Física - Uma Abordagem Estratégica - Vol 3 - 2 Ed 2009

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RANDALL D. KNIGHTRANDALL D. KNIGHT
VOLUME 3
ELETRICIDADE E 
MAGNETISMO
K71f Knight, Randall D.
 Física 3 [recurso eletrônico] : uma abordagem estratégica /
 Randall Knight ; tradução Manuel Almeida Andrade Neto. – 2.
 ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2009.
 Editado também como livro impresso em 2009.
 ISBN 978-85-7780-553-2
 1. Física. 2. Eletricidade. 3. Magnetismo. I. Título. 
CDU 537
Randy Knight leciona Física básica há 25 anos na Ohio State University, EUA, e na Califórnia 
Polytechnic University, onde atualmente é professor de física. O professor Knight bacharelou-
se em Física pela Washington University, em Saint Louis, e doutorou-se em Física pela Univer-
sity of Califórnia, Berkeley. Fez pós-doutorado no Harvard-Smithsonian Center for Astrophy-
sics, antes de trabalhar na Ohio State University. Foi aí que ele começou a pesquisar sobre o 
ensino da física, o que, muitos anos depois, o levou a escrever este livro.
Os interesses de pesquisa do professor Knight situam-se na área de laser e espectroscopia, 
com cerca de 25 artigos de pesquisa publicados. Ele também dirige o programa de estudos am-
bientais da Cal Poly, onde, além de física introdutória, leciona tópicos relacionados a energia, 
oceanografia e meio ambiente. Quando não está em sala de aula ou na frente de um compu-
tador, o professor Knight está fazendo longas caminhadas, remando em um caiaque, tocando 
piano ou usufruindo seu tempo com a esposa Sally e seus sete gatos.
Sobre o Autor
Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/1922
2009
Tradução:
Manuel Almeida Andrade Neto
Doutor em Física pela Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP
Professor assistente do Centro Universitário La Salle
Revisão técnica:
Trieste Freire Ricci
Doutor em Ciências pela UFRGS
Professor Adjunto do Instituto de Física da UFRGS
R A N DA L L D . K N I G H T
Versão impressa
desta obra: 2009
Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à
ARTMED
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 EDITORA S.A. 
(BOOKMAN
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 COMPANHIA EDITORA é uma divisão da ARTMED
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É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, 
sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação,
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PRINTED IN BRAZIL
Obra originalmente publicada sob o título Physics for Scientists and Engineers, 2nd Edition.
ISBN 0805327363
Authorized translation from the English language edition, entitled PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS: A STRATE-
GIC APPROACH WITH MODERN PHYSICS, 2ND EDITION by KNIGHT, RANDALL D., published Pearson Education, Inc., 
publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2008. All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any 
form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system, 
without permission from Pearson Education, Inc.
Portuguese language edition published by Bookman Companhia Editora Ltda, a Division of Artmed Editora S.A., Copyright © 2009
Tradução autorizada a partir do original em língua inglesa da obra intitulada PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS: A 
STRATEGIC APPROACH WITH MODERN PHYSICS, 2ª EDIÇÃO, de autoria de KNIGHT, RANDALL D., publicado por Pearson 
Education, Inc., sob o selo Addison-Wesley, Copyright © 2008. Todos os direitos reservados. Este livro não poderá ser reproduzido 
nem em parte nem na íntegra, nem ter partes ou sua íntegra armazenado em qualquer meio, seja mecânico ou eletrônico, inclusive 
reprográfi co, sem permissão da Pearson Education, Inc.
A edição em língua portuguesa desta obra é publicada por Bookman Companhia Editora Ltda., uma divisão da Artmed Editora S.A., 
Copyright © 2009
Capa: Rogério Grilho, arte sobre capa original
Leitura fi nal: Andrea Czarnobay Perrot
Supervisão editorial: Denise Weber Nowaczyk
Editoração eletrônica: Techbooks
Em 2003, publicamos Physics for Scientists and Engineers: A Strategic Approach. Foi 
o primeiro livro didático abrangente concebido com base na pesquisa sobre como os 
estudantes podem aprender física de maneira mais significativa. Os desenvolvimentos e 
testes que possibilitaram a publicação deste livro foram financiados pela National Scien-
ce Foundation. Essa primeira edição tornou-se rapidamente o livro didático de física mais 
adotado em mais de 30 anos, obtendo reconhecimento crítico geral de professores e de 
estudantes. Esta segunda edição, agora traduzida para o português com o título Física: 
uma abordagem estratégica, foi escrita com base nas técnicas de ensino introduzidas na 
primeira edição e também no feedback de milhares de usuários com o objetivo de propor-
cionar um aprendizado ainda melhor para o estudante.
Os objetivos
Meus principais objetivos ao escrever o Física: uma abordagem estratégica foram:
Produzir um livro que fosse mais focado e coerente, e menos enciclopédico. ■
Trazer resultados-chave da pesquisa em ensino de física para a sala de aula de uma ■
maneira que permitisse aos professores adotar uma gama de estilos didáticos.
Oferecer um equilíbrio entre o raciocínio quantitativo e a compreensão dos con- ■
ceitos, com especial atenção aos conceitos que costumam causar dificuldades aos 
estudantes.
Desenvolver de maneira sistemática as habilidades dos estudantes na resolução de ■
problemas.
Promover um ambiente de aprendizagem ativa. ■
Estes objetivos e os princípios que os embasam são discutidos detalhadamente em 
meu pequeno livro Five Easy Lessons: Strategies for Successful Physics Teaching (Addi-
son-Wesley, 2002). Se for de seu interesse (ISBN 0-8053-8702-1), entre em contato com 
a editora original, Addison-Wesley.
A organização da obra
Todo o conteúdo desta obra está distribuído em quatro volumes. O Volume 1 trata das 
Leis de Newton, das Leis de Conservação e de algumas aplicações da Mecânica Newto-
niana, como: Rotação de um Corpo Rígido, A Teoria de Newton da Gravitação e Osci-
lações. O Volume 2 abrange Fluidos, Elasticidade, Termodinâmica, Ondas e Óptica. O 
Volume 3 abrange todo o conteúdo sobre Eletricidade e Magnetismo. O Volume 4 trata 
da Relatividade, da Mecânica Quântica e da Física Atômica e Nuclear. Cada tópico é 
autoconsistente, e a seqüência dos capítulos pode ser rearranjada para se adequar à pre-
ferência do professor ou da universidade.
Dessa forma, quase toda Mecânica Newtoniana se encontra no Volume 1, permitindo 
que os professores das diversas universidades brasileiras possam ter maior flexibilidade 
na estrutura curricular da disciplina.
As razões para a organização adotada: a termodinâmica foi colocada antes do estudo 
das ondas por ser uma continuação das idéias da mecânica. A idéia-chave na termodi-
nâmica é a de energia, e passar direto da mecânica para a termodinâmica promove um 
desenvolvimento ininterrupto dessa idéia importante. Além disso, o estudo das ondas 
introduz os estudantes a funções de duas variáveis, e a matemática envolvida nos fenô-
menos ondulatórios é mais afim com a eletricidade e com o magnetismo do que com a 
Prefácio para o Professor
vi Prefácio para o Professor
mecânica. Portanto, ir de ondas para campos, e de campos para a física quântica, permite 
uma transição gradual de idéias e habilidades.
O propósito de incluir a óptica junto aos fenômenos ondulatórios é oferecer uma 
apresentação coerente da física ondulatória, um dos dois pilares da física clássica. A 
óptica, como é apresentada nos cursos introdutórios de física, não faz uso das proprie-
dades de campos eletromagnéticos. Existe pouca razão, além da tradição histórica, em 
deixar a óptica para depois da eletricidade e domagnetismo. As dificuldades documen-
tadas dos estudantes com a óptica são dificuldades com fenômenos ondulatórios, e não 
com a eletricidade e o magnetismo. Todavia, os capítulos de óptica podem ser facil-
mente postergados para depois da Parte VI por professores que prefiram tal seqüência 
de conteúdo.
O que há de novo na segunda edição
Esta segunda edição reafirma os propósitos e os objetivos da primeira edição. Ao mesmo 
tempo, o feedback que recebemos a partir dos desempenhos dos estudantes em testes, 
enviados pelos professores, resultou em inúmeras alterações e melhorias no texto, nas 
figuras e nos problemas de final de capítulo. Estas incluem:
Uma apresentação mais “enxuta” do conteúdo. Encurtamos cada capítulo em uma ■
página tornando a linguagem mais sintética e reduzindo o material supérfluo.
Questões conceituais. Por solicitação do público em geral, a parte final de cada ca- ■
pítulo agora inclui uma seção de questões conceituais semelhantes às do Student 
Workbook (Manual de Exercícios do Estudante).
Desenhos à lápis. Cada capítulo contém vários esboços feitos à mão, em exemplos- ■
chave resolvidos, com a finalidade de mostrar aos estudantes os tipos de desenhos 
que eles deveriam fazer em suas próprias resoluções de problemas.
Problemas novos e revisados ao final do capítulo. Os problemas foram revisados com ■
o objetivo de incorporar o inédito número de dados e feedback proveniente de mais 
de 100 mil estudantes que trabalharam com estes problemas em Mastering PhysicsTM. 
Mais de 20% dos problemas de final de capítulo são novos ou foram revisados signifi-
cativamente, incluindo um número maior de problemas que requerem o cálculo.
As características pedagógicas
O Prefácio para o estudante mostra como essas características foram concebidas para 
auxiliar seus estudantes.
O Student Workbook*
Um material adicional ao livro Física: Uma Abordagem Estratégica é o Student Work-
book (Livro de Exercícios do Estudante). Esta obra permite vencer o espaço entre o livro 
e os problemas para casa dando aos estudantes a oportunidade de aprender e de praticar 
suas habilidades antes de usá-las nos problemas quantitativos de final de capítulo, de 
forma muito parecida como um músico desenvolve sua técnica separadamente das peças 
que apresenta ao público. Os exercícios do Student Workbook, ajustados a cada seção do 
livro, concentram-se no desenvolvimento de ferramentas específicas, que vão desde a 
identificação das forças e do traçado de diagramas de corpo livre à interpretação de fun-
ções de onda.
Os exercícios do Workbook, que geralmente são de caráter qualitativo e/ou gráfico, es-
tão embasados na literatura técnica da educação em ensino de física. Os exercícios tratam 
de tópicos conhecidos por causarem dificuldades aos estudantes e fazem uso de técnicas 
que se mostraram eficientes na superação de tais dificuldades. Os exercícios do Workbook 
podem ser usados em sala de aula como parte da estratégia de ensino e aprendizagem ati-
vos, em seções de argüição oral ou como uma tarefa de casa para os estudantes.
 * Disponível apenas no mercado norte-americano.
Prefácio para o Professor vii
CD-ROM para o estudante
Um CD-ROM contendo inúmeros exercícios interativos e animações em Java é uma 
excelente ferramenta de aprendizado. Ele está encartado no Volume 1. Caso você não 
tenha comprado o Volume 1 e queira receber o CD, basta preencher a Carta-resposta nas 
páginas finais deste volume e enviar para a Bookman Editora.
Suplementos para o professor
Os professores que adotarem a obra e desejarem acesso ao material disponível para 
o mercado brasileiro devem entrar na área do professor no site da Bookman editora 
(www.bookman.com.br). Lá, encontrarão versões em word e pdf do Instructor Solu-
tions (em inglês), contendo as soluções dos exercícios, além do Test Bank, um banco 
de exercícios (em inglês) diferentes dos propostos no livro. Em português, lâminas de 
PowerPoint contendo as figuras e as tabelas do texto, excelente recurso e de fácil uso 
na sala de aula.
Os demais recursos listados a seguir estão disponíveis nos locais indicados em cada 
item.
O ■ Instructor Guide for Physics for Scientists and Engineers contém comentários 
detalhados e sugestões de idéias para o ensino de cada capítulo, uma revisão extensa 
do que se aprendeu da pesquisa em ensino de física e linhas-mestras para o uso de 
técnicas de aprendizagem ativa em sua sala de aula.
O ■ Instructor Solutions Manual, Capítulos 1-19 (ISBN 0-321-51621-4/978-0-321-
51621-3) e Capítulos 20-43 (ISBN 0-321-51657-5/978-0-321-51657-2), escritos 
pelo autor e pelo professores Scott Nutter (Nouthern Kentucky University) e Larry 
Smith (Snow College), traz soluções completas de todos os problemas de final de ca-
pítulo. As soluções seguem os quatro passos do procedimento Modelo/Visualização/
Solução/Avaliação usado nas Estratégias para Resolução de Problemas e em todos 
os exemplos resolvidos do livro. O texto inteiro de cada solução está disponível em 
documento Word e em arquivo pdf, editáveis, no Media Manager CD-ROM para 
uso próprio ou para seu website protegido por senha.
O ■ Instructor Resource Center online (www.aw-bc.com/irc) oferece atualizações 
para arquivos do Media manager CD-ROMs. Para obter um nome de usuário e uma 
senha, contate a Pearson Addison-Wesley.
O ■ Mastering PhysicsTM (www.masteringphysics.com) é o mais amplamente usado 
e educacionalmente comprovado livro de exercícios de física, tutorial e sistema de 
avaliação disponível. Ele foi concebido para atribuir notas, avaliar e acompanhar o 
progresso de cada estudante através de uma variedade de problemas extensivamente 
pré-testados. Ícones distribuídos através do livro indicam que o Mastering PhysicsTM 
disponibiliza tutoriais para todos os Boxes Táticos e todas as Estratégias para Reso-
lução de Problemas, bem como para todos os problemas de final de capítulo, itens 
do Test Bank e do Reading Quizzes. O Mastering PhysicsTM oferece aos professores 
maneiras rápidas e efetivas de propor tarefas para casa de amplo alcance online com 
a duração e o nível de dificuldade adequados. Os poderosos diagnósticos após a atri-
buição de notas permitem ao professor verificar o progresso de sua classe como um 
todo ou identificar rapidamente áreas de dificuldades para estudantes individuais.
O ■ ActivPhysics OnLineTM (acessado através da área Self Study em www.masterin-
gphysics.com) disponibiliza uma livraria com mais de 420 applets provados e testa-
dos do ActivPhysics. Além disso, ele disponibiliza um conjunto altamente respeita-
do de tutoriais baseados em applets, desenvolvidos pelos professores pioneiros em 
educação Alan Van Heuvelen e Paul D�Alessandris. Os ícones de ActivPhysics, que 
aparecem ao longo do livro, direcionam os estudantes para exercícios interativos 
específicos que complementam a discussão apresentada no livro.
Os exercícios ■ online foram concebidos para encorajar os estudantes a confrontar 
concepções alternativas, raciocinar qualitativamente sobre os processos físicos, rea-
lizar experimentos qualitativos e aprender a pensar criticamente. Eles cobrem todos 
os tópicos, desde a mecânica à eletricidade e ao magnetismo, da óptica à física mo-
derna. Os livros de exercícios que acompanham a altamente aclamada ActivPhysics 
OnLine ajudam os estudantes a operar com conceitos complexos e a entendê-los 
viii Prefácio para o Professor
mais claramente. Mais de 280 applets da livraria do ActivPhysics OnLine também 
estão disponíveis nos Media Manager CD-ROMs do professor.
O ■ Printed Test Bank (ISBN 0-321-51622-2/978-0-321-51622-0) e a plataforma 
Computerized Test Bank (incluído com o Media Manager CD-ROMs), preparado 
pelo Dr. Peter W. Murphy, contém mais de 1.500 problemas de alta qualidade, com 
uma variedade de questões para casa do tipo múltipla escolha, falso-verdadeiro, res-
postas curtas. Na versão para computador, mais da metade das questões têm valores 
numéricos que podemser fornecidos aleatoriamente a cada estudante.
O ■ Transparency Acetates (ISBN 0-321-51623-0/978-0-321-51623-7) disponibiliza 
mais de 200 figuras-chave do Physics for Scientists and Engineers para uso em sala 
de aula.
Suplementos para o estudante*
Os ■ Student Solutions Manuals Chapters 1-19 (ISBN 0-321-51354-1/978-0-321-
51354-0) e Capítulos 20-43 (ISBN 0-321-51356-8/978-0-321-51356-4), escritos 
pelo autor e pelos professores Scott Nutter (Northern Kentucky University) e Larry 
Smith (Snow College), fornecem soluções detalhadas de mais da metade dos proble-
mas de final de capítulo com numeração ímpar. As soluções seguem o procedimento 
das quatro etapas Modelo/Visualização/Resolução/Avaliação usado nas Estratégias 
para Resolução de Problemas e nos exemplos resolvidos no livro.
MasteringPhysics ■ TM (www.masteringphysics.com) é o mais amplamente usado e 
educacionalmente comprovado livro de exercícios de física, tutorial e sistema de 
avaliação disponível. Ele é baseado em anos de pesquisa sobre como os estudantes 
trabalham nos problemas de física e onde precisamente eles precisam de ajuda. Es-
tudos revelam que os estudantes que usam o MasteringPhysicsTM melhoram signi-
ficativamente suas notas finais em comparação com os livros de exercícios escritos 
à mão. O MasteringPhysicsTM consegue tal melhora dando aos estudantes feedbacks 
instantâneos e específicos para suas respostas erradas, apresentando subproblemas 
mais simples sob requisição quando eles forem incapazes de ir além e atribuindo 
notas parciais pelos métodos que eles usaram. Esta orientação socrática e indivi-
dualizada 24/7 é recomendada aos seus colegas por nove entre dez estudantes como 
sendo a maneira de estudar mais efetiva e que ecomomiza tempo.
Pearson Tutor Services ■ (www.pearsontutorservices.com). A assinatura do Maste-
ringPhysics de cada estudante inclui um acesso complementar aos Pearson Tutor 
Services, fornecido pela Smarthinking, Inc. Fornecendo seu MasteringPhysics ID e 
a sua senha, o estudante estará ligado aos altamente qualificados e-structorsTM, que 
disponibilizam orientação online interativa adicional acerca dos principais conceitos 
da física. Existem algumas limitações mas oferece a possibilidade de alterações.
ActivPhysics OnLine ■ TM (acessado por www.masteringphysics.com) disponibiliza aos 
estudantes uma suíte altamente recomendada de tutoriais autodidáticos baseado em 
applets (veja mais acima). Os ícones do ActivPhysics ao longo do livro direcionam 
os estudantes para exercícios específicos que complementam a discussão levada à 
cabo no texto. Os seguintes livros de exercícios constituem uma gama de problemas-
tutoriais concebidos para usar as simulações do ActivPhysics OnLine, ajudando os 
estudantes a operar com conceitos complexos e a compreendê-los mais claramente:
ActivPhysics OnLine Workbook 1: Mechanics ■ � Thermal Physics � Oscillations 
& Waves (ISBN 0-8053 � 9060 � X)
ActivPhysics OnLine Workbook 2: Electricity & Magnetism ■ � Optics � Modern 
Physics (ISBN 0-8053 � 9061 � 8)
Agradecimentos
Tive como base conversas e, especialmente, publicações escritas de muitos membros 
da comunidade de pesquisadores em ensino de física. Aqueles cuja influência posso 
reconhecer incluem Arnold Arons, Uri Ganiel, Ibrahim Halloun, Richard Hake, Ken 
 * Os materiais impressos citados estão disponíveis apenas para o mercado norte-americano. Os interes-
sados nos materiais on-line (em inglês) devem acessar os endereços mencionados.
Prefácio para o Professor ix
Heller, David Hestenes, Leonard Jossem, Jill Larkin, Priscilla Laws, John Mallinckro-
dt, Kandiah Manivannan e os membros do grupo de pesquisa em ensino de física da 
University of Washington, David Mattzer, Edward “Joe” Redish, Fred Reif, Jeffery 
Saul, Rachel Scherr, Bruce Sherwood, Josip Slisko, David Sokoloff, Ronald Thornton, 
Sheila Tobias e Alan Van Heuvelen. John Rigden, fundador e diretor do Introductory 
University Physics Project, deu o impulso que me pôs neste caminho. Os primeiros 
desenvolvimentos de materiais foram patrocinados pela National Science Foundation 
como parte do projeto Physics for the Year 2000; meu agradecido reconhecimento pelo 
apoio dado.
Agradeço também a Larry Smith e a Scott Nutter pela difícil tarefa de redação do 
Instructor Solutions Manuals; a Jim Andrews e a Rebecca Sabinovsky pela redação das 
respostas para os livros de exercícios; a Wayne Anderson, Jim Andrews, Dave Ettestad, 
Stuart Field, Robert Glosser e Charlie Hibbard por suas contribuições aos problemas 
de final de capítulo; e a meu colega Matt Moelter por muitas contribuições e sugestões 
valiosas.
Eu queria agradecer especialmente a meu editor Adam Black, à editora de desen-
volvimento Alice Houston, à editora de projetos Martha Steele e a toda a equipe admi-
nistradora da Addison-Wesley por seu entusiasmo e pelo árduo trabalho realizado neste 
projeto. A supervisora de produção Nancy Tabor, Jared Sterzer e a equipe da WestWords 
Inc. e o pesquisador fotográfico Brian Donnely têm grandes méritos por tornar realidade 
este projeto complexo. Além dos revisores e dos responsáveis pelas aplicações de testes 
em sala de aula, listados abaixo, que forneceram um inestimável feedback, sou particu-
larmente grato a Charlie Hibbard e a Peter W. Murphy pelo escrutínio detalhado de cada 
palavra e de cada figura deste livro.
Finalmente, serei eternamente grato à minha esposa Sally, por seu amor, encoraja-
mento e paciência, e aos meus vários gatos (e especialmente à memória de Spike, minha 
companhia infalível de redação), por suas habilidades inatas em manter meu teclado e 
minha impressora cheios de pêlos e por sempre sentarem bem no meio das pilhas de 
páginas de provas cuidadosamente empilhadas.
Revisores e aplicadores de testes em sala de aula
Gary B. Adams, Arizona State University
Ed Adelson, Ohio State University
Kyle Altmann, Elon University
Wayne R. Anderson, Sacramento City College
James H. Andrews, Youngstown State University
Kevin Ankoviak, Las Positas College
David Balogh, Fresno City College
Dewayne Beery, Buffalo State College
Joseph Bellina, Saint Mary’s College
James R. Benbrook, University of Houston
David Besson, University of Kansas
Randy Bohn, University of Toledo
Richard A. Bone, Florida International University
Gregory Boutis, York College
Art Braundmeier, University of Southern Illinois, Edwardsville
Carl Bromberg, Michigan State University
Meade Brooks, Collin College
Douglas Brown, Cabrillo College
Ronald Brown, California Polytechnic State University, San Luis 
Obispo
Mike Broyles, Collin County Community College
Debra Burris, University of Central Arkansas
James Carolan, University of British Columbia
Michael Chapman, Georgia Tech University
Norbert Chencinski, College of Staten Island
Kristi Concannon, King’s College
Sean Cordry, Northwestern College of Iowa
Robert L. Corey, South Dakota School of Mines
Michael Crescimanno, Youngstown State University 
Dennis Crossley, University of Wisconsin–Sheboygan
Wei Cui, Purdue University
Robert J. Culbertson, Arizona State University
Danielle Dalafave, The College of New Jersey
Purna C. Das, Purdue University North Central
Chad Davies, Gordon College
William DeGraffenreid, California State University–Sacramento
Dwain Desbien, Estrella Mountain Community College
John F. Devlin, University of Michigan, Dearborn
John DiBartolo, Polytechnic University
Alex Dickison, Seminole Community College
Chaden Djalali, University of South Carolina
Margaret Dobrowolska, University of Notre Dame
Sandra Doty, Denison University
Miles J. Dresser, Washington State University
Charlotte Elster, Ohio University
Robert J. Endorf, University of Cincinnati
Tilahun Eneyew, Embry-Riddle Aeronautical University 
F. Paul Esposito, University of Cincinnati
John Evans, Lee University
Harold T. Evensen, University of Wisconsin–Platteville
Michael R. Falvo, University of North Carolina
Abbas Faridi, Orange Coast College
Nail Fazleev, University of Texas–ArlingtonStuart Field, Colorado State University
Daniel Finley, University of New Mexico
Jane D. Flood, Muhlenberg College
Michael Franklin, Northwestern Michigan College
Jonathan Friedman, Amherst College
Thomas Furtak, Colorado School of Mines
Alina Gabryszewska-Kukawa, Delta State University
x Prefácio para o Professor
Lev Gasparov, University of North Florida
Richard Gass, University of Cincinnati
J. David Gavenda, University of Texas, Austin
Stuart Gazes, University of Chicago Katherine
M. Gietzen, Southwest Missouri State University
Robert Glosser, University of Texas, Dallas
William Golightly, University of California, Berkeley
Paul Gresser, University of Maryland
C. Frank Griffin, University of Akron
John B. Gruber, San Jose State University
Stephen Haas, University of Southern California
John Hamilton, University of Hawaii at Hilo
Jason Harlow, University of Toronto
Randy Harris, University of California, Davis
Nathan Harshman, American University
J. E. Hasbun, University of West Georgia
Nicole Herbots, Arizona State University
Jim Hetrick, University of Michigan–Dearborn
Scott Hildreth, Chabot College
David Hobbs, South Plains College
Laurent Hodges, Iowa State University
Mark Hollabaugh, Normandale Community College
John L. Hubisz, North Carolina State University
Shane Hutson, Vanderbilt University
George Igo, University of California, Los Angeles
David C. Ingram, Ohio University
Bob Jacobsen, University of California, Berkeley
Rong-Sheng Jin, Florida Institute of Technology
Marty Johnston, University of St. Thomas
Stanley T. Jones, University of Alabama
Darrell Judge, University of Southern California
Pawan Kahol, Missouri State University
Teruki Kamon, Texas A&M University
Richard Karas, California State University, San Marcos
Deborah Katz, U.S. Naval Academy
Miron Kaufman, Cleveland State University
Katherine Keilty, Kingwood College
Roman Kezerashvili, New York City College of Technology
Peter Kjeer, Bethany Lutheran College
M. Kotlarchyk, Rochester Institute of Technology
Fred Krauss, Delta College
Cagliyan Kurdak, University of Michigan
Fred Kuttner, University of California, Santa Cruz 
H. Sarma Lakkaraju, San Jose State University
Darrell R. Lamm, Georgia Institute of Technology
Robert LaMontagne, Providence College
Eric T. Lane, University of Tennessee–Chattanooga
Alessandra Lanzara, University of California, Berkeley
Lee H. LaRue, Paris Junior College
Sen-Ben Liao, Massachusetts Institute of Technology
Dean Livelybrooks, University of Oregon
Chun-Min Lo, University of South Florida
Olga Lobban, Saint Mary’s University 
Ramon Lopez, Florida Institute of Technology
Vaman M. Naik, University of Michigan, Dearborn
Kevin Mackay, Grove City College
Carl Maes, University of Arizona
Rizwan Mahmood, Slippery Rock University
Mani Manivannan, Missouri State University
Richard McCorkle, University of Rhode Island
James McDonald, University of Hartford
James McGuire, Tulane University
Stephen R. McNeil, Brigham Young University–Idaho
Theresa Moreau, Amherst College
Gary Morris, Rice University
Michael A. Morrison, University of Oklahoma
Richard Mowat, North Carolina State University
Eric Murray, Georgia Institute of Technology
Taha Mzoughi, Mississippi State University
Scott Nutter, Northern Kentucky University
Craig Ogilvie, Iowa State University
Benedict Y. Oh, University of Wisconsin
Martin Okafor, Georgia Perimeter College
Halina Opyrchal, New Jersey Institute of Technology
Yibin Pan, University of Wisconsin-Madison
Georgia Papaefthymiou, Villanova University
Peggy Perozzo, Mary Baldwin College
Brian K. Pickett, Purdue University, Calumet
Joe Pifer, Rutgers University
Dale Pleticha, Gordon College
Marie Plumb, Jamestown Community College
Robert Pompi, SUNY-Binghamton
David Potter, Austin Community College–Rio Grande Campus
Chandra Prayaga, University of West Florida
Didarul Qadir, Central Michigan University
Steve Quon, Ventura College
Michael Read, College of the Siskiyous
Lawrence Rees, Brigham Young University
Richard J. Reimann, Boise State University
Michael Rodman, Spokane Falls Community College
Sharon Rosell, Central Washington University
Anthony Russo, Okaloosa-Walton Community College
Freddie Salsbury, Wake Forest University
Otto F. Sankey, Arizona State University
Jeff Sanny, Loyola Marymount University
Rachel E. Scherr, University of Maryland
Carl Schneider, U. S. Naval Academy
Bruce Schumm, University of California, Santa Cruz
Bartlett M. Sheinberg, Houston Community College
Douglas Sherman, San Jose State University
Elizabeth H. Simmons, Boston University
Marlina Slamet, Sacred Heart University
Alan Slavin, Trent College
Larry Smith, Snow College
William S. Smith, Boise State University
Paul Sokol, Pennsylvania State University
LTC Bryndol Sones, United States Military Academy
Chris Sorensen, Kansas State University
Anna and Ivan Stern, AW Tutor Center
Gay B. Stewart, University of Arkansas
Michael Strauss, University of Oklahoma
Chin-Che Tin, Auburn University
Christos Valiotis, Antelope Valley College
Andrew Vanture, Everett Community College
Arthur Viescas, Pennsylvania State University
Ernst D. Von Meerwall, University of Akron
Chris Vuille, Embry-Riddle Aeronautical University
Jerry Wagner, Rochester Institute of Technology
Robert Webb, Texas A&M University
Zodiac Webster, California State University, San Bernardino
Robert Weidman, Michigan Technical University
Fred Weitfeldt, Tulane University
Jeff Allen Winger, Mississippi State University
Carey Witkov, Broward Community College
Ronald Zammit, California Polytechnic State University, San Luis 
Obispo
Darin T. Zimmerman, Pennsylvania State University, Altoona
Fredy Zypman, Yeshiva University
De mim para você
A coisa mais incomprenssível sobre o universo é que ele é compreensível.
—Albert Einstein
No dia em que fui à aula de física, estava morta.
—Sylvia Plath, The Bell Jar
Vamos ter uma pequena conversa antes de começar. Uma conversa unilateral, é ver-
dade, pois você não pode responder, mas OK. Eu venho conversando com seus cole-
gas estudantes por anos a fio, de modo que tenho uma boa idéia do que se passa em 
sua mente.
Qual é sua reação ao se mencionar a física? Medo ou abominação? Incerteza? En-
tusiasmo? Ou tudo que foi mencionado? Vamos admitir, a física tem uma imagem meio 
problemática no campus. Provavelmente você já ouviu que ela é uma disciplina difícil, 
talvez até mesmo impossível de ser compreendida a menos que você seja um Einstein. 
O que você tem escutado por aí, as suas experiências com outras disciplinas e muitos 
outros fatores criam suas expectativas sobre como vai ser este curso.
É verdade que existem muitas novas idéias a serem aprendidas na física e que este 
curso, como os cursos superiores em geral, terá um ritmo muito mais rápido do que o 
dos cursos de ciências que você teve no Ensino Médio. Acho honesto dizer que será 
um curso intenso. Mas poderemos evitar muitos problemas e dificuldades potenciais se 
deixarmos claro, desde o início, do que tratará o curso e o que se espera de você � e de 
mim!
O que é a física, afinal? A física constitui uma maneira de pensar sobre os aspectos 
físicos da natureza. A física não é melhor do que as artes ou a biologia, a poesia ou a re-
ligião, que também são modos de pensar a natureza; ela é, simplesmente, diferente. Um 
dos aspectos que será salientado neste curso é que a física é uma empreitada humana. As 
idéias apresentadas neste livro não foram descobertas em uma caverna ou transmitidas a 
nós por alienígenas; elas foram descobertas e desenvolvidas por pessoas reais, engajadas 
em uma luta extenuante com assuntos reais. Eu espero conseguir transmitir um pouco da 
história e dos processos através dos quais viemos a aceitar os princípios que constituem 
as fundações da ciência e da engenharia de hoje.
Você pode estar surpreso em ouvir que a física não trata de “fatos”. Oh, isso não 
significa que os fatos não sejam importantes, e sim, que a física foca mais a descoberta 
de relações entre os fatos e os padrões existentesna natureza do que o aprender fatos por 
seu próprio interesse. Conseqüentemente, não há muito para memorizar quando se estu-
da física. Há algumas � como definições e equações por aprender �, mas muito menos 
do que nos outros cursos. Em vez disso, nossa ênfase estará na reflexão e no raciocínio. 
Este é um aspecto importante de suas expectativas sobre o curso.
E talvez o que seja o mais importante de tudo: a física não é matemática! A física é 
muito mais ampla. Iremos examinar os padrões e as relações da natureza, desenvolver 
uma lógica que relacione diferentes idéias e buscar as razões pelas quais as coisas ocor-
rem do modo que vemos. Ao fazer isso, iremos destacar a importância do raciocínio qua-
litativo, pictórico e gráfico e também daquele que se vale de analogias. E, sim, usaremos 
a matemática, mas ela será apenas uma ferramenta dentre outras.
Muitas frustrações serão evitadas se você estiver consciente, desde o início, dessa 
distinção entre física e matemática. Boa parte dos estudantes, eu sei, gostaria de encon-
trar uma fórmula e nela inserir números � ou seja, resolver um problema de matemática. 
Talvez isso funcione em cursos de ciência universitários avançados, mas não é isso que 
Prefácio para o Estudante
xii Prefácio para o Estudante
este curso espera de você. Certamente realizaremos muitos cálculos, todavia os números 
específicos para serem usados geralmente só surgirão como o último, e menos impor-
tante, passo da análise.
A física diz respeito à identificação de padrões. Por exemplo, a fotografia supe-
rior desta página é um padrão de difração de raios X que mostra como um feixe fo-
cado de raios X se espalha após atravessar um cristal. A fotografia inferior mostra o 
que acontece quando um feixe focado de elétrons incide no mesmo cristal. O que as 
similaridades óbvias nas duas fotos nos dizem a respeito da natureza da luz e da 
matéria?
Quando estiver estudando, às vezes você ficará perplexo, intrigado e confuso. Isso 
é perfeitamente normal e esperado. Cometer erros é absolutamente OK se você estiver 
desejando aprender com a experiência. Ninguém nasce sabendo como fazer física mais 
do que como tocar piano ou arremessar bolas de basquete numa cesta. A habilidade em 
fazer física vem da prática, da repetição e da luta com as idéias até que você as “domine” 
e consiga aplicá-las por si mesmo a novas situações. Não existe maneira de aprender sem 
esforço, pelo menos para um bom aprendizado, de modo que se espera que você sinta 
dificuldades em determinados momentos futuros. Mas também se espera que haja alguns 
momentos de excitação com a alegria da descoberta. Haverá instantes em que os pedaços 
subitamente se ajustam aos lugares certos e você terá certeza de ter compreendido uma 
idéia poderosa. Haverá ocasiões em que você se surpreenderá resolvendo com sucesso 
um problema difícil que você achava que fosse incapaz de resolver. Minha esperança, 
como autor, é de que a excitação e o senso de aventura acabem por superar as dificulda-
des e as frustrações.
Obtendo o melhor de seu curso
Muitos estudantes, eu suspeito, gostariam de conhecer qual é a “melhor” maneira de estu-
dar este curso. Não existe tal maneira. As pessoas são diferentes, e o que funciona para um 
estudante é menos eficiente para outro. Mas o que eu desejo destacar é que ler o texto é de 
importância vital. O tempo em sala de aula será usado para superar dificuldades e desen-
volver as ferramentas para usar o conhecimento adquirido, porém seu professor não deverá 
usar o tempo em sala de aula para, simplesmente, repetir a informação que se encontra no 
texto. O conhecimento básico para este curso está descrito nas páginas seguintes; a expec-
tativa número um é a de que você leia atentamente o livro para encontrar este conhecimento 
e aprenda a utilizá-lo.
A despeito de não existir uma melhor maneira de estudar, eu lhe sugiro uma maneira que 
tem sido bem – sucedida com muitos estudantes. Ela consiste nas quatro seguintes etapas:
 1. Leia cada capítulo antes de discuti-lo em sala de aula. Não tenho como expressar 
quão importante é esta etapa. Sua participação nas aulas será muito mais efetiva se 
você estiver preparado. Quando estiver lendo um capítulo pela primeira vez, concen-
tre-se no aprendizado do novo vocabulário, das novas definições e da nova notação. 
Há uma lista de termos e notações no final de cada capítulo. Estude-a! Você não 
compreenderá o que está sendo discutido e as idéias utilizadas se não souber o que 
significam os termos e os símbolos empregados.
 2. Participe ativamente das aulas. Faça anotações, faça perguntas, tente responder às 
questões propostas e participe ativamente das discussões em grupos. Existe a mais 
ampla evidência científica de que a participação ativa é muito mais efetiva no apren-
dizado científico do que assistir passivamente às aulas.
 3. Após as aulas, faça uma releitura do capítulo correspondente. Nesta sua segunda 
leitura, preste muita atenção nos detalhes e nos exemplos resolvidos. Procure desco-
brir a lógica por trás de cada exemplo (eu procurei destacar isso para torná-lo mais 
claro), e não, apenas a fórmula usada. Quando terminar a leitura, faça os exercícios 
do Student Workbook de cada seção.
 4. Finalmente, aplique o que aprendeu nos problemas para casa no final de cada ca-
pítulo. Eu recomendo fortemente que você forme um grupo de estudos com dois ou três 
colegas de turma. Existe boa evidência de que alunos que estudam regularmente em um 
grupo saem-se melhor do que aqueles estudantes individualistas que tentam resolver 
tudo sozinhos.
(a) Padrão de difração de raios X
(b) Padrão de difração de elétrons
Prefácio para o Estudante xiii
Alguém mencionou um livro de exercícios? O acompanhamento no Student Workbook 
constitui uma parte vital do curso. Suas questões e seus exercícios lhe exigirão que raciocine 
qualitativamente, que utilize a informação gráfica e que formule explicações. Espera-se 
destes exercícios que você aprenda o que significam os conceitos e que você pratique habi-
lidades de raciocínio apropriadas para cada capítulo. Você, então, terá adquirido o conhe-
cimento básico e a confiança de que necessita antes de se voltar para os problemas para 
casa de final de capítulo. Nos esportes e na música, você jamais pensaria em se apresentar 
publicamente sem ter praticado; logo, por que deveria tentar fazer diferentemente no caso da 
física? O livro de exercícios é onde você praticará e trabalhará as habilidades básicas.
Muitos dos estudantes, eu sei, serão tentados a ir diretamente para os problemas de casa 
e, então, se porão a procurar, através do texto, uma fórmula que lhes pareça que funcione. 
Essa abordagem não terá sucesso neste curso, e é garantido que, neste caso, eu os frustrarei 
e os desencorajarei. Muitos poucos problemas para casa são do tipo “ligue e prossiga”, em 
que o estudante simplesmente insere números em uma fórmula. Para trabalhar com sucesso 
os problemas para casa, você precisará de uma estratégia melhor � ou a que foi delineada 
acima ou uma própria � que o ajude a aprender os conceitos e as relações entre as idéias.
Uma orientação tradicional no ensino superior é que o aluno estude duas horas fora 
de aula para cada hora gasta em sala de aula, e este livro foi concebido sob tal expectati-
va. É claro, duas horas em média. Certos capítulos são mais fáceis e neles você irá mais 
rapidamente. Outros provavelmente exigirão muito mais do que duas horas de estudo 
para cada hora em aula.
Obtendo o melhor de seu livro-texto
Seu livro tem várias características planejadas para ajudá-lo a aprender os conceitos da física 
e a resolver problemas de forma mais eficiente.
Os ■ BOXES TÁTICOS apresentam procedimentos passo a passo para desenvolver habili-
dades específicas, como a interpretação de gráficos ou o traçado de diagramas espe-
ciais. Os Boxes Táticos são explicitamente ilustrados nos exemplos resolvidos que 
o seguem, e estes são, comfreqüência, os pontos de partida de uma Estratégia para 
Resolução de Problemas completa.
BOX TÁTICO
5.3 Desenhando um diagrama de corpo livre 
 Identifique todas as forças exercidas sobre o objeto de interesse. Esta etapa foi 
descrita já no Box Tático 5.2.
 Faça o desenho do sistema de coordenadas a ser usado. Use os eixos definidos 
em sua representação pictórica. Se eles forem inclinados, para o movimento ao 
longo de rampas, então os eixos correspondentes no diagrama de corpo livre 
também devem ser analogamente inclinados.
 Represente o objeto por um ponto na origem do sistema de coordenadas. Este é 
o modelo de partícula.
 Desenhe vetores que representem cada uma das forças identificadas. Isso foi 
descrito no Box Tático 5.1. Certifique-se de ter denotado cada vetor força.
 Desenhe e denote o vetor força resultante . Trace este vetor ao lado do dia-
grama, e não sobre a partícula. Ou, se for apropriado, escreva . Depois 
verifique se, em seu diagrama de movimento, aponta com a mesma direção 
e sentido do vetor aceleração .
Exercícios 24–29 
BOX TÁTICO
33.3 Calculando integrais de linha 
 Se for perpendicular à linha em qual-
quer lugar da mesma, então a integral de 
linha de é dada por
 Se for tangente à linha de comprimen-
to l em qualquer lugar da mesma, e tiver 
a mesma intensidade B em qualquer de 
seus pontos, então
Exercícios 23–24 
xiv Prefácio para o Estudante
As ■ ESTRATÉGIAS PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS servem para uma grande classe de pro-
blemas � problemas característicos de um dado capítulo ou de um grupo de capítu-
los. As estratégias seguem uma abordagem consistente de quatro passos para ajudá-
lo a adquirir confiança e proficiência na habilidade de resolver problemas: MODELO, 
VISUALIZAÇÃO, RESOLUÇÃO E AVALIAÇÃO.
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 6.2 Problemas de dinâmica 
MODELO Faça hipóteses simplificadoras.
VISUALIZAÇÃO Desenhe uma representação pictórica.
Mostre os pontos importantes do movimento em um esboço, escolha um sis- 
tema de coordenadas, defina os símbolos e identifique o que o problema está 
pedindo para se determinar. Este é o processo de tradução de palavras em 
símbolos.
Use um diagrama de movimento para determinar o vetor aceleração do objeto, .
Identifique todas as forças exercidas sobre o objeto e represente-as em um dia- 
grama de corpo livre.
É normal ir e voltar entre estas etapas enquanto você visualiza a situação. 
RESOLUÇÃO A representação matemática é baseada na segunda lei de Newton:
A soma vetorial das forças é determinada diretamente do diagrama de corpo livre. 
Dependendo do problema, 
Isole a aceleração e depois use a cinemática para encontrar as velocidades e as 
posições; ou
Use a cinemática para determinar a aceleração e depois obtenha as forças des- 
conhecidas.
AVALIAÇÃO Verifique se seu resultado está em unidades corretas, se ele é plausível e 
se responde à questão.
 ■ Os EXEMPLOS resolvidos ilustram boas práticas para a resolução de problemas por 
meio do uso consistente da abordagem de quatro etapas para resolver problemas e, 
quando apropriado, dos Boxes Táticos. Os exemplos resolvidos com freqüência são 
muito detalhados e cuidadosamente o conduzem ao raciocínio por trás das soluções, 
bem como aos cálculos detalhados. Um estudo cuidadoso do raciocínio o ajudará a 
aplicar os conceitos e as técnicas em novos problemas que encontrará nas tarefas 
para casa e nas provas.
NOTAS ■ � São parágrafos que o alertarão para erros freqüentes e que dão dicas em 
problemas complicados.
As questões do tipo ■ PARE E PENSE ao longo dos capítulos lhe permitirão rapidamente 
avaliar se você compreendeu a idéia principal de uma seção. Uma resposta correta 
lhe dará a confiança para passar à próxima seção. Uma resposta errada o alertará 
para a necessidade de uma releitura da seção anterior.
Anotações em azul ■ , nas figuras, o ajudarão a interpretar gráficos; a obter a equiva-
lência entre gráficos, matemática e desenhos; a compreender conceitos difíceis por 
meio de analogias visuais; e a desenvolver muitas outras habilidades importantes.
Esboços a lápis ■ oferecem exemplos concretos das figuras que você deve desenhar 
por sua conta quando for resolver problemas.
Espelho
Parafuso
de ajuste
Fonte
Divisor
de feixe
Espelho
A onda é 
dividida 
neste ponto.
As ondas que 
retornam se 
recombinam aqui.
O detector mede a 
superposição das 2 
ondas que percorreram 
caminhos diferentes.
FIGURA com anotações que explicam 
o funcionamento do interferômetro de 
Michelson.
Antes:
Determinar: v1
Após:
y0 = 5,0 m
v0 = 20 m/s
y1 = 0 m
y1
5,0 m
0
y
FIGURA desenhada a lápis que mostra uma pessoa descendo 
uma rampa e sua energia representada em um gráfico de barras.
Prefácio para o Estudante xv
Os objetivos de aprendizagem e as ligações que iniciam cada capítulo resumem o ■
foco daquele capítulo e o que você precisa relembrar dos capítulos anteriores.
� Olhando adiante lista conceitos-chave e habilidades que você deverá aprender 
no capítulo que se inicia.
� Em retrospectiva destaca tópicos importantes de capítulos anteriores que você 
deve revisar.
Resumos de capítulo ■ esquemáticos o ajudarão a organizar o que você aprendeu em 
uma forma hierárquica, desde os princípios gerais (parte superior) até as aplicações 
(parte inferior). Representações pictóricas, gráficas, discursivas e matemáticas, dis-
postas lado a lado, são usadas para ajudá-lo a passar de uma dessas representações 
para as outras.
Os resumos de final e de início das partes do livro descrevem a estrutura global ■
do que você está aprendendo. Cada parte inicia com um resumo panorâmico dos 
capítulos à frente e conclui com um amplo resumo para ajudar você a relacionar 
os conceitos apresentados naquele conjunto de capítulos. As tabelas de ESTRUTURA 
DE CONHECIMENTO nos Resumos de partes, parecidas com os resumos de capítulo, o 
ajudarão a enxergar a floresta, e não apenas as árvores individuais.
R E S U M O
O objetivo do Capítulo 28 foi compreender e aplicar a lei de Gauss.
Princípios gerais
Lei de Gauss
Para qualquer superfície fechada que encerre uma carga Qint, o fluxo elétrico resultante 
através da superfície é
O fluxo elétrico e é o mesmo para qualquer superfície fechada que encerre uma carga 
Qint.
 
Simetria
A simetria do campo elétrico deve corres-
ponder à simetria da distribuição de carga.
Na prática, e é computável apenas quan-
do a simetria da superfície gaussiana 
corresponde à simetria da distribuição de 
carga.
Conceitos importantes
A Carga cria o campo elétrico que é responsável pelo 
fluxo elétrico.
Q
in
 é a soma algébrica de todas as
cargas encerradas pela gaussiana.
Esta é a carga líquida que contribui
para o fluxo.
Superfície gaussiana
As cargas externas à superfície
contribuem para o campo elétrico,
mas não para o fluxo. 
O Fluxo é a quantidade de campo elétrico 
que atravessa uma superfície de área A:
onde é o vetor área.
Para superfícies fechadas:
Um fluxo resultante de fora 
para dentro ou de dentro para 
fora indica que a superfície en-
cerra uma carga líquida. Linhas 
de campo que atravessam uma 
superfície, mas sem produzir 
fluxo resultante através da 
mesma indicam que a superfí-
cie não encerra carga líquida.
 
