Leitura fundamental

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Métodos Estatísticos
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Métodos Estatísticos
Autoria: Profa. Dra. Ana Beatriz Perriello Leme
Como citar este documento: Leme, Ana Beatriz Perriello. Métodos Estatísticos. Valinhos: 2017.
Sumário
Apresentação da Disciplina 03
Unidade 1: Conceitos, Origens e Aplicação da Qualidade nas Empresas 04
Unidade 2: Ferramentas Estatísticas 26
Unidade 3: Distribuições de Probabilidade 50
Unidade 4: Diagramas da Qualidade Aplicados ao Controle Estatístico de Processo 81
2/202
Unidade 5: Métodos e Ferramentas do Controle Estatístico de Processo 103
Unidade 6: Gráfico de Controle para Variáveis 127
Unidade 7: Gráficos de Controle por Atributos 152
Unidade 8: Amostragem de Aceitação Lote a Lote para Atributos 178
3/202
Apresentação da Disciplina
Quando estamos inseridos em um processo 
ou projeto, muitas vezes, não paramos para 
pensar ou nem nos damos conta do quan-
to aplicamos, até mesmo intuitivamente, os 
métodos estatísticos em nosso cotidiano. 
Mas a estatística, quando aplicada corre-
tamente, pode ser uma ferramenta funda-
mental e valiosa, que poderá nos auxiliar na 
gestão de um processo por completo. As-
sim, a finalidade dessa disciplina é apresen-
tar ferramentas estatísticas que possam ser 
aplicadas ao controle de qualidade da pro-
dução, em especial na execução e controle 
estatístico de um processo. Para isso, serão 
apresentadas as bases da qualidade no con-
texto empresarial moderno e as ferramen-
tas estatísticas necessárias ao controle dos 
processos e, além disso, também estuda-
remos casos reais de aplicação do controle 
estatístico em processos industriais. 
Para que tudo isso fosse possível, prepa-
ramos um conteúdo estruturado sobre as 
melhores referências da área de qualidade 
e controle de processos. Assim, esse mate-
rial trará ferramentas indispensáveis para 
sua atuação futura, de modo conciso e di-
recionado ao cotidiano profissional. Esper-
amos com isso lhe auxiliar em sua formação 
e nossa expectativa é que você se torne um 
excelente profissional. Desta forma, convi-
do você a “viajar” pelas próximas páginas e 
desenvolver as competências estatísticas 
necessárias para melhorar o desenvolvi-
mento de seu processo.
4/202
Unidade 1
Conceitos, Origens e Aplicação da Qualidade nas Empresas
Objetivos
1. Conhecer e definir os conceitos de 
qualidade, melhoria da qualidade e 
produtividade;
2. Entender a origem e a difusão dos 
processos de melhoria da qualidade 
nas empresas;
3. Compreender o vínculo e a importân-
cia da estatística no controle de quali-
dade de um processo.
Unidade 1 • Conceitos, Origens e Aplicação da Qualidade nas Empresas5/202
1. Introdução 
Essa disciplina versará sobre o uso de méto-
dos estatísticos aplicados à qualidade, com 
o intuito de melhorar os produtos e bens 
manufaturados consumidos pela socieda-
de. Porém vale lembrar, que qualquer setor 
da sociedade ou de uma empresa também 
pode utilizar os processos e métodos de 
melhoria da qualidade. Sendo assim, desde 
a área de marketing até a área de engenha-
ria podem utilizar os conceitos que apren-
deremos nesse material, buscando a me-
lhoria da qualidade na organização como 
um todo.
Começaremos definindo os conceitos, ori-
gens e aplicações da qualidade nas empre-
sas. Assim, você saberia responder o que 
significa qualidade, melhoria da qualidade 
e produtividade? Qualidade pode ser en-
tendida e definida de vários modos, porém 
é consenso relacionar qualidade às caracte-
rísticas desejáveis de um produto a ser con-
sumido. Essa definição não está errada, po-
rém podemos usá-la como base para uma 
conceituação mais elaborada.
Unidade 1 • Conceitos, Origens e Aplicação da Qualidade nas Empresas6/202
1.1. Conceitos Gerais da Qualidade
Diversos autores na história se propuseram a definir qualidade, porém qualidade é um conceito 
que não deve ser entendido de uma maneira unidirecional e concreta, mas sim de modo multifa-
Para saber mais
Os objetivos estratégicos de desempenho nada mais são do que os indicadores competitivos que uma 
empresa pode ter e são eles: (1) Custos: apresentar custos reduzidos; (2) Flexibilidade: resposta rápida e 
eficiente das variações das necessidades dos clientes; (3) Qualidade: atender as necessidades do cliente; 
(4) Confiabilidade: atender as condições específicas dos clientes e; (5) Rapidez: agilidade de atendimento 
as solicitações do cliente. É a partir do uso desses cinco critérios que as empresas se posicionam estrate-
gicamente no mercado, pensando em quais deles poderão agregar valor ao produto comercializado. Des-
ta forma, nos anos 90 era possível perceber uma busca dos clientes especialmente pelo fator qualidade, 
porém atualmente qualidade já não é mais vista como um diferencial e sim uma exigência do mercado, 
fazendo com que esse se torne o principal critério de seleção de produtos e serviços. Portanto, conhecer 
e aplicar estratégias de melhoria da qualidade tornou-se o principal caminho para o crescimento, perpe-
tuação e sucesso do negócio.
Unidade 1 • Conceitos, Origens e Aplicação da Qualidade nas Empresas7/202
cetado. Mesmo assim, existe um senso co-
mum de que qualidade poderia ser definida 
como um produto ou serviço que é adequa-
do ao uso proposto.
Do mesmo modo que a definição, a qualida-
de pode ser avaliada de várias maneiras, co-
nhecidas como as dimensões da qualidade. 
Neste sentido, um dos autores que discute 
as dimensões da qualidade é Garvin (1987) 
trazendo oito componentes ou oito dimen-
sões da qualidade a serem estudadas, ava-
liadas e melhoradas. 
Entre as oito dimensões da qualidade te-
mos: (1) Desempenho: Verifica se o produto 
de fato realiza a tarefa ao qual se propõe a 
realizar; (2) Confiabilidade: Verifica a frequ-
ência de falhas do produto, ou seja, se o pro-
duto exigirá reparo ao longo da sua vida útil; 
(3) Durabilidade: Verifica qual a real vida útil 
do produto, ou seja, o tempo que o produ-
to durará; (4) Assistência Técnica: Verifica a 
facilidade ou não para se consertar ou recu-
perar o produto; (5) Estética: Verifica a apa-
rência do produto, tais como, estilo, cor, em-
balagem, entre outras características táteis, 
visuais e sensoriais; (6) Características: Veri-
fica o que o produto faz além da sua função 
principal; (7) Qualidade Percebida: Verifica a 
reputação da empresa ou do produto alta-
mente visíveis perante os consumidores. (8) 
Conformidade com Especificações: Verifica 
se o produto foi feito de acordo com o proje-
to, seguindo exatamente as especificações 
a ele destinadas.
Desta forma, partindo-se da definição de 
que qualidade significa adequação ao uso, 
Unidade 1 • Conceitos, Origens e Aplicação da Qualidade nas Empresas8/202
vamos tentar redefini-la de acordo com os 
objetivos dessa disciplina. Para isso, vamos 
relacionar e associar qualidade e estatísti-
ca. Nesse contexto, deve-se entender por 
qualidade algo que é inversamente propor-
cional à variabilidade, uma vez que a redu-
ção da variabilidade nos processos pode ser 
entendida como a melhoria da qualidade.
Com isso, quando a variabilidade das carac-
terísticas de um produto decresce, a qua-
lidade deste mesmo produto aumenta. Foi 
assim que os japoneses pensaram e perce-
beram que ao reduzir a variabilidade no pro-
cesso ou no produto, isso poderia ser tra-
duzido em menores custos produtivos, pois 
eram gerados menos reparos, gastava-se 
menos em termos de garantia e menos re-
trabalho, ganhando assim tanto em termos 
financeiros quanto em tempo de produção. 
Desta forma, a variabilidade excessiva no 
processo resulta, em geral, em desperdício, 
portanto, a melhoria da qualidade é a redu-
ção do desperdício.
Todo produto ou processo está inerente 
a uma variabilidade, assim dois produtos 
nunca são exatamente idênticos. As fontes 
dessa variabilidade incluem diferenças nos 
materiais, no desempenho e operação dos 
equipamentos e na maneira como os ope-
radores realizam suas tarefas.
Para verificar essa variabilidade torna-se 
necessárioparametrizar as características 
de um produto ou de um processo. Para 
isso, determinam-se os valores que seriam 
ótimos ou padrões para o produto, os quais 
são denominados valores alvo (LC), que são 
Unidade 1 • Conceitos, Origens e Aplicação da Qualidade nas Empresas9/202
valores de característica que o processo de-
veria ter se não existisse variabilidade. Além 
disso, determinam-se também as faixas ou 
intervalos onde as variações seriam aceitas, 
sendo assim, o maior valor aceito para uma 
característica de qualidade é chamado limi-
te superior de especificação (LSC) e o menor 
valor permitido para uma característica de 
qualidade chama-se limite inferior de espe-
cificação (LIC). Sendo que, em alguns pro-
cessos específicos, as características apre-
sentam apenas limite de especificação ape-
nas para um lado do alvo, sendo ele inferior 
ou superior.
Quando um valor é detectado fora das fai-
xas LSC e LIC em um processo, considera-se 
que houve uma falha ou uma não conformi-
dade. Sendo que um produto não conforme 
não é, necessariamente, um produto impró-
prio para uso. Sendo assim, um produto im-
próprio para uso seria um produto defeitu-
oso, que apresenta um ou mais defeitos que 
são não conformidades sérias o bastante 
para afetar significativamente o uso seguro 
e efetivo do produto.
Para avaliarmos se as características estão 
conformes (dentro da faixa aceitável) ou 
não conformes (fora de faixa aceitável) uti-
lizamos gráficos de controle de processo ou 
gráfico de Shewhart. Assim, na Figura 1 po-
demos observar um exemplo de gráfico de 
controle, onde foram avaliados 10 lotes de 
produtos hipotéticos, que tinham como pa-
râmetros: LC = 10, LSC = 15 e LIC = 5. Assim, 
analisando a Figura 1, pode-se perceber que 
dos lotes 1 ao 7 os produtos apresentavam 
Unidade 1 • Conceitos, Origens e Aplicação da Qualidade nas Empresas10/202
características aceitas pelo modelo e, com isso, se enquadravam em produtos conformes e, a 
partir do lote 8 os produtos não ficaram dentro das faixas aceitáveis (LSC e LIC), o que os classifi-
cou como produtos não conformes. O uso sistemático desse gráfico pode ser um excelente modo 
de reduzir a variabilidade dos produtos.
Figura 1- Gráfico de controle de um processo hipotético.
Fonte: a autora.
Unidade 1 • Conceitos, Origens e Aplicação da Qualidade nas Empresas11/202
1.2. Origem e Difusão do Con-
trole e Melhoria da Qualidade
Agora que você já foi devidamente intro-
duzido aos princípios da qualidade, vamos 
entender de onde surgiram essas ideias e 
como elas foram aplicadas. Os princípios 
de gerenciamento científico da produção 
começaram a surgir e se desenvolver an-
tes de 1900 com Frederick W. Taylor, com 
o desenvolvimento das indústrias de pro-
dução em massa. A partir de suas pesquisas, 
foi possível observar melhoras substanciais 
na produtividade.
Porém, a ideia de utilizar métodos estatísti-
cos aplicados à melhoria da qualidade tem 
o seu começo formal com Walter A She-
whart, em 1924, no centro de pesquisa e 
Para saber mais
Já estudamos a definição de qualidade, que pode 
ser entendida como inversamente proporcional à 
variabilidade, porém muitas pessoas confundem 
ou usam de modo semelhante os termos qualida-
de e produtividade, assim cabe agora, definirmos 
o que seria produtividade. Podemos entender 
produtividade como a relação existente entre re-
curso utilizado e produtos gerados, por exemplo, 
podemos falar da quantidade de peças produzi-
das por uma pessoa em uma hora. Assim, produ-
tividade é a ideia de gastar menos e gerar mais e, 
quando melhoramos a qualidade, o aumento da 
produtividade é uma consequência, visto que ge-
ramos menos utilizaremos menos recursos com 
retrabalho.
Unidade 1 • Conceitos, Origens e Aplicação da Qualidade nas Empresas12/202
desenvolvimento (P&D) da Bell Labs, onde se 
desenvolveu pela primeira vez o gráfico de 
controle estatístico ou gráfico Shewhart. 
Mais tarde na década de 50, nos Estados Uni-
dos, foi utilizado pela primeira vez o plane-
jamento e otimização de experimentos. A 
primeira indústria que aplicou esse conceito 
foi a indústria química, sendo esse um dos 
motivos que levaram a indústria química 
americana vir a ser uma das indústrias mais 
competitivas do mundo. 
Porém até a década de 80 quase não houve 
expansão da aplicação dos conceitos de 
qualidade para as demais empresas oci-
dentais. Mas desde os anos 80, foi possível 
observar um grande crescimento no uso 
de métodos estatísticos para a melhoria da 
qualidade. Isso porque foi descoberto que as 
indústrias japonesas, maiores competidoras 
das indústrias americanas, estavam usando 
as ideias de controle estatístico de proces-
so e também de planejamento e otimização 
de experimentos desde aproximadamente 
1960 em processos de melhoria de quali-
dade, desempenho e confiabilidade.
Atualmente, percebe-se que, embora as 
técnicas estatísticas sejam importantes 
ferramentas críticas no controle e na mel-
horia da qualidade, reduzindo a variabili-
dade no processo produtivo, apenas estas 
técnicas não são suficientes para aumentar 
o desempenho do produto ou torná-lo mais 
competitivo frente ao mercado. Assim, es-
sas serão utilizadas com maior eficiência se 
implantadas como uma das partes de um 
sistema de gerenciamento da qualidade, 
Unidade 1 • Conceitos, Origens e Aplicação da Qualidade nas Empresas13/202
sendo necessária uma orientação filosófi-
ca do sistema gerencial da empresa. Nesse 
sentido, muitos pesquisadores contribuíram 
para o desenvolvimento da melhoria es-
tatística da qualidade, porém três deles se 
destacam em termos de implantação e filo-
sofia de gerenciamento. São eles:
(1) Dr. W. Edwards Deming: Foi consultor 
de algumas indústrias japonesas pós Se-
gunda Guerra Mundial. Ele acreditava que 
além dos métodos estatísticos, a filosofia 
da qualidade deveria ser instituída em toda 
empresa, mais em especial na área geren-
cial e para isso, essa filosofia deveria ser 
pautada em 14 princípios. Entre os prin-
cipais princípios estão: Aplicar a melhoria 
contínua e a inovação; Produzir algo defei-
tuoso e algo bom tem exatamente o mesmo 
custo; Optar por fornecedores que prezam 
especialmente pela qualidade; Treinar os 
funcionários sempre nos mesmos procedi-
mentos e filosofias e; Trabalhar em equipes 
e com líderes que afastem o medo da mu-
dança. 
(2) Dr. Joseph M. Juran: É um dos pioneiros 
da aplicação de métodos estatísticos para 
controlar a qualidade. Suas ideias se ba-
seiam na melhoria da qualidade a partir de 
uma ação gerencial.
(3) Dr. Armand V. Feigenbaum: Foi o primeiro 
a introduzir o conceito de controle da qual-
idade por toda a companhia, ou controle de 
qualidade total. Esse pesquisador preocu-
pou-se mais com as questões organizacio-
nais do que com os métodos estatísticos. 
Unidade 1 • Conceitos, Origens e Aplicação da Qualidade nas Empresas14/202
Apesar de metodologias e filosofias difer-
entes, esses três autores são os pioneiros ao 
visualizarem que qualidade pode ser uma 
arma competitiva e que a gerência tem fun-
damental importância nesse processo de 
melhoria.
Para saber mais
A Organização Internacional de Padrões (ISO, do 
inglês International Standards Organization) de-
senvolveu alguns padrões de qualidade que po-
dem ser encontrados na série ISO 9000. Porém, 
uma das críticas ao sistema ISO é que este é foca-
do demasiadamente em documentos e pouquís-
simo na real redução da variabilidade e, por con-
sequência, melhora da qualidade.
Desta forma, a gerência da empresa deverá 
pensar em como desenvolver uma filosofia 
de qualidade em toda a empresa e, além 
disso, deverá entender que um produto não 
precisa ser superior em todas as dimensões 
de qualidade, mas poderá sim, selecionar 
nichos de atuação e competição, que são 
geralmente os nichos que foram negligen-
ciados pelos concorrentes.
Unidade 1 • Conceitos, Origens e Aplicação da Qualidade nas Empresas15/202
Glossário
Melhoria da qualidade: É a redução da variabilidadedentro dos processos avaliados.
Produtividade: Relação entre recurso utilizado e produtos gerados, com o pensamento de gas-
tar menos e gerar mais.
Qualidade: Significa que um produto é adequado ao uso. E quando se trata de um processo en-
tende-se por qualidade algo que é inversamente proporcional à variabilidade.
Questão
reflexão
?
para
16/202
Agora é sua vez de pensar. Imagine que você decidiu 
comprar um automóvel. Você consegue pensar em crité-
rios que façam você optar por uma marca ou por outra, 
por um modelo ou por outro? Pensou? Agora tente rela-
cionar esses critérios adotados com as oito dimensões 
da qualidade trabalhadas nesse tema. Esse é um ótimo 
exemplo que você poderá levar para vida e usar na es-
colha do seu próximo veículo ou de qualquer outro bem.
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Considerações Finais
• As oito dimensões da qualidade são: (1) Desempenho; (2) Confiabilidade; (3) Durabilidade; (4) 
Assistência Técnica; (5) Estética; (6) Características; (7) Qualidade Percebida e; (8) Conformidade 
com Especificações;
• Qualidade, para esta disciplina, pode ser entendida como algo que é inversamente proporcional 
à variabilidade e, a redução da variabilidade nos processos pode ser entendida como a melhoria 
da qualidade. Com isso, quando a variabilidade das características de um produto decresce, a 
qualidade deste mesmo produto aumenta;
• Para avaliarmos se as características estão conformes ou não conformes utilizamos gráficos de 
controle de processo ou gráfico de Shewhart. Para isso, determinam-se os valores que seriam pa-
drões (LC) e também se determinam os intervalos onde as variações seriam aceitas (LSC) e (LIC);
• A qualidade surge com Frederick W. Taylor (1900), porém, a ideia de utilizar métodos estatísticos 
aplicados à melhoria da qualidade tem o seu inicio com Walter A Shewhart, em 1924. Tanto os 
procedimentos estatísticos, quanto as filosofias que envolvem qualidade, tiveram sua difusão, 
primeiramente no Japão nos anos 50 e, mais tarde, foram aprimorados e difundidos especial-
mente nos Estados Unidos.
Unidade 1 • Conceitos, Origens e Aplicação da Qualidade nas Empresas18/202
Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR ISO 9000: Sistemas de gestão da qualida-
de - Fundamentos e vocabulário. Rio de Janeiro, p. 26. 2000.GARVIN, David A.. Competing on the 
Eight Dimensions of Quality. Harvard Business Review, Nova York, nov. 1987. Bimestral. Disponí-
vel em: <https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-dimensions-of-quality>. Acesso em: 20 
out. 2017.
MONTGOMERY, D. C. Introdução ao controle estatístico da qualidade. 7. ed. São Paulo: LTC, 2016.
https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-dimensions-of-quality
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1. Assinale a alternativa correta. Dentro das oito dimensões da qualidade po-
dem ser citadas:
a) Estética e dureza.
b) Prevenção e desempenho.
c) Qualidade Percebida e confiabilidade.
d) Conformidade com especificações e restauração.
e) Reabilitação e assistência técnica.
Questão 1
20/202
2. Assinale a alternativa correta. Como pode ser compreendida a quali-
dade?
a) Como algo que é inversamente proporcional à variabilidade.
b) Como uma utopia trabalhada nas empresas.
c) Como algo que conflita diretamente com os desejos dos indivíduos de uma empresa.
d) Como algo impossível de ser realizado em empresas ocidentais.
e) Como algo muito custoso, que deve ficar em segundo plano.
