, logo:
d~~>!-t~.~ ~I d>!-tl
afunda.
Assim sendo, quando a densidade de um corpo é maior do que
a densidade do líquido no qual é mergulhado, o corpo afunda.
Segunda hipótese:se Pcorpo < E, então o corpo flutua.
Neste caso, por um raciocínio análogo, temos Iri< IL I
Assim sendo,quando a densidade de um corpo é menor do que
a densidade do líquido no qual é mergulhado, o corpo vai à tona e
flutua.
Terceira hipótese: se Pcorro= E, então o corpo permanece em
repouso.
Neste caso, por um raciocínio análogo, temos Id = !-t ,
Assim sendo, quando 8 densidade de um corpo é igual à densi.
dade do líquido no qual é mergulhado, o corpo permanece em repouso
na posição em que é abandonado.
Resumindo:
ri - -
IPl'
tp
:
!~ o, ~ i
II.U \"- 1i
E Pcorpo
..
11:-.. )
~
.
1
1
~
"'.,. r
.
I
'
~', , I ;
'.'-~." . I
Pcorpo> E ~ d>!-t
corpo afunda
Pcorpo< E ~ d < f.I
corpo flutua
..
()'i
Pcorpo= E~ d = !1
corpo permanece
em repouso
o0
<tJ
0 ó '
("!ti " 'fl6"::J "
g,~:'-
.
' .
QI ., ~..
Pcorpo i
J
/
00o'.- ~
..
144
~
1. A densidade média do homem é aproximadamente igual à densidade da
água nas condições ambientais. Assim, há condições para flutuar.
Todavia, tal fato seria impraticável caso o homem tentasse nadar numa
piscina de óleo. pois a densidade do óleo é bem menor que a densidade
média do homem.
2. O empuxo de um fluido sobre um corpo colocado em seu interior
independe do material de que o corpo é constituído, bem como do fato
de o corpo ser oco ou maciço. Lembremos que E = ILVI(q desl . g.
Assim, uma esfera oca de ferro de raio r e uma esfera maciça de alumínio.
também de raio r, mergulhadas em água, estarão sujeitas ao mesmo
empuxo.
~., n
,
, tE C
~~
..
":'
8~'jJ.."I~
tE
I
~
'\esfera oca de ralo r esfera maciça de ralo r-
mesmo empuxo E
-
a
~áiúéa~ 145
3. A lei de Arquimedes aplica-se Igualmente aos líquidos e aos gases.
Assim, o empuxo tanto é responsável pela sustentação de um nadador
numa piscina, como pela elevação de um balão-sonda a partir do solo.
/':-:-.
".
/{
1/' r/,
,/ I
~ /
j
, I
):\!~-_JIfJ!J
/
.~
.
!fi./
. {I\,..r\ , \ '\.
....
.'
~
~
t "~
i'
~~
"-
'..".jt'"
( ~
1
Quando a densidade do corpo é muito maior que a do ar, o empuxo
possui Intensidade desprezível em comparação com a Intensidade da
força-peso e, em geral, não é levado em conta na análise dos fenômenos
de ascensão e queda na atmosfera.
146
4. A lei de Arquimedessó é válida quando a superfície inferior do corpo
é banhadapelo fluido que o cerca. Observe as ilustrações abaixo:
~._. - --
II
li ft. ,.
11111," '
I /I.ii1I
/,
I
1)'
I t)."
IIII I
lei de Arqulmedes
é válida
lei de Arquimedes
é válida
D
~. I
I
-~-,- ..-=.- 4)
,0. I
I
I
I
°d '-.)°0" .J
;.1"1
i':I' "I, , , 1'!11 ~
'
j ~11'. I' . ,
i I
lei de Arquimedes
não é válida
lei de Arqulmedes
não é válida
Quando não é possível aplicar a lei de Arquimedes, então devemos
analisar separadamente as forças agentes no corpo.
Exemplo:
-' ~- ~~f----
ç~h~ ,~o
h
I~
corpo em equilíbrio
no fundo do recipiente
Forças agentes no corpo:-
'corpo' exercida pela Terra;-
N., exerci da pelo fundo do recipiente;-
F. exercida pelo líquido na superfície superior do corpo;- -
FI e F2' exerci das pelo líquido nas superfícies laterais do corpo.
-
lã
~tWCa~ 147
Observe que:
a) F= pS = (Patm+ !t9h)S,onde S é a área da superfície superior do corpo.
b) FI = F2 (equilíbrio horizontal).
c) N = F + Pcorpo (equilíbrio vertical).
5. J: mais fácil elevar um corpo mergulhado em um líquido do que elevá-Ia
quando ele se encontra fora dele. É fácil explicar: uma parte do peso do
corpo é neutralizada pelo empuxo e temos a impressão de que o corpo é.mais leve" quando se encontra mergulhado no líquido.
-E
Isto significa que. quando mergulhado em um líquido. o corpo "aparenta"
ter um peso de intensidade menor. (: o peso aparente do corpo.
Em intensidade, podemos escrever:
I Paparente= Pcorpo- E I
11. Fração imersa
Imaginemos um corpo mergulhado no interior de um líquido.
Admitamos que sua densidade seja menor que a densidade do líquido.
O corpo subirá à tona e flutuará, com parte do seu volume imersa.
Id < !t I V1/q de.1 < Vcorpo
-
]
.vcorpo
GL
Pcorpo
No esquema anterior, as forças agentes no corpo são:-
. empuxo (E): exercida pelo líquido e aplicada no ponto GL,centro
de gravidade do líquido deslocado. Sua intensidade é determinada
pela expressão E= !tVlíqdesl . g.
148 t-
. peso do corpo(Pcorpo):exercida pela Terra e 'aplicada no ponto G,
centro de gravidade do corpo. Sua intensidade é determinada pela
expressão Pcorpo = mcorpo . g = dVcorpo . g.' ,
Como o corpo está em equilíbrio na posição em que se encontra,
podemos escrever:
E = Pcorpo
Logo:
fJ.Vlrq desl .rj'= dVcorpo .rj' =>
VHqdesl d
=> --
Vcorpo fJ.
A fração
VHq desl
é denominada fração imersa do volume do
Vcorpo
corpo. E escrevemos:
d
fração imersa =-
fJ.
A fração imersa é um conceito muito útil na determinação da
densidade de um corpo. Tomemos um exemplo prático.
Desejamos conhecer a densidade d de um bloco de madeira.
Para tanto, colocamos este bloco de madeira num recipiente contendo
água, cuja densidade fJ. é igual a 1 gjcm3. Medimos o volume do
líquido deslocado pela madeira e constatamos que ele corresponde
a 60% do volume do bloco de madeira. Ou seja, a fração imersa
é 0,6. Logo, a densidade d do bloco pode ser determinada:
d
fração imersa = - =>
fJ.
=> 0,6 =
d
1 gjcm3
vcorpo
bloco de madeira
de densidade d
desconhecida
bloco colocado
num recipiente
contendo' um líquido
de densidade fJ.
conhecidafração Imersa = ...!..-
fJ.
A
~ltittéa~ 149
Outro exemplo interessante de aplicação da fração iinersa diz
respeito ao gelo. A densidade do gelo é da ordem de 90% da densi-
d
dade da água do mar. Isto significa que fração imersa = - = 90%.
fJ.
Em outras palavras, quando nos deparamos com um iceberg
(blocos de gelo flutuantes no mar), estamos vendo apenas 10% do
seu volume; os restantes 90% do seu volume estão imersos. Daí
oa enormes cuidados tomados pelos navios que v.iajam por oceanos
situados em altas latitudes, onde existem muitos icebergs: a parte
Imersa do iceberg é muito maior que a parte à vista, fora da água..
..-
- <........
- -.. . -"~ ~--
/"
~,"" '~
I ]
-- -
111.Corpos flutuantes - análise da massa
Para um corpo flutuante num líquido, decorre, no equilíbrio:
r:
t
E I
Pcorpo'= E l
I
~
Mas: Pcorpo= m"orpo. g => .r \ J
=> E= PUq desl= mHq des( .g ~ G ... \
Logo:
mcorpo .1 mUq desl .j
Portanto:
/
GL p =--
Pcorpo
I. .mco;o=, mIlqdeslI
150
Em outras palavras: a massa de u~ corpo flutuante é igual à
massa do líquido que ele desloca.
r-
I
-l
navio"
,., '--'- '
J ~ ""...
. ~.:;".. .;.'.. ..:1
'~:' \," água deSlocad
.
a
-- - \ . ç. pelo navio
,"\'- ~
L
massa do navio = massa da água deslocada
IV. Equilíbrio dos corpos flutuantes
Quando um corpo estáflutuando num líquido, temos:
. VI(q desl<.:Vcurpu
. d <!J. t
. Pcorpo= E
. G = centro de gravidadedo corpo' (invariável).
. GL= centro de empuxo, coincidente com o centro de gravidade do
líquido deslocado (variávelde acordo com a posição do corpo no
interior do líquido).
Primeira hipótese:G abaixo de GL.
E
I I.J Pcorpo
Q,
~)o.
,)
.J
'li
Quando um corpoé deslocado levemente de sua posição de
equilíbrio, a força peso do corpo e a força empuxoapresentam um
momento resultante que procura girar o corpo, trazendo-o à posição
anterior de equilíbrio. O equilíbrio é estável.
I
a
7d:ú0taúéa~ 151
com GL.
I
J
~
Pcorpo I'
Quando um corpoé deslocado levemente de sua posição de equi-
líbrio, a força peso do corpo e a força empuxoapresentam um mo-
mento resultante que procura girar o corpo no sentido de trazê-Io
à posição anterior de equilíbrio. O equilíbrio é estável.
Terceira hipótese: G acima de GI-
Neste caso, o equilíbrio podeser estável, instável ou indiferente.
A análise fica facilitada com a introdução do conceito de metacentro.
Metacentro (M) é o pontode cruzamento da linha de ação do
empuxo, numa dada posição do corpo (õ), com a linha de ação do
empuxo inicial na situação de equilíbrio (À).
Exemplos:
1) M acima de G
equilíbrio estável
2) M abaixo de G
equilíbrio instável
linha de ação
do empuxo
Inicial
À:
E
~
Pcorpoi
Pcorpo
À: ,õ
,
,. E
G
IPcorpo.I
152
3) M coincide com G
equilíbrio indiferente
:15
Nesta terceira hipótese (G acima de Gd estão incluídos os casos
de flutuação de barcos e navios.
No exemplo 1- equilíbrio estável -, quanto mais baixo estiver
o centro de gravidade G do sistema, mais rápida será a restituição
do sistema à situação de equilíbrio anterior. Ou seja, quanto mais
baixo estiver G, melhor será a estabilidade do sistema. Daí o uso
de lastro nos navios.
Complementação: Hidrodinâmica
A Hidrodinâmica estuda os líquidos ideais em movimento. Não
serão levados em conta os rodamoinhos e as turbulências que os
líquidos reais normalmente apresentam quando fluem em alta velo-
cidade ou contornam obstáculos
1) Escoamento em regime permanente ou estacionário :.-. Quando
um líquido escoa no interior de um conduto. de tal modo que em
qualquer ponto a velocidade, a densidade e a pressão não se alteram
com o decurso do tempo, dizemos que o escoamento está se dando
em regime permanente ou estacionário. Neste caso, podemos repre-
sentar o escoamento do líquido através de linhas inalteradas, deno-
minadas linhas de corrente, tangentes à velocidade em cada ponto.
~--
~
~
..
..:-
.
~.,~
=-: -- ~ ----- - .e:J'
~
. -!! ....
-- -.->r --.y-
.. . ~ - ".~"'.' 1:>a..-- . ~ -- v, - " ~J
Se a velocidade. a densidade e a pressão. além de serem inva.
riáveis em cada ponto. forem também iguais em todos os pontos
~
~~
~@tCa~ 153
do líquido, o escoamento será permanente e uniforme. Neste caso,
as linhas de corrente serão todas paralelas.--.
. .. v
Q o
",,'f-
7..... ~v°c.
° .
~Q 0° '
. ;v .
..' "o ..
... -+
. ~ V <... <'"
--
2) Vazão em volume - Admitamos um conduto prismático regular
e estudemos o que acontece num volume t:J.V,delimitado pelas sec-
ções' transversais 1 e 2. de área S e de comprimento t:J.L.
t:J.t
11
v
2
...--------
,....-
t:J.L
Vamos supor, ainda, que 8 velocidade v do líquido no interior
do conduto seja constante e que todo o volume t:J.Vdo líquido passe
pela secção 2 no tempo t:J.t.
Definimos vazão em volume (O) comosendo o quociente:
BJvQ=- t:J.t
No Sistema Internacional e no Sistema Técnico. temos:
{
t:J.V = 1 m:{ m3
para => Q = 1-
!:J.t= 1 s s
No CGS. temos:
{
t:J.V = 1'~m3
para
t:J.t= 1 s => Q = 1 cm3s
A expressão da vazão em volume
Sendo o volume t:J.V= t:J.LS,temos:
t:J.V t:J.LS
Q=-=-
t:J.t t:J.t
poderá assumir outraforma.
/
I
154
~L
Mas - = v; logo:
~t
I Q=Sv I
3) Escoamento em regime permanente - equação da continui-
dade - A expressão da vazão em volume, Q = Sv, foi desenvolvida
admitindo que a velocidade do líquido fosse constante. em todos os
pontos, ou seja, que o líquido tivesse escoamento uniforme. Entre-
tanto, esta expressão continua váliéla mesmo que o escoamento não
seja uniforme, desde que tomemos um conputo percorrido. por um
líquido em regime permanente e de dimensões tais que, numa dada
secção transversal, possamos considerar sua velocidade constante
em todos os pontos da secção.
Como os líquidos ideais são incompressíveis, o volume de líquiao
que passa por uma secção num determinado intervalo de tempo
deverá ser o mesmo que está passando pelas demais secções do
conduto no mesmo intervalo, de modo a não haver acúmulo de
líqtlido ao longo do conduto.
Logo, ao longo de um conduto de secções transversais de áreas
SI, ~, 5a, ..., 5n e velocidades VI, V2,Va, ..., Vn podemos escrever
Q =,SlVl = S2V2 = Ssvs = .. . = SnVn = constante, ou seja:
I Q= Sv= constante I (equação da continuidade)
S2
SI
ir,
t
Sa /"' 'f
;r--c ~ f
t., + vs\f
~
--..
VI
o fato de o produto 5v permanecer constante ao longo do con-
duto permite interpretar o aspecto das linhas de corrente. Numa
região estreita, as linhas devem ser mais próximas umas das outras
do que numa região larga. Assim, quando o conduto se afunila, a
distância entre as linhas diminui e a velocidade do. líquido deve
aumentar; quando o conduto se alarga, a distância entre as linhas
aumenta e a velocidade do líquido deve diminuir. A área da secção
-.-=---=~Iêítff:a - 155
transversal e a intensidade da velocidade são inversamente propor-
cionais.
SI
"
0.....- V
.1
"\
~ s~ 'l", o
" .. , ,
~ ..
.
J
\L__~.,-
SI> SI!=:::}VI < Vil
4) Lei de Bernoulli* - Consideremos um líquido ideal (não-vis-
coso, incompressível) escoando em regime permanente pelo conduto
indicado na figura a seguir.
VI
SI ..
FI=PI ITI... . .
..
.
. -~
~~. - '. ~
f. " " '"
I-_ifl., (1). """"" ~- . ~V2 ~ .
h, "~-~~f - -~-f.~'h1~ - - -91(2). Af",
nível de referência (plano horizontal)
O trecho à esquerda tem uma secção transversal de área SI
uniforme. É horizontal e está a uma altura hl acima do plano hori-
zontal de referência. O trecho à direita tem uma secção transversal
de área S2 uniforme. É horizontal e está a uma altura h2 do nível
de referência.
Analisemos o volume de líquido hachurado que, no mesmo inter-
valo de tempo, pássa pelas sec;ções (1) e (2) de áreas SI e 52.
Como o líquido é incompressível, podemos escrever:
m
V = SI~Rl = S2~R:!=-
IJ.
onde V é o volume da porção de líquido de densidade IJ.e massa m
que passa no mesmo intervalo de tempo pelas secções transversais
(1) e (2) do conduto.
.Daniel Bernoulll (1700-1782)- Matemático e físico suiço. Fez contribuições subs.
tanciais para a teoria da probabilidade e estabeleceu as bases para a teoria cinética
dos gases. Realizou relevantes trabalhos sobre astronomia, gravitação. marés e
correntes oceânicas e desenvolveu importantes estudos sobre mecânica dos fluidos.
156
Nos pontos da parte estreita (à esquerda), a pressão do líquido
é Pl e a velocidade, VI, e o líquido avança uma distância I1fl paralela
à força de intensidade FI = P1S1exercida pelo restante do líquido.
O trabalho realizado sobre o volume de líquido analisado vale:
'tFl = FII1RI = PISII1RI
Nos pontos da parte larga (à direita), a pressão do líquido é P2
e a velocidade. V2, e o líquido avança uma distância I1R2 contra uma
força de intensidade F2 = P2S2 exercida pelo restante do líquido. O
trabalho realizado sobre o volume de líquido analisado vale:
't F = -F~I1R.,= - p..S~t:.R~2 - - - -. -
Como se supõe que o líquido é não-viscoso, o trabalho total
-+ -+
realizado pelas forças de pressão FI e F2, exercidas pelo restante
do fluido sobre o volume de líquido analisado, será igual à variação
total de energia entre as secções (1) e (2). E é bom notar que apenas
as porções hachuradas contribuem para a variação de energia. A
porção intermediária é idêntica no transcorrer do tempo.
Assim:
trabalho total = variação total de energia
'tF. + 't~2= ~Ecill+ ~Epll1 81'a" .
P1S1I1R1 - P2S2t:.R2= (: mv~- + mv~) + (mgh2- mghd
p.j - pl = + ~jv~- + rlv~ + ry!gh2 - ~9hl
1 ., 1 2
p. - P2= - ~v: - - ~v 1+ ~gh2 - ~ghl2 - 2
Decorre, então:
1 q h . 1 q hp. +- r.w-. + ~g I = P2 + - ~v: + ~g 22 . 2 - (equação deBernoulli)
~
1. Como os índices 1 e 2 se referem a quaisquer pares ,de pontos do
liquido ao longo do conduto, podemos escrever:
I p + + ~V2 + ~~h= constante I
2. A equação de Bernoulli se aplica. a rigor. apenas ao regime permanente
e as grandezas envolvidas devem ser consideradas ao longo de uma
mesma linha de corrente. A constante mencionada na observação anterior
não é igual para todas as linhas de corrente de um' conduto.
..
=
-
~
~tMéa~ 157
3. A equação de Bernoulli acima refere-se a processos isotérmicos
(temperatura constante).
4. Num fluido compressível e viscoso surgirão forças de atrito e parte
do trabalho, calculado para o fluido incompressível. se transformará em
energia térmica, e teremos:
trabalho - variação de . . .
total - energia mecânica + Q(energla termlca)
5. A Hidrostátlca é um caso particular da Hldrodlnâmica. Para um liquido
em repouso, teremos VI = V2 = O e decorre:
1 2 1 2
Pl + 2~VI + ~ghl = P2 + 2~V2 + ~gh2 =>
=> PI + ~ghl = P2+ ~gh2 =>
=> P2= PI + ~g(hl - h2)
Fazendohl - h2= h, obtemos:
I P2= PI + ~gh I (lei de Stevin)
5) Aplicações da equação de Bernoulli
a) Tubo de Venturi
É um medidor que se coloca nos condutos para determinar a
velocidade dos líquidos.
Consideremos um conduto cuja área de suas secções trans-
versais seja variável. Ou seja, o conduto sofre contrações em
algumas de suas regiões relativamente a outras.
-1;1 '~ H ~-. .....
". '.(2) Z
(V ' ,. . f -:-"
.
' o. r v I - . .
"1 ./-., ': ,.fe_~
Tomemos um ponto (1) numa secção mais larga e um ponto (2)
numa secção mais estreita e admitamos que eles estejam à mesma
altura do nível de referência, isto é, hl = h2.
Assim sendo, aplical;1do a equação de Bernoulli a estes dois
pontos do -líquido, temos:
Pl +.!...~v~ + ~gh1 = P2 + ~ ~v; + ~gh2,22
158
Como hl = h~, decorre:
1" 1 2
PI +-ttv~=p~+-ttV2 (I)
2 2
Sendo o líquido incompressível por hipótese, ele não pode se
acumular ao longo do conduto e sua densidade tt permanece cons-
tante. Pela equação da continuidade, a vazão do líquido é constante
ao longo das diversas secções, isto é, SIVI = S2V2.
Como SI > S2, decorre VI < V2.
Logo, tendo em vista a expressão (1), Pl > P2.
É exatamente isto que indica a coluna de líquido situado acima
das secções onde se encontram os pontos (1) e (2).
Determinando, pela lei de Stevin, as pressões em (1) e (2) e
levando em conta a equação da continuidade, é possível, através da
expressão (1), determinar as velocidades VI e V2.
Resumindo:
Num conduto onde escoa um líquido incompressível e não-
-viscoso, nas regiões mais estreitas a pressão é menor e a velocidade
é mais intensa.
--~
(
. \ p] > P2 v"
V (2) -~(1) 1.. ..
:. /~V~ <v~- _..J~
b) Sustentação de avião
A ~quação de Bernoulli se aplica também aos gases e atravésdela se pode explicar, por exemplo, a sustentação de um avião em
movimento no ar.
A secção transversal de uma asa de avião é vista no esquema
a seguir. Devido ao formato da asa, a velocidade do ar na face
superior é maior que na face inferior,' isto é, V2> VI. A maior con-
centração de linhas de corrente na face superior indica que ali a
velocidade é maior.
Portanto, com raciocínio análogo ao do exemplo anterior, con-
cluímos que a pressão do ar na face superior da asa é menor que a
pressão do ar na face inferior. isto é. P2.< PI.
-
4at
~-=
~121&a - ..159
A diferença de pressões do ar entre as faces superior e inferior
dá origem ao surgimento de uma força resultante vertical na asa,
orientada para cima.
~
J'2- .....
-~ ~
i ~~,
--
VI FI
Esta força vertical na asa é denominada" força de sustentação".
É a responsável pela sustentação do avião no ar durante o seu movi.
mento.
c) Bola num jato de ar
Uma bola leve pode ser mantida ..flutuando" no ar, como mostra
o esquema abaixo. Para isto basta fazer passar entre as superfícies
da bola e do funil uma corrente de ar em alta velocidade. Haverá,
então, uma diferença de pressão entre a parte superior (pressão
baixa) e a parte inferior da bola (pressão atmosférica, mais alta).
.....
que dará origem a uma força vertical F para cima. que equilibrará
.....
o peso P da bola, suportando-a enquanto" flutua".
entrada do ar
~
I V' v
-,.-=-160 C/fi / - '~~-' 161
, ~ '
d) Spray A O esquema (I) mostra a trajetória do centro de gravidade da
~ B' nB bola, quando ela descreve um movimento de translação pura, através" , '" &1J. ,, '-" - .w - d .d do ar que a circunda. Devido ao atrito, uma fina "lâmina" de ar épressao re UZI a '_.ar -- arrastada pela bola em seu movimentode rotação. Na região B do
esquema (11),esta ~'Iâmina" se move no mesmo sentido do ar circun-'
dante e, portanto, a velocidade resultante é igual à soma das velo-
cidades do ar devidas à rotação e à translação (ambas orientadas,
para a esquerda). Na região A do esquema (11).a velocidade do ar
devida à rotação (orientada para a direita) tem sentido contrário ao
da velocidade de translação (orientada para' a esquerda) e. portanto.
a velocidade resultante tem intensidade menor que na região B.
Deste modo. a pressão do ar é maior em A (onde a velocidade
do ar é menor) e a trajetória do centro de gravidade da bola assume
a forma curvilínea indicada no esquema (11).
Os jogadores de futebol se utilizam muito deste efeito do ar
sobre bolas em translação com rotação. Surgem. então, os ,chamados
chutes" com efeito'" ("folha seca ").
f) Experiência simples
Seguremos uma folha de papel horizontalmente por uma extre-
midade, deixando livre a outra extremidade, e sopremos pela parte
superior. A extremidade livre da folha se levanta.
Ao soprar, pusemos ar em movimento, reduzindo a pressão sobre
a superfície superior e tornando-a menor que a pressão exercida pelo
ar sobre a superfície inferior. A folha de papel é" então, empurrada
para cima pelo ar.
O pistão A do spray cria uma corrente de ar que passa pela
extremidade superior do tubo D (ponto B). O tubo D, por sua vez,
encontra-se imerso no líquido a ser atomizado. A corrente de ar
que passa por B reduz a pressão sobre o líquido naquele ponto. O
ar existente sobre a superfície livre do líquido em C força o líquido
para cima no tubo. Forma-se, então. em B, uma mistura de ar com
as partículas do líquido que vão subindo: é o spray que, carregado
pela corrente, precipita-se no ambiente.
e) Bola em translação com rotação
É do conhecimento geral que uma bola segue uma trajetória
curvilínea. quando atirada no ar com alta velocidade de translação,
aliada a uma certa rotação ao redor do eixo que passa pelo seu centro
de gravidade.
A equação de Bernoulli explica facilmente este acontecimento.
(I) - -: .-'--- --~
~---~~ - ,
- ~" , . , ~ ~',' ", - - trajetória dar:~ ' , bola em: ",. ." , movimento de, , ". translação pura: ~ -- - através do ar
/~
'~,
trajetória da bola
em movimento de
translação
com rotação
através do ar
I~
I.
t~.
-
162
g) Constatações práticas
Num fluido, onde a velocidade 'é maior a
Esta conseqüência da equação de Bernoulli
fatos:
1) Dois barcos movendo-se paralelamente no mesmo sentido são
impelidos um contra o outro.
2) Dois automóveis que se deslocam paralelamente são empurrados
um contra o outro.
3) 'Nas estações de trem e metrô, Q passageiro deve evitar aproxi.
mar-se da borda da plataforma junto à linha, pois o trem, ao passar
em alta velocidade, provoca uma diferença de pressão do ar,
fazendo com que o passageiro seja empurrado contra o trem.
4) Nas estradas de rodagem ou nas vias expressas, o transeunte
deve evitar ficar próximo. dos veículos que passam. A diferença
de pressão que surge entre o ar às suas costas e o ar à sua frente
pode fazer com que a pessoa seja empurrada contra o veículo.
h) Lei de Torricelli
A lei de Torricelli permite calcular a velocidade de escoamento
de um líquido através de um orifício num grande reservatório, a uma
profundidade h abaixo do nível d~ líquido.
r fI) l:;\~\ - 'r;:-r - r -
pressão é menor.
explica QS seguintes
.,
~1...:iIII
h
v
nivel de. referência
(3)
. o ~
Aplicando a equação de Bernoulli à linha de corrente que passa
pelos pontos (1)-(2)-(3), temos:
1.. ' h 12 hPl + - (.I.V~l + (.I.g 1 = pa + - (.I.V,! +. (.I.g:I (I)
22'
Tomando como nível de referência o plano horizontal que passa
pelo ponto (3) - orifício -, observando que a' pressão nos pontos
(1) e (3) é a própria pressão atmosférica e admitindo que a velo-
.&.a
~ltfâéa~ 163
f IlInde de descida do nível do líquido seja desprezível quando com.
pl1llldfl com a velocidade em (3), pois o reservatório é de grandes
dln",nsóes, temos:
p. p:l = patm
v. ~ O
VII v
h.
h:1
h
O
Substituindo estes valores na expressão
- 1 2
P.I'" t- O + (.I.gh - palm + - IJ,.V+ O
2-" '-
(1), temos:
[ decorre:
v' 2gh ~ I v =~ I
~
~ " i
IlJVCST - Um cofre, de massa 1 800 kg e volume 1,5 ma, herme.
tlcamente fechado, caiu no fundo do mar, num local onde a
profundidad,eda águaé de 15m. Pararesgatá-Io,empregou-seum-
lIulndaste que, exercendo uma força vertical constante 'F, elevou
li cofre até a superfície, com movimento uniforme. Densidade
tln lIgua do mar: 1 050 kgJm3.-
li) Qual a intensidade de F? -
11)Qual o valor do trabalho realizado por F nessa operação?
