Aplicações de Polinômios e Equações Polinomiais

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NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES 
ALGÉBRICAS
APLICAÇÃO DE POLINÔMIOS E EQUAÇÕES 
POLINOMIAIS
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1 Introdução
O uso dos polinômios e equações polinomiais pode ser aplicado em diversas áreas do conhecimento. Nessa aula
veremos algumas dessas aplicações.
Leia atentamente a aula, resolva os exercícios propostos e consulte a bibliografia recomendada.
2 EXEMPLO 1
(Uerj 2007) Um sistema de numeração de base b, sendo b ≥ 2, utiliza b algarismos: 0, 1, 2, 3, ..., b-1. O sistema de
numeração usual é o decimal. Quando escrevemos um número nesse sistema, a base 10 não precisa ser indicada.
Por exemplo, o número 3548 corresponde a 3 × 103 + 5 × 102 + 4 × 101 + 8 × 100. Em qualquer outro sistema, é
preciso indicar a base. Por exemplo, o número (2043) está escrito na base b = 5 e
5
corresponde a 2 × 5 + 0 × 5 + 4 × 5 + 3 × 5 , ou seja, 273 no sistema decimal.3 2 1 0
Admita a possibilidade de contar objetos de duas maneiras, uma na base x e outra na base (x+ 3). Ao empregar
essas duas maneiras para contar um determinado grupo de objetos, obtemos (2343) = (534) .
x x+3
Calcule o valor da base x e as outras duas raízes da equação resultante.
SOLUÇÃO:
(2343) = 3 + 4 . x + 3 . x + 2 . x
x
2 3
(534) = 4 = 3 . (x + 3) + 5 . (x + 3)
x+3
2
Igualando as duas expressões acima, temos:
Logo, a base é 5.
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3 EXEMPLO 2
(Uerj 2006) As figuras a seguir representam as formas e as dimensões, em decímetros, de duas embalagens: um
cubo com aresta x e um paralelepípedo retângulo com arestas x, x e 5.
A diferença entre as capacidades de armazenamento dessas embalagens, em dm , é expressa por x - 5x = 36.3 3 2
Considerando essa equação,
a) demonstre que 6 é uma das suas raízes;
b) calcule as suas raízes complexas.
SOLUÇÃO:
4 EXEMPLO 3
(Unifesp 2006) Considere a equação x - Ax + Bx - C = 0, onde A, B e C são constantes reais. Admita essas3 2
constantes escolhidas de modo que as três raízes da equação são as três dimensões, em centímetros, de um
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paralelepípedo reto-retângulo. Dado que o volume desse paralelepípedo é 9 cm , que a soma das áreas de todas3
as faces é 27 cm e que a soma dos comprimentos de todas as arestas é 26 cm, pede-se:2
a) os valores de A, B e C.
b) a medida de uma diagonal (interna) do paralelepípedo.
SOLUÇÃO:
Sejam r , r e r as raízes do polinômio x - Ax + Bx - C = 0
1 2 3
3 2
Então,
V = r . r . r = 9
paralelepípedo 1 2 3
S = 2(r . r + r . r + r . r ) = 27
uperfície 1 2 1 3 2 3
Soma = 4(r + r + r ) = 26
arestas 1 2 3
Utilizando as relações de Girard observamos que
9 = - (- C/1) -> C = 9
27/2 = B/1 -> B = 27/2
26/4 = 13/2 = -(-A/1) -> A = 13/2
SOLUÇÃO
A diagonal interna d de um paralelepípedo é tal que
d = r + r + r2
1
2
2
2
3
2
Observe que
	1 Introdução
	2 EXEMPLO 1
	3 EXEMPLO 2
	4 EXEMPLO 3