Questionário - Unidade 6

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Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Iniciado em Friday, 21 May 2021, 11:28
Estado Finalizada
Concluída em Friday, 21 May 2021, 11:34
Tempo
empregado
5 minutos 9 segundos
Avaliar 10,00 de um máximo de 10,00(100%)
(FGV-SP) Sabe-se que em uma função polinomial P do terceiro grau o coeficiente de é 1,
duas de suas raízes são 1 e 2 e que P(3) = 30. Determine P(−1).
 
a) -24
b) 66
c) -12
d) 48
 
Escolha uma opção:
a)
b) 
c)
d)
Your answer is correct.
Um polinômio de 3 grau pode ser escrito na forma da multiplicação de 3 fatores:
(x-x )(x-x )(x-x ), onde x , x e x são as raízes do polinômio; duas destas raízes já foram
dadas, assim como o coeficiente do termo de 3 grau, e o valor do polinômio para x=3. Com
esses dados é possível montar um sistema de equações para determinar os outros
coeficientes do polinômio, para então calcular o valor de P(-1).
 
Então, a função polinomial P(x) pode ser escrita como .
Calculando o valor de P(-1), temos que
 
A resposta correta é: b)
2021142228 - CÁLCULO I
x3
o
1 2 3 1 2 3 o
P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − x3)
P(3) = (3 − 1)(3 − 2)(3 − x3)
30 = 2. 1. (3 − x3)
30 = 6 − 2x3
x3 = −12
P(x) = (x − 1)(x − 2)(x + 12)
P(−1) = (−1 − 1)(−1 − 2)(−1 + 12)
P(−1) = (−2)(−3)(11)
P(−1) = 66
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Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Dados e , determine P(x) e
Q(x), sendo e .
 
a) ;
 
b) ;
 
c) ;
 
d) Nenhuma das anteriores.
Escolha uma opção:
a)
b)
c) 
d)
Your answer is correct.
A resposta correta é: c)
A(x) = + 3x + 1, B(x) = −2 + x − 1x2 x2 C(x) = − x + 1x3
P(x) = (2A + B − 4C)2 Q(x) = (B − A − 2(B + C))2
P(x) = −12 + 49 + 26x + 11x3 x2
Q(x) = 9 + 18 + 4 + 8x + 4x4 x3 x2
P(x) = −4 + 49 + 18x − 3x3 x2
Q(x) = 9 + 18 + 4 + 8x + 4x4 x3 x2
P(x) = −4 + 49 + 18x − 3x3 x2
Q(x) = 9 + 10 + 20 + 8x + 4x4 x3 x2
Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
(UFMG) Os polinômios e são tais que 
, ∀x ∈ R. Determine p e q.
 
a) p = 4 e q = 0
b) p = 0 e q = 4
c) p = 1 e q = -4
d) Nenhuma das anteriores
Escolha uma opção:
a) 
b)
c)
d)
Your answer is correct.
Os polinômios e são tais que 
, ∀x ∈ R. Assim, 
 
 
 
 
 
Igualando P(x+1) a Q(2x), temos
 
Se um polinômio é igual a outro, os coeficientes de x serão iguais nos dois polinômios, para
todos os n's. Logo, 
 e , ou seja, 
A resposta correta é: a)
P(x) = p + qx − 4x2 Q(x) = + px + qx2
P(x + 1) = Q(2x)
P(x) = p + qx − 4x2 Q(x) = + px + qx2
P(x + 1) = Q(2x)
P(x + 1) = p(x + 1 + q(x + 1)x − 4)2
P(x + 1) = p + 2px + 1 + qx − 4x2
P(x + 1) = p + (2p + q)x + (q − 3)x2
Q(2x) = (2x + p(2x) + q)2
Q(2x) = 4 + 2px + qx2
p + (2p + q)x + (q − 3) = 4 + 2px + qx2 x2
n
p = 4 2p + q = 2p q = 0
Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Um retângulo de dimensões e está inscrito em um triângulo retângulo de base 
e altura , conforme a figura à seguir.
Encontre a expressão para a função que dá a área do retângulo e determine as
dimensões do retâgulo de maior área. 
Escolha uma opção:
 e 
 e 
 e 
 e 
Your answer is correct.
Por semelhança de triângulos temos 
ou
Temos que
ou
que é uma função quadrática. O vértice é localizado em
Logo e 
A resposta correta é: x = 3 cm e y = 4 cm 
x y a = 6 cm
b = 8 cm
A(x)
x = 4 cm y = 3 cm
x = 4 cm y = 4 cm
x = 3 cm y = 3 cm
x = 3 cm y = 4 cm
= ⇒ y = b(1 − )
b
a
y
a − x
x
a
y = 8(1 − x/6).
A = xy = xb(1 − ) = − + bx,
x
a
b
a
x2
A(x) = − + 8x
4
3
x2
− = − = 3
b
2a
8
−2 4
3
x = 3 cm y = 8(1 − 3/6) = 4
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Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
A soma dos zeros da função \(f(x)=x^3+2x^2-5x-6\) é:
Escolha uma opção:
-5
0
2
-2 
Your answer is correct.
Vamos por tentativa e erro usar os valores como \(2,-1,1\) e \(-2\) para verificar se a função
calculada nestes valores é zero. Vemos que \(f(-1)=0\) logo, dividimos \(x^3+2x^2-5x-6\)
por \(x-1\):
 