1t1,/iOIIlÇÕO:
11) As forças agentes no
l' força do guindaste.
cofre durante a elevação são: empuxo, peso
164
p
~-o
.-
o ..
c.-'.
.. ,
p
c. .
A elevação do cofre se realiza em movimento retilíneo e uniforme
(equilíbrio dinâmico). Logo, 11 resultante das forças agentes no
cofre é nula. E, observando o esquema acima, podemos escrever
F + E = P (I).
Sendo E= fJ.&gua. V&guade.1 . g => E = I 050 . 1,5 . 10 =>
=> E = 15 750 N e P = mcufre. g => P = I 800 . 10 =>
=> P = 18000 N, substituindo as intensidades do empuxo e do peso
na expressão (I), temos:
F + 15750= 18000 =>
=> F = 18000 - 15 750 =>
=> IF = 2 250 N I
-+ -+
b) Como a força F é constante e o deslocamento ~r do cofre é reti-
-+
líneo, na mesma direção e sentido da força F, o seu trabalho pode
ser calculado através da expressão 'tF= F~r, onde F= 2250 N e
âr = 15m.
Logo: 'tF= 2 250 . 15 =>
=> I 'tF =33 750 J I
Respostas: a) 2250 N; b) 33750 J.
2. MEDICINADE.SANTO AMARa - Um pedaço de metal de 50 g
e densidade 7.8 g/cm:1 é largado num lago de 10,0m de profun-
didade. A velocidade do metal, ao atingir o fundo do lago. é de:
a) 8.7 m/s. d) 18.1m/s.
b) 10,5 m/s. e) Nenhuma das respostas
c) 13,2 m/s. anteriores.
Resolução: Na análise do exercício consideraremos desprezível a força
de resistência da água ao movimento do corpo e admitiremos que o
móvel tenha sido largado na superfície do lago com velocidade inicial
nula.
-
a
~«méa~ 165
Ali forças que agem no corpo durante o movimento são: peso e
l'rnpuxo. ---,
superfície do lago
r -.
~s ~E.~
t " -{ I<. fundo do lagj-.. r fJ..~~ --IU '.Áo-
I'dll lei de Arquimedes, temos:
p ItVliq desl . g =>
> E = iLVcorpo. g
{
fJ.= I g/ cms (água)
onde Vcorpo=m/d= 50/7,8 R: 6,4 cms
g = 1 000 cm/s2
I.ogo:
I1 I. 6,4 . I 000 =>
>E -=6 400 dyn
1'111'1111força-peso, temos.:
I' mg =>
) I' = 50 . 1 000 =>
) I) -50000 dyn
I'do Princípio Fundamental da Dinâmica, aplicado ao corpo, temos:
I( ma=>
>1' E = ma=>
P-E
) 1\ =>
m
50 000 - 6 400
50
I li 872 cm/'/;'4 I (constánte)
Aphl'lIndo a equação de Torricelli durante
""lll'rtkie até o fundo do lago, decorre:
'li =>
o deslocamento, desde a
~
VIIII
~
VIII+ 2a~S
166 I
{
Vin =O
onde a= 872 cm/s2
~S= 10,0 m= 1000 cm
Logo:
2
Vfjn= 02 + 2 . 872 . 1 000 => Vfjn= V 1 744 000 =>
=> Vfin::::::1 321 cm/s =>
=>1 Vfjn::::::13,2 m/s I
Resposta: alternativa c.
3. FUVEST- Um barco de massa igual a 200 kg está flutuando na
água. Espalham-se moedas de 10 gramas no fundo do barco. até
que o volume da parte submersa passe a ser de 0,25 ma. Sabe-se
que o barco continua flutuando. O número de moedas espa-
lhadas é:
a) 500.
b) 5000.
c) 50000.
Resolução:
d) 500000.
e) 5 000 000.
;
u..
p . .
As forças agentes no conjunto (barco-moedas) são:
Na situação de equilíbrio, temos E=P.
Sabemosque: E=Plíq desl =mlíq desl . g
P = mconjunto. g
peso e empuxo.
Logo:
=> mHq des) . t = mconjunlo.:i =>
=> mlíq desl = mconjunlo=>
=> !1V líq desl = mbarco+ nmmoeda ~
onde
{
!1=densidade da águ1l.= 1 000 kg/ ma
V1íq desl=0,25 m:!
mbarco= 200 kg
mmoeda= 19 gramas = 0,01 kg
n = númerode moedas
-
a~~~ 167
E vem:
1000 . 0,25 = 200 + n . 0,01=>
=>250 = 200+ n . 0,01 =>
=>50 = n . 0,01 =>
50
=>n= In=5000\=>
'0,01
Resposta: alternativa b.
4. MEDICINADA SANTA CASA - Um corpo de massa 50.0 kg e
volume de 12,5 litros é mergulhado na água. O dinamômetro,
calibrado em kgf. deve indicar, mais aproximadamente:
r.- "'?;Z"~.d'" '?".;:tr'
o'
;.....--_.. .:;
a) 37.5.
b) 50.
c) 62,5.
d) 37,5 . 9.8.
e) 50. 9.8.
Resolução: Admitindo que a aceleração da gravidade seja normal, isto
é, g = 9,80665 m/s2, e levando em conta. a definição de kgf, o peso
do corpo é de intensidade P= 50,0 kgf.
O dinamômetro,entretanto, não indica o peso do corpo mas' a intensi-
dade da força de tração no fio que deforma sua mola. Ou seja, o
dinamômetro indica T.
dinamõmetro
indica T
p
]
I
1
. I
.: o;' I
'. II
() corpo em questão está submetido à ação de 3 forças: peso, empuxo
r tração.
168
Na situação de equilíbrio, temos T+ E = P ~ T = P - E (I).
Mas E= PI(q desl =ml(q desl ' g = ,~V1rq desl . g.
Para r~= loa ~ e Vlrqdesl= 12,5e= 12,5 . 10-:1ma, vem:
m3
E = 103. 12,5 . 10-3 . g= 12,5g ~ E= 12,5 kgf
Como P= 50,0 kgf, substituindo em (I), temos:
T = 50,0 - 12,5 ~
~I T = 37,5 kgf'!
Resposta: alternativa a.
Observação: Esta indicáção do dinamômetro (T) é denominada peso
aparente do corpo.
5. FEl - Uma haste cilíndrica. de secção 5 e altura h. flutua verti-
calmente na água. Sabendo-se que a parte emersa da haste
corresponde a 3hj8, determine a sua densidade.
Resolução:
Na situação de equilíbrio, podemos escrever E= P (I).
,
2.If,
8
- -- -
Para o empuxo, temos E= 11V Irq desl . g (2), onde VIlq de.. corres-
ponde ao volume da parte imersa da haste.
5 5
Logo, Vllq desl =S . - h=- Sh que, substituído em (2), resulta
,88
5
E = 11. - Shg (3).
8
Por outro lado, para o peso da haste temos P=mg=dVg = dShg (4),
onde d é a densidade da haste.
-
~
~~~ 169
Voltando com os valores de E e P, dados pelas expressões (3) e (4),
na expressão (1), decorre:
IL ~ ~~~= d~~t ~
~ Id ~ 1~1(5)
Na expressão (5), admitindo que a densidade da água seja 11= 1g/cm3,
temos:
5
d=-. I ~
8
~ I d ~ O,62~/cm:1 I
Resposta: A densidade da haste será de aproximadamente 0,62 g/cm3.
Observação: Podemos resolver esta questão aplicando diretamente a teoria
da fração imersa. Ou seja:
- d
fraçao imersa = - ~
I~
~
volume imerso
volume da haste
d
=-~
I~
5
-hS
8 d
~ -=-~
hS I~
~ I d = : I~ I
6. INATEL- Um cubo de ma-
I
.~
deira de 10cm de aresta ;1
e massa específica de 0,5
gjcma flutua num vaso com (
7i-
água. Derrama-se na água óleo (110)
óleo de massa específica
0.8 gjcm3 até que a face su-
perior da camada de óleo
fique 4 cm abaixo da face
~
I
superior do cubo. Qual a I
profundidade da camada de ~ água (l1a)
óleo?
,... a
I 7" ...;
"
d
bloco de
, madeira
(11m) ~~]
r,
" o~
o
o
\ 'J
o
170
. Resolução: As forças agentes no cubo na direção vertical são: empuxo
c peso.
I
I I- -. "
d 1
'~
.
'.
.
,:';":--
l
h
~
I
a 01
I~ ,
I -E
;0 0°.
4g~a(!-ta)
!-to. I
li:
fJ
<...o
~
p
Na situação de equilíbrio, temos E=P.
Mas: E= Eó1eo+ Ea'gua (o empuxo recebido pel\o corpo é devido ao
óleo ~ à água)
Como E= !-toVó1eo desl . g + !-taVa'gua desl . g ~
~ E = !-toa2hg+ !-taa~(a- d - h)g
e P = mmg= !-tmVmg= !-tma:lg,
temos: !-tolhi+ !-tal(a- d - h~= !-tmt1
E vem:
!-toh+ !-ta(a- d - h) = !-tma~
~ !-toh+ !-taa- !-tad- !-tah = !-tma~
~ (!-to- !-ta)h= !-tma- !-taa+ !-tad~
~ (!-to- !-ta)h= (!-tm- !-ta)a+ !-tad~
~ h = (!-tm- !-ta)a+ !-tad
(!-to- !-ta)
!-tm= 0,5 g/ cm3
!-ta= I g/cm:{
!-to= 0,8 g/ cm:1
a = 10cm
d=4cm
Finalmente:
onde
(0,5 - I) . 10+ I . 4
h= ~
(0,8 - 1)
~1.h=5cm I
Resposta: A profundidade da camada de óleo é de 5 cm.
~
~
~lêlâéa~ 171
7. MACKENZIE- Uma grande caixa-d'água sobre uma torre é esgo-
tada por um tubo de secção constante. Seja d a densidade abso-
luta da água e v a velocidade de escoamento no ponto A do tubo.
Fechando-se o registro R, a pressão no ponto A:
t
. .. .'
h
'" 0/ .}
, ~~'~I!lt
--.... '
R
,
A
"---
d) diminui de dv~/2.
e) aumenta de dv2/2.
a) permanece a mesma.
b) aumenta de dgh.
c) diminui de dgh.
Resolução:A equação de Bernoullinos permite concluirque a expressão
I
p + - dv2+ dgh é constante para qualquer ponto do líquido, em
2
particular para o ponto A.
Adotando como nível de referência o plano horizontal que passa pelo
ponto A, chamando de p a pressão no ponto A antes de fechar o
registro R e dep' a pressão no mesmo ponto no instante em que o
registro R é fechado, temos:
I 1.
P + -dv2 + dgh = p' + -dv'~ + dgh'
2 2
, h = h' = O (ponto A situado no nível de referência)onde ~
tv' = O (velocidadedo líquido se anula no ponto A quando
se fecha o registro R) .
E decorre:
P+ + dv' = p' => I p' - p =+ dv' I
A expressão enquadrada nos leva a concluir que no instante em que
se fecha o registro R a pressão no ponto A sofre uma variação positiva
I 1
igual a- dv2. Ou seja, a pressão no ponto A aumenta de- dv2.
2 2
Resposta: alternativa e.
172
-
~
~âiúéa~ 173
8. UNIVERSIDADEDE lORENA - Um grande recipiente cilíndrico,
aberto, está cheio de água até uma altura de 1,25 m. Se fizermos
um pequeno orifício, de área 1,0 cm2, circular, no fundo do reci-
piente, qual será a vazão da água? Use g= 10 m/s2.
Resolução: Aplicando a equação de Bernoulli aos pontos (1) e (2)
do líquido, situados numa mesma linha de corrente, temos:
E vem:
1 "
'_tm + O+ !J.gh = f.tm+ 2"ILV;+ O~
~ V~= y2gi1 =>
=> V~= '/ 2 . 10 . 1,25 =>
~ Iv~ = 5 m/ s I
E a vazão da água,
52 = 1,0 cm2= 1,0 .
Então:
Q = 1,0 . 10-4 . 5 =>
=> I Q =5 . 10-4 ma/ s I
Adotando a relação I m3= 103 litros, podemos escrever:
I Q = 0,5 e;s I
Resposta: A vazão da. água será de 0,5 litro/segundo.
I 2 1 2
PI + - !J.VI + !J.ghl= p~ + - !J.V~+ !J.gh2
2 2
{
PI = P~ = palm
VI ~O
onde hl = h
h2= O
. 1Ir-~-
I
(1) i
I
,
h =1,25m
.0 . I
""',.o I. ,../ '
!J. . (2)
52 = 1,0 cm2~~I~
1. UNIVERSIDADEDO CEARÁ- Um cubo está totalmente imerso em um
líquido. As forças devidas exclusivamente à pressão exercida pelo líquido
são melhor representadas por:
b)
!U!!-
0
-- -- -- -- -
ttttt
d)
rUi!-
0
-'- -- -- -'- -
ttttt
2. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS- Na figura abaixo, mostra-se um bloco
de metal maciço e homogêneo, suspenso por um fio e mergulhado na água.
A densidade do metal é maior do que a densidade da água. Qual das forças
representadas na figura melhor indica o empuxo exercido sobre o metal?.
através do orifício, é dada por Q=52v2, onde
10-4 m2 e V2 = 5 m/s.
v
-+
n) a
-+
d) d
-+
b) b
-+
e) e
-+
c) C
a)
U!!!-0-- -)oI - -- -- -
9= 10mil ftttf
c)
o.I HH-0-- -nível - -- -.C;..Jj - ----.de referência
fftff
-...,
fii
,
-+ -+
ic I 'e !
-+
b
174
3. UNIVERSIDADEFEDERAL DO PARÁ- Um corpo totalmente imerso
em um líquido em equilíbrio recebe deste um empuxo igual:
a) ao volume da porção líquida deslocada.
b) a seu próprio peso.
c) à massa da porção líquida deslocada.
d) a seu peso aparente.
e) ao peso da porção líquida deslocada.
4. UNIVERSIDADE DE SERGIPE - Um corpo de densidade D e massa M
está totalmente imerso em um líquido de densidade d. Qual é o empuxo que
atua sobre este corpo? (Nas fórmulas seguintes, g é a aceleração da gravi-
dade.)
M
a)-
D
M
b) -g
D
c) dg
D
d) d-g
M
M
e) d-g
D
5. UNESP - Um cilindro graduado contém água. Ao nívei da superfície livre,
a leitura é L=42 cm3. Um sólido maciço (sem porosidade) tem massa
m = 30 g. Mergulhando-o totalmente na água, a superfície livre se eleva
até o nível de leitura L' = 54 cm:!.
~
-
a) A massa (verdadeira) do sólido diminui.
b) O peso (verdadeiro) do sólido diminui.
c) A densidade absoluta do sólido é menor que a da água.
d) O volume do sólido é V= 12 em3.
e) n. d. a.
6. UNIVERSIDADE DE SALVADOR - Um ovo cozido pode ficar em
equilíbrio indiferente no interior de água salgada. Se o volume do ovo é
80,0 cm3 e sua massa é 90,0 g, qual a c;iensidade da água salgada?
a) 0,64 g/cm3 d)I,12 g/cm3
b) 0,38 g/cm3 e) 1,72 g/cm3
c) 1,00 g/cm3
.
~
À
~eWéa~ 175
7. FMU - O fato de uma rolha de cortiça boiar
água significa que:
a) a cortiça possui maior densidade que a água.
b) a cortiça possui menor densidade que a água.
c) a densidade da cortiça e a da água são iguais.
d) a densidade da cortiça é desprezível.
parcialmente imersa na
8. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - A figura abaixo mostra a posição de
um cubo de gelo (G) e de um ovo, em três líquidos (1, 2 e 3). Em qual
das seguintes alternativas os líquidos estão ordenados de acordo com a ordem
crescente de suas densidades?
~~.
-:.,.
~'ci~~1
C"
(> .e. "
.. . . o .'"
'. " . .. ".
b.
1
a) 1, 2 e 3.
b) 1, 3 e 2.
c) 2, 1 e 3.
9. ENGENHARIA DE UNS - Mergulhando-se um mesmo sólido sucessiva-
mente em dois líquidos diferentes, o empuxo sobre o sólido:
a) é maior no líquido menos denso.
b) é maior no líquido mais denso.
c) é o mesmo em ambos os líquidos, pois o volume do líquido deslocado
é o mesmo 110Sdois casos.
d) é sempre igual ao peso do sólido.
e) não goza de nenhuma das propriedades enunciadas.
i !,
2 3
d) 2, 3 e 1.
e) 3, 2 e 1.
10. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO- Certa esfera rí-
gida tem 6,0 g de massa e sua massa específica é 0,80 g/ cm:!. Sabendo-se
que a aceleração local da gravidade é de 9,8 m/s2 e que a referida esfera
está totalmente imersa num líquido de massa específica 0,90 g/ cm3, calcular,
em newtons, o empuxo exercido sobre ela.
11. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPIRITO SANTO- Têm-seduas es-
feras com massas iguais, sendo uma de chumbo e outra de ferro. Sabe-se
que a densidade do chumbo é maior que a do ferro. Se as duas esferas são
mergulhadas em um mesmo líquido:
a) o empuxo será maior no ferro do que no chumbo.
b) o empuxo será maior no chumbo do que no -ferro.
c) é preciso conhecer a densidade do líquido para se afirmar qualquer coisa
d) o empuxo é o mesmo para as duas esferas.
e) n. r. a. .
176
-
-==-
~..177
12. UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS - Afirmação: Uma
pessoa não conseguiria flutuar em uma piscina cheia de azeite.
porque
Razão: A densidade média do corpo humano, quando uma pessoa está com
os pulmões cheios de ar, é de cerca de I g/cm3.
a) Afirmação e razão corretas; a razão justifica a afirmação.
b) Afirmação e razão corretas; a razão não justifica a afirmação
c) Afirmação correta; razão errada.
d) Afirmação errada; razão correta.
e) Afirmação e razão' erradas.
13. FACULDADES REUNIDAS NUNO DE LISBOA - Uma bola maciça de
massa específica maior que a da água é abandonada no ponto P do fundo
de uma piscina cheia, como ilustra a figura. Dentre as afirmativas, qual a
correta?
._--
o ~
~
~A
L
~
.,0
I
1
, i
6" -
~~ ,.. ~ .
L!J
. ,
Q ~ .' ~-~
' :d~~I
.~
4':".3
Ó51
a) A esfera subirá verticalmente.
b) A esfera ficará parada.
c) A esfera rolará para a parte mais funda da piscina.
d) A esfera rolará para a parte mais rasa da piscina.
e) Nenhuma das afirmativas anteriores.
14. MEDICINA DE TAUBATÉ - Dois líquidos 1 e 2, não-miscíveis, de den-
sidades dI e d2, e uma bolinha de densidade d são despejados num recipiente.
Dad'o que dI < d2 < d, descreva como ficarão as coisas no equilíbrio.
a) Líquido 1 por cima e a bolinha imersa à altura da superfície de separação
dos dois líquidos.
b) Líquido 2 por cima e a bolinha flutuando sobre ele.
c) Líquido 1 por cima e a bolinha flutuando sobre ele.
d) Líquido 2 por cima e a bolinha no fundo do recipiente.
e) Líquido 1 por cima e a bolinha no fundo do recipiente.
15. FUVEST - Um cubo maciço de metal com 1,0 cm de aresta e densidade
igual a 8,0 g/ cm:1 está a 1,0 m de profundidade, no interior de um recipiente
contendo água. Suspende-se lentamente o cubo, com o auxílio de um fio
muito fino, até uma profundidadede 20 cm. Pede-se: .
a) o empuxo da água sobre o cubo.
b) o gráfico da pressão exercida pela água em função da profundidade, entre
1,0 m e 20 cm.
Dados: densidade da água= 1,0 g/cm3; aceleração da gravidade= 10 m/s2.
16. FEl - Um submarino viaja com velocidade constante em relação à água,
em linha reta e em posição horizontal. Em dado instante são desligados os
motores e ele perde velocidade até parar. Faça um esquema de todas as
forças externas que agem no submarino:
a) depois de desligar os motores e antes de parar.
b) depois de parar.
17. MEDICINA DA SANTA CASA - O balão A, de 1 m3, está mergulhado
em mercúrio, de densidade 13,6 g/ cm:\ no qual permanece suspenso, preso
ao fundo por um fio. A massa do balão é igual a 103 kg. A aceleração da
gravidade local é de 10 m/s2. A força de tração exercida no fio é igual. em
newtons, a:
(1)
. j
d) 1,36 . 100.
e) 1,26 . 1010
a) 104.
b) 13,6 . 104.
c) 1,26. 105,
18. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - Um bloco de
ferro pesa 140 N. Que força devemos fazer para segurá-I o quando estiver
mergulhado em água? (Peso específico do ferro= 0,07 N/cm:\ peso especí-
fico da água= 0,01 N/cm3; aceleração da gravidade= 10 m/s2.)
19. MACKENZIE - Um bloco de madeira de densidade relativa 0,8 está total-
mente imerso em água (densidade relativa= 1,0). Adotar g = 10 m . S-2 e
desprezar os atritos. Abandonando-se o bloco, a sua aceleração será:
a) 2,5 m . S-2 para cima.
b) 2,5 m . S-2 para baixo.
c) nula, pois o bloco está em repouso
d) 0,8 m . S-2 para cima.
e) 1,0 m . S-2 para baixo.
178
'::;L
~!tlúéa~ 17CJ
23. CESCEA- eonsidere, um recipi~nte com, um, líquido, submetido 11 umn
aceh;ração vertical a, dirigida para cima. Sendo h a profundidade do líquido
e fJ. sua massa específica, a variação da pressão com a profundidad~' (
dada por:
a) p = 'fJ.h(g- a).
b) p = .fJ.h(g+ a).
c) p = fJ.hg~+ ;: j. .
24. FEl - Uma esfera maciça de raio R= 15 cm e densidade absolutll
d = 0,5 g/ cm3 está imersa em um tanque contendo água. A densidade da
água é da= 1,0g/cm3. A esfera é mantida em repóusopor meiode umll
mola, de constante elástica k= 103 N/m, presa ao fundo do tanque. 0(',
terminar a deformação sofrida pela mola na posição de equilíbrio. Supor
g = 10 m/s2.
25. ITA - Na figura abaixo, temos uma pia com um dreno D. M é um pedaço
de madeira, de forma cilíndrica: que se apóia no fundo da pia em perfeito
contato, de modo a tapar o dreno.
Nestas condições. M vedará o dreno:. .
a) somente se a densidade do líquido for menor do que a da madeira.
b) somente se' a densidade do líquido for maior do que a da madeira.
c) se a altura h for uma altura determinada.
d) somente se o diâmetro de M for muito maior do que o de D.
c) em qualquer caso.
.&6. MACKENZIE - Um recipiente
contendo água é colocado sobre
o prato de uma balança de mola,
mostrada na figura ao lado. Esta
indica, então, a carga P. Um
corpo de peso p é introduzido
no seio do líquido, de maneira a
111\0tocar o fundo do recipiente.
Supondo que o citado corpo
~ofrc um empuxo E por parte
do líquido, a nova indicação da
hlllança será:
11)P + p.
20. FEl - Umsólido de volume V= 10-4 m3 e densidade absoluta 2 700
kg/m3 é mergulhado na água (densidade absoluta: 103kg/m3). Calcular o
empuxo. Adotar g= 10 m/s2.
Supondo a experiência realizada num elevador descendo com aceleração
constante de 2 m/s2, calcular o empuxo.
21. CESGRANRIO - Considere as fases sucessivas de uma experiência reali.
zada com uma balança de braços iguais, um recipiente contendo água e
um sólido. 'Na fase I, equilibra-se tão-somente o recipiente éom água. Na
fase lI, a balança está equilibrada com o sólido suspenso e mergulhado na
água. Na fase lU, a balança está equilibrada' com o sólido no fundo do
recipiente (o fio de suspensão foi rompido).
'.v4""~
~.'h"i"'~
f
500g500g
~
fi': //./.,..., , noy.,..,
1\
A densidade do corpo
a) 1,3.
b) 4,0.
c) 6,0.
22. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ViÇOSA - Um cubo de metal de
10,0 cm de aresta pesa 49 N. Se o mergulharmos em um líquido de massa
específica 2,0. 103 kg/ m3, que não ofereça resistência viscosa, e o abando-
narmos, sua aceleração, enquanto estiver totalmente imerso, será de:
. (Dado: g= 9,8 m/s2.)
a) 58 m/s2.
b) 5,8 m/s2.
c) 9,8 m/s2.
igual a:...
d) 3,9 m/s2.
e) 0,6 m/s2.
b) P - E.
d) P= fJ.hY:ãg.
e) Não sei.
c) P - p. d) P + E. e) n. d. fi.
180
27. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - O bloco visto na
"figura pesa, no ar, 5 N. Na situação da figura, a leitura no dinamômetro D"
é 3 N. Ao retirar-se o bloco do interior do' líquido, a leitura na balança:
I.
a) diminuirá de 2 N.
b) aumentará de 2 N.
c) aumentará de 5 N.
diminuirá de 3 N.
aumentará de 3 N.
28. UNIVERSIDADE DE SERGIPE - Uma esfera de chumbo afunda verti-
calmente na água. Qual dos seguintes gráficos melhor representa a inten-
sidade do em puxo (E) exercido sobre a esfera, em função de sua profun-
didade (h)?
E E E
a) b) c)
O O-
29. FEl - Um cilindro de altura h = 10,0 cm flutua em água, com sua
base superior a I cm da linha d'água. Qual a menor espessura de uma
camada de óleo que deve ser sobreposta à água, a fim de o cilindro ficar
totalmente submerso? Supor a secção S do cilindro bem menor que a super-
fície livre do líquido. Dado: densidade do óleo relativa à água d= 0,8.
-.~-=~1O&a - 181
.\0. MEDICINA DE SANTO AMARO - Um cubo de madeira de 10 cm de
aresta está imerso num recipiente que contém óleo e ágwa (ver figura), tendo
a face inferior situada 2,0 cm abaixo da superfície" de separação dos dois
líquidos. A densidade do óleo é 0,6 g/cm3 e a da água, 1,0 g/cm3. A massa
do cubo é de:
I ~
óleo
-- :.::..--='"--
/
/
/
/
água
a) 236 g.
b) 460 g.
c) 540 g.
d) 680 g.
e) n. r. a.
.\1. ITA - Um recipiente contém, em equilíbrio, dois líquidos não-miscíveis de
densidades dI e~. Um objeto sólido S inteiramente maciço e homogê~eo,
de densidade d, está em equilíbrio, c~mo indica a figura. O volume da parte
de S imersa"no líquido de densidade dI é uma fração r do volume total de S.
