Aula - Integrais de Funções Trigonométricas

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INTEGRAIS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
Integrais de potência de senos e cossenos 
 
A integração por partes pode ser usada para obter as fórmulas de redução para 
integrais. 
Estas fórmulas expressam uma integral com potência de função em termos de uma integral que 
envolve uma potência mais baixa daquela função. 
Por exemplo, se n for um inteiro positivo e n 2, então a integração por partes pode ser 
usada para obter as fórmulas de redução. 
 
 
●  

 xdxsen
n
n
xxsen
n
xdxsen nnn 21
1
cos.
1
 
●  

 xdx
n
n
senxx
n
xdx nnn 21 cos
1
.cos
1
cos 
 
 
Exemplo 1 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 
 
 
Exemplo 3 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4 
 
 Calcule ∫ sen xdx 
𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 = −
1
3
𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 +
2
3
𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 
 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 
 
 
Integração de potências de tangentes e de secantes 
 
 
O procedimento para integração de potências de tangente e de secante segue 
paralelamente os do seno e cosseno. A ideia é usar as seguintes fórmulas de redução para 
reduzir o expoente do integrando até que a integral resultante possa ser calculada: 
 
 
●  



 xdxtg
n
xtg
xdxtg n
n
n 2
1
1
 
●  





 xdx
n
n
n
tgxx
xdx n
n
n 2
2
sec
1
2
1
.sec
sec 
 
 
 
Exemplo 5 
 
 𝑡𝑔 𝑥𝑑𝑥 =
1
2
𝑡𝑔 𝑥 − 𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥 
 = 𝑡𝑔 𝑥 − 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑥| + 𝑐 
 
 
Exemplo 6 
 
 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑔𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑑𝑥 
 = 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑔𝑥 + 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥| + 𝑐 
 
 
Exemplo 7 
 
 ∫ 𝑡𝑔 𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 − ∫ 𝑡𝑔²𝑥𝑑𝑥 
 = 𝑡𝑔 𝑥 − (𝑡𝑎𝑔𝑥 − ∫ 𝑡𝑔 𝑥𝑑𝑥) 
 = 𝑡𝑔 𝑥 − 𝑡𝑎𝑔𝑥 + 𝑥 + 𝑐 
 
 
Integração de produtos de senos e cossenos 
 
 
Se m e n são inteiros positivos, então a integral  xdxxsen nm cos. pode ser calculada de 
diversas maneiras, dependendo de m e n serem pares ou ímpares. 
 
 xdxxsen nm cos. 
 
Existem regras que devemos seguir quando aparecem problemas da seguinte forma, elas são: 
 
 
 
 xdxxsen nm cos. Procedimento 
ímpar é n ● Separe um fator de xcos . 
● Aplique a identidade: xsenx 22 1cos  . 
● Faça a substituição: senxu  . 
ímpar é m ● Separe um fator de senx . 
● Aplique a identidade: xxsen 22 cos1 . 
● Faça a substituição: xu cos . 



par é 
par é 
n
m
 
● Aplique as identidades: 
)2cos1(
2
12 xxsen  
)2cos1(
2
1
cos2 xx  . 
 
 
Exemplo 8 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 
 
 = ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠²2𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠²2𝑥𝑑𝑥 
 
 = 𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 
 
 = 𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑑𝑥 
 
 = 𝑥 − 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 𝑐 
 
 = 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 𝑐 
 
Exemplo10 
 ∫ 𝑠𝑒𝑛³𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 
 
 = ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥) 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 
 
 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 
 
 ∫ −(1 − 𝑢 )𝑢𝑑𝑢 = − ∫(𝑢 − 𝑢 )𝑑𝑢 
 
 = − + + 𝑐 = − + + 𝑐 
 
 
Produtos de tangentes e secantes 
 
 
Abaixo aprenderemos a calcular integrais de produtos de tangentes e secantes, que 
serão encontradas da seguinte maneira: 
 
 xdxxtg nm sec. 
 
Precisamos observar o “m” e o “n” da função para sabermos como resolver, podemos observar 
a tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 xdxxtg nm sec. Procedimento 
par é n ● Separe um fator de x2sec . 
● Aplique a identidade: 1sec 22  xtgx . 
● Faça a substituição: tgxu  . 
ímpar é m ● Separe um fator de tgxx.sec . 
● Aplique a identidade: 1sec22  xxtg . 
● Faça a substituição: xu sec . 



ímpar é 
par é 
n
m
 
● Use a identidade 1sec22  xxtg para 
reduzir o integrando às potencias de xsec . 
● Use as fórmulas de redução. 
 
Exemplo 11 
 
 
 
 
 
Exemplo 12 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrais da forma: 
 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑚𝑥) cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥, ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑚𝑥) cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 e ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑚𝑥) cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
Podem ser encontradas usando as identidades trigonométricas: 
 
● 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛽 = [𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽) + 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽)] 
 
● 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛽 = [𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) − 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽)] 
 
●𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛽 = [𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽)] 
 
Exemplo 14 
 
 ∫ 𝑠𝑒𝑛7𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(7𝑥 − 3𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(7𝑥 + 3𝑥) 𝑑𝑥 
 
 = ∫(𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 𝑠𝑒𝑛10𝑥)𝑑𝑥 
 
 = − 𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠10𝑥 + 𝑐