Questão 2
21/202
3. Assinale a alternativa correta. O gráfico de controle de processo tam-
bém pode ser conhecido como:
a) Gráfico de dispersão
b) Gráfico de Shewhart.
c) Gráfico de Deming.
d) Gráfico de Juran.
e) Gráfico de Ishikawa.
Questão 3
22/202
4. Assinale a alternativa correta. São partes constituintes do gráfico de 
controle do processo:
a) Linha superior, inferior e mediana de controle.
b) Linhas de dispersão.
c) Linhas de defeitos.
d) Linha superior, inferior e média de controle.
e) Linhas aleatórias.
Questão 4
23/202
5. Assinale a alternativa correta. Além dos métodos de controle estatísti-
cos, a qualidade se baseia em:
a) Escolas do pensamento humano.
b) Estudos do clima organizacional.
c) Sistemáticas de pensamento moderno.
d) Conferências sobre o Meio Ambiente e o Desenvolvimento.
e) Filosofias de garantia da qualidade.
Questão 5
24/202
Gabarito
1. Resposta: C.
As oito dimensões da qualidade são: (1) De-
sempenho; (2) Confiabilidade; (3) Durabili-
dade; (4) Assistência Técnica; (5) Estética; 
(6) Características; (7) Qualidade Percebida 
e; (8) Conformidade com Especificações.
2. Resposta: A.
Qualidade, para esta disciplina, pode ser 
entendida como algo que é inversamente 
proporcional à variabilidade e, a redução da 
variabilidade nos processos pode ser enten-
dida como a melhoria da qualidade. Com 
isso, quando a variabilidade das caracterís-
ticas de um produto decresce, a qualidade 
deste mesmo produto aumenta.
3. Resposta: B.
Para avaliarmos se as características estão 
conformes ou não conformes utilizamos 
gráficos de controle de processo ou gráfico 
de Shewhart.
4. Resposta: D.
Para avaliarmos se as características estão 
conformes ou não conformes utilizamos 
gráficos de controle de processo ou gráfico 
de Shewhart. Para isso, determinam-se os 
valores que seriam padrões (LC) e também 
se determinam os intervalos onde as varia-
ções seriam aceitas (LSC) e (LIC).
25/202
Gabarito
5. Resposta: E.
A qualidade surge com Frederick W. Taylor 
(1900), porém, a ideia de utilizar métodos 
estatísticos aplicados à melhoria da qualida-
de tem o seu início com Walter A. Shewhart, 
em 1924. Tanto os procedimentos estatísti-
cos, quando as filosofias que envolvem qua-
lidade, tiveram sua difusão, primeiramente 
no Japão nos anos 50 e, mais tarde, foram 
aprimorados e difundidos especialmente 
nos Estados Unidos.
26/202
Unidade 2
Ferramentas Estatísticas
Objetivos
1. Aprender sobre processos e ferra-
mentas da estatística descritiva;
2. Analisar exemplos de trabalho com 
dados experimentais;
3. Verificar os diferentes tipos de cons-
truções gráficas empregando a esta-
tística.
Unidade 2 • Ferramentas Estatísticas27/202
1. Introdução
Nesse segundo tema faremos uma breve 
introdução da estatística aplicada direta-
mente aos processos. Para isso, verificare-
mos a montagem de gráficos, por exemplo, 
ramo-e-folhas, histograma e diagrama de 
caixa, que podem ser usados para obser-
varmos as variáveis de um processo. Além 
disso, no próximo tema, estudaremos o 
comportamento de um processo com base 
em distribuições de probabilidade, entre 
elas, as distribuições: (1) Contínuas e, (2) 
Discretas. 
Como já visto no tema anterior, raramente 
conseguimos produzir duas ou mais unida-
des de um produto de modo idêntico. Ima-
gine um pacote de biscoito, sempre haverá 
uma pequena variação de massa (mesmo 
que esta seja mínima) entre as embalagens. 
Nesse sentido, a estatística tem contribu-
ído no intuito de avaliar os dados de um 
processo ou de um produto e conseguir ti-
rar algumas conclusões úteis que venham a 
contribuir com a melhoria da qualidade do 
processo como um todo.
Para conseguirmos chegar a alguma con-
clusão, usando estatística, primeiramente 
é necessário obter dados. Assim, com o in-
tuito de aprofundar o tema e aprendermos 
a trabalhar com as ferramentas estatísticas, 
vamos usar, pelo menos na primeira parte 
do capítulo, os dados contidos na Tabela 1, 
referente à massa em kg de biscoito den-
tro de um pacote produzido, avaliado em 
10 dias diferentes com uma amostragem 
de 8 pacotes por dia, totalizando 80 dados 
amostrais.
Unidade 2 • Ferramentas Estatísticas28/202
Para saber mais
A utilização da estatística vai muito além da análise de comportamentos de dados para a melhoria da 
qualidade. Na verdade, com a estatística as empresas buscam antecipar situações que possam ocorrer 
no futuro com base em uma série de dados que refletem o passado. Nesse pensamento, diversos pro-
fissionais de diferentes áreas desenvolvem modelos para observação de comportamentosfuturos com 
base em estatística. Curvas de previsão de demanda, ocorrência de fenômenos naturais como furacões, 
necessidade de implementações de novos terminais de autoatendimento em bancos, tudo isso tem em 
comum a estatística, baseando em tomadas de decisão para mitigar efeitos (principalmente em casos de 
fenômenos naturais) ou potencializar ganhos (previsões de demanda corretas prevendo necessidade de 
itens com prazo de entrega longo). Com o advento do Big Data, a tendência é que a utilização da estatís-
tica seja cada vez maior para tratar um progressivo e complexo volume de dados.
Unidade 2 • Ferramentas Estatísticas29/202
Tabela 1. Dados da massa em kg de biscoito dentro dos pacotes em 10 dias (n = 8). 
Amostra Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4 Dia 5 Dia 6 Dia 7 Dia 8 Dia 9 Dia 10
1 1,072 1,083 1,091 1,029 1,038 1,089 1,049 1,036 1,049 1,056
2 1,043 1,060 1,067 1,049 1,081 1,052 1,076 1,062 1,063 1,069
3 1,079 1,062 1,072 1,031 1,071 1,032 1,060 1,073 1,061 1,074
4 1,065 1,028 1,040 1,040 1,059 1,039 1,058 1,038 1,070 1,037
5 1,090 1,049 1,052 1,059 1,083 1,048 1,068 1,060 1,081 1,060
6 1,039 1,065 1,054 1,075 1,042 1,072 1,052 1,093 1,073 1,075
7 1,058 1,081 1,058 1,053 1,056 1,058 1,077 1,057 1,039 1,068
8 1,072 1,045 1,088 1,061 1,063 1,052 1,070 1,065 1,079 1,046
Fonte: a autora.
1.1 Técnicas de Estatística
A estatística pode ser definida como um conjunto de técnicas para a redução de dados a um nú-
mero menor de termos descritivos que sejam mais convenientes e facilmente comunicáveis. Por 
isso, o nome: estatística descritiva, quando trabalhamos com dados a fim de chegarmos a algu-
ma conclusão. A primeira estratégia que podemos utilizar no tratamento dos dados amostrais é 
fazermos os cálculos de média, variância e desvio padrão dos dados. Com isso, obtemos os valo-
res que seguem para o caso do exemplo da Tabela 1.
Unidade 2 • Ferramentas Estatísticas30/202
Média Aritmética: 
Variância: 
Desvio Padrão: 
Onde, c é a média aritmética, ic é o valor da observação, n é o número de observações, 2s é a 
variância e s é o desvio padrão.
A média nos indica a tendência central dos dados, que deverá ser em torno de 1,060 kg. Já a va-
riância e o desvio padrão, nos indica a dispersão dos dados em torno de um valor médio. A gran-
de vantagem de utilizarmos o desvio padrão ao invés da variância é que o desvio é expresso na 
mesma unidade de medida da amostra original. Com esses dados calculados, podemos começar 
a avaliar e construir os gráficos: (1) Ramo-e-folhas, (2) Histograma, (3) Diagrama de caixa. 
Unidade 2 • Ferramentas Estatísticas31/202
Para saber mais
Quando realizamos a análise de dados é necessário compreender como esses dados se comportam, por 
isso trabalham-se esses dados para a observação de dois comportamentos: sua tendência central e sua 
dispersão. Medidas de dispersão já foram apresentadas como o cálculo da variância e do desvio padrão e 
um exemplo de cálculo de medida central, a média aritmética. Mas existem outras duas medidas de ten-
dência central que são amplamente utilizadas da gestão da qualidade: a moda e a mediana. Moda é um 
valor que aparece em mais frequência em conjunto de dados, sua identificação será frequente em ferra-
mentas que serão apresentadas ao longo da disciplina como o Diagrama Ramo-e-Folha e o Diagrama de 
Pareto. Mediana é o ponto central de uma distribuição de valores. Para seu cálculo existem duas regras: 
se o conjunto de valores é ímpar ordene os valores do menor para o maior, calcule a metade do número 
de dados, a mediana será o número inteiro ordenado após o número calculado como sendo a metade do 
conjunto de dados; para números pares esse número calculado será inteiro, dessa forma, calcule a média 
aritmética entre o número que está ordenado na posição calculada e seu subsequente.
Unidade 2 • Ferramentas Estatísticas32/202
1.1.1 Gráfico Ramo-e-folhas
Para a construção deste tipo de gráfico, separamos os dados obtidos em: (1) Ramos: são forma-
dos pelos dígitos iniciais que se repetem nos dados, no exemplo: 1,0 e, dividimos os diferentes 
ramos de acordo com o primeiro dígito que não se repete, obtendo-se assim as 8 classes do 
exemplo, são elas: 1,02; 1,03; 1,04; 1,05; 1,06; 1,07; 1,08; 1,09. (2) Folhas: são os algarismos que 
faltam para completar o valor. Assim, todas as folhas devem ser posicionadas de acordo com os 
seus ramos, usando o exemplo, é possível obter a Tabela 2.
Tabela 2. Gráfico Ramos-e-folhas para os dados de massa de biscoito em kg. 
Ramo Folha Frequência
1,02 8 9 2
1,03 1 2 6 7 8 8 9 9 9 9
1,04 0 0 2 3 5 6 8 9 9 9 9 11
1,05 8 2 4 8 9 3 9 6 2 8 2 7 6 15
1,06 0 0 0 0 1 1 2 2 3 3 5 5 5 7 8 8 9 17
1,07 0 0 1 2 2 2 2 3 3 4 5 5 6 7 9 9 16
1,08 1 1 1 3 3 8 9 7
1,09 1 3 9 3
Fonte: a autora.
Unidade 2 • Ferramentas Estatísticas33/202
Com esse gráfico, é possível perceber uma 
maior frequência dos dados em torno de 
um valor central (média calculada), indi-
cando uma tendência e também, uma bai-
xa frequência para os valores das pontas. 
Com isso, percebe-se que o gráfico do tipo 
ramo-e-folhas contribui na organização e 
visualização dos dados amostrais, porém o 
quesito tempo não é levado em conta nessa 
representação gráfica e, veremos que tem-
po pode ser um dos fatores cruciais para os 
processos de controle e melhoria da quali-
dade.
1.1.2 Histograma
Um histograma é um gráfico de frequências 
com suas distribuições em classes, assim, 
ele é formado de retângulos que represen-
tam as classes da variável em estudo, sendo 
que, a altura de cada retângulo é proporcio-
nal à frequência observada correspondente 
a classe. Para construí-lo levamos em conta 
a frequência em que os dados se repetem 
numa determinada classe. A título de com-
paração, nesse exemplo utilizamos as mes-
mas classes do gráfico de Ramo-e-folhas, 
e também as frequências já calculadas, o 
histograma plotado pode ser observado na 
Figura 1. Percebam que as classes sempre 
têm o mesmo tamanho.
Unidade 2 • Ferramentas Estatísticas34/202
Figura 1- Histograma plotado com base no exemplo da massa do pacote de biscoito.
Fonte: a autora.
Unidade 2 • Ferramentas Estatísticas35/202
Para saber mais
Uma das diversas utilizações do histograma é no Diagrama ou Gráfico de Pareto. Criado por Vilfrido Pare-
to, sociólogo e economista nascido na França, o Diagrama de Pareto vem a corroborar com o Princípio de 
mesmo nome que define que 80% da riqueza de uma nação está concentrada em 20% da sua população. 
Para a qualidade, a leitura do diagrama é um pouco diferente, considerando esses 80% como as falhas 
que ocorrem no sistema produtivo e 20% sendo o tipo de falhas encontradas. Isso indicaria que poucos 
módulos de falhas acarretam grandes prejuízos ao sistema produtivo. Para sua construção devem-se 
identificar quais os módulos de falha que ocorrem; depois definir a frequência com as quais essas falhas 
ocorrem; definidos os módulos de falha e suas ocorrências, devem-se ordenar do maior para menor os 
módulos de falha e plotar dois gráficos sobrepostos: o histograma com a frequência das falhas e o gráfico 
de linha indicando o total das participações das falhas até aquele módulo. Dessa forma, é possível obser-
var a frequência da falha e sua participação. Falhas localizadas antes do total ser 80% são falhas a serem 
priorizadas para correção. O gráfico a seguir é um exemplo de um Diagrama de Pareto.
Unidade 2 • Ferramentas Estatísticas36/202
Figura 2- Diagrama de Pareto, comparando módulos de falha.
Fonte: a autora.
Unidade 2 • Ferramentas Estatísticas37/202
Com base nos dados do exemplo, a Pintu-
ra, Expedição, Embalagem e Solda deveriam 
ser trabalhadas primeiramente, deixando 
para depois a Usinagem e o Corte.
1.1.3 Diagrama de Caixa (box-
-plot)
Para conseguirmos plotar um diagrama de 
caixa, temos que, primeiramente entender 
o que são os quartis. Assim, denomina-se 
como primeiro quartil, 1Q , ao valor que deli-
mita os 25% dos menores valores e, de ter-
ceiro quartil, 3Q , o valor que separa os25% 
maiores valores. O segundo quartil, 2Q , é 
igual a mediana, que é definida como o va-
lor central do conjunto amostral, ou seja, o 
valor que divide o conjunto ao meio.
Para construirmos o diagrama de caixas, 
traçamos dois retângulos, o primeiro repre-
senta o espaço entre o primeiro quartil e o 
segundo quartil (mediana) e o segundo re-
tângulo, o espaço entre o segundo quartil 
e o terceiro quartil. Além disso, traçam-se 
linhas a partir do fim dos retângulos até os 
valores de máximo e mínimo. Desta forma, 
o diagrama de caixas para o exemplo dos 
biscoitos pode ser observado na Figura 3, 
onde as linhas dos retângulos representam 
os quartis, a linha horizontal representa os 
valores de máximo e mínimo e * representa 
os valores considerados outliers, ou seja, va-
lores fora do padrão estatístico do modelo.
Unidade 2 • Ferramentas Estatísticas38/202
Figura 3- Diagrama de Caixa para as amostras de biscoito.
Fonte: a autora.
A grande vantagem desse diagrama, quan-
do comparado com os outros dois (ramo-
-e-folhas e histograma), é que nele são ob-
servadas tendências centrais, de dispersão 
e de variabilidade, além da simetria dos da-
dos amostrais.
Unidade 2 • Ferramentas Estatísticas39/202
Glossário
Big Data: Conjunto de dados extremamente grandes que apresentam dificuldade para serem 
tratados com as metodologias tradicionais de tratamento.
Outliers: Valores fora do padrão estatístico do modelo.
Quartil: Secção de um conjunto de dados separados ¼ de cada vez.
Questão
reflexão
?
para
40/202
Agora sabendo algumas das ferramentas estatísticas você começa 
a estar apto para analisar melhor o carro que você estava disposto 
a comprar. Você conseguirá analisar informações sobre rendimento 
e economia. Quantos quilômetros faz com um litro? Esse cálculo 
traz uma média de consumo. Se andar na cidade? Se andar na es-
trada? É sabido que há diferenças de consumo nessas duas con-
dições, qual seria a dispersão dos dados nesses dois casos? Seria 
necessário o cálculo de uma média de consumo para cada cenário? 
As ferramentas estatísticas estão disponíveis para a execução de 
modelos para entender o mundo e antecipar o que poderá acon-
tecer, mas só será possível isso se a modelagem for executada da 
maneira correta.
41/202
Considerações Finais 
• A estatística pode usada para reduzirmos dados a um termo descritivo que seja mais 
facilmente comunicável. A primeira estratégia abordada, no tratamento de dados, foi 
o cálculo de média, variância e desvio padrão. A média nos indica a tendência central 
dos dados e o desvio padrão indica a dispersão dos dados em torno de um valor médio;
• Fora a média, existem outras ferramentas para observação de tendência central, como 
a moda, o valor de maior frequência, a mediana e o valor médio encontrado em uma 
série de valores organizados do menor para o maior. Moda é vista em modelos de con-
trole da qualidade como o Diagrama Ramo-e-folhas, já mediana é utilizada no cálculo 
do Diagrama de caixa;
• Também aprendemos como fazer a montagem de gráficos dos tipos: (1) Ramo-e-fo-
lhas, (2) Histograma e, (3) Diagrama de caixa, que são gráficos visuais que indicam a 
distribuição dos dados, em torno da média ou da mediana (valor do meio do conjunto) 
e suas dispersões. Porém o quesito tempo não é levado em conta em nenhuma dessas 
representações gráficas, mas pode ser um dos fatores cruciais para os processos de 
controle e melhoria da qualidade.
Unidade 2 • Ferramentas Estatísticas42/202
Referências 
GARVIN, David A.. Competing on the Eight Dimensions of Quality. Harvard Business Review, Nova 
York, nov. 1987. Bimestral. Disponível em: <https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-di-
mensions-of-quality>. Acesso em: 20 out. 2017.
MONTGOMERY, D. C. Introdução ao controle estatístico da qualidade. 7. ed. São Paulo: LTC, 
2016. 
TRIOLA, M. F. Introdução à estatística: Atualização da tecnologia. 11. ed. São Paulo: LTC, 2013.
https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-dimensions-of-quality
https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-dimensions-of-quality
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1. Assinale a alternativa correta. São medidas de dispersão de dados:
a) Média ponderada e aritmética.
b) Desvio padrão e variância.
c) Mediana e moda.
d) Moda e média aritmética.
e) Variância e mediana.
Questão 1
44/202
2. Assinale a alternativa correta. São medidas de tendência central de dados:
Questão 2
a) Média aritmética e mediana.
b) Desvio padrão e variância.
c) Mediana e desvio padrão.
d) Moda e variância.
e) Variância e mediana.
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3. Assinale a alternativa correta. O que é um histograma:
Questão 3
a) É um gráfico circular e tem suas distribuições em classes, a área de cada fatia é proporcional 
à frequência observada correspondente a classe.
b) É um gráfico de dispersão e tem suas distribuições em classes, a altura de cada ponto é pro-
porcional à frequência observada correspondente a classe.
c) É um gráfico de linhas e tem suas distribuições em classes, a área abaixo da linha é propor-
cional à frequência observada correspondente a classe.
d) É um gráfico de frequências e tem suas distribuições em classes, a altura de cada retângulo 
é proporcional à frequência observada correspondente a classe.
e) É um gráfico de barras horizontais e tem suas distribuições em classes, a diferença das al-
turas entre retângulos conjugados é proporcional à frequência observada correspondente a 
classe.
46/202
4. Assinale a alternativa correta. O que é possível observar com um Diagrama 
Ramo-e-folha?
Questão 4
a) É possível perceber uma maior frequência dos dados em torno de uma dispersão de valores 
(média calculada), indicando uma tendência e também, uma baixa frequência para os valo-
res das pontas.
b) É possível perceber uma maior frequência dos dados em torno de um valor central (variân-
cia), indicando uma tendência e também, uma baixa frequência para os valores das pontas.
c) É possível perceber uma maior frequência dos dados em torno de um valor central (média 
calculada), indicando uma tendência e também, uma baixa frequência para os valores das 
pontas.
d) É possível perceber uma maior frequência dos dados em torno de um valor central (média 
calculada), indicando uma sazonalidade.
e) É possível perceber uma maior distribuição dos dados em torno de uma dispersão de dados 
(média calculada), indicando uma tendência e também, uma baixa frequência para os valo-
res das pontas.