A fração r é':
dI
\
~-
.
d2
d) r =
dI - d2
dI - d
d - d2
dI - d2
e) r =
..
h. I
-----
h.V
h
I -
O O O
E !E
d) I
e) I /
h , h
d
11)r
dI + d2
d - dI
h) r
dI - d2
dI - d2
,) r
d - d2
182
a
~~~ 183
32. MACKENZIE - Um corpo metálico pesa 500 N no ar e 450 N quando
submerso em água com densidade !.I.= 103kg/m3. Sendo g = 10 m/s2,
o volume do corpo e a densidade relativa do metal são, respectivamente:.
a) 5,0 R elO. d) 10,0R e 5.
b) 4,5 R e 5. e) 4,0R e 5.
c) 4,0 R e 10.
- - - -- ,...------
37. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ - Um cubo de madeira de massa
específica 0,8g/cm3 flutua em um líquido de massa específica 1,2g/cm3.
A relação entre as alturas emersa e imersa é:
a) 2/3. d) 0,5.
b) 2. e) 3/2.
c) 1,5.
38. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ - Uma esfera sólida flutua em
água, de modo que o volume emerso é igual ao imerso. Pode-se prever que:
a) o peso da esfera é de 0,5 N.
b) o diâmetro da esfera é de 1 cm.
c) o peso da esfera é de 1N.
d) a massa específica da esfera é igual à da água.
e) a massa específica da esfera é igual a 0,5g/cm3.
33. MACKENZIE - Um bloco, com as dimensões indicadas na figura e feito
de um material cuja densidade é. 0,2g/cm:\ flutua em água pura, servindo
como ponte. Quando um caminhão passa sobre ele, o volume da parte
submersa é 25 % do volume do bloco. Desse modo, podemos afirmar que
a massa do caminhão é de:
.a.
...
-
39. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARIN/.. - Para retirar
facilmente as sementes do suco de um limão espremido, adiciona-se uma
colher de açúcar ao suco, fazendo as sementes flutuarem. Assinale o autor
do princípio ou lei física envolvido no fenômeno mencionado.
a) Von-Guerick. d) Newton.
b) Torricelli. e) Arquimedes.
c) Pascal.
40. PUC (RIO DE JANEIRO) - Calcule a relação entre o volume imerso e o
volume total de um (,)bjetomaciço de densidade igual a 0,5 gl cm3, que
flutua na água (densidade 1,0g/cm3).
"-,,,=
v"
.:;:--.6
-- ..~
a) 2 000 kg.
b) 4000 kg.
c) 16 OOOkg.
d) 20 000 kg.
e) 36 000 kg.
41. PUC (SÃO PAULO) - Um iceberg de densidade 0,92g/cm3 tem a forma
de um paralelepípedo retângulo de 50 cm de altura e flutua na água, cuja
densidade é de 1g/cm3. Para que o iceberg fique totalmente submerso e
com a superfície superior ao nível da superfície livre da água, quando uma
carga de 50 kg é colocada sobre ele, a área da base do iceberg deve ser de:
a) 12500 cm2. d) 62500 cm2.
b) 1 000 cm2. e) 8 000 cm2.
c) 1 250 cm2.
42. FUVEST - Um objeto cilíndrico é formado por um cilindro de madeira
com massa de I kg e um cilindro de ferro com massa de 1 kg de mesmo
diâmetro, colados pela base. O objeto é. colocado num tanque com água.
Em relação à água, a densidade relativa da madeira é 0,5 e a do ferro é
7.5. A situação final de equilíbrio é mais bem representada por:
c) Efa) t:f. b) 1=f
34. MEDICINA DE SANTO AMARO - Um bloco de alumínio pesa, no ar,
67,5 gf e, quando mergulhado em água, 37,5 gf. Sabendo que a densidade
do alumínio é 2,7g/cm3, o volume da parte oca do bloco é de:
a) 5,0 cma. d) 41 cm3.
b) 25 cma. e) Nenhuma das respostas anteriores.
c) 30 cm3.
35. MAPOFEI - Uma pequena esfera de vidro penetra verticalmente com velo-
cidade v=0,5 ml s, numa cuba de mercúrio. Quanto tempo. (eva para a es-.
fera ser devolvida ao ar? Com que velocidade é devolvida? Despreze o atrito
da bola com o mercúrio e adote, para os cálculos, I1mercúrio= 14g/cm3,
!.I.v;dro= 4g/cm3 e g = 10,0m/s2.
36. MEDICINA DA SANTA CASA - Um corpo maciço pesa, no vácuo, 15 N
e, mergulhado na água, tem peso aparente de 10 N. Sendo g= 103cm/s2
ê a densidade da água 1gl cm3, a densidade média do corpo, emgl cm3.
é de:
a) 1,5.
b) 2,0.
c) 2,5.
d) 3,0.
e) 5,0. d) lEJ
e)
~
-~ --- ....-
184
43. FUVEST - Um cilindro de 200 g é pendurado em uma mola e produz
nesta 'uma distensão de 10,0 cm. A seguir, o cilindro é totalmente mergu-
lhado em um frasco com água e observa-se que a distensão da mola diminui
para 5,0 cm. Qual o volume do cilindro?
Dados: g = 10,0 m/s2; massa específica da água= 1,00 g/cm3.
44. PUC (SÃO PAULO) ~ Um bloco de madeira flutua na água com metade
de seu volume submerso e, no óleo, com314 de seu volume submerso.
A relação entre as densidades da água e do óleo (dai do) vale:
a) 3/4. d) 3/2.
b) 1. e) 2/3.
c) 1/2.
45. ENGENHARIA DE ITAJUBÁ - Um recipiente, contendo algumas esfe-
ras de aço, flutua na água que enche um segundo recipiente até uma cotaH,
medida a partir do fundo deste último. Retirando as esferas do recipiente
flutuante e imergindo-as diretamente na água, teremos um valor maior ou
menor para H?
46. PUC (SÃO PAULO) - O esquema abaixo representa uma lata'que flutua
em água, de densidade 1g/cm3. A altura da parte emersa é de 15 cm e o
corpo pendurado ao seu fundo é um bloco de forma cúbica de 10 cm de
aresta. Sabendo que a base da lata é um quadrado de 20 cm de lado, se o
bloco for introduzido dentro da lata a altura da parte emersa:
'\... "
15m
J. . - .'
o
a) não é alterada.
b) passa a ser de 17,5 cm.
c) passa a ser de 14,5 cm.
d) passa a ser de 12,5 cm.
e) O sistema afunda.
47. MEDICINA DA SANTA CASA - Um submarino tem peso P e volume V'.
Para ele submergir, um grande compartimento de lastro, de volumeV, é
cheio com água, de densidade [t. Seja g a aceleração da gravidade. A
aceleração y com que o submarino afunda é:
~
~ltiltéa~ 185
a)
(P + [tVg - [tV'g)
(P/g + [tV)
(P - [tV'g)
(P/g + [tV)
(P + [tVg - [tV'g)
(PI g)
anteriores.
(P - [tV'g)
d)
(P/g + [tV)
e) Nenhuma das respostas
b)
c)
48. ENGENHARIA MAUÁ - Um recipiente contém dois líquidos imiscíveis,
de densidades dA e dB. Uma esfera oca, de raios interno RI e externo ~,
quando vazia, flutua na superfície do líquido A com metade de seu volume
imerso. Ao ser preenchida com um terceiro líquido C, a e~fera passa a
flutuar na superfície de separação de A eD, com metade de seu volume
em cada um do& líquidos. Determine:
AI.
r ". o
B
a) a densidade do material da esfera.
b) a densidade do líquido C que preencheu a esfera. Desprezar o empuxo
do ar.
4
Dado: V.sE= --'1tR3.
3
49. PUC (RIO DE JANEIRO)- Um recipiente fechado contém água, na
qual está imersa uma rolha de cortiça ligada ao fundo do recipiente por
um fio. Se o recipiente estiver no interior de uma nave espacial em
movimento circular e uniforme em torno da Terra, qual das afirmativas
IIbaixo é correta?
11)O empuxo sobre a rolha é igual a seu peso; o fio ficará tensionado.
b) O pe~o da rolha é maior que o empuxo que ela sofre; o fio ficará ten-
sionado.
c) O peso da rolha é menor que o empuxo que ela sofre; o fio não ficará
tensionado.
li) O empuxo sobre a rolha é nulo; o fio não ficará tensionado.
c) O empuxo sobre a rolha é maior que seu peso; o fio ficará tensionado.
II,
Ik
. . ,.o
J
A!
,
f
I
<
J
186
50. MEDICINA DE POUSO ALEGRE - Um pequeno frasco. contendo
bolinhas de chumbo, flutua na água contida em um frasco maior (situa...
ção I). Jogando as bolinhas de chumbo dentro da água e colocando o
pequeno frasco ainda a flutuar (situação 2), teremos que h2 < h1 porque a
água deslocada pelo pequeno' frasco e as bolinhas é maior na situação 1
do que na situação 2.
a) As duas afirmativas são corretas e a segunda é a causa da primeira.
b) As duas afirmativas são corretas mas a segunda não é a causa da primeira.
c) A primeira afirmativa é correta e a segunda é errada.
d) A primeira afirmativa é errada e a segunda é correta.
e) As duàs afirmativas são erradas.
51. MEDICINA DE ITAJUBÁ - O empuxo E -exercido por um líquido varia
com o volume submerso V, de acordo com qual dos seguintes gráficos?
E " 'EE
a) b) c)
v v v
o o
I; E
d)
v
e)
o o
v
-
~
~taúéa~ 187
~2. MEDICINA DE SANTO AMARO - Um cilindro de madtira de densi-
dade 0,60 . 10akg/ma flutua em óleo de densidade 0,80. lOa kg/ma. A
fração do volume do cilindro que fica submerso no óleo é:
a) 0,52. d) 0,81.
b) 0,63. e) Nenhuma das respostas anteriores.
ej' 0,75.
53. ARQUITETURA DE SANTOS - Dois blocos, um de madeira e outro
de ferro, ambos de mesmo volume, encontram-se completamente submersos
em água. Qual está sofrendo maior empuxo? Por quê?
a) O de madeira. Porque é mais leve.
b) O de ferro. Porque é mais pesado.
c) O de madeira. Porque madeira é menos densa que ferro.
d) Ambos estão sofrendo o mesmo empuxo. Porque têm o mejlmo volume.
e) Nada se pode afirmar. Faltam informações a respeito das profundidades
relativas dos blocos.
54. PUC (SÃO PAULO) - Uma
esfera de densidade dI flutua
entre dois líquidos de densida-
des respectivamente iguais a d2
e da. A linha de separação dos
líquidos passa pelo centro da
esfera. Com relação às densi-
dades dI, ~ e da pode-se afir-
mar que:
a) d1=d2 + da.
b) d1=d2 - da.
c) d1 =2(d2+ da).
~
i
I
I..1
.v..J
1
.d) d1 = -(d2 + da).
2
e) Nenhuma das anteriores.
55. ENGENHARIA MACKENZIE - No sistema esquematizado, as polias
e os fios são ideais; desprezam-se as forças de atrito. Os corpos A e B
têm massas respectivamente iguais a 1,5 g e 4,8 g. O corpo A permanece
em repouso totalmente imerso na água, cuja massa específica é 1 g. cm-3,
Assim, a massa específica do corpo A é;
a) 1/5 g , cm-a.
b) 5111g . cm-3,
e) 513g . em-3
d) 3 g . cm-s.
e) 5 g . cm-a
188
56. MAPOFEI - A figurà a segúir mostra dois corpos A e B de 10 kg de
massa cada um, presos a um fio flexível, inextensível, identificado pelo
número 2, que passa por uma polia de eixo fixo e de massa desprezível.
O corpo A tem volume de 10 000 cma e está imerso num líquido de massa
específica 1 000 kg/m3. O fio I que mantém inicialmente o sistema em
equilíbrio é cortado num determinado instante. Desprezando a massa dos
fios e adotando nos cálculos a aceleração da gravidade de 10 m/s2. de-
terminar: ~~~,.A.-:;'-'
fio 1
a) as intensidades das forças de tração nos fios 1 e 2 antes de cortar o fio 1.
b) a intensidade da força de tração no fio 2 e a aceleração do sistema, logo
após o corte do fio 1.
c) a intensidade da força de tração no fio 2 e a aceleração do sistema após
o corpo A sair completamente do líquido.
57;. PUC (SÃO PAULO) - O sistema representado na figura encontra-se em
. equilíbrio. Os fios são inextensíveis e sem peso, os atritos nulos, e cada
polia pesa 2 newtons. O corpo A tem massa m2= 1 kg e o corpo B, de
volume VI = 10-a ma, apóia-se sobre quatro molas idênticas, de constante
elástica k = 1,5 N/em, e de volumes desprezíveis. Estas molas estão
apoiadas no fundo de um tanque T. A aceleração da gravidade vale
g = 10 m/s2. Cada mola sofre uma deformação ~L1= 2 em. A massa m]
do corpo B vale:
~
m2
T
a) 3 kg.
b) 5 kg.
c) 8 kg.
d) 10kg.
e) 12 kg.
-
~
~tWáz~ 189
58. PUC (SÃO PAULO) - Na questão anterior, o corpo B é totalmente
imerso em um líquido que foi introduzido no tanque, e cuja densidade é
!LI' Verifica-se que A desce 2 cm. Neste caso, a densidade do líquido
vale, em kg/ m3:
a) 300. b) 400. c) 500. d) 600. e) 700.
59. PUC (SÃO PAULO) - Ainda na questão 57, se o fio que liga o corpo B
(totalmente imerso) à polia RI se romper, cada mola sofrerá uma defor-
mação ~L, em cm, igual a:
a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7.
60. PUC (SÃO PAULO)- Um depósito de massa 10 kg flutua num líquido,
contendo 90 kg do mesmo líquido. Supondo desprezível a espessura das
pared" do depó~to. d'1m,.., a ';'açã{Y"l- -.. y... . x ..;: . ~ '
61. PUC (SÃO PAULO) - Um corpo flutua na água, ficando 1/4 de sua
massa emersa. A massa específica do corpo é cerca de:
a) 0,25 g/cm3. d) 1,00 g/cm3.
b) 0,50 g/cm3. e) Nenhuma das anteriores.
c) 0,75 g/cm3.
62. PUC '(SÃO PAULO) - Um fio
flexível e de peso desprezível
passa, sem atrito, por duas polias
A e B fixas, e sustenta, em uma
de suas extremidades, um corpo
de peso 40 N e, na outra, um
corpo de peso 30 N. Um ter-
ceiro corpo, de peso P, é sus-
penso num ponto C do fio, entre
as polias, de sorte que o ângulo
formado pelos trechos AC e CB
do fio é de 90°, na situação de
equilíbrio. O corpo de peso P
está imerso em água e tem o
formato de um paralelepípedo,
de base quadrada, cuja área da
~.-
30N
2
base vale 10-2 m2. A altura tem 0,15 m. Cerca de ,- desta altura estão
3
imersos na água. Sendo a densidade da água igual a 10a kg/ ma e g (acele-
ração da gravidade) igual a 10 m/s2, então o valor do peso P, em newtons, é:
a) 50. b) 70. c) 60. d) 80. e) 100.
190
63. MAUÁ - Uma esfera maciça homogênea, de raio R= 0,15 m, flu-
tua com metade de seu volume submersa num líquido de densidade d=
= 1,15 . 103kg/ m3. Retirada desse recipiente e colocada num outro, que
contém outro líquido, a esfera flutua com 1/3 de seu volume submerso.
Calcule:
a) a densidade do segundo líquido.
b) a massa da esfera.
64. FEl - Dois recipientes prismáticos, cujas bases têm áreas SI= 1,0 m2 e
S2 = 3,0 m2, respectivamente, comunicam-se entre si por meio de um tubo
e contêm água até um certo nível. Coloca-se dentro do recipiente de
base SI um sólido de volume V= 0,5 m3 e densidade d= 0,8 g/ cm3.
Calcular a elevação do nível de água em cada um dos recipientes. Adotar
a densidade da água igual a 1,0 g/cm3.
65. MEDICINA DA SANTA CASA - Um barqueiro dispõe de uma chata
que permite o transporte fluvial de cargas até 10 000 N. Ele aceitou um
trabalho de traslado de um lote de 50 barras maciças de ferro (10 g/cm3)
de 200 N cada. Por um erro de contagem, a firma enviou 51 barras. Não
querendo perdero freguês, mas também procurando não ter prejuízo com
duas viagens, o barqueiro resolveu amarrar um certo número n de barras
embaixo do barco, completamente submersas. Qual o número n mínimo
para que a travessia das 51 barras pudesse ser feita numa só viagem?
(g = 10 m/s2.)
a) 1
b) 5
c) 10
d) 50
e) Nenhuma das respostas anteriores.
66. UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA - Para que o equi-
líbrio de um navio seja estável, é preciso que:
a) o centro de empuxo coincida com o centro de gravidade do navio.
b) o centro de gravidade coincida com o metacentro do navio.
c) o centro de gravidade e o centro de empuxo sejam coaxiais.
d) o metacentro esteja acima do centro de gravidade do navio.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
67. FESP - Para que um barco tenha equilíbrio estável dentro da água, é
necessário que:
a) seu centro de gravidade fique abaixo do centro de empuxo.
b) o volume submerso seja maior que o volume emerso.
c) seu centro de gravidade fique ao nível da água.
d) seu centro de gravidade fique acima do centro de empuxo.
e) a massa. submersa seja maior que a massa emersa.
-
~
~~~ 191
68. MAPOFEI- Num tambor cilíndrico de massa desprezível, de raio R= 0,20
m e volumeV= 1,0 m3, coloca-se um corpo de massa mA= 500 kg,
que pode ser considerada concentrada em A, ponto .médio de uma geratriz,
como indicado na figura. J. Considere as situações representadas nas fi-
guras 1, 2 e 3, em que o tambor se encontra parcialmente submerso em
água (densidadeda água= 1000 kg/m3).
--- fios flexíveis,
Inextensívels
.
a) Nessas situações, o tambor estará em equilíbrio? Em caso afirmativo,
ele será estável, instável ou indiferente? Justifique. (Indique as respostas
810~ e 83 com referência às figuras 1, 2 e 3, respectivamente.)
b) Quais as forças FIo F2' F3 e F4 em cada um dos fios que ligam o tambor
da figura 3 com vínculos fixos?
69. MACKENZIE - A figura ilustra um reservatóriocontendoágua. A 5 m
abaixo da superfície livre existe um pequeno orifício de área igual a 3 cm2.
Admitindo g = 10 m/s2, podemos afirmar que a vazão instantbea através
desse orifício é de:
'L-......
.E
U)
~gágua
-;-.
"'!', a ==3 cm2
,. ,~ ~..... c~ ;.~ ~-
df 10 eir
e) 15 fls.
a) 2 e/s.
b) 3 fls.
e) 5 e/s.
( ~192 ,
t:70. PUC (CAMPINAS)- Um tanque de água que repousa no chão tem dois
pequenos furos, um em cima do outro, perfurados do mesmo lado. Os
furos e~tão a 3~ cm e 10 cm do chão. Qual a altura de água no tanque
quando os jatos dos furos atingem o chão no mesmo ponto?
_.-1--
_-I - -
~o
'. -1- 0-oh
. . 1
;-411-
- -1--
* 71.
a) h = 8,4 cm.
b) h = 13,6cm.
c) h =20,0cm.
MEDICINA DE TAUBATJ:. - O
com secção de 2 cm~ (área da base
de 0,5 cm:J/s. Que velocidade deve
a) 0,25 cm/ s
b) 0,5 cm/s
c) 0,75 cm/s
.- --
10~-~=.
] ~-l\-H.. (6';;;;;
',,,,\ ,:
d) h = 10,0cm.
e) n. d. a.
conteúdo de 10 cm3 de uma sering"
do êmbolo) deve ser injetado à razão
ser imprimida ao êmbolo?
d) 1,0 cm/s
e) 1.5 em/ s
72. MACKENZIE - Seja uma caixa com água, como mostra a figura abaixo.
Sabendo-se que a vazão através do orifício A, de 1t cm~, é de 1O:!1tcm:!/s,
o desnível h será de:
~ o
<:>
"
;~
'9- .
a) 2 m.
b) 1 m.
c) 1t m.
0...
.. .
> ..
. '
-'. "",
.A
'':11-.-
.~ .
~.'4..
d) 5 m.,
e) 4m.
Il
!,~n
;t
~lft
~
~
~tWéa-M 193
73. UNIVERSIDADE FEDERAL DO rARANÁ - A água contida em um
reservatório se escoa à razão de 2 litros por segundo, através de uma
abertura situada no fundo deste. A superfície do líquido em contato com
a atmosfera mantém-se a 3,60 m do fundo do reservatório. Se a pressão
na superfície for acrescida de 8 kgU cm2, a velocidade de escoamento au-
mentará para:
j
I
I 1 atm~-...
... "
a) 4,0 litros/ segundo.
b) 7,2 litros/segundo.
c) 9,2 litros/segundo.
d) 12,4 litros/ segundo.
e) 16,0 litros/ segundo.
74. UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
um fluido está relacionada com:
a) o atrito entre as moléculas do fluido.
b) o atrito entre o fluido e as paredes do recipiente.
c) o equilíbrio do fluido.
d) o peso específico do fluido.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
75. ITA - No frasco com água representado na figura abaixo, R é um tubo
- A viscosidade de
-.
oco cuja parte inferior está imersa na água. A velocidade v da água que
sai pelo orifício lateral do frasco é dada por:
~.
H
,v"
a) v =
b) v =
c) v =
V2gH.
vzgy.
V 2gd.
d) v = v'2gii.
e) v = V 2gL.
1 atm 1 atm + 8 kgf/cm2
...'" (_.= -=
"-1 3,6mT
III ( :.c -.. .
3.6ml li . (. . .o
-t 1() .. r 11k:.t:""L"",,",- WL-... ",c"""" .
194
-
~
~tWéa~ 195
76. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Se um pequeno furo horizontal for
feito na parede vertical de um reservatório que contenha um líquido ideal
(sem viscosidade), um filete de líquido escoará pelo furo, e sua velocidade
inicial terá intensidade v= V1gJ1.
Considere o movimento do fluido como o de um projétil lançado no-
vácuo, desde o furo. com velocidade v.
Se desejarmos que o filete incida em um ponto G o mais afastado possível
de F, o furo deverá ser feito em uma altura tal que:
9kJflOdlád
1.c 2.d 3.e 4. e 5.d 6. d 7. b 8. c 9.b
10. E ~ 6,61 . 10-2 N
11. a (Admitindo que as esferas sejam maciças.)
12. a 13. c 14. e
15. a) E = 1 000 dyn;
b) . p(dyn/cm2)
v
2::::~_~
I I
h
-------
H-h~\.
F .~
I . I
I
L I.
.- ..
h(cm)
20 100
16. a)
I ", Ef~1
' ~y I
. ..,.-' I
. . ' .' -:;;;;J.
.. '
-I ~--" ~.
2
a) h = - H.
3
1
b) h =-H.
4
1
d) h=-H.
2
3
e) h =-H.
4
F"'~ II-:t, -=-.I
I
L -p
1
c) h = - H.
3
-+
F = força de resistência da água:.
-+
P= peso:
-+
E = empuxo.
77. MACKENZIE - A tampa de um buraco de 10-4 m:! de secção na parede
lateral vertical de um aquário se solta. Sendo a massa específica da água
(l. = IO:!kg/m3 e a aceleração da gravidade g= 10 m/s2, estando o nível
da água 1,0 m acima do buraco e o aquário sobre lima superfície horizontal
de atrito desprezível, a força que se deve aplicar ao aquário para impedir
que o mesmo deslize é de:
a) 2 N.
b) 1 N.
c) 1/2 N.
d) 4N.
e) Nenhuma das anteriores.
b) r---- ...,-
'," ,
:' v =0 I. I
I,
~ ...
L-
-+ .
_P
17. c
18.F= 120N,vertical,para cima.
19. a
20. o) Líquido em equilíbrio: E = 1N; b) Líquido com aceleração: E = 0,8 N.
21. b
p
..
o I
O" C'
H I , .
()
<"
O
196 PARTE111
22. b (aproximadamente)
23. b
24. x ';:::$7 cm
25. e 26. d 27. a 28. a
'\ ,
29. Espessura mínima= S'cm.
o30. d 31. e 32. a 33. b 34. a
35. A esfera levará 0,04s para retornar à superfície e o fará com a
velocidade de O,Sm/s.
36. d 37. d 38. e 39. e
1
40. Volume imerso/volume total= -.
2
41. a 42. c
43. V= 100cm3
44. d
45. Ao retirarmos as esferas de dentro do recipiente, imergindo-as diretamente
na água, teremos um valor menor para H.
46. d 47. a
48. a) d=
3
Rc
. dA;
2(R~ - R~)
3
Rc
b) de= -da,
2R;!
49. d 50. a 51. a 52. c 53. d 54. d 55. e
.56., a) TI = 100 N, T~= O;
b) T2=SON, a=Sm/s2;
c) T2= 100N, a = O.
57. a 58. d 59. b
x 9.
60.-=-
Y 10
61. c 62. c
63. a) d2 ::::::1,73., 103 kg/m3;
b) m::::::B kg.
64. x = 0,1 m
65. c 66. d 67. d
68. aI ~ não há equilíbrio;
a.o!~ há equilíbrio estável;
a3 ~ há equilíbrio estável enquanto as ligações forem mantidas;
PA
b~FI =F2=F:I=F4=-'
4
69. b 70. b 71. a 72. d 73. c 74. a 75. ,d 76. d 77. a
GRAVITACAü-
n8
'~
-- ..- .-..
11
11 a
a
111
~5 Lei5da Gravitação
~
" II
I.. ,...;::.'" -"! --=.~
L. ..- - j\.!..~
~ ~- ~ - -- . -- -- I
.. ~ ~ "!~ ~ ~ ~
E- ;.ip~
..-~
a
.,.
\.
~~~
~
Histórico
Até o século XVI. os acontecimentos relacionados com os movi-
mentos dos corpos no espaço cósmico eram explicados levando-se
sempre em conta o sistema geocêntrico. O sistema geocêntrico é
um modelo de visão do mundo que admite a Terra no centro do
universo e os demais planetas, a Lua e o Sol girando ao seu redor.
Cláudio Ptolomeu, astrônomo, geógrafo e matemático do século
11d. C., foi, sem dúvida, o mais famoso dos defensores deste sistema.
No século XVI, em 1543, o monge polonês Nicolau Copérnico
expõe. as bases do sistema heliocêntrico. O sistema heliocêntrico
é um modelo de visão do mundo que admite o Sol no centro do uni-
verso e os planetas girando ao seu redor em trajetóriascirculares.
Entre os adeptos do sistema heliocêntrico estava Johannes
Kepler, astrônomo e matemático alemão. Kepler, manipulando um
rico acervo de dados astronômicos deixados por seu mestre, o dina-
marquês Tycho Brahe, o mais famoso astrônomo europeu no século
XVI, chega a notáveis leis empíricas sobre o movimento dos planetas.
Leis de Kepler
A análise de Kepler resultou em três leis empíricas, eminente-
mente descritivas, do movimento dos planetas. As duas primeiras
foram apresentadas em 1609, em sua obra Astronomia Nova (a lei
das órbitas e a lei das áreas], e a terceira, em 1619 (a lei dos períodos).
em sua obra Harmonica Mundi;
. 1."lei: Leidas Órbitas
Os planetas descrevem órbitas elípticas. em
torno do Sol, que se encontra em um dos focos.
:~ 111 .v r h -.er pranc a matematlcana p. 211.