As integrais de superfície fornecem o fluxo por meio do somató-
rio dos fluxos parciais através de várias pe-
quenas áreas da superfície:
Duas situações importantes:
Se o campo elétrico é tangente à superfície 
em qualquer ponto da mesma, então
Se o campo elétrico é perpendicular à super-
fície em qualquer ponto da mesma e apre-
senta a mesma intensidade E em cada um de 
seus pontos, então
Aplicações
Condutores em equilíbrio eletrostático
O campo elétrico é nulo em todos os pontos internos ao condutor.• 
Qualquer excesso de carga do condutor se distribui inteiramente sobre a superfície exterior.• 
O campo elétrico externo é perpendicular à superfície do condutor e tem módulo igual a •/ 0, onde é a 
densidade de carga da superfície.
O campo elétrico é nulo dentro de qualquer cavidade fechada no interior de um condutor, a menos que exista • 
uma carga líquida dentro da cavidade.
Termos e notação
simétrico
superfície gaussiana
fluxo elétrico, e
vetor área, 
integral de superfície
lei de Gauss
blindagem
ESTRUTURA DE CONHECIMENTO I As Leis de Newton
CONCEITOS ESSENCIAIS Partícula, aceleração, força, interação
OBJETIVOS BÁSICOS Como uma partícula responde a uma força? Como os objetos interagem?
PRINCÍPIOS GERAIS Primeira lei de Newton moc es-odnevom áraunitnoc uo osuoper me árecenamrep otejbo mU 
velocidade constante (equilíbrio) se e somente se res .
 Segunda lei de Newton res m
 Terceira lei de Newton A sobre B B sobre A
ESTRATÉGIA BÁSICA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Use a segunda lei de Newton para cada partícula ou objeto. Use a terceira lei de Newton 
para igualar os módulos dos dois membros de cada par ação/reação.
ralucric otnemivoM onalp mu me otnemivoM raenil otnemivoM
 
 
Cinemática do movimento linear e do movimento no plano
Aceleração uniforme: 
(as constante)
Trajetórias: as mesmas equações são usadas tanto para x quanto para y.
Movimento uniforme: 
(a 0, vs constante)
Cinemática circular
Movimento circular uniforme:
Caso geral vs ds/dt declividade do gráfico da posição
a s dv/dt declividade do gráfico da velocidade
v fs vis asdt vis area sob a curva da aceleração
s f si vsdt si área sob a curva da velocidade
Movimento circular não-uniforme:
Agora que você já sabe mais sobre o que se espera de si, o que você espera de mim? 
Isso é mais sutil, pois o livro já foi escrito! Mesmo assim, ele foi organizado e preparado 
com base naquilo que, eu penso, meus estudantes têm esperado � e desejado �de um 
livro ao longo de meus anos de profissão. Além disso, eu listei o extenso feedback que 
recebi de milhares de estudantes, como você, e de seus professores, que usaram a pri-
meira edição da obra.
Você deve saber que estes materiais do curso � o texto e o livro de exercícios � são 
baseados na pesquisa extensiva sobre como os estudantes aprendem física e sobre os de-
safios com que se deparam. A efetividade de muitos dos exercícios foi demonstrada pela 
aplicação ampla de testes em sala de aula. O livro foi redigido em um estilo informal 
que, eu espero, você ache agradável e que o encoraje a realizar a leitura do mesmo. Fi-
nalmente, esforcei-me não apenas para que a física, um corpo de conhecimento técnico, 
seja relevante em sua profissão, mas também para que a física constitua uma aventura 
excitante da mente humana.
Tenho a esperança de que você se divirta durante o tempo que passarmos juntos.
Sumário Resumido
VOLUME 1
 Parte I As Leis de Newton
Capítulo 1 Conceitos do Movimento 2
Capítulo 2 Cinemática em uma Dimensão 34
Capítulo 3 Vetores e Sistemas de 
Coordenadas 72
Capítulo 4 Cinemática em duas Dimensões 90
Capítulo 5 Força e Movimento 126
Capítulo 6 Dinâmica I: Movimento ao Longo de 
uma Reta 151
Capítulo 7 A Terceira Lei de Newton 183
Capítulo 8 Dinâmica II: Movimento no Plano 210
 Parte II Princípios de Conservação
Capítulo 9 Impulso e Momentum 240 
Capítulo 10 Energia 267 
Capítulo 11 Trabalho 302
 Parte III Aplicações da Mecânica 
Newtoniana
Capítulo 12 Rotação de um Corpo Rígido 340 
Capítulo 13 A Teoria de Newton da Gravitação 385 
Capítulo 14 Oscilações 410 
Apêndice A Revisão Matemática A-1
Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração 
Ímpar R-1
Créditos C-1
Índice I-1
VOLUME 2
Capítulo 15 Fluidos e Elasticidade 442
 Parte IV Termodinâmica
Capítulo 16 Uma Descrição Macroscópica da 
Matéria 480 
Chapter 17 Trabalho, Calor e a Primeira Lei da 
Termodinâmica 506 
Capítulo 18 A Conexão Micro/Macro 541 
Capítulo 19 Máquinas Térmicas e 
Refrigeradores 566 
 Parte V Ondas e Óptica
Capítulo 20 Ondas Progressivas 602 
Capítulo 21 Superposição 634 
Capítulo 22 Óptica Ondulatória 670 
Capítulo 23 Óptica Geométrica 700 
xviii Sumário Resumido
Capítulo 24 Instrumentos Ópticos 739 
Capítulo 25 Óptica Moderna e Ondas de 
Matéria 763
Apêndice A Revisão Matemática A-1
Apêndice B Tabela Periódica dos Elementos B-1
Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração 
Ímpar R-1
Créditos C-1
Índice I-1
VOLUME 3
 Parte VI Eletricidade e Magnetismo
Capítulo 26 Cargas Elétricas e Forças 788 
Capítulo 27 O Campo Elétrico 818 
Capítulo 28 Lei de Gauss 850 
Capítulo 29 O Potencial Elétrico 881 
Capítulo 30 Potencial e Campo 911 
Capítulo 31 Corrente e Resistência 941 
Capítulo 32 Fundamentos de Circuitos 967 
Capítulo 33 O Campo Magnético 998 
Capítulo 34 Indução Eletromagnética 1041 
Capítulo 35 Campos Eletromagnéticos e 
Ondas 1084 
Capítulo 36 Circuitos CA 1114
Apêndice A Revisão Matemática A-1
Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração 
Ímpar R-1
Créditos C-1
Índice I-1
VOLUME 4
 Parte VII Relatividade e Física 
Quântica
Capítulo 37 Relatividade 1142
Capítulo 38 O Fim da Física Clássica 1184 
Capítulo 39 Quantização 1208 
Capítulo 40 Funções de Onda e Incerteza 1239 
Capítulo 41 Mecânica Quântica 
Unidimensional 1262 
Capítulo 42 Física Atômica 1300 
Capítulo 43 Física Nuclear 1333
Apêndice A Revisão Matemática A-1
Apêndice B Tabela Periódica dos Elementos B-1
Apêndice C Dados Atômicos e Nucleares C-1
Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração 
Ímpar R-1
Créditos C-1
Índice I-1
Sumário
VOLUME 3
 INTRODUÇÃO A Jornada na Física xxi
 PARTE VI Eletricidade e Magnetismo
 PANORAMA Fenômenos e teorias 787
 Capítulo 26 Cargas Elétricas e Forças 788
 26.1 Desenvolvendo um modelo de carga 788
 26.2 Carga 793
 26.3 Isolantes e condutores 795
 26.4 A lei de Coulomb 800
 26.5 O modelo de campo 805
RESUMO 811
QUESTÕES E PROBLEMAS 812
 Capítulo 27 O Campo Elétrico 818
 27.1 Modelos de campo elétrico 818
 27.2 Campo elétrico criado por múltiplas cargas 
puntiformes 820
 27.3 Campo elétrico criado por uma distribuição 
contínua de carga 825
 27.4 Campos elétricos criados por anéis, discos, 
planos e esferas 829
 27.5 O capacitor de placas paralelas 833
 27.6 Movimento de uma partícula carregada em 
um campo elétrico 835
 27.7 Movimento de um dipolo em um campo 
elétrico 838
RESUMO 842
QUESTÕES E PROBLEMAS 843
 Capítulo 28 Lei de Gauss 850
 28.1 Simetria 850
 28.2 O conceito de fluxo 854
 28.3 O cálculo do fluxo elétrico 856
 28.4 A lei de Gauss 861
 28.5 Usando a lei de Gauss 865
 28.6 Condutores em equilíbrio eletrostático 870
RESUMO 873
QUESTÕES E PROBLEMAS 874
 Capítulo 29 O Potencial Elétrico 881
 28.1 Energia potencial elétrica 881
 29.2 Energia potencial criada por uma carga 
puntiforme 885
 29.3 Energia potencial de um dipolo 889
 29.4 Potencial elétrico 890
 29.5 Potencial elétrico no interior de um capacitor 
de placas paralelas 893
 29.6 Potencial elétrico criado por uma carga 
puntiforme 897
 29.7 Potencial elétrico criado por várias cargas 
puntiformes 899
RESUMO 903
QUESTÕES E PROBLEMAS 904
 Capítulo 30 Potencial e Campo 911
 30.1 Relacionando o potencial e o campo 911
 30.2 Fontes de potencial elétrico 914
 30.3 Determinando o campo elétrico a partir do 
potencial 916
 30.4 Condutor em equilíbrio eletrostático 921
 30.5 Capacitância e capacitores 922
 30.6 Energia armazenada em um capacitor 927
xx Sumário
 30.7 Dielétricos 929
RESUMO 933
QUESTÕES E PROBLEMAS 934
 Capítulo 31 Corrente e Resistência 941
 31.1 A corrente de elétrons 941
 31.2 Criando uma corrente 945
 31.3 Corrente e densidade de corrente 950
 31.4 Condutividade e resistividade 954
 31.5 Resistência e lei de Ohm 956
RESUMO 961
QUESTÕES E PROBLEMAS 962
 Capítulo 32 Fundamentos de Circuitos 967
 32.1 Elementos e diagramas de circuitos 967
 32.2 Leis de Kirchhoff e o circuito básico 968
 32.3 Energia e potência 972
 32.4 Resistores em série 975
 32.5 Baterias reais 978
 32.6 Resistores em paralelo 980
 32.7 Circuitos resistivos 983
 32.8 Aterramento 985
 32.9 Circuitos RC 987
RESUMO 990
QUESTÕESE PROBLEMAS 991
 Capítulo 33 O Campo Magnético 998
 33.1 Magnetismo 998
 33.2 A descoberta do campo magnético 1000
 33.3 As fontes do campo magnético: cargas em 
movimento 1003
 33.4 O campo magnético produzido por uma 
corrente 1005
 33.5 Dipolos magnéticos 1009
 33.6 A lei de Ampère e os solenóides 1012
 33.7 Força magnética sobre uma carga em 
movimento 1018
 33.8 Forças magnéticas sobre fios condutores de 
corrente 1024
 33.9 Forças e torques sobre espiras de 
corrente 1026
 33.10 Propriedades magnéticas da matéria 1028
RESUMO 1032
QUESTÕES E PROBLEMAS 1033
 Capítulo 34 Indução Eletromagnética 1041
 34.1 Correntes induzidas 1041
 34.2 Fem de movimento 1043
 34.3 O fluxo magnético 1048
 34.4 A lei de Lenz 1051
 34.5 A lei de Faraday 1055
 34.6 Campos induzidos 1059
 34.7 Correntes induzidas: três aplicações 1062
 34.8 Indutores 1064
 34.9 Circuitos LC 1069
 34.10 Circuitos LR 1072
RESUMO 1074
QUESTÕES E PROBLEMAS 1075
 Capítulo 35 Campos Eletromagnéticos e 
Ondas 1084
 35.1 E ou B? Depende do ponto de vista 1084
 35.2 As leis de campo até aqui 1091
 35.3 Corrente de deslocamento 1092
 35.4 As equações de Maxwell 1095
 35.5 Ondas eletromagnéticas 1097
 35.6 Propriedades das ondas 
eletromagnéticas 1102
 35.7 Polarização 1105
RESUMO 1108
QUESTÕES E PROBLEMAS 1109
 Capítulo 36 Circuitos CA 1114
 36.1 Fontes CA e fasores 1114
 36.2 Circuitos capacitivos 1117
 36.3 Circuitos com filtro RC 1119
 36.4 Circuitos indutivos 1122
 36.5 O circuito RLC em série 1124
 36.6 Potência em circuitos CA 1127
RESUMO 1131
QUESTÕES E PROBLEMAS 1132
 PARTE VI RESUMO Eletricidade e Magnetismo 1138
Apêndice A Revisão Matemática A1
Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração 
Ímpar R1
Créditos C1
Índice I1
A Jornada na Física
Alice disse ao gato Cheshire,
“Gatinho Cheshire, poderia me dizer, por favor, qual o caminho para sair daqui?”
“Isso depende muito do lugar aonde você deseja ir”, disse o gato.
“Não me importa muito onde ...”, disse Alice.
“Neste caso não importa qual o caminho que você pegue”, disse o gato.
— Lewis Carrol, Alice no País das Maravilhas
Talvez você já tenha se indagado a respeito de questões, como:
Por que o céu é azul?
Por que o vidro é um isolante, enquanto um metal é um condutor?
O que é, realmente, um átomo?
Estas são questões das quais a física é feita. Os físicos tentam entender o universo em 
que vivemos através da observação dos fenômenos da natureza � como o céu ser azul � 
e da procura por padrões e princípios que expliquem tais fenômenos. Muitas das desco-
bertas feitas pelos físicos, desde ondas eletromagnéticas até a energia nuclear, alteraram 
para sempre a maneira como vivemos e pensamos.
Você está para embarcar em uma jornada para o reino da física. Trata-se de uma jor-
nada em que você aprenderá sobre muitos fenômenos físicos e obterá as respostas para 
questões tais como as que citamos acima. Ao longo do caminho, você também aprenderá 
como usar a física para analisar e resolver muitos problemas práticos.
Enquanto prossegue, você vai conhecer os métodos com os quais os físicos chegam 
a compreender as leis da natureza. As idéias e as teorias dos físicos não são arbitrárias; 
elas são firmemente alicerçadas em experimentos e medições. Quando você terminar de 
estudar este texto, será capaz de reconhecer as evidências sobre as quais está baseado 
nosso presente conhecimento sobre o universo.
Introdução
xxii Introdução
Por qual caminho devemos seguir?
Aqui, no começo da jornada, somos muito parecidos com Alice no país das maravilhas por 
termos de decidir qual caminho seguir. A física é um imenso corpo de conhecimento, e, 
sem objetivos específicos, não importaria que assuntos estudássemos. Todavia, diferente-
mente de Alice, nós temos de fato alguns destinos particulares que gostaríamos de visitar.
A física que constitui o alicerce para toda a ciência e a engenharia modernas pode ser 
dividida em três grandes categorias:
Partículas e energia ■
Campos e ondas ■
A estrutura atômica da matéria ■
Uma partícula, no sentido em que usaremos este termo, é uma idealização de um 
objeto físico. Faremos uso da idéia de partícula para entender como os objetos se movem 
e como interagem uns com os outros. Uma das mais importantes propriedades de uma 
partícula ou de uma coleção de partículas é a energia. Estudaremos a energia por seu 
valor na compreensão de processos físicos e por causa de sua importância prática em 
uma sociedade tecnológica.
Partículas são objetos discretos e localizados. Embora muitos fenômenos possam 
ser compreendidos em termos de partículas e de suas interações, as interações de ação a 
distância da gravidade, da eletricidade e do magnetismo são mais bem-compreendidas 
em termos de campos, tais como o campo gravitacional e o campo elétrico. Em vez de 
serem discretos, os campos espalham-se continuamente através do espaço. Boa parte da 
segunda metade deste livro se concentrará na compreensão dos campos e das interações 
entre campos e partículas.
Certamente uma das mais importantes descobertas dos últimos 500 anos é que a 
matéria é constituída por átomos. Os átomos e suas propriedades são descritos pela física 
quântica, porém não podemos saltar diretamente para este assunto e esperar que ele faça 
algum sentido. Para chegar ao nosso destino, vamos ter de estudar muitos outros assun-
tos ao longo do caminho � como ter de passar pelas Montanhas Rochosas se deseja ir de 
carro de Nova York a São Francisco. Todo nosso conhecimento a respeito de partículas e 
campos estará em ação quando, no fim de nossa jornada, estivermos estudando a estru-
tura atômica da matéria.
A rota a seguir
Aqui, no início, podemos ter uma panorâmica da rota a seguir. Aonde nossa jornada nos 
levará? O que veremos ao longo do caminho?
As Partes I e II, as Leis de Newton e os Princípios de conservação, constituem a base do 
que chamaremos de mecânica clássica. A mecânica clássica é o estudo do movimento. 
(Ela é chamada de clássica para que possamos distingui-la da teoria moderna do movi-
mento em nível atômico, que é chamada de mecânica quântica.) Estas duas primeiras 
partes estabelecem a linguagem e os conceitos básicos do movimento. A Parte I exami-
nará o movimento em termos de partículas e de forças. Usaremos esses conceitos para 
analisar o movimento de qualquer coisa, desde velocistas até satélites em órbita. Na 
Parte II, introduziremos as idéias de momentum e energia. Esses conceitos � especial-
mente o de energia � nos darão novas perspectivas acerca do movimento e ampliarão 
nossas habilidades de analisar movimentos.
Um microscópio de varredura por 
tunelamento nos permite “ver” os átomos 
individuais de uma superfície. Um de 
nossos objetivos é compreender como 
uma imagem dessas é obtida.
res
res
topo
fundo
Introdução xxiii
A Parte III, Aplicações da mecânica newtoniana, 
examinará quatro importantes aplicações da mecânica 
clássica: a teoria de Newton da gravitação, o movimen-
to de rotação, os movimentos oscilatórios e o movi-
mento de fluidos. Apenas as oscilações constituem um 
pré-requisito para os capítulos posteriores.
A Parte IV, Termodinâmica, estende as idéias de partí-
culas e de energia a sistemas tais como líquidos e gases 
que contêm um enorme número de partículas. Aqui exa-
minaremos as relações entre o comportamento micros-
cópico de um grande número de átomos e as proprieda-
des macroscópicas de volumes de matéria. Você 
constatará que algumas das propriedades dos gases que 
você conhece da química, como a lei dos gases ideais, são conseqüências diretas da estru-
tura atômica subjacente do gás. Também estenderemos o conceito de energia e aprofun-
daremos o estudo de como a energia é transferida e utilizada.
As ondas são de natureza onipresente, sejam elas oscilações em larga escala como as 
ondas oceânicas, o movimento menos óbvio das ondas sonoras ou as sutis ondulações 
das ondas luminosas e das ondas de matéria que nos levarão aocoração da estrutura 
atômica da matéria. Na Parte V, Ondas e Óptica, enfatizaremos a unidade da física on-
dulatória e verificaremos que muitos fenômenos ondulatórios diferentes podem ser ana-
lisados com os mesmos conceitos e a mesma linguagem matemática. É aqui que come-
çaremos a acumular evidências de que a teoria da mecânica clássica é inadequada para 
explicar o comportamento observado dos átomos, e terminaremos esta seção com alguns 
enigmas que parecem desafiar nossa compreensão.
A Parte VI, Eletricidade e Magnetismo, é de-
votada à força eletromagnética, uma das mais 
importantes da natureza. Essencialmente, a for-
ça eletromagnética é a “cola” que mantêm os 
átomos juntos. Ela é também a força que faz de 
nossa época a “era eletrônica”. Iniciaremos esta 
parte da jornada com observações simples a res-
peito da eletricidade estática. Passo a passo, se-
remos levados às idéias básicas subjacentes aos 
circuitos elétricos, ao magnetismo e, por fim, à 
descoberta das ondas eletromagnéticas.
A Parte VII é sobre Relatividade e Física 
Quântica. Iniciaremos explorando o estranho 
mundo da teoria da relatividade de Einstein, um 
mundo em que o espaço e o tempo não são o 
que parecem ser. Depois entraremos no domínio 
microscópico dos átomos, onde o comportamento da luz e da matéria é completamente 
estranho frente ao que nosso senso comum nos diz ser possível. Embora a matemática da 
teoria quântica esteja muito além do nível deste livro, e o tempo esteja acabando, você 
verificará que a teoria quântica dos átomos e dos núcleos explica muito do que você 
aprendeu, simplesmente, como regras da química.
Não visitaremos toda a física em nossa jornada. Não há tempo suficiente. Muitos 
tópicos entusiasmantes, indo desde os quarks até os buracos negros, terão de permanecer 
inexplorados para nós. Mas esta jornada particular não precisa ser a última. Quando você 
terminar este texto, terá a base e a experiência para explorar novos assuntos em cursos 
ainda mais avançados ou por própria conta.
Os átomos são mantidos juntos 
por meio de fracas ligações 
moleculares, mas podem deslizar 
uns sobre os outros.
Líquido
Alto-falante
Rarefação Compressão
Moléculas
Moléculas individuais oscilam de 
um lado para o outro com deslocamentos D. 
Enquanto fazem isso, as compressões se 
propagam para frente com velocidade v
som
. 
Uma vez que as compressões correspondem 
a regiões de pressão mais alta, pode-se 
conceber uma onda sonora como uma onda 
de pressão.
som
Terminal positivo
A
u
m
en
ta
n
d
o
 U
Fluxo 
de íons
Terminal negativo
A escada rolante de cargas as “eleva” do 
terminal negativo para o positivo. A carga 
q adquire energia �U � q�V
bat
.
Este desenho de um átomo precisaria ter 10 m 
de diâmetro a fim de estar na mesma escala que 
o ponto que representa o núcleo.
Átomo
Núcleo
Núcleons 
(prótons e nêutrons)
Este circuito 
integrado 
contém milhões 
de elementos 
de circuito. 
A densidade 
destes elementos 
nos circuitos 
integrados tem 
dobrado a cada 
18 meses nos 
últimos 30 anos. 
A manutenção 
dessa tendência 
depende da 
compreensão, 
pelos cientistas e 
engenheiros, da 
física de circuitos 
elétricos em escala 
nanométrica.
P A R T E
VI
Eletricidade e 
Magnetismo
Panorama
Fenômenos e Teorias
O âmbar, ou resina de árvore fossilizada, há muito tempo é apreciada por sua beleza. Hoje 
em dia o interesse científico no âmbar se deve ao fato de que os biólogos aprenderam a 
recuperar segmentos de DNA de insetos capturados nessa resina há milhões de anos. Mas o 
âmbar também tem uma conexão científica antiga. A palavra grega para âmbar é elétron.
Sabe-se desde a Antigüidade que friccionar um pedaço de âmbar com a pele pode torná-
lo capaz de atrair penas ou palha – poderes aparentemente mágicos nas sociedades pré-
científicas. Também era do conhecimento dos antigos gregos que certas pedras de uma 
região que eles chamavam de Magnesia podiam erguer pequenos pedaços de ferro. Foi a 
partir desse humilde começo que chegamos hoje aos computadores de alta performance, 
aos lasers e às imagens por ressonância magnética, assim como aos milagres comuns do 
mundo moderno, tais como a lâmpada elétrica.
Os fenômenos básicos da eletricidade e do magnetismo não nos são tão familiares 
quanto aqueles da mecânica. Passamos a vida inteira exercendo forças sobre objetos e ob-
servando-os se moverem, mas nossa experiência com a eletricidade e com o magnetismo, 
provavelmente, é muito mais limitada. Enfrentaremos essa limitação em experiência enfa-
tizando os fenômenos da eletricidade e do magnetismo.
Comecemos olhando em detalhe para a carga elétrica e para o processo de eletrização 
de um objeto. É fácil fazer observações sistemáticas sobre o comportamento das cargas, e 
iremos considerar as forças entre as cargas e o seu comportamento em diferentes materiais. 
Além disso, nosso estudo do magnetismo se concentrará na observação de como os ímãs 
atraem certos metais, e não, outros, e de como ímãs afetam as agulhas das bússolas. Mas 
nossa observação mais importante será a de que uma corrente elétrica afeta a agulha de uma 
bússola exatamente da mesma maneira como faz um ímã. Tal observação, sugerindo uma 
ligação entre a eletricidade e o magnetismo, nos levará à descoberta das ondas eletromag-
néticas.
Na Parte VI, nosso objetivo é desenvolver uma teoria para explicar os fenômenos da 
eletricidade e do magnetismo. O cerne da teoria será o conceito inteiramente novo de cam-
po. A eletricidade e o magnetismo tratam da interação de ação a distância entre cargas, 
sejam elas cargas estáticas ou cargas em movimento, e o conceito de campo nos ajudará a 
entender como ocorrem essas interações. Queremos saber como os campos são criados pe-
las cargas e como as cargas, em contrapartida, respondem a estes campos. Bit a bit, iremos 
construir uma teoria – baseada nos novos conceitos de campos elétrico e magnético – que 
nos permita compreender, explicar e prever o comportamento eletromagnético em uma 
larga escala.
A história da eletricidade e do magnetismo é vasta. A formulação da teoria eletromag-
nética no século XIX gerou uma grande revolução na ciência e na tecnologia, tendo sido 
chamada por ninguém menos que Einstein de “o evento mais importante da física desde a 
época de Newton”. Portanto, tudo o que podemos fazer neste livro é desenvolver algumas 
das idéias e dos conceitos mais básicos, deixando muitos detalhes e aplicações para cursos 
avançados. Ainda assim, nosso estudo da eletricidade e do magnetismo irá explorar um dos 
tópicos mais empolgantes e importantes da física.
Olhando adiante �
O objetivo do Capítulo 26 é 
desenvolver uma compreensão básica 
dos fenômenos elétricos em termos 
de cargas, forças e campos. Neste 
capítulo, você aprenderá a:
Usar um modelo de carga para ■
explicar fenômenos elétricos 
básicos.
Compreender as propriedades ■
elétricas de isolantes e condutores.
Usar a lei de Coulomb para calcular ■
a força elétrica entre duas cargas.
Usar o modelo de campo para ■
explicar a interação a distância 
entre duas cargas.
Calcular e representar o campo ■
elétrico de uma carga puntiforme.
Em retrospectiva �
A análise matemática das forças e dos 
campos elétricos faz uso extensivo da 
soma vetorial. Em muitos aspectos, a 
força elétrica é análoga à da gravidade. 
Revise:
Seções 3.2 – 3.4 Propriedades dos ■
vetores e soma vetorial
Seções 13.3 e 13.4 Teoria de ■
Newton da gravitação
O raio é uma manifestação viva das 
cargas e forças elétricas.
26 Cargas Elétricas 
e Forças
A força elétrica é uma das forças fundamentais da natureza. Algumas vezes, como nes-
ta descarga elétrica, as forças elétricas podem ser selvagens e incontroláveis. Por outro 
lado, a eletricidade sob controle é o fundamento da nossa sociedade moderna e tecnoló-
gica. Os dispositivos elétricos variam desde lâmpadas elétricas e motores a computado-
res e equipamento médico. Tente imaginar como seria viversem a eletricidade!
Mas como controlamos e lidamos com essa força? Quais são as propriedades da 
eletricidade e das forças elétricas? Como geramos, transportamos e usamos a eletricida-
de? Essas são as questões que iremos explorar na Parte VI. A eletricidade é um assunto 
vasto, de modo que não poderemos responder a todas as questões de uma vez.
Começaremos pela investigação de alguns dos fenômenos mais básicos da eletri-
cidade. É difícil perceber o que bastões de plástico e lã têm a ver com computadores e 
geradores elétricos, mas apenas se começarmos bem do início, com simples observa-
ções, é que poderemos desenvolver a compreensão necessária para usar a eletricidade 
de maneira controlada.
26.1 Desenvolvendo um modelo de carga
Você pode receber um choque fraco, mas desagradável, ou produzir uma pequena faísca 
ao tocar em uma maçaneta metálica após caminhar sobre um tapete. Friccionar vigoro-
samente seu cabelo recém-lavado e seco fará com que os fios fiquem eriçados. Um 
CAPÍTULO 26 ■ Cargas Elétricas e Forças 789
pente de plástico que você passar pelos cabelos atrairá pequenos pedaços de papel e ou-
tros objetos, porém um pente metálico não fará o mesmo.
O aspecto comum a essas observações é que dois objetos foram friccionados. Por 
que a fricção de um objeto deveria causar forças ou faíscas? Que tipos de forças são es-
sas? Por que os objetos de metal se comportam diferentemente dos não-metálicos? Essas 
são as questões com as quais começaremos nosso estudo da eletricidade.
Nossa primeira meta é desenvolver um modelo para a compreensão do fenômeno 
elétrico em termos de cargas e forças. Futuramente, usaremos nosso conhecimento atual 
dos átomos para compreender a eletricidade em nível microscópico, todavia os conceitos 
básicos da eletricidade não se referem especificamente a átomos ou elétrons. A teoria da 
eletricidade foi bem-estabelecida muito antes da descoberta do elétron.
Experimentos com cargas
Entremos em um laboratório onde possamos fazer observações de fenômenos elétri-
cos. Trata-se de um laboratório modesto, parecido com o que encontraríamos no ano de 
1800. As principais ferramentas do laboratório são:
Uma variedade de bastões de plástico e de vidro, com vários centímetros de compri- ■
mento. Eles podem ser manuseados ou suspensos por um fio em um suporte.
Alguns bastões com punho de madeira. ■
Pedaços de lã e de seda. ■
Pequenas esferas de metal, com 2,5 a 5 cm de diâmetro, presas em suportes de ■
madeira.
Vamos ver o que podemos aprender com essas ferramentas.
Plástico
Bastões que não
foram friccionados
Plástico
Experimento 1 Experimento 2
Plástico friccionado
com lã
Experimento 3
Plástico
friccio-
nado
com lã
Vidro friccionado
com seda
 Experimento 4
Distância aumentada
Pegue um bastão de plástico que
não foi perturbado por um longo
período de tempo e pendure-o por
um fio. Pegue outro bastão,
também de plástico e não-
perturbado por um longo período
de tempo, e o aproxime do bastão
pendurado. Nada acontece a
qualquer um dos dois.
Friccione separadamente, com lã, o
bastão de plástico pendurado e o
que está na sua mão. Depois disso,
quando você aproxima o bastão 
que está em sua mão do bastão
pendurado, este tende a se
afastar. Dois bastões de vidro
friccionados com seda também
passarão a se repelir.
Aproxime agora o bastão de
vidro, que foi friccionado com
seda, do bastão de plástico
pendurado, que foi friccionado
com lã. Os dois objetos passam,
então, a se atrair.
Observações adicionais mostram
que:
Essas forças são maiores para
os bastões que foram friccio-
nados mais vigorosamente.
A intensidade das forças
diminui com o aumento da
distância entre os bastões.
Descobrindo a eletricidade I
No Expermiento 1, não são observadas forças. Dizemos que os objetos originais 
são neutros. Friccionar os bastões (Experimentos 2 e 3), de alguma maneira, faz com 
que eles passem a exercer força um sobre o outro. Chamamos de carregar ou eletrizar o 
processo de fricção descrito aqui, e dizemos que o bastão friccionado foi carregado ou 
eletrizado. Por hora, esses termos são, simplesmente, descritivos. Eles não nos dizem 
nada a respeito do processo em si.
O Experimento 2 mostra que existe uma força repulsiva de ação a distância entre dois 
objetos idênticos que foram carregados da mesma maneira, tal como os dois bastões de 
plástico que foram friccionados com lã no experimento descrito. Além disso, o Experimento 
4 mostra que a força entre dois objetos carregados depende da distância entre eles. Essa é a 
primeira força de ação a distância com que nos deparamos desde a introdução da gravidade, 
no Capítulo 5. É também a primeira vez que observamos uma força repulsiva, de modo que, 
veremos, serão necessárias novas idéias para a compreensão da eletricidade.
Um pente de plástico que foi carregado 
pelo atrito com seus cabelos atrai objetos 
neutros, tais como pedacinhos de papel 
ou, como visto aqui, pingos de água.
790 Física: Uma Abordagem Estratégica
O Experimento 3 constitui um enigma. Os dois bastões parecem ter sido carregados da 
mesma maneira, ou seja, por fricção, mas os dois se atraem ao invés de se repelirem. Por que 
o resultado do Experimento 3 difere daquele do Experimento 2? De volta ao laboratório.
Bastão carregado
Papel
Bastão
carregado Bastão neutro
Seda usada para
friccionar o vidro
Bastão de plástico
carregado
Lã usada para
friccionar o plástico
Bastão
de plástico
carregado
Objeto carregado
Bastão 
de vidro
carregado
Descobrindo a eletricidade II
Segure um bastão de plástico carregado (i.e., que foi friccionado) acima de pequenos peda-
ços de papel sobre uma mesa. Os pedaços de papel saltam e se grudam ao bastão. O mesmo
ocorre com um bastão de vidro que tenha sido carregado. Entretanto, um bastão neutro não
afeta os pedaços de papel.
Friccione um bastão de plástico com lã, e um bastão de vidro, com seda. Erga ambos por
meio de suportes separados por certa distância. Ambos são atraídos por um bastão de plásti-
co neutro (i.e., não-friccionado) mantido próximo. Curiosamente ambos são atraídos
também por um bastão neutro de vidro. Na verdade, os bastões carregados são atraídos por
qualquer objeto neutro, tal como um dedo, um pedaço de papel ou um bastão de metal.
Friccione com lã um bastão de plástico suspenso e, depois, segure a lã próxima ao bastão.
O bastão é fracamente atraído pela lã, e o bastão de plástico é repelido pelo pedaço de
seda que foi usado para friccionar o vidro.
Experimentos adicionais revelam que:
Outros objetos, após serem friccionados, atraem um dos bastões previamente carregados
que estão suspensos (de plástico ou de vidro) e que se repelem. Os objetos carregados
sempre atraem pequenos pedaços de papel.
Aparentemente não há objetos que, após terem sido friccionados, passem a atrair peda-
ços de papel e, simultaneamente, o bastão de plástico e o de vidro.
Experimento 5
Experimento 6
Experimento 7
Experimento 8
Nosso primeiro conjunto de experimentos revelou que objetos carregados exercem 
forças uns sobre os outros. As forças às vezes são atrativas, e outras vezes, repulsivas. 
Os Experimentos 5 e 6 indicam que existe uma força atrativa entre um objeto carregado 
e qualquer objeto neutro (não-carregado). Tal descoberta nos apresenta um problema: 
como podemos descobrir se um objeto está carregado ou neutro? Pelo fato de existir 
força atrativa entre um objeto carregado e qualquer objeto neutro, a simples observação 
de uma força elétrica não indica qual é o objeto que está carregado.
Entretanto, a característica importante de qualquer objeto carregado parece ser a de 
que todo objeto carregado atrai pequenos pedaços de papel. Esse comportamento 
fornece um teste direto que nos possibilita responder à questão “Tal objeto está carre-
gado?” Se ele passar no teste de atrair o papel, estará carregado; caso falhe no teste, o 
objeto estará neutro.
Estas observações nos levam a avançar numa tentativa de propor osprimeiros passos 
para um modelo de carga.
MODELO DE CARGA, PARTE I Os postulados básicos do nosso modelo são:
 1. Forças de atrito, como o da fricção, adicionam algo chamado de carga a um 
objeto ou a removem do mesmo. O processo é chamado de carregamento ou 
eletrização. Quanto maior for a intensidade da fricção, maior será a quantidade 
de carga produzida no processo.
CAPÍTULO 26 ■ Cargas Elétricas e Forças 791
 2. Há dois, e somente dois, tipos de carga. Por hora, chamaremos essas cargas 
de “carga do plástico” e “carga do vidro”. Outros objetos, às vezes, podem ser 
carregados por fricção, mas a carga que eles recebem é “carga do plástico” ou 
“carga do vidro”.
 3. Duas cargas de mesmo tipo (plástico/plástico ou vidro/vidro) exercem forças 
repulsivas uma sobre a outra. Duas cargas opostas (plástico/vidro) se atraem.
 4. A força entre duas cargas é de ação a distância. Ela aumenta à medida que aumen-
tamos a quantidade de carga e diminui quando aumenta a distância entre as cargas.
 5. Os objetos neutros contêm uma mistura igual de ambos os tipos de carga, “carga 
do plástico” e “carga do vidro”. O processo de fricção, de alguma forma, separa 
os dois tipos.
O postulado 2 é baseado no Experimento 8. Se um objeto está carregado (i.e., se 
ele atrai papel), ele sempre irá atrair um dos bastões previamente carregados e repelir o 
outro. Ou seja, ele se comporta como se fosse uma “carga do plástico” ou uma “carga 
do vidro”. Se existisse um terceiro tipo de carga, diferente dos dois primeiros, um objeto 
que contivesse este tipo de carga iria atrair o papel e ambos os bastões. Objetos como 
esses nunca foram encontrados.
A base do postulado 5 é a observação do Experimento 7, em que um bastão plástico 
carregado é atraído pela lã que foi usada para esfregá-lo, todavia é repelido pela seda que 
foi friccionada com vidro. Parece que a fricção do vidro fez com que a seda adquirisse 
a “carga do plástico”. A maneira mais fácil de explicar isso é supor que a seda possua 
quantidades iguais de “carga do plástico” e “carga do vidro” no início, e que a fricção, 
de alguma maneira, transferiu “carga do vidro” da seda para o bastão. Isso ocasiona um 
excesso de “carga do vidro” no bastão e um excesso de “carga do plástico” na seda.
Embora o modelo de carga seja consistente com as observações, ele ainda não está 
provado. Podemos facilmente imaginar outras hipóteses que sejam tão consistentes com 
as observações limitadas que fizemos quanto as que foram feitas anteriormente. Ain-
da teremos alguns grandes enigmas por explicar, como o porquê de objetos carregados 
exercerem forças atrativas sobre objetos neutros.
Propriedades elétricas dos materiais
Ainda temos de esclarecer como diferentes tipos de materiais respondem às cargas.
Metal Metal
Experimento 11
Esfera de metal
adquire “carga do
plástico.”
Metal
Plástico
carregado
Bastão que
foi carregado
Papel
Esta esfera
permanece
neutra.
Bastão de
plástico
Plástico
carregado
Esta esfera
adquiriu
“carga do
plástico.”
Metal
Bastão de
metal
Metal
Plástico
carregado
Eletrize um bastão de plástico friccionando-o com a lã. Encoste a área carregada do bastão
a uma esfera de metal neutra. A esfera passará, agora, a atrair pequenos pedaços de papel, e
a repelir o bastão de plástico suspenso que fora previamente carregado. A esfera de metal
aparenta ter adquirido “carga do plástico”.
Eletrize um bastão de plástico e, depois, passe seu dedo ao longo do mesmo. Após isso, o
bastão não atrairá novamente os pequenos pedaços de papel ou não repelirá o bastão de
plástico suspenso. Analogamente, a esfera de metal do Experimento 9 não repelirá mais o
bastão de plástico após você tê-lo tocado com o dedo.
Mantenha duas esferas de metal próximas uma da outra presas às extremidades de um
bastão de plástico. Por fricção, eletrize um segundo bastão de plástico e o encoste a uma
das esferas de metal. Após isso, a esfera de metal que foi tocada passará a atrair pequenos
pedaços de papel e a repelir o bastão de plástico previamente carregado e suspenso.
Com a outra esfera nada acontece.
Repita o Experimento 11 com as duas esferas de metal agora presas às extremidades de um
bastão metálico. Encoste um bastão de plástico carregado em uma das esferas de metal.
Após isso, ambas as esferas de metal passarão a atrair pequenos pedaços de papel e a repe-
lir o bastão de plástico previamente carregado e suspenso.
Experimento 9
Experimento 10
Experimento 12
Descobrindo a eletricidade III
792 Física: Uma Abordagem Estratégica
Nosso conjunto final de experimentos revelou que
A carga pode ser ■ transferida de um objeto para outro, mas apenas quando os objetos 
se tocam. É necessário haver contato. O ato de remover a carga de um objeto, o que 
se pode fazer simplesmente tocando nele, é chamado de descarregamento.
Há dois tipos ou duas classes de materiais com propriedades elétricas muito distin- ■
tas. Nós os chamamos de condutores e de isolantes.
O Experimento 12, no qual é usado um bastão de metal, está em franco contraste 
com o Experimento 11. De alguma forma, a carga se move através ou ao longo de 
um bastão de metal, indo de uma esfera para outra, mas permanece fixa no seu lugar 
em um bastão de plástico ou de vidro. Vamos definir os condutores como aqueles 
materiais nos quais a carga pode se mover livremente, e os isolantes como aqueles 
materiais nos quais a carga permanece imóvel. O plástico e o vidro são isolantes; o 
metal é um condutor.
Essa informação nos permite adicionar mais dois postulados ao nosso modelo de 
carga:
MODELO DE CARGA, PARTE II
 6. Há dois tipos de materiais. Os condutores são materiais através dos ou nos quais 
a carga pode facilmente se mover. Os isolantes são materiais através dos ou nos 
quais as cargas permanecem em locais fixos.
 7. A carga pode ser transferida de um objeto para outro por contato.
NOTA � Isolantes e condutores podem ser eletrizados. Eles diferem quanto à mobi-
lidade da carga. �
Não exaurimos o número de experimentos e de observações que ainda podemos ten-
tar. As primeiras investigações científicas se depararam com estes e com muitos outros 
resultados. Além disso, muitos dos experimentos eram difíceis de reproduzir com boa 
precisão. Como podemos dar sentido a tudo isso? O modelo de carga parece promissor, 
todavia certamente não foi provado. Não explicamos ainda como os objetos carregados 
exercem forças atrativas sobre os objetos neutros, tampouco em que consiste a carga, 
como ela é transferida ou por que ela se move através de alguns objetos, e não, de outros. 
No entanto tiraremos vantagem da nossa visão retrospectiva histórica e continuaremos 
a nos dedicar a esse modelo. Nos exercícios propostos você irá praticar o emprego do 
modelo na explicação de outras observações.
EXEMPLO 26.1 Transferindo carga
No Experimento 12, tocar uma esfera de metal com um bastão de 
plástico carregado fez com que uma segunda esfera de metal adquiris-
se o mesmo tipo de carga do bastão. Use os postulados do modelo de 
carga para explicar este fato.
RESOLUÇÃO Precisamos das seguintes hipóteses do modelo de carga:
 1. A carga é transferida por contato.
 2. O metal é um condutor.
 3. Cargas de mesmo tipo se repelem.
O bastão de plástico foi carregado pela fricção com a lã. A carga não 
se move pelo bastão, pois ele é um isolante, mas uma parte da “carga 
do plástico” é transferida ao metal no contato. Uma vez no metal, 
que é um condutor, as cargas estão livres para se moverem através do 
material. Além disso, devido ao fato de que cargas iguais se repelem, 
as “cargas do plástico” rapidamente se afastam umas das outras o má-
ximo possível. Algumas se movem através do bastão de metal para a 
segunda esfera. Conseqüentemente, a segunda esfera adquire “carga 
do plástico”.
PARE E PENSE 26.1
 Para determinar se um objeto tem “carga do vidro”, você necessita:
 a. Verificar se o objeto atrai um bastão de plástico carregado.
 b. Verificar se o objetorepele um bastão de vidro carregado.
 c. Fazer ambos, a e b.
 d. Fazer a ou b.
CAPÍTULO 26 ■ Cargas Elétricas e Forças 793
26.2 Carga
Como você provavelmente sabe, os nomes dados atualmente aos dois tipos de carga são 
carga positiva e carga negativa. Talvez você se surpreenda ao saber que esses nomes fo-
ram cunhados por Benjamin Franklin. Franklin descobriu que a carga se comporta como 
os números positivos e negativos. Se um bastão de plástico está carregado duplamente 
por fricção e transfere uma dupla carga para uma esfera de metal, as forças elétricas 
exercidas pela esfera serão dobradas. Ou seja, 2 � 2 � 4. Mas a esfera se encontra neu-
tra após receber iguais quantidades da “carga do plástico” e da “carga do vidro”. Isso se 
parece com a operação 2 � (�2) � 0. Estes experimentos estabelecem uma importante 
propriedade da carga.
Então, o que é positivo e o que é negativo? Isso depende apenas de nós! Franklin 
estabeleceu a convenção de que um bastão de vidro friccionado com seda torna-se 
carregado positivamente. É isso. Qualquer outro objeto que repila um bastão de vidro 
carregado também estará carregado positivamente. E qualquer objeto que atraia um bas-
tão de vidro carregado estará carregado negativamente. Portanto, um bastão de plástico 
friccionado com lã torna-se carregado negativamente. Somente muito tempo depois 
disso, com a descoberta dos elétrons e dos prótons, foi verificado que os elétrons são 
atraídos por um bastão de vidro carregado, enquanto os prótons são repelidos por ele. 
Portanto, por convenção, os elétrons têm carga negativa, e os prótons, carga positiva.
NOTA � Teria sido melhor se Franklin tivesse feito uma escolha oposta. Os elétrons 
são os formadores das correntes elétricas em metais, e a convenção de assinalar 
uma carga negativa para os elétrons irá apresentar futuramente algumas dificulda-
des de sinal que poderiam ser evitadas se os elétrons fossem considerados como 
positivos. �
Átomos e eletricidade
Voltemos rapidamente ao século XXI. A teoria da eletricidade foi desenvolvida sem o 
conhecimento da existência dos átomos, mas não há razão para continuarmos a despre-
zar essa parte importante de nossa perspectiva atual. Por enquanto, prosseguiremos sem 
demonstrar algumas das características importantes dos átomos e da matéria. Oportuna-
mente você aprenderá as evidências experimentais que embasam tais afirmações.
A FIGURA 26.1 mostra que todo átomo consiste de um núcleo muito pequeno e denso 
(diâmetro �10�14) circundado por elétrons, de massa muito menor do que o núcleo, or-
bitando em torno do mesmo. As freqüências orbitais dos elétrons são tão grandes (�1015 
revoluções por segundo) que os elétrons parecem formar uma nuvem eletrônica com diâ-
metro �10�10 m, um fator 104 maior do que o núcleo. De fato, a dualidade onda-partícula 
da física quântica destrói qualquer noção de trajetória bem-definida para um elétron, e 
tudo o que nós sabemos sobre os elétrons é o tamanho e a forma da nuvem eletrônica.
Experimentos realizados no fim do século XIX – experimentos que estudaremos 
na Parte VI – revelaram que os elétrons são partículas de carga negativa e de massa. O 
núcleo é uma estrutura composta, que consiste de prótons, que são partículas carregadas 
positivamente, e de nêutrons neutros. O átomo é mantido coeso pela força elétrica atra-
tiva entre o núcleo positivo e os elétrons negativos.
Uma das descobertas mais importantes é de que a carga, como a massa, é uma 
propriedade inerente de prótons e elétrons. É tão impossível haver um elétron despro-
vido de carga quanto o mesmo existir sem massa. Tanto quanto podemos saber atual-
mente, elétrons e prótons possuem cargas com sinais opostos e com exatamente o mes-
mo valor absoluto. (Experimentos realizados com muito cuidado nunca revelaram 
diferenças.) Essa unidade de carga em nível atômico, chamada de unidade fundamental 
de carga, é representada pelo símbolo e. A Tabela 26.1 mostra as massas e as cargas de 
prótons e de elétrons. Precisamos definir uma unidade de carga, o que faremos na Seção 
26.5, antes de especificarmos quanto vale a carga e.
A conexão micro/macro
Os elétrons e os prótons são as cargas básicas da matéria elementar. Conseqüente-
mente, as várias observações feitas na Seção 26.1 precisam ser explicadas em termos de 
elétrons e de prótons.
O núcleo, exagerado para visualização, 
contém prótons positivos.
A nuvem eletrônica é carregada negativamente.
FIGURA 26.1 Um átomo.
TABELA 26.1 Prótons e elétrons
Partícula Massa (kg) Carga
Próton 1,67 � 10�27 �e
Elétron 9,11 � 10�31 �e
794 Física: Uma Abordagem Estratégica
NOTA � Elétrons e prótons são partículas da matéria. Seus movimentos são governa-
dos pelas leis de Newton. Elétrons podem se mover de um objeto para outro quando 
os objetos estão em contato, mas nem elétrons e nem prótons podem saltar de um 
objeto para outro através do ar. Um objeto não se torna carregado simplesmente por 
ter sido colocado próximo a um objeto carregado. �
A carga é representada pelo símbolo q (algumas vezes Q). Objetos macroscópicos 
como o bastão de plástico têm uma carga
 q � Np e – Ne e � (Np – Ne) e (26.1)
onde Np e Ne são, respectivamente, o número de prótons e o número de elétrons contidos 
no objeto. A maioria dos objetos macroscópicos tem um número igual de prótons e elé-
trons e, portanto, tem q � 0. Um objeto sem carga líquida (i.e., q � 0) é considerado 
eletricamente neutro.
NOTA � Neutro não significa “sem cargas”, e sim, que não possui uma carga líquida. 
Um volume de 1 cm
3
 de um sólido comum contém �1024 elétrons e um número igual de 
prótons. Trata-se de um número enorme de cargas, mas a maioria dos sólidos é eletrica-
mente neutra ou muito próxima disso. Um bastão de vidro perde apenas �1010 elétrons 
quando é carregado por fricção. Isso corresponde a apenas 1 elétron em 10
14
. �
Um objeto carregado contém um número desigual de prótons e de elétrons. Qualquer 
objeto estará positivamente carregado se Np � Ne. Ele é negativamente carregado se Np 
� Ne. Note que um objeto carregado possui uma carga que é sempre igual a um múltiplo 
inteiro de e, ou seja, a quantidade de carga de um objeto sofre variações pequenas, mas 
discretas, e não-contínuas. A isto se denomina quantização da carga.
Na prática, os objetos adquirem carga positiva não por ganharem prótons, como se po-
deria esperar, mas por perderem elétrons. Os prótons estão extremamente firmes e ligados ao 
interior do núcleo e não podem ser adicionados ou removidos do átomo. Os elétrons, por ou-
tro lado, estão ligados mais frouxamente ao núcleo e podem ser removidos mais facilmente. 
O processo de remoção de um elétron da nuvem eletrônica é chamado de ionização. Um 
átomo que perdeu um elétron é chamado de íon positivo. Sua carga líquida é q � �e.
Constatamos que alguns átomos podem acomodar um elétron extra e, portanto, se 
tornarem um íon negativo com uma carga líquida q � �e. Uma solução de água salgada 
é um bom exemplo. Quando o sal de cozinha (cloreto de sódio, NaCl) se dissolve na 
água, ele é separado em íons positivos de sódio, Na
�, e íons negativos de cloro, Cl-. A 
FIGURA 26.2 mostra íons positivos e negativos.
Todos os processos de eletrização que estudamos na Seção 26.1 envolveram atrito e 
fricção. As forças de atrito ocasionam quebras nas ligações moleculares da superfície 
enquanto os dois materiais passam um pelo outro. Moléculas são eletricamente neutras, 
mas a FIGURA 26.3 mostra que pode-se criar um íon molecular quando uma das ligações 
de uma molécula grande for quebrada. Os íons moleculares positivos permanecem em 
um material, e os negativos, no outro, de modo que um dos objetos que sofre a fricção 
fica com uma carga líquida positiva, e o outro, com uma carga líquida negativa. Essa é a 
maneira pela qual o bastão de plástico é carregado pelo atrito com a lã ou um pente é 
carregado ao passar através do seu cabelo.
A eletrização por atrito, através de quebra de ligações, funciona melhorpara gran-
des moléculas orgânicas. Isto explica não somente por que o plástico é eletrizado pela 
fricção com a lã, mas também as nossas experiências cotidianas, como a produção de 
“eletricidade estática” em uma secadora de roupas. Os metais geralmente não podem ser 
carregados por atrito.
Conservação da carga e diagramas de carga
Uma das importantes descobertas sobre a carga é a lei de conservação da carga: a carga 
não é criada nem destruída. Uma carga pode ser transferida de um objeto para outro, à me-
dida que elétrons e íons se movem, mas a quantidade total de carga se mantém constante. 
Por exemplo, carregar um bastão de plástico por fricção com a lã transfere elétrons da lã 
para o plástico durante a quebra das ligações moleculares. A lã fica com uma carga positi-
va de mesmo valor absoluto, porém de sinal contrário à carga do bastão: qlã � – qplástico. A 
carga líquida permanece nula.
Íon positivo
O átomo perdeu um elé-
tron, ficando com uma 
carga líquida positiva.
Íon negativo
O átomo ganhou 
um elétron, ficando 
com uma carga 
líquida negativa.
FIGURA 26.2 Íons positivos e negativos.
Molécula eletricamente 
neutra
Átomos
Ligação
Fricção
Estas ligações foram 
quebradas pela fricção.
Íon 
molecular 
positivo
Íon 
molecular 
negativo
Esta metade da 
molécula perdeu 
um elétron na 
quebra da ligação.
Esta metade da 
molécula ganhou 
um elétron extra na 
quebra da ligação.
FIGURA 26.3 A eletrização por fricção 
geralmente cria íons moleculares através 
da quebra das ligações.
CAPÍTULO 26 ■ Cargas Elétricas e Forças 795
Os diagramas serão uma importante ferramenta para entender e explicar cargas e for-
ças sobre objetos carregados. Conforme você for usando os diagramas, será importante 
fazer uso explícito da conservação de carga. A quantidade líquida de sinais positivos e de 
sinais negativos desenhados no seu diagrama não deverá mudar conforme você os move.
BOX TÁTICO
26.1 Desenhando diagramas de carga 
 Faça um desenho da seção transversal bidimensional simplificada do objeto.
 Desenhe as cargas superfíciais bem próximas da superfície do objeto.
 Desenhe as cargas internas distribuídas uniformemente no interior do objeto.
 Represente apenas a carga líquida. Para objetos neutros, não se deve indicar 
cargas nem uma porção de sinais positivos ou negativos.
 Se você usar uma série de diagramas para explicar um processo, conserve a 
carga de um diagrama para o próximo.
Exercícios 10–13 
Estas referências são do Student Workbook, disponível, em inglês, apenas 
no mercado norte-americano.
A FIGURA 26.4 mostra dois exemplos de diagramas de carga. O passo 5 se tornará mais 
claro à medida que o usarmos nos exemplos. O passo 4 é de especial importância. Por 
exemplo, um objeto positivamente carregado perdeu elétrons. Independentemente de 
como o objeto se torna eletrizado, o diagrama de carga deve trazer o sinal positivo.
PARE E PENSE 26.2
 Ordene em seqüência decrescente os valores das cargas de qa a qe destes 
cinco sistemas.
Próton Elétron prótons
elétrons
prótons
elétrons
Bola de vidro
que perdeu
3 elétrons. .
. .
26.3 Isolantes e condutores
Você aprendeu que existem duas classes de materiais quanto às suas propriedades elétri-
cas: a dos isolantes e a dos condutores. É hora de examinar melhor esses materiais.
A FIGURA 26.5 representa os interiores de um isolante e de um condutor metálico. Os 
elétrons do isolante estão todos fortemente ligados aos núcleos positivos e não são livres 
para se movimentar. Carregar um isolante por fricção deixa trechos da superfície com 
íons moleculares, mas tais íons são imóveis.
Em metais, os elétrons atômicos externos (chamados de elétrons de valência em quí-
mica) estão ligados apenas fracamente ao núcleo. Quando os átomos se aproximam para 
formar um sólido, estes elétrons se desprendem de seus núcleos de origem e tornam-se 
livres para se mover através do sólido inteiro. O sólido, como um todo, permanece eletri-
camente neutro porque nenhum elétron foi adicionado ou removido durante o processo; 
todavia, agora os elétrons se parecem com um gás ou um líquido negativamente carrega-
do – o que os físicos gostam de denominar mar de elétrons – que permeia uma rede de 
caroços iônicos positivamente carregados.
A conseqüência imediata dessa estrutura é que os elétrons são altamente móveis em 
um metal. Eles podem, rápida e facilmente, se mover através do metal em resposta a 
forças elétricas exercidas. O movimento de cargas através de um material é o que cha-
mamos de corrente, e as partículas com carga que realmente se movem são chamadas de 
portadores de carga. Em um metal, os portadores de carga são os elétrons.
Os metais não são os únicos condutores que existem. As soluções iônicas, como a 
água salgada, também são bons condutores. Mas os portadores de carga em uma solução 
iônica são íons, e não, elétrons. Manteremos nossa atenção sobre os condutores metáli-
cos devido à sua importância nas aplicações elétricas.
Seção transversal de 
um condutor carre-
gado positivamente.
Seção transversal 
de um isolante 
carregado negativa-
mente.
A carga líquida 
positiva está espa-
lhada internamente
próxima à superfície.
A carga líquida
negativa está
imóvel sobre a
superfície.
FIGURA 26.4 Diagramas de carga.
Isolante
Elétrons do caroço
Elétrons de valência
Núcleo
Os elétrons de valência
estão fortemente ligados.
Metal
Íons
positivos
do caroço
Os elétrons de valência
formam um “mar de elétrons”.
FIGURA 26.5 Uma visão microscópica dos 
isolantes e condutores.
796 Física: Uma Abordagem Estratégica
Eletrização
Os isolantes, em geral, podem ser eletricamente carregados por atrito. Os diagramas de 
carga da FIGURA 26.6 mostram que a carga do bastão está na superfície do mesmo e que a 
carga é conservada. A carga sobre o bastão é imóvel. Ela pode ser transferida para outro 
objeto por contato, mas não se move através do bastão.
Friccione o bastão de 
plástico com um pedaço
de lã.
Lã
Plástico
Este lado
continua neutro.
Cargas negativas estão
imóveis sobre a
superfície do bastão.
A carga positiva da lã é de mesmo valor
absoluto que a carga negativa sobre o bastão.
FIGURA 26.6 Um bastão isolante é carregado por atrito.
Os metais geralmente não podem ser eletrizados por atrito, mas o Experimento 9 
mostra que uma esfera de metal pode ser eletricamente carregada por contato com um 
bastão de plástico. A FIGURA 26.7 mostra um desenho explicativo do processo. A idéia 
essencial é que, em um condutor, os elétrons são livres para se mover pelo material. 
Uma vez que a carga tenha sido transferida para o metal, as forças repulsivas entre as 
cargas negativas farão com que os elétrons se afastem uns dos outros.
Note que os novos elétrons adicionados não precisam se mover para os cantos dis-
tantes do objeto metálico. Devido às forças repulsivas, os novatos simplesmente “empur-
ram” o mar inteiro de elétrons para o lado. Em um tempo extremamente curto, geralmen-
te menor do que 10
�9 s, o mar de elétrons se ajusta à presença da carga adicionada. Para 
fins práticos, um condutor responde instantaneamente à adição ou à subtração de carga.
A não ser pelo breve intervalo de tempo durante o qual o mar de elétrons está se ajus-
tando, as cargas em um condutor isolado encontram-se em equilíbrio estático, ou seja, 
as cargas estão em repouso e não há força resultante exercida sobre qualquer carga. Essa 
condição é chamada de equilíbrio eletrostático. Se houvesse uma força resultante sobre 
qualquer uma das cargas, ela iria rapidamente se mover para um ponto de equilíbrio no 
qual a força voltasse a ser nula.
O equilíbrio eletrostático tem uma conseqüência importante:
Em um condutor isolado, qualquer excesso de carga está localizado sobre a 
superfície do condutor.
Para ilustrar isso, suponha que exista um elétron em excesso no interior de um condutor 
isolado. O elétron extra irá desequilibrar a neutralidade elétrica do interior, exercendo forçassobre os elétrons próximos e fazendo com que se movam. Mas tal movimento violaria a 
hipótese de equilíbrio estático; logo, somos forçados a concluir que não pode haver elétrons 
em excesso no interior de um condutor isolado. Qualquer excesso de elétrons causará repul-
sões que os empurrarão para longe uns dos outros até que todos estejam na superfície.
EXEMPLO 26.2 Carregando um eletroscópio
Muitas demonstrações em eletricidade são feitas com o auxílio de um 
eletroscópio como o mostrado na FIGURA 26.8. Tocar a esfera do topo 
de um eletroscópio com um bastão de plástico carregado faz com que 
as folhas se afastem, mantendo um ângulo entre elas. Use os diagra-
mas de carga para explicar por quê.
FIGURA 26.8 Um eletroscópio carregado. 
Esfera de metal
Caixa de vidro para
isolar as folhas
Haste metálica
Folhas de
ouro muito
finas
Carregar o
eletroscópio faz
com que as folhas
de ouro se repilam.
Plástico
Metal
A carga
é transferida para 
o metal durante o
contato.
Essas cargas
se repelem.
Muito
rápido
As cargas se
espalham sobre a
superfície do metal.
FIGURA 26.7 Um condutor é carregado 
por contato com um bastão de plástico 
eletrizado.
CAPÍTULO 26 ■ Cargas Elétricas e Forças 797
MODELO Usaremos o modelo de carga e o modelo de um condutor 
como um material através do qual os elétrons podem se mover.
VISUALIZE A FIGURA 26.9 usa uma série de diagramas de carga para 
mostrar o processo de eletrização de um eletroscópio.
Plástico
Eletroscópio
1. Cargas negativas (i.e., elétrons)
 são transferidas do bastão para
 a esfera de metal durante o
 contato.
Muito rápido
2. O metal é um condutor.
 Portanto, a carga se espalha
 rapidamente através de todo
 o eletroscópio.
3. As cargas de mesmo tipo se repelem.
 As cargas negativas nas folhas exercem
 forças repulsivas umas sobre as outras,
 fazendo com que se afastem.
F F
FIGURA 26.9 Processo pelo qual um eletroscópio é carregado.
Descarregamento
A água pura está longe de ser um bom condutor, mas quase toda água contém uma va-
riedade de minerais dissolvidos que flutuam entre os íons. O sal de cozinha, conforme 
citamos anteriormente, se separa em íons Na
�
 e Cl
�.
 Eles são os portadores de carga, 
permitindo que a água salgada seja um bom condutor.
Uma grande parte do corpo humano consiste de água salgada. Conseqüentemente, e 
ocasionalmente de forma trágica, os humanos são condutores razoavelmente bons. Este 
fato nos permite entender por que, ao tocar em um objeto carregado, nós o descarrega-
mos como descrito no Experimento 10. A FIGURA 26.10 mostra uma pessoa que toca um 
metal positivamente carregado que perdeu elétrons. Ao contato, alguns dos íons negati-
vos Cl
� 
sobre a superfície da pele transferem seu elétron extra para o metal, tornando 
ambos neutros, o metal e o átomo de cloro. Isso deixa o corpo com um excesso de íons 
positivos Na
�
 e, portanto, uma carga líquida positiva. Como em qualquer condutor, as 
cargas positivas em excesso se afastam o máximo possível umas das outras, espalhando-
se rapidamente sobre a superfície do condutor.
Tocar em um metal carregado resulta em que, juntos, ele e o corpo humano condu-
tor se tornam um único condutor maior do que o metal sozinho. Qualquer excesso de 
carga que estiver inicialmente confinado no metal poderá, agora, se espalhar sobre o 
grande condutor metal � corpo humano. Isso pode não descarregar totalmente o metal, 
mas, em circunstâncias típicas, onde o corpo humano é muito maior do que a amostra 
de metal, a carga residual que permanece no metal é muito menor do que a quantidade 
de carga original. Para a maioria das aplicações práticas, o metal está descarregado. Em 
essência, dois condutores em contato “repartem” a carga que originalmente pertencia a 
apenas um deles.
O ar úmido é um condutor, mas um mau condutor. Objetos carregados expostos ao 
ar perdem lentamente sua carga à medida que o objeto a divide com o ar. A própria Terra 
é um gigantesco condutor devido à água, à umidade do ar e a uma variedade de íons – 
claro, não um condutor tão bom quanto um pedaço de cobre, mas sem dúvida um con-
dutor. Qualquer objeto que esteja fisicamente conectado à Terra através de um condutor 
é considerado como aterrado. O efeito do aterramento é que o objeto reparte qualquer 
excesso de carga que possua com a Terra inteira! Mas a Terra é tão grande que qualquer 
condutor conectado a ela estará completamente descarregado.
A finalidade de aterrar objetos, tais como circuitos e eletrodomésticos, é impedir 
acúmulos de carga sobre os mesmos. Como você verá adiante, o aterramento tem o 
efeito de impedir o surgimento de uma diferença de voltagem entre o objeto e o solo. 
O terceiro pino existente nos plugues de eletrodomésticos e aparelhos eletrônicos 
tem a finalidade de conector o dispositivo à Terra. A fiação de uma construção conec-
ta fisicamente o terceiro pino do plugue para dentro do solo, em algum lugar externo 
à construção, geralmente ligado a um cano de metal enterrado profundamente no 
solo.
Metal
Cargas espalhadas
através do sistema
humano + metal.
Poucas cargas
restam no metal.
FIGURA 26.10 Encostar em um metal 
carregado o descarrega.
798 Física: Uma Abordagem Estratégica
Polarização da carga
Fizemos grandes avanços ao aprender como a estrutura atômica da matéria pode explicar 
os processos de carga e as propriedades dos isolantes e dos condutores. Entretanto, uma 
observação da Seção 26.1 ainda necessita de explicação. Como objetos com cargas de 
sinais quaisquer exercem forças atrativas sobre um objeto neutro?
Para começar a responder à questão, consideremos um condutor neutro. A FIGURA 
26.11 mostra um bastão positivamente carregado mantido próximo – mas sem o tocar – a 
um eletroscópio neutro. As folhas se afastam e se mantêm afastadas enquanto o bastão 
for mantido próximo, mas rapidamente descem para suas posições normais quando o 
bastão é removido. Podemos compreender esse comportamento?
Podemos, sim, e a FIGURA 26.12a mostra como. Embora o metal como um todo ainda 
esteja eletricamente neutro, dizemos que o objeto foi polarizado. A polarização da car-
ga consiste em uma leve separação das cargas positivas e negativas em um objeto neutro. 
A polarização da carga produz um excesso de cargas positivas nas folhas do eletroscó-
pio mostrado na FIGURA 26.12b, de modo que elas se repelem. Mas, devido ao fato de o 
eletroscópio não possuir uma carga líquida, o mar de elétrons rapidamente se reajustará 
uma vez que o bastão seja removido.
(a) O mar de elétrons é atraído para o bastão
 e se separa, de modo que surge um excesso 
 de carga negativa próximo à superfície.
Bastão
positivo
Metal
Um déficit de elétrons – uma
carga líquida positiva – é criado
na superfície mais afastada.
A carga líquida do metal ainda 
é nula, mas ele foi polarizado 
pelo bastão carregado.
(b) O eletroscópio está polarizado pelo
 bastão carregado. O mar de elétrons é
 deslocado em direção ao bastão positivo.
Embora a carga líquida do eletroscópio continue
nula, as folhas estão com excesso de carga
positiva e se repelem.
FIGURA 26.12 Um bastão carregado polariza um metal.
Por que nem todos os elétrons na Figura 26.12a vão para o lado carregado positivamen-
te? Uma vez que o mar de elétrons se desvia ligeiramente, os íons positivos estacionários 
começam a exercer uma força restauradora, que puxa os elétrons de volta para a direita. A 
posição de equilíbrio para o mar de elétrons está suficientemente deslocada para a esquerda 
para que as forças exercidas pelas cargas externas e pelos íons positivos estejam equilibra-
das. Na prática, o deslocamento do mar de elétrons é geralmente menor do que 10�15 m!
A polarização da carga explica não somente por que as folhas do eletroscópio se 
defletem, mas também como um objeto carregado exerce uma força atrativa sobre um 
objeto neutro. A FIGURA 26.13 mostra um bastão carregado positivamente próximoa um 
pedaço de metal neutro. Uma vez que a força elétrica diminui com a distância, a força 
atrativa sobre os elétrons no topo da superfície é levemente maior do que a força repulsiva 
dos íons no fundo. A força resultante orientada para o bastão carregado é chamada de for-
ça de polarização. As forças de polarização surgem por causa da separação de cargas no 
metal, e não, porque o bastão e o metal estão carregados com cargas de sinais opostos.
1. O bastão carregado polariza 
 o metal neutro, fazendo com 
 que a superfície de cima fique 
 negativa, e a superfície de baixo, 
 positiva.
2. O bastão exerce uma força
 atrativa, orientada para cima,
 sobre o excesso de elétrons
 na superfície superior.
3. O bastão também exerce
 uma força repulsiva, orientada
 para baixo, sobre o excesso
 de íons positivos do caroço
 na superfície inferior.
4. Como a força elétrica
 diminui com a distância,
 F
topo
 � F
fundo
. Portanto, há
 uma força resultante sobre o
 metal neutro, orientada para
 cima, que o atrai para o
 bastão positivo!
res
topo
fundo
FIGURA 26.13 A força de polarização em um pedaço de metal neutro deve-se à pequena 
separação de cargas.
Aproxime um bastão de vidro positivamente 
carregado de um eletroscópio, sem tocar a 
esfera.
O eletroscópio está neutro, mas
as folhas se repelem. Por quê?
FIGURA 26.11 Um bastão carregado 
mantido perto de um eletroscópio 
faz as folhas do mesmo se repelirem 
mutuamente.
As partículas de tinta de uma máquina 
fotocopiadora grudam-se a gotas 
portadoras eletrizadas devido a uma força 
de polarização. Em seguida, as partículas 
de tinta são transferidas para áreas 
previamente eletrizadas de uma folha de 
papel, produzindo, assim, uma fotocópia 
da imagem.
CAPÍTULO 26 ■ Cargas Elétricas e Forças 799
Um bastão negativamente carregado irá empurrar o mar de elétrons para longe de si, 
polarizando o metal com cargas positivas na superfície superior, e cargas negativas, na 
inferior. Mais uma vez, essas são as condições para que a carga exerça uma força resul-
tante atrativa sobre o metal. Assim, nosso modelo de carga explica como um objeto 
carregado de sinal qualquer atrai pequenos pedaços metálicos neutros.
O dipolo elétrico
Agora vamos considerar uma situação um pouco mais complicada. Por que um bastão 
carregado atrai papel, que é um isolante, e não, um metal? Primeiro considere o que 
ocorre quando um átomo é aproximado de uma carga positiva. Como mostra a FIGURA 
26.14a, a carga polariza o átomo. A nuvem eletrônica não se afasta muito, pois a força do 
núcleo positivo a puxa de volta, entretanto o centro de carga positiva e o centro de carga 
negativa estão levemente separados.
(a)
Em um átomo isolado, a nuvem
eletrônica está centrada no núcleo.
Força resultante sobre o átomo
Força sobre
os elétrons
Força sobre
o núcleo
Carga
externa
Centro de
carga negativa
Centro de
carga positiva
O átomo é polarizado por cargas
externas, gerando um dipolo elétrico.
(b)
Cargas
externas
Força resultante
Força resultante
Dipolos elétricos podem ser criados por
cargas positivas ou negativas. Em ambos os
casos, há uma força resultante atrativa que
aponta para a carga externa.
FIGURA 26.14 Um átomo neutro é polarizado por uma carga externa, dando origem a um 
dipolo elétrico.
Duas cargas opostas com uma pequena separação entre si formam, então, o que cha-
mamos de dipolo elétrico. A FIGURA 26.14b mostra que uma carga externa de sinal qual-
quer polariza o átomo, dando origem a um dipolo elétrico com o lado adjacente de sinal 
oposto ao da carga. (A distorção real em relação a uma esfera perfeita é minúscula, nada 
comparada à distorção ilustrada na figura.) A força atrativa no lado do dipolo próximo 
à carga é ligeiramente maior do que a força repulsiva no lado oposto, pois aquele lado 
está mais próximo à carga externa. A força resultante, uma força atrativa entre a carga e 
o átomo, constitui outro exemplo de força de polarização.
Um isolante não contém o mar de elétrons que se desloca se uma carga externa for 
aproximada dele. Em vez disso, conforme mostra a FIGURA 26.15, todos os átomos indi-
viduais do isolante tornam-se polarizados. A força de polarização exercida sobre cada 
átomo dá origem a uma força de polarização resultante orientada para a carga externa. 
Isto resolve o quebra-cabeça. Um bastão carregado atrai pedaços de papel porque ele
Polariza os átomos do papel, ■
E, deste modo, exerce uma força de polarização atrativa sobre cada átomo. ■
Isto é importante. Tenha certeza de ter entendido todos os passos do raciocínio.
PARE E PENSE 26.3
 Um eletroscópio é positivamente carregado por contato com um bastão 
de vidro positivamente carregado. As folhas do eletroscópio se separam, e, depois, o 
bastão de vidro é removido. Em seguida, um bastão de plástico negativamente carregado 
é aproximado da parte superior do eletroscópio, mas sem fazer contato. O que acontece 
com as folhas?
 a. As folhas se aproximam.
 b. As folhas se afastam ainda mais.
 c. Uma das folhas se move para cima, e outra, para baixo.
 d. As folhas não se movem.
As forças intramoleculares que dão forma as 
moléculas biológicas, como esta proteína, 
estão relacionadas às forças de polarização.
Átomos polarizados
Carga
externa
Isolante
Força resultante
FIGURA 26.15 Os átomos de um isolante 
são polarizados por uma carga externa.
800 Física: Uma Abordagem Estratégica
Eletrização por indução
A polarização da carga é responsável por uma maneira interessante e contra-intuitiva 
de carregar um eletroscópio. A FIGURA 26.16 mostra um bastão de vidro positivamente 
carregado que é mantido próximo a um eletroscópio, sem tocá-lo, enquanto uma pessoa 
encosta um dedo no aparelho. Ao contrário do que acontece na Figura 26.11, as folhas 
do eletroscópio não se movem.
Sem contato
1. O bastão carregado polariza o eletroscópio
 e a pessoa condutora. As folhas se repelem
 ligeiramente por causa da polarização do
 eletroscópio, mas ele, como um todo, contém
 um excesso de elétrons, enquanto na pessoa
 existe um déficit de elétrons.
2. A carga negativa do eletroscópio é isolada
 quando o contato é rompido.
3. Quando o bastão é removido,
 primeiro as folhas colapsam à 
 medida que a polarização desaparece 
 e, depois, passam a se repelir enquanto 
 o excesso negativo de carga se espa-
 lha pelo aparelho. O eletroscópio 
 termina carregado negativamente.
F F
FIGURA 26.16 Eletrização por indução.
A polarização da carga ocorre como descrito na Figura 26.11, mas, desta vez, no 
grande sistema eletroscópio � pessoa condutora. Se a pessoa remover o dedo en-
quanto o sistema estiver polarizado, o eletroscópio ficará com uma carga resultante 
negativa, e a pessoa, com uma carga resultante positiva. Por um processo chamado de 
eletrização por indução, o eletroscópio tornou-se carregado com uma carga oposta 
à do bastão.
26.4 A lei de Coulomb
As últimas seções estabeleceram um modelo de cargas e de forças elétricas. O modelo é 
muito bom para explicar fenômenos elétricos e fornece uma visão geral da eletricidade. 
Agora precisamos torná-lo quantitativo. O Experimento 4 da Seção 26.1 mostrou que a 
força elétrica aumenta para objetos que possuem maiores cargas e diminui quando os 
objetos carregados são afastados. A lei de força que descreve este comportamento é co-
nhecida como lei de Coulomb.
Charles Coulomb foi um dos muitos cientistas que investigaram a eletricidade no 
século XVIII. Coulomb teve a idéia de estudar as forças elétricas utilizando um arranjo 
experimental com uma balança de torção com o qual Cavendish havia medido o valor 
da constante gravitacional G (ver Seção 13.4). Foi muito difícil realizar o experimento. 
As massas que Cavendish usara podiam ser colocadas nas suas posições sem sofrerem 
alterações posteriores, ao passo que Coulomb, de vez em quando, tinha de recarregar as 
extremidadesde sua balança. Como ele conseguiu tornar isso reprodutível? Como Cou-
lomb podia saber que os dois objetos haviam sido “igualmente carregados”? Como ele 
podia ter certeza do lugar onde a carga estava localizada?
A despeito desses obstáculos, em 1785 Coulomb comunicou que a força elétrica 
obedece a uma lei do inverso do quadrado, análoga à lei de Newton da gravitação. His-
toriadores da ciência ainda debatem se Coulomb realmente descobriu essa lei a partir 
dos seus dados obtidos ou se, talvez, tirou conclusões não-justificadas porque desejava 
que a sua descoberta rivalizasse com a do grande Newton. Entretanto, a descoberta de 
Coulomb ou sua feliz intuição, seja qual for, foi confirmada subseqüentemente, e a lei 
básica da eletricidade leva hoje o seu nome.
Uma reprodução do século XIX da balança 
de torção de Coulomb.
CAPÍTULO 26 ■ Cargas Elétricas e Forças 801
LEI DE COULOMB:
 1. Se duas partículas eletrizadas com cargas q1 e q2 estão afastadas uma da outra 
por uma distância r, as partículas exercem entre si forças de módulo dado por
 