47/202
5. Assinale a alternativa correta. Qual a grande vantagem de utilizar o Dia-
grama de Caixa ao invés dos outros diagramas estudados nesse tema?
Questão 5
a) A grande vantagem desse diagrama, quando comparado com os outros, é que nele são ob-
servadas apenas a simetria dos dados amostrais.
b) A grande vantagem desse diagrama, quando comparado com os outros, é que nele são ob-
servadas apenas tendências centrais.
c) A grande vantagem desse diagrama, quando comparado com os outros, é que nele são ob-
servadas apenas as tendências de dispersão e de variabilidade.
d) A grande vantagem desse diagrama, quando comparado com os outros, é que nele são ob-
servadas apenas as tendências de variabilidade.
e) A grande vantagem desse diagrama, quando comparado com os outros, é que nele são ob-
servadas tendências centrais, de dispersão e de variabilidade, além da simetria dos dados 
amostrais.
48/202
Gabarito
1. Resposta: B.
Quando realizamos a análise de dados é ne-
cessário compreender como esses dados se 
comportam, por isso trabalham-se esses 
dados para a observação de dois comporta-
mentos: sua tendência central e sua disper-
são. Medidas de dispersão seriam o cálculo 
da variância e do desvio padrão.
2. Resposta: A.
Um exemplo de cálculo de medida central é 
média aritmética e mediana. Existem outras 
medidas de tendência central que são am-
plamente utilizadas da gestão da qualidade.
3. Resposta: D.
Um histograma é um gráfico de frequências 
e tem suas distribuições em classes, assim, 
ele é formado de retângulos que represen-
tam asclasses da variável em estudo, sendo 
que, a altura de cada retângulo é proporcio-
nal à frequência observada correspondente 
a classe.
4. Resposta: C.
É possível perceber uma maior frequên-
cia dos dados em torno de um valor central 
(média calculada), indicando uma tendên-
cia e também, uma baixa frequência para os 
valores das pontas.
49/202
Gabarito
5. Resposta: E.
A grande vantagem desse diagrama, quan-
do comparado com os outros dois (ramo-
-e-folhas e histograma) é que nele são ob-
servadas tendências centrais, de dispersão 
e de variabilidade, além da simetria dos da-
dos amostrais.
50/202
Unidade 3
Distribuições de Probabilidade
Objetivos
1. Aprender as diferenças das distri-
buições de probabilidade discretas e 
contínuas, e suas utilizações;
2. Analisar cenários em que cada uma 
das distribuições pode ser utilizada;
3. Entender que as distribuições de pro-
babilidade podem ser usadas para ve-
rificar o comportamento de um pro-
cesso.
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade51/202
Introdução
Além de executar a redução de dados, para 
que estes se tornem mais facilmente comu-
nicáveis, a estatística também tem o foco de 
estudar experimentos com caráter aleatório 
e não determinístico, ou seja, tem o foco de 
estudar experimentos que se repetidos nas 
mesmas condições produzirão resultados 
diferentes.
Para isso ela utiliza distribuições de proba-
bilidade, sendo que, uma distribuição de 
probabilidade pode ser definida como um 
modelo matemático que relaciona o valor 
de uma variável aleatória com a probabili-
dade de ocorrência daquele valor aleatório 
na população.
Existem dois modelos de distribuições de 
probabilidade: (1) Distribuições contínu-
as, onde a variável aleatória é expressa em 
escala contínua; e (2) Distribuição discre-
ta, onde a variável aleatória assume certos 
valores específicos. Desta forma, existem 
vários modelos de distribuição nesses dois 
casos, para variáveis contínuas e discretas e 
as escolhas devem ser feitas a partir do mo-
delo que descreve corretamente o processo 
utilizado ou os dados obtidos. Para esse ma-
terial foram selecionados quatro diferentes 
modelos de distribuição, entre eles: (1) Hi-
pergeométrica; (2) Poisson; (3) Normal; e (4) 
Exponencial.
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade52/202
1.1. Distribuição Hipergeomé-
trica
A distribuição hipergeométrica é uma das 
distribuições discretas que aparecem fre-
quentemente nos estudos de controle es-
tatístico da qualidade. As distribuições dis-
cretas são definidas como aquelas em que 
há uma população finita composta por N 
itens que podem ser identificados. No caso 
de uma distribuição hipergeométrica é re-
tirada dos N itens uma amostra de tama-
nho n (n<N). Dessa amostra retirada, exis-
tem itens que são de interesse do analista 
chamados itens x e D itens que seria itens 
defeituosos. Assim, a distribuição de proba-
bilidade hipergeométrica se apresenta da 
seguinte forma:
Para saber mais
Sabe-se que as distribuições de probabilidade 
são usadas para representar fenômenos obser-
vados e, a partir de uma base de dados, inferirem 
como o futuro poderia ser. Existem casos notá-
veis de como as distribuições de probabilidade 
são utilizadas atualmente. Na economia, mode-
los foram construídos primeiramente com base 
na distribuição Normal e depois nas distribuições 
de Pareto para inferirem valores futuros de títulos 
e bens. Em manutenções, uma boa compreensão 
de como a degradação de um componente ocor-
re permite sua substituição antes que uma falha 
ocorra, além disso, degradações de calçadas po-
dem ser verificadas de antemão por meio de pro-
jeções de uma distribuição exponencial. 
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade53/202
Lembrando que, são análises combinatórias 
resolvidas conforme a expressão abaixo.
Assim, pode se concluir que a distribuição 
hipergeométrica terá melhor aplicação em 
cenários em que uma amostra de tamanho 
n é retirada aleatoriamente de um lote de-
finido de tamanho N, dos quais se sabe de 
antemão a taxa média de itens não-confor-
mes D, x nesses casos irá representar o nú-
mero de itens não-conforme encontrados 
na amostra n. 
Por exemplo, em um cenário com um lote 
de 100 peças fabricadas (N=100) e uma 
taxa de 5% de peças não-conforme (D=5), 
é retirada uma amostra de 10 peças. Qual 
a probabilidade de achar nessa amostra de 
10 peças (n=10) até uma peça com defeito 
(x=0 e x=1)?
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade54/202
Dessa forma, 5 probabilidades devem ser calculadas:
Retornando para a equação original:
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade55/202
1.2. Distribuição Poisson
Outra distribuição discreta utilizada no 
controle estatístico da qualidade é a distri-
buição de Poisson. Essa distribuição se dá 
em função de parâmetro (λ) que é definido 
por aquele que está utilizando a distribui-
ção. Muito utilizado quando há a definição 
de quantidade de defeitos por unidade pro-
duzida ou para a descrição do número de 
chegadas em um sistema de filas. A equa-
ção que define a distribuição de Poisson é:
Sendo a distribuição das curvas de Poisson 
com λ variando entre 4, 8, 12 e 16 apresen-
tada na figura 4.
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade56/202
Figura 4- Gráfico da distribuição de Poisson com os parâmetros variando discretamente entre 4, 8, 12 e 16.
Fonte: a autora.
Note que a distribuição de Poisson é assimétrica, com valores de λ menores a cauda a direita é 
mais longa, com valores maiores de λ a distribuição se apresenta de maneira mais simétrica, mas 
continua sendo assimétrica.
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade57/202
No exemplo a seguir, será trabalhado um sistema de produção que trabalha com um valor apro-
ximado de 4 falhas por item produzido, se ao coletar uma amostra aleatória nesse sistema, qual 
a probabilidade de apresentar no máximo 2 falhas?
1.3. Distribuição Normal
Provavelmente a curva de distribuição mais conhecida tanto na teoria quanto em utilizações 
práticas é a curva gaussiana ou curva Normal, que é uma curva de distribuição contínua (por isso 
pode ser chamada de curva), com característica de ser uma curva simétrica, unimodal, com for-
ma característica conhecida de sino.
A distribuição normal é definida pela equação:
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade58/202
Assumindo que a curva Normal tenha média = 
0 e variância = 1 (curva normal padrão) ela es-
taria distribuída conforme o gráfico a seguir.
Figura 5- Distribuição Normal com média = 0 e variância = 1.
Fonte: a autora.
Compreendida a maneira pela qual a curva 
Normal se distribui, agora será explicada a 
utilização da distribuição para modelagem 
de sistemas produtivos e inferências para 
controle da qualidade. Nos sistemas produ-
tivos, as curvas Normais são utilizadas para 
verificar se o valor a ser amostrado aleatório 
(x) será inferior ou igual a um parâmetro (a) 
definido por um cliente ou até mesmo pelos 
processos internos da empresa. Ou seja,
Porém, essa integral é difícil de ser resolvida 
na forma que se apresenta, podendo passar 
pela seguinte transformação:
Com essa modificação e utilizando curva 
Normal padrão como base (média =0, vari-
ância = desvio padrão = 1), tem-se que:
Sendo ϕ o valor da distribuição Normal pa-
drão acumulada presente na tabela 3. 
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade59/202
Tabela 3- Distribuição Normal Padrão Acumulada. 
Fonte: a autora.
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade60/202
Para ler os dados na tabela, considere z constituído de duas partes, uma parte decimal e uma 
parte centesimal. Ao analisar o valor de z ( ), o valor decimal será procurado na primeira coluna 
e o valor centesimal na primeira linha, onde houver o cruzamento dos 2 valores haverá o resul-
tado da distribuição procurada e consequentemente a probabilidade do evento ocorrer. Além 
disso, pela descrição da integral, percebe-se que há preenchimento completo das distribuições 
de -∞ até o ponto a selecionado.
Por exemplo, considereque uma empresa fabrica tubos de aço e que esses tubos de aço têm 
como padrão do processo a dimensão externa de 40 mm (também conhecida como medida no-
minal) e um desvio padrão máximo permitido de 2 mm (conhecido também como tolerância). 
Um cliente estipula que o padrão de recebimento dele é de 35 mm, logo ele não aceitará mate-
riais com menos de 35 mm de diâmetro externo. Qual a probabilidade desse processo descrito 
enviar um tubo fora das especificações?
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade61/202
Note que a tabela de Distribuição Normal Padrão Acumulada não apresenta valores negativos. 
Para realizar o cálculo de maneira correta deve se entender que toda somatória de distribuição 
de probabilidade é igual a 1. No caso do exemplo ou o material tem diâmetro externo maior que 
35 mm ou ele é menor ou igual a 35 mm. Assim, 
Verificando na tabela 3 o valor de 2,50 encontra-se o decimal 2,5 e o centesimal 0,00, resultando 
em 0,9938.
Tabela 4. Exemplo de leitura da Tabela de Distribuição Normal Padrão Acumulada. 
Fonte: a autora.
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade62/202
Assim, a probabilidade desse sistema produtivo enviar para um cliente um tubo com diâmetro 
externo inferior a 35 mm é de 0,62%, dentro dessas configurações.
Mas se existe um limite inferior a ser considerado? Se o cliente define um intervalo de aceitação 
ao invés de um valor mínimo para aceitação? Considere agora que o sistema produtivo produz 
hastes de metal com média de 0,2508 cm e desvio padrão de 0,0005 cm. O cliente estabeleceu 
que aceitará hastes com 0,2500 ± 0,0015 cm. Dentro desse sistema produtivo e com as exigên-
cias do cliente, qual a probabilidade o cliente receber uma haste dentro das especificações dele?
Essa probabilidade pode ser divida em 2 cálculos, primeiro de P{x≤0,2515} e P{x≤0,2485}, depois 
subtrair P{x≤0,2485} de P{x≤0,2515}, uma vez que, como já visto na Distribuição Normal Padrão 
Acumulada, o acúmulo ocorre de -∞ ao valor especificado. Assim, tem-se:
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade63/202
Dessa forma, a probabilidade do sistema produtivo entregar uma haste de metal dentro da espe-
cificação do cliente é de 92,65%.
Para saber mais
Seis Sigma é uma ferramenta originada na Motorola, em 1986, com o intuito de diminuir a variabilidade 
entre saídas de um mesmo sistema. Para sua exemplificação, geralmente é utilizada a curva Normal, pois 
o Modelo Seis Sigma fala na diminuição da amplitude permitida para as saídas de um sistema, diminuição 
da distância entre o limite inferior e limite superior de aceitação. Quando um processo chega ao Seis Sig-
ma significa que de suas saídas apenas 3,4 em cada 1 milhão de componentes está não conforme. Como 
chegar a um valor desses é muito difícil, ou até mesmo não existe tal exigência por parte dos clientes, são 
colocados objetivos como parciais do Seis Sigma como, por exemplo, Quatro Sigma e define-se estraté-
gias para chegarem a esses valores, geralmente utilizando o métodos de Melhoria Contínua. 
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade64/202
1.4. Distribuição Exponencial
A distribuição exponencial é outro tipo de curva de probabilidade, uma vez que também apre-
senta uma distribuição de pontos contínua. É largamente utilizada para modelagem na área de 
engenharia de confiabilidade, verificando os módulos de falha de componentes ou até mesmo 
de um sistema todo, além disso também é utilizada na teoria para calcular a probabilidade de 
eventos ocorrerem em um período de tempo. Seu cálculo obedece a seguinte fórmula:
Em que é uma constante definida. Essa constante quando estudada na engenharia da con-
fiabilidade representa a taxa de falha daquele componente, quando é estudada na teoria de filas 
a constante λ é a taxa de chegada de clientes, que seria o inverso do tempo médio entre chega-
das. A média e a variância de uma distribuição exponencial são calculadas da seguinte forma:
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade65/202
A distribuição exponencial acumulada é regida pela seguinte equação:
Com ela é possível calcular a probabilidade de uma falha acontecer em determinado período de 
tempo e até mesmo qual a probabilidade de uma pessoa chegar a um estabelecimento em um 
intervalo de tempo. Na figura 6 é possível observar a variação de comportamento da distribuição 
de probabilidade acumulada conforme a variação do parâmetro λ.
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade66/202
Figura 6- Distribuições exponenciais acumuladas, variando λ de 1 a 5.
Fonte: a autora.
Por exemplo, se o tempo médio de falha de um componente é 10000 horas, ou seja, ele apre-
senta uma falha a cada 10000 horas e um cliente gostaria de saber qual a probabilidade desse 
componente falhar antes de 10000 horas, teríamos que efetuar o seguinte cálculo:
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade67/202
Há uma importante relação que pode ser tecida entre as distribuições de Poisson e exponen-
ciais. Se o número de ocorrências em um evento for modelado conforme uma curva de Poisson 
seguindo um parâmetro λ, a distribuição que definirá o tempo entre as ocorrências será uma 
distribuição exponencial com o mesmo parâmetro λ.
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade68/202
Para saber mais
A teoria de filas, provinda da Pesquisa Operacional, ramo da engenharia que busca otimizar sistemas pro-
dutivos com base em modelagens matemáticas, lógicas ou estatísticas, teve sua origem na problemática 
de otimização da utilização de linhas telefônicas no início do século XX. Hoje, muito mais abrangente, a 
Teoria de Filas estuda as relações entre as demandas em um sistema e os atrasos sofridos pelos usuários 
nesse sistema. Os estudos de Teoria de Filas utilizam sistemas em equilíbrio, equivalente a sistemas com 
largo conjunto de dados para tomada de decisão, considerando que a quantidade de dados é tão alta e 
que não ocorrerão variações que se utiliza o princípio de Esperança Matemática para seus cálculos. Com 
base nessa técnica, hoje são pensados sistemas de atendimento em bancos, farmácias, centrais de aten-
dimento em telefonia e afins. Com base na Teoria de Filas são calculados os números de servidores ne-
cessários para o atendimento do público em um tempo inferior ao definido por lei. Dentre as distribuições 
apresentadas nesse tema, destacam-se para a Teoria de Filas a distribuição de Poisson, para definição da 
taxa de chegadas de clientes, e a distribuição Exponencial para definir a quantidade de clientes que che-
gariam a um intervalo de tempo.
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade69/202
Glossário
Aleatório: Ação que ocorre ao acaso, sem relação com o momento que ela aconteceu anterior-
mente, nem com o próximo momento que irá ocorrer.
Falha: Quando um determinado componente deixa de apresentar suas características funcio-
nais de uma maneira catastrófica, sem prévio comprometimento.
Parâmetro: Valor pré-definido em uma modelagem.
Questão
reflexão
?
para
70/202
O carro que você acabou de comprar possui o que há de mais mo-
derno na engenharia. Como todo carro novo, ele possui um livro 
de revisões que atestam o bom condicionamento do carro e que 
todas as revisões foram feitas. Note que nas revisões não são tro-
cadas todas as peças, algumas têm que ser observadas para ve-
rificar a troca e outras são trocadas conforme certa quilometra-
gem rodada. Essa quilometragem rodada é definida pelo módulo 
de falha calculado para aquele componente. Você se lembra de 
qual a distribuição de probabilidade que é usada para o cálculo 
do período da possível falha?
71/202
Considerações Finais (1/2)
• O comportamento de um processo pode ser avaliado com base em distribui-
ções de probabilidade. Existem diferentes modelos de distribuição de pro-
babilidade, e estes podem ser divididos em duas classes principais, os que 
utilizam variáveis aleatórias contínuas e os que utilizam variáveis aleatórias 
discretas. Assim, os modelos de distribuição hipergeométrica, exponencial, 
Poisson e normal foram estudados;• As distribuições de Poisson e hipergeométricas são distribuições discretas, 
definidas ponto-a-ponto. Poisson apresenta uma ótima relação para mo-
delagem de sistemas de chegadas aleatórias, como em restaurantes, postos 
de gasolina, entre outros. Hipergeométrica modela melhor cenários de lote 
de peças produzidas que se tem um histórico de falha, podendo assim defi-
nir uma amostragem para pegar possíveis falhas no processo antes dessas 
falhas chegarem ao cliente;
72/202
Considerações Finais (2/2)
• As distribuições Normal e Exponencial são distribuições contínuas, cons-
truídas por infinitos pontos. A distribuição Normal é eficiente ao modelar 
cenários naturais, como fenômenos climáticos. A distribuição exponencial 
se mostra eficaz para modelagem de momento de falhas de componentes e 
quantidade de chegadas em um intervalo de tempo;
• Pode-se dizer que as distribuições exponenciais e de Poisson apresentam 
relação uma vez que ao apresentarem o mesmo parâmetro podem ter suas 
saídas (módulo de falha e probabilidade de falha em um período) correla-
cionadas.
Unidade 3 • Distribuições de Probabilidade73/202
Referências 
ARENALES, M. N. et al. Pesquisa operacional para cursos de engenharia. 4. ed. Rio de Janeiro: 
Elsevier, 2007.
GARVIN, David A.. Competing on the Eight Dimensions of Quality. Harvard Business Review, Nova 
York, nov. 1987. Bimestral. Disponível em: <https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-di-
mensions-of-quality>. Acesso em: 20 out. 2017.
MONTGOMERY, D. C. Introdução ao controle estatístico da qualidade. 7. ed. São Paulo: LTC, 
2016. 
TRIOLA, M. F. Introdução à estatística: Atualização da tecnologia. 11. ed. São Paulo: LTC, 2013.
https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-dimensions-of-quality
https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-dimensions-of-quality
74/202
1. Assinale a alternativa correta. São exemplos de distribuições discretas:
a) Hipergeométrica e exponencial.
b) Normal e exponencial.
c) Poisson e exponencial.
d) Hipergeométrica e Poisson.
e) Normal e Poisson.
Questão 1
75/202
2. Assinale a alternativa correta. São exemplos de distribuições contínuas:
a) Hipergeométrica e exponencial.
b) Normal e exponencial.
c) Poisson e exponencial.
d) Hipergeométrica e Poisson.
e) Normal e Poisson.