200
.:
:if~~
Concluímos, então, que o planeta é mais veloz no periélio (mais
próximo do Sol) e mais lento no afélio (mais afastado do Sol).
- - -()~,
Esquemado Sistema Solar .- .- --- Plutã~ "-~ ....-
'" /' - -- - O ~e~no
/' - -.- -
./ -::- '" Sat",rn9-- -."", '- "-
./ ./ - ~ - _JuQlter- U i'b/ I' -::.. "'''' - - 0- ~...ran"/ I .,/ // ./" - .' '," ,, / , / ~ ,... \
I ' I /'" Terr; ... ... '..." \
" " , -.', t Marte \ \ /
{ I I ~e!:CÚI'iQ " \ \ \
\ \ ' ' : f ( (\.\. '. I I I .\ /
\ \ \' \" '.\jol ,iV~nu$ f' I /\ ,~I I ' 1/'
\\\ ' , , I
\ " "- - - ". "" I !~" " - ... ~/ / 6 /
" ... / / I, - .,,'/ ."..",,"/ /
~_J ,"'"
movimento acelerado,--- -.-
Vm(n
-- ~ ~féli.
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I
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Sol
J
'1 .. I
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/
I
I
I -
\
\ "
"-
' -------
J
/
./
/- . -
movl~-;;nt;-retardado
- _.~ Esta lei é de grande importância, pois dela se conclui que os
planetas não se movem ao redor do Sol com velocidade constante,
como se acreditava até então. À medida que o planeta se aproxima
do Sol. sua velocidade aumenta, e, à medida que ele se afasta, sua
velocidade diminui. Por isso, esta segunda lei é também conhecida
como Lei das Velocidades.
...- .-- .:>'
. 2.8lei: Lei das Áreas
o segmento imaginário, que une o Sol ao planeta.
..varre"/ áreas iguais em tempos iguais.
~
Alguns autores preferem se referir a esta lei dizendo que. a velocidade
areolar do planeta é constante". Por velocidade areolar se entende o
quociente entre a área varrida (A) e o tempo gasto em varrê-Ia (/lt).
~---,-
A 'tJ::;.:/
, "-
i "-
I
f-
I
ât}
~
'yl- -
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'\."B
- - -- -- --D....
-' '-,
.--'I,
~ .1~IAi '. /
/
I ât
Conseqüência:Se as áreas assinaladas são iguais, o arco maior
AB deverá ser descrito no mesmo tempo que o arco menor CD.
Logo, a velocidade em AB (próximo ao Sol) deve ser maior que a
velocidade em CD (longe do Sol).
"
-- -
. ;>-",'"
/' "
~
.v-" --
.' . --- -- -,. "
, - .' ' "
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Sol ~"'''--- .. '.
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-,
-, j'
,51
r
-
Se âtI. = ât2 => AI. = ~. ~
....
...;;--
~=cte
Vareolar= ât
-
......
.
...
j'
\
\
\
I (
I
I \
/
202
. 3.' lei: lei dos Períodos
Os quadrados dos períodos de revolução
dos planetas são propor'cionais aos cubos
de suas distâncias médias ao Sol:
T2=Kd3
,-./"
,;
/
I
I
I
T . , 501
r - período de revolução do planeta ao redor do Sol (mais comu-
mente denominado de ano do planeta).
d - distância média do planeta ao Sol= medida do sem i-eixo maior
da elipse.
K - constante de proporcional idade que depende da massa do Sol,
não dependendo do planeta em questão. .
Esta lei é válida para qualquer planeta e permite concluir que,
quanto mais distante do Sol se encontrar um planeta, maior será o
seu período de revolução, isto é, maior o seu ano.
Observe o -exemplo a seguir, onde analisamos o comportamento
de dois planetas em seus movimentos ao redor do Sol.
B ~
~/~1'.' .' 5aturno.;.~-;;;... '..
I
t
\.
T1 =Kdl
T: =Kd:
.
\
""
...
I
,;
501
\ "./ A I
~Terra--- --,...
"
......
--
\
/
/
~.,.
.:
:if~~
O período de revolução de um planeta (o seu. ano) depende de
sua órbita.
Para o planeta A (no exemplo, a Terra) temos:
2 3
}
TA= KdA ::}
2 3
TB= KdB
=>
Para o planeta B (no exemplo, Saturno)
~ ~: . .-=- =>
T; ~d;
temos:
(~:)2 = (~:)8'
~
1. As leis de Kepler só têm sentido num referencial fixo em relação ao
Sol, conhecido como referencial de Copérnico. Isto significa que daqui
da Terra não temos condições de perceber o que Kepler diz em suas leis.
2. A distância média da Terra ao Sol denomina-se unidade astronômica
(UA) e é usada como escala do Sistema Solar.
11UA=1,49.10Ilm I
3. A tabela seguinte indica as excentricidades das órbitas elípticas dos
planetas (vide prancha matemática- Ellpse - na p. 211). Com
exceção de Mercúrio e Plutão, as excentricidades são inferiores a 0,1. Isto
significa que, em primeira aproximação, podemos admitir as órbitas dos
planetas do nosso Sistema Solar como circulares, para efeito prático.
Mercúrio
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501//
j!
Vênus
Terra.J
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Lua
) Júplter
) Marte
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Plutão
5aturno
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Netuno
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Urano
Em primeira aproximação podemos admitir as órbitas dos planetas como circulares
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204
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oComplementos
1) Dados referentes ao Sistema Solar
. Apresentamos a seguir a tabela indicativa de alguns dados refe-
rentes ao Sistema Solar:
1 UA(unidade astronômica)= 1,49 . 1011m ~ 150 milhões de km
1 ano terrestre=365,2 dias=3,16 . 107s
Massa da Terra=5,98 . 1024kg
Período da Lua ao redor da Terra=27,3 dias
. Escala de tamanho dos planetas:
Netuno Sat~rno
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Ast~nfó1des
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. Entre Marte e Júpiter encontra-se a famosa. faixa de asteróides",
onde existe UI)1grande número de planetóides. Sua descoberta foi
feita pelo astrônomo siciliano Piazzi, a 1.0de janeiro de 1801, por mero
acaso.
. Os planetas que possuem satélites conhecidos são: Terra (um),
Marte (dois), Júpiter (doze), Saturno (dez), Urano (cinco) e Netuno
(dois).
2) Dados referentes à Terra
. A Terra passa pelo periélio em fins de dezembro, a 147 milhões
de quilômetros do Sol, com a velocidade de 30,2 km/s; e passa pelo
afélio em fins de junho, a 152 milhões de quilômetros do Sol, com
a velocidade de 29,3 km/s. Como se percebe, o periélio ocorre mais
ou menos na época do verão brasileiro. Por isso, o verão aqui no
hemisfério sul é ligeiramente mais quente e mais curto que o verão
do hemisfério norte, que ocorre quando a Terra se encontra no afélio.
29,3 km/s"
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Início do
Inverno
(Junho)
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Início do
Outono
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Verão
(Dezembro)
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. Início da
Primavera
As estações do ano para o hemisfério sul (caso do Brasil).
Planeta Excentricidade da órbita
Mercúrio 0,206
Vênus 0,007
Terra 0,082
Marte 0,093
Júpiter 0,048
Saturno 0,056
Urano 0,047
Netuno 0,012
Plutão 0,246
Período de
Astros Distância média revolução em torno Massa emao Sol (em UA) do Sol (em anos relação à Terra
terrestres)
Mercúrio 0,387 0,241 0,056
Vênus 0,723 0,615 0,815
Terra 1,000 1,000 1,000
Marte 1,523 1,881 0,107
Júpiter 5,202 11,865 317,881
Saturno 9,554 29.650 95,168
Urano 19,182 83,745 14,602
Netuno 30,058 165,951 17,251
Plutão 39,400 247,687 0,095
Sol - - 332 945
1
Lua - - -
81,3
I
206
Leitura complementar
Um pouco de história da Física
O século VI a. C. - século de Buda, Confúcio, dos filósofos jônicos e de
Pitágoras - constitui um dos marcos da história da espécie humana. Era o
início da grande aventura: a indagação das expllcaçôes naturais e causas
racionais para os fenômenos físicos.
O 00disco terrestre00, que flutuava sobre as águas, segundo os babilônios,
egípcios e hebreus, passa com o jônico Anaximandro a ficar no centro do
mundo, suportado por nada e rodeado de ar. Com a Escola Pitagórica o disco
faz-se bola esférica. Em torno dela, o Sol, aLua e os planetas giram em
círculos concêntricos, cada um preso a uma esfera ou roda (sistema
geocêntrico). Durante a revolução eles emitiriam sussurros musicais em
harmonia, a 00Harmonia das Esferas 00.
Filolao, discípulo de Pitágoras, atribui, em seguida, movimento ao nosso
globo. A Terra passou a ser transportada pelo ar. Heráclldes do Ponto
aceitava a rotação da Terra em torno de seu eixo, explicando assim o giro
diário do céu; não explicava, porém, o movimento dos planetas.
Aristarco, o último da linhagem dos astrônomos pitagóricos, proclama,
no século 111a. C., que o Sol é o centro do universo e não a Terra, e que em
torno dele giravam todos os planetas (sistema hellocêntrico). É o
coroamento da cosmologia pltagórlca.
Pelo fim do século 111a. C., ou seja, de Platão e Aristóteles para frente,
a ciência natural' entra em decadência. Platão é avesso ao mundo visível,
concreto, e Aristóteles reassume o geocentrlsmo. Ambos promovem a idéia
do movimento circular como dogma da Astronomia.
No século 11d. C., aparece Cláudio Ptolomeu, astrônomo, geógrafo e
matemático, que desenvolveu a maior parte de seu trabalho em Alexandria,
Egito. Em sua obra - O Almagesto (composta de 13 volumes)- Ptolomeu
completa as idéias de Apolônlo (século 111a. C.) e de Hiparco (século
11a. C.) e descreve o seu modelo de sistema geocêntricO'. O Almagesto
continuou a ser a bíblla da Astronomia até o século XVI. Para se ter uma idéia,
o catálogo de estrelas fixas de Hlparco e as tábuas de Ptolomeu "para o
cátculo de movimentos planetários eram tão merecedores de confiança e
precisos, que serviram de gula de navegação a Colombo e Vasco da Gama.
Hlparco calculou a dlstãncia da Terra à Lua e errou em apenas 0,3 por cento.
Apesar do seu gigantismo, os astrônomos alexandrlnos não viram aquilo
que Heráclldes e Aristarco tinham visto antes e que Copérnico retomaria
mais tarde, ou seja, que os movimentos dos planetas eram governados pelo
Sol. Não viram (ou não quiseram ver). obstinados que estavam em defender
as idéias de Platão e Aristóteles, que geravam o medo da mudança, o desejo
da' estabilidade e a permanência numa cultura que ia aos poucos se
desintegrando. O círculo era a Imagem desta estabilidade.
Santo Agostinho torna-se, no século V' d. C., com suas obras Confissões
e Cidade de Deus, o símbolo da fusão entre a Antiguidade Clássica e a
Europa Medieval.
A Igreja Católica passa, então, a determinar todo o clima cultural e o do
ensino. A idéia da esfericidade da Terra, que vinha de Pltágoras, foi posta
de lado. A cosmologia desse período volta diretamente aos babllônios e
.f
11ebreus. Dominam-na duas idéias principais: que a Terra tem o formato do
Santo Tabernáculo e que o firmamento está envolvido em água. É nessa
época que surgem os anjos, e supõe-se que estejam presos às esferas das
estrelas e dos planetas para mantê-Ios em movimento, e os demônios, para
baixo, numa repetição das esferas celestes, até chegarem a Lúcifer, no
centro da Terra. Nesta fase não há lugar para mudanças. Não há evolução das
espécies biológicas, não há progresso social. O universo é estático. O homem
pode aspirar a uma vida superior ou condenar-se a outra inferior. Mas só
Irá para cima ou para baixo após a morte. A Idade Média leva a extremos de
obsessão a Filosofia platônica.
No século IX, João Scot adota novamente o hellocentrismo e as Idéias de
Heráclldes e Arlstarco retomam.
Passam a coexistir nessa época os dois sistemas: o de inspiração
geocêntrlca para efeito teórico e concorde com a visão religiosa oficial
(assumindo a Terra a forma de tabernáculos ou afins) e o de inspiração
hellocêntrica para fins práticos, usado inclusive em viagens marítimas (a Terra
assume a forma esférica). É uma época ambígua, Instável.
A partir do século XII, a Europa começa lentamente a recuperar a herança
do passado. Os trabalhos de Arqulmedes, Euclldes, Aristóteles e Ptolomeu
são redescobertos. O desenvolvimento das cidades e das comunicações com
certeza exerceram papel fundamental nesta gradatlva mudança de clima
intelectual e diminuição do clima de terror apocalíptico dos séculos anteriores.
A nova aliança entre a cristandade e o arlstotellsmo, concluída sob
os auspícios de Tomás de Aquino, deu corpo a essa mudança de atitude
científica, a essa nova tentativa de redescobrir a natureza.
Arlstóteles, como sabemos, se preocupou com o movimento e fez estudos
e análises a respeito, embora bastante falhos: tudo quanto fosse pesado
tendia para o centro, que é seu lugar natural; tudo quanto fosse fluido, como
o fogo e o ar, tentava afastar-se dele; os astros, nem pesados e nem fluidos,
e (le natureza inteiramente diversa, moviam-se em círculo em torno dele.
Entretanto, ele sal valorizado: a primeira prova da existência de Deus, de
Tomás de Aquino, se fundamentava Inteiramente na Física arlstotéllca-
Deus como causa primeira do movimento.
No século XVI, em 1543, com seu livro sobre as Revoluções das Esferas
Celestes, o cônego polonês Nicolau Copérnico (1473-1543) retoma o sistema
hellocêntrlco, admitindo que o movimento ao redor do Sol fosse circular e
uniforme.Como já vimos, o sistema hellocêntrico não era, então, uma
novidade: já houvera outros defensores dele. O trabalho de Copérnico pode
ser considerado, inclusive, aristotéllco, pois em diversas passagens ele aceita
81prlorl a naturalidade de determinados eventos (o movimento circular, por
exemplo). Seu grande mérito está em deixar implícita a idéia do espaço
Infinito e descentralizado (pois admite que a gravidade não é inerente apenas
11Terra). Conseqüentemente, os sentimentos de estabilidade, de repouso, de
ordem se vão. O homem passa a ocupar posição periférica e, portanto,
secundária. A intimidade homem-divindade, que existia até então com a
consideração de um universo finlto, desaparece.
É bom frisar, entretanto, que somente um século pepois, no século XVII,
é que o trabalho de Copérnico, não pelo que escreveu, mas pelo que deixou
Implícito, começa a fazer efeito.
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208 ~ :if~~
Pesquisas posteriores mais aprofundadas, devidas principalmente ao
astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601), revelaram que o movimento
dos planetas não se ajustava bem dentro desta concepção de círculos
concêntricos. Ele chegou, inclusive, a propor um sistema" misto' entre
geocentrismo e heliocentrismo.
Estando mais preocupado com as observações e medidas diretas, não chegou
Tycho Brahe a fazer qualquer tentativa de análise teórica desses resultados,
tarefa essa que coube a seu assistente Johannes Kepler (1571-1630), que com
ele trabalhou durante seus últimos anos de vida.. Kepler era ardente defensor
do sistema copernicano (heliocêntrico) e tornou-se um dos baluartes da
Física clássica.
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Lei da Gravitação Universal
Por volta dos meados do século XVII os conhecimentos cientí-
ficos estavam totalmente dispersos. As contribuições dos antigos
gregos, de Nicolau Copérnico, Tycho Brahe, Johannes Kepler e Galileo
Galilei estavam isoladas.
Coube ao inglês Isaac Newton (1642-1727) reunir as idéias cientí-
ficas mais expressivas até então e apresentá-Ias ao mundo.
Foi o que aconteceu em 1687, quando Newton publica sua obra
Princípios Matemáticos da Filosofia da Natureza,um dos mais notáveis
acontecimentos de toda a história da Física.
Tendo por base as leis empíricas de Kepler e os resultados das
experiências de Ga'llJéoa respeito de objetos em queda livre, Newton
analisou o movimento da Lua em torno da Terra e o movimento dos
planetas ao redor do Sol.
Uma grande capacidade de generalização eum conhecimento
profundo de Matemática permitiram a Newton descobrir a Lei da
Gravitação Universal:
- - ---
A força gravitacional é uma força de campo radial, istoé, atua
à distância ao longo da r~ta que une os centros dos corpos.
A constante G da gravitação universal vale. no Sistema Inter-
nacional:
G. 6,67. 10-11N . m2/kg2
e não depende do meio:seu valor é o mesmo no ar, vácuo ou qualquer
outro meio interpostoentre os corpos.
As forças gravitacionais têm, nqrmalmente. intensidade despre-
zível tendo em vista o pequeno valor de G em relação às intensidades
das demais forças troca das entre os corpos que nos cercam. Para
que a intensidade das forças gravitacionais seja apreciável. pelo
menos um dos corpos envolvidos na interação deve ter grande massa
e. a distância entre eles deve ser relativamente pequena. É o que
acontece com o planeta Terra. por exemplo; e os corpos que se
encontram ao seu redor. '
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m
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1
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7K-
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Dois pontos materiais se atraem à
distância com forças cuja intensidade é
diretamente proporcional ao produto de
suas massas e inversamente proporcional ao
quadrado da distância que os separa.
Mm
Em símbolos: F = G -
d2
- ,,
-- - -- - -
d
----
As forças gravitacionais obedecem ao
Princípio da Ação e Reação. agindo uma em cada
corpo e tendo mesma direção.
sentidos opostos e mesma intensidade. ainda
que as massas,sejam diferentes.{
M, m - massas dos pontos materiais.
onde. d - distância entre os pontos materiais.
G - constante da gravitação universal.
11
~ .
210 'I ~~
A
. .
d d d f d t - a 'tacional entre os objetos Era defensor intransigente do sistema copernicano clássico (heliocentrismo
mtensl a e as. orças e ~ raçao gr VI o' com movimento circular uniforme do~ planetas) e não levou na devida conta
de pequena massa, tais como velculos, casas, arvores, etc.. e despre- o trabalho genial de Kepler, apesar de ter conhecimento dele na troca de
zível face à intensidade da força de atração gravitacional que a Terra r correspondência que estabeleceram.
exerce sobre eles. A maior característica do gênio de Galileo foi combinar a visão
matemática do mundo com a visão empírica, obtida pela observação, pela
experiência crítica e pela correta experimentação. Esse foi o seu maior legado
aos seus sucessores, principalmente Newton.
Coube a Isaac Newton realizar a síntese das idéias existentes até então.
Tal foi o seu gênio que podemos dizer que ele tem desfrutado de uma
influência, de uma autoridade só comparável à de Aristóteles nos dois milênios
anteriores. Mesmo as correções feitas posteriormente por Albert Einstein
(1879-1955) não tiram o grande mérito e utilidade do trabalho de Isaac Newton
até os nossos dias.
Newton une Kepler e Galileo. A aplicação das leis de Kepler à órbita
da Lua, aliada ao estudo do movimento dos projéteis de Galileo, leva Newton
à Lei da Gravitação Universal.
. Corposesféricos e homogêneos- A Lei da Gravitação Universal
foi estabelecida por Newton para pontos materiais, ou seja. corpos
cujas dimensões são desprezíveis em comparação com as distâncias
entre seus centros.
Pode-se provar que quando um corpoé esférico e homogêneo
(densidade constante em todos os seus pontos)ele se comporta,
para efeito de cálculo de interações gravitacionais. como setoda
sua massaestivesse localizada em seu centro.
r-
I
I - -- ~
I ~~ - - .r - --!4 -. IC
iL - ~-
~--:. iM
,
L-
Esférico
homogêneo
~-
~j
Assim sendo, quando estivermos analisando o efeito gravitacional
de um planeta sobre um corpúsculo nas suas proximidades. se fizer-
mos a hipótese de que o planeta é rigorosamente esférico e homo-
gêneo. então ele se comportará como se fosse um outro corpúsculo
localizado em seu próprio centro e de mesma massa.
Leitura complementar
Mais um pouco de história da Física
Contemporâneo de Kepler, o italiano Galileo Galilei (1564-1642) foi o
responsável pela introdução do método científico na análise dos fenômenos
físicos. O telescópio torna-se com ele um instrumento de trabalho cotidiano no
exame do céu.
Galileo descobre, entre outras coisas, os satélites de Júpiter, as manchas
solares e as fases do planeta Vênus. Analisou a queda dos corpos, o
movimento dos projéteis e estabeleceu o princípio da relatividade dos
movimentos. Criou a~ bases da Dinâmica clássica, principalmente no que se
refere à inércia dos corpos.
J
Prancha matemática
. Curvascônicas - A elipse é uma das curvas pertencentesàs
.. secções cônicas", as quais podem ser definidas como a intersecção
de um cone de revolução com planos de orientação variada.
1-
[ l
-- - -
1*0
I
L - --.. III -
Círculo: plano de secção
perpendicular ao eixo do cone.
Elipse: plano de secção
inclinado de qualquer modo
em relação. ao eixo.
212
I eixo
\
-1-- / /
Parábola: plano de secção
paralelo à geratriz do cone.
Hlpérbole: plano de secção
paralelo ao eixo do cone.
Em resumo:
~Od~~
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paráb
~
O
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la
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~..
7\_/'~.....-.;;...--,/' ",',~ v ~... .
hipérbole-. -
:§~
.
.\
. Construção de uma elipse- A Geometria nos ensina que a
elipse pode ainda ser definida como o lugar geométrico dos pontos
de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos)
do mesmo plano é constante.
r-
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~ -)B~F2A -~~\ ri"
I
.
L- PFI + PF2= cte = 2AO
Para desenhá-Ia, você precisa de lápis e papel, dois percevejos,
um pedaço de linha ou barbante e uma prancheta de desenho. Fixe
os percevejos em dois pontos FI e F2, conforme a figura. Amarre o
fio nos percevejos, tomando o cuidado de deixá-Io bastante frouxo.
Introduza agora a ponta do lápis no fio, até que ele fique bem esticado.
Depois desloque o lápis e faça a curva, mantendo o fio sempre esti-
cado, até que o traço feito pelo lápis chegue novamente ao ponto
de partida e a curva fique fechada. Os pontos onde você localizou
os percevejos (FI. F2) chamam-se focos.
Nomenclatura da elipse:
AB - eixo maior.
- AB
AO - semi-eixo maior = -.
2
. OF2
e - excentricidade da eliDse= -.
OB
Notas:
1) Para uma elipse tem-se O< e < 1.
2) A circunferência pode ser considerada um caso particular de
ellpse onde e = O,ou 'seja, os focos FI e F2coincidem em O (centro).
214
c) A razão do raio da órbita para o seu período é uma constante
universal.
d) A linha que liga o Sol ao planeta descreverá no mesmo tempo
diferentes áreas.
Resolução: Análise das alternativas:
a) Cada planeta se move numa trajetória elíptica tendo o Sol como
foco (Lei das Órbitas). Alternativa errada, portanto, pois afirma
que o Sol é o centro da trajetória.
b) A linha que une o Sol ao planeta descreve áreas iguais em tempos
'iguais (Lei das Áreas). Portanto, alternativa correta.
c) A Lei dos Períodos nos permite escrever que T2=Kd3, e daí
decorre que:
d3 1
-=-=cte
T2 K
1. MEDICINADESANTOAMARO- A segunda lei c;leKepler (Lei
das Areas) permite concluir que um planeta possui:
a) maior velocidade quando se encontra mais longe do Sol.
. b) maior velocidade quando se encontra mais perto do Sol.
c) menor velocidade quando se encontra mais perto do Sol.
d) velocidade constante em toda sua trajetória.
e) n.d.a.
Resolução: Pela segunda-leide Kepler (Lei das Áreas ou Lei das Velo-
cidades) temos que: "O segmento imaginário,que une o Sol ao planeta,
varre áreas iguais em tempos iguais".
~t]
A
.'" "'">. ~
)7
(
B
-i1iD
"
AI! l~t2- -I
C
Isto significa que a razão do cubo do raio da órbita para o qua-
drado do período é uma constante, e sabe-se que esta constante
depende da massa do Sol.
A alternativa está duplamente errada, pois além de não especificar
os expoentes do raio e do período, afirma que a constante entre
eles é universal.
d) A linha que liga o Sol ao planeta descreve áreas iguais em tempos
iguais (Lei das. Áreas). Alternativa errada, pois afirma o contrário.
.----
Se ~tl = ~t2' então AI =A2.
Resposta: alternativa b.
Daí decorre que, se as áreas sombreadas são iguais, a velocidade no
trecho AR (arco maior) deve ser maior que a velocidade em CD (arco
menor). Em outras palavras, à medida que o planeta se aproxima
do Sol, sua velocidade aumenta, e à medida que ele se afasta, sua velo-
cidade diminui. Logo, o planeta é mais veloz no periélio (mais próximo
do Sol) e mais lento no afélio (mais afastado do Sol).
Resposta: alternativa b.
3. MAPOFEI:- No Sistema Solar, um planeta em órbita circular de
raio R demora 2,0 anos terrestres para completar umarevolução.
Qual o período de revolução de outro, planeta, em órbita de
raio 2R?
Resolução:A Lei dos Períodos permite escrever,para qualqu~rplaneta,
T2=Kd3.
Aplicando esta lei ao 1.0 planeta, temos T~=Kd~ (I).
2. UNIVERSIDADEDE BRASrLlA- Assinalar a afirmativa correta no
sistema planetário:
a) Cada planeta se move numa trajetória elíptica tendo o Sol como
çentro.
\b) A linha que une o Sol ao planeta descreve áreas iguais em
tempos iguais.
Aplicando esta lei ao 2.0 planeta, temos T;= Kd; (11).
Dividindo membro a membro as igualdades (I) e (11), decorre:
3
T~ - ~ (111).--
T22 d32
216
Pelo enunciado do exercício sabemos que:
T] =2,0 anos terrestres
dI =R
d2= 2R p"
-(""
~\P'
T. = 2.0 anosT2,= ?
Sol
Substituindo na expressão (lU), decorre, então:
(2,0)2 R3
T;
E vem:
(2R)3
4,0 y!-'
-=-~
T~ 8~
~ T;= 32 ~ Tz = 'V3'L ~
~I T2 ~ 5,6anos terrestres I
Resposta: O período de revolução
terrestres, aproximadamente.
do outro planeta é de 5,6 anos
4. MEDICINADO ABC - Suponha-seque a Terra e Plutão executem
,movimentos circulares uniformes em torno do Sol. com distâncias
expressas em UA (unidades astronômicas) iguais a 1 e 40. respec-
tivamente. O período de Plutão em torno do Sol. expresso em
anos terrestres. será igual a:
a) 40 Y4Q.
b) 402.
c) 403.
Resolução: Lembremo-nos inicialmente de que unidade
(UA) é, por convenção, a distância da Terra ao Sol.
Pela terceira lei de Kepler, T2= Kd:'.
Para a Terra, vem T~= Kdr (I).
d) 402~
e) ~.
astronômica
.
I.
Para Plutão, temos T:=Kd: (2).
Dividindo-se (2) por (1):
Q 3
T; Kdp 2 2
-= ~Tp=Tr
T2 Kd3r r
Sendo Tr = 1 ano, dp= 40 DA e
Q (- 40)
3 Q
T; = 12 \1 ~ T; =403 ~
Resposta: alternativa a.