(26.2)
onde a constante K é chamada de constante eletrostática. Essas forças consti-
tuem um par ação/reação, tendo mesmo módulo e orientações opostas.
 2. As forças estão orientadas ao longo de uma reta que passa pelas duas partículas. 
Elas são forças repulsivas para cargas de mesmo sinal e atrativas para cargas de 
sinais opostos.
Às vezes falamos em “a força entre a carga q1 e a carga q2”; todavia, devemos ter 
sempre em mente que, de fato, estamos lidando com objetos carregados que também 
possuem massa, tamanho e outras propriedades. A carga não é uma entidade imaterial 
que existe independentemente da matéria. A lei de Coulomb descreve as forças entre 
partículas carregadas, que também chamamos de cargas puntiformes. Uma partícula 
carregada, o que constitui uma extensão do modelo de partícula usado na Parte I, possui 
uma massa e uma carga, mas não, um tamanho.
A lei de Coulomb se parece muito com a lei de Newton da gravitação, mas há uma 
importante diferença: a carga q pode ser tanto negativa quanto positiva. Conseqüente-
mente, os valores absolutos dos sinais na Equação 26.2 são de especial importância. A 
primeira parte da lei de Coulomb fornece tão somente a intensidade (módulo) da força, 
uma grandeza que é sempre positiva. A orientação da força deve ser determinada a partir 
da segunda parte da lei. A FIGURA 26.17 representa as forças entre diferentes combinações 
de cargas positivas e negativas.
Unidades de carga
Coulomb não dispunha de uma unidade de carga, portanto não foi capaz de determinar 
o valor da constante K, que depende tanto da unidade usada para a distância quanto da 
unidade de carga. A unidade SI para a carga, o coulomb (C), é derivada da unidade SI 
de corrente, de modo que teremos de esperar até o estudo da corrente, no Capítulo 31, 
antes de definir o coulomb precisamente. Por ora, faremos apenas a observação de que a 
unidade fundamental de carga e foi medida como tendo o valor
e � 1,60 � 10�19 C
Trata-se de uma quantidade muito pequena de carga. Dito de outra forma, 1 C é a carga 
total de aproximadamente 6,25 � 10
18
 prótons.
NOTA � As quantidades de carga produzidas por atrito em bastões de plástico ou de 
vidro têm valores tipicamente na faixa de 1 nC (10
�9 C) a 100 nC (10�7 C). Isto corres-
ponde a excessos ou a déficits de aproximadamente 10
10
 a 10
12
 elétrons nos objetos. �
Uma vez que a unidade de carga esteja estabelecida, experimentos como os de Cou-
lomb, com a balança de torção, podem ser usados para medir o valor da constante ele-
trostática K. Em unidades do SI,
K � 8,99 � 109 N m2/C2
Costuma-se arredondar K por 9,0 � 109 N m2/C2 em tudo, exceto para cálculos extrema-
mente precisos, e assim o faremos.
Surpreendentemente, veremos que a lei de Coulomb não é usada explicitamente na 
maior parte da teoria da eletricidade. Embora ela seja a lei de força básica, a maioria 
de nossas discussões e cálculos futuros serão baseados em entidades físicas chamadas 
de campos e potenciais. Tornar-se-á evidente que cálculos futuros serão mais fáceis de 
efetuar se expressarmos a lei de Coulomb em uma forma um pouco mais complicada. 
Vamos definir uma nova constante, chamada de constante de permissividade �0 (pro-
nunciada “épsilon zero”), como
Duas
cargas
positivas
2 sobre 1
1 sobre 2
Duas
cargas
negativas
2 sobre 1
1 sobre 2
Cargas
opostas
2 sobre 1
1 sobre 2
FIGURA 26.17 Forças atrativas e repulsivas 
entre cargas.
802 Física: Uma Abordagem Estratégica
Reescrevendo a lei de Coulomb em termos de �0, temos
 
(26.3)
Será mais fácil utilizar a lei de Coulomb diretamente com a constante eletrostática K. 
Entretanto, nos capítulos posteriores iremos trocar para a segunda versão com �0.
Usando a lei de Coulomb
A lei de Coulomb é uma lei de força, e forças são grandezas vetoriais. Já se passaram 
muitos capítulos desde que fizemos uso de vetores e de soma vetorial, mas essas técnicas 
matemáticas serão essenciais para o nosso estudo da eletricidade e do magnetismo. Tal-
vez você deva revisar a soma de vetores no Capítulo 3.
Há três observações importantes a fazer com relação à lei de Coulomb:
 1. A lei de Coulomb se aplica somente a cargas puntiformes. Uma carga puntiforme 
é um objeto idealizado dotado de carga e massa, mas sem extensão ou tamanho. 
Para fins práticos, objetos carregados podem ser considerados como cargas punti-
formes se forem muito menores do que a separação entre eles.
 2. Estritamente falando, a lei de Coulomb se aplica somente à eletrostática, a força 
elétrica entre cargas em repouso. Na prática, a lei de Coulomb é uma boa apro-
ximação para a força elétrica entre cargas em movimento se a velocidade relativa 
entre ambas for muito menor do que a velocidade da luz.
 3. Forças elétricas, como outras forças, podem ser superpostas. Se estiverem presen-
tes múltiplas cargas 1, 2, 3..., a força elétrica resultante sobre a carga j, devida a 
todas outras cargas, é
 (26.4)
onde cada uma das é dada pela Equação 26.2 ou 26.3.
Essas condições formam a base da estratégia para o emprego da lei de Coulomb na 
resolução de problemas sobre forças eletrostáticas.
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 26.1 Forças eletrostáticas e a lei de Coulomb 
MODELO Identifique as cargas puntiformes ou os objetos que possam ser considera-
dos como cargas puntiformes.
VISUALIZAÇÃO Faça uma representação pictórica para estabelecer o sistema de coor-
denadas, indique as posições das cargas, represente os vetores força sobre as cargas, 
defina as distâncias e os ângulos relevantes e identifique o que o problema pede para 
determinar. Este é o processo de transformação de palavras em símbolos.
RESOLUÇÃO A representação matemática é baseada na lei de Coulomb:
Indique as orientações das forças – repulsivas para cargas de mesmo sinal, atra- ■
tivas para cargas de sinais opostos – na representação pictórica.
Quando possível, mostre graficamente a soma vetorial na representação ilustra- ■
da. Mesmo não sendo exato, o desenho lhe indicará que tipo de resposta se deve 
esperar.
Escreva cada vetor força em termos de seus componentes ■ x e y e, depois, some 
os componentes a fim de obter a força resultante. Use a representação pictórica 
para determinar qual componente é positivo e qual é negativo.
AVALIAÇÃO Verifique se seu resultado está expresso nas unidades corretas, se é coe-
rente e se responde à questão.
11.1–11.3
CAPÍTULO 26 ■ Cargas Elétricas e Forças 803
EXEMPLO 26.3 A soma de duas forças
Duas partículas carregadas com �10 nC estão separadas por 2 cm 
sobre o eixo x. Qual é a força resultante sobre uma partícula de �1,0 
nC posicionada no ponto médio da distância entre elas? Qual será a 
força resultante se a partícula da direita for substituída por outra, com 
�10 nC de carga?
MODELO Considere as partículas carregadas como cargas puntiformes.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 26.18 define o sistema de coordenadas a ser 
usado erepresenta as forças e .
F2 sobre 3
F2 sobre 3
Fres = 0
F1 sobre 3
F1 sobre 3 Fres
q1
q1
q3
q3
q2
q2
0 1 2
0 1 2
x (cm)
x (cm)
FIGURA 26.18 Uma representação pictórica das cargas e forças.
RESOLUÇÃO Forças elétricas são vetores, e a força resultante sobre q3 
é a soma vetorial res � 1 sobre 3 � 2 sobre 3. Cada uma das cargas q1 e 
q2 exerce uma força repulsiva sobre q3, mas elas são de mesmo mó-
dulo e de sentidos opostos. Conseqüentemente, res � . A situação 
mudará se q2 for negativa. Neste caso, as duas forças terão mesmo 
módulo e mesma orientação, apontando ambas no mesmo sentido, 
de modo que res � 2 1 sobre 3. O módulo da força é dado pela lei de 
Coulomb:
Portanto, a força resultante sobre a carga de 1,0 nC é 
.
AVALIAÇÃO Este exemplo ilustra a idéia importante de que as forças 
elétricas são vetores.
EXEMPLO 26.4 O ponto de força nula
Duas partículas positivamente carregadas com q1 e q2 � 3q1 estão 
afastadas uma da outra por 10 cm. Onde (excetuando-se o infinito) 
pode ser colocada uma terceira carga q3 de forma que ela experimente 
uma força resultante nula?
MODELO Considere as partículas carregadas como cargas puntiformes.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 26.19 define o sistema de coordenadas usado, 
em que q1 está na origem. Primeiro, precisamos identificar a região do 
espaço na qual q3 deve ser posicionada. Não temos informação acerca 
do sinal de q3, portanto aparentemente a posição pela qual procura-
mos funcionará para qualquer sinal. Você pode ver pela figura que, no 
ponto A, acima do eixo, e no ponto B, além das cargas, as forças não 
podem se cancelar. Entretanto, no ponto C sobre o eixo x, na região 
entre as cargas, as duas forças possuem sentidos opostos.
2 sobre 3
1 sobre 3
2 sobre 3 1 sobre 3 2 sobre 3
1 sobre 3
Somente se q
3
 estiver em algum lugar do
segmento de reta que liga q
1
 a q
2
 é que as forças 
podem se somar e dar um resultado nulo.
FIGURA 26.19 Representação pictórica das cargas e das forças
RESOLUÇÃO O problema matemático é determinar a posição para a 
qual as forças 1 sobre 3 e 2 sobre 3 possuem módulos iguais. Se x for a 
distância dessa posição em relação a q1, sua posição em relação a q2 
será, então, d � x. As intensidades (módulos) das forças são
As cargas q1 e q2 são positivas e não é preciso tomar seus módulos. 
Igualando as duas forças, obtemos
O termo Kq1|q3| é cancelado. Multiplicando por x
2
(d – x)2, encontra-
mos
o que pode ser rearranjado na forma da equação quadrática
onde usamos d � 10 cm e x está em cm. As soluções para a equação 
são
x � �3,66 cm e �13,66 cm
Ambos correspondem a pontos onde as intensidades (módulos) das 
duas forças são iguais, todavia x � � 13,66 cm corresponde a um pon-
to onde os módulos são iguais e apontam no mesmo sentido. A solução 
pela qual procuramos, correspondente a uma carga puntiforme posicio-
nada entre as cargas, é x � 3,66 cm. Portanto, o ponto onde colocar q3 
situa-se a 3,66 cm de distância de q1, ao longo da linha que une q1 e q2.
AVALIAÇÃO A carga q1 é menor do que q2, portanto esperamos que o pon-
to no qual as forças se equilibram esteja mais próximo de q1 do que de 
q2. A solução parece plausível. Note que o enunciado do problema não 
define o sistema de coordenadas; assim, “x � 3,66 cm” não é uma res-
posta aceitável. Você precisa descrever a posição em relação a q1 e q2.
804 Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 26.5 Três cargas
Três partículas carregadas com q1 � 
– 50 nC, q2 � � 50 nC e q3 � � 30 
nC são colocadas nos cantos do re-
tângulo de 5,0 cm � 10,0 cm mos-
trado na FIGURA 2620. Qual é a força 
resultante sobre a carga q3 devida às 
duas outras cargas? Expresse sua res-
posta em módulo e orientação.
MODELO Considere as partículas car-
regadas como cargas puntiformes.
VISUALIZAÇÃO A representação pictóri-
ca da FIGURA 26.21 define o sistema de 
coordenadas a ser usado. As cargas q1 
e q2 são de sinais opostos, portanto o 
vetor força 1 sobre 3 corresponde a uma força atrativa orientada para q1. As 
cargas q2 e q3 são de mesmo sinal, portanto o vetor 2 sobre 3 corresponde 
a uma força repulsiva que tende a afastar q3 de q2. As cargas q1 e q2 têm 
módulos iguais, mas 2 sobre 3 foi desenhado com um comprimento menor 
do que o de 1 sobre 3 porque q2 está mais distante de q3. A soma vetorial foi 
usada para desenhar o vetor força resultante 3 e para definir o ângulo.
F2 sobre 3
F1 sobre 3
q3
F3
5,0 cm
y
q1 q2
10,0 cmr23
r13
x
FIGURA 26.21 Uma representação pictórica para as cargas e forças.
RESOLUÇÃO A questão pede por uma força, então nossa resposta será 
o vetor soma 3 � 1 sobre 3 � 2 sobre 3. Precisamos escrever 1 sobre 3 e 
2 sobre 3 em função dos componentes correspondentes. O módulo da 
força 1 sobre 3 pode ser determinado através da lei de Coulomb:
onde usamos r13 � 10,0 cm. A representação pictórica mostra que 1 
sobre 3 aponta para baixo, no sentido negativo de y; logo,
Para calcular 2 sobre 3 primeiro precisamos da distância r23 entre as 
cargas
Portanto, o módulo de 2 sobre 3 é
Isto é apenas a intensidade. O vetor 2 sobre 3 é
onde o ângulo � é definido na figura e o sinal (componente x negativo 
e componente y positivo) foi determinado a partir da representação 
pictórica. Da geometria do retângulo,
Portanto, . Agora podemos 
adicionar 1 sobre 3 e 2 sobre 3 para obter
Esta poderia ser uma resposta aceitável para muitos problemas, 
mas às vezes precisamos da força resultante dada em intensidade 
(módulo) e orientação. Com o ângulo � definido conforme a figura, 
temos
Portanto abaixo do eixo x negativo).
AVALIAÇÃO As forças não são grandes, mas são forças típicas da 
eletrostática. Mesmo assim, veremos logo adiante que tais forças 
podem produzir grandes acelerações porque as massas dos objetos 
carregados sobre os quais elas são exercidas são geralmente muito 
pequenas.
�
�
,
,
�
��
�
FIGURA 26.20 As três 
cargas do Exemplo 26.5.
EXEMPLO 26.6 Erguendo uma conta de vidro
Uma pequena esfera de plástico carregada com �10 nC está suspensa 
1 cm acima de uma pequena conta de vidro que se encontra em repou-
so sobre uma mesa. A conta tem massa de 15 mg e carga de �10 nC. 
A conta de vidro saltará para cima, em direção à esfera de plástico?
MODELO Conside a esfera de plástico e a conta de vidro como cargas 
puntiformes.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 26.22 define o eixo y, identifica a esfera plás-
tica por q1 e a conta de vidro por q2 e mostra o diagrama de corpo livre 
correspondente.
CAPÍTULO 26 ■ Cargas Elétricas e Forças 805
Plástico
Vidro
1 sobre 2
�,
FIGURA 26.22 Uma representação pictórica para as cargas e as 
forças.
RESOLUÇÃO Se F1 sobre 2 for menor do que o módulo da força gravitacio-
nal FG � mconta g, então a conta permanecerá em repouso sobre a mesa 
com 1 sobre 2 � G � . Mas se F1 sobre 2 for maior do que mconta g, 
a conta de vidro será acelerada para cima em relação à mesa. Usando 
os valores fornecidos, temos
Como F1 sobre 2 é maior do que mconta g por um fator igual a 60, a conta 
de vidro saltará.
AVALIAÇÃO Os valores usados no exemplo são realistas para esferas 
com diâmetro � 2 mm. Em geral, como no exemplo, as forças elé-
tricas são significativamente maiores do que as gravitacionais. Con-
seqüentemente podemos desprezar a gravidade quando trabalharmos 
em problemas sobre força elétrica, a menos que as partículas tenham 
massas grandes.
PARE E PENSE 26.4
 As esferas carregadas A e B exercem entre si forças 
repulsivas. Sabemos que qA � 4 qB. Qual das afirmações abaixo é ver-
dadeira?
 a. FA sobre B � FBsobre A b. FA sobre B � FBsobre A c. FA sobre B � FBsobre A
26.5 O modelo de campo
Como a gravidade, as forças elétricas e as forças magnéticas são forças de ação a dis-
tância. Não é necessário haver contato para que uma partícula carregada exerça uma 
força sobre outra partícula carregada. De alguma maneira, a força se transmite através do 
espaço. O conceito de ação a distância causou grande preocupação a muitos dos princi-
pais pensadores da época deNewton após a publicação da sua teoria da gravitação. Eles 
acreditavam que a força deveria ter algum mecanismo por meio do qual ela fosse exerci-
da a distância, e a idéia de ação a distância sem um mecanismo aparente estava além do 
que muitos cientistas da época poderiam aceitar. Todavia, eles não podiam questionar o 
sucesso da teoria de Newton.
O grande prestígio e sucesso de Newton mantiveram as dúvidas e as reservas dos 
cientistas até o final do século XVIII, quando as pesquisas sobre os fenômenos elétricos 
e magnéticos reabriram a questão da ação a distância. Por exemplo, considere as partícu-
las carregadas A e B da FIGURA 26.23. Se as partículas forem deixadas em repouso por um 
longo período de tempo, poderemos com certeza usar a lei de Coulomb para determinar 
a força que A exerce sobre B. Mas suponha que, subitamente, A começasse a se mover 
como indicado pela seta. Em resposta, o vetor força sobre B deveria girar para seguir A. 
Isso ocorre instantaneamente? Ou existe algum atraso entre o instante em que A se 
move e o instante em que a força A sobre B varia correspondentemente?
Nem a lei de Coulomb nem a lei de Newton da gravitação dependem do tempo, de 
modo que a resposta, segundo a perspectiva da física newtoniana, teria de ser “instanta-
neamente”. Muitos cientistas ainda consideravam isso preocupante. O que acontece se 
A estiver a 100.000 anos-luz de B? A partícula B irá responder instantaneamente a um 
evento que ocorre a 100.000 anos-luz de distância? No começo do século XIX, a idéia 
de transmissão instantânea de forças através do espaço começava a perder crédito junto a 
muitos cientistas. Mas se existe de fato um atraso, de quanto é seu valor? Como a infor-
mação “variação da força” se transmite de A para B? Eram estas as questões quando um 
jovem, Michael Faraday, entrou em cena.
Michael Faraday é uma das figuras mais interessantes da história da ciência. Nascido 
em 1791, filho de um pobre ferreiro vivendo nos arredores de Londres, Faraday foi en-
viado muito jovem para trabalhar, com quase nenhuma educação formal. Na adolescên-
cia, Faraday trabalhou com um tipógrafo e restaurador de livros, e lá começou a ler obras 
Original A sobre B
A sobre B
 após a
carga A se mover
FIGURA 26.23 Se a carga A se move, 
quanto tempo leva para o vetor força sobre 
B variar?
806 Física: Uma Abordagem Estratégica
que chegavam à loja. Por acaso, um dia um cliente trouxe uma cópia da Encyclopedia 
Britannica para ser reparada, e Faraday descobriu lá um extenso artigo sobre a eletrici-
dade. Aquilo foi a centelha necessária para lançá-lo em um carreira que, após sua morte, 
iria torná-lo um dos cientistas mais prestigiosos da Europa.
Você aprenderá mais sobre Faraday nos capítulos seguintes. Por ora basta mencio-
nar que Faraday nunca foi capaz de se tornar fluente em matemática. Aparentemente 
a idade tardia com que começou seus estudos era muito elevada, o que prejudicou sua 
aprendizagem da matemática. Em lugar da matemática, a mente brilhante e perspicaz 
de Faraday desenvolveu engenhosos métodos pictóricos de pensar e descrever fenô-
menos físicos. Sem dúvida, o mais importante desses métodos é o relacionado ao 
conceito de campo.
O conceito de campo
Faraday estava particularmente impressionado com o padrão que a limalha de ferro 
formava quando aspergida em torno de um ímã, como mostra a FIGURA 26.24. O pa-
drão regular e as linhas curvas sugeriram a Faraday que o próprio espaço em torno 
do ímã estaria preenchido com algum tipo de influência magnética. Esta alteração do 
espaço, seja qual for, é o mecanismo através do qual uma força de ação a distância é 
exercida.
A FIGURA 26.25 ilustra a idéia de Faraday. A visão newtoniana era a de que A e B inte-
ragem diretamente um com o outro. Na visão de Faraday, primeiro A altera ou modifica 
o espaço à sua volta, e, depois, a partícula B chega e interage com esse espaço alterado. 
A alteração do espaço torna-se o agente através do qual A e B interagem mutuamente. 
Além disso, essa alteração pode facilmente ser imaginada como tendo um tempo de 
propagação finito para longe de A, talvez sob a forma de algum tipo de onda. Se A sofrer 
uma alteração, B responderá a ela somente quando a alteração do espaço produzida por 
A o alcançar. A interação entre B e a alteração do espaço é uma interação local, mais do 
que uma força de contato.
A idéia de Faraday viria a ser chamada de campo. O termo “campo”, que provém da 
matemática, se refere a uma função f(x, y, z) que assinala um valor a cada ponto do espa-
ço. Quando utilizado na física, o termo campo expressa a idéia de que uma dada entidade 
física existe em todos os pontos do espaço. É isso o que Faraday realmente sugeriu acer-
ca de como operam as forças de ação a distância. A carga produz uma alteração em todos 
os lugares do espaço. Outras cargas, então, respondem à alteração do espaço nos lugares 
em que elas estão. A alteração do espaço em torno de uma massa é chamada de campo 
gravitacional. De forma análoga, uma carga altera o espaço em torno de si gerando um 
campo elétrico.
NOTA � O conceito de campo está em franco contraste com o conceito de partícula. 
Uma partícula existe em um ponto do espaço. A finalidade das leis de Newton do 
movimento é determinar como uma partícula se move de um ponto para outro ao 
longo de uma trajetória. Já um campo é algo que existe simultaneamente em todos os 
pontos do espaço. Uma onda constitui um exemplo de campo, embora o termo não 
tenha sido usado durante o nosso estudo das ondas. �
Faraday propôs uma maneira original de pensar sobre como um objeto exerce força 
sobre outro. No início, sua idéia não foi levada a sério; ela parecia vaga demais e não-
matemática para os cientistas impregnados pela tradição newtoniana de partículas e for-
ças. Mas a importância do conceito de campo foi crescendo à medida que a teoria eletro-
magnética se desenvolveu durante a primeira metade do século XIX. O que parecia, à 
primeira vista, um “truque”, começou a ser visto cada vez mais como essencial para a 
compreensão das forças elétricas e magnéticas.
Em 1865, as idéias de campo de Faraday foram finalmente embasadas em fundamen-
tos matemáticos por James Clerk Maxwell, um físico escocês que possuía grande per-
cepção física e habilidade matemática. Maxwell foi capaz de descrever completamente 
todos os comportamentos conhecidos dos campos elétricos e magnéticos com quatro 
equações, hoje conhecidas como as equações de Maxwell. Exploraremos aspectos da 
teoria de Maxwell à medida que avançarmos no curso, até que, no Capítulo 35, vejamos 
todas as implicações das equações de Maxwell.
N
N N
S
FIGURA 26.24 A limalha de ferro aspergida 
sobre as extremidades de um ímã sugere 
que a influência do mesmo se estende 
através do espaço à sua volta.
A sobre B
Do ponto de vista de
Newton, A exerce uma força
diretamente sobre B.
Do ponto de vista de Faraday,
A produz uma modificação no
espaço à sua volta. (As linhas
onduladas são uma licença
poética. Não sabemos a 
aparência dessa alteração.)
Campo sobre B
A partícula B, então, responde
à alteração do espaço. O espaço
alterado, portanto, é o agente
que exerce a força sobre B.
FIGURA 26.25 Idéias de Newton e de 
Faraday sobre as forças de ação a distância.
Eu prefiro procurar por uma explicação (dos 
fenômenos elétricos e magnéticos) que os 
considere produzidos por ações que se propa-
gam através do meio circundante, bem como 
dos corpos excitados, e me empenho em ex-
plicar a ação entre corpos distantes sem pre-
sumir a existência de forças capazes de atuar 
diretamente... A teoria que proponho, portan-
to, pode ser chamada de uma teoria do Cam-
po Eletromagnético por estar relacionada ao 
espaço nas vizinhanças de corpos elétricos e 
magnéticos.
James Clerk Maxwell, 1865.
CAPÍTULO 26 ■ Cargas Elétricas e Forças 807
O campo elétrico
Iniciaremos nossa investigação dos campos elétricos postulando um modelo de campo 
quedescreve como as cargas interagem:
 1. Algumas cargas, que denominaremos cargas-fonte, alteram o espaço ao redor de 
si pela criação de um campo elétrico .
 2. Toda carga isolada, dentro de um campo elétrico, experimenta uma força exer-
cida pelo campo.
Devemos resolver duas tarefas para fazer deste um modelo útil para as interações elétri-
cas. Primeiro, devemos aprender como calcular o campo elétrico para uma configuração 
de cargas-fonte. Segundo, devemos determinar as forças exercidas sobre uma carga e o 
movimento da mesma dentro do campo elétrico.
Suponha que a carga q experimente uma força elétrica sobre q devido a outras cargas. 
A orientação dessa força varia de ponto a ponto através do espaço, de modo que sobre q é 
uma função contínua das coordenadas (x, y, z) da carga. Isto sugere que “alguma coisa” 
presente em cada ponto no espaço é o agente da força que a carga q experimenta. Vamos 
definir o campo elétrico no ponto (x, y, z) como
 
(26.5)
Estamos definindo o campo elétrico como uma razão entre força e carga, de modo que 
a unidade de campo elétrico é o newton por coulomb, ou N/C. O módulo E do campo 
elétrico é chamado de intensidade de campo elétrico.
Você pode pensar em usar uma carga de prova q para determinar se existe um campo 
elétrico em um determinado ponto do espaço. Se a carga q experimentar uma força elétri-
ca naquele ponto do espaço, como ilustra a FIGURA 26.26a, dizemos que existe um campo 
elétrico naquele ponto causando a força. Adiante, definiremos o campo elétrico em um 
ponto como o vetor dado pela Equação 26.5. A FIGURA 26.26b representa o campo elétrico 
em dois pontos apenas, entretanto você pode imaginar “um mapa” do campo elétrico 
obtido posicionando a carga de prova q em todos os pontos do espaço.
NOTA � A carga de prova q também produz um campo elétrico. Mas cargas não 
exercem forças sobre si mesmas, de maneira que com a carga q se mede apenas o 
campo elétrico gerado por outras cargas. �
A idéia básica do modelo de campo é a de que o campo é o agente que exerce uma 
força elétrica sobre a carga q. Note três idéias importantes sobre o campo:
 1. A Equação 26.5 associa um vetor a cada ponto no espaço, isto é, o campo elétrico 
é um campo vetorial. Diagramas de campo elétrico mostrarão uma amostra de ve-
tores, mas haverá um vetor campo elétrico em qualquer ponto, seja ele mostrado 
ou não ali.
 2. Se q for positiva, o vetor campo elétrico apontará no mesmo sentido da força elé-
trica exercida sobre aquela carga.
 3. Devido ao fato de q aparecer na Equação 26.5, pode parecer que o campo elétrico 
dependa do valor da carga de prova utilizada para sondar o campo. Todavia ele, de 
fato, não depende! A partir da lei de Coulomb, sabemos que a força sobre q é pro-
porcional à q. Assim, o campo elétrico definido pela Equação 26.5 é independente 
da carga de prova q utilizada para sondá-lo. O campo elétrico depende apenas das 
cargas-fonte que o geram.
Na prática, geralmente invertemos a Equação 26.5 e encontramos a força exercida 
sobre uma carga por um campo elétrico conhecido. Isto é, uma carga q, em um ponto do 
espaço onde o campo elétrico é , experimenta uma força elétrica dada por
 (26.6)
Se q for positiva, a força sobre ela terá a mesma orientação de . Sobre uma carga nega-
tiva, a força estará na mesma direção, porém em sentido oposto de .
sobre q
A carga q é utilizada como uma
carga de prova. A força sobre q
indica a existência de um campo
elétrico no ponto 1.
Ponto 1
sobre q
Ponto 2
Agora a carga q é colocada no ponto
2. Aqui também existe um campo elétrico,
diferente daquele do ponto 1.
Este é o vetor campo
elétrico no ponto 1.
Os pontos são os
locais onde o campo
é conhecido.
Este é o vetor campo
elétrico no ponto 2.
FIGURA 26.26 A carga q serve para sondar o 
campo elétrico.
808 Física: Uma Abordagem Estratégica
PARE E PENSE 26.5
 Um elétron é colocado na posição indicada pelo pon-
to da figura ao lado. A força exercida sobre o elétron é
 a. Nula b. Orientada para a direita c. Orientada para a esquerda
 d. Não há informação suficiente para responder
O campo elétrico de uma carga puntiforme
Usaremos a definição de campo elétrico em sua totalidade no próximo capítulo. Por 
ora, para desenvolver um pouco mais as idéias, determinaremos o campo elétrico gera-
do por uma única carga puntiforme q. A FIGURA 26.27a mostra a carga q e um ponto do 
espaço no qual desejamos conhecer o campo elétrico. Necessitamos de uma segunda 
carga, mostrada como q� na FIGURA 26.27b, que desempenhe o papel de uma sonda do 
campo elétrico.
Por enquanto, assumiremos que ambas as cargas sejam positivas. A força sobre q�, 
repulsiva e orientada radialmente para fora de q, é dada pela lei de Coulomb:
 
(26.7)
É usual empregar em vez de K em cálculos de campo. A Equação 26.5 definiu 
o campo elétrico em função da força exercida sobre uma carga de prova; logo, o campo 
elétrico neste ponto é
 
(26.8)
O campo elétrico é representado na FIGURA 26.27c.
NOTA � A expressão para o campo elétrico é similar à lei de Coulomb. Para distin-
guir uma da outra, lembre-se de que a lei de Coulomb é dada pelo produto de duas 
cargas no numerador. Isso descreve a força entre duas cargas. A expressão para o 
campo elétrico contém uma única carga no numerador. Trata-se do campo criado por 
uma carga. �
A intensidade do campo à distância r da carga puntiforme que o criou é inversamente 
proporcional ao quadrado dessa distância: . Na FIGURA 26.28a, a intensida-
de do campo E1 é maior do que a intensidade do campo E2 porque r1 � r2. Se calcularmos 
o campo em um número suficiente de pontos, poderemos desenhar um diagrama de 
campo tal como o mostrado na FIGURA 26.28b. Note que os vetores do campo apontam 
todos para fora da carga q. Note também quão rapidamente as setas diminuem em com-
primento devido à dependência com o inverso do quadrado de r.
Campo elétrico em
dois pontos
FIGURA 26.28 Campo elétrico de uma carga positiva.
Qual é o campo elétrico
de q neste ponto?
Carga puntiforme
1. Coloque q� no ponto
 a fim de sondar
 o campo.
sobre q�
2. Meça a força
 sobre q�.
3. O campo elétrico é
sobre q�
Trata-se de um vetor com
a mesma orientação de sobre q�.
FIGURA 26.27 A carga q� é usada para 
sondar o campo elétrico criado por uma 
carga puntiforme q.
CAPÍTULO 26 ■ Cargas Elétricas e Forças 809
Tenha em mente estes três pontos importantes quando for usar diagramas de campo:
 1. O diagrama é apenas uma amostra representativa de vetores de um campo 
elétrico. O campo existe em todos os outros lugares. Um diagrama bem-dese-
nhado pode informar com boa precisão o comportamento do campo nas vizi-
nhanças do ponto.
 2. A seta indica a orientação e a intensidade do campo elétrico no ponto a partir 
do qual ela foi desenhada – ou seja, no ponto onde se localiza a origem do ve-
tor. Neste capítulo, indicaremos o local no qual o campo elétrico é medido por 
um ponto. O comprimento de qualquer vetor é relevante somente em relação aos 
comprimentos dos outros vetores envolvidos.
 3. Embora tenhamos de desenhar vetores ao longo da página, de ponto em ponto, 
um vetor campo elétrico não é uma quantidade espacial. Ele não se “estica” de 
um ponto a outro. Cada vetor representa o campo elétrico apenas em um ponto do 
espaço.
Notação em vetores unitários
A Equação 26.8 é exata, mas não inteiramente conveniente. Além disso, o que acontece-
rá se a carga-fonte q for negativa? Precisamos de uma notação mais concisa para escre-
ver o campo elétrico, uma notação que incorpore o fato de q poder ser tanto positiva 
quanto negativa.
A necessidade básica é expressar em notação matemática o que queremos dizer com 
“para fora de q”. Tal expressão significa uma orientação no espaço. Para nos guiar, 
recorde-se de que já dispomos de uma notação para expressar certas orientações – a 
saber, os vetores unitários , e . Por exemplo, o vetor unitário significa “no sentido 
positivo do eixo x”. Com sinal negativo, – significa“no sentido negativo do eixo x”. 
Vetores unitários, com módulos iguais a 1 adimensionais, fornecem informação apenas 
sobre a orientação.
Com isso em mente, vamos definir o vetor unitário como um vetor de compri-
mento 1 orientado da origem para o ponto de interesse. O vetor unitário não provê 
informação acerca da distância ao ponto. Ele apenas especifica a orientação (direção 
e sentido).
A FIGURA 26.29a representa os vetores unitários , e apontando em direção aos 
pontos 1, 2 e 3. Diferentemente de e , o vetor unitário não tem uma orientação fixa. 
Em vez disso, o vetor unitário especifica a orientação “diretamente para fora de um 
dado ponto”. Porém isso é exatamente o que precisamos para descrever o vetor campo 
elétrico. A FIGURA 26.29b mostra o campo elétrico criado nos pontos 1, 2 e 3 por uma 
carga positiva localizada na origem. Independentemente do ponto que você escolha, o 
campo elétrico no mesmo aponta “diretamente para fora” da carga-fonte. Em outras pa-
lavras, o campo elétrico tem a mesma direção e sentido do vetor unitário .
Com essa notação, o campo elétrico à distância r de uma carga puntiforme q é dado por
 