Questão 2
76/202
3. Assinale a alternativa correta. Para um processo poder ser conhecido como 
Seis Sigma é permitida uma falha em quantas peças?
a) 3,4 em 1 milhão.
b) 233 em 1 milhão.
c) 6210 em 1 milhão.
d) 4,3 em 1 milhão.
e) 1,3 em 1 milhão.
Questão 3
77/202
4. Assinale a alternativa correta. Quais as distribuições de probabilidade mais 
usadas na Teoria de Filas?
a) Hipergeométrica e exponencial.
b) Normal e exponencial.
c) Normal e Poisson.
d) Hipergeométrica e Poisson.
e) Poisson e exponencial.
Questão 4
78/202
5. Assinale a alternativa correta. São distribuições que, ao apresentarem o 
mesmo parâmetro, possuem relação:
a) Hipergeométrica e exponencial.
b) Normal e exponencial.
c) Poisson e exponencial.
d) Hipergeométrica e Poisson.
e) Normal e Poisson.
Questão 5
79/202
Gabarito
1. Resposta: D.
As distribuições de Poisson e hipergeomé-
tricas são distribuições discretas, definidas 
ponto-a-ponto. Poisson apresenta uma óti-
ma relação para modelagem de sistemas de 
chegadas aleatórias como em restaurantes, 
postos de gasolina e outros. Hipergeométri-
ca modelam melhor cenários de lote de pe-
ças produzidas que se tem um histórico de 
falha, podendo assim definir uma amostra-
gem para pegar possíveis falhas no proces-
so antes dessas falhas chegarem ao cliente.
2. Resposta: B. 
As distribuições de Normal e Exponencial 
são distribuições contínuas, construídas por 
infinitos pontos. A distribuição Normal é efi-
ciente ao modelar cenários naturais como 
fenômenos climáticos. A distribuição expo-
nencial se mostra eficaz para modelagem 
de momento de falhas de componentes e 
quantidade de chegadas em um intervalo 
de tempo.
3. Resposta: A.
Quando um processo chega ao Seis Sigma 
significa que de suas saídas apenas 3,4 em 
cada 1 milhão de componentes está não 
conforme.
4. Resposta: E.
Dentre as distribuições apresentadas nes-
te tema destacam-se para a Teoria de Filas 
a distribuição de Poisson para definição da 
80/202
Gabarito
taxa de chegadas de clientes às filas e a dis-
tribuição Exponencial para definir a quanti-
dade de clientes que chegariam a um inter-
valo de tempo.
5. Resposta: C.
Pode-se dizer que as distribuições expo-
nenciais e de Poisson apresentam relação 
uma vez que ao apresentarem o mesmo pa-
râmetro, podem ter suas saídas (módulo de 
falha e probabilidade de falha em um perío-
do) relacionadas.
81/202
Unidade 4
Diagramas da Qualidade Aplicados ao Controle Estatístico de Processo
Objetivos
1. Conhecer algumas filosofias e diagra-
mas da qualidade;
2. Entender o processo de construção e 
utilização de diagramas como: causa 
e efeito, dispersão, concentração de 
defeito e folha de controle;
3. Verificar a importância desses diagra-
mas no processo de melhoria da qua-
lidade.
Unidade 4 • Diagramas da Qualidade Aplicados ao Controle Estatístico de Processo82/202
Introdução
Nos temas anteriores, estudamos alguns 
conceitos da qualidade e também algumas 
ferramentas estatísticas que podem ser 
aplicadas aos processos. Nos temas seguin-
tes, estudaremos o gráfico de controle de 
processo, que é uma ferramenta importan-
tíssima do Controle Estatístico do Proces-
so (CEP). Mas, embora possamos empregar 
o gráfico de controle na resolução de pro-
blemas e também nos diversos processos 
de melhoria da qualidade, ele será melhor 
aproveitado quando estiver integrado a um 
programa completo de qualidade. Para isso, 
é necessário utilizar as sete ferramentas 
principais da qualidade aplicadas à resolu-
ção de problemas do CEP. 
As sete ferramentas principais da qualida-
de são: (1) Histogramas, Ramo-e-folhas ou 
diagrama de caixa; (2) Gráficos de Pareto; 
(3) Diagrama causa e efeito; (4) Diagrama de 
dispersão; (5) Diagrama de concentração de 
defeitos; (6) Folha de controle e; (2) Gráfico 
de controle. Desta forma, as duas primeiras 
ferramentas já foram abordadas no tema 
2, as ferramentas de 3 a 6 serão abordadas 
nesse tema e, todos os demais temas serão 
dedicados aos gráficos do CEP.
Unidade 4 • Diagramas da Qualidade Aplicados ao Controle Estatístico de Processo83/202
1.1. Diagrama Causa – Efeito
Quando se constata a existência de um pro-
blema, uma falha, um erro ou um defeito em 
um sistema produtivo, denomina-se esse 
evento de efeito. Assim, essa ferramenta 
da qualidade é empregada para avaliar as 
possíveis causas desse efeito, ajudando a 
elencar e visualizar os motivos que levaram 
ao efeito, para que seja possível fazer uma 
alteração no processo.
Além do nome diagrama de causa e efeito, 
esse diagrama também pode ser denomi-
nado de diagrama espinha de peixe ou dia-
grama de Ishikawa, e em sua construção, é 
feita uma relação entre o efeito e seis possí-
veis causas do mesmo, conhecidos como os 
6M´s, são eles: (1) Método; (2) Mão-de-o-
bra; (3) Máquina; (4) Métrica; (5) Meio-am-
biente e (6) Matéria-prima.
Para saber mais
Os Métodos de Análise e Solução de Problemas, 
também conhecidos por sua sigla MASP, são uma 
coletânea de ferramentas utilizadas pela qualida-
de para conseguir identificar possíveis causas de 
variações nos sistemas produtivos e propor solu-
ções para essas causas das variações, chamadas 
aqui de problemas. O MASP utiliza ferramentas 
de diversas áreas da Engenharia de Produção que 
vão desde a definição de trabalho padronizado na 
Engenharia de Métodos até ferramentas estatís-
ticas da qualidade, como os diagramas que serão 
vistos dentro do tema 5.
Unidade 4 • Diagramas da Qualidade Aplicados ao Controle Estatístico de Processo84/202
1) Método: Problemas referentes ao pro-
cesso produtivo, o como fazer algo 
não é melhor forma, gerando desvios 
produtivos;
2) Mão-de-obra (Pessoas): Problemas 
referentesà variação do colaborador 
ou de colaboradores com habilidades 
diferentes, disposições que, em ope-
rações manuais, geram variações de 
processo;
3) Máquina: Problemas referentes a va-
riações de maquinário, seja por de-
feito de equipamento, ou por equipa-
mento inadequado para a produção 
de determinado item;
4) Métrica: Problemas referentes a equi-
pamentos utilizados para análise dos 
atributos, se o equipamento apresen-
ta problemas de aferição, lotes de pro-
dutos bons podem ser reprovados ou 
lotes de produtos ruins podem apro-
vados;
5) Meio-ambiente (Ambiente): Proble-
mas referentes a ambiente em que o 
colaborador está inserido. Falta de lu-
minosidade, calor, vibração são cau-
sas ambientais;
6) Matéria-prima: Problemas referentes 
a variações nas matérias-primas en-
trantes no sistema.
Após elencar as causas, verifique quais são 
as que têm maior probabilidade de ter ge-
rado o efeito e na sequência, aponte e ado-
te ações corretivas em seu processo. Lem-
brando que, quanto mais detalhado o dia-
grama construído, provavelmente, ele será 
Unidade 4 • Diagramas da Qualidade Aplicados ao Controle Estatístico de Processo85/202
mais eficaz para a localização e reparo dos defeitos apontados.
Na figura 7 há exemplo de Diagrama Causa – Efeito para o estudo da variação do peso das em-
balagens de biscoito que já tratamos em outra unidade.
Figura 7. Exemplo de Diagrama Causa – Efeito.
Fonte: a autora.
Unidade 4 • Diagramas da Qualidade Aplicados ao Controle Estatístico de Processo86/202
Para saber mais
Desenvolvido por Deming, o ciclo PDCA tem por objetivo nortear a melhoria contínua dentro dos sistemas produti-
vos. Consiste em realizar um planejamento de como resolver um problema (P – Plan, Planejar em inglês), executar a 
melhoria (D - Do, Executar, em inglês), verificar se a melhoria planejada surtiu efeito (C – Check, Conferir, em inglês) 
e tomar essa melhoria como uma ação contínua, incorporando-a no processo (A – Act, Ação, em inglês). O ciclo 
PDCA também pode ser apresentado como um fluxograma. A tabela 5 apresenta uma exemplificação.
Tabela 5. Exemplo de ciclo PDCA.
PDCA Fluxograma Ações Objetivo
P
1 Identificação do problema Definir possíveis causas do problema.
2 Observação Desdobrar o problema em problemas menores.
3 Análise Identificar as causas fundamentais dos problemas.
4 Plano de Ação Gerar plano de ação para correção do problema.
D 5 Execução Executar o plano de ação.
C
6 Verificação Verificar se o plano foi efetivo.
Se 6=sim, siga para 
o 7, caso contrário, 
volte para o 1 
A
7 Padronização Prevenir que o problema ocorra novamente.
8 Conclusão
Recapitular todo o processo de solução de problemas para 
evitar erros futuros
Unidade 4 • Diagramas da Qualidade Aplicados ao Controle Estatístico de Processo87/202
1.2. Diagrama de Dispersão 
O diagrama de dispersão é utilizado na iden-
tificação de relações entre duas ou mais va-
riáveis. Para sua construção, é necessário 
coletar dados das variáveis a serem analisa-
das simultaneamente, se no caso estivermos 
avaliando duas variáveis, deve-se coletar 
os dados aos pares: ,i ix y para 
Após os dados coletados, plota-se um gráfico 
de ix versus iy e verifica-se se existem ou não 
relações entre as variáveis analisadas.
A figura 8 mostra o diagrama de dispersão 
gerado pelos dados da variação de peso da 
caixa de biscoito. Pelo diagrama buscou-se 
uma análise se havia relação entre o dia que 
foi realizada a pesagem (eixo x) e o peso de 
cada uma das embalagens pesadas (eixo y). 
Como é possível observar não há relação 
entre essas duas variáveis.
Figura 8. Exemplo de diagrama de dispersão.
Fonte: a autora.
Porém, devem-se tomar alguns cuidados ao 
utilizar esse tipo de diagrama, pois, a exis-
tência de uma correlação não implica dire-
tamente em uma relação de causa e efeito, 
mas sim na identificação de relações poten-
ciais entre variáveis.
Unidade 4 • Diagramas da Qualidade Aplicados ao Controle Estatístico de Processo88/202
1.3. Diagrama de Concentração 
de Defeito 
O diagrama de concentração de efeito é 
uma ferramenta da qualidade que apresen-
ta uma figura detalhada da unidade (pro-
duto/processo), mostrando todas as vistas 
relevantes para a localização de defeitos e 
correção dos mesmos. Em geral, podem ser 
usadas cores diferentes para identificar ti-
pos de defeitos diferentes e também para 
classificá-los. Assim, na Figura 9 pode-se 
observar um exemplo de um diagrama de 
concentração de defeitos de um refrige-
rador, onde as áreas marcadas são regiões 
com maior incidência de defeitos, devido ao 
processo de deslocamento da unidade pro-
duzida. Isso ocorre, pois, após a montagem, 
o refrigerador é movido utilizando-se uma 
cinta, especificamente nas regiões marca-
das no diagrama. Tanto a cinta frouxa de-
mais, quanto apertada demais, podem cau-
sar defeitos na peça final.
Figura 9. Defeitos de acabamento da superfície de um refrigerador.
Fonte: Montgomery (2016, p. 113)
Unidade 4 • Diagramas da Qualidade Aplicados ao Controle Estatístico de Processo89/202
1.4. Folha de Controle
Para garantir a qualidade, e também para facilitar a pesquisa sobre eventuais falhas no siste-
ma produtivo, podem ser utilizadas folhas de controle. Essa é uma importante ferramenta para 
coleta de dados em um processo. Assim, a folha de controle apresenta um resumo de todas as 
atividades pesquisadas e controladas em determinado período, sendo particularmente valiosa 
na pesquisa de tendências e padrões significativos.
Para saber mais
Em avaliações de sistemas de qualidade, um dos principais problemas que se tem é quanto à inferência 
sobre os componentes ou peças que estão sendo produzidos. Um sistema de qualidade deve passar por 
uma Avaliação do Sistema de Medição (MSA), que seria uma avaliação que garante que a sistemática de 
garantia da qualidade é robusta. Um dos testes que são realizados é R&R ou Repetibilidade e Reprodu-
tividade. No teste de Repetibilidade verifica-se se o avaliador, responsável por atestar se um pronto está 
conforme, consegue fazê-lo de maneira contínua, não reprovando uma peça conforme ou aprovando 
uma peça não-conforme. Já no teste de Reprodutividade, verifica-se que se ao trocar o avaliador, as peças 
conformes continuam sendo aprovadas e peças não-conformes continuam sendo reprovadas.
Unidade 4 • Diagramas da Qualidade Aplicados ao Controle Estatístico de Processo90/202
Porém, alguns cuidados devem ser tomados 
ao planejar adequadamente uma folha de 
controle, pois ao mesmo tempo em que os 
dados tomados podem ser muito valiosos 
no controle do processo, se a folha de con-
trole for mal planejada, os dados podem ser 
insignificantes. Assim, alguns itens serão 
indispensáveis em uma folha de controle, 
como: (1) Data e hora; (2) Parte da operação 
/ máquina; (3) Operador; (4) Dados relevan-
tes a serem coletados; (5) Outras informa-
ções que a gerência acreditar serem úteis 
em um atual ou futuro diagnóstico de de-
sempenho.
Assim, para ficar mais claro como devemos 
proceder ao produzir e preencher uma folha 
de controle foi selecionado o exemplo de 
Montgomery (2016) que está apresentado 
na Figura 10. Nessa figura, temos ilustrada 
uma folha de controle desenvolvida por um 
engenheiro de uma fábrica aeroespacial, 
que investigava os vários tipos de defeitos 
que surgiam em um tanque usado em um de 
seus produtos, com o objetivo de melhorar o 
processo, assim, é possível identificar quais 
as falhas e também os períodos que elas 
têm maior propensão a acontecerem.
Unidade 4 • Diagramas da Qualidade Aplicados ao Controle Estatístico de Processo91/202
Figura 10. Uma folha de controle para registrar defeitos em um tanque usado em uma aplicação aeroespacial.
Fonte: Montgomery (2016, p.110)
Unidade 4 • Diagramas da Qualidade Aplicados ao Controle Estatístico de Processo92/202
Glossário
Atributo: Desdobramento de uma característica de um produto de uma maneira que ele passe a 
ser avaliado por essa característica (conforme / não-conforme).Dispersão: Apresentação dispersa de pontos, não concentração dos dados em um único local.
Reprodutividade: Capacidade, independente do fator avaliador, de um objetivo continuar apre-
sentando as mesmas características.
Questão
reflexão
?
para
93/202
Vamos verificar se você aprendeu a construir um diagra-
ma de causa e efeito. Vamos usar sua própria vida para 
isso, assim temos como efeito: estudante de pós-gra-
duação cansado. Agora elenque 6 possíveis causas para 
esse efeito, levando em consideração os 6 M´s estuda-
dos e construa o seu próprio diagrama de causa e efeito.
94/202
Considerações Finais (1/2)
• O gráfico de controle é muito útil na resolução de problemas e também nos di-
versos processos de melhoria da qualidade, mas ele será melhor aproveitado 
quando estiver integrado a um programa completo de qualidade, utilizando as 
sete ferramentas da qualidade, que são: (1) Histogramas, Ramo-e-folhas ou 
diagrama de caixa; (2) Gráfico de controle; (3) Diagrama causa e efeito; (4) Dia-
grama de dispersão; (5) Diagrama de concentração de defeitos; (6) Gráficos de 
Pareto e; (7) Folha de controle;
• O diagrama de causa e efeito faz uma relação entre um efeito (falha) com seis 
possíveis causas dessa falha, ajudando a elencar e visualizar os motivos que le-
varam ao efeito. As seis causas, conhecidas como os 6M´s, são: (1) Método; (2) 
Mão-de-obra; (3) Máquina; (4) Métrica; (5) Meio-ambiente e (6) Matéria-prima.
• O diagrama de dispersão identifica possíveis relações entre variáveis. Para isso, 
plota-se um gráfico de x
i
 versus y
i
 e verifica-se se existem ou não relações entre as 
variáveis analisadas. Porém, deve-se observar esse diagrama com cuidado, pois, a 
existência de uma correlação não implica diretamente em uma relação de causa e 
efeito, mas sim na identificação de relações potenciais entre variáveis.
95/202
Considerações Finais (2/2)
• O diagrama de concentração apresenta uma figura detalhada da unidade, mos-
trando todas as vistas relevantes para a localização de defeitos e correção dos 
mesmos. Em geral, podem ser usadas cores diferentes para identificar tipos de 
defeitos diferentes e também para classificá-los.
Unidade 4 • Diagramas da Qualidade Aplicados ao Controle Estatístico de Processo96/202
Referências
GARVIN, David A.. Competing on the Eight Dimensions of Quality. Harvard Business Review, Nova 
York, nov. 1987. Bimestral. Disponível em: <https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-di-
mensions-of-quality>. Acesso em: 20 out. 2017.
MONTGOMERY, D. C. Introdução ao controle estatístico da qualidade. 7. ed. São Paulo: LTC, 
2016. 
TRIOLA, M. F. Introdução à estatística: Atualização da tecnologia. 11. ed. São Paulo: LTC, 2013.
https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-dimensions-of-quality
https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-dimensions-of-quality
97/202
1. Assinale a alternativa correta. Entre as ferramentas da qualidade podem 
ser citadas:
a) Análise SWOT; Diagrama causa e efeito.
b) Gráfico de controle; Diagrama causa e efeito.
c) Gráfico de controle; Análise SWOT.
d) Matriz importância-desempenho; Diagrama causa e efeito.
e) Gráfico de controle; Matriz importância-desempenho.
Questão 1
98/202
2. Assinale a alternativa correta. Nos Diagramas Causa-Feito podem ser 
utilizadas como causas primárias:
a) Método; Ignorância; Máquina; Métrica; Meio-ambiente e Matéria-prima.
b) Método; Mão-de-obra; Máquina; Métrica; Bom-senso e Matéria-prima.
c) Método; Mão-de-obra; Máquina; Temperatura; Meio-ambiente e Matéria-prima.
d) Método; Mão-de-obra; Máquina; Métrica; Meio-ambiente e Matéria-prima.
e) Método; Mão-de-obra; Máquina; Métrica; Desrespeito as leis e Matéria-prima.
Questão 2
99/202
3. Assinale a alternativa correta. O que o diagrama de dispersão identifica:
a) Identifica possíveis relações entre variáveis.
b) Identifica possíveis relações entre áreas da empresa.
c) Identifica possíveis relações entre os clientes da empresa.
d) Identifica possíveis relações entre os fornecedores da empresa.
e) Identifica possíveis relações entre o governo e a empresa.
Questão 3
100/202
4. Assinale a alternativa correta. O diagrama de concentração busca:
a) Autorização para um defeito ser passado para o cliente.
b) Antecipar para o avaliador uma área de possível falha.
c) Recuperação de um defeito.
d) Viabilidade econômica sobre um defeito ocorrido.
e) Degradação ambiental.
Questão 4
101/202
5. Assinale a alternativa correta. Qual o objetivo da folha de controle no 
sistema produtivo?
a) Para garantir os custos, e também para facilitar a pesquisa sobre eventuais falhas no siste-
ma produtivo, podem ser utilizadas folhas de controle.
b) Para garantir a flexibilidade, e também para facilitar a pesquisa sobre eventuais falhas no 
sistema produtivo, podem ser utilizadas folhas de controle.
c) Para garantir a qualidade, e também para facilitar a pesquisa sobre eventuais falhas no sis-
tema produtivo, podem ser utilizadas folhas de controle.
d) Para garantir a rapidez, e também para facilitar a pesquisa sobre eventuais falhas no sistema 
produtivo, podem ser utilizadas folhas de controle.
e) Para garantir a confiabilidade, e também para facilitar a pesquisa sobre problemas de indis-
ciplina, podem ser utilizadas folhas de controle.