(~ )
:!
dr '
~~,
dr = 1 DA teremos:
I Tp =40 '\""40 anos I
5. FEl - A força de atração entre dois corpos de massas M e m,
separados pela distância r, tem, segundo Newton. a intensidade
F = GMm/r2. O valor de G para um corpo na superfície da Terra,
é 6,67 . 10-1] (MKS). Qual o valor de G para um corpo na super-
fície da Lua?
Resolução: A constante G é universal, ou seja, em qualquer lugar ou
em quaisquer circunstâncias seu valor será sempre o mesmo. Portanto,
no SI (MKS) G valerá sempre 6,67. 10-11 (inclusive na superfície
da Lua).
Resposta: Na superfície da Lua, G = 6,67 . 10-11(MKS).
6. MEDICINA DE ITAJUBÁ - Qual dos gráficos abaixo melhor repre-
senta a variação da intensidade da força de atração gravitacional
F entre duas massas puntiformes; suficientemente distantes de
qualquer outra massa, separadas por uma distânciad?
F iFF
a)
d
b)
d
d)
d d
c)
'F
e)
d
218
Resolução: As forças de atração gravitacional trocadas entre duas massas
puntiformes M e m, separadas pela distância d, têm direção da reta
Mm
que une os corpúsculos e intensidade F dada pela expressão F=G-.
d2
~ ~ FfM, .: )JJ 41. m
1. --~
Sendo G a constante universal da gravitação e admitindo que as massas
M e m sejam constantes, decorre:
1
F= K-, onde K = GMm= cte.
d2
Logo, F é inversamente proporcional ao quadrado da distância d.
Observe que:
quando d= x, F,= K~= K~=> IF.= K~I' d- x2 x2
1 1
quando d=2x, F2= K - = K
d2 (2x)2
I Bj l~ F~ = K ~ F2 = -4x2 4
1
quando d= 3x, Fa=K - =K
d2 (3X)2
I 8] '1~F::=K ~ F3=-9x2 9
c assim por diante.
Graficamente. temos:
I
I
I
I
I
I
I
I
F:!I j---
I I
Far-- i-- _L --
O x 2x
Esta relação de dependência entre F e d corresponde
denominada matematicamente hipérbole cúbica.
Resposta: alternativa e.
F 'LFI ---
~
1
~
hipérbole
cúbica
d
a uma curva
.
~~~.-
I,)
7. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS- Um rapaz de massa 70 kg
encontra-se a 10m de uma jovem de massa 50 kg. Constante
de atração gravitacional G= 6,7 . 10-11N . m2/kg2. A força de
atração gravitacional entre ambos, é mais aproximadamente
expressa por:
a) 2.3 . 10-8 newton.
b) 6.7 . 10-11newton.
c) 2,3 . 10-9 newton.
Resolução: Pela Lei da Gravi-
tação Universal, observando a
figura ao lado, podemos escre-
ver que: ,t
Mm
d) 2,3 . 10-12newton.
e) um valor diferente dos anteriores.
M
F=G
F".
<i~m
. Ft
~
t
.
."l."~.'
.
~
'I
eJ.
1
11
I1I
~ ' -;r
\
;
,
LII \
-+-~
d2
Assim, para
G = 6,7 . 10-11 N. m2
kg2
M = 70kg, m = 50 kg e d = 10m, teremos:
. 70.50
F =6,7. 10-11 . = 6,7. 10-11. 35=
102
= 234,5 . 10-11=2,345 . 10-9
Portanto, aproximadamente I F =2,3 . 10-9N I
Resposta: alternativa c.
8. UNIVERSIDADEDE PERNAMBUCO- Dois corpos de massas ml
e lTI2atraem-se mutuamente com uma força de intensidade F,
quando separados por uma distância d. Quando eles estiverem
separados por uma distância 2d. a força de atração terá intensi-
dade igual a: .
a) 2F.
b) F/4.
c) F/2.
Resolução:Pela Lei da Gravitação Universal de Newton, podemos
d) 4F.
e) F.
escreverF=G mlm2 (I).
d2
r F~ml
\l
'
.
. )lIi, " ",1J): ., /'
~-
d
~ m2
-~'Ll'
-1-
.
220 ~~~
Quando os mesmos corpos estiverem separados por uma distância
d' = 2d, temos:
d'2 (2d)2
Tendo em conta a expressão (I), vem:
; ,
, I mIm:!; F
F =19 1= - ::::>
2 I 4
~ J
::::>1 F'=F/4 I
Resposta: alternativa b.
4d2
(II~)
A Terra atrai o corpo com uma força gravitacional de intensidade FI.
De acordo com a Lei da Gravitação Universal e considerando a figura,
temos:
MTm
FI =G (I)
X2I
A Lua atrai o corpo com uma força gravitacional de intensidade F2.
De acordo com a Lei da ÇJravitaçãoUniversal e tendo em conta a
figura, vem:
mLm
F2 =G (11)
X22
O corpo é igualmente atraído pela Terra e pela Lua. Assim sendo,
decorre que FI = F2 (111).
Substituindo em (111)as. expressões (I) e (11), vem:
cj MT1,1Í=cf mLI}Í2 2
Xl ,X2
E decorre:
MT = mL (IV)
2 2
Xl X2
I>oel~enunciado, sabemos que MT= 81mL.
Pela figura: Xl+ X2 =d ::::>X2= d - Xl'
Voltando à expressão (IV), obtemos:
81l}ÍL - f!ÍL
X2 (d - Xt?1
Usando as propriedades das proporções:
81(d - XI? = x~
(
'
mll,
~
'
.
'." ~':-'~ F'. --- ~' "~' ~
'
..
,.
.
m2
~ f., "JJf'.', , !'c~, /
- - -~' -".'
F'=G
mIm:!
(lI)
d'2
.Desenvolvendo a expressão (lI), decorre:
F'=G
mIm:! =G mIm:! =0 mim:!
9. UNIVERSIDADEDE JUIZ DE FORA- Sendo a massa da Terra
81 vezes a massa da Lua. em que ponto da reta, qlle une os
centros dos dois corpos um corpo seria igualmente atraído?
a) Num ponto cuja distância da Terra é nove vezes a distância
da Lua.
b) Num ponto cuja distância da Terra é oito vezes a distância da
Lua.
c) Num ponto cuja distância 'da Terra é sete vezes a distância
da Lua.
d) Num ponto cuja distância da Terra é seis vezes a distância
, da Lua.
e) Na metade da distância entre a Terra e a Lua.
Resolução:
-4f ,...
Decorre, então, extraindo-se a raiz quadrada dos dois membros:
9(d - Xl) = Xl ::::>
::::> 9d - 9XI =Xl ::::> IXl = -Tod I (V)
Mas, como X:!= d :Xl, vem:
9
X2 =d - - d ::::>
10
::::>ix:!= ~ d i (VI)
Observando as relações (V) e (VI), temos, finalmente, queI Xl = 9X2 I,
ou seja, o corpo será igualmente atraído quando estiver num ponto
cuja distância dâ Terra seja nove vezes a distância que o separa da Lua.
Resposta: alternativa a.
corpo
m
-~
I
I
I
~Lua'\ mL
, C''(, ~
Xl X2
L- _!I - - -J
. .
222 r ~~
4. MEDICINA DE SANTOS - Baseados nas leis de Kepler, não podemos
dizer que:
a) os planetas se movem em elipses e em um dos focos está o Sol.
b) um raio vetor do Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais.
c) o quadrado do período de rotação de um planeta é proporcional ao cubo
do semi-eixo maior da trajetória do planeta.
d) a excentricidade das trajetórias planetárias é desprezível, podendo-se con-
siderá-Ias circulares.
e) a velocidade linear escalar de um planeta é mínima no ponto mais próximo
ao Sol.
I. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Copérnico contrariou o consenso geral
de sua época, sustentando que os planetas giram em torno do Sol. Quando
uma teoria contraria o consenso geral, deve-se:
a) admitir a teoria como falha, pois o consenso geral sempre acaba preva-
.Iecendo.
b) procurar uma evidência experimental que confirme o resultado da teoria.
c) alterar a hipótese, a ponto de enquadrá-Ia no consenso geral.
d) descartar o consenso geral, pois ele não tem validade em ciência.
e) descartar tanto a teoria quanto o consenso geral.
2. FEl- Contribuindovaliosamente para o Renascimento Científico, Johannes
Kepler:
a) provou que a Via Láctea é uma aglomeração de corpos independentes do
nosso Sistema Solar.
b) demonstrou que ó Sol gira ao redor da Terra.
4\C) afirmou que os planetas se movem numa órbita elíptica ao redor do Sol.
d) descobriu os satélites de Júpiter.
e) negou a teoria heliocêntrica.
S. ITA - Uma das conclusões expressas nas famosas leis de Kepler foi sobre
o movimento dos planetas em órbitas elípticas, das quais o Sol ocupa um
dos focos.
a) Esta conclusão foi uma conseqüência, e portanto posterior, do enunciado
das leis da Mecânica de Newton.
h) Coube a Sir Isaac Newton interpretar teoricamente estas conclusões com
base na Lei da Gravitação Universal e nos princípios da Mecânica clás-
sica, que ele próprio havia proposto. .
c) Esta conclusão não apresenta nenhuma relação com o movimento dos
engenhos conhecidos como satélites artificiais da Terra.
d) O movimento da Lua em torno da Terra é de natureza diferente daquele
descrito por Kepler.
e) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira'.
)..
a) S= S'
b) S = 2S'
c) S = S'/2
B ,..--<
.
-...........
I ~" '
f
i7
' - ~
\_8-.- ~S:--- ,.. A'
\ . .c:;:).. --.-/ - - -8'
A . -..J..
/- /'/'
-
6. MEDICINA DA SANTA CASA - A terceira lei de Kepler afirma que
"os quadrados dos tempos de revolução dos planetas são proporcionais aos
cubos de suas distâncias médias ao Sol". De acordo com esta lei, é correto
dizer que:
a) planetas mais afastados do Sol são mais velozes.
b) dependendo de suas massas, planetas diferentemente afastados podem ter
mesma velocidade.
c) todos os planetas do Sistema Solar têm a mesma velocidade angular.
d) as velocidades dos planetas são inversamente proporcionais aos quadrados
das distâncias ao Sol.
e) o "ano" de Mercúrio é menor que o da Terra.
3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS- Na figura abaixo está representada a
órbita de um planeta em torno do Sol. Os arcosAB e A'B' são percorridos
em iguais intervalos de tempo. Qualéa relação entre as áreas S e S'?
d) S = (S')2
e) S .S' = 1
7. MEDICINA DE SANTO AMARO - O raio da órbita da Terra é de
1,49 . 1011m e o da órbita de Urano é de 2,87. 1012 m. O período de
Urano é de:
a) 5 anos terrestres.
b) 40 anos terrestres.
c) 60 anos terrestres.
d) 84,5 anos terrestres.
e) 102,4 anos terrestres.
224
8. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS- Marte está 52% mais afastado do
. Sol do que 'a Terra. O ano (período do movimento de revolução .::mtorno
do Sol) de Marte, expresso em ànos terrestres, é de:
a) 1,52. d) 3,7.
b) 1,87. e) Um resultado diferente dos anteriores.
c) 2,3.
9. PUC (SÃO PAULO) - O movimento de translação da Terra é:
a) retilíneo uniforme. d) retilíneo, mas não-uniforme.
b) circular uniforme. e) circular não-uniforme.
c) periódico.
13. UNIVERSIDADE DE TAUBAT~ - Na lei de atração universal
mlm2
G -, a constante G:
r2
F =
')j
a) tem sempre o mesmo valor.
b) depende do meio.
c) depende de ml e ~.
d) depende de r.
e) depende de ml> ~ e r.
10. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - São dadas as leis:
1. Os planetas descrevem órbitas aproximadamente circulares, tendo o Sol
como centro.
2. As velocidades areolares dos planetas são constantes (o raio de giro que
une cada planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais).
3. A relação entre o quadrado dos períodos dos movimentos dos planetas e
os respectivos cubos dos raios de giro tem o mesmo valor para todos os
planetas.
Destas leis, podemos concluir, em relação aos planetas do Sistema Solar, que:
a) os mais afastados do Sol têm. maior velocidade escalar média.
i,) o período de revolução dos planetas não depende da massa dos mesmos.
c) quanto maior a massa, maior deve ser a distância do planeta para que
a órbita seja estacionária.
d) os planetas situados à mesma distância do Sol devem ter a mesma massa.
e) todos os planetas se deslocam com mesma velocidade escalar média.
11. MEDICINA DA SANTA CASA - A força gravitacional com que a Terra
atrai a Lua:
a) é menor do que a força com que a Lua atrai a Terra.
b) é a mesma para todos os planetas.
c) é pouco maior do que a força com que a Lua atrai a Terra.
ld) é de mesma nature2;a da força que faz uma fruta cair de uma árvore.
e) é uma força nuclear.
14. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - A lei de Newton da gravitação univer-
M'M" Fd2
sal estabelece que F=G -. Pode-se, então, escrever que G=-.
d2 M'M"
~ correto afirmar que G é:
I - diretamente proporcional a F.
11- inversamente proporcional às massas M' eM".
111- diretamente proporcional ao produto Fd2.
Responda de acordo com o seguinte código:
a) Só I é correta: d) Todas são corretas.
b) Só 11 é correta. e) Todas' são incorretas.
c) Só III é correta.
15. UNIVERSIDADE DE SÃO CARLOS - .No sistema
de gravitação universal tem as unidades:
a) m-2kg3s-1.
'b) m3kg-1s.: 2.
c) m-1kg-2s3.
MKS, a constante
d) m3kg-2s-1.
e) m-1kg3s-2.
12. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO - A Lei da Gravitação de Newton
diz que:
a) os corpos se atraem na razão inversa de suas massas e na razão direta
do .quadrado de suas distâncias.
b) os corpos se atraem na razão direta de suas massas e na razão inversa
do quadrado de suas distâncias. '
c) os corpos se atraem na razão direta de suas massas e na razão inversa
de suas distâncias.
d) os corpos se atraem na razão inversa de suas massas e na razão direta
de suas distâncias.
~) os corpos se atraem na razão direta do quadrado de suas massas e na
razão inversa de suas distâncias.
16. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO - A força gravitacional que
a Terra exerce sobre você é maior que a que você exerce sobre a Terra,
porque a massa da Terra é muito maior que a de um homem.
Assinale:
a) Se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda for uma justifica-
tiva da primeira.
b) Se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda não for uma justi-
ficativa da primeira.
c) Se a primeira afirmação for verdadeira e a segunda afirmação for falsa.
,d) ~e a primeira afirmação for falsa e a segunda afirmação for verdadeira.
e) Se a primeira e a segunda afirmações forem falsas.
17. FUNDAÇÃO CARLOS .CHAGAS - Qual é a força
cional entre duas. massas de 100 kg cada uma, distantes
(Considere G igual a 6,7. 10-11 N . m2/kg2;)
a) 104N. d) 6,7 . 10-9 N.
b) 102N. e) 6,7 . 1O-7.N.
c) 6,7N.
de atração gravita-
1 m uma da outra?
226
18. UNIVERSIDADE DO PARANÁ - As forças gravitacionais variando pre-
porçionalmente às massas, a atração que a Terra exerce sobre a Lua é me-
nos intensa que a atração que a Lua exerce sob ré a Terra? Justificar.
23. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Para corpos que estão à mesma dis-
tância do centro da Terra, a intensidade da força de atração gravitacional
(F) entre a Terra e estes corpos é diretamente proporcional às suas massas
(m). Qual dos seguintes gráficos melhor representa a relação entre F e m?
F H iF19. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO - A força de atração gravita-
cional entre dois corpos celestes é proporcional ao inverso do quadrado da
distância entre os dois corpos. Assim â que, quando a distância entre um
cometa e o Sol diminui da metade, a força de atração exercida pelo Sol
sobre o cometa:
a) diminui da metade.
b) é multiplicada por 2'.
c) é dividida por 4.
20. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - A intensidade da força de atração
gravitacional entre 2 esferas de massas (M) é (F)' quando a distância entre,
elas é (D). Qual é a intensidade da força de atração entre 2 esferas de
massasM/2 quando a distância entre elas for 2D?
F ~ F
a) - . c) -
4 16
b) ~ d) 2F
8 e) 16F
a)
o
m
b)
d) é multiplicada por 4.
e) permanece consfante. m
m
o
F F
d) ~
o
m m
c),
d
24. UNIVERSIDADE DE BRASlLIA - Segundo a teoria da gravitação uni-
versal de Newton, matéria atrai matéria na razão direta de suas massas e
na inversa do quadrado da distância que as separa. Ora, se eu coloco pró-
ximas duas massas sobre uma mesa horizontal, não se nota nenhum desloca-
mento mensurável. Daí devo concluir que:
a) a lei é incorreta, pois necessariamente deveria haver um deslocamento.
b) a lei é correta, mas a força é bastante pequena em comparação com a
força de atrito.
c) a leié correta, mas não se aplica à experiência em questão e sim somente
a corpos no espaço interstelar.
d) a lei é incorreta, pois não leva em consideração a força de atrito.
e) a lei é correta sotnente para grandes massas.
25. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Suponha que a .Terra tivesse sido
originada com o dobro de sua massa e que seu volume fosse o mesmo que
hoje apresenta. Com base nisso, julgue as afirmações abaixo: -
I - As árvores seriam menos altas e com troncos mais grossos.
11 - As pernas dos animais seriam mais musculosas e os ossos mais
espessos.
111 - O ar seria menos denso.
26.. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - A intensidade da força de atração
gravitacional entre dois corpos de massas M e M' é F. A distância entre
os centros de gravidade dos dois corpos é D. Que massas dois outros corpos
poderiam ter e qual deveria ser a distância entre seus centros de gravidade
para se atraírem com força de mesma intensidade (F)?
a) 2M, M' e 2D. d) 2M, 2M' e 2D.
b) 2M, 2M' e D. e) M/2, M' e 2D.
c) 2M, 2M' e D/2.
21. UNIVERSIDADE DO ESPIRITO SANTO - Uma das conseqüências da
Lei da Gravitação Universal é que a força exercida pela Terra sobre um'
corpo na sua superfície: ,
a) deixa de existir se o corpo está no interior de um recipiente a vácuo.
b) pode ser calculada, muito aproximadamente, como se toda a massa da
Terra estivesse concentrada no centro da TeI:ra.
c) depende somente da massa do corpo e do seu volume.
d) é inversamente proporcional ao raio da Terra.
e) não depende da massa da Terra.
22. UNIVERSIDADE DA BAHIA - Qual dos seguintes gráficos melhor re-
presenta a intensidade da força (F) de atração gravitacional entre dois cor-
pos em função .da distância (d), entre eles?
J--J/
~d ~d
O O
F
dJl~
F
O
F
e)
dd
O
228
27. FILOSOFIA-USP - Duas esferas homogêneas A e B têm massas que
estão entre si como I e 4. Seus centros distam d. Em que posição deverá
ser colocada uma terceira esfera homogênea C sobre a reta que passa
pelos centros de A e B, para que a resultante das ações gravitacionais,
exercidas pelas duas primeiras sobre C, seja nula? Exprimir o resultado
em função da distância d.
-r-- -- d
B
-- ---
~ ~c- ,I
I ..L.-... 1 ...Lr2
~
1. b 2. c 3. a
4. e; d (Baseados unicamente nas leis de Kepler
a excentricidade das elipses seja desprezível.)
5. b 6. e 7. d 8. b 9. ciO. b 11. d 12. b
não podemos inferir que
13. a (G é constante universal.)
14. e 15. b 16. d 17. e
18. Não. Tendo em vista o Princípio da Ação e Reação, as forças que surgem
na interação gravitacional de duas massas devem ter mesma di~eção,
sentidos contrários e mesma intensidade.
19. d 20. c 21. b 22. d 23. a
24. b (A intensidade da força gravitacional é bastante pequena em comparação
com a intensidade da força de atrito de destaque.)
25. I - C; 11- C; 111- E.
26. d
~. {
1
rI =-d
3
2
f2 =-d
3
,
I
íII
aI8
Campo Gravitacional
.'
11"0..
...-'
',~,nt.
--
.
232 ~~,
. Variaçãode g* com a altitude- Podemos perceber pela expres-
GM
são da intensidade do vetor-campo-gravitacional, g* = -, que, à
d2
medida que nos aproximamos da Terra, d diminui e 9 aumenta até
atingir o valor I g;=~ I, que é o valor da intensidade do vetor-
-campo-gravitacional em todos os pontos da superfície da Terra.
Observar que nestes pontos d=R. Nestas condições, para G=
=6,67 . 10-11N. m2/kg~ (constante universal da gravitação), M=
= 5,98 , 1024 kg (massa da Terra) e R= 6,37 . 10°m (raio médio da
Terra) temos:
I g;:=:: 9,83 N/kg I
-+
Aceleração da gravidade (g)
Todos os resultados obtidos anteriormente no estudo do campo
gravitacional junto à superfície terrestre não levam em conta a rotação
da Terra ao redor do seu eixo.
Quando um corpúsculo junto à Terra acompanha o movimento
de rotação ao redor do seu eixo, ele tem uma aceleração centrípeta
-+
Descontando-se vetorialmente este efeito de rotação (ad do vetor-
-+
-campo-gravitacional da Terra em sua superfície (g;), obtemos o que
-+
se convenciona chamar de vetor-campo-da-gravidade 9 ou aceleração
da gravidade, ou seja:
I ~=;; -;c I
-+
(ad em relação a este eixo.
lelxo
~-..::-
..
~1::'- ->-;
.
c
. . ... ....
(r. ~
\~ ,f \1 ~ ) )
1'~~. /
I
Esboçando graficamente esta variação de g* em função de d, para
pontos externos à Terra, temos:
g'
eixo
J -+
< r~~_':~,...~~' l -,
k ~~ - ~J
\ "---~r~ -- I.J;
i
d
-'
~
Ao produto do vetor 9 pela massa do corpúsculo m denominamos
~
peso (P),
Ir; == m~ .1
-. -+
A linha de ação do peso P é a linha de ação de 9 (que, em geral,
não passa pelo centro da Terra, como indica a figura acima).
eixo
,....
e- l!lc:
.
. -
~lC-~~(:::_~.~-~ -- ~~.\~. 1
, I IJ. /
1/
I
234
Aliás, quando utilizamos um fio de prumo encontramos a linha
de ação do peso, que é denominada vertical do lugar.
Normalmente despreza-se o efeito da rotação da Terra ao redor
do seu eixo, isto é, despreza-se a aceleração centrípeta do corpúsculo
-+ -+
(ac = O).
Nos pólos isto é sempre verdade, pois ali não há rotação. Quando
,. -+ -+-+
ac = O, teremos g = g;, ou seja, o vetor-campo-gravitacional na
-+ -+
superfície (g;) coincide com o vetor-campo-da-gravidade (g).
Decorre, então, queI p=~=m~ I (quando desprezamos o
efeito de rotação) e, neste caso, a linha de ação do peso passa pelo
centro da Terra.
Isto significa que o peso de um corpo é diferente nos diversos
pontos da Terra. Nos pólos o peso tem intensidade máxima, pois
ali não há rotação. No Equador o peso tem intensidade' mínima, pois
ali é onde o efeito da rotação se faz sentir mais.
l' 'mh!
~ ~ , ,...,--,
, -cT-~-~
Pmln
~
\...
P~áxt
I
./
Admitamos um corpúsculo de massa m nas proximidades da
Terra e desprezemos os efeitos do ar (resistência do ar, empuxo,
viscosidade).
-+
Neste caso, a úl)ica fbrçfl que age sobre ele é a força-peso P.
Vem, então: \-+ -+
P = mg (teoria do campo da gravidade);
-+ -+
P= my (Princípio Fundamental da Dinâmica).
Identificando as duas expressÕes anteriores, temos:
-+ -+ ~
~y= IJ1'g=> ~
-
~~~
I~
Daí concluímos que, quando a única força que age sobre o corpo
-+
é a força-peso P, independentemente de sua massa, ele adquire uma
-+ -+
aceleração y que coincide com a aceleração da gravidade 9 que, como
já sabemos, é função apenas do local e da Terra.
Isto é importante, pois explica, por exemplo, o fato de corpos
de massas diferentes, abandonados do repouso e da mesma posição
no vácuo, caírem igualmente, pois ambos têm a mesma aceleração.
bola de chumbo pena
<
SII.
\')
C
o
chegam ao solo
no mesmo instante
A figura só tem sentido no vácuo, pois, se os efeitos do ar fossem
sentidos, os corpos chegariam ao solo em instantes diferentes.
~
-+
1. Note que a unidade de 9 pode ser dada em m/s2 no SI.
-+
2. O vetor-campo-da-gravidade (g) varia com a posição do ponto da
-+
superfície terrestre. Chama-se vetor-campo-normal-da-gravidade (gnormal)o
vetor-campo-da-gravidade obtido ao nível do mar, latitude de 45., cuja
intensidade vale 9=9,80665m/s2.
-+
3. A tabela abaixo mostra valores de 9 ao nível do mar em latitudes
diferentes:
I
I .l'"
/~ À
~ :;"".1 --f""""""'-,."
/ I / .........
,. '. .c L .. "
'-- ..: t ~ --:-'~
, l
J.
/
NIVEL DO MAR
Latitude À g(m/s2}
O. (Equador) 9,780
10. 9,782
20. 9,786
30. 9,793
40. 9,802
50. 9,811
60. 9,819
70. 9,826
80. 9,831
90. (pólos) 9,832
236 ~~
~ 4. Variaçãode -;. em pontos internos à Terra.
5. Outros dados relativos ao Sistema Solar:
\
Â..L, a
IM.?'''C /,
I f
~\ g~,\. .\r , V\ I
supei'flcie da Terra
Admitamosa Terra como uma esfera homogênea de centro C e densidade
p. Para um ponto a situado no seu Interior a uma distância r do-+
centro, verifica-se que o vetor-campo-gravitacional naquele ponto (g;)
é devido apenas à massa MI da Terra localizada na esfera de centro C e
raio r, cujo volume é VI,
Aplicando a expressão da intensidade do vetor-campo-gravitacional ao
M1 4
ponto a, temos g~=G- 2 ' onde M1=pVi = P . -'!tr3.1 r 3
r2
Corpos em órbita
Quando um corpo é mantido em órbita ao redor de um planeta
sob a ação exclusiva da força gravitacional, ele é denominado satélite
do planeta.
Em geral. o corpoé colocado em órbita através de um lançamento
horizontal a partir de um ponto conveniente situado a uma distância
d do centro do planeta.
"' - ~~
:' ~, \
I \
d
/.~
" "
~.
. '" .....
~'"'
I /
, I ;
-<-~
,>
.~~
~'" Terra
/
Logo:
g~ = G
4
P . -'1tr3
3
e vem: . 4
gl =Gp . -'!tr
3
4
Como na expressão anteriorGp . - '1t = K = cte, decorre:
3
I g~ = Kr I
Isto significa que a intensidade do vetor-campo-gravitacional g: nos pontos
do interior da Terra varia linearmente com a distância r destes pontos ao
centro da Terra.
Graficamente teríamos:
R
r Qualquer que seja a. intensidade da velocidade V de lançamento,
é possível demonstrar-se que a órbita descrita pelo corpo é uma
curva cõnica, isto é, elipse, circunferência, parábola ou hipérbole. O
centro do planeta se encontra sempre num dos focos (ou no foco)
da curva cônica.