 (campo elétrico de uma carga puntiforme)
 
(26.9)
onde é um vetor unitário orientado da carga para o ponto no qual queremos determinar 
o campo. A Equação 26.9 é idêntica à Equação 26.8, todavia está escrita em uma notação 
na qual o vetor unitário expressa a idéia “para fora de q”.
A Equação 26.9 funciona igualmente bem se q for negativa. Pôr um sinal negativo na 
frente de um vetor simplesmente inverte seu sentido, então o vetor unitário aponta em 
direção à carga q. A FIGURA 26.30 representa o campo elétrico criado por uma carga pun-
tiforme negativa. Ele se parece com o campo elétrico de uma carga puntiforme positiva, 
exceto pelo fato de que os vetores apontam para dentro, em direção à carga, ao invés de 
para fora da mesma.
Encerraremos o capítulo com dois exemplos de campo elétrico criados por uma car-
ga puntiforme. O Capítulo 27 expandirá essas idéias para o caso de campos elétricos 
criados por múltiplas cargas e por objetos extensos.
11.4
Os vetores unitários especificam
orientações nos pontos assinalados
na figura.
O campo elétrico no
ponto 1 tem a mesma
orientação de
tem a mesma orientação de 
FIGURA 26.29 Usando o vetor unitário .
FIGURA 26.30 O campo elétrico criado por 
uma carga puntiforme negativa.
810 Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 26.7 Calculando o campo elétrico
Uma partícula carregada com �1,0 nC está localizada na origem de 
um sistema de coordenadas. Os pontos 1, 2 e 3 têm coordenadas (x, y) 
dadas por (1 cm, 0 cm), (0 cm, 1 cm) e (1 cm, 1 cm), respectivamente. 
Determine o campo elétrico nestes pontos e, depois, represente os 
vetores em um diagrama de campo elétrico.
MODELO O campo elétrico é criado por uma carga puntiforme negativa.
VISUALIZAÇÃO O campo elétrico aponta diretamente para a origem. 
Ele será mais fraco no ponto (1 cm, 1 cm), que é mais distante da 
carga.
RESOLUÇÃO O campo elétrico é
onde . A distância r dos pontos 1 e 2 
é de 1,0 cm � 0,010 m e de � 0,0141 m no caso do 
ponto 3. O módulo de nos três pontos é igual a
Devido ao fato de q ser negativa, o campo em cada uma dessas po-
sições aponta diretamente para ela. Os vetores campo elétrico, em 
função dos componentes, são dados por
Esses vetores estão representados no diagrama de campo elétrico da 
FIGURA 26.31.
1 cm
y
2
90.000 N/C
90.000 N/C
45.000 N/C
E1
E3
E2
-1,0 nC 1 cm
1 x
3
FIGURA 26.31 Diagrama de campo elétrico de uma partícula 
carregada com �1,0 nC.
EXEMPLO 26.8 O campo elétrico de um próton
Em um átomo de hidrogênio, o elétron descreve uma órbita com raio 
de 0,053 nm em torno do próton.
 a. Qual é a intensidade do campo elétrico criado pelo próton na po-
sição do elétron?
 b. Qual é o módulo da força elétrica exercida sobre o elétron?
RESOLUÇÃO a. A carga do próton é q � e. A intensidade de seu campo 
elétrico à distância onde se encontra o elétron é
Note que o campo é muito grande em comparação com o campo 
do Exemplo 26.7.
 b. Poderíamos usar a lei de Coulomb para determinar a força sobre 
o elétron, mas o ponto-chave é que, conhecendo o campo elétri-
co, podemos utilizá-lo diretamente para obter a força exercida 
sobre uma carga no campo. O módulo da força sobre o elétron é
PARE E PENSE 26.6
 Ordene em seqüência decrescente as intensidades dos campos elétricos 
de Ea a Ed nos pontos de a até d.
CAPÍTULO 26 ■ Cargas Elétricas e Forças 811
R E S U M O
O objetivo do Capítulo 26 foi desenvolver uma compreensão básica 
dos fenômenos elétricos em termos de cargas, forças e campos.
Princípios gerais
Lei de Coulomb
As forças entre duas partículas carregadas q1 e q2, separadas entre si por uma distância r, 
possuem módulos iguais dados por
Estas forças constituem um par ação/reação com a direção da reta que passa pelas duas partículas.
As forças são repulsivas para duas cargas de mesmo sinal e atrativas para duas cargas de sinais opostos.• 
A força resultante sobre a carga é a soma das forças exercidas individualmente por todas as outras cargas.• 
A unidade de carga é o coulomb (C).• 
A constante eletrostática é • K � 9,0 � 109 N m2/C2.
2 sobre 1
1 sobre 2
Conceitos importantes
O modelo de carga
Existem dois tipos de carga, as positivas e as negativas.
As cargas fundamentais são as dos prótons e as dos elétrons, com • 
cargas �e, onde e � 1,60 � 10�19 C.
Os objetos são carregados por meio da adição ou da remoção de elé-• 
trons.
Qualquer quantidade • q de carga satisfaz à relação q � (Np – Ne) e.
Todo objeto que contenha um número igual de prótons e de elétrons é • 
neutro, o que significa a inexistência de uma carga resultante.
Objetos carregados exercem força elétrica entre si.
Cargas de mesmo sinal se repelem, cargas de si-• 
nais opostos se atraem.
A força aumenta com o aumento da carga.• 
A força diminui com o aumento da distância.• 
Há dois tipos de materiais, os isolantes e os 
condutores.
A carga permanece fixa dentro ou sobre um isolante.• 
A carga pode facilmente se mover através ou ao longo dos condutores.• 
A carga é transferida de um objeto a outro por contato entre eles.• 
Objetos carregados atraem objetos neutros.
A carga polariza o metal, deslocando o mar de elétrons.• 
A carga polariza os átomos, criando dipolos elétricos.• 
A força de polarização é sempre atrativa.• 
Cargas
externas
Força resultante
Força resultante
Objetos neutros
polarizados
 
O modelo de campo
As cargas interagem umas com as outras através do campo 
elétrico .
A carga A altera o espaço em torno de si pela criação de • 
um campo elétrico.
sobre B
O campo é o agente que exerce a força. A força sobre a • 
carga qB é .
Todo campo elétrico é identificado e medido em termos da 
força que ele exerce sobre uma carga de prova q:
O campo elétrico existe em todos os pontos do espaço.• 
Um vetor campo elétrico representa o campo apenas em • 
um ponto, aquele da origem do vetor.
O campo elétrico criado por uma carga puntiforme é
812 Física: Uma Abordagem Estratégica
Termos e notação
neutro
eletrização
modelo de carga
carga, q ou Q
cargas iguais
cargas opostas
descarregamento
condutor
isolante
nuvem eletrônica
unidade fundamental de carga, 
e
quantização da carga
ionização
lei de conservação da carga
mar de elétrons
caroço iônico
corrente
portadores de carga
equilíbrio eletrostático
aterramento
polarização da carga
força de polarização
dipolo elétrico
eletrização por indução
lei de Coulomb
constante eletrostática, K
carga puntiforme
coulomb, C
constante de permissividade, �0
campo
campo elétrico, 
modelo de campo
carga-fonte
intensidade de campo elétrico, E
diagrama de campo
Para a tarefa de casa indicada no MasteringPhysics, 
acessar www.masteringphysics.com
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão 
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Problemas indicados pelo ícone integram o materialrelevante de capítulos anteriores.
Q U E S T Õ E S C O N C E I T U A I S
 1. Um isolante pode ser eletrizado? Em caso afirmativo, como você 
eletrizaria um isolante? Em caso negativo, por que não?
 2. Um condutor pode ser eletrizado? Em caso afirmativo, como você 
eletrizaria um condutor? Em caso negativo, por que não?
 3. Quatro bolas leves A, B, C e D estão suspensas por fios. A bola A 
foi tocada por um bastão de plástico previamente friccionado em 
lã. Quando as bolas são aproximadas, sem se tocarem, observa-se o 
seguinte:
As bolas B, C e D são atraídas pela bola A. ■
As bolas B e D não têm efeito uma sobre a outra. ■
A bola B é atraída pela C. ■
Qual é o estado de eletrização (carga do vidro, do plástico ou neu-
tro) das bolas A, B, C e D? Explique.
 4. Bastões de plástico e de vidro previamente carregados estão sus-
pensos por fios.
a. Um objeto repele o bastão de plástico. Você pode prever o que 
ele irá fazer com o bastão de vidro? Em caso afirmativo, descreva 
o que irá acontecer. Em caso negativo, por que não?
b. Um objeto diferente atrai o bastão de plástico. Você pode prever 
o que ele irá fazer com o bastão de vidro? Em caso afirmativo, 
descreva o que irá acontecer. Em caso negativo, por que não?
 5. Quando você retira roupas da secadora logo após a lavagem, as rou-
pas geralmente grudam em suas mãos e seus braços. Seu corpo está 
carregado? Em caso afirmativo, como ele poderia ter adquirido a 
carga? Em caso negativo, por que isso ocorre?
 6. Uma bola leve de metal está suspensa por um fio. Quando um bas-
tão carregado é mantido próximo, a bola se move em direção a ele, 
tocando–o, e, então, rapidamente “se afasta para longe” dele. Expli-
que esse comportamento.
 7. É dada a você uma amostra de um material. Proponha um experimento 
ou uma série de experimentos para determinar se o material é um con-
dutor ou um isolante. Descreva claramente quais serão os resultados 
de cada experimento se o material for um condutor ou um isolante.
 8. Suponha que exista um terceiro tipo de carga além daquelas que 
chamamos de “carga do plástico” e “carga do vidro”. Chame este 
terceiro tipo de carga X. Que experimentos ou série de experimen-
tos você deveria realizar para testar se um objeto possui uma carga 
do tipo X? Descreva claramente como os possíveis resultados do 
experimento deveriam ser interpretados.
 9. Um eletroscópio carregado negativamente está com as folhas se-
paradas.
a. Suponha que você aproxime um bastão carregado negativamente 
da parte superior do eletroscópio, porém sem tocá-lo. Como as 
folhas irão se comportar? Desenhe um diagrama de carga e dê 
uma explicação teórica em sua resposta.
b. Como as folhas irão se comportar se você aproximar um bastão 
carregado positivamente da parte superior do eletroscópio, sem 
tocá-lo? Desenhe um diagrama de carga e dê uma explicação teó-
rica em sua resposta.
 10. As duas esferas de metal da FIGURA Q26.10 estão carregadas com 
cargas opostas de mesmo valor absoluto. Elas são colocadas em 
contato com um bastão de metal neutro. Qual é o estado final de 
carga de cada esfera e do bastão?
Metal
FIGURA Q26.10 
Contato
FIGURA Q26.11
 11. A esfera metálica A da FIGURA Q26.11 possui 4 unidades de carga 
negativa, e a esfera B, também metálica, duas unidades de carga 
positiva. As esferas são colocadas em contato. Qual é o estado final 
de carga de cada esfera? Explique.
 12. As esferas metálicas A e B da FIGURA Q26.12 estão inicialmente 
neutras e encostadas uma na outra. Um bastão carregado positiva-
mente é aproximado de A, mas não a toca. A esfera A ficará car-
regada positivamente, carregada negativamente ou permanecerá 
neutra? Desenhe um diagrama de carga e dê uma explicação teórica 
em sua resposta.
FIGURA Q26.12 
Dedo
FIGURA Q26.13
CAPÍTULO 26 ■ Cargas Elétricas e Forças 813
 13. Se você aproximar seu dedo de uma bolinha pendurada por um fio e 
negativamente carregada, ela se moverá em direção ao dedo, como 
ilustrado na FIGURA Q26.13. Use um diagrama de carga e palavras 
para explicar esta observação.
 14. Reproduza a FIGURA Q26.14 em uma folha de papel. Depois, dese-
nhe um ponto (ou vários pontos) sobre a figura para indicar a posi-
ção (ou posições) onde um elétron não experimentaria uma força 
resultante.
FIGURA Q26.14
 15. As cargas A e B da FIGURA 
Q26.15 são iguais. Considere que 
cada carga exerça uma força so-
bre a outra com módulo igual a 
F. Suponha agora que o valor da 
carga B aumente por um fator 4 e que todo o restante permaneça 
igual. Em função de F, (a) qual é o módulo (intensidade) da força 
exercida sobre A, e (b) qual é o módulo (intensidade) da força exer-
cida sobre B?
 16. A intensidade do campo elétrico em um ponto próximo a uma carga 
puntiforme é de 900 N/C. Qual é a intensidade do campo em um 
ponto 50% mais afastado da mesma carga?
 17. A intensidade do campo elétrico em um ponto próximo a uma carga 
puntiforme é de 1000 N/C. Qual é a intensidade do campo se (a) a 
distância à carga puntiforme for dobrada e se (b) a distância à carga 
puntiforme diminuir pela metade?
 18. Em um determinado campo elétrico, a força elétrica exercida sobre 
uma partícula carregada é F. Qual seria a força se a carga da par-
tícula fosse triplicada e se o campo elétrico fosse diminuído pela 
metade?
FIGURA Q26.15
E X E R C Í C I O S E P R O B L E M A S
Exercícios
Seção 26.1 Desenvolvendo um modelo de carga
Seção 26.2 Carga
 1. | Um bastão de vidro é carregado com �8,0 nC por meio de atrito.
a. Elétrons foram removidos do bastão ou prótons foram adiciona-
dos ao mesmo? Explique.
b. Quantos elétrons foram removidos ou quantos prótons foram 
adicionados?
 2. || Um bastão de plástico é carregado com �12 nC por meio de atrito.
a. Elétrons foram removidos do bastão ou prótons foram adiciona-
dos ao mesmo? Explique.
b. Quantos elétrons foram removidos ou quantos prótons foram 
adicionados?
 3. | Um bastão de plástico, previamente carregado com uma carga de 
�15 nC, toca uma esfera de metal. Logo a seguir, a carga do bastão 
é de �10 nC.
a. Que tipo de partícula carregada foi transferida entre o bastão e a es-
fera, e em que direção se deu a transferência? Ou seja, as partículas 
se moveram do bastão para a esfera ou em sentido contrário?
b. Quantas partículas carregadas foram transferidas?
 4. | Um bastão de vidro, previamente carregado com uma carga de 
�12 nC, toca uma esfera de metal. Logo a seguir, a carga do bastão 
é de �8 nC.
a. Que tipo de partícula carregada foi transferida entre o bastão e a es-
fera, e em que direção se deu a transferência? Ou seja, as partículas 
se moveram do bastão para a esfera ou em sentido contrário?
b. Quantas partículas carregadas foram transferidas?
 5. || Qual é a carga total de todos os prótons contidos em 1,0 mol de 
gás O2?
 6. || Qual é a carga total de todos os elétrons contidos em 1,0 L de 
água na fase líquida?
Seção 26.3 Isolantes e condutores
 7. | A Figura 26.9 mostrou como um eletroscópio torna-se negativa-
mente carregado. As folhas também se repeliriam se você tocasse o 
eletroscópio com um bastão de vidro carregado positivamente. Use 
uma série de diagramas de carga para explicar o que acontece neste 
caso e por que as folhas passam a se repelir.
 8. | Um balão de plástico que foi friccionado com lã adere a uma pa-
rede.
a. Você pode concluir daí que a parede está carregada? Se ela não 
estiver, por que não? Se ela estiver, de onde veio a carga?
b. Desenhe uma série de diagramas de carga que mostre como o 
balão adere à parede.
 9. | Duas esferas metálicas neutras, fixas em suportes de madeira, são 
encostadas uma na outra. Um bastão carregado negativamente é po-
sicionado diretamente acima do topo da esfera da esquerda, sem 
tocá-la. Enquanto o bastão é mantido ali, a esfera da direita é movi-
da de forma que as esferas não mais se toquem. A seguir, o bastão é 
afastado. Após tudo isso, qual é o estado de carga de cada uma das 
esferas? Use diagramasde cargas para ilustrar sua resposta.
 10. || Você dispõe de duas esferas metálicas neutras e fixas em suportes 
de madeira. Descreva um procedimento para eletrizar as esferas de 
forma que elas fiquem com cargas opostas e de valores absolutos exa-
tamente iguais. Use diagramas de carga para ilustrar o procedimento.
 11. || Você dispõe de duas esferas metálicas neutras e fixas em suportes 
de madeira. Descreva um procedimento para eletrizar as esferas de 
forma que elas fiquem com cargas iguais e de valores absolutos exa-
tamente iguais. Use diagramas de carga para ilustrar o procedimento.
 12. | Um objeto passará no teste “Ele está carregado?” se atrair peque-
nos pedaços de papel.
a. Use uma série de diagramas de carga para explicar como um ob-
jeto carregado pode atrair pequenos pedaços de papel.
b. Este teste funciona para ambos os tipos de objetos eletrizados, os 
positivamente carregados e os negativamente carregados. Expli-
que por que isso é verdadeiro.
Seção 26.4 Lei de Coulomb
 13. | Duas massas de 1,0 kg estão separadas por 1,0 m (de centro a 
centro) sobre uma mesa sem atrito. Cada massa tem uma carga de 
�10 �C.
a. Qual é o módulo da força elétrica exercida sobre cada uma das 
massas?
b. Qual será a aceleração inicial das massas se elas forem soltas e 
puderem se mover?
 14. || Duas pequenas esferas plásticas possuem massas de 2,0 g e car-
gas de �50 nC cada uma. Elas são colocadas a 2,0 cm uma da outra 
(de centro a centro).
814 Física: Uma Abordagem Estratégica
a. Qual é o módulo da força elétrica exercida sobre cada esfera?
b. Por qual fator a força elétrica é maior do que o peso de cada 
esfera?
 15 || Uma pequena conta de vidro foi carregada com �20 nC. Uma 
esfera de metal, suspensa 1,0 cm acima da conta, experimenta uma 
força elétrica de 0,018 N orientada para baixo. Qual é a carga da 
esfera suspensa?
 16. | Qual é a força elétrica resultante sobre a carga A da FIGURA 
EX26.16?
,
,
,
,
,�
FIGURA EX26.16 FIGURA EX26.17 
,
,
,
,
,
�
�
 17. | Qual é a força elétrica resultante sobre a carga A da FIGURA EX 
26.17?
 18. | Um objeto A, previamente carregado com �10,0 nC, encontra-se 
na origem de um sistema de coordenadas. Um objeto B, previamen-
te carregado com �20,0 nC, encontra-se em (x, y) � (0,0 cm, 2,0 
cm). Determine a força elétrica exercida sobre cada objeto. Expres-
se cada vetor força em função de seus componentes.
 19. | Uma pequena conta de vidro foi carregada com �20 nC de carga. 
A 1,0 cm de distância do centro da conta de vidro, qual será o mó-
dulo e qual será a orientação da aceleração (a) de um próton e (b) de 
um elétron ali soltos?
Seção 26.5 O modelo de campo
 20. | Qual é a intensidade e a orientação do campo elétrico a 1,0 mm de 
distância (a) de um próton e (b) de um elétron?
 21. | O campo elétrico em certo ponto do espaço é 
N/C.
a. Qual é a força elétrica sobre um próton posicionado neste ponto? 
Expresse sua resposta em função dos componentes.
b. Qual é a força elétrica sobre um elétron posicionado neste ponto? 
Expresse sua resposta em função dos componentes.
c. Qual é o módulo da aceleração do próton?
d. Qual é o módulo da aceleração do elétron?
 22. || Que valor absoluto de carga cria um campo elétrico de 1,0 N/C a 
1,0 m de distância?
 23. || Quais são a intensidade e a orientação de um campo elétrico a 2,0 
cm de uma pequena conta de vidro eletrizada com �8,0 nC?
 24. || O campo elétrico a 2,0 cm de um pequeno objeto aponta para o 
mesmo com uma intensidade de 180.000 N/C. Qual é a carga do 
objeto?
 25. || Quais são a intensidade e a orientação do campo elétrico que 
equilibra uma esfera de plástico com massa de 1,0 g e eletrizada 
com �3,0 nC?
 26. || Quais são a intensidade e a orientação do campo elétrico que 
equilibra o peso de (a) um próton e (b) de um elétron?
 27. || Uma carga de �12 nC está localizada na origem de um sistema 
de coordenadas.
a. Quais são os vetores de campo elétrico nas posições (x, y) dadas 
por (5,0 cm, 0 cm), (�5,0 cm, 5,0 cm), e (�5,0 cm, �5,0 cm)? 
Expresse cada vetor campo elétrico em função dos componentes.
b. Desenhe um diagrama de campo que represente os vetores do 
campo elétrico nestes pontos.
 28. || Uma carga de �12 nC está localizada na origem de um sistema 
de coordenadas.
a. Quais são os vetores de campo elétrico nas posições (x, y) dadas 
por (0 cm, 5,0 cm), (�5,0 cm, �5,0 cm), e (�5,0 cm, 5,0 cm)? 
Expresse cada vetor campo elétrico em função dos componentes.
b. Desenhe um diagrama de campo que represente os vetores de 
campo elétrico nestes pontos.
Problemas
 29. || Duas esferas metálicas idênticas estão conectadas por um bastão de 
metal. Ambas estão neutras inicialmente. Então, 1,0 � 10
12
 elétrons 
são adicionados à esfera A, e a seguir o bastão que conecta as esferas 
é removido. Logo após, quais serão as cargas de A e de B?
 30. || Duas esferas metálicas idênticas estão conectadas por um bastão de 
plástico. Ambas estão neutras inicialmente. Então, 1,0 � 10
12
 elétrons 
são adicionados à esfera A, e a seguir o bastão que conecta as esferas 
é removido. Logo após, quais serão as cargas de A e de B?
 31. || Hoje em dia, nos EUA, as moedas de um centavo são feitas de 
zinco recoberto com cobre, todavia antigamente elas eram feitas 
de cobre, com 3,1 g de massa. Quais são a carga total positiva e a 
carga total negativa existentes numa antiga moeda de centavo feita 
de cobre e eletricamente neutra?
 32. || Uma conta de plástico de 2,0 g, carregada com �4 nC, e uma con-
ta de vidro de 4,0 g, carregada com uma carga de �8,0 nC, estão 
separadas por 2,0 cm (centro a centro). Quais serão as acelerações 
(a) da conta de plástico e (b) da conta de vidro quando forem soltas?
 33. || Dois prótons estão a 2,0 fm de distância um do outro.
a. Qual é o módulo da força elétrica que cada próton exerce sobre o 
outro?
b. Qual é o módulo da força gravitacional de um próton sobre o 
outro?
c. Qual é a razão entre os módulos da força elétrica e da força gra-
vitacional sobre cada próton?
 34. || O núcleo de um átomo de 125X (um isótopo do elemento xenônio 
com massa de 125 u) tem 6,0 fm de diâmetro. Ele contém 54 pró-
tons e uma carga total q � �54 e.
a. Qual é a força elétrica sobre um próton a 2,0 fm da superfície do 
núcleo?
b. Qual é a aceleração do próton?
Dica: Considere o núcleo esférico como uma carga puntiforme.
 35. || Duas esferas de 1,0 g são carregadas igualmente e mantidas sepa-
radas por 2,0 cm. Quando soltas, elas aceleram a 150 m/s
2
. Qual é o 
valor absoluto da carga de cada esfera?
 36. | Dois objetos A e B são carregados positivamente. Ambos têm 
uma massa de 100 g, porém A possui uma carga duas vezes maior 
que a de B. Quando A e B são mantidos afastados por 10 cm, B 
experimenta uma força elétrica de 0,45 N.
a. Qual é o módulo da força sobre A?
b. Quanto valem as cargas qA e qB?
c. Se os objetos forem soltos, qual será a aceleração inicial de A?
 37 || Qual é a força exercida sobre a carga de 1,0 nC da FIGURA 
P26.37? Expresse sua resposta em módulo e orientação.
FIGURA P26.37 
,
, ,
,
,
,
CAPÍTULO 26 ■ Cargas Elétricas e Forças 815
 38. || Qual é a força exercida sobre a carga de 1,0 nC da FIGURA 
P26.38? Expresse sua resposta em módulo e orientação.
FIGURA P26.38 
,
, ,
,
,
,�
 39. || Qual é a força sobre a carga de �10 nC da FIGURA P26.39? Ex-
presse sua resposta em função do módulo e de um ângulo medido 
em sentido horário ou anti-horário (especifique qual) a partir do 
semi-eixo x positivo.
,
,
,
�
�
FIGURA P26.39 
,
,
, �
FIGURA P26.40
 40. || Qual é a força exercida sobre a carga de �10 nC da FIGURA 
P26.40? Expresse sua resposta função do módulo e de um ângulo 
medido em sentido horário ou anti-horário (especifique qual) a par-
tir do semi-eixo positivo de x.
 41. || Qual é a força exercida sobre a carga de 5,0 nC da FIGURA 
P26.41? Expresse sua resposta em função do módulo e de um ângu-
lo medido em sentido horário ou anti-horário (especifiquequal) a 
partir do semi-eixo positivo de x.
,
,
, ,�
FIGURA P26.41 
,
,
,
�
FIGURA P26.42
 42. || Qual é a força exercida sobre a carga de 5,0 nC da FIGURA 
P26.42? Expresse sua resposta em função do módulo e de um ângu-
lo medido em sentido horário ou anti-horário (especifique qual) a 
partir do semi-eixo positivo de x.
 43. || Qual é a força exercida sobre a carga de 1,0 nC no centro da FI-
GURA P26.43 devido às outras quatro cargas? Expresse sua resposta 
em função dos componentes.
,
,
,
,
,
, ,
� �
� �
FIGURA P26.43 
,
,
,
,
,
, ,
�
�
FIGURA P26.44
 44. || Qual é a força exercida sobre a carga de 1,0 nC no centro da FI-
GURA P26.44 devido às outras quatro cargas? Expresse sua resposta 
em função dos componentes.
 45. || Qual é a força exercida sobre a carga de 1,0 nC na parte in-
ferior da FIGURA P26.45? Expresse sua resposta em função dos 
componentes.
,
,
,
,
,
,
�
FIGURA P26.45 
,
,
,
,
,
,
�
�
FIGURA P26.46
 46. || Qual é a força exercida sobre a carga de 1,0 nC na parte inferior 
da FIGURA P26.46? Expresse sua resposta em função dos compo-
nentes.
 47. || Uma carga de �2,0 nC está na origem de um sistema de coorde-
nadas, e outra carga de �4,0 nC encontra-se em x � 1,0 cm.
a. Em qual coordenada x você colocaria um próton a fim de que a 
força resultante sobre ele fosse nula?
b. A força resultante sobre um elétron colocado na mesma posição 
também seria nula? Explique.
 48. || A força resultante sobre a carga de 1 nC da FIGURA P26.48 é nula. 
Qual é o valor de q?
,
,
,
,,
,
,
FIGURA P26.48 
,�
FIGURA P26.49
 49. || A carga q2 da FIGURA P26.49 encontra-se em equilíbrio eletrostá-
tico. Qual é o valor de q1?
 50. || Uma carga puntiforme positiva Q está localizada em x � a, e 
outra carga puntiforme negativa �Q encontra-se em x � � a. Uma 
terceira carga positiva q pode ser posicionada em qualquer lugar 
sobre o eixo y. Obtenha uma expressão para (Fres)x, o componente x 
da força resultante exercida sobre q.
 51. || Uma carga puntiforme positiva Q está localizada em x � a, e 
outra carga puntiforme negativa �Q encontra-se em x � � a. Uma 
terceira carga positiva q pode ser posicionada em qualquer lugar 
sobre o eixo x. Obtenha uma expressão para (Fres)x, o componente x 
da força resultante sobre q, quando (a) |x| � a e (b) |x| � a.
 52. || A FIGURA P26.52 mostra quatro cargas 
nos vértices de um quadrado de lado L. 
Considere Q e q como positivas. Qual é o 
módulo da força resultante sobre q?
 53. || Duas cargas puntiformes q e 4q estão em x � 0 e x � L, respec-
tivamente, e são livres para se mover. Uma terceira carga é posi-
cionada de forma que o sistema formado pelas três cargas fique em 
equilíbrio eletrostático. Quais são o módulo, o sinal algébrico e o 
valor da coordenada x da terceira carga?
 54. || Suponha que o valor absoluto da carga do próton seja diferente 
do valor absoluto da carga do elétron por apenas uma parte em 10
9
.
FIGURA P26.52 
�
�
816 Física: Uma Abordagem Estratégica
a. Qual seria a força entre duas esferas de cobre de 2,0 mm de diâ-
metro separadas por 1,0 cm? Considere que cada átomo de cobre 
tenha igual número de prótons e de elétrons.
b. Este valor de força pode ser detectável? O que você pode con-
cluir do fato de que tais forças não são observadas?
 55. || Em um modelo simplificado do átomo de hidrogênio, o elétron 
descreve uma órbita circular de raio 0,053 nm ao redor do próton 
estacionário. Quantas revoluções por segundo o elétron efetua?
 56. || Em um projeto de ciências, você inventou uma “bomba de elé-
trons” que transfere elétrons de um objeto para outro. Para demons-
trar sua invenção, você aparafusa uma pequena placa de metal no 
teto da escola, conecta a bomba entre a placa metálica e você mes-
mo e começa a “bombear” elétrons da placa de metal para você. 
Quantos elétrons devem ser movidos da placa de metal para seu 
corpo de modo que você permaneça suspenso no ar a 2,0 m do teto? 
Considere que sua massa seja de 60 kg.
Dica: Considere que você e a placa possam ser modelados como 
cargas puntiformes.
 57. || Você dispõe de uma mola com 4,0 cm de comprimento e não-ten-
sionada e está curioso para ver se pode usar a mola para medir o valor 
de uma carga. Primeiro você prende uma das extremidades da mola 
ao teto, e na outra extremidade, uma massa de 1,0 g. A mola, então, 
distende-se até atingir 5,0 cm de comprimento. A seguir, você prende 
duas pequenas contas de plástico nas extremidades da mola, a coloca 
sobre uma mesa livre de atrito e eletriza cada uma das contas com uma 
mesma carga. A mola, então, distende-se até atingir um comprimento 
de 4,5 cm. Qual é o valor absoluto da carga (em nC) de cada conta?
 58. || Às vezes você gera uma centelha ao tocar uma maçaneta após ter 
caminhado sobre um tapete. Por quê? O ar sempre contém alguns 
elétrons livres que foram ejetados de átomos por raios cósmicos. Se 
um campo elétrico está presente, um elétron livre é acelerado até 
colidir com uma molécula do ar. Ele, então, transferirá sua energia 
cinética para a molécula, que acelera, colide, acelera, colide e assim 
sucessivamente. Se a energia cinética do elétron imediatamente antes 
da colisão for de 2,0 � 10
�18
 J ou maior, ele terá energia suficiente 
para ejetar um elétron da molécula com a qual colida elasticamen-
te. Onde havia um elétron livre, haverá agora dois! Cada um destes 
poderá, a seguir, acelerar, atingir outra molécula e ejetar um novo 
elétron. Portanto, haverá agora quatro elétrons livres. Em outras pa-
lavras, como mostra a FIGURA P26.58, um campo elétrico muito in-
tenso causa uma “reação em cadeia” de produção de novos elétrons. 
Isto é chamado “ruptura elétrica” do ar. A corrente de elétrons em 
movimento é que produz o choque que você sente, e uma centelha é, 
então gerada quando os elétrons se recombinam com os íons positi-
vos, emitindo o excesso de energia como uma centelha de luz.
a. A distância média que um elétron percorre entre duas colisões su-
cessivas é de 2,0 �m. Que aceleração deve ter um elétron para ga-
nhar 2,0 � 10
�18
 J de energia cinética ao longo dessa distância?
b. Que força deve ser exercida sobre um elétron para lhe imprimir a 
aceleração do item a?
c. Que intensidade de campo elétrico irá exercer essa força sobre o 
elétron? Esta é a intensidade do campo de ruptura.
d. Suponha que um elétron livre no ar esteja a 1,0 cm de distância de 
uma carga puntiforme. Qual é o valor mínimo qmin desta carga pun-
tiforme que causa a ruptura elétrica do ar e gera uma centelha?
FIGURA P26.58 
Átomos
Elétron original
Elétron ejetado do
primeiro átomo
Elétron
Ruptura elétrica do ar
 59. || Duas cargas puntiformes de 5,0 g, penduradas por fios de 1,0 m 
de comprimento, se repelem após terem sido carregadas com 100 
nC cada uma, como mostrado na FIGURA P26.59. Quanto vale o ân-
gulo �? Considere que o ângulo � seja pequeno.
, ,
,,
FIGURA P26.59 
, ,
, ,
FIGURA P26.60
 60. || Duas cargas puntiformes de 3,0 g, penduradas por fios de 1,0 
m de comprimento, se repelem após terem sido carregadas como 
mostrado na FIGURA P26.60. Quanto vale a carga q?
 61. || Quais são os campos elétricos nos pontos 1, 2 e 3 da FIGURA 
P26.61? Expresse sua resposta em função dos componentes.
FIGURA P26.61 
,
,
 62. || Quais são os campos elétricos nos pontos 1 e 2 da FIGURA P26.62? 
Expresse sua resposta em módulo e orientação.
,
,
,
,
�
FIGURA P26.62 
,
,
,
,
FIGURA P26.63
 63. || Quais são os campos elétricos nos pontos 1, 2 e 3 da FIGURA 
P26.63? Expresse sua resposta em função dos componentes.
 64. || Uma carga de �10,0 nC está localizada na posição (x, y) � (2,0 
cm, 1,0 cm). Em que posições (x, y) o campo elétrico é expresso por
a. 
b. 
c. 
 65. || Uma carga de 10,0 nC está localizada na posição (x, y) � (1,0 cm, 
2,0 cm). Em que posições (x, y) o campo elétrico é expresso por
a. 
b. 
c. 
 66. || Três cargas de 1,0 nC estão 
dispostascomo mostra a FI-
GURA P26.66. Cada uma das 
cargas cria um campo elétrico 
 em um ponto diretamente à 
frente da carga central e a 3,0 
cm da mesma.
a. Quais são os três campos , e criados, respectivamente, 
pelas três cargas? Escreva sua resposta para cada um dos campos 
como um vetor em função dos componentes correspondentes.
,
,
,
,
,
,
FIGURA P26.66
CAPÍTULO 26 ■ Cargas Elétricas e Forças 817
b. Você acredita que o campo elétrico satisfaça ao princípio da su-
perposição? Ou seja, existe um “campo resultante” neste ponto 
dado por ? Use o que você aprendeu nes-
te capítulo e em capítulos anteriores no nosso estudo das forças 
para argumentar se isso é verdadeiro ou não.
c. Se isso for verdadeiro, quanto é ?
 67. || Um campo elétrico faz com que uma carga 
puntiforme de massa 5,0 g da FIGURA P26.67 fique suspensa em um 
ângulo de 20°. Qual é a carga da bola?
,
FIGURA P26.67 
,
FIGURA P26.68
 68. || Um campo elétrico faz com que uma carga 
puntiforme da FIGURA P26.68 fique suspensa em um certo ângulo. 
Qual é a valor do � (*net � res)?
Em cada um dos problemas de 69 a 72 lhe é fornecida uma equação 
(ou mais) para ser utilizada na resolução de um problema ainda não 
formulado. Em cada um deles,
a. Redija um problema realista para o qual esta(s) equação(ões) 
seja(m) apropriada(s).
b. Resolva o problema proposto.
 69. 
 70. 
 71. 
 72. 
Problemas desafiadores
 73. Uma bola de cobre com 2,0 mm de diâmetro está carregada com 
�50 nC. Que fração de seus elétrons foi removida?
 74. Três bolas de 3,0 g estão suspensas por fios de 80 cm de compri-
mento presos a um mesmo ponto fixo. Cada uma das bolas é eletri-
zada com uma mesma carga q. No equilíbrio, as três bolas formam 
um triângulo eqüilátero no plano horizontal com 20 cm de lado. 
Qual é o valor da carga q?
 75. As pequenas esferas idênticas mos-
tradas na FIGURA PD26.75 estão 
carregadas com �100 nC e –100 
nC. Elas estão suspensas, como 
mostrado, em um campo elétrico 
de módulo igual a 100.000 N/C. 
Qual é a massa de cada esfera?
 76. Na FIGURA PD26.76 é representada uma força exercida sobre a carga 
de –1,0 nC. Qual é o módulo dessa força?
� ,
,
FIGURA PD26.76 
�
FIGURA PD26.77
 77. Na Seção 26.3 afirmamos que objetos carregados exercem uma 
força resultante atrativa sobre dipolos elétricos. Vamos investigar 
isso. A FIGURA PD26.77 mostra um dipolo elétrico permanente que 
consiste das cargas �q e –q separadas pela distância fixa s. A carga 
�Q está à distância r do centro do dipolo. Consideraremos, como 
geralmente é o caso, na prática, que s r.
a. Escreva uma expressão para a força resultante que a carga �Q 
exerce sobre o dipolo.
b. Esta força aponta para �Q ou para fora de �Q? Explique.
c. Use a aproximação binomial , válida para x 
 1, e mostre que a expressão que você obteve no item a pode 
ser escrita como Fres � 2KqQs/r
3
.
d. Como uma força elétrica pode depender do inverso do cubo da 
distância? A lei de Coulomb não nos diz que a força elétrica de-
pende do inverso do quadrado da distância? Explique.
�
FIGURA PD26.75
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 26.1: b. Objetos eletrizados sempre são atraídos por obje-
tos neutros, de modo que uma força atrativa é inconclusiva. A repulsão 
é o único teste seguro.
Pare e Pense 26.2: qe(�3e) � qa(�1e) � qd(0) � qb(�1e) � qc(�2e).
Pare e Pense 26.3: a. O bastão de plástico negativamente carregado 
polarizará o eletroscópio empurrando os elétrons para baixo, na direção 
das folhas. Isso neutralizará parcialmente a carga positiva que as folhas 
adquiriram do bastão de vidro.
Pare e Pense 26.4: b. As duas forças constituem um par ação/reação, 
com sentidos opostos, mas módulos iguais.
Pare e Pense 26.5: c. Existe um campo elétrico em todos os pontos, seja 
o vetor mostrado ou não. O campo elétrico no ponto aponta para a di-
reita. Todavia todo elétron possui uma carga negativa, portanto a força 
devida ao campo elétrico, sobre o elétron, aponta para a esquerda.
Pare e Pense 26.6: Eb � Ea � Ed � Ec.
Olhando adiante �
O objetivo do Capítulo 27 é ensinar 
como calcular e usar o campo elétrico. 
Neste capítulo, você aprenderá a:
Calcular o campo elétrico devido a ■
múltiplas cargas puntiformes.
Calcular o campo elétrico devido ■
a uma distribuição contínua de 
cargas.
Usar o campo elétrico de dipolos, ■
linhas de carga e planos de carga.
Gerar um campo elétrico uniforme ■
por meio de um capacitor de 
placas paralelas.
Calcular o movimento de cargas e ■
dipolos em um campo elétrico.
Em retrospectiva �
Este capítulo desenvolve as idéias 
sobre forças e campos elétricos que 
foram introduzidas no Capítulo 26.
O movimento de uma partícula 
carregada em um campo elétrico é 
semelhante ao movimento de um 
projétil. Revise:
Seção 4.3 Movimento de projéteis ■
Seção 26.4 A lei de Coulomb ■
Seção 26.5 O campo elétrico ■
produzido por uma carga 
puntiforme
Uma tela de cristal líquido opera usando 
campos elétricos para alinhar longas 
moléculas de polímeros.
27 O Campo Elétrico
Você não pode vê-los, mas eles estão à sua volta – os campos elétricos. São estes cam-
pos que alinham moléculas de polímeros para formar imagens no visor de cristal líquido 
(LCD) de um relógio de pulso ou no monitor LCD de um computador. Os campos elétricos 
são responsáveis pelas correntes elétricas que fluem em seu computador e em seu aparelho 
de som, sendo essenciais para o funcionamento de seu cérebro, seu coração e seu DNA.
No Capítulo 26, introduzimos a idéia de campo elétrico para compreender melhor 
a interação de ação a distância entre cargas elétricas. O campo elétrico produzido por 
uma carga puntiforme é muito simples, mas no mundo real os objetos carregados con-
têm um enorme número de cargas distribuídas segundo padrões complexos. Para fazer 
uso prático dos campos elétricos, precisamos saber como calcular o campo elétrico de 
uma complicada distribuição de carga. O principal objetivo deste capítulo é desenvolver 
um procedimento para o cálculo de campos elétricos produzidos por configurações ou 
distribuições específicas de carga.
No Capítulo 26, fizemos uma distinção entre partículas carregadas que geram um 
campo elétrico e partículas carregadas que experimentam um campo elétrico e que se 
movem em sua presença. Trata-se de uma distinção importante. A maior parte do ca-
pítulo discutirá as fontes do campo elétrico. Somente no final do capítulo, quando já 
soubermos calcular o campo elétrico, examinaremos o que acontece às cargas que estão 
imersas em um campo elétrico.
27.1 Modelos de campo elétrico
Os campos elétricos usados na ciência e na engenharia são geralmente produzidos por 
distribuições de carga bastante complicadas. Às vezes esses campos requerem um cál-
CAPÍTULO 27 ■ O Campo Elétrico 819
culo exato; todavia, na maioria dos casos podemos compreender a física essencial envol-
vida com base apenas em modelos simplificados de campo elétrico.
Uma carga puntiforme
Um fio carregado 
infinitamente longo
Um plano carregado 
infinitamente extenso
Uma esfera carregada
FIGURA 27.1 Quatro modelos básicos de campo elétrico.
Os quatro modelos de campo elétrico, amplamente utilizados e ilustrados na FIGURA 
27.1, são:
O campo elétrico de uma carga puntiforme ■
O campo elétrico de um fio carregado infinitamente longo ■
O campo elétrico de um plano carregado infinitamente extenso ■
O campo elétrico de uma esfera carregada ■
Pequenos objetos eletrizados geralmente podem ser considerados como cargas puntifor-
mes ou esferas carregadas. Os fios reais não são infinitamente longos, mas em muitas 
situações práticas essa constitui uma aproximação perfeitamente razoável. Ao derivar-
mos e usarmos esses campos elétricos, consideraremos as condições sob as quais eles 
são apropriados como modelos.
Nosso ponto de partida será o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme q:
 
 (campo elétrico gerado por uma carga puntiforme) (27.1)
onde é um vetor unitário queaponta para fora de q, e �0 � 8,85 � 10
�12
 C
2
/Nm
2
 é a 
constante de permissividade elétrica do vácuo. A FIGURA 27.2 serve para relembrá-lo acer-
ca dos campos elétricos gerados por cargas puntiformes. Embora tenhamos de atribuir 
um tamanho a cada vetor desenhado, devemos ter em mente que cada seta representa o 
campo elétrico em um ponto apenas do espaço. O campo elétrico não é, de fato, uma 
quantidade espacial que se “estica” a partir do fim de uma seta para outra seta.
O campo elétrico foi definido como onde é a força elétrica 
exercida sobre a carga q. Forças se adicionam como vetores, portanto a força resultante 
sobre q, devida a um conjunto de cargas puntiformes, é igual ao vetor soma
Conseqüentemente, o campo elétrico resultante devido a um conjunto de cargas punti-
formes é
 
(27.2)
onde é o campo gerado pela carga puntiforme indicada pelo subíndice i.
A Equação 27.2, que é a ferramenta primária para se calcular campos elétricos, sig-
nifica que o campo elétrico resultante é o vetor soma dos campos elétricos produzi-
dos por cada carga. Em outras palavras, os campos elétricos satisfazem ao princípio da 
superposição. A FIGURA 27.3 ilustra esta idéia importante. A maior parte do capítulo foca-
lizará os aspectos matemáticos envolvidos na realização dessa soma.
Casos limite e intensidades de campo típicas
O campo elétrico próximo a um objeto carregado depende da forma do objeto e de como a 
carga está distribuída no mesmo. Todavia, a uma grande distância o campo elétrico gerado 
por qualquer objeto finito deverá ser parecido ao campo de uma carga puntiforme. Portanto, 
o campo elétrico gerado por um objeto carregado, a uma grande distância do mesmo, é apro-
ximadamente igual ao campo elétrico gerado por uma carga puntiforme de mesmo valor.
FIGURA 27.2 Campo elétrico de uma carga 
puntiforme positiva e de outra, negativa.
Campos produzidos pelas cargas-fonte 1 e 2
Neste ponto, o campo 
elétrico resultante é res
res
FIGURA 27.3 Os campos elétricos 
obedecem ao princípio da superposição.
820 Física: Uma Abordagem Estratégica
Este é um exemplo do que se chama caso limite. Teremos a oportunidade de exami-
nar ambos os casos limite, o de objetos carregados muito próximos e o de objetos muito 
afastados em relação a um dado ponto do espaço. Os casos limite nos permitem:
Checar a solução verificando se o resultado obtido prevê o comportamento esperado ■
quando distância torna-se muito grande ou muito pequena.
Obter expressões simplificadas para o campo elétrico em pontos muito próximos ou ■
muito afastados de um objeto carregado.
Enfatizaremos os casos limite ao longo do capítulo, à medida que desenvolvermos os 
modelos de campo elétrico.
Será de grande ajuda conhecer intensidades típicas de campo elétrico. Os valores 
fornecidos pela Tabela 27.1 servirão para ajudá-lo a avaliar se a sua solução para um 
dado problema é consistente ou não.
27.2 Campo elétrico criado por múltiplas 
cargas puntiformes
Como vimos no Capítulo 26, é importante distinguir as cargas que são as fontes de um 
campo elétrico daquelas que o experimentam e que se movem sob a influência deste 
campo elétrico. Suponha que a fonte de um campo elétrico seja um conjunto de cargas 
puntiformes q1, q2,.... De acordo com a Equação 27.2, o campo elétrico resultante em 
cada ponto no espaço é a superposição dos campos elétricos gerados individualmente 
por cada carga do conjunto naquele ponto.
O vetor soma da Equação 27.2 pode ser escrito na forma
 
(27.3)
Muitas vezes você precisará escrever em função dos componentes:
Em outras vezes, expressará em módulo e orientação.
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 27.1 
Campo elétrico criado por múltiplas 
cargas puntiformes 
MODELO Considere os objetos carregados como cargas puntiformes.
VISUALIZAÇÃO Para uma representação pictórica
Defina o sistema coordenado a ser usado e indique nele as posições das cargas. ■
Identifique o ponto P no qual você deseja calcular o campo elétrico. ■
Desenhe o campo elétrico criado por cada carga no ponto P. ■
Use a simetria do conjunto de cargas para determinar se um ou mais componen- ■
tes de são nulos.
SOLUÇÃO A representação matemática é dada por .
Para cada carga, determine sua distância em relação ao ponto P e o ângulo que ■
 faz com os eixos.
Calcule a intensidade do campo elétrico criado por cada carga. ■
Expresse cada vetor ■ em função dos componentes correspondentes.
Some os vetores componentes e determine ■ .
Se necessário, determine o módulo e a orientação de ■ .
AVALIAÇÃO Verifique se o seu resultado está expresso na unidade correta, se é plausí-
vel e se está em concordância com algum caso limite conhecido.
TABELA 27.1 Intensidades típicas de campo 
elétrico
Localização do campo
Intensidade do 
campo (N/C)
Interior de um fio condutor 10
�3
 – 10
�1
Próximo à superfície da 
Terra
10
2
 – 10
4
Próximo a objetos 
carregados por atrito
10
3
 – 10
6
Ruptura elétrica do ar, 
produzindo uma centelha
3 � 10
6
Interior de um átomo 10
11
CAPÍTULO 27 ■ O Campo Elétrico 821
EXEMPLO 27.1 O campo elétrico criado por três cargas 
puntiformes iguais
Três cargas puntiformes iguais q estão localizadas sobre um eixo ver-
tical, em y � 0 e y � � d. Determine o campo elétrico criado em um 
ponto do eixo x.
MODELO Este problema constitui uma primeira etapa para a com-
preensão do campo elétrico gerado por um fio retilíneo carregado. Ao 
desenhar a figura, consideramos que q fosse positiva, mas a solução 
obtida deverá ser válida também no caso de q ser negativa. O enuncia-
do não menciona qualquer ponto específico, portanto devemos obter 
uma expressão algébrica em função de uma posição x qualquer.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 27.2 mostra as cargas, o sistema de coordena-
das escolhido e os três vetores campo elétrico , e . Cada um 
aponta para fora de sua carga-fonte, pois consideramos que q seja 
positiva. Precisamos determinar o vetor soma .
FIGURA 27.4 Calculando 
o campo elétrico 
criado por três cargas 
puntiformes iguais.
Antes de nos precipitarmos e de realizar cálculos, podemos tornar 
nossa tarefa mais fácil raciocinando qualitativamente a respeito da 
situação. Por exemplo, os campos , e estão todos no plano 
xy, conseqüentemente, sem precisar efetuar qualquer cálculo, pode-
mos concluir que (Eres)z � 0. Em seguida, observe os componentes 
y dos campos. Os campos e possuem módulos iguais e estão 
inclinados segundo o mesmo ângulo �, mas para lados contrários em 
relação ao eixo x. Conseqüentemente, os componentes y de e se 
cancelarão quando forem adicionados. não possui componente y, 
portanto podemos concluir que (Eres)y � 0. O único componente que 
necessitamos calcular de fato é (Eres)x.
RESOLUÇÃO Estamos prontos para realizar o cálculo. O componente 
x do campo é
onde fizemos uso do fato de que os campos e possuem o mesmo 
componente x. O vetor possui apenas o componente x, dado por
onde r2 � x é a distância de q2 até o ponto no qual estamos calculan-
do o campo. O vetor faz um ângulo � com o eixo x. Portanto, seu 
componente x é
onde r1 é a distância de q1. Esta expressão para (E1)x está correta, 
mas ainda não é suficiente. A distância r1 e o ângulo � variam com 
a posição x e precisam ser expressos como funções de x. A partir 
do teorema de Pitágoras, r1 � (x
2
�d2)1/2. Logo, usando a trigono-
metria,
Combinando essas equações, vemos que (E1)x é
Esta expressão é um tanto complexa, todavia podemos notar que a 
unidade de x/(x2�d2)3/2 é 1/m2, como deve ser para o caso do campo 
criado por uma carga puntiforme. Examinar as dimensões constitui 
um bom meio de checar se você não cometeu erros de álgebra.
Podemos agora combinar (E1)x e (E2)x e escrever o componente x 
de na forma
Os outros dois componentes de são nulos, sendo que o campo 
elétrico criado pelas três cargas em um ponto sobre o eixo x é
AVALIAÇÃO Este é o campo elétrico somente em pontos sobre o eixo x. 
Além disso, a expressão é válida somentepara x � 0. O campo elétri-
co à esquerda das cargas tem sentido contrário, mas nossa expressão 
não troca de sinal para x 	 0. (Esta é uma conseqüência da forma 
como expressamos (E2)x.). Precisaríamos modificar esta expressão 
para poder usá-la para valores negativos de x. A boa notícia, todavia, 
é que nossa expressão é válida para ambos os casos de q positiva ou 
negativa. Um valor negativo de q implica (Eres)x negativo, o que cor-
responde a um campo elétrico que aponta para a esquerda, em direção 
às cargas negativas.
Este é o ponto no qual 
calcularemos o campo elétrico.
r1 = x
2 + d2 
y
q1
q2
q3
d
d
r2 = x
P
E3
E2
E1
x
Vamos explorar este exemplo um pouco mais. Há dois casos limite para os quais 
conhecemos os resultados possíveis. Primeiro, tornemos x realmente muito pequeno. À 
medida que o ponto da FIGURA 27.4 se aproxima da origem, os campos e tornam-se 
opostos um ao outro e se cancelam. Portanto, quando , o campo deve se reduzir ao 
campo criado por uma carga puntiforme q posicionada na origem, o qual já conhecemos. 
Será que isso é verdade? Note que
 