Questão 5
102/202
Gabarito
1. Resposta: B.
As sete ferramentas da qualidade são: (1) 
Histogramas, Ramo-e-folhas ou Diagrama 
de caixa; (2) Gráfico de controle; (3) Diagrama 
causa-e-efeito; (4) Diagrama de dispersão; 
(5) Diagrama de concentração de defeitos; 
(6) Gráficos de Pareto e; (7) Folha de controle;
2. Resposta: D.
O diagrama de causa e efeito faz uma rela-
ção entre um efeito (falha) com seis possí-
veis causas dessa falha, ajudando a elen-
car e visualizar os motivos que levaram ao 
efeito. As seis causas, conhecidas como os 
6M´s, são: (1) Método; (2) Mão-de-obra; (3) 
Máquina; (4) Métrica; (5) Meio-ambiente e 
(6) Matéria-prima.
3. Resposta: A.
O diagrama de dispersão identifica possí-
veis relações entre variáveis.
4. Resposta: B.
O diagrama de concentração de defeitos 
busca antecipar para o avaliador uma área 
de possível falha.
5. Resposta: C.
Para garantir a qualidade, e também para 
facilitar a pesquisa sobre eventuais falhas 
no sistema produtivo, podem ser utilizadas 
folhas de controle.
103/202
Unidade 5
Métodos e Ferramentas do Controle Estatístico de Processo
Objetivos
1. Relacionar os conceitos fundamentais 
da qualidade e das ferramentas esta-
tísticas com os gráficos de controle;
2. Entender a importância de um gráfico 
de controle de processo dentro de um 
processo de controle da qualidade;
3. Verificar os fatores determinantes 
para a construção de um gráfico de 
controle.
Unidade 5 • Métodos e Ferramentas do Controle Estatístico de Processo104/202
1. Introdução
Até esse momento do curso foram aborda-
mos os conceitos fundamentais e introdu-
tórios da qualidade e, também as ferramen-
tas e distribuições estatísticas indispensá-
veis em um processo de controle. Assim, a 
partir desse tema começaremos a estudar 
de fato os principais métodos de controle 
estatístico de processo.
Antes de iniciarmos, você já imaginou como 
seria laborioso e dispendioso, tanto em 
termos financeiros quanto em tempo, ins-
pecionarmos todos os itens fabricados em 
uma linha de produção? Sim, isso seria de 
fato inviável. Desta forma, o que buscamos 
fazer no controle estatístico do processo 
não é controlar os itens produzidos defei-
tuosos, mas sim controlar o sistema, para 
que não sejam produzidos itens defeituo-
sos, afinal um dos lemas da qualidade é que 
o produto deve ser feito de maneira correta 
da primeira vez.
Para que não haja itens defeituosos, deve-
mos buscar trabalhar com um sistema pro-
dutivo estável, com indivíduos envolvidos e 
comprometidos com a garantia da qualida-
de, em todos os níveis hierárquicos da orga-
nização, que procurem sempre a melhora no 
desempenho do processo e na redução da 
variabilidade, é nesse sentido,que devemos 
utilizar o controle estatístico do processo 
(CEP), juntamente com outras ferramentas 
da qualidade (1. Uso de histogramas, ramo-
-e-folhas ou diagrama de caixa; 2. Folha de 
controle; 3. Gráficos de Pareto; 4. Diagrama 
de causa e efeito; 5. Diagrama de concen-
tração de defeito; 6. Diagrama de dispersão 
Unidade 5 • Métodos e Ferramentas do Controle Estatístico de Processo105/202
e; 7. Gráfico de controle), para atingirmos 
tais objetivos. 
Assim, de todas as ferramentas da qualida-
de, ainda temos que aprender a estruturar 
e plotar corretamente um gráfico de con-
trole e esse será o foco desse e dos próxi-
mos temas. Lembrando que, de todas as 
ferramentas apresentadas, tanto as esta-
tísticas, quanto as da qualidade, o gráfico 
de controle, ou gráfico de Shewhart é pro-
vavelmente o mais trabalhoso e completo, 
visto que emprega todos os conceitos das 
demais. Assim, os gráficos de Shewhart têm 
três principais funções, são elas: (1) Reduzir 
a variabilidade do processo; (2) Monitorar e 
vigiar o processo e; (3) Estimar os parâme-
tros ideais do produto e, também do pro-
cesso.
1.2 Princípios Básicos de Um 
Gráfico de Controle de Processo
Todos os processos produtivos têm alguma, 
mesmo que mínima, variabilidade intrín-
seca, que ocorre de maneira natural e ale-
atória derivada de pequenas causas inevi-
táveis. Assim, um sistema que opera desta 
forma, apenas com causas aleatórias, está 
sob controle estatístico e o denominamos 
por sistema estável de causas aleatórias. 
Porém, ocasionalmente, outros tipos de va-
riabilidades podem ocorrer em caracterís-
ticas importantes do processo advindas de 
variações sistemáticas que costumam es-
tar concentradas nos 6M´s já mencionados 
nos diagramas de causa e efeito. Esse tipo 
de variabilidade que não advém de causas 
Unidade 5 • Métodos e Ferramentas do Controle Estatístico de Processo106/202
aleatórias é denominado causas atribuíveis e dizemos, nesse caso, que o sistema está fora de 
controle. Desta forma, na Figura 11 pode-se observar a comparação entre um processo apenas 
com causas aleatórias (a) e um processo com causas atribuíveis (b).
Figura 11. Comparação entre um processo com causas aleatórias (a) e um processo com causas atribuíveis (b).
Fonte: adaptado pela autora de Portal Action (2010)
Unidade 5 • Métodos e Ferramentas do Controle Estatístico de Processo107/202
No geral, os sistemas operarão em um estado 
de controle por um tempo produzindo itens 
aceitáveis, mas causas atribuíveis poderão 
acontecer, aparentemente de maneira alea-
tória, causando um estado fora de controle. 
Sendo assim, um dos objetivos de se utilizar, 
de modo on-line, os gráficos de controle de 
processos é auxiliar na vizualização e verifica-
ção destes tipos de situações fora de controle 
(dados ficaram fora dos limites de especifica-
ção) e, possibilitar a tomada de medidas cor-
retivas sequencialmente. Além desse objeti-
vo, existem outros objetivos dos gráficos de 
controle, entre eles: (1) Estimar parâmetros 
de um processo produtivo; (2) Possibilitar o 
cálculo de capacidade produtiva; (3)Fornecer 
informações para a melhoria do processo e; 
(4) Eliminar a variação do processo (principal 
objetivo). 
Um gráfico de controle é formado por, no mí-
nimo: (1) Uma linha central (LC), que pode ser 
o valor médio de uma característica, ou um 
valor alvo a ser alcançado e; (2) Duas outras li-
nhas horizontais, denominadas limite superior 
de controle (LSC) e limite inferior de controle 
(LIC), que para serem construídas, levam em 
consideração o desvio permitido do processo 
e, com isso, calculam-se seus valores a partir 
do valor central. Podemos também encontrar 
gráficos com outros tipos de limites e, alguns 
que usam o limite de especificação apenas 
para um lado do alvo, sendo ele ou inferior ou 
superior.
As amostras são representadas por pontos 
plotados no gráfico (eixo x: amostras ou tempo 
e eixo y: LC, LSC e LIC), geralmente unidos por 
segmentos de reta, para facilitar na visualiza-
ção dos dados no decorrer do processo, como 
podem ser observados na Figura 2. Quando os 
pontos amostrados se encontram dentro dos 
limites de especificações, podemos dizer que 
Unidade 5 • Métodos e Ferramentas do Controle Estatístico de Processo108/202
o processo está sob controle (Figura 12 a), mas se algum ponto sair dos limites de especificação te-
remos possivelmente um sistema fora de controle (Figura 12 c). Outro indicativo de sistema fora de 
controle são os casos onde os pontos não têm uma sequência de distribuição aleatória, por exemplo, 
vários pontos sequenciais ficam concentrados entre LC e LIC (Figura 12 b). Para termos certeza de que 
o processo está fora de controle, teremos que aplicar um teste de hipótese.
Figura 12. Modelos de gráficos de controle de processo. a) Modelo de sistema sob controle, com todos os pontos dentro dos limi-
tes LIC e LSC; b) Modelo de sistema possivelmente fora de controle, por haver uma concentração de amostras (pontos) sequen-
ciais entre LIC e LC; c) Modelo de sistema possivelmente fora de controle, por haver amostras (pontos) fora dos limites LIC e LSC.
Fonte: a autora.
Unidade 5 • Métodos e Ferramentas do Controle Estatístico de Processo109/202
Para um modelo geral dos gráficos de 
Shewhart, os valores de LC, LSC e LIC podem 
ser calculados a partir de uma média popu-
lacional e de um desvio padrão dessa popu-
lação, como segue: 
Onde: w é valor amostral estatístico da ca-
racterística de interesse da qualidade, µ
w
 
média de w, σ
w
 é o desvio padrão de w, LSC 
é o limite superior de controle, LIC é o limite 
inferior de controle e L é a distância dos li-
mites de controle à linha central, em unida-
des do desvio padrão.
Para saber mais
Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre 
um parâmetro da distribuição de probabilidade 
de uma característica da população. Já testes de 
hipóteses estatísticas são procedimentos para a 
tomada de decisões sobre H0 – valores obtidos de 
modo aleatório e H1 – valores sem aleatorieda-
de, com base nas informações contidas em uma 
amostra. Para auxiliar na tomada de decisão, uti-
lizam-se valores críticos, previamente tabelados 
de acordo com seu número de itens contidos na 
amostra em questão. Porém, como tudo na es-
tatística, esse teste também está sujeito a erros, 
que podem ser de dois tipos: (1) Erro do tipo I – 
rejeição de um valor que seria aceito e; (2) Erro do 
tipo II – aceitação de um valor que seria rejeitado.
Unidade 5 • Métodos e Ferramentas do Controle Estatístico de Processo110/202
Assim, o mais importante dos gráficos de controle é a melhoria da qualidade que ele pode pro-
porcionar, colaborando para determinar processos fora de controle estatístico e, possibilitando 
a identificação das causas atribuíveis, que deverão ser corrigidas ou eliminadas do sistema. Para 
isso, pode ser empregado um plano de ação para fora-de-controle (PAFC).
Existem dois tipos principais de gráficos de controle: (1) Gráficos de controle para variáveis, utili-
zados quando a característica monitorada é obtida em uma escala contínua (variável), com uma 
tendência central e desvios a partir dessa tendência; (2) Gráficos de controle para atributos, utili-
zados quando as características não podem ser mensuradas em escala quantitativa, neste caso, 
julga-se o que está conforme e não-conforme com base em atributos de não conformidades.
Podemos elencar alguns motivos para a grande aplicação dos gráficos de controle no cotidia-
Para saber mais
O plano de ação para fora-de-controle é um fluxograma ou uma descrição textual da sequência de ativi-
dades que devem ser realizadas em seguida à ocorrência de um evento ativador (sinais fora de controle). 
Assim, esse utiliza pontos de vistoria para definir as causas atribuíveis e, tomar ações corretivas. Após as 
ações tomadas, verifica-se se as causas foram eliminadas e se o sistema voltou ao controle, podendo esse 
documento ser modificado a qualquer momento.
Unidade 5 • Métodos eFerramentas do Controle Estatístico de Processo111/202
no empresarial, entre eles: (1) É uma técnica 
de melhoria da qualidade comprovada; (2) 
São eficazes na prevenção de defeitos; (3) 
Evitam ajustes desnecessários nos sistemas 
produtivos; (4) Fornecem informação das 
causas atribuíveis e; (5) Fornecem informa-
ção da capacidade de processo.
1.3 Construção de Um Gráfico 
de Controle de Processo
Quando vamos construir um gráfico de con-
trole, alguns fatores deverão ser estudados e 
planejados, entre eles, o tamanho da amostra, 
a frequência de amostragem e os limites de 
controle, pois todos afetarão os erros proba-
bilísticos dos modelos propostos.
Amostras maiores tornaram mais fáceis as de-
tecções de pequenas mudanças no processo. 
Por exemplo, ao aumentarmos o tamanho da 
amostra, faremos com que diminua a proba-
bilidade de erro do tipo II, ou seja, aceitar um 
valor que seria rejeitado, aumentando assim 
a sensibilidade dos gráficos de controle e, ao 
diminuirmos o tamanho da amostra, aumen-
tamos a probabilidade de erro do tipo II.
Quanto à frequência de amostragem, isso de-
penderá dos gastos implícitos em se coletar e 
analisar uma amostra, assim existe duas es-
colhas principais, tomar amostras maiores em 
períodos mais longos ou amostras menores 
em períodos também menores.
No caso da definição dos limites de confian-
ça, essa será uma das decisões mais críti-
cas em um gráfico de controle, isso porque, 
quando afastamos os limites da linha cen-
tral, diminuímos o risco do tipo I e aumen-
tamos o risco do tipo II e, quando aproxima-
mos as linhas, diminuímos o risco do tipo II 
Unidade 5 • Métodos e Ferramentas do Controle Estatístico de Processo112/202
e aumentamos o risco do tipo I. Assim, cada 
empresa poderá adotar os limites conforme 
os tipos de erros que pretendem minimizar, 
desta forma, países como os Estados Unidos 
costumam adotar a métrica dos três-sigma 
e países europeus, como o Reino Unido, por 
exemplo, adotam os limites de probabilida-
de padrão de 0,001.
Além dos limites de controle, algumas em-
presas também optam por utilizarem mais 
duas linhas no gráfico de controle, que são 
chamadas de limites de alerta e calculadas 
geralmente com base em dois-sigma. O uso 
dessas linhas adicionais poderá aumentar a 
sensitividade dos gráficos, porém também 
poderá aumentar o risco de falsos alarmes. 
Utilizando o modelo de distribuição normal, 
podemos observar a Figura 13 e verificar 
quais são as diferenças entre utilizarmos os 
critérios dois-sigma e três-sigma.
Para saber mais
Essa métrica adotada para o cálculo dos limites de 
confiança leva em conta um valor múltiplo do desvio 
padrão dos dados amostrais, que no caso de três-
-sigma será 3, por isso o nome. A justificativa para 
tal uso deriva dos bons resultados obtidos na prática 
a partir desse padrão, sendo que, estes apresentam 
pouca diferença do valor de probabilidade padrão 
de 0,001 e são mais comumente empregados.
Unidade 5 • Métodos e Ferramentas do Controle Estatístico de Processo113/202
Figura 13- Distribuição de probabilidade normal e a porcentagem de aceitação de dados com base nos critérios sigma.
Fonte: Portal Action (S.D.)
Unidade 5 • Métodos e Ferramentas do Controle Estatístico de Processo114/202
Após a seleção desses fatores para a cons-
trução de um gráfico de controle, podemos 
verificar o andamento de um processo, a fim 
de avaliarmos se o sistema está dentro ou 
fora do controle estatístico. Para isso, pode-
mos usar as ideias sensibilizantes segundo 
Western Electric Company (1956), que clas-
sifica processos fora do controle quando:
1. Um ponto se localiza fora dos limites 
de controle (geralmente três-sigma);
2. Dois, em três pontos consecutivos, se 
localizam fora dos limites de alerta 
(geralmente dois-sigma);
3. Quatro, em cinco pontos consecuti-
vos, se localizam a uma distância de 
um-sigma da linha central ou;
4. Oito pontos consecutivos se localizam 
de um mesmo lado da linha central.
Vale ressaltar que essas regras devem ser 
usadas com cuidado e critério, sempre anal-
ise todo o seu processo de qualidade e quais 
os dados pretende-se gerar e controlar.
Unidade 5 • Métodos e Ferramentas do Controle Estatístico de Processo115/202
Glossário
Defeito: Apresentação de característica não-conforme
Processo: Encadeamento de atividades que fazem com que entradas sejam transformadas em 
saídas com valor agregado.
Três-sigma: é uma métrica que faz relação de múltiplos dos valores de desvio padrão. Assim, 
três-sigma é o mesmo que três vezes o desvio padrão da medida.
Questão
reflexão
?
para
116/202
Agora você compreende o funcionamento dos gráficos de 
controle de processo. Os gráficos de controle são de vasta 
utilização para controle de variações em processos como, 
por exemplo, saídas de carros montados de uma monta-
dora. Após a inspeção final de um carro são calculadas as 
proporções de veículos com problemas e comparadas aos 
parâmetros controlados. Você consegue observar outros 
parâmetros que podem ser controlados por gráficos de 
controle?
117/202
Considerações Finais (1/2)
• Ao fazermos o controle estatístico do processo não buscamos controlar os itens pro-
duzidos defeituosos, mas sim controlar o sistema, para que não sejam produzidos 
itens defeituosos, pois o produto deve ser feito de maneira correta da primeira vez, e 
o gráfico de controle é apenas um dos artifícios que podemos usar nessa busca;
• Os gráficos de controle ou Shewhart têm três principais funções, são elas: (1) Reduzir 
a variabilidade do processo; (2) Monitorar e vigiar o processo e; (3) Estimar os parâ-
metros ideais do produto e, também do processo;
• Todos os processos produtivos têm alguma, mesmo que mínima, variabilidade in-
trínseca, que ocorrem de maneira natural e aleatória derivada de pequenas causas 
inevitáveis. Um sistema que opera desta forma, apenas com causas aleatórias, está 
sob controle estatístico e o denominamos de sistema estável de causas aleatórias. 
Ocasionalmente, outros tipos de variabilidades podem ocorrer em características 
importantes do processo. Esses tipos de variabilidades que não advêm de causas 
aleatórias são denominados causas atribuíveis e dizemos, nesse caso, que o sistema 
está fora de controle;
118/202
Considerações Finais (2/2)
• Um gráfico de controle é formado por, no mínimo: (1) Uma linha central (LC), que 
pode ser o valor médio de uma característica, ou um valor alvo a ser alcançado e; (2) 
Duas outras linhas horizontais, denominadas limite superior de controle (LSC) e li-
mite inferior de controle (LIC), que para serem construídas levam em consideração o 
desvio permitido do processo (geralmente três-sigma) e, com isso, calculam-se seus 
valores a partir do valor central.
Unidade 5 • Métodos e Ferramentas do Controle Estatístico de Processo119/202
Referências
MONTGOMERY, D. C. Introdução ao controle estatístico da qualidade. 7. ed. São Paulo: LTC, 
2016. 
PORTAL ACTION (São Carlos - SP). Distribuição Normal. S. d. Disponível em: <http://www.porta-
laction.com.br/probabilidades/62-distribuicao-normal>. Acesso em: 16 out. 2017.
PORTAL ACTION (São Carlos - SP). Controle Estatístico do Processo. 2010. Disponível em: 
<http://www.portalaction.com.br/controle-estatistico-do-processo/introducao>. Acesso em: 13 
out. 2017.
WESTERN ELECTRIC COMPANY (EUA). Statistical Quality Control Handbook. Indianápolis: West-
ern Electric Co., Inc, 1956. 328 p. Disponível em: <https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=-
j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwiq_b-ZyL_XAhWFIJAKHfK1AMwQFggn-
MAA&url=http://www.contesolutions.com/Western_Electric_SQC_Handbook.pdf&usg=AOv-
Vaw0PBsv8Q1nQdKKLuhwm_bdB>. Acesso em: 13 out. 2017. 
http://www.portalaction.com.br/probabilidades/62-distribuicao-normal
http://www.portalaction.com.br/probabilidades/62-distribuicao-normal
http://www.portalaction.com.br/controle-estatistico-do-processo/introducao
https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwiq_b-ZyL_XAhWFIJAKHfK1AMwQFggnMAA&url=http://www.contesolutions.com/Western_Electric_SQC_Handbook.pdf&usg=AOvVaw0PBsv8Q1nQdKKLuhwm_bdBhttps://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwiq_b-ZyL_XAhWFIJAKHfK1AMwQFggnMAA&url=http://www.contesolutions.com/Western_Electric_SQC_Handbook.pdf&usg=AOvVaw0PBsv8Q1nQdKKLuhwm_bdB
https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwiq_b-ZyL_XAhWFIJAKHfK1AMwQFggnMAA&url=http://www.contesolutions.com/Western_Electric_SQC_Handbook.pdf&usg=AOvVaw0PBsv8Q1nQdKKLuhwm_bdB
https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwiq_b-ZyL_XAhWFIJAKHfK1AMwQFggnMAA&url=http://www.contesolutions.com/Western_Electric_SQC_Handbook.pdf&usg=AOvVaw0PBsv8Q1nQdKKLuhwm_bdB
120/202
1. Assinale a alternativa correta. Quais os dois tipos de erros de um sistema 
produtivo?
a) Erro aleatório e erro sistemático.
b) Erro sistemático e erro preventivo.
c) Erro aleatório e erro preventivo.
d) Erro submetido e erro sistemático.
e) Erro preventivo e erro submetido.