1./
Ralo médio Massa Intensidade do campo
(m) (kg) gravitacional na
superfície (N/kg)
Sol 6.96. 1011 1,98. 1030 274.40
Mercúrio 2.34.10(\ 3.28 . 1O:i 3,92
Vênus 6.26 . 10(\ 4,83 . 1024 8.82
Terra 6,37 . 106 5.98 . 1024 9.80
Marte 3.32 . 1'06 6.40 . 1023 3.92
Júpiter 6.98 . 107 1,90 . 1027 26.46
Saturno 5,82 . 107 5,68 .1026 11.76
Urano 2,37 . 107 8,67 . 1025 9,80
Netuno 2,24 . 107 1,05 . 1026 9.80
Lua 1,74. 106 7,34 . 1022 1,67
238
.
:if~~J
v - - -- Igualando as duas expressões anteriores, temos:
-+ -+ 1'-+ -+ I9"'ac = ?,g*~ ac= g*
Isto significa que, quando um corpo gira ao redor de um planeta
em órbita circular, a aceleração centrípeta coincide em cada ponto
com o vetor-campo-gravitacional no local da ó'rbita.
Em intensidade, podemos escrever:. *
al::=g ~
V~
~-=g* =>
d
~ I V = VQ*cf I Velocidade do satélite para se manter em9 órbita circular ao redor do planeta.
É importante deixar claro que g*, na expressão anterior, é o valor
da intensidade do campo gravitacional do planeta no local da órbita
e que a distância d é a distância que vai do centro do planeta ao saté-
lite, ou seja, d = R + h, isto é, raio do planeta mais altitude.
Sabemos, também, que pela teoria do campo gravitacional g* =
GM
= -. Substituindo este valor de g* na expressão da velocidade,
d~
decorre:
v=~=JGM l=jGMdi d
Logo: I V=VQ'ã=jT-=~ I
Observe que á velocidade do satélite em órbita circular não
depende' de sua massa m.
{ " "'...,.
Infinito
ellpse
. Órbitacircular- Sem dúvida, o caso que mais nos interessa é
o da órbita circular.
Para que a órbita circular seja estável, se faz necessário que a
força gravitacional se mantenha perpendicular à velocidade em cada
instante do movimento. Assim sendo, a força gravitacional desem-
penha o papel de resultante centrípeta e o movimento decorrente é
circular e uniforme.
m,<.v
JI, \M'\C F
\1\' ., ml ' V
~F 'm
I- d .:
~ '
1. Perfodo de revolução
* 2d
GM 21Ç
Sendo ac = g , então w = -, onde w = -.
d2 T
4'11:2 GM 4'Jt2,
,Logo: -d=-~T2=-d3 =>
T2 d2 GM
I I 4'Jt2~ 12 = Kds ,onde K = - = cte,
GM
Observemos que esta expressão nada mais é do que a .Lei dos Períodos'
de Kepler estendida ,a satélites, Atente para o detalhe de que a constante
K = 4'lt2/GM depende exclusivamente da massa ~o corpo central M,
sendo comum para todos os satélites que giram ao redor do planeta.
Note que o período do satélite não depende de sua massa m.
-+ -+
Pela teoria do campo gravitacional, temos F = mg*.
-+ -+ -+
Pelo Princípio Fundamental da Dinâmica, F = Ré = mac.
240 :§~
2. A Lua não gira em torno da Terra Em (2) temos:
M
g=G- onde
R2 {
G = 6,7 . 10-11 N . m2/kg2
M = 6,4 . 1023kg
R = 3,2 . 106 m
-----
Lua
~)f!::;;;'..- ..J<3"~""@. ,,'~~ ,ir>'
Logo:
Na realidade. o sistema "Terra.Lua" gira em torno do centro de massa
comum que se localiza dentro dos limites da superfície terrestre. já
que a massa da Terra é 81 vezes maior que a massa da Lua.
Aproximadamente temos x = 4600 km (o raio da Terra é de
aproximadamente 6400 km).
6,4 . 102:1
g = 6,7 . 10-11 .
. (3,2 . 106)2
Substituindo este valor em (1),
{
g = 4,2 N/kg
P= rng onde .
rn= 70,Okg
Assim: )
P= 70,0 .4,2 =>P =194 N
Ou, levandoem conta os algarismossignificativos:
I P=2,9 . 102N I
=>g = 4,2 N/kg
decorre:
Resposta: alternativa a.
2. UNIVERSIDADEDE ALAGOAS- Próximo à superfície da Terra,a
aceleração da gravidade tem um valor aproximado de 10 m/s2.
Qual será o seu valor a uma altura igual a um' raio terrestre, em
relação à superfície da Terra?
a) 20 m/s2
b) 10m/s2
Resolução:
c) 5 m/s2
d) 2,5 m/s2
# .."f
1. UNIVERSIDADE DE ViÇOSA - O peso de um homem de 70,0 kg,
na superfície de um planeta cuja massa é de 6.4 . 1023kg e cujo
raio é de 3,2 . 106 m, vale: (Dado: G = 6,7 . 10-11N . m2/kg2.)
) a) 2,9 . 102N. d) 9,3 . 108N.
b) 6,86 . 102N. e) 4,29 . 1012N.
c) 7,0. 10N.
Resolução: A intensidade do peso P de um corpo de massa m na super-
fície de um planeta, onde a intensidade de aceleração da gravidade é
g, pode ser expressa por P.= rng (1).
Desprezando-se os efeitos da rotação da Terra e admitindo-a esférica,
M ,
podemos escrever g= G- (2), onde M e a massa do planeta Terra
R2
M
.Considerando a Terra perfeitamente
zando os efeitos da rotação, temos:
M
g*= G-'= 10m/s2 (1)
o R2
A uma altura h=R decorre
esférica e homogênea e despre-
e R é o seu raio.
g*=G
M
(R + h)2
que:
M
=>g* = G (2R)2 =>g* = G 4R2
M
(2)
242 ~~j'
Levando (1) em (2), temos:
g* 10
g*= ~=> g*= -=>Ig* = 2,5m/s21
4 . 4 .
Como Rx = 2RT e Mx = 6MT, temos:
gx
~~
R~ =>~-
gT
MxR~
MTR~
=>~-
gT
6MTR~
MT(2RT)2
=>--
gT si~
R~Observação: A expressão aceleração da gravidade para pontos externos
ao planeta é imprópria. A expressão adequada é vetor-campo-gravitacional.
Resposta: alternativa d. gx 6~T~ ~
=>~= ~4r; =>~
Resposta: alternativa b.
3. UNIVERSIDADEDE SÃO CARLOS- O diâmetro dê um planeta
é o dobro do terrestre e sua massa é seis vezes maior que a da
Terra. A razão entre a aceleração da gravidade na sua superfície
e a aceleração da gravidade na superfície da Terra é:
1 1
a) -. d) -.
U 3
3 . 3
b) -. e) -.
2 4
c) 3.
Resolução:
J
M~\
C
MT
O~,
4. FUVEST - Um homem na Terra pesa 100 quilogramas-força
(1000 N). ~
a) Qual a massa desse homem?
b) Qual seu peso em Júpiter, sabendo que, comparado com a
Terra. esse planeta tem massa 320 vezes maior e raio 11 vezes
maior? (Adotar gT= 10 mjs~ na superfície da Terra.)
Resolução:
a) A iRtensidadedo peso do homem na Terra (PT) pode ser expressa
~~=~ .
Então:
PT
m=- onde
gT {
PT= 1 000 N
gT= 10 mjs2
1 000
Logo: m =
10
=> I m= 100kg I
b) Admitindo os planetas Terra e Júpiter esféricos
desprezando os efeitos de rotàção, temos:
peso do homem na Terra (PT)
MTlTI
PT=G (I)
R2 ..r
=>
Planeta X
.'"
/ ...'~.1
"I?
I1I
T
/,;
I
I Planeta Terra
e homogêneos e
Rx = 2RT
Se o diâmetro do planeta é o dobro do terrestre, isto significa que o
seu raio também é o dobro.
Admitindo 01>planetas esféricos e homogêneos e desprezando os efeitos
da rotação:
Mx
para o planeta X: gx=G ---=-
R~
MT
para o planeta Terra: gT=G-
R~
'~
.
-
.
'
~
-
.
t. m
- -;.-'" ,.c- '7 t"'f . ,.l' M P;-
. T $t
.. ,,~ RT
.r
~
244
peso do homem em Júpiter (PJ)
MJm
PJ =G (2)
R2J
Dividindo membro a membro as expressões (2) e (1), decorre:
~ MJrp
R~PJ--
PT ~MT?'
R~
~ ~
m
~
MJ
J .
/B.,; R J
~
~ J
'I
~~..
PJ -=>--
PT {
MJ = 320MT
MJR: onde RJ= 11RT
MTRJ PT= 1000N
Logo:
2
PJ 320MTRT 320 320. 1 000 I I-= =-=>PJ= =>PJ~2645N
1 000 MT(11RT)2 121 121
Respostas: a) 100kg; b) 2645 N.
5. AGRONOMIA LUIZ MENEGHEL - Um satélite artificial gira em
órbita circular em torno da Terra a 9,0 . 103km do seu centro.
Sendo a massa da Terra 6,0 . 1024kg e G=6,7 . 10-11 N . m2fkg2,
a velocidade orbital do satélite será de aproximadamente:.
a) 7,0 . 103m/s. d) 6,7 . 105m/s.
b) 7,0 . 102m/s. e) 7,0 . 104m/s.
c) 6,7 . 103 m/s.
Re'Solução:
/ / ' :\
// - -- '~,
I ~
I d "'. -
,I r ~ //~..
! l~' - "'\v
\ ~ J; :.f.~ ,
\ I '"M ;;' /, /" /
" ~/"---"
.
~~~
Como já vimos na teoria,.a intensidade da velocidade de um satélite
em órbita circular ao redor de um planeta é dada pela expressão
V = jG M , onde G= 6,7 . 10-11N . m2jkg2, M = 6,0 . 1024kgd .
e d = 9~ . 103km = 9,0 . 106m.
Logo!V=
6. MEBICINADA SANTA CASA - Considere o sistema Sol-Terra.
. Admita que o movimentoda Terra em torno do Sol seja circular
e uniforme. Despreze os efeitos de outros corpos do Sistema
Solar. Suponha conRécidos os valores de:
r = raio da Terra;
R=distância entre os centros da Terra e do Sol;
p =densidade da Terra;
T= período de revolução da Terra em torno do Sol.
Podemos afirmar que a força de atração média, exercida pelo Sol
sobre a Terra, é:
a) 21c Rpr.
5 T
b) ~1t3~
3 T2r3
c) ~ 1t:~Rpr3.
3 T2
Resolução: A força de atração gravitacional tem intensidade F expressa
GMm.
por F = , onde m=massa da Terra e M=massa do Sol. Sa-
R2
16
d) -1tRpT-1.
3
e) nenhuma das anteriores.
4
bemos que m= pV =P . -,ma (I).
3 . m--
! (T. )",-' F ~,1/
0
'.
I , R
" C&1/ ..
I f ,t. (8) :: M \11 "" "
\ ,\ /
\ ,
\
" "---..
246 :§~
F= GMm ~ F =
R2
3. UNIVERSIDADEDO RIODEJANEIRO- No interior de um satélite
que gira emtorno da Terra,em órbita circular, a aproximadamente
200 km de altitude, um astronauta tem a ..sensação" de não ter
peso. Qual das explicações abaixo é correta?
a) A atração da Terra é..desprezível" para objetos a esta altitude.
b)' Uma força de interação oposta em sentido e igual em módulo
à força de atração terrestre a esta se adiciona, dando resultante
nula sobre o astronauta.. .
c) Tantoo astronauta quanto o satélite têm a mesma aceleração
em relação a um sistema inercial fixo no centro da órbita.
d) A atração da Luasobreo astronauta anula a força da atração
terrestre.
e) A atração conjunta do Sol e da Lua sobre o astronauta anula a
força de ay:ação terrestre.'
Resolução: Não havendo necessidadede trocar forças entre si pl,ira se-
conservarem em órbita e possuindo ambos a mesma velocidade V e a- -
mesma aceleração y=g*, o astronauta não toca o satélite e "flutua"
na nave. Daí a "sensação" de não ter peso. Este e'stado é chamado
Por outro lado, a força de atração coincide com a resultante centrípeta
e temos:
Logo:
41t2R3
- (11) (Esta expressão permite calcular a massa da Terra.
TZG
Substituindo as expressões (I) e (11) na expressão deF, temos:
41t2R3 4
G p . -1tr3
T2G 3
7. CESCEA- Admitindo-se que a Lua gira em torno da Terra, em
trajetória circular, cuja única causa é a atração terrestré, com
velocidade constante v, sendo a massa M, o que você pode dizer
sobre o trabalho 't executado nesse deslocamento?
a) 't = Mv. d) 't = zero.
1
b) 't=-Mv2.
2
c) 't = infinito.
Resolução: A força gravitacio--
nal F que a Terra exerce sobre
a Lua, mantendo-a em órbita,
é perpendicular ao seu deslo-
camento f1S em todos os tre-
chos da trajetória. Logo, em
cada trecho elementar temos:
GMI}'1
F=Rc ~ -=.Jw2R
R2 .,.
Decorre que:
w2R3
M= , onde w= 21t
TG
M=
R2
E resulta:
I F=~n' R;' I
Resposta: alternativa c.
'tF =Ff1S cos 90o~ I 'tF = O I
Resposta: alternativa d.
- -
de "imponderabilidade" (y = g* para passageiro e veículo).
"
/
~.~
~~,. .
/
e) Nãq sei.
/I'
A situação' física aci~a discutida é semeJhante à de um elevador (com
passagéiros em seu interior) sob a ação exclusiva da gravidade quando
ocorre o rompimento do cabo de sustentação.
,-
.,',0"0" ,1".
,/ ~
'"
/ F . f1S
/ :,," ,...e; .
: ,,j'~ . '/ \I ~~ / \1V'~ ~~ ~, \
\ ~~.; I
\ ~~ I
\ . < ,/
1~~E-1l
~ <~ I,
I~ I
/=:d
I
I
/
;
;
/
Resposta: alternativa c.
248 :§~
9. IME - Determinar a relação entre os pesos de um corpo, obtidos
em uma balança de mola, no Equador e no Pólo Norte, ambos ao
nível do mar. Considerar a Terra esférica com raio R e massa M.
Resolução: Quando um corpo de ma'ssa m se encontra apoiado sobre
uma "balança de mola" na superfície da Terra, sobre ele atuam duas
-+ -+
forças: força de atração gravitacional (F) e força normal de contato (N).
N
No Pólo Norte:
N
w = velocidade angular
~ ~.da Terra em tornodo seu eixo. .
paralelo ~ - . - -'o
I
I
C-i - - ~
w
M0
M
I
1
No Pólo Norte não há rotação. Logo, ac=O.
Neste caso, r~ = p'on"= F=G* I (I), ou seja, no Pólo Norte
a força-peso coincide com a força gravitacional.
No Equador:
N N
-+
Decompondo a força F na direção da força normal e na direção do
raio do paralelo que passa pelo lugar, temos:
C0w
C-- ~-Rc-,t A m
I /
cV--T
);
~--
M'--
No Equador a aceleração centrípeta do corpo tem intensidade dada
por ac= w2R.
Aplicando o Princípio Fundamental em relação a um referencialfixo
ao centro da Terra, temos:
Rc =mac =>
=> F - N = mac
Logo: N = F - mac.
Como N = P, decorre:
P Equador= F - mac =>
=> "PEqUadOr= G ~~ - mw2R I (2)
Na direção da força normal temos N=P, pois o corpo está em equi-
líbrio nesta direção. Isto significa dizer que a indicação da "balança
de mola" (N) coincide com a intensidade da força-peso quando'o corpo
se encontra em equilíbrio relativamente à superfície da Terra.
Na direção do raio do paralelo, aplicando oPrindpio Fundamental em
relação a um referencial fixo ao eixo da Terra, temos Rc=mac=
= mw2r, onde r é o raio do paralelo.
250
Assim sendo, substituindo (1) em (2), temos:
I PEquador= PNorte--.:. mw2R I
Resposta:
'I PEquador= PNorte- mw2R I
{
m é a massa do corpo;
onde w a velocidade angular de rotação
R o raio da Terra (6400 km).'
da Terra
(
~ rad) .12 h '
--
M
1. ITA - A relação g=G- entre o valor da aceleração da gravidade na
R2
superfície da Terra e os valores da constante da gravitação universal, da
massa e do raio da Terra:
a) é resultado de uma fórmula empírica elaborada pelos astrônomos e válida
para qualquer planeta de forma esférica.
b) dá o valor correto da aceleração da gravidade em qualquer ponto da
Terra desde o pólo até o Equador.
c) pode ser obtida teoricamente, tanto no caso da Terra, como no caso de
um planeta qualquer de forma esférica, homogêneo, e que não esteja em
rotação em torno de um eixo relativamente a um sistema de referência
inercial.
d) dá o valor correto de g mesmo para pontos internos à superfície da
Terra, desde que R seja interpretado como a distância entre este ponto
e o centro da Terra.
e) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira.
2. ITA - A aceleração da gravidade, 3,600. 104 km acima, da superfície
da Terra (o raio da Terra é igual a 6,40. 103 km), vale aproximadamente:
a) 2,23 . 10-1 m/s2.
b) 1,48m/s2.
c) 9,82 m/s2.
d) 1,00m/s2.
e) Nenhuma das respostas acima é válida.
(
3. ENGENHARIA DE SÃO JOSf: DOS CAMPOS- Se g é a aceleração
da gravidade ao nível do mar, a aceleração a uma altura h acima deste
nível,
(
SUPO~dOR2 o raio da Terra, será:(h + 2R)
2
a) g d) g
R+h R
R + h 2
2h + R
R+h
)
2
c) g
2R
4. FESP- O valor da aceleração da gravidade a uma altitude igual a nove
raios terrestres vale aproximadamente:
10
a) -m/s:!.
9
1
b) - m/s2.
10
9 .
c) - m/s2.
10
9
d) -m/s2.
100
e) Nenhuma das alternativas.
5. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS- A
corpo é dada por P=k Mm , onde:
d2
de gravitação;
intensidade da força-peso de um
k =constante universal
M = massa da Terra;
m =massa do corpo;
d =distância entre os centros de gravidade da Terra e do corpo.
Qual é a intensidade do campo gravitacio'nal da Terra no centro de gravi-
dade do corpo?
a) km
b) kM
c) Mml d2
d) kml d2
e) kMI d2
6. PUC (SÃO PAULO)- O campo gravitacional da Lua, na superfície da
mesma, é aproximadamente1/6 do da superfície da Terra; uma pessoa de
massa 70 kg ,deve pesar aproximadamente, na Lua:
a) 70 N. d) 115N.
b) 180N. e) 70 kgf.
c) 700 N.
7. PUC (SÃO PAULO)- A
a) 700 kg.
b) ~ kg.
6
c) 700 N.
massa dessa pessoa na Lua será:
d) 115 N.
e) 70 kg.
252
8. UNIVERSIDADE DO ESPIRITO SANTO- Um corpo
altitude igual ao raio da Terra. Podemos afirmar que:
a) seu peso não varia.
b) seu peso reduz-se à metade.
c) seu peso reduz-se a 1/4 do valor ao nível do mar.
d) sua massa reduz-se à metade.
e) nenhuma das respostas satisfaz.
9. MACKENZIE- Que alteração sofreria a intensidade da aceleração da
gravidade se a massa da Terra fosse reduzida' à metade e o seu raio di-
minuído de 1/4 de seu valor real?
é levado a uma
10. MEDICINA DE ITAJUBÁ - Duplicando-se o raio de um planeta, man-
tendo a sua densidade constante, a aceleração gravitacional na sua super-
fície se tornará:
a) oitovezes maior.
b) oito vezes menor.
c) duas vezes maior.
d) duas vezes menor.
e) quatro vezes menor.
11. MACKENZIE - Qual é o valor da aceleração da gravidade do Sol se o
seu raio é li O vezes maior do que o da Terra e sua massa específica média
é 1/4 da massa específica média da Terra? A aceleração da gravidade na
superfície da Terra é de 9,8 m. S-2.
12. IME - Um astronauta equipado, utilizando o esforço máximo, salta 0,60 m
de altura na superfície terrestre. Calcular o quanto saltaria na superfície
lunar nas mesmas condições. Considerar o diâmetro e a densidade da Lua
I 2
d
.
como sendo- e -. os da Terra, respectivamente.
4 3
13. FUVEST - Considere as seguintes informações: 1) Um corpo de massa
3 kg é atraído por uma força de 4,8 N na s\lperfície da Lua. 2) Aceleração
da gravidade na Terra é de 10 m/s2. 3) A massa da Lua é de aproximada-
mente 1/100 da massa da Terra. 4) O raio da Lua é aproximadamente
1/4 do raio da Terra.
Utilizando algumas destas informações, pode-se afirmar que, se um objeto
for abandonado próximo à superfície da Lua, sua aceleração será de:
a) 10 m/s2. d) 1,6 m/s2.
b) 0,10 m/s2. e)2,S m/s2.
c) 0,16 m/s2.
14. UNIVERSIDADE DO ESPIRITO SANTO- Se a aceleração da gravidade
na superfície da Terra é g, o seu valor na superfície de um planeta que
tenha o dobro da massa e o dobro do raio da Terra será:
a) g. d) g/2.
b) 2g. e) g/4.
c) g2.
I
..
~~
15. MEDICINA DE LONDRINA - Se a Terra tivesse seu raio reduzido à
metade, sem que houvesse alteração em sua massa, o que ocorreria com
o peso dos objetos que estavam e permanecem sobre sua superfície .depois
desta redução?
a) Permaneceria inalterado.
b) Ficaria multiplicado por 2.
c) Ficaria dividido por 2.
d) Ficaria--multiplicado por 4.
e) Ficaria dividido por 4.
'" 16. MACKENZIE - Um foguete elevou-se a uma altura h= O,IR da super-
fície terrestre. O raio da Terra é R. Em que proporção variou o peso do
corpo do foguete -em comparação com o seu peso na superfície terrestre?
1
17. UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ - O raio da Lua é- do raio da Terra
4
c a massa da Lua é~ da massa da Terra. Quando Armstrong pisou80
na Lua, o seu 'peso naquele satélite era:
I
, a)-
20
1
b) -
80.
do seu ~eso na Terra.
1
c) - do seu peso na Terra.
S
do seu peso na Terra. d) S vezes o seu peso na Terra.
18. CESGRANRIO - Júpiter, o maior planeta do Sistema Solar, tem diâmetro
li vezes maior do que.o da Terr~ e ~assa 320 vezes maior que a terrestre.
Qual será, na superfície de Júpiter, o peso de um astronauta e seu equipa-
mento, cujo peso total na Terra é 120 N?
a) 120N d) 320N
b) 180 N e) 3SOO'N
c) 240 N
19. UNIVERSIDADE DE BRASIL1A - Para um corpo na superfície de um
planeta que tivesse o dobro do volume da Terra e massa igual à da Terra
teríamos:
a) o peso do corpo no planeta igual ao peso do corpo na Terra.
b) o peso do corpo no planeta igual ao dobro do peso do corpo na Terra.
c) o peso do corpo no planeta igual à metade do peso do corpo na Terra.
d) Nenhuma dessas.
20. MACKENZIE - Se um planeta tem massa igual' ao dobro da massa da
Terra e tem raio igual ao triplo do da Terra, então na sua superfície um
corpo de massã 10kg terá peso aproximadamente igual a:
a) 2,2 N.
b) 4,4 N.
c) 6,7 N.
d) 13,3 N.
e) n.d.a.
254
21. ENGENHARIA DE ITAJUBÁ - O planeta Mercúrio apresenta um raio
correspondente a aproximadamente 40% do da Terra, e sua massa atinge
a 4% d!i terrestre. Qual será o peso, na superfície de Mercúrio, de um
corpo que, na Terra! pesa 196 N?
22. ENGENHARIA DE ITAJUBÁ - A seguinte experiência é feita na Terra
com o corpo descrito na questão anterior: sobre uma superfície plana, hori-
zontal, sem atrito, aplica-se ao corpo uma força constante de 490 N, efe-
tuando-se a medida da aceleração resultante a. Qual o valor de a?
Casp esta experiência seja repetida nas mesmas condições, porém na super-
fície do planeta Mercúrio, mediremos uma aceleração maiQr, menor ou
igual? Explique.
f: dado o valor da constante gravitacional de campo terrestre: g= 9,80 N/kg.
23. MEDICINA DA SANTA CASA - Considerando a constante de gravitação
universal com valor G=6,67. 10-11 N . m2 . kg-2, a aceleraçãoda gravi-
dade ao nível do mar g= 9,8 m . S~2. e o raio da Terra r=6400 km, es-
colha, dentre os valores fornecidos a seguir, o que melhor representa a massa
da Terra, em kg.
a) 5,2 . 1022
b) 5,5 . 1022
c) 5,8 . 1022
d) 6,0 . 1028
e) 6,0 . 1024
24. MAPOFEI- A massa da Terra é 81 vezes a da Lua. A distância da Terra
à Lua mede 380 000 km. A que distância do centro da Terra se situa o ponto
onde o campo gravitacional é nulo?
25. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO - Indique a afirmativa correta:
a) O campo gravitacional terrestre é uniforme em toda a região situada
entre a Terra e a Lua.
b) A constante gravitacional G tem o mesmo valor para todos os pares de
pontos materiais.
c) As forças gravitacionais, assim como as ektrostáticas, podem ser tanto
de atração como de repulsão.
d) A resultante das forças gravitacionais exercidas pelo sistema Terra-Lua
sobre um çorpo situado a meia distância entre os dois planetas é nula.
e) A força gravitacional entre dois corpos é diretamente proporcional à
distância que os separa.
26. MEDICINA DA SANTA CASA - Na Lua, para uma pedra cair em queda
'livre, a partir do repouso, da altura de 20 m e atingir a superfície lunar,
necessita de 5,0 s. A aceleração da gravidade na Lua, com base nessa medida.
expressa emml S2, é um valor mais próximo de:
a) 9,8. d) 1,6.
b) 4,9. e) 1,2.
c) 2,5.
:§~
27. FUVEST- A figura representa o gráfico posição- tempo do movimento
de um corpo lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial Vo,
na superfície de um planeta.
o 2 3
Tempo (s)
4 5 6
a) Qual o valor da aceleração da gravidade na superfície do planeta?
b) Qual o valor da velocidade inicial Vo?
28. PUC (SÃO PAULO) - O peso de um corpo: .
a) medido ao longo de um meridiano e ao nível do mar permanece cons-
tante.
b) medido ao longo de um paralelo e ao nível do mar varia sensivelmente.
c) não varia com a altitude.
d) é maior no Equador que nos pólos.
e) varia com a latitude.
29. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Qual das opções abaixo representa
uma afirmação correta?
a) Uma astronave que gira em torno de um planeta é atraída por ele.
b) Na Lua, a aceleração gravitacional é nula.
c) Na Lua, o peso de um astronauta é o mesmo que na Terra.
d) A massa do primeiro jipe lunar era menor na Lua do que na Terra.
e) A aceleração da gravidade tem a mesma intensidade em qualquer lugar
da Terra.
30. UNIVERSIDADE DE BRASfLIA - Devido à rotação da Terra em torno
de seu próprio eixo, um corpo de massa M sobre a superfície da Terra, loca-
lizado a uma latitude <1>,experimenta uma aceleração centrípeta que é:
a) maior do que a de um corpo de mesma massa localizado no Equador.
b) igual à de um corpo de mesma massa localizado no Equador.
c) difícil de ser calculada sem os dados numéricos.
d) menor do que a de um corpo de mesma massa localizado no Equador.