\[ 
\begin{array}{r|r} 
 x^3 - 2x^2 + 5x -6 & x-1 \\ 
x^3 -\phantom{ }x^2 & x^2-x+6\\ \\ 
 -x^2+5x-6 \\ 
-x^2-x \\ \\ 
 \phantom{ }6x-6 \\ 
6x-6 \\ \\ 
\end{array} 
\]
Então as raízes de \(x^2-x+6=0\) são \(-3\) e \(2\). Logo a soma das raízes é -2
A resposta correta é: -2
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Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Determine todos os valores de k para que o polinômio \(P(x) = (k^2 − k − 6)x^3 − (k −
3)x^2 + kx − 2\) seja, respectivamente, de grau 1 e de grau 2.
a) -2 e 3
b) 3 e -2
c) 3 e 3 
d) -2 e -2
Escolha uma opção:
a)
b) 
c)
d)
Your answer is correct.
Para que o polinômio dado \(P(x) = (k^2 − k − 6)x^3 − (k − 3)x^2 + kx − 2\) seja de grau
1, os coeficientes de x e de x devem ser nulos, ao passo que k deve ser diferente de zero.
Assim,devemos ter
\(k^2 − k − 6=0\) e \(k − 3=0\)
e o único valor que satisfaz as três condições ao mesmo tempo é \(k =3\)
 
Já para que o polinômio \(P(x) = (k^2 − k − 6)x^3 − (k − 3)x^2 + kx − 2\) seja de grau 2,
o coeficiente de x deve se anular, enquanto que o coeficiente de x deve ser diferente de
zero. Assim, devemos ter
\(k^2 − k − 6=0\), que tem raízes -2 e 3, porém o valor \(k =3\) anula o coeficiente de x ,
de modo que apenas \(k =-2\) satisfaz as duas condições ao mesmo tempo.
Assim, os valores de k são, respectivamente, iguais a 3 e -2.
A resposta correta é: b)
Sabendo que x = 5 é uma raiz da equação \(−x^3 + 5x^2 + 4x − 20 = 0\),determine todas
as raízes reais da equação
Escolha uma opção:
a. x = −2, x = - 2 e x = 5
b. x = −2, x = 2 e x = 5 
c. x = −2, x =- 2 e x =- 5
d. x = −2, x = 2 e x =- 5
e. x = −2 e x = 5
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: x = −2, x = 2 e x = 5
3 2
3 2
2
Questão 8
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
(Fuvest-SP) Sabe-se que um polinômio \(P(x) = x^3+ax^2+bx+c\) tem as seguintes
propriedades: P(1) = 0 e P(−x) + P(x) = 0, ∀x ∈ R. Determine P(2).
 
a) 0
b) 6
c) -1
d) Nenhuma das anteriores
 
Escolha uma opção:
a)
b) 
c)
d)
Your answer is correct.
 \(P(x) = x^3+ax^2+bx+c\)
P(1) = 0 então \(0 = 1^3+a1^2+b.1+c\)
\(-1 = a+b+c\)
 
P(−x) + P(x) = 0, ∀x ∈ R.
\(P(-x) = (-x)^3+a(-x)^2+b(-x)+c\)
\(P(-x) = -x^3+ax^2-bx+c\)
\(P(-x)+P(x) = -x^3+ax^2-bx+c+x^3+ax^2+bx+c=0\)
\(P(-x)+P(x) = 2ax^2+2c=0\)
Então, a=0 e c=0 e b=-1. Logo,
\(P(2) = 2^3-1.2=6\)
 
A resposta correta é: b)
Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Determine m e n para que a função polinomial \(f(x) = x^3 + 12x^2 + mx + n\) seja um
cubo perfeito, isto é, para que f seja da forma \(f(x) = (ax + b)^3\)
 
a) m = 1 e n = 4
b) m = 48 e n = 64
c) m = 12 e n = 8
d) Nenhuma das anteriores
Escolha uma opção:
a)
b) 
c)
d)
Your answer is correct.
Questão para expandir o cubo perfeito e encontrar m e n por comparação dos coeficientes da
função polinomial.
Vamos expandir \(f(x) = (ax + b)^3\):
\(f(x) = (ax)^3+3(ax)^2b+3axb^2+b^3\)
Por outro lado, foi dado que \(f(x) = x^3 + 12x^2 + mx + n\), então devemos ter a seguinte
igualdade:
\( x^3 + 12x^2 + mx + n = (ax)^3+3(ax)^2b+3axb^2+b^3\)
Igualando os coeficientes de termos de mesmo grau, temos que:
\( a^3 = 1\), \( a^2b = 4\), \(3ab^2 = m\) e \( n = b^3\)
Resolvendo esse sistema de 4 equações e 4 incógnitas, temos que
\(a=1\), \( b=4\), \(48 = m\) e \( n = 64\)
A resposta correta é: b)
Determine de m e n para que o polinômio \(mx^4 − nx^3 − 2x^2\) tenha raízes 1, \(-
\frac{1}{4}\), \(0\) e \(0\).
Escolha uma opção:
a. m=3, n=4
b. m=6, n=4
c. m=6, n=8
d. m=3, n=8
e. m=8, n=6 
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: m=8, n=6
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