Questão 1
121/202
2. Assinale a alternativa correta. Quais são as três retas que constituem 
um gráfico de controle?
Questão 2
a) Linha Central, Linha Superior de Controle e Linha Base de Controle.
b) Linha Média, Linha Superior de Controle e Linha Base de Controle.
c) Linha Média, Linha Superior de Controle e Linha Inferior de Controle.
d) Linha Central, Linha Superior de Controle e Linha Inferior de Controle.
e) Linha Específica de Controle, Linha Superior de Controle e Linha Inferior de Controle.
122/202
3. Assinale a alternativa correta. Quais os 2 tipos de gráfico de controle?
Questão 3
a) Por variáveis e por atributos.
b) Por transformação e por atributos.
c) Por variáveis e por transformação
d) Por derivação e por atributos
e) Por variáveis e por derivação.
123/202
4. Assinale a alternativa correta. Quais os 2 tipos de erro que um teste de 
hipóteses está sujeito?
Questão 4
a) Erro do tipo I – rejeição de um valor que seria aceito e erro do tipo II – aceitar um valor que 
seria rejeitado.
b) Erro do tipo I – rejeição de um valor que seria rejeitado e erro do tipo II – aceitar um valor que 
seria rejeitado.
c) Erro do tipo I – aceitação de um valor que seria aceito e erro do tipo II – aceitar um valor que 
seria rejeitado.
d) Erro do tipo I – rejeição de um valor que seria aceito e erro do tipo II – rejeitar um valor que 
seria rejeitado.
e) Erro do tipo I – aceitação de um valor que seria aceito e erro do tipo II – rejeitar um valor que 
seria rejeitado.
124/202
5. Assinale a alternativa correta. Quais são os três principais objetivos dos 
gráficos de Shewhart?
Questão 5
a) Reduzir a variabilidade da demanda; monitorar e vigiar o processo e; estimar os parâmetros 
ideais do produto e, também do processo.
b) Reduzir a variabilidade do processo; monitorar e vigiar a demanda e; estimar os parâmetros 
ideais do produto e, também do processo.
c) Reduzir a variabilidade do processo; monitorar e vigiar o processo e; estimar os parâmetros 
ideais de demanda.
d) Reduzir a variabilidade da demanda; monitorar e vigiar o processo e; estimar os parâmetros 
ideais da demanda.
e) Reduzir a variabilidade do processo; monitorar e vigiar o processo e; estimar os parâmetros 
ideais do produto e, também do processo.
125/202
Gabarito
1. Resposta: A.
Os erros existentes são erros aleatórios e 
sistemáticos.
2. Resposta: D.
Uma linha central (LC), que pode ser o va-
lor médio de uma característica, ou um va-
lor alvo a ser alcançado e; (2) Duas outras 
linhas horizontais, denominadas limite su-
perior de controle (LSC) e limite inferior de 
controle (LIC).
3. Resposta: A.
Existem dois tipos principais de gráficos de 
controle: (1) Gráficos de controle para va-
riáveis, utilizados quando a característica 
monitorada é obtida em uma escala contí-
nua (variável), com uma tendência central 
e desvios a partir dessa tendência; (2) Grá-
ficos de controle para atributos, utilizados 
quando as características não podem ser 
mensuradas em escala quantitativa, neste 
caso, julga-se o que está conforme e não-
-conforme com base em atributos de não 
conformidades.
4. Resposta: A.
Erro do tipo I – rejeição de um valor que seria 
aceito e erro do tipo II – aceitar um valor que 
seria rejeitado.
126/202
Gabarito
5. Resposta: E.
Os gráficos de controle ou Shewhart têm 
três principais funções, são elas: (1) Reduzir 
a variabilidade do processo; (2) Monitorar e 
vigiar o processo e; (3) Estimar os parâme-
tros ideais do produto e, também do pro-
cesso.
127/202
Unidade 6
Gráfico de Controle para Variáveis
Objetivos
1. Conhecer um tipo de gráfico de con-
trole, adotado especificamente para 
variáveis;
2. Entender como construir gráficos de 
controle usando dados de média e 
desvio padrão;
3. Verificar alguns padrões que podem 
ser observados em gráficos de con-
trole.
Unidade 6 • Gráfico de Controle para Variáveis128/202
1. Introdução
No tema anterior foram apresentados os ob-
jetivos de gráficos de controle e a sua cons-
trução. Nesse tema, focaremos em um dos 
dois tipos de gráfico: o gráfico de controle 
para variáveis. Assim, primeiro teremos que 
definir o que seria uma variável para pros-
seguirmos com a compreensão gráfica. 
Desta forma, uma variável é uma caracte-
rística que pode ser definida em uma esca-
la numérica, ou seja, ela é quantitativa. Al-
guns exemplos comuns de variáveis de um 
processo são: massa, temperatura, volume, 
comprimento, altura. 
Desta forma, os principais gráficos de con-
trole que descrevem variáveis são os grá-
ficos de média populacional (µ) ou média 
amostral (c ), variância populacional ( 2s ) 
ou variância amostral ( 2R ), desvio padrão 
populacional (s ) e desvio padrão amostral 
(R). Esses gráficos são largamente empre-
gados para verificar e monitorar a variabili-
dade das variáveis, em um processo.
Unidade 6 • Gráfico de Controle para Variáveis129/202
1.1 Construindo Um Gráfico de Controle para Variáveis
Os gráficos de controle de variáveis são amplamente difundidos e utilizados, tanto que, muitas 
pessoas acreditam que esses sejam os únicos tipos de gráficos de controle. Isso porque, a maior 
parte das características avaliadas em um processo é expressa numericamente e torna as variá-
veis avaliáveis, por exemplo, massa, temperatura, volume, comprimento e altura.
Quando trabalhamos com uma variável, conseguimos avaliar e trabalhar tanto com os valores 
médios da variável, como também os seus desvios (sua variabilidade), que podem ser expressos 
Para saber mais
Os gráficos de controle por variáveis possuem larga utilização no controle de qualidade, mas podem ser 
utilizados para análise de desvio quanto a outros parâmetros produtivos, entre eles a produtividade. Pro-
dutividade é a análise que compara recursos utilizados com a quantidade de produto disponibilizado ao 
fim de um processo. Se após a confecção de um item for percebido que a utilização de matéria-prima, por 
exemplo, foi acima do esperado e controlado pelo limite superior de controle definido no gráfico de con-
trole do processo, isso significa que os recursos de matéria-prima estão sendo utilizados a mais do que é 
necessário, reduzindo a produtividade do processo.
Unidade 6 • Gráfico de Controle para Variáveis130/202
em termos de variância dos dados ou então 
como desvio padrão. 
Assim, os gráficos que usaremos para con-
trolar as variáveis serão os gráficos de média 
populacional (µ) ou média amostral (c ), vari-
ância populacional ( 2s ) ou variância amos-
tral (s ), desvio padrão populacional (s ) e 
desvio padrão amostral (R). Na teoria, deve-
ríamos empregar sempre gráficos de média, 
variância e desvio populacional, como já 
visto no tema anterior, porém na prática, é 
muito difícil saber ou determinar estes pa-
râmetros em termos de população. Assim, o 
que podemos fazer na prática é utilizarmos 
uma amostra robusta, que seja grande o su-
ficiente para que a média amostral (c ) seja 
igual ou o mais próximo do possível da média 
populacional (µ). Além disso, é mais comum 
utilizarmos o gráfico de controlepara desvio 
padrão do que para variância, quando que-
remos controlar a variabilidade do processo 
para uma distribuição normal, então assumi-
remos a partir daqui este padrão. 
Assim, é comum observarmos dois gráficos 
simultaneamente: os gráficos de contro-
le para a média e desvio padrão amostrais, 
pois temos que manter tanto o controle so-
bre a média quanto sobre a variabilidade do 
processo, como podemos observar na Figu-
ra 14, onde para os processos apresentados 
em a e b percebe-se que as varáveis estão 
controladas tanto em termos de média, 
quanto desvio padrão. Já em c percebe-se 
que as varáveis estão controladas em ter-
mos de média, porém descontroladas em 
termos de desvio padrão. Em d, e, f perce-
be-se que as varáveis estão descontroladas 
em termos de média e desvio padrão.
Unidade 6 • Gráfico de Controle para Variáveis131/202
Figura 14. Gráfico de controle de variáveis. a e b) Variáveis dentro do controle estatístico em termos de média e desvio padrão; c) Variáveis dentro 
do controle estatístico para média e fora de controle para o desvio padrão; d, e, f) Variáveis fora do controle estatístico para média e desvio padrão.
Fonte: adaptado de: Paiva (2017)
Unidade 6 • Gráfico de Controle para Variáveis132/202
A primeira etapa para a construção do grá-
fico de controle é determinarmos os valores 
de LC, LSC e LSI. Assim, como geralmen-
te não conhecemos µ e s , usaremos uma 
estimativa desses parâmetros em relação a 
dados amostrais obtidos quando o proces-
so estava supostamente sob controle. Para 
que a estimativa seja robusta, deve-se utili-
zar pelo menos 20 amostras e a partir delas 
determinarmos os parâmetros c e R, para 
que, na sequência seja possível calcular os 
limites do gráfico de controle.
Para isso, vamos supor que tenhamos m 
amostras, cada uma delas com n observa-
ções das variáveis controladas. Como ge-
ralmente o número de observações n não 
é grande, usaremos a média geral de to-
dos os valores médios para estimar µ do 
processo: 1 2 ... m
m
c c c
c
+ + +
= . Assim, 
c deve ser usado como a linha central no 
gráfico de c , e para construir os limites de 
controle, é necessária uma estimativa do 
desvio padrão s . Assim, podemos estimar 
o s através das amplitudes das m amos-
tras, ou seja,
 
máx mínR c c= - , assim temos: 
1 2 ... mR R RR
m
+ + +
= . 
Com isso, obtemos as seguintes equações 
para os cálculos limites dos gráficos de con-
trole de média e de desvio padrão: 
Unidade 6 • Gráfico de Controle para Variáveis133/202
2 4
Limites de Controle para o gráfico de Limites de Controle para o gráfico de 
 LSC = + A R LSC = D R
Linha Central = 
Rc
c
c
2 3
 Linha Central = R
 LIC= - A R LIC= D R c
As variáveis A e D são tabeladas para vários valores de n e podem ser encontradas em anexos de 
livros de estatística. Vale também ressaltar, que se a opção for de trabalhar com a variância no 
lugar do desvio padrão, ela tenderá a seguir o mesmo padrão de cálculo dos limites.
Para que fique claro o emprego das médias amostrais para a estimativa da média populacional, 
usaremos a problemática exposta no Tema 2 da massa de pacotes de biscoito. Para isso, con-
sideraremos a média das massas de cada dia como uma média amostral e a média das médias 
amostrais com a média populacional, o mesmo será feito para o desvio. Desta forma, obtemos 
os dados expostos nas Tabelas 6 e 7.
Unidade 6 • Gráfico de Controle para Variáveis134/202
Tabela 6 - Médias das amostras para cada 
dia e LC, LIC e LSC calculados. 
Fonte: a autora.
Tabela 7 - Médias das amplitudes das amos-
tras para cada dia e LC, LIC e LSC calculados. 
Fonte: a autora.
Com estes dados podemos plotar os gráfi-
cos de controle mostrados nas Figuras 15 e 
Figura 16, respectivamente.
Unidade 6 • Gráfico de Controle para Variáveis135/202
Figura 15. Gráfico de controle de variáveis baseado nos dados da tabela 6.
Fonte: a autora.
Unidade 6 • Gráfico de Controle para Variáveis136/202
Figura 16. Gráfico de controle de variáveis baseado nos dados da tabela 7.
Fonte: a autora.
Unidade 6 • Gráfico de Controle para Variáveis137/202
Para saber mais
Denominamos limites de controle tentativos, os 
limites obtidos a partir de amostras preliminares 
do sistema. Esses limites são utilizados especial-
mente quando há uma alteração no processo, ou 
então, quando são implantados novos processos 
que ainda não tem uma grande quantidade de 
amostras avaliadas. Para verificar se eles e espe-
cialmente os dados obtidos neles estão de fato 
corretos, podemos empregar teste de hipótese 
usando dados antigos, ou verificando o sistema e 
garantindo que sua variabilidade não tenha a pre-
sença de causas atribuíveis. Este conjunto de da-
dos tentativos deverá ser revisto posteriormente, 
para que o sistema obtenha respostas confiáveis.
1.2 Interpretação dos Gráficos 
de Média e Desvio
Como visto e exemplificado no tema an-
terior, sabemos que um gráfico de contro-
le poderá nos indicar uma situação fora do 
controle, mesmo quando todos os dados 
plotados estiverem dentro dos limites pré-
-estabelecidos, isso se os pontos exibirem 
um comportamento não aleatório. Desta 
forma, o padrão dos dados plotados pode 
ser um excelente indicativo para verificar, 
controlar e ajustar, se necessário, o proces-
so, a fim de reduzir a variabilidade do mes-
mo, melhorando a qualidade do sistema 
produtivo.
Assim, discutiremos alguns padrões comuns 
que podem ser encontrados em gráficos de 
Unidade 6 • Gráfico de Controle para Variáveis138/202
média e desvio padrão, lembrando que os 
dois gráficos deverão ser sempre analisados 
em conjunto.
(1) Padrão Cíclico: Geralmente advindos de 
mudanças ambientais, como temperatura, 
desgaste, falta de manutenção, gerando 
uma variabilidade excessiva, como pode-
mos observar na Figura 17. 
Figura 17. Padrões cíclicos em um gráfico de controle.
Fonte: a autora.
 (2) Padrão de Mistura: Geralmente advin-
dos de processos excessivamente contro-
lados, com ajustes constantes e frequentes, 
fazendo com que os pontos plotados ten-
dam a ficar próximos aos limites de controle 
ou levemente fora, como podemos observar 
na Figura 18. 
Figura 18. Padrões de mistura em um gráfico de controle.
Fonte: a autora.
(3) Deslocamento no nível do processo: Ge-
ralmente advindos de alguma mudança no 
processo, por exemplo, mudança de uma 
máquina, de um operador, de um material, 
fazendo com que os pontos se concentrem 
entre a linha central e um dos limites, po-
dendo até cair fora do limite, como pode-
mos observar na Figura 19.
Unidade 6 • Gráfico de Controle para Variáveis139/202
Figura 19. Deslocamento no nível do pro-
cesso em um gráfico de controle.
Fonte: a autora.
(4) Tendência de Nível: Geralmente advin-
dos de desgastes e deterioração de compo-
nentes ou ferramentas do processo, pode 
ser visualizado pelo movimento contínuo 
dos pontos em uma direção, como podemos 
observar na Figura 20.
Figura 20. Tendência de nível do proces-
so em um gráfico de controle.
Fonte: a autora.
(5) Estratificação: Geralmente advindos de 
cálculos incorretos dos limites de controle, 
pode ser percebida quando existe ausência 
de variabilidade (pontos sempre muito pró-
ximos a linha central), como podemos ob-
servar na Figura 21.
Figura 21. Padrão de estratificação do pro-
cesso em um gráfico de controle.
Fonte: a autora.
Unidade 6 • Gráfico de Controle para Variáveis140/202
Para saber mais
Uma informação importante que podemos extrair dos gráficos de média e desvio padrão é a estimativa 
da capacidade do processo, utilizando para isso os limites de especificação dos gráficos de controle. Des-
ta forma, utilizando uma distribuição normal acumulada, a estimativa da capacidade de processo pode 
ser definida como: Cp = LSC - LIC
6s
. Consideramos essa uma estimativa da capacidade enão a capacidade 
real, pois geralmente não temos o valor e sim uma estimativa dele que é R.
Como bases comparativas podem ser utilizados os valores:
• Cp ≥ 1,33 – Processo adequado e capaz;
• 1 ≤ Cp ≤ 1,33 – Adequado;
• Cp ≤ 1 – Processo inadequado.
A estimativa de capacidade do processo, também pode ser entendida e interpretada como sendo a esti-
mativa da performance do processo, que pode ser calculada da seguinte forma: . P = .100%1 )(C
p
Unidade 6 • Gráfico de Controle para Variáveis141/202
Glossário
Amostral: Diz-se de um recorte da população do qual se conseguiu retirar uma parcela. Dos da-
dos tratados será feita uma inferência considerando que aquela amostra é representativa da po-
pulação e que, dessa forma, ao utilizar esses dados amostrais poder-se-á ter informações sobre 
a população.
Performance de Processo: É a medida que relaciona a capacidade produtiva do processo com o 
valor de resposta do processo, podendo variar de 0 a 1 ou de 0 a 100%.
Populacional: Diz-se de um conjunto de dados infinitamente grande e que seus dados tratados 
(média, mediana, desvio-padrão, variância etc.) são valores correspondente à população (todos 
os itens que constituíssem esse banco de dados infinito).
Questão
reflexão
?
para
142/202
Você agora está apto a construir gráficos de controle de processo por 
variáveis além de ser capaz de realizar a análise desses gráficos para 
saber se um processo está dentro ou fora de controle. A indústria 
automobilística utiliza gráficos de controle de processo por variáveis 
para controlar qualidade e produtividade. Imagine a linha de pintura 
de uma indústria automobilística, valores de camada de tinta infe-
rior ao limite inferior podem significar falta de cobertura de tinta em 
algumas regiões do carro, em compensação regiões com camadas 
acima do definido do limite superior podem acarretar em diferença 
de tonalidade ou excesso do consumo de tinta que foi estipulado 
para aquele processo, acarretando em diferenças na rentabilidade 
obtida naquele produto. Além do exemplo da pintura, você conse-
guiria pensar em outros exemplos da indústria automobilística nos 
quais os gráficos de controle de processo podem ser utilizados como 
uma ferramenta de controle de qualidade e produtividade?
143/202
Considerações Finais
• Os gráficos de controle de variáveis são amplamente difundidos e utilizados, isso porque, a 
maior parte das características avaliadas em um processo são expressas numericamente e 
tornam as variáveis avaliáveis;
• Os gráficos que usamos para controlar as variáveis foram gráficos de média populacional (µ) 
ou média amostral (x), variância populacional ( ) ou variância amostral (R2), desvio padrão 
populacional ( ) e desvio padrão amostral (R).
• Uma informação importante que podemos extrair dos gráficos de média e desvio padrão é a es-
timativa da capacidade do processo: . A estimativa de capacidade do processo, 
também pode ser entendida como a estimativa da performance do processo: . 
• Alguns padrões comuns que podem ser encontrados em gráficos de média e desvio padrão 
são: (1) Padrão Cíclico; (2) Padrão de Mistura; (3) Deslocamento no nível do processo; (4) Ten-
dência de Nível e; (5) Estratificação.
Unidade 6 • Gráfico de Controle para Variáveis144/202
Referências
MONTGOMERY, D. C. Introdução ao controle estatístico da qualidade. 7. ed. São Paulo: LTC, 
2016. 
PAIVA, Marcio José Coutinho de. Análise da Capabilidade de Processo. Disponível em: <http://
slideplayer.com.br/slide/7298761>. Acesso em: 16 out. 2017.