(27.4)
Portanto quando , que é o campo esperado para uma única carga-
fonte puntiforme.
Agora considere a situação limite oposta, quando x torna-se extremamente grande. 
Vistas de um ponto muito distante, as três cargas-fonte parecerão fundir-se em uma úni-
ca carga de valor 3q, da mesma forma como três lâmpadas acesas se parecerão com uma 
só lâmpada quando olhadas de muito longe. Portanto, o campo para x d deveria ser 
igual ao de uma carga puntiforme 3q. Será que isso é verdade?
822 Física: Uma Abordagem Estratégica
O campo é nulo no limite . Isso não nos ajuda muito, portanto não queremos 
supor um ponto tão distante. Nós simplesmente desejamos que x seja muito grande em 
comparação com o espaçamento d entre as cargas-fonte. Se x d, então o denominador 
do segundo termo de pode ser aproximado por (x2 �d2)3/2 � (x2)3/2 � x3. Portanto,
 
(27.5)
Conseqüentemente, o campo elétrico resultante em um ponto distante das cargas-fonte é
 
(27.6)
Como esperado, este é o campo elétrico de uma carga puntiforme 3q. Estas verificações 
nos casos limite nos dão confiança quanto aos resultados obtidos.
A FIGURA 27.5 é o gráfico da intensidade de campo Eres para as três cargas do Exemplo 
27.1. Embora não tenhamos qualquer valor numérico, podemos expressar x como um 
múltiplo da separação d entre as cargas. Observe como o gráfico coincide com o do 
campo de uma única carga puntiforme quando x d, e com o de uma carga 3q quando 
x d.
O campo elétrico de um dipolo
Duas cargas iguais, mas de sinais contrários, separadas por uma pequena distância, 
constituem um dipolo elétrico. A FIGURA 27.6 mostra dois exemplos. Em um dipolo 
elétrico permanente, tal como uma molécula da água, as partículas carregadas com 
cargas opostas mantêm entre si uma pequena separação permanente. Podemos também 
criar um dipolo elétrico, como você aprendeu no Capítulo 26, por meio da polarização 
de um átomo neutro por um campo elétrico externo. Este é o caso de um dipolo elétri-
co induzido.
A FIGURA 27.7 mostra que podemos representar um dipolo elétrico, seja ele permanen-
te ou induzido, por duas cargas opostas �q separadas por uma pequena distância s. O 
dipolo tem carga total nula, mas ele cria seu próprio campo elétrico. Considere um pon-
to sobre o semi-eixo positivo de y. O ponto está um pouco mais próximo de �q do que 
de �q, de modo que os campos das duas cargas não se cancelam. Podemos ver na figura 
que aponta na direção positiva de y. Similarmente, o vetor adição mostra que, em 
pontos ao longo do eixo x, aponta no sentido negativo de y.
Vamos calcular o campo elétrico criado por um dipolo em um ponto sobre o eixo do 
mesmo. Trata-se do eixo y da Figura 27.7. Este ponto dista r� � y � s/2 da carga posi-
tiva e r� � y � s/2 da carga negativa. O campo elétrico neste ponto possui apenas um 
componente y, e a soma dos campos das duas cargas puntiformes resulta em
 
(27.7)
Combinando os dois termos sobre um denominador comum, achamos
 
(27.8)
Omitimos alguns passos algébricos intermediários, mas você deve ter certeza de que 
consegue efetuá-los. Alguns dos problemas para casa requereram álgebra semelhante.
Na prática, quase sempre o campo elétrico de um dipolo é observado apenas a dis-
tâncias y s – ou seja, a distâncias muito maiores do que a separação entre as cargas. 
Nesses casos, o denominador pode ser aproximado por . Com 
isso, a Equação 27.8 assume a forma
 
(27.9)
O campo elétrico coincide 
com aquele de uma única carga 
puntiforme q quando x d.
Campo elétrico de uma 
carga puntiforme 3q
Campo elétrico de uma 
carga puntiforme q
O campo elétrico coincide com 
aquele de uma carga puntiforme 
3q quando x d.
res
FIGURA 27.5 Intensidade do campo elétrico 
ao longo de uma linha perpendicular a três 
cargas puntiformes iguais.
A molécula de água constitui um dipolo 
permanente porque os elétrons negativos 
passam a maior parte do tempo mais 
próximos do átomo de oxigênio.
Este dipolo foi induzido por ou causado 
pelo campo elétrico que atua sobre as 
cargas � e �.
FIGURA 27.6 Um dipolo elétrico 
permanente, e outro, induzido.
E
�
 � E
�
 
porque a 
carga positiva 
está mais 
próxima.
Todo dipolo 
não possui 
carga líquida.
Neste ponto, o campo 
elétrico do dipolo está 
no sentido positivo do 
eixo y.
Neste ponto, o campo 
elétrico do dipolo está 
no sentido negativo do 
eixo y.
dipolo
E
�
E
�
E
�
E
� Edipolo
E
FIGURA 27.7 O campo produzido por um 
dipolo elétrico em dois pontos.
CAPÍTULO 27 ■ O Campo Elétrico 823
Isto é útil para definir o momento de dipolo , mostrado na FIGURA 27.8, como o vetor
 (qs, da carga negativa para a carga positiva) (27.10)
A direção e o sentido de identificam a orientação do dipolo, e o módulo do momento 
de dipolo, p � qs, determina a intensidade do campo elétrico. A unidade do SI para mo-
mento de dipolo é o Cm.
Podemos usar o momento de dipolo para escrever uma expressão sintética para o 
campo elétrico em um ponto sobre o eixo de um dipolo:
 
 (sobre o eixo de um dipolo elétrico)
 
(27.11)
onde r é a distância medida a partir do centro do dipolo. Trocamos y por r porque agora 
especificamos que a Equação 27.11 é válida somente ao longo do eixo do dipolo. Note que 
o campo elétrico ao longo do eixo tem a mesma orientação do momento de dipolo .
Um dos problemas propostos como tarefa para casa lhe pedirá para calcular o campo 
elétrico no plano que bissecciona o dipolo e é perpendicular a ele. Trata-se do campo 
mostrado sobre o eixo x na Figura 27.7, mas poderia muito bem ser o campo sobre o eixo 
z que sai perpendicularmente da página. Para r s, o campo é
 
 (plano perpendicular)
 
(27.12)
Este campo é oposto a e tem apenas a metade da intensidade do campo sobre o eixo x 
à mesma distância.
NOTA � As equações obtidas, onde a dependência é com o inverso do cubo, violam a 
lei de Coulomb? Não necessariamente. A lei de Coulomb descreve a força entre duas 
cargas puntiformes, e a partir da lei de Coulomb concluímos que o campo elétrico de 
uma carga puntiforme varia com o inverso do quadrado da distância. Mas um dipolo 
não é uma carga puntiforme. O campo de um dipolo diminui mais rapidamente do 
que o de uma carga puntiforme, o que deveria ser esperado, uma vez que, afinal de 
contas, o dipolo é eletricamente neutro. �
EXEMPLO 27.2 O campo elétrico criado por uma molécula da água
A molécula H2O da água possui um momento de dipolo permanente com módulo de 6,2 � 
10
�30
 Cm. Qual é a intensidade do campo elétrico a 1,0 nm da molécula da água em um ponto 
sobre o eixo do dipolo?
MODELO O tamanho de uma molécula de água é � 0,1 nm. Portanto, r s, e podemos usar a 
Equação 27.11 para o campo elétrico sobre o eixo do momento de dipolo da molécula.
SOLUÇÃO A intensidade do campo elétrico sobre o eixo, para r � 1,0 nm, é
AVALIAÇÃO Consultando a Tabela 27.1, você pode verificar quea intensidade do campo é “for-
te” se comparada à nossa experiência cotidiana com objetos carregados, todavia é “fraca” 
quando comparada à intensidade dos campos elétricos no interior dos próprios átomos. Isso 
parece razoável.
Ilustrando o campo elétrico
Não podemos ver o campo elétrico. Conseqüentemente, precisamos de ferramentas pic-
tóricas que nos ajudem a visualizá-lo através do espaço. Um desses métodos, introdu-
zido no Capítulo 26, é o de visualizar o campo elétrico desenhando os seus vetores em 
vários pontos do espaço. Outra maneira de mostrar o campo é desenhar as linhas de 
campo elétrico.
O momento de dipolo é um 
vetor que aponta da carga nega-
tiva para a positiva, com módulo 
igual a qs.
FIGURA 27.8 Momento de dipolo.
824 Física: Uma Abordagem Estratégica
BOX TÁTICO
27.1 Desenhando e usando as linhas de campo elétrico 
 As linhas de campo elétrico são curvas contínuas desenhadas tangencialmente 
aos vetores do campo elétrico. Alternativamente, em qualquer ponto do espa-
ço, o vetor do campo elétrico é tangente à linha de campo naquele ponto.
 Linhas de campo mais próximas indicam uma intensidade de campo maior, 
correspondentes a vetores de campo maiores. Linhas de campo mais espa-
çadas indicam intensidades de campo menores.
 As linhas de campo elétrico jamais se cruzam.
 As linhas de campo elétrico partem das cargas positivas e se dirigem para as 
negativas.
Vetor campo
Linha de campo
Exercícios 2–4, 12, 13 
O passo 3 é necessário para nos garantir que tenha uma única orientação em cada 
ponto do espaço. O passo 4 segue do fato de o campo elétrico ser criado por cargas. 
Entretanto, no Capítulo 34, teremos de modificar o passo 4, quando virmos uma outra 
maneira de criar um campo elétrico.
A FIGURA 2.9a representa o campo elétrico de um dipolo por meio de um diagrama 
vetorial de campo. A FIGURA 27.9b representa o mesmo campo usando linhas de campo 
elétrico. Note como o campo sobre o eixo aponta na direção de , abaixo e acima do di-
polo, enquanto o campo no plano bissetor está orientado contrariamente a . Na maioria 
dos pontos, entretanto, possui tanto um componente paralelo quanto um componente 
perpendicular a .
Os vetores 
campo elétrico 
são tangentes 
às linhas de 
campo elétrico.
FIGURA 27.9 Campo elétrico criado por um dipolo.
A FIGURA 27.10 mostra o campo elétrico de duas cargas de mesmo sinal. Trata-se de 
um diagrama de linhas de campo elétrico no qual mostramos apenas alguns vetores do 
campo. Vale a pena uma cuidadosa comparação entre as Figuras 27.9b e 27.10. Verifique 
se você consegue explicar as similaridades e as diferenças entre as duas.
Nem os diagramas vetoriais de campo e tampouco os diagramas de linhas de campo 
são representações pictóricas fiéis de campos elétricos. Os vetores de campo são um pouco 
mais difíceis de traçar e mostram o campo somente em poucos pontos, mas indicam cla-
ramente a orientação e a intensidade do campo elétrico naqueles pontos. Os diagramas de 
linhas de campo talvez pareçam mais elegantes e algumas vezes são mais fáceis de esboçar, 
mas não há o conhecimento de uma fórmula através da qual se possa desenhar as linhas e é 
mais difícil, a partir deles, inferir a orientação e a intensidade reais do campo elétrico.
Simplesmente não existe uma maneira de mostrar precisamente o que o campo é. 
Somente a representação matemática é exata. Usaremos os diagramas vetoriais de cam-
po e os diagramas de linhas de campo dependendo de quais sejam as circunstâncias, 
mas você perceberá que a preferência deste texto inclina-se pelo emprego dos diagramas 
vetoriais de campo.
11.5, 11.6
FIGURA 2.10 O campo elétrico criado por 
duas cargas positivas iguais.
CAPÍTULO 27 ■ O Campo Elétrico 825
PARE E PENSE 27.1
 No ponto indicado na figura, o campo elétrico aponta
 a. Para a esquerda b. Para a direita
 c. Para cima d. Para baixo
 e. O campo elétrico é nulo
27.3 Campo elétrico criado por uma 
distribuição contínua de carga
Objetos comuns – mesas, cadeiras, um béquer com água – parecem, aos nossos sentidos, 
distribuições contínuas de matéria. Não existe uma evidência óbvia para a existência 
de uma estrutura atômica, embora tenhamos boas razões para acreditar que obteríamos 
átomos individuais se subdividíssemos muitas e muitas vezes a matéria. Portanto, para 
efeito prático, é mais fácil considerar a matéria como contínua e falar em uma densidade 
de matéria. A massa específica – o número de quilogramas por metro cúbico de matéria 
homogênea – nos permite descrever a distribuição da matéria como se ela fosse contínua, 
ao invés de atômica.
Uma situação parecida ocorre com a carga. Se um objeto carregado contém um nú-
mero elevado de excesso de elétrons – por exemplo, 10
12
 elétrons extras em um bastão 
de metal –, não é prático contar cada elétron. É mais adequado considerar a carga como 
sendo contínua e descrever como ela se distribui pelo objeto.
A FIGURA 27.11a mostra um objeto de comprimento L, como um bastão de plástico ou 
um fio metálico, dotado de carga líquida Q espalhada uniformemente ao longo do mes-
mo. (Usaremos a letra maiúscula Q para denotar a carga total de um objeto, reservando 
a letra minúscula q para cargas puntiformes individuais.) A densidade linear de carga 
� é definida como
 
(27.13)
A densidade linear de carga, com unidade de C/m, é a quantidade de carga por metro 
de comprimento. A densidade linear de carga de um fio com comprimento de 20 cm e 
carregado com 40 nC é 2,0 nC/cm, ou seja, 2,0 � 10
�7
 C/m.
NOTA � A densidade linear de carga � é análoga à densidade linear de massa �, que 
você usou no Capítulo 20 para determinar a velocidade de uma onda em uma corda. �
Também estaremos interessados em distribuições superficiais de carga. A FIGURA 
27.11b mostra uma distribuição bidimensional de carga sobre uma superfície de área A. 
Definimos a densidade superficial de carga � (a letra grega minúscula eta) como
 
(27.14)
A densidade superficial de carga, com unidade de C/m
2
, é a quantidade de carga por me-
tro quadrado. Uma superfície quadrada de 1,0 mm � 1,0 mm, com densidade de carga 
de 2,0 � 10
�4
 C/m
2
, contém 2,0 � 10
�10
 C, ou 0,20 nC de carga. (No Capítulo 28, será 
usada a densidade volumétrica de carga, , expressa em C/m3.)
A Figura 27.11 e as equações de definição 27.13 e 27.14 são válidas se o objeto esti-
ver uniformemente carregado, o que significa que as cargas estão espalhadas de manei-
ra uniforme sobre o objeto. Assumiremos que objetos carregados estão uniformemente 
carregados a menos que seja indicado o contrário.
NOTA � Alguns livros didáticos representam a superfície de carga pelo símbolo �. 
Uma vez que este símbolo também é usado para representar a condutividade, um 
conceito introduzido no Capítulo 31, escolhemos um símbolo diferente para densi-
dade superficial de carga. �
PARE E PENSE 27.2
 Um pedaço de plástico está uniformemente carregado com densida-
de de carga �a. O plástico é, então, dividido em um grande pedaço com densidade 
superficial de carga �b e em um pequeno pedaço com densidade superficial de carga 
�c. Coloque em ordem decrescente as densidades superficiais de carga de �a até �c.
Carga Q sobre um 
bastão de comprimento L. 
A densidade linear de 
carga é
A carga em um pequeno 
comprimento é
Carga Q sobre uma superfície de área A. 
A densidade superficial de carga é � � 
Q/A.
A carga em um pequeno elemento 
de área 
A é 
Q � �
A.
Área
FIGURA 27.11 Uma distribuição contínua 
de carga unidimensional e outra 
bidimensional.
826 Física: Uma Abordagem Estratégica
Uma estratégia para resolução de problemas
Nosso objetivo agora é determinar o campo elétrico criado por uma distribuição con-
tínua de carga, tal como ao longo de um bastão carregado ou de um disco carregado. 
Dispomos de duas ferramentas básicas para lidar com isso:
O campo elétrico de uma carga puntiforme e ■
O princípio da superposição. ■
Podemos empregar estas ferramentas,para o caso de uma distribuição contínua de carga, 
seguindo uma estratégia de três etapas:
 1. Divida a carga total Q em muitas pequenas cargas puntiformes 
Q.
 2. Use o conhecimento a respeito do campo elétrico criado por uma carga puntifor-
me para determinar o campo elétrico criado por cada 
Q.
 3. Calcule o campo resultante somando todos os campos criados por 
Q.
Na prática, conforme seria esperado, essa soma será uma integral.
A dificuldade com os cálculos de campos elétricos não está em efetuar a soma ou a 
integração propriamente em si, mas se encontra no último passo, ao montar as equações 
e saber o que integrar. Agora, passo a passo, através de vários exemplos, ilustraremos 
esses procedimentos. Entretanto, primeiro precisamos relembrar os passos da estratégia 
para resolução de problemas. O objetivo da estratégia é subdividir um problema difícil 
em uma série de pequenas etapas que são, individualmente, mais tratáveis.
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 27.2 
Campo elétrico criado por uma 
distribuição contínua de carga 
MODELO Modele a distribuição com uma forma simples, tal como uma linha eletriza-
da ou um disco eletrizado. Considere que a carga esteja uniformemente distribuída.
VISUALIZAÇÃO Para uma representação pictórica:
 Desenhe a figura e defina nela um sistema de coordenadas.
 Identifique o ponto P no qual você deseja calcular o campo elétrico.
 Divida a carga total Q em pequenos pedaços de carga 
Q usando formas para as 
quais você já sabe como determinar o . Geralmente, mas nem sempre, é como se 
dividíssemos a carga total em um grande número de cargas puntiformes.
 Desenhe o vetor campo elétrico criado em P por uma ou duas porções de carga 
Q. Isso o ajudará a identificar as distâncias e os ângulos que precisam ser cal-
culados.
 Verifique se não existem simetrias na distribuição de cargas que simplifiquem 
o campo. Você poderá, talvez, concluir que um ou mais componentes de , por 
exemplo, são nulos.
RESOLUÇÃO A representação matemática é .
Use o princípio da superposição para obter uma expressão algébrica para ■ cada 
um dos três componentes de (a menos que tenha certeza de que um ou mais 
deles sejam nulos) no ponto P.
Tome como variáveis as coordenadas ( ■ x, y, z) do ponto.
Troque a pequena carga ■ 
Q por uma expressão equivalente que envolva uma den-
sidade de carga e uma coordenada, tal como dx, que descreva a forma da carga 
Q. 
Este é o passo fundamental ao fazer a transição de uma soma para uma in-
tegral, pois você precisa de uma coordenada para servir de variável de integração.
Expresse todos os ângulos e distâncias em função das coordenadas. ■
Faça a soma tornar-se uma integral. A integração será feita sobre ■ a coordenada 
variável relacionada a 
Q. Os limites de integração para essa variável devem 
“cobrir” todo o objeto carregado.
AVALIAÇÃO Verifique se o seu resultado é consistente com algum limite para o qual 
você saiba que o campo deveria tender.
CAPÍTULO 27 ■ O Campo Elétrico 827
EXEMPLO 27.3 O campo elétrico de uma linha de carga
A FIGURA 27.12 mostra um bastão fino, de comprimento L e unifor-
memente carregado com uma carga total Q que pode ser tanto posi-
tiva quanto negativa. Determine a intensidade do campo elétrico a 
uma distância d do bastão, no plano que bissecciona o mesmo.
Carga total Q
Qual é o campo 
elétrico neste ponto?
A densidade linear 
de carga é � �
FIGURA 27.12 Um bastão fino e uniformemente carregado.
MODELO O bastão é fino, de modo que consideraremos que as car-
gas estejam dispostas ao longo de uma linha, formando o que cha-
mamos de linha de carga. Esta é uma importante distribuição de 
carga cujo campo serve como modelo do campo elétrico criado por 
um bastão carregado ou por um fio metálico carregado. A densidade 
linear de carga é .
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 27.13 ilustra as 5 etapas da estratégia para 
resolução de problemas. Escolhemos um sistema de coordenadas 
no qual o bastão esteja posicionado ao longo do eixo y, e o ponto 
P, no plano bissetor sobre o eixo x. Dividimos o bastão então, em N 
pequenos segmentos de carga 
Q, cada um dos quais podendo ser 
considerado como uma carga puntiforme. Para cada 
Q na parte 
inferior do fio, produzindo um campo que aponta para a direita e 
para cima, existe uma carga 
Q recíproca, na metade superior, que 
cria um campo orientado para a direita e para baixo. Os componen-
tes y desses dois campos se cancelam, e o campo elétrico resultante 
dos dois sobre o eixo x aponta perpendicularmente para fora do 
bastão. O único componente que precisamos calcular realmente é 
Ex. (Trata-se do mesmo raciocínio, baseado em simetrias, que usa-
mos no Exemplo 27.1.)
Escolha um sistema de coordenadas 
com a origem no centro do bastão.
Identifique o ponto no qual 
será calculado o campo.
Divida o bastão em N pequenos segmentos 
de comprimento 
y e carga 
Q � �
y. Desenhe o vetor do campo 
do segmento de carga i. 
Note que os campos (Ei)y criados pelas cargas 
simetricamente localizadas se cancelam.
Segmento i
Distância d
riyi
y
L/2
-L/2
0
P
i
i
Ei
y
FIGURA 27.13 Calculando o campo elétrico criado por uma linha de carga.
RESOLUÇÃO Cada um dos pequenos segmentos de carga pode ser 
considerado como uma carga puntiforme. Conhecemos o campo elé-
trico criado por uma carga puntiforme e, assim, podemos escrever o 
componente x de , o campo elétrico criado pelo segmento i, como
onde ri é a distância da carga i ao ponto P. Você pode ver da figura 
que e . Com isso, 
(Ei)x torna-se
Observe que este resultado é muito parecido com o do cálculo que 
fizemos no Exemplo 27.1. Se, agora, somarmos essa expressão para 
todos os segmentos de carga, o componente x resultante do campo 
elétrico será
Esta é a mesma superposição que fizemos para o caso de N � 3, no 
Exemplo 27.1. A única diferença é que agora escrevemos o resul-
tado como uma soma explícita, de forma que N possa ter qualquer 
valor. Fazemos e substituímos a soma por uma integral, mas 
não podemos integrar sobre Q, pois ele não é uma quantidade geo-
métrica. É aqui que entra a densidade linear de carga. A quantidade 
de carga em cada segmento está relacionada ao seu comprimento 
y por . Em termos de densidade linear de 
carga, o campo elétrico é expresso como
Agora estamos prontos para tornar a soma uma integral. Tomando o 
limite , cada segmento se transforma em um comprimento infi-
nitesimal , enquanto a variável discreta de posição yi se torna 
Continua
828 Física: Uma Abordagem Estratégica
uma variável contínua de integração y. A soma que var de i � 1 até i 
� N é substituída por uma integral entre os limites y � �L/2 e y � 
�L/2. Assim, no limite ,
Esta é uma integral comum que você aprendeu a fazer no cálculo 
e cujo resultado pode ser encontrado no Apêndice A. Note que, da 
forma como essa integral foi concebida, d é uma constante até onde 
sabemos. Integrando, obtemos
Devido ao fato de que o único componente não-nulo do campo é Ex, a 
intensidade do campo elétrico Ebastão a distância d do centro do bastão 
carregado é
A intensidade do campo deve ser positiva, então expressamos a carga 
Q em módulo, o que permite a possibilidade de que a carga seja nega-
tiva. A única restrição ao resultado é que se trata do campo criado em 
um ponto do plano que bissecciona o bastão.
AVALIAÇÃO Suponha um ponto muito afastado do bastão. Se d L, o 
comprimento do bastão não é relevante e ele se parece com uma carga 
puntiforme Q a esta distância. Portanto, no caso limite d L espe-
ramos que o campo elétrico criado pelo bastão apresente o comporta-
mento de uma carga puntiforme. Se d L, a raiz quadrada torna-se 
, e a intensidade do campo elétrico à 
distância d resulta em , que é o campo elétrico de 
uma carga puntiforme. O fato de que nossa expressão Ebastão apresenta 
o resultado correto para o caso limite nos dá confiança de que não 
cometemos quaisquer erros durante a derivação.
EXEMPLO 27.4 O campo elétrico criado por um bastão 
carregadoQual é a intensidade do campo elétrico a 1,0 cm do centro de um bas-
tão de vidro com 8,0 cm de comprimento carregado com 10 nC?
RESOLUÇÃO O Exemplo 27.3 mostrou que a intensidade do campo elé-
trico no plano que bissecciona um bastão carregado é
Usando , obtemos
Para comparação, o campo a 1,0 cm de uma carga puntiforme de 10 
nC seria um pouco maior do que 9,0 � 10
5
 N/C.
AVALIAÇÃO O resultado é consistente com os valores da Tabela 27.1.
Uma linha de carga infinita
O que acontece se um bastão ou se um fio torna-se muito longo enquanto a densidade 
linear de carga � mantém-se constante? Ou seja, mais carga é adicionada de modo que 
a razão permaneça constante à medida que L aumenta. Quando L tende a 
infinito, a densidade do campo elétrico torna-se
 
(27.15)
onde substituímos d pela distância radial mais usual r. Essa é a intensidade do campo cria-
do por uma linha de carga infinitamente longa que possui uma densidade linear de carga 
�. A densidade linear de carga mede quão próximas ou quão afastadas estão as cargas do 
bastão umas das outras, e ela não é afetada quando o comprimento L do bastão aumenta.
NOTA � Ao contrário de uma carga puntiforme, que gera um campo que diminui 
com 1/r2, o campo gerado por um fio carregado e infinitamente longo diminui mais 
lentamente com a distância – ou seja, com 1/r. �
A Equação 27.15 é de um significado prático considerável. Embora nenhum fio real 
seja infinitamente longo, o fato de que o campo de uma carga puntiforme decresce inversa-
mente com o quadrado da distância significa que o campo elétrico em um ponto próximo 
ao fio é determinado principalmente pelas cargas mais próximas sobre ele. Além disso, de-
vido ao grande comprimento do fio, as suas extremidades estão muito afastadas para fazer 
qualquer contribuição significativa. Conseqüentemente, o campo de um fio real de tama-
nho finito é bem-aproximado pela Equação 27.15, o campo que seria gerado por uma linha 
de carga infinitamente longa, exceto para os pontos próximos às extremidades do fio.
CAPÍTULO 27 ■ O Campo Elétrico 829
A FIGURA 27.14 representa alguns vetores do campo elétrico criado por uma linha de 
carga positiva e infinitamente longa. Se a linha de carga fosse negativa os vetores apon-
tariam para dentro dela.
PARE E PENSE 27.3
 Qual das ações descritas abaixo aumentará a intensidade do campo elé-
trico na posição do ponto?
 a. Aumentar o tamanho do bastão sem alterar sua carga.
 b. Diminuir o tamanho do bastão sem alterar sua carga.
 c. Tornar o bastão mais largo sem alterar sua carga.
 d. Tornar o bastão mais estreito sem alterar sua carga.
 e. Adicionar carga ao bastão.
 f. Remover carga do bastão.
 g. Afastar o ponto do bastão.
 h. Aproximar o ponto do bastão.
27.4 Campos elétricos criados por anéis, 
discos, planos e esferas
Nesta seção, iremos derivar os campos elétricos criados por três distribuições de carga 
importantes e relacionadas: um anel de carga, um disco de carga e um plano de carga. 
O anel de carga é a principal delas e será a base para a determinação dos outros dois. 
Também examinaremos o campo elétrico criado por uma esfera carregada.
EXEMPLO 27.5 O campo elétrico criado por um anel de carga
Um anel delgado de raio R está uniformemente carregado com uma 
carga total Q. Determine o campo elétrico em um ponto situado sobre 
o eixo do anel (perpendicular ao plano do anel).
MODELO Uma vez que se trata de um anel delgado, consideraremos 
que as cargas estejam ao longo de um círculo de raio R. Você pode 
imaginar isso como uma linha de carga de comprimento 2�R curvada 
em um círculo. A densidade linear de carga do anel é .
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 27.15 mostra o anel e ilustra as cinco etapas 
da estratégia para resolução de problemas. Escolhemos um sistema 
de coordenadas em que o anel se encontra no plano xy, e o ponto P, 
no eixo z. Depois dividimos o anel em N pequenos segmentos de carga 
Q, cada um dos quais podendo ser considerado uma carga puntiforme.
Escolha um sistema de coordenadas.
Identifique o
ponto onde deve
determinar o campo.
Divida o anel em segmentos.
Desenhe o vetor campo 
elétrico produzido pelo 
i-ésimo segmento de 
carga.
Note que o campo produzido 
por um segmento de carga 
diametralmente oposto 
cancelará (E
i
)
y
.
Segmento
com carga
FIGURA 27.15 Calculando o campo elétrico sobre o eixo x devido a 
um anel carregado.
Como você pode ver da figura, o componente do campo perpendicular 
ao eixo se cancela para cada par de segmentos diametralmente opostos. 
Dessa forma, precisamos calcular apenas o componente Ez do campo.
RESOLUÇÃO O componente z do campo elétrico criado pelo segmento i é
Da figura você pode ver que, para qualquer segmento do anel, inde-
pendentemente de i, temos
Conseqüentemente, o campo criado pelo segmento i é
Determinamos o campo elétrico resultante somando os (Ei)z criados 
por todos os N segmentos:
Como estabelecido no problema, z é constante, e, assim, podemos tirar 
do símbolo de soma todos os termos que envolvem z. Surpreendente-
mente, não precisamos converter a soma em uma integral para comple-
tar o cálculo. A soma sobre todos os ao longo do anel é, simples-
mente, a carga total , de modo que o campo sobre o eixo é
A expressão é válida para ambos os valores de z, positivo ou negativo 
(i.e., em qualquer um dos lados do anel), e para ambos os sinais da 
carga, positivo ou negativo.
AVALIAÇÃO Deixaremos como exercício de casa mostrar que este re-
sultado fornece o valor esperado para o caso limite em que z R.
O campo aponta diretamente para 
fora da linha em todos os pontos.
Linha de carga infinita
A intensidade do campo diminui 
com a distância.
FIGURA 27.14 O campo elétrico criado por 
uma linha de carga infinita.
Bastão carregado
830 Física: Uma Abordagem Estratégica
A FIGURA 27.16 mostra duas representações do campo elétrico sobre o eixo de um anel 
carregado positivamente. A FIGURA 27.16a mostra que os vetores campo elétrico apontam 
para fora do anel, aumentando de tamanho até atingir um máximo quando e, 
depois, diminuindo. O gráfico de (Eanel)z da FIGURA 27.16b confirma que a intensidade do 
campo possui um máximo em cada um dos lados do anel. Note que o campo elétrico no 
centro do anel é nulo, embora este ponto esteja cercado por cargas. Talvez você queira 
passar um minuto pensando sobre por que isso é assim.
Um disco de carga
Nosso objetivo agora é determinar o campo elétrico criado por um plano de carga in-
finitamente extenso, pois esse é um dos nossos modelos básicos de campo elétrico. A 
maior parte do trabalho já foi feita. Primeiro, usaremos o resultado obtido para um anel 
de carga para determinar o campo elétrico sobre o eixo de um disco de carga. Depois, 
consideraremos que o disco se expanda até se tornar um plano de carga.
A FIGURA 27.17 mostra um disco de raio R uniformemente carregado com uma carga 
Q. Este é um disco matemático, sem espessura e com densidade superficial de carga 
dada por
 
(27.16)
Desejamos calcular o campo elétrico sobre o eixo do disco. Nossa estratégia para reso-
lução de problemas nos diz para dividir a carga contínua em segmentos para os quais já 
saibamos como obter . Uma vez que já conhecemos o campo elétrico sobre o eixo de 
um anel de carga, vamos dividir o disco imaginariamente em uma série de N anéis con-
cêntricos e estreitos, com raio r e espessura 
r cada um. Um desses anéis, com raio ri e 
carga 
Qi, é mostrado na figura.
Devemos tomar cuidado com a notação. No Exemplo 27.5, R era o raio do anel. Te-
mos agora muitos anéis, e o raio do i-ésimo anel é ri. Analogamente, Q era a carga sobre 
o anel. Agora a carga do i-ésimo anel é 
Qi, uma pequena fração da carga total do disco. 
Com tais mudanças, o campo elétrico criado pelo i-ésimo anel de raio ri é
 
(27.17)
O campo elétrico sobre o eixo do disco carregado é a soma dos campos elétricos 
criados por todos os anéis de carga:
 
(27.18)
Como sempre, o passo crítico é relacionar 
Q a uma coordenada.Como estamos em 
uma superfície, e não, em uma linha, a carga do i-ésimo anel é , onde é 
a área do i-ésimo anel. Podemos determinar , como você aprendeu nos cursos de cál-
culo, “esticando” o anel de modo que ele forme um retângulo estreito de comprimento 
 e altura . Portanto, a área do i-ésimo anel é , e o elemento de carga 
é . Com esta substituição, a Equação 27.18 assume a forma
 
(27.19)
Quando , e a soma se torna uma integral. Adicionar todos os anéis sig-
nifica integrar desde r � 0 até r � R, ou seja,
 
(27.20)
Tudo o que resta é efetuar a integração. Isso será imediato se fizermos a troca de 
variável u � z2 � r2. Portanto, du � 2rdr ou, o que é equivalente, . No limite 
de integração inferior r � 0, nossa nova variável vale u � z2. No limite superior, r � R, 
a nova variável tem valor u � z2 � R2.
O campo é nulo 
no centro.
Intensidade 
máxima de campo
anel
FIGURA 27.16 Campo elétrico sobre o eixo 
de um anel de carga.
Disco de 
raio R e 
carga Q
A carga do 
anel é
Campo 
devido 
ao anel i
Anel i com raio r
i
 e área 
A
i
. 
Se desenrolarmos o anel, ele se 
parecerá como mostrado abaixo.
Área
FIGURA 27.17 Calculando o campo sobre o 
eixo de um disco carregado.
CAPÍTULO 27 ■ O Campo Elétrico 831
NOTA � Quando trocamos de variável em uma integral definida, devemos também 
trocar os limites de integração. �
Com a troca de variáveis, a integral torna-se
 
(27.21)
Multiplicando z pelo termo entre colchetes, o campo elétrico sobre o eixo de um disco 
carregado com uma densidade de carga é
 
(27.22)
NOTA � Essa expressão é válida apenas para o caso z � 0. Para z 	 0, o campo tem 
o mesmo módulo, mas aponta no sentido oposto. �
É um pouco difícil descobrir o que a Equação 27.22 significa; assim, iremos compa-
rá-la com o que já conhecemos. Primeiro, você pode ver que a quantidade entre colche-
tes é adimensional. A densidade superficial de carga tem a mesma unidade de 
q/r2; logo, tem a mesma unidade de . Isso significa que é realmente 
um campo elétrico.
Segundo, vamos nos afastar do disco. A uma distância z R, o disco se assemelha 
a uma carga puntiforme Q, e o campo do disco, a essa distância, deve tender ao cam-
po de uma carga puntiforme. Fazendo na Equação 27.22, então , e 
obtemos (Edisco)z → 0, o que está correto, embora não seja exatamente o que queríamos. 
Desejamos que z seja muito grande em comparação a R, mas não tão grande que Edisco se 
anule. Isso requer um pouco mais de cuidado no cálculo do limite.
Podemos escrever a Equação 27.22 de uma forma um pouco mais útil passando z2 
para fora da raiz do denominador, do que resulta
 
(27.23)
Porém se , de modo que o segundo termo entre colchetes é do tipo (1 
� x)1/2, onde x 1. Podemos usar a aproximação binomial,
 (aproximação binomial) 
para simplificar a expressão entre colchetes:
 
(27.24)
Essa é uma boa aproximação quando z R. Substituindo a aproximação na Equação 
27.23, obtemos o campo elétrico do disco para z R, dado por
 
(27.25)
Este é, realmente, o campo de uma carga puntiforme Q, o que confirma a validade da 
Equação 27.22 para o campo elétrico sobre o eixo de um disco de carga.
NOTA � A aproximação binomial é uma ferramenta importante para analisar casos 
limite de campos elétricos. �
EXEMPLO 27.6 O campo elétrico de um disco carregado
Um disco plástico com 10 cm de diâmetro está carregado unifor-
memente com uma carga de 10
11
 elétrons extras. Qual é o campo 
elétrico criado em um ponto 1,0 mm acima da superfície e próximo 
do centro?
MODELO Considere o disco plástico como um disco uniformemente 
carregado. Desejamos determinar o campo elétrico sobre o eixo do 
disco. Devido ao fato de a carga ser negativa, o campo elétrico irá 
apontar para o disco.
Continua
832 Física: Uma Abordagem Estratégica
RESOLUÇÃO A carga total do disco de plástico é Q � N(�e) � �1,60 
� 10
�8
 C. A densidade superficial de carga é
O campo elétrico em z � 0,0010 m, dado pela Equação 27.22, é
O sinal negativo indica que o campo aponta para o disco em vez de 
para longe do mesmo. Em forma vetorial,
 � (1,1 � 10
5
 N/C, orientado para o disco) 
AVALIAÇÃO A carga total de �16 nC é uma quantidade típica de carga 
produzida por fricção em pequenos objetos de plástico. Portanto, 10
5
 
N/C é uma intensidade de campo elétrico típica para pontos próximos 
a um objeto que tenha sido eletrizado por atrito.
Um plano de carga
Muitos dispositivos eletrônicos utilizam superfícies planas carregadas – discos, quadra-
dos, retângulos e outros – para manter os elétrons em um determinado caminho. Tais su-
perfícies carregadas são chamadas de eletrodos. Embora qualquer eletrodo real seja de 
extensão finita, normalmente podemos considerar um eletrodo como um plano de carga 
infinito. Como a distância z até o eletrodo é pequena em comparação com as distâncias 
até as extremidades, podemos, aproximadamente, considerar as extremidades como se 
elas estivessem infinitamente distantes.
O campo elétrico criado por um plano de carga sobre o eixo é determinado a partir 
do campo gerado por um disco carregado tomando-se o limite , ou seja, um disco 
de raio infinito é um plano infinito. Da Equação 27.22, vemos que o campo elétrico cria-
do por um plano de carga com densidade superficial de carga é:
 
(27.26)
Trata-se de um resultado simples, mas o que ele nos diz? Primeiro, que a intensidade 
de campo é diretamente proporcional à densidade de carga : quanto maior for a carga, 
maior será o campo gerado. Segundo, e mais interessante, que a intensidade de campo é 
igual em todos os pontos do espaço, independentemente de sua distância z. A intensidade 
de campo a 1000 m do plano é igual à intensidade de campo a 1 mm do mesmo plano.
Como isso pode acontecer? Aparentemente o campo deveria tornar-se mais fraco à 
medida que você se afasta do plano. Mas lembre-se de que estamos lidando agora com 
um plano de carga infinito. O que significa estar “próximo“ ou “afastado” de um objeto 
infinito? Para um disco de raio finito R, um ponto à distância z estará “perto do” ou “lon-
ge do” disco dependendo da comparação entre z e R. Se z R, o ponto estará próximo 
ao disco. Se z R, o ponto estará longe do disco. Mas quando , não dispomos 
de escala que distinga o próximo do afastado. Em essência, qualquer ponto do espaço é 
“próximo a” um disco de raio infinito.
Nenhum plano real é infinito em extensão, mas podemos interpretar a Equação 27.26 
como significando que o campo criado por uma superfície de carga, independentemente 
de sua forma, é uma constante para aqueles pontos cuja distância z até a superfície 
seja muito menor do que as distâncias até as extremidades. Quando z R, a superfície 
de carga começará a se parecer com uma carga puntiforme Q e o campo terá de diminuir 
em 1/z2.
É necessário observar que a derivação que resultou na Equação 27.26 considerou que 
z � 0. Para um plano carregado positivamente, com , o campo elétrico aponta para 
fora do plano em ambos os lados do mesmo. Isso requer que Ez 	 0 ( tem o sentido 
negativo de z) no lado em que z 	 0. Portanto, a descrição completa do campo elétrico, 
válida para ambos os lados do plano e para qualquer que seja o sinal de �, é
 
(27.27)
 
Eletrodos de poucos milímetros de 
comprimento guiavam os elétrons através 
das antigas válvulas a vácuo. Transistores 
modernos de efeito de campo usam um 
eletrodo, chamado de gate*, com apenas 
1 �m de espessura.
 * N. de T.: No Brasil, utilizamos tanto porta 
como gate para nos referirmos ao dispositivo 
de controle de elétrons por meio da voltagem 
em um FET (Field Effect Transistor, transis-
tor de efeito de campo). Neste livro, optou-
se por usar a palavra consagrada em inglês.
CAPÍTULO 27 ■ O Campo Elétrico 833
A FIGURA 27.18 mostra duas vistas do campo elétrico de um plano carregado positiva-
mente. Todas as setas deverão ser invertidas no caso de um plano carregado negativa-
mente. Teria sido muito difícil prever este resultado a partir da leide Coulomb ou do 
campo elétrico criado por uma única carga puntiforme; todavia, passo a passo, consegui-
mos usar o conceito de campo elétrico para analisar distribuições de cargas crescente-
mente mais complexas.
Uma esfera carregada
A última distribuição de carga para a qual desejamos conhecer o campo elétrico é a de 
uma esfera carregada. Esse problema é análogo àquele em que queremos saber o cam-
po gravitacional de uma estrela ou de um planeta esférico. O procedimento para calcular 
o campo de uma esfera de carga é o mesmo que usamos para linhas e planos de carga, 
mas as integrações envolvidas são significativamente mais difíceis. Omitiremos os de-
talhes dos cálculos e, por ora, simplesmente aceitaremos o resultado sem demonstrá-lo. 
No Capítulo 28, usaremos um procedimento alternativo para determinar o campo criado 
por uma esfera carregada.
Uma esfera de carga Q e raio R, seja ela uniformemente carregada ou apenas uma 
casca esférica, cria um campo elétrico externo à esfera (r � R) idêntico ao de uma carga 
puntiforme Q que estivesse localizada no centro da esfera:
 
(27.28)
Essa afirmação é análoga à nossa afirmação anterior de que as forças gravitacionais 
entre estrelas e planetas podem ser calculadas como se todas as massas dos corpos esti-
vessem no centro.
A FIGURA 27.19 representa o campo elétrico criado por uma esfera carregada positiva-
mente. O campo de uma esfera negativamente carregada aponta para dentro da mesma. 
Note que o campo no interior da esfera (r 	 R) não é dado pela Equação 27.28.
PARE E PENSE 27.4
 Ordene em seqüência decrescente as intensidades de campo elétrico de 
Ea até Ee criadas pelos cinco pontos próximos ao plano de carga.
27.5 O capacitor de placas paralelas
A FIGURA 27.20 mostra dois eletrodos, um com carga �Q e outro com carga �Q coloca-
dos face a face e separados por uma distância d. Esse arranjo de dois eletrodos, carrega-
dos com o mesmo valor absoluto de carga, mas com sinais contrários, é chamado de 
capacitor de placas paralelas. Os capacitores desempenham papéis importantes em 
muitos circuitos elétricos. Nosso objetivo aqui é determinar o campo elétrico criado em 
ambos os lados de um capacitor, ou seja, dentro (entre as placas) e fora do mesmo.
NOTA � A carga total de um capacitor é nula. Os capacitores são carregados por 
meio da transferência de elétrons de uma placa para outra. A placa que ganha N elé-
trons adquire carga �Q � N(�e); a placa que perde elétrons adquire carga �Q. �
Comecemos com uma análise qualitativa. A FIGURA 27.21 é uma vista ampliada das 
placas do capacitor, observadas de lado. Devido ao fato de que cargas opostas se atraem, 
todas as cargas se encontram sobre as superfícies internas das duas placas. Portanto, as 
superfícies internas podem ser consideradas como planos carregados com densidades 
Vista em perspectiva
Vista lateral
FIGURA 27.18 Duas vistas do campo elétrico 
criado por um plano de carga.
O campo elétrico fora de uma esfera ou de uma 
casca esférica é igual ao campo criado por uma 
carga puntiforme Q localizada no centro.
FIGURA 27.19 Campo elétrico de uma 
esfera carregada positivamente.
Área A
FIGURA 27.20 Um capacitor de placas 
paralelas.
834 Física: Uma Abordagem Estratégica
superficiais de carga iguais e opostas. O campo elétrico , criado pela placa positiva, 
aponta para fora da superfície carregada correspondente. O campo , criado pela placa 
negativa, aponta para a superfície correspondente. A figura mostra ambos os campos 
entre as placas e também à esquerda e à direita do capacitor.
NOTA � Talvez você tenha pensado que a placa direita do capacitor deveria, de algu-
ma forma, “bloquear” o campo elétrico criado pela placa positiva e impedir a presen-
ça de um campo à direita do capacitor. Para verificar que ela não causa tal efeito, 
considere uma situação análoga que envolva a gravidade. A força da gravidade acima 
de uma mesa é igual à força da gravidade abaixo da mesa. Assim como a mesa não 
bloqueia o campo gravitacional da Terra, matéria ou cargas interpostas não alteram 
ou bloqueiam o campo elétrico de um objeto. �
Dentro do capacitor, e são paralelos e de mesma intensidade. Sua superposi-
ção cria um campo elétrico resultante dentro do capacitor que aponta da placa positiva 
para a placa negativa. Fora do capacitor, e apontam em sentidos opostos, e devido 
ao fato de o campo de uma placa de carga ser independente da distância até o plano, eles 
possuem o mesmo módulo. Conseqüentemente, os campos e se anulam fora das 
placas do capacitor.
Podemos calcular os campos entre as placas do capacitor a partir do campo criado por 
um plano infinito carregado. Entre os eletrodos, tem módulo e aponta da placa 
positiva para a negativa. O campo também tem módulo e também aponta da 
placa positiva para a negativa. Assim, o campo elétrico dentro do capacitor é
 
(27.29)
onde A é a área superficial de cada eletrodo. Fora das placas do capacitor, onde e 
possuem módulos iguais e orientações opostas, .
A FIGURA 27.22a mostra o campo elétrico criado por um capacitor ideal de placas pla-
nas construído com dois planos de carga infinitos. Ora, de fato não existe capacitor real 
que seja de extensão infinita, todavia o capacitor ideal de placas paralelas constitui uma 
aproximação muito boa para tudo, exceto em cálculos mais precisos, desde que a separa-
ção d entre os eletrodos seja muito menor do que o tamanho dos mesmos – ou seja, menor 
do que sua extensão lateral ou seu raio. A FIGURA 27.22b mostra que o campo no interior de 
um capacitor real é virtualmente idêntico àquele criado por um capacitor ideal exceto 
pelo fato do campo exterior não ser exatamente nulo. Este campo fraco e externo ao ca-
pacitor é chamado de campo de margem. Manteremos as coisas simples considerando 
sempre que os planos estejam muito próximos um do outro e usando a Equação 27.29 
para o campo criado por um capacitor de placas paralelas em seu interior.
NOTA � A forma dos eletrodos – circular, quadrada ou qualquer outra – não é rele-
vante desde que os eletrodos estejam muito próximos um do outro. �
Campos elétricos uniformes
A FIGURA 27.23 mostra um campo elétrico que é igual – em intensidade e orientação – em 
qualquer ponto de uma região do espaço. Chamamos isso de campo elétrico uniforme. 
Um campo elétrico uniforme é análogo ao campo gravitacional uniforme próximo à su-
perfície da Terra. Campos uniformes são de grande interesse prático, pois, como você 
verá na próxima seção, calcular a trajetória de uma partícula carregada que se move em 
um campo elétrico uniforme é um processo muito simples.
A forma mais fácil de produzir um campo elétrico uniforme é com um capacitor de pla-
cas paralelas, como se pode ver na Figura 27.22a. Na verdade, nosso interesse em capaci-
tores deve-se em grande parte ao fato de o campo elétrico ser uniforme. Muitos problemas 
sobre campo elétrico serão referentes a campos elétricos uniformes. Tais problemas trazem 
implícita a suposição de que a ação ocorre dentro de um capacitor de placas paralelas.
Dentro do capacitor, e são paralelos, 
de modo que o campo resultante é grande.
Vista lateral 
dos eletrodos
res res res
Fora do capacitor, e são opostos, 
de modo que o campo resultante ali é nulo.
E
�
E
� E
�
E
�
E
�
E
�
E
�
E
�
E
�
E
�
E E E
FIGURA 27.21 Os campos elétricos no 
interior e exterior de um capacitor de 
placas paralelas.
(a) Capacitor ideal
Vista 
lateral dos 
eletrodos.
O campo é constante e aponta do 
eletrodo positivo para o negativo.
(b) Capacitor real
Um campo fraco se estende 
externamente aos eletrodos.
FIGURA 27.22 O campo elétrico criado por 
um capacitor.
FIGURA 27.23 Campo elétrico uniforme.
CAPÍTULO 27 ■ O Campo Elétrico 835
EXEMPLO 27.7 O campo elétrico interno de um capacitor
Dois eletrodos retangulares de 1,0 cm � 2,0 cm estão separados por 1,0 
mm. Que carga deve ser colocada em cada eletrodo a fim de criar umcampo elétrico uniforme com intensidade de 2,0 � 10
6
 N/C? Para isso, 
quantos elétrons devem ser transferidos de um eletrodo para outro?
MODELO Uma vez que o espaçamento entre os eletrodos é bem menor 
do que suas dimensões laterais, os eletrodos podem ser considerados 
como um capacitor de placas paralelas.
RESOLUÇÃO A intensidade de campo elétrico dentro do capacitor é 
. Assim, a carga para produzir um campo de intensidade E é
A placa positiva deve ser carregada com �3,5 nC, e a negativa, com 
�3,5 nC. Na prática, as placas são carregadas usando-se uma bateria 
para transferir elétrons de uma placa para outra. O número de elétrons 
correspondente a 3,5 nC é
Portanto, são transferidos 2,2 � 10
10
 elétrons de um eletrodo para ou-
tro. Note que o capacitor como um todo não possui uma carga líquida.
AVALIAÇÃO O espaçamento entre as placas não aparece no resultado. 
Enquanto o espaçamento for muito menor do que as dimensões da 
placa, o que ocorre neste exemplo, o campo será independente do 
espaçamento.
PARE E PENSE 27.5
 Ordene em seqüência decrescente os módulos 
Fa – Fe das forças que um próton experimentaria se fosse colo-
cado nos pontos indicados de a até e neste capacitor de placas 
paralelas.
27.6 Movimento de uma partícula carregada 
em um campo elétrico
Nossa motivação ao introduzir o conceito de campo elétrico foi compreender a interação 
de ação a distância entre cargas. Dissemos que algumas cargas, as cargas-fonte, criam 
um campo elétrico. Outras cargas, então, respondem ao campo elétrico gerado. As pri-
meiras cinco sessões deste capítulo se concentraram em campos elétricos produzidos 
por cargas-fonte. Agora, voltaremos nossa atenção para a segunda metade da interação 
elétrica.
A FIGURA 27.24 mostra uma partícula de carga q e massa m em um ponto onde um 
campo elétrico foi produzido por outras cargas, as cargas-fonte. O campo elétrico 
exerce a força
sobre uma partícula carregada. Essa relação entre campo e força constitui a defini-
ção de campo elétrico. Note que a força exercida sobre uma partícula negativamente 
carregada tem o sentido oposto ao do vetor campo elétrico. Os sinais algébricos são 
importantes!
O vetor representa o campo 
elétrico neste ponto.
A força sobre uma carga positiva 
tem o sentido de 
A força sobre uma carga negativa 
tem sentido oposto ao de 
sobre q
sobre q
FIGURA 27.24 O campo elétrico exerce uma força sobre uma partícula carregada.
11.9, 11.10
836 Física: Uma Abordagem Estratégica
Se sobre q for a única força exercida sobre q, ela fará com que a partícula carregada 
acelere com
 