31. MAPOFEI - Admitir que a Terra seja uma esfera homogênea de raioR,
girando com velocidade angular {t). Exprimir a diferença (gs- gE) entre as
acelerações da gravidade no Pólo Sul e no Equador.
J
10
8
j",
Posição (m)
6
4
2
.......... r----...
/' .........
./ "-
/ '\.
/ '\.
/ \.
\-
256
32. INATEL - Supondo que a Terra seja uma esfera perfeita de raio igual a
6 400 km, quanto pesará no Equador um homem que, no Pólo Norte, pesou
80 kgf? Dados: I dia= 8,6 ; 104s;
gpõlo=9,832m/s2.
33. MEDICINA DA SANTA CASA - A constante de gravitação universal é
G. O período de rotação de um planeta X é T. Sabe-se que no equador de
X, mesmo um dinamômetro de alta sensibilidade mantém suspenso na verti-
cal qualquer corpo de massa 1 t, acusando força zero. A densidade média
do planeta X é:
1t
a)-.
GT
41t
b)-.
GT
41t
c)-.
3GT2
d)~
GT2'
31t
e)-.
GT
34. GESCEA - Quantas vezes mais rápido, aproximadamente, teria de girar a
Terra em seu movimento de rotação, para que uma pessoa, situada ao longo
da linha do Equador, tivesse seu peso reduzido a zero? São dados:
g = 10 m/s2, WT=velocidade angularde rotação da Terra= 7 . 10-5 rad/s,
e RT= raio da Terra~ 6 400 km.
a) 2 vezes. d) 1 000 vezes.
b) 18 vezes. e) Depende da massa do corpo.
c) 100 vezes.
35. ENGENHARIA DE SANTOS - Instalam-se fios de prumo em diversos
locais na superfície da Terra e aguarda-se. o equilíbrio. Julgar as afirmativas:
1) Cada fio de prumo aponta aproximadamente para. o centro da Terra.
2) Os fios de prumo são todos verticais, portanto paralelos entre si.
3) Exceto nos pólos e no Equador, a rotação da Terra influi na direção da
vertical do lugar.
36. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Qual dos seguintes gráficos melhor
representa o módulo da aceleração da gravidade no interior da Terra?
(Considere que a distância zero é o centro da Terra, que a distância R é igual
ao raio da Terra e que a Terra é homogênea.)
E=L
'
DL
1
~
I
I I . ,
a) i db) j d ,) : d
O t' R l O R r O j R
d)L-Ld ')~d
o R o R
~
;§~
)
~
Um satélite artificial da Terra tem órbita circular. Os testes 37 e 38
referem-se às seguintes opções:
-=-- --...r
(
""\_-
~
II
T
'".,~ . ~~ ~, ,',
a) rlJt;~ . '-" b) /" "', c),, ". \ , " \, I \,. \I, , (, . ) / \ I(Q \'~) J\ \ ~ .J\ '~ \ I\ I / \ ,I '- ,,'"' / - '-, /' ~ "... "","
, " ..III.(W'..., "' ...~ti'w~ ,---..
('~) ") e)( -.) ')" / " J'," ,..'" ~
Em relação a um referencial inercial:
d)
37. CESGRANRIO - qual das opções anteriores melhor representa a resultante
das forças que atuam sobre o satélite?
38. CESGRANRIO- qual das opções representa melhor a aceleração do sa-
télite?
39. FUVEST - Um planeta de massa m gira numa órbita circular ao redor de
uma estrela de massa M, com velocidade de translação constante. Esboce
graficamente esta situação, identificando as direções e sentidos das forças
que agem sobre o planeta e sobre a estrela, 'indicando a relação entre os
módulos dessas forças. (Considerar m < < M.)
40. FUVEST - Podemos admitir, numa primeira aproximação, que a Terra
descreve um movimento circular uniforme em torno do Sol.
a) Faça uma figura da trajetória da Terra em torno do Sol, mõstrando,
num determinado ponto da trajetória, os vetores velocidade e aceleração
centrípeta da Terra. .
b) Indicando com FG o módulo da força gravitacional que o Sol exerce
sobre a Terra e com F'C o módulo da força centrípeta que' atua sobre
a Terra, quanto vale FG/Fc?
41. PUC (CAMPINAS) - Em relação a um referencial com origem no centro
da Terra e eixos dirigidos para estrelas fixas, um satélite S descreve em torno
da Terra uma órbita circular de raio RI, Julgar:
1. A força gravitacional que atua no satélite é inversamente proporcional
a R~'.
2. A força resultante sobre o satélite é nula.
3. O satélite possui aceleração.
258
~
"
"
'\ I-
\ v
s
RI-
-.-,',
/
//
d) Só a 2 é
e) n.d.a.
a) I, 2 e 3 são falsas.
b) Só a 1 é correta.
c) Só a 3 é correta.
correta. ,
42. CESCEA- Considere-se um satélite artificial em órbita circular ao redor
da Terra. Qual das seguintes afirmações é correta:
a) Sobre o satélite age uma força de origem gravitacional que modifica
seu movimento inercial, mantendo-o em órbita.
b) Sobre o satélite age uma força de origem gravitacional que se opõe à
força centrífuga, impedindo que ele se afaste da 1;'erra.
c) A inércia que o satélite possui gera uma força centrífuga que impede
que ele caia em direção à Terra.
d) Se não existisse uma força de origem gravitacional agindo sobre o satélite,
este afastar-se-ia radialmente da Terra.
e) Não sei.
43. CESCEA - Para um satélite permanecer em uma órbita circular a, uma
altura h da terra (h <<R, sendo R o raio da Terra) é necessário que:
a) a aceleração centrípeta do satélite ~eja igual à aceleração da gravi-
dade na alturah.
b) a força centrífuga seja equilibrada pela força da gravidade na alturah.
c) a força de atração da Terra sobre o satélite seja equilibrada pela
atração do Sol sobre o satélite.
d) a velocidade angular do satélite seja proporcional à altura h.
e) Não sei.
44. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS- Um satélite está em órbita circular em
torno da Terra.' Desta situaçãoafirma-se:.
I ---:... O vetor-velocidadeé constante.
11- O período é constante.
111- O vetor-aceleraçãoé constante.
Destas afirmações está(ão) correta(s):
a) apenas 11.
b) apénas m.
c) apenas I e 11.
d) apenas I e III
e) I, 11 e m.
~~
~)
45. ITA - Os satélites de cQmunicação (chamados síncronos) permanecem pra-
ticamente estacionários sobre determinados pontos do Equador terrestre~ Com
referênciaa este fato, ignorando o movimento de translação da Terra:
a) um observador terrestre que esteja sob o satélite diz que ele não cai.
porque está fora da átração da gravidade.
b) outro dirá que ele não cai devido ao campo magnético que envolve
a Terra.
c) um terceiro invocaa terceira lei de Ne,wton e explica que existe uma
reação igual e oposta à atração da gravidade.
d) um observador que estivesse no Sol explicaria o, fenôQ;leno como um
movimento circular uniforme sob a ação de uma forçaúnica, centrípeta.
e) Nenhuma das afirmações acimaé correta.
46. ENGENHARIA DE SANTOS - Um satélite de massa m descreve uma
órbita Circular de raio R em torno de um planeta de massaM. SendoG a
constante de gravitação universal, podemos afirmar que a velocidade escalar
do satélite serádada por:
a) V = MG
R2 . d) V -=I mOR .
e) V =~
R2 .
b) V = MG
, R .
c) V =I MG, R .
47. UNIVERSIDADE DE SÃO CARLOS - Deseja-secolocar um satéliteem
órbita circular ao redor da Terra. Pode-se afirmar que a velocidade do saté-
lite será: '
a) diretamente proporcional à. mãs~a do Joguéte. '
b) independente da massa do foguete.
c) inversamente proporcional à massa do foguete.
d) diretamente proporcional à 'distância do s'atélite ao centroda Terra.
e) proporcional ao inverso do quadrado da distância Terra-satélite.
48. UNIVERSIDADE DO PARÁ - Considerando que aTêrra tenha massa M
e raio R, a velocidade com que se deve lançar um satélite, para que entre
em órbita circular logo acima da superfície terrestre é:
a) MgR. d) ~.
b) 2gR. e) v"'g'R".
,c) 2 vgm.
49. FUVEST --.:...Se fosse possível colocar um satélite em órbita rasante em torno
da Terra,.o seu período seria T. Sendo,G a constante de gravitação univer-
sal, expresse a massa específica média (densidade média) da Terra em função
de'T e G.' ,
260 ~~
50. MEDICINA DE ITAJUBÁ - Um satélite de massa m descreve uma órbita
circular de raio RI em torno. fie um planeta de massa M. A constante de
gravitação universal vale G. Se este satélite passar a girar em outra órbita
circular de raio R2= RI/3 em torno do mesmo planeta, a relação V1/V2,
entrê os módulos de suas velocidades tangenciais ao longo das órbitas de
raios RI e ~, respectivamente,. será:
a) 1/9.
b) 1/3.
c) V3"/3.
d) 3.
e) um vafor
55. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS - Um. satélite move-se numa órbita
cujo raio é 2 vezes maior que o raio terrestre. A aceleração centrípeta deste
satélite em' torno da Terra será, sendo g a aceleração da gravidade na super-
fície terrestre, de:
a) O.
b) g.
c) 2g.
-<I) g/2.
e) g/4.
diferente d9s anteriores.
56. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS -. Um satélite artificial terrestre, cuja
massa é 200 kg, descreve uma trajetória perfeitamente circular com veloci-
dade constante, em módulo. A aceleração centrípeta, sobre o satélite é de
8 m/s:!. Qual é. em newtons, a intensidade da força de atração gravitacional
da Terra sobre o sat~lite?
51. FEI"MAUÁ - Pretende-se lançar um satélite artificiai que irá descrever uma
órbita circular a 1 040 km de altura. Sabendo-se que G (cpnstante gravita-
cional) =6,7 . 10-11 uSI e que o raio e a massa da Terra são RT= 6400 km
e MT = 6 . 1024kg, determine a velocidade tangencial que deve ser impri-
mida ao satélite, naquela altura, para obter-se a órbita desejada.r .
Determine também a freqüência do movimento do satélite e o número de
voltas que ele dará por dia em torno da Terra.
a) 12800
b) 1 960
c) 1 600
d) 0,04
e) zero
52. ARQUITETURA DE SANTOS - Um satélite gira em torno da Terra com
velocidade V, mantendo-se à distância d de sua superfície. Se R é o raio
da Terra, "a aceleração da gravidade terrestre nos pontos da trajetóriado
sátélite é:
57. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS - Um satélite artificial Circula em
torno da Terra numa órbita circular. O período de rotação do satélite:
a) independe de sua massa.
b) será tanto maior quanto maior a sua massa.
c) será tanto maior quanto menor a sua massa.
d) é diretamente proporcional à sua massa.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
a) zero.
b) 9,8 m/s2.
c) V2/R.
d)"V2/(R + d).
e) V2/d. 58. ENGENHARIA DE UBERLÁNDIA - Dois satélites estão em órbita, a
uma mesma distância da superfície da Terra. Os dois satélites possuem mas-
sas diferentes. Assim sendo, poderemos afirmar:
a) O de maior massa possui maior período.
b) O de menor massa tem maior velocidade.
c) Os dois possuem a mesma àceleração.
d) Os dois possuem a mesma energia cinética.
e) O de maiot massa possui maior freqüência.
53. UNIVERSIDADE DE SÃ9 CARLOS - A distância da Terra à Lua é de
384 000 km. A Lua gasta aproximadamente 2,4. 106 s para completar uma
volta em torno da Terra. Considerando o movimento. circular uniforme, a
aceleração centrípeta dl;l Lua será de:
, a) 0,54. 10-2 m/s2.
b) 2,71 . 10-2 m/s2.
c) 5,4 . 10-2 m/s2.
d) 2,63 . 10-3 m/s2.
e) 2,71 . 10-8 m/ S2.
a) 8.
b) 32.
c) 2.
d) 1.
e) 4.
59. UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA - Três satélites artificiais A,Is, C
encontram-se em órbita circular em torno do centro da Terra. A e B estão
em órbitas de raios iguais, enquanto C encontra-se mais afastado da Terra.
Supondo-se mA > ma > me" o período de. C é maior, menor ou igual ao pe-
ríodo de A?
a) Menor.
b) Maior.
c) Igual.
d) Impossível calcular,
e) Impossível calcular,
centro da Terra.
pois não se conhece o valor das massas.
pois não se conhecem as distâncias dos satélites ao
54. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO - Em. determinado ponto do es-
paço, um corpo de massa 1kg é atraído para a Terra com uma aceleração
de 8 m/s2. A aceleração a que estara sujeito um corpo de 4 kg, se colocado
no mesmo ponto do espaço, será, em m/ S2,de: .
262 :§~,
60. IME - Um corpo esférico de massa ml = 10 kg percorre, no espaço
sideral, uma órbita circular de raio 107 m em torno de outro também es-
férico, cuja massa é m2 = 2 . 1022/6,67 kg. A constante de gravitação
é G = 6,67 . 10-11 N . m2/kg2. O período de revolução é de:
a) 200 000 s. d) 360 000 s.
b) 100000 s. e) Nenhuma das anteriores.
c) 300000 s.
61. PUC (CAMPINAS) - A distância média entre Marte e seu satéliteFobos
é de 9 500 km. O diâmetro de Marte é de 6 800 km e sua densidade média
é de 4 120 kg/ m3. O período de Fobos é:
a) T =5,6 h. d) T =3,6 h.
b) T = 7,7 h. e) n. d. a.
c) T= 7,6h.
66.UNIVERSIDADE DE SÃO CARLOS - Considerando o movimento da
Terra em torno do Sol como circular, desprezando o efeito dos outros corpos
celestes e dispondo das seguintes grandezas: t - período de rotação da
Terra em torno de seu eixo, T - período de translação da Terra em torno
do Sol, R - distâQcia da Terra ao Sol, M - massa da Terra, G - cons-
tante universal de atração gravitacional, podemos afirmar que a massa do
Sol é:
41t2R3
a) d) 41t2R 2M
.62. IME - Um planeta esférico,sem atmosfera e com 3 115 km de raio, tem
aceleração da gravidade de 8 m/s2, independente da altitude.Uma astronave
gira em órbita circularconcêntrica com o planeta a uma altitudede 10 km.
Um objeto, com massa de 10 kg, 'solta-seda nave. Qual o seu tempo de
queda?
63. UNIVERSIDADE DO CEARÁ - Um satélite estacionário, utilizado em
comunicações, é colocado em órbita circular acima da linha do Equador,
com velocidade tangencial V. e angular W... Sendo VT a velocidade tangen-
. cial de um ponto do Equador e WTa velocidade angular da Terra, podemos
afirmar que:.
a) Vs >VT e Ws=WT'
b) Vs = VT e Ws= WT'
c) Vs < VT e ws> WT'
d) Vs = VT e IDs< WT'
67. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS- Galileu observou o satélite 10 de Jú-
pitere determinou seu período em 1,77 dias ou 1,53. 1011S. Sua distância
a Júpiter foi também determinada: 4,22. 1010cm. A constante da gravita-
ção universal é 6,7. 10-8 unidades CGS. A massa de Júpiter é da ordem de:
a) 1021g.
b) 1033g.
c) t030 g.
d) 1028g. .
e) Um valor diferente dos anteriores e expresso em potências de 10.
64. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO - Suponha um satélite artificial
'que gire numa órbita circular ao redor da Terra, a uma altura h acima da
superfície do nosso planeta. Sendo M a massa 'da Terra, R o seu raio e G
a constante de gravitação universal, podemos concluir que a velocidade an-. ,
guiar que o satélite deve ter para permanecer em órbita será dada por:
a) [GM/(R + h)]l/2. d) GM/(R + h)1/2.
b) GM/(R + h). e) [GM/(R + h)3]1/2.
c) GM/ (R + h)2.
68. FUVEST - Dentro de um satélite em órbita em torno da Terra, a tão
falada "ausência de peso", responsável pela flutuação de um objeto dentro
do satélite, é devida ao fato de que:
a) a órbita do satélite se encontra no vácuo e a gravidade não se propaga
no vácuo.
b) a órbita do satélite se encontra fora da atmosfera, não sofrendo assim os
efeitos da pressão atmosférica.
c) a atração lunar equilibra a atração terrestre e, conseqüentemente, o peso
de qualquer objeto é nulo.
d) a força de atração terrestre, centrípeta, é muito menor que a força centrí-
fuga dentro do satélite.
e) o satélite e o objeto que flutua têm a mesma aceleração produzida unica-
mente por forças gravitacionais.
65. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO - Em relação ao problemaante-
rior, se m é a massa do satélite, podemos concluir que sua energia cinética
será dada por:
a) GMm/(R + h)2.
b) GMm/(R + h)l/2.
c) GMm/ (R + h).
d) GMm/2(R + h).
e) GMm/3(R + h).
69. CESCEA - Use o código abaixo para. responder à questão:
a) A asserção e a razão são proposições verdadeiras, e a razão é uma justifi-
cativa correta da asserção.
b) A asserção e a razão são proposições verdadeiras, mas a razão não é uma
justificativa correta da asserção.
c) A asserção é uma proposição verdadeira e a razão é uma proposição in-
correta.
GT2
b)
41t2R2
GTt
GTS
e)
41t2R3
41t2R3
GT2t2
c)-
GT
264
d) A asserção é uma proposição incorreta e a razão é uma proposição ver-
dadeira. '
e) Não sei.
Um astronauta pode flutuar livremente dentro de um satélite em órbita ter-
restre porque o campo gravitacional diminui à medida que aumenta a
distância ao centro da Terra.
70. UNIVERSIDADE DE SÃO CARLOS - Sabe-se que no interior de uma
nave em órbita da Terra os corpos flutuam. Podemos afirmar que, para o
astronauta, este fenômeno é devido à:
a) ausência do campo gravitacional da Terra.
b) ação do campo gravitacional da Lua.
c) ausência de atmosfera.
d) ausência de suas massas no espaço.
e) força centrífuga.
71. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO - Esta questão apresenta duas
afirmações, podendo a segunda ser uma razão para a primeira. Assinale:
a) se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda for uma justificativa
da primeira.
b) se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda não for uma justi-
ficativa da primeira.
c) se a primeira afirmação for verdadeira e a segunda afirmação for falsa.
d) se a primeira afirmação for falsa e a segunda afirmação for verdadeira.
e) se a primeira e a segunda afirmações forem falsas.
Vamos supor que a órbita do laboratório espacial Skylab é uma circunferência
cujo centro coincide com o centro da Terra. Inúmeras reportagens transmi-
tidas pela televisão mostram ocupantes do Skylab flutuando dentro da nave.
Em conseqüência, podemos afirmar que:
1.a afirmação
A força resultante que atua
sobre o astronauta que flu-
tua é nula, quando medida
em um referencial inercial,
porque
z.a afirmação
a aceleração deste astronau-
ta em relação à nave (Sky-
lab) é nula.
72. ITA - Um satélite artificial, depois de desligados todos os seus propulsores,
gira numa órbita circular estável em torno da Terra. Abandonando-se um
objeto no centro do satélite, observa-se que ele permanece indefinidamente
"flutuando" nesse local. Isto ocorre porque:
a) dentro do satélite não existe atmosfera.
b) no local onde se encontra o satélite o campo gravitacional devido à Terra
é nulo.
c) no local onde se encontra o satélite a soma dos campos gravitacionais
devidos à Terrae a todos os outros corpos celestes é nula.
.d) a carcaça do satélit,e funciona como blindagem para os campos gravita-
cionais.
e) Por uma razão que não é nenhuma das anteriores.
.
~~~
73. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Dentro de uma cápsula em órbita
circular em torno da Terra e cerca de 300 km acima do nível do mar, um
corpo, abandonado com velocidade nula em relação à cápsula, no meio da
mesma, não cai em relação à cápsula porque:
a) está fora do campo gravitacional da Terra.
b) a cápsula está caindo livremente no campo gravitacional e sua velocidade
tangencial é suficiente para que ela siga trajetória circular.
c) a força da gravidade da Terra é igual e de sentido oposto à força de
gravidade da Lua.
d) a pressão da atmosfera nessa altura é suficiente para que ela siga traje-
tória circular.
e) Nenhuma das razões é válida.
74. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO - No interior de um satélite
artificial, que está girando em volta da Terra descrevendo uma órbita fec~a-
da, um astronauta deixa cair duas esferas de massas: 50 g e 200 g. Pode-
-se constatar que:
a) a esfera maior cai mais depressa.
b) a esfera menor cai mais depressa, pois encontra menor resistência.
c) ambas caem e o fazem com a mesma velocidade, pois, já que não há 'ar,
não existe atrito, e são válidas as leis de queda no vácuo.
d) as velocidades de queda serão maiores que as observadas em um satélite
que descreve órbitas em torno de' Marte.
e) todas as respostas acima estão erradas.
75. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO - Um satélite artificial em órbita
circular dista R do centro da Terra e o seu período é T. Um outro satélite
também em órbita circular tem período igual a 8T. O raio da sua órbita é:
a) 2R. d) 16R.
b) 4R. e) Nenhum desses.
c) 8R.
76. FESP - Um satélite artificial gira ao redor da Terra em trajetória circular
de raio Ro e período To. Se em virtude de uma perturbação o raio quadru-'
plicasse, o novo período T:
a) não seria afetado.
b) seria 'T ==4To.
c) seria T = To/4.
d) seria T = 8To.
e) Nenhuma das alternativas.
77. PUC (SÃO PAULO) - Supondo as trajetórias descritas pelos planetas em
torno do Sol praticamente circulares, o trabalho realizado 'pela força de atra-
ção do Sol numa revolução em torno do astro é:
a) proporcional ao raio de suas trajetórias.
b) proporcional ao quadrado do raio de suas trajetórias.
c) inver:samente proporcional aó raio de suas trajetórias.
d) nulo. .
e) inversamente proporcional ao quadrado do raio de suas trajetórias.
266
~
1. c 2. a 3. a 4. b 5. e 6. d 7. e 8. c
8
9. O novovalorda .aceleraçãoda gravidade.seria- da aceleração normal
9
da gravidade.
10. c 11. gs=269,5m/s2 12. hL=3,6 m 13. d 14. d 15. d
16. O peso do corpo será 1,21 vezes menor do que na superfície da Terra.
17. c 18. d 19. d (Peso no planeta= V'O,25 .peso na Terra.)
20. e (P ~ 22,2 N)
21. PM=49N
22. aTerra= 24,5 m/s2; aMercúrio= 24,Sm/s2. Como a massa inercial é a mesma,
para a mesma resultante teremos a mesma aceleração.
23. e 24. d=342 000 km 25. b 26. d
27. a) 9=2 m/s2; b) Vo=6m/s.
28. e 29. a 30. d
31. gs- gE = (J):!R
32. PE =79,72 kgf
33. d 34. b
35. 1) E; 2) E; 3) C.
36. c 37. c 38. c
39. As forças de atração gravitacional obedecem ao Princípio da Ação e Reação,
tendo mesma direção, sentidos opostos e intensidades iguais.
... -+k/ F mp -+
/ )<FI! V
\ 1
E '- / .
M
-+
~=1-+
IFI! I
40. a) FGb) - = 1
Fc~
. T
.
erra
1)1 ..
,. -:, .-
i/'C -+
,,1 V-
\
Sol
31t
41. c 42. a 43. a 44. a 45. d 46. c 47. b 48. e 49. dm=-
GT2
50. c 51. VT ~ 7,9" 10a m/s; f ~ 2,0" 10-4 Hz ~ 17voltas/dia.
52. d 53. d 54. a 55. e 56. c 57. a 58. c 59. b 60. e 61. c
62. O objeto permanece em órbita em torno do planeta. ~
63. a 64. e 65. d 66. a 67. c 68. e 69. b 70. e 71. d 72. e 73. b
74. e (Ambas as esferas permanecem no ponto em que foram abandonadas em
relação à nave em estado de imponderabilidade.)
75. b 76. d 77. d
€nergiaGravitacional
".
.' ():t~:
111
,a
a
: fI-
~ -~
111
--.'. :')JÍ111
~~
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(", -1..
..:;'~\.
111
I
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li'
a
111
a
a
G
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.,~'~
1:1,
111
I
d 111
a a 11;1
.. a
268
Energia potencial gravitacional
Já vimos anteriormente a expressão que nos permite" calcular a
energia potencial do sistema formado por um ponto material e a
Terra, numa determinada posição.
.1r ~~
JJl ~ .,.-
';' "/J~."
plano de referência
Trata-se de Epotgrav= mg.*h.
Nesta expressão, m é a massa do ponto material e h é a ordenada
do ponto em relação a um plano de referência horizontal qualquer
dentro de um campo gravitacional uniforme. Isto significa que g*,
intensidade do campo gravitacional, deve ser obrigatoriamente cons-
tante, o, que só ocorre nas proximidades imediatas da Terra.
À medida que passemos a trabalhar com grandes distâncias rela-
tivamente ao raio da Terra, a intensidade do campo gravitacional (g*)
passa a variar sensivelmente, conforme pudemos deduzir pela Lei
GM
da Gravitação Universal, ou seja, g*= -.
d2
Isto significa que a expressão Epotgrav= mg*h não pode mais ser
apl1cada, pois o campo gravitacional não é uniforme.
Para determinar uma nova expressão para a energia potencial
gravitacional do sistema corpúsculo-Terra numa posição qualquer do
espaço, adota-se um ponto de referência no infinito (região do espaço
onde as ações gravitacionais do planeta são praticamente despre-
zíveis) em relação ao planeta. Aparentemente, esta escolha parece
complicar o assunto, mas veremos que tal não ocorre.
:§~
JI
Isto pode ser feito, pois o ponto de referência é sempre arbi-
trário. É bom lembrar que.. no ponto de referência, a energia potencial
gravitacional do corpúsculo ali colocado é nula por convenção.
Pode-se demonstrar matematicamente que, adotando-se o refe.
rencial no infinito relativamente ao planeta, a expressão da energia
potencial gravitacional do sistema corpúsculo-Terra (Epot)é:
I EOM=- G~m I
onde d é a distância do corpúscuJ"oao centro do planeta.
tt\ -- -- ~finlto
-~-- lEpot= o I.- \
-\
-- \--
, -
~ I
~'&, \ ~
MI<" . ... d
" ."
A expressão indica que a energia potencial gravitacional do
sistema é sempre negativa ou nula. Nula unicamente quando o cor-
púsculo estiver no ponto de referência, ou seja, no infinito.
~
Energia mecânica de um sistema
Como já sabemos, energia mecânica de um sistema 'é a soma
algébrica de suas energias potencial e cinética.
Em símbolos:
I Emçc = Epot+ Ecin I
Admitamos, por exemplo, um foguete que se afasta da Terra com
velocidade de intensidade V, a Uma distância d do centro do planeta. ...
/.
,,(~~..
\J, í M
~ C í
~
;t
' --+'{ h ' "\
~ ~~ ~~~
~~" .
/~4: ".,r'~~.". ..-
'~
~v~
I
d
/
270
As energias cinética e potencial
.foguete são dadas por:
Ecin = mV2/2
GMm
gravitacional do sistema Terra-
Epo'= -
d
A energia mec~,nicado sistema vale (naquela posição):
mV2
Erncc=--
2 d .
A expressão anterior também é válida para um satélite ao redor
de um corpo central.