WESTERN ELECTRIC COMPANY (EUA). Statistical Quality Control Handbook. Indianápolis: West-
ern Electric Co., Inc, 1956. 328 p. Disponível em: <https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=-
j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwiq_b-ZyL_XAhWFIJAKHfK1AMwQFggn-
MAA&url=http://www.contesolutions.com/Western_Electric_SQC_Handbook.pdf&usg=AOv-
Vaw0PBsv8Q1nQdKKLuhwm_bdB>. Acesso em: 13 out. 2017. 
http://slideplayer.com.br/slide/7298761
http://slideplayer.com.br/slide/7298761
https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwiq_b-ZyL_XAhWFIJAKHfK1AMwQFggnMAA&url=http://www.contesolutions.com/Western_Electric_SQC_Handbook.pdf&usg=AOvVaw0PBsv8Q1nQdKKLuhwm_bdB
https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwiq_b-ZyL_XAhWFIJAKHfK1AMwQFggnMAA&url=http://www.contesolutions.com/Western_Electric_SQC_Handbook.pdf&usg=AOvVaw0PBsv8Q1nQdKKLuhwm_bdB
https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwiq_b-ZyL_XAhWFIJAKHfK1AMwQFggnMAA&url=http://www.contesolutions.com/Western_Electric_SQC_Handbook.pdf&usg=AOvVaw0PBsv8Q1nQdKKLuhwm_bdB
https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwiq_b-ZyL_XAhWFIJAKHfK1AMwQFggnMAA&url=http://www.contesolutions.com/Western_Electric_SQC_Handbook.pdf&usg=AOvVaw0PBsv8Q1nQdKKLuhwm_bdB
145/202
1. Assinale a alternativa correta. As variáveis que podemos utilizar na cons-
trução de gráficos de controle por variável são:
Questão 1
a) Média populacional, variância amostral, desvio padrão populacional.
b) Média populacional ou amostral, variância populacional ou amostral, desvio padrão popu-
lacional ou amostral.
c) Mediana populacional, variância populacional, desvio padrão populacional.
d) Mediana populacional ou amostral, variância populacional ou amostral, desvio padrão po-
pulacional ou amostral.
e) Moda populacional ou amostral, variância populacional ou amostral, desvio padrão popu-
lacional ou amostral.
146/202
2. Assinale a alternativa correta. Como são denominados os limites obti-
dos em cálculos preliminares dos gráficos de controle?
Questão 2
a) Obtidos.
b) Prestativos.
c) Intuitivos.
d) Tentativos.
e) Exaustivos.
147/202
3. Assinale a alternativa correta. Qual dos parâmetros de produção pode 
ser avaliado por gráficos de controle?
Questão 3
a) Produtividade.
b) Treinamentos realizados.
c) Planejamento agregado.
d) Programa Mestre de Produção.
e) Programação de chão de fábrica.
148/202
4. Assinale a alternativa correta. Com qual valor de Cp um processo pode 
ser considerado sob controle?
Questão 4
a) Acima de 1.
b) A partir de 1, 1 incluso.
c) Entre 1 e 1,3333.
d) Abaixo de 1.
e) Entre 0,6777 e 1,3333.
149/202
5. Assinale a alternativa correta. Entre os erros que podemos encontrar 
nos gráficos de controle estatístico estão:
Questão 5
a) Padrão Crítico, Padrão de Mistura, Deslocamento no nível do processo, Tendência de Nível e 
Estratificação.
b) Padrão Cíclico, Padrão Crítico, Deslocamento no nível do processo, Tendência de Nível e Es-
tratificação.
c) Padrão Cíclico, Padrão de Mistura, Deslocamento no nível do processo, Tendência de Nível e 
Padrão Crítico.
d) Padrão Cíclico, Padrão de Mistura, Padrão Crítico, Tendência de Nível e Estratificação.
e) Padrão Cíclico, Padrão de Mistura, Deslocamento no nível do processo, Tendência de Nível e 
Estratificação.
150/202
Gabarito
1. Resposta: B.
Os gráficos que usaremos para controlar as 
variáveis serão os gráficos de média popu-
lacional (µ) ou média amostral (c ), variân-
cia populacional (R2) ou variância amostral 
(R2), desvio padrão populacional (s ) e des-
vio padrão amostral (R).
2. Resposta: D.
Denominamos limites de controle tentati-
vos, os limites obtidos a partir de amostras 
preliminares do sistema.
3. Resposta: A.
Os gráficos de controle por variáveis pos-
suem larga utilização no controle de quali-
dade, mas podem ser utilizados para aná-
lise de desvio quanto a outros parâmetros 
produtivos, entre eles a produtividade. Pro-
dutividade é a análise que compara recur-
sos utilizados com a quantidade de produto 
disponibilizado ao fim de um processo.
4. Resposta: A.
Como base comparativa dos valores de Cp, 
podem ser utilizados os valores:
• Cp ≥ 1,33 – Processo adequado e ca-
paz;
• 1 ≤ Cp ≤ 1,33 – Adequado;
• Cp ≤ 1 – Processo inadequado.
151/202
Gabarito
5. Resposta: E.
Entre os erros que podemos encontrar nos 
gráficos de controle estatístico estão:Pa-
drão Cíclico, Padrão de Mistura, Desloca-
mento no nível do processo, Tendência de 
Nível e Estratificação.
152/202
Unidade 7
Gráficos de Controle por Atributos
Objetivos
1. Conhecer o modelo de análise de qua-
lidade por atributos;
2. Entender o processo de construção, 
utilização e interpretação de gráficos 
de controle de fração não-conforme;
3. Entender o processo de construção, 
utilização e interpretação de gráficos 
de controle de unidades não-confor-
me.
Unidade 7 • Gráficos de Controle por Atributos153/202
1. Introdução
Nos temas anteriores foram apresentados 
conceitos gerais de qualidade e controle 
estatísticos de processo (CEP) voltados ao 
controle de características mensuráveis de 
um componente ou produto, mas quan-
do as características de um produto não 
podem ser consideradas numericamen-
te? Quando a análise de qualidade acaba 
sendo mais conveniente de uma maneira 
qualitativa, passam a serem avaliadas as 
conformidades do atributo com padrões. É 
o início da sistemática passa ou não-pas-
sa, ou como dito atualmente conforme ou 
não-conforme.
As análises passam a ser por proporções da 
amostra que estão apresentando atributos, 
podendo ser gráficos para controle de com-
ponentes conforme ou componentes não-
-conforme. Neste tema serão explicadas 
as diferenças desses gráficos, como execu-
tar otimizações nos mesmos, identifican-
do outliers e excluindo da base de cálculo e 
como interpretar esses gráficos.
1.1 Gráfico de Fração Não-con-
forme
Fração não-conforme é a razão calculada 
pelo número de peças não-conforme em 
uma população finita, esse gráfico define 
o rendimento do processo. Os cálculos que 
baseiam a teoria de gráficos de fração não-
-conforme são baseados em uma distribui-
ção de probabilidade ainda não estudada, a 
distribuição binomial, pois se trabalha com 
uma quantidade discreta de peças não-
Unidade 7 • Gráficos de Controle por Atributos154/202
-conforme e uma população amostral finita. A probabilidade de que uma unidade esteja não-
-conforme é denominada p, a amostra aleatória captada da população é n, e D seria a quanti-
dade de peças não-conforme nessa amostra n. Dessa forma, a probabilidade de x peças estarem 
não-conforme seria
Equação 7.1
A fração amostral não-conforme seria calculada pela equação 7.2 com valores de média e vari-
ância sendo, respectivamente, as equações 7.3 e 7.4.
Equação 7.2
Equação 7.3
Unidade 7 • Gráficos de Controle por Atributos155/202
Equação 7.4
Como já visto anteriormente, os gráficos 
de controle se baseiam nos princípios de 
Shewhart que, por um modelo geral, define:
Equações 7.5
Sendo L a distância entre a linha central e os 
limites superiores e inferiores, sendo cos-
tume a escolha de L=3 como uma definição 
natural dos limites de controle, correspon-
dente a um intervalo de confiança aproxi-
mado de 99%.
Realizando as substituições nas equações 
7.5 pelas equações 7.3 e equações 7.4 e 
Para saber mais
A distribuição binomial é uma distribuição discre-
ta que considera apenas a existência de dois pos-
síveis resultados: “sucesso” ou “fracasso”. Cada 
tomada de dado é entendida como uma prova, 
denominada prova de Bernoulli, homenagem ao 
matemático que teorizou esse modelo probabilís-
tico no século XVIII. Na sistemática de peças con-
forme ou não-conforme o modelo binomial adere 
perfeitamente, uma vez que o sucesso seria a uni-
dade conforme e o fracasso pode ser entendido 
como unidade não-conforme.
Unidade 7 • Gráficos de Controle por Atributos156/202
aceitando que não há padrão de fração 
não-conforme e que ele deverá ser calcula-
do e que se deve realizar m amostras pre-
liminares (o valor de m deve variar entre 25 
e 30) de tamanho n para se iniciar um gráfi-
co de fração não-conforme, tem-se:
Equação 7.6
Equações 7.7
As equações 7.7 geram os chamados li-
mites tentativos, uma vez que trazem va-
lores amostrais e não do valor conhecido 
da população conhecida. Havendo valores 
conhecidos de fração não-conforme (não 
usual isso ocorrer) as equações 7.7 devem 
ter substituídos pelo valor conhecido da 
fração não-conforme p.
Para saber mais
Na estatística, intervalo de confiança indica a 
probabilidade de um ponto aleatório estar conti-
do na região abaixo da curva normal que o define, 
se trabalhado com 1 desvio-padrão tem-se que 
67% dos pontos aleatórios estariam sobre a área 
definida pela linha normal, com 2 desvios-pa-
drões seriam 95% e com 3 desvios-padrões 99%.
Unidade 7 • Gráficos de Controle por Atributos157/202
Por exemplo, uma empresa de maquiagens recebe embalagens para acondicionar seus produtos. 
Ao iniciar um trabalho com um novo fornecedor, não há parâmetros prévios de fração não-con-
forme, dessa forma você deve gerar o primeiro gráfico de controle de fração não-conforme com 
dados amostrais. Os dados obtidos estão na Tabela 8.
Tabela 8 - Dados para cálculo dos limites tentativos do exemplo. 
Número 
da Amostra
Número de embalagens 
não-conformes, Di
Fração Amostral 
Não-conforme, pi
1 6 0,12
2 24 0,48
3 23 0,46
4 5 0,1
5 9 0,18
6 20 0,4
7 21 0,42
8 20 0,4
9 15 0,3
10 22 0,44
11 13 0,26
12 5 0,1
Unidade 7 • Gráficos de Controle por Atributos158/202
Número 
da Amostra
Número de embalagens 
não-conformes, Di
Fração Amostral 
Não-conforme, pi
13 10 0,2
14 11 0,22
15 19 0,38
16 11 0,22
17 16 0,32
18 10 0,2
19 12 0,24
20 16 0,32
21 12 0,24
22 5 0,1
23 9 0,18
24 5 0,1
25 19 0,38
26 19 0,38
27 5 0,1
28 14 0,28
29 20 0,4
Unidade 7 • Gráficos de Controle por Atributos159/202
Número 
da Amostra
Número de embalagens 
não-conformes, Di
Fração Amostral 
Não-conforme, pi
30 11 0,22
  407 0,271333333
Fonte: a autora.
Conforme a equação 7.6, temos:
Assumindo que seja uma estimativa para a população estudada e substituindo nas equações 7.7:
Unidade 7 • Gráficos de Controle por Atributos160/202
O gráfico plotado com os pontos fica da seguinte forma:
Figura 22 – Gráfico de controle de fração não-conforme.
 Fonte: a autora.
Como é possível observar na Figura 22 os pontos apresentados no exemplo estão dentro dos li-
mites tentativos de controle, mostrando que o processo está sob controle. Mas se isso não ocor-
re? Como proceder?
Suponha que 2 pontos serão plotados fora dos limites de controle. No momento, 2 e 10 houve-
ram falhas no sistema com causas conhecidas, por meio da ficha de verificação é possível deter-
Unidade 7 • Gráficos de Controle por Atributos161/202
minar as causas de variações durante o processo e encontrar possíveis causas dessas variações, 
como a entrada de um novo lote de matéria-prima em máquina ou a operação por um operador 
inexperiente. O novo gráfico de controle de fração não-conforme é apresentado na Figura 23. 
Figura 23. Gráfico de controle de fração não-conforme, com pontos fora de controle.
Fonte: a autora.
Unidade 7 • Gráficos de Controle por Atributos162/202
O procedimento para correção desses erros é a verificação do motivo para esses pontos estarem 
fora do controle; excluir esses pontos da base de cálculo, considerando-os outliers; e realizar no-
vamente o cálculo dos limites e da linha central, como segue:
Assim, após a realização dos cálculos, é possível reconstruir o gráfico de controle para a fração 
não-conforme (normalizado), cujo resultado é apresentado na Figura 24.
Unidade 7 • Gráficos de Controle por Atributos163/202
Figura 24 – Gráfico de controle de fração não-conforme (normalizado).
Fonte: a autora.
Unidade 7 • Gráficos de Controle por Atributos164/202
Note que ao normalizar o gráfico de con-
trole, o intervalo entre os limites superiores 
e inferiores se tornou menor, isso é normal 
uma vez que os resultados removidos da 
base de cálculo apresentavam uma ampli-
tude maior que os dados que estão agora na 
base de cálculo.
1.1.1. Interpretação de Gráfico 
de Controle de Fração Não-con-
forme
A interpretação do gráfico de controle de 
fração não-conforme é muito importante e 
não-trivial. A interpretação de valores aci-
ma do limite de controleé de fácil compre-
ensão, uma vez que ao estar fora dos limites 
há a indicação de que o processo está fora 
de controle. Mas como interpretar um ponto 
abaixo da linha de controle inferior? É uma 
melhoria aleatória ou uma falha na indica-
ção da fração não-conforme? Um gráfico de 
controle em que a linha inferior de controle 
é igual a zero, como deve ser compreendi-
do?
Esses são alguns dos problemas de inter-
pretação dos gráficos de controle de fração 
não-conforme. Para a resolução do primei-
ro item é necessário sempre junto com a 
tomada de dados a existência da folha de 
verificação para mapeamento dos pontos 
que estiverem fora dos limites de aceitação 
calculados. Identificada a causa de uma va-
riação que gere uma menor fração de peças 
não-conforme, deve-se tentar padronizar 
para que essa seja uma etapa de melhoria 
Unidade 7 • Gráficos de Controle por Atributos165/202
contínua e se torne um novo padrão na em-
presa. Já para o segundo item o problema 
é maior, uma vez que ao trabalhar com um 
gráfico de fração não-conforme já se tem o 
pressuposto que a empresa apresenta pe-
ças não-conforme, dessa forma qualquer 
indicação de melhoria que causasse o fim 
dessa não-conformidade poderia passar 
despercebido como um ponto dentro dos 
limites de aceitação que não precisaria ser 
estudado. Assim, uma forma de evitar esse 
problema é modificar o número de amostra 
computado para o cálculo dos limites ten-
tativos. Tendo que:
Equação 7.8
Dessa forma, por exemplo, se a probabilida-
de do sistema ter uma peça não-conforme é 
de 5% (p=0,05) e o sistema é controlado por 
um L=3, temos:
Assim, para n maior que 172 peças haverá 
um limite de controle inferior positivo, per-
mitindo a percepção de melhorias que pos-
sam ser padronizadas no futuro.
Unidade 7 • Gráficos de Controle por Atributos166/202
Para saber mais
É possível realizar o cálculo de gráficos de peças não-conforme, o gráfico de controle np. Basta multiplicar o valor 
das frações de não-conformidade pelo tamanho da amostra. As curvas de controle ficam da seguinte forma:
Linha central = np
LSC = p + 3 np (1-p)
LIC = p - 3 np (1-p)
Para sua interpretação segue-se a mesma linha de raciocínio do gráfico de controle de fração não-conforme. Por 
exemplo, com LSC = 20 e LIC = 3, se o sistema tiver um ponto de 21 unidades ele está fora de controle, o mesmo 
se tiver um ponto com 2 unidades.
Unidade 7 • Gráficos de Controle por Atributos167/202
Glossário
Fração não-conforme: Proporção da amostra que não corresponde aos requisitos de qualidade 
estabelecidos.
Intervalo de confiança: É a probabilidade de um ponto aleatório estar contido na região abaixo 
da curva de probabilidade que o define.
Limites de controle: Limites definidos numericamente para controle de um processo.
Questão
reflexão
?
para
168/202
No carro que você comprou, alguns itens são testados so-
bre atributos conforme ou não-conforme. Uma lâmpada 
do farol, por exemplo, não pode acender 75% das vezes, 
ou ela acende ou ela não acende. A fabricante de lâm-
padas define sua amostragem para conseguir identificar 
da melhor maneira itens que não apresentem problemas. 
Você consegue imaginar outros itens em um carro que 
passariam por um controle por atributos?
169/202
Considerações Finais
• Em análises por atributos, as análises passam a ser por proporções da amos-
tra que estão apresentando atributos, podendo ser gráficos para controle 
de componentes conforme ou componentes não-conforme;
• Fração não-conforme é a razão calculada pelo número de peças não-con-
forme em uma população finita. Esse gráfico define o rendimento do pro-
cesso. 
• A interpretação do gráfico de controle de fração não-conforme é muito im-
portante e não-trivial, é necessário sempre junto com a tomada de dados a 
existência da folha de verificação para mapeamento dos pontos que estive-
rem fora dos limites de aceitação calculados. 
• É possível realizar o cálculo de gráficos de peças não-conforme. Basta mul-
tiplicar o valor das frações de não-conformidade pelo tamanho da amostra.
Unidade 7 • Gráficos de Controle por Atributos170/202
Referências
GARVIN, David A.. Competing on the Eight Dimensions of Quality. Harvard Business Review, Nova 
York, nov. 1987. Bimestral. Disponível em: <https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-di-
mensions-of-quality>. Acesso em: 20 out. 2017.
MONTGOMERY, D. C. Introdução ao controle estatístico da qualidade. 7. ed. São Paulo: LTC, 
2016. 
TRIOLA, M. F. Introdução à estatística: Atualização da tecnologia. 11. ed. São Paulo: LTC, 2013.
https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-dimensions-of-quality
https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-dimensions-of-quality
171/202
1. Assinale a alternativa correta. Podem ser citados como atributos:
Questão 1
a) Medida nominal do diâmetro externo de um tubo.
b) Lâmpada acender.
c) Espessura de pintura de um carro.
d) Espessura de uma folha de papel.
e) Peso de uma caixa de papelão.
172/202
2. Assinale a alternativa correta. Sistemas de análise passa ou não-passa 
definem:
Questão 2
a) Uma maneira de mensurar itens defeituosos.
b) Uma maneira de mensurar o tamanho de um defeito.
c) Uma maneira de classificar itens defeituosos.
d) Uma maneira de definir itens defeituosos.
e) Uma maneira de validar todo um sistema produtivo.
173/202
3. Assinale a alternativa correta. São definidos como limites naturais quan-
tos desvios-padrões (L=?)?
Questão 3
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
174/202
4. Assinale a alternativa correta. Qual o problema existente em ter-se um 
LIC inferior a 0?
Questão 4
a) Indicação de melhoria que causasse o fim de uma não-conformidade poderia passar desper-
cebida.
b) Indicação de melhoria que causasse o fim das paradas de linha poderia passar despercebida.
c) Não há problemas.
d) Indicação de melhoria que causasse o fim de atrasos nas entregas poderia passar desperce-
bida.
e) Indicação de melhoria que causasse o fim de apresentação de não-conformidades em todas 
as áreas da empresa poderia passar despercebida.
175/202
5. Assinale a alternativa correta. Além do gráfico de controle de fração 
não-conforme, qual outra forma de controle por atributo pode ser apre-
sentada?
Questão 5
a) Peças Conforme.
b) Fração Conforme.
c) Entregas Conforme.
d) Entregas Não-conforme.
e) Peças Não-conforme.