(27.30)
Esta aceleração é a resposta da partícula carregada à carga-fonte que criou o campo 
elétrico. A razão q/m é especialmente importante para a dinâmica do movimento de uma 
partícula carregada. Ela é chamada de razão carga-massa. Duas cargas de mesmo sinal, 
digamos um próton e um íon Na
�
, experimentarão forças iguais a se posiciona-
das em um mesmo ponto de um campo elétrico, mas suas acelerações serão diferentes 
porque elas possuem massas diferentes e, portanto, diferentes razões carga-massa. Duas 
partículas com diferentes cargas e massas, mas com a mesma razão carga-massa, expe-
rimentarão a mesma aceleração e seguirão a mesma trajetória.
Movimento em um campo uniforme
O movimento de uma partícula carregada em um campo elétrico uniforme é importante 
pela sua simplicidade básica e por seu grande número de aplicações práticas. Um campo 
uniforme é constante em todos os pontos – constante em módulo e orientação – na re-
gião do espaço em que a partícula carregada se move. Da Equação 27.30 segue que toda 
partícula carregada, em presença de um campo elétrico uniforme, se moverá com 
uma aceleração constante. O módulo dessa aceleração é
 
(27.31)
onde E é a intensidade do campo elétrico, e a orientação de é paralela ou antiparalela a 
, dependendo do sinal de q.
A determinação do movimento de uma partícula carregada em um campo uniforme 
com uma aceleração constante põe em uso todas as ferramentas da cinemática desenvol-
vida nos Capítulos 2 e 4 para o movimento com aceleração constante. A trajetória básica 
de uma partícula carregada em um campo uniforme é uma parábola, analogamente ao 
movimento balístico de uma massa no campo gravitacional uniforme próximo à super-
fície da Terra. No caso particular de uma partícula carregada lançada paralelamente ao 
vetor campo elétrico, o movimento será unidimensional, análogo ao movimento unidi-
mensional vertical de uma massa atirada para cima ou em queda.
NOTA � A aceleração gravitacional sempre aponta para baixo. A aceleração do 
campo elétrico pode ter qualquer orientação. A fim de obter a orientação de , 
você deverá determinar o campo elétrico . �
EXEMPLO 27.8 Um elétron se move através de um capacitor
Dois eletrodos com diâmetro de 6,0 cm estão espaçados por 5,0 
mm. Eles são carregados pela transferência de 1,0 � 10
11
 elétrons 
de um eletrodo para outro. Um elétron é solto, a partir do repouso, 
na superfície do eletrodo negativo. Quanto tempo ele demora para 
chegar ao eletrodo positivo? Com que velocidade ele colide com o 
eletrodo positivo? Considere que o espaço entre os eletrodos seja 
um vácuo.
MODELO Os eletrodos formam um capacitor de placas paralelas. O 
campo elétrico no interior de um capacitor de placas paralelas é uni-
forme, portanto o elétron terá aceleração constante.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 27.25 mostra uma vista lateral do capacitor e 
do elétron. A força sobre o elétron negativo é oposta ao campo elétri-
co, de modo que o elétron é repelido pelo eletrodo negativo enquanto 
acelera através do espaço vazio de largura d entre os eletrodos.
O capacitor foi carregado pela transferência de 1011 
elétrons do eletrodo direito para o eletrodo esquerdo.
Elétron
,
,
FIGURA 27.25 Um elétron acelera através de um capacitor (as 
placas estão exageradamente separadas na figura).
As “impressões digitais do DNA” são 
obtidas com a técnica da eletroforese em 
gel. Uma solução contendo fragmentos 
de DNA é colocada em uma cavidade 
numa das extremidades de uma lâmina 
coberta com gel. Os fragmentos estão 
negativamente carregados quando na 
solução e começam a migrar através 
do gel quando um campo uniforme é 
estabelecido paralelamente à superfície 
da lâmina. Devido à força de arrasto 
exercida pelo gel, os fragmentos se 
deslocam a velocidades terminais que 
são inversamente proporcionais aos seus 
tamanhos. Dessa forma, a eletroforese 
em gel ordena os fragmentos de DNA 
por tamanho, e marcadores fluorescentes 
permitem a visualização dos resultados.
CAPÍTULO 27 ■ O Campo Elétrico 837
RESOLUÇÃO Os eletrodos não são cargas puntiformes, dessa forma 
não podemos usar a lei de Coulomb para determinar a força exercida 
sobre o elétron. Em vez disso, devemos analisar o movimento do elé-
tron em função do campo elétrico dentro do capacitor. O campo é o 
agente que exerce a força sobre o elétron, produzindo sua aceleração. 
A intensidade do campo elétrico dentro de um capacitor de placas 
paralelas com carga Q � Ne é
A aceleração do elétron no campo é
onde usamos a massa do elétron, m � 9,11 � 10�31 kg. Trata-se de 
uma aceleração enorme se comparada às acelerações de objetos ma-
croscópicos com as quais estamos familiarizados. Podemos usar a ci-
nemática unidimensional, com xi � 0 e vi � 0, para calcular o tempo 
requerido pelo elétron para atravessar o capacitor.
A velocidade do elétron ao atingir o eletrodo positivo é
AVALIAÇÃO Usamos e em vez de �e para obter a aceleração porque já 
sabemos qual é a orientação; precisamos apenas do módulo. A veloci-
dade do elétron após percorrer meros 5,0 mm corresponde aproxima-
damente a 10% da velocidade da luz.
Eletrodos paralelos como os do Exemplo 27.8 freqüentemente são usados para ace-
lerar partículas carregadas. Se a placa positiva tem um pequeno furo no centro, um feixe 
de elétrons passará através do mesmo, após ter sido acelerado ao cruzar o “gap” do ca-
pacitor,e emergirá do furo com uma velocidade de 3,3 � 10
7
 m/s. Esta é a idéia básica 
do canhão de elétrons usado em televisores, osciloscópios, monitores de computador e 
outros dispositivos com tubos de raios catódicos (CRT). (Um eletrodo negativamente 
carregado é chamado de cátodo, denominação dada pelos físicos que pela primeira vez 
conseguiram produzir feixes de elétrons em fins do século XIX, dominando-os de raios 
catódicos.) O próximo exemplo mostra que eletrodos paralelos podem ser usados tam-
bém para desviar partículas próximas carregadas.
EXEMPLO 27.9 Desviando um feixe de elétrons
Um canhão de elétrons gera um feixe de elétrons que se movem ho-
rizontalmente com velocidades de 3,3 � 10
7
 m/s. Os elétrons per-
correm um espaço vazio de 2,0 cm de largura entre dois eletrodos 
paralelos, onde o campo elétrico é � (0,50 � 10
4
 N/C, para baixo). 
Em que orientação (ângulo e sentido) o feixe de elétrons é desviado 
por esses eletrodos?
MODELO O campo elétrico entre os eletrodos é uniforme. Considere 
que o campo elétrico fora dos eletrodos sela nulo.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 27.26 mostra um elétron que se move através 
do campo elétrico. Este aponta para baixo, de modo que a força que 
ele exerce sobre os elétrons (negativos) é orientada para cima. Os elé-
trons seguem uma trajetória parabólica análoga àquela descrita por 
uma bola arremessada horizontalmente, a não ser pelo fato de que os 
elétrons “caem para cima” ao invés de para baixo.
para baixo,
,
Placas defletoras
FIGURA 27.26 Um feixe de elétrons é desviado por um campo 
elétrico uniforme.
RESOLUÇÃO Este é um problema sobre movimento bidimensio-
nal. Os elétrons entram no capacitor com uma velocidade vetorial 
 e saem do mesmo com velocidade 
. O ângulo de saída dos elétrons em relação à direção 
do campo elétrico é
Este é o ângulo de desvio. Para determinar �, devemos calcular o ve-
tor velocidade .
Não existe uma força horizontal exercida sobre os elétrons, por-
tanto v1x � v0x � 3,3 � 10
7
 m/s. O módulo da aceleração dos elétrons 
orientada para cima é
Podemos agora usar o fato de que a velocidade horizontal é constan-
te para determinar o intervalo de tempo 
t necessário para o elétron 
percorrer os 2,0 cm:
Haverá também uma aceleração vertical durante esse intervalo de 
tempo, resultando em uma velocidade vertical final
Continua
838 Física: Uma Abordagem Estratégica
Ao deixar o capacitor, a velocidade de um elétron é, portanto
e o ângulo de desvio é
AVALIAÇÃO As acelerações de partículas carregadas em um campo elé-
trico são enormes em comparação com a aceleração de queda livre g. 
Dessa forma, raramente é necessário levar em conta a força gravita-
cional quando calculamos as trajetórias de partículas carregadas. A 
única exceção é para objetos macroscópicos carregados, como contas 
de plástico eletrizadas em campos elétricos fracos.
O Exemplo 27.9 ilustrou como um elétron é direcionado para um ponto sobre a tela 
de um tubo de raios catódicos. Primeiro um feixe de elétrons ultra-rápidos é criado por 
um canhão de elétrons como aquele do Exemplo 27.8. O feixe passa primeiro através de 
um conjunto de placas defletoras verticais, como no Exemplo 27.9, em seguida atraves-
sa um segundo conjunto de placas defletoras horizontais. Após deixar as placas defleto-
ras, ele se desloca (através do vácuo, a fim de não haver colisões com as moléculas de ar) 
diretamente para a tela do tubo de raios catódicos, onde o elétron colide com um reves-
timento de fósforo sobre a superfície interna da tela, produzindo ali um ponto luminoso. 
Ajustando-se adequadamente os valores do campo elétrico entre as placas defletoras, os 
elétrons serão direcionados para qualquer ponto da tela.
Movimento em um campo não-uniforme
O movimento de uma partícula carregada em um campo elétrico não-uniforme pode ser 
um tanto complicado. Técnicas matemáticas sofisticadas e computadores são usados 
para determinar tais trajetórias. Entretanto, um tipo de movimento em campo elétrico 
não-uniforme é de fácil análise: a órbita circular descrita por uma partícula carregada em 
torno de uma esfera ou de um fio carregado.
A FIGURA 27.27 mostra uma partícula de carga negativa em órbita de uma esfera positi-
vamente carregada, analogamente à Lua em órbita da Terra. Você poderá rever no Capítulo 
8 que a segunda lei de Newton para o movimento circular assume a forma (Fres)r � mv
2
/r. 
Aqui, a força radial tem módulo igual a |q|E, onde E é a intensidade do campo elétrico à 
distância r. Assim, a carga poderá se mover em uma órbita circular se
 
(27.32)
Exemplos específicos de órbitas circulares serão deixados como tarefas para casa.
PARE E PENSE 27.6
 Qual é o campo elétrico responsável pela trajetória do próton na figura?
Trajetória 
parabólica
27.7 Movimento de um dipolo em um campo 
elétrico
Vamos concluir o capítulo retornando a um dos problemas mais interessantes que men-
cionamos nas observações iniciais do Capítulo 26. Lá, você descobriu que objetos car-
regados com qualquer sinal exercem forças sobre objetos neutros, tal como quando um 
pente usado para pentear seu cabelo atrai pequenos pedaços de papel. Nossa compreen-
são qualitativa da força de polarização requeria duas partes:
A carga polariza os objetos neutros, criando um dipolo elétrico induzido. ■
sobre q
FIGURA 27.27 Movimento circular de uma 
partícula carregada ao redor de uma esfera 
carregada.
CAPÍTULO 27 ■ O Campo Elétrico 839
A carga, então, exerce uma força atrativa sobre a extremidade mais próxima do di- ■
polo que é um pouco mais intensa do que a força repulsiva exercida sobre a extremi-
dade mais afastada.
Agora estamos em condições de entender isso de forma quantitativa. Analisaremos a 
força exercida sobre um dipolo permanente. Deixaremos como tarefa para casa você 
refletir acerca dos dipolos induzidos.
Dipolos em campos uniformes
A FIGURA 27.28a mostra um dipolo elétrico em um campo elétrico uniforme externo que 
foi criado por cargas-fonte não-mostradas na figura, ou seja, não é o campo criado 
pelo dipolo, é um campo ao qual o dipolo responde. Neste caso, devido ao fato de o 
campo ser uniforme, o dipolo encontra-se presumivelmente dentro de um capacitor de 
placas paralelas não-visível na figura.
A força resultante sobre o dipolo é a soma das forças exercidas sobre as duas cargas 
que o constituem. Uma vez que as cargas �q têm o mesmo módulo, mas sinais opostos, 
as duas forças e também serão iguais em módulo, mas de senti-
dos opostos. Assim, a força resultante sobre o dipolo é
 (27.33)
Não existe força resultante exercida sobre um dipolo em um campo elétrico uni-
forme.
Pode não haver força resultante, mas o campo elétrico afeta o dipolo. Uma vez que 
as duas forças da Figura 27.28a têm sentidos opostos, mas não são exercidas ao longo de 
uma mesma linha de ação, o campo elétrico exerce um torque sobre o dipolo, fazendo-o 
entrar em rotação.
O torque faz com que o dipolo gire até ficar alinhado com o campo elétrico, como 
mostrado na FIGURA 27.28b. Nesta posição, não existe força elétrica resultante sobre o di-
polo, assim como também não há torque. Portanto, a Figura 27.28b mostta a posição de 
equilíbrio para um dipolo em um campo elétrico uniforme. Observe que a extremidade 
positiva do dipolo é puxada no sentido para o qual aponta.
A FIGURA 27.29 apresenta uma amostra de dipolos permanentes, tais como os de molé-
culas de água em um campo elétrico externo. Todos os dipolos giram até ficarem alinha-
dos com o campo elétrico. Este é o mecanismo pelo qual a amostra se torna polarizada. 
Uma vez que os dipolos estejam alinhados, haverá um excesso de carga positiva em uma 
das extremidades da amostra e um excesso de carga negativa na outra. Os excessos de 
carga nas extremidades da amostra constituem a origem das forças de polarização dis-
cutidas na Seção 26.3.
Não é difícil calcular o torque sobre um dipolo. As duas forças sobre o dipolo da FI-
GURA 27.30 formam o que chamamos, noCapítulo 12, de binário. Lá, você aprendeu que 
o torque � produzido por um binário é o produto da força F pela distância l entre as li-
nhas de ação das forças exercidas. Você pode verificar que l � s sen�, onde � é o ângulo 
que o dipolo faz com o campo elétrico . Portanto, o torque sobre o dipolo é
 (27.34)
onde p � qs é a definição do módulo do momento de dipolo. O torque será nulo quando 
o dipolo estiver alinhado com o campo, resultando em � � 0.
Do Capítulo 12, recorde-se de que o torque pode ser escrito em forma matemática 
compacta como o produto vetorial entre os dois vetores. Os termos p e E da Equação 
27.34 são os módulos dos vetores correspondentes, e � é o ângulo entre eles. Assim, em 
notação vetorial, o torque exercido sobre o momento de dipolo por um campo elétrico 
 é
 (27.35)
O torque será máximo quando for perpendicular a , e nulo quando estiver alinhado, 
no mesmo sentido ou em sentido oposto, com .
O campo elétrico exerce 
um torque sobre o dipolo.
O dipolo encontra-se em equilíbrio.
F
�
F
�
F
�
F
�
E
E
E
FIGURA 27.28 Um dipolo em um campo 
elétrico uniforme.
Dipolos alinhados com o campo elétrico.
Há um excesso de carga 
negativa sobre esta 
superfície.
Há um excesso de car-
ga positiva sobre esta 
superfície.
FIGURA 27.29 Uma amostra de dipolos 
permanentes é polarizada por um campo 
elétrico.
O torque devido ao binário 
é sen
sen
Em função de vetores, 
FIGURA 27.30 Torque sobre um dipolo.
840 Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 27.10 A aceleração angular de um dipolo em 
forma de haste
Duas esferas com massas de 1,0 g estão conectadas por um bastão 
isolante com 2,0 cm de comprimento e massa desprezível. Uma das 
esferas tem carga de �10 nC, e a outra, uma carga de �10 nC. O 
bastão é suspenso em um campo elétrico uniforme de 1,0 � 10
4
 N/C, 
formando um ângulo de 30° em relação ao campo, e, então, é solto. 
Qual será sua aceleração angular inicial?
MODELO As duas bolas com cargas de sinais contrários formam um 
dipolo elétrico. O campo elétrico exerce um torque sobre o dipolo, 
produzindo uma aceleração angular.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 27.31 mostra o dipolo dentro do campo 
elétrico.
, 
, 
, 
, 
FIGURA 27.31 O dipolo do Exemplo 27.10.
RESOLUÇÃO O momento de dipolo é p � qs � (1,0 � 10�8 C)�(0,020 
m) � 2,0 � 10
�10
 Cm. O torque exercido pelo campo elétrico sobre o 
momento de dipolo é
No Capítulo 12, você aprendeu que um torque produz uma aceleração 
angular , onde I é o momento de inércia do corpo. O dipolo 
gira em torno do seu centro de massa, localizado no centro do bastão, 
portanto o momento de inércia é
Assim, a aceleração angular do bastão é
AVALIAÇÃO O valor de � corresponde à aceleração angular inicial, 
logo que o bastão é solto. O torque e a aceleração angular diminuirão 
à medida que o bastão girar para se alinhar com .
Dipolos em um campo não-uniforme
Suponha que um dipolo seja colocado em um campo elétrico não-uniforme, cuja intensi-
dade de campo varia com a posição. Por exemplo, a FIGURA 27.32 mostra um dipolo dentro 
de um campo não-uniforme criado por uma carga puntiforme. A resposta imediata do 
dipolo é girar até se alinhar com o campo, com a extremidade positiva do dipolo puxada 
no mesmo sentido do campo. Entretanto, existe agora uma pequena diferença entre as 
forças exercidas sobre as extremidades do dipolo. Essa diferença ocorre porque o campo 
elétrico, que depende da distância até a carga puntiforme, é mais forte na extremidade 
do dipolo que está mais próxima à carga. Isso faz com que exista uma força resultante 
exercida sobre o dipolo.
Para onde essa força aponta? A FIGURA 27.32a mostra uma carga puntiforme positiva. 
Uma vez que o dipolo esteja alinhado, a força atrativa para o lado esquerdo, exercida 
sobre a extremidade negativa, será um pouco mais intensa do que a força repulsiva orien-
tada para a direita, sobre a extremidade positiva. Isto dá origem a uma força resultante 
orientada para a esquerda, em direção à carga puntiforme. Dentro do campo, o dipolo 
da FIGURA 27.32b se alinha em sentido oposto ao campo criado por uma carga puntiforme 
negativa, mas a força resultante ainda aponta para a esquerda.
Como você pode ver, a força resultante exercida sobre um dipolo tem o mesmo sen-
tido do campo mais intenso. Uma vez que todo objeto carregado de tamanho finito, como 
um bastão carregado ou um disco carregado, cria um campo cuja intensidade aumenta à me-
dida que nos aproximamos do objeto, podemos concluir que todo dipolo experimenta uma 
força resultante em direção a qualquer objeto carregado posicionado próximo a ele.
res res
FIGURA 27.32 Um dipolo alinhado é atraído por uma carga puntiforme.
CAPÍTULO 27 ■ O Campo Elétrico 841
EXEMPLO 27.11 Força sobre uma molécula de água
A molécula H2O de água possui um momento de dipolo permanente 
com módulo de 6,2 � 10
�30
 Cm. Em uma solução de água salgada, 
uma molécula de água está localizada a 10 nm de um íon Na
�
. Que 
força o íon exerce sobre a molécula?
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 27.33 mostra o íon e o dipolo da molécula de 
água. As forças constituem um par ação/reação.
dipolo sobre íon íon sobre dipolo
íon Na+ Molécula de água
FIGURA 27.33 A interação entre um íon e um dipolo permanente.
RESOLUÇÃO Um íon Na
�
 possui uma carga q � �e. O campo elétrico 
criado pelo íon alinha o momento de dipolo da água e exerce uma for-
ça resultante sobre ele. Poderíamos calcular a força resultante sobre o 
dipolo como a pequena diferença entre a força atrativa, exercida sobre 
sua extremidade negativa, e a força repulsiva, exercida sobre a extremi-
dade positiva. Alternativamente, pela terceira lei de Newton sabemos 
que a força dipolo sobre íon tem o mesmo módulo da força íon sobre dipolo pela 
qual estamos procurando. Na Seção 27.2 calculamos o campo sobre o 
eixo de um dipolo. Um íon de carga q � e experimentará uma força 
de módulo quando colocado naquele campo. O 
campo elétrico do dipolo, obtido pela Equação 27.11, é
A força sobre o íon à distância r � 1,0 � 10�8 m é
Portanto, a força sobre a molécula de água é íon sobre dipolo � 1,8 � 
10
�14
N.
AVALIAÇÃO Embora 1,8 � 10
�14
 N possa parecer uma força muito pe-
quena, ela é � 1011 vezes maior do que a intensidade da força gravi-
tacional que a Terra exerce sobre essas partículas atômicas. Forças 
como estas fazem com que as moléculas de água se agrupem em tor-
no de quaisquer íons presentes na solução. Esses agrupamentos de-
sempenham um papel importante na física microscópica de soluções 
estudadas na química e na bioquímica.
842 Física: Uma Abordagem Estratégica
R E S U M O
O objetivo do Capítulo 27 foi aprender como calcular e manipular o campo elétrico.
Princípios gerais
Fontes de 
Campos elétricos são criados por cargas.
As duas principais ferramentas para calcular são
O campo de uma carga puntiforme:• 
O princípio da superposição• 
Múltiplas cargas puntiformes
Use superposição: 
Distribuição contínua de carga
Divida a carga em segmentos • 
Q para os quais você já conhece 
o campo.
Determine o campo criado por um • 
Q.
Determine • somando os campos criados por todos os 
Q.
A soma normalmente se torna uma integral. Um passo importante é 
trocar 
Q por uma expressão que envolva uma densidade de carga 
(� ou �) e uma coordenada de integração.
 
Conseqüências de 
O campo elétrico exerce uma força sobre 
uma partícula carregada:
A força causa uma aceleração:
As trajetórias das partículas carregadas são calculadas com a ci-
nemática.
O campo elétrico exerce um tor-
que sobre um dipolo:
O torque tende a alinhar os dipolos com o campo.
Em um campo elétrico não-uniforme, 
um dipolo experimenta uma força re-
sultante orientada no sentido em que 
aumenta a intensidade do campo.
F
�
F
�
E
Aplicações
Dipolo elétrico
O momento de dipolo elétrico é (qs, do 
negativo para o positivo)
Campo sobre o eixo: 
Campo no plano bissetor: 
Linha de carga infinita com densidade linear 
de carga �Plano de carga infinito com densidade su-
perficial de carga �
Esfera carregada
O mesmo que uma carga puntiforme Q para 
 
Capacitor de placas paralelas
O campo elétrico no interior de um ca-
pacitor ideal é um campo elétrico uni-
forme:
Um capacitor real tem um campo de 
margem fraco ao seu redor.
CAPÍTULO 27 ■ O Campo Elétrico 843
Termos e notação
momento de dipolo, 
linha de campo elétrico
densidade linear de carga, �
densidade superficial de carga, �
uniformemente carregado
linha de carga
eletrodo
plano de carga
esfera de carga
capacitor de placas paralelas
campo de margem
campo elétrico uniforme
razão carga-massa, q/m
Para a tarefa de casa indicada no MasteringPhysics, 
acessar www.masteringphysics.com
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão 
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Problemas indicados pelo ícone integram o material 
relevante de capítulos anteriores.
Q U E S T Õ E S C O N C E I T U A I S
 1. Suponha que lhe tenha sido dada como tarefa determinar o mó-
dulo e a orientação do campo elétrico em um determinado ponto 
no espaço. Descreva passo a passo um procedimento por meio do 
qual você faria isso. Liste todos os objetos que você usaria, todas 
as medidas que realizaria e quaisquer cálculos que necessitaria fa-
zer. Certifique-se de que suas medidas não perturbarão as cargas 
que criam o campo.
 2. Copie a FIGURA Q27.2 em uma folha. Em cada item, desenhe um 
ponto ou vários pontos sobre a figura a fim de mostrar qualquer 
posição ou posições (que não sejam infinitamente distantes) onde 
.
FIGURA Q27.2
 3. Ordene em seqüência decrescente as intensidades de campo elétri-
co de E1 a E4 nos pontos de 1 a 4 na FIGURA Q27.3. Explique.
FIGURA Q27.3 FIGURA Q27.4
 4. O pequeno segmento de fio na FIGURA Q27.4 contém 10 nC de carga.
a. O segmento é reduzido a um terço do comprimento original. 
Qual é a razão , onde e são as densidades de carga 
inicial e final, respectivamente?
b. Um próton está muito afastado do fio. Qual é a razão Ff /Fi entre 
a intensidade da força elétrica sobre o próton após o segmento ter 
sido reduzido a um terço do comprimento original e a intensida-
de da força sobre o próton antes do segmento ter sido reduzido?
c. Suponha que o comprimento original do segmento de fio seja 
aumentado em 10 vezes. Que quantidade de carga deve ser adi-
cionada ao fio para que a densidade linear de carga do mesmo 
não seja alterada?
 5. Um fio possui densidade linear de carga inicial �i. O fio é esticado 
em mais 50% de seu comprimento original e um terço de sua carga 
é removida. Quanto vale a razão , onde �f é a densidade linear 
de carga final?
 6. O canudo para tomar refrigerante da FIGURA Q27.6 está uniforme-
mente carregado. Qual é o campo elétrico no centro (dentro) do 
tubo? Explique.
FIGURA Q27.6 
Dentro do tubo
 7. Um elétron experimenta uma força de intensidade F a 1 cm de dis-
tância de um fio muito comprido e carregado com uma densidade 
linear de carga �. Se a densidade linear de carga for dobrada, a que 
distância do fio um próton experimentará uma força de intensidade 
igual a F?
 8. A área de forma irregular da FIGURA Q27.8 
possui uma densidade superficial de carga 
�i. Cada dimensão da área (x e y) é reduzi-
da por um fator de 3,163.
a. Qual é o valor da razão �f /�i, onde �f é a 
densidade superficial de carga final?
b. Um elétron está muito afastado da área. 
Qual é a razão Ff /Fi entre a intensidade da força elétrica sobre o 
elétron após a redução da área e a intensidade original da força 
antes da redução da área?
 9. Um disco circular está carregado e sua uma densidade superficial 
de carga vale 8 nC/cm
2
. Qual será a densidade superficial de carga 
se o raio do disco for dobrado?
FIGURA Q27.8
844 Física: Uma Abordagem Estratégica
 10. Uma esfera de raio R possui uma carga Q. A intensidade de campo 
elétrico a uma distância é Ei. Qual é a razão Ef /Ei entre as 
intensidades de campo final e inicial se (a) Q diminui pela metade, 
(b) R diminui pela metade e (c) r diminui pela metade (mas ainda é 
� R)? Em cada item, apenas uma grandeza sofre variação, as outras 
se mantêm em seus valores iniciais.
 11. A bola da FIGURA Q27.11 é mantida suspensa por um grande plano 
positivo uniformemente carregado. Ela oscila com um período T. 
Se a bola for descarregada, o período irá aumentar, diminuir ou per-
manecerá o mesmo? Explique.
Massa m 
Carga q
FIGURA Q27.11 FIGURA Q27.12
 12. Ordene em seqüência decrescente as intensidades de campo elétrico 
de E1 a E5 nos cinco pontos indicados na FIGURA Q27.12. Explique.
 13. Um capacitor de placas paralelas consiste de duas placas quadra-
das, de tamanho L � L, separadas pela distância d. As placas são 
carregadas com cargas �Q. Qual será o valor da razão Ef/Ei entre a 
intensidade do campo elétrico final e a intensidade do campo elétri-
co inicial se (a) Q for dobrada, (b) L for dobrado e (c) d for dobra-
da? Em cada item, apenas uma grandeza sofre variação, as outras se 
mantêm em seus valores iniciais.
 14. Um pequeno objeto é solto no centro do 
capacitor da FIGURA Q27.14. Para cada si-
tuação descrita nos itens abaixo, o objeto 
se moverá para a direita, para a esquerda 
ou permanecerá no mesmo lugar? Se ele 
se deslocar, terá aceleração ou se moverá 
com uma velocidade constante?
a. Um objeto positivo é solto a partir do 
repouso.
b. Um objeto neutro, mas polarizado, é 
solto a partir do repouso.
c. Um objeto negativo é solto a partir do repouso.
 15. Um próton e um elétron são soltos a partir do repouso no centro de 
um capacitor.
a. A razão entre os módulos das forças envolvidas, Fp/Fe, será maior 
do que 1, menor do que 1 ou igual a 1? Explique.
b. A razão entre as acelerações correspondentes, ap/ae, será maior 
do que 1, menor do que 1 ou igual a 1? Explique.
 16. Três cargas são colocadas nos vértices do 
triângulo da FIGURA Q27.16. A quantidade 
de carga indicada por �� é o dobro da 
quantidade de carga das duas cargas indi-
cadas por �; a carga resultante é nula.
a. O triângulo encontra-se em equilí-
brio? Em caso afirmativo, explique 
por quê. Em caso negativo, faça um 
desenho da orientação correspondente 
ao equilíbrio.
b. No equilíbrio, o triângulo se moverá para a direita, para a esquer-
da ou permanecerá no mesmo lugar? Explique.
FIGURA Q27.14
FIGURA Q27.16
E X E R C Í C I O S E P R O B L E M A S
Exercícios
Seção 27.2 Campo elétrico criado por múltiplas cargas 
puntiformes
 1. || Quais são o módulo e a orientação do campo elétrico na posição 
indicada pelo ponto na FIGURA EX27.1? Especifique a direção por 
meio de um ângulo acima ou abaixo da horizontal.
,
,
,
,
,
FIGURA EX27.1 
,
,
,
FIGURA EX27.2
 2. || Quais são o módulo e a orientação do campo elétrico na posição 
indicada pelo ponto na FIGURA EX27.2? Especifique a direção por 
meio de um ângulo acima ou abaixo da horizontal.
 3. || Quais são o módulo e a orientação do campo elétrico na posição 
indicada pelo ponto na FIGURA EX27.3? Especifique a direção por 
meio de um ângulo acima ou abaixo da horizontal.
,
,
,
FIGURA EX27.3 
,
,
,
,
,
FIGURA EX27.4
 4. || Quais são o módulo e a orientação do campo elétrico na posição 
indicada pelo ponto na FIGURA EX27.4? Especifique a direção por 
meio de um ângulo acima ou abaixo da horizontal.
 5. || Um dipolo elétrico é formado por cargas de �1,0 nC separadas 
por 2,0 mm. O dipolo encontra-se na origem, orientado ao longo 
do eixo y. Qual é a intensidade do campo elétrico que ele cria nos 
pontos (a) (x, y) � (10,0 cm, 0 cm) e (b) (x, y) � (0 cm, 10 cm)?
 6. || Um dipolo elétrico é formado por duas cargas �q espaçadas por 
1,0 cm. O dipolo encontra-se na origem, orientado ao longo do eixo 
y. A intensidade do campo elétrico que ele cria no ponto (x, y) � (0 
cm, 10 cm) é de 360 N/C.
a. Qual é o valor da carga q? Expresse sua resposta em nC.
b. Qual é a intensidade do campo elétrico no ponto (x, y) � (10 cm, 
0 cm)?
CAPÍTULO 27 ■O Campo Elétrico 845
Seção 27.3 Campo elétrico criado por uma distribuição contínua 
de carga
 7. | A intensidade do campo elétrico a 5,0 cm de um fio longo e car-
regado é de 2000 N/C. Qual é a intensidade do campo elétrico a 10 
cm do fio?
 8. || Um bastão de vidro com 10 cm de comprimento carregado uni-
formemente com �10 nC e um bastão de plástico com 10 cm de 
comprimento carregado uniformemente com �10 nC são coloca-
dos lado a lado, afastados um do outro por 4,0 cm. Quais são as 
intensidades do campo elétrico de E1 a E3 às distâncias de 1,0 cm, 
2,0 cm e 3,0 cm do bastão de vidro, ao longo da reta que passa pelos 
pontos centrais dos bastões?
 9. || Dois bastões de vidro finos, com 10 cm de comprimento e uni-
formemente carregados com �10 nC, são colocados lado a lado, 
afastados 4,0 cm um do outro. Quais são as intensidades de campo 
elétrico de E1 a E3 as distâncias de 1,0 cm, 2,0 cm e 3,0 cm à direita 
do bastão da esquerda, ao longo da reta que passa pelos pontos cen-
trais dos bastões?
 10. || Um bastão de vidro com 10 cm de comprimento está carregado 
uniformemente com �40 nC. Uma pequena conta de vidro, carre-
gada com �6,0 nC, encontra-se a 4,0 cm do centro do bastão. Qual 
é a força (módulo e orientação) exercida sobre a conta?
Seção 27.4 Campos elétricos de anéis, discos, planos e esferas
 11. | Dois anéis carregados, com 10 cm de diâmetro cada, são coloca-
dos frente a frente e afastados por 20 cm. O anel da esquerda está 
carregado com �20 nC, e o da direita, com �20 nC.
a. Qual é o campo elétrico , em módulo e orientação, no ponto 
eqüidistante aos dois anéis?
b. Qual é a força exercida sobre uma carga de �1,0 nC colocada 
no ponto eqüidistante?
 12. || Dois anéis com 10 cm de diâmetro estão carregados com �20 
nC. Qual é a intensidade do campo elétrico (a) no ponto eqüidistan-
te aos dois anéis e (b) no centro do anel da esquerda?
 13. || Dois discos com 10 cm de diâmetro são colocados frente a frente 
e afastados por 20 cm. O disco da esquerda é carregado com �50 
nC, e o da direita, com �50 nC
a. Qual é o campo elétrico , em módulo e orientação, no ponto 
eqüidistante aos dois discos?
b. Qual é a força exercida sobre uma carga de �1,0 nC colocada 
no ponto eqüidistante?
 14. || Dois discos com 10 cm de diâmetro são colocados frente a frente 
e afastados por 20 cm. Ambos os discos estão carregados com �50 
nC. Qual é a intensidade de campo elétrico (a) no ponto eqüidistan-
te entre os dois discos e (b) em um ponto sobre o eixo, distante 5,0 
cm do disco?
 15. || Um eletrodo metálico com dimensões de 20 cm � 20 cm está 
uniformemente carregado com �80 nC. Qual é a intensidade de 
campo elétrico em um ponto 2,0 mm acima do centro do eletrodo?
 16. || A intensidade do campo elétrico a 2,0 cm da superfície de uma 
esfera metálica com 10 cm de diâmetro é de 50.000 N/C. Qual é a 
carga (em nC) da esfera?
Seção 27.5 O capacitor de placas paralelas
 17. || Um capacitor de placas paralelas é formado por dois eletrodos de 
4,0 cm � 4,0 cm, afastados por 2,0 mm. A intensidade do campo 
elétrico dentro do capacitor é de 1,0 � 10
6
 N/C. Qual é a carga (em 
nC) de cada eletrodo?
 18. || Dois discos circulares, espaçados por 0,50 mm, formam um ca-
pacitor de placas paralelas. A transferência de 3,0 � 10
9
 elétrons de 
um disco para o outro gera um campo elétrico de intensidade igual 
a 2,0 � 10
5
 N/C. Qual é o diâmetro do disco?
 19. || A resistência elétrica do ar é “rompida” quando a intensidade de 
campo elétrico atinge 3,0 � 10
6
 N/C, causando uma descarga. Um 
capacitor de placas paralelas é construído com dois discos de 4,0 
cm de diâmetro. Quantos elétrons devem ser transferidos de um 
disco para o outro a fim de gerar uma descarga entre os discos?
Seção 27.6 Movimento de uma partícula carregada em um campo 
elétrico
 20. || Uma conta de plástico de 0,10 g foi carregada pela adição de um 
excesso de 1,0 � 10
10
 elétrons. Que campo elétrico (módulo e 
direção) fará com que a conta fique suspensa no ar?
 21. || Dois discos com diâmetro 2,0 cm cada estão frente a frente, sepa-
rados por 1,0 mm. Eles estão carregados com �10 nC.
a. Qual é a força elétrica entre os discos?
b. Um próton é atirado do disco negativo para o disco positivo. Que 
velocidade de lançamento deve ter o próton a fim de que apenas 
alcance o disco positivo?
 22. || Em um campo elétrico uniforme, um elétron aumenta sua velocida-
de de 2,0 � 10
7
 m/s para 4,0 � 10
7
 m/s ao longo de uma distância de 
1,2 cm. Qual é a intensidade do campo elétrico existente na região?
 23. || Um elétron é solto, em repouso, a 2,0 cm de um plano infinito carre-
gado. Ele acelera em direção ao plano e colide com ele a uma veloci-
dade de 1,0 � 10
7
 m/s. Quais são (a) a densidade superficial de carga 
do plano e (b) o tempo necessário para o elétron percorrer os 2,0 cm?
 24. || A densidade superficial de carga em um plano infinito carregado 
é de �2,0 � 10
�6
 C/m
2
. Um próton é arremessado diretamente para 
fora do plano com velocidade inicial de 2,0 � 10
6
 m/s. Que distân-
cia o próton percorrerá antes de atingir o ponto de retorno?
Seção 27.7 Movimento de um dipolo em um campo elétrico
 25. | O dipolo elétrico permanente de uma molécula de água (H2O) 
tem módulo igual a 6,2 � 10
�30
 Cm. Qual é o torque máximo possí-
vel sobre uma molécula de água em presença de um campo elétrico 
de 5,0 � 10
8
 N/C?
 26. || Uma carga puntiforme Q encontra-se a uma distância r do centro 
de um dipolo formado por cargas �q separadas por uma distância 
s. A carga está localizada no plano que bissecciona o dipolo. Nesta 
situação, quais são (a) a força (módulo e orientação) e (b) o módulo 
do torque sobre o dipolo? Considere que r s.
 27. || Uma molécula de amônia (NH3) possui momento de dipolo elé-
trico permanente com módulo igual a 5,0 � 10
�30
 Cm. Um próton 
encontra-se a 2,0 nm da molécula, no plano que bissecciona o dipo-
lo. Qual é a força elétrica exercida pela molécula sobre o próton?
846 Física: Uma Abordagem Estratégica
Problemas
 28. || Quais são a intensidade e a orientação do campo elétrico na po-
sição indicada pelo ponto na FIGURA P27.28? Expresse sua resposta 
(a) em função dos componente e (b) em módulo e em ângulo, medi-
do em sentido horário ou sentido anti-horário a partir do semi-eixo 
positivo de x.
,
,
,
,
FIGURA P27.28 
,
,
,
FIGURA P27.29
 29. || Quais são o módulo e a orientação do campo elétrico na posi-
ção indicada pelo ponto da FIGURA P27.29? Dê sua resposta (a) em 
forma de componente e (b) em módulo e em ângulo, medido no 
sentido horário ou anti-horário a partir do eixo positivo de x.
 30. || Quais são o módulo e a orientação do campo elétrico na posi-
ção indicada pelo ponto da FIGURA P27.30? Dê sua resposta (a) em 
forma de componente e (b) em módulo e em ângulo, medido no 
sentido horário ou anti-horário a partir do eixo positivo de x.
,
,
,
FIGURA P27.30 FIGURA P27.31
 31. || A FIGURA P27.31 mostra três cargas nos vértices de um quadrado.
a. Expresse o campo elétrico no ponto P em função dos compo-
nentes.
b. Uma partícula de carga positiva q e de massa m é colocada no 
ponto P e é solta. Qual é o módulo de sua aceleração inicial?
 32. || As cargas �q e �2q da FIGURA 
P27.32 estão localizadas em x � �a.
a. Determine o campo elétrico nos 
pontos de 1 a 4. Expresse cada 
campo em função dos componentes 
correspondentes.
b. Reproduza a Figura P27.32 e, de-
pois, represente os quatro vetores 
do campo elétrico na figura.
 33. || Duas cargas positivas q estão sobre 
o eixo y, separadas por uma distância s.
a. Obtenha uma expressão para a intensidade do campo elétrico a 
uma distância x sobre o eixo perpendicular que passa pelo ponto 
médio entre as duas cargas.
b. Para q � 1,0 nC e s � 6,0 mm, calcule E em x � 0, 2, 4, 6 e 10 
mm.
c. Esboce um gráfico de E versus x para .
 34. || Derive a Equação 27.12 para o campo no plano que bissec-
ciona um dipolo elétrico.
 35. || Três cargas estãosobre o eixo y. As cargas �q estão em y � �d 
e a carga �q está em y � 0.
a. Determine o campo elétrico ao longo do eixo x.
b. Verifique se a sua resposta ao item anterior tem o comportamento 
esperado quando x é muito pequeno e muito grande.
c. Esboce o gráfico de Ex versus x para .
 36. || A FIGURA P27.36 é uma secção transversal de duas linhas de carga 
infinitas que se estendem perpendicularmente para fora da página. 
Ambas possuem a mesma densidade linear de carga �.
a. Obtenha uma expressão para a intensidade do campo elétrico E a 
uma altura y acima do ponto eqüidistante às linhas.
b. Desenhe um gráfico de E versus y.
Linhas de carga 
saindo da página
FIGURA P27.36 
Linhas de carga 
saindo da página
FIGURA P27.37
 37. || A FIGURA P27.37 mostra uma secção transversal de duas linhas 
de carga infinitas que se estendem perpendicularmente para fora da 
página. As densidades lineares de carga são ��.
a. Obtenha uma expressão para a intensidade do campo elétrico E a 
uma altura y acima do ponto eqüidistante entre as linhas.
b. Desenhe um gráfico de E versus y.
 38. || Duas linhas de carga infinitas, cada qual com uma densidade li-
near de carga �, estão posicionadas ao longo dos eixos x e y, pas-
sando ambas pela origem. Qual é a intensidade do campo elétrico 
na posição (x, y)?
 39. ||| O campo elétrico a 5,0 cm de um fio longo e carregado é (2000 
N/C, ao longo do fio). Qual é a carga (em nC) de um segmento do 
fio com 1,0 cm de comprimento?
 40. ||| Três bastões com 10 cm de comprimento cada formam um tri-
ângulo eqüilátero sobre um plano. Dois deles estão carregados com 
�10 nC, e o terceiro, com �10 nC. Qual é a intensidade do campo 
elétrico no centro do triângulo?
 41. ||| Um próton está em órbita de um fio longo e carregado e efetua 
1,0 � 10
7
 revoluções por segundo. O raio da órbita é 1,0 cm. Qual é 
a densidade linear de carga do fio?
 42. || A FIGURA P27.42 mostra um bastão fino, de comprimento L e com 
carga total Q.
a. Obtenha uma expressão para a intensidade de campo elétrico so-
bre o eixo do bastão a uma distância r do centro do mesmo.
b. Verifique se a expressão obtida no item anterior tem o comporta-
mento esperado para r R. Calcule E em r � 3,0 cm se L � 5,0 
cm e Q � 3,0 nC.
FIGURA P27.42 FIGURA P27.43
 43. || A FIGURA P27.43 mostra um bastão fino, de comprimento L e 
carga total Q. Obtenha uma expressão para o campo elétrico à 
distância x da extremidade inferior do bastão. Expresse sua resposta 
em função dos componentes.
 44. || Mostre que o campo elétrico sobre o eixo de simetria de um anel de 
carga tem o comportamento esperado para z R e para z R.
FIGURA P27.32
CAPÍTULO 27 ■ O Campo Elétrico 847
 45. || a. Mostre que a máxima intensidade de campo elétrico sobre o 
eixo de simetria de um anel de carga ocorre em .
b. Qual é a intensidade do campo elétrico neste ponto?
 46. || A carga Q está uniformemente distribuída ao longo de um bastão 
fino e flexível de comprimento L. O bastão, então, é dobrado para 
formar o semicírculo mostrado na figura FIGURA P27.46.
a. Obtenha uma expressão para o campo elétrico no centro do 
semicírculo.
Dica: Um pequeno arco de comprimento 
s está relacionado ao 
pequeno ângulo subtendido por ele através de 
� � 
s/R, onde R 
é o raio do arco.
b. Calcule a intensidade do campo no centro do círculo se L � 10 
cm e Q � 30 nC.
Centro
FIGURA P27.46 FIGURA P27.47
 47. || Um bastão de plástico, com densidade linear de carga �, é do-
brado de modo a formar um quarto de círculo, como mostrado na 
FIGURA P27.47. Desejamos determinar o campo elétrico na origem 
do sistema de coordenadas.
a. Escreva uma expressão para os componentes x e y do campo elé-
trico na origem devido a um pequeno pedaço de carga correspon-
dente ao ângulo �.
b. Escreva, mas não calcule, as integrais definidas envolvidas no 
cálculo dos componentes x e y do campo elétrico resultante na 
origem.
c. Calcule as integrais obtidas e escreva em função dos compo-
nentes.
 48. || Suponha que você segure duas 
grandes folhas de plástico frente 
à frente, espaçadas uma da outra 
por d, conforme mostra a FIGURA 
P27.48. Atritando uma delas com lã 
e a outra com seda, você consegue 
obter, sobre a superfície de uma das 
folhas, uma densidade superficial 
uniforme de carga , e so-
bre a outra, outra densidade super-
ficial uniforme de carga . Qual é o vetor campo elétrico 
nos pontos 1, 2 e 3?
 49. ||| A intensidade do campo elétrico a 5,0 cm de um eletrodo extenso 
e carregado é de 1000 N/C. Qual é a carga (em nC) sobre um trecho 
circular do eletrodo com 1,0 cm de diâmetro?
 50. || Duas esferas feitas de material isolante, ambas com 2,0 cm de 
diâmetro, estão separadas por 6,0 cm. Uma delas é carregada com 
�10 nC, e a outra, com �15 nC. Qual é a intensidade do campo 
elétrico no ponto eqüidistante às duas esferas?
 51. || Duas placas paralelas e espaçadas por 1,0 cm possuem cargas de 
mesmo valor absoluto, mas opostas. Um elétron é solto a partir do 
repouso exatamente na superfície da placa negativa e, simultanea-
mente, um próton é solto, também do repouso, na superfície da pla-
ca positiva. A que distância da placa negativa o elétron e o próton se 
cruzarão?
 52. || Um próton que se desloca a 1,0 � 106 m/s entra no espaço entre as 
placas de um capacitor de placas paralelas com 2,0 cm de comprimen-
to. As densidades superficiais de carga das placas são �1,0 � 10
�6
 C/
m
2
. Em que distância o próton terá sido desviado lateralmente quando 
chegar à outra extremidade do capacitor? Considere que o campo elé-
trico seja uniforme dentro do capacitor e nulo fora do mesmo.
 53. || Um elétron é lançado segundo um ângulo de 
45° e com uma velocidade de 5,0 � 10
6
 m/s 
a partir da placa positiva de um capacitor de 
placas paralelas, como mostra a FIGURA P27.53. 
O elétron aterrissa 4,0 cm à frente na placa.
a. Qual é a intensidade do campo elétrico 
dentro do capacitor?
b. Qual é o mínimo valor possível do espaça-
mento entre as placas?
 54. || Um problema de interesse prático é fa-
zer com que elétrons sofram um desvio 
de 90°. Isto pode ser conseguido com 
um capacitor de placas paralelas como o 
mostrado na FIGURA P27.54. Um elétron 
com energia cinética de 3,0 � 10
�17
 J en-
tra no capacitor através de um pequeno 
orifício na placa inferior.
a. Se você deseja que o elétron dobre à 
direita, a placa inferior deve ser car-
regada positivamente ou negativamente em relação à placa de 
cima? Explique.
b. Que intensidade de campo elétrico será necessária se o elétron 
emergir de um orifício de saída 1,0 cm à frente do orifício de 
entrada, formando um ângulo reto com a direção original de mo-
vimento?
Dica: A dificuldade do problema depende de como você escolhe 
seu sistema de coordenadas.
c. Qual é a separação mínima possível entre as placas do capacitor?
 55. ||| Você conseguiu a posição de monitor, durante o verão, em um 
laboratório que utiliza um feixe de prótons de alta velocidade. Os 
prótons saem da máquina a uma velocidade de 2,0 � 10
6
 m/s, e lhe 
é pedido que você projete um dispositivo para frear os prótons de 
uma forma segura. Você sabe que os prótons ficariam incrustados 
em um alvo de metal; todavia, deslocando-se a velocidades acima 
de 2,0 � 10
5
 m/s, emitiriam radiações perigosas, como raios X, 
quando colidissem com o alvo. Você decide, então, primeiro dimi-
nuir a velocidade dos prótons para um valor aceitável, e, depois, 
deixá-los colidir com o alvo. Você consegue duas placas de metal, 
posiciona-as paralelamente separadas por 2,0 cm e, então, faz um 
pequeno furo no centro de uma das placas, a fim de permitir que o 
feixe de prótons penetre na região entre as placas. A placa oposta é 
o alvo com o qual os prótons se chocarão.
a. Quais são os valores mínimos de densidade de carga que você 
precisa obter em cada placa? Que placa, a positiva ou a negativa, 
receberá o feixe de prótons incidente?
b. O que acontecerá se você carregaras placas com �1,0 � 10
�5
 C/
m
2
? Seu dispositivo ainda funcionará?
 56. || Uma esfera de vidro com 2,0 cm de diâmetro tem uma carga de 
�1,0 nC. De que velocidade um elétron necessita para orbitar essa 
esfera a 1,0 mm acima da superfície?
 57. ||| Um próton orbita uma esfera de metal com 1,0 cm de diâmetro a 
1,0 mm acima da superfície. O período orbital é de 1,0 �s. Qual é a 
carga da esfera?
 58. || No modelo clássico do átomo de hidrogênio, o elétron descreve uma 
órbita circular com 0,053 nm de raio em torno do próton. Qual é a fre-
qüência orbital? Devido ao fato de o próton possuir uma massa muito 
maior do que a do elétron, pode-se considerar o próton em repouso.
FIGURA P27.48
,
FIGURA P27.53
Elétrons
FIGURA P27.54
848 Física: Uma Abordagem Estratégica
 59. || No modelo clássico do átomo de hidrogênio, o elétron descreve 
uma órbita circular em torno de um próton estacionário. Qual é o raio 
da órbita correspondente a uma freqüência orbital de 1,0 � 10
12
 s
�1
?
 60. || Um campo elétrico pode induzir um dipolo elétrico em um áto-
mo ou molécula neutra empurrando a carga negativa para um lado 
e puxando a positiva para o outro. O momento de dipolo de um 
dipolo induzido é diretamente proporcional ao campo elétrico, isto 
é, , onde 	 é chamado de polarizabilidade da molécula. 
Um campo mais intenso estica a molécula ainda mais e induz um 
momento de dipolo grande.
a. Qual é unidade do SI para 	?
b. Um íon com carga q encontra-se a uma distância r de uma mo-
lécula de polarizabilidade 	. Obtenha uma expressão para a for-
ça íon sobre o dipolo.
 61. || Mostre que uma linha de carga infinita, com densidade linear de 
carga �, exerce sobre um dipolo elétrico uma força atrativa de in-
tensidade . Considere que r seja muito maior do 
que a separação entre as cargas do dipolo.
Nos Problemas de 62 a 65, uma ou várias equações lhe são fornecidas 
para a resolução de um problema. Em cada uma das questões,
a. Elabore um problema realista para o qual o conjunto de equações 
fornecido seja adequado.
b. Resolva o problema proposto.
 62. 
 63. 
 64. 
 65. 
Problemas desafiadores
 66. Suponha que uma de suas atribuições como físico seja desenvolver 
uma maneira de usar a eletricidade para lançar um pequeno bas-
tão de plástico com 6,0 cm de comprimento. Você, então, decide 
eletrizar o pequeno bastão friccionando-o com um pano e, depois, 
mantê-lo próximo a um fio longo que fora previamente carregado. 
Quando você solta o bastão, a força elétrica exercida pelo fio o arre-
messará para longe. Suponha que você consiga carregar uniforme-
mente o bastão com 10 nC e que a densidade linear de carga do fio 
longo seja de 1,0 � 10
�7
 C/m. Qual é a intensidade da força elétrica 
sobre bastão de plástico se sua extremidade mais próxima ao fio 
está a 2,0 cm de distância?
FIGURA PD27.66 
Bastão de plástico
,
,,
 67. Desejamos analisar como um objeto carregado atrai um pedaço 
neutro de metal. A FIGURA PD27.67 mostra um pequeno disco circu-
lar, confeccionado a partir de uma folha de alumínio, deitado sobre 
uma mesa. O disco delgado tem raio R e espessura t. Uma esfera de 
vidro com carga positiva Q está fixa a uma altura h da lâmina. Con-
sidere que R h e que t R. Tais limites implicam que o campo 
elétrico criado pela esfera seja aproximadamente constante através 
do volume inteiro do disco delgado.
a. Quanto vale o módulo e qual é a orientação do campo elétrico 
criado pela esfera na posição do disco? Sua resposta deverá ser 
uma expressão em função de Q e h.
b. O campo elétrico da esfera polariza o disco. As superfícies do 
disco, então, com cargas �q e �q, se comportam como as placas 
de um capacitor de placas paralelas com separação t. Mas o disco 
é um condutor em equilíbrio eletrostático, de modo que o campo 
elétrico Einterno dentro do mesmo deve ser nulo. A condição Einterno 
� 0 parece ser inconsistente com a consideração feita de que as 
superfícies do disco atuam como as placas de um capacitor. Use 
palavras e desenhe diagramas para explicar como Einterno � 0 em-
bora as superfícies do disco estejam carregadas.
c. Agora, escreva a condição de Einterno � 0 como uma sentença ma-
temática e use-a para obter uma expressão para a carga q distri-
buída na face superior do disco.
d. Suponha que Q � 50 nC, R � 1,0 mm e t � 0,010 mm. Todos 
estes valores são típicos. A densidade do alumínio é 
 � 2700 
kg/m
3
. A que distância deve estar a bola a fim de erguer o disco?
FIGURA PD27.67 
Esfera
Disco
Vista ampliada
 68. Um bastão de comprimento L está posicionado ao longo do eixo y 
com o centro na origem do sistema de coordenadas. O bastão tem 
uma densidade linear de carga não-uniforme , onde a é 
uma constante com unidade C/m
2
.
a. Desenhe um gráfico de � versus y englobando todo o compri-
mento do bastão.
b. Determine a constante a em função de L e da carga total Q do 
bastão.
Dica: Isto requer uma integração. Reflita sobre como proceder com 
a função |x| na integração.
 c. Determine a intensidade do campo elétrico criado pelo bas-
tão a uma distância x sobre o eixo x.
 69. a. Uma folha infinitamente longa de carga, com largura L, situa-se 
no plano xy entre x � � L/2 e x � �L/2. A densidade superficial 
de carga é �. Derive uma expressão para o campo elétrico a uma 
altura z da linha central da folha.
b. Cheque se sua expressão tem o comportamento esperado para z 
 L e para z L.
c. Esboce o gráfico da intensidade do campo E versus z.
 70. a. Uma folha infinitamente longa de carga, de largura L, situa-se no 
plano xy entre x � � L/2 e x � �L/2. A densidade superficial de 
carga é �. Derive uma expressão para o campo elétrico ao longo 
do eixo x para pontos fora da folha (x � L/2).
b. Cheque se sua expressão tem o comportamento esperado para x 
 L.
Dica: ln (1 � u) � u se u 1.
c. Esboce o gráfico da intensidade do campo E versus x � L/2.
 71. As duas placas paralelas da FIGURA PD27.71 
estão separadas por 2,0 cm, e a intensida-
de do campo elétrico entre elas é 1,0 � 10
4
 
