Avaliação II - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial - Uniasselvi

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Avaliação II – Geometria Analítica e Álgebra Vetorial - Matemática – Uniasselvi – Individual
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1Pela definição de vetor, sabemos que dados dois pontos e um sentido, podemos determinar o vetor que liga estes dois pontos e possui a direção indicada. Através deste processo podemos mais tarde ter um apoio no estudo das retas e planos no espaço. Baseado nisso, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o vetor u definido pelos pontos A = (1,0,-3) e B = (2,4,1), no sentido de A para B:
A) u = (1,4,2).
B) u = (0,4,4).
C) u = (1,4,-2).
D) u = (1,4,4).
2As operações vetoriais existentes são a soma e a multiplicação por um escalar. Combinando estas operações, podemos realizar uma série de outros vetores que podem ser aplicados em diversas áreas. Sendo assim, dados os vetores u = (1, -2) e v = (3,-3), quanto à opção que apresenta o vetor resultante da operação w = u - 2v, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: ( ) w = (4,5). ( ) w = (-1,-1). ( ) w = (-5,4). ( ) w = (2,-1). Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A) V - F - F - F.
B) F - V - F - F.
C) F - F - V - F.
D) V - V - F - V.
3Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto vetorial entre u = (1,-2,3) e v = (0,2,1), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: ( ) u x v = (0,-4,3). ( ) u x v = (-8,-1,2). ( ) u x v = (8,1,-2). ( ) u x v = (0,4,3). Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A) V - F - F - F.
B) F - F - V - F.
C) F - V - F - F.
D) F - F - F - V.
4A matriz a seguir permite que sejam calculados autovalores, a partir de uma Transformação Linear. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 2x2:
A) Os autovalores associados são 1 e -1.
B) Não há autovalores reais associados a essa Transformação Linear.
C) Os autovalores associados são 0 e 2.
D) Os autovalores associados são 5 e 3.
5Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o módulo (ou norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Baseado nisso, determine a área do triângulo formado pelos vetores u = (2,2,1) e v = (1,1,2), analise as opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
A) Somente a opção IV está correta.
B) Somente a opção I está correta.
C) Somente a opção III está correta.
D) Somente a opção II está correta.
6Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços vetoriais. Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar se ela preserva as operações de soma e multiplicação por um escalar. Baseado nisso, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a imagem do vetor (-1, 2, 4) quando aplicado na transformação a seguir.
A) (7, -2).
B) (-2, 7).
C) (-5, 2).
D) (-7, 2).
7Seja F uma função que transforma vetores do R² em vetores do R³, dada pela fórmula: F(x,y) = (x + y), (x - y)², x²). O vetor v = (1, -1) de R² terá que coordenadas em R³?
A) As coordenadas são (0, 4, 1).
B) As coordenadas são (2, -4, 1).
C) As coordenadas são (2, 4, 1).
D) As coordenadas são (2, -4, 0).
8Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³: T(x,y,z) = (z, x - y, -z) Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta a dimensão do Núcleo deste operador:
A) 0.
B) 2.
C) 1.
D) 3.
9A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida em um dado problema. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (1,4):
A) Raiz de 17.
B) 4.
C) Raiz de 5.
D) 2.
10Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços vetoriais. Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar se ela preserva as operações de soma, e multiplicação por um escalar. Considerando a imagem do vetor (1, -2, 4) quando aplicado na transformação a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
A) V - F - F - F.
B) F - V - F - F.
C) F - F - F - V.
D) F - F - V - F.