176/202
Gabarito
1. Resposta: B.
Quando a análise de qualidade acaba sendo 
mais conveniente de uma maneira qualita-
tiva passam a ser avaliadas a conformidade 
do atributo com padrões. É o início da sis-
temática passa ou não-passa, ou como dito 
atualmente conforme ou não-conforme, 
como é o caso da lâmpada acender.
2. Resposta: D.
Quando a análise de qualidade acaba sendo 
mais conveniente de uma maneira qualita-
tiva passam a ser avaliadas a conformidade 
do atributo com padrões. É o início da sis-
temática passa ou não-passa, ou como dito 
atualmente conforme ou não-conforme.
3. Resposta: C.
Sendo L a distância entre a linha central e os 
limites superiores e inferiores, sendo cos-
tume a escolha de L=3 como uma definição 
natural dos limites de controle, correspon-
dente a um intervalo de confiança aproxi-
mado de 99%.
4. Resposta: A.
Uma vez que ao trabalhar com um gráfico 
de fração não-conforme já se tem o pressu-
posto que a empresa apresenta peças não-
-conforme, dessa forma qualquer indicação 
de melhoria que causasse o fim dessa não-
-conformidade poderia passar desperce-
bida como um ponto dentro dos limites de 
aceitação que não precisaria ser estudado.
177/202
Gabarito
5. Resposta: E.
É possível realizar o cálculo de gráficos de 
peças não-conforme, o gráfico de contro-
le np. Basta multiplicar o valor das frações 
de não-conformidade pelo tamanho da 
amostra.
178/202
Unidade 8
Amostragem de Aceitação Lote a Lote para Atributos
Objetivos
1. Conhecer um/o modelo de análise de 
amostragem de aceitação;
2. Entender o processo de construção de 
um plano de amostragem;
3. Saber executar umacurva de opera-
ção e saber interpretá-la.
Unidade 8 • Amostragem de Aceitação Lote a Lote para Atributos179/202
1. Introdução
Quando uma empresa recebe um lote de 
um fornecedor, ela necessita saber das con-
dições que esse material chegou até a em-
presa. As empresas fornecedoras podem 
apresentar certificações sobre o material 
fornecido, porém em alguns casos, a em-
presa pode possuir intervalos de aceitação 
mais restritos que os apresentados em nor-
mas que a empresa fornecedora se baseia 
para a certificação. Dessa forma, é necessá-
rio pensar um plano de avaliação desse ma-
terial entrando na empresa, independente 
de quem seja o fornecedor. Porém, como re-
alizar essa avaliação? Às vezes não é possí-
vel avaliar 100% das peças recebidas, às ve-
zes seria muito caro realizar essa inspeção. 
Para responder essas questões, é necessária 
a realização de uma amostragem de aceita-
ção do lote entregue.
No lote de amostragem de aceitação deve 
ser selecionada uma amostra sobre a qual 
será avaliada uma característica. Trata-se 
de um atributo, pois será avaliado da mes-
ma maneira que uma característica quanti-
tativa: conforme ou não-conforme. Por esse 
motivo às vezes na literatura pode ser visto 
o resultado dessa amostragem como uma 
decisão de sentenciamento de lote, pois 
dependendo do resultado, o lote será aceito 
ou reprovado.
Existem três características importantes na 
definição de uma amostragem de aceita-
ção:
1. O objetivo dessa amostragem é ter 
informações sobre a decisão de sen-
tenciamento do lote, não inferir sobre 
a qualidade do fornecedor, ou estimar 
Unidade 8 • Amostragem de Aceitação Lote a Lote para Atributos180/202
a qualidade dos itens que pertence ao 
lote que está sendo avaliado;
2. A avaliação de um lote de uma amos-
tragem de aceitação não consiste em 
avaliar a qualidade do produto que 
está entrando na empresa, mas ga-
rantir que as saídas do processo da 
empresa se mantenham dentro das 
especificações;
3. A amostragem de aceitação não de-
fine características de qualidade do 
produto que está sendo avaliado, mas 
sim se o lote deve ser aprovado ou re-
provado.
Quando se fala de amostragem de acei-
tação existem características da própria 
amostragem e do produto a ser amostrado 
que fazem com que essa técnica seja mais 
interessante:
1. Quando o teste for destrutivo;
2. Quando o custo da inspeção 100% for 
muito alto;
3. Quando realizar uma inspeção 100% 
não for tecnologicamente factível;
4. Quando realizar uma inspeção 100% 
não levar um tempo demasiadamente 
longo;
5. Quando há muitos itens a serem ins-
pecionados e a taxa de erro for mui-
to elevada, fazendo com que em uma 
inspeção 100% peças que deveriam 
ser reprovadas sejam aprovadas;
Unidade 8 • Amostragem de Aceitação Lote a Lote para Atributos181/202
6. Quando a empresa vendedora tiver um excelente histórico de entregas e deseja-se reduzir 
os custos de inspeção;
7. Quando erros por parte do fornecedor podem gerar problemas de credibilidade do produto 
que será confeccionado com essa matéria-prima.
Para saber mais
Não é possível fazer um bom churrasco com uma carne de má qualidade, mesmo que você tenha o melhor 
churrasqueiro a sua disposição. Muitas empresas já entenderam isso e trabalham com controles rigoro-
sos nas entradas de seu processo, por exemplo, na indústria de tintas a entrada de um solvente na linha 
com características diferentes das necessárias (excesso de água, excesso de contaminantes etc.) incor-
reriam em custos altíssimos, pois podem alterar todas as características dos produtos finais fazendo com 
que um lote inteiro de tintas seja reprovado.
Unidade 8 • Amostragem de Aceitação Lote a Lote para Atributos182/202
1.1 Vantagens e Desvantagens 
da Amostragem
As vantagens de um plano de amostragem 
comparado a um prospecto de inspeção 
100% são numerosas, mas como já visto 
dependem muito das características dos 
itens que serão avaliados. Como vantagens 
na comparação das duas técnicas de inspe-
ção podem ser citadas:
1. Geralmente a inspeção amostral é 
menos dispendiosa, pois requer um 
número menor de inspeções a serem 
realizadas. Às vezes as inspeções sig-
nificam análises laboratoriais que po-
dem ter custos elevados;
2. Menor manuseio do produto, que pode 
significar menor quantidade de ava-
rias. Itens com extrema sensibilidade, 
como recipientes de vidro, objetos que 
não podem ficar expostos a atmosfe-
ra, entre outros, sofrem alta taxa de 
refugo por avaria durante processos 
de inspeção, quanto menos peças ins-
pecionadas menor a probabilidade de 
avaria nessas peças;
3. Pode ser aplicado em testes des-
trutivos. Quando se trabalha com um 
item que para confirmação de certa 
propriedade são necessários testes 
destrutivos, é impossível que o mate-
rial passe por testes 100%. Por exem-
plo, para verificação de elementos de 
liga em um metal, deve-se passar esse 
material por um equipamento chama-
do espectrômetro. Nesse equipamen-
Unidade 8 • Amostragem de Aceitação Lote a Lote para Atributos183/202
to a amostra será destruída e durante 
a destruição serão liberados sinais que 
o equipamento será capaz de detec-
tar e verificar quais elementos faziam 
parte daquela amostra. A amostra não 
existirá mais, mas poderá se fazer uma 
avaliação sobre aquele lote e verificar 
se estava conforme o especificado;
4. Menor quantidade de pessoas envol-
vidas no processo de inspeção. Como 
já descrito em temas anteriores, há a 
necessidade de garantir que o Siste-
ma de Medição seja robusto, uma das 
maneiras de avaliar isso é por meio 
da Avaliação do Sistema de Avaliação 
(MSA, em inglês). Um dos testes que 
são realizados para avaliar a robustez 
é o teste de Repetibilidade e Reprodu-
tibilidade, já explicados anteriormen-
te. Trabalhar com método de amos-
tragem reduz a chance de um dos 
problemas ocorrer, problemas na Re-
produtibilidade. Com menos pessoas 
executando a inspeção, limitando-se 
às vezes a uma única pessoa respon-
sável pela inspeção, problemas de re-
produtibilidade de resultados passam 
a ser nulos, ficando o foco em restrin-
gir problemas de Repetibilidade nas 
análises;
5. Redução dos erros de inspeção. Uma 
questão probabilística, pois se há 1% 
de chance de uma inspeção apro-
var uma peça ruim ou reprovar uma 
peça boa, quanto maior a quantidade 
amostrada, maior chance desse erro 
Unidade 8 • Amostragem de Aceitação Lote a Lote para Atributos184/202
ocorrer;
6. Ao se rejeitar um lote completo ao in-
vés de peças de um lote, o fornecedor 
ficará mais atento com as saídas do 
processo produtivo.
Mas não existem apenas vantagens em re-
alizar um plano de amostragem ao invés de 
uma inspeção 100%. Entre as desvantagens 
podem ser citadas:
1. Há risco de aceitação de lotes com 
peças não-conforme e reprovação de 
lotes com apenas uma não-conformi-
dade. O problema da amostragem é 
que ela apresenta dados para inferên-
cia sobre um todo, mas não represen-
ta a qualidade de um todo em si;
2. Gera-se pouca informação sobre o 
produto e o processo de manufatu-
ra sobre o qual o produto passou. Na 
verdade, as informações serão sobre 
os itens da amostra, não sobre todos 
os produtos ou processo de produ-
ção do item. Não se pode acreditar um 
fornecedor apenas por uma amostra-
gem realizada, a avaliação deve ser 
frequente para gerar um padrão sobre 
a qualidade desse fornecedor;
3. Amostragem de aceitação exige pla-
nejamento e documentação do proce-
dimento de amostragem. Não se deve 
realizar uma amostragem a esmo, 
deve ser garantida a aleatoriedade da 
amostra e manter registros sobre o 
que foi inspecionado caso haja algu-
ma divergência futura durante o pro-
cessamento desse material;
Unidade 8 • Amostragem de Aceitação Lote a Lote para Atributos185/202
1.2 Plano de Amostragem Única para Atributos
Por definição, um plano de amostragem única possui tamanho amostral n e número de aceitação 
c. Por número de aceitação entende-se a quantidade máxima de defeitos que pode ser encontra-
da em lote paraque esse lote seja aceito. A curva que define a aceitação ou curva característica da 
operação (CO) é definida por uma distribuição binomial, uma vez que a quantidade de peças de-
feituosas e a quantidade de peças a serem amostrada são discretas. No caso, os parâmetros para 
Para saber mais
Os testes destrutivos e não-destrutivos, também conhecidos como ensaios, buscam definir caracterís-
ticas de um material para que seja possível avaliá-lo quanto à conformidade do mesmo a parâmetros 
de aceitação. Nos ensaios destrutivos, há alteração das características da peça que passam pelo ensaio, 
desde deixar algum sinal na peça até deixar esse item testado fora de condições de uso. Com os ensaios 
destrutivos, busca-se garantir que o material possua as propriedades desejadas para garantia do pro-
duto que será confeccionado com ele. Nos ensaios não-destrutivos a peça apresenta, após os testes, as 
mesmas características, sem prejuízo de sua posterior utilização. São empregados para demonstrar pro-
priedades de uma peça pronta ou após realização de algum trabalho sobre a mesma.
Unidade 8 • Amostragem de Aceitação Lote a Lote para Atributos186/202
curva binomial serão o tamanho da amostra 
n, quantidade de defeitos que é encontrada 
no lote amostral d e a fração de defeituosos 
p.
Equação 8.1
A probabilidade de aceitação será quando d 
for menor que c.
Equação 8.2
Por exemplo, se uma empresa define que seu 
plano amostral deve conter 90 amostras de 
uma população de 10000 peças e que c = 2, 
com uma fração de defeituosa medida his-
toricamente de p=0,01, qual seria a proba-
bilidade de aceitar um lote?
Após cálculos tem-se que:
Ou seja, a probabilidade de um lote, que 
vier à empresa e for inspecionado confor-
me o plano amostral de 90 amostras e 2 pe-
ças defeituosas na amostra, ser aceito é de 
93,80%. Conforme a variação da operação 
da confecção do material poderá haver va-
riação na fração de itens defeituosos, a cur-
va CO (Figura 25) demonstra exatamente 
Unidade 8 • Amostragem de Aceitação Lote a Lote para Atributos187/202
isso, a variação da probabilidade de aceitação conforme a variação da fração não-conforme por 
parte do fornecedor.
Figura 25 – Curva CO, variação da fração não-conforme resultando na variação da probabilidade de aceitação.
Fonte: a autora.
Unidade 8 • Amostragem de Aceitação Lote a Lote para Atributos188/202
Para saber mais
Uma curva CO ideal seria como um L invertido, correndo horizontalmente na linha de probabilidade de acei-
tação = 1,00 até o momento que chegasse à fração de defeitos = 0,01. Nesse ponto (fração de defeitos igual 
a 0,01), desceria verticalmente indicando que todas as amostras retiradas a partir desse ponto estariam re-
provadas. A curva dessa maneira demonstra que todos os lotes de má qualidade seriam reprovados e todos os 
lotes de boa qualidade seriam aprovados. Quanto mais próxima curva CO estiver dessa configuração melhor 
o plano de amostragem foi construído. A figura 26 apresenta o esboço dessa curva.
Unidade 8 • Amostragem de Aceitação Lote a Lote para Atributos189/202
Figura 26 - Aproximação de uma curva CO ideal.
Fonte: a autora.
190/217
Glossário
Probabilidade de ocorrência: Seria a taxa de falha que um item estaria susceptível.
Severidade: Define qual o grau de impacto na vida humana uma falha poderia chegar.
Teste destrutivo: Teste que, após a sua realização, a amostra não é mais apta ao uso.
Questão
reflexão
?
para
191/202
A montadora responsável pelo seu carro não solicita a 
análise de peça por peça de todos os itens que irão fazer 
parte do veículo, como visto na explicação sobre FMEA. 
Com base na análise de severidade, quais itens deve-
riam passar por inspeção 100% e quais itens poderiam 
passar por uma inspeção de lote na montagem de um 
veículo?
192/202
Considerações Finais (1/2)
• No lote de amostragem de aceitação deve ser selecionada uma amostra 
sobre a qual será avaliada uma característica (atributo), que será avaliada 
da mesma maneira que uma característica quantitativa: conforme ou não-
-conforme;
• Existem três características importantes na definição de uma amostragem 
de aceitação: o objetivo dessa amostragem é ter informações sobre a de-
cisão de sentenciamento do lote. A amostragem de aceitação não define 
características de qualidade do produto que está sendo avaliado;
• Vantagens na comparação das duas técnicas de inspeção podem ser cita-
das: geralmente inspeção amostral é menos dispendiosa; menor manuseio 
do produto, que pode significar menor quantidade de avarias; pode ser apli-
cada em testes destrutivos; menor quantidade de pessoas envolvidas no 
processo de inspeção; redução dos erros de inspeção; ao se rejeitar um lote 
completo ao invés de peças de um lote o fornecedor ficará mais atento com 
as saídas do processo produtivo;
193/202
Considerações Finais (2/2)
• Entre as desvantagens das técnicas de inspeção podem ser citadas: há risco 
de aceitação de lotes com peças não-conforme e reprovação de lotes com 
apenas uma não-conformidade; gera-se pouca informação sobre o produto 
e o processo de manufatura sobre o qual o produto passou; amostragem de 
aceitação exige planejamento e documentação do procedimento de amos-
tragem.
Unidade 8 • Amostragem de Aceitação Lote a Lote para Atributos194/202
Referências
GARVIN, David A.. Competing on the Eight Dimensions of Quality. Harvard Business Review, Nova 
York, nov. 1987. Bimestral. Disponível em: <https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-di-
mensions-of-quality>. Acesso em: 20 out. 2017.
MONTGOMERY, D. C. Introdução ao controle estatístico da qualidade. 7. ed. São Paulo: LTC, 
2016. 
TRIOLA, M. F. Introdução à estatística: Atualização da tecnologia. 11. ed. São Paulo: LTC, 2013.
https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-dimensions-of-quality
https://hbr.org/1987/11/competing-on-the-eight-dimensions-of-quality
195/202
1. Assinale a alternativa correta. Podem ser avaliadas em uma avaliação por 
amostragem por atributo:
a) Medida nominal do diâmetro externo de um tubo.
b) Lâmpada acender.
c) Espessura de pintura de um carro.
d) Espessura de uma folha de papel.
e) Peso de uma caixa de papelão.
Questão 1
196/202
2. Assinale a alternativa correta. Qual dessas três características seria im-
portante para definir a utilização de lote de aceitação?
Questão 2
a) Ter informações para a decisão de manter um fornecedor.
b) Ter informações para a decisão de manter um operador logístico.
c) Ter informações para a decisão de sentenciamento do lote.
d) Ter informações para a decisão de manter um operador financeiro.
e) Ter informações para a decisão de manter uma operação.
197/202
3. Assinale a alternativa correta. Pode ser citada como vantagem na exe-
cução de um plano de amostragem:
Questão 3
a) Geralmente inspeção amostral é menos dispendiosa.
b) Geralmente inspeção amostral é mais dispendiosa.
c) Geralmente inspeção amostral é menos rápida.
d) Geralmente inspeção amostral é igual a inspeção 100%.
e) Geralmente inspeção amostral permite falhas.
198/202
4. Assinale a alternativa correta. Pode ser citada como desvantagem na 
execução de um plano de amostragem:
Questão 4
a) Há risco de aceitação de lotes com peças conforme e reprovação de lotes com apenas uma 
não-conformidade.
b) Há risco de aceitação de lotes com peças não-conforme e reprovação de lotes com apenas 
uma conformidade.
c) Há risco de aceitação de lotes com peças conforme e reprovação de lotes com apenas uma 
conformidade.
d) Há risco de aceitação de lotes com peças não-conforme e reprovação de lotes com apenas 
uma não-conformidade.
e) Não há risco de aceitação de lotes com peças não-conforme e reprovação de lotes com ape-
nas uma não-conformidade.
199/202
5. Assinale a alternativa correta. Com a curva CO pode-se:
Questão 5
a) Definir se um lote, que vier a empresa e for inspecionado conforme o plano amostral defini-
do, será aceito 100% das vezes.
b) Definir a probabilidade de um lote, que viera empresa e for inspecionado conforme o plano 
amostral definido, não ser aceito conforme um limite de confiança proposto.
c) Definir que um lote que venha a ser aceito, conforme um limite de confiança proposto, sem 
a necessidade de inspeção.
d) Definir a probabilidade de um lote, que vier a empresa e for inspecionado conforme o plano 
amostral definido, ser aceito conforme um limite de confiança proposto.
e) Definir a probabilidade de uma inspeção 100% ser realizada em todos os lotes que vierem à 
empresa e que sejam todas as peças aprovadas.
200/202
Gabarito
1. Resposta: B.
Por se tratar de uma avaliação por atributo 
com características apenas conforme não-
-conforme apenas o item B poderia ser ava-
liado dessa maneira.
2. Resposta: C.
Existem três características importantes na 
definição de uma amostragem de aceitação: 
o objetivo dessa amostragem é ter informa-
ções sobre a decisão de sentenciamento do 
lote, não inferir sobre a qualidade do forne-
cedor. A amostragem de aceitação não de-
fine características de qualidade do produto 
que está sendo avaliado.
3. Resposta: A.
Vantagens na comparação das duas técnicas 
de inspeção podem ser citadas: geralmen-
te inspeção amostral é menos dispendiosa; 
menor manuseio do produto, que pode sig-
nificar menor quantidade de avarias; pode 
ser aplicado em testes destrutivos; menor 
quantidade de pessoas envolvidas no pro-
cesso de inspeção; redução dos erros de 
inspeção; ao se rejeitar um lote completo ao 
invés de peças de um lote o fornecedor fi-
cará mais atento com as saídas do processo 
produtivo.
4. Resposta: D.
Entre as desvantagens podem ser citadas: 
há risco de aceitação de lotes com peças 
201/202
Gabarito
não-conforme e reprovação de lotes com 
apenas uma não-conformidade; gera-se 
pouca informação sobre o produto e o pro-
cesso de manufatura sobre o qual o produto 
passou.
5. Resposta: D.
Definir a probabilidade de um lote, que vier 
a empresa e for inspecionado conforme o 
plano amostral definido, ser aceito confor-
me um limite de confiança proposto.