N/C. Um elétron é lançado da placa positiva 
segundo um ângulo de 45°. Qual é a velo-
cidade inicial máxima v0 com que o elétron 
pode ser lançado sem que chegue a colidir com a placa negativa?
,
FIGURA PD27.71
CAPÍTULO 27 ■ O Campo Elétrico 849
 72. Um tipo de impressora a jato de tinta, chamada de impressora a 
jato de tinta eletrostática, forma as letras através da utilização de 
eletrodos defletores que direcionam gotas de tinta eletrizadas para 
cima ou para baixo na direção vertical à medida que o jato de tinta 
desliza horizontalmente pela página. O jato é formado por gotas 
de tinta com 30 �m de diâmetro, eletrizando-as pela aspersão de 
800.000 elétrons sobre sua superfície e arremessando-as contra a 
página a uma velocidade de 20 m/s. Ao longo do caminho, as gotas 
passam por entre dois eletrodos paralelos de 6,0 mm de compri-
mento por 4,0 mm de largura, espaçados por 1,0 mm. A distância 
do centro das placas ao papel é de 2,0 cm. Para formar as letras, 
que possuem uma altura máxima de 6,0 mm, as gotas precisam ser 
desviadas para cima ou para baixo em, no máximo, 3,0 mm. A tinta, 
que consiste de partículas de corante suspensas em álcool, tem uma 
densidade de 800 kg/m
3
.
a. Estime a intensidade máxima do campo elétrico necessária na 
região entre os eletrodos.
b. Que quantidade de carga é necessária, em cada eletrodo, para 
produzir este campo elétrico?
 73. O pósitron é uma partícula elementar idêntica ao elétron, exceto por 
sua carga, que é �e. Um elétron e um pósitron podem girar em tor-
no de seu centro de massa comum como se formassem um haltere 
com um bastão de massa desprezível. Qual é a freqüência orbital de 
um elétron e de um pósitron separados por 1,0 nm?
 74. Você conseguiu um emprego em uma companhia que projeta e 
constrói nanomáquinas. Um engenheiro da empresa está proje-
tando um oscilador microscópico para ajudar a medir o tempo, 
e você foi indicado para ajudá-lo na análise do projeto.O en-
genheiro pretende colocar uma carga negativa no centro de uma 
pequena espiral de metal carregada positivamente. Ele afirma que 
a carga negativa descreverá um movimento harmônico simples 
cuja freqüência será determinada pela quantidade de carga sobre 
a espiral.
a. Considere uma carga negativa próxima ao centro de um anel car-
regado positivamente. Mostre que existe uma força restauradora 
exercida sobre a carga quando ela se move ao longo do eixo z, mas 
permanecendo próxima ao centro, ou seja, mostre que existe uma 
força que tende a trazer a carga de volta para a posição z � 0.
b. Mostre que, para pequenas oscilações de amplitude R, uma 
partícula de massa m e carga q efetuará um movimento harmôni-
co simples com freqüência dada por
onde R e Q são, respectivamente, o raio e a carga do anel.
c. Calcule a freqüência de oscilação para um elétron no centro de 
um anel com 2,0 �m de diâmetro carregado com 1,0 � 10
�13
 C.
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 27.1: c. A partir da simetria da distribuição de cargas 
sabemos que os campos criados pelas cargas positivas se cancelam. O 
campo resultante é criado pela carga negativa, orientado para a mesma.
Pare e Pense 27.2: .Todas as porções de uma superfície 
uniformemente carregada apresentam a mesma densidade superficial de 
carga.
Pare e Pense 27.3: b, e e h. As ações b e e aumentarão a densidade 
linear de carga �.
Pare e Pense 27.4: Ea � Eb � Ec � Ed � Ee. A intensidade do campo 
criado por um plano carregado é a mesma a qualquer distância do plano. 
Um diagrama de campo elétrico para a situação deve representar vetores 
do campo elétrico apenas em alguns uns poucos pontos; todavia, o cam-
po existe em todos os pontos.
Pare e Pense 27.5: Fa � Fb � Fc � Fd � Fe. A intensidade do campo 
no interior de um capacitor é igual em todos os pontos; portanto, a força 
exercida sobre uma carga será a mesma em todos os pontos. O campo 
elétrico existe em todos os pontos, seja mostrado ou não um vetor na-
quele ponto.
Pare e Pense 27.6: c. Trajetórias parabólicas requerem acelerações 
constantes e, portanto, o campo elétrico deve ser uniforme. O próton 
possui um componente inicial da velocidade orientado para a esquerda, 
mas ele será empurrado de volta para a direita.
Olhando adiante �
O objetivo do Capítulo 28 é 
compreender e aplicar a lei de Gauss. 
Neste capítulo, você aprenderá a:
Reconhecer e usar as simetrias ■
para determinar a configuração do 
campo elétrico.
Calcular o fluxo elétrico através de ■
uma superfície.
Usar a lei de Gauss para calcular o ■
campo elétrico de distribuições de 
carga simétricas.
Usar a lei de Gauss para ■
compreender as propriedades 
de condutores em equilíbrio 
eletrostático.
Em retrospectiva �
Este capítulo trabalha com as idéias 
básicas sobre campos elétricos. 
Revise:
Seção 11.3 Produto escalar de ■
vetores
Seções 26.4 e 26.5 A lei de ■
Coulomb e o campo elétrico de 
uma carga puntiforme
Seção 27.2 Vetores do campo ■
elétrico e linhas de campo elétrico
A forma aproximadamente esférica da 
cabeça da garota determina a forma do 
campo elétrico que faz com que seu 
cabelo fique eriçado.
28 Lei de Gauss
O campo elétrico desta esfera carregada aponta para fora porque esta é a única direção 
de campo compatível com a simetria da esfera. Esferas, cilindros e planos – formas 
comuns de eletrodos – têm um alto grau de simetria. Como você verá neste capítulo, as 
simetrias determinam a geometria dos campos elétricos.
No Capítulo 27 você aprendeu como calcular campos elétricos a partir da lei de Cou-
lomb para o campo elétrico criado por uma carga puntiforme. Em princípio, esse método 
é totalmente confiável; todavia, na prática, ele geralmente requer uma “ginástica” mate-
mática excessiva para efetuar as integrações necessárias. Neste capítulo, você aprenderá 
como tipos importantes de campo elétrico, dotados de um alto grau de simetria, podem 
ser deduzidos de forma muito simples a partir da distribuição de carga. O princípio no 
qual este método se baseia para calcular campos elétricos é chamado de lei de Gauss.
A lei de Gauss e a lei de Coulomb são equivalentes no sentido de que uma pode ser 
derivada da outra. Entretanto a lei de Gauss nos fornece uma perspectiva muito diferen-
te acerca do campo elétrico, da mesma forma como os princípios de conservação nos 
dão uma perspectiva diferente da mecânica em relação àquela das leis de Newton. Na 
prática, a lei de Gauss permite determinar alguns campos elétricos estáticos que seriam 
muito difíceis de obter a partir da lei de Coulomb. Finalmente, veremos que a lei de 
Gauss é mais geral, uma vez que se aplica não somente à eletrostática, mas também à 
eletrodinâmica dos campos variáveis com o tempo.
28.1 Simetria
Suponha que conheçamos apenas dois fatos sobre os campos elétricos:
 1. Todo campo elétrico aponta para fora de cargas positivas, e em direção a cargas 
negativas.
 2. Todo campo elétrico exerce uma força sobre qualquer partícula carregada.
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 851
A partir dessas informações apenas, o que podemos deduzir acerca do campo elétrico criado 
por um cilindro infinitamente longo e carregado como o que é mostrado na FIGURA 28.1?
Não sabemos se o diâmetro do cilindro é grande ou pequeno. Não sabemos se sua 
densidade de carga é a mesma, tanto longe das extremidades quanto ao longo do eixo de 
simetria do cilindro. Tudo o que sabemos é que sua carga é positiva e que a distribuição 
de carga tem uma simetria cilíndrica.
A simetria é uma característica especialmente importante na ciência e na matemá-
tica. Dizemos que uma dada distribuição de carga é simétrica se existir um grupo de 
transformações geométricas que não causem nenhuma alteração física. Para tornar esta 
idéia concreta, suponha que você feche seus olhos enquanto um amigo transforma uma 
distribuição de carga por uma das maneiras descritas a seguir. Ela ou ele pode
transladar ■ (isto é, deslocar) a carga paralelamente a um eixo,
girar ■ a carga em torno de um eixo, ou
refletir ■ a carga em um espelho.
Quando você abrir os olhos, conseguirá dizer se a distribuição de carga mudou? 
Você poderia tentar, pela observação visual de alguma diferença na distribuição ou os 
resultados obtidos em um experimento com partículas carregadas poderiam revelar que 
a distribuição sofreu alteração. Se nada do que você possa ver ou fazer revelar qualquer 
mudança, então dizemos que a distribuição de carga é simétrica frente àquela transfor-
mação particular.
A FIGURA 28.2 mostra que a distribuição de carga da Figura 28.1 é simétrica com relação 
a:
Uma translação paralela ao eixo de simetria do cilindro. Deslocar um cilindro infini- ■
tamente longo em 1 mm ou 1000 m não ocasiona alterações que possamos perceber 
ou medir.
Uma rotação em qualquer ângulo em torno do eixo de simetria do cilindro. Girar ■
o cilindro em torno de seu eixo de simetria em 1° ou 100° não produz mudanças 
detectáveis.
Reflexões em relação a qualquer plano que contenha o eixo de simetria do cilindro ■
ou que seja perpendicular ao eixo do cilindro. Trocar a parte inferior pela superior, a 
frontal pela traseira ou a esquerda pela direita não ocasionará alterações detectáveis.
Uma distribuição de carga que seja simétrica frente a esses três grupos de transfor-
mações geométricas possui simetria cilíndrica ou axial. Outras distribuições de carga 
possuem outros tipos de simetrias. Certas distribuições de carga não possuem simetria 
alguma. Nosso interesse nas simetrias pode ser resumido em uma única sentença:
A simetria do campo elétrico deve refletir a simetria da distribuição de carga.
Se isso não fosse verdadeiro, você poderia usar o campo elétrico para checar a distribui-
ção de carga e descobrir se ela passou por uma transformação ou não.
Agora estamos prontos para ver o que podemos aprender sobre o campo elétrico da 
Figura 28.1. O campo poderia se parecer com o da FIGURA 28.3a? (Imagine esta figura 
giradaem torno do eixo. Os vetores de campo também sairiam e entrariam na página.) 
Ou seja, este campo é possível? Este campo parecerá o mesmo se ele for transladado 
paralelamente ao eixo do cilindro ou se sua parte superior e inferior forem trocadas por 
uma reflexão do campo em relação a um plano perpendicular à página ou, ainda, se você 
girar o cilindro em torno de seu eixo longitudinal.
(a) Seria possível que este fosse o campo elétrico
 criado por um cilindro carregado infinitamente
 longo? Suponha que a carga e o campo sejam
 refletidos em um plano perpendicular ao eixo.
Plano de reflexão
Reflexão
(b) A distribuição de carga não sofre alteração
 com a reflexão; todavia, o campo, sim. O campo
 representado na figura não se ajusta à simetria
 do cilindro, portanto o campo do cilindro não
 pode se parecer com este.
FIGURA 28.3 O campo de uma distribuição cilíndrica de carga poderia se parecer com este?
Cilindro carregado
infinitamente longo
FIGURA 28.1 Uma distribuição de carga 
com simetria cilíndrica.
Cilindro
original
Translação
paralela ao
eixo
Rotação
em torno
do eixo
Reflexão 
em um plano 
que contém o 
eixo
Reflexão
perpendicular
ao eixo
FIGURA 28.2 Transformações que não 
alteram um cilindro de carga infinito.
852 Física: Uma Abordagem Estratégica
Entretanto o campo proposto na figura falha em um teste. Suponha que refletíssemos 
o campo em relação a um plano perpendicular ao eixo longitudinal do cilindro, uma re-
flexão que troca o lado direito pelo esquerdo e vice-versa. Tal reflexão, que não ocasiona 
qualquer alteração na própria distribuição de carga, produziria o campo mostrado na 
FIGURA 28.3b. Esta alteração no campo seria detectável, pois uma partícula positivamente 
carregada teria agora um componente de movimento para a esquerda, ao invés de para 
a direita.
O campo da Figura 28.3a, que permite uma distinção entre esquerda e direita, não é 
cilindricamente simétrico e, portanto, não é um campo fisicamente possível. Em geral, 
o campo elétrico criado por uma distribuição de carga com simetria cilíndrica não 
pode possuir um componente paralelo ao eixo do cilindro.
Bem, então que tal o campo elétrico mostrado na FIGURA 28.4a? Aqui supostamente 
estamos olhando o cilindro transversalmente. Os vetores do campo elétrico estão restri-
tos a planos perpendiculares ao cilindro e, portanto, não possuem componentes paralelos 
ao eixo do cilindro. Este campo é simétrico frente a rotações em torno do eixo de sime-
tria, mas não é simétrico em relação a uma reflexão em um plano que contenha o eixo.
Após uma reflexão, o campo na FIGURA 28.4b é facilmente distinguível do campo da 
Figura 28.4a. Portanto, o campo elétrico criado por uma distribuição de carga com 
simetria cilíndrica não pode possuir um componente tangente à secção transversal 
circular do cilindro.
A FIGURA 28.5 mostra a única forma possível de campo restante. O campo elétrico é 
radial, apontando diretamente para fora do cilindro, como as cerdas de uma escova cilín-
drica Esta é a forma do campo elétrico que se ajusta à forma da distribuição de carga.
Vista lateral Vista transversal
FIGURA 28.5 Esta é a única configuração de campo elétrico que se ajusta à simetria da 
distribuição de carga.
Quão boa é a simetria?
Em vista do pouco que assumimos a respeito da Figura 28.1 – que a distribuição de carga 
tem simetria cilíndrica e que o campo elétrico aponta para fora de cargas positivas – fo-
mos capazes de chegar a conclusões importantes acerca do campo elétrico. Em particu-
lar, deduzimos a forma da configuração que o campo elétrico deve ter.
Entretanto, a forma da configuração não é tudo. Não descobrimos coisa alguma ain-
da a respeito da intensidade do campo ou sobre como a intensidade varia com a distân-
cia. Será E constante? Será que o campo diminui proporcionalmente a 1/r ou a 1/r2? Não 
dispomos ainda de uma descrição completa do campo, todavia conhecer a forma que 
este campo deve ter certamente facilitará a tarefa de obter sua intensidade.
Esta é a coisa boa a respeito das simetrias. Argumentos de simetria nos permitem 
eliminar possíveis formas de campo simplesmente por causa da incompatibilidade de 
tais campos com a simetria da distribuição de carga. Saber o que não acontece, ou o que 
não pode acontecer, geralmente é tão útil quanto saber o que pode ocorrer. Pelo processo 
de eliminação, somos levados para uma, e possivelmente a única, configuração que o 
campo pode assumir. A argumentação baseada em simetrias é, algumas vezes, um tanto 
sutil, mas sempre constitui um método poderoso de raciocínio.
As três simetrias fundamentais
Três simetrias fundamentais aparecem com freqüência na eletrostática. A primeira linha 
da FIGURA 28.6 mostra a forma mais simples de cada uma dessas simetrias. A segunda 
linha ilustra uma situação mais complexa, porém mais realista, com a mesma simetria. 
Vista
transversal
do cilindro
Plano de reflexão
A distribuição de carga
não sofre alteração pela
reflexão em um plano
que contém o eixo.
Reflexão
Este campo sofreu
alteração. Ele não se
ajusta à simetria do
cilindro, portanto o
campo real não pode se
parecer com este.
FIGURA 28.4 Ou o campo criado por uma 
distribuição cilíndrica de carga deveria se 
parecer com este?
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 853
Podemos não conhecer a intensidade, mas a forma do campo nessas situações mais com-
plexas deve se ajustar à simetria da distribuição de carga.
NOTA � As figuras devem ter tamanho finito, mas consideramos os planos e cilin-
dros da Figura 28.6 infinitos. �
Simetria Planar
Simetria
Básica:
O campo é
perpendicular
ao plano.
Exemplo
mais
complexo:
Capacitor de placas paralelas infinitas
Simetria cilíndrica
O campo aponta
radialmente para fora
ou para dentro do eixo.
Cilindros coaxiais
Simetria Esférica
O campo aponta
radialmente para
fora ou para
dentro do centro.
Esferas concêntricas
FIGURA 28.6 As três simetrias fundamentais.
De fato existem objetos que são muito parecidos com esferas perfeitas, mas cilindros 
ou planos reais não podem ser de extensão infinita. Mesmo assim, os campos que seriam 
criados por planos e cilindros carregados infinitos constituem bons modelos para os 
campos criados por cilindros e planos carregados finitos naqueles pontos não tão próxi-
mos de uma das extremidades do objeto. Eletrodos planos ou cilíndricos são comuns em 
um grande número de dispositivos práticos, portanto os campos que estudaremos neste 
capítulo, mesmo que idealizados, possuem aplicações importantes.
PARE E PENSE 28.1
 Um bastão uniformemente carregado tem um compri-
mento finito L. O bastão é simétrico frente a rotações em torno do eixo 
e sob reflexão em relação a qualquer plano que contenha o eixo. Ele 
não é simétrico frente a translações ou reflexões em relação a um plano 
perpendicular ao eixo, a menos que tal plano divida o bastão em duas 
partes iguais. Que configuração ou configurações de campo identificam 
a simetria do bastão?
854 Física: Uma Abordagem Estratégica
28.2 O conceito de fluxo
A FIGURA 28.7a mostra uma caixa opaca que encerra uma região do espaço. Não podemos 
ver o que há dentro da caixa, mas existe um vetor campo elétrico que sai de cada face da 
caixa. Você pode adivinhar o que há dentro da caixa?
(a) O campo sai de cada
 face da caixa. Deve
 haver uma carga
 positiva dentro dela.
Caixa
opaca
(b) O campo entra em
 cada face da caixa.
 Deve haver uma carga
 negativa dentro dela.
(c) Um campo que atravesse
 toda caixa significa
 que não há carga
 líquida dentro
 dela.
FIGURA 28.7 Embora não possamos ver o interior das caixas, os campos elétricos que 
atravessam suas faces nos dizem algo sobre o que elas contêm.
Claro que pode. Devido ao fato de os campos elétricos apontarem para fora de cargas 
positivas e de o campo elétrico sair de cada uma das faces da caixa, parece claro que a 
caixa contém carga positivaou várias cargas positivas. Analogamente, a caixa da FIGURA 
28.7b deve conter uma carga negativa.
O que podemos afirmar sobre a caixa da FIGURA 28.7c? O campo elétrico aponta para 
dentro da caixa, a partir da esquerda. Um campo elétrico igual aponta para fora, à direita. 
Este campo poderia ser o campo elétrico criado por um grande eletrodo positivo posi-
cionado em algum lugar fora do campo de visão, à esquerda, e por um grande eletrodo 
negativo, também não visível, à direita. Um campo atravessa a caixa, mas não vemos 
evidência de qualquer carga (pelo menos uma carga líquida) dentro dela.
Estes exemplos sugerem que o campo elétrico, quando passa para dentro de uma 
caixa, para fora dela ou através da mesma está, de alguma maneira, relacionado à carga 
existente dentro da caixa. Entretanto essas simples descrições não nos dizem qual é a 
quantidade de carga existente dentro da caixa, ou onde, dentro dela, localiza-se a carga. 
Talvez a escolha de uma caixa melhor seja mais informativa.
Suponha que delimitemos uma região do espaço por uma superfície fechada, uma 
superfície que divida o espaço em duas regiões distintas, o interior e o exterior. No con-
texto da eletrostática, uma superfície fechada atravessada por um campo elétrico é cha-
mada de superfície gaussiana, assim denominada em homenagem ao matemático do 
século XIX Karl Gauss, que estabeleceu as fundações matemáticas da geometria. Trata-
se de uma superfície matemática imaginária, e não, de uma superfície material, embora 
ela possa, em certas situações, coincidir com uma superfície material. Por exemplo, a 
FIGURA 28.8 mostra uma superfície gaussiana esférica que envolve uma carga.
Uma superfície fechada deve, necessariamente, ser uma superfície tridimensional. 
Mas figuras tridimensionais são geralmente difíceis de desenhar, portanto nós desenha-
remos secções transversais bidimensionais de superfícies gaussianas, tal como a mos-
trada na FIGURA 28.8b. Agora, uma escolha melhor da caixa torna mais claro o que há no 
interior. Podemos afirmar, a partir dos vetores campo elétrico que saem da superfície 
com simetria esférica, que a carga positiva interna deve ter uma simetria esférica e estar 
posicionada no centro de uma esfera. Note duas propriedades que logo serão importan-
tes: o campo elétrico é perpendicular à superfície da esfera em qualquer ponto da mesma 
e possui o mesmo módulo em cada ponto da superfície.
A FIGURA 28.9 mostra outro exemplo. Um campo elétrico emerge dos quatro lados do 
cubo da FIGURA 28.9a, mas não da face superior nem da inferior. Deveríamos ser capazes 
de adivinhar o que existe dentro da caixa, mas não podemos ter certeza. A FIGURA 28.9b 
usa uma superfície gaussiana diferente, um cilindro fechado (i.e., paredes cilíndricas e 
extremidades “tampas” planas), e a FIGURA 28.9c simplifica o desenho, mostrando uma 
visão bidimensional das tampas e da lateral. Agora, com uma escolha melhor da super-
fície imaginária, podemos dizer que a superfície gaussiana cilíndrica encerra algum tipo 
de distribuição de carga cilíndrica, tal como um fio reto carregado. Novamente, o campo 
elétrico é perpendicular em qualquer ponto da superfície cilíndrica e tem o mesmo mó-
dulo em cada ponto da mesma.
Toda superfície
gaussiana é uma
superfície fechada.
É geralmente mais fácil
de desenhar uma secção
transversal bidimensi-
onal de uma superfície
gaussiana esférica.
FIGURA 28.8 Uma superfície gaussiana 
envolve uma carga. Geralmente é 
fácil desenhar uma secção transversal 
bidimensional da mesma.
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 855
Superfície gaussiana
cúbica
Superfície gaussiana
cilíndrica
Secções transversais bidimensionais
de uma superfície gaussiana
Lateral Superior
FIGURA 28.9 A superfície gaussiana é mais útil quando se ajusta à forma do campo.
Para contrastar, considere a superfície esférica na FIGURA 28.10a. Esta também é uma 
superfície gaussiana, e o campo elétrico projetando-se para fora nos diz que há uma 
carga positiva no seu interior. Poderia ser uma carga puntiforme localizada no lado es-
querdo, mas realmente não sabemos. Uma superfície gaussiana que não se ajusta à sime-
tria da distribuição de carga não é muito útil.
A superfície aberta da FIGURA 28.10b também não é de grande auxílio. O que parece 
ser um campo elétrico uniforme orientado para a direita poderia ter sido criado por uma 
grande placa positiva posicionada à esquerda ou por uma grande placa negativa à direita, 
ou ambos. Uma superfície aberta não fornece informação suficiente.
Esses exemplos nos levam a duas conclusões:
 1. O campo elétrico, de alguma forma, “flui” para fora de uma superfície fecha-
da que delimita uma região do espaço que contém uma carga líquida positiva, e 
“flui” para dentro de uma superfície fechada que encerra uma carga líquida ne-
gativa. O campo elétrico pode atravessar uma superfície fechada onde não exista 
uma carga líquida, mas, neste caso, o fluxo resultante é nulo.
 2. A configuração do campo elétrico através de uma superfície é relativamente sim-
ples se a superfície fechada se ajusta à simetria da distribuição de carga interior.
O campo elétrico realmente não escoa como um fluido, mas a metáfora é útil. A 
palavra em latim para fluir é fluxo, e a quantidade de campo elétrico que atravessa uma 
superfície qualquer é denominada fluxo elétrico. Nossa primeira conclusão, obtida em 
termos do fluxo elétrico, é
Existe um fluxo para fora através de uma superfície fechada em torno de uma carga ■
líquida positiva.
Existe um fluxo para dentro através de uma superfície fechada em torno de uma ■
carga líquida negativa.
Não existe um fluxo resultante através de uma superfície fechada em torno de uma ■
região do espaço na qual a carga líquida seja nula.
Este capítulo tem sido inteiramente qualitativo até onde estabelecemos descritiva-
mente o que queremos dizer por simetria, a idéia de fluxo e o fato de que o fluxo elétrico 
através de uma superfície fechada tem algo a ver com a carga em seu interior. A com-
preensão dessas idéias qualitativas é essencial; todavia, para irmos além, precisaremos 
tornar quantitativas e precisas essas idéias qualitativas. Na próxima seção, você apren-
derá como calcular o fluxo elétrico através de uma superfície. Então, na seção seguinte, 
estabeleceremos uma relação precisa entre o fluxo total através de uma superfície gaus-
siana e a carga encerrada por ela. Essa relação, a lei de Gauss, nos permitirá determinar 
os campos elétricos criados por algumas distribuições de carga interessantes e úteis.
PARE E PENSE 28.2
 Esta caixa
 a. Contém uma carga positiva.
 b. Contém uma carga negativa.
 c. Não contém carga.
 d. Contém uma carga líquida positiva.
 e. Contém uma carga líquida negativa.
 f. Não contém uma carga líquida.
(a)
Uma superfície
gaussiana que não
se ajuste à simetria
do campo elétrico
não é muito útil.
(b)
Uma superfície aberta não
fornece informação suficiente
sobre a carga.
FIGURA 28.10 Nem todas as superfícies são 
úteis para conhecermos a carga.
856 Física: Uma Abordagem Estratégica
28.3 O cálculo do fluxo elétrico
Vamos começar com uma breve visão panorâmica do caminho pelo qual esta seção vai 
nos levar. Iniciaremos com uma definição de fluxo que é fácil de compreender e, depois, 
transformaremos esta definição simples em uma integral de aparência impressionante. 
Precisaremos da integral porque a definição simples se aplica apenas a campos elétricos 
uniformes e a superfícies planas. Embora sejam bons pontos de partida, necessitaremos 
calcular o fluxo de campos não-uniformes através de superfícies curvas.
Matematicamente, o fluxo de um campo não-uniforme através de uma superfície 
curva é descrito por um tipo especial de integral chamada de integral de superfície. É 
bem provável que você ainda não tenha se deparado com integrais de superfície no seu 
curso de cálculo, e o “fator novidade” contribui para fazer com que essa integral pareça 
mais complicada do queela realmente é. Enfatizaremos cada vez mais que uma integral 
é apenas uma maneira cheia de estilo de efetuar uma soma, neste caso a soma de peque-
nas parcelas de fluxo através de várias pequenas partes de uma superfície.
A boa notícia é que toda a integral de superfície que precisaremos calcular neste capí-
tulo ou que você precisará calcular nos exercícios propostos, ou é nula ou é tão fácil de efe-
tuar que você poderá até fazê-lo de cabeça. Isto pode parecer surpreendente, mas você logo 
verificará que é verdadeiro. O segredo é fazer uso efetivo da simetria do campo elétrico.
Agora que você já foi alertado, não há necessidade de pânico ao ver a notação mate-
mática que será introduzida. Avançaremos passo a passo, e você verá que, pelo menos no 
que concerne à eletrostática, calcular o fluxo elétrico não é difícil.
Definição básica de fluxo
Imagine-se segurando uma espira retangular de área A em frente a um ventilador. Con-
forme mostra a FIGURA 28.11, o volume de fluxo de ar que passa através da espira a cada 
segundo depende do ângulo entre o plano da espira e a direção do fluxo. O fluxo será 
máximo através de uma espira que seja perpendicular ao fluxo de ar; e não passará ar 
através da espira se ela estiver com seu plano paralelo ao fluxo.
 é o componente da velocidade
 do ar perpendicular ao plano da espira.
Espira
Fluxo
de ar
A quantidade de ar que atravessa
a espira é máxima quando
Vetor unitário
normal ao plano
da espira
Não há fluxo de ar através
da espira quando
A espira está inclinada
em um ângulo .
FIGURA 28.11 A quantidade de ar que passa através de uma espira depende do ângulo 
formado entre e .
A orientação do fluxo é identificada pelo vetor velocidade . Podemos identificar a 
orientação da espira definindo um vetor unitário normal ao plano da espira. O ângulo 
�, então, é o ângulo formado entre e . A espira perpendicular ao fluxo da FIGURA 28.11a 
corresponde a � � 0°; a espira paralela ao fluxo da FIGURA 28.11b corresponde a � � 90°. 
Você pode pensar em � como o ângulo pelo qual a espira está desviada em relação à 
perpendicular.
NOTA � Toda superfície possui dois lados, portanto pode apontar para qualquer um 
dos dois. Escolhemos o lado em que � � 90°. �
Da FIGURA 28.11C você nota que o vetor velocidade pode ser decomposto em um 
componente , perpendicular ao plano da espira, e , paralela ao 
mesmo. Somente o componente perpendicular carrega ar através da espira. Conse-
qüentemente, o volume de ar que flui através da espira a cada segundo é
 Volume de ar por segundo (m
3
/s) � (28.1)
11.7
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 857
O valor � � 0° corresponde à orientação do fluxo para um fluxo máximo através da es-
pira, como esperado, e não há fluxo de ar através da mesma se ela estiver com inclinação 
de � � 90°.
Um campo elétrico realmente não flui no sentido literal do termo, entretanto pode-
mos aplicar a mesma idéia para um campo elétrico que atravesse uma superfície. A FIGU-
RA 28.12 mostra uma superfície de área A em um campo elétrico uniforme . O vetor 
unitário é normal ao plano da espira e � é o ângulo formado entre e . Somente o 
componente atravessa a superfície.
Com isso em mente, e usando a Equação 28.1 como analogia, definimos o fluxo 
elétrico �e, como
 (28.2)
O fluxo elétrico mede a quantidade de campo elétrico que atravessa uma superfície de área 
A quando a normal à superfície está inclinada em relação ao campo em um ângulo �.
A Equação 28.2 se parece muito com um produto escalar de dois vetores: 
. Para essa idéia funcionar, precisamos definir um vetor área com a 
direção de – ou seja, perpendicular à superfície – e com módulo igual à área A da su-
perfície. A unidade do vetor é o m
2
. A FIGURA 28.13a mostra dois vetores área.
O vetor área 
é perpendicular à
superfície.
O módulo de é
a área A da superfície.
Área A Área A
O fluxo elétrico
através da superfície
é 
FIGURA 28.13 O fluxo elétrico pode ser definido em termos do vetor área .
A FIGURA 28.13b mostra um campo elétrico que atravessa uma superfície de área A. O 
ângulo formado entre os vetores e é o mesmo ângulo usado na Equação 28.2 para 
definir o fluxo elétrico, portanto a Equação 28.2 é, de fato, um produto escalar. Podemos 
definir o fluxo elétrico mais precisamente como
 
 (fluxo elétrico de um campo elétrico constante (uniforme))
 
(28.3)
Escrever o fluxo como um produto escalar ajuda a tornar claro como o ângulo � é definido: 
� é o ângulo entre o campo elétrico e uma linha perpendicular ao plano da superfície.
NOTA � A Figura 28.13b mostra uma área circular, mas a forma da superfície não 
é relevante. Entretanto, a validade da Equação 28.3 está restrita a campos elétricos 
uniformes que atravessem alguma superfície plana. �
EXEMPLO 28.1 Fluxo elétrico no interior de um capacitor 
de placas paralelas
Dois eletrodos paralelos, cada qual com área de 100 cm
2
, estão espa-
çados por 2,0 cm. Um deles está carregado com �5,0 nC, e o outro, 
com �5,0 nC. A normal a uma superfície de 1,0 cm � 1,0 cm, entre 
os eletrodos, faz um ângulo de 45° com o campo elétrico. Qual é o 
fluxo elétrico através da superfície?
MODELO Considere que a superfície esteja localizada próxima ao cen-
tro do capacitor, onde o campo elétrico é uniforme. O fluxo elétrico 
não depende da forma da superfície.
VISUALIZAÇÃO A superfície é quadrada, e não, circular; de outra for-
ma, a situação seria parecida com a da Figura 28.13b.
RESOLUÇÃO No Capítulo 27 aprendemos que o campo elétrico no inte-
rior de um capacitor de placas paralelas é dado por
Uma superfície de 1,0 cm � 1,0 cm possui área A � 1,0 � 10�4 m2. O 
fluxo elétrico através dessa superfície é
AVALIAÇÃO A unidade de fluxo elétrico é o produto da unidade de 
campo elétrico pela unidade de área: Nm
2
/C.
 é o ângulo
formado
entre e .
 � Ecos é o componente
do campo elétrico que atravessa
a superfície.
Normal
ao plano
da espira
Superfície
de área A
FIGURA 28.12 Um campo elétrico atravessa 
uma superfície.
858 Física: Uma Abordagem Estratégica
O fluxo elétrico de um campo elétrico não-uniforme
Nossa definição inicial de fluxo elétrico está baseada na consideração de que o campo 
elétrico seja constante ao longo de uma superfície. Como procederemos para calcular 
o fluxo elétrico se varia de ponto a ponto ao longo da superfície? Podemos responder à 
questão retomando a analogia do fluxo de ar através de uma espira. Suponha que o fluxo 
de ar varie de ponto a ponto. Ainda podemos determinar o volume total de ar que atra-
vessa a espira por segundo dividindo a espira em pequenas áreas, determinando o fluxo 
através de cada uma delas e, depois, somando todos eles. Analogamente, o fluxo elétrico 
através de uma superfície pode ser calculado como a soma dos fluxos através de 
pequenos pedaços da superfície. Devido ao fato de o fluxo ser uma grandeza escalar, 
somar fluxos é mais fácil do que somar campos elétricos.
A FIGURA 28.14 mostra uma superfície em um campo elétrico não-uniforme. Imagine 
a divisão dessa superfície em um grande número de pequenas partes com área �A. Cada 
uma dessas pequenas áreas tem associado um vetor perpendicular ao trecho de área 
correspondente. Duas dessas pequenas áreas, indicadas por i e j, são mostradas na figura. 
Os fluxos elétricos através dessas duas áreas são diferentes entre si porque os campos 
elétricos são diferentes nas mesmas.
Considere a pequena área i, onde o campo elétrico é . O pequeno fluxo elétrico 
através da área é
 (28.4)
O fluxo através de cada uma das outras pequenas partes da superfície é determinado da 
mesma forma. O fluxo elétrico total através de toda a superfície é igual, portanto, à soma 
dos fluxos através de cada uma das pequenas áreas:
 
(28.5)
Agora tomemos o limite , ou seja, as pequenas áreas tornam-se de tamanho 
infinitesimal, e haverá uma quantidade infinita delas ao longo da superfície total. Dessa 
forma, a soma se torna uma integral,e o fluxo do campo elétrico através da superfície 
inteira é dado por
 
(28.6)
A integral da Equação 28.6 é chamada de integral de superfície.
A Equação 28.6 pode parecer assustadora se você ainda não viu outras integrais 
de superfície. Apesar da aparência, uma integral de superfície não é mais complicada 
do que as outras integrais que você conhece do cálculo. Além disso, o que 
realmente significa? Essa expressão é uma forma sintética de expressar o que dizemos 
como “divida o eixo x em uma grande quantidade de pequenos segmentos, cada qual de 
tamanho �x, depois calcule a função f(x) em cada um deles e, então, some os valores de 
f(x) �x correspondentes a todos os segmentos ao longo da linha”. A integral da Equação 
28.6 difere apenas no fato de que dividimos uma superfície em pequenas partes, em vez 
de dividir uma linha em pequenos segmentos. Em particular, estamos somando os fluxos 
através de um número enorme de partes muito pequenas.
Você pode estar pensando, “OK, eu entendi a idéia, mas eu não sei o que efetuar. Em 
cálculo, eu aprendi fórmulas para resolver integrais tais como . Como eu resolvo 
uma integral de superfície?”. Essa é uma boa pergunta. Em breve iremos lidar com a so-
lução, e ela revelará que as integrais de superfície da eletrostática são fáceis de resolver. 
Mas não confunda resolver a integral com entender o seu significado. A integral de super-
fície da Equação 28.6 é, simplesmente, uma notação sintética para o somatório dos fluxos 
elétricos através de um número enorme de áreas bem pequenas de uma superfície.
O campo elétrico pode ser diferente em cada ponto da superfície, mas suponha que não 
o seja, isto é, suponha que a superfície esteja em um campo elétrico uniforme Um campo 
que é igual em cada um dos pontos de uma superfície, no que tange à integração da Equação 
28.6 é uma constante, de modo que podemos sacá-lo para fora da integral. Assim sendo,
 
(28.7)
Pedaço
Pedaço A área total A pode ser dividida em vários
pequenos pedaços de área A. O campo E
pode ser diferente em cada pedaço.
FIGURA 28.14 Uma superfície em um 
campo elétrico não-uniforme.
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 859
A integral que resta na Equação 28.7 significa que temos de somar todas as pequenas 
áreas nas quais a superfície foi subdividida. Todavia a soma de todas as pequenas áreas 
é igual, simplesmente, à área total da superfície:
 
(28.8)
Esta idéia – de que a integral de superfície de dA é igual à área da superfície – é uma 
das que iremos usar para calcular a maioria das integrais da eletrostática. Substituindo 
a Equação 28.8 na Equação 28.7, obtemos que o fluxo elétrico de um campo elétrico 
uniforme é . Já sabíamos isso, a partir da Equação 28.2, mas é importante 
verificar que a integral de superfície da Equação 28.6 dá o resultado correto para o caso 
de um campo elétrico uniforme.
Fluxo através de uma superfície curva
A maioria das superfícies gaussianas consideradas na seção passada eram superfícies 
curvas. A FIGURA 28.15 mostra um campo elétrico que atravessa uma superfície curva. 
Como obter o fluxo do campo elétrico através dessa superfície? Da mesma forma como 
fizemos para o caso de uma superfície plana!
Divida a superfície em várias pequenas partes, cada qual de área �A. Para cada uma 
delas, defina um vetor área perpendicular à superfície naquele ponto. Comparado à 
Figura 28.14, a única diferença que a curvatura da superfície introduz é que os vetores 
não são mais paralelos entre si. Determine o pequeno elemento de fluxo 
através de cada pequena área e, então, os some. O resultado, mais uma vez, é
 
(28.9)
Ao derivar esta expressão da primeira vez, consideramos que a superfície fosse plana e 
que todos os fossem mutuamente paralelos. Mas essa suposição não é necessária. O 
significado da Equação 28.9 – uma soma dos fluxos através de um enorme número de áreas 
muito pequenas – não sofrerá alteração se as áreas pertencerem a uma superfície curva.
Parece que está ficando cada vez mais complicado usar integrais de superfície, primeiro 
para o caso de campos não-uniformes, e agora, para o de superfícies curvas. Mas considere 
as duas situações mostradas na FIGURA 28.16. O campo elétrico da FIGURA 28.16a é tangente, 
ou paralelo, à superfície curva em todos os pontos da mesma. Não precisamos conhecer 
o módulo de para perceber que é nulo em qualquer ponto da superfície, pois é 
perpendicular a em cada ponto. Portanto, �e � 0. Um campo elétrico tangente a uma su-
perfície nunca se projeta através dela, de modo que seu fluxo através da superfície é nulo.
O campo elétrico da FIGURA 28.16b é perpendicular à superfície mostrada e tem o mes-
mo módulo E em cada ponto dela. O campo difere em orientação em diferentes pontos 
de uma superfície curva, porém em qualquer ponto da mesma, é sempre paralelo a , 
e é igual, simplesmente, a EdA. Neste caso,
 
(28.10)
Ao calcular a integral, o fato de que E tinha o mesmo módulo em qualquer ponto da su-
perfície nos permitiu sacar para fora da integral o valor constante. Usamos, então, o fato 
de que a integral de dA sobre a superfície deve ser igual à área A total da superfície.
Podemos resumir essas duas situações em um Box Tático.
BOX TÁTICO
28.1 Resolvendo integrais de superfície 
 Se o campo elétrico for tangente a uma superfície em todos os pontos da mesma, 
o fluxo elétrico através da superfície será �e � 0.
 Se o campo elétrico for perpendicular a uma superfície em qualquer ponto da 
mesma e tiver o mesmo módulo E em qualquer ponto, o fluxo elétrico através da 
superfície será �e � EA.
Superfície curva
de área total A
O fluxo através
dessa pequena área
é
FIGURA 28.15 Uma superfície curva em um 
campo elétrico.
Área A
O campo é
tangente em cada ponto
da superfície. O fluxo
é nulo.
Área A
O campo E é
perpendicular em
cada ponto da superfície
e tem o mesmo módulo em
cada um deles. O fluxo é EA.
FIGURA 28.16 Campos elétricos que são 
tangentes ou perpendiculares em cada 
ponto de uma superfície curva.
860 Física: Uma Abordagem Estratégica
Os dois resultados serão de valor inestimável para a utilização da lei de Gauss porque todo 
o fluxo que precisaremos calcular recairá em uma dessas situações. Essa é a justificativa 
para nossa afirmação anterior, de que o cálculo de integrais de superfície não seria difícil.
Fluxo elétrico através de uma superfície fechada
Nosso passo final para calcular o fluxo elétrico através de uma superfície fechada, tal 
como uma caixa, um cilindro ou uma esfera, não requer nada de novo. Já aprendemos a 
calcular o fluxo elétrico através de superfícies planas e curvas, e uma superfície fechada 
nada mais é do que uma superfície inicialmente aberta que foi fechada.
Entretanto, a notação matemática para uma integral de superfície efetuada sobre uma 
superfície fechada difere um pouco daquela que acabamos de usar nas ilustrações. É 
costume utilizar um pequeno círculo no símbolo da integral para indicar que a integral 
de superfície é calculada sobre uma superfície fechada. Com essa notação, o fluxo elétri-
co através de uma superfície fechada é
 
(28.11)
Somente a notação foi alterada. O fluxo elétrico ainda continua sendo a soma dos fluxos 
através do número enorme das pequenas áreas das partes que agora cobrem uma super-
fície fechada.
NOTA � Toda superfície fechada possui um lado interior e um lado exterior distintos. 
O vetor área é sempre definido com orientação para o lado de fora de uma super-
fície fechada. Isto remove uma ambigüidade que estava presente para toda superfície 
aberta, onde podia apontar para qualquer lado. �
EXEMPLO 28.2 Calculando o fluxo elétrico através de um 
cilindro fechado
Uma distribuição de carga cilíndrica criou um campo elétrico 
, onde E0 e r0 são constantes, e o vetor unitário 
situa-se no plano xy. Calcule o fluxo elétrico através de um cilindro 
fechado de comprimento L e raio R, centrado no eixo z.
MODELO O campo elétrico se estende radialmentepara fora do eixo 
z, com simetria cilíndrica. O componente z do campo é Ez � 0. O 
cilindro é uma superfície gaussiana.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 28.17a é uma visão que se tem do campo 
elétrico olhado transversalmente ao longo do eixo z. A intensidade 
do campo cresce com o aumento da distância radial, e o campo é 
simétrico em torno do eixo z. A FIGURA 28.17b é a superfície gaus-
siana fechada na qual precisamos calcular o fluxo elétrico. Podemos 
posicionar o cilindro em qualquer lugar ao longo do eixo z porque o 
campo elétrico se estende para sempre naquela direção.
RESOLUÇÃO Para calcular o fluxo, dividimos o cilindro fechado em 
três superfícies: o topo, o fundo e a lateral do cilindro. O campo 
elétrico é tangente em todos os pontos das superfícies do topo e do 
fundo. Neste caso, como indica o passo 1 do Box Tático 28.1, o flu-
xo através daquelas duas superfícies é nulo. Na lateral do cilindro, o 
campo elétrico é perpendicular à superfície em todo ponto da mesma 
e possui um módulo constante E � E0(R
2
/r0
2
) em qualquer ponto so-
bre a superfície. Portanto, a partir do passo 2 do Box Tático 28.1,
Somando as três partes, o fluxo resultante através da superfície fe-
chada é
Campo elétrico visto ao longo do eixo z
Não existe campo 
atravessando o fundo.
Raio R
Superfície gaussiana
O campo é 
perpendicular à 
lateral em qualquer 
ponto da mesma.
FIGURA 28.17 O campo elétrico e a superfície fechada através da qual iremos calcular o fluxo elétrico.
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 861
Calculamos a integral de superfície usando os dois passos do Box 
Tático 28.1, e não havia nada para tal! Para finalizar, tudo o que pre-
cisamos relembrar é que a superfície lateral de um cilindro é igual a 
circunferência � altura, ou Alateral � 2�RL. Portanto,
AVALIAÇÃO A grandeza LR3/r0
2
 tem o m
2
 como unidade, uma área, 
de modo que esta expressão para �e tem Nm
2
/C como unidade. 
Esta é a unidade correta do SI para o fluxo elétrico, o que nos dá 
confiança em nossa resposta. Note o papel importante desempe-
nhado pela simetria. O campo elétrico é perpendicular à lateral e de 
valor constante em qualquer ponto da mesma porque a superfície 
gaussiana tem de possuir a mesma simetria que a distribuição de 
carga. Não seríamos capazes de calcular a integral de superfície 
com facilidade em uma superfície de outra forma qualquer. A si-
metria é o segredo.
O Exemplo 28.2 ilustrou a abordagem em dois passos para efetuar uma integral de 
fluxo sobre uma superfície fechada. Em resumo:
BOX TÁTICO
28.2 Obtendo o fluxo através de uma superfície fechada 
 Divida a superfície fechada em pequenas partes que sejam tangentes ou perpen-
diculares ao campo elétrico em qualquer de seus pontos.
 Use a Box Tático 28.1 para calcular as integrais de superfície sobre essas super-
fícies e, então, some os resultados.
Exercício 11 
PARE E PENSE 28.3
 O fluxo elétrico total através desta 
caixa é
 a. 0 Nm
2
/C
 b. 1 Nm
2
/C
 c. 2 Nm
2
/C
 d. 4 Nm
2
/C
 e. 6 Nm
2
/C
 f. 8 Nm
2
/C
28.4 A lei de Gauss
A última seção foi longa, mas é essencial saber calcular o fluxo elétrico através de uma 
superfície fechada para que você compreenda o assunto principal do capítulo: a lei de 
Gauss. A lei de Gauss é equivalente à lei de Coulomb para cargas estáticas, embora a lei 
de Gauss pareça muito diferente.
O propósito, ao aprendermos a lei de Gauss, é duplo:
A lei de Gauss permite que campos elétricos de algumas distribuições contínuas de ■
carga sejam obtidos com mais facilidade do que a partir da lei de Coulomb.
A lei de Gauss é válida para cargas em ■ movimento, mas a lei de Coulomb, não (em-
bora seja uma aproximação muito boa para velocidades muito menores do que a da 
luz). Portanto, e finalmente, a lei de Gauss é um enunciado sobre campos elétricos 
mais fundamental do que a lei de Coulomb.
para cima)
para baixo)
Plano de carga
Secção transversal
de uma caixa de
11.8
862 Física: Uma Abordagem Estratégica
Vamos iniciar com a lei de Gauss para o campo elétrico criado por uma carga punti-
forme. A FIGURA 28.18 mostra uma superfície esférica gaussiana de raio r, centrada sobre 
uma carga positiva q. Não se esqueça de que essa é uma superfície imaginária, uma su-
perfície matemática, e não, uma superfície material. Há um fluxo líquido através dessa 
superfície pelo fato de que o campo elétrico aponta para fora em todos os pontos da su-
perfície. Para calcular o fluxo, dado formalmente pela integral de superfície da Equação 
28.11, note que o campo elétrico é perpendicular à superfície em qualquer um de seus 
pontos e que, da lei de Coulomb, ele tem o mesmo módulo em qualquer 
ponto sobre a superfície. Chegamos a esta situação simples porque a superfície gaussia-
na escolhida apresenta a mesma simetria do campo elétrico.
Portanto, sem ter que fazer qualquer trabalho árduo, sabemos que a integral de fluxo é
 
(28.12)
A área superficial de uma esfera de raio r é Aesfera � 4�r
2
. Usando esta Expressão para 
Aesfera e a expressão da lei de Coulomb na Equação 28.12 para E, obtemos que o fluxo 
elétrico através da superfície esférica é
 