. Energia mecânica do sistema planeta-satélite: órbita circular
GMm
/~
.
m ',' , d
'" "
v ' '" ~
I t C. I
'~;~,: ,l
Em capítulo anterior. já vimos que, para se manter em órbita
circular ao redor de um planeta, o satélite deve possuir a velocidade
cuja intensidade é dada por:
PfMV= - d
Conseqüentemente, sua energia
mV2 , GMm
Ecin = - -~ Ecln =
2 2d
.A energia potencial gravitacional do sistema no local da órbita
vale:
cinética é:
GMm
Epo,= -
d
Portanto, a energia mecânica,do sistema com o satélite em órbita
circular é:
Ernec= Ecin+ E""" ~ Ernec =
GMm
2d
GMm
d'"
--
! .
I; ~~
~ logo:
[ I E- - G~m I
1I A última expressão nos indica que a energia mecânicado sistema
I planeta-satélite, em órbita circular, é negativa. Gostaríamos de enfa-
, tizar que esta conclusão, ou seja, energia mecânica negativa, sempre
ocorre quando as órbitas são fechadas (elipses, por exemplo). Obser-
va-se que, quando as órbitas são abertas (parábolas e hipérboles), a
energia mecânica do sistema é positiva ou nula.
. Sistema'conservativo- Quando um sistema é conservativo, a
energia mecânica se mantém constante em qualquer estado dosistema.
Isto ocorre freqüentemente no espaçocósmico, nos sistemas
formados por corpos materiais que se atraem gravitacionalmente.
Primeiramente, porque as forças gravitacionais de atração entre
as partes do sistema são conservativas e, em segundo lugar, pela,
inexistência de atrito, pois o sistema está no vácuo.
I Emec = Ecin + Epo,= cte I sistema conservativo
Velocidade de fuga ou de escape
't c\
L,
'
,
-)-
, J
I d
~
m V
- .~:.-- (;
"I
~~
..... - - -.-
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~
v
--AI -- ,
-4-- --~,
mC '_-
J.-.)- d ~- /
/"
/"
/
/
\
'"
~
-......... --;--- -
Normalmente, quando lançamos um corpo para longe da Terra,
ele retorna ou entra em órbita. É sinal de que a velocidade impri-
mida ao corpo não foi suficiente para vencer a atração da Terra.
272
Se o lançamento for vertical, as forças gravitacionais vão freando
o corpo. Num determinado momento ele pára e volta.
Se o lançamento for horizontal, as forças gravitacionais vão des-
viando o corpo até que ele se choca com a Terra ou se torna satélite,
entrando em órbita elíptica (órbita fechada).
Estamos, obviamente, desprezando a ação da atmosfera para
facilitar a análise do problema.
Há, entretanto, uma velocidade mínima a partir da qual o corpo
nem entra em órbita fechada (tornando-se satélite) nem retoma: ele
se afasta indefinidamente do planeta. ~ a velocidade de fuga ou de
escap10 corpo em relação ao planeta (Vr).m vf, C I ~ ,..
M~! I "
\~ i<" d} .~Infinito , , ~,
ponto de lançamento
,.tY
'(
~ Infinito
,I;, C
M ~ T
"..
d
Partindo com Vf, o movimento do corpo será retardado à medida
que se distancia do planeta, devido à ação das forças gravitacionais.
Entretanto, só conseguirá parar num 'po'nto muito afastado (infinito).
Lá as forças gravitacionais serão praticamente nulas e ele não terá
condições de retomar.
Vamos determinar essa velocidade de fuga (sem levar em conta
o atrito com a atmosfera).
Lancemos o corpo com exatamente a velocidade de fuga (Vr) a
partir do ponto A, situado à distância d do centro do planeta.
M
Vinf= o
infinito
)- - . m,~- -
d AI Vf
~C
--~
~~
energias cinética e potencial do
r
I
No momento da partida. as
sistema corpo-planeta valem:
E~n = mV: /2
A GMm
Epot = -
d
Portanto, a energia mecânica do sistema na partida vale:
2
A - mVf GMm (I)Emec---
2 d
Ao chegar num ponto muito afastado do planeta (infinito), o corpo
pára (mas não retoma). Logo, nesta posição, temos:
E~7~= O (corpo pára)
E~~= O (corpo chega ao ponto de referência)
Logo. a energia mecânica do sistema no infinito vale:
Inf Inf Inf Inf
Emec = Ecin + Epot= O+ O=> Emec= O (11)
Mas, o sistema corpo-Terra é conservativo; daí, concluímos:
A Inf
Emec =Emec = O
Esta conclusão é importante. Para o corpose afastar do planeta
e não mais retornar, a energia mecânicamínima do sistema deve ser
zero.
Mas, igualando as expressões (I) e (11),vem:
A inf
Emec=Emec
rjav;
2
GM~ = O
d
E, finalmente:
I V,=t~M I
Lembrando que g* = GM , temos GM = g*d2 que, substituída
d2
na expressão acima de V" traz:
J 2GM ~Vf= d = y--;r = ~=>
=>\Vf=~ I
-
274 ;§~
')
onde g* é a intensidade do campo gravitacional no ponto de lança-
mento e d é a distância deste ponto ao centro do planeta.
Se o lançamento for horizontal, pode-se demonstrar matematica-
mente (o que foge ao escopo do curso) que a trajetória descrita pelo
corpo, ao ser lançado exatamente com a velocidade de fuga (Vf), será
uma parábola (curva aberta) com foco no centro do planeta.
Vf~
./
/
IÍ~'~~
(»
I
infinito /
Se o corpo for lançado horizontalmente com uma velocidade maior
que a de fuga (V > Vr), ele não pára nem no infinito. Isto significa
Resumindo:
1) Se o corpo for lançado com velocidade inferior à velocidade
de fuga, sua.trajetória será fechada (elipse ou circunferência).
I O< Vo< ~ ~ trajetória fechada I
2) Se o corpo for lançado com velocidade igualou superior à
velocidade de fuga, sua trajetória será aberta e sem retorno (pará-
bOla ou hipérbole).
I V() ~ Y29*Cf ~ trajetória aberta I
~(J
Em qualquer das hipóteses de lançamento. o centro do corpo que cria o
campo gravltaclonal estará num dos focos da curva cônica e, no caso da
circunferência, estará no seu centro.
. -. d . ,. . . Einf Einf + Einfque a energia mecamca o sistema,e positiva,pOIS mec= cin paI
(energia mecânica no infinito), onde:
w -
Epot= O (corpo chega ao ponto de referencia)
E
inf
O (
-,
)cin > o corpo nao para
Neste caso, pode-se provar matematicamente que a trajetória
descrita pelo corpo é uma hipérbole (curva aberta) com foco no centro
do planeta (melhor seria dizer ramo de uma hipérbole).
(parábola)
m
~ ~\:..7
1
~ "-
I '\
.Ic
)
M
; (fO~o~
\
I Vg'iI <~V"'I
Eis as velocidades de fuga (a partir da superfície) de alguns
planetas e da Lua:
Infinito
Mercúrio Vf = 4,2 km/s
Terra Vf=11,3km/s
Marte Vf = 5,02 km/s
Júpiter Vf = 61 km/s
Saturno Vf = 35,4 km/s
Lua Vf= 2,4 km/s
276 :§~
/....
B.€{
I .
\ "
, - - --~."
onde V é a intensidade da velocidade do satélite e onde admitiu-se a
Terra estacionária e' sem rotação.
. energia'mecânicado sistemaTerra-satélite:
Emec= Epot+ Ecin
Mm mV2
Emec= -G +
d 2 m
~
/' . <~,
~d:B .'---,. MB~-\
....
1. UNIVERSIDADEDO PARANÁ- Um satélite artificial está percor-
rendo uma órbita elíptica em, torno da Terra. Na figura abaixo,
temos dois pontos A e B representando duas posições do satélite.
!I'
)T
.........."
\
J
/
...
'"
....
~.
Podemos afirmar que:
a) a energia mecânica
que em A.
b) a energia cinética do satélite permanece constante.
c) a energia cinética do satélite em A é menor que em B e a
energia potencial deste em A é maior que em B.
d) a energia cinética do satélite em A é maior que em B e a
energia potencial deste em A é menor que em B.
e) a energia potencial é constante, mas a errergia cinética cresce
de A para B.
. Resolução: Adotando como referência um ponto muito afastado da
Terra (infinito), representando por M a massa da Terra, por m a massa
do satélite e por d a distância entre seus centros, temos:
. energiapotencialgravitacionaldo si.stemaTerra-satélite:
. GMm
Epot= -
./~-A
total do satélite em B é muito maior do
o sistema Terra-satélite pode ser considerado conservativo,' pois as
forças trocadas entre os corpos são'conservativas (forças gravitacionais)
e o sistemase encontrano vácuo,ondenão há atrito. .
Logo, a energia mecânica do sistema se conserva ao longo da órbita- A" . B . .
e podemos, entao, escrever Emec=Emec.
A medida que o satélite se aproxima .da Terra, a. distância d diminui
e a energia potencial gravitacional também diminui. Neste caso, como
a soma das energias potencial e cihética (energia mecânica) deve per-
manecer constante, a energia cinética do satélite aumenta. .
Assim sendo:
A B A B
dA < dB=> Epot < Epot => Ecin > Ecin
Isto significa que no percurso de B para A a energia potencial. diminui
e a energia cinética aumenta.
Em resumo, no percurso de B para A:
GMm
Epot= - diminui, pois d diminni;
d
GMm mV2
Emec=- +
d
mV2
Ecin =
d
. energia cinética do sistema Terra-satélite:
mV2
Ecin=
2
permanece constante;
aumenta.
2 2
278 ~~
EA
pol
.. d
Em..
Admitindo o sistema Terra-foguete conservativo e adotando referencial
num ponto muito afastado da Terra (infinito), decorre que a energia
mecânica do sistema permanece constante ao longo do percurso do
foguete. A massa do foguete é m e supõe-se a Terra estacionária.
Assim:
Graficamente temos:
E
..
o E
in
E finmec= mec
in in fin fio fin
Epo1 + Ecin = Epo1+ Ecim onde Ecin= O
GMr/J. rPV~n- + =-
R 2
Logo:
GMJ/1 + O
4R
Observe que, como a órbita do satélite em torno da Terra é fechada,
a energia mecânica do sistema Terra-satélite em relação a um referencial
no infinito é negativa.
Resposta: alternativa d.
2
GM Vin GM
--+-=--
R 2 4R
2. ITA- Um foguete lançado verticalmente da superfície da Terra
atinge uma altitude máxima igual a três vezes o raio R da Terra.
Calcular a velocidade Inicial do foguete.
~GMa) V= , onde M é a massa da Terra e G a constante2R
gravitacional.
~GMb) V= .3R
~GMc) V= .3R
Resolução:
2
Vin GM GM
-=--+-
2 4R R
Vi: GM 4GM-=--+-
2 4R 4R
d) V=~
V~.
e) V = ~V~.
V~n GM-=3-
2 4R
2 GM
Vin= 3-
2R
IV,"=~ I
Resposta: alternativa a.
Vfln= O
._~ .
~-~
/;;ifP \
3. ITA - A energia potencial de um corpo de massa m na superfície
da Terra é -GMrm/Rr. No infinito, essa energia potencial é nula.
Considerando-se o Princípio de Conservação da Energia (ciné-
tica + potencial), que velocidade deve ser dada aesse corpo de
massa m (velocidade de escape) para que ele se livre da atração
da Terra,. isto é, chegue ao infinito com V= O?
G= 6,67 . 10-11N . m2 . kg-2; Mr= 6,0 . 1024kg; Rr= 6,4 . 106m.
Despreze o atrito com a atmosfera.
a) 13,1m/s d) 113 km/s
b) 1,13. 103m/s e) Depende do ângulo de lançamento.
c) 11,3km/s
---
280
Resolução:
E
~T
.
~"'~RT
.
-.Jt! m
. \., -{~. <rMT , \'.
~~ ,;#,I~H/,
Vflo= o
Vlo ~
infinito
- -
o sistema Terra-corpo é conservativo. Admite-se a Terra estacionári.a.
Assim, Emec= Epot+ Eelo =constante.
Logo:
10 fio
Emee= Emec
E
lo io fio fio
pot + Eeio= E;;ot+ Eeln
mV~
+ IR =0+0
2
GMTm
RT
Portanto:
I V. =F~ I (velocidade
Decorre, então:
,67 ,
de escape ou de fuga)
10-11 , 6,0-,-1024
. 6,4 , 106
I Vln R: 11,3 km/s I
Observe que a velocidadede escape (ou de fuga) a partir da superfície
do planeta não depende da massa do corpo lançado.
Este conceito (velocidadede escape) também é útil no estudo dos gases
da atmosfera terrestre. Embora as velocidades quadráticas médias do
gás hidrogênio, do gás hélio, do gás nitrogênio, do gás oxigênio sejam
inferiores à velocidadede escape da Terra, um certo número de molé-
culas destes gases terá velocidade igualou superior a ela, e escaparão
da Terra. Principalmentese estiveremnas camQ.dassuperioresda atmos-
fera. Por esta razão, alguns gases (como o hidrogênio e o hélio, por
exemplo) são relativamente escassos na atmosfera.
Em outros planetas de velocidade de escape menor que a da Terra
(Mercúrio, por exemplo, tem velocidadede escape de 4,3 km/s, aproxi-
madamente), este efeito é sentido com muito maior intensidade.
Resposta: alternativa c.
Vln=
...
~~~
4. MAPOFEI- Num dado local e em dada época do ano, qual a
maré de maior altura, a da Lua Nova ou a da Lua Cheia? Explique.
Resolução: A mudança de nível das águas dos oceanos é devida à ação
conjunta da Lua e do Sol sobre a Terra. Principalmente devido à ação
da Lua. A água dos oceanos no lado mais próximo da Lua sofre uma
atração mais intensa do que a água no lado oposto. Assim, as inten-
sidades das forças de atração sobre uma massa unitária de água em A
e C são diferentes. A intensidade de atração em A é maior que em C.
A Terra como um todo, imaginada concentrada em B, sofre uma força
de atração de intensidade intermediária por massa unitária.
",,"
/' t J/'i"
[.: ~. B" li A
A ~~ t'I~r
.
l1'
y? .' ' /~ ..,~~( Terra
-VL~a
Portanto, em A a superfície da água se afasta da Terra na direção da
Lua. Esta é a região da maré alta.
Mas, devido à rigidez da Terra como um todo, ela experimenta uma
força atrativa de intensidade maior que a água, em C. Assim, a Terra
se afasta da água em C, propiciando o surgimento de uma maré, alta
em C, do mesmo modo que em A.
Como o volume da água dos oceanos é praticamente constante, o
surgimento de marés altas em A e C faz o nível das águas baixar
em D e E: são as marés baixas.
A força gravitacional'exercida pelo Sol sobre a Terra é mais intensa
que aquela exercida pela Lua. Por que, então, a Lua tem maior
influência no fenômeno das marés?
A razão é simples:as marés são devidasbasicamenteà diferença relativa
nas intensidades das forças gravitacionais nos lados opostos A e C, e
não às forças em si. Pelo fato do Sol estar muito distante da Terra,
a diferença relativa entre as intensidades das forças que ele faz surgir
em um lado da Terra e no lado oposto é muito pequena. A Lua,
entretanto, está muito próxima da Terra e a diferença relativa das forças
que ela cria é suficientepara dominar a formação das marés.
282
~ Lua
I
,/<~~ ,' '. ,(J -Ú:Z~. ~e~ .. ~u&vaLuaCheia ~. W"Ç, ~
"'~~~<,1~...,.
.1
~ Lua
Obviamente, a ação do Sol complementa a ação predominante da Lua
e altera as marés.
Duas vezes, durante o mês lunar, o Sol, a Lua e a Terra ficam aproxima-
damente em linha reta (Lua Nova e Lua Cheia). Nestas situações, as
marés atingem valores até 20% maiores que os normais. Quando a
Terra, a Lua e o Sol formam ângulo reto, as marés atingem valores
até 20% abaixo dos normais.
Resposta: As marés na Lua Nova e na Lua Cheia têm praticamente
a mesma altura.
~
....
li
Sol
".
" -".~,,---
1. FUNDAÇÃOCARLOSCHAGAS- Um satélite artificial move-se em torno
da Terra T, numa órbita elíptica estacionária, como mostra a figura abaixo.
------
)0P, ~T
" /
,
-- /
. .
", ~~~
~
Qual das alternativas apresenta uma opção correta, sendo as grandezas veto-
riais envolvidas consideradas em módulo?
a) O peso do satélite em P é o mesmo dô que em Q e diferente de zero.
b) O peso do satélite em P e em Q é z.ero.
c) A aceleração do satélite em P é maior do que emQ.
d) A aceleração do satélite em P é menor do que em Q.
e) A energia cinética do satélite em P é a mesma do que emQ.
2. CESCEA- Um satélite, S, da Terra, T, suposta parada, descreve uma
órbita elíptica, como mostra a figura abaixo:
5
~"Th-,-
~ -~
B. A
---
Com respeito às afirmações abaixo sobre o satélite S:
I - A energia cinética em A é maior que em B.
11- A energia potencial, em módulo, é maior em A do que em B.
111- A energia total é maior em A do que em B.
podemos afirmar que:
a) somente I e U são verdadeiras.
b) somente I e lU são verdadeiras.
c) todas são verdadeiras.
d) todas são falsas.
e) apenas lU é verdadeira.
3. MEDICINA DE POUSO ALEGRE- Analise as afirmações abaixo, em
relação à seguinte questão: um meteoro de massa m cai sobre a Terra, prove-
niente de um ponto muito afastado, onde estava em repouso inicialmente.
Despreze os efeitos do Sol e dos planetas. M= massa da Terra; R= raio
da Terra; G= constante gravitacional. Julgar as afirmativas:
I,. A velocidade do meteoro, ao atingir a superfície da Terra, será
V 2GM/R.
11. A energia cinética do meteoro será GMm/R.
111. A energia total do meteoro, na superfície da Terra, é nula..
4. PUC (CAMPINAS) - Um satélite artificial da Terra move-se fora da
atmosfera, em órbita estável. Portanto:
a) a órbita precisa ser circular.
b) é necessário fornecer. continuamente energia ao satélite.
c) a órbita é elíptica.
d) é necessário dar impulsos intermitentes e periódicos ao satélite.
e) n.d.a.
284
5. ITA - Um astronauta, ao voltar da Lua, pode escolher diversas trajetórias
para atingir a Terra. Supondo que ele não usará os retrofoguetes dentro dos
trechos de trajetória mostrados no .desenho, em qual das trajetórias será míni-
mo o acréscimo de energia cinética da nav~ entre as altitudes H=2,0 . 104
km e h= 1,0 . 104 km acima da superfície da Terra?
'\ \
I
B/
a) A
b) B
c) C
d) D
e) Todas as trajetórias dão a mesma variação de energia cinética.
6. lTA - Duas estrelas de massas m e 2m, respectivamente, separadas por
uma distância d e bastante afastadas de qualquer outra massa considerável,
executam movimentos circulares em torno do centro de massa comum. Nes-
tas condições, a mínima quantidade de energia necessária para separar com-
pletamente as duas estrelas, em função da constante universal de gravitação
G. será dada por:
a) -Gm2/d.
b) +Gm2/d.
c) +2Gm2/d.
7. ITA - O trabalho necessário para levar a partícula de massa M/3 do ponto
A até o ponto B, em função da constante universal de gravitação G, quando
essa partícula se encontra sob a ação d~ 2 massas, M e 2M, conforme figura
, abaixo, será dado por: '
d) -2Gm2/d.
e) Nenhum dos valores acima.
t. D
B
~' D"-j3-1.M I
a) +9GM2I2D.
b) -9GM2I2D.
c) +GM2/2D.
d) -GM2I2D.
e) ~enhum dos valores acima.
.:
:-" ~~~
8. FEl - Uma espaçonave está em órbita circular de raio RI, No seu interior,
um astronauta larga um objeto de massa m. Pergunta-se:
a) Qual o trabalho realizado pela força de atração da Terra?
b) Qual a variação da energia cinética em duas posições distintas na órbita?
9. ,FEl - Se a espaçonave da questãoanterior passa a outra órbita, também
circular, de raio~ 20% maior que RIo qual a variação relativa percentual
d " ,. . , EI - E2 IOO?a energIa cmetlca, Isto e, ..
E2
10. ENGENHARIA DE ITAJUBÁ - Um satélite é colocado em uma órbita
circular a D acima da superfície da Terra e sua massa é m. Sendo R o raio
médio da Terra, G a constante de gravitação e M a massa da ~ra, pede-se,
em funçãodessesdados: f
a) a velocidade tangencial do satélite nessa órbita.
b) o período de cada revolução em torno da Terra.
c) a energia total do satélite em função da distância ao centro da Terra.
11. MAPOFEI - A fi,gura mostra a órbita prevista do cometa Kohoutek no
Sistema Solar. A' posição do cometa é indicada com a respectiva data.
/
/ X/
J
Órblta~" Mercúrl/X
8. ik'IJ..,L31. XII \
1. fé1'1í.111J' 28, XII
2 ~8~' 2110 ~,. '~
27 .~XII l órb'le de Vênus28. ... Só " I
7 11 3 ". S. XII 1
1
\
11.' 4 \ \ / 12 22T.XII015 / ...-
'
,
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f órbita da Terra
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28.111,.. 8 / ""'- 8 .'XII ". /28 / 2II x....
/"'-.. ~rblta de Marte
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/ .4.30 . X
3'.20 , X
2.10. X
~30.IX ,
a) Em que situação deveria estar um observador para ver a trajetória como
na figura?
b) Em quais intervalos a velocidade do cometa é máxima e mínima respecti-
vamente?
c) Em que trecho da trajetória a aceleração tem maior intensidade? Por quê?
d) Como varia a energia potencial gravitacional do cometa ao longo da
órbita? Onde é mínima?
e) Em uma só noite, que trajetória o cometa descreve no céu para um
observador' postado na superfície da Terra?
286
12. FACULDADE FARIAS BRITO- A cauda de qualquer cometa aumenta
à medida que o mesmo se aproxima do Sol e é orientada no sentido oposto
ao Sol, como mostra a figura abaixo (este fato pôde ser observado com o
cometa Kohoutek, em dezembro de 1974).
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o fato da cauda do cometa estar dirigida no sentido oposto ao Sol se deve:
a) à força centrípeta sobre a poeira e gases que escapam do cometa.
b) ao fato de ser o cometa formado por' matéria, onde a lei de gravitação
de Newton é repulsiva.
c) à pressão da radiação solar sobre a poeira e gases que escapam do
cometa.
13. ENGENHARIA DE MOGI DAS CRUZES- Assinale a proposição errada:
a) O peso de um corpo varia não só com a altitude, mas também cOm a
latitude.
b) As variações na aceleração da gravidade em diversos pontdS da super-
fície da Terra são pequenas o suficiente para serem desprezadas.
c) A formação das marés é um importante fenômeno explicado pela atração
gravitacional.
d) O valor da constante gravitacional foi determinado experimentalmente
por Newton.
e) Ptolomeu desenvolveu a teoria em que as estrelas, o Sol, a Lua e todos
os planetas giravam ao redor da Terra.
14. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES- A velocidade de escape de
um foguete em relação a um dado planeta:
a) só depende da massa do foguete.
b) só depende da massa do planeta.
c) depende da massa do foguete e de outros fatores, como a gravidade do
planeta.
d) depende do raio do planeta, suposto esférico e com densidade constante.
e) é diretamente proporcional à aceleração da gravidade do planeta e inver-
samente proporcional ao cubo de seu raio.
~...
r
-............
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15. UNICAMP - As veloCidadesdas partículas gasosas na temperatura ambiente
são da ordem de 2 400 m/ s; as moléculas mais leves, como as de hidrogênio
e hélio, podem atingir velocidades da ordem de 11,2km/ s. Qual das afirma-
ções abaixo é correta?
a) A atmosfera da Terra é uma anomalia que resulta do equilíbrio dinâmico
entre as partículas que escapam e as que emanam da superfície terrestre.
b) Há fuga de hidrogênio e hélio da atmosfera terrestre para o espaço.
c) Existe atmosfera na Lua.
d) Não existe hidrogênio e hélio na atmosfera terrestre.
c) A atmosfera da Lua é constituída por elétrons livres que não obedecem
às leis da gravitação.
Os objetosque circundam a Terra são atraidos por ela com uma força
proporcional à própria massa, e inversamente proporcional ao quadrado da
distância entre eles e a Terra (centro). A não ser que o objeto supere
esta força. ele acaba'rá retornando à Terra, se lan'çado para cima. Define-se
então uma energia de ligação, e uma velocidade de escape como sendo
a velocidade que o corpo deve ter para que, uma vez lançado para o alto,
não mais retorne à Terra. Considere-se para as questões 16 e 17 os
seguintes dados: massa da Terra ~ 6 . 1024 kg: ralo da Terra ~ 6 . 106m:
N. m2
constante de gravitação universal ~ 7. 10-11
kg2
J6. FMU - Se um corpo de 10kg se encontrar em um dos pólos da Terra e
for lançado para o alto, para que não retome à Terra a velocidade de lan-
çamento deve ser (aproximadamente) de:
a) 1 000 m/s. d) 18000 m/s.
b) 1 200 m/s. e) 12000 m/s.
c) 40000 m/s.
17. FMU - A correspondente energia
Terra será (aproximadamente) de:
a) 700 megajoules.
b) 18000 joules.
c) 42 000 joules.
de ligação deste objeto em relação à
d) 4 megajoules.
e) 1,2 megajoules.
~
1.c 2..a 3. I) C; 11)C; 111)C.
4. e (O plano da,órbita deve conter o centro da Terra.)
5. e 6. c 7. c -8.,a) Nulo; b) Zero.
9.20%
.-...........
288 . '''- .... '.
"1-- .01..
~ '",. !(D+R)810. a) VT= ; b) T=21t ;D + R . GM
GMm
c) Emec= - -- (adotando referencial no infinito).
2(D + R)
11. a) O observador deveria se situar num sistema de referência em repouso
em relação ao Sol.
b) Considerando o movimento no trecho indicado na figura, a velocidade
é máxima no instante (e não no intervalo) em que o cometa está mais próximo
do Sol (periélio - 29 . XII) e é mínima no Instante em que o cometa tem
afastamento máximo do Sol (28 . 111e 30 . IX).
c) A aceleração (vetoria!) tem maior intensidade no ponto (e não no trecho)
em que a distância ao Sol é mínima (29 . XII), pois é neste ponto que a
resultante das forças que agem no cometa é máxima. .
Esta resultante é praticamente igual à força de àtração gravitacional que o Sol
exerce no cometa, força esta que é inversamente proporcional ao quadrado da
distância entre seus centros,
d) Adotando-se, para o cometa, energia potencial nula para um a,fastamento
MM
infinito do Sol, ela variará obedecendo à equação Epot=.-G s c. onde
d
G = constante de gravltação universal;
Ms = massa do Sol;
Me= massa do cometa;
d =distância entre os centros do Sol e. do cometa.
Pela equação nota-se que ela será mínima no ponto 15, ou seja, onde a
distância for mínima (periélio).
e) O cometa .descreverá um arco de circunferência devido ao movimento
de rotação da Terra sobre seu eixo. A este movimento superpor-se-á um
pequeno movimento adicional, devido ao movimento de translação do cometa
em relação ao Sol. Portanto, em relação à Terra, a trajetória é
aproximadamente um arco de circunferência.
12. c 13. d (O valor da constante gravitacional foi determinado experimentalmente
pelo inglês' HenryCavendish, em 1798.)
14. d 15. b 16. e 17. a
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