(28.13)
Examine a lógica desse cálculo mais atentamente. Nós realmente calculamos a integral 
de superfície da Equação 28.11, embora possa parecer, de imediato, que não tenhamos 
feito muito. Para enfatizar, reiteramos que a integral foi facilmente calculada porque a 
superfície fechada sobre a qual efetuamos a integração tinha a mesma simetria da distri-
buição de carga. Em tais casos, a integral de superfície para o fluxo é igual, simplesmen-
te, à intensidade de campo multiplicada pela área.
NOTA � A Equação 28.13 foi aplicada para uma carga positiva, mas ela se aplica 
igualmente bem a cargas negativas. De acordo com a Equação 28.13, �e será negati-
vo se q for negativa. E isso é o que deveríamos esperar a partir da definição básica de 
fluxo, . O campo elétrico de uma carga negativa aponta para dentro da mesma, 
enquanto o vetor área de uma superfície fechada aponta para fora dela, o que torna 
negativo o produto escalar. �
O fluxo elétrico é independente da forma da superfície e do raio
Note uma coisa interessante sobre a Equação 28.13. O fluxo elétrico depende da quan-
tidade de carga, mas não depende do raio da esfera. Embora isso possa parecer um 
pouco surpreendente, trata-se realmente de uma conseqüência direta do que entende-
mos por fluxo. Lembre-se da analogia com um fluido com a qual introduzimos o termo 
“fluxo”. Se um fluido escoa para fora de um ponto central, todo o fluido que atravessar 
uma superfície esférica de raio pequeno, em algum instante posterior, atravessará outra 
superfície esférica de raio maior. Não haverá perda de fluido ao longo do caminho, e 
também nenhuma quantidade nova de fluido será acrescentada. Analogamente, a carga 
puntiforme na FIGURA 28.19 é a única fonte de campo elétrico. Toda linha de campo elé-
trico que atravessa uma superfície esférica de raio pequeno também passará através de 
uma superfície esférica de raio grande. Vemos, assim, que o fluxo elétrico é indepen-
dente de r.
NOTA � Este argumento se baseia no fato de que a lei de Coulomb é uma lei de força 
inversamente proporcional ao quadrado da distância. A intensidade de campo elétri-
co, proporcional a 1/r2, diminui com a distância. Mas a área de superfície, que cresce 
proporcionalmente a r2, compensa exatamente esse decréscimo. Conseqüentemente, 
o fluxo elétrico de uma carga puntiforme através de uma superfície esférica indepen-
de do raio da esfera. �
Essa conclusão sobre o fluxo tem uma generalização importante. A FIGURA 28.20a 
mostra uma carga puntiforme e uma superfície gaussiana fechada, com forma e dimen-
Secção transversal de uma esfera
gaussiana de raio r. Trata-se de uma
superfície matemática, e não, de uma
superfície material.
Carga
puntiforme q
O campo elétrico é perpendicular à
superfície e tem o mesmo módulo
em qualquer ponto da mesma.
FIGURA 28.18 Uma superfície esféricagaussiana ao redor de uma carga 
puntiforme.
Toda linha de campo que atravessa uma
pequena esfera também passará através
de uma esfera grande. Aqui, o fluxo
através das duas esferas é o mesmo.
FIGURA 28.19 O fluxo elétrico é o mesmo 
através de qualquer esfera centrada em 
uma carga puntiforme.
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 863
sões arbitrárias. Tudo o que sabemos a respeito é que a carga encontra-se dentro da su-
perfície. Qual é o fluxo elétrico através da superfície?
Uma maneira de responder à questão é considerar a superfície, aproximadamente, 
como uma colcha de retalhos formada por setores radiais e setores esféricos. Os setores 
esféricos estão centrados na carga, e as partes radiais situam-se ao longo de linhas retas 
que se estendem radialmente para fora da carga. (A Figura 28.20 é um esboço bidimen-
sional, portanto é preciso que você imagine esses arcos como sendo, de fato, cortes 
transversais de cascas esféricas.) Para ilustrar essa idéia, a figura mostra corretamente 
grandes pedaços que não se ajustam de modo perfeito à superfície real. Entretanto, pode-
mos tornar essa aproximação tão boa quanto queiramos fazendo com que os pedaços se 
tornem suficientemente pequenos.
O campo elétrico é tangente em qualquer lugar dos setores radiais. Desta forma, o 
fluxo elétrico através dos setores radiais é nulo. Os setores esféricos, embora difiram 
entre si quanto à distância em relação à carga, formam uma esfera completa, ou seja, 
qualquer linha traçada radialmente para fora da carga atravessará exatamente um peda-
ço esférico, e toda linha radial atravessa um setor esférico. Você pode imaginar, ainda, 
como mostrado na FIGURA 28.20b, que os setores esféricos possam ser deslocados para 
dentro ou para fora, sem que seja alterado o ângulo que eles subtendem, até que se ajus-
tem para formar uma esfera completa.
Conseqüentemente, o fluxo elétrico através desses setores esféricos que, quando 
montados, formam uma esfera completa, deve ser exatamente igual ao fluxo q/�0 através 
de uma superfície gaussiana esférica. Em outras palavras, o fluxo através de qualquer 
superfície fechada que envolva uma carga puntiforme q é igual a
 
(28.14)
Este resultado surpreendentemente simples é uma conseqüência do fato de que a lei de 
Coulomb é uma lei de força do tipo inverso do quadrado da distância. Mesmo assim, a ar-
gumentação que nos levou à Equação 28.14 é, de certa forma, sutil, e merece ser revisada.
Carga fora da superfície
A superfície fechada mostrada na FIGURA 28.21a não contém cargas em seu interior, mas 
existe uma carga puntiforme q do lado de fora da mesma. Neste caso, o que podemos 
afirmar sobre o fluxo? Aproximando a superfície por setores radiais e esféricos centra-
dos na carga, como fizemos na Figura 28.20, podemos rearranjar a superfície e trans-
formá-la na superfície equivalente mostrada na FIGURA 28.21b. Essa superfície fechada 
consiste de secções correspondentes a duas cascas esféricas diferentes e é equivalente no 
sentido de que o fluxo elétrico através desta superfície é igual ao fluxo elétrico através da 
superfície original da Figura 28.21a.
Em alguns setores da
superfície, o fluxo
é negativo.
Carga puntiforme
fora da superfície
Em outros setores da
superfície, o fluxo é
positivo.
Superfície
fechada
Aproximar esta superfície por setores esféricos
e radiais permite que ela seja reconstruída como
a superfície da direita, que corresponde ao mesmo fluxo.
(a) (b)
 é paralelo a ,
portanto o fluxo é
positivo.
Secção transversal
bidimensional
 é oposto a ,
portanto o fluxo é
negativo.
Os fluxos através dessas superfícies são
iguais, mas opostos. O fluxo líquido é nulo.
FIGURA 28.21 Uma carga puntiforme externa a uma superfície gaussiana.
Carga puntiforme Os setores esféricos
estão centrados na carga.
Superfície gaussiana
de forma arbitrária
Os setores radiais situam-se
ao longo de linhas retas que
se estendem radialmente para
fora da carga. Não há fluxo
através de tais setores.
A aproximação por setores radiais e esféricos
pode ser tão boa quanto se deseje, desde que os
setores sejam suficientemente pequenos.
Os setores esféricos podem ser deslocados para
dentro ou para fora a fim de formar uma esfera
completa. Assim, o fluxo através de todos os
setores é igual ao fluxo através de uma esfera
completa.
FIGURA 28.20 Uma superfície gaussiana 
arbitrária pode ser aproximadamente 
dividida em setores esféricos e radiais.
864 Física: Uma Abordagem Estratégica
Se o campo elétrico fosse como um fluido que escoa para fora da carga, todo o fluido 
que entrasse na região fechada, através da primeira superfície esférica, teria de sair, 
mais tarde, pela segunda. Não há um fluxo líquido para dentro ou para fora da região 
fechada. Analogamente, toda a linha de campo elétrico que entre neste volume fechado 
por um lado, terá de sair pelo outro.
Matematicamente, os fluxos elétricos através de duas superfícies esféricas têm o 
mesmo módulo porque �e é independente de r. Mas eles têm sinais opostos porque o 
vetor área , apontando para fora, é paralelo a em uma das superfícies e antiparalelo 
na outra. A soma dos fluxos através de ambas as superfícies é nula, e somos levados à 
conclusão de que é nulo o fluxo elétrico líquido através de uma superfície fechada 
que contenha uma carga líquida nula. Cargas externas à superfície não produzem um 
fluxo resultante através da mesma.
Isso não significa que o fluxo através de uma parte pequena da superfície seja nulo. 
De fato, como mostra a Figura 28.12a, em quase todas as partes da superfície há um 
campo elétrico que entra ou que sai da mesma e, portanto, o fluxo não é nulo através da-
quela parte. Mas alguns destes fluxos parciais são positivos, e outros, negativos. Quando 
somados, todos eles, para a superfície inteira, as contribuições positivas e negativas se 
cancelam e o fluxo líquido é nulo.
Cargas múltiplas
Finalmente, considere uma superfície gaussiana arbitrária e um conjunto de cargas q1, 
q2, q3,..., tal como aquelas mostradas na FIGURA 28.22. Algumas dessas cargas estão dentro 
da superfície; outras, fora. As cargas podem ser tanto negativas quanto positivas. Qual é 
o fluxo elétrico através da superfície fechada?
Por definição, o fluxo resultante é
Do princípio da superposição, o campo elétrico onde 
 são os campos produzidos individualmente pelas cargas envolvidas. Por-
tanto, o fluxo pode ser escrito como
 
(28.15)
onde �1, �2, �3,..., são os fluxos através da superfície gaussiana devidos às correspon-
dentes cargas individuais, ou seja, o fluxo resultante é a soma dos fluxos devidos às 
cargas individuais. Mas sabemos quanto estes valem: são nulos quando as cargas estão 
do lado de fora, e iguais a q/�0 para as que estão dentro. Portanto,
 
(28.16)
Definimos
 para todas as cargas dentro da superfície (28.17)
como a carga total dentro da superfície fechada. Com esta definição, podemos escrever 
nosso resultado para o fluxo elétrico resultante em uma forma bem compacta e ordena-
da. Para qualquer superfície fechada que encerre uma carga total Qint, o fluxo elétrico 
através da superfície é
 
(28.18)
Este resultado para o fluxo elétrico é conhecido como lei de Gauss.
Os fluxos devidos a cargas fora
da superfície são todos nulos.
Secção transversal
bidimensional de
uma superfície
gaussiana.
A carga total
dentro é Q
Os fluxos devidos a cargas
internas à superfície se adicionam.
int
.
FIGURA 28.22 Cargas, internas e externas, 
de uma superfície gaussiana.
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 865
O que a lei de Gauss nos fornece?
Em certo sentido, a lei de Gauss não nos diz nada de novo nem algo que já não soubés-
semos a partir da lei de Coulomb. Afinal de contas, derivamos a lei de Gauss a partir da 
lei de Coulomb. Mas, em outro sentido, a lei de Gauss é mais importante do que a lei 
de Coulomb. A lei de Gauss expressa uma propriedade bem geral dos campos elétricos 
– a saber, que as cargas criam camposelétricos de tal forma que o fluxo resultante do 
campo é igual através de qualquer superfície que envolva completamente as cargas, sem 
importar a forma ou o tamanho que ela tenha. Esse resultado poderia ter sido obtido a 
partir da lei de Coulomb, mas de forma alguma ele é óbvio. E a lei de Gauss se mostrará 
particularmente útil mais tarde, quando a combinarmos com outras equações do campo 
elétrico e do magnético.
A lei de Gauss é o enunciado matemático correspondente às observações que fize-
mos na Seção 28.2. Lá, notamos um “fluxo” resultante do campo elétrico para fora de 
uma superfície fechada que contenha cargas. A lei de Gauss quantifica essa idéia, esta-
belecendo uma conexão específica entre o “fluxo,” agora chamado de fluxo elétrico, e a 
quantidade de carga.
Mas ela é útil? Embora em certo sentido a lei de Gauss seja uma sentença formal 
sobre campos elétricos, e não, uma ferramenta para resolver problemas práticos, há ex-
ceções: a lei de Gauss nos permitirá determinar os campos elétricos criados por distri-
buições de cargas muito importantes e de grande utilidade prática de uma forma muito 
mais fácil do que se dependêssemos apenas da lei de Coulomb. Consideraremos alguns 
exemplos na próxima seção.
PARE E PENSE 28.4
 As figuras abaixo mostram secções transversais bidimensionais de esferas fechadas 
e de um cubo tridimensionais. Ordene em seqüência decrescente os fluxos elétricos de �a até �e 
através das superfícies de a até e.
28.5 Usando a lei de Gauss
Nesta seção, usaremos a lei de Gauss para determinar campos elétricos criados por di-
versas distribuições de cargas importantes. Algumas delas você já conhece do Capítulo 
27; outras, serão novas. Três observações importantes podem ser feitas sobre a utilização 
da lei de Gauss:
 1. A lei de Gauss aplica-se apenas a superfícies fechadas, chamadas de superfícies 
gaussianas.
 2. Uma superfície gaussiana não é uma superfície material. Ela não necessita coin-
cidir com os limites de qualquer objeto físico (embora possa, se o desejarmos). 
Trata-se de uma superfície matemática, imaginária, no espaço, que envolve intei-
ramente uma ou mais cargas.
 3. Não podemos determinar o campo elétrico apenas a partir da lei de Gauss. Preci-
samos aplicar a lei de Gauss a situações onde, a partir da simetria e da superposi-
ção, podemos de imediato inferir a configuração do campo.
Essas observações e nossa discussão anterior a respeito de simetrias e do fluxo levam 
à seguinte estratégia para resolver problemas sobre campo elétrico usando a lei de 
Gauss.
866 Física: Uma Abordagem Estratégica
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 28.1 A lei de Gauss 
MODELO Considere a distribuição de carga como uma distribuição que possui uma 
simetria.
VISUALIZAÇÃO Faça um esboço da distribuição de carga.
Determine a simetria do campo elétrico criado por ela. ■
Escolha e desenhe uma superfície gaussiana que possua a ■ mesma simetria da 
distribuição de carga.
Não é necessário envolver todas as cargas pela superfície gaussiana. ■
Certifique-se de que cada parte da superfície gaussiana é tangente ou perpendi- ■
cular ao campo elétrico.
RESOLUÇÃO A representação matemática é baseada na lei de Gauss
Use os Boxes Táticos 28.1 e 28.2 para efetuar a integral de superfície.
AVALIAÇÃO Observe se seu resultado está expresso na unidade correta, se é plausível 
e se responde à questão.
EXEMPLO 28.3 Fora de uma esfera carregada
No Capítulo 27, afirmamos, sem provas, que o campo elétrico fora de 
uma esfera carregada total Q é igual ao campo criado por uma carga 
puntiforme Q posicionada no centro da esfera. Use a lei de Gauss 
para provar esse resultado.
MODELO A distribuição de carga dentro da esfera não precisa ser uni-
forme (i.e., a densidade de carga pode aumentar ou diminuir com r), 
mas, para que possamos usar a lei de Gauss, a distribuição deve pos-
suir simetria esférica. Consideraremos que isso seja verdadeiro.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 28.23 mostra uma esfera com carga Q e raio 
R. Desejamos determinar fora dessa esfera, para distâncias r 	 R. 
A simetria esférica da distribuição de carga significa que o campo elé-
trico deve apontar radialmente para fora da esfera. Embora a lei de 
Gauss seja válida para qualquer superfície que envolva inteiramente a 
esfera carregada, ela será útil somente se escolhermos uma superfície 
gaussiana cuja simetria coincida com a simetria esférica da distribui-
ção de carga e do campo. Assim, uma superfície esférica de raio r 	 R 
e concêntrica com a esfera carregada será nossa superfície gaussiana. 
Superfície
gaussiana
Esfera com
carga total Q
E é perpendicular
à superfície em
qualquer lugar da
mesma.
FIGURA 28.23 Uma superfície esférica gaussiana envolve 
inteiramente uma esfera carregada.
Pelo fato de essa superfície cercar toda a esfera carregada, a carga 
encerrada por ela é, simplesmente, Qint � Q.
RESOLUÇÃO A lei de Gauss é
Para calcular o fluxo, note que o campo elétrico é perpendicular a 
qualquer parte da superfície esférica. Embora não conheçamos o mó-
dulo do campo elétrico E, a simetria esférica impõe que ele deve ter 
o mesmo valor em todos os pontos eqüidistantes do centro da esfera. 
Assim, obtemos o resultado simples de que o fluxo resultante através 
de uma superfície gaussiana é
onde usamos o fato de que a área superficial de uma esfera é Aesfera 
� 4� r2. Com esse resultado para o fluxo, a lei de Gauss assume a 
forma
Portanto, o campo elétrico à distância r fora de uma esfera carregada 
é
Ou, em forma vetorial, fazendo uso do fato de que aponta radial-
mente para fora,
onde é o vetor unitário da direção radial.
AVALIAÇÃO O campo é exatamente aquele criado por uma carga punti-
forme Q, o que queríamos demonstrar.
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 867
A derivação do campo elétrico criado por uma esfera carregada depende crucial-
mente de uma escolha adequada da superfície gaussiana a ser usada. Não teríamos 
sido capazes de calcular a integral de fluxo de uma forma tão simples para qualquer 
outra superfície gaussiana escolhida. De nada adiantaria se o resultado do Exemplo 
28.3 pudesse também ser provado pela superposição dos campos de cargas puntifor-
mes se isto exigisse uma integral tridimensional complicada e um extenso cálculo. 
Obtivemos a resposta usando a lei de Gauss em somente algumas poucas linhas. 
Onde a lei de Gauss funciona, ela funciona extremamente bem! Entretanto, ela serve 
para calcular o campo apenas em situações como essa, onde existe um alto grau de 
simetria.
EXEMPLO 28.4 Dentro de uma esfera carregada
Qual é o campo elétrico dentro de uma esfera uniformemente carre-
gada?
MODELO Não consideramos ainda uma situação como essa. Para co-
meçar, não sabemos se a intensidade do campo aumenta ou diminui 
à medida que nos movemos para longe do centro da esfera. Mas o 
campo interno deve ter simetria esférica também, ou seja, o campo 
deve apontar radialmente para dentro ou para fora e sua intensidade 
deve depender apenas de r. Esta informação é suficiente para solucio-
nar o problema porque nos permite escolher uma superfície gaussiana 
adequada.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 28.24 mostra uma superfície esférica gaus-
siana com raio r 
 R, interior e concêntrica à esfera carregada. Essa 
superfície se ajusta à simetria da distribuição de cargas, e, neste caso, 
 é perpendicular a esta superfície e a intensidade do campo E tem o 
mesmo valor em todos os pontos da mesma.
Superfície gaussiana
interna à esfera
carregada
Esfera com
carga total Q
FIGURA 28.24 Uma superfície esférica gaussiana interna a uma 
esfera carregada uniformemente.
RESOLUÇÃO A integral de fluxo é idêntica àquela do Exemplo 28.3:
Conseqüentemente, a lei de Gauss assume a forma
A diferença entre este exemplo e o Exemplo 28.3 é que, agora, Qint 
não é a carga total da esfera. Em vez disso, Qint é a quantidade de car-
ga líquida dentro da esfera gaussiana de raio r. Como a distribuição 
de carga é uniforme, sua densidade volumétricade carga é
A carga encerrada em uma esfera de raio r é, portanto,
A quantidade de carga encerrada aumenta com o cubo da distância r 
até o centro e, como deve ser, Qint � Q se r � R. Com essa expressão 
para Qint, a lei de Gauss torna-se
Portanto o campo elétrico interno a uma distância radial r do centro 
de uma esfera uniformemente carregada é
A intensidade do campo elétrico interno criado pela esfera cresce li-
nearmente com a distância r a partir do centro.
AVALIAÇÃO O campo interno e o campo externo a uma esfera carrega-
da coincidem na superfície da esfera, r � R, onde ambos os resulta-
dos fornecem . Em outras palavras, a intensidade de 
campo é contínua através da superfície da esfera. Esses resultados são 
ilustrados graficamente na FIGURA 28.25.
O campo interno da esfera
aumenta linearmente com a
distância ao centro.
O campo externo da
esfera diminui com 1/r2.
FIGURA 28.25 A intensidade do campo elétrico criado por uma 
esfera uniformemente carregada de raio R.
868 Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 28.5 O campo elétrico de um fio longo e 
carregado
No Capítulo 27, usamos o princípio da superposição para determinar 
o campo elétrico criado por uma linha de carga infinitamente longa 
com uma densidade linear de carga � (C/m). Não se tratou de uma 
derivação fácil. Obtenha agora o mesmo campo elétrico usando a lei 
de Gauss.
MODELO Um fio longo e carregado pode ser considerado como uma 
linha de carga infinitamente longa.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 28.26 mostra uma linha de carga infinitamen-
te longa. Podemos usar a simetria da distribuição para chegar à con-
clusão de que a única configuração possível para o campo elétrico é 
uma orientação que aponte diretamente para fora ou para dentro do 
fio, como as cerdas de uma escova de cabelo cilíndrica. A forma do 
campo sugere que devemos escolher nossa superfície gaussiana como 
um cilindro de raio r e comprimento L, centrado sobre o fio. Como 
a lei de Gauss se refere a superfícies fechadas, devemos conceber o 
cilindro como dotado de “tampas” nas extremidades, que devem ser 
consideradas como parte da superfície gaussiana.
O campo é tangente à
superfície nas extremidades
da superfície gaussiana.
O fluxo ali é nulo.
Superfície
gaussiana
O campo é perpendicular à superfície
lateral do cilindro gaussiano.
E
dA
dA
dA
E
E
L
FIGURA 28.26 Uma superfície gaussiana envolve um fio carregado.
RESOLUÇÃO A lei de Gauss é
onde Qint é a carga líquida dentro do cilindro fechado. Temos duas ta-
refas aqui: calcular a integral do fluxo e determinar que quantidade de 
carga líquida encontra-se dentro da superfície fechada. O fio possui 
uma densidade linear de carga �; assim, a quantidade de carga dentro 
de um cilindro de comprimento L é, simplesmente,
Determinar o fluxo resultante, agora, é fácil. Podemos dividir o flu-
xo através de toda a superfície fechada no fluxo através das extremi-
dades e no fluxo através da lateral do cilindro. O campo elétrico 
aponta radialmente para fora do fio e é tangente às extremidades da 
superfície gaussiana em cada um de seus pontos. Portanto, o fluxo 
através dessas duas superfícies é nulo. Na lateral, é perpendicu-
lar à superfície e tem a mesma intensidade E em qualquer ponto da 
mesma. Assim,
�e � �tampa frontal � �tampa posterior � �lateral � 0 � 0 � EAcil � 2�rLE
onde usamos a relação para a superfície lateral de um ci-
lindro de raio r e comprimento L. Mais uma vez, a escolha apropriada 
da superfície gaussiana reduziu a integral de fluxo à mera determina-
ção da área de uma superfície regular. Com essas expressões para Qint 
e �e, a lei de Gauss torna-se
Portanto, o campo elétrico a uma distância r de um fio longo e car-
regado é
AVALIAÇÃO Esta expressão está em inteira concordância com o re-
sultado obtido por meio da derivação mais complexa feita no Ca-
pítulo 27. Note que o resultado não depende da escolha de L. Toda 
superfície gaussiana é um dispositivo imaginário, e não, um objeto 
material. Precisamos de um cilindro de comprimento finito a fim 
de efetuar o cálculo do fluxo, todavia o campo elétrico criado por 
um fio infinitamente longo não pode depender de um cilindro ima-
ginário.
O Exemplo 28.5 para o campo elétrico criado por um fio longo e carregado contém 
uma sutil, mas importante idéia, que sempre surge quando se usa a lei de Gauss. O 
cilindro gaussiano de comprimento L encerra tão somente uma parte da carga do fio. 
As partes do fio carregado que estão fora do cilindro não estão encerradas por uma 
superfície gaussiana e, conseqüentemente, não dão qualquer contribuição para o fluxo 
resultante. Mesmo assim, elas são essenciais na utilização da lei de Gauss porque é a 
carga inteira do fio que é capaz de criar um campo elétrico com simetria cilíndrica. Em 
outras palavras, o fio fora do cilindro pode não contribuir para o fluxo, mas ele afeta a 
configuração que o campo elétrico deve ter. A possibilidade de escrevermos �e � EAcil 
depende do conhecimento que temos de que E é de mesmo valor em todos os pontos 
da lateral do cilindro. Isso não seria verdadeiro para um fio carregado de comprimento 
finito, portanto não podemos utilizar a lei de Gauss para determinar o campo elétrico de 
um fio finito carregado.
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 869
EXEMPLO 28.6 O campo elétrico criado por um plano de 
carga
Use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico criado por um 
plano de carga infinito, com uma densidade de carga (em C/m
2
) �.
MODELO Um eletrodo plano carregado uniformemente pode ser consi-
derado como um plano carregado de extensão infinita.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 28.27 mostra um plano uniformemente carre-
gado, sendo � a densidade uniforme de carga. Consideraremos que o 
plano seja infinitamente longo em todas as direções, embora, obvia-
mente, tenhamos extremidades no desenho. A simetria planar permite 
apenas que o campo elétrico aponte perpendicularmente para fora das 
duas faces do plano. Tendo isto em mente, escolhemos uma superfície 
gaussiana que é um cilindro de comprimento L e área transversal A 
cortado ao meio pelo plano de carga. Embora o tenhamos desenhado 
como circular, a forma das faces, de fato, não é relevante.
Plano infinito carregado Superfície gaussiana
Área A
FIGURA 28.27 A superfície gaussiana se estende para ambos os 
lados do plano de carga.
RESOLUÇÃO O campo elétrico é perpendicular às tampas do cilindro, 
portanto o fluxo total através das mesmas é �faces � 2EA. (Os fluxos 
se adicionam, ao invés de se cancelarem, porque a área do vetor 
aponta para fora de cada face.) Não há fluxo através da lateral do 
cilindro porque os vetores são tangentes à superfície lateral. Portanto, 
o fluxo resultante é, simplesmente,
A carga dentro do cilindro é igual à carga contida na área A do plano, 
ou seja,
Com estas expressões para Qint e �e, a lei de Gauss assume a forma
Assim, o campo elétrico criado por um plano infinitamente carre-
gado é
Isto concorda com o resultado obtido no Capítulo 27.
AVALIAÇÃO Este é outro exemplo de uma superfície gaussiana que en-
cerra somente uma parte da carga total. A maior parte da carga do 
plano está fora da superfície gaussiana e não contribui para o fluxo, 
mas determina a configuração do campo. Não teríamos simetria pla-
nar, com o campo elétrico exatamente perpendicular ao plano, sem o 
restante das cargas do mesmo.
O plano de carga é um excelente exemplo de quão poderosa pode ser a lei de Gauss. A 
determinação do campo elétrico criado por um plano infinito de carga através do princípio 
da superposição foi uma tarefa difícil e tediosa. Com a lei de Gauss, uma vez que você sabe 
como aplicá-la, o problema é tão simples que você consegue até resolvê-lo de cabeça!
Talvez você deseje saber por que, afinal, nós nos importamos com o emprego do 
princípio da superposição. A razão é que a lei de Gauss, embora possa ser poderosa, é 
efetivamente útil para o cálculo do campo apenas em um número limitado de situações 
em que ocampo é altamente simétrico. Já o princípio da superposição funciona sempre, 
mesmo que as integrações envolvidas sejam complicadas, pois a superposição baseia-se 
diretamente nos campos criados individualmente por cargas puntiformes. É bom usar 
a lei de Gauss sempre que possível, mas a superposição geralmente é a única forma de 
abordar distribuições de carga reais.
PARE E PENSE 28.5
 Qual superfície gaussiana permite que se use a lei de Gauss para deter-
minar o campo elétrico fora de um cubo uniformemente carregado?
 a. Uma esfera cujo centro coincide com o centro do cubo carregado.
 b. Um cubo cujo centro coincide com o centro do cubo carregado e que tem faces para-
lelas.
 c. Tanto a quanto b.
 d. Nem a nem b.
870 Física: Uma Abordagem Estratégica
28.6 Condutores em equilíbrio eletrostático
Considere um condutor carregado, tal como um eletrodo de metal carregado, em equilí-
brio eletrostático, ou seja, não existem correntes através do condutor e as cargas estão, 
todas, em repouso. No Capítulo 26, você aprendeu que o campo elétrico é nulo em to-
dos os pontos no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático, isto é, 
Se isto não fosse verdadeiro, o campo elétrico faria com que as cargas se movimentas-
sem, o que violaria a hipótese inicial de que todas as cargas estejam em repouso. Vamos 
empregar a lei de Gauss para ver o que mais podemos aprender.
Na superfície de um condutor
A FIGURA 28.28 mostra uma superfície gaussiana interna e levemente deslocada em rela-
ção à superfície física de um condutor em equilíbrio eletrostático. O campo elétrico é 
nulo em todos os pontos internos ao condutor, de modo que o fluxo elétrico �e através 
dessa superfície gaussiana deve ser nulo. Porém se �e � 0, a lei de Gauss nos garante 
que Qint � 0. Isto é, não há uma carga líquida dentro da superfície. Há cargas lá – elé-
trons e íons positivos –, mas não há uma carga líquida.
Se não há carga líquida no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático, então 
todo o excesso de carga de um condutor carregado se encontra sobre a sua superfí-
cie externa. Qualquer carga que seja adicionada ao condutor rapidamente se espalhará 
por toda a superfície até atingir uma configuração de equilíbrio eletrostático, mas não 
haverá carga líquida dentro do condutor.
Pode não haver campo elétrico dentro de um condutor carregado, todavia a presen-
ça de carga líquida requer a existência de um campo elétrico no espaço externo ao 
condutor. A FIGURA 28.29 mostra que o campo elétrico logo acima da superfície do 
condutor deve ser perpendicular à superfície em cada ponto. Para verificar que 
isso é verdade, suponha que sup possuísse um componente tangente à superfície. Tal 
componente de sup exerceria, então, uma força sobre as cargas da superfície, o que 
daria origem a uma corrente superficial, contradizendo, portanto, a suposição de que 
todas as cargas estejam em repouso. O único campo exterior consistente com o equilí-
brio eletrostático é um que seja perpendicular à superfície.
Podemos usar a lei de Gauss para relacionar a intensidade do campo na superfície à 
densidade de carga sobre a mesma. A FIGURA 28.30 mostra um pequeno cilindro gaussia-
no perpendicular com as tampas igualmente afastadas da superfície do condutor carrega-
do, uma dentro e outra fora do mesmo. A carga dentro desse cilindro Gaussiano é �A, 
onde � é a densidade superficial de carga neste ponto sobre o condutor. Há um fluxo � 
� AEsup através da face externa do cilindro; todavia, ao contrário do Exemplo 28.6 para 
o plano infinito de carga, não há fluxo através da face interior porque dentro do 
condutor. Alem disso, não há fluxo através da lateral do cilindro porque sup é perpendi-
cular à superfície do condutor. Portanto, o fluxo resultante é �e � AEsup. A lei de Gauss 
é
 
(28.19)
de onde podemos concluir que o campo elétrico criado por um condutor carregado em 
sua própria superfície é
 
(28.20)
Em geral, a densidade superficial de carga � não é constante sobre a superfície de um 
condutor, mas varia de uma maneira complicada que depende da forma do condutor. Se 
pudermos determinar �, ou pelo seu cálculo ou pela sua medida, então a Equação 28.20 
nos informará o campo elétrico naquele ponto da superfície. Alternativamente, podemos 
usar a Equação 28.20 para deduzir a densidade de carga naquele ponto da superfície do 
condutor se conhecemos o campo elétrico na vizinhança externa do condutor.
O campo elétrico é nulo no
interior do condutor.
O fluxo através da superfície gaussiana
é nulo. Não há carga líquida no interior
do condutor. Portanto, todo o excesso de
carga está na superfície.
FIGURA 28.28 Superfície gaussiana próxima 
à superfície interna de um condutor que se 
encontra em equilíbrio eletrostático.
O campo elétrico na superfície
é perpendicular à mesma.
Carga na superfície
FIGURA 28.29 Campo elétrico na superfície 
de um condutor carregado.
Densidade de carga
superficial
O campo elétrico é
perpendicular à
superfície.
Superfície
gaussiana
FIGURA 28.30 O fluxo não é nulo apenas 
na tampa externa da superfície gaussiana 
cilíndrica que atravessa a superfície do 
condutor.
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 871
Cargas e campos internos a um condutor
A FIGURA 28.31 mostra um condutor carregado com uma cavidade dentro do mesmo. Pode 
haver carga sobre a superfície interior da cavidade? Para descobrir, escolhemos uma su-
perfície gaussiana que contorna toda a cavidade a uma distância infinitesimal da superfí-
cie da mesma, porém mantendo-se sempre dentro do condutor. O fluxo elétrico �e atra-
vés dessa superfície gaussiana é nulo porque o campo elétrico é nulo em qualquer ponto 
dentro do condutor. Assim, concluímos que Qint � 0. Não há carga líquida dentro dessa 
superfície gaussiana e, portanto, não há carga também na superfície da cavidade. Qual-
quer excesso de carga do condutor deve residir na superfície externa do condutor, e não, 
em qualquer superfície interior existente.
Além disso, devido ao fato de que não há campo elétrico dentro do condutor e de que 
não há carga dentro da cavidade, o campo elétrico dentro da cavidade também deve ser 
nulo. Esta conclusão tem uma aplicação prática importante. Por exemplo, suponha que 
precisemos “blindar” de campos elétricos externos a região delimitada por linhas ponti-
lhadas da FIGURA 28.32a. Podemos fazer isso cercando a região por uma caixa condutora 
neutra, como mostrado na FIGURA 28.32b.
Capacitor de placas paralelas
Queremos excluir o
campo elétrico desta região.
A caixa condutora foi polarizada e
tem cargas superficiais induzidas.
O campo elétrico é perpendicular a
todas as superfícies condutoras.
FIGURA 28.32 Uma região pode ser “blindada” de campos elétricos externos ao ser envolvida 
por uma caixa condutora.
Com isso, esta região do espaço constitui, efetivamente, uma cavidade completa-
mente fechada dentro do condutor, de modo que o campo elétrico interno é nulo. O 
uso de uma caixa condutora para blindar de campos elétricos uma região do espaço 
é chamado de blindagem. Paredes sólidas de metal são ideais, mas, na prática, são 
usadas telas ou redes de arames – às vezes chamadas de gaiolas de Faraday – as 
quais fornecem proteção suficiente para a maioria das aplicações de alta sensibilida-
de. O preço que pagamos é que o campo elétrico exterior torna-se, com isso, muito 
complicado.
Finalmente, a FIGURA 28.33 mostra uma carga q dentro de uma cavidade no interior de 
um condutor neutro. O campo elétrico dentro do condutor ainda é nulo, pois o fluxo 
elétrico através da superfície gaussiana é nulo. Mas �e � 0 requer Qint � 0. Conseqüen-
temente, a carga dentro da cavidade atrai uma carga igual e oposta, e uma carga �q 
agora circunda a superfície interna da cavidade.
O condutor, na sua totalidade, continua neutro, portanto mover �q para a superfície 
da cavidade deve deixar para trás �q de carga em algum lugar. Onde? Não pode ser no 
interior do condutor, conforme vimos, e isto nos deixasomente com a superfície exte-
rior. Em essência, uma carga interna polariza o condutor da mesma forma que uma carga 
externa. A carga líquida �q se desloca para o interior do condutor, e a carga líquida �q 
é deixada para trás, sobre a superfície exterior.
Em resumo, os condutores em equilíbrio eletrostático possuem as propriedades des-
critas no Box Tático 28.3, a seguir.
A cavidade
completamente fechada
O fluxo através da superfície gaussiana 
é nulo. Não há carga líquida dentro da
superfície gaussiana, portanto não há 
carga na superfície da cavidade.
FIGURA 28.31 Uma superfície gaussiana 
envolve uma cavidade completamente 
fechada dentro de um condutor em 
equilíbrio eletrostático.
O fluxo através da superfície gaussiana é nulo,
e, assim, não há carga líquida dentro dessa
superfície. Deve haver uma carga -q no lado
interno da superfície que contrabalance a carga
puntiforme q.
Condutor
neutro
Carga
puntiforme q
A superfície externa deve conter uma carga +q,
distribuída de forma que o condutor permaneça 
neutro.
FIGURA 28.33 A carga dentro da cavidade 
induz uma carga líquida na superfície 
exterior e na superfície interior.
872 Física: Uma Abordagem Estratégica
BOX TÁTICO
28.3 
Determinação do campo elétrico criado por um 
condutor em equilíbrio eletrostático 
 O campo elétrico é nulo em todos os pontos internos do condutor.
 Qualquer excesso de carga do condutor deve estar inteiramente na face externa 
da superfície do condutor.
 O campo elétrico externo na vizinhança da superfície do condutor carregado é 
perpendicular a esta superfície e tem módulo igual a �/�0, onde � é a densidade 
de carga superficial naquele ponto.
 O campo elétrico é nulo no interior de qualquer cavidade dentro de um condu-
tor, a menos que exista uma carga dentro da cavidade.
Exercícios 20–24 
EXEMPLO 28.7 O campo elétrico na superfície de uma 
esfera metálica carregada
Uma esfera de bronze com 2 cm de diâmetro foi eletrizada com uma 
carga de 2,0 nC. Qual é a intensidade do campo elétrico na superfície 
da esfera?
MODELO O bronze é um condutor. O excesso de carga se deposita so-
bre a superfície.
VISUALIZAÇÃO A distribuição de carga possui simetria esférica. O 
campo elétrico aponta radialmente para fora da superfície.
RESOLUÇÃO Podemos resolver esse problema de duas maneiras. Uma 
emprega o fato de que a esfera é a forma para a qual qualquer excesso 
de carga se espalhará igualmente sobre a superfície, dando origem a 
uma densidade de carga superficial uniforme. Portanto,
Da Equação 28.20, sabemos que o campo elétrico na superfície tem 
a intensidade
Alternativamente, poderíamos ter usado o resultado, obtido no início 
do capítulo, de que a intensidade do campo elétrico fora de uma esfe-
ra carregada Q é Eext � Qint/(4��0r
2
). Todavia Qint � q e, na superfície, 
r � R. Portanto
Como podemos ver, os dois métodos levam ao mesmo resultado.
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 873
R E S U M O
O objetivo do Capítulo 28 foi compreender e aplicar a lei de Gauss.
Princípios gerais
Lei de Gauss
Para qualquer superfície fechada que encerre uma carga Qint, o fluxo elétrico resultante 
através da superfície é
O fluxo elétrico �e é o mesmo para qualquer superfície fechada que encerre uma carga 
Qint.
 
Simetria
A simetria do campo elétrico deve corres-
ponder à simetria da distribuição de carga.
Na prática, �e é computável apenas quan-
do a simetria da superfície gaussiana 
corresponde à simetria da distribuição de 
carga.
Conceitos importantes
A carga cria o campo elétrico que é responsável pelo 
fluxo elétrico.
Q
in
 é a soma algébrica de todas as
cargas encerradas pela superfície
gaussiana. Esta é a carga líquida que 
contribui para o fluxo.
Superfície gaussiana
As cargas externas à superfície
contribuem para o campo elétrico,
mas não, para o fluxo. 
O fluxo é a quantidade de campo elétrico 
que atravessa uma superfície de área A:
onde é o vetor área.
Para superfícies fechadas:
Um fluxo resultante de fora 
para dentro ou de dentro para 
fora indica que a superfície en-
cerra uma carga líquida. Linhas 
de campo que atravessam uma 
superfície, mas sem produzir 
fluxo resultante através da 
mesma indicam que a superfí-
cie não encerra carga líquida.
 
As integrais de superfície fornecem o fluxo por meio do somató-
rio dos fluxos parciais através de várias pe-
quenas áreas da superfície:
Duas situações importantes:
Se o campo elétrico é tangente à superfície 
em qualquer ponto da mesma, então
Se o campo elétrico é perpendicular à super-
fície em qualquer ponto da mesma e apre-
senta a mesma intensidade E em cada um de 
seus pontos, então
Aplicações
Condutores em equilíbrio eletrostático
O campo elétrico é nulo em todos os pontos internos ao condutor.• 
Qualquer excesso de carga do condutor se distribui inteiramente sobre a superfície exterior.• 
O campo elétrico externo é perpendicular à superfície do condutor e tem módulo igual a • �/�0, onde � é a 
densidade de carga da superfície.
O campo elétrico é nulo dentro de qualquer cavidade fechada no interior de um condutor, a menos que exista • 
uma carga líquida dentro da cavidade.
Termos e notação
simétrico
superfície gaussiana
fluxo elétrico, �e
vetor área, 
integral de superfície
lei de Gauss
blindagem
874 Física: Uma Abordagem Estratégica
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A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão 
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Problemas indicados pelo ícone integram o material 
relevante de capítulos anteriores.
Q U E S T Õ E S C O N C E I T U A I S
 1. Suponha que você disponha do cubo carregado 
uniformemente da FIGURA Q28.1. Usando ape-
nas a simetria, você pode deduzir a forma do 
campo elétrico criado pelo cubo? Em caso afir-
mativo, desenhe e descreva a forma do campo. 
Em caso negativo, por que não?
 2. A FIGURA Q28.2 mostra as secções transversais de três superfícies 
fechadas tridimensionais. Cada qual possui uma superfície plana 
acima e outra abaixo do plano da página. Entretanto, em qualquer 
lugar, o campo elétrico é paralelo à página; assim, não há fluxo 
através da parte superior ou da parte inferior à página. Sobre cada 
face lateral da superfície, o campo elétrico é uniforme. Para cada 
um dos itens abaixo, decida se a superfície encerra uma carga líqui-
da positiva, uma carga líquida negativa ou se não existe uma carga 
líquida dentro dela. Explique.
FIGURA Q28.2
 3. O quadrado e o círculo da FIGURA Q28.3 estão em presença de um 
mesmo campo uniforme. O diâmetro do círculo é igual ao compri-
mento do lado do quadrado. Decida se �quadrado é maior, menor ou 
igual a �círculo. Explique.
FIGURA Q28.3 FIGURA Q28.4
 4. Na FIGURA Q28.4, �1 é maior, menor ou igual a �2? Explique.
 5. Quanto vale o fluxo elétrico através de cada uma das superfícies da 
FIGURA Q28.5? Expresse cada resposta como um múltiplo de q/�0.
FIGURA Q28.5
 6. Qual é o fluxo elétrico através de cada uma das superfícies mostra-
das na FIGURA Q28.6? Expresse cada resposta como um múltiplo de 
q/�0.
FIGURA Q28.6 
 7. O balão carregado da FIGURA Q28.7 
se expande à medida que é soprado, 
aumentando de tamanho desde um 
diâmetro inicial até um diâmetro 
final. A intensidade do campo elé-
trico nos pontos 1, 2 e 3 aumenta, 
diminui ou mantém-se constante? 
Explique o seu raciocínio para cada 
ponto.
FIGURA Q28.1
FIGURA Q28.7
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 875
 8. As duas esferas da FIGURA Q28.8 encerram cargas iguais. Três estu-
dantes discutem a situação.
Estudante 1: Os fluxos através das esferas A e B são iguais, pois 
elas encerram cargas iguais.
Estudante 2: Mas o campo elétrico sobre a esfera B é mais fraco 
do que o campo elétrico sobre a esfera A. O fluxo depende da in-
tensidade do campo, de modo que o fluxo através de A é maior do 
que através de B.
Estudante 3: Eu acho que aprendemos que o fluxo é calculado so-
bre uma área superficial. A esfera B émaior do que a esfera A, en-
tão eu acho que o fluxo através de B é maior do que através de A.
Com qual dos estudantes você concorda? Explique.
FIGURA Q28.8
 9. A esfera e o elipsóide da FIGURA Q28.9 encerram cargas iguais. 
Quatro estudantes estão discutindo a situação.
Estudante 1: Os fluxos através de A e B são iguais, pois o raio 
médio é o mesmo.
Estudante 2: Eu concordo que os fluxos são iguais, mas isso se 
deve ao fato de que eles encerram cargas iguais.
Estudante 3: O campo elétrico não é perpendicular à superfície de 
B, e isto faz com que o fluxo através dessa superfície seja menor do 
que o fluxo através de A.
Estudante 4: Eu acho que a lei de Gauss não se aplica a uma si-
tuação como B, assim não podemos comparar os fluxos através de 
A e de B.
Com qual dos estudantes você concorda? Explique.
FIGURA Q28.9
 10. Uma pequena esfera de metal está pendurada por uma linha isolan-
te dentro de uma esfera condutora grande e oca, como na FIGURA 
Q28.10. Um fio condutor estendido atravessa a pequena esfera e o 
pequeno orifício na esfera oca, porém sem tocá-la. Um bastão car-
regado é usado para transferir carga positiva para o segmento do fio 
que está fora da esfera oca. Após o bastão carregado ter tocado o fio 
e ter sido removido, as seguintes superfícies carregadas estarão com 
carga positiva, carga negativa ou descarregadas? Explique.
a. A pequena esfera.
b. A superfície interna da esfera oca.
c. A superfície externa da esfera oca.
FIGURA Q28.10 
Fio
E X E R C Í C I O S E P R O B L E M A S
Exercícios
Seção 28.1 Simetria
 1. | A FIGURA EX28.1 mostra as secções transversais de dois cilindros 
coaxiais infinitamente longos. O cilindro interno possui uma carga 
positiva, e o cilindro externo, uma carga negativa de mesmo valor 
absoluto. Desenhe esta figura sobre seu papel e depois desenhe so-
bre ela vetores do campo elétrico que mostrem qual é a forma do 
campo elétrico criado.
Vista lateral Vista transversal
FIGURA EX28.1
 2. | A FIGURA EX28.2 mostra as secções trans-
versais de duas esferas concêntricas. A es-
fera interna possui uma carga negativa. A 
esfera exterior possui uma carga positiva de 
maior valor absoluto do que o da esfera in-
terior. Desenhe essa figura sobre seu papel 
e depois, sobre ela, desenhe os vetores do 
campo elétrico de modo a esboçar a forma 
do campo elétrico.
 3. | A FIGURA EX28.3 mostra as secções transversais de dois planos 
infinitos carregados e paralelos. Desenhe a figura sobre um pedaço 
de papel e, depois, desenhe sobre ela os vetores do campo elétrico 
de modo a esboçar a forma do campo elétrico.
FIGURA EX28.3 
FIGURA EX28.2
876 Física: Uma Abordagem Estratégica
Seção 28.2 O conceito de fluxo
 4. | O campo elétrico é constante sobre cada face do cubo mostrado 
na FIGURA EX28.4. A caixa contém uma carga positiva, uma carga 
negativa ou não contém uma carga líquida? Explique.
Intensidades de
campo em N/C
FIGURA EX28.4 
Intensidades de
campo em N/C
FIGURA EX28.5
 5. | O campo elétrico é constante sobre cada face do cubo mostrado 
na FIGURA EX28.5. A caixa contém uma carga positiva, uma carga 
negativa ou não contém uma carga líquida? Explique.
 6. | O cubo da FIGURA EX28.6 contém uma carga negativa. O campo 
elétrico é constante em cada face do cubo. O vetor campo elétrico 
não-desenhado na face em primeiro plano aponta para dentro ou para 
fora do cubo? Qual é a intensidade mínima possível desse vetor?
Intensidades de
campo em N/C
FIGURA EX28.6 
Intensidades de
campo em N/C
FIGURA EX28.7
 7. | O cubo da FIGURA EX28.7 contém uma carga positiva. O campo 
elétrico é constante em cada face do cubo. O vetor campo elétrico 
não-desenhado na face em primeiro plano aponta para dentro ou 
para fora do cubo? Qual é a intensidade mínima possível desse ve-
tor?
 8. | O cubo da FIGURA EX28.8 não contém carga líquida. O campo elé-
trico é constante em cada face do cubo. O vetor campo elétrico não-
desenhado na face em primeiro plano aponta para dentro ou para 
fora do cubo? Qual é a intensidade do campo ali?
FIGURA EX28.8 
Intensidades de
campo em N/C
Seção 28.3 Calculando o fluxo elétrico
 9. || Qual é o fluxo elétrico através da superfície mostrada na FIGURA 
EX28.9?
FIGURA EX28.9 FIGURA EX28.10
 10. || Qual é o fluxo elétrico através da superfície mostrada na FIGURA 
EX28.10?
 11. || O fluxo elétrico através da superfície mostrada na FIGURA EX28.11 
é de 25 Nm
2
/C. Qual é a intensidade do campo elétrico?
FIGURA EX28.11 
 12. | Um retângulo de 2,0 cm � 3,0 cm situa-se no plano xy. Qual será 
o valor do fluxo elétrico através do retângulo se
a. 
b. 
 13. | Um retângulo de 2,0 cm � 3,0 cm situa-se no plano xz. Qual será 
o valor do fluxo elétrico através do retângulo se
a. 
b. 
 14. || Um círculo de 3,0 cm de diâmetro situa-se no plano xy, em uma re-
gião onde o campo elétrico é . 
Qual é o fluxo elétrico através do círculo?
 15. || Uma caixa de 1,0 cm � 1,0 cm � 1,0 cm está posicionada entre 
as placas de um capacitor de placas paralelas, com duas de suas fa-
ces perpendiculares a . A intensidade de campo elétrico é de 1000 
N/C. Qual é o fluxo elétrico resultante através da caixa?
 16. | Qual é o fluxo elétrico resultante através dos dois cilindros mostra-
dos na FIGURA EX28.16? Expresse sua resposta em função de R e E.
FIGURA EX28.16
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 877
Seção 28.4 Lei de Gauss
Seção 28.5 Usando a lei de Gauss
 17 | A FIGURA EX28.17 mostra três cargas. Faça desenhos dessas car-
gas sobre uma folha de papel. Em seguida, desenhe uma secção 
transversal bidimensional de uma superfície fechada tridimensional 
através da qual o fluxo elétrico seja igual a (a) 2q/�0, (b) 3q/�0, (c) 
zero e (d) �q/�0.
FIGURA EX28.17 FIGURA EX28.18
 18. | A FIGURA EX28.18 mostra três cargas. Faça desenhos das cargas so-
bre uma folha de papel. Em seguida, desenhe uma secção transver-
sal bidimensional de uma superfície fechada tridimensional através 
da qual o fluxo elétrico seja igual a (a) �q/�0, (b) q/�0, (c) 3q/�0 e (d) 
4q/�0.
 19. | A FIGURA EX28.19 mostra três superfícies gaussianas e o fluxo elé-
trico através de cada uma. Quais são os valores das três cargas q1, q2 
e q3?
FIGURA EX28.19 
dentro)
FIGURA EX28.20
 20. || Qual é o fluxo elétrico resultante através do toróide (i.e., a super-
fície com a forma de um “pneu”) da FIGURA EX28.20?
 21. || Qual é o fluxo elétrico resultante através do cilindro da FIGURA 
EX28.21?
FIGURA EX28.21 dentro)
 22. || O fluxo elétrico resultante através de uma superfície fechada é 
�1000 Nm
2
/C. Que quantidade de carga está encerrada pela super-
fície?
 23. || Um excesso de 55,3 milhões de elétrons encontra-se dentro de 
uma superfície fechada. Qual é o fluxo elétrico resultante através da 
superfície?
Seção 28.6 Condutores em equilíbrio eletrostático
 24. | A intensidade do campo elétrico exatamente acima de uma das 
faces de uma moeda de cobre é de 2000 N/C. Qual é a densidade de 
carga superficial nessa face da moeda?
 25. | Ocorrerá uma faísca na ponta de uma agulha de metal se a inten-
sidade do campo elétrico exceder 3,0 � 10
6
 N/C, o valor da inten-
sidade de campo para a qual o isolamento do ar é rompido. Qual é 
a mínima densidade superficial de carga capaz de produzir uma 
faísca?
 26. | A caixa condutora da FIGURA EX28.26 
recebeu um excesso de carga negativa. 
A densidade superficial do excesso 
de elétrons no centro da face superior 
da caixa é de 5,0 � 10
10
 elétrons/m
2
. 
Quais são as intensidades de campo 
elétrico E1, E2 e E3 nos pontos 1, 2 e 3 indicados?
 27. | Uma placa fina e horizontal de cobre com 10 cm � 10 cm é car-
regada com um excesso de 1,0 � 10
10
 elétrons. Se os elétrons adi-
cionados se distribuírem uniformemente sobre a superfície, quais 
serão a intensidade e a orientação do campo elétrico:
a. A 0,1 mm acima do centro da superfície superior da placa?
b. No centro de massa da placa?
c. A 0,1 mm abaixo do centro da superfície inferior da